UNIVERSIDAD DE COLIMA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Teoría de Control Respuesta transitoria de un circuito RLC con un control PID Alumnos Sergio Jesús Santillán Parra Jesús Raziel Coria Galaviz Salvador Alejandro Ávila Comparan Profesor: Jaime Arroyo Ledesma Coquimatlán, Colima, 26 de noviembre de 2014
1. OBJETIVO Analizar la respuesta transitoria y reducir el error en estado estable de un circuito RLC conectado a un integrador con y sin retroalimentación, analizando cada parámetro que caracterizan a un oscilador y eliminar el offset de la salida.
2. INTRODUCCIÓN [1] Un control PID es un mecanismo de control por realimentación que calcula la desviación o error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, para aplicar una acción correctora que ajuste el proceso. El algoritmo de cálculo del control PID se da en tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacción del error actual. El Integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un elemento de control Resistencia. Un controlador PID puede ser llamado también PI, PD, P o I en la ausencia de las acciones de control respectivas. Los controladores PI son particularmente comunes, ya que la acción derivativa es muy sensible al ruido, y la ausencia del proceso integral puede evitar que se alcance al valor deseado debido a la acción de control. En la figura 1 podemos observar el diagrama correspondiente a un control PID.
Figura 1. Diagrama de un control PID
3. DESARROLLO [1] 3.1 análisis teórico Brevemente explicare cada una de los tipos de controles que vamos a utilizar en esta práctica; empezando con el control proporcional
1. CONTROL PROPORCIONAL La acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error. Un controlador proporcional puede controlar cualquier sistema estable, pero posee desempeño limitado y error en régimen permanente (off-set).
() = ∗()
(1)
Donde u (t) es la señal de control y kp es una ganancia proporcional ajustable La respuesta característica ante una señal escalón está dada por la gráfica 1:
Grafica 1. Salida de un control proporcional
2. CONTROL INTEGRATIVO La acción de control integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario. Si se duplica el valor de e(t), el valor de m(t) varía dos veces más rápido pero para un error actuante igual a cero, el valor de m(t) se mantiene estacionario en muchas ocasiones esta acción de control recibe el nombre de control de reposición.
() = ∫ ()
(2)
Donde Ki es la constante de tiempo real. La respuesta característica ante una señal escalón está dada por la gráfica 2:
3. CONTROL DERIVATIVO La acción de control derivativa a veces se denomina control de velocidad, Cuando el tiempo de acción derivada es grande, hay inestabilidad en el proceso ahora cuando el tiempo de acción derivada es pequeño la variable oscila demasiado con relación al valor deseado. Este control por sí solo. La acción derivada es adecuada cuando hay retraso entre el movimiento de la válvula de control y su repercusión a la variable controlada. En la ecuación (3) se muestra la ecuación sobre un control derivativo.
() = ()
(3)
Donde Td es el intervalo de tiempo en el que la acción de velocidad se adelanta al efecto de acción proporcional. La respuesta característica ante una señal escalón está dada por la gráfica 3:
Grafica 3. Salida de un control proporcional
3.1.1 Circuito RLC con control PID sin retroalimentación El objetivo de agregar este control es eliminar el offset (error en estado estable) y reducir el tiempo de asentamiento un 30% ya que son los objetivos de esta práctica, cabe rescatar que se utilizó el programa Simulink para poder facilitar el cálculo y poder observar el comportamiento de nuestro sistema. En la figura 2 se muestra el diagrama del circuito.
Figura 2. Diagrama de un control PID
Para poder obtener bobina del circuito sustituiremos en la − (4).
el valor del numerador es necesario saber los valores del capacitor y la RLC, como ya en prácticas pasadas había obtenidos sus valores nomas fórmula de nuestra planta, cual podemos calcular de la siguiente forma − y
= 3.610 = 1010
..= ∗ = (. )( ) = 2.77810
(4)
En la gráfica (4) podemos observar la salida d e nuestra planta sin retroalimentación.
Grafica 4. Salida de la planta
Podemos observar que la planta por si sola nos está dando una salida más o menos la que estamos esperando. A continuación continuaremos con el circuito RLC con un control PID pero ahora con retroalimentación, la cual nos servirá para poder cumplir con los requisitos que antes se han dicho.
3.1.2 Circuito RLC con control PID con retroalimentación
Figura 2. Diagrama de un control PID
Posteriormente obtenemos todos los parámetros de nuestra planta las cuales podemos determinar por las ecuaciones (5), (6), (7) y (8) la cuales sucesivamente son la sobrelongacion,
ꙍ , ꙍ , y zeta.
=0.18=18% −∗ ꙍ = () = 1,465,638.224
(5)
ꙍ = √ ꙍ = 1,228,045.359 = ꙍ = 800,000
(7)
(6)
(8)
El siguiente paso calcular los polos del sistema para eso necesitaremos la forma estándar de 2do orden y se calcula de la siguiente manera
(5 )( 2ꙍ ꙍ2)
(9)
Sustituimos con nuestros valores y nos queda de la siguiente manera:
(5 )( 1,600,0001.501012)
(10)
Ya con esto podemos calcular nuestros polos los cuales se encuentran en la ecuación (11).
, = 800,000 ± 927361.8495
(11)
Desarrollamos:
( 4,000,000)( 1,600,0001.5010) ( 1,600,000 1.50106.410 610) ( 4,000,000 1.5000016106.000006410)
(12) (13) (14)
Con todo esto que hemos hecho procederemos a calcular las ganancias de cada control para poder así continuar con la parte práctica. Comenzaremos con la ganancia K D
] = 4,000,000 [()+
(15)
Desarrollando nos queda:
= 1.389510−
(16)
Seguimos con K g
[+] = 1.5000001610
(17)
Desarrollando nos queda:
= 53.00
(18)
Y terminamos con Ki
[ ] = 6.000006410
(19)
Desarrollando nos queda:
= 216,000,230.4
(20)
Con las ganancias ya calculadas procedemos a meter los valores a sus respectivos controles para poder asi obtener la gráfica (5) que a continuación se presenta:
Grafica 5. Salida de la planta con retroalimentación
CONCLUSIÓN La estructura PID ha mostrado empíricamente ofrecer suficiente flexibilidad para dar excelentes resultados en muchas aplicaciones. El término integral I brinda una corrección proporcional a la integral del error, mientras que El término derivativo D da propiedades predictivas a la actuación, generando una acción de control proporcional a la velocidad de cambio del error. Tiende dar más estabilidad al sistema pero suele generar grandes valores en la señal de control.
5. BIBLIOGRAFÍA 1. William Hayt. Análisis de circuitos en ingeniería. 7a Edición. Mc Graw Hill
