Cazuri de nedeterminare limite

Cazuri de nedeterminare

1. Cazul ∞ − ∞ a) la funcţii polinomiale – se dă factor comun forţat termenul de grad maxim. Limita fucţiei este egală cu limita termenului de grad maxim. b) La funcţii exponenţiale – se dă factor comun forţat puterea cu cea mai mare bază şi se ţine cont că x limita la + ∞ a unei puteri cu baza subunitară este 0. lim a = 0, a 1 x → +∞

c) La funcţii iraţionale – • Dacă termenii de grad maxim ai diferenţei sunt diferiţi se dă factor comun forţat termenul cel mai mare • Dacă termenii de grad maxim sunt egali, se amplifică fracţia cu expresia conjugată ∞ 2. Cazul ∞ a) la funcţii raţionale – limita fracţiei este egală cu limita raportului termenilor de grad maxim b) la funcţii exponenţiale – se dă factor comun puterea cu cea mai mare bază. c) la funcţii polinomiale - se dă factor comun forţat atât la numărător, cât şi la numitor termenul de grad maxim. 3. Cazul

0 0

a) la funcţii raţionale - se simplifică fractia prin x − x0 (pp x → x0 ) b) La funcţii iraţionale – se amplifică fracţia cu expresia conjugată a numitorului c) La funcţii trigonometrice – Se folosesc limitele remarcabile:

sin x = 1, lim x x →0

tgx = 1, lim x x →0

Daca

lim u( x) = 0 atunci

lim

sin u ( x) = 1, u ( x)

x → x0

arcsin x = 1, lim x x →0

arctgx =1 lim x x →0

x → x0

lim x →x0

tgu ( x) arcsin u ( x ) arctgu ( x) = 1 , lim = 1, = 1 , xlim →x x →x u ( x) u ( x) u ( x) 0

0

d) la funcţii logaritmice şi exponenţiale - Se folosesc limitele ln(1 + x) a x −1 lim = 1 , lim = ln a , x →0 x →0 x x 3. Cazul 0 ⋅ ∞ • Se scrie expresia sub formă de fracţie şi se reduce la unul dintre cazurile precedente •

lim x ln x = 0

Se foloseşte x → 0

x 0

4. Cazurile 00 , ∞0 Se foloseste f g = eln f = e g ln f ( f >0) şi se reduce la unul dintre cazurile precedente , 0 ⋅ ∞ 5. Cazul 1∞ g

1

6.

Se folosesc limitele lim(1 + x) x = e . Daca u ( x) → 0 şi u ( x) ∈ ( −1,0 ) ∪(0,+∞) atunci x →0

(1 + u ( x) )

1 u( x)

→e