Generalizaci ón del método de Dada la E.D. en forma canónica: variación de x) D +a ( x x ) y= f ( ( x x ) D y + a ( x x ) D y + … + a ( x Efectuamos los siguientes pasos: parámetros n− 1
n
n− 1
y
1
0
1. Hallamos y 1 , y 2 , … , y n soluciones linealmente independientes independientes de la EDO homogénea asociada, es decir obtener y h=C 1 y 1 +C 2 y 2 + … + C n y n 2. Hallamos
W ( y
1 , y 2 , … , yn )
|
y 1
y 2
= y '
y ' 2
1
⋮
⋮
n −1
n−1
y 1
y n
⋯
y ' n
⋯ ⋮
y 2
⋯
⋮
|
n− 1
y n
3. Hallam lamos u ' 1 ,u ' 2 , … , u ' n por el método de ramer del sistema '
'
'
u 1 y 1 + u 2 y 2 + … + u n y n= 0 '
'
'
u 1 y ' 1 + u 2 y ' 2 + … + u n y ' n =0 ⋮⋮ ⋮
'
n− 1
u 1 y 1
+ u' 2 y n2−1 + … + u ' n y nn−1= f ( x )
!. "nteg ntegra ram mos u ' 1 ,u ' 2 , … , u' n #sin constantes de integración$ para hallar u1 , u 2 , … , un
%. Obtenemo Obtenemoss la solución solución particul particular ar hacie haciendo ndo y p=u1 y 1+ u2 y 2 + … + un y n
&. Obtenemo Obtenemoss la la solució soluciónn genera generall hacien haciendo do
y = y h + y p =C 1 y 1+ … + C n y n + u1 y 1+ … + un y n
E'emplo 1 (esol)er
y
'' '
−2 y '' − y ' + 2 y = e3 x *olución
1. +a EDO EDO hom homog ogén énea ea aso asoci ciad adaa es '' '
' '
'
y −2 y − y + 2 y =0
+a ecuación caracterstica es m
3
−2 m −m + 2=m ( m−2 )−( m−2 )=( m−2 ) ( m −1 ) =( m−2 ) ( m+ 1 ) ( m −1 ) 2
2
-or lo tanto, las races son m 1=2, m2 =−1, m 3=1
la solución de la EDO homogénea es
2
y h=C 1 e
2 x
+C 2 e− x +C 3 e x − x
2 x
y 1=e , y 2 =e
x
, y 3= e
2. El /rons0iano es
W ( y
1
, y2 , y 3
3.
'
u 1=
'
u 2=
'
u 3=
|
− x
2 x
|
3 x
∫ ∫
'
=
e
|
2 x
6e
|
3 x
( 1+ 1 ) 2 x
6e
=
2e
3 x
6e
2 x
x
=
e
3
x
e e 0 2 x x e 2e 0 2 x 3 x x e e 4e 2 x
6e
2 x
'
( e x−2 e x ) 3
3
2 x
|
− x
2 x
3 x
6e
e e 0 2 x − x −e 2e 0 2 x 3 x − x e e 4e
'
3 x
=
e
6 x
4 x
e e = 2 x = 6 6e
(−e x −2 e x ) −3 e x −e x = = 4
6e
2 x
6e
2
2 x
2
'
u 1 , u 2 ,u 3 x
x
e
e
∫ 3 dx = 3
'
u1= u 1 dx = '
=
e
2 x
|
x
x
6e
!. "ntegramos
∫
e
|
− x
0
e
e 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x − x 3 x x x x x e =e (−1−1 ) −e ( 2 − 4 e ) + e ( 2 e + 4 e ) =−2 e + 2 e + 6 e =6 e
e e − x x −e e − x x e e
0
|
x
e e 2 x −e− x )= 2 e 2 x − x e 4e
4 x
∫
e
∫
−e x
u2= u 2 dx =
u3= u 3 dx =
dx =
6
e
4 x
24
2
2
−e x 2
dx =
4
%. *olución particular x
e
2 x
y p=u1 y 1+ u2 y 2 + u3 y 3= e +
e
3
4 x
24
&. *olución general y = y h + y p =C 1 e
2 x
− x
x
+ C e + C e + 2
3
E'ercicios -ropuestos 1.
y −5 y + 6 y =2 sen ( x )+ 8 '' '
' '
'
3 x
e
8
− x
e −
2 x
e
4
x
e=
3 x
e
3
3 x
+
e
24
−
e
3 x
4
3 x
=
3e
24
=
e
3 x
8
y − y = sen ( x ) '' ' ' x y − y = x e d Sugerencia : ( y '' − y ) = y ' '' − y ' ; dx integre y después use variaciónde parámetros '' ' ' y + 4 y = sen ( x ) cos ( x ) '' '
2. 3.
'
( )
!. %. Hallar la solución general de la E.D
( D + 1 ) y =16 ( 2 x +3 )− e− x 3
1
*oluciones 1. 3 x
2 x
y =C 1+ C 2 e + C 3 e −
1 5
cos ( x ) +
1
4
5
3
sen ( x ) + x
2. x
y =C 1+ C 2 e
+ C e− x + 3
1 2
cos
( x )
3. − x
x
1
2
x
3
x
y =C 1+ C 2 e + C 3 e + x e − x e 4
4
!. y =C 1+ C 2 cos ( 2 x ) + C 3 sen ( 2 x )−
1 16
xsen ( 2 x )
%. − x
y = e
(C + C x +C x )+ e− ( 2 x +3 ) 2
1
2
3
x
2
ln ( 2 x + 3 )
Método de orma: + Euler +- + Cauchy n− 1
n
d y y dy n− 1 d + a 0 y =f ( x ) an x a n−1 x … a1 x n n− 1 dx dx dx n
an , an−1 , … , a1 , a0 sonconstantes , a n ≠ 0 , f ( x ) continua
-rocedimiento 1$ Hacer la sustitución =ln ( x ) ó e
= x
2$ sar: n
d y = D ( D −1 ) ( D −2 ) … ( D −( n −1 ) ) y x n dx n
3$ (esol)erlo como EDO lineal con coeficientes constantes E'emplo 1 (esol)er 2
x y
+ x y ' + y =sec ( ln ( x ) )
' '
*olución Haciendo la sustitución =ln ( x ) sando 2
x y
= D ( D −1 ) y
' '
'
x y = Dy
(eemplaando se obtiene D ( D −1 ) y + Dy + y = sec ( ) … … !D" #inea#con coeficientes constantes en , x
( D − D ) y + Dy + y = sec ( ) 2
D y − Dy + Dy + y =sec ( ) 2
D y + y =sec ( ) 2
( D + 1 ) $ = sec ( ) 2
+a ecuación homogénea asociada es
( D + 1 ) y =0 2
El polinomio caracterstico es 2
m + 1 = 0 % m =& + i
+a solución y h es: y h=C 1 cos ( ) + C 2 sen ( )
alculando y p por el método de )ariación de par4metros y p=u1 ( ) cos ( )+ u 2 ( ) sen ( ) y p=u1 y 1+ u2 y 2 y 1=cos ( ) y 2= sen ( )
| | |
W 1=
'
|
sen ( ) =−sec ( ) sen ( )=−tg ( ) cos ( )
cos ( )
0
' 1
W W 2 W
=
−tg ( ) 1
2
1
= =1 1
∫−tg ( ) d
d =
∫
d = 1 d
u2=
|cos ( )| ln ¿ cos ( ) + sen ( )
y p =u1 y1 + u2 y 2=¿ y = y h + y p
=cos ( ) sec ( ) =cos ( ) (
=−tg ( )
u1= ln|cos ( )| '
|
−sen ( ) sec ( )
"ntegrando
∫u
|
|
0
W 1
u 2=
∫u
y 2
y ' 1 y ' 2
cos ( )
sec ( )
W 2=
'
y 1
sen ( ) = cos2 ( )+ se n2 ( )=1 −sen ( ) cos ( )
W =
u 1=
|
% W =
1 cos ( )
=1
y =C 1 cos ( ) + C 2 sen ( ) + cos ( ) ln|cos ( )|+ sen ( )
Deshaciendo el cambio y =C 1 cos ( ln x ) + C 2 sen ( ln x ) + cos ( ln x ) ln |cos ( ln x )|+ ln x sen ( ln x )
E'ercicios -ropuestos 2
1.
d y − x dy + 2 y = x ln ( x ) x 2 dx dx
2.
( x −1 )3 y' ' ' +2 ( x −1 )2 y '' − 4 ( x −1 ) y ' + 4 y = 4 ln ( x −1 )
3.
x y
!.
x D y + 3 x D y + 4 xDx = sen ( √ 3 ln ( x ) )
%.
x D y + 3 x D y + xDy = x
2
2
− x y ' + y = x ln ( x ) 3
' '
3
3
2
2
3
3
2
2
3
