Escuela Politécnica Nacional
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CONTROL AUTOMÁTICO AUTOMÁTICO CONSULTA NOMBRE KEVIN LORA FEC!A Julio de 2015
DIAGRAMAS DE BODE Un diagrama de Bode está ormado !or 2 grá"#as$ una es la del logaritmo de la magnitud de la un#i%n de transeren#ia &'() * la otra es la grá"#a del ángulo de ase+ Am,as se di,u-ar #on la re#uen#ia en es#ala logar.tmi#a+ La /enta-a de utiliar estos diagramas es ue la multi!li#a#i%n de magnitudes se #on/ierte en suma+ Además se #uenta #on un m3todo sim!le !ara di,u-ar una #ur/a a!ro4imada de magnitud logar.tmi#a+ e ,asa en a!ro4ima#iones asint%ti#as+ Esta a!ro4 a!ro4ima ima#i% #i%n n media mediante nte as.nto as.ntotas tas &l.nea &l.neas s re#ta re#tas) s) es su"#ie su"#iente nte si solo solo se ne#es ne#esita ita inorma#i%n general so,re las #ara#ter.sti#as de la res!uesta en re#uen#ia+ No es !osi,le di,u-ar las #ur/as 6asta una re#uen#ia #ero de,ido a la re#uen#ia logar.tmi#a &log 0789) !ero no es un !ro,lema serio+
FATORES BÁSICOS DE G"#$%!"#$% Los a#tores ,ási#os ue suele !resentar una '( ar,itraria :&-;)<&-;) son$ 1) La ga gana nanc ncia ia K Un n=mero >1 tiene un /alor !ositi/o en dB mientras ue un n=mero ?1 tiene un /alor /alor nega negati ti/o /o++ La #ur/ #ur/a a de magn magnit itud ud loga logar. r.tm tmi# i#a a !ara !ara una una gana ganan# n#ia ia #onstante K es una re#ta 6oriontal+ El ángulo de ase de la ganan#ia K es #ero+ El ee#to de /ariar la ganan#ia K en la '( es ue su,e o ,a-a la #ur/a de magnitud logar.tmi#a de la '( en la #antidad #orres!ondiente !ero no ae#ta a la #ur/a de ase+
2) Los factores integrales y derivativos !")#$1 La magnitud logar.tmi#a de 1@-; en de#i,elios es$ 1 =−20log w dB 20log jw
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El ángulo de ase de 1@-; es #onstante e igual a 80+ En los diagramas de Bode las raones de re#uen#ia se e4!resan en t3rminos de o#ta/as o d3#adas+ Una o#ta/a es una ,anda de re#uen#ia de ; 1 a 10;1 donde ;1 es #ualuier re#uen#ia+
%) Los factores de &ri'er orden 1#!"()#$1 La magnitud logar.tmi#a de este a#tor es$ 1 2 2 =−20 log √ 1 + w T dB 20log 1 + jwT
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La re#uen#ia en la #ual dos as.ntotas se en#uentran se denomina re#uen#ia esuina o re#uen#ia de #orte+ Cara el a#tor 1@&1D-;() la re#uen#ia ;71@( es la re#uen#ia esuina+
El ángulo de ase e4a#to del a#tor 1@&1D-;() es −1 Ф=−tan wT En una re#uen#ia #ero el ángulo de ase es 0+ En la re#uen#ia esuina el ángulo de ase es$ − 1 T = 45 ° Ф=−tan T
) Los factores c*adr+ticos ,1#2-!"."n )#!"."n )2 /#$1 Los sistemas de #ontrol suelen tener a#tores #uadráti#os de la orma$ 1 G ( jw )= 2 w w + j 1+ 2 ƹ j wn wn
( )( )
i F>1 este a#tor #uadráti#o se e4!resa #omo un !rodu#to de dos a#tores de !rimer orden #on !olos reales+ i 0?F?1 este a#tor #uadráti#o es el !rodu#to de dos a#tores #om!le-os #on-ugados+ Las a!ro4ima#iones asint%ti#as !ara las #ur/as de res!uesta en re#uen#ia no son !re#isas !ara un a#tor #on /alores ,a-os de F+ Esto se de,e a ue la magnitud * la ase del a#tor #uadráti#o de!enden de la re#uen#ia esuina * del a#tor de amortiguamiento relati/o F+
PROCEDIMIENTO PARA DIBU&AR DIAGRAMAS DE BODE o
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Crimero se es#ri,e la '( sinusoidal :&-;)<&-;) #omo un !rodu#to de los a#tores ,ási#os analiados anteriormente+ Ges!u3s se identi"#an las re#uen#ias esuinas aso#iadas #on estos a#tores ,ási#os+ Cor =ltimo se di,u-an las #ur/as asint%ti#as de magnitud logar.tmi#a #on !endientes ade#uadas entre las re#uen#ias esuinas+ La #ur/a e4a#ta ue se en#uentra #er#a de la #ur/a asint%ti#a se o,tiene aHadiendo las #orre##iones ade#uadas+ La #ur/a del ángulo de ase de :&-;)<&-;) se di,u-a aHadiendo las #ur/as de ángulo de ase de los a#tores indi/iduales+
El uso de los diagramas de Bode #on a!ro4ima#iones asint%ti#as reuiere mu#6o menos tiem!o ue otros m3todos utiliados !ara #al#ular la res!uesta en re#uen#ia !ara una '(+ La a#ilidad de di,u-ar las #ur/as de res!uesta en re#uen#ia !ara una '( determinada * la a#ilidad !ara modi"#ar la #ur/a de res!uesta #onorme se aHade
una #om!ensa#i%n son las !rin#i!ales raones !or las #uales los diagramas de Bode se utilian tanto en la !rá#ti#a+
SISTEMA DE FASE MÍNIMA ' DE FASE NO MÍNIMA Las '( ue no tiene !olos ni #eros en el semi!lano dere#6o del !lano s son '( de ase m.nima mientras ue las ue tienen !olos *@o #eros en el semi!lano dere#6o del !lano s son '( de ase NO m.nima+ Los sistemas #on '( de ase m.nima se denominan istemas de 'ase .nima mientras auellos #on '( de ase NO m.nima se denominan istemas de 'ase NO .nima+
RETARDO DE TRANSPORTE El retardo de trans!orte tiene un #om!ortamiento de ase no m.nima * tiene un retardo de ase e4#esi/o sin atenua#i%n en altas re#uen#ias+ Estos retardos de trans!orte a!are#en normalmente en los sistemas t3rmi#os 6idráuli#os * neumáti#os+
DIAGRAMAS DE 03IS( (am,i3n se los #ono#e #omo Giagramas Colares+ El diagrama de N*uist de una '( sinusoidal :&-;) es una grá"#a de la magnitud de :&-;) #on res!e#to al ángulo de ase de :&-;) en #oordenadas !olares #uando ; /ar.a de #ero a in"nito+ Cor tanto el diagrama !olar es el lugar geom3tri#o de los /e#tores :&-;)@:&-;) #uando ; /ar.a de #ero a in"nito+ O,s3r/ese ue en las grá"#as de N*uist los ángulos de ase son !ositi/os &negati/os) si se miden en el sentido #ontrario al de las agu-as del relo- &en el sentido de las agu-as) a !artir del e-e real !ositi/o+
Una /enta-a de utiliar estos diagramas es ue re!resenta en una sola grá"#a las #ara#ter.sti#as de la res!uesta en re#uen#ia de un sistema en el rango de re#uen#ia #om!leto+ Una des/enta-a es ue el diagrama no indi#a en orma #lara la #ontri,u#i%n de todos los a#tores indi/iduales de la '( en lao a,ierto+
FACTORES INTEGRAL ' DERI(ATI(O "#$%)*+ El diagrama !olar de :&-;)71@-; es el e-e imaginario negati/o+ El diagrama !olar de :&-;)7-; es el e-e imaginario !ositi/o+
FACTORES DE PRIMER ORDEN "+)#$T% )*+ Cara la un#i%n sinusoidal$
G ( jw ) =
1 1 = ¿ −1 wT 1+ jwT √ 1 + w 2 T 2 −tan
FACTORES CUADRÁTICOS ,+)-."#$/$n%)"#$/$n% -0)*+ Las !artes de ,a-a * alta re#uen#ia del diagrama !olar de la '( sinusoidal$ 1
G ( jw ) =
( )( )
1+ 2 ƹ
w j wn
+
w j wn
2
FORMAS GENERALES DE LOS DIAGRAMAS DE N'1UIST Los diagramas de N*uist de una '( de la orma$ G ( jw )=
K ( 1 + jwTa ) ( 1 + jwTb ) … .
( jw ) λ (1 + jwT 1 ) ( 1+ jwT 2 ) …
=
bo ( jw )
m
ao ( jw )
n
+
b 1 ( kw )
m−1
+
a 1 ( jw )
n− 1
…
…
Gonde n>m o el grado el !olinomio del denominador es ma*or ue el del numerador tendrá las ormas generales siguientes$ 1) Cara
λ =0
o sistemas del ti!o 0$ el !unto ini#ial del diagrama de N*uist &ue
#orres!onde a ;70) es "nito * está so,re el e-e real !ositi/o+ 2) Cara λ =1 o sistemas del ti!o 1$ el t3rmino -; del denominador #ontri,u*e 80 al ángulo de ase total de :&-;) !ara 0?;?9+ ) Caa
λ =2
o sistemas del ti!o 2$ el t3rmino &-;) 2 del denominador #ontri,u*e
81M0 al ángulo de ase total de :&-;) !ara 0?;?9+
REFERENCIAS 8
O:A(A Katsu6io Ingenier.a de Pontrol oderna 5ta Edi#i%n Ed+ Cearson adrid 2010+
