TEOREMAS DE CASTIGLIANO En 1873 Alberto Castigliano elabora una tesis sobre el Método del Trabajo Mínimo. 1er. Teorema: En 1876 presenta su " Método de cálculo de deformaciones " como un primer teorema, que dice: “La derivada parcial del trabajo respecto de una fuerza, nos da el valor de la deformación que produce " 2º Teorema: En relación al trabajo mínimo, expone su segundo teorema: “Cuando un sistema elástico está sometido a la acción de distintas fuerzas, la distribución del trabajo interno es tal que da lugar a un trabajo mínimo ". La operatividad que introduce Castigliano ha determinado su relevante posición en la Teoría de Estructuras, pues aunque los fundamentos teóricos fueran enunciados por Menabrea, fue Castigliano quien los desarrolló e hizo aplicables y operativos para el cálculo de estructuras hiperestáticas. •
Teoremas de d e Castigliano Castigliano De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación navegación,, búsqueda Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847 1847--1884 1884), ), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.
Primer teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P 1,..., P P n aplicados sobre los puntos del sólido A1,..., A a la energía An y llamamos potencial elástica o potencial interno donde δi es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto A i en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:
Segundo teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan un conjunto de fuerzas P 1,..., P P n aplicados sobre los puntos del sólido A1,..., A a la energía An y llamamos potencial elástica o potencial interno. Entonces el movimiento- desplazamiento o giroδi del punto Ai proyectado sobre la dirección de P i viene dada por:
TEOREMA DE CASTIGLIANO
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En 1879 Alberto Castigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, publicó un libro donde escribía un método para determinar el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de temperatura constante , de material con comportamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de una determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construcción de estás según su resistencia y para que propósito la necesitamos. Si se va a calcular el desplazamiento en un punto, el teorema establece que ese desplazamiento es igual a la integral calculada entre cero y la longitud de la barra, del momento flector por la derivada del momento flector respecto a una fuerza P todo entre el módulo de elasticidad del material por el momento de inercia del área transversal, respecto a x. ∆=0LMfdMfdPdxEI Donde: ∆ = desplazamiento del punto causado por las cargas reales que actúan sobre la viga P= Fuerzas externas de magnitud variable aplicada a la viga, en dirección del desplazamiento Mf= Momento interno en la viga, expresado en función de x, y causado tanto por la fuerza P como por las cargas de la viga E= Módulo de elasticidad del material I= Momento de inercia del área transversal, calculado respecto al eje neutro Al hablar de momento interno de una viga me refiero al momento flector en cualquier punto a lo largo de esta; y sabemos que: momento de una fuerza=fuerza x distancia Pues el momento flector nos es una excepción, pero en particular la fuerza aplicada, es la fuerza cortante producida por una carga w y todas las fuerzas que actúan sobre la viga; por lo tanto, la razón de cambio del momento flector en un determinado punto es: Mf=abVdx Donde: Mf= momento flector V= fuerza cortante Se dice que una fuerza es cortante, cuando está produciendo presión (o una carga) y provoca el rompimiento de un objeto, en este caso de una viga; sabemos que: presión=fuerza área; Pero al hablar de un objeto lineal como una viga: presión= fuerzadistancia En nuestro caso sería: -carga= fuerza cortantedistancia Entonces: fuerza cortante=-carga x distancia
La razón de cambio de la fuerza cortante en cualquier punto es igual al negativo de la carga (por tener dirección hacia abajo) distribuida aplicada en ese mismo punto. V=ab-wdx V= Fuerza cortante W= Carga Ejemplo Calcular la deflexión de una viga, de 2 metros de longitud, que soporta una carga de 4KN/cm2 y una fuerza P de 6KN. Si EI= 4MN/cm2
V=ab-wdx V=-abwdx V=-wx+k Si x=o la única fuerza actuando para producir el momento va ha ser –P Por lo tanto k=-P V=-wx-P Y: Mf=Vdx
Mf=(-wx-P)dx Mf=-wx22-Px+k2 Si x=o el momento flector va a ser 0. Por lo tanto k2=0 Mf=-wx2-Px dMfdP=-x Ahora reemplazamos ∆=0LMfdMfdPdxEI ∆=0L(-wx22-pxEI)*-xdx ∆=1EI0L(wx32+Px2)dx ∆=1EIwx48L0+Px33L0 ∆=1EIwl48+Pl33 Por datos: w=4KN/cm2=4*103 N/cm2 L=2m P=6KN=6*103 EI= 5KN/cm2=5*106N/cm2 ∆=1EIwl48+Pl33 ∆=15*1064*103(2)48+6*103(8)3 ∆=0.0048metros
CONCLUSIONES: * La deformación de una viga es producida por la carga que tiene que soportar y de las demás fuerzas que se aplican sobre ella * El teorema de Castigliano nos da el valor con más aproximado de la deformación de una viga * El material con el que se construye una viga es muy importante, puesto que depende de este cuán resistente puede ser y para qué función la queremos.
