BIOINGENIERÍA 3 APUNTES DE CLASE
Clase 7. Resonancia Magnética Nuclear (I). Fundamentos de la Teoría Cuántica [1] 1. NECESIDAD DE LA TEORIA CUANTICA EN EL ESTUDIO DE LOS FENÓMENOS BIOLOGICOS
Cuando un órgano o un tejido de un paciente se expone a un campo magnético externo, las partículas atómicas y subatómicas que los conforman1 experimentan comportamientos característicos, figura 7.1 ... Para comprender lo que sucede en estos casos, debe recurrirse a la teoría cuántica, la cual estudia los fenómenos físicos de la naturaleza en el dominio de los átomos, los núcleos y la partículas elementales, como los electrones, los protones, los fotones, etc. 2... Figura 7.1. Organo o tejido humano en un campo magnético
2. ORIGENES DE LA TEORIA CUANTICA. POSTULADO DE DE BROGLIE
La teoría cuántica se fundamenta en las evidencias del postulado de De Broglie, formulado en 1923. De acuerdo al postulado de De Broglie, toda partícula en movimiento tiene asociadas ciertas ondas que gobiernan su comportamiento. En otras palabras, todas las partículas materiales, incluidas las partículas subatómicas, tienen propiedades ondulatorias 3... Esta idea contrastaba con la teoría electromagnética de Maxwell, donde los electrones eran modelados como partículas clásicas.
3. PARÁMETROS DE LAS ONDAS MATERIALES. ECUACIONES DE DE BROGLIE.
En la figura 7.2 se comparan los parámetros de un electrón como partícula material y como onda... Desde el punto de vista de su comportamiento como partícula (teoría EM de Maxwell), los parámetros más característicos son la energía (E) y la cantidad de movimiento (p) ... Desde el punto de vista de su comportamiento como onda (teoría Q de de Broglie), estos parámetros son la frecuencia (f o ν) y la longitud de onda (λ) ... Los parámetros clásicos (E y p) están relacionados con los parámetros cuánticos (ν y λ ) mediante las siguientes fórmulas, llamadas las ecuaciones de De Broglie:
E = hν h p= λ
siendo E la energía (J), p el momentum o cantidad de movimiento (kg⋅m/s), ν la frecuencia (Hz), λ la longitud de onda (m) y h la constante de Planck4 (6.62559×10-34 J⋅s) ... Multiplicando y dividiendo por 2π se obtienen las siguientes formas alternativas de las ecuaciones de De Broglie, que son muy utilizadas:
h ⋅ 2πν = ⋅ ω 2π h h 2π p= = ⋅ = ⋅k λ 2π λ siendo = h 2π la constante reducida de Planck (1.05449×10-34 J⋅s), ω = 2π ⋅ν la frecuencia angular (rad/s) y k = 2π λ el vector de onda (m-1) .. La constante = h 2π se denomina también constante de Dirac ... E = hν =
Figura 7.2. Comparación de los parámetros de una partícula como corpúsculo y como onda EJEMPLO 1. ACELERADOR LINEAL DE PARTICULAS. Según un ejercicio anterior, en un acelerador lineal para oncología (terapia y tratamiento del cáncer), un electrón alcanza una velocidad v del orden de 2.96×108 m/s (≈0.9867c) ... A esta velocidad, la masa del electrón, según la teoría relativista, es
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SABADO 1 DE SEPTIEMBRE DE 2007 8:00 A.M. Recordar que el 80% de los órganos y tejidos que con forman el cuerpo humano son moléculas de agua ... El 60% de la composición atómica de estos órganos y tejidos son átomos de hidrógeno, o sea dipolos eléctricos .. 2 Las leyes de la física cuántica son las leyes más generales de la naturaleza ... En otras palabras, toda la física es cuántica ... 3 En última instancia, de Broglie postulaba que la materia como tal tenía propiedades ondulatorias .. Estas propiedades son más evidentes a mediada que el tamaño de una partícula se hace comparable con el de su longitud de onda ...La teoría de de Broglie surgió a raíz de la necesidad de construir un modelo conceptual del átomo ... 4 La constante de Planck tiene unidades de cantidad de movimiento angular ... Su importancia radica en que relaciona ambos mundos (conceptos clásicos con conceptos cuánticos) .. En general, a escala microscópica, la constante de Planck es la que gobierna el mundo atómico y subatómico .. 1
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m=
m0 1−
v c2
9.1× 10 −31 2.96 × 108 1 − 8 3 × 10
2
= 5.6 ×10 −30 kg
siendo m0 la masa del electrón en reposo (=9.1×10-31 kg) y c la velocidad de la luz (=3×108 m/s). De acuerdo a la teoría cuántica, este electrón se comporta como una onda ... La longitud de onda (λ) está dada por
p=
2
=
h h h 6.6 ×10 −34 ⇒ λ= = = ≅ 4 × 10 −13 m −30 8 λ p m ⋅ v 5.6 ×10 × 2.96 ×10
siendo h la constante de Planck (6.6×10-34 J⋅s) y p=m⋅v la cantidad de movimiento (kg⋅m/s), con v=2.96×108 m/s (velocidad) y m=5.6×10-30 kg (masa) 5... La longitud de onda obtenida (4×10-13 m) es comparable con las dimensiones del electrón, el cual tiene un radio (r)6 de 2.8×10-15 m, (2.8 femtometros) ... En este caso, λ es unas 143 veces mayor que r ... EJEMPLO 2. ATLETA CORRIENDO LOS 100 METROS. Como contraejemplo, se considera el caso de un atleta que corre los 100 metros en 10 segundos. Por tanto, su velocidad es v = 10 m/s . Se asume que la masa (m) del atleta es de 66 kg. De acuerdo a la teoría cuántica, el atleta se comporta como una onda. ... Su longitud de onda (λ) está dada por:
h h h 6.6 ×10 −34 p= ⇒ λ= = = ≅ 1× 10 −36 m λ p m⋅v 66 × 10
siendo h la constante de Planck (6.6×10-34 J⋅s) y p=m⋅v la cantidad de movimiento (kg⋅m/s), con v=10 m/s (velocidad) y m=66 kg (masa) ... En este caso, la longitud de onda (1×10-36 m) es muy pequeña comparada con cualquier dimensión física del atleta , por ejemplo su estatura ... Si el atleta mide 1.8 m, su estatura sería 1.8×1036 veces mayor que su longitud de onda CONCLUSIONES. En el caso del electrón, la longitud de onda supera las dimensiones físicas de la partícula, mientras que en el del atleta la longitud de onda es muy pequeña comparada con cualquier dimensión física del mismo. En otras palabras, en el primer caso prevalece la naturaleza ondulatoria sobre la naturaleza corpuscular, mientras que en el segundo ocurre todo lo contrario. La diferencia radica en que la constante de Planck es muy pequeña y solo opera a escala microscópica. Por esta razón, tiene más efecto sobre el movimiento del electrón que sobre el del atleta, aunque ambos sean de naturaleza ondulatoria.
4. COMPROBACIÓNDEL POSTULADO DE DE BROGLIE. EXPERIMENTO DE DAVISSON-GERNER
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Las deducciones de DeBroglie fueron en principio hipótesis que luego fueron verificadas experimentalmente. Los primeros en demostrar la validez de las hipótesis de DeBroglie fueron Davisson y Gerner. Asumieron razonablemente que si los electrones eran ondas, debían experimentar los mismos fenómenos típicos de cualquier onda (mecánica, EM, óptica, etc.), como típicos la reflexión, la interferencia, la polarización, la difracción, el efecto doppler, etc., figura 00 Figura 00. Fenómenos típicos de las ondas
Para comprobar que los electrones se comportaban como ondas, Davisson y Gerner consideraron inicialmente el fenómeno de la difracción, un efecto que se presenta cuando una onda encuentra a su paso objetos cuyo diámetro es comparable a la longitud de onda. Para ello bombardearon con electrones obstáculos comparables, específicamente cristales o redes cristalinas, figura 00. Observaron que efectivamente se producía un patrón de difracción, representado por una serie de anillos. De este modo, el experimento de Davisson-Gerner demuestra la validez del postulado de DeBroglie y obliga a considerar a los electrones como ondas materiales, esto es partículas que se comportan y actúan como ondas. Así deben ser estudiados. Figura 00. Demostración de la difracción de los electrones utilizando cristales.
Un ejemplo típico de difracción son las coloraciones que se observan en un CD cuando se observa a la luz. En el CD existen unas ciertas ranuras, muy diminutas. La difracción se produce por el paso de la luz a través de estas ranuras, figura 00 Figura 00. Difracción en un CD ..
5. APLICACIÓN TIPICA: EL MICROSCOPIO ELECTRONICO
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En clase se hizo un cálculo rápido considerando m= 1×10-30 kg .. Esto da una longitud de onda (λ) del orden de 2×10-12 m ... Este es el radio ‘clásico’ del electrón ... Se deduce a partir de la ecuación r=e2/(4πε 0mec2), obtenida al igualar la energía asociada con la partícula desde el punto de vista relativista (mec2) con la energía almacenada en su campo eléctrico desde el punto de vista electromagnético (e2/(4πε 0r) ... En estas expresiones, me es la masa del electrón en reposo (9.1×10-31 kg), c la velocidad de la luz (3.0×m/s), e la carga del electrón (1.6×10-19 C), ε -12 F/m) y π=3.1416 ... 0 la permitividad del vacío (8.85×10 6
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BIONINGENIERIA 3 TESTS DE EVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
RESONANCIA MAGNETICA NUCLEAR (MRI) I [C7.1] (a) QUE SUCEDE CON LOS ATOMOS Y MOLÉCULAS QUE CONSTITUYEN UN TEJIDO U ORGANO DE UN PACIENTE EXPUESTO A UN CAMPO MAGNETICO EXTERNO? (b) POR QUE SE NECESITA DE LA FISICA CUANTICA PARA COMPRENDER ESTOS FENÓMENOS? (c) PORQUE SE DICE QUE TODA LA FISICA ES CUANTICA?
RESPUESTAS: [ (a) Experimentan comportamientos característicos, por ejemplo la emisión de radiaciones electromagnéticas ; (b) Porque la física cuántica estudia los fenómenos de la naturaleza en el dominio de los átomos, los núcleos y las partículas elementales, como los electrones, los protones, los fotones, etc.; (c) Porque las leyes de la física cuántica son las leyes más generales de la naturaleza. Los resultados de la física clásica, el electromagnetismo e incluso la relatividad son casos particulares de la teoría cuántica]
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