1 2. FUNCIONES SINGULARES
En el tratamiento de la asignatura Análisis de Señales se trabajará con las funciones escalón e impulso o delta dirac.
2.1 LA FUNCIÓN ESCALÓN. Desde el punto de vista físico, esta función representa una señal constante, como por ejemplo un voltaje o una corriente, que existe a partir de un determinado instante to. Matemáticamente la función escalón se expresa como sigue:
(t ) 1
para t 0
(t ) 0
para t<0
(t ) 1 t Corresponde a lo que denominaremos escalón unitario. Entonces se podrán considerar escalones no unitarios y definidos a partir de t o. Ejemplos: 1. f(t) = 2 (t 2)
f(t) 2
-2
t
2 2. f(t) = 5 (t 6) f(t) 5 6
t
3. f(t) = -3 (t 2)
f(t )2 t -3
o
4. f(t) = 2 (t 4) 2 (t 4)
f(t)
2 2
4 t
-4 -2
Se observa que a partir de t=4, los escalones se anulan, por lo tanto la señal f(t) queda como sigue:
2
f(t )
2 -4
4
t
3
Producto de una función f(t) por un escalón. Sea g(t) = f(t) (t )
entonces g(t) = f(t)
0 t <
Sea g(t) = f(t) (t t0 ) entonces g(t) = f(t)
t0 t <
Las expresiones anteriores permiten representar funciones empleando el escalón. De acuerdo a lo anterior, podemos considerar lo siguiente:
(t ) f (t )dt f (t )dt
0
Si a
b
a
b
(t t 0 ) f (t )dt f (t )dt para t0 a a
b
= t 0 =0
f (t )dt
para t0 >a
para t0 b
(t t 0 ) f (t )dt f (t )dt t0
4
2.2 LA FUNCIÓN IMPULSO Desde el punto de vista físico, esta función no es representable, no obstante su significado corresponde a una señal idealmente infinita y definida en el instante t0. Lo más similar desde el punto de vista físico y que puede ser interpretado como un impulso corresponden a aquellas señales de duración infinitesimal y de gran amplitud. Matemáticamente la función impulso o delta dirac se expresa como sigue:
(t )
para t=0
(t ) 0
para 0
(t ) 1 Corresponde a lo que denominaremos impulso unitario. t El concepto de unitario o también denominado peso unitario encierra el concepto del área del impulso, por lo tanto se puede expresar que:
0
(t )dt 1
La derivada del escalón es la función impulso:
d (t ) (t ) dt
También, se podrán considerar impulsos no unitarios y definidos en to. Ejemplos: 1. f(t) = 2 (t 3)
5
f (t )
2 2. f(t) = 4 (t 2)
t f (t )
4
3. f(t) = 10 (t 5)
2
t
f(t) 5 t -10 4. f(t) = 2 (t 3) 2 (t 2) 2 (t 1) 2 (t 1) 2 (t 2) 2 (t 3)
2 -3
2 -1
f(t) 3
1 2
2
t
De la ecuación anterior, se desprende que:
(t t 0 )dt 1
(t t 0 ) f (t )dt f (t 0 )
EJERCICIOS: 1.- Graficar las siguientes funciones: a) f(t) = 3 (t 3) 2 (t 2) (t 1) 3 (t 3) 2 (t 2) (t 1)
6
b)
f (t ) 10 (t 9) 10 (t 7) 10 (t 5) 10 (t 3) 10 (t 1) 10 (t 1) 10 (t 3) 10 (t 5) 10 (t 7) 10 (t 9)
c) f (t ) 3 t n (t n) (t n) (t n 1) n 0
2. Exprese la función f(t) empleando la función escalón. a) f(t) = t+3
2;2
d) f(t) = (t-1)2 1;1
b) f(t) = 3t-10 1;0 e) f(t) = e-2t
c) f(t) = t2
3;3
1;1
3. Se tiene la siguiente señal f(t):
f(t) A
-1
1
t
Expresar la señal f(t) en un modelo matemático empleando escalones. 4. Sea j t j t jt jt jt 2 C (t 2)e (t 1)e (t )e (t 1)e (t 2)e 2 dt
Determine el valor de C.
2.3 Función escalón no ideal
7
Sea
a (t )
a (t )
un voltaje no ideal.
t 1 a
d a (t ) 1 dt a Lo que gráficamente podemos representarlo como sigue:
Si a varia, la forma del pulso varia, pero su area se mantiene cte. En el limite cuando a 0 , la altura del pulso y su duración 0 , pero su área se mantiene en 1. Luego podemos expresar que:
(t ) lim a0
d a (t ) dt
(t ) lim a0
1 (t ) (t a) a
8
Entonces:
(t )dt 1
(t ) 0
para t 0
Se observa que (t ) no es una función verdadera matemáticamente. Otras formas de expresar (t ) :
1. Pulso de Gauss:
1
(t ) lim 0 e
t 2
2
2. Pulso triangular:
t 1 lim 0 1
para t <
(t ) 0
para
3. Pulso exponencial. t
1 (t ) lim 0 e 2
4. Función de muestro.
k
S (kt)dt 1 a
t >
9
(t ) lim k
k
Sa (kt)
5. Función de muestreo cuadrática.
(t ) lim k
2.4
k
Sa2 (kt)
Espacio Ortogonal de Señales.(leer)
En el análisis de señales es muy útil la representación de señales en términos de componentes ortogonales. Es muy conveniente representar cualquier señal arbitraria como una suma ponderada de señales ortogonales, ya que los cálculos que involucran señales se simplifican. Un conjunto de señales
gi (t ) donde iZ
Forman un conjunto ortogonal sobre un intervalo
t1,t2 si:
Ek
jk
t2
g j (t ) g k (t ) dt
0
jk
t1
g k (t )
es la compleja conjugada y
Ek
es constante real.
Ejercicio: Verifique que el conjunto de señales
g m (t ) sen(mt) en el int ervalo ( , ) es ortogonal.
mZ 2.4.1 Aproximación de una función mediante un grupo de funciones ortogonales entre si.
10
Consideremos que una función f(t) se aproxima en el intervalo combinación lineal de n funciones ortogonales. Entonces:
t1,t2
por una
f (t ) C1g1 (t ) C2 g2 (t ) C3 g3 (t ) ................ Cn gn (t ) n
f (t ) Cr g r (t )
(1)
r 1
n
f (t ) f (t ) Cr g r (t )
(2)
r 1
2
n 1 2 f ( t ) C g ( t ) r r dt t 2 t1 t1 r 1 t
Se requiere que
(3)
, que corresponde al error cuadrático medio de f (t ) sea mínimo.
t2
f (t ) g (t )dt r
Cr
t1
(4)
t2
g
2 r
(t )dt
t1 t2
f (t ) g (t )dt r
Cr
t1
kr
(4.1)
2.4.2. Determinación del error cuadrático medio.
2
n 1 2 f ( t ) C g ( t ) r r dt t 2 t1 t1 r 1 t
(3)
11 n n 1 2 2 2 2 f ( t ) C g ( t ) 2 C f ( t ) g ( t ) r r r dt r t2 t1 t1 r 1 r 1 t
1 t2 t1
t2 t2 n n t 2 2 2 2 f (t )dt C r g r (t )dt 2 Cr f (t ) g r (t )dt r 1 r 1 t1 t1 t1
De 4 y 4.1. t2
f (t ) g (t )dt C k r
r r
t2
Cr g r2 (t )dt
t1
t1
Luego:
1 t2 t1
n n t 2 2 2 f (t )dt C r kr 2 Cr Cr kr r 1 r 1 t1
Z
1 t2 t1
(5)
n t 2 2 2 f (t )dt C r kr r 1 t1
Ejercicio: Se tiene la siguiente señal f(t)
a) Aproxime f(t) mediante una serie de funciones cosenoidales. b) Determine el error cuadratico medio. c) Determine
r
para r 1,3,5, 7
(6)
12
d) Grafique f(t) aproximada para
r 1,3, 5, 7
3.- ANÁLISIS DE SEÑALES
3.1 Representacion de una señal en el intervalo de Fourier.
t
t T
0, 0
mediante la Serie
Se representara una función f(t) por un conjunto de funciones senoidales y cosenoidales, que forman un conjunto ortogonal completo. La representación es como sigue:
f (t ) a0 a1 cos(w0t ) a2 cos(2w0t ) a3 cos(3w0t ) ...... an cos(nw0t ) b1sen( w0t ) b2 sen(2w0t ) b3sen(3w0t ) .......... bn sen(nw0t ) Para t0 t t0 T w0
2 T
f (t ) a0 an cos(nw0t ) bn sen(nw0t ) n 1
t 0 T
f (t ) cos(nw t )dt 0
an
t0 t 0 T
cos
2
(nw0t )dt
t0 t 0 T
f (t )sen(nw t )dt 0
bn
t0 t 0 T
sen (nw t )dt 2
0
t0
13 Haciendo n=0 para an
1 a0 T
t 0 T
f (t )dt
t0
Igualmente: t 0 T
cos (nw0t )dt 2
t0
t 0 T
2 sen (nw0t )dt
t0
T 2
Entonces:
1 a0 T 2 an T 2 bn T
t 0 T
f (t )dt
t0 t 0 T
f (t ) cos(nw t )dt 0
t0 t 0 T
f (t )sen(nw t )dt 0
t0
La representación compacta de la serie trigonométrica de Fourier es la siguiente:
f (t ) c0 Cn cos(nw0t n ) n 1
Donde:
Cn an2 bn2 bn a n
n tg 1
14 3.2 Serie exponencial de Fourier. Representación de una función f(t) cualquiera en el intervalo
t
t T
0, 0
mediante exponenciales.
una
combinación
lineal
de
funciones
f (t ) F0 F1e jw0t F2 e j 2 w0t ........ Fn e jnw0t ...... F1e jw0t F2 e j 2 w0t ........ Fn e jnw0t ......
F e
f (t )
n
jnw0t
n
Donde
Fn
t0 T
t0
t0 T
t0
Fn
t0 T
t0
t0 T
t0
Fn
t0 T
t0
dt e dt
f (t ) e jnw0t e jnw0t
jnw0t
f (t )e jnw0t dt e jnw0t e jnw0t dt
f (t )e jnw0t dt T
Las series exponencial y trigonométrica de Fourier no son 2 tipos diferentes de series, sino dos formas diferentes de expresar la misma serie.
Relaciones:
15
a0 F0 an Fn Fn bn j ( Fn Fn )
Fn
1 (an jbn ) 2
Ejercicio: Desarrollar la función f(t) en serie trigonométrica de Fourier en el intervalo (0,1).
3.3 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA MEDIANTE LA SERIE DE FOURIER EN TODO EL INTERVALO
( t )
Anteriormente vimos la representación de una función f(t) como serie de Fourier en el intervalo
(t0 , t0 T ) .
Fuera de este intervalo , f(t) y su representación por serie de Fourier no son necesariamente iguales. No obstante, si f(t) es una función periódica, entonces se puede demostrar que su representación en serie de Fourier es aplicable a todo el intervalo
( t ) .
Tomemos la serie exponencial de Fourier:
16
F e
f (t )
n
jnw0t
n
(t0 , t0 T )
e jnw0t e jnw0 (t T ) e jnw0t e jnw0T e jnw0t cos(nw0T ) jsen (nw0T ) w0T 2
e jnw0 (t T ) e jnw0t cos(2n) jsen (2n) e jnw0t 1 0 e jnw0t Por lo tanto si f(t) es periódica, con periodo T, entonces la serie de Fourier es válida en todo el intervalo
( t ) .
Entonces, para una f(t) periódica:
F e
f (t )
n
jnw0t
n
( t )
Donde:
Fn
t0 T
t0
f (t )e jnw0t dt T
Ejercicio: Para una f(t) onda seno rectificado, de amplitud A y periodo T=1, determine la serie exponencial de Fourier. 3.4 EL ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER
Tal como se ha visto, el desarrollo en serie de Fourier de una función periodica, equivale realmente a la representación de la función en termino de sus componentes de distintas frecuencias. Una función f(t) con periodo T tiene componentes de frecuencias angulares
w0 ,2w0 ,3w0 ,........., nw0 ...... , con w0
2 T
.
Si tenemos f(t) entonces podemos determinar su espectro.
17 Igualmente o inversamente, si tenemos el espectro de una señal, podemos encontrar su f(t). De lo anterior se deduce que: Tenemos 2 maneras de expresar una función: En el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
Notar que el espectro no es una señal continua, sino que es discreta, dando origen a lo que llamaremos espectro discreto.
Dada una función periódica de periodo T, la serie exponencial esta dada por:
f (t )
F e
n
jnw0t
n
f (t ) F0 F1e jw0t F2 e j 2 w0t F3e j 3w0t ....... Fn e jnw0t ..... F1e jw0t F2 e j 2 w0t F3e j 3w0t ..... Fn e jnw0t .....
Se observan las siguientes frecuencias:
0, w0 ,2w0 ,3w0 ,.........,nw0 ......
y
sus
amplitudes
son
F0 , F1 F2 F3 ....... Fn ..... Cuando las amplitudes corresponden a complejos, se les describe por su magnitud y fase.
Ejercicio: Grafique el espectro para una f(t) onda seno rectificado, de amplitud A y periodo T=1.
Ejercicio: Demuestre que el espectro de magnitud de cualquier función periódica es simétrico con respecto al eje vertical que pasa por el origen.
18 Ejercicio: Desarrolle una función f(t) rectangular periódica como serie exponencial de Fourier y dibuje su espectro de frecuencia para
1 1 y T 20 4
Considere el periodo de la señal igual a T, el ancho de los pulsos amplitud A.
y la
3.5 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUALQUIERA EN TODO EL INTERVALO
(, ) : LA TRANSFORMADA DE FOURIER.
-
Primero vimos como se representa cualquier función en serie de Fourier en un intervalo finito.
-
Después expandimos a todo el intervalo función periódica.
(, ) pero
para una
En realidad lo más conveniente es representar cualquier señal, periódica o no en todo el intervalo.
19 Consideremos la siguiente señal f(t):
Lo que se quiere: representar f(t) como suma de funciones exponenciales en todo el intervalo
(, )
Se define una nueva función periódica
( fT (t ) con periodo T
(T )
En el limite, con , entonces los pulsos de la función periodica se repiten después de un intervalo infinito. Por lo tanto, en el limite idénticas.
(T )
las señales
fT (t )
y f(t) son
lim fT (t ) f (t )
T
De este modo, la serie de Fourier que representa a f T (t ) en todo el intervalo, tambien representa a f(t) en todo el intervalo si hacemos
(T ) .
20
Se puede expresar la serie exponencial de Fourier de
f T (t )
fT (t )
como:
jnw0 t F e n
n
2 T
w0
Y
Fn
Fn
T 2 T 2
fT (t )e jnw0t dt T
corresponde a la amplitud de las componentes de frecuencia
nw0 .
Suponemos que T aumenta. Entonces
w0 disminuye y el espectro se pone mas denso.
Tambien se observa que
Fn
disminuye.
La forma del espectro no cambia.
(T )
En el limite, cuando , la magnitud de cada componente se vuelve muy pequeña y existe un numero infinito de componentes espectrales, es decir el espectro existe para cualquier w, entonces ya no es discreto sino que continuo. Sea
nw0 wn
Entonces
Fn es funcion de wn
21 Es decir
Fn (wn ) Sea
TFn (wn ) F (wn ) como
f T (t )
jnw0 t F e n
n
Entonces
1 f T (t ) F ( wn )e jwnt T n Como:
T
2 w0
Entonces
1 f T (t ) 2
F ( w )e
n
jwn t
n
w0
(1)
y T 2 T 2
F ( wn ) TFn fT (t )e jwnt dt La aproximación de valor de
w0
.
fT (t ) y f (t ) se
(2)
mejora cuando disminuye el
22
(T )
En el limite cuando
,
w0
se vuelve infinitisimalmente
pequeña de modo que se puede expresar por
dw .
La suma discreta de f T (t ) se puede expresar como una integral y representa el area bajo la curva. La curva es una funcion continua de w y esta dada por
(T )
Por lo tanto, cuando sucede que las ecuaciones 1 y 2 quedan como sigue:
1 f (t ) 2
F ( w)e
jw t
.
fT (t ) f (t ) , entonces
F ( w )e
jw t
dw
Transformada
inversa
de
Fourier de F(w). Y
F ( w) f (t )e jwt dt
Transformada directa de Fourier de f(t)
De este modo tenemos una funcion f(t) no periodica representada en todo el intervalo
(, ) .
F f (t ) f (t )e jwt dt
F 1 F ( w)
1 2
F ( w)e jwt dw
3.6 REPRESENTACION DE UNA SEÑAL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y EN EL DE LA FRECUENCIA.
F(w) es la representacion de f(t) en el dominio de la frecuencia. En general, la función F (w) es compleja y se necesitan dos diagramas para su representacion grafica completa:
23
F (w) F (w)e j ( w) F(w) se puede representar por el diagrama de magnitud F (w) y por el diagrama de fase (w) . En los casos que F(w) sea real o imaginaria, solo se requiere un diagrama. 3.7 EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER. Se definio que la Td F esta dada por :
F ( w) f (t )e jwt dt
Si
f (t )e jwt dt
Como la magnitud de
es finita, entonces existe la T d F.
e jwt 1
Entonces:
f (t ) dt
debe ser finita.
La integrabilidad absoluta de f(t) es condición necesaria para la existencia de la Td F de f(t).
suficiente pero no
Existen funciones como sen( w0t ), cos(w0t ), (t ), etc , que no satisfacen la condición anterior y en el sentido estricto no poseen T d F, sin embargo, en el limite si la tienen. 3.8 TRANSFORMA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES UTILES. 3.8.1 Señal exponencial unilateral.
f (t ) e atu(t ) 3.8.2 Señal exponencial bilateral.
f (t ) e
a t
u(t )
3.8.3 La funcion pulso rectangular.
24 Se define la función pulso rectangular:
3.8.4 Transformada de Fourier que contienen funcion impulso. 3.8.4.1 Transformada de Fourier de la funcion impulso.
f (t ) (t ) 3.8.4.2 Transformada de Fourier de una constante.
f (t ) A 3.8.4.3 Transformada de
sgn(t )
Se define la función signum como:
3.8.4.4 Transformada de la funcion escalon unitario
(t )
25
3.8.4.5 Transformada de la funcion
cos(w0t )
3.8.4.6 Transformada de la funcion
sen( w0t )
3.8.4.7 Transformada de una exponencial perpetua
e jw0t
3.8.4.8 Transformada de Fourier de una función periodica
En estricto rigor, la T d F de una funcion periodica no existe, debido a que esta no satisface la condicion de integrabilidad absoluta. Para cualquier funcion periodica f(t):
f (t ) dt
No obstante, la transformada existe en el limite. Se puede expresar la funcion periodica mediante la serie de Fourier:
f (t )
Fn e jnw0t
w0
n
2 T
Tomando la transformada de Fourier de ambos miembros:
F f (t ) F Fn e jnw0t n
F F e
F f (t )
n
n
F f (t ) 2
F ( w) 2
jnw0 t
F (w nw )
n
n
0
F (w nw )
n
n
0
26 Ejercicio: Determinar la Td F de un tren de impulsos equidistantes de intensidad unitaria a intervalos T segundos. 3.9 Propiedades de la Transformada de Fourier. 3.9.1 Simetría.
Si f (t ) F ( w) entonces F (t ) 2f ( w) Ejercicio: Determina la transformada inversa de
GW (w)
3.9.2 Linealidad.
Si f1 (t ) F1 ( w) y f 2 (t ) F2 ( w) entonces para cualquier cons tan te a1 y a2 a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( w) a2 F2 ( w) 3.9.3 Escalar.
Si f (t ) F ( w) entonces para a cons tan te y a R f (at )
1 w F( ) a a
Ejercicio: Determinar la T d F de f(-t) Ejercicio: Determinar la T inversa d F de
sgn(w)
Ejercicio: Determinar la T inversa d F de
(w)
3.9.4 Desplazamiento en la frecuencia.
27
Si f (t ) F ( w) entonces f (t ) e jw0t F ( w w0 ) Ejercicio: Determinar la T d F de
G (t ) cos(w0t )
G (t ) sen( w0t ) j
3.9.5 Desplazamiento en el tiempo.
Si f (t ) F ( w) entonces f (t t 0 ) e jw0t F ( w)e jwt0 Ejercicio: Determinar la T d F de
cosw0 (t 3) Ejercicio: Determinar la T d F de
(t 10) 3.9.6 Diferenciación en la frecuencia.
Si f (t ) F ( w) entonces jtf (t )
jt
n
dF dw
d nF f (t ) n dw
3.9.7 Diferenciación en el tiempo.
Si f (t ) F ( w) entonces df jwF ( w) dt dn f n jw F ( w) n dt
28 3.9.8 Teorema de la modulación. Sabemos que:
Si f (t ) F ( w) entonces f (t ) e jw0t F ( w w0 ) Si tenemos:
e jw0t e jw0t f (t ) cos( w0 t ) f (t ) 2 1 f (t ) cos( w0 t ) f (t )e jw0t f (t )e jw0t 2
F f (t ) cos( w0 t )
1 1 F f (t )e jw0t F f (t )e jw0t 2 2
F f (t ) cos( w0 t )
1 1 F ( w w0 ) F ( w w0 ) 2 2
Igualmente tenemos que:
F f (t ) sen(w0t )
j j F ( w w0 ) F ( w w0 ) 2 2
Ejercicio: Se tiene una señal f(t) con el siguiente espectro:
Graficar en el dominio de la frecuencia la señal f (t ) cos(w0t )
para w0 wm
29 Ejercicio: El producto f (t ) cos(w0t ) corresponde al siguiente espectro:
Ejercicio: Determinar la transformada de Fourier de la siguiente señal:
Emplearemos la propiedad de diferenciación en el tiempo.
3.10 EL TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN.
Dadas dos funciones f1 (t ) y f 2 (t ) , Se puede formar la siguiente integral:
f (t )
f ( ) f 1
2
(t )d
Esta integral se denomina INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN y define la convolucion de las funciones f1 (t ) y f 2 (t ) , que simbólicamente se puede expresar como :
f (t ) f1 (t ) *
f 2 (t )
3.10.1 Teorema de la Convolución en el tiempo.
30
Si f1 (t ) F ( w) y f 2 (t ) F ( w) entonces
f ( ) f 1
2
(t )d F1 ( w) F2 ( w)
es decir f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( w) F2 ( w) 3.10.2 Teorema de la Convolución en la frecuencia.
Si f1 (t ) F ( w) y f 2 (t ) F ( w) entonces 1 f1 (t ) f 2 (t ) 2
F (u ) F (w u)du 1
2
es decir f1 (t ) f 2 (t )
1 F1 ( w) * F2 ( w) 2
3.10.3 Relaciones de la Convolucion 3.10.3.1 Ley Conmutativa.
f1 (t ) *
f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t )
3.10.3.2 Ley Distributiva. f1 (t ) *
f 2 (t ) f3 (t ) f1 (t )
* f 2 (t ) f1 (t ) * f 3 (t )
3.10.3.3 Ley Asociativa. f1 (t ) *
f 2 (t ) * f3 (t ) f1 (t )
* f 2 (t ) * f3 (t )
3.10.4 Convolución de una función con la función impulso unitario
f (t ) * (t )
f ( ) (t )d f (t )
Tenemos que si
31
f (t ) F ( w)
y
(t ) 1
Por lo tan to : f (t ) * (t ) F ( w) En con sec uencia f (t ) * (t ) f (t )
Por lo tanto:
f (t ) * (t T ) f (t T ) f (t t1 ) * (t t 2 ) f (t t1 t 2 )
(t t1 ) * (t t 2 ) (t t1 t2 )
