RECURSOS HIDRÁULICOS DISEÑO Y ANÁLISIS: OPTIMIZACIÓN
HH – 333 H ING. ING. JUAN CA BRERA
Mayoría Mayoría de problemas en mundo real tienen varias soluciones y algunos tienen infinitas soluciones. Propósito de optimización es optimización es encontrar o identificar mejor solución posible, entre todas las soluciones potenciales para un problema dado. Para ello, se selecciona valores de variables interrelacionadas (variables (variables de diseño o de decisión), poniendo atención a un sólo objetivo diseñado para cuantificar desempeño y medir calidad de decisión objetivo). (Función objetivo).
Mayoría Mayoría de problemas en mundo real tienen varias soluciones y algunos tienen infinitas soluciones. Propósito de optimización es optimización es encontrar o identificar mejor solución posible, entre todas las soluciones potenciales para un problema dado. Para ello, se selecciona valores de variables interrelacionadas (variables (variables de diseño o de decisión), poniendo atención a un sólo objetivo diseñado para cuantificar desempeño y medir calidad de decisión objetivo). (Función objetivo).
Objetivo es es maximizado o minimizado (dependiendo de
formulación) sujeto a restricciones que pueden limitar selección de valores de variables de diseño.
Asumiendo que un problema de optimización optimización está definido de alguna manera, métodos de optimización se clasifican en: analíticos: uso del cálculo diferencial Métodos analíticos: (insuficiente para problemas no lineales); to dos n um é r i c o s : algoritmos (procedimientos Mé iterativos); Otros: métodos gráficos, métodos experimentales, estudio de casos.
Casi siempre, interés en optimización se centra en solución de problemas reales, los que deben ser representados matemáticamente. Optimización de representación matemática de procesos reales presenta 2 tipos de dificultades: 1. Formulación del modelo matemático (representatividad) (función a ser optimizada ó función objetivo); 2. Técnica de solución: ○ Existencia de varios extremos locales y globales; ○ Se supone que coeficientes y variables del modelo (función objetivo) no son variables aleatorias; ○ Errores de redondeo de aritmética punto flotante.
Consisten en maximización o minimización de funciones algebraicas de una o más variables. Selección de variables pueden estar restringidas por ecuaciones o inecuaciones algebraicas llamadas restricciones, de forma tal que objetivo no es encontrar mejor valor posible sino mejor valor permitido por restricciones.
Encontrar x tal que se maximice o minimice una función objetivo f (x ), sujeto a restricciones: ) = b ) g i (x i (i = 1,…, m ) g j (x
) ,…, k b j (j = m
Donde: es x
un vector de n variables independientes.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7.
Diseño de un avión para un mínimo peso y máxima resistencia; Trayectorias óptimas de vehículos espaciales; Diseño de estructuras con mínimo costo; Diseño de proyectos de abastecimiento de agua, como en presas, para mitigar daño por inundación mientras se obtiene máxima generación de potencia; Diseño de bombas y equipos de transferencia de calor para máxima eficiencia; Análisis estadístico y modelado con un mínimo error (e.g., redes neuronales); Redes de tuberías óptimas;
Maximizar o Minimizar una
variable dependiente que está en función de otras independientes, las mismas que están sujetas a varias restricciones. Las variables dependientes por lo general son objetivos económicos (beneficios, producción, costos, etc). La asunción de linealidad entre la variable dependiente y las independientes es esencial; esto es, se asume que la ecuación es de la forma: Z C 1 X 1 C 2 X 2
............ CnXn
Z C 1 X 1 C 2 X 2
............ CnXn
donde Z es la variable dependiente y X 1, X2 ...... Xn son las variables independientes que afectan el valor de Z.
La ecuación anterior es denominada función objetivo y los coeficientes C 1, C2, ...., Cn son las constantes
En la práctica se asume que todas las restricciones de las variables independientes tienen la forma de desigualdades lineales. Las variables X 1, X2, ....... X n están sujetas a algunas restricciones de la forma: A11X1 + A12X2 + … + A1nXn B1 A21X1 + A22X2 + .. ..+ A2nXn B2 Am1X1 + Am2X2 + ... .+ AmnXn Bm donde, los coeficientes A ji son constantes, B j limita o restringe a Z, como resultados de la restricción de las variables independientes X i.
Para resolver un problema de PL, independientemente del método a utilizar, se debe definir primero: - Las variables de decisión; - La función objetivo; - La restricciones.
Para solucionar un problema de programación lineal, existen varios métodos siendo los más comunes y usados los siguientes: - Método Gráfico - Método Algebraico o método Simplex
práctico cuando en el problema hay solo dos variables o en algunos casos hasta tres variables.
Sin considerar el número de restricciones, el problema con dos variables siempre puede ser representado en un plano o en un espacio de dos dimensiones, lo cual simplifica el análisis; pero, cuando existen más de tres variables involucradas en el problema, este método no es recomendado.
El método gráfico en el caso de dos variables sigue los siguientes pasos: 1. Dibujar el recinto limitado por las restricciones
del problema. 2. Representar gráficamente la función objetivo igualada a cero: mx + ny =0 3. Desplazar paralelamente la recta mx + ny = 0 hacia la derecha y/o hacia la izquierda, hasta que pase por cada uno de los vértices del recinto (región factible).
El óptimo máximo será el vértice de la región factible cuya recta tenga mayor ordenada en el origen (más alejado hacia la derecha si la recta es creciente). El óptimo mínimo el vértice cuya recta tenga menor ordenada en el origen (más alejado hacia la izquierda).
Resolver: Función objetivo: máx 5A + 6B sujeto a : 3A + 5B ≤ 30 2A + 3B ≤ 12 A + 5B ≥ 15 4A + B ≤ 8
Graficamos las restricciones. Para ello graficamos los puntos (0,B), y (A,0) en cada una de ellas: PUNTO 1 (A=0)
RESTRICCIONES restricción 1 restricción 2 restricción 3 restricción 4
A
PUNTO 2 (B=0)
B
0 0 0 0
A
6 4 3 8
B
10 6 15 2
0 0 0 0
LA SOLUCIÓN ÓPTIMA EL VALOR ÓPTIMO
: A=1.2 y B=3.2 : 25.2
Resolver: Función objetivo: máx 3A + 7B sujeto a: 6A + 11B ≤ 66 2A + B ≤ 10 0.5A + 0.4B ≥ 6 A + B ≥ 4
Graficamos las restricciones. Para ello graficamos los puntos (0,B), y (A,0) en cada una de ellas: PUNTO 1 (A=0)
RESTRICCIONES restricción 1 restricción 2 restricción 3 restricción 4
A
PUNTO 2 (B=0)
B
0 0 0 0
A
6 10 15 4
B
11 5 12 4
0 0 0 0
NO hay solución
Una compañía fabrica dos productos, “A” y “B”. Cada uno de
los productos tiene que procesarse en los departamentos de maquinado y terminado. En la siguiente tabla se presentan las horas requeridas en cada departamento para fabricar una unidad de producto y las horas disponibles en cada departamento: Departamento Maquinado Acabado
Horas por unidad de producto A B 1 2 1 0.5
Horas disponibles 200 125
Además la escasez de materiales para el producto “B” limita
su producción a un máximo de 75 unidades. Por fabricar y
vender una unidad de “A” se obtiene una utilidad de $4, y por cada unidad de “B” se obtiene una utilidad de $3.
Las variables de decisión: A : número de productos tipo “A” fabricados B : número de productos tipo “B” fabricados
Para maximizar ganancias, la función objetivo será: MAX Z=4A + 3B Las restricciones serán: POR MAQUINADO : POR ACABADO : POR ESCASEZ : NO NEGATIVIDAD :
A+2B ≤ 200 A+0.5B ≤ 125 B ≤ 75 X1, X2≥0
Las restricciones serán: PUNTO 1 (A=0)
RESTRICCIONES
A
PUNTO 2 (B=0)
B
A
B
restricción 1
0
100
200
0
restricción 2
0
250
125
0
restricción 3
0
75
200
75
LA SOLUCIÓN ÓPTIMA: A=100 y B=50 EL VALOR ÓPTIMO : 550
Se dispone de 80 unidades de agua para regar caña y pastos. La tierra total disponible es de 150Ha. LA caña necesita 0.8 unidades de agua/Ha y rinde $40/Ha de beneficio. El pasto necesita de 0.4 unidades de agua/Ha y rinde $30/Ha de beneficio. Determine las hectáreas de tierra que deben sembrarse de caña y de pasto, de tal manera que pueda obtenerse el máximo beneficio por la cosecha.
Las variables de decisión: x1 : hectáreas de caña x2 : hectáreas de pasto Para maximizar ganancias, la función objetivo será: MAX Z=40x1 + 30x2 Las restricciones serán: 0.8x1 + 0.4x2 ≤ 80 unidades de agua x1 + x2 ≤ 150 hectáreas de tierra x1, x2≥0
Las restricciones serán: PUNTO 1 (x1=0)
RESTRICCIONES
x1
PUNTO 2 (x2=0)
x2
x1
x2
restricción 1
0
200
100
0
restricción 2
0
150
150
0
LA SOLUCIÓN ÓPTIMA: x1=50 y x2=100 EL VALOR ÓPTIMO : $ 5000
El método Simplex es un método secuencial de optimización y puede ser empleado, tanto para maximizar como para minimizar una respuesta es considerado uno de los métodos básicos.
El método símplex resuelve la programación lineal en iteraciones. Cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tiene potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se pueden obtener mejoras.
El método tiene un rango muy amplio de aplicación y utilización. Su aplicación es un problema iterativo muy usado por la mayoría de programas o paquetes de cómputo.
Transformar el problema de PL a su forma estándar (restricciones en forma de ecuaciones) para luego escribirlo en un formato de tabla. La forma estándar del problema de PL, tiene las siguientes propiedades: a. Todos las restricciones son ecuaciones con un lado derecho no negativo. b. Todos las variables son no negativas. c. La función objetivo puede ser del tipo de maximización o de minimización.
Elija una solución básica inicial, generalmente es el problema escrito en su forma estándar. Genere nuevas soluciones básicas factibles utilizando las condiciones de optimidad y factibilidad hasta que se obtenga la solución óptima. Este paso supone que la solución óptima existe y esta acotada.
Una desigualdad del tipo se convierte a una ecuación aumentando su lado izquierdo una variable de holgura (superavit).
es equivalente a:
x1 + 2 x2 3 x1 + 2x2 + S1 = 3
Una desigualdad del tipo se convierte a una ecuación restando su lado izquierdo una variable de holgura.
Ejemplo: es equivalente a:
3x1 + x2 5 3x1 + x2 – S1 = 5
Maximizar Sujeto a:
Z = f(x1,x2) = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 18 2x1 + 3x2 3x1 + x2
42
≤
24
≤
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
1.
Convertir las desigualdades en igualdades:
2x1 + x2 + s1 = 18 2x1 + 3x2 + s2 = 42 3x1 + x2 + s3 = 24
2. Igualar la función objetivo a cero y agregar la variables de holgura del sistema anterior: Z - 3 x1 - 2 x2 = 0 Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo para convertirlo en negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (-) negativo de Fo para convertirlo en positivo.
3. Escribir el tablero inicial simplex: Una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: Base
S1 S2 S3 Z
Variable de decisión X1 X2 2 2 3 -3
1 3 1 -2
Tablero Inicial Variable de holgura S1
S2
S3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Solución
18 42 24 0
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, (FLECHA ROJA SUPERIOR), observamos la ultima fila (correspondiente a la función objetivo) y escogemos la variable con el coeficiente más negativo (en valor absoluto), en este caso, la variable x1 de coeficiente – 3 (si existiesen dos o más coeficientes iguales, se elige cualquiera de ellos). Si en la última fila no existiese coeficientes negativos, significa que se ha alcanzado la solución óptima.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color azulado). B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, (FLECHA ROJA IZQUIERDA) se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no
El término de la columna pivote (3) que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo (8), indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, S 3. Esta fila se llama fila pivote (en color azulado). Iteración No. 1 Base
Variable de decisión
Variable de holgura
Solución
Operación
X1
X2
S1
S2
S3
S1
2
1
1
0
0
18
18/2 = 9
S2
2
3
0
1
0
42
42/2 = 21
S3
3
1
0
0
1
24
24/3 = 8
Z
-3
-2
0
0
0
0
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. C.En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3, este indica que la variable de decisión X 1 entra y la variable de holgura S3 sale.
5. Encontrar los coeficientes del nuevo tablero simplex. Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila por el pivote operacional “3”, ya que este se debe convertir en 1. Mediante reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de la columna pivote, obteniendo los nuevos coeficientes para el nuevo tablero. Base
S1 S2 X1 Z
Variable de decisión X1 X2 0 0 1 0
1/3 7/3 1/3 -1
Resultado de Iteración No. 1 Variable de holgura Solución S1
S2
S3
1 0 0 0
0 1 0 0
-2/3 -2/3 -1/3 1
2 26 8 24
Operación
f(S1) – 2 f(X1) f(S2) – 2 f(X1) (1/3) X1 f(Z) + 3 f(X1)
En la última fila hay un numero negativo, -1; esto significa que no hemos llegado aún a la solución óptima. Repetimos el proceso: A. La variable que entra en la base es x2, por ser la columna pivote que corresponde al coeficiente -1 B. Para definir la variable que sale o la fila pivote, dividimos los términos de la columna solución entre los términos de la nueva columna pivote: como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable de holgura que sale es S 1. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Y se opera de forma análoga a la anterior iteración
Base
S1 S2 X1 Z
Base
X2 S2 X1 Z
Iteración No. 2 Variable de holgura
Variable de decisión X1 X2
S1
S2
S3
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
-2/3 -2/3 -1/3 1
1/3 7/3 1/3 -1
Variable de decisión X1 X2 0 0 1 0
1 0 0 0
Solución
Operación
2 26 8 24
2/(1/3) = 6 26/(7/3) = 78/7 8/(1/3) = 24
Resultado de Iteración No. 2 Variable de holgura Solución S1
S2
S3
3 -7 -1 3
0 0 0 0
-2 4 1 -1
6 12 6 30
Operación
3X2 f(S2) – (7/3) f(X2) f(X1) – (1/3) f(X2) f(Z) + f(X2)
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, repetimos el proceso: A. La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es S 2. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
Base
Iteración No. 3 Variable de holgura
Variable de decisión X1 X2
S1
S2
S3
X2
0
1
3
0
S2 X1 Z
0 1 0
0 0 0
-7 -1 3
0 0 0
Base
X2 S3 X1
Variable de decisión X1 X2 0 1 0 0 1 0
Solución
Operación
-2
6
4 1 -1
12 6 30
No se toma por ser negativo 12/4 = 3 6/1 = 6 No se toma por ser negativo
Resultado de Iteración No. 3 Variable de holgura Solución S1 -1/2 -7/4 -3/4
S2 0 0 0
S3 0 1 0
12 3 3
Operación
f(X2) + 2 f(S3) (1/4) S3 f(X1) – f(S3)
Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. Base
X2 S3 X1 Z
Variable de decisión X1 X2 0 1 0 0 1 0 0 0
Tablero Final Variable de holgura S1 -1/2 -7/4 -3/4 5/4
S2 0 0 0 0
S3 0 1 0 0
Solución
12 3 3 33
Maximizar: Z = 3x1 + 2x2 + 5x3
Sujeta a: x1 + 2x2 + x3
430
3x1 + 0x2 + 2x3 460 x1 + 4x2 + 0x3 420
x1, x2, x3
0
1. Convertir las desigualdades en igualdades: x1 + 2x2 + x3 +S1 = 430 3x1 + 0x2 + 2x3 +S2 = 460 x1 + 4x2 + 0x3 +S3 = 420
2.
Igualar la función objetivo a cero: Z - 3x1 - 2x2 - 5x3 =0
3 y 4. Escribir el tablero inicial simplex y detectar los pivotes: Base
S1 S2 S3 Z
Tablero Inicial Variable de decisión Variable de holgura X1 1 3 1 -3
X2 2 0 4 -2
X3 1 2 0 -5
S1 1 0 0 0
S2 0 1 0 0
S3 0 0 1 0
Solución
430 460 420 0
430/1 460/2 no no
5. Encontrar los coeficientes del nuevo tablero simplex. Se dividen todos los coeficientes de la fila por el pivote operacional “2”, para que se convierta en 1, y se realiza una reducción gaussiana. Base
S1 x3 S3 Z
Primera Iteración Variable de decisión Variable de holgura X1 -0.5 1.5 1 4.5
X2 2 0 4 -2
X3 0 1 0 0
S1 1 0 0 0
S2 -0.5 0.5 0 2.5
S3 0 0 1 0
Solución
200 230 420 1150
200/2 no 420/4 no
Se repite el procedimiento hasta contar solamente con coeficientes positivos en Z: Segunda Iteración Base
Variable de decisión
Variable de holgura
Solució n
X1
X2
X3
S1
S2
S3
x2
-0.25
1
0
0.5
-0.25
0
100
x3
1.5
0
1
0
0.5
0
230
S3
2
0
0
-2
1
1
20
Z
4
0
0
1
2
0
1350
En la excavación de un canal de drenaje se dispone de dos mototraíllas, cada una de las cuales presenta los siguientes parámetros:
Mototraílla A B
Rendimiento/día (m3/día) Terreno Terreno Duro Blando 80 140 100 150
Costo/Unidad de volumen ($/m3) Terreno Terreno Duro Blando 25 15 40 20
De acuerdo con el proyecto de organización de la construcción se deben excavar diariamente como mínimo 200 m 3 de ambos tipos de terreno así como 20 m 3 de terreno duro. Formule y construya el modelo matemático de Programación Lineal que minimice los costos de excavación diarios.
Se quiere construir una presa flexible para lo cual dentro de las diversas obras se requiere 6300 m 3 de material fino, 1890 m3 de enrocado y 495 m 3 de hormigón. Si se tiene las canteras A, B y C que proveen un material adecuado en cantidad y calidad para material fino, enrocado y hormigón respectivamente cuyas distancias en forma correspondiente son de 30 km, 40 km y 60 km. Se desea especificar el número de volquetes para optimizar costos. Datos adicionales: Información sobre los tipos de volquete Tipo Volquete Unidades Volumen (m3) Rendimiento Horas diarias de trabajo Alquiler diario (S/.)
P 80 10 81% 13 850
Q 100 12 80% 13 900
R 50 14 80% 10 950
Los volquetes al llegar a la cantera tienen un tiempo de espera y con el de llenado hacen 6 minutos; en cancha el tiempo de maniobras es de 3 minutos. Las características de la ruta a cada cantera permite desarrollar las siguientes velocidades: Cantera Velocidad Cargado (Km./Hr.) Velocidad Vacío (Km./Hr.)
A 20 30
B 30 45
C 45 60
