OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS
Prefacio
CAPITULO I INTRODUCCIÓN 1.1 INTRODUCCIÓN Y RESUMEN 1.2 OPTIMIZACIÓN 1.2.1 Objetivo de la Optimización 1.3 OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS 1.4 FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1.5 ÁREAS Y MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN 1.6 MÉTODO DE ATAQUE 1.7 DISEÑO OPTIMO Y ESTRATEGIAS DE DISEÑO 1.7.1 Costos incrementales 1.7.2 Consideraciones intangibles y prácticas PROCEDIMIENTO GENERAL PARA DETERMINAR LAS CONDICIONES 1.8 OPTIMAS 1.9 SUMARIO 1.10 REFERENCIAS
CAPITULO II TEORÍA CLÁSICA DE MÁXIMOS Y MINIMOS 2.1 INTRODUCCIÓN 2.2 MÉTODOS ANALÍTICOS SIN RESTRICCIONES 2.2.1 Condiciones necesarias y Suficientes para determinar puntos extremos 2.2.2 Evaluación de Máximo y Mínimo Local (Condiciones Suficientes) 2.2.3 Condiciones Suficientes para Una Variable Independiente 2.2.4 Condiciones Suficientes para Dos Variables Independientes 2.2.5 Señal de una Forma Cuadrática 2.2.6 Condiciones suficientes para N Variables Independientes 2.2.7 Aplicación al diseño de procesos 2.3 SOLUCIÓN NUMÉRICA 2.3.1 Uso de MATLAB 2.3.2 Uso de UNTSIM 2.4 FUNCIÓN OBJETIVO CON RESTRICCIONES 2.4.1 Sustitución Directa 2.4.2 Variación de Restricción Solución Numérica Usando MATLAB Usando UNTSIM 2.4.3 Multiplicadores de Lagrange Solución Numérica Usando MATLAB 2.4.4 Interpretación Económica de los Multiplicadores de Lagrange 2.4.5 Restricciones de desigualdad Usando el simulador UNTSIM 2.4.6 Método de Ascenso de la Pendiente
CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA PROBLEMAS CON RESTRICCIONES 2.6 APLICACIÓN A LA INGENIERÍA QUÍMICA 2.5
2.6.1 Determinación de valores óptimos con dos variables independientes Solución Numérica Usando MATLAB Usando el simulador UNTSIM 2.6.2 Optimización de un CSTR Solución Numérica Usando MATLAB Usando el simulador UNTSIM 2.6.3 Tres Reactores en Paralelo Usando MATLAB Usando el simulador UNTSIM 2.6.4 Tasa Interna de Retorno
CAPITULO III OPTIMIZACIÓN DE PLANTAS LA GRAFICA DEL PUNTO DE EQUILIBRIO PARA PLANIFICAR LA PRODUCCIÓN Y SU SIGNIFICANCIA PARA ANÁLISIS OPTIMO 3.2 PRODUCCIÓN OPTIMA OPERACIÓN DE PLANTAS 3.2.1 Producción óptima para costo mínimo por unidad de producción 3.2.2 Producción óptima para máximo beneficio total por unidad de tiempo Usando UNTSIM 3.3 CONDICIONES OPTIMAS EN OPERACIONES CÍCLICAS Solución NuméricaUsando MATLB Usando UNTSIM 3.3.1 Operaciones cíclicas semicontinuas Formación de incrustaciones en evaporación Optimización de un Filtro Prensa a) Método de búsqueda b) Método analítico c) Solución Numérica Usando Matlab d) Usando UNTSIM 3.1
CAPITULO IV ANÁLISIS DE RESULTADOS 4.1 PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD DE LOS RESULTADOS 4.2 DINÁMICA DE FLUIDOS (DIÁMETRO ÓPTIMO DE TUBERÍA) 4.2.1 Costos de bombeo 4.2.2 Cargas fijas para el sistema de tubería 4.2.3 Diámetro económico óptimo de tubería 4.2.4 Análisis incluyendo los efectos de impuestos y costo de capital
4.2.5 Sensibilidad de los resultados TRANSFERENCIA DE CALOR (FLUJO OPTIMO DE AGUA DE 4.3 ENFRIAMIENTO EN UN CONDENSADOR) Flujo óptimo de agua de enfriamiento en un condensador a) Método de búsqueda b) Usando MATLB c) Usando UNTSIM 4.4 TRANSFERENCIA DE MASA (RAZÓN OPTIMA DE REFLUJO)
CAPITULO V LA PROGRAMACIÓN LINEAL 5.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y CONCEPTOS GENERALES FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN 5.2 LINEAL 5.3 SOLUCIÓN GRÁFICA 5.4 EL MÉTODO SIMPLEX 5.5 USO DE PAQUETES DE SOFTWARE 5.5.1 Programación lineal en Excel 5.5.2 Uso del paquete LINDO 5.5.3 Programación Lineal con MATLAB Refinería de petróleo simplificada a) Usando el paquete LINDO b) Uso del Simulador UNTSIM Caso de Mezcla (Preparación de alimentos) a) Resolviendo con LINDO b) Uso del Simulador UNTSIM 5.6 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 5.6.1 Uso de LINDO 5.7 DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL CON LINDO 5.7.1 Partes de un problema de PL 5.7.2 Precios sombra o duales 5.7.3 Problemas Primales y Problemas Duales 5.7.4 Casos prácticos con Software
CAPITULO VI OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL 6.1 VALORES ÓPTIMOS DE LOS PARÁMETROS Kp, Ki y Kd
PROBLEMAS PROPUESTOS ESTUDIO DE CASOS
EVAPORADOR DE MÚLTIPLE EFECTO TRATAMIENTO DE RESIDUOS CONTAMINANTES
BIBLIOGRAFÍA
Prefacio Científicos, sobre todo matemáticos, siempre han estado ocupados con las preguntas de optimización, es decir, encontrando los puntos extremos (los máximos y mínimos). Euclides en 300 A.C. fue asociado con el problema de encontrar la distancia más corta que puede deducirse de un punto a una recta, y Heron de Alejandría en 100 A.C. estudió el problema de optimización de viaje rápido entre dos puntos por el camino más corto. Y fue Fermat en 1657 quién desarrolló el principio más general de los viajes ligeros entre dos puntos en un tiempo mínimo. En 1857 Gibbs desarrolló la ley que establece que un sistema está en el equilibrio químico si la energía libre es un mínimo (2). Este resultado se usa hoy rutinariamente para computar la composición de equilibrio de una mezcla de múltiple componentes de gases, líquidos y sólidos. El desarrollo de la teoría matemática para optimización ha seguido estrechamente con el desarrollo de cálculo, como fuera establecido por Hancock(3). De hecho, Hancock escribió el primer libro moderno sobre el tema, la titulada "Teoría de Máximos y Mínimos" que se publicó en 1917. Este trabajo sirve hoy incluso como una fuente de consulta definitivo. A fines de los años 1930’s había un gran interés en el asunto del cálculo de variaciones, pero el ímpetu real a la optimización vino con el Segunda Guerra Mundial y
el desarrollo de la computadora digital. En los 1940 Dantzig (4) reconoció la estructura matemática de algunos problemas de la logística militar y desarrolló el Método Simplex de programación lineal. La programación lineal se ha movido de un tema matemático interesante a probablemente el procedimiento de optimización más importante y extensamente aplicado. Su desarrollo siguió estrechamente las capacidades continuamente crecientes de la computadora digital. La habilidad de resolver conjuntos grandes de ecuaciones lineales con la computadora ha permitido la aplicación de la programación lineal a los problemas industriales, como la optimización de una grande refinería petróleo. Finalmente en los años 50 la optimización recibido otro empujón con el advenimiento de la edad espacial. La trayectoria óptima para un proyectil era uno de varios problemas para los que se desarrollaron métodos de programación dinámica y el principio máximo en EE.UU. y la U.S.S.R. Estos métodos están usándose ahora en áreas que no están relacionadas con el espacio. La optimización es un tema de muchas facetas que va de la matemática pura a la fabricación automatizada. Con el tiempo, ha habido un flujo de conceptos de optimización y algoritmos, de matemática para aplicaciones en ingeniería de diseño y operación de plantas de manufactura. Un ejemplo clásico es el Algoritmo Simplex de programación lineal que se usa en una amplia variedad de aplicaciones industriales y otras. La matemática de optimización escribe la estructura de los problemas para obtener pruebas formales de optimalidad global y local, y desarrollar algoritmos eficaces para localizar los mejores valores del modelo económico aun cuando deban satisfacer las restricciones. El Algoritmo Simplex y sus extensiones también ilustran este acercamiento de usar la forma matemática de ecuaciones lineales para encontrar el óptimo global. Otros ejemplos son la programación geométrica en la que el modelo económico y las restricciones son polinomios; la programación convexa, con modelo económico cóncavo y las restricciones convexas; y programación dinámica en la que se explota la estructura de la fase por una serie de optimizaciones parciales. Este libro se propone ser la interfaz de matemática y las aplicaciones industriales de optimización. Los temas se han seleccionado debido a su amplia aplicación a la optimización de sistemas de ingeniería, especialmente continuos. Es más, se ha presentado la matemática de optimización para proporcionar un fundamento para aquellos métodos que han demostrado éxito en las aplicaciones industriales. Se ha adoptado un estilo informal de escribir para adaptarse mejor a la mayoría de los estudiantes ayudando a eliminar el aburrimiento matemático. Además, ha sido incluido un número grande de ejemplos simples para dar énfasis a los elementos esenciales. El material es estructurado para construir en los estudiantes el conocimiento del cálculo y ecuaciones diferenciales empezando con la teoría clásica de máximos y mínimos para establecer una base para los métodos modernos. La progresión de temas fue diseñada para agregar profundidad y anchura en los conceptos y aplicaciones. En la realización del material el lector debe tener la base necesaria para llevar más allá la
lectura de textos, monografías, y literatura de investigación actual sobre el asunto. El texto es producto de la experiencia del autor en la enseñanza e investigación en optimización que incluye el desarrollo y enseñanza de un curso de optimización en los pasados más de veinte años a estudiantes de ingeniería química. También, algo del material, sin embargo, se ha desarrollado para cursos a nivel de post grado en ingeniería de procesos. El material proporcionado aquí es más adecuado para un curso de un semestre; además, se dan las referencias a los libros y revistas en cada tema del capítulo para la investigación extensa. La idea era incluir asuntos que han demostrado ser valiosos para las aplicaciones industriales en lugar de hacer del texto un manual. Es más, el material se preparó con la idea de que los usuarios de procedimientos de optimización estarían empleando los programas de computadora a menudo dentro de paquetes como el relativamente sofisticado programa de solución de modelos lineales y no lineales.
CAPITULO I INTRODUCCIÓN 1.1 INTRODUCCIÓN Y RESUMEN Los problemas de toma de decisiones se pueden clasificar en dos categorías: modelos de decisión determinísticos y modelos de decisión probabilísticos. En los modelos deterministicos, las buenas decisiones se basan en sus buenos resultados. Se consigue lo deseado de manera "deterministica", es decir, libre de riesgo. Esto depende de la influencia que puedan tener los factores no controlables, en la determinación de los resultados de una decisión y también en la cantidad de información que el tomador de decisión tiene para controlar dichos factores. Aquellos que manejan y controlan sistemas de hombres y equipos se enfrentan al problema constante de mejorar (por ejemplo, optimizar) el rendimiento del sistema. El problema puede ser reducir el costo de operación y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, utilidades de las operaciones actuales, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, mantener un funcionamiento rentable cumpliendo a la vez con las reglamentaciones gubernamentales establecidas, o "mejorar" un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos. Para identificar la mejora
del funcionamiento del sistema, se debe construir una representación sintética o modelo del sistema físico, que puede utilizarse para describir el efecto de una variedad de soluciones propuestas. Un modelo puede considerarse como una entidad que captura la esencia de la realidad sin la presencia de la misma. Una fotografía es un modelo de la realidad ilustrada en la imagen. La presión arterial puede utilizarse como un modelo de la salud de una persona. Una campaña piloto de ventas puede utilizarse como un modelo de la respuesta de las personas a un nuevo producto. Por último, una ecuación matemática puede utilizarse como un modelo de la energía contenida en un determinado material. En cada caso, el modelo captura algún aspecto de la realidad que intenta representar. Ya que un modelo sólo captura determinados aspectos de la realidad, su uso puede no ser apropiado en una aplicación en particular porque no captura los elementos correctos de la realidad. La temperatura es un modelo de las condiciones climáticas pero puede ser inapropiado si uno está interesado en la presión barométrica. Una foto de una persona es un modelo de la misma pero brinda poca información acerca de sus logros académicos. Una ecuación que predice las ventas anuales de un producto en particular es un modelo de ese producto pero tiene poca utilidad si lo que nos interesa es el costo de producción por unidad. Por lo tanto, la utilidad del modelo depende del aspecto de la realidad que representa. Un modelo puede ser inadecuado aun cuando intenta capturar los elementos apropiados de la realidad si lo hace de una manera distorsionada o sesgada. Una ecuación que pronostica el volumen mensual de ventas puede ser exactamente lo que el gerente de ventas quiere pero podría generar grandes pérdidas si arroja constantemente cálculos de ventas altos. Un termómetro que lee de más (o de menos) tendría poca utilidad para realizar un diagnóstico médico. En consecuencia, un modelo útil es aquel que captura los elementos adecuados de la realidad con un grado aceptable de precisión. Un modelo matemático es una ecuación, desigualdad o sistema de ecuaciones o desigualdades, que representa determinados aspectos del sistema físico representado en el modelo. Los modelos de este tipo se utilizan en gran medida en las ciencias físicas, en el campo de la ingeniería, los negocios y la economía. Un modelo ofrece al analista una herramienta que puede manipular en su análisis del sistema en estudio, sin afectar al sistema en sí. Por ejemplo, supóngase que se ha desarrollado un modelo matemático para predecir las ventas anuales como una función del precio de venta unitario. Si se conoce el costo de producción por unidad, se pueden calcular con facilidad las utilidades anuales totales para cualquier precio de venta. Para determinar el precio de venta que arrojará las utilidades totales máximas, se pueden introducir en el modelo distintos valores para el precio de venta, uno a la vez, determinando las ventas resultantes y calculando las utilidades anuales totales para cada valor de precio de venta examinado. Mediante un proceso de prueba y error, el analista puede determinar el precio de venta que maximizará las utilidades anuales totales. Lo ideal sería que si el modelo matemático es una representación válida del rendimiento del sistema, mediante la aplicación de las técnicas analíticas adecuadas, la solución obtenida a partir del modelo debería ser también la solución para el problema
del sistema. Así, la efectividad de los resultados de la aplicación de cualquier técnica operativa es en gran medida una función del grado en el cual el modelo representa al sistema en estudio. A fin de definir las condiciones que nos conducirán a la solución del problema del sistema, el analista primero debe identificar un criterio según el cual se podrá medir el sistema. Este criterio a menudo se denomina medida del rendimiento del sistema o medida de efectividad. En aplicaciones empresariales, la medida de efectividad generalmente son los costos o las utilidades, mientras que en aplicaciones gubernamentales esta medida generalmente se define en términos de un índice costo/beneficio. El modelo matemático que describe el comportamiento de la medida de efectividad se denomina función objetivo. Si la función objetivo es describir el comportamiento de la medida de efectividad, debe capturar la relación entre esa medida y aquellas variables que hacen que dicha medida fluctúe. Las variables del sistema pueden categorizarse en variables de decisión y parámetros. Una variable de decisión es una variable que puede ser directamente controlada por el decisor. También existen algunos parámetros cuyos valores pueden ser inciertos para el decisor. Esto requiere un análisis de sensibilidad después de descubrir la mejor estrategia. En la práctica, resulta casi imposible capturar la relación precisa entre todas las variables del sistema y la medida de efectividad a través de una ecuación matemática. En cambio, el analista de IO/CA debe tratar de identificar aquellas variables que afectan en mayor grado la medida de efectividad y luego debe intentar definir de manera lógica la relación matemática entre estas variables y la medida de efectividad. Esta relación matemática es la función objetivo que se emplea para evaluar el rendimiento del sistema en estudio. La formulación de una función objetivo que tenga sentido normalmente es una tarea tediosa y frustrante. Los intentos de desarrollo de una función objetivo pueden terminar en un fracaso. Esto puede darse porque el analista elige el conjunto incorrecto de variables para incluir en el modelo o bien, si el conjunto es el adecuado, porque no identifica correctamente la relación entre estas variables y la medida de efectividad. En un nuevo intento, el analista trata de descubrir las variables adicionales que podrían mejorar su modelo descartando aquellas que parecen tener poca o ninguna relevancia. No obstante, sólo se puede determinar si estos factores realmente mejoran el modelo una vez realizadas la formulación y prueba de nuevos modelos que incluyan las variables adicionales. Todo el proceso de selección y rechazo de variables puede requerir reiteraciones múltiples hasta desarrollar una función objetivo satisfactoria. En cada iteración, el analista espera lograr alguna mejora en el modelo, aunque no siempre se tiene tanta buena suerte. Por lo general, el éxito final es precedido por una serie de fracasos frustrantes y pequeños progresos. En cada etapa del proceso de desarrollo, el analista debe evaluar la correspondencia o validez del modelo. Normalmente se emplean dos criterios para realizar esta determinación. El primero implica la experimentación del modelo: someter el modelo a una serie de condiciones y registrar los valores asociados de la medida de efectividad dada por el modelo en cada caso. Si la medida de efectividad varía de manera antinatural con una sucesión de condiciones de entrada, es posible que la función objetivo no sea válida. Por ejemplo, supóngase que se desarrolla un modelo destinado a
calcular el valor de mercado de viviendas unifamiliares. El modelo debe expresar el valor de mercado en dólares como una función de la superficie cubierta en pies cuadrados, cantidad de dormitorios, cantidad de baños y tamaño del lote. Después de desarrollar el modelo, el analista lo aplica a la tasación de distintas viviendas, con distintos valores para las características mencionadas y descubre que el valor de mercado desciende a medida que aumenta la superficie cubierta expresada en pies cuadrados. Dado que este resultado no concuerda con la realidad, el analista cuestionaría la validez del modelo. Por otro lado, supóngase que el modelo es tal que el valor de las viviendas es una función creciente de cada una de las cuatro características citadas, como generalmente es de esperar. Si bien este resultado es alentador, no necesariamente implica que el modelo es una representación válida de la realidad, dado que la tasa de aumento de cada variable puede ser excesivamente alta o baja. La segunda etapa de la validación del modelo requiere una comparación de los resultados del modelo con los resultados obtenidos en la realidad.
1.2 OPTIMIZACIÓN La humanidad hace tiempo que busca, o profesa buscar, mejores maneras de realizar las tareas cotidianas de la vida. A lo largo de la historia de la humanidad, se puede observar la larga búsqueda de fuentes más efectivas de alimentos al comienzo y luego de materiales, energía y manejo del entorno físico. Sin embargo, relativamente tarde en la historia de la humanidad, comenzaron a formularse ciertas clases de preguntas generales de manera cuantitativa, primero en palabras y después en notaciones simbólicas. Un aspecto predominante de estas preguntas generales era la búsqueda de lo "mejor" o lo "óptimo". Generalmente, los gerentes buscan simplemente lograr alguna mejora en el nivel de rendimiento, es decir, un problema de "búsqueda de objetivo". Cabe destacar que estas palabras normalmente no tienen un significado preciso Se han realizado grandes esfuerzos por describir complejas situaciones humanas y sociales. Para tener significado, esto debería escribirse en una expresión matemática que contenga una o más variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula, en términos generales, es qué valores deberían tener estas variables para que la expresión matemática tenga el mayor valor numérico posible (maximización) o el menor valor numérico posible (minimización). A este proceso general de maximización o minimización se lo denomina optimización.
La optimización, también denominada programación matemática, sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor producción o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la manera más eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes de software para resolver problemas de optimización. Por ejemplo, LINDO o WinQSB resuelven modelos de programas lineales y LINGO, MATLAB y What'sBest! resuelven problemas lineales y no lineales. 1.2.1 Objetivo de la Optimización La Programación Matemática, en general, aborda el problema de determinar asignaciones óptimas de recursos limitados para cumplir un objetivo dado. El objetivo debe representar la meta del decisor. Los recursos pueden corresponder, por ejemplo, a personas, materiales, dinero o terrenos. Entre todas las asignaciones de recursos admisibles, queremos encontrar la/s que maximiza/n o minimiza/n alguna cantidad numérica tal como ganancias o costos. El objetivo de la optimización global es encontrar la mejor solución de modelos de decisiones difíciles, frente a las múltiples soluciones locales. Optimizar es sinónimo de buscar lo mejor, también alcanzar la ganancia máxima o tener la pérdida mínima. El hombre a lo largo de su historia ha intentado siempre proyectarse hacia la cumbre o alcanzar el éxito en sus actividades, sean estas empresariales, científicas o políticas. En todas ellas las técnicas de optimización han formalizado y cuantificado, mediante procedimientos matemáticos, la forma de alcanzar lo mejor en una circunstancia o problema bien definido. El objetivo de la optimización es por lo tanto, seleccionar la mejor decisión posible para un conjunto dado de circunstancias sin tener que enumerar todas las posibilidades. En los años recientes el asunto de optimización ha madurado y se ha usado ampliamente en numerosas aplicaciones, por ejemplo, las operaciones de refinación de petróleo, las rutas para la aviación comercial, mezclado de alimentos y trayectorias de proyectiles. Los métodos de optimización aprovechan la ventaja de la estructura matemática del problema para encontrar los mejores valores más eficazmente; y el tamaño de los problemas a resolver han seguido el crecimiento en la capacidad de la computadora, sobre todo en el caso de programación lineal.
1.3
OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS
La optimización de procesos consiste en encontrar un valor óptimo (el mejor según el criterio aplicado) para una función dada o condiciones óptimas para un proceso dado. En tal sentido la optimización de procesos abarca el diseño óptimo incluyendo la selección de la mejor alternativa entre varias opciones de diseño y la operación óptima del proceso, en donde se busaca las condiciones de operación que den el mejor resultado según el criterio de medida de la bondad del proceso. En ambos casos, antes de que un óptimo sea determinado correctamente, debemos seleccionar un criterio de optimización. Este puede ser una variable del proceso, tal como, el rendimiento de un producto por unidad de volumen de reactor, el costo mínimo de producción, etc Sobre la base del criterio de optimización, se desarrolla luego una función objetivo o función retorno la cual relaciona el criterio de optimización a los parámetros dominantes. La meta de la optimización es maximizar o minimizar la función objetivo, según el caso. El problema de optimización ocurre en los casos donde uno tiene que seleccionar entre dos o más características cuantitativas afectando las variables de proceso diferentemente una en contra de la otra. Por ejemplo, la eficiencia de proceso puede ser equilibrada en contra del rendimiento específico, calidad en contra de la cantidad, inventario de productos en contra de su ventas, productividad en contra de gastos, etc. Con respecto a los procesos automáticamente controlados o los sistemas, la optimización es considerada como consistente en dos etapas, estática y dinámica. La optimización estática tiene como su meta desarrollar y realizar un modelo optimo para el proceso en cuestión. La optimización dinámica busca el desarrollar y realizar sistema optimo de control para el proceso. Dependiendo de la naturaleza de los modelos matemáticos elegidos, pueden ser usados diferentes métodos de optimización matemática. Muchos de ellos buscan maximizar o minimizar la función objetivo. .
1.4 FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Como se ha visto anteriormente son requeridos tres componentes básicos para optimizar un proceso industrial: Un modelo matemático del proceso, un modelo económico del proceso y un procedimiento de optimización. También, las restricciones en los materiales, equipo de proceso, mano de obra, etc. debe satisfacerse según lo especificado en el modelo del proceso. La Fig. 1-1 es un diagrama que ayuda situar la práctica industrial en perspectiva relacionando el proceso y modelos económicos y los dos niveles de optimización. La
optimización de planta encuentra las mejores condiciones de operación para una planta compuesta de unidades de proceso que fabrican cantidades especificadas de varios productos para aumentar al máximo las ganancias de la compañía dentro de las restricciones establecidas por la disponibilidad de materias primas y cómo estas materias primas pueden transformarse en la planta. La optimización de la planta usualmente aproxima las unidades individuales del proceso en una manera relativamente simple para obtener una respuesta satisfactoria en un tiempo razonable. Esto requiere que las condiciones óptimas de operación de las unidades individuales de proceso sean conocidas, y estos resultados ser usados en la optimización de la planta para tener la operación de la planta con el máximo beneficio. Así mismo, debido a la complejidad de las grandes plantas industriales, los modelos individuales del proceso normalmente son simplificados usando las ecuaciones de la simulación para mantener los esfuerzos de programación por computadora y los costos de computación en un nivel razonable. Sin embargo, con las unidades individuales de proceso es posible usar modelos más detallados para determinar más precisamente las condiciones de operación óptimas, por ejemplo, temperaturas, presiones, razones de reciclo, etc. para tener el costo de operación mínimo conocido como una función de estas variables.
Fig. 1-1 Diagrama simplificado de la practica Industrial para la Optimización de Plantas y procesos Como se muestra en la Fig. 1-1, las ecuaciones de simulación son obtenidas de los modelos del proceso (ver Modelamiento y Simulación de Procesos del mismo autor). El
procedimiento es para desarrollar modelos precisos basados en los fundamentos de termodinámica, cinética y fenómenos de transporte. Esto normalmente conduce a modelos de procesos los cuales representan con precisión los cambios físicos y químicos que toman lugar sobre una gama amplia de condiciones. Sin embargo, estos modelos usualmente son más complicados en la forma matemática y pueden requerir la solución de ecuaciones diferenciales. Consecuentemente, estos modelos de procesos son usualmente empleados sobre el rango de operación del proceso, y es desarrollada la simulación (regresión) de las ecuaciones de una forma matemática simplificada, la cual es entonces usada con el método de optimización para la optimización de la planta. Sin embargo, puede no ser necesario pasar por la etapa de simulación de las ecuaciones si la ecuación que describe las principales variables, es decir, las únicas que afectan la operación económica del proceso o la planta, no es complicada. Aún cuando la optimización abarca diferentes campos, consideremos el caso de un proceso industrial en el cual el objetivo es maximizar las utilidades, para lo cual partiendo de que: Utilidades = Ventas – Costos de operación (1.1) Como nuestro objetivo es maximizar los costos, la ecuación, Ec. (1.1) será nuestra función objetivo. Considerando que en el proceso productivo solamente se puede manejar las variables relacionadas a los costos de operación, los cuales son el principal componente de costos, podemos formular una función que describa los costos de operación y ahora nuestra función objetivo en forma simplificada será: Costo total de operación = Costo de materia prima + Costo de inversión (1.2) o CT = C 1 + C 2 (1.2b) C1 = Costo de materia prima C2= Costo de inversión De la Ec. (1.1), podemos ver que minimizando los costos se maximiza las utilidades, por lo que nuestro problema se transforma en este caso a un problema de encontrar el costo mínimo (minimización) Cabe indicar que generalmente existen otros componentes costos de operación adicionales a los indicados en la Ec. (1.2). Para ilustrar las consideraciones dadas veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.1 Se desea producir 100 gmol de R por hora a partir de una alimentación que consiste de una solución saturada de A (CAo= 0,1 gmol/lit.). La reacción es la siguiente: A ------------ R rR = 0,2 CA
(k = 0,2 hr -1)
y debe tener lugar en un reactor CSTR (Reactor continuo tipo tanque agitado) DATOS: -
El costo de reactante a la concentración dada es $0.50/gmol de A
-
El costo de un reactor CSTR incluyendo instalación como auxiliares e instrumentación es $ 0,01 /h-lit
Qué tamaño de reactor, caudal de alimentación y conversión se deben usar en una operación óptima? Cuál es el costo unitario de R? SOLUCION En este caso las variables que podemos usar para modelar el proceso son: la conversión (x), el caudal de alimentación (FA), la concentración de entrada (CAo), la concentración de salida (CA) y el volumen del reactor (V), el tiempo espacial ()o velocidad espacial (sv), pero debemos considerar que unas son el producto de la relación entre variables, así la concentración de salida puede describirse en términos de la concentración de entrada y la conversión, el tiempo espacial y la velocidad espacial en términos del caudal de alimentación y el volumen del reactor, etc. a) Fijamos el factor a optimar: la conversión (x) b) Debemos encontrar un modelo o modelos que relacionen el factor a optimar con los componentes de costos. -
El costo de materia prima (C1) estará dado por: C1 = gmol de A x Costo por grmol de A Por modelamiento matemático: grmol de A = R/x
-
Costo de inversión (C2)está dado por:
C2 = V x Costo por unidad de volumen del reactor Por modelamiento matemático partiendo de la ecuación de balance de materiales para un CSTR obtenemos:
A menudo, la tarea más difícil es obtener un modelo satisfactorio del proceso. Para una mayor discusión ver el texto sobre Modelamiento y Simulacion de Procesos del mismo autor Reemplazando los componentes del costo total en la Ec. (1.2b) se tiene:
(1.3) La Ec. (1.3) es la función objetivo para el problema 1.1. El siguiente paso es seleccionarse un procedimiento de optimización qué localice el valor de la conversión para obtener el costo mínimo. Estos procedimientos se listan en el punto siguiente.
1.5
ÁREAS Y MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN
Las dos áreas de la teoría de optimización son la programación matemática y los métodos variacionales, como se muestra en la Fig. 1-2. Así mismo, son listadas un número de técnicas bajo cada una de éstas áreas. En la programación matemática, el objetivo es localizar un mejor punto x (x1,x2,...xn) el cual optimice (maximice o minimice) el modelo económico del proceso. En los métodos variacionales, el objetivo es localizar la función óptima la cual maximice o minimice el modelo económico. Un ejemplo de un problema de optimización para cada división es dado en la figura. Generalmente, los métodos de programación matemática son aplicables a problemas del estado estacionario, y los métodos variacionales son para problemas dinámicos. Los métodos de programación matemática son de dos tipos y son referidos como métodos directos e indirectos. Los métodos directos, como los métodos de búsqueda multivariable y la programación lineal, van de un punto de partida a través de valores consistentemente mejorados del modelo económico para llegar al óptimo. Los métodos indirectos, tal como los métodos analíticos y programación lineal, resuelven un conjunto de ecuaciones, y la solución del conjunto de ecuaciones puede ser el óptimo del modelo
económico. Por ejemplo, en los métodos analíticos el conjunto de ecuaciones algebraicas se establece por diferenciación del modelo económico con respecto a cada variable independiente y haciendo las ecuaciones resultantes igual a cero. Los métodos analíticos se llaman también la teoría clásica de máximos y mínimos que se preocupan por encontrar los puntos extremos de una función. Este tema se discute en el Capítulo 2 para problemas de optimización con restricciones o sin restricciones. Como una aplicación de la teoría clásica de máximos y mínimos se estudia la optimización de plantas en el Capítulo 3. En este punto, la optimización será de gran ayuda para planificar la producción de unidades individuales de proceso y de la planta en su conjunto. Al aplicar las técnicas de optimización se obtiene una serie de resultados, los cuales deben ser analizados para tomar la mejor decisión considerando los aspectos prácticos e intangibles de cada caso particular. Esto se discute en el Capítulo 4. La programación lineal requiere que el modelo económico y el juego de ecuaciones de restricción sean lineales, y el Método Simplex es el algoritmo que localiza el óptimo empezando en un punto de partida factible (la base inicialmente factible) como se discute en el Capítulo 5. La programación geométrica puede ser considerada una extensión de los métodos analíticos dónde el modelo económico y las restricciones son los polinomios, y se construye un problema dual que puede ser significativamente más fácil de optimizar que el problema original o primitivo. En la programación cuadrática, el modelo económico es una ecuación cuadrática y las ecuaciones de restricción son lineales. Usando métodos analíticos, este problema puede convertirse a un problema de programación lineal y puede resolverse por el Método Simplex. Para la programación convexa, el modelo económico es una función cóncava, y las ecuaciones de restricción son funciones convexas, y puede considerarse como parte de los métodos analíticos generales y muestra que debe ser localizado un óptimo global. La programación dinámica usa una serie de optimizaciones parciales aprovechando la fase de la estructura del problema y es eficaz para la asignación del recurso y optimización a través del tiempo como es discutido en el Capítulo 7. La programación no lineal o métodos de búsqueda multivariable, como son llamados la teoría y los algoritmos, deben comenzar en un punto de inicio factible y moverse hacia el óptimo en etapas de valores mejorados del modelo económico. El algoritmo descrito en el Capítulo 6 ha sido efectivo para la optimización de procesos industriales, y está basado en la teoría del Capítulo 2.
Programación Matemática
Métodos Variacionales
Objetivo: Encontrar el mejor punto que optimice al modelo económico. Ejemplo: Condiciones de operación optimas para una refinería de petróleo. Formulación Matemática:
Objetivo: Encontrar la mejor función que optimice al modelo económico. Ejemplo: Mejor perfil de temperatura que maximice la conversión en un reactor tubular químico. Formulación Matemática:
Optimizar: y(x) Sujeta a: f i(x) > 0 i = 1,2,...m donde x = (x1,x2...xn) Métodos Métodos Analíticos Programación Lineal Programación Geométrica Programación Cuadrática Programación Convexa Programación Dinámica (Discreta) Programación no Lineal o Métodos de búsqueda multivariable Programación Entera Programación Separable Programación de Objetivo u Optimización Multicriterio Programación Combinatorial (Discreta) Programación Heurística
Optimizar: I [y(x)] = I F[y(x),y'(x)]dx Sujeta a: Ecuaciones de restricciones algebraicas, integrales o diferenciales. Métodos Cálculo de Variaciones Programación Dinámica (Continua) Principio del Máximo (Continuo)
Fig. 1.2 Áreas y métodos de Optimización La programación entera es una extensión de la programación lineal donde las variables deben tomar valores discretos, y un texto sobre este tópico es dado por Taha(5). La programación separable es una extensión de la programación lineal donde un pequeño número de restricciones no lineales son aproximadas por funciones lineales por etapas. Si embargo, las funciones no lineales deben tener la forma que estas puedan ser separadas en sumas y diferencias de funciones no lineales de una variable, y el código IBM MPSX (6) es capaz de resolver estos problemas. La programación en base a objetos también es una extensión de la programación lineal donde objetivos (o metas) múltiples, contrapuestos son optimizados usando pesos
o clasificaciones jerárquicas, y esta técnica es descrita por Ignizio(7). La programación combinatorial ha sido descrita por Popadimitriou y Steiglitz(1) como un campo de conocimiento de la programación matemática incluyendo programación lineal y entera, gráficos y flujos de red, programación dinámica y temas relacionados. El principio máximo es comparable a la programación dinámica en el uso de las estructuras por etapas del sistema, pero usan restricciones derivadas que requiere fragmentos de funciones continuamente diferenciables y aproximaciones sucesivas(2). Finalmente, el término programación heurística ha sido usado para describir métodos cortos (“rules-of-thumb”) que pueden ser usados para aproximaciones a optimización. En la discusión de los diferentes tópicos sobre optimización, al modelo económico se le ha dado varios nombres diferentes. Estos nombres surgen de la literatura a medida que los procedimientos de optimización fueron siendo desarrollados. Indiferente al nombre, el modelo económico es la ecuación la cual expresa el retorno económico del proceso para los valores especificados de las variables de control (manipuladas, o independientes). Los dos nombres más comunes son la función de beneficio o la función de costo. Sin embrago, en programación lineal se usa el término función objetivo, y en programación dinámica se emplea el término función de retorno. Otros nombres sinónimos son: función beneficio, criterio, medida de la efectividad y respuesta de superficie.
1.6
MÉTODO DE ATAQUE
En la solución de problemas de optimización, la estructura y complejidad de las ecuaciones para el modelo económico y las restricciones para el proceso o planta son muy importantes, ya que la mayoría de procedimientos de programación matemática se aprovechan de la ventaja de la forma matemática de estos modelos. Ejemplos son la programación lineal, donde el total de ecuaciones deben ser lineales, y la programación geométrica, donde todas las ecuaciones deben ser polinomios. Consecuentemente, es extremadamente importante, tener en mente la capacidad de las diferentes técnicas de optimización cuando se están formulando los modelos económicos y de los procesos. Por ejemplo, si una representación satisfactoria de la economía y la operación del proceso pueden ser obtenidas usando solamente ecuaciones lineales, puede aplicarse la poderosa técnica de programación lineal, y este método garantiza que se encuentra el óptimo global. Sin embargo, si se tiene que acudir a las ecuaciones no lineales para representar la economía y la operación del proceso, puede ser necesario usar un método de búsqueda multivariable para localizar el optimo. Desafortunadamente, estas técnicas de búsqueda solamente encuentran puntos que están bien cerca del punto de partida, y ello no acarrea ninguna garantía de que se haya encontrado el máximo o mínimo global o local.
La Fig. 1.3, muestra una aproximación simplificada a como enfocar los problemas de optimización, y esta incorpora algunas ideas las cuales deben recordarse cuando sean estudiadas las técnicas particulares de optimización. También, esta da algunas razones para el orden en el cual son presentadas las técnicas. Al inicio, es necesario determinar si el problema requiere un punto óptimo o función. Si es un punto, es aplicable la programación matemática; y si es una función óptima, los métodos variacionales. Continuando con la programación matemática. Si la ecuación para el modelo económico es relativamente simple y no hay restricciones aplicables (modelo del proceso), es posible localizar el óptimo por diferenciación del modelo económico con respecto a las variables independientes, haciendo estas ecuaciones iguales a cero, y resolviendo para el óptimo. Sin embargo, si existen restricciones, y normalmente las hay, pero las ecuaciones son relativamente simples, puede ser usado el método de los multiplicadores de Lagrange. Esto convierte al problema con restricciones a un problema sin restricciones, y puede usarse los procedimientos previos para problemas sin restricciones.
Fig. 1.3 Método de Ataque Simplificado para Problemas de Optimización Ahora, si el problema tiene un número grande de variables independientes y la precisión necesaria para los modelos económicos y del proceso pueden ser obtenidos con ecuaciones lineales, puede ser usada la programación lineal. Sin embargo, si se requieren ecuaciones no lineales y los polinomios son suficientes, puede ser posible determinar el
óptimo rápida y fácilmente usando programación geométrica (1). No habiendo tenido éxito a este punto, puede ser factible aprovecharse la de la etapa de estructura del problema y aplicar la programación dinámica con una serie de optimizaciones parciales. Sin embargo, si no se tiene éxito será necesario acudir a técnicas de búsqueda multivariable y buscar los mejores valores sin tener una garantía de encontrar el óptimo global.
1.7
DISEÑO OPTIMO Y ESTRATEGIAS DE DISEÑO
Un diseño óptimo está basado en las mejores y más favorables condiciones. En casi la mayoría de los casos, estas condiciones optimas pueden finalmente reducirse a consideraciones de costos o beneficios. De esta manera, un diseño óptimo podría basarse en condiciones que den el menor costo por unidad de tiempo o el máximo beneficio por unidad de producción. Cuando se cambia una variable de diseño, a menudo se encuentra que unos costos aumentan mientras que otros disminuyen. Bajo estas condiciones, el costo total puede pasar a un mínimo o a un valor particular de la variable de diseño, y este valor podría considerarse como el óptimo.
Fig. 1-4 Ilustración del principio básico de un diseño óptimo Un ejemplo ilustrando los principios de un diseño económico óptimo se presenta en la Fig. 1-4. En este caso simple, el problema es determinar el espesor óptimo de aislamiento para una instalación de tubería dada. A medida que el espesor de aislamiento se incrementa, los costos fijos anuales incrementan, el costo por pérdidas de calor disminuye, y los demás costos permanecen constantes. Entonces, como se muestra en la Fig. 1-4, la suma de los costos debe ser mínima para el espesor óptimo de aislamiento.
Aun cuando las consideraciones de costos y los balances económicos son la base de la mayoría de los diseños óptimos, hay situaciones donde otros factores diferentes a los costos pueden determinar las condiciones más favorables. Por ejemplo en la operación de un reactor catalítico, una temperatura de operación óptima puede existir para cada tamaño de reactor debido a las limitaciones de equilibrio y velocidad de reacción. Esta temperatura particular podría estar basada en el máximo porcentaje de conversión o en la máxima cantidad de producto por unidad de tiempo. Finalmente, sin embargo, los costos variables deben ser considerados, y el desarrollo de un diseño óptimo de operación es meramente una etapa en la determinación de un diseño económico óptimo. 1.7.1
Costos incrementales
El aspecto de costos increméntales es cubierto en detalle en el texto de Ingeniería Económica del mismo autor, Cáp. 7 (Rentabilidad, inversiones alternativas y reemplazos). Las consideraciones sobre costos increméntales muestran que un diseño final recomendable no necesariamente corresponde al diseño económico óptimo, debido a que el retorno incremental sobre la inversión adicional puede ser inaceptable antes de que se alcance el punto óptimo.[1] Sin embargo los valores óptimos pueden usarse como una base para iniciar el análisis del costo incremental. 1.7.2
Consideraciones intangibles y prácticas
Los diferentes métodos matemáticos para determinar las condiciones óptimas, son presentadas en este texto, presentando una base teórica de las condiciones que mejoren los requerimientos. Sin embargo, factores que no pueden ser fácilmente cuantificados o consideraciones prácticas pueden cambiar la recomendación final a otra diferente de la condición óptima teóricamente correcta. Por lo tanto, la determinación de una “condición óptima”, como se describe en este texto, sirve como un punto base para un análisis de costo o diseño, y esto puede a menudo cuantificarse en una forma matemática especifica. A partir de este punto, el ingeniero debe aplicar su criterio para tomar en cuenta otros factores prácticos importantes, tales como el retorno sobre la inversión o el hecho que equipo comercial es a menudo disponible en intervalos discretos de tamaño. Como un ejemplo de consideraciones prácticas, considerar el caso donde un ingeniero ha hecho una estimación del diámetro óptimo de tubería necesaria para manipular un flujo dado basándose en minimizar los costos debido a las cargas fijas (inversión inicial) y de bombeo (costo de operación). El resultado matemático muestra que el diámetro interior optimo es 2,54 pulg. Basándose en los costos para tubería estándar de acero (# de cédula 40). Los diámetros nominales de tubería disponibles comercialmente en este rango son 2½ pulg. (de ID 2,469 pulg.) y 3 pulg. (de ID 3,069 pulg.). El ingeniero podría probablemente recomendar inmediatamente una tubería de diámetro nominal de 2 ½ pulg. sin calcular el retorno sobre la inversión de los diferentes tamaños disponibles. Esta aproximación podría normalmente ser aceptable porque las estimaciones están necesariamente incluidas en los cálculos de optimización y por el hecho que una inversión para tubería representa solamente una pequeña porción de la inversión total. Los factores intangibles pueden tener un efecto sobre el grado de credibilidad que
pueden tener los resultados calculados para las condiciones optimas. Quizás el optimo esté basado en un precio de venta asumido para el producto del proceso, o puede ser que este involucrada una evaluación preliminar en la cual no se ha definido con seguridad la ubicación de la planta. Obviamente para casos de este tipo, un análisis de las condiciones optimas pueden dar solamente una idea general de los resultados actuales que podrían ser obtenidos en el trabajo final, y no es razonable ir a los limites extremos de precisión y exactitud para hacer recomendaciones. Aún para el caso de un diseño final detallado, los intangibles, tal como la licitación final de varios contratistas para la construcción, pueda hacerlo no práctico gastar una cantidad grande de esfuerzo haciendo demasiados refinamientos en la estimación de condiciones optimas
1.8
PROCEDIMIENTO GENERAL PARA DETERMINAR LAS CONDICIONES OPTIMAS
El primer paso en el desarrollo de un diseño óptimo es determinar que factores deben ser optimizados. Factores típicos podrían ser el costo total por unidad de producción o por unidad de tiempo, beneficios, cantidad de producto final por unidad de tiempo, y porcentaje de conversión. Una vez determinada la base, es necesario desarrollar relaciones mostrando como las diferentes variables involucradas afectan al factor escogido. Finalmente estas relaciones son combinadas gráficamente, analíticamente o numéricamente para dar las condiciones optimas deseadas. Los métodos analíticos usados para combinar estas relaciones, y encontrar las soluciones son: Maximización y minimización, programación geométrica, programación lineal, técnicas de búsqueda de variables simples, procedimientos de optimización de multivariable, programación dinámica y cálculo de variaciones. En los siguientes capítulos se hará una breve discusión sobre estas técnicas analíticas, su aplicación a procesos y la aplicación a los mismos de las técnicas numéricas usando MATLAB para encontrar la mejor solución.
1.9 SUMARIO Este capítulo ha presentado una discusión breve del fondo histórico de optimización. También se describió la relación de proceso y optimización de la planta en términos de usar las ecuaciones de simulación y tamaño del problema. Los temas en las áreas de programación matemática y métodos de variaciones fueron diagramados, y un método simplificado de ataque fue descrito para dar un poco de perspectiva sobre los diferentes métodos y como ellos se estudian. El próximo capítulo repasa métodos analíticos y conjuntos de etapas para las técnicas más modernas.
1.10
REFERENCIAS
1. Wilde, D.J., Globally Optimal Design, John Wiley and Sons, Inc., New York (1978). 2.
Wilde, D.J. and C.S. Beightler, Foundations of Optimization, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1967).
3.
Hancock, Harris, Theory of Maxima and Minima, Dover Publications, Inc., New York (1960).
4.
Dantzig, G.B., Linear Programming and Extensions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1963).
5.
Taha, H.H., Integer Prograsmming: Theory, Applications and Computations, Academic Press, New York (1975).
6.
IBM Mathemcatical Programming Systems Extended/370 (MPSX/370) Program Reference Manual, Fourth Edition, SH19-1095-3, IBM Corporation, White Plains, New York (December, 1979).
7.
Ignizio, J.P., Linear Programming in Single- and Multiple-Objective Systems, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1982).
8. Papadimitriou, C.H., and K. Steiglitz, Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1982).
[1] Ver “Ingeniería Económica” del mismo autor, Fig. 7-2 y las discusiones relacionadas en el Cáp. 7. El material presentado en el presente capítulo considera el diseño óptimo basado en un valor máximo o mínimo de la variable especificada. El mismo tipo de aproximación podría usarse si el término óptimo (referido a una inversión) fuese definido sobre la base de un retorno incremental estipulado.
CAPITULO II
TEORÍA CLÁSICA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 2.1 INTRODUCCIÓN La teoría clásica de máximos y mínimos (métodos analíticos) se preocupa por encontrar el máximo o mínimo, es decir los puntos extremos de una función. Nosotros buscamos para encontrar los valores de las n variables independientes x 1,x2,...xn de una función donde esta alcance los puntos máximo o mínimo. Antes de comenzar con el desarrollo de la matemática para localizar estos puntos extremos, de una función, permítanos examinar la superficie de una función de dos variables independientes, f (x1, x2), que podrían representar al modelo económico de un proceso. Esto ayudará a visualizar la localización de los puntos extremos. Un modelo económico es ilustrado en la Fig. 2-1(a) donde el contorno de la función esta representado por las líneas curvas Una sección transversal de la función a lo largo de la línea S a través de los puntos A y B se muestra en Fig. 2-1(b). La Fig. 2-1(c) se da la primera derivada de f (x1, x2) a lo largo de la línea S a través de los puntos A y B.
a) Mapa topológico
b) Sección transversal de f (x1 , x2) a lo largo de la línea S entre los puntos A y B
c) Primera derivada de f a lo largo de la línea S entre los puntos A y B Fig. 2-1 (a), (b) y (c) En este ejemplo, el punto A es un máximo global en la región y está localizado en el tope de una cresta pronunciada. Aquí la primera derivada es discontinua. Un segundo pero pequeño máximo esta localizado en el punto B (un máximo local). En el punto B las primeras derivadas parciales de f (x1, x2) son cero, y B es llamado un punto estacionario. No es necesario para puntos estacionarios ser un máximo o un mínimo como es ilustrado por el punto estacionario C, un punto silla. En este ejemplo, el mínimo no ocurre en el interior de la región, pero sobre los limites en los puntos D y E (mínimos locales). Para determinar el mínimo global, es necesario comparar el valor de la función en estos puntos. En esencia, el problema de determinar el beneficio máximo o el costo mínimo para un sistema usando la teoría clásica deviene en localizar todos los máximos o mínimos locales, y luego comparando los valores individuales, para determinar el máximo ó mínimo global. El ejemplo ha ilustrado para ver los lugares donde están: 1.
los puntos estacionarios (primeras derivadas son cero)
2.
los límites
3.
las discontinuidades en la primera derivada
Cuando la función y sus derivadas son continuas, los puntos extremos locales ocurrirán a los puntos estacionarios en el interior de la región. Sin embargo, no es necesario que todos los puntos estacionarios sean puntos extremos locales, desde que también pueden ocurrir los puntos de silla.
2.2 2.2.1
MÉTODOS ANALÍTICOS SIN RESTRICCIONES
Condiciones necesarias y Suficientes para determinar puntos extremos
Basándonos en la intuición geométrica a partir del ejemplo previo, podemos entender el famoso teorema de Weierstrass' (11,12) el cual garantiza la existencia de máximos y mínimos. Este establece: Cualquier función la cual es continua en un dominio cerrado posee un valor máximo y un valor mínimo ya sea en el interior o en los limites del dominio. Este teorema nos dice que no se requiere que la función tenga derivadas continuas para que exista un máximo o un mínimo. El siguiente teorema ubica los puntos extremos en el interior de la región explorada. Una función continua de n variables alcanza un máximo o un mínimo en el interior de una región, solo en los valores de las variables para los cuales las n derivadas parciales son iguales a cero simultáneamente (puntos estacionarios), o en puntos en los cuales una o más de estas derivadas no existe (es decir es discontinua). Este teorema incluye solo los puntos interiores; el único método por lo general aplicable que toma en cuenta el contorno y discontinuidades, es el de comparar directamente el valor de la función en cada uno de estos puntos. Analíticamente, los puntos estacionarios se pueden encontrar resolviendo en forma simultánea las n ecuaciones algebraicas, resultantes de hacer las n derivadas parciales igual a cero. Estas ecuaciones también se deben examinar para determinar los puntos en donde existan discontinuidades, realizándose esto por inspección. 2.2.2
Evaluación de Máximo y Mínimo Local (Condiciones Suficientes)
Como se ha visto, no es necesario que todos los puntos estacionarios sean máximos o mínimos locales, ya que puede haber puntos de inflexión o puntos de montura. Se debe desarrollar las condiciones que permitan determinar el tipo de punto estacionario, es decir, si es máximo o mínimo. Se desarrollarán las condiciones suficientes para los casos de una, dos y n variables independientes. Una vez localizados los máximos y mínimos locales, es necesario comparar individualmente cada punto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos. 2.2.3
Condiciones Suficientes para Una Variable Independiente
Para desarrollar el criterio que establece si un punto estacionario es un máximo o mínimo local, empezamos realizando una expansión por serie de Taylor alrededor del punto estacionario xo. f (x) = f (xo) + f '(xo) (x - xo) + ½ f ''(xo) (x - xo)2 + términos de alto orden , donde
Se sabe que f '(xo) = 0 por definición del punto estacionario. Ahora, seleccionamos x suficientemente cerca de xo de manera que los términos de orden superior a f ''(xo) sean despreciables comparados a los términos de segundo orden. Como la primera derivada es cero en el punto estacionario, la ecuación anterior se transforma en: f (x) = f (xo) + ½ f " (xo) (x - xo)
(2-1)
Nosotros podemos determinar si xo es un máximo o mínimo local examinando los valores de f "(xo), ya que (x - xo)2 es siempre positivo. Si f "(xo) es positivo, entonces los términos ½ f "(xo) (x - xo)2 serán siempre adicionados a f (xo) en la Ec. (2-1) para que x tome valores que sean menores que el mayor valor de xo. Para este caso f (xo) es un mínimo local. Esto es resumido a continuación: ___________________________________________________________ Si
f ''(xo) > 0
entonces f (xo) es un mínimo
f ''(xo) < 0
f (xo) es un máximo
f ''(xo) = 0 no esta definido ______________________________________________________________ Si la segunda derivada evaluada en xo es cero, es necesario examinar las derivadas de más alto orden. En general si f ''(xo) = ... = f n-1(xo) = 0, la serie de expansión de Taylor deviene en f (x) = f (xo) +(1/n!) f (n)(xo) (x - xo)n
(2-2)
Si n es par, entonces (x - xo)n es siempre positivo, y el resultado es: ________________________________________________________________ Si f (n)(xo) > 0 entonces f (xo) es un mínimo f (n)(xo) < 0 f (xo) es un máximo ________________________________________________________________ Si n es impar entonces (x - xo)n cambia de signo a medida que x se mueve de x < xo hasta x > xo, y entonces es un punto de inflexión. Estos resultados pueden ser resumidos en el siguiente teorema(1). Si a un punto estacionario la primera y posiblemente algunas de las derivadas más altas desaparecen, entonces el punto es o no es un punto extremo, mientras la primera derivada no desaparezca las demás pueden ser de orden par o impar. Si es par, es un máximo o un mínimo según como la derivada sea negativa o positiva.
La prueba de este teorema sigue la discusión dada anteriormente. El ejemplo siguiente ilustra los principios discutidos. Ejemplo 2-1 Localizar los puntos extremos de las dos funciones siguientes: a) f (x) = x4/4 - x2/2 f '(x) = x3 - x = x(x2 - 1) = x(x - 1)(x+1) = 0 Los puntos estacionarios son x = 0, 1, -1 f "(x) = 3x2 - 1 f "(0) = -1 maximo f "(1) = 2 minimo f "(-1) = 2 minimo b) f (x) = x5 f '(x) = 5x4 = 0 El punto estacionario es x = 0 f "(x) = 20x3
f "(0) = 0
f "'(x) = 60x2
f "'(0) = 0 no puede hacerse ninguna declaración
f (4)(x) = 120x f (5)(x) = 120 un punto de inflexión.
2.2.4
f (4)(0) = 0 f (5)(0) = 120 no es impar, y el punto estacionario es
Condiciones Suficientes para Dos Variables Independientes
Para desarrollar el criterio para el máximo o mínimo local para un punto estacionario xo(x10, x20) de una función de dos variables, puede hacerse una expansión por serie de Taylor alrededor de este punto. f (x1, x2) = f (x10, x20) + f 'x 1 (x1-x10) + f 'x 2 (x2-x20) + ½[f ''x1 x1 (x1-x10)2 + 2f ''x1 x2 (x1-x10)(x2-x20) (2-3)
+ f ''x2 x2 (x2-x20)2] + términos de alto orden donde los subíndice x1 y x2 indican diferenciación parcial con respecto a estas variables y evaluación en el punto estacionario. Nuevamente seleccionando f (x1, x2) suficientemente cerca a f (x10, x20) de tal manera que los términos de alto orden se hacen despreciables comparados a los términos de segundo orden. Así mismo, las primeras derivadas son cero en el punto estacionario. Entonces la Ec.(2-3) puede ser escrita en forma matricial como:
En notación matriz-vector la ecuación anterior puede ser escrita como f (x) = f (xo) + ½[(x - xo)T Ho (x - xo)] (2-5) donde Ho es la matriz de las segundas derivadas parciales evaluadas en el punto estacionario xo y es llamada matriz Hessiana. El término entre corchetes de la Ec. (2-5) es llamado una forma diferencial cuadrática, y f (xo) será un mínimo o un máximo de acuerdo si este término sea siempre positivo o siempre negativo. Basado en este concepto, puede mostrarse (1) que si se aplican los siguientes resultados xo es un máximo o un mínimo. Si ellos no se dan, xo puede ser un punto de silla y este no es un mínimo ni un máximo.
Una ilustración de los resultados anteriores se da en ejemplo 2-2. El término entre corchetes de la Ec. (2-5) es un ejemplo de una forma cuadrática. Será necesario describir una forma cuadrática brevemente antes de dar las condiciones suficientes para los máximos y mínimos para las n variables independientes. 2.2.5
Señal de una Forma Cuadrática
Para realizar un análisis similar para una función con más de dos variables
independientes, es necesario determinar lo que se llama la señal de la forma cuadrática. La forma cuadrática general (1) es escrita como:
donde aij son los componentes de la matriz simetrica A, es decir, aij = aji. Resulta (1) que podemos determinar si Q siempre es positivo o negativo, para todo los valores finitos de xi y xj, evaluando las señales de Di, el determinante de las submatrices principales de A.
Los resultados importantes que se usarán subsecuentemente son:
Si
Di > 0 para i = 1,2,...n entonces: A es positivo definido y Q(A,x) > 0
Si
Di < 0 para i = 1,3... y Di > 0 para i = 2,4,...
Si
2.2.6
entonces: A es negativo definido y Q(A,x) < 0
Di es ninguno de estos, entonces: Q(A,x) y depende de los valores de xi y xj.
Condiciones suficientes para N Variables Independientes
El resultado de las dos secciones previas puede ser extendido al caso de n variables independientes considerando la expansión por la serie de Taylor para n variables independientes alrededor del punto estacionario xo:
Nuevamente seleccionando x suficientemente cerca a xo, así los términos de alto orden se hacen despreciables comparados a los términos de segundo orden. Así mismo, las primeras derivadas son cero en el punto estacionario. Entonces, la Ec. (2-8) puede ser
escrita en notación matriz-vector como: f (x) = y(xo) + ½(x - xo)T Ho (x-xo)
(2-9)
donde x es el vector columna de las variables independientes, y Ho, la matriz de las segundas derivadas parciales evaluadas en el punto estacionario xo, en la matriz Hessiana. Esta es la misma ecuación que la ecuación (2-5), la cual fue escrita para dos variables independientes.
El segundo término del lado derecho de la Ec. (2-9) es llamado una forma cuadrática diferencial como se muestra enseguida. Q[ Ho, (x-xo)] = (x-xo)T Ho (x-xo)
(2-11)
La Ec. (2-11) corresponde a la Ec. (2-6) de la sección previa, y las determinantes de las submatrices principales de Ho definidas a continuación corresponden a la Ec. (2-7).
Podemos ahora usar el mismo procedimiento en la evaluación del carácter de los puntos estacionarios para n variables independientes. Por ejemplo, si el término conteniendo la matriz Hessiana es siempre positivo para perturbaciones de las variables independientes alrededor del punto estacionario, entonces el punto estacionario es un mínimo local. Para esta forma diferencial cuadrática siempre será positivo, la |Ho| > 0 para i = 1,2,...n. El mismo razonamiento puede ser aplicado para el máximo local, y los resultados para estos dos casos son resumidos a continuación: y(xo) es un mínimo si
o
|H i| > 0 para i = 1,2,...,n
y(xo) es un máximo si
|Hoi| < 0 para i = 1,3,5,... | Hoi| > 0 i = 2,4,6,...
Si ocurren ceros en lugar de algunos números positivos o negativos en la prueba anterior (forma cuadrática semi-definida), entonces la información es insuficiente para
determinar el carácter del punto estacionario (1). Como se discute en Avriel (10) los términos de alto orden pueden ser examinados, o puede hacerse una exploración local. Si no se reúne la prueba (forma cuadrática indefinida), el punto puede ser un máximo o un mínimo (1). El teorema siguiente propuesto por Cooper (7) resume estos resultados. Este establece: Si y(x) y sus dos primeras derivadas parciales son continuas, entonces una condición suficiente para que y(x) tenga un mínimo (máximo) relativo at x o, cuando dy(xo)/dxj = 0, j = 1,2, ...n, es que la matriz Hessiana sea positiva definida (negativa definida). La prueba de este teorema emplea los argumentos similares a aquéllos dados anteriormente. 2.2.7
Aplicación al diseño de procesos
En los procesos industriales, son muchos los casos en los cuales el factor siendo optimizado es una función de una simple variable. El procedimiento entonces es muy simple. Considerar el ejemplo mostrado en la Fig. 1-4, donde es necesario obtener el espesor de aislamiento el cual de el menor costo total. La principal variable involucrada es el espesor del aislamiento, y pueden desarrollarse relaciones mostrando como esta variable afecta al costo total. Se dispone de costo para la adquisición e instalación de aislamiento, y puede estimarse el tiempo de vida del servicio. Entonces puede desarrollarse una relación dando el efecto del espesor de aislamiento sobre las cargas fijas, de manera similar se puede obtener una relación mostrando los costos debido a las pérdidas de calor como función del espesor de aislamiento, a partir del costo de vapor, propiedades del aislamiento y consideraciones de transferencia de calor. Los demás costos tales como mantenimiento y gastos de la planta, pueden asumirse independientes del espesor de aislamiento. Las dos relaciones de costos obtenidas pueden ser expresadas en una forma simplificada similar a la siguiente: Cargas fijas = (x) = ax + b
(a)
donde a, b, c, y d son constantes y x es la variable común (espesor de aislamiento) El método gráfico para determinar el espesor óptimo de aislamiento es mostrado en la Fig. 1-4. El espesor óptimo de aislamiento es encontrado en el punto del costo mínimo sobre la curva obtenida graficando los costos variables totales versus el espesor de aislamiento. La pendiente de la curva de costos variables totales es cero en el punto de espesor
óptimo de aislamiento. Luego usando la Ec. (c), se puede encontrar analíticamente el valor óptimo derivando el CT con respecto a x , igualando a cero y resolviendo para x.
Si el factor que se está optimizando (CT) no tiene un valor máximo o un mínimo, la solución para la variable independiente indicará esta condición dando un resultado imposible, tal como infinito, cero o la raíz cuadrada de u un número negativo. Para determinar si el valor de x mostrado en la Ec. (e) corresponde a un punto óptimo o a un punto de inflexión se aplica: Si la segunda derivada de la Ec. (c), evaluada en el punto dado, es mayor que cero corresponde a un mínimo, corresponde a un máximo si es menor que cero y corresponde a un punto de inflexión si es igual a cero. Un método alternativo para determinar el tipo de punto involucrado es calcular valores del factor siendo optimizado a puntos ligeramente grandes y ligeramente pequeños que el valor óptimo de la variable dependiente. La segunda derivada de la Ec. (c) es
Si x representa una variable tal como el espesor de aislamiento, este valor debe ser positivo; entonces, si c es positivo, la segunda derivada en el punto óptimo debe ser mayor que cero, y (c/a)1/2 representa el valor de x en el punto donde los costos variables totales son mínimos.
2.3 SOLUCIÓN NUMÉRICA El punto óptimo también se puede encontrar mediante métodos de búsqueda, así para el ejemplo 1.1, podemos realizar la búsqueda usando una hoja de cálculo, en este caso sabemos que la conversión debe variar entre 0 y 1, con lo cual tenemos:
Por una simple inspección podemos ver que el costo total es mínimo para la conversión de 0.5. Si deseamos podemos hacer otra búsqueda para la conversión entre 0.4 y 0.6 dando un menor valor para la variación de la conversión, y así sucesivamente podemos continuar la búsqueda para rangos mas cortos de la variable independiente. Este procedimiento de búsqueda se puede simplificar usando paquetes de cálculo disponibles en la actualidad. Uno de estos paquetes es MATLAB, el cual dispone de rutinas de optimización para funciones monovariables y multivariables, a la vez puede efectuarse la búsqueda dando un valor inicial de busqueda, dentro de ciertos límites y/o que el valor encontrado satisfaga ciertas condiciones (restricciones). A su vez el autor propone un simulador de uso general UNTSIM, escrito en el entorno MATLAB, el cual dentro de sus aplicaciones está la optimización de procesos.
2.3.1 Uso de MATLAB Ejemplo 1.1 En este caso la función objetivo es una función monovariable de la forma: f = 50/x + 50/(1– x)
y la restricción está en que la conversión debe estar entre 0 (no hay reaccción) y 1 (la conversión es total) 1. Escribimos la función costo en un archivo.m denominado costotot function f = costotot(x) f = (50/x) + 50/(1- x); 2. En la ventana pincipal escribimos la rutina de optimización correspondiente >> [x, fval] = fminbnd(@costotot,0,1) <----- 0 y 1 son los valores extremos del rango de búsqueda
Obteniendo la siguiente respuesta: x = 0.5000 fval =
200
<-------- Optimo de la variable <-------- Optimo de la función
2.3.2 Uso de UNTSIM Seleccionamos de menú principal: Optimización - Funciones con una variable - Mínimo en un intervalo fijo Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved OPTIMIZACION DE FUNCIONES MONOVARIABLES EN UN INTERVALO FIJO Ingrese función: '(50/x) + 50/(1- x)' <---- Ingresamos la función Intervalo de búsqueda Limite inferior: 0 Limite superior: 1 --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 0.5 2.- El optimo de la función es = 200 >>
Ejemplo 2-2 El diagrama de flujo de un proceso simple es mostrado en la Fig. (2-2) donde el hidrocarburo alimentado es mezclado con reciclo y comprimido antes de ser pasado a un reactor catalítico. El producto y el material no reaccionado son separados por destilación, y el material no reaccionado es reciclado. La presión, P, en psi y la razón de reciclo, R, deben ser seleccionadas para minimizar el costo total anual para la velocidad de producción requerida de 107 libras por año. La alimentación es realizada bajo presión a un costo anual de $1000P, mezclada con la corriente de reciclo, y alimentada al reactor a un costo anual de $4 x 109/PR. El producto es removido en un separador a un costo de $105R por año, y el material no reaccionado es reciclado con un compresor de recirculación el cual consume $1.5 x 105R anualmente. Determine la presión de operación, la relación de reciclo, y el costo anual óptimos, y demuestre que el costo es un mínimo.
Fig 2.2 Diagrama de flujo de un proceso simple, según Wilde(2) Solución analítica La ecuación que da el costo total de operación es: C ($/yr.) = 1000P + 4 x 109/ P R + 2.5 x 105R Derivando parcialmente la ecuación de C con respecto a P y R e igualando a cero se tienen dos ecuaciones algebraicas para ser resueltas para P y R. C/P = 1000 - 4 x 109 / R P2 = 0 C/R = 2.5 x 105 Resolviendo simultáneamente se tiene P = 1000 psi
y
-
4
x
109
/
P
R2
=
R=4
Reemplazando para determinar el correspondiente costo total de operación se tiene C = $ 3 x 106 por año
0
C (P,R) es un mínimo si
Efectuando la apropiada diferenciación parcial y evaluando en el punto estacionario ( P = 1000, R = 4) se tiene
Por lo tanto, el punto estacionario es un mínimo ya que ambas determinantes son positivas.
Solución numérica Usando MATLAB Para probar, crear un archivo-M costo.m que define una función de dos variables, x(1) y x(2) function f = costo(x) f = 1000*x(1)+4*(10^9)/(x(1)*x(2))+(2.5*(10^5))*x(2);
Luego en la ventana principal, dar las siguientes ordenes: >> x0 = [500,2]; % Supuesto inicial >> options = optimset('LargeScale','off'); >> [x,fval,exitflag,output] = fminunc(@costo,x0,options);
Cuando los valores iniciales están en la dirección correcta se obtiene la siguiente respuesta: Optimization terminated successfully: Current search direction is a descent direction, and magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun >>
Los valores de las variables se obtienen ingresando x >> x x =
1.0e+003 * 1.0000
0.0040
Lo cual significa que: x(1) = P = 1000 x(2) = R = 4 Y el valor de la función (costo mínimo) se obtiene con la orden fval >> fval fval = 3.0000e+006
El costo mínimo Cmin = 3 x 106 $/año La orden output da más detalles sobre la optimización. Para fminunc, incluye el número de iteraciones en iterations, el número de evaluaciones de la función en funcCount, el tamaño de paso final en stepsize, una medida de optimalidad de primer orden (la cual en este caso sin restricciones es la norma infinita de la gradiente a la solución) en firstorderopt, y el tipo de algoritmo usado en algorithm. >> output output = iterations: 7 funcCount: 46 stepsize: 0.9531 firstorderopt: 0.0931 algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'
>> Usando UNTSIM: Seleccionamos del Menú principal: Optimización - Funciones Multivariable - Mínimo sin Restricciones, con lo que tenemos en la ventana principal: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved OPTIMIZACION NO LINEAL SIN RESTRICCIONES, ENCUENTRA EL MINIMO DE UNA FUNCION MULTIVARIABLE, COMENZANDO CON UN SUPUESTO INICIAL Y ENCONTRANDO UN MINIMO LOCAL Las vaiables se denotan por: x(1), x(2),... Ingrese funcion: '1000*x(1)+4*(10^9)/(x(1)*x(2))+(2.5*(10^5))*x(2)' Inicio de busqueda Valores iniciales: [500, 2]
RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 1000 1.- El optimo de la variable es = 4 2.- El optimo de la funcion es = 3e+006 >>
Nota: Las letras rojas son la información que debemos suministrar
2.4
FUNCIÓN OBJETIVO CON RESTRICCIONES
A este punto las variables independientes podrían asumir algún valor. En la actualidad, los valores de las variables independientes están limitados ya que ellos normalmente representan cantidades físicas tal como proporciones de flujo, temperaturas, presiones, capacidades de unidad de proceso y recursos disponibles. Por consiguiente, hay restricciones sobre las variables, si nada más del hecho que ellos deben ser no-negativos. En muchos casos ellos se limitan dentro de los límites dictados por el equipo de proceso y relacionados por las ecuaciones tales como los balances de material. Las restricciones en las variables pueden ser en forma de ecuaciones y desigualdades. Se desarrollarán los métodos para localizar los puntos estacionarios de funciones (los modelos económicos) sujetas a las restricciones de igualdad (por Ej., ecuaciones de balance de materia y energía), y se darán ejemplos que ilustran las técnicas. Las restricciones de desigualdad pueden ser convertidas a restricciones de igualdad, y entonces pueden aplicarse los procedimientos para restricciones de igualdad con algunas consideraciones adicionales
Balance de materiales: F – (D + B) = 0
(restricción de igualdad)
Limite superior sobre la velocidad de alimentación: F 50 000 barriles por día (restricción de desigualdad) Fig. 2.3 Ilustración de restricciones de igualdad y desigualdad
Ilustraremos la conversión de una restricción de desigualdad a una restricción de igualdad usando un ejemplo simple para ayudar a visualizar el concepto de variables de holgura. La Fig. 2-3 es un ejemplo de una restricción de igualdad y una restricción de desigualdad para una columna de destilación. El balance de materiales el cual dice que la velocidad de alimentación a la columna debe igualar la suma de los productos del tope y los productos del fondo al estado estacionario es la restricción de igualdad. El límite superior en la capacidad de la columna de destilación que se fijó cuando el equipo fue diseñado, es la restricción de desigualdad. Esta restricción de desigualdad puede convertirse a una restricción de igualdad agregando una variable de holgura S como S2 para asegurar que se ha agregado a la ecuación un número positivo. F + S2 = 50,000
(2-13)
El término holgura es usado para representar la diferencia entre el límite óptimo y superior en la capacidad. Representa el exceso, no usado, o la holgura en la capacidad de la unidad del proceso. Por ejemplo, si Fopt = 30,000 barriles por día; entonces S2 = 20,000 barriles por día, una holgura de 20,000 barriles por día; y se dice que la restricción esta libre, es decir, se mantiene la desigualdad. Si F opt = 50,000 barriles por día entonces no hay holgura, y la restricción se dice está apretada, es decir, se mantiene la igualdad. Esto será discutido con más detalle en el Capítulo siguiente. Así mismo, si existiese un límite menor en F, por ejemplo, F> 10,000, se aplicaría el mismo procedimiento excepto que S 2 se substraería de F. La ecuación sería F - S2 = 10,000, y S se llama una variable sobrante. Ahora podemos establecer un problema general de optimización con n-variables independientes y m restricciones de igualdad donde el objetivo es optimizar (maximizar o minimizar) el modelo económico y(x) sujeto a m ecuaciones de restricción fi (x). optimizar:
y(xi,x2,...xn)
sujeta a: fi(x1,x2,...,xn) = 0
(2-14) (2-15)
para i - 1,2,...m Debe haber menos restricciones de igualdad que variables independientes para poder optimizar y(x), es decir, n > m. Si m = n los valores de los x j son singularmente determinados, y no hay ningún problema de optimización. También si m> n, se dice que el problema esta sobredeterminado (sobre especificado), porque hay más ecuaciones que incógnitas. No hay ningún problema de optimización para este caso. Hay tres métodos analíticos para determinar los puntos óptimos de la función y(x1,x2,...,xn) de n variables independientes sujeta a m ecuaciones de restricción fi(x1,x2,...,xn) = 0. Estos son: sustitución directa, solución por variación restrictiva y método de los multiplicadores de Lagrange. Encontraremos que la substitución directa no siempre puede usarse, y el método de multiplicadores de Lagrange será uno de los más frecuentemente usados.
2.4.1
Sustitución Directa
Esta simplifica los medios para resolver las ecuaciones de restricción para las variables independientes y para sustituir las ecuaciones de restricción directamente en la función a ser optimizada. Esto dará una ecuación (modelo económico) con (n-m) incógnitas, y poder aplicar las técnicas previas para optimización sin restricciones. Desafortunadamente, esto no es siempre posible para llevar a cabo la manipulación algebraica requerida para estas sustituciones cuando las ecuaciones de restricción son algo complicadas. Consecuentemente, es necesario acudir a los siguientes métodos:
2.4.2
Variación de Restricción
Este método (3,14) es usado con poca frecuencia, pero proporciona una base teórica para métodos numéricos de búsqueda multivariables importantes, tales como el generalizado de gradiente reducida. Este es ilustrado mejor para el caso de dos variables independientes considerando el ejemplo mostrado en la Fig. 2-4. Hay un mínimo local del sistema restringido al punto A y un máximo local al punto B. El máximo del sistema sin restricción está en C.
Fig. 2.4 Bosquejo de una función de beneficio y(x1,x2) y una ecuación de restricción f(x1,x2) = 0 En el punto A la curva y(x1,x2) = 1 y la curva f(x1,x2) = 0 son tangentes y tienen la misma pendiente. Esto hace que los cambios diferenciales, dx1 y dx2, produzcan el mismo cambio en las variable dependientes y(x1,x2) y f(x1,x2). Esto puede ser expresado
como:
Necesitaremos las derivadas totales de f e y para combinar con la Ec. (2-16) para obtener el resultado final. Usando los primeros términos en una serie de expansión de Taylor para f e y se tiene:
En el mínimo, punto A, y en el máximo, punto B, dy es igual a cero; y las restricciones son satisfechas, es decir, f = 0 y df = 0. Combinando las Ecs. (2-16) y (2-17) da el siguiente resultado.
Esta es una ecuación algebraica, y debe ser resuelta en combinación con la ecuacion de restricción para localizar los puntos estacionarios. Debe recordarse en este caso que y/x1 y y/x2 no son necesariamente cero. Estas sin embargo, son cero en el caso sin restricción en el punto C. Esta técnica se ilustra con el siguiente ejemplo. Después se dará la extensión al caso general para n variables independientes. Ejemplo 2-3 Encontrar los puntos estacionarios de la siguiente función usando el método de variación de restricción optimizar: y(x) = x1 x2 sujeta a: f(x) = x21 + x22 - 1 = 0
<----- Es una restricción no lineal
Solución analítica Las primeras derivadas parciales son:
Reemplazando en la Ec.(2-18) se tiene x2 2x2 - x1 2x1 = 0 o x22 - x12 = 0 La cual es resuelta simultáneamente con la ecuación de restricción x12 + x22 - 1 = 0 El resultado es: x1 = + (½)½
y
x2 = + (½)½
Para los valores de las variables independientes en los puntos estacionarios. Solución Numérica Usando MATLAB Paso 1. Escribimos un archivo m para la función objetivo denominado dostres.m function f = dostres(x) f = x(1)*x(2);
Paso 2. Escribimos un archivo.m para la restricción denominado confun.m function [c, ceq] = confun(x) % Restricciones no lineales c = []; % de desigualdad ceq = [-1 + (x(1)^2) + (x(2)^2)]; % de igualdad
Paso 3. Invocamos a la rutina de optimización con restricciones: >> x0 = [-0.1,0.1]; >> options = optimset('LargeScale','off'); >> [x,fval]=fmincon(@dostres,x0,[],[],[],[],[],[],@confun,options)
Cuando la búsqueda términa, se tiene la siguiente respuesta: Optimization terminated successfully: Search direction less than 2*options.TolX and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 <--------Una restricción activa (efectiva) x = -0.7071 fval = -0.5000
0.7071
Restricción efectiva. Se dice que una restricción es efectiva en un punto, si este la satisface con igualdad
Usando UNTSIM Seleccionamos del Menú Principal: Optimización - Funciones Multivariable- Mínimo con restricciones. Obteniendo la siguiente respuesta en la ventana principal: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA REALIZA LA OPTIMIZACION DE FUNCIONES CON DOS O MAS VARIABLES CON RESTRICCIONES LINEALES DE DESIGUALDAD, IGUALDAD LIMITES PARA LAS VARIABLES Y RESTRICCIONES NO LINEALES Ingrese funcion: 'x(1)*x(2)' Cuantas restricciones lineales de desigualdad tiene?: 0 Cuantas restricciones lineales de igualdad tiene?: 0 Hay limites para los valores de la variables si(1) no (0): 0 Cuantas restricciones no lineales tiene?: 1 Modifique la funcion CONFUN de acuerdo a sus restricciones
En el editor de archivos.m ingresamos la restricción %INGRESE SUS RESTRICCIONES function [c, ceq] = confun(x) % AQUI NO HAGA NINGUN CAMBIO %SOLAMENTE MODIFIQUE LOS VALORES ENTRE CORCHETES DE c y ceq % Restricciones no lineales de desigualdad c = []; % Restricciones no lineales de igualdad ceq = [-1 + (x(1)^2) + (x(2)^2)]; % GUARDE LOS CAMBIOS, CIERRE EL EDITOR Y VAYA A LA VENTANA PRINCIPAL
Luego volvemos a la ventana principal Inicio de busqueda Valores iniciales: [-0.1,0.1] Optimization terminated successfully: Magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = -0.707104 1.- El optimo de la variable es = 0.70711
2.- El optimo de la funcion es es = -0.5 >>
que viene a ser el mínimo ( 1 punto estacionario). El otro punto estacionario debe corresponder al máximo el cual se encuentra cuando los dos valores de las variables son iguales ya sea positivos o negativos. Por lo tanto los puntos estacionarios corresponden a valores de: x1 = 0.7071 y
x2 = 0.7071
En general estamos interesados en encontrar los puntos estacionarios de una función y(x1, x2,..., xn) sujeta a m ecuaciones de restricción fi(x1, x2, ..., xn) = 0 donde i = 1, ...m, y n > m. El mismo razonamiento aplicado en el espacio (n +1) dimensional como se aplicó anteriormente al espacio tridimensional, resulta las siguientes ecuaciones:
El conjunto de ecuaciones dado en la Ec. 2.19 puede resolverse para (n-m) ecuaciones para ir con las m ecuaciones de restricción a localizar los puntos estacionarios. Las (n-m) ecuaciones correspondientes a la Ec. 2.18 del caso de dos variables independientes pueden escribirse en términos de (n-m) determinantes Jacobianos los cuales son:
Un total de n ecuaciones son resueltas para los puntos estacionarios, es decir las (n-m) ecuaciones generadas por la Ec. (2-20) y las m ecuaciones de restricción. Una deducción de estos resultados es dada por Beveridge y Schechter(6). Esto involucra usar la regla de Cramer y eliminar las dxi's. Similares resultados también son dados para este caso general en el texto de Wilde y Beightler (4). Sin embargo, se usa una nomenclatura diferente, y los resultados son extendidos a la inclusión de Multiplicadores de Lagrange. Para ilustrar el uso de los determinantes Jacobianos, considerar el siguiente ejemplo, que obtiene la Ec.(2-18).
Ejemplo 2-4 optimizar: y(x1,x2) sujeta a : f(x1, x2) = 0 Para este problema existen dos variables independientes (n=2) y una restricción (m=1), por lo tanto se requiere la evaluación de un determinante Jacobiano.
Expandiendo da la siguiente ecuación:
Esta es igual a la Ec.(2-18) la cual fue resuelto con la ecuación de restricción para los valores de x1 y x2 en el punto estacionario en el Ejemplo 2-3.
2.4.3 Multiplicadores de Lagrange El método más frecuentemente usado para restricciones es empleando los multiplicadores de Lagrange. La técnica será presentada usando dos variables independientes y una ecuación de restricción para ilustrar los conceptos. Luego el procedimiento será extendido al caso general de n variables independientes y m ecuaciones de restricción. Para el caso de dos variables independientes, tenemos: Optimizar:
y(x1, x2)
Sujeta a :
f(x1, x2) = 0
(2-22)
Mostraremos como surgen los multiplicadores de Lagrange y como un problema con restricciones puede ser convertido a un problema sin restricciones. La función beneficio y la ecuación de restricción son expandidas en una serie de Taylor. Luego, usando los términos de primer orden se tiene:
Esta forma de la ecuación de restricción será usada para eliminar dx2 en la función beneficio. Resolviendo para dx2 se tiene:
Este ecuación se reemplaza en la ecuación para dy y se obtiene:
y rearreglando se tiene:
Ahora podemos definir como el valor de [–y/x2 / f/x2] en el punto estacionario de la función restringida. Esta razón de derivadas parciales es una constante en el punto estacionario, y la ecuación anterior puede escribirse como
En el punto estacionario dy = 0, y esto da:
Ahora si L es definido como L = y + f, se tiene:
Esta es una de las condiciones necesarias para localizar los puntos estacionarios de una función sin restricción L la cual es construida a partir de la función beneficio y(x1,x2) y la ecuación de restricción f(x1,x2) = 0. Ahora las mismas manipulaciones
pueden ser repetidas para obtener las demás condiciones necesarias:
por lo tanto, el problema con restricciones puede ser convertido a un problema sin restricciones mediante la formación de la función Lagrangiana, o aumentada, y resolviendo este problema por los métodos previamente desarrollados de establecer las primeras derivadas parciales iguales a cero. Esto dará dos ecuaciones para resolver para las tres incógnitas x1, x2 y en el punto estacionario. La tercera ecuación a ser usada es la ecuación de restricción. El hecho de que el multiplicador de Lagrange es tratado algunas veces como otra variable ya que L / da la ecuación de restricción. El ejemplo usado para variación de restricción será usado para ilustrar estas ideas.
Ejemplo 2-5: Encontrar los puntos estacionarios para el siguiente problema con restricción usando el método de los multiplicadores de Lagrange. Optimizar:
y(x) = x1x2
Sujeta a : f(x) = x12 + x22 1 = La función Lagrangiana o aumentada es formada como se muestra a continuación.
0
L(x1, x2, ) = x1x2 + (x12 + x22 1) Las ecuaciones siguientes son obtenidas al hacer las primeras derivadas parciales igual a cero. L/x1 = x2 + 2x1 = 0 L/x2 = x1 + 2x2 = 0 L/= x12 + x22 - 1 = 0 Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores se tienen los siguientes puntos estacionarios: maximo : x1 = (½)½ , x2 = (½)½ , = -½ x1 = -(½)½ , x2 = -(½)½ , minimo : x1 = (½)½ , x1 = -(½)½,
=-½
x2 = -(½)½ ,
= ½
x2 = (½)½ ,
=½
El tipo de punto estacionario, es decir, máximo, mínimo o montura fue determinado por inspección para este problema. Condiciones suficientes para problemas
con restricciones se discutiran subsecuentemente en este capítulo. El desarrollo de la función Lagrangiana para el caso de n variables independientes y m ecuaciones de restricción es una extención directa del caso de dos variables independientes y una ecuación de restricción, y Avriel (10) da una concisa derivación de este resultado. (Ver problema 2-14) La función Lagrangiana o aumentada, es formada igual que el caso anterior, y para cada ecuación de restricción existe un multiplicador de Lagrange. Esto se muestra a continuación: optimizar: y(x) sujeta a : fi(x) = 0
x = (x1, x2 ,..., xn)T
(2-23)
para i = 1,2,...,m
donde n > m La función Lagrangiana, o aumentada es formada del problema con restricción com sigue:
Para localizar los puntos estacionarios de un problema con restricción, las primeras derivadas parciales de la función Lagrangiana con respecto a los x j's y i 's son igualadas a cero (condiciones necesarias). Existen (n + m) ecuaciones para ser resueltas para las (n + m) incógnitas: n - xj's y m - i's. Se dice algunas veces que el método de los multiplicadores de Lagrange requiere más trabajo que el método de variación de restricción, ya que un adicional de m ecuaciones tienen que resolverse para los valores de los multiplicadores de Lagrange. Sin embargo, se obtiene valiosa información adicional a partir del conocimiento de los valores de los multiplicadores de Lagrange, como se ha visto. El siguiente ejemplo simple da una comparación entre las tres técnicas.
Ejemplo 2-6 Para el proceso dado en el Ejemplo 2-2 (2), es necesario mantener el producto de la presión y la razón de reciclo igual a 9000 psi. Determinar los valores óptimos de la presión y razón de reciclo y el costo mínimo dentro de esta restricción por sustitución directa, variación de la restricción, multiplicadores de Lagrange y un método de búsqueda numérica usando MATLAB Nuevamente, el problema es minimizar C C = 1000P + 4 x 109/PR + 2.5 x 105R Sin embargo, C está sujeta a la siguiente ecuación de restricción.
PR = 9000 Sustitución Directa: Despejando la restricción anterior para P y reemplazando en la función objetivo se tiene: C = 9 x 106/R + (4/9) x 106 + 2.5 x 105R Haciendo dC/dR = 0 y resolviendo se tiene: R = 6 y P = 1500 psi. El correspondiente costo es: C = 3.44 x 106 El cual es mayor que el sistema sin restricción, como se esperaba. Variación de la restricción: Las ecuaciones a ser resueltas para este caso son:
La primera ecuación se simplifica a: P = 250R La cual, cuando se resuelve simultáneamente con la segunda ecuación da los mismos resultados como en sustitución directa. Multipliocadores de Lagrange: La función Lagrangiana o aumentada es: L = 1000P + 4 x 109/PR + 2.5 x 105R + (PR - 9000) Encontrando las derivadas parciales de L con respecto a P, R, y e igualando a cero se tiene: 1000 - 4 x 109/P2R + R = 0 2.5 x 105 - 4 x 109/PR2 + P = 0 PR - 9000 = 0
Resolviendo las ecuaciones anteriores simultáneamente, se tienen los mismos resultados que los dos métodos anteriores, y el valor para el multiplicador de Lagrange. P = 1500,
R = 6,
= -117.3
Solución Numérica Usando MATLAB: La función Lagrangiana o aumentada es: Usamos el mismo archivo.m para el Ejemplo 2-2 function f = costo(x) f = 1000*x(1)+4*(10^9)/(x(1)*x(2))+(2.5*(10^5))*x(2);
El nuevo archivo.m para la nueva restricción lo denotamos doseisr.m function [c, ceq] = doseisr(x) % Restricciones no lineales c = []; % Restriccion no lineal de desigualdad ceq = [-9000 + x(1)*x(2)]; % Restriccion no lineal de igualdad
Invocamos a la rutina de optimización con restricciones: >> x0=[1000 2]; % supuesto inicial >> options = optimset('LargeScale','off'); >> [x,fval]=fmincon(@costo,x0,[],[],[],[],[14 0],[],@doseisr,options)
Obteniendo la siguiente respuesta: Warning: Divide by zero. <--- Hay un mensaje de que se esta dividiendo por cero, pero esto no es problema en MATLAB [14 0] son los limites inferiores de las variables Optimization terminated successfully: Magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 x = 1.0e+003 * 1.5000
0.0060
fval = 3.4444e+006 >>
Usando el simulador UNTSIM Para este caso tenemos 1 restricción de igualdad ( PR 9000 ), la cual para usarla en el
programa UNTSIM lo escribimos de la siguiente forma: 0 9000 + x(1) * x(2) Seleccionamos del Menú Principal: Optimización - Funciones Multivariable - Mínimo con restricciones. Apareciendo en la Ventana principal lo siguiente: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA REALIZA LA OPTIMIZACION DE FUNCIONES CON DOS O MAS VARIABLES CON RESTRICCIONES LINEALES DE DESIGUALDAD, IGUALDAD LIMITES PARA LAS VARIABLES Y RESTRICCIONES NO LINEALES ****************************************************** Ingrese función: '1000*x(1)+4*(10^9)/(x(1)*x(2))+(2.5*(10^5))*x(2)' Cuantas restricciones lineales de desigualdad tiene?: 0 Cuantas restricciones lineales de igualdad tiene?: 0 Hay limites para los valores de la variables si(1) no (0): 1 Si hay solamente un limite en el otro colocar [ ] Dar limites inferiores [ ]: [14 0] <---- Límites inferiores de las variables Dar limites superiores [ ]: [] Cuantas restricciones no lineales tiene?: 1 Modifique la función CONFUN de acuerdo a sus restricciones
%INGRESE SUS RESTRICCIONES function [c, ceq] = confun(x) % AQUI NO HAGA NINGUN CAMBIO %SOLAMENTE MODIFIQUE LOS VALORES ENTRE CORCHETES DE c y ceq % Restricciones no lineales de desigualdad c = []; % Restricciones no lineales de igualdad ceq =[-9000 + x(1)*x(2)]; % GUARDE LOS CAMBIOS, CIERRE EL EDITOR Y VAYA A LA VENTANA PRINCIPAL
Valores iniciales: [1000 2] Warning: Divide by zero. <--- Indicación de que se ha dividido por cero Optimization terminated successfully: Magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1
RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 1500 <----Presión óptima psi 1.- El optimo de la variable es = 6 <---- Reciclo óptimo 2.- El optimo de la función es = 3.44444e+006 <-----Costo mínimo >>
En este caso se han dado valores limites inferiores, en caso de no darsele estos valores puede salir un valor de la presión y/o el reciclo negativos, lo cual es incongruente.
2.4.4
Interpretación Económica de los Multiplicadores de Lagrange
Los valores de los Multiplicadores de Lagrange en el óptimo proporciona información adicional e importante. Si las ecuaciones de restricción son escritas con parámetros bi en el lado derecho, los multiplicadores de Lagrange dan el cambio en la función beneficio con respecto a estos parámetros, es decir, y/bi. Muchas veces, los lados derechos de las ecuaciones de restricción representan la disponibilidad de materias primas, demanda para productos, o capacidades de unidades de proceso. Consecuentemente, es importante conocer como la solución óptima es afectada por cambios en disponibilidad, demanda, y capacidades. Como veremos, en programación lineal dónde estos cambios se analizan por el análisis de sensibilidad, los Multiplicadores de Lagrange se dan con los nombres "imagen de precios " y "actividad dual". La siguiente derivación breve obtiene el resultado que y/b = - para el caso de una restricción y dos variables independientes, y la extensión a m ecuaciones de restricciones con n variables independientes es comparable. optimizar:
y(x1, x2)
(2-33)
sujeta a : f(x1, x2) = b Primero, podemos obtener la ecuación siguiente a partir de la función beneficio por la regla de cambio.
También, podemos obtener la siguiente ecuación a partir de la ecuación de restricción escrita como f - b = 0 mediante la regla de cambio.
Luego la ecuación de la restricción es multiplicada por el Multiplicador de Lagrange y adicionada a la ecuación de la función beneficio para dar:
Los valores de L/x1 y L/x2 son cero en el punto estacionario (condición necesaria), y consecuentemente y/b = -l. De esta manera, el cambio en la función beneficio y con respecto al lado derecho de la restricción b es igual al negativo del multiplicador de Lagrange. De otro lado, resultados similares pueden obtenerse para el caso de n variables independientes y m ecuaciones de restricción para obtener el siguiente resultado usando un procedimiento y argumentos similares(7).
En la sección siguiente, veremos que los Multiplicadores de Lagrange son también un factor clave en el análisis de problemas con restricciones de desigualdad.
2.4.5
Restricciones de desigualdad
Una complicación adicional se tiene cuando al buscar el valor óptimo de una función beneficio o costo son incluidas restricciones de desigualdad. Aunque se usa el mismo procedimiento, será necesario considerar dos casos para cada ecuación de restricción de desigualdad. Un caso es cuando el Multiplicador de Lagrange es cero, y el otro es cuando el Multiplicador de Lagrange no es cero. Esto será ilustrado mejor por el siguiente ejemplo con una ecuación de restricción de desigualdad como se muestra a continuación. Optimizar:
y(x)
Sujeta a :
f(x) 0
(2-38)
Como se ha descrito previamente, el procedimiento consiste en adicionar una variable de holgura xs como xs2 y a partir de la función Lagrangiana: L(x, ) = y(x) + [ f(x) + xs2 ] (2-39) Luego las primeras derivadas parciales con respecto a los xi's, xs, y son igualadas a cero para tener un conjunto de ecuaciones y ser resueltas para los puntos estacionarios. Para ilustrar esta complicación, la ecuación obtenida de la variable de holgura es:
El resultado da dos casos, es decir, ya sea = 0 y xs 0, o 0 y xs = 0. Si = 0 y xs 0 aparece la desigualdad, y la restricción se dice es "floja", "pasiva" o "inactiva". Si 0 y xs = 0 aparece la igualdad, y la restricción se dice es "ajustada" o "activa". El siguiente ejemplo ilustra esta situación usando una modificación del proceso simple dado anteriormente.
Ejemplo 2-8 Para el proceso la función de costo es: C = 1000P + 4 x 109/PR + 2.5 x 105 R Sin embargo, consideremos ahora que C esta sujeta a la restricción dada por la ecuación de desigualdad: PR 9000 Adicionando la variable de holgura S, como S2, y formando la función Lagrangiana: L = 1000P + 4 x 109/PR + 2.5 x 105 R + (PR + S2 - 9000) Haciendo las primeras derivadas parciales de L con respecto a P, R, S, y iguales a cero dan las siguientes cuatro ecuaciones:
Los dos casos son 0, S = 0 y = 0, S 0. para el caso de 0, S = 0 se mantiene la igualdad PR = 9000 es decir, la restricción es activa. Esta fue la solución obtenida en el Ejemplo 2-6, y el resultado es: C = $3.44 x 106 por año
P = 1500 psi
R=6
= -117.3
Para el caso de = 0, S 0, la restricción es una desigualdad, es decir, inactiva. Esta fue la solución obteneida para el Ejemplo 2-2 y el resultado es: C = $3.0 x 106 por año
P = 1000 psi
R=4
S = (5000)½
El ejemplo anterior tenia solamente una restricción de desigualdad y dos casos a considerar. Sin embargo, con varias restricciones de desigualdad la localización de los puntos estacionarios puede consumir mayor tiempo, para las posibilidades debe investigarse exhaustivamente. Un procedimiento para esta evaluación ha sido dado por Cooper (7) y Walsh (8) como sigue: Resolver el problema de optimización: y(x), ignorando las restricciones de desigualdad, es decir teniendo todas las variables de holgura positivas. Designa esta solución xo. Si xo satisface las restricciones como desigualdades, se ha encontrado un óptimo. Si una o más restricciones no son satisfechas, seleccionar una de las restricciones a ser una igualdad, es decir, activa (la variable de holgura para esta restricción es igual a cero), y resolver el problema. Llamar a esta solución x1. Si x1 Satisface el total de las restricciones se ha encontrado un óptimo. Si una o más restricciones no son satisfechas, repetir el paso 2 hasta que todas las desigualdades hayan sido tratadas en su turno como una restricción de igualdad (variable de holgura igual a cero). Si el paso 3 no produce un óptimo, seleccionar combinaciones de dos restricciones de desigualdad a la vez a ser igualdades y resolver el problema. Si una de estas soluciones satisface todas las restricciones, se ha encontrado un óptimo. Si el paso 4 no da un óptimo, seleccionar combinaciones de tres restricciones de desigualdad a la vez a ser igualdades, y resolver el problema. Si una de estas soluciones satisface todas las restricciones, se ha encontrado un óptimo. Si no probar combinaciones de cuatro restricciones de desigualdad a la vez a ser igualdades, etc. Aplicar el procedimiento anterior, asumiendo que el punto estacionario localizado es un máximo o un mínimo del problema con restricciones. Sin embargo, existe una posibilidad que varios puntos estacionarios sean localizados; algunos podrían ser puntos máximos, otros mínimos y otros montura. En el Problema 2-6 fueron encontrados cuatro puntos estacionarios; dos puntos fueron máximo, uno un mínimo y uno montura. También, a partir de la Ec. (2-40) para cada restricción de desigualdad donde se mantiene la estricta desigualdad, las variables de holgura son positivas, y el Multiplicador de Lagrange es cero. Para cada restricción de desigualdad donde aparece la igualdad, la variable de holgura es cero, y el Multiplicador de Lagrange es diferente de cero. En la sección siguiente son descritas condiciones necesarias y suficientes para problemas con restricción para determinar el carácter de los puntos estacionarios. Esto será similar y una extensión de la discusión previa para problemas sin restricción. Usando el simulador UNTSIM
Para este caso tenemos 1 restricción de desigualdad ( PR 9000 ), la cual para usarla en el programa UNTSIM lo escribimos de la siguiente forma: 0 9000 - x(1) * x(2) Seleccionamos del Menú Principal: Optimización - Funciones Multivariable - Mínimo con restricciones. Apareciendo en la Ventana principal lo siguiente: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA REALIZA LA OPTIMIZACION DE FUNCIONES CON DOS O MAS VARIABLES CON RESTRICCIONES LINEALES DE DESIGUALDAD, IGUALDAD LIMITES PARA LAS VARIABLES Y RESTRICCIONES NO LINEALES Ingrese función: '1000*x(1)+4*(10^9)/(x(1)*x(2))+(2.5*(10^5))*x(2)' Cuantas restricciones lineales de desigualdad tiene?: Cuantas restricciones lineales de igualdad tiene?:
0
0
Hay limites para los valores de la variables si(1) no (0): 0 Cuantas restricciones no lineales tiene?: 1 Modifique la función CONFUN de acuerdo a sus restricciones %INGRESE SUS RESTRICCIONES function [c, ceq] = confun(x) % AQUI NO HAGA NINGUN CAMBIO %SOLAMENTE MODIFIQUE LOS VALORES ENTRE CORCHETES DE c y ceq % Restricciones no lineales de desigualdad c = [9000 - x(1)*x(2)]; % Restricciones no lineales de igualdad ceq = []; % GUARDE LOS CAMBIOS, CIERRE EL EDITOR Y VAYA A LA VENTANA PRINCIPAL Inicio de busqueda Valores iniciales: [1000 2]
<----------Dar según criterio
Optimization terminated successfully: Magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation
is less than options.TolCon Active Constraints: 1
<------- Hay una restricción activa
RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 1500 1.- El optimo de la variable es = 6 2.- El optimo de la funcion
es = 3.44444e+006
>>
Aún cuando en este caso no hemos colocado límites para las variables, para otros casos, sobre todo cuando no hay restricciones es necesario colocar los límites entre los cuales se debe hacer la búsqueda. 2.4.6 Método de Ascenso de la Pendiente Una posterior aplicación del método de los multiplicadores de Lagrange es el desarrollo del método de ascenso o (descenso) de pendiente para una función a ser optimizada. Este resultado será evaluado cuando se discutan los métodos de búsqueda. Para ilustrar la dirección de ascenso de pendiente, se muestra una representación geométrica en la Fig. 2-5. Para obtener la dirección de ascenso de pendiente, debemos encontrar el valor máximo de dy, con y(x1,x2,...xn) siendo una función de n variables. Así mismo. Existe una ecuación de restricción relacionando dx1, dx2, ... dxn y ds como se muestra en la Fig. 2-5 para dos variables independientes.
Fig. 2-5 Representación geométrica de la dirección de ascenso de la pendiente El problema es: El problema es:
Para obtener el valor máximo de dy, se forma la función Lagrangiana como sigue:
Diferenciando L con respecto a las variables independientes dx j e igualando a cero se tiene:
Estas n ecuaciones son resueltas simultáneamente con la ecuación de restricción para los valores de dxj. Resolviendo se tiene:
Y resolviendo para dxj:
El término entre corchetes no es función de j, y consecuentemente dx j es proporcional a y/xj. El signo positivo indica la dirección del ascenso de pendiente y el signo negativo indica la dirección de descenso de pendiente. Si se usa una constante k para representar el término entre corchetes en la Ec. (2.29), esta ecuación puede ser escrita como:
Si se usa una aproximación por diferencias finitas para dxj = (xj - xjo) y y/xj es evaluada a xo, entonces la siguiente ecuación da la línea gradiente.
Esta ecuación puede ser escrita en notación vectorial en términos de la gradiente de y evaluada a xo,y (xo), como: x = xo + ky ( xo )
(2-32)
Si se usa el signo positivo, el movimiento es a lo largo de la línea en la dirección de ascenso de pendiente, y si se usa el signo negativo entonces el movimiento es a lo largo de la línea en dirección de descenso de pendiente. El siguiente ejemplo ilustra el método de ascenso de pendiente para una función simple.
Ejemplo 2-7: Encontrar el mínimo a lo largo de la dirección de pendiente descendente de la función dada a continuación iniciando en el punto xo = (1,1).
y = x12 + x22 Línea gradiente (pendiente descendente): x = xo - ky(xo) o para dos variables independientes
Evaluando las derivadas parciales en el punto de inicio (1,1)
La línea gradiente es x1 = 1 - 2k x2 = 1 - 2k Sustituyendo la línea gradiente en la función a ser minimizada da: y = (1 - 2k)2 + (1 - 2k)2 = 2(1 - 2k)2 Evaluando dy/dk localizaremos el mínimo a lo largo de la línea gradiente, es decir:
y k = ½ es el punto estacionario Los valores correspondientes de x1 y x2 son x1 = 1 - 2(½) = 0
x2 = 1 - 2(½) = 0
Resulta que el mínimo a lo largo de la línea de pendiente también es el mínimo para la función en este problema, porque es la suma de cuadrados. El método de la pendiente ascendente es la base de varias técnicas de búsqueda.
Debe notarse que cuando se trata con sistemas físicos, la dirección de pendiente ascendente (descendente) puede ser solamente una dirección de paso ascendente (descendente) dependiendo de las escalas usadas para representar las variables independientes. Esto es discutido e ilustrado por Wilde (5), y Wilde & Beightler (4).
2.5
CONDICIONES NECESARIAS Y PROBLEMAS CON RESTRICCIONES
SUFICIENTES
PARA
Las condiciones necesarias han sido desarrolladas por Kuhn y Tucker (14) para un problema general de optimización no lineal con restricciones de igualdad y desigualdad. Este problema escrito en términos de minimizar y(x) es: Minimizar: Sujeto a:
y(x) fi(x) 0 para i = 1, 2, ..., h
fi(x) = 0 para i = h+1, ..., m
(2-41) (2-42) (2-43)
donde y(x) y fi(x) son los valores reales de las funciones dos veces continuamente diferenciables. Cualquier valor de x que satisfaga las ecuaciones de restricciones (2-42) y (243) es denominado una posible solución al problema en la teoría de Kuhn-Tucker. Entonces para localizar los puntos que pueden ser potencialmente mínimos locales de la ecuación (2-41) y satisfacer las ecuaciones de restricción (2-42) y (2-43), son usadas las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker. Estas condiciones son escritas en términos de la función Lagrangiana para el problema la cual es:
donde los xn+i's son las variables remanentes (variables de holgura) usadas para convertir las restricciones de desigualdad a igualdades Las condiciones necesarias para un mínimo bajo restricciones son dadas por el teorema siguiente: (7,8,10,14). En razón a minimizar y(x) sujeta a fi(x)0, i = 1,2, ..., h y fi(x) = 0, i = h+1, ..., m, las condiciones necesarias para la existencia de un mínimo relativo a x* son:
Examinando estas condiciones, el primer paso es establecer las primeras derivadas de la función Lagrangiana con respecto a las variables independientes x 1, x2, ..., xn e igualar a cero para localizar el punto, x* de Kuhn-Tucker. La segunda y tercera condiciones son repetir las ecuaciones de restricción de igualdad y desigualdad, las cuales deben satisfacer a las ecuaciones de igualdad y desigualdad las cuales deben ser satisfechas al mínimo del problema con restricción. La cuarta condición es otro camino para expresar ixn+i = 0, i = 1, 2, ..., h a partir del establecimiento de las derivadas parciales de la función Lagrangiana con respecto a las variables de holgura e igualar a cero. Ya sea i 0 y xn+i = 0 (la restricción es activa) o i = 0 y xn+i 0 (restricción es inactiva). Luego, el producto de Multiplicador de Lagrange y la ecuación de restricción establecido igual a cero es equivalente a la declaración, y esta es llamada la condición de holgura complementaria (15). La quinta condición proviene de examinar la ecuación (237), es decir, y(x*)/bi = - i. El argumento es que a medida que bi es incrementada la región de restricción es agrandada; y esta no puede resultar en un alto valor para y(x*), el mínimo en la región. Sin embargo esto podría resultar en un valor bajo de y(x*); y correspondientemente y(x*)/bi podría ser negativo, es decir, a medida que b i aumenta, y(x*) podría disminuir. Entonces, si y(x*)/bi es negativo, el Multiplicador de Lagrange i debe ser positivo para satisfacer la ecuación (2-37). Esta condición es denominada una calificación de restricción, como se discutirá más adelante. Para la sexta condición, ha sido mostrada por Bazaraa y Shetty (15) que el Multiplicador de Lagrange asociado con las restricciones de igualdad son irestringidas en el signo; y por lo tanto no hay un argumento comparable a uno dado anteriormente sobre los Multiplicadores de Lagrange asociados con las restricciones de desigualdad. Para el problema de maximizar y(x) sujeta a restricciones de igualdad y desigualdad, el problema es como sigue: Maximizar:
y(x)
(2-46)
Sujeta a
fi(x) < 0 for i = 1, 2, ..., h
(2-47)
fi(x) = 0 for i = h+1, ..., m
(2-48)
Para este problema, las condiciones de Kuhn-Tucker son:
Estas condiciones son las mismas que las dadas para minimización dadas por la ecuación (2-45), excepto que la desigualdad es reservada para los Multiplicadores de Lagrange en la quinta condición. Así mismo, las restricciones de desigualdad son escritas como menor o igual a cero por conveniencia en la discusión subsiguiente sobre condiciones suficientes. El siguiente ejemplo ilustra las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker para un problema simple.
Ejemplo 2-9: Localizar los cinco puntos de Kuhn-Tucker del siguiente problema, y determinar este carácter , es decir, máximo, mínimo o punto silla. optimizar:
y = x1x2
sujeta a:
x1 + x2 < 1 -x1 + x2 < 1 -x1 - x2 < 1 x1 - x2 < 1
Un diagrama de las ecuaciones anteriores es dado en la Figura 2-6. La función siendo optimizada es la clásica función de punto silla la cual es restringida por planos.
Figura 2-6 Diagrama de Optimización para problema 2-9 El primer paso en el procedimiento es localizar los puntos estacionarios ignorando las restricciones de desigualdad , es decir, 1 =2 =3 =4 = 0. Si este punto satisface las restricciones como desigualdades, puede haber sido encontrado un óptimo. Para este problema:
El punto de Kuhn-Tucker es xo (0,0), y evaluando este carácter mediante las condiciones de suficiencia sin restricciones da el siguiente resultado.
El punto xo(0,0) es un punto silla, y las restricciones son satisfechas. Procediendo al paso dos, una ecuación de restricción a la vez es seleccionada, y el
carácter del punto de the Kuhn-Tucker es determinado. Comenzando con la primera ecuación de restricción como una desigualdad, es decir, 10 y considerando las otras tres como desigualdades, es decir, 2 = 3 = 4 = 0, dan la siguiente función ecuación para la función Lagrangina
Resolviendo da: x1 = ½,
= -½
x2 = ½,
y(½, ½) = ¼
El signo del Multiplicador de Lagrange es negativo, y por las condiciones necesarias de the Kuhn-Tucker, el punto puede ser un máximo, ya que las demás restricciones son satisfechas como desigualdades. El procedimiento es repetido para las otras tres ecuaciones de restricción, cada una considerada individualmente como una igualdad. Los resultados para los puntos de Kuhn-Tucker son resumidos en la siguiente tabla: y:
¼
-¼
¼
-¼
0
x1:
½
-½
-½
½
0
x2:
½
½
-½
-½
0
:
-½
½
-½
½
0
Carácter: max
min max
min silla
El carácter de cada uno de los puntos estacionarios se basa en las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker. Examinando la Figura 2-5, podemos confirmar este carácter. Sin embargo, calificaciones de restricción y condiciones suficientes son necesarias para dar un método general, y esto es discutido a continuación. En los teoremas desarrollados por Kuhn y Tucker (14), las ecuaciones de restricción deben satisfacer ciertas condiciones en los puntos de the Kuhn-Tucker, y estas condiciones son denominadas calificaciones de restricción. Como es dado por Bazaraa y Shetty (15), existen varias formas de calificaciones de restricción; y también, según Gill et. al. (16), es importante para restricciones no lineales. Esta es la condición que las gradientes que las ecuaciones de restricción en el punto de Kuhn-Tucker sea linealmente independiente. Esta calificación de restricción es requerida por las condiciones necesarias dadas por las ecuaciones (2-45) y (2-49). Como un ejemplo, Kuhn y Tucker(14) construyeron las ecuaciones de restricción:
f1 = (1 - x1)3 - x2 > 0, f2 = x1 > 0, f3 = x2 > 0 Estas no satisfacen las condiciones al punto x2* = 1 y x2* = 0. A este punto f1 = [-3(1 - x1)2, -1] = (0,-1), f2 = (1,0) y f3 = (0,1) no es linealmente independiente. La condición necesaria no puede sostenerse a un punto como este, y Kuhn y Tucker (14) dan argumentos que esta calificación de restricción es requerida para asegurar la existencia de los Multiplicadores de Lagrange en el punto óptimo. La comprobación de las calificaciones de restricción para un problema general de programación no lineal es casi una tarea imposible según Avriel (10). Él establece que afortunadamente en la práctica de calificación de restricción normalmente se mantiene, y es justificable usar la existencia de los multiplicadores de Lagrange como una base para tener las condiciones necesarias, dando argumentos de que la calificación de restricción es requerida para asegurar la existencia de los Multiplicadores de Lagrange.
2.6 APLICACIÓN A LA INGENIERÍA QUÍMICA En esta sección discutiremos algunos problemas relacionados a la ingeniería química y su solución usando el concepto de máximos y mínimos tanto mediante técnicas analíticas como numéricas. 2.6.1 Determinación de valores óptimos con dos variables independientes. La siguiente ecuación muestra el efecto de las variables x e y sobre el costo total para una operación particular:
Determine los valores de x e y que den el costo total mínimo Solución analítica
En el punto óptimo,
Resolviendo simultáneamente para los valores óptimos de x e y x = 16 y = 20 Valor mínimo de CT: CT = 2,33(16) +11900/(16)(20) +1,86(20) + 10 CT = 121,6 Se puede verificar para tener la certeza de que los valores encontrados representan las condiciones del costo mínimo. Si:
Efectuando la apropiada diferenciación parcial y evaluando en el punto estacionario ( x = 16, y = 20) se tiene
Sustituyendo en M
Por lo tanto, el punto estacionario es un mínimo ya que ambas determinantes son positivas. Las condiciones optimas deben ocurrir en un punto de costo mínimo. Solución Numérica Usando MATLAB: Para probar, crear un archivo-M costo.m que define una función de dos variables, x e y function c = costo(v) x = v(1); y = v(2); c = 2.33*x + 11900/(x*y) + 1.86*y + 10;
Ahora, encontrar un mínimo para esta función usando x = 0,1 y = 0,1 como los valores iniciales: >> v = [0.1 0.1]; >> a = fminsearch('costo', v) a = 15.9753
20.0121
Esto quiere decir que el mínimo ocurre cuando x = 15,9753 y = 20,0121 CT = 121,667
Usando el simulador UNTSIM Seleccionamosdel Menú principal: Optimización- Funciones multivariables - Mínimo sin restricciones y obtenemos la siguiente respuesta: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved OPTIMIZACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES SIN RESTRICCIONES, INICIA LA BUSQUEDA EN LOS
VALORES INICIALES Y ENCUENTRA UN MINIMO LOCAL Las vaiables se denotan por: x(1), x(2),... Ingrese funcion: '2.33*x(1) + 11900/(x(1)*x(2)) + 1.86*x(2) + 10' Inicio de busqueda Valores iniciales: [.1 .1] RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 15.9753 1.- El optimo de la variable es = 20.0121 2.- El optimo de la funcion es es = 121.667
Aún cuando en este caso se llega numéricamente a una solución consistente, en otros casos es necesario colocar restricciones para los valores de las variables o límites inferiores y/o superiores 2.6.2 Optimización de un CSTR El costo de operación de un CSTR es dado por la siguiente ecuación:: CT = Cf CAo q + CmV El costo total de oprtación CT ($/hr) es la suma del costo de la alimentación, Cf CAoq, y el costo de mezclado, CmV. Los valores para el reactor son los siguientes: Cf = $5.00/lb-mol de A, costo de alimentación CAo = 0.04 lb-mol/ft3, concentración inicia; de A. q
= caudal volumétrico de alimentación al reactor en ft3/hr.
Cm = $0.30/hr-ft3, costo de mezclado V
= volumen del reactor en ft3
Nosotros estamos interesados en obtener el costo de operación mínimo y los valores óptimos de caudal de alimentación, q; volumen de reactor, V; y concentración en el reactor, CA. En el reactor toma lugar la siguiente reacción de primer orden. A B Donde la velocidad de formación de B, rB está dada por r = kCA donde k = 0.1hr-1. a. Si se están produciendo 10 lb-mol de B por hora, dar las las dos ecuaciones de restricción de balance de materiales, las cuales restringen los valores de las variables independientes. (No hay B en la corriente de
alimentación). b. A partir de la función Lagrangiana y efectuando la apropiada diferenciación para obtener el conjunto de ecuaciones que pueden ser resueltas para los valores óptimos de las variables independientes. Cuantas ecuaciones y variables se obtienen? c. Resolver para el valor óptimo de volumen del reactor, V; caudal de alimentación, q; y concentración de A en el producto, CA. Solución analítica a. Balance de materiales para A
Balance de materiales para B
acum. = entrada – salida
acum. = entrada – salida
0 = CAoq – (rAV + qCA)
0 = CAoq + rBV – qCB
o 0 = CAoq – kCAV – qCA
0 = 0 + kCAV – 10
o (CAo – CA)q = kCAV
0 = kCAV – 10
Las ecuaciones de restricción son: (CAo – CA)q – kCAV = 0 10 – kCAV
=0
b. Formando la función Lagrangiana CT = CfCAoq + CmV + 1 [(CAo – CA)q - kCAV] + 2(10 – kCAV) Diferenciando se tiene:
Existen cinco variables: q, V, CA, 1, 2; y cinco ecuaciones. Resolviendo simultáneamente usando las ecuaciones 2 y 3, se tiene: 2. CmV – 1kCAV – 2kCAV = 0 3. –1qCA – 1kCAV – 2kCAV = 0 -----------------------------------CmV – 1qCA = 0 1 = – CmV/qCA Reemplazando en ecuación 1 para 1, se tiene: CfCAo – (CmV/qCA)( CAo – CA) = 0 De la ecuación 4, se obtiene V/q como:
Reemplazando
Resolviendo para CA: CAo – CA = MCA CAo = MCA + CA = CA(M+1)
Luego conociendo CA de la ecuación 5 da:
Conociendo CA y V de la ecuación 4 se tiene:
Reemplazando
Solución Numérica Usando MATLAB El costo total es: CT = Cf CAoq + CmV de las ecuaciones de balance de materiales, se tiene:
Reemplazando q y V en la ecuación de costo total ( y haciendo CA = x), así como remplazando los valores numéricos, tenemos la función de costo total: CT = f = (2/(0.04 – x)) + 0.3/x
(función de una sola variable)
Para el caso de optimización de funciones de una variable, el procedimiento es el siguiente: 1. Creamos una función objetivo en línea >> f = inline('(2/(0.04-x))+30/x');
2. Luego invocamos la rutina fminbnd y en este caso damos un intervalo para la variable que es la concentración de A la cual debe estar entre 0 (conversión total) y 0.04 (no hay conversión) >> x = fminbnd(f, 0, 0.04)
Obteniendo la siguiente respuesta: x =
Valor de CA para tener un costo total mínimo El costo total mínimo se evalua con la orden: 0.0318
>> y = f(x) y = 1.1873e+003
Los demas valores se obtienen con los reemplazos respectivos.
Usando el simulador UNTSIM Seleccionamos del Menú principal: Optimización - Funciones de una variable - Mínimo en un intervalo fijo; obteniendo la siguiente respuesta: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved OPTIMIZACION DE FUNCIONES MONOVARIABLES EN UN INTERVALO FIJO *************************************** Ingrese funcion: '(2/(0.04-x))+30/x' Intervalo de busqueda Limite inferior: 0 Limite superior: 0.04 --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 0.0317799 2.- El optimo de la funcion es = 1187.3
2.6.3 Tres Reactores en Paralelo La alimentación total a tres reactores químicos en paralelo es 1100 libras por hora. Cada reactor está operando con diferente catalizador y diferentes condiciones de temperatura y presión. La función beneficio de cada reactor tiene la velocidad de alimentación como la variable independiente, y los parámetros en la ecuación son determinados por el catalizador y condiciones de operación. Las funciones beneficio para cada reactor son dadas a continuación. P1 = 0.2F1 - 2(F1/100)2 P2 = 0.2F2 - 4(F2/100)2 P3 = 0.2F3 - 6(F3/100)2 Determine el beneficio máximo y la alimentación óptima a cada reactor. Solución analítica
max: P = 0.2F1 - 2(F1/100)2 + 0.2F2 - 4(F2/100)2 + 0.2F3 - 6(F3/100)2 sujeta a : F1 + F2 + F3 = 1100 La función Lagrangian es: L(F1, F2, F3 , ) = 0.2F1 - 2(F1/100)2 + 0.2F2 - 4(F2/100)2 + 0.2F3 - 6(F3/100)2 +(F1 + F2 + F3 - 1100)
F1 = 2F2 o 2F2 = 3F3 y F1 + ½ F1 + 1/3 F1 = 1100 Reemplazando y resolviendo se tiene: F1 = 600 F2 = 300 F3 = 200 F1 + F2 + F3 = 1100 P = 0.2(1100) - 2(6)2 - 4(3)2 - 6(2)2
P = 88 Solución numérica con MATLAB Para usa la rutina fmincon, debemos multiplicar la función por -1 y luego la funcion resultante minimizarla, con lo que se tiene: minimizar: f = -0.2F1 + 2(F1/100)2 - 0.2F2 + 4(F2/100)2 - 0.2F3 + 6(F3/100)2 Escribimos la función costoi function f = costoi(x) f =-0.2*x(1)+ 2*(x(1)/100)^2 -... 0.2*x(2)+4*(x(2)/100)^20.2*x(3)+6*(x(3)/100)^2; Luego damos los coeficientes de la restricción de igualdad: >>Aeq = [1
1
1]
Del lado derecho de la restricción: >>beq = [1100] Los valores iniciales: >>x0 = [1
1
1];
Invocamos la rutina de cálculo >> [x,fval] = fmincon(@costoi,x0,[],[],Aeq,beq) Y el resultado es x = 600.0000 299.9998 200.0001
fval = 88.0000 Luego este resultado lo dividimos entre ( - 1), con lo que se tiene una respuesta que coincide con la encontrada analítcamente Usando el simulador UNTSIM Seleccionando del Menu Principal: Optimización - Funciones Multivariables - Mínimo
con Restricciones: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA REALIZA LA OPTIMIZACION DE FUNCIONES CON DOS O MAS VARIABLES CON RESTRICCIONES LINEALES DE DESIGUALDAD, IGUALDAD LIMITES PARA LAS VARIABLES Y RESTRICCIONES NO LINEALES ********************************************************* Ingrese funcion: '-0.2*x(1)+ 2*(x(1)/100)^2 -0.2*x(2)+ 4*(x(2)/100)^20.2*x(3)+6*(x(3)/100)^2' Cuantas restricciones lineales de desigualdad tiene?: 0 Cuantas restricciones lineales de igualdad tiene?: 1 Ingrese matriz de coeficientes de las restricciones de igualdad [ ]: [1 1 1] Ingrese vector de valores del lado derecho de restricciones de igualdad [ ]: [1100] Hay limites para los valores de la variables si(1) no (0): 0 Cuantas restricciones no lineales tiene?: 0 Inicio de busqueda Valores iniciales: [1 1 1] Optimization terminated successfully: Magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 RESULTADO DE LA OPTIMIZACIÓN --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 600 1.- El optimo de la variable es = 300 1.- El optimo de la variable es = 200 2.- El optimo de la función es = -88 >>
Igual que en el caso anterior al óptomo de la función debemos dividirlo entre (-1), ya que al inicio lo multiplicamos por (-1)
2.6.4 Tasa Interna de Retorno La tasa interna de retorno (TIR) se define como la tasa de interés cuando el valor presente neto (VPN) es cero para un número de años especificado y un flujo inicial de dinero (“cash flow’) CFo. Este puede ser formulado como un problema de optimización como sigue. minimizar: (VPN)2 Para el caso de flujos de dinero constantes CF j = A, desarrollar la ecuación para
determinar la tasa de retorno. El valor presente neto es dado par la siguiente ecuación.
Solución:
-i-2 - [i -2(1 + i)-n - ni-1 (1 + i)-n-1] = 0 Y simplificando se tiene: 1 + (1 + n)i = (1 + i)n+1 = 0 o i = [(1 + i)n+1 - 1] / (n + 1) Es necesaria una solución iterativa, ya que no es posible obtener una ecuación para i explicitamenta.
Ejemplo: para ilustrar la aplicación usaremos el ejemplo 7.2 del texto de Economía de Procesos, el cual se reduce a la siguiente ecuación representando el valor presente del flujo de dinero (VPFD), la cual es la función objetivo y el factor a optimizar es el interés (i)
Esta función lo escribimos de la forma: y = 110000-30000*(1./((x + 1.0))) - 31000*(1./((x + 1.0).^2 )) 36000*(1./((x + 1.0).^3)) - 40000*(1./((x + 1.0).^4)) - 43000*(1./((x +
1.0).^5))-10000*(1./((x + 1.0).^5))
-10000*(1./((x + 1.0).^5));
Usando UNTSIM Seleccionamos del menú principal: Optimización - Funciones de una variable - Cero de la función Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved EVALUA EL VALOR DE LA VARIABLE CERCANO A UN VALOR INICIAL DE LA VARIABLE PARA QUE LA FUNCION SEA CERO ********************************************************** Ingrese funcion: '110000-30000*(1./((x + 1.0))) - 31000*(1./((x + 1.0).^2 )) - 36000*(1./((x + 1.0).^3)) - 40000*(1./((x + 1.0).^4)) -43000*(1./((x+1.0).^5))-10000*(1./((x + 1.0).^5)) -10000*(1./((x + 1.0).^5))' Valor Inicial de la variable: 0
RESULTADO DE LA OPTIMIZACIÓN --------------------------------------------1.- El valor de la variable es = 0.207169 2.- El valor de la función es = -2.45564e-011
>> Luego la tasa interna de retorno es 20.71 %
CAPITULO III OPTIMIZACIÓN DE PLANTAS 3.1
LA GRAFICA DEL PUNTO DE EQUILIBRIO PARA PLANIFICAR LA PRODUCCIÓN Y SU SIGNIFICANCIA PARA ANÁLISIS OPTIMO
Al considerar los costos totales o beneficios en la operación de una planta, uno de los factores que tiene un efecto importante sobre los resultados económicos durante la vida económica es la fracción de capacidad a la cual opera la planta. Si la planta está sobredimensionada u opera a baja capacidad, algunos costos, tales como materias primas y mano de obra, serán disminuidos, pero los costos por depreciación y mantenimiento continúan esencialmente en el mismo valor aun cuando la planta no este operando a su capacidad total.
Fig. 3-1 Gráfica del punto de equilibrio Hay una relación entre la vida económica, capacidad de producción, y precio de venta. Es deseable operar a una capacidad que permita una utilización máxima de los costos fijos mientras se pueda vender el producto y utilizar la capacidad de producción
para dar el mejor resultado económico. La Fig. 3-1 muestra gráficamente como la cantidad de producción afecta los costos y beneficios. Los costos fijos permanecen constantes mientras que el costo total, sí como las utilidades incrementan con el incremento de la capacidad de producción. El punto donde el costo total de producción es igual a los ingresos representa el punto de equilibrio, y la capacidad de producción debe ser mayor que la capacidad correspondiente al punto de equilibrio
3.2
PRODUCCIÓN OPTIMA OPERACIÓN DE PLANTAS
Los mismos principios usados para desarrollar un diseño óptimo pueden aplicarse para determinar las condiciones más favorables en la operación de una planta de manufactura. Una de las variables mas importantes en plantas de manufactura es la cantidad de producto producido por unidad de tiempo. La velocidad de producción depende de muchos factores, tales como el número de horas de operación por día, por semana, o por mes; la carga puesta sobre el equipo; y las ventas posibles. A partir de un análisis de los costos involucrados bajo situaciones diferentes y considerando otros factores afectando a la planta particular, es posible determinar una velocidad de producción optima o llamada tamaño económico de lote. Cuando un ingeniero de diseño realiza un diseño total de la planta, ordinariamente el estudio se basa en una capacidad de producción dada para la planta. Antes de que la planta sea puesta en operación, sin embargo, algunos de los factores originales de diseño serán cambiados, y la capacidad de producción óptima puede variar considerablemente de la “capacidad de diseño”. Por ejemplo, suponer que una planta ha sido diseñada originalmente para la producción por lotes de un producto orgánico sobre la base de un “batch”cada 8 horas. Antes de que la planta sea puesta en operación, se obtienen los costos de los procesos actuales, y se hacen pruebas operando con varios procesos. Se encuentra que la mayor producción por mes puede obtenerse si se reduce el tiempo por “batch”. Sin embargo, cuando se usa un tiempo mas corto por “batch”, se requiere mas mano de obra, el porcentaje de conversión de materiales disminuye, y los costos de potencia y vapor aumentan. Aquí esta un caso en el cual puede usarse un balance económico para encontrar la velocidad de producción optima. Aun cuando el ingeniero de diseño puede haber basado sus recomendaciones originales en un tipo similar de balance económico, las condiciones de precio y mercado no permanecen constantes, por lo tanto el estudio económico debe hacerse periódicamente. El siguiente análisis indica el método general para determinar la velocidad de producción optima o tamaño de lote. El costo total de producto por unidad de tiempo puede dividirse en dos clasificaciones de costos de operación y costos de organización. Los costos de operación dependen de la velocidad de producción e incluyen gastos para mano de obra directa, materias primas, potencia, calor, suministros, e ítem similares los cuales son una función de la cantidad de material producido. Los costos de organización se deben a gastos para personal directivo, equipo físico, y otros servicios o facilidades las cuales no dependen de la cantidad producida. Los costos de organización son independientes de la capacidad
de producción. Es conveniente considerar los costos de operación sobre la base de una unidad de producción. Cundo se hace esto, los costos de operación pueden dividirse en dos tipos de gastos como sigue: 1. Mínimo gasto para materias primas, mano de obre, potencia, etc., que permanece constante y debe ser pagado por cada unidad de producción tanto como la cantidad producida de material. 2. Gastos extras debido al incremento de la cantidad de producción. Estos gastos extras son conocidos como costos de sobreproducción. Ejemplos de costos de superproducción son costos extras causados por consumo extra de potencia, requerimientos adicionales de mano de obre, o disminución en la eficiencia de conversión. Los costos de superproducción pueden a menudo representarse como sigue: Costos de superproducción por unidad de producción = mPn
(3.1)
donde P = velocidad de producción tal como unidades totales de producción por unidad de tiempo. m = constante n = constante Designando h como los costos de operación los cuales permanecen constantes por unidad de producción y OC como los costos de organización por unidad de tiempo, el costo total por unidad de producción es:
Las siguientes ecuaciones para varios tipos de costos o beneficios se basan en la Ec. (3.2):
donde CT = costo total de producto por unidad de tiempo
r = beneficio por unidad de producción R’= beneficio por unidad de tiempo s = precio de venta por unidad de producción 3.2.1
Producción óptima para costo mínimo por unidad de producción
A menudo es necesario conocer la velocidad de producción a la cual se tiene el costo de producción mínimo sobre la base de una unidad de material producido. La producción óptima debe ocurrir cuando dcT /dP = 0. Una solución analítica para este caso puede obtenerse de la Ec. (3.2), y la producción óptima Po dando el costo mínimo por unidad de producción se encuentra como sigue:
La producción óptima mostrada en la Ec. (3.7) podría, desde luego, dar el beneficio máximo por unidad de producción si el precio de venta permanece constante. 3.2.2
Producción óptima para máximo beneficio total por unidad de tiempo.
En la mayoría de negocios, la cantidad de dinero ganada en un período de tiempo dado es mucho mas importante que la cantidad de dinero ganada por cada unidad de producto vendido. Entonces, se debe reconocer que la producción para beneficio máximo por unidad de tiempo puede diferir considerablemente de la producción para el costo mínimo por unidad de producción. La Ec. (3.5) presenta la relación básica entre costos y beneficios. Una gráfica de beneficio por unidad de tiempo versus producción pasa por un máximo. Luego esta ecuación puede usarse para encontrar analíticamente un valor de la producción óptima. Cuando el precio de venta permanece constante, la producción que de el beneficio máximo por unidad de tiempo es:
Ejemplo 3.1 Determinación de beneficios a producción óptima Una planta produce refrigeradores a razón de P unidades por día. Los costos variables por refrigerador se han encontrado a ser $47,73 + 0,1P1,2. Las cargas fijas totales diarias son $1750, y todos los demás costos son constantes e iguales a $7325 por día. Si el precio de venta por refrigerador es 4173, determine:
(a)
El beneficio diario para una producción que de el mínimo costo por refrigerador.
(b)
El beneficio diario a una producción que de el beneficio diario máximo
(c)
La producción en el punto de equilibrio
Solución (a)
Costo total por refrigerador = cT = 47,73 + 0,1P 1,2 + (1750 + 7325)/P Producción para costo mínimo por refrigerador,
Po = 165 unidades por día para el mínimo costo por unidad Beneficio diario para la producción que de el mínimo costo por refrigerador
(b) Beneficio diario es:
Producción para beneficio máximo por día,
Po = 198 unidades por día para beneficio diario máximo Beneficio diario con una producción que da beneficio diario máximo (c)
Beneficio total por día en el punto de equilibrio
Resolviendo la ecuación anterior para P, Pen el punto de equilibrio = 88 unidades /día
Usando UNTSIM a) Costo mínimo Seleccionando: Funciones con una variable - Mínimo con un valor inicial Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ENCUENTRA EL OPTIMO DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE CERCANO A UN UN VALOR DADO DE LA VARIABLE *************************************************** Ingrese funcion: '47.73 + 0.1*x^1.2 + (1750 + 7325)/x' Valor Inicial de la variable: 1 RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 165.035 2.- El optimo de la funcion es = 148.542
b) Punto de equilibrio: Optimización - Funciones con una variable - Cero de la función Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved EVALUA EL VALOR DE LA VARIABLE CERCANO A UN VALOR INICIAL DE LA VARIABLE PARA QUE LA FUNCION SEA CERO ************************************************** Ingrese funcion: '173*x-(47.73*x + 0.1*x^2.2 + (1750 + 7325))' Valor Inicial de la variable: 50 RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El Valor de la variable es = 87.3256 2.- El valor de la funcion es = -1.81899e-012
3.3
CONDICIONES OPTIMAS EN OPERACIONES CÍCLICAS
Muchos procesos son llevados a cabo en operaciones cíclicas las cuales involucran periodos cortos para descargar, limpiar y recarga. Este tipo de operaciones ocurre cuando el producto es obtenido por un proceso “batch” o cuando la velocidad de producción disminuye con el tiempo, tal como la filtración en una unidad de discos. En una verdadera operación “batch” no se obtiene producto durante el periodo de parada. En operaciones cíclicas semicontinuas, se obtiene producto continuamente mientras que la unidad esta en operación, pero la cantidad disminuye con el tiempo. Por lo tanto en operaciones “batch” o semicontinuas, la variable de tiempo total requerido por ciclo debe ser considerado cuando se determina las condiciones optimas. El análisis de operaciones cíclicas puede llevarse a cabo convenientemente usando como base el tiempo por ciclo. Cuando se hace esto, pueden desarrollarse relaciones similares a las siguientes para expresar todos los factores, tales como costo total anual o
producción anual:
El ejemplo siguiente ilustra el método general para determinar las condiciones optimas en una operación “batch”. Ejemplo 3.2 Determinación de las condiciones para el costo total mínimo en una operación “batch” Un compuesto orgánico se esta produciendo mediante una operación “batch”en la cual no se obtiene nada de producto hasta que se termina el “batch”. Cada ciclo consiste del tiempo de operación necesario para la reacción completa además de un tiempo total de 1,4 h para descargar y cargar. El tiempo de operación por ciclo es igual a h, donde Pb son los Kg. de producto obtenidos por “batch”. Los costos de operación durante el periodo de operación son $20 por hora, y los costos durante el periodo de descarga y carga son $15 por hora. Los costos fijos anuales para el equipo varían con el tamaño del “batch” de acuerdo a:
Las cargas de inventario y almacenamiento pueden despreciarse. Si es necesario, la planta puede ser operada 24 h por día durante 300 días por año. La producción anual es 1 millón de Kg. de producto. A esta capacidad, los costos de materia prima y misceláneos, otros que los ya mencionados, ascienden a $260 000 por año. Determinar el tiempo por ciclo para condiciones de costo total mínimo por año. Solución
El costo total anual es un mínimo cuando d(costo total anual)/dPb = 0. Efectuando la diferenciación, igualando el resultado a cero, y resolviendo para Pb se tiene: Pb, para costo óptimo = 1630 Kg. por “batch” Este mismo resultado podría haberse obtenido graficando el costo total anual versus Pb y determinando el valor de Pb al punto de costo total anual mínimo. Para condiciones de costo total anual mínimo y una producción de 1 millón de kg/año: Tiempo por ciclo = (1,5)(1630)0,25 + 1,4 = 11 h
Luego para condiciones de costo anual mínimo y una producción de 1 millón de kg/año, podría no usarse todo el tiempo disponible para operación y no operación. Solución NuméricaUsando MATLB Crear el archivo-M cost.m function c = cost(v) x = v(1); c = (30*x^0.25 + 21)*(1000000/x) + 340*x^0.8 + 260000;
Ahora, encontrar un mínimo para esta función usando x = 1,0 como el valor inicial: >> v = [1]; >> a = fminsearch('cost', v)
Obteniéndose como respuesta a = 1.6258e+003
Lo cual indica que Pb, para costo óptimo = 1625,8 kg por “batch” Usando UNTSIM Seleccionando: Funciones de una variable - Mínimo con un valor inicial Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved
ENCUENTRA EL OPTIMO DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE CERCANO A UN VALOR DADO DE LA VARIABLE *************************************************** Ingrese función: '(30*x^0.25 + 21)*(1000000/x) + 340*x^0.8 + 260000' Valor Inicial de la variable: 1 RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 1625.84 2.- El optimo de la función es = 516077
3.3.1
Operaciones cíclicas semicontinuas
Las operaciones cíclicas semicontinuas son con frecuencia encontradas en la industria química, y el ingeniero de diseño debe entender los métodos para determinar el tiempo óptimo por ciclo en este tipo de operaciones. Aun cuando se obtiene producto continuamente, la velocidad de producción disminuye con el tiempo debido a las incrustaciones, recolección de subproductos, reducción de la conversión y eficiencia, o causas similares. Esto deviene en la necesidad de cortar periódicamente la operación en razón de restaurar las condiciones iniciales para tener altas velocidades de producción. El tiempo óptimo por ciclo puede ser determinado para condiciones tales como la producción máxima por unidad de tiempo o el costo mínimo por unidad de producción. Formación de incrustaciones en evaporación
Durante el tiempo que un evaporador está en operación, a menudo se depositan sólidos sobre el área de transferencia, formando incrustaciones. La formación continua de incrustaciones causa un incremento gradual de la resistencia al flujo de calor y, consecuentemente, una reducción en la velocidad de transferencia de calor y la velocidad de evaporación si se mantiene la misma diferencia de temperatura como fuerza impulsora. Bajo estas condiciones, la unidad de evaporación debe ser parada y limpiada después de un tiempo óptimo de operación, y los ciclos son entonces repetidos. La formación de incrustaciones ocurre en la misma extensión en los diferentes tipos de evaporadores, pero es de particular importancia cuando la mezcla alimentada contiene un material disuelto que tiene una solubilidad inversa. El término solubilidad inversa indica que la solubilidad disminuye a medida que la temperatura de la solución aumenta. Para un material de este tipo, la solubilidad es menor cerca de la superficie de transferencia de calor donde la temperatura donde la temperatura es mas alta. Por lo tanto, cualquier sólido cristalizando cerca de la superficie de transferencia de calor formará incrustaciones sobre esta superficie. Las sustancias más comunes para formar incrustaciones son sulfuro de calcio, hidróxido de calcio, carbonato de sodio, sulfato de sodio y sales de calcio de ciertos ácidos orgánicos. Cuando ocurre la formación de incrustaciones, el coeficiente total de transferencia de calor puede ser relacionado al tiempo que el evaporador ha estado en operación por la ecuación de la línea recta
donde a y b son constantes para una operación dada y U es el coeficiente total de
transferencia de calor en cualquier tiempo de operación b desde el inicio de la operación Si esto no se puede determinar los coeficientes de transferencia y las constantes mostradas en la Ec. (3.12), puede usarse cualquier cantidad que sea proporcional al coeficiente de transferencia de calor. Por lo tanto, si todas las condiciones excepto la formación de incrustaciones son constantes, la velocidad de alimentación, velocidad de producción, y velocidad de evaporación pueden cada una representarse de manera similar a la Ec. (3.12). Cualquiera de estas ecuaciones puede ser usada como una base para encontrar las condiciones optimas. El método general es ilustrado a continuación, donde se emplea la Ec. (3.12) como base. Si Q representa la cantidad total de calor transferido en el tiempo de operación b, y A y t representan el área de transferencia de calor y la diferencia de temperatura respectivamente, la velocidad de transferencia de calor en cualquier instante es:
La velocidad instantánea de transferencia de calor varia durante el tiempo de operación, pero el área de transferencia de calor y la diferencia de temperatura permanecen esencialmente constantes. Entonces, la cantidad total de calor transferido durante un tiempo de operación b, puede determinarse integrando la Ec. (3.13) como sigue:
Tiempo por ciclo para cantidad máxima de calor transferido . La ecuación (3.15) puede usarse como una base para encontrar el tiempo por ciclo el cual permita la máxima cantidad de calor transferido durante un periodo dado. Cada ciclo consiste de un tiempo de operación (o ebullición) de b h. Si el tiempo por ciclo para descargar, limpiar, y recargar es c, el tiempo total en horas por ciclo es t = b +c .Luego, designando al tiempo total usado para la operación actual de descarga, limpieza y recarga como H, el número de ciclos durante H h = H/(b +c).
Fig. 3-2 Determinación del tiempo óptimo de operación para máxima cantidad de calor transferido en un evaporador con formación de incrustaciones. La cantidad total de calor transferido durante H h = QH = (Q/ciclo) x (ciclos/H h) Entonces,
Bajo condiciones ordinarias, la única variable en la Ec. (3.16) es el tiempo de operación b. un gráfica de la cantidad total de calor transferida versus b muestra un máximo en el valor óptimo de b. La Fig. 3-2 presenta una gráfica de este tipo. El tiempo óptimo del ciclo también puede obtenerse derivando la Ec. (3.16) con respecto a b igualando a cero y resolviendo para b. El resultado es
El tiempo óptimo de ebullición está dado por la Ec. (3.17) mostrando el plan necesario para permitir la cantidad máxima de calor transferido. Debe usarse todo el tiempo disponible para operación, descarga, limpieza y recarga. Para condiciones constantes de operación, este mismo plan dará también la máxima cantidad de alimentación consumida, producto obtenido y liquido evaporado. Un tercer método para determinar el tiempo óptimo por ciclo es conocido como el método tangencial para encontrar las condiciones óptimas, y es aplicable a muchos tipos de operaciones cíclicas. Este método es ilustrado para condiciones de tiempo de limpieza (c) constante en la Fig. 3-3, donde se grafica la cantidad de calor transferido versus el tiempo de limpieza. La curva OB está basada en la Ec. (3.15). La cantidad
promedio de calor transferido durante un ciclo completo es Q/(b +c).
Fig. 3-3 Método tangencial para encontrar el tiempo óptimo de operación para máxima cantidad de calor transferido en evaporador con formación de incrustaciones. Cuando la cantidad total de calor transferido durante un número de ciclos repetidos es un máximo, la cantidad promedio de calor transferido por unidad de tiempo debe también ser un máximo. El tiempo óptimo por ciclo, entonces, ocurre cuando Q/(b +c) es un máximo. La línea recta CD’ en la Fig. 3-3 comienza a la distancia equivalente a c sobre el lado izquierdo del origen de la grafica. La pendiente de esta línea recta es Q/(b +c), con los valores de Q y b determinados por el punto de intersección entre la línea CD’ y la curva OB. El valor máximo de Q/(b +c) ocurre cuando la línea CD es tangente a la curva OB, y el punto de tangencia indica el valor óptimo del tiempo de ebullición por ciclo para condiciones de cantidad máxima de calor transferido.
Tiempo por ciclo para costo mínimo por unidad de calor transferido. Existen muchas circunstancias diferentes las cuales pueden afectar al costo mínimo por unidad de calor transferido en una operación de evaporación. Un caso simple y comúnmente dado será considerado. Se puede asumir que se dispone de una unidad de evaporación de capacidad fija, y que cada día debe manejarse una cantidad definida de alimentación y evaporación. El costo total para limpieza y cargas de inventario se asume constante sin importar cuanto tiempo usado para ebullición. El problema es determinar el tiempo por ciclo, el cual permita la operación a menor costo total. El costo total incluye (1) cargas fijas sobre el equipo y perdidas de calor, (2) vapor, materiales, y costos de almacenamiento los cuales son proporcionales a la cantidad de alimentación y evaporación, (3) desembolsos para mano de obra directa durante la operación de evaporación actual, y (4) costos de limpieza. Como el tamaño del equipo y
las cantidades de alimentación y evaporación son fijos, los costos considerados en (1) y (2) son independientes del tiempo por ciclo. Entonces, el tiempo óptimo por ciclo puede encontrarse minimizando la suma de los costos para limpieza y mano de obra directa durante la operación. Si Cc representa los costos para una limpieza y Sb son los costos de mano de obra directa por hora durante la operación, los costos variables totales durante H h de tiempo de operación y limpieza debe ser
Las Ecs. (3.16) y (3.18) se pueden combinar para dar
El valor óptimo de b para costo total mínimo puede obtenerse graficando CT versus b o derivando la Ec. (3.19) con respecto a b igualando a cero y resolviendo para b. El resultado es
La Ec. (3.20), muestra que el tiempo óptimo por ciclo es independiente de la cantidad requerida de calor transferido QH. Por lo tanto se debe hacer una revisión para tener el tiempo óptimo por ciclo exacto para mínimo costo permitiendo la cantidad requerida de calor transferido. Esto puede hacerse fácilmente usando la siguiente ecuación, la cual se basa en la Ec. (3.16):
donde H’es el tiempo total disponible para la operación, descarga, limpieza y recarga. Si t es igual o mayor que b,opt + c , puede usarse el tiempo óptimo de ebullición indicado por la Ec. (3.20), y la producción requerida puede obtenerse a condiciones de costo mínimo. El tiempo óptimo por ciclo determinado por los métodos precedentes puede no ajustarse al programa da operación adecuado. Afortunadamente, como se muestra en las Figs. 3-2 y 3-3, los puntos óptimos usualmente ocurren donde una variación considerable en el tiempo por ciclo tiene pequeño efecto sobre el factor que esta siendo optimizado. Entonces es posible, ajustar el tiempo por ciclo para elaborar un programa de operación adecuado sin causar muchas variaciones en los resultados finales. Las aproximaciones descritas en las secciones precedentes pueden ser aplicadas
para diferentes tipos de operaciones cíclicas semicontinuas. Una ilustración mostrando como el mismo razonamiento es usado para determinar los tiempos óptimos por ciclo para operaciones en filtros prensa se presenta en el Ejemplo 3.3.
Optimización de un Filtro Prensa Ejemplo 3-3 Tiempo por ciclo para máxima cantidad de producción de un filtro prensa de placas y armazón. Exámenes con un filtro prensa de placas y armazón, operando a presión constante, muestran que la relación entre el volumen de producto filtrado y el tiempo de operación puede representarse por:
donde Pf = pies cúbicos de producto filtrado en un tiempo de filtrado de f h. La torta formada en cada ciclo debe ser lavada con una cantidad de agua igual a la dieciséis ava parte del volumen de filtrado por ciclo. La velocidad de lavado permanece constante e igual a un cuarto de la velocidad de filtrado al final de la filtración. El tiempo requerido por ciclo para desmontar, descargar, y volver a montar es 6 h. Bajo estas condiciones donde se aplica la información precedente, determinar el tiempo total por ciclo necesario para permitir la máxima salida de filtrado durante cada 24 h. Solución
Haciendo f = horas de tiempo de filtrado por ciclo Filtrado obtenido por ciclo = Pf, ciclo = 150(f + 0,11)1/2 pies3. Caudal de filtrado obtenido al final del ciclo es
Tiempo para lavado = (volumen de agua de lavado)/ (velocidad de lavado)
Filtrado en pies3 obtenidos/24 h es
La Ec. (1) describe el tiempo total por ciclo en función del tiempo de filtrado La Ec. (2) describe la cantidad de filtrado en función del tiempo de filtrado La solución se encuentra de la manera siguiente: -
Determinar el tiempo de filtrado para obtener la máxima cantidad de filtrado usando la Ec. (2)
-
Reemplazar en la Ec. (1), el valor encontrado del tiempo de filtrado para obtener el tiempo total por ciclo.
La solución puede hacerse usando diferentes métodos de los cuales presentaremos dos.
a) Método de búsqueda.Usamos una hoja de cálculo (Exel) para determinar el valor de tiempo de filtrado que nos de la cantidad máxima de filtrado. -
Un primer cálculo se hace variando f de 1 en 1
f 1 2 3 4
Filtrado 501.697 577.185 601.199 605.168
5 6 7 8 9
600.140 590.878 579.664 567.669 555.511
El máximo se encuentra entre 3 y 5. Se hace una nueva búsqueda entre estos valores variando en 0.1
f 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0
-
Filtrado 601.199 602.234 603.096 603.798 604.354 604.774 605.068 605.247 605.317 605.289 605.168
El máximo ocurre para f = 3,8 (si se desea mayor exactitud se puede hacer una nueva búsqueda entre3,7 y 3,9)
b) Método analítico Derivando la Ec.(2) e igualando a cero
Efectuando la diferenciación y resolviendo para f ,
f, opt = 3,8 h Tiempo total por ciclo necesario para obtener la salida máxima de filtrado = (1,5)(3,8) + 6,06 = 11,8 h
C) Solución Numérica Usando Matlab Si deseamos maximizar la Ecuación (2) es igual que minimizar el inverso de esta función. Por lo tanto la función inversa de la Ec. (2) y haciendo f = x y Pf = y, se tiene: y = (1.5*x + 6.06)/(150*24*(x + 0.11)^0.5) Escribimos la función para calculo inmediato (inline) >> g = inline('(1.5*x + 6.06)/(150*24*(x + 0.11)^0.5)');
Luego invocamos la rutina de optimización: fminbnd (Usamos esta rutina para funciones de 1 variable >> [x,fval] = fminbnd(g, 1,24) <----- Buscamos en el intervalo <1 a <24 x = 3.8200 fval =
<----- El óptimo de la variable <------ El óptimo de la función
0.0017
Luego calculamos tiempo total por ciclo necesario para obtener la salida máxima de filtrado >> (1.5)*(3.82) + 6.06 ans = 11.7900 horas
d) Usando UNTSIM Optimización - Funciones de una variable - Mínimo en un intervalo fijo Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved OPTIMIZACION DE FUNCIONES MONOVARIABLES EN UN INTERVALO FIJO ***************************************** Ingrese función: '(1.5*x + 6.06)/(150*24*(x + 0.11)^0.5)' Intervalo de búsqueda Limite inferior: 1 Limite superior: 24 RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 3.82 2.- El optimo de la función es = 0.00165202
CAPITULO IV ANÁLISIS DE RESULTADOS 4.1 PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD DE LOS RESULTADOS El propósito de la discusión y los ejemplos presentados en las secciones precedentes a este capítulo ha sido dar una basa para el entendimiento de la significación de las condiciones optimas además de simplificar los ejemplos para ilustrar los conceptos generales. Costos debido a los impuestos, valor del dinero en el tiempo, capital, eficiencia o ineficiencia de la operación, y mantenimiento especial son ejemplos de los factores que no se han enfatizado anteriormente. Tales factores pueden tener una suficiente e importante influencia sobre las condiciones optimas por lo que deben tomarse en cuenta para un análisis final. El ingeniero debe tener el entendimiento práctico para reconocer cuando tales factores son importantes y cuando la exactitud adicional obtenida al incluirlos no compensa la dificultad del análisis. Un ejemplo clásico mostrando como pueden hacerse refinamientos adicionales en un análisis para condiciones óptimas es dado en el desarrollo de métodos para determinar el diámetro económico óptimo de tubería para el transporte de fluidos. El análisis siguiente, tratando con diámetros económicos de tubería, da un ejemplo detallado para ilustrar como se pueden desarrollar expresiones simplificadas para condiciones optimas. Futuras discusiones mostrando los efectos de otras variables sobre la sensibilidad también serán presentadas.
4.2 DINÁMICA DE FLUIDOS (DIÁMETRO ÓPTIMO DE TUBERÍA) La inversión para tubería y accesorios puede constituir una parte importante de la inversión total para una planta química. Es necesario, entonces, seleccionar un tamaño de tubería el cual se acerque al costo total mínimo para bombeo y cargas fijas. Para cualquier conjunto de condiciones de flujo, el uso de un diámetro mayor de tubería causara un aumento en las cargas fijas para el sistema y una disminución en las cargas de bombeo. Por lo tanto debe existir un diámetro económico optimo de tubería. El valor de este diámetro óptimo puede determinarse combinando los principios de la dinámica de fluidos con las consideraciones de costos. El diámetro económico óptimo de tubería se encuentra en el punto al cual la suma de los costos de bombeo y las cargas fijas para el sistema es un mínimo. 4.2.1
Costos de bombeo
Para cualquier condición de operación dada involucrando el flujo de un fluido no compresible a través de una tubería de diámetro constante, el balance total de energía mecánica puede reducirse a la forma siguiente:
donde Trabajo = trabajo mecánico adicionado al sistema desde una fuente mecánica externa, pie. Lbf/lbm f = factor de fricción de Fanning, adimensional † V = velocidad lineal promedio del fluido, pies/s L = longitud de tubería, pies J = pérdida por fricción debido a los accesorios y cambios de dirección, expresado como fracción de perdida en la tubería recta gc = factor de conversión de la ley de movimiento de Newton 32,17 pies.lbm/(s)(s)(lbf) D = diámetro interior de tubería, pies. El subíndice i indica pulg. B = constante que toma en consideración el resto de los demás factores del balance de energía mecánica En la región de flujo turbulento (número de Reynolds mayor que 2100), f puede ser aproximado para tuberías nuevas de acero por la siguiente ecuación:
donde NRe es el número de Reynolds o DV/ Si el flujo es viscoso (número de Reynolds menor que 2100),
Combinando las Ecs. (4.1) y (4.2) y aplicando los factores de conversión necesarios, puede obtenerse la siguiente ecuación representando el costo anual de bombeo cuando el flujo es turbulento:
donde Cbombeo = costo de bombeo en dólares por año por pie de longitud de tubería
cuando el flujo es turbulento qf = caudal del fluido, pies3/s
= densidad del fluido, lb/pie3 c = viscosidad del fluido, centipoises K = costo de energía eléctrica, $/kWh Hy = horas de operación por año E = eficiencia del motor y la bomba expresado como fracción B’= una constante independiente de Di De manera similar, las Ecs. (4.1) y (4.3) y los factores de conversión necesarios pueden combinarse para dar el costo anual de bombeo cuando el flujo es viscoso:
donde Cbombeo = costo de bombeo en dólares por año por pie de longitud de tubería cuando el flujo es viscoso Las Ecs. (4.4) y (4.5) se aplican a fluidos no compresibles. En cálculos de ingeniería, generalmente también son aceptadas para gases si la caída total de presión es menos que el 10 por ciento de la presión inicial
† Basado en ecuación de Fanning escrita como (fricción) = 2fV2L/gcD
4.2.2
Cargas fijas para el sistema de tubería
Para la mayoría de tipos de tubería, una gráfica del logaritmo del diámetro de tubería versus el logaritmo de los costos de compra por pie de tubería es esencialmente una línea recta. Entonces, el costo de compra para la tubería puede representarse por la siguiente ecuación:
donde ctuberia = costo de tubería nueva por pie de longitud, $/pie
X = costo de tubería nueva por pie de longitud si el diámetro es 1 pulg., $/pie n = constante dependiendo del tipo de tubería El costo anual para el sistema de tubería instalado puede ser expresado como:
donde Ctuberia = costo para el sistema de tubería instalado en dólares por año por pie de longitud de tubería† F = relación de costo total para accesorios e instalación a costo de compra para tubería nueva KF = cargas fijas anuales incluyendo mantenimiento, expresado como fracción de costo inicial para tubería completamente instalada 4.2.3
Diámetro económico óptimo de tubería
El costo total anual para el sistema de tubería y bombeo puede obtenerse sumando las Ecs. (4.4) y (4.7) o Ecs. (4.5) y (4.7). La única variable en la expresión resultante del costo total es el diámetro de tubería. El diámetro económico óptimo de tubería puede encontrarse tomando la derivada del costo total anual con respecto al diámetro de tubería, igualando el resultado a cero, y resolviendo para Di. Este procedimiento da los siguientes resultados: Para flujo turbulento,
El valor de n para tubería de acero es aproximadamente 1,5 si el diámetro de la tubería es 1 pulg. Sustituyendo este valor en las Ecs. (4.8) y (4.9) da: Para flujo turbulento en tubería de acero,
Los exponentes involucrados en las Ecs. (4.10) a (4.12) indican que el diámetro optimo es relativamente insensible a la mayoría de términos involucrados. Como el exponente del término de la viscosidad en las Ecs. (4.10) y (4.11) es muy pequeño, el valor de y puede tomarse como la unidad para un rango de viscosidad de 0,02 a 20 centipoises. Esto posibilita simplificar las ecuaciones para luego sustituir valores numéricos promedio para algunos de los términos menos críticos. Los siguientes valores son aplicables bajo condiciones industriales ordinarias: K = $0,055/Kwh. J = 0,35 o 35 por ciento Hy = 8760 h/año E = 0,50 o 50 por ciento F = 1,4 KF = 0,20 o 20 por ciento X = $0,45 por pie para tubería de acero de 1 pulg. de diámetro. Sustituyendo estos valores en las Ecs. (4.10) a (4.12) da los siguientes resultados
simplificados: Para flujo turbulento en tubería de acero,
Dependiendo de la exactitud deseada y del tipo de flujo, las Ecs. (4.8) a (4.16) pueden usarse para estimar el diámetro económico óptimo de tubería. Las Ecs. Simplificadas (4.13) a (4.16) son suficientemente precisas para estimados de diseño bajo condiciones ordinarias de planta.
† Si se desea puede incluirse el costo de la bomba; sin embargo, en el análisis, el costo de la bomba es considerado invariante con el diámetro de tubería.
4.2.4
Análisis incluyendo los efectos de impuestos y costo de capital
El análisis precedente, claramente no considera un número de factores que pueden tener una influencia sobre el diámetro económico optimo de tubería, tal como costo de capital o retorno sobre la inversión, costo de equipo de bombeo, impuestos y valor del dinero en el tiempo. Si el desarrollo de la Ec. (4.17) para flujo turbulento es refinado par incluir los efectos de impuestos y costo de capital (o retorno sobre la inversión) además de una expresión más exacta para la pérdida por fricción en accesorios, el resultado es: Para flujo turbulento
donde Dopt = diámetro económico óptimo, pies X’= costo de compra de tubería nueva por pie de longitud si el diámetro de tubería es 1 pie basado en ctuberia = X’
, $/pie
= perdida por fricción en accesorios, dada como longitud equivalente en diámetros de tubería por unidad de longitud de tubería,
= J/Dopt
ws = flujo de masa del fluido, lbs/s M = razón de costo total de la instalación de bombeo al costo anual de potencia requerida para el bombeo Y = días de operación por año a = fracción del costo inicial del sistema para depreciación anual a’ = fracción del costo de instalación para depreciación anual b = fracción del costo inicial del sistema para mantenimiento anual b’ = fracción del costo de instalación para mantenimiento anual
= factor fraccional para impuestos Z = velocidad fraccional de retorno (o costo de capital antes de los impuestos) sobre la inversión incremental. Tabla 4-1 Valores de las variables usadas para obtener la Ec. (4.18). Flujo turbulento – tubería de acero – diámetro de una pulg. o mayor Variable n
Valor usado 1,5 2,35
Variable Z
Y K
328 0,055
X’ a+b
Valor usado 0,39 0,2 19,0 0,2
c M
1,0 0,8
a’ + b’ E
0,4 0,4
La variable F es una función del diámetro y se puede aproximar por F 0,75/Dopt + 3
Usando los valores dados en la Tabla 4-1, para flujo turbulento en tubería de acero, la Ec. (4.17) se simplifica a:
4.2.5
Sensibilidad de los resultados
Las simplificaciones hechas para obtener las Ecs. (4.13) a (4.16) y la Ec. (4.18) ilustra una aproximación que puede usarse para aproximar los resultados cuando ciertas variables aparecen en forma tal que grandes cambios en ellas traen pequeños efectos en los resultados finales. Las variables mostradas en la Tabla 4-1, y en la Ec. (4.12) son relativamente independientes del diámetro de la tubería, y son elevadas a una pequeña potencia para la determinación final del diámetro. Luego los resultados finales no son particularmente sensibles a las variables listadas en la Tabla 4-1, y el ingeniero práctico puede decidir si merece la pena la pérdida ligera en una exactitud absoluta por el uso de las ecuaciones simplificadas. La Tabla 4-2 muestra la extensión de los cambios obtenidos en el diámetro económico óptimo mediante el uso de la Ec. (4.18) versus la Ec. (4.13) e ilustra los efectos refinamientos adicionales así como los cambios en valores de algunas de las variables. Tabla 4- 2 Comparación del diámetro económico óptimo de tubería estimado por las Ecs. (4.18) y (4.13). Flujo turbulento, tubería de acero # de cedula 40, espaciado aproximado entre accesorios de 15 pies Di,opt, pulg. Por Ec. (4.18) Por Ec. (4.13) 10,0 11,2 5,0 6,1 3,0 3,9 1,5 2,2
ws, lb/s 450 4,5 12,5 0,45
, lb/pie3 200 2 35 2
4.3 TRANSFERENCIA DE CALOR (FLUJO OPTIMO DE AGUA DE ENFRIAMIENTO EN UN CONDENSADOR) Si un condensador, con agua como medio de enfriamiento, es diseñado para llevar a cabo una operación dada, el agua de enfriamiento puede hacerse circular en gran
cantidad con un cambio pequeño en su temperatura o en pequeña cantidad con un cambio grande en su temperatura. La temperatura del agua afecta la diferencia de temperaturas como fuerza impulsora para la transferencia de calor. El uso de una cantidad grande de agua, entonces, causara una disminución en la cantidad de área necesaria para la transferencia de calor y como resultado una disminución en la inversión inicial y cargas fijas. De otro lado, el costo para el agua aumentará a medida que se use mayor cantidad de agua. Un balance económico entre las condiciones alto flujo de agua – menor área de transferencia y bajo flujo de agua – mayor área de transferencia, indica que el flujo óptimo de agua de enfriamiento ocurre en el punto de costo total mínimo para agua de enfriamiento y cargas fijas para equipo. Considerando el caso general en el cual se debe remover calor de un vapor condensando a una razón dada designada por q Btu/h. El vapor condensa a una temperatura constante de t oF, y el agua de enfriamiento es suministrada a una temperatura de t1 oF. Se aplica la siguiente notación adicional: w = flujo de masa de agua de enfriamiento, lb/h Cp = capacidad calorífica del agua de enfriamiento, Btu/(lb)(oF) t2 = temperatura del agua saliendo del condensador, oF U = coeficiente total de transferencia de calor, considerado constante y determinado para las condiciones optimas. Btu/(h)(pie2)(oF) A = área de transferencia de calor, pies2
tlm = diferencia de temperaturas media logarítmica (fuerza impulsora ) en el condensador, oF Hy = horas de operación del condensador por año, h/año Cw = costo del agua de enfriamiento, asumido directamente proporcional a la cantidad de agua usada,† $/lb CA = costo por pie2 de área de transferencia del intercambiador instalado, $/pie2 KF = cargas fijas anuales incluyendo mantenimiento, expresado como una fracción del equipo completamente instalado. La cantidad de calor transferido en Btu por hora puede expresarse como:
Las condiciones de diseño establecen los valores de q , t1, y la capacidad calorífica del agua ordinariamente puede ser asumida igual a 1 Btu/(lb)( oF). Entonces la Ec. (4.20) muestra que el caudal de agua de enfriamiento es fijo si la temperatura del agua saliendo del condensador (t2), se mantiene constante. Bajo estas condiciones, el flujo óptimo de agua de enfriamiento puede encontrarse directamente a partir del valor óptimo de t2. El costo anual para agua de enfriamiento es wHyCw. De la Ec. (4.20),
las cargas fijas anuales para el condensador son AKFCA, y el costo total anual para agua de enfriamiento más las cargas fijas es
Sustituyendo A dado en la Ec. (4.19),
La única variable en la Ec. (4.23) es la temperatura del agua de enfriamiento saliendo del condensador. El caudal óptimo de agua de enfriamiento ocurre cuando el costo total anual es mínimo. Por lo tanto, la temperatura de salida correspondiente puede encontrarse diferenciando la Ec. (4.23) con respecto a t2 (o de manera más simple con respecto a t’ – t2) e igualando el resultado a cero. Cuando se hace esto, se obtiene el siguiente resultado:
Fig. 4-1 Solución de la Ec. (4.24) El valor óptimo de t2 puede encontrarse a partir de la Ec.(4.24) por una solución de prueba y error, y luego puede usarse la Ec. (4.20) para determinar el flujo óptimo de agua de enfriamiento. La solución por prueba y error se puede eliminar usando la Fig. 41, la cual es una gráfica de la Ec. (4.24).
Ejemplo 4-1 Flujo óptimo de agua de enfriamiento en un condensador Un condensador para una unidad de destilación debe diseñarse para condensar 5000 lbs (2268 kg) de vapor por hora. La temperatura efectiva de condensación para el vapor es 170 oF (350 K). El calor de condensación para el vapor es 200 Btu/lb (4,65 x 105 J/kg). El agua de enfriamiento está disponible a 70 oF (294 K). El costo del agua de enfriamiento es $0,06 por 1000 gal ($5,30 por 1000 m3). El coeficiente total de transferencia de calor a las condiciones óptimas puede tomarse como 50 Btu/(h)(pie 2) (oF) (284 J/m2 . s. K). El costo para el intercambiador instalado es $21 por pie cuadrado de área de transferencia de calor (4226 por metro cuadrado de área de transferencia de calor) y las cargas fijas anuales incluyendo mantenimiento son 20 por ciento de la inversión inicial. La capacidad calorífica del agua puede asumirse constante e igual a 1 Btu/(lb)(oF) (4,2 kJ/kg . K). Si el condensador debe operar 6000 h/año, determinar el flujo de agua de enfriamiento en libras por hora y en kilogramos por hora para las condiciones económicas optimas.
Solución U = 50 Btu/(h)(pie2)(oF)
Hy = 6000 h/año KF = 0,20 CP = 1,0 Btu/(lb)(oF) CA = $21 /pie2
La temperatura óptima de salida puede obtenerse mediante una solución de prueba y error de la Ec. (4.24) o usando la Fig 4-1. De la Fig. 4-1, cuando la abcisa es 0,514
donde t’ = 170 oF t1 = 70 oF t2,opt = 128 oF De la Ec. (4.20), a las condiciones económicas optimas,
Método de búsqueda.- Haciendo uso de una hoja de cálculo, hacemos uso de la Ec. (4.23) y dando valores para t2 calculamos los costos variables anuales totales. La búsqueda se hace con los valores de t2 entre 70 oF (temperatura de entrada del agua de enfriamiento) y 170 oF (temperatura de condensación) Tabla 4-3 Método de búsqueda para el ejemplo 4.1 T2: oF 70 71 72 73 74
Ct: $/año t2 : o F Ct: $/año ----90 3097.20 44044.22 91 3000.03 22448.51 92 2912.30 15252.85 93 2832.81 11657.26 94 2760.52
t2: oF 110 111 112 113 114
Ct: $/año 2152.73 2134.66 2118.02 2102.74 2088.74
t2: oF 130 131 132 133 134
Ct: $/año 2002.80 2004.83 2007.69 2011.38 2015.91
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
9501.72 8066.25 7042.27 6275.50 5680.23 5205.02 4817.16 4494.83 4222.92 3990.65 3790.10 3615.35 3461.86 3326.10 3205.29 3097.20
95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
2694.61 2634.33 2579.10 2528.36 2481.69 2438.68 2399.01 2362.36 2328.48 2297.15 2268.16 2241.33 2216.51 2193.55 2172.33 2152.73
115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
2075.96 2064.33 2053.82 2044.37 2035.93 2028.48 2021.98 2016.41 2011.73 2007.93 2004.99 2002.89 2001.64 2001.20 2001.59 2002.80
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
2021.30 2027.57 2034.74 2042.83 2051.87 2061.91 2072.97 2085.12 2098.41 2112.89 2128.64 2145.76 2164.32 2184.44 2206.25 2229.90
De la tabla podemos ver que el costo total mínimo es de 2001,20 $/año cuando la temperatura de salida del agua de enfriamiento es 128 0F Usando MATLB Crear el archivo-M costa.m function c = costa(v) x = v(1); c = (43200/(x-70))+(84000/(x-70))*log(100/(170-x));
que representa los costos variables totales anuales, al reemplazar los valores correspondientes. Ahora, encontrar un mínimo para esta función usando buscando en el intervalo 70 a 170 F: >>
x
=
fminbnd('costa',
70,
170)
x 128.0253
= <-------- Es el valor óptimo de la temperatura
Lo cual indica que el costo mínimo ocurre cuando la temperatura de salida (a la cual se ha denominado x) t2 = 128,0253 oF Pero todo este cálculo lo puede hacer MATLAB. Por ejemplo escribiendo la función costo en linea: >> f = inline('(43200/(x-70))+(84000/(x-70))*log(100/(170-x))');
Luego damos la orden:
>> [x,fval] = fminbnd(f, 70, 170) x = 128.0253
<------- Valor óptimo de la variable
fval = 2.0012e+003
<------- Valor óptimo de la función
>>
Usando UNTSIM Seleccionando: Funciones de una variable - En un intervalo fijo: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved OPTIMIZACION DE FUNCIONES MONOVARIABLES EN UN INTERVALO FIJO Ingrese funcion: '(43200/(x-70))+(84000/(x-70))*log(100/(170-x))' Intervalo de busqueda Limite inferior: 70 Limite superior: 170 --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 128.025 2.- El optimo de la funcion es = 2001.21
† Se asume que se dispone de agua de enfriamiento a una presión suficiente para manipular cualquier caída de presión en el condensador; por lo tanto cualquier costo debido al bombeo del agua de enfriamiento es incluido en Cw.
4.4 TRANSFERENCIA DE MASA (RAZÓN OPTIMA DE REFLUJO) El diseño de una unidad de destilación ordinariamente se basa en especificaciones dadas para el grado de separación requerida para una alimentación dada conociendo su composición, temperatura y caudal. El ingeniero de diseño debe determinar el tamaño de la columna y la relación de reflujo necesaria para encontrar las especificaciones. Así, si se incrementa la relación de reflujo, el número de etapas teóricas requerido para la separación disminuye. Un incremento en la relación de reflujo, puede entonces dar como resultado una disminución en las cargas fijas para la columna de destilación y aumentar los costos para el calor suministrado al rehervidor y del refrigerante al condensador. Como se muestra en la Fig. (4-2), la razón óptima de reflujo ocurre en el punto donde la suma de las cargas fijas y los costos de operación es un mínimo. Como una aproximación, la razón optima de reflujo usualmente se considera en el rango de 1,1 a 1,3 veces el reflujo mínimo (algunos autores consideran entre 1,25 a 1,5)
Fig. 4-2 Relación óptima de reflujo en la operación de una columna de destilación El ejemplo siguiente ilustra el método general para determinar el reflujo óptimo en una operación de destilación. Ejemplo 4-2 Determinación del reflujo óptimo Una columna de destilación de platos perforados se esta diseñando para manipular 700 lb mol (318 kg mol) de alimentación por hora. La unidad debe operar continuamente a una presión total de 1 atm. la alimentación contiene 45 % mol de benceno y 55 % mol de tolueno, y la alimentación se hace a la temperatura del punto de burbuja. El producto del tope debe contener 92 % mol de benceno, y los fondos deben contener 95 % mol de tolueno. Determinar: a) El reflujo óptimo como moles de liquido retornado a la torre por mol de destilado b) La relación de reflujo óptimo a reflujo mínimo c) El porcentaje de los costos variables debido al consumo de vapor a las condiciones óptimas. Se aplican los siguientes datos: Los datos de equilibrio para mezclas de benceno – tolueno a presión atmosférica son presentados en la Fig. 4-3. La capacidad calorífica molar para mezclas liquidas de benceno tolueno en todas proporciones puede asumirse a ser 40 Btu/(lb mol)(oF) (1,67 x 10-5 J/kg mol . K). El calor molar de vaporización de benceno y tolueno puede tomarse como 13 700
Btu/lb mol (3,19 x 107 J/kg mol). Los efectos del cambio de temperatura sobre la capacidad calorífica y calores de vaporización son despreciables. Las pérdidas de calor desde la columna son despreciables. Los efectos de la caída de presión sobre la columna pueden despreciarse. El coeficiente total de transferencia de calor es 80 Btu/(h)(pie 2)(oF) (454 J/m2 . s. K) en el rehervidor y 100 Btu/(h)(pie2)(oF) (568 J/m2 . s. K) en el condensador.
Fig 4-3 Diagrama de equilibrio para mezcla de benceno – tolueno a presión total de 760 mm Hg (método de McCabe – Thiele para determinar el número de etapas teóricas) La temperatura de ebullición es 201 oF (367 K) para la alimentación, 197 oF (356 K) para el destilado, y 227 oF (381 K) para los fondos. La diferencia de temperaturas (como fuerza impulsora) en el condensador puede basarse en una temperatura promedio del agua de enfriamiento de 90 oF (305 K), y la variación en la temperatura del agua de enfriamiento es 50 oF (27,8 K) para todos los casos. En el rehervidor se usa vapor saturado a 60 psia (413,6 kPa). A esta presión, la temperatura del vapor condensando es 292,7 oF (418 K) y el calor de condensación es 915,5 Btu/lb (2,13 x 106 J/kg). Ningún dispositivo de ahorro de calor se usa. El diámetro de la columna está basado en una velocidad de vapor máxima permisible de 2,5 pies/s (0,76 m/s) en el tope de la columna. La eficiencia total del plato puede asumirse como 70 por ciento. La unidad es operada 8500 h/año. Los siguientes costos son para el equipo instalado incluyendo costos de entrega e instalación. Columnas de destilación de platos perforados Los valores pueden ser interpolados
Diámetro
Costo
pulg.
M
$/plato
60
1,52
1200
70
1,78
1500
80
2,03
1850
90
2,29
2250
100
2,54
2700
Condensador: Intercambiador de calor de casco y tubos Los valores pueden ser interpolados Área de transferencia Pies2
Costo
m2
$
800
74,3
9750
1000
92,9
11250
1200
111,5
12600
1400
130,1
13800
1600
148,6
14850
Rehervidor: Intercambiador de calor de casco y tubos Los valores pueden ser interpolados Área de transferencia
Costo
Pies2
m2
1000
92,9
17250
1400
130,1
21150
$
1800
167,2
24600
2200
204,4
27750
2600
241,5
30300
Solución Los costos variables involucrados son el costo de la columna, costo del rehervidor, costo del condensador, costo de vapor y costo de agua de enfriamiento. Cada uno de estos costos es función de la relación de reflujo, y la relación óptima de reflujo ocurre donde la suma de los costos variables es un mínimo. El costo variable total será determinado a varias relaciones de reflujo, y la relación óptima de reflujo se encontrara por método gráfico Ejemplo de cálculo para relación de reflujo = 1,5 Costo anual para la columna de destilación Se aplican las asunciones de McCabe – Thiele para este caso, y el número de etapas teóricas son determinadas por el método gráfico estándar mostrado en la Fig. 4-3. la pendiente de la línea de balance de materiales (línea de operación) de la sección de enriquecimiento (rectificación) es 1,5/(1,5 + 1) = 0. De la Fig. 4-3, el número total de etapas teóricas requeridas para la separación dada es 12,1 El número actual de platos = (12,1 – 1)/0,70 = 16. Los moles de destilado por hora (MD) y los moles de fondos por hora (MB) pueden determinarse por un balance de materiales como sigue: (700)(0,45) = (MD)(0,92) + (700 – MD)(0,05) MD = 322 moles de destilado/h MB = 700 – 322 = 378 moles de fondos/h Moles de vapor por hora en el tope de la columna = 322(1 + 1,5) = 805 Aplicando la ley del as perfecto, Velocidad del vapor en el tope de la torre = 2,5 pies/s
Diámetro = 7,3 pies
Costo por plato para casco y platos = $2145 Costo anual para la columna de destilación = (2145)(16)(1 + 0,60)(0,15) = $8235 Costo anual para el condensador Velocidad de calor transferido por hora en el condensador = (moles de vapor condensado por hora)calor latente de condensación molar) = (805)(13700) = 11000 000 Btu/h De la ecuación básica para transferencia de calor q = U A t,
Costo anual para el rehervidor La velocidad de calor transferido en el rehervidor (qr) puede determinarse por un balance total de energía alrededor de la unidad de destilación. Nivel de energía base en el liquido a 179 oF. Entrada de calor = salida de calor qr + (700)(201 – 179)(40) = 11 000 000 + (378)(227 – 179)(40) qr = 11 110 000 Btu/h = U A t
Costo anual para agua de enfriamiento La velocidad de transferencia de calor en el condensador = 11 000 000 Btu/h. La capacidad calorífica del agua puede tomarse como 1,0 Btu/(lb)(oF),
Costo anual para vapor Velocidad de transferencia de calor en el rehervidor = 11 110 000 Btu/h,
Costo total variable anual para relación de reflujo de 1,5 $8235 + $3075 + $6510 + $10110 + $77550 = $105 480 Repitiendo el procedimiento anterior para diferentes relaciones de reflujo, se puede preparar la siguiente tabla: Relació Número n de actual de reflujo etapas requerido
Diámetro de la columna, pies
Costo anual, dólares, para
Column a
Costo total Condensador Rehervidor Agua de Vapor anual, dólares Enfriamiento
1,14
6,7
2805
5940
8670
66450
1,2
29
6,8
13395
2865
6060
8910
68250 99480
1,3
21
7,0
9930
2925
6195
9300
71250 99600
1,4
18
7,1
8880
3000
6360
9705
74400 102345
1,5
16
7,3
8235
3075
6510
10110
77550 105480
1,7
14
7,7
7935
3225
6810
10935
83550 112455
2,0
13
8,0
7815
3420
7200
12150
92700 123285
a) Los datos presentados en la tabla precedente, son graficados en la Fig. 4-2. el costo total mínimo por año ocurre a una relación de reflujo de 1,25.
Relación óptima de reflujo = 1,25 b) Para condiciones de reflujo mínimo, la pendiente de la línea de enriquecimiento en la Fig. 4-3 es 0,532
c) A las condiciones optimas, Costo anual de vapor = $69750 Costo variable total anual = $99000
CAPITULO V LA PROGRAMACIÓN LINEAL El término programación en Programación Lineal (PL), no se refiere a programación para la computadora, sino a algún procedimiento a seguir en un plan. La programación lineal fue desarrollada en el año 1947, antes de la aparición de la computadora, cuando George B. Dantzig estableció una generación en las matemáticas de los problemas de planificación y programación de la producción, el avance de la programación lineal se ha desarrollado paralelo al de la computadora y hoy día problemas con varios miles de variables independientes y ecuaciones de restricción pueden ser resueltos fácilmente. Esta técnica se ha aplicado a la optimización de refinerías y plantas químicas, mezclas de alimentos para ganado, planeamiento de las rutas de aviación y utilización de la tripulación, problemas de transporte y distribución, en general, en la optimización de problemas de estrategia integral. La aplicación de la programación lineal ha sido fructífera cuando existe un gran número de alternativas interrelacionadas y la mejor política es en absoluto obvia. A menudo, una pequeña mejora en la solución, da como resultado una gran variación en la utilidad real. Un caso típico es el de una refinería de petróleo, donde los flujos son muy
grandes, cualquier cambio en estas variables, en el plazo de un año, puede significar grandes variaciones en las utilidades de la planta. 5.1
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y CONCEPTOS GENERALES
Como el nombre lo indica, todas las ecuaciones de un modelo que hagan uso de programación lineal deben ser lineales. Aunque esta restricción es severa, son muchos los problemas que pueden ser llevados a este contexto. En la formulación de programación lineal, la ecuación que determina la ganancia o el costo de la operación se denomina función objetivo. Debe tener la forma de una suma de términos lineales. Las ecuaciones que describen las limitaciones bajo las cuales el sistema debe operar son las restricciones. Todas las variables deben ser no negativas, es decir, cero o positivas. La mejor forma de mostrar lo anterior, es a través de un ejemplo que ilustre el método y aporte algo acerca de la geometría del problema. Ejemplo 5.1 Una compañía fabrica dos tipos de motores pequeños con combustible sólido. Con el motor A, gana $3 por motor y con el motor B gana $4 por motor. Dispone de 80 h por semana para producirlos y en los procesos se requieren: 4h para A y solo 2 h para B. Sin embargo, debido a lo peligroso del material usado, son necesarias 5 h de preparación y limpieza para el motor B y 2 h para A. el tiempo de preparación total disponible es 120 h por semana. Determinar el número de cada clase de motores a producir que dé como resultado máxima ganancia. Solución
La función objetivo es: Maximizar: 3A + 4B ganancia Las ecuaciones de restricción son: 4A + 2B 80 tiempo de procesamiento 2A + 5B 120 tiempo de preparación. Si se fabrican solamente motores tipo A, existe una limitación en el tiempo de procesamiento 80/4 = 20 lo que da como ganancia $60
Fig. 5.1 Función objetivo y restricciones del Ejemplo 5.1 Si se fabrican solo motores tipo B, la restricción es el tiempo de preparación 120/5 = 24 con una ganancia de $96. sin embargo existe una solución que es la óptima y es posible apreciarla en la Fig. 9.9. En esta figura se muestran las ecuaciones de restricción y la región factible para las variables. Cualquier solución fuera de esta región viola alguna de las restricciones. De modo que la solución debe existir en o dentro del contorno formado por las líneas: tiempo de preparación y tiempo de procesamiento y los ejes A, B; ya que A y B deben ser no negativos. Esta zona cerrada se denomina región posible. La función objetivo se muestra para P = 96, que es una de las rectas en la familia de líneas. P = 3A + 4B En este lugar geométrico P puede variar siempre que el valor de las variables se mantenga en la región posible. Al aumentar P se aprecia que el valor máximo se alcanza en el vértice donde A = 10 y B = 20 lo que da como resultado P = $110. 5.2
FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Existen varias formas de presentar las relaciones matemáticas generales aplicables al problema de programación lineal. Una de ellas es la forma algebraica Función objetivo (a) Optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn
(5.1)
xi = variables del problema xi 0 (condición inherente) i = 1, 2, . . ., n Ecuaciones de restricción La F O está sujeta a restricciones: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn b1 a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn b1 .
(5.2)
.
.
.
.
.
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn b1 Esto es, las fuentes son limitadas. Se buscan los valores de xi que optimicen la función objetivo. Los coeficientes ci reciben el nombre de coeficientes de costo. Los valores de las variables xi deben satisfacer las ecuaciones de restricción. Generalmente, hay más incógnitas que ecuaciones, es decir, n > m y algunos de los valores de las xi se pueden especificar arbitrariamente (por lo general cero). Por ejemplo en un proceso químico, las variables independientes pueden ser flujos y las ecuaciones de restricción pueden ser balances de materia y energía en los procesos de la planta. El segundo tipo general de restricción especifica que todas las actividades deben tener un valor positivo. x1 0 El problema puede plantearse en forma más compacta como:
La notación vectorial es otro método para expresar el problema anterior:
optimizar c . x sujeta a x 0 Ax b donde
x = (x1, x2, . . ., xn) b = (b1, b2, . . ., bn) c = (c1, c2, . . ., cn)
Para obtener la solución óptima de este problema, el conjunto de desigualdades se transforma en igualdades, introduciendo variables de holgura. Esto da como resultado un conjunto de ecuaciones con más variables independientes que ecuaciones, para poder resolverlas, algunas tendrán que ser especificadas arbitrariamente. Para cumplir con el marco matemático de la programación lineal, estas variables además deben hacerse igual a cero. La solución de las ecuaciones de restricción, ahora igualdades, con igual número de variables diferentes de cero como ecuaciones que tiene el problema, da como resultado la solución básica. El resto de las variables son iguales a cero. Una solución básica posible es una solución de las ecuaciones de restricción en la cual todas las variables distintas de cero son positivas. La base es el conjunto de variables distintas de cero. Se verá más adelante que el óptimo de la función objetivo es una solución básica posible. Esto se determina usando el método simplex de programación lineal. Ejemplo 5.2 Suponga que una planta procesadora de gasolina recibe cada semana una cantidad fija de materia prima para gasolina. Esta última se procesa en dos tipos de gasolina de calidad regular y Premium. Estas clases de gasolina son de alta demanda; es decir, se tiene garantizada su venta y se obtiene diferentes utilidades para la compañía. Sin embargo su producción involucra ambas restricciones, tiempo y almacenaje en sitio. Por ejemplo, sólo una de las clases se puede producir a la vez, y las instalaciones están abiertas solamente 8 horas por semana. Además, existe un límite de almacenamiento para cada uno de los productos. Todos estos factores se enlistan abajo (observar que una tonelada métrica, o ton, es igual a 1 000 kg): Recurso Regular Materia prima para la gasolina 7 m3 /tonelada
Producto Prémium 11 m3 /tonelada
Disponibilidad del recurso 77 m3 /semana
Tiempo de 10 hr/tonelada 8 hr/tonelada 80 hr/semana producción Almacenamiento 9 toneladas 6 toneladas Aprovechamiento 150/tonelada 175/tonelada Desarrollar una formulación de programación lineal para maximizar las utilidades de esta operación Solución El ingeniero que opera esta planta debe decidir la cantidad a producir de cada gasolina para maximizar las utilidades. Si las cantidades producidas cada semana de gasolina regular son designadas x1 y x2, respectivamente, la ganancia total se puede calcular como: Ganancia total = 150 x1 + 175 x2 o escribirla como una función objetivo en programación lineal, Maximizar Z = 150 x1 + 175 x2 Las restricciones se pueden desarrollar en una forma similar. Por ejemplo, el total de gasolina cruda utilizada se puede calcular como Total de gasolina utilizada = 7 x1 + 11 x2 Este total no puede exceder el abastecimiento disponible de 77 m 3/semana, así que la restricción se puede representar como 7 x1 + 11 x2 ≤ 77 las restricciones restantes se pueden desarrollar en una forma similar, la formulación total resultante para la PL está dada por Maximizar Z = 150 x1 + 175 x2
(maximizar la ganancia)
Sujeta a 7 x1 + 11 x2 ≤ 77
(restricciones de materiales)
10 x1 + 8 x2 ≤ 80
(restricciones de tiempo)
x1 ≤ 9
(restricciones de almacenaje “regular”)
x2 ≤ 6
(restricciones de almacenaje “prémium”)
x1 , x2 ≥ 0
(restricciones positivas)
Observar que el conjunto de Ecuaciones anterior constituye la formulación
completa de PL. Las explicaciones en los paréntesis de la derecha se han incluido para clarificar el significado de cada ecuación 5.3
SOLUCIÓN GRÁFICA
Debido a que las soluciones gráficas están limitadas a dos o tres dimensiones, tienen utilidad practica limitada. Sin embargo son muy útiles para demostrar algunos conceptos básicos que resaltan las técnicas algebraicas generales usadas para resolver problemas con grandes dimensiones en la computadora. Para un problema en dos dimensiones, como el del ejemplo 5.2, la solución espacial se define como un plano con x1 medida a lo largo de la abcisa y x2, a lo largo de la ordenada. Como las restricciones son lineales, se pueden trazar sobre este plano como líneas rectas. Si el problema de PL se formula adecuadamente (es decir, si tiene una solución), estas líneas restrictivas delinearán una región, llamada el espacio de solución factible, englobando todas las posibles combinaciones de x1 y x2 que obedecen las restricciones y, por lo tanto, representan soluciones factibles. La función objetivo para un valor particular de Z se puede trazar como otra línea recta y sobrepuesta en este espacio. El valor de Z puede entonces ser ajustado hasta que esté en el máximo valor, mientras todavía toca el espacio factible. Este valor de Z representa la solución óptima. Los valores correspondientes de x1 y x2, donde Z toca el espacio de solución factible, representan los valores óptimos para las actividades. El ejemplo siguiente deberá ayudar a clarificar el procedimiento Ejemplo 5.3 Desarrolle una solución gráfica para el problema de procesamiento de gasolina que se derivó en el ejemplo 5.2: Maximizar Z = 150 x1 + 175 x2 Sujeta a 7 x1 + 11 x2 ≤ 77
(1)
10 x1 + 8 x2 ≤ 80
(2)
x1 ≤ 9
(3)
x2 ≤ 6
(4)
x1 ≥ 0
(5)
x2 ≥ 0
(6)
Se ha numerado las restricciones para identificarlas en la siguiente solución gráfica.
Solución Primero, se pueden trazar las restricciones sobre el espacio de solución. Por
ejemplo, se puede formular la primera restricción como una línea al reemplazar la desigualdad por un signo de igual y resolver para x2:
(a)
(b) Fig. 5-2 Solución gráfica del problema de programación lineal, a) Las restricciones definen un espacio de solución factible. b) La función objetivo se puede incrementar hasta que se alcance el valor más alto que cumpla con todas las restricciones. Gráficamente, se mueve hacia arriba y a la derecha hasta que toca el espacio factible en un solo punto óptimo. Así, como en la Fig. 5-2a, los valores posibles de x1 y x2 que obedecen dicha restricción se hallan por debajo de esta línea (la dirección es designada por la gráfica y por la pequeña flecha). Las otras restricciones se pueden evaluar en forma similar, como sobrepuestas sobre la Fig. 5-2a. Observe como estas encierran una región donde todas se encuentran. Este es el espacio de solución factible (el área ABCDE en la gráfica). Además de definir el espacio factible, la Fig. 5-2a, también proporciona un conocimiento adicional. En particular se puede ver que la restricción 3 (almacenamiento de gasolina regular) es “redundante”. Esto es, el espacio de solución factible no resulta afectado si fuese suprimida. Después, se puede agregar la función objetivo a la gráfica. Para hacer esto se debe escoger un valor de Z. Por ejemplo, para Z = 0 la función objetivo es ahora 0 = 150 x1 + 175 x2 o resolviendo para x2
Como se muestra en la Fig. 5-2b, ésta presenta una línea punteada interceptando el origen. Ahora, puesto que estamos interesados en maximizar Z, se puede aumentar esta a digamos 600, y la función objetivo es
Así, incrementando el valor de la función objetivo, la línea se mueve lejos del origen. Como la línea todavía está dentro del espacio de solución, nuestro resultado es aún factible. sin embargo, por la misma razón, todavía hay espacio para mejorarlo. Por tanto, Z se puede seguir aumentando hasta que un incremento adicional lleve la función objetivo más allá de la región factible. como se muestra en la Fig. 5-2b, el valor máximo de Z corresponde a 1400 aproximadamente. En este punto, x1 y x2 son casi igual a 4,9 y 3,9, en forma respectiva. Así, la solución gráfica indica que si se producen estas cantidades de gasolinas, se alcanzara una máxima utilidad de casi 1 400. Además de determinar los valores óptimos, el procedimiento gráfico proporciona conocimientos adicionales en el problema. Esto se puede apreciar al
sustituir de nuevo las soluciones en las ecuaciones restrictivas. 7(4,9) + 11(3,9) 77 10(4,9) + 8(3,9) 80 4,9 9 3,9 6 En consecuencia, como queda también claro en la gráfica, producir la cantidad óptima de cada producto nos lleva directamente al punto donde se encuentran las restricciones de las fuentes(1) y del tiempo (2). Tales restricciones se dice que están enlazadas. Además, la gráfica también hace evidente que ninguna de las restricciones de almacenamiento (3) y (4) actúan como una limitante. Tales restricciones se conocen como no enlazadas. Esto nos lleva a la conclusión práctica de que, para este caso, se puede aumentar las utilidades ya sea con un incremento en el abastecimiento de fuentes (la gasolina cruda) o en el tiempo de producción. Además, esto indica que el aumento del almacenamiento podría no tener impacto sobre las utilidades. El resultado obtenido en el ejemplo anterior es uno de los cuatro posibles resultados que por lo general se pueden obtener en un problema de programación lineal. Estos son: 1. Solución única. Como en el ejemplo, la función objetivo máxima interpreta un solo punto. 2. Solución alterna. Suponga que la función objetivo del ejemplo tuviera coeficientes, de tal forma que fueran paralelos precisamente a una de las restricciones. En nuestro problema ejemplo, una forma en la cual esto podría ocurrir, sería que las utilidades fueran cambiadas a $140/ton y $220/ton. Entonces más que un solo punto, el problema podría tener un número infinito de óptimos correspondientes a un segmento de línea (ver Fig. 5-3a) 3.
Solución no factible. Como en la Fig. 5-3b, es posible que el problema esté formulado de tal manera que no exista solución factible. esto puede deberse a que se trata con un problema sin solución o a errores en la formulación del problema. Lo último puede resultar si el problema está tan sobre restringido que ninguna solución puede satisfacer todas las restricciones.
4.
Problema sin límite. Como en la Fig. 5-3c, esto usualmente significa que el problema está bajo restringido y, por tanto, con finales abierto como para el caso de la solución no factible, puede a menudo surgir de errores cometidos durante la especificación del problema.
Fig. 5-3 Además de una sola ecuación óptima (por ejemplo Fig. 4-2b), existen otros tres resultados posibles de un problema de programación lineal: a) alternativa óptima, b) solución no factible y c) de resultado sin limites. Ahora supongamos que nuestro problema involucra una solución única. El procedimiento gráfico podría seguir una estrategia numerativa para dar con el máximo. De la Fig. 5-2, debería quedar claro que siempre ocurre el óptimo en uno de los puntos esquina donde se encuentran dos restricciones. Tal punto se conoce de manera formal como un punto extremo. Así, fuera del número infinito de posibilidades en el espacio de decisión y enfocándonos sobre los puntos extremo, claramente se reducen las opciones posibles. Además, se puede reconocer que no todo punto extremo es factible; esto es, satisfacer todas las restricciones. Por ejemplo, observar que el punto F en la Fig. 5-2a es un punto extremo, pero no es factible. Si nos limitamos a puntos extremos factibles, se reduce el campo factible todavía más. Por último, una vez que se ha identificado todos los puntos extremo factibles, el que ofrezca el mejor valor de la función objetivo representará la solución óptima. Se podría encontrar esta solución óptima mediante la exhaustiva (e ineficiente) evaluación del valor de la función objetivo en cada punto extremo factible. en la siguiente sección se analiza el método simples, que ofrece una estrategia preferible que representa en forma gráfica un rumbo acelerativo a través de la secuencia de puntos extremos factibles para arribar al óptimo de una manera extremadamente eficiente.
5.4
EL MÉTODO SIMPLEX
El método simplex se basa en la suposición de que la solución óptima estará en un punto extremo. Así, el procedimiento debe ser capaz de discernir si durante la solución a un problema ocurre un punto extremo. Para realizar esto, las ecuaciones con
restricciones se reformulan como igualdades por medio de la introducción de las llamadas variables de holgura. Variables de holgura. Como lo indica su nombre, una variable de holgura mide cuanto de una fuente restringida esta disponible; es decir, cuanta “holgura”de la fuente está disponible. Por ejemplo, recordar la fuente restringida que se uso en los ejemplos 4.1 y 4.2: 7 x1 + 11 x2 ≤ 77 Se puede definir una variable de holgura S1 como la cantidad de gasolina cruda que no se usa para un nivel de producción particular (x1 , x2). Si esta cantidad se agrega al lado izquierdo de la restricción, forma la relación exacta 7 x1 + 11 x2 + S1 = 77 Ahora se reconoce lo que la variable de holgura nos indicaba. Si esta es positiva, significa que se tiene algo de “holgura”para esta restricción. Esto es, se cuenta con algo más de recursos que no han sido utilizados por completo. Si es negativa, nos indica que nos hemos excedido en la restricción. Finalmente, si es cero, denota que se cumplió exactamente con la restricción. Es decir se dispuso de todo el recurso. Puesto que esta es exactamente la condición donde las líneas de restricción se intersectan, la variable de holgura proporciona un medio para detectar puntos extremos. Una variable de holgura diferente se desarrolla para cada ecuación restringida, resultando en lo que se llama versión completamente aumentada, Maximizar Z = 150 x1 + 175 x2 Sujeta a 7 x1 + 11 x2 + S1 10 x1 + 8 x2 x1
= 77 + S2
= 80 + S3
x2
=9 + S4 = 6
x1 , x2 , S1 , S2 , S3 , S4 0 Advertir cómo se han formado de igual modo cuatro ecuaciones, de tal manera que las incógnitas están alineadas en las columnas. Se hizo así para resaltar que ahora se trata de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales Solución algebraica. Analizando el sistema de ecuaciones formado anteriormente podemos ver que es un sistema subespecificado; esto es, tiene más incógnitas que
ecuaciones. En términos generales, hay n variables estructuradas (es decir, las incógnitas originales), m excedentes o variables de holgura (una por restricción), y n+m variables totales (estructuradas más excedentes). Para el problema de la producción de gasolina se tienen 2 variables estructuradas, 4 variables de holgura y 6 variables totales. Así, el problema involucra resolver 4 ecuaciones con 6 incógnitas. La diferencia entre el número de incógnitas y el de ecuaciones (igual a 2 en nuestro problema) está directamente relacionada con la forma en que se puede distinguir un punto extremo factible. En forma específica, cada punto factible tiene 2 variables de las 6 que se igualaron a cero. Por ejemplo, los cinco puntos esquina del área ABCDE tienen los siguientes valores cero: Punto extremo A B C D E
Variables cero x1 , x2 x2 , S2 S1 , S2 S1 , S4 x1 , S4
Esta observación nos lleva a concluir que los puntos extremo se pueden determinar en la forma estándar al igualar las dos variables a cero. En nuestro ejemplo, esto reduce el problema a una forma resoluble de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Por ejemplo, para el punto E haciendo x1 = S4 = 0 se reduce la forma estándar a 11 x2 + S1 8 x2
= 77 + S2
= 80 + S3
x2
=9 =6
la cual puede resolver para x2 = 6 , S1 = 1, S2 = 32 y S3 = 9. Junto con x1 = S4 = 0 , estos valores definen el punto E. Para generalizar una solución básica para m ecuaciones lineales con n incógnitas se desarrolla al igualar n – m variables a cero, y resolviendo las m ecuaciones para las m incógnitas restantes. Las variables cero son formalmente referidas como variables no básicas, mientras las m variables restantes son llamadas variables básicas. Si todas las variables básicas son no negativas, el resultado es llamado solución factible básica. El óptimo será una de éstas. Ahora un procedimiento directo para determinar la solución óptima podría ser calcular todas las soluciones básicas, para determinar cuáles son factibles, y entre ellas, cual tiene el valor de Z más grande. Pero este no es un buen procedimiento por dos razones. Primero, para problemas de tamaños moderados, el procedimiento puede
involucrar resolver una gran cantidad de ecuaciones. Para m ecuaciones con n incógnitas, se deben resolver
ecuaciones simultáneas. Por ejemplo, si hay 10 ecuaciones (m = 10) con 16 incógnitas (n = 16), se podría tener 8 008 [= 16!/(10! 6!)] sistemas 10 x 10 ecuaciones a resolver. Segundo, una porción significativa de éstas puede ser no factible. Por ejemplo, en el problema actual de los = 15 puntos extremos, solo 5 son factibles. Claramente, si se pudiese evitar resolver todos estos sistemas innecesarios, se podría desarrollar un algoritmo más eficiente. Un procedimiento como tal se describe a continuación. Implementación del método simplex. El método simplex evita las ineficiencias descritas en la sección anterior. Esto lo realiza al comenzar con una solución factible básica. Luego se mueve a través de una secuencia con las otras soluciones factibles básicas que sucesivamente mejoran el valor de la función objetivo. En forma eventual, se alcanza el valor óptimo y termina el método. Se ilustrará el procedimiento mediante el problema de procesamiento de la gasolina de los Ejemplos 5.2 y 5.3. El primer paso es empezar en una solución factible básica (es decir, en una esquina del punto extremo del espacio factible). Para casos como los nuestros, un punto de inicio obvio podría ser el A; esto es, x1 = x2 = 0. Las 6 ecuaciones originales con 4 incógnitas serían S1
= 77 S2
= 80 S3
=9 S4
=6
Así, los valores iniciales de las variables básicas son dados automáticamente como iguales a los lados derecho de las restricciones. Antes de proceder al siguiente paso, la información inicial se puede ahora resumir en un formato tabular conveniente llamado representación. Como se muestra en la tabla siguiente, la representación proporciona un resumen conciso de la información clave que constituye el problema de programación lineal. Básica Z S1 S2 S3
Z 1 0 0 0
x1 -150 7 10 1
x2 -175 11 8 0
S1 0 1 0 0
S2 0 0 1 0
S3 0 0 0 1
S4 0 0 0 0
Solución Intersección 0 77 11 80 8 9 9
S4
0
0
1
0
0
0
1
6
Observe que para propósitos de la representación, la función objetivo se expresa como Z – 150x1 – 175x2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 – 0S4 = 0
(5.6)
El siguiente paso implica moverse a una nueva solución factible básica que nos lleva a una mejora de la función objetivo. Esto se lleva a cabo al aumentar una variable actual no básica (en este punto, x1 o x2) por arriba de cero para que Z aumente. Recuerde que, para el ejemplo actual, los puntos extremos deben tener 2 valores cero. Por tanto, una de las variables básicas actuales (S1 , S2 , S3 , S4) deben también igualarse a cero. Para resumir este paso importante una de las variables no básicas actuales debe hacerse básica (no cero). Esta variable se llama variable de entrada. En el proceso, una de las variables básicas actuales se hace no básica (cero). Esta variable se llama variable de salida. Ahora, desarrollaremos un procedimiento matemático para seleccionar las variables de entrada y salida. Debido a la convención es cómo se escribe la función objetivo [véase ecuación (5.6)], la variable de entrada puede ser cualquier variable en la función objetivo que tenga un coeficiente negativo (ya que esto hará a Z más grande). La variable con el valor negativo más grande se escoge de manera convencional porque nos lleva usualmente al incremento más grande en Z. Para nuestro caso, x2 podría ser la variable de entrada puesto que su coeficiente, - 175, es más negativo que el coeficiente de x1, - 150. En este punto se puede consultar la solución gráfica por visualización. Se comienza en el punto A, como se muestra en la Fig 5-4. Con base en su coeficiente, se debería escoger x2 para introducirlo. Sin embargo, para continuar con este ejemplo, seleccionamos x1 puesto que se observa en la gráfica que nos llevará más rápido al máximo. Después se debe escoger la variable de salida de entre las variables básicas actuales (S1 , S2 , S3, o S4). Se puede ver gráficamente que hay dos posibilidades. Moviéndonos al punto B se tendrá S2 igual a cero, mientras que al movernos al punto F tendremos S1 igual acero. Sin embargo, por la gráfica también queda claro que F no es posible, ya que queda fuera del espacio de solución factible. Así, se decide mover de A a B.
Fig. 5.4 Ilustración gráfica de cómo se mueve en forma sucesiva el método simplex a través de soluciones básicas factibles para llegar al óptimo de manera eficiente ¿Cómo se detecta el mismo resultado en forma matemática? Una forma es calcular los valores para los cuales las líneas de restricción interceptan el eje o línea que corresponde a la variable de salida (en nuestro caso el eje x1). Se puede calcular este valor como la razón del lado derecho de la restricción (la columna “Solución”de la representación) al coeficiente correspondiente de x1. Por ejemplo, para la primera variable de holgura restrictiva S1, el resultado es
Las intersecciones restantes se pueden calcular y enlistar como la última columna de la tabla. Como 8 es el entero positivo más pequeño, esto significa que la segunda línea restringida se alcanzará primero en tanto x1 aumente. Por tanto, S2 debería ser la variable de entrada. En este punto, se ha movido al punto B (x2 = S2 = 0), y la nueva solución básica es ahora 7 x1 + S1
= 77
10 x1
= 80
x1
+ S3
=9 S4
=6
La solución de este sistema de ecuaciones define en forma efectiva los valores de las variables básicas en el punto B: x1 = 8, S1 = 21, S3 = 1, S4 = 6. La tabla se puede usar para realizar los mismos cálculos al emplear el método de Gauss-Jordan.
Para este ejemplo, el renglón pivote es S2 (ya que tiene el mayor valor en la igualdad al lado de la solución 80) que corresponde a la variable de entrada y el elemento pivote es 10 (el elemento de mayor valor en este renglón) que corresponde al coeficiente de la variable de salida x1. Al dividir el renglón entre 10 y reemplazar S2 por x1 se tiene: Básica Z S1 x1 S3 S4
Z 1 0 0 0 0
x1 -150 7 1 1 0
x2 -175 11 0.8 0 1
S1 0 1 0 0 0
S2 0 0 0.1 0 0
S3 0 0 0 1 0
S4 0 0 0 0 1
Solución Intersección 0 77 8 9 6
Después los coeficientes x1 en los otros renglones se pueden eliminar. Por ejemplo, para el renglón de la función objetivo, el renglón pivote se multiplica por – 150 y se resta el resultado del primer renglón para dar Z 1 -0 1
x1 -150 -(-150) 0
x2 -175 -(-120) -55
S1 0 -0 0
S2 0 -(-5) 15
S3 0 0 0
S4 0 0 0
Solución 0 -(-200) 1200
Operaciones similares se pueden ejecutar en los renglones restantes para obtener la nueva tabla Básica Z S1 x1 S3 S4
Z 1 0 0 0 0
x1 0 0 1 0 0
x2 -55 5.4 0.8 -0.8 1
S1 0 1 0 0 0
S2 15 -0.7 0.1 -0.1 0
S3 0 0 0 1 0
S4 0 0 0 0 1
Solución Intersección 1200 21 3.889 8 10 1 -1.25 6 6
Así la nueva tabla resume toda la información para el punto B. Esto incluye el hecho de que el movimiento ha aumentado la función objetivo a Z = 1200 Esta tabla se puede usar entonces para representar el próximo, y en este caso, el paso final. Sólo una más de las variables, x2, tiene un valor negativo en la función objetivo, y se escoge, por tanto, como la variable de salida. De acuerdo con los valores de la intercepción (ahora calculados como la columna de solución sobre los coeficientes de la columna x2), la primera restricción tiene el valor positivo más pequeño y, por tanto, se selecciona a S1 como la variable de entrada. Así, el método simplex mueve los puntos de B a C en la Fig. 5-4. Por último, la eliminación de gauss-Jordan se puede implementar para resolver las ecuaciones simultáneas. El resultado es la tabla final, Básica Z x2 x1 S3
Z 1 0 0 0
x1 0 0 1 0
x2 0 1 0 0
S1 10.1852 0.1852 -0.1481 0.1481
S2 7.8704 -0.1296 0.2037 -0.2037
S3 0 0 0 1
S4 0 0 0 0
Solución 1413.889 3.889 4.889 4.111
S4
0
0
0
-0.1852 0.1296
0
1
2.111
Se sabe que este es el resultado final porque no quedan coeficientes negativos en el renglón de la función objetivo. La solución final se tabula como x1 = 3,889 y x2 = 4,889, los cuales dan una función objetivo máxima de Z = 1413,889. Además S3 y S4 están todavía en la base, sabemos que la solución está limitada por la primera y segunda restricciones.
Uso de UNTSIM El simulador UNTSIM posee una rutina de cálculo aplicando el método simples, por lo que seleccionando esta opción del Menú Principal: Cálculos de Ingeniería Química – Optimización: >> untsim Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved ESTE PROGRAMA EJECUTA CALCULOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ***************************************************** Adecue el problema para ejecutarlo con MATLAB ver Optimización Capítulo 5, Ejemplo 5.6 Ingresar Coeficientes de la función [a; b;.. ]: [-150; -175]<-Invertimos signos para Si existen restricciones ingresar lo que pide el programa minimizar Si no existen escribir simplemente [] RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD Ingresar Matriz de Coeficientes de las restricciones [ ] : >> [7 11; 10 8] Ingresar vector del lado derecho de las restricciones [ ] : [77; 80] RESTRICCIONES DE IGUALDAD Ingresar Matriz de Coeficientes de las restricciones [ ] : [] Ingresar vector del lado derecho de las restricciones [ ] : [] Limites inferiores de las variables (vector): [0; 0] Limites superiores de las variables (vector): [9; 6] Optimization terminated. RSPUESTA DEL PROGRAMA ********************************************* Los valores óptimos de las variables son: x = 4.8889 3.8889 El valor óptimo de la función es: fval = -1.4139e+003 El numero de iteraciones fue: output = iterations: 6 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' ********************************************** Hacer analisis de sensibilidad si(1) no(0): 0
Los valores óptimos de las variables básicas del problema son x(1) = 4.8889 y x(2) = 3.8889 El valor óptimo de la función es: f = 1413.9 (volviendo a invertir el signo)
5.5
USO DE PAQUETES DE SOFTWARE
El procedimiento descrito anteriormente es tedioso y trae dificultades al resolverlo manualmente, más aún si el número de variables y restricciones es grande. Para salvar este inconveniente se puede usar los paquetes de software tal como Excel, Lindo, Matlab, MathCad, IMSL, etc., algunos de los cuales se darán a continuación. 5.5.1
Programación lineal en Excel
Existe una variedad de paquetes de software especialmente diseñados para implementar programación lineal. Sin embargo, como su disponibilidad es amplia, este análisis se concentrará en la hoja de cálculo Excel. Esta involucra usar la opción Solver La manera en la cual se usa Solver para programación lineal es similar a nuestras aplicaciones previas en el sentido de que los datos se introducen en las celdas de la hoja de cálculo. La estrategia básica es llegar a una celda que esté optimizada como una función de las variaciones de las otras celdas sobre la hoja de cálculo. El siguiente ejemplo ilustra como se puede realizar esto para el problema de procesamiento de la gasolina.
Ejemplo 5.4 Utilice una hoja de cálculo en Excel para calcular los valores adecuados en el problema de procesamiento de la gasolina dado anteriormente.
Solución Una hoja de cálculo de Excel para calcular los valores pertinentes en el problema de procesamiento de gasolina es mostrado en la Fig. 5-5. Las celdas no sombreadas son las que contienen los datos numéricos y leyendas. Las celdas sombreadas involucran las cantidades que se calculan con base en las otras celdas. Reconozca que la celda a ser maximizada es la D12, la cual contiene la utilidad total. Las celdas que cambian son B4:C4, en las cuales se tiene las unidades de la gasolina producida regular y Premium.
Fig. 5.5 Acondicionamiento de una hoja de cálculo Excel para usar Solver para la programación lineal Una vez que se crea la hoja de cálculo, se selecciona Solver del menú de Herramientas (Tools). En esta etapa se mostrará un recuadro de dialogo, requiriendo de usted la información pertinente. Estas celdas pertinentes del resultado del dialogo de Solver se llenarán como
Se debe incluir las restricciones una por una al seleccionar el botón Agregar. Esto abrirá un recuadro de diálogo como el siguiente
Como se muestra, la restricción donde el total de materia prima para la gasolina (celda D6) debe ser menor o igual que el abastecimiento disponible (E6) se puede agregar como se ejemplificó. Después de agregar cada una de las restricciones, el botón
Agregar puede ser seleccionado. Cuando se haya introducido las cuatro restricciones, seleccionamos el botón Aceptar para regresar al recuadro del dialogo del Solver. Ahora, antes de la ejecución, se debería seleccionar el botón Opciones del Solver y revisar el recuadro como Adoptar modelo lineal, esto hará que Excel emplee una versión del algoritmo simples (en lugar de Solver no lineal más general que normalmente usa)que acelera su aplicación.
Fig. 5.6 Hoja de cálculo de Excel con la solución al problema de programación lineal Después de seleccionar esta opción, regrese al menú Solver. Cuando seleccione el botón Aceptar, se abrirá un recuadro de dialogo con un reporte sobre el éxito de la operación. Para el caso actual, el Solver obtiene la solución correcta (ver Fig 5-6)
5.5.2 Uso
del paquete LINDO
Ejemplo 4.5 Una planta química puede producir 2 tipos de productos A y B a partir de 3 materias primas diferentes m1, m2 y m3. las proporciones de materias primas para la fabricación de A es 4:5:3 y las correspondientes para B son 5:2:8. los ingresos netos para los productos A y B son uA = $5/lb y uB = $3/lb. Los “stocks” de materia prima son: S1 = 1000 lbs, S2 = 1000 lbs y S3 = 1200 lbs para cada uno de los tipos disponibles. Determinar la capacidad de producción de A y B que brinden el ingreso neto máximo.
Solución Planteo m1
m2
m3
U : $/lb
Producto A 4 5 Producto B 5 2 1000 1000
3 8 1200
5 3
1.- Variables: x1 = lbs de A (x1 > 0) x2 = lbs de B (x2 > 0) 2.- Función objetivo: INGRESOS Maximizar:
Z
Z = 5 x1 + 3x2
3.- Las restricciones son: 4x1 + 5x2 1000 5x1 + 2x2 1000 3x1 + 8x2 1200 4.- Enunciado: Maximizar
Z = 5 x1 + 3x2
Sujeta a las restricciones 4x1 + 5x2 1000 5x1 + 2x2 1000 3x1 + 8x2 1200 5.- Introduciendo las variables de holgura para transformar las inecuaciones de las restricciones a ecuaciones 4x1 + 5x2 + x3 = 1000 5x1 + 2x2 + x4 = 1000 3x1 + 8x2 + x5 = 1200 Variables de holgura: x3 , x4 y x5 La solución se encuentra de la siguiente manera: 1. Escribir el problema denotando MAX (para maximizar) o MIN (para minimizar)
MAX 5x1 + 3x2 2. Dar las restricciones SUBJECT TO 4x1 + 5x2 <= 1000 5x1 + 2x2 <= 1000 3x1 + 8x2 <= 1200 3. Encontrar la solución dando la orden: Solve NO LIKELY SOURCES OF ERROR WERE FOUND LP OPTIMUM FOUND AT STEP
2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
1058.823
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
X1
176.470581
0.000000
X2
58.823528
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS 2)
0.000000
0.294118
3)
0.000000
0.764706
4)
200.000000
NO. ITERATIONS =
DUAL PRICES
0.000000 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE
CURRENT
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
X1
5.000000
2.500000
2.600000
X2
3.000000
3.250000
1.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW
CURRENT RHS
ALLOWABLE
INCREASE
DECREASE
2
1000.000000
100.000000
199.999985
3
1000.000000
250.000000
200.000000
4
1200.000000
INFINITY
200.000000
La aplicación del método da el siguiente resultado: Valor máximo de la función objetivo = 1058.823 Valores óptimos de las variables:
X1 = 176.470581 X2 = 58.823528
5.5.3 Programación Lineal con MATLAB El paquete de cálculo Matlab, dispone de una amplia gama de herramientas para optimización y una de ellas es la programación lineal. A continuación veremos el uso de algunas de sus herramientas programación lineal. Tomando el ejemplo anterior, el enunciado es: Maximizar
Z = 5 x1 + 3x2
Sujeta a las restricciones 4x1 + 5x2 1000 5x1 + 2x2 1000
sobre
3x1 + 8x2 1200 Para usar MATLAB debemos de enunciar de la siguiente manera: Minimizar
Z = – 5 x1 – 3x2
Sujeta a las restricciones 4x1 + 5x2 1000 5x1 + 2x2 1000 3x1 + 8x2 1200 Ahora hacemos el cálculo de la siguiente manera: 1. Introducimos los coeficientes de las variables en la función objetivo: >> f = [-5; -3]; 2. Introducimos la matriz de coeficientes de las restricciones >> A=[4 5; 5 2; 3 8]; 3. El vector del lado derecho de las restricciones >> b=[1000; 1000; 1200] 4. El rango de variables >> lb = zeros(2,1); 5. La rutina de cálculo: >> [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb); Optimization terminated successfully.
Como hemos colocado (;) al final de la orden no se visualiza inmediatamente el resultado por lo que debemos invocar la respuesta: >> x
<------- Valores óptimos de las variables
x = 176.4706 58.8235 >> fval fval = -1.0588e+003
<------- Optimo de la función
Si no ponemos (; al final de la orden se visualizan todos los resultados del cáculo >> [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) Optimization terminated successfully. x = 176.4706 58.8235 fval = -1.0588e+003 exitflag = 1 output = iterations: 5 cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol' lambda = ineqlin: eqlin: upper: lower:
[3x1 [0x1 [2x1 [2x1
double] double] double] double]
La orden de cálculo tambien puede ser (sin lb) >> [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[])
Los corchetes de la orden son: El primero: [ ]=Aeq (Matriz de coeficientes de restricciones de igualdad) El segundo: [ ]=beq (Vector del lado derecho de restricciones de igualdad)
Para el problema 5.1 Maximizar: 3A + 4B
(ganancia )
Las ecuaciones de restricción son: 4A + 2B 80 tiempo de procesamiento
2A + 5B 120 tiempo de preparación. Para usar MATLAB, haciendo A= x1 y B = x2, el enunciado debe ser: Minimizar: - 3x1 - 4x2 Las ecuaciones de restricción son: 4x1 + 2x2 80 2x1 + 5x2 120 Las ordenes y respuesta son: >> f=[-3; -4]; >> A=[4 2; 2 5]; >> b=[80; 120]; >> [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[]); Optimization terminated successfully. >> x x = 10.0000 20.0000 >> fval fval = -110.0000 >>
Luego invirtiendo los signos de la función objetivo se tiene:110.00
Problema 5.2 sobre procesamiento de gasolina El enunciado del problema se reduce a: Maximizar Z = 150 x1 + 175 x2 Sujeta a 7 x1 + 11 x2 ≤ 77
(1)
10 x1 + 8 x2 ≤ 80
(2)
x1 ≤ 9
(3)
x2 ≤ 6
(4)
x1 ≥ 0
(5)
x2 ≥ 0
(6)
Para
la
solución
con
MATLAB
debemos
cambiar
el
enunciado
a:
Minimizar f = -150 x1 - 175 x2 Sujeta a 7 x1 + 11 x2 ≤ 77
(1)
10 x1 + 8 x2 ≤ 80
(2)
x1 ≤ 9
(3)
x2 ≤ 6
(4)
-x1 ≤ 0
(5)
-x2 ≤ 0
(6)
Y la ejecución en Matlab es: >> f=[-150; -175]; >> A=[7 11; 10 8;1 0;0 1;-1 0;0 -1]; >> b=[77; 80; 9; 6; 0; 0]; >> [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[]); Optimization terminated successfully. >> x x = 4.8889 3.8889 >> fval fval = -1.4139e+003
Luego invirtiendo los signos de la función objetivo se tiene:1413.9
Uso de UNTSIM Seleccionando del Menú principal: Calculos de Ingeniería Química - Optimización - Funciones multivariable - Mínimo con restricciones Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada
All rights reserved ESTE PROGRAMA REALIZA LA OPTIMIZACION DE FUNCIONES CON DOS O MAS VARIABLES CON RESTRICCIONES LINEALES DE DESIGUALDAD, IGUALDAD LIMITES PARA LAS VARIABLES Y RESTRICCIONES NO LINEALES ******************************************************* Ingrese función: '-150*x(1) -175*x(2)' Cuantas restricciones lineales de desigualdad tiene?: 6 Ingrese matriz de coeficientes de las restricciones de desigualdad [ ]: [7 11; 10 8;1 0;0 1;-1 0;0 -1] Ingrese vector de valores del lado derecho de restricciones de desigualdad [ ]: [77 80 9 6 0 0] Cuantas restricciones lineales de igualdad tiene?: 0 Hay limites para los valores de la variables si(1) no (0): 0 Cuantas restricciones no lineales tiene?: 0 Inicio de busqueda Valores iniciales: [0 0] Optimization terminated successfully: First-order optimality measure less than options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon Active Constraints: 1 2 RESULTADO DE LA OPTIMIZACION --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 4.88889 1.- El optimo de la variable es = 3.88889 2.- El optimo de la función es = -1413.89 >>
Ejemplo 5.6 Refinería de petróleo simplificada El diagrama de una refinería de petróleo muy simplificada se muestra en la Fig. 5-7.
Fig. 5.7 Diagrama de flujo de una refinería simplificada La refinería produce gasolina especial que se vende a $50 el barril con un octanaje mayor o igual que 95, gasolina corriente que se vende a $45 el barril con un octanaje mayor o igual que 89, petróleo diesel que se vende a $25 el barril con un número de contaminación no superior a 55. Para satisfacer la demanda del mercado, la refinería debe producir por lo menos 25 000 barriles diarios de gasolina especial, 10 000 de gasolina corriente y 30 000 de petróleo diesel. El petróleo crudo cuesta 4 27,5 por barril. Los costos de operación de la columna de destilación del petróleo crudo son $2,5 el barril de cada uno de los productos obtenidos; nafta ligera virgen, nafta pesada virgen y destilado virgen. El destilado virgen y parte de la nafta pesada virgen, se envían a la unidad de separación catalítica. El costo de la operación depende de la alimentación a la unidad y cuesta $1,0 el barril de nafta pesada virgen y $1,5 el barril de destilado virgen. La manera más conveniente de presentar la información anterior es en forma matricial, ver tabla 9-4, donde se ven los coeficientes de costo y las ecuaciones de restricción. La primera fila es la función objetivo donde los costos son coeficientes negativos y las utilidades coeficientes positivos. La segunda fila indica la restricción en volumen de la mezcla de gasolina especial mostrando que por lo menos deben producirse 25 000 barriles al día de gasolina especial. La tercera fila es le restricción en el octanaje de la gasolina especial. El octanaje de la nafta liviana virgen es 92 y el de la nafta catalítica es 97.
Por lo que: 92LVNPG + 97CNPG 95(LVNPG + CNPG) Reagrupando los términos se obtiene: – 3LVNPG + 2CNPG 0 Que es la ecuación que aparece en la tercera fila. Relaciones similares se muestran para las mezclas de gasolina corriente y petróleo diesel. La tabla siguiente da las especificaciones de cada componente de la mezcla Componente
Octanaje
Número de contaminación
Petróleo pesado catalítico
...
59
Petróleo liviano catalítico
88
50
Nafta catalítica
97
...
Nafta pesada virgen
84
...
Nafta liviana virgen
92
...
La capacidad de la unidad de separación catalítica (CCC) no debe exceder de 50 000 barriles por día. La columna de destilación de petróleo crudo tiene su capacidad limitada a 100 000 barriles por día. A continuación siguen las restricciones de balance de materiales. Por ejemplo, la línea LVNAP establece que la suma de nafta liviana debe ser igual al total de destilado crudo. Las alimentaciones son positivas y las salidas negativas. Como se muestra, el crudo se separa en 3 fracciones de volumen 0,2 de nafta liviana virgen, 0,5 de nafta pesada virgen y 0,3 de destilado virgen. En las unidades de separación catalítica el costo de operación por barril de nafta pesada virgen es $1,0 y la distribución del producto es de 0,7 barriles de nafta catalítica, 0,4 barriles de petróleo catalítico liviano y 0,2 barriles de petróleo pesado catalítico. Ver Tabla 5.4 El aumento de volumen se debe a la separación de las moléculas grandes en pequeñas. Estos balances de materiales se muestran en las líneas CNAP, LTCCO y HVCCO. De igual forma, la distribución del destilado virgen en la unidad de separación catalítica es 0,1 barriles de nafta catalítica, 0,3 barriles de petróleo catalítico liviano y 0,7 barriles de petróleo catalítico pesado por barril de destilado virgen. Para este modelo de refinería simplificada fueron necesarias 14 ecuaciones de
restricción; en una planta real las ecuaciones de restricción serán varios centenares, pero todas desarrolladas en una forma similar a la mostrada.
Usando el paquete LINDO 1. Establecimiento de la función objetivo (para lo cual se han establecido las variables, ver Tabla 5.4) MAX - 27.5X1 - 2.5X2 - 2.5X3 - 2.5X4 - X5 - 1.5X6 + 50.0X7 + 50.0X8 + 45.0X9 + 45.0X10 + 45.0X11 + 45.0X12 + 25.0X13 + 25.0X14
2. Establecimiento de las restricciones SUBJECT TO X7 + X8 >=25000 -3.0X7 + 2.0X8>=0 X9 + X10 + X11 + X12 >=10000 3.0X9 - 5.0X10 + 8.0X11 - X12 >=0 X13 + X14 >=30000 -5.0X13 + 4X14 <=0 X5 + X6 <=50000 X1<=100000 -0.2X1 + X7 + X9 =0 -0.5X1 + X5 + X10 =0 -0.7X5 - 0.1X6 + X8 + X11 =0 -0.4X5 - 0.3X6 + X12 + X13 =0 -0.2X5 - 0.7X6 + X13 =0 X2>=0 X3>=0 X4>=0 X5>=0
X6>=0 X7>=0 X8>=0 X9>=0 X10>=0 X11>=0 X12>=0 X13>=0 X14>=0
3. Compilación del modelo NO LIKELY SOURCES OF ERROR WERE FOUND
4. Búsqueda de la solución (comando Solve) LP OPTIMUM FOUND AT STEP
12
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
1145139.
VARIABLE
VALUE
X1
100000.000000
X2
0.000000
X3
0.000000
X4
0.000000
X5
33333.332031
X6
16666.666016
X7
11777.777344
X8
17666.666016
X9
8222.222656
X10
16666.666016
X11
7333.333496
X12
0.000000
X13
18333.333984
X14
22916.666016
La solución del problema muestra lo siguiente: Crudo tratado (X1) = 100 000 barriles por día (bb/d) Gasolina especial: X7 +X8 = 11777.777344 + 17666.666016 25 0000 bb/d Gasolina corriente: X9 + X10 + X11 + X12 = 8222.222656 + 16666.666016 + 7333.333496 + 0.00 10 000 bb/d Petróleo diesel: X13 + X14 = 18333.333984 + 22916.666016 30 000
bb/d
Utilidades máximas = $ 1145139./ día
Uso del Simulador UNTSIM El Simulador UNTSIM posee una rutina para efectuar cálculos de programación lineal, ilustraremos su uso resolviendo el problema anterior, para lo cual debemos hacer lo siguiente: 1. Debemos escribir la función para minimizarla ( esto lo hacemos multiplicando la función objetivo inicial por -1), con lo cual se tiene: Min: + 27.5X1 + 2.5X2 + 2.5X3 + 2.5X4 + X5 + 1.5X6 - 50.0X7 - 50.0X8 - 45.0X9 - 45.0X10 - 45.0X11 - 45.0X12 - 25.0X13 - 25.0X14
2. Establecimiento de las restricciones Sujeta a 2.1. Restricciones de desigualdad Lado derecho
Coeficientes
-X7 - X8 -25000
0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0
+3.0X7 - 2.0X8 0
0 0 0 0 0 0 3 -2 0 0 0 0 0 0
-X9 - X10 - X11 - X12 -10000
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0
25000 0
10000 -3.0X9 + 5.0X10 - 8.0X11 + X12 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -3 5 -8 1 0 0
0
-X13 - X14 -30000
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1
-5.0X13 + 4X14 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5 4
X5 + X6 50000
00001100000000
50000
X1 100000
10000000000000
100000
-X20
0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
-X30
0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
-X40
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
-X50
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
-X60
0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
0
-X70
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0
-X80
0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
0
-X90
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
0
-X100
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
0
-X110
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
0
-X120
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0
0
-X130
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0
0
-X140
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1
0
30000 0
2.2. Restricciones de igualdad -0.2X1 + X7 + X9 =0
-0.2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0
-0.5X1 + X5 + X10 =0
-0.5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0
-0.7X5 - 0.1X6 + X8 + X11 =0
0 0 0 0 -0.7 -0.1 0 1 0 0 1 0 0 0
0
-0.4X5 - 0.3X6 + X12 + X13 =0
0 0 0 0 -0.4 -0.3 0 0 0 0 0 1 1 0
0
-0.2X5 - 0.7X6 + X13 =0
0 0 0 0 -0.2 -0.7 0 0 0 0 0 0 1 0
0
3. Ejecución del cálculo: Vamos al menú principal - Calculos de Ingeniería Química- Optimización Programación Linel: y el programa nos solicita lo siguiente: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved PROGRAMACION LINEAL Este programa ejecuta calculos de PROGRAMACION LINEAL Adecue el problema para ejecutarlo con MATLAB ver Optimizacion Capitulo 5, Ejemplo 5.6 Ingresar Coeficientes de la funcion [ ]: [27.5 2.5 2.5 2.5 1 1.5 -50.0... -50.0 -45.0 -45.0 -45.0 -45.0 -25.0 -25.0] Si existen restricciones ingresar lo que pide el programa Si no existen escribir simplemente [] RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD Ingresar Matriz de Coeficientes de las restricciones [ ] : [0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 3 -2 0 0 0 0 0 0;... 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 -3 5 -8 1 0 0;... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5 4;... 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;... 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;... 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;... 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0;... 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0;... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0;... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0;... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1] Ingresar vector del lado derecho de las restricciones [ ] : [-25000;0;-10000;0;-30000;0;50000;100000;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0] RESTRICCIONES DE IGUALDAD Ingresar Matriz de Coeficientes de las restricciones [ ] : [-0.2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0;-0.5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0;... 0 0 0 0 -0.7 -0.1 0 1 0 0 1 0 0 0;0 0 0 0 -0.4 -0.3 0 0 0 0 0 1 1 0;... 0 0 0 0 -0.2 -0.7 0 0 0 0 0 0 1 0]; Ingresar vector del lado derecho de las restricciones [ ] : [0;0;0;0;0]
La respuesta del programa es: Optimization terminated successfully. x = 1.0e+004 * 10.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3.3333 1.6667 1.1778 1.7667
<------- Valores optimos de las variables
0.8222 1.6667 0.7333 0.0000 1.8333 2.2917 fval = -1.1451e+006 -1
<------------ óptimo de la función (multiplicar por para tener el valor correcto)
exitflag =
<-------Información adicional del cálculo
1 output = iterations: 7 cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol' lambda = ineqlin: eqlin: upper: lower:
[21x1 double] [5x1 double] [14x1 double] [14x1 double]
>>
Ejemplo 4.7
Caso de Mezcla (Preparación de alimentos)
Una empresa se dedica a la fabricación de dos productos alimenticios que deben reunir tres requisitos vitamínicos con las vitaminas A, B y C. Los requerimientos de vitaminas para la población son: Vitamina A: más de 200 UU/día-persona Vitamina B: más de 100 UU/día-persona Vitamina C: más de 150 UU/día-persona En un análisis de comprobación se obtiene que los productos alimenticios mencionados poseen por porción: Vitamina A
Vitamina B
Vitamina C
Alimento 1 Alimento
50 2
10 30
25 50
unidades 30
unidades
Para no incurrir en la repetición de las comidas, se permite consumir hasta 6 porciones/persona-día de cada uno de los alimentos. Los precios de los alimentos son S/ 1,0/porción y S/1,5/porción para los alimentos 1 y 2 respectivamente. Que cantidad de productos alimenticios se debe producir satisfaciendo los requerimientos vitamínicos a un precio mínimo?
Solución 1. Las variables son: X1: porciones de alimento 1 X2: porciones de alimento 2 2. La función objetivo es Z: MIN Z = 1,0X1 + 1,5X2 3. Las restricciones son: 50X1 + 30X2 200 (vitamina A) 10X1 + 50X2 100 (vitamina B) 25X1 + 30X2 150 (vitamina C) X1 6 X2 6 4.
Resolviendo con LINDO MIN
X1 + 1.5X2
SUBJECT TO 50X1 + 30X2 >= 200 10X1 + 50X2 >= 100 25X1 + 30X2 >= 150 X1 <= 6 X2 <= 6
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
6.315790
VARIABLE
Costo mínimo
VALUE
X1
4.736842
Porciones de alimento 1
X2
1.052632
Porciones de alimento 2
Uso del Simulador UNTSIM El problema sera acondicionado de la siguiente manera Minimizar f = X1 + 1.5X2 Sujeta a: -50X1 - 30X2 -200 -10X1 - 50X2 -100 -25X1 - 30X2 -150 X1 6 X2 6 Al ejecutar Untsim, (ver problema anterior para la secuencia) se tiene: Copyright 2002 UNT MSc. Luis Moncada All rights reserved PROGRAMACION LINEAL Este programa ejecuta calculos de PROGRAMACION LINEAL Adecue el problema para ejecutarlo con MATLAB ver Optimizacion Capitulo 5, Ejemplo 5.6 Ingresar Coeficientes de la funcion [ ]: [1 1.5] Si existen restricciones ingresar lo que pide el programa Si no existen escribir simplemente [] RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD Ingresar Matriz de Coeficientes de las restricciones [ ] : [-50 -30; -10 -50; -25 -30;1 0;0 1] Ingresar vector del lado derecho de las restricciones [ ] : [-200; -100; -150; 6; 6] RESTRICCIONES DE IGUALDAD
Ingresar Matriz de Coeficientes de las restricciones [ ] : [] <------- No hay restricciones de igualdad Ingresar vector del lado derecho de las restricciones [ ] : [] <------- No hay restricciones de igualdad
La respuesta del programa es: Optimization terminated successfully. Los valores optimos de las variables son: x = 4.7368 1.0526 El valor optimo de la funcion es: fval = 6.3158 El numero de iteraciones fue: output = iterations: 7 cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol'
5.6 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Problema de planeamiento de la producción Una compañía manufactura cuatro variantes del mismo producto y en la parte final del proceso manufacturero están el ensamblaje, pulido y empaque. Pues cada variante el tiempo requerido para estas operaciones es mostrado debajo (en minutos) cual es la ganancia por unidad vendida. Variante 1 2 3 4
Ensamblaje 2 4 3 7
Pulido 3 2 3 4
Empaque 2 3 2 5
Beneficio ($) 1.50 2.50 3.00 4.50
Dado el estado corriente de la fuerza laboral, la compañía estima, cada año, han tenido 100000 minutos de tiempo de ensamblaje, 50000 minutos de tiempo pulido y 60000 minutos de tiempo empacado. ¿Cuántos de cada variante del producto debe manufacturar la compañía por año y cuál debería ser la ganancia asociada? Suponga que ahora la compañía es libre para decidir cuanto tiempo le dedica a cada una de las tres operaciones (ensamble, pulido y empaque) dentro del tiempo
admisible total de 210000 (= 100000 + 50000 + 60000) minutos. Cuanto de cada variante deberá hacer la compañía por año y cual es el beneficio asociado?
Solución de Planeamiento de la producción Variables Haciendo: xi = número de unidades de la variante i (i=1,2,3,4) hechas por año Tass = número de minutos por año usados en ensamblaje Tpol = número de minutos por año usados en pulido Tpac = número de minutos por año usados en empaque donde: xi >= 0
i = 1,2,3,4 y
Tass, Tpol, Tpac >= 0
Restricciones (a) Tiempo de operación Tass = 2x1 + 4x2 + 3x3 + 7x4 (ensamblaje) Tpol = 3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 (pulido) Tpac = 2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 (empaque) (b) Límites de tiempos de operación Los límites de los tiempos de operación dependen de la situación bajo consideración. En la primera situación, donde el tiempo máximo que puede ser gastado en cada gastado en cada operación es especificado, nosotros simplemente tenemos: Tass <= 100000 (ensamblaje) Tpol <= 50000 (pulido) Tpac <= 60000 (empaque) En la segunda situación, donde la única limitación es el tiempo total gastado en todas las operaciones, nosotros simplemente tenemos: Tass + Tpol + Tpac <= 210000 (tiempo total)
Objetivo Probablemente para aumentar al máximo las ganancias - por lo tanto tenemos maximizar 1.5x1 + 2.5x2 + 3.0x3 + 4.5x4 lo cual nos da la formulación completa del problema.
5.6.1 Uso de LINDO El planteamiento del problema en Lindo es:
Y la solución se obtiene con el comando solve
durante la solución se presenta la opción para un análisis de sensibilidad:
y luego información sobre el proceso de optimización
Cerrando la ventana anterior tenemos la ventana de reportes:
Podemos ver que la solución óptima al problema tiene los valores de: máximo de la función objeivo = 58000 ($), X1 = 0, X2 = 16000, X3 = 6000 y X4 = 0; y reemplazando valores Tass = 82000, Tpol = 50000, Tpac = 60000, . Esta es la solución al problema de PL - pero resulta que el algoritmo Simplex como (como un sub-producto de solución de PL) da alguna información interesante. Esta información tiene relación con:
cambiando el coeficiente de una variable en la función objetivo forzando una variable la cual es actualmente cero para que no sea cero
cambiando el lado derecho de una restricción.
Trataremos con cada caso a su vez, y notando que el análisis presentado a continuación SOLO se aplica para un cambio simple, si dos o más aspectos cambian entonces necesitamos resolver efectivamente el problema de PL.
supongamos que variamos el coeficiente de X2 en la función objetivo. Como cambiará la solución óptima de PL?
Actualmente X1 = 0, X2 = 16000, X3 = 6000 y X4 = 0. Las columnas CURRENT COEF ALLOWABLE INCREASE y ALLOWABLE DECREASE nos proporcionan esa información, El coeficiente actual de X2 en la Función Objetivo es 2.5 el incremento máximo es 2 y el decremento máximo es 0.142857, esto quiere decir con un valor del coeficiente de X2 en la Función Objetivo variando entre 2.3571 y 4.50, los valores de las variables en la solución del problema de PL permanecen sin cambiar. Notar sin embargo que el valor de la solución óptima actual cambiará. En términos del problema original podemos decir efectivamente que la decisión para producir 16000 de la variante 2 y 6000 de la variante 3 permanece optima aún cuando el beneficio por unidad de variante 2 no sea actualmente 2.5 (pero siempre que permanezca en el rango entre 2.3571 a 4.50). Conclusiones similares pueden obtenerse para X1, X3 y X4. En términos del fundamento del algoritmo simplex esto se mantiene porque la base de la solución actual del simplex (vertice de la región factible) permanece óptima proporcionando el coeficiente de X2 en la función objetivo variando ente 2.3571 y 4.50.
Para las variables, la columna REDUCED COST nos da, para cada variable la cual es actualmente cero (X1 y X4), un estimado de cuanto cambiará la función objetivo si hacemos que la variable no sea cero.
Aquí tenemos la tabla Variable Costo de Oportunidad Nuevo valor (= o >=)
X1 1.5 X1=A o X1>=A Cambio estimado de la función objetivo 1.5A
X4 0.2 X4=B X4>=B 0.2B
La función objetivo siempre se empeorará (disminuirá si tenemos un problema de maximización, aumentará si tenemos un problema de minimización) por al menos este estimado. Mientras mayor A o B es más inexacta esta estimación del cambio exacto que podría ocurrir si fuésemos a resolver la PL con las restricciones correspondientes para el nuevo valor de X1 o X4 adicionado. Por lo tanto si exactamente 100 de la variante 1 fuese a ser producido cual debería ser su estimado del nuevo valor de la función objetivo? Notar aquí que el valor en la columna de Reduced Cost para una variable es a menudo
denominado "costo de oportunidad" para la variable. Notar aquí que una interpretación alternativa (e igualmente válida) de los costos reducidos es la cantidad por la cual el coeficiente para una variable en la función objetivo necesita ser cambiado antes de que esa variable se convierta en no cero. Aquí para la variable X1 la función objetivo necesita a ser cambiada por 1.5 (incrementar ya que estamos maximizando) antes que la variable devenga en no cero. En otras palabras, refiriéndonos a nuestra situación original, el beneficio por unidad de variante 1 necesitaría ser incrementado por 1.5 antes de que sea lucrativo para cualquier producción de variante 1. Similarmente el beneficio por unidad de variante 4 necesitaría incrementarse por 0.2 antes de que sea lucrativo cualquier producción de variante 4.
para cada restricción la tabla RIGHTHAND DIDE RANGES nos muestra como puede cambiar la función objetivo si hacemos cambios en el lado derecho de las restricciones dentro de los limites permitidos
De la tabla tenemos Restricción Costo dual (ignore signo) Cambio en el lado derecho Cambio en la función objetivo Valor actual para el lado derecho Incremento permisible Decremento permisible Con lo cual se tiene: Limite superior del lado derecho Limite inferior del lado derecho
Ensamblaje 0 a 0 100000 Infinito 18000
Pulido 0.80 b 0.80b 50000 40000 10000
Empaque 0.30 c 0.30c 60000 14999.99 26666.66
Infinito 82000
90000 40000
75000 33333.34
Por ejemplo para la restricción de pulido, considerendo que el lado derecho de la restricción permanece entre 40000 y 90000 la función objetivo cambiará exactamente por 0.80[cambio en el lado derecho de 50000]. La dirección del cambio en la función objetivo (aumento o disminución) depende de la dirección del cambio en el lado derecho de la restricción y de la naturaleza del objetivo (maximizar o minimizar). Para decidir si la función objetivo aumenta o disminuye usar:
la restricción más (menos) restrictiva después del cambio en el lado derecho implica que la función objetivo empeora (mejora) si el objetivo es maximizar (minimizar) entonces empeora con la disminución (aumento), mejora con el aumento (disminución)
Por lo tanto
si usted tiene un extra de 100 horas a cuál operación deberá signarlas? si usted debe disminuir 50 horas del pulido o del empaque cual deberá elegir? cual será el nuevo valor de la función objetivo es esos dos casos?
El valor de la columna nombrada como DUAL PRICES, también se denomina "valor marginal" or "valor dual" para esa restricción. Notar que, como parecería lógico, si la restricción es imprecisa el precio sombra es cero (así como si la restricción es imprecisa un pequeño cambio en el lado derecho no puede alterar la solución óptima).
Comentarios
Paquetes diferentes de PL tienen formatos diferentes de entrada/salida pero se obtiene la misma información discutida anteriormente. Usted puede haber encontrado confusión en lo antedicho. Esencialmente la interpretación de la salida de PL es algo que se aprende con la práctica.
Mucha de la información obtenible (como la discutida anteriormente) como un sub-producto de la solución del problema de PL puede ser de importancia para la gestión en estimados del efecto de cambios (por ejemplo, cambios en costos, capacidades de producción, etc) sin tener que resolver un nuevo problema de PL
Esta información de sensibilidad nos da una medida de cuan robusta es la solución es decir cuan sensible es a los datos de entrada.
Notar aquí que, como se ha mencionado anteriormente, el análisis dado anteriormente relacionado a:
cambiando los coeficientes de la función objetivo para una variable; y forzando una variable la cual corrientemente es cero a ser no-cero; y
cambiando el lado derecho de una restricción
es válido solamente para un cambio simple. Si se hacen dos (o más) cambios la situación se vuelve más compleja y es aconsejable resolver el problema de PL.
5.7 DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL CON LINDO ESQUEMA DE CONTENIDOS ________________________________________________
C:\Plant Design\Optimizacion\lindo1.ht m - 5.7.1
C:\Plant Design\Optimizacion\lindo1.ht m - 5.7.2
C: \Plant Design\Optimizacion\lindo2.ht m - casos
C: \Plant Design\Optimizacion\lindo1.ht m - 5.7.3
INTRODUCCIÓN_______________________________________________ ____________________
En el punto anterior vimos cómo usar el programa LINDO para resolver problemas de programación lineal. En este maht-block presentaremos el concepto de la dualidad, el cual cobra gran importancia dentro de la teoría general de la PL. Asimismo, usaremos nuevamente LINDO para obtener los precios sombra o duales de un problema, y veremos cual es la interpretación económica de los mismos. En muchas ocasiones, puede resultar más eficiente (y, a efectos de solución, equivalente) resolver el llamado problema dual que el problema original al que nos enfrentamos. Por su parte, el análisis de los precios sombra o precios duales nos puede ayudar a valorar adecuadamente las limitaciones impuestas por cada una de las restricciones.
OBJETIVOS___________________________________________________ _____________________ - Aprender a distinguir las partes que constituyen un problema de PL. - Comprender el concepto de precios duales (o precios sombra), y saber aplicarlo para tomar decisiones sobre los recursos disponibles. - Saber hallar el problema dual de un problema dado. - Familiarizarse con el uso de LINDO para hallar e interpretar los precios duales.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES_____________________________________________ ________ 5.7.1 Partes de un problema de PL Dado un problema de PL, podemos distinguir en él las siguientes partes de interés: 1. 2.
Los coeficientes de la función objetivo o coeficientes objetivo. Los coeficientes tecnológicos: aquellos coeficientes que afectan a las variables de las restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad. Se llaman así porque habitualmente escriben capacidades tecnológicas en problemas de optimización lineal de costes de producción
3. Los recursos disponibles o Right-Hand-Side: los términos independientes de cada restricción, situados a la derecha de la desigualdad.
5.7.2 Precios sombra o duales Cuando usemos Lindo –o cualquier software de similares característica- para resolver un problema de PL, no sólo obtendremos la solución del mismo –caso de que exista-, sino también los llamados precios sombra o precios duales. Cada precio sombra estará asociado a una restricción del problema, y nos indicará en cuánto “mejoraría” la función objetivo –evaluada en el punto solución- si dicha restricción se “relajase” en una unidad. En el contexto anterior, “mejorar” significa: “aumentar” en el caso de un problema de maximización, y “disminuir” en el caso de un problema de minimización. Por su parte, “relajar” una restricción en una unidad significa: “incrementar” el RHS en una unidad en caso de que la restricción sea con <=, y “disminuir” el RHS en una unidad en caso de que la restricción sea con >=. Ejemplo: Resolveremos con LINDO el problema anterior (recordar que, por defecto, LINDO ya presupone que todas las variables de la función objetivo han de ser no negativas, i.e.: X >= 0, Y >= 0):
LINDO nos ofrece la siguiente ventana de resultados:
A partir de la salida anterior, sabemos que la función objetivo alcanza un valor máximo de 180 para X = 0 e Y = 9 –en otras palabras, el punto (0,9) es solución del problema. La columna SLACK OR SURPLUS nos dice que para X = 0 e Y = 9 la primera de las restricciones se verifica en igualdad (en efecto, 3·0 + 9 = 9). Ello significa que, en el punto solución, estamos agotando todos los recursos asociados a dicha restricción (SURPLUS = 0), por lo que cabe pensar que si relajásemos dicha restricción en una unidad, podríamos hallar una nueva solución que mejorase aún más la función objetivo. La columna DUAL PRICES nos aclara que, en efecto, si en lugar de tener un valor de 9 en el RHS de la primera restricción tuviésemos un valor de 10 (incrementamos en una unidad, ya que es un <=), la función objetivo en el óptimo llegaría a 200 (mejoraría en 20 unidades). Por lo que a la segunda restricción se refiere, observamos que en el óptimo “sobran” recursos (en efecto, 0 - 3·9 = - 27 < 5). Puesto que no estamos agotando los recursos asociados a esta restricción, cabe pensar que no lograremos mejorar la función objetivo al relajar en una unidad la restricción. En efecto, el ventana de resultados muestra un precio dual asociado de 0.
5.7.3 Problemas Primales y Problemas Duales Dado un problema de PL, al cual llamaremos problema primal (P), existirá siempre otro problema de PL unívocamente asociado al primal, y al cual llamaremos problema dual (D). La dualidad es importante por el hecho de que es equivalente resolver un problema a resolver su dual. Ello es debido a que los precios sombra (o precios duales) de D son las soluciones (salvo signo) de P y viceversa. Así, en ocasiones, puede resultar conveniente obtener las soluciones de P a partir de los precios sombra de D en vez de resolver P directamente. Supongamos que tenemos un problema lineal P, el cual tiene n variables (X1, X2, ..., Xn) y m siguiente:
Ejemplo 1: Supongamos que el problema primal tiene 100 variables y 20.000 restricciones. ¿Cuántas variables y restricciones tendrá el problema dual?. En este caso, el problema dual estará constituido por 20.000 variables y 100 restricciones. Ejemplo 2: Hallar el dual del siguiente problema de PL: Minimizar Sujeto a:
4 X1 + 13 X2
18 X1 + 12 X2 <= 3 6 X1 + 2 X2 = 17 X1 >= 0, X2 >= 0 El problema anterior se puede rescribir como: Maximizar - 4 X1 - 13 X2 Sujeto a: 18 X1 + 12 X2 <= 3 6 X1 + 2 X2 <= 17 - 6 X1 - 2 X2 <= - 17 X1 >= 0, X2 >= 0 Ahora, podemos hallar el dual: Minimizar 3 Y1 + 17 Y2 – 17 Y3 Sujeto a: 18 Y1 + 6 Y2 – 6 Y3 <= - 4 12 Y1 + 2 Y2 – 2 Y3 <= - 13 Y1 >= 0, Y2 >= 0, Y3 >= 0 Otra propiedad interesante, consecuencia de la propia definición de problema dual, es que si consideramos D como un problema de PL y calculamos su dual, obtendremos nuevamente el primal original P, i.e.: “el dual del dual es el primal”. Por eso se dice que la dualidad es involutiva. Veremos a continuación un ejemplo que nos clarificará estas ideas: Consideremos el problema primal P situado en la esquina superior izquierda. Según lo dicho anteriormente, su dual asociado (D) será el problema planteado a su derecha, el cual podemos rescribir (usando los procedimientos ya explicados) de la forma que se muestra en la parte inferior derecha. Calculando el dual de esta última formulación de D obtenemos DD (el dual del dual), el cual resulta ser equivalente al problema primal original P:
Estudiemos ahora la ventana de resultados (generada por LINDO) del primal P y su dual D:
Examinando estos resultados, queda claro lo que comentábamos al inicio del apartado: los precios sombra del problema dual coinciden con las soluciones del primal, y viceversa. Observar además que el valor de la función objetivo en ambos casos es el mismo (1.250), cosa que siempre ocurrirá. Una última observación: en ocasiones puede ocurrir que, examinando dos ventanas de resultados como las anteriores, no coincidan la columna de precios sombra del dual y las soluciones del primal. Ello se debe a que el problema en cuestión tiene múltiples soluciones óptimas, y a que LINDO nos ha dado dos distintas.
A Titulo de Curiosidad El concepto de precio sombra tiene un origen económico latente en Microeconomía. Se define como el precio o valor imputados a una mercancía o servicio en donde tal precio o valor no puede ser determinado precisamente, debido bien a la ausencia de un mercado ordinario determinante de precios, bien a la existencia de grandes distorsiones en los mercados en los que la mercancía o servicio estén presentes. (Tomado de Pass, C., Lowes, B. y Davies, L. (1993): Dictionary of Economics. Harper Collins Publishers)
CASOS DE ESTUDIO Caso 1 Número de efectos de un sistema de evaporación Un evaporador de múltiple efecto se debe usar para evaporar 400 000 lb/día de agua de una solución salina . El costo total inicial para el primer efecto es 18 000 dólares y de cada efecto adicional 15 000 dólares, el periodo de vida útil se estima en 10 años y el valor de rescate de esas unidades al final de la ida útil se puede considerar igual a 0. Se debe usar el método de depreciación por la línea recta. Las cargas fijas menos la depreciación ascienden a 15 % anual basadas en el costo inicial del equipo. El costo de vapor de agua es 0.50 dólares/1000 libras. Las cargas de mantenimiento anual suman 5 % del costo total del equipo, todos los otros costos son independientes del No. de efectos. La unidad debe operar 300 días al año. Si las libras de agua evaporada por libra de vapor = 0.85N N = No. de efectos. Determine el número óptimo de efectos para esta unidad. Solución 1.
Factor: N (número de efectos)
2.
Función objetivo: CT (costo total anual) CT = f(N) CT = C 1 + C 2 + C 3 C1 = 0.15 ( costo inicial ) + Depreciación Costo inicial = 18 000 + 15 000(N – 1) Depreciación = [18 000 + 15 0000 (N – 1)]/10
Luego: C1 = 18 000 + 15 000(N – 1) + [18 000 + 15 0000 (N – 1)]/10 C1 = 4 500 + 3 750 (N – 1) $/año C2 = cargas anuales de mantenimiento C2 = 0.05[18 000 + 15 000(N – 1)] C2 = 900 + 750 (N – 1) $/año C3 = Costo de vapor V = libras de agua evaporada W = libras de vapor usado lb de agua evaporada/lb de vapor = 0.85N = V/W C3 = W x costo del vapor
N = 3.96 4 efectos
Usando UNTSIM
Optimización – Funciones de una variable – con un valor inicial >> untsim ENCUENTRA EL OPTIMO DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE CERCANO A UN VALOR DADO DE LA VARIABLE Ingrese función: '900 + 4500*x + 70588.2/x' Valor Inicial de la variable: 1 --------------------------------------------1.- El optimo de la variable es = 3.96055 2.- El optimo de la función
es = 36545.3
Tratamiento de residuos contaminantes Problema. Las descargas de aguas de desecho de las grandes ciudades son con frecuencia, la causa principal de la contaminación en un rió. La Fig. 1 ilustra el tipo de sistema que un ingeniero ambiental podría enfrentar. Varias ciudades están localizadas sobre un río y sus afluentes. El problema es determinar e nivel de tratamiento que satisfaga los estándares de calidad del agua a un costo mínimo.
Fig. 1 Cuatro plantas de tratamiento de aguas de desecho que descargan contaminantes a un sistema de ríos. Los segmentos del río entre las ciudades están indicados con números dentro de un círculo 1. Modelamiento del sistema Cada ciudad genera contaminación a una razón de carga P que tiene unidades de miligramos por día (mg/d). La carga contaminante está sujeta al tratamiento de desechos que resulten de una remoción fraccional x. Así, la cantidad descargada al río es el exceso no removido por el tratamiento, Wi = (1 – xi)Pi (1) donde Wi = descarga de desechos desde la ciudad i-ésima. Cuando las descargas de desechos entran en la corriente, se mezclan con la contaminación de las fuentes corriente arriba. Si se supone un mezclado completo en el punto de descarga, la concentración resultante en el punto de descarga se puede calcular con un simple balance de masa,
(2) donde Qu = flujo (L/d), cu = concentración (mg/L) en el río inmediatamente corriente arriba de la descarga, y Qi = flujo corriente abajo del punto de descarga (L/d). Después que se establece la concentración en el punto de mezclado, los procesos de descomposición químicos y biológicos pueden removerse algo de la contaminación cuando fluye corriente abajo. Para el presente caso, se supone que esta remoción se puede representar por una simple reducción fraccional R. Suponiendo que los cabezales de agua (por ejemplo las ciudades 1 y 2 en el río mostrado antes) están libres de contaminantes, las concentraciones en los cuatro nodos se pueden calcular como:
(3)
Después se observa que el tratamiento de aguas tiene un costo diferente, di ($1 000/mg removido) en cada una de las localidades. Así, el costo total de tratamiento (sobre una base diaria) se puede calcular como Z = d1P1x1 + d2P2x2 + d3P3x3 + d4P4x4
(4)
donde Z es el costo diario de tratamiento ($ 1 000/d). La pieza final en la “decisión rompecabezas” involucra regulaciones ambientales. Para proteger los usos benéficos del río (por ejemplo, paseos en bote, pesca, tomar un baño), las regulaciones indican que la concentración del río no debe exceder un estándar de calidad cs. En la tabla 1. se resumen los parámetros para el sistema del río de la Fig. 1. Advierta que hay una diferencia en los costos de tratamiento entre las ciudades
corriente arriba (1 y 2) y corriente abajo (3 y 4) por la naturaleza impredecible de las plantas corriente abajo. La concentración se puede calcular con la ecuación (3) y el resultado se enlista en la columna sombreada para el caso donde no se implementó tratamiento de aguas (es decir, donde todas las x = 0). Observe que el estándar de 20 mg/L se viola en todos los puntos de mezclado. Tabla 1. Parámetros para las cuatro plantas de tratamiento de aguas de desecho que descargan contaminantes a un sistema de ríos, junto con los resultados de concentración (ci) para tratamiento cero. También se enlista el flujo, el factor de remoción y los estándares para los segmentos del río Ciudad 1 2 3 4
Pi(mg/d) 1.0x109 2.0x109 4.0x109 2.5x109
di($10-6/mg) 2 2 4 4
ci(mg/L) 100 40 47.3 22.5
Segmento 1–3 2–3 3–4 4–5
Q(L/d) 1.00x107 5.00x107 1.10x108 2.50x108
R 0.50 0.35 0.60
cs(mg/L)
20 20 20 20
2. Simulación (resolución del modelo) Hemos optado por usar la programación lineal para determinar los niveles de tratamiento que satisfacen los estándares de calidad del agua un mínimo costo. También, se evaluará el impacto al hacer el estándar más restringido debajo de la ciudad 3. esto es, el mismo caso pero ahora con los estándares para los segmentos 3 – 4 y 4 – 5 disminuidos a 10 mg/L. Todos los factores antes mencionados se pueden combinar en el siguiente problema de programación lineal: Minimizar: Z = d1P1x1 + d2P2x2 + d3P3x3 + d4P4x4
(5)
Sujeto a las siguientes restricciones:
(6)
0 x1, x2, x3, x4 1
(7)
De esta forma, la función objetivo es minimizar el costo de tratamiento [véase ecuación (5)] sujeto a la restricción de los estándares de calidad del agua que se deben satisfacer para todas las partes del sistema [véase ecuaciones(6)]. Además el tratamiento no debe ser negativo o mayor que el 100 % de remoción [véase ecuación (7)]. El problema se puede resolver por una variedad de paquetes tales como LINDO, MATLAB, EXCEL, etc. Para esta aplicación se usa la hoja de cálculo EXCEL. Como en la figura 2, los datos junto con los cálculos de la concentración se pueden introducir de manera fácil en las celdas de la hoja de cálculo.
Fig. 2. Hoja de cálculo EXCEL lista para evaluar el costo de tratamiento de aguas sobre un sistema de ríos regulado. La columna F contiene el cálculo de la concentración de acuerdo con la ecuación (3), las celdas F4 y H4 están sombreadas para mostrar en donde se colocan las fórmulas usadas para calcular C1 y el costo de tratamiento para la ciudad 1. además, está sombreada la celda H9 que muestra donde se usa la fórmula para el costo total que es el que hay que minimizar [véase ecuación (5)]. Una vez que se crea la hoja de cálculo, se elige la función Solver. En este punto, un recuadro de diálogo se desplegará, requiriéndole la información pertinente. Las celdas pertinentes del recuadro de diálogo se podrían llenar como:
Observe que no todas las restricciones son mostradas, ya que el recuadro de diálogo despliega solo seis restricciones a la vez. Cuando se selecciona el botón OK, se abre un recuadro de diálogo con un reporte sobre el ‘sxito de la operación. Para el presente caso, el Solver obtiene la solución correcta, la cual se muestra en la Figura 3. Antes de aceptar la solución (al seleccionar el botón OK en el recuadro reporte de Solver), observe que se ha generado 3 reportes Respuesta, Sensibilidad y Límites. Seleccione el reporte Sensibilidad y después presione el botón OK para aceptar la solución. El Solver generará automáticamente un reporte de sensibilidad, como en la figura 4.
Fig.3 Resultados de la minimización. Los estándares de calidad del agua se cumplen a un costo de $12 600/diarios. Observe que aún con el hecho de que no se requiere tratamiento para la ciudad 4, la concentración en su punto de mezclado actualmente excede el estándar.
Microsoft Excel XP Sensitivity Report Worksheet:
Report Created: Cambiando celdas Celda Nombre Valor final $C$4 $C$5 $C$6 $C$7
X X X X
0.8 0.5 0.5625 0
Restricciones Celda Nombre Valor final $E$4 $F$5 $F$6 $F$7
conc conc conc conc
20 20.00 20.00 15.28
Costo Coeficiente Aumento reducido objetivo permisible 0 2000 1E + 30 0 4000 1E + 30 0 16000 0 1000 10000 1E + 30
Disminución permisible
Costo Coeficiente Aumento reducido objetivo permisible 0 20 80 -30.00 20 20 -440.00 20 17.878787 0.00 20 1E + 30
Disminución permisible
0 1200 16000 10000
20 20 15.909091 4.72
Fig. 4. Reporte de sensibilidad en una hoja de cálculo lista para evaluar el costo de tratamiento de agua sobre un sistema de ríos regulado. Ahora examinemos la solución (véase figura 3). Observe que el estándar ajustará en todos los puntos de mezclado. De hecho la concentración en la ciudad 4 será en realidad menor que el estándar (16.28 mg/L0, aunque no se requiere tratamiento para la ciudad 4. Como un caso de simulación, se puede disminuir los estándares 3-4 y 4-5 para ahora tener 10 mg/L. Antes de hacer esto se puede examinar el reporte de sensibilidad. Para el caso actual, la columna clave de la figura 4 es el precio anticipado. El precio anticipado es un valor que expresa la sensibilidad de la función objetivo (en nuestro caso, el costo) con una unidad que cambia una de las restricciones (estándares calidadagua). Por tanto, representa el costo adicional en que se incurrirá al hacer los estándares más restrictivos. Para nuestro ejemplo, revela que el precio anticipado más grande, $440/cS3, ocurre para uno de los cambios de estándar (es decir corriente debajo de la ciudad 3) que se están contemplando. Esto indica que nuestra modificación será costosa. Esto se confirma cuando se vuelve a ejecutar el Solver con los nuevos estándares (es decir, se disminuye el valor de las celdas G6 y G7 a G10). Como se muestra en la tabla 2, el resultado es que el costo del tratamiento aumentó de $12600/diarios a $19 640/diarios. Además, al reducir el estándar de concentraciones para las llegadas inferiores significará que la ciudad 4 debe comenzar a tratar sus desechos, y que la ciudad 3 debe actualizar su tratamiento. Observar también que no se efectúa el tratamiento en las ciudades corriente arriba. Tabla 2. Comparación de dos escenarios involucrando el impacto de diferentes regulaciones sobre los costos de tratamiento Escenario 1 todas las cs = 20 Ciudad x 1 0.8 2 0.5 3 0.5625
c 20 20 20
Escenario 2: corriente abajo Ciudad x 1 0.8 2 0.5 3 0.8375
cs = 10 c 20 20 10
4
0 Costo = $ 12 600
15.28
4
0.264 Costo = $ 19 640
10
USO DE LINDO Reemplazando valores se tiene: Minimizar: Z = 2.0x109x1 + 4.0x109x2 + 1.6x1010x3 + 1.0x1010x4 (5) Sujeto a las siguientes restricciones: 100 - 100 x1 20 40 - 40 x2 20 47.2727- 36.3636x3 20
-80
- 100 x1
-20
- 40 x2 - 36.3636x3
22.4872 -10x4 20
-27.2727
-10x4 -2.4872
0 x1, x2, x3, x4 1
Luego podemos introducir en la ventana del programa: MIN 2000X1 + 4000X2 + 16000X3 + 10000X4 SUBJECT TO -100X1<=-80 -40X2<=-20 -4.5454X1 - 6.3636X2 - 36.3636X3<=-27.2727 -3X1 - 42X2 - 24X3 - 25X4<=-11.2 X1>=0 X2>=0 X3>=0 X4>=0 X1<=1 X2<=1
X3<=1 X4<=1 Al resolver el problema se tiene: LP OPTIMUM FOUND AT STEP
5
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
12600.02
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
X1
0.800000
0.000000
X2
0.500000
0.000000
X3
0.562501
0.000000
X4
0.000000
10000.000000
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Determínese la presión de operación y relación de reciclamiento óptimas, para un proceso en donde el hidrocarburo de alimentación se mezcla con el reciclado y es comprimido antes de pasar por un reactor catalítico. El producto y el material no reaccionado se separan por destilación, reciclando el material no reaccionado. Se deben escoger la presión P y la relación de reciclamiento R, de manera que se minimice el costo total anual requerido para producir 10 7 lb al año. La alimentación se lleva a la presión adecuada con un costo anual de $ 1000, P se mezcla con el reciclado y se alimenta en el reactor a un costo anual de $4 x 109/PR. El producto es retirado por un separador a un costo de $105/R al año, y el material no reaccionado se recicla mediante un compresor de recirculación a un costo anual de $1,5 x 105 R. 2. 100 grmol de R debe producirse por hora de una alimentación que consiste de una solución saturada de A (CAo = 0,1 grmol/lit) La reacción es la siguiente A-----------> R rR = 0,2 CA y debe tener lugar en un reactor CSTR
(k = 0,2 hr-1)
DATOS -
El costo de reactante a la concentración dada es $0,50/grmol de A
-
El costo de un reactor CSTR incluyendo instalación como auxiliares e instrumentación es $0,01/h-lit.
Que tamaño de reactor, caudal de alimentación y conversión se deben usar en una operación óptima? Cuál es el costo unitario de R?.
3. Un evaporador de múltiple efecto se debe usar para evaporar 400 000 lb. de agua/día de una solución salina. El costo total inicial para el primer efecto es 18 000 dólares y para cada efecto adicional 15 000 dólares. El periodo de vida útil se estima en 10 años, y el valor de rescate de estas unidades al final de ese periodo se puede considerar cero. Se debe usar el método de depreciación de la línea recta. Las cargas fijas menos la depreciación ascienden a 15 % anual basado en el costo inicial del equipo. El costo del vapor de agua es $0,50/1000 lb. Las cargas de mantenimiento anual suman 5 % del costo total del equipo, todos los otros costos son independientes del número de efectos. La unidad debe operar 300 días al año. Si las libras de agua evaporada por libra de vapor es igual a 0,85N en donde (N es número de efectos). Determine: El número óptimo de efectos para esta unidad.
4. Una planta de extracción con solvente funciona con una columna de platos continua con flujo por gravedad. La unidad debe operar 24 horas diarias. El flujo de alimentación es 1 500 pies3/día y debe operar 300 días /año. La velocidad promedio es 40 pies3 de solvente y alimentación combinados por hora y por pie 2 de sección transversal. Los costos fijos anuales para la instalación pueden estimarse de la siguiente ecuación: CF = 8 800
– 51 000 FSF + 110 000
$/año
FSF = Pies3 de solvente/ pie3 de alimentación Los costos de operación y costos variables dependen de la cantidad de solvente que debe recuperarse, y estos costos son $0,04/pie3 de solvente que pasa por la torre. Qué diámetro de torre debe usarse para condiciones óptimas? 5.
Un producto orgánico se produce en un reactor “batch”. En este proceso los reactantes X y Y reaccionan para formar Z. Puesto que la velocidad de reacción es
muy alta, el tiempo requerido por “batch”se ha encontrado que es independiente de las cantidades de los materiales y cada “batch”requiere 2 horas incluyendo el tiempo para cargar, calentar y descargar. La siguiente ecuación muestra la relación entre las libras de Z producidas y las Libras de X y Y suministradas Z = 1,5[1,1 XZ + 1,3 YZ – XY ]0,5 El reactante X cuesta $0,09/lb El reactante Y cuesta $0,04/lb y el producto Z se vende a $0,80/lb. Si la mitad del precio de venta de Z corresponde a los costos diferentes de la materia prima. Cuál es máximo beneficio que se obtiene por lb. de Z? 6. Un producto orgánico se produce en una operación intermitente. Cada ciclo consiste del tiempo de operación necesario para la reacción más un tiempo total de 1,4 horas para descargar y cargar. El tiempo de operación por ciclo D = 1,5 P0,25 horas en donde P es lb de producto/ “batch”. Los costos de operación durante el periodo de trabajo son $20/hr. (operación neta) y los costos durante el periodo de carga y descarga $15/hr. (no operación). Los costos fijos anuales para el equipo varían con el tamaño del “batch”: CF = 340 P0,8 $/“batch”. Las cargas de inventario y almacenamiento se despreciaran. La planta debe operar 24 hr./día durante 300 días/año. La producción anual debe llegar a 1 000 000 de lbs./año. A esta capacidad, los costos de materia prima y misceláneos (diferentes a los ya mencionados), ascienden a 260 000 $/año. Determinar el tiempo por ciclo para condiciones de costo total mínimo / año.
7. Una compañía produce dos tipos de productos, A y B. Esos productos se producen en una semana de trabajo de 40 horas y al final de la semana son embarcados. Los productos requieren 20 y 5 Kg. de materia prima por kg de producto, respectivamente, y la compañía tiene acceso a 10 000 kg de materia prima por semana. Sólo un producto se puede fabricar a la vez, con tiempos de producción de 0,05 y 0,15 horas, respectivamente. La planta puede almacenar sólo 550 kg del producto total por semana. Por último, la compañía obtiene utilidades de $45 y $30 por cada unidad, respectivamente. a) Establezca el problema de programación lineal para maximizar la utilidad b) Resuelva el problema de programación lineal en forma gráfica c) Solucione el problema de programación lineal con el método simplex.
d) Resuelva el problema con un paquete de software. e) Evalúe con cuál de las siguientes opciones se obtendrá la máxima utilidad: aumentar la materia prima, el almacenamiento o el tiempo de producción. 8. Suponga que para el ejemplo 9.8, la planta procesadora de gasolina decide producir una tercera clase de producto con las siguientes características: Suprema Materia prima para gasolina Tiempo de producción Almacenamiento Aprovechamiento
15 m3/tonelada 12 hr/tonelada 5 toneladas $250/tonelada
Además suponga que una nueva fuente de materia prima para la gasolina se ha descubierto, de tal forma que el total disponible se duplica a 154 m3/semana. a) Establezca el problema de programación lineal para maximizar la utilidad. b) Resuelva el problema de programación lineal con el método simplex. c) Solucione el problema con un paquete de software d) Evalúe con cual de las siguientes opciones se obtendrá la máxima utilidad: aumentar la materia prima, el almacenamiento o el tiempo de producción.
9. Diseñe el contenedor cilíndrico óptimo (ver Fig. P9) de tal forma que abra por un extremo y tenga paredes de espesor insignificante. El contenedor va a almacenar 0,2 m3. Realice el diseño de tal forma que sean mínimos el área del fondo y sus lados. 10. Diseñe el contenedor cónico óptimo (ver Fig. P10) de tal forma que tenga una tapa y paredes de espesor insignificante. El contenedor va a almacenar 0,2 m 3. Realice el diseño de modo que tanto su tapa como sus lados sean minimizados. 11.
Diseñe el tanque cilíndrico óptimo con tapas semiesféricas (ver Fig. P11). El contenedor va a almacenar 0,2 m3 y tiene paredes de espesor insignificante. Observe que el volumen de cada una de las tapas semiesféricas se puede calcular con:
a) Diseñe el tanque de tal forma que el área sea sea minimizada. Interprete el resultado. Repita el inciso a), pero ahora agregue la restricción L 2h.
12. La razón de crecimiento específico de una fermentación que produce un antibiótico es una función de la concentración de comida c,
Como se ilustra en la Fig. P12, el crecimiento parte de cero a muy bajas concentraciones debido a la limitación de la comida. También parte de cero en altas concentraciones debido a los efectos de toxicidad. Encuentre el valor de c para el cual el crecimiento es un máximo.
13. Una planta química produce tres productos principales en una semana. Cada uno de estos productos requiere una cierta cantidad de materia prima de diferentes tipos de producción, y se obtienen diferentes ganancias. La información pertinente se resume en la tabla siguiente Materia prima Tiempo producción Nueva utilidad
de
Producto1 5 kg /kg 0,05 hr /kg
Producto 2 4 kg /kg 0,1 hr /kg
Producto 3 10 kg /kg 0,2 hr /kg
$30 /kg
$30 /kg
$35 /kg
Disponibilidad 3 000 kg 55 hr /semana
Observar que hay suficiente espacio en los almacenes e la planta para almacenar un total de 450 kg / a la semana a) Establezca un problema de programación lineal para maximizar las utilidades b) Resuelva el problema de programación lineal con el método simplex. c) Resuelva el problema con un paquete de software. d) Evalúe cual de las siguientes opciones aumentará más las utilidades: incrementar la materia prima, el tiempo de producción o el almacenamiento 14.
Recientemente los ingenieros químicos se han involucrado en el área conocida como minimización de desechos. Esto comprende la operación de una planta química de un modo tal que el impacto sobre el ambiente sean minimizados. Suponga que una refinería desarrolla un producto, Z1, hecho de dos materias primas X y Y. La producción de una tonelada métrica del producto involucra 1 tonelada de X y 2,5 toneladas de Y y produce 1 tonelada de un liquido de desecho, W. Los ingenieros tienen que enfrentar esto con tres formas alternas para el manejo de los desechos: Producir una tonelada de un producto secundario, Z2, al agregar una tonelada adicional de X por cada tonelada de W. Producir una tonelada de otro producto secundario, Z3, al agregar 1 tonelada de Y por cada tonelada de W. Tratar los desechos de tal forma que su descaraga sea permisible. Los productos dan utilidades de $2 500, – $50 3 y $200 por tonelada para Z1, Z2 y Z3 respectivamente. Observe que al producir Z2 se obtiene de hecho una pérdida. El costo del proceso de tratamiento es de $300 por tonelada. Además, la compañía tiene acceso a un límite de 7 500 y 10 000 toneladas de X y Y durante el periodo de
producción. Determine qué cantidad de productos y desechos se deben crear para maximizar las utilidades.
15.
Se puede usar el método de Streeter-Phelps para calcular la concentación de oxigeno disuelto en un rio por debajo de un punto de descarga de desechos (ver Fig. P. 15)
Fig. P. 15
(p. 15) donde O = concentración de oxigeno disuelto [mg/L], t = tiempo de travesía [d], Lo = concentración BOD en el punto de mezclado [mg/L], kd = razón de la descomposición de la demanda de oxigeno bioquímico (BOD, por sus iniciales en inglés) [d-1], ks = razón de asentamiento de (BOD) [d -1], ka = razón de reariación [d1 ], y Sb = demanda de oxigeno sedimentado [mg/L/d]. Como se indica en la Fig. P. 15, la Ec. P. 15 produce un oxigeno “disuelto” que alcanza un nivel mínimo crítico, OC, en algún tiempo de travesía, tc, debajo del punto de descarga. Este punto es llamado “crítico”, ya que representa la ubicación para flora y fauna que dependen del oxígeno, como el pez, que sería la más esforzada. Determine el tiempo de travesía crítico y la concentración dados los siguientes
valores: Os = 10 mg/L
kd = 0,1 d-1
ks = 0,1 d-1
Lo = 50 mg/L
ka = 0,1 d-1 Sb = 1 mg/L/d
16. La distribución bidimensional de la concentración de contaminantes en un canal se puede describir con c(x, y) = 7,9 + 0,13x + 0,21 y – 0,05 x2 – 0,016 y2 – 0,007 xy Determine la localización exacta de La concentración pico dada la función y con el conocimiento de que el pico cae dentro de las fronteras –10 x 10 y 0 y 20.
BIBLIOGRAFÍA 1. Contemporary Engineering Economics Chan S. ParkEd. Addison Wesley 2. Advanced Engineering Economics Chan S. Park & Gunter P. Sharp-Bette Ed. John Wiley & Sons 3. Ingeniería económica Blank & Tankin Ed. McGraw Hill 4. Preparación y evaluación de proyectos Nassig Sapag Chain & Reinaldo Sapag Chain Ed. McGraw Hill 5. Evaluación financiera de proyectos de inversión Infante Villareal Ed. Norma 6. Evaluación de proyectos
Baca Urbina Gabriel Ed. McGraw Hill,1995 7. Matemáticas financieras Díaz Mata y Aguilera Ed. McGraw Hill
