CÍRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO
Este método se basa en consideraciones geométricas simples y no requiere el uso de ecuaciones especializadas. Aunque fue diseñado para obtener soluciones gráficas, se puede aplicar muy bien empleando una calculadora. Considere un elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano (figura 7.7a!, y sean σ x , σ y y τ xy las componentes del esfuerzo e"ercido sobre el elemento. #ibu"e un punto X de coordenas σ x , σ y y τ xy , y un punto Y de coordenadas σ x , σ y y τ xy (figura 7.7b!. $i τ xy es positi%o, como se supone en la figura 7.7, el punto X está situado deba"o del e"e σ y el punto Y encima, como se muestra en la figura 7.7b. $i τ xy
es negati%o, X se sit&a encima del e"e s y Y deba"o. 'niendo X y Y
mediante una lnea recta se define el punto C de intersecci)n de la lnea XY con el e"e σ y se dibu"a en el circulo de centro en C y diámetro XY . Al obser%ar que la abscisa de C y el radio del circulo son respecti%amente iguales a las cantidades σ prom y R definidas por las ecuaciones (7.*!, se concluye que el circulo obtenido es el circulo de +or para par a esfuerzo plano. As, las abscisas de los puntos A y -, en donde el crculo interseca el e"e σ , representan respecti%amente los esfuerzos principales σ max y σ min
en el punto considerado.
$e nota también que como
tan
magnitud a uno de los ángulos θ p
( XCA ) =2 τ XY /( σ X −σ Y ) , el ángulo XCA en igual e 2 θ p
que satisfacen las ecuaciones (7.!. As, el ángulo
que define la figura 7.7a la orientaci)n del plano principal correspondiente al punto
A en la figura 7.7b puede obtenerse di%idiendo entre mitad el ángulo XCA medido en el crculo de +or. /bsér%ese además que si σ x > σ y y τ xy > 0 , como el caso considerado aqu, la rotaci)n que trae CX a CA es en sentido contrario a las agu"as del relo". 0ero en ese caso el ángulo θ p obtenido de la ecuaci)n (7.!, el cual define la direcci)n de la normal Oa al plano principal, es positi%o1 por ello la rotaci)n que trae Ox a Oa es también en sentido contrario al de las agu"as del relo". $e concluye que los sentidos de rotaci)n en ambas partes de la figura 7.7 son los mismos. $i se requiere un giro 2 θ p para lle%ar CX
CA en el crculo +or, una rotaci)n en sentido contrario al de las
agu"as del relo" θ p lle%ará Ox tan tan 2 θ p=
a Oa en la figura 7.7a . ᵜ
2 τ xy
σ x −σ y
(7.!
Esto se debe al eco de estar usando el circulo de la figura 7.*, en lugar del circulo de la figura 7.2, como circulo de +or. Página 2 ᵜ
Como el crculo de +or está definido en la forma &nica, el mismo crculo puede obtenerse considerando las componentes '
σ x , σ y y y τ x y '
'
'
'
' ' , correspondiente a los e"es x y y de
la figura 7.3a. El punto X de las coordenadas coordenadas
σ y
'
y
+
τ x y '
'
σ x
'
y
– τ x y '
'
, y el punto
'
Y de
, están, por tanto, localizadas en el crculo de +or y el
' ' ángulo X CA de la figura 7.3b debe ser el doble del ángulo x Oa de la figura 7.3a.
Como el ángulo XCA es el doble del ángulo XCX ' de la figura 7.3b es el doble del xOx ' de la figura 7.3a.
σ , σ y τ As el diámetro X ' Y ' que define los esfuerzos normales y cortantes x y x y '
'
'
'
puede obtenerse girando el diámetro XY un ángulo igual al doble del ángulo θ formando por los e"es x ' y x de la figura 7.3a. $e obser%a que la rotaci)n que ace coincidir el diámetro XY con el diámetro X ' Y ' , en la figura 7.3b, tiene igual ' ' sentido que la rotaci)n que superpone los e"es xy a los e"es x y en la figura 7.3a.
4a propiedad que se acaba de indicar puede usarse para %erificar el eco de que los planos de esfuerzo cortante má5imo están a 68 de los planos principales. Ciertamente, recuerde que los puntos # y E del crculo de +or corresponden a los planos principales (figura 7.2b!. 0uesto que los diámetros A- y #E del circuito de +or están a 2*8 el uno del otro, se tienen que las caras de los elementos correspondientes están a 68 la una de la otra (figura 7.2a!.
4a construcci)n del crculo de +or para esfuerzo plano se simplifica muco si se considera separadamente cada cara del elemento usado para definir las componentes del esfuerzo. #e las figuras 7.7 y 7.3 obser%e que cuando el esfuerzo cortante e"ercido sobre una cara dada tiende a acer girar el elemento en el sentido de las agu"as del relo", el punto correspondiente a esa cara está colocado por encima del e"e σ en el crculo de +or. Cuando el esfuerzo cortante en una cara tiende a acer girar el elemento en el sentido contrario a las agu"as del relo", el punto correspondiente a esa cara está localizado deba"o del e"e s (figura 7.*!. En cuanto a los esfuerzos normales, se usa la con%enci)n usual, es decir, un esfuerzo de tensi)n se considera positi%o y se grafica a la dereca, mientras una compresi)n es negati%a y se grafica acia la izquierda.
Ejemplo σ 0 =¿
'n estado de esfuerzo plano consiste en un esfuerzo de tensi)n
3 9si e"ercido sobre las
superficies %erticales y en esfuerzo cortante desconocidos. #etermine: a! la magnitud del esfuerzo cortante τ 0 para el cual el mayor esfuerzo normal es * 9si, b! el correspondiente esfuerzo cortante má5imo.
$/4'C;<= Construcci)n del crculo de +or. $e supondrá que los esfuerzos cortantes act&an en los sentidos mostrados. En consecuencia, el esfuerzo cortante τ 0
en una cara normal al e"e x tiende a rotar
el elemento en el sentido de las agu"as del relo" y se traza el punto X
de coordenas 3 9si y τ 0
por encima del e"e orizontal. orizontal. Considerando una cara orizontal del elemento, se obser%a que
σ y =0
que τ 0 tiende a rotar el elemento en sentido contrario al de las agu"as del relo"1 por tanto, se traza el punto
Y a una distancia
τ 0
por
deba"o de O . $e obser%a que la abscisa del centro C del crculo de +or es σ prom =
1
1
( σ x + σ y )= 2 ( 8 + 0 )= 4 ksi 2
El radio > del crculo se determina obser%ando que el má5imo esfuerzo normal,
σ max =10 ksi
está representado por la abscisa del punto A y escribiendo σ max =σ prom+ R 10 ksi= 4 ksi + R
a)
Esfuerzo cortante
τ 0
R=6 ksi
. Considerando el triángulo rectángulo C?@, se alla
y
cos cos 2 θ p
=
CF CF 4 ksi = = CX R 6 ksi
2 θ p
= 48.2 ° ↻
θ p=
48.2 ° ↻ 2
=24.1 ° ↻
τ 0 = FX = Rsen 2 θ p =( 6 ksi ) sen 48.2 °
τ 0 =4.47 ksi
b) Esfuerzos cortantes má5imo. 4as coordenadas del punto # del crculo de +or representan el esfuerzo cortante má5imo y el esfuerzo normal correspondiente. τ max = R =6 ksi 2θs
τ max =6 ksi
= 90 ° −2 θ p=90 °− 48.2 ° =41.8 ° ↺
θ x =20.9 ° ↺
El esfuerzo cortante má5imo se e"erce sobre un elemento orientado como se muestra en la figura a!. (ambién se muestra el elemento sobre el cual se e"ercen los esfuerzos principales!. =ota: $i se in%irtiera la ip)tesis original sobre el sentido de τ se obtendra el mismo 0
crculo y las mismas respuestas, pero la orientaci)n del elemento sera como la que ilustra la figura b!.
COLUMNA IDEAL CON SOPORTES ARTICULADOS (FÓRMULA DE EULER PARA PARA COLUMNAS ARTICULADAS) ARTICULADAS) Con base en la columna A- de la secci)n anterior (figura *.!, se busca allar el %alor crtico de la carga P, es decir, el %alor Pcr de la carga para el cual la posici)n de la figura *. de"a de ser estable. $i P > Pcr la menor falta de alineaci)n o perturbaci)n pro%ocará que la columna se doble, es decir, que adopte una forma cur%a como en la figura *..
El prop)sito será determinar las condiciones para que la configuraci)n de la figura *. sea posible. Como una columna puede considerarse considerars e como una %iga en posici)n %ertical y ba"o carga a5ial, se procederá como en el captulo 2 y se denotará por x la distancia desde el e5tremo A de la columna asta un punto dado B de la cur%a elástica, y por y la defle5i)n de dico punto (figura *.3a!. El e"e 5 será %ertical y dirigido acia aba"o, y el e"e y orizontal y dirigido a la dereca. Considerando el equilibrio del cuerpo libre de AB (figura *.3b!, se alla que el momento en B es M =− Py . $ustituyendo este %alor de + en la ecuaci)n (2.6! de la secci)n 2., 2
d y M − P y = = 2 E E dx
(*.6! /, trasponiendo el <imo termino: 2
d y dx
(*.!
2
+
P y =0 E
Esta ecuaci)n diferencial es lineal, omogénea, de segundo orden, con coeficientes constantes. Daciendo 2
p
=
P E
(*.!
4a ecuaci)n (*.! se escribe 2
d y + P 2 y = 0 2 dx
(*.7!
Bue es la misma ecuaci)n diferencial que la del mo%imiento arm)nico simple, e5cepto, por supuesto, en que la %ariable independiente es aora x en lugar de ! . 4a soluci)n general es: y = Asen px + "cos "cos px
(*.3!
2
Como puede %erificarse, con facilidad, calculando
d y dx
2
2
y sustituyendo y y
d y dx
2
en la
ecuaci)n (*.7!. >ecordando las condiciones de frontera que deben satisfacerse en los e5tremos A y - de la columna (figura *.3a!, primero se ace x =0 , y =0 en la ecuaci)n (*.3! y se tiene que " =0 . $ustituyendo en seguida x = # , y =0 , se obtiene A sen p# = 0
(*.2!
Esta ecuaci)n se satisface para A = 0 o si senp# =0 . $i ocurre lo primero, la ecuaci)n (*.3! se reduce a y =0
y la columna es recta (figura *.!. $i se satisface la segunda,
p#=n$ o, sustituyendo p
en (*.! y despe"ando 0: 2
Pcr =
$ E 2 #
(*.!
Fsta es la f)rmula de Euler, llamada as en onor del matemático suizo 4eonard Euler (7*7G73!. $ustituyendo esta e5presi)n para 0 en la ecuaci)n (*.! y el %alor obtenido para p en la ecuaci)n (*.3!, y recordando r ecordando que - *, se tiene
y = A sen
$x #
(*.!
Bue es la ecuaci)n de la cur%a elástica después de aberse doblado la columna (figura *.!. =ote que el %alor de la defle5i)n má5ima, y m= A , es indeterminado. Esto se debe a que la ecuaci)n diferencial (*.! es una apro5imaci)n linealizada de la ecuaci)n diferencial real para la cur%a elástica. ᵜ
$i P < Pcr la condici)n sen p# = 0 no puede satisfacerse, por lo que la soluci)n dada por la ecuaci)n (*.! no e5iste. #ebe tenerse entonces A = 0 y la &nica configuraci)n posible para la columna es una lnea recta. As, para P < Pcr la forma recta de la figura *. es estable. En el caso de una columna con secci)n circular o cuadrada, el momento de inercia de la secci)n trans%ersal es el mismo con respecto a cualquier e"e centroidal y la columna se cur%ará en un plano u otro, e5cepto ba"o las restricciones que se impongan en los e5tremos. 0ara otras secciones, la carga crtica debe calcularse aciendo = min en la ecuaci)n (*.!1 si ocurre la cur%atura, tendrá lugar en un plano perpendicular al correspondiente e"e de inercia principal. El %alor del esfuerzo correspondiente a la carga crtica es el esfuerzo crtico y se le designa por σ cr . >etomando la ecuaci)n (*.! y aciendo = A r , donde A es el área de la 2
secci)n trans%ersal y r el radio de giro, se tiene Pcr
2
$ EAr = σ cr = 2 A A #
2
/ 2
σ cr =
$ E 2
# ( ) r
(*.!
# 4a cantidad r es la relaci)n de esbeltez de la columna. Es claro, dado la anotaci)n del
párrafo precedente, que el mnimo %alor del d el radio de giro r debe usarse al calcular la relaci)n de esfuerzo y el esfuerzo crtico de la columna.
2
dy y M que el esfuerzo crtico es proporcional al m)dulo de 4a ecuaci)n (*.!dmuestra = >ecuerde que la ecuaci)n dx E se obtu%o en la secci)n 2. suponiendo que la pendiente dx de la %iga elasticidad del material e in%ersamente proporcional al cuadrado de la relaci)n de esbeltez
ᵜ
2
# poda despreciarse y que que la e5presi)n e5acta dada en la ecuaci)n (2.! para la cur%atura cur%atura de una %iga, poda σ dada
de la columna. 4a gráfica de
cr
contra
r
se muestra en la figura *.2 para el acero
estructural, suponiendo E= 200 %Pa y σ y =250 MPa . #ebe recordarse que al elaborar la gráfica σ cr no se a usado el factor de seguridad. ambién se obser%a que, si el %alor obtenido para σ cr de la ecuaci)n (*.! o de la cur%a de la figura *.2 es mayor que el lmite de fluencia σ y , este %alor no es de interés, pues la columna fluirá a compresi)n y de"ará de ser elástica antes de cur%arse.
El análisis del comportamiento de una columna se a basado asta aqu en la ip)tesis de una carga céntrica perfectamente alineada. En la práctica, este caso es raro por lo que en la secci)n *. se tendrá en cuenta el efecto de la e5centricidad de la carga. Este método nos
conducirá a una transici)n más sua%e de la falla por cur%atura de columnas largas y delgadas a la falla por compresi)n de columnas cortas. ambién dará una %isi)n más realista entre la relaci)n de esbeltez de una columna y la carga que la ace fallar.
Ejemplo 'na columna articulada de m de longitud y secci)n cuadrada debe acerse de madera. $uponiendo E=13 %Pa y σ perm=12 MPa y usando un factor de seguridad de ., para calcular la carga crtica de pandeo de Euler, determine el tamaño de la secci)n trans%ersal si la columna debe soportar: a! una carga de ** 9=, b! una carga de ** 9=.
a) Carga de ** 9=. 'sando el factor de seguridad especificado. Pcr =2.5 ( 100 k& )=250 k&
#=2 m
E=13 %Pa
$eg&n la f)rmula de Euler (*.! y resol%iendo para , 2
3
2
( 250 ' 10 & )( 2 m) = = =7.794 ' 10− m $ E $ ( 13 ' 10 Pa ) P cr #
6
2
2
4
9
4
a = 0ero 12 , por tratarse de un cuadrado de lado a1 entonces
a
4
12
=7.794 ' 10− m 6
a =98.3 mm ( 100 mm
4
$e %erifica el %alor del esfuerzo normal de la columna: σ =
P 100 k& = =10 MPa A ( 0.100 m )2
Ha que σ es menor que el esfuerzo permisible, una secci)n trans%ersal de ** I ** mm es aceptable.
b) Carga de ** 9=. >esol%iendo de nue%o la ecuaci)n (*.! para , pero aciendo Pcr =2.5 ( 200)=500 k& , se tiene −6
=15.588 ' 10 m
4
4
a
12
=15.588 10−
6
a =116.95 mm
El %alor del esfuerzo normal es: σ =
P 2 00 k& = =14.62 MPa A ( 0.11695 m)2
#ado que este %alor es mayor que el esfuerzo permisible, las dimensiones obtenidas no son aceptables y debe elegirse una secci)n con base en su resistencia a compresi)n. $e escribe A =
P σ perm
=
200 k& 12 MPa
=16.67 10− m
2
3
−3
2
2
a = 16.67 ' 10 m
'na secci)n trans%ersal de
130 130 mm
a =129.1 mm
es aceptable.
