SISTEMAS DE CONTROL Integrantes: Daniel Maldonado •
INDICE 1.1
TEMA........................ TEMA................................................ ................................................ ............................................... ......................................... .................. 2
1.2
OBJETIVOS....................... OBJETIVOS.............................................. ............................................... ............................................... ................................. .......... 2
1.3
Resumen ............................................ .................................................................... ............................................... ......................................... .................. 2
1.4
MARCO TEÓRICO .............................................. ..................................................................... ............................................. ..................... 3
1.5
PREGUNTAS DE REPASO............................................. .................................................................... ................................. ......... 5
1.6
RESOLUCION DE EJERCICIOS ............................................ .................................................................... .......................... 6
1.7
CONCLUSIÓN .............................................. ..................................................................... .............................................. ........................... .... 40
1.8
RECOMENDACIÓN................................................ ....................................................................... ....................................... ............... 40
1.9
BIBLIOGRAFÍA:....................... BIBLIOGRAFÍA:.............................................. ............................................... ............................................... ....................... 40
1.10 LINKOGRAFÍA: .............................................. ...................................................................... ............................................... ....................... 40
CAPITULO 6
RESPUESTA EN EL TIEMPO 1.1 TEMA Resolución de ejercicios sobre estabilidad y el criterio crit erio de Routh-Hurwitz. 1.2 OBJETIVOS General Resolución de los sistemas de estabilidad y el criterio de Routh-Hurwitz. •
Específicos Investigar y analizar la teoría para así tener la capacidad de resolver ejercicios. Diferenciar cuando un sistema se considera estable o no. Resolver ejercicios usando el criterio de Routh para conocer la posición de los l os polos en el plano plano s, así como también también la estabilidad del sistema. •
•
•
1.3 Resumen Las raíces del polinomio numerador N(s) se denominan ceros de la función de transferencia, mientras que a las raíces del denominador D(s) se las llama polos. Casualmente, la naturaleza de las raíces del denominador son las que determinan el patrón de la respuesta temporal a una dada señal de entrada y nos permite un conocimiento cualitativo de la dinámica del sistema. Un sistema se dice que es estable si para toda entrada acotada produce una salida acotada, independientemente independientemente de su estado inicial. Un sistema es estable si las raíces de la ecuación característica son reales negativas o complejas conjugadas conjugadas con parte real negativa. O dicho en forma más compacta, si todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo de la variable compleja s. El teorema de Routh – Hürwitz Hürwitz sirve para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos. Básicamente, Básicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable. El criterio se refiere a la función de transferencia en lazo cerrado del sistema. Para aplicar el criterio a un sistema descrito por su función de transferencia en lazo abierto, hay que incluir la realimentación r ealimentación haciendo:
El criterio de Routh-Hurwitz también se utiliza para el trazado del lugar de las raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis estudia la función de transferencia del sistema en bucle abierto 1+K·Gba(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el eje imaginario. Dichos puntos marcan el
CAPITULO 6
RESPUESTA EN EL TIEMPO 1.1 TEMA Resolución de ejercicios sobre estabilidad y el criterio crit erio de Routh-Hurwitz. 1.2 OBJETIVOS General Resolución de los sistemas de estabilidad y el criterio de Routh-Hurwitz. •
Específicos Investigar y analizar la teoría para así tener la capacidad de resolver ejercicios. Diferenciar cuando un sistema se considera estable o no. Resolver ejercicios usando el criterio de Routh para conocer la posición de los l os polos en el plano plano s, así como también también la estabilidad del sistema. •
•
•
1.3 Resumen Las raíces del polinomio numerador N(s) se denominan ceros de la función de transferencia, mientras que a las raíces del denominador D(s) se las llama polos. Casualmente, la naturaleza de las raíces del denominador son las que determinan el patrón de la respuesta temporal a una dada señal de entrada y nos permite un conocimiento cualitativo de la dinámica del sistema. Un sistema se dice que es estable si para toda entrada acotada produce una salida acotada, independientemente independientemente de su estado inicial. Un sistema es estable si las raíces de la ecuación característica son reales negativas o complejas conjugadas conjugadas con parte real negativa. O dicho en forma más compacta, si todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo de la variable compleja s. El teorema de Routh – Hürwitz Hürwitz sirve para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos. Básicamente, Básicamente, el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema; y en consecuencia, conocer si dicho sistema es estable o no. Si tras aplicar el criterio nos da como resultado que todos los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable, y si hay un mínimo de un polo en el semiplano derecho, el sistema es inestable. El criterio se refiere a la función de transferencia en lazo cerrado del sistema. Para aplicar el criterio a un sistema descrito por su función de transferencia en lazo abierto, hay que incluir la realimentación r ealimentación haciendo:
El criterio de Routh-Hurwitz también se utiliza para el trazado del lugar de las raíces. En este caso, dicho procedimiento de análisis estudia la función de transferencia del sistema en bucle abierto 1+K·Gba(s)=0 (siendo K la ganancia variable del sistema). Su objetivo es determinar los puntos de corte del LdR con el eje imaginario. Dichos puntos marcan el
límite de estabilidad del sistema, dicho en otras palabras, determinan el límite en el que los polos del sistema en bucle cerrado pasan al semiplano derecho complejo y por lo tanto el sistema se vuelve inestable. Como es evidente, tras la aplicación del criterio de Routh-Hurwitz, los resultados obtenidos quedarán en función de la ganancia K, lo cual nos indicará a partir de qué valores de K el sistema pasará de estable a inestable (ganancia K límite).
Abstract The roots of the numerator polynomial N (s) are called zero transfer function, while the roots of the denominator D (s) are called poles. Coincidentally, the nature of the roots of the denominator are what determine the temporal pattern of response to a given input signal and allows a qualitative understanding of the dynamics of the system. A system is said to be stable if for every bounded input produces a bounded output, regardless of its initial state. A system is stable if the roots of the characteristic equation are negative real or complex conjugate with negative real part. Or a more compact form, all roots are in the left half of the complex variable s. The Routh-Hurwitz theorem is used to analyze the stability of dynamic d ynamic systems. Basically, the theorem provides a criterion able to determine which (left or right) ri ght) half-plane of the complex plane are located the roots of the denominator of the transfer function of a system; and thus, determine whether the system is stable or not. If after applying the criterion gives us the result that all poles are in the left half plane, the system s ystem is stable, and if there is at least one pole in the right half-plane, the system is unstable. 1.4 MARCO TEÓRICO Estabilidad Capacidad de un sistema para llegar al estado de equilibrio. El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad.
Un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable si ante una entrada acotada su salida también lo es. Son los sistemas llamados BIBO (Bounded Input- Bounded Output). Un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable, si todos los polos de la función de transferencia están en el semiplano izquierdo del plano s.
Criterio de Routh-Hurwitz El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz dice si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.
Pasos de Aplicación del Criterio de Routh-Hurwitz 1. Los coeficientes del polinomio D(s) deben existir y ser reales. 2. La condición necesaria, pero no suficiente, para que un polinomio sea de Hurwitz es que todos los coeficientes del polinomio estén presentes y tengan t engan el mismo signo. 3. La condición suficiente para que un polinomio sea de Hurwitz es que todos los coeficientes de la tabulación de R outh (αi) sean mayores que cero. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz plantea que el número de raíces de un polinomio con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del array. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de un polinomio en s se encuentren en el semiplano izquierdo del plano transformado transformado es que los coeficientes coeficientes del polinomio an>0 y que todos los términos αi>0.
1.5 DESARROLLO 1) ¿Qué parte de la respuesta de salida causa la determinación de estabilidad de un sistema lineal? La respuesta libre o también llamada respuesta natural. 2) ¿Qué ocurre a la respuesta que se cita en la pregunta 1 que crea inestabilidad? Ésta crece sin límite. 3) ¿Qué ocurriría a un sistema físico que se torna inestable? se destruiría o golpearía sus límites. 4) ¿Por qué son marginalmente estables los sistemas considerados inestables bajo la definición BIBO de estabilidad? Porque entradas sinusoidales de la misma frecuencia que la respuesta natural producen respuestas ilimitadas a pesar de que la entrada sinusoidal es acotada. 5) ¿En dónde tienen que estar los polos de un sistema para asegurar que un sistema no es inestable? Los Polos deben estar en la mitad izquierda del plano o en el eje jw. 6) ¿Qué nos dice el criterio de Routh-Hurwitz? Características sobre el número de polos de la función de transferencia en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano izquierdo, el semiplano derecho, y en el eje jw. 7) ¿Bajo qué condiciones nos diría fácilmente el criterio de Routh-Hurwitz la ubicación real de los polos en lazo cerrado de un sistema? Los cambios de signo nos indican el número de polos ubicados en el semiplano derecho. 8) ¿Qué ocasiona que un cero aparezca sólo en la primera columna del arreglo de Routh? que este funcione solo de una manera aritmética, reemplazado por un €.
9) ¿Qué ocasiona que todo un renglón de ceros aparezca en el arreglo de Routh? que se pierda información, se debe factorizar el renglón superior al renglón de ceros y reemplazar el polinomio factorizado en el renglón de ceros.
10) ¿Por qué a veces multiplicamos un renglón de un arreglo de Routh por una constante positiva? Para la facilidad de encontrar los coeficientes que están por debajo de esa fila 11) ¿Por qué no multiplicamos un renglón de un arreglo de Routh por una constante negativa? Afectaría el número de cambios de signo.
12) Si un arreglo de Routh tiene dos cambios de signo arriba del polinomio par y cinco cambios de signo abajo del polinomio par, ¿cuántos polos del semiplano derecho tiene el sistema? siete. 13) ¿La presencia de todo un renglón de ceros significa siempre que el sistema tiene polos jw ? No; ya que podría tener polos de cuadrante.
14) Si un sistema de séptimo orden tiene un renglón de ceros en el renglón s 3 y dos cambios de signo abajo del renglón s4. ¿cuántos polos jw tiene el sistema? Ninguno; el polinomio par tiene 2 polos en el semiplano derecho y dos polos en el semiplano izquierdo. 15) ¿Es cierto que los valores característicos de la matriz de un sistema son iguales a los polos en lazo cerrado? Sí. 16) ¿Cómo encontramos los valores característicos? Det (sI-A) = 0 1.6 RESOLUCION DE EJERCICIOS 1. Diga cuántas raíces del siguiente polinomio hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw . ( ) = 5 + 3 4 + 5 3 + 4 2 +
+ 3.
semiplano izquierdo=3 semiplano derecho=2 2. Mediante el uso del arreglo de Routh, diga cuántos polos de la siguiente función hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw . +8
()=
5
−
4
+ 4 3− 4 2+ 3 − 2
semiplano derecho=3 semiplano izquierdo =2
3. La función de transferencia en lazo cerrado de un sistema es 2 + ()=
6 + 2 4 − 2 − 2
7 + 10
Determine cuántos polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw .
Grado 4: 4 en jw; Resto: 1 en semiplano derecho; Total: 5 4. ¿Cuántos polos hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw para el sistema en lazo abierto de la figura?
Grado 2: 2 en jw, resto: 2 en el semiplano izquierdo. 5. ¿Cuántos polos hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw para el sistema en lazo abierto de la figura?
Grado 4: 2 en el semiplano izquierdo, 2 en el semiplano derecho; Resto: 1 en el semiplano izquierdo y 1 en el semiplano derecho. Total: 3 izq; 3 derecho. 6. Utilice el MATLAB para hallar las ubicaciones del polo para el sistema del problema 5.
7. Utilice el MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para generar un arreglo de Routh para resolver el problema 2.
syms e s5=[1 4 3 0 0] s4=[-1 -4 -2 0 0] if -det([s5(1) s5(2);s4(1) s4(2)])/s4(1)==0 s3=[e... -det([s5(1) s5(3);s4(1) s4(3)])/s4(1) 0 0]; else s3=[-det([s5(1) s5(2);s4(1) s4(2)])/s4(1)... -det([s5(1) s5(3);s4(1) s4(3)])/s4(1) 0 0]; end if -det([s4(1) s4(2);s3(1) s3(2)])/s3(1)==0 s2=[e ... -det([s4(1) s4(3);s3(1) s3(3)])/s3(1) 0 0]; else s2=[-det([s4(1) s4(2);s3(1) s3(2)])/s3(1) ... -det([s4(1) s4(3);s3(1) s3(3)])/s3(1) 0 0]; end if -det([s3(1) s3(2);s2(1) s2(2)])/s2(1)==0 s1=[e ... -det([s3(1) s3(3);s2(1) s2(3)])/s2(1) 0 0]; else s1=[-det([s3(1) s3(2);s2(1) s2(2)])/s2(1) ... -det([s3(1) s3(3);s2(1) s2(3)])/s2(1) 0 0]; end s0=[-det([s2(1) s2(2);s1(1) s1(2)])/s1(1) ... -det([s2(1) s2(3);s1(1) s1(3)])/s1(1) 0 0];
's3' s3=simplify(s3); pretty(s3) 's2' s2=simplify(s2); pretty(s2) 's1' s1=simplify(s1); pretty(s1) 's0' s0=simplify(s0); pretty(s0)
8. Determine si el sistema realimentado unitariamente de la figura es estable si: ()=
()=
240 ( + 1)( +2)( +3)( +4)
240 4
+ 10 3 + 35 2 + 50 + 264
Existen 2 polos en el semiplano izquierdo y 2 en el derecho. 9. Utilice el MATLAB para hallar las ubicaciones del polo para el sistema del problema 8.
10. Considere el sistema realimentado unitariamente de la figura con ()=
1 4 2( 2 + 1)
Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz, encuentre la región del plano s donde se hallan los polos del sistema en lazo cerrado. ()=
1 44 +42 +1
Grado 4: 4 polos en el eje jw.
11. Dado el sistema realimentado unitariamente, investigue cuantos polos de la función de transferencia en lazo cerrado se encuentran en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw
()= ( − + − − + − )
4
()=
1
2
-1
-2
-1
-2
1
2
-1
-4
1 2
0 0
−
-7 10
2
2
3
3
7−2 6 + 2 5 −
4 4 − 3 + 2 2 − 2 + 4
+ /2 /2 Fila ceros
-
-8
0
-
2
0
+
0
0
+
7
9
5
2
+
(− 6 − 2 4 + 2 + 2) = −6 5 − 8 3 + 2
Smi Smd 6to
1
1
Resto
0
1
Total
1
2
Eje jw 4 0 4
12. Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz y el sistema realimentado unitariamente de la figura con ()=
1 23+
2
+2
Diga si el sistema en lazo cerrado es o no es estable. 1 ()=
24 +53 +
2
+2+1
Total: 2 polos en el semiplano izquierdo y 2 en el semiplano derecho. 13. Dado el sistema realimentado, diga cuantos polos en lazo cerrado están ubicados en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje jw
()= ( − − + + − − )
8
()=
7−2 6 − 5 + 2 4 + 4 3
-1
4
-4
+
-2
2
-8
8
-
-12
8
-16
0
8
0
1
2
16
−
3
88 48
−
Fila ceros
−82− 4+ 8
-
+
3
128 8
0 0
-
0
-
11
100
−
0
3
8
+ (−2 6 + 2 4 − 8 2 + 8) = −12 5 + 8 3 − 16
Smi
Smd
Eje jw
6to Resto
3
3
0
0
1
0
Total
3
4
0
14. Resuelva el ejercicio 13 usando MATLAB ()=
( − − +
+ 8
( ) =
−2 6 −
7
5
+ 2 4 +4 3 − 8 2 − 4 + 8
Programa: numg=8; deng=[1 -2 -1 2 4 -8 -4 0]; 'G(s)' G=tf(numg,deng) 'T(s)' T=feedback(G,1) 'Poles of T(s)' pole(T)
−
−)
15. Considere el arreglo de Routh. Nótese que el renglón estaba originalmente en ceros. Diga cuantas raíces del polinomio original había en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje jw
+ + + + + -
Smi
Smd Eje jw
6to Resto
1
1
4
1
0
0
Total
2
1
4
16. Para el sistema de la figura, diga cuántos polos en lazo cerrado están ubicados en el semiplano derecho, en el semiplano izquierdo y sobre el eje jw. Nótese que hay realimentación positiva.
()=
18 5
+
4
− 7 3 − 7 2 − 18 − 18
Grado 4: 1 semiplano izquierdo, 1 semiplano derecho, 2 en el eje jw; Resto: 1 en el semiplano izquierdo. Total: 1 sp derecho, 2 sp izquierdo, 2 eje jw.
17. Con el uso del cirterio de Routh – Hurwitz, investigue cuantos polos en lazo cerrado del sistema que se muestra en la figura, se encuentran en el semiplano izquierdo, en el semiplano derecho y sobre el eje jw
507 4 + 3 3 +10 2 +30 + 169
()= 507
1+
( 4 +3 3 +10 2 +30 + 169)
507
()=
5 + 3 4 + 10 3 + 30 2 +
1
10
169
-
3
30
507
+
5
0
507
0
-
0
0
-
1 15
144
−
169 + 507
/12 Fila de Ceros
-
5
507
+
(3 4 + 30 2 + 507) = 12 3 + 60 Smi
Smd Eje jw
4to Resto
2
2
0
1
0
0
Total
3
2
0
18. Determine si el sistema realimentado unitariamente de la figura con ( 2 + 1) () = ( + 1 ) ( + 2 )
Puede ser inestable. ( 2 + 1) ()=
(1 + ) 2 + 3 + (2 + )
Para un sistema de segundo orden, si todos los coeficientes son positivos, las raíces izquierdo. estarán en el semiplano Por lo tanto K>-1.
19. Para el sistema de realimentación unitariamente de la figura con ()=
( + 6)
( + 1)( + 3)
Determine el margen de K para asegurar la estabilidad. ( + 6) ()=
3
+ 4 2 + ( + 3)
+6
El sistema es estable para 0
20. Para el sistema realimentado unitariamente de la figura con ()=
( + 1) ( + 2)(+ 3)( +4)
Determine el margen de K para asegurar estabilidad. ( ) = (1 + ) 2 + (8 −6) + (8 + 15)
( + 3)( + 5)
El sistema es estable para K>6/8
21. Repita el problema 20 usando el MATLAB.
22. Utilice el MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para generar un arreglo de Routh en términos de K para resolver el problema 20.
23. Encuentre el margen K para la estabilidad del sistema realimentado unitariamente ()=
( + 2)( − 2) ( 2 + 3)
( + 2)( − 2) () = ( + 1 ) 2 +(3 +4)
Para un -1
24. Para el sistema realimentado unitariamente ( + 1)
()=
( + 2)
4
Encuentre el margen de K para estabilidad. +
()=
5
+ 24
+
5
+24
()= +
1
+ 5
()=
5
+24
+
+ 2 4+
+
No hay valor de K para que el sistema sea estable por que la función de T(s) faltan términos de 3 2.
25. Encuentre el margen de ganancia K para asegurar estabilidad en el sistema realimentado unitariamente con: ()= ()=
( − 2)( + 4)( + 5) 3+
( − 2)( + 4)( + 5) + (3 − 40)
( 2 + 3)
(7 + 1) 2 + 2
3 − 40 > 0 3
< 40 1
< 54
< 40
3
26. Encuentre el margen de ganancia K para asegurar estabilidad en el sistema realimentado unitariamente.
()=
( + 2) (2
+ 1)( + 4)( − 1) ( + 2) ( 2 + 1)( + 4)(− 1)
()=
( + 2)
1 + ( 2 +1)( +4)( −1)
( ) = 4 +
33−32+(
+ 3) + (2 − 4))
( + 2)
La condición para que el sistema sea estable son las siguiente: K<-12 K>2 K>-33 •
•
•
Como no pueden tener tres condiciones para k el sistema no es estable para ningún valor de K.
27. Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz encuentre el valor de K que producirá oscilaciones para el sistema realimentado unitariamente. ( ) = ( + 15)( + 27)( + 38) ( + 15)( + 27)( + 38) ()=
1+
( ) = 3 + 80 2 + 2001 + ( + 15390)
•
•
Habrá una fila de ceros en la fila s1 si K = 144690 La fila anterior, s2, produce la función auxiliar Ecuación, 80 2 + (144690 + 15390) = 0. Por lo tanto, s = ± 44.73.
•
Por lo tanto, K = 144690 produce un Oscilación de 44,73 rad / s.
28. Utilice el criterio de Routh-Hurwitz para hallar el margen de K para el cual el sistema es estable.
(2−2
+ 2)
()=
1
1 + (2
− 2 + 2) 2 + 4−
2+1
2 +2 + 2
()=
( + 1)
2
+ 2(1 − ) + (2 + 1)
Dado que todos los coeficientes deben ser positivos para la estabilidad en un polinomio de segundo orden entonces −12 <
< 1.
29. Repita el paso 28 para el siguiente sistema
( + 2)( + 7) ()=
4 + 11 3 +
4
3
( + 31) 2 + (8 + 21) + 12
1
K+31
12k
11
8k+21
0
12k
0
0
0
0
0
3 + 320
2
11
1
24 2 + 1171 +6720
3 + 320
12k
0
Dado el sistema realimentado unitariamente de la siguiente función G(s)
( ) = (
( + ) + )( + )
( + 4)
()=
3
+ 3 2 +(2 + )
+4
Arreglo de Routh para la estabilidad 1 3
2
3
4
0
6−
0
(2+ )
4
0
30. Encuentre los siguiente a) El margen de K que mantiene estable al sistema
< <
b) El valor de k que haga que oscile el sistema c) La frecuencia de oscilación cuando k se ajusta al valor que haga oscilar al sistema =
3+
=6
3 2 + 8 + 24
= ± √8 = √8 /
repita el problema 30 para
( − 1)( − 2) ()=
( ) = 3 +
( + 2)( 2 + 2 + 2)
( + 4) 2 + (6 − 3 ) + 2(
+ 2)
( − 1)( − 2)
Arreglo de Routh para la estabilidad 1
3
6− 3
2
+4
4
+2
0
−(3 2 + 8 −20)
+4
0
0
4+2
31. Encuentre los siguiente a) El margen de K que mantiene estable al sistema → −(3 2 + 8 − 20) 1 = 1.57 2 = −4.24
2→
+4
−4 < 0
→ 4 + 2 −2 <
−2 < < 1.57 b) El valor de k que haga que oscile el sistema c) La frecuencia de oscilación cuando k se ajusta al valor que haga oscilar al sistema = 1.57
5.57 2 + 7.14
= 1.57
= ± 1.13 = 1.13 /
32. Para el sistema que se ilustra en la figura encuentre el valor de la ganancia k que hará oscilar al sistema , también encuentre la frecuencia de oscilación
1 2( + 2)( + 3)
( )= 1+
()=
1 ( 2 + 5 + 7)
()=
()=
3 2
3+
5 2+ 7 +
1
7 5
0
35 −
5
0
0
35 −
ℎá
=0
5 2 + 35 = 2 + 7 = ± √7 = √7 /
= 35
33. Dado el sistema realimentado unitariamente siguiente () =
( + 2) ( + 3 )( 2 − 4 +8)
a) Encuentre el margen de k para la estabilidad b) Encuentre la frecuencia de oscilación cuando el sistema sea marginalmente estable ( + 2) ( +3)( 2 − 4 + 8)
()= ( + 2)
( + 3)( 2 − 4 + 8)
1+
2 +
()=
3+
3
2
( − 1) 2 + (2 − 4) + 24
1
2
− 4
2
− 1
2 2 −6
−20)
24
0
− 1
0
24
0< <5
34. Repita el problema 33 usando Matlab CÓDIGO
0
35. Para el sistema realimentado unitariamente con: ( + 2)( − 2)
()=
( 2 +3)
( + 2)
()=
4 + 3 3 −
3 2 + ( + 3) + (2 − 4)
4
1
-3
2k-4
3
3
k+3
0
2k-4
0
0
0
0
0
2
+ 12
− 3
1
( + 33)
+ 12
2k-4
0
36. Para el sistema realimentado unitariamente con:
()=
( + 1) 3( + 4)
()=
4
3
4 +
7 3 + 15 2 + 13 + (4 + )
1
15
K+4
7
13
0
K+4
0
0
0
0
0
92
2
7
1
1000 − 49
92
0
K+4
a) Encuentre el margen de K para estabilidad. 1000 − 49 = 0
= 20.21 + 4 = 0 = −4
−4 <
< 20.41
b) Encuentre la frecuencia de oscilación cuando el sistema sea marginalmente estable. = 20.41
92
2
+ 24.41
7
= ∓ 1.3628 ; = 1.3628
37. Dado el sistema de realimentación unitaria con:
()=
( + 10)( 2 + 4 + 5)
()=
3 + 14 2 +
3
45 + (50 + )
1
45
2
1
14
K+50
580−
0
14
0
K+50
0
a) Encuentre el margen de K para estabilidad. 580 − 14
=0
= 580 = −50
b) Encuentre la frecuencia de oscilación cuando el sistema sea marginalmente estable. = 580
14 2 + 630
= ∓ √45; =6.71
38. Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz y el sistema realimentado unitariamente con:
()= ( +1)( + 2)(+ 5)
()=
4
3
4 +
8 3 + 17 2 + 10 +
1
17
K
8
10
0
K
0
0
0
0
0
2
126
8
1
32
− 63
0
+ 10
K
a) Encuentre el margen de K para estabilidad. 32
− 63
+ 10 = 0
= 19.69
0<
< 19.69
b) Encuentre el margen de K para estabilidad marginal = 19.69
126 2
+ 19.69
8
= ∓ √1.25; =1.118
c) Encuentre la ubicación real de los polos en lazo cerrado cuando el sistema sea marginalmente estable. 4 + 8 3 + 17 2 + 10 +
= 19.69 = ∓ 1.118 ; −4.5 − 3.5
39. Encuentre el margen de K para mantener estable el sistema que se muestra en la figura:
( 2 + 2 + 1) ()=
3
3 +
1
2 2 + ( + 1) −
K+1
2
-k
2
1
0
3+2
2
0
-k
0
3 + 2 =0 2
3 + 2 =0 2
=−3
2 − 3 <
<0
40. Encuentre el valor de K en el sistema de la figura que colocara los polos en lazo cerrado como se muestra.
2 4 + ( + 2) 3 + 2
()=
3 + 2 +
2+
1
3
2
2
K
1
0
2−
1
k
0
0
Fila de ceros cuando k=2 Entonces: 2+ 2
= ∓ √2;
= 1.414
Así k = 2 dará el polinomio par con 2 raíces jw y no hay cambios de signo
41. La función de transferencia en lazo cerrado de un sistema es 2 +
+
1
()=
4 + 3
+
1
2
+5+1
2
2
1
4
3
1
2
−5
12
5 1
2
1 0 0
1
1
1
2
− 5 1 2 + 25
5−
0
0
0
0
0
12
1
42. Para la función de transferencia siguiente, encuentre las restricciones sobre K1 y K2 tales que la función tenga solo polos jw. 1
+
2
()= 4 + 3
+2
1
+ +1
2
12 + 1 2 + 22=0
No hay raíces reales. Por lo tanto, no hay relación entre K1 y K2 que dará sólo dos polos jω.
43. La velocidad de transferencia que relaciona la velocidad de salida del ventilador de la maquina (rpm) con el gasto de combustible del que mador principal de entrada(lb/h), en un avión de casa de despegue y aterrizaje cortos(STOL), despreciando el acoplamiento entre la velocidad del ventilador del motor y el comando de control de cabeceo. ()
1.3 7 + 90.5 6 + 15000 4 + 3120 3 − 41300 2 −
5000 − 1840 =
a. Encuentre cuantos polos hay en el semiplano derecho, en el izquierdo y el eje jw. b. ¿Es estable en lazo abierto este sistema?
a. rmp 1
Lb/h 7
jw 0
b. El sistema no es estable
44. Un sistema se representa en espacios de estados como
̇= [
− ] + [ ]
=[
]
Determine cuantos valores característicos hay en el semiplano derecho, izquierdo y en el eje jw. 0
0
| − | = |0
0
0
0
1
0| − |3
1
1
1
−1 | − | = |−2
− |=
−
− 4|
3
−3
− 2
−1
|
2
4 |
− 3
4
−
+
45. Utilice Matlab para obtener los siguientes valores característicos del siguiente sistema:
46. El siguiente sistema en el espacio de estados representa la trayectoria directa de un sistema realimentado unitariamente. Utilice el criterio de RouthHurwitz para determinar si es estable el sistema en lazo cerrado.
̇
1=2 ̇
2 = 2 + 3 3 ̇
3 = −3 1 − 4 2 −53 + = 2+ 3
Formando la matriz:
El criterio de Routh-Hurwitz: 3
1
2
5
1
0
36/5 9
47. Repita el problema 46 usando Matlab
9 9 0 0
A=[0,1,0;0,1,3;-3,-4,-5]; B=[0;0;1]; C=[0,1,1]; D=0; 'G' G=ss(A,B,C,D) 'T' T=feedback(G,1) 'Eigenvalues of T' ssdata(T); eig(T)
