Mecán Mecánica ica del del Conti Continuo nuo - Unidad Unidad Temát Temática ica VIII VIII Análisis Dimensional y Similitud Pérdida de Carga en Tuberías Conceptos de Capa Límite
Facult Facultad ad de Inge Ingenie niería ría - UNER UNER miércoles, 14 de
Carrera de Bioingeniería
Introducción
La Mecánica de Fluidos combina la teoría y la experimentación en el estudio de los problemas Típicamente la descripción de un problema involucra N parámetros (dimensionales), (dimensionales), uno dependiente y los demás independientes, relacionados de manera compleja 0 = f (p 1,…, ,…,p p N ) Problemas -1) experimentos para estudiar el proceso!!! Se requieren O (10 (10N -1 La representación de todos estos resultados r esultados es muy engorrosa La experimentación cuesta tiempo y dinero, más aún cuando se utilizan prototipos a escala real
El análisis dimensional intenta solucionar (en parte) estas dificultades
Introducción
La Mecánica de Fluidos combina la teoría y la experimentación en el estudio de los problemas Típicamente la descripción de un problema involucra N parámetros (dimensionales), (dimensionales), uno dependiente y los demás independientes, relacionados de manera compleja 0 = f (p 1,…, ,…,p p N ) Problemas -1) experimentos para estudiar el proceso!!! Se requieren O (10 (10N -1 La representación de todos estos resultados r esultados es muy engorrosa La experimentación cuesta tiempo y dinero, más aún cuando se utilizan prototipos a escala real
El análisis dimensional intenta solucionar (en parte) estas dificultades
Análisis dimensional
¿Qué es? Es un conjunto de herramientas de análisis que permite simplificar la descripción del problema Esto se logra encontrando un número de Parámetros Adimensionales (menor a N ) que permite caracterizar el fenómeno de manera equivalente Se usan como sinónimos los términos Parámetros / Grupos / Números Adimensionales Adimensionales
Técnicas: vamos a ver dos a lo largo del curso Método del producto de potencias Adimensionalización Adimensionalización directa de las ecuaciones
Se apoya en dos pilares fundamentales: Principio de la homogeneidad dimensional Teorema Π de Buckingham
Análisis dimensional
Principio de Homogeneidad Dimensional: “Si una ecuación expresa (correctamente) una relación entre variables de un proceso/fenómeno físico, entonces debe ser dimensionalmente homogénea: todos los sumandos deben tener las mismas dimensiones”
Teorema Π de Buckingham Considerar un fenómeno físico que involucra N parámetros dimensionales (p 1,…, p n) y K dimensiones básicas (L, M, T ó L, F, T ) independientes que las describen: f (p 1,…, p N ) = 0 Entonces, el fenómeno puede ser expresado por una relación entre M=N-K grupos adimensionales g (Π1, …, ΠM )=0
Método del producto de potencias
Identificar las dimensiones de cada parámetro dimensional y el número de dimensiones independientes total K Seleccionar K variables físicas núcleo independientes (con las que no se pueda formar un grupo adimensional al multiplicarlas/dividirlas) Luego, cada grupo Π será un producto de potencias entre las K variables núcleo y una (y sólo una) de las restantes M (=N -K ) variables físicas no usadas. Las potencias –incógnitas – de cada variable se determinan resolviendo un sistema algebraico, planteado con la condición que la suma de potencias de cada magnitud física debe ser nula.
Método del producto de potencias
Identificar las dimensiones de cada parámetro dimensional y el número de dimensiones independientes total K Seleccionar K variables físicas núcleo independientes (con (adimensional) puede las que noLa sefunción puedagenérica formargun grupo adimensional al expandirse en serie de potencias donde multiplicarlas/dividirlas) eventualmente aparecerán términosde quepotencias entre Luego, cada grupo Π será un producto M grupos Π contienen a cada uno las K variables núcleo y unade (ylos sólo una) de las restantes M no usadas. (=N -K ) variables Dada la físicas homogeneidad dimensional, cada uno de ellos debe ser adimensional Las potencias –incógnitas – de cada variable se determinan resolviendo un sistema algebraico, planteado con la condición que la suma de potencias de cada magnitud física debe ser nula.
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Se presume que la pérdida de presión ( ∆p ) de un fluido que fluye en un tramo L de tubería, depende de la velocidad del fluido (V ), el diámetro del tubo (D ), la densidad ( ρ ), la viscosidad ( µ ) y la rugosidad de la pared (ε ) f (∆p , L, V , D , ρ , µ , ε ) = 0 N = 7 Cuántos experimentos se requieren para hallar f ? Encontrar los grupos adimensionales.
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Las dimensiones de cada variable física son ∆p L V D ρ M^ 1 0 0 0 1 L^ -1 1 1 1 -3 T^ -2 0 -1 0 0 por lo que K =3
µ 1 -1 -1
ε 0 1 0
Elegimos 3 parámetros dimensionales entre L, V , D , ρ , µ y ε (excluimos ∆p por ser la variable dependiente): V , D , ρ Comprobamos que sus dimensiones son independientes ρ V D M^ 0 0 1 L^ 1 1 -3 la matriz tiene rango 3 T^ -1 0 0
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Calculamos los M =7-3=4 parámetros Π Π1 = ∆p V a D b ρ c 0 1 0 a b c Π2 = L V D ρ 0 = −1 + 1 Π3 = µ V a D b ρ c 0 −2 −1 Π4 = ε V a D b ρ c a=-2, b=0, c=-1
Π1 =
∆ p
ρ V 2
0 1 0
1 a
b 0 c
−3
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Calculamos los M =7-3=4 parámetros Π Π1 = ∆p V a D b ρ c 0 0 0 a b c Π2 = L V D ρ 0 = 1 + 1 Π3 = µ V a D b ρ c 0 0 −1 Π4 = ε V a D b ρ c a=0, b=-1, c=0
Π2 =
L D
0 1 0
1 a
b 0 c
−3
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Calculamos los M =7-3=4 parámetros Π Π1 = ∆p V a D b ρ c 0 1 0 a b c Π2 = L V D ρ 0 = −1 + 1 Π3 = µ V a D b ρ c 0 −1 −1 Π4 = ε V a D b ρ c a=-1, b=-1, c=-1
Π3 =
ρ VD
0 1 0
1 a
b 0 c
−3
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Calculamos los M =7-3=4 parámetros Π Π1 = ∆p V a D b ρ c 0 0 0 a b c Π2 = L V D ρ 0 = 1 + 1 Π3 = µ V a D b ρ c 0 0 −1 Π4 = ε V a D b ρ c a=0, b=-1, c=0
Π4 =
ε D
0 1 0
1 a
b 0 c
−3
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Calculamos los M =7-3=4 parámetros Π1 = ∆p V a D b ρ c Π2 = L V a D b ρ c Π3 = µ V a D b ρ c Π4 = ε V a D b ρ c
Π
Luego, la relación funcional puede expresarse como
∆p ∆ p L µ ε L ρVD ε 0= g , , , = gɶ , , , 2 2 ρV D ρVD D ρV 2 D µ D ∆ p
ρV
2
=
2
L ρVD ε , , D µ D
gˆ
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Se ha visto experimentalmente que la dependencia con L / D es lineal ∆ p
ρV
2
=
2
L D
VD ε , µ D
f
f se conoce como factor de fricción de Darcy. Su gráfica es una de las más famosas y útiles de la mecánica de fluidos
Diagrama de Moody
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Se ha visto experimentalmente que la dependencia con L / D es lineal ∆ p
ρV
2
=
2
L D
VD ε , µ D
f
f se conoce como factor de fricción de Darcy. Su gráfica es una de las más famosas y útiles de la mecánica de fluidos Mediante un sencillo balance de energía sabemos que ∆p = ρ g h f
h f
=
VD ε , f 2 g D µ D
V
2
L
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Se ha visto experimentalmente que la dependencia con L / D es lineal ∆ p
ρV
2
=
2
L D
VD ε , µ D
f
f se conoce como factor de fricción de Darcy. Su gráfica es una de las más famosas y útiles de la mecánica de fluidos Mediante un sencillo balance de energía sabemos que ∆p = ρ g h f
h f
=
VD ε , f 2 g D µ D
V
2
L
Número de Reynolds Re
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Se ha visto experimentalmente que la dependencia con L / D es lineal ∆ p
ρV
2
=
2
L D
VD ε , µ D
f
f se conoce como factor de fricción de Darcy. Su gráfica es una de las más famosas y útiles de la mecánica de fluidos Mediante un sencillo balance de energía sabemos que ∆p = ρ g h f
h f
=
VD ε , f 2 g D µ D
V
2
L
Rugosidad relativa
Método del producto de potencias
Pérdida de carga en tuberías por fricción viscosa Se ha visto experimentalmente que la dependencia con L / D es lineal ∆ p
ρV
2
=
2
L D
VD ε , µ D
f
f se conoce como factor de fricción de Darcy. Su gráfica es una de las más famosas y útiles de la mecánica de fluidos Mediante un sencillo balance de energía sabemos que ∆p = ρ g h f
h f
=
ε f Re, D 2g D
V2 L
Diagrama de Moody, f(Re,ε ε ) r
Leyes de Similitud y Grupos Adimensionales Concepto de Similitud
El concepto de similitud , es la base para el estudio experimental de fenómenos con modelos a escala. Para que los resultados y mediciones obtenidos a través de un modelo sean válidos/comparables/extrapolables a un prototipo, debe existir similitud geométrica , cinemática y dinámica .
Leyes de Similitud y Grupos Adimensionales Tipos de Similitud
Geométrica : Un modelo y un prototipo son geométricamente similares si y solo si todas las dimensiones del cuerpo en las tres coordenadas tienen la misma relación de escala (foto ampliada o reducida, puntos homólogos). Cinemática : Los movimientos de dos sistemas son cinemáticamente similares si partículas homólogas caen en posiciones homólogas en tiempos homólogos. Dinámica : Cuando además de las similitudes geométrica y cinemática, las relaciones de fuerzas actuantes se mantienen constantes entre prototipo y modelo.
Tipos de fuerzas actuantes Estimación de la magnitud (orden) de las fuerzas actuantes sobre un elemento del continuo
Gravedad : Presión : Viscosa : T. Superficial : Inercia : Elástica :
FG = mg = ρ ρ ρ L3 g FP = ∆p A = ∆p L2 FV = µ µ µ (dv /dy ) A = µ µ µ (v /L) L2 = µ µ µ v L FT = σ L FI = ma = ρ ρ ρ ρ ρV v(dv/dx) = ρ ρ ρL 3 v(v/L) = ρ ρ ρ v 2 L2 FE = K L2
Números adimensionales importantes Números adimensionales que cuantifican la relación de diferentes fuerzas
Reynolds Froude Weber Capilar Stokes Euler Mach ...muchos más.
Re = FI / FV = ρ µ ρ ρ v L / µ µ µ FR 2 = (FI / FG) = v 2 / (g L) We = FI / FT = ρ ρ ρ v L2 / σ Ca = Fv / FT = µ µ µ v /σ St = Fv / FG = µ µ µ v /( ρ ρ ρ g L2) Eu = FP / FI = ∆ p / ( ρ ρ ρ v 2) Ma = (F I / FE )1/2 = v /(K / ρ ρ ρ ρ ) = v / a
Leyes de similitud/semejanza
En general, no es posible conservar la relación de todas las fuerzas actuantes constante. Hay que identificar cuales son las más importantes en el problema y mantener su relación entre modelo (M ) y prototipo (P ) : Flujos
sin superficie libre y a densidad constante => Re M = Re P Flujos con ondas gravitatorias superficiales => Fr M = Fr P Flujos con interfases => We M = We P Flujos con interfases (pequeña escala) => Ca M = Ca P Flujo a alta velocidad (compresibilidad) => Ma M = Ma P
Conceptos de capa límite Paradoja de D’Alembert (1717-83)
“La resistencia fluidomecánica de un cuerpo que se mueve en estado estacionario en un fluido ideal (sin viscosidad) es nula”. Consideremos el caso de un cilindro infinito
Conceptos de capa límite Paradoja de D’Alembert (1717-83)
Sin embargo, las viscosidades de algunos fluidos (como el aire) son realmente bajas y la hipótesis de fluido ideal debería ser bastante aceptable. Qué es lo que no cierra en el modelo o en las hipótesis? Observando el comportamiento del flujo alrededor de los cuerpo, es posible comprender lo que esta sucediendo. Flujo ideal alrededor de una elipse Flujo con desprendimiento alrededor de una elipse
Conceptos de capa límite Definición y espesor de capa límite
Capa Límite : Es una región de transición entre la superficie del cuerpo (condición de no deslizamiento e impenetrabilidad) y el fluido que no está perturbado por su presencia. En esta región, los gradientes de velocidad son muy grandes y por lo tanto los efectos viscosos importantes, aún con fluidos de baja viscosidad.
Espesor de capa límite : Es la distancia perpendicular a la superficie del cuerpo, que existe entre ella y el punto donde el perfil de velocidad alcanza el 99% del valor de la velocidad no perturbada. u (y ) perfil de velocidad; Condiciones de contorno: u (0)=0 y u (y → ∞)=U u(δ )=0.99 U ⇒ δ Espesor de la capa límite δ depende del Re .
Conceptos de capa límite Definición y espesor de capa límite
Capa Límite : Es una región de transición entre la superficie del cuerpo (condición de no deslizamiento e impenetrabilidad) y el fluido que no está perturbado por su presencia. En esta región, los gradientes de velocidad son muy grandes y por lo tanto los efectos viscosos importantes, aún con fluidos de baja viscosidad.
Espesor de capa límite : Es la distancia perpendicular a la superficie del cuerpo, que existe entre ella y el punto donde el perfil de velocidad alcanza el 99% del valor de la velocidad no perturbada. u (y ) perfil de velocidad; Condiciones de contorno: u (0)=0 y u (y → ∞)=U u(δ )=0.99 U ⇒ δ Espesor de la capa límite δ depende del Re .
Solución de la capa límite Ecuaciones para la capa límite
Realizando un análisis de orden de magnitud de las ecuaciones de movimiento, se pueden encontrar las ecuaciones para la capa límite. Existen varias soluciones de las mismas (analíticas y numéricas).
Separación de la capa límite. Arrastre (Drag) Concepto de separación
Se produce la separación de la capa límite cuando se establece un flujo en retroceso en la región vecina a la pared. Esto ocurre por el gradiente de presión adverso y la baja velocidad que tiene el flujo en la región cercana a la pared.
Separación de la capa límite. Arrastre (Drag) Efecto de la separación
Al separarse la capa límite de la superficie del cuerpo, se produce una región de recirculación y remolinos, que genera una gran disipación viscosa. Esta disipación viscosa resulta en una pérdida de energía, que impide la recuperación total de la presión aguas abajo del cuerpo. Al existir diferencia de presión entre las partes anterior y posterior del cuerpo, se produce fuerza de arrastre adicional a la viscosa.
El punto de separación tiene un gran influencia sobre el tamaño de la región de disipación, y por lo tanto sobre el arrastre. El punto de separación depende si el régimen de flujo en la capa límite es laminar o turbulento : la capa límite turbulenta es más resistente a la separación.
Capa límite laminar y turbulenta Laminar
Turbulenta
