CAPÍTULO 7 Exercícios 7.1
r 1. a) Seja F( x, y, z, w ) ( x, y, z, w ). r Um campo vetorial F : 4 4 é conservativo se existe um campo escalar r diferenciável : 4 , tal que F em . Tomando-se (x, y, z, w)
x2 y2 z2 w2 , 2 2 2 2
r tem-se F em . ( 4 ).
r Então, F é conservativo.
r r r b) Seja F( x, y) yi xj . r (x, y) xy é tal que F em 4 . r Então, F é conservativo. r
r
r
r
c) Seja F ( x, y, z ) ( x y) i ( x y z ) j { z2 k . 123 14243 P
Q
R
r r Como F é de classe C1 em 2, uma condição necessária para F ser conservativo é que P Q P R Q R , e . y x z x z y
Como
r P Q 1 e 1, F não é conservativo. y x r
d) Seja F( x, y, z )
x ( x 2 y 2 z 2 )2
1442443 P
Tomando-se ( x, y, z )
r i
y ( x 2 y 2 z 2 )2
1442443 Q
r j
z ( x 2 y 2 z 2 )2
r k.
1442443 R
r r 1 F F tem-se . Logo, é conservativo. 2( x 2 y 2 z 2 )
r r r r e) Seja F( x, y, z ) xi yj zk .
Temos P Q P R Q R 0. y x z x z y r r r i j k x y z Daí, segue x y z. x y z Tomando-se ( x, y, z )
r r x2 y2 z2 , tem-se F. Logo, F é conservativo. 2 2 2
r r r 2. Sejam F ( x, y, z ) f (r ) , onde f : é contínua, r r r r r r r xi yj zk e r r.
Consideremos ( x, y, t ) g ( x 2 y 2 z 2 ), onde g é uma primitiva de f. 1442444 3 r
Temos: g r dg ◊ ◊ x r x dr
x 2 y2 z2
g r dg ◊ ◊ y r y dr
x 2 y2 z2
g r dg ◊ ◊ z r z dr Então,
r xi x 2 y2 z2
r r r xi yj zk x 2 y2 z2 1442443
x y z x 2 y2 z2
f (r )
, e .
r yj x 2 y2 z2
f (r )
◊ f (r ) ou seja,
r r
r r r r f (r ) F. Logo, F é conservativo. r
106
r zk x 2 y2 z2
f (r ). Daí
Exercícios 7.2 1. a) A forma diferencial x dx y dy z dz é exata pois admite (x, y, z)
x2 y2 z 2 como primitiva: 2 2 2
Ê x2 y2 z2 ˆ dÁ ˜ x dx y dy z dz. 2 2¯ Ë 2 c) A forma diferencial yz dx xz dy xy dz é exata pois admite (x, y, z) xyz como primitiva. e) A forma diferencial (x y) dx (y x) dy não é exata pois
( x y) ( y x ) Ê P Q ˆ π π Á ˜. y x x ¯ Ë y g) A forma diferencial xy dx y2 dy xyz dz não é exata pois
( xy) ( y 2 ) Ê P Q ˆ π π Á ˜. y x Ë y x ¯ h) Seja a forma diferencial
onde P(x, y)
y x 2 y2
y x dx 2 dy, y 0 x 2 y2 x y2
x são funções de classe C1 em e Q( x, y) 2 2 x y
2 {(0, 0)}. Temos:
P y2 x 2 ¸ 2 y ( x y 2 )2 ÔÔ, ou seja, P ( x, y) Q ( x, y). ý y x Q y2 x 2 Ô 2 2 2 ( x y ) Ôþ x Como a condição necessária está verificada, a forma diferencial tem chance de ser exata. Como (z, y) arctg x , y 0 é uma primitiva, segue que a forma diferencial é exata. y
x arctg , y 0, é também uma primitiva, pois, funções 2 y com gradientes iguais, num conjunto conexo por caminhos, diferem, neste conjunto, por uma constante. Veja Seção 30.3 do Vol. 2.)
(Observamos que ( x, y)
107
i) Seja
{
y x dx 2 dy, ( x, y) onde x 2 y2 x y2
} {
}
( x, y) 2 y 0 ( x, y) 2 x 0 . y x x dx 2 dy no arctg , y 0, é uma primitiva de 2 2 x y x y2 2 y y semiplano y 0. Por outro lado, 2 ( x, y) arctg , x 0, é uma primitiva no x semiplano x 0. Então, no quadrante x 0 e y 0, 1(x, y) e 2(x, y) diferem por uma constante, ou seja, x y arctg arctg k. 2 y x
1 ( x, y)
No ponto (1, 1), temos 1 1 arctg arctg k , ou seja, k 2 1 1 2 4 4 daí, k . Segue que Ï arctg x , y 0 Ô y
( x, y) Ì 2 y Ô arctg , x 0 x Ó
é uma primitiva da forma diferencial dada em . Tal função pode ser dada de outra forma. Como 3(x, y) k1 arctg x é uma primitiva da forma diferencial no semiy plano y 0, segue que no quadrante x 0 e y 0, 3(x, y) e 2(x, y) diferem por uma constante, logo, para algum valor de k1 devemos ter
k1 arctg
x y arctg , x 0 e y 0. y x
3 . Segue e, portanto, k1 2 4 4 que a primitiva (x, y) pode, também, ser dada assim Fazendo (x, y) (1, 1), obtemos k1
x Ï Ô 2 arctg y se y 0 Ô
( x, y) Ì se y 0 e x 0 x Ô 3 Ô 2 arctg y se y 0. Ó
108
2. Seja a forma diferencial 3 x m 1 y n 1 dx 2 x m 2 y n dy. 14 4244 3 14243 P( x , y )
Q( x , y )
P Q Þ 3(n 1) x m 1 y n 2( m 2) x m 1 y n Þ y x 3n 3 2. Þ 3n 3 2 m 4 Þ m2 3 3n 3 x m 2 y n 1 é uma Com a condição 2, m e n naturais, ( x, y) m 2 m2 2 primitiva, em , da forma diferencial dada, pois, 3x m 1y n 1 e x 3n 3 m 2 n x y 2 x m 2 y n . (Observação. Se permitirmos que m e n sejam reais m2 y
Temos
quaisquer, com as condições
3n 3 2 e m π 2, a função m2
3 ( x, y) x m 2 y n 1, será uma primitiva no aberto x 0 e y 0. Se m2 m 2 e n 1, (x, y) 3 ln x 2 ln y será uma primitiva no aberto x 0 e y 0.)
4. Seja (1 x 3 x y)udx xudy. Queremos determinar u que só dependa de x, u u(x), de 44244 3 { P
Q
modo que a forma diferencial seja exata. Temos P u u Q du u ( x 3 x y) u, pois, 0 e u x . Da condição necessária dy y y x dx du para a forma diferencial ser exata segue u u x que é uma equação diferencial dx du 2 de variáveis separáveis. Separando as variáveis, obtemos dx, u 0 e x 0. u x k Integrando, resulta ln|u| ln 2 , onde k 0 é a constante de integração. Deste modo, x 1 com u 2 , x 0, a condição necessária está verificada. Deixamos a seu cargo x verificar que com este u a forma diferencial é exata.
5. Queremos determinar u u(y) que torne (y2 1)udx (x y2 1)udy uma forma diferencial exata. Para que a condição necessária esteja verificada, devemos ter d 2 d du 2 u que é uma equação ( y 1) u ( x y 3 1) u, ou seja, 2 yu (y 1) y x dy u diferencial de variáveis separáveis. (Lembre-se: 0, pois, u só depende de y.) x du (1 2 y) dx Separando as variáveis, obtemos , u 0. Integrando, resulta u y2 1 lnk| u | arctg y ln(y2 1), onde k 0 é a constante de integração. Deste modo, com
u
e arctg y a condição necessária está verificada. Fica a seu cargo verificar que com y2 1
esta u a forma diferencial é exata.
109
Exercícios 7.3 1. b)
Ú y dx x 2 dy (a forma diferencial não é exata)
(t) (1, 1) t[(2, 2) (1, 1)] (1 t, 1 t)
0t1
Façamos x(t) 1 t e y(t) 1 t. Temos,
Ú y dx x 2 dy Ú0 [(1 t ) (1 t )2 ] dt Ú0 (t 2 3t 2) dt 6 . 1
c)
1
23
Ú x 2 y2 dx x 2 y2 dy, onde :[0, 1] Æ 2 é uma curva C y
x
1
por partes, com
imagem contida no semiplano y 0.
Pelo Exercício 1, h da Seção 7.2, (x, y) arctg
x , y 0 é uma primitiva e a forma é y
exata. Então,
Ú
(1) (2, 3)
È y x xù (1) dx 2 dy [ ( x, y)] ( 0 ) Íarctg ú 2 2 2 x y x y y û ( 0 ) (1, 1) Î
2 2 arctg Ê ˆ arctg 1 arctg . Ë 3¯ 4 3 (1, 0 ) x y dx 2 dy d) 2 2 x y2 (1, 0 ) x y x y são funções de classe C1 em P( x , y ) 2 e Q(u, y) 2 2 x y x y2 2 {(0, 0)}.
Ú
P 2 xy Q 2 xy segue que é uma forma diferencial exata e 2 2 ( x y 2 )2 ( x y 2 )2 y x 1 em : ln ( x 2 y 2 ) ln x 2 y 2 é uma primitiva em . 2
De
Segue que:
Ú(1, 0) x 2 y2 dx x 2 y2 dy [ln (1, 0 )
x
y
x 2 y2
sobre uma curva com imagem contida em .
110
]
(1, 0 ) (1, 0 )
0 sendo a integral calculada
Ú
2 e) (sen xy xy cos xy) dx x cos xy dy, onde (t) (t2 1, t2 1), 1 t 1.
P 2 x cos xy x 2 y sen xy ¸Ô y 2 ý Þ a forma diferencial é exata em . Q 2 Ô 2 x cos xy x y sen xy x þ
(x, y) x sen xy é uma primitiva e
Ú (sen xy xy cos xy) dx x 2 cos xy dy [ x sen xy](1) 0. (1)
f)
Ú x 2 y2 dx x 2 y2 dy, onde g: [0, 1] Æ 2 é uma curva C y
x
1
por partes com
imagem contida no conjunto
{(x, y) 2 y 0} {(x, y) 2 x 0} tal que (0) (1, 1) e (1) (1, 1). Pelo Exercício 1, h da Seção 7.2, vimos que a forma diferencial é exata em . O campo vetorial é conservativo com função potencial assim definida: x Ï Ô 2 arctg y se y 0 Ô
( x, y) Ì se y 0 e x 0 x Ô 3 Ô 2 arctg y se y 0. Ó
Então,
Ú x 2 y2 dx x 2 y2 dy [ ( x, y)](1, 1) y
x
(1, 1)
ù È [ (1, 1) (1, 1)] ÍÊ 3 ˆ Ê ˆ ú . Ë ¯ Ë 2 4 2 4 ¯û Î
111
Observação. (x, y) 2 1, onde 1 e 2 são os ângulos assinalados na figura.
3. Analogamente ao Exercício 1, f.
Ú x 2 y2 dx x 2 y2 dy [ ( x, y)](0) (1, 1) y
x
(1) (1, 1)
3 [ (1, 1) (1, 1)] ÈÍ arctg (1)ùú Î 2 û
3 ÈÍ arctg 1ùú 2 Î2 û È ( x, y) 7 3 ù. ÍÎ 4 4 2 úû
Exercícios 7.6 1. a) h( x )
h( x )
Cálculo,
x2
Ú1
d dx
sen t 2 dt x2
Ú1
d dx
sen t 2 dt
x2
Ú1
1
Ú0 1 xu 4 du. 1
d dx
1
Ú0 1 xu 4 du. Pelo Teorema Fundamental do 1
sen t 2 dt 2 x sen x 4 e pelo que vimos na seção, temos
1 1 d 1 1 1 u4 ( ) du du du. Assim, 0 x 1 xu 4 0 (1 xu 4 ) 2 dx 0 1 xu 4
Ú
Ú
Ú
112
h( x ) 2 x sen x 4
b) h( x ) h( x )
1
Ú0
u4 du. (1 xu 4 )2
1
Ú0 sen( x 2t 2 ) dt.
1 d 1 sen( x 2 t 2 ) dt (sen ( x 2 t 2 )) dt dx 0 0 x
Ú
1
Ú
Ú0 2 xt 2 cos ( x 2t 2 ) dt.
c) h( x )
x
Ú0 sen( x 2t 2 ) dt.
Seja (u, v)
u
Ú0 sen(v 2t 2 ) dt. Temos
u sen(v 2 u 2 ) e 2 vt 2 cos (v 2 t 2 ) dt. De u v 0 h(x) (u, v), u x e v x, resulta, pela regra da cadeia,
Ú
h( x )
du dv e, portanto, u dx v dx
h( x ) sen x 4 2 x
d) h( x )
sen x
Úx
2
x
Ú0 t 2 cos ( x 2t 2 ) dt.
1 dt. 1 x 4t 4
Façamos u x2, v sen x e w x4 Então, h( x ) (u, v, w )
v
dt Úu 112 wt 4 4 4 3 1
f ( w, t )
Pela regra da cadeia: h( x )
du dv dw . u dx v dx w dx
Pelo teorema fundamental,
u u
1 È u ù Í v f ( w, t ) dt ú f ( w, u) 1 wu 4 Î û
Ú
113
1 1 ; 2 4 1 x12 (x )
1 x 4
v v
v
Úu f (w, t ) dt f (w, v)
1 1 x 4 (sen
w w
v
Úu
x )4
;
v
v
Úu f (w, t ) dt Úu
Ê 1 ˆ Á ˜ dt w Ë 1 wt 4 ¯
t4 dt. (1 wt 4 )2
du dv dw 2 x, cos x e 4 x3. dx dx dx
Temos
Substituindo os valores encontrados em :
h( x )
sen x 2x cos x t4 4x3 dt. 12 4 4 3 1 x 1 x (sen x ) (1 x 4 t 4 )2 x
Ú
2. Supondo (x) e (x) funções a valores reais diferenciáveis no intervalo aberto I; f(x, y) de classe C1 no aberto de 2 e, para todo x I, o segmento de extremidades (x, (x)) e (x, (x)) esteja contido em . Nestas condições, seja
h( x )
( x )
Ú( x ) f ( x, y) dy,
x I.
Temos h(x) H ((x), (x), z(x)), onde z x e H (, , z )
Ú f (z, y) dy.
Pela regra da cadeia, H d H d H dz h( x ) dx dx y dx ou seja,
h( x )
H H H . ( x ) ( x ) z
114
Temos, em conseqüência do teorema fundamental:
H
È ù Í f ( z, y) dy ú f ( z, ( x )) Î û
Ú
H È ÍÎ H È z z ÍÎ
ù
ù
Ú f (z, y) dyúû f (z, ( x ))
Ú f (z, y) dyúû Ú z
f ( z, y) dy
Substituindo em : h(x) f(x, (x)) (x) f(x, (x)) (x)
115
( x )
f
Ú( x ) x ( x, y) dy.
