Ejercicios resueltos del tema 2
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EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 2 EJERCICIO 1
Minimiza las siguientes expresiones booleanas utilizando los postulados y propiedades del álgebra de Boole: 1.
̅ ̅
̅ ̅ (From [4] (see bibliography). With permission)
Un par de consideraciones previas: 1) Una primera aclaración: Dada una expresión booleana, en general, existen múltiples versiones mínimas de la misma. La respuesta al problema de la minimización de funciones booleanas no es única. única . 2) El segundo punto que me gustaría comentar es ¿qué significa exactamente que una expresión sea mínima?. La definición de lo que significa “mínima” depende del entorno en que se utilice esta expresión. Por ejemplo, en la implementación implementación llamémosla “convencional” de circuitos digitales con chips de pequeña escala de integración (esto es, chips que contienen típicamente entre 4-6 puertas cada uno), lo más costoso son las puertas y, en consecuencia, el objetivo de la minimización es obtener una expresión que requiera el mínimo número de puertas lógicas. Si por el contrario estamos pensando en una implementación mediante un circuito integrado, lo que prima es el área de silicio ocupada y, en este caso, el número de conexiones puede ser tan importante como el número de puertas. Nosotros vamos a utilizar una definición matemática, “de compromiso” entre el número de puertas y el número de entradas de cada puerta, factor este último ligado al número de conexiones: Nuestro objetivo será llegar a una expresión booleana que contenga el mínimo número de operaciones de dos operandos. Como ejemplo, la expresión (1) del enunciado contiene 10 operaciones de estas características, como puede verse en el esquema siguiente:
Dicho esto, vamos a minimizar las expresiones que nos piden: 1.
̅ ̅
Esta expresión puede resultar un tanto confusa si no se tiene claro el orden en el que se ejecutan las operaciones booleanas: La L a operación “complementar” tiene prioridad sobre el producto lógico, que a su vez tiene prioridad sobre la suma lógica. Teniendo esto en cuenta, y para mayor claridad, la expresión a minimizar podemos escribirla como:
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̅ Aplicamos la ley de De Morgan a cada uno de los tres paréntesis:
( ̅ ) Multiplicamos los dos últimos paréntesis:
( ) Teniendo en cuenta que
y que ̅
la expresión anterior nos queda como:
( ) quedan absorbidos quedan absorbido por : términos Los términos
por
y
pueden eliminarse. Asimismo, los
Así:
( ̅ ) ̅ ̅ ̅ Aunque parezca que no podemos simplificar más la expresión, no es cierto. Vamos a multiplicar el término por ̅ , cosa que podemos hacer porque ̅ :
̅ ̅ ̅ ̅ , por la misma razón el término ̅ queda absorbido por ̅ El término
queda
absorbido por
puesto
que
y
̅ (La expresión mínima requiere 3 operaciones de 2 operandos, que se pueden implementar utilizando 2 puertas AND de 2 entradas, y puerta OR de 2 entradas y 3 inversores)
̅ ̅ Sacamos factor común
del
primer y tercer términos producto, y
del
segundo y del
cuarto; cosa que podemos hacer gracias a la propiedad distributiva:
̅ ̅ Sabemos que se cumple que en cuenta que
̅ .
Aplicando esta propiedad a y teniendo
la expresión anterior queda: ̅ ̅
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Podemos volver a aplicar la propiedad consideramos
̅ a
los dos primeros términos. Si
y ̅ entonces:
̅ ̅ Finalmente, aplicando la propiedad distributiva al término
̅ ,
la función nos queda
como:
̅ ̅ ̅ En este caso hemos pasado de una expresión booleana que requería 9 operaciones de 2 operandos a una expresión equivalente que requiere 4. La versión simplificada puede implementarse con dos puertas AND de 2 entradas, 1 puerta OR de 3 entradas (o 2 puertas OR de 2 entradas) y 2 inversores.
EJERCICIO 2
Dibuja los circuitos que implementan directamente las siguientes funciones booleanas (nota: No simplifiques previamente la función): 1.
̅ ̅
̅ ̅
1.
̅ ̅
Para mayor claridad escribimos la función como
̅
Su implementación directa con puertas AND, OR e INV es muy sencilla y auto-explicativa:
En el ejercicio 1 minimizamos esta misma expresión booleana y dedujimos que era equivalente a
̅ . Por tanto, el circuito que acabamos de dibujar es equivalente a este
otro, que sólo requiere 2 AND de 2 entradas, 1 OR de 2 entradas y 3 INV:
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̅ ̅
De nuevo, en el ejercicio 1 simplificamos esta función booleana como
̅ . Por tanto, el circuito anterior es equivalente a este otro, que sólo requiere 2 AND de 2 entradas, 1 OR de 3 entradas y dos INV:
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EJERCICIO 3
Dado el circuito de la figura: (1) Escribe la función booleana que implementa, (2) simplifica la función utilizando los postulados propiedades del álgebra de Boole y (3) dibuja el circuito resultante.
(1)
Por tanto,
) (2) Simplificamos …
( ) (3)
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EJERCICIO 4
Estos dos últimos ejercicios ilustran cómo se pueden construir circuitos combinacionales utilizando sólo puertas NAND o sólo puertas NOR, cosa que en determinados contextos puede resultar útil. Construir el circuito siguiente utilizando sólo puertas NAND e inversores.
En la lección 2.3 decíamos que las puertas NAND eran módulos universales porque utilizando sólo este tipo de puertas se puede implementar cualquier función lógica. Para demostrarlo, veíamos que la suma lógica, el producto lógico y la inversión podían implementarse con puertas NAND de la siguiente manera:
Sustituyendo cada una de las puertas en el circuito del enunciado:
El circuito puede reducirse teniendo en cuenta que dos inversores en serie pueden siempre eliminarse puesto que invertir dos veces una variable es dejarla igual:
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EJERCICIO 5
Construir el circuito siguiente utilizando sólo puertas NOR e inversores.
La solución del problema sigue exactamente los mismos pasos del ejercicio 4, con la salvedad de que las equivalencias entre las puertas lógicas AND, OR, INV y las NOR son las siguientes:
Solución:
Circuito 1
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Ampliación: Como vemos el circuito con puertas NOR resulta más complejo que el mismo circuito implementado con puertas NAND (mira el ejercicio anterior). En ambos casos, el circuito del enunciado implementa la función booleana
que, como vemos, está expresada en forma de suma-de-productos . Cualquier función booleana expresada como suma-de-productos es más “fácil” de implementar con puertas NAND que con puertas NOR (“más fácil” quiere decir que requiere menos puertas). Análogamente, cualquier función booleana expresada como producto-desumas es más “fácil” de implementar con puertas NOR que con puertas NAND. Por ejemplo, la función que implementa el circuito del enunciado puede pasarse a la forma de producto de sumas aplicando la propiedad distributiva que dice que:
Tomando
, tenemos que:
Si repetimos el mismo proceso para cada uno de los paréntesis tomando
para
el primero y
para
el segundo, tendremos la función
original expresada como producto de sumas:
Que, en forma de circuito será:
Hagamos ahora lo mismo que antes y sustituyamos las puertas AND y OR por sus circuitos equivalentes con puertas NOR:
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Eliminando los conjuntos de dos inversores en serie tenemos:
Circuito que requiere 5 puertas NOR, 4 de 3 entradas y 1 de 4, más 1 inversor (6 puertas en total) mientras que el “Circuito 1” necesitaba 3 puertas NOR (2 de 2 entradas y 1 de 3) y 6 inversores (9 puertas en total).
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