7 Modi di vibrazione e onde
La soluzione del problema dinamico per un sistema di punti o corpi materiali interagenti e sottoposti a forze di natura elastica porta a una serie di espressioni, simili a quella dell’oscillatore armonico semplice, ciascuna delle quali descrive un’oscillazione collettiva del sistema, detta modo di vibrazione. Ogni modo ha una sua frequenza caratteristica, che è funzione della natura fisica del sistema, oltre che un’ampiezza e una fase che dipendono da come il sistema è posto in movimento. Vi sono tanti modi quante sono le coordinate, o gradi di libertà, che descrivono il sistema. Queste proprietà vengono introdotte discutendo il caso semplice di due pendoli accoppiati da una molla leggera. Quando ambedue i modi dei due pendoli accoppiati vengono attivati, il moto di ciascun pendolo è caratterizzato da battimenti, ossia da una variazione periodica dell’ampiezza di oscillazione. Tale fenomeno si può interpretare come risultato della sovrapposizione dei due modi del sistema, ma anche come frutto di un trasferimento nello spazio dell’energia di oscillazione, ossia come un’onda. La complementarità tra i concetti di modo e di onda si ritrova dall’analisi delle “onde stazionarie”, ossia modi di vibrazione in sistemi elastici confinati, che sono così chiamati perché si possono pensare come prodotti da una coppia di onde che si propagano in versi opposti e tali da portare in un verso la stessa quantità di energia portata nell’altro. Mediante considerazioni energetiche si trova come cambia l’ampiezza di un’onda in un mezzo elastico ideale (senza attriti) in funzione della distanza dalla sua sorgente. Si affronta poi la questione dell’onda generata da una sorgente in moto relativo rispetto all’osservatore o al mezzo elastico in cui si propaga, distinguendo i due casi di moto relativo con velocità inferiore (effetto Dop pler) o superiore a quella di propagazione dell’onda.
7.1 Introduzione: i pendoli accoppiati Due pendoli uguali A e B, di lunghezza l e di massa m, sono collegati con una molla avente una costante elastica k molto più piccola della costante elastica del pendolo, k p = mg / l. Con xA e xB indichiamo lo spostamento del centro di massa di A e di B dalle rispettive posizioni di equilibrio (mostrate con tratto pieno in figura).
l
A
B
f AB
0
xA
f BA
0 xB
Rispetto alla forza prodotta nella posizione di riposo, la molla esercita su A una forza addizionale f AB f AB
= − kx A +
kx B
Infatti, quando B è spostato in un senso (per esempio verso destra), la molla tira A nello stesso senso con una forza che cambia di kxB. Se invece manteniamo B nella posizione di riposo, xB = 0, la forza della molla su A cambierà di −kxA opponendosi allo spostamento di A. Scambiando i ruoli di A e B, oppure applicando il principio di azione e reazione, si trova che la forza della molla su B è opposta a quella agente su A: f BA
= − kx B +
kx A
Perciò la legge di Newton per i due pendoli si scrive
124
Capitolo 7 − k p x A − kx A − k x − kx B p B
+ kx B = ma A + kx A = ma B
7.1 +
Nell’equazione per il pendolo A compare xB e, simmetricamente, in quella per il pendolo B compare xA, coordinata relativa dell’altro pendolo. Per risolvere il sistema 7.1 occorre trasformarlo in due equazioni a “variabili separate” in ciascuna delle quali la variabile incognita sia esattamente proporzionale alla sua accelerazione, come è il caso di una coordinata che descriva un oscillatore armonico semplice. Per il nostro problema, le coordinate, e le loro accelerazioni, che portano a equazioni separate sono x +
≡
xA
+
xB
a+
≡
2 d x+ d t 2
A
B
≡
xA
−
xB
a−
≡
d x− d t 2
=
B
x + x −
cos(ω + t + ϕ + ) = X − cos( ω − t + ϕ − )
=
X+
7.4
dove le pulsazioni sono ≡ aA + a B
7.2a
≡ aA − a B
ω +
=
ω −
=
k p
ma +
g
=
m
7.2b
Infatti, sommando tra loro membro a membro le equazioni 7.1 si elidono i termini in kxA e kxB e si ottiene − k p x +
A
Applicando alle 7.3 il metodo risolutivo già applicato all’equazione del moto armonico (vedi Equazioni 6.12 e 6.13) si ha
2
x −
−
kp
7.5a
l + 2 k
=
m
g
+
l
2 k
7.5b
m
7.3a
mentre X + ,, X − e ϕ +, ϕ − sono le ampiezze e fasi iniziali dei due modi, che vengono determinati mediante le condizioni iniziali, come verrà mostrato nel prossimo paragrafo.
7.3b
7.2 I battimenti
mentre sottraendo membro a membro si ha − ( k p
+ 2k
)x
−
=
ma −
Il problema viene così espresso mediante le equazioni di due oscillatori armonici fittizi, chiamati modi normali di oscillazione, o semplicemente modi, perché non si riferiscono al moto di un punto materiale, ma a un “moto” di combinazioni di coordinate che gode della proprietà di avere come soluzione una funzione di tipo sinusoidale. L’equazione 7.3a può essere in questo caso chiamata “ equazione del modo somma ” mentre la 7.3b “equazione del modo differenza ”. Dividendo ambo i membri della 7.3a per 2 si ha l’equazione di moto per il baricentro dei due pendoli, il cui spostamento dalla posizione di riposo è la media x+ /2 dei due spostamenti. Come atteso, la costante k della molla non compare nell’equazione per il baricentro perché il moto di questo non può dipendere dalle forze “interne” prodotte dalla molla. Il puro modo differenza si ha quando i pendoli si muovono in versi opposti l’uno rispetto all’altro; in questo caso il baricentro rimane fisso ( x+ = 0) mentre la molla si allunga e si accorcia.
Supponiamo che il sistema dei due pendoli venga posto in moto spostando A dalla posizione di riposo di una tratto d , tenendo B fermo nella sua posizione di riposo e rilasciando poi contemporaneamente A e B. All’istante t = 0 le velocità sono nulle e si ha: x A ( 0 ) = d ,
7.6
x B (0 ) = 0
Poiché A e B sono inizialmente fermi, anche le velocità iniziali di somma e differenza delle loro coordinate sono nulle, il che comporta ϕ + = ϕ − = 0 (vedi Capitolo 6). Introducendo nelle 7.4 i valori iniziali delle coordinate si ha X +
=
x A ( 0)
=
d, X −
=
x A (0 )
=
d
7.7
e le soluzioni 7.4 in questo caso sono x + x −
=
d cos ω + t
=
d cos ω − t
7.8
Modi di vibrazione e onde 125 Il grafico rappresenta l’andamento del modo somma e differenza in funzione del tempo:
Gli andamenti di xA(t )e xB(t ) sono mostrati in figura. xA
x+
0 0
xΒ
t
t
x−
0 0
Dalla 7.8, mediante le posizioni 7.2, si ricavano le soluzioni xA(t ), xB(t ) per il moto dei due pendoli x + + x − x A (t ) = 2 x + − x − x B (t ) = 2
cos ω + t + cos ω − t 2 cos ω + t − cos ω − t = d 2 =
d
7.9
Usando le formule di prostaferesi α
cos α
+
cos β = 2 cos
cos α
−
cos β = −2 sin
+
β
2 α
+
cos
β
2
α
sin
−
β
2 α
−
β
2
e ponendo ω 0
≡
ω+
+ ω −
2
,
ω b
≡
ω−
− ω +
2
le 7.9 si riscrivono come x (t ) = (d cosω t ) cos ω t A b 0 x B (t ) = −( d sin ω b t ) sin ω 0 t
7.10
I pendoli accoppiati (Equazione 7.9) esemplificano il fenomeno dei battimenti, basato sulla seguente proprietà matematica: sommando (sottraendo) due funzioni sinusoidali del tempo con ampiezze uguali e frequenze differenti si ottiene una sinusoide con pulsazione pari alla media delle pulsazioni, ω 0, moltiplicata per una funzione sinusoidale variante più lentamente, avente pulsazione ω b, pari alla semidifferenza delle due frequenze. La frequenza ω 0 è detta frequenza centrale , o frequenza portante; la frequenza ω b è detta frequenza dei battimenti. Viceversa, moltiplicando due segnali sinusoidali a frequenze diverse ω 0 e ω b si ottiene un segnale che è pari alla somma di una sinusoide a frequenza ( ω 0 − ω b) e di una a frequenza ( ω 0 + ω b). I battimenti si possono anche pensare come un fenomeno di interferenza tra due oscillazioni con frequenze leggermente diverse. Per la 7.9 lo spostamento del pendolo A risulta dalla somma di uno spostamento dovuto al modo somma e di uno dovuto al modo differenza; inizialmente i due spostamenti hanno lo stesso segno, e si sommano; dopo un certo tempo lo spostamento dovuto al modo somma è esattamente uguale e opposto rispetto a quello dovuto al modo differenza, e i due effetti si annullano (interferenza negativa). Se le due oscillazioni non hanno ampiezza uguale, si può immaginare di scomporre quella ad ampiezza maggiore in due parti, la prima delle quali con ampiezza pari a quella dell’oscillazione minore che, assieme a questa,
126
Capitolo 7
produce il battimento. La parte rimanente dell’oscillazione maggiore dà un fondo di ampiezza costante. Perciò il battimento avviene ancora, anche se meno pronunciato, perché sovrapposto a un fondo di ampiezza costante. 7.2.1 Battimenti e telecomunicazioni I fondamenti matematici delle telecomunicazioni sono simili a quelli del fenomeno dei battimenti. Per mandare un messaggio con un trasmettitore radio a modulazione d’ampiezza (AM, da “amplitude modulation”) si moltiplica il segnale di un oscillatore a una elevata frequenza ω 0 (la portante) per un segnale a frequenze acustiche (che indicheremo con ω b) prodotto, per esempio, da un microfono. I segnali emessi dal trasmittente avranno perciò componenti alle frequenze ( ω 0 + ω b) e (ω 0 − ω b). Infatti abbiamo cos ω 0t cos ω b t ∝ cos[(ω 0 + ω b )t ] + cos[(ω 0 − ω b )t ] Per ricevere si deve sintonizzare la ricevente, ossia portare la frequenza del suo oscillatore a ω 0. Moltiplicando il segnale proveniente dal trasmittente (vedi sopra) con quello dell’oscillatore ricevente cosω0t cos[(ω0 ± ωb )t ] ∝ cos[(2ω0 ± ωb )t ] + cos[( m ωb )t ] si ha la somma di segnali a frequenze 2 ω 0 ± ω b e ± ω b; i primi vengono eliminati (filtrati) e rimane il segnale alle frequenze acustiche ( ω b) da inviare all’altoparlante o al registratore. Si dice che in trasmissione si “modula” la portante, mentre in ricezione si “demodula” il segnale radio. Tuttavia le due operazioni sono essenzialmente delle moltiplicazioni (chiamate in gergo “miscelazioni”) di segnali elettrici variabili nel tempo che si possono interpretare come somma di segnali oscillanti.
7.2.2
La vibrazione della molecola biatomica
L’esempio introduttivo dei due pendoli accoppiati può essere adattato al calcolo del moto vibratorio di una molecola biatomica costituita da due atomi, di massa mA e mB, che all’equilibrio sono a distanza d . In questo caso le uniche forze presenti sono quelle della “molla”, di costante elastica k , che descrive il legame interatomico. As-
sumiamo un riferimento solidale con il centro di massa C della molecola e indichiamo, come fatto nel caso della 7.1, con xA e xB gli spostamenti dei due atomi dalla posizione di equilibrio in questo riferimento. Le equazioni di moto sono − kx A − kx B
+ kx B =
mA aA
+ kx A =
mBaB
7.11
d
A
B
xA
C
xB
C
Queste equazioni sono simili alle 7.10 ma i due oscillatori hanno masse diverse e non vi sono le forze di richiamo dei pendoli (k p = 0). Sommando tra loro membro a membro le 7.11 si ha mA aA
+ mBa B =
0
7.12
un risultato che si può esprimere in vari modi. Si può dire che il modo somma ha frequenza nulla, come atteso, in quanto ora abbiamo k p = 0. Si può anche dire che il centro di massa C della molecola è in una posizione di equilibrio indifferente. A seguito degli spostamenti xA, xB dalle posizioni di equilibrio la coordinata del centro di massa si sposterà di x C
=
mA x A mA
+ mB x B + mB
7.13
La 7.12 esprime perciò il fatto che l’accelerazione di xC è sempre nulla. Esiste quindi un sistema di riferimento galileiano in cui xC = 0 e in cui gli spostamenti xA, xB dall’equilibrio hanno segno opposto e sono inversamente proporzionali a mA, mB: x A mB
=−
x B mA
7.14
Si potrebbe usare quest’ultima proprietà, che è conse-
Modi di vibrazione e onde 127 guenza del principio di azione e reazione, per eliminare una delle due incognite nel sistema 7.11. È però più istruttivo arrivare direttamente all’equazione del modo differenza moltiplicando la prima equazione 7.11 per mB e sottraendole membro a membro la seconda equazione moltiplicata per mA: −
kmB ( xA
=
mA mB a A
−
(
−k( x A −
(
x B ) − kmA x A −
aB
xB ) =
−
xB
)=
)
mA mB mA
+ mB
k ( mA
+
7.16
mA mB
ω HD
ω DD
∝
mH + mH mH mH
∝
mH + mD mH mD
∝
mD + mD mD mD
2 2 mω 0 X A (t )
=
2 1 + cos(2ω b t ) = E 0 2
2 2 mω 0 d 2 cos (ω bt ) =
2
7.18a
Similmente per il pendolo B:
Calcoliamo ora come cambia la frequenza di vibrazione della molecola di idrogeno quando gli atomi H (che hanno massa all’incirca uguale a un’unità di massa atomica, mH ≈ 1 uma) vengono sostituiti da quelli di deuterio, D, (mD ≈ 2 uma) senza cambiare apprezzabilmente k , ossia le proprietà del legame. Dalla 7.16 si hanno le frequenze dei vari tipi di molecole con idrogeno e/o deuterio ω HH
che cambia di poco mentre viene eseguita una intera oscillazione a pulsazione ω 0. Perciò abbiamo che il pendolo A possiede approssimativamente una energia (vedi Equazione 6.16) E A (t ) =
mB )
7.17
X A (t ) = d cos ω b t
7.15
( a A − aB )
Questa è l’equazione di un moto armonico di pulsazione ω =
che questi siano debolmente accoppiati, cioè ω b << ω 0. Possiamo allora dire che il pendolo A ha una “ampiezza” di oscillazione
∝
1+1 1×1
∝
1+ 2 1× 2
∝
2+2 2×2
=
2 ≈ 141 .
=
3 2
=
≈ 122 .
1 =1
Quando raddoppiamo la massa della molecola di idrogeno sostituendo gli atomi H con quelli di D la frequenza di vibrazione si riduce di circa il 30% (1.41 × 0.7 ≈ 1). In genere, i cambi percentuali di frequenza vibrazionale prodotti dalle sostituzioni isotopiche sono di entità molto minore, ma utilissimi per individuare come e quali atomi siano coinvolti in un modo vibratorio.
7.3 Onde Analizziamo dal punto di vista dell’energia la particolare soluzione 7.10 del problema dei due pendoli supponendo
2 2 mω 0 X B (t )
E B (t ) =
=
2 1 − cos(2ω b t ) = E 0 2
2 2 mω 0 d
2
sin 2 (ω bt ) =
7.18b
All’istante iniziale tutta l’energia è concentrata sul pendolo A ( E A(0) = E 0) e dopo un tempo τ , pari a un quarto del periodo T b dei battimenti τ =
π 2ω b
≡
T b
7.19
4
si trova tutta in B ( E B(τ ) = E 0). Se i pendoli sono distanti r si può dire che l’energia si trasferisce tra loro con una velocità vE
=
r
τ
=
4r
7.20
T b
e che il pendolo B assume la stessa energia che il pendolo A aveva a un tempo precedente di τ = r /vE: E B ( t )
=
r
v E
EA t −
7.21
Questa espressione suggerisce di riassumere in una forma “continua” le espressioni per l’energia dei due pendoli E ( x, t ) = E A ( t −
x
vE
)=
Capitolo 7
128
E 0 =
x + ω − t 1 cos 2 b 2 v E
7.22
dove si ottiene la 7.18a per x = 0 (posizione del pendolo A) e la 7.18b per x = r (posizione del pendolo B). L’equazione 7.22 descrive un’onda, ossia un trasferimento di energia su distanze maggiori di quella di oscillazione, trasferimento che non è accompagnato da spostamento di massa.
Anziché mediante l’espressione dell’energia 7.22, è di solito più conveniente descrivere un’onda mediante funzioni del tempo e della distanza che hanno per argomento tempo
±
dis tan za
di vibrazione. Una corda tra due punti fissi O e Q, distanti L, è sottoposta a una tensione f T. Se la sua massa è M , la sua densità lineare, o massa per unità di lunghezza, è / L. Se spostiamo di un piccolo tratto s, perpendico ρ l = M larmente a OQ, un punto della corda (di ascissa x) e lo rilasciamo, l’energia trasferita alla corda si propagherà sia verso destra sia verso sinistra con un meccanismo simile a quello con il quale l’energia si propaga da un pendolo spostato dall’equilibrio al pendolo accoppiato vicino. Infatti, abbiamo visto nel Capitolo 4 che, per piccole deviazioni dalla posizione di equilibrio, s << L, la forza di richiamo agente su un punto della corda è di tipo elastico.
velocità di propagazione
0
e che rappresentano lo spostamento dal valor medio, o di equilibrio. Per i pendoli accoppiati del nostro esempio, la grandezza che può descrivere l’onda è la “ampiezza” 7.17 che riscriviamo come
(
)=
X (t , x) = d cos ω (t − x / v) + ϕ =
(
d cos 2π (t / T
−
)
x / v) + ϕ
O
=
2πν =
2π T
s( x,t 0)
λ T
⇒ λ = vT
x s t 0 t 1
7.23
t 2 t 3
7.24
La velocità di propagazione v (uguale a 4r / Tb per i due pendoli, vedi Equazione 7.20) è legata alla lunghezza d’onda λ da v=
L
Q
La pulsazione ω dell’onda (uguale a ω b per i due pendoli) è legata al periodo T e alla frequenza ν da ω
x
7.25
La fase iniziale ϕ è una grandezza adimensionale che dipende dalla scelta dell’origine dell’asse dei tempi. Va presa in considerazione quando si combinano due o più onde. Quando si tratta una sola onda, si assume solitamente una fase iniziale ϕ = 0.
7.4 La corda vibrante Trattiamo ora in modo qualitativo il caso di una corda vibrante, il quale fornisce un altro esempio di fenomeno che può essere descritto in termini sia di onde sia di modi
L’onda che arriva a un estremo fisso viene riflessa e inizia a propagarsi nella direzione opposta con uno spostamento di segno opposto; si formano due treni d’onda, che si propagano in direzioni opposte, si riflettono agli estremi e tornano poi uno verso l’altro: nella figura si mostra la corda a tempi successivi t 0, t 1, t 2, t 3. Lo spostamento s dall’equilibrio del generico dipenderà sia dall’ascissa sia dal tempo: s( x, t ). La velocità di propagazione potrebbe essere calcolata, nell’approssimazione elastica, applicando la legge di Newton a un trattino di corda e un procedimento abbastanza simile a quello utilizzato per il sistema dei due pendoli. Si trova che la velocità di propagazione v dipende solo dalla tensione f T e dalla densità lineare ρ l: v=
f T
ρ l
7.26
Come per la pulsazione di una oscillazione, la velocità di propagazione è data dalla radice quadrata di un rapporto
Modi di vibrazione e onde 129 tra un termine che descrive la forza di richiamo ( ∝ f T) e uno che descrive le proprietà d’inerzia del sistema ( ∝ M ). Per analogia con il caso dei due pendoli, ci si aspetta che lo spostamento dall’equilibrio s( x, t ) sia espresso come somma di funzioni sinusoidali del tempo e dell’ascissa del tipo 2πt 2π x − T λ
cos
7.27a
+ ϕ +
per le onde che si propagano nel senso delle ascisse crescenti (verso destra) e 2πt 2π x cos + + ϕ − T
7.27b
λ
per quelle che si propagano nel verso opposto (vedi Equazione 7.23). Il fatto che, nella corda fissata ai due estremi, ci siano onde che vanno nelle due direzioni suggerisce di cercare l’espressione dello spostamento s( x, t ) come sovrapposizione di coppie di onde di uguale ampiezza, periodo e lunghezza d’onda, una che si propaga in un verso e l’altra in quello opposto. s( x , t ) ∝
2πt 2π x 2πt 2π x + + ϕ − + cos − + ϕ + T T λ λ
∝ cos
s( x , t ) ∝
2π x λ
∝ cos
+
ϕ−
− ϕ +
2
2π t ϕ − + ϕ + + cos T 2
7.28
Questa equazione rappresenta un’onda stazionaria, così detta perché il moto del punto è una funzione sinusoidale del tempo la cui ampiezza ∝
2π x cos λ
+
ϕ−
− ϕ +
2
7.29
dipende solo dalla coordinata x, ma non dal tempo. La dizione “onda stazionaria” non è a rigore corretta perché l’energia trasferita è sempre nulla in quanto l’onda da destra porta la stessa quantità di energia di quella da sinistra. Si può dire che nell’onda stazionaria l’energia è localizzata: è massima nei punti, detti ventri o antinodi, dove la 7.29 vale 1, mentre è nulla nei nodi, dove l’ampiezza si annulla. Nel caso della corda, le ampiezze 7.29 non possono
essere funzioni sinusoidali qualunque dell’ascissa x in quanto nei punti O( x = 0) e Q( x = L), dove la corda è vincolata, spostamento e ampiezza sono sempre nulli. Questo comporta (vedi 7.28) ϕ − − ϕ + =0 cos 2 2π L ϕ − − ϕ + cos + λ 2
π ϕ − − ϕ + =± 2 2 ⇒ π L 2 sin =0 =0 λ
Deve perciò valere la seguente relazione tra lunghezza d’onda λ e lunghezza della corda L: 2π L
=
λ
nπ ⇒ λ =
2 L n
con n intero ≥ 1
7.30
L’equazione 7.30 esprime “una condizione al contorno ”, ossia il vincolo spaziale a cui l’onda stazionaria deve sottostare per “adattarsi” al sistema limitato costituito dalla corda. Un’onda stazionaria che soddisfi tale condizione si chiama anche modo proprio del sistema. Svolge infatti un ruolo analogo a quello svolto dal modo normale di vibrazione, dove però la grandezza caratteristica è ora una lunghezza (λ ) anziché una pulsazione. Nella corda elastica la velocità di propagazione è una costante data dalla 7.26. Dalle 7.24 e 7.25 segue che vi è un semplice legame tra lunghezza d’onda e frequenza ν di oscillazione: ν =
1 T
=
v
7.31
λ
Perciò la condizione al contorno 7.30 implica che ogni onda stazionaria abbia una sua lunghezza d’onda caratteristica appartenente a un insieme discreto: λ1
=
2 L, λ 2
=
L, λ 3
=
2 L , ..., λ n 3
=
2L
n
ma anche una corrispondente frequenza caratteristica: ν1
=
v ,ν 2 L 2
=
v L
, ν3
=
3v , ..., ν n 2L
=
nv
2 L
L’onda stazionaria che si ha per n = 1 si chiama modo fondamentale o prima armonica. Per n = 2 si ha la seconda armonica , con frequenza doppia rispetto alla fondamentale e lunghezza d’onda pari alla metà, e così via.
130
Capitolo 7 λ 1 /2
O
Q λ 2
λ 3 λ 4
punto della corda (sistema a una dimensione); mentre ce ne vogliono due per un gong (sistema a due dimensioni). È abbastanza facile trovare i modi propri di un sistema elastico monodimensionale, ma ci sono voluti grandi matematici per risolvere il problema (bidimensionale) del tamburo! Indipendentemente dalla sua natura (trasversale o longitudinale) o dimensionalità, un’onda è un trasferimento di energia. Per analizzare questo aspetto consideriamo la propagazione di un’onda in sistemi “infiniti”, dove non dobbiamo considerare onde riflesse, condizioni al contorno od onde stazionarie. A
La vibrazione complessiva sarà descritta come sovrapposizione degli spostamenti dovuti a più armoniche. Il miscuglio di questi modi dipende da come la corda viene “pizzicata”; toccando la corda al centro creiamo un ventre in questa posizione e ci aspettiamo di eccitare di preferenza il modo fondamentale, la terza armonica, la quinta armonica, ... e tutti i modi con n dispari. Un modo stazionario va considerato come un modo di vibrazione, ossia una oscillazione collettiva, più che una “onda”. A questa oscillazione si può associare una energia caratteristica che dipenderà dal quadrato dell’ampiezza massima e dal quadrato della frequenza (vedi 6.16). Perciò, a parità di energia e di velocità, i modi hanno ampiezza tanto più piccola quanto più grande è la loro frequenza.
7.5 Onde trasversali e longitudinali: intensità di un’onda La vibrazione di una corda è un esempio di onda trasversale, così detta perché lo spostamento dall’equilibrio avviene in direzione perpendicolare a quella di propaga zione dell’onda. Onde trasversali si hanno anche in un
gong, sulla membrana di un tamburo e su una superficie d’acqua increspata. Il caso dei due pendoli accoppiati da molla, discusso in precedenza, e la propagazione del suono nell’aria costituiscono invece esempi di onde longitudinali in cui l’oscillazione materiale (dei pendoli o delle masse d’aria) avviene nella stessa direzione di propagazione. La dimensionalità di un sistema può essere definita come il numero delle coordinate necessarie a individuarne un punto . Basta una coordinata per individuare un
B
v
Supponiamo di far oscillare sinusoidalmente un estremo di una corda infinitamente lunga. L’energia che abbiamo impartito in un piccolo intervallo di tempo ∆t si troverà dopo 1 s attorno a un punto distante circa v × (1 s) dall’estremo. Si chiama intensità dell’onda nella corda l’energia che passa attraverso una sua sezione nell’unità di tempo, pari all’energia istantaneamente presente in un
tratto di corda oscillante di lunghezza pari a v × (1 s). Se la corda è un sistema elastico ideale, l’energia che passa nell’unità di tempo per le sezioni A e B della figura deve essere, in media, numericamente uguale alla potenza media erogata dalla sorgente ( principio di conservazione dell’energia). Con il propagarsi dell’oscillazione in questo sistema monodimensionale, punti sempre più lontani dalla sorgente iniziano a oscillare con una ampiezza che, idealmente, è uguale a quella dei punti più vicini alla sorgente. Si dice che l’onda si propaga senza attenuazione, ossia senza ridurre la sua ampiezza man mano che si allontana dalla sorgente. Le guide d’onda sono sostanzialmente dispositivi monodimensionali in cui l’onda si può propagare con una modestissima attenuazione. Sono guide d’onda i tubi per l’interfono usati nelle navi e anche le grandi correnti oceaniche che permettono ai suoni di propagarsi per centinaia di chilometri. Quando si getta un sasso nello stagno, l’energia è inizialmente concentrata nel sollevamento dell’acqua attorno al punto di impatto (o centro dell’onda): allontanandosi dal centro, l’increspatura si riduce perché l’energia è distribuita su un “fronte d’onda” circolare la cui estensione aumenta proporzionalmente al raggio. Se s(r ) è l’altezza massima dell’increspatura a distanza r dal centro e se l’energia complessiva è la stessa sui diversi fronti d’onda, per l’onda piana (a due dimensioni) nello stagno
Modi di vibrazione e onde 131 abbiamo E tot
∝ 2π rs
2
( r ) = cost ⇒ s( r ) ∝
1 r
7.32
Per un’onda sferica, quale il suono che si propaga all’aperto, l’energia è distribuita sulla superficie di una sfera e si ha (in tre dimensioni) E tot
∝ 4π r
1 2 2 s ( r ) ⇒ s( r ) ∝ r
7.33
La stessa legge di attenuazione 7.33 vale per un’onda che, come il suono da un altoparlante, si propaga solo in un limitato angolo solido; al raddoppiare della distanza dalla sorgente la densità di energia dell’onda si riduce a un quarto e, corrispondentemente, l’ampiezza dell’onda si dimezza. Per onde che si propagano nello spazio si definisce come intensità dell’onda in un punto la quantità di energia che transita nell’unità di tempo attraverso una unità di superficie attorno al punto la cui normale è paral-
lela alla direzione di propagazione dell’onda. Tale intensità si misura in
nale, γ ≈ 1.4 per l’aria. Questa relazione indica che, a parità di pressione, il suono si propaga più velocemente in un gas leggero (elio) che in uno pesante (neon). Poiché a parità di temperatura e di composizione dell’aria la pressione e la densità di un gas ideale sono proporzionali (vedi Capitolo 9), ci si aspetta che la velocità del suono sia quasi uguale in alta montagna e sul livello del mare. In aria secca a 0 °C e alla pressione atmosferica ( con-dizioni normali) la velocità del suono è vs = 331 m/s ≈ 1100 km/h A 20 °C la velocità del suono è leggermente maggiore, e vale circa 340 m/s. Il suono si propaga anche in liquidi e solidi con una velocità proporzionale alla radice quadrata dell’inverso della compressibilità di questi mezzi (vedi Esercizio R7.2). L’intensità sonora nell’aria è proporzionale al quadrato della fluttuazione di pressione (ampiezza del suono) e alla velocità v s. A una frequenza di circa 3000 Hz, il 5% delle persone normali riesce a percepire un suono che al padiglione auricolare presenta una intensità I 0
J
W = 2 2 s m m
L’intensità di un’onda, prodotta da una sorgente puntiforme, propagandosi nello spazio diminuisce almeno come l’inverso del quadrato della distanza. 7.5.1 Suono e intensità sonora
Quello che normalmente percepiamo come suono è una fluttuazione della pressione dell’aria sui timpani dell’orecchio prodotta da un’onda longitudinale che può arrivare a noi attraversando svariati mezzi materiali. In molti casi, l’unico mezzo interposto tra sorgente dell’onda e timpano è l’aria dell’atmosfera, nella quale l’oscillazione di pressione si propaga con una velocità v s che, qualitativamente, è data γ p ρ a
−12
W/m2
a cui corrisponde una fluttuazione di pressione di ampiezza
[ I ] =
vs ≈
= 10
7.34
è la compressibilità dove ρ a è la densità dell’aria e 1/ γ p adiabatica dell’aria, inversamente proporzionale alla sua pressione p (vedi Capitolo 9) e a una costante adimensio-
∆ p0 ≈
2(10 −5 ) Pa
e che viene assunta come livello di riferimento per le misure di intensità sonora. Modificando la tensione dei muscoli della membrana timpanica e della catena degli ossicini, l’orecchio riesce a tollerare senza conseguenze suoni fino a oltre 1 W/m 2, ossia mille miliardi di volte più intensi di I 0. Per rappresentare questo enorme intervallo di intensità si usa una scala logaritmica introdotta da un fisiologo, Alexander Graham Bell, che nel secolo scorso fondò la compagnia americana dei telefoni (AT&T). Un suono di intensità I si esprime in decibel, o dB, come segue: I I 0
I (dB) = 10 Log
7.35
ossia, il valore in decibel di una intensità sonora I è dieci volte il logaritmo in base dieci del rapporto tra I e l’intensità di riferimento I 0. Per la 7.35, la soglia di udibilità I 0 ha una intensità di 0 dB; il suono comincia a essere doloroso oltre i 120 dB; il
Capitolo 7
132
rumore del traffico cittadino è tipicamente di 70 dB, mentre l’intensità sonora media in un concerto da camera è di 80 dB, cioè raggiunge l’ascoltatore con una potenza dieci volte superiore al rumore del traffico. I regolatori di volume negli amplificatori audio sono di tipo logaritmico per rispettare il modo di funzionamento del nostro orecchio, che si adatta all’intensità sonora media e percepisce i cambi relativi rispetto a questa intensità più che il valore assoluto di una intensità. Suoni con frequenze al disotto dei 20 Hz e al disopra dei 20 kHz non sono percepiti dall’orecchio umano, anche se di intensità superiore ai 100 dB; perciò la strumentazione ad “alta fedeltà” (HiFi) copre solo l’intervallo di frequenze 20 Hz ÷ 20 kHz. La scala dei dB
_________________________
Gli strumenti musicali ___________________
Molti strumenti musicali sono tubi d’aria aperti a un estremo: poiché la vibrazione dell’aria deve essere nulla all’estremo chiuso ( x = 0) e massima a quello aperto ( x = L), l’oscillazione stazionaria di pressione ∆ p( x, t ) sarà del tipo (vedi 7.28) ∆ p( x ,
potenza della distorsione potenza del segnale
10 Log
= 10 Log
=
2 AD AS2
= 20 Log
1 1000
20 Log
AD
2π x λ
2π t + ϕ T
cos
λ
=
π
2
7.36
+ nπ
n = 0 ⇒ λ = 4 L
n = 1 ⇒ λ =
=
0
AS
= −60 dB
A W A 10 Log S = 10 Log S2 = 20 Log S 2
AR
4 L 3
n = 2 ⇒ λ =
=
Il valore in dB di un segnale S rispetto a un riferimento R è pari a 20 volte il logaritmo decimale del rapporto tra le ampiezze AS / AR:
W R
∝ sin
Questa forma soddisfa la condizione al contorno per l’estremo chiuso in quanto, per x = 0 , la funzione seno, e l’oscillazione, sono nulle. Per x = L, l’oscillazione è massima e la funzione seno deve valere ±1, ossia 2π L
Il dB (pronunciato “di-bi”) è usato, oltre che in acustica, in spettroscopia, telecomunicazioni e ingegneria elettrica, ma di solito esprime il rapporto di potenza tra due segnali dove quello di riferimento non è definito una volta per tutte come per il decibel sonoro; in tali casi il dB è una scala logaritmica di intensità relative e non di intensità assolute. Se per esempio un amplificatore ha una distorsione di −60 dB vuole all’incirca dire che il suo segnale d’uscita S è diverso per una parte su mille dal segnale d’uscita ideale. Infatti, le potenze sia del segnale sia della distorsione sono proporzionali al quadrato delle loro ampiezze ( AS e AD):
t )
AR
L
4 L 5
x
In questo caso, la frequenza fondamentale si ha per n = 0 e corrisponde a una lunghezza d’onda pari a quattro volte la lunghezza L del tubo. La seconda armonica ha frequenza tripla, la terza quintupla, e così via, rispetto alla frequenza fondamentale. Il tubo “accetta” solo multipli dispari della frequenza fondamentale. Un ruolo importante nella musica viene svolto dalle “casse di risonanza”, camere chiuse o semichiuse in cui l’aria tende a vibrare secondo una serie di frequenze fondamentali e loro armoniche ( frequenze proprie ). Il suono prodotto da una corda vibrante a una delle frequenze proprie della cassa genera in questa un sistema di onde stazionarie che persiste anche quando la corda cessa di vi-
Modi di vibrazione e onde 133 brare o cambia frequenza. Esaltando i suoni prossimi alle proprie frequenze, la cassa del violino, per esempio, determina il “timbro“ dello strumento, cioè i rapporti, per ogni nota, tra intensità sonore delle armoniche superiori e della oscillazione fondamentale. La determinazione delle frequenze proprie di una cassa è un problema complicato perché non vi è una sola direzione e lunghezza di propagazione, come nel caso della corda e del tubo. Inoltre la superficie della camera può riflettere o assorbire in modi diversi le diverse frequenze, e le stesse pareti possono avere frequenze proprie di vibrazione nell’intervallo acustico che influenzano la persistenza e l’amplificazione dei vari modi delle corde. Per questo un violino Stradivari non è imitabile, perché non si conoscono i trattamenti superficiali applicati dal maestro liutaio cremonese alle casse dei suoi violini.
7.6 Onde e moti relativi
λ A
=
λ
( v s + v p )T = ( v s + v P ) v0 s
λ B
=
(vs
−
)
v p T = ( v s
3
4
A λ A
5
=
vs λA
P1 ... P5
B
vP
λ B
vP
+
vs
−
λ vP ) 0 vs
= λ 0
vs
−
vP
vs
vs
1 v λ 0 1+ P vs
=
= ν 0
vs vs + v P
7.37a
mentre quella in B è ν B
=
vs λB
=
vs
1 v λ 0 1− P vs
= ν 0
vs vs
−
vP
7.37b
Poiché l’intensità sonora è proporzionale al quadrato della frequenza, l’osservatore in A sente un suono più acuto e, a parità di distanza dalla sorgente, più intenso di quello in B. Quando la sorgente è in prossimità di B, questo osservatore sente l’intensità crescere molto rapidamente, perché l’ampiezza di un’onda sferica è inversamente proporzionale alla distanza della sorgente. Lo spostamento di frequenza è rilevabile con precisione facendo “battere” l’onda ricevuta in A (o B) con una a frequenza uguale a quella della sorgente, ν 0; quando vp /vs << 1, le 7.37 danno come frequenza dei battimenti
∆ν ≈ ν 0
λ 0
vs
Poiché l’onda sonora arriva con la stessa velocità v s sia all’osservatore A sia a quello B (immobili rispetto all’aria), la frequenza avvertita in A è
∆ν = ν 0 − ν 0
2
= λ 0
mentre in B questa distanza è
ν A
Il suono è una fluttuazione di pressione che può avvenire anche nell’aria in movimento; menestrelli e innamorati spesso affidavano al vento i loro sospiri per farli arrivare più rapidamente e con maggior intensità alla persona amata, presumibilmente collocata sottovento. Infatti, l’espressione della velocità del suono vale in un riferimento in cui il mezzo (per esempio l’aria) è in quiete; se l’aria si sposta dalla sorgente verso l’ascoltatore, questo “vedrà” un fronte d’onda avvicinarsi con velocità superiore a quella tipica di propagazione nel mezzo. Poiché l’intensità sonora percepita è proporzionale alla velocità di propagazione relativa all’ascoltatore, questo sentirà un suono più intenso, e in anticipo rispetto a una persona in moto nel senso dello spostamento dell’aria. Trattiamo ora il caso di una sorgente sonora P che si muove con velocità costante vP da sinistra verso destra, in un riferimento dove l’aria e i due osservatori A e B della figura stanno fermi. Sia la velocità del suono vs = 340 m/s > vP, T = 1/ ν0 il suo periodo e λ 0 = vsT la lunghezza d’onda quando v P = 0. 1
Rappresentiamo la situazione dei fronti d’onda 1, 2, 3, 4 e 5 generati, a intervalli di tempo pari a un periodo T , quando la sorgente si trovava nei punti P 1, P2, P3, P4 e P5. Il primo fronte d’onda ha centro in P 1, il secondo in P2 e così via. I fronti d’onda successivi che arrivano all’osservatore A sono separati da una distanza
vP vs
vs vs
±
vP
= ν0
per v P
vP vs ± vP
<<
vs
7.38
7.6.1 Effetto Doppler Lo spostamento di frequenza dovuto al moto relativo tra
Capitolo 7
134
sorgente e osservatore è detto effetto Doppler. Tale effetto è utilizzato anche in diagnostica medica per stimare la velocità del sangue nei vasi maggiori. Si usano in questo caso ultrasuoni, tipicamente a frequenze di alcuni milioni di hertz, che vengono inviati su una arteria, approssimativamente nella direzione del moto del sangue.
la frequenza ν '0 della sorgente in moto: νA
= ν0
vs vs
+
vP
⋅
vs
−
vP
vs
≈ ν 0 1 −
2v P v s
7.40
dove l’ultima espressione vale per velocità v P piccole rispetto a quella del suono.
vs 7.6.2 Bang supersonico A
Quando la sorgente sonora è in moto con velocità (v P) minore di quella del suono (v s), non vi sono punti in comune tra fronti d’onda successivi, in quanto un fronte d’onda è interno alla circonferenza che descrive il fronte d’onda precedente. La situazione è diversa quando vP > vs, come nel caso dell’aereo supersonico rappresentato in figura.
vP
Supponiamo che lo stimolo ultrasonoro, con periodo T = 1/ν0, si stia propagando, con velocità v s, quasi nella stessa direzione e verso di un globulo rosso, che ha velocità vP. Perché un nuovo fronte d’onda raggiunga il globulo rosso occorre un tempo T + t che si può determinare mediante il seguente diagramma: vst
P1
P2
P3
P4 P5 v P α
vs
90°
v st = v P (T + t ) vPT
vPt
da cui t
=
T
vP ⇒ vs − v P
⇒T +t
=
T 1 +
T v s vP = v s − v P v s − v P
Il globulo rosso che si allontana dalla sorgente ultrasonora “rileva” perciò una frequenza ν '0 =
1 T
+
t
=
vs
−
vP
T v s
= ν 0
vs − v P vs
7.39
ed emette un’onda riflessa alla stessa frequenza. Per il rivelatore fisso A l’onda riflessa è quella generata da una sorgente che si sta allontanando con velocità v P e la frequenza rilevata è data dalla 7.37a in cui a ν 0 va sostituita
Le onde sferiche emesse dall’aereo negli istanti t 1, t 2, ... , t 5 quando si trovava nei punti P 1, P2, ... , P5 sono tangenti alla superficie di un cono con vertice nella posizione istantanea della sorgente e semiangolo di apertura α con vs /vP = sin−1α . Il fronte d’onda sonoro è una superficie conica che l’aereo si trascina dietro come un paracadute senza fine. Quando questo fronte raggiunge l’uomo questo sente un “bang” proveniente da una direzione del cielo a 90° rispetto a quella dove in quel momento l’aereo è visibile. Il fenomeno disturba perché non si ha il tempo, come nel caso del rombo di un’auto che aumenta gradualmente mentre questa si avvicina, di ridurre appropriatamente l’amplificazione dell’orecchio. La sensazione sonora è perciò violenta, dolorosa e capace di danneggiare gli organi dell’udito; causa anche le incontrollabili reazioni fisiologiche che si hanno di fronte ai pericoli.
Modi di vibrazione e onde 135
Riassunto Ci si è avvicinati al concetto di onda meccanica in modo graduale, discutendo le oscillazioni collettive di oscillatori accoppiati ( modi normali) e spiegando il fenomeno dei battimenti in due pendoli collegati da una molla. Tale fenomeno può essere interpretato come dovuto alla sovrapposizione dei due modi normali del sistema, oppure come un’onda, ossia come un trasferimento di energia da un pendolo all’altro. La relazione tra gli spostamenti di punti interessati da un fenomeno ondoso è espressa da una fun zione d’onda che ha come argomento tempo
±
distanza velocità
Quando la funzione è una sinusoide, l’onda è caratterizzata da una lunghezza d’onda e un periodo, il rapporto dei quali dà la velocità di propagazione. In un sistema limitato, come una corda tesa tra due punti o l’aria in un tubo, si crea il fenomeno delle onde stazionarie. Anche se si tratta in realtà di “modi di vibrazione” od oscillazioni collettive, le onde stazionarie possono pensarsi create dalla interferenza di due onde eguali che si propagano in senso opposto. Tra lunghezza d’onda dell’onda stazionaria e dimensioni del sistema vi deve essere una relazione che consenta alle due onde di arrivare
con la stessa fase in alcuni punti ( ventri) e con fasi opposte in altri punti (nodi). Il sistema limitato “seleziona” un insieme discreto di lunghezze d’onda che, nel caso di corda e tubi, sono scelte tra i sottomultipli interi di due o quattro volte la lunghezza del sistema. Corrispondentemente, le frequenze consentite sono la frequenza fondamentale ( prima armonica) e i suoi multipli (armoniche superiori). Questi sistemi “non rispondono” a frequenze diverse dalle proprie armoniche. I concetti di vibrazione e modi propri sono alla base della costruzione degli strumenti musicali e, opportunamente adattati, delle spettroscopie che studiano gli atomi e i loro legami chimici. Un’onda meccanica si propaga in un mezzo materiale con una velocità caratteristica relativa al mezzo: se la sorgente dell’onda o l’osservatore sono in moto relativamente al mezzo in cui l’onda si propaga, si osserverà una frequenza diversa da quella che si avrebbe in assenza di moto relativo di sorgente e osservatore. Per il calcolo degli spostamenti di frequenza di un’onda associati ai moti relativi è utile rappresentare l’andamento dei fronti d’onda (ossia delle regioni dove l’oscillazione ha spostamento massimo) a un dato istante. In questo modo, si può dare una semplice interpretazione geometrica sia per l’effetto Doppler (velocità relative di sorgente e osservatore minori della velocità di propagazione dell’onda) sia per il bang supersonico (velocità delle sorgenti maggiore di quella del suono).
ESERCIZI RISOLTI ______________________________________________________________
Esercizio R7.1
Se nella molecola di CO2 i nuclei degli atomi di ossigeno e di carbonio fossero allineati sulla stessa retta (O−C−O), le frequenze dei due modi normali di vibrazione longitudinali starebbero tra di loro nel rapporto di circa (si assuma mC = 12 uma, mO = 16 uma) (A) 1.1 (B) 1.5 (C) 2 (D) 2.5 (E) 4
Soluzione
Vi sono tre modi normali di vibrazione longitudinali: il primo corrisponde alla traslazione del baricentro (ossia dei tre atomi simultaneamente) e, non essendovi forze di ri chiamo esterne alla molecola, ha frequenza nulla. Il secondo (II) e il terzo (III) modo sono caratterizzati da uno spostamento nullo del baricentro. Per la posizione simmetrica dei due atomi di ossigeno nella molecola O−C−O, l’ampiezza del loro spostamento rispetto al baricentro deve essere uguale nei due modi. Quando i due atomi di ossigeno si spostano in versi opposti, ovvero in opposizione di fase, il carbonio rimane fermo (parte sinistra della figura). Quando i due atomi di ossigeno si spostano nello stesso senso, ovvero in fase (parte destra della figura), il carbonio si deve spostare nel verso opposto in modo da mantenere fisso il baricentro del sistema. Nel modo II si ha δ x1 = −δ x3 e il carbonio è fermo. Indicata con k la costante elastica del legame C−O, l’equazione di Newton per un ossigeno (per esempio quello di sinistra) è
136
Capitolo 7 d 2 δ x1 mO 2 dt
= − kδx1
⇒ ω II
k
=
mO
modo II O
modo III
C
x1
O
O x3
x2
x1
δ x3
δ x1
δ x1
O
C x2
x3
δ x2
δ x3
Nel modo III, poiché i due ossigeni sono in fase e il baricentro è fisso, si ha δ x1 = δ x 3 mO δx1 + mO δx 3
+
mC δ x 2
=
0
⇒ δ x 2
=−
2mO mC
δ x1
Dall’equazione di Newton per l’ossigeno di sinistra mO
2 d δ x1 2 dt
= − kδx1 + kδx2 = −kδx1 − k
2mO
δ x1 mC
= −k
2mO + mC mC
δ x1
si ricava ω III
=
k
2mO
+
mC
mO mC
Il rapporto delle frequenze è perciò ω III ω II Esercizio R7.2
2mO2
+
mO mC mO mC
=
=
2mO mC
+1 =
32 +1 ≈2 12
Per un aumento di pressione ∆ p il volume V di un solido (o di un liquido) cambia di ∆V = −
1 B
V∆p
E7.1
dove 1/ B è la compressibilità misurata in 1/Pa. Il suono è un’onda di compressione che in un solido (o liquido) di densità ρ si propaga con velocità v=
B
ρ
E7.2
Se un aumento di pressione di 100 000 Pa ( ≈ 1 atmosfera) riduce un litro d’acqua di 50 mm 3, la velocità di propagazione del suono nell’acqua è di circa (in m/s) (A) 340 (B) 1090 (C) 1410 (D) 2100 (E) 7500 Soluzione
L’inverso della compressibilità e la velocità del suono per l’acqua valgono
Modi di vibrazione e onde 137
B = −
Esercizio R7.3
V ∆V
∆ p =
10 − 3 50(10
−9
)
10
5
=2
(10 ) Pa 9
v=
B
ρ
=
2(10 9 ) 10 3
≈ 1410
m/s
Con riferimento al problema R7.2, se la velocità del suono nell’acciaio è di 5900 m/s, di quanto si riduce, all’incirca, il volume di una palla di acciaio di 1 m 3 e pesante 7800 kg, quando va dalla superficie al fondo di un lago profondo 100 m? (A) 28 litri (B) 3.6 cm3 (C) 28 ppm (D) 0.0098% (E) 4500 mm3
Soluzione
Conoscendo la velocità del suono e la densità dell’acciaio (7800 kg/m 3), dall’equazione E7.2 si ottiene il reciproco della compressibilità dell’acciaio B = v 2 ρ = 5900 2
× 7800 ≈ 2 .72 (10
11
) Pa
Poiché la pressione esercitata da una colonna di h = 100 m d’acqua è ∆ p = ρ acqua gh =
103 × 9.8 × 100 = 9.8 × 105 Pa
la riduzione di volume è (vedi E7.1) 9.8(1 0 5 ) −6 ) m 3 = 3.6 cm 3 ∆V = = ≈ 3.6(10 11 VB 1 × 2.72 (10 ) ∆ p
(Risposta B)
Il risultato si può esprimere anche in mm3 (3600), in parti per milione (3.6 ppm), oppure in % (0.00036%). Esercizio R7.4
Un’onda sinusoidale si propaga lungo una corda posta lungo l’asse x. Lo spostamento s dei punti della corda è descritto dalla equazione seguente, dove s e x sono espressi in metri e il tempo t in secondi: s( x , t )
=
0.05 sin[50π ( t − x / 300 )]
Tra le seguenti affermazioni è errata solamente (A) l’ampiezza picco-a-picco dell’oscillazione è di 10 cm (B) la frequenza dell’oscillazione è di 50 Hz (C) la lunghezza d’onda è di 12 m (D) la velocità dell’onda è di 300 m/s (E) l’onda si sta propagando nel verso positivo dell’asse x Soluzione
L’equazione dell’onda può simbolicamente essere scritta in una delle seguenti forme
s( x , t ) = s0 sin 2πν t
−
x x x = s0 sin 2π νt − = s0 sin ωt − 2π
v
λ
λ
Il confronto con l’espressione data mostra che l’ampiezza è s0 = 0.05 m; perciò l’ampiezza picco-a-picco, pari alla differenza tra massimo spostamento positivo e negativo, è 2s0 = 10 cm. La frequenza è 2 ν = 50 Hz ossia ν = 25 Hz (perciò la risposta errata è la B). La velocità è il numero che divide x nell’espressione data (v = 300 m/s) e la lunghezza d’onda è λ = v/ ν =300/25 = 12 m/s. L’onda si propaga nella direzione positiva dell’asse x poiché quando la x viene aumentata occorre aumentare anche t affinché l’argomento della funzione seno rimanga uguale a quello iniziale.
138
Capitolo 7 Esercizio R7.5
Una corda di contrabbasso lunga L = 100 cm ha due frequenze armoniche adiacenti, una a 176 Hz e l’altra a 220 Hz. La velocità di propagazione del suono nella corda è di (A) 176 m/s (B) 88 m/s (C) 110 m/s (D) 220 m/s (E) 440 m/s
Soluzione
I due estremi della corda sono due nodi e il legame tra lunghezza della corda e frequenze armoniche è (vedi Equazione 7.31 e seguito) ν n
=
v λ n
=
v 2 L
=
nv
2 L
n
Si ha perciò v v 176 = n 2 L 44 = 2 L ⇒ ⇒ v = 44 × 2 L = 88 m/s v 176 220 = ( n + 1) n = =4 2 L 44 Esercizio R7.6
Un diapason vibra a 440 Hz sopra un contenitore cilindrico alto H = 1 m e con sezione di 100 cm2. Si riempie progressivamente il cilindro con acqua versata dall’alto e si prende nota di quanti litri occorrano perché il suono del diapason venga debolmente rinforzato dalla risonanza con l’aria sovrastante l’acqua nel cilindro.
L
H
h
Se la velocità del suono nell’aria è 340 m/s e la posizione del ventre dell’onda stazionaria coincide con l’orlo superiore del cilindro ci si aspetterebbe di udire la prima risonanza dopo aver versato una quantità d’acqua pari a litri (A) 8.07 (B) 4.20 (C) 3.52 (D) 0.68 (E) 0.34 Soluzione
Le onde stazionarie nel cilindro hanno un nodo alla superficie dell’acqua e un ventre sull’orlo. Tra lunghezza d’onda del suono λ = v/ ν ≈ 0.773 m e altezza della colonna d’aria nel cilindro L = H − h vi deve essere la relazione L = ( 2n − 1)
λ
4
. m , L (2 ) ≈ 0.580 m, L (3 ) ≈ 0 .966 m, L (4 ) ≈ 1352 . m ⇒ L(1) ≈ 0193
Il cilindro può perciò risuonare fino alla terza armonica, quando ha una quantità di acqua corrispondente a una altezza h = H − L(3) = 0.034 m, ossia 0.34 litri (risposta E). Esercizio R7.7
Un tecnico registra da terra il fischio di un treno mentre il convoglio ferroviario gli passa vicino e determina che la frequenza del fischio è di 220 Hz quando il treno si sta avvicinando e di 180 Hz quando si allontana. Sapendo che la velocità del suono nell’aria è v s = 340 m/s,
Modi di vibrazione e onde 139 egli calcola che la velocità v t del treno è pari a circa (A) 28 m/s (B) 14.7 m/s (C) 22.3 m/s (D) 9.8 m/s (E) 34 m/s Soluzione
Se ν 0 è la frequenza del fischio del treno fermo, ν + quella del treno che si avvicina e ν − quella del treno che si allontana, si ha ν + ν −
=
vs
ν 0
=
220 Hz
ν vs − v t ⇒ + vs ν − = ν 0 = 180 Hz
=
vs + v t
vs + v t vs − v t
220 −1 220 ⇒ v t = v s 180 = ≈ 34 m/s 220 180 +1 180
Si ricava anche che la frequenza ν 0 del fischio è di circa 198 Hz. Esercizio R7.8
Un medico rileva una differenza di frequenza massima di 5 kHz, rispetto alla frequenza ν 0 = 4 MHz della sorgente ultrasonora, quando dirige la sonda verso una grande arteria. Sapendo che il suono nei tessuti si propaga con v s = 1400 m/s, la velocità massima del sangue nell’arteria è (in m/s) (A) 1.05 (B) 2.15 (C) 0.667 (D) 0.875 (E) 0.211
Soluzione
La massima differenza di frequenza rilevata ∆ν si ha quando il sangue si muove nella direzione dell’onda trasmessa e si ricava dalla 7.40, dove v P può avere segno sia positivo sia negativo. Perciò ∆ν = ν 0 − ν A =
⇒ vP Esercizio R7.9
≈
vs
∆ν 0
2ν 0
ν0
− ν0
= 1400
vs vs
vP + vP −
= ν0
5 × 10 3 2 × 4 × 10 6
=
2v P vs + vP
≈ ν0
2v P ⇒ vs
m/s 0875 .
Due aerei da caccia A e B volano in orizzontale a due volte la velocità del suono (vA = vB = 2vs) mantenendosi l’uno sulla verticale dell’altro. A è a 3000 m da terra e B a 1000 m. Se un osservatore a terra e sulla verticale delle rotte registra per B un bang supersonico di 90 dB, qual è l’intensità in dB del bang supersonico prodotto da A? A
vA=2vs vs 3 km
B 30° 1 km A'
B'
O
(A) 71 (B) 80.5 (C) 95 (D) 99 (E) 45 Soluzione
La costruzione geometrica del fronte supersonico suggerisce che l’intensità sonora I lungo il cono decresce con il quadrato della distanza dal vertice. Perciò:
140
Capitolo 7
I A : (3000)−2 = I B : (1000)−2 ⇒ I A I I A (dB) = 10 Log A I 0 = 10 Log
Esercizio R7.10
=
I B
9
1 I B ⋅ 9 I 0
= 10 Log
I B 1 + 10 Log 9 I 0
=
= −9.54 + 90 = 80.46
dB
Con riferimento all’esercizio R7.9, dopo quanto tempo dal primo bang l’osservatore sente il secondo? (A) 3.33 s (B) 1.54 s (C) 9.80 s (D) 5.09 s (E) 5.88 s
Soluzione
Il tempo da quando l’aereo B alla quota |OB| è sulla verticale di un osservatore a quando questo viene raggiunto dal suono è
t B
=
OB' vA
=
OB v A tan 30°
dove vA = vB. Una simile espressione vale per t A e tA
−
t B
=
OA' − OB' vA
=
AB 2000 = ≈ 5.09s v A tan 30° 680 × 0.577
ESERCIZI PROPOSTI ____________________________________________________________
Esercizio 7.1
Quando nella molecola di HF ( mH ≈ 1 uma, mF ≈ 19 uma) l’idrogeno viene sostituito da un deuterio ( mD ≈ 2 uma) la frequenza vibrazionale della molecola diminuisce percentualmente di circa (A) 55% (B) 36.3% (C) 31% (D) 29.3% (E) 27.5%
Esercizio 7.2
Se la velocità del suono nell’aria è di 340 m/s, la lunghezza d’onda della massima frequenza udibile, ν max = 20 000 Hz, è di (A) 58.8 m (B) 7.78 m (C) 9.8 cm (D) 1.7 cm (E) 17 m
Esercizio 7.3
Un accordatore di piani vuole portare la frequenza fondamentale di una nota da 400 Hz a 420 Hz. All’incirca, di quanto deve cambiare percentualmente la tensione T della corda corrispondente (+ ⇒ aumento, − ⇒ diminuzione)? (A) +5% (B) +10% (C) +20% (D) −20% (E) −10%
Esercizio 7.4
Facendo oscillare a 200 Hz un estremo di una fune tesa da 3 kg, si vede propagare un perturbazione con lunghezza d’onda di 25 cm. Il peso di 1 m di fune è pari a circa
Modi di vibrazione e onde 141 (A) 0.59 kg (B) 0.075 kg (C) 60 g (D) 16.7 g (E) 12 g Esercizio 7.5
La figura rappresenta una “istantanea” di un tratto di corda nella quale un’onda sinusoidale si propaga verso sinistra alla velocità di 400 m/s. s [cm]
10 0 −10
0
20
40 x [m]
Se x è espresso in metri e t in secondi l’equazione dell’onda è
(A) s( x, t ) = 10 sin125.6t −
(B) s( x , t ) = 10 cos 40π t −
π x cm 10 x
400
cm
x t + cm 0.05 20
(C) s( x , t ) = 10 cos 2π
(D) s( x, t ) = 20 cos π 40t +
x
10
cm
x t + cm 0.025 20
(E) s( x , t ) = 10 cos 2π
Esercizio 7.6
In condizioni normali, la compressibilità adiabatica dell’aria 1/ B e la velocità del suono vs valgono circa
1 B
≈
1 141.8 (10 3 ) Pa
vs
≈
340 m/s
La densità dell’aria in condizioni normali è pari a circa (in kg/m 3) (A) 0.98 (B) 1.23 (C) 41.8 (D) 4.72 (E) 417 Esercizio 7.7
Raddoppiando la pressione dell’aria la velocità del suono (A) raddoppia (B) si dimezza (C) diminuisce del ≈ 41% (D) aumenta del ≈ 41% (E) rimane la stessa
Esercizio 7.8
La frequenza fondamentale di risonanza di una barra di metallo lunga L = 1 m è di 2 kHz, quando questa è ancorata nel punto di mezzo. La seconda armonica della barra, quando questa viene vincolata a un estremo, ha frequenza (A) 1 kKz (B) 2 kHz (C) 3 kHz (D) 4 kHz (E) non determinabile
142
Capitolo 7 Esercizio 7.9
Una locomotiva ha un fischio con ν 0 = 120 Hz. Determinare il rapporto tra frequenza del fischio quando il treno si avvicina a 100 km/h e quando si allontana alla stessa velocità, sapendo che vs ≈ 340 m/s. (A) 1.18 (B) 1.01 (C) 1.33 (D) 1.56 (E) non determinabile
Esercizio 7.10
Una sovrapressione atmosferica in un punto dell’Oceano Pacifico genera un “ingorgo”, ossia un’onda che si propaga in tutte le direzioni dal centro della depressione e, a 100 km da questo, è alto 2 m. In assenza di fenomeni dissipativi ci si attende che l’altezza si sia ridotta alla metà a una distanza dal centro pari a circa (A) 140 km (B) 200 km (C) 280 km (D) 400 km (E) 1000 km
