Resolução Guidorizzi – Cálculo 1 Exercícios 12.3 - Página – 360 1. Calcule. a) Solução: Fazendo por partes:
b) Solução: Fazendo por partes:
c) Solução: Fazendo por partes:
d) Solução: Fazendo por partes:
e) Solução: Fazendo por partes:
f) Solução: Fazendo por partes:
g) Solução: Fazendo por partes:
Onde a integral: Fazendo por substituição simples: , logo
Por fim definimos:
h) Solução: Fazendo por partes:
, assim:
i) Solução: 1ª solução: Fazendo por partes:
2ª solução: Fazendo por partes:
3ª solução: Fazendo por substituição simples: , assim logo:
Fazendo por partes:
organizando:
, modificando valor de
,
j) Solução: Fazendo por partes:
l) Solução: 1ª solução: Fazendo por partes:
2ª solução:
m) Solução: Fazendo por partes:
n) Solução: 1ª solução: Fazendo por partes:
2ª solução: Fazendo substituição simples: , assim
o) Solução: Fazendo por partes:
, logo
p) Solução: Fazendo por partes:
q) Solução: Fazendo por partes:
2. a) Solução:
Relembrando trigonometria:
b) Calcule Solução:
3. Verifique que, para todo natural
, tem-se
a) Solução: Por indução testamos para valor após este escolhido: Para
:
Para
:
Para
, logo em seguida para um valor qualquer e por fim para um
C.Q.D. b) o mesmo processo do exercício anterior. 4. Calcule: a) Solução:
b) Solução:
Os demais exercícios 12.3 são triviais e sequenciais, quando de demonstrações são semelhantes com o já demonstrado e quando de calculo são similares aos do exercício 1, com a particularidade de virem definidas em um intervalo, onde apenas devemos aplicar esta variação.
Exercícios 12.4 - Página – 369 1. Calcule: a) solução:
,
e
b) solução:
,
e
c) solução:
,
e
d) solução:
,
e
e) solução:
,
f) solução:
e
,
e
*o resultado diferente do livro, se a integral dada fosse correto.
g) solução:
,
e
, o resultado gabaritado ao final do livro estaria
h) solução:
,
e
Trigonometria:
e
i) solução:
,
e
,
*
j) solução: Nesse caso podemos aplicar a substituição simples diretamente ou, para facilitar, podemos fazer uma substituição simples antes da substituição trigonométrica.
,
e
l)
solução:
,
e
m)
–
solução: Antes de qualquer coisa, devemos arrumar a função polinomial do segundo grau de forma a facilitar a aplicação do método de substituição trigonométrica. –
– –
–
,
e
–
n)
–
solução: Antes de qualquer coisa, devemos arrumar a função polinomial do segundo grau de forma a facilitar a aplicação do método de substituição trigonométrica. –
– –
–
,
e
– o) Solução:
,
e
e
2. Calcule a área do conjunto de todos os (x,y) tais que
.
Solução: Sabemos que a figura é uma elipse “em pé” pois
Isolando y: ,
, então:
e
, vamos ao gráfico:
Onde a parte positiva representa a parte acima do eixo x no gráfico e a parte negativa representa a parte de baixo do eixo x. Logo, podemos fazer a área da parte positiva e multiplicar por 2.
Para facilitar mais ainda, podemos dividir em 4 partes fazendo a área apenas do primeiro quadrante e multiplicar por 4.
Para resolver esta função devemos fazer substituição trigonométrica:
,
e
Agora basta calcular o intervalo dado:
3. A resolução é similar com do exercício anterior. 4. Calcule. a) Solução: ,
e
b) Solução: ,
então
e
c) Solução: ,
então
e
,
então
e
d) Solução:
As demais até a letra o seguem o mesmo raciocínio, assim como os próximos exercícios até o final deste tópico. Qualquer duvida nos tópicos anteriores me pergunte que terei o prazer em ajudar.
NOTA:
integrais do tipo:
podem ser resolvidas pela substituição trigonométrica e por
frações parciais pois o polinômio , possui duas raízes. Porém nesse caso fazer por substituição trigonométrica é mais interessante pois , o que condiz com uma substituição mais simples.
Integrais do tipo:
podem ser resolvidas pela substituição trigonométrica e por
frações parciais pois o polinômio , possui duas raízes. Porém nesse caso fazer por frações parciais é mais interessante pois ao fazer por substituição trigonométrica , o que faria condiz com um aumento da função no caso dessa substituição.
Integrais do tipo: trigonométrica.
não tem raízes logo, só se faz por substituição
Exercícios 12.5 - Página – 375 Calcule. 1. Solução: Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes:
Nesse caso descoberto pelo quadrado da diferença.
Comparando as frações:
e Assim a integral:
2. Solução: Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes do denominador, pelo método de completar quadrados:
e
, logo
assim:
3. Solução: Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes:
Nesse caso descoberto pelo quadrado da diferença.
Comparando as frações:
4.
