SISTEMAS DE CONTROL
Tema: Ejercicios sobre modelado en el dominio del tiempo del capítulo III del libro de Sistemas de Control para Ingeniería de Norman Nise.
Integrantes: David López María de los Ángeles Campaña Henry Parrales
Curso: VI “A”
Fecha:
2014-06-23 1
Contenido OBJETIVOS ................................................................................................................................. 3 General: ..................................................................................................................................... 3 Específicos: ................................................................................................................................ 3 RESUMEN: ................................................................................................................................. 3 ABSTRACT: ................................................................................................................................. 3 MARCO TEORICO:...................................................................................................................... 4 La impedancia lineal .................................................................................................................. 4 Las variantes de estado ............................................................................................................. 4 Vector de estado ....................................................................................................................... 4 Espacio de estados .................................................................................................................... 4 Ecuaciones de estado ................................................................................................................ 4 Ecuaciones de salida.................................................................................................................. 4 DESARROLLO: ............................................................................................................................ 5 Preguntas de repaso ................................................................................................................. 5 EJERCICIOS................................................................................................................................. 6 ANALISIS DE RESULTADOS:...................................................................................................... 14 CONCLUSIONES ....................................................................................................................... 15 RECOMENDACIONES ............................................................................................................... 15 Bibliografía .................................................................................................................................. 15
Índice de Figuras Figura 1. Representación Gráfica en el espacio de estados y un vector de estado. Tomado de: (Nise, 2002) ................................................................................................................................... 4 Figura 2. Circuito eléctrico para el ejercicio de destreza 3.1 Tomado de: (Nise, 2002) ................ 6 Figura 3. Sistema mecánico traslacional para el ejercicio de destreza 3.2 Tomado de: (Nise, 2002) ............................................................................................................................................. 8 Figura 4. Ejercicio 1. Tomado de: (Nise, 2002) ............................................................................ 11 Figura 5. Ejercicio 9. Tomado de: (Nise, 2002) ............................................................................ 12 Figura 6. Ejercicio 11. Tomado de: (Nise, 2002) .......................................................................... 13
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OBJETIVOS General: Resolver los ejercicios sobre modelado en el dominio del tiempo del capítulo III del libro de Sistemas de Control para Ingeniería de Norman Nise.
Específicos:
Poner en práctica los conceptos de variables de estado. Aplicar la representación en el espacio de estados. Representar sistemas eléctricos y mecánicos en el espacio de estados.
RESUMEN: En el presente documento se expondrá la resolución de ejercicios correspondientes al capítulo 3 del libro de Sistemas de Control de Ingeniería de Norman Nise 3era ed. Para la resolución de los ejercicios se debe tomar muy en cuenta la cantidad de variables de estado que el sistema debe poseer para ser resuelta. Cabe recordar que una variable de estado no puede ser combinación lineal de otras variables de estado y que en función de las variables de estado se puede resolver todo el sistema. Los ejercicios son referentes al modelado en el dominio del tiempo. Para la resolución se especifican todas las variables de estado necesarias y se forman los vectores y matrices de entrada, salida y control.
ABSTRACT: This paper will present the resolution of exercises within chapter 3 of the book Control Systems Engineering by Norman Nise 3rd ed. For the resolution of the exercises should take into account the number of state variables that the system must possess to be resolved. Recall that a state variable can not be a linear combination of other state variables and function of the state variables can solve the entire system.
The exercises are related to modeling in the time domain. For the resolution you specify all necessary state variables and vectors and matrices are input, output and control.
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MARCO TEORICO: La impedancia lineal Se dice que un conjunto de variantes es linealmente independiente si no puede escribir ninguna de las variantes como una combinación lineal de las otras por ejemplo, dadas si , entonces la variantes no son linealmente independientes, puesto que se pude escribir una de ellas como una combinación lineal de las otras dos.
Las variantes de estado Son el conjunto más pequeños de variante de un sistema linealmente independiente, tales que los valores de los miembros del conjunto en el tiempo, junto con funciones de excitación determina por completo el valor de todas las carentes del sistemas para toda.
Vector de estado Un vector cuyos elementos son las variantes de estado.
Espacio de estados Un espacio n dimensional cuyos ejes son las variantes de estado este es un nuevo terminado se ilustra en la figura donde se supone que las variantes forman los ejes del espacio de estados se puede considerar que una trayectoria está trazada por el detector de estado, x(t) para un intervalo de t. también se muestra el vector de estado en el tiempo particular t=4.
Ecuaciones de estado Un conjunto de n ecuaciones diferenciales simultáneamente de primer orden con n variantes donde las n variantes a ser despejadas son las variantes de estados.
Ecuaciones de salida La ecuación algebraica que expresa las variantes de salida de unos sistemas como combinaciones las lineales de variante de estado y las entradas.
Figura 1. Representación Gráfica en el espacio de estados y un vector de estado. Tomado de: (Nise, 2002)
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DESARROLLO: Preguntas de repaso 1. Dé dos razones para modelar sistemas en el espacio de estados Se puede modelar sistemas que no sean lineales con coeficientes constantes. Se usa para simulaciones digitales 2. Exprese una ventaja del método de función de transferencia sobre el método en el espacio de estados. Comprende una visión más cualitativa 3. Defina variables de estado El menor conjunto de variables que puede describir (resolver) el sistema. 4. Defina estado El valor de las variables de estado. 5. Defina vector de estado El vector cuyos componentes son las variables de estado 6. Defina espacio de estados El espacio de n-dimensiones cuya base son las variables de estado. 7. ¿Qué es necesario para representar un sistema en el espacio de estados? Ecuaciones de estado, ecuación de salida y un vector de estado inicial. 8. ¿Con cuántas ecuaciones de estado sería representado en el espacio de estados un sistema de octavo orden? Ocho 9. Si las ecuaciones de estado son un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden cuya solución da las variables de estado, ¿cuál es entonces la función que realiza la ecuación de salida? Combinaciones lineales de las variables de estado y de la entrada para obtener la salida deseada. 10. ¿Qué significa independencia lineal? Número de variables del conjunto que pueden ser escritas como combinación lineal de las otras variables del conjunto. 5
11. ¿Qué factores influyen en la selección de las variables de estado en cualquier sistema? Deben ser linealmente independientes. El número de variables de estado debe ser acorde al orden de la ecuación diferencial que describe al sistema. El grado de dificultad en obtener las ecuaciones de estado para un conjunto de variables de estado dado. 12. ¿Cuál es la selección conveniente de variables de estado para redes eléctricas? Generalmente se toma a los elementos que almacenan energía (bobinas y capacitores) como variables de estado. 13. Si una red eléctrica tiene tres elementos que almacenan energía, ¿es posible tener una representación en el espacio de estados con más de tres variables de estado? Explique. Sí, depende de la forma en que planteemos la ecuación diferencial que describa al sistema. 14. ¿Qué significa la forma de las variables de fase de la ecuación de estado? Que son derivadas sucesivas.
EJERCICIOS
()
Ejercicio de destreza 3.1. Encuentre la representación en el espacio de estados de la red eléctrica que se muestra en la figura. La salida es .
Figura 2. Circuito eléctrico para el ejercicio de destreza 3.1 Tomado de: (Nise, 2002)
Datos de entrada
̇() () ̇() () ̇ () () 6
() ̇ ̇() ̇() ̇ ̇() ̇() ̇̇ (()) ̇() [ ] [ ] ()
Ejercicio de destreza 3.2. Represente el sistema mecánico transnacional que se muestra en la figura en el espacio de estado, donde es la salida.
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Figura 3. Sistema mecánico traslacional para el ejercicio de destreza 3.2 Tomado de: (Nise, 2002)
Datos:
() () () Ecuaciones
Despejando tenemos que:
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̇̈ ̇ ̇̈ ̇ () [ ̇̈ ] [ ][ ̇ ] [] ̇ ̇ ̇ () [ ][ ̇ ] [] ̇ ̇ [ ̇ ] ̇ ̇ [ ̇ ] EJERCICIO DE DESTREZA 3.4 Convierta las ecuaciones de estado y de la salida en una función de transferencia
̇ () | |( ) ( ) 9
| | () ) ( () () 'Ejercicio 3.4' % Despliega etiqueta. syms s % Construye el objeto simbólico para variable 's'. A=[-4 -1.5;-4 0]; % Crear Matriz A. B=[2;0]; % Crear vector B. C=[1.5 0.625]; % Crear vector C. D=0; % Crear D. I=[1 0;0 1]; % Crear matriz identidad. 'T(s)'% Despliega etiqueta. T=C*((s*I-A)^-1)*B+D; % Determina la función de transferencia. pretty(T) % Impresión en bonito de función de transferencia.
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1. Represente la red eléctrica de la figura en el espacio de estados, donde vo(t) es la salida.
̇ () ̇ ̇
Figura 4. Ejercicio 1. Tomado de: (Nise, 2002)
()
̇̇ ( ) ̇ ()
9. Encuentre la representación en el espacio de estados en forma de las variables de fase para cada uno de los sistemas que se muestran en la figura. 11
Figura 5. Ejercicio 9. Tomado de: (Nise, 2002)
a)
()() ( )() ()
̇̇ ̇̇ ̇̇ ̇̇ b)
(()) ( )()()
̇̇ ̇̇ ̇
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̇̇ ̇̇ [ ][] [ ] [ ̇] [] 11. Para cada sistema que se ilustra en la figura, escriba las ecuaciones de estado y la ecuación de salida para la representación de las variables de fase.
Figura 6. Ejercicio 11. Tomado de: (Nise, 2002)
a)
(()) ( )() ()
() ()()
̇̇ ̇̇ ̇̇ ̇̇ 13
b)
(()) )()() ( ()( )()
̇̇ ̇̇ ̇ ̇ ̇̇ [ ̇̇ ] [ ][] []
[]
ANALISIS DE RESULTADOS:
El modelo en el espacio de estados es un método unificado para modelar, analizar y diseñar a los sistemas, se puede usar para sistemas que no sean lineales y que las condiciones iníciales sean diferentes de cero. El mínimo número necesario de variables de estado es igual al orden de la ecuación diferencial que describa al sistema. Se puede obtener la representación en el espacio de estados empezando por un sistema eléctrico o mecánico a partir de la ecuación diferencial que describe el sistema, o a partir de su función de transferencia. 14
CONCLUSIONES
A partir de una función de transferencia se puede obtener la representación en el espacio de estados, se puede usar MATLAB como herramienta para su resolución. Las variables de fase son el mínimo número de variables que pueden resolver el sistema. El número de variables de estado depende al orden de la ecuación diferencial que representa el sistema. Un sistema eléctrico o mecánico puede ser representado en el espacio de estados a partir de la ecuación diferencial que resuelve el sistema.
RECOMENDACIONES
Para circuitos eléctricos las variables de estado generalmente se toma a parámetros de los elementos que almacenan energía como las bobinas y los capacitores.
Bibliografía GCO. (2012). Funciones de transferencia de una red . Recuperado el 22 de 10 de 2013, de http://gco.tel.uva.es/tutorial_cir/tema5/f_trans.html Nise, N. (2002). Sistemas de Control para Ingenieria. Mexico: Continental.
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