CAPITULO 1 - LÓGICA PROPOSICIONAL CUARTO.doc

LÓGICA PROPOSICIONAL ENUNCIADO : Es cualquier frase u oración que expresa una idea. oraciones s asever aseverati ativas vas que que se PROPOSICIÓN  : Son oracione puede ueden n cal califi ificar car como omo verd verda ader deras o fals falsa as. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r; s.

 

(.

2.

 

isminución E)clusi*a. incula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: o333.0 o3333 Ta$la Ta$la &e *er&a& *er&a & p

q

p∆

q

   

ENUNCIADO ABIERTO  : Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores verdad. CLASES DE PROPOSICIONES : 1. Proposició Son prop propos osic icio ione nes s que que no Proposición n Simple Simple: Son tien tienen en conj conjun unci cion ones es gram gramat atica icale les s adve adverb rbio io de negación.

 

+.

   

   

Con&icional : incula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: Si ............0 entonces .............. 4

Ta$la Ta$la &e *er&a& *er&a &

Proposición Proposición Compuesta Compuesta: ormada dos o m!s proposiciones simples u por conectivos lógicos o por  el adverbio negación.

p

CONECTIVOS LÓGICOS  : S"mbolos que enla#an dos o m!s m!s propos oposic icio ione nes s simp simple les s par para form formar ar una proposición compuesta.

   

q

5*

q    

   

$os conectores lógicos que usaremos son :

SÍMBOLO %

OPERACIÓN  LÓGICA

SIGNIFICADO

&egación 'onjunción ) i s ( u nc i ó n

&o p p(q poq

*

'ondicional

Si p; entonces q

+

,icondicional

p si ( sólo si q

∆

)is(unción Exclusiva

∧ ∨

solamente a una proposición.

OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS E !ER DAD Con#unción . incula dos proposiciones mediante el conectivo lógico -(-.

Ta$la% &e !er&a& p    

'.

q    

p∧q    

Con&icional  : incula dos proposiciones mediante el conectivo lógico o.

Ta$la &e !er&a& p

q

p∨

q  

 

 

Bicon&icional  : incula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: -....... si ( sólo si .......

Ta$la &e !er&a& p

q

5+

   

   

   

q

-o........ o........

OBS./ $a negación es un conector mon!dico0 afecta

".

,.

-.

Neación: 6fecta a una sola proposición. Es un operador mon!dico que cambia el valor de verdad de una proposición :

Ta$la Ta$la &e *er&a& *er&a & p

%p

 

 

OBSERVACIÓN : $a cantidad de filas en una tabla es : 7 filas 8 2 n .

)onde n es la cantidad de proposiciones simples. IMPORTANTE : 'uando los valores de9 operador principal son ∗ todo todos s verd verdad ader eros os se dice dice que que el esqu esquem ema a molecular es tautolóico .

∗

∗

Se dir! que el esquema molecular es contradictorio si los valores de9 operador principal son todos falsos Si los valores de9 operador principal tiene por lo menos una verdad v una falsedad se dice que es continente o consistente .

LEYES E /LGEBRA PROPOSICIONAL Principales Le0es1 a. Le0 &e I&empotencia :

∃ Se lee: Existe algún

CIRC9ITOS LÓGICOS 1. Circuito Serie : )os interruptores conectados en serie representan una conjunción.  << p <<<< q <<<< = > p ∧  q 2. Circuito Paralelo  : )os interruptores conectados en paralelo representan una dis(unción.

p ∨  p ≡ p p ∧  p ≡ p

p

: ; p∨ q 5

b. Le0 Conmutati*a : p ∨q≡q ∨p p ∧q≡q∨ p

LÓGICA BINARIA PRINCIPALES CO8P9ERTAS LÓGICAS

c. Le0 Asociati*a1

•

p ∨ q ∨ r ≡ p ∨ q ∨ r p ∧ q ∧ r ≡ p ∧  q ∧ r •

'ompuerta 6&) de dos entradas. p pq q 'ompuerta ?@ de dos entradas

&. Le0 istri$uti*a1

p q

p ∨ q ∧ r ≡ p ∨ q ∧  p ∨ r p ∧  q ∨ r ≡ p ∨ q ∨  p ∧ r •

e. Le0 &e la o$le Neación1

'ompuerta &?A

%p

'ompuerta &6&) de dos entradas p %pq q

2. Le0es &e I&enti&a&1 p ∨   ≡   ; p ∨  ≡ p p ∧ p ≡  p ; p ∧  ≡ 

•

. Le0es &el Complemento1 p ∨ %p ≡  p ∧ %p ≡ 

'ompuerta &?@ de dos entradas p %pq q

E
3. Le0 &el Con&icional p 4 5 ≡  % p ∨  q

".

SeBala la proposición:

expresión

equivalent e

a

la

p ∨ %p ∧ %q ∨ %p

i. Le0 &e la Bicon&icionai1

aq*p bp*q c p*q*p d *p*p*q e q*p*%p

p + q ≡  p*q ∧ q*p p + q ≡  p ∧ q ∨  %p ∧ %q p + q ≡ %p ∆ q

 #. Le0 &e A$sorción1 p ∨  p ∧ q ≡ p p ∧  p ∨ q ≡ p p ∨ %p ∧ q ≡ p ∨ q 5 ∧  %p ∨ q ≡ p ∧ q

'.

Si la proposición: %p*q ∨ %r es falta. Callar  el valor de verdad de p; q ( r en ese orden. a  b  c  d  e 

(.

Si p es una proposición falsa0 determina el valor de verdad de la expresión: Dp*q ∨ %q ∧ pFG*r ∧ p ∧ q a erdadero b also c erdadero o falso d erdadero sólo si q es verdadero e also sólo si r es falso. Simboli#ar:

6. Le0es &e 7e 8oran7 1 % p ∨ q ≡ %p ∧  %q % p ∧ q ≡ %p ∨  %q

2.

pq

p

%%p ≡  p

CUANTIFICADORES: 1. Cuanti2ica&or 9ni*ersal :. ∀ se lee : -5ara todo-

.

.

+.

 % p< % q

Cuanti2ica&or e)istencial:. q

Si la proposición que se obtiene es falsa. H'u!les son los valores de p ( q respectivamenteI a  b  c  d  e &o se puede precisar 

,.

Simplificar a su m"nima expresión: p*q *J ∧ %q ∨ p ∨ qF a p b q c p ∧ q d p ∨ q

e p*q

-.

)etermina el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: K. Si:L M 1 8 N0 entonces: O M O 8 P KK. &o es verdad que: 2 M 2 8 Q si ( solo si O M O 8 1R KKK. adrid esta en EspaBa o $ondres est! en rancia a  b  c  d  e  Kndicar el valor de verdad de: =. K. p* p ∨ q KK. p ∧ q*p+q KKK. %p ∧ q*pF a  b  c  d  e  Si: p ∧ %q*r; es falsa0 determinar los >. valores de verdad de p0 q ( r. a  b  c  d  e  ?. HTuU proposición es: Es el caso que eres postulante si te preparas en la academiaI a 'onjuntiva b )is(untiva c ,icondicional. d 'ondicional e &egativa. El fiscal de la &ación ejercer! sus funciones "@. salvo que no jure $a proposición anterior es: a 'onjuntiva b ,icondicional c )is(untiva d 'ondicional e &egativa Si la proposición: p *r ∨ s "". Es falsa0 H'u!ntas de las siguientes proposiciones son verdaderasI K. %s ∨ t ∨ %p KK. r+p KKK. t*%r   K. r*p ∨  s*r a &inguna b Vna c )os dAres e 'uatro

"'.

Callar la proposición equivalente al circuito lógico:

p

%p

q

% q

p

q

a p b p ∨ %q

c p ∨ q d %p ∨ q

e p ∧ %q

"(.

H'u!ntas de las siguientes expresiones son proposicionesI W 9)ios m"o .... se murióX W El calor es la energ"a en tr!nsito. W ,aila a menos que estUs triste. W Siempre que estudio0 me siento feli#. W El delf"n es un cet!ceo0 (a que es un mam"fero marino. a 1 b 2 c L d O e Q )adas las siguientes expresiones "+. W Si en el curso de $ógica Ya( O1Q alumnos0 entonces por lo menos QR estudiantes celebran el mismo d"a su cumpleaBos. W Si eres vida0 H5or quU me das la muerteI si eres muerte0 H5or quU me das la vidaI W arcos corre tras el Uxito0 es un Yombre pr!ctico0 ( reside en un piso cUntrico regando flores de pl!stico ( pendiente del telUfono. W $a feria del SeBor de los ilagros en Yomenaje al sesquicentenario de las batallas de Zun"n (  6(acucYo. W El principito no pod"a comprender a las personas adultas. W Zusto ( ZosU se odian a muerte. H'u!ntas son proposiciones simplesI a R b 1 c 2 d L e O

",.

El equivalente de la proposición : -Ca( que pagar 2L1 soles ( ser accionistas para ingresar al club-0 es : a &o ingresar al club o pagar 2L1 soles ( ser  accionista. b 5agar 2L1 soles o ser accionista ( no ingresar al club: c 5agar 2L1 soles ( no ser accionista0 ( entrar al club. d 5agar 2L1 soles ( ser accionista0 o no ingresar  al club. e &o es cierto que se pague 2L1 soles ( ser  accionista0 o ingrese al club. Simboli#ar : "-. -Si en arte no Ya( agua0 entonces no Ya( vida; en consecuencia0 no Ya( marcianos ni platillos voladoresa %p →  %q → % r ∧ %sF b %5 → q →  %r ∧ %s c %p → q → %r ∧ %s d %q →  %q → % r ∧ %sF e %p → %q → % r ∧ %s "=. El equivalente de la proposición : -Ca( que pagar 1RR soles ( ser socio para ingresar  al teatro- es : a &o ingresar al teatro o pagar 1RR soles0 ( ser  socio. b 5agar 1RR soles o ser socio0 ( no ingresar al teatro. c 5agar 1RR soles ( ser socio0 o no ingresar al teatro. d 5agar 1RR soles ( no ser socio0 ( entrar al teatro.

e &o es cierto que se pague 1RR soles ( sea socio0 o ingrese al teatro. ">. Si la siguiente proposición :   q ∧ % 5 → % qF v r →  s es falsa0 dar el valor veritativo de : K. p → %q v s → rF ↔ r v p KK. r v q →  % sF v [ → r a . b . c  d  e )epende de [.

"?. Simplificar: 8 %p v q → %q v pF a q

b p

c  %p

d %q

∧ p ∧ q

e %q v q

'@. )ecir cual o cuales son verdaderas0 si se define: p ∇ q ≡ p ∧ %q ; p ↑ q ≡ %p v q K. KK. KKK.

p → %q ≡ v % 5 ∇ %q % p ∇  q v p ↑ q ≡ p → q %p ↑ q ≡ %%p ∇ q

a Solo K

b Solo KK

d K( KKK

e Aodas

c K ( KK