CONTENIDO: GRAVITACIÓN MOVIMIENTO OSCILATORIO MOVIMIENTO ONDULATORIO MECÁNICA DE FLUIDOS TEMPERATURA DILATACIÓN Y CALOR
AUTOR:
MSc. RICARDO ROMERO LOAIZA
UNA - PUNO 2015 1
INDICE PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA GRAVITACIÓN Pág. 1.1 GRAVITACIÓN 1.2 LEY DE LA GRAVITACIÓN GRAVITACI ÓN UNIVERSAL DE NEWTON 1.3 MIDIENDO LA MASA DE LA TIERRA: EL EXPERIMENTO EXPERIMENTO DE GAVENDISH 1.4 MASA Y PESO 1.5 INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (g) 1.5.1 ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD LA SUPERFICIE DE UN PLANETA 1.5.2 ACELERACIÓN ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD GRAVEDAD A UNA ALTURA “H” DE LA SUPERFICIE DEL PLANETA (g). 1.5.3 VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA 1.5.4 VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA TIERRA 1.5.5 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIO 1.5.6 LA GRAVEDAD COMO FUERZA FUNDAMENTAL 1.6 LEYES DE KEPLER 1.6.1 PRIMERA LEY: (Ley de las orbitas) 1.6.2 SEGUNDA LEY: (Ley de las áreas) 1.6.3 TERCERA LEY: (Ley delos periodos) 1.7 VELOCIDAD DE ESCAPE PROBLEMAS APLICATIVOS
1 1 1 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 8 8 13
SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA MOVIMIENTO OSCILATORIO 2.1 ELASTICIDAD ELASTICI DAD Y LE DE HOOKE 2.1.1 TENSIÓN Y COMPRESIÓN COMPRESIÓN 2.1.2 DEFORMACIÓN 2.1.3 ESFUERZO O FATIGA 2.1.4 LEY DE HOOKE 2.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2.3 CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MAS 2.4 ENERGÍA DEL OSCILADOR 2.5 ASOCIACIÓN DE RESORTES 2.6 PÉNDULO SIMPLE Y PÉDULO FÍSICO 2.7 OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO AMORTIGUA DO Y FORZADO 2.7.1 OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO 2.7.2 OSCILACIONES FORZADAS PROBLEMAS APLICATIVOS
15 15 16 16 17 19 20 24 25 27 31 31 32 39
TERCERA UNIDAD DIDÁCTICA MOVIMIENTO ONDULATORIO 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
ONDAS MECÁNICAS ONDAS VIAJERAS MOVIMENTO ONDULATORIO ARMÓNICO ONDAS TRANSVERSALES TRANSVERSALES ONDAS ESTACIONARIAS EXPLICACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS ESTACIONARI AS EN UNA CUERDA ONDAS LONGITUDINALES LONGITUDI NALES EN UNA BARRA ELÁSTICA ONDAS TRANSVERSALES TRANSVERSA LES EN UNA BARRA ONDAS LONGITUDINALES LONGITUDI NALES EN UN FLUIDO
43 46 47 49 50 51 52 54 55 2
3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17
ENERGÍA TRANSPORTADA TRANSPORTADA POR UN MOVIMIENTO ONDULATORIO ARMÓNICO ONDAS LONGITUDINALES LONGITUDINALES ARMÓNICAS DEL SONIDO ESPECTRO ACÚSTICO INTENSIDAD DEL SONIDO NIVEL DE INTENSIDAD SONORA CONTAMINACÍÓN CONTAMINACÍ ÓN ACÚSTICA Y CALIDAD DE VIDA APLICACIONES DE LOS ÚLTRAZONIDOS EFECTO DOPPLER EN ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS ELECTROMAGNÉT ICAS PROBLEMAS APLICATIVOS
59 60 62 62 63 64 65 65 66
CUARTA UNIDAD DIDÁCTICA MECÁNICA DE FLUIDOS 4.1 DEFINICIÓN DEL FLUIDO 4.2 DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO 4.3 PRESIÓN DE FLUIDOS Y VARIACIÓN DE PRESIÓN 4.4 PRESIÓN BAROMÉTRICA Y MANOMÉTRICA 4.5 EQUILIBRIO DE LOS LIQUIDOS NO MISCIBLES EN TUBOE EN “U” 4.6 PRINCIPIO DE PASCAL 4.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 4.8 FLOTACIÓN DE CUERPOS 4.9 DINÁMICA DE FLUIDOS 4.10 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 4.11 ECUACIÓN DE BERNOULLI 4.12 VISCOCIDAD PROBLEMAS APLICATIVOS
69 69 71 73 78 78 80 82 85 86 87 94 96
QUINTA UNIDAD DIDÁCTICA TEMPERATURA, DILATACIÓN Y CALOR 5.1 CONCEPTO DE TEMPERATURA 5.2 ESCALAS DE TEMPERATURA 5.3 CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECÍFICO 5.4 DETERMINACIÓN DETERMINACIÓ N DE CALOR ESPECÍFICO ESPECÍFI CO DE UN LÍQUIDO Y SÓLIDO 5.5 EQUIVALENTE EQUIVALENT E MECÁNICO DE CALOR 5.6 CAMBIOS DE ESTADO 5.7 EVAPORACIÓN EVAPORACIÓ N 5.8 DILATACIÓN DILATACIÓ N 5.9 FUNDAMENTOS BÁSICOS DE TRANSFERENCIA TRANSFERENCI A DE CALOR 5.10 ABSORCIÓN DE LA RADIACIÓN SOLAR PROBLEMAS APLICATIVOS
96 97 98 99 102 103 105 109 112 122 127
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PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA GRAVITACIÓN, ELASTICIDAD, FLUIDOS Y DENSIDAD. que significa pesado. Gravedad viene del latín "gravis" que La gravitación es la fuerza de atracción mutua que experimentan los cuerpos por el hecho de tener una masa determinada. La existencia de dicha fuerza fue establecida por el matemático y físico inglés Isaac Newton en el siglo XVII, quien, además, desarrolló para su formulación el llamado cálculo de fluxiones (lo que en la actualidad se conoce como cálculo integral). La interacción gravitatoria es la responsable de los movimientos a gran escala en todo el Universo y hace, por ejemplo, que los planetas los planetas del Sistema del Sistema Solar sigan órbitas sigan órbitas predeterminadas alrededor del Sol. del Sol. Isaac Newton fue la primera persona en darse cuenta de que la fuerza que hace que los objetos caigan con aceleración constante en la Tierra la Tierra y la fuerza que mantiene en movimiento en movimiento los planetas y las estrellas las estrellas es la misma, y a él se debe la primera teoría general de la gravitación, expuesta en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
1.1
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON
La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia la distancia que las separa: F12 = - G
m1m2 r 2
r12
ˆ
Siendo r 12 el vector unitario que va de la partícula 1 a la 2, y donde G es la Constante la Constante de gravitación universal, siendo su valor 6,67 × 10-11 Nm²/kg² ˆ
1.2 MIDIENDO LA MASA DE LA TIERRA: EL EXPERIMENTO DE CAVENDISH En 1797 y 1798, Henry Cavendish confirmó la teoría de Newton y determinó la constante de la proporcionalidad en la Ley de Gravedad Universal de Newton. Su ingenioso experimento, basado en el trabajo el trabajo de John Michell, tuvo éxito en los dos aspectos. Para alcanzar esto, Cavendish creó la "balanza de torsión," que consistía en dos masas a cada lado de una barra que estaba suspendida del techo con un delgado cable (ver Figura). La balanza de torsión, inventada por Michell y Cavendish para determinar la constante de la proporcionalidad en La Ley de Gravedad Universal de Newton.
Atado al cable, había un espejo sobre el cual se reflejaba un rayo de luz. de luz. Cavendish Cavendish puso una tercera masa cerca de una de las masas en la balanza de torsión. A medida que la tercera masa atraía una de las extremidades de la balanza de torsión, el aparato entero, incluido el espejo, rotaba ligeramente y el rayo de luz de luz se desviaba. A través de cuidadosas medidas del desvío angular del rayo de luz, Cavendish era capaz de determinar la magnitud con la que la masa conocida atraía la masa nueva. Cavendish no sólo confirmó la teoría de Newton, sino que también determinó el valor de la constante gravitacional con una exactitud de aproximadamente 1%.
4
G = 6.67×10-11 Nm
2
Kg 2
Cavendish se refirió a su investigación como “Midiendo la masa de la tierra.” Ya que él había determinado el valor
de G, podía realizar simples cálculos para determinar la masa de la tierra. De acuerdo a la Segunda Ley de Newton, la fuerza la fuerza entre un objeto y la tierra es igual al producto al producto de la aceleración (g) y la masa del objeto (m): F = mg
A principios de los años 1600, Galileo determinó que la aceleración de todos los objetos cerca de la superficie de la tierra, como g = 9.8 m/s2. Por consiguiente, poniendo esta ecuación igual a la Ley de la Gravitación Universal de Newton ya descrita, Cavendish encontró:
F mg
Gmm E r E 2
Donde m es la masa del objeto, mE es la masa de la tierra, y r E es el radio de la tierra. Resolviendo, la masa de la tierra tiene el siguiente resultado: mE =
g.r E2 G
=
(9.8 (9.8m m/s2 )(6. )(6.38 38×1 ×10 06 m)2 -11
2
6.67×10 Nm /Kg
2
mE =5.98×1024Kg
Cavendish determinó la masa de la tierra con gran exactitud. También podemos usar esta relación para calcular la fuerza de atracción entre dos personas en extremos opuestos de un cuarto. Para hacer esto, simplemente necesitamos usar la Ley de Gravedad Universal de Newton con la constante gravitacional de Cavendish. Asuma que dos personas tienen un peso de 75 y 100 kilogramos, respectivamente, y que están separadas por cinco metros. La fuerza La fuerza de gravedad entre ello es: F=
F=
Gm1m 2 r 2
(6.6 (6.67 7×10-11Nm 2 /Kg /Kg 2 )(7 )(75Kg 5Kg)(1 )(100Kg 0Kg) (5m)2
F=2.00× .00×1 10-8 N
A pesar de que es pequeña ¡es una fuerza!
1.3 MASA Y PESO La masa de un cuerpo es una propiedad característica del mismo, que está relacionada con el número y clase de las partículas que lo forman. Se mide en kilogramos (kg) y también en gramos, toneladas, libras, onzas, etc. El peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra y depende de la masa del mismo. Se mide en Newtons (N) y también en kg-fuerza, dinas, libras-fuerza, etc. Si modelamos la tierra como un cuerpo esférico simétrico con radio R E y masa m E , el peso w de un cuerpo pequeño de masa m en la superficie (a una distancia R E del centro) es:
w F g
Gm E m , (Peso de un cuerpo de masa m en la superficie de la tierra) R E 2
DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO Si a una persona cualquiera le preguntaran cuánto pesa, seguramente diría, yo peso 60 kg. Si le preguntaran cuanto pesaría en la Luna, y dicha persona supiera que la gravedad lunar es seis veces menor que la terrestre, contestaría sin dudar, pesaría 10 kg. Y si le preguntaran por la fuerza de empuje de los motores de un determinado avión, y
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supiera la respuesta, diría que la fuerza de empuje es de 20 toneladas (por ejemplo). Y sin embargo, estas respuestas son incorrectas. No por las cifras, sino por las unidades. En la definición de masa mencionamos que los kilogramos, las toneladas y demás múltiplos y submúltiplos (gramos, miligramos, etc.) son unidades de masa, no de peso. ¿Y no es lo mismo? Pues no, ya que el peso es una fuerza, concretamente la fuerza con la que un objeto es atraído por la gravedad, y por tanto se mide en unidades de fuerza. La fuerza y la masa están relacionadas mediante la Segunda Ley de Newton. De hecho, una definición muy habitual de fuerza es la de todo aquello capaz de ejercer una aceleración sobre cuerpo, y matemáticamente se expresa como el producto entre la masa del cuerpo y la aceleración producida: F ma ; por tanto el peso w mg .
MASA Cantidad de materia que posee un objeto.
Mide la tendencia que tienen los objetos a conservar su estado de movimiento o de reposo. Se mide con la balanza.
Su unidad en el S.I. es el Kg. Es una magnitud escalar.
PESO Es la fuerza con que la Tierra interacciona con los objetos.
Depende del lugar en el que está situado el objeto.
Se mide con el dinamómetro o sensor de fuerza.
Su unidad en el S.I. es el N.
Es una magnitud vectorial.
1.4 INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (g) Es la aceleración que produce una masa generatriz (M) sobre una masa prueba (m) en virtud a la fuerza de atracción gravitacional. También es llamada aceleración de la gravedad.
g: aceleración de “m” debido a la atracción gravitacional de “M”.
De la segunda ley de Newton:
F ma
F mg
GMm mg r 2
g=
GM r 2
Observe que “g” es independiente de “m”, por eso se dice que en la caída libre de los cuerpos caen con la misma
aceleración.
1.4.1
ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA SUPERFICIE DE UN PLANETA ( g s )
g s
GM R 2
6
1.4.2
ACELERACIÓ N DE LA GRAVEDAD A UNA ALTURA “H” DE LA SUPERFICIE DEL PLANETA (g)
g
GM ( R H ) 2
1.4.3
VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA Dividiendo las dos fórmulas anteriores: 2 g R2 R g g s g s ( R H ) 2 R H
1.4.4
VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA TIERRA El punto P está en el interior de la esfera de radio R . (r
La aceleración de la gravedad g aumenta aumenta linealmente de 0 a GM/R 2 , en el interior de una distribución esférica y uniforme de masa M y radio R . En el exterior de dicha distribución, la aceleración de la gravedad disminuye en proporción inversa al cuadrado de la distancia al centro de dicha distribución GM/r 2 En la figura, se muestra la gráfica del módulo de la aceleración de la gravedad g en en función del cociente r/R para para el planeta Tierra, G=6.67·10-11 R =6.37·10 Nm2/kg2, =6.37·106 m, 24 =5.98·10 kg. La aceleración M =5.98·10 de la gravedad en la superficie de la Tierra vale g =9.83 =9.83 m/s2 La gravedad es máxima en la superficie. Tiende a disminuir al alejarse del planeta, por aumentar la distancia r entre entre las masas implicadas. Sin embargo, también disminuye al adentrarse en el interior de la Tierra, ya que cada vez una porción mayor de planeta queda por "encima", y cada vez es menos la masa que queda por "debajo". En el centro de la Tierra, hay una enorme presión por el peso de todo el planeta, pero la gravedad es nula. La gravedad en el centro de la tierra es "nula", porque se equiparan todas las fuerzas de atracción. Pero sí que existe la fuerza gravitacional.
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Así mismo, aumenta con la la latitud debido a dos efectos: el achatamiento de la Tierra en los polos hace que la distancia r se se reduzca a medida que la latitud aumenta, y la rotación terrestre genera una aceleración una aceleración centrífuga que es máxima en la Línea la Línea ecuatorial y nula en los polos. Los valores de g en en el ecuador y en los polos son respectivamente: gec = 9,7303 m/s² gpolo = 9,8322 m/s² Antiguamente se creía que los cuerpos más densos caían con mayor aceleración, pero Galileo y, después, Isaac Newton se encargaron de demostrar lo contrario. Un experimento realizado en una cámara de vacío demuestra que todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración, independientemente de su masa.
1.4.5 ENERGÍA POTENCIAL DE UN CAMPO GRAVITATORIO La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es conservativa, es decir, que cumpla con alguna de las siguientes propiedades: El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido. El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo. Cuando el rotor el rotor de F es cero. Vamos a intentar calcular el trabajo W que se realiza para llevar la masa m del punto A al B dentro del campo gravitatorio. B
B
B
W AB A F dr A FdrCos180 A Fdr r
r B Mm Mm 1B W AB G 2 dr G 2 ddrr GMm A r A r r r r A B
1 1 W AB GMm r A r B Sabemos que W = - ΔU = UA - UB UA - UB = -G.M.m.(1/r A - 1/r B). Es la variación de la U que ha sufrido el cuerpo cuando ha pasado del punto A al B Para obtener la U relativa a un punto del campo hay que fijar un sistema de referencia que asigne 0 al valor de la U. Se elige el ∞. Si llevo B al infinito r B = ∞ ® 1/r B = 0
UA= -GMm/r A Trabajo que hay que realizar para llevar la masa desde A al ∞ y al revés (desde ∞ al punto A). También expresa la U de la masa m en el punto A. W > 0 si: La masa se desplaza por acción de las fuerzas del campo gravitatorio La masa m disminuye su energía potencial gravitatoria Se acercan dos masas W < 0 si: La masa m se desplaza por acción de una fuerza exterior al campo gravitatorio La masa m aumenta su energía potencial gravitatoria Se separan dos masas
1.4.6 LA GRAVEDAD COMO FUERZA FUNDAMENTAL La gravedad es una de las cuatro fuerzas cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza, junto al electromagnetismo, al electromagnetismo, la la interacción interacción nuclear fuerte y la interacción la interacción nuclear débil.
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La gravedad es una fuerza de atracción que una porción de de materia ejerce sobre otra, y afecta a todos los cuerpos. Su intensidad es mínima entre las partículas que intervienen en los procesos atómicos, pero es esencial a gran escala porque su alcance es infinito, aunque decrece de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, según la ley de Newton. Su importancia reside en que siempre es atractiva y, por tanto, se acumula, aumentando con el número de partículas en juego. De este modo, la gravitación es la fuerza preponderante a escala macroscópica, a pesar de que se trata de la más débil de todas las interacciones. Es la responsable de la atracción universal entre los cuerpos, de la cohesión de los astros (planetas, estrellas, satélites...) y regula sus movimientos. Podemos afirmar que es la fuerza que mantiene el orden y el equilibrio en el universo y la que provoca, al mismo tiempo, la colisión entre galaxias vecinas y la creación de nuevas estrellas.
Físico Cuestiona la existencia de la Gravedad. http://creationrevolution.com/2011/01/physicist Publicado el 17 de enero de 2011 Por Brian Thomas, M.S., por el Institute for Creation Research
1.5 LEYES DE KEPLER Cuando Nicolás Copérnico desechó la platónica idea de que "la Tierra es el centro y los demás astros orbitan a su alrededor", todavía, durante bastantes años, se mantuvo la platónica idea de que las órbitas planetarias alrededor del Sol habrían de ser exactamente circulares. Johannes Kepler tardó largos años en superar tal falacia, pero, cuando lo logró, formuló tres leyes del movimiento planetario que representaron uno de los grandes logros de la Ciencia. Johannes Kepler, fue un astrónomo alemán (Württemberg, 1571-Ratisbona, 1630), trabajó con datos cuidadosamente recogidos por Tycho Brahe sin la ayuda de un telescopio. Partidario de la teoría heliocéntrica de Copérnico, Kepler en principio supuso que las órbitas planetarias eran perfectamente circulares, y se propuso perfeccionar el sistema de Copérnico ayudándose de las observaciones de Marte que había hecho, durante más de 20 años el danés Tycho Brahe (1546-1601), así como en sus propias observaciones. Durante varios años realizó prolijos cálculos sobre la manera de obtener parámetros de las orbitas planetarias, hasta llegar al convencimiento de que había de desecharse la idea de que fueran circulares. En resumen, descubrió tres hechos fundamentales en el movimiento planetario alrededor del Sol que podrían describirse de la manera que se expone a continuación.
1.5.1 PRIMERA LEY: (Ley de las orbitas) Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol. Kepler obtuvo esta ley de forma empírica, mediante observación de los movimientos aparentes de los planetas. Es válida, pues para objetos de gran tamaño orbitando alrededor del Sol siguiendo órbitas cerradas: planetas, asteroides, etc.., pero si se tiene en cuenta el movimiento general de los cuerpos celestes habría que enunciar esta primera ley kepleriana de la siguiente manera: Bajo la fuerza de atracción gravitacional de un objeto astronómico el movimiento de otro objeto a su alrededor sigue una trayectoria cónica (círculo, elipse, parábola, hipérbola).
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En la figura se representa con color amarillo la posición del sol en el foco de la elipse. El planeta está representado por un punto azul y su trayectoria es la elipse.
Perihelio: Es la distancia más cercana al sol, se produce cuando el ángulo de la figura es de cero grados. Afelio: Es la distancia más lejana entre el sol y el planeta se produce cuando el ángulo de la figura es de ciento ochenta grado. Velocidad Areolar: El área barrida por el radio vector por unidad de tiempo. Excentricidad (Fuera del centro): La excentricidad se denota con e. la excentricidad de una elipse se puede definir como la proporción entre las medidas de la distancia entre focos respecto al eje mayor de la elipse. La excentricidad es cero para un círculo. En las orbitas planetarias, solo Plutón tiene una excentricidad grande.
Ra a(1 e) , R p a(1 e) Ejemplo: Excentricidad de elipses
1.5.2
SEGUNDA LEY: (Ley de las áreas)
El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley empírica descubierta por Kepler, surge de la conservación del momento angular . Cuando el planeta está más cerca del Sol, se mueve más rápido, barriendo, la misma área sobre un camino más largo en un determinado tempo.
Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P 1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P 3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?. Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal.
DEMOSTRACIÓN: Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del afelio y perihelio. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:
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Calculemos el área de las zonas celestes (dA) como si fuesen triángulos: dAa área del afelio
r a radio del afelio va velocidad en el afelio
dAa
1 2
ra ds
ds dAa dt
como v dAa dt
1 2
ra va dt
ra va 2
En el caso del perigeo procederemos del mismo modo: dA p Área del perihelio
r p Radio del perihelio v p Velocidad en el perihelio
dA p
1 2
como v
rp ds ds dA p dt
1 2
rp v p dt
dA p rp v p 2 dt Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol. Por definición: M r F Entonces el momento será (modularmente): M rFsen Siendo el ángulo que forma r y F (0°) Por tanto, M=0. El momento también puede escribirse de la siguiente forma;
dL dt Como M 0 L cte.
M
Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como: L r p p) L mrv cos(r ^ p) Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el afelio será igual al del perihelio:
L cte La Lp mra va mrp v p ra va rp v p Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perihelio es igual a la velocidad areolar en el afelio:
dA p rp v p rava dAa dt dt 2 2
Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:
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El área (dA): 1
rv dt
2
2
dA r ds
Como L mrv rv Entonces:
dA rv dt 2
L m
dA L dt 2m
Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.
1.5.3 TERCERA LEY: (Ley de los Periodos) Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.
T 2 r a3 T 2
4 2
GM
ra3 T 2 Kra3 , ó T 2 Kr 3
T: Con esta letra se designa el periodo que es el tiempo que un planeta tarda en recorrer una órbita, por ejemplo en el caso de la Tierra es de aproximadamente 365 días. M: Masas solares.
r: Es la distancia entre el sol y el planeta. planeta. Suponiendo un movimiento aproximadamente circular, la velocidad circular de un objeto que se desplaza alrededor del sol seria: w
2
T
ac w r 2
4 2
r T 2 Siendo T el periodo de traslación. Para que se equilibre con la fuerza de la gravitación, ha de ser: ( M m) 4 2 rm ( M m) 2 mw r G m G m r2 T2 r 2 r3 G 2 2 cte T ( M m) 4 y la aceleración centrífuga vendría dada por:
Si en lugar de considerar el movimiento circular, lo suponemos elíptico, la expresión anterior sería la misma, solo que r representaría al semieje mayor de la elipse. Supongamos, entonces, dos objetos de masas m1 y m2, que se mueven orbitando en trayectoria elíptica alrededor del sol, de masa M. Se tendrían: r13 G r 23 G ; T12 ( M m1 ) 4 2 T22 ( M m2 ) 4 2 Por lo que, igualando y ordenando: r13 r23 T22 ( M m2 ) r23 T12 ( M m1 ) T22 ( M m2 ) T12 ( M m1 ) r13 Esta es ya la tercera ley de Kepler de forma general, y si hacemos la aproximación de que la masa del objeto que orbita es despreciable en comparación con la del Sol, se obtiene exactamente la expresión deducida por Kepler:
T22 T12
r 23 r 13
12
Ejemplo: En la siguiente tabla se muestran las distancias de los planetas al Sol (medidas en Unidades Astronómicas) y su período (medido en años terrestres). Una Unidad Astronómica es la distancia media de la Tierra al Sol y vale aproximadamente 150,000,000 Km
Cuando se generaliza la tercera ley de Kepler se escribe T 2 Kr 3 , donde k es una constante de proporcionalidad (constante de Kepler) que depende de la masa del astro central. Para el Sistema Solar K 3 1019 s 2 / m3 r coincide con el valor del s e m i e j e m a y o r para órbitas elípticas.
Ejemplo: La Tierra orbita alrededor del Sol con un periodo de 365,25 días. Calcular la distancia media entre la Tierra y el Sol. Partimos de la tercera ley de Kepler: T 2 Kr 3 y Datos: despejamos la incógnita (r): La constante de Kepler para el Sistema Solar vale: K 3 1019 s 2 / m3
1.6 VELOCIDAD DE ESCAPE La velocidad de escape, es la velocidad mínima con la que debe lanzarse el cuerpo para que escape de la atracción gravitatoria de la Tierra o de cualquier otro astro. Esto significa que el cuerpo o proyectil o proyectil no volverá a caer sobre la Tierra o astro de partida, quedando en reposo a una distancia suficientemente grande (en principio, infinita) de la Tierra o del astro. La velocidad de escape es aplicable tan solo a objetos que dependan únicamente de su impulso inicial (proyectiles) para vencer la atracción gravitatoria; obviamente, no es aplicable a los cohetes, lanzaderas espaciales u otros artefactos con propulsión propia. La velocidad de escape depende de la forma del potencial del potencial gravitatorio en que se encuentra el proyectil, por lo que el planteamiento sería ligeramente distinto si el punto de partida está situado en el interior o en el exterior del astro. En el exterior del astro, sobre la superficie de éste, la velocidad de escape depende solamente de la altura del punto de lanzamiento, si se desprecian las fuerzas de fricción en la atmósfera, si la hubiere (como es el caso de la Tierra). La velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es 11.2 km/s, lo que equivale a 40320 km/h. La velocidad de escape no depende de la masa del proyectil; tampoco depende de la dirección del lanzamiento, como se verá luego en su deducción en términos puramente energéticos Para calcular la velocidad de escape, se usan las siguientes fórmulas relacionadas con la energía cinética y potencial: Mm 1 Ec mv2 EP G r 2 El principio El principio de conservación de la energía, al energía, al que imponemos la condición de que el objeto se aleje hasta una dista stancia cia in infini inita ( ) y quede en en repos poso, no nos pe permite es escribir: ir: Mm 1 0 mve2 G R 2
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De modo que: ve
2GM
R
2 gR
Dónde: ve es la velocidad de escape. G es la Constante la Constante de gravitación universal (6,672×10−11 N m2/kg2). M es la masa del astro. m es la masa del proyectil. R es el radio del astro. g es la intensidad la intensidad del campo gravitatorio en la superficie del astro. En la Tierra, g = 9.81 m/s2.
Ejemplo: Velocidad de escape desde la superficie de la Tierra: ve 2 gR Como g 9.81m / s 2 , R 6400 Km
ve 2(9.81m / s 2 )(6400Km) ve 11.2 Km / s Así, una lanzadera espacial que quiera escapar del campo gravitatorio debe tener la velocidad de escape que es aproximadamente de 11,2 Km/s. 1.
2.
PROBLEMAS RESUELTOS El peso de una persona en la supere terrestre es 72 kgf. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre, el peso de la persona será 8 kg-f?. Solución w1 72kgf , w2 8kgf mGM (1) w1 mg 1 R2 mGM (2) w2 mg 2 ( R x) 2
w1 ( R x)2 72 R x Dividiendo (1)/(2): w2 x2 8 x 2 x R 2x 6400Km x 3200 Km Calcule la gravedad a nivel del lago Titicaca. Solución 2 R Por definición: g g s R H Donde: g s 9.8 m / s 2 , a nivel del mar R 6400 Km y H 3809 msnm msnm
2
2
6400 103 9.788 m / s 2 g (9.8m / s ) 3 3 6400 10 3.809 10 g 9.788 m / s 2 2
3.
Hallar la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta desconocido. Suponga que la masa de la tierra es 64 veces más grande que la masa del planeta y que el radio de la tierra es el doble. Solución GM Por Definición: g 2 R 14
4.
GM (1) R 2 G(64M ) GM Para la Tierra: gT (2) g T 16 2 2 (2 R) R Remplazando (1) en (2): gT 16 g P (9.8m / s 2 ) 16 g P g P =0.6125 m / s 2 Para el Planeta: g p
Cuando un avión vuela horizontalmente, muy cerca de la superficie de la tierra, un cuerpo desprendido del techo del avión cae al piso de la nave en 4s. Pero cuando el avión vuela paralelamente a la superficie terrestre a una altura “H”, el cuerpo desprendido cae al piso del avión en 8s. Calcular la altura “H”.
Solución Para cuerpos desprendidos usamos Definición de caída libre: h
1 2
gt 2
(*)
h: altura pequeña del avión (distancia entre el techo y el piso del avión), Vuelo de la nave cerca de la superficie: 1 h= g 2
15
SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA MOVIMIENTO OSCILATORIO 2.1 INTRODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS Hasta ahora se han considerado los cuerpos como sólidos rígidos (que no se deforman al aplicarles fuerzas externas) pero esto es una idealización que no ocurre en los cuerpos reales que sí se deforman. Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas externas éste cambia de forma o de tamaño, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material. La Elasticidad estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a los cuerpos y las correspondientes deformaciones.
Cuerpo elástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos exteriores recuperan su forma o tamaño original.
Cuerpo inelástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos no retorna perfectamente a su estado inicial. Comportamiento plástico: Cuando las fuerzas aplicadas son grandes y al cesar estas fuerzas el cuerpo no retorna a su estado inicial (no recupera su forma original, parcialmente o totalmente) y tiene una deformación permanente. Los cuerpos reales pueden sufrir cambios de forma o de volumen (e incluso la ruptura) aunque la resultante de las fuerzas exteriores sea cero. La deformación de estructuras (estiramientos, acortamientos, flexiones, retorceduras, etc.) debido a la acción de fuerzas implica la aparición de esfuerzos que pueden llevar hasta la ruptura. En resumen: La Elasticidad estudia la relación entre las fuerzas y las deformaciones, sobre todo en los cuerpos elásticos. La deformación está íntimamente ligada a las fuerzas existentes entre los átomos o moléculas pero aquí se ignorará la naturaleza atómica o molecular de la materia considerando el cuerpo como un continuo y tendremos en cuenta las magnitudes medibles: fuerzas exteriores y deformaciones. Las fuerzas de masa están asociadas con el cuerpo considerado (afectan a todas las partes del mismo) y no son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos y entre ellas podemos citar las fuerzas gravitacionales, las de inercia, las magnéticas, etc. Se especifican en términos de fuerzas por unidad de volumen. Las componentes de la intensidad de estas fuerzas según los ejes coordenados, son Fx, Fy, Fz. Las fuerzas de superficie son debidas al contacto físico entre dos cuerpos. Si ampliamos el concepto podríamos incluir en dicho concepto las fuerzas que una superficie imaginaria dentro de un cuerpo ejerce sobre la superficie adyacente, lo que resulta muy práctico para establecer ecuaciones de equilibrio y otras.
Si un cuerpo, como el de la figura, está en equilibrio, si aislamos una de las partes en que el plano divide al cuerpo, por ejemplo la porción izquierda, para restituir el equilibrio debemos aplicar sobre la sección producida una distribución de fuerzas idéntica a la que la porción eliminada (la de la derecha) ejercía sobre la otra. O sea, las fuerzas de superficie P 1 y P 2, de la parte I, se mantienen en equilibrio con las fuerzas que la parte II del cuerpo ejerce sobre la parte I, fuerzas repartidas sobre toda la superficie del corte, de forma que cualquier área elemental está sometida a una fuerza . Por tanto, la fuerza “media” por unidad de área es F P media A 16
El esfuerzo (o tensión) en un punto se define como el valor límite de la fuerza por unidad de área, cuando ésta tiende a cero:
El esfuerzo en un elemento diferencial de área dA, es un vector en la misma dirección que el vector de fuerza dF. La fuerza dF, o lo que es lo mismo, el esfuerzo P, NO está dirigido según una dirección preestablecida, como puede ser la normal al plano de la superficie.
2.1.1 TENSIÓN Y COMPRESIÓN Los materiales sólidos responden a fuerzas externas como la tensión, la compresión, la torsión, la flexión o la cizalladora. Los materiales sólidos responden a dichas fuerzas con: Una deformación elástica (en la que el material vuelve a su tamaño y forma originales cuando se elimina la fuerza externa) Una deformación permanente Una fractura La tensión es una fuerza que estira; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre un cable que sostiene un peso. Cuando un material está sometido a tensión suele estirarse, y recupera su longitud original (deformación elástica), si esta fuerza no supera el límite elástico del material. Bajo tensiones mayores, el material no vuelve completamente a su situación original (deformación plástica), y cuando la fuerza es aún mayor, se produce la ruptura del material. “Si el sentido de las fuerzas es el de alejarse de la barra, es un estado de Tensión”
(Deformación por Tracción)
La compresión es una fuerza que prensa, esto tiende a causar una reducción de volumen. Si el material es rígido la deformación será mínima, siempre que la fuerza no supere sus límites; si esto pasa el material se doblaría y sobre él se produciría un esfuerzo de flexión. Si el material es plástico se produciría una deformación en la que los laterales se deformarían hacia los lados. “Si el sentido de las fuerzas es hacia la
barra, se dice que es un estado de Compresión”
(Deformación por Compresión)
La flexión es una fuerza en la que actúan simultáneamente fuerzas de tensión y compresión; por ejemplo, cuando se flexiona una varilla, uno de sus lados se estira y el otro se comprime. Si estas fuerzas no superan los límites de flexibilidad y compresión de del material este solo se deforma, si las supera su produce la ruptura del material.
17
La torsión es una fuerza que dobla el material, esto se produce cuando el material es girado hacia lados contrarios desde sus extremos. En este tipo de fuerza también actúan simultáneamente tensión y compresión. Si no se superan sus límites de flexión este se deformara en forma de espiral, si se superan el material sufrirá un ruptura.
La cizalladura es una fuerza que corta, esto se produce cuando el material presionado (en dos partes muy cercanas) por arriba y por abajo. En este tipo de fuerza también actúan simultáneamente tensión y compresión. Si esta fuerza no supera los límites de flexión y compresión del material este se deformara, si los supera la fuerza producirá un corte en este.
2.1.2 ESFUERZO NORMAL O FATIGA El esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de área (en la que se aplica) que causa la deformación.
Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la otra paralela a la superficie considerada. Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan normalmente como σ (sigma) y se denominan como esfuerzo de tracción o tensión cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado.
Esfuerzo Esfuerzo o fatiga
F Fuerza F , F A A area areade dela la sup erfi erfici cies esob obre rela laqu quea eact ctua ua A
El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) y representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel. Las unidades de los esfuerzos son las de fuerza dividida por área (las mismas que para la presión), pero el esfuerzo no es un vector sino un tensor. Las unidades que más se utilizan son: N/ m2, (S.I.); din/ cm2 (c.g.s.); Kp/m2, (s. Técnico); atmósfera técnica (Kp/cm2); atmósfera (atm); bar .
18
2.1.3 DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL LONGITUDIN AL Si sobre una barra de longitud l 0 le aplicamos una fuerza de tracción F en su propia dirección, y la barra sufre un alargamiento l , se define la deformación unitaria longitudinal como: var iacion de longitud Deformación unitaria longitudinal , longitud inicial l l f l 0 o, l l0 l 0 La deformación unitaria longitudinal es la variación relativa de longitud, por ende es adimensional. La relación entre la fuerza F y el alargamiento l viene dada por el coeficiente de rigidez K s :
F K s l El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su temperatura y presión y en algunos casos, de la dirección en la que se deforma (anisotropía).
2.1.4 LEY DE HOOKE Cuando estiramos (o comprimimos) un muelle, la fuerza recuperadora es directamente proporcional a la deformación x (al cambio de longitud x respecto de la posición de equilibrio) y de signo contraria a ésta. F Kx , Siendo K una constante de proporcionalidad, denominada constante elástica del muelle. El signo menos en la ecuación anterior se debe a que la fuerza recuperadora es opuesta a la deformación.
1
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza F se formula: E p ( x) kx2 c 2
La ley de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta que se alcanza el límite de proporcionalidad (ver figura).
LEY DE HOOKE: La cantidad de
estiramiento o de compresión (cambio de longitud), es directamente proporcional a la fuerza aplicada.
F=Kx
En las curvas esfuerzo - deformación de un material hay un tramo de comportamiento perfectamente elástico en el que la relación esfuerzo – deformación es lineal (punto A). De ahí hasta otro punto B (de límite elástico) el material sigue un comportamiento elástico (sigue habiendo una relación entre esfuerzo y deformación, aunque no es lineal, y si se retira el esfuerzo se recupera la longitud inicial). Si se sigue aumentando la carga (por encima del punto b hasta el punto B’ ), el material se deforma rápidamente y si se retira el esfuerzo no se recupera la longitud
19
inicial, quedando una deformación permanente y el cuerpo tiene un comportamiento plástico. Si se sigue aumentando la carga (por encima del punto B’), el material llega hasta un estado en el que se rompe (punto C). Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el límite elástico. Cuerpos dúctiles: Los que se siguen deformando al superar el límite elástico, siguiendo un comportamiento
plástico. Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas deformaciones.
EXPERIENCIA: EXPERIENCIA: LEY DE HOOKE Objetivo General: Estudiar experimentalmente el comportamiento de los resortes. Objetivos Específicos:
Calcular la constante elástica k de el resorte Verificar la existencia de fuerzas recuperadoras.
Equipo PASCO ME-9827
En el dispositivo, se lee en la regla la posición del indicador y se anota: 0mm (posición inicial del resorte) Se determina la longitud del resorte sin carga (5,7 cm), luego se inicia a colocar las pesas y se compara la variación del peso (g) con la variación de la longitud del resorte. Se colocó la 1º pesa en el gancho del resorte. Se volvió a leer en la regla. Anotando:…8mm…….. ¿Qué sucedió con la longitud del resorte?
El resorte se estiró hasta 65 mm, teniendo en cuenta que la longitud inicial de este era de 5,7 cm. Esto sucedió ya que al colocarle una pesa de 5,8g esta ejerció una fuerza hacia el centro de la Tierra y provocó el estiramiento del resorte.
Se Realizó este procedimiento ocho veces y los datos son anotados en la siguiente tabla:
Con los datos obtenidos se realizó un gráfico con el peso de las pesas (5,8g) en función de la longitud del resorte (mm).
20
Conclusión:
Para poder determinar el valor de la constante de proporcionalidad (K), Se halla el cociente entre el peso de las pesas y la longitud correspondiente, obtenida en cada medición. P Como: P KL K L Se comprueba que, en este resorte: K = 0,7505 g/mm, lo que significa que; por cada 0,7505 g de peso, la longitud del resorte varía 1 mm. Este valor se obtuvo promediando los valores parciales (P/L), ya que en cada medición están presentes las incertezas o errores debido a las imperfecciones de los instrumentos de medición utilizados (regla), a la elasticidad y tipo de material del resorte.
2.1.5 MÓDULO DE YOUNG
Si un material es sometido a tracción, es decir si el mismo es solicitado desde sus extremos en direcciones opuestas, de modo similar a como se ilustra en la figura, la longitud del mismo aumenta y eventualmente, si la fuerza es grande, el material puede romperse.
Veamos una muestra cilíndrica de material, de sección transversal S, y longitud inicial l 0 es sometida a tracción, mediante una fuerza F que actúa a lo largo de su eje, la misma sufrirá un estiramiento de magnitud l . Si l
l 0
1 , se encuentra experimentalmente que para un rango limitado de las fuerzas aplicadas, l es
proporcional a la fuerza aplicada (F), a su longitud original ( l 0 ) e inversamente proporcional al área de su sección transversal (S), es decir: F .l 0 l S Esta relación, la noto primero Robert Hooke (1635 – 1703), un contemporáneo y rival de Newton. Esta expresión fenomenológica, válida para una gran variedad de materiales, pero no de carácter universal (como leyes de Newton o la Ecuaciones de Maxwell), se puede escribir como:
21
L F E . A L0 Donde E es una constante característica del material que forma el objeto y que se denomina módulo de Young o módulo de elasticidad, al módulo de elasticidad también se los suele designar con la letra Y. Módulo de Elasticidad = esfuerzo necesario para producir una deformación unitaria, esfuerzo E Y deformacion deformacion unitaria Se consideran tres tipos de deformaciones y se definirá un módulo elástico para cada uno: 1. 2.
Módulo de Young. Mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud. Módulo de corte. Mide la resistencia de los planos de un sólido a moverse deslizándose uno sobre otro.
3.
Modulo volumétrico. Mide la resistencia que sólidos o líquidos presentan a los cambios en su volumen.
Tabla. Módulo de Young, límite de elasticidad y resistencia de algunos sólidos corrientes. Sustancia Aluminio Hueso: Tracción Compresión Ladrillo Cobre Vidrio Granito Hierro Forjado Mármol Poliestireno Cuarzo Acero Madera
Módulo de Young Limite elasticidad , rot 109 N / m2 107 N / m2 70 18 16 9 20 120 20 70 50 190 17 50 3 70 200 30 10
Resistencia a la tracción, Resistencia a la compresión 107 N / m2 107 N / m2 20 12 17 4 40 5
110 20
33 5
20 10
50 10
Ejemplo 2.1: ¿Cuánto se estira un alambre de acero de longitud L0 0.5 m y diámetro d 2 103 m al serle aplicada una tensión de 450 N? Solución El área de la sección transversal del alambre:
A Calculando esfuerzo:
d 2 4
2 103 m 4
2
106 m2
450 N T 143 106 N / m2 6 2 A 10 m De la tabla, Modulo de Young para acero (alambre): 200 109 N / m2 Calculando variación de la longitud del alambre: 0.5 m L T L 0 143 106 N / m2 35.75 105 m 0.357 103 m 11 2 E A 2 10 N / m L=0.357 mm
22
2.2 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Existen diversos tipos de movimiento, pero uno de los más importantes observados en la naturaleza es el movimiento oscilatorio o vibratorio. De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (M.A.S), debido a que además de ser más simple de escribir matemáticamente, constituye una aproximación muy cercana de muchos oscilaciones encontradas en la naturaleza. El estudio de los movimientos sísmicos tiene como base precisamente el M.A.S, la construcción de los puentes y edificios, tienen que estar prevenidos.
2.2.1 CONCEPTOS IMPORTANTES Para entender con mayor claridad el movimiento armónico simple daremos algunas definiciones previas: 1. MOVIMIENTO PERIODICO Un movimiento se dice que es periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor. Ejm. La Tierra alrededor del Sol. 2. MOVIMIENTO OSCILATORIO Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio, o se efectúa un movimiento de vaivén. Ejm. Un péndulo. 3. MOVIMIENTO VIBRATORIO : Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio y en cada vibración pasa por él. Las separaciones a ambos del centro se llaman amplitud y son iguales. Ej. una varilla que sujeta por un extremo a la que damos un impulso en el otro. La varilla vibra. 4. FUERZA DEFORMADORA ( F D ) Es Toda aquella fuerza que al actuar sobre un cuerpo, consigue deformarlo. En la practica todas las fuerzas al actuar sobre un cuerpo lo deforman y cuando la deformación se produce en la dirección en que se aplica la fuerza se cumple la LEY DE HOOKE, que establece lo siguiente: “La fuerza deformadora es directamente proporcional a la deformación”.
5. FUERZA RESTAURADORA ( F R ) Es aquella fuerza que actúa sobre un cuerpo y trata que este recrece a su posición de equilibrio
6. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M. A. S) Es aquel movimiento en el cual un cuerpo tiene movimiento periódico y oscilatorio, y además se mueve a través de una línea recta y se encuentra sometido a la acción de una fuerza recuperadora cuya magnitud es directamente proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario a dicho desplazamiento. ¿Cómo se origina el MAS?
23
Cuando separamos un resorte de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un M.A.S al soltarlo. La fuerza recuperadora de ese resorte, que varia según la distancia al centro, es la que genera una aceleración, proporcional también a la elongación, la cual le confiere ese movimiento de vaivén llamado M.A.S.
NOTA: Al soltar el cuerpo del posición D, acelerara y su velocidad aumentara conforme se acerque al punto de equilibrio; y a medida que el cuerpo se aleja del punto D, el valor de F disminuye, anulándose cuando llega al punto O. 7. AMPLITUD (A) Es la distancia existente entre la posición de equilibrio y cualquiera de las posiciones externas. 8. ELONGACION (x) Es la distancia existente entre la posición de equilibrio y el cuerpo en un instante cualquiera. Convencionalmente se le asigna el signo (+) si se encuentra a la derecha de la posición de equilibrio y (-) a la izquierda. 9. PERIODO (T) Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizar una oscilación completa. 10. FRECUENCIA ( f ) Es el número de oscilaciones completas que realiza un cuerpo en cada unidad de tiempo. La frecuencia es la inversa del periodo, se mide en Hertz (Hz) o s 1 ; f
1
T
f = ciclos/s; oscilaciones/s; s 1 o Hz.
11. PULSACION O FRECUENCIA ANGULAR ( ) ( t ) : Ángulo de fase que describe el estado de movimiento de la partícula, se mide en radianes.
2.3
2
T
2 f se mide en radianes/segundo.
CINEMATICA Y DINAMICA DEL MAS
2.3.1 CINEMATICA DEL MAS Veamos la interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento movimiento circular uniforme. En la figura siguiente, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje x, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular w igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale x = Acos(wt + φ0 ) El ángulo wt + φ0 que forma el vector rotatorio con el eje de las x se denomina fase del movimiento. El ángulo 0 que forma en el instante t=0 , se denomina fase inicial. El movimiento rectilíneo de m sobre el eje x se denomina movimiento armónico simple (MAS), entonces la posición del móvil que describe un MAS en función del tiempo viene dada por la ecuación 24
x = Acos(ωt + φ)
También la posición del móvil que describe un MAS, se representa por la ecuación x Asen Asen(t ) Derivando esta última ecuación con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil v Aw Aw cos(wt ) Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil a Aw2 sen( wt ) w2 x Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial d 2x w2 x 0 , w : Frecuencia angular o circular. 2 dt Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc. Puede comprobarse fácilmente que la solución de esta ecuación diferencial es:
x Asen Asen(wt ) o x A cos(t ) , también la suma. Discusión de las formulas: VELOCIDAD v Aw Aw cos(wt )
1 v wA , Cos (wt ) Cos 1 La mínima velocidad se presenta en los extremos del MAS (x = A) v 0 Velocidad es máxima, en el valor absoluto , vmax A , en el punto de equilibrio (x = 0). Expresión de la velocidad en función de la elongación, x: v A2 x 2 ACELERACION a A 2 sen(t ) 2 Asen(t ) 1 a 2 A , sen(t ) sen( ) 1
O a 2 x, x A.
25
La aceleración es mínima en el punto de equilibrio (x = 0) amin 0 Aceleración es máxima en valor absoluto amax 2 A , en los extremos del MAS (x = A)
En conclusión:
Debemos recordar que la velocidad tangencial y aceleración centrípeta es: También v wR, ac w2 R , ac w2 A , hacemos : R A
Condiciones iniciales Como: x Asen(wt ) La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial . Para t=0, x0 Asen v0 Aw0 cos En este sistema de ecuaciones se despeja A y a partir de los datos x0 y v0 Ejemplo 2.2: Sea un MAS de frecuencia angular 0 100 rad / s , sabiendo que la partícula parte de la posición x0 5 cm con velocidad inicial nula. v0 0 . Escriba la ecuación del movimiento. 0 100 rad / s Condición del problema: t 0 x0 5 cm v0 0 Por def. x Asen(0t 0 )
como sen(´0t 0 ) 1 x 0 A como A=5 cm
dx
0 A cos(0t 0 ) v0 0 A cos(0 ) dt 0 100(5) co cos( 0 )
Cos(0 ) 0 0
2
, por consiguiente la ecuación del MAS es:
x(t ) 5sen(100t ) (cm) 2
26
2.3.2 DINAMICA DEL MAS
Tal como hemos visto en la definición del MAS, para que un cuerpo oscile desarrollando un movimiento armónico simple, debe actuar sobre el una fuerza recuperadora de la forma: F Kx , que indica que la fuerza es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ella (-) También hemos visto que la fuerza elástica de los resortes, tiene dicha forma F x Kx para pequeñas valores de x donde K = constante del resorte. Además por la segunda ley de Newton: F x max Entonces de los dos resultados anteriores tenemos: d 2x Kx ma x y ax = 2 dt 2 2 d x d x K (1) -Kx=m 2 x 0 dt dt 2 m Por el movimiento circular uniforme podemos expresar de la siguiente forma: d2x (2) w02 x 0 (Ecuación diferencial del MAS) 2 dt K Dónde: w02 m w0 Se denomina frecuencia propia o natural del oscilador armónico. La ventaja de expresar las oscilaciones en términos de una ecuación diferencial es que podemos establecer analogías entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecánicos eléctricos, hidráulicos, etc. La solución de esta ecuación diferencial del MAS es: x1 Asen( w0t ) x2 A cos( w0t ) También la suma será solución x1 x2 Asen( w0t ) A cos( w0t ) Nota: 0
K m 1 K , T=2 , f= m K 2 m
Ejemplo 2.3: Una partícula de masa m 12 kg se fija al extremo de un resorte cuya constante es K 1.3 104 N / m . Cuando t = 0, el resorte esta estirado 35 cm y la partícula parte del reposo. Describa la ecuación del movimiento. Solución m 12 kg K 1.3 104 N / m t 0 x 35 cm La posición se describe de la siguiente forma: x(t ) A cos(0t 0 ) A ?, 0 ?, 0 ?. La frecuencia angular es: K rad 2 1.3 104 N / m 1.1103 ( 0 ) 33 rad / s m s 12 kg 27
Determinando A y 0 , igualando t = 0, en las ecuaciones: x(t ) A cos(0t 0 ) (1) x(t 0) A cos( 0 ) 0.35 m v(t ) A0 sen(0t 0 ) (2) v0 (t 0) A0 sen(0 ) 0=-0 Asen(0 ), 0 0, A 0 sen(0 ) 0 asi 0 0 o En la ecuación (1), como x es positivo cuando t = 0 y A es positivo por definición 0 0 , por consiguiente amplitud A 0.35 m La posición de la partícula es: x(t ) 0.35 cos(33t ) (m).
2.4 ENERGIA DEL OSCILADOR Cuando una masa oscila con MAS, las energías cinética y potencial del sistema varían con el tiempo. Su suma, la energía total E Ec E p es constante. Consideremos una masa a una distancia x del equilibrio, sobre el que actúa una fuerza de restitución Kx . La energía potencial del sistema es 1
U E p Kx 2 2
Considerando para MAS, x A cos(t ) y sustituyendo en la ecuación anterior 1
U KA2 cos 2 (t ) 2
La energía cinética del sistema es
1
Ec mv2 2
Como la velocidad del MAS es v A sen(t ) , sustituyendo resulta 1
Ec mA2 2 sen2 (t ) 2
Teniendo en cuenta que 2 K / m resulta 1
Ec KA2 sen2 (t ) 2
La energía total es la suma de las energías potencial y cinética: 1
1
2
2
Etotal U Ec KA2 cos 2 (t ) KA2 sen2 (t ) 1
= KA2 cos 2 (t ) sen2 (t ) 2 Como sen2 (t ) cos2 (t ) 1 1
1
2
2
Etotal KA2 , o Etotal m 2 A2 CURVAS DE ENERGÍA POTENCIAL En la simulación (Física con ordenadores en Internet), se interpreta gráficamente las relaciones energéticas mediante la representación de la curva de la energía potencial de una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante K, E P
1 2
Kx 2 . Esta función representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que
tiene un mínimo en x =0 =0 cuyo valor es E P 0 . La región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser >=0 . En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial mayor o igual a cero E k k >=0 28
E>=E p. Si la partícula tiene una energía total E , la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.
En la simulación applet se observa cómo cambian los valores de la energía cinética y potencial a medida que se mueve la partícula a lo largo del eje X.
El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda. En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.
Ejemplo 2.4: Un automóvil que tiene una masa de 2500 kg se dirige hacia un muro de ladrillos en una prueba de seguridad. El parachoques se comporta como un resorte de constante igual a 8 106 N / m y se comprime 5 cm cuando el auto se lleva al reposo. ¿Cuál fue la velocidad del auto antes del impacto, suponiendo que no se pierde energía durante el impacto con la pared?. Solución Por conservación de la energía, toda la energía cinética E K que poseía el automóvil antes de detenerse se convierte en energía potencial E P del parachoques que se comporta como resorte, por consiguiente, E K E P 1
1
2
2
Como: E K mv2 y EP Entonces igualando, se tiene:
Kx2 1 2
Remplazando valores, se tiene: v
1
mv 2 Kx 2 v 2
8 10 106 N / m 2500kg
K x m
(5 10 2 m) v 2.83 m / s
2.5 ASOCIACION DE RESORTES Los resortes dan lugar al movimiento armónico simple, la ley para el resorte es la Ley de Hooke que dice: “La fuerza ejercida por un resorte cuando se deforma (Comprimiéndolo o estirándolo) es proporcional a dicha deformación”. El movimiento en una dimensión en el eje x, se escribe,
F Kx Donde K es la llamada constante de elasticidad del resorte, cuyo valor depende del material que lo constituye. El signo menos de la ecuación hace que la fuerza sea fuerza de restauración. La segunda ley de Newton nos da la relación entre la fuerza y la aceleración, F Kx ma Donde m es la masa de la partícula sujeta al resorte y a su aceleración. Así, la aceleración de una masa en el extremo de un resorte es proporcional a su desplazamiento del punto de equilibrio, K a x m Como ya vimos anteriormente la ecuación F Kx , realiza un movimiento armónico simple, por lo tato los resortes originan este tipo de movimiento (si despreciamos la fricción). 29
2.5.1 EN SERIE Un sistema de resortes esta en serie cuando la deformación del resorte equivalente es igual a la suma de las deformaciones de cada resorte. (1) x x1 x2 F K1 x1; F= F=K 2 x 2 La fuerza F se transmite por igual a ambos resortes F F x1 ; x 2 K1 K 2 Para el sistema equivalente tenemos: F Kx Remplazando en (1):
F F F 1 1 1 K K1 K2 K K1 K 2
2.5.2 EN PARALELO Un sistema de resortes esta en paralelo cuando ellos tienen la misma deformación
Kx Kx=K1x + K 2 x K= K=K1 +K 2
Ejemplo 2.5: Calcular la frecuencia con la que oscilara el carrito de 1 kg de masa, considerando que todos lo resortes son iguales y de constante K 240 N / m , además la superficie es totalmente lisa.
Solución Datos. m=1 kg. K=240 N/m
De la figura K’ es el resultado de dos resortes en paralelo:
K ' K K 240 240 480 N / m K ' K K 240 240 480 N / m Después K” es el resultado de dos resortes en serie (figura, el lado derecho K’ y K)
30
K ' K 480 240 160 N / m K 160 N / m K ' K 480 240 Por ultimo K y K están en paralelo: Keq K K 160 240 400 N / m K eq 400 N / m K
Por definición la frecuencia es: f
2.6
K eq 1 m 2 2 1
400 1
10 10
Hz
PÉNDULO SIMPLE Y PÉNDULO FÍSICO.
2.6.1 PÉNDULO SIMPLE Un péndulo es un sistema físico ideal constituido por un hilo inextensible y de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual en su extremo inferior que oscila libremente en el vacío. Algunas aplicaciones del péndulo son la medición de la gravedad, el metrónomo y la plomada. plomada. Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. la Tierra. Se llama así en honor del físico francés Léon francés Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.
Cuando se separa a un lado de la posición de equilibrio y se suelta el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de le gravedad. En el tiempo t, la cuerda forma un ángulo con la vertical y el sistema de fuerzas aplicadas lo constituyen: el peso propio (mg) , y la tensión (T) de la cuerda. De la figura, el lugar de la masa en el arco de círculo esta expresado por: (1) S l Para obtener la velocidad a lo largo del arco del círculo, diferenciamos S con respecto al tiempo (t), como l es constante, tenemos que: dS d (2) v l dt dt La aceleración tangencial, componente de la aceleración total a lo largo del arco del círculo: dv d 2 (3) a l 2 dt dt En la figura, la fuerza tangencial esta expresad por: (4) FT mgsen mgsen Aplicando la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta la ecuación (3), se tiene: FT maT
d 2 mgsen ml 2 dt d 2 g sen dt 2 l Si el ángulo es pequeño ( <15°) sen 31
d 2 g (5) 2 dt l Si comparamos esta ecuación con la ecuación diferencial del MAS: d2x 02 x 2 dt g Por consiguiente: 02 para el péndulo simple. l Lo cual nos indica que el movimiento de un péndulo simple, es un Movimiento Armónico Simple para pequeñas oscilaciones. El periodo de oscilación (T) viene dado por: 2 l 2 T 0 g Así mismo la solución de la ecuación (5) (Ecuación diferencial del periodo simple) será: g (6) 0 sen(0t ) , con 0 l Donde 0 es la amplitud angular del movimiento. Ejemplo 2.6: La longitud de un péndulo que bate segundos en el ecuador terrestre es 0,9910 m, y la del que bate segundos en el polo es 0,9962 m. ¿Cuánto pesará un cuerpo situado en el ecuador terrestre si en el polo pesa 10 Kg? Solución Un péndulo que bate segundos es aquél cuyo periodo de oscilación es 2 s. A partir de los datos del problema podemos calcular el valor de g en el ecuador y en el polo: 4 2 (0.9910m) 9.781 gecuador 9.781 m / s 2 ; 2 (2 s) 4 2 (0.9962m) 9.832m / s 2 g polo 2 (2 s) Como el peso del cuerpo viene dado por w = mg y el cuerpo dado en el polo, pesa 98,1 N, su masa será: w 98.1 9.978 kg m polo g polo 9.832 El peso de esta masa situada en el ecuador será: wecuador mg ecuador 9.97 .978(9.7 (9.78 81) 97.5 7.59 N 2.6.2 PÉNDULO FÍSICO
Se denomina péndulo físico a un cuerpo rígido capaz de pivotar en torno a un eje horizontal fijo, como se ilustra en la figura. La figura muestra la orientación de equilibrio del péndulo, con el centro de gravedad a una distancia vertical 32
h del eje de rotación. En esta configuración, la componente del torque de la fuerza en torno al eje de rotación es igual a cero. Sí el péndulo se desplaza de su posición de equilibrio, un como lo ilustra la figura, “aparece” un torque ejercido por la fuerza de gravedad en la dirección del eje que pasa por punto de suspensión, que tiende a hacer girar el péndulo en dirección contraria a su desplazamiento angular y de ésta forma llevar al péndulo de nuevo a su posición de equilibrio (torque recuperador), posición que no logra obtener debido a su inercia. La ecuación de movimiento que describe ésta situación física es la siguiente:
M (mgsen mgsen )h
(Sentido positivo, contrario al movimiento de mansillas del reloj)
Siendo h la distancia del eje al centro de gravedad del cuerpo. Teniendo en cuenta que: M I ………. (*) Dónde: I = Momento de Inercia del cuerpo con respecto al eje de giro
d 2 2 , aceleración angular dt Remplazando en (*) d 2 d 2 mgh ( ) sen mg ( sen )h I 2 dt dt 2 I
Si el ángulo es pequeño ( 15º ) sen
d 2
d 2 mgh mgh ) ) 0 ( ( dt 2 I dt 2 I
En donde w2
d 2 2
(**)
mgh mgh o w= I I
w2 0 Análogo a la ecuación del MAS.
dt El periodo del péndulo físico será: T
2
w
2
I mgh
NOTA: Del curso de Física I sabemos que (Teorema de Steiner)
I I cm mD2 Que nos dice que el momento de inercia I con respecto a un eje paralelo al que pasa por el centro de masa es igual al momento de inercia del cuerpo con respecto al centro de masa I cm más el producto de la masa m del cuerpo por el cuadrado de la distancia que separa dichos ejes D. Por tanto, se establece la siguiente formula:
I cm mD2 mgh 1 2 y f mgh 2 I cm mD2 Ejemplo 2.7: Una varilla delgada y uniforme (Figura) de longitud L=2.00 m y masa M=250 g está sostenida por uno de sus extremos. (a) ¿Cuál es su periodo?, (b) ¿Cuál será longitud de un pendulo simple que tenga el mismo periodo?. Solución El momento de inercia de una varilla delgada alrededor de un eje que pase por uno de sus extremos es: 33
h
L 2
, I
1 3
mL2
Donde L es la longitud de la varilla y m es su masa. El centro de gravedad de una varilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud.
1
(a) Por definición: T 2
mL2
2L I , remplazando valores, se tiene: 2 3 2 L 3g mgh mg ( ) 2
T 2
2(2m) 3(9.76m / s 2 )
2.32 s
(b) Utilizando ecuación del periodo se tiene: 2 L T L= g T 2 g 2 Entonces, remplazando valores se tiene: 2 2.32 s L= (9.76m / s 2 ) 1.33 m 2 Ejemplo 2.8: Un péndulo físico en forma de un cuerpo plano efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia de 0.450 Hz. Sí el péndulo tiene una masa de 2.20 kg y el pivote se localiza a 0.350 m del centro de masa, determine el momento de inercia del péndulo. Solución mgh 1 mgh I 2 2 Por definición: f I 2 4 f (2.20kg )(9.76m / s 2 )(0.350m) Entonces: I 4 2 (0.450 / s)2 I 0.945 kgm2 Nota: Determinación de la gravedad en la UNA-Puno (en el Laboratorio Física), utilizando como péndulo la varilla oscilación, y comparar con el experimento de caída libre de los cuerpos. Utilizar los Sensores, Fotopuerta, y el equipo Discover Freefall System, código: ME-9889.
2.7
OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO
2.7.1 OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Dejado libremente así mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar, pues la energía mecánica se disipa por fuerzas de rozamiento. Tal movimiento se denomina amortiguado.
34
La fuerza neta ejercida sobre un oscilador amortiguado, tal como se indica en la figura, la masa esta sometida a la fuerza recuperada del resorte y otra fuerza de rozamiento debido al liquido que la rodea. dy F y ky bv o F y ky b dt Donde K e constante elasticidad, b es constante empírica. De la segunda ley de Newton F y may
d2y dy m 2 ky b dt dt La ecuación diferencial que describe las oscilaciones amortiguadas es d 2 y b dy k y 0 Ec. Dif. De un oscilador armónico dt 2 m dt m d2y dy b 2 2 0 , (*) y donde 0 2m dt 2 dt Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, diferencial ordinaria, lineal, lineal, de de segundo orden y homogénea. y homogénea. Tiene Tiene tres tipos de soluciones 2 según el valor de b 4km : Si b 2 4km 0 ó ( 0 ) , el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico) Si b 2 4km 0 ó ( 0 ) el sistema tiene amortiguamiento crítico.
Si b 2 4km 0 ó ( 0 ) el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)
1.
OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO DÉBIL Cuando b 2 4km ó ( 0 ) , en este nivel no es fácil de resolver este tipo de ecuaciones, por lo tanto, asumiendo las soluciones siguientes como ciertas, y (t ) Aamort Sen(wamortt 0 ) y (t ) Aamort Cos(wamortt 0 )
Donde, wamort
2 0
2
K m
b2 4m 2
Aamort A0e t
La ecuación wamort indica que el efecto del amortiguamiento es disminuir la frecuencia de las oscilaciones:
Debido al exponente negativo, la amplitud Aamort decrece a medida que el tiempo aumenta, resultante un moviendo amortiguado (Figura anterior).
35
2.
OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando b
2
4km
La solución única es: y A1e
b
t
b
t
A2 e Como antes, A1 y A2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales. 2m
2m
El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio sin sobrepasar esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente de la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición (oscila en torno a ese punto, tomando valores positivos y negativos).
3.
OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado. En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma: y A1e t A2e t Donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación): b b2 4km b b2 4km , y 2 1 2m 2m También de ecuación (*) es igual a: 1 2 02 , y 2 2 02 Las dos soluciones son las mismas. 1
2
Dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. manera asintótica. Las Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña 1/ 1 y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda 1/ 2 es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.
4.
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN La velocidad viene dada por la primera derivada con respecto del tiempo de la ecuación: y (t ) A0e t Sen(wamort t 0 )
v A0
d
e t Se Sen (wamort t 0 ) dt
v A0e t wamort Cos (wam 0 ) a mort t 0 ) Sen (wamortt
O también: v y amort
A e t
0
2
y2
La aceleración viene dado por:
36
a
a
d 2x dt d
2
dv dt
A e dt
t
0
0 ) Sen(wamortt 0 ) wamort Cos (wam amort t
2 2 a A0e t 2 wamort Cos(wamortt 0 ) (wamort )Sen(wamortt 0 )
O también: a ( wa2mort 2 ) y 2 wamort
A e t
0
2
y2
Ejemplo 2.9: Una masa en un resorte con frecuencia angular natural w0 38rad / s , se coloca en un ambiente en el cual hay una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0.82 veces su valor inicial en 9.9s. ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado? Solución Como dato: Aamort 0.82 A0 , y t 9.9s Entonces de la ecuación: Aamort A0e t 0.82 A0 A0e9.9s
1 9.9 s
ln(0.82) 0.02
Ahora usando la ecuación: wamort 2
wamort
2
0
rad rad 3 8 0 . 0 2 s s
rad s
2
2
wamort 37.999995 rad / s OSCILACIONES FORZADAS 2.7.2 OSCILACIONES Este movimiento se produce, cuando además de la fuerza elástica del resorte y la fuerza de amortiguamiento de líquido, se aplica una fuerza oscilatoria externa con diferente frecuencia f .
dy F cos f t dt 0 De la segunda ley de newton F y may Entonces: F y ky b
b dy k F 0 cos( f t ) (**) y co dt 2 m dt m m Un proceso de solución nos lleva a una solución complementaria (o solución homogénea) d 2 y b dy k y 0 dt 2 m dt m yc A1sen 0t B1 cos 0t Y una solución particular: d 2 y b dy k F 0 y cos f t dt 2 m dt m m y p A2sen f t B2 cos f t Y la solución general: y yc y p Asen Asen( f t ) ( F0 / m) Donde: A 1/ 2 ( f2 02 )2 4 2 2f
d2 y
37
y tan
f 2 02 2 f
La amplitud y la fase expresadas pueden expresarse también en la siguiente forma: F 0 A
m f
f
k m f f
2
, tag
2 b
k f
b
Se observa: Solución oscilatoria armónica con el mismo periodo de la fuerza
La amplitud presenta un máximo cuando: f 02 2 2 (*)
Que obtenemos al hacer mínimo el denominador de la ecuación. Cuando se verifica la ecuación (*) se produce resonancia en amplitud.
Cuando el amortiguamiento es pequeño g cercano a cero La resonancia se da cuando la frecuencia de la fuerza coincide con la frecuencia natural w0 y, en este caso, la amplitud tiende a infinito.
38
Amplitud y fase de la velocidad. Se acaba de ver que para un oscilador forzado por una fuerza: F F 0 cos( f t ) La posición viene dada por la expresión: y Asen( f t ) Y la velocidad dy v A f cos( f t ) dt Tiene un retraso de fase a respecto a la fuerza. La amplitud de la velocidad A f viene dada por:
A f
F 0
m f k / f
2
b2
Esta amplitud es máxima cuando el denominador sea mínimo, y esto sucede cuando
m f k / f f k / m 0
Es decir cuando la frecuencia de la fuerza coincide con la del oscilador no amortiguado.
Resonancia en la energía. Cuando f k / m 0 la amplitud de la velocidad es máxima y con ello la energía cinética del oscilador. Por ello se dice que hay resonancia en la energía En este la diferencia de fase entre la velocidad y la fuerza aplicada es:
m f k / f m0 m02 / 0 0 tag b b Es decir la fuerza está en fase con la velocidad. Impedancia de un oscilador La amplitud de la velocidad viene dada por: V0 A f
F 0 (m f k / f )2 b 2
El denominador de dicha expresión recibe el nombre de impedancia Z. La impedancia es el cociente entre las amplitudes de la fuerza aplicada y de la velocidad. F F Vmax 0 , Z 0 Z V 0 Reactancia y resistencia de un oscilador. (Diagrama de impedancia) Resistencia R= l
Reactancia X m f k / f 39
tag
X m f k / f R b
Como puede observarse el ángulo a del diagrama es el mismo que el de desfase entre la fuerza y la velocidad. Cuando hay resonancia en la energía f 0 , 0 , la reactancia es cero m f k / f 0 y la impedancia es igual a la resistencia.
Potencia transmitida por la fuerza al oscilador. La potencia instantánea viene dada por la expresión: P=
dW dt
=
F.d r =F.v=Fv dt
(La fuerza y la velocidad llevan la misma dirección) En la resonancia la fuerza y la velocidad están en fase y, como veremos más adelante la potencia transmitida por la fuerza al oscilador es máxima. Potencia media transmitida. P Fv F0v0Cosw f tCos( w f t )
F 02 P (Cos 2 w f tCos Cosw f tSenw f tSen ) z La potencia media en un periodo se define como: P =
1 T
T
0
Pdt
En nuestro caso 1 F02 P = Cosα T Z
1
1
T
0
Cos2 w f tdt+Senα
T
0
Cosw f tSenw f tdt
teniendo en cuenta que T 1 T
T
T
0
0
Cos 2 w f tdt =
2
Cosw f tSe tSenw f tdt=0 t=0
queda para la potencia media en un periodo F o2 cos P 2 Z En la resonancia 0 , ( v0 es máxima) la potencia media transmitida al oscilador es máxima:
Fo2 F o2 P 2 Z 2 R Ancho de banda. Factor de calidad. La potencia transmitida al oscilador varía con la frecuencia de la fuerza aplicada. En la resonancia, la potencia transmitida es máxima. Se puede comprobar fácilmente que la relación que hay entre la potencia media y la potencia media en la resonancia es: P med R2 b2 2 ( Pmed ) Z m k / 2 med res res f
f
Una representación gráfica de esta es de la siguiente forma.
40
Cuanto más aguda sea esa curva más definida será la resonancia. La agudeza de esa curva nos la da el ancho de banda 2 1 2 (diferencia de frecuencias para las cuales la potencia media es la mitad de la potencia en la resonancia), que está relacionado con el factor de calidad Q ,
Q
0 m0 0 2 2 1 b
Cuanto mayor sea el factor de calidad, más aguda será la curva de resonancia.
Ejemplo 2.10: El peso unido a un resorte vertical esta forzado a vibrar de acuerdo a la ecuación d2x 16 x 12sen t , donde x es el desplazamiento de la posición de equilibrio y 0 es una constante, si dt 2 dx para t 0, x 0 y 0 , hallar: a) x como función del tiempo t , b) el periodo de la fuerza externa para la cual dt resonancia ocurre. Solución
b)
Utilizando el método de la solución complementaria y otro particular tenemos: Solución complementaria: (1) xc A cos0t Bsen 0t .La ecuación del movimiento amortiguado forzado es: F 0 d 2 x b dx 2 (2) cos f t x 0 dt 2 m dt m Para solución complementaria hacemos ec. (2) igual a cero. d 2 x b dx 02 x 0 , comparamos en la ecuación dada igualando también a cero 2 dt m dt 2 d x 16 x 0 dt 2 b 0, 02 16 0 4 rad / s , remplazando en la ecuación (1) se obtiene: xc A cos 4t Bsen4t (3) Solución particular: x p Csent D cos t (4) Y tenemos que hallar las constantes C y D , para lo cual derivamos dos veces: dx p C cos t D sent dt d 2 x p C 2 sent D 2 cos t 2 dt
41
d2x Entonces remplazando en la ecuación dada 2 16 x 12sen t , se tiene: dt 2 2 C sent D cos t 16Csent 16D cost 12sent (C 2 16C )sent ( D 2 16D) cos t 12sent 16C C 2 12 (16 2 )C 12 C 12 / (16 2 ) 2 2 16 D D 0 (16 ) D 0 D 0 Luego remplazando en la ecuación (4): x p Entonces la solución general es:
x xc x p A cos 4t Bsen4t
12 16 2
12 16 2
sen t
(5)
sen t
(6)
Falta conocer las constantes A y B, se determina usando condiciones iniciales, dadas dx 0: t 0, x 0 y dt Condición inicial t 0 x 0 en ec. (6), se tiene: 0 A cos 0º Bsen0º
12 16 2
sen0º A 0
dx 12 4 Asen4t 4 B cos t cos t dt 16 2 dx Remplazando condición inicia t 0, 0 dt Velocidad
0 4 Asen0º 4 B cos 0º
Por consiguiente: consiguiente: x
1.
12 16
3
16 2
2
cos 0º B
sen4t
12 16 2
(7)
3
16 2
sen t (solución general).
PROBLEMAS RESUELTOS Bajo la acción de una masa de 2000 gramos, un resorte se alarga 10 cm. ¿cuál es la frecuencia de oscilación de este resorte con esta masa? Solución Datos: m 2 kg , x 10cm 0.1m, f ? Por ley de Hooke: F Kx mg Kx 2kg (10m / s 2 ) K (0.1m)
K 200N / m T 2 f 2.
1
T
m 2 2 T s K 200 5
f
5
Hz
Un oscilador armónico de 20 cm de amplitud, tiene una velocidad de 4 m/s cuando pasa por su posición de de equilibrio ¿Cuál es el periodo y la aceleración máxima? Solución Datos: A 20 cm=0.2 m, v=4m/s x=0 Por definición, posición de equilibrio: x 0 la veloc locida idad es máxima ima o sea vmax 4 m / s
42
Pero: vmax wA 4m / s w(0.2m) w 20rad / s
T
2
w
2 20rad / s
T
10
s
amáx w2 A (20rad / s)2 (0.2m) amáx 80m / s 2 3.
Un sistema oscila armónicamente con una frecuencia de 10 Hz y una amplitud de 4 m. Determinar la ecuación del movimiento con respecto a su posición en cualquier instante “t” segundos. Considerar una constante de fase de 30º. Solución Datos: f 10 Hz, A 4m, 30º
6 Por definición de oscilación armónica: x Asen Asen(wt ) cm Como. w 2 f w 2 (1 (10Hz ) w 20 rad / s x 4Cos (20 t ) m 6
4.
Sea el movimiento y 4cos10t encontrándose las distancias en cm y los tiempos en s. hallar: elongación para / 20 s , tiempo mínimo para x=0, y la aceleración máxima. Solución Del problema: y 4 cos10t 4 cos10(
) y 0cm 20
De la ecuación dada: w 10 Hz, A 4cm amáx (10 rad / s)2 (4 cm) amáx 400 cm / s
5.
Se aplica una fuerza F 20 x sobre un cuerpo de 3 kg de masa, donde x es la posición en metros y F se mide en newton. Calcular el periodo del movimiento resultante. Solución Por definición: F Kx Comparando por condición del problema dado: F 12x K 12 / m Como: w
6.
K 12 2 2 2 rad / s T T s. m w 2rad / s 3
En el oscilador horizontal sin fricción de la figura, hallar la amplitud máxima para que la masa superior no resbale. El coeficiente de fricción entre “m” y “M” es μ.
Para hallar la amplitud máxima, se halla la máxima aceleración: F D (m M )a (1) (2) F D Kx Igualando (1) y (2), se tiene:
Kx (m M )a x
( m M )a
K
(3)
Del D.C.L: f ma, como como f N (mg ) ma a g (m M ) g en (3): x K Finalmente hallando periodo de oscilación: T 2
m 3m 3m 2 T K E K 4K 43
7.
La escala de una balanza de resorte que registra de 0 a 200 N, tiene una longitud de 10 cm. Un bloque suspendido de dicha balanza oscila verticalmente dando 120 vibraciones por minuto. Calcular la masa del bloque (considerar 2 10 ). Solución Datos: x=10 cm, Por Def: F
f 120
rev min
120
rev 1min rev 2 min 60 s 2
Kx
200 N K (10cm) K 20N / cm 2000 N / m 1
Calculando periodo de oscilación: T s 2
2
1 s 2000 N / m) m T 2 K 2 Por Def: T 2 m m m 12.5 kg 2 4 4(10) K 8.
Determinar la ecuación de la aceleración para una masa de 10 kg que se encuentra atada a un resorte de K=3 N/m realizando un MAS; se sabe que el valor máximo de la fuerza que actúa sobre ella es de 16 N y partió con una velocidad v(t 0) 1 i m / s . Solución Datos: m 10kg , k 3N / m, F 16N , v (t 0) 1i m / s Para el MAS: x ACos( wt 0 )
a w2 ACos (wt 0 ) 3N / m K rad / s w 0.547 ra 10kg m Fmáx KA 16 N 3 A A 5.33 m. Determinando: 0 ? , v wASen(wt 0 ) , Remplazando: t 0 v 1, en dirección i , se tiene: 1 (0.547)(5.33)Sen(wt 0 ), t 0
w
0.343 Sen(0 ) Sen(0 )
9
0 20º
9
9
a 1.59Cos(0.547t ) m / s 2 9.
Un cuerpo de masa 0.5 kg fijado a un resorte de constante de elasticidad 2 N/m oscila con una energía de 0.25 Julios. ¿Con que velocidad pasa por un punto situado a 0.3 m del punto de equilibrio?. Solución Datos: m=0.5 kg, K=2 N/m, E=0.25 J, x=0.3 m, V=? 2N / m K Calculando: w w 2rad / s 0.5kg m Por definición: E
1 2
1
KA2 0.25J (2 N / m) A2 A 0.5 m 2
Como: v w A2 x 2 v 0.8 m / s
44
10. Un reloj pendular tiene un período de 2 segundos en un lugar donde g = 10 m/s2 . Si se lleva dicho péndulo a un planeta “x”, su nuevo período es de 4 segundos. ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en ese
planeta? Solución Datos: T 2s g 10m / s , pl p laneta x : T 4s g ? 2
Según la formula de péndulo simple: T 2 En la Tierra: 2 2
L g T
En el Planeta x: 4 2
L g P
L g
(1) (2)
gT gT g T 10 m / s 2 g P 2.5 m / s 2 Comparando (1) y (2): 2 4 g P g P g P g P 4 4 11. Una masa M está unida al extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L que puede girar en su parte superior (figura). Calcule el periodo de oscilación para desplazamientos pequeños desde la posición de equilibrio, y determine este periodo para L=2 m. Solución Para desplazamientos pequeños: Sen d 2 Por definición: M 0 I 0 2 dt 2 L 1 2 2 d Mg Sen MgLSen MgLSen ML ML 2 2 3 dt 4 ML2 d 2 3 MgL 0 2 3 dt 2
d 2 9 g 2 0 , comparando con ecuación diferencial del MAS, se tiene: dt 8L 8 L 4 2L T 2 g 9 g 3
45
TERCERA UNIDAD DIDÁCTICA MOVIMIENTO ONDULATORIO 3.1 ONDAS MECANICAS Se denomina onda a toda perturbación que se origina en un estado de equilibrio y que se mueve o propaga con el tiempo de una región del espacio a otra. Una onda mecánica es aquella perturbación en los medios elásticos o deformables. Es transportadora de energía; pero es incapaz de desplazar una masa en forma continua, toda onda al propagarse da lugar a vibraciones. Es importante notar que el medio mismo no se mueve en conjunto en la dirección en que avanza el movimiento ondulatorio. Las diversas partes del medio oscilan únicamente en trayectorias limitadas. Por ejemplo la superficie de un líquido en equilibrio es plana y horizontal. Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando el objeto entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbación de su estado físico. Una perturbación de la superficie produce un desplazamiento de todas las moléculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre los elementos de fluido: peso del fluido situado por encima del nivel de equilibrio y la tensión superficial, se llega a una ecuación diferencial, a partir de la cual se puede calcular la velocidad de propagación de las ondas en la superficie de un fluido. El análisis de esta situación es complicado, pero veremos con detalle una más simple la propagación de las las ondas transversales en una cuerda. Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio para propagarse, ya que la perturbación que se mueve es campo electromagnético. El gran volumen de información que se ha acumulado sobre las ondas electromagnéticas (cómo se producen, propagan, y absorben) ha posibilitado el mundo de las comunicaciones que conocemos hoy en día.
3.1.1 a)
CLASIFICACION CLASIFICACION DE LAS ONDAS Las ondas se pueden clasificar, según el medio en que se desplazan en mecánicas y electromagnéticas:
Ondas mecánicas: las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido, sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. La velocidad puede ser afectada por algunas características del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.
el espacio sin necesidad de un Ondas electromagnéticas: las ondas electromagnéticas se propagan por el medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío. el vacío. Esto Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una velocidad de 300000 Km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas.
Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio, sino que en sí mismas son alteraciones del espaciotiempo.
b)
De acuerdo a la relación de la dirección de la propagación y de la perturbación:
1)
ONDAS TRANSVERSALES Si el movimiento de las partículas del medio oscila perpendicularmente a la dirección de propagación. Por Ejemplo las ondas en el agua, o en otros líquidos (debido a las fuerzas de la tensión superficial), las partículas oscilan verticalmente mientras que la onda se propaga en un plano horizontal.
46
También, si hacemos oscilar el extremo libre de una cuerda tensa, la onda avanza a lo largo de la cuerda, pero las moléculas de la cuerda vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda; lo mismo sucede si golpeamos transversalmente una barra de acero, en uno de sus extremos.
2)
ONDAS LONGITUDINALES Si el movimiento de las partículas del medio oscilan paralelamente a la dirección de propagación.
Las ondas sonoras, son longitudinales porque al emitir un sonido las moléculas del aire se mueven hacia adelante y hacia atrás en la misma dirección de las ondas, produciendo regiones alternas de compresión y enrarecimiento.
3)
ONDAS TORSIONALES Producidos por un par o momento de torsión, no son paralelas o perpendiculares al eje de la barra, si no a rotaciones alrededor del eje de la barra. Simulador de ondas Se dispone de un dispositivo que está compuesto por un alambre vertical en el cual se encuentran adheridas varillas horizontales. Por medio de la torsión del alambre central se puede simular una onda. Este dispositivo es útil para ilustrar y explicar el concepto de onda mecánica.
4)
ONDAS CIRCULARES Cuando la perturbación se produce en un punto de la superficie y esto se propaga en todas las direcciones con la misma velocidad. Ondas circulares y oscilación en el agua Se coloca un pequeño trozo de corcho en una cubeta con agua. En dicha cubeta se producen ondas circulares al dejar caer gotas de agua. Se puede observar que el pedacito de corcho oscila en la misma posición y no se desplaza radialmente con la propagación de la onda.
47
c)
De acuerdo con el número de dimensiones en que se propagan :
1.
ONDAS UNIDIMENSIONALES Las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.
2.
ONDAS BIDIMENSIONALES O SUPERFICIALES SUPERFICIALES Son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.
3.
ONDAS TRIDIMENSIONALES O ESFÉRICAS O ESFÉRICAS Son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas Nota: Ondas atmosféricas, que son las causantes de los cambios del tiempo y el clima. Entre estas ondas tenemos las ondas Rossby y las ondas Kelvin.
d)
De acuerdo con el comportamiento de una partícula de la materia.
1)
PULSO O UNA SOLA ONDA Se produce un pulso cuando el extremo de una cuerda tensa le damos un solo movimiento transversal rápido, las partículas de la cuerda se mueven solo cuando el pulso llega a ellas y regresan al reposo.
2)
TREN DE ONDAS Si movemos varias veces con movimiento armónico simple el extremo de la cuerda, se obtiene el tren de ondas llamado: onda armónica simple a la que denominamos simplemente onda.
e) 1)
En función de su periodicidad
2)
3.1.2
ONDAS PERIÓDICAS La perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda una onda senoidal. ONDAS NO PERIÓDICAS La perturbación que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas se denominan también pulsos. ELEMENTOS DE UNA ONDA 1) Crestas.- Son los puntos más altos de la onda. 2) Valles.- Son los puntos más bajos de la onda. 3) Longitudes de onda ( ).- Es la distancia entre dos crestas o dos valles consecutivos. 4) Amplitud (A).- Es la altura de una cresta en relación al nivel de equilibrio. También es la profundidad de un valle.
48
5) Periodo (T).- Es el tiempo que emplea la onda en propagarse una longitud de onda. Se mide en segundos. 6) Frecuencia (f).- Es el número de longitudes de onda (número de ondas) que pasan por un punto en un segundo. Se mide en Hertz. f 1/ T f s 1 Hz
3.2
ONDAS VIAJERAS
Consideremos una función =f(x), que represente una curva arbitraria:
Si reemplazamos x por por x-a, obtenemos la función =f(x-a). La forma de la curva no cambiado, los mismos valores de se obtienen para x aumentados aumentados en a. En otras palabras, la curva se ha desplazado hacia la derecha una distancia “a”.
Del mismo modo =f(x+a) corresponde a un desplazamiento de la función hacia la izquierda, en la cantidad a.
Sí “a” remplazamos por a=vt , donde v es la velocidad y t es el tiempo, obtenemos una curva “viajera” esto es:
f ( x vt ) Representa una curva que se mueve hacia derecha con velocidad v, llamada “velocidad de fase”. Del mismo modo,
f ( x a)
Representa una curva que se mueve hacia la izquierda con velocidad v. La expresión matemática de la propagación es de la forma: ( x, t ) f ( x vt ) Esta ecuación se llama “movimiento ondulatorio”
Ejemplo 3.1: Un pulso se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x, se representa por medio de la función de onda ( x, t )
1 ( x 2t ) 2 1
Donde , x , se mide en centímetros, y t en segundos. Graficar la función de onda en t=0, t=1,t=2 segundos. Solución
49
Esta función tiene la forma ( x, t ) f ( x vt ) , luego la velocidad de la onda es 2 cm/s. En t=0
seg.
( x, 0)
X
X
En t=2 SEg. X
x 2 1
0 1
En t=1seg.
1
( x,1)
2
3
4
5
0.5
0.2
0.1
0.06
0.04
1 ( x 2)2 1
0 0.2
( x, 2) 0 0.06
1
1 0.5
-1 0.1
2 1
-2 0.06
3 0.5
-3 0.04
-1 0.04
2 0.2
-2 0.03
3 0.5
-3 0.02
1 ( x 4)2 1
1 0.1
Gráfica:
3.3 MOVIMIENTO ONDULATORIO ARMÓNICO Como se ha descrito en la sección anterior , =f(x-vt) describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v . Estudiamos un caso particular importante, aquél en el que la función f (x) es una función armónica (seno o coseno); sin embargo no podemos usar la forma sencilla sen( x vt ) , porque el argumento de un seno debe ser adimensional, para hacerlo adimensional, multiplicamos x vt por el número de onda k, así: ( x, t ) 0 sen[k ( x vt )] 0 sen(kx kvt ) , representa una onda armónica viajera.
Ha ( x, t ) hallado su segunda derivada con respecto al tiempo t, se tiene:
2 0 k 2v 2 se (A) sen( kx kx kvt ) 2 t Ha ( x, t ) hallado su segunda derivada con respecto al desplazamiento x, se tiene: 2 (B) 0 k 2 sen sen(kx kvt ) 2 x Remplazando (B) en (A) se tiene: 2 2 2 1 2 2 O v t 2 x 2 x 2 v 2 t 2 Llamado Ecuación Diferencial del Movimiento Ondulatorio. Las soluciones generales de esta ecuación tiene la forma: ( x, t ) f1 ( x vt ) f 2 ( x vt ) .
50
La ecuación ( x, t ) 0 sen(kx kvt ), cuando t=0, grafiquemos : ( x, t ) 0 sen(kx)
Las características de esta función de dos variables, son las siguientes: 1. La función seno es periódica y se repite cuando el argumento se incrementa en 2 . La función ( x, t ) se repite cuando x se se incrementa en
2
k
.
2 kx vt kx vt 2 k
Se trata de una función periódica de periodo espacial o longitud de onda 2.
k
. La magnitud k se se
denomina número de onda. Cuando se propaga un movimiento ondulatorio armónico, un punto x del del medio describe un Movimiento Armónico Simple de amplitud 0 y frecuencia angular w kv . ( x, t ) 0 sen(kx wt ) El periodo de la oscilación en cada punto viene dado por T
3.
2
2
, y la frecuencia por f
1
. w T La igualdad w kv nos permite relacionar el periodo espacial o longitud de onda y el ,
periodo de la oscilación T de un punto del medio. w kv
2
2
v vT v f . T De los anteriores resultados ( x, t ) podemos expresar de la siguiente forma: x t x ( x, t ) 0 senk ( x vt ) , ( x, t ) 0 sen2 ( ft ) ) , ( x, t ) 0 sen2 ( T x ( x, t ) 0 sen(kx wt ) , ( x, t ) 0 sen2 f ( t ) v Ejemplo 3.2: Dada la ecuación: ( x ,t ) 2sen2 (0.1x 5t ) , donde x esta en cm y t en segundos, determinar: a) amplitud, b) frecuencia, c) longitud de onda, d) el número número de onda, e) el periodo, f) la frecuencia frecuencia angular, g) velocidad de propagación y su dirección. Solución x Tenemos la ecuación ( x, t ) 0 sen2 ( ft )
Ecuación dada en el problema ( x, t ) 2 sen2 ( Comparando las dos ecuaciones tenemos: a) La amplitud: A = 2 cm b) La frecuencia: f 5 Hz c) Longitud de onda: 10 cm
1
10
x 5t )
51
2
d)
El número de onda: k
e)
El periodo: T
f)
La frecuencia angular:
1
f
1
, k
2
2 10
5
rad / cm
T s
5 2
10 rad / s T Velocidad de propagación: v f v (10cm)(5Hz ) 50 cm / s , dirección positiva en el eje x..
g)
3.4 ONDAS TRANSVERSALES Consideremos una cuerda cuya tensión es T . En el equilibrio, la cuerda está en línea recta. Suponiendo que un pulso en forma de arco se desplaza sobre la cuerda, con una velocidad v
Consideremos un pequeño segmento de la cuerda de longitud S , que forma un arco de radio R (figura) y de ángulo , la fuerza resultante sobre el elemento de la cuerda será:
F
R
2
2
2
2Tsen( ) Pero sen( )
por ser muy pequeño
S S F T ( ) R R Esta fuerza F es la fuerza centrípeta actuando sobre el elemento de cuerda; luego: v2 F mac m R T S mv 2 Igualando (3) y (4): T S mv 2 R R T m T v2 Considerando S L (un pulso) TL mv 2 v2 , si m L L T v 2
F 2T ( ) T , donde donde
(3)
(4)
T es la tensión de la cuerda en N
es la densidad lineal en kg/m
2 T 2 Entonces: 2 ( ) 2 t x
2 2 2 v t 2 x 2
Ejemplo 3.3: Una cuerda de 6m de longitud y 600 gramos de masa, tiene un extremo fijo y el otro pasa por una polea de la cual pende un bloque de 4 Kg. De masa (figura). a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales que se producen en ella? b) ¿Qué tiempo emplea un pulso en recorrer la cuerda en su tramo horizontal? 52
c)
¿Cuál es la longitud de onda, de una onda de periodo 0.2 seg. que recorre la cuerda? Solución a)
D.C.L. del bloque F 0 T mg
T (4 Kg )(10m / s 2 ) 40 N m 0.6Kg 0. 0.1 Kg / m L 6m 40 N T . v 20 m / s v 0.1kg / m 3.5
ONDAS ESTACIONARIAS
Se Se empleó un vibrador que producía un tren de ondas senoidales a una cuerda de longitud L, en donde estas se reflejaban en el extremo opuesto produciendo ondas estacionarias siempre y cuando la tensión, la frecuencia y la longitud de la cuerda tuvieran valores tuvieran valores apropiados. Para lo cual en el extremo derecho se ponen pesas. Los modos de vibración de la cuerda va depender cuanta pesa colocamos en la parte derecha, la velocidad de propagación de las ondas calculamos utilizando la fórmula: v
T
, donde T es la tensión de la cuerda y la densidad lineal de la cuerda.
Una vez establecida la velocidad de propagación, o la tensión de la cuerda, vamos cambiando la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilación de la cuerda. Una vez que encontramos la frecuencia del primer modo de vibración, se pueden buscar rápidamente los restantes: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente... f 1 modo fundamental f n=nf 1 armónicos n=2, 3, 4....
Antes de realizar esta "experiencia" se sugiere volver sobre los modos los modos de vibración de un sistema de partículas unidas por muelles elásticos.
53
3.6 EXPLICACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA En este apartado obtenemos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, fija en sus extremos. Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente que se propaga de izquierda a derecha sen(kx wt ) ) i Asen y otra que se propaga de derecha a izquierda. j Ase Asen(kx wt ) )
La onda estacionaria resultante es: i j 2A·sen(kx)·cos(w t). Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y y una amplitud 2A·sen(kx). Se denominan nodos a los puntos x que que tienen una amplitud mínima, 2A·sen(kx)=0, por lo que kx n con n=1, 2, 3, .... o bien, x / 2 , , 3 / 2 , ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, / 2 . Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente. En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos.
El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L / 2 Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L . Para el tercer modo, L 3 / 2 , y así sucesivamente. En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como
Para hallar las frecuencias empleamos la relación vT , o bien v / f .
En la experiencia la experiencia simulada que se ha realizado anteriormente, la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/ 2, v, 3v/ 2, 2v , Siendo v la la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.
Ejemplo 3.4: Una cuerda de 4m de longitud y 0.8 Kg de masa, vibra con una frecuencia de 20 Hz. Si la distancia entre los nodos es 25 cm. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Solución Sabemos que: / 2
/ 2 =25 2 25 50cm 0.50m v f .50m(20s 1 ) 10 m/s
54
Pero: v
T
,
do d onde: =
m L
=
0.8 Kg 4m
=0.2 Kg/m 2
Despejando la tensión T, tenemos: T v 2 = 10 0.2 =20 N.
3.7 ONDAS LONGITUDINALES EN UNA BARRA ELÁSTICA Si provocamos una perturbación golpeando el extremo de una barra elástica con un martillo, la perturbación se propaga a lo largo de la barra. La velocidad de propagación de las ondas longitudinales en una barra elástica en términos de las propiedades mecánicas (módulo de elasticidad y densidad del material del que está hecha la barra). A medida que se propaga la perturbación los elementos de la barra se deforman (se alargan y se contraen) y se desplazan
Esfuerzo Esfuerzo o fatiga
F F , F S S S
En el anterior capitulo se vio el módulo el módulo de elasticidad de un material. Existe una relación de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por unidad de área) y deformación unitaria (deformación por unidad de longitud). L F L F o Y , siendo: E Y , S=A (área transversal) E L0 S L0 S Donde E es una constante característica del material que forma el objeto y que se denomina modulo de Young o módulo de elasticidad, al módulo de elasticidad también se los suele designar con la letra Y. Módulo
de Elasticidad = esfuerzo E deformacion deformacion unitaria
esfuerzo
necesario
para
producir
una
deformación
unitaria,
Consideremos un elemento de la barra de sección S en la posición x , que tiene una anchura L0 dx . A , de modo que la nueva anchura del causa de la perturbación el elemento se traslada , y se deforma d elemento es L dx d .
Podemos calcular la fuerza necesaria para producir esta deformación viene dado por:
55
A efectos de notación (derivada parcial) recuérdese que el desplazamiento , es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo). (tiempo).
Desplazamiento del elemento
La parte izquierda de la barra ejerce una fuerza F sobre sobre la el elemento, la parte derecha de la barra ejerce una fuerza F’ sobre sobre dicho elemento 2 ' F F dF SY 2 dx x La segunda ley de Newton afirma que la fuerza sobre el elemento es igual al producto de la masa (densidad por volumen) por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento) dm 2 Como : dm Sdx , dF= Sdx 2 dV t Igualando ambas expresiones obtenemos la ecuación la ecuación diferencial de un movimiento ondulatorio 2 Y 2 t 2 x 2 La fórmula de la velocidad de propagación es: ´Y v
es el módulo de la elasticidad del material o módulo de Young (expresado en N/m2) Y es
es la densidad (expresada en kg/m3). Material
v. de las ondas longitudinales (m/s)
Material
v. de las ondas longitudinales (m/s)
Acero al carbono
5941
Hielo
3280
Aluminio
6420
Hierro
5170
Cinc
3810
Latón
3490
Cobre
3710
Plomo
2640
Corcho
500
Vidrio de cuarzo
5370
Estaño
2730
Granito
6000
Ejemplo 3.5: Un alambre de acero que tiene una longitud de 2m y un radio de 0.5 mm cuelga del techo. Si un cuerpo de 100 kg de masa se suspende del extremo libre, hallar la elongación del alambre y la velocidad de las ondas longitudinales que se propagan a lo largo del alambre. Solución La fuerza que actúa sobre el alambre es el peso, el cual es F=mg F 100 kg (9.76 m / s 2 ) 976 N El módulo de Young para el acero es Y 2 1011 N / m2 L . F YA 976 N 2 1011 N / m2 (0.5 103 m) 2 L L0 L L 6.21103 L (2m)(6.21103 ) L0
56
L 1.24 cm La velocidad de la onda longitudinal: 2 1011 N / m 2 v 5096 m / s v Y / 7.7 103 kg / m3 3.8 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA BARRA El proceso es análogo al de las ondas longitudinales en una barra.
Si en algún momento se hace vibrar la barra golpeándola transversalmente, en este caso se deforma la barra tomando la forma de la línea curva continua, donde se puede suponer que las deformaciones de la misma son en forma vertical mas no en forma horizontal. Si tomamos , como el desplazamiento transversal de una pequeña sección dx en un instante de tiempo, este desplazamiento es una función de la posición por cuanto cada uno de los puntos de la barra sufre un desplazamiento diferente, en este caso la deformación unitaria es transversal y por tal motivo recibe el nombre de deformación unitaria transversal,
d dx
, y la ley de Hooke en este caso es:
d dx Donde c , es el esfuerzo cortante y M es el módulo de torsión del material, la fuerza es entonces: d F AM AM dx Donde A es el área transversal de la barra, la ecuación del movimiento de la barra de acuerdo con la segunda ley de Newton es: F 2 ' F F dF dx dm 2 x t Donde dm Adx Adx, remp rempla laza zand ndoo en la ecua ecuaci ción ón ante anteri rior or se tien tienee : c M M
F dx Adx 2 x t F 2 d AM 2 , y esta última Remplazando la expresión de la fuerza en la ecuación AM x x x dx remplazando en la ecuación anterior se tiene: 2 2 2 M 2 AM 2 dx Adx 2 2 2 x x t t Por analogía se obtiene la ecuación de ondas para el campo de fuerzas,
57
2 F M 2 F t 2 x 2 De donde, la velocidad con la que se propagan tanto el campo de desplazamientos como el campo de fuerzas M v
3.9
ONDAS LONGITUDINALES EN UN FLUIDO
Consideremos un tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido. Sean P0 y 0 la presión y la densidad, en condiciones de equilibrio, y consideremos que todas las partículas de una sección recta sufren el mismo desplazamiento con la perturbación. Al variar la presión el elemento de volumen Sdx (Figura), se desplaza de tal forma que la cara situada en x va a x+s y la situada en x+dx va a x+s+dx+ds, variando el espesor. Como la masa debe conservarse en el tubo, entonces:
m 0 Sdx S (dx ds ) Siendo la densidad del fluido perturbado. Simplificando podemos escribir:
s ) x Donde se ha escrito derivada parcial ya que s no es solo función de x sino también una función del tiempo t, pero 0 , por lo tanto: 0 (1
( 0 ) 1
s s s 0 0 x x x
Que, despreciando el último término frente a los dos anteriores (ya que ambos factores son generalmente pequeños), resulta:
0
s x
De esta manera la variación de presión provoca una variación de densidad. Por otro lado, la presión está relacionada con la densidad mediante una expresión del tipo P P ( ) , que recibe el nombre de ecuación de estado, cuya forma explícita no conocemos. Sin embargo, podemos desarrollarla en serie de Taylor (suponiendo que las variaciones de la densidad son pequeñas) en torno a la posición de equilibrio 0 ,y quedando con la aproximación de primer orden
P P P 0 0
58
m m V , diferenciando: V 0 dV Vd dV d De donde: V Modulo elástico para un fluido que se denomina módulo de compresibilidad B, el cual relaciona el esfuerzo (sobrepresión) y la deformación (variación unitaria de volumen), y por lo tanto también la variación unitaria de densidad: P P 0 B V 0 V 0 0 Remplazando en ecuaciones anteriores, se tiene: B P P 0 Pero como
0
Esta ecuación relaciona la presión y la densidad en cualquier punto, como 0
s , resulta: x
s x Esta ecuación relaciona la presión en cualquier punto con la deformación. Además, si aplicamos la segunda ley de Newton a la masa 0 Sdx , cuya diagrama es mostrado en la siguiente figura:
P P0 B
2 s 2s dF dma PS ( p dP) S 0 Sdx 2 SdP 0 Sdx 2 t t 2 P s 0 también: 0 2 x t Ecuación que relaciona las presiones y el desplazamiento. Por último, para obtener la variación con el espacio y el tiempo de s, P, o , basta eliminar las otras variables. Así, s derivando la expresión P P0 B respecto a x (teniendo presente que P 0 es constante) se obtiene: x P 2s B 2 x x Que al sustituir en la ecuación anterior se tiene: 2 s B 2 s t 2 0 x 2 Donde esta ecuación es análoga a la ecuación de onda, de la cual por comparación podemos identificar: v
Donde B, podemos escribir también como:
B
B
0
P V / V 59
Es decir, el cociente (con signo negativo) entre el cambio en la presión y el correspondiente cambio en el volumen por unidad de volumen. En el caso particular de las ondas (sonido) en un gas, la velocidad viene dada por: RT v M Dónde: 1. T es la temperatura absoluta medida medi da en Kelvins (K), T=273 + ºC 2. es una constante que depende del tipo de gas. Para moléculas diatómicas como el O2 y N 2 , tiene el valor de 1.4 y como el O2 y el N 2 constituyen el 98% de la la atmósfera, éste es el valor que corresponde también al aire (para moléculas monoatómicas como el H e tiene un valor de 1.67). 3. R es la constante universal de los gases: J R 8.314 mol.K 4. M es la masa molar del gas, es decir, la masa de 1 mol de gas. Para el aire es: kg M 29 103 mol Otra fórmula usual en el caso de Velocidad del sonido en un medio gaseoso es: P dP dP P , como , v v d d Donde P es la presión no perturbada y es igual a c p / cV , la razón de los calores específicos del gas a presión constante y a volumen constante. Para gases diatómicas tales como el oxígeno, el nitrógeno y el aire, es igual a 7/5, o sea 1,4.
Ejemplo 3.6: Hallar la velocidad del sonido en la ciudad universitaria UNA-Puno. 1.4 PUNA 65.12 103 Pa , aire 0.77 kg / m3
v
PUNA aire
1.4
65.12 103 P a 0.77 Kg / m3
344 m / s
Ejemplo 3.7: Calcular la velocidad del sonido en el agua utilizando los datos de las tablas y comparar. Solución El módulo de compresibilidad del agua, 2.2 109 N / m2 y la densidad 996 Kg / m3
v
2.2 109 N / m2 996 Kg / m
3
1.49 103 m / s
Tabla 1. Los valores recogidos aquí son representativos de cada material. Los valores reales para una muestra particular pueden diferir mucho de estos Material Módulo de Young Material Módulo de compresión 9 . 109 N/m 10 N/m Líquidos: Aluminio 70 Ladrillo 20 Etanol 0.9 Cobre 120 Mercurio 25 Vidrio cuarzo 70 Agua 2.2 Sólidos: Granito 50 Hierro forjado 190 Cobre 120 Mármol 60 Aluminio 70 Poliestireno 3 Vidrio, cuarzo 36 60
Cuarzo Acero Madera
70 200 10
Granito Hierro Acero
47 80 158
Tabla 2.
Densidad de algunas sustancias comunes a 1 atm (760 mmHg.) Sustancia Temperatura (ºC) Densidad ( g / cm3 ) Sólidos: Aluminio 20 2.7 Hueso 20 1.6 Cobre 20 8.5 Vidrio 20 2.6 Granito 20 2.7 Hierro 20 7.7 Plomo 20 11.3 Acero 20 7.7 Agua ( hielo) 0 0.917 Líquidos: Aire (liquido) -183 1.14 Sangre 27 1.05 Etanol 20 0.791 Glicerina 0 1.26 Mercurio 0 13.6 Agua pura 4 1 Agua pura 30 0.996 Agua pura 100 0.958 Agua de mar 15 1.025 Gases: Aire 0 0.00130 Aire 10 0.00125 Aire 20 0.00120 Aire 30 0.00116 Argón 0 0.00178 Dióxido de carbono 0 0.00198 Helio 0 0.000178 Hidrogeno 0 0.0000899 Nitrógeno 0 0.00125 Oxigeno 0 0.00143 Agua (vapor) 100 0.000596
Densidad ( Kg / m3 ) 2700 1600 8500 2600 2700 7700 11300 7700 917 1140 1050 791 1260 13600 1000 996 958 1025 1.30 1.25 1.20 1.16 1.78 1.98 0.178 0.0899 1.25 1.43 0.596
Tabla 3. Velocidad del sonido en algunos medios gaseosos, líquidos a 1 atm (760 mmHg.) y ºC. Medio Aire (0 ºC) Aire (20 ºC) Helio Hidrógeno Agua (0 ºC) Agua (20 ºC) Agua de mar a 20 ºC y 3.5 % de salinidad.
Velocidad (m/s) 331 343 965 1284 1402 1482 1522
3.10 ENERGÍA TRANSPORTADA POR UN MOVIMIENTO ONDULATORIO ARMÓNICO Veamos las ondas viajeras transversales en una cuerda bajo la tensión T, que tenga masa por unidad de longitud . Podemos obtener la energía cinética de un segmento de longitud x y masa x . Su desplazamiento del equilibrio es la función de onda ( x, t ) 0 sen(kx wt ) . Su velocidad es La energía cinética E c del segmento es, por tanto,
d dt
, en donde x se considera fijo.
1
Ec (m)v 2 , 2
61
1 Ec x( )2 t t 2 Como ( x, t ) 0 senk ( x vt ) 0 sen(kx wt ) d Será 0 cos(kx t ) y la energía cinética del segmento será: dt Como: m x y v
1
Ec 2 02x cos 2 ( kx t ) 2
La energía potencial del segmento es el trabajo realizado al estirar la cuerda y depende de la pendiente
d dx
. Para
pequeñas pendientes puede demostrarse que depende de la pendiente y de la tensión T por la expresión 1 d U T ( )2 x dx 2 d 2 2 Como k 0 cos(kx t ) y T v 2 , entonces energía potencial es: k dx 1 2 2 2 U ( 2 )k 0 x cos2 (kx t ) , o sea. 2 k 1 U 2 02 x cos 2 (kx t ) 2
Que coincide con el valor de la energía cinética. La energía total de un segmento de cuerda que transporta una onda armónica es E Ec U 2 02x cos 2 ( kx t ) Como vemos, la energía de un segmento varía con el tiempo. Como el valor medio de cos 2 (kx t ) en cualquier punto es ½, la energía media es 1
Em E ´2 02x cos 2 ( kx t ) ´2 02 x 2
1
Como x vt , E 2 02vt 2
La energía transmitida por unidad de tiempo es la potencia media: E 1 P 2 02 v dt 2
Ejemplo 3.8: Ondas de longitud de onda 35 cm y amplitud 1.2 cm se mueven a lo largo de una cuerda de 15 m que tiene una masa de 80 gramos y esta sometida a una tensión de 12 N. (a) Determinar la velocidad y la frecuencia angular de las ondas. (b) ¿Cuál es la energía total media de las ondas en la cuerda?. Solución a)
m 80 g 80 103 Kg v=?. v , pero densidad lineal es 5.33 103 Kg / m 15m L 15m T
v
T
=
12 N
5.33 10 3 Kg / m
47.4 m/s
Frecuencia angular 2 f 2
v
47.4 m/s
2
0.35 m
851 rad / s
62
b)
1
La energía total media de las ondas en la cuerda viene dada E 2 02 x , con 2
x m 80 g E
c)
3.11
1 2
(m) 2 02
E 4.17 J Calculando la energía total media transmitida por unidad de tiempo a lo largo de la cuerda es: P 13.2 w ONDAS LONGITUDINALES ARMONICAS DEL SONIDO Consideremos un pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicas unidimensionales en un tubo largo y delgado que contiene un fluido. Entonces se observa que el pistón oscila armónicamente en función de Seno o Coseno, las regiones de compresión y rarefacción son formadas continuamente. Como estas se regiones viajan a través del tubo, cualquier elemento pequeño del medio se mueve con movimiento armónico simple paralelo a la dirección de la onda. Si s(x,t) es la posición del pequeño elemento en relación a su posición de equilibrio, podemos escribir:
s( x, t ) s0Cos(kx wt ) Donde s0 es la amplitud de la oscilación del pequeño elemento, denominado con frecuencia amplitud de desplazamiento de la onda, k es el número de onda y w es la frecuencia angular del pistón, x dirección de propagación de la onda de sonido.
La variación en la presión del fluido p medida desde su valor en el equilibrio es también periódica. En efecto del
P 2 s resultado de ondas longitudinales 0 2 , se tiene: x t P 2 0 2 s0C os(kx wt ) 0 w2 s0Cos( kx wt ) x t 0 w2 s0 De aquí que: P Sen(kx wt ) k Tomando el resultado que w kv , se tiene: P 0 wvs0 Sen(kx wt )
63
Que también podemos escribir como:
P P0 Sen(kx wt ) Donde P0 0 wvs0 Así, podemos ver que la onda sonora puede ser considerada como una onda de desplazamiento de amplitud s0 o como una onda de presión de amplitud P 0 .
Ejemplo 3.9: o
o
a)
¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 85 Hz y amplitud de presión 103 atm? La amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 233 Hz es 106 m , ¿Cuál es la amplitud de presión de esta onda?. Tomar como velocidad del sonido 340 m/s y densidad del aire 1at m=101.3 KPa. 1.29 kg / m3 y tener presente que 1atm=101.3 como s0
s0 b)
P 0 , además w 2 f 0 wv 103 (101.3 103 Pa) 1
Solución
4.32 104 m
2 (85 s )(1.29kg / m )(340m / s) Remplazando en el resultado P0 0 wvs0 , se tiene: 3
P0 0 (2 f )vs0 2 (1.29kg / m3 )(233 / s )(340m / s )(106 m ) 0.64 Pa. 3.12 ESPECTRO ACÚSTICO Se describe el espectro acústico, (sonoro) de sonido: El oído humano sano puede detectar ondas entre límites aproximados de 20 a 20000 Hz. Las ondas que poseen una frecuencia inferior a los 20 Hz se denominan infrasónicas y las superiores a 20000 Hz ultrasonidos, se usan en medicina para formar imagines y detectar movimientos. Las notas musicales van desde unos 30 Hz hasta 4000 Hz. El patrón actual para afinar instrumentos musicales asigna 440 Hz a la nota La. La sensación de sonoridad de sonoridad es la percepción la percepción sonora que el hombre tiene de la intensidad la intensidad de un sonido. La sonoridad se mide mediante una magnitud llamada llamada fonio, fonio, que utiliza una escala arbitraria cuyo cero (el llamado llamado umbral de audición) corresponde audición) corresponde a I0 110 1012 W / m2 .
Ejemplo 3.10: ¿Cuál es el intervalo de longitud de onda de sonido audible sobre nivel del mar? Solución El intervalo de frecuencia es de 20 a 20000 Hz. 1.013 105 Pa P Velocidad del sonido en el aire (a 20 ºC) es: v 1.4 343.78 m / s , de modo que el 1.20 Kg / m3 intervalo de longitudes de onda audibles se extiende desde
Hasta
v 343 m / s 0.0171 m f 20000 Hz 343 m / s 20 Hz
17.1 m
64
3.13
INTENSIDAD DEL SONIDO Se define intensidad I de una onda es la energía transportada por unidad de área y por unidad de tiempo. Se determina experimentalmente midiendo la energía E que incide sobre un detector ( por ejemplo un micrófono) en un tiempo t. Entonces la intensidad es igual a esta energía dividida por el tiempo y por el área A del detector: En el SI, la unidad de intensidad es joules por metro cuadrado por segundo ( J / m2 .s ), o ( W / m2 ). Supongamos una fuente puntual de ondas situada en un medio homogéneo. El movimiento ondulatorio se propaga en todas las direcciones de forma isótropa. La energía fluye radialmente desde la fuente en todas las direcciones del espacio. Así pues, la intensidad del movimiento ondulatorio a una distancia r de de la fuente emisora vale,
Siendo P la la potencia de la fuente emisora.
Ejemplo 3.11: Durante un intervalo de 5 segundos un micrófono de área efectiva de 3 cm2 recibe 1.5 1011 J de energía sonora. ¿Cuál es la intensidad del sonido? Solución E 1.5 1011 J La intensidad del sonido es I 108 J / m2 s 108W / m 2 4 2 At (3 10 m )(5 s) Esta es más o menos la intensidad del sonido en una conversación normal. En una onda sinusoidal la intensidad esta relacionado con la amplitud de la presión P 0 por
P 02 I 2 v En donde es la densidad del medio y v es la velocidad de la onda en el medio. Ejemplo 3.12: ¿Cuál es la amplitud de presión del sonido con una intensidad de 106W / m2 ?. Solución De la tabla, la densidad del aire y la velocidad del sonido en el aire son, respectivamente, 1.2 Kg / m3 y 343 m/s, de modo que la amplitud de la presión: P0 2 vI 2(1.2Kg / m3 )(343m / s)( )(106W / m2 )
P0 2.86 102 N / m2 Esta es la diferencia que existe entre la presión máxima en la onda y la presión del aire no perturbado. Ejemplo 3.13: Cierta fuente puntual emite ondas sonoras de 80 W de potencia. a) Calcula la intensidad de las ondas a 3,5 m de la fuente. B) ¿A qué distancia de la fuente el sonido es de 40 dB? Solución P w 80 a) I = 0,51 2 2 2 m 4 r 4 (3,5) 40 I I I b) Β = 10 log log log 10 I 0 I 0 10 I 0
65
4 = log
I I 0
104 =
I
I = 104 ·I0 = 104 ·10-12 = 10-8 w/m2
I 0
P 80 2,52·104 m 8 4 I 4 ·10 Expresión general para la intensidad de un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia angular y de amplitud 0 que se propaga en un medio de densidad con velocidad v . R=
1 I v 2 02 (Unidad de medida W/m2) 2 3.14 NIVEL DE INTENSIDAD SONORA. Como el rango de intensidades del oído humano es muy amplio 10-12 W/m2, para la medida de la intensidad suele utilizarse una escala logarítmica que se llama escala de nivel de intensidad. Se define nivel de intensidad de una onda sonora como β = 10 log
I
I 0
. Se mide en decibelios dB. I; intensidad de
la onda sonora. I0; nivel de referencia de la intensidad, umbral 1012 W / m2 . Si I 1012 W / m2 β = 0 dB umbral de audición. Si I=1 W / m2 β = 120 dB umbral del dolor. I Discusión, del resulta 10 log , donde I 0 1012 W / m2 es la intensidad de referencia estándar. El I 0 oído humano puede detectar sonidos con intensidades que van desde 1012 a 1 W / m2 . En la escala decibelica este intervalo se extiende desde I 1012 W / m2 10 log(1) 0 dB 10 log 10 log 12 I0 10 W / m2 Hasta: 10 log
1 W / m2 12
2
10 log 1012 120 dB
W /m A niveles de intensidad por encima de 120 dB la sensación cambia de sonido a dolor; es decir, la onda se siente más que se oye. Tabla 4. Niveles e intensidades sonoras de algunos sonidos comunes Nivel sonoro (dB) Intensidad( W / m2 ) Sonido 10
0
1012
Umbral de audición
10
1011 10 10 109
Susurro de las hojas
20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140
108 107 106 105 104
Cuchicheo (a 1 m de distancia Casa tranquila Casa normal, oficina tranquila Oficina normal Conversación normal, trafico normal Oficina ruidosa
103 102
Trafico intenso Dentro de un ferrocarril subterráneo Taller de maquinaria
100 102
Taladro neumático (a 2 m), umbral del dolor Avión a reacción (a 30 m)
66
3.15 CONTAMINACIÓN ACÚSTICA Y CALIDAD DE VIDA. Los órganos internacionales en materia acústica recomiendan que el sonido ambiental no supere los 55 dB de día y 35 dB de noche. Se considera que hay contaminación sonora cuando el sonido supere los 70 dB durante prolongados intervalos de tiempo. La exposición prolongada a niveles de alta sonoridad puede acarrear problemas auditivos (perdida irreversible de la capacidad auditiva), irritabilidad, falta de concentración, estrés, fatiga, alteraciones del ritmo respiratorio, problemas digestivos. El problema es mayor en áreas urbanas (densidad de tráfico elevada) o cerca de los aeropuertos, locales de ocio (discotecas), centros de trabajo (industrias). La contaminación acústica viene contemplada en las normativas de seguridad e higiene en el trabajo. Medidas contra la contaminación acústica: Pasivas o Paliativas: tratan de amortiguar la propagación del sonido o su impacto. Ej. Insonorización de locales o viviendas, muros de apantallamiento localizados en vías urbanas, barreras verdes, empleo de cascos antirruido. Por ejemplo la legislación española obliga a los locales de ocio a aislar su recinto de los locales colindantes por medio de materiales absorbentes para evitar la contaminación acústica que producen. Locales que tienen una I=100 dB transmiten al exterior 65 dB. Activas (preventivas): actúan contra los focos emisores del ruido. Silenciadores y filtros para los motores, reducción del tráfico en algunas zonas de los cascos urbanos. Educativas: formación de los ciudadanos de actitud favorable al mantenimiento de un entorno sin contaminación sonora (fomento del transporte público).
3.16 APLICACIONES DE LOS ULTRASONIDOS . Loa ultrasonidos, Son ondas de frecuencia superior a 20000 Hz. No pueden ser detectados por el oído humano. Sonar : Es un instrumento que utilizan los barcos para detectar la profundidad a la que se encuentra el fondo marino o algún objeto que esté debajo de la superficie del agua. Emite ultrasonidos que se reflejan en el fondo o en el obstáculo (irregularidades del fondo, submarinos, bancos de peces) . Por el tiempo que tarda en captar el eco se puede determinar la distancia que separa el sonar ( el barco) del obstáculo que lo produce. Se utiliza en estudios oceanográficos ( fondo marino), barcos de pesca ( bancos de peces), militar ( detección de submarinos), estudio geológico del suelo ( encontrar petróleo). Radar : Similar al sonar pero utiliza ondas electromagnéticas ( microondas). Ambos permiten determinar la posición de los objetos, su trayectoria y su velocidad. El radar tiene uso militar, en la navegación aérea y marítima y en el tráfico terrestre. Ecografía: Consiste en registrar los ecos ultrasónicos producidos por los distintos órganos corporales. Se hace incidir los ultrasonidos en una zona concreta del cuerpo y a medida que penetran en él son reflejados en aquellos puntos en los que cambia la densidad del cuerpo (zona que separa dos órganos). Los ultrasonidos reflejados se recogen en un aparato electrónico que analiza la posición de los tejidos , visualizándolos en un monitor en forma de puntos de diferente brillantez. La imagen obtenida puede ser estática, o si se reproducen toma sucesiva puede simular el movimiento del interior del cuerpo. Ej: el seguimiento de los embarazos. Se pueden visualizar múltiples zonas internas sin producir ningún daño, lo que no ocurre con los rayos X. La ecografía es útil en el estudio de la cavidad abdominal, el hígado, el bazo, el páncreas, los riñones, el útero, los vasos sanguíneos. Adquirió popularidad la ecografía del feto, que permitía conocer el sexo del futuro niño o niña, pero su interés fundamental radica en que con ellas se puede detectar precozmente enfermedades o anomalías del feto. duración (ondas de choque) para fragmentar Litotricia consiste en utilizar ultrasonidos de alta energía pero corta duración cálculos renales y biliares, evitando intervención quirúrgica. También se utiliza para acelerar la recuperación de lesiones traumáticas ya que aumentan la vascularización de la zona inflamada facilitando su curación. En el mundo animal los murciélagos emiten y escuchan ultrasonidos. Su sistema de navegación es similar a un sonar que les permite volar en la oscuridad. También las ratas, delfines y langostas utilizan ultrasonidos para obtener información del medio y comunicarse. Elefantes, ballenas y algunas aves usan infrasonidos.
67
PROBLEMAS RESUELTOS 1.
Cuál de las siguientes funciones describe ondas viajeras. Donde P, Q, R son Constantes:
Y1 ( x, t ) P( x t)3; Y2 ( x, t ) P (x t 2 B ); Y3(x ,t ) P cos(x 2 Rt 2 ) ; Y4 ( x, t )
R (Qx2 t )
Solución Y1 ( x, t ) P( x t ) , si corresponde a una onda viajera es de la forma (x+vt), con v=1. 3
Y2 ( x, t ) P( x t 2 B) , no es una onda viajera, porque no es de la forma (x+vt)
Y3 ( x, t ) PCos( x 2 Rt 2 ) , Cos( x 2 Rt 2 ) Cos (x Rt )( x Rt ) Se ve se trata de una onda viajera, hacia la derecha y hacia la izquierda simultáneamente, y no puede ser una onda. Y4 ( x, t ) R / (ax2 t 2 ) , no es forma de onda viajera. 2.
Una cuerda con ambos extremos fijos vibra con su modo fundamental. Las ondas tienen una velocidad de 32 m/s y una frecuencia de 20 Hz, la amplitud de la onda estacionaria en su antinodo es 1.20 cm. calcular la amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de a) 80 cm, b) 40cm, c) 20cm del extremo izquierdo de la cuerda. Solución La onda resultante es: Y Yi Yr 2 ASen( Kx)Cos (wt ) La amplitud en un antinodo es la máxima A=1.20 cm. Datos: v 32 m / s, f 20 Hz 1 32m / s 1.6 m 160 cm Calculando longitud de la onda: vT v f 20 / s
2 2 Calculando velocidad angular: w kv w v (3200) 40 rad / s 160 La ecuación de la onda es: Y 2.40Sen x Cos 40 t , (x cm, t s ) 80 a) x=80 cm Y0 2.40Sen (80) 2.40Sen( ) Y0 0 cm 80 b) x=40 cm Y0 2.40Sen (40) 2.40Sen Y0 2.40 cm 80 2 3.
La ecuación de una onda transversal que avanza por una cuerda está dada por Y 4Co s 2 (0.0005x 8t ) cm. Escribir la ecuación de la onda que, al agregarle ala onda dada, produzca ondas estacionarias en la cuerda. Solución Una onda estacionaria debe propagarse a la derecha y hacia la izquierda, Como la ecuación dada es: Y 4C os 2 (0.0005x 8t ) se propaga hacia derecha, se necesita una onda que se propague al izquierdo, debe ser de la forma: Y 4C os 2 (0.0005x 8t ) A B A B Comprobando, usando: CosA CosB 2C os C o s 2 2 Y 4 cos 2 (0.0005x 8t ) 4 cos 2 (0.0005x 8t ) Y 8Cos x Cos(16 t ) 1000
4.
La función de una onda estacionaria en una cuerda de 4 m. de longitud y 0.4 kg de masa es: Y 0.3sen(40t )c os(2x ) m, donde x en m y t en segundos. Hallar tensión en la cuerda. Solución Datos: L=4 m, m=0.4 kg, T=?,
68
m 0.4kg 0.1 kg / m 4m L Y 0.3sen(40t )c os(2x ) , comparando con: Y Asen(wt )c os(kx) Se tiene: w 40 rad / s, k 2 / m w 40rad / s v v 20 m / s k 2/m T (0.1kg / m)(20m / s )2 T 40 N Como: T v 2 , y
5.
Un hilo de longitud L=3 m y de masa m=300g tiene un extremo fijo y el otro pasa por una polea y sostiene un cuerpo de masa M=9 kg. ¿Qué tiempo gasta un pulso para recorrer todo el hilo? Solución Datos: L=3 m, m=300 g, M=9 kg, t=? L T Como t , además v v T Mg 9(9.76) 87.84 N m 0.3 0.1 kg / m L 3 Remplazando se tiene: v 30 m / s, t 0.1 seg
6.
Un vibrador de amplitud 3 cm y de periodo 0.5 segundos produce en un medio, ondas de 2 cm de longitud de onda. Escriba la ecuación de la onda, ¿si para t=0, la elongación es cero? Solución Datos: A 3 cm, T 0.5s, 2cm, Y ? si para t 0 x 0 Ecuación de la onda: Y Asen(Kx wt )
Como w
2
Además K
T 2
w 4 rad / s K
2
2cm Y 3sen( x 4 t ) cm
K / cm
7.
Dada la función de onda Y eb ( xv t ) es una solución de la ecuación diferencial de la onda, donde b es una constante. Solución b ( x v t ) Primero derivando la ecuación Y e con respecto a x: 2 y y (1) bebx bvt 2 b2 eb ( x vt ) x x Luego derivando con respecto a t: y 2 y bx bvt (2) bve 2 b2 v2 eb ( xvt ) t t 2 y 1 2 y Comparando (1) y (2) se tiene: 2 2 2 Lqqd. x v t
8.
El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y 20000 Hz. Calcular la longitud de onda de los sonidos extremos, si el sonido se propaga en el aire con la velocidad de 330 m/s. Solución v 330m / s 1 16.5 m Como: v f 1 f1 20 / s
69
2
9.
v 330m / s 2 0.0165 m f 2 2000 20000 0/ s
Dos ondas difieren en el nivel de sonido por 1dB. Determine la razón entre las intensidades. I B1 10l 0 g 1 I1 I2 I 1 I 0 B1 B2 10 log log 10 log( ) I0 I 2 I I 0 B2 10l 0 g 2 I 0 I I Del problema: B1 B2 1dB 1 10 log( 1 ) 0.1 log( 1 ) I 2 I 2 I 1 100.1 I 2
70
CUARTA UNIDAD DIDÁCTICA MECÁNICA DE FLUIDOS 4.1 DEFINICION DEL FLUIDO ESTADOS DE LA MATERIA. Generalmente se clasifica de acuerdo a algunos de los cuatro estados en que se encuentra: sólido, líquido, gaseoso y plasma. Un sólido tiene forma y volumen definidos. Un líquido tiene un volumen definido pero no una forma definida. Un gas no tiene ni volumen ni forma definidos. El plasma consiste en núcleos atómicos y electrones libres, es un gas ionizado con igual número de cargas positivas y negativas, sólo existe a altas temperaturas (> 2000 K); a pesar de ser poco común en la vida cotidiana, es el estado predominante de la materia en el universo. El Sol, las estrellas, el gas de la luz en un tubo fluorescente están en estado de plasma. Un sólido se comprime bajo la acción de fuerzas externas, pero si estas fuerzas dejan de actuar, tiende a retomar su forma y tamaño original, por esto se dice que tiene elasticidad. Según el tiempo de respuesta del cambio de la forma ante una fuerza externa o presión, la materia puede comportarse como un sólido, como un fluido u otro estado, por ejemplo plásticos, asfalto, grasa, miel, masilla, etc.
FLUIDO: Se conoce como fluido, cualquier sustancia que no tiene forma propia y se adapta a la forma del recipiente que lo contiene. Son fluidos los gases y los líquidos. Son sustancias capaces de "fluir"; aún con sus grandes diferencias en su comportamiento se describen con las mismas ecuaciones básicas. La diferencia entre uno u otro está en su compresibilidad. Un fluido: - Cambia su forma según el envase. - Se deforma continuamente bajo fuerzas aplicadas. - La atmósfera y el océano son fluidos. - El 97% de nuestro cuerpo es fluido, el manto de la tierra, etc. Para cualquier sustancia el estado líquido existe a una temperatura mayor que la del estado sólido, tiene mayor agitación térmica y las fuerzas moleculares no son suficientes para mantener a las moléculas en posiciones fijas y se pueden mover en el líquido. Lo común que tiene con los sólidos es que si actúan fuerzas externas de compresión, surgen grandes fuerzas atómicas que se resisten a la compresión del líquido. En el estado gaseoso las moléculas tienen un continuo movimiento al azar y ejercen fuerzas muy débiles unas con otras; las separaciones promedios entre las moléculas de un gas son mucho más grandes que las dimensiones de las mismas.
4.2 DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO La densidad está relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es, por lo general, más denso que otro más disperso), pero también lo está con el peso. Así, un cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también mucho más denso. Esto es debido a la relación w mg existente entre masa y peso. No obstante, para referirse al peso por unidad de volumen la física ha introducido el concepto de peso específico P e que se define como el cociente entre el peso w de un cuerpo y su volumen; v olumen; en resumen: La densidad es la concentración de la masa por unidad de volumen que ocupa. masa m volum lumen V La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m3, también se utiliza frecuentemente la unidad g/cm3 El peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen unidad de la misma sustancia considerada (Peso de la sustancia a la unidad de volumen), esta definición es considerada hoy en día como obsoleta y reprobable, siendo su denominación correcta la de densidad de peso. Peso de la sustacia sustacia w g Pe volumen de dicha sustancia V La unidad del peso específico en el SI es N / m3 .
Ejemplo 4.1: El peso específico (densidad de peso) del agua es: H2O (1000Kg / m3 )(9.8m / s 2 ) 9800N / m3
71
Tabla 4.1 Densidad de sólidos y líquidos a (20ºC) Sustancia
Densidad (g/cm 3)
Sustancia
Densidad (g/cm 3)
Acero
7.7-7.9
Oro
19.31
Aluminio
2.7
Plata
10.5
Cinc
7.15
Platino
21.46
Cobre
8.93
Plomo
11.35
Cromo
7.15
Silicio
2.3
Estaño
7.29
Sodio
0.975
Hierro
7.88
Titanio
4.5
Níquel
8.9
Volframio
19.34
Sustancia
Densidad (g/cm 3)
Sustancia
Densidad (g/cm 3)
Aceite
0.8-0.9
Bromo
3.12
Ácido sulfúrico
1.83
Gasolina
0.68-0.72
Agua
1.0
Glicerina
1.26
Agua de mar
1.01-1.03
Mercurio
13.55
Equivalencias:, L = Litro, 1ml 1cm3
Ejemplo 4.2: Un frasco de 200ml esta lleno de agua a 4 ºC. Cuando el frasco se calienta a 80 ºC, se derraman 6 gramos de agua. ¿Cuál es la densidad del agua a 80 ºC?, (suponer que la dilatación del frasco es despreciable). Solución 1. Calcular la masa original de agua en el frasco a 4 ºC utilizando 1 g / cm3 m V (1g / cm3 )(200cm3 ) 200 g 2. Calcular la de agua remanente, m’ después de derramar 6 g. m ' m 6g 200g 6g 194g 3. Utilizar este valor de m’ para determinar determi nar la densidad del agua a 80 ºC. m ' 194 g 0.97 g / cm3 ' 3 V 200cm 4.2.1 DENSIDAD RELATIVA Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el patrón el agua cuya densidad a 4 ºC es igual a 1000 kg/m3. Para gases la sustancia de referencia la constituye con frecuencia el aire que a 0 ºC de temperatura y 1 atm de presión tiene una densidad de 1,293 kg/m3. Como toda magnitud relativa, que se obtiene como cociente entre dos magnitudes iguales, la densidad relativa carece de unidades físicas. r
Densidad Densidad de la sus tan cia C H O densidad del agua 2
Ejemplo 4.3: Densidad relativa del agua r 1 Densidad relativa del aceite del algodón r 0.926 Como: r 0.926
C H 2O
aceite 0.926 H O 2
aceite 0.926(1000 Kg / m3 ) 926 Kg / m3
72
4.2.2 PRESIÓN DE FLUIDOS La presión es la magnitud que mide el efecto deformador de una fuerza sobre un sólido, a la vez es una magnitud escalar. La presión ejercida por una fuerza F sobre una superficie S es igual al cociente entre la intensidad componente normal de la fuerza y la superficie P P n S La unidad de medida recibe el nombre de pascal de pascal (Pa). La fuerza que ejerce un fluido en equilibrio sobre un cuerpo sumergido en cualquier punto es perpendicular a la superficie del cuerpo. En la figura, se muestran las fuerzas que ejerce un fluido en equilibrio sobre las paredes del recipiente y sobre un cuerpo sumergido. En todos los casos, la fuerza es perpendicular a la superficie, su magnitud y el punto de aplicación se calculan a partir la ecuación la ecuación fundamental de la estática de fluidos.
UNIDADES DE MEDIDA PRESIÓN Y SUS FACTORES DE CONVERSIÓN La presión atmosférica es de aproximadamente de 101325 pascales (101,3 KPa), a nivel de mar. Unidades de presión y sus factores sus factores de conversión
Pascal 1 Pa (N/m²)=
Bar
N/mm²
kp/m²
kp/cm²
atm
Torr
1
10-5
10-6
0.102
0.102×10-4
0.987×10-5
0.0075
100000
1
0.1
10200
1.02
0.987
750
1 N/mm² =
106
10
1
1.02×105
10.2
9.87
7500
1 kp/m² =
9.81
9.81×10-5
9.81×10-6
1
10-4
0.968×10-4
0.0736
1 kp/cm² =
98100
0.981
0.0981
10000
1
0.968
736
1 atm (760 Torr) =
101325
1.013
0.1013
10330
1.033
1
760
1 bar (daN/cm²) =
1 Torr (mmHg) = 133 0.00133 1.33×10-4 13.6 0.00132 0.00132 También se utilizan los milímetros de columna de agua (mm c.d.a.): 1 mm c.d.a. = 10 Pa
1
4.3 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO EN REPOSO
a) LIQUIDOS Consideremos una porción de fluido en equilibrio de altura dy y de sección S, situada a una profundidad y del del recipiente que se toma como origen.
dw = (dm)g = ( ( dV ) g gdV gSdy
Las fuerzas que mantienen en equilibrio a dicha porción de fluido son las siguientes:
73
El peso, que es igual al producto de la densidad del fluido, por su volumen y por la intensidad de la gravedad, ( gSdy ). La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara superior, PS La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara inferior, ( P dP)S La condición de equilibrio establece que ( P dP)S PS gSdy gSdy 0 dP g , cambio de presión es positivo (+), para dy positivo. dy En consecuencia la presión aumenta al aumentar la profundidad
P
P o
y
dP g dy P=Po gy 0
Ejemplo 4.4: ¿Cuál es la presión a una profundidad, 1m, 10m, 100m, 273m en el lago Titicaca?, suponga que 1.03 103 Kg / m3 , como densidad del agua de lago Titicaca y que Po 0.6512 105 Pa es la presión atmosférica en la superficie del lago. Solución Por definición tenemos: P Po gy
P 0.6512 105 Pa (1.03103 Kg / m3 )(9.76m / s2 )Y Pa P 0.6512 105 Pa 0.10053105Y Pa 5 En: y 1m es P=0.752 10 Pa y 10m es P= 1.66 105 Pa . b) GASES (LA PRESIÓN ATMOSFERICA) Se procede de forma análoga y se obtiene: dP g dy dP=- gdy Cambio de presión es negativo. Es decir la presión disminuye al aumentar la altura. Considerando que la densidad varía con la presión, es proporcional a P, se considera que la temperatura no varía. P dP ( o ) gdy =( o ) P dP=-g( o ) Pdy o P o Po P o Po P y
P o dP 0 y lnP g dy gy P o P P0 0 P o P o 0 P
P=Poe y donde =
o Po
g y =0.116/Km
Ejemplo 4.5: Calcular la presión atmosférica en la ciudad universitaria UNA y la densidad del aire que existe. Solución y Por definición: P Po e , =0.116/Km =0.116/Km Ciudad universitaria se encuentra a 3814m snm, entonces y = 3.814 Km y Po 1.013 105 N / m2 Snm, por consiguiente PUNA 1.013 10 N / m e 5
2
(
0.116
Km
)( 3.814 Km )
PUNA 0.6425 105 Pa 64.25KPa Calculando la densidad de aire en la ciudad universitaria:
74
como =
o P0
g o
P UNA g
0.764 Kg / m3 o 0.
NOTA: Resultado de una Tesis, podemos tomar también para calcular la presión atmosférica P 1.210 h e h(m) h en metros. P 0 4
4.4
PRESIÓN BAROMÉTRICA Y MANOMETRICA
4.4.1 EXPERIENCIA DE TORRICELLI Para medir la presión atmosférica, Torricelli empleó un tubo de 1 m de longitud, abierto por un extremo, lo llenó de mercurio y le dio la vuelta sobre una vasija de mercurio. Comprobó que el mercurio bajó hasta una altura de 760 mm sobre el líquido de la cubeta. Puesto que el experimento se hizo al nivel del mar, decimos que la presión atmosférica normal es de 760 mm de Hg. La explicación de este resultado es que la atmósfera ejerce una presión que impide que todo el mercurio salga del tubo. Cuando la presión atmosférica iguala a la presión ejercida por la columna de mercurio, el mercurio ya no puede salir por el tubo. Dado que el extremo cerrado del tubo se encuentra casi al vacío P=0, y sabiendo la densidad del mercurio es 13.55 g/cm3 ó 13550 kg/m3 el valor de la presión atmosférica es P gh (13550)(9.81)(0. (0.76) Pa 101023 Pa 1.01105 Pa Si fuese el experimento en la UNA-Puno, entonces la altura h de mercurio es: De la definición: PUNA P(vacio) gh, P(vacio) 0 P 64.25KPa h UNA g 13.6 103 Kg / m3 (9.76m / s 2 ) h 0.4840 m=48.40 cm=484.0 mmHg
EXPERIENCIAS EXPERIENCIAS TOMADAS DE LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA El hecho de estar rodeados por una masa gaseosa (aire), (aire), y al tener este aire un peso actuando sobre sobre la tierra, quiere decir que estamos sometidos a una presión (atmosférica), la presión ejercida por la atmó la atmósfera sfera de la tierra, la tierra, se se mide normalmente por medio del barómetro (presión barométrica). Al nivel del mar el valor de la presión es cercano a 760 mmHg (101,35Kpa), disminuyendo estos valores estos valores con la altitud. Tabla 4.2 variación de presión con la altura H (m) 20,000 12,000 10,000 8,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,500 1,000 500 0
P (mmHg) 41.4 145.0 198.2 266.9 353.8 405.1 462.3 525.8 596.2 634.2 674.1 716.0 760.0
P (mbar)
T (ºC)
356 472 540 616 701 795 840 900 952 1013
-55 -55 -37 -24 -17.5 -11.0 -4.5 2.0 5.2 8.5 11.8 15.0 15.0
Humedad relativa
5% 10% 20% 30% 40% 60% 80%
75
4.4.2 PRESION MANOMETRICA O PRESION RELATIVA La presión absoluta es toda la presión la presión que se aplica en una superficie. Se mide en pascales. en pascales. Equivale Equivale a la presión atmosférica más la presión la presión manométrica. Pabs Po P man , P o presión atmosférica
MEDIDA DE LA PRESIÓN. MANÓMETRO Para medir la presión empleamos un dispositivo denominado manómetro. Como A y B están a la misma altura la presión en A y en B debe ser la misma. Por una rama la presión en B es debida al gas encerrado en el recipiente. Por la otra rama la presión en A es debida a la presión atmosférica más la presión debida a la diferencia de alturas del líquido manométrico. P A Po gh PB Po gh
4.4.3 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA Es un hecho experimental conocido que la presión en el seno de un líquido aumenta con la profundidad. Para calcular consideremos una superficie imaginaria horizontal S, ubicada a una profundidad h como se muestra en la figura. La presión que ejerce la columna de líquido sobre la superficie S será: w gV gSh gh P S S S Es decir que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico ( g ) del líquido y de la distancia (h) a la superficie S. La diferencia entre las presiones de dos puntos de un mismo líquido es igual a: Como. g PB P A gh P Pr esión en el punto B Siendo: B P A Pr esión en el punto A Densid Densidad ad del liquido liquido Este resultado constituye el teorema fundamental de la hidrostática.
76
4.4.4 LA PARADOJA HIDROSTÁTICA Si se ponen en comunicación varias vasijas de formas diferentes, se observa que el líquido alcanza el mismo nivel en todas ellas. A primera vista, debería ejercer mayor presión en su base aquel recipiente que contuviese mayor volumen de fluido. La fuerza debida a la presión que ejerce un fluido en la base de un recipiente puede ser mayor o menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en esencia la paradoja hidrostática. Como se ha demostrado, en el principio fundamental de la hidrostática, la presión solamente depende de la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma de la vasija que lo contiene. Como es igual la altura del líquido en todos los vasos, la presión en la base es la misma y el sistema está en equilibrio.
4.5 EQUILIBRIO DE LOS LIQUIDOS NO MISCIBLES EN TUBOS EN “U” Una aplicación de la ecuación fundamental de la estática de fluidos es la determinación de la densidad de un líquido no miscible con agua mediante un tubo en forma de U, comparando las diferentes alturas de las columnas de fluido sobre la capa de separación. Fundamentos físicos En esta experiencia aplicamos la ecuación la ecuación fundamental de la estática de fluidos Se comparan dos líquidos inmiscibles, el agua, cuya densidad es conocida (1.0 g/cm3).y un líquido de densidad desconocida. Dado que A y B están a la misma altura sus presiones deben ser iguales: La presión en A es debida a la presión atmosférica más la debida a la altura h2 de la columna de fluido cuya densidad 2 queremos determinar. P Ä Po 2 gh2 La presión en B es debida a la presión atmosférica más la debida a la altura h1 de la columna de agua cuya densidad conocemos P B Po 1 gh1
h2 2 h1 Las densidades de los dos líquidos no miscibles están en relación inversa a las alturas de sus columnas sobre la superficie de separación en el tubo en forma de U. Igualando las presiones en A y B, P A P B , obtenemos
1
4.6 PRINCIPIO DE PASCAL (LA PRENSA HIDRÁULICA) La ecuación fundamental de la estática de fluidos afirma que la presión depende únicamente de la profundidad. El principio de Pascal afirma que cualquier aumento de presión de presión en la superficie de un fluido se transmite a cualquier punto del fluido. Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica. Se tiene dos émbolos de sección circular de radio r 1 a la izquierda y de radio r 2 2 a a la derecha, si ponemos pesas en uno de los émbolos este bajará y subirá el otro émbolo. Émbolos a la misma altura Se aplica una fuerza F 1 a un pequeño émbolo de área S1. El resultado es una fuerza F 2 2 mucho mucho más grande en el émbolo de área S2 . Debido a que la presión es la misma a la misma altura por ambos lados, se verifica que
P
S F1 F2 F2 2 F 1 S1 S2 S 1
S 2 S 1
: Ventaja mecánica
77
Además si V es el volumen del líquido desplazado, entonces S Ve Ve S1e1 S2 e2 e2 ( 1 ) e1 S 2 Para mantener a la misma altura los dos émbolos, tenemos que poner un número de pesas sobre cada émbolo de modo que se cumpla la relación dada en el apartado anterior. 1
2
Donde n1 y n2 es es el número de pesas que se ponen en el émbolo izquierdo o derecho respectivamente, r 1 y r 2 2 son sus radios respectivos, m es la masa de cada pesa.
Ejemplo 4.6: Si r 2 es el doble de r 1, el área S2 del émbolo de la derecha es cuatro veces mayor que el área S1 del émbolo de la izquierda. Para que los émbolos estén a la misma altura, a la derecha tenemos que poner cuatro veces más de pesas que a la izquierda. r 2=2r 1 entonces S2=4S1 luego, n2=4n1 Émbolos a distinta altura Un ejercicio interesante, es el de determinar la altura de ambas columnas de fluido cuando se ponen n1 pesas en el émbolo de la izquierda y n2 pesas pesas en el émbolo de la derecha. Sean A y B dos puntos del fluido que están a la misma altura. El punto A una profundidad h1 por debajo del émbolo de área S1 y el B situado h2 por por debajo del émbolo de área S2 .
La presión en cada uno de dichos puntos es la suma de tres términos La presión atmosférica La presión debida a la columna de fluido La presión debida a las pesas situadas sobre el émbolo
P A P0 gh1
n1mg r12
y PB Po gh2
n2mg r 22
Para determinar h1 y h2 en en función de los datos n1 y n2 , precisamos de dos ecuaciones La primera ecuación es P A P B La segunda ecuación, nos indica que el fluido incomprensible pasa de un recipiente al otro, pero el volumen V de fluido permanece invariable. Por ejemplo, si h1 disminuye, h2 aumenta. Como consecuencia, el fluido pasa del recipiente izquierdo al derecho, hasta que se establece de nuevo el equilibrio. es la altura inicial de equilibrio. r12 h1 r22 h2 ( r12 r22 ) h0 , donde h0 es
Ejemplo 4.7: Ponemos tres pesas en el émbolo de la izquierda, y ninguna pesa en el émbolo de la derecha, n1=3, n2 =0. =0. El émbolo izquierdo baja y sube el émbolo derecho. Sea el radio del émbolo de la izquierda r 1=5 cm =0.05 m El radio del émbolo de la derecha r 2 2=10 = 10 cm =0.1 m La altura inicial de equilibrio es h0 =20 =20 cm =0.2 m La densidad del agua es ρ=1000 kg/m3 La masa m de cada una de las pesas es 250 g=0.25 kg. La presión atmosférica P 0 se simplifica en la primera ecuación
Para hallar las alturas de equilibrio h1 y h2 tenemos tenemos que plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Igualdad de presiones a la misma altura P A P B
78
1000( gh1 )
(3)(25) g
(0.05) 2
1000( gh2 )
El agua pasa del recipiente izquierdo al recipiente derecho, pero el volumen total de fluido permanece invariable (0.05)2 h1 (0.1)2 h2 (0.05)2 (0.1)2 (0.2) La solución es h1=0.124 m=12.4 cm y h2 =0.219 =0.219 m=21.9 cm
4.7
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad? Se sabe que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en él.
Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.
PRINCIPIO DE ARQUIMIDES El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. E Wliquido desalojado
E liqVS gV S V S : volumen volumen sumergido sumergido F E : E: empuje hidrostatico Ejemplo 4.8: EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue la masa total corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo. En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que desplazaba 25.3 cm3 . Por lo tanto, la densidad del oro es:
79
oro 500 g / 25.3 cm3 19.76 19.76 g / cm3
Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido desplazado por la corona real, de 2,5 kilogramos, debería haber sido: Vcorona 2500 g / 19.76 g / cm3 126.5 cm3 A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 166 cm3 , o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su densidad. Como el volumen desplazado resultó 95.2 cm3 , se tiene que: plata 1000 g / 95 95.2 g / cm3 10.5 g / cm3 Sabemos que la masa total de la corona es 2500 g. (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces: Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3 V plata 166 V oro mcorona=moro+mplata=2500 g. Si reescribimos la última ecuación en función de la densidad y el volumen, nos queda que: 19.76 g / cm3 (Voro ) 10.5 g / cm3 (V plata ) 2500 g Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que: 19.76 g / cm3 (Voro ) 10.5 g / cm3 (166cm3 Voro ) 2500g de donde se despeja la incógnita: Voro 81.75 cm3 con lo que se deduce que: moro oroVoro 19.76 g / cm3 (81.75 cm3 ) 1615.38 g m plata mcorona moro 2500 g 1615.38 g 884.62 g De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 884.62 g. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido.
4.8 FLOTACION DE CUERPOS Cuando un cuerpo se apoya o se sumerge en un líquido (o en un fluido) recibe de éste una fuerza vertical de abajo hacia arriba llamada empuje (E ).). El empuje puede ser mayor, menor o igual al peso del cuerpo; no depende del peso del cuerpo, no tiene nada que ver con el peso del cuerpo. ¿De qué depende el empuje? El empuje es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo. Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido recibe de éste una fuerza hacia arriba llamada E W Liq empuje que es igual al peso del fluido desalojado. ( ). Se presentan básicamente tres posibilidades: que el cuerpo esté reposando en el fondo, que el cuerpo esté buceando y que el cuerpo esté flotando. Luego, si el empuje es mayor que el peso del cuerpo extraño, el cuerpo ascenderá y terminará flotando. Si el empuje resulta menor que el peso del cuerpo extraño, entonces se irá al fondo.
Cuerpo flotando en la superficie Cualquier canoa, cualquier cuerpo que flote, tiene un volumen propio al que podemos dividir mentalmente en dos: una parte sobre la línea de flotación y otra parte debajo de la línea de flotación. El volumen de la parte inferior, el que queda bajo la línea de flotación, no es otro que el volumen de líquido desalojado. Según el principio de Arquímedes, el empuje que recibe para poder flotar es igual al peso de ese líquido desalojado. No olvidarse, que la flotación es un equilibrio, por lo tanto 80
E W Liq ( Peso Liquido desalojado desalojado) Ahora volvemos a la situación en la que el cuerpo estaba totalmente sumergido pero no sabemos cuál va a ser su destino. Y es así: si el empuje es mayor que el peso del cuerpo, entonces flotará; y si el empuje es menor que el peso del cuerpo, se hundirá.
E W
→
se hunde
E W
→
flota
Pero cuando el cuerpo está sumergido, su volumen es igual al del líquido desalojado, de modo que podemos dividir ambos miembros por el volumen y se obtiene → se hunde Liq c Liq c
→
flota
Con lo cual arribamos a la conclusión de que la flotabilidad de los cuerpos depende exclusivamente de la densidad relativa entre el cuerpo y el líquido en el cual nada. Y eso vale para todos los cuerpos, sean sólidos o líquidos: el aceite flota en agua porque su densidad es menor.
APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Un globo de goma tiene 8 g de masa cuando está vacío. Para conseguir que se eleve se infla con gas de ciudad. Sabiendo que la densidad del aire es de 1,29 kg/m3 y la del gas de ciudad 0,53 kg/m3 determinar el volumen que, como mínimo, ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse. Para que el globo inicie el ascenso, la fuerza del empuje ha de ser superior a la del peso: E W En virtud del principio de Arquímedes: E aire gV En este caso el fluido desalojado es el aire. Por otra parte, el peso W será la suma del peso del globo más el peso del gas ciudad que corresponde al volumen V , es decir: W 8 103 kg ( g ) gas gV Entonces aplicado E W V aire g 8 103 kg (g ) V gasg 3
8 103 kg
V ( aire gas ) 8 10 kg V
( aire gas )
V
8 103 kg (1.29 053)kg / m
3
10.5 103 m3
El volumen minino será, por tanto, de 10.5 litros.
EJERCICIOS 1. En la figura se muestra un pistón de masa despreciable de área A 1 m2 acoplado a un resorte de constante K 5 105 N / m . Si el recipiente contiene aceite y agua como se indica, determine la deformación, en cm, del resorte. Aceite 800 Kg / m3 , g 10m / s 2 . Solución La presión hidrostática total sobre el pistón será: P (800 Kg / m3 )(10m / s 2 )(2m) (1000 Kg / m3 )(10m / s 2 )(4m) P 56000 N / m2 Pa F PA 56000 N / m2 (1 m2 ) 56000 N
81
F Kx 56000 5 105 x
x 11.2 cm 2. Determinar la densidad en g / cm3 del liquido x ( Hg 13.6 g / cm3 ).
Solución
P A P B H O ghH O x ghx hg ghHg H O hH O x hx hg hHg 2
2
2
2
10 0.2 x (0.048) 13.6 103 (0.05) 3
200 0.048 x 680
x 10000 Kg / m3 10 g / cm3
3. ¿Cuál debe ser el valor de F 1 , en N, para frenar la faja que se mueve con velocidad v, si se debe desarrollar una fuerza de fricción de 100N sobre dicha faja. Se sabe que A2 / A1 10, 0.5. Solución f 100 N 0.5 f f N N 200 N
F2 N 200 N Aplicando prensa hidráulica F1 A1 A F1 F 2 1 F2 A2 A2 F1 200(1 /1 /10) 20 N 4. ¿Qué volumen de Agua en litros se debe añadir a un litro de lejía de cloro de densidad relativa al densidad del agua , 1.3; para que su densidad sea 1.2?. Solución 3 1 1.3 k g / dm (legia) m V =1.2 kg/dm3 m1 m2 m 2 1 k g / dm3 (agua) 1V1 2V2 (V1 V2 ) m1 1V 1 V1 1 litro(dm3 ) 1.3 1 1V2 1.2 1 1.2 V 2 m2 2V2 V 2 ? 0.1 0.2V2 V2 0.5 litros 5. Un bloque de madera cuyas dimensiones son 20 cm, 10 cm y 6 cm, flota en el agua con su superficie mayor horizontal, si su densidad es 0.7 g / cm3 ¿Qué altura (en cm) emerge fuera del agua? 0 E=W Si flota F liq gVs c gV c 1 (20 10 x ) 0.7 (20 10 6) x 4.2 cm
Emerge: h=6cm-4.2cm=1.8 cm.
82
6. ¿Cuál es la mínima área, en m2 , que deberá tener un bloque de hielo de 50 cm de espesor para que una alumna de 500N de peso, no se moje los pies?, hielo 0.9 g / cm3 . Solución E = Peso total E Walumna W hielo , a la vez E H O gV s , V s Vol.sum sumergid rgidoo 2
H2O gVs 500 hielo gV hielo , V s Vhielo A h, h 0.5 m
Kg m Kg m A m N ( 1 0 ) ( ) ( 0 . 5 ) 5 0 0 9 0 0 ( 1 0 ) A(0.5m) m3 s2 m3 s2 N N (5000 2 ) A 500 N (4500 2 ) A m m 2 A 1 m 7. Un cuerpo pesa 100 N en el aire, 80 N en el agua y 60 N en un liquido X. Calcular la densidad de X en el sistema internacional. Solución Datos: wa 100 N , wH O 80 N , wx 60 N Calculando empuje: E1 100 80 20 N E2 100 60 40 N Por definición: E gV H O gV 20 N (1) (2) x gV 40 N Dividiendo las ecuaciones (1) (2) , se tiene. 1000
2
2
x H2O
2, como H O 1000 1000 kg / m3 2
x 2000 kg / m3
8. Estudiantes de Agronomía para su aniversario preparan un globo aerostático llenado con 4 m3 de helio, además debe llevar banderola de la Escuela. ¿qué peso debe tener la banderola para que despegue el globo sin problemas?, helio 0. 0.160kg / m3 . Solución 3 Datos: V 4 m , densidad de aire en la UNA aire 0 0..77kg / m3 De la figura. E-w globo wx 0
w x E-w globo wx airegV globo heliogV helio w x gV helio ( aire helio ) w x 9.76m / s 2 (4m3 )(077 0.160)kg / m3 w x 23.8 N m 2.5 kg 4.9 DINÁMICA DE FLUIDOS Cuando un fluido está en movimiento, el flujo se puede clasificar en dos tipos: a) Flujo estacionario o laminar si cada partícula de fluido sigue una trayectoria uniforme y estas no se cruzan, es un flujo ideal. Por ejemplo el humo de cigarrillo justo después de salir del cigarro es laminar. En el flujo estacionario la velocidad del fluido permanece constante en el tiempo. Sobre una velocidad crítica, el flujo se hace turbulento.
83
b) Flujo turbulento es un flujo irregular con regiones donde se producen torbellinos. Por ejemplo el humo de cigarrillo en la parte superior alejada del cigarro es turbulento. El flujo laminar se vuelve turbulento por efecto de la fricción que también está presente en los fluidos y surge cuando un objeto o capa del fluido que se mueve a través de él desplaza a otra porción de fluido; se nota por ejemplo cuando corres en el agua. La fricción interna en un fluido es la resistencia que presenta cada capa de fluido a moverse respecto a otra capa. La fricción interna o roce de un fluido en movimiento se mide por un coeficiente de viscosidad η. Por efecto de la viscosidad parte de la energía cinética del fluido se transforma en energía térmica, similar al caso de los sólidos. Debido a que el movimiento de un fluido real es muy complejo, consideraremos un modelo de fluido ideal con las siguientes restricciones:
Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo Flujo estacionario, laminar . La velocidad en cada punto es constante. Rotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular 4.9.1 FLUJO Es la masa del fluido que atraviesa la sección recta en la unidad de tiempo. El flujo de fluidos puede ser permanente o no permanente, uniforme o no uniforme.
4.9.2 FLUJO PERMANENTE El flujo uniforme tiene lugar cuando el modulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido. 4.9.3 TIPOS DE MOVIMIENTO 1) MOVIMIENTO O RÉGIMEN LAMINAR El flujo es uniforme, de tal manera que capas vecinas de fluido se deslizan entre sí suavemente. Cada partícula sigue una trayectoria lisa (LINEA DE CORRIENTE),de tal manera que las trayectorias de dos partículas son siempre paralelas entre sí y paralelas a la velocidad del fluido.
2) MOVIMIENTO O RÉGIMEN TURBULENTO Existen círculos erráticos (remolinos),llamados corrientes secundarias o parásitas, de tal manera que las líneas de corriente se cruzan entre sí. Estas corrientes secundarias absorben mucha energía y generan una mayor cantidad de fricción interna (rozamiento) que en el movimiento laminar. El movimiento del fluido es muy complicado y muy variable con el tiempo.
84
4.10 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. 4.10.1 CAUDAL En En dinámica de fluidos, caudal es el volumen de fluido que pasa por un área dada por una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. El caudal de un río puede calcularse a través de la siguiente fórmula: Dónde: Q: Caudal m3/s A: Es el área el área m2 : Es la velocidad la velocidad linear promedio m/s. Dada una sección de de área A atravesada por un fluido con velocidad uniforme v , si esta velocidad forma con la perpendicular a la superficie A un ángulo θ, entonces el flujo se calcula como A v cos En el caso particular de que el flujo sea perpendicular al área A (por tanto θ = 0 y cosθ = 1) entonces el flujo vale Av
4.10.2 ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD Cuando una masa de un fluido ingresa por el extremo de un tubo debe salir por el otro. Por lo tanto, en una porción de tubo Fig. Si la masa del fluido que entra por A1 con velocidad v1 es: (1) m (V ) ( A1v1t ) La masa que sale por A2 con velocidad v2 es: m (V ) A2v2t (2) Entonces de la ecuación (1) y (2) tenemos: A1v1t A2v2t A1v1 A2v2 cte Av cte Ecuacion de continuidad Esta ecuación expresa la conservación de la masa y nos indica que si la sección del tubo del flujo disminuye la velocidad del fluido aumenta.
4.11 ECUACIÓN DE BERNOULLI Fue descubierto por Daniel Bernoulli en 1783 y dice: “en un fluido perfecto (no viscoso) y en régimen estacionario, la suma de las energías, de Presión, Cinética, Potencial en cualquier punto del fluido es constante” (conservación de la
Energía). 1 m 1 P mv2 mgh cte , su equivalente es: P v2 gh cte
2
2
Prueba del Teorema:
De la ecuación del movimiento F x max , se tiene:
PdA-PdA-dPdA- g(dAdx)sen
dw dv ( g dt )
85
PdA ( P dP) dA g (dAdx) sen ma x Como: v
dP gdxsen (
dx )dv dt
dx y dxsen =dy dt
-dP- gdy= vdv dP 1 Integrando: vdv dy 0 g g P v 2 y cte g 2 g 1
P v2 gy cte 2
Conocido como ecuación de Bernoulli 1
1
2
2
P1 v12 gy1 P2 v22 gy2 PROBLEMAS 1)
El caudal de un fluido que circula por una tubería es de 18 litros/segundo; la velocidad y cuya sección transversal es de 200 cm2. ¿Cuál es la velocidad en m/s del fluido en un punto dado? Solución Por definición Q Av Del problema Q
18 L
s
3 3 10 m 3
18 103 m3 /s
dm 4 2 2 10 m ) 2 102 m2 A 200cm ( 2 cm 18 10 103 m3 / s Q v v 0.9 m / s Como: Q av v 2 102 m2 A
2)
s
3
18 dm
En una tubería Horizontal fluye agua con una velocidad de 4m/s bajo una presión de 4 105 Pa . La tubería se estrecha hasta la mitad de su diámetro. ¿Cuál es la presión, en KPa, del agua en este caso? Solución Por definición Av cte A1v1 A2v2 2 D1 A1 4 v2 v1 v2 v v2 16 m / s, por que v1 =4 m/s D1 2 1 A2 ( ) 4 2 Aplicando Bernoulli, para h1 h2 0 Nivel de referencia 1
1
1
2
2 1
2
P1 v12 P2 v22 P2 P1 (v12 v22 )
P2 4 10 105 N / m2 (1000kg / m3 ) (4m / s )2 (16m / s) 2
2 P2 2.8 10 Pa 280KPa 5
3)
La tubería de la figura tiene un diámetro de 8 cm en la sección 1 y de 4 cm en la sección 2. y la diferencia de alturas entre ambas secciones es de 60 m. Suponiendo que circula un fluido de peso específico 0.0098 N/cm3 , a razón de 0.2 m3 / s . Calcular la presión de bombeo en la sección 1.
86
Solución Por definición Q Av Q A1v1 Q A2v2 0.2m3 / s 2000 Q v1 m / s 39.79 m / s A1 (8 102 m)2 16 4
0.2m3 / s 2000 Q v2 m / s 159.15 m / s 4 A2 (4 102 m)2 4
1
1
Aplicando Bernoulli: P1 v12 gY1 P2 v22 gY2 , Y1 0( NR) 2 2 Considerando P2 65.12KPa , presión atmosférica a nivel del lago titicaca 1
P1 P2 (v22 v12 ) gy2 2
Como peso específico es: g 0.0098 N / cm3 1000kg / m3 kg kg 1 P1 65.12 103 Pa 103 3 (159.15m / s)2 (39.79m / s) 2 1000 3 (9.76m / s 2 )(60m) m m 2 P1 664.176KPa 4)
Se desea bombear agua desde el Lago Titicaca hasta localidad de Cancharani a través de una tubería de 4”
de diámetro. La diferencia de altura entre el Lago y Cancharani es 500m. a) ¿Cuál es la presión mínima con que debe bombearse el agua para que llegue hasta Cancharani? b) Si se bombea 4500 m3 diarios, ¿Cuál es la velocidad del agua en la tubería? c) ¿Cuál es la presión adicional necesaria para entregar este flujo? Solución Aplicando Bernoulli: 1
1
2
2
P1 v12 gY1 P2 v22 gY2 , Y1 0( NR) a) Pmin
Ecuación de continuidad: A1 A2 v1 v2 P0 y gY2 , Y2 500m, P0 y P 0Yanamayo Yanamayo
P0 y 61.44 KPa, para Y (3810m 500m) Pmin 61.44 KPa (1000)(9.76)(500) Pa 4941.44KPa V V 4500m3 h 3 b) Ecuación de continuidad Q Av ( ) 0.052m / s t t 24h 3600s
A
4
d2
v
(0.10116)2 8.037 10 3 m2
4 0.052m3 / s
6.47m / s v 6.47m / s 8.037 103 m2 1 1 c) Pad H2O v2 (1000)(6.47)2 Pa 20.93KPa 2 2 5)
En la figura se representa un tubo de venturi para la medida del caudal, con el típico manómetro diferencial de mercurio. Hallar el gasto de agua sabiendo que la diferencia entre las alturas alcanzadas por el mercurio en las dos ramas vale 35 cm. Densidad de mercurio es 13.6g/cc.
Solución Aplicando Bernoulli:
87
1
1
2
2
P A vA2 gYA PB vB2 gY B Y A YB 0( NR ) 1 2
1 2
P A v A2 PB vB2 PA PB
1 2 2 (v B v A ) 2
EC. De continuidad A AvA AB vB 2
d 1 15cm d AvA d B vB vA B vB vA vB vA vB 4 4 4 30cm d A
2
2
2
1 2
P A PB (vB2
1 2 15 15 vB ) vB2 PA PB vB2 (*) 16 32 32
En la gráfica lectura del manómetro del Hg. PC PD PA g (0.35m) PB Hg g (0 .35m)
P A PB g (0.35m)( Hg ) 9.76(0.35)(13600 1000)Pa P A PB 43041.6Pa (**) Ec. (**) Remplazando en (*) 43041.6 N / m 2
15 32
vB2 vB 303 m / s
Caudal Q=Av Q= 6)
4
(0.15) 2 (303) m 3 / s Q 5.35 m 3 / s
Un tanque cilíndrico de 30cm de altura y un área de 400 cm2 se encuentra lleno de agua. Cual es el tiempo que demora en quedar completamente vació por un orificio en el fondo del tanque de 1 cm2 de área. Solución dV Def. de caudal S2v2 dV S2v2dt S1dy S 2v2dt dt S1dy S2 2 gy dt S1dy S 2 2gy dt t 0 dy dy S2 S 2 2 g dt g dt 2 gdt H 0 y S1 y S 1 t
S S 2 y 2 2 gt 2 H 2 2 gt H S1 S 1 0 S 1 1 400cm2 1 t 2 H ( )( ) t 2 0.30m ( ) ( ) 2 2 S2 cm 1 2 g 2(9.76)m / s 0
7)
Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen permanente. En un punto en que la presión es de 200 KPa la velocidad es de 10 m/s. Calcular la presión en otro punto del conducto en el que la velocidad es de 20 m/s. Solución Aplicando Bernoulli a los puntos (1) y (2): 1 2
1 2
P1 v12 P2 v22 200 103 Pa 0.5 103 100 Pa P2 0.5 103 400Pa P2 50KPa.
88
8)
Supongamos que se tiene un balde abierto y grande conteniendo agua de paredes verticales, el agua alcanza una altura de 1.20m. Además el balde descansa sobre una plataforma situada 2.40m por encima del suelo. Si se hace un orificio de 1 cm2 en una de las paredes laterales y justamente encima del fondo. ¿Donde golpea al suelo, el chorro de agua que sale del orificio? Solución 1
1
2
2
Por Bernoulli: P1 v12 gh1 P2 v22 gh2 Considerando: A1 A2 v1 0 Además tomando nivel de referencia en punto 2, h2 0
v2 2 gh1 v2 2(9.76)(1.20)m / s 4.84 m / s Calculando alcance de chorro de agua al piso: Por definición: R v2t v (*) 1
Como y gtv2 tv
2 y
2(2.40)
s tv 0.7 s 9.76 g Remplazando los valores en (*), se tiene: R (4.84m / s)(0.7s) 3.388 m, R 3.388 m 2
89
QUINTA UNIDAD DIDÁCTICA TEMPERATURA, DILATACIÓN Y CALOR 5.1 CONCEPTO DE TEMPERATURA La temperatura es la sensación física que nos produce un cuerpo cuando entramos en contacto con él. En la práctica, es una medida de que tan caliente o frío está un cuerpo. Desde un punto de vista microscópico, la temperatura se considera una representación de la energía cinética interna media de las moléculas que integran el cuerpo considerado. Esta energía cinética se manifiesta en forma de agitación térmica, que resulta de la colisión entre las moléculas del cuerpo y puede llegar a ser muy energética. En el plano macroscópico, el incremento de la temperatura produce diversos efectos perceptibles o mensurables, como un aumento del volumen del cuerpo, la disminución de la densidad, el cambio de estado o la modificación del color (por ejemplo, enrojecimiento). La temperatura se mide con termómetros y sensores de temperatura.
Pensemos en los termómetros que consisten en un pequeño depósito de mercurio que asciende por un capilar a medida que se incrementa la temperatura. Cuando un sistema de masa grande se pone en contacto con un sistema de masa pequeña que está a diferente temperatura, la temperatura de equilibrio resultante está próxima a la del sistema grande.
EQUILIBRIO TÉRMICO
Cuando dos cuerpos A y B que tienen diferentes temperaturas se ponen en contacto térmico, las moléculas que se encuentran en la frontera entre ambos experimentan colisiones hasta que las temperaturas respectivas de los cuerpos se equiparan. Finalmente, se alcanza una situación de equilibrio térmico, en el sistema aislado térmicamente (no hay transferencia de calor hacia el ambiente) el resultado se denomina “Ley cero de la Termodinámica”.
CONCEPTO DE CALOR Energía producida por la vibración acelerada de las moléculas, que se manifiesta elevando la temperatura y dilatando los cuerpos y llega a fundir los sólidos y a evaporar los líquidos. Suponemos que la temperatura del cuerpo A es mayor que la del cuerpo B (T A>T B), el calor es una forma particular de transferencia de energía por virtud de una diferencia de temperatura y que se aplica en procesos dinámicos.
El concepto de calor ésta muy ligada al concepto de temperatura, sin embargo no es lo mismo, describen dos situaciones bastante diferentes. La temperatura mide la energía interna de un cuerpo o energía cinética molecular
90
media; mientras que el calor es la energía en tránsito de un cuerpo (es la energía transferida de un sistema a otro debido a una diferencia de temperaturas entre los sistemas). Si los cuerpos A y B son los dos componentes de un sistema aislado, el cuerpo que está a mayor temperatura transfiere calor al cuerpo que está a menos temperatura hasta que ambas se igualan Si T A>T B
El cuerpo A cede calor: Q A C A (T TA ), entonces Q A 0 .
El cuerpo B recibe calor: Q B CB (T TB ), entonces QB 0 .
Como: Q A QB 0 La temperatura de equilibrio, se obtiene mediante la media ponderada T=
CA TA + CBTB CA + CB
UNIDADES DE CALOR Caloría Gramo: Se le llama también simplemente caloría (cal) y es la cantidad de calor que necesita para elevar la temperatura de 1 gramo de agua en 1ºC de 14.5 ºC a 15.5 ºC. 1 cal = 4.186 J, J = 0.24 cal Kcal = 1000 cal 1 BTU 1 Btu 252 cal 1.054 103 J . BTU: (Unidad Térmica Inglesa)
5.2 ESCALAS DE TEMPERATURA Los diferentes termómetros que existen se basaron en ideas con apariencia distinta, al usar diferentes puntos de partida en sus mediciones, pero como todos miden la agitación térmica de las moléculas, lo único que cambia es la escala empleada por cada uno de sus inventores. La temperatura se expresa en grados, por lo general en una de las dos escalas relativas: Centígrado (Celsius) Y Fahrenheit, o en una de las escalas absolutas: Kelvin y Ranking.
Se cumple:
ºC 5
º F 32 9
º K 273 5
º R 492 9
Una de las primeras escalas de temperatura, todavía empleada en los países anglosajones, fue diseñada por el físico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit. Según esta escala, a la presión atmosférica normal, el punto de solidificación del agua (y de fusión del hielo) es de 32 °F, y su punto de ebullición es de 212 °F. La escala centígrada o Celsius, ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius y utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0 °C al punto de congelación del agua y de 100 °C a su punto de ebullición. En ciencia, la escala más empleada es la escala absoluta o Kelvin, inventada por el matemático y físico británico William Thomson , lord Kelvin. En esta escala, el cero absoluto, que está situado en -273,15 °C, corresponde a 0 K, y una diferencia de un kelvin equivale a una diferencia de un grado en la escala centígrada.
91
EFECTOS DE LA TEMPERATURA La temperatura desempeña un papel importante para determinar las condiciones de supervivencia de los seres vivos. Así, las aves y los mamíferos necesitan un rango muy limitado de temperatura corporal para poder sobrevivir, y tienen que estar protegidos de temperaturas extremas. Las especies acuáticas sólo pueden existir dentro de un estrecho rango de temperaturas del agua, diferente según las especies. Por ejemplo, un aumento de sólo unos grados en la temperatura de un río como resultado del calor desprendido por una central eléctrica puede provocar la contaminación del agua y matar a la mayoría de los peces originarios.
Los cambios de temperatura también afectan de forma importante a las propiedades de todos los materiales. A temperaturas árticas, por ejemplo, el acero se vuelve quebradizo y se rompe fácilmente, y los líquidos se solidifican o se hacen muy viscosos, ofreciendo una elevada resistencia por rozamiento al flujo. A temperaturas próximas al cero absoluto, muchos materiales presentan características sorprendentemente diferentes (véase Criogenia). A temperaturas elevadas, los materiales sólidos se licúan o se convierten en gases; los compuestos químicos se separan en sus componentes. La temperatura de la atmósfera se ve muy influida tanto por las zonas de tierra como de mar. En enero, por ejemplo, las grandes masas de tierra del hemisferio norte están mucho más frías que los océanos de la misma latitud, y en julio la situación es la contraria. A bajas alturas, la temperatura del aire está determinada en gran medida por la temperatura de la superficie terrestre. Los cambios periódicos de temperatura se deben básicamente al calentamiento por la radiación del sol de las zonas terrestres del planeta, que a su vez calientan el aire situado por encima. Como resultado de este fenómeno, la temperatura disminuye con la altura, desde un nivel de referencia de 15 °C en el nivel del mar (en latitudes templadas) hasta unos -55 °C a 11.000 m aproximadamente. Por encima de esta altura, la temperatura permanece casi constante hasta unos 34.000 m.
5.3 CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECIFICO CAPACIDAD CALORIFICA Decimos que una cantidad de calor Q se transfiere desde el sistema de mayor temperatura al sistema de menor temperatura. La cantidad de calor transferida es proporcional al cambio de temperatura T . La constante de proporcionalidad C se se denomina capacidad calorífica del sistema. Q T Q C T dQ C , unidades: cal/ºC, cal/K, J/ºC, J/K dT
CALOR ESPECIFICO (Ce c) Si a dos cuerpos de igual masa pero de diferentes materiales se les suministra la misma cantidad de calor, la temperatura final de los dos cuerpos es diferente debido a una propiedad que caracteriza a cada material denominada Calor específico, denotado por c y se define como la cantidad de calor que se le debe entregar a 1 gramo de sustancia para aumentar su temperatura en 1 grado Celsius. Matemáticamente, la definición de calor específico se expresa como: dQ / dT dQ Ce c , cal / g º C , J / kg º C , J / kgK m mdT Ejm: Calor especifico del agua c H 0 1cal / g º C 4186 J / kg º C
2
chielo 0.5cal / g º C 2093J / kg º C , a (-10 ºC). cvapor 0.5cal / g º C 2093J / kg º C Tabla 5.1 Sustancia Acero Aluminio Cobre Estaño Hierro Mercurio
Calor específico (J/kg·K) 460 880 390 230 450 138
Sustancia Oro Plata Plomo Sodio Alcohol Alpaca
Calor específico (J/kg·K) 130 235 130 1300 2513 398
92
Aceite de oliva Carbón mineral Éter etílico
5.4
1675 1300 2261
Azufre Carbón vegetal Vidrio
750 840 838
DETERMINACIÓN DETERMINACIÓN DE CALOR ESPECÍFICO DE UN LÍQUIDO Y SÓLIDO.
El calorímetro es un instrumento que sirve para medir las cantidades de de calor suministradas o recibidas por los cuerpos. Es decir, sirve para determinar el calor el calor específico de un cuerpo, así como para medir las cantidades de calor que liberan o absorben los cuerpos. El tipo de calorímetro de uso más extendido consiste en un envase cerrado y perfectamente aislado con agua, un dispositivo para agitar y sensor de temperatura. Se coloca una fuente de calor en el calorímetro, se agita el agua hasta lograr el equilibrio, y el aumento de temperatura se registra con el sensor de temperatura. La fórmula para la transferencia de calor entre los cuerpos se expresa en términos de la masa m del calor específico c y y del cambio de temperatura. ΔQ = m.c m.c.( .(T Tf - Ti )
Donde T f es la temperatura final y T i es la temperatura inicial. El calor específico de un objeto se puede medirse convenientemente calentando a una cierta temperatura conocida, y midiendo la temperatura final de equilibrio. Si el sistema esta aislado térmicamente en su totalidad de su entorno, el calor que sale del cuerpo tiene que ser igual al calor que entra en el agua y en el recipiente. Este procedimiento se denomina Calorimetría y el recipiente aislado que contiene el agua, calorímetro. Sea m la masa del cuerpo, c su calor especifico y T io su temperatura inicial. Si Tf es la temperatura final del cuerpo dentro de su baño de agua, el calor que sale del cuerpo vale Qsale = mc(Tio - Tf ) Análogamente, si T ia es la temperatura inicial del agua y su recipiente, y T f su temperatura final (la temperatura final del cuerpo y del agua serán la misma, puesto que finalmente alcanzaran el equilibrio), el calor absorbido por el agua y el recipiente es Qentra maca (T f Tia) m cc c (T f T ia ) Igualando estas cantidades de calor, puede obtenerse el calor especifico c del objeto:
Q sale Qentra
mc(Tio T f ) maca(T f Tia) m cc c (T f T ia ) Ejemplo 5.1: Para medir el calor especifico del plomo se caliente a 600g de perdigones de este metal a 100 ºC y se colocan en un calorímetro de aluminio de 200g de masa que contiene 500g de agua inicialmente a 17.3 ºC. El calor específico del aluminio del calorímetro es 0.900KJ/KgK. La temperatura final del sistema es 20 ºC. ¿Cuál es el calor específico del plomo? 93
Solución
Calor cedido por el plomo Q Pb m mccPb (Tio T f ) (0.6Kg )c Pb (100º C 20º C ) Calor absorbido por el agua
Qa maca (T f Tia ) (0.5kg )(4.18KJ / Kg º C )(20º C 17.3º C ) Calor absorbido por el calorímetro
Qc mccc (T f Tia ) (0.2Kg )(0.900KJ / Kg º K )(20º C 17.3º C ) Q Pb Qa Qc 5.5
Rpta: c Pb 0.128 KJ / Kg º K .
EQUIVALENTE MECANICO DE CALOR
En el experimento de Joule se determina el equivalente mecánico del calor, es decir, la relación entre la unidad de energía joule (julio) y la unidad de calor caloría. Mediante esta experiencia simulada, se pretende poner de manifiesto la gran cantidad de energía que es necesario transformar en calor para elevar apreciablemente la temperatura de un volumen pequeño de agua.
DESCRIPCIÓN. Un recipiente aislado térmicamente contiene una cierta cantidad de agua, con un termómetro para medir su temperatura, un eje con unas paletas que se ponen en movimiento por la acción de una pesa, tal como se muestra en la figura anterior. La pesa, que se mueve con velocidad prácticamente constante, pierde energía potencial, como consecuencia el agua agitada por las paletas se calienta debido a la fricción. Si el bloque de masa M desciende desciende una altura h, la energía potencial disminuye en Mgh, y ésta es la energía que se utiliza para calentar el agua (se desprecian otras pérdidas). Joule encontró que la disminución de energía potencial es proporcional al incremento de temperatura del agua. La constante de proporcionalidad (el calor específico de agua) es igual a 4.186 J/(g ºC). Por tanto, 4.186 J de energía mecánica aumentan la temperatura de 1g de agua en 1º C. Se define la caloría como 4.186 J sin referencia a la sustancia que se está calentando. 1 Cal 4.186 J
En la simulación de la experiencia de Joule, se desprecia el equivalente en agua del calorímetro, del termómetro, del eje y de las paletas, la pérdida de energía por las paredes aislantes del recipiente del calorímetro, y otras pérdidas debidas al rozamiento en las poleas, etc. 94
Sea M la la masa del bloque que cuelga, y h su desplazamiento vertical
m la masa de agua del calorímetro
T 0 0 la la temperatura inicial del agua y T la la temperatura final
g =9.8 =9.8 m/s2 la aceleración de la gravedad.
La conversión de energía mecánica íntegramente en calor se expresa mediante la siguiente la siguiente ecuación:
Mgh mc(T T 0 ) Se despeja el calor específico del agua que estará expresado en J/(kg ºC).
c
Mgh m(T T 0 )
Como el calor especifico del agua es por definición 1 cal/(g ºC), obtenemos la equivalencia entre las unidades de calor y de trabajo o energía.
Ejemplo 5.4: (APLET) Masa del bloque M =50 =50 kg
Masa del agua en g, (o volumen del agua en ml), m=100 g=0.10 kg.
Se apunta:
Altura h=1 m
Temperatura inicial T 0 0=20ºC, = 20ºC, y la temperatura final T =21.2ºC =21.2ºC
c
Mgh J 50 9.8 1 4083.3 m(T T0 ) 0.10 (2 Kg º C ( 21.2 20)
Tenemos aumentar la diferencia de temperaturas para obtener un mejor resultado. En la experiencia real se consigue haciendo caer varias veces el bloque. El trabajo total es nMgh, siendo n el número de veces que se suelta el bloque. En la experiencia simulada conseguimos el mismo efecto aumentando la masa M del bloque
5.6 CAMBIOS DE ESTADO Normalmente, una sustancia experimenta un cambio de temperatura cuando absorbe o cede calor al ambiente que le rodea. Sin embargo, cuando una sustancia cambia de fase absorbe o cede calor sin que se produzca un cambio de su temperatura, se denomina Calor de transformación o calor latente L. El calor Q absorbido (o cedido) por una masa m durante el cambio de fase es: Q=mL
Donde L se denomina calor latente de la sustancia y depende del tipo de cambio de fase. El calor Latente de fusión L f es la cantidad de calor necesaria para que la unidad de masa de una sustancia pase de la sólida a la fase liquida a temperatura y presión constantes. El calor Latente de vaporización Lv es la cantidad de calor que requiere la unidad de masa de la sustancia para pasar de la fase liquida a vapor. El calor latente latente de sublimación L s es el calor absorbido por la unidad de masa de la sustancia para pasar de la fase sólida a la fase de vapor.
Por ejemplo, para que el agua cambie de sólido (hielo) a líquido, a 0ºC se necesitan 334·10 3 J/kg. Para que cambie de líquido a vapor a 100 ºC se precisan 2260·103 J/kg. En la siguiente tabla, se proporcionan los datos referentes a los cambios de estado de algunas sustancias.
95
Tabla 5.3 Sustancia Hielo (agua) Alcohol etílico Acetona Benceno Aluminio Estaño Hierro Cobre Mercurio Plomo Potasio Sodio
fusión ºC T fusión
·103 (J/kg) Lf ·10
ebullición ºC T ebullición
Lv ·103 (J/kg)
0 -114 -94.3 5.5 658.7 231.9 1530 1083 -38.9 327.3 64 98
334 105 96 127 322-394 59 293 214 11.73 22.5 60.8 113
100 78.3 56.2 80.2 2300 2270 3050 2360 356.7 1750 760 883
2260 846 524 396 9220 3020 6300 5410 285 880 2080 4220
Los cambios de estado se pueden explicar de forma cualitativa del siguiente modo: En un sólido los átomos y moléculas ocupan las posiciones fijas de los nudos de una red cristalina. Un sólido tiene en ausencia de fuerzas externas un volumen fijo y una forma determinada. Los átomos y moléculas vibran, alrededor de sus posiciones de equilibrio estable, cada vez con mayor amplitud a medida que se incrementa la temperatura. Llega un momento en el que vencen a las fuerzas de atracción que mantienen a los átomos en sus posiciones fijas y el sólido se convierte en líquido. Los átomos y moléculas siguen unidos por las fuerzas de atracción, pero pueden moverse unos respecto de los otros, lo que hace que los líquidos se adapten al recipiente que los contiene pero mantengan un volumen constante. Cuando se incrementa aún más la temperatura, se vencen las fuerzas de atracción que mantienen unidos a los átomos y moléculas en el líquido. Las moléculas están alejadas unas de las otras, se pueden mover por todo el recipiente que las contiene y solamente interaccionan cuando están muy próximas entre sí, en el momento en el que chocan. Un gas adopta la forma del recipiente que lo contiene y tiende a ocupar todo el volumen disponible.
Ejemplo 5.5: Determinar el calor que hay que suministrar para convertir 10 gramos de hielo a -20 ºC en vapor a 85 ºC. Los datos son los siguientes: 1. Calor específico del hielo ch=2090 J/(kg K) 2. Calor de fusión del hielo Lf =334·10 =334·103 J/kg , Lf =80 =80 cal/g=80 kcal/kg 3. Calor específico del agua c=4180 J/(kg K) 4. Calor de vaporización del agua Lv=2260·103 J/kg, Lv=540 cal/g=540 kcal/kg
Etapas: 1.
Se eleva la temperatura de 10 g de hielo de -20ºC a 0ºC
Q1 mchielo (T f Ti ) (0.01)(2090) 0 (20) 418 J 2.
Se funde el hielo
96
Q2 mL f (0.01)(334 103 ) 3340 J 3.
Se eleva la temperatura del agua de 0º C a 85 ºC
Q3 mc H 0 (T f Ti ) (0.01)(4180)(85 0) 3553 J 2
4.
Se convierte 10 g de agua a 85 ºC en vapor a la misma temperatura
Q4 mLv (0.01)(2260 103 22600 J
El calor total Q=Q1+Q2 +Q +Q3+Q4=29911 J. En la figura, se muestra cómo se va incrementando la temperatura a medida que se aporta calor al sistema. La vaporización del agua requiere de gran cantidad de calor como podemos observar en la gráfica (no está hecha a escala) y en los cálculos realizados en el ejemplo. En el proceso de intercambio de calor entre dos cuerpos en contacto y aislados térmicamente del medio, el calor cedido por el cuerpo más caliente es igual al absorbido por el más frió, así:
Q( perdido perdido por un cuerpo cuerpo ) Q( ganado por el otro cuerpo cuerpo ) Ejemplo 5.8: En una mezcla de 200 ml de agua a 70 ºC con 150 ml de alcohol (densidad del alcohol 0.79 g/ml), a 20 ºC. Calcular su temperatura T final suponiendo que no hay perdida de calor con el medio ambiente ni con el recipiente que contiene el agua. Solución La temperatura T de la mezcla no puede ser el promedio de las temperaturas de las dos sustancias. Puesto que sus masas y los calores específicos son diferentes. Como la energía se conserva:
Q(calor alor cedi cedido do por por el agua agua) Q( abso absorb rbid idoo por por el alco alcoho hol l ) m H O cH O T H O malccalc T alc 2
2
2
cal T H O (70º C T ) , T alc (T 20º C ) , c H O 1 , g º C Remplazando en la primera ecuación 2
2
calc 0.6
cal g º C
cal cal 200 g (1 )(70º C T ) 150g (0.6 )(T 20º C ) g º C g º C
1400º C 20T 9T 180ºC 1580º C T 54.6º C 29
En la práctica, T es inferior debido a las perdidas de calor hacia el ambiente.
5.7 DILATACION La experiencia muestra que los sólidos se dilatan cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían. La dilatación y la contracción ocurren en tres (3) dimensiones: largo, ancho y alto. A la variación en las dimensiones de un sólido causada por calentamiento (se dilata) o enfriamiento (se contrae) se denomina Dilatación térmica. La dilatación de los sólidos con el aumento de la temperatura ocurre porque aumenta la energía térmica y esto hace que aumente las vibraciones de los átomos y moléculas que forman el cuerpo, haciendo que pase a posiciones de equilibrio más alejadas que las originales. Este alejamiento mayor de los átomos y de las moléculas del sólido produce su dilatación en todas las direcciones.
97
5.7.1 DILATACIÓN LINEAL La dilatación o contracción se producirá en las tres direcciones del espacio, pero para simplificar el problema en el caso de sólidos y suponiendo que una de las dimensiones es mucho mayor que las otras dos, en muchas ocasiones se habla de dilatación únicamente en una dirección. En este caso se denomina dilatación lineal L L0 L0 (T T 0 ) Dónde: se denomina coeficiente de dilatación lineal, L0 Longitud inicial, L longitud final, T 0 Temperatura inicial, T temperatura final.
Si L es pequeño comparado con L0 L L0 T , T T T 0 Donde se denomina coeficiente de dilatación lineal, ¡depende del material¡ Unidades S.I. de α: 1/K o bien 1/ºC
Tabla 5.4:
Coeficientes de dilatación lineal a 20°C Coeficiente de dilatación lineal,
Material
(º C ) Sólidos Aluminio Cuarzo Hierro o acero Hormigón Ladrillo Latón Mármol Plomo Vidrio (ordinario Vidrio (pirex) Liquido Agua Alcohol etílico Gasolina Glicerina Mercurio Gases Aire
y
1
Coeficiente de dilatación cúbica,
(º C )1
25 106 0.4 106 12 106 12 106
75 10-6 110-6 35 10-6 36 10-6
19 106 1.4 3.5 106 29 106 9 106 3 106
56 10-6 4 10 10-6 87 10-6 27 10-6 9 10-6 950 10-6 180 10-6 1100 10-6 500 10-6 210 10-6 3400 10-6
Ejemplo 5.10: Consideremos una viga de acero con una longitud de 200m a 20 °C. Si las temperaturas extremas a que puede estar expuesta son -30 °C y +40 °C. ¿Cuánto se contraerá o se dilatará en cada caso? El coeficiente de dilatación lineal del acero es 12 106 (º C )1 .
98
A 40 °C L L0 T 12 106 º C 1 (200m)(40º C 20º C ) 4.8 102 m Un alargamiento de 4,8 cm A -30 °C L L0 T 12 106 º C 1 (200m )(30ºC 20ºC ) 12 102 m Un acortamiento de 12 cm 5.7.2 ESFUERZOS TERMICOS
En algunos casos, los extremos de una barra o de un bloque de material están ligados rígidamente, con lo que se impide o dificulta la dilatación o la contracción. Por tanto, cuando varíe la temperatura, aparecerán esfuerzos de compresión o de tracción, llamados esfuerzos térmicos, por su origen térmico, que pueden no ser despreciables. La ley de Hooke nos relaciona esta deformación con la fuerza que la provoca
L F E A L0 E: Módulo de Young. Coeficiente que depende de la naturaleza del material FL L 0 , por otro lado L L0 T AE F De donde, el esfuerzo interno F/A será: E T A Cuando el sólido se deforma por contracción o por dilatación debida a un cambio de temperatura, aparecerán esfuerzos térmicos (fuerzas por unidad de superficie) Unidades S.I.: Esfuerzo: N / m2 , Módulo de Young (E): N / m2 Tabla 5.5: Módulo de Young de algunos materiales Sustancia Madera, en la dirección transversal a las fibras Madera, en dirección paralelas a las fibras Hielo Hormigón Plomo Vidrio Aluminio Cobre Hierro Acero Niquel Wolframio
E (1011 Pa) 0.005 – 0.01 0.1 – 0.17 0.1 0.14 – 0.22 0.16 0.55 0.17 1.1 1.9 2 2.1 3.6
Ejemplo 5.11: Se tienen bloques de hormigón de 10 m de longitud, dispuestos uno a continuación del otro, sin dejar separación entre ellos. Si la temperatura a la que fueron colocados fue de 10 °C ¿cuál será la fuerza de compresión generada cuando la temperatura sea de 40 °C?. El área de la superficie de contacto entre cada dos bloques es de 0.20 m2 y su módulo de Young E 20 109 N / m2 . ¿Se producirá fractura? Solución 99
F E T 20 109 N / m2 (12 106 /º C )(30º C ) 7.0 106 N / m2 A Este valor no está muy alejado del esfuerzo de rotura por compresión y es superior a los de rotura por tracción y por cizalladura. Por tanto, si los bloques no están perfectamente alineados, parte de la fuerza será cortante y es probable la fractura. 5.7.3 DILATACION SUPERFICIAL Es la variación de la superficie o área de un cuerpo cuando varía su temperatura. Para superficie uniforme a a0 T
b b0 T a a0 (1 T ) y b b0 (1 T ) Luego: ab a0b0 (1 T ) 2
A=A0 (1 2T 2 T 2 ) Pero como: 2 (106 1012 ), entonces podemos despreciar 2 , luego: Pero como: 2 (106 1012 ), entonces podemos despreciar 2 , luego: A A0 (1 2T ) A A0T ; donde donde 2
5.7.4
DILATACION CUBICA La variación de volumen, V V V 0 de un material cuando experimenta un cambio de temperatura ΔT, viene dada por la expresión:
V V0 T La variación de volumen, Dónde: V 0 es el volumen original, es el coeficiente de dilatación cúbica En los sólidos isótropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones) β≈3 α
Carece de significado en líquidos y gases por no tener formas fijas. Sin embargo, para un líquido contenido en
un recipiente de modo que pueda dilatarse o contraerse principalmente en una dirección, podemos tomar α=β/3 (por ejemplo, Hg o alcohol en un termómetro).
Ejemplo 5.12: Se llena el depósito de gasolina de un coche, con capacidad para 70 litros, cuando la temperatura era de 20 °C. Se deja al sol y el depósito alcanza una temperatura de 50 °C. ¿Cuánta gasolina rebosaría si se dejara destapado?. Prescinde de la dilatación del depósito (su β es mucho menor que el de la gasolina). Coeficiente de dilatación cúbica de la gasolina 950 106 /º C Solución: V V0T (950 106 /º C )(70litros )(30º C ) 2.0 litros Dónde: V 0 es el volumen original, es el coeficiente de dilatación cúbica En los sólidos isótropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones) β≈3 α
Carece de significado en líquidos y gases por no tener formas fijas. Sin embargo, para un líquido contenido en un recipiente de modo que pueda dilatarse o contraerse principalmente en una dirección, podemos tomar α=β/3 (por
ejemplo, Hg o alcohol en un termómetro).
100
5.8
FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS BASICOS DE TRANSFERENCIA TRANSFERENCIA DE CALOR un proceso por el que se intercambia energía en forma de calor entre distintos cuerpos, Transferencia de calor , es un proceso o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que están a distinta temperatura. El calor se transfiere mediante conducción, convección, radiación. convección, radiación. Aunque Aunque estos tres procesos tres procesos pueden tener lugar simultáneamente, puede ocurrir que uno de los mecanismos predomine sobre los otros dos. Por ejemplo, el calor se transmite a través de la pared de una casa fundamentalmente por conducción, conducción, el agua de una cacerola situada sobre un quemador de de gas se calienta en gran medida por convección, y la y la Tierra recibe calor del Sol casi exclusivamente por radiación. radiación.
La conducción es la transferencia de calor a través de un objeto sólido: es lo que hace que la olla se calienta debido al calor de la estufa eléctrica. La convección transfiere calor por el intercambio de moléculas frías y calientes: es la causa de que el agua el agua de una tetera se caliente uniformemente aunque sólo su parte inferior esté en contacto con la llama. La radiación es la transferencia de calor por radiación electromagnética (generalmente infrarroja): es el principal mecanismo por el que un fuego calienta la habitación.
5.8.1 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION En la conducción el calor se transmite a través de un medio material y no hay transporte de materia. La velocidad a la que se transfiere el calor a través del material (dQ / dt ) se representa por la letra H , y se denomina flujo de calor . Pared adiabática para evitar las pérdidas de calor laterales
Por choques entre moléculas en la barra, el calor se va transfiriendo desde la base (foco caliente) al extremo superior (foco frió). Así, la temperatura en la barra va variando en posición y tiempo. Transcurrido cierto tiempo, la temperatura en cada sección de la barra no variará (estado térmico estacionario).
101
En estado estacionario, la cantidad de calor dQ que fluye por unidad de tiempo, a través de cualquier sección de la barra es constante. Intensidad de corriente térmica o flujo de calor : Cantidad de calor que fluye a través de una sección transversal, dQ por unidad de tiempo: H dt Unidades (SI): J/s=watts; otras: cal/h, Kcal/h. AT AT Ley de Fourier: H k H k o x L Donde: k, que es la llamada conductividad térmica. La conductividad térmica expresa la capacidad de un material dado en conducir el calor, y es propia e inherente de cada material. T T1 T 2 dT la pendiente de la recta, llamado gradiente de la temperatura. o o x L dx La transferencia de calor por conducción es afectada por la geometría del cuerpo. Un caso interesante es el de un cilindro hueco: 2 kLT H siendo r2 r 1 ; Unidad en S.I.: w/(m K), Otras: kcal/(m h ºC) r 2 ln( ) r 1
Ejemplo 5.13: Determinar el flujo de calor a través de una ventana de vidrio de área A= 2m x 1,5m, grosor L = 3,2 mm, si la temperatura de la superficie interna, T1, es de 15 °C y la de la superficie externa, T2, es de 14 °C. El coeficiente de conductividad térmica del vidrio es de 0,84 w/m K (2·10-4kcal/m s K). Solución
T T dQ AT w 288K 287 K k kA 1 2 0.84 Kcal / h Quizás (2m 1.5m)( ) 7 90w 680Kcal dt L L mK 3.2 103 m sorprendan los valores de las temperaturas dadas, pero debe tenerse en cuenta que en la habitación la temperatura no tiene por qué ser de 15 °C, probablemente será superior y en el exterior la temperatura será probablemente inferior a los 14 °C. Ejemplo 5.14: Determinar la corriente térmica a través del aislante de poliestireno expandido de las paredes de un frigorífico. Datos, área A 4m2 , temperatura exterior, 25 °C, temperatura interior, 5 °C, grosor, L = 30 mm, k= 0,01 w/m K dQ AT T T w (298) K (278) K k kA 1 2 0.01 H (4m2 )( ) 30w 3 dt L L mK mK 30 10 m Conductores y Aislantes Térmicos En la tabla, se observa que los metales normalmente son mejores conductores del calor que los líquidos y que el aire. La conductividad térmica es el parámetro fundamental que hay que considerar en la elección de materiales para la construcción de hornos, termos, quemadores, calderas, etc; o en la fabricación de elementos que de alguna manera estén en contacto directo con calor tales como soldadores, utensilios de cocina, disipadores de calor, entre otros. Dada la importancia que tiene hoy en día el manejo y el control de la temperatura, se han desarrollado materiales aislantes de conductividad térmica similar a la del aire como conglomerados de fibra de vidrio, poliuretanos de densidades diferentes y ladrillos refractados, utilizados para aislar tuberías , paredes laterales de invernaderos, hornos, refrigeradores, etc. H
El único “aislante perfecto” es el vació ya que carece de medio material para el transporte de calor por conducción.
102
Tabla 5.6: Conductividad térmica de algunos materiales. Material Ladrillo Hormigón Cobre Corcho Vidrio Hielo Agua
k (w/mK) 0.6 0.1 365.0 0.05 1.0 2.1 0.59
Material Hierro (fundido) Plata Madera Mercurio Aire (a 0ºC) Poliuretano Fibra de vidrio
k (w/mK) 72.0 418.0 0.15 8.0 0.024 0.026 0.034
5.8.2 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN La convección es el proceso por el cuál se transmite calor gracias al movimiento masivo de moléculas de un lugar a otro, provocado por cambios de densidad del fluido (gas o líquido) originado a su vez por cambios de temperatura. Los líquidos y los gases no suelen ser muy buenos conductores del calor, pero pueden transportarlo con relativa facilidad por convección. Cuando se calienta el agua del fondo, disminuye su densidad y sube (principio de Arquímedes), siendo reemplazada por agua más fría (más densa) que había encima y así sucesivamente. En la transferencia de calor libre o natural en la cual un fluido es más caliente o más frío y en contacto con una superficie sólida, causa una circulación debido a las diferencias de densidades que resultan del gradiente de temperaturas en el fluido. La transferencia de calor de calor por convección se modela con la Ley del Enfriamiento de Newton: de Newton: dQ dQ hA s (Ts Tinf ) o H hA(T2 T 1 ) H dt dt Donde h es el coeficiente el coeficiente de convección (ó coeficiente de película), As es el área el área del cuerpo en contacto con el fluido, T s es la temperatura en la superficie del cuerpo y es la temperatura la temperatura del fluido lejos del cuerpo. J w Unidades S.I.: 2 , m sK m 2 K Para el cuerpo humano, en aire en reposo, h 6 J / m2 sK ; si la velocidad del aire es de 1 m/s el valor anterior se duplica y si es de 5 m/s, dicho valor se multiplica por cinco. Empíricamente, se ha establecido que la constante convectiva del aire en reposo en contacto con una superficie lisa o bien pulida, es de 4.5w / m2 K , mientras que si w el aire se mueve paralelamente a la superficie esta dada por la siguiente relación: H (4.5 2.9v) 2 ; v, m K velocidad del aire en m/s. Para superficies rugosas como una pared de ladrillo o una carretera pavimentada, el valor de la constante convectiva se incrementa hasta en un 50%.
Ejemplo 5.16: Calcular las pérdidas convectivas de calor por unidad de tiempo, de una persona desnuda que esté de pié en aire a 23 °C. Suponer que la temperatura de la piel es de 34 °C y que el área de la superficie del cuerpo es de 1.5 m2 . dQ j hA s (Ts Tinf ) (6 2 )(1.5 m2 )(11 K ) 100 J / s 100 w 90 H 90 Kcal / h dt m sK
103
Una persona que efectúe un trabajo moderado o pesado desarrolla unos 400 w; así pues, teniendo en cuenta lo anterior vemos que la refrigeración del cuerpo cuando se efectúe un trabajo moderado o pesado no podrá deberse solamente a la convección; la evaporación del sudor también es importante, así como la debida a la radiación.
5.8.3 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION En la transmisión del calor por radiación un cuerpo cede parte de su energía interna a través de la emisión de ondas electromagnéticas (que viajan a la velocidad de la luz y no necesita de un medio material para su propagación). Al absorberse estas ondas electromagnéticas por otros sólidos, su energía pasa de nuevo a un movimiento térmico de las moléculas y, por tanto, a un aumento de temperatura. Así, el proceso de intercambio de energía por radiación es un proceso de absorción y emisión posterior de energía en forma de fotones por parte de los átomos y moléculas de una sustancia. También se puede decir, que la la radiación radiación emitida por un cuerpo un cuerpo como consecuencia de su temperatura su temperatura y depende además radiación térmica es la de una propiedad superficial denominada emitancia. emitancia. Todo cuerpo emite radiación hacia su entorno y absorbe radiación de éste. A mayor temperatura del cuerpo, mayor radiación de éste. Todos los objetos emiten energía desde su superficie en forma de radiación electromagnética. También todo objeto absorbe energía de sus alrededores. La energía que un cuerpo radia por unidad de tiempo (potencia) viene dada por la Ley de Stefan-Boltzmann: Pr AT 4
P r : Potencia radiada : Emisividad del cuerpo: Valor entre 0 y 1, que depende de la naturaleza del cuerpo 5.67 108 w / m2 K 4 Constante de Stefan-Boltzmann A: área de la superficie del cuerpo T: temperatura absoluta de la superficie del cuerpo Cuerpo negro. Ley de Kirchhoff Respecto de la emisividad del cuerpo Las superficies muy negras tienen una emisividad próxima a 1. Las superficies brillantes tienen una emisividad próxima a 0 La piel clara tiene 0.6 y la piel oscura 0.8 , que son valores bastante elevados. Todo cuerpo además de emitir radiación, absorbe la energía irradiada por otros cuerpos. Pa AT 04 Pa: Potencia absorbida T0: Temperatura del entorno La potencia neta radiada será
Pneta Pr Pa A(T 4 T 04 ) Se emplea la misma emisividad ( ), tanto para la emisión como para la absorción. Esto debe ser así para dar cuenta del hecho experimental de que se alcanza el equilibrio entre el cuerpo y su entorno cuando alcanzan la misma temperatura, es decir P neta 0 , cuando T = To, y para ello, las dos emisividades de las expresiones de Pr y P a deben ser iguales. Las superficies negras o muy oscuras son las mejores absorbentes (parecen negras porque absorben casi toda la luz que les llega) y también son las mejores emisoras de radiación térmica. Los cuerpos negros o muy oscuros absorben casi toda la radiación que sobre ellos incide (por ello en verano es preferible la ropa clara a la oscura) y reflejan muy poca de la radiación que les llega.
104
Las superficies brillantes son poco absorbentes, reflejan la mayor parte de la radiación que les llega y también son malas emisoras. Las superficies brillantes no sólo emiten menos radiación sino que también absorben una pequeña parte de la radiación que sobre ellas incide (la mayor parte se refleja). Si Pr Pa P neta 0 → El cuerpo se enfría, el entorno se calienta Si Pr Pa P neta 0 → El cuerpo se calienta, el entorno se enfría Si Pr Pa (T T 0 , equilibrio térmico) → Ni se enfría, ni se calienta
Cuerpo negro (modelo ideal): Aquel que absorbe toda la radiación que incide sobre él, e = 1. Ejemplo 5.17: Una persona desnuda está sentada en una habitación cuyas paredes están a la temperatura de 15 °C. Calcular la pérdida de calor por radiación suponiendo que la piel tiene una temperatura de 34 °C y que 0.7 . Considerar que la superficie del cuerpo que no está en contacto con la silla es de1.5m2 .
Pneta Pr Pa A(T 4 T04 ) 0.7(5.67 108 w / m2 K 4 )(1.5 m2 ) (307)4 (288)4 K 4 Pneta 120 w 100 Kcal Kcal / h Se estima que la radiación constituye, aproximadamente, un 50% de las pérdidas de calor de una persona sedentaria en una habitación normal. Si las paredes o el suelo están fríos, tendrá lugar la emisión de radiación hacia ellos, independientemente de lo cálido que esté el aire. Las habitaciones tienen el mayor confort cuando las paredes y el suelo estén cálidos y el aire no lo esté tanto. Las ventanas contribuyen en gran medida a las pérdidas de calor, no sólo por lo que se pierde por conducción, sino que también, por la noche, cuando la temperatura exterior es baja, tiene lugar la emisión de una considerable cantidad de radiación, desde nuestro cuerpo hacia el exterior. Corriendo las cortinas, por la noche, se reducen ambos tipos de pérdidas.
Ejemplo 5.18: La temperatura de la Tierra Podemos calcular la temperatura de la Tierra T e igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura T s . A la distancia de la Tierra ao (unidad astronómica), astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio ao . Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una temperatura T e con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4. Por ello: 4 2 Te 1 r s T s 4 a0 Donde
es el radio del Sol. Por ello r s 696 106 m Te Ts 5780 K 278 K 2 149 59787066 109 m 2a0 Resulta una temperatura de 5°C. La temperatura real es de 15 °C.
105
PROBLEMAS RESUELTOS 1. En un termómetro “A” las lecturas 160º y 0º equivalente a 140º y (-10º) (- 10º) del termómetro “B”. Determinar cuanto indicará “B” para 40º de “A”. Solución T A T B 10º , Pr egunta : T A 40º TB ? 160º 160º 40 T B 10 16
15 T B 27.5º
600 16
=T B 10
2. Se vierten 4 litros de agua a 60 ºC en una vasija de 3Kg de masa la cual se encuentra a 10 ºC. si la temperatura final del conjunto agua y vasija es 53 ºC, halle el calor específico de la vasija. Además determinar la Energía para llevar el agua desde 53 ºC hasta 85 ºC. Solución Datos: m H O 4kg 4000 g , mvas 3kg 3000 g , TiH O 60º C , Tivas 10º C , T f 53º C . 2
2
Por definición: Qcalor calor perdi perdido do por por el el agua agua Q calor calor ganad ganadoo por el recipi recipien ente te
m H O cH O T H O mvascvas T vas 2
2
2
J 60º C 53º C 3000g cvas 53º C 10º C 4000 g 4.186 g º C J J cvas 0.91 910 g º C kg º C b) La energía para llevar el agua agua desde 53 ºC hasta 85 ºC , la formula a utilizar será: Q Calor absorbido por la vasija + Calor absorbido por el agua Q mvas cvas T vas mH O cH O T H O 2
2
2
J J Q 3 10 1 03 g 0.91 85º C 53º C 4 103 g 4.186 85º C 53º C g º C g º C Q 623186J 623.186KJ
3. Dentro de un calorímetro calorímetr o de capacidad térmica despreciable despreciable se encuentra 300g de hielo. Al calorímetro se hace llenar de vapor de agua a 100 ºC hasta que la temperatura del sistema sea 50 ºC. ¿Cuál es la cantidad de agua existente en ese momento? Solución Datos: mh 300 g , Tvapor 100º C , TE 50º C , L f 80Kcal / kg , Lv 540Kcal / kg .
Fusiónde Fusióndehielo hielo Q1 mL f 300 g (80cal / g ) Q1 24000cal Calentamientodeagua : Q2 cmT 1cal / g (300g )(50º C 0º C ) Q2 15000cal Condensación de vapor: Q3 mv Lv mv (540cal / g ) Q3 540mv cal Enfriamiento de agua: Q4 cm x T (1)mx (50-100) Q4 50mx cal Equilibrio: Q1 Q2 Q3 Q4 0 m x 66.1 g masa total del agua : m 300g 66.1 366.1g . 4. Tres kilogramos kilogramos de hielo 20 ºC se vierten sobre un depósito de capacidad calorífica despreciable despreciab le que contiene 12 kg. de agua a 86 ºC. ¿Cuál será la energía intercambiada intercambi ada entre el hielo y el agua? Datos: Th 20 º C , m H O 12kg , TH O 2
2
Solución 86 º C , Q ?
106
Por definición: Q ganado Q perdido Q g( hielo) Q p( agua)
mhceh t h mhQL f mhceH O T ' mH O ceH O T '' 3(0.5)(20) 3(80) 3(1)T 12 1 (86 T ) 30 240 3T 1032 12T T 50.8 ºC 12(86 50.8) Q m H OceH O T '' Q 12( 2
2
2
2
2
Q 422.4 Kcal 5. ¿Desde que altura debe caer un bloque de hielo de 1 kg. para fundirse completamente si se encuentra a 0 ºC? Solución Datos: mh 1 kg , T fusión 0, QLf 80 cal / g Como: E P Q y EP mgh Q mQ Lf 1000 g 80cal / g 80000 cal.
E P 80000 cal 4.180 J / cal 334880 J . kg (9.76 m / s 2 )h 9.76 h mgh 1kg Igualando las dos (*) y (**), se tiene: h 34.3 Km
(*) (*)
6. Un estudiante emocionado por haber aprobado curso de Física, cayó desde la parte superior de su pabellón de 100 metros de altura. Cuando fueron a recoger, en su cuerpo encontraron pequeñas quemaduras. ¿Cuál es el incremento de temperatura que sufrió el estudiante?, estudiant e?, su masa es de 40 Kg y su calor especifico 0.09 cal/g ºC. Solución Datos: h 100m, m 40kg , ce 0.09cal / g º C , t ? Por definición: E P Q
cal ) EP 9364.548cal 4,186 J Q mce T 40000 g (0.09cal / g º C )T Q (3600cal )T Igualando los dos resultado r esultados: s: 3600cal T 9364.548cal T 2.6 º C 7. El aire en el interior de un un invernadero se encuentra a 35 ºC cuando la temperatura externa es de 15 ºC. Si el área efectiva de la cubierta de vidrio es de 100m2 y su espesor es de 3 mm, determine el ritmo con el cual se pierde calor por conducción. Solución Datos: Ti 35 º C , Ta 15 º C , A 100 m 2 , x L 3mm , K c =1.0w/mK, H ? E P mgh 40kg (9.8m / s 2 )(100m) EP 39200 J (
2 AT (100m )(35º C 15º C ) Por Definición: H K c H (1.0w / mK ) 3 L 3 10 m H 666.66Kw
8. La superficie del Sol tiene una temperatura de aproximadamente aproximadame nte 6000 ºK. si se toma el 8 radio del sol como 6.96 10 m , calcule la energía total radiada por el sol diariamente. (suponga 1 ). Solución Datos: T 6000K , R 6.96 108 m, 5. 5.67 108 w / m2 K 4 , 1, P ?, I ? . P Por definición: I , además además P AT 4 , A 4 r 2 A A 4 (6.96 108 )2 m2 193.766 1016 m2
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P 1 (5.67 108 w / m2 K 4 )(193.766 1016 m 2 )(6 103 K ) 4 P 1 (5.67 108 w / m2 K 4 )(193.766 1016 m 2 )(6 103 K ) 4 1423854.57 1020 w. I T 4 1 (5.67 108 w / m2 K 4 )(6 103 K ) 4 7348.32 104 w / m 2 9. Sobre la cubierta plástica del invernadero circula aire paralelamente paralelament e con una velocidad de 2 m/s y a la temperatura ambiente de 16 ºC, el plástico de la cubierta tiene una temperatura de 26 ºC. Calcularr la pérdida conectiva de calor en la cubierta. Solución Datos: v 2m / s, Ta 16º C, Ti 26º C, H ? w w w Por definición: h (4.5 2.9v) 2 h (4.5 2.9(2)) 2 10.3 2 m K mK mK 2 La perdida convectiva de calor en la cubierta por m es: w H hA(TS Ta ) 10.3 2 1m2 (299 K 289 K ) H 100.3w. m K 10. Los estudiantes de Física, realizan un experimento en la superficie del Lago Titicaca para saber cuánto tiempo tardara en formarse una capa de hielo de 2 cm de espesor; cuando la temperatura del aire en el mes de Junio es -4 ºC, sobre el lago. Para lo cual se sabe el coeficiente de conductividad térmica del hielo es K 4 103 cal / s.cm.º C y la densidad del hielo 0.9 g / cm3 . Temperatura del Lago Titicaca en dicho mes es 0 ºC. ¿Cuál es su resultado? Solución Datos: Capa x 2cm, Ta 4º C , K 4 103 cal / s.cm.º C , h 0.9g / cm3 , TH O 0º C . 2
T T dQ AT k kA H O a (*) dt x x Espesor de hielo x dx , dm su masa dm Adx , A área de la superficie de la capa, el calor de transformación de esta capa pasa de agua a 0 ºC a hielo a 0 ºC será: dQ dm dmL ( Adx)(80cal / g ) , remplazando en (*) se tiene. 80 Adx 4 80 xdx 0º C (4º C ) 80 Adx kA k A d t dt x0 dt x 4K t 80 2 80 80cal / g (0.9 g / cm3 ) dt xdx t (2) t (2) 0 4 K 0 4K 4º C (4 10 3 cal / scmº C ) Por definición: H
t 9 103 s 9 103 s(
2
min 60 s
) 150 min T 2 h con 30 min .
3.9 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA 3.9.1 DEFINICIONES: Sistema: cualquier grupo de átomos, moléculas, partículas u objetos en estudio termodinámico. Por ejemplo el agua dentro de un envase, el cuerpo de un ser vivo o la atmósfera. Un esquema se muestra en la figura 5.1. Ambiente: todo lo que no pertenece al sistema, es lo que rodea al sistema, sus alrededores. Por ejemplo el exterior al envase donde está el agua, o el espacio que rodea a la atmósfera (puede ser todo el Universo). Entre el sistema y el ambiente puede haber intercambio de calor y de energía y se puede realizar trabajo (figura 5.1). Sistema cerrado: sistema en el cual no entra ni sale masa, pero que puede intercambiar calor y energía con el ambiente.
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Sistema abierto: sistema que puede tener variación de masa, como por ejemplo intercambio de gases o líquidos, o de alimentos en los seres vivos. Sistema cerrado aislado: sistema en el cual no se produce ningún intercambio de calor o energía con el ambiente a través de sus fronteras.
3.9.2 TRABAJO EN LOS PROCESOS TERMODINÁMICOS Para un gas contenido en un envase cilíndrico ajustado con un émbolo móvil, como se muestra en la figura 13.4, si el gas está en equilibrio térmico ocupa un volumen V y produce una presión constante P sobre las paredes del cilindro y sobre el émbolo, de área A. La fuerza ejercida por la presión del gas sobre el émbolo es F = PA. Si el gas se expande desde el volumen V hasta el volumen V+dV lo suficientemente lento, el sistema permanecerá en equilibrio termodinámico. Por efecto de la expansión, el émbolo de desplazará verticalmente hacia arriba una distancia dy , y el trabajo realizado por el gas sobre el émbolo, será:
dW Fdy PAdy
Como Ady es el aumento de volumen dV del gas, se puede escribir el trabajo realizado como: dW = PdV. Si el gas se expande, entonces dV es positivo y el trabajo realizado por el gas es positivo, por el contrario, si el gas se comprime, dV es negativo y el trabajo realizado por el gas es negativo, en este caso se interpreta como el trabajo realizado sobre el sistema. Si no cambia el volumen, no se realiza trabajo. Para obtener el trabajo total realizado por el gas cuando la variación de presión hace cambiar el volumen desde un valor Vi hasta un valor Vf, se debe integrar la ecuación anterior, de la forma: 109
V f
W PdV V i
Para evaluar esta integral, se debe saber cómo varía la presión durante el proceso. En general la presión no es constante, depende del volumen y de la temperatura. Si se conoce la presión y el volumen durante el proceso, los estados del gas se pueden representar por una curva en un diagrama PV , como la que se muestra en la figura 13.5. De este gráfico, se obtiene que el trabajo realizado por un gas al expandirse o comprimirse desde un estado inicial Vi hasta un estado final Vf es igual al área bajo la curva de un diagrama PV.
Este trabajo depende de la trayectoria seguida para realizar el proceso entre los estados iniciales y final, como se ilustra con la figura 3.16. Si el proceso que se realiza es a volumen constante Vi disminuyendo la presión desde Pi hasta Pf , seguida de un proceso a presión constante Pf aumentando el volumen desde Vi hasta hasta Vf (figura 3.16a), el valor del trabajo es diferente al que se obtiene en un proceso donde primero se produce una expansión desde Vi hasta Vf a presión constante Pi y después se disminuye la presión desde Pi hasta Pf , manteniendo caso, tienen un valor diferente, es mayor en la figura 3.16b. Por lo tanto, el trabajo realizado por un sistema depende del proceso por el cual el sistema cambia desde un estado inicial a otro final. De manera similar se encuentra que el calor transferido hacia adentro o hacia fuera del sistema, depende del proceso. Tanto el calor como el trabajo dependen de los estados inicial, final e intermedios del sistema. Como estas dos cantidades dependen de la trayectoria, ninguna de las dos se conserva en los procesos termodinámicos.
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Ejemplo 3.16 Un gas se expande desde i hasta f por tres trayectorias posibles, como se indica en la figura 3.17. Calcular el trabajo realizado por el gas a lo largo de las trayectorias iAf, if y iBf. Considerar los valores dados en la figura.
Solución: se calcula el área bajo la curva en cada proceso. De la figura 3.17, se tienen los datos: Pi 4atm 4.05 105 P a , P f 1atm 1.013105 P a , Vi 2L 0.002m3 VB ,
V A 4L 0.004m3 V f .
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