Semnal Sem nale e¸ si si Siteme Sit eme Laborato Laboratorul rul 5. Diagra Diagramel mele e lui Bode
1
Scop Scopul ul labor laborato atoru rulu luii
Scopul laboratorului const˘ a ˆın studierea studier ea r˘aspunsului aspunsu lui ˆın frecvent¸˘ ¸a˘ al unui sistem. ˆIn particular, pentru clasa de sisteme studiate (liniare, invariante invariante ˆın ın timp ¸si si avˆ and and funct¸ia ¸ia de transfe transferr proprie proprie), ), r˘ aspunsul la un semnal de intrare sinusoidal este tot un semnal siaspunsul nusoidal de aceea¸si si frecvent¸˘ ¸a˘ cu semnalul de intrare. ˆIn schimb, amplitudinea ¸si si faza semnalului de ie¸sire sire difer˘a de cele ale semnalulu semnaluluii de intrare. intrare. Prin urmare, urmare, vom studia studia r˘ aspunsul aspunsul stat¸ionar ¸ionar al unui sistem la o intrare sinusoidal˘a a c˘arei arei frecvent¸˘ ¸a˘ variaz˘ a. a . Mai precis, vom examina funct¸ia ¸ia de transfer H transfer H ((s), pentru s pentru s = = j jω ω ¸si si vom dezvolta unor metode meto de specifice de reprezentare a lui H lui H (( jω jω)) cu ω cu ω [ , ]. Vom studia ˆın acest capitol caracteristicele amplitudine–frecvent¸˘ ¸a, a˘, respect respectiv iv faz˘ faz˘aa–– frecvent¸˘ ¸a, a˘, cunoscute ca diagramele (caracteristicile) lui Bode. ˆIn plus, vom implementa diverse tipuri de filtre, prezentate pe p e larg ˆın sect¸iunea ¸iunea Exercit¸ii ¸ii rezolvate.
∈ −∞ ∞
2
Brev Brevia iar r teor teoret etic ic
Orice reprezentare grafic˘ a a num˘ arului arului complex H complex H (( jω jω)) pentru ω pentru ω [ , + ] se nume¸ num e¸ste st e H (s). reprezentarea reprezen tarea ˆın frecvent frecven¸˘ t a a sistemului H ( Num˘ arul arul complex H ( jω jω)) poate fi reprezent reprezentat at fie ˆın form˘ a cartezian˘ a, a, fie ˆın form˘a j arg(H ( jω )) polar˘ a. In reprezentare polar˘ a. a H ( H ( jω jω)) = H ( jω jω)) e . Notˆ and and
∈ −∞ ∞
|
H (ω ) = H ( jω jω))
|
|
|
¸si si φ(ω ) = arg(H arg(H ( jω jω)) ))
avem : H ( jω jω)) = H ( H (ω)e j ·φ(ω) . Definit¸ia ¸ia 1. Se S e nume¸ste ste scar˘ scar ˘a logaritmic˘ a un sistem de axe ˆın care abscisa abscisa este log x iar ordonata este [y [y ]dB = 20 log log y . Graficul [y [y ]dB = f (log f (log x) se nume¸ num e¸ste st e reprezentare la scar˘ a = f ((x). dB este prescurtarea de la decibell. Distant¸a ¸a dintre 2 puncte logaritmic˘ a a lui y = f reprezentˆ and puteri consecutive ale lui 10, de pe abscis˘a, se nume¸ and num e¸ste st e decad˘ a . [y]dB
decadã
0
1
10
2
10
Scara logaritmic˘ a
1
logx
Definit¸ia ¸ia 2. Reprezent˘arile arile [H (ω)]dB = f (log f (log ω) ¸si si
φ(ω ) = f (log f (log ω )
se numesc numesc caracteristicile sistemului ui caracteristicile amplitudine-frecvent amplitudine-frecvent ¸˘ a resp respe ectiv faz˘ a-frecvent ¸˘ a ale sistemul H (s), sau diagramele Bode ale acestuia. 2.1 2.1
Diagr Diagram amel ele e lui lui Bode Bode
2.1.1 2.1.1
Trasarea rasarea calitat calitativ˘ iv˘ a
Vom prezenta o procedur˘a de desenare a caracteristicilor asimptotice ¸si si a celor reale, atˆat at pentru amplitudine, amplitudine, cˆ at at ¸si si pentru faz˘a. a. Problem˘a: Dˆandu-se andu-se un sistem sistem H (s), se cere cere trasare trasareaa caracte caracteris ristic ticilo ilorr [H (ω)]dB = f (log f (log ω ) ¸si φ( φ (ω) = f (log f (log ω), pentru ω pentru ω [0, [0 , ).
∈ ∞
Algoritm: 1) Se rescrie rescrie funct func¸ia ¸t ia de transfer a sistemului sub form˘a de produse (conect˘ari ari ˆın serie) ser ie) de elemente integratoare, de ordin 1, 2, de intˆarziere arziere sau anticipat¸ie ¸ie (la numitor, respectiv la num˘ar˘ ar˘ator): ator): K H (s) = q s
l (T i s + 1) i=1 (T n (T j s + 1) j =1 (T
cu T cu T i , T j , T ni , T nj > 0, 0 , ζ i , ζ j
∈ [0, [0 , 1). 1).
m (T n2i s2 + 2ζ 2ζ i T ni s + 1) i=1 (T , p (T n2j s2 + 2ζ 2ζ j T nj s + 1) j =1 (T
2) Se determin determin˘˘a frecvent ˆın ordinea ordine a cresc˘atoare atoare (descresc˘atoare atoare a constante¸ele de t˘ aiere ˆ lor de timp). timp). Astfel Astfel,, inter interv valul alul [0, [0, ) este ˆımp˘ ımp ˘art art¸it ¸it pe benzi [0, ) = benzi de frec frecvent vent ¸a ˘ : [0, 1 [0, [0, ωT ) [ωT , ωT ) [ωT , ωT ) ... , ωT k = T k . 1
3)
∪
1
2
∪
3
4
∪
∞
∞
(i) Caracteristic a se traseaz˘a caracCaracteristica a amplitudine-frecvent amplitudine-frecvent ¸˘ a (AF): Pe fiecare band˘ teristica asimptotic˘a corespunz˘atoare atoare fiec˘ arui arui element, adunˆand and de fiecare dat˘a pantele. Caracteristica real˘ a urm˘ are¸ are¸ste ste asimpto a simptotele, tele, cu specificit sp ecificit˘˘at a¸ile ¸tile fiec˘arui arui sistem elementar ˆın parte. (ii) Caracteristica faz˘ (FF): Se deseneaz˘a caracteristi caracteristica ca specific˘ specific˘a fiec˘arui arui a-frecvent ¸a ˘ (FF): Se element, pe acela¸si si grafic, apoi apo i se ˆıncearc˘ ıncear c˘a vizual ˆınsumarea ınsumarea graficelor pe fiecare band˘ a de frecvent¸˘ ¸a. a˘.
ˆIn Matlab: >> bode(sys bode(sys) ) % pentru pentru caracter caracterstic stica a reala reala >> bodemag( bodemag(sys) sys) % pentru pentru caracter caracterstic stica a amplitud amplitudineine-frec frecvent venta a
2.1.2
Caracteristicile Caracteristicile elemente elementelor lor de de baz˘ baz˘ a
Integratorul : Integratorul : H (s) =
K , K, K , q sq
∈ ∈ R.
AF : AF : Se obt¸ine ¸ine o familie de drepte avˆand and panta de 20log K
− − 20 20q q log log ω = [K ] 2
−20 20q q dB/dec, dB/dec, de forma − 20 20q q log log ω.
dB
Bode Diagram 60 50
q=−2 q=−1
40 ) B d (
30
e d u t i n g a M
[K]
dB
20 10 0
q=1 q=2
−10 −20 180
90 ) g e d (
e s a h P
0
−90
−180 −2
−1
10
0
10
10
1
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura 1: Diagramele Bode ale integratorului (discut¸ie dup˘a q , K = 10)
FF : Faza este constant˘a, iar valoarea ei depinde de q , φ(ω) =
π
−q 2 .
K , T [H (ω)]dB = [K ]dB R, K > 0 Ts + 1 20log(1 + ω2 T 2 ). Cum T ωT = |T 1 | , frecvent¸ a de R vom vorbi de ωT = ω T t˘ aiere. Dac˘a T > 0, atunci sistemul este stabil. Dac˘a T < 0, atunci sistemul este instabil. Elementul de ordin I. H (s) =
∈ | |
∈
⇒ | |⇒
−
AF : Cele trei benzi vor fi: joas˘ a frecvent¸a˘ (j.f.): [K ]dB ; medie frecvent¸a˘ (m.f.):
−3 dB (abatere, ne ajut˘a la caracteristica real˘a); ˆınalt˘a frecvent¸a˘ (ˆı.f.): dreapt˘ a cu panta de −20 dB/dec. FF : φ(ω) = − arctan(ωT ). Observ˘am c˘a dac˘ a T < 0, atunci se modific˘a doar faza,
vezi figura 2.
ωn2 Elementul de ordin II. H (s) = 2 , ωn > 0, 0 < ζ < 1. Notˆ and x = s + 2ζωn s + ωn2 obt¸inem 1 H (ω) H (x) = . (1 x2 )2 + 4ζ 2 x2 Frecvent¸a de t˘aiere este ω T
← = ω ⇔ x n
T
ω ωn
−
= 1.
AF: j.f.: 0; m.f.: 10log4 20log ζ ; ˆı.f.: dreapt˘ a cu panta de 40 dB/dec.
−
FF : φ(ω) = arctan(
−
−
− 1−2
ζx ). x2
Observat¸ie. Ambele caracteristici depind de ζ . Dac˘a ζ > 1, atunci elementul de ordin II are 2 poli reali, deci practic elementul de ordin II devine o ˆınseriere a 2 elemente 3
Bode Diagram 20
T>0
15 10 ) B d ( e d u t i n g a M
5 0 −5
−10 −15 −20 0
) g e d ( e −45 s a h P
−90 −2
10
−1
0
10
10
1
2
10
10
Frequency (rad/sec) Bode Diagram 20 15
T<0
10 ) B d ( e d u t i n g a
5 0
M
−5
−10 −15 −20 90
) g e d ( e 45 s a h P
0 −2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 2: Element de ordin I: stabil (stˆanga); instabil (dreapta)
4
Bode Diagram 150
zeta = 0
100 ) B d ( e d u t i n g a M
50
0
zeta = 1 −50
−100 0
−90 ) g e d ( e −180 s a h P
−270
−360 −2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 3: Element de ordin II de ordin I, iar caracteristica va sem˘ana cu cea a unui sistem de ordin I (doar cu panta mai abrupt˘ a). Reamintim c˘ a ζ = 0 reprezint˘a regimul de rezonant¸a˘, ζ = 1 este regimul aperiodic critic, iar ζ > 1 reprezint˘a regimul supracritic. Observat¸ie. Caracteristicile elementelor inverse sunt simetricele celor de mai sus fat¸˘ a de abscis˘a. 2.2
Filtrare
ˆIn multe aplicat¸ii ne intereseaz˘a s˘a schimb˘am amplitudinile relative ale componentelor frecvent¸iale dintr-un semnal sau chiar s˘a elimin˘am unele componente frecvent¸iale cu totul. Acest procedeu se nume¸ste filtrare . Sistemele liniare ¸si invariante ˆın timp care pot schimba forma spectrului unui semnal se numesc filtre de formare . Sistemele LTI care lasa s˘a treac˘ a anumite frecvent¸e esent¸ial nemodificate ¸si atenueaz˘a (sau chiar elimin˘a) alte frecvent¸e se numesc filtre selective de frecvent ¸˘ a . Astfel, fie un sistem de convolutie y(t) = (h u)(t). Conform propriet˘ a¸tii de convolut¸ie a transformatei Fourier (TF):
∗
Y ( jω) = H ( jω)U ( jω),
(1)
unde Y ( jω) este TF a ie¸sirii y(t), U ( jω) este TF a intr˘arii u(t), iar H ( jω) este r˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘ al sistemului, definit ˆın (??). A¸sadar, ecuat¸ia (1) descrie un filtru de frecvent¸a˘.
3
Exercit ¸ii rezolvate
Trasat¸i caracteristicile Bode pentru urm˘atoarele sisteme: Exercit¸iul 1. H (s) =
2s + 1 . s(10s + 1)(s2 + 4s + 8)
5
Rezolvare. H (s) =
1 8
K =
1
2s+1 1 . 1 1 1 s (10s+1) ( √ )2 s2 +2( √ )( √ )s+1) 2
2
2
2
Obt¸inem
2
1 1 1 ; T 1 = 10; T 2 = 2; T 3 = , iar ζ = 8 2 2 2
√
A¸sadar, frecvent¸ele de t˘aiere sunt ω T = 1
1 10
< ωT = 2
1 2
< ωT
3
√ ≈ 0.7. √ = 2 2.
AF: Vom respecta algoritmul prezentat anterior. 1) (0, ωT ): integrator, dreapt˘ a cu panta de 1 valoarea [K ]dB = [ 8 ]dB 18 dB ; 1
≈ −
−20 dB/dec. La ω = 1, asimptota de j.f. are
2) [ωT , ωT ): element de ordin I, dreapt˘a cu panta de 1
−20 dB/dec;
2
3) [ωT , ωT ): ordin I inversat, dreapt˘a cu panta de
−20 + 20 = 0 dB/dec. 4) [ω , ∞): ordin II (cu poli complec¸si), dreapt˘a cu panta de 0 − 40 = −40 dB/dec. FF : φ(ω) = − 2 + arctan(2ω) − arctan(10ω) − arctan( 1 4− ). ˆIn general, aici nu se precizeaz˘ a decˆat valorile la 0 ¸si la ∞, dac˘a se pot calcula. Deci φ(0) = − 2 , iar φ(∞) = − 2 + 2 − 2 − 2 − π = −2π. 2
3
T 3
, ωω n 2 ωn ω2
π
π
π
π
π
π
Codul Matlab este prezentat ˆın Anex˘a. Rezultatele sunt prezentate ˆın figura 4. Exercit¸iile urm˘atoare nu vor mai cont¸ine explicat¸ii analitice extinse, deoarece ele reprezint˘ a din punct de vedere al rezolv˘arii doar aplicarea direct˘ a a procedurii, ci doar observat¸ii practice din analiza graficelor. Exercit¸iul 2. H (s) =
10 s
1+s2 . (0,1s+1)(0,05s+1)
Rezolvare. ω1 = 1, ω2 = 10, ω3 = 20. Elementul de ordin II prezent ˆın sistem are ζ = 0,
funct¸ionˆand la rezonant¸a˘. Acest fenomen va fi pus ˆın evident¸a˘ clar pe caracteristica de amplitudine. Dup˘a cum s-a v˘azut acesta este reprezentat prin discontinuitatea ˆın frecvent¸a de t˘aiere. Codul Matlab este dat ˆın Anex˘a. Rezultatul este prezentat ˆın figura 5. Exercit¸iul 3. G(s) =
αs + 1 , α, β > 0. Calculat¸i supω G( jω ) . Discut¸ie dup˘a α ¸si β . βs + 1
|
|
< ω2 = α1 . Valoarea supω G( jω) se ia de pe grafic ¸si corespunde valorii maxime a lui [G]dB . Aici, Rezolvare. Cazul 1. α < β
⇒ ω1 =
1
|
β
[G]dB,max = 0
|
⇒ sup |G( jω)| = 1. ω
Rezultatul este prezentat ˆın figura 6, iar codul Matlab ˆın Anex˘a. Cazul 2. α > β ω 1 = α1 < ω2 = β1 . Graficele sunt simetricele celor de mai sus fat¸a˘ de abscis˘ a. In plus supω G( jω) = αβ . Verficat¸i analitic corectitudinea afirmat¸iei anterioare. Indicat¸ie: Maximul se g˘ase¸ste pe caracteristica asimptotic˘a. De ce?
⇒
|
Exercit¸iul 4. H (s) =
|
s a , a s+a
−
∈ R +.
Rezolvare. Este cazul filtrului de tip trece-tot care are modulul 1 pe ˆıntreg spectrul pozitiv
de frecvent¸e. 6
Bode Diagram 100
50 ) B d ( e d u t i n g a M
0 −18 −50
−100
[K]dB −150 −90
−135 ) g e d (
e −180 s a h P
−225
−270 −3
10
−2
−1
10
0
10
10
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 4: Rezultatul Exercit¸iului 1
Bode Diagram 50
0 ) B d ( e d u t i n g a M
−50
rezonanta
−100
−150 450
405 ) g 360 e d ( e s a h 315 P
270
225 −1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 5: Rezultatul Exercit¸iului 2
7
3
10
Bode Diagram 0 −1 −2 ) B −3 d ( e d u −4 t i n g a M−5
−6 −7 −8 0
−5 ) g e d ( e −10 s a h P
−15
−20 −2
−1
10
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Figura 6: Rezultatul Exercit¸iului 3
AF: 0 dB pe ω
∈ [0, ∞).
FF: φ(ω) = arctan ω2aω (asem˘an˘ atoare cu element de ordin I, doar c˘a se schimb˘a −a punctul de inflexiune ¸si capetele ˆıntre care evolueaz˘a, φ(0+ ) = π2 , iar φ( ) = 0). 2
2
∞
Construit¸i o funct¸ie Matlab care prime¸ste la intrare parametrul a ¸si afi¸seaz˘a diagrama Bode (vezi Anexa). Se dau valori pozitive lui a. Graficul amplitudinii va avea variatii mici in jurul semiaxei logaritmice. Care este cauza acestui fenomen si cum se poate proceda pentru vizualizarea corect˘ a a graficului? Exercit¸iul 5. Reprezentat¸i diagramele Bode pentru sistemul s H (s) = 100 3 . s + 12s2 + 21s + 10 s . Rezolvare. H (s) = 10 1 (s + 1)2 ( 10 s + 1) Observ˘a m c˘a sistemul are factorul de amplificare K = 10 negativ iar elementele sale 1 sunt: un zerou ˆın origine, un pol ˆın s = 10 de multiplicitate 1 si un pol dublu in s = 1.
−
−
−
−
Matlab : num = [-100 0]; den = [1 12 21 10]; H = tf(num,den); bode(H)
Exercit¸iul 6. Reprezentat¸i diagramele Bode pentru sistemul: H (s) = 4
s2 + s + 25 . s3 + 100s2
Matlab : 8
−
num = [4 4 100]; den = [1 100 0 0]; H = tf(num,den); bode(H)
Exercit¸iul 7. H (s) =
K s
e−τ s .
Rezolvare.
K π , iar φ(ω) = ωτ . ω 2 Se observ˘a c˘a faza este liniar˘a. ˆIn general, un sistem cu timp mort are funct¸ia de transfer ˜ (s)e−τ s , unde H ˜ (s) este o funct¸ie de transfer rat¸ional˘ H (s) = H a (strict) proprie. Rezult˘a ˜ ( jω) , a¸sadar modulul nu este influent¸at de timpul mort. ˆIn schimb faza c˘a H ( jω) = H ˜ ( jω)) ωτ , afectat˘ este φ(ω) = arg(H a semnificativ la frecvent¸ e mari (φ( ) = ). Propunem cititorului trasarea diagramelor Bode pentru K = 2, τ = 1. H (ω) =
|
| |
|
− −
−
∞
−∞
Exercit¸iul 8. Reprezentat¸i diagramele Bode parametrizate atˆ at ˆın funct¸ie de ω cˆ at ¸si de ζ pentru un element de ordinul 2: H (ω) = H (ω, ζ ), φ(ω) = φ(ω, ζ ), ζ R.
∈
Rezolvare. Codul este dat ˆın Anex˘a.
Exercit¸iul 9. Fie semnalul continuu cu frecvent¸a fundamental˘ a ω 0 = 2π, +3
x(t) =
ak e jk ω t , 0
k=−3
unde a 0 = 1, a1 = a −1 = 41 , a2 = a −2 = 21 , a3 = a −3 = 31 . ˆIn plus, considerat¸i sistemul LTI cu funct¸ia pondere h(t) = e −t 1(t). a) Folosind relat¸ia lui Euler, scriet¸i semnalul x(t) ca o sum˘a de funct¸ii cosinus. Reprezentat¸i grafic semnalul. b) Calculat¸i r˘apunsul ˆın frecvent¸a˘ al sistemului LTI dat, H ( jω), precum ¸si modulul sau H ( jω ) =: H (ω). Reprezentat¸i grafic H (ω) dB = f (log(ω)).
|
|
c) Aratat¸i c˘a +3
y(t) =
ak H ( jk 2π)e jk 2πt .
k=−3
d) Scriet¸i semnalul y (t) ca o sum˘a de funct¸ii cosinus. Reprezentat¸i grafic semnalul. Rezolvare.
a) Din ipoteze, avem c˘a x(t) = 1 +
1 j 2πt 1 j 4πt 1 j 6πt e + e− j 2πt + e + e− j 4πt + e + e− j 6πt . 4 2 3
Din relat¸ia lui Euler, rezult˘a usor c˘a 2cos(ωt) = e jω t +e− jω t . Relat¸ia de mai sus devine: 1 2 x(t) = 1 + cos2πt + cos 4πt + cos 6πt. 2 3 ˆIn figura 7 avem reprezentarea grafic˘a a semnalului x(t). Se folose¸ste codul prezentat ˆın Anex˘a. 9
Graficul semnalului x(t) 3.5
3
2.5
2
) t ( x
1.5
1
0.5
0
−0.5 −3
−2
−1
0 Timp
1
2
3
Figura 7: Exercit¸iul 9.a
Raspunsul in frecventa 0
−5
−10
) −15 B d ( ) ω ( H−20 l u l u d o M
−25
−30
−35
−40 −2 10
−1
10
0
10 Pulsatia ω (rad/s)
Figura 8: Exercit¸iul 9.b
10
1
10
2
10
b)
∞
H ( jω) =
−τ − jωτ
e
e
dτ =
0
−
1 e−(1+ jω )τ 1 + jω
∞
= 0
1 . 1 + jω
1 1 | |1 + jω = √ | 1 + ω2 .
H (ω) := H ( jω ) =
|
ˆIn figura 8 avem reprezentarea grafic˘a a funct¸iei H (ω). Codul Matlab se g˘ase¸ste ˆın Anex˘ a. jk 2πt c) Plec˘ am de la observat¸ia c˘a x(t) = +3 . Dac˘ a deterk=−3 xk (t), unde xk (t) = ak e min˘am r˘ aspunsul sistemului la intrarea xk (t), atunci r˘aspunsul y(t) la semnalul x(t) se obt¸ine prin superpozit¸ie, i.e., y(t) = +3 k=−3 yk (t). Vom avea succesiv:
∞
yk (t) =
0
∞
h(τ )xk (t
− τ )dτ =
jk 2π (t−τ )
h(τ )ak e
jk 2πt
dτ = a k e
0
∞
h(τ )e− jk 2πτ dτ
0
+3 jk 2πt
yk (t) = a k H ( jk2π)e
⇒ y(t) =
ak H ( jk2π)e jk 2πt , q.e.d.
k=−3
d) Din relat¸ia de la c), avem c˘a +3
y(t) =
bk e jkω t , 0
k=−3
unde b k = a k H ( jk 2π). Rezulta ca b 0 = 1, b1 = b−1 =
1 1 4 1+ j 2π , 1 1 4 1− j 2π
b2 =
1 1 2 1+ j 4π ,
b−2 =
1 1 2 1− j 4π
b3 = b−3 =
1 1 3 1+ j 6π , 1 1 3 1− j 6π
Reprezentarea ca sum˘a de funct¸ii cosinus se obt¸ine imediat: 3
y(t) = 1 + 2
Dk cos(2πkt + θk ),
bk = D k e jθ k .
k=1
Propunem ca exercit¸iu determinarea numeric˘a a coeficientilor ¸si reprezentarea grafic˘a a semnalului. Exercit¸iul 10. Circuitul RC este utilizat pe scar˘a larga pentru implementarea unor filtre specifice de frecvent¸a˘. Acest exercit¸iu propune studiul filtrelor de tip Trece-Jos ¸si Trece-Sus realizate cu circuitul RC. a) Considerˆ and ca intrare tensiunea de alimentare u(t) ¸si ca ie¸sire tensiunea de pe condensator v C (t), am aratat ˆın Sect¸iunea ?? c˘a r˘ aspunsul ˆın frecvent¸a˘ al sistemului LTI rezultat este 1 H ( jω ) = . 1 + RCjω Sistemul LTI astfel obt¸inut este un filtru de tip TJ. Reprezentat¸i grafic modulul num˘arului complex H (ω) := H ( jω) ¸si faz˘a φ(ω) := arg[H ( jω)], pentru RC 1, 2, . . . , 7 sec. Justificat¸i denumirea de FTJ.
{
}
|
|
∈
11
Modulul raspunsului in frecventa
Argumentul raspunsului in frecventa
0
0
−10 −10 −20
−20
−30
) B d ( ) ω ( H −30 l u l u d o M
) e d a −40 r g ( ) ω (
RC creste
φ
a −50 z a F
−40
−60
−70 −50 −80
−60 −2 10
0
−90 −2 10
2
10 Pulsatia ω (rad/s)
10
0
10 Pulsatia ω (rad/s)
2
10
Figura 9: Exercit¸iul 10.a b) Ca alternativ˘ a, putem considera ca ie¸sire tensiunea de pe rezistor vR (t). Ecuat¸ia diferent¸ial˘ a care caracterizeaz˘ a sistemul, z (t) := v R (t) este: dz(t) du(t) RC + z(t) = RC . dt dt
(2)
Determinat¸i r˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘ al sistemului G( jω) pentru RC = 5 sec. Trasat¸i grafic funct¸iile G(ω) := G( jω) ¸si φ(ω) := arg[G( jω)]. Obt¸inem un filtru Trece-Sus (FTS). Justificat¸i aceast˘a denumire.
|
|
c) Fie R C = 0.1 sec. Reprezentat¸i diagramele lui Bode pentru sistemele H (s) ¸si G(s). Verificat¸i prin simulare caracterul celor dou˘a filtre.
·
d) Fie R C = 0.1 sec ¸si fie semnalul de stimul u(t) = 1(t) +e(t), unde e(t) este un zgomot alb de medie nul˘a ¸si variant¸a˘ 0.1. Reprezentat¸i grafic r˘aspunsul sistemului H (s).
·
Rezolvare.
a) Se obt¸ine H (ω) = Faza se calculeaza cu relatia φ(ω) = arctg
1
1 + ω 2 (RC )2
Im H ( jω ) Re H ( jω)
·
.
= arctg( ωRC ).
−
Graficul pentru diverse valori RC este dat ˆın figura 9. ˆIn Matlab, am determinat modulul ¸si faza folosind relat¸iile obt¸inute. Rutina se g˘ase¸ste ˆın Anex˘a.
12
Observat¸ ia 1. Pentru frecvent¸e joase, ˆın vecin˘atatea punctului ω = 0, se observ˘a pe grafic c˘ a H ( jω) 1(0 dB), ceea ce ˆınseamna c˘a frecvent¸ele joase ”trec”. Pentru valori mari ale frecvent¸ei ω, H ( jω ) este considerabil mai mic ¸si scade liniar cu cre¸sterea lui ω. Astfel, circuitul RC cu ie¸sirea pe condensator este un Filtru Trece—Jos .
|
|≈
|
|
Observat¸ ia 2. S˘a presupunem c˘a ne dorim ca filtrul sa permit˘a trecerea doar pentru frecvent¸e foarte joase. Se observ˘a din grafic c˘a 1/RC trebuie s˘a fie mic, respectiv RC s˘a fie mare. b) Dac˘a u(t) = e jωt , atunci avem c˘a z(t) = G( jω)e jω t . ˆInlocuind ˆın relat¸ia (2), obt¸inem dup˘a calcule elementare: jωRC G( jω) = . 1 + jωRC Modulul ¸si argumentul r˘aspunsului ˆın frecvent¸a˘ G( jω) rezult˘a imediat: G(ω) =
ωRC , 1 + (ωRC )2
φ(ω) = arctg
1 . ωRC
Modulul raspunsului in frecventa
10 0 ) B d ( ) ω −10 ( H l u l u −20 d o M −30 −40 −3 10
−2
10
−1
10
0
10
1
2
10
10
3
10
Argumentul raspunsului in frecventa 100 ) e d a r g ( ) ω ( φ
a z a F
80 60 40 20 0 −3 10
−2
10
−1
10
0
10 Pulsatia ω (rad/s)
1
2
10
10
3
10
Figura 10: Exercitiul 10.b Graficele sunt date ˆın figura 10, iar codul Matlab aferent ˆın Anex˘ a. Observat¸ ia 3. Se poate observa din figur˘a c˘ a sistemul atenueaz˘a frecvent¸ele ˆınalte ¸si permite trecerea frecvent¸elor ˆınalte, adic˘a ω >> 1/RC . Prin urmare, sistemul este un FTS neideal .
| |
c) Pentru R C = 0.1 sec, avem frecvent¸a de t˘aiere ω 0 = simulare semnalele de stimul
·
u1 (t) = sin(3t) + 4 cos(2t), t > 0,
1
= 10 rad/sec. Alegem pentru
RC
u2 (t) = sin(25t) + 4 cos(40), t > 0.
Se observ˘a c˘ a u1 (t) este compus din armonice cu frecvent¸ e mai mici decˆat ω0 . Prin urmare, acest semnal ”va trece” neamortizat prin sistemul H (s). u2 (t) este compus din armonice cu frecvent¸e mai mari decˆat ω 0 . Vom avea la ie¸sire o armonic˘a amortizat˘ a. 13
Linear Simulation Results 1.2
1
0.8
e d u t i l p m A
0.6
0.4
0.2
0
−0.2 −1
0
1
2
3
4 5 Time (seconds)
6
7
8
9
10
Figura 11: Zgomot alb filtrat Consider˘am acum sistemul G(s), care se comport˘a ca un filtru trece-sus, i.e., semnalele armonice de frecvent¸e ˆınalte trec. Reluˆand rat¸ionamentul anterior, u1 (t) este amortizat, iar u2 (t) trece. Propunem ca exercit¸iu cititorului verificarea afirmat¸iilor cu Matlab. Se va folosi spre exemplu instruct¸iunea lsim(H,u1,t);.
d) Codul Matlab este dat ˆın Anex˘a. Se obt¸ine figura 11. Se observ˘a c˘a efectul perturbator al zgomotului alb este ˆınl˘ aturat prin filtrare. Acest procedeu este folosit pe scar˘a larg˘ a ˆın practica inginereasc˘a atunci cˆ and un semnal de interes (spre exemplu, informat¸ia de la un senzor) este perturbat. Exercit¸iul 11. Filtrul Trece-Jos ideal ¸si Filtrul Trece-Tot (FTT). a) Filtrul Trece-Jos ideal are r˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘: H ( jω ) =
1, 0,
|ω| ≤ ω , |ω| > ω . c c
Detereminat¸i funct¸ia pondere a sistemului, h(t). Reprezentat¸i grafic H (ω) ¸si h(t). Ce putet¸i spune despre cauzalitatea sistemului? b) R˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘ al unui filtrul trece-tot este de forma H ( jω) = unde T 0 este un num˘ a r real fixat. reprezentat¸i grafic φ(ω).
jωT 0 1 , jωT 0 + 1
−
Calculat¸i H (ω). Ce observat¸i?
Calculat¸i ¸si
c) Un filtru trece-tot poate fi reprezentat ca o ˆıntˆ arziere pur˘ a, i.e., H (s) = e −sN , N Rezult˘ a H ( jω) = e − jωN . Calculat¸i ¸si reprezentat¸i grafic H (ω) ¸si φ(ω).
∈ N.
14
Rezolvare.
a) Funct¸ia pondere se calculeaz˘a pornind de la definit¸ie: ωc 1 1 h(t) = H ( jω)e jω t dω = 2π −ωc 2π 1 = e jω c t e− jω c t 2πjt sin(ωc t) = . πt
ωc
e jωt dω
−ωc
−
Graficele funct¸iilor H (ω) ¸si h(t) pentru ωc = 2rad/s sunt date ˆın figura 12. Codul Matlab aferent este ˆın Anex˘a. Raspunsul in frecventa 2 1.5 1 ) ω ( H
0.5 0 −0.5 −1 −5
−4
−3
−2
−1
0 (rad/s)
1
2
3
4
5
ω
Functia pondere a filtrului trece banda 0.8 0.6
) t ( h
0.4 0.2 0 −0.2 −15
−10
−5
0 Timp (s)
5
10
15
Figura 12: Exercit¸iul 11.a Observat¸ ia 4. De notat c˘a h(t) = 0, pentru t < 0. ˆIn consecint¸a, un filtru ideal nu este cauzal, fiind nepotrivit pentru acele aplicat¸ii practice care necesita filtre cauzale. Mai mult, chiar dac˘a cauzalitatea nu este o constrˆangere esent¸ial˘a, filtrul ideal este greu de implementat fizic, pe cˆand un filtru neideal (spre exemplu, filtrele neideale TS si TJ tratate anterior) este mult mai simplu de realizat (cu un simplu circuit RC).
b) H (ω) =
| jωT 0 − 1| = 1, ∀ω ∈ R. | jωT 0 + 1|
Pentru calculul fazei φ(ω), scriem r˘aspunsul in frecventa sub forma H ( jω) = Re H ( jω) + jIm H ( jω): ( jωT 0 1)(1 jωT 0 ) ω 2 T 02 1 2ωT 0 H ( jω) = = 2 2 + j 2 2 . (1 jωT 0 )(1 + jωT 0 ) ω T 0 + 1 ω T 0 + 1 Faza devine:
−
−
−
−
15
φ(ω) = arctg
Im H ( jω) 2ωT 0 = arctg 2 2 . Re H ( jω ) ω T 0 1
−
Codul Matlab pentru reprezentarea grafic˘a a funct¸iei φ(ω) este dat ˆın Anex˘a. Graficul este dat ˆın figura 13. Observat¸ ia 5. Pentru reprezentarea grafic˘ a, am folosit funct¸ia Matlab atan2 ˆın locul clasicei atan. Funct¸ia aleas˘a ˆıntoarce valoarea funct¸iei arctan(x) ˆın toate cele 4 cadrane. Argument˘ am aceasta alegere pe baza fenomenului de phase shift , adic˘a shiftarea fazei cu o 90 la frecvent¸a ω0 = T 1 , care duce la un rezultat eronat al funct¸iei Matlab atan - ˆıntoarce π π doar valori ˆıntre 2, 2 . 0
−
d) Avem c˘a H (ω) = e− jωN = 1, ω R, N N. Faza este scade liniar cu frecvent¸a, φ(ω) = jωN . Propunem cititorului s˘ a reprezinte grafic (ˆın Matlab ¸si analitic) diagramele Bode pentru acest sistem.
|
−
|
∀ ∈ ∀ ∈
Faza pentru Filtrul Trece Tot 180
160
140
120 ) e d a r g ( )
ω φ
(
100
80
60
40
20
0 −3 10
−2
10
−1
0
10
10 (rad/s)
1
10
2
10
3
10
ω
Figura 13: Exercit¸iul 11.b Exercit¸ iul 12. Ne propunem studiul filtrelor nonrecursive discrete . Aceste filtre nu depind de valori anterioare ale ie¸sirii, avˆ and astfel forma general˘ a k=N
y[n] =
bk u[n
k=−N
− k].
Constat˘ a m c˘a ie¸sirea este o medie ponderat˘a a valorilor intr˘arii de la u[n u[n + N ], cu ponderile date de coeficient¸ii b k .
− N ] pˆan˘a la
a) Un exemplu des ˆıntˆ alnit este filtrul de medie alunecatoare (MA), unde ie¸sirea y[n] este media valorilor semnalului de intrare u[n] ˆıntr-o vecin˘atate a lui n. Lu˘am un caz simplu: 1 y[n] = (u[n 1] + u[n] + u[n + 1]) . 3 Determinat¸i funct¸ia pondere ¸si r˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘ al filtrului MA. Reprezentat¸i grafic H (ω) := H (e jω ) . Interpretat¸i graficul obt¸inut.
−
|
|
16
b) Reluat¸i punctul anterior pentru cazul general, adic˘a k=N
1 y[n] = 2N + 1
u[n
k=−N
− k].
Rezolvare.
a) Funct¸ia pondere este r˘aspunsul sistemului la impulsul discret. ˆIntr-adevar, dac˘ a u[n] = δ [n], atunci y[n] = h[n]. Obt¸inem: 1 h[n] = (δ [n + 1] + δ [n] + δ [n 1]) . 3 Pentru sistemele discrete, r˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘ H (e jω ) este dat de relat¸ia:
−
+∞ jω
H (e ) =
h[n]e− jωn .
n=−∞
ˆIn cazul nostru, vom avea succesiv: H (e jω ) = = =
1 3
+∞
δ [n + 1]e− jω n +
n=−∞
1 3
+∞
δ [n]e− jωn +
n=−∞
1 jω e + 1 + e− jω 3 1 (1 + 2 cos(ω)). 3
Graficul funct¸iei H (ω) = se g˘ase¸ste ˆın Anex˘a.
+∞
n=−∞
δ [n
− 1]e−
jωn
|1 + 2 cos(ω)| este dat ˆın figura 14.
Script-ul Matlab necesar
Observat¸ia 6. Se observ˘a din grafic (vezi figura 14) c˘a filtrul nerecursiv dat are caracteristicile unui filtru Trece Jos neideal , adic˘a nu are o tranzit¸ie brusc˘a ˆıntre benzile de frecvent¸a˘ corespunzatoare (banda de trecere, respectiv de atenuare). b) ˆIn acest caz, funct¸ia pondere devine: 1 h[n] = 2N + 1
+N
δ [n
k=−N
− k].
Rezult˘ a c˘a r˘ aspunsul la impuls este un un semnal dreptunghiular discret: h[n] =
1 2N +1 ,
0,
−N ≤ n ≤ N,
altfel.
R˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘ devine: 1 H (e ) = 2N + 1 jω
+N
e− jω k .
k=−N
Dup˘ a un volum moderat de calcule, se obt¸ine: sin (2N + 1) ω2 1 jω H (e ) = . 2N + 1 sin ω2
17
Functia pondere pentru filtrul nerecursiv dat 0.35 0.3 0.25 ] n [ h
0.2 0.15 0.1 0.05 0 −5
−4
−3
−2
−1
0 n (esantioane)
1
2
3
4
5
Raspunsul in frecventa 1 0.8 )
ω j
e ( H
0.6 0.4 0.2 0 −8
−6
−4
−2 ω
0 (rad/s)
2
4
6
8
Figura 14: Exercit¸iul 12.a
Raspunsul in frecventa al unui filtru MA cu N = 33
0.9
0.8
0.7
0.6 | )
ω j
e ( 0.5 H |
0.4
0.3
0.2
0.1
−3
−2
−1
0 (rad/s)
1
ω
Figura 15: Exercit¸iul 12.b
18
2
3
Graficul funct¸iei H (ω) pentru N = 33 este dat ˆın figura 15, iar codul Matlab ˆın Anex˘a. Studiat¸i ce se ˆıntˆampl˘ a pentru diverse valori ale parametrului N , spre exemplu N = 16, N = 65. Observat¸ia 7. Filtrele de MA fac parte dintr-o clas˘a interesant˘a de filtre, FIR (Finite Impulse Response). Justificat¸i aceast˘a denumire. Exercit¸iul 13. Proiectarea filtrelor selective de frecvent¸˘ a. Ne propunem aici proiectarea unui filtru H (s) cu caracteristica amplitudine–frecvent¸a˘ impus˘a a priori : dorim ca modulul la joas˘a frecvent¸a˘ s˘ a fie 0 < Ainf < 1, iar la ˆınalt˘a frecvent¸a˘ s˘a avem modulul Asup > 1. Specific˘am banzile de frecvent¸a˘ dorite prin alegerea primei frecvent¸e de frˆangere ω t . G˘asit¸i filtrul, avˆand doar un pol ¸si un zerou. Rezolvare. Sistemul H (s) are un pol ¸si un zerou. Deoarece se dau 3 parametri, i.e.,
Ainf , Asup , ωt , vom avea 3 necunoscute: as + b H (s) = cs + 1
⇒ |H ( jω)| =
a2 ω 2 + b2 . c2 ω 2 + 1
Condit¸iile impuse devin:
|H ( j · 0)| = b = A
inf ;
|H ( j ·∞)| = ac = A ⇒ a = cA sup
sup ;
b = ω t . a
s + ωt s ωt . Trebuie s˘a impunem ca prima frecvent¸a˘ de + Asup Ainf frˆangere s˘a fie ω t , i.e., 1c < ab Ainf < ωt2 Asup . Reprezentat¸i ˆın Matlab diagramele Bode pentru sistemul obt¸inut. Alegem A inf = 0.1, Asup = 20, ωt = 10 rad/sec. Dup˘ a calcule, se obt¸ine H (s) =
⇒
4
Exercit ¸ii propuse
Exercit¸iul 14. Reprezentat¸i diagramele Bode pentru sistemul H (s) =
0.01(s2 + 0.01s + 1) . s2 [s2 /4 + 0.02(s/2) + 1]
Determinat¸i polii ¸si zerorile sistemului (folosit¸i funct¸ia pzmap). Exercit¸iul 15. Un sistem cu zerouri ˆın semiplanul complex drept deschis se nume¸ste sistem de faz˘ a neminim˘ a . Efectul acestor zerouri instabile este vizibil ˆın faza sistemului φ(ω). Astfel, se dau funct¸iile de transfer de forma G1 (s) =
s+α , α > 0; 0.1s + 1
G2 (s) =
s α , α > 0. 0.1s + 1
−
a) S˘a se reprezinte diagramele Bode pentru diverse valori ale parametrului α. Ce se ˆıntˆ ampl˘ a cu H (ω)? Dar cu φ(ω)? Argumentat¸i riguros r˘ aspunsul. b) S˘a se reprezinte pe acela¸si grafic r˘aspunsul indicial al sistemelor G1 (s) ¸si G2 (s). Ce observat¸i?
19
Exercit¸iul 16. Construit¸i un semnal periodic compus din mai multe armonici distincte, apoi perturbat¸i-l cu un zgomot alb (se generaz˘a cu funct¸ia Matlab randn). Filtrat¸i apoi semnalul obt¸inut folosind un filtru selectiv de frecvent¸a˘ astfel ˆıncat la ie¸sirea filtrului s˘a se g˘ aseasc˘a un semnal cˆat mai apropiat de cel original. Calculat¸i numeric diferent¸ele dintre semnalul obt¸inut dup˘a filtrare ¸si cel original. Exercit¸iul 17. O conjectur˘a celebr˘a afirm˘ a c˘ a sistemul auditiv uman nu sesizeaz˘a modific˘arile de faz˘a ale unui semnal audio. Pentru a valida conjectura, este suficient sa prelucr˘ am un semnal vocal cu un filtru discret trece-tot de faza neminim˘a (FTT) ¸si s˘a verific˘ am potrivirea auditiv. Un FTT discret este de forma H (z) =
n −k k=0 bk z n −k k=0 ak z
N
.
Coeficient¸ii filtrului precizat se gasesc ˆın fisierul s vocal.mat, astfel ˆıncˆat b(k + 1) = b k ¸si a(k + 1) = a k . Pentru ˆınc˘arcarea fi¸sierului, se va folosi instruct¸iunea Matlab load. a) Scriet¸i ˆın fisierul discurs0.au semnalul speech din fi¸sierul dat, prin folosirea funct¸iei Matlab auwrite. Frecvent¸a de e¸santionare este F s = 11025 Hz. Scrierea se va face pe 16 bit¸i, cu metoda de codare liniar˘a. b) S˘a se implementeze FTT ˆın Matlab pentru N = 1, utilizˆand funct¸ia filt. S˘a se obt¸in˘a r˘ aspunsul la impuls ¸si r˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘ al filtrului (funct¸ia freqz). c) Reprezentat¸i grafic polii ¸si zerourile filtrului. Folosit¸i funct¸ia pzmap. Este sistemul de faza minim˘ a? d) Aplicat¸i filtrul obt¸inut semnalului vocal din variabila speech. Vom folosi funct¸ia Matlab filter. Scriet¸i ˆın fi¸sierul discurs1.au semnalul filtrat obt¸inut. Sesizat¸i vreo diferent¸a˘? Argumenteaz˘ a riguros, pe baza celor studiate a priori. e) Sa se refac˘a punctele b) - d) pentru N = 50. Se sesizeaz˘ a o diferent¸a˘. Descriet¸i distorsiunea ¸si argumentat¸i. Exercit¸iul 18. Filtrele nerecursive pot implementa filtre de tip Trece Sus. Ca un exemplu simplu, fie ecuat¸ia cu diferent¸e y[n] =
x[n]
− x[n − 1] . 2
Determinat¸i funct¸ia pondere h(t) ¸si r˘aspunsul ˆın frecvent¸a˘ H (e jω ) pentru sistemul dat. Reprezentat¸i grafic H (e jω ) . Am obt¸inut un FTS? Argumentat¸i.
|
|
Exercit¸iul 19. Consider˘am filtrul dat de H ( jω) = Fie semnalul de stimul u(t) =
∞
δ (t
n=−∞
1, 0,
π
|ω| ≤ 3 , |ω| > 3 . π
− 9n). Cerint¸e:
a) Ce propriet˘ a¸t i are filtrul H ( jω) dat? Verificat¸i dac˘a este real sau complex, cauzal sau necauzal. Calculat¸i h(t) =
−1
1 H ( jω) := 2π
F {
}
20
∞
−∞
H ( jω)e+ jωt dω.
b) Calculat¸i ¸si reprezentat¸i grafic transformata Fourier a semnalului de stimul U ( jω). c) Determinat¸i ¸si reprezentat¸i grafic r˘aspunsul sistemului Y ( jω), respectiv y (t). Exercit¸iul 20. Se consider˘a sistemul H (s), avˆa nd r˘ aspunsul ˆın frecvent¸a˘ dat ˆın figura 16a. Dac˘ a π π u(t) = sin(ω1 t + ) + 2 cos(ω2 t + ), 4 4 unde ω 1 , ω2 > 0, calculat¸i ¸si reprezentat¸i grafic y(t). Verificat¸i rezultatul ˆın Matlab. Exercit¸iul 21. Ne propunem proiectarea unui filtru neideal de tip trece-tot cu specificat¸iile din figura 16b. ˆIn plus, ne dorim H (0) = 1. Se impune ca filtrul proiectat s˘a aib˘ a funct¸ia de r˘aspuns ˆın frecvent¸a˘ de forma H ( jω) =
K . α + jω
a) Determinat¸i K astfel ˆıncˆat H (0) = 1. b) G˘asit¸i intervalul admisibil pentru α a.ˆı. filtrele rezultate s˘a ˆındeplineasc˘a specificat¸iile din figura 16b.
21
(a) R˘ aspuns ˆın frecvent¸a˘
(b) Cerint¸e de proiectare Figura 16:
22
