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Objetivos • • • •
Establecer lo que viene a ser el movimiento mecánico y su relatividad. Describir matemáticamente el movimiento mecánico de los objetos sin considerar las causas que lo originan o modifcan. Esta Establ blec ecer er los los elem elemen ento toss del del movi movimi mien ento to me mecá cáni nico co y su rela relaci ción ón en diversas aplicaciones. Analizar el movimiento rectilneo uni!orme y uni!ormemente variado
Introducción: El movimiento "a sido tema de estudio durante casi toda la "istoria de la "umanidad# por ejemplo en la antig$edad el "ombre observaba el movimiento de los cuerpos celestes# celestes# en el siglo %&''' se estudiaba estudiaba el movimiento movimiento de las mol(culas en un gas# en el sigl siglo o %% se es estu tudi diab aba a el movi movimi mien ento to de los los elec electr tron ones es alre alrede dedo dorr del del n)cl n)cleo eo atómico# y en la actualidad se estudia el movimiento e*istente en el interior del n)cleo. En este captulo estudiaremos el +movimiento mecánico, pero sin considerar las las ca causa usas# s# del del porq porqu( u( se origi origina na tal tal o cual cual movi movimi mien ento to me mecá cánic nico# o# tan tan só sólo lo lo describiremos- para ello es necesario establecer elementos y medidas para que la descripción de realice en !orma objetiva.
Concepto . Es aque aquell lla a part parte e de la me mecá cáni nica ca que que se enca encarrga de es estu tudi diar ar## el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan o modifcan. El movimiento /onsiste en el cambio de posición que e!ect)a un cuerpo con respecto a un sistema de re!erencia al cual se considera fjo. 0i un cuerpo permanece en el mismo lugar decimos que no se mueve o está en reposo- pero# si cambia de lugar se dice que el cuerpo se mueve. El movimiento es relativo 1n obje objeto to pued puede e es esta tarr movi movi(n (ndo dose se para para un obse observ rvad ador or per pero no para para otr otro observador. observador. 0i cerca de nosotros pasa un automóvil# al ver que se aleja diremos que se mueve# pero el piloto ve que el automóvil siempre está junto a (l# luego para el piloto el automóvil estará en reposo relativo. 222.antorai.com.pe
334
5sica '
/inemática ' /onductor
7bservador
El camión se mueve con relación al observador dor 678- pero está en reposo con respecto al conductor.
Movimiento Mecánico
9ara compr compren ender derlo# lo# e*ami e*aminem nemos os el siguien siguiente te aconte acontecim cimien iento: to: +un observ observado adorr observ observa a a un avión avión que avanza avanza en lnea recta recta y desde desde cierta cierta altura altura se deja deja en libertad a un proyectil,. =6m8 =6m8
9ara poder e*aminar lo que acontece# al observador 6A8 se le debe asociar un sist siste ema de ejes jes coo oorrden denados ados y un sistem sistema a tempor temporal al 6relo 6reloj8. j8. A todo todo este este conjunto se le denomina: +0istema de re!erencia, 60.R.8.
Reloj r0
r
7
%6m8 7bservador
9ara ubicar al cuerpo en estudio 6proyectil8# se traza un vector que parte del origen de coordenadas y se dirige "aci "acia a el cuer cuerpo po-- a es este te vect vector or se le denomina +vector posición r ,.
Nota: El vecto vectorr posició posición n puede puede ser e*pre e*presad sado o de la siguie siguiente nte !orma: !orma: r 6*# y8 y8 o tambi(n r *i yj - donde donde i# j son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados: E*aminemos el movimiento del proyectil &ector posición inicial r; : &ector
=6m8 =6m8
r! : &ector posición fnal Reloj r0
r; r! 7
%6m8 7bservador
El obse observ rvad ador or nota nota que que el proy proyec ecti till camb ca mbia ia co cont ntin inua uame ment nte e de posic posició ión# n# entonces para (l# el proyectil se encuentra en +movimiento, o e*perimenta e*perimenta movimiento mecánico.
En conclusión: El +movimiento mecánico, es un !enómeno que consiste en el cambio continuo de posición de un cuerpo con respecto a un sistema de re!erencia. re!erencia. 33<
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9ara ara pode poderr desc descri ribi birr el movi movimi mien ento to me mecá cáni nico co nece necesi sita tamo moss co cono noce cerr cier cierto toss conceptos previos:
Elementos del movimiento: 1. Móvil: 0e deno denomi mina na as a todo todo cuer cuerpo po o punt punto o en movi movimi mien ento to me mecá cáni nico co respecto a)n sistema re!erencia 2. istema de !e"erencia: Es el lugar desde el cual el observador aprecia el movimiento. movimiento. 0e representa representa mediante un sistema de ejes coordenados #. $ra%ec ra%ector toria: ia: Es la lnea geom(trica que describe el móvil# puede ser rectilnea o curvilnea.
ov. rectilneo
ov. circun!erencial
ov. parabólico
.
/
/
/
&. 'ector ector posici posición ón o radio radio vector vector r : Es el vector trazado desde el origen de coordenadas a la posición instantánea del móvil. (. )espl )espla*a a*amie miento nto D : Es el vector que une la posición inicial y la posición fnal entre los dos puntos de la trayectoria. =
9osición inicial
Donde: tor pos posic ició ión n inic inicia iall r ; : &ector
e D
r;
9osición fnal
r !
r ! : D : e :
&ector tor posi posicción ión fnal nal &ector tor de despla splazzam amie ient nto o espacio recorrido
% +. )ist )istan anci cia a ,d-: ,d-: Es la medida o módulo del vector desplazamiento. D o en otras palabras +la medida de la longitud del segmento de recta que une la posición inicial y la posición fnal, .
d? @ m
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33>
5sica '
/inemática '
.
/
d ? 3B m
/
d ACA ? ; m
. Espacio Espacio !ecorrido !ecorrido ,e-: Es la medida de la longitud de la trayectoria descrita por el móvil. B; m @m
/
/
/ eAC ? B; m
eACA ? ; m
eAC ? @ m
Clasicación del Movimiento: 1. )e acuer acuerdo do a su tra%e tra%ector ctoria: ia: a8 ovimiento Re Rectilneo ctilneo b8 ovimientos /urvilneos: • ovimiento /ircun!erencial /ircun!erencial • ovimiento 9arabólico 9arabólico • ovimiento Elptico • ovimiento 7ndulatorio
2. )e acuerdo a su rapide*: • 1ni!ormes • &ariables
'elocidad ' : agnitud vectorial que se defne como el cambio que e*perimenta el vector de posición en un determinado intervalo de tiempo cuyo valor indica el espacio recorrido por unidad de tiempo. Caractersticas: 3B;
& &
&
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• • •
0er tangente a la trayectoria en todos los puntos. Defnir el sentido de la velocidad. En cinemática se acostumbra llamar 3rapide*4 al módulo de la velocidad
5nidades de velocidad: En el .I.: ms Otras unidades: m" # piess# cms# millas"# etc. 'elocidad Media , 'm -: Es la relación entre el desplazamiento del móvil con respecto al tiempo empleado. =
e
'nicial
&m D
5inal
%
Defnimos el vector velocidad media: D r! r; &m ? t t /alculamos el módulo: D 3 &m ? r! r; t t Observe: Fa velocidad media tiene misma dirección que el desplazamiento
la
!apide* Media o promedio ,'-: Es la relación entre el espacio recorrido por el móvil con respecto al tiempo que emplea. Fa rapidez media es una cantidad escalar y se e*presa de la siguiente manera: &
e t
Fa rapidez media es la rapidez uni!orme con la cual# en el mismo tiempo# el móvil "ara el mismo recorrido.
'elocidad Instantánea: Es la velocidad que tiene un cuerpo en cada instante de su movimiento +es la velocidad propiamente dic"a,. Recta tangente
r 9
&
/
r
θ
7
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Hraye Hrayecctoria oria
C A t
0i dism dismin inui uimo moss prog progrres esiv ivam amen ente te el tiempo de recorrido# la dirección secante 6 7A 8 del desplazamiento se va acer ac erca cand ndo o a la dir direc ecci ción ón de la rec ecta ta tangente. 9ara un tiempo muy pequeGo 6instante o di!erencial de tiempo8 el desplazamiento y la velocidad resultan ser tangentes a la trayectoria. 3B3
5sica '
/inemática '
En el siguiente gráfco de muestra la velocidad instantánea en distintos puntos de una trayectoria curvilnea. &C
r !6t8 &D
C
/ D
A
&/ &A
Analizando el movimiento se puede apreciar que: • El vector velocidad instantánea siempre es tangente a la trayectoria del móvil • Fa velocidad en el punto A es "orizontal debido a que se trata de un +e*tremo relativo, 6mnimo8. • En el trayecto C/ se presenta un cambio de curvatura en la trayectoria# as mismo un cambio en la dirección de la velocidad. • En el punto D la velocidad es otra vez ascendente.
Cálculo de la velocidad instantánea instantánea 9ara este e!ecto será necesario conocer la ecuación de la trayectoria del móvil e*presada en t(rminos del tiempo# es decir: r !6t8 - de donde se puede calcular la velocidad instantánea mediante un operador di!erencial denominado +derivada,.
Recta tangente
=
Hray Hrayectoria oria
9
&
r !6t8
Dada la trayectoria curva de la fgura# es posible calcular la velocidad instantánea en el punto 9# este valor resulta ser la pendiente de la recta tangente a dic"a trayectoria# es decir: &
θ
7
%
Ap(ndice
m
tan θ
7tra manera de realizar dic"o cálculo es "all "allan ando do la deri deriva vada da del del vect vector or posición en el punto 9. &
dr dt
atemáticamente la velocidad 6&8 es la deri deriva vada da de la posi posici ción ón 6r8 6r8 co con n respecto al tiempo.
Cálculo de derivadas Dado un t(rmino monomio: y a*n 3BB
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0e defne como derivada con respecto a la variable +*, a la e*presión: e*presión: dy d*
an* n an
3
Fa cual representa representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la trayectoria.
Ejemplo Ilustrativo 1: Dado un polinomio: * BtB It @ . Jallar la derivada con respecto a +t,. olución: El polinomio se puede escribir: * BtB It @t; Aplicando la !órmula: d* d* B6B8tB 3 I638t3 3 @6;8t; 3 Kt I dt dt Ejemplo Ilustrativo 2: Fa posición posición de una partcu partcula la está está dada dada por la ecuaci ecuación: ón: r BtI KtB It @ 6r en metros8# "allar su velocidad instantánea cuando t B s . olución: Jallando la derivada: dr & LtB
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3BI
5sica '
/inemática '
celeración a .6 agnitud vectorial cuyo valor nos indica el cambio de velocidad que e*perimenta un móvil por unidad de tiempo# tambi(n nos indica la rapidez con que cambia la velocidad. 5nidades: En el .I.: msB Otras unidades: m"B # piessB # cmsB # etc. cel celer erac ació ión n Medi Media a am .6 1n móvi móvill ac acel eler era a cuan cuando do ca camb mbia ia el módu módulo lo yo yo dirección de su velocidad con respecto al tiempo. Es el vector que se defne como el vector cambio de velocidad 6di!erencia de vectores8. & t
am
a m
&! &; t
9ara calcular el módulo de la aceleración media se debe "allar previamente el módulo de la di!erencia de velocidades & &! &; r
θ
θ
&;
r !6t8
& ! &! &;
&; & !
7
t
0e sugiere utilizar el siguiente m(todo: 'nvertir la velocidad inicial obteni(ndose & ; y a continuación aplicar el m(todo del paralelogramo para "allar el vector di!erencia. at & &! B &; B B&!&; cos θ
&! &;
a
9osteriormente 9osteriormente el módulo de la aceleración media se "allará aplicando la relación: ac ac
a
a
& ! &; t
& celeración Instantánea.6 Es alat aceleración que tiene el móvil en cada instante de su movimiento# tambi(n se llama aceleración lineal o simplemente aceleración. Es un vect vector or cuyo cuyo se sent ntid ido o siem siempr pre e se seGa Gala la la part parte e có cónc ncav ava a de la curv curva a y su
3BK
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direc direcció ción n depen depende de de las caract caracter ersti sticas cas del del movimi movimient entoo- pero en 7eneral es distinto al vector velocidad.
En el movimiento curvilneo la aceleración se puede presentar de tres maneras generales: 3. 0i la rapidez rapidez del móvil aumenta# aumenta# la acelerac aceleración ión y la velocidad velocidad !orman !orman un ángulo a7udo. B. 0i la rapidez rapidez del móvil móvil permanec permanece e constanteconstante- la acelerac aceleración ión es perpendicular a la velocidad del móvil. I. 0i la rapidez del móvil móvil disminuyedisminuye- la aceleració aceleración n y la velocidad velocidad !orman !orman un ángulo obtuso. &
&
&
θ
a
a
a
θ
Cálculo de la aceleración instantánea De acuer acuerdo do a los anter anterior iores es gráfco gráfcos# s# la aceler aceleraci ación ón a puede !ormar un ángulo agudo# obtuso o recto con la velocidad & . atemáticamente# la aceleración 6 a 8 es la deri deriva vada da de la velo veloci cida dad d 6 & 8 con = respecto al tiempo:
r
a
θ
a
&
d& dt
/omo la velocidad 6&8 es la derivada de la posición 6r8 con respecto al tiempo se tendrá que:
%
a
dBr dtB
Fa aceleración es la segunda derivada de la posición 6 r 8
Ejemplo Ilustrativo 1: 222.antorai.com.pe
3B@
5sica '
/inemática '
En un movimiento la posición 6en m8 con respecto al tiempo 6en s8 se da seg)n la siguiente ley r BtI Kt I . Jallar la velocidad del móvil en t 3 s y su aceleración en t B s .
olución: Fa posición está dada por: r BtI Kt I /on la primera derivada de la posición se "alla la velocidad: & LtB K !pta & B mDs & L638B K /on la segunda derivada de la posición se "alla la aceleración: d& a 3Bt dt a 3B6B8 a BK BK msB !pta Ejemplo Ilustrativo 2: En un plan plano o una una part partc cul ula a se muev mueve e se seg) g)n n la ec ecua uaci ción ón r Jallar el módulo de la aceleración para t 3# @ s .
K It ItB - @t tI .
olución: En el plano la posición está dada por: r K It ItB - @t tI Fa primera derivada es la velocidad: dr & I Lt- @ ItB dt Fa segunda derivada es la aceleración: dBr a L- Lt B dt I a L- L a L- > B 9ara "allar el módulo del vector aceleración aplicamos el Heorema Heorema de 9itágoras: a I 3I mDsB !pta a 6 L8B >B Ejemplo Ilustrativo #: 1n movimi movimient ento o unidim unidimens ension ional al está está dado dado por la ley: ley: r tI ItB Bt L # donde la posición está dada en metros y el tiempo en segundos. Jallar la aceleración en el instante en que el móvil pasa por el origen. olución: El móvil pasa por el origen cuando r ; tI ItB Bt L ; 3BL
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tB6t I8 B6t I8 ; 6t I86tB
t Is
B8 ;
dr ItB Lt B dt B Fa segunda derivada es la aceleración: a d Br Lt L dt Evaluando para t I s !pta Henemos: Henemos: a L6I8 L 3B 3B msB Fa velocidad es la primera derivada de r: &
ovimiento Rectilneo 1ni!orme El movimiento rectilneo uni!orme 6.R.1.8 es el más simple de la cinemática# su caracterstica principal es que la velocidad del móvil permanece constante# es decir el móvil avanza distancias iguales en tiempos iguales.
Consecuencias Consecuencias de una velocidad constante • 1n móvil con .R.1. no debe cambiar la dirección de su velocidad- por lo tanto#
la trayectoria debe ser necesariamente una recta. 5na velocidad constante solamente se puede dar en una tra%ectoria recta. • 1n móvil con .R.1. no debe cambiar el módulo de su velocidad- o sea su
rapidez debe ser constante. 5n movimiento con rapide* constante es denominado uni"orme • 1n móvil con .R.1. no cambia la dirección ni el módulo de la velocidad# o sea no
acelera. i un móvi móvill no acel aceler era a su tra tra%ect %ector oria ia es un una a rect recta a % su rapi rapide de* * permanece constante •
0i el móvil tiene velocidad constante su rapidez tambi(n será constante y el móvil recorrerá recorrerá distancias iguales en tiempos iguales t t t
&
& d
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& d
& d 3B4
5sica '
/inemática '
Caractersticas: Hrayectoria Hrayectoria : recta d &elocidad : constante v t Acele Acelerac ración ión : ce cero ro
d
vt
MO'IMIEN$O IM58$9NEO. Dos móviles tendrán movimientos simultáneos si empiezan y terminan sus movimientos al mismo tiempo. Fos tiempos empleados por cada móvil serán iguales. t3
tB
t
MO'IMIEN$ MO'IMI EN$O O NO IM58 IM58$9NEO.6 9NEO.6 Dos Dos móvi móvile less tend tendrá rán n movi movimi mien ento toss no simultáneos cuando uno de ellos se adelanta en la partida o el otro tarda en partir# los tiempos empleados por cada móvil serán di!erentes. di!erentes. t3 tiempo del primer móvil que partió tB tiempo del móvil que partió rezagado t tiempo de adelanto del primero o de atraso del segundo t3 tB t 1. C!5CE O ENC5EN$!O )E )O M'I8E El movimiento se da en direcciones opuestas. /uan /uando do es está tán n se sepa para rado doss una una dist distan anci cia a +d,# +d,# la posi posici ción ón de los los móvi móvile less es la siguiente: &C &A
d A Hranscurrido Hranscurrido un tiempo tiempo +t,# el auto y el camión se encuentran &C &A dA 0e sabe que: tA tC Del gráfco se deduce: d
dA
C
dC d
dC
d &A t &Ct d t6&A &C 8 Fuego el tiempo de encuentro estará dado por: tencuentro
d &A
&C
2. 8CNCE )E )O M'I8E El movimiento se da en la misma dirección. 3B<
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/uando están separados una distancia +d, &A &C
A d * Hranscurrido Hranscurrido un tiempo tiempo +t,# el auto alcanza al camión C
C
d
0e sabe que: tA tC Del gráfco se deduce: dC
A
dA
dC
E
E
d dA
dC d A d &C t &A t d d t6&C &A 8 Fuego el tiempo de alcance estará dado por: talcance
d &C &A
E8 ONI)O COMO ,M!5El sonido es producido por la vibración de los objetos. 9ara transmitirse se requiere de un medio elástico que puede ser sólido# liquido o gaseoso. En el vaco el sonido no se propa7a ,' ; 0• Aire 6B;N8 ? IK; ms • Jidrogeno 6;N8 ? 3B
&elocidad del ratón: ratón:
I & B
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Fos tiempos que demoran el gato y el ratón# en llegar al punto +E, son los mismos: 3B>
5sica '
/inemática ' tgato
E
K * * I & & B I* < B*
I * K * B * <
Distancia recorrida recorrida por el gato: K * K < 3B m Rpta.
*
Km
tratón
Ejemplo ilustrativo 02 1n tren e*perimenta un R1 avanza con una rapidez de @K m". 0i tarda B; s en atravezar completamente un t)nel de B;; m de longitud# determine la longitud del tren. olución: &
@K mD"
B;; m
F
Ros piden la longitud del tren# podemos notar que en B; s la parte delantera del tren recorre la distancia 6B;;SF8
9ara la parte delantera del tren: m 3;;; m B;; F @K @K 3@ ms & " IL;; s B; B;; F 3@ B; !pta. 3;; m F 3;;
ovimiento Rectilneo 1ni!ormemente &ariado
1na partcula tendrá un movimiento rectilneo uni!ormemente variado 6.R.1.&.8 si al desp despla laza zars rse e su tray trayec ecto tori ria a es una una rec ecta ta y su rapi rapide dezz aume aument nta a o dism dismin inuy uye e uni!ormemente.
Caractersticas • Hrayectoria Hrayectoria : recta • &elocidad elocida d : variable • Aceleración : co constante B mDs
< mDs
3B mDs
Debido a la trayectoria recta se puede decir que la dirección de la velocidad no cambia.
1. 8a aceleración es colineal con la velocidad • 0i la rapidez aumenta se dice que el móvil está acelerando. 8a aceleración
tiene el mismo sentido
3I;
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• 0i la rapidez del móvil disminuye se dice que el móvil está desacelerando. 8a
aceleración tiene sentido contrario a la velocidad . a
a
&
movimiento acelerado Aceleración positiva
&
movimiento retardado Aceleración negativa
2. 8a aceleración es constante •
En el siguiente diagrama la aceleración es constante porque cada K s la velocidad vara en I ms. Ks Ks Ks K ms
4 ms
3; ms
3I ms
Ecuaciones del M!5' En el R1& la aceleración es el cambio de velocidad por cada unidad de tiempo: &; : &elocidad inicial &! : &elocidad fnal Fuego: &! &; & & & a ó tambi(n: a - para el tiempo t ! ; … 638 a t t 0e deduce que: &! &; at … 6B8 0e empleará: 6 a 8 si el móvi móvill ace acele lera ra 6 a 8 si el móvi móvill des desac acel eler era a En el .R.1.&. .R.1.&. la rapidez vara uni!ormemente y por esto la rapidez media equivale a la media aritm(tica entre la velocidad inicial 6&;8 y la velocidad fnal 6&;8 . &m
&! &; B
… 6I8
9ara calcular la distancia 6d8 que recorre recorre el móvil se s e emplea la rapidez media: d &mt … 6K8 Reemplazando Re emplazando 6I8 en 6K8: d
&! &; t B
/onsiderando la relación 638 para el tiempo: &! &; &! &; d B a 222.antorai.com.pe
3I3
5sica '
/inemática '
&! B &; B - Finealizando: & B & B Bad … 6K8 d ! ; Ba Reemplazando Re emplazando 6B8 en 6K8: 6&; at8B &;B Bad B&;t atB
d
Bd
&;t
3 B at B
… 6@8
!E5MEN )E =!M58: celerado 6 a8 3
!etardado 6 a8 d
B I
&!
&! B
K @
&; at
&; B Bad 3 B at B 3 & ; a6Bn 38 B
&! &; t B &! &; at &! B
&; B Bad
d &;t
d &;t
d n
dn
&;
3 B at B 3 a6Bn 38 B
Ejemplo Ilustrativo 01 /alcular la aceleración de un móvil que tarde 3; s en cambiar su velocidad de 3B ms a IB ms.
olución: 3; s 3B mDs
IB mDs
Fa aceleración es igual a la vari variac ació ión n de la velo veloci cidad dad en un determinado tiempo: a
Reemplazando Re emplazando datos: IB 3B a 3; B; a B msB a 3;
&! &; t
!pta.
Ejemplo Ilustrativo 02 Dos móvil móviles es parten parten del repos reposo o simult simultáne áneame amente nte## se mueve mueven n en vas vas parale paralelas las avanza avanzando ndo en el mismo mismo sentid sentido o con aceler aceleraci acione oness de B y < msB . OPu( tiempo despu(s estarán separados I;; mQ
olución: 3IB
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B
d3
/omo parten del reposo &; ; # ambos móviles debe debem mos tom tomar en cue cuenta nta que:
I;; m
a3 B ms
aB < msB
dB
d
3 B at B
El tiempo es el mismo para ambos móviles# luego de la fgura se deduce: dB d3 I;; 3 B 3 B B B aBt a3t I;; < t B t L;; B B t 3; s !pta. LtB L;;
Ejemplo ilustrativo 0# 1n móvil se desplaza con .R.1.&. y recorre en el tercer segundo recorre 3L m menos que el que recorre recorre en el s(ptimo segundo. Entonces su aceleración será: olución: d4 dI 3L 3 3 a B648 3 a B6I8 3 3L B B 3I @ a K m a a 3L msB B B
Recuerde que: 3 dn a6Bn 38 B
!pta. 9roblemas Resueltos
3. 1n automovilista observa en un 3 I mome moment nto o dete determ rmin inad ado o que que 3@ 3@ de lo @ * @ 63B& *8 recorrido equivale a I@ de lo que !alta * > por por rec ecor orrrer. er. O/uá O/uánt ntas as "ora "orass "abr "abrá á * IL& I* & empleado "asta ese momento# si todo el Hiempo de recorrido recorrido "asta el momento: momento: viaje lo "ace en 3B "orasQ * > " a8 > " b8 K " c8 t !pta. & 4" d8 I " e8 @ " B. 1n tren tren tarda tarda 4; s atrave atravesar sar un t)nel t)nel de 3B;; m de longitud# y al pasa sarr olución: delante de una persona demora B; s. 0ea +&, la velocidad del automovilista O/uál es la velocidad del trenQ 5alta a8 BK ms b8 I; ms c8 recorrer recorrido K< ms 3B& * * d8 B; ms e8 3L ms
3B& Del dato: 222.antorai.com.pe
olución: /uando pasa el t)nel: 3II
5sica '
/inemática '
*
3B;; m
d * 3B;; * 3B;; & t 4; 4; 9asa !rente a la persona:
… 638
*
d * * & … 6B8 t B; B; Recuerde Re cuerde que la velocidad es constante: 'gualando 638 y 6B8: * 3B;; * 4; B; B* BK;; 4* * K<; m /álculo de la velocidad y reemplazando en B * K<; BK mDs & !pta. B; B; I. En cierto cierto instant instante e la separa separació ción n entr entre e dos móviles# que se acercan rectilneamente con velocidades opue opuest stas as de > ms ms y L ms# ms# es 3@; m. m. Jáll Já lle ese el tie tiempo adic adicio iona nall par para el cruce. a8 < s b8 > s c8 3; s d8 3B s e8 3@ 3@ s
K. 1n auto viaja viaja a velo veloci cidad dad const constan ante te de > ms "acia una montaGa# toca el cla* cla*on on y el co cond nduc ucto torr es escu cuc" c"a a el ec eco o despu(s de K segundos. OA qu( distancia de la montaGa se encontraba el auto antes de tocar su s u cla*onQ a8 L>; m b8 L>< m c8 L4; m d8 L@; m e8 4;; m olución:
* d En un mismo tiempo se da lo siguiente: Fa distancia recorrida por el auto es +*,# mientras que el sonido recorre recorre + Bd * ,. * >6K8 * IL m Bd * IK;6K8 L>< m !pta. Bd IL 3IL; d L>< @. 0e muest muestra ran n dos velas velas y una una pared pared## al encenderlas# la primera se desgasta con co n velo veloci cida dad d 3 cmm cmmin in y la se segu gund nda a con co n I cmmi mmin# n# O/on O/on qu( qu( velo veloccidad idad decrece la sombra de la vela más cercan cercana a a la pared# pared# proye proyecta ctada da sobre sobre dic"a paredQ 3T 3 cmDmin
BT
I cmDmin
olución d
&3
&B
d3
dB
Del gráfco: d d3 d B t
d &3t &Bt
t
3@; > L
3IK
t
d
I cm
a8 B cmmin c8 K cmmin e8 L cmmi mmin n
b8 I cmmin c8 @ cmmin
olución:
&3 &B
3; s
B cm
!pta.
d3
dB
y
ds
*
B cm
222.antorai.com.pe I cm
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… siempre los primeros
Desgaste de las velas: d3 638t t dB I6t8 It Decrecimiento Decrecimiento de la sombra: ds &st Aplicando semejanza base U altura: * I … 638 y @ 9ero: * ds d B 6&s I8t … 6B8 y ds d3 6&s 38t … 6I8 Reemplazando Re emplazando 6B8 y 6I8 en 638 6&s I8t I 6&s 38t @ @&s 3@ I&s I B&s 3B &s L cmDmin !pta. L. Dos Dos móvi móvile less cuya cuyass velo veloci cida dade dess so son n 3B ms y > ms viajan sobre vas perp perpen endi dicu cula lare res# s# desp despu( u(ss de cuán cuánto to tiempo tiempo de "aberse "aberse cruzado cruzado distarán distarán de >;; m. a8 3 s b8 B s c8 I s d8 3#@ s e8 B#@ s
olución: El gráfco representa la posición despu(s de que los móviles se cruzan:
>t
>;; m 3Bt
9or 9itágoras: BB@tB
>;;
>t B 3Bt B >;; <3tB 3KKtB >;; t B s !pta.
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4. 1n avión se acerca a una va de ater aterri riza zaje je de 3;; 3;; m de lar largo co con n una una rapidez de K; ms# si el sistema "idráulico permite que el avión vaya deteni(ndose uni!ormemente. /alcular la desaceleración sufciente que debe tener el avión. a8 @ msB b8 L msB c8 < msB d8 3; msB e8 3B msB olución: Datos: &; 3; ms d 3;; m &! ; 6el avión debe detenerse8 t Q 0e sabe que: &! B &;B Bad ; 6K;8B Ba63;;8 B;;a 3L;; a < msB !pta. <. Al !re !renar nar un aut auto# se produc oduce e una B desaceleración de 3; ms . OPu( distancia recorrerá en el )ltimo segundo de su trayectoQ a8 K m b8 @ m c8 L m d8 < m e8 3; m
olución: Datos: a 3; mDsB 6desacelerado8 t 3 s 6)ltimo segundo8 &! ; d Q &!
&; at
; &; 3; 638 &; 3; m s Reemplazando Re emplazando en la !ormula 3I@
5sica ' d
/inemática '
&! &; t
d
3; ; 3 B @ m !pta.
d
De la !órmula: d
>. En un movi movimi mien ento to co con n ac acel eler erac ació ión n cons co nsta tant nte# e# en @ s la velo veloci cida dad d de la partcula aumenta en B; ms mientras recorre 3;; m. Jallar la distancia que recorrerá la partcula en los dos segundos siguientes. a8 LB m b8 LK m c8 LL LL m d8 L< m e8 4B 4B m olución: @s
Bs
&A A
3 B at B
&;t
3 6K86B8B B d d L; < d I;6B8
3;. /on un una a acceleración co constante +a,# +a ,# en un se segu gund ndo# o# un móvi móvill reco recorr rre e una distancia +d,. OPu( distancia recorrerá el móvil en el segundo siguienteQ a8 d Ba b8 d Ia c8 Bd a d8 d a e8 d a
olución: 3s
&A B;
3;; m
C
d
A
Hrabajando Hrabajando por tramos: Hramo Hramo AC:
3;;
&C B &A
3;; 6&A
&A
C
d
*
/
&; &A t 3s d
C/ * 1tilizando la !órmula de distancia: d
t d
B; &A t B 3;8@
a B Hramo Hramo A/:
&A
3; ms # de donde: &C I; ms /álculo de la aceleración: &C &A a t I; 3; a a K msB !pta. @
$ramo /C: Distancia en adicionales:
los
3 B at B 3 &At a638B B
&;t
d &A
3;; @&A @;
3IL
&C
AC
9or la !órmula de distancia: d
3s
&A
/
$ramo /: &; &A &C &A B;
!pta.
L< m
dos
segundos
&A
d
a … 638 B
&; &A t Bs 3 B d * &A t at B 3 d * &A 6B8 a6B8B B d * B&A Ba … 6B8
0ustituyendo 638 en 6B8:
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d *
B d
a B
*
d * Bd a Ba
d
!pta.
a
33. Fa pa partida de de un un mó móvil se se da da desde el reposo y que este debe recorrer recorrer cierto trayecto rectilneo con aceleración constante. OEn cuánto tiempo el móvil recorrerá la primera tercera parte# si la )lti )ltima ma ter terce cera ra part parte e del del tray trayec ecto to la recorre en +n, segundosQ a8 6 I b8 6 @ B8n B8n c8 6 I d8 6 @ B8n B8n e8 6I B8n olución: tB
n
t3 A
*
&; &A ; t tB d B* Aplicando !órmula de distancia: 3 B K* … 6I8 B* ; atB tB B a Reemplazando Re emplazando 6B8 y 6I8 en 638: L* K* n a a
Hramo Hramo A/:
Ba
C
*
/
*
D
tI
n
B* 6 I a
B8 … 6K8
&; &A ; t t3 d * Aplicando !órmula de distancia: 3 B B* … 6@8 * ; at3 t3 B a 0ustituyendo 6@8 en 6K8: n t3 n t36 I B8 I B Racionalizando: n6 I B8 t3 I B !pta. t3 n6 n6 I B8
Hramo Hramo AC:
/ondición: tI tB n … 638 Hramo Hramo AD: &; &A ; t tI d I* Aplicando !órmula de distancia: 3 B L* … 6B8 I* ; atI tI B a 9roblemas 9ropuestos 3. 0i la posi posició ción n +*, de una part partcul cula a es B descrita por la relación * @t B;t #donde * esta en m# t en s - entonces su velo veloci cida dad d me medi dia a entr entre e los los inst instan ante tess t I s y t Ks - en ms es: a8 IB; m b8 3L; m c8 >@ m d8 @@ m e8 3L m B. 1na persona avanza con una velocidad constante de @ms en dirección este y despu(s corre en dirección I4T al noroeste para un tiempo 222.antorai.com.pe
de @ s O/uál !ue el modulo de su velocidad mediaQ 6en ms8. a8 @ b8 B#@ c8 I#I4 d8 I#@ e8 K#3B I. 1n móvil móvil se se encue encuentr ntra a en la posici posición ón r3 Bi @j m en el instante t3 Bs.y en la posición r B Li Ij m en el instante tB Ks .0iendo su movimiento rectilneo uni! uni!or orme me.. Ja Jall llar ar el desp despla laza zami mien ento to desde t Ks a t
5sica '
/inemática '
a8 @ I d8 3; B
b8 L B e8 < @
c8 K 3;
K. 1na partcula se encuentra inicialmente la posición t ; en r; Ii K j m .0i .0i tien tiene e una una velo veloci cida dad d @j ms # det constante & determina minarr la posición 6en m8 en el instante t B s . a8 Ii j b8 Ii Lj c8 Ii d8 @j e8 Ii 3;j @. Eval Evalu( u( el modu modulo lo de la ac acel eler erac ació ión n media media que e*per e*perime imenta nta una partc partcula ula que que c"oc c"oca a !ron !ronta talm lmen ente te co cont ntra ra una una par pared co con n una una velo veloci cida dad d de 3;m 3;mss y rebota con
d8 3<; msB e8 3@; msB L. 1n objet objeto o resbal resbala a por el el tobogá tobogán n que se mues muestr tra. a. Eval Evalu( u( el modu modulo lo de la B acel ac eler erac ació ión n me medi dia a 6en 6en ms 8 entre los puntos +A, y +C, si demora B s en recorrerlo. &
=
a8 3B B d8 L
63@i
@IT @IT C
A
%
@ mDs
b8 I B e8 3B
c8 L B
4. 1na 1na part partc cul ula a real realiz izó ó el movi movimi mien ento to que se indica en la fgura- demorándose de +A +A, a +C, +C, B s# si se cons conser ervó vó su rapidez de L ms el módulo de la aceleración media !ue: a8 3 msB b8 B msB c8 I msB d8 I I mDsB e8 I B mDsB
<. 1n inse insect cto o logr logra a desp despla laza zars rse e por por el cilindro desde +A, "asta +C, siguiendo la tray trayec ecto tori ria a indi indica cada da co con n una una rapi rapide dezz constante de 3; cms. 0i el módulo de la velocidad media !ue de B cms # calcular la longitud de la espiral que describió al C moverse. a8 3;; cm b8 @;; cm
<; cm
c8 @; cm d8 B;; cm e8 @L@ cm
A L; cm
>. 1n móv móvil con con R1. 0e mue mueve a 4B m". Determine que distancia avanzara en 3 min. a8 I;; m b8 L;; m c8 >;; m d8 3;;; m e8 3B;; m 3;. 1n tr tren de <; m de de lo longitud vi viaja a 4B m" m" OPu( OPu( tiem tiempo po em empl plea eara ra en pasar completamente un t)nel de 3B; m de largoQ a8 B s b8 < s c8 K s d8 3; s e8 L s 33. 33. Dos Dos móv móvil ile es se separa parado doss por por I;; I;; m se dirigen dirigen al encuentro con velocidades velocidades consta constante ntess de 4B y IL IL m". m". Jallar Jallar el el tiempo de encuentro. encuentro. a8 @ s b8 B; s c8 B@ s d8 3; s e8 3@ s 3B. 3B. 1n au automó tomóv vil re recorr orre la dist distan anccia AC a B; ms y luego la distancia C/ a I; ms. 0i AC?C/# "allar la velocidad media de todo el recorrido# si se e!ect)a en una sola dirección. a8 B3 ms b8 BK ms c8 B@ ms d8 BB ms e8 BI ms C
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3I< L;T L;T
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3I. 1n estudiante desea calcular la dist distan anci cia a que que "ay "ay entr entre e su ca casa sa y la academia. 0i observa que caminando a razón de <; cms tarda B@ min más que caminando a >@ cms O/uál es la distancia entre su casa y la academiaQ a8 3#@ m b8 I#L m c8 @#L m d8 4#L m e8 >#L m
a8 @#@ s s d8 <#@ s
ILm ILm a8 < m b8 > m 3< m d8 BK m e8 3@ m
a8 34ms d8 K4ms
Lm
c8
3@. Fa ecuación del movimiento de una partcula en el sistema internacional de unidades es * Bt 3; determinar su posición B s despu(s de pasar por el origen de coordenadas. a8 S3m b8 SB m c8 SIm d8 SKm e8 S@ m 3L. 1n tr tren cr cruza un un po poste ste en en 3; 3; s# s# y un t)nel en 3@ s. OEn cuanto tiempo el tren cruzara un t)nel si el tamaGo de este !uese el tripleQ a8 3@ s b8 B; s c8 B@ s d8 I; s e8 I@ s 34. 34. Fa sir sire ena de una una !áb !ábrrica ica sue suena na en !orma continua durante > seg. un obrero se dirige "acia la !ábrica en un autob)s con una rapidez constante de 4B m". O/uánto tiempo escuc"a dic"o obrero la sirenaQ 222.antorai.com.pe
e8 >#@ s
v
I mDs L mDs
c8 4#@
3<. 3<. En el ins insta tant nte e mos mosttrado rado## de desde sde el el automóvil se toca el cla*on y la persona escuc"a el eco# cuando el automóvil se encu encuen entr tra a en la mita mitad d de su ca cami mino no.. OPu( velocidad tiene el automóvilQ
3K. 3K. Desde sde el el inst instan ante te mos mostr trad ado o. OPu( OPu( distancia separa a la persona del móvil +, cuando los móviles y están en el momento del cruceQ < mDs
b8 L#@ s
<* b8 B4ms e8 @4ms
*
c8 I4ms
3>. 3>. Dos Dos móv móvil ile es A y C # se separa parado doss po por @; m# se mueven en la misma dirección con rapid rapidez ez const constant ante e de K; ms y 3@ ms# respectivamente #seGale al cabo de cuanto tiempo mnimo# A estará 3@; m delante de C a8 L s b8 < s c8 3; s d8 B s e8 3B s B;. 1n ro roedor se en encuentra a B; m deba debajo jo de un "alc "alcón ón y al obse observ rvar arlo lo "uye rectilneamente "acia un agujero# que se encuentra a 3@ m delante de (l# con co n una una rap rapide idez const onstan ante te de I ms . Determine la rapidez rapidez media del "alcón# si este ste caza aza al roe oedo dorr just justo o cuand uando o ingresa al agujero. a8 I ms b8 K ms c8 @ ms d8 L ms e8 < ms B3. 1n "om "ombre de 3# 3#4; m de al alttura pasa junto a un poste de I#K; m de altura# con una velocidad velocidad de B ms en el preciso momento en que a 3;; s de (l# viene viene un niGo niGo 6arq 6arquit uito8 o8 al encuen encuentro tro con una velocidad de 3 ms Determine el tiempo que tardará el niGo en pisar el e*tremo e*tremo de la sombra del "ombre. 3I>
5sica '
a8 B; s BB s d8 B@ s
b8 B3 s
c8
e8 I; s
BB. Dos móviles# A y C pasan simult simultáne áneame amente nte por un mismo mismo lugar lugar e*perimentando e*perimentando un .R.1. En la misma dirección con rapidez de 3; ms y @ ms res respect pectivame ivamente. nte. OFuego OFuego de cuanto tiempo los móviles equi equidi dist star aran an de tu pro! pro!es esor or ma marq rqui uito to =llanes que se encuentra a I;; m delante de (l por el cual pasaron simultáneamenteQ a8 I; s b8 K; s c8 I@ s d8 B@ s e8 @; s BI. 1n tren# que se desplaza con la velocidad constante# cruza un t)nel de 3B; m en < s. 0i una persona persona sentada sentada al lado de una de las ventanas del tren nota nota que que perm perman anec ece e K s dent dentro ro del del t)nel # determine la longitud del tren a8 3B; m b8 3<; m c8 B;; m d8 33; m e8 BK; m BK. 1na persona al encontrarse a orillas del mar se percata de que mar aden adentr tro o se prod produj ujo o una una e*plo *plosi sión ón y reconoce que la di!erencia de los tiempos de llegada de los sonidos por el aire y por el agua es de 33 s. OA qu( dist distan anci cia a de la pers person ona a se prod produj ujo o la e*plosión. 0i Fa rapidez del sonido en el aire y el agua es de IK; ms y 3KK; ms respectivamenteQ a8 I>I@ m b8 IB; m d8 @3;; m e8 K<>L m B@. 1n tr tren de L; L; m de lo longitud se desplaza en lnea recta con una rapidez constante de K; ms y demora en cruzar un puen puente te +t, +t, se segu gund ndos os .0i .0i "ubi "ubies ese e duplicado duplicado su rapidez# rapidez# "abra empleado empleado B s me meno noss en cruz cruzar arlo lo.. Dete Determ rmin ine e la longitud del puente 6en m8. 3K;
a8 ;#B ;#3B d8 ;#3
b8 ;#3@
/inemática ' c8
e8 ;#;<
BL. 1n automóvil se se va al alejando en en lnea recta y perpendicular al muro con rapidez de B; ms . 0i acierta distancia de este el conductor toca la bocina# y escuc"a el eco despu(s de K s. OA qu( dist distan anci cia a del del mur muro se enco encont ntra rara ra el conductor cuando escuc"a el ecoQ a8 LK; m b8 IB; m c8 4B; m d8 L;; m e8 @B; m B4. 5rente a una est estación A pasan B móviles que 0e desplazan en lnea recta con rapidez cons co nsta tant nte e den @ ms ms y B; ms# ms# para para dirigirse "acia otra estación C. En ese inst instan ante te por por la es esta taci ción ón C pasa pasa otr otro móvil se dirige "acia A con I; ms y se cruza con los anteriores# con un inte interv rval alo o de tiem tiempo po de 3 min. min. OPu( OPu( distancia "ay entre las estaciones A y CQ a8 @ m b8 L m c8 L#@ m d8 4 m e8 4#@ m B<. 1n ins insecto rea realiza un . .R.1. y se desplaza desplaza a lo largo largo de la recta recta +F,. 0i el área A3 es de K; mB y !ue barrido en @ s- indiqu indique e cuan cuanto to es el área área A B dado que se barrio en < s y además con qu( rapidez vuela el insecto. V
F AB A3
% a8 L; mB - B ms ms
=
b8 @L mB - K 222.antorai.com.pe
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c8 LK mB - K ms ms e8 L; mB - 3 ms
d8 LK mB - B
B>. arquito se e en ncuentra a I m del centro de una ventana de 3 m de anc"o y un bus# que e*perimenta .R.1.# se mue mueven por por una una pist pista a para parale lela la a la ventana con una distancia de <4 m . 0i el bus de 3; m de longitud !ue observado por el pro!esor arquito durante < s # OPu( valor tiene la velocidad del bus 6en m"8Q a8 3; b8 3@ c8 3B d8 3< e8 B; I;. 1n móvil parte del reposo y adquie adquiere re un R1& R1& con ace aceler leraci ación ón de B msB . OPu( distancia recorre el móvil en los @ s iniciales de su movimientoQ a8 B m b8 @ m c8 3@ m d8 B@ m e8 @; m I3. 1n móvil con R1&. velocidad inicial de L ms y durante e 3; s . OPu( ;#@ msB durant fnal adquiereQ a8 @ ms b8 L ms d8 > ms e8 33 ms
Hiene la acelera a velocidad c8 4 ms
IB. 1n móvil con R1&# posee la velocidad inicial de 3; ms y acelera a K msB . Determine la distancia que reco recorr rre e dura durant nte e el @to @to se segu gund ndo o de su movimiento. a8 3; m b8 3B m c83K m d8 3> m e8 B< m II. 1n móvil aumenta su velocidad desde 4B m" "a "asta 3<; m" durante 3min. O/uál es su aceleraciónQ 222.antorai.com.pe
a8 ;#3 msB d8 ;#K msB
b8 ;#B ;#B ms msB c8 ;#I msB e8 ;#@ msB
IK. Dos co coc"es sep separados po por I; I;; m partiendo del reposo se dirigen al encuentro con aceleración constante de Jall lle e el tiemp iempo o de B msB y K msB . Ja encuentro. a8 @ s b8 < s c8 3; s d8 3B s e8 3@ s I@. 1n aut automóvil parte del reposo y avan avanza za dos dos tram tramos os co cons nsec ecut utiv ivos os #el #el primero acelerando a L mD sB y el segundo retardado a I msB .0i el tiempo tota totall emple mplead ado o es de 3@ s# "all "alle e la má*ima velocidad alcanzada en todo el movimiento a8 3; ms b8 B; ms c8 I; ms d8 K; ms e8 @; ms IL. IL. 1n móv móvil con R1 R1& re recorr orre en en I s consecutivos I; m. O/uánto recorrerá recorrerá en los I s consecutivosQ. /onsidere que la velocidad inicial es nula. a8 I; m b8 L; m c8 >; m d8 3B; m e8 3@; m I4. 1n móvil parte del reposo y rec ecor orrre dos dos tram tramos os co cons nsec ecut utiv ivos os## el primero acelerando a K msB y el segundo segundo desaceleran desacelerando do a B msB # "asta dete detene ners rse e. 0i la dist distan anci cia a tota totall que que recorre es L;; m indique el tiempo que estuvo en movimiento. a8 3; s b8 B; s c8 I; s d8 K; s e8 @; s I<. I<. 1n auto auto que par parte del del reposo poso y se mue mueve co con n R1 R1&# ac ace elera lera a K msB y 3K3
5sica '
debe recorrer 3B;; m para llegar a su dest destin ino o OPu( OPu( tiem tiempo po em empl pleo eo el auto auto para llegar a su destinoQ a8 B; s b8 B@ s c8 I; s d8 I@ s e8 K; s I>. 1n atleta inician su movimiento desd desde e el repos eposo o co con n una una ac acel eler erac ació ión n constante de ;#K msB . 0i luego de 3; s adqu adquie ierre su velo veloci cida dad d má má*i *ima ma.. OPu( OPu( distancia recorre luego de medio minuto de "aber iniciado su movimientoQ a8 4; m b8 <; m c8 KB m d8 3;; m e8 >L m K;. 1n auto inicia su movimiento desde desde el el repo reposo so e*per e*perime imentan ntando do un R1&# recorriendo @ m en los primeros +t, segundos de su movimiento# dete deterrmine mine el rec ecor orri rido do para para los los +Bt, +Bt, segundos siguientes. a8 I; m b8 K; m c8 @; m d8 L; m e8 4; m K3. 1n automóvil que realiza un R1& R1&## inic inicia ia su movi movimi mien ento to co con n una una aceleración de B msB - dete deterrmine mine su rapidez su rapidez en t K s # y el reco recorr rrid ido o dura durant nte e el Kto Kto se segu gund ndo o de su movimiento. a8 < ms- 3K m d8 3L ms- < m b8 > ms- @ m e8 L ms- L m c8 < ms- 4 m KB. KB. 1n aut autom omóv óvil il que que e*peri perim menta nta un R1& con una aceleración de ;#B@ ;#B@ mDs mDsB se dirig dirige e "acia "acia una !abr !abrica ica-- si cuando cuando tiene una rapidez de < ms# empieza a escuc"ar el sonido de la sirena de la !abrica #el cual dura K s# determine el tie tiempo dura durant nte e el cual ual se emiti mitió ó el sonido . a8 I#3 s b8 K#3 s c8 4#4 s 3KB
d8 L#I s
e8 >#3 s
/inemática '
KI. Fas ecuaciones de movimiento para dos móviles A y C # vienen dadas por A: * KtB @t 3 C: * ItB @t I Donde * esta en metros y +t, en segundos. Jalle la rapidez de A en el instante que se cruzan los móviles. a8 34 ms b8 3< ms c8 3> ms d8 B; ms e8 B3 ms KK. 1n "om "ombre adq adquiere una una rap rapidez má*ima de L ms# en muy corto tiempo tratando de alcanzar un tren que esta a punto punto de partir partir.. /uando /uando se encuen encuentra tra detrás del tren# a IB m de la escalerilla del ultimo vagón # el tren arranca con una aceleración de ;#@ msB y la mant ma ntie iene ne co cons nsta tant nte. e. ODen ODentr tro o de qu( qu( tiempo# el "ombre alcanza al trenQ a8 3K s b8 3@ s c8 3B s d8 3; s e8 < s K@. 1n móvil tiene un movimiento rectilneo representado por la ecuación * KtB Kt 3 6+*, esta en m y +t, esta esta en s8. s8. Jalle la posición +*, del móvil 6en m8 cuando su velocidad es < ms . a8 ;#4 m b8 ;#< m c8 I m d8 K m e8 @ m KL. 1n mó móvil av avanza L; L; m en en @ s# s# co con una una ac acel eler erac ació ión n co cons nsta tant nte e de B msB # determinar la velocidad fnal a8 4 ms b8 3; ms c8 3B ms d8 34 ms e8 BK ms K4. Dos aut autos se en encuentran !r !rente a !rente y separados por BK; m si parten sim simultá ultáne neam ame ente nte al encue ncuent ntrro co con n 222.antorai.com.pe
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velocidades iniciales de K ms y L ms y con co n ac acel eler eraci acion ones es de B msB y I msB respectivamente# "allar las velocidades de cada uno en el momento del c"oque. 6en ms8. a8 3; y B; b8 3@ y I; c8 B; y I; d8 3L y BK e8 B; y K;
K<. K<. 1n móv móvil il par parte co con n una una veloc locidad idad de @ms @ms avan avanza zand ndo o una una dist distan anci cia a de 3Km 3Km y co con n una una ac acel eler erac ació ión n de B msB . Jallar el tiempo transcurrido. a8 3 s b8 B s c8 I s d8 K s e8 @ s
K>. K>. 1n móv móvil par partió tió con con una una ve veloc locidad idad inicial de 3; ms. 0i en el tercer segundo avanzo B;m# determine el valor de su aceleración. a8 3 msB b8 B msB c8 I msB d8 K msB e8 @ msB
@;. /alcular la ra rapidez ini inicial de un un móvil que recorre K; m durante el tercer segundo de su movimiento y L; m en el quinto segundo a8 3; ms b8 3B ms c8 3@ ms d8 3< ms e8 B; ms
Wráfcos del ovimiento Rectilneo 1ni!ormemente &ariado Fa velocidad de un móvil# en un movimiento rectilneo# puede estar variando al transc transcur urrir rir el tiempo tiempo.. En cierto cierto instan instante te la veloc velocidad idad del móvil móvil pierd pierde e ser alta alta mientras que en otros momentos las velocidades pueden ser bajas. Estas variaciones de velocidad se representan mediante una gráfca &EF7/'DAD U H'E97 6& U t8. t8. En la siguiente gráfca v U t se puede observar que: &6ms8 3;
L
7
<
3<
t6s8
a.9ara t ; la velocidad es L ms b.Jasta t < s la velocidad permanece en L ms c.Desde t ? < s "asta t ? 3< s la velocidad crece desde L ms "asta 3; ms
8a posición ,>- es otr otro pará paráme metr tro o que que pued puede e es esta tarr vari varian ando do dura durant nte e el movimiento# algunas veces el móvil está alejándose del punto de partida mientras que que otra otrass vece vecess es está tá ac acer ercá cánd ndos ose. e. En una una gráf gráfca ca * U t# se mues muestr tran an es esta tass variaciones. En esta gráfca * U t se observa que: 222.antorai.com.pe
3KI
5sica '
/inemática '
*6m8 3B
a.En a.En el inst instan antte t ; el móvil está en el origen * ; b.En .En el instante t K s el móvil está a * 3; m del origen c. En el instante t 3K s el móvil está a * 3B m del origen
3;
;
K
t6s8
3K
8a acel aceler erac ació ión n ,a,a- en un movimi movimient ento o recti rectiln lneo eo tambi( tambi(n n puede puede variar variar en un movimiento rectilneo. En la gráfca a U t se muestra estas variaciones al transcurrir el tiempo. a6ms 6msB8 3;
a./uan a./uando do em empi piez eza a el movi movimi mien ento to## t ; la aceleración del móvil es de K ms msB . b.En el inter interva valo lo de t B s "ast "asta a t K s la aceleración permanece constante a 3; mDsB . c.En el instante t 4 s la aceleración se "ace cero.
K ;
B
K
t6s8
4
En una gráfca se muestra las variaciones de V, a ó x con respecto al tiempo t.
1. ?rác ?ráca a 'elo 'elocid cidad ad @ $iemp $iempo o ,' @ tCaracterísticas: •
&
•
&3
Fa gráf gráfca ca es una una lne lnea a rec ecta ta "ori "orizo zont ntal al paralela al eje del tiempo. El área A debajo de la gráfca nos da el valor de la distancia recorrida recorrida d. d
A
A •
t
t3
0i la gráfca está en el cuarto cuadrante la velocidad es negativa negativa entonces entonces el móvil móvil se desplaza en dirección negativa.
2. ?rác ?ráca a Aosi Aosició ción n @ $iemp $iempo o ,> @ tt-
%
Características:
*
• •
*; 3KK
θ
t
t
Fa gráf gráfca ca es una una lne lnea a rect recta a obli oblicu cua a que que parte desde la posición inicial *; . Fa pendiente 6tangente trigonometrita8 de la gráfca nos da la velocidad constante. 222.antorai.com.pe
Academia Raimondi
… siempre los primeros &
tg θ
Observación:
% •
*;
/uando el móvil se desplaza en el sentido nega negati tivo vo 6"ac 6"acia ia la izqu izquie ierrda8# da8# la gráf gráfca ca posee pendiente negativa. &
tg θ
tg α
θ α
o
t
t;
EN E8 M!5' 1. ?ráca ?ráca celera celeración ción @ $iempo $iempo ,a ,a @ ta
Características:
a3
•
A
•
t
t3
&
Fa gráf gráfca ca es una una lne lnea a rec ecta ta "ori "orizo zont ntal al paralela al eje del tiempo. El área A debajo de la gráfca nos da el cambio de la velocidad. &f
&
A
2. ?ráco ?ráco 'eloc 'elocidad idad @ $iempo $iempo ,' @ t& •
&!
•
A
Caractersticas: Fa gráf gráfca ca es una una lne lnea a rect recta a obli oblicu cua a que que parte desde la velocidad inicial &i . El área A debajo de la gráfca nos da la distancia recorrida d.
θ
&;
d
t!
t
•
A
Fa pendiente de la gráfca nos da la aceleración constante. a tg θ
Observación:
&
•
&;
/uando el móvil se desplaza disminuyendo su veloc velocida idad# d# la gráfca gráfca posee posee pendi pendient entes es negativas. a
tg θ
tg α
θ α 222.antorai.com.pe o
t;
t
3K@
5sica '
/inemática '
#. ?ráca ?ráca Aosic Aosición ión $iemp $iempo o ,B @ ttCaracterísticas: • • •
% *!
Fa gráfca es un arco arco de parábola parábola que parte desde la posición inicial % ; . 0i el móvil parte del reposo# la gráfca es una semiparábola. Fa pend pendie ient nte e de la rect recta a tang tangen ente te en un punto 9 de la gráfca nos da la velocidad instantánea. &
tg φ
Nota:
φ 9 • En las gráfcas velocidad – tiempo y aceleración – tiempo en donde la gráfca esta
ubicada en el primer y cuarto cuadrante, entonces en el primer cuadrante es *; positiva y la del cuarto cuadrante es negativa. cuadrante t 7 t! D Xreas Desplazamiento 6 8 : ' cuadrante
Xrea
6 8: '& cuadr uadran antte
d
X reas
Distancia recorrida
• En toda gráfca velocidad – tiempo se cumple que:
9roblemas Resueltos 3. En la siguiente gráfca & U t "alle la distancia que recorre recorre el móvil. a8 33; m & ms b8 33@m
3;
c8 3;< m
L
d8 3;@ m e8 3;; m
;
3;
3L
t s
olución: Fa dist distan anci cia a rec ecor orri rida da 6d8 6d8 es el área área & m s debajo de la gráfca. 3; L
;
B. Jállese el módulo del desplazamiento para el intervalo de B s a @ s# empleando la& siguiente gráfca & U t. ms a8 L m b8 @ m
AB
A3
3KL
/álculo de las áreas: A3 3; L L; 3; L AB L K< B Fa distancia total será: d A3 A B d L; K< d 3;< m !pta.
3;
<
c8 Km 3L
222.antorai.com.pe
t s
;
K
t s
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d8 I m e8 B m
olución: Fas áreas correspondientes al intervalo de B s a @&6ms8 s son: K B A3
; B
3
I B AB
L
t6s8
AI
6B86K8 K B 6386B8 AB 3 B El módulo del desplazamiento 6∆r8 es: ∆r A 3 A B K 3 Im Im !pta. ∆r
/álculo de las áreas: A3
I. ostrada la gráfca & U t "alle: a. El módu módulo lo de la la veloc velocida idad d media. media. b. Fa rapi rapide dezz med media ia.. En el intervalo Y3- LZ segundos a8 3 ms &6ms8
/álculo de las áreas: A3 638638 3 638638 AB ;# @ B 6I86I8 AI K# @ B El módulo del desplazamiento será: A3 A B A I ∆r ∆r 3 ;# @ K# @ I m El módulo de la velocidad media es: ∆r I & & ;# L ms t L 3 Fa distancia recorrida es: d A3 A B A I d 3 ;# @ K# @ L m Fa rapidez media es: d Lm & t Ls 3s & 3# B mDs !pta.
b8 B ms
K. En la gráfca &Ut que se muestra a cont co ntin inua uaci ción ón## "all "alle e el módu módulo lo de la velocidad media y la rapidez media para todo el recorrido. &6m"8 a8 K m"
c8 3#B ms
b8 K#L m"
<
c8 L#K m"
K
d8 L m"
;
d8 3#K ms
;
e8 I ms
3
B
t6s8
I
e8 B#B m"
olución: Wrafcamos las áreas del intervalo Y3- LZ segundos. &6ms8
K
4
3;
t6"8
K
olución: 9ara todo el recorrido t ? 3; " representamos representamos las áreas: &6m"8
I
<
3 ;
B
AI
B A3
AB
3 222.antorai.com.pe
I
L
t6s8
K .#
.1
; K
BK
.2
4 3;
t6"8
3K4
5sica '
/inemática ' <
/álculo de las áreas: 6K B8 A3 < BK B I B AB K 3; B El módulo de la velocidad media será: ∆r A 3 A B A I & t H BK 3; 3B & 3; !pta. B#L EmD" EmD" & B#L @. Dos partculas parten desde el mismo punto en la misma dirección# sus velocidades varan como se muestra en el siguiente diagrama. Jalle el instante en que el móvil A estará 4; m delante &6ms8 de C. a8 3; " A b8 L "
I4T I4T
<
<
K@T K@T
;
e8 < "
t6s8
B
olución: 0i los móviles parten juntos# el móvil A estará 4; m delante de C cuando: A3 A B 4; …638
<;t tB <6B8 <64;8 tB <;t <64B8 ; 6t <86t 4B8 ; Homamos: Homamos: t < "
A
L. Dos partculas están separadas en K> m y simultáneamente parten desde el reposo "acia el encuentro en dir direc ecci cion ones es opue opuest stas as mant ma nten enie iend ndo o ace ac elera leraccione ioness const onstan ante tess co com mo se puede ver en la siguiente gráfca & U t. Jalle el instante en que se encontrarán. a8 4#K< " &6ms8 b8 L#@K " K@T K@T I4T I4T
;
e8 <#B@ "
t6"8
olución: Foss móvile Fo móviless se encont encontrar rarán án cuando cuando la suma de sus distancias recorridas sea K> m.
I t K
AB
#0C #0C
<
A3
&(C &(C
B
t B
Reemplazando Re emplazando en 638:
t
t
&(C &(C
t B
;
#0C #0C
AB
A3
3K<
!pta.
&6m"8
&6m"8
;
4;
I B tB Kt K
d8 L#I@ "
d8 B "
t B t B B
t
c8 4#;B "
C
c8 K "
I t K B
t6"8
t6"8 It K
t
A3 A B
K> I t t 6t86t8 K K> B B 222.antorai.com.pe
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4tB K> < t 4#K< " !pta. 4. Dada la gráfca & U t "alle el instante en que que la ac ace eler lerac ació ión n del del móv móvil es 4@ m"B a8 B@ " &6m"8 b8 3L " c8 3; "
&6ms8 &
;
3;
B;
t6"8
olución: Este problema es inverso al anterior# la aceleración es la pendiente: a tan θ ;#4@ I θ 3KIT tan θ K Este ángulo indica que e*iste ste una tangente a la gráfca 6semic 6semicir ircun cun!e !ere renci ncia8 a8 que !orma !orma 3KIT 3KIT con el eje del tiempo- grafcando: &6m"8 t a n g e n t e
7
d8 ;#B ;#B ms msB e8 ;#3 msB olución: 1sando la pendiente de cada gráfca.
B;
d8 3K " e8 3B "
b8 ;#K msB c8 ;#< msB
3; 3KIT @IT @IT I4T I4T t6"8 t B; 3;
/álculo del instante t: t 3; 3; cos@IT t 3L " !pta. <. 1sa sand ndo o la gráf gráfca ca & U t "all "alle e la aceleración de la&6ms8 motocicleta si el auto acelera con 3# I msB . a8 ;#L msB o
t o 222.antorai.com.pe m
t o o m o t u β a α
;
<
B;
t6s8
Aceleración del auto: aA tan α 3# I msB tanα K α @IT msB tan α I Fuego: & 3L ms Aceleración de la motocicleta: a tanβ & 3L a a B; B; a ;#< ;#< m msB !pta. >. Fa gráfca & U t muestra las velocidades de dos partculas A y C. Fa aceler ace leraci ación ón de A es II msB . Jalle la aceleración del móvil C en el instante en que ambos tienen la misma rapidez. &6ms8 I a8 msB I A B b8 B ms c8 I msB C B d8 @ ms t6s8 e8 I I msB 7 3K>
o t u a
t6s8
5sica '
/inemática ' b8 4#B 4#B ms msB c8 @#@ msB
olución: Del dato# la aceleración del móvil A. aA
I I
tan θ
d8 4#@ msB e8 L#@ msB
I;T I;T
θ
&6ms8 t a n g e n t e
olución: En la gráfca observamos &! y &; :
A
&6ms8
& θ
B; C
L;T L;T
θ
;
I;T I;T
3@;T
t6s8
9
t
En el punto 6instante t8 ambos móvi móvile less tien tiene e igua iguall rapi rapide dez# z# por por se traza la tangente 9# la aceleración del móvil C en el punto será: aC
tan3@;T
aC
I m msB I
!pta.
;
d8 @;;m e8 K;;m
o
t6s8
K;
I
b8 3B; m- S3;; m 3@;
K;
@;
t6s8
@
t6s8
[ 9ara t; 3 s &; 3; ms [ 9ara t! @ s &; B; ms [ El módu módulo lo de la ac acel eler erac ació ión n me medi dia a será: &! &; B; 6 3;8 a a t! t; @ 3 4#@ 4#@ m msB
!pta.
c8 3K; m- S<; m d8 3K; m- S3;; m e8 3L;m- S<;m
I. De la siguiente gráfca "allar la velocidad del móvil %6m8 a8 K#@; ms b8 B#B@ ms
B. De la gráfca &6ms8 "allar la longitud recorrida y el desplazamiento e!ectuado en los @;s iniciales de movimiento. a8 3;; m- S3B; m
I
3;
3;. /alcule el módulo de la aceleración media en la siguiente gráfca & U t# en el a intervalo de 3 s &6ms8 "asta @ s. a8 @#4 msB 9roblemas 9ropuestos 3. De la gráfca mostrada "allar la t6s8 s dist distan anci cia a rec ecor orri da dura du rant nte e los los I; 7rida I B iniciales de movimiento. 3; a8 <;;m &6ms8 b8 4;;m B; c8 L;;m
B
3
c8 ;#@; ms d8 3 ms e8 B ms
K@ * @ o
3;
B;
t6s8
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K. 9ara ara el sigu siguie ient nte e gráf gráfco co## dete deterrmine mine la posición del móvil para t ? @s. a8 U 3m %6m8 L
7
b8 U Bm
t6s8
c8 U Im d8 U Km
d8 BBm- < msB K e8 BKm- < msB o
I;
e8 U @m
@. Fa gráfca gráfca co corr rres espo ponde nde a la posi posici ción ón de un automóvil en !unción del tiempo OPu( OPu( velo veloci cida dad d tien tiene e el auto automó móvi vill al *6m8 inicialQ regresar regresar a la posición a8 S@; m" b8 SK; m" 3B; c8 U K; m" d8 U L; m" e8 ; m"
3
B
K t6s8
a6ms 8
K
d8 B msB- 3@m
;
@
3; t6s8
4. De la gráfca gráfca "allar la aceler aceleración ación y el espaci espacio o recor recorrid rido o durant durante e los B; s de movimiento. &6mDs &6mD s8 a8 < msB- 3;;; m b8 3 msB- 3B;; m @; c8 3 msB- 3;;; m d8 3#@ ms - 4;; m B
la
0emiparábola
I t6s8
9arábola
B;
e8 3#@ ms - @;; m o B
t6s8
K
c8 I#@ ms d8 3#@ ms e8 ;#@ ms
o
<
K
t6s8
33. Fa gráfca * U t re r epresenta el R1 de una partcula. Jalle la velocidad del móvil. %6m8 a8 @ ms K;
c8 I ms d8 B ms
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B
3;. El gráfco + *B , en !unción del tiempo indica el R1& de una partcula. Jallar su velocidad en el instante t I s . a8 B#@ ms %6m8
b8 K ms B;
@ o
e8 K msB- 3@m
b8 3 ms
d8 L; ms e8 4; ms
y
c8 B msB- B4m
L. 0i la veloc velocid idad ad inic inicia iall del del móvi móvill es 3;ms. OPu( velocidad posee al cabo de @sQ a8 I; ms B c8 @; ms
3>
b8 I ms - K3m @;
B
+*,
>. 1na part partcul cula a se mueve mueve a lo larg largo o del eje +*, y su posición varia con el tiempo de acuerdo a la gráfca que se adjunta si en t ; # &; @ ms . determine: '. 0u aceleración ''. 0u posición en t K s *6m8 a8 B msB- K3m B
;
b8 K; ms
<. De la gráfca "allar %6m8 aceleración del móvil. B a8 3
3; ;
3;
t6s8
3@3
5sica '
/inemática '
e8 L ms
e8 L; ms
3B. En la la de d ependencia * U t la velocidad del auto es de 3; m". Jalle la velocidad del bus. a8 4 m" %6m8
3L. Jalle la la ve velocidad de del mó móvil al al cabo de 3; s# si en la partida 6 t ; 8 el móvil inicia del reposo. a8 B; ms a6msB8
b8 L m"
3;
b8 3@ ms
c8 @ m"
L
d8 K m"
b u s
c8 3I ms
t o u a
d8 > ms
B
e8 I m" t6"8 3I. 1na; partcula inicia su movimiento desde el reposo y mantiene una una ac acel eler erac ació ión n co cons nsta tant nte e se seg) g)n n la *6m8 siguiente gráfca * U y. Jalle t; . a8 3 s b8 3#B s c8 B s
tangente
>
θ
;
t;
t6s8
I
<
t6s8
&
d8 0ólo ' e8 0ólo ''
b8 positiva
c8 3#I ms
c8 negativa
<
d8 B#3 ms
d8 igual a *
e8 B ms
e8 no e*iste
;
B
K
@
t6s8
3@. En un un mo movimiento rre ectilneo se se observa# de acuerdo a la gráfca a U t# que la velocidad del móvil es B ms a los K s. OPu( velocidad tendrá el móvil a los < sQ a6msB8 a8 B@ ms b8 IL ms 4
d8 @B ms ;
I4T I4T
t
;
3<. En la siguiente gráfca se puede afrmar que la aceleración del móvil es: a8 cero &
b8 @#3 ms
3@B
K
c8 0ólo '''
3K. En la dependencia * U t "alle la velocidad media para el intervalo Y3 s- K sZ. a8 3#@ ms *6m8
c8 K< ms
;
34. De la siguiente gráfca podemos deducir que: '. Fa veloc velocida idad d del del móvi móvill es es ccons onstan tante. te. ''. ''. El móv móvil il no no acel aceler era. a. '''. El móvil móvil está en en reposo. reposo. a8 ' y '' b8 '' y '''
d8 3#@ s e8 @ s
e8 33 ms
B
* t
;
3>. Deduzca la aceleración del móvil en la siguiente gráfca & U t. &6ms8 a8 3 msB b8 ;#4@ mDsB c8 ;#@; mDsB d8 ;#B@ msB e8 no tiene
I4T I4T
;
t6s8
t6s8
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B;. Fa siguiente gráfca * t indica que el móvil. *
t
;
BB. 1sando la siguiente gráfca podemos afrmar que el móvil más veloz es: a8 la motocicleta b8 el auto c8 no se sabe d8 ambos reposan e8 ambos tienen igual velocidad a t s i l c i c t o o to m au to
*6m8
a8 acelera b8 su velocidad es constante c8 está en reposo d8 va "acia la derec"a e8 va "acia la izquierda
9
B3. Fas af afrmaciones co correctas co con respecto a la siguiente gráfca * U t son: '. El móv móvil il par parte te desd desde e el repo reposo so.. ''. En ning) ning)n n momento momento el móvi móvill aceler acelera. a. '''. El móvil móvil se detiene detiene a los K s. a8 0ólo ' *6m8
t6s8
;
BI. OPu( se se pu puede af afrmar de de la la siguiente gráfcaQ a
b8 0ólo '' c8 0ólo '''
<
;
d8 ' y '' e8 '' y '''
;
K
3;
t6s8
t
a8 el móvil parte desde el reposo b8 el móvil acelera c8 la aceleración del móvil es constante d8 el móvil está !renando e8 la velocidad del móvil disminuye
Fa contribución de Walileo Walileo Walilei 69isa 69isa## 3@ de !ebrero !ebrero de de 3@LK 3@LK U U 5lorencia 5lorencia## < de enero de 3LKB 3LKB8# 8# !ue un astrónomo astrónomo## flóso!o flóso!o## matemático y !sico que que es estu tuvo vo relac elacio iona nado do estr estrec ec"a "ame ment nte e con con la revolución cientfca. cientfca. Eminente "ombre del Renacimiento Renacimiento## mostró inter(s por casi todas las ciencias y artes 6m)sica m)sica## literatura## pintura literatura pintura8. 8. 0us 0us logr logros os incl incluy uyen en la me mejo jora ra del del telescopio## gran variedad de observaciones astronómicas# la telescopio primera ley del movimiento# movimiento# y apoyar el copernicanismo efcazm efcazment ente. e. Ja sido considera considerado do como como el \padr \padre e de la astronoma moderna\# el \padre de la !sica moderna\# y el \padre de la ciencia\.
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3@I
5sica '
/inemática '
En esta (poca comenzó su estudio del p(ndulo p(ndulo## y descubrió la isocrona de las oscilacione oscilacioness 6la ley del p(ndulo8# p(ndulo8# que sera la primera etapa de una nueva ciencia# la mecánica mecánica.. 9rogresivamente !ue perdiendo el inter(s por la carrera de medicina y dedicando más tiempo al estudio de las matemáticas y la floso!a# "asta que en 3@<@ 3@<@ abandonó abandonó defnitivamente la medicina y regresó a 5lorencia sin ttulo pero con gran curiosidad cientfca. /uenta la "istoria que en una ocasión subió a lo alto de la torre de 9isa y para demostrar demostrar en !orma !orma e*perime e*perimental ntal sus afrmacion afrmaciones es dejó caer varias varias es!eras es!eras de distin distinto to peso# peso# los cuale cualess llegar llegaron on al suelo suelo simultá simultánea neamen mente te a pesar pesar de las evid eviden enci cia a prop propor orci cion onada ada por por los e*per *perim imen ento toss reali realiza zado doss por por (l muc" muc"os os cont contin inua uaban ban dando dando cr(d cr(dit ito o al pens pensam amie ient nto o arist aristot ot(l (lic ico o y no se deja dejaro ron n convencer# siendo a raz de ello perseguido por la 0anta 'nquisición por sus ideas i deas que iban en contra del r(gimen de esa (poca. En 3@>@ desar desarro rolló lló## basándo basándose se en los movimi movimient entos os circul circular ares es de la Hier Hierra ra propuestos por /op(rnico /op(rnico## una e*plicación de las mareas# siendo (sta la primera vez que mostró inter(s claro por la astronoma. En 3L;K 3L;K comprobó comprobó que una nova que apareció ese aGo perteneca a la es!era celeste y no a la terrestre# en contradicci contradicción ón con la postura postura del aristotelismo aristotelismo de una quinta esencia esencia per!ecta e inmutable. En 3L;> diseGó y construyó construyó un telescopio telescopio adaptando un catalejo. catalejo. Jizo grandes grandes descubrimientos en astronoma# de entre los que destaca la observación el 4 de enero de 3L3; de cuatro de las lunas de ])piter# girando en torno a este planeta. Este descubrimiento daba la razón a /op(rnico y cuestionaba la postura de que la Hier la Hierra ra era el centro de todos los movimientos celestes. Además observó que la Funa no era una es!era per!ecta sino que posea montaGas y cráteres. Estos y otros descubrimientos los publicó en su obra 0idereus uncius. 9ero la ciencia ofcial se negó a creerle alegando que no "aba demostrado que lo observado al otro lado de los cristales curvos e*istiese realmente# y lo observado podran ser errores del aparato.
Dltimos aos % muerte En 3LI4 publicó su obra Discorsi e dimostrazioni matematic"e intorno a due nuove scienze. ^sta y el Diálogo son sus obras más importantes. En 3LI< 3LI< perdió perdió la visión y en 3LK3 3LK3 en!ermó en!ermó de gota gota.. urió el < de enero de 3LKB 3LKB en en Arcetri. El > de enero su cuerpo !ue in"umado en 5lorencia. El 3I de marzo de 34IL 34IL se se erige un mausoleo en su "onor en la iglesia de 0antaU/roce de 5lorencia.
3@K
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