EJERCCIOS RESUELTOS DE CENTROIDES
EJERCICIO No. 1: Para el área plana mostrada, determínese a) lo primeros momentos con respecto a los ejes x y y, b) la localización del centroide y
40 mm
y
60 mm
60 mm
40 mm 80 mm
40 mm
x
x 60 mm
y
y
40 mm
60 mm
25.46 mm 80 + 25.46 mm 105.46 mm
80 mm
x
x
-20 mm 60 mm
y 40 mm
80 mm
x 60 mm
A, mm2
COMPONENTE
9,600.00 3,600.00 5,654.80 -5,028.54 13,828.26
Rectángulo Triángulo Semicírculo Círculo Totales
x, mm
y, mm
xA, mm3
yA, mm3
60 40 60 60
40 -20 105.46 80
576,000.00, 384.000.00 144,000.00 -72,000.00 339,288.00 596,355.20 -301,592.40 -40212.32 757,695.60 506,232.008
EJERCICIO No. 2: Un alambre homogéneo delgado se dobla para formar el perímetro de la figura indicada. Localícese el centro de gravedad de la figura formada con el alambre. y A
y
6 i n
3 i n
B
A
B
4 i n
D
5 in
D
3.5 in
3 i n
C
C
x
SEGMENTO
L, in
x, in
y, in
xL, in2
yL, in2
AB BC CD DA
6 7 6.70 4 60
3 6 3 0
7 3.5 3.5 5
18 42 20.1 0 80.1
42 24.5 23.4 20 109.95
Totales
x
EJERCICIO No. 3: Determínese por integración directa el centroide
y
y
y
y1 =k1x2 b
xel
y=y -y 1
3
y2 =k2 x
yel
dx
x
x
a
xel = x dA= ydx= (y1 - y2 )dx y1 y2 +2y2 y1 y2 y1 + y2 yel = + y = = 2 2 2 2
Determinación de constantes
2
Haciendo x = a y y = b y sustituyendo en y 1 = k1x 3 k2x
Haciendo x = a y y = b y sustituyendo en y 2 =
b
b = k 1(a )
2
∴
b y1 =
a
x
k1 =
2
a
∴
3 b = k 2 (a )
b
2
x
2
y2 =
ELEMENTO DIFERENCIAL VERTICAL Determinación del área
∫
∫
∫
y2 )dx =
b x
a 0
4
b a3
a 0
b x = 2 3 a 3 a 4
A=
b a4
∫ (a
2
ba
ba
Qy =
b
∫ (a 0
2
x
3
b a
3
b a
4ba
y 2 )dx =
4
b x
x )dx =
b
a
∫
Q y = x eldA = xydx = x(y1 a
3
3
3
x )dx
3ba
ba =
12
12
x eldA
Primer momento para el área completa
∫
a
x
2
=
a 4 3 4 2 a 3 Primer momento del elemento diferencial con respecto al eje y
Qy
x
3
=
2
3
0
=
3
a
b
a
A = dA = ydx = (y1 3
k
b
a
2
4
a 0
4
∫x
(
0
b x a
3
a2 5
x
a 0
5
b
2
=
a3 ba 4 4a 2
3
x )dx = ba 5 5a 3
2
Qy =
a 2b
a 2b
4
5
5a 2b
=
4a 2b 20
Determinación de x del centroide
Q = xA
∫
y
el
=
A
el
3 x=
5
=
20
a2b 20
x dA ∫ x=
xA = x dA
a 2b
ba 12
12a2b =
20ba
a
Primer momento del elemento diferencial con respecto al eje x
Qx Primer momento para el área completa y +y 1 2 ydx = Q x = y el dA = 2
∫
a
Q
x
= 0
bx
[(
2
2
a 1 b2a5
Qx = 2 [
bx
2
(
)
a
b2a7
5a 4
7a6
3 1
] = 2[
2
ab
y +y
a
1
1
=
yA
a 2
( y1
0
[
7 2
7
b2x6 a6
a4 1
ab
5
y 2 )dx =
2 4 b x
a
2
Determinación de y del centroide
Qx
yeldA
2
0
3
) 2 ]dx
7ab2
] = 2[
yA
ab
]dx =
5ab2 35
1
y
2
12ab 2
12 35 = y = ab 35ab = b 35 12
12 y=
b
el
a
1
b2x5
2
[ 5a4
2ab2
] = 2 [ 35
y yeldA
0
y 22 )dx
( y 12
dA
dA
]=
0
b2x7
7a6
ab2 35
a 0
