Limite Funcional

Límite y Continuidad de Funciones

Límites y Continuidad Límite de una función en un punto. Propiedades. Límites en el infinito. Ramas Infinitas. Asíntotas de una curva. Cálculo de límites. Función continua en un punto y en un intervalo. Propiedades. Discontinuidades.

Objetivos Mínimos • • • • • • • • • •

Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como no finito) y de límite en el ∞ (tanto finito como no finito). Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite. Saber determinar las asíntotas y ramas parabólicas parabólicas de una función. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas. Saber calcular límites de cocientes de polinomios. Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la continuidad lateral. Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervalo y qué significa eso en los extremos del intervalo. Saber donde son continuas las funciones elementales. Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales. Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos.

Idea intuitiva de límite funcional.Observa la gráfica de la siguiente función: f ( x ) = 2.( 0,68)

x

Podemos ver en la gráfica que a medida que los valores de x están más próximos a cero los valores de la función se “aproximan” más a uno. Esto lo apreciamos claramente en la siguiente tabla de valores:

x 0,1 0,01 f(x) 1,92 1,99

0,001 1,999

0,0001 1,9999

.... …….

Ies Barallobre

0 . ... 2 ……

-0,001 2,0007

-0 , 0 1 2,007

-0 , 1 2,078

Cesáreo Rodríguez -1-

Límite y Continuidad de Funciones Observa la gráfica de esta otra función: f 1 ( x) =

1 ( x + 2 ) 2

Se puede observar claramente que cuando los valores de x se “aproximan” a -2 los valores funcionales de f 1 ( x) se hacen cada vez mayores. Esto se aprecia en la siguiente tabla de valores: x f1( x)

1,9 10 0

1,99 100 00

1,999 1000 000

Observa la gráfica de esta otra función: f ( x ) =

.... - ... 2 2,001 …. ∞ … 1000 . 000

2,01 100 00

2,1 10 0

8

x En este caso podemos ver que a medida que los valores de x se hacen mayores los valores funcionales se van “aproximando” cada vez más a cero. Esto mismo lo podemos comprobar con la siguiente tabla de valores: x f1( x)

10 10 0 0, 0,0 8 8

100000 0 0,0000 08

....

∞

….

0

Por último, observa la gráfica de esta función: T (l ) = 2. l En este caso, sobre la gráfica se observa que a medida que los valores de l crecen los valores de T crecen, también, cada vez más. Sobre una tabla de valores podemos comprobar lo dicho anteriormente: l 1 0

1 0 0 T 6, 2 3 0 2

1000 .. 000 .. 200 0

… .

Todos estos ejemplos nos llevan a poder dar una idea intuitiva del significado del concepto de límite funcional . Diremos que el límite de una función f es A ( A puede ser cualquier número real o cuando x se aproxima a a ( a puede ser cualquier número real o ∞ ) si sucede que Ies Barallobre

∞)


Límite y Continuidad de Funciones cuanto más se concentran los valores de x en las proximidades de a , los valores funcionales correspondientes se concentran en las proximidades de A . Todo esto se escribe de modo matemático así:

lím f ( x ) = A x → a

1. Límite de una función en un punto.A) LÍMITES LATERALES FINITOS. A1) Límite por la izquierda: f ( x ) = A si cuando x toma valores próximos a a , por su Se dice que lím x →a −

izquierda, f ( x ) toma valores cada vez más próximos al número A . A2) Límite por la derecha: f ( x ) = A si cuando x toma valores próximos a a , por su Se dice que lím + x → a derecha, f ( x ) toma valores cada vez más próximos al número A . Ejemplo.-

Observa sobre el gráfico de esta función como se cumple que: lím f ( x) = 0 x →2 −

f ( x ) = 3 lím →2 x

+

Fíjate ahora en este otro ejemplo: La función que tiene esta gráfica cumple que: lím f ( x) = 0 x →1−

f ( x ) = 0 lím →1 x

+

En el primer caso los límites laterales en el valor de x =2 son distintos, mientras que en el segundo ejemplo los límites laterales en el valor de x = 1 coinciden (valen cero). Se dice entonces que si los límites laterales toman el mismo valor, es decir, lím− f ( x) = A y lím+ f ( x) = A existe el límite de f ( x) en x = a y se escribe: x →a

x → a

f ( x ) = A lím → x

a

Ies Barallobre


Límite y Continuidad de Funciones Si los límites laterales toman distinto valor en x = a se dice que no existe el límite de f ( x ) en x = a .

B) LÍMITES LATERALES NO FINITOS. B1) Límite por la izquierda: f ( x ) = +∞ si cuando x toma valores próximos a a , por su Se dice que lím x →a − izquierda, f ( x ) toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy grande que este sea. B2) Límite por la derecha: Se dice que lím+ f ( x ) = +∞ si cuando x toma valores próximos a a , por su x → a

derecha, f ( x ) toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy grande que este sea. Ejemplo.-

En esta gráfica de la función f 1 ( x) vemos que se verifica: lím f 1 ( x) = +∞ x →2 −

f 1 ( x) = +∞ lím →2 +

x

B3) Límite por la izquierda: f ( x ) = −∞ si cuando x toma valores próximos a a , por su Se dice que lím − x →a

izquierda, f ( x ) toma valores cada vez “más negativos”(o sea, más pequeños). B4) Límite por la derecha: Se dice que lím f ( x ) = −∞ si cuando x toma valores próximos a a , por su x → a +

derecha, f ( x ) toma valores cada vez “más negativos”(o sea, más pequeños). Ejemplo.-

En esta gráfica de la función f ( x ) vemos que se verifica: lím f ( x) = −∞ x → 0−

f ( x) = −∞ lím → x

0

+

Ies Barallobre



f ( x ) = +∞ y lím f ( x ) = +∞ entonces: Si lím x →a − x →a + f ( x ) = −∞ y Si lím − x →a

f ( x) = +∞ lím → x

a

f ( x) = −∞ entonces lím f ( x) = −∞ lím → → Si los límites laterales toman distinto valor en x = a se dice que no existe el límite de f ( x ) en x = a . x

a

+

x

a

C) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. ( f ( x) ± g ( x)) = lím f ( x) ± lím g ( x) C1) lím x → a x → a x → a Siempre que no aparezca la indeterminación:

∞−∞

Siempre que no aparezca la indeterminación:

0.∞

( f ( x). g ( x)) = lím f ( x).lím g ( x) C2) lím x → a x → a x →a f ( x) lím →

f ( x )

)= C3) lím ( x → a g ( x ) lím g ( x) x

a

con

( g ( x)) ≠ 0 lím → x

a

x →a

Siempre que no aparezcan las indeterminaciones: g ( x )

C4) lím ( f ( x ) x → a

) = lím f ( x)

g ( x ) lím x → a

∞ 0 o ∞ 0

con f ( x ) > 0

x → a

Siempre que no aparezcan las indeterminaciones:

∞ 0 ,00 ,1∞

2. Límites en el infinito.A) LÍMITE FINITO. ( f ( x)) = A si al aumentar los valores de x tanto como Se dice que lím x → +∞ queramos los valores de la función f ( x ) se concentran en las proximidades de A . Se dice que lím ( f ( x )) = A si al hacer los valores de x tan negativos como x → −∞

queramos los valores de la función f ( x ) se concentran en las proximidades de A . Se dice que lím ( f ( x )) no existe, si al aumentar (o disminuir) los valores de x x → ± ∞

cada vez más (cada vez más pequeños) los valores de f ( x ) ni crecen ni decrecen ni se acercan, cada vez más, a ningún número. Ejemplo.-

Ies Barallobre



B) LÍMITE NO FINITO. Se dice que

( f ( x)) = +∞ si al aumentar los valores de x tanto como lím →+∞ x

queramos los valores de la función f ( x ) se hacen cada vez más grandes. Se dice que lím ( f ( x )) = −∞ si al aumentar los valores de x tanto como x → +∞

queramos los valores de la función f ( x ) se hacen cada vez más negativos. Se dice que

( f ( x)) = +∞ si al hacerse más negativos los valores de x los lím →−∞ x

valores de la función f ( x ) se hacen cada vez más grandes. ( f ( x)) = −∞ si al hacerse más negativos los valores de x los Se dice que lím x → −∞ valores de la función f ( x ) se hacen cada vez, también, más negativos.

Todo lo referente a las propiedades de los límites de una función en un punto se cumple también en el caso de límites en el infinito. Es decir, todas las propiedades vistas en el apartado anterior se cumplen ahora poniendo en lugar de a , ± ∞ Observación.- Al calcular este tipo de límites en el infinito puede que obtengamos una indeterminación (en apariencia), que no lo es en realidad. Ejemplo.-

Observa sobre la gráfica de la función f 1 que se cumple:

( f 1 ( x)) = −∞ lím → +∞ x

En la gráfica de f 3 puedes ver que se cumple:

Ies Barallobre



( f 3 ( x)) = +∞ lím → +∞ x

Dibuja tú la gráfica de una función que modelice los límites: lím ( f ( x)) = +∞ y lím ( f ( x)) = −∞ x→ −∞

x → −∞

3. Ramas infinitas. Asíntotas de una curva.Al desarrollar el tema nos hemos encontrado en alguna ocasión tramos de una curva que se alejan indefinidamente, son las llamadas Ramas infinitas. Cuando una Rama infinita se ciñe (se aproxima) a una recta, a esta recta se la llama Asíntota de la curva y a la rama correspondiente se le llama: Rama asintótica. A) Rama infinita en x=a. Asíntota Vertical. Las únicas ramas infinitas que se pueden encontrar en valores concretos de la abscisa ( x = a ) son las ramas asintóticas verticales. Así, si una función f ( x ) verifica que lím f ( x) = ± ∞ decimos que ( x = a ) es una x → a

Asíntota Vertical de dicha función.

La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de los límites laterales. Ejemplo.-

Las Asíntotas verticales de la función f ( x ) = Posición x f ( x ) resulta

x → 0 − -0,01 positiva

x → 0 + 0,01 negativa

+2 x 2 − 2 x x 2

son: x = 0 y x = 2

x → 2 − 1,99 negativa

x → 2 + 2,01 positiva

f ( x) = +∞ lím f ( x ) = −∞ lím f ( x) = −∞ lím f ( x ) = +∞ lím → →0 → →2 x

0−

+

x

2−

x

x

+

f ( x) = +∞ lím f ( x ) = −∞ lím → →0 f ( x) = −∞ lím f ( x ) = +∞ x = 2 lím → →2 x = 0

0−

x

x

2

+

x

−

x

+

Ejemplo.-

Ies Barallobre


Límite y Continuidad de Funciones Observa la gráfica de la función e indica si tiene Asíntota Vertical: En este caso la función presenta una Asíntota vertical ( x = 0) Puesto que se verifica que: lím f ( x ) = −∞ y lím f ( x ) = −∞ x →0 −

En consecuencia:

x →0 +

f ( x ) = −∞ lím →0 x

B) Ramas infinitas cuando x → ∞ . Asíntota Horizontal. Asíntota oblicua. Rama Parabólica. Hay varios tipos de ramas infinitas cuando x → ∞ : B1) Asíntota Horizontal.- Si se verifica que

( f ( x)) = A decimos entonces lím →∞ x

que la recta de ecuación y = A es Asíntota Horizontal de la función. La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de f ( x ) − A . Ejemplo.-

La función y =

2 x x − 3

tiene una Asíntota Horizontal y = 2 , se cumple que:

( f ( x)) = 2 y lím ( f ( x)) = 2 , la posición de la curva respecto a la Asíntota la lím → +∞ →−∞ x

x

determina el signo de la diferencia entre los valores: 2 x 6 f ( x) − A = −2= x − 3 x − 3  x → +∞ → positivo → f encima asíntota

 x → −∞ → negativo → f debajo asíntota 

(Tiene además una Asíntota vertical en x = 3 ) Ejemplo.-

La función cuya gráfica es la dada más abajo, tiene una Asíntota horizontal y = 0 Se cumple que

( f ( x)) = 0 lím →−∞ x

Evidentemente la gráfica muestra que la función está por encima de la Asíntota para los valores de x → −∞ Ejemplo.-

Ies Barallobre


Límite y Continuidad de Funciones La función cuya gráfica es la de f 2 ( x ) , tiene una Asíntota horizontal y = −3 Se cumple que

( f 2 ( x)) = −3 lím →+∞ x

Evidentemente la gráfica muestra que la función está por debajo de la Asíntota para los valores de x → +∞

que al hacer que x → +∞ (o que ( x → −∞ ) ) se aproximan mucho a una recta de ecuación y = mx + n m ≠ 0 ciñéndose a ella. Dicha recta se dice Asíntota Oblicua para esa función. Para que dicha recta sea Asíntota Oblicua de f ( x ) se ha de cumplir f ( x) ≠0 a) lím f ( x ) = ± ∞ b) m = lím c) n = lím ( f ( x ) − mx ) x → ± ∞ x →± ∞ x x → ± ∞ La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de f ( x ) − ( mx + n ) . B2) Asíntota Oblicua.- Hay funciones f ( x )

Ejemplo.-

− 3 x + 1 tiene una Asíntota Oblicua y = x − 2 x − 1  x 2 − 3 x + 1 = +∞ x 2 − 3 x + 1 lím x 2 − 3 x + 1 →+∞ x − 1 − x 1 a) b) m = lím = 2 =1 2 →± ∞ x x − x lím x − 3 x + 1 = −∞  →−∞ x − 1 x 2 − 3 x + 1 − 2 x + 1   − 1. x  c) n = lím   = lím    = −2 →± ∞  x − 1  →± ∞  x − 1 

La función y =

x 2

x

x

x

x

x

x 50 100 1000 → ∞ x 2 − 3 x + 1 f ( x ) = 47,98 97,99 997,999 x − 1 48 98 998 y = x − 2 DIFERENCIA 0,02 0,01 0,001 → 0

Ejemplo.-

Ies Barallobre


Límite y Continuidad de Funciones La función y =

x 3 x

2

− 2 x

tiene una Asíntota Oblicua y = x + 2

Haz tú los cálculos como en el ejemplo anterior:

B3) Ramas Parabólicas.-

Si se cumple

f ( x ) = ± ∞ y la curva no tiene lím →± ∞ x

Asíntota Oblicua entonces la curva presenta una Rama Parabólica. Hay dos tipos: 1. Tipo 1.- La curva crece, o decrece, cada vez más deprisa. De este tipo son las ramas parabólicas de las funciones polinómicas y exponenciales.

- La curva crece, o decrece, cada vez más despacio. De este tipo

2. Tipo 2.

son las ramas parabólicas de las funciones radicales y logarítmicas. Ejemplo.-

La función f ( x ) = x + 1 tiene una Rama parabólica tipo 2 La función crece cada vez más despacio. f ( x ) = +∞ lím → +∞ x

Ejemplo.-

La función y = 2.(0,68) x tiene una Rama parabólica tipo 1 La función decrece cada vez más rápido. f ( x ) = +∞ lím →−∞ x

Ejemplo.-

Dadas las funciones: y = log 3 x y y = 3 . Determina sus ramas parabólicas. x

Ies Barallobre

Cesáreo Rodríguez - 10 -


4. Calculo de Límites.A) INDETERMINACIÓN ∞ − ∞ En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

 x + 1 − x 2   indeterminación ∞ − ∞ Calcula el siguiente límite: lím  2 →1  x − 1 x − 1  x

Para resolverla efectuamos la operación indicada entre paréntesis:  x + 1 − x 2  =  ( x + 1).( x + 1) − x 2  =  x 2 + 2 x + 1 − x 2      2 2 2 x x x − − − 1 1 1      x − 1

 =  2 x + 1    2    x − 1 

+ 2 x + 1  + ∞ si x → 1  x + 1 − x    = lím  Por tanto se cumple que: lím   =  →  x − 1 x − 1  →  x − 1  − ∞ si x → 1− 2

x

2

1

x

2

1

y

Observa la gráfica de:

f ( x ) =

2 x + 1 x 2 − 1

x

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Ies Barallobre

6

7

8

9



En otros casos, sobre todo aquellos en que aparecen radicales, basta multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.

Calcula el siguiente límite: lím ( x − x ) indeterminación x →∞

∞−∞

Para resolverla multiplicamos y dividimos la expresión dada por su conjugada. 2 ( x − x ).( x + x ) − x x ( x − x ) = lím = +∞ = lím lím x →∞ x →∞ x →∞ x + ( x + x ) x

Evidentemente el último límite es más infinito pues crece más rápidamente el numerador que el denominador. B) INDETERMINACIÓN 0.∞ En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

 x 2 . x + 1   indeterminación 0.∞ Calcula el siguiente límite: lím  2 →0  x − 1 x  x

Para resolverla efectuamos la operación indicada entre paréntesis: x 2 .( x + 1)   x + 1   x 2 . x + 1  =   =     y en consecuencia: 2 2    x − 1 x   ( x − 1). x   x − 1 

 x 2 . x + 1   x + 1  = −1   =  lím lím  2 →0  x − 1 x  →0  x − 1  x

x

C) INDETERMINACIÓN

0 0

Cuando solamente aparecen funciones racionales basta con descomponer factorialmente numerador y denominador. Ejemplo.-

 x 2 − 5 x + 6  0  indeterminación Calcula el siguiente límite: lím  2 →2  x + 3 x − 10  0 x

Para resolverla descomponemos factorialmente numerador y denominador.  x 2 − 5 x + 6  = ( x − 3).( x − 2 ) = x − 3  2  en consecuencia: ( ) ( ) + − + − + x 3 x 10 x 5 . x 2 x 5  

 x 2 − 5 x + 6   x − 3  = − 1   =   lím lím 2 →2  x + 3 x − 10  →2  x + 5  7 x

x

En aquellos casos en los que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ies Barallobre



Ejemplo.-

Calcula el siguiente límite: lím x→1

x − 1

1 − x

indeterminación

0 0

Para resolverla multiplicamos numerador y denominador por 1 + x . x − 1

( x − 1). 1 + x − (1 − x ). 1 + x = = lím lím x →1 1 − x x →1 (1 − x ).(1 + → 1 x ( ) x 1− x ) lím ( − 1 − x ) = −1 − 1 = −2 = lím

x →1

D) INDETERMINACIÓN

∞ ∞

En la mayoría de los casos basta con dividir numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplo.-

∞ 4 x 2 + x − 1 Calcula el siguiente límite: lím indeterminación x → +∞ x 2 + 1 ∞ Para resolverla dividimos numerador y denominador por x 2

1 1 4+ − 2

4 x 2 + x − 1

4 x + x − 1 4 x 2 x x = = = =4 lím lím lím 1 x 2 + 1 2 x →+∞ x → +∞ x→ +∞ x 2 + 1 1 1+ 2 x 2

x

Ejemplo.-

x 2 + x

Calcula el siguiente límite: lím

∞ ∞

indeterminación

x Para resolverla dividimos numerador y denominador por x x → +∞

x 2 + x

lím → +∞

x

x

x 2 + x

= lím

x x

x → +∞

x 2 + x x =

2

x x x

lím → +∞ x

=

1+

lím →+∞ x

1

1 =1 1

x =

1

Gráfica de:

y

4

f ( x ) =

3 2

x

-3

-2

-1

x

x → +∞ ⇒ f ( x ) → 1

1

-4

x 2 + x

1

2

3

A H . . : y = 1

4

-1

Ies Barallobre

-2 -3 -4


Límite y Continuidad de Funciones x → −∞

⇒ f ( x) → −1 A H . . : y = −1

Observa que en el caso de que x → −∞ el límite:

x 2 + x

lím →−∞

= −1 se obtendría

x dividiendo numerador y denominador por: − x (dentro de una raíz cuadrada el número ha de ser positivo) y así se explica que ese límite valga -1. x

E) INDETERMINACIÓNES: 1∞ ,0 0 , ∞ 0 Para resolver este tipo de indeterminaciones basta tener en cuenta la siguiente igualdad:

=e

g ( x )

f ( x )

g ( x )

ln( f ( x )

)

=e

g ( x ). ln( f ( x ))

Por tanto tendremos la igualdad entre límites siguiente: g ( x )

f ( x) lím → x

=e

g ( x ). ln( f ( x )) lím x → a

a

Al aplicar esta igualdad de límites puede que aparezcan otras indeterminaciones que podríamos resolver por algún método anterior (pues puede que se transforme la indeterminación, de tipo E, en alguna de las que hemos visto anteriormente). También podríamos resolverlos por otros métodos que, para el curso de 2º Bach de Ciencias Sociales, salen fuera de los objetivos marcados. De todas formas en el caso de la indeterminación: 1∞ hay una fórmula de resolución de esa indeterminación de uso frecuente que es: g ( x )

f ( x) lím → x

=e

g ( x ).( f ( x ) −1) lím x → a

a

Ejemplo.2 x +3

 x + 2  Calcula el límite: lím   →+∞  x + 1 

tenemos una indeterminación 1∞

x

Aplicamos pues la fórmula dada más arriba y tenemos que: 2 x + 3

 x + 2    lím → +∞  x + 1  x

=

e

 x + 2 −1    x +1  =

lím( 2 x +3 ) .

x → +∞

e

lím x→ +∞

4 x + 6 x +1

=e

4

Calcula tú como ejercicio el límite siguiente del mismo modo: 2 x + 4  x + 3  Solución: e 2   lím x→ +∞  x + 2 

Ies Barallobre



Es posible que aun aplicando los métodos que hemos visto para resolver cualquiera de las indeterminaciones citadas no la podamos resolver. En los cursos de Ciencias/Tecnología se estudia una regla muy potente para resolver indeterminaciones que se llama Regla de L`hôpital, que no entra entre los objetivos para un curso de CCSS. Así se podría resolver con esta regla el famoso límite: sin x = 1 (También se podría demostrar que vale 1 por métodos geométricos). lím x →0 x

5. Función continua en un punto y en un Intervalo.La idea de función continua es, como ya sabemos, la de aquella cuya gráfica puede ser construida con un solo trazo. Al trabajar con la expresión analítica de la función, veremos que el concepto de límite es fundamental para el estudio de la continuidad, de tal modo que estableceremos un criterio, basado en el límite, para determinar cuando una función es o no continua. Ejemplo.-

Observa las gráficas de distintas funciones: Esta función tiene por expresión analítica: si x < 0 4

 2 x − 11 si x > 5 

f ( x ) = 4 − x si 0 ≤ x ≤ 5 Observa su trazo continuo en todo

ℜ

Esta otra función tiene por expresión analítica:  x + 3 si x < 1  f ( x) =  2 si x ≥ 1  x Observa su trazo continuo en su dominio

D = [−3,+∞)

En estos dos primeros casos las funciones dadas son ambas de trazo continuo, pero hay otros casos en los que las funciones tienen una gráfica que no puede ser dibujada con un único trazo. Veamos distintos casos:

Esta función tiene por expresión analítica: Ies Barallobre



 x 2  f ( x ) = 2 x  x + 2 

si x < 0 si 0 ≤ x < 3 si x ≥ 3

Observa su trazo no continuo en el valor de x=3 En los demás puntos de su dominio su trazo es continuo

Observa las gráficas de distintas funciones que no tienen un único trazo y por tanto no son continuas:

Veamos pues ahora cual es la formalización matemática del concepto de continuidad. Diremos que una función de expresión analítica y = f ( x ) es continua en un “punto” de su dominio x = a si se verifican estas condiciones:

 a) Existe f (a) b) Existe f ( x)  lím →  c) lím f ( x) = f (a)  → x

x

a

a

Observación 1: la palabra existe quiere decir que el resultado sea un número real Observación 2: la condición c) basta para definir la continuidad en un punto de la función dada pues si se verifica c) necesariamente se han de dar a) y b). Observación 3: cuando una función no es continua en un punto se dice discontinua

Diremos que una función y = f ( x ) es continua en un intervalo abierto ( a, b ) si es continua en todos y cada uno de los puntos de dicho intervalo. Diremos que una función y = f ( x ) es continua por la derecha en un punto de su dominio x = a si se cumple lím f ( x ) = f (a) x →a +

Diremos que una función y = f ( x ) es continua por la izquierda en un punto de su dominio x = a si se cumple lím f ( x ) = f (a) x → a −

Ies Barallobre



Diremos que una función y = f ( x ) es continua en un intervalo cerrado [ a, b ] si: 1. y = f ( x ) es continua en el intervalo abierto ( a, b ) 2. y = f ( x ) es continua por la derecha en x = a 3. y = f ( x ) es continua por la izquierda en x = b Es conveniente señalar aquí que todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas) son todas continuas en los puntos en los que están definidas (o sea, en su dominio).

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. Sean f ( x ) y g ( x ) dos funciones continuas en x = a se tiene entonces que: 1. f ( x ) ± g ( x ) es continua en x = a 2. f ( x ). g ( x) es continua en x = a f ( x ) 3. es continua en x = a g ( x ) 4. f ( x ) g ( x ) es continua en x = a ( suponiendo f (a ) > 0 )

6. Tipos de Discontinuidad de las Funciones.-

Ya hemos señalado anteriormente que una función es Discontinua en un punto x = a cuando no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad en ese punto. De ahí que podamos establecer distintos tipos de Discontinuidad: 1. Evitable.- Cuando existe el

f ( x ) pero no coincide con el valor de f ( a) lím → x

a

,por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f ( a) Ejemplo.( En este caso el punto es: a

= 1)

El valor de la función en el punto es: f (1) = 4 El valor del límite en ese punto es: lím f ( x ) = 2 x →1

En este caso son distintos los valores.

( En este caso el punto es: a

= 2)

El valor de la función en el punto f ( 2) No existe El valor del límite en ese punto es En este caso no existe f (2)

f ( x ) = 3 lím →2 x

2. De Salto.- Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. Ies Barallobre



Ejemplo.-

f ( x ) = 6 y lím f ( x ) = 5 lím →3 →3 −

x

+

x

En este caso los límites laterales no coinciden siendo ambos finitos.

Salto =

f ( x ) − lím f ( x ) = 5 − 6 = 1 lím → → a+

x

x

a−

3. Asintótica.- Cuando alguno de los límites laterales(o ambos) no es finito

= 1 son ambos no finitos, de hecho lím f ( x ) = +∞ lím f ( x) = −∞ Para esta función los límites laterales en x x→1−

x →1+

La expresión analítica de esta función es:

y

x

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

 x 2  f ( x ) =  1  x

si x ≤ 0 si x > 0

9

f ( x ) = 0 lím →0 x

−

f ( x ) = +∞ lím →0 x

4. Esencial.Cuando no existe alguno de los límites laterales(o ambos)

y

x

-2

-1

+

1

Ies Barallobre

Expresión analítica:

2



sin 1  si x < 0    f ( x) =   x  sin( x) si x ≥ 0 f ( x ) No hay lím →0 x

−

f ( x ) = 0 lím →0 x

+

Ies Barallobre


Limite Funcional

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