Capítulo II: Fenómenos de transporte 2.1 - Conceitos gerais gerais de fenómenos fenómenos de transporte; transporte; 2.2 - Dedução Dedução da equação equação geral geral de transporte transporte molecular molecular (Modelo (Modelo cinético cinético de um gás perfeito). 2.3 - Dedução da equação geral de transporte de massa (lei de Fick) 2.3.1 - Significado físico físico e métodos de cálculo da difusividade massica 2.4 - Dedução da equação geral geral de transporte de calor calor (lei de Fourier) 2.4.1 - Significado físico físico e métodos de cálculo da difusividade térmica 2.5 - Dedução da equação geral geral de transporte de momento momento linear (lei de Newton) 2.5.1 - Significado físico físico e métodos de cálculo das viscosidades viscosidades 1
2.1 - Conceitos gerais gerais de fenómenos fenómenos de transporte transporte •
Sistema homogéneo – todas as partes de um sistema têm as mesmas
propriedades propriedades físicas e químicas. •
Sistema heterogéneo – as propriedades físicas e químicas variam
dentro de um sistema de ponto para ponto. •
Fase – parte finita de um sistema que é homogénea cujos constituintes
não se podem separar mecanicamente. •
Interfase – superfícies limitrófes que separam fisicamente duas fases
dum sistema (fronteira).
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•
Transferência – movimentação de matéria, energia térmica ou
quantidade de movimento de uma fase para outra do sistema, atrravés de uma at uma inte interf rfas ase. e. •
rte mole olecular) ou Transporte – movimentação isolada (transporte conjunta (transporte turbulento) de matéria (massa), energia térmica (calor) ou de quantidade de movimento (momento linear) dentro de uma fase do sistema. ma.
•
Força-motriz –
força
materializada
pela
diferença
entre
conc oncentr entraç ação ão de uma uma certa erta propri opried edad ade e (mas massa, calor alor....) ..) quan quando do o sistema não está em equilíbrio e a concentração que essa prop propri ried edad ade e teria eria no seu seu est estado ado de equi equillíbri íbrio. o. 3
•
Equilíbrio – diz-se que as proprie riedade ades estão em equilíbrio, se
entre os vários pontos de uma fase ou entre fases não existir um inte interrcâmb câmbio io glob global al das das prop propri ried edad ades es.. •
Transporte de massa
Ocorre quando existem moléculas diferentes numa certa fase. Se a concentração dum certo tipo de moléculas for maior num certo local do que no outro, ocorre um transporte de massa da região de maior concentração para a de menor.
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•
Transp anspor orte te de calo calorr Ocorre quando uma molécula possui energia interna (térmica) maior do que as moléculas vizinhas ao seu redor, como consequência de estar a uma temperatura maior. Nestas condi ndições, es, essa ssa molé molécu culla irá irá tra transf nsferir rir o seu seu exces cesso de energ ergétic tico par para as molé molécu cula lass vizi vizinh nhas as..
•
Transp anspor orte te de quan quanti tida dade de de movi movime ment nto o Ocorre
quando
houver
uma
variação
da
velocidade
de
escoamento. Nestas condições, as moléculas mais rápidas, com maior quantidade de movimento, irão transferir o seu excesso de velo veloci cida dade de par para as molé molécu cula lass vizi vizinh nhas as mais mais len lentas. as. 5
•
Prop Propri ried edad ade e exten xtensi siv va – propriedade cujo valor é depende do
taman manho (mass massa) a) do sis sistema. ma. Por ex. Ma Mass ssa, a, Volum olume, e, Quan Quanti tida dade de de calo calorr... ... •
Prop Propri ried edad ade e Inte Intens nsiv iva a – propriedade cujo valor não depende do
tamanho do sistema ou seja não depende da massa ou da quan quanti tida dade de da subs substa tanc ncia ia que que const onstit itui ui o sist sistem ema. a. Por Por ex. Pres Pressã são, o, Tempe emperrat atur ura, a, Indi Indice ce de refl refle exão.. ão.... •
Esta Estado do Transi ansien entte (não (não es esttacio acioná nári ria) a) - as propriedades num dado
pon ponto do sis sistema tema variam com o tempo. Por ex.: fusão de um cubo de gelo num copo com água. •
Estad Estado o es estac tacion ionário ário – as propriedades num dado ponto do sistema
não variam com o tempo (mas mas pode podem m vari ariar de pont onto para ara pon ponto) Por ex.: água num copo. 6
2.2 - Modelo Modelo cinético cinético de um gás gás perfeit perfeito. o. Vamos considerar um modelo simples para a estrutura física de um gás perfeito. Postulados: •
•
•
•
•
o gás é constitudo por moléculas de forma esférica de diâmetro (σ); Não existem forças forças de atracção ou de repulsão entre as moléculas; O volume entre as moléculas m oléculas é despresível face ao volume intersticial entre elas; As colisões intermoleculares são perfeitamente perfeitamente elásticas; Cada molécula tem movimento aleatório, com uma velocidade média (č) na direcção do movimento;
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•
•
•
•
Cada molécula percorre uma distância (l) (percurso livre médi médio) o) entr entre e duas duas colis olisõe õess suce sucess ssiv ivas as;; O tempo (θ) que a molécula demora a percorrer a distância (l) à veloc elocid idad ade e médi média a (č) é dado por : (t=e/v) θ=l/č que que é o tempo empo per percorri orrido do entr entre e duas duas coli olisões sões suce sucesssiv sivas. as. O número total de moléculas no sistema em estudo é suficientemente grande para que se possam usar valores médi médios os par para as propri oprie edade dadess carac aractterís erísti ticcas que que desc descrreve evem o sistema. Nota: chamar-se-a propriedade à massa, ao calor ou ao moment momento o linear linear
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Considera-se o modelo modelo constituido por 3 blocos da figura 1, onde onde estão projectados 3 planos paralelos , figura 2. ∆z
Planos Planos P1, P2 e P3 Bloco 1
Bloco 3
Bloco 2
Fig 1 ∆x
∆y
ll
l
Plano 2
Plano 1
Plano 3
P 1
P 2 dP/dx dP/dx = (P2-P1)/l P 3 dP/dx dP/dx = (P3-P2)/l
Fig 2 P
L
L x
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- A concentração da propriedade dentro de cada bloco é uniforme (a concentração média em cada bloco é a mesma que a do plano que pass passa a pelo pelo cen centro) tro) -“ O transporte de um bloco para o outro é equivalente ao transporte de um plano para o outro” Relação entre as concentrações do bloco 1 e do bloco 2:
Seja: P – concentração concentração da propriedade a ser transportada em unidades de quantidade dessa propriedade por unidade de volume do gás. (1) Onde: dP/dx – dP/dx – variação da concentração concentração com a distância (x); (-l) – (-l) – distância que vai do plano 1 para o plano 2. 10
•
Relação entre as concentrações do bloco 3 e do bloco 2:
(2) •
•
• • •
•
A derivada dP/dx, dP/dx, pode ser se r considera-se constante dentro do elemento de volume de todo o gás.
Quantidade total da propriedade (P) que representa o produto da concentração pelo volume do bloco. Bloco 1: l*∆y*∆z*P 1 Bloco 2: l*∆y*∆z*P 2 Bloco 3: l*∆y*∆z*P 3 Volume do bloco :l*∆y*∆z
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•
Seja:
•
Ψ – Flux transp spor orta tada da (vel (veloc ocid idad ade e de tran transp sport orte e Fluxo o da prop propri ried edad ade e tran da propriedade por unidade de área perpendicular à direcção de transporte) e terá dimensões de quantidade de propriedade por unidade de tempo e por unidade de área.
•
Por ex. K-mol/m2 s, BTU/ft2h,...
•
Θ - Tempo que leva a transferência de 1/6 da quantidade de propriedade l*∆y*∆z*P1 do plano 1 para plano 2
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• • • •
Convenção: Fluxo positivo – positivo – dirigido na direcção positiva do eixo x (x>0) O fluxo fluxo da propriedade do plano 1 para o plano 2 será: Area = ∆y*∆z
(3) •
Do mesmo modo o fluxo do plano 3 para o plano 2 será: (4)
•
Os dois fluxos que abandonam o plano 2 serão analogamente aos casos anteriores: (5)
6) 13
•
•
Na direcção x – x – O fluxo global entre os planos 1 e 2 será dado pela diferença entre os fluxos na direcção (-) x e na direcção (+) x: Como o fluxo é positivo (+) na direcção x tem-se: (7) (7.1)
•
Substituindo P1 da equação (1)
•
(8)
Do mesmo modo se obtém a expressão para o fluxo global entre os planos 2 e 3: (9) 14
•
•
•
Pode-se ver que: - O fluxo fluxo de propriedade que entra num bloco é o mesmo que sai do mesmo bloco e, portanto, pode se dizer que existe um estado acumulação da da propriedade propriedade dentro dentro estacionário, ou seja, não há acumulação do bloco ao longo do tempo. As equacções (8) e (9) aplicam-se à qualquer posição do x: (10)
•
Sendo l=č*θ a equação (10) toma a forma de Equação geral de transporte de propriedade P (11) (11) 15
•
A equa equaçção geral eral de tran transp spor ortte de prop propri ried edad ade e apli aplicca-s a-se:
- a qualquer propriedade cujo transporte depende dos movimentos aleat aleatóri órios os das molécu moléculas las;; - relaciona o fluxo da propriedade transportada com a derivada da concentração da propriedade em relação ao espaço (dP/dx gradiente); - A cons onstant ante de propo oporcion cional aliidade ade (δ) entre as duas grandezas dP/dx e Ψ é igual a: δ = l*č*1/6 Chama-se Difusividade Assim: (12) Onde: Ψ – Fluxo da propriedade dP/dx – dP/dx – Gradiente de concentração volumétrica da propriedade δ – Difusividade Dependendo da propriedade ser massa, calor ou momento linear as notações para δ, Ψ e P podem deferirem: •
•
•
•
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2.3 - Dedução da da equação gera gerall de transport transporte e de massa (lei de Fick) Da equação geral de transporte de propriedade (12) podemos considerar o seguinte: Fluxo mássico do gás [kmol/m2.s]
Na Velocidade do gás [kmol/s] Difusividade mássica [m 2/s] Concentração kg-mol/volume •
[kmol/m3]
Usando o modelo (12) e substituir, obtem-se: (13) Lei de Fick
•
A equação (13) que traduz os fenómenos fenómenos de transporte transporte de massa conhecida por Lei de Fick. 17
•
A difusividade mássica (D) é uma propriedade duma substância que indica uma facilidade com que essa mesma subs substâ tânc ncia ia se difu difund nde e num num dete determ rmin inad ado o meio meio..
(Esta tabelado “Perry”)
•
A difu difusi sivi vida dade de (D) pode ser calculada teoricamente a partir do conhe onheccimen imentto das das prop propri rie edade dadess físi ísicas do gás, ás, l e l e č , da teoria cinétic tica dos gases, para um mode odelo ideal. al. (14)
•
Unidades físicas:
•
S.I.
•
c.g.s. [cm2/s]
•
Inglês [ft2/s]
[m2/s]
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•
Usando o modelo de gás perfeito,pode-se calcular a Difusividade Difusivi dade mássica pela seguinte fórmula: (15)
• • • •
T - Tempera emperatur tura a [T] P - Pressã Pressão o [atm] [atm] M - Massa molecular molecular [g-mol] [g-mol] σ - Diâmetro Diâmetro médio da molecula molecula [cm]
Da equação (15) observa-se para os gases a difusividade mássica diminui com a pressão e aumenta com •
- Para gases reais, líquidos e sólidos: sólidos:
•
A Difusividade deve ser determinada experimentalmente. 19
•
Difusão Equimolecular
Se tivermos 2 gases (a e b) onde b difunde-se no componente a, podemos deduzir a seguinte equação para o gás b.
•
As velocidades Na e Nb estão interligadas. Assim:
•
- A concen concentra tração ção total total (CT ) da mistura gasosa é dada por:
•
CT = Ca + Cb (16)
•
•
Se a T e P total do sistema forem constante, CT é também constante. - Diferenciando Diferenciando a equação equação (16) em relação relação ao (x):
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•
Ou seja:
(17) •
Pode-se observar da equação (17) que:
- se existir um gradiente de concentração concentração do gás a, também também terá que existir existir um gradiente gradiente de concentração concentração de b igual, e de sinal contrário ao de a; - havendo havendo um um gradien gradiente te de de concent concentraç ração ão de b deve deve necessariamente haver haver um fluxo mássico de b. •
Combinando-se as equações (15), (16) e (17) ter-se-á: ter -se-á: Na= - Nb
•
•
(18)
Pode-se verificar que: As velocidades de difusão são iguais, mas de sentidos opostos. 21
