ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS MÉTODO DE RIGIDEZ MATRICIAL
ASIGNATURA: ASIGNA TURA: ESTRUCTURAS I
MÉTODO DE LA RIGIDEZ ESTRUCTURAS I
GENERALIDADES
El método de calculo matricial de estructuras que permite organizar toda la información en forma de matrices. El uso de estos métodos relacionan cada una de las componentes y elementos que hacen parte de una estructura, generando así un sistemas de ecuaciones que manejan diversas variables, pero sin tener que asumir suposiciones iniciales que desprecien ciertas situaciones reales. Este mecanismo de organización de matrices es lo que facilita la programación y la automatización por medio de software, siendo la base de muchos de los programas hoy en día. Las únicas hipótesis presente en el método son las denominadas hipótesis básicas de las estructuras, las cuales predominan en la mayoría de los análisis estructurales existentes, existentes, las estructuras cumplen la Ley Hooke y deformaciones presentadas presentadas son muy pequeñas.
Ing. Yamith Cantillo Mier
MÉTODO DE LA RIGIDEZ ESTRUCTURAS I
CARACTERISTICAS DE LOS MÉTODOS MATRICIALES
El calculo matricial identifica el comportamiento de cada uno de los elementos que conforman la estructura, por lo que no esta limitado a la tipología de las estructuras.
La aplicación del método requiere de conocimiento básicos en relación con las operaciones a desarrollar, ya que no requiere de una interpretación de cada tipo de estructuras; el resultado buscado es directo.
Se aplican la cantidad de ecuaciones necesarias para el análisis de las estructuras, no se desprecian ninguna; el método indicará automáticamente aquella que no represente efecto considerable a toda la estructura.
Al incluirse todas las ecuaciones el tiempo de cálculo es mayor; es por esta razón que el método no se empezó a utilizar sino hasta la aparición de la computación.
La automatización del método de la rigidez es la base del análisis estructural utilizado hoy en día.
Ing. Yamith Cantillo Mier
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ANÁLISIS POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ
El método se fundamenta en el cálculo de la Matriz de Rigidez, para lo cual tenemos: F = K*Δ
=
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MATRIZ MATRIZ DE RIGIDEZ
Se aplican los conceptos de Rigidez Axial, Rigidez Angular y Rigidez Lineal.
Se plantea un desplazamiento unitario en uno de los GDL, y se determinan el valor de las fuerzas asociadas a dichos desplazamientos. desplazamientos.
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MATRIZ MATRIZ DE RIGIDEZ
Aplicando para cada GDL.
Términos que corresponden a la primera columna de la matriz de rigidez, de igual forma para los otros dos GDL.
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MATRIZ MATRIZ DE RIGIDEZ
Y finalmente…
Ensamblando las tres matrices se obtiene la matriz de rigidez de la estructura:
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CARACTERISTICAS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
La Matriz de Rigidez es una propiedad del sistema estructural, y por tal razón no depende del estado de las cargas o las condiciones del entorno; sólo varia si se agregan mayor número de elementos o se varían los grados de libertad.
La columna de la Matriz, representa la cantidad de fuerza necesaria para generar un desplazamiento unitario en el grado de libertad correspondiente a la vez que los demás se mantienen fijos e iguales a cero (0).
Una fila de la Matriz, es un conjunto de multiplicadores que operados sobre el vector desplazamiento completo, proporciona el valor de la fuerza correspondiente al GDL definido.
Con lo anterior se puede definir: “El término término (i, j) de una matriz de rigidez equivale a la fuerza necesaria que se debe aplicar el grado de libertad i cuando el grado de libertad j es objeto de un desplazamiento unitario, mientras los demás grados de libertad están restringidos” .
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PLANTEAMIENTO ECUACION ECUACION DE RIGIDEZ
Una vez identificado el concepto de la matriz de rigidez, es posible aplicar el método de análisis matricial, el cual consta del seguimiento de simples pasos en donde se determinan los valores de la matrices por medio de operaciones básicas que permiten el calculo de las incógnitas. Para ello se utiliza la denominada Ecuación de Equilibrio Equilibrio Matricial o de Rigidez = + Cargas Nodales Fuerzas Externas Matriz Rigidez
Desplazamientos
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ECUACIÓN ECUACIÓN DE RIGIDEZ
Para la aplicación del método es importante identificar incógnitas del sistema estructural por lo que la ecuación de rigidez se puede “partir” entre los GDL Libres y los GDL Restringidos: = + → = + →
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CONCEPTOS BÁSICOS
NODO: Es el punto de conectividad entre dos o más elementos de una misma estructura.
GRADOS DE LIBERTAD: Deformaciones posibles presentes en los nodos de una estructura, estos pueden ser libres o restringidos.
FUERZAS BÁSICAS “Q”: Fuerzas internas presentes en los elementos de una estructura, relacionados directamente directamente con las cargas axial y momentos en los extremos.
DEFORMACIONES DEFORMACIONES BÁSICAS “V” : Deformaciones presentes en los elementos producto de las cargas externas, relacionados con la deformación axial y los giros en los extremos.
GRADO DE INDETERMINACIÓN ESTÁTICA (GIS): Equivalencia al número de incógnitas relacionadas con el número de ecuaciones de equilibrio. = # . á á − #
MATRIZ DE EQUILIBRIO “Bf ”: Matriz que relaciona las Fuerzas Básicas “Q” con los GDL “U”. Si se utilizan las Deformaciones Básicas “V”, la matriz se representa con “Af ”; para lo cual se tiene: =
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CONCEPTOS BÁSICOS
MATRIZ RIGIDEZ DIAGONAL “Ks”: Representa los valores de rigidez axial y angular individual de cada elemento de la estructura empalmados en una sola matriz diagonal.
MATRIZ DE RIGIDEZ “K”: Relación de las fuerzas aplicadas con respecto a las deformaciones presentadas.
FUERZAS EXTERNAS “P”: Vector de fuerzas aplicadas directamente sobre los nodos, se entiende por “Pf ” las fuerzas externas en los nodos con GDL libres, y “Pd” equivale a las fuerzas en los nodos con GDL restringidos; es decir las reacciones.
CARGAS NODALES “Pw”: Vector de fuerzas direccionadas a los nodos producto de las cargas aplicadas en los elementos.
DESPLAZAMIENTOS “Uf”: Deformaciones presentadas en los nodos de las estructuras relacionadas directamente directamente con los grados de libertad.
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PASOS PARA LA APLICACIÓN EN ESTRUCTURAS ESTA ESTATICAMENTE DETERMINADAS (GIS = 0)
1. Defini Definició ción n de nodos, nodos, elemen elementos tos y conec conectiv tivida idad. d. 2. Defini Definició ción n de GDL GDL libre libress y restr restring ingido idos. s. 3. De Defi fini nici ción ón de Fuer Fuerzzas Bási Básica cass “Q” 4. Calcu alcula larr el el GIS GIS → = # − # 5. De Defi fin nir Ma Matri triz “Bf ” 6. De Defi fini nirr llaa Mat Matri rizz “Ks” 7. De Defi fini nirr los los vect vector ores es “Pf ” y “Pfw” 8. Calcul Calculo o de la Matri Matrizz de de Rigi Rigidez dez:: → =
9. Calcul Calcular ar el Vect Vector or de desp desplaz lazami amient entos os “Uf” → = ∗ − 10. Calcular Calcular las Fuerz Fuerzaa “Q”: → = ∗ − 11. Definir Definir Matri Matrizz “Bd” 12. Calcular Calcular las Reaccione Reaccioness “Pd” → = ∗ +
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Determine las reacciones de la estructura mostrada:
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 1
3
5
4
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1
2
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 2
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 3
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 4
Paso 5
Bf =
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
1
0
0.6
0
0
0
0
U1
0
1
0.8
0
0
0
-0.8
U2
0
0
-0.6
0
-1
0
-0.6
U3
0
0
0
1
0
-1
0
U4
0
0
0
0
1
0
0
U5
0
0
0
0
0
1
0.8
U6
0
0
0
0
0
0
0.6
U7
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 6 1.99 cm2
A=
Ks =
Ks =
2000 2000 Ton/cm2
E=
AE/L1
0
0
0
0
0
0
0
AE/L2
0
0
0
0
0
0
0
AE/L3
0
0
0
0
0
0
0
AE/L4
0
0
0
0
0
0
0
AE/L5
0
0
0
0
0
0
0
AE/L6
0
0
0
0
0
0
0
AE/L7
6.63E+02
0
0
0
0
0
0
0
4.98E+02
0
0
0
0
0
0
0
3.98E+02
0
0
0
0
0
0
0
4.98E+02
0
0
0
0
0
0
0
6.63E+02
0
0
0
0
0
0
0
4.98E+02
0
0
0
0
0
0
0
3.98E+02
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 7
Pf =
0
U1
0
U1
-15
U2
0
U2
0
U3
0
U3
0
U4
0
U4
0
U5
0
U5
0
U6
0
U6
-10
U7
0
U7
Pfw =
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 8
K=
806.28
191.04
-1 - 143.28
0
0
0
0
191.04
1007.44
0
0
0
-254.72
-191.04
-143.28
0
949.56
0
-663
-191.04
-143.28
0
0
0
996
0
-498
0
0
0
-663
0
663
0
0
0
-254.72
-191.04
-498
0
752.72
191.04
0
-191.04
-143.28
0
0
191.04
143.28
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 9
Uf =
-0. -0.015
cm
-0. -0.084
cm
-0. -0.196
cm
0.027
cm
-0. -0.196
cm
0.054
cm
-0. -0.449
cm
Paso 10
Q=
Ing. Yamith Cantillo Mier
-10 -10.00 .000
ton ton
-41 -41.66 .667
ton ton
16.66 .667
ton
13.333
ton
0.000
ton
13.33 .333
ton
-16 -16.66 .667
ton ton
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EJEMPLO CALCULO DE UNA CERCHA
Paso 11
Bd =
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
0
-1
0
0
0
0
0
U8
-1
0
0
0
0
0
0
U9
0
0
-0.8
-1
0
0
0
U10 U1 0
Paso 12
41.67 Ton R=
10.00 Ton -26.67 Ton
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PASOS PARA LA APLICACIÓN EN ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (GIS > 0)
1. Defini Definició ción n de nodos, nodos, elemen elementos tos y conec conectiv tivida idad. d. 2. Defini Definició ción n de GDL GDL libre libress y restr restring ingido idos. s. 3. De Defi fini nici ción ón de Fuer Fuerzzas Bási Básica cass “Q” o Deformaciones Básicas “V” 4. Calcu alcula larr el el GIS GIS → = # − # 5. De Defi fin nir Ma Matri triz “Af ” 6. De Defi fini nirr llaa Mat Matri rizz “Ks” 7. De Defi fini nirr los los vect vector ores es “Pf ” y “Pfw” 8. Calcul Calculo o de la Matri Matrizz de de Rigi Rigidez dez:: → =
9. Calcul Calcular ar el Vect Vector or de desp desplaz lazami amient entos os “Uf” → = ∗ − 10. Calcular Calcular el Vector Vector “V” : → = ∗ 11. Calcular Calcular las Fuerz Fuerzaa “Q”: → = ∗ 12. Definir Definir Matri Matrizz “Bd” 13. Calcular Calcular las Reaccione Reaccioness “Pd” → = ∗ +
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MÉTODO DE LA RIGIDEZ ESTRUCTURAS I
EJEMPLO CALCULO DE UN PÓRTICO
Ing. Yamith Cantillo Mier
GRACIAS… ASIGNATURA: ASIGNA TURA: ESTRUCTURAS I
