Desviación estándar
= 157.8
8.
La Downtown Parking Authority, de Tampa, Florida, reportó los siguientes datos de una muestra de 250 clientes relacionados con el número de horas que se estacionan los automóviles y las cantidades que pagan.
a)
la información del número de horas de estacionamiento en una distribución de probabilidad. ¿Es una distribución de probabilidad discreta o continua? Es una probabilidad discreta Determine la media y la desviación estándar del número de horas de estacionamiento. ¿Qué respondería si se le pregunta por el número de horas que se estaciona un cliente normal? Calcule la media y la desviación estándar del pago. Parte B Media
b) c)
] = ∑ [ 20+76+159+180 +200+78+35+288 = 250 = 4.14 4 ℎ 14 = ∑ [ 1] = 197,192 +174,0248+68,8788+0,882249+29,584+44,9749+40,898+536,38 = 4,3888 = 2,094
Varianza
Desviación estándar
Parte C Media
Varianza
= ∑[] = 3+12+27+48 =+70+96+126+160 542 = ∑[ ] = = 5310.81 28204732
Desviación estándar
= = .
10. En una situación binomial, eventos usando la fórmula binomial. a) X=1 b) X=2 Parte A
Determine las probabilidades de los siguientes
= 5 , = 0. 4 0 , = 1 − = ∁ 1 = 1 = 5∁10.41 0.4− = 1 = 0.2592 = 5 , =1 0.40 ,−= 2 =∁ = 2 = 5∁20.410.4− = 2 = 0.3456 = = .
Parte B
12. Suponga que existe una distribución binomial en la que a) Consulte el apéndice B.9 y elabore una lista de probabilidades para valores de x de 0 a 5 b) Determine la media y la desviación estándar de la distribución a partir de las definiciones generales de las fórmulas (6-1) y (6-2). Parte A x/ 0.30
0
0.028
1
0.121
2
0.233
3
0.267
4
0.200
5
0.103
Parte B Media
Varianza
= ∑[] = 0+0.121+0.466 +0.801+0.4 +0.515 = 2.303 = ∑[ ] = =
0.1485+0.2054+0.02139+0.1297+0.5759+0.7492 1.8300
Desviación estándar
= 1.35. 14. El Servicio Postal de Estados Unidos informa que 95% de la correspondencia de primera clase dentro de la misma ciudad se entrega en un periodo de dos días a partir del momento en que se envía. Se enviaron seis cartas de forma aleatoria a diferentes lugares. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las seis lleguen en un plazo de dos días?
b) c) d)
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco lleguen en un plazo de dos días? Determine la media del número de cartas que llegarán en un plazo de dos días. Calcule la varianza y la desviación estándar del número de cartas que llegarán en un plazo de dos días. Parte A
Parte B
= 6 , = 0. 9 5 , = 6 − 1 = ∁ = 6 = 6∁60.9510.95− = 6 = 0.7350 , = 0.91 5 , = 5− ==6∁ 10.95− = 5 = 6∁50. 9 5 = 5 = 0.2321
Parte C Media
= ∑[] = 0+0+0+0.14926 +1. 1 6+4.41 = 0.97 Parte D Varianza
= ∑[ ] = = 1.389 1.93
Desviación estándar
16. Un agente de telemarketing hace seis llamadas por hora y es capaz de hacer una venta con 30% de estos contactos. Para las siguientes dos horas, determine a) la probabilidad de realizar exactamente cuatro ventas b) la probabilidad de no realizar ninguna venta; c) la probabilidad de hacer exactamente dos ventas d) la media de la cantidad de ventas durante un periodo de dos horas Parte A
Parte B
Parte C
= 6 , = 0. 3 , = 4 − 1 = ∁ 10.3− = 4 = 6∁40. 3 = 4 = 0.0595 = =6 ,∁ = 0.3,1 = 0 − = 0 = 6∁00.310.3− = 0 = 0.1176 = =6 ,∁ = 0.3,1 = 2 − = 2 = 6∁20.310.3−
= 2 = 0.3241 Parte D Media
= ∑[] = 0.11760+ 46 0.30251+0.32412 +30.18522+0.05954 +0.01025+7,2910^ = 1.8012 18. Se reporta que 16% de los hogares estadounidenses utilizan exclusivamente un teléfono celular como servicio telefónico. En una muestra de ocho hogares, encuentra la probabilidad de que: a) Ninguno use un celular como su servicio exclusivo. b) Cuando menos uno use sólo el celular. c) Cuando menos cinco usen el celular. Parte A
Parte B
Parte C
= 8 , = 0. 1 6 , = 0 − 1 = ∁ 10.16− = 0 = 8∁00. 1 6 = 4 = 0.3512 = 8 ,≥=1 0.1=6 1 , = 1,2,3=,40,5,6,7,8 ≥ 1 = 10.3512 ≥ 1 = 0.6487 = 8 , = 0. 1 6 , = 5, 6 , 7 , 8 ≥ 5 = =−5+ = 6 − + = 7+ = 8 − − ≥ 5 = 3.4810 +≥3.5 3110 + 1. 8 010 + 4. 2 910 − = 3.8210 = = .
20. En una distribución binomial siguiente eventos. a) X=5 b) c) Parte A
Determine las probabilidades de los
≤≥
= 12 , = 0. 6 , = 5 − = ∁ 1 1 0.6− = 5 = 12∁50. 6 = 5 = 0.100 = 12 , = 0. 6 , = 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ≤ 5 = = 0 +− = 1+ = 2+− = 3+ = 4 + = 5 − ≤ 5 = 1.67710 + 3.0 110≤ 5 +=2.0.4910 +0. 0 124+0. 0 420 +0. 1 00 1572 = 8=,12=,0.=160.,6 =,5,=66,7,8 ≥ 6 = 1 = 0+ =1+ = 2+ = 3 + = 4+ = 5 ≥ 5 = 0.8427
Parte B
Parte C
22. Un fabricante de marcos para ventanas sabe, por experiencia, que 5% de la producción tendrá algún tipo de defecto menor, que requerirá reparación. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 20 marcos:
a) b) c)
ninguno requiera reparación? por lo menos uno requiera reparación? más de dos requieran reparación? Parte A
Parte B
==20∁ , = 0.01 5 , = − 0 = 0 = 20∁00.051 0.05− = 0 = 0.3584 = ≥201 ,==1 0.05 , == 1,02,3,…,2 ≥ 1 = 1 0.3584 ≥ 1 = 0.6415
0
Parte C
= 20 , = 0. 0 5 , = 2,3,…,2 ≥ 2 = 1 = 0+ = 1 ≥ 2 = 10.3584 ≥ 2 = 0.6416
0
+1.90x10^-25 )
24. Se afirma que 80% de los autos que se aproximan a una caseta individual de peaje en Nueva Jersey están equipados con un transponder E-ZPass. Encuentre la probabilidad de que en una muestra de seis autos: a) Todos tendrán transponder. b) Cuando menos tres tendrán transponder. c) Ninguno tendrá transponder. Parte A
Parte B
= 6 , = 0. 8 , = 6 = ∁ 1− = 6 = 6∁60.810.8− = 6 = 0.2621 = 6 , = 0. 8 , = 3, 4 , 5 , 6 ≥ 3 = = 3+ = 4+ = 5+ = 6 ≥ 3 = ≥ 3 = 0,982 0.08192+0.2457+0.3932+0.2621
Parte C
= 6 , = 0. 8 , = 0 = ∁ 1− = 0 = 6∁00.810.8− = 0 = 6.410−
26. Una población consta de 15 elementos, 10 de los cuales son aceptables. En una muestra de 4 elementos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean aceptables? Suponga que las muestras se toman sin reemplazo
= 15; = 10; = 4 ; = 3 = 3 = 10∁31510∁43 15∁4 1 205 = 3 = 1365 = 3 = 4910 = 0.439
28. El departamento de sistemas de computación cuenta con ocho profesores, de los cuales seis son titulares. La doctora Vonder, directora, desea formar un comité de tres profesores del departamento con el fin de que revisen el plan de estudios. Si selecciona el comité al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los miembros del comité sean titulares? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un miembro del comité no sea titular? Parte A
Parte B
= 8; = 6; = 6∁386∁3 3 ; = 3 3 = 3 = 8∁3 = 3 = 201 56 5 = 3 = 14 = 0.356 = ≥8;1 ==6; == 1+ 3 ; = 1 = 2+ = 3 6∁31 + 6∁286∁32 + 6∁386∁33 ≥ 1 = 6∁188∁3 8∁3 8∁3 ≥ 1 = 283 + 1528 + 145 ≥ 1 = 1
30. El juego de Lotto, patrocinado por la Comisión de la Lotería de Louisiana, otorga el premio mayor a un concursante que hace coincidir 6 de los posibles números. Suponga que hay 40 pelotas de ping-pong numeradas del 1 al 40. Ca da número aparece una sola vez y las pelotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. a) La comisión informa que la probabilidad de que coincidan todos los números es de 1 en 3 838 380. ¿Qué significa esto en términos de probabilidad? b) Aplique la fórmula de la distribución de probabilidad hipergeométrica para determinar esta probabilidad. La comisión de la lotería también otorga un premio s i un concursante hace coincidir 4 o 5 de los 6 números ganadores. Sugerencia: Divida los 40 números en dos grupos: números ganadores y no ganadores. c) Calcule la probabilidad, de nuevo con la fórmula de la distribución de probabilidad hipergeométrica, para hacer coincidir 4 de los 6 números ganadores. d) Calcule la probabilidad de que coincidan 5 de los 6 números ganadores.
Parte A Significa que el resultado puede salir una vez mínimo entre una población de 3838380 Parte B
= 40; = 6; = 6 ; = 6
Parte C
Parte D
= 6 = 6 ∁6406∁66 40∁6 11 = 6 = 3838380 1 = 6 = 3838380 = 40; = 6; = 66∁4406∁64 ; = 4 = 4 = 40∁6 15561 = 4 = 3838380 8415 = 4 = 3838380 = 40; = 6; = 66∁5406∁65 ; = 5 = 5 = 40∁6 634 = 5 = 3838380 204 = 5 = 3838380 ==? ≤> ?? =2
32. En una distribución de Poisson, a) ¿Cuál es la probabilidad de que x b) ¿Cuál es la probabilidad de que x c) ¿Cuál es la probabilidad de que x Parte A
==4
Parte B
==4
Parte C
==4
− 4 = 2 = 2! = 2 = 0.1465 = 14.6% ≤2
≤ 2 = = 0+ = 1 + = 2 ≤ 2 = 40!− + 41!− + 42!− ≤ 2 = 0.2381 = 23.81% >2
> 2 = 1 = 1 + = 0 > 2 = 1 40!− + 41!− > 2 = 0.9084 = 90.84% 34. Un promedio de 2 automóviles por minuto llegan a la salida de Elkhart de la aut opista de Indiana. La distribución de llegadas se aproxima a una distribución de Poisson a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún automóvil llegue en un minuto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos llegue un automóvil en un minuto? Parte A
==2
Parte B
==2
=0
− 2 = 0 = 0! = 0 = 0.135 = 13.5% =0
≥ 1 = 1 21!− ≥ 1 = 0.8466 = 86.466% 38. En cada uno de los siguientes enunciados, indique si la variable aleatoria es discreta o continua. a) El tiempo de espera para un corte de cabello. Continua b) El número de automóviles que rebasa un corredor cada mañana. Discreta c) El número de hits de un equipo femenil de softbol de preparatoria. Discreta d) El número de pacientes atendidos en el South Strand Medical Center entre las seis y diez de la noche, cada noche. discreta e) La distancia que recorrió en su automóvil con el último tanque de gasolina. Continua f) El número de clientes del Wendy’s de Oak Street que utilizaron las instalaciones. Discreta g) La distancia entre Gainesville, Florida, y todas las ciudades de Florida con una población de por lo menos 50 000 habitantes. Continua 40. El gerente de personal de Cumberland Pig Iron Company estudia el número de accidentes laborales en un mes y elaboró la siguiente distribución de probabilidad. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de accidentes en un mes.
N
PI
N*PI=U
N*U*(1PI)=Z
RAIZ(Z)
0 1 2 3 4
0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
0 0.2 0.4 0.3 0.4
0 0.16 0.64 0.81 1.44
0 0.4 0.8 0.9 1.2
42. Abajo se muestran los premios de la lotería Powerball y sus correspondientes pronósticos y probabilidades de ocurrencia. El precio del boleto es de un dólar. Encuentre la media y la desviación estándar del premio. Sugerencia: No olvide incluir el costo del boleto y su correspondiente probabilidad.
44. Treinta por ciento de la población de una comunidad del suroeste de Estados Unidos es hispanohablante. Se acusó a un hispanohablante de haber asesinado a un estadounidense que no hablaba español. De los primeros 12 posibles jurados, sólo dos son estadounidenses hispanohablantes y 10 no lo son. El abogado de la defensa se opone a la elección del jurado, pues dice que habrá prejuicio contra su cliente. El fiscal no está de acuerdo y arguye que la probabilidad de esta composición del jurado es frecuente. Calcule la probabilidad y explique los supuestos. 1 Estadounidenses hispanohablantes 6 5 6 Estadounidenses que no hablan español
46. Tire and Auto Supply contempla hacer una división de 2 a 1 de las acciones. Antes de realizar la transacción, por lo menos dos terceras partes de los 1 200 accionistas de la compañía deben aprobar la oferta. Para evaluar la probabilidad de que la oferta se apruebe, el directo r de finanzas eligió una muestra de 18 accionistas. Contactó a cada uno y comprobó que 14 aprobaron la propuesta. ¿Cuál es la posibilidad de este evento, si dos terceras partes de los accionistas dan su aprobación? 2/3=0.6667 0.7778>0.6667 La probabilidad de este evento si dos terceras partes den su aprobación es alta
48. El Banco de Hawai informa que 7% de sus clientes con tarjeta de crédito dejará de pagar en algún momento. La sucursal de Hilo envió el día de hoy 12 nuevas tarjetas. a) ¿Cuántos de los nuevos tarjetahabientes cree que dejarán de pagar? ¿Cuál es la desviación estándar?
= 120.07 = 0.84 = √ 120.070.98 = 0.8838
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tarjetahabientes deje de pagar?
12! 0.070.93 = 0.4186 = 0!12!
c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno deje de pagar?
10.4186 = 0.5814 50. En el capítulo 19 se estudia la muestra de aceptación. El muestreo de aceptación se utiliza para supervisar la calidad de la materia prima que entra. Suponga que un comprador de componentes electrónicos permite que 1% de los componentes se encuentren defectuosos. Para gara ntizar la calidad de las partes que entran, por lo general s e toman 20 partes como muestra y se permite una parte defectuosa. a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote con 1% de partes defectuosas?
20! 0.010.99 = 0.16523372 = 1!19! 20! 0.020.98 = 1.81∗10. = 2!18! 20! 0.050.95 = 4.5242842∗10. = 5!15!
b) Si la calidad del lote que ingresa en realidad fue de 2%, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte?
c) Si la calidad del lote que ingresa en realidad fue de 5%, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte?
52. La doctora Richmond, psicóloga, estudia el hábito de ver televisión durante el día de estudiantes de preparatoria. Ella cree que 45% de los estudiantes de preparatoria ve telenovelas por la tarde. Para investigar un poco más, elige una muestra de 10. a) Elabore una distribución de probabilidad del número de estudiantes de la muestra que ven telenovelas. b) Determine la media y la desviación estándar de esta distribución. c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar que exactamente cuatro vean telenovelas? P(0) = 10C0 (.45)0 (1 -.45)10-0 = 0.0025 P(1) = 10C1 (.45)1 (1 - .45)10-1 = 0.0207 P(2) = 10C2 (.45)2 (1 - .45)10-2 = 0.0763 P(3) = 10C3 (.45)3 (1 - .45)10-3 = 0.1665 P(4) = 10C4 (.45)4 (1 - .45)10-4 = 0.2384 P(5) = 10C5(.45)5 (1 - .45)10-5 = 0.2340 P(6) = 10C6 (.45)6 (1 - .45)10-6 = 0.1596 P(7) = 10C7 (.45)7 (1 - .45)10-7 = 0.0746 P(8) = 10C8 (.45)8 (1 - .45)10-8 = 0.0229 P(9) = 10C9 (.45)9 (1 - .45)10-9 =0.0042 P(10) = 10C10 (.45)10 (1 - .45)10-10 = 0.0003
54. Suponga que Hacienda estudia la categoría de las contribuciones para la beneficencia. Se seleccionó una muestra de 25 declaraciones de parejas jóvenes de entre 20 y 35 años de edad con un ingreso bruto de más de $100 000. De estas 25 declaraciones, cinco incluían contribuciones de beneficencia de más de $1 000. Suponga que cuatro de estas declaraciones se seleccionan para practicarles una auditoría completa.
a) Explique por qué resulta adecuada la distribución hipergeométrica. b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una d e las cuatro declaraciones auditadas tuvieran deducciones de beneficencia de más de $1 000? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de las cuatro declaraciones auditadas tuvieran deducciones de beneficencia de más de $1 000? P(X=x) = C(5,x)*C(20,4-x)/C(25,4) b) P(X=1) = C(5,1)*C(20,4-1)/C(25,4) = 0.4506 c) P(X>1) = 1-P(X=0) P(X=0) = C(5,0)*C(20,4-0)/C(25,4) = 0.3830 P(X>1) = 1-0.3830 = 0.6170
56. Información reciente que publicó la Environmental Protection Agency indica que Honda es el fabricante de cuatro de los nueve vehículos más económicos en lo que s e refiere al consumo de gasolina. a) Determine la distribución de probabilidad del número de autos Honda en una muestra de tres autos elegidos entre los nueve más económicos. x
P(x)
0
0,119
1
0,4762
2
0,3571
3
0,0477
b) ¿Cuál es la posibilidad de que en la muestra de tres por lo menos haya un Honda? P(x>=1) = 0.881 58. En la lista siguiente aparece la población por estado de los 15 con mayor población. Asimismo, se incluye información sobre el hecho de que un límite del estado está en el golfo de México, el Océano Atlántico o el Océano Pacífico (línea costera).
Observe que 5 de los 15 estados no tienen costa. Suponga que se seleccionan tres estados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) ninguno de los estados seleccionados tenga costa?
3 = 0.20 15 3! 0.20.8 = 0.512 = 0!3! = 10.512 = 0.488 3! 0.20.8 = 0.512 = 1!2! = 60.200.512 = 0.6144
b) exactamente un estado tenga costa?
c) por lo menos un estado seleccionado tenga costa?
60. Suponga que 1.5% de las antenas de los nuevos teléfonos celulares Nokia tiene defectos. En una muestra aleatoria de 200 antenas, calcule las siguientes probabilidades: a) Ninguna de las antenas se encuentra defectuosa. b) Tres o más antenas se encuentran defectuosas. Datos:π=0.015n= 200
P(x=0) P (0)= 200 c0 (0.015)^0 (1- 0.015)^200-0 P= 1(1)(.985)^200 P= 1(1)(.0486) P= 0.486 P (x≥3) P (x≥2)= 200C2(0.015)^2 (1-0.015)^200-2 P= 19,900(.00225)(985)^198 P= 0.224 P (x≥3)= 1 - P (x≥2) P (x≥3) = 1 -0.224= 0.776 P (x≥3)= 0.776
62. Un estudio interno llevado a cabo por el departamento de Servicios Tecnológicos de Lahey Electronics reveló que los empleados de la compañía reciben un promedio de dos correos electrónicos por hora. Suponga que la recepción de estos correos obedece aproximadamente a una distribución de Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Linda Lahey, presidenta de la compañía, haya recibido exactamente 1 correo entre las 4 y 5 de la tarde del día de ayer?
U=2*(0.033)=0.066
= 0.0662.71!1828−. = 0.062 b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido 5 o más correos durante ese horario? P(X>1)=1-(P(X<2))=0.928 P(X=0)=0.93
P(X=2)=4.1*10-3
≤ 2 = 0.0662.70!1828−. = 0.93 ≤ 2 = 0.93+0.062+ 4.1∗10− = 1.928 c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya recibido correos en ese horario? P(X=0)=0.93
64. New Process, Inc., proveedor grande de venta por correo de ropa para dama, anuncia sus entregas de pedidos el mismo día. Desde hace poco, el movimiento de los pedidos no corresponde a los planes y se presentan muchas quejas. Bud Owens, director de servicio al cliente, rediseñó por completo el sistema de manejo de pedidos. El objetivo consiste en tener menos de cinco pedidos sin entregar al concluir 95% de los días hábiles. Las revisiones frecuentes de pedidos no entregados al final del día revelan que la distribución de pedidos sin entregar se rige por una distribución de Poisson con una media de dos pedidos. a) ¿Alcanzó New Process, Inc., sus objetivos? Presente evidencias. b) Trace un histograma que represente la distribución de probabilidad de Poisson de pedidos s in entregar.
66. De acuerdo con la “teoría de enero”, si el mercado accionario sube durante ese mes, seguirá
haciéndolo el resto del año. Si no sube, no lo hará el resto del año. De acuerdo con un artículo de The Wall Street Journal, esta teoría se mantuvo vigente 29 de los últimos 34 años. Suponga que la teoría es falsa; es decir, la probabilidad de que és te suba o baje es de 0.50. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda por casualidad? (Es posible que requiera un paquete de s oftware, como Excel o Minitab.)
68. Suponga que el National Hurricane Center pronostica que los huracanes azotarán la zona afectada con un 0.95 de probabilidad. Responda las siguientes preguntas. a) ¿De qué distribución de probabilidad se trata en este caso? Poission b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 huracanes toquen tierra en la zona afectada?
= 10100.950.05 = 0.558 ≥ 10 = 1( = 10) = 0.642
c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 10 huracanes toquen tierra fuera de la zona afectada?
