UNIDAD 5.- OPTIMIZACIÓN DE REDES
5.15.25.35.45.55.6-
Terminología Problema de la Ruta más Corta Problema de Árbol de Mínima Expansión Problema de Flujo Máximo Problema de Flujo de Costo Mínimo Uso de Software Ejercicios
101
5.1 TERMINOLOGÍA
Dentro de los problemas de Ingeniería Industrial se tienen situaciones en donde los problemas se pueden representar en forma gráfica, a través de una red, este gráfico contiene, nodos, arcos ó flechas, que involucran involucran flujo de productos, costos ó distancias, por donde circulan las variables variables que se desean optimizar, optimizar, y en donde se puede calcular la ruta más corta en la red, la distancia mínima o el costo mínimo, el flujo máximo en una tubería, ó el flujo máximo de pasajeros, la conexión de líneas telefónicas, telefónicas, o el suministro de agua con flujos máximos a un costo mínimo. Tales situaciones están representados por modelos matemáticos que se pueden resolver a través de algoritmos que ayudan a la toma de decisiones los cuales se se enunciaran más adelante.
Definiciones y notación básica. 1. Una gráfica gráfica o Red se define mediante dos conjuntos de símbolos, nodos y arcos .Los arcos se etiquetan para dar nombre a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo el arco AB está entre los nodos A y B. Un nodo puede ser un crucero, y el arco pueden ser los caminos ó rutas del crucero, y el flujo se representa por los vehículos que circulan en esa red. Otro Otro ejemplo serían los aeropuertos que serán los nodos, los arcos las líneas aéreas, y el flujo el número de vuelos de los aviones que circulan
Una red puede ser dirigida o no dirigida, una red que tienen solo arcos dirigidos se llama red dirigida. Una red puede estar compuesta por una mezcla de arcos dirigidos y no dirigidos. Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Un árbol de expansión es una red conexa para los n nodos que contiene ciclos no dirigidos, todo árbol de expansión tiene justo n-1 arcos, ya que este es el número mínimo de arcos
1
Hillier Fredericks– Liberman Gerald Gerald J. Investigación de Operaciones, Operaciones, (p.408), séptima edición, edición, Editorial Mc Graw Hill
102
necesarios para tener una red conexa y el máximo número posible para que no haya ciclos no dirigidos.
5.2 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA.
La técnica de la ruta más corta señala la forma en que una persona o artículo puede transportarse de un lugar a otro al mismo tiempo que se minimiza la distancia total recorrida. El objetivo es determinar la ruta más corta ir de un origen a un destino. Pasos de la Técnica de la ruta más corta. 2 Encuentre el nodo más cercano al origen y coloque la distancia en una casilla junto al nodo. 1. Encuentre el siguiente nodo más cercano al origen y coloque la distancia en una casilla junto al nodo. En algunos casos se tendrá que revisar varias trayectorias para encontrar el nodo más cercano. 2. Repita este proceso hasta que haya recorrido toda la red. La última distancia en el nodo final será la distancia de la ruta más corta. Es importante señalar que la distancia colocada en la casilla junto a cada nodo es la ruta más corta a este nodo. Se utilizan estas distancias como resultados intermedios para encontrar el siguiente nodo más cercano. Problema1. Problema de la ruta más corta
2
Barry Render, Ralph M. Stair, Michel E. Hanna. Métodos Cuantitativos para los negocios, (p. 505). novena edición, Editorial Pearson, Prentice, Hall.
103
Dada la siguiente red determinar la ruta más corta del nodo 1 al nodo 6 los datos están dados en km y son los siguientes.
Datos de la red. 100
2
50
1
200
100
4
300
250 6
300
40 3
50 5
Primera iteración. El nodo más cercano al origen es el nodo 2 con 100
100
2
50
1
200
100
4
300
250 6
300
40 3
50 5
Segunda iteración. A continuación se busca el nodo más cercano al origen se examinan los nodos 3, 4 y 5 se analizan las trayectorias 1, 2, 4 la ruta 1, 2, 3 y la ruta 1, 2, 5. Por lo que la ruta más corta es 1, 2, 3 con 150.
104
100
2
50
1
200
100
4
300
250 6
300
40 3
50 5
150
Tercera iteración el resultado se muestra en la tabla la ruta es 1, 2, 3, 5.
100
2
50
1
200
100
4
300
250 6
300
40 3
150
50 5
190
Cuarta iteración. El siguiente nodo más cercano será el nodo 4 o el nodo 6, como los últimos nodos. El nodo 4 está a 300 km del origen, el nodo 6 está a 240, por lo que del nodo 1 al nodo 6 la ruta más corta es conectar 1 con 2, dos con tres, tres con cinco y cinco con seis la rutas es 1,2,3,5,6 a una distancia mínima de 240 km.
105
100
2
50
1
200
100
4
300
250
240 6
300
40 3
150
50 5
190
5.3 PROBLEMA DE ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN.
La técnica del árbol de expansión mínima implica conectar todos los nodos de una red al mismo tiempo que se minimizan la distancia entre ellos. Pasos de la técnica del árbol de expansión mínima. 3. 1. Seleccionar cualquier nodo de la red. 2. Conectar este nodo al nodo más cercano que minimice la distancia total. 3. Considerando todos los nodos que ahora están conectados, encontrar y conectar el nodo más cercano que no esté conectado. Si hay un empate para el nodo más cercano 4. Repetir el tercer paso hasta que todos los nodos estén conectados.
Problema 2.
El departamento de Ing. Industrial tiene un congreso internacional para lo cual están organizando mejorar la comunicación con los clientes, se van a conectar 5 teléfonos de atención a clientes. 3
Barry Render, Ralph M. Stair, Michel E. Hanna. Métodos Cuantitativos para los negocios, (p. 498), novena edición, Editorial Pearson, Prentice, Hall.
106
Cuál es la longitud mínima de cable requerido? El objetivo es que todos los sistemas de comunicación estén conectados. En la siguiente red se dan la distancia en metros. Datos de la red. 1 3
1
1
2
2
2
7
5
3
3
3
6
4
Primera iteración: Inicio con (1,2) nodos cercanos al arco (1, 2), alternativas (3, 4,5)
1 3
1
1
2
2 7
2 5
3
3
3 6
4
107
Segunda Iteración: (1, 2, 5), (3, 4)
1 3
1
1
2
2
2
7
5
3
3
3
6
4
Tercera iteración: (1, 2, 3, 5). (4)
1 3
1
1
2
2 7
2 5
3
3
3 6
4
Cuarta Iteración: Los arcos (1, 2); (2, 5); (5, 3) y (5, 4)
108
1 3
1
1
2
2 7
2 5
3
3
3 6
4
Usando el algoritmo de árbol de mínima expansión se tiene que los sistemas telefónicos se conectarán a un costo mínimo de 8 metros. En la ruta (1, 2); (2, 5); (5, 3) y (5, 4)
5.4.- PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO.
4
La técnica en redes de los problemas en donde se requiere calcular el flujo máximo, permite determinar la cantidad máxima de un material que puede fluir a través de una red, este material pueden ser productos, automóviles, vías de comunicación, fluido en tuberías, etc. Pasos para el cálculo de flujo máximo en una red. En todos los nodos lo que entra de flujo debe ser igual a lo que sale de flujo
4
Barry Render, Ralph M. Stair, Michel E. Hanna. Métodos Cuantitativos para los negocios, (p. 501), novena edición, Editorial Pearson, Prentice, Hall
109
1. Elija de manera arbitraria cualquier trayectoria del inicio (origen) a la terminación (destino) con algo de flujo. Si no existe ninguna trayectoria con flujo, entonces se llegó a la solución óptima. 2. Localice el arco en la trayectoria con la capacidad de flujo más pequeña disponible. Llame C a esta capacidad. Ésta representa la capacidad máxima adicional que puede ser asignada a esta ruta. 3. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, disminuya la capacidad de flujo en la dirección del flujo en la cantidad C. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, incremente la capacidad de flujo en la dirección inversa en la cantidad C. 4. Repita estos pasos hasta que ya no sea posible incrementar el flujo.
Problema 3
Se cuenta con una red con los siguientes datos 8
1
0
6
3
3 3
2 2
5
1 9 2
8
4
Primera iteración: se elije una trayectoria de manera arbitraria en este caso se inicia con (0,1, 3, 5) con un flujo de 2 1
6(2)
3
2(2)
8(2) 0
3 3
2
5
1 9 2
8
4
110
Segunda iteración: se analizan las trayectorias (0,1, 3, 5) y (0, 2, 4, 5) se incrementa el flujo a 5 según la capacidad de la red.
1
6(2)
3
2(2)
8(2) 0
3 3(3)
2
5
1 9(3) 2
8(3)
4
Tercera iteración: Se analizan nuevamente las trayectorias y se aumenta el flujo en 3 unidades más sobre la trayectoria (0, 1, 3, 5) ya que la ruta cuenta con mayor capacidad y los nodos deben llevar un equilibrio lo que entra es igual a lo que sale.
1
6(5)
3
2(2)
8(5) 0
3(3) 3(3)
2
5
1 9(6) 2
8(6)
4
Cuarta iteración: Se incrementa el flujo de hasta 9 unidades analizando la capacidad de cada nudo de acuerdo a las trayectorias elegidas.
111
1
6(5)
3
2(2)
8(6) 0
3(3) 3(3)
2
5
1(1)
=9
9(7) 2
8(7)
4
Como se puede observar en la red hay arcos que llegaron a su capacidad máxima y por lo tanto ya no se puede incrementar más el flujo en la red, por lo que el flujo máximo en este ejercicio es de 9 unidades.
5.5.- PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO.
Los problemas de flujo de costo mínimo tienen mucha aplicación dentro del campo de la ingeniería industrial. Igual que el problema de flujo máximo toma en cuenta el flujo en la red, con capacidades limitadas en sus arcos, también considera la distancia mas corta, se pueden manejar varios origines y varios destinos. Con costos asociados, El modelo de flujo de costo mínimo involucra todos los conceptos vistos con anterioridad. Y se puede resolver usando programación lineal básica. Usando el método simplex, se plantea el problema como un modelo lineal. Recordando el simplex el procedimiento se da en los siguientes pasos Terminología método simplex Xij = variable básica Cij = costo básico ̅ ij = costo no básico
Lij < xij < Uij
112
Límite superior Uij del arco (i,j) Límite inferior Lij del arco (i,j) Resumen del método simplex de redes [15] Paso 1.- Determinar una solución básica factible de inicio. Las n-1 variables básicas corresponderán a un árbol de expansión. Indique las variables no básicas en su límite superior mediante arcos de línea continua. Paso 2.- calcule y1,y2, .yn (conocidas como multiplicadores simplex) resolviendo y1= 0, yi-yj = cij para las variables básicas xij. Para las variables no básicas, determine el coeficiente el renglón 0, ̅ij a partir de ̅ = yi-yj-cij. La solución básica factible es óptima si ̅ij ≤ 0 para toda xij = Lij y ̅ij ≥0 para toda xij = Uij. Si la solución básica factible no es óptima, elija la variable no básica que más alejada de las condiciones de optimalidad como la variable básica entrante. Paso 3.- identifique el ciclo creado al agregar el arco que corresponde a la variable entrante al árbol de expansión mínima de la solución básica factible actual. Utilice la conservación del flujo para determinar los nuevos valores de las variables de ciclo. La variable que sale de la base será la variable que choca primero con su límite superior o inferior cuando se cambia el valor de la variable básica entrante. Paso 4.- encuentre la nueva solución básica factible cambiando los flujos de los arcos del ciclo encontrado en el paso 3. Ahora vaya al paso 2.
5
Problema 4.
Se cuenta con una red en la cual se quiere determinar el flujo a un costo mínimo las características están dadas en la siguiente figura
5
Wayne L. Winston. Investigación de Operaciones, Aplicaciones y Algoritmos, (p.450-454). Cengage Learning, cuarta Edición.
113
$4 (1)
2
$3
4
$2 (-1)
1
$2
6
$3 $2 3
$3
5
Una solución básica factible para esta red es:
2
1
4
1
1 (1)
(-1)
1
6
0 0 3
5
Calculando los valores de y se tiene: Y1=0, Y1- Y2 =4, Y1-Y3 =3, Y2-Y4 =3, Y5-Y6 =2, Y4-Y6=2 lo cual da como resultado Y1=0, Y2 =-4, Y3 =-3, Y4=-7, Y6 =-9 Sustituyendo estos valores en la función objetivo de la variables no básicas para analizar la condición de optimalidad se tiene.
114
̅ 25 = -4 –(-7) -2 = 1 y
̅ 35 = -3 –(-7) -3 = 1 los cuales no satisfacen la cond. De
optimalidad entonces se elige de manera arbitraria la variable de entrada en este caso es X25 esto se muestra en la siguiente red.
2
1-ө
4
1-ө
1 (1)
ө
1
(-1) 6
0 0+ө 3
5
En donde ө = 1. Se observa en la red que X24, ó X46 cualquiera de ellas sale de la base se elige de manera arbitraria a X46 Iterando nuevamente se tiene la siguiente red.
2
0
4
1-ө
1 (1)
1
1
(-1) 6
0 1 3
5
Nuevamente calculamos los nuevos valores de los multiplicadores Simplex (Y) Y1=0, Y1-Y2 =4, Y1-Y3 =3, Y2-Y4 =3, Y2-Y5 =2, Y5-Y6 =2
115
Resolviendo se tienen los siguiente valores. Y1=0, Y2= -4, Y3= -3, Y4= -7, Y5= -6, Y6= -8 Haciendo la prueba de optimalidad para las variables no básicas se tiene. ̅ 35 = -3 –(-6) -3 = 0 ̅ 46 = -7 –(-8) -2 = -1 como los multiplicadores son ≤0 la sol. Satisface a la función
objetivo. Por lo que la solución óptima es encontrada. Solución óptima del modelo X12 =1, X25 =1, X56 =1 son las variables básicas Variables básicas con valores de cero X13=0, X24=0
Y variables no básicas X35, y X46 con valor cero. La función óptima está dada por el siguiente costo mínimo. Z = 1(4) + 1(2) + 1(2) = $8 este problema tiene soluciones alternativas
116
5.6 USO DE SOFTWARE Problema 5.
6
Dada la siguiente red que representa las operaciones de un proyecto se quiere determinar la ruta de flujo y costo mínimo. Plantear el problema de flujo de costo mínimo como un modelo lineal y resolverlo usando el WinQSB. Los datos de costos están daos en la red en miles de pesos (*)
10
*4 4
2
5
1
5
7 6
1
1 2
5
3
6
8
MODELO MATEMATICO ¿Cuál será el modelo matemático que represente esta situación? Formulación: La manera de plantear este problema es suponer un flujo unitario que entra del nudo 1 y sale por el nudo 6, y determinar la ruta de 1 a 6 de menor costo, obteniendo así la ruta óptima. La función objetivo nos dará la duración de la ruta seleccionada como la mejor, en este caso Xij nos indicará si el flujo pasa o no pasa por la rama de la red entre el nudo i y el nudo j. De donde Xij =0, ó 1. En otras palabras, si el flujo pasa por una rama significativa que esa operación forme parte de la ruta, de la red. 6
Estrada Irma. Apuntes de Investigación de Operaciones I.
117
La función objetivo se representa por:
Min Z= 10X12 + 2X13 + 5X23 + 4X24 + 7X25 + 5X46 + 6X56 +8X35 Las restricciones son la conservación del flujo a través de cada nudo. *
X12
+X13
X24 +X25 +X23 -X12 X35
X56
equilibrio en:
=1
(nodo 1)
=0
(nodo 2)
-X13
-X23
=0
(nodo 3)
X46
-X24
=0
(nodo 4)
-X25
-X35
=0
(nodo 5)
X46
+X56 =1
(nudo 6)
Xij
i= 1,2,3,4,5
= 0,1
y
j = 2,3,4,5,6
* el equilibrio en un nudo, se calcula igualado el flujo que entra con el flujo que sale del nudo. En caso de querer determinar la ruta más larga, el problema se plantea de la misma manera únicamente que la función objetivo se cambiaría a Maximizar.
118
Datos de entrada
Solución al problema.
El flujo máximo en el problema según los datos dados es de una unidad Variables básicas. X1 =0, X2 =1, X6 =1, X7= 0, X8 = 1 y un costo mínimo de Z= $18,000.00 pesos Variables no básicas X3, X4, X5 todas iguales a cero
119
EJERCICIOS
1.- Dada la siguiente red que representa las operaciones de cableado en km de un proyecto se quiere determinar la ruta de flujo y costo mínimo. Plantear el problema de flujo de costo mínimo como un modelo lineal y resolverlo usando el WinQSB. Los datos de costos están dados en la red en miles de pesos (*)
* 80
4
2
120
150
90
250
1
6
200
60
5
3 8
2.- Determine el Flujo máximo entre los nodos 1 y 5 de la siguiente red
2
(8,0) (4 ,0)
(6,0)
3
(4,0)
1
(0,2) (2,0)
4
(4,0)
(4,4) 5
120
3.-Determinar la ruta más corta entre el nodo I y cualquier otro nodo de la siguiente red.
6 2
5
6
7
2
4 2
1
7
6
4
5
6 1
3 7
3
7
9 5
4.- Usando el diagrama de la siguiente Red, determinar el árbol de m ínima expansión
E
4 B
7 A 15
2 6
3
5
4 4
C
5
8 D
F 4
5 7 5
4
H
6 5
7
J
6 4
4
I
G
121
Bibliografía Anderson, D.R.-Sweeny, D.J.-William, T.A. "Introducción a los modelos cuantitativos para administración". Ed. Iberoamericana. An-Min Chung “ Linear Programming” Edit. Merrill Barry Render, Ralph M. Stair, Michel E. Hanna. Métodos Cuantitativos para los negocios, novena edición, Editorial Pearson, Prentice, Hall. Bazaraa, M.-Jarvis, J. "Programación lineal y flujo en redes". Ed. Limusa Hillier Fredericks– Liberman Gerald J. Investigación de Operaciones, séptima edición, Editorial Mc Graw Hill. Kaufman, A. Métodos y Modelos de da Investigación de Operaciones (Tomo 1), Editorial C.E.C.S.A. 8ª Edición.1984. Mckeown y Davis. Modelos Cuantitativos para Administración, Editorial Iberoamericana. Moskowitz, Herbert., Wright, Gordon. Investigación de Operaciones, Editorial Prentice Hall . Philips D. T. Operations research. New York: Editorial J ohn Wiley. 1976. Prawda, Juan. Métodos y Modelos de la I nvestigación de Operaciones (Tomo 1y II), Editorial Limusa. Shamblin, James E. Investigación de Operaciones, Editorial Mc Graw Hill. Taha, Hamdy A. Investigación de Operaciones: Una introducción. México: Editorial Alfa Omega. 1995. Thierauf, Robert., Grose, Richard. Toma de Decisiones por medio de Investigaciones de Operaciones, Editorial Limusa. Wayne L. Winston. Investigación de Operaciones, Aplicaciones y Algoritmos, Cengage Learning, cuarta Edición. Ya – Lun Chou, Análisis Estadístico, Editorial Interamericana, segunda Edición
122
