Caso 3.2 Disminucion de Costos en La Cafeteria

CASO 3.2 Disminución de costos de la cafetería Una cafetería en All-State University tiene un platillo especial que sirve de mecanismo de tiempo, los jueves al mediodía. Este supuesto sabroso platillo es una cacerola de cebollas sancochadas, papas, ejotes y crema de hongos. Por desgracia, los estudiantes no aprecian la calidad especial del platillo, y con aversión lo llaman “cacerola criminal”. Sin embargo aunque sin gusto, comen el platillo los jueves porque la cafetería ofrece pocas opciones (solo la cacerola). María González, gerente de la cafetería, está intentando bajar los costos para el próximo año, y piensa que una forma segura de reducirlos, es comprar más ingredientes menos costosos, quizá de menor calidad. Como la cacerola es el platillo principal semanal de la cafetería, concluye que si puede disminuir los costos en los ingredientes comprados para hacerlo, podrá reducir de manera significativa los costos de operación de toda la cafetería. Así, decide invertir tiempo en determinar cómo minimizar los costos de la cacerola al mismo tiempo que mantiene los requerimientos nutrición y sabor. María centra su atención en la reducción de costos de los dos ingredientes principales de la cacerola, las papas y ejotes. Estos dos ingredientes corresponden los mayores costos, el contenido nutritivo y el sabor del platillo. María compra las papas y los ejotes a un distribuidor cada semana. Las papas cuestan $ 0.40 por libra, y los ejotes $ 1.00 por libra. La All-State University cuenta con requerimientos de nutrición establecidos que debe cumplir cada plato principal de la cafetería. En particular, la cantidad total del plato preparado para todos los estudiantes para una comida debe contener 180 gramos (g) de proteínas, 80 miligramos (mg) de hierro, y 1050 mg de vitamina C. (Hay 453.6 g en 1 libra y 1000 mg en 1 g.) Para simplificar la planeación, María supone que sólo las papas y los ejotes contribuyen al contenido nutritivo de la cacerola. Como ella trabaja en una universidad con tecnología de punta, está expuesta a los amplios recursos del internet. Decide navegar por la red para encontrar el contenido nutritivo de las papas y ejotes. Su investigación proporciona la siguiente información de nutrición sobre los dos ingredientes:

Proteínas Hierro Vitamina C Hay 28.35 g en 1 onza

Papas 1.5 g por 100 g 0.3 mg por 100 g 12 mg por 100 g

Ejotes 5.67 g por 10 onzas 3.402 mg por 10 onzas 28.35 mg por 10 onzas

Edson Branner, el cocinero cafetería, quien se preocupa por el sabor de manera sorprenderte, informa a María que una cacerola comestibles debe contener razón de al menos seis a cinco entre peso de las papas y ejotes. Dado el número de estudiantes que comen en la cafetería, María sabe que debe comprar suficientes papas y ejotes para preparar un mínimo de 10 kilogramos (kg) de cacerola cada semana. (Hay 1000 g en 1 kg.) De nuevo, por simplificar la operación, supone que sólo las papas y los ejotes determinar la cantidad de cacerola a preparar, pues sabe que todos los sobrantes se puede servir durante varios días posteriores o se pueden servir de modo creativo para preparar otros platillos. a) Determinar la cantidad de papas y ejotes que debe comprar María cada semana para la cacerola de manera que se minimice el costo de los ingredientes al mismo tiempo que se cumple con los requerimientos nutritivos

Antes tomar su decisión final, María planea explorar los siguientes aspectos por separado excepto donde se indique otra cosa. b) María no está muy preocupado por el sabor de la cacerola; sólo le preocupa cumplir con requerimientos de nutrición y reducir los costos. Entonces obliga a Edison a cambiar la receta a sólo una razón de al menos uno a dos entre el peso de papas y ejotes. Dada la nueva receta, determine la cantidad de papas y ejotes que debe comprar cada semana. c) María decide disminuir el requerimiento de hierro a 65 mg ya que determina que los otros ingredientes, como cebollas y crema de hongos también proporcionan hierro. Determine la cantidad de papas y ejotes que debe de comprar cada semana dado este nuevo requerimiento. d) María descubre que el distribuidor tiene superávit en los ejotes y por lo tanto, los vende a un precio menor de $0.50 por libra. Use los mismos requerimientos de hierro del inciso c y el nuevo precio de los ejotes para determinar la cantidad de papas y ejotes que debe comprar cada semana. e) María decide que quiere comprar aluvias en lugar de ejotes ya que su costo es menor y proporcionan mayor cantidad de proteínas y hierro que los ejotes. De nuevo ejerce su poder absoluto y exige a Edson que cambie la receta para que incluya aluvias en lugar de ejotes. María sabe que puede comprar las aluvias al distribuidor en $0.60 por libra. También sabe que las aluvias contienen 22.68 g de proteínas por cada 10 onzas, 6.804 mg de hierro por cada 10 onzas y nada de vitamina C. utilice este nuevo costo y el contenido nutritivo de las aluvias que María debe comprar cada semana para minimizar los costos de los ingredientes al tiempo que cumple con los requerimientos de nutrición, sabor y demanda. Los requerimientos de nutrición incluye el requerimiento reducido de hierro del inciso c. f)

¿Estará contento Edson con la solución en el inciso e? ¿Por qué?

g) Un grupo de trabajo de estudiantes de All-State se reúne durante la semana de “cuidado del cuerpo” y determina que los requerimientos de la universidad para el hierro son demasiado holgados y los de vitamina C demasiados estrictos. El grupo de trabajo pide a la universidad que adopte la política que requiere que cada porción de un plato fuerte contenga al menos 120 mg de hierro y al menos 500 mg de vitamina C. use papas y alubias como ingredientes para el platillo y los nuevos requerimientos nutritivos para determinar la cantidad de papas y aluvias que María debe comprar cada semana.

a) Queremos determinar la cantidad de papas y ejotes que debe comprar María y minimizar el costo de los ingredientes. Tenemos dos variables de decisión: una variable para representar la cantidad (en libras) de patatas y una variable para representar la cantidad (en libras) de ejotes que María debe comprar. También tenemos limitaciones sobre la nutrición, el sabor y el peso. Restricciones de Nutrición 1. Primero tenemos que garantizar que el platillo tiene 180 gramos de proteína. Se nos dice que 100 gramos de patatas tienen 1,5 gramos de proteína y 10 onzas de ejotes tiene 5.67 gramos de proteína. Puesto que hemos decidido medir nuestros variables de decisión en libras, sin embargo, es necesario determinar los gramos de proteína en una libra de cada ingrediente. Conversión de proteínas en cuanto las papas

 1 lb    0.220459 lb de papas.  453.6 g 

100g de papas 

1.5 g de proteinas 6.804 g de proteina  0.22046 lb de papas 1 lb de papas

Conversión para los ejotes en proteinas

 28.35 g    283.5 g de ejotes  1 oz   1 lb  283.5g de ejotes    0.625 lb de ejotes  453.6 g  10 oz de ejotes 

5.67 g de proteinas 9.072 g de proteina  0.625 lb de ejotes 1 lb de ejotes El total de gramos de la proteina en las papas y los ejotes que maria puede comprar para la cacerola debe ser mayor o igual a 180 gramos Conversión de hierro de las papas

 1 lb    0.220459 lb de papas.  453.6 g 

100g de papas 

0.3mg de hierro 1.3608mg de hirro  0.22046 lb de papas 1 lb de papas Conversión para los ejotes en hierro

 28.35 g    283.5 g de ejotes  1 oz   1 lb  283.5g de ejotes    0.625 lb de ejotes  453.6 g  10 oz de ejotes 

3.402 mg de hierro 5.4432mg de hierro  0.625 lb de ejotes 1 lb de ejotes El total de gramos del hierro en las papas y los ejotes que Maria puede comprar para la cacerola debe ser mayor o igual a 80 miligramos Conversión de vitamina C de las papas

 1 lb    0.220459 lb de papas.  453.6 g 

100g de papas 

12mg de vitamina C 54.431mg de vitamina C  0.22046 lb de papas 1 lb de papas Conversión en vitamina C para los ejotes

 28.35 g    283.5 g de ejotes  1 oz   1 lb  283.5g de ejotes    0.625 lb de ejotes  453.6 g  10 oz de ejotes 

28.35 mg de vitamina C 45.36 g de vitamina C  0.625 lb de ejotes 1 lb de ejotes El total de gramos del vitamina C en las papas y los ejotes que Maria puede comprar para la cacerola debe ser mayor o igual a 1050 miligramos Debe contener razón de al menos seis a cinco entre peso de las papas y ejotes. X1 cantidad de papas X2 cantidad de ejotes

Minimizar Z  sujeto a

0.4 X 1



X2

 6.804  X1



 9.072  X 2



1.3608 X 1  54.432  X 1  5 X 1

   

 5.4432  X 2  45.36  X 2 6 X 2

 80  1050  0  22.046

X1

X2

costo por (lb)

180

proteinas (g) hierro (mg) vitamina C (mg) sabor cantidad (lb)

Al resolver el modelo en Mathematica 8 obtenemos que María debe comprar 13.5667 libras de papas y 11.3056 libras de ejotes para obtener un costo mínimo de $ 16.73 Resolviendo con Lingo 12.0

Evaluando:

En WinQSB 2 tenemos

Método grafico

b) cambio de restriccion con respecto al sabor. La nueva restriccion es:

libras de papas 1  libras de ejotes 2 2(libras de papas) > 1(libras de ejotes) Utilizamos el P.L. de a), obteniendo la siguiente P.L.

Minimizar Z  sujeto a

0.4 X 1



X2

 6.804  X1



 9.072  X 2



1.3608 X 1  54.432  X 1  2 X 1

   

 5.4432  X 2  45.36  X 2 1 X 2

 80  1050  0  22.046

X1

X2

costo por (lb)

180

proteinas (g) hierro (mg) vitamina C (mg) sabor cantidad (lb)

Al resolver el modelo en Mathematica 8 obtenemos que María debe comprar 10.2881 libras de papas y 12.1252 libras de ejotes para obtener un costo mínimo de $ 16.2404

Resolviendo

Método grafico

c) aquí soloharemos el cambio de la restriccion del hierro de 80mg a 65mg y las demas restricciones como la funcion objetivo quedan de la misma forma que a), haciendo dicho cambio tenemos lo siguiente:

Minimizar Z  sujeto a

0.4 X 1



X2

 6.804  X1



 9.072  X 2



1.3608 X 1  54.432  X 1  5 X 1

   

 5.4432  X 2  45.36  X 2 6 X 2

 65  1050  0  22.046

X1

X2

costo por (lb)

180

proteinas (g) hierro (mg) vitamina C (mg) sabor cantidad (lb)

Al resolver el modelo en Mathematica 8 obtenemos que María debe comprar 15.7995 libras de papas y 7.99162 libras de ejotes para obtener un costo mínimo de $ 14.3114 Resolviendo en WinQSB 2.0 tenemos:

Resolviendo

Método grafico

d) Las necesidades de hierro siguen siendo las mismas 65 mg. Solo tenemos que cambiar el precio de los ejotes de $1.00 a $0.50 por libra, se siguen manteniendo los mismos valores que en a) solo cambiando el precio de los ejotes por libra y la cantidad de hierro en mg. Asi obtenemos el siguiente P.L.

Minimizar Z  sujeto a

0.4 X 1



0.5 X 2

 6.804  X1



 9.072  X 2



1.3608 X 1  54.432  X 1  5 X 1

   

 5.4432  X 2  45.36  X 2 6 X 2

 65  1050  0  22.046

X1

X2

costo por (lb)

180

proteinas (g) hierro (mg) vitamina C (mg) sabor cantidad (lb)

Al resolver el modelo en Mathematica 8 obtenemos que María debe comprar 12.5313 libras de papas y 10.4428 libras de ejotes para obtener un costo mínimo de $ 10.2339 Resolviendo en WinQSB 2.0

La solución es

Método grafico

e) aun mantenemos 2 variables de decisión: una que representa la cantidad (en libras) de papas y otra de variable que representa la cantidad (en libras) de aluvias que Maria debe comprar. Tenemos que determinar los gramos de proteína y una libra de aluvias, con lo que realizamos la siguiente conversión:

22.68 g de proteinas 36.288 g de proteina  0.625 lb de aluvias 1 lb de aluvias Ahora determinamos los miligramos de hierro en una libra de aluvias, hacemos la siguiente conversion:

6.804mg de proteinas 10.8864mg de hierro  0.625 lb de aluvias 1 lb de aluvias Las aluvias no contienen vitamina C, asi que no tenemos conversion de vitamina C. Cambiamos la variables de decision de los ejotes por las aluvias e insertamos los parametros para la nueva proteina, hierro, vitamina C, y el costo. Las formulas de ajuste y la solucion son las siguientes:

Minimizar Z  sujeto a

0.4 X 1



0.6 X 2

 6.804  X1



 36.288 X 2



1.3608 X 1  54.432  X 1  5 X 1

   

10.8864  X 2 0 X 2  6 X 2

 65  1050  0  22.046

X1

X2

costo por (lb)

180

proteinas (g) hierro (mg) vitamina C (mg) sabor cantidad (lb)

Al resolver el modelo en Mathematica 8 obtenemos que María debe comprar 19.2901 libras de papas y 3.55949 libras de aluvias para obtener un costo mínimo de $ 9.85174 Resolviendo en WinQSB

Solucionando:

Metodo grafico:

f) No, porque cambiaria la receta de los ingredientes de la original ejotes por aluvias, ademas de que quedaria en desproporcion con respectos a las papas , cambiaria el sabor. g) solo necesitamos cambiar los valores de restricciones del hierro y la vitamina C, con locual obtendriamos lo siguiente y seguimos manteniendo algunas restricciones de la parte a), asi tenemos:

Minimizar Z  sujeto a

0.4 X 1



0.6 X 2

 6.804  X1



 36.288 X 2



1.3608 X 1  54.432  X 1  5 X 1

   

10.8864  X 2 0 X 2  6 X 2

 120  500  0  22.046

X1

X2

costo por (lb)

180

proteinas (g) hierro (mg) vitamina C (mg) sabor cantidad (lb)

Al resolver el modelo en Mathematica 8 obtenemos que María debe comprar 12.5978 libras de papas y 9.4482 libras de aluvias para obtener un costo mínimo de $ 10.708 En WinQSB 2:

Solucinando:

Metodo grafico:

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FES ACATLÁN

CASO PRÁCTICO PROGRAMACIÓN LINEAL CASO 3.2 DISMINUCIÓN DE COSTOS EN LA CAFETERÍA

Mtra. Virginia Haro Sánchez Materia: Optimización Lineal

Espinal Mario Medrano Pérez Antonio Ortiz Hernández Iliana

Grupo: 2451 Marzo 7, 2011 Febrero