l i v i C a í r e i n e g n I l a n o i s e f o r p a r e r r a C a í r e i n e g n I e d d a t l u c a F
AUTORES: LOBATO JAVIER, JAVIER, JUAN CARLOS. 715219 MENDO BAZÁN, VERONICA MAVILA. MAVILA. 714373
CURSO: ESTATICA DOCENTE: Ing. SALAZAR SALAZAR HUAMAN HUAMAN ERLYN
TEMA: CIRCULO DE MOHR FECHA DE PRESENTACION: 11 / 06 / 2016 CAJAMARCA - JUNIO 2016
Círculo de Mohr
Círculo de Mohr
indice 1. INTRODUCCIÓN...................... INTRODUCCIÓN............................................... ................................... ............. ...5 5 2. OBJETIVOS...................... OBJETIVOS.................................................................. .............................................. 6
Ob!"#$% &!'!()*........................................ &!'!()*....................................................................... .................................... ..... 6
Ob!"#$%+ !+,!%+....................................................... !+,!%+................................................................ .............. .....6 6
. JUSTIFICACION............................. JUSTIFICACION................................................. ............................... ............. 6 . ANTECEDENTES.................. ANTECEDENTES.............................................. .......................................... ..............6 6 5. MARCO TEÓRICO.............................................. TEÓRICO........................................................ ............ .. I.
C3RCULO C3RCULO DE MOHR.........................................................................
II. MOMENTOS DE DE INERCIA INERCIA PARA PARA UN AREA AREA CON RESPECTO A EJE INCLINADOS........................................................................................ III. C3RCULO C3RCULO DE MORH PARA ESFUER4OS.............................................. ESFUER4OS.............................................. A. B.
IV. IV. V. VI.
CASO BIDIMENSIONA........... BIDIMENSIONA........................ ......................... ........................ ........................ ........................ ......................! ..........! CASO "#IDIMENSIONA........... "#IDIMENSIONA....................... ........................ ........................ ........................ ......................... ................... ......
%$C3RCULO C3RCULO DE MOHR PARA LA TRACCIÓN TRACCIÓN SIMPLE.... SIMPLE.......... .......................15 .................15 CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA.......... INERCIA....... ...... ...15 15 PROCEDIMI PROCEDIMIENTO ENTO DE CONSTRUC CONSTRUCCION CION DEL CIRCULO CIRCULO DE MOHR.......1 MOHR.......1
6. EJEMPLOS:................... EJEMPLOS:.................................................. .......................................... ............... ....1 1 EJEMPLOS EJEMPLOS N 01:................................................................................ 1 E!7,*% N 02:.................................................... 02:.................................................................................. .............................. 20
. EJERCICIOS PROPUESTO.............................. PROPUESTO............................................. ................2 .2 E!(##% ,(%,8!+"% 1:........................................................................2
. EJERCICIOS PROPUESTO PROPUESTO DE DE CIRCULO CIRCULO DE MOHR MOHR EN MOMENTOS MOMENTOS DE INERCIA.................................... INERCIA............................................. ............... ......2 2 E!(##% N1......................................................................................2
E!(##% 2 :.......................................................................................2
9. CONCLUSIONES..........................................................2 10. BIBLIORAFIA..........................................................
1. INTRODUCCIÓN El círculo de Mohr es una de las pocas construcciones graficas en ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y las computadoras. La razón para que este en vigencia se encuentra en la información, simultáneamente general y detallado que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas en ingeniería. Es un desarrollo hecho por hristian !tto Mohr "#$%&'#(#$), el círculo de Mohr es un m*todo gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones e+istentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que e+isten sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte son nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este m*todo tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones. Las aplicaciones de esta construcción gráfica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a la que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. na de sus características más importantes es que aunque se trata de una solución gráfica, su construcción no e+ige en la mayoría de las aplicaciones, medidas a escala- tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonom*tricas elementales para obtener ecuaciones de inter*s en la solución de algunos problemas propios de la resistencia de materiales y de la mecánica de los suelos. El diagrama de Mohr es el m*todo más comn para representar los resultados de los ensayos de corte en suelos. El círculo de Mohr representa un ensayo tria+ial y la envolvente de los círculos de Mohr representa el estado de esfuerzos en el momento de una falla al cortante. En un análisis en dos dimensiones, los esfuerzos en un punto pueden ser representados por un elemento infinitamente peque/o sometido a los esfuerzos +, y, y +y.
2. OBJETIVOS !b0etivo general •
1ndagar, analizar y asimilar conocimientos sobre el m*todo grafico del írculo de Mohr.
!b0etivos específicos •
•
•
2ar a conocer casos en los cuales se puede utilizar el círculo de Mohr. 1ndicar el procedimiento a seguir para la adecuada construcción del círculo de Mohr. 3e/alar y reconocer las propiedades del m*todo gráfico del círculo de Mohr.
3. JUSTIFICACION La construcción del írculo de Mohr es de una importancia fundamental porque aplica cantidades tensoriales "bidimensionales) "por e0emplo, fuerzas lineales, esfuerzo, deformación, momento de inercia). 3in embargo un írculo de Mohr, no representa completamente el estado de esfuerzo en un punto. El estado de esfuerzo es tridimensional- por tanto se requieren tres círculos de Mohr. •
•
El círculo de Mohr es una t*cnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor sim*trico "de 4+4 o de %+% ) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia "radio, centro, entre otros). 5ambi*n es posible el cálculo del esfuerzo cortante má+imo absoluto y la deformación má+ima absoluta.
4. ANTECEDENTES hristian Mohr fue un gran ingeniero civil que hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras. El más conocido y til aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnológicos es el m*todo para determinar los esfuerzos má+imos y mínimos de compresión y tensión además de los esfuerzos cortantes el cual se llama irculo de Mohr este m*todo fue desarrollado cerca del #$$4 El m*todo de Mohr consiste en representar el estado plano completo de esfuerzo mediante el dibu0o de un círculo en el plano s5. El círculo de Mohr se dibu0a en un sistema de e0es perpendiculares con el esfuerzo cortante "5) marcado en el e0e vertical y el esfuerzo normal en el e0e horizontal.
5. MARCO TEÓRICO 1. 67L! 2E M!87. 2esarrollo hecho por hristian !tto Mohr "#$%&'#(#$), el círculo de Mohr es un m*todo gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones e+istentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que e+isten sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte son nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este m*todo tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones 11.
M!ME95!3 2E 19E71: ;:7: 9 :7E: !9 7E3;E5! : E
e I uv para un área
con respecto a un con0unto de e0es inclinados u
para
v cuando se conocen los valores
y
θ , I x , I y
e
I xy . ;ara hacer esto
usaremos ecuaciones de transformación, las cuales relacionan las coordenadas
x , y
y
u , v . : partir de la figura #, estas ecuaciones son
u= x cos θ + y sin θ
v = y cos θ− x sin θ
on estas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de respecto a los e0es u y v se convierten 2
2
dI u= v dA =( y cos θ − x sin θ ) dA dI v =u dA =( x cos θ + y sin θ ) dA 2
2
dA
con
dI uv =uvdA =( x cos θ + y sin θ ) ( y cos θ − x sin θ ) dA
:l desarrollar cada e+presión e integrarlas, así como tener presente que
∫
∫
2
2
I x = y dA , I y = x dA e 2
2
2
2
∫
I xy = xydA , obtenemos
I u = I x cos θ + I y sin θ−2 I xy sin θ cos θ I v = I x sin θ + I y cos θ + 2 I xy sin θ cos θ I uv = I x sin θ cos θ− I y sin θ cos θ + I xy ( cos θ −sin θ ) 2
2
Estas ecuaciones pueden simplificarse mediante las identidades trigonom*tricas, en cuyo caso I x + I y I x − I y I u = + cos2 θ − I xy sin2 θ 2
2
I x + I y I x − I y I v = − cos2 θ + I xy sin2 θ 2
I uv =
I x − I y 2
2
sin 2 θ + I xy cos2 θ
!bserve que si se suman la primera y la segunda ecuaciones, podemos mostrar que el momento de inercia polar con respecto al e0e z que pasa a trav*s del punto ! es, como se esperaba, independiente de la orientación de los e0es decir J O= I u + I v = I x + I y
111. 67L! 2E M!78 ;:7: E3=E7>!3 :. :3! ?121ME931!9:L Esfuerzo plano
u
y
v - es
El estado de esfuerzos en dos dimensiones, es decir bia+ial, tambi*n se conoce como esfuerzo plano. El esfuerzo plano requiere que un esfuerzo principal sea igual a cero. Esta situación es comn en algunas aplicaciones. ;or e0emplo, una placa o un cascarón delgado pueden tambi*n tener un estado de esfuerzos plano le0os de sus bordes o de sus puntos de su0eción. Estos casos se pueden tratar con el procedimiento más sencillo de las ecuaciones. Deformación plana 8ay deformaciones principales asociadas con los esfuerzos principales. 3i una de las deformaciones principales "digamos @%) es igual a cero, y las deformaciones restantes son independientes de la dimensión a lo largo de su e0e principal, n%, *ste se conocerá como deformación plana. Esta situación ocurre en geometrías particulares. ;or e0emplo, si una barra larga, sólida, prismática está cargada nicamente en la dirección transversal, aquellas regiones dentro de ella que est*n le0os de cualquier restricción en sus e+tremos tendrán en esencia una deformación igual a cero en la dirección a lo largo del e0e de la barra, y se tratará de una deformación plana. "3in embargo, el esfuerzo no es igual a cero en la dirección de deformación igual a cero.)
Circulo de Mohr en dos dimensiones En dos dimensiones, la ircunferencia de Mohr permite determinar la tensión má+ima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman (ABC Medida #
( σ x , −τ )
Medida 4
( σ y , τ )
8a de hacer notar que el e0e vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia aba0o y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. sando e0es rectangulares, donde el e0e horizontal representa la tensión normal " σ ) y el e0e vertical representa la tensión cortante o tangencial " τ ) para cada
uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente maneraC
entro del círculo de MohrC
C : =σ med , 0 ¿=(
σ x + σ y 2
,0)
7adio de la circunferencia de MohrC
r :=
√(
σ x − σ y 2
)+ 2
2
r xy
Las tensiones má+imas y mínimas vienen dados en t*rminos de esas magnitudes simplemente porC σ max =σ med + r σ max= σ med + r
Estos valores se pueden obtener tambi*n calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado porC T | x , y =
[
σ x τ τ σ y
]
onsidere un cuerpo sobre el cuál acta un estado plano de cargas. onsideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano +y "ver figura #), de modo de que no e+istan esfuerzos en el sentido perpendicular a este "esfuerzos en z nulos). :doptamos un elemento triangular donde se supone que los e0es + e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas.
Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la matemática siendo el ob0eto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de ser asociado con el modelo físicoC
En la figura #, además de los e0es + e y, se muestra otro par de e0es coordenados los cuales han sido rotados un ángulo D respecto del e0e z "normal al plano), el par de e0es +# e y# son normal y tangente al plano :D respectivamente. ueremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas :+, :y y : &. Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del e0e +C
:hora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del e0e yC
onsiderando que :+ F:D.cosD y que :y F:D.senD, re escribimos las ecuaciones # y 4C
Multiplicando la ecuación "#'#) por cosD, la "4'4) por senD y sumando ambas se llega aC
G considerando las relaciones trigonom*tricasC
3e llega aC
:nalizamos las ecuaciones "#'#) y la "4'4) para obtener el corte en el plano DC Multiplicando la ecuación "#'#) por senD, la "4'4) por cosD, sumando ambas y considerando las relaciones trigonom*tricas "H) se llega aC
!bs*rvese que las ecuaciones "&) y "I) no son más que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano +y, la ecuación de la circunferencia se obtiene considerando la relación trigonom*trica , entonces reemplazando en "&) y "I) se obtieneC 44.
Esta circunferencia es lo que denominamos Jírculo de MohrK para dos dimensiones. En esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma
G un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene valor 4D, siendo D el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen D y D. onsideremos +N y.
Figura !2
:sí como se calculó el estado tensional en el plano D a partir de las tensiones principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. onociendo el estado de carga para una cierta terna de e0es se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado. El estudio hecho hasta aquí es similar al que haremos para un estado tridimensional de tensiones.
?. :3! 57121ME931!9:L El caso del estado tensional de un punto ; de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de %+% para la que e+isten % valores propios, no necesariamente diferentes.
[
σ x T | x , y , z= τ yx τ xz
τ xy σ y τ yz
τ xz τ yz σ z
]
En el caso general, las tensiones normal " σ ) y tangencial " τ ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto ;, representadas en el diagrama " σ , τ ) caen siempre dentro de una región delimitada por % círculos. Esto es más comple0o que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una nica circunferencia. ada uno de las % circunferencias que delimitan la región de posibles pares " σ , τ ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.
3upongamos que elegimos los e0es coordenados de modo que estos son los principales "e0es principalesC aquellos en donde la tensión normal de las caras es má+ima o nula y el corte nulo). El tensor de tensiones en ese caso para un elemento cbico seráC
3i queremos conocer el versor O de un cierto plano, conociendo su estado tensional y recordando "d), "e) y que la suma de las componentes cartesianas al cuadrado del versor O es un
se obtienen las siguientes ecuacionesC
Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. 3uponga que las tensiones principales tienen magnitudes tal queC 1 11 111 PP . Las incógnitas de este sistema sonC
omo los cuadrados de los cosenos son mayores a cero, entonces evaluando los signos de los denominadores de las ecuaciones #,4 y %, los numeradores de los mismos deben cumplir
Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano y son las ecuaciones que definen los círculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones, las circunferencias son sim*tricas respecto del e0e de ordenadas y las tensiones principales se ubican en el e0e de ordenadas. Las desigualdades de esta indican el con0unto de estados tensionales posibles en ese punto para distintos planos, con distintas inclinaciones. na gráfica a modo de e0emplo se presenta a continuaciónC
Figura !3
1Q.
67L! 2E M!87 ;:7: L: 57:1R9 31M;LE.
El círculo de Mohr es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que e+isten en una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una t*cnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor sim*trico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo "radio, centro, entre otros.). 5ambi*n es posible el cálculo del esfuerzo cortante má+imo absoluto y la deformación má+ima absoluta.
El círculo de Mohr se construye de la siguiente formaC 3e toman unos e0es coordenados de forma que en el e0e de abscisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. Los puntos representativos de las tensiones que actan en 4 caras perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr. Las tensiones cortantes que actan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario. ;ara dibu0ar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detallesC El sentido de giro del ángulo en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano :? en la realidad. El signo de las tensiones tangenciales "t) se toma como positivo si giran en sentido de las agu0as del relo0 alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario. El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.
Q.
179=E7E91: 2E M!87 ;:7: M!ME95!3 2E 19E71:
;ara sólidos planos o casi'planos, puede aplicarse la misma t*cnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un e0e que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. 5ambi*n es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzosC
•
entro de la circunferenciaC
•
7adio de la circunferenciaC
na vez conocidos los momentos de inercia respecto a unos e0es, así como el producto de inercia "1!S, 1!G y ;SG) se elige un e0e horizontal para momentos de inercia y un e0e vertical para productos de inercia. 3uponiendo 1!SP1!G se dibu0a el punto : de coordenadas "1!S, ;SG) y el punto ? de coordenadas "1!G, ';SG). 3e une : con ? y se dibu0a un círculo de forma que la línea :? es el diámetro de ese círculo.
Figura !4 La línea :? se corta el e0e horizontal en un punto que se encuentra del origen a una distanciaC
,
3e construye una circunferencia de radio 7F:.
Los puntos de corte de la circunferencia con el e0e horizontal corresponden con los momentos de inercia má+imo y mínimo.
Q1.
;7!E21M1E95! 2E !93571!9 2EL 17L! 2E M!87
3e toman unos e0es coordenados de forma que en el e0e de abscisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. : continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la figura.
Figura !5 Los puntos representativos de las tensiones que actan en 4 caras perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr. Las tensiones cortantes que actan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario.
;ara dibu0ar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detallesC El sentido de giro del ángulo 0 en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano :? en la realidad.
El signo de las tensiones tangenciales "t) se toma como positivo si giran en sentido de las agu0as del relo0 alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario. El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.
E" SI#NO DE" AN#U"O EN E" CIRCU"O DE MO$R 7egla TeneralC uando los ángulos se miden con v*rtice en el centro del círculo de Mohr el sentido del giro del elemento es igual al sentido del giro en el círculo de Mohr, el que a su vez duplica el valor del ángulo rotadoC Es decir
Figura !% %. EJEM&"OS' E
σ y =−35 KPa τ xy =650 KPa SAH
El lado inferior del triangulo: 1
1
σ prom = ( σ x + σ y )
a = ( σ x −σ y )
2
2
a=
1
(−840−(−35 ) )=−402,5 KPa 2
El radio del circulo: R= √ a + b 2
El centro O del circulo esta en σ prom :
σ prom =
1 2
(−840 + (−35 )) =−437,5 KPa
El lado vertical del triangulo b =τ xy=650 KPa
2
R= √ (−402,5 ) +( 650 ) =764,53 KPa 2
2
Esfuerzo cortante máximo = 764,53 Ka
σ 1=O + R
O=σ prom
σ 1= σ prom + R
σ 2=O − R
σ 1=−437,5 + 764,53 =327,03 KPa
σ 2=−437,5−769,84 =−1202,03 KPa
!ngulos: 2 ∅ = 90 º −2 ∅
2 ∅ =tan
−1
2 ∅ = 90 º −(−58,23 )=148,23 º
2 ∅ =tan
−1
'
'
∅
'
=
148,23 º 2
=74,11 º
∅
=
() ( − )=
58,23 º 2
b a
650
402,5
= 29,11º
58,23 º
E0emplo 9U A4C 2etermine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante má+imo con el círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientesC a) 2ibu0e el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos σ 1 , σ 2 , τ máx , σ prom . b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el e0e + en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el e0e + hacia el e0e σ 1 y el e0e τ máx . d) 2ibu0e el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante má+imo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial.
DATOS' σ x =775 KPa σ y =−145 KPa τ xy =0 KPa
E a* i+,ri*r , -riagu*' 1
1
σ prom = ( σ x + σ y )
a = ( σ x −σ y ) 2
a=
1 2
2
( 775−(−145 ) )= 460 KPa
E rai* , iru*' R= √ a + b 2
2
R= √ ( 460 ) +( 0 ) = 460 KPa 2
E ,-r* O , iru* ,/-a , σ prom '
2
σ prom =
1 2
( 775 + (−145 ) )=315 KPa
E a* 0,r-ia , -riagu* b =τ xy=0 KPa
E/+u,r* *r-a-, i* 4%6 7&a
σ 1=O + R
O=σ prom
σ 1= σ prom + R
σ 2=O − R
σ 1=315 + 460 =775 KPa
σ 2= 315− 460=−145 KPa
8gu*/' '
2 ∅ =tan
−1
'
2 ∅ =tan
−1
2 ∅ = 90 º −2 ∅
2 ∅ = 90 º −0 =90 º ∅
'
=
90 º 2
= 45 º
∅
0
= =0 º 2
() ( )= b a
0
460
0 º
9. EJERCICIOS &RO&UESTO E0ercicio propuesto #C 2etermine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante má+imo y los planos que actan 2ibu0e el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos σ 1 , σ 2 , τ máx , σ prom .
%$2:5!3C (
σ x =e!uerzo e"x =4 # σ y =e!uerzoe" y =−12
$'
τ xy =−15
" #eterminar σ prom =
σ prom=
σ prom :
( σ x + σ y ) 2
( 4 +(−12 )) 2
=−4
$ El radio del circulo:
√
R= (
R=
√(
(σ x + σ y ) 2
3 %ortante máximo
2
τ xy =17
) +( τ xy )2
4 Esfuerzo máximo σ prom =σ prom + R =−4 + 17 =13
( 4 −−12 ) 2
R=17
6 !ngulos:
) + (− 2
15 )
2
5 Esfuerzo m&nimo σ prom= σ prom− R =−4 −17 =−21
2 ∅ =tan
−1
2 ∅ =tan
−1
2 ∅ =tan
−1
(
( 2 τ xy ) σ x − σ y
)
(
2 x (−15 ) 4 −12
)
( −− ) 30 8
=30.96 º
∅
lanos secundarios: 2 ∅ =tan
−1
2 ∅ =tan
−1
(
( σ x −σ y ) 2 τ xy
)
( −− ) 8
30
=14.036
∅
%oordenadas S F "H,'#&) - G F "#4,'#&)
Figura N!9
E:,rii* ;r*;u,/-* 2'
2etermine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante má+imo y los planos que actan 2ibu0e el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos σ 1 , σ 2 , τ máx , σ prom .
)*
2:5!3C
%*
σ x = e!uerzo e"x =20 σ y =e!uerzoe" y =−30
('
τ xy=−14 σ prom :
" #eterminar σ prom= σ prom=
( σ x + σ y ) 2
( 20 +(−30 )) 2
=−5
$ El radio del circulo:
√
R= (
R=
√(
(σ x + σ y ) 2
3 %ortante máximo
2
τ xy =51.48
) +( τ xy )2
4 Esfuerzo máximo σ prom =σ prom + R =−5 + 51.48 =46.48
( 30 −−30 ) 2
)
2
+ (−45 )2
σ prom= σ prom− R =−5−51.48 =−56.48
R=51.48
!ngulos: 2 ∅ =tan
−1
2 ∅ =tan
−1
( (
( 2 τ xy ) σ x − σ y
5 Esfuerzo m&nimo
)
2 (−45 )
( 20−−30 )
)
2 ∅ =tan
( ) −90
−1
50
=−30.47 º
∅
lanos secundarios: 2 ∅ =tan
−1
2 ∅ =tan
−1
(
( σ x −σ y ) 2 τ xy
)
(− ) 50
90
=−14.53
∅
%oordenadas S F "4A,'H&) - G F "'%A,'
H&)
F#&8() N
<. EJERCICIOS &RO&UESTO DE CIRCU"O DE MO$R EN MOMENTOS DE INERCIA E0ercicio 9U# En la siguiente +gura se ,uestra una secci-n estructural usando el círculo de Mohr deter,ine a/ E0es principales 1 centrales2 ,o,ento de inercia ,íni,o 1 ,34i,o de los e0es 5ue pasan por el centroide. 6/ 7roducto de inercia ,34i,o de los e0es 5ue pasan por el centroide.
c/ Mo,ento de inercia con respecto al e0e 4 centroidal cuando esta giro ('8 en sentido anti horario. 9
:# A #
:4 A &
A #
:%
#&
#A
:
#&
C)*8*% ;! <(!)+ A 1 =40 $ 10 =400
A 2=50 $ 10=500 A 3 = 40 $ 10= 400
C)*8*% ;! 7%7!'"% ;! #'!(#) = ,(%;8"% ;! #'!(#) I $ = I $ + ( % ) ( A ) I % = I % + ( $ ) ( A ) I $% = I $% +( $% )( A ) 2
2
FIURA 1: 3
I $ =
b&
12
+ ( % 2 ) ( A ) 3
I $ =
40 ( 10) 12
+ ( 652 ) ( 400 )
I $ =1693333.33
3
I y =
&b
+ ( x 2 ) ( A )
12
3
I y =
10 ( 40 ) 12
+ ( 02 ) ( 400 )
I y =53333.33
I $% = 0 + ( $% ) ( A ) I $% = 0 + ( 0 ) ( 400 ) I $% = 0
FIURA 2: 3
I $ =
b&
12
+ ( % 2 ) ( A ) 3
I $ =
50 x ( 10 ) 12
+ ( 352 ) ( 500 )
I $ =616666.667
3
I y =
I y =
b & 12
+ ( x 2 ) ( A )
( 50 )3 x 10 12
+ ( 02 ) ( 500 )
I y =104166.667
I $% = 0 + ( $% ) ( A )
I $% = 0 + ( 0 ) ( 500 ) I $% = 0
FIURA : 3
I $ =
b&
12
+ ( % 2 ) ( A ) 3
I $ =
40 ( 10) 12
+ ( 52 ) ( 400 )
I $ = 1333.333
3
I y =
I y =
&b
12
+ ( x 2 ) ( A )
( 40 )3 x 10 12
+ ( 02 ) ( 400 )
I y =53333.33
I $% = 0 + ( $% ) ( A ) I $% = 0 + ( 0 ) ( 400 ) I $% = 0
Su,atoria total
I $ =1693333.333 + 616666.667 + 1333.333 =2311333.333 I y =53333.333 + 104166.667 + 53333.333=210833.333 I $% = 0
7ara la construcci-n del circulo de Mohr se de6e conocer el
I $ 2 I y
2
I $% 2 para así poder sa6er las coordenadas de los puntos : 1 9 las cuales
son $ = I $ I $% % = I % I $%
os cuales se une con una línea recta 2 donde se de+ne el centro del circulo C;< I PRO( 0 / 1 el radio # del circulo los cuales se pueden ,edir directa,ente del gra+co o se pueden calcular de la siguiente for,a Calculo del Centro del círculo C; < I PRO( 0 /
I $ + I y I PRO( = 2
I PRO( =
2311333.333 + 210833.333 2
I PRO( =1261083.333
Calculo del radio por la f-r,ula 2
I $% ¿ I $ − I y 2 2
¿ +¿
¿ R =√ ¿ 2
0¿ 2311333.333 −210833.333 2
¿ R =√ ¿
¿2+¿
R=1050250
7ara el c3lculo de los e0es principales de la secci-n corresponden a los puntos A 1 B en el círculo de Mohr 1 el angulo el cual de6e rotar C: para llevarlo a CA de+ne el Angulo 2 θ m así se tiene 5ue tan 2 θm=
I 0 )$ = $% = =0 * )C I $ − I y 1050250 2
7or lo tanto esto indica 5ue la línea tra=a por las coordenadas : 1 9 est3 en el e0e de las a6scisas en e0e de coordenadas
9a construida el circulo de Mohr se puede hallar los ,o,ento de inercia principales 5ue est3n representados por las a6scisas de los puntos I max=OC + C A = I PRO( + R=1261083.333 + 1050250 =2311333.333 I m+"=OC −CA = I PRO( − R = 1261083.333 −1050250 =210833.333
7ara hallar los ,o,ento de inercia con respecto a los e0es > 1 ? 2 estos se o6tienen rotante C: 9 C9 2 a trav@s de un angulo 2 θ = 2 ( 45 * ) = 90 * en sentido anti horario 2 en donde nos proporciona el ,o,ento de inercia 1 producto de inercia 6uscados I u =OC + C I $ + I y I $ − I y + I u = cos2 θ − I $% e" 2 θ 2
I u =
2
2311333.333 + 210833.333
I u =1261083.333
I v =OC −-C
2
+
2311333.333 −210833.333 2
cos2 ( 45 * )− 0 e" 2 ( 45 * )
I $ + I y I $ − I y − cos2 θ + I $% e" 2 θ I v = 2
I v =
2
2311333.333 + 210833.333 2
−
2311333.
̳
−210833.333 2
cos2 ( 45 * ) + 0 e" 2 ( 45 * )
I v =1261083.333
I uv =
I $ − I y
I uv =
2
cos 2 θ + I $% e" 2 θ
2311333.333 −210833.333 2
cos2 ( 45 * ) + 0 e" 2 ( 45 * )
I uv = 0
E0ercicio 4 C En la siguiente +gura se ,uestra una secci-n estructural usando el círculo de Mohr deter,ine a/ E0es principales 1 centrales2 ,o,ento de inercia ,íni,o 1 ,34i,o de los e0es 5ue pasan por el centroide. 6/ 7roducto de inercia ,34i,o de los e0es 5ue pasan por el centroide. c/ Mo,ento de inercia con respecto al e0e 4 centroidal cuando esta giro ')8 en sentido anti horario.
=. CONC"USIONES El círculo de Mohr es una t*cnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un m*todo simple que opta las mismas características de un círculo "radio, centro, entre otros). 5an solo es necesario aplicar las formulas trigonom*tricas para obtener ecuaciones que nos interesan para la resolución de problemas de resistencia de materiales. •
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El círculo de Mohr es una t*cnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un m*todo simple que opta las mismas características de un círculo "radio, centro, entre otros). on este m*todo tambi*n es posible el cálculo rápido y e+acto de los esfuerzos principales má+imo y mínimo, el esfuerzo cortante má+imo, los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante má+imo y el esfuerzo normal que e+iste 0unto con el esfuerzo cortante má+imo sobre el elemento sometido al esfuerzo cortante má+imo.
16. BIB"IO#RAFIA BECARR>? F.? 2669 Jirculo de MohrK. Libro en Línea. 2isponible enC httpCVVibiguridp%.Wordpress.comVresVmohrV VA""ECI""A? C.? 2616 Jirculo de Mohr =undamentos y aplicacionesK :951!,=., 4A#A Jirculo de MohrK. Libro en Línea. 2isponible enC httpCVVWWW.aero.ing.unlp.edu.arVcatedrasVarchivosVirculoX4Ade X4AMohr.pdf BECARR>? F.? 2669 Jirculo de MohrK. Libro en Línea. 2isponible enC httpCVVibiguridp%.Wordpress.comVresVmohrV
