Capa Limite Laminar y Turbulenta

FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA CARRER A PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL “NOCIONES DE CAPA LÍMITE LAMINAR Y CAPA LÍMITE TURBULENTA”

Estudiantes: Arana Astopilco, Astopilco, Jean Pierre Lescano Narro, Rosa Andrea Medina Díaz, Yesenia

Docente: Ing. Vásqez Ra!írez, Lis.

Curso: Mecánica de "lidos

Caa!arca " #$%&

MECÁNICA DE FLUIDOS NOCIONES DE CAPA LÍMITE LAMINAR Y CAPA LÍMITE TURBULENTA

INDICE INTRODUCCION''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''# OB(ETI)OS'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''* %' O+eti,o O+eti,o -enera.:'' -enera.:'''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' ''''''''''''' ''''''''''''' '''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''* '* #' O+eti,os O+eti,os es/ec01ico es/ec01icos:''''' s:''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''* '''''''''''''* IN2ORMACI3N TE3RICA'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4 CAPA LIMITE''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' LIMITE'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''44 %' ECUACIONES ECUACIONES DE CAPA LÍMITE:''''' LÍMITE:''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''& '''''''''''''& #' CONDICIONE CONDICIONES S DE CONTROL''' CONTROL''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' ''''''''''''''''''%$ ''''''''''''%$ *' 2UER5A 2UER5A DE 2RICCI3N:'' 2RICCI3N:'''''''' ''''''''''''' ''''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''% ''''''''''''''''''%%% 4' CAPA CAPA LÍMITE LÍMITE LAMINAR LAMINAR PARA PARA UNA PLACA PLACA PLANA:'''''''''''' PLANA:'''''''''''''''''''%# '''''''%# 6' CAPA CAPA LIMITE LIMITE LAMINA LAMINAR R ALRE ALREDED DEDOR OR DE UNA CU7A CU7A DE DE AN8ULO 9'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''#$ &' ECUACION ECUACION INTE8RAL INTE8RAL DE ARMAN'''' ARMAN'''''''''' '''''''''''' ''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''## ''''''''''''## ;' CAPA CAPA LÍMITE LÍMITE TURBULE TURBULENTA NTA'''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' ''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''#6 ''''''''''''#6 <' ECUACIONES ECUACIONES DE LA CAPA CAPA LÍMITE LÍMITE TURBUL TURBULENT ENTA' A''''''''''''' '''''''''''''''''''''#& '''''''''#& =' CAPA CAPA LÍMITE LÍMITE TURBULE TURBULENTA NTA PARA PARA PLACA PLACA PLANA LISA''''''''''''#= E(ERCICIOS DE APLICACI3N:'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''*# CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4; BIBLIO8RA2IA''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4< ANE>OS'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4=

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INDICE INTRODUCCION''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''# OB(ETI)OS'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''* %' O+eti,o O+eti,o -enera.:'' -enera.:'''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' ''''''''''''' ''''''''''''' '''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''' ''''''''''''''''''* '* #' O+eti,os O+eti,os es/ec01ico es/ec01icos:''''' s:''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''* '''''''''''''* IN2ORMACI3N TE3RICA'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4 CAPA LIMITE''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' LIMITE'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''44 %' ECUACIONES ECUACIONES DE CAPA LÍMITE:''''' LÍMITE:''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''& '''''''''''''& #' CONDICIONE CONDICIONES S DE CONTROL''' CONTROL''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' ''''''''''''''''''%$ ''''''''''''%$ *' 2UER5A 2UER5A DE 2RICCI3N:'' 2RICCI3N:'''''''' ''''''''''''' ''''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''''''' ''''''''''''''''''''''''''''% ''''''''''''''''''%%% 4' CAPA CAPA LÍMITE LÍMITE LAMINAR LAMINAR PARA PARA UNA PLACA PLACA PLANA:'''''''''''' PLANA:'''''''''''''''''''%# '''''''%# 6' CAPA CAPA LIMITE LIMITE LAMINA LAMINAR R ALRE ALREDED DEDOR OR DE UNA CU7A CU7A DE DE AN8ULO 9'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''#$ &' ECUACION ECUACION INTE8RAL INTE8RAL DE ARMAN'''' ARMAN'''''''''' '''''''''''' ''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''## ''''''''''''## ;' CAPA CAPA LÍMITE LÍMITE TURBULE TURBULENTA NTA'''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' '''''''''''' ''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''#6 ''''''''''''#6 <' ECUACIONES ECUACIONES DE LA CAPA CAPA LÍMITE LÍMITE TURBUL TURBULENT ENTA' A''''''''''''' '''''''''''''''''''''#& '''''''''#& =' CAPA CAPA LÍMITE LÍMITE TURBULE TURBULENTA NTA PARA PARA PLACA PLACA PLANA LISA''''''''''''#= E(ERCICIOS DE APLICACI3N:'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''*# CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4; BIBLIO8RA2IA''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4< ANE>OS'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''4=

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INTRODUCCI3N #n !ecánica de $lidos, la capa lí!ite de n $lido es la zona donde el !o%i!iento de &ste es pertr'ado por la presencia de n s(lido con el qe está en contacto. La capa lí!ite se entiende co!o aqella en la qe la %elocidad del $lido respecto al s(lido en !o%i!iento %aría desde cero )asta el **+ de la %elocidad de la corriente no pertr'ada. La capa lí!ite pede ser la!inar o tr'lenta anqe ta!'i&n peden coe-istir en ella zonas de $lo la!inar / de $lo tr'lento. #n ocasiones es de tilidad qe qe la capa capa lí!it lí!ite e sea sea tr' tr'l len enta ta.. #n aero aeroná nát tic ica a apli aplica cada da a la a%ia a%iaci ci(n (n co!ercial, se sele optar por per$iles alares qe generan na capa lí!ite tr'lenta, /a qe &sta per!anece ad)erida al per$il a !a/ores ánglos de ataqe qe la capa lí!ite la!inar, e%itando e%itando así qe el per$il entre en p&rdida, es decir, dee de generar sstentaci(n aerodiná!ica de !anera 'rsca por el desprendi!iento de la capa lí!ite. #l espesor de la capa lí!ite en la zona del 'orde de ataqe o de llegada es peqe0o, pero a!enta a lo largo de la sper$icie. 1odas estas características %arían en $nci(n de la $or!a del o'eto 2!enor espesor de capa lí!ite canta !enor resistencia aerodiná!ica presente la sper$icie3 e. $or!a $si$or!e de n per$il alar4.

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OB(ETI)OS %' O+ O+e eti, ti,o o -e -ene nera ra.: .:

Aprender so're la 5apa li!ite.

#' O+ O+eti, eti,os os es/ es/ec0 ec01ico 1icos: s:

 5onocer so're capa lí!ite la!inar / tr'lenta.  Aplicar la teoría resol%iendo eercicios eercicios de aplicaci(n.

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IN2ORMACI3N TE3RICA CAPA LIMITE

La capa li!ite es na zona estrec)a / larga en la qe tienen igal i!portancia los $en(!e $en(!enos nos de transp transport orte e !olec !oleclar lar / con%ec con%ecti% ti%os, os, / sir%e sir%e para para poder poder satis$acer na condici(n de contorno en la sper$icie del cerpo qe no se podría c!plir con la teoría ideal.

2i-ura %: Desarrollo de la capa li!ite li !ite en la pared interna del condcto.

2i-ura #: Desprendi!iento de la capa li!ite en $lo e-terior, para cerpos no aerodiná!icos. #n cerpos aerodiná!icos no )a/ desprendi!iento.

2i-ura *: Desp Despre rend ndi! i!ie ient nto o de la capa capa li!ite li!ite en $l $lo o inte interi rior or,, si la part parte e di%erg di%ergent ente e del condc condcto to se a're a're 'rsca 'rsca!en !ente. te. 5and 5ando o la di%erg di%ergenc encia ia es gradal no )a/ desprendi!iento. Pág. 4


1al co!o se !estra en la $igra 6*.7 la capa lí!ite per!anece ad)erida a la sper$icie del cerpo cando &ste es es'elto o aerodiná!ico. 5ando el cerpo no es es'elto, por ser ro!o o con esqinas, la capa lí!ite se desprende del cerpo, / es co!o si incre!entara !c)o s espesor entonces, aparecen zonas de ta!a0o co!para'le al del cerpo en las qe los $en(!enos de transporte son i!portantes, / en las qe no se pede en n principio tilizar la teoría de $lidos ideales para descri'ir el !o%i!iento. Para $lidos giados, co!o se !estra en la $igra 6*.8, si el condcto es con%ergente, o !/ poco di%ergente, / no es de!asiado largo, e-iste na capa li!ite ad)erida a las paredes, / la teoría de $lidos ideales es aplica'le en el interior. 9i el condcto es !/ di%ergente, co!o se !estra en la $igra 6*.:, la capa li!ite pede desprenderse al igal qe scede en los cerpos no aerodiná!icos, in%alidando los resltados de la teoría ideal / dando lgar a perdidas locales de carga. 9i el n;!ero de Re/nolds 'asado en el espesor de la capa li!ite es s$iciente!ente grande, &sta pede )acerse tr'lenta. La capa lí!ite tr'lenta da !a/ores $erzas de $ricci(n qe la la!inar, pero presenta na !a/or, resistencia al desprendi!iento. Pri!era!ente se plantearán las ecaciones de la capa li!ite la!inar, li!itándonos al $lo 'idi!ensional e inco!prensi'le. De dic)as ecaciones e-traere!os, !ediante esti!aci(n de (rdenes de !agnitd, na serie de conclsiones prácticas. 9e resol%erá e-acta!ente el caso del !o%i!iento alrededor de na placa plana en el caso la!inar. 9egida!ente, se planteara la integral de

!agnitd, se estdiarán las capas li!ites t&r!icas, asociadas a la trans!isi(n de calor. CRESPO? @#$$&

%' ECUACIONES DE CAPA LÍMITE:

9e %a a li!itar el trata!iento al !o%i!iento 'idi!ensional, plano, inco!prensi'le, estacionario, la!inar, de %iscosidad constante / con $erzas !á-i!as qe deri%an de n potencial. Las ecaciones qe rigen el !o%i!iento son las ecaciones3 ¿ ⃗v =0 ρ

(

)

∂ ⃗v +⃗v ∙ ∇ ⃗v +∇ p = μ ∆ ⃗v + ρ⃗ f m , ∂ t

=e se %el%en a escri'ir, poniendo de'ao de cada t&r!ino s orden de !agnitd,

Ecuacin de continuidad:

>>>>>>.. 264

Ecuacin de cantidad de !o,i!iento:

…………….. (2)

………………. (3)

Pág. 6


Donde se )a incorporado los t&r!inos de $erzas !ásicas en la presi(n redcida 2en este in$or!e se sara P para la presi(n redcida, se recerda qe P ? p @ ρ  donde  es el potencial de $erza !ásica, qe no se de'e con$ndir la %elocidad característica seg;n el ee - o la %elocidad e-terior a la capa li!ite, deno!inada ta!'i&n .4 La ecaci(n de la energía,

#stá desacoplada de las anteriores / no la necesita!os a)ora la sare!os !ás adelante al considerar la capa li!ite t&r!ica.

Orden de !a-nitud de .os di1erentes tr!inos Para estdiar la capa lí!ite, spondre!os qe esta es na zona !/ estrec)a, cercana a la pared, en la qe los t&r!inos %iscosos / con%ecti%os son del !is!o orden. Dado qe el espesor de la zona es !/ peqe0o co!parado con s longitd, no )a/ incon%enientes en to!ar n siste!a de coordenadas cr%ilíneas de direcci(n paralela / nor!al a la pared, / sponer qe, al !enos local!ente, esta coordenadas son casi cartesianas. "igra B

2i-ura 4: #sqe!a de las coordenadas / el orden de !agnitd de las longitdes signi$icati%as de la capa lí!ite.

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D(nde3 δ es el espesor típico de la capa li!ite, L el ta!a0o típico del cerpo /  na %elocidad típica de desliza!iento del $lido ideal so're la pared 2ta!'i&n será la %elocidad en el e-tre!o de la capa li!ite4. #ntonces spone!os qe las cantidades qe aparecen en las ecaciones anteriores tienen nos ta!a0os típicos3 >>.. 2B4 >>.. 284 >>. 274 #n la ecaci(n 264 los dos t&r!inos tendrán los (rdenes de !agnitd indicados, por lo qe al tenerse qe co!pensar entre si esos dos t&r!inos, reslta qe el %alor típico de la %elocidad trans%ersal es3 >>.. 2:4 Al igal qe scedía en los $lidos en condctos largos, #caci(n3

La %elocidad trans%ersal es !/ peqe0a co!parada con la longitdinal. tilizando la ecaci(n 2B4 a 2:4, se pede esti!ar el orden de !agnitd de los t&r!inos de la ecaci(n 2C4 / 24, e-cepto de los t&r!inos de gradiente de presi(n qe lo indica!os !ediante3 3 Variaci(n típica de presi(n redcida seg;n el ee 3 Variaci(n típica de presi(n redcida seg;n el ee / Al ser δ ≪ L %e!os qe, en los t&r!inos %iscosos, los pen;lti!os t&r!inos de 2C4 / 24 son !c)o !enos qe los ;lti!os, / nestra pri!era si!pli$icaci(n consistirá en despreciar esos t&r!inos peqe0os. Por otra parte, en la capa li!ite los t&r!inos con%ecti%os / %iscosos de'en ser del !is!o orden, lego3

>>>>>.. 2E4 5on los qe el espesor de la capa li!ite será de n orden3 Pág. 


>>>>2*4 5on se %io en la #caci(n >>>.. 26F4

5o!pro'a!os qe, cando el n;!ero de Re/nolds es grande, el espesor

δ

es !/ peqe0o 2si en la ecaci(n 2*4 se pone la coordenada -, en ligar de L, se pede co!pro'ar qe δ crece agas a'ao co!o la raíz cadrada de -4. Los incre!entos de presi(n redcida típicos qe aparecen en 2C4 / 24 de'en ser del orden de los t&r!inos restantes3

>>>>>.. 26F4 >>>>>. 2664 #s decir, trans%ersal!ente a la capa li!ite la presi(n %aría !c)o !enos qe longitdinal!ente. #n pri!era apro-i!aci(n se %an a despreciar las %ariaciones trans%ersales de presi(n.

2or!a 1ina. de .as ecuaciones de .a ca/a .i!ite La #caciones 264 / 2C4 desp&s de las si!pli$icaciones 2*4 / 2664 se con%ierten en3 >>>>>> 26C4 >>>>>.. 264

Pág. !


#n la ecaci(n 264 se )a pesto la deri%ada ordinaria de la presi(n redcida, /a qe la #caci(n 24 sería3 >>>>>>> 26B4 #sta ecaci(n indica qe la presi(n redcida no ca!'ia a tra%&s de la capa lí!ite / es solo $nci(n de -. #l siste!a 26C4 / 264 es n siste!a de dos ecaciones para dos inc(gnitas3 las co!ponentes del %ector %elocidad. La distri'ci(n de presiones redcidas sería n dato del pro'le!a, conocido a partir de la resolci(n del pro'le!a ideal e-terior a la capa li!ite. Para ello, en la parte e-terior de $lido ideal pode!os aplicar la ecaci(n de Gernolli3

Y di$erenciado se tiene3 >>>>. 2684 Donde  es la %elocidad en el e-terior de la capa li!ite, o la %elocidad de desliza!iento del $lido ideal so're el cerpo.

CRESPO @#$$& #' CONDICIONES DE CONTROL

#n la sper$icie de la pared las dos co!ponentes de la %elocidad son cero3

>>>>> 2674 Y leos de la pared, la %elocidad % - de'e tender al %alor correspondiente al desliza!iento del $lido ideal 3 >>>>> 26:4 Pág. 1"


9eg;n esta teoría !ate!ática la capa li!ite no tiene n espesor $inito, /a qe el %alor  se alcanzara a na distancia in$inita de la pared. #n la practica el %alor 26:4 se alcanzaría a na distancia de tres o catro %eces la distancia dada por la #caci(n 2*4. Dado qe la %elocidad de desliza!iento  correspondientes a3

Ha/ na aparente contradicci(n entre esta ecaci(n / la 26:4 qe se pede resol%er da la $or!a sigiente3 el in$inito al qe se re$iere la #caci(n 26:4 corresponde a la coordenada / !edida con la escala peqe0a

δ , !ientras

qe el cero al qe se re$iere la solci(n ideal corresponde a la coordenada / !edida con el ta!a0o del cerpo L. Pero al ser L 

δ , tal co!o indica la

ecaci(n 2*4, )a/ !argen s$iciente para poder considerar qe n %alor !/ grande de y / δ es n %alor !/ peqe0o de /L.

2i-ura 6: #sqe!a del creci!iento de la capa li!ite de'ido a la %elocidad nor!al en el e-tre!o de la !is!a. 5on%iene indicar qe en el 'orde e-terior de la capa lí!ite3 >>>>>. 26E4 La %elocidad nor!al a la pared no tiende a cero, sino a n %alor $inito, qe de acrdo con la #caci(n 2:4, sería !c)o !enos qe la %elocidad . #l Pág. 11


signi$icado de esta %elocidad nor!al está asociado a qe en la parte e-terior de la capa li!ite el $lo no es e-acta!ente paralelo a la pared, "igra 8. 1a!'i&n se de'e indicar qe el plantea!iento !ate!ático de las #caciones 26C4 / 264 reqiere na condio de control !ás, qe especi$ica la distri'ci(n de %elocidad tangencial a la pared en na cierta coordenada indicada K F3

CRESPO? @#$$& 3. FUERZA DE FRICCIÓN:

La anterior esti!aci(n de orden de !agnitd nos per!ite esti!ar la $erza de $ricci(n eercida por el $lido so're n cerpo per$ilad, co!o el !ostrado en la "igra 7.

2i-ura &: #sqe!a de n cerpo de $or!a aerodiná!ica, s longitd L / %elocidad incidente . #l es$erzo cortante seria de n orden de !agnitd3 >>>>.. 2CF4 Y la $erza3 >>>>>.. 2C64 Donde G es la en%ergadra del cerpo. 9stit/endo en 2C64 el %alor de τ de 2CF4 / el %alor de δ dado en 2*4, reslta3

>>>>> 2CC4 Pág. 12


#sta $erza, adi!ensionalizada co!o se indica en la #caci(n 2F4 resltaría3

>>>>.. 2C4 #s decir, este %alor adi!ensional decrece al a!entar el n;!ero de Re/nolds. #n este caso al coe$iciente 5 D le lla!a!os ta!'i&n 5$, pes al no tener en centa el desprendi!iento de capa li!ite, toda la $erza es de'ida a la $ricci(n.

CRESPO? @#$$&

4' CAPA LÍMITE LAMINAR PARA UNA PLACA PLANA: 5o!o aplicaci(n clásica sencilla se %a a resol%er al pro'le!a de na capa li!ite alrededor de na placa plana de espesor nlo, co!o la !ostrada en la $igra :.

2i-ura ;: #sqe!a de las coordenadas para na placa plana / la %elocidad incidente . 5ando el $lo incide paralela!ente a la placa. #n este caso el ca!po $lido tendrá na %elocidad ni$or!e, U ⃗i , para el caso de !o%i!iento ideal. La %elocidad de desliza!iento será pes constante, / de la ecaci(n 2684 se tiene3 >>>>>. 2CB4

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De'e!os pes resol%er las #caciones 26C4 / 264 con la condio 2CB4 / las condiciones de contorno 2674 / 26:43

>>>>>>>. 2C84 >>>>>.. 2C74 Y la condici(n 26*43 >>>> 2C:4 =e e-presa qe en el 'orde delantero de la placa la %elocidad es constante, o seg;n %ere!os, qe la capa li!ita tiene espesor nlo. #l pro'le!a qe aca'a!os de plantear es algo si!ilar al de la placa con !o%i!iento i!plsi%o, de Ra/leig). #n aqel pro'le!a el e$ecto de la aceleraci(n por arrastre del $lo por la placa se i'a di$ndiendo te!poral!ente a capas de $lido cada %ez !ás anc)as. A)ora, seg;n se %ería, el papel del tie!po lo dese!pe0ara la coordenada -, / el e$ecto de $renado de la corriente e-terior se %a e-peri!entando agas a'ao a capas cada %ez !ás anc)as. #n aqel pro'le!a encontra!os qe )a'ía na %aria'le de se!eanza de la $or!a dada en la ecaci(n3

Por analogía con esa ecaci(n, / )aciendo na eqi%alencia entre el tie!po del pro'le!a de Ra/leig) / el tie!po qe se tarda en recorrer la coordenada K, nestra %aria'le de se!eanza seria3 >>>>.. 2CE4 1 ta!'i&n, por analogía con la #caci(n 284, pone!os3 >>>>>>. 2C*4

Pág. 14


#s nestro caso, para satis$acer la #caci(n 26C4, se de$ine, de acerdo con la #caci(n 2684, na $nci(n de corriente #3 >>>>.. 2F4 Para satis$acer la pri!era de esta ecaci(n se de'e c!plir3 >>>>>. 264 Donde $ es na $nci(n de n. De 264 / 2F4 se o'tiene3 >>>>>.. 2C4 >>> 24 Introdciendo 2C4 / 24 en 264, nto con la condici(n 2CB4, reslta, desp&s de algnas operaciones3 >>>>>>. 2B4 Las condiciones de contorno 2C84, 274, / 2C:4 se satis$acen si se c!ple3 >>>>>.. 284 >>>>>>274 5o!o se pede co!pro'ar a partir de las #caciones 2C4, 24 / 2CE4. La #caci(n 2B4 nto con las condiciones 284 / 274 se pede integrar n!&rica!ente. na %ez o'tenido $, de pede calclar $, / o'tener la distri'ci(n de %elocidad seg;n K, qe se representa en la $igra E.

Pág. 15


2i-ura <: Diagra!a de la distri'ci(n de %elocidades para la solci(n de se!eanza de la capa li!ite. A n %alor de n constante na %elocidad constante. #sto qiere decir qe, a !edida qe nos !o%e!os agas a'ao, el espesor de la capa li!ite crece. Por ee!plo el %alor de n qe da qe V - es F.**, es 8 si spone!os qe práctica!ente para ese n la capa lí!ite )a ter!inado, s espesor seria 2a partir de CE43 >>>. 2:4 Resltado qe se de'e co!parar con la #caci(n 2*4, qe a)ora nos diría 2se lla!a la atenci(n so're qe la desigaldad δ ≪ x no se c!ple !/ cerca del 'orde de ataqe, donde3

Y por tanto allí no %ale la teoría de la capa lí!ite, lo qe pede introdcir ddas so're la %alidez de la condici(n 2C:4.4 δ ≪ x .

Pág. 16


2i-ura =: Diagra!a qe !estra la interpretaci(n $ísica del espesor de desplaza!iento. #sta $or!a de de$inir el espesor de la capa lí!ite es algo ar'itrario, /a qe el %alor  para la %elocidad solo se alcanza en el in$inito. na $or!a !enos ar'itraria de de$inir el espesor es3

>>>>>>.. 2E4 Donde δ se deno!ina el espesor de desplaza!iento. #ste espesor se 1

pede interpretar co!o la distancia qe )a'ría qe desplazar la pared )acia dentro del $lido para qe, sponiendo qe todo el $lido se !o%iese con la %elocidad e-terior, pasase el !is!o cadal qe pasa'a por la capa li!ite, tal co!o se !estra en la "igra *. O indica la ecaci(n sigiente3

De las #caciones 2CE4, 2C4 / 2E4 / de na integraci(n n!&rica, a partir de los %alores del gra$ico anterior, se pede o'tener3

>>>. 2*4

O ta!'i&n3 >>>>>>. 2BF4 Deri%ando en 2BF4 respecto a -, respecto a -, / tiliza!os las #caciones 24, 274 / 26E4 se o'tiene3 Pág. 17


>>>>.. 2B64 Donde

v y ∞ es la %elocidad )acia $era de la capa lí!ite qe )a/ en el

e-tre!o e-terior de la capa li!ite, %&ase la ecaci(n 26E4. La de$inici(n de δ 1 nto con la ecaci(n 2B64 / la $igra 8, nos sir%e para interpretar el

espesor de desplaza!iento, qe sería lo qe aparente!ente se ensanc)aría la placa plana por e$ecto de la capa li!ite. De )ec)o, con na teoría !ás re$inada el $lo ideal e-terior se calclara alrededor de n cerpo para'(lico dado por la ecaci(n 2*4. Dic)o cerpo, de acerdo con la ecaci(n 2B64, seria tangente al %ector %elocidad e-terior a la capa li!ite, resltante de co!ponente  con v y ∞ .

Al igal qe para el $lido !ásico, se pede de$inir n espesor asociado a la p&rdida de i!plso o cantidad de !o%i!iento a tra%&s de la capa lí!ite3

>>>>>>. 2BC4 De 2CE4 / 2C4 / na integraci(n n!&rica, se o'tiene3 >>.. 2B4 Y este espesor, seg;n %ere!os, está asociado a la $erza de $ricci(n so're la placa. Para calclar la $erza de $ricci(n, se %a a calclar lo qe %ale el es$erzo cortante en la pared3

>>>> 2BB4

Pág. 1


Donde se )an tilizado las ecaciones 2CE4 / 2C4 / qe $ 2F4 ? F.77BC ? F.C. Integrando τ a lo largo de la placa, se o'tiene la $erza so're na sola cara de la !is!a por nidad de en%ergadra3

>>>>. 2B84 #caci(n qe se de'e con la 2CC4. La $erza de $ricci(n adi!ensionalizada seria3

>>>.. 2B74

2or!a a.ternati,a de ca.cu.ar .a 1uera de 1riccin A)ora %a!os a co!pro'ar qe entre la $erza so're la placa / el espesor de cantidad de !o%i!iento e-iste na relaci(n. Para ello apliqe!os la ecaci(n de conser%aci(n de cantidad de !o%i!iento, en $or!a integral, al %ol!en $io AG5D de la $igra 6F, donde G5 es na línea de corriente a tra%&s de la cal no pasa $lido. A es n pnto agas arri'a de la placa. 9olo entra o sale $lido del %ol!en de control $io por AG / 5D, / lo )ace en todos los sitios con la %elocidad , e-cepto la capa li!ite en 5D.

2i-ura %$: Diagra!a del %ol!en de control para calclar la $erza so're la placa plana. Por continidad, o'ser%a!os qe la !asa es igal a la qe sale3 Pág. 1!


>>>>.. 2B:4 Pero co!o 5D la %elocidad es  en todos los sitios e-cepto la capa li!ite, la ;lti!a integral seria, de acerdo a la ecaci(n 2E43 Y entonces3 >>>>> 2BE4 =e corro'ora nestra interpretaci(n de espesor de desplaza!iento. Para aplicar la ecaci(n de cantidad de !o%i!iento, o'ser%a!os qe la presi(n es igal en todos los sitios / por tanto da resltante nla. Asi!is!o spone!os qe los es$erzos %iscosos en la sper$icie del %ol!en de control, e-clida la placa, dan resltante nla en direcci(n del ee -. La $erza so're la placa seria la di$erencia entre el $lo de cantidad de !o%i!iento qe entra por AG / el qe sale por 5D3

>>>>>>> 2B*4 tilizando la ecaci(n 2B:4, / el )ec)o de qe % - solo es distinto de  en la capa lí!ite / teniendo en centa la de$inici(n 2BC4, reslta3

>>>>>>. 28F4 9iendo QC el %alor correspondiente al e-tre!o posterior de la placa. 9e pede co!pro'ar este resltado co!parando las ecaciones 2B4, 2B84 / 28F4.

CRESPO? @#$$&

Pág. 2"


6' CAPA LIMITE LAMINAR ALREDEDOR DE UNA CU7A DE AN8ULO 9 n caso interesante qe es generalizaci(n del $lo alrededor de la placa plana, es el del !o%i!iento alrededor de na c0a, qe ad!ite ta!'i&n na solci(n de se!eanza, conocida con el no!'re de "alnerSsan. Pri!ero se %a a calclar el $lo potencial alrededor de na c0a co!o la representada en la $igra 66.

2i-ura %%: "lo irrotacional alrededor de na c0a. Para a continaci(n calclar la capa li!ite alrededor de la !is!a. Dic)o $lo potencial %iene representado por la ecaci(n La línea de si!etría / na de las caras de la c0a $or!arían el ánglo de T, indicado en la $igra 6C.

"igra 6C3 línea de corriente para di$erentes esqinas / rincones, %ariando el ánglo

∝

. Pág. 21


La !itad sperior de la $igra adnta se o'tendría girando la $igra 6C. n ánglo U  T en el sentido contrario a las agas del relo. #ntre los ánglos T / W e-iste la relaci(n3 >>>> 2864 9iendo n el e-ponente de la ecaci(n. La %elocidad congada co!plea %endría dada por la #caci(n

/ seria proporcional a XnS6,/ el !(dlo de dic)a %elocidad %ariaría co!o  nS6, siendo r la distancia al origen. La %elocidad a lo largo de la pared tendría la $or!a3 >>>>>. 28C4 9iendo 5 na constante, / - la coordenada a lo largo de la pared. 9eg;n la ecaci(n 2864, con n ? ! @ 6 el ánglo de la c0a %aldría3

Así, para  %alor de ! ? 6 / n ? C, se tendría W ? U, qe corresponde a n $lo so're na placa plana perpendiclar a la corriente / para ! ? F / n ? 6, se tendría W ? F, qe corresponde al caso anterior de na placa plana paralela a la corriente. 9igiendo el !is!o procedi!iento del apartado anterior / tilizando la !is!a %aria'le de se!eanza dada en la ecaci(n 2CE4, se llega a la sigiente ecaci(n para la $nci(n $, de$inida en la ecaci(n 2643

Al )acer las deri%adas correspondientes )a/ qe tener en centa qe a)ora  %aria con - de acerdo con la ecaci(n 28C4. 5ando ! ? F se reco'ra la ecaci(n 2B4 de la placa plana paralela a la corriente. 5o!o casos de inter&s se pede co!pro'ar qe para ! ? 6, W ? 6EFZ, los espesores de desplaza!iento. #caci(n 2E4, / cantidad de !o%i!iento, Pág. 22


ecaci(n 2BC4, no ca!'ian con - / qe para ! ? 6, W ? *FZ, el es$erzo cortante en la pared no ca!'ia con -.

CRESPO? @#$$& &' ECUACION INTE8RAL DE ARMAN

#n general e-isten pocas solciones e-actas para las ecaciones de la capa lí!ite, ade!ás de las qe aca'a!os de presentar. n !&todo de inter&s qe per!ite 'scar solciones apro-i!adas es el de >>>> 284 Y por tanto el segndo s!ando de 264, di%idido por la densidad e integrado a tra%&s de la capa li!ite, se pede escri'ir en la $or!a3

>>>>.. 28B4 Donde )e!os e$ectado na integraci(n por partes. La ecaci(n 264, di%idida por la densidad, integrada a tra%&s de la capa lí!ite, )a'iendo sstitido el segndo s!ando por la anterior e-presi(n, reslta3

>>>>.. 2884

Pág. 23


Donde el ;lti!o ter!ino es el es$erzo cortante en la pared. Reagrpando t&r!inos en 2884, con la ecaci(n 2684 para la presi(n, / s!ando / restando dentro del integrando el t&r!ino3

1ene!os 2ca!'iando de signo los C !ie!'ros43

>>>>. 2874 9i a)ora tiliza!os las de$iniciones 2E4 / 2BC4 para los espesores de desplaza!iento e i!plso, tene!os3

>>>>>. 28:4 =e es la relaci(n conocida con el no!'re de ecaci(n integral de
A/.icacin a una /.aca /.ana 9ponga!os qe para la placa plana, antes estdiada, to!a!os n per$il de %elocidad lineal co!o el de la $igra 63

Pág. 24


2i-ura %*: Diagra!a qe !estra la distri'ci(n lineal de %elocidades en la capa lí!ite para la aplicaci(n de la ecaci(n integral de
>>>>>.. 28E4 =e ter!ina a na distancia δ . #sto, si se co!para con la solci(n e-acta, $igra 8, es na apro-i!aci(n !/ !ala. De la ecaci(n 2BC43

Y3

5on lo qe la ecaci(n 28:4, con na constante, reslta3

# integrando3

>>>.. 28*4 >>>.. 27F4

Pág. 25


Resltados qe, a pesar de todo, se parecen 'astante a los datos en 2B4 / 2BB4. Gscando $or!as del per$il de %elocidades !ás apro-i!adas a la real, se peden o'tener resltados !eores qe el 28*4 / 27F4.Por ee!plo se pede pro'ar con3

>>. 2764 =e e%ita la discontinidad de pendientes en el e-tre!o e-terior de la capa lí!ite. 9in e!'argo, no tiene gran inter&s resol%er el caso de la placa plana por este procedi!iento apro-i!ado, /a qe )e!os encontrado antes la solci(n e-acta. La aplicaci(n !ás i!portante del !&todo se re$iere a casos en qe el gradiente de  en el e-terior de la capa li!ite es distinto de cero. #ntonces anqe en algnos casos particlares se pede )allar la solci(n e-acta de na $or!a parecida a la placa plana.

CRESPO? @#$$& ;' CAPA LÍMITE TURBULENTA

La capa lí!ite se )ace inesta'le cando el n;!ero de Re/nolds 'asado en s espesor / en la %elocidad e-terior se )ace !a/or de n cierto %alor. #n general el n;!ero de Re/nolds qe !arca la transici(n de la!inar a tr'lento depende de3 6. [radiente de presi(n redcida, dPd-. 5anto !enor sea, la capa li!ite es !ás esta'le / el n;!ero de Re/nolds de transici(n se )ace !a/or. Los %alores negati%os de dPd- )acen esta'le la capa li!ite, / los positi%os inesta'le. 9eg;n la ecaci(n 2684, canto !a/or sea la aceleraci(n de la corriente e-terior, dd-, !ás esta'le es la capa lí!ite. C. Ni%el de tr'lencia qe tiene la corriente e-terior si este es grande, se $a%orece la transici(n. Pág. 26


. Rgosidad de la pared canto !a/or es, !ás se $a%orece la transici(n a la tr'lencia. B. Otras3 scci(n de capa li!ite, transici(n de calor, etc. Para na placa plana lisa, con n ni%el de tr'lencia a!'iente del 6+ la transici(n corresponde apro-i!ada!ente a la condici(n3 >>>>. 27C4 9iendo Q6 el espesor de desplaza!iento lo qe corresponde, de acerdo con la ecaci(n 2*4, a na distancia critica al 'orde de ataqe de la placa tal qe3 >>>>>. 274 La ecaci(n 27C4 se pede interpretar, anqe solo sea co!o regla ne!ot&cnica, co!o si la capa li!ite $ese la !itad de la corriente en n t'o en aqel caso la transici(n correspondía a n n!ero de Re/nolds C.FFF. Así pes, en general, en la capa li!ite )a/ dos zonas na pri!era qe es la!inar / llega )asta la distancia dada por la ecaci(n 274 para na plaza plana, / otra a continaci(n, qe es tr'lenta. La capa li!ite tr'lenta se caracteriza por ser !ás gresa / dar es$erzos cortantes !a/ores qe la la!inar.

2I8URA %4: Deposito qe descarga aga por n t'o, $or!ándose na capa li!ite en ss paredes.

CRESPO? @#$$&

Pág. 27


<' ECUACIONES DE LA CAPA LÍMITE TURBULENTA

9e %a a segir n procedi!iento parecido / se %an a )acer las !is!as )ip(tesis qe para la capa li!ite la!inar, apartado 6. 9e %a a sponer qe el $lo es estacionario, 'idi!ensional / con $erzas !ásicas qe deri%an de na potencial. Las ecaciones de la capa li!ite tr'lenta se o'tienen de las ecaciones de Re/nolds,

/

,

5on lo qe aparecerán nos ne%os t&r!inos de'idos a los es$erzos de agitaci(n tr'lenta c/o orden de !agnitd es3 ¿2

ρ v i v j ρ v =σp =τ 0

>>>>>. 27B4

Donde, σ ρ es el es$erzo cortante en la pared, a)ora deno!inado

τ 0, y v

¿

.

La teoría de la capa li!ite tr'lenta se 'asa en qe los es$erzos cortantes tr'lentos, al igal qe scedía con los %iscosos, son deprecia'les en todo el ca!po $lido, e-cepto en la capa li!ite. Para ello, spondre!os qe la %elocidad de agitaci(n tr'lenta es peqe0a co!parada con la %elocidad !edia de desliza!iento del $lido3 ¿

V ≪ U >>>>>>.. 2784

5on la condici(n 2784, al ser ade!ás Re grande, pode!os asegrar qe $era de la capa li!ite los es$erzos %iscosos / los tr'lentos son desprecia'les, / qe por tanto el $lido se co!porta co!o ideal. 9in e!'argo, dentro de la capa li!ite, qe es !/ estrec)a, los t&r!inos de transporte !ás grande de'en ser del orden de los con%ecti%os. 9i se spone Pág. 2


qe todas las %elocidades de agitaci(n tr'lenta son de igal orden, resltaría qe la contri'ci(n !ás i!portante seria de los t&r!inos de transporte con deri%adas seg;n el ee /. #n particlar3 ¿2

v L

¿2

∂ ∂ ' ' v 2 v ' x ) ≪ ( v x v y ) ( ∂x ∂y δ

5on esta condici(n / las tilizadas para la capa li!ite la!inar, apartado 6, la ecaci(n

Pro/ectada seg;n - nos daría3

(

ρ v x

))

(

∂ v x ∂v + v y x + ∂ P = ∂ τ ∂x ∂x ∂x ∂ y

2774

Donde el es$erzo cortante es3 τ =u

∂ v x

− ρ v x' v y' 27:4 ∂y

5o!parando en la ecaci(n 2774 el t&r!ino correspondiente al es$erzo cortante tr'lento con el t&r!ino con%ecti%o, es $ácil %er qe si el t&r!ino %iscoso es desprecia'le / los otros dos son del !is!o orden, se de'e c!plir qe3 >>>>>.. 27E4 Lo qe con$ir!a qe el espesor de la capa li!ite es peqe0o. La ecaci(n de cantidad de !o%i!iento, pro/ectada seg;n /, nos daría el orden de !agnitd

Pág. 2!


de la %ariaci(n trans%ersal de presi(n qe reslta !/ peqe0a co!parada con la longitdinal, dada por la ecaci(n 26F43

>>>> 27*4 De esta relaci(n se dedce qe la ecaci(n 26B4 sige %aliendo. Por lo tanto, el siste!a de ecaciones estará a)ora $or!ado por las ecaciones de continidad 26C4, / conser%aci(n de cantidad de !o%i!iento, 2774, qe sstit/e a la 264 de caso la!inar, / la 26B4, qe e-presa qe la presi(n no ca!'ia a tra%&s de la capa li!ite. Las condiciones de contorno del caso la!inar sigen %aliendo, / en particlar el $lo $era de la capa li!ite sige siendo ideal. La principal di$erencia con el caso la!inar estri'a en el t&r!ino tr'lento de 27:4, qe no aparecía antes / qe ade!ás no se sa'e c(!o calclarlo, anqe se den algnos criterios para s esti!aci(n tr'lentas, qe consisten esencial!ente en procedi!iento para !odelar ese t&r!ino.

CRESPO? @#$$& =' CAPA LÍMITE TURBULENTA PARA PLACA PLANA LISA #stá $era de los o'eti%os de este te-to dedcir o intentar resol%er las ecaciones de capa lí!ite de $lo tr'lento. Las e-presiones para la $or!a del per$il de capa lí!ite / otras propiedades de la capa lí!ite tr'lenta se o'tienen e!pírica!ente 2o, en el !eor de los casos, se!ie!pírica!ente4, porqe no se peden resol%er analítica!ente las ecaciones de capa lí!ite para $lo tr'lento. Note ta!'i&n qe los $los tr'lentos son in)erente!ente noSestacionarios / qe la $or!a del per$il de %elocidad instantánea %aría con el tie!po 2"ig. 684.

Pág. 3"


2i-ura %63 Ilstraci(n de la condici(n no estacionaria de na capa lí!ite tr'lenta las delgadas líneas negras son per$iles instantáneos, / la línea gresa azl es n per$il pro!ediado en el tie!po largo.

CEN8EL? @#$$& 5on la ecaci(n 2774 se pede )acer e-acta!ente el !is!o trata!iento qe con la 264, / sigiendo los pasos 284 a 28:4 se llegaría a la ecaci(n integral de
#sa ecaci(n nos daría3 >>>>>. 2:F4 #n principio se podrían tilizar las le/es logarít!icas de la pared, para calclar el espesor de cantidad de !o%i!iento e introdcirlo en la ecaci(n 2:F4, / así o'tener la e%olci(n de la capa li!ite. 9in e!'argo, los cálclos necesarios son largos / los resltados di$íciles de aplicar. Anqe sea !enos rigroso, %a!os a tilizar el per$il de %elocidades en $or!a de potencias dado en

3 >>>> 2:64 Pág. 31


9eg;n se indic( allí !is!o, esta le/ no tiene ning;n $nda!ento te(rico / no se pede sar en $or!a directa para calclar

τ o

. Para ello, se de'e sar la

ecaci(n

Jnto con la

21eniendo en centa qe lo qe allí lla!á'a!os

σ p a)ora es

τ 0 43

>>> 2:C4 #l espesor de la capa li!ite es eqi%alente al radio del t'o, / la %elocidad !á-i!a en el centro del t'o eqi%ale a la %elocidad e-terior a la capa li!ite. De la ecaci(n

5on n ? :3 >>>>>>.. 2:4 Y de 2:C4 / 2:4 se tiene3 >>>>> 2:B4 Lle%ando la ecaci(n 2:64 a la 2BC4 e integrando, se o'tiene na relaci(n entre los espesores δ / de cantidad de !o%i!iento δ : 2

Pág. 32


δ 2=7

δ 72

>>>>> 2:84

Y lle%ando 2:84 / 2:B4 a la ecaci(n integral de >>>>. 2:74 =e pode!os integrar con la condici(n inicial3 x =0 , δ =0 >>>>>>> 2::4 Resltado3

>>>>> 2:E4 =e se pede reescri'ir co!o3 >>>>> 2:*4 =e nos con$ir!a qe si el

Re

'asado en la longitd de la plaza es

s$iciente!ente grande, el espesor de la capa li!ite es peqe0o co!parado con esa longitd. Repitiendo los cálclos qe lle%an a las ecaciones 2B84 / 2B74, se llega a las sigientes e-presiones para la $erza so're la placa3

>>>>> 2EF4 >>>>>.. 2E64

Pág. 33


#ste !is!o resltado se pede o'tener tilizando el espesor de cantidad de !o%i!iento !ediante las ecaciones 2F.8F4, 2F.:84 / 2F.:E4. #l !argen de %alidez de este resltado es3

La sigiente $or!la apro-i!ada de 9c)lic)ting3 >>>>>. 2EC4 Vale )asta n %alor de

Re

de

9

10

. 9e peden co!parar las ecaciones

2E64 / 2EC4 para di$erentes Re / %er qe dan resltados parecidos. 9i la capa li!ite la!inar de la zona inicial ocpase na parte i!portante de placa, )a'ría qe )acer la correcci(n correspondiente.

CRESPO @#$$&

E(ERCICIOS DE APLICACI3N: Eercicio $%: 9e tiene n deposito con n condcto adosado de longitd L ? 6F c! / diá!etro D ? 6 c!, co!o se !estra en la $igra. #l ni%el del aga respecto a la salida es de H ? 7F c!. 9e pide3 6. 9poniendo qe el $lo es ideal, calclar la %elocidad de salida / el cadal. #l $lo en realidad no es ideal, / )a'rá na capa lí!ite en la pared del t'o. 9ponga!os qe dic)o espesor es peqe0o $rente al diá!etro, para poder considerar la capa li!ite local!ente co!o 'idi!ensional, / co!o la correspondiente a na placa plana. Pág. 34


"era de la capa li!ite la %elocidad del aga es ni$or!e e igal al %alor ideal antes calclado. 9ponga!os ade!ás qe el aga entra en el t'o con n per$il ni$or!e de %elocidad / qe tiene espesor nlo en el entronqe del t'o con el deposito, donde no se prodce ade!ás ning;n desprendi!iento. 5alclar3 C. Los espesores de desplaza!iento / cantidad de !o%i!iento a la salida del t'o. . Recalclar el cadal anterior para tener en centa los e$ectos %iscosos. B. 5alclar la $erza de arrastre del aga so're el t'o de'ida a los e$ectos %iscosos. 8. 5o!pro'ar qe la capa lí!ite es la!inar. 7. #sti!ar co!o ca!'iaría el $lo ideal a lo largo del condctor por la presencia de la capa li!ite. Resolci(n3 6. Mediante aplicaci(n de la ecaci(n de 1orricelli se tiene3 2

m "# $m U = √ 2 gH =3.43  ! = U =269 s s 4

3

C. La ecaci(n * nos da el espesor de desplaza!iento3 δ 1 ( L )=1.72

( )

1

vL 2 =0.029 $m U $m v =0.01 s

Donde se )a to!ado para el aga

2

. Para el espesor de

cantidad de !o%i!iento se tiliza la ecaci(n B

( )

1

vL =0.0112 $m δ ( L )=0.664 2

2

U

#stos espesores c!plen δ ≪ # , δ ≪ # , co!o indica el ennciado. 1

2

. #l cadal qe deara de pasar por la capa lí!ite es δ 1 U por nidad de perí!etro de t'o, con lo qe el cadal corregido será3 !=

"# 4

2

$m U −δ ( L ) U"# =238 1

3

s

B. La ecaci(n 2B84 nos da la $erza por nidad de perí!etro, lego3

( )

1

UL 2 =0.042 & % ="#∗0.664 Lρ U / v 2

#ste !is!o resltado se pede o'tener tilizando la ecaci(n 28F43 Pág. 35

MECÁNICA DE FLUIDOS NOCIONES DE CAPA LÍMITE LAMINAR Y CAPA LÍMITE TURBULENTA 2

% ="#ρ U δ 2 ( L)= 0.042 &

8. #l n;!ero de Re/nolds 'asado en la longitd es

'asado en el espesor de desplaza!iento3

ρU L =343.000 , / v

ρU δ 1 ( L ) =995 , por lo qe v

es de esperar qe la capa li!ite sea la!inar. 7. Para qe se conser%e la !asa, a lo largo del condcto de'e ca!'iar la U ( x )

%elocidad e-terior ideal

co!o $nci(n de la distancia - desde el

entronqe del t'o. #sto se de'e a qe el espesor de desplaza!iento δ 1 crece a lo largo del t'o, / prodce n e$ecto si!ilar a co!o si la

secci(n de este se estrec)ase / se consecente!ente el $lido se U > 0 . Por tanto, el gradiente de presiones, o'tenido de x

acelerase3

ecaci(n 68, /a no será nlo, / en principio no %aldría el !odelo de placa plana. 9in e!'argo, esta %ariaci(n es peqe0a / en pri!era apro-i!aci(n la solci(n o'tenida es correcta. #n la secci(n e-terior del t'o, - ? L, la presi(n es la at!os$&rica / por lo tanto la %elocidad de salida o'tenida en el apartado 6 es la de esa secci(n, / el cadal = calclado en el apartado C es correcto. Para qe se conser%e el cadal, en cada posici(n K se de'e c!plir3 ! ' ! ' = U ( x )= "# −"#δ " # −"#δ ( L ) x 2

2

1

4

Donde

δ 1 ( L ) y ! '

4

1

√

L

)an sido calclados en los apartados C / ,

respecti%a!ente, / de acerdo con la ecaci(n *3 δ 1 ( x )=δ 1 ( L )

√

x L

Aplicando la ecaci(n anterior a la posici(n - ? F se tiene U(0) = 30.03 !s / en x = L se recpera el resltado de 6, esto es, U = 3.43 m/s. La sigiente apro-i!aci(n reqeriría %ol%er a calclar la capa lí!ite con la Pág. 36


ne%a distri'ci(n de precisi(n, anqe para ser consistentes con el análisis )a'ría qe retener ta!'i&n t&r!inos de !a/or orden en el trata!iento de la capa li!ite.

Eercicio $#: −4

2

v =10 ft / s ℃ % ¿

5ierta cantidad de petr(leo crdo a :F

, 9 ? F.E7 con na

%elocidad de corriente li're 6F $ts, $l/e alrededor de na placa plana / delgada qe !ide B $t de anc)o / 7 $t de largo en na direcci(n al $l/o. Deter!ine / trace la grá$ica del espesor de la capa li!ite / la distri'ci(n de es$erzo cortante a lo largo de la placa.

So.ucin x

Uo 10 x ℜ x = = −4 =105 x v 10 10 3.16 (¿ ¿ 2 x

1/ 2

)

1 /2

ℜ x =¿ #l es$erzo cortante está dado por τ 0 =0.332 u

U 0 (

ℜ x /

1 2

Donde −4

−4

2

u= ρv =1.94∗ 0.86∗10 =1.67∗10 )*f − s / ft

#ntonces −4

τ 0 =0.332 (1.67 ∗10

)

10

x

(3.16 )( 102 x 1 /2)=

0.175

x

1 /2

ft

#l espesor de la capa li!ite es

Pág. 37

MECÁNICA DE FLUIDOS NOCIONES DE CAPA LÍMITE LAMINAR Y CAPA LÍMITE TURBULENTA 2

10

1 /2

x

¿

1

−2

3.16 (¿ ¿ ¿)=1.58 ( 10

x 2 ) ft

¿

5 x

¿

δ =

( ℜ )=¿ 5 x

1 /2

x

¿ 1.58 (12 )

(10 x )=0.190 x ∈¿ 1 2

−2

1 2

Los resltados para el ee!plo C se gra$ican en la $igra sigiente / aparecen en la lista de la ta'la.

ResltadosS δ / τ para di$erentes %alores de K ? F.6 $t - ? 6.F $t - ? C$t - ? B $t - ? 7 $t F.67 6.FF 6.B6B C.FF C.B8 0

x

1/ 2

τ 0 ,ps$

F.88C

F.6:B

F.6C

F.FE:

F.F:6

δ

, $t

F.FF8

F.F67

F.FCC

F.F6

F.F*

δ

, in

F.F7F

F.6E*

F.C:F

F.EF

F.B77

Eercicio $*: Pág. 3


5ierta cantidad de aire a na te!peratra de CF Z5, / con na %elocidad de corriente li're de F !s, circla alrededor de na placa delgada qe !ide ! de anc)o / 7! de largo en la direcci(n de $lo, sponiendo qe la capa li!ite sea $orzada a ser tr'lenta desde el 'orde delantero, deter!ine el es$erzo cortante, el espesor de la s'capa %iscosa, / el espesor de la capa li!ite 8! corriente a'ao del 'orde delantero 9olci(n3 pri!ero calcla!os ℜ x a na distancia de 8! desde el 'orde delantero ( 30 m/ s )( 5 m) ℜ x =U x = =10 V 1.51 ( 10− ) m / s

7

0

5

2

t 0=$ f ρ U 0 / 2. Aqí el %alor del coe$iciente local de

t 0 donde

5alcle

es$erzo cortante de calcla a partir de +

0.455

f =

2

(

ln 0.06

ℜ x)

= x =

0.455 2

(

ln 6 x 10

3

)

=0.0026

1a!'ien ρ ? 6.CF g m3 2del apendice 4

#ntonces t 0=0.0026 ∗¿

6.CF g

2

2m

3

m ∗30

/s

2

2

?6.BF N m

2

A)ora calcle U ? √ τ / ρ / el espesor de la s'capa %iscosa 0

τ 0

1 /2

¿

0

2

1.40 & / m

1 /2

ρ ? 2 1.20 g / m3 ¿ u0 =¿

? 6.FE !s

#l espesor de la s'capa %iscosa esta dado por δ =

5v

u0

Pero % ?6.B* \

−5

10

2

m / s . De !odo qe −5

δ =

5 x 1.51∗10

1.08 m / s

2

m /s

= 6.99 x 10− m= 0.070 mm 5

Pág. 3!


5alcle el espesor de la capa li!ite ¿ 1/ 7 ¿ ¿ 0.16 x 0.16 ∗5 m δ = 1/ 7 = ¿ ℜ 10

7

Eercicio $4: 9e tiene aire a CFZ5 qe $l/e a V ? 6F.F !s so're na placa plana lisa de longitd L ? 6.8C !. a4 [ra$iqe / co!pare los per$iles de %elocidad de capa lí!ite la!inar / tr'lenta en %aria'les $ísicas 2 u co!o $nci(n de y 4 en x ? L. b4 5o!pare los %alores de coe$iciente local de $ricci(n para los dos casos en x

? L. c 4 [ra$iqe / co!pare el creci!iento de las capas lí!ite la!inar / tr'lenta.

SOLUCI3N De'en co!pararse los per$iles de %elocidad, los coe$icientes locales de $ricci(n / los espesores de la capa lí!ite al $inal de na placa plana para los casos de capa lí!ite la!inar / tr'lenta. Hipótesis % La placa es lisa, el $lo li're no s$re pertr'aciones / es ni$or!e, # #l $lo es estacionario en la !edia. * La placa es in$initesi!al!ente delgada / está alineada paralela al $lo li're. Propiedades La %iscosidad cine!ática del aire a CFZ5 es % ? 6.867 \6F S8 !Cs. Análisis a4 Pri!ero se calcla el n;!ero de Re/nolds en x ? L, ℜ x =

Vx 10∗1.52 = =1.00∗10 6 −5 2 v 1.516∗10 m / s

#ste %alor de Re x está en la regi(n de transici(n entre la!inar / tr'lenta. #s adecada na co!paraci(n entre los per$iles de %elocidad la!inar / tr'lento. Para el caso la!inar, se !ltiplican los %alores y  δ de la $igra por δ

,

la!inar

donde3 Pág. 4"


δ )-mi.-/=

4.91 x

√ ℜ x

4.91 ( 1520 mm )

=

√ 1.00∗10

6

=7.46 mm 0

E$%& '&'&*&+, -&$ ,-&/$ y /+ 0+*,/$ . D/ ,+/, $**-, $/ 0-%*'-*,+ -&$ ,-&/$ uU / -, g0, '& U (U  V  1"." $) ',, &%/+/ u /+ 0+*,/$ / $. E+ -, g0, 1"8115 $/ g,, /- '// ,', -9*%/ -,*+, /+ ,*,-/$ :9$*,$. E- /$'/$& / -, ,', -9*%/ %00-/+%, $/ ,-0-, /+ /$%, *$, '&$**;+ x &+ -, /0,*;+ &:/*, /+ -, %,-, 1"84 &-0+, ,)< δ tu/*u)e.t- =

0.16 x 1 /7

ℜ x

=

E- ,-& / δ

0.16 ( 1520 mm ) 6 1 /7

( 1.00∗10 ) %00-/+%,

=33.8 mm

&+ ,$/ /+ -, &-0+, b) / -, %,-, /$ 0+

'&& á$ ,-%& , $,/ 36.4 . C0,+& $/ &',,+ -,$ /0,*&+/$ 1 = 2 $/ / >0/ -, ,', -9*%/ %00-/+%, /$ ,$* 4.5 //$ á$ g0/$, >0/ -, ,', -9*%/ -,*+, , 0+ +?/& / R/=+&-$ / 1."@1"6. E- '/- / /-&*, / -, ,', -9*%/ %00-/+%, / -, /0,*;+ 2 $/ &+*/%/ , ,*,-/$ :9$*,$ = $/ g,, /+ -, g0, 1"8115 ',, &',,-& &+ /- '/- -,*+,. L,$ &$ ,,%/9$%*,$ á$ $&'/+/+%/$ / -, g0, $&+< 1) -, ,', -9*%/ %00-/+%, /$ 0& á$ g0/$, >0/ -, -,*+, = 2) -, '/+*/+%/ / u &+%, y /, / -, ',/ /$ 0& á$ '&+0+*,, ',, /- ,$& %00-/+%& (/$/ -0/g& // %/+/$/ /+ -, /+%/ >0/ 0= /, / -, ',/ -, -/= / 0+ $B'%*& / '&%/+*, +& /'/$/+%, ,/0,,/+%/ /- '//,/& / -, ,', -9*%/ %00-/+%,). b) S/ 0$,+ -,$ /'/$*&+/$ / -, %,-, ',, &',, /- &/*/+%/

-&,- / :**;+ ',, -&$ &$ ,$&$. P,, -, ,', -9*%/ -,*+,< + f 0 x 0)-mi.-/ =

0.664

√ ℜ x

=

0.664

√ 1.00∗10

6

= 6.64∗ 10−

4

(3)

 ',, -, ,', -**%/ %00-/+%, &-0+, ,). + f 0x 0tu/*u)e.t- ≅

0.027 1

ℜ x

7

=

0.027 1

( 1.00∗10 )

6 7

=3.8∗10−

3

(4)

Pág. 41


5ando se co!paran las ecaciones  / B, el %alor de coe$iciente de $ricci(n en caso de capa lí!ite tr'lenta es !ás de cinco %eces !a/or qe el %alor de capa lí!ite la!inar. 9i se )'iera sado la otra e-presi(n para coe$iciente de $ricci(n local de capa lí!ite tr'lenta, la col!na b4 de la ta'la, se )a'ría o'tenido C f ,x ,tr'lento ? .:\6FS, !/ cerca del %alor calclado en la ecaci(n B. c 4 #l cálclo de $lo tr'lento spone qe la capa lí!ite es tr'lenta desde el

co!ienzo de la placa. #n realidad, e-iste na regi(n de $lo la!inar, segida por na regi(n de transici(n, / lego, para $inalizar, na regi(n tr'lenta, co!o se ilstra en la $igra 6FSE6. No o'stante, es interesante co!parar c(!o la!inar

/ δ

tr'lento

δ

crecen co!o $nciones de x para este $lo, si se spone o

todo $lo la!inar o todo $lo tr'lento. 5ando se san las e-presiones en la ta'la 6FSB, a!'as se gra$ican en la $igra para co!paraci(n.

Discsión Para aclarar, la ordenada en la $igra 6FS667 está en !!, !ientras qe la a'scisa está en !3 la capa lí!ite es increí'le!ente delgada, inclsi%e para el caso tr'lento. La di$erencia entre los casos tr'lento a4 / b4 2%&ase la ta'la 6FSB4 se e-plica !ediante las discrepancias entre los astes de cr%a e!píricos / las apro-i!aciones se!ie!píricas tilizadas para o'tener las e-presiones en la ta'la 6FSB. #sto re$erza la decisi(n de reportar los %alores de capa lí!ite tr'lenta cando !c)o a dos ci$ras signi$icati%as. #l %alor real de d !ás qizá se encontrará en algna parte entre los %alores de $los la!inar / tr'lento gra$icados en la $igra 6FS667, /a qe el n;!ero de Re/nolds al $inal de la placa está dentro de la regi(n de transici(n. Pág. 42


Eercicio $6 9p(ngase qe na capa li!ite so're na placa lisa, plana, es la!inar al principio / lego se )ace tr'lenta a n n;!ero critico de Re/nolds de 8 - 6F

8

. 9i tene!os na placa de ! de largo / 6! de anc)o, / si circla aire a CFZ5 / presi(n at!os$&rica nor!al alrededor de esta placa con na %elocidad de F !s, ]5ál será el coe$iciente de resistencia pro!edio 5 $ para la placa^ 1a!'i&n, ]5ál será la resistencia al corte total de n lado de la placa / cal la resistencia de'ida a la parte tr'lenta / la parte la!inar de la capa lí!ite^

So.ucin

( ) 2

La resistencia total es % s=+ f 1Lρ + f =

0.523 ln

2

( 0.06 ℜ L)

−

U 0 2

, donde de la ecaci(n3

1520

ℜ L

UL

Ade!ás, ℜ L = V , o sea ℜ L=

30 m / s 2 3 m −5

( 1.51)( 10 )

=5.96 2 10

6

#ntonces, resol%iendo la ecaci(n3 + f =

0.523 ln

2

( 0.06 ℜ L)

−

1520

ℜ L

1ene!os3 + f = 0.00320 −0.00026 =0.00294 La resistencia total se calcla co!o3 2

U 0

30 = 0.00294 2 1 2 3 2 1.2 2 % s=+ f 1Lρ 2 2

2

=4.76 &

#ntonces x $/ se deter!ina co!o3 Ux $/ v

=500000

Pág. 43


−5

x $/ =

O 'ien,

500000 2 1.51 2 10 30

=0.252 m

Por lo tanto, la resistencia la!inar será 5

5 2 10

¿ ¿ ¿ 1 /2 ¿ 1.33 % s,)-m = ¿

#ntonces,

% 3,tu/* =4.76 & −0.26 & = 4.50 &

Eercicio $&: 9e tiene aire a CFZ5 qe $l/e con V ? 6F.F !s so're na placa plana lisa de longitd L ? 68.C !. [ra$iqe el per$il de %elocidad de capa lí!ite tr'lenta en %aria'les $ísicas 2 co!o $nci(n de /4 en - ? L. 5o!pare el per$il generado por la le/ de n s&pti!o de potencia, la le/ de logarit!o / la le/ de 9palding, / sponga qe la capa lí!ite está total!ente tr'lenta desde el co!ienzo de la placa.

SOLUCI3N De'e gra$icarse el per$il !edio de capa lí!ite  2/4 al $inal de na placa plana con el so de tres apro-i!aciones di$erentes.

i/tesis % La placa es lisa, pero e-isten $lctaciones de $lo li're qe tienden a pro%ocar qe la capa lí!ite transite a tr'lencia !ás pronto qe lo sal3 la capa lí!ite es tr'lenta desde el co!ienzo de la placa. # #l $lo es estacionario en la !edia. * La placa es in$initesi!al!ente delgada / está alineada paralela al $lo li're.

Pág. 44


Pro/iedades: La %iscosidad cine!ática del aire a CFZ5 es % ? 6.867 \

−5

10

2

m

s.

AnF.isis: Pri!ero calcle el n;!ero de Re/nolds en - ? L ℜ x = Vx = V

(10.0 m / s )( 15.2 m) =1.00∗10 − 1.516 ( 10 ) m / s

7

5

2

ℜ x se encentra !ás arri'a del n;!ero de Re/nolds crítico

#ste %alor de

para na capa lí!ite so're placa plana, de !odo qe es razona'le la sposici(n de $lo tr'lento desde el co!ienzo de la placa. 9e san los %alores de la col!na a4 De la ta'la para esti!ar el espesor de la capa lí!ite / el coe$iciente local de $ricci(n al $inal de la placa3 ℜ ¿ ¿ x ¿1 /7 ¿ ℜ ¿ ¿ x ¿1 /7 ¿ ¿ ¿ 0.16 x δ = ¿

9e calcla la %elocidad de $ricci(n con s de$inici(n 2#c. 6FSEB4 / 5$, -, con s de$inici(n 2parte izqierda de la ecaci(n 6F del ee!plo 6FS6F43

√

√

4 5 + =U f , x = U ∗¿ 2 ρ

(

10.0 m

s

)√

−3

2.70∗10 2

=0.367 m / s 0

Donde  ?constante ? V en todas partes para na placa plana. #s tri%ial generar na grá$ica de la le/ de n s&pti!o de potencia 2#c. 6FSEC4, pero la le/ de logarit!o 2#c. 6FSE4 es i!plícita para  co!o $nci(n de /. #n %ez de ello, se resel%e la ecaci(n 6FSE para / co!o $nci(n de 3

Pág. 45

MECÁNICA DE FLUIDOS NOCIONES DE CAPA LÍMITE LAMINAR Y CAPA LÍMITE TURBULENTA  ( u/ u∗− *)

U ∗¿ e V Y?

¿

Dado qe se conoce qe,  %aría de F en la pared a  en el 'orde de la capa lí!ite, es posi'le gra$icar el per$il de %elocidad de la le/ de logarit!o en %aria'les $ísicas con la ecaci(n . Para $inalizar, la le/ de 9palding ta!'i&n se escri'e en t&r!inos de / co!o $nci(n de . 9e gra$ican los tres per$iles en la !is!a grá$ica para co!pararlos.

Los tres están cercanos entre sí / no pede distingirse la le/ de logarit!o de la le/ de 9palding en esta escala. #n lgar de na grá$ica de %aria'le $ísica, con ees lineales co!o en la $igra, con $recencia se di'a na grá$ica se!i logarít!ica de %aria'les adi!ensionales para a!pli$icar la regi(n cercana a la pared. La notaci(n !ás co!;n en la literatra de capa lí!ite para las %aria'les adi!ensionales es / / , donde3 Varia'les adi!ensionales de las ecaciones para per$il de %elocidad de capa lí!ite tr'lenta so're la placa plana3 u∗¿ ∗¿ yu +¿¿ +¿= u¿ v y ? ¿ ¿ u 5o!o pede %erse, / @ es n tipo de n;!ero de Re/nolds, / la %elocidad de $ricci(n  se sa para eli!inar las di!ensiones tanto de / co!o de . La $igra 6FS66E %el%e a di'arse en la $igra con las %aria'les adi!ensionales. Las Pág. 46


di$erencias entre las tres apro-i!aciones, en especial cerca de la pared, son !c)o !ás claras cando se gra$ican en esta $or!a. #n la $igra ta!'i&n se gra$ican para co!paraci(n los datos e-peri!entales. La $(r!la de 9palding realiza el !eor tra'ao glo'al / es la ;nica e-presi(n qe sige los datos e-peri!entales cerca de la pared. #n la parte e-terior de la capa lí!ite, los %alores e-peri!entales de u _ se esta'ilizan !ás allá de cierto %alor de y _, co!o lo )ace la le/ de n s&pti!o de potencia. 9in e!'argo, tanto la le/ de logarit!o co!o la $(r!la de 9palding contin;an inde$inida!ente co!o na línea recta en esta grá$ica se!i logarít!ica.

Discsión #n la $igra ta!'i&n se gra$ica la ecaci(n lineal u ? y . La regi(n muy cercana a la pared 2F ` y ` 8 o 74 se lla!a su+ca/a ,iscosa. #n esta regi(n, las $lctaciones tr'lentas se spri!en de'ido a la pro-i!idad de la pared, / el per$il de %elocidad es casi lineal . Otros no!'res para esta regi(n son su+ca/a .inea. / su+ca/a .a!inar . 9e %e qe la ecaci(n de 9palding captra la s'capa %iscosa / desp&s se do'la sa%e!ente )acia la le/ de logarit!o. Ni la le/ de n s&pti!o de potencia ni la le/ de logarit!o son %álidas a esta cercanía de la pared.

Eercicio $;: ecuacin ar!an 9ponga qe s(lo se conocen dos datos acerca de la capa lí!ite tr'lenta so're na placa plana, es decir, el coe$iciente de $ricci(n local.

Pág. 47


+ f , x ≅

0.027

264

( ℜ x) /

1 7

Y la apro-i!aci(n de la le/ de n s&pti!o de potencia para la $or!a del per$il de capa lí!ite3

()

u y ≅ U δ

1 7

para / 

u ≅1 U

para / b δ

se las de$iniciones del espesor de desplaza!iento / espesor de cantidad de !o%i!iento / e!plee la ecaci(n integral de <ár!án para esti!ar c(!o δ \, /

δ ,

6 %arían con x .

SOLUCI3N 9e de'e esti!ar δ , δ \, / 6 con 'ase en las ecaciones 6 / C. Hipótesis % #l $lo es tr'lento, pero estacionario en s pro!edio. # La placa es delgada / está alineada paralela al $lo li're, de !odo qe U 2 x 4 ? V ? constante. Análisis Pri!ero se sstit/e la ecaci(n C en la ecaci(n EF / se integra para encontrar el espesor de la cantidad de !o%i!iento3 ∞

∫

6=

0

u U

δ

∫(

( )

u y 1− y = U δ 0

)( ( ) ) 1 7

y 1− δ

1/ 7

y =

7 72

δ

De !anera si!ilar, el espesor de desplaza!iento se encentra cando se integra la ecaci(n :C3 ∞

δ ∗¿

∫( 0

)

δ

()

u y 1− 'y = 1− U δ 0

∫

1 7

1 8

'y = δ

Pág. 4


La ecaci(n integral de <ár!án se redce a la ecaci(n 6FS*: para na capa lí!ite de placa plana. La ecaci(n  se sstit/e en la ecaci(n 6FS*: / se reordena para o'tener3 + f , x =2

'6 14 'δ = 'x 72 'x

A partir de lo cal3 72 δ 72 = + = 0.027 ( ℜ x )−1 /7 x 14 f , x 14

Donde la ecaci(n 6 se sstit/( para el coe$iciente de $ricci(n local. La ecaci(n 8 pede integrarse directa!ente, lo qe prodce

#spesor de capa li!ite

δ 0.16 ≅ x ( ℜ x )− 1/ 7

Para $inalizar, la sstitci(n de las ecaciones  / B en la ecaci(n 7 prodce apro-i!aciones para δ \ / 6 ,

#spesor de desplaza!iento3

δ ∗¿ 0.020 ≅ x ( ℜ x )−1 /7

#spesor de cantidad de !o%i!iento

¿

6 0.016 ≅ x ( ℜ x )− 1/ 7

Discsión Los resltados concerdan con las e-presiones dadas en la col!na 2a4 de la ta'la a dos ci$ras signi$icati%as. De )ec)o, !c)as de las e-presiones en la ta'la se geneaon con la a/da de la ecaci(n integral de <ár!án.

Eercicio $<:

Pág. 4!


A lo largo de las paredes de n t;nel de %iento rectanglar se $or!a na capa lí!ite. #l aire está a CFZ5 / presi(n at!os$&rica. La capa lí!ite srge en la contracci(n / crece en la secci(n de pre'a 2"ig. 6FS6C4. 5ando alcanza la secci(n de pre'a, la capa lí!ite es total!ente tr'lenta. #l per$il de capa lí!ite / s espesor se !iden al co!ienzo 2 x _ x 64 / al $inal 2 x _ x C4 de la pared in$erior de la secci(n de pre'a del t;nel de %iento. La secci(n de pre'a !ide 6.E ! de largo / F.8F ! de anc)o 2nor!al a la página en la $igra. 9e realizan las sigientes !ediciones3 δ 1=4.2 $m δ 2=7.7 $m

#n a!'as posiciones, el per$il de capa lí!ite se asta !eor a na apro-i!aci(n de n octa%o de potencia en %ez de la apro-i!aci(n estándar de n s&pti!o de potencia3

()

1

u y 8 u p-/- y 7 δ ≅ 1 p-/- y > δ ≅ U δ U

#sti!e la $erza total de arrastre de'ido a $ricci(n !" qe act;a so're la pared in$erior de la secci(n de pre'a del t;nel de %iento.

SOLUCI3N De'e esti!arse la $erza de arrastre de'ido a $ricci(n so're la pared in$erior de la secci(n de pre'a de n t;nel de %iento 2entre x ? x 6 / x ? x C4.

Pág. 5"


Propiedades Para aire a CFZ5, % ? 6.867\6F S8 !Cs / ρ ? 6.CFB g!. Hipótesis % #l $lo es estacionario en s pro!edio. # Las paredes del t;nel de %iento di%ergen ligera!ente para garantizar qe U 2 x 4 ?V ? constante. Análisis Pri!ero se sstit/e la ecaci(n C en la ecaci(n 6FSEF / se integra para encontrar el espesor de la cantidad de !o%i!iento 6 , ∞

∫

6=

0

u U

δ

∫(

( )

u y 1− y = U δ 0

)( ( ) ) 1 8

y 1− δ

1/ 8

y =

4 45

δ

La ecaci(n integral de <ár!án se redce a la ecaci(n 6FS*: para na capa lí!ite so're placa plana. #n t&r!inos del es$erzo de corte a lo largo de la pared, la ecaci(n 6FS*: es3 1

2

2

τ 5 = ρU + f , x = ρU 2

6 x

La ecaci(n B se integra desde x = x 6 )asta x ? x C para encontrar la $erza de arrastre de'ido a $ricci(n3 x2

% # =5

δ

'x = 5ρ U ( 6 −6 ) ∫ τ 'x= 5ρ U =∫ '6 'x 2

2

2

5

1

0

x1

Donde # es el anc)o de la pared nor!al a la página en la $igra 6FS6C. Desp&s de sstitir la ecaci(n  en la ecaci(n 8 se o'tiene3 2

% # =5ρU

4 45

( δ −δ ) 2

1

Para ter!inar, la sstitci(n de los %alores n!&ricos dados en la ecaci(n 7 prodce la $erza de arrastre3

(

g % # =( 0.50 m) 1.204 3 m

)(

m 10.0 s

)

2

2

( 0.077− 0.042 ) m s ∗ & = 0.19 & g∗m 45 4

Discsión sta es na $erza !/ peqe0a, /a qe el neton es por sí !is!o na nidad de $erza peqe0a. 9ería !c)o !ás di$ícil aplicar la ecaci(n integral de <ár!án si la %elocidad de $lo e-terior U 2 x 4 no $era constante.

Pág. 51


CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES3  Aprendi!os so're la capa li!ite la!inar / tr'lenta, / aplicarlos en los

di$erentes casos de la ingeniería ci%il.  9e concl/e si el n;!ero de Re/nolds 'asado en el espesor de la capa

lí!ite es s$iciente!ente grande, &sta pede )acerse tr'lenta.  #n general para el 'en entendi!iento de este tra'ao se tiene en

centa qe, la transici(n de capa lí!ite la!inar a tr'lenta pede prodcirse antes de llegarse al pnto de desprendi!iento de la corriente la!inar.

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Pág. 52


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ANE>OS TABLA NG%: Res!en de e-presiones para capas li!ite la!inar / tr'lenta so're na placa plana lisa alineada paralela a n $lo ni$or!e.

Pág. 53


HLos %alore la!inares son e-actos / se !encinan a tres ci$ras signi$icati%a, pero los %alore tr'lentos se !encionan solo a dos ci$ras signi$icati%as de'ido a la gran insertid!'re relacionada con todos los ca!pos de $lo tr'lento. 8 O'tenidos a partir de la le/ de n septi!o de potncia. 9

O'tenido a partir de la le/ de n septi!os de potencis co!'inada

e!piricos para $lo tr'lento en t'erias lisas. La le/ de n s&pti!o de potencia no es la ;nica apro-i!aci(n de capa lí!ite tr'lenta qe se sa en la !ecánica de $lidos. Otra apro-i!aci(n co!;n es la le/ de logarit!o, na e-presi(n se!ie!pírica qe de!estra ser %álida no s(lo para capas lí!ite so're placa plana, sino ta!'i&n para per$iles de %elocidad de $lo tr'lento total!ente desarrollado en t'ería. De )ec)o, la le/ de logarit!o de!estra ser aplica'le para casi todas las capas lí!ite tr'lentas acotadas por pared, no s(lo para $lo so're na placa plana 2esta a$ortnada sitaci(n per!ite e!plear la apro-i!aci(n de le/ de logarit!o cerca de paredes s(lidas en paqetes de diná!ica de $lidos co!ptacional,4.La le/ de logarit!o se e-presa, por lo general en %aria'les adi!ensionales por !edio de na %elocidad característica lla!ada %elocidad de $ricci(n \ 2note qe la !a/oría de los atores san \ en lgar de \. #n este te-to se sa n s'índice para distingir \, na cantidad di!ensional, de \, qe se sa para indicar na %elocidad adi!ensional4. yu∗¿ +1 v

La Le/ de logarit!o3

u∗¿=

1

 u

ln ¿

G

¿

La Le/ de logarit!o3

u∗¿

√

τ5 ρ

5 /  / G son constantes ss %alores sales son  ? F.BF a F.B6 / G ? 8.F a 8.8. Desa$ortnada!ente, la le/ de logarit!o s$re del )ec)o de qe no $nciona !/ cerca de la pared 2ln F está inde$inido4. 1a!'i&n se des%ía de los %alores Pág. 54


e-peri!entales cerca del 'orde de capa lí!ite. No o'stante, la ecaci(n G se aplica a tra%&s de casi toda la capa lí!ite tr'lenta so're placa plana / es ;til porqe relaciona la $or!a del per$il de %elocidad al %alor local del es$erzo de corte !ediante la ecaci(n 5. na e-presi(n inteligente qe es %álida en todas partes de la capa lí!ite tr'lento la cre( D. G. 9palding en 6*76 se lla!a le/ de 9palding3 u∗¿ u

¿ ¿ u / u∗¿  ¿ ¿ ¿2 ¿ u / u∗¿  ¿ ¿ [ ¿ 3 ¿¿ 6 ] ¿ ¿ − 1 e − 1− ¿ − 1 u∗¿+e ¿ yu∗¿ u =¿ v ¿ CEN8EL? @#$$&

TABLA NG#: Res!en de ecaciones de capa li!ite so're na placa plana. "lo la!inar Re-,ReL ¿ 8 K 6F8 #spesor de capa Li!ite,

δ

5oe$iciente local de es$erzo cortante, c $ 5oe$iciente de es$erzo cortante pro!edio, 5 $

δ =

5 x

ℜ x1/ 2

$ f =

0.664

+ f =

ℜ x1/ 2 1.33

ℜ L/

1 2

"lo tr'lento Re-,ReL : 8 K 6F8 δ =

0.16 x

$ f =

ℜ x /

1 7

0.455 2

ln ( 0.06 ℜ x )

+ f =

0.523 ln

2

( 0.06 ℜ L )

−

1520

ℜ L Pág. 55

Capa Limite Laminar y Turbulenta

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