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Leonid Kantorovic Kantorovic Desarrolló muchos de los fundamentos de la programación matemática.
Cap apí ítu l o
2
MODELOS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
Enseñar a construir modelos implica enseñar una forma de abordar los problemas. Si como se plantea en Morris 1967, enseñar modelos es diferente de enseñar a modelar , en up to vote onlugar this title capítulo se intenta enseñar a modelar, enseñando modelosSign . En primer se discuten generales del modelamiento y, posteriormente, se analizan problemas Not gestión useful que puede Useful de abordados por medio de modelos de programación matemática. Los casos presentados corresp a modelos clásicos que han sido desarrollados en diversas organizaciones y discutidos amplia
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2.1. INTRODUCCIÓN
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2.1.1. Modelamiento
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Opti miz mi zación y M ode odelos los para l a Ge
El modelamiento es un proceso propio de los seres humanos. Mediante este proce individuo, de acuerdo a su experiencia y conocimientos, define una representación de un fenó o situación. Nosotros entendemos y explicamos nuestras acciones por medio de la construcci modelos. Nuestra interpretación y entendimiento de un fenómeno son realizados a través de n experiencia y conocimientos, generando interpretaciones individuales acerca de ellos.
Un modelo es, entonces, una herramienta que permite estudiar fenómenos o situacione son observables, capturando los aspectos más importantes y presentándolos de manera de facil interpretación y compresión. En el campo de la física, por ejemplo, la segunda Ley de N F=m·a) es un modelo que muestra la relación entre la fuerza ejercida sobre un cuerpo, su mas ( F=m·a aceleración que adquiere. De ella se deduce que si la masa permanece constante, al aumen fuerza también aumenta la aceleración. En la gestión, la conocida fórmula del tamaño del Económico Mínimo, desarrollada en Harris 1915 y popularizada por Wilson (ver Wilson [1 describe la relación entre el costo de mantención del inventario de un producto, el cos ordenamiento, la tasa de demanda y el tamaño óptimo del lote.
Obviamente, los modelos no contienen todos los detalles de la situación real. Aun cu fuera posible percibir e incorporar estos detalles, en general, la complejidad del mundo real que el tamaño de los modelos resultantes superaría largamente la cantidad de datos qu computador puede manejar. Además, esto no contribuiría necesariamente a comprender me situación. Esta idea de modelamiento conlleva tres conceptos importantes de ser destac interpretación individual, definición del ámbito de interpretación, y representación del fenómen
Respecto a la interpretación individual, debe observarse que el modelo es fruto experiencia del individuo y de su conocimiento. Esto es importante, ya que, en opinión de al autores, el conocimiento posee características más objetivas y está sujeto a ser estructurad embargo, la experiencia depende de cada individuo y es poco susceptible de ser estructurada. Sign up to vote on this title
Uno de los aspectos relevantes en la concepción de modelo a la defi Useful Not useful un corresponde del ámbito de interpretación. Por ello se entenderá la definición de lo que es relevante y lo que es. Este proceso es conocido con el nombre de "abstracción", y depende de los objetivos perseg
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2.1. INTRODUCCIÓN
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2.1.1. Modelamiento
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Opti miz mi zación y M ode odelos los para l a Ge
El modelamiento es un proceso propio de los seres humanos. Mediante este proce individuo, de acuerdo a su experiencia y conocimientos, define una representación de un fenó o situación. Nosotros entendemos y explicamos nuestras acciones por medio de la construcci modelos. Nuestra interpretación y entendimiento de un fenómeno son realizados a través de n experiencia y conocimientos, generando interpretaciones individuales acerca de ellos.
Un modelo es, entonces, una herramienta que permite estudiar fenómenos o situacione son observables, capturando los aspectos más importantes y presentándolos de manera de facil interpretación y compresión. En el campo de la física, por ejemplo, la segunda Ley de N F=m·a) es un modelo que muestra la relación entre la fuerza ejercida sobre un cuerpo, su mas ( F=m·a aceleración que adquiere. De ella se deduce que si la masa permanece constante, al aumen fuerza también aumenta la aceleración. En la gestión, la conocida fórmula del tamaño del Económico Mínimo, desarrollada en Harris 1915 y popularizada por Wilson (ver Wilson [1 describe la relación entre el costo de mantención del inventario de un producto, el cos ordenamiento, la tasa de demanda y el tamaño óptimo del lote.
Obviamente, los modelos no contienen todos los detalles de la situación real. Aun cu fuera posible percibir e incorporar estos detalles, en general, la complejidad del mundo real que el tamaño de los modelos resultantes superaría largamente la cantidad de datos qu computador puede manejar. Además, esto no contribuiría necesariamente a comprender me situación. Esta idea de modelamiento conlleva tres conceptos importantes de ser destac interpretación individual, definición del ámbito de interpretación, y representación del fenómen
Respecto a la interpretación individual, debe observarse que el modelo es fruto experiencia del individuo y de su conocimiento. Esto es importante, ya que, en opinión de al autores, el conocimiento posee características más objetivas y está sujeto a ser estructurad embargo, la experiencia depende de cada individuo y es poco susceptible de ser estructurada. Sign up to vote on this title
Uno de los aspectos relevantes en la concepción de modelo a la defi Useful Not useful un corresponde del ámbito de interpretación. Por ello se entenderá la definición de lo que es relevante y lo que es. Este proceso es conocido con el nombre de "abstracción", y depende de los objetivos perseg
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Capítul tu l o 2
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M odelos de Pr ogr ogramaci amaci ón M atemática ti ca
grado de incertidumbre respecto a su representabilidad y, por lo tanto, es necesario analizar grado es aceptable para los propósitos del modelo.
Finalmente, la representación del fenómeno corresponde a la transformación d elementos y relaciones seleccionados mediante el proceso de abstracción en otros elemen procedimient procedimientos os o reglas reglas que permitan permitan estructurar estructurar el modelo. modelo. Esta estructuraci estructuración ón dependerá disciplina en la que el modelo es desarrollado y de la capacidad del modelador para transform fenómeno a elementos de esa disciplina.
El amplio espectro que abarca el modelamiento, desde modelos sociales y filosóficos matemáticos, hace difícil el desarrollo de metodologías generales para la construcción de mo En este capítulo consideraremos solamente modelos matemáticos que pueden ser utilizados apoyo a la toma de decisiones en la gestión de diversas organizaciones. La metodología q propone aquí es es válida válida sólo sólo en este este ámbito. ámbito.
2.1.2. Construcción de un Modelo de Apoyo a la Toma de Decisiones
A continuación se proponen algunos criterios que pueden guiar el desarrollo de mo cuyo objetivo es apoyar la toma de decisiones.
El proceso de desarrollo de un modelo debe ser visto como un proceso de aprendiz elaboración. En este sentido, es recomendable partir de modelos simples y mediante suce modificaciones aproximarse a modelos más complejos.
Un buen punto de partida en el desarrollo de un modelo lo constituyen las analog asociaciones con fenómenos o situaciones conocidos. De este modo, un modelo pued construido tomando como base otro ya existente. Para algunas situaciones que se presenta algún grado de frecuencia en la gestión de organizaciones, la investigación operativa pro modelos generales que pueden ser adaptados y/o modificados para casos particulares, com ejemplo, programación matemática, teoría de colas, flujo en redes, etc. Aún más, existen mo linea desarrollados para situaciones específicas, como por ejemplo, programación Signmodelos up to vote de on this title planificació planificaciónn de la producción, producción, para programación programación de máquinas, para localización localización de instalac Useful Not useful etc.; modelos de flujo en redes redes para transporte y distribución, para tráfico de vehículos, etc.
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Un modelo matemático de apoyo a la toma de decisiones es un modelo matemátic además posee uno o más objetivos, y donde las variables o incógnitas deben represent decisiones que se desea apoyar. La forma general de este tipo de modelos es:
Opti miz mi zación y M ode odelos los para l a Ge
Max ( Min) f ( x x1,, xn) s.a. g i( x x1 ,, xn) 0 i=1,, m.
Los elementos incluidos en este modelo son:
a) Condición de optimización: corresponde a establecer si el modelo será de maximizac minimización. Esto depende de los objetivos perseguidos.
b) Función Función objetivo objetivo: es el criterio que orientará las decisiones y está representado por la fu escalar f(x1, ..., xn). Generalmente esta función representa beneficios, costos, ingresos, etc.
c) Variables de decisión: los elementos que representan matemáticamente las decisiones q desea apoyar son las variables o incógnitas del modelo y se denotan por x1 , x2 ,, x corresponden, por ejemplo, a cantidad de producto por fabricar, número de equipos por reemp si una ciudad es visitada o no, flujo de vehículos en un camino, etc.
d) Restricciones Restricciones: cada una de ellas corresponde a una limitación del sistema que es incorpora modelo y se representan por medio de las funciones escalares g i ( x x1 ,, xn) , , i=1,, m. A mo ejemplo: espacio máximo disponible, cantidad mínima de producto requerido, presup disponible, etc.
Parámetros o datos: representan decisiones, que a diferencia e) Parámetros de decisión, n Sign updetolas votevariables on this title controlables. Useful Not useful
Tanto la función objetivo como las restricciones establecen relaciones entre las variab decisión y los datos o parámetros. La tarea del modelador consiste en dar forma a estas funcion
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Capítulo 2
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M odelos de Programaci ón M atemática
Recolectar los datos necesarios para establecer las relaciones anteriores numéricamente requiere, generalmente, tiempo y recursos. Si éstos se consideran excesivos o no se dispo ellos, puede ser necesario modificar el alcance o ámbito del modelo a fin de incluir sólo los que están disponibles.
Estas recomendaciones son adoptadas como metodología en este capítulo, dond habilidades en modelamiento deben ser desarrolladas. Inicialmente se analiza un conjun modelos simples, para luego seguir con modelos más sofisticados. Finalmente, el concep modelo desarrollado en esta sección debe insertarse en la metodología de la investigación oper discutida en la sección 1.2. del capítulo 1.
2.2. PLANIFICACIÓN DE LA PRODUCCIÓN
El ejemplo siguiente intenta ilustrar una de las aplicaciones más frecuentes de program lineal en la gestión de empresas: la planificación de la producción. En este caso se desea deter la cantidad de los diferentes productos de la empresa que se han de producir considerand recursos disponibles, las características tecnológicas existentes y la situación del mercado. El cr que orienta la selección de alternativas está generalmente asociado a minimizar los cost producción o a maximizar los ingresos o los beneficios obtenidos de la explotación. You're Reading a Preview 2.2.1. Planificación de la Producción de Puertas y Ventanas Unlock full access with a free trial.
La empresa ABRAX Ltda. fabrica puertas y ventanas de madera. Existen dos model puertas: puertas y ventanas: dobles y simples. El insumo más importante es la madera. El pr Free Trial de corte de las partes se realiza enDownload dos sierrasWith eléctricas de precisión y el barnizado lo e personal experimentado. Las cantidades de madera y los tiempos de corte y barnizado que re cada producto se muestran en la tabla 2.1.
Tabla 2.1. Requerimientos deSign recursos. up to vote on this title Producto
Madera (m2)
Useful
Corte (horas-máquina)
Not useful
Barnizado (horas-hombre)
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Se desea determinar un plan de producción para el mes que maximice el beneficio t cumpla con los compromisos de entrega, suponiendo que todo lo que se produce se vende.
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Optimización y M odelos para l a Ge
Tabla 2.2. Precios y costos. Producto
Precio (M$)
Costo unitario (M$)
Puertas dobles
120
80
Puertas simples
80
50
Ventanas dobles
100
75
Ventanas simples
60
30
FORMULACIÓN DEL MODELO
Variables de decisión
Las decisiones que la empresa desea tomar se refieren a la cantidad de puertas y ventanas de tipo por producir en el período considerado. debenReading fabricar aenPreview el mes, x1 = cantidad de puertas dobles que seYou're se deben fabricar en el mes, x2 = cantidad de puertas simples que Unlock full access with a free trial. x3 = cantidad de ventanas dobles que se deben fabricar en el mes, x4 = cantidad de ventanas simples que se deben fabricar en el mes. Download With Free Trial
Restricciones
Las restricciones deben establecer las limitaciones existentes en cuanto a la disponibilid los recursos y la necesidad de cumplir con los compromisos contraídos para el período. a) Disponibilidad de recursos
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La cantidad de madera utilizada en la producción total no puede exceder la cantidad máxim
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b) Cumplimiento de compromisos de entrega:
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La cantidad producida de puertas simples debe ser al menos suficiente para cumpl compromisos contraídos:
Capítulo 2
M odelos de Programaci ón M atemática
x2 200.
La cantidad producida de ventanas dobles debe ser al menos suficiente para cumpl compromisos contraídos: x3 120.
c) No negatividad de las variables: x1 , x2 , x3 , x4 0.
Función objetivo Como beneficio total = ingreso total – costo total de producción, entonces Beneficio total = z = 40 x1 + 30 x2 + 25 x3 + 30 x4. You're Reading a Preview
En resumen, el modelo lineal que maximiza el beneficio total es: Unlock full access with a free trial. Max z = 40 x1 + 30 x2 + 25 x3 + 30 x4 Download With Free Trial s.a. 4,0 x1 + 2,5 x2 + 3,0 x3 + 1,8 x4 800 1,5 x1 + 1,0 x2 + 2,0 x3 + 0,8 x4 400 2,0 x1 + 1,2 x2 + 1,5 x3 + 0,8 x4 300 up to vote on this title 200 x2Sign 120 Not useful x 3 Useful x1 , x2 , x3 , x4 0.
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El plan debe ser tal que no se exceda la cantidad disponible de recursos y que se satisf demanda.
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FORMULACIÓN DEL MODELO
Variables de decisión
El modelo debe ayudar a responder las siguientes preguntas: ¿qué cantidad producir de producto en cada período? ¿qué cantidad de producto dejar en inventario al final de cada pe Para responder estas preguntas se definen las siguientes variables: x jt = cantidad que se ha de producir del producto j en el período t, j=1,, n; t=1,, T , I jt = cantidad en inventario del producto j al final del período t , j=1,, n; t=1,, T .
Restricciones
Las restricciones deben establecer, por una parte, las limitaciones existentes en relació la cantidad de recursos disponible, y por otra, la política de la empresa en cuanto a disponer en período de una cantidad de producto tal que permita satisfacer la demanda estimada para el per
a) Disponibilidad de recursos: en cada período, la cantidad utilizada de recursos no debe ex You're Reading a Preview
la cantidad disponible: n
a x ij
jt
j 1
Unlock full access with a free trial.
bit
i 1,...., m; t 1,...., T . Download With Free Trial
b) Satisfacción de demanda y balance de inventario: en cada período, la cantidad producida m
cantidad en inventario al inicio del período deben ser suficientes para satisfacer la dem Además, si es necesario se dejará producto en inventario para el período siguiente: I j ,t 1 x jt I jt
d jt
j
1,...,Sign to n; t up 1,..., T .on this title vote
c) No negatividad de las variables:
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2.3. MEZCLA DE PRODUCTOS
El objetivo de este problema es determinar la composición, de mínimo costo o má beneficio, que debe tener cierto producto que se fabrica mezclando otros productos o ingredie que debe cumplir con ciertas especificaciones técnicas. El primer problema de este tipo q resolvió fue uno conocido como problema de la dieta donde se intenta determinar la fórm composición que debe tener un alimento de modo que satisfaga los requerimientos nutr establecidos.
Existen aplicaciones del problema de mezcla de productos en diversas áreas produc raciones para animales, productos alimenticios, elaboración de pinturas, combustibles, li productos farmacéuticos, fertilizantes etc.
2.3.1. Diseño de la Composición de Alimento de un Plantel Cunícola
El administrador de un plantel cunícola (i.e., crianza de conejos) desea determin composición de 1.000 kg de alimento que cumpla con los requerimientos nutritivos establ para el normal crecimiento de los conejos y que tenga el menor costo posible. En la elaborac alimento pueden utilizarse los ingredientes cuyas características nutritivas y costo se señalan tabla 2.3. You're Reading a Preview
La dieta debe tener las siguientes características: Unlock full access with a free trial. Proteína: Fibra: Hidratos de carbono: Calorías: Harina de pescado:
15%, Download mínimo 25%, With Free Trial mínimo 20% y máximo 40%, mínimo 800/kg y máximo 1.800/kg, máximo 10%. Sign up to vote on this title
Tabla 2.3. Características de los ingredientes. Useful Not useful Ingredientes
proteínas
fibra
hidratos de
calorías
costo
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Variables de decisión
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El administrador del plantel debe decidir qué cantidad de cada uno de los ingredientes contener la composición del alimento de los conejos. x1 = cantidad de harina de soya que se debe utilizar en la composición del alimento (kg), x2 = cantidad de harina de pescado que se debe utilizar en la composición del alimento (kg), x3 = cantidad de trigo que se debe utilizar en la composición del alimento (kg), x4 = cantidad de alfalfa que se debe utilizar en la composición del alimento (kg), x5 = cantidad de avena que se debe utilizar en la composición del alimento (kg).
Restricciones
Las restricciones se refieren a las características técnicas (nutritivas) que debe te alimento. a) Cantidad total: se necesita una cantidad de 1.000 kg: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1.000.
b) Proteína: el alimento debe contener 15% de proteína: You're Reading a Preview
9 x1 + 55 x2 + 7 x3 + 12 x4 + 8,5 x5 = 15 ( x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) , o bien Unlock full access with a free trial.
9 x1 + 55 x2 + 7 x3 + 12 x4 + 8,5 x5 = 15.000. Download With Free Trial
c) Fibra: el alimento debe contener al menos 25% de fibra: 12 x1 + 6 x3 + 25 x4 + 11 x5 25 ( x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ). debe d) Hidratos de carbono: la cantidad de hidratos de carbono que contiene el alimento Sign up to vote on this title
menos 20% y no más de 40%:
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50 x1 + 4 x2 + 66 x3 + 35 x4 + 58 x5 20 ( x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ) ,
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f) Harina de Pescado: la cantidad de harina de pescado contenida en el alimento no debe ser m 10%:
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x2 100.
g) No negatividad de las variables: x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0.
Función objetivo El costo total de la fórmula debe ser el menor posible. Por lo tanto, la función objetivo Min z = 45 x1 + 100 x2 + 70 x3 + 45 x4 + 80 x5.
2.3.2. Planificación de la Producción de Combustibles
La empresa GASOL Ltda., produce y vende dos tipos de gasolina: corriente y especial ello utiliza dos tipos de petróleo crudo: liviano y pesado, que tienen un costo de US$ 15 y U por barril, respectivamente. Las características de los dos tipos de petróleo se señalan en la tabl You're Reading del a Preview Tabla 2.4. Características petróleo crudo. Unlock full access with a free trial.
Petróleo liviano Densidad
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Octanaje Disponibilidad (barriles) Costo (US$/barril)
Petróleo pesado
0,65
0,85
70
102
800
600
15
20 title Sign up to vote on this
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Not useful
Las especificaciones exigidas para los productos finales: gasolina corriente y especial, precios de venta se muestran en la tabla 2.5
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Cada barril puede contener 40 kg de petróleo liviano, o 50 kg de petróleo pesado, o 60 gasolina. El octanaje de los combustibles corresponde a la media de los octanajes d componentes ponderada por su volumen.
Optimización y M odelos para l a Ge
El encargado de la producción de combustibles necesita determinar qué tipos de m utilizar para cada combustible y cuál debe ser el nivel de producción, de manera que se obte mayor utilidad posible. FORMULACIÓN DEL MODELO
Variables de decisión
La decisión de cuánto producir de cada gasolina y qué tipo de mezcla utilizar en cada u ellas se puede introducir en el modelo por medio de las siguientes variables:
x11 =cantidad de petróleo liviano que se debe utilizar en la producción de gasolina corriente (kg x12 =cantidad de petróleo liviano que se debe utilizar en la producción de gasolina especial (kg) x21 =cantidad de petróleo pesado que se debe utilizar en la producción de gasolina corriente (kg x22 = cantidad de petróleo pesado que se debe utilizar en la producción de gasolina especial (kg
Restricciones
Las restricciones deben establecer características técnicas que requiere cada gaso You'relas Reading a Preview las limitaciones en cuanto a disponibilidad de petróleo. Unlock full access with a free trial.
a) Características técnicas Download With Free Trial
Densidad: recordemos que ésta es igual a la masa dividida por el volumen. La densidad de la gasolina corriente debe ser al menos 0,7 y no más de 0,75:
x11 x21 x11 x21Sign up to vote on this title 0,65 0,85 . Useful Not useful
0,7
x11
0,75
x 21
x x
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Octanaje: El octanaje mínimo de la gasolina corriente es 85 octanos:
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x x x11 x21 70 11 102 21 0,65 0,85 0,65 0,85
85
El octanaje mínimo de la gasolina especial es de 94 octanos: x . x x12 x22 70 12 102 22 0,65 0,85 0,65 0,85
94
b) Disponibilidad de petróleo: Petróleo liviano: se pueden utilizar hasta 800 barriles de petróleo liviano: x11 + x21 800 40
Petróleo pesado: se pueden utilizar hasta 600 barriles de petróleo pesado: x12 + x21 600 50
d) No negatividad de las variables: You're Reading a Preview
Unlock access a free trial. , x with 0 x , xfull, x 11
21
12
22
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Función objetivo
Se desea maximizar el beneficio total. Por lo tanto, la función objetivo es:
Max z
x 30 x x x x12 20 x21 x22 15 up11to vote 21 12 22 Sign on thistitle 60 0,65 0,85 60 0,65 0,85 40 50 Useful Not useful 25 x11
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2.4.1. Transporte de Frutas
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Una empresa transnacional exportadora de frutas que opera en América del Sur determinar un plan de distribución de la fruta desde las plantas empacadoras hasta los centr distribución, para el período de verano. Las plantas se encuentran ubicadas en Rancagua, San y Bogotá. El mercado se ha agrupado en cuatro regiones, como se muestra en la figura 2.1., s cada una de ellas atendida por un distribuidor. Los centros de distribución están localizad Santiago, Río de Janeiro, Quito y Caracas.
Optimización y M odelos para l a Ge
En la tabla 2.6. se señalan los costos unitarios de transporte en M$, los requerimien cada región y la producción de fruta en las plantas, para el período de verano. FORMULACIÓN DEL MODELO
Variables de decisión
Sea xij la cantidad de fruta que se transportará desde la planta i al centro de distribuc donde los valores de i corresponden a 1=Rancagua, 2=San Pablo, 3=Bogotá y los de j a 1=San 2=Rio de Janeiro, 3 = Quito, 4=Caracas.
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San Pablo
Rio de Janeiro
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Tabla 2.6. Costos de transporte.
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Costos de transporte (M$/ton)
Producció (ton)
Destinos Orígenes
Santiago
Río de Janeiro
Quito
Caracas
Rancagua
3
20
30
35
300
San Pablo
15
5
35
40
250
Bogotá
45
25
10
12
200
120
300
80
200
Requerimientos (ton) Restricciones
a) Disponibilidad en las plantas: la cantidad total de fruta enviada por una planta no puede ex la cantidad producida en esa planta: You're Reading a Preview
x11 + x12 + x13 + x14 300 ,
Unlock full access with a free trial.
x21 + x22 + x23 + x24 250,
Download With Free Trial
x31 + x32 + x33 + x34 200.
b) Satisfacción de la demanda (requerimientos): cada centro de distribución debe recibir la can requerida: x11 + x21 + x31 = 120, x12 + x22 + x32 = 300,
+
+
80,
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Modelo general
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La estructura general del problema de transporte consiste en un conjunto de m orígene destinos. La cantidad de producto disponible en cada origen i es ai y el requerimiento en destino j es b j. El costo unitario de transporte entre cada par origen-destino, i-j, es cij. De esta el modelo lineal es:
Optimización y M odelos para l a Ge
m
Min z
i1
s.a
m
x
n
c x ij
ij
j 1
ij
b j
j
1,...,n,
ij
ai
i 1,...,m,
i 1 n
x j 1
xij
0
i
1,..., m; j 1,..., n.
Nótese que este modelo admite solución sólo si la oferta agregada de productos es igu demanda agregada, es decir, si You're Reading a Preview m
n
Unlock full access a withba.free trial. i1
i
j
j 1
Download With Free Trial
Se observa que si un determinado par origen-destino no se admite entre las combina posibles, por ejemplo porque no existe ruta directa, esto se puede representar eliminando del m la variable xij, correspondiente, o bien asignando a esa variable un costo muy alto. En el eje anterior, si no existe ruta entre San Pablo y Quito entonces la variable x23 se puede elimin modelo. Sign up to vote on this title
2.4.2. Transporte con Transbordo
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1
1 1
2
ai
i
2
xik
k
ykj j
b j
q m
n
Figura 2.2. Representación del problema de transporte con transbordo.
Se asumirá que los centros de transbordo sólo almacenan producto durante el pe considerado, esto es, los productos que recibe un determinado centro deben ser distribuidos d ese mismo período. Para este caso, el modelo se puede formalizar de la siguiente forma. Se variables de decisión: You're Reading a Preview origen al centro de transbordo k, xik = cantidad de producto enviada desde Unlockelfull accessiwith a free trial. i = 1,, m; k = 1,, q, el centro deFree transbordo ykj = cantidad de producto enviada desde Download With Trial k al destino j, k=1,, q; j = 1,, n.
Se consideran los siguientes parámetros que caracterizan los orígenes, destinos, centr transbordos y los costos de transporte: ai b j wk eik
Sign up to vote on this title = cantidad de producto disponible en el origen i, = cantidad de producto requerida en el destino j, Useful Not useful = capacidad del centro de transbordo k, = costo unitario de transporte desde el origen i al centro de transbordo k,
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Optimización y M odelos para l a Ge m
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x
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ik
wk
k 1,..., q.
i 1
c) Balance en los centros de transbordo: todo producto que llega a un centro de transbordo ser enviado a algún destino m
n
xik
i 1
y kj
k 1,..., q.
j 1
d) Satisfacción de los requerimientos: la cantidad total de producto enviada a un destino deb igual a la cantidad requerida por ese destino q
y
kj
b j
j
1,..., n.
0
i, j, k .
k 1
e) No negatividad de las variables: xik , y kj
Función objetivo You're Reading a Preview m
q
q
n
Min zUnlock = full accesse with +trial. xaikfree ik i=1
k=1
k=1
j=1
d kj y kj .
Download With Free Trial
En la práctica, la distribución de productos puede ser más compleja: existen orígenes qu puntos intermedios o de transbordo de productos y/o destinos que también pueden alm producto. Ver ejercicio 3 de este capítulo.
2.4.3. Transporte con Transbordo y MultiperíodoSign up to vote on this title
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Supongamos que se tiene la siguiente estructura para distribuir un producto en T períod orígenes, q centros de transbordo y n destinos. El producto se envía desde los orígenes a los ce
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y los siguientes parámetros:
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ait = b jt = wk = eikt = d kjt = hit = I i0 =
capacidad de producción en el origen i en el período t , cantidad de producto requerida en el destino j en el período t, capacidad del centro de transbordo k , costo unitario de transporte desde el origen i al centro de transbordo k en el período t, costo unitario de transporte desde el centro de transbordo k al destino j en el período t costo unitario de inventario en el origen i en el período t, cantidad de producto en inventario al comienzo del periodo 1 en el origen i.
Las restricciones del modelo son:
a) Disponibilidad en los orígenes: la cantidad total de producto enviada desde un origen m
cantidad dejada en inventario en el período debe ser igual a la disponibilidad de producto e origen en el período. La cantidad disponible es igual al inventario al inicio del período (es de final del período anterior) más la cantidad máxima que se puede producir en ese origen dura período I it
q
x
ikt
I i ,t 1 ait
i
1,..., m; t 1,..., T .
k 1
You're Reading a Preview 1
1
Unlock full access with a 1free trial.
Período 1 i
j
Download With Free Trial q
m
n
1
Período t
xikt
ait
1
ykjt
i
j q
I it
m 1
1
1
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b jt
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Optimización y M odelos para l a Ge
b) Capacidad de los centros de transbordo: la cantidad total de producto enviada a un cent transbordo en un período cualquiera no puede exceder la capacidad del centro
Sheet Music m
x
ikt
wk
k 1,..., q; t 1,..., T .
i 1
c) Balance de producto en los centros de transbordo: todo el producto que llega a un cent transbordo debe ser distribuido a los destinos m
x
n
ikt
i 1
y kjt
k 1,..., q; t 1,..., T .
j 1
d) Satisfacción de demanda : la cantidad total de producto enviada a un destino debe ser igua cantidad requerida en ese destino q
y
kjt
b jt
j
1,..., n; t 1,..., T .
k 1
e) No negatividad de las variables: xikt , y kjt , I it 0 i 1,..., m; j 1,..., n; t 1,..., T . You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
La función objetivo consiste en minimizar el costo total de transporte e inventario. Download With Free Trial T
Min z =
t=1
m h it I it + i=1
q
k=1
m e ikt x ikt + i=1
n
j=1
d kjt y kjt .
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Finalmente, se observa que este problema que se ha analizado para un producto Useful Not useful extenderse al caso en que existen varios productos que deben ser distribuidos a través de la m red de distribución.
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G
Sheet Music F
A
B
C
D
E
Figura 2.4. Estructura de la red ferroviaria.
Se ha estimado la cantidad de pasajeros que llega a cada estación, según su destino. 2.7. contiene la matriz de origen-destino estimada, esto es, el número estimado de pasajero desean viajar entre cada par de estaciones.
El costo del viaje en tren es de $ a por cada tramo (segmento entre dos estac consecutivas de la red), por persona. Los pasajeros que no consigan comprar pasaje deben utiliz bus que tiene un costo de $ b por cada tramo, por persona, con a
Tabla 2.7. Matriz origen-destino.
Download With Free Trial
Estaciones de destino
Estaciones de llegada A B C
B
C
D
200
300
Sign up 400 to vote on this title150 500 100
100
150
200
E
Useful
400
350
F Not useful
G
200
400
250
300
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Optimización y M odelos para l a Ge
cantidad de pasajeros que viajará en el tren y que llega a la estación i y tiene destino i = A, B, C, D, F; j = B, C, D, E, F, G.
Restricciones a) Capacidad de los trenes que efectúan los distintos tramos.
En el tramo A-B la cantidad total de pasajeros que ingresa al ferrocarril en la estación A no superar la capacidad del tren que sale de esta estación: x AB + x AC + x AD + x AE + x AF + x AG 1.200.
En el tramo B-C la cantidad total de pasajeros que efectuará este tramo no debe exced capacidad del tren. La cantidad de pasajeros corresponde a los que subieron al tren en destino C, D, E, F ó G, más los que subirán en B con los mismos destinos: x AC + x AD + x AE + x AF + x AG + x BC + x BD + x BE + x BF + x BG 1.200. En el tramo C-D la cantidad total de pasajeros corresponde, en este caso, a las personas que en la estación A, B ó C con destino D ó E: x AD + x AE + x BD + x BE + xCD + xCE 1.200. You're Reading a Preview
En el tramo D-E la cantidad total deUnlock pasajeros corresponde, en este caso, a las personas que full access with a free trial. en la estación A, B, C ó D con destino E: Download With Free Trial
x AE + x BE + xCE + x DE 1.200. En el tramo C-F la cantidad total de pasajeros corresponde, en este caso, a los que suben estación A, B ó C con destino F ó G. La capacidad del tren que efectúa este tramo es pasajeros: 800. x AF + x AG + x BF + x BG + xSign xCG CF +up to vote on this title
Useful Not useful En el tramo F-G la cantidad total de pasajeros corresponde, en este caso, a los que suben en A ó F con destino G:
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c) No negatividad de las variables: xij 0
para i, j relevante.
Función objetivo
Minimizar el costo total de todas las personas que desean viajar, es equivalente a maxi el ahorro total. Max z = (b - a) x AB + 2(b - a) x AC + 3(b - a) x AD + 4(b - a) x AE + 3(b - a) x AF + 4(b - a) x AG + (b - a) x BC + ................ + 2(b - a) xCG + (b - a) x FG.
2.5. OTROS MODELOS LINEALES
En esta sección se presentan varios problemas que pueden ser modelados utili programación lineal continua.
2.5.1. Pérdidas de Material en Proceso de Corte
You're a Preview Una industria que fabrica papel y loReading distribuye en rollos debe determinar la mejor form realizar el proceso de corte. Los rollos de papel que se producen tienen un ancho de 100 cm Unlock full access with a free trial. embargo, los clientes demandan rollos de 30 cm, 45 cm y 50 cm de ancho. Por lo tanto, al cor rollos de 100 cm se incurre en una pérdida de material que depende de la forma en que se cort Download With Free Trial rollos originales. Se desea determinar la forma de efectuar el corte de manera que se satisf demanda y se minimice la pérdida total de material. Se tiene un pedido de 800 rollos de 30 c ancho, 500 rollos de 45 cm y 1.000 rollos de 50 cm. Dadas las características de los demandados por los clientes, existen seis alternativas diferentes de corte de un rollo de 100 c ancho, que se muestran en la figura 2.5. Sign up to votePÉRDIDA on this title
Esquema 1
30
30
30
Useful
Not useful 10
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Variables de decisión: las decisiones que se desean tomar se refieren a qué esquemas de utilizar. Se define la siguiente variable de decisión:
Optimización y M odelos para l a Ge
xi = cantidad de rollos de 100 cm de ancho que se cortarán según el esquema de cortei, i=1,
Restricciones
a) Satisfacción de la demanda: la cantidad total de rollos de 30 cm, 45 cm y 50 cm, resultant proceso de corte debe ser igual a la solicitada.
Rollos de 30 cm: los esquemas de corte que contienen rollos de 30 cm son 1, 2 y 6. Cada cortado según el esquema 1 aporta 3 rollos de 30 cm de ancho. Análogamente, el esquema 2 ap rollo de 30 cm y el esquema 6 también aporta 1 rollo de 30 cm. Por lo tanto, se tiene que: 3 x1 + x2 + x6 = 800.
Rollos de 45 cm: los esquemas de corte que contienen rollos de 45 cm son 2, 3 y 4, que aporta y 1 rollo de 45 cm de ancho, respectivamente, por cada rollo de 100 cm. Luego: x2 + 2 x3 + x4 = 500. You're Reading a Preview
Rollos de 50 cm: los esquemas de corte que contienen rollos de 50 cm son 4, 5 y 6, que aporta with arespectivamente. free trial. y 1 rollo de 50 cm de ancho por cadaUnlock rollo full de access 100 cm, Por lo tanto: Download Free Trial x3 + 2 x5 + xWith 6 = 1.000.
b) No negatividad de las variables xi 0
Función objetivo
i = 1,, 6. Sign up to vote on this title
Not useful La pérdida total de material es z = 10 x1 + 25 x2 + 10 x3 + 5 x4 + 20 x6 . Luego, la fu
objetivo es
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2.5.2. Administración de Vestimenta Quirúrgica
El administrador de una clínica que acaba de instalarse necesita proveer cada d pabellones quirúrgicos de vestimenta suficiente para los equipos médicos que efectu intervenciones. Cada vestimenta está compuesta por bata, gorra, mascarilla y cubre-zapatos. S estimado las intervenciones que se efectuarán en los próximos T días, de manera que se cono número de personas que ingresarán a los pabellones cada día. La vestimenta usada se somet proceso de lavado y esterilización para ser utilizada nuevamente. Existen dos procesos de esterilización: uno rápido que demora 1 día y se realiza durante la noche, y otro normal que d 2 días y se efectúa durante el día. Esto es, lo que se envía a lavado rápido al final del día disponible para ser utilizado al día siguiente, y lo que se envía a lavado normal al final del dí disponible al día subsiguiente. El lavado rápido tiene un costo de $ a por vestimenta y el norm costo de $ b por cada una. También se pueden comprar vestimentas nuevas a un precio unitari g , tal que g >> a, b. El administrador desea determinar para cada día qué cantidad de vestim nuevas debe utilizar, qué cantidad debe enviar al servicio de lavado rápido y qué cantidad al se de lavado normal. FORMULACIÓN DEL MODELO
Sea ai la cantidad de vestimentas que se requieren para el día i, i = 1,, T . Se de siguientes variables de decisión: xi = yi = wi = r i =
You're Reading a Preview
cantidad de vestimentas nuevas que se utilizarán el día i, i = 1,, T, Unlock full access with a free trial. cantidad de vestimentas que serán enviadas a lavado normal el día i, i = 1,, T – 2, cantidad de vestimentas que serán enviadas a lavado rápido el día i, i = 1,, T – 1, Withenviadas Free Trial cantidad de vestimentas usadasDownload que no serán a lavado el día i, i = 1,, T .
Restricciones
a) Satisfacción de requerimientos: al comienzo del día debe tenerse la cantidad necesaria par día.
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requerimientos del primer día deb Dado que inicialmente no se tienen vestimentas usadas, los satisfechos con vestimentas nuevas: Useful
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b) Proceso de lavado: al final del día las vestimentas usadas pueden enviarse a lavado o dejar lavar hasta el día siguiente.
Sheet Music
Las únicas vestimentas usadas el final del primer día corresponden a las utilizadas ese día: y1 + w1 + r 1 = a1.
Las vestimentas usadas el día i, i= 2,...,T-2 corresponden a las que fueron utilizadas ese día que el día anterior no se enviaron a la lavandería: – 2. yi + wi + r i = ai + r i-1 i = 1,, T
Si se supone que no interesa dejar vestimentas limpias después del día T, entonces no se man vestimentas a lavado normal en el día T-1: wT-1 + r T-1 = aT-1 + r T-2.
El último día no se manda a lavar, por lo tanto sólo se contabiliza la cantidad de vestimentas u que quedan: r = a + r 1.
c) No negatividad de las variables: You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
x ,i y ,i w ,i r i 0
Función objetivo
i = 1,, T .
Download With Free Trial
Se desea minimizar el costo total de administración de las vestimentas. Los costo inciden en el total son el de compra y el de lavado-esterilización. Por la tanto la función objetiv Min z
T 2
T Sign
T 1
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x . a y b w g Useful i
i 1
i
i
i 1
i
i
i 1
i
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c1 1 1
4
1 1 1
c3
c4
2
A c5
1 c2 c6
B C Figura 2.6. Diseño de una estructura.
Recordemos que para resolver este tipo de problema es necesario plantear las ecuacion equilibrio de fuerzas y equilibrio de torques entre los cables. Considérese una estructura co siguiente:
F C1
F
You're Reading a Preview
a
F C2
b
Unlock full access with a free trial.
Download Withrealizada Free Trial donde F C1 y F C2 representan la resistencia o fuerza por los cables C1 y C2 respectivam y F el peso del objeto que se desea colocar en la posición indicada.
Las relaciones de fuerzas y torques son: Equilibrio de fuerzas: F = F C1 + F C2
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Equilibrio de torques: F C1 a = F C2 b De donde, F
b/( +b) F
F
/( +b) F
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Optimización y M odelos para l a Ge
x1 = peso que se puede colocar en A, x2 = peso que se puede colocar en B, x3 = peso que se puede colocar en C.
Restricciones a) Se requiere una restricción para cada uno de los seis cables de la estructura: Cable C1:
1
/3 x1 + ¾ x2 + 1/6 x3 200.
Cable C2:
2
Cable C3:
¾ x2 200.
Cable C4:
¼ x2 200.
Cable C5:
½ x3 120.
Cable C6:
½ x3 120.
/3 x1 + ¼ x2 + 5/6 x3 200.
b) No negatividad de las variables.
You're Reading a Preview
x1 , Unlock x2 , x3 full0. access with a free trial.
Función objetivo
Download With Free Trial
Para maximizar la suma total de los pesos, la función objetivo es: Max z = x1 + x2 + x3. Sign up to vote on this title
2.6. MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA Useful Not useful
Los modelos de optimización que se presentan en esta sección corresponden a aquello
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2.6.1. El Problema de la Mochila
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Un excursionista está preparando su mochila para un viaje y debe decidir los alim enlatados que llevará. Ha comprado una lata de leche, una de atún, una de duraznos y otra de Los pesos son 200, 130, 300 y 150 gr, respectivamente. Sin embargo, sólo dispone compartimento en la mochila que soporta hasta 600 gr. ¿Cuáles alimentos debe elegir?
Capítulo 2
M odelos de Programaci ón M atemática
Se puede solicitar al excursionista que priorice en orden de importancia decrecien alimentos, asignando un coeficiente de 1 a 10 a cada uno. Supongamos que los coefic asignados son 6, 8, 7 y 10 para la leche, atún, duraznos y paté respectivamente.
Para ayudarlo a tomar la decisión, se puede plantear el siguiente modelo que maxim importancia del conjunto de alimentos escogidos sin exceder el peso total máximo.
FORMULACIÓN DEL MODELO
Sea xi = 0 ó 1 la variable de decisión tal que xi =1 indica que se debe escoger el alimen xi = 0 en caso contrario, i =1, 2, 3, 4.
Restricciones
a) Capacidad de la mochila: el pesoYou're total de los alimentos seleccionados no debe exceder el Reading a Preview máximo que soporta la mochila
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200 x1 + 130 x2 + 300 x3 + 150 x4 600. b) Binariedad de las variables:
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x1 , x2 , x3 , x4 {0,1}.
Función objetivo
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Useful Noteluseful Se desea maximizar la importancia que tiene para el excursionista conjunto de alim escogidos:
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contenido de la mochila, sin exceder la capacidad de ésta. Los objetos son indivisibles, por l sólo se pueden colocar en la mochila cantidades enteras de un tipo de objeto.
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Optimización y M odelos para l a Ge
Se denota por x j las unidades del objeto tipo j que se colocarán en la mochila, j = 1, Entonces el modelo lineal que permite decidir las cantidades de cada uno de los objetos que colocadas en la mochila es el siguiente: Max z
n
v x j
j
j 1
s.a. n
w x j
j
W
j 1
x j 0, entero j 1,...,n.
Este problema se conoce como el problema de la mochila (knapsack) entero. Si sólo un objeto de cada tipo entonces x j = 1 ó 0, y en este caso el problema se denomina "knap binario o 0-1. Otras aplicaciones de este problema se obtienen al considerar mercaderías que ser almacenadas o transportadas considerando una disponibilidad de espacio o de peso limita problema de selección de proyectos de la subsección siguiente es también una aplicación d problema. You're Reading a Preview
Este problema se puede resolver en tiempo O(nW ) con un enfoque de program Unlock full access with a free trial. dinámica. Sin embargo, a menos que W sea un polinomio en n, el algoritmo resultante no polinomial en el tamaño del problema. Esto de acuerdo al enfoque de complejidad comput Download With Free Trial discutido en la sección 1.5. del capítulo 1.
2 6.2. El Problema de Asignación
Este problema se presenta cuando se tienen dos conjuntos igual número Sign up tode vote on this title de objeto desea determinar pares de objetos tales que un objeto del a un conjunto y Usefulpertenece par Not useful objeto al otro conjunto. Por ejemplo, asignación de trabajos a personas, de trabajos a máq personas a máquinas, etc. Una de las versiones más conocidas consiste en determinar de
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M odelos de Programaci ón M atemática
Optimización: Economía: Investigación Operativa: Gestión de Operaciones: Evaluación de Proyectos:
profesor A, profesor B, profesor C, profesor D, profesor F,
tiene un nivel total de satisfacción de preferencias de 8 + 6 + 5 + 8 + 9 = 36.
Tabla 2.8. Preferencias por cursos. Profesores Cursos
A
B
C
D
F
Optimización
8
9
6
10
3
Economía
6
6
10
4
9
Investigación Operativa
10
8
5
10
4
Gestión de Operaciones
10
9
4
8
5
Evaluación de Proyectos
5
4
9
3
9
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Claramente, existen otras asignaciones que tienen un nivel de satisfacción total mayo éste. En este caso, se tienen 5432Download = 120 formas de efectuar la asignación de profe Withdistintas Free Trial a cursos. La evaluación exhaustiva de todas ellas resulta bastante tediosa, sin embargo, es to posible de realizar. En general, si se deben realizar n asignaciones, existen n posibilidades que cuando n es grande la enumeración explícita de todas ellas resulta impracticable. Podría ser útil modelar la situación utilizando programación matemática.
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FORMULACIÓN DEL MODELO
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Not useful
Se desea determinar cuál es la asignación de profesores a cursos, de tal manera que
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a) Cada profesor debe ser asignado a un curso:
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Optimización y M odelos para l a Ge
n
x
ij
1
1,..., n.
i
j 1
b) A cada curso debe asignarse exactamente un profesor: n
x
ij
1
j
1,..., n.
i 1
c) Binariedad de las variables: xij{0,1}
i, j =1,, n.
Función objetivo
Se desea determinar la asignación que maximice el nivel total de satisfacció preferencias. Sea cij la preferencia del profesor i por dictar el curso j, para i, j = 1, , n. Enton función objetivo es: You're Reading a Preview n
n
i 1
j 1
Unlock full access with a free trial.
Max z
c x ij
ij
Download With Free Trial
En algunas aplicaciones es posible que en lugar de maximizar el valor de la función ob se requiera minimizarlo. Por ejemplo, si se trata de asignar trabajos a personas y se información del tiempo que le toma a cada persona realizar los diferentes trabajos, enton función objetivo consistirá en minimizar el tiempo total de ejecución de todos los trabajos. Sign up to vote on this title
n, siendo m n, entonces se p Si uno de los conjuntos tiene m elementos y el otro tiene Useful Not useful formar m pares de elementos. En el ejemplo de profesores y cursos, si se tienen m curso profesores a cada curso se le debe asignar un profesor, pero podrían quedar profesores sin curs restricciones son:
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ingeniero ha manifestado, en alguna escala, su preferencia para trabajar con los otros. Sea preferencia del ingeniero i para trabajar en equipo con el ingeniero j. Se define la variable: xij
10
si el ingeniero i forma equipo con el ingeniero j en caso contrario
donde i j, i =1,, n. De esta forma, el modelo que determina la asignación que maxim satisfacción de las preferencias es: Max z
n 1
n
i 1
j i 1
c x ij
ij
s.a. n
x
1 j
1
j 2
i 1
x
ki
k 1
n 1
x
kn
n
x
ij
1 i 2,...,n 1
j i 1
1
k 1
xij 0Reading ,1 i a Preview 1,...,n 1; j i 1,...,n. You're Unlock full access with a free trial.
Este problema se denomina "problema de apareamiento perfecto" (perfect matching proble inglés). Download With Free Trial
2.6.3. Selección de Proyectos
Un inversionista dispone de $ K para invertir en n proyectos diferentes. El proy Sign up to vote on this title requiere una inversión a j y tiene una rentabilidad estimada r j, j = 1,, n. No se pueden re Useful o fracciones de proyectos, esto es, un proyecto se realiza completo noNot se useful realiza. El model maximiza la rentabilidad total de la inversión, suponiendo que las unidades monetaria consistentes, es:
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donde x j = 1 si se invierte en el proyecto j y x j = 0 en caso contrario. Este problema correspond knapsack binario, donde los objetos son proyectos. En muchos casos prácticos existen relac entre los proyectos que generan restricciones adicionales en el modelo.
Optimización y M odelos para l a Ge
Restricciones adicionales
a) Proyectos excluyentes: no se puede invertir en el proyecto i y en el proyecto k simultáneam esto es, se puede invertir en el proyecto i o en el proyecto k o en ninguno de ellos, pero ambos: xi + xk 1.
b) Proyectos incluyentes: los proyectos i y k se realizan simultáneamente o no se realiza ningu xi = xk .
c) Proyectos requisito:
Un requisito: para invertir en el proyecto i se requiere invertir en el proyecto k. Sin embar puede invertir en el proyecto k sin invertir en el i: xi xk .
You're Reading a Preview
Varios requisitos: para invertir en el Unlock proyecto i se requiere invertir en al menos uno de los pr full access with a free trial. del conjunto Q {1, 2,, n}: Download With Free Trial x i x j .
j Q
2.6.4. El Problema del Vendedor Viajero Sign up to vote on this title
Un vendedor debe viajar a n ciudades. El costo de viajar de la ciudad i a la ciudad j es Useful Not useful vendedor desea partir en alguna ciudad, visitar cada una de las ciudades restantes exactament vez, y retornar a la ciudad de donde partió ¿cuál es orden en que el vendedor debe visit
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a) El vendedor debe entrar exactamente una vez a cada ciudad : n
x
ij
1 j 1,..., n.
i 1
b) El vendedor debe salir exactamente una vez de cada ciudad : n
x
ij
1 i 1,..., n.
j 1
c) Estas restricciones no son suficientes para describir un circuito, dado que son satisfecha subcircuitos. Por ejemplo, si el vendedor debe recorrer 5 ciudades, la solución x14 = x45 = x51 x32 =1 y el resto de las variables iguales a 0, verifica las restricciones anteriores, pero no corres a un circuito, sino a dos subcircuitos, como se muestra en la figura 2.7.
1 2
You're Reading a Preview
5
3
4 with a free trial. Unlock full access
Figura 2.7. Subcircuitos. Download With Free Trial
Para asegurar que la solución corresponde a un circuito, se requieren restricc adicionales. Se han propuesto diversas formas para evitar los subcircuitos. Una de ellas sur observar que para tener un circuito, evitando los dos subcircuitos del ejemplo, se debe realiz Sign up to vote on this title viaje entre alguna ciudad del conjunto {1,4,5} hacia alguna ciudad del conjunto {2,3} y vice Not U useful En general, para cada subconjunto de ciudades U {1,, n } talUseful que 2 n – 2 las restriccio
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Optimización y M odelos para l a Ge
d) Binariedad de las variables:
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xij
0,1 i, j 1,..., n.
Función objetivo Para obtener el viaje o circuito de menor costo total la función objetivo es: Min z
n
n
c x ij
ij .
i 1 j 1
Algunas aplicaciones de este problema se presentan en ruteo de vehículos, por ejemplo vehículo debe distribuir cierto producto en diferentes lugares, o bien recoger productos o pas de distintos puntos de una ciudad. También se puede aplicar en la construcción de aparatos don dispositivo debe realizar una operación en diferentes lugares o componentes, por ejemplo un automático que efectúa la unión de partes en circuitos integrados VLSI.
2.7. MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA
Reading a Preview Existen modelos lineales queYou're contienen algunas variables de decisión continuas y enteras o binarias; en este caso se dice que el modelo es mixto. En esta sección se presentan al Unlock full access with a free trial. modelos de esta clase. Download With Free Trial
2.7.1. Localización de Plantas
Los problemas de localización constituyen una clase importante de problemas que p ser formulados por medio de un modelo lineal entero. El más simple de ellos tiene la sig estructura: dado un conjunto N = {1, 2,, n} de localizaciones posibles para Sign up to vote on thisinstalar title P planta conjunto M = {1,, m} de clientes que demandan producto, determinar cuáluseful es la ubicación Useful Not plantas que permite satisfacer la demanda a un mínimo costo.
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1 si se instala una planta en la localidad i 0 en caso contrario.
yij = cantidad de producto a ser transportada desde la planta i al cliente j.
Restricciones a) Satisfacción de demanda: a cada cliente debe enviarse la cantidad de producto demandada n
y
ij
b j
j
1,..., m.
i 1
b) Capacidad de planta: la cantidad total de producto enviada por una planta no puede exce capacidad de esa planta: m
y
ij
u i xi
i
1,..., n.
j 1
You're Reading a Preview
Se observa que si en esta restricción xi=0, entonces todas las variables yi1 , yi2,..., yim tam full access with a free trial. son iguales a cero. Esto debe ser asíUnlock puesto que xi=0 significa que no se construye una planta luego no se puede enviar productos desde esta localidad. Download With Free Trial
c) Número de plantas: se pueden instalar hasta P plantas: n
x
i
P .
i1
d) No negatividad y binariedad de las variables: yij
0 {0,1}
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i = 1,, n; j = 1,, m,
= 1,
Not useful
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2.7.2. Modelamiento de Costos Fijos
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En los modelos lineales donde las variables de decisión representan el nivel que deben las actividades consideradas, se asume que la función objetivo es una función lineal de las vari Sin embargo, en muchas situaciones prácticas el costo asociado a una actividad tiene la f indicada en la figura 2.8., es decir, el costo de realizar la actividad j al nivel x j es 0 si x j = d j + c j x j si x j 0. El costo d j se denomina costo fijo y se incurre en él cuando la actividad j se r a cualquier nivel positivo y no depende del nivel de la actividad. Por ejemplo, si x j es la cantid madera que se transporta desde el bosque a un aserradero, entonces d j es el costo de constr camino entre el bosque y el aserradero. El costo c j representa el costo variable de transpor madera hasta el aserradero, una vez que el camino ha sido construido.
Optimización y M odelos para l a Ge
Costo Actividad j c d
You're Reading a Preview
x
Figura 2.8. Costo fijo.
Unlock full access with a free trial.
With Free Trial El problema de encontrar unaDownload solución que minimice el costo total, esto es, los costos más los costos variables, si las restricciones son también lineales, se denomina el problema lin costo fijo,. La función objetivo en este caso es: n
Min z =
x .up to vote on this title d c Sign
j J
donde J es el conjunto { j : j tal que x j 0 }.
j
j
j=1
j
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Las siguientes restricciones incorporan al modelo la relación entre ambas variables: x j M y j
j = 1,, n,
x j 0
j = 1,, n,
y j {0,1}
j = 1,, n.
donde M es un número positivo suficientemente grande. En general, es posible obtener v apropiados para M de modo que, por una parte, no se impongan restricciones artificiales al óptimo de x j y que, por otra, no se generen problemas numéricos en los algoritmos.
Claramente, cuando y j es igual a 0, la variable x j debe ser igual a 0. Por otro lado, cuan es positiva, la variable y j debe ser igual a 1. De esta forma la función objetivo es: Min z
n
n
c x d y j
j 1
j
j
j
j 1
Costos con esta estructura surgen en situaciones que incluyen construcción de cam sistemas de distribución de agua, petróleo o gas aa través de una red de cañerías, oleoduc You're Reading Preview gasoductos que se deben construir, localización de instalaciones, etc. Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial 2.7.3. Programación de Trabajos
Como se vio en el capítulo 1, este tipo de problemas surge cuando se desea determi secuencia óptima de procesamiento de trabajos en un conjunto de máquinas. Consideremos un que necesita efectuar n trabajos en m máquinas. Cada trabajo debe ser procesado por cada una preestablecido. Cada máquina m máquinas y el orden de las máquinas para cada trabajo está Sign up to vote on this title procesar un trabajo a la vez, y cada trabajo debe ser completamente procesado, antes de Not useful Useful otro en la misma máquina. Se desea determinar una secuencia para procesar todos los traba manera que la suma de los tiempos totales de procesamiento de todos los trabajos sea mínima
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Optimización y M odelos para l a Ge
a) El procesamiento en la máquina (k +1) del trabajo j no puede comenzar antes que se compl proceso en la máquina k : t k+1,j t kj + skj
k = 1,, m-1; j = 1,, n.
b) Cada máquina puede procesar un trabajo a la vez: si el trabajo p es realizado en la máqu antes que el trabajo q, entonces se tiene que: t kq t kp + skp
pero si el trabajo q es realizado en la máquina k antes que el trabajo p, entonces se tiene que: t kp t kq + skq
Esto es, una de estas dos restricciones debe cumplirse para el par de trabajos p y q en la máqu Para representar esta relación disyuntiva entre estas dos restricciones se define la siguiente va binaria:
x kpq
1 si el trabajo p es proc esadoen la maquina k antes que el trabajo q You're Reading a Preview 0 en caso contrario. Unlock full access with a free trial. Download With Free Trial
y se consideran las siguientes restricciones:
M xkpq + t kp – t kq skq
k = 1,, m; p, q = 1,, n.
M (1 – xkpq) + t kq – t kp skp
k = 1,, m; p, q = 1,, n. Sign up to vote on this title
donde M es suficientemente grande.
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Función objetivo
Se desea minimizar la suma de los tiempos totales de procesamiento de todos los trabajo n
Min z
t mj . j 1
El modelo contiene m n2 variables binarias. Para valores de m y n de interés práctico han encontrado métodos eficientes que permitan resolverlo. Por otra parte, las situaciones prá suelen ser más complejas que la discutida aquí; es necesario, por ejemplo, considerar los tiemp preparación de las máquinas, relaciones de precedencia más sofisticadas entre los distintos tr debido al tipo de proceso de fabricación, fechas de entrega de los trabajos, etc.
2.8. MODELOS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL
El supuesto de linealidad de los modelos de programación lineal, si bien es cierto q aplicable en una amplia variedad de problemas, en otras aplicaciones no lo es. Dado que un m representa aproximadamente la realidad, en muchas situaciones prácticas se linearizan los elem no lineales, debido a que para muchos modelos lineales se cuenta con herramientas que per resolverlos en forma más eficiente. Lo importante es distinguir en qué situaciones la linearizac You're Reading ayPreview una situación esencialmente no lineal es adecuada considerar qué nivel de desviación e soluciones es aceptable. En esta sección se presentan algunos problemas que pueden ser mode Unlock full access with a free trial. utilizando programación no lineal. Download With Free Trial
2.8.1. Diseño de Embalajes
Una empresa exportadora debe enviar cada mes cierta cantidad de producto a sus client producto es embalado en una caja rectangular. El fondo de la caja es de un material resistente disponibilidad máxima es de 60 metros cuadrados y la altura detolavote caja no title puede exceder Sign up on this metros. ¿Qué dimensiones debe tener la caja, de manera que volumen Notmáximo? useful elUseful sea
Sea x el largo, y el ancho y w la altura de la caja, como se indica en la figura 2.9. El m
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Optimización y M odelos para l a Ge
Max z = xyw s.a. xy 60 w 12 x, y, w 0.
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Otra versión muy conocida de este problema consiste en determinar las dimension varias cajas. Supongamos que, además del fondo, la cara frontal y la cara posterior son del m material, del cual se dispone de hasta 60 m2. Sin embargo, el material de las otras dos caras y l debe comprarse a un costo de M$ 5 el metro cuadrado. Por otro lado, existe un costo de tran de M$ 3 por caja. El modelo que determina las dimensiones de cada caja y la cantidad Q de que se requieren para transportar un volumen V de producto, es el siguiente: Min z = 3Q + 10 wyQ + 5 xyQ s.a. Qwxy = V 2wy + xy 60 w, x, y, Q 0. You're Reading a Preview
2.8.2. Algunos Problemas Geométricos
Unlock full access with a free trial.
Existen diversos problemas en geometría que pueden ser modelados mediante program matemática. A continuación se presentan dos deWith ellosFree a modo Download Trialde ejemplo.
Distancia de un punto a una recta
Encontrar la distancia mínima desde el origen a cualquier punto contenido en la rec Sign up to vote on this title pasa por los puntos (0,3) y (3,0).
Useful Not useful La recta que contiene los puntos señalados es x1 + x2 = 3. Sea d la distancia mínima de
origen a esta recta. Entonces el problema es:
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M odelos de Programaci ón M atemática
Sea r el radio de la circunferencia. El problema consiste en: Min r = [ ( x1 – 2)2 + ( x2 – 2)2 ] ½ s.a. 2 x1 + 2 x2 4 4 x1 + x2 4.
2.8.3. Localización de una Planta
Una empresa cuenta con n centros de distribución de sus productos. Se desea instala planta, de tal forma que la distancia total hasta los centros distribuidores sea mínima, muestra en la figura 2.10.
Sean (x ,i yi) las coordenadas del centro de distribución i, en algún sistema de tipo cartesi y
(x ,y i ) i
(xn ,yn )
You're Reading a Preview Unlock full access (x,y)with a free trial.
(x1 ,y1 )
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x
Figura 2.10. Localización de una planta. Sign up to vote on this title
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Para decidir la localización de la planta, sean ( x,y) las coordenadas de la planta. Enton modelo consiste en:
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INVESTIGACION DE PROYETO7 OPERACIONES_
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El costo de almacenar una unidad de producto durante un período es de h u.m (uni monetarias). En la fabricación del producto intervienen m insumos (materias primas) y ma obra. La disponibilidad del insumo i en el período t es bit y la cantidad de insumo i que requier unidad de producto es ai. Un trabajador produce k unidades del producto en un período. La ma obra puede ser contratada o despedida según las necesidades. Sin embargo, tanto contratar despedir trabajadores tiene un costo, por lo que la planificación debe ser tal que el nivel de ma obra utilizada sea lo más estable posible.
Optimización y M odelos para l a Ge
FORMULACIÓN DEL MODELO
Se desea determinar para cada período el nivel de producción, el inventario que se para el período siguiente y el nivel de la mano de obra, de manera de satisfacer la deman exceder la disponibilidad de insumos y, de tal modo, que la cantidad de trabajadores sea lo estable posible y el costo de inventario sea mínimo.
Variables de decisión Se definen las siguientes variables: xt = I t = Lt =
cantidad de producto a fabricar durante el periodo t , cantidad de producto en inventario al final del período t , nivel de la mano de obra (cantidad trabajadores) al final del período t . You'redeReading a Preview Unlock full access with a free trial.
Restricciones
a) Disponibilidad de insumos: la cantidad deWith insumos utilizada durante un período no Download Free Trial exceder de la cantidad disponible: ai xt bit
i = 1,, m; t = 1,, T .
b) Satisfacción de demanda: la demanda de un período puede ser satisfecha con producció Sign up to vote on this title período y/ o con inventario del periodo anterior, donde I 0 es el inventario inicial: xt + I t-1 – I t = d t
Useful Not useful t = 1,, T .
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M odelos de Programaci ón M atemática
e) No negatividad de las variables x ,t L ,t I ,t y ,t wt 0
t = 1,, T .
Función objetivo
Supongamos inicialmente que el costo de la variación de la mano de obra es lineal. Se costo de contratar un nuevo trabajador y el costo de despido. En este caso la función objetivo T
T
T
t=1
t=1
t=1
Min z = h I t + yt + wt .
En muchas situaciones prácticas, estos costos no son lineales. Si los costos de contratac despido son proporcionales al cuadrado del aumento o disminución en el nivel de mano de ob función objetivo es: T
T
T
t=1
t=1
t=1
Min z = h I t + yt 2 + wt 2.
Análogamente, es posible que en algunas situaciones el costo de inventario sea propor al cuadrado del nivel de producto almacenado. En este caso la función objetivo es: T T T You're Reading a Preview
Min z = h I t2 + yt + wt . t=1
t=1
t=1
Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial 2.8.5. El Problema de Distribución de Instalaciones (Layout)
Este problema corresponde en realidad a uno de localización y tiene mucha importancia gestión de operaciones. Se presenta, por ejemplo, en una fábrica en la cual debe decidirse so instalación de la maquinaria. El punto es que una ubicación “inteligente” de esa maquinaria
reducir considerablemente las distancias recorridas por las Sign componentes intermedias que tiene up to vote on this title pasar de una máquina a otra, con el consiguiente ahorro de dinero. Otro ejemplo, es Useful y Not useful tiempo no industrial, es el de distribuir de manera inteligente las áreas de atención médicas e consultorio, también con el objeto de reducir el tiempo empleado en traslados.
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y las variables de decisión binarias:
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xik
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Optimización y M odelos para l a Ge
1 0
si la maquina i se instala en el lugar k en caso contrario.
Las siguientes restricciones son inmediatas y establecen que cada máquina se debe in en un sólo lugar y que cada lugar acepta a lo más una máquina. n
x
ik
1
i
1,...,m.
ik
1
k 1,...,n.
k 1 m
x i 1
La función objetivo debe contabilizar la distancia total recorrida por unidad de tiempo se logra con: Min z
m
m
n
n
T d ij
i 1
j 1
k 1
kl
x ik x jl .
l 1
El problema resultante tiene función objetivoanoPreview lineal y además es entero. Se conoce You're Reading problema de localización cuadrática y pertenece a la clase de problemas NP -completo, por lo Unlock full access with a free trial. difícil resolución.
La necesidad de mantener cierta s unidades “alejadas” Download With Free Trialpuede manejarse introduciendo wij que serán relativamente pequeños si la máquina i debe estar lejos de la máquina j. La fu objetivo cambia a Min z
m
m
n
n
w T d x ij
i1
j 1
k 1
l 1
y el problema tiene la misma estructura mencionada.
ij
kl
ik
x jl .
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R( x) =
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j x j
j 1
n
y la varianza es
V ( x) =
n
i1
aij xi x j
j 1
donde V ( x) corresponde al riesgo de la cartera.
Por lo tanto, si se desea determinar la composición de la cartera de inversiones de mod se garantice que la utilidad esperada es de al menos millones de pesos por cada unidad mon invertida y que minimiza el riesgo, el modelo es:
Min z
n
n
i 1
j 1
a x x ij
i
j
s.a. n
x 1 x j
j 1 n
j
j
You're Reading a Preview x j 0 j 1,...,n. j 1
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2.9. MODELOS EQUIVALENTES
Dada una situación real que puede ser modelada como problema de optimización, no un único modelo que la represente. Es interesante que la formulación escogida sea adecuada como propósitos establecidos, tanto en relación con las propiedades soluciones, Sign up tode votesus on this title referente a las herramientas que permiten determinar las De useful ahí, la importanc Useful Not soluciones. considerar distintas formulaciones para un mismo problema de optimización.
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Optimización y M odelos para l a Ge
Sean (P) y ( P ) los siguientes problemas de optimización: (P) Max f (x ) s.a. S . x
( P ) Min f (x ) s.a. S . x
n donde . f (x ) = – f (x ) y S R
Un punto x* es solución óptima del problema (P) si y sólo si x* es solución óptim problema ( P).
Ejemplo 1: Consideremos el siguiente problema (P) Max f ( x) = 2 x – ( x – 2)2 s.a. x 0. y el problema
You're Reading a Preview ( P ) Min f ( x) = – 2 x + ( x – 2)2
Unlock full access with a free trial.
s.a.
0. Free Trial x With Download La solución óptima de ambos problemas es x* = 3. Como se aprecia en la figura 2.11.
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RELACIÓN 2 Sean (P) y ( P) los siguientes problemas de optimización:
(P) Min f (x ) s.a. S . x
( P ) Min f ( x ) = g ( f (x )) s.a. S . x
donde g: R R es una función estrictamente creciente.
Se tiene que x * es solución óptima del problema (P) si y sólo si x * es solución óptim problema ( P ). Además, si (P) es un problema convexo y g es una función creciente, enton problema ( P ) es también un problema convexo. Un caso particular de esta relación la consti el siguiente par de problemas equivalentes:
(P) Min e f ( x) s.a. x S .
( P ) Min f (x ) = f (x ) You're Reading a Preview s.a. x S .
Unlock full access with a free trial.
Se ilustra este caso con un ejemplo, ya clásico en laTrial literatura. Download With Free
Ejemplo 2: Una fábrica de armamento de un país está estudiando la fabricación de tres tip armas antiaéreas: cohetes, aviones, y cañones. Los requerimientos unitarios de mano de o insumos, y la cantidad disponible de cada uno de ellos se indica en la tabla 2.9. Sign up to vote on this title
deUseful Tabla 2.9. Requerimientos en fabricación armas. Not useful
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La experiencia permite suponer que la probabilidad de éxito de cada una de estas armas 0,40, 0,30 y 0,40 respectivamente. Se desea determinar la cantidad de armas de cada tip conviene producir a fin de maximizar la probabilidad de éxito.
Optimización y M odelos para l a Ge
Sean las siguientes variables de decisión: x1 = cantidad de cohetes que se han de fabricar, x2 = cantidad de aviones que se han de fabricar, x3 = cantidad de cañones que se han de fabricar.
Las restricciones se refieren a la disponibilidad de mano de obra y de insumos: 3 x1 + 2 x2 + 2 x2 50 x1 + 2 x2 + 3 x3 20 x1 , x2 , x3 0.
Maximizar la probabilidad de éxito es equivalente a minimizar la probabilidad de fracas Sea z esta probabilidad. Entonces la función objetivo es: Min z = (1 - 0,4 ) x 1 (1 - 0,3 ) x 2 (1 - 0,4 ) x 3
.
You're Reading a Preview Considerar esta función objetivo es equivalente a considerar: Unlock full access with a free trial.
Min z = log z = log (1- 0,4 ) x 1 (1- 0,3 )x 2 (1- 0,4 )x 3 Download With Free Trial
.
Luego, el modelo es: Min z' = x1 log 0,6 + x2 log 0,7 + x3 log 0,6 s.a. 3 x1 + 2 x2 + 2 x2 50 Sign up to vote on this title x1 + 2 x2 + 3 x3 20 Useful Not useful x1 , x2 , x3 0.
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es equivalente al problema:
( P ) Min y s.a. f (x ) y
S . x o bien al problema:
( P ) Min y s.a. f (x ) = y
S . x
Este tipo de transformaciones es especialmente útil cuando se tiene más de un criterio q desea optimizar, pero por conveniencia o mayor facilidad de resolución se ha decidido utiliz Reading Preview modelo unicriterio, es decir, uno conYou're un solo criterioacomo función objetivo. En este caso se seleccionar uno de los criterios como función objetivo y los otros incorporarlos como restricc Unlock full access with a free trial. estableciendo cotas o valores apropiados. Download With Free Trial
RELACIÓN 4
En algunas situaciones es necesario resolver un problema de optimización que tie siguiente forma: Sign up to vote on this title
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Si, además x j+ x j¯ =0, es decir, sólo una de las variables auxiliares puede ser no entonces x j = x j+ + x j¯ , y se puede resolver el problema (P) resolviendo el problema siguient
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Opti miz mi zación y M ode odelos los para l a Ge
n
c ( x
(P) Min Min z '
j
j
x j )
j 1
s.a. n
a ( x ij
j
x j ) bi
i 1,...,m,
j 1
( x j x j ) 0
j 1,...,n.
No es necesario necesario incluir incluir en el modelo la condición condición anterior, x j+ x j¯ =0, como se justi posteriorment posteriormentee a partir partir de de los resultados resultados de de programaci programación ón lineal. lineal.
RELACIÓN 5
Dado un sistema de desigualdades lineales, se puede reformular el problema de deter una solución del sistema como un problema de optimización. Sea el siguiente sistem desigualdades lineales: n
(S)
a x ij
j
bi i 1,..., m.
j 1
Se puede definir el siguiente problema de optimización: Sign up to vote on this title
(P) Min f (x ) s.a.
R n x
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Capítul tu l o 2
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M odelos de Pr ogr ogramaci amaci ón M atemática ti ca
estructuras, como por ejemplo grafos y redes. En el capítulo 8 se modelan algunos de los prob discutidos en éste como problemas de flujo en una red y en el capítulo 9 se modelan con el en de programación dinámica.
2.10. CASOS
En esta sección se presentan algunas aplicaciones de los modelos discutidos en las secc anteriores.
2.10.1. Estructura de las Colocaciones Financieras de una Empresa
En lo que sigue se presenta, en forma simplificada, una aplicación que fue realizad Etcheberry et als. [1978] en COPEC (Compañía de Petróleos de Chile).
La compañía se dedica principalmente a distribuir y comercializar combustib lubricantes a lo largo del país. Adquiere el combustible de ENAP (Empresa Nacional de Petró lo transporta a sus plantas de almacenamiento y lo distribuye a sus revendedores y clientes lubricantes los adquiere de MOBIL y los distribuye por los mismos canales mencio anteriormente. La mayor parte de los ingresos proviene de la venta de combustibles, exist diferentes modalidades de pago, variando en cada caso los días del crédito otorgado. Dado mercado es estable, el ingreso monetario por concepto de ventas se puede determinar fácilment otro lado, los pagos a ENAP se realizan con periodicidad, puesto que existe una entrega contin productos. productos. Otro ítem relevante relevante en los egresos egresos lo constituyen constituyen los impuestos, impuestos, los que se pagan c crédito que depende del tipo de impuesto. Cuando las condiciones financieras lo permit realizan colocaciones a corto y mediano plazo en el mercado de capitales.
Dado que tanto el precio de compra como el de venta son fijos, una de las metas compañía es minimizar los costos de transporte y distribución. Además de ello, existen criterios que reflejan una adecuada eficiencia de la empresa, por ejemplo una buena utilizaci los excedentes transitorios de caja efectuando colocaciones más ventajosas en el mercad capitales, invirtiendo en filiales, etc. Sign up to vote on this title
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El trabajo en referencia trata de optimizar las colocaciones que se efectúan en el merca capitales.
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Opti miz mi zación y M ode odelos los para l a Ge
F 2
F 1
F i
F wi
y0
y1
1
wik yi-1
2
j
F N
F k k
yi
yk
i
i
y N N
ik
Figura 2.12. Flujos monetarios.
El problema consiste en buscar la mejor forma de operar en el mercado financiero de c mediano plazo, de modo de maximizar el total de dinero en caja al final del período de planific satisfaciendo las obligaciones financieras contraidas para este período y manteniendo una can de seguridad en la caja durante todo el período.
Se supone que se pueden pedir préstamos y/o colocar dinero cada día hábil del horizo planificació planificación. n. Los volúmenes volúmenes de estos préstamo préstamoss y colocaciones colocaciones son tales, tales, que puede suponer suponer las tasas de interés no dependen de sus respectivos montos. FORMULACIÓN DEL MODELO
De lo expuesto anteriormente se tienen los siguientes datos: Horizonte de planificación: N días días hábiles,
Sign up to vote on this i = 1, flujo monetario neto del día i (puede ser positivo o negativo), , N,title monto de seguridad operacional en caja, Useful Not useful ijij = interés de una colocación efectuada el día i y que vence el día j. El día j se recibe (1 por cada peso colocado colocado el día i, i j
F i = S =
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M odelos de Pr ogr ogramaci amaci ón M atemática ti ca
Se definen sólo las variables relevantes, es decir, aquellas que corresponden a la form que opera el mercado financiero. No se define, por ejemplo, la variable x12 pues no efectuarse colocaciones para el día siguiente. Restricciones
a) Equilibrio de los flujos monetarios: el saldo en caja al final del día i será igual al saldo en c
– 1) día anterior (i – 1) más el flujo neto del día i, las colocaciones anteriores que vencen el día préstamos préstamos pedidos el día i, menos las colocacione colocacioness efectuadas efectuadas el día i y los préstamos préstamos que ha devolver el día i: yi
i 1
N
N
i 1
k 1
j 1
j i 1
k 1
y i 1 F i (1 ki ) xki wij xij (1 kj ) wkj i 1,..., N .
b) No sobregi sobregiro ro de la la caja: caja: yi 0
i = 1,, N .
c) No negatividad de los flujos monetarios: xij , wij 0
i, j = 1,, N .
Función objetivo
Si se desea maximizar el saldo en caja al final del horizonte de planificación, es decir, último período, la función objetivo es: Max z = y N
El modelo presentado permitió a COPEC analizar un gran número de alternativ colocaciones y préstamos, lo que redundó en la selección de una mejor formade ope Sign up tofue voteel onpedir this title financiera. Uno de los cambios más importantes en la operación préstamos de usefulrar claram Useful plazo, que anteriormen anteriormente te no se aceptaban. aceptaban. El modelo permitió permit ió Not demostrar demost conveniencia.
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Se puede suponer, por ejemplo, que existen, 42 módulos horarios que se distribuyen días de la semana según se indica en la tabla 2.10.
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Tabla 2.10. Módulos horarios. Horario del día
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
8:30-10:00
1
8
15
22
29
36
10:15-11:45
2
9
16
23
30
37
12:00-13:30
3
10
14:30-16:00
4
............
.........................
16:15-17:45
5
............
.........................
18:00-19:30
6
............
................
41
19:30-21:00
7
...........
............
42
.........
.........................
You're Readinga aestos Preview Los horarios de los cursos deben ajustarse módulos y se puede dictar a lo má cátedra del mismo curso en un día. El profesor y número de módulos (número de clases sema Unlock full access with a free trial. que se deben asignar a cada curso están establecidos previamente. Por una parte, los cursos que un mismo profesor deben tener horarios diferentes, y por otra, los cursos que los alumnos d Download With Free Trial tomar simultáneamente deben tener, también, horarios diferentes.
Suponiendo que se cuenta con la siguiente información para un conjunto de N curso profesores: n j = número de clases por semana que deben asignarse al curso j, j = 1,, N , Sign up to vote on this title
Useful Not useful C p = conjunto de cursos que dictará el profesor p durante el semestre, p = 1,, P .
Además, cada profesor informa cuál es el horario en que puede dictar clases. Mientras
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M odelos de Programaci ón M atemática
Otra forma, dado que en un régimen curricular flexible los alumnos no t necesariamente los cursos de acuerdo al orden establecido por la malla oficial, consiste en d conjuntos de cursos que deben tener horario diferente porque los alumnos los toman histórica en forma conjunta. En este caso los conjuntos J s no están necesariamente asociados a un semes
Si se desea considerar información actualizada, en lugar de información histórica, se realizar una preinscripción académica en la que cada alumno indica cuáles son los cursos q interesa tomar durante el semestre próximo. A partir de la preinscripción de los alumnos se p construir los conjuntos J s.
Supongamos que de alguna forma se obtienen los conjuntos de cursos que deben horarios diferentes. Sea J t = conjunto de cursos que deben tener horario diferente, t = 1,, T .
Variables de decisión Se definen las siguientes variables de decisión:
You're Reading a Preview
1 x jk 0
si se asigna el modulo horario k al curso j Unlock full access with a free trial. en caso contrario.
Download With Free Trial
Sólo se definen para el curso j las variables x jk que corresponden a módulos que el pro del curso ha indicado como disponibles para dictar las clases.
Restricciones
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a) Número de clases por semana: el número de módulos asignados a cada curso debe ser igu número de clases por semana que el curso tiene establecidas: Useful
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c) Conflicto entre cursos dictados por un mismo profesor: en un módulo k se puede asignar a l uno de los cursos que dicta el profesor p:
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Optimización y M odelos para l a Ge
x
jk
1
k , p
relevantes.
jC p
tener horarios diferentes d) Topes de horarios: los cursos pertenecientes a un conjunto J t deben
x
jk
1
t , k relevantes.
j J t
e) Binariedad de las variables: x jk {0, 1}
j = 1,, N ; k relevante.
Función objetivo
Si se desea escoger entre los horarios posibles (factibles) aquel que sea de mejor "ca desde el punto de vista de los alumnos se puede efectuar un análisis de las preferencias de ésto posible establecer una "preferencia" por módulo horario, por medio de una encuesta o supon Reading a Preview por ejemplo, que las preferencias deYou're la mayoría de los alumnos es tener clases en la mañana todos los módulos de 8:30 a 10:00 tienen preferencia lostrial. de 10:15 a 11:45 preferencia 6,... Unlock full access with7, a free módulos de 19:30 a 21:00 tienen preferencia 1. Download With Free Trial
Sea ck la preferencia del módulo k . De acuerdo al criterio anterior, ck =7 para k =1, 8, 1 29, 36; ..., ck =1 para k =7, 14, 21, 28, 35,42. Luego, si se desea maximizar la satisfacción d preferencias, la función objetivo es 42
Max z =
k=1
N
c k
. up to vote on this title xSignUseful Not useful jk
j=1
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FORMULACIÓN DEL MODELO Variables de decisión Se definen las siguientes variables:
1 x jk 0
z ij
si se asigna el módulo horario k al curso j en caso contrario.
1 si el horario del cursoi topa con el horario del curso j 0 en casocontrario.
Restricciones
a Preview a) Número de clases por semana: el You're númeroReading de módulos asignados a cada curso debe ser igu número de clases por semana que el Unlock curso full tiene establecidas: access with a free trial. 42
x
jk
Free Download 1,..., N . Trial n j j With
k 1
b) Una clase por día: se puede dictar a lo más una cátedra de cada curso en un mismo día semana:
x
jk
jC p
1
k , p
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relevantes.
Useful
Not useful
c) Conflicto entre cursos dictados por un mismo profesor: en un módulo k se puede asignar a l
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Esta restricción se establece sólo para los pares de cursos (i, j) tales que los alumnos desean en forma conjunta, es decir, para aquellos pares de cursos que se desea que no topen.
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Optimización y M odelos para l a Ge
e) Binariedad de las variables: x jk {0,1} z ij{0, 1}
j; k relevante, (i, j) relevante.
Función objetivo
La calidad de un horario está dada por el grado de satisfacción de las demandas por c por parte de los alumnos y por el grado de satisfacción de los deseos de los profesores en cu dictar clases en el horario que ellos tienen disponible. El segundo aspecto se internaliza en el m por medio de las restricciones, y el primero se considera en la función objetivo.
Maximizar el grado de satisfacción de los alumnos es equivalente a minimiz insatisfacción. Esta insatisfacción representa un costo para los alumnos: intereses insatisf atraso en la conclusión de la carrera, etc. Por lo tanto, el tope de horario entre dos cursos que demanda compartida tiene un costo asociado. You're Reading a Preview
Sea cij = el costo que tiene para el alumnado el tope entre los cursos i y j. Entonces la fu Unlock full access with a free trial. objetivo es: Download With Free Trial Min z = c ij z ij .
(i, j)
Otra alternativa es minimizar el número de alumnos cuyas demandas o deseos insatisfechos. Sea nij el número de alumnos que desean tomar en forma conjunta los cursos función objetivo, en este caso, es: Sign up to vote on this title Min z =
n (i, j)
ij
z ij
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contar con una descripción muy detallada del bosque y sus características. Utilizando estos sis es que se ha escogido discretizar el área en estudio, dividiéndola en un número grande de (típicamente de 1010 m). PLANEX permite conocer, para una posible localización de maqui cuál será el área cubierta, es decir, cuál es el conjunto de celdas que puede ser explotado desd punto. PLANEX también permite anticipar un trazado preliminar de caminos y definir, modo, una red de caminos potenciales junto a caminos ya existentes. La figura 2.13. muest esquema de una zona de bosque en donde se muestra un posible punto de localización de torre, con el área posible de explotar. Se muestran, además, algunos de los caminos. Todos elementos son utilizados en el modelo y se describen a continuación.
S
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Figura 2.13. Area del bosque en estudio mostrando cobertura de torre. Download With Free Trial
FORMULACIÓN DEL MODELO Se definen los siguientes elementos: Sign up to vote on this title
Se denota por 1, 2,, n las celdas en que se ha Useful particionado bosque. Como Noteluseful mencionó, un subconjunto de ellas debe ser explotado. Se denota por M este último conjunto celdas donde se puede localizar maquinaria de cosecha constituyen el conjunto T . Algunas de
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Optimización y M odelos para l a Ge
I ( j) = conjunto de celdas de localización de equipo desde donde se puede explotar la madera celda j, j M, I ( j) T .
1 aijk 0
si la celda j puede ser explotada desde la celda i por un equipo de tipo k, i T k y j M . en caso contrario,
v j = volumen de madera disponible en la celda j, j M .
K = constante que acota superiormente el máximo flujo de madera que puede circular p
camino. El camino entre las celdas i y j será denotado (i, j). Sea A el conjunto de caminos potenciales
ki = costo de instalación de un equipo del tipo k en la celda i. ji = costo unitario de explotación de la celda j a través de la celda i. ij = costo de construcción del camino (i, j).Reading a Preview You're Unlock full with a free ij = costo unitario de transportar madera poraccess el camino (i, trial. j).
Variables de decisión
Download With Free Trial
Se consideran las siguientes variables:
1 si en la celda i T k se instala un equipo de tipo k Sign up to vote on this title xik Useful Not useful 0 en caso contrario
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a) Disponibilidad de madera: la cantidad total de madera extraída de una celda no puede supe cantidad disponible en esa celda:
iT k
k
k
wk ij a ij
j M .
v j
b) Volumen de madera cosechada por el equipo de la celda i: la variable yi contabiliza la can total de madera cosechada por el equipo instalado en la celda i: wk ij
k
v
i
j
,
i I( j) , k.
c) Consistencia:
Se puede extraer madera de la celda j por la celda i, sólo si se ha instalado alguna maquinaria celda i:
j M
k
i T .
wk ij = y i
Puede existir flujo de madera, en ambos sentidos, por el camino (i,j) sólo si el camino ha construido: f ij K z ij f ji K z ij
(i, j) A
You're Reading a Preview
d) Conservación de flujo: Unlock full access with a free trial. Para celdas donde se puede instalar maquinaria: el volumen total de madera que sale de cada c
con destino a otras celdas, a través de la red de With caminos, Download Freedebe Trial ser igual al volumen total de m que llega desde otras celdas a la celda i más el volumen de madera que es cosechado en i: Para celdas que no tienen maquinaria, ni corresponden al punto de salida: el volumen tot
: (i, )
ij
-
k:(k,i)
ki
= yi
i T Sign up to vote on this title
madera que llega a cada celda i debe ser igual al volumen total de madera sale de esa celd useful Useful Notque
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Optimización y M odelos para l a Ge
f) No negatividad y binariedad de las variables:
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wijk , f ij 0, yi 0, xik , z ij{0,1}
Función objetivo
El objetivo del modelo es decidir la localización de los equipos y la construcción de cam a un mínimo costo. Luego, la función objetivo corresponde a donde
Min z = C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5,
C 1 es el costo total de instalación de los equipos: C 1 =
i T
ik 1 xik .
k
C 2 es el costo total de explotación de la madera: You're Reading a Preview 2 k
C 2 =
.
ij wij k i T j M Unlock full access with a free trial.
caminos:With Free Trial C 3 es el costo total de construcción de Download C 3 =
ij3 z ij.
( i , j )A
C 4 es el costo total de transporte:
Sign up to vote on this title
C 4 =
( i , j )A
ij4 ( f ij+ f ji ). Useful Not useful
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2.10.4. Construcción de Caminos para Explotación Forestal
Las empresas forestales generalmente poseen varias regiones de bosque potencial explotables, las que pueden estar dispersas geográficamente. Al interior de un bosque se de áreas denominadas rodales. Cada rodal contiene árboles con características silvicult relativamente homogéneas (edad, altura etc.). Las decisiones de cuánto, cómo y dónde distintas áreas del bosque en el mediano plazo, se deben tomar en forma simultánea co decisiones de qué caminos construir, cuándo y cómo construirlos, además de determinar la for transportar la madera.
Este problema es más agregado y de un horizonte de planificación mayor que el proble localización de maquinaria. Los resultados de este problema pueden ser utilizados como parám en el de localización. En efecto, el modelo que se presenta a continuación determina los rodale deben ser explotados en cada período para lo cual se debe localizar la maquinaria respectiva. FORMULACIÓN DEL MODELO
En el modelo que se describe a continuación, si se decide cortar un rodal debe co completamente. Además, debe decidirse qué alternativa de manejo se utilizará en la explotaci cierto rodal, esto es, con qué tipo de maquinaria se efectuará la explotación: torres de ma Readingsólo a Preview skidders, etc. Durante el horizonte deYou're planificación se puede cortar cada rodal una vez, que el intervalo de tiempo considerado no es suficiente para que el bosque crezca y permita re Unlock full access with a free trial. otro corte.
Download Free Trial Con el objetivo de permitir que la faunaWith que habita en los bosques tenga tiempo de em de un sector que ha sido cortado a otro sector que no lo ha sido, no se permite cortar, dura mismo período, rodales colindantes o adyacentes. Se puede hacer analogía con un tablero de a en el que sólo se pueden cortar las áreas blancas o las negras durante un período determinado.
Los ca Los caminos corresponden a caminos dentro del predio, es decir, entre rodales. Sign up to vote on this title se caracterizan por dos puntos: uno que indica el comienzo del camino y otro que indica el fin Not useful Useful a mismo. Los puntos, tanto de inicio como de término, corresponden intersecciones de camin lugares de carguío de madera. Los caminos pueden ser construidos a diferentes estándares: ripio, arena etc., y tienen una capacidad de transporte determinada, que depende, entre otro
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Un camino se denota por ab, con a
(b)= para cada punto b, define el conjunto de puntos que están unidos a b por un camino y pueden enviar madera hacia b. (b) = para cada punto b, define el conjunto de puntos que están unidos a b por un camino pueden recibir madera desde b.
V blit = cantidad de madera enviada al punto b, desde el rodal i, al ser explotado con la alternati manejo l , durante el período t .
C ab,k,t = capacidad de transporte del camino ab durante el período t , si es construido en el están
es decir, el volumen máximo de madera que se puede transportar por el camino período t.
H ab,k,t = costo de construcción del camino ab si se construye en el período t y en el estándar k. C t
= recursos monetarios disponibles para construcción de caminos en el período t. You're Reading a Preview
Para identificar los rodales que son adyacentes se definen los siguientes conjuntos: Unlock full access with a free trial. A(i) = conjunto de rodales adyacentes al rodal i.
Download With Free Trial
Variables de decisión
Las decisiones en cada período del horizonte se refieren a la explotación de los roda construcción de los caminos al interior del predio forestal y al transporte de madera. Por lo tan definen las siguientes variables: Sign up to vote on this title Proyectos de recurso:
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wab,k,t = cantidad de madera que circula por el camino ab, desde a hacia b, en el estándar k , du el período t .
Restricciones
a) Exclusividad para construcción de caminos: cada camino ab se construye a lo más un durante el horizonte de planificación y sólo en un estándar : T
K
z
ab,k,t
t 1
1
camino ab.
k 1
b) Capacidad de los caminos: la cantidad de madera transportada sobre cada camino en un pe
t, sin importar la dirección, no puede superar la capacidad del camino. Además, sólo puede cir carga por un camino si éste ha sido construido: wab,k,t wba,k,t C ab,k,t
z
ab,k, s
ab,k,t.
s t
c) Exclusividad de proyectos de recurso: Cada rodal i se puede explotar, a lo más, una vez du el horizonte, cualquiera que sea la alternativa de manejo utilizada: You're Reading a Preview T
L
t 1
l 1
Unlock full access with a free trial.
x
lit
1
i.
Download With Free Trial
d) Conservación de flujo en cada periodo: el flujo total de madera que llega a un punto b deb
igual al flujo que sale de él. Los flujos que llegan a b están en el lado izquierdo de la ecua pueden ser flujos que provienen de otros puntos o bien que entran a la red por el punto b. Lo que salen de b, están en el lado derecho de la ecuación y sólo pueden dirigirse hacia otro pun la red : Sign up to vote on this title
M
L
V
blit
i 1
l 1
xlit
K
w
a (b) k 1
ab,k,t
Useful K
w
c (b) k 1
Not useful bc,k,t
a, t.
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g) No negatividad y binariedad de las variables: wab,k,t 0
ab, k, t .
z ab,k,t {0,1}
ab, k, t .
xlit {0,1}
i, l, t .
Se pueden incluir opcionalmente otras restricciones como exigir el corte de algún ro exigir que si se corta un rodal en particular se debe cortar otro, etc.
Función objetivo
Se pueden definir distintos tipos de función objetivo, tales como maximizar el valor pre neto de la explotación, minimizar el daño ecológico o maximizar el volumen total de m obtenida durante el horizonte de planificación. La más utilizada corresponde a maximizar el presente neto (VPN). Para ello se definen los siguientes parámetros: F lit :
ingreso actualizado asociado a la explotación del rodal i durante el período t si se u You're Reading a Preview alternativa de manejo l, Unlock full access with a free trial.
Gab,k,t : costo unitario de transporte de madera por el camino ab, construido en el estánd orientado de a hacia b, durante el período t. Download With Free Trial
De esta forma la función objetivo es: M L
Min z
T
K
T
K
T
K
Flit xlit Hab,k,t zab,k,t Gab,k,t wab,k,t i 1 l 1 t 1
k 1 ab t 1
k 1 ab t 1
k 1
T
G
ba, k,t
ba
t1
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w
Useful Not usefulel segundo al El primer término corresponde al ingreso total asociado a la explotación, total de construcción de caminos y el tercero y cuarto al costo total de transporte. Es posible q costo de transporte desde a hacia b sea diferente al de ir de b hacia a. Tal sería, por ejemplo, e
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Un modelo matemático de apoyo a la gestión es un conjunto de relaciones matemática
caracterizan las alternativas posibles de gestión, esto es, las alternativas que puede implementadas considerando las limitaciones (restricciones) existentes. El proceso de desa de un modelo, por lo general, permite adquirir un mayor conocimiento y comprensión forma en que se realiza la gestión en la organización. Construir modelos, como los presen en este capítulo, es más un arte que una técnica. Es importante destacar que aquí solame han discutido aspectos que, a juicio de los autores, son interesantes de tener en cuenta dura proceso de modelamiento. El lector interesado en temas más generales y su aplicación a áreas del conocimiento puede consultar Morris [1967], Simon [1990] y Gass [1983].
La utilización de los modelos de optimización se encuentra ampliamente difundida en m
áreas de aplicación. Ejemplos de modelos que han alcanzado gran éxito pueden encontrarse gestión de empresas de manufactura y servicios, en el transporte, en la gestión hospitalari Las revistas del área, como Operations Research, Management Science e Interfaces pub continuamente artículos donde se comentan y discuten diversas aplicaciones. Actualmen red Internet provee nutrida información en todos los ámbitos y el lector interesado consultar, entre otras, la página de Michael Trick en http://mat.gsia.cmu.edu You're Reading a Preview
El problema de planificación de laUnlock producción, discutido en la sección 2.2., corresponde a u full access with a free trial.
las áreas en que la programación matemática ha sido aplicada intensamente. Lo mismo decirse respecto de los modelos de mezcla de productos. Estos problemas son frecuentes Download Free TrialChase y Aquilano [1995] y Mel ámbito de la gestión de operaciones. Véase,With por ejemplo, Denzler [1996].
El problema de la dieta es un caso particular de mezcla de productos. Uno de los pri
modelos reales de programación lineal que se resolvió corresponde precisamente a un pro de la dieta. Según Dantzig [1963] este problema tenía y 27 variables Sign 9uprestricciones to vote on this title resolución tomó, en 1948, 120 días – hombre usando calculadoras deNot escritorio. useful Actualme Useful posible resolver modelos con varias decenas de miles de restricciones y variables en minut
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inicialmente como una aplicación en el ambiente militar, donde se debía planificar la entre motores de aviación (servilletas), los cuales necesitaban ser sometidos a reparaciones perió El problema fue también formulado, entre otros, por Gaddum et als. [1954] y por Jacobs [1
El problema de pérdida en cortes de material, de la sección 2.5., fue introducido entre otro
Paull y Walter [1955] como una aplicación del corte de rollos de papel periódico. El prob de costo fijo fue planteado por Hirch y Dantzig [1954] y es una de las formas más utilizad modelamiento, particularmente, para incorporar relaciones lógicas en los modelo programación matemática.
El problema del vendedor viajero es uno de los más antiguos y más estudiados en optimiz
combinatorial. Problemas de este tipo fueron considerados por Euler [1759] y por Vanderm [1771]. El problema que ellos estudiaron es el del recorrido de caballo de ajedrez por casilleros del tablero, por los que puede moverse esta pieza pasando exactamente una ve cada casillero. En el contexto de teoría de grafos, este problema corresponde al ci Hamiltoniano que deriva de los trabajos del matemático Hamilton [1856]. Al parecer, el pr en usar la denominación de Problema del Vendedor Viajero fue A. Tucker en 1931 – quién la popularizó fue M. Flood. El problema ha sido estudiado en extenso, desde dife enfoques, y la cantidad de referencias sobre el tema es enorme. Recomendamos al lector e de Lawler, Lenstra, Rinnooy Kan y Shmoys [1985].
Kantorovich [1939] fue uno de los primeros en modelar la asignación de trabajos a máq
You're Reading a Preview utilizando programación lineal. Este problema tiene muchas variantes, la gran mayoría de resolución. El lector interesado puede encontrar en Pinedo [1995] una discusión amplia ace Unlock full access with a free trial. este problema.
Trial Al modelar una gran cantidad de Download situaciones,With en laFree práctica, resulta un modelo de caracter
no lineales. Generalmente la “linearización” de estos modelos permite resolverlos con m
facilidad, sin que esto signifique necesariamente que se pierda la capacidad de represen situación adecuadamente. No obstante, existen problemas en los cuales la linearización conveniente y se deben utilizar técnicas de optimización no lineal, como las que se discuten capítulo siguiente. Sign up to vote on this title
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Los modelos de programación lineal entera permiten representar muy bien algunas situac
reales; no obstante, por lo general su resolución presenta un mayor grado de dificultad q
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EJERCICIOS
1) Un estudiante ha decidido participar en un concurso de cocina dietética y desea participar c postre del mejor sabor posible. Los postres deben tener un contenido máximo de 300 caloría mg de lípidos. El estudiante ha seleccionado como ingredientes: chocolate, galletas, cre almendras. Para establecer la bondad del sabor ha asignado coeficientes de agrado a cada uno ingredientes en orden decreciente de agrado. En la tabla 2.11. se indican los contenidos de calo lípidos por gramo de ingrediente, y también los coeficientes de agrado. Se supone que la mez ingredientes tiene un coeficiente de agrado igual a la suma, ponderada por la cantidad utilizad los coeficientes individuales. Construya un modelo de optimización que ayude al estudia decidir cuánto usar de cada ingrediente para lograr el postre de mejor sabor. Tabla 2.11. Características de los ingredientes . Ingredientes Chocolate Galletas Crema Almendras
Calorías Lípidos Coeficiente de agrado por gramo (mg /gr) por gramo 1 18 10 You're Reading a Preview 0,2 10 3 0,5 full access 32 8 Unlock with a free trial. 0,7 24 5 Download With Free Trial
2) Cierto día de verano, una compañía de arriendo de automóviles debe abastecer de vehíc cuatro localidades. La compañía posee tres sucursales desde donde pueden entregars automóviles. El inventario disponible en las sucursales, las distancias (en km) entre las sucurs destinos, y los requerimientos de cada destino se señalan en la tabla 2.12. Asumiendo que el co Sign up to vote on this title trasladar los automóviles a sus destinos es proporcional a la distancia recorrida, construya un m Useful Not useful de programación matemática que permita decidir cuál es la mejor forma de efectu abastecimiento.
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3) Considere el problema de transporte de frutas de la sección 2.4.1. y suponga que Bogotá, San y San Pablo pueden ser puntos intermedios en la distribución y que, además, la empresa frigoríficos en las ciudades de Lima y Mendoza. En la tabla 2.13. se indican los costos unitari transporte y la capacidad de almacenaje de cada punto intermedio. Construya el mode programación lineal que permita decidir cuál es la distribución de menor costo total.
Tabla 2.13. Costos unitarios de transporte .
San Bogotá Santiago Río de Quito Caracas Lima Mendoza Capa Pablo Janeiro Rancagua 18 30 3 20 30 30 10 6 San Pablo 0 35 15 5 35 40 20 12 Bogotá 35 0 45 25 10 12 25 30 Santiago 15 45 0 15 30 48 12 10 Lima 20 25 12 22 8 30 0 15 Mendoza 12 30 10 15 12 35 15 0
4) Un agricultor que dispone de una superficie de 80 hectáreas desea programar sus actividade el próximo semestre. Los estudios realizados indican que los cultivos técnica y económica You're Reading a Preview posibles son trigo, maíz, alfalfa y arroz. Unlock full access with a free trial.
Dependiendo del tipo de cultivo a que está dedicada, cada hectárea tiene un rendimie requerimientos de capital, mano deDownload obra y agua de riego. With Free Trial El capital considera las sem fertilizantes, etc. La mano de obra está constituida por el agricultor y sus dos hijos que trabaj días por mes, en promedio. Durante el primer trimestre, la jornada de trabajo es de hasta 8 hor día y el segundo trimestre hasta 12 horas diarias. Los rendimientos en quintales métricos (qq hectárea y requerimientos por cultivo, así como el precio de venta se indican en la tabla 2.1 mano de obra está en horas hombre (hh) por día y por hectárea. Sign up to vote on this title
Useful Not useful Formule un modelo de programación lineal que permita al agricultor decidir qué cantid hectáreas dedicar a cada cultivo de modo que el beneficio sea máximo, si dispone de un capita de $ 3.000.000, 90.000 m3 de agua de riego para el primer trimestre y 120.000 m3 para el segun
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M odelos de Programaci ón M atemática
30
12.000
1.500
900
1.300
2,0
3,0
5) La empresa TODOAUDIO Ltda. que fabrica televisores, radios y videos ha adq recientemente una nueva planta cuyas instalaciones permiten fabricar televisores y video gerencia desea programar la producción de ambas plantas para el próximo año.
Los estudios indican que la capacidad anual de la planta 1 es de 5.000 televisores, o radios, o 4.000 videos, o alguna combinación adecuada de estos tres productos. Análogamen capacidad anual de la planta 2 se ha estimado en 2.500 televisores, o 3.000 videos, o cua combinación adecuada de estos dos productos (la planta 2 no fabrica radios).
La empresa tiene contratos para exportar 2.000 televisores y 1.200 videos. El departam comercial estima que debido a la disminución de la demanda de radios, la venta máxima mercado interno de este producto será de 1.500 unidades. Por otro lado, el análisis del merca televisores indica que este producto tendrá una demanda levemente inferior al año anterior, que la demanda interna se estima en 2.500 unidades. Como los videos están teniendo gran comercial, no se prevé limitaciones en su venta.
Los precios de venta y los costos variables unitarios, en miles de pesos (M$), se muest la tabla 2.15. You're Reading a Preview
Tabla 2.15. Precios de venta y costos de producción. Unlock full access with a free trial.
Televisores
Radios
Videos
160
45
120
110
35
95
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Precio de venta (M$) Costo variable (M$) Planta 1 Planta 2
120
Sign up title – to vote on this80
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Not useful
Se estima que al inicio del año en cuestión los inventarios de los productos serán
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Cantidad de Cono Sur Agentes 1 2 48 3 70 4 89
Región Brasil 21 42 56 70
México 35 41 63 75
7) Un club deportivo desea participar en una competencia de natación. La competencia es de re de 400 metros y cada equipo deberá incluir cuatro nadadores diferentes, quienes na sucesivamente 100 metros de pecho, mariposa, espalda y libre. El club debe presentar tres equ dispone de 12 nadadores. Sea t ik el tiempo, en segundos, en que el nadador i, i = 1,,12, cubr metros nadando estilo k, k = 1 (pecho), 2 (mariposa), 3 (espalda) y 4 (libre). El entrenador de desea determinar cómo formar los tres equipos de modo que cada uno de los nadadores partic un equipo y que la suma de los tiempos totales de los tres equipos sea mínima. Formule un m lineal que apoye la decisión del entrenador.
8) Una industria fabrica n diferentes productos, y utiliza para ello m materias primas. El prod necesita una cantidad aij de la materia prima i por unidad de producto (i = 1,, m; j = 1,, n
Si se fabrica el producto j sólo puede manufacturarse en las cantidades A j, B j = 1,.., n. El precio del producto j es p j por unidad de producto y c j es el costo unitario. fabrica el producto j se incurre en un You're costo fijo igual aa K Reading Preview j.
Unlock full access with a free trial. En este proceso productivo se usa petróleo como combustible. Se sabe que el consum petróleo por unidad fabricada del producto j es g j. Por razones ambientales, el consumo má Download With Trial coloca un sistema de filtro total permitido de petróleo es G. Sin embargo, si Free la empresa caldera, el consumo máximo puede ascender a H . El costo de instalar el filtro es R. Además coloca este filtro, entonces el producto j solamente podrá ser fabricado en las cantidades j = 1,, n. Con estos antecedentes construya un modelo de programación lineal que pe determinar cuánto producir de cada producto y la conveniencia o no de instalar el sistema de de tal manera que se maximice el beneficio total ( diferencia entre ingreso total y costo to Sign up to vote on this title producción y de inversión en el filtro).
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Not useful
9) Un estudiante debe rendir exámenes en los cursos de Cálculo, Mecánica, Literat Optimización. Para estudiar para estos cuatro exámenes dispone solamente de 20 horas. C
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10) Tres productos idénticos deben ser programados en tres máquinas: A, B y C. Cada pro debe ser procesado primero en la máquina A, luego en la B y por último en la C. Toma 20 mi procesar un producto en la máquina A, 12 minutos en la máquina B y 25 minutos en la C. Con un modelo de programación lineal que permita decidir cómo deben procesarse los produc modo que el tiempo total de proceso sea mínimo. Asuma que cada máquina sólo puede proces producto a la vez. 11) Una empresa fabrica refrigeradores y lavadoras de platos. Se desea determinar cuál tecnología más apropiada para instalar en la planta de fabricación para los próximos cinco año demanda anual estimada para ambos productos se muestra en la tabla 2.17. Los recursos de la (maquinaria y mano de obra) necesarios para producir 1 refrigerador son equivalentes necesarios para fabricar 2 lavadoras. Tabla 2.17. Demanda estimada de refrigeradores y lavadoras de ropa .
Refrigeradores
1 2.000
2 2.300
AÑO 3 2.400
Lavadoras
1.800
2.000
2.500
4 2.600
5 2.800
2.900
3.200
Existen dos alternativas de You're tecnología. La aprimera Reading Previewes una convencional en la ind electrodoméstica y requiere una inversión inicial de US$ 4 millones y la segunda es u access withinicial a free trial. manufactura flexible que requiere Unlock una full inversión de US$ 7 millones. La tecn convencional implica un costo de producción de US$ 300 para cada refrigerador (o bien 2 lava y la de manufactura flexible tiene Download uno de US$ 105 porTrial refrigerador. Construya un mode With Free programación matemática que permita decidir qué tecnología utilizar de modo de satisf demanda al menor costo total (inversión y producción).
12) Considere nuevamente el problema del ejercicio 11 y suponga ahora que existe la posibilid reemplazar la tecnología en alguno de los cinco años, cuando se adquiere desde el comien SignUS$ up to 7 vote on this title convencional. Para esto, la empresa debe invertir los mismos millones, pero puede en Useful Not la useful en parte de pago los equipos convencionales, los que seránavaluados según tabla 2.18. Refo el modelo anterior para considerar esta situación.
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madera es d t y el beneficio neto por metro cúbico de madera es ct , t = 1,, T . Por política empresa, un predio se corta completo o no se corta. Además, al final del horizonte de planific esto es, al final del período T deben quedar al menos M metros cúbicos de madera en pie (sin co
Debido al tiempo que requieren los árboles en crecer nuevamente, cada predio se cortar a lo más una vez en el horizonte de planificación. Construya un modelo de program lineal que ayude a decidir qué predios cortar y cuándo, de manera que se maximice el beneficio total.
14) Una empresa de seguridad tiene M propiedades que deben ser vigiladas en forma remota realizar la vigilancia se necesita construir cierto número de estaciones de monitoreo. La empr diseñado el sistema de modo tal que cada propiedad quede conectada en forma permanente a estación de monitoreo. Cada estación tiene un radio de cobertura máximo R, igual para tod estaciones. Existen N lugares posibles en los cuales puede instalarse una estación. Se cono distancia d ij entre un lugar posible i, i = 1,, N y cada una de las propiedades a vigilar, j = 1, Formule un modelo de programación matemática que permita decidir en qué lugares hay que in las estaciones de monitoreo, de manera que en cada lugar se instale a lo más una estación y cad de las propiedades quede conectada a una de las estaciones. La solución debe ser tal que el nú de estaciones instaladas sea el menor posible.
15) Considere la programación de M máquinas y N trabajos. Los N trabajos están dividid grupos de trabajos iguales. Sea aij el tiempo requerido para hacer el trabajo i en la máquina j You're Reading a Preview costo. Unlock full access with a free trial.
Todas las máquinas son aptas para cada uno de los trabajos, pero por razones opera cada grupo debe realizarse en una sola máquina, es decir, una vez que un trabajo de un grupo Free del Trialgrupo deben realizarse en la m realizado en una máquina, todos Download los demás With trabajos máquina. Construya un modelo de optimización que apoye la programación de los trabajos distintas máquinas, de modo que el tiempo total de ejecución sea el menor posible.
16) SUPER Ltda., considera la fabricación de tres tipos de computadores: MEGA1, MEG MEGA3. En la tabla 2.19. se indican los recursos necesarios memoria manode obra Sign upde to vote on thisytitle fabricar cada uno de ellos y el beneficio unitario. Se disponeUseful de 400 unidades de memoria R Not useful 50.000 horas-hombre. Construya un modelo de programación lineal que maximice la utilidad de SUPER.
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17) Considere el problema del ejercicio 16 y suponga ahora que para que la producción de un t computador sea económicamente conveniente se deben fabricar por lo menos 500 computado ese tipo. Haga las modificaciones necesarias al modelo anterior para incluir esta condición.
18) Una empresa forestal posee un total de N rodales (regiones de bosque) que puede explotados el próximo año. Para cada rodal j se ha estimado la cantidad a j, j = 1,, N de m que contiene. La empresa desea decidir qué rodales cortar con el objetivo de extraer la m cantidad de madera posible. Sin embargo, la legislación vigente establece que si se corta un rod se puede cortar ninguno de los rodales adyacentes a él. Esto se debe hacer para preservar el h de la fauna silvestre. Suponga, entonces, que para cada rodal j se tiene una lista A( j) que espe los rodales adyacentes a él. Construya un modelo de programación matemática que permita d qué rodales conviene cortar el próximo año. ( Referencia: Barahona et als.
19) Un estudio de grabación se dedica al doblaje de películas. Para ello cuenta con un estudio equipo de N actores. Cada actor tiene asignados un número n j , j = 1,, N de personajes que doblar. El horario total disponible para grabación en el estudio se ha dividido en M módulos minutos cada uno y se ha estimado que el actor j requiere un tiempo de t jk módulos para dob personaje k, k = 1,, n j. Además, cada actor ha indicado el horario disponible para graba personajes. Construya un modelo de programación matemática que permita asignar los horar grabación a cada uno de los actores, considerando que sólo puede grabar un actor a la vez estudio y de modo que el tiempo total de grabación del doblaje sea el menor posible. You're Reading a Preview
debe ejecutar en el curso de un año una se 20) Una compañía del área de las comunicaciones Unlock full access with a free trial. obras de infraestructura como ser: cableado de redes, instalación de centrales subterráneas, etc realizar estas obras se recurre a subcontratistas, los cuales, para adjudicarse una obra, deben o Download With Free Trial un precio. Dada la variedad de trabajos, la empresa ha definido una unidad estandarizada de llamada punto. Existe un total de M contratistas y los trabajos deben efectuarse en N zonas en la se ha dividido el país. Sea bi la cantidad de puntos que se han de ejecutar en la zona i, i = 1, precio unitario ofertado por el contratista j para obras en zona i es p ji.
a) Formule un modelo de optimización que ayude a decidir cuántos puntos obra asignar a Sign up to vote on thisdetitle contratista en cada zona. Useful Not useful b) Suponga ahora que existe una capacidad anual máxima K j para cada contratista, ¿Cómo c modelo?
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22) Un laboratorio científico es puesto en órbita elíptica alrededor de la tierra. La órbita está de por la ecuación x2 + 5 y2 +3 y =10, donde x e y son las coordenadas con respecto a algún sistem referencia ubicado en el centro de la tierra. Todas las comunicaciones de radio con las estac terrestres se hacen a través de otro satélite que tiene una posición fija con respecto al sistem referencia. La energía requerida para las comunicaciones entre el laboratorio y el satél proporcional al cuadrado de la distancia entre ambos. Asumiendo que el satélite es posicionad mismo plano de la elipse, construya un modelo matemático que permita determinar cuál deber la posición del satélite para minimizar el consumo de energía. Suponga que la tierra tiene un R>0.
23) Considere una red de comunicaciones. Cada línea de comunicación directa entre dos p geográficos opera en un sólo sentido. Una línea que envía información desde el punto i al p tiene una probabilidad de falla igual a pij. Por lo tanto, la probabilidad de que esa línea esté ope es (1 – pij). Formule un modelo de programación matemática que permita determinar la ru comunicaciones con mayor probabilidad de estar operativa, entre dos puntos s y t . Una rut compuesta por varias líneas directas y es suficiente que falle una de estas líneas para que falle l
24) Una gran compañía multinacional maneja N productos, los cuales, según las circunsta pueden ser importados desde otras filiales de la compañía en el extranjero, producidos localme la fábrica nacional, o bien exportados si hay excedentes. Sea d it la demanda nacional tot producto i para el período t , g it el costo unitario total de importación del producto i en el perío hit el beneficio unitario de exportación del producto i en el período t . Se ha estimado que hit = You're Reading donde xit es la cantidad exportada de producto el período t y it >0 y it <0 son cons i ena Preview conocidas. Además, sea ai la cantidad total de horas-hombre que se requiere en la fabrica nac Unlock full access with a free trial. para producir una unidad de producto i y pi el beneficio unitario en el mercado nacional. Se di de un total de Lt horas-hombre en cada período t . También se desea que el déficit comerc Download Free Trial supere los $ Dt en el período t , siendo el déficitWith comercial igual al valor total de las importac menos el valor total de las exportaciones.
Formule un modelo de optimización que permita determinar qué y cuánto importar, ex y producir localmente en cada período, de modo que se satisfaga la demanda, no se exc disponibilidad de mano de obra ni el límite del déficit comercial y se maximice el beneficio tota Sign up to vote on this title
estudiar la forma en q 25) Un problema muy importante durante la última décadaha sido el de Useful
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proteínas se “doblan” espacialmente. El objetivo de este ejercicio es desarrollar un modelo p
estudio de este proceso.
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Formule un modelo de optimización que permita determinar una configuración de en total mínima de la proteína. k+1 d k-1 k
Figura 2.14. Modelo de una proteína.
26) Una empresa está efectuando el proceso de planificación de su parque de equipos. Segú estudios realizados existen los siguientes costos. - Costo de operación anual de un equipo de edad j: C j. - Inversión de un equipo nuevo: I . - Valor residual o de venta de un equipo de edad j: V j.
Además se han realizado estudios sobre productividad, determinando que la product de un equipo de edad j es P j toneladas/hora. You're Reading a Preview
Asuma que el período de planificación es N años, y que al final de éste se venden tod access with a free trial. equipos. Los requerimientos anualesUnlock son Rfull t toneladas en el año t . El máximo de inversión po que se permite corresponde a K t. Download With Free Trial
Nota: Un año productivo posee 250 días y cada día 16 horas.
Formule un modelo lineal que permita resolver el problema en el horizonte de planific indicado. Sign up to vote on this title
27) Considere una matriz A M mn de coeficientes positivos o nulos y un vector b R de coefic Useful Not useful no negativos. Una hiper-caja interna de Ax b es un conjunto de desigualdades xi ui, i = 1, que x que satisface xi ui, i = 1,, n entonces también satisface Ax b . Formule un mode
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