INSTITUTO TECNOLOGICO DE PIEDRAS NEGRAS INGENIERIA EN MECATRONICA CONTROL UNIDAD 4 “ANALISIS Y DISEÑO DE COMPENSADORES EN LA FRECUENCIA ”
TRABAJO 1 COMPENSACION CON BODE
EVERARDO PECINA HERNANDEZ 13430042 ING. MARTIN CHIO SALINAS
JUEVES 08 DE JUNIO DEL 2017
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Índice
Introducción………………………………………………………………….3
Compensación adelanto.……………………………….……………. .......4
Compensación atraso ………………………………...……..………........8
Compensación retardo – adelanto......... ……………………...…….. ...11
Conclusiones……………………………………………………………….13
Fuentes de información………………………………………………….. 14
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Introducción El diseño en el dominio de la frecuencia es sencillo y directo. La gráfica de la respuesta en frecuencia indica claramente la forma en la que debe modificarse el sistema, aunque no sea posible hacer una predicción cuantitativa exacta de las características de la respuesta transitoria. El método de la respuesta en frecuencia se puede aplicar a sistemas o componentes cuyas características dinámicas están dadas en forma de datos de respuesta en frecuencia. Obsérvese que, debido a la dificultad de obtener las ecuaciones que controlan ciertos componentes, tales como neumáticos o hidráulicos, por lo general las características dinámicas de dichos componentes se determinan de forma experimental a través de pruebas de respuesta en frecuencia. Las gráficas de respuesta en frecuencia obtenidas experimentalmente se pueden combinar con facilidad con otras gráficas obtenidas del mismo modo cuando se utiliza el método del diagrama de Bode. Obsérvese también que, cuando se trabaja con ruido de alta frecuencia, se comprueba que el método de la respuesta en frecuencia es más conveniente que otros. Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia. Uno es el enfoque del diagrama polar y el otro es el enfoque del diagrama de Bode. Cuando se añade un compensador, el diagrama polar no conserva su forma original, por lo que es necesario dibujar un nuevo diagrama polar, lo cual lleva tiempo y, por tanto, no es conveniente. Por otra parte, el diagrama de Bode de l compensador se puede añadir de forma muy simple al diagrama de Bode original, y, por tanto, representar el diagrama de Bode completo resulta sencillo. Asimismo, si varía la ganancia en lazo abierto, la curva de magnitud se desplaza hacia arriba o hacia abajo sin que se modifique la pendiente de la curva, y la curva de fase no cambia. Por tanto, para propósitos de diseño, es mejor trabajar con el diagrama de bode.
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Compensación en adelanto Primero se examinarán las características en frecuencia del compensador de adelanto. A continuación se presenta una técnica de diseño para el compensador de adelanto mediante el uso de los diagramas de Bode. Características de los compensadores de adelanto. Sea un compensador de adelanto que tiene la función de transferencia siguiente:
1 + +1 +1 = + 1 0 <<1
Donde α se denomina factor de atenuación del compensador de adelanto. Tiene un cero en s = 1/T y un polo en s = 1/(αT ). Como 0 < α < 1, se ve que el cero siempre se localiza a la derecha del polo en el plano complejo. Obsérvese que, para un valor pequeño de α, el polo se localiza lejos hacia la izquierda. El valor mínimo de α está limitado por la construcción física del compensador de adelanto. El valor mínimo de α normalmente se toma alrededor de 0.05.
La Figura 7-91 muestra el diagrama polar de
+1 0 <<1 +1
Con Kc = 1. Para un valor determinado de α, el ángulo entre el eje real positivo y la línea tangente dibujada desde el origen hasta el semicírculo proporciona el ángulo de adelanto de fase máximo, ϕm. Se llamará ωn a la frecuencia en el punto tangente. De la Figura 7-91, el ángulo de fase en ω = ωn es ϕm, donde
1− = 1+22 = 1− 1+
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La Figura 7-92 muestra el diagrama de Bode de un compensador de adelanto cuando Kc = 1 y α = 0.1.
Como puede observarse en la Figura 7-92, el compensador de adelanto es básicamente un filtro paso alta. Técnicas de compensación de adelanto basadas en el método de la respuesta en frecuencia. La función principal del compensador de adelanto es modificar la curva de respuesta en frecuencia para proporcionar un ángulo de adelanto de fase suficiente para compensar el excesivo retardo de fase asociado con las componentes del sistema fijo. Sea el sistema que se muestra en la Figura 7-93.
Supóngase que las especificaciones de comportamiento se dan en función del margen de fase, del margen de ganancia, de las constantes de error estático de velocidad, etc. El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el método de respuesta en frecuencia se plantea del modo siguiente:
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1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:
Defina Entonces
1 + +1 = ∝ ∝+1 = + ∝1 0 < ∝ <1 ∝= +1 = ∝ ∝+1 +1 = ∝+1 +1 = ∝+1 +1 = ∝+1 =
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
Donde
Determine la ganancia error dada.
K
que satisfaga el requisito sobre la constante estática de
2. Usando la ganancia K así determinada, dibuje el diagrama de Bode de , el sistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el margen de fase. 3. Determine el ángulo de adelanto de fase que es necesario que se añada al sistema. Incremente un adelanto de fase adicional de 5 o a 12o al ángulo de adelanto de fase requerido, ya que la adición del compensador de adelanto desplaza la frecuencia de cruce de ganancia hacia la derecha y disminuye así el margen de fase.
−20 1/√ .
4. Determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado , es igual a. Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde y el cambio de fase máximo ocurre en esta frecuencia.
∅
=1/√
5. Determine las frecuencias esquinas del compensador de adelanto del modo siguiente:
Compensador de adelanto de cero:
Compensador de adelanto del polo:
==
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6. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de determinado en el paso 4, calcule la constante K c a partir de
=
7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. Si no es así, repita el proceso de diseño modificando la localización de polos-ceros del compensador hasta que se obtenga un resultado satisfactorio.
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Compensación de retardo Características de los compensadores de retardo. Sea un compensador de retardo que tiene la siguiente función de transferencia:
1 + +1 = +1 = + 1 >1
En el plano complejo, un compensador de retardo tiene un cero en
=−
=−
y un polo
en . El polo está localizado a la derecha del cero. La Figura 7-101 muestra un diagrama polar del compensador de retardo. La Figura 7-102 contiene los diagramas de Bode del compensador, donde . Las frecuencias esquinas del compensador de retardo están en donde los valores de Kc y β se hacen igual a 1 y 10, respectivamente, la magnitud del compensador de retardo es de 10 (o 20 dB) a bajas frecuencias, y 1 (o 0 dB) a altas frecuencias. Por tanto, el compensador de retardo es esencialmente un filtro paso baja.
= =1 ==10
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Técnicas de compensación de retardo basadas en el método de la respuesta en frecuencia. La función principal de un compensador de retardo es proporcionar una atenuación en el rango de las altas frecuencias a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. La característica de retardo de fase no tiene importancia en la compensación por retardo. El procedimiento para diseñar compensadores de retardo para el sistema que se muestra en la Figura de abajo, mediante el método de la respuesta en frecuencia, se puede plantear del modo siguiente:
1. Suponga el siguiente compensador de retardo:
Defina
Entonces
1 + +1 = +1 = + 1 >1 = +1 = +1 +1 = +1 +1 = +1 +1 = +1 =
La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es
Donde
Determine la ganancia estático de velocidad.
K
que satisfaga los requisitos sobre la constante de error
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=
no 2. Si el sistema no compensado pero ajustado en ganancia satisface las especificaciones en los márgenes de fase y de ganancia, entonces encuentre la frecuencia en la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a .180 o más el margen de fase requerido. Este es el margen de fase especificado más 5 o a 12o. (La adición de entre 5 o y 12o compensa el desfase que introduce el compensador de retardo.) Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. 3. Para evitar los efectos adversos del desfase producido por el compensador de retardo, el polo y el cero del compensador de retardo deben localizarse sustancialmente por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganan cia. Por tanto, seleccione la frecuencia esquina (que corresponde al cero del compensador de retardo) entre una octava y una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. (Si las constantes de tiempo del compensador de retardo no se hacen demasiado grandes, la frecuencia esquina se puede escoger una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.)
=
=
4. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si se considera que esta atenuación es de , determine el valor de β. A continuación se obtiene la otra frecuencia esquina (que corresponde al polo del compensador de retardo) a partir de .
−20 1
=
5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de β o btenido en el paso 5, calcule la constante K c a partir de
=
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Compensación de retardo-adelanto Característica del compensador de retardo-adelanto. Sea el compensador de retardo-adelanto obtenido mediante
Donde
1 1 + + = + + 1 >1 >1. ++ 1 = 1 +1 >1 +1 + 11 = (+1+1) >1 +
Produce el efecto de una red de adelanto, y el término
Produce el efecto de una red de retardo.
≠
Al diseñar un compensador de retardo-adelanto, es común seleccionar supuesto, se puede elegir
=
, Por
Compensación de retardo-adelanto basada en el método de la respuesta en frecuencia. El diseño de un compensador de retardo-adelanto mediante el método de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño analizadas en la compensación de adelanto y la compensación de retardo. Supóngase que el compensador de retardo-adelanto tiene la forma siguiente:
>1
1 1 + + +1 +1 = ( +1)+1 = (+ )(+ 1)
Donde . La parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto (la parte que contiene T 1) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. La parte de retardo de fase (la parte que contiene T 2) 11
proporciona una atenuación cerca y por encima de la frecuencia de cruce de ganancia y, por tanto, permite un incremento de la ganancia en el rango de bajas frecuencias que mejora el comportamiento en estado estacionario.
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Conclusión La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribución al adelanto de la fase, mientras que la compensación de retardo logra el resultado a través de su propiedad de atenuación a altas frecuencias, la compensación de adelanto suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad y dar una frecuencia de cruce de ganancia más alta que la que puede obtenerse con la compensación de retardo.
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Fuentes de información
INGENIERÍA DE CONTROL MODERNA, Katsuhiko Ogata, PEARSON EDUCACIÓN, S.A., Madrid, 2010, ISBN: 978-84-8322-660-5, Materia: Ingeniería del control automático, 681.5, Formato: 195#250 mm. Páginas: 904. SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO, septima edicion, Benjamin C. Kuo.
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