Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882. Dans un graphique où l'axe horizontal représente l'amplitude de la contrainte normale et l'axe vertical représente l'amplitude de la contrainte de cisaillement, le cercle de Mohr est le lieu des états de contrainte en un point P lorsque le plan de coupe tourne autour du point P. Il s'agit d'un cercle centré sur l'axe horizontal dont les intersections avec l'axe horizontal correspondent aux deux contraintes principales au point P. Ce cercle se construit à partir de la connaissance des efforts extérieurs auxquelles est soumise la pièce. Il permet de déterminer :
les directions principales σ3 ;
la directions pour laquelle on a la cission τ maximale, qui est donc la direction de rupture probable (l'orientation du faciès de rupture), ainsi que la valeur de cette contrainte.
, ainsi que les contraintes principales σ1, σ2 et
Sommaire [masquer]
1 Problématique
2 Sollicitations axiales o 2.1 Sollicitation uniaxiale o 2.2 Sollicitation biaxiale o 2.3 Sollicitation triaxiale
3 Essais o 3.1 Compression sur béton o 3.2 Essai de traction sur métal ductile
4 Applications : jauge de déformation
5 Autres cercles de Mohr o 5.1 Cercle de Mohr des déformations
o 5.2 Cercle de Mohr des moments
6 Voir aussi o 6.1 Articles connexes
Problématique [modifier] La rupture d'un matériau ductile — c'est le cas de la plupart des métaux à température ambiante pour des vitesses de déformation modérées — se fait toujours en cisaillement : l'effort nécessaire pour « arracher » les atomes est beaucoup plus important que celui nécessaire pour faire glisser les atomes les uns sur les autres (voir Déformation plastique). Pour une sollicitation donnée d'une pièce, il faut donc savoir dans quelle section la cission τ (tau) est maximale.
Construction du cercle de Mohr dans le cas de la traction simple Prenons le cas de la traction simple, ou traction uniaxiale. On sait que lors de cet essai, le faciès de rupture va s'amorcer en faisant une direction de 45 ° par rapport à l'axe de l'éprouvette. Si l'on considère une section droite de l'éprouvette, celle-ci a une aire S0 ; la force F que l'on applique est normale à cette section, on a donc une contrainte normale σ0 qui vaut
et un cisaillement nul. Considérons une section inclinée ; elle a une aire S1. si l'on projette la force à cette section, on obtient une force normale
sur la normale
. La contrainte normale σ1 vaut alors
. Si l'on projette
sur la section, on obtient une force
. La cission τ1 vaut alors
. Plus la section est inclinée, plus T est grand, mais plus S est grand. La fraction τ = T/S présente un maximum pour une section située à 45 °, ce qui explique le faciès de rupture. Si maintenant on trace τ = ƒ(σ), on voit que l'on obtient un cercle, le cercle de Mohr. Cet exemple est repris ci-après de manière calculatoire.
Sollicitations axiales [modifier] Nous étudions ci-après le cas où l'on exerce une traction ou une compression selon les axes x, y et/ou z.
Sollicitation uniaxiale [modifier]
État d'équilibre uniaxial On réalise un essai de traction uniaxiale sur une éprouvette de laquelle on va extraire en un point P une plaquette infiniment petite soumise à un effort uniformément réparti sur une surface orientée suivant l'axe . À l'équilibre, la surface opposée (orientée suivant l'axe ) est soumise à un effort
. Cet état est schématisé sur la figure ci-contre.
On notera direction = 0.
la contrainte au point P due à l'effort . On notera son module
sur la surface
dans la
. De la même manière le module de
: σy
On remarquera que le cisaillement est nul sur les deux surfaces considérées, les directions sont donc principales et σx , σy sont les valeurs des contraintes principales.
État de contraintes sur une face orientée par On détermine maintenant l'état de contrainte sur une face qui aurait tourné de α comme représenté sur le schéma ci-contre. On a les contraintes suivantes :
Cercle de Mohr de la traction pure
C'est l'équation d'un cercle de centre et de diamètre σx. Lorsque l'on tourne de -2α sur le cercle, on tourne de α dans la matière. On a la représentation ci-contre.
,
On observe que le cisaillement est maximal : justifie les observations.
suivant des direction à ±45 °, ce qui
Sollicitation biaxiale [modifier] Sollicitation triaxiale [modifier] Dans ce cas la représentation ne présente pas un grand intérêt car les lieux du vecteur contrainte ne sont plus sur un cercle mais sur la surface délimitée par l'intersection des cercles.
Essais [modifier] Compression sur béton [modifier] Ci après la photo d'un essai de compression sur béton mettant en évidence le cône de rupture approximativement à 45 °.
Essai de traction sur métal ductile [modifier] Ci après la photo d'un essai de traction sur une barre d'aluminium (diamètre 8 mm) .La rupture suivant une ligne à 45° est parfaitement illustrée.
Rupture d'une éprouvette en aluminium de 8 mm de diamètre
Applications : jauge de déformation [modifier] Dépouillement d'une « rosette » à 45°.
Autres cercles de Mohr [modifier] De manière analogue, on peut tracer :
un cercle de Mohr des déformations ;
dans le cadre de la théorie des plaques, un cercle de Mohr des moments.
Cercle de Mohr des déformations [modifier] On obtient le cercle de Mohr des déformations en traçant le diagramme (εii , εij)i ≠ j , ou si l'on préfère utiliser l'écart à l'angle droit γij , le diagramme (εii , ½γij)i ≠ j .
Cercle de Mohr des moments [modifier]
Plaque fléchie par une distribution uniforme de moments sur ses côtés
Coupe selon un plan faisant apparaître un moment de torsion Considérons une plaque mince rectangulaire, subissant un moment réparti uniformément Mx le long de son côté parallèle à l'axe x et My le long de son côté parallèle à l'axe y. Ces moments densités linéaires de moments sont en newtons (Nm/m). Ce sont des moments fléchissants (ils créent une flexion). Si l'on fait une coupe selon un plan faisant un angle α, on voit que sur cette face subit un moment fléchissant, qui courbent la face, et un moment de torsion qui l'incline. En écrivant l'équilibre de cette portion de plaque, on voit que le moment s'exerçant sur la face de coupe peut se décomposer en un vecteur moment normal mnn , qui crée la torsion (la section tourne
dans le plan), et un vecteur moment tangentiel mnt qui crée la flexion (la plaque se courbe). On se retrouve dans une situation similaire à celui des contraintes normales et tangentielles. On peut ainsi tracer un diagramme (mnn , mnt ) et l'on obtient un cercle. Les intersections de ce cercle avec l'axe mn donne les sections principales, c'est-à-dire les sections sur lesquelles le moment de torsion est nul. [Théorie des plaques élastiques, département Architecture, géologie, environnement & constructions de l'Université de Liège]
