SOLUCION Optimizacion(2)

Departamento de Ciencias

Calculo 1_Ingeniería

SOLUCIÓN SESIÓN 14 Optmización aplicada a la Ingeniería y Gestón Empresarial 1.

Tres Tres fábricas están situados en los vérces de un triángulo isósceles. Las fábricas B y C que distan entre si de 16 K están situados en la base! ientras que la fábrica " dista 1# K de la base del triángulo. $" qué distancia de "! a lo largo de la altura! se debe colocar una instalación de bobeo de agua de anera que se e%lee la enor longitud de ca&er'as %ara abastecer de agua las tres fábricas( Solución:

)ea x la distancia buscada desde "! *asta +. ,agaos un grá-co del %roblea!

!

M

N

C 9 9 sando el teorea de /itágoras se encuentra la *i%otenusa del triángulo rectángulo 

esto es!

64 +( 10− x ) √ 64

2

BMN !

. "deás coo el triángulo ABC es isósceles! es decir el ángulo

B es igual al ángulo C ! adeás AN ! es altura! lo cual cae %er%endicularente al lado BC ! de esto se ene que el triángulo BAN es congruente con el triángulo CAN . /or tanto 0 es %unto edio del lado BC . )ea L la longitud de las ca&er'as! %ara abastecer de agua a las tres fábricas! L= AM + BM + CM l ob2evo es inii3ar L L= x + 2 √ 64 64 +(10 − x ) 4erivando L ! teneos 2 ( 10 − x ) ' L = 1− 2 64 +( 10− x ) √ 64 2

5gualaos a cero %ara o%i3ar 1−

2 ( 10− x )

2 ( 10− x ) 2 = → 0 → 1= 64 64 + ( 10 − x ) =2 ( 10 − x ) √ 2 2 64 + ( 10 − x ) 64 + ( 10 − x ) √ 64 √ 64

/odeos elevar al cuadrado a abos lados de la igualdad! %ues longitud 7ver grá-co8! entonces

− x > 0 ! re%resenta

10


64 + (10 − x )

→

64 3

2


=4 (10 − x )2 → 64 =3 ( 10− x )2 2

= ( 10− x ) → ±

√

64 3

=10 − x → x =10 ±

l valor que nos interesa es

x =10−

√

64 3

√

64 3

→ x ≈ 5.4

/ara asegurar que nos genera un 'nio! usaos el criterio de la %riera derivada! %ara esto usaos %untos cercanos al :.;! estos serán : y 6! luego ree%la3aos en la %riera derivada y anali3aos en la recta real

?

(

:

6

:.;

l cabio de enos a ás garan3a que el valor %ara x =5.4 genera un 'nio! %or lo tanto la instalación de bobeo se debe colocar a 5.4 km del vérce A . ".

)e dis%one de un tro3o de adera que ene la fora de un tronco de cono circular recto de 1# c de altura! y se desea cortar un sólido cil'ndrico del ayor voluen %osible. Las bases del tronco enen coo diáetros ; y < c! res%ecvaente. a8 Calcular las diensiones del cilindro. b8 Calcular el voluen del cilindro. Solución:

)ea el cilindro de color negro y l'neas %unteadas el cilindro buscado! llevando la grá-ca en un sistea de coordenadas! vaos a asuir que el radio de la base es x ! y la altura es y

#"$1%&

#4.'$%&

l %ar ordenado ( x , y ) sasface la ecuación de la recta que %asa %or los %untos 7=!1#8 y 7;.:!#8! es decir y =−4 ( x −4.5 ) → y =−4 x + 18 >ee%la3ando en la fórula del voluen del cilindro 2 V = π r h 

V = π x (− 4 x + 18 ) 2

⟹

V = π (−4 x + 18 x 3

2

)



a8 /ara *allar las diensiones del cilindro! derivaos la función ob2evo7voluen del cilindro8 y luego igualaos a cero V ' = π (−12 x + 36 x ) 2

π ( −12 x + 36 x )= 0 → −12 x ( x −3 )= 0 → x =0 ∨ x = 3 4e estos valores el valor que sirve es x = 3 ! a*ora veaos si genera el voluen á@ioA /ara esto usaos el criterio de la segunda derivada 2

V ' ' = π ( −24 x + 36 ) >ee%la3ando en la segunda derivada el valor de x =3 ! se ene π (−24 ( 3 )+ 36 )=−36 π < 0 "l obtenerse un valor negavo! el criterio de la segunda derivada dice! que voluen á@io

x =3 genera el

,allaos la altura y =−4 ( 3 ) + 18=6

ntonces las diensiones son

b8 l voluen á@io es ).

{

x =3 y =6

2

V = π ( 3 ) ( 6 )=54 π cm

3

n farol debe ser colgado e@actaente encia del centro de una %la3uela circular de radio >. La iluinación de la %la3uela es directaente %ro%orcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luinosos e 5/ a la distancia entre el foco luinoso y donde se quiere iluinar. $" qué altura deberá estar el farol %ara que iluine! lo e2or %osible! una senda que rodea la %la3uela( Solución:

Considereos las siguientes variables y el gra-co siguiente θ  ngulo de incidencia x  "ltura que debe ser ubicado el farol ´  4istancia entre el farol y donde se quiere iluinar AB I  5luinación de la %la3uela

"

B




Recuerda

dos agnitudes


A

y

son directaente %ro%orcionales si

B

A =k ! B

adeás A y B son inversaente %ro%orcionales s' A . B =k . De acuerdo al enunciado:

La iluinación de la %la3uela es directaente %ro%orcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luinosos e 5/ a la distancia entre el foco luinoso y donde se quiere iluinar. ntonces I 2 2 . √ R + x = K cosθ I =

K cosθ

√ R + x 2

2

bservando el triángulo "B! se ene

cos θ

=

x

√ R + x 2

2

! ree%la3ando en la ecuación anterior!

se ene Kx I = 2 2 R + x La que viene a ser nuestra función ob2evo. Luego %rocedeos a derivar R R 2 2

(¿ ¿ 2 + x )

(¿ ¿ 2 + x ) ' ( Kx ) ( R + x )−( KX ) ¿ I =¿ 2

'

2

2

K ( R − x 2

I ' =

2

)

2 2

( R + x ) 2

"l igualar a cero la derivada no queda otra o%ción que x = R ntonces la altura que se debe ubicar el faro es la isa edida que el radio de la %la3uela 4.

,allar el voluen á@io de un cono circular recto inscrito en una esfera de radio D>E. Solución:

Considereos las siguientes variables y el gra-co siguiente r  >adio del cono h  "ltura del cono



4el triángulo rectángulo forado! sacaos la relación entre el radio y la altura del cono ediante /itágoras! as'

( h− R )2+ r 2= R2 →r 2 = R 2−( h − R )2 → r 2=2 hR −h2 2

"*ora veaos la función ob2evo! el voluen del cono es π ( 2 hR −h ) h 2

>ee%la3ando

r

! se ene

2

V =

3

V =

πr h 3

π ( 2 h R− h 2

=

3

)

3

)e deriva y se iguala a cero %ara obtener la altura que genera el voluen á@io! as' π ( 4 hR −3 h

2

V ' =

)

3

)i igualaos a cero esta derivada obteneos dos valores %ara la altura! h= 0 ∨ h=

4 R 3

4e los dos! el valor que genera el voluen á@io es h=

4 R 3

.

/ara *allar el voluen á@io ree%la3aos en la función ob2evo

(

2

π 2 ( 4 R / 3 ) R −( V =

3

3

)

)

3

bteniendo V = '.

4 R

32 π

R

3

81

na ventana 0oranda se construye 2untando un seic'rculo a la %arte su%erior de una ventana rectangular ordinaria. ncontrar las diensiones y el área de dic*a ventana si su %er'etro total es de 16  y su área debe ser á@ia. Solución:

)e construye el grá-co segFn el enunciado en un %lano cartesiano 

#

y

@

J

/er'etro 16 16 G longitud de la seicircunferencia H los tres lados del rectángulo. 16G @ H =@ H =y Iué %ase la á@ia lu3 signi-ca que el área de la ventana debe ser á@io. ntonces el área total es



rea total G rea del )eic'rculo H rea del rectángulo x2

p

A(x)

=

+

2

2xy

x2

16 � 2x � �

p =

+

2

-

(p

+

2)x �

�= 16x �

2

x2

p -

2

-

2x 2

4erivando e igualando a cero se ene A '(x)

=

16

x

- p

-

4x

0 � x

=

16

=

4

p +

se el criterio de la segunda derivada. A ''(x )

= -p -

4

<

� 16 �p + 4

0 � A�

s valor á@io de la función área.

/or lo tanto! las diensiones de la venta son >adio del c'rculo x

16

=

p +

4 A

Base del rectángulo 2x

32

=

p +

4

"ltura del rectángulo y

=

16

-

(p

+

2)x

16

-

(p

+

2)

=

2

16 (p

+

4)

16( p

=

2

+

4)

2( p

-

16( p

+

"ltura de la ventana y

+

x

=

32 p +

4

rea de la ventana 2

� 16 � p� � � 16 � � 16 � �p + 4 � A � 16 = � � � 2 �p + 4 � �p + 4 �

2

-

� 16 � 2� � �p + 4 �

=

128 m2 p + 4

4)

+

2)

=

16 (p

+

4)


*.


)e uli3arán =#  de alabre %ara cercar dos terrenos de diferentes foras. $Iué candad de alabre debe uli3arse en cada uno de los siguientes casos! %ara que el área total encerrada sea á@ia( a8 Triángulo equilátero y cuadrado. b8 ,e@ágono regular y c'rculo. Solución:

a8 Triángulo equilátero y cuadrado.

/er'etro del triángulo G 3 a /er'etro del cuadrado G 4 l 3 a + 4 l =20 → a=

Luego

20 −4 l 3

a √ 3 2

La función ob2evo es el área

A =

4

+ l2

>ee%la3ando se ene

( 20 −4 l ) √ 3 +l A = 2

2

36

4erivando la función ob2evo se ene A ' =

−2 (20 − 4 l ) √ 3 9

+2l

5gualando la derivada a cero! se ene

2l

=

(

2 20

−4 l ) √ 3 9

→ 9 l = 20 √ 3 − 4 √ 3 l → ( 9 + 4 √ 3 ) l =20 √ 3

4es%e2ando el lado del cuadrado! se ene l=

20 √ 3 9

+ 4 √ 3

>ee%la3aos %ara *allar el valor de

a=

180 −80 √ 3

/ara que el área sea á@ia! se debe toar

11


/ara el triángulo G

/ara el cuadrado G

Calculo 1_Ingeniería 540

−240 √ 3

etros de alabre

11 8 0 √ 3


9 4 √ 3

+

b8 ,e@ágono regular y c'rculo.

/er'etro del *e@ágono G 6 a /er'etro del c'rculo G 2 πr 6 a + 2 πr =20 → 3 a + πr =10 → a=

Luego

La función ob2evo es el área

A =

3a

2

√ 3

2

10− πr

+π r

3

2

>ee%la3ando se ene A =

( 10 −πr )2 √ 3 6

+ π r2

4erivando la función ob2evo se obene A ' =

−π ( 10 − πr ) √ 3 3

+ 2 πr

5gualando la derivada a cero! se ene 2 πr =

π ( 10− πr ) √ 3 3

→ 6 r =10 √ 3−√ 3 πr → ( 6 + √ 3 π ) r =10 √ 3

4e donde des%e2ando el radio se ene r=

10 √ 3

( 6 + √ 3 π )

! luego ree%la3aos este valor %ara obtener

/ara que el área sea á@ia! se debe toar /ara el *e@ágono G

40 √ 3

( π +2 √ 3 )


a=

20 √ 3

3 ( π + 2 √ 3 )


/ara el c'rculo G

+.

20 π √ 3

( 6 + √ 3 π )



)e quiere construir un tanque en fora de cilindro circular recto abierto %or la %arte su%erior y con una ca%acidad de M## M. )i el aterial a usarse %ara la base 7%or  =8 cuesta el doble que la %ared lateral! $Iué relación debe e@isr entre la altura del tanque y el radio de la base %ara que la construcción del tanque resulte lo ás econóica %osible( Solución:

a8 )egFn el grá-co el radio de la base es r y la altura del cilindro es h A adeás el voluen del 2 cilindro es V = p r h A %or inforación del %roblea el voluen es de M## etros cFbicos! entonces ree%la3ando en la fórula se ene

2

r h = 300

p

h=

⟹

300 2

r

p

4e donde se obene la altura coo función del radio. b8 /ara *allar el costo! teneos que conocer la candad de etros cuadrados %ara la base y %ara la %arte lateral

l costo del aterial de la base cuesta el doble que la cara lateral .

Luego obteneos el costo total de fabricación de la lata C ( r ) =2 pπ r + pπrh 2

Co%oniendo con D h E C ( r ) =2 pπ r

2

pπr

+

( ) 300

πr

2



2

C ( r ) =2 pπ r +

300 p

r

cor > 0

La función costo! es la función que deseaos o%i3ar y %ara esto la derivada debe anularse '

C = 4 pπr −

300 p 2

r 5gualando a cero! se ene 4 pπr −

300 p

r

2

=0 → 4 πr =

300

r

2

→ 4 r=

300

πr

2

→ 4 r =h

n donde %odeos observar que %ara o%i3ar el costo! la altura debe ser el cuádru%le del radio.

,.

na %elota se lan3a vercalente *acia arriba! desde lo alto de un edi-cio de 11=  de altura. 2 h t = -16t + 96t ( ) La ecuación del oviiento es ! donde la altura D*E está dada en etros y el e%o DtE en segundos. a& Calcular la velocidad instantánea de la %elota luego de transcurrir = segundos. -& Calcular la altura á@ia y el e%o en que la alcan3a. c& $Cuánto tarda la %elota en llegar al suelo(

Solución:

a& /rieraente derivaos! %ara conocer la velocidad en cualquier instante h ( ! ) =−32 ! + 96 "*ora ree%la3aos el e%o '

h (2 )=−32 ( 2 ) + 96 =32 m / s '

-& /ara calcular la altura á@ia! igualaos la derivada a cero −32 ! + 96 =0 →! =3 s Con esto sabeos que cuando %asa M segundos se obene la altura á@ia que es de 2

h ( 3 ) =−16 ( 3 ) + 96 ( 3 )=144 m )i suaos a esto la altura del edi-cio! la altura á@ia es de

256 m

c& /ara que la %elota toque el suelo! la altura total debe ser cero! es decir −16

2

!

!

+ 96 + 112=0

→ −16 ( ! + 1 ) ( ! −7 )= 0 → ! =7 s

)igni-ca que la %elota toca el suelo des%ués de N segundos.


.


La %otencia eléctrica / 7en OaPs8 de un circuito de corriente directa con dos resistores > 1 y >= P (t ) =

v� R1 � R2 2

( 1 2 ) ! donde DvE es el volta2e. )i el volta2e y > 1 se conectados en %aralelo es anenen constantes! calcular >= cuando la %otencia es á@ia. R

+

R

Solución:

/ara obtener R2 que genere la %otencia á@ia debeos derivar la función %otencia y luego igualar a cero! es decir 2

" ( ! )= '

# R 1 ( R 1+ R 2 ) −2 # R 1 R2 ( R1 + R2 )

( R + R ) 1

4

=

# R 1 ( R 1+ R 2) ( R 1− R2 ) 4

( R + R )

2

1

2

5gualando a cero esta derivada! observaos que se vuelve cero cuando

R 2=± R1 ! %ero el

valor que nos interesa es R 2= R1 /or lo tanto la resistencia es á@ia cuando las dos resistencias son iguales.

1%. La lu3 se reQe2a en un es%e2o %ara ir desde el %unto " *asta B. ,allar el %unto de reQe@ión en el es%e2o que inii3a la distancia recorrida. Los ángulos de incidencia y reQe@ión son iguales. A

B

2 1 q

x

4-x

0|

q

|

/

|N

Solución:

n el triángulo "+/! a%licando /itágoras teneos $ 1=√ x 2+ 4 n el triángulo /0B! a%licando /itágoras teneos $ 2=√ ( 4 − x )2 + 1 , 0 < x < 4 /or lo tanto la distancia recorrida es

$ = √ x + 4 + √ ( 4 − x ) + 1 2

2

/rieraente se deriva y luego se iguala a cero '

$=

x 2 √ x + 4

−

( 4 − x ) √ (4 − x )2+ 1

Luego igualando a cero! se ene

x

√ x + 4 2

=

( 4 − x ) √ (4 − x ) + 1 2



)e %uede elevar al cuadrado a abos lados debido a que

0 < x < 4 ! luego se ene

2

2 ( 4 − x ) x 2 2 2 2 = → x (( 4 − x ) + 1 ) =( 4 − x ) ( x + 4 ) 2 2 x + 4 ( 4 − x ) + 1

x =4 ( 4 − x ) → 3 x − 32 x + 64 =0 → (3 x − 8 ) ( x − 8 ) =0 2

2

2

4e donde se ene dos valores x =

3 8

∨ x

= 8 ! descartando el valor de 9 %ues

sto quiere decir que el %unto de reQe@ión debe estar a

3 8

0 < x < 4 .

unidades de la base de ".

Optmización aplicada a la Gestón 11. La asociación 0acional de Consuidores *a sido fundada en el a&o 1<9<. )e sabe que DtE a&os des%ués de la fundación el total de asociados a la asociación está dado %or

(

f (t ) = 100 �2 t 3

-

45t 2

+

264t )

. $Cuándo! entre el 1<9< y =##M! se ene el á@io nFero de asociados( $Cuándo! entre el 1<9< y =##M! se ene el 'nio nFero de asociados(

a8 b8

Solución:

/ara *allar los á@ios y 'nios! en %rier lugar debeos derivar la función ob2evo % & ( ! ) =100 ( 6 ! −90 ! + 264 ) 2

Luego se iguala a cero %ara obtener los e@treos relavos

(

2

100 6 !

−90 ! +264 )= 0 → 600 ( ! −4 ) ( ! −11)=0

4e donde se ene dos valores ! =4 ∨ ! =11 ! que vienen a ser los %untos cr'cos! %ara ver los á@ios y 'nios usaos el criterio de la segunda derivada! %ara esto derivaos nuevaente la función % ' ' ( ! )=100 ( 12 ! −90 )= 600 ( 2 ! −15) >ee%la3aos cada uno de los %untos cr'cos ' '

%

( 4 )=600 ( 2 ( 4 )−15 ) =−4200 < 0

"l originar un valor negavo en la segunda derivada! esto signi-ca que á@io

! =4 genera un

% ( 11 )=600 ( 2 ( 11)− 15 )= 4200 > 0 ' '

"l original un valor %osivo en la segunda derivada! esto signi-ca que 'nio

! =11 genera un



a8 Coo 1<9< re%resenta que la variable ! =0 ! cuando ! =4 re%resenta el a&o 1<
Solución:

a8 n %rier lugar *allaos la función ingreso %roedio y la función ingreso arginal I 128 I (  )= =−2  + 68− , >0   I (  )=−4  + 68 ,  > 0 '

5ngreso %roedio

5ngreso arginal

5gualando estas funciones! se ene

−2  + 68−

128

=−4  +68 → 2  =

128

2

→  = 64 → = 8

  l ingreso %roedio es igual al ingreso arginal cuando se vende 9 unidades b8 /ara obtener el ingreso á@io! igualaos a cero el ingreso arginal −4  + 68= 0 →  =17 /ara ver si genera el ingreso á@io! usaos el criterio de la segunda derivada I ' (  )=−4 < 0 "l ser negavo el valor obtenido de 1N unidades es la candad que genera el ingreso á@io! %or lo tanto el ingreso á@io es '

2

I ( 17 ) =−2 ( 17 ) + 68 ( 17 )−128= 450

s decir el ingreso á@io es de ;:# soles 1). n una e%resa +ono%ol'sca! la ecuación de la deanda de cierto arRculo es P ( q) = 6 -

1 5

q - 100

! donde D/E es el %recio 7soles8 y DqE es la deanda de arRculos. l costo

total de la %roducción de arRculos es C (q ) = 2q + 100 . $Cuántas unidades %roducen una ulidad á@ia( Solución:



n %rier lugar debeos encontrar la función ob2evo! es decir la ulidad! %ara esto recordar que ( = I −C ! I  ingreso total! C  costo total

(

I = p= 6 −

)

√  −100 5

 ,  ) 100

C =2  + 100 ,  ) 100

Luego

(

( = 6 −

)

(

)

√  −100  − ( 2  + 100 )= 4 − √  − 100  −100,  ) 100 5

5

n segundo lugar derivaos la función e igualaos a cero %ara conocer los %untos ó%os '

( =

(

(

) (

−1 √  −100 + 4− 5 10 √  −100

) (

)

)

−1  √  −100 =0 → 20 −√  −100 =  + 4− 5 5 10 √  −100 10 √  −100 Luego

− √  −100 =

20

 2 √ 

−100

→ 40 √  −100−2 (  −100 ) =

/ara resolver esta ecuación a%licaos un cabio de variable! sea x = √  −100 , x ) 0 ntonces la ecuación queda 40 x −2 x

→ x=

10 3

2

x

=

∨ x

2

+ 100

→ 3 x

2

x +100 =0 → ( 3 x −10 ) ( x −10 )=0

− 40

=10

)i teneos x =√  −100 →  = x 2+ 100 >ee%la3ando los dos valores! se ene

=

1000 9

∨  =200

/ara ver los á@ios y 'nios usaos el criterio de la %riera derivada y de acuerdo al signo lo ubicaos en la recta real



(



Los signos *an sido %uestos de acuerdo al valor nuérico que sale al ree%la3ar %untos bien cercanos a los %untos cr'cos en la derivada! el criterio de la %riera derivada dice que si alrededor del %unto cr'co *ay un cabio de ás 7creciente8 a enos 7decreciente8! este %unto cr'co genera un á@io. s decir el nFero de unidades que deben ser %roducidas y vendidas %ara obtener la ulidad á@ia es =## unidades.



C

=

q2 4

+

3q + 400

14. La función de costo total está dada %or ! donde C es el costo total de %roducir q unidades. 4eterine %ara que nivel de %roducción se inii3ará el costo %roedio y cual su valor 'nio. Solución:

n %rier lugar debeos encontrar la función ob2evo! es decir la función costo %roedio ´ (  )= C =  + 3 + 400 ,  > 0 C  4  "*ora %ara obtener los %untos cr'cos! se debe derivar la función ob2evo y luego igualar a cero 1

´ ( )= − C '

400 2

4

 Luego igualaos a cero 1

=

4

400



2

2

→  =1600 →  =40

/ara ver si inii3a la función! usaos el criterio de la segunda derivada! %ara esto derivaos nuevaente la función y ree%la3aos el %unto cr'co! es decir

´ C

' '

( 40 )=

800

( 40 )

3

>0

"l obtenerse una candad %osiva! signi-ca que  =40 %roducción que inii3a el costo %roedio es ;# unidades

genera un 'nio. /or lo tanto! la

1'. n arRculo en una revista de sociolog'a a-ra que si a*ora se iniciase un %rograa es%ec'-co de servicios de salud! entonces al cabo de t a&os! n iles de %ersonas adultas recibir'an

n=

t 3 3

-

6t 2

bene-cios directos! donde nFero de bene-ciarios sea á@io.

+

32t , 0 �t �12

. 4eterine el valor de t %ara que el

Solución:

/ara encontrar los e@treos relavos de esta función! se debe derivar y luego igualar a cero '

2

 =! −12 ! +32,0 * ! * 12 5gualaos a cero ! −12 ! + 32=0 → ( ! −4 ) ( ! − 8 )=0 → ! =4 ∨ ! =8 2

/ara conocer el á@io y el 'nio usaos el criterio de la segunda derivada



''

 =2 ! −12 >ee%la3aos los %untos cr'cos  

( 4 ) =2 ( 4 ) −12=−4 <0 entonces ! =4 genera un á@io ''  ( 8 )=2 ( 8 )−12 =4 < 0 entonces ! =8 genera un 'nio 

''

s decir %ara que la candad de Bene-ciarios sea á@ia debe %asar ; a&os. 1*. /ara el %roducto de un ono%olista! la función de deanda es q valor de % %ara el cual se obene el ingreso á@io.

=

10000e

0.02 p

-

Solución:

n %rier lugar debeos encontrar la función ob2evo! es decir la función 5ngreso I = p= p ( 10000 +

− 0.02 p

) , p >0

"*ora derivaos e igualaos a cero %ara obtener los %untos cr'cos −0.02 p

'

I =10000 + −200 p + Luego! igualaos a cero −0.02 p 10000 +

= 200 p +−

− 0.02 p

0.02 p

→ p = 50

/ara ver si genera un á@io! usaos el criterio de la segunda derivada ' '

−0.02 p

I ( p )=4 +

( p −100 )

>ee%la3ando el %unto cr'co! se ene ' '

I

( 50 )=4 +

−0.02

p

( 50−100 )=−200 +

−0.02

p

<0

Lo cual signi-ca que p=50 ! genera un á@io. s decir! se obene el ingreso á@io cuando el %recio es :#.

! encuentre el

SOLUCION Optimizacion(2)

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