Instituto Tecnológico Del Istmo.
ING. INDUSTRIAL Asignatura: Investigación de Operaciones II Catedrático:
Unidad II. Optimización De Redes Alumnos: EDGAR RIVERA LOPEZ TERESA CRISTAL LUCAS SOLIS
Juchitán de Zaragoza Oaaca! "# de $arzo de% "&'(
ÍDIC! 1
UIDAD II O"TI#I$ACI% D! R!D!&
I)TRODUCCI*)++++++++++++++++++++++++++++++++ I)TRODUCCI*)+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++ "+' Ter$ino%og,a------------------------Ter$ino%og,a------------------------"+" Pro.%e$a de %a ruta $á/ corta----------++-------++"+# Pro.%e$a de% ár.o% de $,ni$a e0an/i1n--------------"+2 Pro.%e$a de 3%u4o $ái$o--------------------"+5 Pro.%e$a de 3%u4o de co/to $,ni$o-----------------+ "+6 Progra$aci1n %inea% en teor,a de rede/---------------"+( U/o de /o3t7are--------------------Conc%u/i1n++++++++++++++++++++++++++++++ Conc%u/i1n+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++ 8i.%iogra3,a+++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 8i.%iogra3,a++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++
2
ITRODUCCI%
Uno de %o/ $a9ore/ de/arro%%o/ reciente/ en In:e/tigaci1n de O0eracione/ ha /ido e% rá0ido a:ance tanto en %a $etodo%og,a co$o en %a a0%icaci1n de %o/ $ode%o/ de o0ti$izaci1n de rede/+ Lo/ 0ro.%e$a/ de rede/ /urgen en una gran :ariedad de /ituacione/ co$o 0or e4e$0%o %a/ rede/ de tran/0orte! e%;ctrica/ en 3in una in$en/a %i/ta
3
'.( T!R#IO)O*ÍA • • •
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Red: conjunto de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos. Nodos: Puntos (o vértices). Arcos: Líneas, ligaduras, aristas o ramas. e etiquetan para dar nom!re a los nodos en sus puntos terminales. Arco dirigido: i el "ujo a través de un arco se permite s#lo en una direcci#n. La direcci#n se indica agregando una ca!e$a de "ec%a al &nal de la línea que representa el arco. Arco no dirigido: i el "ujo a través de un arco se permite en am!as direcciones. Red dirigida: 'ed que tiene s#lo arcos dirigidos. Red no dirigida: odos sus arcos son no dirigidos. Trayectoria: ucesi#n de arcos distintos que conectan nodos. Ciclo: rayectoria que comien$a y termina en el mismo nodo. Red conexa: 'ed en la que cada par de nodos est conectado. Árbol: 'ed cone*a (para alg+n su!conjunto de n nodos) que no contiene ciclos no dirigidos. Árbol de expansión: 'ed cone*a para los n nodos que contiene ciclos no dirigidos. Capacidad del arco: antidad m*ima de "ujo (qui$ in&nito) que puede circular en un arco dirigido. Nodo fuente: -odo origen, tiene la propiedad de que el "ujo que sale del nodo e*cede el "ujo que entra a él. Nodo de demanda: -odo de destino, donde el "ujo que llega e*cede al que sale de él. Nodo de trasbordo: ntermedio, satis/ace la conservaci#n del "ujo, es decir, el "ujo que entra es igual al que sale.
Una red o gra3o con/i/te de 0unto/! 9 %,nea/
0
%a red /e deno$ina una red dirigida+ Si todo/ %o/ arco/ /on no>dirigido/! %a red e/ una red no>dirigida+ Do/ nodo/ 0ueden e/tar conectado/ 0or un con4unto de arco/+ Una tra9ectoria ?0ath en ing%;/@ e/ una /ecuencia de arco/ di/tinto/ ?con nodo/ no re0etido/@ conectando a %o/ nodo/+ Una tra9ectoria dirigida de/de nodo i a% nodo 4 e/ una /ecuencia de arco/! cada uno de %o/ cua%e/ a0unta a% nodo 4 ?/i e/ dirigida+ Una red e/tá conectada /i ei/te una tra9ectoria no>dirigida entre cua%
Lo/ 0ro.%e$a/ de o0ti$izaci1n de rede/ /e 0ueden re0re/entar en t;r$ino/ genera%e/ a tra:;/ de uno de e/to/ cuatro $ode%o/B
ode%o de $ini$izaci1n de rede/ ?Pro.%e$a de% ár.o% de $,ni$a e0an/i1n@+ ode%o de %a ruta $á/ corta+ ode%o de% 3%u4o $ái$o+ ode%o de% 3%u4o de% co/to $,ni$o+ ode%o de $ini$izaci1n de rede/
'.' "RO+)!#A D! )A RUTA #,& CORTA. Se trata de encontrar %a ruta de $enor di/tancia o co/to entre en 0unto de 0artida o e% nodo inicia% 9 e% de/tino o nodo ter$ina%+ onsidere una red cone*a y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. l o!jetivo es encontrar la ruta ms corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. e dispone de un algoritmo !astante sencillo para este pro!lema. La esencia del procedimiento es que anali$a toda la red a partir del origen4 identi&ca de manera sucesiva la ruta ms corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (ms cortas), desde el origen4 el pro!lema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. lgoritmo de la ruta ms corta5 1. 6!jetivo de la n7ésima iteraci#n5 encontrar el n7ésimo nodo ms cercano al origen. (ste paso se repetir para n81,2,9 %asta que el n7ésimo nodo ms cercano sea el nodo destino.) 2. :atos para la n7ésima iteraci#n5 n71 nodos ms cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta ms corta y la distancia desde el origen. (stos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.) 3. andidatos para el n7ésimo nodo ms cercano5 ada nodo resuelto que tiene cone*i#n directa por una ligadura con uno o ms nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura ms corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)
0. lculo del n7ésimo nodo ms cercano5 para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta ms corta desde el origen a este nodo resuelto. l candidato con la distancia total ms peque;a es el n7ésimo nodo ms cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta ms corta es la que genera esta distancia.
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'."RO+)!#A D!) ,R+O) D! #ÍI#A !"A&I% E/te 0ro.%e$a con/idera una red no dirigida 9 conea+ En e%%a /e de.e encontrar un ár.o% de e0an/i1n con %a %ongitud $,ni$a de /u/ arco/+ E% $ode%o de $ini$izaci1n de rede/ o 0ro.%e$a de% ár.o% de $,ni$a e0an/i1n tiene '@ %igadura/ 0ara 0ro0orcionar una tra9ectoria entre cada 0ar de nodo/+ La/ ?n>'@ %igadura/ de.en e%egir/e de ta% $anera
Algoritmo para el pro/lema del ár/ol de e0pansión m1nima. =
'+> /e%ecciona! de $anera ar.itraria! cua% /e identi3ica e% nodo no conectado $á/ cercano a un nodo conectado 9 /e conectan e/to/ do/ nodo/ ?e/ decir! /e agrega una %igadura entre e%%o/@+ E/te 0a/o /e re0ite ha/ta E$0ate/+ Lo/ e$0ate/ 0ara e% nodo $á/ cercano di/tinto ?0a/o '@ o 0ara e% nodo conectado $á/ cercano ?0a/o "@! /e 0ueden ro$0er en 3or$a ar.itraria 9 e% a%gorit$o de.e %%egar a una /o%uci1n o0ti$a+ )o o./tante! e/to/ e$0ate/ /on /ea% de
Aplicación de este algoritmo al pro/lema del ár/ol de e0pansión m1nima La ad$ini/traci1n de /eer:ada 0ar nece/ita deter$inar %o/ ca$ino/ .a4o %o/ cua%e/ /e de.en entender %a/ %,nea/ te%e31nica/ 0ara conectar toda/ %a/ e/tacione/ con una %ongitud tota% $,ni$a de ca.%e+ Se de/cri.irá 0a/o a 0a/o %a /o%uci1n de e/te 0ro.%e$a con .a/e en %o/ dato/
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'.4 "ro/lema de 5lu6o má0imo e trata de enla$ar un nodo /uente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. ada arco tiene una capacidad m*ima de "ujo admisi!le. l o!jetivo es el de o!tener la m*ima capacidad de "ujo entre la /uente y el destino. aracterísticas5 •
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odo "ujo a través de una red cone*a dirigida se origina en un nodo, llamado /uente, y termina en otro nodo llamado destino. Los nodos restantes son nodos de tras!ordo. e permite el "ujo a través de un arco s#lo en la direcci#n indicada por la "ec%a, donde la cantidad m*ima de "ujo est dada por la capacidad del arco. n la /uente, todos los arcos se;alan %acia /uera. n el destino, todos se;alan %acia el nodo. l o!jetivo es ma*imi$ar la cantidad total de "ujo de la /uente al destino. sta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la /uente o la cantidad que entra al destino.
l pro!lema de "ujo m*imo se puede /ormular como un pro!lema de programaci#n lineal, se puede resolver con el método simple* y usar cualquier so/tBare. in em!argo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas muc%o ms e&cientes. l algoritmo se !asa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada. lgoritmo de la trayectoria de aumento para el pro!lema de "ujo m*imo5 •
e identi&ca una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco so!re esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (i no e*iste una, los "ujos netos asignados constituyen un patr#n del "ujo #ptimo). 13
•
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e identi&ca la capacidad residual cC de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos so!re esta trayectoria. e aumenta en cC el "ujo de esta trayectoria. e disminuye en cC la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. e aumenta en cC la capacidad residual de cada arco en la direcci#n opuesta en esta trayectoria. e regresa la paso 1.
lgunas aplicaciones5 continuaci#n se menciona algunos tipos de aplicaciones comunes del pro!lema del "ujo m*imo. 1. Maximizar el fujo a través de la red de distribución de una compañía desde sus ábricas hasta sus clientes. . Maximizar el fujo a través de la red de suministros de una compañía de proveedores a las ábricas. !. Maximizar el fujo de petróleo por un sistema de tuberías. ". Maximizar el fujo de a#ua a través de un sistema de acueductos $. Maximizar el fujo de vehículos por una red de transporte. n algunas de estas aplicaciones, el "ujo a través de la red se puede originar en ms de un nodo y tam!ién puede terminar en ms de uno, aunque el pro!lema de "ujo m*imo puede tener solo un origen y un destino.
2.5 R!"#A$A %& '#()! %& C!*T! $+N,$! l pro!lema del "ujo de costo mínimo tiene una posici#n medular entre los modelos de optimi$aci#n de redes4 primero, a!arca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su soluci#n es muy e&ciente. oma en cuenta un "ujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. onsidera un costo (o distancia) para el "ujo a través de un arco. Puede manejar varios orígenes (nodo /uente) y varios destinos (nodos demanda) para el "ujo, de nuevo con costos asociados. La ra$#n por la que el pro!lema de "ujo de costo mínimo se puede resolver de modo tan e&ciente es que se puede /ormular como un pro!lema de programaci#n línea y es posi!le resolverlo con una versi#n simpli&cada del método símple* llamada método símple* de redes. continuaci#n se descri!e el pro!lema del "ujo de costo mínimo.
-. La red es una red dirigida y cone*a. 2. l menos uno de los nodos es un nodo /uente. . l menos uno de los nodos es un nodo de demanda. /. l resto de los nodos son nodos de tras!ordo. 5. e permite el "ujo a través de un arco s#lo en la direcci#n indicada por la "ec%a, donde la cantidad m*ima de "ujo est dada por la capacidad del arco
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0. La red tiene su&cientes arcos con su&ciente capacidad para permitir que todos los "ujos generados por los nodos /uente lleguen a los nodos de demanda. 1. l costo del "ujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese "ujo, donde se conoce el costo por unidad. . l o!jetivo es minimi$ar el costo total de enviar el suministro disponi!le a través de la red para satis/acer la demanda dada. (Fn o!jetivo alternativo es ma*imi$ar la ganancia total del envío.) %bjetivo al ve$ el tipo ms importante de aplicaci#n del pro!lema del "ujo de costo mínimo es en la operaci#n de la red de distri!uci#n de una compa;ía (Eig. 1). ste tipo de aplicaci#n siempre incluye determinar un plan para enviar !ienes desde las /uentes (/!ricas, etc.) a las instalaciones de almacenamiento intermedias (seg+n se necesite) y después a los consumidores. iendo así, el o!jetivo es minimi$ar el costo total de mandar los recursos a través de la red para satis/acer la demanda dada. Por ejemplo, considere la red de distri!uci#n de la nternational Paper ompany (descrita en el n+mero de mar$o7a!ril de 1A@@ de nter/aces). sta compa;ía es el mayor /a!ricante en el mundo de pulpa, papel y productos de papel, lo mismo que un importante productor de madera y triplay. Los nodos /uente en su red de distri!uci#n son esos !osques en los distintos lugares. in em!argo, antes de que los !ienes de la compa;ía puedan llegar a los nodos de demanda (clientes), la madera de!e pasar por una larga secuencia de nodos de tras!ordo. Fna trayectoria típica por la red de distri!uci#n es5 ?osqu es
Dadererí a
E!ric a de papel
serrader o
1
Plantas trans/ormador as
lmacenes onsumidor es
&'ómo se realiza( Para la /ormulaci#n del modelo considere una red cone*a dirigida en la que los n nodos incluyen al menos un nodo origen y al menos un nodo destino. Las varia!les de decisi#n son5 xij 8 "ujo a través del arco iG j, y la in/ormaci#n dada incluye cij 8costo por unidad de lujo a través del arco iG j, uij 8 capacidad del arco iG j, bj 8 "ujo neto generado en el nodo i. l valor de bi depende de la naturale$a del nodo i, en donde biH>, si i es un nodo /uente, biH>, si i es un nodo de demanda, bi8>, si i es un nodo de tras!ordo. l o!jetivo es minimi$ar el costo total de mandar los recursos disponi!les a través de la red para satis/acer la demanda dada. Fsando la convenci#n de que las sumas se toman s#lo so!re arcos e*istentes, la /ormulaci#n de programaci#n lineal de este pro!lema es5 Dinimi$ar sujeta a para cada nodo i, y para cada arco iG j.
La primera suma en las restricciones de los nodos representa el "ujo total que sale del nodo i mientras que la segunda representa el "ujo total que entra al nodo i4 así, la di/erencia es el "ujo neto generado en este nodo. -o se garanti$a que el pro!lema posea soluciones /acti!les4 esto depende en parte de qué arcos estn presentes en la red y de sus capacidades. Propiedades de soluciones /acti!les5 una condici#n necesario para que un pro!lema de "ujo de costo mínimo tenga soluciones /acti!les es que s decir, el "ujo total generado en los nodos origen es igual al "ujo total a!sor!ido por los nodos de destino. i los valores de bi que se dan en alguna aplicaci#n violan esta condici#n, la interpretaci#n ms com+n es que los recursos o las demandas (lo que tenga el e*ceso) representan en realidad cotas superiores y no cantidades e*actas. uando esta situaci#n se presente, se aumenta un destino &cticio para reci!ir los recursos que so!ra!an o !ien se aumenta un origen &cticio para mandar el e*ceso de demanda. l paso anlogo en este caso es que de!e agregarse un nodo de demanda &cticio para a!sor!er el e*ceso de recursos (se agregan arcos con ci j8> desde todos los nodos origen %asta este nodo), o !ien de!e agregarse un nodo origen &cticio para generar u
1<
"ujo equivalente al e*ceso de demanda (se agregan arcos con cij 8> de este nodo a todos los nodos de demanda).
'.7 "RO*RA#ACI% )I!A) ! T!ORÍA D! R!D!& La 0rogra$aci1n %inea% e/ actua%$ente %a t;cnica $ate$ática uti%izada $á/ actua%$ente gracia/ a
Una e$0re/a ha de4ado de 3a.ricar cierto/ 0roducto/! %i.erando de e/ta 3or$a %a/ carga/ de 0roducci1n
á #5& Recti3icadora # > " '5& Uti%idad K 0ieza 5& "& "5 Reco$endaci1n de% ,ni$o ,ni$o ,ni$o De0to+ Vta/ a Prod+ #& '5 "& 8ormular un modelo de "rogramación )ineal para este pro/lema De3inici1n de :aria.%e/ a uti%izar en e% $;todo de 0rogra$aci1n %inea% SeaB 4 M n=$ero de 0ieza/ de 0roducto 4?4M'!"!#@ a 3a.ricar 0ara $ai$izar %a uti%idad+ Hunci1n econ1$ica 9 o.4eti:oB A ZM 5&' N "&" N "5# ?D%/KUnidad@ ?UnidadKSe$@ M D%/KSe$+ •
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Sujeta a restricciones de horas máquina disponibles por semana
Hre/adoraB ' N #" N 5# Q 5&& hora/ $á
3.7 USO DE SOFTWARE Si bien el objetivo del planteamiento y resolución de los problemas de programación lineal (pl) es encontrar la solucion optima, esto es, el valor de cada una de las variables del problema, de las variables de holgura y el valor máximo (o mínimo) que puede obtener la función objetivo (fo), el trabajo no termina allí !l análisis de sensibilidad pos"optimali#ar que se presenta en esta unidad es tan importante como la solucion óptima para la toma de decisiones $ax ($in) S ci xi S aji xi % bj xi & ' donde se suponen conocidos los valores de los coeficientes aij , bj y ci esto quiere decir que el modelo está totalmente determinado !l análisis de sensibilidad permite estudiar como las variaciones en los valores de los coeficientes del modelo modificaran la solucion optima sin tener que resolver el problema para las distintas posibilidades !ste análisis constituye una parte muy importante en el estudio de los problemas de pl a justificación formal del análisis de sensibilidad la da el estudio del problema dual al problema principal que se está viendo as relaciones entre la solucion del problema dual y el primal permiten calcular otros parámetros como los precios sombra de los recursos, los límites de variación aceptables para que no se modifique la solucion optima, las holguras complementarias o como cambiarían las cosas si se debe introducir una nueva restricción *odos estos parámetros se pueden anali#ar de manera analítica, aunque no se hara en el
1@
presente texto pues el enfoque es aprender por medio del análisis de problemas +nálisis de sensibilidad interpretación gráfica !l análisis de sensibilidad estudia los efectos sobre la solucion optima debidos a a) cambios en los coeficientes de la -., b) cambios en la disponibilidad de los recursos, c) cambios en los coeficientes t/cnicos debidos, por ejemplo, a cambios en la tecnología o en las materias primas utili#adas, d) la introducción de un nuevo producto (otra variable), e) la introducción de una nueva restricción 0entraremos el análisis en los puntos a, b y e ya que son los que suelen cambiar más a menudo y son fáciles de visuali#ar con el m/todo gráfico os cambios en los coeficientes t/cnicos solo ocurren cuando se cambia la tecnología de producción, por ejemplo, por cambios en el proceso o la introducción de maquinaria, y esto no ocurre frecuentemente y puede ameritar un análisis completamente diferente !jemplo 1ara reali#ar el análisis se utili#ara el mismo ejemplo que se usó en la unidad 2 para introducir el m/todo Simplex !l modelo de pl para el ejemplo es este 3ariables de decisión 45 cantidad de articulo a a producir 46 cantidad de articulo b a producir -unción objetivo $ax 7 8 59'x5 : 6''x6 Restricciones: Mano de obra: ;x5 : ;x6 % <2 horas Materias primas: 2x5 : 6x6 % 62 unidades Demanda: x6 % < artículos
Su solucion grafica se muestra en la gráfica, en la que se indica que la solucion optima será 6 unidades del artículos a y < del b, obteniendo una utilidad de =5 9''
1
0*1
1 @
@*1 >*1
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<
@
1
1
.ptimal >ecisiones (x5, x6) (6, <) ;x5 : ;x6 ? <2 2x5 : 6x6 ? 62 'x5 : 5x6 ? <
Uso del software 0onsideremos nuevamente el ejemplo utili#ado en la presentación del tutorial de Solver de Excel
os resultados de este modelo de 1rogramación ineal !ti"a# $%&' (%)*' +%3,. -alor siguientes Solución -/0%,.,1* como se muestra en la siguiente imagen
son
los
!ti"o#
7na ve# que se obtiene la solución óptima se puede requerir varios informes, sin embargo, nos concentraremos en el informe de Sensibilidad a imagen a 2>
continuación ha sido levemente editada y corresponde a dicho informe a columna en amarillo corresponde al coeficiente objetivo sumado al aumento permisible ($ax) y restado a la disminución permisible ($in)
!xiste una división en cuanto a los informes @0eldas cambiantes@ (o variables de decisión) y @Aestricciones@
COC)U&I%
Lo/ $ode%o/ de o0ti$izaci1n de rede/ con/titu9en una herra$ienta $u9 /enci%%a 0ara %a encontrar %a /o%uci1n 10ti$a a %o/ 0ro.%e$a/ de 3%u4o de rede/! 0or
+I+)IO*RA8ÍA Hrederic S+ i%%er 9 Gera%d J+ Li.er$an+ In:e/tigaci1n De O0eracione/ + cGra7>i%%+ S;0ti$a Edici1n+ "&&"+
a$d9 A+ Taha+ In:e/tigaci1n De O0eracione/+ Edicione/ A%3ao$ega+ Cuarta Edici1n+ ''
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