STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Capítulo 5: Flujo viscoso: tuberías y canales Ejercicio 5-1
Determínense las fórmulas del esfuerzo cortante sobre cada placa y para la distribución de velocidad para el flujo de la figura, cuando existe un gradiente de presión adversa tal que Q = 0.
U a
py
(+(d/dl) y)l
lysen l
(p+(dp/dl)l)y
l d l l
ly
u
y
Resolución
q
Por otro lado u
p h a 3 0 2 12 l 1 Ua p h a 3 2 12 l U 6 p h l a2 Ua
Uy
p h ay y 2 2 l 1
a
1
reemplazando u
Uy a
1 U 6 2
a
ay y 2
2
y y 2 u 3U 2 a a a Uy
u
derivando respecto a y obtengo du dy
2U
a
y
2U
a
3U
a
2
y 2
6U
a2
y
El esfuerzo de corte será
= – 2U + 6Uy 2
a
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
a
1
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Ejercicio 5-2
En la figura siendo U positivo como se muestra, encuéntrese la expresión para d(p + h)/dl de modo que el corte sea cero en la placa fija. ¿Cuál es la descarga en este caso?
U a
py
(+(d/dl) y)l
lysen l
(p+(dp/dl)l)y
l
ly
d l
u
y
Resolución
p h ay y 2 2 l a 1 1 Uy p hay p h y 2 u 2 l 2 l a u
derivando respecto a y obtengo du U dy
a
Uy
1
1 p ha p h y l 2 l 1
El esfuerzo de corte es
du dy
entonces
Valuado en y = 0, tenemos
U a
y 0
p h a p h y l 2 l
1
despejando 2
U a2
U a
p h a 0 2 l
1
p h l
reemplazando u
El caudal será
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
U a
2
2
y
2
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
q
a
a
0
0
U
udy 2 y 2 dy q
U
3
a
a
Ejercicio 5-3
En la figura siendo U = 0,7 m/s. Encuéntrese la velocidad del aceite llevado a la cámara de presión por el pistón, la fuerza cortante y fuerza total F que actúan sobre el pistón.
150 mm
0,15 MPa
U F
50 mm diám.
= 1 poise
e = 0,05 mm Resolución
u
U a
y
p h ay y 2 2 l 1
además
p 0,15MPa 0,00MPa N p h 1,00 10 6 3 0,15m l l m reemplazando m 0,70
u
s
5,00 10
5
m
1
y 2 1,00
u
g cms
1000,00 g
400,00
1
s
100,00cm
1
s
ms
5,00 10
1
1
s
ms
400,00 y 20,00 10 6 1,00 10
5
u
6
N m
3
5,00 10
5
m y y 2
1,00 m
1
1400,00 y 20,00 10 6 u
u
1,00kg
1,00 10
m 20,00 10 6
200,00
1
ms
5
m y y 2
y2
1,00 10 m 5
2
m s
El esfuerzo de corte será
du dy
entonces
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
3
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
du dy
1,00
kg ms
AÑO 2007 1
kg
s
ms
10,00 1 400,00 1,00
10,00 1 10,00 10 6
1
ms
5
1,00 10 m
25,00 Pa
La fuerza total será F T
AC pAT 25,00 Pa 0,05m 0,15m 0,15 x10 6 Pa 0,5m 2 4
294,90 N
F T Ejercicio 5-4
Determínese la fuerza sobre el pistón de la figura debido al corte, y la fuga de la cámara de presión para U = 0.
150 mm
0,15 MPa
U F
50 mm diám.
= 1 poise
e = 0,05 mm Resolución
F C
AC 25,00 Pa 0,05m 0,15m F C
0,59 N
El caudal será q
p h a 3 12 l 1
reemplazando q
1 12 0,10
kg
1,00 10
6
N m3
5,00 10
5
m
3
1,042 10
7
m2 s
ms
Q Dq
0,05m 1,042 10 Q 1,636 10
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
4
8
7
m2 s
m3 s
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Ejercicio 5-27
Calcúlese el diámetro del tubo vertical necesario para el flujo de un líquido a R = 1400 cuando la presión permanece constante y = 1,5 m2/s. Resolución
A partir de Hagen–Poiseuille Q
p D 4
128 L
p D 4
vA v
D
4
128 L
p D 4
2
128 L
pD 2
v
32 L
Además Re
vD
1400
entonces 1400
v
D
reemplazando 1400
D 1400
pD 2 32 L
pD 3
2
32 L
Además como el tubo es vertical
p reemplazando
L
g
1400
gD
44800
D 3
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
32
2
gD 3 2
2
3
2
1
2
gD 3
44800
g
5
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
2 6 m 1,50 10 s D 3
9,806
D
2
44800
m
s 2
2,17 mm
Ejercicio 5-28
Calcúlese la descarga del sistema de la figura despreciando todas las pérdidas excepto las del tubo.
= 55 lb/ft³
t f 0 2 t f 6 1
1 4 in
diám.
= 0.1 Poise
Resolución
= 55 lb/ft³
1 t f 0 2
t f 6 1
1 4 in
diám.
2
= 0.1 Poise
Datum
La pérdida de carga entre 1 y 2 será P 1
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
h1
6
P 2
h2
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
reemplazando P 1
P 2
h1
P 1 P 2
h1
donde P 1 P 2
h
entonces
P ahora
P 1
P 2 h
h h1 h h1 P h L L
reemplazando
P h
55,00
lb ft 3
4,00 ft 16,00 ft 68,75
16,00 ft
lb ft 3
Al sustituir en la ecuación de Hagen–Poiseuille Q
p D 4 128 L 4
1,00 ft 1 68,75 3 in 12,00in ft 4 ft 3 Q 0,00152
lb
1,00 128 0,10 Poise
Q
slug
s
ft s
479 Poise
0,00152
ft 3 s
Ejercicio 5-29
En la figura, H = 24 m, L = 40 m, = 30 º, D = 8 mm, = 10 kN/m3 y = 0,08 kg/ms. Encuéntrese la pérdida de carga por unidad de longitud del tubo y la descarga en litros por minuto.
D H
L
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
7
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Resolución
La pérdida de carga entre 1 y 2 será H P h L
reemplazando
10
kN
24,00m
3 kN P h m 6,00 3 40,00m m kN P h 6,00 3 m
La descarga será a partir de Hagen–Poiseuille Q 6,00
Q
p D 4 128 L
kN 1000,00 N m
3
1,00kN
128 0,08
Q 7,54 10
6
m3 s
60,00 s 1,00m
0,008m 4
kg m s
1000,00dm 1,00m
Q 0,45
3
3
0,45
dm 3 min
dm 3 min
Ejercicio 5-30
En la figura y problema anterior encuéntrese H si la velocidad es 0,1 m/s.
D H
L
Resolución
A partir de Hagen–Poiseuille Q
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
p D 4 128 L
8
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
vA v
4
D
2
v
p D 4 128 L
p D 4
128 L
pD 2 32 L
Además
P H P h L L
reemplazando
v
HD
2
32 L
despejando H kg
32 0,08
H 10,00
32 Lv D
40,00m 0,10
m s kN 1000,00 N m3
2
1,00kN
m s
0,008m
16,00m
2
H 16,00 m Ejercicio 5-63
¿Qué diámetro para un tubo limpio de hierro galvanizado tiene el mismo factor de fricción para R = 100000 que un tubo de hierro fundido de 300 mm de diámetro ? Resolución
Para el tubo de hierro fundido tenemos Re
VD1
100000
Suponiendo que el fluido es agua, entonces = 1,00 x 10-5 entonces 2 6 m 100000 1,00 10 Re s 0,33 m V 0,3m D1 s 5 Ingresando al ábaco de Moody para Re = 100000 = 1,00 x 10 obtenemos f 0,0215 A partir de la ecuación de Colebrook f
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
1,325
5,74 ln 0 , 9 D 3 , 7 R e
9
2
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
f
1,325 0,9 5,74 0,9 0,9 ln 3 , 7 D v D
2
iteramos hasta encontrar D 2, esto es 5.74v
D
5.74v0,9 0,9D0,9
0,00002 0,00002 0,00002 0,00002
0,5359 0,4054 0,3720 0,4384
0,0000 0,0001 0,0001 0,0001
0,9
D 0,1500 0,1100 0,1000 0,1200
0,9 0,9
/3,7D
0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
0,0003 0,0004 0,0004 0,0003
3,7 D
5,74
0, 9
0, 9
0 ,9
v D 0,0003 0,0004 0,0005 0,0004
ln ()
[ln ()]2
f
-8,0696 -7,7636 -7,6696 -7,8495
65,1182 60,2735 58,8220 61,6140
0,0203 0,0220 0,0225 0,0215
Finalmente D 120mm Ejercicio 5-67
Se va a bombear agua a 20 ºC en 1 km de tubo de hierro forjado con 200 mm de diámetro a la velocidad de 60 L/s. Calcúlese la pérdida de carga y la potencia requerida. Resolución
Re
VD
Q D
Q D
A
D
2
4Q D
4
reemplazando
Re
4Q D
4 60,00
dm 3 s
1,00m
3
1000,00dm
0,20m 1,00 10 6
m2
3
381971,86
s Como Re es mayor que 5000 se puede aplicar la ecuación de Colebrook, entonces f
1,325
5,74 ln 0 , 9 3 , 7 D R e
2
donde para el hierro forjado = 0,046 mm, reemplazando f
1,325
0,046mm 5,74 ln 3,7 200mm 381971,86 0,9 f 0,016
2
Por la fórmula de Darcy-Weisbach a pérdida de carga será L v 2 h f f D 2 g
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
10
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
h f h f
f
L Q 2 1
D A 2 2 g
f
Q2
L
1 2
D D 2 2 g
h f
4
16 LQ
f
2
2
D 5 2 g
reemplazando
h f
3 dm 3 1,00m 16 1000,00m 60,00 3 s 1000 , 00 dm 0,016
2
0,20m 5 2 9,806
h f
La potencia requerida será
2
m
s 2
15,02m
P Qh
reemplazando P 9806,00
N m3
m3
0,06
s
15,02m
P 8836,50Watt Ejercicio 5-83
¿Qué medida de tubo hierro fundido nuevo se necesita para transportar 400 L/s de agua a 25 ºC un kilómetro con pérdida de carga de 2 m? Úsese el diagrama de Moody y la ecuación (5.8.18) Resolución
Proponemos un diámetro, calculamos el número de Reynolds, luego el factor de fricción a través del gráfico de Moody o la ecuación de Colebrook y lo verificamos calculando la pérdida de carga con la ecuación de Darcy-Weisbach. D
Q
Re
5.74 Re0,9
/3,7D
0,500 0,600 0,620 0,640 0,650 0,645 0,643
0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40
0,0000009 0,0000009 0,0000009 0,0000009 0,0000009 0,0000009 0,0000009
1131768,48 943140,40 912716,52 884194,13 870591,14 877339,91 880753,68
0,00002 0,00002 0,00002 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003
0,00025 0,00025 0,00025 0,00025 0,00025 0,00025 0,00025
0,00014 0,00011 0,00011 0,00011 0,00010 0,00010 0,00011
3,7 D
5,74 0.9
Re
0,00016 0,00014 0,00013 0,00013 0,00013 0,00013 0,00013
ln ()
[ln ()]2
f
hf
-8,77 -8,90 -8,92 -8,94 -8,95 -8,94 -8,94
76,88 79,17 79,55 79,92 80,09 80,00 79,96
0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
7,29 2,85 2,40 2,04 1,89 1,96 2,00
D 643mm
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
11
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Utilizando la ecuación (5.8.18) tenemos 5,2 LQ 2 4.75 L 1.25 9.4 Q D 0.66 gh f gh f
0 , 04
reemplazando 4.75 2 3 5, 2 m 1000,00m 0,40 9. 4 2 3 s 1000,00m m 6 m 1.25 0.40 D 0.660.00025m 1,00 10 m m s s 9,806 2 2,00m 9,806 2 2,00m s s
D
0,654m
D 654mm Ejercicio 5-90
Calcúlese el valor H de la figura para 125 L/s de agua a 15 ºC en un tubo de acero comercial. Inclúyanse las pérdidas menores.
H
30 m 30 cm diám
Resolución
H
Datum
1
30 m 30 cm diám
2
Planteando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos 2 P 1 v1 P 2 v22 z 1 z 2 h f 2 g 2 g reemplazando y despejando
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
12
CAPÍTULO 5
0, 04
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007 2 v2 L K b f K s D 2 g v 22 L H K b f K s D 2 g
P 1
P 2
El número de Reynolds será
Re
4Q D
4 125,00
dm 3 s
1,00m 3 1000,00dm
3
530516,48
0,30m 1,00 10 6
como es mayor a 5000 se puede utilizar la ecuación de Colebrook f
1,325
5,74 0,9 ln 3,7 D Re
2
reemplazando f
1,325
4,60 10 5 m 5,74 ln 0 , 9 3 , 7 0 , 30 m 530516 , 48
2
0,015
reemplazando en L Q2 H K b f K s 2 D A 2 g 2 8Q L H K b f K s 2 4 D D g
obtenemos 2
m 3 8 0,125 s 30,00m H 0,50 0,015 1,00 0,30m 2 0,30m 4 9,806 m s 2
H 0,48m Ejercicio 5-94
Una línea de agua que conecta dos depósitos a 70 ºF tiene 5000 ft de tubo de acero de 24 in de diámetro, tres codos estándar, una válvula de globo y un tubo de alimentación con reentrada, ¿Cuál es la diferencia de alturas de los depósitos para 20 ft 3/s? Resolución
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
13
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
1 H
2
Datum
Válvula de globo
Planteando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos 2 P 1 v1 P 2 v 22 h1 h2 Hp 2 g 2 g reemplazando y despejando v 22 L H K e f 3 K c K v K s D 2 g El número de Reynolds será ft 3 4 20,00 4Q s Re 1157490,49 2 D 1,00 ft ft 24,00in 1,10 10 5 12,00in s como es mayor a 5000 se puede utilizar la ecuación de Colebrook f
1,325
5,74 0,9 ln 3,7 D Re
2
reemplazando f
1,325
0,00015 ft 5,74 ln 3,7 2 ft 1157490,49 0,9
2
0,013
reemplazando en 2 8Q L H K e f 3 K c K v K s 2 4 D D g
obtenemos
H 0,80 0,013
5000,00 ft 2,00 ft
ft 3 8 20,00 s
2
3 0,90 10 1 ft 4 2 2,00 ft 32,174 s 2
H 29,50 ft
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
14
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Ejercicio 5-98
Encuéntrese H de la figura para 200 gpm de flujo de aceite, = 0,1 P, = 60 lb/ft3 para la válvula en ángulo totalmente abierta.
H
Válvula angular
210 ft 3 in diám Tubo de acero
Resolución 1
H
Válvula angular
210 ft 3 in diám Tubo de acero 2
Datum
Planteando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos 2 P 1 v1 P 2 v 22 h1 h2 Hp 2 g 2 g reemplazando y despejando v 22 L H K e f K v K s D 2 g El número de Reynolds será
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
15
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
4 200,00
Re
4Q D
gal min
1,00
ft 3
448,83
slug s 1,94 3 gal ft
3,00in
1,00 ft 12,00in
min 1,00
0,10 Poise
slug
21088,97
ft s
479 Poise
como es mayor a 5000 se puede utilizar la ecuación de Colebrook f
1,325
5,74 0,9 ln 3,7 D Re
2
reemplazando f
1,325
0,00015 ft 5,74 ln 3,7 0,25 ft 0 ,9 21088 , 97
2
0,027
reemplazando en 2 8Q L H K e f K v K s 2 4 D D g
obtenemos 2
ft 3 1,00 gal s 8 200,00 gal min 448,83 210,00 ft min H 0,50 0,027 5,00 1,00 ft 0,25 ft 4 2 0,25 ft 32,174 s 2
H 37,29 ft Ejercicio 5-104
El sistema de bombeo de la figura tiene una curva de descarga-carga de la bomba H = 40 – 24Q 2 con la carga en metros y la descarga en metros cúbicos por segundo. Las longitudes de los tubos incluyen corrección para pérdidas menores. Determínese el flujo del sistema en litros por segundo. Para una eficiencia de bombeo del sistema de 72 % determínese la potencia requerida. La bomba requiere una carga de succión de por lo menos 1/2 atm, para evitar la cavitación. ¿Cuál es la descarga máxima y potencia requerida para alcanzar este máximo?
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
16
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
El = 31 m
Agua 20 ºC
0 m 5 0
El = 1 m 200 m 500 mm diám- Acero
m 0 m 0 4
r o c e A m d i á
P
Pump. Elev. = 0
Resolución
Planteando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, tenemos 2 P 1 v1 P 2 v 22 h1 H B h2 Hp 2 g 2 g reemplazando h1 H B h2 Hp
L1 v12 L2 v 22 f 2 h1 h2 H B f 1 D 1 2 g D2 2 g Por la ecuación de continuidad
L1 8Q 2 L2 8Q 2 4 f 2 4 h1 h2 H B f 1 D 1 D1 g D2 D2 g L1 8Q 2 L2 8Q 2 2 4 f 2 4 h1 h2 40 24Q f 1 D1 D1 g D2 D2 g L 8 2 L2 8 24 h1 h2 40 f 1 1 f Q 4 2 D D 4 g D D g 2 2 1 1 h1 h2 40 Q L1 8 L2 8 24 f f 1 4 2 4 D D D g D g 1 2 1 2 Para encontrar f debemos proponer un caudal, encontrar el número de Reynolds, calcular f por la ecuación de Colebrook, luego se calcula el caudal y se verfica el número de Reynolds. Q [m3/s] 1,0000 0,2200 0,2100 0,2095
Re1 2546479,11 560225,40 534760,61 533487,37
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
Re2 3183098,89 700281,76 668450,77 666859,22
17
f 1 0,0126 0,0142 0,0143 0,0143
f 2 0,0129 0,0141 0,0142 0,0142
Q [m3/s] 0,2193 0,2099 0,2095 0,2095
CAPÍTULO 5
STASSI, MAURO JOSÉ
AÑO 2007
Q 209,5
La potencia será
dm 3 s
P Qh
reemplazando P Q 40 24Q 2
P Q 40 24 Q 3 P 40 1000,00
kg m3
0,72 0,2095
m3 s
m 3 24 1000,00 3 0,72 0,2095 s m kg
3
P 5,87 kWatt
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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CAPÍTULO 5
