MODELOS DE OPTIMIZACION DE REDES La modelación de redes permite la resolución de múltiples problemas de programación matemática mediante la implementación de algoritmos especiales creados para tal fin, conocidos de optimización de redes. Dentro de los como Algoritmos problemas más comúnmente resueltos mediante la modelación de redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordo además de los muy conocidos modelos de determinación de cronograma de actividades para proyectos como lo son el PERT y el CPM.
CONCEPTOS BÁSICOS EN TEORÍA DE REDES Gráfica: Una gráfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidos por unas líneas llamadas ramales o arcos.
Red: Una red es una gráfica que presenta algún tipo de flujo en sus ramales. Por ejemplo una gráfica cuyo flujo en sus ramales sea la electricidad es una red eléctrica. En las redes se usa una simbología específica para denotar su tamaño y elementos que la constituyen, dicha notación es la (N, A) donde N representa el número de nodos que contiene la red y A representa el número de arcos o ramales.
Cadena: Una cadena corresponde a una serie de elementos ramales que van de un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el nodo 1 hasta el nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].
Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena, en el siguiente caso [1, 4, 7].
Ciclo: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigo mismo, en el siguiente ejemplo el ciclo está compuesto por la cadena [4-2, 2-5, 5-7, 7-4].
Ramal orientado: Un ramal o arco orientado es aquel que tiene un sentido determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo destino.
Gráfica orientada: Una gráfica orientada es aquella en la cual todos sus ramales se encuentran orientados.
Árbol: Un árbol es una gráfica en la cual no existen ciclos, como el siguiente ejemplo.
Árbol de expansión: Un árbol de expansión es aquel árbol que enlaza todos los nodos de la red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.
Nodo fuente: El nodo fuente es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia afuera.
Nodo destino: El nodo destino es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia él.
ALGORITMO DEL ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mínima. Sean N = {1,2,3,...,n} el conjunto de nodos de la red. Ck= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la iteración k Čk= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.
PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIÓN DEL ALGORITMO: Definir los conjuntos C0 = {ø} y Č0 = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es igual a la cantidad de nodos que existen en la red.
PASO 1: Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto Č0 llamado i el cual será el primer nodo permanente, a continuación se debe de actualizar el conjunto C1 = {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C 1 gana el elemento i el conjunto Č0pierde el elemento i por ende ahora será igual a Č1 = N - {i}, además se debe actualizar el subíndice de los conjuntos k, el cual ahora será igual a 2.
PASO 2: PASO GENERAL "K“ Se debe de seleccionar un nodo j del conjunto ČK-1 ("k-1" es el subíndice que indica que se está haciendo referencia al conjunto de la iteración inmediatamente anterior) el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos que se encuentran en el conjunto de nodos de enlace permanente C K-1. Una vez seleccionado se debe de enlazar de forma permanente lo cual representa que pasa a formar parte del conjunto de enlaces permanentes y deja de formar parte del conjunto que todavía se debe conectar para lograr la expansión. Al actualizar el algoritmo en este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma. CK = CK-1 + {j} mientras que ČK = ČK-1 - {j} El paso general que define k que al mismo tiempo representa a las iteraciones debe de ejecutarse toda vez que el conjunto ČK no sea vacío, cuando este conjunto sea igual a vacío se tendrá el árbol de expansión mínima.
RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA La ciudad de Monteria cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios públicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situación del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de los ductos implica obras de excavación, mano de obra y costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuación. Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que suficiente para satisfacer las necesidades de presión que necesita la red madre.
El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos en teoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total de ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.
PASO 0: Se definen los conjuntos iniciales C 0 = {ø} que corresponde al conjunto de nodos enlazados de forma permanente en la iteración indicada en el subíndice y Č0 = {N = 1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de manera permanente en la iteración indicada en el subíndice.
PASO 1: Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto Č0, en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C 1 = {i} = {1} y Č0 = {N - i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora será igual a 2.
PASO 2: Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto ČK-1 (es decir del conjunto del paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto C k-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).
Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan el conjunto ČK-1(es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2, por ende ČK1= Č1) con los nodos de enlace permanente del conjunto C k1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.
Al actualizar los conjuntos quedan así: C2 = {1,2} y Č2 = {3,4,5,6,7,8} Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración. Ahora se seleccionará un nuevo nodo j del conjunto Č2que presente el enlace (ramal o arco) de menor longitud con los nodos que se encuentran en el conjunto C2. Los arcos de color naranja representan los enlaces posibles y dado que existe empate entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso se representa nuestra elección con un arco de color verde, enlazando de forma permanente ahora el nodo 4.
Al actualizar los conjuntos quedan así: C3 = {1,2,4} y Č3 = {3,5,6,7,8} Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.
Lo que representan los arcos naranja y verde es ya conocido, ahora la línea azul interrumpida irá trazando nuestro árbol de expansión final. Dado a que el arco menor es el de longitud 3, ahora se enlazará de manera permanente el nodo 5.
Al actualizar los conjuntos quedan así: C4 = {1,2,4,5} y Č4 = {3,6,7,8} Ahora se procede actualizar k ya que procede a efectuar siguiente iteración.
a se la
Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 7. Al actualizar los conjuntos quedan así: C5 = {1,2,4,5,7} y Č5 = {3,6,8} Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.
Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 6. Al actualizar los conjuntos quedan así: C6 = {1,2,4,5,7,6} y Č6 = {3,8} Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.
.
Se rompen los empates de forma arbitraria, ahora se enlazará de manera permanente el nodo 3. Al actualizar los conjuntos quedan así: C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y Č7 = {8}
Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la última iteración.
Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 8. Al actualizar los conjuntos quedan así: C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y Č8 = {ø} Por ende se ha llegado al árbol de
expansión mínima
Árbol que presenta una longitud total minimizada de 21 kilómetros de ductos
METODO DE LA RUTA MAS CORTA Objetivo: Determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar una forma económica para dirigirse desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo Cij asociado con cada arco (i a j) en la red. El problema del camino más corto (CC) es encontrar la vía más cercana (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma de los costos de cada arco recorrido
ALGORITMOS PARA SOLUCION DE LA RUTA MAS CORTA A continuación se presentan dos algoritmos para resolver tanto redes cíclicas (es decir, que contienen bucles) como redes acíclicas:
1. El algoritmo de Dijkstra para determinar las rutas más cortas entre el nodo origen y los demás nodos en la red.
2. El algoritmo de Floyd para determinar la ruta más corta entre dos nodos cualesquiera en la red.
Algoritmo de Dijkstra. Sea ui la distancia más corta del nodo origen 1 al nodo i, y defina dij (>= 0) como la longitud del arco (i,j). El algoritmo define la etiqueta para un nodo j que sigue inmediatamente como
La etiqueta para el nodo de inicio es [0, -], que indica que el nodo no tiene predecesor. Las etiquetas de nodo en el algoritmo de Dijkstra son de dos tipos: temporales y permanentes. Una etiqueta temporal en un nodo se modifica si puede hallarse una ruta más corta al nodo. De lo contrario, el estado temporal cambia a permanente.
ALGORITMO DE DIJKSTRA.
Distancia hasta el
Nodo
EJEMPLO Dada la siguiente red, calcule la ruta mas corta de la ciudad 1 al resto de las ciudades
0+100,1 40+15,4 30+10,3
40+50,4
0,0+30,1
30+60,3
Sea ui la distancia más corta del nodo origen 1 al nodo i. Defina dij (>= 0) como la longitud del arco (i,j). El algoritmo define la etiqueta para un nodo j que sigue inmediatamente como: Distancia hasta el nodo j, desde el
Nodo inmediatamente
ALGORITMO DE FLOYD
ALGORITMO DE FLOYD El algoritmo de Floyd es más general que el de Dijkstra, ya que determina la ruta más corta entre dos nodos cualquiera de la red. El algoritmo representa una red de n nodos como una matriz cuadrada de orden n, la llamaremos matriz C . De esta forma, el valor Cij representa el coste de ir desde el nodo i al nodo j , inicialmente en caso de no existir un arco entre ambos, el valor Cij será infinito. Definiremos otra matriz D, también cuadrada de orden n, cuyos elementos van a ser los nodos predecesores en el camino hacia el nodo origen, es decir, el valor Dij representará el nodo predecesor a j en el camino mínimo desde i hasta j . Inicialmente se comienza con caminos de longitud 1, por lo que Dij = i . Las diagonales de ambas matrices representan el coste y el nodo predecesor para ir de un nodo a si mismo, por lo que no sirven para nada, estarán bloqueadas.
Los pasos a dar en la aplicación del algoritmo de Floyd son los siguientes:
Formar las matrices iniciales C y D. 1. Se toma k=1. 2. Se selecciona la fila y la columna k de la matriz C y entonces, para i y j, con i≠k, j≠k e i≠j, hacemos: 3. Si (Cik + Ckj) < Cij → Dij = Dkj y Cij = Cik + Ckj En caso contrario, dejamos las matrices como están. Si k ≤ n, aumentamos k en una unidad y repetimos el paso anterior, en caso contrario paramos las iteraciones. La matriz final C contiene los costes óptimos para ir de un vértice a otro, mientras que la matriz D contiene los penúltimos vértices de los caminos óptimos que unen dos vértices, lo cual
EJEMPLO Aplicar el algoritmo de Floyd sobre el siguiente grafo para obtener las rutas más cortas entre cada dos nodos. El arco (3, 5) es direccional, de manera que no está permitido ningún tráfico del nodo 5 al nodo 3 . Todos los demás arcos permiten el tráfico en ambas direcciones.
ALGORITMO DE FLOYD MATRIZ C 1 2 3 4 MATRICES INICIALES
TOMAMOS K=1
1 2 3 4 5
3 10 ∞ ∞
3 ∞ 5 ∞
10 ∞ 6 ∞
∞ 5 6 4
5 1 2 3 4 5
∞ ∞ 15 4 -
MATRIZ D 1 2 3 4
5
2 3 4 5
1 2 3 4 -
1 3 4 5
1 2 4 5
1 2 3 5
Tomamos i=2 (i ≠k): j=3 ( j≠k , j≠i ): C[2,1]+C[1,3] = 3+10 = 13 < C[2,3] = ∞, por tanto hacemos: y D[2,3] = 1 . C[2,3] = 13 j=4 ( j≠k , j≠i): C[2,1]+C[1,4] = 3+∞ = ∞, no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 2 a 4 a través de 1. j=5 ( j≠k , j≠i): C[2,1]+C[1,5] = 3+∞ = ∞, no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 2 a 5 a través de 1. j≠k , j≠i ): C[3,1]+C[1,2] = 10+3 = 13 < C[3,2] = ∞, por tanto hacemos: Tomamos i=3 (i ≠k): j=2 ( C[3,2] = 13 y D[3,2] = 1 . j=4 ( j≠k , j≠i ): C[3,1]+C[1,4] = 10+∞ = ∞, no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 3 a 4 a través de 1. j=5 ( j≠k , j≠i ): C[3,1]+C[1,5] = 10+∞ = ∞, no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 3 a 5 a través de 1. Tomamos i=4 (i ≠k): j=2 ( j≠k , j≠i ): C[4,1]+C[1,2] = ∞+3 = ∞, no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 4 a 2 a través de 1. j=3 ( j≠k , j≠i ): C[4,1]+C[1,3] = ∞+10 = ∞, no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 4 a 3 a través de 1. j=5 ( j≠k , j≠i ): C[4,1]+C[1,5] = ∞+∞ = ∞, no hay que cambiar nada, no podemos llegar de 4 a 5 a través de 1.
Tomamos i=5 (i ≠k), en este caso ocurre como en el paso anterior, como C[5,1]=∞, entonces no habrá ningún cambio, no puede haber ningún camino desde 5 a través de 1.
TOMAMOS K=1
MATRIZ C 1 2 3 4 1 - 3 2 3 3 10 13 4 ∞ 5
5
10 ∞ ∞ 13 5 ∞ - 6 15 6 - 4
1 2 3 4
MATRIZ D 1 2 3 4
5
2 3 4
1 2 3 4
1 -
1
1
4
4
1
1 2 3 -
TOMAMOS K=2 Tomamos i=1: j=3: C[1,2]+C[2,3] = 3+13 = 16 > C[1,3] = 10 , por tanto no hay que cambiar nada, el camino es mayor que el existente. J=4: C[1,2]+C[2,4] = 3+5 = 8 < C[1,4] = ∞, por tanto hacemos: C[1,4] = 8 y D[1,4] = 2 . j=5 : C[1,2]+C[2,5] = 3+∞ = ∞, no hay que cambiar nada.
Tomamos i=3 : J=1: C[3,2]+C[2,1] = 13+3 = 16 > C[3,1] = 10 , no hay que cambiar nada. J=4: C[3,2]+C[2,4] = 13+5 = 18 > C[3,4] = 6 , no hay que cambiar nada. j=5 : C[3,2]+C[2,5] = 13+∞ = ∞, no hay que cambiar nada.
Tomamos i=4 : j=1: C[4,2]+C[2,1] = 5+3 = 8 < C[4,1] = ∞, por tanto hacemos: C[4,1] = 8 y D[4,1] = 2 . j=3: C[4,2]+C[2,3] = 5+13 = 18 > C[4,3] = 6 , no hay que cambiar nada. j=5 : C[4,2]+C[2,5] = 5 +∞ = ∞, no hay que cambiar nada. Tomamos i=5 , como C[5,2 ]=∞, entonces no habrá ningún cambio.
TOMAMOS K=2
1 2 3 4 5
MATRIZ C 1 2 3 4 5 - 3 10 8 ∞ 3 - 13 5 ∞ 10 13 - 6 15 8 5 6 - 4 ∞
∞
∞
4
-
1 2 3 4 5
MATRIZ D 1 2 3 4 - 1 1 2 2 - 1 2 3 1 - 3 2 4 4 5
5
5
5
5 1 2 3 4 -
TOMAMOS K=3 Tomamos i=1: j=2 : C[1,3]+C[3,2] = 10+13 = 23 > C[1,2] = 3 , no hay que cambiar nada. j=4: C[1,3]+C[3,4] = 10+6 = 16 > C[1,4] = 8 , no hay que cambiar nada. j=5 : C[1,3]+C[3,5] = 10+15 = 25 < C[1,5] = ∞ , por tanto hacemos: C[1,5] = 25 y D[1,5] = 3 . Tomamos i=2 : j=1: C[2,3]+C[3,1] = 13+10 = 23 > C[2,1] = 3 , no hay que cambiar nada. j=4: C[2,3]+C[3,4] = 13+6 = 19 > C[2,4] = 5 , no hay que cambiar nada. j=5 : C[2,3]+C[3,5] = 13+15 = 28 < C[2,5] = ∞ , por tanto hacemos: C[2,5] = 28 y D[2,5] = 3 . Tomamos i=4: j=1: C[4,3]+C[3,1] = 6+10 = 16 > C[4,1] = 8 , no hay que cambiar nada. j=2 : C[4,3]+C[3,2] = 6+13 = 19 > C[4,2] = 5 , no hay que cambiar nada. j=5 : C[4,3]+C[3,5] = 6+15 = 21 > C[4,5] = 4 , no hay que cambiar nada. Tomamos i=5 , como C[5,3]=∞, entonces no habrá ningún cambio.
TOMAMOS K=3
1 2 3 4 5
MATRIZ C 1 2 3 4 5 - 3 10 8 25 3 - 13 5 28 10 13 - 6 15 8 5 6 - 4 ∞
∞
∞
4
-
1 2 3 4 5
MATRIZ D 1 2 3 4 - 2 1 2 2 - 1 2 3 1 - 3 2 4 4 5
5
5
5
5 3 3 3 4 -
TOMAMOS K=4 Tomamos i=1: j=2 : C[1,4]+C[4,2] = 8+5 = 13 > C[1,2] = 3 , no hay que cambiar nada. j=3: C[1,4]+C[4,3] = 8+6 = 14 > C[1,3] = 10 , no hay que cambiar nada. j=5 : C[1,4]+C[4,5] = 8+4 = 12 < C[1,5] = 25 , por tanto hacemos: C[1,5] = 12 y D[1,5] = 4 . Tomamos i=2 : j=1: C[2,4]+C[4,1] = 5+8 = 13 > C[2,1] = 3 , no hay que cambiar nada. j=3: C[2,4]+C[4,3] = 5+6 = 11 < C[2,3] = 13 , por tanto hacemos: C[2,3] = 11 y D[2,3] = 4 . j=5 : C[2,4]+C[4,5] = 5+4 = 9 < C[2,5] = 28 , por tanto hacemos: C[2,5] = 9 y D[2,5] = 4 . Tomamos i=3: j=1: C[3,4]+C[4,1] = 6+8 = 14 > C[3,1] = 10 , no hay que cambiar nada. j=2 : C[3,4]+C[4,2] = 6+5 = 11 < C[3,2] = 13 , por tanto hacemos: C[3,2] = 11 y D[3,2] = 4 . j=5 : C[3,4]+C[4,5] = 6+4 = 10 < C[3,5] = 15 , por tanto hacemos: C[3,5] = 10 y D[3,5] = 4 . Tomamos i=5 : j=1: C[5,4]+C[4,1] = 4+8 = 12 < C[5,1] = ∞ , por tanto hacemos: C[5,1] = 12 y D[5,1] = 2 . j=2 : C[5,4]+C[4,2] = 4+5 = 9 < C[5,2] = ∞ , por tanto hacemos: C[5,2] = 9 y D[5,2] = 4 . j=3: C[5,4]+C[4,3] = 4+6 = 10 < C[5,3] = ∞ , por tanto hacemos: C[5,3] = 10 y D[5,3] = 4 . MATRIZ D MATRIZ C
1
TOMAMOS K=4
1 2 3 4
2
3
4 5 - 3 10 8 12 3 - 11 5 9 10 11 - 6 15 8 5 6 - 4
1 2 3 4
1
2
3
2 3
1 -
1
2
4
4
4 4
4 2
5 4
2 3 -
4 3 4
TOMAMOS K=5 Tomamos i=1: j=2 : C[1,5]+C[5,2] = 12+9 = 21 > C[1,2] = 3 , no hay que cambiar nada. j=3: C[1,5]+C[5,3] = 12+10 = 22 > C[1,3] = 10 , no hay que cambiar nada. j=4: C[1,5]+C[5,4] = 12+4 = 16 > C[1,4] = 8 , no hay que cambiar nada. Tomamos i=2 : j=1: C[2,5]+C[5,1] = 9+12 = 21 > C[2,1] = 3 , no hay que cambiar nada. j=3: C[2,5]+C[5,3] = 9+10 = 19 > C[2,3] = 11 , no hay que cambiar nada. j=4: C[2,5]+C[5,4] = 9+4 = 13 > C[2,4] = 5 , no hay que cambiar nada. Tomamos i=3: j=1: C[3,5]+C[5,1] = 10+12 = 22 > C[3,1] = 10 , no hay que cambiar nada. j=2 : C[3,5]+C[5,2] = 10+9 = 19 > C[3,2] = 11 , no hay que cambiar nada. j=4: C[3,5]+C[5,4] = 10+4 = 14 > C[3,4] = 6 , no hay que cambiar nada. Tomamos i=4: j=1: C[4,5]+C[5,1] = 4+12 = 16 > C[4,1] = 8 , no hay que cambiar nada. j=2 : C[4,5]+C[5,2] = 4+9 = 13 > C[4,2] = 5 , no hay que cambiar nada. j=3: C[4,5]+C[5,3] = 4+10 = 14 > C[4,3] = 6 , no hay que cambiar nada.
TOMAMOS K=5
1 2 3 4 5
MATRIZ C 1 2 3 4 5 - 3 10 8 12 3 - 11 5 9 10 11 - 6 15 8 5 6 - 4 12 9 10 4 -
1 2 3 4 5
MATRIZ D 1 2 3 4 - 1 1 2 2 - 4 4 3 4 - 4 2 4 4 2 4 4 5
5 4 4 3 4 -
Las matrices finales C y D contienen toda la información necesaria para determinar la ruta más corta entre dos nodos cualquiera de la red. Por ejemplo, la distancia más corta del nodo 1 al nodo 5 es C[1,5] = 12. Para determinar la ruta asociada del camino mínimo entre el nodo 1 y el nodo 5haremos lo siguiente: Consultamos D[1,5]=4, por tanto el nodo predecesor al 5 es el 4, es decir,4 → 5. Consultamos D[1,4]=2, por tanto el nodo predecesor al 4 es el 2, es decir,2 → 4 → 5. Consultamos D[1,2]=1, por tanto el nodo predecesor al 2 es el 1, es decir, 1 → 2 → 4 → 5, y así ya tenemos
FLUJO MAXIMO Problema del Flujo Máximo: En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como X ij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, k ij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m.En la formulación de la programación lineal, el objetivo es maximizar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra debe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La capacidad que puede ser enviada a una dirección en particular también es mostrada en cada ruta.
FLUJO MAXIMO Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar de destino a través de arcos que conectan nodos intermediarios. Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo y se trata de enviar desde la fuente al destino la mayor cantidad posible de flujo
Hay problemas donde lo importante es la cantidad de flujo que pasa a través de la red como por ejemplo: en las líneas de oleoductos, redes eléctricas o de transmisión de datos. Por esta razón en dichos problemas se determina el flujo máximo que pasa a través de una red.
Definiciones básicas Flujo: Circulación de unidades homogéneas de un lugar a otro. Capacidad de flujo: es la capacidad de unidades que pueden entrar por el nodo fuente y salir por el nodo destino.
Origen o fuente de flujo: nodo por el cual el flujo ingresa. Destino o Sumidero de flujo: nodo por el cual el flujo sale. Capacidades residuales: capacidades restantes unas vez que el flujo pasa el
METODO DE SOLUCION FLUJO MAXIMO Ford Fulkerson: Para la resolución de problemas de flujo máximo se requiere el uso del método Ford Fulkerson. Este método propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el flujo hasta que se alcance el flujo máximo, la idea es encontrar una ruta de penetración con un flujo positivo neto que una los nodos de origen y destino. 1.El flujo es siempre positivo y con unidades enteras. 2.El flujo a través de un arco es menor o igual que la capacidad. 3.El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de él.
Resolución de problema Para resolver un problema de flujo máximo se debe seguir los siguientes pasos: Se identifica el nodo origen y destino. Se parte desde el nodo de origen y se escoge el arco que posea mayor flujo Se identifica los nodos de transbordo. Repetir como si el nodo intermediario fuera el nodo origen. Se calcula "k" y las capacidades nuevas. Dado el resultado se cambian las capacidades y se repite el mismo procedimiento desde el inicio.
Formulario Cij,ji =(Ci-K, C j+K), donde:
C: capacidad Ij: índices de los nodos K: es el minimo flujo que pasa por el nodo, se calcula como k= min(capacidades de la ruta).
METODO FORD FULKERSON Hallar el flujo máximo del siguiente problema:
5
MÉTODO FORD FULKERSON Formulario Cij,ji =(Ci-K, C j+K), donde: C: capacidad Ij: índices de los nodos K: es el minimo flujo que pasa por el nodo, se calcula como k= min(capacidades de la ruta). El nodo de origen como se puede observar es el numero 1 de color amarillo, y el nodo de destino es el numero 5 de color azul.
MÉTODO FORD FULKERSON
Se escoge desde el nodo de origen aquel flujo que sea el mayor, en este caso es 30, y va dirigido al nodo numero 3.
Se identifica el nodo de transbordo como [30,1], 30 es la capacidad, y 1 es el nodo del cual proviene la capacidad y luego repetimos todo el proceso, como si el nodo intermediario fuese el nodo de origen. Se tiene como flujo mayor 20 del nodo numero 3 al nodo numero 5, con el nodo de transbordo como [20,5].
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Ahora que hemos llegado al nodo de destino, procedemos a calcular "k" y las capacidades nuevas.
K=min(∞,30,20)
K=20 C13,31 =(30-20, 0+20) C13,31 =(10, 20) C35,53 =(20-20, 0+20) C35,53 =(0, 20) Luego de haber calculado las nuevas capacidades, es necesario reemplazarlas.
MÉTODO FORD FULKERSON Se realiza el proceso otra vez, haciendo la ruta con los mayores flujos. K=min(∞,20,40,10,20)
K=10 C12,21 =(20-10, 0+10) C12,21 =(10, 10) C23,32 =(40-10, 0+10) C23,32 =(30, 10) C34,43 =(10-10, 5+10) C34,43 =(0, 15) C45,54 =(20-10, 0+10) C45,54 =(10, 10)
Volvemos a hacer el proceso y escogemos el camino 1,2. Como se puede observar si se tomara rumbo del nodo 2 al nodo 3 terminaría trancado, obligándose a volver al nodo origen, por lo que se toma el camino 2,5. K=min(∞,10,20)
K=10 C12,21 =(10-10, 10+10) C12,21 =(0, 20) C25,52 =(20-10, 0+10) C25,52 =(10, 10)
MÉTODO FORD FULKERSON Se actualizan las capacidades y procedemos a resolver de nuevo. Esta vez agarraremos el camino de 1,3. K=min(∞,10,10,10)
K=10 C13,31 =(10-10, 20+10) C13,31 =(0, 30)
C32,23 =(10-10, 30+10) C32,23 =(0, 40) C25,52 =(10-10, 10+10) C25,52 =(0, 20)
Y por ultimo escogemos el camino 1,4 K=min(∞,10,10)
K=10 C14,41 =(10-10, 0+10) C14,41 =(0, 10) C45,54 =(10-10, 10+10) C45,54 =(0, 20)
MÉTODO FORD FULKERSON Y por ultimo escogemos el camino 1,4 Reemplazando las nuevas capacidades, nos queda de la siguiente forma, las capacidades del nodo de origen quedan como 0, por lo cual seguimos a sumar a todas las K y ahi conseguimos el flujo máximo.
Flujo Máximo = Σ K Flujo Máximo = 20+10+10+10+10 Flujo Máximo = 60 El flujo máximo que puede pasar del nodo origen 1 hasta el nodo destino es de 60.
PROBLEMA DE AGENTE VIAJERO “TSP” “ T raveling Salesm an Prob lem ” El problema del agente viajero o TSP por sus siglas en inglés (Travelling Salesmen Problem) es uno de los problemas más famosos y complejos de las ciencias computacionales y ha sido abordado por varias ramas de la ingeniería y por distintas razones, su principal aplicación es la de ratear desde distintas perspectivas, ya sea un proceso que lleva una secuencia específica o una distribución de carácter logístico en la que intervienen elementos del transporte buscando la mejor ruta posible con criterios de Economía en distancia o en costo.
Proveer soluciones contribuye a mejorar tareas y procesos en distintos ámbitos, científicos e industriales, proponiendo alternativas para el mejor uso de los recursos. Disciplinas que abordan este tema son la investigación de operaciones y las ciencias informáticas como algoritmia y teoría de grafos
