CAPÍTULO 2 2.1
FUNCIONES Y GRÁFICAS Funciones
Problemas 2.1 Páginas 81, 82. Ejercicios: 7, 21, 43, 46, 48 En los problemas 5 a16, obtenga el dominio de cada función.
= √ ℎ = √ 3 3 ℎ = [3,∞
7.
Para que
exista, se necesita que
3 ≥ 0
, por lo que
≥3
Determinar los valores de la función para cada una de las funciones de los problemas 17 a 28 21. ; ; ;
= = 2 2 2 = 22 2 = 8 2= 10 2 2 = 22 2 2 = 8 2 = 2 2 = 2 4 2 +− + = ℎ ℎ = + + +− = − = = − = − + + =
En los problemas 29 a36 encuentre (a) 35. a.) b.)
y (b)
43. La fórmula para el área de un circulo de radio r es radio?
; simplifique sus respuestas
¿Es el área una función del
=
Si debido a que para cada valor de r corresponde un único valor
46. DEPRECIACION. Si una máquina de $ 30.000 se deprecia 2% de su valor original cada año, determine una función “f” que exprese el valor “v” de la maquina después que han transcurrido “t” años. La depreciación al final del año es de 0.02 × t ×(30.000), por lo que el valor de la máquina es:
= = 30.0000,02× ×30.000 = = 30.0 30.0000011 0,02× 02 ×
,o
,
48. FUNCION DE DEMANDA. Suponga que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice una película es
= .
, donde “g” es el número de películas que
protagoniza durante el año 1. Si el artista actualmente cobra $ 6’000.000 por p elícula
¿Cuántas protagonistas cada año? Si quiere protagonizar cuantas cintas por año ¿Cuánto cobra por esto? Carga de 6’000.000 dólares por película corresponde a:
= 6′000.00000
600.000 = 1′200. 000 000 = 2 = 1′200. 600.000 Para protagonizar cuatro películas por año el actor debería cobrar:
$ 300.000
por película.
2.2
= . =
Funciones especiales
Problemas 2.2 Páginas: 85 – 86 Ejercicios: 3,15, 29, 30, 31, 33 En los problemas 1 a 4 determine si la función dada es una función polinomial
3.
= ++
No es una función polinomial
Establezca (a) el grado y (b) el coeficiente principal de la función polinomial dada en los problemas 13 a 16 15.
=
Grado: 7 Coeficiente: 1
29. Viaje en Tren. Un boleto de viaje redondo en tren a la ciudad cuesta $ 4.50. Escriba su costo como función del ingreso del pasajero ¿Qué tipo de función es?
= = = 4,50
Esta es una función constante.
30. Geometría. Un prima rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho y altura; una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular como una función del ancho. ¿Qué clase de función es?
= ℎ 3 = 2 1 = 2 2 1 = 3 3 = 2 5 3
Formula del volumen del prisma rectangular:
Es una función cúbica.
31. Función de costo. En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un dado es de $ 850, y todos los otros costos adicionales son de $ 3 por unidad producida (a) exprese el costo total c (en (en dólares) como una función lineal del número q de unidades producidas (b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $ 1.600? a) b)
33.
= 850 50 3 1.600 600 = 850 850 3
750 = 3 = 250
Ventas. Para estimular las ventas A grupos grandes, un teatro cobra dos precios si su
grupo es menor de 12 cada boleto cuesta $ 9,50. Si un grupo es de 120 o más, cada boleto cuesta $ 8,75. Escriba una función definida para presentar el costo de comprar n boletos. El costo de la compra de n por entrada es:
= {8,9,7550 0 ≤ 12<≤12 2.3
Combinaciones de funciones
Problemas 2.3 Páginas: 90 -91 Ejercicios: 1, 3, 7, 17, 18, 19 1.
= 3 = 5 = = 3 5 = 22 8 8
Si
a)
b)
y
encuentre
Escriba aquí la ecuación. = 22 8 8 0 0 = 20 8 = 8 c)
= = 3 3 5 = 2
d)
e)
= = 3 3 5 = 8 15 = 8 15 2 2 = 2 82 15 2 2 = 3
f)
3) ( ) = ( 3 5 5
g)
= = 5 5 = 5 3 = 8
h)
= 8 33 = 3 8 33 = 11
i)
= = 3 3 = 3 5 = 8
j)
3.
= 8 33 = 3 8 3 3 = 11 = = = = 1 = 2 1 = = 1 = 1 1 = 1 ( 2) = 1 1 ( 12) = ( 12) 1 = 12 = = 1 = () = 1 Si
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y
, encuentre lo siguiente:
() = 1
1 () = 2 1 12 12 ( ) = (53) g)
= = = 1 = 2 1
h)
= = 1 = 1 1 =
i)
7.
Si
3 3 = 3 3 = 3 3 3 3 3 3 = 90 = = − FG FG = FG FG2 FG FG = F ( 1 ) 1 2 2 )1 FG FG = ( 1) 7 ( 1 1 2 )1 FG FG = ( 2 1) 7 ( 1 1 y
, encuentre
GF GF = GF GF GF GF = G 27 1 GF GF = 7 1 1 1 2 GF GF = 7
y
17. Utilidad. Cierto expendio de café vende una libra de café por $ 9,75. Los gastos mensuales son $ 4.500 más $ 4,25 por cada libra vendida. a) Escriba una función r ( x x ) para el ingreso mensual total como una función del número de libras vendidas. b) Escriba una función c( x ) para los gastos mensuales totales como una función del número de libras de café vendidas. )( x c) Escriba una función ( r – c )( x ) para la utilidad mensual total como una función del número de libras vendidas. a) El ingreso es de $ 9,75 por libra de café vendida r ( x x ) = 9,75 x x ) = 4.500 + 4,25 x b) Los gastos son e( x
c) Los beneficios son: x ) = 9,75 x – x – (4.500 + 4,25 x ) (r-c)( x x ) = 5,50 x – x –4.500 (r-c)( x
= ,
18. Geometría. Suponga que el volumen de un cubo es: exprese exprese v como una composición de dos funciones y explique que representa cada función.
= 4 2
, puede escribirse como:
= =
Donde
= = 44 2 2
, y
Entonces
representa la longitud de los lados del cubo, mientras que
volumen de un cubo.
es el
19. Negocio. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde
= = −
= = 40 40 = = = 4 40 40 = 40 40 4 = 10 1040 40 = 400 400 10
. El
ingreso total , , que se recibe por la venta de unidades, está dado por la función , donde . Determine . ¿Qué es lo que describe esta función compuesta?
Esta función representa los ingresos totales recibidos por la venta de q unidades producidas por m empleados.
2.5
Gráficas en coordenadas rectangulares
Problemas 2.5 Páginas: 101 – 102 Ejercicios: 1, 4, 29, 31 En los problemas 1 y 2, localice y marque cada uno de los puntos dados y, si es posible, indique al que pertenece cada punto.
2,7 8,3 8,3 ,2 0,0 0, 0
1.
,
,
,
2. En la Figura 2.27 (b) se muestra la gráfica de y = f ( x x )
a) Estime f (0) y f (2) f (0) = 2, f (2) = 0
b) ¿Cuál es el dominio de f ? x ≥ 0 Dominio: todo x ≥ c) ¿Cuál es el rango de f ?
Rango: todo y ≥ 2 d) ¿Cuál es una raíz real de f ? f ( x x ) = 0, para x = = 2. Así que un cero real es 2.
En los problemas 21 a 34, grafique cada función y determine su dominio y rango. También determine las intersecciones 29.
Si
= √
Graficando la función se tiene
Calculamos Calculamos el dominio
9 ≥ 0 ≥ 9 ⟹ || ≥ 3 || ≥ 3 ⟺ ≤ 3 ∨ ≥ 3 = ∞,3]3] ∪[3,∞
La función existe si
, entonces:
Si
Así se tiene:
Calculamos Calculamos el recorrido A partir del dominio se tiene:
≤ ≥39 9≥≥00 = [0.∞ [0. ∞ = = 0
≥≥39 9≥≥00
En consecuencia el recorrido es:
Calculamos las intersecciones Las intersecciones se presentan cuando
0 = √ 9 0 = 9 = ±3⟹ ±3 ⟹
,
31.
Las intersecciones interse cciones son: (-3,0), (3,0)
= || |
Graficando la función se tiene:
Calculamos el dominio: No existe restricción para los valores que puede tomar , entonces: Calculamos Calculamos el recorrido
= ℝ
+ = ℝ ∪ 0} = 0 ⟹ 0 = |20 1| = 1 = 0 ⟹ |2 1| = 0 ⟹ = , 0 0,1
Los valores
que puede tomar son solo positivos, entonces:
Calculamos las intersecciones Si Si
Los puntos de intersección son :
,
