Caso Práctico Asignación de los estudiantes a las Escuelas El consejo directivo de Springfield School ha decidido cerrar una de sus escuelas de educación media (sexto, séptimo y octavo grados) al terminar este año escolar y reasignar todos los estudiantes de estos grados a las otras tres escuelas de educación media. El distrito escolar proporciona autobuses para todos los estudiantes de educación media que tengan que viajar más de alrededor de una milla, por lo que el consejo desea un plan para reasignar a los estudiantes que minimice el costo total del transporte por autobús. El costo anual por estudiante transportado en autobús desde cada una de las seis áreas residenciales de la ciudad a cada una de las escuelas se muestra en la siguiente tabla (junto con otros datos básicos para el año próximo), donde 0 indica que no se requiere transporte y un guión indica que hay una asignación no factible.
El consejo directivo también ha impuesto la restricción de que cada grado debe constituir entre 30 y 36% de la población de cada escuela. La tabla anterior muestra el porcentaje de población de educación media de cada área para el año siguiente que está en cada uno de los tres grados. Es posible trazar fronteras de zona para la asistencia a la escuela a fin de dividir el área dada en más de una escuela, pero suponga que los porcentajes en la tabla se mantienen para cualquier asignación parcial de un área a una escuela. Usted está contratado como consultor de ciencia administrativa para ayudar al consejo directivo a determinar cuántos estudiantes de cada área deben asignarse a cada escuela. a) Formule y resuelva un modelo de programación lineal para el problema. b) ¿Cuál es su recomendación para el consejo escolar? Después de ver su recomendación, el consejo escolar expresa su preocupación por la división de las áreas residenciales entre las diversas escuelas. Señala que desearían “mantener cada barrio junto”.
c) Ajuste su recomendación lo mejor que pueda para permitir que cada área se asigne sólo a una escuela. (Añadir esta recomendación puede obligarle a incluir otras restricciones.) ¿Cuánto aumenta esto el costo total del transporte?
El consejo directivo está estudiando eliminar parte del transporte para reducir costos. La opción 1 es eliminar sólo el transporte de estudiantes que recorren entre 1 y 1.5 millas, donde el costo por estudiante se da en la tabla como 200 dólares. La opción 2 es eliminar también el transporte de estudiantes que recorren entre 1.5 y 2 millas, cuyo costo estimado por estudiante es 300 dólares. d) Corrija el modelo del inciso a) de manera que se ajuste a la opción1 y resuelva. Compare estos resultados con los del inciso b, incluyendo la reducción en el costo total de transporte. e) Repita el inciso d) para la opción 2. El consejo directivo debe ahora elegir entre los tres planes de transporte (el actual, la opción 1 o la opción 2).Un factor importante es el costo de transporte. Sin embargo, el consejo también desea poner la misma importancia a un segundo factor: los problemas de inconveniencia y seguridad que surgen cuando se obliga a los estudiantes a trasladarse a pie o en bicicleta una distancia sustancial (más de una milla y, en especial, más de 1.5 millas). Ellos desean elegir un plan que proporcione el mejor canje entre am bos factores. f) Utilice los resultados a los incisos b), d) y e) para resumir la información clave relacionada con estos dos factores que el consejo escolar necesita para tomar esta decisión. g) ¿Qué decisión considera que debe tomarse? ¿Por qué?
Desarrollo Seleccionamos las variables para el problema. AREA
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
1 2 3 4 5 6
X1 X4 X7 X10 X13 X16
X2 X5 X8 X11 X14 X17
X3 X6 X9 X12 X15 X18
Capacidad
900.0
1100.0
1000.0
Estas son las variables a las cuales el Solver tendrá que asignar un valor, de modo que se cumplan las siguientes restricciones.
La escuela 1 tiene una capacidad máxima de 900 estudiantes. La escuela 2 tiene una capacidad máxima de 1100 estudiantes. La escuela 3 tiene una capacidad máxima de 1000 estudiantes. 450 estudiantes del área 1 deben ser asignados. 600 estudiantes del área 2 deben ser asignados.
550 estudiantes del área 3 deben ser asignados. 350 estudiantes del área 4 deben ser asignados. 500 estudiantes del área 5 deben ser asignados. 450 estudiantes del área 6 deben ser asignados. El total de los estudiantes de 6to grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 1. El total de los estudiantes de 7mo grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 1. El total de los estudiantes de 8vo grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 1. El total de los estudiantes de 6to grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 2. El total de los estudiantes de 7mo grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 2. El total de los estudiantes de 8vo grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 2. El total de los estudiantes de 6to grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 3. El total de los estudiantes de 7mo grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 3. El total de los estudiantes de 8vo grado no debe superar el 30% ni ser inferior al 36% en la escuela 3.
En la primera opción el problema nos indica que se pueden dividir la asignación de las áreas. Lo que quiere decir que los estudiantes de un área pueden ser repartidos entre más de dos escuelas.
Como analista se le puede recomendar a los directivos que, obviamente traten de concentrar más estudiantes en las áreas que tienen menor costo de transporte, y disminuir el rango de alcance del servicio. A la hora de asignar los estudiantes, los porcentajes de composición de cada grado están limitando la asignación optima de los estudiantes, lo cual puede implicar un mayor costo de operación.
Para el inciso C, los directivos nos indican que las áreas no deberán ser divididas. Por lo que un área completa deberá ser asignada a una misma escuela.
Para esto transformaremos los costos de cada estudiante por año, a una tabla de costes por área al año. Los valores en rojo, son las asignaciones no factibles que nos indica el problema. Se colocó un número mucho mayor al resto para que el solver lo tome como tal. Costo de Transporte por Área Escuela 1 135000 90000000000 330000 70000 0 225000
Escuela 2 Escuela 3 0 240000 165000 175000 9E+10 135000
315000 300000 110000 9E+10 200000 0
AREA
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
TOTAL
1 2 3 4 5 6
0.00 0.00 0.00 350.00 366.67 83.33
450.00 422.22 227.78 0.00 0.00 0.00
0.00 177.78 322.22 0.00 133.33 366.67
450.00 600.00 550.00 350.00 500.00 450.00
TOTAL
800.00 <=
1100.00 <=
1000.00 <=
Capacidad
900.0
1100.0
1000.0
= = = = = =
450 600 550 350 500 450
Costo de Transporte mínimo B/.
Grado
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
6to 7mo 8vo
269.33 288.00 242.67
368.56 362.11 369.33
339.11 300.89 360.00
240
330
300
288
396
360
Por. Mínimo Por. Máximo
Para este caso se obtuvo un valor mínimo de B/. 555,553.00 en transporte, y se cumplen con todas las restricciones en el problema.
555,553.00
Para este caso, se agregan las restricciones de que sólo se puede asignar un área por escuela, quedando de la siguiente forma:
AREA
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
TOTAL
1 2 3 4 5 6
0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00
1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
TOTAL
850.00 <= 900.0
1050.00 <= 1100.0
1000.00 <= 1000.0
Capacidad
= = = = = =
1 1 1 1 1 1
Costo de Transporte Mínimo B/.
420,000.00
Esta es una tabla de asignación, por lo cual la transformamos a una tabla de número de estudiantes:
AREA
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
TOTAL
1 2 3 4 5 6
0.00 0.00 0.00 350.00 500.00 0.00
450.00 600.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.00 550.00 0.00 0.00 450.00
450.00 600.00 550.00 350.00 500.00 450.00
TOTAL
850.00
1050.00
1000.00
Capacidad
<= 900.0
<= 1100.0
<= 1000.0
= = = = = =
450 600 550 350 500 450
Grado
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
6to 7mo 8vo
293.00 310.00 247.00
366.00 339.00 345.00
318.00 302.00 380.00
255
315
300
306
378
360
Por. Mínimo Por. Máximo
En esta ocasión se obtiene un costo inferior a la opción anterior, cumpliendo con la asignación de todos los estudiantes, sin sobrepasar la capacidad máxima de cada escuela y sin dividir las áreas. Sin embargo, para este caso no fuimos capaces de encontrar una solución que respetara las restricciones de asignación porcentual para cada grado.
Ahora los directivos, nos piden probar entre dos opciones, eliminar el transporte para las estudiantes que viven entre 1 y 1.5 millas o eliminar el transporte para los que viven entre 1.5 y 2 millas. OPCIÓN 1 Eliminar el servicio de transporte para los estudiantes que viven entre 1 y 1.5 millas, dejaría nuestro problema de la siguiente forma:
Eliminar el transporte para estos rangos de distancia en nuestro modelo implica simplemente que lo que antes tenía costo de 200, ahora tiene un costo 0.
AREA
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
TOTAL
1 2 3 4 5 6
0.00 0.00 0.00 350.00 318.18 131.82
450.00 600.00 0.00 0.00 0.00 50.00
0.00 0.00 550.00 0.00 181.82 268.18
450.00 600.00 550.00 350.00 500.00 450.00
TOTAL
800.00 <= 900.0
1100.00 <= 1100.0
1000.00 <= 1000.0
Capacidad
= = = = = =
450 600 550 350 500 450
Costo de Transporte mínimo 393536.36
Grado
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
6to 7mo 8vo
266.91 285.09 248.00
383.00 353.00 364.00
327.09 312.91 360.00
239.99997
330
299.9999754
287.999964
396
359.9999705
Por. Mínimo Por. Máximo
Opción 2 Para esta opción, los transportes que antes costaban 300 ahora no tendrán ningún costo. Lo cual deja nuestro modelo de la siguiente forma:
AREA
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
TOTAL
1 2 3 4 5 6
38.71 0.00 0.00 350.00 435.58 75.81
411.29 236.56 77.96 0.00 0.00 374.19
0.00 363.44 472.04 0.00 64.52 0.00
450 600 550 350 500 450
TOTAL
900.10 <= 900.0
1100.00 <= 1100.0
900.00 <= 1000.0
Capacidad
= = = = = =
450 600 550 350 500 450
Costo de Transporte minimo 340053.760
Grado
Escuela 1
Escuela 2
Escuela 3
6to 7mo 8vo
306.04 324.03 270.03
369.75 352.25 378.00
301.25 274.75 324.00
270.0
330.0
270.0
324.0
396.0
324.0
Por. Mínimo Por. Máximo
f) Según las tres opciones estudiadas, el costo original era de B/. 555553.00. Aplicando la opción 1 se obtuvo una mejora del precio hasta B/. 393536.66 y con la opción 2 se volvió a registrar una disminución hasta B/. 340053.78. g) según los datos obtenidos los directivos deberán tomar en cuenta la opción 2 y restringir el servicio de transporte a los estudiantes que viven entre 1 y 2 millas de distancia de la escuela. Con esto tendrán una reducción de B/. 215,499.22 con respecto a la opción actual.
