FENOMENOS DE TRANSPORTE S E G U N D A
E D I C I Ó N
Fenómenos de transporte Segunda edición
R. Byron Bird Warren E. Stewart Edwin N. Lightfoot Departamento de Ingeniería Química Universidad de Wisconsin-Madison
O LIMUSA WILEY 8
Bird, Robert
Fenómenos de transporte = Transport phenomena / Robert Byron Bird. -- 2a. ed. -- México : Limusa Wiley, 2006. 1062 p. : il., fot. ; 20 cm. ISBN: 968-18-6365-8. Rústica. 1. Dlnamica de fluidos l. Steward, Warren, coaut. II. Ligthfoot, Edwin, coaut. 111. Viliagórnez Velázquez, Hugo, tr. \V. Zetina Vélez, Atma Rosa, colab.
Dewey: 530.138 - dc21
LC: QA929
VERSI~N AUTORIZADA
AL ESPAÑOL DE LA OBRA
ORIGINALMENTE PUBLICADA EN & SONS,CON EL T~TULO
INGLES
POR JOHN WILEY
FENÓMENOS DE TRANSPORTE
TRANSPORT PHENOMENA SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIOA O TRANSMITIDA. MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, EFECTR~NIMOMECANICO (INCLUYENDO
EL FOTOCOPIADO, LA GRABACI~NO CUALCiUlER SISTEMA DE RECUPERACI~NY ALMACENAMIENTO DE INFORMACI~N), SIN
COLABORAD~R EN LA TRADUCCI~N HUGO VILLAG6MEZ VELÁZQUEZ REVISI~N T~CNICA ALMA ROSA GRISELDA ZETINA VÉLEZ INGENIERA Q~~~M POR I CLA A FACULTAD DE QU~MICA DE LA UN~VERSIDAD NACIONAL AUT~NOMA DE MEKICO. DOCEME EN MATEMATICAS, UNAM. PROFESORA DE LA ESCUELA DE CIENCIAS QU~MICAS DE LA UNIVERSIDAO LA SALLE.
CONSENflMlENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.
O 2006, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALOEFIAS 95, M C x i c o , D.F. C.P. 06040 51 30 0700 55 12 2903
[email protected] www.noriega.com.mx
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SEGUNDA EDICIÓN HECHO EN MEXICO ISBN 968-18-6365-8
Prólogo
La transferencia de cantidad de movimiento, la transmisión de calor y la transferencia de materia surgieron como ramas independientes de la física clásica desde hace mucho, pem el estudio unificado de estas disciplinas se ha constituido en un área fundamental d e las ciencias de ingeniería. Este desarrollo, a su vez, iniciado hace menos de medio siglo, continúa avanzando y encontrando aplicaciones en campos nuevos como la biotecnología, la microelectrónica, la nanotecnología y la ciencia de polimeros. La evolucibn de los fenómenos de transporte ha sido tan rápida y extensa que es imposible abarcarla por completo en un solo libro. A pesar de que hemos incluido muchos ejemplos representativos, nuestro interés primordial, necesariamente, han sido los aspectos básicos de este campo. Además, en pláticas con colegas hemos encontrado que los fenómenos de transporte se enseñan de varias formas y a diversos niveles. En esta edición se ha incluido suficiente material para cubrir dos modalidades de cursos: uno intraductorio y otro avanzado. El curso elemental, a su vez, puede dividirse en un curso cobre transferencia de cantidad de movimiento y en otro sobw transmisión de calor y transferencia de materia, lo que proporciona más oportunidades para demostrar la utilidad de este material en aplicaciones prácticas. La identificación de algunas secciones como opcionales (O) y otras como avanzadas (O) puede ser útil para estudiantes y profesores. Considerados durante mucho tiempo m6s bien como un tema matemático, los fenómenos de transporte con más significativos por su importancia física. La esencia medular de este tema la constituye el planteamiento cuidadoso y conciso de los principios de conservación, junto con las expresiones de densidad de flujo (flux),recalcando las semejanzas y diferencias entre los tres procesos de transporte considerados. A menudo, la especialización hasta las condiciones límite y las propiedades físicas en un problema específico puede proporcionar una visión útil con esfuerzo mínimo. No obstante, el lenguaje de los fenómenos de transporte es matemático, y en este libro hemos asumido que el lector está familiarizado con ecuaciones diferenciales ordinarias y con an6lisis vectorial elemental. Introducimos el uso de las ecuaciones diferenciales parciales con una explicación suficiente de modo que el estudiante interesado pueda dominar el material presentado. Las técnicas numéricas se posponen, a pesar de su relevancia evidente, para que el estudiante se concentre en la comprensión fundamental. A lo largo del texto se da prioridad a Ias citas y referencias bibliográficas, esto con el fin de ubicar los fendmenos de transporte en su contexto histórico propio y para orientar al lector que desee ahondar en el estudio de los fundamentos y las aplicaciones. Hemos estado particularmente interesados en presentar a los pioneros, a quienes tanto debernos, y en quienes podemos seguir encontrando inspiración útil. Se trata de personas no tan distintas de nosotros mismos, y quizás algunos de nuestros lectores encuentren en ellos inspiración para realizar contribuciones semejantes. Es evidente que tanto las necesidades de nuestros lectores como las herramientas de que disponen han cambiado enormemente desde que se escribió Ia primera edición hace más de 40 años. Hemos hecho esfuerzos muy serios para actualizar el texto, dentro de los Límites de espacio y de nuestras habilidades, y nos hemos esforzado por anticipar desarrollos futuros. Algunos de los cambios mis importantes respecto a la primera edición incluyen los siguientes: ,
vi
Prólogo
propiedades de transporte de sistemas de dos fases uso de "densidades de flujos combinadas" para establecer balances de envoltura y ecuaciones de variación conservación de la cantidad de movimiento angular y sus consecuencias obtención completa del balance de energía mecánica tratamiento más amplio de la teoría de la capa límite dispersión de Taylor análisis mejorados de transporte turbulento análisis de Fourier de transporte turbulento a Pr o Sc elevados inclusión de más material sobre coeficientes de transmisión de calor y transferencia de masa análisis más completos de análisis dimensional y escalación métodos matriciales para transferencia de materia de varios componentes sistemas iónicos, separaciones de membrana y medio poroso relación entre la ecuación de Boltzmann y las ecuaciones sobre el continuo
+
uso de la convención "Q W" en tratamientos de energía, de conformidad con los textos más importantes de física o fisicoquímica. Sin embargo, siempre es la generación más joven de profesionistas la que ve el futuro con mayor claridad y ec la que debe construir su realidad sobre una herencia imperfecta. Queda mucho por hacer, aunque es de esperar que la utilidad de los fenómenos de transporte aumente en vez de disminuir. Cada una de las estimulantes nuevas tecnologías que están floreciendo a nuestro alrededor se rige, en el nivel de interés detallado que se quiera, por las leyes de conservación y las expresiones de densidad de flujo, junto con información sobre los coeficientes de transporte. Adaptar los planteamientos de los problemas y las técnicas de solución para estas nuevas áreas indudablemente mantendrá ocupados a los ingenieros durante mucho tiempo, y lo único que podemos esperar es haber proporcionado una base útil a partir de la cual empezar. El é,to de cada libro nuevo depende de muchas más personas que las que se sefialan en la portada. La deuda más evidente es ciertamente con los estudiantes perseverantes e inteligentes que en conjunto nos han enseñado mucho más de lo que nosotros les hemos enseñado. Asimismo, los profesores que revisaron el manuscrito merecen un agradecimiento especial por sus numerosas correcciones y comentarios ilustrativos: Yu-Ling Cheng (Universidad de Toronto), Michael D. Graham (Univ'ersidad de Wisconsin), Susan J. Muller (Universidad de California-Berkeley), William B. Russel (Universidad de Princeton), Jay D. Schieber (Instituto de Tecnología de Illinois) y john F. Wendt (Instituto von Kármán para Dinámica de Fluidos). Sin embargo, en un nivel más profundo, nos hemos beneficiado de la estructura y las tradiciones departamentales creadas por nuestros antecesores aquí en Madison. En primer lugar se encuentra Olaf Andreas Hougen, a cuya memoria está dedicado este libro. Madison, Wisconsin.
R.B.B. W.E.S. E.N.L.
Contenido .
p .
Prólogo
-
--
Ej. 2.3-1 Determinación de la viscosidad a parfir de datos de ,flujo 59 , capilar . Ej. 2.3-2 Flujo comprecible en un tubo circular horizontal 60 S2.4 Flujo a través de un hibo concéntrico 61 s2.5 lujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 64 52 6 Flujo reptante alrededor dc una esfera 66 fl 2 6-7 Dettrnllrrncicín de la ziiscosrdnd a partir dr la zvlocirlnd final d~ 1471d c~ftnraque desrterrdt 70 I'reguntns para discusióii 70 Probiemas 71
Capítulo O El tema de los fenómenos de transporte 1
Parte I
. ..
Transporte de cantidad de n3ovbiento
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 11
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 85 53.1.
Ecuación de continuidad 87 Ej. 3.1-1 Esfuerzos normales en superficies sólidas para fluidos nmtonianos incompresibles 88 53.2 Ecuación de movimiento 89 93.3 Ecuación de energía mecánica 91 53.4" Ecuación de cantidad de movimieiito angular 93 53.5 Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial 94 Ej. 3.5-2 La ecuación de Bernoulli para el flujo en estado estacionario de fluidos no viscosos 97 S3.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 98 Ej. 3.6-1 Flujo estacionario en un tubo circular largo 99 Ej. 3.6-2 Película desccndentr con viscosidad variable 101 Ej. 3.6-3 Operacidn de u n uiscocímetro de Couette 101 Ej. 3.6-4 Forma de la superficie de un líquido en rofación 106 Ej. 3.6-5 Flujo cerca de una esfera que gira lentamente 108 53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 110 Ej. 3.7-1 Flujo transversal alrededor de un cilindro circular 171 Ej. 3.7-2 Flujo estacionario en u n tanque agitado 214 Ej. 3:7-3 Caída de presión para flujo reptante en u n tubo de relleno 117 Preguntas para discusión 118 Problemas 118
51.1
Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento moiecular) 11 Ej. 7.1-1 Cdlculo de la densidad de Pujo de canfidad de mouirniento 16 1 . 2 Generalización de Ia ley de viscosidad de Newton 16 1 . 3 Dependencia de la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura 22 Ej. 1.3-1 Esfimación de la viscosidad a parfir de las propiedades críticas 24 51.4" Teoría rnolecular de la viscosidad de gases a baja densidad 25 Ej. 1.4-7 Cá[cuIo de la viscosidad de u n gas puro a baja denstdad 29 Ej. 1.4-2 Predicción de la viscosidad de una mezcla de gases a baja densidad 30 51.5" Teoría molecular de la viscosidad de líquidos 31 Ej. 1.5-1 Estimación de la viscosidad de u n líquido puro 33 s1.6" Viscosidad de suspensiones y de emulsiones 34 7 Transporte de cantidad de movimiento convectivo 37 Preguntas para discusión 40 Problemas 41 ,
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 45 2 . s2.2
S2.3
Balances de cantidad de movimiento en Ia envoltura y condiciones límite 46 Flujo de una pelicula descendente 48 Ej. 2.2-2 Cálculo de fa velocidad de una película Ej. 2.2-2 Película descendente con viscosidad variable 53 flujo a través de un tubo circular 54
Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 129
53
4
vii
Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 129
viii
Contenido
Ej. 4.1-1 Flujo cerca de una pared que se pone sribifamente en movimiento 130 Ej. 4.1-2 Flujo laminar no estacionario entre dos ldminas paralelas 132 Ej. 4.1-3 Flujo laminar no estacionario cerca de una ldmina que oscila 135 54.2" Solución de problemas de flujo usando una función de corriente 137 Ej. 4.2-2 Flujo reptante alrededor de una esfera 238 g . 3 " Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad 141 Ej. 4.3-1 Flujo potencial alrededor de u n cilindro 145 Ej. 4.3-2 Flujo Iincia el interior de u n canal rectangular 146 Ej. 4.3-3 Flujo cerca de una esquina 148 54.4" mujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoría de la capa limite 150 Ej. 4.4-1 Flujo laminar a lo largo de una ldmina plana (solucidn aproximada) 154 Ej. 4.4-2 Flujo laminar a lo largo de una lámina plana (solución eracfa) 155 Ej. 4.4-3 Flujo cerca de un;l esquina 157 Preguntas para discusión 158 Problemas 159
Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento 173 Comparaciones de los flujos laminar y turbulento 175 55.2 Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para fluidos incompresibles 178 55.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared 181 35.4 Expresiones empíricas pa7.a la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento 184 Ej. 5.4-1 Desarrollo de ia expresión de e s f u m o de Reynolds en la vecindad de la pared 186 55.5 Flujo turbulento en ductos 187 Ej. 5.5-1 Estimacidn de la velocidad media en u n tubo C ~ ~ C U 188 !U~ Ej. 5.5-2 Aplicación de la fdrmula de longitud de mezcla de PraiiJtl a flujo furbulento en u n tubo circular 190 Ej. 5.5-3 Magnitud relitiva de la viscosidad y la viscosidad de remolino 190 55.6" Flujo turbulento en chorros 191 Ej. 5.6-1 Distribución de velocidad con ajusfe de tiempo en u n chorro de pared circular 191 Preguntas para discusión 196 Problemas 196
5.1
56.2
Factores de fricci6n para flujo en tubos 204 Ej. 6.2-3 Cuída de presión requerida para una velocidad de flujo dada 208 Ej. 6.2-2 Velocidad de Pujo para una caída de presión dada 209 96.3 Factores de fricción para flujo alrededor de esferas 210 Ej. 6.3-1 Determinación del diámetro de una esfe~aque desciende 214 56.4" Factores de fricción para columnas de relleno 215 Preguntas para discusión 220 Problemas 221
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico 229 7.1
Balance macrosc6pico de materia 231 Ej. 7.1-1 Vaciado de u n tanque esférico 231 57.2 Balance macroscópico de cantidad de movimiento 233 Ej. 7.2-1 Fuerza ejercida por u n chorro (Parte a) 234 57.3 Balance macroscópico de cantidad de movimiento angular 235 Ej. 7.3-1 Momento de torsidn en u n recipienfe mezclador 236 57.4 Balance rnacroscópico de energía mecánica 237 Ej. 7.4-1 Fuerza ejercida por u n chorro (Parte b) 239 s7.5 Estimación de la pérdida viscosa 240 Ej. 7.5-1 Potencia necesa~iapara el flujo en una tuberfa 242 Uso de los balances macroscópicos para problemas s7.6 de estado estacionario 244 Ej. 7.6-1 Aumenfo de presidn y ptrdida por fricción en u n ensanchamiento brusco 244 Ej. 7.6-2 Rendimiento d e u n eyector líquido-líquido 246 Ej. 7.6-3 Empuje sobre el codo de u n fubo 247 Ej. 7 . 6 4 Chorro que incide 250 Ej. 7.6-5 Flujo isoférmico de un líquido a través de un orificio 251 57.7" Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado no estacionario 253 Ej. 7.7-1 Efectos de la aceleración en flujo no esfacionnrio desde un tanque cilíndrico 253 Ej. 7.7-2 Oscilaciones en un mandmetro 256 57.8. Deducción del balance macroscópico de energía mecánica 258 Preguntas para discusi6n 261 Problemas 261
Capítulo 8 Líquidos poliméricos 271 Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos 201
8.1
6.1
98.2
Definición de factores de fricción 202
Ejemplos del comportamiento de líquidos poliméricos 272 Reometría y funciones del material 277
Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados 281 Ej. 8.3-1 Flujo laminar en u n tubo circular de u n fiuido incompresible que obedece la ley de potencias 284 Ej. 8.3-2 Flujo en una rendija estrecha de u n f[uido que obedece la ley de potencias 284 Ej. 8.3-3 Flujo tangencia1 en tubos concéntricos de u n fluido que obedece la ley de pofencias 285 98.4" Elasticidad y los modelos viscoelásticos Lineales 286 Ej. 8.4-1 Movimiento oscilatorio de amplitud pequeña 289 Ej. 8.4-2 Flujo uiscoelástico no estacionario cerca de una lámina oscilatoria 290 58.50 Las derivadas corrotacionales y los modelos viscoelásticos no lineales 291 Ej. 8.5-1 Funciones del material para el modelo de Oldroyd de 6 constantes 293 58.6. Teorias moleculares para líquidos poliméricos 295 Ej. 8.6-1 Funciones materiales para el modelo ENEF-P 297 Preguntas para discusión 300 Problemas 301 58.3
Parte 11
Transporte de energía
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía 309 9.1 59.2
Ley de Fourier de la conducción de calor (transporte molecular de energía) 310 Ej. 9.1-1 Medición de la conductividad térmica 315 Dependencia de la conductividad térmica con respecto a la temperatura y la presión 316 Ej. 9.2-1 Efecto de le presi6n sobre la conductividad férrnica 318 Teoría de la conductividad térmica de gases a baja densidad 318 Ej. 9.3-1 Cálculo de la conductividad térmica de un gas monoatómico a baja densidad 323 E]. 9.3-2 Estimación de la conductiuidad térmica de u n gas poliatómico a baja densidad 324 Ej. 9.3-3 Prediccidn de la coriductiuidad térmica de una mezcla de gases a baja densidad 324 Teoría de la conductividad térmica de líquidos 325 Ej. 9.4-1 Prediccidn de la conductiuidad térmica de un líquido 326 Conductividad térmica de sólidos 327 Conductividad térmica efectiva de sólidos compuestos 328 Tkansporte de energía convectiva 331 Trabajo asociado con movimientos moleculares 332
Preguntas para discusión 334 Problemas 335
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en fIujo laminar 341 510.1 Balances de energía en la envoltura: condiciones límite 342 s10.2 Conducción de calor con una fuente de calor eléctrica 343 Ej. 10.2-1 Voltaje necesario para producir una determinada elevación de temueratura en un alambre calentado por una corriente elécfrica 347 Ej. 30.2-2 Alambre calentado con coeficiente de transmisidn de calor y temperatura ambiente de1 aire especificados 347 510.3 Conducción de calor con una fuente de calor nuclear 348 510.4 Conducción de calor con una fuente de calor viscosa 351 910.5 Conducción de calor con una fuente de calor química 354 910.6 ~ond;ccion de calor a través de paredes compuestas 357 E). 10.t;-! Partrlt-S 1 cilínclrrn~scornpucsfas 360 910.7 Condiiccióii de cal;)r en una aleta de erifrianiiento ,762 Ej. 10.7-1 Error en la medición del terinopar 364 510.8 Convección forzada 366 s10.9 Convección libre 372 Preguntas para discusi6n 376 Problemas 377
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos 393 Ecuación de energía 394 Formas especiale; de la ecuación de energía 396 La ecuación de movimiento de Boussinesq para convección forzada y libre 399 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 400 Ej. 11.4-1 Transmisión de calor por convección forzada en estado estacionario en flujo laminar en un tubo circular 401 Ej. 11.4-2 Flujo tangencia1 en tubos concéntricos con generación de calor viscoso 404 Ej. 11.4-3 Flujo estacionario en una película no isot&tnica 405 Ej. 11.4-4 Enfriamienfo por transpiración 406 Ej. 11.4-5 Transmisión de calor por conveccidn libre desde una ldmina vertical 408 Ej. 11.4-6 Procesos adiabdticos sin fricción en un gas ideal 411 Ej. 11.4-7 Flujo compresible unidimensional: perfiles de velocidad, temperatura y presión en una onda de choque estacionaria 412
x
Contenido
511.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos 416 Ej. 11.5-1 Distribución de temperafura alrededor de un cilindro largo 419 Ej. 11.5-2 Conveccidn libre en una capa horizontal de fluido; formación de las celdas de Bénard 421 Ej. 11.5-3 Temperatura en la superficie de un serpentín calentador eléctrico 423 Preguntas para discusión 424 Problemas 425
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente 439 512.1 Conducción de calor no estacionaria en sólidos 439 Ej. 12.2-1 Calenfamiento de una placa semiinfinita 440 Ej. 12.1-2 Calentamiento de una placa finita 441 Ej. 12.1-3 Conduccidn de calor no estacionaria cerca de una pared con densidad de flujo de calor sinusoidal 445 Ej. 12.1-4 Enfriamiento de una esfera en contacto con un fluido bien agitado 446 512.2" Conducción de calor estacionaria en flujo laminar incompresible 448 Ej. 22.2-1 Flujo laminar en un fubo con densidad de flujo de caior constante en la pared 449 Ej. 22.2-2 Flujo laminar en un fubo con densidad de flujo de calor constanfe en la pared: solución asin fótica para la región de embocadura 450 512.3" Flujo potencial de calor estacionario en sólidos 452 Ej. 12.3-1 Distribucidn de temperatura en una pared 453 512.4' Teoría de la capa limite para flujo no isotérmico 454 Ej.12.4-1 Transrnisió~ide calor en convección forzada laminar a lo largo de una ldmina plana calentada (método integral de von Kfrmán) 456 Ej. 12.4-2 Transmisidn de calor en convección forzada laminar a lo largo de una ldminn plana calentada (solución asintótica para números de Prandfl elevados) 458 Ej. 12.4-3 Convección forzada en flujo tridimensional estacionaria a números de.Prandt1 elmados 460 Preguntas para discusión 463 Problemas 463
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento 479 513.1 Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para flujo no isotérmico incompresible 479 913.2 El perfil de temperatura con ajuste de tiempo cerca de una pared 481 513.3 Expresiones empíricas para la densidad de flujo de calor turbulento 482
Ej. 13.3-1 Una relación aproximada para la densidad de flujo de calor en una pared para flujo turbulento en un tubo 483 513.4' Distribución de temperatura para flujo turbulento en tubos 4&4 513.5" Distribución de temperatura para flujo turbulento en chorros 488 513.6. Análisis de Fourier de transporte de energía en el flujo en un tubo con números de Prandtl elevados 490 Preguntas para discusión 491 Problemas 492
Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotéxmicos 497 514.1 Definiciones de los coeficientes de transmisión de calor 498 Ej. 14.1-1 Cdlculo de los coeficientes de transrnisidn de calor a partir de datos experimentales 501 514.2 Cálculos analíticos de los coeficientes de transmisión de calor para convección forzada a través de hibos y rendijas 503 514.3 Coeficientes de transmisión d e calor para convección forzada en tubos 509 Ej. 14.3-1 Diseño de un calentador tubular 514 514.4 Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada alrededor de objetos sumergidos 514 514.5 Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada a través de lechos de relleno 518 s14.6" Coeficientes de transmisión de caior para convección libre y mixta 519 Ej. 14.6-1 Pérdida de calor por convección libre desde un fubo horizontal 523 514.7" Coeficientes de transmisión de calor para condensación de vapores puros sobre superficies sólidas 524 Ej. 14.7-1 Condensación de vapor en una superficie vertical 527 Preguntas para discusión 528 Problemas 528
Capítulo 15 Balances rnacroscópicos para sistemas no isotérmicos 533 --
515.1 Balance macrosc6pico de energía 534 515.2 Balance macroscópico d e energía mecánica 536 515.3 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario con perfiles de velocidad planos 538 Ej. 15.3-1 Enfriamiento de un gas ideal 539 Ej. 15.3-2 Mezcla de dos corrientes de gas ideal 540 515.4 Las formas d de los balances macroscópicos 541 Ej. 15.4-1 Intercambiadores de calor paralelos O a confracorriente 543
Contenido xi Ej. 15.4-2 Potencia necesaria para bombear uíz fluido compresible a través de una fuberiá de grandes dirnensioms 444 515.5" Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario y problemas con perfiles de velocidad no planos 547 Ej. 15.5-1 Calentamiento de un líquido en un tanque agitado 547 Ej. 15.5-2 Operación de un controlador de temperatura simple 550 Ej. 15.5-3 Flujo de fluidos compresibles a través de medidores de calor 553 Ej. 15.5-4 Expansión libre intermitente de un fluido compresible 554 Preguntas para discusión 557 Problemas 557
Capitulo 16 Transporte de energía por radiación 571 316.1 El espectro de radiación electromagn6tica 572 516.2 Absorción y emisión en superficies sólidas 574 916.3 Ley de distribución de Manck, ley de desplazamiento de Wien y ley de Stefan-Boltzmann 577 Ej. 16.3-1 Tmperatura y emisión de enerpk radiante del Sol 581 516.4 Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío a diferentes temperaturas 581 Ej. 16.4-1 Estimación de la constanfe solar 586 Ej. 16.4-2 Transmisión de calor radiante entre discos 586
516.5" Radiación entre cuerpos no negros a diferentes temperaturas 586 Ej. 16.5-1 Escudos de radiación 589 Ej. 16.5-2 Pkrdidas de calor por radiación y por convección libre en un tubo horizontal 590 Ej. 16.5-3 Radiación y convección combinadas 590
516.6" Transporte de energía radiante en medios absorbentes 591 Ej. 16.6-1 Absorción de una emisión de rayos de radiación monocromdfica 593
Preguntas para discusión 593 Problemas 594
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Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia 599 917.1 Ley de Fick de la difusión binaria (transporte molecular de materia) 600 Ej. 17.1-1 Difusión del helio a través de cristal Pyrex 605 Ej. 17.1-2 Equivalencia de -OAB y -OBA 606
917.2 Dependencia de las difusividades con respecto a Ia temperatura y la presión 607 Ej. 17.2-1 Estimación de la difusividad a baja densidad 609 Ej. 17.2-2 Estimación de la autodifusividad a alta densidad 610 El. 17.2-3 Estimación de la difusividad binaria a alta densidad 610
517.3" Teoría de la difusión en gases a baja densidad 611 Ej. 17.3-1 Cómputo de la difusividad de masa para gases monoatómicos a baja densidad 615
917.4" Teoría de la difusión en líquidos binarios 615 Ej. 17.4-1 Esf~macidnde la difusividad en líquidos 618
317.5" Teoría de la difusión en suspensiones coloidales 618 517.6" Teoría de la difusión en polímeros 620 317.7 Transporte de materia y molar por convección 620 517.8 Resumen de densidades de flujo de masa y molar 624 $17.9" Ecuaciones de Maxweil-Stefan para difusión de varios componentes en gases a baja densidad 626 Preguntas para discusión 627 Problemas 627
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar 633 518.1 Balances de materia en h envoltura: condiciones límite 635 918.2 Difusión a través de una película de gas estancada 636 Ej. 18.2-1 Difusión con una iriterfase móvil 640 Ej. 18.2-2 Determinación de la difusividad 641 Ej. 18.2-3 Difusión a través de una película esférica no isofémiica 641
318.3 Difusión con una reacción química heterogénea 643 Ej. 18.3-1 Difusiórr can una reacción heterogénea Ientn 645 s18.4 Difusión con una reacción química homogénea 646 Ej. 18.4-1 Absorción de un gas con reacción química en un tanque agitado 648 518.5 Difusión a una película líquida descendente (absorción de un gas) 650 Ej. 18.5-1 Absorción de un gas desde burbujas ascendentes 654 518.6 Difusión a una película líquida descendente (disolución de un sólido) 655 518.7 Difusión y reacción química dentro de un catalizador poroso 658 518.8" Difusión en un sistema gaseoso de tres componentes 662 Preguntas para discusión 664 Problemas 664
xii
Contenido
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes 681
520.30 Teoría de capa límite en estado estacionario para flujo alrededor de objetos 741 Ej. 20.3-1 Transferencia de materia para flujo reptante
g19.1 Las ecuaciones de continuidad para una mezcla de varias componentes 681 Ej. 19.1-1 Difusión, convecci6n y reaccidn
520.40 Transporte de materia de capa límite con movimiento interfacial complejo 746
quimica 685
519.2 Resumen de las ecuaciones de variación de varias componentes 686 919.3 Resumen de las densidades de flujo de varias componentes 691. E j . 19.3-1 Entalpiá molar parcial 692 s19.4 Uso de las ecuaciones de variación para mezclas 694 Ej. 19.4-1 Transporfesirnultdneo de calor y de materia 694 Ej. 29.4-2 Pofil de concentración en un reactor tubular 697 Ej. 19.4-3 Oxidación catalítica del monóxido de carbono 699 Ej. 19.4-4 Conducfividad ténntca de un gas poliatómico 701
519.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para mezclas binarias no reactivas 702 Ej. 19.5-1 Distribución de concenfracidn alrededor de un cilindro largo 704 Ej. 19.5-2 Fomacidn de niebla durante la deshumidificación 706 Ej. 19.5-3 Mezcla de fluidos miscibles 708 Preguntas para discusión 710 Problemas 710
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente 719 520.1 Difusión dependiente del tiempo 720 Ej. 20.1-1 Evaporación en estado no estacionario de un liquido (el "problema de Arnold") 721 Ej. 20.1-2 Absorcibn de un gas con reacción rdpida 724 Ej. 20.1-3 Difusión no estacionaria con reacción homoghea de primer orden 726 Ej. 20.1-4 Influencia det drea interfacial variable sobre la transferencia de materia en una interfase 728 520.2' Transporte en estado estacionario en capas límite binarias 731 Ej. 20.2-1 Difusión y rmcción química en flujo laminar isotPrmico a lo largo de una Límina plana soluble 733 Ej. 20.2-2 Convección forzada desde una lámina plana a altas velocidades de transferencia de rnnteria 735 Ej. 20.2-3 Analogías aproximadas para la lámina plam a bajas velocidades de transferencia de materia 741
alrededor de una burbuja de gas 745
Ej. 20.4-1 Transferencia de materia con deformación interfacial no uniforme 751 Ej. 20.4-2 Absorción de un gas con reaccidn rápida y deformación interfacial 752
920.5. "Dispersión de Taylor" en flujo laminar en un tubo 753 Preguntas para discusibn 758 Problemas 758
Capítulo 21 Distribuciones de concentración en flujo turbulento 769 521.1 Fluctuaciones de concentración y la concentración con ajuste de tiempo 769 921.2 Ajuste de tiempo de la ecuación de continuidad d e A 770 521.3 Expresiones semiempíncas para ¡a densidad de flujo turbulento de materia 771 521.4" Mejoramiento de la transferencia de materia por medio d e una reacción de primer orden en flujo turbulento 772 521.5. Mezclado turbulento y flujo turbulento con reacción de segundo orden 777 Preguntas para discusión 782 Problemas 782
Capitulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas 787 522.1 Definición de los coeficientes de transferencia en una fase 788 522.2 Expresiones analíticas para los coeficientes de transferencia de materia 793 s22.3 Correlación de los coeficientes binarios de transferencia en una fase 797 Ej. 22.3-1 Evaporación desde una gota que cae libremente 801 Ej. 22.3-2 El psicrómetro de bulbo húmedo y seco 802 Ej. 22.3-3 Transferencia de materia en flujo reptanfe a trav6s de lechos de relleno 805 Ej. 22.34 Transferencia de materia a gotas y burbujas 806 522.4 Definición de los coeficientes de transferencia en dos fases 807 Ej. 22.4-1 Determinación de la resistencia de controI 810 Ej. 22.4-2 Inferacción de las resistencias de fase 812 Ej. 22.4-3 Promedio de área 814 522.5" Transferencia de materia y reacciones quimicas 815
Contenido xiii
Ej. 22.5-1 Estimación del área interfacial en una columna de relleno 816 Ej. 22.5-2 Estimación de los coeficientes volumétricos de transferencia de materia 817 Ej. 22.5-3 Correlaciones insensibles al modelo para absorción con reacción rápida 818 €j22h0 Combinación de transmisión de calor y transferencia de materia por convección libre 820 Ej. 22.6-1 Aditividad de los números de Grashof 820 Ej. 22.6-2 Transmisidn de calor por conveccidn libre como fuente de transferencia de materia por conveccidn forzada 820 $22.7" Efectos d e las fuerzas interfaaales sobre la transmisión de calor y la transferencia de materia 822 Ej. 22.7-1 Eliminación de lo circulacidn en una burbuja de gas ascendente 824 Ej. 22.7-2 Inestabilidad de Marangoni en una película descendente 825 922.8" Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia 826 Ej. 22.8-1 Evaporación rdpida de un lfquido desde una superficie plana 834 Ej. 22.8-2 Factores de correccidn en la a~aporaciónde una gotita 835 Ej. 22.8-3 Desempeño corregido de un bulbo húmedo piara velocidad de transferencia de materia 835 Ej. 2 2 - 8 4 Comparación de los modelos de película y de penetración para evaporacidn no estacionaria ett un tubo largo 837 Ej. 22.8-5 Polariuzción de concentración en ultrafiltrnción 838 522.9. Aproximaciones matriciales para transporte de materia de varias componentes 842 Preguntas para discusión 849 Problemas 849
Capitulo 23 Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes 853 323.1 Balances macrosc6picos de materia 854 Ej. 23.1-1 Disposición de un producto de desecho no estacionario 855 Ej. 23.1-2 Partidores de muestras binarios 857 Ej. 23.1-3 Balances macroscdpicos, "capacidad separathra" y la "función de valor" de Dirac 859 Ej. 23.1-4 Análisis por compartimientos 862 Ej. 23.1-5 Constantes de tiempo e insensibilidad al modelo 865 s23.2' Balances macrosc6picos de cantidad de moviiniento y de cantidad de movimiento angular 868 s23.3 Balance macroscópico de energía 868 923.4 Balance macroscópico de energía mecánica 869 523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario 869 Ej. 23.5-1 Balances de energúl para un convertidor de dióxido de azufre 869
E). 23 .S-2 Altura de una torre de abcorcidn de relleno 872 Ej. 23.5-3 Cascadas lineales 877 Ej. 23.54 Expansión de una niacla degases reacfivn a través de una boquiILa adiabática sin fricción 881 523.6" Uso de los balances macrosc6picos para resolver problemas de estado no estacionario 884 Ej. 23.6-1 Puesta en marcha de un reactor químico 884 Ej. 23.6-2 Ope~aciónde una columna de ell le no en estado no estacionario 885 Ej. 23.6-3 Utilidad de los monlentos de orden bajo 889 Preguntas para discusión 892 Problemas 892
Capitulo 24 Otros mecanisinos del transporte de materia 899 524.1 Ecuación de variación para entropia 900 524.2. Expresiones de densidad de flujo para calor y materia 902 Ej. 24.2-1 Difusidn termica y la columnu de ClusiusDickel 906 Ej. 24.2-2 Di@si6n de presión y la ultracen frifugadora 908 924.3' Difusión de concentración y fuerzas impulsoras 910 924.4' Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan 912 Ej. 24.4-1 Centrifugado de profefnas 913 Ej. 24.4-2 Proteínas como partículas hidrodindmicas 916 Ej. 24.4-3 Difusión de cales eví una solucidn acuosa 917 Ej. 24.4-4 Desviaciones con respecfo a la elecfroneutralidad local: electrodsrnosis 919 Ej. 24.4-5 Fuerzas impulsoras adicionales de transferencia de materia 921 524.5" Transporte de materia a través de membranas selectivamente permeables 923 Ej. 24.5-2 Difusidn de concentracidn entre fases z7olumAricas mayores preexistentes 926 Ej. 24.5-2 Ulftafiftracióny ósmosis inversa 928 Ej. 24.5-3 Membranas cargadas y exclusidn de Donnan 930 s24.6' Transporte de masa en medios porosos 932 E j . 24.6-1 Difusión de Knudsen 934 Ej. 24.6-2 Transporte desde una solución binaria externa 937 Preguntas para discusión 938 Problemas 939
Epílogo 945
xiv
Contenido
Apéndice C Temas matemáticos 1001
A peiid ices Apéndice A Notación vectorial y tensorial
947
C .
Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias y sus soluciones 1001 Expansión de funciones en serie de Taylor 1002 Diferenciación de integrales (fórmula de Leibniz) 1003 La función gamma 1004 Las funciones hiperbólicas 1005 La función de error 1006
Operaciones vectoriales desde un punto de vista geométrico 948 operaciones vectoriales en términos de componentes 951 Ej. A.2-1 Wernostrnci6n de una identidad vecforial 955 Operaciones tensoriales en términos de componentes 956 operaciones diferenciales para vectores y tensores 962 Ej. A.4-1 Probar una identidad tensorial 966 Teoremas integrales para vectores y tensores 968 Álgebra d e vectores y tensores en coordenadas curvilíneas 970 Operaciones diferenciales en coordenadas curvilíneas 974 Ej. A.7-I Operaciones diferenciales en coordenadas cilindricas 977 Ej. A.7-2 Operaciones diferenciales en coordenadas esféricas 984 Operaciones integrales en coordenadas curvilíneas 986 Comentarios adicionales sobre la notación vector-tensor 988
5C.2 5C.3
Apéndice B Densidades de flujo y las ecuaciones de variación 991
5E.2
Ley de viscosidad de Newton 991 Ley de conducción de calor de Fourier 993 (Primera) Ley de Fick de la difusión binaria 994 La ecuación de continuidad 994 5B.5 La ecuación de movimiento en términos de T 995 3B.6 La ecuación de movimiento para un fluido newtoniano con p y p constantes 996 58.7 La función de disipación m, para fluidos newtonianos 997 50.8 La ecuación de energía en términos de q 997 5B.9 La ecuación de energía para fluidos newtonianos puros con p y k constantes 998 5B.10 La ecuación de continuidad para la especie a en términos de j, 998 gB.11 La ecuación de continuidad para la especie A en términos de wA para p%AB constante 999
Apéndice F
1 sB.2 5B.3 gB.4
5C.4 5C.5 5C.6
Apéndice D La teoría cinética de los gases 1007 D . 5D.2 5D.3 5D.4 5D.5 5D.6
5D.7
Ecuación de Boitzmann 1007 Ecuaciones de variación 1008 Expresiones moleculares para las densidades de flujo 1009 Soluci6n de la ecuación de Boltzmann 1009 Las densidades de flujo en términos de las propiedades de transporte 1010 Las propiedades de transporte en términos de las fuerzas intermoleculares 1010 Comentarios finales 1011
Apéndice E Tablas para predicción de propiedades de transporte 1013 E
§El 5F.2 5F.3
Parámetros y propiedades críticas de la fuerza intermolecular 1014 Funciones para la predicción de propiedades de transporte de gases a bajas densidades 1016
Constantes y factores de conversión 1017
Constantes matemáticas 1017 Constantes físicas 1017 Factores de conversión 1018
Notación 1023
Índice de autores 1029
Índice temático 1037
Capítulo 0
El tema de los fenómenos de transporte 0 .
¿Qué son los fenómenos de transporte?
50.2
Tres niveles en los que es posible estudiar los fenómenos de transporte
w.3
Las leyes de conservación: un ejemplo
50.4
Comentarios finales
El propósito de este capitulo introductono es describir el alcance, los objetivos y los métodos del tema de los fenómenos de transporte. Es importante tener una idea acerca de la estructura del campo antes de entrar en los detalles; sin esta perspectiva no es posible apreciar los principios unificadores del tema y la interrelación de los diversos temas individuales. Para entender muchos procesos en ingeniería, agricultura, meteorología, fisiología, biología, química analítica, ciencia de materiales, farmacia y otras áreas, es esencial tener una buena comprensión de los fenómenos de transporte. Tales fenómenos constituyen una rama bien desarrollada y eminentemente útil de la física que trasciende muchas áreas de la ciencia aplicada.
0 .
¿QUÉ SON LOS FENÓMENOSDE TRANSPORTE? El dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente relacionados: dinámica de fluidos, transmisión de calor y transferencia de materia. La dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento,la transmisión de calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia estudia el transporte de materia de varias especies químicas. En un nivel introductorio, estos tres fenómenos de transporte deben estudiarse juntos por las siguientes razones: A menudo se presentan de manera simultánea en problemas industriales, biológicos, agrícolas y meteorológicos; de hecho, el desarrollo de cualquier proceso de transporte en forma individual es la excepción, más que la regla. Las ecuaciones básicas que describen los tres fenómenos de transporte están bastante relacionadas entre sí. La semejanza de las ecuaciones en condiciones simples es la base para resolver problemas "por analogía". Las herramientas matemáticas necesarias para describir estos fenómenos son muy semejantes. Aunque el propósito de este libro no es enseñar matemáticas, se pedirá al estudiante que revise varios temas matemáticos a medida que se avanza. Aprender cómo aplicar las matemáticas puede ser un resultado indirecto bastante útil del estudio de esta materia. Los mecanismos moleculares que constituyen la base de los diversos fenómenos de transporte tienen una estrecha relación entre sí. Toda la materia está
2
Capitulo O
El tema de los fenómenos de transporte
hecha de moléculas, y los mismos movimientos e interacciones moleculares son responsables de la viscosidad, la conductividad térmica y la difusión. Los objetivos principales de este libro son proporcionar una visión completa y balanceada del campo de los fenómenos de transporte, presentar las ecuaciones fundamentales de la materia y mostrar corno usarlas para resolver problemas. Hay numerosos y excelentes tratados sobre dinámica de fluidos, transmisión de calor y transferencia de materia. Además, hay muchas revistas de investigación dedicadas a estos temas individuales e incluso a subcampos especializados. El lector que domine el contenido de este libro estará en posibilidad de consultar tratados y revistas, y abordar con mayor profundidad otros aspectos de la teoría, técnicas experimentales, correlaciones empíricas, métodos de diseño y aplicaciones. Es decir, este libro no debe considerarse como la presentación completa del tema, sino más bien como un escalón para llegar a la abundancia de conocimientos que está más allá.
90.2
TRES NIVELES EN LOS QUE ES POSIBLE ESTUDIAR LOS F E N ~ M E N O DE S TRANSPORTE En la figura 0.2-1 se muestra el diagrama de un sistema grande; por ejempjo, una pieza de equipo grande a travQ de la cual fluye una mezcla de fluido. El transporte de materia, cantidad de movimiento, energía y cantidad de movimiento angular se pueden describir en tres niveles distintos. Nivel macroscópico (figura 0.2-la). En este nivel se anota un conjunto de ecuaciones denominadas "balances macroscópicos", que describen cómo cambian la materia, la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular en el sistema debido a la introducción y eliminación de estas entidades por las corrientes que entran y salen, y también debido a otras entradas al sistema provenientes del entorno. No se hace ningún intento por comprender todos los detalles del sistema. A1 estudiar un sistema de ingeniería o uno biológico es conveniente empezar con esta descripción rnacroscópica a fin de hacer una valoracián global del problema; eii algunos casos todo lo que se requiere es esta visión general. Nivel microscópico (figura 0.2-16). En este nivel se analiza lo que esta ocurriendo a la mezcla de fluido en una pequeña región dentro del equipo. Se anota un conjunto de ecuaciones denominadas "ecuaciones de variación", que describen cómo la materia, la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular cambian dentro de esta pequeña región. El objetivo aquí consiste en obtener información
Q = calor añadido al sistema A '
1
'
W, = trabajo realizado sobre el sistema por el entorno por medio de partes móvikes
Figura 0.2-1 a) Sistema de flujo macroscí>pico que contiene N2 y 02; b) región microscópica dentro del sistema macrciscópico que contiene N i y 02,que se encuentran en estado de flujo; C ) colisiún entre una molécuIa de N, y una molécula de Q1.
50.2
Tres niveles en los que es posible estudiar los fen6menos de transporte 3
, acerca de la velocidad, la temperatura, la presión y los perfiles de concentración den-
tro del sistema. Esta información más detallada puede ser necesaria para comprender algunos procesos. Nivel molecular (figura 0.2-112). En este nivel se busca una comprensión fundamental de los mecanismos de transporte de materia, cantidad de movimiento, energía y cantidad de movimiento angular en términos de la estructura molecular y las fuerzas intermoleculares. En general éste es el dominio del físico teórico o del físico químico, aunque hay ocasiones en que los ingenieros y los científicos aplicados deben participar en este nivel. Esto es particularmente cierto si los procesos que se están estudiando implican moléculas complejas, intervalos extremos de temperahra y preción, o sistemas químicamente reactivos. Debe resultar evidente que estos tres niveles de descripción suponen diferentes "escalas de longitud": por ejemplo, en un problema industrial tipico, en el nivel macroscópico las dimensiones de 10s sistemas de flujo pueden ser del orden de centímetros o metros; el nivel microscópico implica lo que está ocurriendo en el intervalo de micras a centímetros; y los probgemas en el nivel molecular contemplan internalos aproximados d e 1 a 1000 nanómetros. Este libro está dividido en tres partes que tratan lo siguiente: Flujo de fluidos puros a temperatura constante (haciendo énfasis en el transporte viscoso y convectivo de cantidad de movimiento): capítulos 1 a 8.
Flujo de fluidos puros con temperatura variable (haciendo énfasis en el transporte de energía conductivo, convectivo y radiactivo): capítulos 9 a 16. Flujo de mezclas de fluidos de composición variable (haciendo énfasis en el transporte difusivo y convectivo de materia): capítulos 17 a 24. Es decir, avanzamos desde los problemas más simples hasta los más difíciles. En cada una de estas partes comenzamos con un capitulo inicial que aborda algunos resultados de la teoría molecular de las propiedades de transporte (viscosidad, condudividad térmica y difusividad). En seguida procedemos al nivel microscópico y aprendemos cómo determinar la velocidad, la temperatura y Ios perfiles de concentración en varios tipos de sistemas. La discusión concluye con el nivel macroscópico y la descripción de grandes sistemas. A medida que se avance en el análisis, e1 lector apreciará que existen muchas relaciones entre los niveles de descripción. Las propiedades de transporte especificadas en la teoría molecular se usan en el nivel microscópico. Además, las ecuaciones que se desarrollan en el mismo nivel son necesarias para proporcionar alguna información inicial a la solución de problemas en el nivel macroscópico. También hay relaciones entre las tres áreas de transporte de cantidad de movimiento, energía y materia. Al aprender cómo resolver problemas en un áxea, también se aprenden las técnicas para resolverlos en otra. Las semejanzas de las ecuaciones en las tres áreas significan que en muchos casos es posible resolver un probIema "por analogia"; es decir, tomar una solución directamente de un área y, carnbianGr, luego los símbolos en las ecuaciones, anotar la solución de un problema en otra área. EI estudiante encontrará que estas relaciones - e n t r e niveles y entre los diversos fenómenos de transporte- refuerzan el proceso de aprendizaje. A medida que se pasa de la primera parte del libro (transporte de cantidad de movimiento) a la segunda (transporte de energía), y luego a la tercera (transporte de materia), la historia será muy parecida, pero los "nombres de los jugadores" cambiarán. En la tabla 0.2-1 se muestra la disposición de los capítulos en forma de una "matriz'' de 3 x 8. Un rápido vistazo a la matriz deja muy claro qué tipos de interrelacio-
4
Capítulo O
El tema de los fenómenos de transporte
Tabla 0.2-1 Organización de los temas en este libro Tipo de transporte
Cantidad de movimiento
Energía
Materia
Transporte debido al movimiento molecular
1 Viscosidad y el tensor de esfuerzo (densidad de flujo de cantidad de movimiento)
9 Conductividad térmica y el vector de densidad de Aujo de calor
17 Difusividad y los vectores de densidad de flujo de materia
Transporte en una dimensión (métodos de balances de envoltura)
2 Balances de
10 Balances de envoltura de energía y distribuciones de temperatura
18 Balances de
Transporte en medios continuos arbitrarios (uso de las ecuaciones generales de transporte)
3 Ecuaciones de variación y su uso [isotérmicasl
11 Ecuaciones de variación y su uso [no isotérmicas]
19 Bcuaciones de
Transporte con dos variables inde~endientes r,inétodos especiales)
4 Transporte d e
12 Transporte de energía con dos variables independientes
20 Transporte de materia con dos variables independientes
Transporte en flujo turbulento y propiedades de zransporte de remolino
5 Transporte
13 Transporte
21 Transporte
Transporte a través de límites de fases
6 Factores de
Transporte en grandes sistemas, como piezas de equipo o partes de este Transporte por medio de otros mecanismos
envoltura de la cantidad de movimiento y distribuciones de velocidad
cantidad de movimiento con dos variables independientes turbulento de cantidad de movimiento; viscosidad de remolino
turbulento de energía; conductividad térmica de remolino
envoltura de materia y distribuciones de concentración
variación y su uso [mezclas]
turbulento de materia; difusividad de remo1ino
14 Coeficientes de transmisión de calor; uso de correlaciones empíricas
22 Coeficientes de
7 Balances macroscópicos [isotérmicos]
15 Balances
23 Balances macroscópicos [mezclas]
8 Transporte de
16 Transporte de
fricción; uso de correlaciones empíricas
cantidad de movimiento en líquidos poliméricos
macroscópicos [no isotérmicosl
energía por radiación
transferencia de materia; uso de correIaciones empíricas
24 Transporte de materia en sistemas de varios componentes; efectos cruzados
nes pueden esperarse en el transcurso del estudio del libro. Recomendamos estudiar los temas por columnas, en particular para cursos de pregrado. Para bs estudiantes de posgrado, p r otra parte, hacer e1 estudio de los temas por renglones puede ser una oportunidad para reforzar las relaciones entre las tres áreas de los fenómenos de transporte.
g0.3
Las leyes de conservación: un ejemplo 5
En los tres niveles de descripción -molecular, microscópico y macroscópico-, las leyes de conservación desempeñan un papel fundamental. La obtención de las leyes de conservación para sistemas moleculares es directa e instructiva. Con física elemental y un mínimo de matemáticas es posible ilustrar los conceptos principales y revisar cantidades físicas clave que se encontrarán a lo largo de este libro. Ese es el tema de la siguiente sección.
El sistema que consideramos es el de dos moléculas diatómicas que chocan. Para facilitar las cosas, suponemos que las moléculas no interactúan químicamente y que cada una d e ellas es homonuclear; es decir, que sus núcleos atómicos son idénticos. Las moléculas están en un gas a baja densidad, de modo que no es necesario considerar interacciones con otras moléculas en el entorno. En la figura 0.3-1 se muestra la colisión entre las dos moléculas diatómicas hornonucleares, A y B, y en la figura 0.3-2 se muestra la notación para especificar las ubicaciones de los dos átomos de una molécula por medio de vectores de posición trazados desde un origen arbitrario. En realidad, la descripción de eventos que ocurren a nive1 atómico y molecular debe hacerse usando mecánica cuántica. Sin embargo, excepto para las moléculas más ligeras (H2 y He) a temperaluras menores que 50 K, la teoría cinética de los gases puede desarrollarse con bastante precisión por medio de la mecánica clásica. Antes y después de una colisión deben mantenerse varias relaciones entre cantidades. Tanto antes como después de la colisión se supone que las moléculas están lo suficientemente distanciadas, de modo que las dos moléculas son incapaces de "percibir" la fuerza intermolecular entre ellas; más allá de una distancia aproximada de 5 diámetros moleculares se sabe que la fuerza intermolecular es despreciable. Las cantidades después de la colisión se indican con primas.
a) Según la ley de conservación de la materia, la materia total de las moléculas que entran a la colisión y salen de ésta debe ser igual:
Aquí rnA y rnB son las masas de las molécuIas A y B. Debido a que no hay reacciones químicas, las masas d e las especies individuales también se conservan, de modo que
,,@--\
k.,
-"O
Molécula A antes de la colisión
1.
:
1 / i l
/ / / /
/
Molécula B antes de la colisióii
L
\ \
'\'\ Molécula B después de la coli51on
Molécula A después de la colisión
Figura 0.3-1 Colisión entre moléculas diatómicas hornonucleares, como Nz y O2 La molécula A está compuesta por dos átomos, A l y A2 La molécula B está compuesta tarnbih ~1 Dc,r dos r y H2.
6 Capitulo O El tema de los fenbmenos de transporte
O
Origen arbitrario fijado en ei espacio
Figvra 0.3-2 Vectores de posición para los átomos A l y A2 en la molécula A.
b) Según la ley de conseniación de la cantidad de movimiento, la suma de las cantidades de movimiento de todos los átomos antes de la colisión debe ser igual a la correspondiente después de la colisi6n, de modo que donde rAl es el vedor de posición para el átamo 1d e la molécula A, y fAl es su velocidad. Luego se escribe rAl = FA + RAl, de modo que rAl está escrito como la suma del vector de posición para el centro de masa y el vector de pasición del átomo respecto al centro de masa, y se reconoce que RA2 = -RAr; las mismas relaciones también se escriben para los vectores de velocidad. Asi, podemos volver a escribir la ecuación 0.3-3 como
Es decir, el planteamiento de conservación puede escribirse en términos de las masas y velocidades moleculares, y las cantidades at6micas correspondientes pueden eliminarse. Para obtener la ecuación 0.3-4 se usó la ecuación 0.3-2 y el hecho de que para moléculas diatómicas hornonucleares se cumple que mAl = nzA2 = mA. C) Se@ la ley de conservacidn de la energia, la energía del par de moléculas que chocan debe ser la misma antes y después de la colisi6n. La energía de una moiécula aislada es la suma de las energías cinéticas de los dos átomos y la energía potencial interatómica, que describe la fuerza del enlace químico que une los dos átomos I y 2 de la molécuia A, y es una función de la distancia interatómica I rA;! rAl 1 . En consecuencia, la conservación de la energía lleva a lo siguiente:
Nótese que utilizamos la notación estándar abreviada de que*l = (tAl fAl). Luego escribimos la velocidad del átomo 1 de la molécula A como la suma de la velocidad del centro de masa de A y la velocidad de 1 respecto al centro de masa; es decir, kAl = tA+RAI . Así, 4 ecuación 0.3-5 se convierte en donde uA = $ mA1Ri1+ mA2R& + # A es la suma de las energías cinéticas de los átomos, referida al centro de masa de la molécula A, y el potencial interat6mico de la mo-
90.4
Comentarios finales 7
léala A. Es decir, la enex@ de cada molécuia se divide en su energía &ética respecto a coordenadas fijas y en h energla interna de la mol6cda (que h l u y e sus energías de vibración, rotadonal y potencial). La w d 6 n 0.3-6 hace evidente que ias energías cinéticas de k i inolécuiasque chocan pueden transformarse en energía intema o viceversa. Esta idea de un intercambio entre en* cinbtica y energía interna surgir6 de nuevo d o analicemos las daames de energía m los niveles micmc6pico y m a m p m .
d) Pot iíltimo, la ley de conservación de la cantidad de movimiento altgular puede apiicarse a una colisión para obtener
donde X se usa para indica el producto cruz de dos vectores. Luego & introducen los vectores de centro de maca y de pusici6n relativa y los vectores de velocidad como antes, y obtenemos:
es la suma de 10s momentos de cantidonde lA= [ R x~mAjtAl] ~ + IR, x dad de movimiento angular de los Atomos referida a un origen de coordenadas en el centro de masa de h-molécula; es decir, la "cantidad de movimiento angular fnterno". El punto importante es que existe la posibilidad de intercambio entre la cantidad de movimiento angular de las moléculas (respecto al origen de coordenadas) y su cantidad de movimiento angular interno (respecto al centro de masa de la molécula). Más tarde se hará referencia a este hecho en relación con la ecuación de variación para la cantidad de movimiento angular. Lac leyes de conse~ación,se&n se aplican a colisiones de moléculas mon~atdmicas, pueden obtenerse a partir de los resultados anteriores como sigue: las ecuaciones 0.3-1,032 y 0.3-4 son aplicables directamente; la ecuación 0.3-6es aplicable si se omiten las contribuciones de en+ intema; y Ia ecuación 0.3-8 puede usarse si se descartan los términos de la cantidad de movimiento angular interno. Una parte importante de este libro estii relacionada con el establecimiento de las leyes de conservaci6n en los niveles microscópico y macroscópico y su aplicación a problemas de interés en ingenie& y ciencias. El anáIisis anterior debe proporcionar un entorno aceptable para emprender esta tarea. Para repasar las leyes de conservación por especie para materia, cantidad de movimiento y energia en los niveles microscópico y macroscópico, consdte las tablas 19.2-1 y 23.5-1. .4 COMENTARIOS FINALES
Para utilizar de manera inteligente los balances macroscópicos, es necesario valerse de informaci6n sobre transporte de interface que proviene de las ecuarione~de variación. Pata usar estas ecuadones se requieren las propiedades de transporte, que est6n descritas por vanas teorias moleculares. En consecuencia, desde el punto de vista de la enseñanza, parece mejor comenzar en el nivel molecular y progresar hacia sistemas m6s grandes. Todos los tratamientos teóricos van acompañados de ejemplos pafa ilustrar rómo la teoria se aplica a la solución de problemas. Al final de cada capitulo se precenan probIemas para reforzar las ideas desarrolladas en el capítulo. Los problemas e s t h agrupados en cuatro clases:
8
Capítulo O El tema de los fenómenos de transporte Clase A: problemas numéricos, diseñados para destacar ecuaciones importantes del texto y para desarrollar sensibilidad respecto a los órdenes de magnitud. Clase B: problemas analíticos que requieren realizar deducciones elementales aplicando conceptos fundamentales del capítulo. Clase C: problemas analíticos más avanzados que pueden requerir consultar los conceptos d e otros capítulos o d e otros libros. Clase D: problemas que requieren habilidades matemáticas intermedias. Muchos de los problemas y ejemplos ilustrativos son más bien elementales en el sentido de que implican sistemas demasiado simplificados o modelos muy ideales. No obstante, es necesario empezar con estos problemas elementales para entender cómo funciona la teoría y adquirir confianza en su empleo. Además, algunos d e estos problemas pueden ser muy útiles para reaLizar estimaciones sobre el orden d e magnitud en problemas complejos. A continuación se presentan algunas sugerencias para estudiar el tema d e los fenómenos de transporte: Leer siempre e1 libro teniendo lápiz y papel a la mano; trabajar todos los detalles de los desarrollos matemáticos y anotar los pasos faltantes. Siempre que sea necesario, consultar los textos de matemáticas para repasar cálculo, ecuaciones diferenciales, vectores, etc. Ésta es una oportunidad excelente para repasar los contenidos matemáticos aprendidos previamente (aunque quizá no con tanto cuidado como debió haber sido). Empeñarse en interpretar físicamente 10s resultados clave; es decir, adquirir el hábito de relacionar las ideas físicas con las ecuaciones. Preguntar siempre si los resultados parecen razonables. Si los resultados no coinciden con la intuición, es importante descubrir cuál es el error. Acostumbrarse a comprobar las dimensiones d e todos los resultados. Ésta es una muy buena manera de ubicar errores en las deducciones. Esperamos que el lector comparta nuestro entusiasmo por el tema de los fenómenos de transporte. Para dominar la materia se requerirá algo d e esfuerzo, pero las recompensas merecerán el tiempo y la energía invertidos.
¿Cuáles son las definiciones de cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y energía cinética para una partícula simple? ¿Cuáles son las dimensiones de estas cantidades? ¿Cuáles son las dimensiones de velocidad, velocidad angular, presión, densidad, fuerza, trabajo y momento de torsión? ¿Cuáles son algunas unidades comunes usadas para estas canti-
dades? Verificar que es posible pasar de la ecuación 0.3-3 a la ecuación 0.3-4. Describir todos los detalles necesarios para obtener la ecuación 0.3-6 a partir de la ecuación 0.3-5.
Suponga que el origen de coordenadas se ha desplazado a una nueva posición. ¿Cómo afecta este hecho a la ecuación 0.3-7? ¿Cambia la ecuación? Compare y contraste la velocidad angular y la cantidad de movimiento angular. 'Qué se entiende por energía interna?, ¿y por energía potencial? La ley de conservación de la materia, jsiempre es válida? ¿Cuáles son sus limitaciones?
Capítulo 1
Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento 91.1
Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento rnolecular)
512
Generalizaci6n de la ley de viscosidad de Newton
1.3
Dependencia de la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura
51.4"
Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad
51.5"
Teoría molecular de la viscosidad de líquidos
91.6"
Viscosidad de suspensiones y de emulsiones
51.7
Transporte de cantidad de movimiento convectivo
La primera parte de este libro trata acerca del flujo de fluidos viscosos. Para fluidos de peso molecular bajo, la propiedad física que caracteriza la resistencia a fluir es la viscosidad. Cualquiera que haya comprado aceite para motor sabe que algunos aceites con más ''viscosos'' que otros y que la viscosidad es una función de la temperatura. Empezamos en 91.1 con el flujocortante simple enfxe láminas paralelas y analizamos cómo la cantidad de movimiento se transfiere a través del fluido por acción viscosa. Éste es un ejemplo elemental de transporte de cantidad de movimiento molecular y sirve para introducir la "ley de viscosidad de Newton" junto con la definición de viscosidad p. Luego, en 51.2 mostramos cómo es posible generalizar la ley de Newton para patrones de flujo arbitrarios. Los efectos de la temperatura y la presión sobre la viscosidad de gases y líquidos se resumen en 91.3 por medio de una griSfica adimencional. A continuación, s1.4dice cómo las viscosidades de los gases pueden calcularse a partir de la teoría cinética de los gases, y en 91.5 se proporciona un análisis semejante para los líquidos. En s1.6 se presentan algunos comentarios sobre la viscosidad de suspensiones y emukiones. Por último, en s1.7 se muestra que la cantidad de movimiento también puede transferirse por el movimiento volumétrico (global) del fluido y que tal fransporfede la cantihd de movimiento convectiva es proporcional a la densidad p del fluido. 51.1 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON (TRANSPORTEDE CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOLECULAR)
En la figura 1.1-1se muestra un par de placas paralelas largas, cada una de área A, separadas por una distancia Y. En el espacio entre ellas se encuentra un fluido, ya sea un gas o un líquido. Este sistema está inicialmente en reposo, pero en el tiempo f = O la placa inferior se pone en movimiento en la dirección x positiva a una velocidad constante V. A medida que transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de movimiento y finalmente se establece el perfil de velocidad lineal en estado estacionario que se observa en la figura. Se requiere que el flujo sea laminar (el flujo "laminar" es
12 Capitulo 1
Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Fluido inicialmente e n reposo
t=o
Placa inferior puesta e n movimiento
q t pequeño
Figura 1.1-1 Formación del perfil de velocidad laminar estacionario para u n fluido contenido entre dos placas. El flujo se denomina "laminar" porque las capas adyacentes del fluido ("láminas") se deslizan una sobre otra de manera ordenada.
Formación d e la velocidad en flujo no estacionario
e
Distribución final
t grande
d e velocidad para flub estacionario
el tipo de flujo ordenado que suele observarse cuando se vierte jarabe, en contraste con el flujo "turbulento", que es el flujo caótico irregular que se observa en una licuadora a gran velocidad). Cuando se alcanza el estado final de movimiento en estado estacionario, para mantener el movimiento de la placa inferior se requiere una fuerza constante 1". El sentido común sugiere que esta fuerza puede expresarse como sigue:
Es decir, la fuerza debe ser directamente proporcional al área y a la velocidad, e inversamente proporcional a la distancia entre las placas. La constante de proporcionalidad p es una propiedad del fluido, definida como la viscosidad. Ahora volvamos la atención a la notación que se utilizará a lo largo del texto. Primero sustituimos F/A por el símbolo T ~ que ~ es , la fuerza en Ia dirección x sobre un área unitaria perpendicular a la dirección y. Se entiende que ésta es la fuerza ejercida por el fluido de menor y sobre el fluido de mayor y. Además, V / Y se sustituye por -dv,/dy. Así, en términos de estos símbolos, Ia ecuación 1.1-1 se convierte en
Esta ecuación, que establece que la fuerza cortante por área unitaria es proporcional al negativo del gradiente de velocidad, a menudo se denomina ley de viscosidad de N e ~ f o nEn . ~realidad no debemos referirnos a la ecuación 1.1-2 como una "ley", ya
' Algunos autores escriben la ecuación 1.l-2 en la fonna donde .ryx[=] Ibf/pi& v, [=] pie/s, y [=] pie y p [=] lb,/pie . S; la cantidad g, es el "factor d e conversión gravitaciorial" con el valor de 32.174 poundals/lb En este libro siempre usaremos la ecuación 7.1-2 en vez de la ecuación 1.1-2a. f' Sir isaac Newton (1643-1723, profesor en la Universidad de Cambridge y luego director de la Casa de Moneda, fue el fundador de la mecánica cldsica y contribuyó también a otros campos d e la física. En realidad, la ecuación 1.1-2 no aparece en la obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica d e Sir Isaac Newton, aunquc la idea seminal está presente ahí. Para comentarios ilustrativos, véase D.J. Acheson, Eleincntn y Fluid Qnainics, Oxford University Press, 1990, @.l.
51.1
Ley de viscosidad de Newton (transportede cantidad de movimiento moiecular) 13
que Newton la sugirió como un empirismo:3 la proposición más simple que puede hacerse para relacionar el esfuerzo y el gradiente de velocidad. Sin embargo, se ha encontrado que la resistencia a fluir de todos los gases y líquidos con peso molecular menor que aproximadamente 5000 está descrita por la ecuación 1.1-2, y tales fluidos se denominan fluidos nautonianos. Los líquidos poliméricos -suspensiones, pastas, lechadas (lodos) y otros fluidos complejos- no son descritos por la ecuación 1.1-2 y se denominan fluidos no newtonianos. Los líquidos poliméricos se describen en el capítulo 8. La ecuación 1.1-2 puede interpretarse de otra manera. En la vecindad de la superficie sólida en movimiento en y = O el fluido adquiere cierta cantidad de movimiento en la dirección x. Este fluido al mismo tiempo imparte cantidad de movimiento a la capa adyacente del líquido, provocando que permanezca en movimiento en la dirección x. Por lo tanto, la cantidad de movimiento en la dirección x se transmite a través del fluido en la dirección y positiva. En consecuencia, rF también puede interpretarse como la densidad de flujo de cantidad de movimiento de la dirección x, en la dirección y positiva, donde el término "densidad de flujo" (fIux) significa "flujo por área unitaria". Esta interpretación es consistente con la representación molecular de transporte de cantidad de movimiento y con las teorías cinéticas de los gases y los líquidos. También está en armonía con el tratamiento análogo que se da más adelante para la transmisión de calor y el transporte de materia. La idea planteada en el párrafo anterior puede parafrasearse afirmando que la cantidad de movimiento va "cuesta abajo" desde una región de alta velocidad hacia una región de baja velocidad: de la misma forma en que un trineo se desliza cuesta abajo desde un lugar elevado hasta otro más bajo, o como fluye el calor de una región de alta temperatura a una región de baja temperatura. En consecuencia, e1 gradiente de velocidad puede entenderse como una "fuerza impulsora" del transporte de cantidad de movimiento. En lo que sigue, algunas veces nos referiremos a la ley de Newton de la ecuación 1.1-2 en términos de fuerzas (lo cual recalca la naturaleza mecánica del tema), y otras veces en términos de transporte de cantidad de movimiento (lo cual recalca las analogías con el transporte de calor y de materia). Este punto de vista dual probará su utilidad en las interpretaciones físicas. A menudo los expertos en dinámica de fluidos usan el símbolo v para representar la viscosidad dividida entre la densidad (masa por volumen unitario) del fluido; así, Esta cantidad se denomina viscosidad cincmáfica. A continuación se exponen algunos comentarios sobre las unidades de las cantidades que se han definido. Si el significado del símbolo [=] es "tiene unidades de", ~ v , I=l m/s y y [=1 m, de moentonces en el sistema SI se tiene que % I=l ~ / r =nPa, do que
ya que las unidades en ambos miembros de la ecuación 1.1-2deben coincidir. En la tabla 1.1-1se resume lo anterior y también se proporcionan las unidades para los sis3Una relación de la forma de la ecuación 1.1-2proviene de la teoría cinéiica simple de los gases (ecuación 1.4-7). No obstante, una teoría rigurosa para gases bosquejada en el apéndice D hace evidente que la ecuación 1.1-2surge como el primer término en una expansión, y que es de esperar la aparición de términos adicionales (de orden superior).También, incluso una tmría cinética elemental de ios Líquidos predice un comportamientono newtoniano (ecuación 1.5-6).
14
Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento Tabla 1.1-1 Resumen de unidades para cantidades relacionadas con la ecuación 1.1-2
SI
E*.
pa m/s m Pa-S
Y
m2/s
ryx
ei,
Y
Inglés
%S dina/cm2 cm/s cm gm/cm-s=poise cm2/s
poundals/piez pie / S pie Ib,/pie.s pie2 / S
Nota: el pascal, Pa, es lo mismo que N/m2; y el newton, N, es lo mismo que kg . m/s2. La abreviatura de "centipow" es "cp".
temas cgs e inglés. Las tablas de conversibn del apéndice F seren muy útiles para resolver problemas numéricos que implican diversos sistemas de unidades. Las viscosidades de los fluidos varían sobre muchos órdenes de magnitud, con la viscosidad del aire a 20°C igual a 1.8 X lod5Pa S y la del glicerol aproximadamente de 1 Pa . s, donde algunos aceites de siiicón son aún mds viscosos. En las tablas 1.1-2,l.l-3 y 1.1-4 se muestran datos experimentaIes4para fluidos puros a 1atm de presión. Nótese que para gases a baja densidad, la viscosidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que para líquidos la viscosidad suele disminuir con un incremento en la temperatura. En gases, la cantidad de movimiento es transportada por las moléculas en vuelo Iibre entre coIisiones, pero en los iiquidos el transporte se Ueva a cabo predominantemente en virtud de las fuerzas intermoleculares que experimentan pares de moléculas a medida que serpentean aleatoria-
Tabla 1.1-2 Viscosidad de1 agua y del aire a 1 atm de presión Agua (Ilq.1'
Temperatura
T(o0
Viscosidad dmPa S)
.
Aireb
Viscosidad cinembtica Viseasidad v(cmZ/s) p(mPsr S)
.
Viscosidad cinemática vlcm2/s>
-
~
'Unít extensa representaciónde técnicas experimentalespara medir propiedades de transporte puede encontrarse en W.A. Wakeham, A. Nagashima y J. V. Sengers, Measuremenf of Ihe Transpart Pmperties of Ffuids, CRC Press, h a Ratón, Fla. (1991). Las fuentes de datos experimentales son: Landolt-Bomtein, Zuhlenwute und Funktionen, Vol. II,5,
Springer (19681969);Intrmational Cn'fical Ibbles, McGraw-HU, Nueva York (1926);Y.S. Touloukian, P.E.Liley y S.C. Saxena, Thermophysical Pmperties of Matter, Plenum Pmss, Nueva York (1970);y también numerosos manuales de química, fs~ca,dinámica de fluidos y transmisión de calor.
s1.1 Ley de viscosidad de Newton (transporte de cantidad de movimiento molecular) 15
Tabla 1.1-3 Viscosidades de alanos p;asesY líquidos a presión atrnosf6ricaa Gases
Temperatura
V°C)
Viscosidad p(mPa . S)
i-C4Hlo
23 23 20 100 20 20 20 380
0.0076c 0.0153 0.0109b 0.01211d 0.0146~ 0.0175~ 0.0204 0.0654~
sh
Ch H20 CQ
N2 0, Hg
Líquidos (Cz&)20
C6H6 Br2
Hg C2H50H H2m4
Glicerol
Temperatura T("C)
Viscosidad ,u(mPa S)
O 25 20 25 20 O 25 50 25 25
0.283 0.224 0.649 0.744 1.552 1.786 1.074 0.694 25.54 934
Vaiores tomados de N.A. Lange, Handbook of Chemisty, McGraw-Hill, Nueva York,15a ed. (19991, tabIas 5.16 y 5.18. b H.L. Johnstony K.E. McKloskey, J. Phys. C . . , 44,1038-1058 (1940). C CRC f i n d h k of Chemisty and Physics, CRC Press, Boca Ratón, Fla. (1999). d hndolt-Bornstein Zahlenwerfe und Funktionen, Springer (1969).
Tabla 1.1-4 Viscosidades de algunos metales líquidos Metal
Temperatura T("C)
Viscosidad
da
S)
Datos tomados de The Reactor Handbwk, Vol. 2, Atomic Energy Commission AECD-3646, U.S. Govemment Printing Office,Washington, D.C.(mayo 1955), p p 258 et seq.
mente en torno a sus vecinas. En s 1 . 4 y 1.5 se proporcionan algunos razonamientos de la teoría cinética elemental para explicar la dependencia de fa viscosidad con respecto a la temperatura.
16
Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Cdlcttlo de la densidad de flujo de caiitidad de movimiento
Calcular la densidad de flujo de cantidad de movimiento en estado estacionario ry, en y/pies2 cuando la velocidad V de la placa inferior en la figura 1 .l-1es 1 pie/s en la direccion x positiva, la separación Y de las placas es de 0.001 pie y la viscosidad ,LL del fluido es 0.7 cp,
Debido a que T ~ se , pide en unidades del sistema inglés, es necesario convertir la viscosidad a ese sistema de unidades. Así, con ayuda del apéndice F se encuentra quep = (0.7cp)(2.0886 = 1.46 X 10-5 lbi ~ / ~ i eEls perfil ~ . de velocidad es lineal, de modo que x dv, - Av, - -1 .O pie / s = -1 000s-1 dy Ay 0.001 pie Al sustituir en la ecuación 1.1-2 se obtiene
En la sección precedente Ia viscosidad se definió por medio de la ecuación 1.1-2, en términos de un flujo cortante simple en estado estacionario en el que v, es una función sólo de y, y v y y v, son cero. Por lo general se tiene interés en flujos más complicados en los que las tres componentes de la velocidad pueden depender de las tres coordenadas y quizá del tiempo. En consecue~icia,es necesario contar con una expresión más general que la ecuación 1.1-2, pero que pueda simplificarse a la ecuación 1.1-2 para fhjo cortante en estado estacionario. Esta generalizaciiin no es sencilla; d e hecho, a los niatemáticos les llevó casi un siglo y medio lograrla. No es apropiado presentar aquí todos los detalles de este desarrollo, ya que es posible consultarlos en muchos libros sobre dinámica de fluid0s.l En vez de ello explicaremos brevemente las ideas primordiales que condujeron al descubrimiento de la generalización requerida de la ley de viscosidad de Ne~7ton. Para hacerlo consideraremos un patrón de flujo muy general, donde Ia velocidad del fluido puede ser en varias direcciones en diversos sitios y puede depender del tiempo t. Así, las componentes de la velocidad están dadas por
En esta situación, hay nueve componentes del esfuerzo r '1. .(donde i y j pueden asumir las designaciones .y, y y z), en vez de la componente r que aparece en la ecuación 'Y 1.l-2. En consecuencia, debemos comenzar por la definicion de estas componentes del esfuerzo.
'
W Prager, Introducfíon to Mechanics of Conti?run,Ginn, Boston (1961), pp. 89-91; R. Aris, Vectors, Tcnsors, and the Basic Equntions offiuid Mecknnics, Freiitice-Hall, Englewood CIiHs, N.J. (19621, pp. 30-34,99112; L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanicc, Pergamon, Londres, 2a. edición (1987), pp. 44-45. Lev Davydavich Landau (1908-1968) recibió e1 premio Nobei en 1962 por su obra sobre dinámica de heüo y dinámica de superfluidos.
51.2
Generalización de la ley de viscosidad de Newton
17
En la figura 1.2-1 se muestra un pequeño elemento de volumen en forma de cubo dentro del campo de flujo, donde el área de cada cara es unitaria. El centro del elemento de volumen está en la posición x, y, z. En cualquier instante es posible rebanar el elemento de volumen de manera que se elimine la mitad del fluido de su interior. Como se observa en la figura, cada vez es posible cortar el volumen en forma perpendicular a cada una de las tres direcciones de coordenadas. Luego es posible preguntar por la fuerza que debe aplicarse en la superficie libre (sombreada) para sustituir la fuerza que ejercía sobre esta superficie el fluido que se ha eliminado. Habrá dos contribuciones a esta fuerza: la asociada con la presión y la asociada con las fuerzas viscosas. La fuerza de presión siempre será perpendicular a la superficie expuesta. Por lo tanto, en (a) Ia fuerza por área unitaria en la superficie sombreada será un vector p8,; es decir, ia presión (un escalar) multiplicada por el vector unitario 6, en la dirección x. En forma semejante, la fuerza sobre la superficie sombreada en (b) será pS Y' y en (c) la fuerza será p6,. Las fuerzas de presión serán ejercidas cuando el fluido sea estacionario, así como cuando esté en movimiento. Las fuerzas viscosas entran en acción sólo cuando dentro del fluido hay gradientes de velocidad. En general, no son perpendiculares al elemento superficial ni paralelas a éste, sino que forman algún ángulo respecto a la superficie (véase la figura 1.2-1). En (a) se observa una fuerza por área unitaria ejercida sobre el área sombreada, y en (b) y en (c) se observan las fuerzas por área unitaria T y 7,. Cada una de estas fuerzas (que son vectores) tiene componentes (escalares!; por ejemplo, 7, tiene las componentes T, rXy y r,,. Por lo tanto, ahora es posible resumir en la tabla 1.2-1 las fuerzas que actúan sobre las tres áreas sombreadas de la figura 1.2-1. Esta tabuIación es un resumen de las fuerzas por área unitaria (esfuerzos) ejercidas dentro de un fluido, tanto por la presión termodinámica como por
-,
Figura 1.2-1 Fuerzas de presión y viscosas que actúan sobre planos en el fluido, perpendiculares a los tres sistemas de coordenadas. Los planos sombreados tienen área unitaria.
18 Capítulo 1
Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
los esfuerzos viscosos. Algunas veces serfi conveniente coniar con un símbolo que incluya ambos tipos de esfuerzo, de modo que los esfuerzos moleculares se definen como sigue:
Aquí aii es la delta de Kronecker, que es 1 si i = j y cero si i # j. Al igual que en la sección precedente, rii (y también 7)puede interpretarse en dos formas:
+
la dirección j sobre un área unitaria perpendicular a la dirección i, donde se entiende que el fluido en la región de menor x i ejerce la fuerza sobre el fluido de mayor xi.
P.. = pS.- T. = fuerza en 11 '1 '1
P 1)
= POij + rii = densidad de flujo de la cantidad de movimiento j en la dirección i positiva; es decir, de la región de menor xi a la de mayor xi.
En este libro se usan ambas interpretaciones;Ia primera es particularmente útil para describir las fuerzas ejercidas por el fluido sobre superficies sólidas. Los esfuer= p + rxx,T T =~p + T ~ rz7 , = p + +zz se denominan esfuerzos normales, mientras zos rXx = %,... se denominan esfuerzos cortantes. que las cantidades restantes, % = Ty,rYZ Estas cantidades, que tienen dos subíndices asociados con las direcciones de coordenadas, se denominan "tensores", así como las cantidades (como la velocidad) que tienen un subíndice asociado con las direcciones de coordenadas se denominan "vectores". En consecuencia, nos referiremos a T como el tensor de esfuerzo viscoso (con componentes T..) y a a como el tensor de esfuerzo molecular (con componentes r! m+). Cuando no hay posibilidad de confusión, los modificadores "viscoso'' y "molecular" pueden omitirse. En el apéndice A puede consultarse un análisis sobre vectores y tensores. La cuestión ahora es, ¿cómo están relacionados estos esfuerzos T~~con los gradientes de velocidad en el fluido? Al generalizar la ecuación 1.1-2 se impusieron varias restricciones sobre los esfuerzos, como sigue:
Tabla 1.2-1 Resumen de las componentes del tensor de esfuerzo moiecular (o tensor de densidad de cantidad de movimiento rnolecu1ar)a Vector de fuerza Componentes de las fuerzas (por área unitaria) por área unitaria que actúan sobre la cara sornbreada (componentes sobre la cara de la densidad de flujo de cantidad de movimiento (densidad de flujo de cantidad normal a través de Ia cara sombreada) de movimiento a través de la a la cara sombreada cara sombreada) Componente x Componente y Componente z
Éstas se refieren como componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular" porque están asociadas con los movimientosmolecularec, según se analiza en 51.4y en el apéndice D. Las componentes adicionales del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo", asociadas con el movimiento volum&rico del fluido, se analizan en 51.7.
1
II
51.2 Generalización de la ley de viscosidad de Newton
19
Los esfuerzos viscosos pueden ser combinaciones lineales de todos los gradientes de velocidad:
-
rij = -ZkCI Clijkl dnk
donde i, j, k, y 1 pueden ser 1.2 o 3 (1.2-3)
3Xl
Aquí las 81 cantidades piiwson "coeficientes de viscosidad". Las cantidades x l , x, y x, en las derivadas denotan las coordenadas cartesianas x, y, z , y vl, v2 y v3 son las mismas que u,, vy y u,. Planteamos que las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto al tiempo no deben aparecer en las expresiones. (Para fluidos viscoelásticos, como se analiza en el capítulo 8, las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto al tiempo son necesarias para describir las respuestas elásticas.) No esperamos que esté presente ninguna fuerza viscosa, si el fluido se encuentra en un estado de rotación pura. Este requerimiento conduce a la necesidad de que rij sea una combinación simétrica de los gradientes de velocidad. Por esto se entiende que si se intercambian i y j, la combinación de los gradientes de velocidad permanece sin cambio. Puede demostrarse que las únicas combinaciones lineales simétricas de los gradientes de velocidad son
Si el fluido es icotrópico, es decir, si no tiene una dirección preferida, entonces los coeficientes enfrente de las dos expresiones en la ecuación 1.2-4 deben ser escalares, de modo que
Así, ;hemos reducido el número de "coeficientes de viscosidad" de 81 a 2! Por supuesto, queremos simplificar la ecuación 1.2-5 a la ecuación 1.1-2 para la situación de flujo que se muestra en la figura 1.1-1.Para ese flujo elemental, la ecuación 1.2-5 se simplifica a r = A dv,/dy, y por lo tanto, la constante YX escalar A debe ser la misma que el negativo de la viscosidad p . Finalmente, por un acuerdo común asumido entre la mayoría de los especialistas en dinámica de fluidos, la constante escalar B se iguala a $ p - K , donde K se denomina viscosidad dilatacional. La razón para escribir B de esta manera es que por la teoría cinética se sabe que K es idénticamente cero para gases monoatómicos a baja densidad. Así, la generalización requerida de la ley de viscosidad de Newton en la ecuación 1.1-2 es entonces el conjunto de nueve relaciones (de las cuales seis son independientes):
Aquí 7.= T.., e i y j pueden asumir los valores 1, 2 y 3. Estas relaciones para los '1 I' esfuerzos en un fluido newtoniano están asociadas con los nombres de Navier,
20
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento Poisson y Stokes2Si se desea, este conjunto de relaciones puede escribirse de manera más concisa en la notación vector-tensor del apéndice A como
Vv es el tensar del gradiente de velodonde 6 es el tensor unitario con componentes cidad con componentes (d/axi)vi' (Vv)+es la "transpuesta" del tensor del gradiente de velocidad con componentes (a/ax>v,y (V v) es Ia divergencia del vector de velocidad. La conclusión importante es que se tiene una generalización de la ecuación 1.1-2, y esta generalización implica no uno sino dos coeficientes3que caracterizan al fluido: la viscosidad p y la viscosidad dilatacional K. Por lo general, al resolver problemas de dinámica de fluidos no es necesario conocer K . Si el fluido es un gas, a menudo se supone que actúa como un gas ideal monoatómico, para el que K es idénticamente cero. Si el fluido es un líquido, a menudo se supone que es incompresible, y en el capítulo 3 se demuestra que para líquidos incompresibles (V v) = O, y en consecuencia el término que contiene a K se elimina de cualquier manera. La viscosidad dilatacional es importante para describir la absorción del sonido en gases poliatómicos4y para describir la dinámica de fluidos de líquidos que contienen burbujas gaseosa^.^ La ecuación 1.2-7 (o Ia 1.2-6) es importante y se usará a menudo. Por lo tanto, en la tabla B.l se escribe completamente en coordenadas cartesianas ( x , y, z), cilíndricas (r, O, z) y esféricas (r, O, +). Los datos de esta tabla para las coordenadas curvilíneas se obtienen por los métodos que se describen en sA.6 y sA.7. Se sugiere que los estudiantes principiantes no se preocupen por los detalles de tales deducciones, sino que más bien se concentren en utilizar los resultados tabulados. Los capítulos 2 y 3 proporcionan bastante práctica para efectuar lo anterior. Las componentes del esfuerzo significan lo mismo en coordenadas curvilíneas que en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, 7, en coordenadas cilíndricas, que se encontrará en el capítulo 2, puede interpretarse como: i) la fuerza viscosa en la dirección z sobre un área unitaria perpendicular a la dirección r, o ii) la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento en la dirección z en la dirección r positiva. En la figura 1.2-2 se ilustran algunos elementos de superficie típicos y componentes de esfuerzo tensoriales que surgen en la dinámica de fluidos. Los esfuerzos cortantes suelen ser fáciles de visualizar, pero los esfuerzos normales pueden provocar problemas conceptuales. Por ejemplo, r,, es una fuerza por área unitaria en la direcci6n z sobre un plano perpendicular a la direcciOn z. Para el flujo de un ffuido incompresible en el canal convergente de la figura 1.2-3,intuitivamente se sabe que v, aumenta al disminuir z; por lo tanto, según la ecuación 1.2-6, existe un esfuerzo T ~ ,= -2p4L(dvz/az) diferente de cero que actúa sobre el fluido.
-
ZC.-L.-M.-H.Navier, Ann. Chimie, 19,244-260 (1821); S.-D. Poisson, J. Ecole Polytech., 13, Cahier 20, 1-174 (1831); G.G. Stokes, Ttans. Camb. Phil. Soc., 8,287-305 (1845).Claude-Louis-Marie-Henn Navier (178518.16)h e ingeniero civil cuya especialidad era la construcción de carreteras y puentes; George Gabriel Stokes (1819-1903)ensenó en la Universidad de Cambridge y fue presidente de la Roya1 Cociety. Navier y Stokes son bien conocidos debido a las ecuaciones de Navier-Stokes (véase capítulo 3). Véase también D.J. Acheson, Elementay Fluid Mechanics, Oxford University Press (1990), pp. 209-212,218. Algunos autores se refieren a p como la "viscosidad del esfuerzo cortante", pero esta denominación es inapropiada porquep puede surgir tanto en flujos no cortantes como en flujos cortantes. La expresión "viscosidad dinámica" también se observa ocasionalmente, pero este ténnino tiene un significado muy especifico en el campo de la viscoelasticidad y es u n término inadecuado para p . 'L. Landau y E.M.Lifshitz, op. cit., capítulo VIII. G.K. Batchelor, An lntroducfion Lo Fluid Dynamicc, Cambridge University Press (1967),pp. 253-255.
s1.2 Generalización de la ley de viscosidad de Newton
21
Esfera sólida
"YR,
La fuerza ejercida por el fluido en la dirección +üsobre el elemento de superfiae (RdB)(dz)es -~,,gl,,~Rd@dz
Y
La fuerza ejercida por el fluido en la diFecci6n 6 sobre el elemento de superficie (M@)(R sen 8 d#) es - ~ ~ I , , ~ ~ ~ s e n B d 8 @
Cilindro súüdo de radio R
La fuerza ejercida por el fluido en la direcci6n $ sobre el elemento de superficie (Rd8) (R sen 13dq5)
La fuerza ejercida por el fluido en la dirección +z sobre el elemento de superficie(RdB){dz) es -r,l,,~RdOdz
@
es - 7 @ l r E RR2senedB@
fl
Cilindro sólido
Lafluido zfuerza sobre enejercida ellaelemento dirección por el de superficie (dr)(dz) es +TOZ 1 O = ( m / z ~ - & ~dz
I
Cono s6lido
ia fuerza ejercida por el fluido en la direcci6n r sobre el elemento de -7&10=ar~enadr&
WaY I
(0)
Figura 1.2-2 a) Algunos elenientos de superficie típicos y esfuerzos cortantes en el sistema de coordenadas cilíndricas. b) Algunos elementos de superficie típicos y esfuerzos cortantes en el sistema de coordenadas esféricas.
Nota sobre la convención de signos para el tensor de esfuerzo. Respecto a la ecuación 1.1-2 (y en la generalización en esta sección) hemos recalcado que ryxes la fuerza en la dirección x positiva sobre un plano perpendicular a la dirección y, y que esta es la fuerza ejercida por el fluido en la región de menor y sobre el fluido de mayor y. En la mayor parte de los libros sobre dinámica de fluidos y elasticidad, las palabras "menor" y "mayoí' con intercambiabIes y la ecuación 1.1-2 se escribe como
22
Capíhilo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento Figura 1.2-3 El flujo en un canal convergente es ejemplo de una situación en que los esfuerzos normales no son cem. Debi a que u, es una función de r y z, la componente de esfuerzo normal rz2 -&(dv,/dz) es diferente de cero. También, como v, depende de r y z, la componente de esfuerzo normal T , = ~ -@(du,/Jr) no es igual a cero. Sin embargo, en la pared todos los esfuerzos nom~alesdesaparecen para fluidos descritos por la ecuacidn 1.2-7 en el supuesto de que la densidad sea constante (véanse el ejemplo 3.1-1 y el problema 3C.2).
@ '
vztr)
= +p(dv,/dy). Las ventajas de la convención de signos que se usa en este libro YX son: a) la convención de signos usada en la ley de viscosidad de Newton es consistente con la que se usa en la Iey de Fourier de conducción de calor y la ley de difusión de Fick; b) la convención de sígnos para rii es la misma que para la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivopw (véanse 93.7 y la tabla 19.2-2); c) en la ecuación 1.2-2, los términos $ij y 7ij tienen ef mismo signo fijado, y los términos p y T~~con ambos positivos para compresión (en concordancia con el uso común en termodinámica); 6)todos los términos en la producción de entropía en la ecuación 24.1-5 tienen el mismo signo. En las ecuaciones 1.1-2 y 1.2-6 resulta evidente que la convención de signos es arbitraria, por lo que puede usarse cualquiera de éstas, con tal be que el significado físico del signo se comprenda claramente. T
1.3
DEPENDENCIA DE LA VISCOSIDAD CON RESPECTO A LA PRESIÓN Y LA TEMPERATURA En varios manuales de ciencias e ingeniería pueden encontrarse datos extensos sobre las viscosidades de gases y líquidos puros.1 Cuando se carece de datos experimentales y no se tiene tiempo para obtenerlos, la viscosidad puede estimarse por métodos empíricos, utiIizando otros datos sobre la sustancia dada. Aquí presentamos una correlación de estados corresporzdierítes, que facilita tales estimaciones e ilustra tendencias generales de viscosidad con la temperatura y la presión para fluidos ordinarios. El principio de los estados correspondientes, que tiene una sólida base científica? se utiIiza bastante para correlacionar datos de la ecuación de estado y termodinámicos. Análisis de este principio pueden encontrarse en libros de texto de fisicoquímica y termodinámica.
'
J.A.Schetz y A.E. Fuhs (compiladoros), Handbook of Fluid Dynamics and Fluid Machincry, Wiley-lnterscience, Nueva York (19661, Vol. 1, capítulo 2; W.M. Rohsenow, J.P. Hartnett y Y.I. Cho, Handbwk of H ~ a Transfer, t McGraw-Hill. Nueva York, 3a. edición (1999), capitulo 2. Otras fuentes se mencionan en la nota de pie d e página 4 d e 51.1. J . Millat, J.H. Dymond y C.A. Nieto de Castro (compiladores), Trarrsport Properties of Fluids, Cambridge University Press (19961, capituIo 11, por E.A. Mason y EJ. Uribe, y capitulo 12, por M.L. Huber y H.M.M. Haiiley.
51.3
Dependencia de la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura
23
Figura 1.3-1 La viscocidad reducida p, = p / p , como una función de la temperatura reducida para varios valores de Ia presión reducida. [O.A. Uyehara y K.M.Watson, Nat. Pefroleum N m s , Tech. Section, 36,764 (4 de oct., 1944);revisada por K.M. Watson (1960).Una versión a gran escala de esta gráfica se encuentra disponible en O.A. Hougen, K.M. Watson y R.A. Ragatz, C.P.P. Charts, Wiley, Nueva York, 2a. edición (1960).]
Temperatura reducida T , = T/T,
La gráfica de la figura 1.3-1 proporciona una visión global de la dependencia d e la viscosidad con respecto a la presión y la temperatura. La viscosidad reducida ,u, = ,u /,u, se graficó contra la temperatura reducida T, = T / T , para varios valores de la presión reducida p, = plp,. Una cantidad "reducida" es aquella que se ha hecho adimensionaI dividiéndola entre la cantidad correspondiente en el punto critico. El diagrama muestra que la viscosidad de un gas tiende a un límite (el límite a baja densidad) a medida que la presión se hace más pequeña; para la mayor parte d e los gases, este límite casi se alcanza a 1 atm d e presión. La viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que Ia viscosidad de un líquido disminuye con un incremento en la temperatura. Rara vez hay valores experimentales disponibles de la viscosidad crítica ,u,. Sin embargo,^, puede estimarse en una de las siguientes formas: i) si se conoce un valor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas dadas, de preferencia en condiciones cercanas a las de interés, entonces ,u, puede calcularse a partir de ,u, = ,u/,u,; o bien, ii) si se cuenta con datos de pV-T críticos, entoncesp, puede estimarse a partir de estas relaciones empíricas:
24
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
-
Aquí, y, está en micropoises, p, en atm, Te en K y Veen cm3/g-mol. En el apéndice E se proporciona una tabulación de viccosidades críticas3 calculadas con el método i. La figura 1.3-1también puede usarse para una estimación gruesa de viscosidades de mezclas. Para una mezcla con N componentes se utilizan las propiedades "seudo~ríticas"~ definidas como
Es decir, el diagrama se usa exactamente como para fluidos puros, pero con las propiedades seudocriticas en vez de las propiedades críticas. Este procedimiento empírico funciona razonablemente bien, a menos que en la mezcla haya sustancias químicamente distintas o las propiedades críticas de los componentes difieran bastante. Hay muchas variantes del método anterior, así como vanos otros empiricmos. Lo anterior puede encontrarse en la extensa compilación de Reid, Prausnitz y P~lin~.~
Estimación de la viscosidad a partir de las propiedades críticas
Estimar la viscosidad del N, a 50°C y 854 atm, dadas M = 28.0 g/g-mol, pc = 33.5 atm y T, = 126.2 K.
Al aplicar la ecuación 1.3-lb se obtiene
= 189 micropoises
= 189 X
poise
La temperatura y presión reducidas son
A partir de la figura 1.3-1 se obtiene p, = p / p C = 2.39. Por lo tanto, el valor anticipado de viscosidad es p = pcí,u/p,) = (189 x 10-6)(2.39)= 452 x
El valor medido6 es 455 x
poise
(1.3-5)
poise. Esta concordancia es extraordinariamentebuena.
3 0 . A .Hougen y K.M.Watson. Chemical Procas Principies, Parte 111, Wiley, Nueva York (19471, p. 873. Olaf Andreas Hougen (1893-1986) fue pionero en el desarroiio de la ingeniería química durante cuatro d6cadas; junto con K.M. Watson y X.A. Ragatz, escribió libros.importantessobre tennodiárnica y cinética. O.A. Hougen y K.M. Watson, ChemiLiI Procesc Priilciplss, Parte 11, Wiley, Nueva York (19471, p. óO4. R.C.Reid, J.M. Prausnitz y B.E. +liiig, The Properties of Cases and Liquids, McGraw-Hill, Nueva York, 4a. edición (198'71, capítulo 9. A M.1-F.Michels y R.E. Gibson, Proc Roy. Soc. (Londres),Al34,288-307 (1931).
,,
51.4
Teona molecular de la viscosidad de gases a baja densidad
25
51.40 TEORÍA MOLECULARDE LA VISCOSIDAD
DE GASES A BAJA DENSIDAD Para adquirir una mejor comprensión del concepto transporte de cantidad de momiento rnolecular, analizaremos este mecanismo de transporte desde el punto , vista de una teoría cinética elemental de los gases. Consideramos un gas puro compuesto de moléculas esféricas rígidas que no se atraen entre sí de diámetro d y masa m, y el número de densidad (número de moléculas por volumen unitario) se toma como n. Se supone que la concentración de las moléculas del gas es tan pequeña que la distancia media entre moléculas es muchas veces su diámetro d. En un gas como éste se sabe1 que, en equilibrio, las velocidades moleculares están dirigidas aleatoriamente y tienen una magnitud media dada por (véase el problema 1C.1)
donde K es la constante de Boltzmann (véase el apéndice F). La frecuencia de bornbardeo molecular por área unitaria sobre uno de los lados de cualquier superficie estacionaria expuesta al gas es
La distancia media recorrida por una molécula entre colisiones sucesivas es la tra-
yectoria libre media A, dada por
En promedio, las moléculas que llegan a un plano habrán experimentado su última colisión a una distancia a del plano, donde a está dada de manera muy aproximada Por
El concepto de la trayectoria libre media es intuitivamente atractivo, aunque sólo tiene sentido cuando A es grande en comparación con la amplitud de las fuerzas intermoleculares. El concepto es idóneo para el modelo molecular de esferas rígidas considerado aquí. Para determinar la viscosidad de un gas en términos de los parárnetros del modelo molecular, consideremos el comportamiento del gas cuando fluye paralelo al plano xz con un gradiente de velocidad du,/dy (véase la figura 1.4-1). Suponemos que las ecuaciones 1.4-1 a 1.4-4 siguen siendo válidas en esta condición de no equilibrio, en e1 supuesto de que todas las velocidades moIeculares se calculen con res
'
Las cuatro primeras ecuaciones en esta sección se proporcionan sin demostración.Justificacionesdetalladas se dan en libros sobm teoría cinbtica; por ejemplo, E.H. Kennard, Kinetic Theory of G a s , McGraw-Hill, Nueva York (19381, capítulos 11 y 111. También E.A. Guggenheim, Elements of the Kinefic Theoy of Gases, Pergamon Press, Nueva York (1960), capitulo 7, ha escrito un breve informe de la teoría elemental de la viscosidad. Para resúmenes legibles di. la teoría cinética de los gases, consúltese el Libro de R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physicnl Chemktry, Wiey, Nueva York. 3a. edición (20011,capítulo 17, o bien, el de R.S. Berry, S.A. Rice y J. Ross, Physiml Chemisty, Oxford University Fress, 2a. edición (2000),capitulo 28.
26
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
L/
Perfil de velocidad v,k)
desde e' plano con componente
Figura 1.4-1 Transporte molecular de cantidad de movimiento en la dirección x desde el plano en (y - a) hasta el plano en y.
pecto a la velocidad media v en la región en que la molécula dada tuvo su última colisión. La densidad de flujo de cantidad de movimiento en la dirección x a través de cualquier plano con y constante se encuentra al sumar las cantidades de movimiento x de las moléculas que cruzan en la dirección y positiva y restar las cantidades de movimiento x de aquellas que cruzan en la dirección opuesta, como sigue:
Al escribir esta ecuación, hemos supuesto que todas las moléculas tienen velocidades representativas de la región en que chocaron por última vez y que el perfil de velocidad u,(y) es esencialmente h e a l para una distancia de varias trayectorias libres medias. En vista de la última suposición, es posible escribir inclusive
Al combinar las ecuacionec 1.4-2, 1.4-5 y 1.4-6 se obtiene para la densidad de flujo neto de la cantidad de movimiento de x en la dirección y positiva
Ésta es la misma forma que la ley de viscosidad de Newton dada en la ecuación 1.1-2.Al comparar las dos ecuaciones se obtiene una ecuación para la viscosidad
o bien, a1 combinar las ecuaciones 1.4-1,1.4-3 y 1.4-8
Esta expresión para la viscosidad fue obtenida por ~ a x w e l l en * 1860. La cantidad n-d2 se denomina sección transversal de colisión (véase la figura 1.4-2). James Clerk Mvrwell(1831-1897)fue itno de los más grandes fisicos de todos los tiempos; es particularmente famoso por su desarrollo en el campo del elechomagnetismo y su contribución a la teoría cinética de los gases. En relacidn con ésta, véase J.C.Maxwell, Phil. Mag., 19, 19, Prop. XIll (11160); S.G. Bmsh, Am. l . Phys.,30, 269-281 (1962). Hay algo de controversia concerniente a las ecuaciones 1.4-4 y 1.4-9 (vease S. Chaprnan y T.G. Cowling, The Mathematicul i7feoyof Non-Uniform Gases, Carnbridge University Press, 3a. edición, 1970, p. 98); R.E. Cumingham y
R.J.J. Williarns, Difision in Gases and Porous Media, Plenum Press, Nueva York (1980),56.4.
51.4
Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad
Círculo de área ~ d 2
,----[ , I
I
I 1
27
Figura 1.4-2 Cuando dos esferas rígidas de diámetro d se aproximan entre sí, el centro de una esfera (en O') "ve" un circulo de área mi2 alrededor del centro de la otra esfera (en O), sobre el que puede ocurrir una colisibn. E1 área vd2 se denomina "sección transversal de colisión".
i
I 5
1 \
La deducción anterior, que proporciona una imagen cuaiitativamente correcta de la transferencia de cantidad de movimiento en un gas a baja densidad, aclara por qué queríamos introducir el término "densidad de fiujo de cantidad de movimiento" para ryxen 51 .l. La qredicción de la ecuación 1.4-9 de quep es independiente de la presión concuerda con datos experimentales hasta aproximadamente 10 atm a temperaturas por arriba de la temperatura crítica (véase la figura 1.3-1).La dependencia predicha respecto a la temperatura es menos satisfactoria;los datos para varios gases indican que p aumenta más rápido que fl. Para describir mejor la dependencia de p respecto a la temperatura, es necesario reemplazar el modelo de esferas rígidas por uno que retrate de manera más precisa las fuerzas de atracción y de repulsión. También es necesario abandonar las teorías de la trayectoria libre media y usar la ecuación de Boltzmann para obtener de manera más exacta la distribución molemlar de velocidad en sistemas que no están en equilibrio. Relegando los detalles al apéndice D, presentamos aquí Ios resultados Una rigurosa teoría cinética de gases monoatómicos a baja densidad h e desarrollada a principios de siglo xx por Chapman en Inglaterra y de manera independiente por Enskog en Suecia. La teoría de Chapman-Enskog proporciona expresiones para las propiedades de transporte en términos de la energla pofencial intmolecular q(r), donde r es la distancia entre un par de moléculas que están experimentando una colisión. Así, la fuerza intermolecular está dada por F(r) = - d p / d r . La forma funcional exacta de
Sydney Chapman (1888-1970) ensefió en el Imperial CoIlege en Londres, y después de eso trabajó en el. High Altitude Observatory en Boulder, Colorado; además de su trabajo seminal sobre teoría cinética de los gases, contribuyó a la teoría cinética de plasmas y a la teoría de flamas y detonaciones. David Enskog (1884-1947) es famoso por su trabajo sobre teorías cineticas de gases a baja y alta densidad. La referencia estándar para la teoría cinética de gases diluidos de Chapman-Enskog es S. Chapman y T.G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-UniJorm Gases, Cambridge University Press, 3a. editi6n (1970); las pp. 407-409 proporcionan un resumen histórico de la teoría cinética. Véase también D. Enskog, Inaugural Dissertation, Uppsala (1917).Además, J.H.Ferziger y H.G. Kaper, Mathematical Tkeory of Transport Processes in Gases, North-Holiand, Amsterdam (1972), es un informe bastante legible de la teoría molecular. La extensión de Curtiss-Hirschfeldes de la teoría de Chapman-Enskog a mezclas de gases con varios componentes, así como el desarrollo de tablas útiles para cómputos, pueden encontrarse en J.O. Hirschfelder, C.F. Curtiss y R.B. Bird, Moieculor Tkeory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York, 2a. reimpresión corregida (1964). Véase también C.F.Curtiss, J. Ckem. Pkys., 49,2917-2929 (1968), así como las referencias proporcionadas en el apéndice E. Joseph Oakland fIvschfelder (1911-1990), director fundador del Instituto de Química Teórica de la Universidad de Wisconsin, especialista en fuerzas intermoleculares y aplicaciones de la teoría cinética. C.F. Curtiss y 1.0. Hirschfelder, J. C h m . Phys., 17,550-555(1949). J.E. (Lennard-Jones),Proc. Roy. Soc., A106,441-462,463-477 (1924).Véase también R.J. Siibey y R. A. Alberty, Physiml Ckemisfry,Wley,2a. edición (2001), §§11.10, 16.14 y 17.9;y R.S. Berry,S.A. Rice y J. Ross, Physical Chemisty, Oxford Universiiy Precs, 2a. edición (2000),S10.2.
28 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento ~ ( r A) I
I
Las moléculas se repelen entre sí a/> separaciones r < r,,,
= := I I I I 1 I
Las moléculas se atraen entre sí a separaciones r>rm
Cuando r = k,1 ~pI ha caído hasta
menos de 0.01 E
-
r
Figura 1.4-3 Función de energía potencial cp(r}que describe la interacción de dos moléculas esféricas no polares. El potencial de Lennard-Jones(6-121, dado por la ecuación 14-10,es una de las muchas ecuaciones empíricas propuestas para ajustar esta curva. Para r < r,, las moléculas se repelen enhe sí, mientras que para r > r,, las moléculas se atraen entre sí.
donde u es un diámetro caracteristico de las moléculas, a menudo denominado diámetro de colisidn, y E es una energía característica, en realidad la máxima energía de atracción entre un par de moléculas. Esta función, que se muestra en la figura 1.4-3, presenta los rasgos caracteristicos de las fuerzas intermoleculares: atracciones débiles a separaciones grandes y repulsiones fuertes a separaciones pequeñas. Se conocen valores de los parámetros cr y E para muchas sustancias; en la tabla E.l se proporciona una lista parcial; para una lista más extensa consultar otras fuente^.^ Cuando se desconocen u y E, es posible estimarlas a partir de las propiedades del fluido en el punto crítico (c) del líquido en el punto de ebullición normal (b), o del sólido en el punto de fusión (m)por medio de las siguientes relaciones empíricad E / K = 0.77Tc
a = 0.841
vb/3
o bien
a = 2 . 4 4 ( ~ , / ~ , ) ~ / (1.4-lla, ~ b, c)
Aquí E / Ky T están en K , a está en angstroms (1 A = 10-lo m), V está en cm3/g-m01 y pc está en atmósferas. La viscosidad de un gas monoatómico puro de peso molecuiar M puede escribirse en términos de los parámetros de Lennard-Jonescomo
p=--
5
JmnKT
16
?rcT2n
o bien p = 2.6693 x 10- 5 m
02n
(1 -4-14)
En la segunda forma de esta ecuación, si T [=lK y a [=]A, entonces ,u [=] g/crn - s. La cantidad adimensional flp es una función de variación lenta de la temperatura adimensional K T / E ,del orden de magnitud de la unidad, dada en la tabla E.2. Se denomina "integral de colisión para la viscosidad", ya que explica los detalles de las trayectorias que siguen las moléculas durante una colisión binaria. Si el gas estuviera compuesto por esferas rígidas de diámetro u (en vez de por moléculas reales con fuerzas de atracción y repulsión), entonces fiF sena exactamente igual a la unidad. Por tanto, la función puede interpretarse como si describiese la desviación respecto al comportamiento de las esferas rígidas. Aunque Ia ecuación 1.4-14es un resultado de la teoría cinética de los gases monoatómicos, se ha descubierto que también es extraordinariamente buena para los gases poliatómicos. La razón de esto es que, en la ecuación de conservación de can-
51.4 Teoría molecular de la viscosidad de gases a baja densidad 29
tidad de movimiento para una colisión entre moléculas poliatómicas, las coordenadas del centro de masa son más importantes que las coordenadas internas [véase 50.3bI. La dependencia respecto a la temperatura predicha mediante la ecuación 1.4-14 concuelda bien con la que se encontró a partir de la línea a baja densidad en la correlación empírica de la figura 1.3-1. La viscosidad de los gases a baja densidad aumenta con la temperatura, aproximadamente como de la potencia 0.6 a la 1.0 de la temperatura absoluta, y es independiente de la presión. Para calcular la viscosidad de una mezcla de gases puede usarse la extensión para varios componentes de ia teoría de Chapman-Ensk~g.~(~ De manera alternativa, es posible usar la siguiente fórmula empírica bastante satisfactoria:'
donde las cantidades adimensionales
son
Aquí N es el número de especies químicas en la mezcla, x, es la fracción molar de la especie a, p, es la viscosidad de la especie pura a a la temperatura y presión del sistema, y M, es el peso molecular de la especie a. Se ha demostrado que Ia ecuación 1.4-16 reproduce valores medidos de las viscosidades de mezclas dentro de una desviación media aproximada de 2%. La dependencia de la viscosidad de la mezcla respecto a la composición es extremadamente no lineal para algunas mezclas, en especial aquellas de gases ligeros y pesados (véase el problema 1A.2). Para resumir, las ecuaciones 1.4-14, 1.4-15 y 1.4-16 son fórmulas útiles para calcular viscosidades de gases no poIares y de mezclas de gases a baja densidad a partir de valores tabulados de los parámetros a y E / K de la fuerza intermolecular. No proporcionan resultados confiables para gases que constan de moléculas polares o bastante alargadas debido a los campos de fuerza dependientes del ángulo que existe entre esas moléculas. Para vapores polares, como H20, NH,, CH,OH y NOCl, una modificación dependiente del ángulo de la ecuación 1.4-10 ha dado buenos res u l t a d o ~Para . ~ los gases ligeros Hg y He por debajo de aproximadamente 100 K, es necesario tener en cuenta los efectos c ~ á n t i c o s . ~ Hay disponibles muchos empirismos adicionales para estimar viscosidades de gases y mezclas de gases. Una referencia estándar es la de Reid, Prausnitz y I'oling.10
Calcular la viscosidad del C 0 2 a 200,300 y 800 K y 1 atm. Cálculo de la viscosidad de un gas puro a baja densidad 7C.R. Wilke, J. Chem. Phys., 18,517-519 (1950);véase también J.W. Buddenberg y C.R. Wilke, Ind. Eng. C h m . , 41, 1345-1347 (1949). E.A. Mason y L. Monchick,J. Chem. Phys., 35,1676-1697 (1961) y 36,1622-1639,2746-2757 (1962). 1.0 Wschfelder, C.E Curtiss y R.B. Bird, op. cit., capítulo 10; H.T. Wood y C.F. Curtiss, J . Chem. Phys., 41, 11671173 (1964); R.J. Munn, EJ. Smith y E.A. Mason, J. C h m . Phys., 42,537-539 (1965); S. Imam-Rahajoe, C.F.Curtiss y R.B. Bernstein, J. Chem.Phys., 42,530-536 (1965). 'O R.C. Reid, J.M. Prausnitz y B.E. Poiing, The Properties of Gases and Liquids, MGraw-HiIi, Nueva York, 4a. edición (1987).
30
Capitulo 1 Viscosidad y mecaiiismos del transporte de cantidad de movimiento
Usar la ecuación 1.4-14.A partir de la tabla E.1 se encuentra que los par6metros de LennardJones para el COZson E / K = 190 K y a = 3.996 A. El peso molecular del CO, es 44.01. Al sustit~iir :?, y u en la ecuación 1.4-14 se obtiene
donde p
[=l g/cm - S y T [=] K. Los cáIcu1os restantes pueden presentarse en una tabla. Viscosidad (g/ cm . S)
T(K)
%
KTIE
.\/T
Predicha
Observadal'
Para efectos de comparación, en la última columna se muestran datos experimentales. La buena concordai-iciaera de esperarse, ya que los parámetros de Lennard-Jones de la tabla E. 1 se obtuvieron a partir de datos de viscosidad.
Predicción de la viscosidad de una mezcla de gases a baja densidad
Calcular la viscosidad de la siguiente mezcla de gases a 1 atm y 293 K a partir de los datos proporcionados sobre las componentes puras a las mismas presión y temperatura: .
f
-9
Especie a 1. COZ 2. O2
Fracción molar, x, 0.133 0.039
Viscosidad, p, Peso molecular, M , (g/ cm . S) 44.01 32.00
* q c f
1;
1462 x 10-7 2031 X 10-7
Usar las ecuaciones 1.4-16 y 1.4-15 (en ese orden). Los cálculos pueden sistematizarse en forma tabular; así:
11 H.L. Johnstnn
y K.E. McCloskey, J. Phys. Chem., 44,1038-1058 (1940).
i
91.5 Teoría molecular de la viscosidad de líquidos 31 Así, la ecuación 1.4-15 p r o p o r c i o n a
g/cm . s.
E1 valor o b s e ~ a d oes ' ~ 1793 X
Kirkwood y colaboradores desarrollaron una rigurosa teoría cinética de las propieSin embargo, esta teoría no condudades de transporte de líquidos mon~atómicos.~ ce a resultados fáciles de usar. Una teoría más antigua, desarrollada por ~ ~ r i yn g ~ colaboradores, aunque menos bien fundamentada teóricamente, proporciona una descripción cualitativa del mecanismo de transporte de cantidad de movimiento en líquidos y permite una estimación gruesa de la viscosidad a partir de otras propiedades físicas. Analicemos brevemente esta teoría. En un líquido puro en reposo, las moléculas individuales están constantemente en movimiento. Sin embargo, debido a su estrecha cercanía, el movimiento está bastante restringido a una vibración de cada molécula dentro de una "caja" formada por sus vecinos más próximos. Esta caja se representa por medio de una barrera de energía de altura A GA/Ñ, donde A es la energía libre de activación molar para escapar de la caja en el fluido estacionario (véase la figura 1.5-1).Según Eyring, un 1í/Sitio vacante o "hueco" en la retícula Capa C Capa
B
'60
b
-
W
-
-
En el fluido en poso
-
En el fluidobajo esfuerzo 7yx X
Figura 1.5-1 Ilustración de un proceso de escape en e1 flujo de un líquido. La molécula 1 debe pasar a través de un "cuello de botella" para alcanzar un sitio vacante.
y L. Zipperer, Gas-und Wasserfoch, 79,49-54,69-73 (1936). J.H.lMng y J.G. Kirkwood, J. Chem. Phys., 18,817-823(1950); R.J Bearman y J.G. Kirkwood, 1. Cheni. Phys., 28, 136-146 (1958). Para publicaciones adicionales, véase John Gamble Kirkwood, Collected Works, Gordon and Breach, Nueva York (1967). John Gamble Kirkwood (1907-1959) contribuyó mucho a la teoría cinética de 10s líquidos, ~ r o ~ i e d a ddees soluciones d e polúneros, teoría de electrólitos y termodinámica de procesos irreversibles. S. Giasstone, K.J.Laidler y H Eyring, Theory of Rate Processrs, McCraw-Hill, Nueva York (19411, capítulo 9; H. Eyring, D. Henderson, B.J. Ctover y E.M. Eyríng, Statisticnl Mechanics, Wiley, Nueva York (19641, capitulo 16. Véase tambih R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physicul Chonistry, Wey, 3a. edición (2001), 520.1; y R.S. Beny, S.A. Rice y J. Ross, Physical Chernisfry, Oxford University Press, 2a. edición (2000), capitulo 29. Henry Eyring (1901-1981) desarrolló teorías para las propiedades de transporte basándose en modelos físicos simples; también desarrolló la teoría de las veloQdades de &acción absolutas 1 2 ~ Herning .
32
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
quido en reposo experimenta continuamente reordenamientos, en los que una molécula a la vez escapa de su "caja" hacia un "hueco" adyacente, y que entonces las moléculas se mueven en cada una de las direcciones de coordenadas en saltos de longitud a a una frecuencia v por molécula. La frecuencia está dada por la ecuación de velocidad
KT (1.5-1) / RT) h Donde K y h son las constantes de Boltzmann y Planck, respectivamente, fl es el número de Avogadro y R = ÑK es la constante del gas (véase el apéndice F). En un fluido que circula en la dirección x con un gradiente de velocidad dv,/dy, la frecuencia de los reordenamientos moleculares aumenta. El efecto puede explicarse al considerar la barrera de energía potencial como distorsionada bajo el esfuerzo aplicado T ~ ,(véase la figura 1.5-11, de modo que Y
= -exp(-~GJ
~ ~ es una aproximación donde Ves el volumen de un m01 de líquido, y t ( a / o ) ( V/2) al trabajo realizado sobre las molécuIas a medida que se mueven hacia la parte superior de la barrera de energía, moviéndose con el esfuerzo cortante aplicado (signo positivo) o contra el esfuerzo cortante aplicado (signo negativo). Ahora definimos u+ como la frecuencia de saltos hacia adelante y u- como la frecuencia de saltos hacia atrás. Entonces, a partir de las ecuaciones 1.5-1 y 1.5-2 se encuentra que
KT
v , = -exp(-aC; h
/ RT) exp(+ar,v / Z S R T )
(1-5-3)
La velocidad neta con que las moléculas en la capa A se deslizan por encima de las que están en la capa B (figura 1.5-1)es justamente la distancia recorrida por salto (a) multiplicada por la frecuencia neta de saltos adelante (u, - u-); esto proporciona
El perfil de velocidad puede considerarse como lineal sobre la muy pequeña distancia S que hay entre las capas A y B, de modo que
Al combinar las ecuaciones 1.5-3 y 1.5-5, finalmente se obtiene
Lo anterior predice una relación no lineal entre el esfuerzo cortante (densidad de flujo de cantidad de movimiento) y el gradiente de velocidad; es decir, flujo no newtoniano. Este comportamiento no lineal se analiza con más detalle en el capítulo 8.
51.5 Teoría molecular de la viscosidad de iíquidos
33
Sin embargo, la situación general es que a7 .I'/~sRT << 1. Entonces puede usarse la serie de Taylor (véase 5C.2) senh x = x + (!/3!)x3 + (1 / 5 ! ) x 5 + -.-y quedarse con un solo término. Así, la ecuación 1.5-6 es de la forma de la ecuación 1.1-2, con la viscosidad dada por
El factor S / a puede tomarse como la unidad; esta simplificación no implica pérdida de precisión, ya que AG; suele determinarse empíricamente para hacer que la ecuación coincida con datos experimentales de viscosidad. Se ha encontrado que las energías libres de activación, AG;, determinadas al ajustar la ecuación 1.5-7 a datos experimentales de viscosidad contra temperatura, son casi constantes para un fluido dado y están relacionadas simplemente con la energía interna de vaporización en el punto de ebullición normal, como sigue:3
Al usar este empirismo y hacer S/a = 1, la ecuación 1.5-7 se convierte en
La energía de vaporización en el punto de ebullición normal puede estimarse aproximadamente a partir de la regla de Trouton
Con esta aproximación adicional, la ecuación 1.5-9 se transforma en
Las ecuaciones 1.5-9 y 1.5-11 coinciden con el largo tiempo usado y aparentemente exitoso empirismop = A exp(B/'D. La teoría, a pesar de ser sólo de naturaleza apioximada, proporciona la disminución observada de la viscosidad respecto a la temperatura, pero cuando se usan las ecuaciones 1.5-9 y 1.5-11 es común encontrar errores hasta de 30%. Dichas ecuaciones no deben usarse para moléculas delgadas muy largas, como n-C,,H,,. Además, hay disponibles muchas fórmulas empíricas para predecir la viscosidad de Iíquidos y mezclas de líquidos. Para conocer esas fórmulas es necesario consultar libros de texto de fisicoquímica e ingeniería química.4
EJEMPLO 1.5-1
"3
i
Estimar Ia viscosidad del benceno liquido, C6HQa 20°C (293.2 K).
Estimación de la viscosidad de un líquido
puro J.EKincaid, H. Eyring y A.E. Stearn, &m. R m . , 28,301-365 (1941). Véase, por ejemplo, 1.R. Partington, Treatise on Phycicnl Chemistry, Longmans, Green (1949);o R.C.Reid, J.M. Prausnitz y B.E. Poling, The Progerties of &es m d liquids, McGraw-HiU, Nueva York, 4a. edición (1987).Véase también P.A. Egelctaff, An Intruducfion fo the LGuid Stnte, Oxford University Press, 2a. edición (1944),capitulo 13; y J.P. Hansen e 1.R McDonald, Theoy of Simple Liquids, Academic Press, Londres (1986), capitulo 8.
34 Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Se usa la ecuación 1.5-11 con la siguiente información:
Debido a que esta información está en unidades cgs, los valores del número de Avogadro y la constante de Manck se usan en el mismo conjunto de unidades. Al sustituir en la ecuación 1.5-11se obtiene: (6.023
P
=
x 1 0 ~ ~ ) ( 6 . 6 2X4I O - ' ~ ) (89.0)
e x p r . 8 x (273.2
+80.1)
293.2
= 4 . 5 ~ 1 0 - ~ ~ / c mo -bien s 4 . 5 x 1 0 - ~ ~ ao- sbien 0.45mPa-S
91.6" VISCOSIDAD DE SUSPENSIONES Y DE EMULSIONES
Hasta ahora hemos estado analizando fluidos que constan de una fase homogénea simple. Ahora nos enfocaremos brevemente en los sistemas de dos fases. La descripción completa de tales sistemas es, por supuesto, bastante compleja, aunque a menudo es útil sustituir la suspensión o la emulsión por un sistema hipotético de una fase, que luego se describe por medio de la ley de viscosidad de Newton (ecuaciones 1.1-2o 1.2-7) con dos modificaciones: i) la viscosidad p se reemplaza por una viscosidad efectiva ,uef,y ii) los componentes de velocidad y esfuerzo vuelven a definirse entonces (sin cambio de símbolo) como las cantidades análogas promediadas sobre un volumen grande respecto a las distancias entre partículas y pequeño respecto a las dimensiones del sistema de flujo. Este tipo de teoría es satisfactorio en la medida en que el flujo implicado sea estacionario; en flujos dependientes respecto al tiempo, se ha demostrado que la ley de viscosidad de Newton es inadecuada y los sistemas de dos fases deben considerarse como materiales viscoelásticos.' La primera contribución especializada a la teoría de la viscosidad de suspensiones de esferas fue proporcionada por Einstein? quien consideró una suspensión de esferas rigidas tan diluidas que el movimiento de una esfera no afecta el flujo del fluido en la vecindad de cualquier otra esfera. Entonces es suficiente analizar sólo el mo-
'
Para suspeiisiones diluidas de esferas rígidas, el comportamiento lineal viscoelástico ha sido estudiado por H. Frohlich y R. Sack, Proc. Roy. Soc., A185,415-430 (19461, y para emulsiones diluidas, la deducción análoga ha sido proporcionada por J.G. Oldroyd, Proc. Roy. Soc., A218, 122-132 (1953). En estas dos publicaciones, el fluido se describe mediante el modelo de Jeffreys(véase la ecuación 8.4-4) y los autores encontraron las relaciones enhe los tres parámehos en el modelo d e Jeffreys y las constantes que describen la estructura del sistema de dos fases (la fracción de volumen de material suspendido y las viscosidades de las dos fases). Para comentarios adicionales concernientes a suspensiones y reologfa, v6ase R.B.Bird y J.M. Wiest, capítulo 3 del Haiidbook of Fluid Dynamics and Fluid Machinery, ].A. Cchetz y A.E. Fuhs (compiladores), Wiley, Nueva York (1996). Albert Einstein (1879-1955) recibió el premio Nobel por su explicación del efecto fotoelkchico, no por su desarrollo de la teoría especial d e la relatividad. Su trabajo seminal sobre suspensiones apareciii en A. Einstein, Ann. Phys. (Lglpz~g),19,289-306 (1906); errata, ibíd, 24,591-592 (1911).En la publicación original, Einstein cometió un error en la deducción y obtuvo @ en lugar de @. Después de que experimentos confirmaron que esta ecuación no coincidía con los datos experimentales, volvió a calcular el coeficiente. La deducción original d e Einstein es bastante larga; para un d e s m i l o más conciso, véase L.D.Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics. Pergamon Press, Oxford, Za. edición (19871, pp. 73-75. La formufacidn matemática del comportamiento d e fluidos con vanas fases puede encontrarse en D.A. Drew y S.L. Pasman, Theoy of Multicomponent Fluids, Springer, Berlín (1999).
5
51.6 Wscosidad de suspensiones y de emulsiones 35
vimiento del fluido alrededor de una sola esfera, y los efectos de las esferas individuales son aditivos. La ecuación de Eins tein es
donde po es la viscosidad del medio de suspensión, y @ es Ia fracción de volumen de Ias esferas. El resultado precursor de Einstein ha sido modificado de varias maneras, de las cuales a continuación describiremos algunas. Para suspensiones diluidus de partículas de varias formas, la constante debe sustituirse por un coeficiente distinto, dependiendo de la forma particular. Las suspensiones de partículas alargadas o flexibles presentan viscosidad no n e ~ t o n i a n a . ~ Para suspensiones concentradas de esferas (es decir, @ mayor que aproximadamente 0.051, las interacciones de las partículas se vuelven apreciables. Se han desarrollado varias expresiones semiempíricas, de las cuales una de las m6s simples es la ecuación de Mwney7
5
donde @oes una constante empírica cuyo valor varía aproximadamente entre 0.74 y 0.52, y estas cifras corresponden a los valores de $ para empaque más compacto y empaque cúbico, respectivamente. Otro método para suspensiones concentradas de esferas es la "teoría de celdas", donde se analiza la energía de disipación en el "flujo comprimido" entre las esferas. Como ejemplo de este tipo de teoría citamos la enuzcidn de Grahams
en la cual = 2 - # /, donde . ,@ es 1a fracción de volumen correspondiente al empaque más compacto de las esferas determinado experimentalmente. Esta expresibn se simplifica a la ecuación de Einstein para @ -r O y a la ecuación de Frankel-Acrivos9cuando $ + #-. Para suspensiones concentradas de partículas no esféricas, puede usarse la ecuación de ~rieger-~ougherty:lO
Los parámetros A y #nia, a utilizar en esta ecuación se muestran tabulados" en la tabla 1.61para suspensiones de varios materiales.
H.L. Frisch y R. Simha, capítulo 14 de Rheology, Vol. 1 P.R. Eirich, compilador), Academic P m s , Nueva York (19561, Secciones 11 y 111. E.W. Meniii, capihilo 4 de Modem Chemical Enginm.ng, Vol. 1 (A. Acrivos, compilador), Reinhold, Nueva York (19631, p. 165. E.J. Hinch y L.G. Leal, J. Fluid Mech., 52,685712 (1972); 76,187-208 (1976). W.R. Sdiowalter, Mechanics ofNon-Newlonian Fluids, Pergamon, Oxford (1978), capitulo 13. 'M. Mooney, J. Coll. Sci., 6,162-170 (1951). 8A.L.Graham, Appl. Sci. Res.,37,275-286 (1981). N.A. Frankel y A. Acrivos, Chem. Engr. Sci., 22,847-853 (1967). 'O I.M. Krieger y T.J. Doughaty, Tmns. Soc. Rheol., 3, 137-152 (1959). l1 H.A. Barnes, J.F. Hutton y K. Walters, An Introduction to Rheology, Elsevier, Amsterdam (19891, p. 125.
36
Capitulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Tabla 1.6-1 Constantes adimensionales para utilizar en la ecuación 1.ó-4 Sistema Esferas (subrnicras) Esferas (40 pm) Yeso molido Dióxido de titanio Laterita Varilias de vidrio (30 X 700 pm) Láminas de vidrio (100 x 400 pm) Granos de cuarzo (53-76pm) Fibras de vidrio (radio axial7) Fibras de vidrio (radio axial14) Fibras de vidrio (radio axial21)
A
,j,&
Referencia
2.7 3.28 3.25 5.0
0.71 0.61 0.69 0.55 0.35 0.268 0.382 0.371 0.374 0.26 0.233
a b c c c d d d
9.0
9.25 9.87 5.8 3.8 5.03 6.0
b b b
Kruif, E.M.F.van Ievsel, A. Vrij y W.B. Russel, en Viscwlastirity and Rheology (A.S.Lodge, M. Renardy, J.A.Nohel, edc.), Academic Press, Nueva York (1985). b H.Giesekus, en Physical Properties of Foods (J. Jowitt,et al., eds.), Appiied Science Publishers, capitulo 13. R.M. Turian y T.-F. Yuan,AlChE journnl, 23,232-243 (1977). d E. Clarke, Trans. Inst. C h . Eng., 45,251-256 (1966).
a C.G. de
Para suspensiones concentradas se observa un comportamiento no newtoniano, incluso cuando las partículas suspendidas son esféricas.ll Esto significa que la viscosidad depende del gradiente de velocidad y puede ser distinta en flujo cortante a como se presenta en flujo de alargamiento. En consecuencia, ecuaciones como la 1.6-2 deben usarse con cautela. Para emulsiones o suspensiones de gotitas minúsculas, donde el material suspendido puede experimentar circulación interna pero reteniendo su forma esférica, la viscosidad efectiva puede ser mucho menor que la viscosidad de suspensiones de esferas sólidas. La viscosidad de emulsiones diluidas se describe entonces con la ecuación de Taylor:12
donde yl es la viscosidad de la fase dispersa. Sin embargo, debe observarse que contaminantes con actividad superficial, a menudo presentes incluso en líquidos purificados, pueden detener efectivamente la circulación interna;13 así, las gotitas se comportan como esferas rígidas.
l2 G.I. Taylor, Proc. Roy. Soc., AX38,41-48(1932). G e o f h y lngram Taylor (1886-1975) es famoso por la dispersión de Taylor, los vórtices de Taylor y su trabajo sobre la teoría estadística de la turbulencia; abordó muchos problemas com~lejosen formas ingeniosas en las que utilizó al máximo los procesos físicos implicados. V.G. Levich, Physicochemical Hydrodymmics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1%2), capitulo 8. Veniamin Grigorevich Levich (1917-19871, físico y e l ~ u ú n i c orealizó , muchas contribuciones a la solución de problemas importantes en difusión y transferencia de materia.
51.7
Transporte de cantidad de movimiento convectivo 37
Para suspensiones diluidas de esferas cargadas, la ecuación 1.6-1 puede reemplazarse por la ecuación de Srnoluchoui~ki~~
en la que D es la constante dieléctrica del fluido en suspensión, k, es la conductividad eléctrica específica de la suspensión, 5 es el potencial electrocinético de las partículas y R es el radio de la partícula. La presencia de cargas superficiales en suspensiones estables no es poco común. Otras fuerzas superficiales, menos bien comprendidas, también son importantes y frecuentemente provocan que las partículas formen agregados disperso^.^ Una vez más, aquí se encuentra un comportamiento no newtoniano.15
$1.7 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CONVECTIVO Hasta ahora hemos analizado el transporte de cantidad de movimiento molecular, lo cual condujo a un conjunto de cantidades vli'que proporcionan la densidad de flujo de cantidad de movimiento j a través de una superficie perpendicular a la dirección i. Luego relacionamos los mil con los gradientes de velocidad y la presión, y encontramos que esta relación implicaba dos parámetros materiales p y K . En 51.4 y 51.5 vimos cómo surge la viscosidad a partir de la consideración del movimiento aleatorio de las moléculas en el fluido; es decir, el movimiento molecular aleatorio respecto al movimiento volumétrico (global) del fluido. Además, en el problema 1C.3 se demuestra cómo se origina la contribución de la presión a T , a~partir de los movimientos moleculares aleatorios. La cantidad de movimiento puede, además, transportarse por medio del flujo volumétrico del fluido, y este proceso se denomina transporte convectivo. Para analizarlo utilizamos la figura 1.7-1 y centramos nuestra atención en una región de forma cúbica en el espacio a través de la cual circula el fluido. En el centro del cubo (ubicado en x, y, z ) el vector de velocidad del fluido es v. Así como hicimos en g1.2, consideramos tres planos mutuamente perpendiculares (los planos sornbreados) que pasan por el punto x, y, 2, y preguntamos cuánta cantidad de movimiento pasa a través de cada uno de ellos. Se considera que cada pIano es de área unitaria. El caudal volumétrico a través del área unitaria sombreada en (a) es v,. Este fluido lleva consigo una cantidad de movimiento pv por volumen unitario. Por tanto, la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través del área sombreada es v,pv; nótese que ésta es la densidad de flujo de cantidad de movimiento desde la región de menor x hacia la región de mayor x. De manera semejante, la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través del área sombreada en (b) es vypv, y la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través de1 área sombreada en (c) es u,pv. Estos tres vectores (pv,v, pvyv y pvzv) describen la densidad de flujo de cantidad de movimiento a través de las tres áreas perpendiculares a los ejes respectivos. Cada uno de estos vectores tiene una componente x-, y- y z-. Estas componentes pueden disponerse como se muestra en la tabla 1.7-1. La cantidad pv,uy es la densi-
M. von Smoluchowski, Kolloid Zeits., 18, 190-195 (1916). W.B. Russel, The Dynamics ofColloida1 Systms, U . of Wisconsin Press, Madison (1987), capitulo 4; W.B.Russel, D.A. Saville y W.R. Schowalter, Colloidal Dispersions, Cambridge University Prms (1989); R.G.Larson, Tlie Ctructurc. attd Rheology of Complm Fluids, Oxford University Press (1998). l4 l5
38
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Figura 1.7-1 Las densidades de flujo de cantidad de movimiento convectivo a través de planos de área unitaria perpendiculares a las direcciones de coordenadas.
dad de flujo convectivo de cantidad de niovimierito en la dirección y a través de una superficie perpendicular a la dirección x. Esto debe compararse con la cantidad Try ' que es la densidad de flujo molecular de cantidad de movimiento en la dirección y a través de una superficie perpendicular a la dirección x. La convención de signos para ambos modos de transporte es la misma. La colección de nueve componentes escalares proporcionadas en la tabla 1.7-1 puede representarse como
Debjdo a que cada componente d e p w tiene dos subíndices, cada uno asociado con una dirección de coordenadas, p w es un tensor (de segundo orden); se denomina
Tabla 1.7-1 Resumen de las componentes de la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo Dirección normal a la cara sombreada
Densidad de flujo de cantidad de movimiento a través de la cara sombreada
Componentes de flujo de cantidad de movimiento convectivo Componente x
Componente y
Componente z
51.? Transporte de cantidad de movimiento convectivo 39
tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo. La tabla 1.7-1 para las componentes del tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo debe compararse con la tabla 1.2-1 para las componentes del tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular. A continuación preguntamos cuál debe ser la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo a través de un elemento de superficie cuya orientación esta dada por un vector normal unitario n (véase Ia figura 1.7-2). Si un fluido fluye a través de la superficie dS con una velocidad v, entonces el caudal volumétrico a través de ia superficie, desde el lado negativo hacia el lado positivo, es (n v)dS. Por tanto, el caudal de cantidad de movimiento a través de la superficie es (n - v ) p v d S , y la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo es (n . v ) p v . Según las reglas para la notación vector-tensor proporcionadas en el apéndice A, lo anterior también puede escribirse como [n pwl; es decir, el producto punto del vector normal unitario n con el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivopw. Si dejamos que n sea sucesivamente los vectores unitarios que apuntan en Ias direcciones x, y, z (es decir, a,, ay y a,), obtenemos las entradas de la segunda columna en la tabla 1.7-1. De manera semejante, la densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular total a través de una superficiede orientación n está dada por [n . m1 = p n + [n - TI. Se entiende que ésta es la densidad de flujo desde el lado negativo hacia el lado positivo de la superficie. Esta cantidad también puede interpretarse como la fuerza por área unitaria ejercida por el material negativo sobre el material positivo a través de la superficie. En el problema 1D.2 se proporciona una interpretación geométrica de [n rl. En 51.2 de este capítulo definimos el transporte de cantidad de movimiento molecular, y en esta sección hemos descrito el transporte de cantidad de movimiento convectivo. Al estabIecer 10s balances de envoltura de cantidad de movimiento en el capítulo 2 y el balance general de cantidad de movimiento en el capítulo 3, encontraremos útil definir la densidad de flujo de cantidad de movimiento combinado, que es la suma de la densidad de flup de cantidad de movimiento molecular y la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo:
Debe recordarse que la contribución p8 no contiene velocidad, sólo la presión; la combinación p w contiene la densidad y productos de las componentes de la velocidad; y la contribución T contiene la viscosidad y, para un fluido newtoniano, es 1ineal en los gradientes de velocidad. Todas estas cantidades son tensores de segundo orden. La mayor parte del tiempo trataremos con componentes de estas cantidades. Por ejemplo, Ias componentes de son
+
x
Figura 1.7-2 La densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo a través de un plano de orientación arbitraria n es (n . v)pv = [n . pvv).
40
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
Tabla 1.7.-2 Resumen de la notación para densidades de flujo de cantidad de movimiento Símbolo
Significado
PW T qr t$
= p6 + T = ++w
Temor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo Tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento viscosoa Tensor de flujo de cantidad de movimiento moleculaP Tensor de flujo de cantidad de movimiento combinado
Referencia Tabla 1.7-1 Tabla 1.2-1 Tabla 1.2-1 Ecuación 1.7-2
Para fluidos viscoelásticos (veaseel capítulo 8). éste debe denominarse tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento viscoet6stico o tensor de esfierzo viscoelástico. b Éste puede referirse como tensor de esfuerzo molecular.
a
y así sucesivamente, en forma paralela a las entradas de las tablas 1.2-1 y 1.7-1. La cuestión importante por recordar es que XY
= densidad de flujo combinado de cantidad de movimiento en la dirección y que pasa a través de una superficie perpendicular a la dirección x por mecanismos
molecuhres y convectivos.
El segundo índice proporciona la componente de cantidad de movimiento que se está transportando y el primer índice da la dirección de transporte. Los diversos símbolos y nornencIatura que se usan para densidades de fldjo de cantidad de movimiento se muestran en la tabla 2.7-2. Para todas las densidades de fiujo se utiliza la misma convención de signos.
Comparar la ley de viscosidad de Newton y la ley de elasticidad de Hooke. ¿Cual es el origen de estas "leyes"? Verificar que "cantidad de movimiento por área unitaria por tiempo unitario" tiene las mismas unidades que "fuerza por área unitaria". Comparar y contrastar los mecanismos molecular y convectivo para el transporte de cantidad de movimiento. iCuáles son los significados físicos de los parámetros de Lennard-Jones y cómo pueden determinarse a partir de datos de viscosidad? ¿La determinación es única? ¿Cómo dependen las viscosidades de los líquidos y de los gases a baja densidad de la temperatura y la presión? El potencial de Lennard-Jones depende sólo de la separación intermolecular. ¿Para qué tipos de moléculas podría esperarse que este tipo de potencial sea inapropiado? Bosquejar la función de energía potencial
Problemas 41
11. ¿Qué conceptos básicos se utilizan al pasar de la ley de viscosidad de Newton en la ecuación 1.1-2 a la generalización en la ecuación 1.2-6? 12. ¿Qué obras de referencia pueden consultarse para encontrar más información acerca de la teoría cinktica de los gases y los líquidos, y también para obtener empirismos útiles para calcular Ia viscosidad?
PROBLEMAS
@ Estimarión de la viscosidad de un gas denso. Estimar la viscosidad del nitrógeno a 68°F y 1000 psig por medio de la figura 1.3-1, usando la viscosidad crítica de la tabla E.1. Proporcionar el resultado en unidades de lb,/pie - s. para el significado de "psig", consulte la tabla F.3-2.
Respuesta: 1.4 X
lb,/pie
. s.
zvc 67 q
m .
l k 2 Estimación de la viscosidad del fluonuo de metilo. Usar la figura 1.3-1para encontrar la viscosidad en Pa . s del CH3F a 370°C y 120 atm. Usar los valores siguientes1 para las constantes criticas: T, = 4.5S°C,p, = 58.0 atm, p, = 0.300 g/cm3. 1A.3 Cálculo de las viscosidades de gases a baja densidad. Pronosticar las viscosidades del oxígeno, nitrógeno y metano moleculares a 20°C y presión atmosférica, y expresar los resultados en d a . s. Comparar los resultados con datos experimentales proporcionados en este capítulo.
Respuestas: 0.0202,0.0172,0.0107 d a . s. l k 4 Viscosidades de mezclas de gases a baja densidad.
- Disponer de los datos siguientes2para b s viscosidades de
Estimación de la viscosidad líquida. Estimar la visde agua líquida saturada a_O0Cy a 100°C por medio de a) la ecuación 1.5-9, con AUWp = 897.5 Btu/lb, a 10O0C,y b) la ecuaci6n 1.5-11. Comparar los resultados con los valores de la tabla 1.1-2. C Y le ~ & c fi ,_ks-:. '"'S
Respuesta: b) 4.0 cp, 0.95 cp
q
1A.7 Velocidad molecular y trayectoria libre media. Calcu r la velocidad molecular media U (en crnjs) y la trayectoria libre media h (en cm) para el oxígeno a 1 atm y 273.2 K. Un valor razonable para d es 3 A. iCu61 es la razón de la payectoria libre media al diametro molecular bajo estas condiciones? ¿Cuál sería el orden de magnitud de la razón correspondiente en el estado líquido?
Respuestas: ii = 4.25 x
lo4 cm/s, A = 9.3 x
cm
I
Perfiles de velocidad y las componentes de esfuer-
lB.l
zo vi.. Para cada una de las siguientes distribuciones de ve-
locidad, hacer un bosquejo que tenga sentido y que muestre el patrón de flujo. Después encontrar todas las componentes de r y p w para el fluido newtoniano. El parámetro b es una constante.
mezclas de hidrógeno y Freón-12 (diclorodifiuorometano~ a) U, = by, v = O, v, = O a 25°C y 1 atm: Y b) v, = by, uY = bx, v, = O c)v,= -by,v Y =bx,v-,=O Fracción molar de H2: 0.w 0.25 0.50 0.75 1.00 p x lo6 (poise): 124.0 128.1 131.9 135.1 88.4 d) U, = - :bx, y = - :by, u, = bz Usar las viscosidades de las componentes puras para calcular las viscosidades a las tres composiciones intermedias por medio de las ecuaciones 1.4-15 y 1.4-16.
Respuesta muestra: A 0.5, p
= 0.01317 cp
lA.5 Viscosidades de mezclas cloro-aire a baja densidad, Pronosticar las viscosidades (en cp) de mezclas cloroaire a 75°F y 1 atm, para las siguientes fracciones molares de cloro: 0.00, 0.25,0.50,0.75,1.00. Considerar el aire como una componente simple y use las ecuaciones 1.4-14 a 1.4-16.
Respuestas: 0.0183,0.0164,0.0150,0.0139,0.0130
cp
18.2 Un fluido en estado de rotaci6n rígida. a) Comprobar que la distribución de velocidad (c) en el problema 1B.1 describe un fluido en un estado de rotaci6n pura; es decir, que el fluido está girando como un cuerpo rígido. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación? b) Para ese patrón de flujo, evaluar las combinaciones simétricas y antísimétricas de las derivadas de la velocidad:
Comentar los resultados del inciso b) en relación con el desarrollo en 51.2. C)
-
1B.3 Viscosidad de suspensiones. Los datos de Vand" para suspensiones de pequeñas esferas de vidrio en solu-
'
K.A. Kobe y R.E.Lynn, Jr., Chem. Revs. 52, 117-236 (1953),véase pág. 202. , * J.W. Buddenberg y C.R.Wiike, Ind. Eng. Chem.41,1345-1347(1949).
".
Vand, J. Phys. Colloid Chem., 52,277-299,300-314,314-321(1948)
42
Capítulo 1 Viscosidad y mecanismos del transporte de cantidad de movimiento
ciones de glicerol acuosas de ZnI, pueden representarse hasta aproximadamente 4 = 0.5 mediante la expresión semiempírica
Comparar este resultado con la ecuación 1.62.
Respuesta: la ecuación de Mooney proporciona un buen ajuste de los datos de Vand si a $o se le asigna el muy razonable valor de 0.70.
1C.2 Frecuencia de colisiones con la pared. Se quiere encontrar la frecuencia Z con que las moléculas de un gas ideal golpean un área unitaria de una pared, solamente en un lado. El gas esta en reposo y en equilibrio con una temperatura T y el número de densidad de las moléculas es n. Todas las moléculas tienen masa m. Todas las moléculas en la región x < O con u, > O golpearán un área S en el plano yz en un tiempo corto At si están en el volumen Su$. El número de colisiones contra la pared por área unitaria por tiempo unitario ser5
1C.1 Algunas consecuencias de la dietribuci6n de Maxwell-Boltzmann. En la teoría cinética simplificada en 51.4, se hicieron varias afirmaciones sin demostrar conceniientes al comportamiento de un gas en equilibrio. En este problema y en el siguiente se muestra que algunas de esas afirma'ciones son consecuencias exactas de la distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann. La dis+ribuci6nde Maxwell-Boltzmann de velocidades molenilares en un gas ideal en reposo es donde u es la velocidad molecular, n es el niimero de densidad y f(u,, u y uJdu$u,fu, es el número de moléculas por volumen unitano del que se espera tenga velocidades entre u, y u, + d u , uy y u y + du,,, u, y u, + du,. A partir de esta ecuación se concluye que la distribución de la velocidad molemlar u es
a) Verificar la ecuación 1.4-1 obteniendo la expresión para la velocidad media ü a partir de
b) Obtener los valores medios d e las componentes de la velocidad TI, iiy y üZ.El primero d e estos se obtiene a partir de
Verificar el desarrollo anterior. 1C.3 Presión de un gas ideaL4 Se desea obtener la p r e si6n que un gas ideal ejerce sobre una pared teniendo en cuenta la velocidad de transferencia de cantidad de movimiento de las moléculas a la pared.
a) Cuando una molécula que se desplaza a una velocidad u choca con una pared, las componentes de la velocidad de llegada son u , uy y u,, y después de una reflexión especular en la pared, sus componentes son -u,, uy y u,. Así, la cantidad de movimiento neta transmitida a la pared por Ia mol6cluIa es 2mu,. Las moléculas cuya componente x de la velocidad es igual a u , y que chocarán con la pared durante un breve intervalo de tiempo At, deben estar dentro del volumen Su,At. ¿Cuántas moléculas con componentes de velocidad en el internalo de u,, u ,u, a u, + Au,, uy + Auy, u, + bu, chocarán contra un área h e la pared con una v e locidad u, en un intervalo de tiempo At? El resultado será flux, U ,uZ)du$u#uz por Su,ht. Asf, la presión que ejerce el gas sotre la pared será
¿Qué puede concluirse a partir de los resultados? C)
Obtener la energía cinética media por molécula mediante
Explicar con todo detalle c6mo se obtuvo esta expresión. Verificar que esta relación es dimensionalmente correcta.
b) Inserte la ecuación lC.I-1 para la distribución en equilibrio de Maxwell-Boitzmann en la ecuación lC.3-1 y efectúe
q
El resultado correcto es m 7 = KT.
R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physical Chemistry, Wiley, Nueva York, 3a. edición (20011,pp. 639-640.
Problemas 43 la integración. Verificar que este procedimiento conduce a = n ~ Tla, ley del gas ideal. 1 ~ . 1Rotación uniforme de u n fluido. a) Verificar que la distribución de velocidad en un fluido en estado de rotación pura (es decir, que gira como un cuerpo deido), es v = [w x rl, donde w es la velocidad angular " (una constante) y r es el vector de posición, con componentes x, y, z.
b) LCuálesson Vv + (VvIt y (V-v)para el campo de flujo en el inciso a)?
b) Demostrar que según la tabla 1.2-1, la fuerza por área unitaria sobre AOBC es 6 , + Gy.rr ~ presiones de fuerza semejantes para
+ 6 , ~ , Escriba ex-
XOCAy AOAB.
C) Demostrar que el balance de fuerzas para el elemento de volumen OABC da
= S ~ < n . ~ i ) ( ~ i ~ q )8i=q91 i n . g ~ (1~.2-1) ' 1
donde los índices i, j toman los valores x, y, z. La doble operación suma en la Última expresión es el tensor de esfuerzo u escrito como una suma de productos de díadas unitarias y componentes unitarias.
hterpretar la ecuación 1.2-7 en términos de los resultados del inciso b). c)
1D.2 Fuerza sobre una superficie de orientación arbitrarias (figura 1D.2) Considerar el material dentro de un elemento de volumen OABC que se encuentra en estado de equilibrio, de modo que la suma de las fuerzas que actúan sobre las caras triangulares AOBC, AOCA, AOAB y AABC debe ser cero. Sea dS el área de AABC,y sea e1 vector r, la fuerza por área unitaria que actúa desde el lado negativo hacia el lado positivo de dS. Demostrar que T,I = [n .TI.
a) Demostrar que el área de AOBC es la misma que el área de la proyección AABC sobre el plano yz; esta área es (n . 8JdS. Escriba expresiones similares para las áreas de AOCA y AOAB.
M.Abraham y R. Becker, The Classical Theory of Elechicity and Magnetism, Blackie and Sons, Londres (19521, pp. 44-45.
Figura 1D.2 Elemento de volumen OABC sobre el que se realiza un balance de fuerzas. El vector a, = [n . r]es la fuerza por área unitaria ejercida por el material negativo (material dentro de OABC) sobre el material positivo (material fuera de OABC).El vector n es el vector normal unitario dirigido hacia afuera sobre la cara ABC.
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 2 .
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones límite
g2.2
Flujo de una película descendente
52.3
Flujo a través de un tubo circular
52.4
Flujo a través de un tubo conc~ntrico
52.5
Flujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes
9.6
Flujo reptante alrededor de una esfera
En este capítulo mostraremos cómo obtener los perfiles de velocidad para flujos laminares de fluidos en sistemas de flujo simples. En estas deducciones se utilizan la definición de viscosidad, las expresiones para las densidades de flujo de cantidad de movimiento rnolecular y convectivo, y el concepto de balance de cantidad de movimiento. Una vez que se obtienen los perfiles de velocidad, a continuación es posible obtener otras cantidades como la velocidad máxima, la velocidad media o el esfuerzo cortante en una superficie. A menudo, estas últimas son las cantidades de interés en problemas de ingeniería. En la primera sección se hacen algunas observaciones generales sobre cómo establecer balances diferenciales de cantidad de movimiento. En las secciones que siguen trabajaremos en detalle varios ejemplos clásicos de patrones de flujo viscoso. Estos ejemplos deben comprenderse a fondo, ya que en capítulos posteriores se presentarán frecuentes ocasiones para referirnos a ellos. Aunque estos problemas son más bien simples e implican sistemas ideahados, no por ello dejan de usarse a menudo para resolver problemas prácticos. Los sistemas que se estudian en este capítulo están dispuestos de modo que el lector pueda dominar poco a poco una variedad de factores que se presentan en la solución de problemas de flujo viscoso. En 52.2, el problema de la película descendente ilustra el papel de la fuerza de gravedad y el uso de las coordenadas cartesianas; también muestra cómo resolver el problema cuando la viscosidad puede ser una función de la posición. En 52.3, el flujo en un tubo cilíndrico ilustra el papel de las fuerzas de presión y de gravedad, así como el empleo de las coordenadas cilíndricas; se proporciona una extensión aproximada al flujo compresible. En 52.4, el flujo entre tubos concéntrico, anular, cilíndrico, recalca el papel desempeñado por las condiciones límite. Después, en 52.5, la cuestión de las condiciones Límite se aborda con más detalle en el análisis de1 flujo de dos líquidos adyacentes inmiscibles. Por último, en g2.6 se analiza brevemente el flujo alrededor de una esfera para ilustrar un problema en coordenadas esféricas y también para indicar cómo manipular las fuerzas tanto tangenciales como normales.
Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de vefocidad en flujo laminar
46
1 Fluido que contiene
11
partículas diminutas
Figura 2.0-1 a) Flujo laminar: las capas del fluido se mueven suavemente unas sobre
otras en la dirección del flujo, y b) flujo turbulento: el patrón de flujd es complejo y
dependiente del tiempo, con considerable movimiento perpendicular a la dirección principal de flujo.
1
Los métodos y problemas de este capítulo son válidos sólo para flujo estacionario. Por "estacionario" se entiende que las componentes de presión, densidad y velocidad en cada punto de la corriente no cambian con el tiempo. Las ecuaciones generales para flujo no estacionario se proporcionan en el capitulo 3. Este capitulo sólo se ocupa del flujo laminar, es decir, el flujo ordenado que se observa, por ejemplo, en el flujo por un tubo a velocidades lo suficientementebajas de modo que partículas minúsculas inyectadas en el tubo se mueven siguiendo una 1ínea delgada. Esto contrasta de manera muy clara con el caótico "flujo turbulento" a velocidades suficientemente altas donde las partículas son arrojadas y dispersadas a lo largo de toda la sección transversal del tubo. El flujo turbulento constituye el tema del capítulo 5. Los dibujos que se muestran en la figura 2.0-1 ilustran la diferencia entre los dos regímenes de flujo.
2.1 BALANCES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LA ENVOLTURA Y CONDICIONES LÍMITE
Los problemas que se analizan en los apartados 52.2 a 52.5 se abordan estableciendo balances de cantidad de movimiento sobre una delgada "envoltura" del fluido. Para flujo estacionario, el balance de cantidad de movimiento es velocidad de entrada de cantidad de movimiento por transporte . convectivo '
' velocidad
! I
de salida de cantidad de movimiento por transporte convectivo
.
velocidad de entrada de cantidad de movimiento por transporte . molecular '
' velocidad
de salida de cantidad de movimiento por transporte . molecular
fuerza de gravedad que
Éste es un planteamiento restringido de la ley de conservación de la cantidad de movimiento. En este capítulo aplicamos tal planteamiento sólo a una componente de la cantidad de movimiento; a saber, la componente en la dirección del flujo. Para escribir el balance de cantidad de movimiento se requieren las expresiones para las densidades de flujo de cantidad de movimiento convectivo dadas en la tabla 1.7-1 y las densidades de flujo de cantidad de movimiento molecular dadas en la tabla 1.2-1; debe recordarse que la densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular incluye las contribuciones de la presión y la viscosa. En este capítulo e1 balance de cantidad de movimiento se aplica sólo a sistemas en los que únicamente hay una componente de velocidad, que depende sólo de una variable espacial; además, el flujo debe ser rectilíneo. En el capítulo siguiente el con-
52.1
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y condiciones límite 47
cepto de balance de cantidad de movimiento se extiende a sistemas de estado no estacionario con movimiento curvilíneo y con más de una componente de velocidad. En este capítulo, el procedimiento para plantear y resolver problemas de flujo viscoso es como sigue:
Se identifican la componente de velocidad que no se elimina y la variable espacial de la cual depende. Se escribe un balance de cantidad de movimiento de la forma de la ecuación 2.1-1 sobre una delgada envoltura perpendicular a la variable espacial relevante.
Se hace que el espesor de la envoltura tienda a cero y se usa la definición de la primera derivada para obtener la ecuación diferencial correspondiente para la densidad de flujo de cantidad de movimiento. Se integra esta ecuación para obtener la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento. Se inserta la ley de viscosidad de Newton y se obtiene una ecuación diferencial para la velocidad.
Se integra esta ecuación para obtener la distribución de velocidad.
Se usa la distribución de velocidad para obtener otras cantidades, como la velocidad máxima, la velocidad media o la fuerza sobre superficies sólidas. En las integraciones mencionadas antes aparecen varias constantes de integración, mismas que se evalúan usando "condiciones límite"; es decir, postulados acerca de la velocidad o el esfuerzo en los límites del sistema. Las condiciones límite (condiciones frontera) de mayor uso son las siguientes: a. En interfases sólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie sólida; esta afirmación se aplica tanto a la componente tangencia1 como a la componente normal del vector velocidad. La igualdad de las componentes tangenciales se denomina "condición sin deslizamiento". b. En un plano interfacial líquido-líquido de x constante, las componentes tangenciales de velocidad o y v, son continuas a través de la interfase (la "condición sin deslizamient~"),así como también lo son las componentes del tensor de esfuerzo molecular p + T ~ , , rxyy 7=. c. En un plano interfacial líquido-gas de x constante, las componentes del tensor de esfuerzo 7ry y 7xzse toman como iguales a cero, siempre que el gradiente de velocidad del lado del gas no sea demasiado grande. Esto es razonable, ya que las viscosidades de los gases son mucho menores que las de Ios líquidos.
En las condiciones limite anteriores se presupone que a través de la interfase no pasa ningirn material; es decir, que en la superficie entre las dos fases no hay adsorción, absorción, disolución, evaporación, fusión o reacción química. Las condiciones límite que contemplan estos fenómenos aparecen en los problemas 3C.5 y 11C.6,así como en s18.1. En esta sección hemos presentado algunas directrices para resolver problemas s e n d o s de flujo viscoso. En algunos problemas puede ser conveniente hacer ligeras modificaciones a estas directrices.
48
92.2
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
FLUJO DE UNA PEL~CULA DESCENDENTE
El primer ejemplo que se anafizará es el del flujo de un líquido que desciende por una lámina plana inclinada de longitud L y ancho W, como se muestra en la figura 2.2-1. Estas películas se han estudiado en conexión con torres de pared mojada, experimentos de evaporación y absorción de gases, así como aplicaciones de recubrimientos. Se considera que la viscosidad y la densidad del fluido son constantes. Es difícil hacer una descripción completa del flujo líquido debido a las perturbaciones que hay en los bordes del sistema ( z = 0, z = L, y = O, y = W). A menudo es posible obtener una descripción adecuada si se ignoran dichas perturbaciones, particularmente si W y L son grandes en comparación con el espesor 6 de la película. Para caudales pequeños es probable que las fuerzas viscosas eviten una aceleración continua del liquido que desciende por la pared, de modo que v, se vuelve independiente de z en una distancia corta hacia abajo en la lámina. En consecuencia, parece razonable postular que v, = v,(x), vx = O y vy = O, y además que p = p(x). A partir de la tabla B.1 se observa que las únicas componentes de T que no se eliminan son entonces T~~ = rzr = -p(dvz/dx). Ahora, como "sistema" seleccionamos una delgada envoltura perpendicular a la dirección x (véase la figura 2.2-2). Después efectuamos un balance de cantidad de movimiento en la dirección z sobre esta envoltura, que es una región de espesor Ax, acotada por los planos z = O y z = L, y que se extiende una distancia W en la dirección y. Las varias contribuciones al balance de cantidad de movimiento se obtienen entonces con ayuda de las cantidades en las columnas "componente z" de las tablas 1.2-1 y 1.7-1. Al usar las componentes del "tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento combinado" definido en 1.7-1a 1.7-3,podemos incluir de una vez todos los mecanismos posibles para el transporte de cantidad de movimiento:
+,
@
(3
velocidad de entrada de cantidad de movimiento en la dirección za través de la superficie en z = O
(w~)$,,I,=o
velocidad de salida de cantidad de movimiento en la dirección .z a través de la superficie en z = I,
(WW$zzlz=~
velocidad de entrada de cantidad de movimiento en la direccibn r a haves de la superficie en x
(2.2-1)
(Lw($xz) lx
velocidad de salida de cantidad de @ movimiento en la dirección z a través de la superficie en x + Ax
(Lw)(#xz)I x + h
Perturbación de entrada y
&Entrada
de líquido
Perturbación de salida
&,VI
1.1
a
Direcci6n de la gravedad
Figura 2.2-1 Diagrama esquemático del experimento de " la descendente, donde la a n pelicu' , ,i n r l i r s los efectos finales.
.
52.2 Flujo de una película descendente 49
fuerza de gravedad que actúa sobre e1 fluido en la dirección t
(LW AxNpg cos P)
(2.2-5)
Al usar las cantidades 4 , y #, se toma en cuenta el transporte de cantidad de movimiento en la dirección z a través de todos los mecanismos, convectivo y molecular. Nótese que tomamos las direcciones hacia "adentro" y hacia "afuera', en la dirección de los ejes x y z positivos (en este problema ocurrió que éstas coincidieron con las direcciones del transporte de cantidad de movimiento en la dirección 2). La significa "evaluado en x + Ax", y g es la aceleración de la gravedad. notación I x + h x Cuando estos términos se sustituyen en el balance de cantidad de movimiento en la dirección z de la ecuación 2.1-1. se obtiene
Cuando esta ecuación se divide entre LWAx y se toma el limite cuando Ax tiende a cero, se obtiene
El primer término del miembro izquierdo es exactamente la definición de la derivada de @ , respecto a x. En consecuencia, la ecuación 2.2-7 se convierte en
En este momento es necesario escribir explícitamente qué Son las componentes @, y $ ,, usando la definición de en las ecuaciones 1.7-1 a 1.7-3 y las expresiones pay T,, que se proporcionan en el apéndice 8.1. Esto asegura que no omitimos ninra -rXZ guna de las formas de transporte de cantidad de movimiento. Por tanto, obtenemos
+
y= W
,
\ \
z =L
~ i r e c u 6 nde la gravedad
Figura 2.2-2 Envoltura de espesor Ax sobre la que se realiza un balance de cantidad de movimiento en la direcci6n z. Las flechas muestran las densidades de flujo de cantidad de movimiento asociadas con las superficies de la envoltura. Debido a que v, y vy son ambas cero, pvp, y pv Yu son cero. Como v, no depende de y y z, a partir de la tabla B.l se concluye que T~~ = O y rtt = O. Por consiguiente, no es necesario considerar las densidades de flujo subrayadas con una lhea discontinua. Tanto p como p,u, son iguales en z = O y z = L, y por tanto no aparecen en la ecuación fina1 para el balance de cantidad d e movimiento en la dirección z, ecuaci6n 2.2-10.
D
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
Siguiendo los postulados de que u, = vz(x),v, = O, v = O, y p = p(x), vemos que i) debido a que v x = O, el término pup, en la ecuación $2-9a es cero; ii) como vZ= U,(*), el término -&(dv,/d,) en la ecuación 2.2-9b es cero; üi) como v, = v,(x), el término pvp, es e1 mismo en z = O y z = L; y iv) como p = p(x), la contribución de p es la misma en z = O y z = L. Por tanto, T~ depende sólo de x, y la ecuación 2.2-8 se simplifica a
Ésta es la ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento T ~Puede ~ . integrarse para obtener TXZ=
bg COS /3)x
+ C1
(2.2-11)
La constante de integración puede evaluarse usando la condición limite en la interfase gas-líquido (véase s2.1):
La sustitución de esta condición límite en la ecuación 2.2-11 muestra que CI = O. En consecuencia, la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento es 1
T,,
(2.2-13)
= (pg cos B)x
como se muestra en la figura 2.2-3.
1
. -
X
Distribución de densidad
la gravedad
< c(
,'-
'
Figura 22-3 Resultados finales para el problema de la película descendente, en los que re indican la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento y la distribución de velocidad. También se muestra la envoltura de espesor Ax sobre la que se realizó el balance de cantidad de movimiento.
1
52.2
Flujo de una película descendente 51
A continuación se sustituye la ley de viscosidad de Newton
en el miembro izquierdo de la ecuación 2.2-13 para obtener
que es la ecuación diferencial para la distribución de velocidad. Puede integrarse para llegar a
La constante de integración se evalúa usando la condición límite sin deslizamiento en la superficie sólida: C.L. 2:
enx=d,
v,=O
(2.2-17)
La sustitución de esta condición limite en la ecuación 2.2-16muestra que C2 =@gcos B/&)d2. Por consiguiente, la distribución de velocidad es
Esta distribución parabólica de velocidad se muestra en la figura 2.2-3. Es consistente con los postdados hechos inicialmente y, por tanto, debe ser una solución posible. Otras soluciones pueden ser posibles, pero normalmente se requieren experimentos para establecer si en realidad es posible que se presenten otros patrones de flujo. Volveremos a esta cuestión después de la ecuación 2.2-23. Una vez que se conoce la distribución de velocidad, es posible calcular varias cantidades:
i) La velocidad máxima v,,,,
es claramente la velocidad en x = O; es decir,
vz,m&x =
pg~2 COS p 2~
ii) La velocidad media (v,) sobre una sección transversal de la película se obtiene como sigue:
52
Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
La doble integral en el denominador de la primera línea es el área de la sección transversal de la película. La doble integral en el numerador es el caudal volumétrico que pasa a través de un elemento diferencial de la sección bansversal, v#x dy, integrado cobre toda la sección transversal. iii) La velocidad de flujo másico w se obtiene a partir de la velocidad media o por integración de'la distribución de velocidad W
w=
1,
6
pv,dxdy = pWG(oz) =
p 2 g ~ G 3COS p 3~
iv) El espesor de la película S puede proporcionarse en términos de la velocidad media o de la velocidad de flujo másico como sigue:
v) La fuerza por área unitaria en la dirección z sobre un elemento de superficie perpendicular a la dirección x es + 7, evaluado en x = S. Ésta es la fuerza ejercida por el fluido (región de menor x ) sobre la pared (región de mayor x). La componente z de la fuerza F del fluido sobre la superficie del sólido se obtiene al integrar el esfuerzo cortante sobre la interface fluido-sólido:
Ésta es la componente z del peso del fluido en toda la película, como era de esperar. Observaciones experimentales de películas descendentes muestran que en realidad hay tres "regímenes de flujo", y que éstos pueden clasificarsesegún el número de Reynolds,l Re, para el flujo. Para películas descendentes, el número de Reynolds . los tres regímenes de flujo son: se define como Re = 4 3 ( ~ , ) p / ~Así, flujo laminar con ondulaciones despreciables flujo laminar con ondulaciones pronunciadas flujo turbulento
Re < 20 20 < Re < 1500 Re > 1500
El análisis que se acaba de proporcionar es válido sólo para el primer régimen, ya que fue restringido por los postulados que se plantearon al principio. En la superficie del fluido aparecen ondulaciones a todos los números de Reynolds. Para números de Reynolds menores que aproximadamente 20, las ondulaciones son muy largas y crecen más bien de manera lenta a medida que se desplazan hacia abajo por la superficie del líquido; como resultado, las fórmulas que se obtuvieron antes son útiles hasta aproximadamente Re = 20 para láminas de longitud moderada. Por arriba de ese valor de Re, el crecimiento de la ondulación aumenta bastante rápido, aunque el flujo siga siendo laminar. Aproximadamente a Re = 1500, el flujo se vuelve 'La denominación de este gmpo admensional se debe a Osborne Reynolds (1842-1912),profesor de ingeniería en la Universidad de Manchester, quien estudió la transición laminar-turbulento, la transmisi6n turbulenta de calor y la teoría de la lubricacián. En el siguiente capítulo veremos que el número de Reynolds es la razón de las fuerzas inerciales contra las fuerzas viscosas.
$2.2 Flujo de una película descendente 53
Irregular y caótico, por lo que se dice que es hirb~lento.~J Hasta el momento no resulta claro por qué para delinear los regímenes de flujo debe usarse el valor de1 número de Reynoids. En el apartado s3.7 se tratará con más detalle esta situación. Las reflexiones anteriores ilustran un aspecto muy importante: el análisis teórico de los sistemas de flujo esth limitado por los postulados que se estabIecen al plantear el problema. Es absolutamente necesario realizar experimentos a fin de establecer los regímenes de flujo con Ia intención de conocer cuándo ocurren inestabilidades (oscilacionesespontáneas) y cuándo el flujose vuelve turbulento. Mediante el análisis teórico puede obtenerse alguna información sobre el principio de Ja inestabilidad y la delimitación de los regímenes de flujo, aunque éste es un tema extraordinariamente dificil. Éste es un resultado de la naturaleza no lineal intrínseca de las ecuaciones que rigen la dinámica de fluidos, como se explicará en el capítulo 3. En este momento basta señalar que los experimentos desempeñan un papel muy importante en el campo de la dinámica de fluidos.
Cdlculo de la de una película
Un aceite tiene una viscosidad cinemática de 2 x m2/s y una densidad de 0.8 X 10" kg/m3. Si se desea tener una película descendente de espesor igual a 2.5 rnm en una pared vertical, jcuál debe ser la velocidad de ffujo másico del líquido?
Según la ecuación 2.2-21, la velocidad de flujo rnásico en kg/s es
Así, para obtener la velocidad de flujo másico es necesario insertar un valor para el ancho de la pared en metros. Éste es el resultado deseado en ef supuesto de que el flujo sea iaminar y sin ondulaciones. Para determinar el régimen de flujo se calcula el nhmero de Reynolds, usando las ecuaciones 2.2-21 y 2.2-24
Este numero de Reynolds es lo suficientemente bajo como para que las ondulaciones no sean pronunciadas, y en consecuencia la expresión para ia velocidad de flujo másico en la ecuaci6n 2.2-24 es razonable.
con Pel*cula viscasidud variable
Vuelva a trabajar eI problema de la película descendente para una viscosidad dependiente de la posiciónp = ,uoecax/s, que surge cuando la película no es isotbrmica, como en la condensación de un vapor sobre una pared. Aquí yoes la viscosidad en la superficie de la película y a es una constante que describe lo rápido que disrninuyep a medida que x crece. Una variacion así podría presentarse en el flujo de un condensado que desciende par una pared con un gradiente de temperatura lineal a través de la película.
G D Fuiford, Adv C h m Engr., 5,151 236 (19641, C Wiutaker, htd Eng C h Fund , 3 132-142 (1964), VG Levich, Physicochemical Hydrodimics, Prentice-Haii, Englewood CLúfs, NJ (2962) H -C Chang, Ann R ~ Fhrd G Mech, 26,10$136 ( 1 9 4 ) ; S H Hwang y H -C Chang, Phys Flurds, 30.1259-1268 (1987)
54 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en fluJolaminar
El desarrollo procede como antes hasta la ecuación 2.2-13. Después, al sustituir la ley de Newton con la variable viscosidad en la ecuación 2.2-13se obtiene
Esta ecuaci6n puede integrarse, y usando las condiciones límite en la ecuacibn 2.2-17 es posible evaluar la constante de integracibn.Así, el perfil de velocidad es
Como verificación evaluamos la distribución de velocidad para el problema de viscosidad constante (es decir, cuando a es cero). No obstante, al hacer a = O se obtiene m - en las dos expresiones entre paréntesis. Esta dificultad puede superarse si las dos exponenciales se expanden en serie de Taylor (véase 92.2) como sigue:
lo que coincide con la ecuación 2.2-18. A parti* de Ia ecuación 2.2-27 puede demostrarse que la velocidad media es
El lector puede comprobar que este resultado se simplifica a la ecuación 2.2-20cuando a tiende a cero.
$2.3 FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR
EI flujo d e fluidos e n tubos circulares e s algo común e n física, química, biología e ingeniería. El flujo laminar de fluidos e n tubos circulares puede analizarse por medio del balance de cantidad de movimiento descrito e n 52.1. La única característica nueva que se introduce aquí es el uso d e coordenadas cilíndricas, que son las coordenad a s naturales para describir posiciones en u n tubo d e sección transversal circular. Así, consideramos el flujo laminar, en estado estacionario, d e u n fluido d e densidad constante p y viscosidad p en u n tubo vertical de longitud L y radio R. El 1íquido fluye hacia abajo por influencia d e una diferencia d e presión y d e gravedad; el sistema d e coordenadas es el q u e se muestra en' la figura 2.3-1. Se especifica q u e la longitud del tubo es muy grande respecto al radio del tubo, d e modo que los
92.3 Flujo a través de un tubo circular 55
+=Id = densidad de flujo de cantidad de movimiento de entrada en la dirección z en z = O
= densidad de flujo de cantidad de movimiento de salida en la dirección z en r + Ar
+-
Pared del tubo
Figura 2.3-1 Envoltura cilíndrica de fluido sobre la que se realizó el balance de cantidad de movimiento en la dirección z para flujo axial en un tubo circular (véanse las ecuaciones 2.3-1 a 2.3-5). Las densidades de flujo de cantidad de movimiento $, y # , en la dirección z se proporcionan completamente en las ecuaciones 2.3-9a y 2.3-9b.
&lz=L = de'ncidad de flujo de cantidad de movimiento de salida en la dicción z enz = L
"efectos finales" carezcan de importancia a lo largo de la mayor parte del tubo; es decir, podemos ignorar el hecho de que en la entrada y en la salida del tubo el flujo no necesariamente es paralelo a la pared del tubo. Postulamos que u, = v,(r), v, = O, v, = O y p = p(z). Con estos postulados, a partir de la tabla B.l puede verse que las únicas componentes de 7 que no desaparecen son T~~ = rZr= -,u(dvz/dr). Como sistema se elige una envoltura cilindrica de espesor Ar y longitud L, y comenzarnos por enumerar las diversas contribuciones al balance de cantidad de movimiento en la dirección z:
d=fv
velocidad de entrada de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la superficie en tubos concéntricos en z = O
(2~rAr)@~~)l~=o
(2.3-1)
velocidad de salida de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la superficie en tubos concéntricos en z = L
(2mAr)(@,,)Iz=~
(2.3-2)
velocidad de entrada de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la superficie cilindrica en r
(2rrL)(#rz)lr= (2mWJIr
(2.3-3)
velocidad de salida de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la superficie cilíndrica en r + Ar ( 2 4 r -I-~ r ) L ) ( $ ~ ~= )( l2~~+r ~L ~$ ~ ~(2.3-4) )l~+~~ fuerza de gravedad que actúa en la dirección z sobre la envoltura cilíndrica
'
(2.rrrArL)pg
(2.3-5)
56 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujolaminar
Las cantidades #, y $, explican el transporte de cantidad de movimiento por todos los mecanismos posibles, convectivo y molecular. En la ecuación 2.3-4, (r + Ar) y (r)l,+h,son dos formas para escribir lo mismo. Nótese que consideramos que la "entrada" y la "salida" están en las direcciones positivas de los ejes r y z. Ahora sumamos las contribuciones al balance de cantidad de movimiento:
Al dividir la ecuación 2.3-6 entre 2 d A r y tomar el limite como Ar
+
O, se obtiene
La expresión del miembro izquierdo es la definición de la primera derivada de r$, respecto a r. Por tanto, la ecuación 2.3-7 puede escribirse como
Ahora es necesario evaluar las componentes #, y $, a partir de la ecuación 1.7-1 y el apéndice B.l:
A continuación tomamos en consideración los postulados que se hicieron al principio del problema; a saber, que v, = vz(r),v, = O, u* = O y p = p(z). Después hacemos las siguientes simplificaciones:
i) como u, = O, podemos eliminar el término pv,v, en la ecuación 2.3-9a; ii) debido a que v, = v,(r), el término pv,v, es el mismo en ambos extremos del tubo; y iii) ya que u, = v,(r), el término -2pdvz/8z es el mismo en ambos extremos del tubo. Por tanto, la ecuación 2.3-8 se simplifica a
donde Y = p - pgz es una abreviatura conveniente para la suma de los términos de presión y gravedad.1 Es posible integrar la ecuación 2.3-10 para obtener
'
La cantidad designada por 9 se denomina presidn modifimda. En general se define mediante 9 = p +pgh, donde h es la distancia "hacia arriba", es decir, en la dirección opuesta a la gravedad a partir de algún plano de referencia seleccionadode antemano. Por tanto, en este problema h = z .
52.3 Fiujo a través de un tubo circular 57
La constante C1 se evalúa utilizando la condición límite C.L. 1:
en r = 0,
rn = finito
(2.3-12)
En consecuencia, CI debe ser cero, ya que en caso contrario la densidad de flujo de cantidad de movimiento seria infinita en el eje del tubo. Por tanto, la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento es
Esta distribución se muestra en la figura 2.3-2. La ley de viscosidad de Newton para esta situación se obtiene a partir del apéndice B.2 como sigue:
Luego, al sustituir esta expresión en la ecuación 2.3-13 se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la velocidad:
Esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables puede integrarse para obtener
La constante C2 se evalúa a partir de la condición límite
Distribución parabólica de velocidad v,(r)
Distribuciún lineal de la densidad de flujo de cantidad de movimiento T J Y )
Figura 2.3-2 Distribuciones dedensidad de flujo de cantidad de movimiento y distribuciones de velocidad para el flujo que circula hacia abajo eñ un tubo circular.
1 58
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
A partir de lo anterior se encuentra que C2 es (Y,, - PL)R2/4L. Por tanto, la distxibución de velocidad es
Observamos que la distribución de velocidad para flujo laminar incompresible de un fluido newtoniano en un tubo largo es parabólica (véase la figura 2.3-2). Una vez que se ha establecido el perfil de velocidad, es posible obtener varias cantidades derivadas:
i) La velocidad mrixirna v , , ocurre ~ para r = O y su valor es
ii) La velocidad media (u,) se obtiene al dividir el caudal volumétrico total entre el área de la sección transversal
iii) La velocidud de flujo músico w es el producto del área de la sección transversal T R ~la, densidad p y la velocidad media (u,)
Este resultado bastante conocido se denomina ecuación de Hagen-Poise~ille.~ Se utiliza, junto con datos experimentales de la velocidad de flujo (gasto) y la diferencia de presión modificada, para determinar la viscosidad de fluidos (véase el ejemplo 2.3-1) en un "viscosímetro capilar". iv) La componente z de la fuerza, F,, del fluido sobre la superficie mojada del tubo es justamente el esfuerzo cortante T~ integrado sobre el área mojada
Este resultado establece que la fuerza viscosa F, es equilibrada por h fuerza de presión neta y por la fuerza de gravedad. Esto es exactamente lo que se obtendría al hacer un balance de las fuerzas que actúan sobre el fluido en el tubo. -
* G.Hagen, Ann. Phys. C
p -
-
h ,46,423442 (1839); J.L. Poiseuille, Comptes Rendus, 11,961 y 1041 (1841). Jean Louis Poiseuille (1799-1869)h e un físico interesado en el flujo del torrente sanguíneo. Aunque Hagen y Poiseuille establecieron la dependencia del caudal del flujo respecto a la cuarta potencia del radio del tubo,fue E. Hagenbach quien dedup por primera vez la ecuacibn 2.3-21, Pogg. Annulen der Physllt u . Chemie, 108,385126 (1860).
52.3 Flujo a través de un tubo circular 59
< 9,2
CU,&I h.&M 4 c . CI
Los resultados de esta sección son sólo tan válidos como los postulados que se establecieron al inicio de la misma; es decir, que u, = v,(r) y y = p(z). Experimentalmente se ha demostrado que estos postulados son verdaderos para números de Reynolds hasta aproximadamente 2100; más alIá de este valor, el flujo es turbuIento si hay cualesquiera perturbaciones apreciables en el sistema; es decir, rugosidad o vibraciones en la pared.3Para tubos circulares, el número de Reynolds se define como Re = D(v,)p/p, donde D = 2R es el diámetro del tubo. A continuación se resumen todas las suposiciones que se hicieron para obtener la ecuación de Hagen-Poiseuille. a) El flujo es laminar; esto es, Re debe ser menor que aproximadamente 2100.
b) La densidad es constante ("flujo incompresible"). C)
El flujo es "estacionario" (es decir, no cambia con el tiempo).
d) El fluido es newtoniano (la ecuación 2.3-14 es válida). e) Se ignoran los efectos finales. En realidad, para constituir el perfil parabólico se requiere una "longitud de entrada", después de la embocadura al tubo, del orden de Le = 0.035D Re. Si la sección de interés del tubo incluye la región de embocadura, es necesario aplicar una corrección.* La corrección fraccionaria en la diferencia de presión o en la velocidad de flujo másico nunca excede L , / L si L > Le.
f) El fluido se comporta como un continuo; esta suposición es váIida, excepto para gases muy diluidos o tubos capilares muy estrechos, donde la trayectoria libre media molecular es comparable al diámetro del tubo (la "región de flujo deslizante") o mucho mayor que el diámetro del tubo (el "flujo de Knudsen" o régimen de "flujo de molécula libre").5 g) En la pared no hay deslizamiento, de modo que la condición límite (C.L. 2)
es válida; ésta es una suposición excelente para fluidos puros bajo las condiciones supuestas en f). para un análisis de deslizamiento en la pared, véase el problema 23.9.
viscosidad a partir de
datos de flujo capilar
Por un tubo horizontal de 1 pie de largo y 0.1. pulg de diámetro interior fluye glicerina (CI-120H CEIOH . C H 2 0 H ) a 26.5"C. Para una caída de presión de 40 psi, el caudal volurnétrico w / p es 0.00398 pies3/min. La densidad de la glicerina a 26.5"C es 1.261 g/cm3. A partir de los datos del flujo, calcular la viscosidad de la glicerina en centipoises y en Pa . s.
.. .
.
.
A.A. Draad rresis doctoral, Universidad Técnica de Delft (1996)1, en un experimento cuidadosamente controla-
do logró flujo laminar hasta Re = 50,000.También estudió el perfii no parab6lico de velocidad inducido por el. movimiento de rotación de la Tierra (a través del efecto de Coriolis).Véase también A.A. Draad y F.T.M. Nieuwstadt, l.Fluid. Mech., 361,207-308 (1998). ].H. Perry, Chemical Engineers Handbook, McGraw-Hiii, Nueva York, 3a. edici6n (1950), pp. 388-389;W.M. Kays y A.L. London, Cornpact Heat Exchangers, McGraw-HiU, Nueva York (195% p. 49. Martin Hans Christian Knudsen (1871-1949),profesor de fisica en la Universidad de Copenhague,efectuó experimentos clave sobre el comportamiento de gases muy diluidos. Las conferencias que dictó en la Universidad de Glacgow fueran publicadas como: M. Knudsen, The Kinetic 'hoy o f h e s , Methuen, Londres (1934); G.N. Patterson, Molecular Flow of Gases, Wdey, Nueva York (1956).VPase también J.H.Ferziger y H.G. Kaper, Mathematical Theory 0f Transport Processes in Gases, North-Holknd, Amsterdam (1972),capítulo 15.
60
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar SOL~CIÓN
A partir de la ecuación de Hagen-Poiseuille (ecuación 2.3-21) se obtiene
T
(
p22)
40-
(6.8947 x 104 dinas / cm2 Ib / pulg2
pie3
pulg x -12 pulg
1 lnin
-x -min 60 s
Para comprobar si el flujo es laminar, calculamos el número de Reynolds
-
)
pulgx 2.54- Cm (4.92&) pulg = 2.41 (adimensional} Por tanto, efectivamente el flujo es laminar. Además, la longitud de entrada es
L, = 0.035D Re = (0.035)(0.1/12)(2.41f= 0.0007 pie
(2.3-25)
En consecuencia, los efectos de entrada no son importantes, y el valor de la viscosidad dado antes se ha calculado apropiadamente.
tubo circular horizontal6
Obtener una expresión para la velocidad de flujo masico w para un gas ideal que circuIa en flujo laminar por un tubo circular largo. Se considera que el flujo es isotérmico. Supóngase que el cambio de presión a lo largo del tubo no es muy grande, de modo que la viscosidad puede considerarse como constante a través de todo el tubo.
Este problema puede resolverse aproximadamente si se supone que la ecuación de Hagen-Poiseuille (ecuación 2.3-21) puede aplicarse sobre una pequeña longitud dz del tubo como sigue:
Para eliminar p en favor de p, usamos la ley del gas ideal en la forma p / p = po/po, donde po y presión y la densidad en z = O. Así se obtiene
po son la
. .
..
-
L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, 2a. ediaón (1987). 517,problema 6. Una solución con perturbación de este problema fue obtenida por R.K. Prud'homme, T.W. Chapman y J.R. Bowen, Appl. Sci. Res., 43, 67-74 (1986).
52.4
Flujo a través de un tubo concéntrico
61
La velocidad de flujo másico w es la misma para toda z. Por tanto, la ecuación 2.3-27 puede integrarse desde z = O hasta z = L para obtener
Debido a que p; - P; = (po
+ pt) (pO- pL), finalmente obtenemos
\
1
donde pmed,, = (po + pL) es la densidad media calculada a la presión media pmedia= (po + pL)
A continuación resolveremos otro problema de flujo viscoso en coordenadas cilíndricas; a saber, el flujo axial en estado estacionario de un líquido incompresible en una región anular entre dos cilindros coaxiales de radios KR y X como se muestra en la figura 2.4-1. El fluido circula hacia arriba en el tubo; es decir, en dirección opuesta a la acción de la gravedad. Establecemos los mismos postulados que en 52.3: v, = u,(r), vo = 0, vr = O y p = p(z). En seguida, se hace un balance de cantidad de movimiento sobre una delgada envoltura cilíndrica del liquido y llegamos a la siguiente ecuación diferencial:
Distribución de velocidad
Esfuerzo cortante o distribución d e densidad de flujo de cantidad de movimiento
Figura 2.4-1 Distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad para el flujo que circula hacia arriba en una región anular cilíndrica. Nótese que la densidad de Aujo de cantidad de movimiento cambia de signo en el mismo valor de r para el cual Ia velocidad tiene un máximo.
62 Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
Esta ecuación difiere de la ecuación 2.3-10 &lo en que aquí 9 = p + pgz, ya que la coordenada z está en la dirección opuesta a la de acción de la gravedad (es decir, z es la misma que la h de la nota de pie de página 1 en 52.3). Al integrar la ecuación 2.4-1 cc obtiene
justamente como en la ecuación 2.3-11. La constante C1 no puede determinarse inmediatamente, ya que no se cuenta con información sobre la densidad de flujo de cantidad de movimiento en las superficies fips r = KRy r = R. Todo lo que sabemos es que habrá un máximo en la curva de velocidad en algún plano (hasta el momento desconocido) r = hR al cual la densidad de flujo de cantidad de movimiento serh cero. Es decir,
Cuando se despeja C1 en esta ecuación y se sustituye en la ecuación 2.42, se obtiene
La única diferencia entre esta ecuación y la ecuación 2.4-2 es que la constante de integración C1 se ha eliminado a favor de una constante diferente A . La ventaja de esto es que sabemos la significación geométrica de A. Ahora sustituimos la ley de viscosidad de Newton, rrz= -p(dv,/dr), en la ecuación 2.4-4 para obtener una ecuación diferencial para u,
Luego, al integrar esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables, se obtiene
vz = -
(
O
-
"'R'
4C1L
[(ir-
*A2 l.(;)+
C2]
Ahora evaluamos las dos constantes de integración, A y C2, utilizando la condición sin deslizamiento sobre el limite de cada sólido
e ~ o condiciones límite en la ecuación 2.4-6 se obtienen dos ecuaAl s ~ c t i t u i ~ l uestas ciones simultáneas:
A partir de las ecuaciones anteriores se encuentra que las dos constantes de integración A y C2 son
52.4 Flujo a íravés de un hibo conc6ntrico 63
Estas expresiones pueden insertarse en las ecuaciones 2.4-4 y 2.4-6 para obtener la distribución de densidad de cantidad de movimiento y la distribución de la velocidad1 como sigue:
Nótese que cuando el flujo en anillo se vuelve muy delgado (es decir, cuando K es sólo ligeramente menor que la unidad), estos resultados se simplifican a los correspondientes para una rendija plana (véase el problema 2B.5). Cuando se presente la oportunidad, siempre es una buena idea comprobar los "casos iímite" como éstos. El límite inferior de K -+ O no es tan simple, porque la razón in(R/r)/in(l/~) siempre es importante en una región próxima a la frontera interior. Por tanto, la ecuación 2.4-14 no se simplifica a la distribución parabólica. Sin embargo, la ecuación 2.4-17 para la velocidad de flujo másico se simplifica a la ecuación de HagenPoiseuilie. Una vez que se tienen las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad, la obtención de otros resultados de interés es directa: i) La velocidad tnáxima es
donde h2 está dada en la ecuación 2.4-12. ii) La velocidad media está dada por
iii) La velocidad de flujo másico es w = rR2(1 - K ~ ) ~ ( Uo,bien, ),
iv) La fuerza ejercida por el fluido sobre las superficies del sólido se obtiene sumando las fuerzas que actúan sobre los cilindros interior y exterior, como sigue:
' H.Lamb, Hydrodynamics,Carnbridge University Press, 2a. edición (1895), p. 522.
64
Capítulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
El lector debe explicar Ia elección de signos que se colocan frente a los esfuerzos cortantes en la ecuación anterior y también proporcionar una interpretación del resultado final. Las ecuaciones que acaban de obtenerse son válidas sólo para flujo laminar. La transición de laminar-turbulento ocurre en la vecindad de Re = 2000, donde el número de Reynolds se define como Re = 2R(1 - ~ ) ( v , ) p / ~ u .
52.5
FLUJO DE DOS FLUIDOS INMISCIBLES ADYACENTESI Hasta el momento hemos considerado situaciones de flujo con limites sólido-fluido y líquido-gas. En seguida proporcionaremos un ejemplo de problema de flujo con una interfase líquido-líquido (véase la figura 2.5-1). Dos líquidos inmiscibles incompresibles fluyen en la dirección z en una delgada rendija horizontal de longitud L y ancho W bajo el efecto de un gradiente de presión horizontal (po - pL)/L. Los caudales de los fluidos se ajustan de modo que una mitad de la rendija está llena del fluido I (la fase más densa) y la otra mitad está ocupada por el fiuido 11 (la fase menos densa). Los fluidos circulan lo suficientemente lentos de modo que no ocurren inestabilidades; es decir, la interfase permanece exactamente plana. Se desea encontrar las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad. Un balance diferencial de cantidad de movimiento conduce a la siguiente ecuación diferencial para la densidad de flujo de cantidad de movimiento:
Distribución de velocidad,
Plano de esfuerzo cortante cero
flujo de cantidad de movimiento
Figura 2.5-1 Flujo de dos fluidos inmiscibles entre un par de láminas horizontales bajo el efecto de un gradiente de presión.
'
El flujo adyacente de gases y líquidos en conductos ha sido revisado por A.E. Dukler y M. Wicks, IIL en el capítulo 8 de Modern Chemical Englneering, Vol. 1, "Physical Operations", A. Acrivos (ed.), Reinhold, Nueva York (1963).
52.5 Flujo de dos fluidos inmiscibles adyacentes 65
Esta ecuación se obtuvo tanto para la fase 1como para la fase 11. A1 integrar la ecuación 2.5-1 para las dos regiones se obtiene
De inmediato utilizamos una de Ias condiciones límite; a saber, que la densidad de flujo de cantidad de movimiento T,, es continua en la interfase fluido-fluido:
Lo anterior afirma que C\ = Cf ; por tanto, cancelamos el supraíndice y denominamos C1 a ambas constantes de integración. Cuando la ley de viscosidad de Newton se sustituye en las ecuaciones 2.5-2 y 2.5-3, se obtiene
Estas dos ecuaciones pueden integrarse para obtener
Las tres constantes de integracion pueden determinarse a partir de las siguientes condiciones límite sin deslizamiento: enx=O,
7 zj= u1z1
enx = -b,
$=O
en x = +b,
v," = O
Cuando se aplican estas tres condiciones límite, se obtienen tres ecuaciones simultáneas para las constantes de integración: a partir de la C.L. 2: a partir de la C.L. 3: a partir de la C.L. 4:
c; = c;
66 Capitulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
A partir de estas tres ecuaciones se obtiene
Los perfiles de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad son
Estas distribuciones se muestran en la figura 2.5-1. Si ambas viscosidades son iguaIes, entonces la distribución de velocidad es parabdica, como es de esperar para un fluido puro que circula entre láminas paralelas (véase la ecuación 28.3-2). Es posible obtener la velocidad media en cada capa y los resultados son
A partir de las distribuciones de velocidad y de densidad de flujo de cantidad de movimierito proporcionadas, también es posible calcular la velocidad máxima, la velocidad en la interfase, el plano de esfuerzo cortante cero y la resistencia sobre las paredes de la rendija.
52.6
FLUJO REPTANTE ALREDEDOR DE UNA ESFERA1-4 En las secciones precedentes se han resuelto varios problemas elementales de flujo viscoso. Todos ellos trataban de flujos rectilíneos con una sola componente de velocidad que no desaparece. Debido a que el flujo alrededor de una esfera implica dos
'
G.G.Stokes, Trans. Cambridge Phil. Sociegi, 9,s-106(1851). Para fiujo reptante alrededor de un objeto de forma arbitraria, vkase H. Brenner, Chem. Engr. Sci., 19,703-íZ7(1964). L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, 2a. edición, Pergamon, Londres (1987),§20. G.K. Bakhelor, Afl Intmduction to Fluid Dynarnics, Cambridge University Press (1967),§4.9. S. Kim y S.J.Karriia, Microhydrodynamics: Principies and Selected ApplicutMns, Butterworth-Heinemann, Boston (19911, s.2.3; este übro contiene un análisis exhaustivo de problemas de "flujo reptante".
*
'
s2.6
Flujo repiante alrededor de una esfera 67
componentes de velocidad que no desaparecen, u, y ve, tal flujo no puede comprenderse a satisfacción por medio de las técnicas explicadas al principio de este capítulo. Aún así, aquí se justifica la realización de un breve análisis del flujo alrededor de una esfera debido a la importancia que tiene el flujo alrededor de objetos sumergidos. En el capítulo 4 demostraremos cómo obtener las distribuciones de velocidad y de presión. Por ahora sólo citamos los resultados y mostramos cómo pueden usarse para obtener algunas relaciones importantes que serán necesarias en análisis posteriores. EI problema tratado aquí, y también en el capítulo 4, se ocupa del "fluj~ reptante"; es decir, de flujo muy lento. Este tipo de flujo también se denomina "flujo de Stokes". Aquí consideramos el flujo de un fluido incompresible alrededor de una &a sólida de radio R y diámetro D como se muestra en la figura 2.6-1. El fluido tiene una densidad p y una viscosidad y, y se aproxima a la esfera fija ascendiendo verticalmente en la dirección z con una velocidad uniforme u,. Para este problema, "flujo reptante" significa que el número de ReynoIds Re = D v d l y es menor que aproximadamente 0.1. Este régimen de flujo se caracteriza por la ausencia de formación de remolinos corriente abajo a partir de la esfera. En el capítulo 4 se encuentra que las distribuciones de velocidad y de presih para este flujo reptante spn
Radio de la esfera = R
't
actúan sobre la superfi
de la esfera
El fluido asciende con una velocidad u,
Figura 2.6-1 Esfera de radio R alrededor de la cual circula un fluido. Se muestran las coordenadas r, 0 y 4. Para más información sobre coordenadas esféricas, consúltese la figura A.8-2.
68
Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar En la última ecuación, la cantidad po es la presión en el plano t = O lejos de la esfera. El término -pgz es la presión hidrostática que resulta del peso del fluido, y el término que contiene a v, es la contribución por el movimiento del fluido. Las ecuaciones 2.6-1,2.&2 y 2.6-3 muestran que la velocidad del fluido es cero en la superficie de la esfera, Además, en el límite cuando r -+ w, la velocidad del fluido es en la dirección z con magnitud uniforme v,. Esto se concluye a partir de que v, = v, cos 8 - ve sen 8, que puede obtenerse usando la ecuación A.6-33 y u, = vy = O, lo que se concluye a partir de las ecuaciones A.6-31 y A.6-32. Las componentes del tensor de esfuerzo T en coordenadas esféricas pueden obtenerse a partir de la distribución de velocidad mostrada antes utilizando la tabla B.1. Estas componentes son
y todas las demás componentes son cero. Nótese que los esfuerzos normales para este flujo son distintos de cero, excepto en r = R. A continuación determinaremos la fuerza ejercida por el fluido que corre sobre la esfera. Debido a la simetría alrededor del eje z, la fuerza resultante estará en la dirección z. Por consiguiente, la fuerza puede obtenerse integrando las componentes z de las fuerzas normal y tangencia1 sobre la superficie de la esfera.
Integración de la fuerza normal En cada punto de la superficie de la esfera, el fluido ejerce una fuerza por área unitaria -(p + r,)(,=, sobre el sólido que actúa en forma normal a la superficie. Como el fluido está en la región de mayor v y la esfera está en la región de menor r, es necesario añadir un signo menos en concordancia con la convención de signos establecida en 51.2. La componente z de la fuerza es -(p + T ~ ) ~ ~ = ~ O).( c Eno sseguida la multiplicamos por un elemento diferencial de superficie R~ sen 0 d0 d+ para obtener la fuerza sobre el elemento de superficie (véase la figura A.8-2). A continuación integramos sobre la superficie de la esfera para obtener la fuerza normal resultante en la dirección z:
Según la ecuación 2.6-5, el esfuerzo normal 7, es cero5 en r = R y puede omitirse en la integral de la ecuación 2.6-7. La distribución de presión en la superficie de la esfera es, según la ecuación 2.6-4,
En el ejemplo 3.1-1 demostraremos que para fluidos newtonianos incompresibles, los tres esfuerzos normales son cero en superficies fiias de sólidos para todos los flujos.
i1
E' 3 S
52.6 Flujo reptante alrededor de una esfera
69
Cuando esta expresión se sustituye en la ecuación 2.6-7 y se efectúa la integración, el término que contiene a po da cero, el término que contiene la aceleración de la gravedad g da la fuerza de flotación, y el término que contiene la velocidad de aproximación v, da la "resistencia de forma", como se muestra en seguida:
La fuerza de flotación es la masa de1 fluido desplazado ( de la gravedad tg).
5
7 r ~ por ~ ~la )aceleración
Integración de la fuerza tangencia1 En todo punto de la superficie sólida también hay un esfuerzo cortante que actúa tangenciaimente. La fuerza por área unitaria ejercida en la direcci6n -8 por el fluido (región de mayor r) sobre el sólido (regiónde menor r) es +7d(,R. La componente z de esta fuerza por área unitaria es (~~1,~) sen B. Ahora multiplicamos esto por el elemento de superficie R2 sen O d6d+ e integramos sobre toda la superficie esférica. Así se obtiene la fuerza resultante en la dirección z:
La distribución de esfuerzo cortante sobre la superficie de la esfera, a partir de la ecuación 2.6-6. es
- 3 PV-2
5~
~ r e I r =-~
sen 8
Al sustituir esa expresión en la integral de la ecuación 2.6-10 se obtiene la "resistencia de fricción"
Por tanto, la fuerza total F del fluido sobre la esfera está dada por la suma de las ecuaciones 2.6-9 y 2.6-12:
4
F = ? T R+ ~2 ~~p R~ v ,+ 4quRv, fuera de flataci6n
mistencia de fonna
resistencia de fricción
o bien, F = Fb +h= $ rPPg -t 6npRum fuerza de flotan6n
hiena cinbtica
El primer término es la fuerza de flotación,que estaría presente en un fluido en reposo; es la masa del fluido desplazado multiplicada por la aceleración de la gravedad. El segundo término, la fuerza cinética,resulta del movimiento del fluido. La relación
70
Capitulo 2 Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
se conoce como Z q de Stokes.l Se usa para describir el movimiento de partículas coloidales bajo un campo eléctrico, en la teoría de la sedimentación, y en el estudio del movimiento de partículas de aerosoles. La ley de Stokes es útil sólo hasta un número de Reynolds Re = Dv&/,u aproximadamente igual a 0.1. A Re = 1, la ley de Stokes predice una fuerza que es alrededor de 10% demasiado bajq. El comportamiento del flujo para números mayores de Reynolds se analizará en el capitulo 6. Este problema, que no puede resolverse con el método de balance de envoltura, recalca la necesidad de un método más general para manejar problemas de flujo donde las líneas de flujo de corriente no son rectilíneas. Bste es el tema del capítulo que sigue.
Determinar una relación que permita obtener la viscosidad de un fluido al medir la velocidad final ut de una pequeña esfera de radio R en el fluido.
viscosidad a partir de Ea velocidad final de una esfera que desciende
SOLUCI~N Si una pequeña esfera, inicialmente en reposo, se deja caer en un fluido viscoso, adquiere un movimiento acelerado hasta alcanzar una velocidad constante: la velocidad final. Una vez que se alcanza esta condición de estado estacionario, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la esfera debe ser cero. La fuerza de gravedad actúa sobre el sólido en la dirección de la caída, y las fuerzas de flotación y cinética actúan en la dirección opuesta:
Aquí p, y p son las densidades de la esfera sólida y el fluido. Al despejar la veIocidad final en esta ecuación se obtiene
Este resultado puede usarse sólo si el número de Reynolds es menor que aproximadamente0.1. Este experimento proporciona un método aparentemente simple para determinar la viscosidad. No obstante, es dificil evitar que una esfera homogénea gire durante su descenso, y si en efecto gira, entonces no puede usarse la ecuación 2.6-17. Algunas veces se usan esferas pesadas para imposibilitar la rotación; entonces el miembro izquierdo de la ecuación 2.6-16 debe sustituirse por m, la masa de la esfera, multiplicada por la aceleración de la gravedad.
l. Resumir el procedimiento utilizado en la solución de problemas de flujo viscoso por el método de balances de envoltura. ¿Qué tipos de problemas pueden resolverse con este método? ¿Cuáles no pueden resolverse con el mismo método? ¿Cómo se usa la definición de la primera derivada en el metodo? 2.
¿Cuáles de los sistemas de flujo presentados en este capítulo pueden usarse como viscosímetro? Enumerar las dificultades que podrían encontrarse con cada uno.
3. ¿Cómo se definen los números de Reynolds para películas, tubos y esferas? ¿Cuáles son las
dimensiones de Re? 4.
¿Cómo puede modificarse la fórmula del espesor de la película en 52.2 para describir una película delgada descendente en la pared interior de un cilindro? ¿Qué restricciones deben imponerse a esta fórmula modificada?
Problemas 71 5. ¿Cómo pueden usarse los resultados en S2.3 a fin de estimar el tiempo necesario para vaciar
un tubo vertical que está abierto en ambos extremos? 6. Comparar la dependencia radial del esfuerzo cortante para el flujo laminar de un líquido newtoniano en un tubo y en tubos conc4ntncos. Para el flujo anular, ¿por qué cambia de signo la función?
7. Demuestre que la ecuación de Hagen-Poiseuille es dimensionalmente consistente. 8. ¿Quédiferencias hay entre el flujo en un tubo circular de radio R y el flujo en el mismo tubo con un delgado alambre colocado a lo largo de su eje? 9. ¿En qué condiciones cabría esperar que el análisis en 52.5 fuese inaplicable?
10. ¿Es válida la ley de Stokes para pequeñas gotas de aceite que caen en agua? ¿Y para burbujas de aire que ascienden en benceno? ¿Y para pequeñas partículas que caen en el aire, si los diámetros de las partículas son del orden de la trayectoria libre media de las moléculas en el aire? 11. Dos líquidos inmixibles, A y B, circulan en flujo laminar entre dos láminas paralelas. ¿Es po-
sible que los perfiles de velocidad sean de la forma siguiente? Explique su respuesta.
Líquido A
Líquido B
12. ¿Cuál es la velocidad terminal de una partícula coloidal esférica que tiene una carga eléctrica e en un campo eléctrico de intensidad %? ¿Cómo se usa este hecho en el experimento de
Millikan de la gota de aceite?
PROBLEMAS
ZA.1 Espesor de una película descendente. Por una pared vertical fluye agua a 20°C de manera descendente con Re = 10. Calcular a) el caudal, en galones por hora por pie de ancho de la pa-
red, y b) el espesor de la película en pulgadas.
Respuestas: a) 0.727 gal/h . pie; b) 0.00361 pulg 2A.2 Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo. Un método para deter-
minar el radio de un tubo capiiar es medir la velocidad del flujo de un liquido newtoniano que circula en el tubo,Encontrar el radio de un capilar a partir de los siguientes datos de flujo: Longitud del tubo capilar Viscosidad cinemática del liquido Densidad del líquido Caída de presión en el tubo horizontal Velocidad de flujo másico a través del tubo
50.02 cm 4.03 x lop5 m2/s 0.9552 x ld kg/m3 4.829 x lo5 Pa 2.997 x l o u 3 kg/s
¿Qué dificultades pueden encontrarse con este método? Sugiera algunos otros metodos para determinar los radios de tubos capilares. 2A.3 Velocidad de flujo a través de tubos concéntricos. Un tubo concéntrico horizontal de 27 pies de longitud tiene un radio interior de 0.495 putg y un radio exterior de 1.1 pulg. Una solución al 60%se bombeara a través del anillo a 20°C. A esta tempeacuosa de sacarosa (C12H22011) ratura la densidad de la solución es 80.3 Ib/pie3 y la viscosidad es 136.8 Ib,/pie h. ¿Cuál es
el caudal volum~tncocuando la diferencia de presión que se imprime es de 5.39 psi? Respuesta: 0.110 pies3/s
72
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 2A.4
Pérdida de particulas catalíticas en un gas de chimenea. a) Estimar el diámetro máximo de las partículas de un catalizador constituido por microesferas, que pueden perderse en el gas que sale de la chimenea en una unidad de cracking de un fluido, en las siguientes condiciones: Velocidad del gas en el eje de la chimenea = 1.0 pie/s (verticalmente hacia arriba) Viscosidad del gas = 0.026 cp Densidad del gas = 0.045 lb/&$ Densidad de una partícula del catalizador = 1.2 g/crn3 Expresar el resultado en micrones (1micrón =
m = 1pm).
b) ¿Es permisible usar la ley de Stokes en el inciso a)? Respuestas: a) 110 pm;Re = 0.93 2B.1 Diferente elección de coordenadas para el problema de la película descendente. Obtener nuevamente el perfil de velocidad y la velocidad media en 52.2, sustituyendo x por una coordenada T medida lejos de la pared; es decir, E = O es la superficie de la pared, y T = 6 es la interface líquido-gas. Demostrar entonces que la distribución de velocidad está dada por
y luego usar este resultado para obtener la velocidad media. Demuestre cómo es posible obtener la ecuaci6n 28.1-1 a partir de la ecruaci6n 2.2-18 haciendo un cambio de variable. 2B.2
Procedimiento alternativo para resolver problemas de flujo. En este capitulo hemos utilizado el siguiente procedimiento: i)obtener una ecuaci6n para la densidad d e flujo de cantidad de movimiento, ii) integrar esta ecuación, iii) insertar la ley de Newton para obtener una ecuación diferencial de primer orden para la velocidad, iv) integrar esta última para obtener la distribución de velocidad. Otro método es el siguiente: i) obtener una ecuación para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii) insertar la ley de Newton para obtener una ecuación diferencial de segundo orden para el perfil de velocidad, iii) integrar esta última para obtener la distribución de velocidad. Aplicar este segundo método al problema d e la película descendente sustiíuyendo Ia ecuación 2.2-14 en la ecuacibn 2.2-10 y prosiguiendo como se indica hasta obtener la distribución de velocidad y evaluar las constantes de integración.
2B.3 Flujo laminar en una rendija estrecha (véase la figura 28.3).
Flujo a través de una rendija, con B
< W i<<
L.
Problemas
73
a) Un fluido newtoniano está en flujo laminar en una rendija estrecha formada por dos paredes paralelas separadas una distancia 2B. Se entiende que B << W,de modo que los "efectos de borde" carecen de importancia. Hacer un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las siguientes expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad:
En estas expresiones 9 = p + pgh = p - pgz.
b) ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la velocidad máxima para este flujo? c) Obtener la ecuación análoga a la de Hagen-Poiseuille para la rendija.
d) Elaborar un dibujo significativo para mostrar por que el análisis anterior no es aplicable si B = W.
e) ¿Cómo puede obtenerse el resultado del inciso b) a partir de los resultados de §2.5? Respuestas: b) (v,)/v,,,,
=
2B.4 Flujo laminar en una rendija con una pared móvil ("flujo de Couette plano"). Extienda el problema 2B.3 permitiendo que la pared en x = B se mueva en la dirección z positiva a una velocidad estable v,,. Obtenga a ) Ia distribución de esfuerzo cortante, y b) la distribución de velocidad. Elabore dibujos cuidadosamente identüicados de estas funciones.
2B.5 Relación entre las fórmulas de la rendija y de los tubos concéntricos. Cuando un flujo anular es muy delgado puede considerarse, con una muy buena aproximaci6n, como una rendija eshecha. Por consiguiente, los resultados del problema 28.3 pueden aplicarse con las modifiaciones pertinentes. Por ejemplo, la velocidad de flujo másico en un anillo con pared exterior de radio R y pared interior de radio (1 - E)R,donde E es pequeño, puede obtenerse a partir del problema 2B.3 sustituyendo 2 B por ER,y W por 2a(l - +&)R.De esta forma se obtiene la velocidad de flujo másico:
Demostrar que este mismo resultado puede obtenerse a partir de la ecuación 2.4-17 al tomar para K el valor 1 - E e n toda la fórmula y luego desarrollar la expresión para w en potencias de E . Para esto se requiere usar la serie de Taylor (véase 5C.2)
y después realizar una división larga. El primer término en la serie resultante será la ecuación 28.51. Precaucidn: en la deducción es necesario usar los primeros cuatro términos de la serie de Taylor en la ecuación 2B.5-2. 28.6
Flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular (vkase la figura 28.6). En un experimento de absorción de gases, un fluido viscoso avanza hacia arriba por un
74 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
----,
Distribución Distribución de velocidad fuera en la película
dentro del tubo
] cantidad L de movimiento
1 en la dirección z
1
deespesor Ar
Salida de cantidad de movimiento en la dirección z en la envoltura deespesorAr
1 f
Fuerza de gravedad que actúa sobre el volumen 2mArL
aR-
1
Figura 2B.6 Distribución de velocidad y balance de cantidad de movimiento en la dirección t
para eI flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular.
pequeño tubo circuIar y luego hacia abajo en flujo laminar por el exterior del tubo. Realice un balance de cantidad de movimiento sobre una envoltura de espesor Ar en la película, como se muestra en la figura 2B.6. Note que las flechas de "entrada de cantidad de movimiento" y "salida de cantidad de movimiento" siempre se toman en la dirección positiva de coordenadas, aun cuando en este problema la cantidad de movimiento fluye a través de las superficies cilíndricas en la dirección r negativa. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (ignorando los efectos finales) es
b) Obtener una expresión para la velocidad de flujo másico en la película. C)
Demostrar que el resultado del inciso b) se simplifica a la ecuación 2.2-21 si el espesor de la película es muy pequeño.
28.7 Flujo en tubos concéntricos con un cilindro interior que se mueve axialmente (véase la figura 2B.7). Una varilla cilíndrica de radio KR se mueve axialmente con velocidad v, = vo a lo
largo del eje de una cavidad cilíndrica de radio R como se observa en la figura. La presión en ambos extremos de la cavidad es la misma, de modo que el fluido se mueve a través de la regi6n anular solamente debido al movimiento de la varilla.
Problemas 75
I
Fluido a la presión modificada Po \
-
Varilla de radio KR quése mueve con velocidad o,
Cilindro de radio interior R
+
I
Fluido a la presiún modificada 9 0
L
Figura 28.7 Flujo en tubos concénhicos donde el cilindro interior se mueve axialmente. a) Encontrar la distribución de velocidad en la regi6n anular estrecha.
b) Encontrar la velocidad de flujo másico a través de la región anular. C)
Obtener la fuerza viscosa que actúa en la varilla sobre la longitud L.
d) Demostrar que el resultado del inciso c) puede escribirse coma una fórmula de "rendija plana" multiplicada por una "corrección de curvatura". Problemas de este tipo se presentan en el estudia del desempeño de matrices para alambre recubiert0.l
lnír / R) Respuestas: a) %=u~ In K
-2?TLpV0 d) Fz = -(1-
1 &- & E2 +
- .) donde
& = 1-K
(vease el problema 28.5)
de wn medidor de flujo capilar (véase la figura 2B.8). Determinar la velocidad del flujo (en lb/h) que circula por el medidor de flujo capilar que se muestra en la figura. El fluido que circula por el tubo inclinado es agua a 20°C, y el fluido del manometro es tetracloruro de carbona (CCI,) con densidad 1.591g/cm3. El diámetro capilar es 0.010 pulg. Nata: para calcular el caudal son suficientes las mediciones de H y L; no es necesario medir B. il'or qué?
28.8 Análisis
Figura 28,8 Medidor de flujo capilar.
'
J.B. Paton, P.H. Squires, W.H. Darneii, F.M. Cash y J.E Carley, Processing of Thermoplastic Matenals, E.C. Bernhardt (compiladar),Reinhold, Nueva York (1959),capítulo 4.
76 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 28.9 Fenómenos a baja densidad en flujo compresible por un tubo2J (figura 28.9). Amedida que
disminuye la presión en el sistema estudiado en el ejemplo 2.3-2, se presentan desviaciones respecto a las ecuaciones 2.3-28 y 2.3-29. El gas se comporta como si se deslizara en la pared del tubo. Un convencionalismo2es sustituir la condición limite de costumbre "sin deslizamiento" en la que u, = O en la pared del tubo por
donde 5 es el coeficiente de deslizamiento. Repetir la deducción en el ejemplo 2.3-2 usando la ecuación 2B.9-1 como condición límite. También, usar el hecho experimental de que el coeficiente de deslizamiento varía inversamente con la presión 5 = &,/p. donde es una constante. Demostrar que la velocidad de flujo de masa es
donde pmedia= (po + pL). Cuando la presión disminuye aún más, se alcanza un régimen de flujo en el cual la trayectoria libre media de las moléculas del gas es grande respecto al radio del tubo (flujo de Knudsen). En ese régimen3
donde m es la masa molecular y K es la constante de Boltzmann. Para la obtención de este resultado se supuso que todas las colisiones de las moléculas con las superficies del sóIido son difusas y no especulares. Los resultados en las ecuaciones 2.3-29,2B.9-2 y 28.9-3 se resumen en la figura 2B.9. L
Flujo de molécula libre o flujo de Knudsen
,
.,,
C
Pmedia
Figura 28.9 Comparación de los regímenes de flujo en un gas que circula por un tubo.
2B.10 Flujo incompresible en un tubo ligeramente ahusado, Un fluido incompresible circula por
un tubo de sección transversal circular, para la que el radio del tubo cambia linealmente desde R, en la embocadura del tubo hasta un valor ligeramente menor RL en la salida del tubo. Supóngase que la ecuación de Hagen-Poiseuille es aproximadamenfeválida sobre una longitud diferencial, dz, del tubo, de modo que la velocidad de flujo másico es
E.H. Kennard, Kinetic Theoy of Gases, McGraw-Hill, Nueva York (1938),pp. 292-295,300-306. M. Knudsen, The Kinetic Theory of Gases, Methuen, Londres, 3a. edición (1950).También véase R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physical Ckemistry, Wiley, Nueva York, 3a. edici6n (2001). 517.6.
Problemas 77 Ésta es una ecuación diferencial para 9 como una función de z pero, cuando se inserta Ia expresión explícita para R(z), no se resuelve fácilmente.
a) Escribir la expresión para R como una función de z. b) Cambiar la variable independiente en la ecuación anterior por R, de modo que la ecuación se convierta en
C)
Integrar la ecuación, y luego demostrar que la solución puede reordenarse para obtener
Interpretar el resultado. La aproximación usada aquí de que un flujo entre superficies no paralelas puede considerarse localmente como flujo entre superficies paralelas, algunas veces se denomina aproximación de lubricacidn y se usa ampliamente en la teoría de la lubricaci6n. Al realizar un análisis cuidadoso del orden de magnitud, puede demostrarse que, para este problema, la aproximación de lubricación es vtílida en tanto se cumpla que4
2B.11 El viscosímetro de plato y cono (véase la figura 2B.11). Un viscosímetro de plato y cono consta de una lámina plana (plato) estacionaria y un cono invertido, cuyo ápice apenas toca el plato. El liquido cuya viscosidad ha de medirse se coloca en la separación entre el plato y el cono.
b+o angular n)
\
Área dilerekcial
/ Figura 28.11 Viscosímetro de plato y cono: a) vista lateral del instrumento; b) vista superior del sistema de plato y cono, donde se muestra un elemento diferencial r dr dd; E ) distribución de velocidad aproximada dentro de la región diferencial. Para igualar los sistemas en (a) y (c), se identifican las siguientes equivalencias:V = nr y b = r sen
= rq0.
R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassagcr, Dynainics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Wiley-Interscience, Nueva York, 2a. edición (19071, pp. 16-18.
78 Capitulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
El cono se hace girar a una velocidad angular i2 conocida, y se mide el momento de torsi6n T , necesario para hacer girar el cono. Encontrar una expresión para la viscosidad del. fluido en términos de i2, T , y el ángulo $o entre el plato y el cono. Para instrumentos comerciales, es aproximadamente igual a un grado. a) Suponer que la distribución de velocidad en la separación puede aproximarse bastante por la velocidad correspondiente para flujo entre láminas paralelas, donde la lámina superior se mueve a velocidad constante. Comprobar que esto conduce a la distribuci6n de velocidad aproximada (en coordenadas esfericas)
Esta aproximación debe ser bastante buena debido a que SI, es muy pequeño.
b) A partir de la distribución de velocidad en la ecuacián 2B.11-1 y el apéndice 8.1, demostrar que una expresión razonable para el esfuerzo cortante es (2B.11-2)
7@+= ,~(fl/$~lg)
Este resultado demuestra que el esfuerzo cortante es uniforme a través de toda la separación. Este hecho es lo que hace tan atractivo al viscosímetro d e plato y cono. Este instmmento se usa ampliamente, sobre todo en la industria de polímeros. C)
Demostrar que el momento de torsión necesario para hacer girar el cono está dado por
T, = $ I ~ ~ ~ R ~ / I / I ~
(28.11-3)
Ésta es la fórmula normal para calcular la viscosidad a partir de mediciones del momento de torsión y la velocidad angular para el montaje de plato y cono con R y 4, conocidos. d) Para un instrumento de plato y cono con radio 10 cm y ángulo +o igual a 0.5 grados, ¿que momento de torsión (en dinas . cm) se requiere para hacer girar el cono a una velocidad angular de 10 radianes por minuto si la viscosidad del fluido es 100 cp? Respuesta: d) 40,000 dinas - cm
2B.12 Flujo de un fluido en una red de tubos (figura 28.12). Un fluido circula en flujo laminar desde A hasta B a travPs de una red de tubos, como se muestra en la figura. Obtener una expresión para la velocidad de flujo rnásico w del fluido que entra en A (o sale por B ) como una función de la caída de presión modificada BA- BB.Ignorar las perturbaciones en las diversas uniones de Los tubos.
Respuesta: w = 3 w ( P A - Y ~ ) R ~ ~ 2OpL
fluido
ITodos Alos \
iubos tienen el mismo radio R y la misma longitud L
Figura 2B.12 Flujo de un fluido en una red con ramificaciones.
Problemas 79
Distribución parabólica de
la partícula
t
t
Presión Po
Presión
PL
Figura 2C.1 Trayectoria de una particula en un colector eI6ctrico de polvo. La partícula que empieza en z = O y termina en x = +B no necesariamente puede recorrer la distancia más larga en
la dirección z.
2C.1 Desempeño de un colector eléctrico de polvo (véase la figura 2C.l).5 a) Un separador de polvo consta de dos Láminas con cargas opuestas entre las cuales fluyen gases que contienen el polvo. Se desea establecer un criterio para la longitud mínima del separador en términos de la carga sobre la partícula e, la intensidad del campo eléctrico %, la diferencia de presión (po - pL), la masa m de la partícula, y la viscosidad ,u del gas. Es decir, ¿para qué longitud L habrá alcanzado Ia partícula más pequeña presente (de masa m ) la lámina inferior justo antes de que pueda ser arrastrada fuera del canal? Supóngase que el flujo entre las láminas es laminar, de modo que la distribución de velocidad se describe por ia ecuación 28.3-2. También supóngase que la velocidad de la particula en la dirección z es la misma que la velocidad del fluido en la direcaón z. Todavía más, supóngase que es posible ignorar la resistencia de Stokes y la fuerza de gravedad que actúan sobre la esfera en la medida en que ésta se acelera en la direccibn x negativa.
b) Vuelva a trabajar el problema, ignorando la aceleración en la dirección x, pero incluyendo la resistencia de Stokes. c)
Comparar la utilidad de las soluciones en los incisos a) y b), considerando que las particulas estables de un aerosol tienen diAmetros efectivos que miden aproximadamente entre 1 y 10 micrones y densidades de alrededor de 1 g/cm3.
Respuesta: a ) L,,
= [12(p0- p L ) 2 ~ 5 m / 2 5 p 2 e 8 ] 1 / 4
2C.2 Distribución del tiempo de residencia en el flujo por u n tubo. La función del tiempo de resi-
dencia F ( t } se define como la fracción del. fluido que circula por un conducto que fluye completamente a través de éste en un intervalo de tiempo t. El. tiempo de residencia media t, se define también por la relación
a) Un líquido newtoniano incompresible fluye por un tubo circular de longitud L y radio R, y la velocidad media de flujo es (v,).Demostrar que F(t) = O
para t
5
(L/~(v,))
F ( I ) = i - ( ~ / (2~ , } t ) ~ para t 2 ( L / 2 ( u z ) )
b) Demostrar que t,
= (L/(v,}).
$ ~ respuesta a proporcionada en la p h e r a edición de este libro era incorrecta, como nos indicó en 1970 Nau Gab Lee de la Universidad Nacional de S e d
80
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar 2C.3 Distribución de velocidad en un tubo. El lector ha recibido un trabajo que debe evaluar pa-
ra su publicación en una revista técnica. El trabajo trata de la transmisión de calor para el flujo en un tubo. Los autores establecen que, debido a que están trabajando con flujo no isotérmico, deben obtener una expresión "general" para la distribución de velocidad, que pueda utilizarse incluso cuando la viscosidad del fluido sea una función de la temperatura (y por tanto, de la posición). Los autores establecen que una "expresión general de la distribución de velocidad para el flujo en un tubo" es
donde y = r / R . Los autores no proporcionan la deducción, y tampoco una cita bibliográfica donde encontrarla. Como evaluador del trabajo, el lector está obligado a obtener la fórmula y enumerar todas las restricciones implicadas. 2C.4 Viscosímetro de cilindro descendente (véase la figura z C . ~ ) Un . ~ viscosímetro de cilindro descendente consta de un largo recipiente cilíndrico vertical (de radio R), cerrado en ambos extremos, con un pedazo de metal cilíndrico sólido (de radio KR).El pedazo de metal está
equipado con aletas, de modo que su eje coincide con el del tubo. La velocidad de descenso del pedazo metálico en el recipiente cilíndrico puede observarse cuando éste se encuentra lleno de fluido. Encontrar una ecuaci6n que proporcione la viscosidad del fluido en términos de la velocidad terminal vo del pedazo de metal y las diversas cantidades geornétricas que se muestran en la figura. a) 'Demostrar que la distribución de velocidad en la rendija anular está dada por
T
El pedazo de metal cilindrico desciende con velocidad vo
i I1 I
i/ 1
z+
k-
1
Figura 2C.4 Viscosímetro de Contenedor cilindrico Heno de fluido
cilindro descendente con un cilindro sólido estrechamente ajustado que se mueve en dirección vertical. El cilindro suele estar equipado con aletas para mantenerlo centrado dentro del tubo. El fluido liena por completo el tubo, y las partes superior e inferior están cerradas.
J. ~ohrenz,G.W. Swift y E Kurata, NChE Journal, 6,547-550 (1960) y 7,6S (1961); E. Ashare, R.B. Bird y ,.A. kscarboura, AiChE loumal, 11,910-916 (1965).
1
Problemas 81 donde 6 = r/R es una coordenada radial adimensional.
b) Hacer un balance de fuerzas sobre el pedazo de metal cilíndrico y obtener
[(
:)
P = (po- p ) g ( ~ ~ )ln2 2vo
)]
-( I - K ~ 1+K2
donde p y p0 son las densidades del fluido y el pedazo de metal, respectivamente. C)
Demostrar que, para rendijas de anchura pequeña, el resultado del inciso b) puede desarrollarse en potencias de E = 1 - K para obtener
Véase 92.2 para consultar información sobre el desarrollo en serie de Taylor. 2C.5
Película descendente sobre una superficie cónica (véase la figura 2C.5).' Un fluido circula hacia arriba por un tubo circular y luego hacia abajo sobre una superficie cónica. Encontrar el espesor de la película como una función de la distancia s hacia abajo en el cono.
a) Supóngase que los resultados de $2.2 pueden aplicarse aproximadamente sobre cualquier región pequeña de la superficie del cono. Demostrar que al realizar un balance de masa sobre un anillo del líquido contenido entre s y s + As se obtiene:
d -(ss(v)) ds
=O
o bien
d -(s6 ds
3
)=O
b) Integrar esta ecuación y evaluar la constante de integración igualando la velocidad de flujo de masa w hacia arriba por el hibo central a la correspondiente del fluido que circula hacia abajo en la superficie cónica en S = L. Obtener la siguiente expresión para el espesor de la película: 6.d
I
3p
(9
w p 2 g sen ~ 2P s
s = distancia corriente abajo
\
del cono. medida-desde el ápice del cono
El espesor de la
'película es 6 0)
t
Enbada del fluidomn de flujo másico w
~ g w 2C.S a l>eiícuiadescendente
sobre una superficie cónica.
R.B. B i d , en Selected Topr'cs in Tmnsport Phenomena, CEP Symposium Series #58,6X, 1-15 (1965).
82
Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
Figura 2C.6 Bomba de cono giratorio. La variable r es la distancia del eje de rotación hacia el centro de la rendija.
T~irecciílndel flujo con veloc~dadde flujo másico w (lb,,/s)
2C.6 Bomba de cono giratorio (véase la figura 2C.6). Encontrar la velocidad d e flujo másico a través de esta bomba como una función de ia aceleración de la gravedad, la diferencia de presión impresa, la velocidad angular del cono, la viscosidad y la densidad del fluido, el ángulo del cono, y otras cantidades geométricas identificadas en la figura.
a) Primero, analizar el sistema sin la rotación del cono. Supóngase que es posible aplicar localmente los resultados del problema 2B.3. Es decir, adaptar la solución para la velocidad de flujo másico de ese problema haciendo las sustituciones siguientes: sustituir (Po- PL)/L
por - d P / d z
sustituir W
por 2m = 2 r z sen /3
para obtener así
La velocidad de flujo másico w es constante sobre el intervalo de z. Por tanto, esta ecuación puede integrarse para obtener
(yl - p 2 ) ~3 4.ir
pw
B~~ sen P
l nL 2
LI
b) Luego, modificar el resultado anterior para tener en cuenta que el cono está girando con veIocidad angular 0. La fuerza centrífuga media por unidad de volumen que actúa sobre el fluido en la rendija tendrá una componente z dada aproximadamente por
¿Cuál es el valor de K? Incorporar esto como una fuerza adicional que tiende a impulsar el fluido a través del canal. Demostrar que lo anterior lleva a la siguiente expresión para la velocidad de flujo másico:
Problemas 83 Rapidez de ascenso
Elemento de Bourdon
Tubo
capilar
f /
Presión en el exterior = p,
Aquí, Y,= p,
Presión en el interior = pi
Figura 2C.7 Indicador de la rapidez de ascenso.
+ pgL, cos 8.
2C.7 Un indicador simple de la rapidez de ascenso (véase la figura 2C.7). En circunstancias apro-
piadas, el aparato que se muestra en la figura puede usarse para medir Ia rapidez de ascenso de un avión. La presión manométrica dentro del elemento de Bourdon se toma como proporcional a la rapidez de ascenso. Para efectos de este problema puede suponerse que el aparato tiene las siguientes propiedades: i) el tubo capilar (de radio R y longitud L, con R << L) es de volumen despreciable pero su resistencia al flujo es considerable; ii) el elemento de Bourdon tiene un volumen constante V y ofrece una resistencia despreciable al flujo; y iii) el flujo en el capilar es laminar e incompresible, y el caudal volumétrico sólo depende de las condiciones en los extremos del capilar. a)
Desarrollar una expresiiin para el cambio en la presión del aire con la altitud, despreciando cambios en la temperatura, y considerando que el aire es un gas ideal de composicián constante. (Sugerencia: escribir un balance de envoltura en el que el peso del gas se equilibre contra la presión estática.)
b) Haciendo un balance de masa sobre el manómetro, desarrollar una relación aproximada entre la presión manométrica p, - p, y la rapidez de ascenso u, para un largo ascenso continuo a velocidad constante. Despreciar e1 cambio en la viscos~daddel aire y suponer que los cambios en la densidad del aire son pequeños. C)
Desarrollar una expresión aproximada para el "tiempo de reIajación",,t del indicador; es decir, el tiempo necesario para que Ia presión manométrica descienda a 1/ e de su valor inicial cuando la presión externa cambia repentinamente desde cero (respecto al interior del manómetro) hasta algún valor constante diferente, y se mantenga indefinidamente en este nuevo valor.
d) AnaIizar la utilidad de este tipo de indicador para un avión pequeño. e) Justificar los signos positivo y negativo que aparecen en la figura.
Respuestas: a ) d p / d z = -pg = -(pM/RT)g
b) pi - p, = v , ( ~ , u L / . ~ ~ R ~ ) ( M ~ v donde / R ~ / TRg ) , es la constante del gas y M es cl peso molecular. c) t, = (128/.rr)@VL/D4p ), donde p = $ (p, + p,) 2D.1 Viscosímetro de bola rodante. Se ha proporcionado un análisis aproximado del experimento de la bola rodante, donde se usan los resultados del problema 2B.3.* Lea el documento ori-
ginal y compruebe los resultados. H.W. Lewis, Anal. Chem., 25,507 (1953);R.B. Bird y R.M. Turian, Id.Eng. C h m . Fundamrntals, 3 , 8 7 (1964); ták y F.Ambros, Rheol. Acta, 12,70-76 (1973).
J.S~S-
84 Capítulo 2
Balances de cantidad de movimiento en la envoltura y distribuciones de velocidad en flujo laminar
Nivel inicial del líquido
(z, t) = espesor de la película
Pared del recipiente contenedor
Figura 2D.2 Adherencia de un fluido viscoso a
la pared de un recipiente durante el drenado.
2D.2 Drenado de líquidos9 (véase la figura 2D.2). iCuánt0 líquido queda adherido en la superficie interna de un recipiente grande cuando éste se vacía? Como se muestrá en Ia figura, en la
pared queda una delgada película de liquido a medida que desciende el nivel del liquido en el recipiente. El espesor local de la película es una función tanto de z (la distancia hacia abajo a partir del nivel inicial del líquido) como de t (el tiempo transcurrido). a)
Hacer un balance de masa de estado no estacionario sobre una porción de la película entre z y z + Az para obtener
b) Usar la ecuación 2.2-18 y una suposición de estado casi estacionario para obtener la siguiente ecuación diferencial parcial de primer orden para S(z,t):
c}
Resolver esta ecuación para obtener
¿Qué restricciones deben imponerse a este resultado?
J.J.van Rossum, Appl. Sn.Research, A7,121-144(1958); tambien vease V.G. Levich, Physicochemiml Hydrodynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.(1962), capítulo 12.
E
Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos 3.1
Ecuación de continuidad
532
Ecuación de movimiento
53.3
Ecuaci6n de energía mecánica
53.4"
Ecuaci6n de cantidad de movimiento angular
53.5
Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial
53.6
Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo
53.7
Análisis dimensional de las ecuaciones de variación
En el capitulo 2 se determinaron distribuciones de velocidad para varios sistemas de flujo sencilIos, aplicando el método de balances de envoltura de cantidad de movimiento. Las distribuciones de velocidad resultantes se usaron para obtener otras cantidades, como Ia velocidad media y la fuerza de resistencia. El método de balances de envoltura se utilizó para familiarizar al principiante con el concepto de balance de cantidad de movimiento. Aunque no se mencionó en el capítulo 2, en varios puntos se utilizó implícitamente este concepto de balance de materia. Establecer un balance de envoltura para cada problema que se presenta es una tarea tediosa. Lo que se requiere es un balance general de materia y un balance general de cantidad de movimiento que puedan aplicarse a cualquier problema, incluyendo problemas con movimiento no rectilíneo. Ése es el punto principal de este capítulo. Las dos ecuaciones que se obtienen se denominan ecuación de continuidad (para el balance de materia) y ecuación de movimiento (para el balance de cantidad de movimiento). Estas ecuaciones pueden usarse como punto de partida para estudiar todos los problemas que implican el flujo isotérmico de un fluido puro. En el capitulo 11 se amplía la capacidad para resolver problemas al desarrollar las ecuaciones necesarias para fluidos puros no isotérmicos, esto se logra al añadir una ecuación para temperatura. En el capítulo 19 se avanza aun más y se agregan ecuaciones de continuidad para las concentraciones de las especies individuales. Por tanto, a medida que se va del capítulo 3 al capítulo 21 y luego al capítulo 19, podremos analizar sistemas cada vez más complejos, usando todo el conjunto de ecuaciones de variación. Debe resultar evidente que el capítulo 3 es muy importante (quizá el más importante del libro), por lo que debe dominarse por completo. En 53.1 se desarrolla la ecuación de continuidad realizando un balance de materia sobre un pequeño elemento de volumen a través del que circula el fluido. Después se deja que e1 tamaño de este elemento tienda a cero (por Lo que se considera al fluido como un continuo) y se obtiene la ecuación diferencial parcial deseada. En 53.2 se desarrolla la ecuación de movimiento al efectuar un balance de cantidad de movimiento sobre un pequeño elemento de volumen y dejar que éste se haga infinitamente pequeño. De nuevo se obtiene aquí una ecuación diferencial par-
86 Capitulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos cial, Esta ecuación de movimiento puede usarse, junto con un poco de ayuda de la ecuación de continuidad, para plantear y resolver todos los problemas proporcionados en el capítulo 2 y muchos otros problemas más complicados. Por tanto, esta ecuación es fundamental en fenómenos de transporte. En 93.3 y 53.4 se hace una breve digresión a fin de introducir las ecuaciones de continuidad para energía mecánica y cantidad de movimiento angular. Estas ecuaciones se obtienen a partir de la ecuación de movimiento y por tanto no contienen ninguna información física nueva. No obstante, constituyen un punto de partida conveniente para varias aplicaciones de este libro, en particular los balances macroscópicos del capítulo 7. En g3.5 se introduce la "derivada sustancial". Ésta es la derivada respecto al tiempo que sigue el movimiento de la sustancia (es decir, el fluido). Debido a que se utiliza ampliamente en libros de dinámica de fluidos y fenómenos de transporte, más adelante demostramos cómo es posible volver a escribir las diversas ecuaciones de variación en términos de las derivadas sustanciales. En 53.6 se analiza la solución de problemas de flujo mediante las ecuaciones de continuidad y movimiento.Aunque éctas son ecuaciones diferenciales parciales, podemos resolver muchos problemas postulando la forma de la solución y luego eliminando muchos términos en estas ecuaciones. De esta forma se termina con un conjunto más simple de ecuaciones por resolver. En este capitulo resolveremos sólo problemas en los que las ecuaciones generales se reducen a una o más ecuaciones diferencialesordinarias. En el capítulo 4 se analizarán problemas más complejos que requieren algo de destreza para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Después, en el capitulo 5 las ecuaciones de continuidad y movimiento se usan como punto de partida para analizar el flujo turbulento. Posteriormente, en el capítulo 8, las mismas ecuaciones se aplican a flujos de líquidos poliméricos, que son fluidos no newtonianos. Por último, 53.7 se dedica a escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento en forma adimensional. Esto esclarece el origen del número de Reynoids, Re, mencionado a menudo en el capitulo 2, y por qué desempeña un papel crucial en la dinámica de fluidos. Este análisis establece las bases para realizar estudios a escala y con modelos. En el capítulo 6 nuevamente se presentan números adimensionales en relación con correlaciones experimentales de la fuerza de resistencia en sistemas complejos. Al final de 52.2 se recalcó la importancia de los experimentos en dinámica de fluidos. Aquí se repiten esas palabras de advertencia y se indica que las fotografías y otras formas de visualización de flujo han permitido una comprensión mucho más profunda de los problemas de flujo de lo que sería posible sólo con la teoría.' Debe recordarse que cuando se deduce un campo de flujo a partir de las ecuaciones de variación, no significa que es la única solución admisible fííicamente. En este capítulo algunas veces se utilizan notaciones vectoriales y tensoriales, esencialmente con objeto de abreviar expresiones que de otra forma serían muy extensas. El estudiante principiante encontrará que para leer este capítulo y para resolver problemas de flujo basta un conocimiento elemental de la notación vectorial y tensorial. El estudiante avanzado encontrará que el apéndice A es útil para adquirir una mejor comprensión de las manipulaciones vectoriales y tensoriales. Respecto a la notación, es necesario recordar que aquí se usan los símbolos en cursiva nomal para escalares, letras normales en negritas para vectores, y los símbolos griegos en 'Se recomienda particularmente M. Van Dyke, An AIbuln of Fluid Motion, Parabolic Press, Stanford (1982); H. Werlé, Ann. Rev. FluidMech; 5,361-382 (1973); D. V. Boger y K.Walters, Rheological Phenomena in Focus, Elsevier, Amsterdam (1993).
53.1 Ecuación d e continuidad 87
1
Figura 3.1-1 Elemento de volumen fijo dx Ay Az a travks del que circuia un fluido. Las flechas indican la densidad de flujo de materia de entrada y salida en el volumen en Ias dos caras sombreadas localizadas en x y x + Ax.
negritas para tensores. También, las operaciones de producto punto entre paréntesis ( ) son escalares, y las escritas entre corchetes [ 1 son vectores.
Esta ecuación se deduce al realizar un balance de materia sobre un elemento de volumen Ax Ay Az, fijo en el espacio, a través del que circula un fluido (véase la figura 3.1-1):
{
velocidad de aumento de materia
]
=
}-{&'"":]
velocidad de entrada de materia
velocidad (3.1-11
Ahora debemos traducir este enunciado físico simple a un lenguaje matemático. Empezamos por considerar las dos caras sombreadas, que son perpendiculares al eje x. La velocidad de entrada de materia en el elemento de volumen a través de la cara sombreada en x es (pv,) [,Ay Az, y la velocidad de salida de materia a través de la cara sombreada en x .t Ax es (pX) l,+h Ay Az. Expresiones semejantes pueden escribirse para los otros dos pares de caras. La velocidad de incremento de materia dentro del elemento de volumen es Ax Ay Az ( d p / d t ) . El balance de materia queda por tanto como
Al dividir toda la ecuación entre Ax Ay Az y tomar el límite cuando Ax, Ay y Az tienden a cero, y luego usando las definiciones de las derivadas parciales, se obtiene
Ésta es la ecuación de continuidad, que describe la velocidad de variación respecto al tiempo de la densidad del fluido en un punto fijo en el espacio. Esta ecuación puede escribirse de manera mas breve usando notación vectorial como sigue:
88 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
velocidad de incremento d e materia por unidad de volumen
velocidad neta de adición de materia por conveccion, por unidad de volumen
Aquí ( 7 . p ~se ) denomina "divergencia de pv", y algunas veces s e escribe como "div y su divergencia tiene un significado simple: es la velocidad neta con que sale o se emite la densidad de flujo de materia por unidad de volumen. En la deducción que se presenta en el problema 3D.l s e utiliza un elemento de volumen de forma arbitraria; no es necesario usar un elemento de volumen rectangular como se hizo aquí. Una forma especial muy importante de la ecuación de continuidad es aquella para un fluido de densidad constante, para el que la ecuación 3.1-4 asume la forma particularrnerite simple
pv". El vector pv es la densidad de flujo de materia
(fluido incompresible)
(V
v) = O
(3.1-5)
Por supuesto, ningún fluido es verdaderamente incompresible, aunque a menudo en aplicaciones de ingeniería y biología, suponer u n a densidad constante da por resultado una simplificación considerable y un error muy pequeño.l~~
ETEMPLO 3.1-1 Esfierzos normales en supeuficies súlidas para fluidos newtonianos incompresibles
Demostrar que para cualquier tipo de patrón de flujo y para fluidos newtonianos con densidad constante, los esfuerzos normales son cero en los limites fluido-sólido. Éste es un resultado importante que usaremos a menudo. SOLUCIÓN
Visualizamos el flujo de un fluido cerca de alguna superficie sólida, que puede o no ser plana. El flujo puede ser bastante general, donde las tres componentes de velocidad sean funciones de las tres coordenadas y del tiempo. En algún punto P sobre la superficie establecemos un sistema de coordenadas cartesianas con el origen en P. Ahora preguntamos cuál es el esfuerzo normal 72,en P. Según la tabla 0.1o la ecuación 1.2-6, T,, = -2p(dv,/dz), porque (VT) = O para fluidos incompresible~.Asi, en el punto P sobre la superficie del sólido
Primero sustituimos la derivada dv,/dz usando la ecuación 3.1-3 con p constante. Siii embargo, sobre la superficie sólida en z = O, Ia velocidad v, es cero debido a la condici6n sin deslizamiento (véase 5j2.11, y en consecuencia la derivada du,/dx sobre la superficie debe ser cero. Lo mismo es cierto de dv ldy sobre la superficie. En consecuencia, T,, es cero. También es cierY to que T,, y T~~ son cero en la superficie debido a la desaparición de las derivadas en z = O.
L.D. Landau y E.M. Lifschitz, Fluid Mechanics, 13ergamon Press, Oxford (19871, p. 21, indican que, para flujos estacionarios isentriipicos (que suelen enconharse en aerodinámica) la suposici6n d e incompresibilidad es válida cuando la velocidad de1 fluido es pequeña en comparación con la del sonido (es decir, número de Mach bajo). La ecuación 3.1-5constituye la base del capítulo 2 de la obra de G.K. Batchelor, An Introduction fo Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1967), que es un extenso análisis d e las consecuencias cinemáticas de la ecuación de continuidad.
93.2 Ecuación de movimiento 89
(Nota: la desaparición de 10s esfuerzos normales sobre superficies sólidas no es válida para fluidos poliméricos, que son viscoelásticos. Para fluidos compresibles, los esfuerzos normales en superficies s6Iidas son cero si Ia densidad no cambia con el tiempo, como se muestra en el problema 3C.2.)
[
Para obtener la ecuación de movimiento escribimos un balance de cantidad de movimiento sobre el elemento de volumen Ax Ay Az en la figura 3.2-1 de la forma
][
velocidad de incremento de cantidad de movimiento
=
velocidad de entrada de cantidad de movimiento
1
-
[.""L]
+
cantidad de movimiento
[
]
fuerza extema sobre el fluido
.3.2-l)
Nótese que la ecuación 3.2-1 es una extensión de la ecuación 2.1-1 para problemas de estado no estacionaBo. Por consiguiente, procedemos casi de la misma forma que en el capítulo 2. No obstante, además de incluir el término de estado no estacionario, es necesario permitir que el fluido se mueva a través de las seis caras del elemento de volumen. Recuérdese que la ecuación 3.2-1 es una ecuación vectorial con componentes en cada una de las tres direcciones de coordenadas x, y y z. Desarrollamos la componente x de cada término de la ecuación 3.2-1; las componentes y y z pueden tratarse en forma semejante.' Primero, consideramos las velocidades de flujo de la componente x de cantidad de movimiento de entrada y salida en el elemento de volumen que se muestra en la figura 3.2-1. La cantidad de movimiento entra y sale en Ax Ay AZ por dos mecanismos: transporte convectivo (véase s1.7) y transporte molecular (véase 51.2). La velocidad a Ja que la componente x de cantidad de movimiento entra a través de la cara sombreada en x por todos los mecanismos (tanto convectivo como rnolecular) es (4),I Ay Az, y la velocidad a la que sale de la cara sombreada en x + Ax es (+w)lx+ax Ay Az. Las velocidades a las que la cantidad de movimiento en la dirección x entra y sale a través de las caras en y y y + Ay son (
Figura 3.2-1 Elemento de voIumen fijo Ax Ay Az, con seis flechas que indican la densidad de flujo de cantidad de movimiento en la dirección x a través de las superficies por todos los mecanismos. Las caras sombreadas están ubicadas en x y x + Ax.
'
En este Libro todas las ecuaciones de variaci6n se deducen aplicando las leyes de conservación a una regiGn Ax Ay Az fija en el espacio. Las mismas ecuaciones pueden obtenerse usando una región arbitraria fija en el espacio o una que se desplace junto con el fluido. Estas deducciones se describen en el problema 3D.1. Los estudiantes avanzados deben faidkizarse con tales deducciones.
90
I
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Az Ax, respectivamente. De manera semejante, las velocidades a las que la cantidad de movimiento en la dirección x entra y sale a través de las caras z y z + Az son (4,,)tZ AX Ay y (C$I,)I,+~ Ax Ay. Al sumar estas contribuciones se obtiene la rapidez neta de adición de cantidad de movimiento en la dirección x
a través de los tres pares de caras. Luego está la fuerza externa (típicamente la fuerza de gravedad) que actúa sobre el fluido en el elemento de volumen. La componente x de esta fuerza es
P&AX AY 'h
(3.2-3)
Las ecuaciones 3.2-2 y 3.2-3 proporcionan las componentes x de los tres términos en el miembro derecho de la ecuación 3.2-1.Así, la suma de estos términos debe igualarse a la velocidad de incremento de cantidad de movimiento en la dirección x dentro del elemento de volumen: Ax Ay Az c?(pv,)/ált.Al hacer lo anterior se obtiene la componente en la dirección x del balance de cantidad de movimiento. Cuando esta ' ecuación se divide entre Ax Ay Az y se toma el limite cuando Ax, Ay y Az tienden a cero, resulta la siguiente ecuación:
Aquí hemos utilizado las definiciones de las derivadas parciales. Ecuaciones semejantes pueden obtenerse para las componentes en Ias direcciones y y z del balance de cantidad de movimiento:
Al usar notación vectorial-tensorial, estas tres ecuaciones pueden escribirse como sigue:
Es decir, al dejar que i sea sucesivamente x, y y z,pueden reproducirse las ecuaciones 3.2-4, 3.2-5 y 3.2-6. Las cantidades pv, son las componentes cartesianas del vector pv, que es la cantidad de movimiento por unidad de volumen en un punto en el fluido. De manera semejante, las cantidades pgi son las componentes del vector pg, que es la fuerza externa por unidad de volumen. El término -[V-$1; es la i-ésima componente del vector -[V.+]. Cuando la i-ésima componente de la ecuación 3.2-7 se multiplica por el vector unitario en la i-ésima dirección y las tres componentes se suman vectorialmente, se obtiene
que es el planteamiento diferencial de la ley de conservación de cantidad de movimiento. Es la traducción de la ecuación 3.2-1 a símbolos matemáticos.
53.3 Ecuación de energía mecánica 91
En la ecuación 1.7-1 se demostró que e1 tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento combinado es la suma del tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo p w y el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento molecular ~ r y, que éste puede escribirse como la suma de p8 y r. Cuando se inserta 4 = p w + p8 + T en la ecuación 3.2-8, se obtiene la siguiente ecuación de movirnient~:~
+
d
ZPV
=
veloadad de incremento de cantidad de movimiento por unidad de volumen
-[V.pw]
-vp
velocidad de adici6n de cantidad de movimientopor mnvdn por unidad de volumen
veloadad de adia6n de cantidad de movimiento por transporte rnolecular por unidad de volumen
-IV.T]
+S fuerza externa sobre el fluido por unidad de volumen
En esta ecuación, V p es un vector denominado "gradiente de (el escalar) p", y algunas veces se escribe como "grad p". El símbolo [V. TI es un vector denominado "divergencia de (el temor) T", y [V-pwl es un vector denominado "divergencia de (el producto diádico) pw". En las dos secciones siguientes proporcionaremos algunos resultados formales que están basados en la ecuación de movimiento. Las ecuaciones de variación para energía mecánica y cantidad de movimiento angular no se usan para resolver problemas en este capítulo, sino que se difieren hasta el capítulo 7. Ce recomienda a los estudiantes interesados que primero repasen estas secciones y después las consulten a medida que sea necesario.
53.3
ECUACIÓNDE ENERGÍA MECÁNICA
,í
La energía mecánica no se conserva en un sistema de flujo, aunque esto no es un impedimento para desarrollar una ecuación de variación para esta cantidad. De hecho, a lo largo de este libro obtendremos ecuaciones de variación para un número de cantidades que no se conservan, como la energía interna, la entalpía y la entropía. La ecuación de variación para energía mecánica, que implica sólo términos mecánicos, puede deducirse a partir de la ecuación de movimiento proporcionada en 53.2. En el siguiente texto se hace referencia en varias ocasiones a la ecuación resultante. Tomamos el producto punto del. vector velocidad v con la ecuación de movimiento en la ecuación 3.2-9 y luego hacemos un reordenamiento bastante laborioso, usando la ecuación de continuidad en la ecuación 3.1-4. También separamos en dos partes cada uno de los términos que contienen a p y T. El resuitado final es la ecuación de variación para energíh cinética:
Esta ecuación se atribuye a A.-L. Cauchy, Ex.de mnth., 2.106-111 (1827). (Barón)Augustin-Louis Cauchy (17891857), originalmente preparado como ingeniero, hizo grandes contribucionesa la física y matemáticas teóricas, incluyendo el dlcuio de la variable compleja.
92 Capitulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos d
(12
=
velocidad de incremento de energía únética por unidad de volumen -
- (V l, pv2v)
-
(V . pv)
-
velocidad de adición velocidad de de energía anética trabajo realizado por convecdón por por la presibn unidad de volumen del entorno sobre el fluido
(V. [7 . VI)
-
velocidad de trabajo reaiizado por las fuerzas viscosas sobre el fluido
:Vv)
(-7 velocidad de conversión irreversible de energía cinética en energía interna
p(-v
v)
velocidad de conversión reuersible de energía &ética en energía interna
(3.3-1)'
+ p(v . g) velocidad de trabajo realizado por la fuerza externa sobre el fluido
En este momento no resulta claro por qué hemos atribuido la importancia física indicada a los términos p(V . v) y (?:Vd.El significado de éstos no puede apreciarse en su justa dimensión sino hasta haber estudiado el balance de energía en el capítulo 11. Ahí se verá cómo estos mismos dos términos aparecen con signo opuesto en la ecuación de variación para energía interna. Ahora introducimos la energía potencial2(por unidad de materia) 6, definida por g = -v&. Luego el último térmipo en la ecuación 3.3-1 puede volver a escribirse co) pv 6)- t W V .pv). La ecuación de cptinuidad en la ecuación mo - p(v ~ 6= -(V 3.14 puede usarse ahora para susJituir +&v - pv) por -@(Jp/df). La última expresión puede escribirse como -J(p@) /Jt, si la energía potencial es independiente del tiempo. Esto es válido para el campo gravitacional para sistemas que están situados en la superficie de la Tierra; así,& = gh, donde g es la aceleración (constante) de la gravedad y h es la coordenada de elevación en el campo gravitacional. Con la introducción de la energía potencial, la ecuación 3.3-1 asume la siguiente forma: a
a
d -(+PV~ dt
+p6)
= - (V. (+v2
+ p6)v)
Ésta es una ecuación de variación para energía cinética más energfá potencial. Debido a que las ecuaciones 3.3-1 y 3.3-2 contienen sólo términos mecánicos, a las dos se les llama ecuación de variación para energíá mecánica. El término p(V v) puede ser positivo o negativo, dependiendo de que el fluido experimente expansión o compresión. Los cambios de temperatura resultantes pueden ser bastante grandes para gases en compresoras, turbinas y tubos de choque. El término ( - ~ V V siempre ) es positivo para fluidos newtonianoc,3 porque puede escribirse como una suma de términos elevados al cuadrado:
.
.
' Esta interpretación bajo el término (eVv) es correcta sólo para fluidos newtonianos; para fluidos viscoelásticos, como polimeros, este término puede incluir conversión reversible a energía elástica. 2Sig= -63 es un vectot de magnitud en la dirección z negativa, entonces la energía potencial por unidad de masa es 6 = $2, donde z es la elevaci6n en el campo gravitacional. Una consecuenaa divertida de la disipaa6n viscosa para el aire es el estudio de H.K. Moffatt [Nature, 404,833834 (20M))I de La forma en que una moneda girando llega al reposo en una mesa.
93.4 Ecuación de cantidad de movimiento angular
93
que sirve para definir las dos cantidades @, y q,.Cuando el índice i asume los valores l, 2 y 3, las componentés de la velocidad vi se convierten en u, vy y v,, y las coordenadas cartesianas xise convierten en x, y y z. El simbolo S9.. es la delta de Kronecker, que es O si i = j y 1 si i = j. La cantidad (-T:VV) describe la degradación de energia mecánica en energía térmica que ocurre en todos los sistemas de flujo (algunas veces se denomina calenEste caIentamiento puede producir aumentos consitamiento por disipación vi~cosa).~ derables de temperahra en sistemas con grandes gradientes de viscosidad y de velocidad, como en lubricación, extrusión rápida y vuelo a alta velocidad. (Otro ejemplo de conversión de energía mecánica en calor es el frotamiento de dos varas para producir fuego, actividad que presumiblemente son capaces de hacer los niños exploradores.) Al hablar de "sistemas isotérmicos", entendemos sistemas en los que no hay gradientes de temperatura impuestos externamente y no hay un cambio apreciable de temperatura debido a la expansión, la contracción o la disipación viscosa. El uso más importante de la ecuación 3.3-2 es para el desarrollo del balance macroscópico de energia mecánica (o ecuación de ingeniería de Bernoulli) que se presenta en la sección 7.8.
A partir de la ecuación de movimiento puede obtenerse otra ecuación al formar el producto cmz del vector de posición r (cuyas coordenadas cartesianas son x, y, z ) con la ecuación 3.2-9. La ecuación de movimiento según se dedujo en g3.2 no contiene la suposición de que el temor de esfuerzo (o de densidad de flujo de cantidad de movimiento) T es simétrico. (Por supuesto, las expresiones dadas en s2.3 para el fluido newtoniano son simétricas; es decir, T..'1 = rji-) Cuando se forma el producto cruz, se obtiene -luego de algunas manipulaciones vectoriales-tensoriales- la siguiente ecuación de variación para la cantidad de movimiento angular:
a -p[r dt
X
V I = -[V
pv[r X vil-[V. [r X p8]t~-[V. [r X
T ~ ] ~ [] +r
pg] ~ - [&:TI (3.4-1)
(el símbolo de pemutación Aquí E es un tensor de tercer orden con componentes definido en gA.2).Si el tensor de esfuerzo T es simétrico, como para fluidos newtonianos, el último término es cero. Según las teorias cinéticac de gases diluidos, liquidos monoatómicos y polímeros, el tensor T es simétrico, en ausencia de momentos de torsión eléctricos y magnéticos.' Si, por otra parte, T es asimétrico, entonces el ÚItimo término describe la rapidez de conversión de cantidad de movimiento angular global en cantidad de movimiento angular interno. La suposición de un tensor de esfuerzo simétrico, entonces, es equivalente a afirmar que no hay interconversión entre cantidad de movimiento angular global y cantidad de movimiento angular interno, y que las dos formas de cantidad de movimiento angular se conservan por separado. Esto corresponde, en la ecuación 0.3-8, a igualar por separado los términos del producto cruz y los términos de cantidad de movimiento angular interno.
G.G. Stokes, Trans. Cnmb. Phil. Soc., 9,8106 (18511, véanse pp. 57-59.
'J.S. Dahler y L.E. Ccnven, Nature, X92,36-37(1961); S. de G m t y P. Mazur, Nonequilibrium Thermodynarnics, North Hoiiand, Amsterdam (1962), capítulo W. Una revisión de la literatura puede encontrarse en G.D.C. Kuiken, Ind. Eng. Chem. Res., 34,3568-3572 (1995).
94
Capitulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
La ecuación 3.4-1 sólo se menciona en el capítulo 7, donde indicamos que el balance macroscópico de cantidad de movimiento angular puede obtenerse a partir de ella.
Antes de proseguir es oportuno señalar que en fenómenos de transporte pueden encontrarse varias derivadas diferentes respecto al tiempo. Ilustraremos esas derivadas por medio de un ejemplo familiar; a saber, la observación de la concentración de peces en el río Mississippi. Puesto que los peces se están moviendo, en general su concentración es una función de la posición (x, y, r ) y del tiempo (t).
Derivada parcial respecto al tiempo dldt Supóngase que estamos en un puente y observamos la concentración de peces justo debajo de nosotros como una función del tiempo. Así podemos registrar la velocidad de variación respecto al tiempo de la concentración de peces en un sitio fijo. El resultado es ( d ~ / d t ) ( , ~la, derivada ~, parcial de c respecto a t, para x, y y z constantes.
Derivada total respecto al tiempo dldt Ahora supóngase que subimos en una lancha de motor y recorremos el río en todas direcciones, algunas veces río arriba, otras corriente abajo y otras a lo ancho. Durante todo el tiempo observamos la concentración de peces. En cualquier instante, la velocidad observada de variación de la concentración de peces respecto al tiempo es
donde d x l d t , d y / d t y dz/dt son las componentes de la velocidad del bote.
Derivada sustancial respecto al tiempo D/Dt A continuación subimos a una canoa y, ya sin energías, simplemente dejamos que
flote al garete con la corriente, y observamos la concentración de peces. En esta situación la velocidad del observador es la misma que la velocidad v de la corriente, cuyas componentes son v,, v y u,. Si en cualquier instante reportamos la velocidad y. , de variación de la concentracion de peces respecto al tiempo, entonces escribimos
El operador especial D / D t = d / d t + v . V se denomina derivada susfancial (significando que la velocidad de variación respecto al tiempo se reporta a medida que el observador se mueve con la "sustancia"). También se usan los términos derivada material, derivada hidrodinámica y derivada siguiendo el movimiento. Ahora necesitamos saber cómo convertir ecuaciones expresadas en términos de d / d t en ecuaciones escritas con D/Dt. Para cualquier función escalar f(x, y, z, t ) es posible hacer las siguientes manipulaciones:
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial 95 Tabla 3.5-1 Las ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos en la forma D / DF Nota: a la izquierda se proporcionan los números de emaci6n para las formas ói l d t (3.1-4) (3.2-9)
-DP =-p(V.v)
Dt p -Dv --Vp-[V.~]+pg Dt
D
(3.3-1)
pD f (iv2)=
(3.4-1)
D pDiLixvl=
-
( v . V p ) - ( v .[V-TI)-tp(v . g )
(A) (8)
(C)
- i ~ - { r x p 6 ] -1 [ ~ { r x ~ / ] + [ r x p (DY ~ ]
Las ecuaciones (A) a (C)se obtienen a partir de las ecuaciones 3.143.2-9y 3.3-1 sin suposiciones.La ecuaaón (D)se escribe sólo parar sirnptrico.
Según Ia ecuación de continuidad, la cantidad en el segundo paréntesis en la segunda línea es cero. Por tanto, la ecuación 3.5-3 puede escribirse en forma vectorial como
De manera semejante, para cualquier función vectorial f(x, y, z, t),
Estas ecuaciones pueden usarse para volver a escribir las ecuaciones de variación proporcionadas en s 3 . 1 a 3.4 en términos de la derivada sustancial, como se muestra en la tabla 3.5-1. La ecuación A en la tabla 3.5-1 indica cómo la densidad aumenta o disminuye a medida que uno se desplaza con el fluido, debido a la compresión [(V . v) < 01 o expansión [(V . v) > O] del fluido. La ecuación B puede interpretarse como (masa) X (aceleración) = suma de las fuerzas de presión, fuerzas viscosas y la herza externa. En otras palabras, la ecuación 3.2-9 es equivalente a la segunda ley de movimiento de Newton aplicada a una pequeña burbuja de fluido cuya envolvente se mueve localmente con la velocidad v del fluido (véase el problema 3D.1). A continuación analizaremosbrevemente las tres simplificaciones más comunes de la ecuación de m~vimiento.~ i) Para p y p constantes, la inserción de la expresión newtoniana para 7 de la ecuación 1.2-7 en la ecuación de movimiento conduce a la muy famosa ecuación de
'
Para discusiones de la historia de éstas y otras relaciones famosas de dinlimica de fluidos, véase H. Rouse y S. Ince, History oftiydraulics, Iowa Institute of Hydraulics, Iowa City (1959).
96
Capítulo 3
1
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
ligeramente compresible con p po = Ktp - pg), donde K es una constante
Figura 3.5-1 Ecuación de estado para un fluido ligeramente compresible y un fluido incompresible cuando T es constante.
-
/Huid0
incompresible con p = po
Navier-Stokes, deducida por primera vez a partir de los razonamientos moleculares de Navier y de los razonamientos del continuo de S t ~ k e s : ~ D 2 p-v=-Vp+pVv+pg Dt
obien
D ~-V=-VP+~V~V Dt
(3.5-6,7)
En la segunda forma hemos usado la "presión modificada" 9 = p + pgh que se introdujo en el capítulo 2, donde h es la elevación en el campo gravitacional y gh es la energía potencial gravitacional por unidad de masa. La ecuación 3.5-4 es un punto de partida normal para describir flujos isotérmicos de gases y líquidos. Debe recordarse que, cuando se supone que p es constante, la ecuación de estado (a T constante) es una línea vertical en una gráfica de p contra p (véase la figura 3.5-1).Así, ya no es posible determinar la presi6n absoluta a partir de p y T, aunque las ecuaciones 3.5-6 o 3.5-7 siguen permitiendo determinar gradientes de presión y diferencias instantáneas. También es posible obtener las presiones absolutas si p se conoce en algún punto del sistema. ii) Cuando en la ecuación de Navier-Stokes se desprecian los términos de aceleración - e s decir, cuando p(Dv/Dt) = O-, se obtiene
que se denomina ecuación de flujo de S t o k e s . Algunas veces se denomina ecuación de flujo reptante, porque el término p[v . Vv], que es cuadratico en la velocidad, puede eliminarse cuando ei flujo es extremadamente lento. Para algunos flujos, como el flujo de Hagen-Poiseuille en un tubo, el término p[v - Vvl se elimina, y no implica una restricción a flujo lento. La ecuación d e flujo d e Stokes es importante en teoría de lubricación, el estudio de movimientos de partículas en suspensión, el flujo a través de medios porosos y el desplazamiento de microbios en un medio fluido. Sobre este tema hay una literatura abundante3
iii) Cuando se d e s p r e c i a r i las fuerzas viscosas; es decir, [V movimiento se convierte en
. TI
= O,
la ecuación de
L.M.H. Navier, Mémoires de I'Acadhie Royale des Sciences, 6, 38940 (1827); G.G.Stokes, Proc. Cambridge Phil. %c., 8,287-319 (1845).
J. Happel y H . Brenner, h w Rqnolds Number Hydrodynamics, Martinw Nijhoff, La Haya (1983); S. Kim y S.J. Karrila, Mimhydmdynamics: Principies and Selecfed Applications, Butterworth-Heinemann, Boston (1991).
53.5 Ecuaciones de variación en términos de la derivada sustancial 97
que se conoce como ecuación de Euler para fluidos "no viscoso^".^ Por supuesto, no existen fluidos verdaderamente "no viscosos", aunque hay muchos en los que las fuerzas viscosas son relativamente poco importantes. Ejemplos son el flujo alrededor de las alas de un avidn (excepto cerca del b i t e sólido), el flujo corriente arriba en las superficies de empotramiento de puentes, aigunos problemas en dinámica de gases compresibles y el flujo de corrientes o~eánicas.~
La ecuacidn de ~ ~ m o u zpara l i el flujo en estacionario de fluidos no viscosos
La ecuación de Bernoulli para el flujo en estado estacionario de fluidos no viscosos es una de las ecuaciones más conocidas en dinámica de fluidos clá~ica.~ Mostrar cómo se obtiene a partir de la ecuación de movimiento de Euler.
SoLuclÓ~ Se omite el ikrmino de la derivada respecto al. tiempo en la ecuación 3.5-9 y luego se usa la identidad vectorial [v Vv1= V(V . v) - [v x [V x VI] (ecuación A.4-23) para volver a escribir las ecuaciones como
-
pv$$
-
p[v
x [V x v]] = - Vp
-
pgVh
(3.5-10)
-v&
Al escribir el último término, g se ha expresado como = --gVh, donde h es la elevación en el campo gravitacional. . A continuación se divide la ecuación 3.5-10 entre p y luego se forma el producto punto con el vector unitario s = v/lvl en la dirección del flujo. Al hacer esto, puede demostrarse que el término que implica el rotacional del campo de velocidad se elimina (un ejercicio apropiado en análisis vectorial) y (S . V) puede sustituirse por d / d s , donde s es b distancia a lo largo de una lííea de flujo de corriente. Así, se obtiene
Cuando esta expresi6n se integra a lo largo de una línea de flujo de corriente desde el punto 1hasta el punto 2, se obtiene
que se denomina ecuación de Bernoulli. Esta ecuación rehciona la velocidad, la presión y la elevación de dos puntos a lo largo de una línea de flujo de corriente en un fluido que se encuentra en flujo en estado estacionario. Se utiliza en situaciones en las que puede suponerse que la viscosidad desempeña un papel bastante menor.
L. Euler, Mtm. A&. Sci. Berlin, 11,217-273,274-315,316-361(1755). El matemático de origen suizo Leonhard Euler (1707-1783) ense% en San Petersburgo, Basilea y Beriín, y publicó bastante en muchos campos de las matemáticas y la física. Véase, por ejemplo, D.J.Acheson, EletnenfaryFluii Mechanics. Clarendon Press, Oxford (1990), capítulos 3-5; y G.K. Batchelar, An Introductwn lo FIuid Dymmics, Cambndge UNversity Press (19671,capítuio 6. Daniel Bernoulli (1700-1782) fue uno de los primeros investigadores en dinámica de fluidos y también de la te& cin&ca de los gases. Sus ideas sobre hidrodinámica están resumidas en D. Bemoulli, Hydrodpmia sive de viribics el motibus jitridorum commentufii,Argentorati (1738); sin embargo, en realidad él no proporcionó la ecuación 3.512. El aédito de la deducción de la ecuación 3.5-12 es de L. Euler, Histoires de I'Académie de Berlin (1755).
98
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Para casi todas las aplicaciones de la ecuación de movimiento, debemos insertar la expresión para 7 de la ecuación 1.2-7 en la ecuación 3.2-9 (o, en forma equivalente, las componentes de T de la ecuación 1.2-6 o del apéndice B.l en las ecuaciones 3.2-5,3.2-6 y 3.2-7). Luego, para describir el flujo de un fluido newtoniano a temperatura constante se requiere, en general, La ecuación de continuidad La ecuación de movimiento Las componentes de T La ecuaci6n de estado Las ecuaciones para las viscosidades
Ecuación 3.1-4 Ecuación 3.2-9 Ecuación 1.2-6 P = P(P) CL = p(p), K = d p )
Estas ecuaciones, junto con las condiciones límite e inicial necesarias, determinan por completo las distribuciones de presión, densidad y velocidad en el fluido. Rara vez se usan en su forma completa para resolver problemas de dinámica de fluidos. Por conveniencia suelen usarse formas restringidas, como en este capítulo. Si es apropiado suponer densidad y viscosidad constantes, entonces se usan La ecuación de continuidad La ecuación de Navier-Stokes
Ecuación 3.1-4 y tabla 8.4 Ecuación 3.5-6 y tablas 8.5, 6.6 y 8.7
junto con condiciones inicial y límite. A partir de lo anterior se determinan las distribuciones de presión y de velocidad. En el capítulo 1 proporcionamos las componentes del tensor de esfuerzo en coordenadas cartesianas, y en este capítulo hemos obtenido las ecuaciones de continuidad y movimiento en coordenadas cartesianas. En las tablas 8.1 a B.7 se presenta un resumen de estas ecuaciones clave en tres sistemas de coordenadas bastante utilizados: cartesianas (x,y, z), cilíndricas (r, O, z ) y esféricas (r, O , # ) . Los estudiantes no deben preocuparse por la deducción de estas ecuaciones, pero sí deben familiarizarse muy bien con las tablas en el apéndice B y usarlas para plantear problemas de dinámica de fluidos. Es conveniente que los estudiantes avanzados analicen los detalles del apéndice A y aprendan cómo desarrollar las expresiones para las diversas operaciones V, como se hizo en 55A.6 y A.7. En esta sección ilustraremos cómo plantear y resolver algunos problemas que implican el flujo en estado estacionario, isotérrnico y laminar de fluidos newtonianos. Las soluciones analíticas relativamente simples que se proporcionan aquí no deben considerarse como un fin en sí mismas, sino como una preparación para avanzar hacia la solución analítica o numérica de problemas más complejos, el uso de varios métodos aproximados o el uso de análisis dimensional. La solución completa de problemas de flujo viscoso, incluyendo demostraciones de unicidad y criterios para estabilidad, es una tarea impresionante. De hecho, algunos de los matemáticos aplicados más conocidos del mundo han dedicado su atención al reto de resolver las ecuaciones de continuidad y movimiento. El estudiante bien puede sentirse incompetente al enfrentar por primera vez estas ecuaciones. Todo lo que pretendemos hacer en los ejemplos ilustrativos de esta sección es resolver algunos problemas para flujos estables cuya existencia se conoce. En cada caso comenzamos estableciendo algunos postulados sobre la forma de las distribuciones de presión y velocidad; es decir, adivinamos cómo p y v deben depender de la posición en el problema que se está estudiando. Luego eliminamos todos los términos en las ecuaciones de continuidad y movimiento que sean innecesarios según los
~ 3 . 6 -Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 99
postulados establecidos. Por ejemplo, si se postula que v, es una función sólo de y, entonces pueden eliminarse términos como dv,/dx y d2v,/dz2. Una vez que se eliminan todos los términos innecesarios, a menudo lo que queda es un reducido número de ecuaciones relativamente simples; y si el problema es suficientemente sencillo, puede obtenerse una solución analítica. Es necesario recalcar que cuando se enumeran los postulados se utiliza la intuición, que se basa en la experiencia cotidiana con fenómenos de flujo. La intuición a menudo nos indica que un flujo será simétrico respecto a un eje, o que alguna componente de la velocidad es cero. Una vez que se utihza la intuición para establecer tales postulados, debemos recordar que la solución final está restringida de manera correspondiente. No obstante, al comenzar con las ecuaciones de variación, cuando termina el "proceso de eliminación" por lo menos contamos con una lista completa de todas las suposiciones utilizadas en la solución. En algunos casos es posible volver atrás, eliminar algunas de las suposiciones y obtener una mejor solución. En varios ejemplos que serán analizados, encontraremos una solución de las ecuaciones de dinámica de fluidos. Sin embargo, debido a que las ecuaciones completas son no lineales, puede haber otras soluciones del problema. Así, la solución completa de un problema de dinámica de fluidos requiere que se especifiquen los 1ímites de los regímenes de flujo estable, así como todos los intervalos de comportamiento inestable. Es decir, debemos elaborar un "mapa" que muestre los diversos regímenes de flujo posibles. Por regla general, soluciones analíticas pueden obtenerse sólo para los regímenes de flujo más simples; el resto de la información suele obtenerse experimentalmente o por medio de soIuciones numéricas muy detalladas. En otras palabras. aunque se conozcan las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento del fluido, queda mucho por conocer sobre cómo resolverlas. Ésta es un área desafiante de las matemáticas aplicadas, que se encuentra muy por encima del nivel de un libro de texto introductorio. Cuando se encuentran problemas dificiles, es necesario investigar en algunos de los tratados avanzados de dinámica de fluidos.l Ahora nos dedicaremos a los ejemplos ilustrativos. Los dos primeros son problemas ya analizados en e1 capitulo precedente; vo~vemosa trabajarlos precisamente para ilustrar el uso de las ecuaciones de variación. Después consideraremos algunos otros problemas cuyo planteamiento seria difícil por el método de balances de envoltura del capitulo 2.
en un
tubo circular largo
Volver a trabajar el problema de flujo en un tubo del ejemplo 2.3-1 usando las ecuaciones de continuidad y movimiento. Esto ilustra el empleo de las emaciones tabuladas para densidad y viscosidad constantes en coordenadas cilíndricas, dadas en el apéndice B. SOLUC~~N
PostuIamos que v = Szv,(r, 2). Este postulado implica que no hay flujo radial (u, = 0) y.; flujo tangencia1 (ue = O}, y que u, no depende de 0. Por consiguiente, podemos descartar mucl~os términos de las ecuaciones de variación tabuladas, quedando
'
R. Berker, Handbuch der Physik, volumen ViI1-2, Springer, Berlín (1963), pp. 1-384; G.K. Batchelor, A n lntroduction tu Fluid M e c h n i c s , Cambridge Universiiy Press (1967); L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics. Pergamon Press, Oxfard, 2a. edición (1987);J.A. Schetz y A.E. Fuhs (compiladores), Handbook o f f l u i d Q n a m i c s and Fluid Machinery, Wiley-Interscience, Nueva York (7996);R.W. Johnson (compilador), The Handbook of Fluid Dynatnics. CRC Press, Boca Ratón, Ha. (1998);C.Y. Wang, A n n . Revs. Fluid. Mech., 23,159-177 11991).
100
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isoténnicos
ecuación de continuidad
%=o a2
ecuación de movimiento para Y ecuación de movimiento para 8 ecuación de movimiento para z La primera ecuación indica que v, depende cólo de r; por tanto, las derivadas parciales que aparecen en el segundo término del miembro derecho de la ecuación 3.64 pueden sustituirse por derivadas ordinarias. Al usar la presión modificada 9 = p + pgh (donde h es la altura por arriba de algún plano arbitrario dado), evitamos la necesidad de calcular las componentes de g en coordenadas ciiíndricas, y obtenemos una solución válida para cualquier orientaci6n del eje del tubo. Las ecuaciones 3.6-2 y 3.6-3 muestran que 9 es sólo una función de z, y la derivada parcial en el primer término de la ecuación 3.6-4 puede sustituirse por una derivada ordinaria. La única forma en que una función de r más una función de z puede ser igual a cero es que cada término individual sea una constante -por ejemplo, Co-, de modo que la ecuaci6n 3.6-4 se reduce a
La ecuación 9 puede integrarse de una vez. La ecuación v, puede integrarse simplemente "quitando" una operación tras otra en el miembro izquierdo (no "resolver" la derivada compuesta que ahí aparece). Así se obtiene
Las cuatro constantes de integración pueden encontrarse a partir de las condiciones límite:
C.L. 4
en r = O,
u, = finita
(3.6-12)
Las soluciones resultantes son:
La ecuación 3.6-13 es la misma que la ecuación 2.3-18. En el ejemplo 2.3-1 no se obtuvo el perfil de velocidad en la ecuación 3.6-12,aunque se postuló de manera tácita; esto hubiera podido hacerse aquí también, pero elegimos trabajar con un número mínimo de postulados.
93.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 101 Como se indicó en e1 ejemplo 2.3-1, la ecuación 3.6-13 es válida sólo en el régimen de flujo laminar, y en ubicaciones no muy próximas a la entrada y a la salida del tubo. Para números de Reynolds aproximadamente superiores a 2100, corriente abajo de la región de entrada existe un régimen de flujo turbulento, asi la ecuación 3.6-13 deja de ser válida.
Plantear el problema del ejemplo 2.2-2 usando las ecuaciones del apéndice B. Esto ilustra el uso de la ecuación de movimiento en términos de r. scosidad variable
SOLUCION
i
Así como en el ejemplo 2.2-2, postulamos un flujo de estado estacionario con densidad constante, pero cuya viscosidad depende de x. Postulamos, como antes, que las componentes x y y de la velocidad son cero y que v, = v,(x). Con estos postulados, la ecuación de continuidad se cumple idénticamente. Según la tabla B.1, las únicas componentes de 7 diferentes de cero son rXz= T= = -p(dv,/dx). Las componentes de la ecuación de movimiento en Mrminos de T son, a partir de la tabla B.5,
donde P es el ángulo que se muestra en la figura 2.2-2. Al integrar la ecuación 3.6-14 se obtiene
p
= pgx
sen P
-t f(y,
z)
(3.6-17)
dondef(y,z) es una función arbitraria. La ecuación 3.6-15 muestra que f no puede ser una función de y. Luego se reconoce que la presión en la fase gaseosa es casi constante a la presión atmosférica presente p,,. Por consiguiente, en la interfase gas-líquido x = O, la presión también es constante al valor .,p En consecuencia,f puede igualarse a p,,, para obtener finalmente
Así, la ecuación 3.6-16 se convierte en d dx
-7,
= pg
cos B
que es igual a la ecuación 2.2-10. El resto de la solución es lo mismo que en s2.2.
oiscosímeho de
Antes se mencionó que la medición de la diferencia de presión contra velocidad de flujo másic0 a través de un tubo cilíndrico constituye la base para determinar la viscosidad en viscosimetros capilares comerciales. La viscosidad también puede determinarse midiendo el momento de torsión necesario para hacer girar un objeto sólido en contacto con un fluido. El precursor de todos los viscosírnetros rotacionales es el instrumento de Couette, que se muestra en la figura 3.6-1.
102 Capítulo 3
Cilindro exterior
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
U@
es una función de r
El péndulo está suspendid y puede girar Libremente
En esta región el fluido se
indro interior estacionario
I /I
mueve con v, = v8(r)
/
El fluido en el interior es estacionario (b)
Figura 3.6-1 a) Flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio entre dos cilindros; el cilindro exterior se mueve con velocidad angular R,. b) Diagrama de un viscosímetro de Couette. Uno mide la velocidad angular R, de la copa y la desviación Bb del péndulo con operación en estado estacionario. La ecuación 3.6-31 proporciona la viscosidad p en términos de a, y del momento de torsión T , = k,Bb.
El fluido se coIoca en la copa, que luego se hace girar con velocidad angular constante S1, (el subhdice "o" significa externa). El líquido viscoso en rotación hace que el péndulo suspendido gire hasta que el momento de torsión producido por la transmisión de cantidad de movimiento en el fluido sea igual al producto de la constante de torsión k, y e1 desplazamiento angular Ob del péndulo. E1 desplazamiento angular puede medirse observando Ia desviación de un haz de luz reflejado desde un espejo montado en el péndulo. Las condiciones de medición son controladas, de modo que en la región anular entre los dos cilindros coaxiales mostrados en la figura hay un flujo en estado estacionario, tangencial y laminar. Debido al arreglo usado, los efectos finales sobre la región que incluye la altura L de péndulo son despreciabIes. Para analizar esta medición, aplicamos las ecuaciones de continuidad y movimiento para p y p constantes al flujo tangencial en la región anular airededor del péndulo. A fin de cuentas, queremos obtener una expresión para la viscosidad en tkrminos del momento de torsión T, (la componente z) sobre el cilindro interior, la velocidad angular a, de la copa giratoria, la altura L del péndulo, y los radios KR y R del péndulo y la copa, respectivamente.
En la porción anular en consideración, el fluido se mueve siguiendo un patrón circular. Postulados razonables para la presión y Xa velocidad son: ve= ve(?-), u, = O, u, = O, y p = p(r, 2). ES de esperar que p dependa de z debido a la gravedad y de r debido a la fuerza centrífuga. Para estos postulados, todos los términos en la ecuación de continuidad son cero, y las componentes de la ecuación de movimiento se simpIifican a componente r componente 0 componente z
g3.6
Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo
203
La segunda ecuación proporciona la distribuwn de velocidad. La tercera ecuación proporciona eI efecto de la gravedad sobre la presión (el efecto hidrostático), y la primera ecuaci6n indica cómo la fuerza centrífuga afecta la presión. Para este problema sólo necesitamos la componente 8 de la ecuación de mo~imiento.~ Un inexperto podría sentir la tentaci6n de realizar las diferenciaciones en la ecuación 3.6-21 antes de resolver la ecuación diferenciai,pero no debe hacerlo. Todo lo que debe hacer es "quitar" una operaci6n a la vez - d e la misma forma como una persona se desviste- como sigue:
Las condiciones límite son que el fluido no se desliza en las dos superficies cilíndricas:
Estas condiciones limite pueden usarse para obtener las constantes de integración, que luego se insertan en la ecuación 3.6-26. Así se obtiene
Al escribir el resultado de esta forma, con terminos semejantes en el numerador y en el denominador, resulta evidente que ambas condiciones límite se cumplen y que la ecuación es dimensionalmente consistente. A partir de la distribución de velocidad es posible encontrar la densidad de flujo de cantidad de movimiento usando la tabla B.1:
Así, el momento de torsión que actúa sobre el cilindro interior esta dado por el producto de
la densidad de flujo de cantidad de movimiento de entrada (-r,), la superficie del cilindro y el brazo de palanca, como sigue:
El momento de torsión también esta dado por T, = Por consiguiente, la medición de la velocidad angular de la copa y la desviación angular del péndulo hacen posible deter-
Véase R.B. Bird, C.E Curtiss y W.E.Stewart, Qlon. Eng. SN., 11, 114-117(1959)para un método de obtención de p(r, Z ) para este sistema El u i m e n t o de depmdencia respectoal tiempo para los perfdes en estado estacionario lo proporcionan R.B.Bird y C.F. C&s, Chem. Eng. Sci, I1,lW-113(1959).
104
Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos Figura 3.6-2 Número crítico de Reynolds para el flujo tangencial en tubos concéntricos, donde el cilindro exterior gira y el interior permanece estacionario [H. Schlicliting, Boundary Lnyer Theoy, Mc-Graw-Hill, Nueva York (1955), p. 3571.
minar la viscosidad. El mismo tipo de análisis puede hacerse para otros viscosímetros rotacionales? Para cualquier viscosímetro es esencial conocer cuándo ocurrirá turbulencia. El número crítico de Reynolds (fl$2pIp),,, por arriba del cual el sistema se vuelve turbulento, se muestra en la figura 3.6-2 como una función de la relación K del radio.
Podría preguntarse qué ocurre si el cilindro externo se mantiene fijo y se deja que el cilindro interior gire a velocidad angular C$ (el subíndice "i" significa interior). Entonces la distribución de velocidad es
Lo anterior se obtiene estableciendo los mismos postulados (véase la ecuación 3.6-20) y resolviendo la misma ecuación diferencial (ecuación 3.6-21), pero con un conjunto diferente de condiciones límite. La ecuación 3.6-32 describe exactamente el flujo para valores pequeños de Ri. No obstante, cuando fii alcanza un valor critico (fLirCrit = 41.3(p/R2(1 - K ) ~ / para ~ ~ ) K = l), e¡ fluido desarrolla un flujo secundario, que se sobrepone al flujo primario (tangencial)y es periódico en la dirección axial. Se forma un sistema muy claro de vórtices toroidales, denominado vórtices de Tay[or, como se muestra en las figuras 3.6-3 y 3.6-4b. Los lugares geométricos de los centros de estos vórtices son círculos cuyos centros están localizados sobre los ejes comunes de los cilindros. Este movimiento sigue siendo laminar, aunque ciertamente es inconsistente con los postulados establecidos al inicio del problema. Cuando la velocidad angular fli aumenta aún más,los lugares geométricos de los centros de los vórtices se convierten en ondas viajeras; es decir, el flujo se vuelve, además, periódico en la dirección tangencial [véase la figura 3.6-4(c)I.Además, la velocidad angular de las ondas viajeras es aproximadamente igual a $ Ri. Cuando la velocidad angular fli sigue creciendo, el flujo se vuelve turbulento. En la figura 3.6-5 se muestran los diversos regímenes de flujo, con los cilindros interior y exterior girando, determinados para un aparato y un flui-
3 J . ~ VanWazer, . J.W. Lyons, K.Y. Kim y R.E.Colweii, Viscosity and Fluw Measurement, Wiley, Nueva York (1963); K.Walters, Rheornetry, Chapman and Hall, Londres (1975).
53.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 105
Cilindro interior
'
Figura 3.6-3 Vórtices toroidales contrarrotacionales, denominados vórtices de Taylor, observados en el espacio anular entre dos cilindros. Las líneas de flujo de corriente tienen forma de helices, con los ejes enrollados alrededor del eje común de los cilindros. Esto corresponde a la figura 3.5-4(b).
FLujo turbulento
Figura 3.6-4 Bosquejos que muesiran los fenómenos observados en el espacio anular entre dos cilindros: a) flujo puramente tangencial; b) flujo simplemente periódico (vórtices de Taylor), y c ) flujo doblemente periódico donde un movimiento ondulatorio se superpone a los vórtices de Taylor.
/
Figura 3.6-5 Diagrama de régimen de flujo para el flujo entre dos cilindros coaxiales. La Iínea recta identificada como "Rayleigh" es la solución analítica de Lord Rayleigh para el fluido no viscoso. [Véase D. Coles, J. Fluid. Mech., 21,385-425 (1965).]
106 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
do específicos. Este diagrama demuestra lo complicado de este sistema que en apariencia es simple. En otra parte pueden encontrarse detalles adiciona le^.^^^ El análisis precedente debe servir como una seria advertencia de que los poshlados intuitivos pueden ser engañosos. Pocas personas pensarían en postular las so. luciones simplemente periódica y doblemente periódica que acaban de describirse, A pesar de ello, esa información está contenida en las ecuaciones de Navier-Stokes. Sin embargo, debido a que los problemas que implican inestabilidad y transiciones entre varios regímenes de flujo son demasiado complejos, para describirlos estarnos obligados a usar una combinación de teoría y experimentación. La teoría sola aún no es capaz de proporcionar todas Ias respuestas, de modo que en los años por venir será necesario realizar experimentos cuidadosamente controlados.
Fomza de Ea superficie de un líquido en rotación
Un líquido de densidad y viscosidad constantes se encuentra en un recipiente cilúidrico de radio R como se muestra en la figura 3.6-6. Se hace que el recipiente gire alrededor de su propio eje a una vebcidad angular O.El eje del cihndro es vertical, de modo que g, = O, go = O y g, = -g, donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad. Encontrar la forma de superficielibre del líquido una vez que se establece el estado estacionario.
Para este problema es conveniente usar coordenadas cilíndricas, y las ecuaciones de variación se proporcionan en las tablas B.4 y B.6. Para estado estacionario postulamos que v, y v, son, ambas, cero, y que ve depende sólo de r. También postulamos que p depende de z debido a Ia fuerza de gravedad y de r debido a la fuerza centrifuga, pero que no depende de 8.
1
i
P 'Patm
isuperficie enla\ 11 /
\ \
\
t
i -
1R-1
I
-1- '
/
i
Y\
L
p = p(r, z) dentro del fluido
Figura 3.6-6 Líquido en rotación con una superficie Libre, cuya forma es una paraboloide de revolución.
El trabajo inicial sobre este tema fue realizado por John Williarn Strutt (Lord Rayleigh) (1842-1919), quien estableció el campo de la acústica en su obra Theory of Sound, escrita en una casa flotante en el rio Nilo. Algunas referencias origmaies sobre la inestabilidad de TayIor son: J.W.Strutt (Lord Rayleigh), Pmc. Roy. Sor., A93,148-154 (1916);(3.1. Taylor, Phil. Tren..,A223,289-343 (1923) y Proc. Roy. Soc., A157, 546-564(1936); P. Schultz&mow y H. Hein, Zeits. Flugwiss., 4,2840 (1956); D. Coles, J. Fluid Mech., 21,385-425 (1965). Véase también R.P. Feyunan, R.B. Leighton y M. Sands, l'he Feynmn Lectures in Physics, Addison-Wesley, Reading, M A (19641, g1-6. Ohms referencias sobre inestabilidad de Taylar, así como inestabilidad en otros sistemas de flujo, son:L.D. Landau y E.M. Lifsliitz, Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford,2a. edición (1987), pp. 99-106; S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford Universiv Press (1961), pp. 272-342; H. Schlichting y K. Gersten, Boundary-Layer Theoy, 8a. edicidn (2000), capítulo 15; P.G. Drazin y W.H. Reid, Hydrodynarnic Stability, Cambridge Univcrsity Press (1981); M. Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Parabolic Press, Stanford (1982).
33.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo
107
Estos postulados dan O = O para le ecuación de continuidad, y la ecuación de movimiento da: componente r
componente 0
componente z
O=---@dP
az
(3.6-35)
La componente 0 de la ecuacibn de movimiento puede integrarse para obtener
donde C, y C, son constantes de integracián. Debido a que ve no puede ser infinita en r = 0, la constante C, debe ser cero. En r = R, la velocidad ve es RQ Por tanto, C, = 2fl y
lo cual establece que cada elemento del líquido en rotación se mueve como si fuese un elemento de un cuerpo rígido (en realidad, pudimos postular que el liquido giraría como un cuerpo rígido y apuntar directamente la ecuacibn 3.6-37). Cuando el resultado de la ecuación 3.6-37se sustituye en la ecuacidn 3.633, entonces se obtienen estas dos maciones para los gradientes de presión:
Cada una de estas ecuaciones puede integrarse, como sigue:
donde f, y f, son funciones de integración arbitrarias. Debido a que hemos postulado que p no depende de 9, podemos elegir fi = -pgz + C y f2 = m 2 r Z+ C, donde C es una constante, y satisfacer las ecuaciones 3.6-38 y 3.639. Así, la solución de estas dos ecuaciones tiene la forma
La constante C puede determinarse al requerir que p = pat, en r = O y que z = zO,donde 6sta es la elevación de la superficie del Iíquido en r = O. Una vez que C se obtiene de esta forma, se llega a
Esta ecuación proporciona la presión en todos los puntos dentro del liquido. Justo en la interfase Iíquido-aire, p =: p,,,, y con esta sustitución la ecuacibn 3.6-43 proporciona la forma de la interfase líquido-aire:
fista es la ecuación de una parábola. El lector puede verificar que la superficie libre de un 1íquido en un recipiente de tubos concéntrico y giratorio obedece a una relación semejante.
108 Capítulo 3
Flujo cerca de una esfera que gira lentamente
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Una esfera sólida de radio R gira lentamente a velocidad angular constante fl en un gran cuerpo de fluido en reposo (véase la figura 3.67). Obtener expresiones para las distribuciones de presión y de velocidad en el fluido y para el momento de torsión T, necesario para mantener el movimiento. Se supone que fa esfera gira lo suficientemente lento, de modo que es adecuado utilizar la versión de flujo reptante de la ecuación de movimiento en la ecuación 3.5-8. Este problema ilustra el planteamiento y h solución de un problema en coordenadas esféricas.
Las ecuaciones de continuidad y movimiento en coordenadas esféricas se proporcionan en las tabIas B.4 y B.6, respectivamente. PostuIamos que, para flujo reptante estacionario, la distribución de velocidad tendrá la forma general v = S v (u, O), y que la presión modificada será + .4 de la forma 9 = 9 (r, 13). Como se espera que la soluc~ónsea simétrica respecto al eje z, no hay dependencia respecto al ángulo 4. Con estos postulados, la ecuación de continuidad se cumple con exactitud, y las componentes de la ecuación de movimiento para flujo reptante se vuelven componente r componente 8 componente #
1 d
O=--r2 dr
dv
l a
f 2dr ~ )r2 + dI3 sen-0(30l b ( v 4
Las condiciones límite pueden resumirse como
C.L. 1:
en r = R,
C.L. 2:
cuando r + w ,
C.L. 3:
cuando r + w
v, = O, v , = O, v4 = Rfl sen 0
,
v+. -* O, v, p + po
+
0, v4 + O
(36-48) (3.6-49)
(3.6-50)
donde 9 = p + pgz, y po es la presión del fluido lejos de la esfera en z = 0. La ecuación 3.6-47 es una ecuación diferencial parcial para v4(r,O). Para resolverla, intentamos una solución de la forma v - f(r) sen O. Esto es sólo una conjetura, aunque es consictenle con la condición límite en fa-ecuación 3.6-48. Cuando esta forma de ensayo para la distribución de la velocidad se inserta en la ecuación 3.6-47, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria para flr):
Para hacer girar a la esfera se requiere un momento de torsión T,
Figura 3.6-7 Esfera que gira Ientamente en una extensión infinita de fluido. El flujo primario es vd = Q,R(R/r)2 sen B.
93.6 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de flujo 109 Ésta es una "ecuación equidimensional", que puede resolverse al suponer una solución de ensayo f = rn (véase la ecuación C.1-14). Al sustituir esta solución de ensayo en la ecuación 3.651 se obtiene n = 1, -2. Así, la soIución de la ecuación 3.6-51 es
de modo que
Al aplicar las condiciones limite se muestra que C1 = O y C2 = aR3.Por consiguiente, la expresión final para la distribución de velocidad es
A continuación evaluamos el momento de torsión necesario para mantener la rotación de la esfera. h e ser&la integral, sobre la superficie de la esfera, de la fuerza tangencia1 ( T ~ + ~ , = ~ ) R ~ sen OdOdd ejercida sobre el fluido por un elemento de superficie sólido, multiplicada por el brazo de palanca R sen 0 para ese elemento:
T= =
jo2' 1:
r 1;
(7,+,1,=,
~ ~a si e~ nd
( 3 f l sen BXR sen O)RZsen Ltiai+
Al pasar d e la primera a la segunda línea hemos usado la tabla B.l, y al pasar d e la segunda a ¡a tercera, hemos hecho la integración sobre el intervalo de la variabIe +. La integral en la 4 tercera línea es 3. A medida que aumenta la velocidad angular, ocurren desviaciones respecto al "flujo primario" de la ecuación 3.6-54. Debido a los efectos de la fuerza centrífuga, el fluido es atraído hacia los polos de la esfera y alejado de Psta a partir del ecuador como se muestra en la figura 3.6-8. Para describir este "flujo secundario", es necesario incluir el término [v . Vv] en la ecuación de movimiento, lo cual puede hacerse utitizando un método de función de ~ o r r i e n t e . ~
X
Figura 3.6-8. Bosquejo que muestra el flujo secundario el 1 J
1 I
1
1
I
t
&sta
1 I
I l
lateral
I l
1 l
cual aparece alrededor de una esfera que gira a medida que se incrementa el número de Reynolds.
6Véase, por ejemplo, el desamlio de O. Hassager en R.B. Bi,R.C.Armsbng y O. Hassager, Dynarnics 0f Polyme~icLiquids, volumen 1, Wiley-lnterscience, Nueva York, 2a. ediciún (19871, pp. 31-33. También véase L. Landau y E.M.Lifshitz, FLuid Mechanies, Pergamon, Oxford, 2a. edición (19871, p. 65; y L.G. Leal, Liminar Flow and Convective Transport Processes, Butterworth-Heinemann, Boston (1992), pp. 180-181.
110 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
$3.7 ANALISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN Supóngase que se han reunido datos experimentales, o se han tomado fotografías, del flujo que circula por cierto sistema que no puede analizarse resolviendo analíticamente las ecuaciones de variación. Un ejemplo de tal sistema es el flujo de un fluido a través de un medidor de orificio en un tubo (éste consta de un disco con una perforación en el centro, colocado en el tubo,con un dispositivo detector de la presión corriente arriba y corriente abajo del disco). Ahora supóngase que queremos realizar un modelo a mayor (o menor) escala del sistema experimental, a fin de llevar a cabo uno nuevo en el que ocurran exactamente los mismos patrones de flujo [aunque apropiadamente a mayor (o menor) escala]. Antes que nada se requiere contar con semejanza geornéfrica:es decir, las razones de todas las dimensiones del tubo y el disco perforado del sistema origina1 y del sistema a mayor (o a menor) escala deben ser las mismas. Además, se debe tener semejanza dimimica: es decir, los gmpos adirnensionales (como el número de Reynolds) en las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite deben ser los mismos. El estudio de la semejanza dinLimica se comprende mejor si las ecuaciones de variación se escriben, junto con las condiciones límite e inicial, en forma adimen~ional.',~ Para facilitar las cosas, restringimos el presente análisis a fluidos de densidad y viscosidad constantes, para los cuales las ecuaciones de variación son las ecuaciones 3.1-5 y 3.5-7
D
p-v
Dt
+
= -VB ,Uv2v
En la mayor parte de los sistemas de flujo es posible identificar los siguientes "factores de escala": una longitud característica lo, una velocidad característica u,,, y una presión modificada característica Po= po + pgh, (por ejemplo, éstas podrian ser el diámetro de un tubo, la velocidad media de flujo, y la presión modificada en la salida del tubo). Luego es posible definir variables adimensionales y operadores diferenciales como sigue:
.
v v=-
vo
9-Po y=pua2
:
9-T0
o bien P =---P o lo
Hemos sugerido dos opciones para la presión adimensional; la primera es conveniente para altos números de Reynolds, y la segunda para bajos números de Rey-
'
G. Birkhoff, Hydmdymrnics, Dover, Nueva York (1955),capitulo IV. Nuestm procedimiento del análisis dimensional corresponde al "an6lisisinspecciona1 completo" de Birkhoff. RW. Powell, An Elemnitary Text in Hydraulics and Fluid Mechnnics, Macmillan, Nueva York (1951),capítulo Vnl; y la obra de H. Rouse y S. Ince, Histoy of Hydmulics, Dover, Nueva York (1963) tiene material histórico interesante relacionado con grupos adimensionales y las personas en cuyo honor se denominaran.
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variaci6n 111
nolds. Cuando las ecuaciones de variación en las ecuaciones 3.7-1y 3.7-2 se vuelven a escribir en términos de las cantidades adimensionales, se convierten en
o bien En estas ecuaciones adimensionales, los cuatro factores de escala lo, volp y ,u aparecen en un grupo adimensional. E1 recíproco de este gmpo recibe su denominación en honor de un famoso experto en dinámica de fluidos3 Re =
PnPl
= numero de Reynolds
La magnitud de este grupo adimensional proporciona una indicación de la irnportancia relativa de las fuerzas inercia1 y viscosa en el sistema de fluido. A partir de las dos formas de la ecuación de movimiento dadas en la ecuación 3.7-9, es posible adquirir cierta perspectiva sobre las formas especiales de la ecuación de Navier-Stokes dada en 93.5. La ecuación 3.7-9a proporciona la ecuación de Euier de la ecuación 3.5-9 cuando Re m, y la ecuación 3.7-913 proporciona la ecuación de flujo reptante de la ecuación 3.5-8 cuando Re << 1. Las regiones de aplicabilidad de éstas y otras formas asintóticas de la ecuación de movimiento se considerarán con más detalle en 934.3 y 4.4. Grupos adimensionales adicionales pueden presentarse en las condiciones ínicial y límite; dos que aparecen en problemas con interfases fluido-fluido son -+
Fr =
[,',l
3
= número de Fvoude
La primera contiene la aceleración de la gravedad g, y Ia segunda contiene la tensión interfacial a, que puede entrar en las condiciones límite, como se describe en el problema 3C.5. Aún pueden aparecer otros grupos, como razones de longitudes en el sistema de flujo (por ejemplo, la razón de1 diámetro del tubo al diámetro de la perforación en un medidor de orificio).
Flujo transversal alrededor de un oilindro circulaP
Debe hacerse u n estudio experimental del flujo de un fluido newtoniano incompresible que pasa por un cilindro circular. Se desea conocer cómo los patrones de flujo y la distribución de
Véase la nota de pie d e página en 9 2 . William Froude (1810-1879) estudi6 en Oxford y trabajó como ingeniero civil en el campo de los ferrocarriles y buques de vapor. Algunas veces el número de Froude se define como la raíz cuadrada del p g o dado en la ecuación 3.7-11. Moritz Weber (1871-1951) fue profesor de arquitectura naval e n Beriín; otro gmpo adimensional que implica la tensión superficial es el número copilar, definido como Ca = [ ~ w ~ / u ] . Este ejemplo está adaptado de la obra de R.P. Feymnan, R.B. Leighton y M. Sands, The Feynrnan h t u r e s un Physics, volumen 11, Addison-Wesley, Reading, Mass. (1964),§41-4.
93.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 113 Si se tiene la habilidad suficiente para resolver las ecuaciones adimensionales de variación junto con las condiciones lfrnite adimensionales, las soluciones deben ser de la forma siguiente:
Es decir, la velocidad adimensional y la presión modificada adimensional sólo pueden depender de los pardmetros adimensionales Re y L/D y de las variables independientes adimensionales X, y, i y t. Así se completa el análisis dimensional del problema. No se ha resuelto el problema de flujo, aunque se ha decidido sobre un conjunto conveniente de variables adimensionales para volver a plantear el problema y sugerir la forma de la solución. El andlisis muestra que si se desea catalogar los patrones de flujo para el flujo pasando por un cilindro, basta registrarlos (por ejemplo, fotogrAficamente) para una serie de números de Reynolds Re = D v d / p y valores L/D; así, es innecesario realizar investigaciones por separado sobre los papeles de L, D,v, p y p. Esta simplificación ahorra bastante tiempo y dinero. En caso de que se decida atacar numéricamente el problema, comentarios semejantes son validos para Ia tabulación de resultados num4ric0s.~B Los experimentos implican algunas diferencias necesarias respecto al análisis anterior: el tamaño de la corriente es finito e inevitablemente hay fluctuaciones de velocidad en el estado inicial y en el fluido corriente arriba. Estas fluctuaciones se extinguen con rapidez cerca del cilindro a Re < 1. Para Re que se aproxima a 40,el amortiguamiento de las perturbaciones se hace más lento, y más allá de este límite aproximado siempre se observa flujo no estacionario. Los patrones de flujo observados a grande varían bastante con el número de Reynolds, como se muestra en la figura 3.7-2; a Re << 1 el flujo es ordenado, como se observa en (a). A Re aproximadamente igual a 10, detrás del cilindro aparece un par de vórtices, como puede verse en (b). Este tipo de flujo persiste hasta alrededor de Re = 40, cuando aparecen dos "puntos de separación" a los cuales las líneas de flujo de corriente se separan de la superficie sólida. Además, el flujo se vuelve permanentemente no estacionario; los vórtices comienzan a "despegarse" del cilindro para desplazarse corriente abajo. Con más aumento de Re, los vórtices se separan regularmente desde lados alternos del cilindro, como se muestra en (c); este arreglo regular de vórtices se denomina "caile de vórtice de von Kármán". A Re aún mayor se presenta un movimiento fluctuante desordenado (turbulencia) en la estela del cilindro, como se ve en (d). Por último, a Re próximo a lo6, aparece turbulencia corriente arriba del punto de separación, y la estela se estrecha bruscamente como se muestra en (e). Resulta evidente que el flujo no estacionario que se muestra en los tres últimos dibujos debe ser muy difícil de calcular a partir de las ecuaciones de variación. Es mucho más fácil observarlo experimentalmente y correlacionar los resultados en términos de las ecuaciones 3.7-23 y 3.7-24. Las ecuaciones 3.7-23 y 3.7-24 también pueden utilizarse para obtener un modelo a mayor escala a partir de un solo experimento. Supóngase que queríamos predecir los patrones de flujo alrededor de un cilindro de diámetro D1 = 5 pies, alrededor
'Coluciones analíticas de este problema a un Re muy pequeno y L/D infinito se revisan en L. Rosenhead (cornpilador), Laminar Boundary inye~s,Oxford Univelsity Ress (1963),capitulo IV. Una caraderisbca importante de este problema bidimensional es la ausencia de una soluci6n de "flujo reptante".Así, el término [v Vvl en la ecuación de movimientodebe incorporarse, incluso en el &te cuando Re + O (véase el probtema 3B.9). Esto contrasta de manera muy marcada con la situación de flujo lento alrededor de una esfera (v6anse 82.6 y 9 . 2 )y para flujo alrededor de otros objetos hidiiensionales finitos. Para estudios por computadora del flujo a l d e d o r de un cilindro largo, véase EH. Harlow y J.E. From, Scientific American, 212,104-110(19651, y S.J.Sherwin y G.E. Karniadakis, Compuf. Math., 123,189-229 (1995).
.
114 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Punto de estancamiento P ~ n t ode SePXaaón
Calle del vórtice de von Kármán
1
(c)
~e = 102
Figura 3.7-2 Tipos
Punto de se'paraa6n
(4
Estela turbulenta
R e = 104
f unto de separaa6n
(e)
Estela turbulenta
Re = lo6 Punto de separación
de comportamiento para el flujo alrededor de un cilindro, ilustrando los diversos regímenes de flujo que se observan a medida que se incrementa el. número de Reynolds. Las regiones de flujo turbulento están sombreadas.
del cual debe circular aire a una velocidad de aproximación (v,)~= 30 pies/s, por medio de un experimento en un modelo a escala de diámetro DI, = 1pie. Para tener semejanza dinámica es necesario elegir condiciones tales que Iie,, = ReI. Luego, si en el experimento a peqqrieña escala se usa el mismo fluido que en el sistema grande, de modo que pII/pII= pI/pI, se encuentra que la velocidad del aire requerida en el modelo a pequeña escala es = 150 pies/s. Con los números de Reynolds asi igualados, los patrones de flujo en el modelo y en el sistema a escala normal se verán similares; es decir, son geométricamente semejantes. Más aún, si Re está en el intervalo de formación de vórtices periódicos, entonces el intervalo de tiempo adimensional f,v,/ D entre vórtices será igual en los dos sistemas. Así, 10s vórtices se extenderán 25 veces más rápido en el modelo que en el sistema a escala normal. La regularidad de los vórtices extendiéndose a números de Rejmolds que varían aproximadamente de 102a lo4 se utiliza comercialmentepara la medición precisa de flujo en grandes tuberías.
- -vy*
E
-
d i
4
Se desea predecir el comportamiento del flujo en un gran tanque de aceite, sin desvladores, .%JBMPLO 3,$+&."k~&@,RT~#-?~,"
&?e
Flujo estacionario en un tanque agitado
mostrado en la figura 3.7-3, como una función de la velocidad de rotación del impulsor. Se propone hacer esto por medio de experimentos con un modelo en un sistema geométricamente semejante más pequeño. Determinar las condiciones necesarias para que los estudios en el modelo proporcionen un medio directo de predicción.
g3.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación
115
,A
----+---
- - - m & - - - -
\Alturas
-
HI
iniciales de los líquidos
'f
-DI
I-\\\,,,f; 7
Hn
Z
1
t
Figura 3.7-3 Perfiles medios a largo plazo de la forma de superficies libres, con Re, = Re,,.
Se considera un tanque de radio R, con un impulsor centrado de diámetro global D. En el tiempo t = O, el sistema es estacionario y contiene liquido hasta una altura H por arriba del fondo del tanque. Inmediatamente después del tiempo i = O, el impulsor comienza a girar a una velocidad constante de N revoluciones por minuto. Se desprecia la resistencia de la atmósfera sobre la superficie del liquido. La forma y la posición inicial del impulsor se describen con la función Simp(r,e, Z) = 0. El flujo esta gobernado por las ecuaciones 3.7-1 y 3.7-2, junto con la condición inicial
y las siguientes condiciones límite para la región líquida: fondo del tanque
enz=OyOsr
pared del tanque
enr=R,
superficie del impulsor
en S.
interfase gas-líquido
en Si,,@, 0, z, t) = O
'"'P
(3.7-26)
v=O
v=O
(3.7-27)
(u, 0 - 27rNt, z) = O,
v
= 27rN18~
(n . v) = O
(3.7-28) (3.7-29)
Las ecuaciones 3.7-26 a 3.7-28 son las condiciones sin deslizamiento y de impermeabilidad; la superficie S. (r, ti - 27rNt, z) = O describe la ubicación del impulsor después de Ni rotacio-c nes. La ecuacion 3.7-29 es la condición de que no hay flujo de materia a través de la interfase gas-líquido, descrita por S,,(r, 0, z, t ) = 0, que tiene un vector normal unitario local n. La ecuación 3.7-30 es un balance de fuerzas sobre un elemento de esta interfase (o un enunciado de la continuidad de la componente normal del tensor IT de la densidad de flujo de cantidad de movimiento) donde se desprecian las contribuciones viscosas desde el lado del gas. Esta interfase es estacionaria inicialmente en el plano z = H, y a partir de entonces su movimiento se obtiene mejor por medición, aunque también puede pronosticarse en principio por la solución numérica de este sistema de ecuaciones, que describe las condiciones iniciales y la aceleración posterior D v / D t de cada elemento del fluido. Después, a las ecuaciones se las dota de carácter adirnensional usando las cantidades características vo = ND, lo = D y 9, = p,,, junto con coordenadas polares adimensionales
116 Capítulo 3
Ecuaciones de variaci6n para sistemas isotémicos
r = r / D, 0 y i = z / D.Luego, las ecuaciones de continuidad y movimiento aparecen como en las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9, con Re = D ~ N ~La/ condición ~ . inicial asume la forma
y las condiciones M t e se vuelven: fondo del tanque
pared del tanque
superficie del impulsor
en Sin,(i, 0 - 271 t , ¿) = O
ir = 27r r8,
(3.7-34)
interfase gas-líquido
en gint(i,0, i; i) = O,
(n . Y) = O
(3.7-35)
Para pasar de la ecuación 3.7-30 a la ecuación 3.7-36 se us6 la ley de viscosidad de Newton en la forma de la ecuación 1.2-7 (pero omitiendo el último término, como es apropiado para 1íquidos incompresibles).También se us6 la abreviatura j = Vv + (Vv)*para el tensor de v e l ~ cidad de la deformación, cuyas componentes cartesianas adimensionales son y = ( q / d i i ) +
(ai>,laXi). -S cantidades entre dobles corchetes son cantidades adimensionales conocidas. La función 5, ( i., 0 - 2vt, 2) es conocida para el diseño de un impulsor dado. La función descone cida S,,&, 8,í,i) puede medirse fotográficamente,o en principio puede calcularse a partir del planteamiento del problema. Por inspección de las ecuaciones adimensionales se encuentra que los perfiles de velocidad y de presión deben tener la forma
para una forma y una ubicación dadas del impulsor. El lugar geométrico correspondiente de la superficie libre esta dado por
donde Re = @ N p / p y Fr = D1\12/g. Para observaciones con ajuste de tiempo a i grande desaparece la dependencia respecto a i, así como también desaparece la dependencia respecto a 0 para esta geometría de tanque axialmente simétrico. Estos resultados proporcionan las condiciones necesarias para el experimento propuesto con un modelo: los dos sistemas deben i) ser geométricamente semejantes (tener los mismos valores de R/D y H/D,la misma geometría y ubicación del impulsor), y ii) operar a los mismos valores de los números de Reynolds y de Froude. La condición ii) requiere que
53.7 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 117
donde se usa la viscosidad cinemática u = p / p . Por regla general, ambos tanques operarán en el mismo campo gravitacional gI= gIf,de modo que la ecuación 3.7-41 requiere
Al sustituir esta ecuación en la ecuación 3.7-40 se obtiene el requerimiento
Éste es un resultado importante; a saber, que el tanque más pequeño (11) requiere un fluido de menor viscosidad cinemática para mantener la semejanza dinámica. Por ejemplo, si se usa un modelo a escala con D, = +D,, entonces en el experimento a menor escala es necesario usar un fluido con viscosidad cinemiitica vII = vi/%%. Resulta evidente que los requerimientos para la semejanza dinámica son más restrictivos aquí que en el ejemplo previo, debido al grupo adimensional adicional Fr. En muchos casos prácticos, la ecuación 3.7-43demanda valores bajos inalcanzables de b l r Entonces no es posible hacer un modelo a una escala mayor exacta a partir de un simple experimento con un modelo. No obstante, en algunas circunstancias puede saberse que el efecto de uno o más grupos adimensionales es pequefio, o incluso predecible a partir de la experiencia con sistemas semejantes; en tales situaciones sigue siendo posible hacer un modelo a mayor escala aproximada a partir de un simple e ~ ~ e r i m e n t o . ~ Este ejemplo muesfra la importancia de incluir las condiciones limite en un análisis dimensional. Aqui el número de Froude sólo apareció en la condicibn límite de la superficie libre en la ecuación 3.7-36. No utilizar esta condición puede dar por resultado la omisión de la restricción en la ecuación 3.7-42, y podria eIegirse erróneamente un = vI. Si ocurre esto, con Ren = ReI, entonces el número de Froude en el tanque más pequeño sería demasiado grande, y el vórtice sena demasiado profundo, como se muestra. son la línea punteada en la figura 3.7-3.
flujo reptante en un tubo de relleno
Demostrar que el gradiente axial medio de la presión modificada 9 para flujo reptante de un fluido de p y p constantes a través de un tubo de radio R, relleno uniformemente en una longitud L >>-Dp con partículas sólidas de tamaiio característico D, << R, es
Aquí, (. . denota un promedio sobre una sección transversal del tubo dentro de la longitud rellena L, y la función K(geom1 es una constante para una geometría dada del lecho (es decir, una forma y una disposición dadas de las partículas). e)
Se eIigen Dp como la longitud caracteristica y {u,) como la velocidad caracteristica. Entonces el movimiento intersticial del fluido esta determinado por las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9b, con = V/ {U,) y 9=(P - 9 )D / p {U,),junto con condiciones sin deslizamiento sobre las su0 P
Para una inirduccion a los métodos para hacer modelos a mayor escala con semejanza dinámica incompleta, véase R.W. Poweli. An Elementay Text in Hydrnulics and Fivid Mechanics, Macmiiian, Nueva York (1951).
118 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
perficies del sólido y la diferencia de presión modificada A(Y) = (Po) (LPL). Las soluciones para+ y @ en flujo reptante ( D p (u,) p l P + O ) dependen en forma correspondiente sólo de F, 0 y Z para una disposición y una forma dadas de una partícula. Entonces el gradiente axial medio -
depende sólo de la geometría del lechg en la medida en que R y L. sean grandes respecto a Dp. Al insertar la expresión anterior para @, de inmediato se obtiene la ecuación 3.7-44.
l. ¿Cuál es el significado físico del término Ax Ay(pv,)\, en la ecuación 3.1-2? ¿Cuál es el significado fisico de (V . v)? ¿Y de (V . pv)? 2. Hacer un balance de materia sobre un elemento de volumen (Ar)(rAO)(Az> para deducir la
ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas. 3. ¿Cuál es el significado físico del término Ax Ay(pv,v,)[, en la ecuación 3.2-2? ¿Cuál es el significado físico de [V .pw])?
4. iQué ocurre cuando f se iguala a la unidad en Ia ecuación 3.5-4? 5. La ecuación B en la tabla 3.5-1 no está restringida a fluidos con densidad constante, aun cuando p esté a la izquierda de la derivada sustancial. Explicar este hecho.
6. En el problema de flujo anular tangencia1 en el ejemplo 3.6-3, ¿es de esperar que los perfiles de velocidad relativos al cilindro interior sean iguales a las dos situaciones siguientes: i)el
cilliidro interior está fijo y el cilindro exterior gira con velocidad angular a;ii) el cilindro exterior está fijo y el cilindro interior gira con velocidad angular -O? Se supone que ambos flujos son laminares y estables.
7. Supóngase que, en el ejemplo 3.6-4, hay dos líquidos inmiscibles eii el vaso de precipitado
giratorio. ¿Cuál sería el perfil de la interfase entre las dos regiones líquidas? 8. El sistema analizado en el ejemplo 3.6-5, ¿seria util como viscosimetro?
9. En la ecuación 3.6-55, explicar por medio de un dibujo trazado cuidadosamente la elección de los límites en la integración y el significado de cada factor en el primer integrando. 10. ¿Qué factores deben tenerse en cuenta al diseñar un tanque mezclador que se usará en la Luna usando 10s datos de un tanque semejante en la Tierra?
PROBLEMAS Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción (figura.3A.1). Calcular el moniento de torsión, en lbi. pie, y la potencia en caballos que se necesitan para hacer girar ei eje del cojinete de fricción que se muestra en la figura. La longitud de la superficie de fricción sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosidad del Iubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lb,/pie3. Despreciar el efecto de la excentricidad. 3A.1
Resptiestos: 0.32 lbi. pie; 0.012 hp = 0.009 kW
Figura 3A.1 Cojinete
de fricción.
Problemas 119 Pérdida por fricción en cojinetes? Cada una de las dos hbfices en una gran embarcación de motor es impulsada por un motor de 4000 hp. EI eje que conecta el motor y la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en una serie de cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre de 0.005 pulg. El eje gira a 50 rpm, el lubricante tiene una viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de 1 pie de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que se gasta para hacer girar los ejes en sus cojinetes. Despreciar el efecto de la excentricidad. 3A.2
haciendo girar una paila de resina plástica de endurecimiento lento a velocidad constante hasta que se endurezca. Calcular la velocidad de rotación necesaria para producir un espejo de distancia focal f = 100 cm. La distancia focal es la mitad del radio de curvatura en el eje, que a su vez está dado por
Respuesta: 21.1 rpm jA.3 Efecto de la altitud sobre la presión del aire. En la desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago superior (602 pies sobre el nivel medio del mar), un barómetro portátil indica una presión de 750 mm Hg. Usar la ecuación de movimiento para calcular la presión barornétrica en la cima del Government Peak (2023 pies sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas Porcupine. Supóngase que la temperatura al nivel de lago es 70% y que ésta disminuye, al aumentar la altitud, a raz6n constante de 3°F por 1000 pies. La aceleración de la gravedad en la orilla sur de1 lago Superior es aproximadamente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud puede despreciarse para este problema.
Respuesta: 713 mm Hg = 9.49 X 104N/m2 3A.4 Determinación de la viscosidad con un viscosimetro de cilindro (un viscosímetro de Couette-Hatschek o de McMichaeI). Se desea medir las viscosidades de soluciones de sacarosa con una concentraciónaproximada de 60% por peso a aproximadamente 200C un viscosímeho de que se muestra en la figura 3.6-1. Este instmcilindro mento consta de un nlindro interior de 4.000 cm de diámetro rodeado por un cilindm giratorio de 4.500 cm de La I0qikid es 4.00 cm. La viscosidad de una solución de sacarosa al 60% a 20°C es de unos 57 cp y su densidad es aproximadamente 1.29g/crn3. Con base en la anterior parece posible que 10s efectos finales s e r b importantes, y por consiguiente se ha decidido calibrar el viscosímetro haciendo mediciones en soluciones conocidas, cuya viscosidad sea aproximadamente igual a la de las soluciones de sacarosa desconocidas. Determinar un valor razonable para el momento de torsión que debe usarse en la calibración si las mediciones de dicho momento son confiables hasta un error de 100 dinas/cm y la velocidad angular puede medirse con una confiabilidad de 0.5%.iCuál es la velocidad angular resultante?
3A.6 Diseño de un tanque agitado a mayor escala. Se realizarán experimentos con un tanque agitado a menor escala para diseñar una instalación geométricarnente semejante con dimensiones lineales 10 veces más grandes que el modelo a escala. El fluido en el tanque grande será un aceite pesado con p = 13.5 cp y p = 0.9 g/cm3. La velocidad del impulsor del tanque grande debe ser de 120 rpm.
a) Determinar la velocidad del impulsor para el modelo a menor escala, en concordancia con los criterios para modelado a mayor escala dados en el ejemplo 3.7-2.
b) Determinar la temperatura de operación del modelo si como fluido agitado se usará agua. Respuestas: a) 380 rpm, b) T = 60°C 3A.7
Arrastxe de aire durante el drenado de un tanque
(figura 3A.í?. Se conctmirá un tanque de de melaza de 60 pies de diámetro con una tubería de desagiie de pie de diámetro, a pies de la pared extensi6n vertical hacia arriba lateral del tanque y desde el fondo del tanque es de 2 pie. Por experiencia se sabe que a medida que la melaza yale del tanque, se forma un vórtice, y a medida que desciende el nivel del liquido, este vórtice termina por llegar a la tubería de salida, permitiendo la succión de aire por la melaza. Es necesario evitar este fenómeno. Para predecir el nivel mínimo de liquido al que puede evitarse este arrastre de aire, a una velocidad de vaciado de m gal/min, se ha propuesto un estudio con un modelo en
3A.5 Fabricación de un espejo parabolico. Se ha propuesto elaborar el soporte para un espejo parabolico,
'
Este problema es una conh5bución del profesor E.J. Crosby, de la Universidad de Wisconsin.
~i~~~~ 3 ~ ~~~~~d~ ~ 7 de un tanque de
120 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
el que se use un tanque más pequeño. Por conveniencia, como fluido en el estudio del modelo se usará agua a 68°F Determinar las dimensiones del tanque y las condiciones de operación idóneas para el modelo si la densidad de la melaza es 1.286 g/cm3 y SU viscosidad es 56.7 cp. Puede suponerse que, en el tanque a escala real o en el modelo, el perfil del vórtice depende sólo de la cantidad de liquido en el tanque y la velocidad de salida; es decir, que el vórtice se establece muy rápido.
aparato, es necesario entender el flujo en un ducto cuya sección transversal es un triángulo equilátero. LO anterior se logra más fácilmente instalando un sistema de coordenadas como se muestra en la figura 3B.2b. a) Comprobar que la distribución de velocidad para el flujo
laminar de un fluido newtoniano en un ducto de este tipo está dada por
Flujo entre cilindros coaxiales y esferas concéntri-
3
cas. a) El espacio entre dos cilindros coaxiales está lleno de un
fluido incompresible a temperatura constante. Los radios de las superficies mojadas interior y exterior son KR Y R, respectivamente. Las velocidades angulares de rotaaón de los cilindros interior y exterior son 0,y OO.Determinar la distribución de velocidad en el fluido y los momentos de torsión sobre los dos cilindros necesarios para mantener el movimiento.
b) A partir de la ecuación 38.2-1 encontrar la velocidad media, la velocidad máxima y la velocidad de flujo rnásico. --9 Respuestas: b) (v,) = (P*-P,)H~ 60p.L
Vz,máx;
W = &t90 - p r , ) f f 4 p
18OpL
Flujo laminar en un ducto cuadrado.
b) Repetir el inciso U para dos esferas concéntricas.
33.3
Respuestas:
a) Un ducto recto se extiende en la dirección z una longitud
L y su sección transversal es cuadrada, limitada por las rectas x = 2 B y y = +B. Un colega comenta al lector que la distribución de velocidad está dada por
l-K
3B.2 Flujo laminar en un ducto triangular (figura 3B.2).2En la figura 3 B . b se muestra un tipo de intercambiador de calor compacto. Para analizar el desempeño de este
Debido a que este colega a veces le ha malinformado en el pasado, usted se siente obligado a comprobar el resultado. ¿El resultado satisface las condiciones límite relevantes y la ecuación diferencial relevante? b) Según el artículo de revisión escrito por Berker? la velocidad de flujo másico en un ducto cuadrado está dada Por
Figura 3B.2 a ) Elemento de un (>., 0 )
y =*'
(b)
intercambiador de calor compacto, que muestra los canales de una sección transversal triangular; b) sistema de coordenadas para un ducto en forma de triángulo equilátero.
Uli planteamiento alternativo del perfil develocidad se encuentra en L.U. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford, 2a. edición (1987), p. 54.
Comparar el coeficiente en esta expresión con el coeficiente que se obtiene a partir de la ecuación 3B.3-1.
Flujo reptante entre dos esferas concéntricas (figu3B.4 ra 3B.4). Un fluido newtoniano muy viscoso circula en el espacio entre dos esferas concéntricas, como se muestra en la figura. Se desea encontrar la velocidad del flujo cn el sistema como una función de la diferencia de presión impuesta. Despreciar los efectos finales y postular que u, depende R. Berker, Handbucir der Physik, voluinen VIII/2, Springer, Berlíi~ (1963); vPanse las pp. 67-77 para flulo laminar en conductos con secciones hansversales no circulares. También véase W.E. Stewart, AIChE Jouri~ai,8, 425-428 (1962).
Problemas
Figura 3B.4 Flujo reptante en la región entre dos esferas concéntricas estacionarias.
La tensión superficial hace que el fluido con viscosidad (L y densidad p se mantenga en su sitio
121
&
El disco en z = B gira con velocrdad angular 0 El disco en z = O está fijo
Ambos discos tienen radios R yR>rB
Figura 3B.5 Viscoshetro de discos paralelos.
E6 , ,
\Salida de fluido
una fórmula para deducir la viscosidad a partir de estas mediciones. Supóngase flujo reptante.
de r y O, con las otras componentes de la velocidad @wal a cero. a") Usar la ecuación de continuidad para demostrar que u,
den g = ~ ( r donde ), u(r) es una función de r por determinar. 3"
-'
b) Escribir la componente 6 de la ecuación de movimiento para este sistema, suponiendo que el flujo es suficienteniente lento, de modo que el término [v - Vv] es despreciable. Demostrar que lo anterior da r o=---+p l doP l (r2%)] (38.4-1) sen O r' dr r ae
[
ihiih
h) Separar lo anterior en dos ecuaciones f,?
I
U(T) = S5
'"1-g2)R
4 p ln cot (E / 2)
b) A partir de la componente 6 de la ecuación de movimiento, obtener una ecuación diferencial para ftz). Resolver la ecuación paraflz) y evaluar las constantes de integración. Al final, esto lleva al resultado ve = Ckr(z/B). ¿El lector hubiera podido adivinar este resultado? c) Demostrar que la ecuación deseada que funciona para deducir la viscosidad es p = 2BTz/dlR4. d) Analizar las ventajas y las desventajas de este instrumento.
donde B es la constante de separaci611, y resolver las dos eduaciones para obtener
i;
a) Postular que para valores pequeños de R los perfiles de velocidad tienen la forma v, = O, u, = O y ve = rf(z);¿por qué parece razonable esta forma para la velocidad tangencia¡? Postular además que 9 = P(r, z). Anotar las ecuaciones simplificadas de continuidad y movimiento resultantes.
38.6 Flujo axial circulante en tubos concéntricos (figura 3B.6). Una varilla de radio KR se mueve hacia arriba con velocidad constante vo a través de un recipiente cilíndrico de radio interior R que contiene un líquido newtoniano. El líquido circula en el cilindro, moviéndose hacia arriba a lo largo de la varilla central móvil y hacia abajo a lo largo de la pared fija del recipiente. Encontrar la distribución de velocidad en la regionanular, lejos de Ias perkirbaciones finales.
[ ( l - ~ ) + ~ ~ - q(38.4-5) )] La vanlla de radio KR se mueve hana arriba
"'
donde y Y2 son los valores de la presión modificada a f = E y 6 = .rr - E , respectivamente. d) Usar los resultados anteriores para obtener la velocidad de flujo másico / -<
w=
~
(- - B 9, )~ R~(~-K)~~
(3B.4-6)
12p in C O (E ~ / 2)
m. 4 ;$
3B.5 Viscosimeho de discos paralelos (figura 3B 5). Un fluido, cuya viscosidad debe medirse, se coloca en el intervalo de espesor B que hay entre los dos discos de radio R. Ce mide e1 momento de torsión T, necesario para hacer girar el disco superior a una velocidad angular 0.Obtener
I
I
El cilindro de longltud L hene un radio interior R (con L >> R)
Figura 3B.6 Flujo circulante producido por una varilla que
se mueve axialmente en una región anular cerrada.
122 Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Flujos semejantes a éste ocurren en los seHos de alguna maquinaria de vaivén o alternativa; por ejemplo, en el espacio anular entre anillos de pistones. a) Primero, considerar el problema en que la región anular es bastante estrecha; es decir, donde K es apenas menor que la unidad. En ese caso el anillo puede aproximarse por una delgada rendija plana y puede despreciarse la curvatura. Demostrar que en este límite la distribución de velocidad Las ecuaciones 3B.7-1 a 3B.7-4 son sólo aproximadas en la está dada por región cerca de la entrada de la ranura para ambos x r O y x 5 O.
donde 4 = r / R .
a) Encontrar las componentes de la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo p w dentro y fuera de la ranura.
b) Despubs, trabajar el problema sin la suposición de la b) Evaluar la componente xx de pvv en x = -a, y = 0. rendija delgada. Demostrar que la distribución de veloci- C) Evaluar la componente xy de pvv en x = -a, y = + a. dad está dada por d) ¿El flujo total d e energía cinética a través del. plano x = -a es igual al flujo total de energía cinética a través de la ranura? e) Comprobar que las distribuciones de vebcidad dadas en las ecuaciones 3B.7-1 a 3B.74 satisfacen la relación (V . v) = 0. Densidades de flujo de cantidad de movimiento para flujo reptante dentro de una ranura (figura 3B.7). Un líquido newtoniano incompresible circula muy lentamente hacia el interior de una ranura muy delgada de espesor 2B (en la dirección y) y ancho W (en la dirección 2). La velocidad de flujo másico en la ranura es w. A partir de los resultados del problema 2B.3 puede demostrarse que la distribución de velocidad dentro de la ranura es 3B.7
f) Encontrar el esfuerzo normal T~~ e ~ eplano l y bi6n en la superficie sólida en x = 0.
=
O y tam-
g) Encontrar el esfuerzo cortante T~~ en la superficie sólida en x = O. LESsorprendente este resultado? Para comprender el resultado, Les de ayuda trazar el perfil de velocidad vy contra x en algún plano y = a?
Distribución de velocidad para flujo reptante 33.8 hacia una ranura (figura 3B.7)> Se desea obtener la distribución de velocidad dada para la región corriente arriba en el problema previo. Se postula que ve = O, u, = O, v, = v,(r, O ) y 8 = P(Y,8).
en sitios no muy próximos a la entrada. En la región fuera de la ranura, las componentes de velocidad para flujo rep- a) Demostrar que la ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas da u, = P @ ) / r dondeJ(8) , es una función de tanle son 0 para la cual d f / d 8 = O en 8 = O y f = O en 0 = x / 2 .
b) Escribir las componentes r y 8 de la ecuación de movimiento de flujo reptante, e insertar la expresión para f(0) del inciso a). la componente r de la ecuaci6n de movimiento respecto a 0 y la componente 0 respecto a r. Demostrar que lo anterior conduce a C) Diferenciar
d) Resolver esta ecuación diferencial y obtener una expresión para f(0) que contenga tres constantes de integración.
Figura 3B.7 Flujo de líquido hacia una ranura desde una región semiinfinita x < 0.
Adaptado de R.B. Bird, R.C. Armstrong y O.Hassager, Dynamics 0f Poiymeric Liquids, volumen 1,wiley-~nterscience,Nueva York, 2a. edición (19871, pp. 42-43.
Problemas 123
&. &valuar las constantes de integración usando las dos gQndicione~ limite en el inciso a) y el hecho de que la veloci+dade flujo mdsico total a través de cualquier superficie debe ser igual a W . Esto da (3B'8-2)
b) Demostrar que la componente x de la herza por unidad de área ejercida por el líquido sobre el cilindro es -
plr-R cos 8 + r,I,,,
sen O
(30.9-5)
C) Obtener la fuerza F, = 2C7fLpvmejercida en la dirección x sobre una longitud L del cilindro.
0 ~ ~ , , u é s a, partir de las ecuaciones de movimiento del 3B.10 Flujo radial entre discos paralelos (figura 38.10). I;;C-co b), obtener 9(r, 0) como Una parte de un sistema de lubricación consta de dos dis9(r,0)=9.,
-% cos 20 ~ w ~ r
cos entre los cuales un Iubricante fluye radialmente. El flujo se lleva a cabo debido a una diferencia de presión modifi(3B'8-3) cada Ol - g2entre los radios interior y exterior rl y r2, respectivamente.
í$uál es el significado físico de Y,? I
g)Demuestre que el esfuerzo normal total ejercido sobre la superficie sólida en 0 = ~ / es 2
6 B. hí
( p + ~ e e ) f e = ~ /=pm 2 +- 2 W J TW~Y'
,),
a) Escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento para este sistema de flujo, suponiendo flujo newtoniano en estado estacionario, laminar e incompresible. Considere sólo la región rl 5 r 5 r2 y un flujo dirigido radialmente.
(3B.8-4) b) Demostrar cómo la ecuación de continuidad permite simplificar la ecuación de movimiento para obtener
&) Luego, evalúe re,en la misma superficie sólida. $2
i) Demuestre que el perfil de velocidad obtenido en la ecuación 3B.8-2 es el equivalente de las ecuaciones 3B.7-2 y 3B.7-3.
dop
1 d24
-'F=-dr+p--í-dz2
(3B.10-1)
donde Q = ni, es una función sólo de z. ¿Por qué 4 es indeFluio transversal Iento alrededor de un cilindro pendiente de r? (véase la figura 3.7-1). Un fluido newtoniano incompresible se aproxima a un cilindro estacionario con una velocidad C) Puede demostrarse que no existe solución para la uniforme estacionaria u, en la dirección x positiva. Cuando ecuación 33.10-1 a menos que se omita eI término no lineal las ecuaciones de variación se resuelven para flujo reptante, que contiene a 4. La omisión de este término corresponde a se encuentran las siguientes expresiones5 para la presión y la "suposición de flujo reptante". Demostrar que para flujo la velocidad en la vecindad inmediata del cilindro (no son reptante, la ecuación 3B.10-1 puede integrarse respecto a r para obtener válidas a grandes distancias): 3B.9
t, l
COS 8
p(r,O)=p=- C P p Y
a, = Cv.[f
pgr sen 0
(E)']COSO
h(~) R 4 4 r
d) Demostrar que al integrar aún más respecto a z se (3B.9-2) obtiene
Aquí p, es la presión lejos del cilindro en y = O y
1 Entrada de fluido
2 (3B.9-4) C= ln(7.4 / Re) con el número de Reynolds definido como Re = 2 R v d / p . z = +b
a) Usar
estos resultados para obtener la presión p, el esfuerzo cortante rroy el esfuerzo normal r,, en la superficie del cilindro.
--
-
-
- - z = -b
r = r1 5Véase G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge UNversity PESS (19671, pp. 244-246,261.
Figura 33.1° Flujo radia1 hacia afuera en el discos circulares paralelos.
entre dos
124
Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
e) Demostrar que la velocidad de flujo másico es
Bernoulli para Y1 - Y,, la diferencia entre las presiones modificadas corriente arriba y corriente abajo de la contracción? ¿Este resultado coincide con observaciones experi(38.10-4) mentales? b) Repetir la deducción para flujo horizontal isotérmico de un gas ideal a través de una contracción repentina.
f) Bosquejar las curvas P(r) y v,(r, z). Flujo radial entre dos cilindros coaxiales. Considérese un flujo incompresible, a temperatura constante, que fluye radialmente entre dos envolturas cilíndricas porosas con radios interior y exterior KR y R. 3B.11
38.14 Ecuación de Torricelli para el vaciado de un tanque (figura 38.14). Un gran tanque descubierto se llena de un líquido hasta una altura h. Cerca del fondo del tanque hay un orificio que permite la salida del fluido a la atmósa) Demostrar que la ecuación de continuidad conduce a fe& Aplique 1a"ec;ación de Bernoulli a una línea de corriente que se extiende desde la superficie del líquido en la vr = C / r , donde C es una constante. parte superior hasta un punto en la corriente de salida justo b) Simplificar las componentes de la ecuación de movifuera del recipiente. Demuestre que esto conduce a una miento a fin de obtener las siguientes expresiones para la =*h. Esta expresión se conoce velocidad de salida distribución de presión modificada: como ecuación de Torricelli. Para obtener este resultado es necesario suponer d9 3 . 1 1 - 1 incompresibilidad (lo que suele ser razonable para casi dr d0 dz todos los líquidos) y que la altura de la superficie del fluido cambia tan le,ntamente con el tiempo, que la ecuación de C) Integrar la expresión anterior para dB/dr para obtener Bernoulli puede aplicarse en cualquier instante (suposición de estado casi estacionario).
d) Anotar todas las componentes diferentes de cero de
T
para este flujo.
e) Repetir el problema para esferas concéntricas. Distribución de presión en fluidos incompresibles. Penélope está mirando fijamente un vaso de precipitado lleno de un líquido, que para todos los propósitos prácticos puede considerarse como incompresible y cuya densidad es po. Ella le dice a usted que está intentando comprender cómo la presión del líquido varia con la profundidad. Tomó el origen de coordenadas en la interfase líquido-aire, con el eje x positivo apuntando lejos del Iíquido. Ella comenta lo siguiente: "Si simplifico la ecuación de movimiento para un liquido incompresible en reposo, obtengo O = - d p / d z - ~ ~ Puedo resolver esto y obtener p = p,,, p d z . Eso parece razonable: la presión crece al aumentar la profundidad." "Pero, por otra parte, la ecuación de estado para cualquier fiuido es p = p(p, T), y si el sistema está a ternperatura constante, esto precisamente se simplifica a p = p(p). Y, como el. fluido es incompresible,p = p(po),y iP debe ser una constante en todo el fluido! ¿Cómo es posible?" Resulta evidente que Penélope requiere dc ayuda. Proporcione una explicación Útil. 3B.12
Superficie del liquido en la cual "1 = 0 Y P = Patm Línea de flujo de comente típica
'2" Salida de fiuido cn la cual "2 = U ~ a c i a d oY
P = Patm
Figura 38-14 Vaciado del fluido de un tanque. Los puntos "1" y "2" están sobre la misma línea de flujo de corriente. y .
-
3B.15 Forma de una superficie libre en flujo anular tangencial.
a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos cilindros verticales de radios K R y R, y el liquido está abierto a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuando el. cilindro interior gira con velocidad angular fli y el cilindro exterior permanece fijo, la superficie libre del líquido tiene la forma
38-13 Flujo de un fluido a través de una contracción repentina.
2([-2
a) Un liquido incompresible fluye a través dc una contracción repentina de un tubo de diámetro DI a otro hlbo de diámetro más pequeño D2.¿Qué predice la ecuación de
donde zR es la altura del liquido en la pared del cilindro exterior, y f = r/R.
+41n [ -f 2 )
(38.15-1)
Problemas 125 p
-
- -
b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y e l p
p
cilindro exterior girando a una velocidad angular Q,. ,Demostrar que la forma de la superficie del líquido es
medio de la ranura, con las paredes porosas situadas en y = 2 b. Su respuesta al inciso a) es
donde a = bvop/p y 77 = y / b ¿Este resultado es equivalente a la ecuación 3B.16-l? e$'
i5) Trazar un
dibujo en el que se comparen estas dos formas
3C.1 Viscosímetro de compresión de discos paralelos6 (figura 3C.I). Un fluido llena por completo la región entre 3&.16 Flujo en una ranura con flujo transversal uni- dos discos de radio R. El disco inferior está fijo, y el disco gome(figura 3B 16). Un fluido circula en la dirección x posi- superior se hace aproximar muy lentamente al inferior con tiva a través de un largo ducto plano de longitud L, ancho una velocidad constante vo, empezando desde una altura w y espesor B, donde L >> W >> B. El ducto tiene pare- Ho (y Ho << R). La altura instantánea del disco superior es des porosas en y = O y y = B, de modo que puede mante- H(t). Se desea encontrar la fuerza necesaria para mantener &rse un flujo transversal constante, con vy - . , una la velocidad vo. Éste es un problema intrínsecamente bastante cornpiiqonstante, en todas partes. Flujos de este tipo son importantes en relación con procesos de separación en los que se cado de flujo en estado estacionario. No obstante, puede utiliza el efecto de difusión por barrido. Al controlar cuida- obtenerse una solución aproximada fitil al hacer dos simdosamente el flujo transversal es posible concentrar los cons- plificaciones en las ecuaciones de variación: i) se supone ifituyentes más grandes (moléculas, partículas de polvo, que la velocidad vo es tan lenta que pueden omitirse todos etcétera) cerca de la pared superior. los términos que contienen derivadas respecto al tiempo; ésta es la denominada suposición de "estado casi estaa) Demostrar que el perfil de velocidad para el sistema está cionario"; ii) se usa el hecho de que % << R para despreciar dado por bastantes términos en las ecuaciones de variación por medio de argumentos de orden de magnitud. Nótese que la veloci( B , - P ~ ) BI~ --y e*~/~-l (3B.16-1) dad de disminución del volumen del fluido entre los discos Vr = /AL A(B 8 - 1 ) es rR2u,, y que esto debe ser igual a la velocidad del flujo que sale de entre Ios discos, que es 2~rRH(v,)l,,~.Por tanto, donde A = Buo p/ p.
;iela superficie del líquido.
/ / '
:(
$d
b) Demostrar que la velocidad de flujo másico en la dirección x es 7%
,
8!
c) Verificar que los resultados anteriores se simplifican a los del problema 2B.3 en el límite de que no hay flujo transversal en absoluto (es decir, A -t O).
d) Un colega también ha resuelto este problema, pero tomando un sistema de coordenadas con y = O en e1 plano El disco superior se mueve lentamente hacia abajo a velocidad constante vg
, I I
I I
I
1
1
Zt
y-í-17
I
+
j-
'H(f)
El disco inferior est.5 fijo
Figura 3B.16 flujo en una rendija de longitud L, ancho W Y espesor B. Las paredes en y = O y y = B son porosas, y el fluido circula en la dirección y con veIocidad uniforme
""= U(,.
Figura 3C.1 Flujo comprimido en un viscosírnetro de compresión de discos paralelos.
J.R. Van Wazer, J.W. Lyons, K.Y. Kim y R.E. Colwell, Vistos@ nnd F ~ O W Measurernent, Wiley-Interscience, Nueva York (19631,pp. 292-295.
126
Capítulo 3
Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
Ahora argumentamos que vr(r,z) será del. orden de magnitud de ( ~ , ) l , = ~ y que v,(r, Z) es del orden de magnitud de vo, de modo que V,
= (R/Hlv& v, = -vo
(3C.1-2,3)
y entonces V Z I << Ahora es posible estimar el orden de magnitud de varias derivadas como sigue: a medida que r de va desde cero hasta va de o a ' la aproximadamente (X/H)vo.Este tipo de razonamiento permite obtener -= dr
8v, dz
Este resultado puede usarse para obtener la viscosidad a partir de mediciones de la fuerza y la velocidad. f) Repetir el
para un virosímetro que es operado de tal forma que una burbuja circular centrada de líquido nunca llena completamente el espacio entre las dos láminas. Sea V e1 volumen de la muestra y obtener
( R/ H)vo -O -- vo X-O H (-v0)-0 H-O
"0
H
,etc.
(3C'16)
que acaba de delinearse para demostrar que la ecuación d e continuidad y la componente r de la ecuación de movimiento se vuelven (despreciando 8,)
a) Use el análisis de orden de magnitud
1 d dv --(ni,)+-=O
continuidad:
az
r dr
movimiento:
(3C.1-6)
g) Repetir el análisis para u n viscosímetro que es operado con una fuerza constante aplicada F o Entonces, la viscosidad debe determinarse midiendo H como una función del tiempo, y la velocidad de la lamina superior no es una constante. Demostrar que l
[FJ(t)l2
- I ++ 4 F t
H:
(3C.1-16)
3.rr@
3C.2 Esfuerzos normales en superficies sólidas para fluidos compresibles. Extender el ejemplo 3.1-1 a fluidos com-
(3C'1-7) preiibles. Demostrar que
con las condiciones límite (3C.Z-8)
C.L. 2:
en z
=
H(t),
v, = O,
v, = v a
(3C.l-9)
Analizar el significado físico de este resultado. 3C.3 Deformación de una linea de fluido (figura 3C.3).Un
fluido está contenido en el espacio anular entre dos cilin(3C.1-10) dros de radios K RY R. El cilindro interior se hace girar con velocidad angular constante de fli. Considérese una línea b) A partir de las ecuaciones 3C.1-7 a 3C.1-9, obtener de partículas del fluido en el plano z = O que se extiende desde el cilindro interior hasta el cilindro exterior y que (3C.1-11) inicialmente se encuentra en B = O, normal a las dos superVr = L ( * ) z ( z - H ) 2p d r ficies. ¿Cómo se deforma esta línea de fluido en una curva
C.L. 3:
en r
=
p
R,
=
patm
Integrar la ecuación 3C.1-6 respecto a z y sustituir el resultado de la ecuación 3C.1-II para obtener c)
ff3 1 d dp vo =---12p r dr ( r ~ )
(3c.1-12)
Curva del fluido
d) Resolver la ecuación 3C.1-12 para obtener la distribución de presión
.=P.;. e) Integrar [(p + T
(L)']
3 r r u o ~1~ -
Línea del Buido
(3C.1-13)
patml ) 50bre la superficie del disco en
~ -~
movimiento para encontrar Ia fuerza total necesaria para mantener e1 movimiento de disco:
exterior fijo
angular a,
Figura 3C.3 Deformación de una línea de fluido en flujo de Couette.
Problemas 127 ¿Cuál es la longitud, 1, de Ia curva después de N luciones del cilindro interior? Usar la ecuación 3.6-32.
, 3c.4 ~ é t o d oalternativos s para resolver el problema del v$cpjímetro
relaciona las presiones dentro y fuera de la diminuta gota. ¿La presión en la fase 1es mayor que en la fase 111, o al revés? ¿Cuál es la relación entre las presiones en una interfase plana? b) Demostrar que la ecuación 3C.5-1 conduce a la siguiente condición límite adimensional
de Couette por medio de conceptos de canti-
kaLd -- de movimiento angular (figura. 3.6-1).
er un balance de envoltura de la canfidad de movtmlenfo
r sobre una envoltura delgada de espesor AY para d -(r27,*) dr
=O
(3C.4-1)
insertar la expresión apropiada para 7, en términos del ~radiente de la componente tangencia1 de Ia velocidad. Luego resolver la ecuación diferencial resultante con fáYtondicioneslímite para obtener la ecuación 3.6-29.
k$) -.. Demostrar cómo obtener la ecuación 3C.4-1 a partir de la t
)InfHiZczón de variacidn para cantidad de movimiento angular dada enla ecuación 3.4-1. ,
fi
8:
,3C.5 Condiciones límite interfaciales de dos fases. En
$2.1 se proporcionaron condiciones límite para resolver
' problemas de flujo viscoso. En ese momento no se mencionó el papel de la tensión interfacial. En la interfase entre dos fluidos inrniscibles, 1 y 11, debe usarse la siguiente condicidn Ii~nite:~
donde hV = (h - ho)/loes la elevación adimensional de d~,.$' y $11 s y tensores c@ rapidez de deformación adimensionales yRl = Rl/lo yR, = RJI, son radios de curvatura adimensionales. Más aiín, $1 =
PI - ~ o + ~ ' g t h - h o ) .
~'~02
(3C.54,5)
Y-u = p1i-F70+pT'g(h-hg) PIVO
En las expresiones anteriores, las cantidades con subíndice cero son los factores de escala, válidos en ambas fases. Identificar los grupos adimensionales que aparecen en la ecuación 3C.5-3.
CI Demostrar que el resultado del inciso b) se simplifica a la Gsto es esencialmente un balance de cantidad de $movimiento escrito para un elemento interfacial dS por la que no pasa materia, y que además carece de masa o viscosidad interfacial. Aqui, n1es el vector unitario normal a dS y que apunta hacia la fase 1. Las cantidades RI y R2 son 10s radros principales de curvatura en dS, y cada uno de éstos es positivo si su centro está en la fase 1. La suma (1/R1)+ (1/ R 2 ) también puede expresarse como ('7 . nl).La cantidad u es la tensión interfacial, que se supone constante.
ecuación 3.7-36 bajo las suposiciones hechas en el ejemplo 3.7-2. 3D.1 Deducción de las ecuaciones de variación mediante teoremas sobre integrales (figura 3D.1).
a) Un fluido circula a través de alguna región del espacio tridimensional. Seleccionar una "burbuja" arbitraria de ese
a) Demostrar que, para una diminuta gota esférica de 1en reposo en un segundo medio 11, la ecuación de Laplace i
7L.h n d a u y E.M. Lifshitz, Fiuid Mech~nics,Pergarnon, Oxford, 2a. edición (19871,ecuación 62.13. L.E.Scriven, Chem. Eng Sci., 12, 98-108 (19601, ha desarro]Iadofórmulas nene,.ales incluvendo la densidad viscosidad en exceso.
.,
Figura 3D.1 "Burbuja" móvil de fluido a la que se aplica la segunda ley de movimiento de Newton. Cada elemento d e la superficie del fluido dS(t) del elemento d e volumen V(t) móvil que se deforma se desplaza con la velocidad instantánea local "(t) del fluido.
128 Capítulo 3 Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos
fluido; es decir, una región acotada por alguna superficie S(t) que encierra un volumen V(t), cuyos elementos se mueven con la velocidad local del fluido. Aplicar a este sistema la segunda ley de movimiento de Newton para obtener
Deducir la ecuación de continuidad usando un elemento de volumen de forma arbitraria, tanto móvil como fijo, por los métodos presentados en a) y b).
C)
La ecuación de variación para vorticidad.
3D.2
donde los términos de la derecha explican las fuerzas superficiales y volumétricas que actúan sobre el sistema. Aplicar la fórmula de Leibniz para diferenciar una integral (véase §A.5), reconociendo que en todos los puntos sobre la superficie de la burbuja, la velocidad de la superficie es idéntica a la velocidad del fluido. Luego, aplicar el teorema de Gauss para un tensor (véase 5A.5) de modo que cada término en la ecuación sea una integral de volumen. Debido a que la elección de la "burbuja" es arbitraria, pueden eliminarse todos los signos de integral, y se obtiene la ecuación de movimiento de la ecuación 3.2-9.
b) Deducir la ecuaci6n de movimiento escribiendo un balance de cantidad de movimiento sobre una región arbitraria de voIumen V y superficie S, fija en e1 espacio, a través de la cual circula un fluido. Al hacerlo, simplemente repetir la deducción dada en 53.2 para un elemento redangular del fluido. Para completar la deducción se requiere el teorema de Gauss para un tenscr. Este problema muestra que aplicar la segunda ley de movimiento de Newton a una "burbuja" arbitraria en movimiento del fluido, equivale a establecer un balance de cantidad de movimiento sobre una región arbitraria fija en el espacio a través de la que se mueve el fluido. Tanto en a) como en b) se obtiene el mismo resultado que el que se obtuvo en s3.2.
a) Al tomar el rotacional de la ecuación de movimiento de Navier-Stokes (ya sea en la forma D / D t o en la forma d / d t ) , obtener una ecuación para la vorticidad, w = [V X VI del fluido; esta ecuación puede escribirse en dos formas:
donde E es un tensor de tercer orden cuyas componentes son el símbolo de permutación eijk (véase 5A.2) y u = @lp es la viscosidad cinemdtica.
b) ¿Cómo s e simplifican las ecuaciones en el inciso a) para flujos bidimensionales? 3D.3 Forma alternativa de la ecuación de movimiento? Demostrar que, para un fluido newtoniano incompresible con viscosidad constante, la ecuación de movimiento puede escribirse en la forma
donde
'EG. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge Univenity Press, edición comgida (1 995).
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 4
Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos
54.2"
Solución de problemas de flujo usando una función de corriente
54.3"
Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad
54.4"
Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoría de la capa límite
En el capítulo 2 se vio que los problemas de flujo viscoso con líneas de flujo de corriente rectas pueden resolverse mediante balances de envoltura de cantidad de movimiento. En el capítuio 3 se presentaron las ecuaciones de continuidad y movimiento, que constituyen una mejor forma para plantear problemas. El método se ilustró en 93.6, pero el estudio se restringió a problemas de flujo en los que sólo era necesario resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. En este capítulo analizaremos varias clases de problemas que implican las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales: flujo de estado no estacionario t+I.l), flujo viscoso en más de una dirección (§4.2), el flujo de fluidos no viscosos (54.3)y el flujo viscoso en capas límite (g.4). Debido a que todos estos tópicos se abordan extensamente en tratados de dinámica de fluidos, aquí proporcionamos sólo una introducción e iiustramos algunos wétodos ampliamente usados para resolver problemas. Además de los métodos analíticos que se proporcionan en este capítulo, también se cuenta con una literatura cada vez más extensa sobre métodos numéricos.' El campo de dinámica de fluidos computacional ya está desempeñando un papel importante en el terreno de los fenómenos de transporte. Los métodos numérico y analítico tienen papeles complementarios entre sí, donde los métodos numéricos son indispensables para resolver problemas prácticos complicados.
4 .
FLUJO DEPENDIENTE DEL TIEMPO DE FLUIDOS NEWTONIANOS En g3.6 sólo se resolvieron problemas de estado estacionario. Sin embargo, en muchas situaciones la velocidad depende tanto de la posición como del tiempo, y el flujo se describe por medio de ecuaciones diferenciales parciales. En esta sección ilustraremos tres técnicas que se usan ampliamente en dinámica de fluidos, conducción de calor y difusión (así como también en muchas otras ramas de física e ingeniería). En cada una de estas técnicas, el problema de resolver una ecuación diferencial parcial se convierte en un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales ordinarias.
'
fo
R.W. Johnsoníed.),The H n d h k of Fluid Dymmics, CRC Press, Boca Ratón,Fla. (1998);C.Pozrikidis, I n t d u d i o n Themetical and Computationnl Fluid Dynomics, Oxford University Piess (1997).
130 Capitulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
El primer ejemplo ilustra el método de combinación de variables (o método de soluciones por semejanza). Este método es útil sólo para regiones semiinfinitas, de modo que la condición inicial y la condición límite en el infinito pueden combinarse en una nueva condición límite simple. El segundo ejemplo ilustra el método de separación de variables, donde la ecuación diferencial parcial se separa en dos o más ecuaciones diferenciales ordinarias. Así, la solución es una suma infinita de productos de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas ecuaciones diferenciales ordinarias suelen analizarse en textos de matemáticas de nivel intermedio bajo el título de problemas de "SturmLiouville" .l E1 tercer ejemplo demuestra el método de respuesta sinusoidal, que es de utiLidad para describir la forma en que el sistema responde a perturbaciones periódicas externas. Los ejemplos ilustrativos se eligieron por su sencillez física, de modo que es posibie concentrarse primordialmente en los métodos matemáticos. Debido a que todos los probIemas analizados aquí son lineales en la velocidad, también es posible utilizar las transformadas de Laplace, y a quienes estén familiarizados con este tema se les invita a resolver los tres ejemplos de esta sección aplicando esa técnica.
que se pone súbitumrnt' en movimiento
Un cuerpo semiinfinito de llquido con densidad y viscosidad constantes está limitado por abajo por una superficie horizontal (el plano xz).Inicialmente el fluido y el sólido están en reposo. L ~ e g oal , instante t = O, Ia superficie sólida se pone en movimiento en Ia dirección x positiva CBII velocidad vo, como se muestra en la figura 4.1-1. Encontrar la velocidad v, como una función de y y t. En la dirección x no hay gradiente de presión ni fuerza de gravedad, y se supone que el flujo es laminar.
Para este sistema, v, = v,(y, t), vY = O y v, = O. Luego, a partir de la tabla 8.4 se encuentra que la ecuación de continuidad se cumple directamente, y a partir de Ia tabla B.6 se obtiene
t
"o
Fluido en flujo no estacionario
='O
'
Figura 4.1-1 Flujo viscoso de un fluido cerca de una pared que súbitamente se pone en movimiento.
Véase, por ejemplo, M.D. Greenberg, Foundations of Applied Mathcmatics, Prentice-Haii, Englewood Cliffs, N.J. (1978),5203.
g.1 F'iujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 131 donde v = p/p. Las condiciones inicial y límite son
C.I.:
en t s O,
v, = O
para toda y
C.L. 1:
e n y =O,
para toda t > O
C.L. 2:
eny = 00,
a, = U, V, =O
.
para toda t > O
A continuación introducirnos una velocidad adimensional4 ción 4.1-1 se convierte en
84
$4
dt
ay2
-=y-
= v,/vo, de
modo que la ecua-
(4.1-5)
con +(y, 0 ) = 0, +(O, t) = 1 y 4403, f ) = O, Como las condiciones inicial y límite s61o contienen números puros, la solución de la ecuación 4.1-5 debe ser de la forma 4 = $(y, f; v). Sin embargo, ya que 4 es una función adimensional, las cantidades y, f y u siempre deben aparecer en una combinación dimensional. Las únicas combinaciones adimensionales de estas tres cantidades son y&o potencias o rnúitiplos de esto. Por tanto, concluimos que donde Éste es el "método de combinación de variables (independientes)". El "4" se incluye para que el resultado final en la ecuación 4.1-14 se vea más claramente; esto s610 lo sabremos hacer después de resolver el problema sin ese número. La forma de la solución de la ecuación 4 . 1 6 es posible esencialmente porque en el sistema físico no hay longitud o tiempo característicos. A continuacibn convertimos las derivadas en la ecuación 4.1-5 en derivadas respecto a la "variable combinada" .q como sigue:
Luego, al sustituir estas expresiones en la ecuación 4.1-5 se obtiene
Ésta es una ecuación diferencial ordinaria del tipo dado en la ecuación C.l-8, y las condiciones limite asociadas son
La primera de estas condiciones límite es la misma que la ecuación 4.1-3, y la segunda ir-iuye las ecuaciones 4.1-2 y 4.1-4. Si ahora se hace d Q / d q = se obtiene una ecuación de primer orden de variables separables para que puede resolverse para obtener
+,
+,
Después, al integrar por segunda vez se obtiene
+ = ~ ~ [ ~ x ~ ( - i jc2 ~)d~+ O
132 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
Figura 4.1-2 Distribución de velocidad, en forma adimensional, para flujo en la vecindad de una pared que súbitamente se pone en movimiento.
1.0 0.9 0.8 0.7
v,
-
0.6
vO 0.5 0.4 0.3
0.2 0.1
o
O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.8 0.9 1.0 1.11.2 1.3 1.4 1.5 y/*
La elección de O para el límite inferior de la integral es arbitraria; otra elección hubiera producido un valor distinto de C2, que sigue siendo indeterminado. Nótese que hemos sido cuidadosos en usar una barra superior para la variable de integración (3)a fin de distinguirla de la 7 en el límite superior. La aplicación de estas dos condiciones límite permite evaluar ambas constantes de integración, y por último se obtiene
4(3=1-
1:
expí-?~~ exp(-$)d~= 1- erf q
[
(4.1-14)
exp(-+)d~
Esta relación de integrales se denomina función de error, lo cual se abrevia como erf q (véase SC.6). Es una función bien conocida, disponible en manuales matemáticos y en programas de computación Cuando la ecuación 4.1-14 vuelve a escribirse en las variables originales, se convierte en
donde erfc q se denomina funcidn de ermr complementariu. En la figura 4.1-2 se muestra una gráfica de la ecuación 4.1-15. Nótese que, al graficar el resultado en términos de cantidades adimensionales, sólo se requiere una curva. La función de error complementaria erfc q es una función monótona decreciente que va de 1 a 0 y cae a 0.01 cuando 77 es aproximadamente 2.0. Podemos usar este hecho para definir un "espesor de la capa límite" S como esa distancia y para la cual v, ha caído a un valor de 0 . 0 1 ~Esto ~ . proporciona S = 4 6 c o m o una escala de longitud natural para la difusión de cantidad de movimiento. Esta distancia es una medida de lo que la cantidad de movimiento ha "penetrado" en el cuerpo del fluido. Nótese que este espesor de la capa límite es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido.
-
estacionario entre dos laminas paralelas
Se desea volver a resolver el ejemplo ilustrativo precedente, pero con una pared fija a una distancia b de la pared móvil en y O. Este sistema de flujo tiene u n límite de estado estacionario cuando t -+03, mientras que el problema del ejemplo 4.1-1 no lo tenía. SOLUCIÓN Así como en el ejemplo 4.1-1, la ecuación para la componente x de la velocidad es
@.1 Flujo dependiente del tiempo de fluidos newtonianos 133
Ahora las condiciones límite son
v, = O
para O 5 y i- b
en y = O,
v, = vo
para toda t > O
en y = b,
v, = O
para toda t > O
C.I.:
en t
C.L. 1: C.L. 2:
5
O,
Es conveniente introducir las siguientes variables adimensionales:
Las elecciones para la velocidad y posición adimensionales aseguran que estas variables irrin de O a 1. La elecci6n del tiempo adimensional se hace para que en la ecuación diferencial parcial transformada no haya parámetros:
La condición inicia1 es 4 = O para r = O, y las condiciones limite son # = 1 para 77 = O y Q = O para 7 = 1. Sabemos que en un tiempo infinito el sistema alcanza un perfil de velocidad de estado estacionario #,(q), de modo que en T = m, la ecuación 4.1-21 se convierte en
con 4, = 1 para g = O, y 4, = O para
7) =
1. Así, se obtiene
para el perfil limitante de estado estacionario. Luego es posible escribir
donde #f es Ia parte transitoria de la soluci6n, que desaparece a medida que el tiempo tiende a infinito. Así, al sustituir esta expresión en la ecuación diferencial original y en las condiciones Limite, se obtiene para # J ~
con$, =+,para ?=O, y #,=Opara 77 = O y l . Para resolver la ecuación 4.1-25 se usa el "método de separación de variables (dependientes)", donde se supone una solución de la forma
Al sustituir esta solución de ensayo en la ecuación 4.1-25 y luego dividir entre el producto fg se obtiene
134 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente El miembro izquierdo es una función sólo de T, y el derecho es una función sólo de 77. Esto significa que ambos lados deben ser iguales a una constante. Elegimos designar la constante como -c2 (igualmente hubiera podido usarse c o +c2, pero la experiencia indica que estas elecciones hacen algo mas complicados los procedimientos matemáticos subsecuentes). Entonces la ecuación 4.1-27 puede separarse en dos ecuaciones
Estas ecuaciones tienen las siguientes soluciones (véanse las ecuaciones C.l-1 y C.l-3).
g
=A
~
~
~
~
T
+ C cos cv
f .= B sen c q
donde A, B y C son constantes de integración. A continuación aplicamos las condiciones limite e inicial como sigue:
C.L. 1:debido a que 4, = O para q = O, la función f debe ser cero para 77 = O. Por tanto, C debe ser cero. C.L. 2: debido a que 4, = O para q = 1, la función f debe ser cero para q = 1. Esto es cierto si B = O o si sen c es cero. La primera opción llevana a que f = O para todo 77, lo cual sería físicamente inaceptable. Por consiguiente, asumimos la segunda opción, que lleva al requerimiento de que c = O, +m, +27r, 2 3 - ~. Identificamos estos diversos valores admisibles de c (denominados "valores propios, valores característicos o eigenvalores") como c, y escribimos c, = nw,
con n = 0, 2 1 , 52, I 3 .
.
(4.1-32)
Por tanto, hay muchas funciones admisibIes fn (denominadas "funciones propias o funciones características") que satisfacen la ecuación 4.1-29 y las condiciones límite; a saber,
Las funciones correspondientes que satisfacen la ecuación 4.1-28 se denominan g, y están dadas por
g, = ~ , e x ~ ( - n ~ d ~con ) , n = O, 51, +2, 2 3 , . -
.
(4.1-34)
C.I.: las combinacionesfd, satisfacen la ecuación diferencial parcial para 4, en la ecuación 4.1-25, así como también lo hace cualquier superposición de tales productos. Por consiguiente, para la solución de la ecuación 4.1-25 escribimos +m
$t
D, exp(-n2r27) sen n a v
=
,,=a
(4.1-35)
donde aún deben determinarse los coeficientes de expansión D, = A,Bn. En la operación suma, el término n = O no contribuye; también, debido a que sen(-n)wv = -sen(+n)wq, podemos omitir todos los términos con valores negativos de n. Por tanto, la ecuación 4.1-35 se convierte en m
4, = n = l Dn exP(-n2r27) sen naT Según la condición inicial, 4, = 1 -
para
T
= O,
de modo que
m
D, s e n n a q
1-q= n-1
$4.1 Flujo dependiente de1 tiempo de fluidos newtonianos 135
iAhora debemos determinar todos los Dn a partir de esta ecuación! Esto se hace multiplicando ambos lados de la ecuación por sen mnq, donde m es un entero, y luego integrando sobre el intervalo físicamente pertinente desde 71 = O hasta 7 = 1, así:
[(l-q)senm7iníq=
sen nnq sen m q d q
n=l
(4.1-38)
E1 miembro izquierdo da 1 /mr; las integrales en el miembro derecho son cero cuando n = m ya cuando n = m. Por tanto, la condición inicial lleva a
La expresión final para el perfil de velocidad adimensional se obtiene a partir de las ecuaciones 4.1-24,4.1-36 y 4.1-39 como
exP(-n2r2r)sen nnq
(4.1-40)
Así, la solución consta de un término Iímite de estado estacionario menos un término transitono, que desaparece al aumentar ei tiempo. Aquellos lectores que intenien por primera vez el método de separación de variables encontrarán bastante larga y complicada la secuencia de pasos anterior. Sin embargo, ningún paso específico en el desarrollo es particularmente difícil. La soluci6n final en la ecuación 4.1-40 se ve muy complicada debido a la operación suma infinita. En realidad, excepto para valores muy pequeños del tiempo, sólo pocos de los primeros términos de la serie contribuyen de manera apreciable. Aunque no lo demostraremos aquí, la solución de este problema y la del problema precedente están relacionadas estrechamente.* En el límite de un tiempo breve que tiende a desaparecer, Ia ecuación 4.1-40 se hace equivalente a la ecuación 4.1-15Esto es razonable, ya que, para un tiempo muy corto, en este problema el fluido está en movimiento sólo muy cerca de la pared en y = O, y el fluido no puede "sentir" la presencia de la pared en y = b. Debido a que la solución y el resultado en el ejernplo 4.1-1 son por mucho más sencillos que los de éste, a menudo se usan para representar el sistema si sólo están implicados tiempos pequefios. Esto es, por supuesto, una aproximación, pero bastante útil. A menudo también se usa en problemas de transmisión de calor y transporte de materia.
caminar no estacionario cerca de una ldmina que oscila
Un cuerpo serniinfinito de líquido está limitado en un lado por una superficie plana (el plano xz). Inicialmente el fluido y e1 sólido están en reposo. Al instante t = O la superficie sólida se hace oscilar sinusoidalmente en la dirección x con amplitud Xoy frecuencia (circular)w . Es decir, el desplazamiento X del plano a partir de su posici6n en reposo es X(t) = Xosen ot
14.1-41)
y entonces la velocidad del fluido para y = O es v,(O,t)
dX df
= -= Xoocos wf
Para una solución por series particularniente buena para tiempos breves, véase Conduction of Heat in Solids, Oxford University Pms, 2a. edición (19591, pp. 308-310.
(4.1-42)
H.S. Carslaw y J.C. Jaeser,
136 -Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente Designamos la amplitud de la velocidad de oscilación por vo = Xow y volvemos a escribir la ecuación 4.1-42 como
v,(O, f ) = vOcos wt = vo % {le"t)
(4.1-43)
donde %{z) significa "la parte real de 2". Para sistemas oscilantes, por regla general no se tiene interés en la solución completa, sino sólo en el "estado estacionario periódico" que existe después de que han desaparecido [% "oscilaciones transitorias" iniciales. En ese estado todas las partículas del fluido en el sistema ejecutarán oscilaciones sinusoidales con frecuencia o,pero con fase y amplitud que son funciones s610 de la posición. Esta solución de "estado estacionario periódico" puede obtenerse por una técnica elemental que se usa en forma extensa. Matemáticamente es una solución asintótica para t + m.
Una vez más, la ecuación de movimiento está dada por
y las condiciones inicial y límite están dadas por C.I.:
en t 5 O,
v, = O
para toda y
(4.1-45)
C.L. 1:
en y = O,
u, = vo%(8Wt]
para toda t > O
(4.1-46)
C.L. 2:
en y = m,
u, = O
para toda t > O
(4.1-47)
La condición inicial no ser&necesaria, ya que nos ocupamos s610 de la respuesta del fluido después de que la lámina ha estado oscilando durante mucho tiempo. Postulamos una solución oscilatoria de la forma Aquí v0 se elige como una función compleja de y, de modo que v,(y, t) difiere de v,(O, t) tanto en amplitud como en fase. Sustituimos esta solución de ensayo en la ecuación 4.1-44 y obte nemos
A continuación se usa el hecho de que si 3 {z,w] = Vi (z,wt, donde z , y z, son dos cantidades complejas y w es una cantidad compleja arbitraria, entonces zl = z2. Así, la ecuación 4.1-49 se
convierte en
con las siguientes condiciones limite:
La ecuación 4.1-50 es de la forma de la ecuación C . 1 4 y su solución es
g4.2 Solución de problemas de flujo usando una función de corriente 137 '
Debido a que fi= ~(l/t/Sf(l + i), esta ecuación puede volver a escribirse como
La segunda condición límite requiere que Cl = O, y la primera condición límite da C2 = vo.Por consiguiente, la solución de la ecuación 4.1-50 es
A partir de este resultado y la ecuación 4.1-48 se obtiene
o finalmente,
En esta expresión, la exponencial describe la atenuación del movimiento oscilatono; es decir, la disminución en la amplitud de las oscilaciones del fluido con un incremento en la distancia a partir de la lámina. En el razonamiento del coseno, la cantidad se denomina desplazamiento de fase; es decir, describe en qué medida las oscilaciones del fluido a una dis-
aq
-
tancia y de la pared están "fuera de paso" con las oscilaciones de la pared misma. Debe recordarse que la ecuación 4.1-57 no es la solución completa del problema según se plantea en las ecuaciones 4.1-44 a 4.1-47, sino sób la solución "periúdica de estado estacionario". La solución completa se proporciona en el problema 4D.1.
Hasta este punto hemos elegido los ejemplos y problemas de modo que en la velocidad del fluido sólo había una componente que no desaparece. Es más difícil obtener soluciones de la ecuación completa de Navier-Stokes para flujo en dos o tres dimensiones. El procedimiento básico es semejante: se resuelven simultáneamente las ecuaciones de continuidad y movimiento, junto con las condiciones inicial y 1ímite idóneas, para obtener 10s perfiles de presión y velocidad. Sin embargo, tener la velocidad y la presión como variables dependientes en la ecuación de movimiento plantea una mayor dificultad en los problemas de flujo multidimensional que en los más sencillos analizados previamente. En consecuencia, a menudo conviene eliminar la presión al tomar el rotacional de la ecuación de movimiento, luego de usar el vector identidad [v Vvl = $V(v . v ) - [v X [V X VI], que está dado en la ecuación A.4-23. Para fluidos de viscosidad y densidad constantes, esta operación da
2[V x v] - [V X[V x [V x VI]] = vv2[v x VI
(4.2-1)
at
Ésta es la ecuación de variación para la verticidad [V X vl; en el problema 3D.2 se proporcionan otras dos formas de escribirla. Así, para problemas de flujo viscoso es posible resolver la ecuación para la vorticidad (una ecuación vectorial de tercer orden) junto con la ecuación de continuidad y las condiciones inicial y límite relevantes para obtener la distribución de velocidad. Una vez que se conoce ésta, la distribución de presión puede obtenerse a partir de la ecuación de Navier-Stokes en la ecuación 3.5-6. Algunas veces este mé-
138 Capitulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
todo para resolver problemas de flujo es conveniente incluso para los flujos unidimensionales previamente analizados (véase, por ejemplo, el problema 4B.4). Para flujos planos o axisimétricos, la ecuación para la vorticidad puede volver a formularse introduciendo la función de corrienfe $. Para hacer esto, expresamos las dos componentes de velocidad que no desaparecen como derivadas de $ de tal forma que la ecuación de continuidad se cumpla de manera automática (véase la tabla 4.2-1). La componente de la ecuación para la vorticidad que corresponde a la dirección en que no hay flujo se convierte entonces en una ecuación escalar de cuarto orden para $. Luego, las dos componentes de la velocidad que no desaparecen pueden obtenerse una vez que se encuentra la ecuación para el escalar 9. En la tabla 4.2-1 se proporcionan los problemas más importantes que pueden tratarse de esta manera.1 La función de corriente en sí también es interesante. Las superficies de @ constante contienen Zzízeas de corrienfe? que en flujo de estado estacionario son las trayectorias de los elementos del fluido. El caudal volumétrico entre las superficies $ = I,+ y $ = es proporcional a En esta sección se considera, como un ejemplo, el flujo reptante estacionario que pasa por una esfera estacionaria, que está descrito por Ia ecuación de Stokes de la ecuación 3.5-8, válida para Re << 1 (véase el análisis justo después de la ecuación 3.7-9). Para flujo reptante, el segundo término en el miembro izquierdo de la ecuación 4.2-1 se iguala a cero. Así, la ecuación es lineal, y por tanto hay muchos métodos disponibles para resolver el problema.3 Usaremos el método de la función de corriente basado en la ecuación 4.2-1.
Flujo reptante alrededor de una esfera
Usar la tabla 4.2-1 a fin de establecer la ecuación diferencial para la función de corriente para el flujo de un fluido newtoniano alrededor de una esfera estacionaria de radio R a Re << 1. Obtener las distribuciones de velocidad y presión cuando el fluido se aproxima a la esfera en la dirección z positiva, como se muestra en la figura 2.6-1.
Para flujo reptante estacionario, todo el miembro izquierdo de la ecuación D de la tabla 4.2-1 puede igualarse a cero, y la ecuación $ para flujo axisimétrico se convierte en o bien, en coordenadas esféricas
--
-
' Para una técnica aplicable a flujos m6s generales, véase J.M. Robertson, Hydrodynamics in Theo y and Application, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1965), p. 77; para ejemplos de fiujos tridimensionales usando dos funciones de corriente, véase el problema 4D.5 y también J.P. k n s e n y W.E. Stewart, Chem. Eng. Sci.,29,819-825 (1974). A. Lahbabi y H.-C. Chang, C h m . Eng. Sci., 40,434-447 (1985) trabajaron flujo con número Re alto a través de arreglos cúbicos de esferas, incluyendo soluciones de estado estacionario y transición a la turbulencia. W.E. Stewart y M.A. McCleiiand, AIChE Journal, 29,947-956 (1983) proporcionaron soluciones asintóticas concordantes para convección forzada en flujos tridimensionales con calentamiento viscoso. Véase, por ejemplo, G.K. Batchelor, An lntroduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1967), 92.2. El capítulo 2 de este libra es un extenso análisis de la cinemática del movimiento de fluidos. 3La solución dada aquí se concluye a partu de la proporcionada por L.M. Milne-Thomson, Theoretical Hydrodynamics, Macmiüan, Nueva York, 3a. edición (1955), pp. 555-557. Para otros métodos, véase H. Lamb, Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1949,@337,338. Para un análisis de fluja no estacionario alrededor de una esfera, véase R. Berker, en Handbuch der Physik, volumen VIII-2, Springer, Berlín (1963),§69; o bien, H. Villat y J. Kravtchenko, Lecons sur les Fluides Vkqueux, Gauthier-ViUars, París (1943, capítulo VII. El problema de encontrar las fuerzas Y momentos de torsión sobre objetos de formas arbitrarias se analiza con todo detalle en S. Kim y S.J. Karnila, Microhydrodynamics: Principies and Selecfed Applicafions, Butterworth-Heinemann, Boston (19911, capítulo 11.
140 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente Esta ecuación debe resolverse con las siguientes condiciones limite:
C.L. 3:
cuando r
+
m,
++-iv_r
2
2
sen 0
(4.2-6)
Las dos primeras condiciones límite describen la condicibn sin deslizamiento en la superficie de la esfera. La tercera implica que vz + u, lejos de la esfera (esto puede verse al reconocer que u, = u, cos 8 y ve = -u, sen O lejos de la esfera). A continuación postulamos una solución de la forma
ya que por lo menos cumplirá la tercera condición límite en la ecuación 4.2-6. Cuando esta ecuación se sustikiye en la ecuación 4.2-3, se obtiene
El hecho de que la variable 0 no aparece en esta ecuación sugiere que el postulado en la ecuación 4.2-7 es satisfactorio.La ecuación 4.2-8 es una ecuación "equidirnensional" de cuarto orden (véase la ecuación C.l-14). Cuando una solución de ensayo de la forma f(r) = Crn se sustituye en esta ecuación, se encuentra que n puede tener los valores - 1 , 1 , 2 y 4. Por consiguiente, fir) tiene la forma flr) = Clr-I
+ C2r + C3? + C4P
(4.2-9)
Para cumplir la tercera condición límite, C4 debe ser cero, y Cg debe ser - u,. Por tanto, la función de comente es
$(r, 8 ) = (Clrpl
+ C2r - tu,?)
(4.2-10)
sen2 0
Luego, se obtienen las componentes de la velocidad usando la tabla 4.2-1 como sigue:
-
Ahora, las dos primeras condiciones límite dan C1 = - $v,.U3 y C2 $v,R, de modo que u,
Éstas son las componentes de velocidad dadas sin demostración en las ecuaciones 2.6-1 y 2.6-2. Para obtener la distribución de presión, estas componentes de velocidad se sustituyen en las componentes r y 6 de la ecuaci6n de Navier-Stokes (dada en la tabla B.6). Después de un procedimiento algo tedioso, se obtiene
94.3 Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad 141
Estas ecuaciones pueden integrarse (cf. las ecuaciones 3.6-38 a 3.6-41) y, al utilizar la condición límite de que cuando r -t m la presión modificada 9 tiende a po (la presión en el plano z = O lejos de la esfera), se obtiene 2
~ = ~ - ~2 ~R - 3 ( COSO 5)(:) Ésta es igual a la distríbuci6n de presión dada en la ecuación 2.6-4.
En g . 6 se mostr6 cómo es posible integrar las distribuciones de velocidad y presión sobre la superficie de la esfera para obtener la fuerza de resistencia. Ese mktodo para obtener la fuerza del fluido sobre el sólido es general. Aqui evaluamos la "fuerza cinética" Fkal igualar la velocidad para realizar trabajo sobre la esfera (fuerza x velocidad) con la velocidad de disipación viscosa dentro del fluido; así,
-lo
2w w
&v.
=
..
(rvv)r2drsen MM+
O
R
Al insertar la función (-r:Vv) en coordenadas esfbricas de la tabla B.7se obtiene
Luego, los perfiles de velocidad de las ecuaciones 4.2-13 y 4.2-14 se sustituyen en la ecuación 4.2-19.Una vez que se efectúan las (¡extensas!)diferenciaciones e integraciones, finalmente se obtiene
que es la ley de Stokes. Como se indicó en s2.6, la ley de Stokes está restringida a Re < 0.1. La expresión para la fuerza de resistencia puede mejorarse al volver atrás e incluir el término iv Vv]. Luego, al usar el método de expansiones asinfóticas concordanfes se obtiene el siguiente resultado4
donde y = 0.5772es la constante de Euler. Esta expresión es aceptable hasta Re aproximadamente igual a 1.
H.3' FLUJO DE FLUIDOS NO VISCOSOS POR MEDIO DEL EMPLEO
DEL POTENCIAL DE VELOCIDAD' Por supuesto, sabemos que 10s fluidos no viscosos (es decir, fluidos desprovistos de viscosidad) no existen en realidad. Sin embargo, se ha encontrado que la ecuación de movimiento de Euler de la ecuación 3.5-9 es útil para describir los flujos de fluiProudman y J.R.A. Pearson, 1. Fluid. Mech., 2,237-262 (1957);W.Chester y D.R. Breach, J . Fluid. Mech., 37, 751760 (1969).
'
R.H. Kirchhoff, capitulo 7 del H a m f b k of Fluid Dynamics (R.W. Johnson, compilador), CRC Press, Boca Ratón, Fia. (1998)
142 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
dos de baja viscosidad a Re >> 1 alrededor de objetos aerodinámicos y que proporciona una descripción razonablemente aceptable del perfil de velocidad, excepto muy cerca del objeto y más ailá de la línea de separación. Entonces, la ecuación para la vorticidad en la ecuación 3D.2-1 puede simplificarse omitiendo el término que contiene la viscosidad cinemática. Si, además, el flujo es estacionario y bidimensional, entonces desaparecen los términos a l a t y [w . Vv]. Esto significa que la vorticidad w = IV x VI es constante a lo largo de una línea de flujo de corriente. Si el fluido que se aproxima a un objeto sumergido no tiene vorticidad lejos de éste, entonces el flujo será tal que w = [V X vl es cero en todo el campo de flujo. Es decir, el flujo es irrotacional. Para resumir, si se supone que p = constante y que [V x VI = O, entonces puede esperarse que los flujos bidimensionales proporcionen una descripción razonablemente aceptable del flujo de fluidos de baja viscosidad alrededor de objetos sumergidos. Este tipo de flujo se denomina flujo potencial. Por supuesto, sabemos que esta descripción del flujo es inadecuada en la vecindad de superficies sólidas. Cerca de estas superficies utilizamos un conjunto diferente de suposiciones, que conducen a la teorúl de la capa límite, que se analizará en s4.4. Al resolver las ecuaciones de flujo potencial para el "campo lejano" y las ecuaciones de la capa límite para el "campo cercano" y luego hacer corresponder asintóticamente las soluciones para Re grande, es posible adquirir una comprensión de todo el campo de flujo alrededor de un objeto aerodinárnic~.~ Para describir el flujo potencial comenzamos con la ecuaci6n de continuidad para un fluido incompresible y con la ecuación de Euler para un fluido no viscoso (ecuación 3.5-9): (V v) = O
(continuidad)
(4.3-1)
(movimiento)
-
:
En la ecuaci6n de movimiento hemos usado la identidad vectorial [v Vv] = V v2 - Iv X [V X vll (véase la ecuación A4.23). Para el flujo irrotacional en dos dimensiones, el enunciado de que [V x v] = O es (irrotacional) y la ecuación de continuidad es (continuidad) La ecuación de movimiento para flujo irrotacional estacionario puede integrarse para obtener (movimiento)
g4v;? I -t vi) + 9= constante
(4.3-5)
Es decir, la suma de la presión y la energía cinética y potencial por unidad de volumen es constante en todo el campo de flujo. Ésta es la ecuación de Bernoulli para flu-
'M. Van Dyke, Perturbafion Methods in FIuid íhjnarnics, The Parabolic Precc, Stanford, Cal. (1975)
94.3 Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del. potencial de velocidad 143
jo potencial incompresible, y la constante es la misma para todas las líneas de flujo de corriente. (Esto debe compararse con la ecuación 3.5-12, la ecuación de Bernoulli para un fluido compresible en cualquier tipo de flujo; ahí la suma de las tres contribuciones es una constante diferente en cada línea de flujo de corriente.) Deseamos resolver las ecuaciones 4.3-3 a 4.3-5 para obtener u,, vy y 9 como funciones de x y y. Ya hemos visto en la sección previa que la ecuación de continuidad en flujos bidimensionales puede cumplirse escribiendo las componentes de la velocidad en términos de una función de corriente $(x, y). Sin embargo, cualquier vector que tenga un rotacional cero también puede escribirse como el gradiente de una función escalar (es decir, [V X vJ = O implica que v = -V4).Es muy conveniente, entonces, introducir un potencial de velocidad 4(x, y). En vez de trabajar con las componentes v , y vy de la velocidad, elegimos trabajar con 3r(x,y) y +(x, y). Luego se obtienen las siguientes relaciones: (función de corriente) (potencial de velocidad) Ahora las ecuaciones 4.3-3 y 4.3-4 se cumplirán automáticamente. Al igualar las expresiones para las componentes de la veIocidad se obtiene
Éstas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son las relaciones que deben ser satisfechas por las partes real e imaginaria de cualquier función analítica3w(z) = 4(x, y) + i$tx, y), donde z = x + iy. La cantidad w(z) se denomina potencial complejo. Al diferenciar la ecuación 4.3-10 respecto a x y la ecuación 4.3-11 respecto a y y luego sumar, se obtiene V2+ = O. Al diferenciar respedo a las variables en orden inverso y luego restar, se obtiene V2$ = O. Es decir, tanto +(x, y) como $(x, y) satisfacen la ecuación bidimensional de Lap1ace4 Como una consecuencia del desarrollo anterior, parece que cualquier función analítica w(z) produce un par de funciones 4(x, y) y $(x, y) que son el potencial de velocidad y la función de corriente para algún problema de flujo. Además, las curvas 4(x, y) = constante y $tx, y) = constante son entonces las líneas equipotenciales y las líneas de flujo de corriente para el problema. Las componentes de la velocidad se obtienen entonces a partir de las ecuaciones 4.3-6 y 4.3-7, las ecuaciones 4.3-8 y 4.3-9 o a partir de
-
Aquí se supone que el lector tiene algún conocimiento de las funciones analíticas de una variable compleja. Introducciones útiles al tema pueden encontrarse en V.L. ShPeter, E.B. Wylie y K.W.Bedford, Fluid Mechnics. McGraw-m, Nueva York, 9a. edici6n (1998), capfhilo 8, y en M.D.Greenberg, Fortndations o/ Applied M n t h a t i c s , Prentice-Hd, Englewood Cliffs, N.1. (19781, capítulos 11 y 12. Incluso para flujos tridimensionales, la suposición de flujo irrotacional sigue permitiendo la definición de un potencial de velocidad. Cuando v = -V+ se sustituye en (V . v) = O, se obtiene la ecuación tridimensional de Laplace @6 = O . La solución de esta ecuación es el tema de la "teoría de potencial", para la que existe una literatura bastante abundante. Véanse, por ejemplo, P.M. M o m y H. Feshbach, Methods of Theoreticill Physics, McGraw-Hill, Nueva York (1953),capítulo 11; y J.M. Robertcon, Hydmdynomics in Theory and Application, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1963, que recalca las apIicaciones en ingeniería. Hay muchos problemas de flup a través de medios porosos, conducción de calor, difusión y conducción eléctrica descritos por la ecuación de Laplace.
144 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
!
donde dw/dz se denomina velocidad compleja. Una vez que se conocen las componentes de la velocidad, entonces es posible encontrar la presión modificada a partir de la ecuación 4.3-5. DPmanera alternativa, las líneas equipotenciales y las líneas de flujo de corriente pueden obtenerse a partir de la función inversa z(w)= x(4,$1 + iy(+,4), donde z(w) es cualquier funci6n analítica de w. Entre las funciones x(4, $1 y y(#, I,/J) es posible eliminar $ y obtener
Una eliminación semejante de
+ proporciona
Al hacer 4 = una constante en Ia ecuación 4.3-13 se obtienen las ecuaciones para las líneas equipotenciales para algún problema de flujo, y al hacer $ = constante en la ecuaci6n'4.3-14se obtienen las ecuaciones para las lineas de flujo corriente. Las componentes de la velocidad pueden obtenerse a partir de
Así, a partir de cualquier función analítica w(z),o su inversa z(w), podemos construir una red de flujo con líneas de flujo de corriente = constante y líneas equipotenciales = constante. La tarea de encontrar w(z)o z(w)para satisfacer un problema de flujo dado es, sin embargo, considerablemente más difícil. Existen algunos métodos especiales>,5aunque a menudo es más conveniente consultar una tabla de planos conforman te^.^ En los dos ejemplos ilustrativos que siguen mostraremos cómo usar el potencial complejo w(z)para describir el flujo potencial alrededor de un cilindro, y la función inversa z(w)para resolver el problema de flujo potencial hacia el interior de un canal. En el tercer ejemplo resolveremos el flujo en la vecindad de una esquina, que se estudiará con mayor detalle en §4-4 por el método de la capa limite. Es necesario tener en cuenta algunos comentarios generales:
+
a) Las líneas de flujo de corriente son perpendiculares a las líneas equipotenciales en todas partes. Esta propiedad, evidente a partir de las ecuaciones 4.3-10 y 4.3-11, es útil para la construcción aproximada de redes de flujo.
b) Las líneas de flujo de corriente y las h e a s equipotenciales pueden intercambiarse para obtener la solución de otro problema de flujo. Esto se concluye a partir del inciso a) y de que tanto 4 como $ son soluciones de la ecuación bidimensional de Laplace. C)
Cualquier línea de flujo de corriente puede sustituirse por una superficie sólida. Esto se concluye a partir de la condición límite de que la componente normal de la velocidad del fluido es cero en una superficie sólida. La componente tangencia1 no está restringida, ya que en flujo potencial se supone que el fluido es capaz de deslizarse libremente a lo largo de la superficie (la suposición de deslizamiento total).
J. Fuka, capitulo 21 en la obra de K. Rektorys, Suniey of Applicable Mathmatics, h4lT Press, Cambridge, M a s (1969).
H.Kober, Dictionnry of Conforma1 Represmtationc, Dover, Nueva York, 2a. edición (1957).
54.3 Flujo de f l ~ d o no s viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad
145
a) Demostrar que el potencial complejo
w(r)= -u-R($+:) describe el flujo potencial alrededor de un cilindro circular de radio R, cuando Ia velocidad de aproximación es vm en la dirección x positiva.
b) Encontrar las componentes del vector velocidad. Encontrar la distribución de presión sobre la superficie del cilindro, cuando la presión modificada lejos del cilindro es 9,. C)
a) Para encontrar la función de corriente y e1 potencial de velocidad, escribimos el potencia1 complejo en la forma w(z)= +(x,y) -c $(.E,y):
Por tanto, la función de corriente es
Para hacer una gráfica de las líneas de flujo de corriente es conveniente volver a escribir Ia ecuacibn 4.3-18 en forma adimensional
donde 9= +/v,R, X = x l R y Y = y/R. En la figura 4.3-1 las líneas de flujo de corriente se graficaron como las curvas P = constante. La línea de flujo de corriente = O proporciona un círculo unitario, que representa la superficie del cilindro. La línea de flujo de corriente Y = -$pasa por el punto X = O, Y = 2, etcétera.
b)Las componentes de vebcidad pueden obtenerse a partir de la función de Aujo de corriente usando las ecuaciones 4.3-6 y 4.3-7. También pueden obtenerse a partir de la velocidad compleja segun la ecuación 4.3-12 como sigue:
Por consiguiente, las componentes de la velocidad como una función de la posición son
C) Sobre la
superficie del cilindro, p. = R, y
146 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
--
Figura 4.3-1 Líneas de flujo de corriente para el flujo potencial alrededor de un cilindro según la ecuación 4.3-19.
- * - - - - - - - 1 - - -- - - - /
a=<+* = &(l- cos 2 0 ) ~+ (sen 20)~1 = 4 2 sen2
e
Cuando O es cero o m, la velocidad del fluido es cero; estos tancarniento. A partir de la ecuación 4.3-5 sabemos que
se denominan puntos de es.
id t 9=iP3m+9-
(4.3-24)
Luego, a partir de las dos úItimas ecuaciones obtenemos la distribución de presión sobre la superficie del cilindro
Nótese que la distribución de presión modificada es simétrica respecto al eje x; es decir, para flujo potencial no hay resistencia de forma sobre e1 cilindro (paradoja de d'Alen~bert).~ Por supuesto, ahora sabemos que ésta en realidad no es una paradoja, sino simplemente el resultado de que el fluido no viscoso impide aplicar la condición límite sin deslizamiento en la interfase.
Demostrar que la función inversa
Flujo hacia el interior de un canal rectangular representa el flujo potencial hacia el interior de un canal rectangular de serniancho b. Aqui V, es la magnitud de la velocidad corriente abajo lejos de la entrada del canal. SOLUCI~N Primera se introducen las variables de distancia adirnensionales
y las cantidades adimensionales
Las paradojas hidrodinámicas se analizan en G.Birkhoff, Hydrodynamics, Dover, Nueva York (1955).
Flujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad
N.3
147
La función inversa de la ecuación 4-3-26 puede expresarse ahora en términos de cantidades adirnensionales y separarse en partes real e imaginaria.
Por consiguiente
Ahora podemos igualar 1V a una constante, y la línea de corriente Y = Y(X) se expresa paramétricamente en @. Por ejemplo, la línea de flujo de corriente T = O está dada por
A medida que @ va desde -03 hasta +m, X también va de -m a +m; por tanto, el eje X es una línea de flujo de corriente. Luego, la línea de flujo de corriente q = T está dada por
A medida que Q> va desde -m hasta +m, X también va de -m a - 1 y luego de regreso a -m; es decir, la línea de flujo de corriente se dobla sobre sí misma. Elegimos esta línea de flujo de corriente como una de las paredes sólidas del canal rectangular. De manera semejante, la línea de flujo de corriente 1V = - T es la otra pared. Las líneas d e flujo de comente 9 = C, donde -n < C < IT, proporcionan entonces el patrón de flujo para el flujo hacia adentro del canal rectangular, como se muestra en la figura 4.3-2. A continuación, a partir de la ecuación 43-29 es posible encontrar la derivada - d z / d w :
Cuando esta expresión se compara con la ecuación 4.3-15 se obtienen las componentes de la veiocidad
Estas ecuaciones deben usarse junto con las ecuaciones 4.3-30 y 4.3-31 para eliminar @ y fin de obtener Ias componentes de la velocidad como funciones de la posición.
*a
Yh
------9 =+ x
/
- ...
/ N N
7 - -
* - - - - - - - - 1
/
Y=+5' .-- /
*--------1--
Y=O
I
+
e - - - - - - - - -
t-x=-1
X
* - - - - - - -
I
Y'=
- 7 ~
_ _ - --
/
-
*
.--
...
i
-;-
Y=
--S
Figura 4.3-2 Líneas de flujo de corriente para el flujo potencial hacia el interior de
-. -. \
\
,
un canal rectangular, según son pronosticadas a partir de la teoría de flujo potencial en las ecuaciones 4.3-30 y 4.3-31. En la figura 4.3-5 se muestra un patrón de flujo más real.
148 Capítulo 4
Flujo cerca de una esquina8
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
En la figura 4.3-3 se muestra el flujo potencial en la vecindad de dos paredes que se encuentran en una esquina en O. El flujo en la vecindad de esta esquina puede describirse por el PO. tencial complejo
donde c es una constante. Ahora es posible considerar dos situaciones: i) un "flujo en la esquina interior" con a > 1; y ii) un "flujo en la esquina exterior" con cr < 1.
a) Encontrar las componentes de la velocidad.
b) Obtener la velocidad tangencial en ambas partes de la pared. C)
Describir cómo obtener las iíneas de flujo de corriente.
d) ¿Cómo puede aplicarse este resultado al flujo alrededor de una cuña?
a) Las componentes de la velocidad se obtienen a partir de la velocidad compleja
dw = dz
caza-a-l = -CaTa-l e i(a-1)B
Por tanto, a partir de la ecuación 4.3-12 se obtiene =
+ ~ ~ ecos- (U.1 - i)e
vy = -cat*y-l sen ( a - 118 b) La velocidad tangencia1 en las paredes es en O = 0: en 0 = m / a :
(ir?
/"/ , ' /
Y
u, = U , = c a p - l = cap-l U,
,
+
(4.3-42)
+
= U , cos 8 vY sen 0 = ca)a-I cos (CY - 1) 0 = c a ~ cos ~ 'a 0 =-
- - - - - +
8=0
cos 8 - c a r l ~ ~sen - ~ (a - 1) 8 sen 0 (4.3-43)
Figura 4.3-3 Flujo potencial cerca de una esquina. En Ia porción izquierda de la pared, v, = -caep1, y en la derecha, v, = +cala-'. i) Flujo en la esquina interior, con a 1; y ii) flujo en la esquina exterior, con cu < 1.
%.L. Panton. Compressible Flaw, Wiley, Nueva York, 2a. edición (1996).
i
g4.3 Fiujo de fluidos no viscosos por medio del empleo del potencial de velocidad
_ - _ - _ _- ----------------___
-
------_____
/ Lheas de flujode corriente
149
Figura 4.3-4 Flujo potencial a lo largo de una cuna. En la superficie superior de la cuña, u, = c a F - l = C ' X ~ / ( ~ - @ )donde , c' = c[2/(2-@)l. Las cantidades a y /3 están relacionadas mediante 0 = (2/a)(a- 1).
.-.-.-.
1
-L
Por tanto, en el caso (i), el fluido que se aproxima a la pared desacelera a medida que se aproxima a la confluencia, y el fluido que se aleja de la pared acelera a medida que se aleja de la confluencia. En el caso (ii),las componentes de la velocidad se vuelven infinito en la esquina cuando a - 1 es entonces negativo. C)
El potencial complejo puede descomponerse en sus partes real e imaginaria
w=4
+ i$
= -cP(cos a9 -k i sen a01
(4.3-44)
Por tanto, la función de corriente es
Para obtener las líneas de flujo de corriente se seleccionan vanos valores para la función de y luego para cada valor r se grafica como una funcorriente -por ejemplo, Si,, Si2,t,b3, * ci6n de 8. , o
d) Debido a que para flujo ideal cualquier Iinea de flujo de corriente puede sustituirse por una pared, y viceversa, los resultados encontrados aquí para a > 1 describen el flujo no viscoso sobre una cuña (véase la figura 4.3-4). Este hecho se usa en el ejemplo 4.4-3.
A continuación se presentan unas palabras de advertencia concernientes a la aplicabilidad de la teoría de flujo potencial a sistemas redes: a. Para el flujo alrededor de un ciíindro, las líneas de flujo de corriente que se
muestran en la figura 4.3-1 no se conforman a ninguno de los regímenes de flujo bosquejados en la figura 3.7-2.
b. Para el flujo hacia el interior de un canal, el patrón de flujo anticipado de la figura 4.3-2 es irreal dentro del canal y justo corriente arriba a partir de la entrada del canal. En la figura 4.3-5 se muestra una mucho mejor aproximación al comportamiento real. Estas dos fallas de la teoría potencia1 elemental resultan de1 fenómeno de separación: el alejamiento de las líneas de corriente de flujo respecto a la superficie límite. La separación tiende a ocurrir en esquinas agudas de límites de sólidos, como en el flujo en un canal, y en los lados corriente abajo de objetos escarpados, como en e1 flujo alrededor de un cilindro. Por regla general, es probable que ocurra separación en regiones donde la presión aumenta en la dirección del flujo. Los análisis de flujo potencial no son útiles en la región separada. Sin embargo, pueden usarse corriente arriba de esta región si se conoce la ubicación de la lfnea de flujo de cowiente de separación. Se han desarrollado bastantes métodos para realizar esos cálculos. Algunas veces es posible estimar exitosamente la posición de la línea de flujo de corriente de separación a partir de la teoría de flujo potencial. Esto es cierto para el flujo ha-
150 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más d e una variable independiente
q=n
'Y-o
Figura 4.3-5 Flujo potencial hacia el interior de un canal rectangular con separación, según fue calculado por H. von HelmhoItz, Phil. Mag., 36,337-345 (1868). Las líneas de flujo de corriente para ik = +a se separan de la superficie interior del canal. La velocidad a lo largo de esta Imea de flujo de corriente separada es constante. Entre la línea de flujo de corriente separada y la pared hay una región vacía.
v = -Tr
cia el interior de un canal y, de hecho, la figura 4.3-5 se obtuvo de esta manera.9 Para otros sistemas, el flujo alrededor del cilindro, el punto de separación y la línea de flujo de corriente de separación deben localizarse experimentalmente. Incluso cuando no se conoce la posición de la línea de flujo de corriente de separación, las soluciones de fIujo potencial pueden ser valiosas. Por ejemplo, se ha encontrado que el campo de flujo del ejemplo 4.3-1 es útil para calcular coeficientes de impactación de aerosoles sobre cilindros.lo Este éxito se debe a que la mayoría de los impactos de las partículas ocurren cerca del siguiente punto de estancamiento, donde el flujo no es afectado mucho por la posición de la línea de flujo de corriente de separación. Con base en cálculos del flujo potencial en los que se ignore el fenómeno de separación, también pueden hacerse valiosas conclusiones semicuantitativas concernientes al comportamiento de transmisión de calor y transferencia de materia. En todas las técnicas descritas en esta sección se asume que el vector velocidad puede escribirse como el gradiente de una función escalar que satisface la ecuación de Laplace. La ecuación de movimiento desempeña un papel mucho menos prominente que para los flujos viscosos analizados previamente, y su uso principal es para la determinación de la distribución de presión una vez que se encuentran los perfiles de velocidad. 54.40 FLUJOCERCA DE SUPERFICIES SÓLIDASPOR MEDIO DE LA TEORÍA
DE LA CAPA LIMITE
Los ejemplos de flujo potencial analizados en la sección previa mostraron cómo predecir el campo de flujo por medio de una función de corriente y un potencial de velocidad. Las soluciones para l p distribución de velocidad así obtenidas no satisfacen la acostumbrada condición inicial "sin deslizamiento" en la pared. En consecuencia, las soluciones de flujo potencial carecen de valor para describir los fenómenos de transporte en Ia vecindad inmediata de la pared. Específicamente, no puede obte nerse la fuerza de resistencia viscosa, y tampoco es posible obtener descripciones confiables entre interfases de transmisión de calor y transferencia de materia en superficies sólidas. Para describir el comportamiento cerca de la pared, usamos la teoría de la capa límik. Para la descripción de un flujo viscoso, obtenemos una solución aproximada 9 ~ von . Helmholtz, Phil. Mag. (4), 36,337-345 (1868). Herman Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) estudió medicina y se hizo doctor del ejhcito; luego prestó sus servicios como profesor de medicina y después como
profesor de física en Berlín. 'O W.E. Raliz, Principies of lnertiai Impaction, Bulletin #66, Department of Engineering Research, Pennsylvania State Uiiiversity Park, Pa. (1956).
54.4
Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoría de la capa límite 151 Límite exterior aproximado de la capa b i t e donde u+
+
u, tx)
Figura 4.4-1 Sistema de coordenadas para el flujo bidirnensional alrededor de un objeto sumergido. El espesor de la capa límite se ha exagerado bastante para fines ilustrativos. Debido a que la capa límite es de hecho bastante delgada, es permisible utilizar coordenadas rectangulares iocalmente a lo largo de la superficie curva.
para las componentes de la velocidad en una capa limite muy delgada cerca de la pared, teniendo en cuenta la viscosidad. Luego hacemos "corresponder" esta solución con la solución de flujo potencial que describe el flujo fuera de la capa límite. El éxito del método depende de lo delgada que sea la capa límite, una condición que se cumple para un número de Reynolds alto. Consideraremos el flujo bidirnensional estacionario de un fluido con p y p constantes alrededor de un objeto sumergido, como el que se muestra en la figura 4.4-1. Establecemos que los principales cambios en la velocidad se llevan a cabo en una región muy delgada, la capa límite, donde los efectos de curvatura no son importantes. Entonces es posible establecer un sistema de coordenadas cartesianas con x apuntando corriente abajo, y con y perpendicular a la superficie sólida. Asi, la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes se convierten en:
Algunos de los términos que aparecen en estas ecuaciones pueden descartarse con base en argumentos de orden de magnitud. Usamos tres cantidades como "referencias": la velocidad de aproximación v,, alguna dimensión lineal lo del cuerpo sumergido, y un espesor medio ?+,de la capa limite. La suposición de que So << lo permite realizar varios cálculos aproximados de órdenes de magnitud. Debido a que v, varia desde cero en la superficie sólida hasta u, en el borde exterior de la capa Iímite, entonces podemos afirmar que
donde O significa "orden de magnitud de". De manera semejante, la máxima variación en v, sobre la longitud lo de la superficie será u,, de modo que
152 Capitulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
Aquí hemos usado la ecuación de continuidad para obtener una derivada más (aquí sólo nos ocuparnos de los órdenes de magnitud y no de los signos de las cantidades). La integración de la segunda relación sugiere que vy = 0((60/l,>v,) << v,. Ahora es posible calcular los diferentes términos en la ecuación 4.4-2 como
Esto sugiere que a2v,/dx2 << a2vx/dy2,de modo que la primera puede despreciarse sin problema. Es de esperar que en la capa límite los términos del miembro izquierdo de la ecuación 4.4-2 deben ser del mismo orden de magnitud que los del miembro derecho, y en consecuencia
La segunda de estas relaciones muestra que el espesor de la capa límite es pequeño comparado con las dimensiones del objeto sumergido en flujos con numero de Reynolds alto. De manera semejante puede demostrarse, con ayuda de la ecuación 4.4-7, que tres de las derivadas en la ecuación 4.4-3 son del mismo orden de magnitud:
Al comparar este multado con la ecuación 4.4-6 se observa que a??/ay << 3 9 /dx. Esto significa que la componente y de la ecuación de movimiento no es necesaria y que la presión modificada puede tratarse como una función sólo de x. Como resultado de estos argumentos sobre el orden de magnitud, se tienen las ecuaciones de capa límite de ~ r a n d t l : ~ (continuidad) (movimiento)
Se supone que la presión modificada 9 ( x ) se conoce a partir de la solución del problema de flujo potencial correspondiente o de mediciones experimentales. Las condiciones límite usuales para estas ecuaciones son la condición sin deslizamiento (v, = O en y = O), la condición de ausencia de transmisión de materia desde la pared (vy = O en y = O), y la afirmación de que la velocidad se fusiona en la velocidad externa (flujo potencial) en el borde exterior de la capa límite (vx(x,y) v,(x)).La función v,(x) está relacionada con 9 ( x ) según la ecuación de movimiento +
'
Ludwig PrandtI (18751953), quien enseñó en Hamover y Gotinga y después fungió como director del Kaiser Wilhelm Instilute for Fluid Dynarnin, h e una de las personas que configuró el futuro de este campo a principios del siglo XX; red26 conhibuciones al flujo turbulento y la transmisión de calor, pero su logro más destacado fue el desamilo de las ecuaciones de capa limite. L. Prandtl, Verhandiungen des IIJ Internafionalen Mathematiker-Kongresses (Heidelberg,19041, Leipzig, pp. 484-491; L. Prandtl, GesammeIte Abhandlungen, 2, Springer-Verlag,Berlín (1961), pp. 575-584. Para un anáüsis introductorio de expresiones asintóticas concordantes, véase D.J.Acheson, Elemenlary Fluid Mechanics, Oxford University Press (19901,pp. 269-271. Un análisis completo sobre el tema puede encontrarse en M. Van Dyke, Perturbaiion Methods in Fluid Dynamics, The Paraboiic Fress, Stanford, Cal. (1975).
$4.4
Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teona de la capa limite 153
de flujo potencial en la ecuación 4.3-5. En consecuencia, el término -(l lp)(dB/dx) en la ecuación 4.4-10 puede sustituirse por v,(dv,/dx) para flujo estacionario. Así, la ecuación 4.4-10 también puede escribirse como
dvx dv, dv, v,+vy-=v,+vJX
ay
dx
¿?ux
ay2
La ecuación de continuidad puede resolverse para vy usando la condición límite de que vY = O en y = O (es decir, no hay transmisión de materia), y luego esta expresión para vy puede sustituirse en la ecuación 4.411 para obtener
&ta es una ecuación diferencial parcial en la variable dependiente simple u,. Ahora esta ecuación puede multiplicarse por p e integrarse desde y = O hasta y = para obtener el balance de cantidad de movimiento de von K á d n 2
Aquí se ha usado la condición de que vJx, y) + v,(x) cuando y -+ m. La cantidad en el miembro izquierdo de la ecuación 4.413 es el esfuerzo cortante que el fluido ejerce sobre la pared: - ~ ~ ~ l ~ ~ . ecuaciones de capa límite de PrandtI originales, ecuaciones 4.4-9 y 4.4-10, se han transformado así en las ecuaciones 4.4-11, 4.4-12 y 4.4-13, y cualquiera de éstas puede tomarse como el punto de partida para resolver problemas bidimensionales de capa límite. La ecuación 4.4-13, con expresiones supuestas para el perfil de velocidad, constituye la base de muchas "soluciones aproximadas de capa límite" (véase el ejemplo 4.4-1). Por otra parte, las soluciones analíticas o numéricas de las ecuaciones 4.4-11 y 4.4-12 se denominan "soluciones de capa límite exactas" (véase el ejemplo 4.4-2). El análisis que se ha presentado aquí es para flujos bidirnensionales laminares estacionarios de fluidos con densidad y viscosidad constantes. Hay ecuaciones correspondientes para flujo no estacionario, flujo turbulento, propiedades de un fluido variable y capas límite tridh~ensionales.~~ Aunque se han obtenido muchas soluciones de capa límite aproximadas y exactas y las aplicaciones de la teoría a objetos aerodinámicos han sido bastante exitosas, en la ecuación 4.4-10 queda mucho trabajo por realizar sobre flujos con gradientes de presión adversos (es decir, ~ P / a positivo), x como el fiujo sobre el lado corriente abajo de un objeto romo. En tales flujos, las líneas de flujo de corriente suelen separarse de la superficie antes de Uegar a la parte posterior del objeto (véase la figura 3.7-2). El método de la capa límite descrito aquí es idóneo para tales flujos solo en :a región corriente arriba a partir del punto de separación.
as
Th.von Urmán, Zeits. filr angew. Math. u. Mech., 1,233-252 (1921).Nacido húngaro, Theodor von K6rm6n enseñó en Gotinga, Aachen y en el California institute of Technology; contribuyó en gran medida a la tmria de la turbulencia y 1a aerodinamica. H. Schlichting y K. Gersten, Boundary-Layer Theory, Springer Verlag, Berlín, 8a. edición (2000). L. Rwenhead, inminur Boundary Laym, Oxford University Press, Londres (1963). K . Stewartson, The Throry of Inrnimr Boundoty Luyers in Compressible Fluids, Oxford University Press, Londres (1964). W.H. Dorrance, V k o u s H i / p e ~ n i cF l m , McGraw-Hill, Nueva York (1962).
154 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 7
04
'
lago plana (solución aproximada) laminar
de una
@
Aplicar el balance de cantidad de movimiento de von Kármán para calcular los perfiles de velocidad en estado estacionario cerca de una lámina plana semiinfinita en una corriente tangencial con velocidad de aproximación v, (vdase la figura 4.4-2). Para este sistema la s o l u ~ i ó ~ de flujo potencial es ve = v,.
Intuitivamente se sabe cómo es el perfil de velocidad v,(y). Por tanto, podemos suponer una forma para v,(y) y sustituirla directamente en el balance de cantidad de movimiento de von Kármán. Una elección razonable es hacer v,(y) mediante una funci6n de y/S, donde 6(x) es el "espesor" de la capa límite. La función se elige de modo que u, = O en y = O y V, = ve en y = 8. Esto es equivalente a suponer la semejanza geométrica de los perfiles de velocidad para varios valores de x. Cuando este perfil supuesto se sustituye en el balance de cantidad de movimiento de von Kármán, se obtiene una ecuación diferencia1 ordinaria para el espesor 6(x) de la capa límite. Una vez que se resuelve esta ecuación, la 6(x) así obtenida puede usarse entonces para obtener el perfil de velocidad y otras cantidades de interés. Para el problema presente, una suposición plausible para la distribución de velocidad, con una forma razonable, es
3 = ?l-L(y) v,
2s
3
2 S
v =1 X
para O 5 y para y
2
5
S(x)
S(x)
(región de la capa límite) (región de flujo potencial)
(4.4-15)
v, Lo anterior es "razonable" porque este perfil de velocidad satisface la condición sin deslizamiento en y = O, y dv,/dy = O en el borde exterior de la capa límite. Al sustituir este perfil en el balance integral de von Kármán de la ecuación 4.4-13 se obtiene
Esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables puede integrarse ahora para obtener el espesor de la capa limite
Por consiguiente, el espesor de la capa límite aumenta con la raíz cuadrada de la distancia desde el extremo corriente arriba de la lámina. Entonces, la solución aproximada resultante para la distribución de velocidad es
El fluido se aproxima con velocidad uniforme v,
Y
-r
Figura 4.4-2. Desarrollo de la capa límite cerca de una
54.4 Flujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoría de la capa limite 155
A partir de este resultado es posible estimar la fuerza de resistencia sobre una lámina de tamaño finito mojada en ambos lados. Para una lámina de ancho W y longitud L., la integración de la densidad de flujo de cantidad de movimiento sobre las dos superficies sólidas da: ,'
-
T .
-
La solución exacta, que se proporciona en ei siguiente ejemplo, da el mismo resultado, pero con un coeficiente numérico de 1.328. Las dos soluciones predicen la fuerza de resistencia dentro de Ia dispersión de los datos experimentales. Sin embargo, la solución exacta proporciona una mejor coincidencia con los perfiles de velocidad medido^.^ Esta precisión adicional es esencial para cálculos de estabilidad.
1
Flujo laminar a lo l a q o .de una lámina plana (solución exacta)'
Obtener la solución exacta para el problema dado en el ejemplo previo. SOLUCIÓN
Este problema se puede resolver usando la definición de función de corriente en la tabla 4.2-1. Al insertar las expresiones para las componentes de la velocidad en el primer renglón de elementos, se obtiene
Las condiciones límite de esta ecuación para +(x, y) son
a*
- vy = O
C.L. 1:
eny=O,
--
C.L. 2:
eny=O
a$_
C.L. 3:
cuando y -* m, d$ = -v,
dx
para x
O
(4.4-21)
para x r O
(4.4-22)
4 -u,
para x 2 O
(4.4-23)
-vx = -u-
para y > O
(4.4-24)
~,=0
ay
2
dY
--
en x = 0,
C.L. 4:
-
JY Puesto que en las relaciones anteriores no aparece ninguna longitud característica,el método de combinación de variables independientes parece idóneo. Con base en argumentos dimensionales semejantes a los que se presentaron en el ejemplo 4.1-1, escribimos =(
)
donde 7 = y
u-
El factor 2 se incluye para evitar la aparición de cualquier factor numérico en la ecuación diferencial de la ecuación 4.4-27.La función de corriente que proporcio~iala distribución de velocidad en la ecuación 4.4-25 es y
=-
donde f (7) =
r
n(il)di
-.. .. .
'H. Blasius trató por vez primera este problema en Zeitc. Muth. Phys., 56,l-37(1908).
156 Capitulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente Esta expresión para la función de comente es consistente con la ecuación 4.4-25, como puede verse al usar la relación u = - d $ / d y (que se proporciona en la tabla 4.2-1). Al sustituir la ecuación 4.4-26 en la ecuaiión 4.4-20 se obtiene (4.4-27)
-ff"= f"
Al sustituir lo anterior en ias condiciones límite se obtiene C.L. 3 y 4:
cuando q
+
m,
f'
-+
1
(4.4-29)
Por tanto, la determinación del campo de flujo se reduce a la solución de una ecuación d i f e rencial ordinaria de tercer orden. Esta ecuación, junto con las condiciones límite dadas, puede resolverse por integración' El problema fue resuelto orinumérica, y existen a disposición tablas exactas de la s0luci6n.~t~ ginalmente por Blasius7 usando aproximaciones analíticas que demostraron ser bastante exactas. En la figura 4.4-3 se muestra una gráfica de la solución de Blasius, junto con datos experimentales obtenidos posteriormente. La coincidencia entre la teon'a y la experimentaci6n es extraordinariamente buena. La fuerza de resistencia sobre una lámina de ancho W y longitud L puede calcularse a partir del gradiente adimensional de velocidad en la pared, f"(0) = 0.4696 . . ., como sigue:
Este resultado también ha sido confirmado e~perimentalrnente.~,~
Figura 4.4-3 Perfiles de velocidad anticipado y observado para flujo laminar tangencia1 a lo largo de una lámina plana. La línea continua representa la solución de las ecuaciones 4.4-20 a 4.4-24, obtenida por Blasius [véase H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York, 7a. edición (1979) p. 1371.
54.4
Hujo cerca de superficies sólidas por medio de la teoria de la capa límite 157
Debido a las aproximaciones hechas en la ecuación 4.4-10, la solución es más exacta con números de Reynolds locales qandes; es decir, Re, = m,/v >> 1, La región excluida de números de Reynolds menores es tan pequeña que puede despreciarse en la mayor parte de cálculos de resistencia. Análisis más completos8 indican que la ecuación 4.4-30 es exacta dentro de un margen de 3% para Lv,/v > 1@y hasta de 0.3%para Lv,/v r lo6. El crecimiento de la capa límite con x cada vez mayor finalmente lleva a una situación inestable, y comienza flujo turbulento. Se ha encontrado que la transición empieza en alguna parte en el intewalo del número de Reynolds local de Re, = xz),/v r 3 X lo5 a 3 X lo6, dependiendo de la uniformidad de la corriente que se a p r o ~ i r n aCorriente .~ arriba de la región de transición el flujo permanece laminar, y corriente abajo es turbulento.
+
pujo cerca de una esquina
S'.
Ahora se desea hatar el problema de la c a p límite semejante al ejemplo 4.3-3; a saber, el fiujo cerca de una esquina (véase la figur 4.3-4). Si a > 1, el problema también puede interpretarse como el flujo a lo largo de una ña de ángulo comprendido plr, con a = 2/(2 - P). Para este sistema, el flujo externo ve se conoce a partir de las ecuaciones 4.3-42 y 4.3-43, donde se encontró que
d
C
.u< -f.:)-
4 ,,
Ésta es la expresión que se encontró era válida justo en Ia pared (es decir, en y = O). Aquí se supone que la capa límite es tan delgada que para el limite exterior de la solución de capa 1ímite es adecuado usar la expresión de la pared del flujo ideal, por lo menos para valores pequeños de x .
Ahora es necesario resolver la ecuación 4.4-11, utilizando la ecuación 4.4-31 para ve(x).Cuando se introduce la función de corriente del primer renglón de la tabla 4.2-1, se obtiene h siguiente ecuación diferencial para +:
Figura 4.4-4 Perfil de
V-
velocidad para el flujo en una cuña con ángulo comprendido PP. Los valores negativos de B corresponden al flujo alrededor de una "esquina externa" [véase la figura 4.3-3(ii)l con deslizamiento en la pared corriente arriba de i esquina.
BY.H.Kuo, f. Math. Phys.,32,83-101 (1953);1. Imai, f. Aero. Sci., 24,155-156c1957).
158 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente que corresponde a la ecuación 4.4-20 con el término v,(dv,/dx)añadido. Se descubrió9 que esta ecuación puede reducirse a una simple ecuación diferencial ordinaria al introducir una función de comente adimensional f(q) mediante
donde la variable independiente es
Luego, la ecuación 4.4-32 se convierte en la ecuacidn de ~alkner-skan9
f"' + ff"
+ ~ ( 1 - p 2=) O
(4.4-35)
Esta ecuación ha sido resuelta numéricamente con las condiciones limite idóneas, y los resultados se muestran en la figura 4.4-4. Puede observarse que para valores positivos de p, que corresponden a los sistemas mostrados en la figura 4.3-3 y en la figura 4.3-4, el fluido está acelerando y los perfiles de velocidad son estables. Para valores negativos de P, hasta P = -0.199, los flujos están desacelerando pero son estables, y no ocurre separación. Sin embargo, si /3 < -0.199, el gradiente d e velocidad en la pared se vuelve cero, y ocurre separación del flujo. Por consiguiente, para los fiujos en la esquina interior y para flujos en la cuña no ocurre separación, pero para flujos en la esquina exterior puede ocurrir separación.
1. ¿Para qué tipos de problemas es útil el método de combinación de variables?, ¿y el metodo de separación de variables? 2.
¿Es posible describir con el método del ejemplo 4.1-1 el flujo cerca de una varilla cilíndrica de longitud infinita que súbitamente se pone en movimiento en la dirección axial?
3.
¿Qué ocurre en el ejemplo 4.1-2 si se intenta resolver la ecuación 4.1-21 por el método de se
paración de variables sin reconocer primero que la solución puede escribirse como la suma de una solución de estado estacionario y una solución transitoria? 4. ¿Qué ocurre si según la ecuación 4.1-27 la constante de separación se toma como c o c2,en vez d e como -c2? 5. Intente resolver el problema del ejemplo 4.1-3 usando cantidades trigonométricas en vez de cantidades complejas. 6. ¿Cómo se obtiene la ecuación para la verticidad y cómo puede usarse? 7. ¿Cómo se define la función de corriente y por que es útil?
8. ¿En qué sentido son complementarias las soluciones de flujo potencial y las soluciones de flujo de capa límite? 9.
Enumere todas las formas aproximadas de las ecuaciones de variación encontradas hasta el momento e indique su intervalo de aplicabilidad.
9V.M. Falkner y S.W. Skan, Phil. Mag., 12,865-896 (1931); D.R. Hartree, Proc. Camb.Phil. Soc., 33, parte 11,223-239 (1937);H. Kouse (compilador), Advanccd Mechanics of Fluids, Wiley, Nueva York (19591,capítulo VII, Sec. D; H. Schlichting y K. Gtrsten, Bounday-Layer Tkeory, Sgringer Verlag, Berlín (2000),pp. 169-173 (isotérmica), 220-221 (no isotérmica);W.E. Stewart y R. Prober, Int. 1. Heat Mass Transfer, 5,1149-1163 (1962); 6,221-229.872 (1963, incluyen flujo en una cuña con transmisión de calor y transferencia de materia.
Problemas
159
p ~ ~ ~ ~ E M4A.1 A STiempo necesario para alcanzar el estado estacionario en el flujo en un tubo. a) Un aceite pesado, de viscosidad cinemática 3.45 X rn2/s, está en reposo en un gran hibo vertical de 0.7 cm de radio. Se deja que éste comience a fluir de manera repentina desde el fondo por efecto de la gravedad. ¿Después de cuánto tiempo la velocidad en el centro del tubo diferirá 10%de su valor final? b) ¿Cuál sería el resultado si se usa agua a 68*F? Nota: debe emplearse el resultado que se indica en la figura 4D.2.
Respuestas: a) 6.4 x
S;b) 22 S
4A.2 Velocidad cerca de una esfera en movimiento. Una esfera de radio R desciende en flujo reptante a través de un liquido quieto de viscosidad p, con una velocidad tenninal v,. ¿A qué distancia horizontal desde la esfera h velocidad del fluido cae a 1%de la velocidad terminal de la esfera?
Respuesta: Aproximadamente 37 diámetros 4A.3 Construcción de líneas de flujo de corriente para el flujo potencial alrededor de un cilindro. Trace las líneas de flujo de corriente para el flujo alrededor de un cilindro usando la información en el ejemplo 4.3-1 y el siguiente procedimiento:
a) Celeccione un valor de 'V = C (es decir, elija una línea de flujo de corriente).
+
b) Graficar Y = C K (líneas rectas paralelas al eje X) y Y = K(* 1/2K,tangentes aI eje X en el origen). C)
+ p)(círculos de radio
Graficar las intersecciones de las líneas y los círculos que tengan el mismo valor de K.
d) Unir esos puntos a fin de obtener la Iinea de flujo de corriente para = C. Luego seleccionar otros valores de C y repetir el proceso hasta que el patrón de líneas de flujo de comente sea claro. 4A.4 Comparación de perfiles exactos y aproximados para flujo a lo largo de una lámina plana. Comparar los valores de v , / v , obtenidos a artir de la ecuación 4.4-18 con los de la figura 4.4-3, para los siguientes valores de y v,/vx a) 1.5, b) 3.0, c) 4.0. Expresar los resultados corno la razón de los valores aproximados a los valores exactos.
e:
Respuesfas: a) 0.96; b) 0.99; c) 1.01 4A.5 Demostración numérica del balance de cantidad de movimiento de von Kármán.
a) Evaluar numkricamente las integrales en la ecuación 4.4-13 para el perfil de velocidad de Blasius que se proporciona en la figura 4.43.
b) Utilizar los resultados del inciso a) para determinar la magnitud del esfuerzo cortante de la pared 7yrIy4. Calcular la fuerza de resistencia total, F,, para una lámina de ancho W y longitud L, mojada en ambos lados. Comparar su resultado con el que se obtuvo en la ecuación 4.4-30. c)
Respuestas: a)
1:
pei (DI
- UX )d!I = 0 . 6 ~ d x
4A.6 Uso de las fórmulas de capa límite. En ambos lados de una delgada lámina plana lisa de ancho W = 10 pies y longitud L = 3 pies, fluye tangencialmente aire a 1 atm y 20°C en la dirección del flujo. La velocidad fuera de la capa limite es constante a 20 pies/c.
a) Calcular el número local de Reynolds Re, = xv,/ v en el borde de salida b) Suponiendo flujo laminar, calcular el espesor aproximado de la capa límite, en pulgadas, en el borde de salida. Usar los resultados del ejemplo 4.4-1. C) Suponiendo flujo laminar, caIcular la resistencia total de la lámina en lb/. Usar los resultados de los ejemplos 4.4-1 y 4.4-2.
160 Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 4A.7 Flujo de entrada en conductos.
a) Calcular la longitud de entrada para flujo laminar en un tubo cimlar. Supóngase que el espesor S de la capa límite está dado correctamente por la ecuación 4.4-17, donde v, del problema de la 16rnina plana corresponde a vmi, en el problema de flujo en un tubo. Además, supóngase que la longitud de entrada Le puede tomarse como el valor de x en el que S = R. Comparar estos resultados con la expresión para L, citada en 52.3; a saber, L, = 0.035D Re. b) Volver a escribir el número de transición de Reynolds m,/v = 3.5 x lo5 (para la lámina plana) insertando 6 de la ecuación 4.4-17 en lugar de x como la longitud característica. Comparar la cantidad Sv,/v así obtenida con el número de Reynolds de transición mínimo para el fluja a través de tubos Iisos largos. Utilizar el método del inciso (a) para estimar la longitud de entrada en el ducto plano que se muestra en la figura 4C.1, Comparar el resultado con el que se proporciona en el problema 4C.l (d). C)
48.1 Flujo de un fluido con u n esfuerzo constante que se aplica súbitamente sobre la pared. En
el sistema que se estudió en el ejemplo 4.1-1, considerar que el fluido esta en reposo antes de t = O. En el instante t = O se aplica una fuerza constante al fluido en la pared en la dirección x positiva, de modo que el esfuerzo cortante T~~asume un nuevo valor constante .r0en y = O para t > 0. a) Diferenciar la ecuación 4.1-1 para y y multiplicar por - p a fin de obtener una ecuación diferencial parcial para ~ ~ ~t ) .( y ,
b) Escribir las condiciones inicial y límite para esta ecuación. C)
Resolver la ecuación usando el método del ejemplo 4.1-1 para obtener
d) Utilizar el resultado del inciso (c) para obtener el perfil de velocidad. La siguiente relaci6n1
es útil
1;
1 -,2 (1 - erf u)du = -
%Ge
- x(1- erf x )
(4B.1-2)
4B.2 Flujo cerca de una pared que se pone súbitamente en movimiento (solución aproximada)
(figura 4B.2). Aplicar un procedimiento como el del ejemplo 4.4-1 a fin de obtener una soluci6n aproximada para el ejemplo 4.1-1.
vo
-
( a ) Solución verdadera
Vo
-
(b)Apraximanónde la capa límite
Figura 48,2 Comparación de los perfiles de velocidad real y apr~ximadocerca de una pared que se pone súbitamente en movimiento con velocidad vo,
Un resumen úiii de funcionesde error y sus ~ r o ~ i e d a d puede es encontrarse en H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Condudion ofHeai in Solids, Oxford University Press, 2a. edición (1959), Ap&n&ice11.
Problemas
161
a) Integrar la ecuación 4.1-1 sobre y para obtener
Usando las condiciones limite y la regla de Leibniz para diferenciar una integral (ecuación C.3-2))volver a escribir Ia ecuación 4B.2-1 en la forma
Interpretar este resultado desde el punto de vista de la física.
b) Sabemos aproximadamente cómo se presentan los perfiles de velocidad, por lo que es posible establecer el siguiente poshilado razonable para éstos:
ZL=~-?L+~(L)~ para O 5 y 5 S(t) v,
280) 2 8 0 )
para y 2 6(t)
(4B.2-4)
Aquí S(t) es un espesor de la capa limite dependiente del tiempo. Insertar esta expresión aproximada en la ecuación 4B.2-2 para obtener
c) Integrar la ecuación 4B.2-5 con un valor inicial idóneo de 6(t), e insertar el resultado en la
ecuación 4B.2-3 para obtener los perfiles aproximados de velocidad. d) Comparar valores de v,/vo que se obtuvieron en el inciso c) con los de la ecuación 4.1-15 en y/ 4vt = 0.2,0.5 y 1.0. Expresar los resuItados como la razón del valor aproximado al valor exacto.
3"
4B.3 Fiujo reptante alrededor de una burbuja esférica. Cuando un liquido fluye alrededor de una
burbuja de gas, dentro de ésta hay circulación. Esta circulación disminuye el esfuerzo cortante interfacia1, y, hasta una primera aproximación, es posible suponer que éste es eliminado por completo. Repetir el desarrollo del ejemplo 4.2-1 para dicha burbuja de gas, suponiendo que es esférica.
a) Demostrar que la C.L. 2 del ejemplo 4.2-1 es sustituida por
y que el planteamiento del problema es, por lo demás, el mismo. b) Obtener las siguientes componentes de la velocidad:
.. =
-
)](;
coso
c) A continuaci611, obtener la distribución de presión usando la ecuación de movimiento:
162 Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
d) Evaluar la fuerza total del fluido sobre la esfera para obtener
Este resultado puede obtenerse por el método de 92.6 o por integración de la componente de - [n m] sobre la superficie de la esfera (donde n es el vector normal unitario dirigido hacia afuera sobre la superficie de la esfera).
4B.4 Uso de la ecuación para la vorticidad. a) Resolver el problema 28.3 usando la componente y de la ecuación para la vorticidad (ecuación 3D.2-1) y las siguientes condiciones límite: para x = B, u, = O y para x = O, v, = vZ,&
+
Demostrar que esto conduce a
Después, obtener la distribución de presión a partir de la componente z de la ecuación de movimiento.
b) Trabajar el problema 3B.6(b) usando la ecuación para la vorticidad, con las siguientes condiciones limite: para r = R, v, = O y para r = KR,u, = vo.Además se requiere una condición integral para afirmar que en la dirección z no hay flujo neto. Encontrar la distribución de presión en el sistema. Trabajar los siguientes problemas usando la ecuación para la vorticidad: 28.6, 28.7, 3B.1, 30.10,38.16. C)
4B.5 Flujo potencial en estado estacionario alrededor de una esfera fija.2 En el ejemplo 4.2-1 se trabajó el flujo reptante alrededor de una esfera. Ahora deseamos considerar el flujo de un fluido no viscoso incompresible en flujo irrotacional alrededor de una esfera. Para tal proble ma, sabemos que el potencial de velocidad debe satisfacer la ecuación de Laplace (véase el texto después de la ecuación 4.3-11).
a) Establecer las condiciones límite del problema.
b) Tratar de justificar por qué es posibIe postular que el potencial de velocidad 4 es de la forma +(r, 8) = flr) cos 0. Sustituir la expresión de ensayo para el potencial de velocidad del inciso (b) en la ecuación de Laplace para el potencial de velocidad. C)
d) Integrar la ecuación que se obtuvo en el inciso (c)y obtener la función f(r) que contiene dos constantes de integración; determinar estas constantes a partir de las condiciones limite y encontrar
e) A continuación demostrar que
L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, bston, 2a. ediaón (1987), pp. 21-26, contiene una buena colección de problemas de flujo potencial.
Problemas 163
f ) Encontrar la distribución de presión y luego demostrar que en la superficie de la esfera
Y - S, =3~<21-
isen29)
(4B.5-4)
4B.6 Flujo potencial cerca de un punto de estancamiento (figura 4B.6). a) Demostrar que el potencial complejo u, = -voz2 describe el flujo cerca de un punto de estancamiento plano.
b) Encontrar las componentes de la velocidad v,(x, y] y vy(x,y). C)
Explicar el significado físico de vo. Figura 48.6 Flujo potencial bidimensional c&cá de un punto de estancamiento.
Y
unto de estancamiento 48.7 Flujo en un vórtice. a) Demostrar que el potencial complejo w = (iT/Z.rr) ln z describe el flujo en un vórtice. Verificar que la velocidad tangencia1 está dada por ve = F / ? m y que u, = O. Algunas veces, este tipo de flujo se denomina vórtice libre. ¿Es un flujo irrotacional?
b) Comparar la dependencia funcional de u, respecto a r en el inciso (a) con la que se preseiit6 en el ejemplo 3.6-4. Algunas veces este segundo tipo de flujo se denomina vdrtice forzado. Los vórtices reales, como los que ocurren en un tanque agitado, presentan un comportamiento intermedio entre estas dos representaciones ideales. 48.8 El campo de flujo alrededor de una fuente lineal. Considerar el flujo radial simétrico de un fluido no viscoso incompresible que sale de una larga fuente uniforme infinita, que coincide
con el eje z de un sistema de coordenadas cilíndricas. El fluido es generado a una velocidad volumétrica r por unidad de longitud de la fuente. a) Demostrar que la ecuación de Laplace para el potencial de velocidad de este sistema es
b) A partir de esta ecuación, encontrar el potencial de velocidad, la velocidad y la presión como funciones de la posición:
donde 9,es el valor de la presión modificada lejos de la fuente. Analizar la aplicabilidad de Ios resultados del inciso (b) para el campo de flujo alrededo. de un pozo perforado en un gran cuerpo de roca porosa. C)
d) Trazar la red de flujo de las Iíneas de flujo de corriente y las líneas equipotenciales.
164 Capitulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 48.9 Comprobación de soluciones para problemas de flujo no estacionario.
a) Verificar las soluciones de los problemas en los ejemplos 4.1-l(4.1-2 y 4.1-3 demostrando que satisfacen las ecuaciones diferenciales parciales, las condiciones iniciales y las condiciones limite. Para demostrar que la ecuación 4.1-15 satisface la ecuación diferencial, es necesario saber cómo diferenciar una integral usando la fámula de Leibniz dada en sC.3. b) En el ejemplo 4.1-3, la ecuación 4.1-57 no satisface la condición inicial. ¿Por qué? 4C.1 Flujo laminar de entrada en una rendija3 (figura 4C.1). Calcular la distribución de velocidad en la región de embocadura de la rendija que se muestra en la figura. El fluido entra en x = O con v = O y v, = (v,), donde (v,) es la velocidad media dentro de la rendija. Supóngase que la distrlbución de velocidad en la región de embocadura O < x < Le es
(región de la capa límite, O < y < S) (región del flujo potencial, 8 < y < B)
(4C.1-2)
donde S y ve son funciones de x, aún por determinar.
,
= 2~
Figura 4C.1 Flujo de entrada hacia una rendija.
y =B
y=o
a) Utilizar las dos ecuaciones anteriores para obtener la velocidad de flujo másico 7u a través de una sección transversal arbitraria en la región O < x < Le. Luego evaluar w a partir de las condiciones en la alimentación y obtener
b) A continuación, utilizar las ecuaciones 4.413,4C.1-1 y 4C.1-2 con m reemplazado por B (¿por que?) a fin de obtener una ecuación diferencial para la cantidad A = 6 / B:
C) Integrar esta ecuación con una condición inicial idónea para obtener la siguiente relación entre el espesor de la capa Iímite y la distancia hacia abajo del ducto:
d) Calcular la longitud de entrada Le a partir de la ecuación 4C.1-5, donde Le es el valor de x para el. que S(x) = B. Y.L. Wang y P.A. Longwell, AlChE journal, 10,323-329 (1964) proporcionan una solución numérica a este problema usando la ecuación de Navier-Stokes.
Problemas 165 e) Usando teoría de flujo potencial, evaluar 9 - Yo en la región de embocadura, donde F0es el valor de la presión modificada en x = 0.
Respuestas: d) L, 4C.2
= 0.104(ux)B2/u;e) 9-Po =
2P(~x)
2 13_h (3j'J 1-
Viscosimetro oscilatorio de torsión (figura 4C.2). En este tipo de viscosímetro, el fluido se coloca entre una "copa" y un "péndulo" como se muestra en la figura. Se hace que la copa experimente pequeñas oscilaciones sinusoidales en la dirección tangencial. Este movimiento provoca que el péndulo, suspendido por un alambre de torsión, oscile a la misma frecuencia, pero con amplitud y fase diferentes. La razón de amplitud (razón de amplitud de la función de salida respecto a la función de entrada) y el desplazamiento de fase dependen de la viscosidad del fluido y por tanto pueden usarse para determinar la viscosidad. En todo el experimento se supone que las oscilaciones son de amplitud peque&. De modo que el problema es de tipa lineal y puede resolverse mediante la transformada de Laplace o mediante el método descrito en este problema. Alambre de torsión
forzada del cílindro exterior
Figura 4C2 Esquema de un viscosímetro oscilatorio de torsión.
a) Primero, aplicar la segunda ley de movimiento de Newton al péndulo cilíndrico para el car completamente vacío. Demostrar que la frecuencia so especial en que el e s p a c i o ~ u l aestá natural del sistema es wo = \ k / I , donde I es el momento de inercia del péndulo y k es la constante del resorte para el alambre de torsión.
b) A continuación, aplicar Ia segunda ley de Newton cuando en el espacio anular hay un fluido de viscosidad p. Sean BR el desplazamientoangular del pénduIo en el instante t, y ve la velocidad tangencial del fluido como una función de r y f. Demostrar que la ecuación de movimiento del péndulo es (Péndulo)
Si el sistema comienza desde el reposo, se tienen las condiciones iniciales
Luego, escribir la ecuación de movimiento para el fluido junto con las condiciones inicial y límites relevantes: C)
166
Capítulo 4 Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente
(Fluido) C.I.:
en t =O,
v8 = O
(4C.2-4)
La función BaR(t) es una función sinusoidal específica (la "entrada"). Elaborar un dibujo que muestre a eaRy BR como funciones del tiempo, y que defina la razón de amplitud y el desplammiento de fase. d) Simplificar las ecuaciones d e inicio, ecuaciones 4C.2-1 a 4C.2-6, estableciendo la suposición de que a es sólo ligeramente mayor que la unidad, de modo que es posible despreciar la curvatura (el problema puede resolverse sin hacer esta suposición).4Esto sugiere que una variable adimensional idónea para la distancia es x = (r - R ) / [ ( u - l)R Volver a plantear todo el problema en cantidades adimensionales de forma que Z/wo = I/k se use como un tiempo característico, y que la viscosidad aparezca sólo en un grupo adimensional. Ocurre que la iinica opción es:
d-
tiempo: velocidad: viscosidad:
recíproco del momento de inercia: A = ~ ~ R ' L P ( u - ~ )
I
- Bx+M($)l
Demostrar que ahora el problema puede replantearse como sigue: 2' R ent=o, oR=0 (péndulo) -dr2 *=O
A partir de estas dos ecuaciones se quiere obtener BR y 4 como funciones de x y 7, con M y A como parámetros. e) Obtener la solución "de estado estacionario sinusoidal" al considerar que la función de entrada BaR (el desplazamiento de la copa) es de la forma
donde W = w/wo = w G e s una frecuencia adimensional. Luego, postular que los movimiento del péndulo y del fluido también son sinusoidales, pero con amplitudes y fases diferentes:
H. Markovitz, 1. Appl. Phys., 23,107U-1077 (1952) resolvió este problema sin suponer una separación pequeña entre la copa y el péndulo. Este instrumento lo han usado L.]. Wittenberg, D. Ofte y C.B Curtiss, [. Chrm Phys., 48, 3253-3260 (1968) para medir la viscosidad de aleaciones de plutonio líquido.
Problemas 167 &(T)
&x,
,
= !Jl(~;e~~l T)
te;
es complejo)
= %I~#P(x)e~~~l (+"(x)es complejo)
(4C.2-14) (4C.2-15)
Verificar que la razón de amplitud está dada por Ie;l/@iR,donde 1. . .I indica la magnitud absoluta de una cantidad compleja. Además, demostrar que el ángulo de fase a está dado por tan a = 3 Ie;)/%{e;;J, donde 8 y 3 representan las partes real e imaginaria, respectivamente.
f) Sustituir las soluciones postuladas del inciso e) en las ecuaciones del inciso d ) a fin de obtener las ecuaciones para las amplitudes complejas %j; y 9". g) Resolver la ecuación para +"(.u) y verificar que
h) A continuaci6n, resolver la ecuación 19; para obtener
a partir de la cual es posible encontrar la razón de amplitud iORI/OaR y el desplazamiento de fase a. i) Para fluidos altamente viscosos puede buscarse una serie de potencias desarrollando las funciones hiperbólicas en la ecuación 42.2-17 para obtener una serie de potencias en 1/M. Demostrar que lo anterior conduce a
A partir de esto, encontrar la razón de amplitud y el ángulo de fase. j) Graficar )0;I/0iR conbao para ~ / =ploa2 cm2/s, L = 25 cm,R = 5.5 cm, I = 2500 g cm2, k = 4 X 106 dinas cm. ¿Dónde está el máximo de la curva?
.
4C.3
Ecuación de Darcy para fiujo a través de medios porosos. Para el flujo de un fluido a través de un medio poroso, las ecuaciones de continuidad y movimiento pueden sustituirse por ecuaci6n de continuidad con ajuste suavizado
dp
EZ
= -(V - pvO) K
ecuación de Darcy5
v,, = -- (VP - pg)
(4C.3-1) (4C.3-2)
P
donde E, la porosidad, es Ia razón del volumen del poro contra el volumen total, y K es la permeabilidad del medio poroso. La velocidad vo en estas ecuaciones es la velocidad superficial, que se define como el caudal volumétrico a través de una unidad de área de sección transversal del sólido mAs el fluido, promediado sobre una pequefia región del espacio -pequeña respecto a las dimensiones macrosc6picas en el sistema de flujo, pero grande respecto al tamaño del poro-. La densidad y la presión se promedian sobre una región disponible para el
Henry Philibert Glspard Darcy (1803-1858)estudió en París y se hizo famoso por diseñar el sistema municipal de suministro de agua en Dijbn, su ciudad natal. H. Darcy, Les Fontaines Publiques de la Villede Dijon, Victor Dalmont, París (1856).Para an6LisW adicionales de la "ley de Dar@', véanse J. Happel y H. Rrenner, Loui Rrynolds Numhrr H y d d p m i c s , Martinus Nihjoff, Dordrecht (1983); y H. Brenner y D.A. Edwards, Macrotransport Processes, Buttemorth-Heinemann, Boston (1993).
168
Capítulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente flujo que sea grande respecto al tamaño del poro. La ecuación 4C.3-2 se propuso empíricamente para describir la lenta filtración de fluidos a través de los medios granulares. Al combinar las ecuaciones 4C.3-1 y 4C.3-2 se obtiene
para viscosidad y permeabilidad constantes. Esta ecuación y la ecuación de estado describen el movimiento de un fluido en un medio poroso. Para casi todos los propósitos, la ecuación de estado puede escribirse como p = p,,pmepP
(4C.3-4)
donde po es la densidad del fluido a presión unitaria, y se han proporcionado los siguientes par~metros:6 1. Líquidos incompresibles 2. Líquidos compresibles 3. Expansión isotérmica de gases 4. Expansión adiabática de gases
m=O
p=O
m=O
p#O m =1 m = C,/Cp = l / y
P =O 0 =O
Demostrar que las ecuaciones 4C.3-3 y 4C.3-4 pueden combinarse y simplificarse para estas cuatro categorías a fin de obtener (para gases se acostumbra despreciar los tkrminos de la gravedad debido a que son pequeños en comparación con los términos de la presión):
(4C.3-5)
V28=O
Caso l. Caso 2.
Caso 3 Caso 4. Nótese que el caso 1 conduce a la ecuación de hplace, el caso 2 sin el término de la gravedad lleva a la ecuación de conducción de calor o ecuación de difusión, y los casos 3 y 4 llevan a ecuaciones no lineale~.~ 4C.4 Flujo radial a través de un medio poroso (figura 4C.4). Un fluido fluye a través de una en-
voltura cilíndrica con radios interior y exterior RI y R2, respectivamente. En esas superficies, se sabe que las pmiones son p, y p2, respectivamente. La longitud de la envoltura cilíndrica es h.
Medio poroso 1
/
Fluido I
l
,-+
P---------------
+
w = velocidad
+
de flup másico
Figura 4C.4 Flujo radial a través de un Presión p ,
Presión p2
medio poroso.
M. Muskat, F l m of Homogenwus Fluids Thmugh Pomus Media, McGraw-Hill (1937).
'Para la condición límite en una superficie porosa que limita un fluido en movimiento, véase G.S. Beavers y D.D. Joseph, J. Fluid Mech., 30,197-207 (1967) y G.S. Beavers, E.M. Sparrow y B.A. Masha, AlChE Journnl, 20.596-597 (1974).
Problemas 169
a) Encontrar la distribución de presión, la velocidad de flujo radial y la velocidad de flujo másico para un fluido incompresible.
b) Volver a trabajar el inciso a) para un líquido compresible y para un gas ideal. Respuestas:
9-91 uoral - 1 P2- 9 In(R2/ Ri)
K ( 9 2 -pl)
PY 1 n R ~ / RI
=2~ddg2-91)~ p ln ( R Z/ Rl)
4D.1 Flujo cerca de una pared o~cilatoria.~ Usar las transformadas de Laplace para demostrar que la solución completa del problema phnteado en las ecuaciones 4.1-44 a 4.1-47 es
4D.2 Inicia de flujo laminar en un tubo circular (figura 4D.2). Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un tubo muy largo de longitud L y radio R. Inicialmente el Buido está en reposo. En el instante t = O se impone un gradiente de presión - P L ) / L al sistema. Determinar cómo cambian los perfiles de velocidad con el tiempo.
Centro del tubo
\
Figura 4D.2 Distribución de velocidad para el flujo no estacionario que resulta al imponer súbitamente un gradiente de presión en un tubo circular. [P. Szymanski, J. Math. Pures Appl., Series 9,11,67-107 (1932)l.
a) Demostrar que la ecuación de movimiento relevante puede escribirse en forma adimensional como sigue:
donde 6 = r/R,
T=p
t / p ~ y2 4 = [(Fo- BL)R2/4pLIL1vZ.
b) Demostrar que la solución asintótica para un tiempo grande es 4, = 1 - P. Luego, definir C#J~ mediante +([,T) = $,(E) T), y resolver la ecuación diferencial parcial para 4, por el método de separación de variables.
+,(e,
8H.S.Cardaw y J.C. Jaeger, Conduction ofHeaf in Solids, Oxford University l'ress, 2a. edicidn (1959), p. 319, ecuación (8), con E =la y o = K U ~ .
170 Capitulo 4
Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente C)
Demostrar que la solución final es
Jn(o
es la función de Bessel de n-ésimo orden de 5, y las a, son las raices de la donde ecuación JO(an) = O. El resultado se grafica en la figura 4D.2.
4D.3 Flujos en el sistema de disco y tubo (figura 4D.3}.9
a) Un fluido contenido en un tubo circular se hace mover tangencialmente por medio de un disco giratorio estrechamente ajustado en la superficie del líquido en z = O; el fondo del tubo está situado en z = L. Encontrar la distribución de velocidad de estado estacionario v&r,2) cuando la velocidad angular de1 disco es a. Supóngase que en todo el sistema prevalece flujo reptante, de modo que no hay flujo secundario. Encontrar el límite de la solución cuando L + m. b) Repetir el problema para flujo no estacionario. El fluido está en reposo antes de t = O, y el disco comienza a girar repentinamente con una velocidad angular fl en t = 0. Encontrar la distribución de velocidad u&, z, t ) para una columna de fluido de altura L. Después encontrar la solución para el limite cuando L -t m. la dirección tangencia1 con amplitud a,, obtener Ia distribución de velocidad en el tubo cuando se alcanza el "estado estacionario oscilatorio". Repetir el problema para un tubo de longitud infinita.
c ) Si el disco oscila sinusoidalmente en
4D.4 Flujos anulares no estacionario^.^^ a) Obtener una soIuci6n de la ecuación de Navier-Stokes para el inicio de flujo anular axial debido a un gradiente de presión que se impone súbitamente. Comprobar su resultado contra la solución publicada.
'O
W. Hort, Z . teck. Phys., 10,213(1920); C.T.H a , J.D. Huppler y R.B. Bird, Chem. Engr. Cci., 21,815-817 (1966). W. Mülier, Zeits. f i r angau. Math. u. Mech., 16,227-228 (1936).
Problemas 171 b) Resolver la ecuación de Navier-Stokes para el flujo tangencia1 no estacionario que fluye en tubos concéntricos. El fluido está en reposo para f < O. Iniciando en f = O, el anillo exterior comienza a girar con una velocidad angular constante a fin de producir flujo laminar para t > O. Comparar su resultado con la solución pub1icada.l" 4D.5 Funciones de corriente para flujo tridimensional. a) Demostrar que las funciones de velocidad pv = [V x
Al y pv = [(V$,) x ( V h ) ] , satisfacen ambas la ecuación de continuidad idénticamente para flujo estacionario. Las funciones G2 y A son arbitrarias, excepto que sus derivadas que aparecen en (V . pv) deben existir. = d31+9/h3reproduce las componentes de velocidad para los cuatro flujos incompresibles de la tabla 4.2-1. Aquí h3 es el factor de escala para la tercera coordenada (véase 5A.7) [Léase aquí el vector general v de la ecuación A7-18 como A.1
b) Demostrar que la expresión A / p
x (VJ)~}] están dadas por las C) Demostrar que las líneas de flujo de corriente de intersecciones de las superficies Jrl = constante y q2= constante. Trazar este par de superficies para el flujo de la figura 4.3-1. d) Utilizar el teorema de Stokes (ecuación A.5-4) a fin de obtener una expresión en términos de A para la velocidad de flujo rnásico a través de una superficie S limitada por una curva cerrada C. Demostrar que la desaparición de v en C no implica la desaparición de A en C.
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento 5 1
Comparaciones de los flujos laminar y turbulento
g5.2
Bcuaciones de variación con ajuste de tiempo para fluidos incompresibles
95.3
Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared
s5.4
Expresiones empíricas para la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento
95.5
Flujo turbulento e n ductos
55.6"
Flujo turbulento en chorros
En los capítulos anteriores solamente se han analizado problemas de flujo laminar. Se ha visto que las ecuaciones diferenciales que describen el flujo laminar se comprenden bien y que, para varios sistemas simples, la distribución de velocidad y otras cantidades derivadas pueden obtenerse de manera directa. El factor que limita la aplicación de las ecuaciones de variación es la complejidad matemática que se encuentra en problemas para los cuales hay componentes de la velocidad que son funciones de algunas variables. Incluso en esos casos, con el rápido avance de la dinámica de fluidos computacional, dichos problemas están conduciendo gradualmente a una solución numérica. En este capítulo nos dedicaremos al flujo turbulento. Mientras el flujo laminar es ordenado, el flujo turbulento es caótico. Es esta naturaleza caótica del flujo turbulento la que plantea todo tipo de dificultades. De hecho, sería posible preguntarse si las ecuaciones de variación que se proporcionaron en el capítulo 3 son incluso capaces de describir los movimientos violentamente fluctuantes que se presentan en el flujo turbulento. Debido a que los tamaños de los remolinos turbulentos son varios órdenes de magnitud más grandes que la trayectoria libre media de las moléculas del fluido, las ecuaciones de variación son aplicables. Es posible obtener soluciones numéricas de estas ecuaciones y usarlas para estudiar los detalles de la estructura de la turbulencia. Sin embargo, para muchos propósitos no estamos interesados en contar con esta información tan detallada, en vista del esfuerzo computacional que se requiere para obtenerla. Por consiguiente, en este capítuIo nos dedicaremos ante todo a estudiar métodos que permiten describir los perfiles de velocidad y de presión con ajuste de tiempo. En 55.1 se empieza por comparar los resultados experimentales para flujos laminar y turbuIento en varios sistemas de flujo. De esta forma es posibIe adquirir algunas ideas cualitativas sobre las principales diferencias enh-e los movimientos laminar y turbulento. Estos experimentos ayudan a definir algunos de los desafíos que enfrenta el especialista en dinámica de fluidos. En $5.2 se definen varias cantidades con ajuste de tiempo, y se demuestra cómo estas definiciones pueden usarse para promediar respecto al tiempo Ias ecuaciones de tiempo. Estas ecuaciones describen el comde variación sobre un breve i n t e ~ a I o
174 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
1I i
portamiento de la velocidad y la presión con ajuste de tiempo. Sin embargo, la ecuación de movimiento con ajuste de tiempo contiene la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento. Esta densidad de flujo no puede relacionarse simplemente con los gradientes de velocidad de la forma en que la densidad de flujo de cantidad de movimiento está dada por la Iey de viscosidad de Newton en el capítulo 1. En la actualidad, la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento suele estimarse experimentalmente o bkn, modelarse mediante algún tipo de empirismo basado en mediciones experimentales. Por fortuna, para flujo turbulento cerca de una superficie sólida, hay varios resultados bastante generales que son muy útiles en dinámica de fluidos y fenómenos de transporte: el desarrollo en serie de Taylor para la velocidad cerca de la pared; y los perfiles de velocidad logarítmico y de la ley de potencias para regiones más lejos de la pared, donde esta ley se obtiene por razonamientos dimensionales. En 55.3 se proporcionan estas expresiones para la distribución de velocidad con ajuste de tiempo. En la sección 55.4 se presentan algunos empirismos que se han propuesto para la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento. Estos empirismos tienen una importancia histórica y también se han usado ampliamente en cálculos de ingeniería. Cuando se aplican de manera correcta, estas expresiones empíricas pueden ser útiles. El resto del capítulo se dedica al análisis de dos tipos de flujo turbulento: flujo en conductos cerrados (g5.5) y flujo en chorros (s5.6). Éstos ilustran las dos clases de flujo que suelen analizarse bajo el título de turbulencia en una pared y turbulencia libre. En esta breve introducción a la turbulencia, nos ocupamos en primer lugar de describir el flujo turbulento totalmente desarrollado de un fluido incompresible.No consideramos los métodos teóricos para predecir el principio de la turbulencia ni las técnicas experimentales inventadas para investigar la estructura del flujo turbulento. Tampoco proporcionamos ningún análisis sobre las teorías estadísticas de la turbulencia y la forma en que la energía turbulenta se distribuye en los diversos modos de movimiento. Para éstos y otros tópicos interesentes, el lector debe consultar algunos de los libros ya conocidos sobre turbulencia.ld Cada vez es más abundante la literatura sobre evidencias experimentales y computacionales para "estructuras coherentes" (vórtices) en flujos t~rbulentos.~ La turbulencia es un tkma importante. jDe hecho casi todos los flujos que se encuentran en ingeniería son turbulentos y no laminares! Aunque nuestra comprensión de la turbulencia está lejos de ser satisfactoria, es un tema que debe estudiarse y apreciarse. Para la solución de problemas industriales no podtkos obtener resultados analíticos claros, ya que en su mayoría, dichos problemas se tratan utilizando una combinación de análisis dimensional y datos experimentales. Este método se analizará en el capítulo 6. 'S. Corrsin, "Turbulence: Experimental Methods", en Handbudr der Physik, Vol.VII1/2, Springer, Berlín (1963). Stanley Comin (1920-1986),profesor en la Johns Hopkins University, fue un excelente experimentador y maesho: estudió la interaccián entre reacciones químicas y turbulencia.y la pmpagación de las correlaciones de doble temperatura. A.A. Townsend, The Strucfure of Turbulent Shear Flow, Cambridge University Press. 2a. edición (1976);para Una investigación accessible, véase también A.A. Townsend en Handbook of Fluid Dynamics (V.L. Streeter, comp.), McGrawHill (1961). J.O.Hinze. Turbulence, McGraw-Hill, Nueva York, 2a. edición (1975). H. Tennekes y J.L.Lumley, A Fint Coirrse in Turbulence, MIT Press, Cambridge, Macs. (1972);los capítulos 1 y 2 de este libm proporcionan una introducción a las interpretaciones físicas de los fenómenos de flujo hirbulento. M. Lesieur, Im Turbulence, Presses Universitaires de Grenoble (1994);este Libro contiene bonitas fotografíasa color de sistemas de flujo turbulento. Algunos libros que cubren e1 material que van más allá del contenido de este libro son: W.D. McComb, 7'he Physics of Fluid Turbulence, Oxbrd University h s s (1990);T.E.Faber, Fluid Dynamics fir Physicists, Cambridge University Press (1995);U. Frisch, Turbulence, Cambridge University l'ress (1995). P. Holmes, J.L.Lumley y G. Berkooz, Turbulence, Coherent Structures, Dynamical Syctems, and Symrnefry, Cambridge University Press (1946);F. Waleffe, Phys. Reu Lett., 81,4140-4148 (1998).
*
55.1
85.1
Comparaciones de los flujos laminar y turbulento 175
COMPARACIONES DE LOS FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO Antes de discutir cualquier idea teórica sobre la turbulencia, es importante resumir las diferencias entre los flujos laminar y turbulento en varios sistemas simples. Específicamente, consideramos el flujo en conductos de sección transversal circular y triangular, el flujo a lo largo de una lámina plana y flujos en chorros. Los tres prime ros fueron considerados para flujo laminar en 32.3, problema 38.2, y en 54.4.
Tubos circulares Para el flujo laminar estacionario totalmente desarrollado en un tubo circular de radio R sabemos que la distribución de velocidad y la velocidad media están dadas por 2
y
(vz) ---
-
m6x
1
(Re < 2100)
2
y que la caída de presión y la velocidad de fIujo másico w están relacionadas linealmente:
Por otra parte, para el flujo turbulento la velocidad fluctúa caóticamente con el tiempo en cada uno de los puntos del tubo. Podemos medir una "velocidad con ajuste de tiempo" en cada punto con un tubo d e Pitot, por ejemplo. Este tipo de instrumento no es sensible a fluctuaciones rápidas de velocidad, sino que detecta la velocidad promediada sobre varios segundos. La velocidad con ajuste de tiempo (que se define en la siguiente sección) tiene una componente z representada por E,, y su forma y valor medio están dados de manera muy aproximada por1 117
máx
Y
)z'(
-
(lo4 < iXe < lo5) 7-vz,máx 5
(5.1-4, 5)
Esta expresión a la potencia $- para la distribución de velocidad es demasiado tosca para proporcionar una derivada realista de la velocidad en la pared. En la figura 5.1-1 se comparan los perfiles de velocidad laminar y turbulento. Para el mismo intervalo de números de Reynolds, la velocidad de flujo másico y la caída de presión dejan de ser proporcionales pero siguen estando relacionadas de manera aproximada por
La mayor dependencia de la caída de presión respecto a la velocidad de flujo rnásico para flujo turbulento se debe a que es necesario suministrar más energía para mantener el movimiento violento de remolino en el fluido. La transición laminar-turbulento en tubos circulares suele ocurrir a un número crítico de Reynolds aproximado de 2100, aunque este número puede ser más alto si se
'
H. Schiichting, Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, Nueva York, 7a. edición (1979), capítulo XX (flujo en un tubo), capítulos VI1 y XXI (flujo en una lámina plana), capítulos IX y XXlV (flujos en chorro).
176 CapítuIo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
Centro
pared de] tubo 1.0
Figura 5.1-1 Comparaciíin cuantitativa de los perfiles de veIocidad laminar y turbulento. Para una descripción más detallada de la distribución de velocidad turbulenta cerca de la pared, véase la figura
tiene sumo cuidado en eliminar las vibraciones en el s i ~ t e m aLa . ~ transición de flujo laminar a flujo turbulento puede demostrarse con el experimento simple realizado originalmente por Reynolds. Se instala un tubo largo transparente equipado con un dispositivo para inyectar una pequeña cantidad de colorante en la corriente a lo largo del eje del tubo. Cuando el flujo es laminar, el colorante se desplaza corriente abajo como un filamento coherente recto. Al contrario, para flujo turbulento el colorante se dispersa rápidamente sobre toda la sección transversal, de manera semejante al movimiento de partículas que se muestra en la figura 2.0-1, debido al movimiento de remolino (difusión turbulenta).
Tubos no circulares Para el flujo laminar desarrollado en el ducto triangular que se muestra en la figura 3B.2(b), las partículas del fluido se mueven de manera xectilínea en la dirección z, paralelas a las paredes del ducto. A diíerencia de lo anterior, en el flujo turbulento, al flujo con ajuste de tiempo en la dirección z (elflujo primario) se superpone un movimiento con ajuste de tiempo en el plano xy (elflujo secundario). El flujo secundario
Figura 5.1-2 Diagrama que muestra los patrones de flujo secundario para flujo turbulento en un tubo de sección transversal triangular. [H. Schlichting, McGraw-Hill, Nueva York, 7a.
0. Reynolds, Phrl Trans. Roy Soc., 174, Parte 111,935-982 (1883) Vease también A.A. Draad y EM.T. Nteuwstadt, Fluid Mech ,361,297-308 (1998). 1
a
55.1
Comparaciones de los flujos laminar y turbulento
177
es mucho más débil que el flujo primario y se manifiesta como un conjunto de seis vórtices dispuestos en un patrón simétrico alrededor del eje del ducto (véase la figura 5.1-2). Otros tubos no circulares también presentan flujos secundarios.
Lámina plana En 54.4 encontramos que para flujo laminar alrededor de una lámina plana, mojada en ambos lados, la solución de las ecuaciones de las condiciones límite proporcion6 la expresión de la fuerza de resistencia
F = 1.328 V
p p ~ (laminar) ~ 2 ~ O
< ReL < 5 X 105
(5.1-7)
donde ReL = L v d / p es el número de Reynolds para una lámina de longitud L; el ancho de Ia lámina es W y la velocidad de aproximación del fluido es u,. Por otra parte, para flujo turbulento la dependencia respecto a las propiedades geométricas y físicas es bastante diferente:'
F = 0 . 7 4 v p 4 1 r ~ 4 ~ 5 v ~(turbulento) (5 X lo5 . ;ReL < lo7 )
(5.1-8)
Así, la fuerza es proporcional a la potencia $ de la velocidad de aproximación para flujo laminar, pero a la potenciaPpara flujo turbulento. La mayor dependencia respecto a la velocidad de aproximación refleja la energía adicional necesaria para mantener los movimientos irreguíares de remolino en el fluido. i1
.Chorros circulares y planos 1: r
9
I? 1(
A continuación analizaremos el comportamiento de chorros que surgen de una pared plana, que se considera el pIano xy (véase la figura 5.6-1). El fluido sale de un tubo circular o de una ranura e s w h a larga, y fluye hacia un gran cuerpo del mismo fluido. Pueden hacerse varias observaciones sobre los chorros: el ancho del chom, la velocidad del chorro en la línea central y la velocidad de flujo másico a través de una sección transversal paralela al. plano xy. Todas estas propiedades pueden medirse como funciones de la distancia z a la pared. En la tabla 5.1-1 se presenta un resumen de las propiedades de los chorros circular y bidimensional para flujo laminar y turbulento.' Es curioso que, para el chorro circular, el ancho del chorro, la velocidad en la línea central y la velocidad de flujomasico tienen exactamente la misma dependencia respecto a z tanto en flujo laminar como en flujo turbulento. Volveremos a esta cuestión más tarde, en 55.6.
Tabla 5.1-1 Dependencia de los parámetros del chorro respecto a la distancia z a la pared Hujo laminar
Chorrocircular Chorro piano
Ancho del chorro
Velocidad en la línea central
z
2-1
z2/3
z - ~13
Flujo turbulento Velocidad de flujo másico
Ancho del chorro
Velocidad en la línea central
z
z
2-1
z1/3
z
.-1/2
Velocidad de flujo másico z ,1/2
178 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
Los ejemplos anteriores deben hacer evidente que los rasgos generales de los flujos laminar y turbulento son bastante diferentes. Uno de los muchos desafíos en teoría de la turbulencia es intentar explicar estas diferencias.
55.2 ECUACIONES DE V A R I A C I ~ NCON AJUSTE DE TIEMPO PARA FLUIDOS INCOMPRESIBLES
En primer lugar se considera un flujo turbulento en un tubo al que se le impone un gradiente de presión constante. Si en un punto del fluido se observa una componen. te de la velocidad como una función del tiempo, se encuentra que está fluctuando de manera caótica como se muestra en la figura 5.2-la. Las fluctuaciones son d e ~ v i a c i ~ nes irregulares respecto a un valor medio. La veiocidad real puede considerarse corno la suma del valor medio (designado por una sobrebarra) y la fluctuación (designada por una prima). Por ejemplo, para la componente z de velocidad se escribe
que algunas veces se denomina descomposición de Reynolds. El valor medio se obtiene a partir de v,(t) al sacar un promedio en el tiempo sobre un gran número de fluctuaciones
donde el periodo to es lo suficientemente largo para proporcionar una función promediada ajustada. Para el sistema en cuestión, la cantidad V,, que denominamosvelocidad con ajuste de tiempo, es independiente del tiempo, aunque por supuesto depende de la posición. Cuando la velocidad con ajuste de tiempo no depende del tiempo, hablamos de un flujo turbulento impulsado de manera estable. Los mismos comentarios que se han hecho para la velocidad también pueden hacerse para la pre sión. A continuación consideraremos el flujo turbulento en un tubo con un gradiente de presión dependiente del tiempo. Para este flujo es posible definir cantidades con ajuste de tiempo como antes, aunque debe entenderse que el periodo t, debe ser pequeño respecto a los cambios en el gradiente de presión, pero grande respecto a los
Tiempo t
Tiempo t
<
Figura 5.2-1 Diagrama que muestra la componente v, de la velocidad, así como su valor con ajuste de tiempo y su fluctuación U: en flu~oturbulento: a) para "flujo turbuIento impulsado de manera estable" donde Üz no depende del tiempo, y b) para una situación en la cual Q depende del tiempo
$5.2
Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para fluidos incompresibles 179
periodos de las fluctuaciones. Para esta situación, la velocidad con ajuste de tiempo y la veIocidad real se ilustran en la figura 5.2-lb.' Según la definición en la ecuación 5.2-2, es fácil comprobar que las siguientes relaciones son verdaderas:
- puede conLa cantidad vi2 / (v,) no será, sin embargo, cero, y de hecho la razón .L/siderarse como una medida de La magnitud de las fluctuaciones turbulentas. Esta cantidad, conocida como intensidad de la turbulencia, puede tener valores que varian de 1 a 10% en la parte principal de una corriente turbulenta y valores de 25% o mayores en la vecindad de una pared sólida. Por tanto, es necesario recalcar que no estamos tratando necesariamente con perturbaciones ligeras; algunas veces las fluctuaciones son en efecto violentas y grandes. v'también son diferentes de cero. La razón de esto es que Cantidades como v' X Y los movimientos locales en las direcciones x y y están correlacionados. En otras palabras, las fluctuaciones en la dirección x no son independientes de las fluctuaciones en la dirección y. En breve veremos que estos vaIores con ajuste de tiempo de los productos de propiedades fluctuantes juegan un papel importante en la transferencia de cantidad de movimiento turbulenta. Después encontraremos correlaciones semejantes que se presentan en transporte turbulento de calor y de materia. Una vez que se han definido las cantidades con ajuste de tiempo y analizado algunas de las propiedades de las cantidades fluctuantes, ahora podemos pasar al ajuste de tiempo de las ecuaciones de variación. A fin de que el desarrollo sea lo más sencillo posible, aquí 610 consideraremos las ecuaciones para un fluido de densidad y viscosidad constantes. Empezamos por escribir las ecuaciones de continuidad y movimiento con v sustifxida por su equivalente V + v' y p por su equivalente + p'. Entonces la ecuación de continuidad es (V v) = O, y escribimos la componente x de la ecuaci6n de movimiento, ecuación 3.5-6, en la forma d / d t usando la ecuación 3.5-5: +
Las componentes y y z de Ia ecuación de movimiento pueden escribirse de manera semejante. A continuación realizamos el ajuste de tiempo de estas ecuaciones, usando las relaciones dadas en la ecuación 5.2-3. Así se obtiene
'Tambien es posible definir las cantidades con "sobrebarra"en términos de un "promedioen conjunto".Para casi todos los fines, los resultados son equivalentes o se supone que lo son. Vease, por ejemplo, A.A. Townseiid, The Structure of Turbulcnt Shear Flow, Cambridge University Press, 2a. edición (1976). Respecto a la última de las fórmulas proporcionadas en la ecuación 5.2-3,véase también P.K. Kundu, Fluid Mechanics, Academic Press, Nueva York (19PO), p. 421.
180 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
con relaciones semejantes para las componentes y y z de la ecuación de movimiento. Así, éstas son las ecuaciones de confinuidad y movimiento con ajuste de tiempo para un fluido con densidad y viscosidad constantes. Al compararlas con las ecuaciones correspondientes en la ecuación 3.1-5 y la ecuación 3.5-6 (esta última escrita en términos de d / d f ) , se concluye que a. La ecuación de continuidad es la misma que ya se tenía, excepto que ahora v ha sido reemplazada por V. b. Ahora la ecuación de movimiento tiene a V y j7 donde previamente se tenían v y p. Además, aparecen los términos subrayados con línea discontinua, que describen el transporte de cantidad de movimiento asociado con las fluctuaciones turbulentas.
Es posible volver a escribir la ecuación 5.2-7 introduciendo el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento S') con componentes $f) XX
= pr,fU' X x
F)= PV'~' X Y XY
= p < ~ : y así sucesivamente
(5.2-8)
Estas cantidades suelen denominarse como los esfuerzos de Reynolds. También es posible introducir un símbolo para la densidad de flujo de cantidad de movimiento viscoso con ajuste de tiempo. Las componentes de este tensor son las mismas que las expresiones dadas en los apéndices B.l a 8.3, excepto que las componentes de la velocidad con ajuste de tiempo aparecen en ellas:
-
~
X
- 2 -
X-
Y&) = -P
av, (2+ dy)
y así sucesivamente
(5.2-9)
Esto permite entonces escribir las ecuaciones de variación en forma vector-tensor como
La ecuación 5.2-11 es una ecuación adicional que se obtuvo restando la ecuación 5.2-10 de la ecuación de continuidad original. El resultado más importante de esta sección es que la ecuación de movimiento en términos del tensor de esfuerzo, que se resume en la tabla del apéndice B.5, puede adaptarse para flujo turbulento con ajuste de tiempo cambiando todas las vi por vi y p por P, así como 7'1 por 7'1. = Y$)+ ?$)en cualquiera de los sistemas de coordenadas dados. Ahora hemos llegado al escollo más importante en la teoría de Ia turbulencia, Los esfuerzos de Reynolds 7y antes mencionados no están relacionados con los gradientes de velocidad de una forma simple, como sucede con los esfuerzos viscosos con ajuste de tiempo Y$') en la ecuación 5.2-9. En vez de ello, son funciones compli-
95.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared
181
cadas de la posición y la intensidad de la turbulencia. Para resolver problemas de flujo es necesario contar con información experimental sobre los esfuerzos de ReynoIds o bien recurrir a alguna expresión empírica. En 35.4 se analizarán algunos de los empirismos disponibles. En realidad también es posible obtener ecuaciones de variación para los esfuerzos de Reynolds (véase el problema 5D.1). Sin embargo, estas ecuaciones contienen cantidades como vivpi. De manera semejante, las ecuaciones de variación para v!v!v1 ' 1 k contienen la siguiente correlación de orden superior V ' ~ V ' ~ V ~ ~yVasí ' ~ ,sucesivamente.Es decir, se tiene una jerarquía sin fin de ecuaciones que es necesario resolver. Para resolver problemas de flujo debe "truncarse" esta jerarquía mediante la introducción de empirismos. Si usamos éstos para los esfuerzos de Reynolds, entonces tenemos una "teoría de primer orden". Si se introducen empirismos para vivpi, entonces se tiene una "teoría de segundo orden", y así sucesivamente. El problema de introducir empirismos para obtener un conjunto cerrado de ecuaciones que pueden resolverse para las distribuciones de velocidad y presión se denomina "problema de taponamiento". EI análisis de 55.4 trata sobre el taponamiento en el primer orden. En el segundo orden, en dinámica de fluidos computacional se ha estudiado a fondo y usado ampliamente el "empirismo k-~''.~
g5.3
PERFIL DE VELOCIDAD CON AJUSTE DE TIEMPO CERCA DE UNA PARED Antes de analizar las diversas expresiones empíricas usadas para los esfuerzos de Reynolds, presentamos varios desarroIlos que no dependen de ningún empirismo. Aquí nos ocupamos de la distribución de velocidad con ajuste de tiempo, totalmente desarrollada, en la vecindad de una pared. Analizamos varios resultados: un desarrollo en serie de Taylor de la velocidad cerca de la pared, y las distribuciones de velocidad logarítmica universal y de la ley de potencias, poco más lejos de la pared. El flujo cerca de una superficie plana se representa en la figura 5.3-1. Conviene distinguir cuatro regiones de flujo: la subcapa viscosa muy cerca de la pared, donde la viscosidad juega un papel clave, la capa de transición (bufier), donde ocurre la transición entre las subcapas viscosa e inercial,
Figura 5.3-1 Regiones de flujo para describir flujo turbulento cerca de una pared:O subcapa viscosa,@ subcapa de transición,@subcapa inercia], @ corriente turbulenta principal.
J.L. Lumley, Adv. Appl. Mech.,18,123-176(1978); C.G.Speziale, Ann. R m .Fluid Mech., 23, 107-157; H. Schlichting y K. Gersten, Boundary-Lnyer Theory, Springer, Beriín, 8a. edición (2000).pp. 560563
182 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
la subcapa inercial al inicio de la corriente turbulenta principal, donde la viscosidad juega un papel menor, y Ia corrienfe turbulenta principal, donde la distribución de velocidad con ajuste de tiempo es casi plana y la viscosidad carece de importancia. Es necesario recalcar que esta clasificación en regiones es algo arbitraria. Los perfiles de velocidad logarítmica y de la ley de potencias en la subcapa inercia11m4
Sea T,, el esfuerzo cortante con ajuste de tiempo que actúa sobre la pared en y = O (que es el mismo que -7yxly,0). Entonces el esfuerzo cortante en la subcapa inercial no diferirá mucho del valor rO.Ahora preguntamos: ¿de qué cantidades depende el gradiente de velocidad con ajuste de tiempo dü,/dy? No debe depender de la viscosidad, ya que, fuera de la capa de transición, el transporte de cantidad de movimiento debe depender primeramente de las fluctuaciones de la velocidad (que de manera algo informal se denominan "movimiento de remolino"). Puede depender de la densidad p, del esfuerzo cortante T~ en la pared, y de la distancia y a la pared. La única combinación de estas tres cantidades que tiene las dimensiones de un gradiente de velocidad es Por tanto, escribimos
donde u es una constante adimensional arbitraria, que debe determinarse experimentalmente. La cantidad T / t~ene . las dimensiones de la velocidad; se denomina velocidad &fricción y se le asigna el símbolo v,. Al integrar la ecuación 5.3-1 se obtiene
donde A ' es una constante de integración. Para usar agrupamientos adimensionales, volvemos a escribir la ecuación 5.3-2 como
donde A es una constante simplemente relacionada con A'; la viscosidad cinemática v se incluyó a fin de construir el razonamiento adirnensional del logaritmo. Experimentalmente se ha determinado que valores razonables de las constantes2 son K = 0.4 y A = 5.5, con lo que se obtiene
' L. Landau y E.M.Lifshitz, Fluid Mechanics. Pergamon,Oxford, 2a. edicidn (1987), pp. 172-178. H. Schlichting y K. Gersten, Boundary-Layer Theoy, Springer-Verlag, Berlín, 8a. edicidn (2000). 317.2.3.
T. von Kármán, Nachr. Ces. WjSs. Gottingcn, Math-Phys. Klasse (19301,pp. 58-76; L. Prandtl, Ergtb. Aemdyn. Vcrsuch., Series 4, Gotinga (1932). G.I. Barenblatt y A.J.Chorin, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 93,6749-6752 (19%) y SlAM Reu., 40,265-291 (1981);G.1. Barenblatt, A.J. Chorin y V.M.Prostokishin, Pmc Nat. Acad. Cci. USA, 94,773-776 (1997). Véase también G.I. Barenblatt, Scaling, Self-Similarify, ond In termediate As,ppfofics,Cambridge University Press (1992),§10.2.
55.3 Perfil de velocidad con ajuste de tiempo cerca de una pared
183
Esto se denomina distribución de velocidad logarf'tmica universal de von KármdnPra~zdtl;~ se propone que sólo es valida en la subcapa inercial. Después veremos (en la figura 5.5-3) que esta función describe moderadamente bien los datos experimentales algo más allá de la subcapa inercial. Si la ecuación 5.3-1 fuese correcta, entonces en efecto las constantes K y h serían "constantes universales" aplicables a cualquier número de Reynolds. Sin embargo, en la literatura pueden encontrarse valores de K en el intervalo de 0.40 a 0.44 y valores de h en el intervalo de 5.0 a 6.3, dependiendo del intervalo de números de Reynolds. Esto sugiere que el miembro derecho de la ecuación 5.3-1 debe multiplicarse por alguna función del número de Reynolds y que y puede elevarse a alguna potencia que implique al número de Reynolds. Ce han avanzado razonamientos teóricos4 en el sentido de que la ecuación 5.3-1 debe sustituirse por
+
donde Bo = \/3;2+ = y P , = +.Cuando la ecuación 5.3-5 se integra respecto a y, se obtiene la distribucibn de velocidad universal de Barenblatt-Chonn:
-
)
-
-
-
h=(z
1 ( d + ~ ~ n L
5
yv*
3/(2 1n Re)
La ecuación 5.3-6 describe mejor las regiones@ y @ de la figura 5.3-1 que la ecuación 5.34.4 La ecuación 5.3-13 describe mejor la región 0 .
Desarrollo en serie de Taylor en Ia subcapa viscosa Empezamos por escribir una serie de Taylor para E, como una función de y, así
Para evaluar los términos de la serie, necesitamos la expresión para el esfuerzo cortante con ajuste de tiempo en Ia vecindad de una pared. Para el caso especial del ftujo impulsado de manera estacionaria en una rendija de espesor 2B, el esfuerzo cortante será de la forma FYx = Y X + Y X = -%[l- (y/B)I. Luego, a partir de las ecuaciones 5.2-8 y 5.2-9 se tiene
Ahora analizamos uno por uno los términos que aparecen en Ia ecuación 5.3-7:"
i) El primer término es cero por la condición sin deslizamiento. ii) El coeficiente del segundo término puede obtenerse a partir de la ecuación 5.3-8, reconociendo que ambas u : y vi son cero en la pared, de modo que
---
~p
~p
A.A. Townsend, The Structure of Tirrbitlent Shror Flow, Cambridge University Precs, 2a. edición (19761, p. 163.
184
Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
iii) El coeficiente del tercer término implica la segunda derivada, que puede ob. tenerse al diferenciar la ecuación 5.3-8 respecto a y y luego haciendo y = O, como si+ guet
ya que ambas vi y vi son cero en la pared. iv) El coeficiente del cuarto término implica la tercera derivada, que puede obtenerse a partir de la ecuación 5.3-8, y ésta es
Aquí se ha usado la ecuación 5.2-11. Parece no haber razón para igualar a cero el siguiente coeficiente, de modo que encontramos que la serie de Taylor, en cantidades adimensionales, tiene la forma
El coeficiente C se ha obtenido experimentalrnente,6 y en consecuencia se tiene el resultado final:
Resulta que el término y3 entre corchetes se volverá muy importante en relación con correlaciones de transmisión de calor y transferencia de materia turbulentas en los capítulos 13,14,21 y 22. Para la región 5 < yv+/v < 30 no se cuenta con deducciones analíticas simples, por lo que algunas veces se usan ajustes de curvas empíricos. Uno de éstos se muestra en la figura 5.5-3 para tubos circulares.
55.4
EXPRESIONES EMP~RICASPARA LA DENSIDAD DE FLUJO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO TURBULENTO
Ahora volvemos al problema de usar las ecuaciones de variación con ajuste de tiempo en las ecuaciones 5.2-11 y 5.2-12 para obtener las distribuciones de velocidad Y presíón con ajuste de tiempo. Como se indicó en la sección previa, puede obtenerse 6 CS. Lin, R.W. Moulton y G.L. Putnam. Inri. Eng. C h m . , 45,636-640(1953);el coeficiente numérico se determinb a partir de experimentos de transferencia de materia en tubos circulares. E.V. Murphree, Ind. Eng. Chcm., 24.726736 (1932), fue quien percibió por primera vez la importancia del término y4 en transmisión de calor y transferencia de materia. Eger Vaughn Murphree (1898-1962) fue capitán del equipo de futbol en la Universidad de Kentucky en 1920 y llegó a ser presidente de la Standard Oil Development Company.
55.4
Expresiones empíricas para la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento 185 alguna información sobre la distribución de velocidad sin contar con una expresión específica para la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento W .Sin embargo, entre los ingenieros ha sido práctica común usar varios ernpirismos para $t) que implican gradientes de velocidad. En seguida mencionaremos algunos de ellos, aunque pueden encontrarse muchos más en la literatura sobre turbulencia.
viscosidad de remolino de Boussinesq Por analogía con la ley de viscosidad de Newton, ecuación 1.1-1, para un flujo cortante turbulento1 puede escribirse
donde w(') es la viscosidad turbulenta (a menudo denominada viscosidad de remolino, cuyo símbolo es E). Como puede verse a partir de la tabla 5.1-1, por lo menos para uno de los flujos proporcionados ahí, el chorro circular, odría esperarse que la ecuación 5.4-1 fuese útil. Sin embargo, por regla general p es una función robusta de la posición y de la intensidad de la turbulencia. De hecho, para algunos5istemas2 p(t)puede ser incluso negativa en algunas regiones. Cabe recalcar que la viscosidad p es una propiedad del fluido, mientras que la viscosidad de remolino p(t)es ante todo una propiedad del pujo. Para dos tipos de flujos turbulentos (es decir, flujos a lo largo de superficies y flujos en chorros y estelas) existen expresiones especiales para p(t):
(f
i) Turbulencia en la pared: Esta expresión, que puede obtenerse a partir de la ecuación 5.3-13, es válida sólo muy cerca de la pared. Es de suma importancia en la teoría de transmisión turbu-. Ienta de calor y transferencia turbulenta de materia en interfases sólido-fluido." ii) Turbulencia libre:
P(~'= ~ ~ ~ ' @ ~-, uz,rnín) m ~ x
(5.4-3)
donde K~ es un coeficiente adimensionai que debe determinarse experimentalmente, b es el ancho de la zona de mezcla a una distancia z corriente abajo, y la cantidad entre paréntesis representa la máxima diferencia en la componente z de las velocidades con ajuste de tiempo a esa distancia z. Prandt14 encontró que la ecuación 5.4-3 es un empirismo útil para chorros y esteIas.
La longitud de mezcla de Prandtl
Suponiendo que en un fluido los remolinos se mueven de manera bastante parecida a como las moléculas se desplazan en un gas a baja densidad (lo que no es una J.Boussinesq, M é m . prés. par div.sawnts u 1 'arad. sci. de Paris, 23, #1,1-680 (1877). 24, #2,1-64 (1877).Joseph Valentin Boussinesq (1842-19291, profesor universitario en Lille, escribió un tratadu de dos volúmenes sobre calor, y es famoso par su "aproximaciónde Boussinesq" y el concepto de "viscosidad de remolino". J.O.Hinze, Appl. Sci. Res., 22, 163-175(19701; V. Kruka y S. Eskinazi,]. Fluid. Mech., 20, 555-579 (1964). C.S. Lin,R.W. Moulton y G.L. Putnam, Ind. Eng. Chem., 45,636-640 (1953). L. Prandtl, Zeits. f angew. Mafh u . Mech., 22,241-243 (1942).
'
186 Capitulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
buena analogía), prandt15 desarrolló una expresión para la transferencia de cantidad de movimiento en un fluido turbulento. La "longitud de mezcla" 1 desempeña apm ximadamente el mismo papel que la trayectoria libre media en la teoría cinética (véase 51.4). Este tipo de razonamiento condujo a Prandtl a la siguiente relación:
Si la longitud de mezcla fuese una constante universal, entonces la ecuación 5.4-4 sería bastante atractiva, pero de hecho se ha encontrado que 1 es una función de la p e sición. Prandtl propuso las siguientes expresiones para 1:
i) Turbulencia en la pared:
I = ~ , y (y = distancia a la pared)
(5.45)
ii) Turbulencia libre:
1 = ~~b
(5.4-6)
(b = ancho de la zona de mezcla)
donde K~ y K~ son constantes. ~ a ~ lobtuvo o r ~ un resultado semejante a la ecuación 5.4-4 por medio de su "teoría de transporte de la vorticidad" algunos años antes de Ia proposición de Prandtl.
La ecuación de van Driest modificada Se han hecho numerosos intentos por inventar expresiones empíricas que puedan describir todo el esfuerzo cortante turbulento desde la pared hasta la corriente turbulenta principal. A continuación proporcionaremos una modificación de la ecuación de van ~ r i e s t Se . ~ trata de una fórmula para la longitud de mezcla de la ecuación 5.4-4:
Se ha encontrado que esta relación es útil para predecir velocidades de transmisión de calor y transferencia de materia en flujo en tubos. En las dos secciones que siguen y en varios problemas al final del capítulo, ilustraremos el uso de los empirismos antes mencionados. Debe recordarse que estas expresiones para los esfuerzos de Reynolds son algo más que apoyos que pueden usarse para la representación de datos experimentales o para resolver probIemas que se ubican en clases más bien especiales.
Obtener una expresión para 7tt)= YX
Desarrollo de la expresión de esfuerzo de Reynolds en la vecindad de la pared
pa como
una función de y en la vecindad de la pared.
SOLUCIÓN
a) Comenzamos por hacer un desarrollo en serie de Taylor de las tres componentes de v': 5L.Prandtl, Zeits. f. angew. Mafh. u . Mech., 5, 136-139 (1925). G.I. Tayior, Phil. ?hrns., A215,l-26 (1915), y Proc. Roy. Soc. (Londres), A135,685-701 (1932). E.R. van Driest, J. A m . Sci.,23, 1007-1011 y 1036 (1956). La ecuación original de van Driest no contiene el divisor de raíz cuadrada. Esta modificación la hicieron 0 . T Hanna, O.C. Sandail y P.R. Mazet, AICkE Journal, 27,692697 (1981), de modo que la viscosidad turbulenta sería proporcional a cuando y O, en concordancia con la ecuación 5.4-2.
9
35.5
Fiujo turbulento en ductos
187
El primer término en las ecuaciones 5.4-8 y 5.4-10 debe ser cero debido a la condición sin deslizamiento; en ausencia de transferencia de materia el primer término en la ecuación 5.4-9 es cero. Luego pcdernos escribir la ecuación 5.411 para y = 0,
Los términos primero y tercero en esta ecuación son cero debido a la condición sin deslizamiento. En consecuencia, debe concluirse que también el segundo término es cero. Por tanto, todos los términos subrayadas con línea discontinua en las ecuaciones 5.4-8 a 5.4-10 son cero, y puede concluirse que
Esto sugiere -aunque no demuestra8- que el término principal en el esfuerzo de Reynolds cerca de una pared debe ser proporcional a 9.Sin embargo,estudios a fondo de velocidades de transferencia de materia en canales cerrados9 han establecido que A # 0. b) Para el flujo entre láminas paralelas, podemos utilizar la expresión encontrada en la ecua-
ción 5.3-12 para el perfil de velocidad con ajuste de tiempo a fin de obtener la densidad de flujo de cantidad de movimiento turbulento:
~ . concuerda con la ecuación 5.412. donde A = ~ c ( v , / v )Esto
55.5
FLUJO TURBULENTO EN DUCTOS Empezamos esta sección con un breve análisis de Ias mediciones experimentales para flujo turbulento e n ductos rectangulares, con la intención de proporcionar algunas impresiones sobre los esfuerzos de Reynolds. En las figuras 5.5-1 y 5.5-2 se muestran algunas mediciones experimentales de las cantidades con ajuste de tiemy a para el flujo en Ia dirección z en un ducto rectanguIar, po
F,
Reichardt, 2eits.f. angm. Math. u. Mech., 31,208-219 (1951). VPase tambibn J.0.Hinze, Turbulencc,McGrawHill, Nueva York, 2a. edición (1975),pp. 620-621. R.H. Notter y C.A. Sleicher, Chem. Eng. Sci.,26,161-171(1971);O.C.Sandall y O.T. Harma, AlChE Journnl, 25, 190-192(1979);D.W.Hubbard y E.N. Lightfoot, Ind. Eng. C h .Fur&mmtak, 5,370-379(1966).
188 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
Figura 5.5-1 Mediciones de H. Reichardt [Nafumissenschaffen,404 (1938), Zeits. f. angao. Mafh. u. Mech., 13,177-180 (1933), 18, 358-361 (1938)l para el flujo turbulento del aire en un ducto rectangular con zZ,máx =
Figura 5.5-2 Mediciones de Reichardt (véase la figura 5.5-1)para la cantidad en un ducto rectangular. Nótese que esta cantidad difiere de 7,,/p sólo cerca de la pared del ducto.
vx
se muestran las cantidades
es aproximadamenNótese e n la figura 5.5-1 que bastante cerca d e la pared, te 13%d e la velocidad d e la línea central con ajuste d e tiempo üz,n,á,,mientras que *es alrededor de 5%.Esto significa que, cerca d e la pared, las fluctuaciones de velocidad en la dirección del flujo son apreciablemente mayores que las correspondientes en la dirección transversal. Cerca del centro del ducto, las dos amplitudes de fluctuación son casi iguales y se dice que ahí la turbulencia es casi isotrópica. En la figura 5.5-2, el esfuerzo cortante turbulento 7:; = se compara con el esfuerzo cortante total TXz= 722 + 72 a través del ducto. Resulta evidente que la contribución turbulenta es la más importante sobre la mayor parte d e la sección transversal y que la contribución viscosa es importante sólo en la vecindad de la pared. Este hecho se ilustra aún más e n el ejemplo 5.5-3. En tubos d e sección transversal circular se observa un comportamiento semejante.
pa
Estimación de la velocidad media en un tubo circular
Aplicar los resuItados de s5.3 a fin de obtener la velocidad media para flujo turbulento en un tubo circular. SOLUCION
Podemos utilizar la distribución de velocidad indicada en el pie de la figura 5.5-3. Para obte ner la velocidad media en el tubo, es necesario integrar sobre cuatro regiones: la subcapa viscosa (y* < 5), la zona de transición 5 < y+ < 30, la subcapa inercia1 y la corriente turbulenta principal, cuya forma es aproximadamente parabólica. Ciertamente es posible hacer esto, pe-
55.5 Flujo turbulento en ductoc 189
Figura 5.13 Distribución de velocidad adimensional para flujo turbulento en tubos circulares, presentada como u+ = Ü,/v. y+ = yv.p/p, donde v. = V r o / py 70 es eI esfuerzo cortante de pared. Las curvas sólidas son las sugeridas por ~ i n ; Moulton y Putnarn [Ind. Eng. Chem., 45,636-&10 (1953)J:
b s datos experimentales son de J. Nikuradse para agua (O) [VDiForcchungsheft,H356 (1932)l; Reichardt y Motzfeld para aire (a);Reichardt y Schuh para aire (A) [H. Reichardt, NACA Tecb. Mem. 1047 (1943)l; y R.R. Rothfus, C.C. Monrad y V.E. Senecal para aire (A) llnd. Eng. Chem., 42,2511-2520 (195011.
ro se ha encontrado que al integrar el perfil logarítmico de la ecuación 5.3-4(o el perfil de la ley de potencias de la ecuación 5.3-6)sobre toda la sección transversal, se obtienen resultados que tienen aproximadamente la forma correcta. Para el perfil logarítmico se obtiene
Si esto se compara con datos experimentales de velocidad de flujo contra caída d e presión, se encuentra que es posible obtener una buena concordancia a1 cambiar 2.5 por 2.45 y 1.75 por 2.0.Este "artilugio" con las constantes quizá no sería necesario si la integración sobre la sección transversal se hubiese realizado usando la expresión local para la velocidad en las diversas capas. For otra parte, hay algo de ventaja en contar con una relación logarítmica simple como la ecuación 5.5-1 para describir la caída de presión contra la velocidad de flujo. De manera semejante, el perfil de la ley de potencias puede integrarse sobre toda la sección transversal para obtener (véase la referencia 4 de 55.3)
donde cu = 3/(2 ln Re). Esta relación es útil sobre el intervalo 3.07 X lo3 < Re < 3.23
X
lo6.
190 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
~ J ~ ~ ~ $ ~ Demostrar $ ; $ cómo ~ Flas ecuaciones ~ 5.44 y 5.4-5 pueden usarse para describir flujo turbulento en +
=
Aplicación de la fórmula de longitud de mezcla de Prandtl a flujo turbulento en un tubo circular
un tubo circular. SOLUCIÓN Para el flujo impulsado de manera estable en un tubo circular, la ecuación 5.2-12 proporciona
donde 7 ,= Y(:: + 72. Sobre casi todo el tubo la contribución viscosa es bastante pequeña; aquf la despreciamos por completo. Así, al integrar la ecuación 5.5-3 se obtiene
donde T~ es el esfuerzo cortante de pared y y = R - r es la distancia desde la pared del tubo. Según la teona de ia longitud de mezcla en la ecuación 5.4-4, con la expresión empírica de la ecuación 5.4-5, para @ / d r negativa se tiene
Al sustituir esto en la ecuación 5.54 se obtiene una ecuación diferencial para la velocidad con ajuste de tiempo. Si se sigue a Prandtl y se extrapola la subcapa inercia1 a la pared, entonces en la ecuación 5.5-5 es correcto reemplazar 7: por 70. Una vez que se hace lo anterior, es posible integrar la ecuación 5.5-5 para obtener
v* VZ = - In y
+ constante
(5.5-6)
Kl
Por tanto, se obtiene un perfil logarítmico y entonces pueden usarse 10s resultados del ejemplo 5.5-1; es decir, la ecuación 5.5-6 puede aplicarse como una aproximación bastante burda sobre la totalidad de la sección transversal del tubo.
Determinar la razón p(f)/Fen y = R / 2 para agua que circula a velocidad constante en un tubo largo, redondo, liso en las siguientes condiciones:
viscosidad y la viscosidad de remolino
R = radio del tubo = 3 pulg = 7.62 cm T~
p v
= esfuerzo cortante
-
de pared = 2.36 X
Ibf/pulg2 = 0.163 Pa
densidad = 62.4 l ! ~ , / ~ i e s=~1000 kg/m3
=viscosidad cinemática = 1.1 x
pies2/s = 1.02 x
m2/s
La expresión para la densidad de flujo de cantidad de movimiento con ajuste de tiempo es
g5.6
Flujo turbulento en chorros
191
Este resultado puede resolverse para p ( ' ) / py el resultado puede expresarse en términos de variables adimensionales:
donde y+ = yv,p/p y u+ = Ü,/v,. Cuando y = R/2, el valor de y+ es
Para este valor de y+, la distribución logarítmica en el pie de la figura 5.5-3 da
Al sustituir lo anterior en la ecuación 5.5-8 se obtiene
Este resultado recalca que, lejos de Ia pared del tubo, el transporte moIecuIar de cantidad de movimiento es despreciable en comparación con el transporte de remolino.
$5.60 FLUJO TURBULENTO EN CHORROS
En la sección anterior analizamos el flujo en ductos, como tubos circulares; estos flujos son ejemplos d e turbulencia en la pared. Otra clase importante d e flujos turbulentos es la turbulencia libre, y los ejemplos más importantes de estos flujos s o n los chorros y las estelas. La velocidad con ajuste de tiempo e n estos tipos d e flujos pued e describirse idóneamente usando la expresión de Prandtl para la viscosidad d e remolino dada e n la ecuación 5.4-3, o usando la teoría d e longitud d e mezcla d e Prandtl con el empirismo proporcionado e n la ecuación 5.4-6. Ya que el primer método es más simple, lo usaremos e n e1 siguiente ejemplo ilustrativo.
'On
@justede
tiempo en pared circula$-4
Un chorro de fluido emerge de un orificio circular hacia un depósito semiinfinito del mismo fluido, como se muestra en la figura 5.6-1. En la misma figura se indica aproximadamente cómo se espera que sean los perfiles de la componente z de velocidad. Es de esperar que para varios valores de r 10s perfiles sean semejantes en cuanto a forma, y que sólo difieran por un factor de escala para distancia y velocidad. También podernos imaginar que a medida que el
'H . Schlichting, Boundury-hyer Thfoy, McGraw-Hill, Nueva York, 7a. edición (1979), pp. 747-750. A.A. Tomscnd, The Struclure of Turbulent Sheur Flm,Cambridge University Press, 2a. edición (19761, capítulo h J.0.Hinze, Turbulence, McGraw-I-Iill, Nueva York, 2.3. edición (1975),capitulo 6. S. Goldstein, Modern Developmmtc in Fluid Dy?~nmics,Oxford University Press (1938), y reimpresión dc Dorer (1963, pp. 592-597.
'
192 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en fluio turbulento rigura 5.6-1
Chorro circular que sale de una pared plana.
z)
Orificio circular ---,
chorro se mueve hacia afuera, crea un influjo radial neto que arrastra algo del fluido circundante. Se desea encontrar la distribución de velocidad con ajuste de tiempo en el chorro y también la cantidad de fluido que cruza cada plano de z constante. Antes de trabajar en la solución, quizá convenga revisar la información sobre chorros que se proporciona en la tabla 5.1-1.
v,,,,
-
Para utilizar la ecuación 5.4-3 es necesario saber cómo b y - v,,,~, varían con z para el chorro circular. Sabemos que la velocidad de flujo de cantidad de movimiento J total en la dirección~es la misma para todos los valores de z. Suponemos que la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo es mucho mayor que la densidad d e flujo de cantidad de movimiento viscoso. Esto permite postular que el ancho b del chorro depende de J, de la densidad p y de la viscosidad cinemática v del fiuido, así como d e la distancia z corriente abajo que hay hasta la pared. La única combinación d e estas variables que tiene las dimensiones de longitud es b U J Z / ~ $ , de modo que el ancho de1 chorro es proporcional a z. A continuación postulamos que los perfiles de velocidad son "semejantes"; es decir, U ', -vz,máx
- f (8)
donde 4 =
r -
b(z)
la cual parece una proposición admisible; aquí E,, es la velocidad a lo largo de la Iínea central. Cuando esto se sustituye en la expresión para la velocidad de flujo de cantidad de movimiento en el chorro (despreciando la contribución de TIX)
se encuentra que = 2npb2G:mhI~f2@[ = constante ~
~
b
~
i
7
~
,
~(5.63)
Debido a que J no depende de z y como b es proporcional a z, entonces ÜZrmgxdebe ser inversamente proporcional a z. El término E,, en la ecuacióii 5.4-3 ocurre en el borde exterior del chorro y es igual a cero. Por consiguiente, debido a que b a z y v,,i, x z-l, a partir d e la ecuación 5.4-3 se encuentra que h([)es una constante. Por tanto, podemos usar las ecuaciones de movimiento para flujo laminar y reemplazar la viscosidad p por la viscosidad d e remolino p(t)o v por vi'). En el chorro, el movimiento principal es en la dirección z; es decir, /Er<< IüZI.Por tanto, podemos usar una aproximación de capa limite (véase 54.4) para las ecuaciones de variacibn con ajuste de tiempo y escribir continuidad:
g5.6
Flujo turbulento en chorros
193
movimiento: Estas ecuaciones deben resolverse con las siguientes condiciones límite:
La ÚItima condición límite se cumple automáticamente, en virtud de que ya se ha encontrado que Zz,max es inversamente proprcional a z. Ahora buscamos una solución de la ecuación 5.6-5 de la forma de la ecuación 5.6-1 con b = 2 . Para no tener que trabajar con dos variables dependientes, introducimos la función de coniente como se analizó en 54.2. Para flujo axialmente simétrico, la función de corriente se define como sigue:
Esta definición asegura que la ecuación de continuidad en la ecuación 5.6-4 se cumple. Como sabemos que 5, es z-1 x alguna función de 6, entonces a partir de la ecuación 5.6-9 se deduce que debe ser proporcional a z. Además, las dimensiones de $ deben ser las de (velocidad) X ( l o n g i t ~ d )y~por , tanto la función de comente debe tener Ia forma
donde F es una función adimensional de 5 = r/z. A partir de las ecuaciones 5.6-9 y 5.6-10 se obtiene entonces
Las dos primeras condiciones límite pueden volver a escribirse ahora como
Si F se expande en una serie de Taylor alrededor de 6 = 0,
-
entonces la primera condición límite da a = O, y la segunda da b d = O. Dentro de poco usaremos este resultado. Al sustituir las expresiones para la velocidad de las ecuaciones 5.6-12 y 5.6-13 en la ecuación de movimiento en la ecuación 5.6-5, se obtiene entonces una ecuación diferencial de tercer orden para F,
Lo anterior puede integrarse para obtener FF' F' -=p--+c,
4
4
(5.6-18)
194 Capítulo 5 Distribuciones de velocidad en ffujo turbulento donde la constante de integración debe ser cero; esto puede verse usando la serie de Taylor en la ecuación 5.616 junto con el hecho de que a, b y d, las tres, son cero. Schlichting fue quien resolvió por primera vez la ecuación 5.6-la.5Primero se cambia la variable independiente al hacer 6 = ln P. La ecuación diferencial de segundo orden que resulta s61o contiene a la variable dependiente y sus dos primeras derivadas. Ecuaciones de este tipo pueden resolverse por métodos elementales. La primera integración da
Una vez más, conociendo el comportamiento de F cerca de 6 = O, concluimos que la segunda constante de integración es cero. Así, la ecuación 5.6-19 es una ecuación diferencial de primer orden de variables separables, que puede resolverse para obtener
donde Cg es la tercera constante de integración. Luego, al sustituir lo anterior en las ecuacie nes 5.6-12 y 5.6-13 se obtiene
Una vez que la expresión anterior para E, se sustituye en la ecuación 5.6-2, se obtiene una expresión para la tercera constante de integración en términos de J:
Entonces, las tres últimas ecuaciones proporcionan los perfiles de velocidad con ajuste de tiempo en términos de J, p y v"). Una cantidad mensurable en flujo de chorros es la posición radial correspondiente a una velocidad axial igual a la mitad del valor en la línea central; esta cantidad se denomina se miancho b1,2. Así, a partir de la ecuación 5.6-21 se obtiene
Resultados experimentales indican6 que bl,2 = 0.0848~.Cuando este valor se inserta en la ecuación 5.6-24, se encuentra que C3 = 15.1. Usando este valor podemos obtener la viscosidad turbulenta u(') como una función de J y p a partir de la ecuación 5.6-23. En la figura 5.6-2 se observa una comparación entre el perfil de velocidad axial antes mencionado y datos experimentales. También se muestra la curva calculada obtenida a partir de la teoría de longitud de mezcla de ~ r a n d t lParece .~ que ambos métodos proporcionan ajustes de curvas razonablemente buenos de los perfiles experimentales. El método de la vi^cosidad de remolino parece ser algo mejor en la vecindad del máximo, mientras que los sultados de la longitud de mezcla son mejores en la parte exterior del chorro. Una vez que se conocen los perfiles de velocidad, es posible obtener las líneas de comente. A partir de éstas, las cuales se muestran en la figura 5.6-3, puede verse cómo el chorro atrae
*
WH. Schlichting,Zeits. f. angew. Math. u. Mech., 13,260-263 (1933). H. Reichardt, VD1 Forschungsheft, 414, (1942).
'W.Toilmien, Zeits. f . n n g w . Math. u. Mcch., 6,468-478 (1926).
55.6 Flujo turbulento en chorros
195
5.6-2 Distribución de velocidad en un chorro circular en flujo turbulento [H. Schlichting, Boundq-LnyPr Tkory, McGraw-Hill, Nueva York, 7a. edición (1979), figura 24.91. El cálcuIo de la viscosidad de remolino (curva 1) Y el cálculo de la longitud de mezcla de PrandB (curva 2) se comparan con las mediciones de H. Reichardt [VDIForschungsheft, 414 (1942),2a. edición (1951)l. S. Corrsin ['Turbulence: Experimental Methods", en Handbuch d g Physik, Vol. VIII/2, Springer, Berlín (19631 cita mediciones adicionales realizadas por otros.
$&a
fluido de la masa de fluido circundante. Por tanto, la masa del fluido arrastrada por el chorro aumenta con la distancia desde la fuente. Esta velocidad d e flujo másico es
Este resultado corresponde a u n elemento d e Ia tabla 5.1-1. Los dos chorros bidirnensionales que salen d e una rendija delgada pueden analizarse de manera semejante. Sin embargo, en ese problema la viscosidad turbulenta es una función d e la posición.
Figura 5.6-3 Patrón de líneas de corriente en un chorro circular en fIujo turbulento [H. Scklichting, BoundaryLayer Theory, McGraw-Hill, Nueva York, 7a. edición (1979}, figura 24.101.
196 Capítulo 5
1
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
1. Comparar y contrastar los procedimientos para resolver problemas de flujo laminar y flujo turbulento. 2.
¿Por qué no debe usarse la ecuación 5.4-1 para evaluar el gradiente de velocidad en el limite dido?
3. ¿Quéda el perfil logarítmico de la ecuación 5.34 para la velocidad del fluido en la pared? ¿por qué esto no crea ningún problema en el ejemplo 5.5-1 cuando e! perfil logarímiico se in-
tegra sobre la sección transversal del tubo? 4. Analir la interpretaci6n física de cada término en la ecuación 5.2-12. 5. if or qué se usa el signo de valor absoluto en la ecuación 5.4-4? ¿Cómo se elimina éste en la ecuacibn 5.55?
6. En el ejemplo 5.6-1, ¿cómo se sabe que el flujo de cantidad de movimiento a través de cual. quier plano de z constante es una constante? ¿Puede imaginar el lector una modificación de] problema del chorro en que ese no sea el caso? 7. Investigar en algunos volúmenes de Ann. Reus. Fluid Mech.
y resumir los tópicos que se en-
cuentren sobre flujo turbulento. 8. En la maci6n 5.3-1, ¿por qué se investiga la dependencia funcional del gradiente de velo&
dad en vez de la velocidad en si? 9. ¿Por qué la turbulencia constituye un tema tan difícil?
PROBLEMAS
5A.1 Caída de presión necesaria para la transición laminar-turbulento. Un fluido con viscosidad 18.3 cp y densidad 1.32 g/cm3 circula en un largo tubo horizontal de radio 1.05 pulg (2.67. cm). ¿Para qué gradiente de presión el flujo se vuelve turbulento?
Respuesta: 26 psi/mi (1.1
X
lo5 Pa/ km)
5 k 2 Distribución de velocidad en flujo turbulento en un tubo. En un tramo largo de un tubo hd rizontal recto de radio interior liso igual a 6.00 puIg circula agua a una temperatura de 68'4 El gradiente de presión a b largo de la iongihid del tubo es 1.O psi/mi. i
a) Determinar el esfuerzo cortante de pared T~ en psi (lbf/pulg2) y en Fa.
b) Suponer que el flujo es turbulento y determinar las distancias radiales desde la pared del t ~ b o a l a s q u e ~ ~=0.0,0.1, / Ü ~ , ~ ~0.2,0.4,0.7,0.85,1.0. ~ c) Graficarel perfil de velocidad completo, 5,/
UZrmix contra y = R - r.
d) ¿Está justificada la suposición de flujo turbulento?
i
e) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico?
5B.1 Velocidad media de flujo en flujo turbulento en un tubo. a) Para el flujo turbulento en tubos circulares lisos, la función' A= -u
'Dz, máx
(l-i)""
' H. Schlichting, Eoundary-Layrr Theory, McGraw-HiU, Nueva York,7a. edición (1979).pp. 59&500.
1
1
4
(5~.1-d
3
Problemas 197 algunas veces es útil para fines d e ajuste de curvas: cerca de Re = 4 x lo3, n = 6; cerca de Re = 1.1 x 205, n = 7; y cerca de Re = 3.2 X lo6, ti = 10,Demostrar que la razón de la velocidad media a la velocidad mlxirna es
y verificar el resultado en la ecuación 5.1-5. b) Trazar e1 perfil logarítmico en la ecuacibn 5.3-4 como una funcibn de r cuando se aplica a un tubo circular de radio R. Luego, demostrar cómo puede integrarse esta hincibn sobre la sección transversal de1 tubo a fin de obtener la ecuación 5.5-1. Enumerar todas ¡as suposiciones que se hayan hecho para obtener este resultado.
58.2 Velocidad de flujo másico en un chorro circular turbulento. a) Verificar que las distribuciones de velocidad en las ecuaciones 5.6-21 y 5.6-22 efectivamente satisfacen las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite.
b) Verificar que la ecuación 56-25 se concluye a partir de la ecuación 5.6-21. 5B.3
La expresión de viscosidad de remolino en la subcapa viscosa. Verificar que la ecuación 5.4-2 para la viscosidad de remolino proviene directamente de la expresión para la serie de Taylor en la ecuación 5.3-13.
5C.Z
Chorro turbulento bidirnensional. Un chorro de fluido a l e de una ranura perpendicular al plano xy y emetge en la dirección z hacia un medio semiinfinito del mismo fluido. El ancho de la ranura en la dirección y es W. Seguir d patidn del ejemplo 5.6-1 para encontrar los perfiles de velocidad con ajuste de tiempo en el sistema. a)
SupBnganse los perfiles semejantes
rVz/Er,máx = P.$)
con 6 = r / z
Demostrar que d.enunciado de la conservación de cantidad de movimiento lleva a concluir que la velocidad en la línea central debe ser proporcional a z-'12. b) Introducir una funci6n de corriente IJ tal que E, = - d + / d x y Ex = -+ d $ / d z . Demostrar que el resultado en el inciso a) junto con consideraciones dimensionales llevan a la siguiente for-
ma para 9:
Aquí F(6) es una función de corriente adirnensional, que será determinada a partir de la ecuación de movimiento del fluido y J es el fiujo de cantidad de movimiento total, que se define de manera análoga a como se hizo en la ecuación 5.6-12. C) Demostrar que la ecuación 5.4-3 y consideraciones dimensionales llevan a la siguiente forma para la viscosidad cinemática turbulenta:
Aquí A es una constante adimensional que debe determinarse experimentalmente.
d) Volver a escribir la ecuación de movimiento para el chorro usando la expresión para viscosidad cinemática turbulenta del inciso c) y la función d e corriente del inciso b). Deinastrar que esto lleva a la siguiente ecuación diferencial:
Por razones de conveniencia, se introduce una nueva variable
198 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento
y se vuelve a escribir la ecuación 5C.1-4. e) Despues, verificar que las condiciones límite para la ecuación X.l-4 son F ( 0 ) = O, FW(O) O y F1(m) = O. f ) Demostrar que la ecuación 5C.1-4 puede integrarse para obtener
2FF' - F" = constante
(5C.16)
y que las condiciones límite requieren que la constante sea cero. g) Demostrar que al integrar una vez más se obtiene
donde C es una constante de integración.
h) Demostrar que otra integraci6n lleva a F = -C tanh Cq
(5C.1-8)
y que a partir de esto puede encontrarse que la velocidad axial es
i) Luego, demostrar que al escribir la velocidad axial en la expresión para la cantidad de movimiento total del chorro se llega al valor C = 6 para la constante de integración. Volver a escribir la ecuación 521-9 en términos de A, en vez de hacerlo para C. El valor de h = 0.0102 proporciona una buena concordancia con los datos experimenta le^.^ Se cree que esta coincidencia es ligeramente mejor que la correspondiente para el empirismo de la longitud de mezcla de Prandtl. j) Demostrar que la velocidad de flujo másico a través de cualquier plano z = constante está dada por
5C.2 Flujo turbulento axial en un anillo. Un anillo está limitado por paredes cilíndricas en r = aR y r = R (donde a < 1). Obtener expresiones para los perfiles de velocidad turbulentos y la v e locidad de flujo másico. Aplicar el perfil logarítmico de la ecuación 5.3-3 para el flujo en la vecindad de cada pared. Suponer que la ubicación del máximo de la velocidad ocurre sobre la misma superficie cilíndrica r = bR que se encontró para el flujo anular laminar:
Perfiles de velocidad medidos sugieren que esta suposición para b es razonable, por lo menos para altos números de R e y n ~ l d sSupóngase .~ además que K en la ecuación 5.3-3 es la misma para las paredes interna y externa. H.Schüchting, Boundaryhyer Theoy, McGraw-Hill, Nueva York, 4a. edición (19M)), p. 607 y figura 23.7. 9 , G . Knudsen y D.L. Katz, Fluid Dynamics and Hcat Transfer, McCraw-HiU, Nueva York (1958);R.R. Rothhis (1948), J.E. Walker (1957) y G.A. Whan (1956),tesis doctoral, Carnegie lnstitute of Technology (ahora Carnegie-MeUon University),Pittsburgh, Pa.
Problemas 199 a) Demostrar que la aplicación directa de la ecuación 5.3-3 lleva inmediatamente a los siguientes perfiles de velocidad4en la región r < bR (designada por <) y r > bR (designada por >):
->
v*> donde v.,
=
'
(R-r)v> ln(+)
+ A>
donde v l = v - * G
=v(y0- PL)R/2Lp.
b) Obtener una relación entre Ias constantes A < y A' requiriendo que la velocidad sea continua en r = bR. c) Usar los resultados del inciso b) para demostrar que la velocidad d e flujo másico a través
del anillo es
donde B es
5C.3 Inestabilidad en un sistema mecánico simple (figura 5C.3). Un disco gira con velocidad angular constante a. Por arriba del centro del disco, una esfera de masa m est5 suspendida de una varilla sin masa de longitud L. Debido a la rotación del disco, la esfera experimenta una fuerza centrífuga y la varilla forma un ángulo 9 con la vertical. Hacer un balance de fuerzas sobre la esfera para demostrar que
a)
¿Qué ocurre cuando Cl tiende a cero?
b) Demostrar que, si 0 está por debajo de algún vaIor de umbral Qumbral, entonces el ángulo 0 es cero. Por arriba del valor de umbral, demostrar que hay dos valores admisibles para 13.Explicar lo anterior con un esquema cuidadosamente trazado de 0 contra 0.Por arriba de Qumbral, marcar las dos curvas esfable e inestable.
Masa de la esfera = m cii3
a
'
Figura SC.3 Sistema mecánico simpIe para ilustrar conceptos en estabilidad.
W.Tiedt, Berechnung des laminaren u. turbulenten Reibungswidersfandes konzentrischer u. exzenfrischer Ringspalten, Technischer Bericht Nr. 4, Inst. f. Hydraulik u. Hydraulogie, Technische Hochschule, Darmstadt (1968); D.M. Meter y R.B. Bird, AlChE Joumal, 7,41-45 (1961) hicieron el mismo análisis usando la teoría de longitud de mezcla de Prandtl.
200 Capítulo 5
Distribuciones de velocidad en flujo turbulento En los incisos a) y b) sólo se consideró la operación del sistema en estado estacionario. Lu+ go, demostrar que la ecuación de movimiento para la esfera de masa m es C)
d28 (5C.52) 0 dt2 Demostrar que para operación de estado estacionario lo anterior lleva a la ecuación 32.3-1. Ahora se desea usar esta ecuación para realizar un análisis de estabilidad de pequeña amplitud. Sea e = O. + 01, donde e, es una solución de estado estacionano (independiente del tiempo) y 8, es una perturbación muy pequeña (dependiente del tiempo). d) Primero se considera la rama inferior del inciso b), que es O. = O. Luego sen O = sen O1 = 0, y cos 8 = cos 19, = 1, de modo que la ecuación 5C.3-2 se convierte en
mL-=rnR2~ seno cos o-mgsen
Ahora se intenta una oscilación de pequeña amplitud de la forma O, = A% (e-'"') y se encuentra que
Luego se consideran dos casos: i) Si R2< g/L,ambas o+ y w- son reales y por tanto O1 oscila; esto indica que para R2< g/L el sistema es estable. ii) Si R2 > g/L, la raíz w+ es imaginaria positiva y e-d crecerá indefinidamente con el tiempo; esto indica que para fi2 > g / L el sistema es inestable respecto a perturbaciones infinitesimales. e) Luego se considera la rama superior del inciso b). Hacer un análisis semejante al del inciso d). Establecer la ecuación para 8, y eliminar términos en el cuadrado de 8, (es decir, linealizar la ecuación).Intentar de nuevo una solución de la forma O1 = A %(e-iwtt.Demostrar que la rama superior del sistema es estable respecto a perturbaciones infinitesimales. f) Relacionar el análisis anterior, que es para un sistema con un grado de libertad, con el problema de la transición laminar-turbulentopara el flujo de un fluido newtoniano en el flujo entre dos cilindros que giran en direcciones opuestas. Leer el análisis de Landau y Lifshitz5 sobre esta cuestión. 5D.1 Deducción de la ecuación de variación para los esfuerzos de Reynolds. Al final de 55.2 se indicó que existe una ecuación de variación para los esfuerzos de Reynolds. Ésta puede deducirse: a) multiplicando por u'1 la i-ésirna componente de la forma vectonal de la ecuación 5.2-5 y ajustando respecto al tiempo, b) multiplicando por vi la j-ésima componente de la forma vectorial de la ecuación 5.2-5 y ajustando respecto al tiempo, y c) sumando los resultados de los incisos a) y b). Demoshar que al final se obtiene
D-7- p-v'v Dt
-,+v.VY]-P(V;V;.
v~jt-~{v-yiV>VI]
Para este desarrollo se necesitarán las ecuaciones 5.2-10 y 5.2-11. 5D.2 Energía cinética de la turbulencia. Al tomar la traza de la ecuación 5D.1-1, obtener lo siguiente:
Interpretar la e~uación.~ S
L. Landau y E.M. Lifshitz,Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford, 2a. edición (1987).5526-27. H. Tennekes y J.L. Lumley, A Firsl Course in Turbulence, MIT Pms, Cambridge, Mass (1972).s3.2.
Capítulo 6
Transporte de interfase en sistemas isotérmicos $6.1
Definición de factores de fricción
56.2
Factores de fricción para flujo en tubos
96.3
Factores de fricción para flujo alrededor de esferas
56.4"
Factores de fricción para columnas de relleno
En los capítulos 2 a 4 mostramos la forma en que es posible plantear y. resolver problemas de flujo laminar. En e1 capítulo 5 presentarnos algunos métodos para resolver probiemas de flujo turbulento por razonamientos dimensionales o por relaciones semiempíricas entre la densidad de flujo de cantidad de movimiento y el gradiente de la velocidad con ajuste de tiempo. En este capitulo mostraremos cómo es posible resolver problemas de flujo por medio de una combinacibn de análisis dimensional y datos experimentales. La técnica que aquí se presenta se ha utilizado ampliamente en ingeniería química, mecánica, aeronáutica y civil, y es de utilidad para resolver muchos problemas prácticos. Se trata de un tópico que merece la pena aprenderlo bien. Muchos problemas de ingeniería pueden clasificarse en dos grandes categorías: flujo en canales y flujo alrededor de objetos sumergidos. Ejemplos de flujo en canales son el bombeo de petróleo a Io largo de tuberías, el flujo de agua en canales abiertos y la extrusión de plásticos a través de troquel. Ejemplos de flujo alrededor de objetos sumergidos son el movimiento de aire alrededor de las alas de un avión, el movimiento de fluido alrededor de partículas que experimentan sedimentación y el flujo a través de un banco de tubos en intercambiadores de calor. En el flujo en canales el objetivo principal suele ser la obtención de una relación entre la velocidad volumétrica de flujo y la caída de presión y/o el cambio de elevación. En problemas que implican flujo alrededor de objetos sumergidos, la información que se desea es por regla general la relación que hay entre la velocidad del fluido que se aproxima y la fuerza de resistencia sobre el objeto. En los capítulos anteriores hemos visto que, si se conocen las distribuciones de velocidad y de presión en el sistema, entonces pueden obtenerse las relaciones que se buscan y r . ~estos dos casos. La deducción de la ecuación de Hagen-Poiseuille en 52.3 y la deducción de la ecuación de Stokes en $2.6 y 54.2 ilustran las dos categorías que estamos analizando aquí. Para muchos sistemas no es posible calcular fácilmente los perfiles de velocidad y de presión, en particular si el flujo es turbulento o si la geometría es complicada. Uno de estos sistemas es el flujo a través de una columna de relleno; otro, el flujo en un tubo de forma helicoidal. Para dichos sistemas podemos con-
202 Capítulo 6
Transporte de interfaseen sistemas isotéxmicos siderar datos experimentales cuidadosamente elegidos y luego establecer "correlaciones" de variables dimensionales que pueden usarse para estimar el comportamiento del flujo en sistemas geométncamente semejantes. Este método se basa en 53.7. Empezamos en 56.1 con la definición de "factor de fricción", y luego en s6.2 y @.3 mostramos cómo construir diagramas de factores de fricción para flujo en tubos cinlares y flujo alrededor de esferas. Éstos son dos sistemas que ya hemos estudiado y de hecho, muchos resultados de capítulos anteriores se incluyen en estos diagramas. Por último, en 56.4 examinamos el flujo en columnas de relleno a fin de ilustrar el tratamiento de un sistema geométricamente complicado. En este capítulo no se incluye el problema más complicado de lechos fluidificados por los que circula un fluid0.l
Consideramos el flujo impulsado de manera estacionaria de un fluido de densidad constante en uno de dos sistemas: a) el fluido circula en un conducto recto de sección transversal uniforme; b) el fluido circula alrededor de un objeto sumergido que tiene un eje de simetría (o dos planos de simetría) paralelo a la dirección del fluido que se aproxima. Hay una fuerza Ff,, ejercida por el fluido sobre las superficies sólidas. Es conveniente separar esta fuerza en dos partes: F,, la fuerza que ejercería el fluido aun si fuera estacionario; y Fb la fuerza adicional asociada con el movimiento del fluido (véase 52.6 para el análisis de Fs y Fk para flujo alrede dor de esferas). En sistemas del tipo a), Fk apunta en la misma dirección que la velo-cidad media (v) en el conducto, y en sistemas del tipo b), Fk apunta en la misma dirección que la velocidad de aproximación v,. Para ambos tipos de sistema afirmamos que la magnitud de la fuerza Fk es proporcional a un área característica A y a una energía cinética característica K por unidad de volumen; así,
-
Fk AKf
(6.1-1)'
donde la constante de proporcionalidad f se denomina factor de fricción.Nótese que la ecuación 6.1-1 no es una ley de dinámica de fluidos, sino sólo una definición def Esta definición es útil, ya que la cantidad adimensional f puede proporcionarse como una función ~elativamentesencilla del número de Reynolds y de la forma del sistema. Resulta evidente que para cualquier sistema de flujo dado, f no está definido sino hasta que se especificanA y K. Ahora veamos cuáles son las definiciones de costumbre:
R . Jadean,The Dynnmics of Fluidized Beds, Cambridge University Press (2000). Para sistemas que carecen de simetría, el fluido ejerce tanto una fuerza como un momento de torsión sobre el sólido. Para análisis de estos sistemas, véase J. Happel y H. Brenner, Low Reynolds Nurnber Hydmdynamics, Martinus Nijhoff, La Haya (1983b capitulo 5;H. Brenner, en Adv. Chem. Engr., 6,287-438 (1966); S. Kim y S. J. Karrila, Microhydrdynamics: Principies and Selected Applimtions, Butterworth-Heinemann,Boston (1991), capítulo 5.
s6.1 Definición de factores de fricción
203
a) Para flujo en conductos, A suele considerarse como la superficie mojada y K como ' í p ( ~ )Específicamente, ~. para tubos circuIares de radio R y longitud L, definimos f por
Por regla general, la cantidad medida no es Fk,sino más bien la diferencia de presión po - p~ y la diferencia en elevación ho - hL. Al efectuar un balance de fuerzas en el fluido entre O y L en la dirección del flujo se obtiene, para flujo totalmente desarrollado
Al eliminar Fk entre las dos últimas ecuaciones se obtiene entonces
donde D = 2R es el diámetro del tubo. La ecuación 6.1-4 muestra cómo calcular f a partir de datos experimentales. Algunas veces, la cantidad f se denomina factor de fricción de ~ a n n i n g . ~
b) Para flujo alrededor de objetos sumergidos, el área característica A suele tomarse como el área que se obtiene al proyectar el sólido sobre un plano perpendicular a la velocidad del fluido que se aproxima; la cantidad K se toma como +pvz, donde v, es la velocidad de aproximación del fluido a una gran distancia del objeto. Por ejemplo, para flujo alrededor de una esfera de radio R, definimos f por la ecuación
Esta definición de factor de fricción se debe a J. T. Fanning, A Practica1 Treatise on Hydraulic and Water Supply Enginrering, Van Nostrand, Nueva York, la. edición (1873, Ibava. edición (1906); el nombre "Fanning" se usa para evitar confusión con el "factor de ficción de Moody", que es más grande por un factor de 4 que el f usado aquí [L.F. Moody, Trans. ASME, 66,671-684 (1944)l. Si se usa la "velocidad de fricción" u, = d70/P = d(90 - 9~)R/2Lp, que se introdujo en 55.3, entonces la ecuación 6.1-4asume la forma
John Thomas Fanning (1837-1911) estudió arquitedura e ingeniería civil, fue oficial en la Guerra Civil y después d e ésta se destacó en la ingeniería hidráulica. La 14ava. edición de su libro A Practica1 Treatise on Hydraulic and VJater-Supply Engineering apareció en 1899. Para el movimiento de traslación de una esfera en hes dimensiones, puede escribirse aproximadamente
donde n es un vector en la dirección de v,. Véase el problema 6C.1.
204 Capítulo 6
Transporte de interface en sistemas isotérmicos De no ser posible medir Fk, entonces podemos medir la velocidad terminal de la esfera cuando cae a través del fluido (en ese caso, u, debe interpretarse como la velocidad terminal de la esfera). Para la caída en estado estacionario de una esfera en un fluido, la fuerza Fk simplemente es contrabalanceada por la fuerza de gravedad sobre la esfera menos la fuerza de flotación (cf. la ecuación 2.6-14):
Así, al eliminar Fkentre las ecuaciones 6.1-5 y 6.1-6 se obtiene
Esta expresión puede usarse para obtener f a partir de datos sobre la velocidad terminal. E1 factor de fricción que se usa en las ecuaciones 6.1-5 y 6.1-7 algunas veces se denomina coeficiente de resistencia y se le asigna el símbolo c ~ . Hemos visto que el "coeficiente de resistencia" para objetos sumergidos y el "factor de fricción" para el flujo en un canal se definen de la misma forma general. Es por ello que preferimos usar el mismo símbolo y el mismo nombre para ambos.
Ahora combinamos la definición de f en la ecuación 6.1-2 con el análisis dimensional de 53.7 para mostrar de qué debe depender f en este tipo de sistema. Consideramos una "sección de prueba" de radio interior R y longitud L, que se muestra en la figura 6.2-1, que transporta un fluido de densidad y viscosidad constantes a velocidad de flujo másico en estado estacionario. Se conocen las presiones 90y YLen los extremos de la sección de prueba. El sistema está en flujo laminar en estado estacionario o en flujo turbulento impulsado de manera estacionaria (es decir, flujo turbulento con gasto total en estado estacionario).En cualquier caso, la fuerza en la dirección z del fluido sobre Ia pared interior de la sección de prueba es
Presión
Presión
Figura 6.2-1 Sección de un tubo circular desde z = O hasta z = L para la discusión del análisis dimensional.
56.2
Factores de fricción para flujo en tubos 205
En el fIujo turbulento la fuerza puede ser una función del tiempo, no sólo debido a las fluctuaciones turbulentas, sino también a la ondulación de la capa límite desde la pared, que resulta en algunas distancias con grandes escalas de tiempo. En flujo laminar se entiende que la fuerza es independiente del tiempo. Al igualar las ecuaciones 6.2-1 y 6.1-2, se obtiene la siguiente expresión para el factor de fricción:
Luego introducimos las cantidades adimensionales de 53.7: ): = r/D, 2 = z/D, zl, = v,/(v,}, i = ( v , ) t / ~ , $ = (8- 90)/p(v,)Z,y Re = D ( v ~ ) ~Luego, / ~ . la ecuación 6.2-2 puede volver a escribirse como
Esta relación es válida para flujo laminar o turbulento en tubos circulares lisos. Se observa que para sistemas de flujo en 10s que la resistencia depende sólo de fuerzas viscosas (es decir, sin "resistencia de forma") el producto f Re es esencialmente un gradiente de veIocidad adimensional promediado sobre la superficie. Recuérdese ahora que, en principio, afi,/aY puede evaluarse a partir de las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9 junto con las condiciones límite1
'
>O
C.L. 1:
en; =
C.L. 2:
en2 = 0,
Y = 6,
(6.2-5)
C.L. 3:
enY=OyZ=O
@=O
(6.2-6)
2
ii = O
t
para
2
(6.2-4)
y condiciones iniciales apropiadas. El perfil de velocidad de entrada uniforme en la ecuación 6.2-5 es preciso, excepto muy cerca de la pared, para una boquilla bien diseñada y un sistema corriente arriba. Si las ecuaciones 3.7-8 y 3 Y 9 pueden resolverse con estas condiciones límite e iniciales a fin de obtener Y y 9,necesariamente las soluciones serían de la forma i; = +(P,
6, E,
2; Re)
9 =@(F, 8,2, i; Re) Es decir, la dependencia funcional de ir y 9 debe, en general, incluir a todas las variables adimensionales y al grupo adimensional que aparecen en las ecuaciones diferenciales. Ningún otro grupo adimensional entra vía las condiciones límite pre-
'
Aquí seguimos la práctica de costumbre de despreciar los términos ( J ~ / C ~ de ~ ~la ) V ecuación 3.7-9, con base en los argumentos de orden de magnihid como los que se proporcionaron en 54.4. Con estos términos eliminados, no se requiere ninguna condición iímite de salida sobre v.
206
Capihilo 6 Transportede interfase en sistemas isotérmicos Como una consecuencia de lo anterior, aüz/af debe depender en f o r m semejante de F, 8,2, i y Re. Cuando a 5, lar' se evalúa en Y = y luego se integra sobre 2 y 9 en la ecuación 6.2-3, el resultado depende sólo de 1, Re y L/D (esta última exprcaión aparece en el límite superior en la integración sobre 2). Por consiguiente, se Llega a la conclusión de que ftf) = f(Re, L/D, i), lo que, una vez que se promedia respecto al tiempo, se convierte en
el promedio respecto al tiempo se realiza sobre un intervalo suficientemente largo para incluir cualquier perturbación turbulenta a largo plazo. Entonces, el factor de fricción medido sólo depende del número de Reynolds y de la razón que hay de la longitud al diámetro. La dependencia de f respecto a L / D surge del desarrollo de la distribución de velocidad promediada respecto al tiempo a partir de su forma de entrada plana hacia perfiles más redondos a valores z corriente abajo. Este desarrollo ocurre dentro de una región de entrada, de longitud Le = 0.030 Re para flujo laminar o L, = 600 para flujo turbulento, más allá de donde la forma de la distribución de velocidad está "totalmente desarrollada". En el transporte de fluidos, la longitud de entrada suele ser una pequeña fracción del total; así, la ecuación 6.2-9 se reduce a la forma para tubos largos:
y f puede evaluarse experimentalmente a partir de la ecuación 6.1-4, que se escribió para flujo totalmente desarrollado en la entrada y en la salida. Las ecuaciones 6.2-9 y 6.2-10 son resultados útiles, ya que constituyen una guia para la representación sistemática de datos sobre caudal de flujo contra diferencia de presión para flujo laminar y turbulento en tubos circulares. Para tubos largos sólo se requiere una simple curva de f trazada contra la combinación simple ~ ( Z , ) p / pConsidérese . cuánto más simple es esto que graficar la caída de presión contra el caudal de flujo para valores separados de D, L, p y ,u, que es lo que hadan los no experimentados. Hay mucha información experimental de caída de presión contra caudal de flujo en tubos, y por tanto f puede calcularse a partir de datos experimentales por medio de la ecuación 6.1-4. Luego, f puede graficarse contra Re para tubos lisos a fin de obtener las curvas de trazo sólido que se muestran en la figura 6.2-2. Estas curvas sólidas describen el comportamiento laminar y turbulento para fluidos que circulan en tubos circulares, largos y lisos, Nótese que la curva laminar en eI diagrama del factor de fricción es simplemente una gráfica de la ecuación de Hagen-Poiseuille en 2.3-21. Esto puede verse al sustituir la expresión para (90 - 9t)de la ecuación 2.3-21 en la ecuación 6.1-4 y usando la relación w = p(Ü,)rR2; así se obtiene Re<2100 Re>2100
estable por lo general inestable
donde Re = D(&)p/p; ésta es exactamente la línea laminar de la figura 6.2-2.
56.2
Factores de fricción para flujo en hibos 207
Utilizando datos experimentales se han construido curvas turbulentas semejantes. También se dispone de algunas expresiones analíticas de ajuste de curvas. Por ejemplo, la ecuación 5.1-6 puede escribirse en Ia forma
que se conoce como fórmula de B l a ~ i u sLa . ~ ecuación 5.5-1 (con 2.5 reemplazado por 2.45 y 1.75 por 2.00) es equivalente a
que se conoce como f h u l a de Prandtl.3 Por último, de manera correspondiente a la ecuaci6n 5.5-2, se tiene
f =
2 ~7 donde Y
=
e3'2(& + 5a) 2Oa(a + 1)(a+ 2)
Número de Reynolds Re = D { Ü ) p / p
Figura 6.2-2 Factor de fricci6n para el flujo en un tubo (véase la definición de f en las ecuaciones 6.1-2 y 6.1-3. 1Curva.s de L.F.Moody, Trans. ASME, 66,671-684 (1944)según las presentan W.L. McCabe y J.C.Smith, Unit ~ e r a t i o n of c Chemical Engineering, MGraw-Hil1, Nueva York (1954.1
H. Blasius, Forschungurrbeiten ddes Ver Deutcch. Ing., núm. 131 (1913). L. Prandtl, Essentials of Fluid Dynamics, Hafner, Nueva York (1952),p. 165
208
Capítulo 6
Transporte de interfaseen sistemas isotérmicos
Y a = 3/(2 in Re). Se ha encontrado que esto representa bien los datos experimentales para 3.07 x 103 < Re < 3.23 x 106. La ecuación 6.2-14 se denomina fómula de Barenbl~tt.~ Otra relación, que incluye las curvas discontinuas para tubos rugosos en la figura 6.2-2, es la ecuación empírica de liaaland5
Se afirma5que esta ecuacibn es exacta dentro de un margen de 1.5%. Como puede verse en la figura 6.2-2, la resistencia de frotamiento al flujo aumenta con la altura, k, de las protuberancias. Por supuesto, k debe entrar a la correlación de manera adimensional y por tanto aparece a través de la relación k / D . Para flujo turbulento en tubos no circ~lareses común usar el siguiente empirismo: primero se define un "radio hidráulico medio" Rh como sigue:
donde S es la sección transversal del conducto y Z es el perímetro mojado. Luego puede usarse la ecuación 6.1-4 y la figura 6.2-2, con el diámetro D del tubo circular reemplazado por 4Rh. Es decir, se calculan diferencias de presión sustituyendo la ecuación 6.1-4 por
y obteniendof a partir de la figura 6.2-2 con un número de Reynolds que se define como Reh = 4Rh (v,)~
(6.2-18)
P
Para flujoslaminares en pasajes no circulares, este método es menos satisfactorio.
EJ~Mkiay$wl $ 4Qué gradiente de presión se requiere para hacer que la N , N - d i e t i l a d i ~C&~\I~C~HS)Z b ~ k - ~ fluya ~ enM un tubo~ circuldr ~horizontal. s liso de diámetro interior D = 3 cm a una velocidad ws&
Caziia depresión requerida para una velocidad de flujo dada
de materia de 1028 g/s a 20°c? A esta temperatura, la densidad de la dietilariilina es p = 0.935 g / m 3 y su viscosidad es p 1-95cp.
-- . -.
G.1. Ba~nblatt,Scaling, S~lf-similarit~, and Intermediare Asympfotics, Cambridge University FESS (19961,510.2. Haaland, Trans. ASME, JFE, 105, 89-90 (1983).Para ohos empirismos, véase D.J. Zigrang y N.D. Sylvester~
b u r ~ 28,514-515 k (1982).
56.2
Factores de fricción para flujo en tubos
209
SOLLICIÓN El número de Reynolds para el flujo es
A partir de la figura 6.2-2 se encuentra que para este número de Reynolds el factor de fricción f tiene un valor de 0.0063 para tubos lisos. Por tanto, el gradiente de presión necesario para mantener el flujo es (según la ecuación 6.1-4)
; J
.
EJEMPLO 6.2-2 .< ii .
Velocidad de flujo para una caída de presión dada
Determinar la velocidad de flujo, en libras por hora, de agua a 68°F que circula a lo Largo de 1000 pies de longitud de un tubo horizontal de acero schedule 40, de 8 pulg (diámetro interior de 7.981 pulg) bajo una diferencia de presión de 3.00 psi. Para este tubo, utilizar la figura 6.2-2 y suponer que k/D = 2.3 X lop4.
Queremos usar la ecuación 6.1-4 y la figura 6.2-2 para despejar (v,) cuando se conoce po - p ~ . Sin embargo, la cantidad (v,) aparece explicitamente en el miembro izquierdo de la ecuación e implícitamente en el miembro derecho en f, que depende de Re = D { U , ) ~ /Resulta ~. evidente que es posible encontrar una solución por prueba y error. No obstante, si es necesario hacer más de unos cuantos cálculos de (v,), es conveniente desarrollar un método sistemático; aquí sugerimos dos métodos. Debido a que los datos experimentales a menudo se presentan en forma gráfica, es importante que los estudiantes de ingenieria apliquen su originalidad para idear métodos especiales como los que se describen aquí. Método A. La figura 6.2-2 puede usarse para construir una gráfica6de Re contra el grupo Re fl,que no contiene a (v,):
La cantidad Re puede calcularse para este problema, y a partir de la gráfica de Re contra Re es posibIe leer un valor del número de Reynolds. Luego, a partir de Re es posible calcular Ia velocidad media y la velocidad de flujo.
Una gráfica relacionada h e propuesta por T. von Kármán, Nachr. Ges. Wiss. Uttingen, Fnchgruppen, 1, 5,58-76 (1930).
210 Capítulo 6
Transporte d e interfase e n sistemas isotérmicos
Método B. La figura 6.2-2 también puede usarse directamente sin necesidad de volver a graficar, si se inventa un esquema que sea equivalente a la solución gráfica de dos ecuaciones simultáneas. Las dos ecuaciones son (6.2-22)
curva dada en la figura 6.2 - 2
f = f(Re, k / D)
línea recta de pendiente -2 en la gráfica log- log se@n la ecuación 6.2-21 y luego Entonces, el procedimiento consiste en calcular Re trazar la ecuación 42-23 en la gráfica log-log d e f contra Re en la figura 6.2-2. El punto de intersección proporciona el número de Reynolds del flujo, a partir del que puede calcularse (E,). Para el problema en cuestión, tenemos
po - p~ = (3.00 1 b ~ / ~ u l ~ ~ ) 3(lbrn 2 . 1pie/s2)/Ibf(144 7 pulg2/pies2} = 1.39 x lo4 lbm/pie- s2 D = (7.981 pulg)(+ pie/pulg) = 0.665 pies L = 7000 pies p=
62.3 1bm/pies3
p = (1.03 cpN6.72 x =
6.93 X
lb,/pie
(lb,/pie
- s)/cp)
S
Luego, según la ecuación 6.2-21,
La línea de la ecuación 6.2-23 para este valor de Re pasa por f = 1.0 para Re = 1.63 x 104 y por f = 0.01 para Re = 1.63 X lo5.Al prolongar la recta por esos puntos hasta la curva de la figura 6.2-2 para k / D = 0.00023, se obtiene la solución d e las dos ecuaciones simultáneas:
Luego, al despejar w se obtiene
En esta sección usaremos la definición del factor d e fricción d e Ia ecuación 6.1-5 junto con el análisis dimensional d e $3.7 para d e t e r m i n a r el c o m p o r t a m i e n t o de f
%.3 Factores de fricci6n para flujo alrededor de esferas 211
para una esfera estacionaria en una corriente infinita de fluido que se aproxima con una velocidad en estado estacionario uniforme v,. En 52.6 y s4.2 ya hemos estudiado el flujo alrededor de una esfera para Re < 0.1 (la región del "flujo reptante"). Para números de Reynolds arriba de aproximadamente 1, en la estela de la esfera se presenta un importante movimiento de remolino no estacionario. Por consiguiente, es necesario realizar un promedio de tiempo sobre un intervalo de tiempo largo respecto a este movimiento de remolino, Recuérdese por 92.6 que La fuerza total que actúa en la dirección z sobre la esfera puede escribirse como la suma de una contribución de los esfuerzos normales (F,) y una de los esfuerzos tangenciales (Ft). Una parte de la contribución del esfuerzo normal es la fuerza que estaría presente incluso si el fluido fuese estacionario, Fs. Por tanto, la "fuerza cinética" asociada con el movimiento del fluido, es
Las fuerzas asociadas con la resistencia de forma y la resistencia de fricción se obtienen entonces a partir de
El término que contiene a dv,/M es cero porque u, es cero en todos los puntos de la superficie de la esfera. Si ahora separamos f en dos partes como sigue
entonces, por la definición en la ecuación 6.1-5, se obtiene 2
ftorm(f) =
27r
u
;ijo o (-qr=icos 8) sen e d o d*
Aquí, el factor de fricción se expresa en términos de variables adimensionales
y de un número de Reynolds definido como
Para evaluar f ( ? ) es necesario conocer 9 y bs como funciones de f, 8,
c$
y i.
212
Capítulo 6 Transportede interfase en sistemas isotémicos Se sabe que para flujo incompresible estas distribuciones pueden en principio obtenerse a partir de la solución de las ecuaciones 3.7-8 y 3.7-9 junto con las condiciones Umite
y alguna condición inicial apropiada sobre t.Debido a que ningún otro grupo adirnensional adicional entra a través de las condiciones límite e iniciales, sabemos que los perfiles adimensionales de presión y velocidad tendrán la siguiente forma:
@ = 9(F1 e, 4, i; Re)
+ = *(Y,
8,
4, i; Re)
(6.3-12)
cuando estas expresiones se sustituyen en las ecuaciones 6.3-5 y 6.3-6, resulta evidente que el factor de fricción de la ecuación 6.3-4 debe tener la forma f (fv) = f (Re, i), la cual, una vez que se promedia respecto al tiempo sobre las fluctuaciones turbulentas, se simplifica a
razonamientos semejantes a los de 56.2. Por tanto, a partir de la definición
del factor de fricción y la forma adimensional de las ecuaciones d e variaci6n y las ,-ondiciones %te, se encuentra que f debe ser una función sólo de Re. Existen muchas mediciones experimentales de la fuerza de resistencia sobre la esfera, y cuando éstas se grafican en forma adimensional, se obtiene la figura 6.3-1. Para este sistema no hay transición abrupta desde una curva de flujo laminar inestable a una curva de flujo turbulento estable como para tubos largos a un número de Reynolds de aproximadamente2100 (véase la figura 6.2-2).En vez de ello, a medida que aumenta la velocidad de aproximación, f varía de manera suave y moderada hasta números de Reynolds del orden de [email protected] pliegue de la curva alrededor Re = 2 x 1 6 está relacionado con el desplazamiento de la zona de separación de la capa lúnite desde enfrente hasta detrás del ecuador d e la esfera.' Hemos yuxtapuesto los análisis de flujoen un tubo y flujo alrededor de una esfera para recalcar el hecho de que varios sistemas de flujo se comportan en forma bastante distinta. A continuación se proporcionan varias diferencias entre los dos sistemas: Flujo en tubos e
Transición laminar-turbulentabastante bien definida para aproximadamente
Flujo alrededor de esferas
Transición laminar-turbulenta no bien definida
Re = 2100 La única conhibución a f es la resistencia de fricción (si los tubos son lisos)
No hay separación de capa límite
*Contribuciones a f debidas a la resistencia de fricción y a la resistencia de forma Existe un pliegue en la curva f contra Re asociado con un desplazamiento en la
zona de separación
1
R.K.Adair, Thp Physics of Baseball, Harper and Row, Nueva York (1990).
-
56.3 Factores de hcci6n para flujoalrededor de esferas 213
La forma general de las curvas en las figuras 6.2-2 y 6.3-1 debe recordarse con mucho cuidado. Para la región de flujo reptante, ya sabíamos que la fuerza de resistencia está dada por la ley de Stokes, que es una consecuencia d e resolver la ecuación de continuidad y la ecuación de movimiento de Navier-Stokes sin el término pDv/ Dt. La ley de Stokes puede reordenarse en la forma de la ecuación 6.1-5 para obtener
Por tanto, para flujo reptante alrededor de una esfera se tiene f =
24 para Re < 0.1 Re
y cuando Re + O, ésta es la línea recta asíntota a la curva del factor de fricción en la figura 6.3-1. Para valores más altos del número de Reynolds, la ecuación 4.2-21 puede describir a f con mucha exactitud hasta aproximadamente Re = 1. Sin embargo, la expresión empírica2 f =
(E+
0.54ln~
para Re < 6000
es sencilla y ÚtiI. Es importante recordar que f
0.44
para 5 X lo2 < Re < 1 X lo5
(6.3-17)
que cubre un intervalo extraordinario de números de Reynolds. Algunas veces la ecuación 6.3-17 se denomina ley de resistencia de Newton; es práctica hacer cáIculos rápidos. Según lo anterior, la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad de aproximación del fluido. Se han hecho muchas extensiones de la figura 6.3-1, pero realizar un estudio sistematico rebasa los alcances de este libro. Entre las cuestiones que se han investigado están los efectos de pared3 (véase el problema 6C.21, h caída de gotas minúsculas con circulación interna? la sedimentación obstruida (es decir, Ia caída de grupos de partículas5 que interfieren entre sí), el flujo no estacionario6 y la caída de partículas no esféri~as.~
F.F.Abraham, Physics of Fluids, 13,2194 (1970); M . Van Dyke, Physics of Fluids, 14,1038-1039 (1971). ].R. Strom y R.C.Kintner, AIChE Joumal, 4,153-156 (1958). L. Landau y E.M.Lifstiitz, Fiitid Mechonics, Pergamon, Oxford, 2a. edición (1987),pp. 65-66;S. H u y R.C. Kintner, AIChE Joumal, 1,4248(1955). 'C.E. Lapple, Fluid and Particle Mechanics, University of Delaware Press, Newark, Del. (1951), capítulo 13; R.F. Pmbstein, Physirochemical Hydmdyiiamics, Wiley, Nueva York, 2a. edición (1994). 55.4. R.R. Hughes y E.R. Gilliland, Chem. Eng. Prog., 48,497-504 (1952); L. Landau y E.M. Lifshitr, Fluid M~chanics, Pergamon, Oxfrd, 2a. edición (1987), pp. 90-91. E.S. Pettyjohn y E.B. Christiansen, C k m .Eng. Pmg., 44,147 (1948);H.A. Becker, Can. J. Chem. Eitg., 37,885891 (1959); S. Kim y S.J. Karriia, Micmhydrodyiinmics: Principies and Selected Applications, Butteworth-Heinemann. Boston (1991), capítulo 5.
214
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
hasta aproximadamente Re = 6
X
lo3
6
Número de Reynolds Re = Du- p/p F i g ~ 6.3-1 a Factor de fricción (o coeficiente de resistencia) para esferas que se mueven respecto a un fluido con una velocidad v,. La definición de f se proporciona en la ecuación 6.1-5. ICurva tomada de C.E. Lapple, "Dust and Mist Collection", en Chemical Engineers' Handbook U.H. Peny, comp.),McGraw-Hill, Nueva York, 3a. edición 1950, p. 1018.1
Determinación del diámetro de una esfera que desciende
En un experimento para estudiar los tiempos d e reacción humana haciendo mediciones con cronómetros y dispositivos más precisos, se dejarán caer esferas de vidrio d e densidad pesfera= 2.62 g/cm3 en tetraclomro d e carbono líquido a 20°C. A esta temperatura, las propiedades relevantes del CC4 son p = 1.59 g/cm3 y p = 9.58 milipoises. ¿Cuál debe ser el diámetro de las esferas para que la velocidad terminal d e éstas sea aproximadamente de 65 cm/s?
Para encontrar el diámetro de la esfera, es necesario despejar D en la ecuacidn 6.1-7. Sin embargo, en esta ecuación debe conocerse D para encontrar f; y f está dado por la curva de brazo sólido de la figura 6.3-1. Puede usarse un procedimiento d e prueba y error, tomando f = 0.44 como primer intento. De manera alternativa, en la ecuación 6.1-7 podemos despejar f y luego observar que f/Re es una cantidad independiente de D:
La cantidad en el miembro derecho puede calcularse con la información anterior, y le asignamos la letra C. Por tanto, hay dos ecuaciones simultáneas que resolver: f = C Re
de la ecuación 6.3-18
f
de la figura 6.3-1
= f(Re)
La ecuación 6.3-19 es una recta cuya pendiente es la unidad en la gráfica iog-log de f contra Re.
56.4 Factores de fnccion para columnas de relleno
215
Figura 6.3-2 Procedimiento gráfico usado en el ejemplo 6.3-1.
2.0
1.o
0.8 0.6 0.5 j 0.4 0.3 0.2
0.7 2.4 X lo4 Re --P
Para el problema que estamos resolviendo se tiene
Por tanto, para Re = lo5, según la ecuación 6.3-19, f = 1.86. En la figura 6.3-2 se muestra la recta de pendiente 1 que pasa por f = 1.86 para Re = 16.Esta recta corta la curva de la ecuación 6.3-20 (es decir, la curva de la figura 6.3-1) en Re = Dv,p/p = 2.4 X lo4. Así, se encuentra que el diámetro de la esfera es
En las dos secciones precedentes hemos analizado Ias correlaciones del factor de fricción para dos sistemas de flujo simples bastante interesantes. Existen diagramas del factor de fricción para algunos otros sistemas, como el flujo transversal que pasa un cilindro, el flujo a través de un banco d e tubos y flujo cerca de discos giratorios. En varias obras de referencia se resumen éstos y muchos otros sistemas de flujo.' Un sistema complejo de sumo interés en ingeniería química es la columna
'
P.C. Carman, Flow of Gases through Porous Media,Butterworths, Londres (1956);J.G. Richardson, Sección 16 en Hnndbookof Fluid Dynamics (V.L.Streeter, comp.), Mdraw-HiU, Nueva York (1961);M. Kaviany, capítulo 21 en The Handbmk of Fluid Dynamics (R.W. Johnson,comp.), CRC Press, Boca Ratón. Fia. (1998).
216 Capítulo 6
Transporte de interfase en sistemas isotérmicos de relleno, que se usa ampliamente para reactores catalíticos y para procesos de separación. Existen dos métodos principales para desarrollar expresiones del factor de fricción para columnas de relleno. En un método la columna de relleno se considera como un manojo de tubos enmarañados de sección transversal caprichosa y luego se desarrolla la teoría al aplicar los resultados previos para tubos rectos simples a la colección de tubos tortuosos. En el segundo método, la columna de relleno se considera como una colección de objetos sumergidos, y Ia caída de presión se obtiene sumando las resistencias de las partículas sumergidas.2 Las teorías del manojo de tubos han tenido algo más de éxito, por lo que a continuación las analizaremos aquí. En la figura 6.4-l(a) se muestra una coIurnna de relleno, y en la figura 6.4-l(b)se ilustra el modelo del manojo de tubos. Para el relleno de las columnas pueden usarse varios materiales: esferas, cilindros, silletas, etcétera. En todo el análisis que sigue se supone que el relleno es estadísticamente uniforme, de modo que no hay "canalización" (en la práctica real, la canaIización ocurre a menudo, y entonces no es válido el desarrollo que se proporciona aquí). Además se supone que el diámetro de las partículas de relleno es pequeño en comparación con el diámetro de la columna en que está contenido el relleno, y que el diámetro de la columna es uniforme. El factor de fricción para la columna de relleno se define de manera análoga a como se hizo en la ecuación 6.14:
donde L es la longitud de la columna de relleno, Dp es el diámetro efectivo de la partícula (que se definirá dentro de poco) y vo es la velocidad superficial; es decir, la velocidad de flujo dividida entre la sección transversal de la columna vacía,
vo = w / p s .
Figura 6.4-1 a) Tubo cilíndrico relleno de esferas; b) un modelo del "manojo de tubos" para la coIumna rellena del inciso a.
'
W.E.Ranz, Chem. Eng. Prog., 48,247-253(1952); H.C. Brinkman, Appl. Sci. Research, A l , 27-34,81-86,333346 (1949). H e d Coenraad Bíinkman (1908-1961) realizó investigaciones sobre calentamiento con disipación viscosa, flujo en medios porosos y fisica de plasma; ensefiá en la Universidad de Bandung, Indonesia, de 1949 a 1954, donde escribió The Applicatwn of Spinor Invariants fo Atornic Physics.
96.4
Factores de íricción para columnas de relleno 217
La caída de presión a través de un tubo representativo en el modelo del manojo de d o s está dada por la ecuación 6.2-17
donde el factor de fricción para un solo tubo, ftubo, es una función del número de Reynolds Reh = 4 R h ( v ) p / p . Cuando esta diferencia de presión se sustituye en la ecuación 6.4-1, se obtiene
En la segunda expresión hemos introducido Ia fracción de huecos, E , que es la fracción de espacio en la columna que no está ocupado por el relleno. Entonces vo = (v)~,que resulta de la definición de la velocidad superficial. Ahora necesitamos una expresión para Rh. E1 radio hidráulico puede expresarse en términos de la fracción de huecos E y la superficie mojada a por unidad de volumen de lecho como sigue
Rh=
(
sección transversal disponible para el flujo perímetro mojado
volumen disponible para el flujo superficie total mojada
-
(
volumen de los huecos volumen del lecho f suuerficie moiada \ ( voiumen del &o )
)
=
a
La cantidad a está relacionada con la "superficie efectiva" a, (superficie total de la partícula por volumen de partículas) por
A su vez, la cantidad a, se usa para definir el diámetro medio de Ia partícv!a Dp como sigue
Esta definición se elige debido a que, para esferas de diámetro uniforme, Dpes exactamente el diámetro de una esfera. A partir de las tres últimas expresiones encontra-
218
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos mos que el radio hidráulico es Rh ecuación 6.4-3, se obtiene
=
Dp/6(1 - E ) . Cuando esto se sustituye en la
A continuación adaptamos este resultado a flujos laminar y turbulento insertando las expresiones correspondientes para fbb,.
a) Para flujo laminar en tubos, ftubo = 16/Reh. Este resultado es exacto sólo para tubos circulares. Para considerar las superficies no cilíndricas y las trayectorias de fluido turbulento que aparecen en operaciones típicas de columna de relleno, se ha encontrado que la sustitución de 16 por 100/3 permite que el modelo del manojo de tubos describa los datos de la columna de relleno. Cuando se usa esta expresión modificada para el factor de fricción en un tubo, entonces la ecuación 6.4-7 se convierte en
donde Go = pvo es la densidad de flujo de materia a través del. sistema. Una vez que esta expresión para f se sustituye en la ecuación 6.4-1, se obtiene
y . ~ecuaciones 6.4-8 y 6.4-9 son generalmenque es la ecuación de ~ l a k e - ~ o z e nLas te buenas para (DpGo/p(l - E ) ) < 10 y para fracciones de huecos menores que E = 0.5. b) Para flujo altamente furbulento es posible aplicar un tratamiento semejante al anterior. De nuevo se empieza con la expresión para la dehición del factor de fricción para flujo en un tubo circular. No obstante, esta vez observamos que para flujo altamente turbulento en tubos con cualquier rugosidad apreciable, el factor de fricción es una funci6n sólo de la rugosidad, y es independiente del número de Reynolds. Si se supone que los tubos en todas Ias columnas de relleno tienen características de rugosidad semejantes, entonces el valor de ftubo puede tomarse como la misma constante para todos los sistemas. Una elección aceptable es tomar = 7/12. Al insertar esto en la ecuación 6.4-7, se obtiene
EC. Blake, Trans. Amer. Inst. Chem.Engrs., 14,415-421 (1922);J. Kozeny, Sitiungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. IIa, 136,271-306 (1927).
$6.4
Factores de fricción para columnas de relleno 219
Cuando esta expresión se sustituye en la ecuación 6.4-1, se obtiene
que es la ecuación de Burke-Plummer," válida para (DpGo/p(l - E)) > 1000. Nótese que la dependencia respecto a la fracción de huecos es diferente a la del flujo laminar. c) Para la región de transición, podemos superponer las expresiones para la caída de presión para los incisos a) y b) anteriores a fin de obtener
Para vo muy pequeña, esto se simplifica a la ecuación de BIake-Kozeny, y para vo muy grande, a la ecuación de Burke-Plummer. TaIes superposiciones empíricas de asíntotas a menudo producen resultados satisfactorios.La ecuación 6.4112 puede reordenarse para formar grupos adimensionales:
Ésta es la ecuación de Ergun; que se muestra en la figura 6.4-2 junto con las ecuaciones de Blake-Kozeny y de Burke-Plummer y datos experimentales. Se ha aplicado exitosarnente a flujo gaseoso a través de columnas de relleno usando la densidad 5 del gas al promedio aritmético de las presiones finales. Nótese que Go es constante a través de Ia columna, mientras vo cambia a través de ésta para un fluido compresible. Sin embargo, para grandes caídas de presión parece más adecuado aplicar localmente la ecuación 6.4-12 expresando el gradiente de presión en forma diferencial. La ecuación de Ergun no es sino una de tantas6 que se han propuesto para describir columnas de relleno. Por ejemplo, se informa que la ecuación de Tallrnadge7
proporciona una buena concordancia con datos experimentales sobre el intervalo 0.1 < (D,Go/p(l - E)) < lo5.
'C.P. Burke y W.B. Plummer, Ind. Eng. Chon., 20,1196-1200 (1928). S. Ergun, Chem. Engr. Prog., 48,89-94 (1952). 1.E Macdonald, M.S. El-Sayed, K.Mow y E.A. Duiiien, Ind. Eng. Chem.Fundam., 18, 199-208 (1979). J.A.Tallmadge, AlChE Joumnl, 16,1092-1093 (1970).
'
220 Capitulo 6
Transporte de interfase en sistemas isotérmicos
Figura 6.4-2 La ecuación de Ergun para flujo en lechos de relleno y las dos asíntotas relacionadas, la ecuacidn de Blake-Kozenyy la ecuación de Burke-Plumrner [S. Ergun, Chem. Eng. Prog., 48,89-94 (1952)l.
El análisis anterior sobre lechos de reiieno ilustra cómo a menudo es posible combinar soluciones de problemas elementales a fin de crear modelos útiles para sistemas complejos. Las constantes que aparecen en los modelos se determinan entonces a partir de datos experimentales. A medida que se dispone de mejores datos, es posible mejorar el modelado.
1. 2.
3. 4.
¿Cómo se generan a partir de datos experimentales las gráficas de factores de fricción contra números de Reynolds y por qué son útiles? Comparar y contrastar las curvas del factor de fricción para flujo en tubos y flujo alrededor de esferas. ¿Por qué tienen formas diferentes? En la figura 6.2-2, ¿por qué la curva de f contra Re para flujo turbulento esta arriba de la curva para flujo laminar en vez de estar abajo? Analizar la afirmación hecha a continuación de la ecuación 4.2-38. Si se utiliza el radio hidráulico medio para flujo laminar, ¿se pronostica una caída de presión demasiado alta o d e masiado baja para un caudal de flujo dado?
Problemas 221 5. 6.
7. 8. 9.
¿Es posible usar correlaciones del factor de fricción para flujos no estacionarios? ¿Cuál es la relación, en caso de haber alguna, entre la ecuación de Blake-Kozeny (ecuación 6.4-9) y la ley de Darcy (ecuación 4C.3-2)? Analizar el flujo de agua que circula en una manguera de jardín de hule de 1/ 2 pulg de di&metro conectada a una toma domiciliaria cuya presión disponible es de 70 psig. ¿Por qu6 la ecuación 6.412 se volvió a escribir en la forma de la ecuación 6.4-13? Un locutor de beisbol dice: "debido a la alta humedad de hoy, la pelota no puede viajar tan lejos por el aire húmedo como la haría en un día seco". Comente críticarnente esta afirmación.
PROBLEMAS 6A.1 Caída de presión necesaria para un tubo con accesorios. ¿Qué caída de presión se requiere para bombear agua a 20°C a través de un tubo de 25 cm de diámetro y 1234 m de longitud a razón de 1.97 m3/s? El tubo está a la misma elevación en todas partes y contiene cuatro codos de radio estándar de 90" y dos codos de 45". La resistencia de un codo de radio estándar de 90" es aproximadamente equivalente a la presentada por un tubo cuya longitud es de 32 diámetros; y ia resistencia de un codo similar de 45",la de un tubo de 15 diámetros de longitud. (Un método alternativo para calcular pérdidas en accesorios se proporciona en 57.5.) Respuesta: 4.7 X 6A.2
Id psi = 33 MPa
Diferencia de presión necesaria para flujo en un tubo con cambio de elevacidn (figura 6A.2). Debe bombearse agiia a 68°F a través de 95 pies de un tubo estándar de 3 pulg (de 3.068 pulg de diámetro interior) hacia un depósito superior.
a) ¿Qué presión se requiere en la salida de la bomba para suministrar agua al depósito superior a razón de 18 gal/min? A 68°F la viscosidad del agua es de 1.002 cp y su densidad es de 0.9982 g/rnl. b) ¿Qué porcentaje de la caída de presión se requiere para superar la fricción del tubo?
Respuesta: a) 15.2 psig
Codo de 45",
1- 30'1
Codo de 45"
Bomba
50'
Figura 6A.2 Sistema de flujo en un tubo. 6A.3 Velocidad de flujo para una caída de presión dada, ¿Cuántos gal/h de agua a 68OF pueden entregarse a través de 1320 pies de longitud de un tubo liso de 6.00 p d g de diámetro
222
Capftulo 6 Transporte de interfase en sistemas isoténnicos interior con una diferencia de presión de 0.25 psi? Supóngase que el tubo es "hidráulicamente liso". a) Resolver por el método A del ejemplo 6.2-2.
b) Rtsulver por el método B del ejemplo 6.2-2. Respuesta: 68 U.S. gal/min 6A.4
Movimiento de una esfera en un liquido. Una esfera hueca de 5.00 mm de diámetro con una masa de 0.0500 g, se suelta en una columna de líquido y alcanza una velocidad terminal de 0.500 cm/s. La densidad del líquido es 0.900 g/cm3. La aceleraci6n local de la gravedad es 980.7 cm/s2. La esfera está suficientemente lejos de las paredes de la columna, de modo que el efecto de éstas puede despreciarse. a) Calcular la fuerza de resistencia sobre la esfera en dinas. b) Calcular el factor de fricción. C)
Determinar la viscosidad del liquido.
Respuestas: a) 8.7 dinas; b) f = 396; c) 3.7 g/cm 6A.5
.S
Diámetro de la esfera para una velocidad terminal dada. a) Haga una construcción directa sobre la figura 6.3-1 para explicar cómo encontrar el diámetro D de la esfera que corresponde a valores dados de v , p, b, y g.
b) Vuelva a trabajar el problema 2A.4 usando la figura 6.3-1. C)
6A.6
Vuelva a trabajar el inciso b) cuando la velocidad del gas es 10 pies/c.
Cálculo de la fracción de huecos de una columna de relleno. Un tubo de 146 pulg2 de sección transversal y 73 pulg de altura está relleno de partículas esféricas de 2 mm de diámetro. Cuando a través de la columna se mantiene una dikrencia de presión de 158 psi, por el lecho circula 60% de una solución acuosa de sacarosa a 20PC a 244 Ib/min. A esta temperatura, la viscosidad de la solución es 56.5 cp y su densidad es 1.2865 g/cm3. ¿Cuál es la fracción de huecos del lecho? Analizar la utilidad de este método de obtenci6n de la fracción de huecos.
Respuesta: 0.30 6A.7 Cálculo de las caídas de presión para flujo en tubos concéntricos. Para flujo entre tubos concéntricos de superficies cilíndricas y diámetros D y KD (con K < 11, los factores de fricción para flujos laminar y turbulento son Laminar
Turbulento
donde el número de Reynolds está definido por
Re, = K
D(1. - d ( Ü Z ) p P
Problemas 223 Los valores de G, H y K están dados como:l
La ecuación 6A.7-2 se basa en el problema 5C.2 y reproduce los datos experimentales dentro de un margen de 3% hasta números de Reynolds de 20,000. Verificar que, para flujo laminar desarrollado, las ecuaciones 6A.7-1 y 6A.7-3 con los valores tabulados de K son consistentes con la ecuación 2.4-16. a)
b) Un ducto anular se forma a partir de superficies cilíndricas de diámetros de 6 pulg y 15 pdg. Se desea bombear agua a 60" a razón de 1500 pies3 por segundo. icuánta caída de presión se requiere por unidad de longitud del conducto, si el anillo es horizontal? Usar la ecuación 6A.7-2. C)
Repetir el inciso b) usando el empirismo del "radio hidráulico medio"
6A.8 Fueaa sobre una torre de agua durante un ventarrón. Una torre de agua tiene un tanque de almacenamiento esférico de 40 pies de diámetro. En un ventarrón de 100 mph, jcuál es la fuerza del viento sobre el tanque esférico a O°C? Considere que la densidad del aire es 1.29 g/litro o 0.08 lb/pies3 y que su viscosidad es 0.017 cp.
Respuesta: 1.7 X lo4 lbf ..9
Flujo de un gas a través de una columna de relleno. Un tubo horizontal de 4 pulg de diámetro y 5.5 pies de longitud está relleno con esferas de vidrio de 1/16 pulg de diámetro, y la fracción de huecos es 0.41. Por el tubo se bombeará bióxido de carbono a NOK, a cuya temperatura se sabe que la viscosidad de éste es de 1.495 X g/cm - s. ¿Cuál será la velocidad de flujo másico a través de la columna cuando las presiones de entrada y de salida son 25 atm y 3 atm, respectivamente?
Respuesta: 480 g/s 6A.10 Determinación del diámetro de un tubo. ¿Qué tamaño de tubo circular se requiere para producir un caudal de flujo de 250 firkins (barriletes de cerveza = 9 galones imperiales) por catorcena cuando hay una pérdida de presión de 3 x lo5 escrúpulos británicos (medida de farmacéutico igual a 20 granos) por barleycorn al cuadrado (un barleycom es igual a la longitud promedio de un grano de cebada o 1/3 de pulgada). El tubo es horizontal. (Los autores agradecen al profesor R.S. Kirk de la Universidad de Massachussets, quien les dio a conocer estas unidades antiguas.)
D.M. Meter y R.B. Bird, AlChE Joumal, 7,4145 (1961).
224
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos 6B.1
Efecto del error en cálculos del factor de fricci6n. En un cálculo en que se us6 la fórmula de Blasius para flujo turbulento en tubos, el número de Reynolds que se usó fue demasiado bajo por 4%. Calcular el error resultante en el factor de fricción.
Respuesta: demasiado alto por 1% 68.2
Factor de fricción para flujo a lo largo de una lámina plana.2 a) En la ecuación 4.4-30 se proporciona una expresión para la fuerza de resistencia sobre una lámina plana, mojada por tos dos lados. Esta ecuaci6n se dedujo usando la teoría de capa límite luminar y se sabe que concuerda bastante bien con datos experimentales. Definir un factor de fricción y un número de Reynolds, y obtener la relación de f contra Re.
b) Para flujo turbulento, al aplicar un tratamiento aproximado de capa límite basado en la distribución de velocidad de la potencia 1/7 se obtiene
Cuando 0.072 se sustituye por 0.074, esta relación describe la fuerza de resistencia dentro de un error experimental para 5 x 105 < L v , ~ / <~ 2 X lo7. Expresar el factor de fricción correspondiente como una función del número de Reynolds. 6B.3
Factor de fricción para flujo laminar en una rendija. Usar los resultados del problema 2B.3 para demostrar que para el flujo laminar en una rendija delgada de espesor 2B el factor de ficción es f = 12/Re, si el número de Reynolds se define como Re = 2 B ( ~ , ) p / ~Comparar . este resultado para f con el que se obtuvo a partir del empirismo del radio hidráulico medio.
6B.4 Factor de fricción para un disco giratorio.3 Un disco circular delgado de radio R está inmerso en un gran cuerpo de fluido de densidad p y viscosidad p. Si para que el disco gire a una velocidad angular R se requiere un momento de torsión T,, entonces puede definirse un factor de fricción f de manera semejante a la ecuación 6.1-1 como sigue,
donde definiciones razonables para K y A son K = i p ( f i R ) 2 y A = 2(7rR2). Una elección idónea para el número de Reynolds para el sistema es Re = R 2 n p / p . Para flujo laminar,un desarrollo exacto de capa límite da
Para flujo turbulen#o,al aplicar un tratamiento aproximado de capa límite basado en la distribuQ6n de velocidad de la potencia 1 / 7 se obtiene
Expresar estos resultados como relaciones entre f y Re.
6B.5 Flujo turbulento en tubos horizontales. Un fluido circula con velocidad de flujo másico w en un tubo horizontal liso de longitud L y diámetro D como resultado de una diferencia de p r e sión po - p ~ .Se sabe que el flujo es turbulento. El tubo debe reemplazarse por otro de diámetro D/2 pero de la misma longitud. El mismo fluido debe bombearse a la misma velocidad de flujo másico w. ¿Qué diferencia de presión ser6 necesaria?
H.Schlichting, Boundary-hyer Theay, McCraw-Hill, Nueva York,7a. edición (1979),capítulo x x i 'T. von Kármán, ZeiCs. für angm. Math. u.Medi., 1,233-252 (1921).
Problemas 225 a) Usar la ecuación 6.2-12 como una ecuación conveniente para el factor de fricción. b) iC6mo puede resolverse este problema usando la figura 6.2-2 si la ecuación 6.2-12 no es apropiada? Respuesta: a) Será necesaria una diferencia de presión 27 veces mayor. 6B.6
Insuficiencia del radio hidráulico medio para flujo laminar. a) Para flujo laminar en un tubo conc6ntrico con radios KK y R, usar las ecuaciones 6.2-17 y 6.2-18 a fin de obtener una expresión para la velocidad medih en términos de la diferencia de presión semejante a la expresión exacta dada en la ecuación 2.4-16. b) $u&l es el porcentaje de error en el resultado del inciso a) para
K
=
4?
Respuesta: 49% Esfera descendente en una región donde priva la ley de resistencia de Newton. Una esfera inicialmente en reposo en z = O cae por el efecto de la gravedad. Las condiciones son tales que, después de un interna10 despreciable, la esfera cae con una fuerza de resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad. a) Encuentre la distancia z que desciende la esfera como una función de f . b) ¿Cuál es la velocidad terminal de la esfera? Suponer que la densidad del fluido es mucho menor que la densidad de la esfera. Respuesta: a) La distancia es z = ( 1 / ~ ln ~ ~ cosh ) cgf, donde c2 =
(0.44)(p/pe,f,a)(l/gR);
b) l / c .8
Diseño de un experimento para verificar el diagrama de f contra Re para esferas. Se desea diseñar un experimento para probar el diagrama del factor de fricción en la figura 6.3-1 para flujo alrededor de una esfera. Especificamente, se quiere probar el valor graficado f = 1 para Re = 100. Esto se hace dejando caer esferas de bronce = 8 g/cm3) en agua ( p = 1 g/cm3, p = lo-* g/cm . S). ¿Qué diámetro de esfera debe usarse? a) Deducir una fórmula que proporcione el diámetro requerido como una función de f, Re, g, h, p y Pesfera para condiciones de velocidad terminal. b) Insertar valores numéricos y encontrar el valor del diámetro de la esfera.
Respuesfas: a) D
68.9
=
3f ~e~ p2 S
'(pesfera - P ) P ~'
b) D
= 0.048 cm
Factor de fricción para flujo que circula en u n cilindro i n f i n i t ~E1 . ~flujo exterior que circula por un alindro largo es bastante diferente del flujo que circula por una esfera, y para describir este sistema no puede usarse el mPtodo que se introdujo en 54.2. Se encontr6 que, cuando el fluido se aproxima con una velocidad v,, la fuerza cinética que actúa sobre una longitud L del cilindro es
Fk
=
4 7rpv, L In (7.4 / Re)
G.K.Batchelor, An Introductwn f o Fluid Dynamic~,Cambridge University Press (1967), pp. 244-246,257-261.Para flujo externo que pasa por ciiindros finitos, véase J. Happel y H. B~nner,Low Reynolds Number Hydmdynamics, Martinus Nijhoff, La Haya (1983), pp. 227-230.
226
Capitulo 6
Transporte de interfase en sistemas isotérmicos E1 número de Reynolds se define aquí como Re = Dv,p/p. La ecuación 613.9-1 es válida sólo hasta aproximadamente Re = 1. En este intervalo de Re, ¿cuál es la fórmula para calcular el factor de fricción como una función del número de Re~nolds? 6C.1
Tkayectorias bidiinensionales de partículas. Una esfera de radio R se lanza horizontalmente (en la dirección x } a gran velocidad en aire quieto por arriba del nivel del suelo. Cuando la esfera sale del dispositivo lanzador, una esfera idéntica se deja caer desde la misma altura por arriba del suelo (en la dirección y). a) Desarrollar ecuaciones diferenciales a partir de las cuales puedan calcularse las trayect*
rias de Las partículas, y que permitan comparar el comportamiento de las dos esferas. Incluir los efectos de fricci6n del fluido, y establecer la suposición de que pueden usarse factores de fricción de estado estacionario (Psta es una "suposición de estado casi estacionario").
b) ¿Cuál esfera llegará primero al suelo? ¿La respuesta al inciso b hubiera sido la misma si los números de Reynolds de Ia esfera hubieran estado en la región de la ley de Stokes?
C)
dv
Respuestas: 3 2 = dt
dv = Y dt
3 'Y 8 R
-3%
4j-
8 R
'aire
,
'esfera
Pesfera
donde f = f(Re) según se indicó en la figura 6.3-1, con
6C.2
Efectos de pared para una esfera descendente en un ~ i l i n d r o . ~ - ~ a) Los experimentos sobre factores de fricción de esferas suelen realizarse en tubos cilíndn-
cos. Demostrar por análisis dimensional que, para una disposición así, el factor de fricción para la esfera tendrá la siguiente dependencia:
Aquí Re = 2RvWp/p.,donde R es el radio de la esfera, v, es la velocidad terminal de la esfera, y Ralindro es el radio interior del cilindro. Para la región de flujo reptante, empíricamente se ha encontrado que la dependencia de f respecto a R/Rcilindr0 puede describirse mediante la corrección de Ladenburg-Faxén? de modo que
También se han estudiado los efectos de pared para gotas minúsculas de~cendentes.~ ~p
R. Ladenburg, Ann. Physik (4), 23,447 (1907); H. Faxén, tesina, Uppsala (1921).Para análisis completos de efectos de pared para esferas descendentes, véase J. Happel y H. Brenner, Lo?u Reynolds Number Hydrodynamics, Martinus Nijhoff, La Haya (1983). J.R. Strom y R.C. Kintner, AlChE Journal, 4,153-156 (1958). L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechan~cs,Pergamon, Oxford (1987), pp. 182-183.
Problemas 227
b) Diseñar un experimento para comprobar la gráfica para esferas en la figura 6.3-1. Seleccionar tamaños de esferas, dimensiones de cilindros y materiales apropiados para el experimento. 6C.3
Potencia d e entrada en un tanque agitado (figura. 6C.3).Demostrar por análisis dimensional que la potencia, P, impartida por un impulsor giratorio a un fluido incompresible en un tanque agitado puede correlacionarse,para cualquier tanque específico y forma del impulsor, por la expresión
Aquí N es el ritmo de rotación del impulsor, D es el diámetro del impulsor, t es el tiempo contado a partir del inicio de la operación, y @ es una función cuya forma debe deteminarse experimentalmente. Para la geometrfa que suele usarse y se muestra en la figura 6C.3, la potencia está dada por la suma de dos integrales que representan las contribuciones de la resistencia de fricción del cuerpo y el fondo del tanque cilíndrico y la resistencia de forma de los desviadores, respectivamente:
Aquí T, es el momento de torsión necesario para hacer girar el impulsor, S es el área superficial total del tanque, A es el área superficial de los desviadores (considerada positiva en el lado "comente arriba" y negativa en el lado "comente abajo"), R es la distancia radial a cualquier elemento de superficie dS o dA desde el eje de rotación del impulsor, y n es la distancia medida normahnente hacia el fluido desde cualquier elemento de superficie del tanque dS. Ahora es posible obtener la solución deseada por análisis dimensional de Las ecuaciones de movimiento y continuidad volviendo a escribir en forma adimensional las integrales de arriba. Aquí conviene usar D, DN y p@D2 para la longitud, la velocidad y la presión características, respectivamente. Impulsor
Vista superior
Desviador
Vista lateral
Figura 6C.3 Tanque agitado con un impulsor de seis aspas y cuatro desviadores verticales.
6D.1 Factor de fricción para una burbuja en un líquido l i r n p i ~ .Cuando ~,~ una burbuja gaseosa se mueve a través de un líquido, la masa del líquido se comporta como si estuviese en flujo
G.K. Batchelor, An Introduclion to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, (19671, pp. 367-370.
228
Capítulo 6 Transporte de interfase en sistemas isotérmicos potencial; es decir, el campo de flujo en la fase líquida casi está dado por las ecuaciones 4B.5-2 y 43.5-3. La fuerza de resistencia está estrechamente relacionada con la disipación de energía en la fase líquida (véase la ecuación 4.2-18)
Demostrar que para flujo irrotacional, la expresión general para la disipación de energía puede transformarse en la siguiente integral de superficie:
Luego, demostrar que al insertar los perfiles de velocidad de flujo potencial en la ecuación 6D.1-2 y usar la ecuación 6D.1-I, se obtiene
Un cálcuIo algo mejorado que toma en cuenta la disipación en la capa límite y en la estela turbulenta Ileva al siguiente ~esultado:~
Parece que este resultado se cumple bastante bien hasta un número de Reynolds aproximado de 200.
9
D.W. Moore, J. FluidMech., 16,161-176 (1963).
Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico 7 .
Balance macroscópico de materia
97.2
Balance macroscópico de cantidad de movimiento
97.3
Balance macroscópico de cantidad de movimiento angular
57.4
Balance macmscópico de energía mecánica
57.5
Estimación de la pérdida viscosa
$7.6
Uso de los balances macrosrópicos para problemas de estado estacionario
7
Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado no estacionario
.
$7.8'
Deducción del balance macroscópico de energía mecánica
En las cuatro primeras secciones del capítulo 3 se presentaron las ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos. Estas ecuaciones se obtuvieron al escribir leyes de conservación sobre un "sistema microscópico"; a saber, un pequeño elemento de volumen a través del cual circula e1 fluido. De esta forma se obtuvieron ecuaciones diferenciales parciales para las variaciones en materia, cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y energía mecánica en el sistema. El sistema microscópico no tiene superficies sólidas que lo limiten, y las interacciones del fluido con superficies sólidas en sistemas de flujo específicos se explican mediante las condiciones límite que se establecen sobre las ecuaciones diferenciales. En este capítulo escribimos leyes de conservación similares para "sistemas macroscópicos"; es decir, grandes piezas de equipo o partes de éste. En la figura 7.0-1 se O
Q = Calor añadido al sistema desde
Plano 2
W,,,= Trabajo reaüzado sobre el sistema por el entorno a través de las partes móviles
Figura 7.0-1 Sistema macroscópico de flujo donde el fluido entra por el plano 1 y sale por el plano 2. Para mantener constante la temperatura del sistema puede ser necesario añadir calor a una velocidad Q. La velocidad a la que el entorno realiza trabajo sobre el sistema por medio de las superficies móviles es W,. Los símbolos ul y u2 denotan vectores unitarios en la dirección del flujo en los planos 1 y 2. Las cantidades r, y r, son vectores de posición que proporcionan la ubicación de los centros de los planos de entrada y salida respecto a algún origen de coordenadas designado.
229
230 Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico muestra un sistema macroscópico de ejemplo. Los enunciados sobre balance para tal sistema se denominan balances macroscópicos; para sistemas en estado no estacionario, se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias, y para sistemas en estado estacionario, son ecuaciones algebraicas. Los balances macroscópicos contienen términos que explican las interacciones de1 fluido con las superficies sólidas. El fluido puede ejercer fuerzas y momentos de torsión sobre las superficies del sistema, y el entorno puede realizar trabajo W,,, sobre el fluido por medio de las superficies móviles. Los balances macroscópicos pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de variación al integrar éstas sobre todo el volumen del sistema de f l u j ~ : l < ~
j,,
balance macroscópico de materia
(ecuación de continuidad) dV
=
(ecuación de movimiento)dV
= balance macroscúpico de cantidad de
movimiento
.f,, ,1
(ecuación de cantidad de movimiento angular) dV
= balance macroscópico de cantidad
(ecuación de energía mecánica) dV
= balance macrosc6pico de energía mdnica
de
movimiento angular
Los primeros tres de estos balances macroscópicos pueden obtenerse ya sea escribiendo directamente las leyes de conservación para el sistema macroscópico o efectuando las integraciones indicadas. Sin embargo, para obtener el balance macroscópico de energía mecánica, la ecuación de variación correspondiente debe integrarse sobre el sistema macroscópico. En 557.1 a 7.3 establecemos los balances macroscópicos de materia, cantidad de movimiento y cantidad de movimiento angular escribiendo las leyes de conservación. En 57.4 presentamos el balance macroscópico de energía mecánica y posponemos la deducción detallada hasta 97.8.En el balance macroscópico de energía mecánica hay un término denominado "pérdida por fricción", y dedicamos 57.5 a métodos para estimar esta cantidad. Luego, en s7.6 y 57.7 mostramos cómo el conjunto de balances niacroscópicos puede usarse para resolver problemas de flujo. Los balances macroscópicos se han utilizado ampliamente en muchas ramas de la ingeniería. Proporcionan descripciones globales de grandes sistemas sin entrar mucho en los detalles de la dinámica de fluidos dentro de los sistemas. A menudo son útiles para efectuar una apreciación inicial de un problema de ingeniería y para hacer estimaciones de orden de magnitud de varias cantidades. Algunas veces se utilizan para deducir relaciones aproximadas, que entonces pueden modificarse con ayuda de datos experimentales para compensar términos que hayan sido omitidos o sobre los cuales se tiene información insuficiente. Al usar los balances mncroscópicos a menudo es necesario decidir qué términos pueden omitirse, o bien estimar algunos de ellos. Para realizar lo anterior se requiere: i) intuición, basada en la experiencia que se tenga con sistemas semejantes, ii) algunos datos experimentales sobre el sistema, iii) estudios de visuaJización de flujo, o iv) estimaciones de orden de magnitud. Esto será evidente cuando lieguemos a estudiar ejemplos específicos. Los balances macroscópicos utilizan casi todos los tópicos que se han abordado hasta el momento; por consiguiente, el capítulo 7 constituye una buena oportunidad para revisar los capítulos precedentes. --
--
-
' R.B. Bird, C h m . Eng. Sci., 6,123-131 (1957);C h m . Eng. Educ., 27(2), 102-109 (primavera de 1993). 2J.C.Slattery y R.A. Gaggioli, Chnn. Eng. Sci., 17,8934395 (1962).
s7.1
Balance macroscópico de materia
231
97.1 BALANCE MACROSCÓPICO DE MATERIA
En el sistema que se muestra en la figura 7.0-1, el fluido entra al sistema en el plano 1 con sección transversal SI y sale por el plano 2 con sección transversal S2. La velocidad media es (vl)en el plano de entrada y (u2)en el plano de salida. En esta sección y en las siguientes presentamos dos suposiciones que no son muy restrictivas: i) en los planos 1 y 2 la velocidad con ajuste de tiempo es perpendicular a la sección transversal relevante, y ii) en los planos 1y 2 la densidad y &as propiedades físicas son uniformes sobre la sección transversal. Entonces, la ley de conservación de la materia para este sistema es
velocidad de velocidad de incremento de entrada de materia materia en el P-1
velocidad de salida de materia en el p h 2
Aquí m,,, = j p d ~es la masa total de fluido contenido en el sistema entre los planos 1 y 2. Ahora introducimos el símbolo w = p(v)S para la velocidad de flujo másico, y la notación Aw = w 2- w1 (valor de salida menos valor de entrada). Así,'el balance macroscópico de materia en estado no estacionario se convierte e11
Si la masa total de fluido no cambia con el tiempo, entonces se obtiene el balance macroscúpico de materia en estado estacionario que es precisamente la afismacih de que la cantidad de materia que entra es igual a la cantidad de materia que sale. En el balance macroscópico de materia se usa la expresión "estado estacionario" para indicar que la derivada respecto al tiempo del miembro izquierdo de la ecuación 7.1-2 es cero. Dentro del sistema, debido a la posibilidad de que haya partes móviles, inestabilidades de fiujo y turbulencias, bien puede haber regiones de flujo no estacionario.
Vaciado de esférico
.-
Un tanque esférico de radio R y su tubería de desagüe de longitud L y diámetro L) están llenos de un aceite espeso. En el instante f = O se abre la válvula en el fondo de la tubería de desagüe. ¿En cuánto tiempo se vaciará el tanque? En la parte superior del tanque esférico hay un respiradero. Ignorar la cantidad de aceite que se adhiere a la superficie interna del tanque y suponer que el flujo en la iubería de desagüe es laminar.
Etiquetamos tres planos como en la figura 7.1-1 y hacemos que h(t)sea el nivel instantáneo del líquido por arriba del plano 2. Luego, en cualquier instante t la masa total de liquido en la esfera es
232
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Respiradero
Plano 3
Figura 7.1-1 Tanque esférico con tubería de
desagüe.
que puede obtenerse usando cálculo integral. Debido a que nada del líquido cruza el plano 1, sabemos que w l = O. La velocidad de flujo másico de salida w2,según se determina a partir de la ecuación de Hagen-Poiseuille, es
La fórmula de Hagen-Poiseuilk se dedujo para flujo en estado estacionario, pero aquí la usamos porque el volumen del líquido en el tanque cambia lentamente con el tiempo; éste es un ejemplo de aproximación "de estado casi estacionario". Cuando las expresiones para mtot y w 2 se sustituyen en la ecuación 7.1-2, se obtiene, luego de reordenar los términos,
Ahora abreviamos la constante en el miembro derecho de la ecuación como A. Es más fácil integrar la ecuación si se hace el cambio de variable H = h + L, de modo que
Luego integramos esta ecuación entre t = O (cuando h = 2R o H do k = O o H = L). Así se obtiene para el tiempo de vaciado
-
2R
+ L), y t = tvaciado (cuan-
donde A está dada por el miembro derecho de la ecuación 7.1-6. Nótese que este resultado se obtuvo sin necesidad de hacer ningún análisis detallado del movimiento del fluido dentro de Ia esfera.
57.2 Balance macroscitpico de cantidad de movimiento 233
Ahora aplicamos la ley de conservación de la cantidad de movimiento al sistema de la figura 7.0-1, usando las dos mismas suposiciones que se mencionaron en la sección precedente, más dos suposiciones adicionales: iii) las fuerzas asociadas con e1 tensor de esfuerzo 7 se desprecian en los planos 1 y 2, ya que por regla general son pequeñas en comparación con las fuerzas de presión 'en los planos de entrada y de salida, y iv) la presión no varía sobre la sección transversal en los planos de entrada y de salida. Debido a que la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial, cada término en el balance debe ser un vector. Usamos los vectores unitarios ul y u2 para representar la dirección del flujo en los planos 1 y 2. Así, la ley de conservación de la cantidad de movimiento queda como
velocidad de incremento de cantidad de movimiento
velocidad dc entrada de cantidad de movimiento en el plano 1
velocidad de salida de cantidad de movimiento en el plano 2
fuerza de presión sobre e1 fluido en el plano 1
fuerza de piesión
fuerza de la superíkie sobre sólida el fluido en cobre el plano 2 el fluido
fuerza de gravedad sobre el fluido
Aquí P,,, = j p v d v es la cantidad de movimiento total en el sistema. La ecuación establece que la cantidad de movimiento total dentro del sistema cambia debido a la convección de la cantidad de movimiento hacia adentro y hacia afuera del sistema, y debido a las diversas fuerzas que actúan sobre el sistema: las fuerzas de presión en los extremos del sistema, la fuerza de las superficies sólidas que actúa sobre el fluido en el sistema, y la fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido dentro de las paredes del sistema. El subíndice "S+" sirve como recordatorio de la dirección de la fuerza. Al introducir los símbolos para la velocidad de flujo másico y el símbolo A, finalmente se obtiene la siguiente expresión para el balance macroscópico de cantidad de movimiento e n estado no estacionario
Si la suma total de cantidad de movimiento en el sistema no cambia con el tiempo, entonces se obtiene el balance macroscópico de cantidad de movimiento en estado estacionario
Nuevamente mencionamos que ésta es una ecuación vectorial. Es útil para calcular la fuerza del fluido sobre las superficies sólidas, Ff+, como la fuerza sobre el codo de un tubo o el aspa de una turbina. En realidad, en la ecuación 6.1-3 ya hemos utilizado una versión simplificada de la ecuación anterior. Notas concernientes al flujo turbulento: i) Para flujo turbulento se acostumbra reemplazar (v) por (E) y (v2} por (3); en e1 segundo caso se desprecia el término (U'2), que por regla general es pequeño respecto a (3). ii) Además, luego sustituimos (7?)/(5)por ( E ) . El error al hacer esto es bastante pequeño; para el perfil de velocidad
234 Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
5
empírico de la ley de la potencia proporcionado en la ecuación 5.1-4, (??)/(E) = g(E), de modo que el error es de aproximadamente 2%. iii) Cuando se hace esta su49 posición, para simplificar la notación suelen eliminarse los paréntesis angulares y Ias barras superiores. Es decir, se hace que (Zl) v1 y (E:) u:, con simpIificaciones semejantes para las cantidades en el plano 2.
c a a m
ir=-
EJEMPLO 7.2-1 Fuerza ejercida por un chorro (Parte a)
!
Un chorro turbulento de agua sale de un tubo de radio Rl = 2.5 cm con una velocidad v, = 6 m/s, como se muestra en la figura 7.2-1. El chorro choca contra un montaje de disco y varilla de masa m = 5.5 kg, que es libre de moverse verticalmente. Se desprecia la fricción entre la varilla y el manguito. Encontrar la altura h a la que el disco "flotará" como resultado del ch0rro.l Suponer que el agua es incomp~esible.
Para resolver este problema es necesario imaginar cómo se comporta el chorro. En la figura 7.2-la se supone que el chorro tiene un radio constante, Rl, entre la salida del tubo y el disco, mientras que en la figura 7.2-lb se supone que el chorro se dispersa ligeramente. En este ejemplo hacemos la primera suposición, y en el ejemplo 7.4-1 explicaremos la dispersi6n del chorro. Aplicamos la componente z del balance de cantidad de movimiento en estado estacionario entre los planos 1 y 2. Los términos de la presión pueden omitirse, ya que la presión es atmosférica en ambos planos. La componente z de la velocidad del fluido en el plano 2 es cero. Así, el balance de cantidad de movimiento se vuelve
Al despejar h, en la ecuación anterior se obtiene (en unidades SI)
Montaie de disco v riiia con masa
Figura 7.2-1 Bocetos
correspondientes a las dos soluciones del problema del chorro y disco. En a se supone que el chorro de agua tiene un radio uniforme R1. En b se da una tolerancia para la dispersión del chorro de1 líquido.
' K.Federhofer, Aujgaben aus der Hydromechnik, Springer-Verlag, Viena (1954), pp. 36 y 172.
57.3 Balance macroscópico de cantidad de movimiento andar 235
7 3
BALANCE MACROSC~PICODE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
El desarrollo del balance macroscópico de cantidad de movimiento angular es comparable al del balance de cantidad de movimiento (lineal) de la sección precedente. Todo lo que debe hacerse es reemplazar "cantidad de movimiento" por "cantidad de movimiento angular" y "fuerza" por "momento de torsión". Para describir la cantidad de movimiento angular y el momento de torsi6n es necesario elegir un origen de coordenadas respecto al cual se evalúan estas cantidades. El origen se designa por "0"en la figura 7.0-1, y las ubicaciones de los puntos medios de los pianos 1y 2 respecto a este origen están dadas por los vectores de posición rl y r2 '7 Nuevamente se hacen las suposiciones (i)-(iv) que se presentaron en 997.1 y 7.2. Con estas suposiciones, la velocidad de entrada de cantidad de movimiento angular al plano 1,que es j[r x pv](v - u)dS evaluada en ese plano, se vuelve P 1 ( v ~ ) S l [X~u1], con una expresión semejante para la velocidad a la que la cantidad de movimiento angular sale del sistema en 2. Ahora es posible escribir el balance macroscópico de cantidad de movimiento angular en estado no esfacionariocomo
velocidad de incremento de cantidad de movimiento angular
velocidad de enhada de cantidad de movimienio angular en ol plano 1
momento de torsi6n debido a la presi6n wbre el fluido en el plano 1
momento de torsih debido a la presión sobre el Buido en el plano 2
velocidad de salida de cantidad de movimiento angular en el plano 2
momento de momento de torsión de la torsi6n externo superficie &re el fluido d i d a sobre el fluido
Aquí L,,, = Ip[r x v]dV es la cantidad de movimiento angular total dentro del sistema, y Te,, = j[r x pg]dV es el momento de torsión sobre el fluido en el sistema que resulta de la fuerza de gravedad. Esta ecuación también puede escribirse como
Finalmente, el balance macroscópico de cantidad de movimiento angular en estado estacionario es
que proporciona el momento de torsión ejercido por el fluido sobre las superficies sólidas.
236 Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotkrmico
Momento de torsión en un recipiente mezclador
Un recipiente mezclador, que se muestra en la figura 7.3-1, opera en estado estacionario. E] fluido entra tangencialmente al plano 1 en flujo turbulento con una velocidad v, y sale a través del tubo vertical con una velocidad v2. Debido a que el tanque tiene desviadores, el fluido no presenta movimiento de remolino en el tubo vertical de saiida. Encontrar el momento de torsión ejercido sobre el recipiente mezclador.
El origen del sistema de coordenadas se toma en el eje del.tanque, en un plano que pasa por el eje de1 tubo de entrada y es paralelo a la parte superior del tanque. Así, el vector [rl x ul] es un vector que apunta en la dirección z con magnitud R. Además [r2 X u21 O, ya que los dos vectores son colineales. Para este problema, la ecuación 7.3-3 da
-
AsÍ, el momento de torsión es justamente "fuerza X brazo de palanca", como sería de esperar. Si e1 momento de torsión es suficientemente grande, eI equipo debe sujetarse de manera adecuada para que soporte el momento de torsión producido por el movimiento del fluido y la presión de entrada.
Vista lateral
El origen de las coordenadas estd en el eje del tanque en un plano que pasa por el eje del tubo de entrada y es paralelo a la parte superior de! tanque
El drea de la sección
El área de la secció
l
I
K
Vista superior I
Figura 7.3-1 Momento de torsión sobre un tanque; se muestran las vistas lateral y superior.
1
57.4 Balance macroscópico de energía mecánica 237
Las ecuaciones 7.1-2, 7.2-2 y 7.3-2 se establecieron aplicando las leyes de conservación de la materia, la cantidad de movimiento (lineal) y la cantidad de movimiento angular sobre el sistema macroscópico de la figura 7.0-1. Los tres balances macroscópicos obtenidos de este modo corresponden a las ecuaciones de variación en las . ecuaciones 3.1-4, 3.2-9 y 3.4-1 y, de hecho, son muy parecidos en estructura. Estos tres balances macroscópicos pueden también obtenerse integrando las tres ecuaciones de variación sobre el volumen del sistema de flujo. A continuación queremos establecer el balance macroscópico de energía mecánica, que corresponde a la ecuación de energía mecánica en la ecuación 3.3-2. No hay forma de hacer esto directamente como hicimos en las tres secciones precedentes, ya que no hay ley de conservación de la energía mecánica. En este caso debemos integrar la ecuación de variación de la energía mecánica sobre el volumen del sistema de flujo. El resultado, en el que se usaron las mismas suposiciones (i-iv) de antes, es el balance macroscópico de energia mecánica en estado no estacionario (también denominado ecuación ingenieril de Bernoulli). La ecuación se deduce en 57.8; aquí planteamos el resultado y analizamos su significado:
velocidad de incremento de las energias cinética y potencial en el sistema
velocidad neta a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido en los planos 1 y 2 por medio de la pmión
velocidad a la que las energías cinética y potencial entran en el sistema en el plano 1
velocidad a la que las superficie móviles realizan trabajo sobre el fluido
velacidad a la que las energias cinética y potencial salen del sistema en el plano 2
velocidad a la que aumenta o disminuye la energfa mecánica debido al ensanchamiento o la compresiiin del fluido
velocidad a la que disminuye la energía mecánica debido a la disipaci6n viscosa'
Aquí K,, = Iipv2dV y @ =,, jp& dV son las energías cinética y potencial totales dentro del sistema. Según la ecuación 7.4-1, la energía mecánica total (es decir, cinética más potencial) cambia debido a una diferencia entre las velocidades de adición y la eliminación de energía mecánica, debido al trabajo realizado sobre el fluido por el entorno y a los efectos de compresibilidad, así como a la disipación viscosa. Nótese que, en la entrada del sistema (plano l), la fuerza p,S1 multiplicada por la velocidad (ul) proporciona la velocidad a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido. Además, W, es el trabajo realizado por el entorno sobre el fluido por medio de superficies móviles. Ahora, el balance macroscópico de energía mecánica puede escribirse de manera más breve como
donde los términos E, y E, se definen como sigue:
Esta interpretación del término es váiida sólo para fluidos newtonianos; los líquidos polimericos tienen elasticidad y para estos no se aplica la interpmtación que se proporciona aquí.
238 Capítulo 7 Balances macrosc6picos para sistemas con flujo isotérrnico
El término compresión E, es positivo en compresión y negativo en ensanchamiento; e, cero cuando se supone que el fluido es incompresible. El término E, es el témino la disipación viscosa (o de pérdida porfiicción), que siempre es positivo para líquidos newtonianos, como puede verse a partir de la ecuación 3.3-3. (Para fluidos polhb ricos, que son viscoel~sticos,E, no necesariamente es positivo; estos fluidos se aria. lizan en el siguiente capítulo.) Si la energía cinética total más la energía potencial total en el sistema no cambia con el tiempo, se obtiene
que es el balance macroscópico de energiá mecánica en estado estacionario. Aquí h es la altura por arriba de algún plano dado elegido arbitrariamente. Luego, si se supone que es posible trazar una línea de flujo de corriente representativa que pase por el sistema, es posible combinar los términos A(p/p) y E, para obtener la siguiente relación aproximada (véase 57.8).
Luego, al dividir la ecuación 7.45 entre w,= w, = w, se obtiene
Aquí w,,, = W J w yE, = E&. La ecuación 7.4-7 es la versión que más se utiliza del balance de energía mecánica en estado estacionario. Para sistemas isotérmicos, el término de la integral puede calcularse en la medida en que se cuente con una expresión para la densidad como una funcibn de la presión. La ecuación 7.4-7 debe compararse ahora con la ecuación 3.5-12, que es la ecuación "clásica" de Ekrnoulli para un fluido no viscoso. Si, en el miembro derecho de realizado por e1 entorno y se la ecuación 3.5-12, simplemente se suma $1 trabajo resta el término de la disipación viscosa E, y las velocidades vuelven a interpretarse como promedios idóneos sobre las secciones transversales, entonces se obtiene la ecuación 7.4-7. Esto constituye un "argumento de plausibilidad" para la ecuación 7.47 y sigue preservando la idea fundamental de que el balance macroscópico de energía mecánica se deduce a partir de la ecuación de movimiento (es decir, a partir de la ley de conservación de la cantidad de movimiento). Para quienes estén interesados en esta cuestión, en 57.8 se proporciona la deducción completa del balance macroscópico de energía mecánica. Notas para flujo turbulento: i) Para flujos turbulentos se sustituye (v3) por (E?, y se ignora .la contribución de las fluctuaciones turbulentas. ii) Es práctica común reemplazar el cociente ($)/(v) por (ü)2.Para el perfil de velocidad empírico de ]a ley de la potencia que se proporciona en la ecuación 5.1-4,puede demostrarse que (d)/(v) = $$!(E)2, de modo que el error equivale aproximadamente a 6%.iii) A d e más, se omiten los paréntesis angulares y las barras superiores para simplificar la notación en flujo turbulento.
57.4 Balance macroscópico de energla mecánica
239
Continuar el problema del ejemplo 7.2-1 explicando la dispersión del chorro a medida que se mueva hacia arriba.
Fu@r m
pir c P o r T t
icrcik
bI
Ahora dejamos que el diámetro del chorro aumente con el incremento de z, como se muestra en la figura 7.2-l(b). Es conveniente trabajar con tres planos y hacer balances entre pares de planos. Se considera que la separación entre los planos 2 y 3 es muy pequeña. Al hacer un balance de materia entre los planos 1 y 2 se obtiene
Luego aplicamos el baIance d e energía mecánica d e la ecuación 7.4-5 o la ecuación 7.4-7 entre los dos mismos planos. Las presiones en los planos 1 y 2, ambas, son atmosféricas, y las partes móviles no realizan trabajo W,. Se supone que el término de ia disipación viscosa E, puede despreciarse. Si z se mide hacia arriba desde la salida del tubo, entonces gAh = g(h2 h l ) .=. g(h - O), ya que los planos 2 y 3 están muy próximos entre sí. Por tanto, el balance de energía mecánica resulta en
Ahora aplicamos el bahnce de cantidad de movimiento en la dirección z entre los planos 2 y 3. Debido a que la región es muy pequeña, despreciamos el ultimo témino en la ecuación 7.2-3. Ambos planos están a presión atmosférica, de modo que 10s términos de la presión no cantnbuyen. L a velocidad del fluido es cero en el plano 3, de modo que en el balance de cantidad de movimiento sólo quedan dos términos
Con base en las tres ecuaciones de arriba se obtiene
a partir de la ecuación 7.4-9 2
a partir de la ecuación 7.4-10
a partir de la ecuación 7.4-8
(7.4-11)
donde se conocen mg y ulw, = .riR:pvf. Cuando los valores numéricos se sustituyen en la ecuación 7.4-11, se obtiene h = 0.77 m. Quizit este resultado es mejor que el valor de 0.87 m que se obtuvo en el ejemplo 7.2-1, ya que explica la dispersión del chorro. Sin embargo, no hemos considerado la adhesion del agua al disco, que proporciona al montaje del disco y la varilla una masa efectiva algo mayor. Además, se ha despreciado la resistencia a la fricción de la varilla en el manguito. Es necesario correr un experimento para valorar la validez de la ecuación 7.4-10.
240 Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotennico
57.5 ESTIMACI~N DE LA PÉRDIDA VISCOSA
Esta sección trata los métodos para estimar la pérdida viscosa (o pérdida por fnG ción), E, que aparece en el balance macroscópico de energía mecánica. La expresih general para E, se proporciona en la ecuación 7.4-4. Para fluidos newtonianos in. compresibles, la ecuación 3.3-3 puede usarse para volver a escribir E, como
que muestra que es la integral de la velocidad local de disipación viscosa sobre el volumen de todo el sistema de flujo. Ahora se desea estudiar E, desde el punto de vista del análisis dimensional. cantidad @, es una suma de cuadrados de gradientes de velocidad; por tanto, su dimensiones son las de ( v ~ / I ~donde ) ~ , v,, y lo son una velocidad y una longitud ca. racterísticas, respectivamente. Por tanto, es posible escribir
donde 6, = (1, J U ~ ) ~ @y, df' = ló3dV son cantidades adimensionales. Si se usan 10s argumentos dimensionales de 933.7 y 6.2, observamos que la integral en la ecuaci6n 7.5-2 depende sólo de los varios grupos adimensionales que hay en las ecuaciones de variación y de varios factores geométricos que entran en las condiciones lúnite Por tanto, si el único grupo adirnensional significativo es un número de Reynolds, Re = Iov@/p,entonces la ecuación 7.5-2 debe tener la forma general una función adimensional de Re y varias relaciones geométricas
(7.5-3)
Enjujo en estado estacionario es preferible trabajar con Ia cantidad E, = E,/w, donde w = p(v)S es la velocidad de flujo másico que pasa por cualquier sección transversal del sistema de flujo. Si se elige que la velocidad de referencia vo sea (u) y que la longitud de referencia lo sea V?, entonces
donde e,, el factor de pérdidas porfricción, es una función de un número de Reynolds y de relaciones geométricas adirnensionales relevantes. El factor f se ha introducido de conformidad con la forma de otras ecuaciones relacionadas. Ahora queremos resumir lo que se sabe sobre el factor de pérdidas por fricción para las diversas pade de un sistema de tubería. Para un conducto recto, el factor de pérdidas por fricción está estrechamente lacionado con el factor de fricción. Consideramos sólo el flujo estacionario de fluido de densidad constante en un conducto recto de sección transversal S arbitra* ria pero constante, y longitud L. Si el fluido circula en la dirección zbajo el efecto df un gradiente de presión y de la gravedad, entonces las ecuaciones 7.2-2 y 7.4-7 convierten en (cantidad de movimiento en la dirección z ) Fe, (energía mecánica)
=
(pi
- p2)S + (pSL)g,
(7.5-5;
97.5
Estimación d e la pérdida viscosa
241
Al multiplicar por pS la segunda de estas ecuaciones y restar se obtiene
Si, además, el flujo es turbulento, entonces puede usarse la expresión para Ff+, en téxminos del radio hidráulico medio Rh (véanse las ecuaciones 6.2-16 a 6.2-18) de modo que
donde f es el factor de fricción que se analizó en el capítulo 6. Debido a que esta ecuación es de la forma de la ecuación 7.5-4, para flujo turbulento en secciones de tubena recta con sección transversal uniforme, se obtiene una relación simple entre el factor de pérdidas por fricción y el factor de fricción
Un tratamiento semejante para conductos de sección transversal variable encontrarse en el problema 7B.2. La mayor parte de los sistemas de flujo contienen varios "obstáculos", como accesorios, variaciones repentinas de diámetro, válvulas o aparatos para medir el flujo. Estos obstáculos también contribuyen a la pérdida por fricción E,. Tales resistencias adicionales pueden escribirse en la forma de la ecuación 7.5-4, con e, determinado por uno de dos métodos: ca) solución simultánea de los balances macroscópicos o b) mediciones experimentales. En la tabla 7.5-1 se muestran algunos valores aproTabla 7.5-1
Breve resumen d e los factores d e pérdida por fricción para utilizar con la ecuación 7.5-10 (Valores aproximados para flujo t ~ r b u l e n t o ) ~
e,
Perturbaciones Cambios repentinos en el área d e la sección transversalb Entrada al tubo redondeada Contracción repentina Ensanchamiento repentinoC Orificio (de borde afilado) Accesorios y válvulas Codos de 90" (redondeados) Codos de 90" (cuadrados) Codos d e 45" Válvula esférica (abierta) Válvula de compuerta (abierta) -
-
-
-
0.4-0.9 2.3-1.9 0.3-0.4 6-10 0.2 -
-
-
Tomados de H Kramers, Physische Transportversch~~nselen, Technische Hogeschool Delft, Holanda (19581,pp. 53-54. Aquí p = (área de la sección transversal menor)/(área de la sección transversal mayor) Véase la deducción a partir de los balances macroscópicos en e1 ejemplo 7.6-1 Si p = 0, entonces fu = f donde es la velocidad corriente arriba a partir del ensanchamiento. a
242 Capítulo 7
Balances macroscópicos para sistemas con flujo isoténnico
ximados de e, para Ia convención de que (u) es la velocidad media corriente abajo desde la perturbación. Estos valores de e, son parapujo turbulento en el que la de. pendencia respecto al número de Reynolds no es demasiado importante. Ahora ya es posible volver a escribir la ecuación 7.4-7 en la forma aproxima& que suele usarse para cálculos depujo turbulento en un sistema compuesto por va. rios tipos de tubería y resistencias adicionales:
operación suma sobre todas las secciones de tramos redos
operación suma sobre todos los accesorios, v&lvuks,medidom, etc.
Aquí Rh es el radio hidráulico medio que se definió en la ecuación 6.2-16, f es el factor de fricción que se definió en la ecuación 6.1-4 y e, es el factor de pérdidas por fricción que se proporciona en la tabla 7.5-1. Nótese que vl y v2 en el primer término se refieren a las velocidades en 10s planos 1 y 2;la v en la primera operación suma es la velocidad media en el i-ésimo segmento de la tubería; y la v en la segunda operación suma, es la velocidad media corriente abajo a partir del i-ésimo accesorio, válvula u otro obstáculo.
para el flujo en una tubería
¿Qué potencia es necesaria para bombear agua en estado estacionario en el sistema que se = 1.0 cp) debe suministrarse muestra en la figura 7.5-l? El agua a 68 "F ( p = 62.4 lb,/pies3; al tanque superior a razón de 12 pies3/min. Toda la tubería está constituida por tubos circw lares lisos de 4 pulg de diámetro interior.
Figura 7.5-1 Flujo en una tubería con pérdidas por fricción debido a los accesorios. Los planos l . y 2 están justo abajo de la superficie del líquido.
57.5 Estimación de la pérdida viscosa 243
soLUCION La velocidad media en la tubería es
-
W/P (12/60) = 2.30 pies/s (v) = 7 rR2 d1/6)
y el número de Reynolds es
Por tanto, el flujo es tu$ulmto. La contribución a E, de los distintos segmentos d e la tubería es
La contribución a E,de la contracción repentina, los tres codos de 90n y el ensanchamiento repentino (véase la tabla 7.51) es
Así, por la ecuación 7.5-10 se obtiene
Al despejar W, se obtiene
Éste es el trabajo (por unidad de masa de fluido) realizado sobre el fluido en la bomba. Por tanto, la bomba realiza un trabajo de 2830 pies2/$, o 2830/32.2 = 88 pies lb,/lb, sobre el fluido que pasa por el sistema. Entonces, la veIocidad de flujo másico es
Por consiguiente,
-
W m w%
=
(12.5)(88)= 1100 pies Ib/s
que es la potencia entregada por la bomba.
=
2 hp = 1.5 kW
(7.5-18)
244 Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotQmico
Tabla 7.6-1 Balances rnacroscópicos en estado estacionario para flujo turbulento en sistema, isotérrnicos -
Materia:
(6) -
-
Cantidad de movimiento:
Z(vlwl + plSl)ul - z ( v 2 ~ 2+ ~ 2 s 2 ) ~+2
Cantidad de movimiento Z(vlwl t p,S,)[rl x u11 - z(v2w2 + p2S2)[r2 X angular:
= Ff+~
u21 + T e x t = Tf+s (O
Notas: a) En todas las fórmulas de la tabla se suponen perfiles de velocidad planos. b) Cwl = wlQ+ wlb + wlc + ..., donde wlQ= pl,vl,Sl,, etc. c) h, y h2 son alturas por arriba de un plano dado arbitrario. d) Todas las ecuaciones están escritas para flujo compresible; para flujo incompresible, E,
57.6
= 0.
USO DE LOS BALANCES MACROSCOPICOS PARA PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO
En s3.6 vimos cómo al simplificar las ecuaciones de variación se establecen las ecuaciones diferenciales que permiten calcular los perfiles de velocidad y presión para sistemas de flujo isotérmicos. En esta sección mostramos cómo usar el conjunto de balances macroscópicos en estado estacionario a fin de obtener las ecuaciones alge braicas para describir sistemas grandes. Para cada problema empezamos con los cuatro balances macroscópicos. Al mantener e1 rastro de los términos eliminados o aproximados, automáticamente se tiene una lista completa de las suposiciones inherentes en el resultado final. Todos los ejemplos que se proporcionan aquí son para flujo isotérrnico incompresible. La suposición de incompresibilidad significa que la velocidad del fluido debe ser m e nor que la velocidad del sonido en el fluido y que los cambios de presión deben ser tan pequeños que sea posible despreciar los cambios de densidad resultantes. Los balances macroscópicos en estado estacionario pueden generalizarse sin problema para sistemas con mUltiples corrientes de entrada (denominadas la, lb, lc,. ..) y múltiples corrientes de salida (denominadas 2a, 2b, 2c,. . .). Estos balances se resumen en la tabla 7.6-1 para flujo turbulento (donde se considera que los perfiles de velocidad son planos).
Aumento de presion Y pérdida por ficción en un ensanchamiento brusco
Un fluido incompresible circula desde un pequeño tubo circular hacia un gran tubo en flujo turbulento, como se muestra en la figura 7.6-1. Las áreas de las secciones transversales de 10s tubos son SI y S2.Obtener una expresión para el cambio de presión entre los planos 1 y 2 Y para la pérdida por fricción asociada con el ensanchamientobrusco en la sección transversal. Sea = S1/SZ, que es menor que la unidad.
a) Balance de materia. Para flujo estacionario, al hacer el balance de materia se obtiene
w,= w, o bien,
plvISÍ = p2v2S2
(7.6-1)
s7.6 Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado estacionario
Plano 1 I
245
Piano 2 I
Tubo sección trawversál es de área SI
\Superficie en nf Y -', de arandela" de &a S, - SI
Tubo tihdnco cuya seccibn transversal es de &ea S,
Figura 7.6-1 Flujo a tra1.6~d e un ensanchamiento repentirio.
Para un fiuido de densidad constante, lo anterior queda como
b) Balance de cantidad de movimiento. La coniponente corriente abajo del balance de cantidad de movimiento es
La fuerza Ff,, consta de dos partes: la fuerza viscosa sobre las superficies cilíndrica y paralela a la dirección del flujo, y la fuerza de presión sobre la superficie en forma de arandela justo a la derecha del plano 1 y perpendicular al eje del flujo. Despreciamos la primera coiitribución (por intuición) y consideramos que la posterior es p1(S2 - SI}al suponer que la presión sobre la superficie en forma de arandela es la misma que la del plano 1. Luego, usando la ecuación 7.6-1, se obtiene
Al despejar la diferencia de presión se obtiene
o bien, en términos de la velocidad corriente abajo,
Nótese que el baIance de cantidad de movimiento pronostica (correctamente)un aumento eii la presión.
Balance de cantidad de movimiento angular. Este balance no es necesario. Si toinamos t.1 origen de coordenadas sobre el eje del sistema en el centro de gravedad del fluido localiz'ido entre los planos 1 y 2, entonces [rl x u*]y Ir2 X u21 son, ambos, cero, y sobre e1 sisteina d e flujo no hay momentos de torsión. c)
d) Balance de ene'gi'a mecúnica. No hay pérdida por compresión ni se realiza trabajo ri través de las partes móviles y tampoco hay cambio de elevación, de modo que
246
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico Luego, al insertar la ecuación 7.64 para el aumento de presión se obtiene, después de mdenar los términos,
que es un elemento de la tabla 7.5-1. En este ejemplo se ha mostrado cómo usar los balances macroscópicos para estimar el factor de pérdidas por fricción para una simple resistencia en un sistema de flujo. Debido a las suposiciones mencionadas después de la ecuación 7.6-3, los resultados en las ecuaciones 7.6-6 y 7.68 son aproximados. Si se requiere bastante precisión, es necesario introducir un factor de corrección basado en datos experimentales.
eyector líquidolíquido
En la figura 7.6-2 se muestra el diagrama de un eyector líquido-líquido. Se desea analizar la mezcla de dos corrientes, ambas del mismo fluido, por medio de los balances mstcroscópicos, Las dos corrientes de fluido se fusionan en el phno 1. La corriente l a tiene una veiocidad u. y el área de su sección transversal es $S1, y k corriente 1b tiene una velocidad $uo y el área de su sección transversal es :S1. El plano 2 corriente abajo se elige a una distancia suficiente pa. ra que las dos corrientes ya se hayan mezclado y la velocidad es casi uniforme en v2. El flujoes turbulento y se supone que los perfiles de velocidad en los planos 1 y 2 son planos. En el análisis siguiente se desprecia F ya que se percibe que es menos importante que los o h s términos en el balance de cantidadde movimiento.
a) Balance de materia. En estado estacionario, la ecuación A de la tabla 7.6-1 proporciona
o bien,
Por tanto, ya que SI
=
S2,esta ecuación da
para la velocidad de la corriente de salida. También se observa, para uso posterior, que w,,=
wzb= +w2
Figura 7.6-2 Flujo en una
bomba eyectora líquidolíquido.
57.6 Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado estacionario
247
b) Balance de cantidad de movimiento. A partir de la ecuación B de la tabla 7.6-1, la componente del balance de cantidad de movimiento en la dirección de flujo es (vipwla + vlbWlb $ plsl)
'
- ( ~ 2 ~ ~ 2$ 2 ) = O
o bien, usando la relación al. final del inciso a),
a partir de 10 cual
Ésta es la expresión para el aumento de presión que resulta de la mezcla de las dos corrientes. c)
Balance de cantidad de movimiento angular. Este balance no es necesario.
d) Balance de energía mecánica. La ecuación D de la tabla 7.6-1 da
o bien, usando la relación al final del inciso a), se obtiene
Por tanto.
es la disipación de energía por unidad de masa. El análisis precedente proporciona resulta-
dos bastante aceptables para bombas eyectoras líquido-líquido. Sin embargo, en eyectores gas-gas la densidad varía de manera significativa y en el análisis es necesario incluir e1 balance macroscópico de la energía total, asi como una ecuación de estado. Esto se aborda en el ejemplo 15.3-2.
Empuje 'Obre un tubo
de
Por un codo de 60°, en el que hay una contracción de 4 a 3 pulg de diámetro interior, circula agua a 95°C a razón de 2.0 ~ i e s ~(véase /s la figura 7.6-3). Calcular la fuerza ejercida sobre el codo si la presión en el extremo corriente abajo es de 1.1 airn. La densidad y la viscosidad del agua para las condiciones del sistema son 0.962 g/crn3 y 0.299 cp, respectivamente.
El número de Reynolds para e1 flujo en el tubo de 3 pulg es
2413
Capítulo 7 Balances macrosc6picoc para sistemas con flujo isotérmico
Salida de fluido Piano 2
,
,t
i
-e-----
Fuerza ejercida por el fluxdo sobre el codo
Figura 7.6-3 Fuerza de reacción en un codo que se angosta en un tubo.
de Repolds el flu@es altamente turbulento, de modo que es razonable la para suposición de perfiles de velocidad planos. a) ~~l~~~~
Para flujo en estado estacionario, wl
de
=
w2.Si la densidad es constan-
te en todo el sistema,
donde p es la razón de la sección transversal menor a la sección transversal mayor. mecánica. Para flujo incompresible estacionario, la ecuación D de la tab) ~~l~~~~ de bla 7.6-1 se vuelve, para este problema,
Según la tabla 7.5-1Y la ecuación 7.5-4, podemos tomar la pérdida por fricción aproximada2 I 2) = iv;. Al insertar esto en la ecuación 7.6-20 y usar el balance de materia, mente como 5(2v2 se obtiene
p, - p,
= pd(4 -
i p + i)-t @(h, - h,)
(7.621)
Ésta es la caída de presión a través del codo en términos de la velocidad conocida q y el factor geométrico @ conocido.
de mmimientu. Ahora es necesario considerar las componentes r y y Balalrce de del balance de cantidad de movclento. Los vectores unitarios de entrada y de tienen = 1, u 'Y = O, uz, = tos 8 y uZy = sen e. componentes x y t j dadas por ~ ~ la componente í , r del balance de cantidad de movimiento proporciona C)
Fx = ( v ~ +upis1) ~ -(
+
~ ~ 7 pZs2) 4 ~ COS ~
%
(7.6-2V
donde FI es la ~ ~ m p o n e n ~ e x d Al e Fintroducir ~+~ las expresiones específicas para w,y m, 4 obtiene
F = ~l(pvlsi) - ~ ~ ' 2 COs r ~ +~ pIs1 ~ ~ - ~~ 2 )' 2 'Os = &S,(B - COS 0) + + p l - p2)S1 + p2(S1- s2COS 0)
57.6
Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado estacionario
249
Al sustituir aquí la expresión para pl - p2 de la ecuacibn 7.6-21 se obtiene
La componente y del balance de cantidad de movimiento es
F = -(v2w2 Y
+ p2S2) sen 8 - m,,&
o bien,
FY = - W ~ ( ~ S , )sen - ~ e - p2S2 sen 8 - rrR2Lpg
(7.6-26)
donde R y L son el radio y la longitud de un cilindro aproximadamente equivalente. Ahora se tienen las componentes de la fuerza de reaccián en términos de cantidades cnnocidas. Los valores numéricos necesarios son p = 60 Ib,/pies3
w
(2.0) 0) = 1201b,/s
=
cos 8 sen
p,
=
e=
=
f. +~
16.2 lbf/pulg2
Así, con esos valores se obtiene
Por tanto, la magnitud de la fuerza es
IFI
= ~ = \ / 3 0 4 ~ + 2 3 4 ~ = 3 8 4 1 b ~ = 1 7 0 8 ~
El ángulo que esta fuerza hace con la vertical es a = arctan(F,/F ) Y
=
arctan 1.30 = 52"
(7.6-30)
Al mirar en retrospectiva el cálculo, se observa que todos los efectos que se incluyeron son importantes, con la posible excepción de los términos de la gravedad de 2.6 Ibfen F, y 2.5 lbf en F,,.
250 Capítulo 7 Balances ma~oscópicospara sistemas con flujo isoténnico
Charro que incide
Un chorro rectangular de espesor bl de un fluido incompresible sale de una ranura de ancho c, choca contra una lámina plana y se separa en dos corrientes de espesores b2, y b2b,corno se muestra en la figura 7.6-4. La corriente turbulenta del chorro que brota, tiene una velocidad vl y una velocidad de flujo másico wl.Encontrar las velocidades y las velocidades de flujo másico en las dos corrientes sobre la lámina.'
Despreciamos la disipación viscosa y la gravedad, y suponemos que 10s perfiles de velocidad de las tres corrientes son planos y que sus presiones son esencialmente iguales. Entonces, al hacer los balances macroscópicos se obtiene
Balance de materia WI =
W&
+ W2b
Balance de cantidad de movimiento (en dirección paralela a la lámina) vIwi cos 8 = V=W& - ~~~w~~
Balance de energía mechnica
%wl
= $v&w&
+ i$2b~2b
Boquilla en forma
El fluido sale del chorro con una
Velocidadv, Velocidad de flujo másico w2b
Figura 7.6-4 Chorro que incide contra una pared y se divide en dos corrientes. El punto 0, que es el origen de coordenadas para el balance de cantidad de movimiento angular, se toma como la intersección de la Iínea central del chorro de entrada y un plano que está a una altura Ib,.
'
Para soluciones alternativas de este problema, vease G.K.Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1967), pp. 392-394, y S. Whitaker, Introduction to Fluid Dynamics,Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1968), p. 260. J.V. Foa, U.S. Patent 3,361,336 ( 2 de enero, 19681, proporciona una aplicación del problema del chorro cmpresible que incide,Ahí se utiliza el hecho de que si La boquilla en forma de ranura se mueve a la izquierda en la figura 7.6-4 (es decir, a la izquierda respecto a la lámina), entonces, para un fluido compresible, la corriente derecha será más fría que el chorro y la corriente izquierda será más caliente.
57.6 Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado estacionario
251
Balance de cantidad de movimiento angular (el origen de coordenadas se coloca en la línea central del chorro y a una altura de ibl; esto se hace así a fin d e que en el chorro de entrada no haya cantidad de movimiento angular)
La ultima ecuación puede volver a escribirse para eliminar las b a favor de las w.Debido a que w, = pu,b,c y w, = m2ab2a~, podemos sustituir bl - b2, por (wl/pvlc) - ( w 2 n / ~ h cy) reemplazar b, - b2b de manera correspondiente. Así, el balance de cantidad de movimiento angular se convierte en
-
o bien,
Ahora se tiene que las ecuaciones 7.6-31,7.6-32,7.6-33 y 7.6-36 son cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Una vez que se resuelven estas ecuaciones, se obtiene
v, = v,
W2,= i w l ( l
vzb = u,
W Z b = fwl(l
+ cos 6) -
COS
0)
Por tanto, las velocidades de las tres corrientes son iguales. El mismo resultado se obtiene al aplicar la ecuación clásica de Bernoulli para e1 flujo de u n fluido no viscoso (véase el ejemplo
EJEMPLO 7.6-5 Flujo isotémico de un líquido a través de un orificio
Un método común para determinar la velocidad de flujo másico a través de un tubo es medir la caida de presión a través de algún "obstáculo" en el tubo. Un ejemplo de esto es el orificio, que es una lámina delgada con una perforación en el centro. Hay tomas de presión en los planos 1 y 2, corriente arriba y corriente abajo de la lámina con cl orificio. En la figura 7.6-5a se muestra el medidor de orificio, las tomas de presión y el comportamiento general de los perfiles de velocidad como se observan experimentalmente. Se supondrá que el perfil de velocidad en el plano 2 es plano. En la figura 7.6-5b se muestra un perfil d e velocidad aproximado en el plano 2, que usaremos en la aplicación de los balances macroscopicos. La ecuación normal del medidor de orificio se obtiene al aplicar los balances macroscópicos de materia y de energía mecánica.
a) Balance de materia. Para u n fluido de densidad consiante con u n sistema para el que SI = S, = S, el balance de materia en la ecuación 7.1-1 da
Con los perfiles de velocidad supuestos, lo anterior queda como
y el caudal volumétrico es w
=
p1S.
252 Capítulo 7 Balances macrosc6picos para sistemas con flujo isotérmico S, = ceccibn transversal del cubo = S2
I
I
l
I
Piano0
Plano 2
Figura 7.6-5 a) Orificio de borde afilado, que muestra los perfiles de velocidad aproximados en varios planos cerca de la lámina con el orificio. El chorro de fluido que sale de la perforación es
ligeramente menor que el orificio en si. En flujo altamente turbulento, este chorro se reduce a una sección transversal mínima correspondiente al charro contraído. El valor de este estrechamiento del chorro puede proporcionarse por el coeJiciente de contraccidn, C, = (Schom contraido/SO),.Cegún la teoría de flujo no viscoso, C, = T/(T+ 2) = 0.611 si S0/S7 = O [ H . Lamb, Hydrodynamtcs, Dover, Nueva York (19451, p. 991. Nótese que cerca de la pared hay algo de flujo de retroceso. b) Para estimar ( v ~ ) / { u se z ) us6 e1 perfil de velocidad aproximado en el plano 2 .
b) Balance de energia mecánica. Para u n fluido de densidad constante eri un sistema de flujo sin cambio de eIevaci6n ni partes mbvilec, la ecuación 7.4-5 d a l(v3
~(V;):P*-PI ;&=o
2 (u*)
2' (VI)
P
La pérdida viscosa E, se omite, incluso si ciertamente no es igual a cero. Con IQS perfiles de velocidad supuestos, entonces la ecuación 7.6-43 se convierte en
Cualido las ecuaciones 7.6-42 y 7.6-44 se combinan para eliminar vo, es posible despejar v , pa. ra obtener
57.7 Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado no estacionario 253 Ahora es posible multiplicar por pS para obtener la ylocidad de flujo másico. Luego, para explicar los errores que se introdujeron al despreciar E, y por las suposiciones concernientes a los perfiles de velocidad, se incluye un coeficiente de descarga, Cd, y se obtiene
Los coeficientes de descarga experimentales se han correlacionado como una función de So/C y el número de R e y n o l d ~Para . ~ numeros de Reynolds mayores que lo4, Cd tiende aproximadamente a 0.61 para todos los valores prácticos de So/S. Este ejemplo ha ilustrado el uso de los balances macroscopicos para obtener la forma general de1 resultado, que luego se modifica al introducir una función multiplicativa de gmpos adimensionales para corregir errores introducidos por suposiciones no garantizadas. Esta combinación de balances macroscópicos y consideraciones dimensionales se usa a menudo y puede ser bastante útil.
$7.70 USO DE LOS BALANCES MACROSC~PICOS PARA PROBLEMAS DE ESTADO NO ESTACIONARIO
En la sección anterior s e ilustró el uso de los balances macroscópicos para resolver problemas d e estado estacionario. En esta sección nos dedicaremos a problemas d e estado no estacionario. Proporcionamos d o s ejemplos para ilustrar el uso de las ecuaciones de balance macroscópico dependientes del tiempo.
Un cilindro abierto de altura H y radio R está inicialmente lleno de un líquido. En el instante t = O se deja que el líquido se vacíe por gravedad a través de un pequeño orificio de radio Ro situado en el fondo del tanque (véase la figura 7.7-1).
estacionario desde un tanque cilindrico
a) Encontrar el tiempo de vaciado usando el balance de materia en estado no estacionario y suponiendo que la ecuación de Torricelli (véase el problema 38.14) describe la relación entre la velocidad de vaciado y la altura instantánea del líquido. b) Encontrar el tiempo de vaciado usando los balances de materia y de energía mecánica en estado no estacionario.
a) Aplicamos la ecuación 7.1-2 al sistema de la figura 7.7-1, considerando que el plano 1 está en la parte superior del tanque (de modo que w,= O). Si la altura instantánea del líquido es h(t),entonces
G.L. Tuve y R.E. Sprenkle, Instrum
254
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Salida de radio Ro
Figura 7.7-1 Vaciado de un tanque cilíndrico.
Aquí se ha supuesto que el perfil de velocidad en el plano 2 es plano. Según la ecuación de Torricelli u2 =
m,de modo que la ecuación 7.7-1 se convierte en
Cuando lo anterior se integra desde t = O hasta t =,,,t
se obtiene
donde N = (R/R# >> 1. Ésta es efectivamente una solución de estado casi estacionario, ya que se ha utilizado el balance de materia en estado no estacionario junto con la ecuación de TorricelIi, que se dedujo para flujo en estado estacionario.
b) Ahora se usan la ecuación 7.7-1 y el balance de energia mecánica en la ecuación 7.4-2. En éste, los términos W, y E, son también cero, y se supone que E" es muy pequeño y despreciable, ya que los gradientes de velocidad en el sistema también lo serán. Tomamos el plano dado para la energía potencial como si estuviese en el fondo del tanque, de modo que &, = gz2 = O; en el plano 1 no entra líquido, y por consiguiente el término de la energía potencial no se necesita ahí. Debido a que la parte superior del tanque se encuentra abierta a la atmósfera y a que el tanque se vacía hacia ésta, las contribuciones de presión se cancelan entre sí. Para obtener la energía cinética total en el sistema en cualquier instante t, es necesario conocer la velocidad de todo elemento del fluido en el tanque. En cualquier punto en el tanque, se supone que el fluido se está moviendo hacia abajo a la misma velocidad; a saber, U ~ ( R , / R ) ~ , de modo que la energía cinética por unidad de volumen es en todas partes +&(R,/R)~. Para obtener la energía potencial total en el sistema en cualquier instante t, es necesario integrar desde O hasta h la energía potencial por unidad de volumen pgz sobre el volumen del fluido. Así se obtiene ~ R ' ~ g ( ~ h ~ ) . Por consiguiente, el balance de energía mecánica en la ecuación 7.4-2 se convierte en
A partir del balance de materia en estado no estacionario, u2 = - ( ~ / ~ ~ ) ~ ( d hCuando / d t ) . esto se inserta en la ecuación 7.7-4, se obtiene (luego de dividir entre dhjdt)
97.7 Uso de los balances macrosc6picos para problemas de estado no estacionario 255 Esto debe resolverse con las dos condiciones iniciales:
C.I. 1:
en t = 0,
C.I. 2:
en t = O,
h=H @=J~~H(R,,/R)~ dt
(7.7-6) (7.7-7)
La segunda de estas expresiones es la ecuación de Torricelli en el instante de tiempo inicial. La ecuación diferencial de segundo orden para h puede convertirse en una ecuación de primer orden para la función u(h)haciendo el cambio de variable (dh/dt)2 = u. Así se obtiene
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación de primer orden es1
Entonces, la segunda condición inicial da C = -4g/lN(N - 2)HN-2] para la constante de integración; debido a que N >> 1, no es necesario preocuparse por el caso especial cuando N = 2. A continuación es posible extraer la raíz cuadrada de la ecuación 7.7-9 e introducir una altura adimensional 7 = h / H del líquido; así se obtiene
donde el signo menos debe elegirse con base en consideraciones físicas. Esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables se puede integrar desde t = O hasta t = tvacibdo para llegar a
La función ~ Nproporciona ) la desviación respecto a la solución de estado casi estacionario que se obtuvo en la ecuación 7.7-3.Esta función puede evaluarse como sigue:
'
Véase E. Kamke, Di~erentialgleichungen:Liisungsrnethoden und Losungen, Chelsea Publishing Company, Nueva York (19481, p. 321,t1.94; G . M . Murphy, Ordinary Differential Equations and Their Solutions, Van Nostrand, Princeton, N.J.(19óO),p. 236, U157.
256 C a p í t u l ~ 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico Ahora es posible efectuar las integraciones. Cuando el resultado se expande en potencias in. versas de N, se encuentra que
Debido a que N = ( R / R ~es) ~un número muy grande, resulta evidente que el factor $(N) difiere sólo muy ligeramente de la unidad. Se sugiere volver ahora a la ecuación 7.74 y omitir el término que describe el cambio con el tiempo de la energía cinética total. Si se hace esto, se obtiene exactamente la expresión para el tiempo de vaciado en la ecuación 7.7-3 (o la ecuación 7.7-11, con $(N) = 1). Por consiguiente, podemos concluir que en este tipo de problema, el cambio de la energía cinética con el tiempo puede despreciarse con toda seguridad.
Oscilaciones en un
manómetro2
El líquido contenido en un manómetro de tubo en U, inicialmente en reposo, se pone en me vimiento repentinamente al aplicar una diferencia de presión p, - pb. Determinar la ecuación diferencial para el movimiento del. fluido en el rnanómetro, suponiendo flujo incompresible y temperatura constante. Obtener una expresión para eI radio del tubo al que ocurre amortiguamiento critico. Despreciar el movimiento del gas que está arriba del líquido en el manómetro. En la figura 7.7-2 se resume la notación.
Designamos el líquido manométrico como el sistema al que se aplicarán los balances macroscópicos. En ese caso no hay planos 1 y 2 de entrada y salida del líquido. Las superficies libres del líquido son capaces de realizar trabajo W msobre el entorno, y así desempeñar el papel. de las partes mecánicas móviles de 97.4. Aplicamos el balance de energía mecánica de la ecuación 7.4-2, con E, igual. a cero (porque el liquido en el rnanómetro se considera incompresible). Debido a la elección del sistema, ambas w l y w2son cero, de modo que los únicos términos en el miembro derecho son W my -E,. A fin de evaluar dKto,/dt y E, es necesario hacer algún tipo de suposición sobre el perfil de velocidad. Aqui consideramos que el perfil de velocidad es parabólico:
donde (v) = & / d i es una función del tiempo, definida como positiva cuando el flujo es de izquierda a derecha. Entonces, el término de la energía cinética puede evaluarse como sigue:
Para un resumen del trabajo experimental y teórico sobre oscilaciones en un manómetro, véase J.C.Biery, AlChE lournal, 9,646-614(1963);10,551-557(1964); 15,631-634(1969).Los datos experimentales de Biery muestran que la suposición hecha en la ecuación 7.7-14 no es muy buena.
57.7
Uso de los balances macroscópicos para problemas de estado no estacionario 257
ve1 del en t :
Area de la sección 'transversal transversal S = TRZ
Figura 7.7-2 Oscilaciones amortiguadas del fluido en un rnanómetro.
Aquí 1 es una coordenada que varía a lo largo del eje del tubo del manómetro, y L es la distancia a lo largo de este eje desde una interfase del rnanómetro hasta la otra; es dec.ir, la longitud total del fluido en el manómetro. La coordenada adimensional 6 es r / R , y S es el área de la sección transversal de1 tubo. El cambio de energía potencial con el tiempo está dado por
"=a 1 dt d t o o L
7.n
loR
intregal sobre la abajo de i-0. que es constante
= d[(porci6n
dt
( p g ~ )dr r d o di
+ *.S
K+H-R
rlz +
K+H-h O
dz]
El término de pérdida viscosa también puede evaluarse como sigue:
Además, el trabajo neto realizado por el entorno sobre el sistema es
Luego, al sustituir los términos anteriores en el. balance de energía mecánica y hacer {v) = dh/dt se obtiene la ecuación diferencial para h(t) como
258 Capítulo 7 %lances macroscÓpicos para sistemas con flujo isotérrnico que debe resolverse con las condiciones iniciales de que h = O y d k / d t = O en t = O. Esta ecua. ción diferencial lineal no homogénea de segundo orden puede hacerse homogénea introduciendo una nueva variable k definida por
Entonces la ecuación para el movimiento del líquido en el manómetro es
Esta ecuación también se presenta en la descripción del movimiento de una masa conectada a un resorte y un amortiguador, y de la corriente que pasa en un circuito RLC (véase la a a ción C.1-7). Ahora intentamos una solución de la forma k = Pt.Al sustituir esta función de ensayo en la ecuación 7.7-21 se observa que hay dos valores admisibles para m:
y la solución es
k
=C
k
=
+ C-p - t
ClP1 + C2temt
cuando m # m+
cuando m+ = m-
=
m
donde las constantes se determinan a partir de las condiciones iniciales. El tipo de movimiento que exhibe el líquido en el manómetro depende del valor del discriminante en la ecuación 7.7-22: a) Si (6p/p~2)2> (6g/L),
el sistema está sobreamortiguado, y el líquido se mueve lentamente hacia su posición final.
b) Si (6p/p~2}2 < (6g/L),
el sistema está subamortiguado, y el liquido oscila alrededor de su posición final con una amplitud cada vez menor.
C)
Si (6F/pR2)2
-
(6g/L),
el sistema está críticamente amortigundo, y el líquido se mueve hacia su posición final en la forma monótona más rápida.
Así, el radio del tubo para el caso de amortiguamiento crítico es
Si el radio R del tubo es mayor que R,,
ocurre un movimiento oscilatorio.
En la ecuación 7.4-2 se presentó sin demostración el balance macroscópico de energía mecánica. En esta sección demostramos cómo se obtiene la ecuación al integrar
' R.B.Bird, Korean J. Chcm. Eng.,15,105-123(1998),§3.
57.8 Deducción del balance macroscópico de energia mecánica
259
la ecuación de variación para energía mecánica (ecuación 3.3-2) sobre todo el volumen del sistema de flujo de Ia figura 7.0-1. Empezamos por hacer la integración formal:
Luego aplicamos la fórmula tridimensional de Leibniz (ecuación A.5-5) al miembro izquierdo y el teorema de divergencia de Gauss (ecuación A.5-2) a los términos 1,2 y 3 del miembro derecho.
El término que contiene a vs, la velocidad de la superficie del sistema, surge por la aplicación de la fórmula de Leibniz. La superficie S(t) consta de cuatro partes: e
la superficie fija Sf (donde ambas v y vs son cero), las superficies móviles S, (donde v = vs son ambas diferentes de cero),
e
la sección transversal del puerto de entrada SI (donde vs = O), la sección transversal de1 puerto de saiida S2 (donde vs
=
0).
Por ahora, cada una de las integrales de superficie se separará en cuatro partes correspondientes a estas cuatro superficies. Ahora interpretamos los términos en la ecuación 7.8-2 y, en el proceso, introducimos varias suposiciones, mismas que ya se han mencionado en 597.1 a 7.4, pero ahora se aclararán las razones por las que se establecieron. El término en el miembro izquierdo puede interpretarse como la razón de cambio respecto ai tiempo de las energías cinética y potencial totales (K,,, + @), dentro del "volumen de control", cuya forma y volumen cambian con el tiempo. A continuación analizamos uno por uno los cinco términos del miembro derecho: El férrnino 1 (incluyendo el signo menos) contribuye sólo en los puertos de entrada y de salida y proporciona las velocidades de aporte y emisión de las energías cinética y potencial: - (+4(v23)S2 Término 1 = tipl(v~)S,f plQ>l(vl)~l)
+ p26Z(v2)~2)
(7.8-3)
Los paréntesis angulares indican un promedio sobre la sección transversal. Para obtener este resultado debe asumirse que la densidad del fluido y la energía potencial por unidad de masa son constantes sobre la sección transversal, y que el fluido circula en dirección paralela a las paredes del tubo en los puertos de entrada y de salida. El primer término en la ecuación 7.8-3 es positivo, ya que en el plano 1, (-n V) = (U, . (ulvT))= ul,y el segundo término es negativo, ya que en el plano 2, (-n v) = (-U 2 (U2 v 2)) = -z?2'
1 260 Capítulo 7
Balances rnacroscópicos para sistemas con flujo isotérmico El término 2 (incluyendo el signo menos) no contribuye a S,porque v es cero a&, Sobre cada elemento de superficie dS de S,, hay una fuerza -npdS que actúa sobre una superficie que se mueve a una velocidad v, y el producto punto de estas cantidades proporciona la velocidad a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido a través del elemento de superficie móvil dS. Usamos el símbolo para indicar la suma de todos estos términos de superficie. Además, las integrales sobre las s u m ficies estacionarias Sí y S2 proporcionan el trabajo necesario para empujar el fluido hacia el sistema en el plano 1 menos el trabajo necesario para empujar el fluido fuera del sistema en el plano 2. En consecuencia, finalmente el término 2 da
w?)
Término 2 = pl(vl)Sl - ~
2 ( ~ 2+ ) ~ W$) 2
(7.84)
Aquí hemos supuesto que la presión no vana sobre la sección transversal en los puertos de entrada y de salida. El férmino 3 (incluyendo el signo menos) no contribuye a Sfporque v es cero a&, La integral sobre S, puede interpretarse como la velocidad a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido por medio de las fuerzas viscosas, y esta integral se designa por Wm+). En los puertos de entrada y de salida se acostumbra despreciar los términos de trabajo asociados con las fuerzas viscosas, ya que por regla genera1 son bastante pequeños en comparación con las contribuciones de la presión. Por consiguiente, se obtiene Término 3
=
w:)
(7.8-5)
Ahora introducimos el símbolo W, = w$) + Wg) para representar la velocidad total a la que el entorno realiza trabajo sobre el fluido dentro del sistema por medio de las superficies móviles. Los términos 4 y 5 ya no pueden simplificarse más; por tanto, se define Término 4
=
+
1 p(V .
v) dV = - E ,
V(t)
Término 5 =
+
(7:Vv) dV = - Ei V(t)
Para fluidos newtonianos, la pérdida viscosa E, es la velocidad a la que la energía mecánica se degrada irreversiblemente en energía térmica debido a la viscosidad del fluido y siempre es una cantidad positiva (véase la ecuación 3.3-3). En 37.5 ya he rnos analizado métodos para estimar E,. (Para fluidos viscoelásticos, que analiza* mos en el capíhdo 8, E, debe interpretarse en forma diferente y puede incluso m negativa.) El término de compresión E, es la velocidad a la que la energía mecánicll cambia reuersiblemenfe en energía térmica debido a la compresibilidad del fluido; puede ser positivo o negativo. Si el fluido se considera como incompresible, entonces E, es cero. Una vez que todas las contribuciones se insertan en la ecuación 7.8-2, finalmente se obtiene al balance macroscópico de energía mecánica:
57.8 Deducción del balance macroscópico de energía mecánica 261 Si ahora introducimos los símbolos wl= p,(v,)S, y w, = p2(u2)S2para las velocidades de flujo másico de entrada y de salida, entonces la ecuación 7.8-8 puede volver a escribirse en la forma de la ecuación 7.4-2. En este desarrollo se han hecho varias suposiciones, pero normalmente no son serias. Si la situación lo garantiza, es posible volver atrás e incluir los efectos que se despreciaron. Debe observarse que la deducción anterior del balance de energía mecánica no requiere que el sistema sea isotérmico. Por consiguiente, los resultados en las ecuaciones 7.4-2 y 7.8-8son válidos para sistemas no isotérmicos. Para obtener el balance de energía mecánica en la forma de la ecuación 7.4-7 es necesario desarrollar una expresión aproximada para E,. Imaginamos que hay una línea de flujo de corriente representativa que atraviesa el sistema, e introducimos una coordenada S a lo largo de dicha línea. Suponemos que Ia presión, la densidad y la veIocidad no varían sobre la sección transversal. Además imaginamos que en cada posición a lo largo de la línea de flujo de corriente hay una sección transversal S(s) perpendicular a la coordenada S, de modo que podemos escribir dV = S(s)ds. Si en el sistema hay partes móviles y si la geometría del sistema es compleja, tal vez no sea posible hacer lo anterior. Comenzamos por usar el dato de que (V pv) = O en estado estacionario, de mod o que
Luego usamos la suposición de que la presión y la densidad son constantes sobre la sección transversal para escribir aproximadamente
Incluso si p, v y S son funciones de la coordenada S de la línea de flujo de corriente, su producto, w = pvS, es una constante para operación en estado estacionario y por tanto puede sacarse de la integral. Así se obtiene
Luego es posible realizar una integración por partes:
Al escribir este resultado en la ecuación 7.4-5 se obtiene la relación aproximada de la ecuación 7.4-7. Debido a la naturaleza cuestionable de las suposiciones que se hicieron (la existencia de una línea de flujo de corriente representativa y el carácter constante de p y p sobre una sección transversal) parece preferible usar la ecuación 7.4-5 en vez de la ecuación 7.4-7. También, la ecuación 7.4-5 puede generalizarse fácilmente a sistemas con múltiples puertos de entrada y de salida, mientras que esto no es posible con la ecuación 7.4-7; la generalización está dada en la ecuación D de Ia tabla 7.6-1.
262 Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Analizar el origen, el significadoy la utilización de los balances macroscópicos,y explicar que suposiciones se hicieron en su deducción. ¿Cómo se decide que balances macroscópicos usar para un problema dado? ¿Qué infornia. ción auxiliar podría necesitarse para resolver problemas aplicando los balances macrosc6. picos? ¿Estan relacionados los factores de fricción y los factores de pérdidas por fricción? En cm afirmativo, jcómo? Analizar la pérdida viscosa E, y el término de compresión E, respecto a la interpretación fisica, el signo y los métodos de estimación. ¿Cómo está relacionado el balance macrosc6pico de energia mecanica con la ecuación de Be. noulli para fluidos no viscosos? ¿Cómo se dedujo? ocurre en el ejemplo 7.3-1 si se hace una elección diferente para el origen del sistema de coordenadas? En el ejemplo 7.5-1, ¿cuál seria el error en el resultado final si la estimación de la pérdida vk cosa E, fallara por un factor de 2? ¿En qué circunstancias un error así sería más grave? En el ejemplo 7.5-1, ¿qué ocumna si 5 pies se sustituye por 50 pies? En el ejemplo 7.6-3, ¿cómo se venan afectados los resultados si la presión de salida hese 11 atrn en vez de 1.1 atm? Enumerar todas las suposiciones inherentes a las ecuaciones proporcionadas en la tabla 7.81.
PROBLEMAS
7A.1 Aumento de presión en un ensanchamiento repentino (figura 7.61). Por un ensanchamiento repentino cimla una solucibn salina acuosa con una velocidad de 450 U.S. gal/min = 0.0384 m3/s. E1 diámetro interior del tubo más estrecho es de 5 pulg y el del tubo más ancho, 9 pulg. ¿Cuál es el aumento de presión en libras fuerza por pulgada cuadrada si la densidad de la se lución es 63 ibm/pies3?El flujo en el tubo más estrecho, ¿es laminar o turbulento?
Respuesta: 1.57psi = 1.O8
X 1O3
N /m2
7A.2 Bombeo de una solución de ácido clorhídrico (figura 7A.2). Una solución diluida de HCl de densidad y viscosidad constantes (p = 62.4 Ibm/pies3,p = 1 cp) debe bombearse del tanque 1 al tanque 2 sin cambio global de elevación. Las presiones en los espacios gaseosos de los dos tanques son p, = 1 atrn y p2 = 4 atm. El radio del tubo es de 2 pulg y el número de Reynolds es 7.11 x le.La velocidad media en el tubo debe ser de 2.30 pies/s. ¿Qué potencia debe m
dir la bomba?
Respuesta: 2.4 hp = 1.S kW
Figura 7A.2 Bombeo de una solución de Radio interior de 2"
7A.3
dcido clorhídrico.
Flujo de un gas compresible en un tubo cilíndrico. Nitrógeno gaseoso está en flujo turbu. lento isotérrnico a 25'C a través de un tramo recto de tubo horizontal de 3 pulg de diámey interior a una velocidad de 0.28 Ib,/s. Las presiones absolutas en la entrada y en la salida son
Problemas 263 2 atm y 1 atm, respectivamente. Calcular E, suponiendo un comportamiento de gas ideal y una distribución de velocidad radialmente uniforme. Respuesta: 26.3 Btu/lbm = 6.12 X 104J/kg 7A.4
Flujo incompresible en tubos concéntricos. Desde una bomba se descarga agua a 60°F a una velocidad de 241 U.S. gal/min a través de un conducto anular coaxial de 20.3 pies de longitud. Los radios interior y exterior del espacio anular son 3 y 7 pulg, respectivamente. La entrada está 5 pies más abajo que la salida. Determinar la potencia de salida necesaria de la bomba. Usar el empirismo del radio hidráulico medio para resolver el problema. Supóngase que las presiones en la entrada de la bomba y en la salida anular son iguales. Respuesta: 0.31 hp = 0.23 kW
7A.5 Fuerza sobre una curva en U (figura 7A.5). Por una tubería en forma de U circulan en flujo turbulento 3 pies3/s de agua a 68°F ( p = 62.4 1bm/~ies3, p = 1 cp). ¿Cuál es la fuerza horizontal ejercida por el agua sobre la curva en U? Respuesta: 903 lbf
''y
\++
p, = 19 psia
Diámetro interior
2
*I
p,
= 21 psia
PIano 1
7A.6
Figura 7A.5 Flujo en una curva en U; Ias dos ramas de la curva están a la misma altura.
CáIculo de la velocidad de flujo (figura 7A.6). Para eI sistema que se muestra en la figura, calcular la velocidad de flujo de agua a 68°F.
toda la tubería es 5"
--I1
Figura 7A.6 Flujo en un tanque de carga
constante.
264 Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico 7A.7
Evaluación de varias velocidades medias a partir de medidas en un tubo de Pitot. A continuación se presentan algunos datos experimentales1 obtenidos con un tubo de Pitot para el flujo de agua a través de un tubo de 3.06 pulg de radio interior: ----
Posición
Distancia desde el centro del tubo (pulg)
Velocidad local (pies/ S)
Posición
Distancia desde el centro del tubo (pulg)
Velocidad local (pies/s)
Graficar estos datos y determinar si el flujo es laminar o turbulento. Luego, usar la re& de Simpson para la integración numérica para calcular (u)/vmá,,(7?}/ddx y (3)/7~&~,. ¿Estos sultados son consistentes con los valores de 50/49 (que se proporciona justo antes del ejemplo 7.2-1) y 43200/40817 (que se proporciona justo antes del ejemplo 7.4-1)?
+.
78.1
Velocidades medias a partir de la ley de la potencia Evaluar las relaciones de velocidad del problema 7A.7 según la distribución de velocidad de la ecuación 5.1-4.
7B.2
Relación entre la fuerza y la pérdida viscosa para flujo en conductos de sección transversal variable. La ecuación 7.5-6 proporciona la relación Ff,, = pSE, entre la fuerza de re sistencia y la pérdida viscosa para conductos rectos de sección transversal arbitraria, pero constante. Aquí consideramos un canal horizontaI recto cuya sección transversal vana gradualmente con la distancia comente abajo. La situación se restringe a canales axisiméhicos, por lo que la fuerza de resistencia estA dirigida axialmente. Si la sección transversal y la presión en Ia entrada son SI y p,, y las de la salida son S2 y p2, probar entonces que la relación semejante a la ecuación 7.5-7 es
donde
Interpretar los resultados.
7B.3
Flujo a través de un ensanchamiento repentino (figura 7.6-1). Un fluido circula a través de un ensanchamiento repentino, en el cual los diámetros inicial y final son DI y D2, respectivamente. ¿Para qué valor de D2/D1 el aumento de presión p2 - p, sera máximo para un valor dado de u,?
Respuesta: D 2 / D , 78.4
=
lh
Flujo entre dos tanques (figura 7B.4). Caso 1: un fluido circula entre los tanques A y B porque pA > pB. Los tanques están a la misma altura y en la línea no hay bomba. El área de la sección traiisversal de la línea de conexión es SI y la velocidad de flujo másico es w para una caída de presión de ( p A - p&.
' B. Bird, tesis para graduarse como ingeniero químico, Universidad de Wisconsin (1915).
Problemas
Tubo circular de sección transversal S,
265
Tubos circulares de secci6n transversal S,
n
i
1
..
La suma de las velocidades de flujo mesico es w
Figura 78.4 Flujo entre dos tanques.
Caso 11: se desea reemplazar la línea de conexión por dos líneas, cada una de sección transversal SI1 = $S1. ¿Qué diferencia de presión (pA - pB)IIse requiere para obtener la misma velocidad de flujo másico total que en el caso I? Supóngase flujo turbulento y usar la fórmula de Blasius (ecuación 6.2-12) para el factor de fricción. Despreciar las pérdidas en la entrada y en la salida. Respuesta: (pA - pB)II/(pA- P ~ =) 25/8 ~ 7B.5
Diseño revisado de un ducto de aire (figura 7B.5). En una fábrica debe instalarse un ducto horizontal recto de aire. Se supone que la sección transversal del ducto mide 4 X 4 pies. Debido a una obstrucción, el ducto s61o puede medir 2 pies de altura, aunque puede ser de cualquier ancho. ¿Qué tan ancho debe ser el ducto para tener las mismas presiones terminales y la misma velocidad de flujo volumétrico? Supóngase que el flujo es turbulento y que la f6rmula de Blasius (ecuación 6.2-12) es satisfactoria para este cálculo. En esta situación puede considerarse que el aire es incompresible. a) Escribir las versiones simplificadas del balance de energía mecánica para los ductos 1 y 11.
b) Igualar las caídas de presión para los dos ductos y obtener una ecuación que relacione los anchos y las alturas de los dos ductos. Resolver numéricamente la ecuación en el inciso b para encontrar e1 ancho que debe usarse para el ducto LI.
C)
Respuesta: c) 9.2 pies
Ducto 1
!
I
2 H,, = ? pies
Ducto 11
---I
I
Plano 1
Plano 2
Figura 78.5 Instalación de un ducto de aire. 78.6
Descarga múltiple en un conducto común2 (figura 7B-6). Ampliar el ejemplo 7.6-1 a un fluido incompresible que descarga desde vanos tubos hacia un tubo más grande con un incremento neto en la sección transversal. Tales sistemas son importantes en intercambiadores de calor de ciertos tipos, para los cuales las pérdidas por contracción y ensanchamiento explican W.M. Kays, Trans. ASME, 72,1067-1074 (1950).
266 Caplt~1o7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico
Figura 78.6 Descarga múltiple en un conducto común. El área total de la sección transversal en el plano 1 disponible para el flujo es S, yr en el plano 2, .S2
una fracción importante de la caída de presión global. Los flujos en los tubos pequeños y en el gran tubo pueden ser laminares o turbulentos. Analizar este sistema por medio de tos balances macroscópicos de materia, de cantidad de movimiento y de energía mecánica. 78.7
Variaciones del inventario de un depósito de gas. Un depósito de gas natural debe abaste cerse desde una tubería a una velocidad constante de wllb& Durante un periodo de 24 horas, la demanda del combustible desde el depósito, w2,varía aproximadamente como sigue:
w2= A
f
B cos ot
(78.7-1)
donde of es un tiempo adimensional medido a partir de la hora de la demanda máxima (aproximadamente las 6 de la mañana}. a) Determinar los valores máximo, mínimo y medio de w 2 para un periodo de 24 horas en términos de A y B.
b) Determinar e1 valor necesario de w len términos de A y B. Sea m,, = m:,,, en t = O, e integrar el balance de materia en estado no estacionario con esta condición inicial para obtener m,,, como una función del tiempo. C)
d) Si A = 5000 lb,/h, B = 2000 lb,/h y p = 0.044 1bJpies3 en el depósito, determinar la capacidad mínima absoluta del depósito en pies cúbicos para satisfacer la demanda sin inte rrupción. LAqué hora del día debe estar lleno el depósito para permitir esta operación? e) Determinar en pies cúbicos la capacidad mínima del depósito que se requiere para mantener a toda hora una reserva mínima para tres días.
Respuesta: 3.47 X 105pies3; 8.53 X lo6 pies3
78.8
Cambio en la altura de un liquido con el tiempo (figura 7.1-1). a)
Deducir la ecuación 7.1-4 usando cálculo integral.
b) En el ejemplo 7.1-1, obtener la expresión para la altura h del líquido como una función del tiempo t. c)
7B.9
Hacer una gráfica de la ecuación 7.1-8 usando cantidades adimensionales. ¿Esto es útil?
Vaciado de un tanque cilíndrico con una tubería de descarga (figura 78.9). a) Volver a trabajar el ejemplo 7.1-1, pero con un tanque cilíndrico en vez de uno esférico. Usar el método de estado casi estacionario; es decir, usar el balance de materia en estado no estacionario junto con la ecuación de Hagen-Poiseuille para el flujo laminar en e1 tubo.
b) Volver a trabajar el problema para flujo turbulento en el tubo.
Respuesta: a ) twckdo=
128pL~*
p9D4
Problemas 267
Figura 7B.9 Tanque cilíndrico provisto de una larga tubería de desagüe. La superficie del fluido y la salida del tubo están abiertas a la atmósfera.
7B.10 Tiempo de vaciado al drenar un tanque cónico (figura 7B.10). Un tanque cónico, cuyas dimensioiies se proporcionan en la figura, inicialmente está lleno de un líquido. Se deja que el líquido se vacíe por gravedad. Determinar el tiempo de drenado. En los incisos a) a c), considerar que el líquido en el cono es el "sistema". a) Primero usar un balance macroscópico de materia en estado no estacionario para demostrar que la velocidad de salida es
b) Escribir el balance de energía mecánica en estado no estacionario para el sistema, Descartar el término de pérdida viscosa y el término que contiene la derivada respecto al tiempo de la energía cinética, y proporcionar razones para hacer esto. Demostrar que entonces la ecuación 7B.10-1conduce a
z=¿
Plano dado para la energía potencial
2 = t2
'&'
Z=O
Figura 78.10 Recipiente cónico desde el cual se deja salir un fluido. La cantidad r es el radio de la superficie del líquido a la altura z, y 7 es el radio del cono a alguna altura arbitraria 2.
268
Capítulo 7 Balances macroscópicos para sistemas con flujo isotérmico Combinar los resultados de los incisos a) y b). Resolver la ecuación diferencial Esültante con una condición inicial apropiada para obtener el nivel z del líquido como una función de t . A partir de esto, obtener el tiempo de vaciado C)
Enumerar todas las suposiciones que se hicieron y analizar lo serias que son. iCómo pueden evitarse estas suposiciones?
d) Volver a trabajar el inciso b) eligiendo que el plano 1 sea estacionario y esté ligeramente abajo de la superficie del líquido en el instante t. Se entiende que Ia superficie del líquido no desciende más abajo que el plano 1 durante el intervalo diferencial de tiempo di sobre el que se realiza el balance de energía mecánica en estado no estacionario. Con esta elección del plano 1, la derivada d@,,,/dt es cero y no hay término del trabajo W,. Además, las condiciones en el plano 1 son bastante parecidas a las que hay en la superficie del líquido. Entonces, con la aproximación de estado seudoestacionariode que la derivada dK,,/dt es aproximadamente cero y despreciando el término de pérdida viscosa, eI balance de energía mecánica, con w l= w2,asume la forma
7B.11 Desintegración de astillas de madera (figura 7B.11). En la manufactura de pulpa de papel, las fibras de celulosa de las astillas de madera se separan de la lignina mediante calentamiento a presión con soluciones alcalinas en grandes tanques cilíndricos denominados digestores. Al final del periodo de "cocción" se abre una pequeña compuerta situada en el fondo del digestor y se deja que la pasta aguada de astillas de madera reblandecidas choque contra una lámina de impacto para completar la desintegración de las astillas y la separación de las fibras. Estimar la velocidad de la corriente de descarga y la fuerza adicional que impacta sobre la lárnina poco después que comienza la descarga. Pueden despreciarse los efectos de fricción dentro del digestor, así como la poca energía cinética del fluido en el interior del tanque. (Nota: vease el problema 7B.10 a fin de consultar dos métodos para seleccionar los planos de entrada y de salida.)
Respuesta: 2810 Ib,/s (o 1275 kg/s); 10,900 lbf (o 48,500 N)
Figura 76.11 Digestor de pulpa.
Problemas 269 7B.12 Criterio para el flujo de vapor libre en una tubería. Para asegurar que una tubería está completamente llena de un líquido, es necesario que p > p VaP en todos los puntos. Aplicar este criterio al sistema que se muestra en la figura 7.5-1, usando balances de energía mecánica sobre porciones apropiadas del sistema. 7C.1 Correcciones en el extremo de viscosímetros de tubo (figura 7C.11.~Al analizar los datos de viscosímetros de flujo en un tubo para determinar la viscosidad, se compara la caída de presión contra datos de velocidad de flujo con la expresión tedrica (la ecuación de Hagen-Poiseuille de la ecuación 2.3-21). En esta última se supone que el flujo está totalmente desarrollado en la región entre los dos planos donde se mide la presión. En un aparato como el que se muestra en la figura, se conoce la presión en la salida del tubo (2) y también arriba del fluido en el depósito (1). Sin embargo, en la región de entrada de1 tubo, los perfiles de velocidad aún no están totalmente desarrollados. Por tanto, no es válida la expresión teórica que relaciona la caída de presión con la velocidad del flujo. Sin embargo, hay un método en que puede usarse la ecuación de Hagen-Poiseuille haciendo mediciones del flujo en dos tubos de longitudes diferentes, LA y LB; el más corto de los tubos debe ser suficientemente largo para que los perfiles de velocidad estén totalmente desarrollados en la salida. Así, Ia sección final del tubo largo, de longitud LB - LA, será una región de flujo totalmente desarrollado. Si se conociera el valor de 9, - 9, para esta regidn, entonces podría aplicarse la ecuación de Hagen-Poiseuille. Demostrar que la combinación apropiada de los balances de energía mecánica, escritos para los sistemas 1-2,3-4 y 0-4, proporciona la siguiente expresión para - P4cuando cada viscosímetro tiene la misnla velocidad de flujo.
donde 9o = po -k pgz,,. Explicar con todo detalle cómo usaría la ecuación 7C.1-1 para analizar mediciones experimentales. iLa ecuación 7C.1-1 es válida para dudos con sección transversal no circular uniforme?
Corrida experimental A
Comda experimentalB
*
Figura 7C.1 Dos viscosímetms de tubo con la misma velocidad de flujo y la misma presión de salida. Las presiones pA y pg se mantienen por medio de un gas inerte.
A.G. Fredrickson, tesis doctoral, Universidad d e Wisconsin (1959); Principies and Applicaiions of Rheology, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1964),99.2.
270
Capítulo 7 Balances rnacroscópicos para sistemas con flujo isotérmico 7D.l
Deducción de los balances rnacroscúpicos a partir de las ecuaciones de vdacibn, Deducir los balances mamsc6picos de materia y cantidad de movimiento por integra. ción de las ecuaciones de continuidad y movimiento sobre el sístema de flujo de la & gura 7.0-1. Seguir el procedimiento dado en g7.8 para el balance macroscópico de energía mecánica, usando el teorema de divergencia de Gauss y la fórmula de Leibniz.
Capítulo 8
Líquidos poliméricos 8 1
Ejemplos del comportamiento de líquidos poliméricos
58.2
Reometría y funciones del material
58.3
Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados
58.4"
Elasticidad y los modelos viscoelásticos lineales
58.5 '
Las derivadas comtaciondes y los modelos viscoelAsticos no lineales
98.6'
Teorías moleculares para líquidos poliméricos
En los primeros siete capítulos hemos considerado sólo fluidos nautonian;. Las relaciones entre esfuerzos y gradientes de velocidad se describen mediante Ia ecuación 1.l-2 para flujo cortante simple y mediante la ecuación 1.2-6 (o por la ecuación 1.2-7) para flujos arbitrarios que dependen del tiempo. Para el fluido newtoniano se requieren dos parámetros del material -10s dos coeficientes de viscosidad p y Kque dependen de la temperatura, la presión y la composició~i,pero no de los gradientes de velocidad. El modelo de fluido newtoniano describe con precisión todos los gases y todos los líquidos compuestos de "pequeñas" molécuIas (hasta pesos moleculares aproximados de 5000). Hay muchos fluidos que no describe la ecuación 1.2-6: los denominados fluidos no newtonianos. Estos fluidos estructuralmente complejos incluyen soluciones de polimeros, polímeros fundidos, soluciones jabonosas, suspensiones, emulsiones, pastas y algunos fluidos biológicos. En este capítulo nos dedicamos a los líquidos poliméricos. Debido a que estos líquidos contienen moléculas de alto peso molecular con muchos grados de libertad internos, el comportamiento de las soluciones de polímeros y de los polímeros fundidos es cualitativamente diferente del de los fluidos newtonianos. Sus viscosidades dependen fuertemente de los gradientes de velocidad, además pueden presentar "efectos elásticos'' pronunciados. También en el flujo cortante estacionario simple entre dos láminas paralelas hay esfuerzos normales desiguales y diferentes de cero (T,,, r y T,,) que no se presentan en los fluidos newYY tonianos. En 58.1 describimos algunos experimentos y recalcamos las diferencias entre fluidos newtonianos y poliméricos. Al estudiar los fluidos newtonianos, la ciencia que trata sobre la medición de la viscosidad se denomina viscornetría, y en capítulos anteriores hemos visto ejemplos de sistemas de flujo simples que pueden usarse como viscosímetros (el tubo circular, el sistema de cono y lámina y los cilindros coaxiales).Para caracterizar a los fluidos no newtonianos es necesario medir no sólo la viscosidad, sino también los esfuerzos normales y las respuestas viscoelásticas. La ciencia relacionada con la medición de estas propiedades se denomina reometría, y los instrumentos se llaman redmetros. En 58.2 abordamos brevemente este tema. La ciencia de la reologia incluye todos los aspectos del estudio de la deformación y el flujo de sólidos no hookeanos y líquidos no newtonianos.
272 capit~lo8 Líquidos poliméncos
Después de las dos primeras secciones, que tratan con hechos experimentales, pasamos a la presentación de varios "modelos" no newtonianos (es decir, expresiones empíricas para el tensor de esfuerzo) que son de uso común para describir líquidos poliméricos. En 58.3 empezamos con los modelos newtonianos generalizados, que son relativamente simples, pero que sóIo pueden describir la viscosidad no newtoniana (y no los efectos viscoelásticos). Luego en 58.4 proporcionamos ejemplos de modelos viscoelásticos lineales, que pueden describir las respuestas viscoelásticas, pe ro sólo en flujos con gradientes de desplazamiento extremadamente pequeños. En 58.5 proporcionamos varios modelos viscoelásticos no lineales, que se supone son aplicables en todas las situaciones de flujo. A medida que pasemos de modelos elementales a modelos más complicados, ampliaremos el conjunto de fenómenos observados que podemos describir (pero también las dificultades matemáticas). Por último en 58.6 se presenta un breve análisis sobre el método de la energía cinética aplicado a la dinámica de fluidos de poiímeros. Los líquidos poliméricos se encuentran en la fabricación de objetos de plástica, y como aditivos de lubricantes, comestibles y tintas. Representan una clase amplia e importante de líquidos, de modo que muchos científicos e ingenieros deben tratar con ellos. La dinámica de fluidos poliméricos, la transmisión de calor polirnérica y la difusión polimérica constituyen una parte en rápido crecimiento del tema de los fenómenos de transporte, y hay muchos libros de texto? tratados2 y revistas dedicados al tema. Este tópico también ha sido abordado desde el punto de vista de la energía cinética, y las teorías moleculares del tema han contribuido bastante a nuestra comprensión del comportamiento mecánico, calorífico y de difusión de estos fluido^.^ Por último, quienes estén interesados en conocer la historia del tema pue den consultar el libro de Tanner y Walter~.~
58.1
EJEMPLOS DEL COMPORTAMIENTO DE L~QUIDOSPOLIMÉRICOS En esta sección analizamos varios experimentos que contrastan el comportamiento del flujo de fluidos newtonianos y polirnéri~os.~
Flujo laminar en estado estacionario en tubos circulares Incluso para el flujo laminar axial en estado estacionario en tubos circulares, hay una diferencia importante entre el comportamiento de los líquidos newtonianos y el de los líquidos poliméricos. Para líquidos newtonianos la distribución de velocidad,
'
A.C. Lodge, Elnstic Liquids, Academic Press, Nueva York (1964);P.B. Bid, R.C. Armshong y O. Hassager, Dynamics of Polyrneric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics, Wdey-Interscience,Nueva York, 2a. edición (1987); R.1. Tanner, Engineering Rheology, Clarendon Press, Oxford (1985). H.A. Barnes, J.F. Hutton y K. Walters, An Infroduction to Rheology, Elsevier, Amsterdam (1989); H. Giesekus, Phaomenologische Rhwbgier Eitae Einfuhrung, Springer Verlag, Beriín (1994).Algunos Libros que ponen de relieve los aspectos ingeniedes del tema son el de Z Tadmor y C.G. Gogos, Principles of Polymer Processing, Wiley, Nueva York (19791,el de D.G. Baird y D.I. Coihas, Polymer Processing: Principles and Design, Buttenvorth-Heinemann, Boston (1995). y el de J. Dealy y K. Wisbrun, Melt Rheology and its Role in Plactics Prmessing, Van Nostrand Reinhold, Nueva York (1990). R.B. Bird, C.F. Curtiss, R.C.Armstrong y O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 2, Kinetic Theory, W~ley-lnterscience,Nueva York, 2a. edición (198'7); C.F. Curtiss y R.B. Bird, Adv. Polymer Sci., 125,l-101 (1996) y l. Chem. Phys., 111, 10362-10370 (1999). R.I. Tanner y K. Walters, Rheology: An Historical P m p e c f i w , Elsevier, Amsterdam (1998). Más detalles sobre éstos y otros experimentos pueden encontrar%en R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1 , Fluid D p m i c s , Wüey-Interscience,Nueva York, 2a. edición (1987), capltulo 2. Véase también A.C. Lodge, Elastic Liquids, Academic Pre~s,Nueva York (1964), capitulo 10.
' '
8.1
Ejemplos del comportamiento de líquidos poliméricos
273
la velocidad media y la caída de presión están dadas por las ecuaciones 2.3-18, 2.3-20 y 2.3-21, respectivamente. Para líquidos poliméricos,datos experimentales sugieren que las siguientes ecuaciones son razonables:
donde n es un parámetro positivo que caracteriza a1 fluido, por regla general con un valor menor que la unidad. Es decir, el perfil de velocidad es más romo para el líquido polimérico que para el fluido newtoniano, para el cual n = 1. Además, experimentalmente se ha encontrado que
Por tanto, la caída de presión aumenta mucho menos rápido con la velocidad de flujo másico que para los fluidos newtonianos, para los cuales la relación es lineal. En la figura 8.1-1 se muestran perfiles de velocidad típicos para el flujo laminar de fluidos newtonianos y poliméricos para la misma velocidad máxima. Este simple experimento sugiere que 10s fluidos poliméricos tienen una viscosidad que depende del gradiente de velocidad. Este punto se abordará con más detalIe en 58.3. Para flujo laminar en tubos de sección transversal no circular, los líquidos poliméricos exhiben flujos secundarios superpuestos en el movimiento axial. Recuérdese que para flujos newtonianos turbulentos también se observan flujos secundarios: en la figura 5.1-2 se muestra que el fluido se mueve hacia las esquinas del conducto y que luego regresa hacia el centro. Para flujo laminar de fluidos polirnéricos, los flujos secundarios van en la dirección opuesta: desde las esquinas del conducto y luego de regreso hacia las paredes.* En flujos turbulentos, los flujos secundarios resultan de efectos inerciales, mientras que en el flujo de polímeros los flujos secundarios están asociados con los "esfuerzos normales". Recuperación después de que se suspende el flujo en estado estacionario en un tubo circular Empezamos con un fluido en reposo en un tubo circular y, con una jeringa, "trazamos" radialmente una línea de pigmento en el fluido, como se muestra en la figura 8.1-2. Luego bombeamos el fluido y observamos cómo se deforma el p i g m e n t ~ . ~
Figura 8.1-1 Fiujo laminar en un tubo circular. Los símbolos @ (líquido Newtoniano) y @ (líquido Poliménco) se usan en esta figura y en las seis figuras siguientes.
B. Gervang y P.S. Larsen, J. Non-Nezutonian Ffuid Mcch., 39,217-237 (1991). Para los detalles de este experimento, véase N.N. Kapoor, tesis para graduarse como M a e s h en Ciencias, Universidad de Minnesota, MinneapoIis (1964), así como A.G. Fredrickson, Principies and Appfiurtions 0f Rheology, Prentice-Hd, E n g l e w d Cliffs, N.J.(19641, p. 120.
274
Capitulo 8 Líquidos poliméticos Figura 8.1-2 Recuperación restringida después de que se suspende el flujo en un tubo circular, observado en líquidos poliméricos pero no en líquidos newtonianos. El bombeo se detuvo
aquí
Para un fluido newtoniano, la línea de pigmento se transforma en una parábe la que se alarga de manera continua. Si se detiene el bombeo, la parábola de pigmento deja de moverse. Después de algún tiempo ocurre difusión y la parábola empieza a hacerse confusa, por supuesto. Para un Iúluido polimérico, la I í e a de pigmento se deforma en una curva más roma que una parábola (véase la ecuación 8.1-1). Si se apaga la bomba y el fluido no se restringe axialmente, el fluido comienza a "recuperarse" y se retira de esta forma alargada máxima; es decir, el fluido se retrae de golpe en forma semejante a como lo hace una banda elástica. Sin embargo, mientras ésta regresa a su forma original, el Buido se retira sólo parcialmente hacia su configuración original. Si se nos permite usar un antropomorfismo, podemos decir que una banda el& tica tiene una "memoria perfecta", ya que regresa a su estado inicial no estirado. El fluido polimérico, por otro lado, tiene una "memoria que se desvanece", ya que gradualmente "olvida" su estado inicial. Es decir, a medida que se recupera, su memoria se vuelve cada vez más débil. La recuperación del fluido es una manifestación de elasticidad, y cualquier descripción completa de los fluidos poliméricos debe poder incorporar la idea de elasticidad en la expresión para el tensor de esfuerzo. La teoría también debe incluir el concepto de memoria que se desvanece.
Efectos del "esfuerzo normal" Otras diferencias notorias en el comportamiento de líquidos newtonianos y polimé ricos aparecen en los efectos del "esfuerzo nomai". La razón de esta nomenclatura se dará en la siguiente sección. Una variila giratoria en un vaso de precipitados que contiene un fluido newtoniano hace que el fluido experimente un movimiento tangencial. En estado estacionario, la superficie del fluido es más baja cerca de la varilla giratoria. Intuitivamente sabemos que esto ocurre debido a que la fuerza centrífuga provoca que el fiuido se mueva en forma radial hacia la pared del recipiente. Por otra parte, para un líquido polimérico, el fluido se mueve hacia la varilla giratoria y, en estado estacionario, la superficie del fluido es como se muestra en la figura 8.1-3. Este fenómeno se denomina efecto Weissenberg de ascenso en una varilla.4 Resulta evidente la inducción de algunos tipos de fuerzas que hacen que el Liquido polimérico se comporte de una forma cualitativamente diferente a como lo hace un líquido newtoniano. Este fenómeno fue descrito por primera vez por F.H. Gamer y A.H. Nissan, Naturr, 158,634-635 (1946) y por R.J. Russel, tesis doctoral, imperial CoUege, Universidad de Londrm (19461, p. 58. El experimento fue analizado porK Weissenberg, Nature, 159,310-311(1947).
58.1
Ejemplos del comportamiento de líquidos poliméricos 275
En un experimento bastante relacionado, podemos colocar un disco giratorio sobre la superficie de un fluido en un recipiente cilíndrico como se muestra en la figura 8.1-4. Si el fluido es newtoniano, el disco hace que el fluido se mueva en una dirección tangencial (el "flujo primario") pero, además, el fluido se mueve lentamente hacia afuera en dirección de la pared del cilindro debido a la fuerza centrífuga, luego se mueve hacia abajo y después vuelve a lo largo del eje del cilindro. Este flujo radial y axial superpuesto es más débil que el flujo primario y se ha denominado "flujo secundario". Para un líquido polimérico, el fluido también desarrolla un flujo tangencia1 primario con un flujo secundario radial y axial débil, pero éste se dirige en dirección opuesta a la que se observa en un fluido newtoniano?
Figura 8.1-3 Superficie lbre de un Iíquido cerca de una varilla giratoria. El líquido polimérico muestra el efecto Weiscenberg de ascenso en una varilla.
Figura 8.1-4 Los flujos secundarios en un recipiente cilindrico con un disco giratorio en la superficie del líquido tienen direcciones opuestas para fluidos newtonianos y poliméricos.
En otro experimento podemos dejar escurrir un líquido de una piIeta semicilindrica ladeada como se muestra en la figura 8.1-5. Si el fluido es newtoniano, la superficie de1 líquido es plana, excepto por los efectos de menisco en los bordes externos. No obstante, para la mayoría de los líquidos polirnéricos, se encuentra que Ia superficie del líquido es ligeramente convexa. El efecto es pequeño pero reprod~cible.~ Figura 8.1-5 Escurrimiento en una pileta semicilíndrica ladeada. En la figura se ha exagerado la convexidad de la superficie del Iíquido poIimérico.
O C.T. Hiil, J.D. Huppler y R.B. Bird, Chem. Eng. Sci., 21,815-817 (1966); C.T. Hill, Trans. Soc. Rhcol., 16,213-245 (1972).Análisis teóricos han sido proporcionados por J.M.Krarner y M.W. Johnson, Ir., Trans. Sac. Rhed., 16,797-212 (19721, y por J.P. Nirschl y W.E. Ctewart, J. Non-Newtonian Fluid Mcch., 16, 233-250 (1984). Quien realizó por vez primera este experimento fue K.I. Tamer, Trans. Soc. Rh~ol.,14,483-507 (1970), estunulado por una sugerencia de A.C. Mnrnian y .4.C. Pipkin, Acta Mech., 2, 104-115 (1966). Véase también R.1. Tanner, Engineering Rhcology, Oxford University Press (í985),102-105.
276 Capítulo 8
Líquidos poIiméricos
Otros experimentos
Todos conocen el funcionamiento de un simple sifón. Por experiencia sabemos que si el fluido es newtoniano, sacar del liquido el tubo del sifón significa que se detiene la acción de aspiración. Sin embargo, como puede verse en la figura 8.1-6, para %idos polirnéricos la aspiración puede continuar incluso si el sifón se eleva varios centímetros por arriba de la superficie del liquido. Este efecto se denomina sifón sin tubo. También es posible simplemente subir algo del fluido por arriba del borde del recipiente y entonces el fluido comenzará a circular hacia arriba a lo largo del interior del recipiente y luego hacia abajo por el exterior hasta que el recipiente queda casi vacio.7 En otro experimento, una vari1Ia cilíndrica larga cuyo eje está en la dirección 2, se hace oscilar de un lado a otro en la dirección x con el eje paralelo al eje z (véase la figura 8.1-7). En un fluido newtoniano se induce un flujo secundario, por lo cual el fluido se mueve hacia el cilindro desde arriba y desde abajo (es decir, desde las direcciones +y y -y) y se aleja hacia la izquierda y la derecha (es decir, hacia las direcciones -x y +x). Sin embargo, para el líquido polirnérico el movimiento secundaria inducido es en la dirección opuesta: el fluido se mueve hacia adentro desde la izquierda y la derecha a lo largo del eje x y hacia afuera en las direcciones arriba y abajo a lo largo del eje Los ejemplos precedentes son sólo unos cuantos de muchos experimentos inte resantes que se han realizad^.^ El comportamiento polimérico puede ilustrarse fácilmente y a bajo costo con unasolución acuosa de óxido de polietileno al 0.5%. También hay algunos efectos fascinantes que ocurren cuando están presentes incluso pequeñas cantidades de poiímeros. El más sorprendente de estos efectos es el fenórneiio de reducción de ~ e s i s t e n c i uCon . ~ ~ sólo partes por millóii de algunos polímeros ("agentes reductores de resistencia"), la pérdida por fricción en flujo turbulento en un tubo puede reducirse marcadamente: entre 30 y 50%. Estos agentes polirnéricos reductores de resistencia son usados por el cuerpo de bomberos para in-
@
\ "Hinchazón
por expulsión"
Figura 8.1-6 El efecto del sifón continúa cuando el tubo se eleva por arriba de la superficie de un liquido polimérico, pero no para un liquido newtoniano. Nótese la hinchazón del liquido polimerico a medida que abandona el tubo del sifón.
'D.F. James, Nature, 212,754-756 (1966). C.F. Chaiig y W.R. Schowalter,J. Non-Newtoniun Flvid Mech., 6,47-67 (1979). El Libro de D.V. Boger y K. Walters, Rheoiogicai Phenomena in Focus, Elsevier, Arnsterdam (1993),contiene muchas fotografías del comportamiento de fluidos en una variedad de sistemas de flujo no newtonianos. 'O Esta reducción de resistencia a veces se denomina Fenórnmo de Toms, ya que quizá quien lo reportd por vez primera Fue B.A. Toms, Proc. Inf. Congress on Rhwlogy, North-HoUand, Amsterdam (1949). El fenómeno también se ha estudiado en relación con la naturaleza reductora de resistencia de la sustancia mucosa que recubre a los peces 1T.L. Daniel, Biol. Bull., 160,376-382 11981)1, la cual se considera que explica, por lo menos parcialmente, la "paradoja de Gray": el hecho de que parece que los peces son capaces de nadar más rápido de lo que permiten las considera&ones de energía.
d
58.2
Reometría y funciones del material
277
Figura 8.1-7 El "flujo acústico" cerca de una varilla que oscila lateralmente, que
O
muestra que el flujo secundario inducido se dirige en direcciones opuestas para fluidos newtonianos y poliméricos.
crementar el flujo del agua y por compañías petroleras para reducir los costos de bombeo de crudo a lo largo de grandes distancias. Para el análisis de otros fenómenos que se presentan en fluidos poliméricos, el lector debe consultar el resumen de artículos en el Annual Reuiew of Fluid Me~hanics?~
Los experimentos descritos en 58.1 establecen claramente que los líquidos poliméricos no obedecen la ley de viscosidad de Newton. En esta sección analizamos varios flujos simples controlables en los que es posible medir las componentes de esfuerzo. A partir de estos experimentos pueden medirse varias funciones del material que describen la respuesta mecánica de fluidos complejos. Mientras a los fluidos newtonianos incompresibles los describe una sola constante del material (la viscosidad), para líquidos no newtonianos es posible medir muchas funciones del material distintas. Aquí mostramos cómo se definen y miden algunas de las funciones más usadas del material. En otra parte es posible encontrar información sobre el equipo real de medición y otras funciones del material.lt2En todo este capítulo se supone que los líquidos poliméricos pueden considerarse como incompresibles.
Flujo cortante estacionario simple
Ahora consideramos ei flujo cortante estacionario entre un par de láminas paralelas, donde el perfil de velocidad está dado por u, = Sy, y las otras componentes de la velocidad son cero (véase Ia figura 8.2-1). La cantidad y, que aquí se toma como positiva, se denomina "velocidad (coeficiente)de corte". Para un fluido newtoniano, el esfuerzo cortante rP está dado por la ecuación 1.1-2, y todos los esfuerzos normales (T,,, r !a' y .rZJ son cero.
11 Por ejemplo, M.M. Denn, Ann. Rev. Fluid Mech., 22, 13-34 (1990); E.S.G. Shaqfeh, Aiin. Rev. Fluid Mech., 28, 129-185 (1996); G.G.FuUer, Ann. Rev. Fluid Mech., 22,387-417(1992). ].R. Van Wazer, J.W. Lyons, K.Y Kim y R.E. Colwell, Viscosity pnd Flow Meusurement, Interscience (W~ley), Nueva York (1963). K.Walters, Rheomefry, Wiley, Nueva York (1975).
'
278 Capítulo 8
Líquidos polim&icos La lámina superior se mueve a velocidad constante
L vx = ?y
Y
Figura 8.2-1 Flujo cortante estacionario simple entre láminas paralelas, con velocidad de corte y. Para fluidos newtonianos en este flujo, T~~ = T~ = rz2 = O, pero para fluidos poliméricos los esfuerzw, normales por regla general son diferentes de cero y desiguales.
Para fluidos no newtonianos incompresibles, los esfuerzos normales son diferentes de cero y distintos. Para estos fluidos suele acostumbrarse definir tres funciones del material como sigue:
donde 17 es la viscosidad no newtoniana, q,es el primer coeficiente del esfuerzo normal y 'P2 es el segundo coeficiente del esfuerzo normal. Estas tres cantidades -q, 'PI y 'P2- son todas funciones de la velocidad de corte?. Para muchos líquidos poliméricos, 7)puede disminuir por un factor hasta de lo4 a medida que aumenta la velocidad de corte. De manera semejante, los coeficientes del esfuerzo normal pueden disminuir por un factor hasta de lo7 sobre el intervalo normal de velocidades de corte. Para fluidos poliméricos constituidos de macromoléculas flexibles, experimentalmente se ha encontrado que las funciones q@) y ql@) son positivas, mientras 'P2@)casi siempre es negativa. Puede demostrarse que para *,@) positiva, el fluido se comporta como si estuviera en tensión en la dirección de flujo (o dirección x), y que la 'P2@)negativa significa que el fluido está en tensión en la dirección transversal (o dirección 2). Para el fluido newtoniano, 77 = p., ql = O y q2= 0. La viscosidad no newtoniana fuertemente dependiente de Ia velocidad de corte está relacionada con el comportamiento dado en las ecuacioiies 8.1-1 a 8.1-3, como se muestra en la siguiente sección. La 'kl positiva es primordialmente responsable del efecto Weissenberg de ascenso en una varilla. Debido al flujo tangencial, en la dirección tangencia] hay una tensión, misma que empuja al fluido hacia la varilla giratoria, superando la fuerza centrífuga. Los flujos secundarios en el experimento de disco y cilindro (figura 8.1-4) también pueden explicarse cualitativamente en términos de la TIpositiva. Asimismo, puede demostrarse que la q2 negativa explica la forma de la superficie convexa en e1 experimento de la pileta ladeada (figura 8.1-5). Se han creado muchos aparatos ingeniosos para medir las tres funciones del material para flujo cortante estacionario, y las teorías necesarias para usar los instntmentos se explican con todo detalle en otra parte.2 Véase el problema 8C.1 para el uso del instrumento de cono y plato para medir las funciones del material.
58.2
Reometría y funciones del material 279
~ ~ d i e nosciíatorio t o de pequeña amplitud Un método normal para medir la respuesta elástica de un fluido es el experimento cortante oscilatorio de pequeña amplitud que se representa en la figura 8.2-2. Aquí, la lámina superior se mueve de un Iado a otro en forma sinusoidal con una pequeña amplitud. Si la separación de la lámina es extremadamente pequeña y la viscosidad del fluido es muy alta, entonces el perfil de velocidad será casi lineal, de modo que vx(y, t ) cos w t , dondep, una cantidad real, proporciona la amplitud de la desviación de la velocidad de corte. E1 esfuerzo cortante necesario para mantener el movimiento oscilatorio también es periódico en el tiempo y, en general, de la forma
=Py
1 1
r,
= -ri'iO cos w t - $'+O
sen ot
(8.2-4)
donde q' y q" son las componentes de la viscosidad compleja, q* = 7' - iq", que es una función de la frecuencia. El primer término (en fase) es la "respuesta viscosa", y el segundo término (fuera de fase) es la "respuesta elástica". Los químicos en polímeros usan las curvas de q'(o)y q"(m) (O los módulos de almacenamiento y pérdida G' = V"W y G" = q ' ~para ) "caracterizar" a los polímeros, debido a que se conoce mucho sobre la relación entre las formas de estas curvas y la estructura q ~ í m i c aPara .~ el fluido newtoniano, q' = F y 77'' = 0.
Flujo de alargamiento (o extensional) en estado estacionario Un tercer experimento que puede realizarse implica el alargamiento del fluido, donde la distribución de velocidad está dada por v, =&, v, = -'Ex, y u = -tiy (véase 2 la figura 8.2-31, donde la cantidad positiva E se denomina "velocidadde alargarniento". Así, la relación Tzz
- dv, - r x x= -q -
dz
define Ia viscosidad de alargamiento 6, que depende de t . Cuando E es negativo, el flujo se denomina alargamiento biaxial. Para el fluido newtoniano puede demostrarse que 77 = 3p, lo que a veces se denomina "viscosidad de Trouton".
La lámina superior o s d a con E amplitud muy pequeña ',(y1 ') =y% 'Os wt
Figura 8.2-2 Movimiento oscilatorio de pequeiia amplitud. Para una pequeña separación entre las láminas y fluidos bastante viscosos, puede suponerse que el perfil de velocidad es lineal.
J.D. Ferry, Viscoelastic Pmperfies ofPolymm, Wdey, Nueva York, 3a. edición (1980).
280
Capítulo 8
Líquidos polirnéricos
1
4
VL
-2 y
1. 1. =e,u, =-?a, Vy =
C
Figura 8.2-3 Flujo de alargamiento estacionario con velocidad de elongación i = d ~ , / d z .
La viscosidad de alargamiento 5 no puede medirse para todos los fluidos, ya que no siempre es posible lograr un flujo de alargamiento en estado estacionario.4 Los tres experimentos que acaban de describirse son sólo unas cuantas de las pruebas reométricas que pueden realizarse. Otras pruebas incluyen relajación del esfuerzo después de que se suspende el flujo, aumento del esfuerzo al comienzo del flujo, retroceso y reptancia, cada una de las cuales puede ejecutarse en flujo cortante, de alargamiento y otros tipos de flujo. Cada experimento resulta en la definición de una o más funciones del material. Éstas pueden usarse para caracterizar al fluido y también para determinar las constantes empíricas en los modelos descritos en 558.3 a 8.5. En las figuras 8.2-4 a 8.2-6 se muestran algunas funciones del material como muestra. Debido a que existe una amplia gama de fluidos complejos, en lo que se refiere a estructura y constitución química, en esta variedad de experimentos hay muchos tipos de respuestas mecánicas. Análicis más completos de los datos obtenidos en experimento reométricos pueden consultarse en otra parte?
Figura 8.2-4 Las funciones del material v@), Y,@), ~'(wy ) 7)*(0)para una solución al 1.5%de poliacrilamida en una mezcla 50/50 deágua y glicerina. Las cantidades q, r)' y ?"se proporcionan en Fa . S, y P ' , en Pa . s2. Tanto y como o se proporcionan en S-'. Los datos son de J.D. Huppler, E. Ashare y L. Holmes, Trans. SOC. Rheol., 11,159-179 (1967), según las volvi6 a graficar J.M. Los esfuerzos normales oscilatonos también se han estudiado en forma experimental y teórica (véase M.C. Williams y R.B. Bird, Ind. Eng. Chem. Fundam., 3,4248 (1964);M.C.Williams, 1. Chem. Phys., 42,2988-2989 (1965);E.B.Christiansen y W.R. Leppard, Trans. Soc. Rheol., 18, 65-86 (1974), donde la ordenada de la figura 15 debe multiplicarse por 39.27.
C.J.S. Pettie, Elongational Flows, Pitrnan, Londres (1979);J . Meissner, Chem. Engr. Commun., 33,159-180(1985). R.B. Bird, R.C. Amstrong y O. Hassager, Dynomics ofPo[ymeric Liquids, Vol. 1 , Fluid Mechanics, W~ley-lntersctence,2a. edición (1987).
58.3
Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados 281 Figura 8.2-5 Dependencia del segundo coeficiente del esfuerzo normal respecto a la velocidad de corte para una solución al 2.5% d e poliacrilamida en una mezcla 50/50 de agua y glicerina. La cantidad q2está dada en Pa . s2 y w está en S-'. Los datos de E.B. Christiansen y W.R. Leppard, Trans Soc. Rheol., 18,65-86(19741, han sido graficados nuevamente por J.M. Wiest
6
4
-
2
M
...,
o
-
-2
Ir
-4
7'
-2
o 1%
,
+
2
4
.
log ( - #) (b)
Figura 8 . 2 6 a) Viscosidad de alargamiento para estiramiento uniaxial de polietileno d e baja y alta densidad LDPE y HDPE, respectivamente. [De H. Münstedt y H.M. Laun, Rheol. Acta, 20,211-221 (1981)1. b) Viscosidad de alargamiento para estiramiento biaxial de polietileno de baja densidad, deducida a partir de datos de birrefringencia de flujo. [De J.A. van Aken y H. Jaiieschitz-Kriegl, Rheol Acta, 20,419-432 (1981)l. En ambas gráficas la cantidad 7) está dada en Pa . s y E está en S-'.
58.3
VISCOSIDAD NO NEWTONIANA Y LOS MODELOS NEWTONIANOS GENERALIZADOS
Ésta es la primera de tres secciones dedicadas a expresiones empíricas del tensor de esfuerzo para fluidos no newtonianos. Podría decirse, en términos muy generales, que estas tres secciones satisfacen a tres grupos de personas:
58.3 Los modelos newtonianos generalizados se utilizan esencialmente para describir flujos cortantes en estado estacionario y los ingenieros los han utilizado con amplitud para diseñar sistemas de flujo. 98.4 Los modelos viscoelásticos lineales se utilizan en particular para describir flujos en estado no estacionario en sistemas con gradientes de desplazamiento muy pequeños y principalmente los han usado los químicos interesados en comprender la estructura de los polimeros. 58.5 Los modelos viscoelásticos no lineales constituyen un intento por describir todos los tipos de flujo (incluyendo los dos que acaban de mencionarse) y han sido bastante desarroliados por flsicos y matemáticos aplicados interesados en encontrar una teoría totalmente incIuyente.
282
Capitulo 8 Líquidos poliméricos En realidad, las tres clases de modelos están interrelacionadas y cada una es "portante para el tema del flujo no newtoniano. En el siguiente análisis de los no newtonianos, se supone siempre que los fluidos son incompresibles. De los tres tipos de modelo que se analizan aquí, el más senciilo lo constituyen bs modelos newtonianos generalizados.' Sin embargo, éstos sólo son capaces de d w bir la viscosidad no newtoniana, y ninguno de los efectos del esfuerzo normal, los efectosdependientesdel tiempo O 10s efectos elásticos. Aún así, en muchos procesos de la indusma de polímeros, como el flujo en un tubo con transmisión de calor, el diseño de distribuidores, la extrusión y el moldeado por inyección, la viscosidad no newtoniana y su enorme variación con la velocidad de corte son fundamentalespa. ra describir b s flujos de interés. pan fluidos newtonianos incompresibles, la expresión para el tensor de esfuer. está dada por la WuaciÓn 1.2-7 con ei último término omitido:
donde hemos introducido el símbolo y = VV + (VV)+,el tensor de velocidad del esh e r z o (O tensor de velocidad de la d#orrnación). El modelo generalizado de fluido newtoniano se &tiene mediante la simple sustitución de la viscosidad constante fi por la no newtoniana % una función de la velocidad de corte, que en gen,$ ral puede como la "magnitud del tensor de velocidad de la deformación" 9= Se entiende que al extraer la raíz cuadrada, el signo debe elegirse de modo que;sea una cantidad positiva. Así, el modelo generalizado de fluido newtoniano es
m;
T=
-
~ ( V Vt VV)*)= -v y
con q = q ( j )
(8.32)
Las componentesdel tensor de velocidad de la deformación y pueden obtenerse en coordenadascartesianas, cilíndricas y esféricasa partir de los miembros derechos de las maciones de la tabla 8.1omitiendo los términos (V . v) y el factor (-CL) en los demás términos. Ahora debemos proporcionar un empirismo para la función de viscosidad no newtoniana q($. 5 han propuesto docenas de estas expresiones, pero aquí sólo mencionamos dos: a) ~1 empirismo más sencillo para ~ ( 7es) la expresión de ley exponencia1 de dos parámetro~:~
donde m y n son Constantes que caracterizan el fluido. Esta simple relación describe la curva de viscosidad no newtoniana sobre la porción lineal de la gráfica log-log de la viscosidad contra la velocidad de corte para muchos materiales (véanse, por ejemplo, 10s datos de viscosidad en la figura 8.2-4). Las unidades del parámetro m son Pa . sn, y n - 1es la pendiente de la gráfica de log q contra log 7. En la tabla 8.3-1 se exponen algunos valores muestra de los parámetros de la ley de potencias (exponentes).
. 1 K.HohenemSer Y W. Praager, Zeits.f: Math. u. Mech., 12, 216226 (1932); J.G.Oldroyd, Prcic. Cornb. Phil. Soc., 45, 595411 (1949), y 47,410418 (1950).J a m s Gardner Oldroyd (1921-1982), profesor en La Universidad de LiveipoaL hizo muchas contribuci~n~ a la teoría de fluidos no newtonianos; en particular, sus ideas sobre la construcción de ecua- ,
nones 2
y los principios de mecánica del continuo. W.ostwald, ~olloid-zeifschnft, 3699-117 (1925); A. de Waele, Oil Color Chem. Assoc. J., 6,33-88(1923).
58.3 Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generahados
Tabla 8.3-1
Parámetros de la ley de potencias para soluciones acuosasA Temperatura (K}
Solución Hidroxietilcelulosa al 2.0%
m(Pa
n(-)
S")
293 313 333 293 313 333 293 313 333
Hidroxietilcelulosa al 0.5%
dxido de polietileno al 1.0%
a
283
R.M. Turian, tesis doctoral, Universidad de Wisconsin, Madison (19641, pp. 142-148.
Aunque el modeIo de la ley de potencias fue propuesto como una expresión empírica, en la ecuación 8.6-11se verá que una teoría molecular simple conduce a una expresión de ley de potencias para altas velocidades de corte, con n =
t.
b) Un mejor ajuste de curvas para la mayor parte de datos puede obtenerse usando la ecuación de Carreau de cuatro parámetros? que es
donde q0 es la viscosidad cero de velocidad de corte, q, es la viscosidad infinita de velocidad de corte, A es un parárnetro con unidades de tiempo, y n es un parámetro adimensional. En la tabla 8.3-2 se exponen algunos parámetros muestra para el modelo de Carreau. Ahora proporcionamos algunos ejemplos sobre cómo usar el modelo de la ley de potencias. Se trata de extensiones de los problemas que se analizaron en los capítulos 2 y 3 para fluidos newtonianos? Tabla 8.3-2 Parámetros en el modelo de Carreau para algunas soluciones de poliestireno lineal en l-Cloronaftalenoa Propiedades de la solución
Parámetros en la ecuación 8.3-4 (77- se toma como cero)
-
Mw íg/mol)
c (g/mol)
70
(Pa . S)
A (S)
n (- -
-1
Los valores de los parámehos se tomaron de K. Yasuda, R.C. Armstrong y R.E. Cohen, Rheol. Acta, 20, 163-178 (1981). a
P.J. Carreau, tesis doctoral, Universidad de Wisconsin, Madison (1968). Véase también K. Yasuda, R.C. Armstrong y R.E. Cohen, Rheol. Acto, 20,163-178 (1981). Para ejemplos adicionales, incluyendo flujos no isotérmicos, véase R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager. Dparnics of Polperic Liquids, Vol. 1, Fluid Mechnics, Wdey-hterscience, Nueva York, 2a. edición (1998), capítulo 4.
284
CapítuIo 8
Líquidos polhéricos
un tubo circular de un fluido incompresible que obedece la ley de pofencia~~~~
Deducir la expresión para la velocidad de flujo másico de un líquido polimérico, descrito por el modelo de Ia ley de potencias. El fluido circula en un tubo circular largo de radio R y Ion. gitud L, como resultado de una diferencia de presión, de gravedad o de ambas cosas. S OLUCION
La ecuación 2.3-13 proporciona Ia distribución del esfuerzo cortante para cualquier fluido en estado estacionario desarrollado en un tubo circular. En esta expresión es necesario insertar el esfuerzo cortante para el Buido que obedece la ley de potencias (en vez de usar la ecuación 2.3-14). Esta expresión puede obtenerse a partir de las ecuaciones 8.3-2 y 8.3-3.
Debido a que se postula que u, es sólo una función de r, a partir de la ecuación 3.1-13 se encuentra que = =J ( . El signo de la raíz cuadrada debe elegirse de modo que y sea positivo. Como dv,/dr es negativa en el flujo en un tubo, debemos elegir el signo menos, de modo que
m
Entonces, al combinar las ecuaciones 8.3-6 y 2.3-13 se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la velocidad:
Después de extraer la raíz n-6sima es posible integrar la ecuación, y cuando se aplica la condición sin deslizamiento en Y = R, se obtiene
para la distribución de velocidad (véase la ecuación 8.1-1).Una vez que la expresión anterior se integra sobre la sección transversal del tubo circular se obtiene
que se simplifica a la ley de Hagen-Poiseuille para fluidos newtonianos (ecuación 2.3-21) cuando n = 1 y m = p. La ecuación 8.3-9 puede usarse junto con datos sobre caída de presión contra caudal para determinar los parámetros m y n de la ley de potencias.
estrecha de un fluido que obedece la ley de potencias4
En el problema 2B.3 se resolvió el flujo de un fluido newtoniano en una rendija estrecha. Encontrar la distribución de velocidad y la velocidad de flujo mfisico para un fluido que obedece Ia ley de potencias y circula en la rendija. SOLUCION
La expresión para el esfuerzo cortante T~ como una función de la posición x en la ecuación 2B.3-1 puede reemplazarse aquí, ya que no depende del tipo de fluido. La Mrmula de la ley de potencias para 7, a partir de la ecuación 8.3-3, es
rx, = m(-$$'
para 0 5 x 5 B
M. Reiner, Deformatwn, Strain and F l m , Interscience,Nuwa York, 2a. edici6n (1960), pp. 243-245.
98.3 Viscosidad no newtoniana y los modelos newtonianos generalizados
para -3
5
285
x5O
Para obtener la distribución de velocidad para O 5 x 5 B, se sustituye T,, de la ecuación 8.3-10 en la ecuación 2B.3-1 para obtener:
Al integrar y usar la condición sin deslizamiento en x
=B
se obtiene
Debido a que se espera que el perfil de velocidad sea simétrico respecto a1 plano medio x = 0, la velocidad de flujo masico puede obtenerse como sigue:
Cuando n = 1 y m = p, se recupera el resultado newtoniano del problema 2B.3. Para determinar los parámetros de la ley de potencias, con la ecuación 8.3-14 pueden usarse datos experimentales sobre caída de presi6n y velocidad de flujo másico a través de una rendija estrecha. -
Volver a trabajar el ejempIo 3.6-3 para un fluido que obedece la ley de potencias.
conc6ntricos de n &ido que obedece
SOLUCIÓN
Las ecuaciones 3.6-20 y 3.6-22 permanecen sin cambio para un fluido no newtoniano, pero en lugar de la ecuación 3.6-21 escribimos la componente 0 de la ecuación de movimiento en términos del esfuerzo cortante usando la tabla 8.5:
Para el perfil de velocidad postulado, se obtiene lo siguiente para el modelo de la ley de potencias (con ayuda de la tabla B.l)
Al combinar las ecuaciones 8.3-15 y 8.3-16 se obtiene
286 Capítulo 8 Líquidos poliméricos
Al integrar queda
Al dividir entre r2 y extraer la raíz n-ésima se obtiene una ecuación diferencial de primer or. den para la velocidad angular
Esta expresión puede integrarse con las condiciones límite en las ecuaciones 3.6-27 y 3.6-28 para llegar a
Entonces, el momento de torsión (la componente z) necesario en el cilindro exterior para m a tener e1 movimiento es
Así, al combinar las ecuaciones 8.3-20 y 8.3-21 se obtiene
El resultado newtoniano puede recuperarse al establecer n = 1 y m = p. La ecuación 8.3-22 puede usarse junto con estos datos de momento de torsión contra velocidad angular para de terminar los parámetros m y n de la ley de potencias.
58.4"
ELASTICIDAD Y LOS MODELOS VISCOELÁSTICOSLINEALES Precisamente después de la ecuación 1.2-3, en el análisis sobre la generalización de la "ley de viscosidad" de Newton, de manera específica excluimos las derivadas respecto al tiempo y las integrales respecto al tiempo en la obtención de una expresi6n lineal para el temor de esfuerzo en términos de los gradientes de velocidad. En ecta sección permitimos la inclusión de las derivadas respecto al tiempo o las integrales respecto al tiempo, pero se sigue requiriendo una expresión lineal entre T y ?. Este hecho lleva a modelos viscoelásticos lineales. Empezamos por escribir la expresión de Newton para el tensor de esfuerzo de un líquido viscoso incompresible junto con la expresión análoga de Hooke para el tensor de esfuerzo de un sólido elástico incompresible:l Newton:
r = -F(VV
Hooke:
r=
+ (VV)~)= - p j
-G(Vu + (Tu)+)
-Gy
(8.4-1) (8.4-2)
En la segunda de estas expresiones, G es el módulo elástico, y u es el "vector desplazamiento", que proporciona la distancia y la dirección de un punto en el sólido que se ha movido respecto a su posición inicial como resultado de los esfuerzos aplicados. La can-
' R. Hooke, Lectures de Pofmtia Restitutivo (1678). 1
58.4 Elasticidad y los modelos viscoelásticos iineaies 287
tidad y se denomina "tensor de deformacióninfinitesimal". El tensor de velocidad de la deformación y el tensor de deformacióninfinitesimd están relacionados por j = El sólido hookeano tiene una memoria perfecta; una vez que se retiran los esfuerzosimpuestos, el sólido regresa a su configuración inicial. La ley de Hooke es válida sólo para gradientes de desplazamiento muy pequeños, Vu. Ahora queremos comb'iar las ideas contenidas en las ecuacionec 8.41 y 8.4-2 para describir fluidos viscoelásticos.
-
-
E] modelo de Maxwell
La ecuación más simple para describir un fluido que es tanto viscoso como elástico constituye el siguiente modelo de M a x ~ e l l : ~
Aquí Al es una constante de tiempo (el tiempo de relajación) y q0 es la viscosidad cero de velocidad de corte. Cuando el tensor de esfuerzo cambia imperceptiblemente con el tiempo, la ecuación 8.4-3 asume la forma de la ecuación 8.4-1 para un líquido newtoniano. Cuando en el tensor de esfuerzo hay cambios muy rápidos con el tiempo, entonces puede omitirse el primer término del miembro izquierdo de la ecuación 8.4-3, y cuando la ecuación se integra respecto al tiempo, se obtiene una ecuación de la forma de la ecuación 8.4-2 para el sólido hookeano. En ese sentido, la ecuación 8.4-3 incorpora tanto la viscosidad como la elasticidad. Un experimento simple que ilustra el comportamiento de un líquido viscoelástic0 puede realizarse con plastilina "boli-goma". Este material fluye con facilidad cuando se aprieta lentamente entre las palmas de las manos, lo cual indica que se trata de un fluido viscoso. Sin embargo, si se le da la forma de una pelota, ésta rebota cuando se le deja caer sobre una superficie dura. Durante el impacto los esfuerzos cambian rápidamente, y el material se comporta como un sólido elástico.
modelo de Jeffreys El modelo de Maxwell de la ecuación 8.4-3 es una relación lineal entre los esfuerzos y los gradientes de velocidad, que implica una derivada respecto al tiempo de los esfuerzos. También podría incluirse una derivada respecto al tiempo de los gradientes de velocidad y aún así seguir teniendo una relación lineal:
Este modelo de Jefieys3 contiene tres constantes: la viscosidad cero de la veIocidad de corte y dos constantes de tiempo (la constante h2 se denomina tiempo de retardo). Esta relación fue propuesta por J.C.Maxwell, Phil. Trans. Roy. Soc., A157,49-88 (1867), para investigar la posibilidad de que Ios gases pueden ser viscoelásticos. Este modelo fue sugerido por H. Jeffreys,The Earth, Cambridge University Press, la. edición (1924), y 2a. edici6n (1929). p. 265, para describir la propagación de ondas en el manto de la Tierra. Los parámetros en este modelo han sido relacionados con la estructura de las suspensiones y las emulsiones por H. Frohlich y R. Sack, Proc. Roy. Soc., A185,415-430 (1946) y por J.G. Oldroyd, Proc. Roy Soc., A218,122-132(1953), respectivamente.Otra hterpretaciún de la ecuación 8 . 4 4 es considerarla como la suma de la contribución de un solvente newtoniano (S) y la contribución de un p o h e r o (p), donde dsta es descrita por un modelo de Maxwell:
de modo que T = r5+ rp.Luego, si las ecuaciones 8.4-4a, 8 . 4 4 , y A, por la derivada respecto al tiempo de la ecuación 8.4-4a se suman, se obtiene el modelo de Jeffreys de la ecuación 8.44, con = q, t ~rpy A 2 (TI,/(% + vp)Nl.
-
1 288 Capitulo 8
Líquidos poliméricos Resulta evidente que es posible agregar térmhos que contengan las derivadas segunda, tercera y superiores de los tensores de esfuerzo y de velocidad de la deformación con constantes multiplicativas apropiadas, a fin de obtener una relación li. neal todavía más general entre los esfuerzos y los tensores de velocidad de la derormación. Esto otorga más flexibilidad al ajustar datos experimentales.
El modelo de Maxwell generalizado Otra forma de generalizar la idea de MaxweIl es "superponer" ecuaciones de la forma de Ia ecuación 8.4-3 y escribir el modelo de Maxwell generalizado como
donde hay muchos tiempos de relajamientoAk (con A l 2 A2 2 Ag . . .) y muchas com tantes qkcon dimensiones de viscosidad. Se sabe mucho sobre las constantes en este modelo a partir de teorías moleculares de polímeros y de los extensos experimentos que se han realizado sobre líquidos polimérico~.~ El número total de parámetros puede reducirse a tres usando las siguientes expresiones empírica^:^
donde q, es Ia viscosidad cero de velocidad de corte, h es una constante de tiempo y a es una constante adimensional (que suele variar entre 1.5 y 4). Debido a que la ecuación 8.4-6 es una ecuación diferencial lineal, puede integrarse analíticamente, con la condición de que el fluidoesté en reposo en t = -m. Así, cuando se suman los diversos rksegún la ecuación 8.4-5, se obtiene la forma integral del modelo de Maxwell generalizado:
En esta forma, el concepto de "memoria que se desvanece" está presente de manera evidente: el esfuerzo en el instante t depende de los gradientes de velocidad en todos los instantes pasados t', pero debido a las funciones exponenciales que hay en el integrando, se otorga mayor peso a los instantes t' próximos a f; es decir, la "memoria" del fluido es mejor para instantes recientes que para instantes más remotos. La cantidad entre llaves se denomina módulo de relajación del fluido y se denota por G(t - t'). Algunas veces la expresión integral en la ecuación 8.4-9 es más conveniente para resolver problemas de viscoelásticos lineales que las ecuaciones diferenciales en las ecuaciones 8.4-5 y 8.4-6. Los modelos de Maxwell, Jeffreys y Maxwell generalizado son todos ejemplos de modelos viscoelásticos lineales, y su uso está restringido a movimientos con gradientes de desplazamiento muy pequeños. Los líquidos poliméricos tienen muchos grados de libertad internos y en consecuencia se requieren muchos tiempos de J.D.Ferry, Visismelmtic Properties of Polymm, Wdey, Nueva York, 3a. edición (1980).V4ase tambien N.W. Tsdioegl, The Phmonienological Theory of Linear Viscoelastic Behmiior, Springer-Verlag, k r i í n (1969);y R.B. Bird. RC. h t r o n g y O. Hassager, Dynamia of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechunics, Wdey-Interscimice,Nueva York, 2~ edición (1987),capítulo 5. T.W. Spriggs,&?mChnn. Eng. S&, 20,931-940(1965).
,
$3.4
Elasticidad y los modelos viscoelásticos lineales
289
relajación para describir su respuesta lineal. Por esta razón, el modelo de Maxwell generalizado se ha utilizado ampliamente para interpretar datos experimentales sobre viscoelasticidad lineal. La funci6n de relajación G(t - f') puede determinarse ajustando la ecuación 8.4-9 a datos experimentales. Luego es posible relacionar las formas de las funciones de relajación con la estructura molecular del polímero. De esta manera se desarrolla una especie de "espectroscopia mecánica" que puede usarse para investigar la estructura por medio de mediciones viscoelásticas lineales (como la viscosidad compleja). Podría parecer que los modelos que describen flujos con gradientes de desplazamiento muy pequeños sólo tienen un interés limitado para los ingenieros. Sin embargo, una razón importante para estudiarlos es que contar con algo de antecedentes en viscoelasticidad lineal ayuda en el estudio de viscoelasticidad no lineal, donde se analizan flujos con grandes gradientes de desplazamiento.
Obtener una expresión para las componentes de la viscosidad compleja usando el modelo de Maxwell generalizado. El sistema se describe en la figura 8.2-2. oscilatorio de amplitud pequeña
SOLUCIÓN
.
Usamos la componente yx de la ecuación 8.4-9, y para este problema la componente yx del tensor de velocidad de la deformación es
donde w es la frecuencia angular. Cuando esto se sustituye en la ecuación 8.4-9, con el módulo de relajación (entre corchetes) expresado como G(t - t'), se obtiene
donde S = t - t'. Al comparar esta ecuación con la ecuación 8.2-4, se obtiene
para las componentes de la viscosidad compleja i)* = 9' iq". Cuando se introduce la expresión del modelo de Maxwell generalizado para el módulo de relajación y se evalúan las integrales, se encuentra que -
Si se usan los ernpirisrnos en las ecuaciones 8.4-7y 8.4-8, puede demostrarse que ambas 77' y q" decrecen como I / w ' - ( ' /a~frecuencias ) muy altas (véase la figura 8.2-4).
290
Capitulo 8 Líquidos poliméricos Extender el ejemplo 4.1-3 a fluidos viscoelásticos, usando el modelo de Maxwell, y obtener la atenuación y el desplazamiento de fase en el "estado estacionario periódico".
no estacionario cerca de una lámina oscilatoria
SOLUCIÓN
Para el flujo cortante postulado, la ecuación de movimiento, escrita en términos de la componente del tensor de esfuerzo, da
El modelo de Maxwell en forma integral es como la ecuación 8.4-9, pero con una función exponencia1 simple:
Al combinar estas dos ecuaciones se obtiene
Asi como en el ejemplo 4.1-3, postulamos una solución de la forma
donde vo(y) es complejo. Al sustituirse en la ecuación 8.4-18 se obtiene
Entonces, al eliminar el operador real se obtiene unaación para v0(~)
Luego, si la cantidad compleja entre corchetes [ ] se iguala a (a+ i/3I2,la solución de la ecuación diferencial es
Al multiplicar esto por eioi y tomar la parte real se obtiene
Este resultado tiene la misma forma que el de la ecuación 4.2-57, pero las cantidades a y /3 dependen de la frecuencia: (8.4-24)
Es decir, con frecuencia creciente, cu disminuye y /3 aumenta debido a la elasticidad del fluido. Este resultado muestra cómo la elasticidad afecta la transmisión de las ondas cortantes cerca de una superficie oscilatoria.
58.5
Las derivadas corrotaciona1es y los modelos viscoelásticos no lineales 291
Nótese que hay una diferencia importante entre los problemas en los dos dtimos ejemplos. En el ejemplo 8.4-1 se prescribió el perfil de velocidad, y aquí hemos deducido una expresión para el esfuerzo cortante necesario para mantener el movimiento; no se utilizó la ecuación de movimiento. En el ejemplo 8.4-2 no se hizo ninguna suposición sobre la distribución de velocidad, y ésta la dedujimos usando la ecuación de movimiento.
En la sección previa se demostró que la inclusión de las derivadas respecto al tiempo (O de las integrales respecto al tiempo), en la expresión del tensor de esfuerzo, permite la descripción de los efectos elásticos. Los modelos viscoelásticos lineales pueden describir la viscosidad compleja y la transmisión de ondas cortantes de pequeña amplitud. También es posibIe demostrar que los modelos lineaIes pueden describir la recuperación elástica, aunque los resultados se restringen a flujos con gradientes de desplazamiento despreciables (y por tanto, de poco interés práctico). En esta sección introducimosla hipótesis'lde quela relación entre el tewor de esfuerzo y los tensores cinemáticos en una partícula de fluido debe ser independiente de la orientación instantánea de esa partícula en el espacio. Bsta parece ser una hipótesis razonable; si se mide la relación esfuerzo-deformaciónen una banda elástica, no debe importar si ésta se estira en la dirección norte-sur o en la dirección este-oeste, o incluso si se hace girar mientras se registran datos (siempre y cuando, por supuesto, no se haga girar tan rápido que fuerzas centrífugas interfieran en las mediciones). Una forma de implementar la hipótesis anterior es introducir en cada partícula de fluido un marco de referencia coordenado corrotacional.Este marco ortogonal gira con la velocidad angular instantánea local a medida que se mueve por el espacio junto con la partícula de fluido (véase la figura 8.5-1). En el sistema coordenado corrotacional ahora podemos apuntar algún tipo de relación entre el tensor de esfuerzo y
/
Partícula de fluido en el instante 1'
-y='
'
Partícula d e Buido en el instante t
Trayectoria d e la partícula de fiuido
Figura 8.5-1 Marco coordenado fijoAco? e'origen en O, y el marco comtacional con vectores unitarios 8,, 82, que se mueven con una partída de fluido y giran con la velocidad angular instantánea loca1 +[V X del fluido.
VI
' G. Jaumann,Grundlagen der Bmepngslehre, Leipzig (1905); Sitzungsbrrichte Akod. Wiss. Wien, Ila, 120,385-530 (1911); S. Z a m b a , Buil. Int. Acad. Sci., Crawie, 594-614,614-621 (1903). Gustaf Andreas Johannes Jaurnann (18631924), quien enseñó en la universidad alemana en Bninn (ahora Brno), y en honor de quien así se denomina la "deri-
vada de Jaumam", contribuyó de manera importante al campo de la mecánica del continuo a principios del siglo XX; fue el primero en proporcionar la ecuación de variación para la enhopía, incluyendo la "densidad de flujo de entropía" y la "velocidadde producción de entropía"(véase 524.1). J.G.Oldroyd, Proc. Roy. Soc., A245,27&297 (1958). Para una extensión de la idea corrotacional, d a s e L.E. Wedgewood, Rheol. Acta, 38,91-99 (1999).
292
Capítulo 8 Líquidos poliméricos
el temor de velocidad de la deformación; por ejemplo, podemos escribir el modelo de Jefheys y luego agregar algunos términos no lineales adicionales para hacer buena medida:
donde los acentos circunflejos ( " ) sobre los tensores indican que sus componentes son aquellas con respecto al marco coordenado corrotacional. En la ecuación 8.5-1, las constantes Al, A2, po, p1 y p2, todas tienen dimensiones de tiempo. Debido a que las ecuaciones de continuidad y movimiento están escritas para el marco coordenado xyz de costumbre, fijo en el espacio, parece razonable transformar la ecuación 8.5-1 del marco iii en el marco xyz. Bste es un problema puramente matemático, que se ha trabajado desde hace mucho,l y la solución es bien conocida. Puede demostrarse que las derivadas parciales respecto al tiempo alat, a2/at2, . - se cambian en derivadas comtacionales (o de Jaumann14) respecto al tiempo Eb/EDt, 9 2 / 9 t 2 , -- L,a derivada corrotacional respecto al tiempo de un temor de segundo orden se define como a
donde o = Vv - (VV)~es el tensor de verticidad, y D / D t es la derivada sustancial respecto al tiempo definida en 53.5. Los productos punto tensoriales que aparecen en la ecuación 8.5-1, con componentes en el marco x i i , se transforman en los productos punto correspondientes, con las componentes dadas en el marco xyz. Cuando se transforma en el marco qz,la ecuación 8.5-1 se convierte en
que es el modelo de Oldroyd de 6 constantes. Así, este modelo no depende de la orientación local instantánea de las partículas de fluido en el espacio. Debe recalcarse que la ecuación 8.5-3 es un modelo empírico; el uso del marco corrotacional sólo garantiza que "se ha restado" la rotación local instantánea del fluido. Con una elección idónea de estos pariimetros, la mayor parte de los fenómenos observados en dinámica de fluidos poliméricos puede describirse cualitafivammie. Como resultado, este modelo se ha utilizado de manera amplia en cálculos explora-c torios de dinámica de fluidos. Una simplificación a tres constantes de la ecuación: 8.5-3 con p1 = Al, p2 = A, y po = O se denomina modelo B de Oldroyd. En el ejempb; 8.5-1 mostramos lo que se obtiene con la ecuación 8.5-3para las funciones del mate 4 rial definidas en 58.2. Otro modelo viscoelástico no lineal es el modelo de Giesekus5 de 3 constantes, contiene un término cuadrático en las componentes del esfuerzo:
q~d
J.D.Goddard y C. Miller, Rhml. Acta, 5,177-184 (1966). R.B. Bird, R.C.Armstrong y O. Hassager, Dymmics of Polyrneric Liquids, Vol. 1 , Fluid Mechnics, Wiley, Nue York, la. edición (1977). capítulos 7 y 8; los modelos cormtacionales no se analizan en la segunda edición de este donde se pone de relieve el uso de las "coordenadas por convecci6nr'y el marco "de codeformación".Para m diferencialespuede usarse el marco comtacional o el de codefonnaci6n, pero el primero es más sencillo concep rnatemdticamente. H. Giesekus,J. Non-Nautonian Fluid Meck., 11,69-109 (1982);12,367-374; Rheol. Acta, 21, 366-375 (1982).Véatambién R.B. Bird y J.M. Wiest, J. Rheol., 29,519-532 (1985), y R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics o j Polymedc Liquids, Val. 1, Fluid Dynomics, Wdey-Interscien~e, Nueva York, 2a. edición (1987),573(c).
s8.5 Las derivadas corrotacionales y los modelos viscoelásticos no lineales Tabla 8.5-1
293
Funciones del materia1 para el modelo d e Giesekus -
-
Flujo cortante estacionario:
donde
(D. E) Flujo cortante oscilatorio de pequeña amplitud: 1 l7 --y 7)a l+(~w)~
7" -=7)0
Aa ~+(Aw)~
Flujo de alargamiento estacionario:
Aquí A es una constante de tiempo, q,es la viscosidad cero de velocidad de corte y m es un parámetro adimensional. Este modelo proporciona formas razonables para la mayor parte d e las funciones del material, y en la tabla 8.5-1 se resumen las expresiones analíticas para aquéllas. Debido al término {T . T},no son particularmente simples. Es posible hacer superposiciones de modelos de Giesekus para describir casi cuantitativamente las formas de las funciones del material medidas6 El modelo se ha usado ampliamente para cálculos de dinámica de fluidos.
Obtener las funciones del material para flujo cortante estacionario, movimiento oscilatorio de pequeña amplitud y flujo de alargamiento uniaxial estacionario. Usar el hecho de que en flujos cortantes, las componentes T,, y 7 del tensor de esfuerzo son cero, y que en flujo de alargamiento, los elementos fuera de la g g o n a l del tensor de esfuerzo son cero (estos resultados se obtienen por argumentos de simetría7).
a) Primero simplificamos Ia ecuación 8.5-3 parajujo cortanfe no estacionario, con la distribución de velocidad v,@, t ) = j(t)y. Al escribir las componentes de la ecuación se obtiene
W.R. Burghardt, J.-M. Li, B. Khomami y B. Yang,T. Rheol., 147,149-165 (1999). Véase, por ejemplo, R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics of Polyrneric Liquids, Vol. 1, Fluid Dynaniics, Wiley-Interscience, Nueva York, 2a. edición (1987), 53.2.
294
Capítulo 8 Líquidos poliméricos
b) Para flujo cortante en estado estacionario, con la ecuación 8.5-7 se obtiene T, = O, y las otras tres ecuaciones dan un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas que pueden resolver. se para obtener las demás componentes del tensor de esfuerzo. Luego, con las definicionesde las funciones del material dadas en $8.2, podemos obtener
Por tanto, el modelo proporciona una viscosidad dependiente de la velocidad de corte, así amo coeficientes del esfuerzo normal dependientes de la velocidad de corte. (Para el modele B de Oldroyd, la viscosidad y los coeficientes del esfuerzo normal son independientes de la velocidad de corte.) Para la mayor parte de polímeros, la viscosidad no newtoniana decrece con la velocidad de corte, y para tales fluidos se concluye que O Aunque el modelo proporciona la viscosidad dependiente de la velocidad de corte y los esfuerzos normales, las formas de las curvas no coinciden satisfactoriamente con los datos experimentales sobre un amplio internalo de velocidades de corte. Si pCL1 < Al y .!A2, el signo del segundo coeficiente del esfuerzo normal es contrario al signo del primer coeficiente del esfuerzo normal, en concordancia con los datos para la mayor parte de iíquidos poliméricos. Debido a que el. segundo coeficiente del esfuerzo normal es mucho menor que el primero para muchos fluidos y a que en algunos flujos desempeña un papel despreciable, hacer p, = Al y p2 = A2 puede ser razonable, reduciendo así de 6 a 4 el mímero de parhmetros. Este anáiisis muestra cómo evaluar un modelo empírico propuesto a1 comparar las predicciones del modelo con datos experimentales obtenidos en experimentos reométricos. También hemos visto que los datos experimentales pueden necesitar restricciones en los parámetros. Resulta evidente que ésta es una tarea enorme, pero no m6s que el problema que enfrenta el experto en termodinámica al desarrollar ecuaciones de estado empíricas para mezclas, por ejemplo. Sin embargo, el experto en reologia trata con ecuaciones tensoriales, mientras que el experto en termodinámica lo hace sólo con ecuaciones escalares.
F1.
Para movimiento oscilatorio de pequeña amplitud, pueden omitirse los términos no lineales de las ecuaciones 8.5-5 a 8.5-8, y las funciones del material son las mismas que las que se obtuvieron a partir del modelo de Jeffreys de viscoelasticidad lineal: C)
Para que 77' sea una función monótona decreciente de la frecuencia y para que 7" sea positi. va (como se observa en todos los experimentos), debe requerirse que A2 < A,. Aquí otra vez, el modelo proporciona resultados cualitativamente correctos, pero las formas de las curvas no son correctas. d) Para elflujo de alargamiento en estado ~sfacionariodefinido en 58.2, el modelo de 01droyd de 6 constantes proporciona
58.6 Teorías moleculares para líquidos poliméricos 295
Debido a que, para la mayor parte de poiííeros, la pendiente de la viscosidad de alargamiento contra la curva de velocidad de alargamiento es positiva en i.= O, debe requerirse que fi, > p2.La ecuación 8.5-14 predice que la viscosidad de alargamiento puede volverse infinita en algún valor finito de la velocidad de alargamiento, lo cual quizá puede plantear problemas en cálculos de alargamiento de fibras. Nótese que las constantes de tiempo A, y A, no aparecen en la expresión para la viscosidad de alargamiento, mientras que las constantes F,,, fi, y p2 no entran en las componentes de la viscosidad compleja en las ecuaciones 8.5-12 y 8.5-13. Esto recalca el hecho de que se requiere un amplio intervalo de experimentos reométricos para determinar 10s pariimetros en una expresi6n empírica del tensor de esfuerzo. Para plantearlo de otra forma, diversos experimentos recalcan diferentes partes del modelo.
58.6'
TEoRIAs MOLECULARES PARA LÍQUIDOS POLIMÉRICOS~-~
Ir
Con base en la sección precedente debe resultar evidente que la proposición y prueba de expresiones empíricas para el tensor de esfuerzo en viscoelasticidad no lineal es una tarea impresionante. Recuérdese que, en turbulencia, la búsqueda de expresiones empíricas para el tensor de esfuerzo de Reynolds es igualmente una tarea que asusta. Sin embargo, en viscoelasticidad no lineal se tiene la ventaja de que es posible reducir en forma considerable la búsqueda de las expresiones del tensor de esfuerzo utilizando teoría molecular. Aunque la teoría cinética de los polimeros es bastante más complicada que la teoria cinética de los gases, aún así funciona como una guía en cuanto a sugerir formas posibles para el tensor de esfuerzo. Sin embargo, las constantes que aparecen en las expresiones moleculares aún deben determinarse a partir de mediciones reométricas. Las teorías cinéticas para los polimeros pueden dividirse grosso modo en dos clases: teorías de redes y teorhs de una sola molécula: a. Las teorías de redes3 fueron desarrolladas originalmente para describir las propiedades mecánicas de1 hule. Es posible imaginar que las moléculas poliméricas en el hule se unen químicamente durante la vulcanización. Las teorías se han extendido para describir poiímeros fundidos y soluciones concentradas al postular una red que siempre cambia en la cual los nodos son temporales, formados por filamentos adyacentes que se mueven juntos durante un instante y que luego se separan gradualmente (véase la figura 8.6-1).En la teoría es necesario hacer algunas afirmaciones empíricas sobre las velocidades de formación y ruptura de las uniones.
b. Las teorías de una sola molécula1 fueron diseñadas originalmente para describir las moléculas de polímeros en una solución muy diluida, donde las interacciones polímero-polímero son poco frecuentes. La molécula suele representarse por medio de algún tipo de modelo de "resorte con cuentas", que es una serie de esferas pequeñas conectadas por resortes lineales o no lineales de manera que representen la arquitectura molecular; luego, se permite que el modelo de resortes con cuentas se mueva en el solvente, dejando que las cuentas experimenten una fuerza
'
R.B. Bird, C.F. Curtiss, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynaitrics of Polymmic Liquids, Vol. 2, Kinetic Thcory, Wiley-Interscience, Nueva York, h.edición (1987). 'M. Doi y S.E Edwards, The Theory of Polymer Dynaniics, Clarendon Press, Oxford (1986); J.D Schieber "Polymer Dynamics", en Encyclopedia ofApplied Physics, Vol. 14, VCH Publishers, Inc.(1996), pp. 415-443; R.B. Bird y H.C. 6ttinger,Ann. Rev. Phys. Chem.,43,371-406 (1992). A.C. Lodge, Elasfic Liquids, Academic Press, Nueva York (1964); Body Tensor Ficids in Conti~iuuiriMrchanics, Academic Press, Nueva York (1974);Understandii~gElastomer Moleculor Netuiork Tlieory, Bannatek Press, Madison, Wis. (1999).
296 Capítulo 8
Líquidos poliméricos
Figura 8.6-1 Porción de una red de polimem formada por "uniones temporales", indicadas aquí por los círculos.
de resistencia de la ley de Stokes por el solvente, así como si fueran golpeadas por el movimiento browniano (véase la figura 8.6-26). Luego, a partir de la teoría cinética se obtiene la "función de distribución" para las orientaciones de las moléculas (modp lada como estructuras de resortes con cuentas); una vez que se conoce esta función, es posible calcular varias propiedades rnamscópicas. El mismo tipo de teoría puede aplicarse a soluciones concentradas y polímeros fundidos examinando el movirniento de un solo modelo de resorte con cuentas en el "campo de fuerza medio" ejercido por las moléculas circundantes. Es decir, debido a la proximidad de Ias moléculas &cundantes, es más fácil que Ias "cuentas" del modelo se muevan en la dirección de la columna vertebral de la cadena del polímero que en forma perpendicular a ésta. En otras palabras, el p o h e r o se encuentra a sí mismo ejecutando una especie de movimiento serpenteante, denominado "reptancia" (véase la figura 8.6-2b). Como ilustración del método de la teoria cinética analizamos los resultados para un solo sistema: una solución diluida de un polímero, modelada como una pesa de ejercicio elástica que consta de dos cuentas conectadas por un resorte. Se consio y que su estiramiento es finito, donde la fuerza del dera que el resorte es ~ i lineal resorte de conexión está dada
donde H es una constante del resorte, Q es el vector de extremo a extremo de la pesa de ejercicio que representa el alargamiento y la orientación de la pesa de ejercicio, y Qo es Ia elongación máxima del resorte. El coeficiente de fricción para el movimiento de las cuentas a través del solvente está dado por la ley de Stokes como = 67r77$, Figura 8.6-2 Modelos de resorte con cuentas de una molécula simple para a) una solución de un polímero diluido y b ) un polímero sin diluir (un polímero "derretido" sin solvente). En la solución diluida, la molécula del polúnero puede moverse en todas direcciones en el solvente. En el polímero sin diluir, una molécula típica del polímero (cuentas negras) está restringida por las moléculas circundantes y tiende a ejecutar un movimiento serpenteante ("reptancia") deslizándose hacia adelante y hacia atrAs a lo largo de la dirección de su esqueleto.
H.R. Warner, Jr., lnd. Eng. C h m . Fundumeniulc, 11,379387(1972);R.L.Chrisfiansen y R.B. Bird, \. Non-Nmvt@ niun FIuid Mech., 3,161-177(1977/1978).
'1
g8.6
Teorías molenilares para iiquidos poliméricos 297
donde a es el radio de la cuenta y T, es la viscosidad del solvente. Aunque este modelo está bastante simplificado, incluye las ideas físicas clave de orientación molecular, estiramiento molecular y extensibilidad finita. Cuando se resuelven los detalles de la teoría cinética, se obtiene la siguiente expresión para el tensor de esfuerzo, escrito como la suma de un solvente newtoniano y una contribución de un polímero (véase la nota de pie de página 3 en ~8.4):~
Aquí
9
DlnZ
z T p f ~ H ( t T p - ~ { ~ p . ~ + ~ -' A~ Hp (~~ p - n ~ T S ) Dt --
- - ~ K T jA ~(8.6-4)
donde n es la densidad del número de moléculas en el polirnero (es decir, pesas de ejercicio),AH = 6/4H es una constante de tiempo (típicamente entre 0.01 y 10 segundos), Z = 1 + (3/b)I1 - (tr T ~ / ~ ~ K yI b? =] HGIKT es el parámetro de extensibilidad finita, que por regla general varia entra 10 y 100.Así, la teoría molecular ha resultado en un modelo con cuatro constantes ajustables: q,, AH, n y b, que pueden determinarse a partir de experimentos reométricos. Por tanto, la teoría molecular sugiere la forma de la expresión del tensor de esfuerzo, y los datos reométricos se usan para determinar los valores de los parámetros. El modelo descrito por las ecuaciones 8.6-2,8.6-3y 8.6-4 se denomina modelo ENEF-P, es decir, elástico no lineal de extensión finita en la aproximación de Peterlín (por sus siglas en inglés, FENE-P, de finitely itensible i n l i n e a r elastic model, in the Peterlin approximation) donde ( Q / Q * )en ~ la ecuación 8.6-1 se sustituye por (Q2)/Qg. Es más difícil trabajar con este modeio que con el modelo de Oldroyd de 6 constantes, porque es no lineal en los esfuerzos. Sin embargo, proporciona mejores formas para algunas de las funciones del material. También, debido a que aquí estamos tratando con un modelo molecular, es posible obtener información sobre el estiramiento y la orientación molecular después de resolver un problema de flujo. Por ejemplo, puede demostrarse que el estiramiento molecular medio está dado por = 1- Z-l, donde los paréntesis angulares indican un promedio estadístico. Los siguientes ejemplos ilustran cómo se obtienen las funciones del material para el modelo y cómo comparar los resultados con datos experimentales. Si el modelo es aceptable, entonces debe combinarse con las ecuaciones de continuidad y movimiento para resolver problemas de flujo interesantes. Esto requiere cálculos a gran escala.
(Q2)/Qz
Obtener las funciones del material para flujo cortante en estado estacionario y para flujo de alargamiento en estado estacionario de un poiímero descrito por el modelo ENEF-P. material pava el modelo ENEF-P
SOLUCI~~ a) Para flujo cortante en estado estacionario el modelo proporciona las siguientes ecuaciones pa-
ra las componentes que no desaparecen de la contribución del polímero aI tensor de esfuerzo:
R.LTanner,Trans.Soc. Rheol., 19,3765 (1975);R.B. Bird, P.J.Dotson y N.L. Johnson,]. Non-Nesvfonian Fluid Mech., 7,213-235 (1980); en la última publicación hay un error en las ecuaciones 58-85.
298 Capítuio 8
Liquidos poliméricos
Aquí la cantidad S está dada por = 1 + (3/b)[1- ( T P , , / 3 n ~ g ]
Estas ecuaciones pueden combinarse a fin de obtener una ecuación cúbica para la contribu. ción adimemionat del esfuerzo cortante Ty,= ~ ~ i 3 n K T
qX+ 3pTy, + 2q = O
(8.68)
donde p = (b/54) -t(1 118) y q = (b/ 108)AHj. Esta ecuación cúbica puede mu1verce para obten& TF = - 2p1/2senh(f arcsenh v-3/2)
(8.6-9)
La viscosidad no newtoniana basada en esta función se muestra en la figura 8.63 junto con algunos datos experimentalespara algunas solucionesde polimetil-metaenlato.A partir de la ecuación 8.6-9 se encuentra que los valores iímite de la viscosidad son Para y = 0: Para y -+ m: Por tanto, a altas velocidades de corte se obtiene un comportamiento de la ley de potencias (ecuación 8.3-3) con n = 3. Esto puede tomarse como una justificación molecular cuando se use el modelo de la ley de potencias.
Velocidad
f@corte 7 j
Velocidad de corte Y (S-1) (b)
(S-')
Figura 8.6-3 Datos de viscosidad y de la diferencia del primer esfuerzo norma\ para soluciones de pohetílmetacriIato de D.D. h p h , G.S. Beavers, A. Cers, C. Dewald, A. Hoger y P.T. Than, J. Rheol., 28,325-345 (19841, junto con las curvas ENJ3-P para las siguientes constantes, determinadas por L.E. Wedgewood:
Concentración del pcilímero [XI
T,,
IPa
.S]
[S]
a
b
[Pal
[- - -1
'
La cantidad a = ~ K seT tomó como un parámetro determinado a partir de las datos reométricos.
K Rektorys, Suruq of Applicable Mathemafics, M!T P m , Cambndge, M A (1969), pp. 78-79.
58.6 Teorías moleculares para líquidos poliméricos 299
Figura 8.6-4 Estiramiento molecular como una funci6n de la velocidad de corte y en flujo cortante estacionario, según el modelo de pesas de ejercicio ENEF-P. La constante de tiempo acceiible experimentalmente A, = [qolq&/RT, donde [vol es la viscosidad intrínseca de velocidad de corte cero, está relacionada con AH mediante A, = Ad/(b + 3). [De R.B. Bird, P.J. Dotson y N.L. Johnson, J.NonNmtonian Fluid Mech., 7,213-235 (1980).1
A partir de la ecuación 8.6-5 se encuentra que qIeste dado por P, = 2(q - q s ) 2 / n ~ Ten ; la figura 8.6-3 se muestra una comparación de este resultado con los datos experimentales. El segundo coeficiente del esfuerzo normal Y2para este modelo es cero. Como ya se indic6, una vez que se ha resuelto el problema de flujo, tambien es posible obtener el estiramiento molecular a partir de la cantidad 2.En la figura 8.6-4 se muestra la forma en que las moléculas están estiradas, en promedio, como una función de la velocidad de corte. b) Para flujo de alargamiento en estado estacionario se obtiene
que Este conjunto de ecuaciones lleva a una ecuación cúbica en rp,?*- rPpzzO cuadrática en i, puede resolverse para obtener :(ti). Datos experimentales limitados sobre soluciones de polímeros indican que las formas de las curvas probablemente son correctas. Figura 8.6-5 Viscosidad de alargamiento estacionaria 4 como una función de la velocidad de alargamiento 6 según el modelo de pesas de ejercicio ENBFP. La constante de tiempo está dada por A, = A&/(b + 3). [De R.B. Bird, P.J. Dotson y N.L. Johnson, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 7, 213-235 (1980).]
300
Capitulo 8 Líquidos poliméricos
1
0.1
0.01
0.01
0.1
1
10
100
A&
Figura 8.6-6 Estiramiento molecular como una funcibn de ]a velocidad de alargamiento E en flujo de alargamiento estacionario, según lo pronostica el modelo de pesas de ejerricio ENEF-F.La constante de tiempo está dada por A, = AHb/(b + 3). [De R.B. Bird, P.J. Dotson y N.L. Johnson,J. Non-Nmfoniun Fluid Mech., 7,213-235 (1980).1
Las expresiones límite para la viscosidad de aiargamiento son
Para E = O: Para B + m:
1)- 3qs = 3nKThH (b:3) 17 - 3% = 2 n ~ T h ~ b
Una vez que se han encontrado los esfuerzos en el sistema, es posible obtener el alargarniento medio de las moléculas como una función de la velocidad de alargamiento; esto se muestra en la figura 8.6-6. Vale la pena observar que para un valor típico de b, por ejemplo 50, la viscosidad de alargamiento puede aumentar por un factor aproximado de 30 a medida que aumenta la velocidad de alargamiento, ejerciendo asi un profundo efecto sobre. flujos en los cuales se observa una componente de alargamiento importante?
1. Comparar el comportamiento de líquidos newtonianos y líquidos poliméncos en los diversos experimentos analizados en ss8.1y 8.2. 2. ¿Por qué sólo tratamos con diferencias en esfuerzos normales para líquidos incompresibles (vPanse las ecuaciones 8.2-2 y 8.2-3)? 3. En la figura 8.2-2 el perfil de velocidad postulado es lineal en y. ¿Cómo esperaría que fuese la distribución de velocidad si la separación entre las láminas no fuera pequeña y el fluido tuviera una viscosidad muy baja? 4. ¿Cómo está relacionado el partímetro n de la ecuación 8.3-3 con el parámetro n de la ecuación 8.3-4?¿Cómo está relacionado con la pendiente de la curva de velocidad no newtoniana a partir del modelo de pesas de ejercicio de la teoría cinética en 58.6? 5. ¿Qué limitaciones deben imponerse al usar los modelos newtonianos generalizados y los delos viscoelásticos lineales? 6. Comparar los ejemplos 8 . 4 1 y 8.4-2 respecto a la geometria del. sistema de flujo y las suposiciones concernientes a los perfiles de velocidad. 7. ¿En qué medida el modelo de Oldroyd en la ecuación 8.5-3 incluye un modelo newtoniano generatizado y un modelo viscoelástico lineal? iEl modelo de Oldroyd puede describir efectos que no son descritos por estos otros modelos?
R.Sureshkumar, A.N. Beris y R.A. Handler,Phys.Fluids, 9,743-755(1997).y C.D Dimitropoulos, R. Sumhkumar y A.N. Beris, J. Non-Nautmian Huid Mechaniffi,79,433-468(1998).han utilizado exitosamente los modelos ENEF-P y de Giesekus para deshbir los detaiies de la reducción de la resistencia turbulenta, que está estrechamente relacionada con la viscosidad de alargamiento.
i
Problemas 301 8. ¿Por qué es necesario imponer restricciones sobre los parámetros en el modelo de Oldroyd? ¿Cuál es la relación entre estas restricciones y el tema de la reometría? 9. ¿Qué ventajas tienen las expresiones moleculares para el tensor de esfuerzo sobre las expresiones empíricas? 10. $ara qué tipos de problemas industriales usaría usted los diversos tipos de modelos descritos en este capítulo? 11. ¿Por qué el modelo de la ley de potencias podría ser insatisfactoriopara describir el flujo axial en tubos concéntncos?
-L
PROBLEMAS fi
8A.1 Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Una solución al 13.5%(por peso) de poiisopropeno en isopentano tiene los siguientes parámetros de la ley de potencias a 323 K n = 0.2 y m = 5 x lo3Fa sn. La solución se bombea (en flujo laminar) a través de un tubo horizontal de 10.2 m de longitud y 1.3 cm de diámetro interior. Se desea usar otro tubo de 30.6 m de longitud con la misma velocidad d e flujo rnásico y la misma caída de presión. ¿Cuál debe ser el radio del tubo? 8A.2 Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Una solución acuosa al 1%de óxido de polietileno a 333 K tiene los parárnetros de la ley de potencias n = 0.6 y m = 0.50 Pa - s". La solución se bombea entre dos tanques, donde el primero está a una presión pl y el segundo está a una presión p2. El tubo que transporta la solución mide 14.7 m de longitud y es de 0.27 cm de diámetro interior. Se ha decidido sustituir el tubo simple por un par de tubos de la misma longitud, pero de diámetro interior más pequeño. ¿Qué diámetro deben tener estos tubos de modo que la velocidad de flujo másico sea la misma que en el tubo simple?
8B.1 Flujo de una película poIimérica. Trabajar el problema en 52.2 para el fluido que obedece la ley de potencias. Demostrar que el resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano.
88.2 Flujo que obedece la ley de potencias en una rendija estrecha. En el ejemplo 8.3-2, demostrar cómo deducir la distribución de velocidad para la región -B 5 x 5 O. LESposible combinar en una ecuación este resultado con el de la ecuación 8.3-13? 88.3 Flujo no newtoniano en tubos concéntncos. Volver a trabajar el problema 2B.7 para el flujo en tubos condntricos de un fluido que obedece la ley de potencias, con el flujo impulsado por movimiento axial del cilindro interior.
a) Demostrar que la distribuaón de velocidad para el fluido es
b) Comprobar que el resultado del inciso a se simplifica al resultado newtoniano cuando n tiende a la unidad. C) Demostrar que
la velocidad de flujo másico en la región anular está dada por
w= -
(para n f f)
(88.3-2)
d) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico para fluidos con n = $? e) Simplificar la ecuación 8B.3-2 para el fluido newtoniano. 3B.4 Flujo de un líquido poliménco en un tubo ahusado. Trabajar el problema 2B.10 para un fluido que obedece la ley de potencias, usando la aproximación de lubricación.
302 Capítulo 8
Líquidos poliméricos 88.5 Flujo en una rendija de un fluido de Bingham.' Para suspensiones y pastas espesas se en. cuentra que no ocurre flujo hasta que se alcanza cierto esfuerzo crítico, el esfuerzo cedente (Umite elástico), y luego el fluido circula de tal forma que parte de la corriente está en "flujo de tapón". El modelo más simple de un fluido con un valor de cedencia es el modelo de Binghm, cuando T 5 ro cuando r
(88.5-1)
1 T~
donde r0 es el esfuerzo cedente, el esfuerzo por abajo del cual no ocurre flujo y po es un pa+ rámetro con unidades de viscosidad. La cantidad T = 1es La magnitud del tensor de fuerzo. Encontrar la velocidad de flujo másico en una rendija para el fluido de Bingham (veanse el problema 28.3 y el ejemplo 8.3-2). La expresión para el esfuerzo cortante T,, como una función de la posición x en la ecuacibn 28.3-1 puede sacarse de aquí, debido a que no depende del tipo de fluido. Se observa que ( es precisamente igual al esfuerzo cedente T, en x = +xo, donde xo está definido por
T, I
a) Demostrar que la ecuación superior de 88.5-1 requiere que d v z / d x = O para 1 x 1 5 xW ya que rx, = - ?dvZ/dx y T~~es fiiito; entonces, ésta es la mgi6n de "flujo tapón". Luego demos trar que, como para x positivo se tiene y = -dv,/dx, y para x negativo se tiene = +dv,/dx, la ecuación inferior de la ecuación 8B.5-1 requiere que
b) A fin de obtener la distribución de velocidad para +xo 5 x 5 +B, la relación superior de la ecuación 8B.5-3 se sustituye en la ecuación 2B.3-1 y se obtiene la ecuación diferencial para u,. Demostrar que esto puede integrarse con la condición límite de que la velocidad es cero en x = B para obtener
¿Cuál es la velocidad en el intervalo 1 x 1 C)
5 xo?
Hacer un dibujo de v z ( x ) .
Luego, la velocidad de flujo másico puede obtenerse a partir de
La integración por partes permite que la integración se realice más fácilmente. Demostrar que el resultado final es
Comprobar que, cuando el esfuerzo cedente tiende a cero, este resultado se simplifica al resultado del fluido newtoniano en el problema 28.3. -
' E.C.Bigham, Fluidity and Plasticity, McCraw-HiU, Nueva York (1922), pp. 215218. Véase R.0. Bird, G.C. Dai y EJ. Yanisso,Reviaus in ChemiEIll Enganeering, 1,1-70 (1982)para una revisión de los modelos con un iímite de elasticidad.
Problemas 303 8B.6 Deducción de la ecuación de Buckingham-Reiner.2Volver a trabajar el ejemplo 8.3-1 para el modelo de Bingham. Primero encontrar la distribución de velocidad. Luego, demostrar que la velocidad de flujo másico esta dada por
donde T~ = (go- EP,)R/SL es el esfuerzo cortante en la pared del tubo. Esta expresi6n sólo es válida cuando rRr ro.
r
8B.7 Las componentes de la viscosidad compleja para el fluido de Jeffreys. Trabajar el ejemplo 8.4-1 para el modelo de Jeffreys de la ecuación 8.44 y demostrar que los resultados son las ecuaciones 8.5-12 y 8.5-13. ¿Cómo se relacionan estos resultados con las ecuaciones (F) y (G) de la tabla 8.5-l? a)
b) Obtener las componentes de la viscosidad compleja para el modelo de Jeffreys usando la superposición que se sugirió en la nota de pie de página 3 de 58.4. 8B.8 Relajación de esfuerzo una vez que se suspende el flujo cortante. Un fluido viscoeIaistico está en flujo en estado estacionario entre un par de láminas paralelas, con u, = +y.Si el flujo se suspende repentinamente (es decir, se vuelve cero), los esfuerzos no se hacen cero como sen a el caso para un fluido newtoniano. Analizar este fenómeno de relajación del esfuerza usando un modelo de Oldroyd de 3 constantes (ecuación 8.5-3 con A2 = p2 = pI = pO= 0).
a) Demostrar que en flujo en estado estacionario
¿En qué medida esta expresión coincide con los datos experimentales de la figura 8.2-4?
b) Use el ejemplo 8.5-1 (inciso a) para demostrar que, si el flujo se detiene en f = O, el esfuerzo cortante para t 2 O es
Esto muestra por qué Al se denomina "tiempo de relajación". Esta relajaciún de los esfuerzos después de que se detiene el movimiento del fluido es característica de los materiales viscoelásticos. C) ¿Cuál es el esfuerzo normal T~~ durante flujo cortante estacionario y después de que se suspende el flujo?
8B.9 Vaciado de un tanque con una tubería de descarga (figura 78.9). Volver a trabajar el problema 7B.9(a) para el fluido que obedece la ley de potencias. 8B.10 El modelo de Giesekus. a) Utilizar los resultados de la tabla 8.5-1 para obtener los valores límite para la viscosidad no newtoniana y las diferencias de los esfuerzos normales a medida que la velocidad de corte tiende a cero.
b) Encontrar las expresiones límite para la viscosidad no newtoniana y los dos coeficientes del esfuerzo normal en el límite cuando la velocidad de corte se hace infinitamente grande. c) ~ C u des l la viscosidad de alargamiento en estado estacionario en el límite cuando la velocidad de elongación tiende a cero? Demostrar que la viscosidad de alargamiento tiene un 1ímite finito a medida que la velocidad de alargamiento tiende a infinito. E. Buckingham, Proc. ASTM, 21,1154-1161 (1921); M. Reiner, Defmation nnd Flow, Lewis, Londres (1949).
304 Capítulo 8 Líquidos polirnéricos 8C.1 El viscosirnetro de cono y plato (figura 2 ~ . l l )Revisar .~ el análisis newtoniano del instrumen-
to de cono y plato del problema 2B.11 y luego hacer lo siguiente:
+
a) Demostrar que el esfuerzo cortante y es uniforme en toda la separación e igual a = -+o+ = R/&. Debido a la uniformidad de y, Ias componentes del tensor de esfuerzo también son constantes a lo largo de toda k separación.
b) Demostrar que Ia viscosidad no newtoniana se obtiene entonces a partir de mediciones del momento de torsión T , y la velocidad de rotación R usando
c) Demostrar que para el sistema de cono y plato, la componente radial de la ecuación de mo-
vimiento es
si el término de la fuerza centrífuga -pv$/r puede despreciarse. Reordenar lo anterior para obtener
Luego introducir los coeficientes del esfuerzo normal y usar el resultado del inciso a) pan mmplazar dn,/d ln r por d ~ ~ , ln / dr, a fin de obtener
Integrar esta expresi6n desde r hasta R y usar la condici6n límite a,(R) = p, para obtener
donde p, es la presión atmosférica que actúa sobre el fluido en el borde del instrumento de cono y plato.
d) Demostrar que el empuje total en la dirección z ejercido por el fluido sobre el cono es F,
=
fT[?r, -
O
p,Jrdrd0
=
fd 2 4 y 2
(8C.1-6)
O
a partir de esto es posible obtener el primer coeficiente del esfuerzo normal midiendo la fuerza que ejerce el fluido. e) Sugerir un método para medir el segundo coeficiente del esherzo normal usando los m sultados del inciso c) si en diferentes ubicaciones radiales en el plato se montan al ras traw ductores de poca presián activados por el fluido. 8C.2 Flujo comprimido entre discos paralelos (figura 3 c . 1 ) Volver ~ a trabajar el problema 3C.lS)
para el fluido que obedece la ley de potencias. Este aparato puede ser útil para determinar lo$ parámetros de la ley de potencias para materiales altamente viscosos. Demostrar que el a d logo de la ley de potencias de la ecuación 3C.1-16 es
va
R.B. B d , R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamtcc ofPolymeric Liqurdc, Vol. 1, Flud Mechanics, Wdey-lnterscience, Nue, York, 2a. edición (1987), pp 521-524.
'P.J.Leider, Ind. Eng Chem.F u n d m . , 13,342-346(1974);R.J. Grimm, AIChE J o u m l ,24,427-439(1978).
Problemas 305 8C.3 Verificación de la función de viscosidad de G i e s e k ~ s . ~ a) Para comprobar las anotaciones del flujo cortante en la tabla 8.5-1, introducir componentes adimensionales del tensor de esfuerzo Tij = (A/qO)rij y una velocidad de corte adimensional = A+, y luego demostrar que para flujo cortante en estado estacionario la ecuación 8.5-4 se convierte en
También hay una cuarta ecuación, que lleva a T , = 0.
b) Volver a escribir estas ecuaciones en términos de las diferencias adimensionales del esfuerzo nórmal NI = T, - Tyy,N 2 -- Tw - Tu y TW C) Es difícil resolver Ias ecuaciones del inciso b) para obtener el esfuerzo normal y las diferencias del esfuerzo normal adimensionales en términos de la velocidad de corte adimensional. En vez de ello, despeje N,, Ty,y como funciones de N2:
d) Despejar N 2 en la última ecuación como una función de
r para obtener
donde
Luego, obtener la expresión para la viscosidad no new7tonianay trazar la curva de q( 7). 8C.4 Flujo en un tubo para el modelo de Oldroyd de 6 constantes. Encontrar la velocidad de flujo másico para el flujo estacionario en un largo tubo circular6 usando la ecuación 8.5-3. 8C.5 Modelos de cadena con conectores de variIla rígida. Leer y analizar las siguientes publicaciones: M. Gottlieb, Coiiipicfers G. Chcnlistry, 1, 155-160 (1977);0. Hassager, J. Chcrn., Phys., 60, 2111-2124 (1974); X.J. Fan y T.W. Liu, 1. Non-Newtoninrz Fluid Mech., 19, 303-321 (1986); 'T.W. Liu, 1. Chen~.Phys., 90, 5826-5842 (1989); H.H. Saab, R.B. Bird y C.F. Curtiss, I. Chem. Phys., 77, 4758-4766 (1982); J.D. Cchieber, l. Chenl. Pl~ys.,87,4917-4927,4928-4936 (1987).¿Por qué los conectores en forma de varilla son más difíciles de manejar que los resortes? ¿Qué tipos de pro-
blemas pueden resolverse con simulaciones por computadora?
H. Ciesekus, J. Non-Nmtonian Fluid Mech, 11,69-109(1982).
M.C.Wfiams y R.O. Bud,AlChE journol, 8,378382 (1962).
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Capítulo 9
Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía Ley de Fourier de Ia conducción de calor (transporte molecular de energía) Dependencia de la conductividad térmica respecto a la temperatura y la presión Teoría de la conductividad térmica de gases a baja densidad Teoría de la conductividad térmica de líquidos Conductividad térmica de sólidos Conductividad térmica efectiva de sólidos compuestos Transporte de energía convectiva Trabajo asociado con movimientos moleculares
Es de conocimiento común que algunos materiales como los metales conducen calor fácilmente, mientras que otros como la madera actúan como aisIantes térmicos. La propiedad física que describe la velocidad a que se conduce el calor es la conductividad térmica k. La conducción de calor en fluidos puede considerarse como transporte molecular de energía, puesto que e1 mecanismo fundamental es el movimiento de las moléculas constituyentes. La energía también puede transportarse por el movimiento global de un fluido, y entonces se denomina transporte de energía convectiva; esta forma de transporte depende de la densidad p del fluido. Otro mecanismo es el del transporte de energú! difusora, que ocurre en mezclas que se difunden entre sí. Además, Ia energia puede transmitirse por medio del transporte de energía radiada, que es bastante distinto en el sentido de que esta forma de transporte no requiere de un medio material como sí lo requieren la conducción y Ia convección. Este capítulo introduce los dos primeros mecanismos, conducción y convección. La radiación se trata por separado en el capítulo 16, y el tema del transporte de calor por difusión se presenta en 519.3 y también en 524.2. Empezamos en 99.1 con la definición de la conductividad térmica k por la ley de Fourier para el vector de densidad de flujo de calor (o flujo térmico) q. En 59.2 se resume la dependencia de k respecto a la temperatura y la presión para fluidos por medio del principio de los estados correspondientes. Luego, en las cuatro secciones siguientes presentamos información sobre conductividades térmicas de gases, 1íquidos, sólidos y compuestos sólidos, y se proporcionan los resultados teóricos cuando se cuente con ellos. Debido a que en los capítulos 10 y 11 se plantearán problemas usando la ley de conservación de la energía, es necesario saber no sólo cómo el calor se mueve hacia adentro y hacia afuera de un sistema, sino también cómo se realiza trabajo sobre o por un sistema a través de mecanismos moleculares. La naturaleza de 10s
l
310 Capitulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
términos de trabajo molecular se analiza en 39.8. Finalmente, aí combinar la densidad de flujo de calor conductivo, la densidad de flujo de energía convectiva y la densidad de flujo de trabajo, es posible crear un vector de densidad de flujo de energfa combinada e, que es útil para establecer balances d e energía.
Considérese una placa de material sólido de área A situada entre dos grandes 16minas paralelas separadas por una distancia Y. Suponemos que inicialmente (para algún instante t < O) la temperatura del material sólido es To en todas partes. En t = O, la lámina de abajo se lleva repentinamente a una temperatura ligeramente superior Ti, que se mantiene constante. A medida que transcurre el tiempo, el perfil de temperatura de la placa cambia, y al fin se alcanza una distribución lineal de temperatura en estado estacionario (como se muestra en la figura 9.1-1). Una vez que se llega a esta condición d e estado estacionario, para mantener la diferencia de temperatura AT = TI - To se requiere una velocidad constante de flujo de calar Q a través de Ia lámina. Se encuentra entonces que para valores suficientemente pe queños de AT se cumple la siguiente relación:
,-
Sólido inicialmente a la temperatura To
Lámiiia inferior cuya temperatura se eleva repentinamente a Ti
o I
1
t
pequeño
Figura 9.1-1 Desarrollo del perfiI d e temperatura en estado estacionario para una pIaca sólida entre dos láminas paralelas Véase la figura 1.1-1, donde se muestra la situación análoga para transporte d e cantidad de movimiento
i
s9.1 Ley de Fourier de la conducción de calor (transporte molecular de energía) 311
Es decir, la velocidad de flujo de calor por unidad de área es proporcional a la disminución de temperatura sobre la distancia Y. La constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica de la placa. La ecuación 9.1-1 también se cumple si entre las dos láminas se coloca un líquido o un gas, en el supuesto de que se tomen las precauciones necesarias para eliminar la convección y la radiación. En capítulos posteriores es mejor trabajar con la ecuación anterior en forma diferencial. Es decir, usamos la forma limite de la ecuación 9.1-1 a medida que el espesor de la lhmina tiende a cero. El flujo local de calor por unidad de área (densidad de flujo de calor o flux de calor) en la dirección y positiva se designa mediante qy. Con esta notación, la ecuación 9.1-1 se convierte en
Esta ecuación, que sirve para definir k, es Ia forma unidirnensional que de la ley de Fourier de la conducción de establece que la densidad de flujo de calor por conducción es proporcional al gradiente de temperatura o para expresarlo en forma gráfica, "el calor se desliza cuesta abajo en la gráfica de temperatura contra distancia". En realidad la ecuación 9.1-2 no es una " l e y de la naturaleza, sino más bien una sugerencia, que ha demostrado ser un empirismo bastante útil. Sin embargo, cuenta con una base teórica, como se analiza en el apéndice D. Si la temperatura varía en las tres direcciones, entonces es posible escribir una ecuación como la 9.1-2 para cada una de las direcciones de coordenadas:
Si cada una de estas ecuaciones se multiplica por el vector unitario idóneo y luego se suman las ecuaciones resultantes, se obtiene
que es la forma tridimensional de la ley de Fourier. Esta ecuación describe el transporte molecular de calor en medios isotrópicos. Por "isotrópico" se entiende que el material no tiene ninguna dirección preferida, de modo que el calor se conduce con la misma conductividad térmica k en todas las direcciones.
'
J.B. Fourier, Thtorie analytique de la chalar, LEuvres de Fourier, Gauthier-Villars et Fils, París (1822). (Bar6n) Jean-BaptisteJoseph-Fourier(1768-1830) fue no sólo un matemático brillante y el creador de la serie de Fourier y la transformada de Fourier, sino también famoso como egiptólogo y figura política (fue prefecto de la provinaa de Isere). Algunos autores prefieren escribir la ecuación 9.1-2 en la forma
donde 1, es el "equivalente mecánico de calor", que presenta explícitamente la conversión de unidades térmicas en unidades mecánicas. Por ejemplo, en el sistema cgs podrían usarse las siguientes unidades: qY [=] erg/cm2 . S , k [ = l cal/an s . C,T [ = ] C, y [=] cm,y 1, [=] erg/cal. En este libro no usamos la ecuación 9.1-2a.
.
312
Capítulo 9
Conductividad tkrmica y los mecanismos de transporte de energía
Algunos sólidos, como los cristales simples no cúbicos, los materiales fibrosos y los laminados, son a n i s ~ t r ó ~ i c oPara s . ~ tales sustancias, es necesario reemplazar la ecuación 9.1-6 por
donde K es un tensor simétrico de segundo orden denominado tensor de conducfividad térmica. Por tanto, el vector de densidad de flujo de calor no apunta en la misma dirección que el gradiente de temperatura. Para líquidos poliméricos en el flujo cortante vJy, t), la conductividad térmica puede aumentar 20% por arriba del valor de equilibrio en la dirección x y disminuir 10% en la dirección z. La conducción anisotrópica de calor en lechos de relleno se analiza brevemente en 99.6. Otra generalización posible de la ecuación 9.1-6 es incluir un ténnino que contie ne la derivada de q respecto al tiempo multiplicada por una constante de tiempo, por analogía con el modelo de Maxwell de viscoelasticidad lineal de la ecuación 8.4-3. Parece haber poca evidencia experimental que garantice tal generalización? El lector habrá observado que la ecuación 9.1-2 para la conducción de calor y la ecuación 1.1-2 para flujo viscoso son bastante parecidas. En ambas ecuaciones la densidad de flujo es proporcional al negativo del gradiente de una variable macroscópica, y el coeficiente de proporcionalidad es una propiedad física característica del material y dependiente de la temperatura y la presión. Para las situaciones en las que hay transporte tridimensiona1,'se encuentra que la ecuación 9.1-6 para conducción de calor y la ecuación 1.2-7 para flujo viscoso difieren sólo en apariencia. Esta diferencia surge debido a que la energía es escalar, mientras la cantidad de movimiento es un vector, y la densidad de flujo de calor q es un vector con tres componentes, mientras que la densidad de flujo de cantidad de movimiento 7 es un tensor de segundo orden con nueve componentes. Podemos anticipar que el transporte de energía y de cantidad de movimiento por regla general no son matemáticamente análogos, excepto en ciertas situaciones geométricas simples. Además de la conductividad térmica k, definida por la ecuación 9.1-2, se usa ampliamente una cantidad conocida como difusividad térmica a. Se define como
Aquí Ep es la capacidad calorífica a presión constante; el acento circunflejo ( A ) sobre el símbolo indica una cantidad "por unidad de masa". Ocasionalmente se ne-
Aunque algunos líquidos polirnéricos en reposo son isotrópicos, la teoría cinética s u g i e ~ que cuando fluyen, la conducción de calor es anisotrópica [véase B.H.A.A. van den Brule, Rheol. Acta, 28,257-266(1989); y C.F. Curtiss y R.B. Bid, Advances in Polymer Science, 25,l-101(1996)l.D.C. Venems, J.D.Schieber, H. Iddir, J.D.Guz& y A.W. Broerman, Phys. Rai. Leffers,82,366-369 (1999), han ~ p r t a d mediciones o experimentales para flujo cortante y de alargamiento; H. Iddu, D.C. Venems y ].D. Schieber, AlChE Joumal, 46,610-615(2000).Para sólidos de poiímeros orientados, B. Poulaert, J:C Chielens, C. Vandenhaende, J.-P. lssi y R. Legras, Polymer Comm., 31, 148151 (1989), han medido conductividad térmica mejorada en la dirección de orientación. Respecto a los modelos de cadena de cuentas de conductividad t6rmica de polimeros, R.B. B i d , C.F. Curtiss y K.J.Been [Rheol. Acta, 36,269-276(1997)l han demostrado que la conductividad térmica predicha es extremadamente sensible a la forma d e la enagia potencial usada para describir los resortes. La teoría lineal de temoviscoelasticidad predice efectos de relajación en la conducción de calor, como analiza R.M. Christensen, n e o y of Viscoelasticiiy, Academic Press, 2a. edición (1982). R.B. Bird y C.F. Curtiss, J. ~on-Nezutonian Fluid Medianics, 79,255259 (1998). también han encontrado el efecto a partir de u n tratamiento de energía cinética de la ecuación de energía.
*
s9.1 Ley de Fowier de la conducción de calor (transporte mo1ecular de energía) 313
G,
cesitará el símbolo donde La tilde (-1 sobre el símbolo representa una cantidad "por mol". La difusividad térmica a tiene las mismas dimensiones que la viscosidad cineCuando se hace la suposición de propiedades mática v; a saber, (longit~d)~/tiempo. físicas constantes, las cantidades v y a aparecen en formas semejantes en las ecuaciones de variación para el transporte de cantidad de movimiento y de energía. Su razón v / a indica la facilidad relativa del transporte de cantidad de movimiento y de energía en sistemas de flujo. Esta razón adimensional
p r = -l.' = a k se denomina número de PrandtL5 Otro grupo adimensional que encontraremos en capítulos posteriores es el numero de Péclet: Pé = RePr. Las unidades que suelen usarse para la conductividad térmica y algunas cantidades relacionadas, se proporcionan en la tabla 9.1-1. Otras unidades, así como las interrelaciones entre los diversos sistemas, pueden encontrarse en el apéndice F. La conductividad térmica puede variar desde aproximadamente 0.01 W/m K para gases hasta aproximadamente 1000 W / m K para metales puros. Algunos vaIores experimentales de la conductividad térmica de gases, líquidos, metales líquidos y sólidos se proporcionan en las tablas 9.1-2 a 9.1-5. Al hacer cálcu~os, siempre que sea posible deben usarse valores experimentales. Si no se cuenta con éstos, es posible hacer estimaciones usando los métodos que se bosquejan en 12s siguientes secciones o consultando varios manuales de i ~ ~ g e n i e r í a . ~
Tabla 9.1-1 Resumen de unidades para las cantidades de las ecuaciones 9.1-2 y 9.1-9 SI
CgS
q~ T
W/m2
cal/cm2
K
C
F
Y k
m W/m K
cm
pie Btu/h pie . F
J/K . kg m2/s
cal/C . g
B ~ U / F- lb,
cm2/s
pie2/s
Pa . s
g/cm - S
e, a
P Pr
-
Ingles
cal/cm
Btu/h . pie2
S
S
-
C
Ib,/pie
-h
L
Nota: el watt (W) es lo mismo que J/s; el joule es lo mismo que N .m; el newton (N) es kg . m/sZ, y ;.i pascal (Pa) es ~ / r r t Para ~ . más información sobre interconversión de unidades, véase el apéndice F.
Este gmpo adimensionai, denominado así en honor de Ludwig Prandtl, implica sólo las propiedades físicas del fluido. Jean-Chude-EughnePkclet (1793-1857) es autor de vanas libros, incluyendo uno sobre conducción de calar. Por ejemplo, W.M. Rohsenow, J.P.Harinett y Y.I. Cho, comps., Handbook of Heat Transfer, Mdraw-HiU, Nueva York (1998); Landolt-Bhstein, Zahlenwte und Funktiown, Vol. 1I,5, Springer (1968-1969).
314
Capítulo 9 Conductividad termica y los mecanismos de iransporte de energía Tabla 9.1-2 Conductividades térmicas, capacidades caloríficas y números de Prandtl de algunos gases comunes a 1 atm de presi6na Temperatura
TíK)
Gas
Conductividad térmica k (W/m K)
Capacidad calorífica
e, U/kg
a
K)
Número de Prandtl
Pr (-1
-
-
de J.O. Hihfelder, C.F. Curtiss y R.B. Bid, M d e c u l a ~Theory of Cases and Liquids, Wüey, Nueva York, 2a. impresi6n corregida (1961), tabla 8.4-10. Los valores k son medidos, los valores se calculan a partir de datos espectroscópicos,y p se calcula a partir de la ecuación 1.4-14.Los
a Tomado
cp
valores de
eppara H2representan una mezcla orto-para 3 1 .
Tabla 9.1-3 Conductividades térmicas, capacidades caloríficas y números de Prandtl para algunos líquidos no metlilicos a sus presiones de sahraci6na
Conduciividad Temperatura T
térmica
Viscosidad i 104 ~
Liquido
(Kl
k (W/m - K)
1-Penteno
200 250 300 250 300 350 250 300 350 250
0.1461 0.1307 0.1153 0.1092 0.09929 0.08935 0.1478 0.1274 0.1071 0.1808
6.193 3.074 1.907 20.32 8.828 4.813 3.819 2.213 1.387 30.51
300
0.1676
350 300 350 400 300 350 400
0.1544 0.2920 0.2977 0.3034 0.6089 0.6622 0.6848
10.40 4.486
Cc4 (CzH5)20
C2H50H Glicerol
H20
f
(Pa . S)
7949 365.7 64.13 8.768 3.712 2.165
Capacidad calorífica
tpx
U/kg - K) 1.948 2.070 2.251 0.8617 0.8967 0.9518 2.197 2.379 2.721 2.120 2.454 2.984
Número de Prandtl Pr (-)
8.26 4.87 3.72 16.0 7.97 5.13 5.68 4.13 3.53
35.8 15.2 8.67
2.418
6580
2.679 2.940 4.183 4.193 4.262
329
62.2 6.02 2.35 1.35
Los elementos de esta tabla fueron proporcionados de las funciones propuestas por T.E. Daubert, R.P.Danner, H.M. Sibul, C.C. Stebbins, J.L. Oscarson, R.L. Rowley, W.V. Wilding, M.E. Adams, T.L. Marshall y N.A. Zundel, DIPPRm Dafa Compilation of Pure Compound Properties, Design Institute for a
Physical Property ata@, AIChE, Nueva York, NY (2000).
99.1 Ley de Fourier de la conducción de calor (transporte molecular de energía) 315
9.1-1 i&cEJEMPLO . .... 8
Medición de la conductividad térmica
'
Se encontró que un panel de plástico de área A = I pie2 y espesor Y = 0.252 pulg conduce calor a razón de 3.0 W en estado estacionario con temperaturas To = 24.00°C y TI = 26.00°C impuestas sobre las dos superficies principales. ¿Cuál es la conductividad térmica del plástico en cal/cm - S . K a 25"C?
Primero se convierten las unidades con ayuda del apéndice F: A
= 144 X (2.5412 = 929 cm2 Y = 0.252 pulg X 2.54 = 0.640 cm Q = 3.0 W X 0.23901 = 0.717 cal/s AT = 26.00 - 24.00 = 2.00K
Al sustituir en la ecuación 9.1-1 se obtiene
k = - -Q r AAT
929
X
2
=
2-47 X lo4 cal / cm
.
. K
(9.1-10)
Para AT tan pequeño como 2 grados centígrados, es razonable suponer que el valor de k es válido para la temperatura media, que en este caso es de 25°C. Vkanse los problemas lOB.12 y 10C.I para los métodos de explicar la variacibn de k con la temperatura.
Tabla 9.1-4 Conductividades térmicas, capacidades calorificas y números de Prandtl de aIpnos metales líquidos a presión atmosféricaa
Metal Iig
Pb
Bi
Na
K Aleación de Na-KC
Temperatura T (K)
Conductividad térmica k (W/m K)
273.2 373.2 473.2 644.2 755.2 977.2 589.2 811.2 1033.2 366.2 644.2 977.2 422.2 700.2 977.2 366.2 644.2 977.2
8.20 10.50 12.34 15.9 15.5 15.1 16.3 15.5 15.5 86.2 72.8 59.8 45.2 39.3 33.1 25.5 27.6 28.9
Capacidad calorífica K)
Número de Prand tlC Pr (-1
140.2 137.2 156.9 15.9 15.5 14.6~ 14.4 15.4 16.4 13.8 13.0 12.6 795 753 753 1130 1054 1042
0.0288 0.0162 0.0116 0.024 0.017 0.013~ 0.0142 0,0110 0.0083 0.011 0.0051 0.0037 0.0066 0.0034 0.0029 0.026 0.0091 0.0058
cp
Datos tomados del Liquid Metals Handbook, 2a. edición, U.S. Government Pfinting Office, Washington, D.C. (1952), y de E.R.G. Eckert y R.M. Drake, Jr., Heat and Mass Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 2a. edición (19591, Apéndice A. Basado en una capacidad calorífica extrapolada. 56% en peso de Na, 44% en peso de K. a
316
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
-
Tabla 9.1-5 Valores experimentales de las conductividades térmicas de algunos sólido9 Sustancia
Temperatura T (K)
Conductividad t6rmica k (W/m K)
-
Aluminio Cadmio Cobre Acero Estaño Ladrillo (rojo común) Concreto (piedra) Corteza terrestre (promedio) Vidrio (soda) Grafito Arena (seca) Madera (abeto) paralela al eje normal al eje
" Datos tomados del Reactor Handbook, Vol. 2, Atomic Energy Comrnission AECD-3646, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C. (mayode 1955), pp. 1766 y siguientes.
Cuando no es posible encontrar datos de conductividad térmica para un compuesto particular, puede hacerse una estimación usando el diagrama de estados correspondientes de la figura 9.2-1, que se basa en datos de conductividad térmica para vanas sustancias monoatómicas. Este diagrama, que es semejante al de la viscosidad que se muestra en la figura 1.3-1, es una gráfica de la conductividad térmica reducida k, = k/k,, que es la conductividad térmica a presión p y temperatura T dividida entre la conductividad térmica en el punto critico. Esta cantidad está graficada como una función de la temperatura reducida T, = T / T c y la presión reducida p, = plp,. La figura 9.2-1 se basa en una cantidad limitada de datos expe rimentales para sustancias monoatómicas, pero puede usarse en estimaciones aproximadas para materiales poliatómicos. No debe usarse en la vecindad del punto critico.'
'
En la vecindad del punto critico, donde diverge la conductividad térmica, suele acostumbrarse exribir k = kb Ak, donde kb es la contribución de "fondo"y Ak es la contribución de la "mejorfacrítica". La k, usada en la correlación de estado correspondientees la contribución de fondo. Para el comportamientode propiedades de hansporte cerca del punto crítica, véase el habajo de J.V.Sengers y J. Luettmer Strathmann, en Trunsporf Pmperties of
+
FIuids U.H. Dymond, J. Millat y C.A. Nieto de Castro, editores), Cambridge University Press (1995); E.P. Sakonidou, H.R. van den Berg, C.A. ten Seldam y J.V.Cengers, J. Chem. Phys., 105,10535-10555(196) y 109,717-736(1998).
99.2 Dependencia de la conductividad térmica con respecto a la temperatura y la presibn 317
Temperatura reducida T , = T / T ,
Figura 9.2-1 Conductividad termica reducida para sustancias monoatómicas como una función de la temperatura y presi6n reducidas [E.J. Owens y G . Thodos, AiChE Journal,3,454461 (1957)l. Una versión a gran escala de este diagrama se encuentra en O.A. Hougen, K.M. Watson y R.A. Ragatz, Chemical Process Principies Chnrts, 2a. edición, Wiley, Nueva York (1960).
Puede observarse que la conductividad térmica d e un gas tiende a una función límite de T a bajas presiones; para la mayor parte de los gases este límite se alcanza aproximadamente a 1 atm de presión. Las conductividades térmicas d e gases a baja densidad aumentan con e1 incremento en la temperatura, mientras que las conductividades térmicas de la mayor parte de los líquidos disminuyen con el incremento en la temperatura. La correlación es menos confiable en la región líquida; los líquidos polares o asociados, como el agua, pueden exhibir un máximo en la curva de k contra T. La virtud más importante del diagrama de estados correspondientes es que se adquiere una perspectiva global del comportamiento de la conductividad térmica de gases y líquidos.
318
Capítulo 9
Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
La cantidad k, puede estimarse en dos formas: i) dada k a temperatura y presión conocidas, preferiblemente cerca de las condiciones a las que debe estimarse k, con base en el diagrama puede leerse k, y entonces calcular k, = k l k , o bien, ii) puede estimarse un valor de k en la región de baja densidad por el método dado en 39.3 y luego proceder como en i). En el apéndice E se proporcionan valores de k, obtenidos por el método i). Para mezclas, la conductividad térmica podría estimarse por métodos análogos a los que se describen en 91.3. Se conoce muy poco acerca de la precisión de procedimientos pseudocriticos según se aplican a la conductividad térmica, en gran medida porque hay muy pocos datos sobre mezclas a presiones elevadas.
Efecto de la presión sobre
Estimar la conductividad térmica del etano a 153°F y 191.9 atm a partir del valor experimental2 k = 0.0159 Btu/h . pies - F a 1 atm y 153°F.
Debido a que se conoce un valor medido de k, usamos el método i). Primero caIculamos p, y T , en la condición del valor medido:
A partir de la figura 9.2-1 leemos k, k
= 0.36. Por
- 0.0442 Btu / h
=-=--
k,
tanto, k, es
0.36
. pies
F
A 153°F (T, = 1.115)y 191.9 atm (p, = 3.98), con base en el diagrama leemos k, = 2.07. Entonces, la conductividad térmica predicha es k
= k&, =
(2.07)(0.0422)= 0.0194 Btu/h . pies - F
(9.2-3)
Se ha reportado2 un valor observado de 0.0453 B h / h . pies . F. La discordancia muestra que no debe confiarse mucho en esta correlación para sustancias poliatómicas ni para condiciones próximas al punto crítico.
39.30 TEORÍA DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICADE GASES A BAJA DENSIDAD Las conductividades térmicas de gases monoatómicos diluidos se comprenden bien y pueden describirse por la teoría cinética de los gases a baja densidad. Aunque se han
59.3 Teorfa de la conductividad térmica de gases a baja densidad 319
desarrolIado teorías detalladas para gases poli~tómicos,~ se acostumbra utilizar algunas teorías aproximadas simples. Aquí, como en 91.5, proporcionamos una deducción simplificada de la trayectoria libre media para gases monoatómicos, y luego resumimos el resultado de la teoría cinética de los gases de Chapman-Enskog. Usamos el modelo de esferas rígidas de masa m y diámetro d que no se atraen entre sí. El gas como un todo está en reposo (v = O), pero deben explicarse 10s movimientos moleculares. Así como en 51.5, usamos el siguiente resultado para un gas constituido por esferas rígidas:
ú=
Z
= 4
nü
=
E
= velocidad molecular media
(9.3-1)
frecuencia de colisiones contra la pared por unidad de área (9.3-2) A=--
1
J2mi2n
-
trayectoria libre media
Las moléculas que llegan a cualquier plano en el gas tuvieron, en promedio, su ú1tima colisión a ima distancia a del plano, donde
En estas ecuaciones, K es la constante de Boltzmann, n es el número de moléculas por unidad de volumen y m es la masa de una molécula. La única forma de energía que puede intercambiarse en una colisión entre dos esferas rígidas lisas es la energía de traslación. La energia media d e traslación por molécula en condiciones de equilibrio es
como se muestra en el ~roblemalC.l. Para tal gas, la capacidad térmica molar a volumen constante es
donde R es la constante del gas. La ecuación 9.3-6 es satisfactoria para gases monoatómicos hasta temperaturas de varios miles d e grados. Para determinar la conductividad térmica, analizamos el comportamiento del gas bajo un gradiente de temperatura d T / d y (véase la figura 9.3-1). Se supone que las ecuaciones 9-31 a 9.3-6 siguen siendo válidas en esta situación en desequilibrio, excepto que f mu2 en la ecuación 9.3-5 se toma como la energia cinética media para
'
C.S. Wang Chang, G.E. Uhlenbeck y J. de Iloer, Studies in Statistirnl Mechanics, Wiley-lnterscience, Nueva York, Vol. 11 (19641, pp. 241-265;E.A. Mason y L. Monchick, J. Chem. Phys., 35, 1676-1697(1961)y 36,1622-1639,2746-2757 (1962);L. Monchick, A.N.G.Pereira y E.A. Masan, J. Chon. Phys., 42,3241-3256 (1965). Para una introducción a la teoría cinética de las propiedades de transporte, véase R.S. Berry, S.A. Rice y J. Ross, Physical Chemistry, 2a. edición (2000),capítulo 28.
320
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
moléculas que tuvieron su última colisión en una región de temperatura T. La densidad de flujo de calor qy a través de cualquier plano de y constante se encuentra sumando las energías cinéticas de las moléculas que m z a n el plano por unidad de tiempo en la dirección y positiva y restando las energías cinéticas del número igual de moIéculas que cruzan en la dirección y negativa:
La ecuación 9.3-7 se basa en la suposición de que todas las moléculas tienen velocidades representativas de la región de su última colisión y que el perfil de temperatura T(y) es Iineal para una distancia de varias trayectorias libres medias. En vista de la última suposición, podemos escribir
Al combinar las tres últimas ecuaciones se obtiene
Esto corresponde a la ley de Fourier de la conducción de calor (ecuación 9.1-2) con la conductividad térmica dada por
k
= ~ H K Ü A=
$ptvüh
donde p = nrn es la densidad del gas, y
(gas monoatómico)
(9.3-11)
e, = 5K / m (a partir de la ecuación 9 . 3 4 .
Perfii de temperatura T(y)
a N'
MoIécula tipica que llega desde el plano en (y - a ) Figura 9.3-1 T'aranrpode con energía $ K T ~ ~ - ~ molecular de energia (cinética) desde el plano en (y - a) hasta el C x plano en y.
99.3 Teoría de la conductividad térmica de gases a baja densidad
321
Entonces, al sustituir las expresiones para ii y A de las ecuaciones 9.3-1 a 9.3-3, se obtiene
que.es la conductividad térmica de un gas diluido compuesto de esferas rígidas de diámetro d. Esta ecuación predice que k es independiente de la presión. La figura 9.2-1 indica que esta predicción coincide en forma satisfactoria con datos experimentales hasta de aproximadamente 10 atm para la mayor parte de los gases. La dependencia respecto a la temperatura predicha es demasiado débil, como fue el caso para la viscosidad. Para un tratamiento más exacto del gas monoatómico, volvemos nuevamente al riguroso tratamiento de Chapman-Enskog que se proporcionó en 91.5.La fórmula de Chapman-Enskog2 para la conductividad térmica de un gas monoatómico a baja densidad y temperatura T es
k
m Cv o k
= 25-
32 r u 2 q
=
1.9891 X lo4- T / M (gas monoatómico) (9.3-13) a2sr,
En la segunda forma de esta ecuación, k[=] cal/cm s - K, TI-] K, u[=IA y la "integral de colisión" para conductividad térmica, flk, es idéntica a la de la viscosidad, 8, en 51.4. En la tabla E.2 se proporcionan valores d e Rk = a, para el potencial intermolecular de Lermard-Jones como una función de la temperatura adimensional K T / E . Se ha encontrado que la ecuación 9.3-13, junto con la tabla E.2, es notoriamente exacta para predecir conductividades térmicas de gases monoatdmicos cuando se usan los parámetros u y E deducidos a partir de mediciones de la viscosidad (es decir, los valores que se proporcionan en la tabla E.1). La ecuación 9.3-13 es bastante semejante a la fórmula de la viscosidad correspondiente, ecuación 1.4-14. Así, a partir de estas dos ecuaciones podemos obtener k = -15 - p R= - C 4 M
5 2
vp
(gas monoatómico)
(9.3-14)
La teoría simplificada de esferas rígidas (véame las ecuaciones 1.4-8 y 4.3-11) proporciona k = y por tanto es errónea por un factor de 2.5. Esto no es sorprendente en vista de las muchas aproximaciones que se hicieron en el tratamiento simple. Hasta el momento hemos analizado sólo gases monoatómicos. Por el análisis en 50.3 sabemos que, en colisiones binarias entre moléculas biatómicas, puede haber intercambios entre las energías cinética e interna (es decir, entre las energías de vibración y rotacional). Tales intercambios no se tienen en cuenta en la teoría de Chapman-Enskog para gases monoatómicos. Por tanto, puede anticiparse que esta
eVp,
J.0.Wsctifelder, C.F. Curíiss y R.B. Bird, Molecular Thwry of Cases and Liquids, Wiley, Nueva York, 2a. impmión corregida (1964), p. 534.
322 Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
teoría no es adecuada para describir la conductividad térmica de moléculas poliatómicas. ~ u c k e ndesarrolló ~ un método semiempírico simple para explicar el intercambio de energía en gases poliatómicos. Su ecuación para la conductividad térmica de un gas poliatómico a baja densidad es (gas poliatómico) Esta fórmula de Eucken incluye la fórmula monoatómica (ecuación 9.3-14) como un caso especial, ya que = $ ((R/M) para gases monoatómicos. Hirschfelder obtuvo una f6rmula semejante a la de Eucken usando la teoría de mezclas con multicomponentes (véase el ejemplo 19.4-4). También e s t h disponibles otras teorías, comelaciones y fórmulas empíri~as.~1~ La ecuación 9.3-15 constituye un método simple para estimar el número de Prandtl, definido en la ecuación 9.1-8:
cp
. Pr=-C -P
k
-
C~
fp-tqR
(gas poliatómico)
Esta ecuación es bastante satisfactoria para gases poliatómicos no polares a baja densidad, como puede observarse en la tabla 9.3-1; es menos exacta para moléculas polares. . Las conductividades térmicas para mezclas gaseosas a baja densidad pueden estimarse por un rnétodd semejante al que acaba de proporcionarse para la viscosidad (véanse las ecuaciones 1.4-15 y 1.4-16):
Las x, son las fracciones molares, y Ias k, son las conductividades térmicas de las especies químicas puras. Los coeficientes QaB son idénticos a los que aparecen en la ecuación de la viscosidad (véase la ecuación 1.416). Todos los valores de k, en la ecuación 9.3-17 y de pa en la ecuación 1.416 son valores a baja densidad a la temperatura dada. Si no se cuenta con datos de viscosidad, pueden estimarse a partir por medio de la ecuación 9-3-15,Comparaciones con datos experimentade k y les7 indican una desviación media de aproximadamente 4% para mezclas que contienen gases poliatómicos no polares, entre ellos @, N= CO, C2HZy C&.
cp
A. Eucken,Physik. Z., 14,324-333 (19'13). ",O. Hirschfelder, j. C h .Phys., 26,274-281,282-285(1957). J.H.F h g m y H.G. Kaper, ~túrthemnticalTheury of Transpmt Processes in Gases, North-Hoiiand,Amsterdam (1977.). R.C.Reid. J.M. Prausnitz y B.E.Poling, 7 % ~Propmties of Gases d Liquids, McGraw-HiU, Nueva York, 4a. edición (1987). E.A. Mason y S.C.Saxena, Physics of Fluids, 1,361-369 (1958).Su método es una aproximación a a método exacto planteado por J.O.Huxhfelder, j. Chem. Phys., 26,274-281,282-285 (1957).Con b aprobaci6n del profesor Mason, aqui hemos omitido un factor empirico de 1.065 en su expresión ai, para i # j a fin de establecer autoconsistencia para mezclas de especies idénticas.
59.3 Teoría de la conductividad térmica de gases a baja densidad
323
Tabla 9.3-1 Valores pronosticados y observados del número de Prandtl para gases a presión atmosférican
e p p / k a partir de la Gas
T(K)
ecuación 9.3-16
cp/k a partir de valores observados de yk
N2 o2
Aire CO
NO c12
H20
Calculado a partir de valores proporcionados por M. Jákob,Heat Transfer, Wiley, Nueva York (19491, pp. 75-76. J.O.Hirschfelder, C.F. Curtiss y R.B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York, impresión corregida (1964), p. 16.
Calcular la conductividad térmica del Ne a 1 atm y 373.2K. Cálculo de la condudvidad térmica de un gas monoatómico a baja densidad
SOLUC~~N Con base en la tabla E.l, las constantes de Lennard-Jones para el neón son cr = 2.789 A y E/K = 35.7K, y su peso molecular M es 20.180. Entonces, a 373.2K, tenemos K T / E = 373.2/ = fl, = 0.821. Al sustituir en la ecua35.7 = 10.45.Apartir de la tabla E.2 se encuentra que ción 9.3-13 se obtiene
A 1 atm y 373.2K se ha reportado8 un valor medido de 1.35 x lop4 cal/crn - s . K.
W.G.Kamduik y E.H. Carman, Pmc. Phys. Soc. (Londres),658,701-704 (1952).
324
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
Estimar la conductividad térmica de oxígeno molecular a 300K y baja presión.
Estimación de la conductividad térmica de un gas poliatómico a baja densidad
SoL lrcronr El peso molemlar del O2 es 32.0000; su capacidad calorifica molar C p a 300K y baja presión es 7.019 cal/g-m01 . K. Con base en la tabla E.1 se encuentra que los parárnetros de Lennard-Jones para el oxígeno rnolecular son cr = 3.433 A y E / K = 113K. A 300K, entonces, KT/E = 300/113 = 2.655. A partir de la tabla E.2 se encuentra que 0, = 1.074. La viscosidad, por la ecuación 1.4-14, es
Entonces, a partir de Ia ecuación 9.3-15, la aproximación de Eucken a la conductividad térmica es
Esto se compara favorablemente con el valor experimental de 0.02657 W/m - K en la tabla 9.1-2.
Predicción de la conductividad térmica de una mezcla de gases a baja densidad
Pronosticar la conductividad térmica de la siguiente mezcla de gases a 1 atm y 293K a partir de los datos proporcionados sobre las componentes puras a la misma presión y temperatura:
Especies
co2 0 2 N2
(Y
1 2 3
Fracción molar
Peso rnolecular
X,
M,
(g/cm S)
k, x lo7 (cal/cm . S . K)
0.133 0.039 0.828
44.010 32.000 28.016
1462 2031 1754
383 612 627
pa
x lo7
para esta mezcla de gases a esas condiciones Se usa la ecuación 9.3-17. Observamos que ya se obtuvo en el cálculo de la viscosidad en e1 ejemplo 1.4-2. En ese ejemplo se evaluaron ias siguientes operaciones suma, que también aparecen en la ecuación 9.3-17:
59.4
Teoría de la condudividad térmica de iíquidos 325
Al sustituir en la ecuación 9.3-17 se obtiene
No se dispone de datos para comparar a estas condiciones.
-
-
9.40 TEORÍADE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE L~QUIDOS
Hace medio siglo se desarrolló una teoría cinética muy detallada para la conductividad térmica de iíquidos monoatómicos,l pero aún no ha sido posible implementarla para cálculos prácticos. Como resultado, debemos usar teorías aproximadas o métodos de estimación e m p í t i ~ o s . ~ Decidimos analizar aquí la teoría simple de Bridgman3de transporte de energía en líquidos puros. Bridgman supuso que Ias moléculas están dispuestas en una red cúbica, con una separación de centro a centro dada por (17/1\J)'/3, donde V / Ñ es el volumen por molécuIa. Además consideró que la energía se transfería de un plano de la red al siguiente a la velocidad sónica v, para el fluido dado. El desarrollo se basa en una reinterpretación d e la ecuación 9.3-11 de la teoría del gas constituido por esferas rígidas:
La capacidad calorífica a volumen constante de un líquido monoatómico es aproximadamente la misma que para un sólido a alta temperatura, que está dada por la fórmula de Dulong y Petit4 = 3 ( ~ / m )La . velocidad molecular media en la dirección y, se sustituye por la velocidad sónica v,. La distancia a que la energía en la red. recorre entre dos cohsiones sucesivas se toma como el espacio (4/fl)1/3 Al hacer estas sustitucior.es en la ecuación 9.4-1 se obtiene
G/,
'
ev
J.H.lrving y J.G. Kirkwwd, 1. Chem. Phys., 18,817-829 (1950). Esta teoría la han extendido a líquidos polirnéricos C.E Curtiss y R.B. B i d , J. Chem. Phys., lW,5251-5267 (1997). R.C. Reid, J.M. Prausnitz y B.E. Pohg, ?ñe Properfies of Gases and Liquids, McGraw-Hiii, Nueva York (1987); L. Ríedel, Chemie-kg.-Techn., 27, 209-213 (1955). F.W. Bridgman, Proc. Am. Acnd. Arts and Sci., 59,141-169 (1923). La ecuación de Bridgman a menudo se cita incorrectamente, porque él la proporcionó en términos de una constante de los gases poco conocida igual a 3 K. Esta ecuaci6n empírica ha sido justificada y extendida por A. Einstein [Ann. Phys. [4],22,180-190 (I907)Iy por P. Debye [Ann. Phys.14],39,789-839(1912)l.
326
Capítulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
que es la ecuación de Bridgman. Datos experimentales muestran una concordancia aceptable con la ecuación 9.4-2, intruso para líquidos poliatómicos, aunque el coeficiente numérico es demasiado alto. Se obtiene una mejor concordancia si el coeficiente se cambia a 2.80:
Esta ecuación está limitada a densidades bastante superiores a la densidad crítica, debido a la suposición tácita de que cada molécula oscila en una "jaula" formada por sus vecinas más próximas. El éxito de esta ecuación para fluidos poliatómicos parece implicar que la transferencia de energía en colisiones de moléculas poliatómicas es incompleta, ya que la capacidad calorifica usada aquí, Cv = 3 ( ~ / r nes ) , menor que las capacidades calorificas de líquidos poliatómicos. La velocidad de sonido a baja frecuencia está dada (véase el problema 11C.1) Por
La cantidad ( a p / a ~ puede )~ obtenerse a partir de mediciones de compresibilidad isotérmica o a partir de una ecuación de estado, y (Cp/Cv) está bastante próxima a la unidad para líquidos, excepto cerca del punto crítico+
La densidad del CC14 líquido a 2 0 T y 1atm es 1.595 g/cm3, y su compresibilidad isotérmica ( l / p ) ( a p / a ~es ) ~90.7 x lop6atm-l. ¿Cuál es su conductividad tkrmica?
conductlvidad t h i i c a de un líquido
SOL U C I ~ N Primero se calcula
($1
=
=
1 1 p(l/p)(dp/dp), (1.595)(90.7 x l o d )
=
6.91
X
lo3 atrn . cm3/ g
7.00 x lo9 cm2/s2 (usando el apéndice F)
Suponiendo que C p / C V = 1.O, a partir de la ecuación 9.4-4 se obtiene
La ecuacidn 9.4-3 concuerda aproximadamentecon una f6mula deducida por R.E. PaweU, W.E. Roseveare Y H. Eyring, Ind. Eng. Chem., 33,430-435 (1941).
s9.5
El volumen molar es V = M / p = 153.84/1.595 en la ecuación 9.4-3 se obtiene
Conductividad tbrmica de sólidos 327
= 96.5 cm3/g
. mol. Al sustituir estos valores
El valor experimental interpolado de la tabla 9.1-3 es 0.101 W/m . K.
Las conductividades térmicas de sólidos deben medirse experimentalmente, ya que dependen de muchos factores que son dificiles de medu o predecir.l En materiales cristalinos, la fase y el tamaño de la cristalita son importantes; en sólidos amorfos el grado de orientación molecdar tiene un efecto considerable. En sólidos porosos, la conductividad térmica depende bastante de la fracción de huecos, del tamaño del poro y del fluido contenido en los poros. ~ a k o ha b ~proporcionado un análisis detallado de la conductividad térmica de sólidos. En t&I.minosgenerales, los metales son mejores conductores de calor que los no metales, y los materiales cristalinos conducen el calor más fácilmente que los materiales amorfos. Los sólidos porosos secos son muy malos conductores de calor y en consecuencia son excelentes para aislamiento térmico. Las conductividades de la mayor parte de los metales puros disminuyen al aumentar la temperatura, mientras las conductividades de los no metales aumentan; las aleaciones muestran un comportamiento intermedio. Quizá la regla empírica más útil es que la conductividad térmica y la conductividad eléctrica van de la mano. Para metales puros, en oposición a las aleaciones, la conductividad térmica k y la conductividad eléctrica ke están relacionadas aproximadamente3 como sigue:
--ke T
L
=
constante
(9.5-1)
Ésta es la ecuación de Wiedemann-Franz-Lorenz;esta ecuación también puede explicarse teóricamente (véase el problema 9A.6). El "número de Lorenz" L varia aproximav ~ l t para ~ / metales ~ ~ puros a 0°C y cambia pero muy damente de 22 a 29 X poco con temperaturas por arriba de O°C,donde aumentos de 10 a 20% por 1000°C con típicos. A temperaturas muy bajas (-269.4"C para mercurio) los metales se A. Goldsmith, T.E. Waterman y HJ. h h h o m , comps.,Handbook ofTkermophysicn1 Pmperties of Soltds,
M a c d a n , Nueva York (1961).
M. Jakob, Heat Transfer, Vol. 1, Wüey, Nueva York (1949).capitulo 6.V6ase tambien W.H. Rohsenow, J.F. Hartnett y YI. Cho, comps.,Hnndbook ofHmf Tramjer, McGraw-Hili, Nueva York (1998). G. Wiedemann y R Franz, Ann. Phys u. Chemie, 89,497-531(1853); L.Lorenz. Poggendorffs Annnlen, 147, 429452 (1872).
328
Capitulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
vuelven superconductores de electricidad pero no de calor, y así L. varía bastante con la temperatura cerca de la región de superconducción. La ecuación 9.5-1 tiene un uso limitado para aIeaciones, ya que L varía mucho con la composición y, en algunos casos, con la temperatura. El éxito de la ecuación 9.5-1 para metales puros se debe a que los electrones liportadores de calor en metales puros. La ecuación no es adebres son los cuada para no metales, donde la concentración de electrones libres es tan baja que predomina el transporte de energía por movimiento molecular.
Hasta este momento hemos analizado materiales homogéneos. Ahora dirigimos brevemente nuestra atención a la conductividad térmica de sólidos de dos fases -una fase sólida dispersa en una segunda fase sólida-, o sólidos que contienen poros, como materiales granulares, metales sinterizados y espumas plásticas. Resulta evidente que una descripción completa del transporte de calor a través de estos materiales es demasiado complicada. Sin embargo, para conducción estacionaria estos materiales pueden considerarse como homogéneos con una conductividad térmica efectiva kf,y las componentes de la temperatura y de la densidad de flujode calor se reinterpretan como las cantidades análogas promediadas sobre un volumen que es grande respecto a la escala de la heterogeneidad, pero pequeño respecto a las dimensiones globales del sistema de conducción de calor. La primera contribución primordial a la estimación de la conductividad de sólidos heterogéneas fue hecha por ~axweLl,'quien consideró un material hecho de esferas de conductividad térmica kl incrustadas en una fase sólida continua con conductividad térmica h.Se considera que la fracción de volumen #Jde esferas incrustadas es lo suficientemente pequeña que las esferas no "interactúan" témicamente; es decir, se requiere considerar sólo la conducción térmica en un gran medio que contiene sólo una esfera incrustada. Luego, por medio de una deducción sorprendentemente sencilla, Maxwell demostró que para unafraccidn de volumen pequeña 9
(véanse los problemas 11B.8 y llC.5). Para unafracción de volumen grande 4, ~ a ~ l edemostró i ~ h ~ que, si las esferas están situadas en las intersecciones de una red cúbica, entonces la conductividad térmica de1 compuesto est6 dada por
'
La deducaón de Maxweii fue para conductividad eléctrica, pero los mismas argumentos son viílidos para la conductividadt6rmica. Véase J.C. Maxwell, A Tmatise on Electricity and Mugnefism, Oxfard University Press, 3a. edición (1891, reimpresa en 19981, Vol. l., 5314; H.S.Carslaw y J.C.Jaeger, Conduction of Heaf in Solids, Clarendon Press, Oxford, 2a. edici6n (19591,p. 428. J.W. !huti(Lord Fbyleigh),Phil. M q . (5),34,431-502(1892).
59.6 conductividad tbrmica efectiva de sblidos compuestos 329
La comparación de este resultado con la ecuación 9.6-1 muestra que la interacción entre las esferas es pequeña, incluso para # = %m-, el máximo valor posible de C$ para la disposición de la red cúbica. Por tanto, el resultado más sencillo de Maxwell se utiliza a menudo, y los efectos de una distribución no uniforme de las esferas suelen despreciarse. Sin embargo, para inclusiones no esféricas la ecuación 9.6-1 no requiere modificaciones. Por tanto, para amglos cuadrados de largos cilindros paralelos al eje z, Rayleigh2demostró que la componente zz del tensor de conductividad térmica K es
y las otras dos componentes son
Es decir, el sólido compuesto que contiene cilindros incrustados alineados es anisotrópico. El tensor de conductividad térmica efectiva se ha calculado hasta O(&) para un medio que contiene inclusiones e~feroidales.~ Para inclusiones no esféricas complejas, que a menudo se encuentran en la prácti ca, no es posible un tratamiento exacto, aunque se dispone de algunas relaciones aproximadas." Para lechos granulares simples sin consolidar se ha demostrado que la siguiente expresión es exitosa:
donde
Las gk son "factores de forma" para los gránulos del medio? y deben satisfacer gl + g2 + 93 = l. Para esferas, gl = 8 2 = g3 = 4, y Ia ecuación 9.6-5 se reduce a la ecuación 9.6-1. Para suelos sin consolidar? gi g2 = Q y gg = t. La estructura de lechos porosos consolidados -por ejemplo areniscas- es considerablemente m$., compleja. Se afirma algo de éxito para pronosticar la conductividad efectiva de ey tas su~tancias,4~~f~ pero la generalidad de los métodos aún no se conoce.
-
S.-Y. Lu y S. Kim, AiCkE JournaI,36,927-938(1990).
'V.1.Odelevskii,J. Tech. Phys. ILTRSC), 24,667 y 697(1954);F.Euler, J. Appl. Phys., 28, 1342-1346(1957). D.A. de Vries, Mededelhgen van de Landbouwhogeschool te Wageningen (1952);véase también la referencia 6 y D.A. de Vries, capítulo 7 en Physics and Plnnf E n u i m n m t , W.R.van wjk, comp., WiIey, Nueva York (1963). W. W d s i d e y J.H.Messmer,J. Appl. Pkys.,32,16881699,1699-1706(1961). A.L. Loeb, 1.Amer. Cernmic Soc., 37,9699 (1954). a Ch. N . Plyat, Soviet Physics JETP, 2.2583-2589 (1957).
330 Capitulo 9
Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía
Para sólidos que contienen bolsas gaseosas? la radiación térmica (véase el capítulo 16) puede ser importante. El caso especial de fisuras planas paralelas perpendiculares a la dirección de conducción de calor es particularmente importante para aislamiento a alta temperatura. Para estos sistemas puede demostrarse que
donde o e s la constante de Stefan-Boltzmann, ki es la conductividad térmica del gas y L es el espesor total del material en la dirección de conducción de calor. Existe disponible una modificación de esta ecuación para fisuras de otras formas y orientacione~.~ Para lechos granulares llenos de gas6t9 se presenta otro tipo de complicación. Debido a que las conductividades térmicas de los gases son mucho más bajas que las de los sólidos, la mayor parte de la conducción de calor en la fase gaseosa se concentra cerca de los puntos de contacto de partículas adyacentes del sólido. Como resultado, las distancias sobre Ias cuales se conduce el calor a través del gas pueden tender a la trayectoria Libre media de las moléculas de1 gas. Cuando esto es cierto, se violan Ias condiciones para 10s desamiíos de s9.3, y la conductividad térmica del gas disminuye. Por tanto, pueden prepararse aislantes muy efectivos a partir de lechos de polvos finos parcialmente evacuados. Ductos cilindricos llenos de materiales granulares a través de 105 cuales circula unjuido (en la d i c i ó n z) son de considerabIe importancia en procesos de separacibn y reactores químicos. En estos sistemas las conductividades térmicas efectivas en las direcciones radial y axial son bastante diferentes y se designan"' mediante y wP.La conducción, la convección y la radiación, todas, contribuyen al flujo de calor a través del medio Para flujo altamente turbulento, la energía es hansportada primordialmente por el flujo tortuoso del fluido en los intersticios del material granular; esto da origen a una conductividad térmica altamente anisotrb pica. Para un lecho de esferas uniformes, las componentes radial y axiaI son aproxírnadamente
donde vo es la "velocidad superficial" definida en 54.3 y 564, y Dpes el diámetro de las partículas esféricas. Estas relaciones simplificadas se cumplen para Re = Dpvop/p mayor que 200. El comportamiento a números de Reynolds más bajos se analiza en varias referencias.12 Tambibn, e1 comportamiento del tensar de conductividad térmica efectiva como una función del número de Péclet se ha estudiado en considerable detalle.13
M.Jakob,Heat Transfer, Why, Nueva York (19591, Vol. 1, S . S . V6ase la ecuación 9.1-7 para k modificoi06n de la ley de F o w h para materiales anisotr6picos.Los subÚidi@ rr y zz ponen de relieve que estas cantidad- son componentes de un tensor simétrico de segundo orden. W.B. Argo y J.M.Smith, Chem. Engr. P r o g r a , 49,443-451 (1953). 'l J. Beek, M v , Chem. Enp., 3, 203-271 (1962);H. Kramers y K.R.Westerterp, Elements oJChemical Reactor Design ond Opcration, Academic Press, Nueva York (1963),51ii.9;0.Levenspiel y K.B.Bischoff,Adv. Chem. Engr., 4,95-198 'O
"
(1963). l 3 D.L. Koch
y J.F. Brady, \. Fluid. Mech., 154,399427 (1985).
i
S9.7
Transporte de energía convectiva 331
59.7 TRANSPORTE DE ENERGÍA CONVECTIVA En 59.1 proporcionamos la ley de Fourier de la conducción de calor, que explica la energía transportada a través de un medio en virtud de los movimientos moleculares. La energía también puede transportarse por el movimiento global del fluido. En la figura 9.7-1 se muestran tres elementos perpendiculares entre sí de área dS en el punto P, donde la velocidad del fluido es v. La velocidad volumétrica de flujo a través del elemento de superficie dS perpendicular al eje x es v&S. Entonces, la velocidad a la que se mueve la energía a través del mismo elemento de superficie es
donde tpv2 = 3 p(v$ -t- vi -t v$) es la energía cinética por unidad de volumen, y p~ es la energia interna por unidad de volumen. La definición de la energía interna en una situación en desequilibrio requiere aIgo de cuidado. Desde el punto de vista del continuo, se supone que la energía interna en la posición r y en el instante f es la misma función de la densidad y temperatura locales instantáneas que se tendría en equilibrio. Desde el punto de vista molecular, la energía interna consta de la suma de las energías cinéticas de todos los átomos constituyentes (respecto a Ia veIocidad de flujo v), las energías potenciales intramoleculares y las energías intermoleculares, dentro de una pequeña región alrededor del punto r en el instante t. Recuérdese v e , en el análisis de las colisiones moleculares en 30.3, se encontró conveniente considerar la energía de un par de partículas en coIisión como la suma de las energías cinéticas referidas al centro de masa de las moléculas y la energía potencial intramolecular de la molécula. Aquí también separamos la energia del fluido (considerado como un continuo) en la energía cinética asociada con el movimiento global del fluido y la energía interna asociada con la energía cinética de las moléculas respecto a la velocidad del flujo y las energías potenciales intramoleculares e intermoleculares. Podemos escribir expresiones semejantes a la ecuación 9.7-1 para la velocidad a que la energia se extiende a través de los elementos de superficie perpendiculares a los ejes y y z. Si ahora multiplicamos cada una de las tres expresiones por el vec-
Figura 9.7-1 Tres elementos de superficie de área dS perpendiculares entre sí a través de 10s cuaIes el fluido que se mueve con velocidad v transporta energia por convección. La velocidad volumétrica de flujo a través de la cara perpendicular al eje x es vJS, y entonces la velocidad de + p a ) v ~Es~posible . escrib'u expresiones semejantes flujo de energía a través de dS es para los elementos de superficie perpendiculares a b s ejes y y z.
332 Capítulo 9 Conductividad ténnica y los mecanismos de transporte de energia
tor unitario correspondiente y sumamos, entonces se obtiene, después de dividir entre dS,
y esta cantidad se denomina vedar de denszdad de flujo de energla convectiva. Para obtener la densidad de flujo de energía convectiva a través de una unidad de superficie cuyo vector unitario normal es n, formamos el producto punto (n ( f pv2 f pa)v). Se entiende que ésta es la densidad de flujo desde el lado negativo de la superficie hacia el lado positivo, Compárese con la densidad de flujo de cantidad de movimiento convectivo de la figura 1.7-2.
99.8
TRABAJO ASOCIADO CON MOVIMIENTOS MOLECULARES Dentro de poco abordaremos la aplicación de la ley de conservación de la energía a "envolturas" (como en los balances de envoltura en e1 capítulo 10) o a pequeños elementos de volumen fijos en el espacio (a fin de desarrollar la ecuación de variación para la energía en $11.1).La ley de conservación de la energía para un sistema de flujo abierto es una extensión de la primera ley de Ia termodinámica clásica (para un sistema cerrado en reposo). En la segunda se afirma que el cambio en energía interna es igual a la cantidad de calor agregado al sistema más la cantidad de trabajo realizado sobre el sistema. Para sistemas de flujo es necesario explicar el calor agregado al sistema (por movimientos moleculares y por el movimiento global del fluido) y también e1 trabajo realizado sobre el sistema por los movimientos moleculares. Por tanto, es idóneo desarrollar aqui la expresión para la velocidad a que los movimientos moIeculares realizan trabajo. Primero recordamos que, cuando una fuerza F actúa sobre un cuerpo y hace que se mueva una distancia dr, el trabajo realizado es dW = ( F . dr). Entonces, la velocidad a que se realiza trabajo es dW/dt = (F d r / d t ) = (F v); es decir, el producto punto de la fuerza por la velocidad. Ahora aplicamos esta fórmula a 10s tres planos perpendiculares en un punto P en el espacio mostrado en la figura 9.8-1.
Figura 9.8-1 TRS elementos de superficie de área dS perpendiculares entre sí en el punto P junto con los vectores de esfuerzo ~r,, y TIZ que achían sobre esas superficies. En la primera figura, la velocidad a h que realiza trabajo el fluido sobre el lado negativo de dS sobre el fluido en el lado positivo de dS es entonces (n, v)dS = [m . VI&. Expresiones semejantes se cumplen para elementos de superficie perpendiculares a los otros dos ejes coordenadas. +
S9.8 Trabajo asociado con movimientos moleculares 333
Primero consideramos el elemento de superficie perpendicular al eje x. El fluido en el lado negativo de la superficie ejerce una fuerza a& sobre el fluido que está en el lado positivo (véase la tabla 1.2-1). Debido a que el fluido está moviéndose con una velocidad v,la razón a que el fluido negativo realiza trabajo sobre el Buido positivo es (mx v)dS. Es posible escribir expresiones semejantes para el trabajo realizado a través de Los otros dos elementos de superficie. Cuando se escriben en forma de componentes, estas expresiones para la velocidad a que se realiza trabajo, por unidad de área, se convierten en
Una vez que estas componentes escalara se multiplican por los vectores unitarios y se suman, se obtiene e1 "vector de la velocidad a que se realiza trabajo por unidad de área" que, en forma abreviada, se denomina densidad deflujo de trabajo:
Además, la velocidad a que se realiza trabajo a través de una unidad de área de superficie con orientación dada por el vector unitario n es (n . [m - VI). Las ecuaciones 9.8-1 a 9.8-4 se escriben fiicilmente para coordenadas cilíndricas al sustituir x, y, z por r, e, z y, para coordenadas esféricas, al reemplazar x, y, z por r, 8, 4. Ahora definimos, para uso posterior, el vector de densidad depujo de energía combinada e como sigue:
El vector e es la suma de: a) la densidad de flujo de energía convectiva, b) la velocidad a que se realiza trabajo (por unidad de área) por mecanismos moleculares, y C) la velocidad a que se transporta el calor (por unidad de área) por mecanismos moleculares. Todos los términos en la ecuación 9.8-5 obedecen la misma convención de los signos, de modo que e, es el transporte de energía en la dirección x positiva por unidad de área por unidad de tiempo. El tensor de esfuerzo molecular total n puede separarse ahora en dos partes: ?r = pS + 7, de modo que [m v] = pv -t [T . v]. El término pv puede entonces combinarse con el término de la energía interna pihpara obtener un término de entalpía p o v + pv = p(U + (p/p))v = p(l,? pQ)v = pfiv, de modo que
+
En términos generales, usaremos el vector e en esta forma. Para un elemento de superficie dS de orientación n, la cantidad (n . e) proporciona la densidad de flujo de energía convectiva, la densidad de flujo de calor y la densidad de fIujo de trabajo a través del elemento de superficie d S desde el lado negativo hasta el lado positivo de dS.
334
Capítulo 9 Conductividad ténnica y los mecanismos de transporte de energía Tabla 9.8-1 Resumen de la notación para densidades de flujode energía
Símbolo
Significado
P [n
VI
e=q
+ [m . V] + ( f p$ + p l i ) ~
-
Referencia --
--
-
vector de densidad de flujo de energía convectiva vector de densidad de flujo molecular térmico
Ecuación 9.7-2 Ecuación 9-14
vector de densidad de flujo molecular de trabajo vedor de densidad de flujo de energía combinada
Ecuación 9.8-4 Ecuación 9.8-5,6
=q+[~-~~+<+plj2+PM~ En la tabla 9.8-1 se resume la notación para los diversos vectores d e densidad d e flujo d e energía que se introdujeron en esta sección. Todos obedecen la mism convención d e los signos. Para evaluar la entalpía e n la ecuación 9.8-6, usamos la fórmula esthndar de la termodinámica para condiciones en equilibrio
Así, cuando la expresión anterior se integra desde algún estado de referencia pO, T" hasta el estado p, T, se obtiene1
donde & es la entalpia por unidad d e masa en el estado d e referencia. La integral sobre p es cero para u n gas ideal y (1/ p ) ( p - po) para fluidos d e densidad constante. La integral sobre T se convierte en ($(T - T ' ) si la capacidad c a l o f i c a puede considerarse como constante sobre el intervalo de temperatura relevante. Se s u p ne que la ecuación 9.8-7 es válida en sistemas que no están en equilibrio, donde p y T son los valores locales d e la presión y d e la temperatura.
PREGUNTAS PARA DISCUSION 1. Definir y proporcionar las dimensiones de la conductividad térmica k, la difusividad térmica a,la capacidad calorífica la densidad de flujo ténnico q y la densidad de flujo de energía combinada e. Para las dimensiones, usar m = masa, 1 = longitud, T = temperatura Y t = tiempo. 2. Comparar los órdenes de magnitud de las conductividades térmicas de gases, líquidos y S&
i,
iidos. 3. ¿De qué forma son semejantes la ley de viscosidad de Newton y la ley de Fourier de la con-
ducción del calor? ¿Cómo difieren? 4. ¿Están relacionadas las viscosidades y las conductividades térmicas de los gases? En Caso
afirmativo, ¿cómo?
' Véase, por ejemplo, R.J. Silbey y R.A. Aiberty, Physical Chemisty, Wüey, 3a. edición (2001), 52.11.
Problemas 335 5. Comparar la dependencia respecto a la temperatura de las conductividades ténnicas de gases, líquidos y sólidos. 6. Comparar los órdenes de magnitud de los números de Prandtl para gases y líquidos. 7. ¿Con iguales las conductividades térmicas del N$ y del NeU gaseosos? 8. ¿La ~ l a c i ó n - Cv = R es verdadera sólo para gases ideales o también lo es para líquidos? En caso de no ser cierta para líquidos, ¿qué f6mula debe usarse? 9. ¿Cuál es la densidad de flujo de energía cinética en la dirección axial para el flujo laminar de Poiseuille de un líquido newtoniano en un tubo circular? 10. ¿Cuál es el valor de [m . v] = pv + 17 - VI para flujo de Poiseuille?
ep
OBLEMAS
9A.1 Predicción de las conductividades térmicas de gases a baja densidad. a) Calcular la condudividad térmica del argbn a l O O T y presión atmosférica, usando la teoría de Chapman-Enskog y las constantes de Lennard-Jones que se dedujeron a partir de datos de viscosidad. Compare su resultado con el valor observado1 de 506 x loT7cal / cm S . K.
b) Calcular las conductividades térmicas de1 NO y del C b a 300K y presión atmosférica a partir de los datos siguientes para esas condiciones:
Comparar sus resultados con los valores experimentales dados en la tabla 9.1-2. 9A.2
Cálculo de los números de Prandtl para gases a baja densidad.
a) Usar la fórmula de Eucken y datos experimentales sobre capacidad calorífica para estimar el número de Prandtl a 1 atrn y 300K para cada uno de los gases enumerados en la tabla. b) Para los mismos gases, calcular el número de Prandtl directamente sustituyendo los siguientes valores de las propiedades físicas en la fórmula de definición Pr = c p p / k , y comparar los valores con los résultados obtenidos en el inciso a). Todas las propiedades están dadas a baja presión y 300K.
epx lop3 Gasa
J/kg.K
He Ar H2 Aire
5.193 0.5204 14.28 1.001 0.8484 1.864
c02
H20
" Los elementos de esta tabla fueron preparados a partir de funciones proporcionadas por T.E. Daubert, R.P. Danner, H.M. Sibul, C.C.Stebbins,J.L. Occarson, R.L. Rowley, W.V. Wilding, M.E.Adams, T.L. Marshall y N.A. Zundel, DIPPR@ Data Compilation ojPure Compuund Pruperties, Design Institute for Physical Pmperty ata@, AIChE, Nueva York, NY (2000).
W.G. Kannuluik y E.H. Cannan, Proc. Phys. Soc. (Londres),658,701-704 (1952).
336
Capítulo 9 Conductividad ténnica y los mecanismos de transporte de energía 9A.3
Cálculo de la c~nductividadt6rmica de un gas denso. Pronosticar la conductividad t4nrijCa del metano a 110.4 atm y 127°F por los siguientes métodos: a) Usar la figura 9.2-1. Obtener las propiedades críticas necesarias a partir del apkndice E.
b) Usar la fórmula de Eucken para obtener la conductividad térmica a 127°F y baja presión, Luego, aplicar una corrección de la presión usando la figura 9.2-1. El valor experimentap es 0.0282 Btu/h pie E
-
.
Respuesta: a) 0.0294 Btu/h pie F 9A.4
Predicción de la conductividad térmica de una mezcla de gases. Calcular la condudividad térmica de una mezcla que contiene 20 m01 en porcentaje de COZy 80 m01 en porcentaje de H2 a 1 atrn y 300K. Usar los datos del problema 9A.2 para los cálculos. Respuesta: 0.1204 W/m . K
9A.S
Estimación de la covductividad térmica de un Uquido puro. Pronosticar la conductividad termica de Hfl líquida a 40°C y 40 bars de resión (1bar = lo6 dinas/cm2). La compresibilidad isot6rmica, (l/p)(¿lp/dp)r, es 38 x 10-gbar-l y la densidad es 0.9938 glcm3. Sup6ngase que tp= ty.
Respuesta: 0.375 Btu/h . pie . F 9A.6
Cálculo del númem de Lorenz. 9)
Al aplicar la teoría cinética al "gas electrón" en un metal3se obtiene para el número de L o a
donde K es la constante de Boltzmann y e es la carga del electrón. Calcular L en las unidades dadas bajo la ecuación 9.5-1. ohrn cm. Estimar su conb) La psistividad elktrica, 1 /b,de cobre a 20°C es 1.72 X ductividad térmica en W/m . K usando la ecuación 9.6-1,y comparar su resultado con el valor e x p w e n M dado en la tabla 9.1-5.
9A.7 Comboración de la ley de Wiedemann-Franz-Lorenz. Dados los siguientes datos experimeritales a 20°C para metales puros, calcular los valores correspondientes del número de Lorenz, L, definido en la ecuación 9.5-1. Metal Na Ni Cu Al
(l/W ( o h . cm) 4.6 x 6.9 x 1.69 X 2.62 X
lop6
k (cal/cm . s - K) 0.317 0.140 0.92 0.50 >
2J.M.Lenoir, W.A. Junlry E.W. Comuigs, C h . Engr. Pmg.,49,539-542(1953). J.E. Mayer y M.G. Maya, Statistiurl Mechnics, Wiley, Nueva Ymk (194ó). p. 412; P.Drude, Ann. Phys., 1,566-613 (19M)).
Problemas 337 9A.8
Conductividad térmica y número de Prandtl de un gas poliatómico. a) Estimar la conductividad térmica de C b a 1500K y 1.37 atm. La capacidad caiorífica molar a presión constante4a 1500K es 20.71 cal/g m01 . K.
.
b) ¿Cual es el número de Prandtl a la misma presión y temperatura? Respuesfas: a) 5.06 x 9A.9
cal/-
. S - K; b) 0.89
Conductividad térmica de cloro gaseoso. Usar la ecuación 9.3-15 para calcular la conductividad térmica de cloro gaseoso. Para hacer esto se necesita usar la ecuación 1.4-14 a fin de estimar la viscosidad, y también son necesarios los siguientes valores de la capacidad calonfica:
Comprobar para ver que tan bien los valores calcuiados concuerdan con los siguientes datos experimentales de conductividad ténnica5
9A.10 Conductividad térmica de mezclas cloro-aire. Usar la ecuación 9.3-17 para predecir las conductividades térmicas d e mezclas cloro-aire a 297K y 1 atm para las siguientes fracciones molares de cloro: 0.25,0.50,0.75. El aire puede considerarse como una sola sustancia y pueden suponerse los datos siguientes:
Aire Cloro
1.854 x lo-s 1.351 X
2.614 x 8.960 x
1.001 x lo3 4.798 x 102
Los elementos de esta tabla fueron preparados a partir de funciones proporcionadas por T.E. Daubert, R.P. Danner, H.M. Sibul, C.C. Stebbins, J.L. Oscarson, R.L. Rowley, W.V. Wilding, M.E. Adams, T.L. Marshall y N.A. Zundel, DIPPRB Data Compilation of Pure Compound Properties, Design Institute for Physical Property ata@, AICkE, Nueva York, NY (2000). a
'O.A. Hougen, K.M. Wahon y R.A. Ragatz, Chemiuil Process Principies, volumen 1, Wiley, Nueva York (1954),p. W . Interpelado de datos de E.U.Frank, Z. Elaktmdrem., 55,636 (1951), según se reporta en el Nouvmu Traitd de Chimie Minerale, P. Pascal, comp., Masson et Cie, París (1960). pp. 158-159.
338
Capitulo 9 Conductividad térmica y los mecanismos de transporte de energía 9A.11 Conductividad térmica de arena de cuarzo. Una muestra típica de arena de cuarzo tiene las siguientes propiedades a 2 K :
Componente
i
=
1: Sílice
Fracción de volumen +i
k cal/crn s . K
0.510
i = 2: Feldespato 0.063 La fase continua (i= O} es una de las siguientes: i) Agua u) Aire
0.427 0.427
20.4 x lo-3 7.0 x
1.42 x 0.0615 x 10-3
Estimar la conductividad térmica efectiva de la arena: i) cuando está saturada de agua, y ii) cqmdo está completamente seca. a) Usar la siguiente generalización de las ecuaciones 9.6-5 y 9.6-6:
Aquí N es el número de fases sólidas. Comparar la predicción para esferas (gl = gz = g3 = con la recomendación de de Vnes (gl = g2 = 4, g3 = Q ).
4)
b) Usar la ecuación 9.6-1 con ki = 18.9 X lop3 cal/cm - S . K, que es la conductividad térmica media por volumen de los dos sólidos. Algunos valores observados, exactos dentro de un margen aproximado de 3%, son 6.2 y 0.58 X loT3c a l / m - S . K para arena húmeda y seca, ~espectivamente.~ Se creía que Las partículas podían aproximarse mejor como esferoide achat a d o ~con , una relación de eje igual a 4, para los cuales gl = g2 = 0.144; g3 = 0.712.
Respuesta: a) A partir de la ecuación 9.6-4, 4.93 ?< lom3c a l / m . S K (esférica), y 6.22 x loA3 cal/cm . s K.Con base en la ecuación 9.6-1,5.0 X cal/cm S . K 9A.12 Cálculo de diámetros moleculares a partir de propiedades de transporte. Determinar el diámetro molecular d del argón a partir de la ecuación 1.4-9 y la viscosidad experimental dada en el problema 9A.2. a)
b) Repetir el inciso a), pero usando la ecuación 93-12 y la condudividad térmica medida en el problema 9A.2. Compare este resultado con el valor obtenido en el inciso a). c) Calcular y comparar los valores del diámetro de colisión
U de Lennard-Jones a partir de los mismos datos experimentales que se usaron en los incisos n ) y b), utilizando E / K de la tabla E.1.
d) ¿Qué puede concluirse a partir de los cálculos anteriores?
Respuesta: a) 2.95 A; b) 1.86 A; c) 3.415 A a partir de la ecuación 1.4-14, 3.409 A a partir df; ia ecuación 9.3-13. j
d El comportamiento de suelo parcialmente mojado ha sido tratado por D.A. de Vries, capítulo 7, en Phyercc ofPInnt Envrronment, W.R. van Wijk, editor, Wiley, Nueva York (1963).
Problemas 339 Teoría de Enskog para gases densos. ~ n s k o g desarrolló ~ una teoría cinética para las propiedades de transporte de gases densos. Demostró que para moléculas idealizadas como esferas rígidas de diámetro u0
9C.1
Aquí poy k0 son las propiedades a baja presión (calculadas, por ejemplo, a partir de las ecuaciones 1.4-14 y 9.3-131, es el volumen molar, y bo = 3 ?rNu$, donde N es el número de Avogadro. La cantidad y está relacionada con la ecuación de estado de un gas constituido por esferas rígidas:
v
Estas tres ecuaciones proporcionan las correcciones de densidad para la viscosidad y la conductividad térmica de un gas hipotético constituido por esferas rígidas. Enskog sugirió además que para gases reales, i) y puede proporcionarse empíricamente por
donde se usan datos experimentales de p-v-T, y ii) bo puede determinarse ajustando el mínimo en la curva de (p/po)Vcontra y. a) Una forma útil de resumir la ecuación de estado es usar la presentación de estados correspondientes8 de Z = Z ( p , T,), donde Z = p ~ / R T p,, = p / p , y T, = T/T,. Demostrar que la cantidad y definida por la ecuación 9C.1-4 puede calcularse como una función de la presión y temperatura reducidas a partir de
b) Demostrar cómo las ecuaciones 9C.1-1, 9C.1-2 y 9C.1-5, junto con el diagrama Z de Hougen-Watson y el diagrama P / P , de Uyehara-Watson en h figura 1.3-1, pueden usarse para desarrollar un diagrama de k / k , como una función de p, y T,. ¿Cuáles serían las limitaciones del diagrama resultante? Este procedimiento fue usado por Comings y Nathan? pero utilizando datos específicos de p - e - ~en vez del diagrama Z de Hougen-Watson. C)
¿Cómo podría utilizarse la ecuación de estado de Redlich y ~wong'O
para el mismo propósito? Las cantidades a y b son constantes características de cada gas.
'
D. Emkog, Kungliga Svmska Vetenskapsakndemiens Handlingar, 62, N o 4 (19221, en akmán. Véase también J.O. Hirschfelder,C.F. Curtiss y R.B.Bird, Molecular Thwry of Gases and Liquida, 2a. impresión corregida (1964), pp. 617-652 O.A. Hougen y K.M.Watson, Chenricai Process Principles, Vol. 11, Wiey, Nueva York (1947),p. 489. E.W. Comings y M.F. Nathan, lnd. Eng. Chem., 39, 964-970 (1947). lo O.Redlich y J.N.Si Kwong, Chrm. Rm, 44,233-244 (1949).
Capítulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar Balances de energía en la envoltura: condiciones límite Conducción de calor con una fuente de calor eléctrica Conducción de calor con una fuente de calor nuclear Conducción de calor con una fuente de calor viscosa Conducción de calor con una fuente de calor química Conducción de calor a iravés de paredes compuestas Conducción de calor en una aleta de enfriamiento Convección forzada Convección libre
En el capitulo 2 vimos cómo ciertos problemas senciUos de flujo viscoso se resuelven por un procedimiento que consta de dos pasos: i) se hace un balance de cantidad de movimiento sobre una placa o envoltura delgada perpendicular a la direcci6n de transporte de cantidad de movimiento, lo cual Ueva a una ecuación diferencial de primer orden que proporciona la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento; u) luego, en la expresión para la densidad de flujo de cantidad de movimiento se inserta la ley de viscosidad de Newton, con lo que se obtiene una ecuación diferencial de primer orden para la velocidad del fluido como una función de la posición. Las constantes de integración que aparecen se evalúan usando las condiciones límite, que especifican la velocidad o la densidad de flujo de cantidad de movimiento en las superficies que delimitan el sistema. En este capítulo mostramos cómo varios problemas de conducción de calor se resuelven por un procedimiento análogo: i) se hace un balance de energía sobre una placa o envoltura delgada perpendicular a la dirección de flujo de calor, y este balance lleva a una ecuación diferencial de primer orden a partir de la cual se obtiene la distribución de la densidad de flujo de calor; ii) luego, en esta expresión para la densidad de flujo de calor se sustituye la ley de Fourier de la conducción del calor, que proporciona una ecuación diferencial de primer orden para la temperatura como una función de Ia posición. Después, las constantes de integración se determinan usando las condiciones límite para la temperatura o la densidad de flujo de calor en las superficies que delimitan el sistema. Con base en la redacción semejante de los dos párrafos anteriores, debe resultar evidente que los métodos matemáticos utilizados en este capítulo son los mismos que los presentados en el capítulo 2; sólo difieren la notación y la terminoIogía. Sin embargo, aquí encontraremos varios fenómenos físicos que no tienen contraparte en el capítulo 2.
1
342 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en fiujo laminar
Después de una breve introducción a los balances de energía en la envoltura en 510.1, proporcionamos un análisis de la conducción de calor en una serie de sistemas sencillos. Aunque estos ejemplos están algo idealizados, los resultados encuentran apIicación en numerosos cáIculos típicos de ingeniería. Los problemas eligieron con la intención de introducir al principiante a varios conceptos físicos h. portantes asociados con el campo de la transferencia de calor. Además, muestran ~6 mo usar una variedad de condiciones límite e ilustran la solución de problemas en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. De 5510.2 a 10.5 consideramos cuatro tipos de fuentes de calor: eléctrica, nuclear, viscosa y química: en 5510.6 y 10.7 cubrimos dos temas que tienen aplicaciones bastante amplias; a saber, el flujo de calor a través de paredes compuestas y la pérdida de calor desde aletas. Por último, en 5910.8 y 10.9 analizamos dos casos límite de transmisión de calor en fluidos en movimiento: convección forzada y convección libre. El estudio de estos temas pppara el camino para abordar las ecuaciones generales que se presentan en el capítulo 11. @
Los problemas que se analizan en este capítulo se plantean por medio de balances de energía en la envoltura. Se elige una placa (o envoltura), cuyas superficies son normales a la dirección de conducción del calor, y luego para este sistema se escribe un planteamiento de la ley de conservación de la energía. Para sistemas en estado estacionario (es decir, independientes del tiempo) escribimos:
1
velocidad de velocidad de - [salida energíademediante [entrada energía mediante de transporte convectivo
transporte convectivo
velocidad de
+[entrada energía por de transporte molecular
velocidad a la que se realiza
velocidad a la que se realiza
transporte molecular
por fuerzas externas
velocidad de - [salida energiadepor
-+
transporte molecular
(10.1-1)
El transporte de energía convectiva se analizó en 59.7, y el transporte molecular de energía (conducción de calor) en 59.1. Los términos de trabajo molecular se explicaron en 99.8. Estos tres términos pueden sumarse para obtener la "densidad de flujo de energía combinada" e, como se muestra en la ecuación 9.8-6. Al esiablecer problemas aquí (y en el siguiente capítulo) usaremos el vector e junto con la expresión para la entalpía que se muestra en la ecuación 9.8-8. Nótese que en sistemas sin flujo (para los cuales v es cero), el vector e se simplifica al vector q, que está dado en la ley de Fourier. El término de producción de energía en la ecuación 10.1-1 incluye: i) la degradación de energía eléctrica en calor, ii) el calor producido al reducir la velocidad de 10s neutrones y los fragmentos liberados en el proceso de fisión, iii) el calor producido por disipación viscosa, y iv) el calor producido en reacciones químicas. La fuente de
510.2
Conducción de calor con una fuente de calor eléctrica 343
caIor de la reacción química se analizará con más detalle en el capítulo 19. La ecuación 10.1-1 es un planteamiento de la primera ley de la termodinámica, escrita para un sistema "abierto" en condiciones de estado estacionario. En el capitulo 11 este a sistemas en estado no estacionario- se escrimismo planteamiento -xtendido birá como una ecuación de variación. Una vez que la ecuación 10.1-1 se escribe para una placa o envoltura delgada de material, se hace que el espesor de la placa o envolhira tienda a cero. Este procedimiento finalmente conduce a una expresión para la distribución de temperatura que contiene constantes de integración, que se evalúan usando las condiciones límite. Los tipos más comunes de condiciones límite son: a. La temperatura puede especificarse en una superficie.
b. h e d e proporcionarse la densidad de flujo de calor normal a una superficie (esto equivale a especificarla componente norma1 del gradiente de temperatura). c. Se requiere que la temperatura y la densidad de flujo de calor normal a la interface sean continuas en las interfases. d. En la interfase sólido-fluido, la componente normal de la densidad de flujo de calor puede estar relacionada con Ia diferencia entre la temperatura en la superficie sólida To y la temperatura "global" del fluido Tb:
--
,
Esta relación se denomina ley de enfriamiento de Newton. Realmente no es una "ley", sino más bien la ecuación de definición para h, que se denomina coeficiente de transmisión de calor. En el capítulo 14 se abordan métodos para estimar coeficientes de transmisión de calor. En este capítulo se encuentran los cuatro tipos de condiciones límite. Hay otros tipos de condiciones limite, que se introducirán según sean necesarios.
El primer sistema que vamos a considerar es un alambre eléctrico de sección transversal circular de radio R y conductividad eléctrica k, ohm-l cm-'. Por el alambre circula una corriente eléctrica cuya densidad de corriente es 1 amp/crn2. La transmisión de corriente eléctrica es un proceso irreversible, y algo de la energía eléctrica se convierte en calor (energía térmica). La velocidad de producción de calor por unidad de volumen está dada por la expresión
La cantidad S, es la fuente de calor que resulta de la disipación eléctrica. Aquí suponemos que el aumento de temperatura en el alambre no es tan grande, como para que sea necesario tener en cuenta la dependencia respecto a la temperatura de la conductividad térmica o de la conductividad eléctrica. La superficie del alambre se mantiene a la temperatura To. Ahora mostramos cómo encontrar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre.
910.2 Conduccibn de calor con una fuente de calor eléctrica 345
Ésta es una ecuación diferencial de primer orden para la densidad de flujo de energía, que puede integrarse para obtener
La constante de integración C1 debe ser cero debido a la condición límite de que
C.L. 1:
q, no es infinita
en Y = O,
(10.2-8)
Por tanto, la expresión final para la distribución de densidad de flujo de calor es
Esto indica que la densidad de flujo de calor aumenta linealmente con r. Ahora sustituimos Ia ley de Fourier en la forma q, = -k(dT/dr) (véase la ecuación 8.2-4) en la ecuación 10.2-9 para obtener
dT
-k---
Ser
dr- 2
Cuando se supone que k es constante, esta ecuación diferencial de primer orden puede integrarse para obtener
La constante de integración se determina a partir de
Por tanto, C2 = ( S P 2 / 4 k )+ To y la ecuación 10.2-11 se vuelve
La ecuación 10.2-13 proporciona el aumento de temperatura como una función FArabólica de la distancia r al eje del alambre. Una vez que se conocen las distribuciones de temperatura y de la densidad de flujo de calor, puede obtenerse más información sobre el sistema:
i) Elevación máxima de temperatura (para Y = 0) T max . -T,=-
SS2 4k
346
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar U) Elevación media de temperatura
[On loR
(T(r)- T,)r dr d e
(T) - T, =
=-
SP2
IDmf r dr dtl
(10.2-15)
8k
Por tanto, la elevación de temperatura promediada sobre la sección transversal es igual a la mitad de la elevación máxima de temperatura.
iii) Salida de calor en la superficie (para un alambre de longitud L)
Este resultado no es sorprendente, ya que en estado estacionario, todo el calor producido por disipación eléctrica en el volumen rR2L debe salir a través de la superficie r = R. Durante la deducción de este resultado, quizá el lector sintió que ya conoce este método. Después de todo, hay una gran semejanza entre el problema del alambre caliente y el del flujo viscoso en un tubo circular. La única diferencia estriba en la notación:
La primera integración da L a segunda integración da Condición límite en r = O Condición límite en r = R Propiedad de transporte Término que corresponde a la fuente Suposiciones
Flujo en un tubo
Alambre calentado
7=(r) v,(r) vz = O
4,(r) Ttr) - T,, q, = finito T-T,=O
P
k
T=
= finito
(9,
+,M
p = constante
Se
k, k, = constante
Es decir, cuando las cantidades se eligen de manera adecuada, las ecuaciones dife renciales y las condiciones límite para los dos problemas son idénticas, y se dice que los procesos físicos son "análogos". No todos los problemas en transferencia de cantidad de movimiento tienen un análogo en transporte de energía y de materia. Sin embargo, cuando es posible encontrar estas analogías, puede ser útil tomar resultados conocidos en un campo y aplicarlos en el otro. Por ejemplo, el lector no debe t e ner dificultades para encontrar un análogo en conducción de calor para el flujo viscoso en una película líquida que desciende sobre un plano inclinado. En la industria eléctrica hay muchos ejemplos de problemas de conducción de calor1 Minimizar las elevaciones de temperatura en el interior de la maquinaria eléctrica prolonga la duración del aislamiento. Un ejemplo es refrigerar interiormente, mediante un líquido, los conductores del estator de los generadores de gran potencia (500,000 kW).
' M. Jakob,Heat Transfer, Vol. 1, Wiley, Nueva York (1949), capítulo 10,pp. 167-199
510.2
Conducción de calor con una fuente de calor eléctrica 347
Para ilustrar más problemas en el calentamiento eléctrico, proporcionamos dos ejemplos concernientes a la elevación de temperatura en alambres: el primero indica el orden de magnitud del efecto del calentamiento y el segundo muestra cómo manipular diferentes condiciones límite. Además, en el problema 10C.2 mostramos cómo tomar en cuenta la dependencia respecto a la temperatura de las conductividades térmica y eléctrica.
Un alambre de cobre mide 2 rnm de radio y 5 m de longitud. Si la temperatura en la superfipara producir una deteminada elevacidn temperatura dado en .r Utl alambre calentado por una corriente eléctrica
'ae
cie del alambre es de 20°C, ¿qué caída del voltaje produce una elevación de temperatura de 10°C en el eje del alambre? SOLUCXÓN
Al combinar las ecuaciones 10.2-14 y 10.2-1 se obtiene 12R2
Tmáx- To = 4%
(10.2-17)
La densidad de Ia corriente está relacionada con la caída del voltaje E a lo largo de una longitud L por
I=k,-
E L
(10.2-18)
Por tanto,
a partir de lo cual
Para el cobre, el número de Lorenz de 59.5 es k/k,To = 2.23 X v ~ l t ~Por / ~tanto, ~ . la caída del voltaje necesaria para producir una elevación de temperatura de 10°C es
= (5000)(1.49 x 10~)(54.1) = 40 volts
(10.2-21)
'5
EJEMPLO 10.2-2 '. e&%:*
'".
Alambre calentado con coeficiente de transmisión de calor y temperatura ambiente del aire especificados
Repetir el análisis en 510.2, suponiendo que no se conoce To, sino que en vez de e110 la densidad de flujo de calor en la pared se proporciona por la "ley de enfriamiento" de Newton (ecuación 10.1-2).Supóngase que se conocen el coeficiente de transmisión de calor h y la temperatura ambiente del aire Tai,. SOLUCIUN I
La solución se obtiene como antes a través de la ecuación 10.2-11, pero la segunda constante de integración se determina a partir de la ecuación 10.1-2:
348
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
Ai sustituir la ecuación 10.2-11en la ecuación 10.2-22, se obtiene C2 = (S$/2h) Tai,, y entonces el perfil de temperatura es
-t (Sp~*/4k)+
A partir de esto se encuentra que la temperatura en la superficie del alambre es Tai,
+ S$/%.
I
En otro método se usa el resultado obtenido previamente en la ecuación 10.2-13. Aunque en este problema se desconoce T,,, aun así es posible utilizar ese resultado. A partir de las esaciones 10.1-2 y 10.2-16 podemos obtener la diferencia de temperatura
1
,-,
Al sumar la ecuaci6n 10.2-24y la ecuación 10.2-13es posible eliminar la 1 desconocida y ob; tener la ecuación 10.2-23. I
Consideremos un elemento combustible nuclear esférico como se muestra en la figura 10.3-1. Consta de una esfera de material fisionable de radio ~ ( ~ rodeado 1 , pof una envoltura esférica de "revestimiento" de aluminio con radio exterior R . interior del elemento combustible se producen fragmentos de fisión cuyas (=' energía En cinéticas son muy elevadas. La mayor fuente de energía térmica en el reactor 11 constituyen las colisiones entre estos fragmentos y los átomos del material fisiona ble. Esta fuente volumétrica de energía térmica que resulta de la fisión nuclear se de
el
Enfriador Revestimiento
Figura 10.3-1 Montaje esf4rico de un combustible nuclear, que muestra la distribucidn de temperatura en el interior
del sistema.
s10.3 Conducción de calor con una fuente de calor nuclear
349
nornina S, (cal/cm3 S).Esta fuente no es uniforme en toda la esfera de material fisionable; es más baja en el centro de la esfera. Para el objetivo de este problema, suponemos que la fuente puede aproximarse por una función parabólica sencilla
Aquí S,, es la velocidad volumétrica de producción de calor en el centro de la esfera, y b es una constante adimensional positiva. Como sistema se elige una envoltura esférica de espesor Ar en el interior de Ia esfera de material fisionable. Debido a que el sistema no est5 en movimiento, e1 balance de energía sólo consta de términos de conducción de calor y un término que corresponde a la fuente. Las diversas contribuciones al balance de energía son: Velocidad de entrada de calor por conducción en r
qp
Velocidad de salida de calor por conducción en r Ar
q:n 1 ,+, 4 d r
+
Ir
4 d = (4%-r2q(T)I,
+ ~ r ) =* ( 4 d q F ) )1 ,+A,
(10.3-2)
(10.3-3)
Velocidad de energía térmica producida por fisión nuclear
Al sustituir estos términos en el balance de energía de la ecuación 10.1-1se obtiene, ~ y tomar el límite cuando Ar -+ 0, después de dividir entre 4 3 Ar
lím
Ar40
+
A -
2 (F)
r
)Ir = 5nr2
Ar
Al tomar el límite e introducir la expresión en la ecuación 10.3-1 se obtiene
La ecuación diferencial para la densidad de flujo de calor qk)en el revestimiento es de la misma forma que la ecuación 10.3-6, excepto que aquí no hay término significativo correspondiente a la fuente:
350
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminal
1
Al integrar estas dos ecuaciones se obtiene
CY)
donde y C!c) son constantes de integración que se evalúan por medio de las condiciones límite:
C.L. 1:
C.L. 2:
en r = O,
,,,
=~
qZF) no es infinita
(n,q ; = ~ 4r(a
Luego, al evaluar estas constantes se obtiene
Éstas son las distribuciones de densidad de flujo de calor en la esfera fisionabley en el revestimiento de la envoltura esférica. Ahora, en estas dos distribuciones sustituimos la ley de Fourier de la conducción del calor (ecuación 8.2-7)
Estas ecuaciones pueden integrarse para k(n y kcC) constantes a fin de obtener
Las constantes de integración pueden determinarse a partir de las condiciones umite
$10.4 Conducción de calor con una fuente de calor viscosa
351
donde T, es la temperatura conocida en el exterior del revestimiento. Las expresiones finales para los perfiles de temperatura son
Para encontrar la temperatura máxima en la esfera de material fisionable, todo lo que se requiere es igualar r a cero en la ecuación 10.3-20. Ésta es una cantidad que conviene conocer cuando se hacen estimaciones de deterioro térmico. Este problema ha ilustrado dos cuestiones: i) cómo manipular un término que corresponde a la fuente y que depende de la posición, y ii) la aplicación de la continuidad de la temperatura y la densidad de flujo d e calor normal en el límite entre dos materiales sólidos.
310.4
CONDUCCIÓNDE CALOR CON UNA FUENTE DE CALOR VISCOSA
>*
A continuación consideramos el fiujo de un fluido newtoniano incompresible enbe dos cilindros coaxiales como se muestra en la figura 10.4-1. Las superficies de los cilindros interior y exterior se mantienen a T = To y T = Tb, respectivamente. Podemos esperar que T sea una función exclusiva de r.
E1 cilindro exterior se mueve con una velocidad angular i2
Figura 10.4-1 Flujo entre cilindros con generación viscosa de calor. La parte del sistema que está encerrada por las líneas punteadas se muestra en forma modificada en la figura 10.4-2.
352 Capítulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
La superficie superior se mueve con velocidad
= Rn
Figura 10.4-2 Modificación de una porcibn del de flujo e n la figura 10.4-1, donde se desprecia la curvatura de las superficies que delimitan el sistema,
X
I
Superficie estacionaria
A medida que el cilindro exterior gira, cada envoltura cilíndrica de fluido "r0za" con una envoltura adyacente de fluido. Esta fricción entre capas adyacentes del fluido produce calor; es decir, la energía mecánica se degrada en energía térmica. L~ fuente de calor por unidad de volumen que resulta de esta "disipación viscosa", que podemos designar por S,, aparece automaticamente en el balance en la envoltura cuando se usa el vector de densidad de flujo de energía combinada e definido al final del capitulo 9, como se verá un poco más adelante. Si el ancho b de la rendija es pequeño en comparación con el radio R del cilindro exterior, entonces el problema puede resolverse aproximadamente usando el sistema algo simplificado que se muestra en la figura 10.4-2.Es decir, se ignoran los efectas de curvatura y el problema se resuelve en coordenadas cartesianas. Entonces, la distribución de velocidad es v, = vb(x/b),donde v b = flR. Ahora realizamos un balance de energía sobre una envoltura de espesor Ax, ancho W y longitud L. Debido a que el fluido está en movimiento, usamos el vector de densidad de flujo de energía combinada e según está escrito en la ecuación 9.8-6. Así, el balance queda como
Luego, al dividir entre WL Ax y dejar que el espesor Ax de la envoltura tienda a c e ro, se obtiene
Esta ecuación puede integrarse para obtener
Debido a que se desconocen cualesquiera condiciones límite para e,, en este momento no es posible evaluar las constantes de integración. Ahora insertamos la expresión para e, de la ecuación 9.8-6. Debido a que la coinponente de la velocidad en la dirección x es cero, es posible eliminar el término (ipv2 + pU)v. Según la ley de Fourier, la componente x de q es -k(dT/dx). La componente x de [T VI es, como se muestra en la ecuación 9.8-1, T,,v, + 7XYvY t ~ ~ Ya que la única componente diferente de cero de la velocidad es v, y como 7, =! -p(dv,/dx) según la ley de viscosidad de Newton, entonces la componente x de [T VI es -pv,(dv,/dx). Así, concluimos que la ecuación 10.4-3 se vuelve
-
1
u
~
;
910.4 Conducción de calor con una fuente de calor viscosa
353
Cuando se inserta el perfil lineal de velocidad v, = vb(x/b),se obtiene
donde p ( ~ ~ /puede b ) ~ identificarse como la velocidad de producción viscosa de calor por unidad de volumen S,. Al integrar la ecuación 10.4-5 se obtiene
Las dos constantes de integración se determinan a partir de las condiciones Emite
Finalmente lo anterior lleva a que, para Tb
+ To
Aquí Br = pv; /k(Tb - To)es el n ú w o adirnensional de Brinkmun,' que es una medida de la importancia del término de la disipación viscosa. Si Tb = To, entonces la ecuación 10.4-9 puede escribirse como
y la temperatura máxima está en x / b = +. Si la elevación de temperatura es apreciable, entonces debe tenerse en cuenta la dependencia de la viscosidad respecto a la temperatura. Esto se analiza en el problema 10C.1. El término de calentamiento viscoso S, = p ( ~ ~ /puede b ) ~ entenderse por medio del siguiente razonamiento. Para el sistema de la figura 10.4-2, la velocidad a que se realiza trabajo es la fuerza que actúa sobre la lámina superior multiplicada por la velocidad a que se mueve la lámina, o bien, (- T,,WL)(V~), Así, la velocidad de adición de energía por unidad de voIumen se obtiene dividiendo esta cantidad entre WLb, con lo que se obtiene: (-7Xzvb/b)= p(vb/bI2.Toda esta energía aparece como calor y por tanto es S,.
'
H.C. Brinkman, Appl. Sci. Reseorch, AZ, 120-124(1951),resolvi6 el problema de calentamiento por disipación viscosa para el flujo de Poiseuille en un tubo circular. R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics ofPo-/meric Liquids, Vol. 1,2a. edición, Wiley, Nueva York (1987),pp. 207-208, han resumido otros gmpos adimensionales que pueden usarse para caracterizar el calentamiento viscoso.
3% Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
1
En la mayor parte de los problemas de flujo, el calentamiento viscoso no es importante. Sin embargo, si hay grandes gradientes de velocidad, entonces no puede despreciarse. Algunos ejemplos de situaciones en las que debe tenerse en cuenta el calentamiento viscoso son: i) flujo de un lubricante entre partes que se mueven rápidamente; ii) flujo de polímeros fundidos a través de boquillas en la extrusión a 4ta velocidad; iii) flujo de fluidos altamente viscosos en viscosímetros de alta velocidad, y iv) flujo de aire en la capa límite inmediata a la superficie de satéliteso cohetes terrestres durante su reentrada a la atmósfera de la Tierra. Los dos primeros son más complicados porque muchos lubricantes y plácticos íúndidos son fluidos no newtonianos. El calentamiento viscoso para fluidos no newtonianos se ilustra en el problema lOB.5.
Una reacción química se realiza en un reactor tubular de radio interior R de lecho fijo de flujo axial, como se muestra en la figura 10.5-1. El reactor se extiende desde z= hasta z = +D.y está dividido en tres zonas: -W
Zona 1: zona de entrada rellena con esferas no catalíticas. Zona 11: zona de reacción, que se extiende desde z = O hasta z esferas cataliticas. Zona 111: zona de salida rellena con esferas no catalíticas.
= L,
rellena con
Se supone que el fluido avanza por el tubo del reactor en "flujo tapón", es decir con velocidad axial uniforme a un valor superficial vo = w / 7 r ~ '(véase ~ el text a continuación de la ecuación 6.4-1 para la definición de "velocidad superficial" La densidad, la velocidad de flujo másico y la velocidad superficial se tratan com independientes de r y z. Además, se supone que la pared del reactor está bien lada, de modo que la temperatura puede considerarse como si fuese esenc te independiente de r. Se desea encontrar la disiribución axial de temper estado estacionario T(z) cuando el fluido entra en z = -m con una temperatura u forme TI. En una reacción química se produce o consume energía térmica cuando las léculas reaccionantes se reordenan para formar los productos. La velocidad volu trica de producción de energía térmica por reacción química, S,, en general es un
Pared ais'fda
partículas Partículas inertes cataiíticas
- Zona 1
z=O
Particuhs inertes
'1Azk
Zona 111 ,
Zona 11
z=L
Figura 10.5-1 Reactor de lecho fijo con flujo axial. Las moléculas reaccionantes entran en z = -m y salen en z = +M.La zona de reacción se extiende desde z = O hasta z = L.
i
510.5 Conducci6n de calor con una fuente d e calor química 355
función complicada de la presión, temperatura, composición y actividad del catalizador. Para simplificar, aquí representamos S, como una función exclusiva de la temperatura: S, = SCIF(O),donde O = (T - T d / ( T l - To).Aquí T es la temperatura local en el lecho del catalizador (que se supone igual para el catalizador y para el fluido), y SC1y T, son constantes empíricas para las condiciones dadas de entrada del reactor. Para el balance en la envoItura escogemos un disco de radio R y espesor Az en la zona catalítica (véase la figura 10.5-l), y elegimos que Az sea mucho mayor que las dimensiones de las partículas del catalizador. Al establecer el balance de energía, usamos el vector de densidad de flujo de energía combinada e debido a que estamos tratando con un sistema de flujo. Así, el balance de energía en estado estacionario es
En seguida dividimos entre m-R2Az y tomamos el límite cuando Az tiende a cero. Hablando estrictamente, esta operación no es "legal", debido a que no estamos tratando con un continuo sino más bien con una estructura granular. No obstante, realizamos este proceso en el límite en el entendido de que la ecuación resultante no describe valores puntuales, sino más bien valores medios de e, y S, para secciones transversales del reactor de z constante. Así se obtiene
Luego sustituimos la componente z de la ecuación 9.8-6 en esta ecuación para obtener
Ahora usamos la ley de Fourier para q,, ecuación 1.2-6 para T, y la expresión de la entalpía en la ecuación 9.8-8 (con la suposición de que la capacidad térmica es constante) para obtener
donde se ha utilizado la conductividad térmica efectiva en la dirección z, ~,~,,(véase la ecuación 9.6-9). Los términos primero, cuarto y quinto del miembro izquierdo pueden eliminarse, ya que la velocidad no cambia con z. El tercer término puede eliminarse si la presión no cambia significativamente en la dirección axial. Luego, en el segundo término sustituimos u, por la velocidad superficial v, porque esta última es la velocidad efectiva del fluido en el reactor. Así, la ecuación 10.5-4 queda como
Ésta es la ecuación diferencial para la temperatura en la zona 11. La misma ecuación es válida en las zonas 1 y 111 con el término que corresponde a la fuente igual a cero.
356 Capitulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo Laminar
Entonces, las ecuaciones diferenciales para la temperatura son Zona i Zona II Zona III Aquí hemos supuesto que podemos usar el mismo valor de la conductividad térmica efectiva en las tres zonas. Estas tres ecuaciones diferenciales de segundo orden están sujetas a las seis siguientes condiciones límite:
C.L. 4:
dT' -
e n z = O,
Kef,zr
e n z = L,
p1= T I ~
e n z = L,
Kefsf
dTU
- Kef,zz -&(10.5-12)
dTrr -
dTrn
- Keftz
Las ecuaciones 10.5-10a 10.5-13 expresan la continuidad de la temperatura y la densidad de flujo de calor en los limites entre las zonas. Las ecuaciones 10.5-9 y 10.5-14 especifican los requisitos en los dos extremos del sistema. Aquí la solución de las ecuaciones 10.5-6 a 10.5-14 se considera para F(O) arbitraria. En muchos casos de interés práctico, el transporte de calor convectivo es mucho más importante que el transporte de calor conductivo axial. Por tanto, aquí eliminamos por completo los términos concernientes a la conducción (los que contienen a K ~ ~Este ~ )tratamiento . del problema sigue conteniendo los rasgos sobresalientes de la solución en el límite de un gran Pé = RePr (véase el problema 108.18 para un tratamiento más completo). Si se introducen una coordenada axial adimensional Z = z / L y una fuente de calor química adirnensional N = s ~ ~ L / & ~ ~ --, (TTd ,~entonces las ecuaciones 10.5-6 a 10.5-8 se vuelven Zona 1
( Z < O)
dOJ --0 dZ
Zona 11 Zona 111 para las cuales se requieren tres condiciones límite:
(10.5-15)
510.6
Zona 1
Conducción de calor a través de paredes compuestas 357 Zona 11, donde se produce calor por reacci n qu mica
Coordenada axial adirnensional Z
Zona 111
=z/L
Figura 10.5-2 Perfiles de temperatura pronosticados en un reactor de lecho fijo con flujo axial cuando la producción de calor varía linealmente con la temperatura y cuando hay difusión radial despreciable.
Estas tres ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables, con condiciones límite, se resuelven fácilmente para obtener Zona 1 Zona 11 Zona 111 Estos resultados se muestran en la figura 10.5-2 para una elección sencilla de la función correspondiente a la fuente; a saber, FtO) = O, lo que es razonable para pequeños cambios en la temperahixa, si la velocidad de la reacción es insensible a la concentración. En esta sección terminamos por eliminar los términos correspondientes a la conducción axial. En el problema 10B.18no se eliminan estos términos, y entonces la solución muestra que en la región 1 hay precalentamiento (o preenfriamiento).
En problemas industriales de transmisión de calor a menudo es necesario abordar la conducción a través de paredes hechas de capas de varios materiales, cada una con su propia conductividad térmica característica. En esta sección mostramos cómo las diversas resistencias a la transmisión d e calor se combinan en una resistencia total.
3%
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar SusSustancia tancia
Sustancia 23
o
11
x2
Distancia, x
-
Figura 10.6-1 Conducción de calor a través de una pared compuesta, localizada entre dos corrientes de fluido a temperaturas T,y Tb-
En la figura 10.6-1 se muestra una pared compuesta hecha de tres materiales de espesor diferente, xl - xo, xp - x1 y x3 - x2, y conductividades térmicas diferentes koi,kI2 y k23. En x = xo, la sustancia O1 está en contacto con un fluido a temperatura ambiente T,, y en x = x3, la sustancia 23 está en contacto con un fluido a temperatura ambiente Tb.La transmisión de calor en los límites x = xo y x = xg está dada por la "ley de enfriamiento" de Newton con coeficientes de transmisión de calor hoy hP respectivamente. El perfil de temperatura anticipado se muestra en la figura 10.6-1. Primero establecemosel balance de energia del problema. Debido a que estamos tratando con conducción de calor en un sólido, los términos que contienen velocidad en el vector e pueden eliminarse, y la irnica contribución relevante es el vector q, que describe la conducción de calor. Primero escribimos el balance de energía para una placa de volumen WH Ax Región 01: que establece que el calor que entra en x debe ser igual al calor que sale en x + Ax, ya que en el interior de la región no se produce calor. Después de dividir entre WH Ax y tomar el límite cuando Ax + O, se obtiene Región 01 :
La integración de esta ecuación resulta en Región 01:
qx = 40
(una constante)
(10.6-3)
La constante de integración, qo, es la densidad de flujo de calor en el plano x = xo. El desarrollo de las ecuaciones 10.6-1 a 10.6-3 puede repetirse para las regiones 12 Y 23 con condiciones de continuidad sobre 9, en las interfases, de modo que la densidad de flujo de calor es constante y la misma para las tres placas: Regiones 01, 12, 23:
qx = 90
(10.6-4)
§10.6 Conducción de calor a trav6.s de paredes compuestas 359
con la misma constante para cada una de las regiones. Ahora podemos introducir una ley de Fourier para cada una de las regiones, con lo cual obtenemos
Región 01:
Región 12: Región 23: Luego suponemos que kol,k,, y k23 son constantes. Entonces integramos cada ecuación sobre todo el espesor de la placa de material relevante para obtener
Región 01 : Región 12: Región 23: Además se cuenta con los dos planteamientos concernientes a la transmisión de calor en las superficies según la ley de enfriamiento de Newton: En la superficie 0: En la superficie 3: Entonces, al sumar estas cinco iLltimas ecuaciones se obtiene
o bien,
Algunas veces este resultado vueIve a escribirse en una forma que recuerda la ley de enfriamiento de Newton, ya sea en términos de Ia densidad de flujo de calor qo U/m2 S) o del flujo de calor Qo (J/s):
-
qo=u(T,-Tb)
O
Qo=U(wH)(T,-Tb)
(10.6-15)
360 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
La cantidad U, denominada "coeficiente global de transmisión de calor", está dada por la siguiente fórmula célebre para la "aditividad de las resistencias":
Aquí hemos generalizado la fórmula a un sistema con n placas de material. Las ecuaciones 10.6-15 y 10.6-16 son útiles para calcular la velocidad de transmisión de calor a través de una pared compuesta que separa dos corrientes de fluido, cuando se conocen los coeficientesde transmisión de calor y las conductividades témiicas. La estimación de los coeficientes de transmisión de calor se analiza en el capítulo 14. En el desarrollo anterior se supuso tácitamente que las placas sólidas son contiguas sin "cámaras de aire" entre ellas. Si las superficies sólidas se tocan entre sí sólo en algunos puntos, la resistencia a la transmisión de calor aumenta considerablemente.
Paredes cilíndricus compuestas
Deducir una fórmula para el coeficiente global de transmisión de calor para la pared cilíndrica compuesta del tubo que se muestra en la figura 10.6-2. SOLUCIÓN
Al hacer un balance de energía sobre una envoltura de volumen 2 n d AY para la región 01 se obtiene Región 01:
qrl, 2mL
-
q,l,,A; 27dr
+ Ar)L = O
(10.6-17)
Figura 10.6-2 Conducción de calor a través de un tubo laminado con un fluido a temperatura T, en el interior del tubo Y temperatura Tb en el exterior de éste.
910.6
Conducción de calor a través de paredes compuestas 361
que también puede escribirse como Región 01:
(2mb,)lr - (2m4,)lr+~r = O
Al dividir entre 2 r L Ar y tomar el limite cuando Ar tiende a cero, se obtiene
Región 01:
d
- (rqr)= O
dr
(10.6-19)
AI integrar esta ecuación se obtiene
donde ro es el radio interno de la región 01 y qo es la densidad de flujo de calor ahí. En las regiones 12 y 23, rq, es igual a La misma constante. Cuando se aplica la ley de Fourier a las tres regiones se obtiene
Región 01 : Región 12:
dT
-koir- dr = roqo dT
-k12r
;ir= TO9o
(10.6-21) (10.6-22)
Región 23:
Si se supone que las conductividades térmicas en las tres regiones anulares son constantes, entonces cada una de las tres ecuaciones anteriores puede integrarse a través de su regibn para obtener Región 01: Región 12: Región 23:
En las dos interfases fluido-sólido podemos escribir la ley de enfriamiento de Newton:
Superficie O:
40
Ta-TO=h,
(10.627)
Superficie 3:
Al sumar las cinco ecuaciones precedentes, se obtiene una ecuación para T,- Tb. Entonces, en esta ecuación se despeja qo para obtener
362
Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
1
Ahora definimos un "coeficiente global de transmisión de calor basado e n la superficie inter. na" U,por
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene, al generalizar a un sistema con n capas anulares,
El subindice "O" en U. indica que el coeficiente globaI de transmisión de calor se refiere al
radio ro.
510.7 CONDUCCI~NDE CALOR EN UNA ALETA DE ENFRIAMIENTO'
Otra aplicación sencilla pero práctica de la conducción de calor es el cálculo de la eficacia d e una aleta de enfriamiento. Estas aletas se usan para incrementar el área disponible para transmisión d e calor entre paredes metálicas y fluidos que son malos conductores, como los gases. En la figura 10.7-1 se muestra una aleta rectangular simple. La temperatura en la pared es T, y la temperatura ambiente del aire es T,.
uSe Sabe que la temperatura de la pared es T ,
'
Figura 10.7-1 Aleta de enfriamiento sencilla con B << L y B << W .
Para más información sobre aletas, vkase M. Jakob, Heal Transfer,Vol. 1, Wiley, Nueva York (19491, capíhilo ll; y H.D. Baehr y K. Stephan, Heat and Mass Transfer, Springer, B e r h (199% 52.2.3,
910.7 Conducción de calor en una aleta de enfriamiento 363
Una descripción razonablemente buena del sistema puede obtenerse aproximando la verdadera situación &ica por un modelo simplificado: Situación verdadera
Modelo
y 2, pero la dependencia respecto a z es la mhs importante. 2. Una pequeña cantidad de calor se pierde desde la aleta en el extremo (de área 2BW) y en los bordes [de área (2BL + 2BL)I. 3. El coeficiente de transmisión de calor es una función de la posición. 1. T es una función de x, y
1. T es una funci6n exclusiva de z. 2. No se pierde calor desde el extremo o desde los bordes. 3. La densidad de flujo de calor en la superficie estA dada por q, h(T - T,),donde h es constante y T depende de z.
-
El balance de energía se hace sobre un segmento Az de la barra. Como la barra es estacionaria, en el vector de densidad de flujo de energía combinada e pueden eliminarse los términos que contienen a v, y la única contribuci6n a Ia densidad de flujo de energía es q. Por tanto, el balance de energía es
Al dividir entre 2BW hz y tomar el llmite cuando Az tiende a cero, se obtiene
Ahora insertamos la ley de Fourier (q, = -kdT/dz), donde k es la conductividad térmica del metal. Si se supone que k es constante, entonces se obtiene
Esta ecuación debe resolverse con las condiciones límite enz = 0,
T = T,
Ahora introducimos las siguientes cantidades adimensionales:
O=
- Tg
Tw - Ta z
= temperatura adimensional
r=-L
=
distancia adimensipnal
$ = - hL2 kB
=
coeficiente adimensionaf de transmisión de calo?
(10,7-6)
(10.7-8)
La cantidad N2 puede volver a escribirse como @ ! = ( h L / k ) ( L / B ) = Bi(L/B), donde Bi se denomina númem de Biot en honor de Jean Baptiste Biot (1774-1862). Biot h e profesor de física en el CoUPge de Francia; recibió la medalla Rumford por el desarrollo de una sencilla prueba no destnictiva para determinar la concentración de azúcar.
B 364
CapituIo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo 1-
Entonces el problema asume la forma
La ecuación 10.7-9 puede integrarse para obtener funciones hiperbólicas (véanse la ecuación C.14 y 5C.5). Una vez que se determinan las dos constantes de integración, se obtiene
O
=
cosh N[ - (tanh N) senh N J
(10.7-12)
Esta ecuación puede reordenarse para quedar como C O S N(1~
5)
cosh N Este resultado sólo es razonable si el calor que se pierde en el extremo y en los bordes es despreciable. La "eficacia" de la superficie de una aleta se define3 como 7r=
velocidad real de pérdida de calor desde la aleta velocidad de pérdida de calor desde una aleta isotérmica a T,
(10.7-14)
Para el problema que está considerándose aquí, 77 es entonces
o bien, 'q=-
1 cosh N
1
tanhN
(-Nsenh iV(l-n)lo=F
donde N es la cantidad adimensional definida en la ecuación 10.7-8.
Error en la mediciún del temopar
En la figura 10.7-2se muestra un termopar en el interior de una poza cilíndrica que se i n w duce en una corriente gaseosa. Estimar la temperatura verdadera de la corriente gaseosa si TI = 500°F = temperatura indicada por el termopar T , = 350°F = temperatura en la pared h = 120 Btu/h - pie2 . F = coeficiente de transmisión de calor k = 60 Btu/h . pie . F = conductividad térmica de la pared de la caña B = 0.08 pulg = espesor de Ia pared de la poza L = 0.2 pies = longitud de la poza -
M. Jakob,Heat Transfer, Vol. 1, Wiley, Nueva York (1949),p. 235.
1
510.7 Conducción de calor en una aleta d e enfriamiento 365 Figura 10.7-2 Temopax en una poza cilíndrica.
Pared del tu
+
-1
11 11
L
Los alambres del termopar van al potencióm&
f--
Corriente de gas a T,
Unión del 1 termopar a TI
La pared de la poza del termopar de espesor B estd en contacto con la corriente gaseosa sólo en un lado, y el espesor del tubo es pequeño en comparación con su diámetro. Por tanto, la distribución de temperatura a lo largo de esta pared es aproximadamente la misma que a lo Iargo de una barra de espesor 2B, en contacto con la corriente gaseosa en ambos lados. Según la ecuación 10.7-13, la temperatura en el extremo de la poza (la que registra el termopar) satisface
Por tanto, la verdadera temperahira ambiente del gas se obtiene al despejar T, en esta ecuación:
y el resultado es
Por tanto, la lectura es 10 "F más baja. Este ejemplo se ha centrado en un tipo de error que puede ocurrir en termometría. A menudo, para estimar los emres de medición puede usarse un análisis sencillo como el anterior4
Para un an6Lisis más detallado, véase M. Jakob,Heat Trnnsfer, Vol. 11, Wiley, Nueva York (1949), capítulo 33, pp. 147-201.
366 Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo lamina,
510.8 CONVECCI~N FORZADA Las secciones anteriores se han dedicado principalmente a la conducción de ca sólidos. En esta sección, y en la siguiente, estudiaremos dos tipos límite de tr te de calor en fluidos: convecciónforzada y convección libre (también denomin vección natural). Las diferencias más importantes entre estos dos mecanismo convección se muestran en la figura 10.8-1. La mayor parte de los problemas in triales de transmisión de calor suelen plantearse en una u otra de estas dos cate rías límite. No obstante, en algunos problemas ambos efectos deben tenerse cuenta, y entonces se habla de conveccibn mixta (véase 914.6 para algunos e m p h mos útiles en el manejo de esta situación). En esta sección consideramos convección forzada en un tubo circular, un caso mite tan sencillo que puede resolverse analíticamente.lt2Se supone que un fluido cosa cuyas propiedades físicas ( p , k, p, ¿?P son constantes, está en flujo laminar en tubo circular de radio R. Para z i O la temperatura del fluido es uniforme a la t peratura de entrada TI. Para z > O, en la pared hay una densidad de flujo de calor dial constante 9, = -90. Una situación como ésta existe, por ejemplo, cuando un está uniformemente bobinado con una resistencia de calefacción eléctrica, en caso q,, es positiva. Si el tubo se enfría, entonces qo debe tomarse como negativa. Como se indica en la figura 10.8-1, el primer paso para resolver un problema transmisión de calor por convección forzada es calcular los perfiles de velocidad Transmisión de calor por convectión forzada
Transmisión de calor por convección libre
El dar es arrastrado hacia la derecha El calor es transportado hacia arriba por el aire caliente que asciende por la comente forzada de alre 1.Los patrones del flujo son determinados principalmente por a l e fuerza externa
1. Los patrones del flujo con determinados por la fuerza de flotación sobre el fluido caliente
2. Primero se encuentran los perfiles 2. Los perfiles de velocidad y los perfiles de temperatura san de velocidad; luego éstos se usan interdependientes para d e t e m a r los perfiles de temperatura (procedimientode costumbre para flpidos con propiedades físicas constantes)
3. E1 número de Nusselt depende de los números de Reynolds y de Prandtl (véase el capítula 14)
3. El númem de Nusselt depende de los números de Grashof y de Prmdtl (véase el capftuio14)
Figura 10.8-1 Comparación de convección forzada y convección libre en sistemas no isotérd
'A. Eagle y R.M.Ferguson, Pmc. Roy. Soc. (Londres), A127,54&566 (1930).
1
S. Goldstein, Modern Developnaents in Fluid DyMmics, Oxford University Pxess (193% Edición de Dover (19 VoI. 11, p. 622.
510.8 Convección forzada 367
el sistema. En 92.3 hemos visto cómo se hace esto para flujo en un tubo a1 usar el método de balances de envoltura. Sabemos que la distribución de velocidad así obtenida es v, = O, v e = O, y
Esta distribución parabólica es válida tan Iejos corriente abajo de la entrada, que se ha excedido la longitud de entrada. En este pprobIema, el calor se transmite en las direcciones Y y z. Por tanto, para el balance de energía usamos un sistema "en forma de arandela", que se forma por la intersección de una región anular de espesor Ar con una placa de espesor Az (véase la figura 10.8-2). En este problema estamos tratando con un fluido que circula, y en consecuencia se retienen todos los términos en el vector e. Las diversas contribuciones a la ecuación 10.1-1 son Energía total de entrada en r Energía total de saLida en r
+ Ar
Energía total de entrada en z Energía total de salida en z
+ Az
Trabajo realizado sobre el fluido por la gravedad
e,[, . 2 m A z
=
e,l,+ar. 2 d r e,l,
( 2 w e r ) JAz ,
+ Arbz
2wAr
=
(10.8-2)
( ~ T Y ~ J ~ , , ~ , A z(10.8-3)
(10.8-4)
e,l,+A,. 2 m A r pv&
.2mArAz
de entrada T,
Figura 10.8-2 Calentamiento de un fluido e n flujo laminar a través de un tubo circular, donde se muestra el anillo circular sobre el cual se hace el balance d e energía.
368
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo l a m b ,
La última contribución es la velocidad a la que la gravedad realiza trabajo fluido en el interior del anillo; es decir, la fuerza por unidad de volumen pg, m cada por el volumen 2m Ar Az multiplicada por la velocidad hacia abajo del El balance de energía se obtiene sumando estas contribuciones e igua suma a cero. Luego se divide entre 2 7 Ar ~ Az para obtener
1 En el limite cuando Ar y Az tienden a cero, se encuentra 1a --(re,) r ar
de az
pvzg = O
9 En g, se ha omitido el subíndice z, debido a que el vector de la gravedad actúa en la dirección 4-2. A continuación usamos las ecuaciones 9.8-6 y 9.8-8 a fin de anotar las expresi* nes para las componentes r y z del vector de densidad de flujo de energía combinada, contando con que la única componente diferente de cero de v es la componente axial u,:
A1 sustituir estas expresiones de densidad en la ecuación 10.8-8y contar con que v, sólo depende de r, luego de reordenar, se obtiene
E1 segundo corchete es exactamente cero, como puede verse a partir de la ecuación 3.6-4, que es la componente zde la ecuación de movimiento para el flujo de Poiseujlle en un tubo circirlar (aquí 9 = p - pgz). E1 término que contiene a la viscosida es el calentamiento viscoso, que despreciamos en este análisis. El último término e el primer corchete, que corresponde a la conducción de calor en la dirección axial, se omitirá debido a que por experiencia sabemos que suele ser pequeño en comp ración con la convección de calor en la dirección axial. Por consiguiente, la ecuaci que queremos resolver aquí es
!
$10.8 Convección forzada 369
Esta ecuación diferencial parcial, una vez que se resuelve, describe la temperatura en el fluido como una función de r y z. Las condiciones límite son
C.L. 1:
en r = 0,
T = finita
C.L. 2:
en r = R,
k-
C.L. 3:
en z
T
= O,
dT & =
(10.8-13)
= q0 (constante)
(10.8-14)
TI
(10.%15)
Ahora escribimos en fonna adimensional el planteamiento del problema. La elección de las cantidades adimensionales es arbitraria. Elegimos
En términos generales, se intenta elegir cantidades adimensionales a fin de minimizar el número de parámetros en el planteamiento final del problema. En este problema la elección de 6 = r/R es natural, debido al aspecto de r/R en la ecuación diferencial. La elección de Ia temperatura adimensional es sugerida por las condiaones limite s e gunda y tercera. Una vez que se especifican estas dos variables adimensionales, la elección de la coordenada axiaI adimensional se concluye en forma natural. El planteamiento que resulta del problema, en forma adimensional, ahora es
con condiciones límite en 6 = 0,
O
=
finita
La ecuación diferencial parcial en la ecuación 10.8-19 ya se ha resuelto para estas condiciones límite: pero en esta sección no proporcionamos la solución completa. Sin embargo, es instructivo obtener la solución asintótica de la ecuación 10.8-19 para 5 grande. Una vez que el fiuido está lo bastante lejos corriente abajo del inicio de la sección caliente, se espera que la densidad de flujo de calor constante a través de la pared resulte en una elevación de la temperatura del fluido que sea lineal en l. Además, se espera que Ia forma de los perfiles de temperatura como una función de [ en última instancia no experimente cambios adicionales con el incremento de 5 (véase la figura 10.8-3). Por tanto, para 5 grande parece razonable una solución de la forma siguiente:
donde Co es una constante que se determinará dentro de poco.
R. Siegel, E.M. Spmow y T.M. Hailman, Appl. Sci. Research, A7,386-392 (1958). Véanse el ejemplo 12.2-1para la solución completa y el ejemplo 12.2-2 para la solución asintótica para Ipequeiía.
370 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
1
del tubo
L A
Región de z pequeña
La pendiente en r = R es la misma que para toda
Regi6n de z grande
La forma de los perfiles es La misma: se desplazan hacia arriba con z creciente
Figura 10.8-3 Diagrama que indica cómo se espera que se vea la temperatura T(r, z) para el sistema que se muestra en la figura 10.8-2 cuando el fluido se calienta por medio de una
resistencia de calentamiento eléctrica, uniformemente bobinada alrededor del tubo (compondiente a % positiva).
Resulta evidente que la función d e la ecuación 10.8-23n o es la soIuci6n comple ta del problema; permite que la ecuación diferencial y las condiciones límite 1 y 2 se cumplan, pero claramente n o satisface la condición limite 3. Por tanto, sustituimos esta úItima por u n a condición integral (véase la figura 10.8-4),
Plano en una posición arbitraiia t corriente abaio
Temperatura uniforme T i
Por aquí no entra energía, ya que se eligió que la temperatura dada sea TI
La entrada de calor por la resistencia de
La energía que sale por aquí es
calefacción eléchica es 2lrR'-qo
Figura 10.8-4 Balance de energía usado para la condición límite 4 dada en la ecuación 10.8-24.
910.8 Convecci6n forzada 371
2m
Condición 4:
2w&%
=
R
p e p (-~Tl)uzrdr de
(10.824)
o bien, en forma adimensional,
Esta condición establece que la energía que entra a través de las paredes a lo laigo de una distancia 5 es la misma que la diferencia entre la energía que sale a través de la sección transversal en 5 y la que entra en 5 = 0. Al sustituir la función postulada de la ecuación 10.8-23 en la ecuación 10.8-19, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria para (véase la ecuación C.l-11):
Esta ecuación puede intqrarse dos veces respecto a ( y el resultado sustituirse en la ecuación 10.8-23 para obtener
Las tres constantes se determinan a partir de las condiciones 1, 2 y 4 anteriores: C.L. 1: C.L. 2: Condición 4: Por ultimo, al sustituir estos valores en la ecuación 10.8-27 se obtiene
Este resultado proporciona la temperatura adimensional como una función de las coordenadas adimensionales radial y axial. Es exacto en el límite cuando 5 + m; para 5 > 0.1, pronostica el valor local de O dentro de un margen aproximado de 2%. Una vez que se conoce la distribución de temperatura, es posible obtener varias cantidades derivadas. Hay dos tipos d e temperaturas medias que suelen usarse en relación con ei flujo de fluidos con p y Cp constantes:
372 Capítulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
( v z ~) Tb=--
(u,>
CTIOR
vZ(r)T(r,z)r dr d e
1;- IOR.).(.v
= TI
+ (4okqoR
(10.8-
dr d o
1
Ambos promedios son funciones de z. La cantidad (T) es la media aritmética de las temperaturas sobre la sección transversal en z. La "temperatura global" Tbes la tem. peratura que se obtendría si el tubo se cortara en z y se recogiera en un recipiente fluido que sale, mezclándolo totalmente. Algunas veces esta temperatura media se denomina "temperatura de mezcla en taza" o "temperatura media de flujo". A continuación evaluamos la fuerza impulsora local de transmisión de calor,, To - Tb,que es la diferencia entre las temperaturas de la pared y global a una distancia z del tubo:
donde D es el diámetro del tubo. Ahora deseamos reordenar este resultado en la for ma de una densidad de flujo adimensional de calor en la pared
i
que, en el capítulo 14, se identificará como un núnrero de Nusselt. Antes de terminar esta sección, señalamos que la coordenada axial adimensie nal 5 que acaba de introducirse puede volver a escribirse como sigue:
Aquí D es el diámetro del tubo, Re es el número de Reynolds que se usó en la par te 1, y Pr y Pé son Ios números de Prandtl y Péclet que se introdujeron en el capítu lo 9. En el capitulo 11 encontraremos que puede esperarse que los números d Randtl y Péclet aparezcan en problemas de convección forzada. Esta cuestión se reforzada en el capítulo 14 en relación con correlaciones para coeficientes de tra misión de calor.
910.9 CONVECCIÓN LIBRE En 510.8 proporcionamos un ejemplo de convección forzada. En esta sección d rnos nuestra atención a un problema elemental de convección libre; a saber, el entre dos paredes paralelas que se mantienen a diferentes temperaturas (véase gura 10.9-1). Un fluido de densidad p y viscosidad p está situado entre dos paredes v separadas entre sí por una distancia 2B. La pared caliente en y = -B se ma Ia temperatura T2, y la pared fría en y = + B se mantiene a la temperatura TI. pone que la diferencia de temperatura es tan pequeña que pueden despreciam términos que contienen a (AT)2.
I
510.9
Distribución de
Convección Iibre
373
Figura 10.9-1 Rujo laminar por convección libre entre dos láminas verticales a distinta temperatura. La velocidad es una función cúbica de la coordenada y.
Distribución de
Debido al gradiente de temperatura en el sistema, el fluido próximo a la pared caliente sube y el que está cerca de la pared fría desciende. El sistema está cerrado en la parte superior y en el fondo, de modo que el fluido está en circulación continua entre las láminas. La velocidad de flujo rnásico del fluido en la corriente ascendente es la misma que la de la corriente descendente. Se supone que las láminas son muy altas, de modo que es posibIe omitir los efectos cerca de la parte superior y del fondo. Así, para todos los propósitos prácticos, la temperatura es una función exclusiva de y. Ahora es posible hacer un balance de energía sobre una placa delgada de fluido de espesor Ay, usando la componente y del vector de densidad de flujo de energía combinada e dado en la ecuación 9.8-6. El término que contiene la energía cinética y la entalpía puede eliminarse, debido a que la componente y del vector v es cero. La componente y del término [T VI es 'ry,vz = -p(dv,/dy)v,, que llevaría a la contribución de calentamiento viscoso que se analizó en s10.4. Sin embargo, en Ios fluidos muy lentos que se encuentran en convección libre, este término puede ser extremadamente pequeño, por lo que puede despreciarse. Entonces, el balance de energía conduce a la ecuación
para k constante. La ecuación para la temperatura debe resolverse con las condiciones límite: eny = -R, eny=+B,
T = T2 T=T1
La solución de este problema es
donde AT = T 2 - TI es la diferencia de las temperaturas en la pared, yT = $(TI + T2) es su media aritmética.
374
Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
A1 hacer un baIance de cantidad de movimiento sobre la misma placa de espesor Ay, se llega a una ecuación diferencial para la distribución de velocidad
Aquí se supone que la viscosidad es constante (véase el problema 108.11 para una solución con viscosidad dependiente de la temperatura). El fenómeno de la convección libre resulta del hecho de que cuando el fluido se calienta, la densidad (en general) disminuye y el fluido asciende. La descripción mtemática del sistema debe considerar esta característica esencial del fenómeno. Debido a que en este problema la diferencia de temperatura AT = T2- TI se considera pequeña, puede esperarse que los cambios de densidad en el sistema sean peque ños. Esto sugiere que es necesario expandir p en una serie de Taylor alrededor de la temperatura T = +(TI+ Tz);así,
Aquí jy 3 son la densidad y el coeficiente de expansión en volumen evaluados a la temperatura T, El coeficiente de expansión en volumen se define como
Ahora introducimos la ecuación de estado "hecha por Taylor" de la ecuación 10.9-6 (manteniendo sólo dos términos) en la ecuación de movimiento en la ecuación 10.9-5 para obtener
Esta ecuación describe el balance entre la fuerza viscosa, de presión, la fuerza de gravedad y la fuerza de flotación -@$(T - T ) (todas por unidad de volumen). Ahora, en esta expresión sustituimos la distribución de temperatura dada en la ecuación 10.9-4 para obtener la ecuación diferencial
que debe resolverse con las condiciones límite
510.9 Conveccidn libre 375
La solución es
Ahora requerimos que el flujo neto de masa en la dirección z sea cero; es decir,
Al sustituir u, de la ecuación 10.9-12 y p de las ecuaciones 10.94 y 10.9-4 en esta integraI, se llega a la conclusión de que
cuando se desprecian los términos que contienen el cuadrado de la pequeña cantidad AT. La ecuación 10.9-14 establece que el gradiente de presión en el sistema se debe sólo al peso del fluido, y así prevalece la distribución de presión hidmstática de costumbre. Por tanto, se elimina el segundo tbrmino del miembro derecho de la ecuación 10.9-12 y la expresión final para la distribución de velocidad es
La velocidad media en la corriente ascendente es
Así, el movimiento del fluido es un resultado directo del término de la fuerza de flotación en la ecuación 10.9-8, asociado con el gradiente de temperatura en el sistema. La distribución de velocidad de la ecuación 10.9-15 se muestra en la figura 10.9-1. Este tipo de distribución de velocidad es el que ocurre en el espacio de aire que hay en una ventana de dos hojas de vidrio o en muros de dos paneles en edificios. También este tipo de flujo es el que ocurre en la operación de una columna de ClusiusDickel usada para separar isótopos o mezclas de líquidos orghicos por los efectos combinados de la difusión térmica y la convección libre.' La distribución de velocidad en la ecuación 10.9-15 puede volver a escribirse usando una velocidad adimensional Gz = Bv,P/p y una coordenada adirnensional ij = y/B; así,
La difusión tOnnica es la difusión que resulta de un gradiente de temperatura. Para un anáiisis daro de la columna de ClusiusDickel, v k K.E. Grew y T.L. lbbs Thermnl W s i o n in &ses. Cambridge Univwity Press (1952), pp. 94106.
376 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
Aquí Gr es el número adimensional de GrashoJ2 definido por
donde Ap = pl - p2. La segunda forma del número de Grashof se obtiene a partir de la primera forma usando la ecuación 10.9-6. El número de Grashof es el grupo característico que ocurre en análisis de convección libre, como se muestra en el análisis dimensional del capítulo 11. Éste surge en correlaciones del coeficiente de transmisión de calor en el capítulo 14.
Verificar que los números de Brinkman, Biot, Prandtl y Grashof son adimensionales. ¿Qué problema en circuitos eléctricos es análogo a la suma de resistencias térmicas? ¿Cuál es el coeficiente de expansión en volumen de un gas ideal? ¿Cuál es la expresión correspondiente para el número de Grashof? ¿Cuáles podrían ser algunas consecuencias de los grandes gradientes de temperatura producidos por calentamiento viscoso en viscometría, lubricación y extrusión de plásticos? En s10.8,¿habría alguna ventaja en elegir la temperatura y la coordenada axial adimensionales como O = (T - T,)/Tl y 5 = z / R , respectivamente? ¿Qué ocurriría en s10.9 si el fluido fuese agua y fuese 4 "C? ¿Hay alguna ventaja en resolver la ecuación 10.7-9 en términos de funciones hiperbúlicas en vez de funciones exponenciales? Al pasar de la ecuación 10.8-11a la ecuación 10.8-12, el término de conducción axial se despreció respecto al término de convección axial. Para justificar esto, sustituya algunos valores numéricos razonables a fin de estimar los tamaños relativos de los términos. ¿Qué tan serio es despreciar la dependencia de la viscosidad respecto a la temperatura al resolver problemas de convección forzada? ¿Y problemas d e calentamiento por disipación viscosa? Los perfiles de temperatura en estado estacionario de un sistema laminado se ven como sigue:
Distancia
---
¿Qué material tiene la conductividad térmica más alta? 11. Demostrar que la ecuación 10.6-4 puede obtenerse directamente al volver a escribir la ecuacidn 10.6-1 con x Ax reemplazado por xo De manera semejante, la ecuación 10.6-20 se ob tiene a partir de la ecuación 10.6-17 al sustituir r Ar por r,.
+
-
+
-
-
-
-
Así denominado en honor de Franz Grashof (1826-1893).Grashof fue profesor d e mednica aplicada en Karlsruhe y uno de los fundadores del Verein Deutscher Ingenieure en 1856.
1
Problemas
377
IOA..~ Pérdida de calor desde un tubo aislado. Un tubo de acero cédula 40, de 2 pulg de diámetro (diámetro interno 2.067 pulg y espesor de la pared 0.154 pulg) que conduce vapor de agua, se aísla con una capa de magnesia (85%)de 2 pulg de espesor sobre la cual hay un revestimiento de corcho de 2 pulg de espesor. Calcular la pérdida de calor por hora por pie de tubo si la superficie interna de éste está a 250 "F y la superficie externa del corcho está a 90 "F. Las conductividades t6rmicas (en Btu/h pie F) de las sustancias que intervienen son: acero, 26.1; magnesia (85%), 0.04; corcho, 0.03.
-
Respuesta: 24 B h / h . pie 10A.2
Pérdida de calor desde una aleta rectangular- Calcular la pérdida de calor desde una aleta redangular (véase la figura 10.7-1) para las siguientes condiciones: Temperatura del aire Temperatura de la pared Conductividad térmica de la aleta Conductividad térmica del aire Coeficiente de transmisión de calor Longitud de la aleta Ancho de la aleta Espesor de la aleta
350 OF 500 "F 60 Btu/h. pie F 0.0022 Btu/h pie . F 120 Btu/h. pieZ. F 0.2 pies 1.0 pie 0.16 pulg
Respuesta: 2074 Btu/h 10A.3 Temperatura máxima en un lubricante. Un aceite actúa como lubricante de un par de superficies ciündricas como las que se muestran en la figura 10.41. La velocidad angular del cilindro exterior es 7908 rpm. El cilindro exterior tiene un radio de 5.06 cm,y el espacio entre los dos cilindros es 0.027 cm. ¿Cuál es la temperatura máxima en el aceite si se sabe que la temperatura de ambas paredes es de 158 OF? Se supone que las propiedades físicas del aceite son constantes a los valores siguientes: Viscosidad Densidad Conductividad térmica
92.3 cp 1.22 g/cm3 0.0055 cal/s cm - C
Respuesta: 174 "F 10A.4
Capacidad de un alambre para conducir corriente eléctrica. Un alambre de cobre de 0.040 pulg de diámetro está uniformemente aislado con material plástico de forma que el diámetro exterior de éste es de 0.12 pulg. El alambre se expone a un entorno que está a 100 O F . El coeficiente de transmisión de calor desde la superficie externa del plástico hacia el entorno es 1.5 Bhi/h pie2. F.¿Cuál es la comente estacionaria máxima, en amperes, que el alambre puede conducir sin que ninguna parte de plástico se caiiente por arriba de su límite de operación de 200 'E? Puede suponerse que las conductividades térmica y eléctrica son constantes para los valores que se proporcionan a continuación:
k (Btu/h . pie . F)
k, (ohm-' cm-])
220 0.20
5.1 x 16
Cobre PI~S~~CO
0.0
Respuesta: 13.4 amp 1DA.5
Velocidad de convección libre. a) Verificar la expresión para la velocidad media en la corriente con movimiento ascendente en la ecuación 10.9-16.
b) Evaluar P para las condiciones que se proporcionan más adelante.
378
Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo lamXnar
c) ¿Cuál es la velocidad media en la corriente con movimiento ascendente en el sistema de d t o en la figura 10.9-1 para aire que fluye en estas condiciones? Presión Temperatura de la pared caliente Temperatura de la pared fría Separación entre las paredes
l atm 1O0 "C 20 O C 0.6 cm
Respuesta: 2.3 cm/s 10A.6
Potencia aislante de una pared (figura 10A.6). La "potencia aislante" de una pared puede medirse por medio del arreglo que se muestra en la figura. Se coloca un panel de plástico contra la pared. En el panel se montan dos termopares al ras con las superficies del panel. $ conocen la conductividad térmica y el espesor del panel de plástico. A partir de las kmpera. turas medidas en estado estacionario que se muestran en la figura, calcular:
a) La densidad de flujo de calor en estado estacionario a través de la pared (y el panel).
, I
b) La "resistencia térmica" (espesor de la pared dividido entre Ia conductividad térmica).
Respuestas: a) 14.3 Btu/h . 10A.7
bf 4.2 pie2. h F/Btu
Calentamiento viscoso en un bolígrafo. Se pide al lector decidir si la disminuci6n aparente en la viscosidad de la tinta de un bolígrafo al escribir resulta del "adelgazamiento cortante"; (disminución en la viscosidad debido a efectos no newtonianos) o al "adelgazamiento po; temperatura" (disminución en la viscosidad debido a la elevación de la temperatura provq cado por el calentamiento viscoso). Si la elevación de la temperatura es menor que 1 K, en; tonces el "adelgazamiento por temperatura" no es importante. Calcular la elevaci6n de la(' temperatura usando la ecuación 10.4-9 y los siguientes datos estimados: I Espacio libre entre la esfera y la cavidad en que está sujeta Diámetro de la esfera Viscosidad de la tinta Velocidad al escribir Conductividad térmica de la tinta (estimación aproximada)
IOA.8
5x pulg 1 mm 10“ cp 100 pulg/min 5x cal/s . cm . C
1
Elevación de la temperatura en un alambre eléctrico, a) Un alambre de cobre, de 5 rnrn de diámetro y 15 pies de longitud, tiene una caída de vol: taje de 0.6 volts. Encontrar la temperatura máxima en el alambre si la temperatura ambienq del aire es de 25 OC y el coeficiente de transmisión de calor h es 5.7 Btu/h . pie2 . h F.
b) Comparar las caídas de temperatura a través del alambre y el aire circundante.
/T2
1
= 61 "F Temperaturas superficiales
, T~ = 69
OF
del panel de plástico
El panel de plástico tiene una conductividad térmica k = 0.075 Btu/h.pie - "F (valor medio entre TIy T2)
Figura IOA.6 Determinación de la resistencia térmica de una pared.
I
Problemas 379 10b.1
Conducción de calor desde una esfera hacia un fluido estancado. Una esfera caliente de radio R está suspendida en un gran cuerpo de fluido en reposo. Se desea estudiar la conducción de caIor en el fluido que rodea la esfera en ausencia de convección.
a) Establecer la ecuación diferencial que describe la temperatura T del fluido circundante como una función de Y, la distancia desde el centro de la esfera. Se considera que la conductividad térmica k del fluido es constante. b) Integrar la ecuación diferencial y usar las siguientes condiciones límite a fin de determinar las constantes de integración: para r = R, T = TR;y para r = =, T = T-. C) A partir del perfil de temperatura, obtener una expresión para la densidad de flujo de calor en la superficie. Igualar este resultado con la densidad de flujo de calor proporcionada por Ia "ley de enfriamiento de Newton" y demostrar que un coeficiente adimensional de transmisión de calor (conocido como el número de Nusselt) está dado por
donde D es el diámetro de la esfera. Este resultado bastante conocido proporciona el valor 1imite de Nu para la transmisión de calor desde esferas a bajos números de Reynolds y de Grashof (véase 514.4).
d) ¿En qué aspecto difieren los números de Biot y de Nusselt? 10B.2
Calentamiento viscoso en flujo en una rendija. Encontrar el perfil de temperatura para el problema de calentamierito viscoso que se muestra en la figura 10.4-2, cuando se proporcionan las siguientes condiciones límite: para x = O, T = T,,;para x = b, qx = 0.
106.3
Conducción de calor en el montaje de una barra de combustible nuclear (figura 10B.3). Considerar una larga barra cilíndrica de combustible nuclear que está recubierta por una capa anular de un revestimiento de aluminio. En el interior de la barra de combustible se
Revestimiento
Figura 10B.3 Distribución de temperatura en un montaje cilíndrico de una barra de combustible.
380 Capítulo 10
Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar produce calor por fisión; esta fuente de calor depende de la posición aproximadamente según la relación
Aquí S,, y b son constantes conocidas, y r es la coordenada radial medida desde el eje de la barra de combustible cilíndrica. Calcular la temperatura máxima en la barra de combus. tible si la superficie externa del revestimiento está en contacto con un líquido refrigerante a temperatura TL.El coeficiente de transmisión de calor en la interfase revestimiento-reffigerante es hL,y las conductividades térmicas de la barra de combustible y el revestimiento son kF y kc.
Respuesta: TF,mk - T'' =
108.4
Conducción de calor en tubos concéntricos (figura 108.4). a) A través de una pared anular de radio interno ro y radio externo rl fluye calor. La conductividad térmica varía Iinealmente con la temperatura desde ko a la temperatura T, hasta kl a la temperatura TI. Deducir una expresión para el flujo de calor a través d e la pared.
b) Demostrar cómo la expresión del inciso a) puede simplificarse cuando (rl - ro)/roes muy pequeño. Interpretar físicamente el resultado.
103.5
Generación de calor viscoso en un polimero fundido. Volver a trabajar el problema que se analizó en s10.4 para un polímero fundido, cuya viscosidad puede describirse adecuadamente por el modelo de Ia ley d e potencias (vease capítuIo 8). Demostrar que la distribución de temperatura es la misma que en la ecuación 10.4-9 pero con el número de Brinkman sustituido por
1
Figura 10B.4 Perfil de tempeAtura en una pared anular.
Problemas 381 Chapa de acero
10B.6
Figura 108.6 Pared compuesta de un horno.
\
Espesor del aislamiento para la pared de un horno (figura 10B.6).La pared de un horno consta de tres capas: i) una capa de ladrillo resistente al calor o refractario, ii) una capa de ladriIlo aislante, y iii) una chapa de acero, de 0.25 pulg de espesor, para protección mecánica. Calcular el espesor de cada capa de ladrillo a fin de obtener el espesor mínimo total de la pared si la pérdida de calor a través de ésta debe ser 5000 ~ t u / ~ i e h, ' . suponiendo que las capas están en excelente contacto térmico. Se cuenta con la siguiente información: Máxima temperatura permisible
Material Ladrillo refractario Ladrillo aislante Acero
Conductividad térmica Btu/h - pie , F a 100 "F a 2000 "F
2600 "F 2000 "F
1.8 0.9 26.1
-
3.6 1.8 -
Respuesta: Iadriílo refractario, 0.39 pies; ladrillo aislante, 0.51 pies. 108.7
Transmisión de calor por convección forzada en flujo entre placas paralelas (figura 10B.7). Un fluido viscoso con propiedades físicas independientes de la temperatura está en flujo laminar totalmente desarrollado entre dos superficies planas separadas por una distancia 2B. Para z < O la temperatura del fluido es uniforme en T = TI. Para z > O, se agrega calor a una densidad de flujo constante qo en ambas paredes. Encontrar la distribución de temperatura T(x, z) para z grande. a) Hacer un balance de energía en la envoltura a fin d e obtener la ecuación diferencial. para T ( x , z). Después, eliminar el término de disipación viscosa y el termino de la conducción axial de calor.
Ruja totalmente desarrollado en la rendija en z = 0; la temperatura de entrada es T I
~
S=-B
X = + B
i
~
~ Figura ~ i 10B.7 ó ~ Flujo laminar
incompresible entre dos placas paralelas, que se calientan por una densidad de flujo de calor qo uniforme en la pared empezando en z = 0.
382 CapítuIo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar b) Replantear el problema en términos de las cantidades adimensionales
o=-T-TI
%B/k
c)
10B.8
x
u=-
S=
B
kz A
P c ~ ~ ~ , ~ , B ~
Obtener la solución asintótica para z grande:
Calentamiento eléctrico de un tubo (figura 10B.8). En la manufactura de tubos de acero cubiertos de vidrio, es práctica común calentar primero el tubo hasta el intervalo de hsión de¡ vidrio y luego hacer entrar en contacto la superficie caliente del tubo con gránulos de vi. drio. Estos grfinulos se funden y humedecen la superficie del tubo, formando un recubrirnien. to no poroso bastante adherente. En un método de precaIentamiento del tubo, a lo largo de éste se hace pasar una corriente eléctrica, con el resultado de que se calienta el tubo (como en 510.2). Para los objetivos de este problema, hacer las siguientes suposiciones: i) La conductividad eléctrica del tubo k, es constante sobre el intervalo de temperaturas de interés. Entonces, la velocidad local de producción de calor eléctrico S, es uniforme en toda la pared del tubo.
ii) Las partes superior e inferior del bbo se tapan, de forma que las pérdidas por calor a havés de ellas son despreciables.
iii) La pérdida de calor desde la superficie externa del tubo hacia el entorno está dada por la ley de enfriamiento de Newton: q, .- k(T, - T,). Aquí, h es un coeficiente de transmisión de calor idóneo. ¿Cuánta potencia eléctrica se requiere para mantener la superficie interna del tubo a alguna temperatura deseada, T , si se conocen k, T,, h y las dimensiones del tubo?
~ ~ R ~ ( I - K ~-T,) ) L ( ~
Respuesta: P = 2h
4k
-
del aire T,
Figura 10B.8 Calentamiento eléctrico de un hbo.
Problemas 383 10B.9
Flujo tapón con transmisión de calor por convección fonada Algunas veces las lechadas muy espesas y las pastas se mueven en canales casi como un tap6n sólido. Así, es posible aproximar la velocidad por un valor constante vo sobre la sección transversal del conducto. a) Volver a trabajar el problema de 510.8 para flujo tapón en un tubo circular de radio R. Demostrar que la distribución de temperatura análoga a la ecuación 10.8-31 es
donde f
=~
z / @ ~ v y~ eR y~f, se definen como en 810.8.
b) Demostrar que para flujo tapón en una rendija plana de ancho 2B la distribución de temperatura análoga a la ecuación 108.74 es
donde 6 = kz/gP@ y ',y o se definen como en el problema 1087. 10B.10 Convección libre en tubos conc4ntncos de altura finita (figura10B.10). Un fluido esta contenido en un espacio anular vertical cerrado por arriba y por abajo. La pared interior de radio KR se mantiene a la temperatura T, y la pared exterior de radio R se mantiene a la temperatura T I . Usar las suposiciones y el método de 510.9 para obtener la distribución de velocidad producida por convección libre.
a) Primero deduzca la distribución de temperatura
donde 5 = r/R.
b) Luego, demuestre que la ecuación de movimiento es
dondeA = ( R 2 / p ) @ p / d z f plg) y B = ( ( p l g / 3 , A T ) R 2 / In ~ K ) , con AT = TI - T,.
Figura 10.8-10 Pahón de convección libre en un espacio anular con TI > T,.
384
Capítulo 10 Balances de energia en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
1
c) Integre la ecuación de inovimiento (véase la ecuación C.l-11) y aplique las condicionesh. mite para evaluar las constantes de integración. Luego demuestre que A puede evaluarse pol el requerimiento de que a través de cuaIquier plano z = constante, no haya flujo de masa neto, con el resultado final de que
10B.11 Convección libre con viscosidad dependiente de la temperatura. Volver a trabajar el probl& ma en 510.9, teniendo en cuenta la variación de la viscosidad con la temperatura. Cupóngas que la "fluidez" (e1 recíproco de la viscosidad) es la siguiente función lineal de la temperab
1 1 -=-[~+%] P P
(1 08.11-1
Usar las cantidades y, v, y Gr definidas en 510.9 (pero con I*. en lugar de p) L)ademas
a fin de demostrar que la ecuación diferencial para la distribución de velocidad es
i
Seguir el procedimiento de 510.9, eliminando los términos que contengan la tercera poten y potencias superiores d e AT. Demostrar que lo anterior lleva a P = -&GrbT + &GrblLy nalmente a:
v, = +Gr(y3 - y) -
-
1) - &Grbp(y2- 1)(5j2- 1)
Dibujar el resultado para mostrar cómo se sesga e1 perfil de velocidad debido a la viscosid dependiente de la temperatura. 108.12 Conducción de calor con conductividad térmica dependiente de la temperatura (fi
10B.12).Las superficies curvas y las superficies extremas (ambas sombreadas en la figura sólido en forma de envoltura semicilíndrica están aisladas. La superficie 0 = O, de área (y2 - r se mantiene a la temperatura To, y la superficie en 0 = T,también de área (Y, - r,}L, se m tiene a la temperatura T, La conductividad térmica de1 solido varía linealmente con la temperatura desde ko T = To hasta k , en T = Tv. a) Encontrar la distribución de temperatura en estado estacionario.
b) Encontrar el flujo total de calor a través de la superficie en B = 0.
Problemas 385
superficie a TT
i
rz rl
Superficie a To
Figura 103.12 Conducción tangencia1 de calor en una envoltura anular.
103.13 Flujo en un reactor con fuente que depende exponencialmente de la temperatura. Plantear la función F(@)de la ecuaci6n 10.5-7 para una reacción de orden cero con la dependencia respecto a la temperatura
donde K y E son constantes y R es la constante del gas. Luego, insertar F(O) en las ecuaciones 10.5-15a 10.5-20 y resolver para el perfil adimensional de temperatura, despreciando k,,ef. 10B.14 Pbrdida por evaporación desde un tanque de oxígeno.
a) Algunas veces, gases licuados se almacenan en recipientes esféricos bien aislados abiertos a la atmósfera. Deducir una expresión para la velocidad de transmisión de calor en estado estacionario a traves de las paredes de este recipiente, donde los radios de las paredes interior y exterior son rg y rl, y las temperaturas de las paredes interior y exterior son To y TI, respectivamente. La conductividad térmica del aislamiento varía linealmente con la temperatura desde ko a T, hasta kl a TI. b) Estimar la velocidad de evaporación del oxígeno líquido desde un recipiente esférico de 6 pies de diámetro interno cubierto por una envoltura anular al vacío de 1pie de espesor Ilena de un aislante granda*. Se cuenta con la siguiente información:
Temperatura en la superficie interna del forro aislante Temperatura en la superficie externa del forro aislante Punto de ebullición del O2 Calor de vaporización del O, Conductividad térmica del forro aislante externo a O "C Conductividad térmica del forro aislante interno a -183 "C
-183 "C 0 "C 1 8 3 "C 1636 cal/g-m01 9.0 X loL4Btu/h . pie - F 7.2 X lop4Btu/h . pie . F
Respuestas: a) Qo = 4m0rl
10B.15 Gradientes radiales de temperatura en un reactor químico anular. Una reacción catalítica se realiza a presión constante en un lecho de relleno comprendido entre dos paredes cilíndricas coaxiales de radio interior ro y radio exterior rl. Esta configuración ocurre cuando las tempe-
raturas se miden con una poza terrnom6trica centrada que además resulta útil para controlar los gradientes de temperatura si se utiliza un anillo delgado. Toda la pared interior está a una temperatura uniforme To, y puede suponerse que a través de esta superficie no hay transmisión de calor. La reacción libera calor a una velocidad volumétrica uniforme S, en todo el reactor. La conductividad térmica efectiva del contenido del reactor debe tratarse como constante en todas partes.
386
Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
a) Mediante un balance en la envoltura de energía, deducir una ecuación diferencial de gundo orden que describa los perfiles de temperatura, suponiendo que pueden despreciarse los gradientes d e temperatura en Ia dirección axial. ¿Qué condiciones límite deben usarse?
b) Volver a escribir la ecuación diferencial y las condiciones iímite en términos de la cooda nada radial y la temperatura adimensionales definidas como
Explicar por qué es lógico elegir estas variables adimensionales. Integrar la ecuación diferencial adimensional para obtener el perfil de temperatura radial ¿Qué problema de flujo viscoso es análogo a este problema de conducción del calor? C)
d) Deducir expresiones para la temperatura en la pared exterior y para la temperatura volumétrica media del lecho del catalizador.
e) Calcular la temperatura en la pared exterior cuando r,, 0.3 Btu/h . pie F, To = 900 "F y S, = 4800 cal/h cm3.
= 0.45 pulg, r, = 0.50
pulg, kd =
f) ¿Cómo se afectarían los resultados del inciso e) si se duplicasen los radios interior y exte rior?
Respuesta: e) 888 "F 103.16 Distribución de la temperahira en un anemómetro de alambre caliente. Esencialmente, un anemómetro de alambre caliente es un alambre delgado, generalmente de platino, que se ca-
lienta eléctncamente y se expone a un fluido en circulación. Su temperatura, que es una función de la temperatura y velocidad del fluido, así como de la velocidad de calentamiento, puede determinarse midiendo su resistencia eléctrica. Se utiliza para medir velocidades y fluctuaciones de velocidad en sistemas de flujo. En este problema analizamos la distribución de temperatura en el alambre. Consideramos un alambre de diametro D y longitud 2L sujeto en sus extremos (z = -L y z = +L)y que está montado perpendicularmente a una corriente de aire. Por el alambre cir. cula una corriente eléctrica de densidad 1 amp/cm2, y el calor así generado se pierde parcialmente por convección hacia la corriente de aire (véase Ia ecuación 10.1-2) y parcialmente por conducción hacia los extremos del alambre. Debido a su tamaño y sus elevadas condudividades eléctrica y térmica, los soportes no se calientan notoriamente con la comente, sino que permanecen a la temperatura TL, que es la misma de la corriente de aire que se aproxima. 9 desprecia la pérdida de calor por radiación. a) Deducir una ecuación para la distribución de temperatura en estado estacionario en d alambre, suponiendo que T depende exclusivamente de z; es decir, se desprecia la variaciórl radial de la temperatura en el alambre. Además, supóngase que las conductividades eléctrica y térmica en el alambre son uniformes, y que el coeficiente de transmisión de calor del alambre a la corriente de aire es uniforme. b) Dibujar el perfil de temperatura obtenido en el inciso a). Calcular la corriente, en amperes, necesaria para calentar un alambre de platino a una te peratura de punto medio de 50 "C en las siguientes condiciones: C)
D = 0.127 mm
h = 100 Btu/h. pie2. F k = 40.2 Btu/h . pie . F
L = 0.5 cm
k,
TL= 20 OC
Respuestos: a) T - TL =
=
1.00 x lo5 ohrn-l cm-l
1
Problemas 387
10B,17 Flujo no newtoniano con transmisión de calor por convección fonada.' Para estimar el efecto de la viscosidad no newtoniana sobre la transmisión de calor en canales, el modelo de la ley de potencias del capítulo 8 proporciona perfiles de velocidad que muestran bastante bien la desviación respecto a la forma parabólica. a) Volver a trabajar el problema de $10.8 (transmisión de calor en un tubo circular) para el modelo de la ley de potencias proporcionado en las ecuaciones 8.3-2 y 8.3-3. Demostrar que el
perfil final de temperatura es
donde s = 1 /n.
b) Volver a trabajar el problema 108.7 (transmisión de calor en una rendija phna) para el modelo de la ley de potencias. Obtener el perfil adimensional de temperatura:
Nótese que estos resultados contienen los resultados newtonianos (S = 1) y los resultados del fiujo tapón (S = -1. Véase el problema 10D.2 para una generalización de este método. 108.18 Perfiles de temperatura en un reactor con densidad de flujo axia12 (figura 100.18). Demostrar que para una fuente de calor que depende linealmente de la temperatura, las ecuaciones 10.5-6 a 10.5-14 tienen las soluciones (para m, Z m-) a)
o l = l +m+m-(expm, -2 expm-) exp[(m++ m- )z] m+exp m+ - m- exp m-
@il =
m+(expm+)(expm-Z)- m-(expm-)(expm+Z) (m+ + m-) 2 m+ expm, -m_2 expm-
@111 =
2 2 m+ - mexp(m++ m-) m: expm+- m-2 expm-
Aquí m + = +B(l 2 d1 - (4N/B), donde B = m I . / K ~ , , , . En la figura 10H.18 se muestran alO. p gunos perfiles calculados a partir de estas ecuaciones.
' R.B. Bird, Chem.-lng. Technik, 31,569-572 (1959). Tomado de los resultados correspondientes de G. Damkohler, 2. Elcktwhem., 43.1-8,9-13 (1937), y J.F.Wehner
y R.H. Wilhelrn, Chem. E n q . Sci., 6,89-93 (1956);8,309 (1958). para reactores de flujo isotérmico con difusión longitudinal y reacci6n de primer orden. Gerhard Damkohler (1908-1944) se volvió famoso por su trabajo sobre reacciones químicas en sistemas que fluyen en difusión; una publicación clave apareci6 en Der Chonic-lngenieur, Leipzig (1937), pp. 359-485. Richard Herman Wiihetrn (1909-1%8), director del Departamento de lngenieria Quimica en la Universidad de Princeton, fue bastante conocido por su habajo sobre reactores catalíticos de lecho fijo, transporte fiuidizado y el proceso de separación por "bombeo paramétrico".
1 388
Capitulo 10 Balances de energía en la e n v o h r a y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
Zona 11, donde se produce calor por reacción química
Zona 1
Zona 111
Coordenada axial adimensional Z = z/L
Figura 10B.18 Perfiles de temperatura que se predicen en un reactor de lecho fijo con flujo axial para B = 8 y varios valores de N.
b) Demostrar que, en el límite cuando B tiende a infinito, la solución anterior concuerda con la de las ecuaciones 10.5-21 a 10.5-23. c) Efectuar comparaciones numéricas de los resultados en la ecuación 10.5-22 y la figura 10B.18 para N = 2 en Z .- 0.0,0.5,0.9 y 1.0. d) Suponer que la ecuación 9.6-9 es válida. Demostrar que los resultados en la figura 10B.18 corresponden a un lecho catalizador de longitud L igual al diámetro de 4 partículas. Debido a que en reactores industriales la relación L / D p rara vez es menor que 100, se concluye que una suposición razonable en cálculos de diseño en estado estacionario es despreciar Kef,,. IOC.l
Calentamiento de un alambre elécfrico cuyas conductividades eléctrica y térmica dependen de la ternperat~ra.~ Encontrar la distribución de temperatura en un alambre que se caliente eléctricamente, cuando las conductividades eléctrica y térmica varían con la temperatura corno sigue: -k= ]
-
-
4
2
f...
k0
Aquí ko y kd son los valores de las conductividades a la temperatura To, y O = (T - To?/To6 una elevación adimensional de la temperatura. Los coeficientes ai y pi son constantes. Estos desarrotlos en serie son útiles sobre intervalos de temperatura moderados.
a) Debido al gradiente de temperatura en el alambre, la conductividad eléctrica es una función de la posición, k&r). Por tanto, la densidad de la corriente también es una función de
La solución que se proporciona aquí fue sugerida por L.J.F. Broer (comunicación personal, 20 de agosto de 19s8)
Problemas 389 r: I(r) = k,(r) . (E/L), y la fuente de calor el6ctrico también depende de la posición: S,(r) = k,(r) - ( E / L ) ~Entonces, . la ecuación para la distribución de temperatura es
Ahora, introducir las cantidades adimensionales 6 = r/R y B = k & 2 E 2 / k o ~ 2 ~ oy demostrar entonces que la ecuación IOC.l-3 se vueIve
Cuando en esta ecuación se insertan las expresiones en desarrollo en serie de potencias para las conductividades, se obtiene
Ésta es la ecuación que debe resolverse para la distribución adimensional de temperatura.
b) Empezar observando que sí todas las a,y las Pi fuesen cero (es decir, que ambas conductividades fuesen constantes), entonces la ecuación 10C.I-5 se simplificaría a
Cuando esta ecuación se resuelve con las condiciones límite de que O = finita en O = O en 5 = 1, se obtiene
5 = O, y
Ésta es la ecuación 10.2-13 en notación adimensional. Nótese que la ecuación 10C.1-5 tendrá la solución de la ecuación 10C.1-7 para valores pequeños de B; es decir, para fuentes de calor débiles. Para fuentes de calor más poderosas, postular que la distribución de temperatura puede expresarse como una serie de potencias en la intensidad adimensional B de la fuente de calor:
Aquí las 0,son funciones de [pero no de B. Sustituir la ecuación 10C.1-8en la ecuación 10C.1-5 e igualar los coeficientes de potencias semejantes de B para obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para las e, con n = 1,2,3,.. .. Estas ecuaciones pueden resolverse con las condiciones tímite de que 0, finita en = O y O , = 0 en 5 = 1. De esta manera, obtener
-
donde 0(B2) significa "términos del orden de fJ2 y superiores". C) Para los materiales descritos por la ley de Wiedemann-Franz-Lorenz (véase 59.51, la razón k/k,T es una constante (independiente de la temperatura). Por tanto,
390 Capítulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en s6lidos y en flujo laminar Combinar esta ecuación con las ecuaciones IOC.1-1 y 10C.1-2 para obtener
Igualar los coeficientes de potencias semejantes de la temperatura adimensional para obtener m+ laciones entre las aiy las pi:al = P1 - 1, a2= 8, + p2,etc. Usar estas relaciones para obtener
10C.2
Calentamiento viscoso con viscosidad y conductividad térmicas que dependen de la temperatura (figuras 10.4-1 y 10.4-2). Considérese la situación d e flujo que se muestra en la figura 10.42. Tanto la superficie estacionaria como la superficie móvil se mantienen a una temperatura constante To. Entonces, las dependencias de k y p respecto a la temperatura estdn dadas por
I*o
-
CL
4'
-l+&@+p2@2+...
'Po
donde las ai y las Pi son constantes, p = 1 / p es la fluidez, y el subíndice "0" significa "evaluado en T = T,". La temperatura adimensional se define como O = ( T - T d / T o a) Demostrar que las ecuaciones diferenciales que describen el flujo viscoso y la conducción
de cator pueden escribirse en las formas
donde C$ = u,/vb,
6 = x/b y Br = ILOz$/ko~o (el número de Brinkman).
b) La ecuación para la distribución adimensional de temperatura puede integrarse una vez a fin de obtener d+/dS = C1 . ( Q / ~ ~ P O ) , donde C1 es una constante de integración. Luego, esta expresión se sustituye en la ecuación de energía para obtener
Primero obtener los dos primeros términos de una solución en la forma
o(&Br) = BrOl(O + B~'-O~(@ + ...
(1K.2-6)
Además, se sugiere que la constante de integración C1 también se desarrolle como una serie de potenaas en el número de Brinkman, para llegar a C,(Br) = C,,
+ BrC,, + B?CI2 +
(1K.2-8)
Problemas 391 c) Repetir el problema, cambiando la condición límite en y = b a q, = O (en vez de especificar la ternperat~ra).~ Respuestas: b) 4 = 6 - +3rP1(& - 3P 4- 2c3)
+ .--
o = iBr(8 - p) - + B 6 a I ( e - 2p + p) - $ 3 6 ~ , ( { 2 S + 2 t 3 -p) -t .., C) 4 = 6 - 6Brp1(2{ - 3t2 + c3)+ o = Br(6- $P)- iB$(w,(4P - 4 8 + P ) + $ B r 2 ~ , ( - 8 ~+ 852 - 4$ + Sf) + -.. -
10C.3
Calentamiento viscoso en un viscosímetro de cono y plato.5 En la ecuación 28.11-3 hay una expresión para el momento de torsión Y necesario para mantener la velocidad angular en un viscosímetro de cono y plato con ángulo incluido (véase la figura 2B.11). Se desea obtener un factor de corrección para explicar el cambio en el momento de torsión provocado por el cambio en viscosidad resultante del calentamiento viscoso. Este efecto puede ser un factor de perturbación en mediciones viscométricas, produciendo errores hasta de 20%.
a) Adaptar el resultado del problema 10C.2al sistema de cono y plato como se hizo en el problema 2B.Ila. La condición límite de densidad de flujo de calor igual a cero en la superficie del cono parece más realista que la suposición de que Ias temperaturas del cono y de la placa son las mismas, puesto que la placa cuenta con un termostato y el cono no. b) Demostrar que lo anterior lleva a la siguiente modificación de la ecuación 28.11-3:
donde E = h f 2 2 ~ 2 / k 0 ~eso el numero de Brinkman. El sfmbolo a la temperatura T,,. 10D.l
representa la viscosidad
Pérdida de calor desde una aleta circular (figura 10D.1) a) Obtener el perfil de temperatura T(r) para una aleta circular de espesor 2B sobre un tubo cuya temperatura en la pared exterior es To. Hacer las mismas suposiciones que se hicieron en el estudio de la aleta rectangular en 910.7.
b) Deducir una expresión para la pérdida de calor total desde la aleta.
Temperatura del aire ambiente = T,
peratura T = To en r = %
Figura IOD.1 Aleta circular sobre un tubo calentado.
-
-
R.M. Turian y K.B. B i d , Chem. Eng. Sci., 18,689-696 (1963). R.M. Turian,Chem. Eng. Sci., 20,771-781 (1965);la corrección por calentamiento viscoso para fluidos no newtonianos se analiza en esta publicación;véase también R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynati~ics0f Polymeric Liquids, Vol. 1,2a. edición, Wiley-lntersuence, Nueva York (1987), pp. 223-227.
392
Capitulo 10 Balances de energía en la envoltura y distribuciones de temperatura en sólidos y en flujo laminar
10D.2
Flujo en un ducto con densidad de flujo de calor constante en la pared y distribución de velocidad arbitraria.
1 '
a) Volver a trabajar el problema en §10.8 para una distribución de velocidad de flujo axi-simétrica arbitraria, totalmente desarrollada V~/U,,,~, = ~ 0donde , 5 = r / R . Comprobar que la distribución de temperatura está dada por
donde
(10D.2-2) Demostrar que C1 = O y C,, = [I(l)]-l. Luego demostrar que la constante que resta es
Verificar que cuando el perfil de velocidad es parabólico, las ecuaciones anteriores llevan a las ecuaciones 10.8-27 a 10.8-30. Estos resultados pueden usarse para calcular los perfiles de temperatura para el flujo totalmente desarrollado en un tubo de cualquier material, en la medida en que sea posible hacer una suposición razonable para la distribución de velocidad. Como casos especiales, es posible obtener resultados para flujo newtoniano, flujo tapón, flujo no newtoniano, e incluso, con algunas modificaciones, flujo turbulento (véase 513.4).~ b) Demostrar que la fuerza irnpulsora adimensional de la diferencia de temperatura O, - Bbes
C)
Verificar que la densidad de flujo adimensional en la pared es
y que, para el flujo laminar de fluidos newtonianos, el valor de esta cantidad es $.. d) ¿Cuál es la interpretación física de 1(1)?
R.N. Lyon,Chem. Eng. Prog., 47.75-95 (1951);nbtese que la definición de &.$que se usa aquí es diferente de la que aparece en las tablas 14.2-1y 14.2-2.
Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos 511.1
Ecuación de energia
911.2
Formas especiales de la ecuación de energía
911.3
La ecuación de movimiento de Boussinesq para convección forzada y libre
511.4
Uso de las ecuaciones de variacidn para resolver problemas de estado estacionario
fj33.5
Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
En el capítulo 10 introducimos el método del balance de envoltura de energía para resolver problemas relativamente fáciles de flujo de calor en estado estacionario. Obtuvimos los perfiles de temperatura, así como algunas propiedades derivadas como una temperatura media y densidades de flujo de energía. En este capítulo generalizamos el balance de envoltura de energía y obtenemos la ecuación de energía, una ecuación diferencial parcial que describe el transporte de energía en un fluido o sólido homogéneo. Este capitulo también está estrechamente relacionado con el capítulo 3, donde presentamos la ecuación de continuidad (conservación de la materia) y la ecuación de movimiento (conservaciónde la cantidad de movimiento).El agregar la ecuación de energía (conse~ación de la energía) nos permite ampliar nuestra habilidad para resolver problemas a fin de incluir sistemas no isotérmicos. Empezamos en 511.1 deduciendo la ecuación de variación para la energía total. Así como en el capítulo 10, usamos el vector de densidad de flujo de energía coinbinada e al aplicar la ley de conservación de la energía. En 511.2 restamos la ecuación de energía mecánica (dada en 53.3) de la ecuación de energía total para obtener una ecuación de variación para la energía interna. A partir de esta ultima podemos obtener una ecuación de variación para la temperatura, donde este tipo de ecuación de energía es la de mayor uso. Aunque el interés principal en este capítulo son las diversas ecuaciones de energía que acaban de mencionarse, encontramos que es útil analizar en s11.3 una ecuación de movimiento aproximada que resulta conveniente para resolver problemas que implican convección libre. En 511.4 resumimos las ecuaciones de variación encontradas hasta este punto. Luego procedemos a ilustrar el uso de estas ecuaciones en una serie de ejemplos, donde empezamos con las ecuaciones generales y eliminamos términos que no son necesarios. De esta forma obtenemos un procedimiento general para plantear y resolver problemas. Por ÚItimo, en 511.5 extendemos el análisis dimensional que se presentó en 53.7 y mostramos cómo surgen los grupos adimensionales en problemas de transmisión de calor.
394
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
La ecuación de variación para la energía se obtiene al aplicar la ley de conservación de la energia a un pequeño elemento de volumen Ax Ay Az (véase figura 3.1-1) y después dejando que las dimensiones del elemento de volumen se hagan Uifinite simalmente pequeñas. La ley de conservación de la energía es una extensión de la primera ley de la termodinámica clásica, concerniente a la diferencia en energías internas de dos estados de equilibrio de un sistema cerxado debido al calor agregado al sistema y al trabajo realizado sobre el sistema (es decir, la conocida expresibn AU=Q+W)? Aquí, el interés se centra en un elemento de volumen estacionario, fijo en el espacio, a través del que circula un fluido. Al sistema pueden entrar y salir energía cinética y energía interna mediante transporte convectivo. También puede entrar y salir calor por conducción al sistema. Como vimos en el capítulo 9, la conducción de calor es fundamentalmente un proceso molecular. Los esfuerzos pueden realizar trabajo sobre el fluido en movimiento, lo que también es un proceso molecuhr. ES te término incluye el trabajo realizado por fuerzas de presión y por fuerzas viscosas. Además, sobre el sistema puede realizarse trabajo en virtud de las fuerzas externas, como la de gravedad. Podemos resumir el párrafo anterior escribiendo en términos coloquiales la conservación de la energía como sigue:
velocidad de
velocidad neta
velocidad neta
e interna mediante transporte convectivo
transporte molecular (conducción)
velocidad a la que se realiza trabajo sobre el sistema por mecanismos
[
~
~
l
~
?
1+ 1 !
~
velocidad a la que se realiza trabajo sobre el sistema por fuerzas externas (por ejemplo ~ por la ~gravedad) ?
1
(llal-l)
Al deducir la ecuación de la energía usaremos el vector e de las ecuaciones 9.8-5 o 9.8-6, que incluye los tres primeros corchetes del miembro derecho de la ecuación 11.1-1. Antes de continuar es necesario hacer algunos comentarios: Por energía cinética entendemos la energía asociada con el movimieiito observable del fluido, que es tpz? = tp(v v), por unidad de volumen. Aquí v es el vector velocidad del fluido. ii) Por energía interna entendemos las energías cinéticas de las moléculas constituyentes calculadas en un marco que se mueve a la velocidad v, más las energías asociadas con los movimientos de vibración y rotación de Ias moléculas y también Ias energías de interacción entre todas las molécula^ Se supone que la energía interna U para un fluido en circulación es la mic. i)
l
R.]. Silbey y K.A. Alberty, Physical Chemistry, Nueva York,3a. edición (2001),52.3.
511.1
Ecuación de energía 395
ma función de la temperatura y la densidad que para el fluido en equilibrio. Debe recordarse que una suposición semejante se hizo para la presión termodinámica p(p, T ) de un fluido en circulación. iii) La energúz potencial no aparece en la ecuación 11.1-1, debido a que en vez de ella preferirnos considerar el trabajo que la gravedad realiza sobre el sistema. Sin embargo, al final de esta sección mostraremos cómo expresar este trabajo en términos de la energía potencial. iv) En la ecuación 10.1-1, en el balance de envoltura de energía se incluyeron varios términos correspondientes a la fuente. En 510.4 la fuente de calor viscoso S, apareció automáticamente, debido a que los términos de la energía mecánica en e ya se habían explicado con propiedad; aquí prevalece la misma situación, y el término de calentamiento viscoso -(7 :VV) aparecerá automáticamente en la ecuación 11.2-1. Los términos correspondientes a las fuentes química, eléctrica y nuclear (S,, S, y S,) no aparecen automáticamente, ya que las reacciones químicas, los efectos eléctricos y las desintegraciones nucleares no se han incluido en el balance de energía. En el capitulo 19, donde se considera la ecuación de energía para mezclas con reacciones químicas, la fuente de calor química S, aparece de forma natural, así como también el "termino de la fuente difusiva", (j, . gd.
1,
A continuación traduciremos la ecuación 11,l-1 a términos matemáticos. La velocidad de aumento de las energías cinética e interna en el interior del elemento de volumen Ax Ay Az es
Aquí 0 es la energía interna por unidad de masa (algunas veces se denomina "eneres la energía interna por unidad de volumen, gía interna específica"). E1 producto y ipz;!= +p(vX +vi +$) es la energía cinética por unidad de volumen. Ahora debemos conocer cuánta energía entra y sale a través de las caras del elemento de volumen Ax Ay Az.
Debe recordarse que el vector e incluye el transporte convectivo de la energia cinética y de la energía interna, la conducción de calor y el trabajo asociado con los procesos moleculares. La velocidad a que se realiza trabajo sobre el fluido por la fuerza externa es el producto punto de la velocidad v del fluido y la fuerza que actúa sobre el fluido ( p Ax Ay Az)g, o bien,
Ahora se insertan las diversas contribuciones en la ecuación 11.1-1 y luego se divide entre Ax Ay Az. Cuando se deja que Ax, Ay y Az tiendan a cero, se obtiene
Esta ecuación puede escribirse de manera más breve en notación vectorial como
396
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isot6rrnicos
A continuación insertamos la expresión para el vector e de la ecuación 9.8-5 para ob-' tener la ecuación de energúz: d
4fpu2
= -(V
dt
velocidad de aumento de energía por unidad de volumen
-(V
( i d + pU)v) - (V - q)
velocidad de adici6n de energía por unidad de volumen debido al hansporte convecüvo
-(V.
pv)
velocidad a la que se real! trabap sobre el fluido por unidad de volumen por fuerzas de preri6n
[T
.VI]
velocidad a la que se realiza habajo oobre el fluido por unidad de volumen por hienas visco~s
velocidad de adición de energía por unidad de volumen por conducción de calor
+ p(v g) velocidad a la que se realiza habajo sobre el fluido par unidad de valumen por hienas externas
Esta ecuación no incluye las formas de energía nuclear, radiactiva, electromagnética o química. Para fluidos viscoelásticos, el penúltimo término debe reinterpretarse sustituyendo "viscosas" por "viscoelásticas". La ecuación 11.1-7es el resultado más importante de esta sección, y constituye la base para el resto del capítulo. La ecuación puede~scribirseen otra forma para incluir la energía potencial por unidad de masa, @, que antes se definió por g = -V@ (véase 53.3).Para cambios de elevación moderados, lo anterior queda como 6 = gh, donde h es una coordenada en dirección opuesta al campo gravitacie nal. Para problemas terrestres, donde el campo gravitacional es independiente del tiempo, podemos escribir
p(v g) = -(pv.
v&)
(11.1-8)
=
- (V . pv6) + &(v . pv)
=
JP -(V . pv@) - @ A
= - (V . pvQ>)-
-
dt
d
*
(p@)
Usar la identidad vedorial en la ecuación A.4-19 Usar la ecuación 3.1-4 Usar
4> independiente de t
Cuando este resultado se inserta en la ecuación 11.1-7, se obtiene
Algunas veces es conveniente tener la ecuación de energía en esta forma.
La forma más útil de la ecuación de energía es aquella en la que aparece la t e m F ratura. El objetivo de esta sección es llegar a tal ecuación, que puede usarse para pronosticar los perfiIes de temperatura.
511.2 Formas especiales de la ecuación de energía 397
Primero se resta la ecuación de energia mecánica en la ecuación 3.3-1 de la ecuación de energía en 11.1-7.Así se llega a la siguiente ecuación de variación para la energía interna:
velocidad de aumento de energía interna p o r unidad de volumen
velocidad neta de adici6n de energía interna mediante transporte mnvectivo, por un~dadde volumen
veloódad reversible de aumento de energia interna por unidad de volumen por compresión
velocidad neta de adición de energía inter~ por mndumón de calor, por unidad de volumen
velocidad irreversible de aumento de energía interna por unidad de volumen por disipacicin viscosa
Ahora resulta interesante comparar la ecuación de energía mecánica de la ecuación 3.31 y la ecuación de energía interna de la ecuación 11.2-1. Nótese que los términos p(V v) y ( T : Vv) aparecen en ambas ecuaciones, pero con signos opuestos. Por tanto, estos términos describen la interconversión de energia mecánica y energía térmica, El término p(V v) puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el fluido se expande o se contrae; por tanto, representa un modo de intercambio reversible. Por otra parte, para fluidos newtonianos, la cantidad -(7: Vv) siempre es positiva (véase la ecuación 3.3-3) y en consecuencia representa una degradación irreversible de energía mecánica en energía interna. Para fluidos viscoelásticos, analizados en el capítulo 8, la cantidad -(T: Vv) no tiene que ser positiva, debido a que parte de la energía puede ahacenarse como energía elástica. En 53.5 indicamos que las ecuaciones de variación pueden escribirse de manera más breve usando la derivada sustancia1 (véase la tabla 3.5-1). La ecuación 11.2-1 puede escribirse en la forma de la derivada sustancial usando la ecuación 3.5-4.Así se obtiene, sin ninguna suposición adicional,
Luego, es conveniente cambiar de energía interna a entalpía, como se hizo al final de 99.8. Es decir, en la ecuación 11.2-2 se hace U = fi - pV = A - ( p / p ) , haciendo la suposición típica de que las fórmulas termodinámicas deducidas a partir del equilibrio termodinámico pueden apIicarse localmente a sistemas que no están en equilibrio. Una vez que esta fórmula se sustituye en la ecuación 11.2-2 y se usa la ecuación de continuidad (ecuación A de la tabla 3.5-l), se obtiene
Luego podemos usar la ecuación 9.8-7, que supone que la entalpía es una función de p y de T (esto restringe el desarro110 ulterior a fluidos newtonianos). Luego es po-
398
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérrnicos
sible obtener una expresión para el cambio en entalpía en un elemento de fluido se mueve a la velocidad del fluido, que es
i
Al igualar los miembros derechos de las ecuaciones 11.2-3 y 11.2-4 se obtiene
Ésta es la ecuación de variación para la temperatura, en términos del vector de densidad de flujo de calor q y el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento vistoso T. Para usar esta ecuación se requieren expresiones para estas densidades de flujo:
i
Cuando se usa la ley de Fourier de la ecuaci6n 9.1-4, el término -(V q) se convierte en +(V . kVT), o bien, si se supone que la conductividad térmica es constante, en +kV2T. ii) Cuando se usa la ley de Newton de la ecuación 1.2-7, el término -(T: Vv) se convierte en p@, + ~q,, que es la cantidad dada explícitamente en la ecua. ción 3.3-3.
Aquí no realizamos las sustituciones, debido a que la ecuación de variación para la temperatura casi nunca se usa en su generalidad. A continuación analizaremos varias versiones especiales restringidas de la ecuación de variación para la temperatura. En todas usamos la ley de Fourier con k constante y omitimos el término de disipación viscosa, ya que sólo es importante en flujos con gradientes de velocidad enormes: i) Para un gas ideal, (d in p / d ln qp= - 1, y
cV
O bien, si se utiliza la relación Cp - = R, la ecuación de estado en la forma pM = pRT, y la ecuación de continuidad según está escrita en la ecuación A de la tabla 3.5-1,se obtiene
ii) Para unfluido que circula en un sistema a presión constante, Dp/Df = O, y
971.3 La ecuación de movimiento de Boussinesq para convención forzada y libre
iii) Para un fluido con densidad constanfe,' (d In p / d ln
399
np= O, y
iv) Para un sólido estacionario, v es cero y
Estas cinco ultimas ecuaciones son las que más frecuentemente se encuentran en libros de texto y publicaciones de investigación. Por supuesto, siempre es posible volver a la ecuación 11.2-5 y deducir ecuaciones menos restrictivas cuando sea necesario. También es posible agregar términos adecuados correspondientes a las fuentes química, eléctrica y nuclear a la situación que se trate, como se hizo en el capitulo 10. La ecuación 11.2-10 es la ecuación de conducción de calor para sólidos, y mucho .~ se ha escrito sobre esta famosa ecuación deducida por primera vez por ~ o u r i e rEl conocido trabajo de referencia de Carslaw y Jaeger merece una mención especial. Contiene cientos de soluciones de esta ecuación para una amplia variedad de condiciones límite e inicia le^.^
La ecuación de movimiento dada en la ecuación 3.2-9 (o en la ecuación B de la tabla 3.5-1)es válida para flujo tanto isotérmico como no isotérmico. En flujo no isotémico, la densidad y la viscosidad del fiuido suelen depender de la temperatura, así como de la presión. La variación en la densidad es particularmente importante porque da origen a las fuerzas de flotación, y por ello también a la convección libre, como ya vimos en 510.9. La fuerza de flotación aparece automáticamente cuando una ecuación de estado se inserta en la ecuación de movimiento. Por ejemplo, podemos usar la ecuación de estado simplificada que se introdujo en la ecuación 10.9-6 (esto se denomina aproximación de Bou~sinesq)~
donde es -0/p)(dp/JZ?p evaluada en T = % Esta ecuación se obtiene escribiendo la serie de Taylor para p como una función de T, considerando que la presión p es constante, y preservando sólo los dos primeros términos de la serie. Cuando la ecua-
' Aquí se hace la suposición de densidad constante, en vez de la suposición menos restrictiva de que ( aIn p / d ln
T)p = O , debido a que la ecuación 112-9suele utilizarse junto con La ecuación 3.1-5 (ecuación de continuidad para
densidad constante) y la ecuación 3.5-6 (ecuaci6n de movimiento para densidad y viscosidad constantes.).Nótese que Ia ecuación hipotética de estado p = constante tiene que completarse con la afirmación de que (ú'p/ár), = finita, a fin de permitir la evaluación de ciertas derivadas terrnodinhmicas. Por ejemplo, la relación
eP
- evpara el "fluido incompresible"así definido. lleva al resultado de que J.B. Fourier, Thtorie amlytique de la draleur, Euures de Fourier, Gauthier-Villars et Fils, París (1822). H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction ofHeal in Solids, Oxford University Press, 2a. edición (1959). J. Boussinesq, Théorie Analytique de Chaleur, Vol. 2, Gauthier-Villars. Paris (1903).
'
400 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no icot6rmicos
ción 11.3-1 se sustituye en el término pg [pero no en el término p ( D v / D t ) ] de ecuación B de la tabla 3.5-1, se obtiene la ecuación de Boussinesq:
Esta forma de la ecuación de movimiento es muy útil para hacer análisis de transmisión de calor. Describe los casos límite de convección forzada y convección libre (véase la figura 10.8-l), así como la región entre-estos extremos. En convección forJ zada se omite el término de flotación -pgp(y - TI. En convección libre (o convección, natural), el ténnino (-Vp + pg) es pequeño y omitirlo sueIe ser apropiado, particu., larmente para flujo vertical rectilíneo y para el fluido cerca de objetos sumergid en grandes cuerpos de fluido. Igualar (-Vp + pg) a cero equivale a suponer que distribución de presión es precisamente la de un fluido en reposo. También es costumbre reemplazar p por j en el lado izquierdo de la ecuación 11.3-2. Esta sustitución ha sido exitosa para convección libre a diferencias modera: das de temperatura. En estas condiciones, el movimiento del fluido es lento, y el término de la aceleración Dv/Dt es pequeño en comparación con g. Sin embargo, en sistemas er, que el término de la aceleración es grande con respecto a g, también debe usarse la ecuación 11.3-1 para la densidad en el miembro izquierdo de la ecuación de movimiento. Esto es particularmente cierto, por ejemplo, en turbinas de gas y cerca de misiles hipersónicos, donde el término ( p - P)Dv/& puede ser por lo menos tan importante como Fg.
d
511.4
USO DE LAS ECUACIONES DE VARIACI~NPARA RESOLVER PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO
En s3.1 a s3.4 y §11.1 a 511.3 dedujimos varias ecuaciones de variación para un fluido o sólido puros. Parece apropiado presentar aquí un resumen de estas ecuaciones para efectos de referencias futuras. Tal resumen se proporciona en la tabla 11.4-1, donde la mayor parte de las ecuaciones se proporciona en la forma d / dt y en la forma D/Dt. También se hace referencia al primer sitio en que se presentó cada ecuación. Aunque la tabla 11.4-1 es un resumen útil, para resolver problemas usamos las. ecuaciones escritas explícitamente en los diferentes sistemas coordenados de usq común. Esto se hizo en el apéndice B y los lectores deben familiarizarse profundaj mente con las tablas que ahí se presentan. En términos generales, para describir el flujo no isotérmico de un fluido newto niano se requiere lo siguiente: la ecuación de continuidad la ecuación de movimiento (que contiene p y K ) la ecuación de energía (que contiene p, K y kk) la ecuación de estado térmica ( p = p(p, T)) la ecuación de estado calórica (ep = Cp(p,T)) así como expresiones para la dependencia de la viscosidad con respecto a la densid y la temperatura, la viscosidad dilatacional y la conductividad térmica. Además, requieren las condiciones límite e iniciales. Entonces, todo el conjunto de ecuacion puede - e n principio- resolverse a fin de obtener la presión, la densidad, la ve1 cidad y la temperatura como funciones de la posición y del tiempo. Si se desea r solver un problema tan detallado, en general deben utilizarse métodos numérico
1
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 401
A menudo sería posible estar contento con una solución restringida para hacer un análisis de orden de magnitud de un problema o para investigar casos límite antes de intentar una solución numérica completa. Esto se realiza efectuando algunas suposiciones típicas: i) Suposición de propiedades físicas constantes. Si es posible suponer que todas las propiedades físicas son constantes, entonces las ecuaciones se vuelven considerablemente más sencillas, y en algunos casos es posible encontrar soluciones analíticas. ii) Suposición de densidades deflujo cero. Igualar T y q a cero puede ser útil para a) procesos de flujo adiabático en sistemas diseñados para minimizar los efectos de rozamiento (como los medidores Venturi y las turbinas) y b) flujos a alta velocidad alrededor de objetos aerodinámicos. Las soluciones obtenidas no sirven para describir la situación cerca de los límites (in) fluido-sólido, aunque pueden ser idóneas para el análisis de fenómenos que ocurren lejos de los Emites del sólido. Para ilustrar la solución de probIemas en los que Ia ecuación de energía desempeña un papel importante, a continuación resolveremos una serie de problemas (idealizados). Aquí nos restringimos a problemas de flujo en estado estacionario, y en el capituio 12 consideraremos problemas en estado no estacionario. En cada problema empezamos listando los postulados que nos llevaron a versiones simplificadas de las ecuaciones de variación.
Transmisión de calor por convección forzada en estado estacionario en flujo laminar en un
tubu circular
Mostrar cómo establecer las ecuaciones para el problema considerado en 910.8, a saber, el de encontrar los perfiles de temperatura del fluido para el flujo Iaminar totalmente desarrollado en un tubo.
~oj-u~~ó~ Suponemos propiedades físicas constantes, y postulamos una solución de la siguiente forma: v = S,v,(r), B = %z), y T = T(r, z). Luego, las ecuaciones de variación, según se proporcionan en el apéndice B, pueden simplificarse a
Continuidad:
0=0
(11.4-1)
Movimiento:
La ecuación de continuidad se cumple automáticamente como resultado de los postulados. La ecuación de movimiento, cuando se resuelve como en el ejemplo 3.6-1, proporciona la distribución de velocidad (el perfil de velocidad parabólico). Luego, esta expresión se sustituye en el Mmino correspondiente al transporte de calor convectivo en el miembro izquierdo de la ecuación 11.4-3 y en el termino correspondiente a la disipación viscosa de calor en el rniembro derecho. A continuación, como en 510.8, se hacen dos suposiciones: i) en la dirección Z, la conducci6n de calor es mucho menor que la convección de calor, de modo que es posible despreciar el termino 8 T / d z 2 , y ii) el flujo no es suficientemente rápido, de modo que el ca-
Tabla 11.4-1 Ecuaciones de cambio para fluidos puros en términos de flujos Ec.
Forma especial
Cont.
-
Movimiento
General
p -D=v- V y -
Aproximada
[V.~]+pg
~ ( k + u&)+ = -(v
I?:+u+&
Dt
. q) - ( V .pv) - ( v . h . V1)
-(v . q) - (v . pv) - (7 . [T. v]) + p(v . g) K+u E)(i
En t6nninos de
+
=
Dt
En
de
K=+$
E)k
p -= -(v
Dt
DO
. Vp) - (v .[ v - TI) . q) -p(V
En términos de
p -= -(V
Entérminosde
p-=-(V.q)-(~:Vv)+Dt
u
H En términos de
Dt
DH
-
DT
p~ -=
Dt
-(V
q) -
T
En términos de
L
%YT
-
p~
P
Para p = constante, se simp (V - v) = O
Tabla 3.5-1
Para 7 = O se transforma en
(B)
p ~Dv; - = - V p - [ v . T ] + ~ - ~ ~ ( T - ~
En t6minos de
(A)
Tabla 3.5-1
%-&V.,) Dt Dt
Energía
Observaciones
En Mminos de D D f
DT ~t
-=
-(v . q) -
($Ip
v)
+p
-
( ~g)
- ('T:VV) DP
Dt
(V . v) - (7:Vv)
de Euler
11.3-2 (C)
Muestra el término de flot
-
Exacta s610 para
indepen
(DI
(E) Tabla 3.5-1 (F)
A partir de la ecuación de
11.2-2 (G)
E1 término que contiene a ( p constante
11.2-3
k=kt(p/p)
(H) -
Para un gas ideal Tí+/ÚTl
(1) 11.2-5
a)
Para un gas ideal (d In p/d
Para T = O se transforma en la ecua de Euler
General
Movimiento
Aproximada
-dp v = - [ V a p v v ] dt
P
Energía
.
Entérminosde
i¿+u.+& En términos de
K+ 6
En términos de
-V~-[V.T]+~~-,~I~~(T-T)
-
-
Muestra el término de flotación
(M)
11.1-9 Exacta s610 para @ independiente d ~ p ( ~ + ~ + ~ ) = - ( ~ . p ( ~ + ~ + & ) v ) - @ ~ q ) - ( ~ . ~ . r ~ v l ) dt (N)
2 p~ dt
pk
+
a>) = -(v . p(i + a>),)
= -(V . pkv)
-
-
(V
. V p ) - (v . [V . TI)
(v . Vp) - (v . [V
.TI) + p(v . g)
3.3-2 (0)
Exacta s610 para @ independiente d A partir d e la ecuación de movimie
A partir de la ecuación de movimie
El término que contiene a (V v) es p constante a
Entropía
!
pS=-(V.pCv)-
Los dos últimos términos describen la producción de entropía
404
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos lentamiento viscoso es importante, y entonces puede omitirse el termino fi(dUZ/&)2. Cuando se hacen estas suposiciones, la ecuación 11.4-3 se vuelve 10 mismo que la ecuación 10.8-12.Apartir de ese momento, la solución asintótica, válida sólo para z grande, continúa como en $10.8. Nótese que hemos pasado por tres fipos de procesos restrictivos: i) postulados, donde se hace una conjetura tentativa sobre la forma de la solución; ii) suposiciones, donde se eliminan algunos fenómenos o efectos físicos al descartar términos o suponer que las propiedades físicas son constantes; y iii) una solución asintótica, donde se obtiene sólo una porción de toda la solución matemática. Es importante distinguir entre estos diversos tipos de restricciones.
Flujo tangencia1 en tubos concéntricos con generacidn de calor viscoso
Determinar la distribución de temperatura en un líquido incompresible confinado entre dos cilindros coaxiales, donde el exterior gira a velocidad angular constante 0, (v6anse 510.4 y el ejemplo 3.6-3). Usar la nomenclatura del ejemplo 3.6-3 y considerar que la relación K entre radios es suficientemente pequeña, de modo que es necesario tener en cuenta la curvatura de las líneas de flujo de corriente del fluido. Las temperaturas en las superficies interna y externa de la región anular se mantienen a T Ky TI, respectivamente, con T Kr TI. Supóngase flujo laminar estacionario, y despreciar la dependencia con respecto a la temperatura de las propiedades físicas. Éste es un ejemplo de problema de convección forzada: las ecuaciones de continuidad y movimiento se resuelven para obtener la distribución de velocidad, y luego la ecuación de energía se resuelve para obtener la distribución de temperatura. Este problema es de interés en relación con los efectos del calor en viscosimetros de cilindros coaxialesl y en sistemas de lubricación.
Empezamos postulando que v = 60ve(r),que 9 = P(r, z ) y que T = T(r). Entonces, la simplificación de las ecuaciones de variación lleva a las ecuaciones 3.6-20 a 3.6-22 (las componentes r, 6 y z de la ecuación de movimiento) y a la ecuación de energía
Cuando la solución de la componente 8 de le ecuación de movimiento, dada en la ecuación 3.6-29, se sustituye en la ecuación de energía, se obtiene
Ésta es la ecuación diferencial para la distribución de temperatura. Puede volver a escribirsf en términos de cantidades adimensionales como sigue: r [= -
R
o=-T - S,
Tl - T K
N =R of l 2
2
,
u4 .-
k(T1- T,) (1-
~ ~ ) 2
El parametro N esth estrechamente relacionado con el número de Brinkman de 510.4.Ahora la ecuación 11.4-5 se vuelve
-
'J.RVan Wazer, J.W Lyons, K.Y. Kim y R.E. ColweU, V~~cosityand Row Measurement, Wiley, Nueva York (1963h pp 82-85.
I
911.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 405 Ésta es de la forma de la ecuación C.l-11 y su solución es
Las constantes de integración se encuentran a partir de las condiciones límite
Luego, al determinar las constantes se obtiene
Cuando N = O, se obtiene la distribución de temperatura para una envoltura cilíndrica inmóvil de espesor R(1 - K) con temperaturas interna y externa T, y TI. Si N es suficientemente grande, entonces en la distribución de temperatura hay un máximo, situado en
donde la temperatura en este punto es mayor que T , o TI. Aunque este ejemplo constituye una ilustración del uso de las ecuaciones de variación tabuIadas en coordenadas cilíndricas, en la mayor parte de aplicaciones viscométricas y de lubricación el espacio libre entre los cilindros es tan pequeño numéricamente que los valores numéricos calculados a partir de la ecuación 11.4-13 no difieren sustancialmente de los calculados a partir de la ecuación 10.4-9.
inap?lícula no botémica 2:
,<
Un líquido escurre descendiendo en flujo laminar estacionario a lo largo de una superficie plana inclinada, como se muestra en las figuras 2.2-1 a 2.2-3. La superficie libre del líquido se mantiene a la temperatura To y la superficie sólida en x = S se mantiene a T5. A estas ternperaturas, la viscosidad del liquido tiene valores y pg respectivamente, y puede suponerse que la densidad y la conductividad térmica del líquido son constantes. Encontrar la distribución de velocidad en este sistema de flujo no isotérmico, despreciando los efectos finales y rcconociendo que en este flujo carece de importancia el calentamiento viscoso. Supóngase que la dependencia de la viscosidad con respecto a la temperatura puede expresarse con una ecuación de la forma p = A$fl, donde A y B son constantes empíricas; este hecho lo sugiere la teoría de Eyring que se proporcionó en 51.5. Primero resolvemos Ia ecuación de energía para obtener el perfil de temperatura, y luego éste se usa para encontrar la dependencia de la viscosidad con respecto a la posición. Después, la ecuacibn de movimiento puede resolverse a fin de obtener el perfil de velocidad.
Postulamos que T = T ( x ) y que v = S,v,(x). Entonces la ecuación de energía se simplifica a
406
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isoténnicos La expresión anterior puede integrarse entre las dos temperaturas terminales conocidas para obtener
La dependencia de la viscosidad con respecto a la temperatura puede escribirse como
donde B es una constante que se determina a partir de datos experimentales de la viscosidad contra la temperatura. Para obtener la dependencia de la viscosidad con respecto a la posición, combinamos las dos últimas ecuaciones para obtener
i-)- exp Po
[
)](:
3T ~ $
- iB erp
($)]
La segunda expresión es una buena aproximación si la temperatura no cambia mucho través de la película. Cuando esta ecuación se combina con la ecuación 11.4-17, escrita paq T = T, entonces se obtiene
Esto es lo mismo que la expresión usada en el ejemplo 2.2-2, si a se hace igual a -ln(fi,/po) Por tanto, podemos tomar el resultado de1 ejemplo 2.2-2 y escribir el perfil de velocidad como i
vz =
( 1
1
/
[
1 + ( x l a ) ln ( p g / m )
bi/dx/a
I -
+ ln ( p S / p O ) (ps/p0)
(11.4-205N
Esto completa el análisis del problema que empez6 en el ejemplo 2.2-2, al proporcionar el v$ lor idóneo de la constante a.
4
5 En la figura 11.4-1 se muestra un sistema con dos envolturas esféricas concéntricas porosas d$ radios KR y R. La superficie interna de la envoltura exterior está a la temperatura TI, y la perficie externa de la envoltura interior esta a una temperatura inferior T,. Desde la envo ra interior sale aire seco radialmente a TKhacia el espacio intermedio y luego al exterio través de la envoltura externa. Deducir una expresión para la velocidad de eliminación de c lor necesaria desde la esfera interior, como una función de la velocidad de flujo de masa d gas. Supóngase flujo laminar estacionario y que la velocidad del gas es baja. En este ejemplo se resuelven las ecuaciones de continuidad y movimiento para obten la distribución de temperatura. La ecuación de movimiento proporciona información acer de la distribución de presión en el sistema.
sOLzrcro~ Para este sistema postulamos que v = 6,v,(r), T = T(r)y 9= YP(r). Entonces, la ecuación de tinuidad en coordenadas esféricas se convierte en l (rZpu,)= O
Y2 d r
M. Jakob, Heat Transfer, Vol. 2, Wiley, Nueva York 119571, pp. 394 415 -
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 407 Figura 11.4-1 Enfriamiento por transpiraci6n. La esfera interior se enfría por medio de un serpentín de refrigeración para mantener su temperatura a TK.Cuando sale aire seco radialmente, como se muestra, se requiere menos refrigeración.
Flujo de aire hacia afuera
Esta ecuación puede integrarse para obtener
w,
= const. = 47r
Aquí w, es h velocidad radial de flujo másico del gas. La componente r de la ecuación de rnovirnienlo en coordenadas esféricas es, a partir de la ecuación B.6-7,
El término de la viscosidad se elimina debido a la ecuación 11.4-21.Luego, al integrar la ecuación 11.4-23, se obtiene
P ( r ) - 9 (R) = Por tanto, la presión modificada 9aumenta con r, pero sólo muy ligeramente para la baja velocidad del gas que se supuso aquí. La ecuación de energía en términos d e la temperatura, en coordenadas esféricas es, según la ecuación 8.9-3,
Aquí hemos utilizado la ecuación 11.2-8, para Ia cual se supone que la conductividad terinica es constante, que la presión es constante y que no hay disipación viscosa: todas suposiciones razonables para el problema a la mano. Cuando la ecuación 11.4-22para la distribución de velocidad se usa por v, en la ecuación 11.4-25, se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la distribución de temperatura T(r1 en el gas que está entre las dos envolturas:
408
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos Figura 11.4-2 Efecto del entriamienlo
1.o
por transpiración.
8$
0.8
.S 4
,1
Ol 0.4
.l 9
8
O2
O O
I 2 3 Velocidad de transpiracidn adimensionai, 4
4
Hacemos el cambio de variable u = $ ( d T / d r ) y obtenemos una ecuación diferencial de primer orden de variables separables para u(r).Esta ecuación puede integrarse, y una vez que se aplican las condiciones límite, se obtiene
donde Ro = w r C p / 4 ~es k una constante con unidades de longitud. La velocidad de flujo de calor hacia la esfera interior es
y ésta es Ia velocidad de eliminación de calor necesaria por el refrigerante. Al insertar la ley de Fourier para la componente r de la densidad de flujo de calor se obtiene
A continuación evaluamos el gradiente de temperatura en la superficie con ayuda de la ecuación 11.4-27 a fin de obtener Ia expresi6n para la velocidad de elimuiación de calor
En el límite, la velocidad de flujo másico del gas es cero, de modo que Ro = O, la velocidad de eliminación de calor se vuelve
Así, la reducción fraccionaria en eliminación de calor como resultado de la transpiración del gas es
4 = Xo(l - K ) / K R= w r c p ( l - K ) / ~ T KesR la ~ "velocidad adirnensional d e transpiración". La ecuación 11.4-32 se muestra gráficamente en la figura 11.4-2. Para valores pequeños de 4, la cantidad (Qo - Q ) / Q otiende a la asíntota +$. Aquí
por convección libre desde una lámina vertical
Una lámina vertical plana de altura H y ancho W (con W >> H) calentada a una temperatura To se encuentra suspendida en un gran cuerpo de fluido que esta a la temperatura ambiente TI. En la vecindad de la lámina calentada el fluido asciende debido a h fuerza de flotación (véase la figura 11.4-3).A partir de las ecuaciones de variación, deducir la dependencia de la pérdida de calor con respecto a las variables del sistema. Se considera que las propiedades físicas del fluido son constantes, excepto que e1 cambio de densidad con la temperatura será explicado por la aproximación de Boussinesq.
g11.4 Uso de las ecuaciones de variacidn para resolver problemas de estado estacionario 409 Figura 11.4-3 Los perfiles de temperatura y velocidad en la vecindad de una lámina vertical caliente.
Postulamos que v = Gyvy(y,z ) + 8,v,(y, z) y que T = T(y, z). Suponemos que el fluido caliente se mueve casi directamente hacia arriba, d e modo que vy << v,. Así, las componentes x y y de la ecuación 11.3-2 dan p = p(z), de modo que la presión está dada hasta una muy buena aproximación por - d p / d z - 2 = 0, que es la distribución de presión hidrostática. Las ecuaciones de variación restantes son
Movimiento:
3
donde 5 y se evalúan a la temperatura ambiente TI. Los términos subrayados con una línea discontinua se omitirán con base en que el transporte de cantidad de movimiento y de energía por procesos moleculares en la dirección z es pequeño en comparación con los términos convectivos correspondientes en el miembro izquierdo de las ecuaciones. Estas omisiones deben proporcionar una descripción satisfactoria del sistema, excepto por una pequeña región alrededor del fondo de la lámina. Con esta simplificación, las siguientes condiciones límite bastan para analizar el sistema hasta z = H. eny=O, cuando y e n z = 0,
vY = o = O
+ 2 m,
u,+O
v, = O
y y
T=T, T+T,
(11.4-36) (11.4-37) (11.4-38)
410
Capítulo 11
1
Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
Nótese que el aumento de temperatura aparece en la ecuación de movimiento y que la dish. bución de velocidad aparece en la ecuación de energía. Así, estas ecuaciones están "acopladas". Es muy difícil encontrar soluciones analiticas de estas ecuaciones diferenciales no lineales acopladas, de modo que aquí nos damos por satisfechos con un enfoque de análisis dimensionat Para realizar dicho anáiisis introducimos las siguientes variables adimensionales: 0 = --A- temperatura adirnensional
(11.439)
To - TI z 5== coordenada vertical adimensional
H
7=
(5)1/4y = coordenada
horizontal adimensional
u, = velocidad vertical adimensional = velocidad horizontal
adimensional
(11.M) (11.441)
(11.4-42)
(11.4-43)
donde a = k i j - P p y B = P ~ ~ -( TI). T ~ Cuando las ecuaciones de variación, sin los términos subrayados con una línea discontinua, se escriben en función de estas variables adirnensionales, se obtiene
Continuidad: Movimiento:
Así, las condiciones limite precedentes se vuelven C. L. 1:
en 7) = 0,
C. L. 2:
cuando g + m,
C . L. 3:
en{-0,
4y = = o, 4z + 0, dz = 0
0 = 1
(11.4-47)
@-+O
(1 1.4-48)
(11.4-49)
A partir de estas ecuaciones y condiciones límite puede observarse de inmediato que las componentes adimensionales de la velocidad +y y yZy la temperatura adimensional O dependen de 7 y 5 y también del numero de Prandtl, Pr. Debido a que en convección libre el flujo s u e le ser muy lento, en general los términos en que aparece Pr son bastante pequeños: igualarlos a cero corresponde a la "suposición de fiujo reptante". Por tanto, esperamos que la dependencia de la solución con respecto al número de Prandtl sea débil. La densidad media de flujo de calor desde un lado de la lámina puede escribirse como
Ahora la integral puede escribirse en términos de las cantidades adirnensionales
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 411
donde el agrupamiento Ra = GrPr se denomina numero de Rayleigh. Debido a que O es una función de 77, l y Pr, la derivada J O / d q también es una función de q,c y Pr. Entonces, dO/ d v evaluada en 77 = O sólo depende de y Pr. Por tanto, la integral definida sobre l e s una función de Pr. A partir de las observaciones que acaban de hacerse, podemos inferir que esta función, denominada C, sólo será una función débil del número de Prandtl, es decir, casi una constante. El análisis precedente muestra que, incluso sin resolver las ecuaciones diferenciales parciales, podemos predecir que la densidad media de flujo de calor es proporrional a la potencia de la diferencia de temperatura (To - TI) e inversamente proporcional a la potencia f de H. Ambos pronósticos se han confirmado experimentalmente.Lo único que no pudimos hacer fue encontrar C como una función de Pr. Para determinar esa función, debemos hacer mediciones experimentales o resolver las ecuaciones 11.4-44 a,11.4-49.En 1881, Lorenz3 obtuvo una solución aproximada de estas ecuaciones y encontró que C = 0.548. Después, cálculos más refinados4produjeron la siguiente dependencia de C con respecto a Pr:
Estos valores de C coinciden casi exactamente con las mejores mediciones experimentales en el intervalo del flujo laminar (es decir, para GrPr < 1 0 ~ 1 . ~
Deducir ecuacionec para la relación de la presión local con la densidad o la temperatura en una corriente de un gas ideal donde la densidad de flujo de cantidad de movimiento T y la densidad de flujo de calor q son despreciables. jin'jkcción en un gas mes 1
SOLUCI~N
Cuando se desprecian T y q, Ia ecuación de energía [ecuación (í)en la tabla 11.4-11 puede volver a escribirse como
Para un gas ideal, vuelve
pc= RT/M, donde M es el peso molecular del gas, y la ecuación 11.4-52 se
Al dividir esta ecuación entre p y suponiendo que la capacidad termica molar Cp = constante, de nuevo podemos usar la ley del gas ideal para obtener
~e~es
L. Lorenz, Wiedemann's Ann. der Physik u. Chemie, 13,422-447,582-606 (1881). Véase también U. Griguii, Die Grundgesefze del Warmaibertragung, Springer-Verlag, Beriín, 3a. edición (1955), pp. 263-269. Véase S. Whitaker, Fundamental Principies of Heat Transfer, Krieger, Malabar Fla. (19771, 55.11.E. J. LeFevre [Heat Div. Paper 113, Dept. Sci. and Ind. Res., Mech. Engr. Lab. (Gran BretaÍia), agosto de 19561 ha trabajado numéricamente en caso limite de Pr + m, quien encontró que
La ecuaci6n 11.451a corresponde al valor C = 0.670 de arriba. C. R. Wilke, C. W. Tobias y M. Eisenberg, J. Elechochon. SOC., 100,513-523 119531, han verificado experimentalmente este resultado para el problema análogo de transferencia de materia. Para uii análisis de convección libre en flujo reptante en tres dimensiones, vease W. E. Stewart, Int. J. Heal ond Mass Traltsfer, 14,1013-1031 (1971).
412
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
Por tanto, la cantidad entre paréntesis es una constante a lo largo del recorrido de un to de fluido, ya que es su antilogaritmo, de modo que se tiene
T Cp/Rp
-l
4
= constante
Esta relación es válida para todos los estados termodinámicos p, T que un elemento de fluido encuentra a medida que se mueve junto con el fluido. - Al introducir la definición y = y las relaciones de los gases ideales C,, - Cv = R y p = pRT/M, se obtienen las expresiones relacionadas
$/ev
$7-
l)/y T -1 = constante
pp Y = constante
Las tres últimas ecuaciones se usan frecuentementeen el estudio de procesos adiabáticos sin fricción en dinámica de gases ideales. La ecuación 11.457 es una relación famosa que merece la pena recordar. Cuando la densidad de flujo de cantidad de movimiento T y la densidad de flujo de calor q son cero, no hay cambio en Ia entropía siguiendo a u n elemento de fluido (véase la ecuación 11D.I-3). Por tanto, debe entenderse que la derivada d ln p / d In T = y / ( y - 1) que sigue el movimiento del fluido significa ( a ln p / a ln T)c = y / ( y - 1).Esta ecuación es una fórmula estándar de la termodinámica en equilibrio.
=+
- ..
@#m
Flujo compresible unidimensional: perfiles de velocidad, temperatura Y presión en una onda de estacionaria
Aqui consideramos la expansión adiabáticaGtOde un gas ideal a través de una boquilla convergente-divergente en condiciones tales que se forma una onda de choque estacionaria. El gas entra a la boquilla desde un depósito, donde la presión es p,,, y descarga a la atmósfera, donde la presión es p, En ausencia de una onda de choque, el flujo a través de una boquilla bien diseñada es virtualmente sin fricción (por tanto, icentrópico para la situación adiabática . en consideración).Si, además, p,/po es lo bastante pequeña, se sabe que el flujo es esencial. mente sónico en el estrechamiento (la región de sección transversal mínima) y es supersónico en la porción divergente de la boquilla. En estas condiciones, la presión decrece de manera continua y la velocidad crece en la dirección de flujo, como se indica con las curvas en Ia figura 11.4-4. Sin embargo, para cualquier diseño de boquilla, hay un intervalo de palpo para el que tal flujo isentrópico produce una presión menor que p, en la salida. Así, el flujo isentr6pica se vuelve inestabIe. La más sencilla de muchas posibilidades es una onda de choque normal estacionaria, que se muestra esquemáticamente en la figura 11.4-4 como un par de rectas paralelas muy próximas entre sí. Aqui la velocidad desciende muy rápido a un valor subsónico, mientras que la presión y la densidad se elevan. Estos cambios tienen lugar en una regi6n extremadamente delgada, que por tanto puede considerarse unidimensional y laminar localmente, y van acompañados por una disipación bastante importante de energía mecánica. Así, los efectos de la disipación viscosa y la conducción de calor están concentrados en una región extremadamente pequeña de la boquilla, y el objetivo del ejemplo es investigar el comportamiento del fluido ahí. Para simplificar las cosas se considerará que la onda de choque es normal a las líneas de corriente del fluido; en la práctica, a menudo se observa11 formas mucho más complicadas. La velocidad, la presión y la temperatura justamente coa H. W. Liepmann y A. Roshko, Elements of Gas Dynarnics, Wiley, Nueva York (1957), 55.4 y 513.13. J.O.Hirschfelder, C. E Curtiss y R. B. Bird, Moiecular Theory $Gases and Liquidc, Wiey, Nueva York, 2.a. impresión corregida (1964),pp. 791-797. M. Morduchow y P. A. Libby, J. Aeromutical Sci., 16, 674-684(1948). R. von Mises, J. Aeronautical Sci,. 17,551-554 (1950). 'OG. C. S. Ludford, J. Aeronautical Sci., 18,830-834(1951).
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 413
entrada
iP=rn 1
C
t
I
Boquilla
Trayectoriaisentr6pica - C x
Distancia
Figura 11.4-4 Formación de una onda de choque en una boquilla.
rriente arriba del choque pueden calcularse y se considerarán como conocidas para efectos de este ejemplo. Usar las tres ecuaciones de variación para determinar las condiciones en que una onda de choque es posible y para encontrar las distribuciones de velocidad, temperatura y presión en tal onda de choque. Supóngase flujo unidirnensiona1estacionario de un gas ideal, despreciar la viscosidad de dilatación K e ignorar los cambios de p, k y con la temperatura y la presión.
e,
Las ecuaciones de variación en la vecindad de la onda de choque estacionaria pueden simplificarse a
Continuidad:
Movimiento:
d -p,=o dx p x ddvx x = - - + -d-p d
4 d 3 dx
(11.4-58)
(
du dx
/L^l
Energía: La ecuación de energía está en la forma de la ecuación J de la tabla 11.4-1, escrita para un gas ideal en una situación de estado estacionario. La ecuación de confinuídad puede integrarse para obtener Px= Plvl
(11.4-61)
donde pl y vl son cantidades a evaluar a una corta distancia corriente arriba del choque.
414
1
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotkrmicos
En la ecuación de energía eliminamos pv, usando la ecuación 11.4-61 y dp/dx mediante la ecuación de movimiento para obtener (luego de reordenar los términos)
En seguida movemos el segundo término del miembro derecho al miembro izquierdo y dividimos toda la ecuación entre plul.Luego, cada término se integra con respecto a x p,.I ra obtener ~ T + ~ $ = k~ ~ d( C ~ T + $ P ~ ) + V ' , ) + C (11.463) ~ donde CI es una constante de integración y Pr = ¿?,,p/k. Para la mayor parte de los gases, pr está entre 0.65 y 0.85, con un valor medio próximo a 0.75. En consecuencia, para simplificar el problema igualamos Pr a Así, la ecuación 11.443 se vuelve una ecuación diferencial dinaria Lineal de primer orden, cuya solución es
a.
ep~
+ $ 3no puede aumentar sin límite en la dirección x positiva, entonces la Debido a que segunda constante de integración, ,C, debe ser igual a cero. La primera constante de integración se evalúa a partir de las condiciones corriente arriba, de modo que
a,
Por supuesto, de no haber elegido a Pr igual a hubiera sido necesaria una integración numérica de la ecuación 11.4-63. Después sustituimos la ecuación de continuidad integrada en la ecuación de movimiento e integramos una vez para obtener
Al evaluar la constante CiIl a partir de las condiciones corriente arriba, donde d v , / d x = 0, se obtiene C,,, = pI$ + pi = p,[v: + ( R T I / M ) ]Luego . multiplicamos ambos miembros por v, y dividimos entre p,ul Después, con ayuda de la ley de los gases ideales, p = pRT/M, y las ecuaciones 11.4-61 y 11.4-65, podemos eliminar p de la ecuación 11.4-60 para obtener una re lación que sólo contiene a u, y a x como variables:
Después de bastante trabajo de reordenamiento, esta ecuación puede volver a escribirse en términos de variables adimensionales:
Las cantidades adimensionales relevantes son
u
4 = A = velocidad adimensional
(11.469)
X
5 = - = coordenada adimensional A Ma, =
v1
~ Y R T/ M ,
= número de Mach en la
(11.4-70)
condición comente arriba
(11.4-n)
511.4 Uso de las ecuaciones de variación para resolver problemas de estado estacionario 415 La longitud de referencia A es el reconido medio libre definido en la ecuación 1.4-3 (con d2 eliminado al usar la ecuación 1.49):
Podemos integrar la ecuación 11.4-68 para obtener
+(o
Esta ecuacibn describe la distribución de velocidad adimensional que contiene una constante de integración .$ = xo /A, que especifica la posición de la onda de choque en la boquilla; aqui se considera que se conoce h. A partir de la gráfica de la ecuacíón 11.4-75 en la figura 11.4-5 se obsewa que efectivamente las ondas de choque son muy delgadas. Las distribuciones de temperatura y presión pueden determinarse a partir de la ecuación 11.4-75 y las ecuaciones 11.4-65 y 11.4-66. Debido a que 4 debe tender a la unidad cuando 6 - t - m, la constante a es menor que 1. Esto s6Io puede ser cierto si Mal > 1, es decir, si el flujo comente arriba es supers6nico. También puede verse que para 5 positivo muy grande, la velocidad adimensional4 tiende a a.El número de Mach Ma, se define como la razón de vl a la velocidad del sonido a TI (véase el problema IlC.1). En h deducción anterior elegimos el número de Prandtl como igual a f, pero la solución se ha extendidoaa fin de incluir otros valores de Pr, así como la variación de la viscosidad con la temperatura. La tendencia de un gas en flujo supersónico a revertirse espontáneamente a flujo subsónico es importante en túneles de aire y en el diseño de sistemas a gran velocidad; por ejemplo, en turbinas y motores de cohetes. N6tese que los cambios que se llevan a cabo en ondas de choque son irreversibles y que, debido a que los gradientes de velocidad son tan pronunciados, se disipa una cantidad considerable de energía mecánica. En virtud de la delgadez de la onda de choque predicha, con base en las ecuaciones de variación del continuo podría cuestionarse la aplicabilidad del análisis aquí proporcionado. En consecuencia, es aconsejable comparar la teoría con la experimentación. En fa figura 11.4-6 se comparan mediciones experimentales de la temperatura para una onda de choque en helio con la teona para y = $, Pr = $ y T0.647. Podemos ver que la coincidencia es excelente. Sin embargo, debemos reconocer que éste es un sistema sencillo, ya que el helio es monoatómico y en consecuencia no aparecen grados de libertad internos. Ei análisis correspondiente para un gas biatómico o poliatómico debe considerar el intercambio de energía entre los grados de libertad de traslación e internos, lo cual suele requerir cientos de colisiones, ampliando considerablemente la onda de choque. En el capítulo 11 de la referencia 7 puede encontrarse un análisis más detallado sobre este tema.
-
Figura 11.4-5. Distribución de velocidad en una onda de ( x - ro),cm X
105
choque estacionaria.
416
Capítulo 11
Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
-4
-3
-2 -1 O 1 2 3 Posición adimensional en la d i ó n del flup
4
Figura 11.4-6 Gráfica semilogarítmica del perfil de temperatura a través de una onda de choque, para helio con Mal = 1.82. Los valores experimentales fueron medidos con un termómetro de alambre de resistencia. [Adaptado de H. W. Liepmann y A. Roshko, Elements #Gas Dynamics, Wiley, Nueva York (1957), p. 333.1
Ahora que hemos mostrado cómo usar las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos a fin de resolver problemas representativos de transmisión de calor, abordaremos el análisis dimensional de estas ecuaciones. Precisamente como el análisis dimensional en 53.7 proporcionó una introducción para estudiar los factores de fricción en el capítulo 6, el material en esta sección proporciona el contexto necesario para el análisis de correlaciones del coeficiente de transmisión de calor en el capitulo 14. Así como en el capítulo 3, aquí también escribimos las ecuaciones de variación y las condiciones límite en forma adimensional. De esta manera encontramos algunos parámetros adimensionales que pueden usarse para caracterizar sistemas de flujo no isotérmicos. Sin embargo, veremos que el análisis de sistemas no isotérmicos conduce a un mayor número de grupos adimensionales de los que teníamos en el capítulo 3. Como resultado, es necesario depender más de simplificaciones prudentes de las ecuaciones de variación y de modelos físicos elegidos cuidadosamente. Ejemplos de estos últimos son la ecuación de movimiento de Boussinesq para convección libre (511.3) y las ecuaciones de capa límite laminar (512.4). Así como en 53.7, para simplificar las cosas, el análisis se restringirá a un fluido con p, k y constantes. La densidad se toma como p = p - $(T - 73 en el término pg en la ecuación de movimiento, y p = 2 en cualquier otra parte (Ia "aproximación de Boussinesq"). Entonces, las ecuaciones de variación se vuelven, con p + &h expresado como P,
cp
(V - v) = O
Conf inuidad: Movimiento:
Energía:
Dv ~-=-vP+~v~v-%~~(T-T) Dt
-
DT peP = kV2T + p@, Dt
-
(11.5-1) (11.5-2) (11.5-3)
911.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
417
Ahora introducimos cantidades hechas adimensionales con las cantidades características (subíndice O o 1) como sigue:
Aquí I,, u, y Poson las cantidades de referencia que se introdujeron en 53.7, y To y TI son temperaturas que aparecen en las condiciones limite. En la ecuación 11.5-2,el valor T es la temperatura alrededor de la cual se expandió la densidad p. En términos de estas variables adimensionales, las ecuaciones de variación en las ecuaciones 11-5-1a 11.5-3 asumen las formas:
( b e t)=O
Confinuidad:
-=-v~+~&Iv~+-I DÍr
Movimiento:
Tabla 11.5-1
~t
Elección p a r a vo -t
[@'"8(21
I
'O)
(11.5-8)
G r u p o s adimensionales en las ecuaciones 11.5-7 a 11.5-9
Casos espeales +
-
(11.5-7)
Convección
forzada
Intermedia
Convección libre
Conveccibii libre
(A)
(m
./lo
allo
Vo
vo
Despreciable
-
1 RePr
1 RePr
1 -
Br
Despreciable
Gr Re2
GrP?
Pr
1
Despreciable
RePr
Notas: a Para convección forzada y convección forzada-más-libre ("intermedia"), vo suele tomarse como la velocidad de aproximación (para flujo alrededor de objetos sumergidos) o una velocidad media en el sistema (para flujoen condudos). Para convección libre hay dos opciones normales para uw identificadas como A y B. En 510.9, el caco A se presenta en forma natural. El caso B es conveniente si la suposición de flujo reptante es apropiada, de modo que D%/D ¿puede despreciase (véase el ejemplo Jl.5-2),Luego, en la quaci6n 3.7-4 puede introducirse una nueva diferencia de presión adimensional 9 = Pr 9, diferente de @, de modo que cuando la ecuación de movimiento se divide entre Pr, el único grupo adimensional que aparece en la ecuación es GrPr. Nótese que en el caso B no aparecen grupos adimensionales en La ecuación de energía.
418 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotémicos
Tabla 11.52 Gmpos adimensionales usados en sistemas no isotérmicos -
VI
Re = [lo~,,p/pI= [louo/
= Número de Reynolds
Pr = [epp/kl = [v/a]
= Niímero
Gr = [@(TI - To)13,/$]
= Número de
Br = [ p i / k (TI
= Número
-
TO)]
de Prandtl Grashof
de Brinkman
Pé = RePr
= Ntímero de Péclet
Ra = GrPr
= Número de Rayleigh
Ec = Br/Pr
= Número de Eckert
La velocidad característica puede elegirse de varias formas, y en la tabla 11.5-1se re sumen las consecuencias de las opciones. Los grupos adimensionales que aparecen en las ecuaciones 11.5-8y 11.5-9, junto con algunas combinaciones de esos grupos, se resumen en la tabla 11.5-2. Otros grupos adimensionales pueden surgir en las condiciones límite o en la ecuación de estado. Los números de Froude y de Weba ya se introdujeron en 53.7,y el número de Mach se introdujo en el ejemplo 11.4-7. En el capítulo 10 ya vimos cómo en la solución de problemas no icotérmicos aparecieron varios grupos adimensionales. Aquí hemos visto que las mismas agmpaciones aparecen de manera natural cuando las ecuaciones de variación se hacen adimensionales. Estos grupos adimensionales se usan ampliamente en corre1aciones de coeficientes de transmisión de calor. Algunas veces es útil considerar a los grupos adimensionales como relaciones de vanas fuerzas o efectos en el sistema, como se muestra en la tabla 11.5-3. Por ejemplo, el término inercia1 en la ecuación de movimiento es p[v - Vvl y el término viscoso es LcV2v.Para obtener valores "típicos" de estos términos, las variables deben sustituirse por los "patrones de medida" característicos usados en la construcción de variables adimensionales. Por tanto, p[v Vvj se reemplaza por pv;/I,, y p ~ 2 se v sustituye por ~ v , / l ;a fin de obtener órdenes de magnitud aproximados. La razón de estos dos términos proporciona entonces el número de Reynolds, como se muestra en la tabla. Los otros grupos adimensionales se obtienen de manera semejante. Un valor bajo del número de Reynolds significa que las fuerzas viscosas son grandes en comparación con las fuerzas inerciales. Un valor bajo del número de Brinkman indica que el calor producido por la disipación viscosa puede transportarse lejos rápidamente por conducción de calor. Cuando Gr/Re2 es grande, la fuerza de flotación es importante para determinar el patrón de flujo. Debido a que el análisis dimensional es un arte que requiere prudencia y experiencia, proporcionamos tres ejemplos ilustrativos. En los dos primeros analizamos la convección forzada y la convección libre en geometrías sencillas. En el, tercero analizamos problemas de escalación en una pieza de equipo relativamen-i te compleja.
511.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos 419 Tabla 11.5-3
Interpretación física de Ios grupos adimensionales Re=-- @,/lo - fuerza inercial pvo/12, fuerza viscosa , fuerza de gravedad Fr=--P ~ B / I transporte de calor por convección pg
Gr -~ e -' Pé = RePr =
Br =
temperatura alrededor
de un cilindro largo
%@(TI -To) fuerza de flotación pvi/lo fuerza inercia1
P S p ~ O-( ~TO)/10 l k(Tl
- To)/ 1;
transporte de calor por convección transporte de calor por conducción
de cabr por disipación viscosa j ~ ( v ~ / l ~- ) producción ~ transporte de calor por conducción k(T, - To)/lX
Se desea pronosticar Ia distribución de temperatura en un gas que fluye alrededor de un cilindro largo enfriado internamente (sistema 1) a partir de mediciones experimentales hechas sobre un modelo a escala i p l a un cuarto (sistema TI). De ser posible, el mismo fluido debe usarse en el modelo y en el sistema a escala natural. El sistema, que se muestra en la figura 11.5-1, es el mismo que en el ejemplo 3.7-1, excepto que ahora es no isotérmico. El fluido que se aproxima al cirindro tiene una velocidad u_ y una temperatura T_, y la superficie del cilindro se mantiene a Tw por ejemplo, por medio de la ebullición de un refrigerante contenido en el cilindro. Demostrar por inedio del análisis dimensional lo idóneas que pueden ser las condiciones experimentales para estudiar el mo-elo. Hacer el análisis dimensional para el "caso intermedio" en la tabla 11.5-1.
Los dos sistemas, 1y 11, son geométricameiitesemejantes. Para asegurar semejanza dinámica, como se indicó en 53.7, las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite adimensionales deben ser las mismas, y Ios grupos adimensionales que aparecen en ellas deben tener los mismos valores numéricos. Aquí elegimos que la longitud característica sea el diámetro D del cilindro, que la velocidad caracteristica sea la velocidad de aproximación v_ del fluido, que la presión característica sea la presión a x = y y = O, y que las temperaturas características sean la temperatura T del fluido que se aproxima y la temperatura To de la pared del cilindro. Estas cantidades características se identifican con I o 11, según corresponda al sistema que está describiéndose. Ambos sistemas se describen por las ecuaciones diferenciales adimensionales proporcir,nadas en las ecuaciones 11.5-7 a 11.5-9 y por las condiciones límite
--
C. L. 1:
cuando i2+ ij2 -+
m,
G -+ 6,,
?+1
(11.5-10)
donde T = (T - T,,)/(T, - To).Para esta geometría sencilla, las condiciones límite no contienen p p o s adimensionaIes. En consecuencia, el requerimiento de que las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite en forma adimensional sean idénticas es que los siguientes
420 Capítulo 11
Ecuaciones de variacián para sistemas no isotérmicos
a) Sistema
T = (TdI
+\
b) Sistema pequeño (sistema ID:
Figura 11.5-1 Perfiles de temperatura alrededor de cilindms largos calentados. Las líneas de contorno en las dos figuras representan superficies de temperatura constante.
e
P
grupos adimensionales sean iguales en los dos sistemas: Re = W v , p / ~Pr , = p / k , Br =! p2,/k(T, - TO)y Gr = p 2 g ~ ( ~T , o ) D 3 / p 2 .En el último grupo usamos la expres$n P = 1/TI del gas ideal. A fin de obtener la igualdad necesaria para los cuatro grupos adimensionales rectore podemos usar diferentes valores de los cuatro parámetros disponibles en los dos sistem la velocidad de aproximación v,, la temperatura del fluido T,, la presión de aproximad 9, y la temperatura del cilindro To. Entonces, los requerimientos de semejanza (para DI = 4Dll) son:
d
Igualdad de Pr Igualdad de Re Igualdad de Gr
Igualdad de Br
Aquí v = ~ / esp la viscosidad cinemática y a = k l P C pes la difusividad térmica. La forma más sencilla de satisfacer la ecuación 11.5-13 es usar el mismo fluido a las mas presión Pmy temperatura de aproximación T , en los dos sistemas. Si se hace lo a n t a la ecuación 11.5-14requiere que la velocidad de aproximación en el modelo pequeño (11) cuatro veces la que se utiliza en el modelo a escala natural (1). Si la velocidad del fluido es
511.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos 421 deradamente grande y las diferencias de temperatura son pequeñas, entonces la igualdad de Pr y Re en los dos sistemas proporciona una aproximación suficiente a la semejanza dinámica. Éste es el caso limite de la convección forzada con disipación viscosa despreciable. Si, no obstante, las diferencias de temperatura T, - To son grandes, los efectos de la convección libre pueden ser apreciables. En estas condiciones, según la ecuación 11.5-15, para asegurar semejanza, las diferencias de temperatura en el modelo deben ser 64 veces Las que hay en e1 sistema grande. A partir de la ecuación 11.5-16 puede observarse que esta razón de diferencias de temperatura no permite la igualdad del número de Bnnkman. Para lograr esto se requiere una razón de 16. No obstante, este conflicto no se presenta normalmente, ya que los efectos de la convección libre y del calentamiento viscoso rara vez son importantes de manera simultánea. Los efectos de la convección libre se presentan en sistemas a baja velocidad, mientras que el calentamiento viscoso ocurre hasta m grado significativo sólo cuando los gradientes d e velocidad son muy grandes.
~onvecciónlibre en una capa horizontal de fluido; formación de las celdas de Bénard
Deseamos investigar el movimiento por convección libre en el sistema que se muestra en la figura 11.5-2. El sistema consiste en una delgada capa de fluido entre dos láminas horizontales paralelas, la menor a la temperatura Toy la superior a TI, con TI < To. En ausencia de movimiento del fluido, la densidad de flujo de calor por conducción es la misma para toda z, y en estado estacionario se establecerá un gradiente de temperatura casi uniforme. Al mismo tiempo el gradiente de temperatura provocará un gradiente de densidad. Si la densidad disminuye con z creciente, resulta obvio que el sistema será estable, pero si aumenta, ocurre una situación potencialmente inestable. En este último caso parece posible que cualquier perturbación azarosa puede hacer que el fluido más denso se mueva hacia abajo y desplace atrás de él al fluido más ligero. Si las temperaturas de las superficies superior e inferior se mantienen constantes, el resultado puede ser u n movimiento continuo por convección libre No obstante, a este movimiento se opondrán fuerzas viscosas y en consecuencia, puede ocurrir sólo si la diferencia de temperatura que tiende a provocarlo es mayor que algún valor crítico mínimo. Determinar por medio del análisis dimensional la dependencia funcional de este movimiento de fluido y las condiciones en las que puede esperarse que surja.
El sistema es descrito por las ecuaciones 11.5-1 a 11.5-3junto con Ias siguientes condiciones limite:
Ahora volvemos a plantear el problema en forma adimensional, utilizando 1 - h. Usamos las 9cantidades adimensionales enumeradas en el caso B en la tabla 11.5-1, y elegimos que la temperatura de referencia T sea +(To+ TI), de modo que
Continuidad: Movimiento: Energía:
(v - S ) = O
P
422 Capitulo 11 Bcuaciones de variación para sistemas no isoténnicos
Vista mperior
Vista lateral
Figura 11.5-2 Celdas de Bknard formadas en la región entre dos láminas horizontales paralelas, donde la lámina inferior está a una temperatura superior a la de la lámina de amba. Si el número de Rayleigh excede cierto valor crítico, el sistema se vuelve inestable y se producen celdas hexagonales de Bénard.
con condiciones límite adimensionales
Si las ecuaciones adimensionales anteriores pueden resolverse junto con las condiciones límite adimensionales, encontraremos que los perfiles de velocidad y temperatura s610 dependen de Gr, Pr y R/h. Además, mientras mayor sea la razón R / h , menos prominente será su efecto, y en ellímite de grandes láminas horizontales, el comportamiento del sistema dependerá exclusivamente de Gr y Pr. Si s610 consideramos flujos reptantes estacionarios, entonces el término D G / D i p u e de igua!arse a cero. Entonces definimos una nueva diferencia de presión adimensional como 9> = Pr P. Con el miembro izquierdo de la ecuación 11.5-21 igual a cero, ahora podemos dividir entre Pr y la ecuación resultante contiene s61o un grupo adimensional, a saber, el número de Rayleigh' Ra = GrPr = - To)h3c /&, cuyo valor determina el comportamiento del sistema. Esto ilustra cómo es posible r e d c i r el número de grupos adimeniionales necesarios para describir un sistema de flujo no isotérmico. El análisis precedente sugiere que puede haber un valor crítico de1 número de Rayleigh, Y cuando se excede este número crgici ocurre movimiento del fluido. Esta sueerenciá ha si" do ampliamente confirmada de manera experimental2p3y se ha encontrado que el número crítico de Rayleigh es 1700 I+ 51 para R / h >> 1. Para números de Rayleigh abajo del número crítico, el fluido es estacionario, como muestra la observación de que la densidad de flup de calor a través de la capa iíquida es la misma que la pronosticada para conducci6n a través de wi fluido estático: q, = k(To - T l ) / h .No obstante, tan pronto como se supera el número crítico de Rayleígh, la densidad de flujo de calor aumPnta bruscamente, debido al transporte de energía convectiva. Un aumento en la condiictividad térmica reduce el número de Rayleigh, moGiendo así Ra hacia su intervalo estable. La suposición de flujo reptante es razonable para este sistema y es asintóticamente C* rrecta cuando Pr + m. También es muy conveniente, ya que permite soiuciones analiticas de El número de Rayleigh se denomina así en honor de Lord Rayleigh (J. W. Stmtt), Phil.Mng., (6)32,529-546 (1916). P. L. Silveston, Forsch. Ingenieur-Wesen, 24.29-32,59-69(1958).
S.Chandrasekhar, Hydrodynomic and Hydromagnetic lnstobility, Oxford University Press (1961). T. E.Faber, Flud Dynarnicsfor Physicists, Cambndge University Press (1955). 58.7.
$11.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para sistemas no isotémicos
423
las ecuaciones de variación relevantes? En la figura 11.5-2 se presenta el esquema cualitativo para una solución así, que coincide bien con la experimentación. Este patrón de flujo es celular y hexagonal, con flujo ascendente en el centro de cada hexágono y descendente en la periferia. Las unidades de este patrón fascinante se denominan celdas de B é n a ~ dLa . ~ solución analítica también confirma la existencia de un número crítico de Rayleigh. Para las condiciones límite de este problema y R / h muy grande, se ha calculado4 que tal nirmero crítico es 1708, lo cual coincide de manera extraordinaria con el resultado experimental antes citado. Un comportamiento semejante se observa para otras condiciones límite. Si la lámina superior de la figura 11.5-2 se sustituye por una interfase liquido-gas, de modo que se desprecia el esfuerzo cortante superficial en el líquido, teóricamente se pronostica convección celular" para números de Rayleigh superiores aproximadamente a 1101. Un ejemplo espectacular de este tipo de inestabilidad ocurre en la "inversión" primaveral ocasional del agua en los lagos del norte. Si el agua del lago se enfría cerca del congelamiento durante el invierno, ocurre un gradiente de densidad adverso cuando las aguas superficiales se calientan hacia 4 "C, la temperatura de densidad máxima del agua. En capas líquidas poco profundas con superficies libres, también pueden presentarse inestabilidades debido a gradientes de tensión superficial. Los esfuerzos superficiales correspondientes producen convección celular superficial semejante a la que resulta de gradientes de temperatura, y los dos efectos pueden confundirse fácilmente. De hecho, parece que los flujos estacionarios que Bénard observó por primera vez, y que atribuyó a efectos de flotación, en realidad pudieron haber sido producidos por gradientes de tensi6n superfi~ial.~
p la superficie de un serpentín calentador eléctrico
Se es^ diseñando un serpentín calentador de diámetro D para mantener un gran tanque de Iíqúido por arriba de su punto de congelación. Se desea pronosticar la temperatura que se alcanzará en la superficie del serpentín como una función de la velocidad de calentamiento Q y la temperatura en la superficie del tanque To. Esta predicción debe hacerse con base en experimentos realizados con un aparato más chico geométncamente semejante lleno del mismo liquido. Planear un procedimiento experimental adecuado para hacer la predicción deseada. La dependencia de las propiedades físicas con respecto a la temperatura, aparte de la densidad, puede despreciarse. Puede suponerse que toda la superficie del serpentín se encuentra a una temperatura uniforme T I .
Éste es un problema de convección libre, y usamos la columna identificada por A en la tabia 11.51 para Ios gnipos adimensionales.A partir dejas ecmciones de varhci6n y las condiciones límite, sabemos que la temperatura adimensional T = (T - To)/(T,- T,) debe ser una función de las coordenadas adimensionales y que debe depender de los grupos adimensionales Pr y Gr. La velocidad total de entrada de energía a travks de la superficie del serpentín es
Aquí r es la coordenada medida hacia afuera desde la superficie del serpentín y normal a ésta, S es el área de la superficie del serpentin, y el gradiente de temperatura es el del Auido inmediatamente adyacente a la superficie del serpentin. En forma adimensional, esta relación es
A. Pellew y R. V. Southwell, Pmc.Roy. Soc., A176,312-343 (1940). H.Bénard, Reuue gdfl&de de sciences pures et eppliquek, 11,1261-1271,1309-1328 (1900); Annales de Chimie el de Physique,23, 62-144 (1901). C.V. Stemling y L. E. Mven, AlChE Jouml, 5,514-523(1959);L.E.Ccriven y C. V. Stemling, J. Fluid Me~h.,39, 321-340 (1964).
424 Capítulo 11
Emaciones de variación para sistemas no isotérrnicos donde I/I es una función de Pr = t p C L / ky Gr = $ ~ B ( T ,- T , ) D 3 / p 2 .Debido a que los sistemas a gran escala y a pequeña escala son geométricamente semejantes, la función adimensionai que describe la superficie de integración es la misma para ambos sistemas y por tanto no es necesario incluirla en la función En forma parecida, si escribimos las condiciones límite para la temperatura, velocidad y presión en el serpentín y las superficies del tanque, obtendre. mos sólo razones de tamaiios que serán idénticas en los dos sistemas. Ahora observamos que la cantidad deseada (TI - T,) aparece en ambos miembros de la ecuación 11.5-27. Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el número de Gras hof, entonces ( T , - To) aparece sólo en el miembro derecho:
+.
En principio, en la ecuación 11.5-28 podemos despejar Gr a fin de obtener una expresión para (TI - T o ) Debido a que estamos despreciando la dependencia de las propiedades físicas con respecto a la temperatura, podemos considerar que el número de Prandtl es constante para el fluido dado y escribir
Aquí, ($ es una función del grupo ~ p ? ~ p ~ ~que / kse$determina experimentalmente. Luego podemos elaborar una gráfica de la ecuación 115 2 9 a partir de mediciones experimentales de T,, TI y D para el sistema a pequeña escala, y las propiedades conocidas del fluido. Lue go, esta gráfica puede usarse para pronosticar el comportamiento del sistema a gran escala. Debido a que hemos despreciado la dependencia de las propiedades del fluido con mpec to a la temperatura, podemos hacer algo más. Si mantenemos la razón de los valores Q en los das sistemas igual al inverso del cuadrado de la razón de los diámetros, entonces la razón correspondiente de los valores de (TI - T,,) será igual al inverso del cubo de la raz6n de los diámetros.
1. Definir energía, energía potencial, energia cinética y energía interna. ¿Qué unidades comunes se usan para éstas? 2. ¿Cómo se asigna el significado físico a los términos individuales en las ecuaciones 11.1-7 y 11.2-l? 3. Al obtener la ecuación 11.2-7 se us6 la relaci6n = R, que es válida para los gases ideales. iCuAl es la ecuación correspondiente para gases no ideales y líquidos? 4. Resumir todos los pasos necesarios para obtener la ecuación de variación para la temperatura. 5. Comparar la convección forzada y la convección libre con respecto a los métodos para resolver problemas, hacer análisis dimensionales y su ocurrencia en problemas industriales y meteorológicos. 6. Si la punta cónica de un cohete fuese de un material poroso y durante la reentrada de ésta a la atmósfera a través de sus poros se forzase lentamente un líquido volátil, ic6rno se afectaría la superficie del cono y por qué? 7. ¿Cuál es el principio de Arquímedes y cómo esta relacionado con el término j g P ( ~ - T ) en la ecuación 11.3-2? 8. 'Esperaría ver celdas de Bénard mientras calienta una cacerola poco profunda con agua en una estufa? 9. ¿Cuándo, si acaso, es posible resolver completa y exactamente la ecuación de energía sin nocer en detalle los perfiles de velocidad del sistema? 10. ¿Cuándo, si acaso, es posible resolver completamente la ecuación de movimiento para un sis. tema no isotermico sin conocer en detalle los perfiles de temperatura del sistema?
Problemas 425 11A.1 Temperatura en un cojinete de fricción. Calcular la temperatura máxima en el cojinete de fricci6n del problema 3A.1, suponiendo que la conductívidad térmica del lubricante es 4.0 x lo4cal/s - cm . C, que la temperatura del metal es 200 OC y que la velocidad de rotación es 4000 rpm.
Respuesta: aproximadamente 217 "C (tanto de la ecuación 11.413 como de la ecuación 10.4-9) llA.2
Variación de la viscosidad y gradientes de velocidad en una película no isotérmica. Por una pared vertical cae agua formando una película de 0.1 mm de espesor. La temperatura del agua es 100 "C en la superficie libre de1 líquido y 80 "Cen la superficie de la pared. a) Demostrar que la máxima desviación fraccionaria entre las viscosidades anticipada por las ecuaciones 11.417 y 11.4-18 ocurre cuando T = b) Calcular la máxima desviación fraccionaria para las condiciones dadas.
q6
Respuesta: b) 0.5% l l A . 3 Enfriamiento por transpiración. a) Calcular la distribución de temperatura entre las dos envolturas del ejemplo 11.4-4 para velocidades de flujo másico radiales iguales a cero y l W 5 g/s para las siguientes condiciones:
R = 500 micras
KR = 100 micras k = 6.13 X cal/cm = 0.25 cal/g
T, = 300 "C T,= 100 OC S
.C
.C
b) Comparar las velocidades de conducción de calor a la superficie correspondientes a KR en presencia y en ausencia de convección. llA.4 Pérdida de calor por convección libre desde una superficie vertical. Un pequeiio panel de calentamiento consta esencialmente de una superficie rectangular vertical plana de 30 cm de altura y 50 cm de ancho. Calcular la velocidad total de perdida de calor por convección libre desde uno de los lados de este panel, si la superficie del panel está a 150 "F,y el aire circundante está a 70 "F y 1 atrn. Usar el valor C = 0.548 de Lorenz en la ecuación 11.4-51 y el valor de C recomendado por Whitaker, y comparar los resultados de los dos cálculos.
Respuesfa: 8.1 cai/s por la expresión de Lorenz l l A . 5 Cambios de velocidad, temperatura y presión en una onda de choque. Aire a 1 atm y 70 "F fluye a un número de Mach corriente arriba de 2 a través de una onda de choque estacionaria. Calcular las siguientes cantidades, suponiendo que y es constante a 1.4 y que C p = 0.24 Btu/lb, . F: a) La velocidad inicial del aire. b) La velocidad, la temperatura y la pxesibn corriente abajo de Ia onda de choque. c) Los cambios de energia cinética e interna a través de la onda de choque. Respuestas: a) 2250 pies/s b) 844 pies/s; 888 R; 4.48 atm C) A U = +61.4 Btu/lb,; Ak= - 86.9 Btu/lb, 11A.6 Compresión adiabática sin fricción de un gas ideal. Calcular la temperatura que alcanza aire comprimido, inicialmente a 100 "F y 1 atm, hasta 0.1 de su volumen inicial. Se supone que y = 1.40 y que la compresión es sin fricción y adiabática. Analizar el resultado en relación con la operación de un motor de combustión interna.
Respuesta: 950 "F l l A . 7 Efecto de la convección libre sobre el valor de aislamiento de un espacio horizontal de aire. Dos grandes placas metálicas horizontales paralelas están separadas por un espacio de aire de 2.5 cm, donde el aire está a una temperatura media de 100 "C. ¿Cuánto más caliente pue-
426 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isoténnicos de estar la lámina inferior (con respecto a la lámina superior) sin provocar el plantearnienbj de la convección celular libre que se analizó en el ejemplo 11.5-2? ¿Cuánto puede in- ! mentarse esta diferencia de temperatura si entre las dos láminas se coloca una hoja meulica muy delgada? Respuestas: aproximadamente 3 y 48 OC, respectivamente. 11B.1 Procesos adiabáticos sin fricción en un gas ideal. a) Nótese que un gas que obedece la ley d e los gases ideales puede desviarse a~reciableme~. te de = mnstante. Por tanto, volver a trabajar el ejemplo 11.4-6 usando una expresión ra la capacidad calorífica molar de la forma
ep
b) Determinar la presión final, p2, necesaria si debe calentarse metano (CH,) desde 300K y 1 atm hasta 800K por compresión adiabática sin fricción. Las constantes empíricas recomen&. das1 para el metano son: a = 2.322 cal/g-m01 .K,b = 38.04 X cal/g-m01 . K2, y c = -10.97 X lop6ca¡/g-mol - K~. Respuestas: a) ~ T - P Iexp[-(b/R)T ~ - (c/2R)T21= constante; b) 9889 atm llB.2
Calentamiento viscoso en flujo laminar en un tubo (soluciones asintóticas). a) Demostrar que para flujo laminar newtoniano totalmente desarrollado en un tubo cinxlar de radio R, la ecuación de energía se vuelve p~puz,máx [l -
($1
5
I a
=
7
(r
$1
y (ir 4 ~ m&X $
+
es la velocidad máxima si no se desprecian los términos de la disipación viscosa.Aquí en el tubo. ¿Qué restricciones deben imponerse sobre cualquier solución de la ecuación 118.2-l? b) Para el problema de la pared isotémica (T = Toen r = R para z > O y en z = O para todo r), encontrar la expresión asintótica para T(r) para z grande. Hacer lo anterior reconociendo que d T l d z es cero para z grande. Resolver la ecuación 118.2-1 y obtener
c) Para e1 problema de la pared adiabática (q, = O en r = R para toda z ) puede encontrarse una solución asintótica para valores de z grandes como sigue: multiplicar la ecuación 118.2-1 ~ O I rdr e integrar desde'r = O hasta r = R. Después, integrar la ecuación resultante sobre z para
obtener
donde T,es la temperatura de entrada en 2 = O. Postular ahora que un perfil de temperatu. ra asintótico a z grande es de la forma
Sustituir esto en la ecuación 128.2-1 e integrar la ecuación resultante para f ( r ) a fin de obtem
'
I
O. A. Hougen, K.M.Watson y R. A. Ragatz, Chemicul Prufess Principies, Parte 1,Za. edición, Wiley, Nueva York (1958)l P' 255. Vease también la Parte U,pp. 646-653, para un análisis más completo de cálculos del proceso isentrbpico.
1
01
Problemas 427
81
8
/
Sólido
Perforación en h parte superior (enel "polo norte")
Perforación semejante I
Figura 11B.4 Conducción de calor en una envoltura esférica: al sección transvercal que contiene a1 eje z; b) vista superior de la esfera.
Recuérdese que las soIuciones en las ecuaciones 11B.2-2 y llB.2-5 son válidas s610 para z grande. La solución completa para z pequeh se analiza en el problema llD.2. 11B.3 Distribución de velocidad en una película no isotérmica. Demostrar que la ecuación
11.4-20 cumple los siguientes requerimientos: a} En x = 6, v, = 0. b)Enx=O,dv,/ax=O. c) lím v,(x) = (pgs2 cos P/2&}[1 - (x/¿q21 P,+h
118.4 Conducción de calor en una envoltura esférica (figura llB.4). Una envoltura esférica tiene radios interior y exterior RI y R2, En el polo norte de la envoltura se hace una perforación cortando el segmento del cono en Ia región O 5 8 5 el. En el polo sur se hace un orificio semejante eliminando la porción (T - el) 5 9 5 T. La superficie O = O1 se mantiene a la temperatura T = TI, y la superficie 8 = .ir- 19, se mantiene a T = T2.Encontrar ia distribución de temperatura en estado estacionario, usando la ecuación de conducción de calor.
118.5 Conducción axial de calor en un alambre2 (figura 11B.5).Un alambre de densidad constante p se mueve hacia abajo con velocidad uniforme v hacia adentro de un baño de metal líquido que está a la temperatura T,,. Ce desea encontrar el perfil de temperatura T(z). Supóngase que T = T, en z m, y que la resistencia a la conducción axial de calor es despreciable. Además, supóngase que Ia temperatura del alambre es T = To en z = 0. a) Primero resolver el problema para propiedades físicas constantes y k. Obtener
-
ep
b) Luego, resolver el problema cuando P y k son funciones conocidas de la temperatura adimensional@: k = k m K ( 0 )y = L ( 8 ) . Obtener el perfil de temperatura,
$
'Sugerido por el profesor C.L. B
ep,
o m Departamento de ingeniería Mecánica, Universidad de Wwonsin
428 Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isoténnicos
La temperatura del alambre lejos de la superficie de metal
El alambre se mueve hacia abajo a la velocidad constante v
uperficie de metal líquido
Figura 116.5 Alambre que se mueve hacia un baño de metal liquido. c) Verificar que la solución en el inciso b satisface la ecuación diferencial a partir de la cual se dedujo. 118.6 Enfriamiento por transpiración en un sistema plano. Dos grandes láminas planas horizontales porosas están separadas por una distancia relativamente pequeña L. La lámina superior en y = L está a una temperatura TL,y la inferior en y = O se mantiene a la temperatura inferior To. Para reducir la cantidad de calor que debe eliminarse desde la lámina inferior, un gas ideal a To se sopla hacia arriba a través de ambas láminas a una velocidad estacionaria. Deducir una expresión para la distribución de temperatura y la cantidad de calor qo que debe eliminarse desde la lámina fría por unidad de área corno una f ~ c i ó de n las propiedades del fluido y la velocidad de flujo del gas. Usar la abreviatura 4 = pCpvyL/k.
T - TL &/L - e+ 1 - e4 To - T ,
Respuesta: --
11B.7 Reducción de las pérdidas por evaporacibn, por medio de la transpiración (figura 11B.7). Se desea aprovechar la transpiración para reducir la velocidad de evaporación de oxígeno líquido contenido en pequeños recipientes. Para ello, el liquido debe almacenarse en un recipiente esferico rodeado por una envoltura esférica de un material aislante poroso como se muestra en la figura.Entre el recipiente y el aislamiento se deja uri pequeño espacio, tapando la abertura del aislamiento. Durante la operación, el oxigeno que se evapora abandona el recipiente, circula a través del espacio gaseoso y luego fluye uniformemente hacia afuera a través de los poros del aislamiento. Calcular la velocidad de ganancia de calor y pérdida por evaporación desde un tanque de 1pie de diámetro cubierto por una envoltura aislante de 6 pulg de espesor en las siguientes condiciones con y sin transpiración.
Temperatura del oxígeno líquido Temperatura de la superficie exterior del aislamiento Conductividad Mrmica efectiva del aislamiento Calor de evaporación del oxigeno media de O2que fluye a través del aislamiento
ep
-297 "F 30 "F 0.02 Btu/h . pie . F 91.7 Btu/lb 0.22 Btujlb . F
Despreciar la resistencia térmica del oxígeno líquido, de la pared del recipiente y del espacio gaseoso, así como las pérdidas de calor a través del tapón. Supóngase que las partículas del aislamiento están en equilibrio térmico local con el gas que las rodea. Respuestas: 82 Btu/h sin transpiración; 61 Btu/h con transpiración llB.8
Distribución de temperatura en una esfera incrustada. Una esfera de radio R y conduchvidad térmica kj está incrustada en un sólido infinito de conductividad térmica ko. E1 centro de
Problemas 429 Figura 118.7 Uso de la transpiración para reducir la velocidad de evaporación.
la esfera está ubicado en el origen de coordenadas, y en la dirección z positiva lejos de la esfera hay un gradiente de temperatura A. La temperatura en el centro de la esfera es T ". Se ha demostrado que Ias distribuciones de temperatura en estado estacionario en la esfera TI y en el medio circundante To son:3
a) ¿Cuáles son las ecuaciones diferenciales parciales que deben satisfacer las ecuaciones 118.8-1 y 118.8-2? b) Escribir las condiciones límite que aplican en r = R.
Demostrar que TI y To satisfacen sus ecuaciones diferenciales parciales respectivas en el inciso a). d) Demostrar que las ecuaciones llB.8-1 y 118.8-2 satisfacen las condiciones límite en el inciso b). C)
118.9 Flujo de calor en un só!ido limitado por dos superficies cónicas (figura 11B.9). Un objeto sólido tiene la forma que se muestra en la figura. Las superficies cónicas O1 = constante y O2 = constante se mantienen a las temperaturas TI y T2, respectivamente. La superficie esférica en r = R está aislada. Para conducción de calor en estado estacionario, encontrar a) La ecuación diferencial parcial que debe cumplir T(0).
b) La solución dela ecuación diferencial del inciso a) que contiene dos constantes de integración. c ) Expresiones para las constantes de integración.
Superficies cónicas
m
Figura 118.9 Cuerpo formado a partir de la intersección de dos conos y una esfera. --.s.L 3
L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Za. edición, Pergamon Press, Oxford (19871, p. 199.
430
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérrnicos Figura 11B.10 Perfil de temperatura en el congelamie. de una gota esferica.
d) La expresión para la componente 8 del vector de densidad de flujo de calor. e) El flujo total de calor ¡cal/s) a través de la superficie cónica en 8 = 6,. Respuesta: e) Q =
2.rrRk(T, ,
+
-
tan 8, tan 0
T.4
)
l l E . 1 0 Congelamiento de una gota esférica (figura IXB.10). Para evaluar el desempeno de una b e quilla atomizadora, se propone atomizar una cera líquida no volátil hacia una corriente de aire frío. Se espera que las partículas de la cera atomizada solidifiquen en el aire, a partir de lo cual más tarde pueden recolectarse y analizarse. Las gotas de cera salen del atomizador Egeramente por arriba de su punto de fusion. Calcular el tiempo t necesario para que una g e ta de radio R se congele por completo, si inicialmente la gota estaf en su punto de fusión Toy el aire circundante está a T,. Se pierde calor de la gota al aire circundante según la ley de enfriamiento de Newton, con un coeficiente constante de transmisión de calor h. Supóngase que en el proceso de solidificación no hay cambio de volumen. Resolver el problema usando un método de estado casi estacionario. a) Resolver primero el problema de conducción de calor en estado estacionario en la fase sólida en la región entre r = Rf (la interfase líquido-sólido) y r = R (la interfase sólido-aire).Sea k la conductividad térmica de la fase sólida. Luego, encontrar el flujo radial de calor Q a través de la superficie esférica en r = R. b) Después, escribir un balance de energía en estado no estacionario igualando la liberación de calor en r = R (t) que resulta del congelamiento del liquido al flujo d e calor Q a través de f. la superficie esferica en r = R. Integrar la ecuación diferencial de primer orden de variable separables resultante: entre los límites O y R, para obtener el tiempo necesario para que la 80ta solidifique. Sea AH el calor latente de congelación (por unidad de masa). f
Respuestas: a) Q =
h . 4rR2(T0- S ,)
1 hR
l l B . l l Elevación de la temperatura en un gránulo catalizador esférico (figura 11B.ll). Un gránulc (pellet) catalizador tiene radio R y conductividad termica k (que puede suponerse constante). Debido a la reacción química que ocurre dentro del gránulo poroso, se genera calor a una velocidad de S, cal/crn3 . s. En la superficie externa del gránulo se pierde calor hacia una c@ rriente de gas a temperatura constante Tg por transmisión de calor convectivo, con coeficiente de transmisión de calor h. Encontrar el perfil. de temperatura en estado estacionaso, suponiendo que S, se mantiene constante en todas partes. a) Establecer h ecuación diferencial haciendo un balance de envoltura de energía.
Problemas 431 Figura 116.11 Esfera con generación de calor interna.
b) Establecer la ecuación diferencial simplificandola forma apropiada de la ecuación de energía. C) Integrar la ecuación diferencial para obtener el perfil de temperatura. Dibujar la función Tír). d) cuál es la forma límite de T(r)cuando h 4 m? e) ¿Cuál es la temperatura máxima en el sistema? f) iEn qué parte de la deducción debe modificarse el procedimiento para explicar las variables k y S,? 11B.12 Estabilidad de un sistema con reacción e~otérmica.~ Considérese una placa porosa de espesor 28, ancho W y longitud L, con B << W y 3 << E. En el interior de la placa ocurre una reacción exotérmica, con una velocidad de producción de calor dependiente de la temperatura S,(T) = S,,exp A(T - To). a) Utilizar la ecuación de energía a fin de obtener una ecuación diferencial para la temperatura en la placa. Suponer propiedades físicas constantes y postular una solución de estado estacionario T ( x ) . b) Escribir la ecuación diferencial y las condiciones límite en términos de estas cantidades adimensionales: ( = x / B , O = A(T - To)y A =SCoAB2/k;aquí A es una constante. c ) Integrar la ecuación diferencial (sugerencia: multiplicar primero por 2dO/dQ para obtener
i
'
= ~ ~ ( e 0, x p- exp 8 ) dfi donde O, es una constante auxiliar que representa el valor de O en l= 0. d) Integrar el resultado del inciso c) y usar las condiciones limite para obtener la relación entre el espesor de la placa y la temperatura en el plano central.
exp
arccosh kxp(:Oo>)
=
(11B.12-2)
e) Calcular h en O, = 0.5, 1.0, 1.2, 1.4 y 2.0; graficar estos resultados para encontrar el valor máximo de h para condiciones de estado estacionario. Si se excede este valor de A, el sistema explotará. l l B . 1 3 Flujo entre tubos concéntricos laminar, con densidad de flujo de calor constante en la pared. Repetir el desarrollo de 510.8 para flujo entre tubos concéntricos de radios interior y exterior KR y R, respectivamente, empezando con las ecuaciones de variación. A través de la pared interior de1 cilindro se agrega calor al fluido a una velocidad qo (calor por Brea unitaria por unidad de tiempo), y la pared del cilindro exterior se aísla térmicamente. X1B.14 Calentamiento en estado no estacionario de una esfera. Una esfera de radio R y difusividad térmica a está inicialmente a una temperatura uniforme To. Para t > O, la esfera está sumergida en un baño de agua bien agitada que se mantiene a una temperatura TI > T,.Así, la temperatura en el interior de la esfera es una función de la coordenada radial r y del tiernpo f. La solución de la ecuación de conducción de calor está dada
T - To
--
-1+2i(-i)n
TI - 7'0
(5) (7) sen
eXP( - a n 2 r 2 f l R 2 j
n=1
H. s. Carslaw y J. C. Jaeger,Condlrction of Hwt in Solidc, 2a. edición, Orford University Press (1959),p. 233., ecuación (4).
432
Capítulo 11 Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos Se desea comprobar que esta ecuación satisface la ecuación diferencial, las condiciones1 te y la condición inicial. a) Escribir la ecuación diferencial que describe el problema. b) Demostrar que Ia ecuaci6n 11B.141para T(Y,t ) satisface la ecuación diferencialdel inciso,) C) LJemostrar que se satisface la condición límite en Y = R. d) Demostrar que T es finita en r = 0. e) Para demostrar que la ecuación 118.14-1 satisface la condición inicial, hacer t = O y T = y obtener lo siguiente. -1 = 2
2 (-1)' n=l
(kj(CF) sen
Para demostrar que esto es cierto, ambos miembros se multiplican por (r/R)sen(mm/R), do, de m es cualquier entero desde 1 hasta W, y se integra desde r = O hasta r = R. En la integración, todos los términos con m in desaparecen en el miembro derecho. El término con m = n, cuando se integra, es igual a la integral del miembro izquierdo.
1
l l B . 1 5 Variables adimensionales para convección I i b ~ eLas . ~ variables adimensionales en las esa-1 ciones 11.4-39 a 11.4-43 pueden obtenerse por razonamientos sencillos. La forma de O es determinada por las condiciones límite y la de 5, por la geometría. Las demás variables adimensionales pueden encontrarse como sigue: a) Hacer 7 = y/yo, +z = vz/vzo,y 4y= uy/vP donde las cantidades con subíndice cero son constantes. Asi, las ecuaciones diferenciales 11.4-33 a 11.4-35se vuelven
con las condiciones límite dadas en las ecuaciones 11.4-47 a 11.4-49. b) Elegir valores apropiados de uzo,uyOy yo para convertir las ecuaciones del inciso a) en las ecuaciones 11.4-44 a 11.4-46, y demostrar que las definiciones en las ecuaciones 11.4-41a 11.4-43se concluyen directamente. c) ¿Por qué es preferible la eIección de las variables desarrolladas en el inciso b), a la que se obtuvo al igualar a la unidad los grupos adimensionales en las ecuaciones llB.15-1 y 11B.15-2? Velocidad de propagación d e ondas sonoras. Las ondas sonoras son ondas de compresión armónica de muy pequeña amplitud que se desplazan a través de un fiuido compreslble. La velocidad de propagación de estas ondas puede calcularse suponiendo que el tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento T y el vector de densidad de flujo de calor q son cero y que la velocidad v del fluido es p e q ~ e ñ aDespreciar .~ T y q equivale a suponer que la entropía es constante siguiendo el movimiento de un elemento de fluido dado (véase el problema 11D.1). a) Usar termodinámica de equilibrio para demostrar que
donde y = C p / C , . 4
El procedimiento que se utilizo aquí es semejante al sugerido por J. D. H e b u s y S. W. Churchill, AIChE lourna[, 10,710114 (1964). Véase L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Fluid Mechnnics, 2a. edición, Pergamon, Oxford (1987),capíhdulo V111; R. J. silbey Y R. A.Alberty, Phycica[Chemistry,3a. edición,Wiley, Nueva York (2001),517.4.
Problemas 433
b) Cuando el sonido se propaga a través de un fluido, hay ligeras perturbaciones en la presión, la densidad y la velocidad a partir del estado en reposo: p = po + pT,p = po + p', y v = vo
+ v', donde las cantidades con subíndice cero son constantes asociadas con el estado en reposo (con vo igual a cero), y las cantidades con primas son muy pequeñas. Demostrar que cuando estas cantidades se sustituyen en la ecuación de continuidad y en la ecuación de movimiento (con los términos T y g omitidos) y se omiten los productos de las pequeñas cantidades con primas, se obtiene JP at
Ecuación de continuidad
-=
-po(A - v )
(llC.1-2)
dv
Ecuación de movimiento
~ = - V P
(11C.1-3)
C) A
continuación, usar el resultado del inciso a) para volver a escribir la ecuación de movimiento como
donde v f = y(dp/dpIr d) Demostrar cómo pueden combinarse las ecuaciones llC.1-2 y llC.1-4 para obtener
e) Demostrar que una solución de la ecuación llC.l-5 es p = po[l
+ A sen
(%
( z - v,t))]
Esta solución representa una onda armónica de longitud de onda A y amplitud poA que se desplaza en la dirección z a una velocidad u,. Es posible construir soluciones más generales por medio de una superposición de ondas de longitudes de onda y direcciones diferentes. llC.2
Convección libre en una ranura. Un fluido de viscosidad constante, con densidad dada por la ecuación 11.3-1, está confinado en una ranura rectangular. La ranura tiene paredes verticales en x +B, y = 2 W, y una parte superior y un fondo en z +-H,con H >> W >> B. Las paredes son no isotérmicas, con distribución de temperatura T , = T + Ay, de modo que el fluido circula por convección libre. Deben pronosticarse los perfiles de velocidad, para condiciones de flujo laminar en estado estacionario y pequeñas desviaciones de la densidad media p. a) Simplificar las ecuaciones de continuidad, de movimiento y de energia según los postulados: v = S,v,(x, y), $u,/@ << &,/&, y T = T(y). Estos postulados son razonables para flujo lento, excepto cerca de los bordes y = I W y z = +H. b) Enumerar las condiciones límite que deben usarse con el problema según se simplificaron en el inciso a). c) Resolver para los perfiles de temperatura, presión y velocidad. d) Cuando se hacen mediciones d e la difusión en cámaras cerradas, la convección libre puede ser una fuente de error seria, y deben evitarse los gradientes de temperatura. Mediante una ilustración, calcular el gradiente máximo de temperatura tolerable, A, para un experimento con agua a 20 "C en una cámara con B = 0.1 mm, W = 2.0 mm, y H = 2 cm, si el máximo movimiento permitido por convección es 0.1% de H en un experimento de una hora.
-
Respuestas: c) u,(x, y) =
-
*
(82- x ~ ) ~ d);2.7 X
K/cm
~ C L
llC.3 Flujo entre tubos concéntricos tangencia] de un líquido altamente viscoso. Demostrar que Ia ecuación 11.4-13 para flujo en una región entre tubos concéntricos (anular) se reduce a la ecuación 10.4-9 para flujo en una rendija plana en el limite cuando K tiende a la unidad. Comparaciones de este tipo a menudo son útiles para comprobar resultados. El miembro derecho de la ecuación 11.4-13 es indeterminado en K = 1, pero su límite cuando K 4 1 puede obtenerse desarrollando en potencias de E = 1 - K . Para hacer esto, se
434
Capíhilo 11
Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos
1
hace K = 1 - E y 5 = 1 - ~ [ -l (xlb)];luego, el intervalo K 5 5 1 en el problema 11.4-2 cG rresponde al intewalo O 5 x 5 b en g10.4. Después de hacer las sustituciones, desarrollar el miembro derecho de la ecuación 11.4-13 en potencias de s (despreciando los términos des puéc de 2)y demostrar que se obtiene la ecuación 10.49.
11C.4 Conducción de calor con conductividad térmica variable. a) Para conducción de calor en estado estacionario en sólidos, la ecuación 11.2-5 se vuelve (V . q) = O, y al insertar la ley de Fourier se obtiene (V kVT) = O. Demostrar que Ia funcit~~ F = IMT + constante, satisface la ecuación de Laplace V2F = O, en el supuesto de que k s.61~ depende de T. b) Usar el resultado del inciso a) para resolver el problema 108.12 (parte a), usando una fun. ción arbitraria k(T). llC.5 Conductividad térmica efectiva de un sólido con inclusiones esféricas (figura 11C.5). Deducir la ecuación 9.6-1 para la conductividad térmica efectiva de un sistema de dos fases,empezando con las ecuaciones llB.8-1 y 118.8-2. Se construyen dos sistemas contenidos, ambos, en e1 interior de una región esférica de radio R': a) el sistema "verdadero", un medio con conductividad térmica ko, en el que están incrustadas n esferas pequeñas de conductividad termica kl y radio R; y b) un sistema "equivalente", que es un continuo, con una conductividad térmica efectiva kef.Estos dos sistemas se colocan en un gradiente de temperatura A, y ambos se rodean por un medio con conductividad térmica ko. a) Para el sistema "verdadero" sabemos que a una gran distancia L del sistema (es decir, L >> R'), el campo de temperatura está dado por una ligera modificación de la ecuación 11B.82, en el supuesto de que las pequeñas esferas ocluidas estén muy "diluidas" en el sistema verdadero:
Explicar con todo cuidado cómo se obtuvo este resultado. b) Luego, para el "sistema equivalente", a partir de la ecuaci6n 118.8-2 podemos escribir
c) Ahora, deducir la relación nR3 = +P3,donde
+ es la fracción de volumen de las oclusio-
nes en el "sistema verdadero".
Medio O con conductividad térmica
Meclio O con conductividad térmica ko Medio O
Esfera de radio R' de un material hipotético "alisado" equivalente al material granular en (a)
n esferas del material 1 de radio R y conducfividad térmica kl Esfera de radio R'
I
La mnductividad
l
térmica es kd
Figura llC.5 Idea del experimento realizado por Maxwell para obtener la conductividad térmica de un sólido compuesto: a) el sistema discreto "verdadero", y b) el sistema
continuo "equivalente".
Problemas 435 d) Igualar los miembros derechos de las ecuaciones llC.5-1 y llC.5-2 para obtener la ecuación de Maxwe117en la ecuación 9.6-1. llC.6
Condiciones Iímite interfacides. Considérese una superficie interfacial no isotérmica S ( t ) entre las fases puras 1y 11en un sistema no isotérrnico. Las fases pueden constar de dos fluidos inmiscibles [de modo que nada de material cruza S(t)l, o por dos fases puras distintas de una sola sustancia (entre las cuales puede intercambiarse masa por condensación, evaporación, congelación o fusión). Sea n1 el vector unitario local normal a S(t) dirigido hacia la fase 1. Para valores a lo largo de S en cada fase se usará un supraíndíce 1 o 11, y para los valores en la interfase en si se usará un supraíndice s. Las condiciones límite interfaciales de costumbre sobre la velocidad tangencial v, y de temperatura T sobre S son
q=
S=P
(sin deslizamiento) (continuidad de la temperatura)
(11C.6-1) (llC.6-2)
Además, se sugierens las siguientes ecuaciones de conservación simplificadas para interfases libres de tensión superficial:
Balance interfacial de materia
Balance interfacia! de cantidad de movimiento
Balance interfacial de energiá interna
El balance de cantidad de movimiento de ia ecuación 3C.5-1 se ha extendido aquí para incluir el gradiente de superficie Vsude la tensión interfacial; la fuerza tangencia1 resultante origina una variedad de fenómenos interfaciales de flujo, denominados efectos de Marangoni?,lD La ecuación llC.6-5 se obtuvo como se mostró en 511.2, a partir de balances totales y de energía mecánica sobre S, despreciando la energía interfacial en exceso b,la densidad de flujo de calor qS y la disipación viscosa (+: VV); en otra parte se proporcionan resultados más completos.8 a) Comprobar la consistencia dimensional de cada ecuación de balance interfacial. b) ¿En qué condiciones son iguales d y $? c) Demostrar cómo se simplifican las ecuaciones de balance cuando las fases 1y 11 son dos líquidos puros inmiscibles. d) Demostrar cómo se simplifican las ecuaciones de balance cuando una fase es un sólido. 1XC.7 Efecto de los gradientes de tensión superficial sobre una película descendente. a) Repetir la determinación de las distribuciones del esfuerzo cortante y de velocidad del ejemplo 2.1-1 en presencia de un pequeño gradiente de temperatura d T / d z en la dirección de
flujo. Supóngase que este gradiente de temperatura produce un gradiente constante de tensión superficial du l d z = A pero que no tiene otro efecto sobre las propiedades físicas del sisJ. C . MaxweU, A Tratiseon Electricity and MagnetU-ni,Vol. 1, Oxford University Prws (1981,reimpreso en 1998).5314. J. C. Slattery, Advanced Tmnsport Phenomena, Cambridge University P m s (19991, pp. 58,435; en la referencia 8 se pmpoxcjonan condicionesm6s completas. C. G. M. Marangoni, Ann. Phys. (Poggendmfi, 3,337-354(1871);C . V. Sterniing y L. E. Scriven, AIChE J o u r d , 5,514-523 (1959). ' O D. A. Edwardc, H. Brenner y D.T.Wasan, Inf-1 Tmnsport Processes and Rheology, Butterworth-Heinemann,Stoiieham. Mass, (1991).
436 Capítulo 11 Bcuaciones de variacih para sistemas no isot6rmicos
tema. Nótese que este gradiente de tensión superficial produce un esfuerzo cortante en la perficie libre de la película (véase el problema 11C.6) y, por tanto, ahí requiere un gradie de velocidad diferente de cero. Nuevamente, postular una película laminar estable, sin o dulaciones. b) Calcular el espesor de la película como una función de la velocidad de flujo neto ha abajo y analizar la importancia física del resultado. pgS2 cos p Respuesta: a) T~~= pgx cos 0 + A; vZ = 2~ 11D.1 Ecuación de variación para la entropía. Este problema es una introducción a la t e r r n o d i ~ ~ mica de los procesos irreversibles. En 524.1 y 524.2 se proporciona un tratamiento de mez. clas con multicomponentes. a) Escribir u n balance de entropía para el elemento de volumen fijo Ax Ay Az. Sea S el vecb de densidad de flujo de entropía, medido con respecto al vector velocidad v del fluido. Adem&, sea gs la velocidad de producción de entropía por unidad de volumen. Demostrar que cuando elemento de volumen Ax Ay Az se vuelve infinitesimalmente pequeño, finalmente se ne una ecuación de variación para la entropía en cualquiera de las dos formas siguientes:" d --& dt
=-
(V. p S v ) - (Vas) + g s
(11D.1-I)
donde es la entropía por unidad de masa. b) Si se supone que las cantidades termodinámicas pueden $ef@rse localmente en una situación de ? equi!ibrio, entonces puede relacionarse con S y V según La relación terme dinámica d U = Td S - pd V. Combinar esta relación con la ecuación 11.2-2 para obtener
La densidad de flujo de entropía local es igual a la densidad de flujo de energía local dividida entre la temperatura local,'2L15es decir, s = q/T. Una vez que se reconoce esta relación entre s y q, podemos comparar las ecuaciones llD.l-2 y llD.l-3 a fin de obtener la siguiente expresión para la velocidad de producción de entropía por unidad de volumen: C)
El primer termino del miembro derecho es la velocidad de producción de entropía asociadq con transporte de calor, y el segundo es la velocidad de producción de entropia resultan@ del. transporte de cantidad de movimiento. La ecuación 11D.1-4 es el punto de partida p el estudio termodinámico de los procesos irreversibles en un fluido puro. d) ¿Qué conclusiones pueden extraerse cuando fa ley de viscosidad de Newton y la Iey d{ Fourier de conducción de calor se insertan en la ecuación 11D.1-4? 1
7
llD.2 Calentamiento viscoso en flujo laminar en un tubo.
a) Continuar el análisis que empezó en el problema llB.2, a saber, el de encontrar los pediles de temperatura en un fluido newtoniano que fluye en un tubo circular a una velocidad lo suficientemente alta para que los efectos de calentamiento viscoso sean importantes. Su-
''
G. A. J. Jaumann, Sitzungsber derMath-N~tunuisc.Klacse der kaicerlichen Akad. d e Wissenschaften ~ (Wzm),102,Abt. Ila, 385 530 (1912). Carl llenry Eckart (1902-1973), vicecanciiier de la Universidad de Califomia en Can Dego (1965-1969)hizo contribuciones fundamentales a la meciinica cuántica, la hidrodinámica geofisica y la termodinámica de procesos irreversibles; sus contribuciones fundamentales a los fenómenos de transporte es& en C. H. Eckart, Phys.Rev., 58,267-268,269-275 (1940). C. E.Curriss y J. O. Hirschfelder, f. C h m . Phys., 18,171-173 (1950). l4 J. G. Kirkwood y B. L. Gawford, Jr.,J.Chem. Phys., 56,1048-1052 (1952). l5 S R. de G r w t y P. Mazur, Na-Equrízbium T h m d y n a m i c s , NorihHolJand, Amsterdam (1962).
"
Problemas 437 póngase que el perfil de velocidad en la entrada (z = 0)está totalmente desarrollado, y que la temperatura de entrada es uniforme sobre la sección transversal. Supóngase que todas las propiedades físicas son constantes. b) Repetir el análisis para una viscosidad no newtoniana que obedece la ley de ~0tenciac.I~ llD.3 Deducción de la ecuación de energía usando teoremas de las integrales. En 521.1, la ecuación de energía se dedujo al explicar los cambios que ocurren en un pequeño elemento rectangular de volumen Ax Ay h. a) Repetir la deducción usando un elemento arbitrario de volumen V con un límite fijo S siguiendo el procedimiento que se presentó en el problema 3D.1. Empiece por escribir la ley de conservaci6n de la energía como
Luego, usar el teorema de divergencia de Gauss para convertir la integral de superficie en una integral de volumen, y obtener la ecuación 11.1-6. b) Hacer la deducción análoga para una "burbuja" móvil del fluido.
l6
R.B.B'ird, Soc. Plnstics Engrs. ]oumal, 11,35-40 (1955).
Capítulo 12
Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente 512.1
Conducción de calor no estacionaria en sólidos
512.2"
Conducción de calor estacionaria en flujo laminar incompresible
g12.3"
Flujo potencial de calor estadonario en sólidos
912.4"
Teoría de la capa límite para flujo no isotérmico
En el capítulo 10 vimos cómo es posible resolver problemas sencillos d e flujo de calor por medio de balances de energía en la envoltura. En e1 capítulo 11 obtuvimos la ecuación de energía para sistemas de flujo, que describe los procesos de transporte de calor en situaciones más complejas. Para ilustrar la utilidad de la ecuación de energía, en 511.4 proporcionamos una serie de ejemplos, de ellos, la mayor parte no requería saber cómo resolver ecuaciones diferenciales parciales. En este capitulo nos dedicamos a varias clases de problemas de transporte de calor que implican mfis de una variable independiente, ya sean dos variables espaciales, o una variable espacia1 y la variable de tiempo. Los tipos de problemas y los métodos matemáticos con paralelos a los que se proporcionaron en el capitulo 4.
,912.1 C O N D U C C I ~ N DE CALOR NO ESTACIONARIA EN SÓLIDOS Para sólidos, la ecuación de energía de la ecuación 11.2-5, cuando se combina con la ley de Fourier de la conducción del calor, se vuelve
Si puede suponerse que la conductividad térmica es independiente de la temperatura y la posición, entonces la ecuación 12.1-1 se vuelve
440
Capítub 12 Distribuciones de temperatura con m6s de una variable independiente
donde a = k l p e p es la difusividad térmica del sólido. Se han trabajado muchas soluciones de esta ecuación. El tratado de Carslaw y ~aegerlcontiene un análisis completo de métodos de solución, así como una tabulación bastante extensa de soluciones para una amplia gama de condiciones límite e inicial. Muchos problemas de conducción de calor que se encuentran a menudo, pueden resolverse con sólo consuItar la solución en este impresionante trabajo de referencia. En esta sección ilustramos cuatro métodos importantes para resolver problemas de conducción de calor no estacionaria: el método de combinación de variables, el método de separación de variables, el método de la respuesta sinusoidal y el método de la transformada de Laplace. Los tres primeros también se usaron en %.l.
Calentamiento de una
placa semiinfinita
Un material sólido que ocupa el espacio desde y = O hasta y = = está inicialmente a la temperatura To.En el instante t = O, la superficie en y = O se eleva súbitamente a la temperatura Ti,a la que se mantiene para t > O. Encontrar los perfiles de temperatura dependientes del tiempo T(y, t).
SOLUCIÓN Para este problema, la ecuación 12.1-2 se vuelve
Aquí se ha introducido una diferencia de temperatura adimensional O = (T - To}/(TI - So). Entonces, las condiciones inicial y limite son
C.I.:
en t 5 0,
O =O
para toda y
C.L. 1:
e n y = 0,
O
para toda t > O
C.L. 2:
en y = m,
O =O
=
1
para toda t
>O
Este problema es matemáticamente analogo a1 planteado en las ecuaciones 4.1-1 a 4.1-4. Por tanto, la solución en la ecuación 4.1-15 puede tomarse directamente mediante cambios apropiados en la notación:
o bien, T-- T o _ 1 - erf Y T - T*
&z
' H.S. Carslaw y J.C.Jaeger,Conducfion ofHeaf in Solids, 2a. edición, Oxfold University Press (1959).
(12.1-8)
g12.1 Conducción de calor no estacionaria en sólidos MI La solución que se muestra en la figura 4.1-2 describe los perfiles de temperatura cuando la ordenada se identifica con (T - To)/(T1 - To) y la abscisa con Debido a que la función de error alcanza un valor de 0.99 cuando el argumento es aproximadamente igual a 2, el espesor de penetración térmica es
ar
Es decir, para distancias y > ST, la temperatura ha variado por menos de 2 % de la diferencia TI - To. Si es necesario calcular la temperatura en una placa de espesor finito, la solución de la ecuación 12.1-8 será una buena aproximación cuando &- es pequeño respecto al espesor de la placa. No obstante, cuando es de1 orden de magnitud del espesor de la placa o mayor, entonces debe usarse la solución con desarrollo en series del ejemplo 12.1-2. La densidad de flujo de calor en la pared puede calcularse a partir de la ecuación 12.1-8 como sigue:
Por tanto, la densidad de flujo de calor en la pared varía con t-lI2, mientras que el espesor de penetración varía con f'/2.
Calentamiento de una placa finita
Una placa sólida que ocupa el espacio entre y = -b y y = +b está inicialmente a la temperatura To. En el instante t = O, las superficies en y = ?b se elevan súbitamente a la temperatura TI y se mantienen a esa temperatura. Encontrar T(y, t).
soLUCIÓN Para este problema definirnos las siguientes variables adimensionales: Temperatura adimensional
e=- TI - T
Coordenada adirnensional
'7"
Tiempo adimensional
(12.1-11)
TI - To
T E
1 b
(12.1-12)
at -
b2
(12.1-13)
Con estas variables adimensionales, la ecuación diferencial y las condiciones límite son
C.I.:
en T = 0,
0 = 1
C.L.: 1 y 2
e n v = 21,
0 = 0
(12.1-15 para T > 0
(12.1-16)
Nótese que cuando el problema se replantea así, no aparecen pariimetros. Podemos resolver este problema por el método de separación de variables. Empezamos postulando que puede obtenerse una solución de la forma del siguiente producto:
442
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Al sustituir esta función tentativa en la ecuación 12.1-14 y dividir luego entre el producto f (q)g(r)se obtiene
El miembro izquierdo es una función exclusiva de T y el derecho es una función exclusiva de q. Esto sólo puede ser cierto si ambos miembros son iguales a una constante, que denombaremos -cZ. Si la constante se llama +c2, t c O -c, se obtiene el mismo resultado final, aunque la ecuación es algo m6s enredada. Así, la ecuación 12.1-18puede separarse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias
Estas ecuaciones tienen la forma de las ecuaciones C.l-1 y C.l-3 y pueden integrarse para obtener g = A exp ( - c 2 r )
f = Bsencq
(12.1-21)
+ Ccoscq
(12.1-22)
donde A, B y C son constantes de integración. Debido a la simetría respecto al plano xz, debemos tener O(7, T) = O(-q, T), y así f(q) = f(-vil). Ya que la función seno no tiene este tipo de comportamiento, debe requerirse que B sea cero. Al usar cualquiera de las dos condiciones límite se obtiene C cos c = O
(12.1-23)
Resulta evidente que C no puede ser cero, porque esa elección lleva a una solución físicamente inadmisible. Sin embargo, la igualdad puede satisfacerse por medio de muchas elecciones de E, que denominamos c,:
Por tanto, la ecuación 12.1-14 puede satisfacerse por medio de
Los subindices n nos recuerdan que A y C pueden ser diferentes para cada valor de n. Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, ahora podemos superponer todas las soIuciones de la forma de la ecuación 12.1-25.Al hacer lo anterior, observamos que las exponenciale y los cosenos de n tienen los mismos valores que los de -(n + l), de modo que los t6rminos con hdices negativos se combinan con Los que tienen índices positivos. Entonces, la superposición proporciona Q =
2
n =O
donde D,
=
A,C,
D, exp[- (n + 4 )2.rr'-~] cos (n +
+ A-(,+i)~-(,+,>.
+ )ml
(12.1-26)
512.1 Conducción d e calor no estacionaria en sólidos 443 Ahora las D, se determinan usando la condición inicial, con lo que se obtiene
Al multiplicar por codm
:/
cos (m
+ + )qe integrar desde q = -1 4-1
++)mdn = n=O
D,
1
hasta 7 = +1 se obtiene
cos (m+ i)*q cos (n + i ) wq drl
(12.1-28)
-1
Una vez que se hacen las integraciones, todas las integrales en el miembro derecho son idénticamente cero, excepto por el término en que n = m. Por tanto, se obtiene
+(m +
$)m + 4 sen 2(m + 3)(m + +)T
(12.1-29)
Después d e insertar los límites, podemos despejar D, para obtener
Al sustituir esta expresión en la ecuacián 12.1-26 se obtienen los perfiles de temperatura, que ahora volvemos a escribir en términos de las variables originales2
Las soluciones de muchos problemas de conducción de calor en estado no estacionario se presentan como series infinitas, precisamente como las que acaban de obtenerse. Estas series convergen rápidamente para grandes valores2 del tiempo adimensional, af/b2. Para tiempos muy cortos, la convergencia es muy lenta, y en el limite cuando at/b2 tiende a cero, puede mostrarse que la solución en la ecuación 12.1-31 tiende a la solución proporcionada en la ecuación 12.1-8 (véase el problema 12D.1). Aunque la ecuación 12.1-31 es dificil de manejar para algunos cálculos prácticos, es fácil usar una presentación gráfica como la de la figura 12.1-1 (véase el problema 12A.3). A partir de la figura resulta evidente que cuando el tiempo adimensional T = at/# es 0.1, el calor ha "penetrado" en forma mensurable al plano central de la placa, y que para 7 = 1.0 el calentamiento está al 90% en el plano central. Para el caso de cilindros infinitos y esferas, en las figuras 12.1-2 y 12.1-3 se proporcionan resultados análogos a la figura 12.1-1. Estas gráficas también pueden usarse para desarrollar las soluciones de los problemas análogos de conducción de calor en paralelepípedos rectangulares y cilindros de longitud finita (véase el problema 12C.1).
H.S. Carslaw y J.C.Jaeger, Conduction of Hmt in Solids, h.edición, Oxford University Press (19591, p. 97, Ec.(8); la solución alternativa en la Ec. (9) converge rápidamente para tiempos cortos.
444
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Cenho de
/ la placa
,
Eje del cilindro
Superficie de la placa \
Figura 12.1-1 Perfiles de temperatura para conducción de calor en estado no estacionario en una placa de espesor finito 2b. La temperatura inicial de la placa es To, y Ti es la temperatura impuesta en las superficies de la placa para el tiempo t > O. [H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction of Heaf in Colids, 2a. edición, Oxford University Ress (1959), p. 101.1
Centro de la esfera
Superficie del cilindro
,
Figura 12.1-2 Perfiles de temperatura para conducción de calor en estado no estacionario en un cilindro de radio R. La temperatura inicial del cilindro es To,y TIes la temperatura impuesta en la superficie del cilindro para el tiempo t > O. 1H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, 2a. edición, Oxford University Press (1959), p. 200.1
Superficiede la esfera
,
Figura 12.1-3 Perfiles de temperatura para conducción de calor en estado no estacionario en una esfera de radio R. La temperatura inicial de la esfera es To, y Ti es la temperatura impuesta en la superficie de la esfera para el tiempo f > O. [H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction of Hent in Solids, 2a. edición, Oxford University Press (19591, p. 234.1
512.1 Conduccibn de calor no estacionaria en sólidos 445
-
coHducciÓnde calor no nonada tema una
Un cuerpo s6Lido que ocupa el espacio desde y = O harta y = estd inicialmente s la temperatura To. Empezando en el instante f = O, en y = O se impone una densidad de flujo de cal" ~e"dica dada Por
pared con densidad de flujo de calor sinusoidal
Aquí qo es la amplitud de las oscilaciones de la densidad de flujo de calor, y w es la frecuencia (circular).Se desea encontrar la temperatura en este sistema, T(y, t),en el "estado estacionario periódico" (véase el problema 4.1-3).
Para conducción de calor en una dimensión, la ecuación 12.1-2 es
Al multiplicar por -k y operar sobre toda la ecuación con d/&y se obtiene
o bien, usando qy = -k(aT/$),
Por tanto, qy satisface la misma ecuación diferencial que T. Las condiciones limite son
Formalmente, este problema es idéntico al proporcionado en las ecuaciones 4.1-44, 4.1-46 y 4.1-47. Por tanto, la solución en la ecuación 4.1-57 puede tomarse haciendo cambios apropiados en la notación:
Luego, al integrar la ley de Fourier
Al sustituir la distribución de la densidad de flujo de calor en el miembro derecho de esta ecuación se obtiene, después de integrar,
Así, en la superficie y = O, las oscilaciones de temperatura van retrasadas por 7r/4 respecto a
las oscilaciones de la densidad de flujo de calor.
446
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente Este problema ilustra un procedimiento normal para obtener el "estado estacionario periódico" en sistemas de conducción de calor. También muestra cómo usar la ecuación de conducción de calor en términos de la densidad de flujo de calor, cuando se conocen las condiciones límite sobre ésta.
Enfiarnientu de una esfera en contacto con un fiuido bien agitado
Una esfera sólida homogénea de radio R, inicialmente a una temperatura uniforme TI, sibitamente es sumergida en el instante I = O en un volumen V f de un fiuido bien agitado y temperatura To que está en un tanque aislado. Se desea encontrar la difusividad termica as= ks/psSp, del sólido al observar el cambio en la temperatura del fluido Tf con el tiemPO.Usamos las siguientes variables adimensionaies: @,([,
7)=
O ~ ( T=)
TI - Ts
-= temperatura adimensional del sólido T1 - To
(12.1-41)
T -T u = temperatura adimensional del fluido T1 - To
(12.1-42)
t=
'
7=
ffst - = tiempo adimensional
R
=
(12.1-43)
coordenada adimensional radial
(12.1-44)
R2
El lector puede comprobar que el problema, planteado en variables adimensionales, es
s , V representan el volumen del fluido y del sólido. donde B = pf ? p f ~ / p , C p Sy~ las Problemas lineales con condiciones límite complicadas y/o con acoplamiento entre las ecuaciones, a menudo se resuelven fácilmente con el método de la transformada de Laplace. Ahora tomamos la transformada de Laplace de las ecuaciones precedentes y sus condiciones límite para obtener:
1
1
Sólido
~ n t l,Gs = =Of En [ = 0, O, = finita
(12.1-52) (12.1-53)
Ruido
1
512.1 Conducción de calor no estacionaria en sólidos 447 Aquí p es la variable de la tran~fonnada.~ La solución de la ecuación 12.1-51 es
Debido a la condición límite en 6 = O, es necesario igualar C2a cero. Entonces, al sustituir este resultado en la ecuación 12.1-54 se obtiene
Luego, para determinar C1 insertamos estos dos 6ltimos resultados en la condiaón Límite en 6 = 1. Así se obtiene para Gf:
Ahora dividimos entre p el numerador y el denominador que están dentro del paréntesis, y tomamos la transformada inversa de Laplace para obtener
Puede demostrarse que D(p) tiene una raíz simple en p = O, y raíces en = ibk (con k = 1, 2, 3, ..., -1, donde las bk son las raíces diferentes de cero de tan bk = 3bk/(3 + Bb$). El teorema de desarrollo en fracciones parciales de Heaviside4 puede usarse ahora con
para obtener
La ecuación 12.1-61 se muestra gráficamente en Ia figura 12.1-4. En este resultado el único lugar en que aparece la difusividad térmica ru, del sólido es en el tiempo adimensional r = ast/R2,de modo que el aumento de temperatura del fluido puede usarse para determinar experimentalmente la difusividad térmica del sólido. N6tese que la técnica de la transformada de Laplace permite obtener el desarrollo del comportamiento de la temperatura del fluido sin obtener los perf3es de temperatura en el sólido.
-
Usamos la definiU6n YIJV))j(P)= c f ( . t ) e - p ' d t . 'A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger y EG. Tricomi, Tables of Infegral Transfirms, Vol.l. McGraw-HiU, Nueva York (19541, p. 232, Ec. 20; véase también C.R. Wylie y L.C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics, McGraw-HiU, Nueva York, 6a. edici6n (1995), 510.9.
448
Capitulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Figura 12.1-4 Vanación de la temperatura del fluido con el tiempo después de que una e s f a de radio R a temperatura Ti se coloca en un fluido fuertemente agitado que inicialmente está a La temperatura To. El parametro adimensional B se define en el texto a continuacidn de la ecuación 12.1-50. [H.S. Carslaw y J.C.Jaeger,Conduction of Heat in Solids, 2a. edición, Oxford University Press (1959), p. 241.1
512.2" CONDUCCION DE CALOR ESTACIONARIA EN R U J O LAMINAR INCOMPRESIBLE
En el análisis precedente de conducción de calor en sólidos sólo fue necesario usar la ecuación de energía. No obstante, para problemas que impIican fluidos que fluyen, se requieren las tres ecuaciones de variación. Aquí restringimos el análisis a flujo estacionario de fluidos newtonianos incompresibles con propiedades constantes del fluido, para los cuales las ecuaciones de variación relevantes son:
Continuidad:
Movimiento: Energul:
(V v) = O
(12.2-1)
ptv - Vv] = /LV2v - v9
+
ptp(v VT) = k V 2 ~ pau
En la ecuación 12.2-3, a, es la función de disipación dada en la ecuación 3.3-3. A fin de obtener los perfiles de temperatura para convección forzada, se usa un procedimiento de dos pasos: primero se resuelven las ecuaciones 12.2-1 y 12.2-2 para abtener la distribución de velocidad v(r, t); luego, la expresión para v se sustituye en la ecuación 12.2-3, que al mismo tiempo puede resolverse para obtener la distribución de temperatura T(r, t). Para situaciones que se encuentran comúnmente hay disponibles muchas saluciones analíticas de las ecuaciones 12.2-1 a 12.2-3.l-~ Uno de los problemas más antiguos de convección forzada es el problema de Graetz-Nusselt? que describe los perfiles de temperatura en el flujo en un tubo donde la temperatura de la pared M. Jakob, Heat Trwfer, Vol. 1, Wdey, Nueva York (1949). pp. 451-464. H.GrOber, S. Erk y U. Griguii, Die Grundgesdze der Wümeübertru~ung,Springer, Berlín (19611, Parte 11. 3 R.K. Shah y A.L, London, Laminar FfmForced Convection in Ducts, Academic Press, Nueva York (1978). L.C.Burmeister, Convective Heat Tmnsfer,Wdey-lnterscience,Nueva York (1983). L.D. Landau y E.M.Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon, Oxford (1987), capitulo 5. L.G. Leal, Imminar Flow ami Convective Tiansport P m s s e s , Butterworth-Heinemann(1992),capituios 8 y 9. W.M.Deen, Analysis of Trumporf Phmomena, Oxford University Press (1998).capítulos 9 y 10. L.Graetz, Ann. Phys. (NF.), 18,7944 (1883),25,337-357 (1885); W. Nusselt, Zeits. Ver.deutch. kg.,54,1154-1158 (1910).Para el "problemade Graetz extendido", que incluye conducciónaxiai, vease E. Papoutsakis, D. R-hna Y H.C. Lm,Appl. Sci. Res., 36,1334 (1980). E.N. Lightfoot, C. Massot y F. irani, Chem. Eng. Pmgrrss Cyilrp. SrrVs, Vol. 61, Núm.58 (19651,pp. 2840.
912.2
Conducción de calor estacionaria en flujo laminar incompresible 449
experimenta un cambio repentino en alguna posición a lo largo del tubo (véanse los problemas 12D.2 a 12D.4). Para variaciones arbitrarias de temperatura de la pared y densidad de flujo en la pared se han obtenido soluciones análoga^.^ El problema de Graetz-Nusselt también se ha extendido a fluidos no newtonianos.1° Asimismo se han deducido soluciones para una gran clase de problemas del intercambiador de calor laminarF1 donde la condición límite en la pared es proporcionada por la continuidad de la densidad de flujo de calor a través de las superficies que separan las dos corrientes. Otro problema de interés es el flujo en ductos con efectos importantes de calentamiento viscoso (el problema de Brinkman12). En esta sección extendemos el anáIisis del problema tratado en 510.8; a saber, la determinación de los perfiles de temperatura para flujo laminar de un fluido incompresible en un tubo circular. En esa sección planteamos el problema y se encontr6 la solución asintótica para distancias corriente abajo lejos del inicio de la zona calentada. Aquí proporcionamos la solución completa de la ecuación diferencial parcial, así como la solución asintótica para distancias cortas. Es decir, el sistema que se muestra en la figura 10.8-2 se analiza desde tres puntos de vista en este libro: a. Solución completa de la ecuación diferencial parcial por el método de separación de variables (ejemplo 12.2-1). b. Solución asintótica para distancias cortas corriente abajo en el tubo, por el método de combinación de variables (ejemplo 12.2-2). c. Solución asintótica para grandes distancias corriente abajo en el tubo (§10.8).
Flujo laminar en un tubo con densidad de flujo de calor constante &.la pared
Resolver la ecuación 10.8-19 con las condiciones límite dadas en las ecuaciones 10.8-20 a 10.8-22.
SOLUCIÓN Se postula que la solución completa para la temperatura es de la forma siguiente:
@,(e,
donde 5 ) es la solución asint6tica proporcionada en la ecuación 10.3-31, y Oa(& 5) es una función que será amortiguada exponencialmente con b: Al sustituir la expresián para 0(5,<) de la ecuación 12.24 en Ia ecuación 10.8-19, puede demostrarse que la función 5) debe satisfacer la ecuación 10.8-19 y también las siguientes condiciones Iímite:
Qd(c,
'O
E.N. Lightfoot, C. Massot y F. Irani, Chem. Eng. Pmgress Symp. Series, Vol. 61, Núm. 58 (1965), pp. 28-60. R.B. Bird, R.C. Armstmng y O. Hassager, Dynnmics ofPolymeric Liquids, Wiley-Interscience (1987),2a. edición,
Vol. L54.4. R,J Nunge y W.N. Giü,AlChE J o u m l , 12,279-289 (1966). l2 H.C. Brinkman,Appl Sci. Research, A2,120-124 (1951); R.B. B i d , SPE Journal, 11,35-40 (1955); H.L. Toor,Ind. Eng. Chem., 48,922-926 (1956).
450
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente Anticipamos que una solución de la ecuación para @d
5) será factorizable,
(e, 5 ) = x([)z(C)
(12.2-8)
Entonces, la ecuación 10.8-19 puede separarse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias
donde -8 es la constante de separación. Debido a que las condiciones límite sobre X son dX/dc = O en 6 = 0,1, tenemos un problema de Sturm-~iouville.'~ Por tanto, sabemos que habrá una infinidad de valores propios (o caractensticos) ck y funciones propias (o características) Xk,y que la solución final debe ser de la forma: m
donde
Así, el problema se reduce a encontrar las funciones propias Xk([) resolviendo la ecuación 12.2-10 y luego obteniendo los valores propios ck aplicando la condición limite en 5 = 1. Esto se ha hecho para k hasta 7 para este ~ r o b l e r n a ? ~
Nótese que la operación suma en la ecuación 12.2-11 converge rápidamente para z grande pero lentamente para z pequeña. Deducir una expresión para T(r,z) que sea útil para valores
calor constante m llu pared: solución asintótica para la región de embocadura
so~ucróiv Para z pequeña, la adición de calor afecta sólo una región muy delgada cerca de la pared, de modo que las tres aproximaciones siguientes producen resuhados que son precisos en el limite cuando z -+ 0: Los efectos de curvatura pueden despreciarse y el problema tratarse como si la pared fuese plana; la distancia a la pared se denomina y = R r. b. El fluido puede considerarse como si se extendiera desde la superficie (plana) de transmisión de calor (y = O) hasta y = m. c . El perfil de velocidad puede considerarse como lineal, con una pendiente dada por la pendiente del perfil de velocidad parabólico en la pared: v,(y) = voy/R, en donde vo = (Po- Y L ) R ~ / ~ ~ L . a.
-
l3 M.D. Greenberg, Advanced Engineering Mathemtics, Prentice-HaU, Upper Saddle River, N.J.,Segunda edición (1998),517.7. j4 R. Siegel, E.M. Sparrow y TM.Haliman, Appl. Sci. Reseurch, A7,386-392 (1958).
912.2 Conducción de calor estacionaria en flujo laminar incompresible 451 Ésta es la forma en que el sistema se presenta a un "observador" pequeño situado en el interior de la envoltura bastante delgada de fluido caliente. Para este observador, Ia pared parece ser plana, el fluido de extensión infinita y el perfil de velocidad parece lineal. Entonces, la ecuación de energía se vuelve, en la región ligeramente más allá de z = 0,
En realidad es más fácil trabajar con la ecuación correspondiente para la densidad de fiujo de calor en la dirección y (qy = -k aT/dy). Esta ecuación se obtiene al dividir la ecuación 12.2-13 entre y y diferenciar con respecto a y:
Es m6s conveniente trabajar con variables adimensionales definidas como
Así, la ecuación 12.2-14 se vuelve
con estas condiciones límite: en A en
= 0,
7) = 0,
cuando 7 + m,
$=O
$=1
4 +O
Este problema puede resolverse con el método de combinación de variables (véanse los ejemplos 4.1-1 y 12.1-1) usando la nueva variable independiente ,y = q/f%i.Entonces, la ecuación 12.2-16 se vuelve
= 0, i,b = 1, y cuando y , + -, 4 -+O. La solución de la ecuación 12.2-20 se encuentra al hacer primero d $ / d X = p, y obteniendo una ecuaci6n de primer orden para p. La ecuación para p puede resolverse y entonces se obtiene como
Las condiciones limite son: para x
Luego, el perfil de temperatura puede obtenerse integrando la densidad de flujo de calor:
452 Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
o bien, en forma adimensional,
A continuación, la expresión para JI se inserta en la integral, y puede invertirse el orden de integración en la integral doble (véase el problema 12D.7). El resultado es
Aquí T( $1 es la función gamrna (completa), y T( 3, 2)es una función gamma incomple ta.15 Para comparar este resultado con el del ejemplo 12.2-1, observamos que q = 1 - 6 y A = 4 5. La temperatura adimensional se define idénticamente en 510.8, en el ejemplo 12.2-1
y aquí.
g12.3" FLUJO POTENCIAL DE CALOR ESTACIONARIO EN SÓLIDOS El flujo de calor estacionario en sólidos de conductividad térmica constante está descrito por
Ley de Fourier Ecuación de conducción de calor
q = -kVT V2T = O
Estas ecuaciones son exactamente análogas a la expresión para la velocidad en términos del potencial de velocidad (v = -Vd) y a la ecuación de Laplace para el potencial de velocidad (VZ4 = O), que encontramos en 54.3. Por tanto, los problemas de conducción de calor estacionaria pueden resolverse aplicando la teoría del potencial. Para conducción de calor bidimensional en sólidos con conductividad térmica constante, la temperatura satisface la ecuación bidimensional de Laplace:
Ahora usamos el hecho de que cualquier función analítica w(z) = f ( x , y) + ig(x, y) pmporciona dos funciones escalares f y g, que son soluciones de ia ecuación 12.3-3. Las curvas de f = constante pueden interpretarse como líneas de flujo de calor, y las curvas de g = constante son las icotennas correspondientes para algunos problemas de flujo de calor. Estos dos conjuntos de curvas son ortogonales; es decir, se cortan en ángulos rectos. Además, las componentes del vector de densidad de flujo de calor en cualquier punto están dadas por
dw = qx - iq, ik dz
l5 M. Abramowitz e I.A. Stegun, comps., Handbwk of Mafhematiml Functioits, Dover, Nueva York, 9a. impresión (1973), pp. 255 y siguientes.
512.3 Flujo potencial de calor estacionario en sólidos 453
Dada una función analítica, es fácil encontrar problemas de flujo de calor descritos por ésta. Pero e1 proceso inverso de encontrar una función analítica adecuada para un problema de flujo dado suele ser muy dificil. Hay disponibles algunos métodos para llevarlo a cabo, aunque están fuera del alcance de este libro de texto.l.2 Para toda función compleja w(z), al intercambiar las líneas de f constante y las líneas de g constante se obtienen dos redes de flujo de calor. Además, al trabajar con la función inversa z(w) se obtienen dos redes adicionales, como se ilustra en el capítulo 4 para el flujo de un fluido ideal. Nótese que el flujo potencial de un fluido y el flujo potencial de calor son matemáticamente semejantes, ya que las dos redes de flujo bidimensionales en ambos casos están descritas por funciones analíticas. Sin embargo, hay ciertas diferencias físicas importantes. Las redes de flujo del fluido descrito en 54.3 son para un fluido sin viscosidad (iun fluido ficticio!) y por tanto no es posible utilizarlas para calcular las fuerzas de resistencia en las superficies. Por otra parte, las redes de ffujo de calor descritas aquí son para sólidos cuya conductividad térmica es finita, y en consecuencia los resultados pueden servir para calcular e1 flujo de calor en todas las superficies. Además, en 94.3 los perfiles de velocidad no satisfacen la ecuación de Laplace, mientras que en esta sección los perfiles de temperatura si la satisfacen. En libros sobre ecuaciones diferenciales parciales puede consultarse información adicional acerca de procesos fisicos análogos descritos por la ecuación de Laplace3 Aquí proporcionamos un solo ejemplo con objeto de vislumbrar el uso de las iúnciones analíticas; en las referencias citadas pueden encontrarse ejemplos adicionales.
-
temperatura en una pared CJ
Considérese una pared de espesor b que se extiende desde O hasta en la dirección y, y desde -m hasta +- perpendicularmente a las direcciones x y y (véase la figura 12.3-1). Las superficies en x = r i b se mantienen a la temperatura To,mientras que la base de la pared en -la superficie y = O se mantiene a la temperatura Ti. Demostrar que la parte imaginaria de Ia función4
proporciona la distribución de temperatura estacionaria O(x, y) = (T - To)/(Tl - To)
SOLUCION La parte imaginaria de w(z)en la ecuación 12.3-5 es
O(x, y)
=
2 cos m / b p arctan (senh ny/h)
donde el arctan está en el intervalo de O a f . Cuando x y cuando y = O, da O = (2/?r)arctan m = 1.
4
= 5 b,
la ecuación 12.3-6 da O
=
0,
H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction ojHeat in Solids,2a. edición,Oxford University Press (1959), capítulo XVI. M.D. Greenberg, Advanced Engineering Mathematics, Prentice-Hall, Upper Saddle River, N.J., 2a. edición (19981, capitulo 22. I.N. Sneddon, Elements of Partial DiPferential Equafions,Dover, Nueva York (1996), capítulo 4. R.V. C h d , Introduction to Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, Nueva York (1948), capítulo IX. Véase también C.R. Wylie y L.C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics, McGraw-Hill, Nueva York, 6a. edición (1995b capítulo 20.
454 Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
Figura 12.3-1 Dictribucibn de T = To o bien O
T = TQo bien E)
=O
=O
temperatura bidirnensional estacionaria en una pared.
-
S TI o bien O = 1
A partir de la ecuación 12.3-6 puede obtenerse la densidad de flujo de calor a través de la base de la pared:
4, ly-o
512.4"
= *k sec m/b (T* - To) =-tEl ay y-a b
TEOR~ADE LA CAPA L~MITE PARA FLUJO NO ISOTÉRMICO~" En 54.4 se analizó el uso de aproximaciones de la capa límite para flujo larnjnar en estado estacionario de fluidos incompresibles a temperatura constante. Vimos que, en la vecindad de una superficie sólida, Ias ecuaciones de continuidad y movimiento podían simplificarse, y que estas ecuaciones pueden resolverse para obtener "soluciones exactas de capa límite", y que una forma integrada de estas ecuaciones (el balance de cantidad de movimiento de von Kármán) permite obtener "soluciones aproximadas de capa limite". Eri esta sección extendemos la deducción previa al incluir la ecuación de la capa límite para transporte de energía, de modo que puedan obtenerse los perfiles de temperatura cerca de superficies sólidas. Así como en 54.4, consideramos el flujo bidirnensional en estado estacionario alrededor de un objeto sumergido como el que se muestra en la figura 4.4-1. En la vecindad de la superficie sólida, las ecuaciones de variación pueden escribirse (omitiendo las barras sobre p y p) como
Continuidad:
Energía:
' H. Schlichting, Bounday-Layer Theoy, 7a. edición, McGraw-Hiii, Nueva York (19791, capítulo 12. K. Stewartson, The T h e o y of Laminar Boundmy Lnyers in Compressible Fluids, Oxford University Press (1964). E.B.G. Eckert y R.M. Drake, Jr.,Analysis ofHeat and Mass Pansfer, McGraw-WU, Nueva York (1972), capítulos 6 y 7.
512.4
Teoría de la capa límite para flujo no isotérmico 455
cp
Aquí p, p, k y se consideran como constantes, y p(av,/ay)2 es el efecto del calentamiento viscoso, que se elimina a partir de este momento. Las soluciones de estas ecuaciones son asintóticamente exactas para difusión de cantidad de movimiento v = p / pequeña ~ en la ecuación 12.4-2, y para difusividad térmica a = k/pt?p pequeña en la ecuación 72.43. La ecuación 12.4-1 es la misma que la ecuación 4.4-1. La ecuacibn 12.4-2 difiere de la ecuación 4.4-2 debido a la inclusión del termino de la fuerza de flotación (véase 511.31, que puede ser significativo incluso mando los cambios fraccionarios en densidad son pequeños. La ecuación 12.43 se obtuvo a partir de la maci6n 11.2-9 al despreciar la conducción de calor en la dirección x. En otras partes pueden consultarse fonnas más completas de las ecuaciones de la capa límite.2$ Las condiciones límite de costumbre para las ecuaciones 12.4-1 y 12.4-2 son que u, = vy = O en la superficie sólida, y que la velocidad se fusiona con el flujo potencial en el borde exterior de la capa límite de la velocidad, de modo que v, -+ve(x). Para la ecuación 12.4-3 la temperatura T se especifica como Toen la superficie sólida y como T, en el borde exterior de la capa límite térmica. Es decir, la velocidad y la temperatura son diferentes de v,(x) y T, sólo en capas delgadas cerca de Ia superficie sólida. Sin embargo, las capas limite d e la velocidad y la temperatura serán de espesores diferentes correspondientes a la facilidad relativa de la difusión de cantidad de movimiento y calor. Debido a que Pr = v / a , para Pr > 1 la capa límite de la temperatura suele estar dentro de la capa límite de la velocidad, mientras que para Pr < 1 los espesores relativos simplemente se invierten (debe recordarse que para gases, Pr es aproximadamente mientras que para líquidos comunes Pr > 1 y para metales líquidos Pr << 1). En w.4 demostramos que si se usa la ecuación de continuidad, entonces la ecuación de movimiento de la capa límite puede integrarse formalmente desde y = O hasta y = m. De igual manera, la integración de las ecuaciones 12.41 y 12.4-3 puede efectuarse para obtener
:,
Cantidad de movimiento
Energiá Las ecuaciones 12.4-4 y 12.4-5 con los balances de energía y de cantidad de movimiento de von Kám'n, válidos para sistemas en convección forzada y en convección libre. Aquí se ha utilizado la condición sin deslizamiento vy = O en y = O, como en la ecuación 4.4-4; en sistemas con transferencia de materia ocurren velocidades diferentes de cero en y = O, mismas que se considerarán en el capítulo 20. Como se mencionó en 94.4, hay dos métodos para resolver problemas de capa límite: las soluciones analíticas o numéricas de las ecuaciones 12.4-1 a 12.4-3 se denominan "soluciones exactas de capa límite", mientras que las soluciones obtenidas a partir de las ecuaciones 12.4-4 y 12.4-5, con conjeturas razonables para los perfiles de velocidad y temperatura, se denominan "soluciones aproximadas de capa límite". A menudo puede obtenerse bastante conocimiento físico con el segundo método y con un esfuerzo relativamente pequeño. El ejemplo 12.4-1 ilustra este método.
456 Capítulo 12 Distribuciones de temperahra con más de una variable independiente
Las ecuaciones de capa límite se han utilizado extensamente para establecer correlaciones de velocidades de transferencia de cantidad de movimiento y transmisión de calor, como veremos en el capítulo 14. Aunque en esta sección no abordaremos la convección libre, en el capítulo 14 se proporcionan muchos resultados útiles, junto con Ias citas idóneas de publicaciones sobre el tema.
convección forzada laminar a lo largo de una lámina plana calentada (mitodo de 'On
Obtener los perfíles de temperatura cerca de una lámina plana, a lo largo de la cual fluye un fluido newtoniano, como se muestra en la figura 12.4-1.La superficie húmeda de la lámina se mantiene a la temperatura To y la temperatura del fluido que se aproxima es T,.
SOLUCIÓN Para usar los balances de von Kármán, primero postulamos formas razonables de los perfiles de velocidad y temperatura. La siguiente forma poünomial proporciona O en la pared y 1 en el límite externo de la capa límite, con una pendiente igual a cero en el límite externo:
Es decir, suponemos que los perfiles adimensionales de velocidad y temperatura tienen la misma forma en el interior de sus capas limite respectivas. AdemBs, suponemos que los espesores S(x) y ¿jT(x) de las capas límite tienen una razón constante, de modo que A = Sr(x)/ S(x) es independiente de x. Es necesario considerar dos posibiIidades: A 5 1 y A 2 l . Aquí consideraremos A 5 1 y el otro caso se pospondrá hasta el problema 12D.8. Ahora, el uso de las ecuaciones 12.44 y 12.4-5 es directo pero tedioso. Al sustituir las ecuaciones 12.4-6 a 12.4-9 en las integrales se obtiene (donde aquí ve se ha igualado a u,)
v,
El fluido se aproxima con velocidad v,
-
Y
=
v,
\
T~ - T
Figura 12.4-1 Desarrollo de la capa límite para el flujo a lo largo de una lámina plana calentada, que muestra la capa límite térmica para A = 6 T ( x ) / 6 ( x ) < l. La superfic~ede Ia lámina está a la temperatura To y el fluido que se aproxima está a T,.
512.4 Teoría de la capa limite para flujo no isot&rmico 457
En estas integrales, 7 = y/6(x) y 7 ~ = r y/&+) = y/AS(x). Luego, la sustitución de estas integrales en las ecuaciones 12.4-4 y 12.4-5 resulta en ecuaciones diferenciales para los espesores de las capas límite. Estas ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables se integran con facilidad, y se obtiene
Ahora se determinan los espesores de las capas límite, excepto por la evaluación de A en la ecuación 12.4-13.La raz6n de la ecuación 12.4-12 a la ecuación 12.4-13 proporciona una ecuación para A como una funci6n del número de Prandtl:
Cuando esta ecuación algebraica de sexto orden se resuelve para A como una función de Pr, se encuentra que la solución puede ajustarse por una curva mediante la relación sencilla4
dentro de un margen aproximado de 5%. Finalmente, el perfil de temperatura (para A
5
1) está dado por
donde A .=- ~ r - y~8(x) / ~ = v(1260/37)(vx/v,). La suposición de flujo iaminar que se hace aquí es válida para x < x h t , donde xdtv,p/p suele ser mayor que lo5. Por último, la velocidad de pkrdida de calor desde ambos lados de una lámina calentada de ancho W y longitud L puede obtenerse a partir de las ecuaciones 12.4-5, 12.4-11, 12.412, 12.4-15 y 12.4-16:
H Schlichtmg, Bounday-Lnym T k o r y , 7a edici6n. McGraw-Hdl, Nueva York (1979), pp. 292-308
458
Capitulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente Tabla 12.41 Comparación de los cálculos de transmisión de calor en la capa límite para flujo a lo largo de una lámina plana Valor del coeficiente numérico en la expresión para la velocidad de transmisión de calor en la ecuación 12.4-17
Método
Método de von Kármán con perfiles de las ecuaciones 12.4-6 a 12.4-9
= 0.685
Soluaón exacta de las ecuaciones 12.4-1 a 12.4-3 por Pohlhausen
0.657 en Pr = 0.6 0.664 en Pr = 1.O 0.670 en Pr = 2.0
Ajuste de curva de cálculos exactos (Pohlhausen}
0.664
Solución asintótica de las ecuaciones 12.4-1 a 12.4-3 para Pr >> 1
0.677
donde R ~ =LLv,p/p. Por tanto, el metodo de la capa limite permite obtener la dependencia de la velocidad de pérdida de calor Q respecto a las dimensiones de la lámina, las condiciones de flujo y las propiedades térmicas del fluido. La ecuación 12.4-17 coincide bastante bien con soluciones más detalladas basadas en las ecuaciones 12.4-1 a 12.4-3. La solución asintótica para Q a números de Prandtl grandes, dada en el S' uiente ejemplo? tiene la misma forma excepto que el coeficiente numérico 148/315 = 0.685 se reemplaza por 0.677. La solución exacta para Q a números de Prandtl finitos, obtenida numéricarnente,6 tiene la misma forma excepto que el coeficiente se sustituye por una función de variación lenta C(Pr), mostrada en la tabla 12.4-1. El valor C = 0.664 es exacto para Pr = 1 y aceptable dentro de un margen de +2% para Pr > 0.6. La proporcionalidad de Q a Pr1/3, encontrada aquí, es asintóticamente correcta en el límite cuando Pr + -, no sólo para la lámina plana sino también para todas las geometrías que permiten una capa límite laminar no separable, como se ilustra en el siguiente ejemplo. A números de PrandtI finitos ocurren desviaciones de Q Pr1l3 para flujo a lo largo de una lámina plana e incluso más para flujos cerca de objetos con otras formas y cerca de superficies giratorias. Estas desviaciones surgen de la no lineaiidad de los perfiles de velocidad en el interior de la capa límite térmica. Merk y otros han presentado7 expansiones asintóticas para la dependencia de Q respecto a Pr.
/
-
Transmisión de calor en convecciónforzada laminar a lo lamo de una ldmina plana calentada (solución asintótica para números de Prandtl
En el ejemplo precedente usamos las expresiones integrales de von Kármán para la capa límite. Ahora repetiremos el mismo problema pero obtendremos una solución exacta de las ecuaciones de la capa limite en el limite en que el número de Prandtl es grande; es decir, para liquidos (véase 59.1). En este límite, el borde externo de la capa límite tbrmica está
M.J. Lighthiii, Proc. Roy. Soc., A202,359-377 (1950). E. Pohlhausen Zeits. f. angm. Math. u. Mech., 1,115-121 (1921). H.J.Merk. J. Fluid Meck, 5, 460-480 (1959).
912.4
Teoría de la capa límite para flujo no isotPnnico 459
bastante dentro de la capa límite de la velocidad. Por tanto, puede suponerse con seguridad que u, vana linealmente con y en toda la capa limite térmica.
Al combinar las ecuaciones de continuidad y energía de la capa limite (ecuaciones 12.4-1 y 12.43) se obtiene
donde a = k/&. El término principal de una expansión en serie de Taylor para la distribución de velocidad cerca de la pared es
donde la constante c = 0 . 4 6 9 6 / f i = 0.332 puede inferirse a partir de la ecuación 4.4-30. Al sustituir esta expresión para la velocidad en la ecuacibn 12.4-18 se obtiene
Esta ecuación debe resolverse con las condiciones límite d e que T = To en y = O y T = T, e n x = 0. Esta ecuación puede resolverse por el método de combinación de variables. La elección de las variables adimensionales
hace posible volver a escribir la ecuación 12.4-20 (véase la ecuación C.1-9) como
Al integrar esta ecuación con las condiciones Iímite de que Ii = O en 7 = O y 77 + m se obtiene
ri + 1 cuando
para la distribución d e temperatura adimensional. Véase x . 4 para un análisis de la función gamma
460
Capitulo 12 ~istribucionesde temperatura con más de una variable independiente Para la velocidad de pérdida de calor desde ambos lados de la lámina caliente de ancho W y longitud L, obtenemos
que es e1 mismo resultado que el de la ecuación 12.4-17, aparte de una constante numérica. La cantidad entre corchetes es igual a 0.677, el valor asintótico que aparece en la tabla 12.41.
Conveccidn forzada mJlujo hidimmional estacionario a números de Prandtl elevado&
La técnica que se introdujo en el ejemplo precedente se ha extendido al flujo alrededor de objetos de forma arbitraria. Considérese el flujo estacionario de u n fluido sobre un objeto estacionario como se muestra en la figura 12.4-2. El fluido se aproxima a una temperatura uniforme T, y la superficie sólida se mantiene a una temperatura uniforme To. Deben encontrarse la distribución de temperatura y la velocidad de transmisión de calor en la regi6n de flujo laminar, que se extiende corriente abajo desde el sitio de estancamiento hasta el sitio en que empieza la turbulencia o la separación del flujo. Se considera que se conocen los perfiles de velocidad.
-
Fluido que se aproxima con temperatura T, y velocidad u,
Lugar geométrico de estancamiento
Límite aproximado de la capa límite térmica
'n I
1
1 / / 1
/
/
Región de flujo separada
Figura 12.4-2 Transmisión de calor desde una superficie tridimensional. El análisis asintótico es válido corriente arriba de las regiones de flujo separada y turbulenta. Eti la figura 3.7-2 se ilustran estas regiones para cilindros.
W.E. Stewart, AlChE Journal, 9,528-535 (1963). Para análisis bidimensionales relacionados, véase M.J.Lighthill, Proc, Roy. Soc., A202,359-377 (1950);V.G. Levich, Physico-Chemical Hydrodynamics, capítulo 2, Prentice-Haii, Englewood Cliffs, N.J.(1962);A. Acrivos, Physics o/ Fluids, 3,657-658 (1960).
912.4 Teoría de la capa límite para flujo no isotérmico 461
Se considera que la capa l í t e térmica es muy delgada. Esto implica que las isotermas casi coinciden con la superficie sólida, de modo que la densidad de flujo de calor q es casi normal a la superficie. También implica que los perfiles de velocidad completos no se requieren aquí. Es necesario conocer el estado del movimiento s610 cerca de la superficie sólida. Para aprovechar estas sirnpIificaciones, elegimos las coordenadas de una manera especial (véase la figura 12.42). Definimos y como h distancia de la superficie hacia el fluido precisamente igual que en la figura 12.41. Además definimos x y z como las coordenadas del punto más próximo sobre la superficie, medidas en forma paralela y perpendicular al movimiento tangencia1 cerca de la superficie. Los elementos de arco en las direcciones x y z los expresamos como h d x y h d z , donde h, y h, son "factores de escala" dependientes de la posicibn que se analizan en 9A.7. Debido a que aquí estamos interesados en la región de y pequeña, los factores de escala se tratan como funciones exclusivas de x y z evaluadas en y = 0, con hy = 1. Con esta elección de coordenadas, las componentes de la velocidad para y pequeña se vuelven
Aquí, @(x, z) es el valor local de dvx/ay sobre la superficie; es positivo en la región no separada, aunque puede desaparecer en puntos de estancamiento o separación. Estas ecuaciones se obtienen al escribir una serie de Taylor para u, y v,, reteniendo los términos hasta el de primer grado en y, y luego integrando Ia ecuación de continuidad con la condición límite vy = O en la superficie para obtener vy. Estos resultados son válidos para flujo newtoniano o no newtoniano con densidad y viscosidad independientes de la t e m ~ e r a t u r a ? ~ Por un procedimiento análogo al que se utilizó en el ejemplo 12.42, se obtiene un resultado semejante al que se proporciona en la ecuación 12.4-24. La única diferencia es que q se define de manera más general como q = y/&, donde es el espesor de la capa límite térmica dado por
y xl(z) es el límite corriente amba de la regi6n de transmisión de calor. A partir de las ecuaciones 12.4-24 y 12.4-25, la densidad de flujo de calor superficial local qo y el flujo de calor total para una región caliente de la forma xl(z) < x < x2(2), ZI < z < z2, son
Este último resultado muestra como Q depende de Ias propiedades del fluido, de los perfiles de velocidad y de la geometria del sistema. O b s e ~ a m o S que Q es proporcional a la diferencia de temperatura, a k/cu113 = k 2 / 3 p 1 / 3 ~ P y / 3a, la potencia de un gradiente de velocidad media sobre la superficie.
5
'O
Las propiedades dependientes de la temperatura han sido incluidas por Amivos, loc. cit.
462
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente Demostrar cómo los resultados anteriores pueden usarse para obtener la velocidad de transmisión de calor desde una esfera caliente de radio R con una corriente de un fluido viscoso que pasa sobre ella en flujo reptante" (véanse el ejemplo 4.2-1 y la figura 2.6-1).
Las coordenadas de la capa límite, x, y y z pueden identificarse aquí con .rr - 0, r - R y de la figura 2.6-1. Así, en 0 = .rr hay estancamiento y en 9 = O existe separación. Los factores de escala son h, = R y h, = R sen 9. El gradiente de velocidad interfacial B es
Al insertar lo anterior en las ecuaciones 12.4-29 y 12.431 se obtiene el siguiente resultado para transmisián de calor por convección forzada desde una esfera isotérmica de diámetro D:
(W
=
($)"3~(~~ er)-'/~
-8
+ + sen 20)''~ sen 0
La constante entre corchetes es 0.991. En la figura 12.4-3 se esquematiza el comportamiento anticipado por la ecuación 12.4-33. El espesor de la capa límite aumenta en forma continua desde un valor pequeño en el punto
Punto de separación
(e
=
o)
-y=r-R
nto de estancamiento ( B = x)
ttittlttt Fluido que se aproxima con velocidad v, y temperatura T ,
"
Figura 12.4-3 Transmisión de calor por convecci6n forzada desde una esfera en un flujo reptante. La región sombreada muestra la capa límite térmica (definida por nT 5 0.99 O y 5 1.58~) para Pé = RePr = 200.
La soluciíin de este problema la obiuvo por primera vez V.G. Levich, luc. cit. A. Acrivos y T.D. Taylor, Phys. Fluids, 5,387-394 (1962),la han extendido a números de Reynolds algo superiores.
Problemas 463 de estancamiento hasta un valor infinito en la separación, donde la capa límite se vuelve una onda que se extiende corriente abajo. El análisis aquí es más seguro para la parte delantera de la esfera, donde & es pequefio; por fortuna, ksta también es La región en que ocurre la mayor parte de a¡ transmisión de calor. El resultado para Q coincide bastante bien dentro de un margen de 5%para RePr > 100; esto limita su uso principalmente a fluidos con Pr > 100, debido a que el flujo reptante se obtiene s610 a Re del orden de 1 o menos.12 Resultados de la misma forma de la ecuación 12.4-34 se obtienen para flujo reptante en otras geometrías, incluyendo lechos de relleno?^'^ Debe recalcarse que las soluciones asintóticas son en particular importantes, relativamente fáciles de obtener y para muchas aplicaciones, bastante precisas. En el capítulo 14 veremos que algunas de las correlaciones normales de transmisión de calor se basan en soluciones asintóticas del tipo que se ha analizado aquí.
1. ¿Cómo debe modificarse la ecuación 12.1-2 si en el interior del sólido hay una fuente de calor? 2. Demoshar cómo a partir de la ecuación 12.1-8 se obtiene la ecuación 12.1-10. ¿Cuál es el flujo viscoso anhlogo de esta ecuacibn? 3. ¿Qué tipos de problemas de conducción de caior pueden resolverse por la transformada de Laplace y cuáles no? 4. En el ejemplo 12.1-3, la densidad de flujo de calor y la temperatura satisfacen la "ecuación de conducción d e calor". esto siempre es cierto? 5. Elaborar un dibujo cuidadosamente identificado de los resultados de las ecuaciones 12.1-38 y 12.1-40 que muestre lo que se entiende por la afirrnaci6n de que 'las oscilaciones de temperatura van retrasadas por 7r/4 respecto a las oscilaciones de la densidad de flujo de calor". 6. Comprobar que la ecuación 12.1-40 satisface las condiciones límite. ¿Debe satisfacer una condición inicial? En caso afirmativo, ¿cuál? 7. En el ejemplo 12.2-1, ¿funcionará el método de separación de variables si se aplica directamente a la función 0(5, 5) en vez de a Od(6, O? 8. En el ejemplo 12.2-2, ¿cómo depende la temperatura de la pared de la coordenada corriente abajo z? 9. Mediante un diagrama identificado cuidadosamente, mostrar qué se entiende por los dos casos A 5 1 y A r 1 en 512.4. ¿Qué caso se aplica a gases poliatómicos diluidos? ¿A líquidos orgánicos? ¿A metales fundidos? 10. Resumir las situaciones en que son aplicables los cuatro métodos matemáticos presentados en 9 2 . 1 .
PROBLEMAS
12A.1 Conducción de calor en estado no estacionario en una esfera de hierro. Una esfera de
hierro de 1 pulg de diámetro tiene las siguientes propiedades físicas: k = 30 Btu/h . pie .F, = 0.12 Btu/lb, . F y p = 436 lb,/pies3. inicialmente, Ia esfera está a una temperatura de 70 "F.
cp
a) ¿Cuál es la difusividad térmica de Ia esfera? b) Si la esfera se sumerge súbitamente en un gran cuerpo de fluido a temperatura d e 270 QF, icu6nto tiempo se requiere para que el centro de la esfera alcance una temperatura de 128 QP?
l2
S.K. Friedlander,AlChE Jouml, 7,347-348(1961),comenta los anáiisis para un amplio intervalo de P6 = RelJr. W.E. Stewart, Chem. Eng. Sci., 29,833-837(2974).
l 3 J.P. Corensen y
464
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente c) Una esfera del mismo tamaño y a la misma temperatura inicial, pero hecha de otro material, requiere el doble de tiempo para que su centro esté a 128 "F. ¿Cuál es su difusividad térmica? d) El diagrama usado en la solución de los incisos b) y c) se elaboró a partir de la solución de una ecuación diferencialparcial. ¿Cuál es esta ecuación diferencial?
Respuestas: a) 0.574 pies2/h; b) 1.1 S; c) 0.287 pies2/h 12A.2 Comparación de las dos soluciones de la placa para tiempos cortos. ¿Qué error se comete al usar la ecuación 12.1-8 (basada en la placa semiinfinita) en vez de la ecuación 12.1-31 (basada en la placa de espesor finito), cuando at/b2 = 0.01 y para una posición que está a 0.9 de la distancia del plano central a la superficie de la lámina? Para hacer la comparación, use las soluciones presentadas gráficamente.
Respuesta: 4% 12A.3 Unión con un adhesivo termoestablel (figura 12A.3).Se desea unir entre sí dos hojas de un material sólido, cada una con espesor de 0.77 cm. Esto se hace utilizando una capa delgada de un material termoestable, que se funde y forma una buena unión a 160 "C. Las dos láminas son insertadas en una prensa, donde las dos platinas de la prensa se mantienen a una temperatura constante de 220 'C. ¿Cuánto tiempo es necesario mantener las hojas en la prensa, si inicialmente están a 20 "C? Las hojas sólidas tienen wna difwividad térmica de 4.2 x lop3m 2 / s .
Respuesta: 85 S 12A.4 Templado de un lingote de acero. Un lingote cilíndrico de acero de 1 pie de diámetro y 3 pies de longitud, inicialmente a 1000 OF, se templa en aceite. Supóngase que la superficie
del lingote está a 200 OF durante el proceso de templado. El acero tiene las siguientes propiedades, que pueden suponerse independientes de la temperatura: k = 25 Btu/h . pie - F, p = 7.7 g/cm3 y Cp = 0.12 cal/g . C . Estimar la temperatura del punto mas caliente en el lingote después de cinco minutos de templado. Despreciar los efectos finales; es decir, hacer el cálculo para un cilindro del diámetro dado pero de longitud infinita. En el problema 12C.1 se muestra el método para tomar en cuenta los efectos finales.
Respuesta: 750 "F 12A.5 Medición de la difusividad térmica a partir de la amplitud de oscilaciones en la temperatura,
a) Ce desea usar los resultados del ejemplo 12.13 para medir la difusividad térmica a = k/& de un material sólido. Esto puede hacerse midiendo las amplitudes Al y A2 en dos puntos a las
1
Adhesivo termoestable /&mina superior (calentada)
Lámina inferior (calei~tada)
/
I
Figura 12A.3 Dos hojas de un material sólido con una delgada capa de adhesivo entre ellas.
'
Este problema est6 basado en el ejemplo 10 de J.M.McKelvey, capítulo 2 de Processing of Thermoplastic MatP/ials (E.C. Bemhardt, editor),Reinhold, Nueva York (1959),p. 93.
1
Problemas 465 distancias y1 y y2 de la superficie que se calienta periódicamente. Demostrar que la difusividad térmica puede entonces estimarse a partir de la fórmula
b) Calcular la difusividad térmica a cuando la densidad de flujo de calor sinusoidal en la superficie tiene una frecuencia de 0.0030 ciclos/s, si y2 - y1 = 6.19 cm y la razón de amplitudes A1/A2 es 6.05.
Respuesfa: a = 0.111 cm2/s 12A.6 Convección forzada desde una esfera sujeta a flujo reptante. Una esfera de diámetro D, cuya superficie se mantiene a una temperatura To, esth situada en una corriente de fluido que
se aproxima con velocidad v, y temperatura Tm.El flujo alrededor de la esfera está en el régimen de "flujo reptante"; es decir, con el número de Reynolds menor que aproximadamente 0.1. La pérdida de calor desde la esfera esti¡ descrita por la ecuación 12.4-34.
a) Comprobar que la ecuación es dimensionalrnente correcta.
b) Calcular la velocidad de transmisión de calor, Q, para el fiujo alrededor de una esfera de 1 mm de diámetro. El fluido es u n aceite a T, = 50 "C que se mueve a una velocidad de 1.0 cm/s respecto a la esfera, cuya superficie e:tá a una temperatura de 100 T. El aceite tiene las siguientes propiedades: p = 0.9 g/cm3, Cp = 0.45 cal/g K, k = 3.0 x lop4 cal/s cm . K,y,u=150cp. 123.1 Medición de la difusividad térmica en un experimento en estado no estacionario. Una placa sólida, de 1.90 cm de espesor, se lieva al equilibrio térmico en un baño a temperatura constante de 20 'C. En un instante dado (t = O), la placa se sujeta con firmeza entre dos placas de cobre de un termostato, cuyas superficies se mantienen cuidadosamente a 40 "C. La temperatura del plano central de la placa se mide como una función del tiempo por medio de un termopar. Los datos experimentales son:
Determinar la difusividad térmica y la conductividad térmica de la placa, dado que p = 1.50 g/crn3 y Cp = 0.365 cal/g . C.
Respuesta: a = 1.50 X
cm2/s; k = 8.2 X
cal/s . cm C o 0.20 Btu/h . pie F
12B.2 Convección forzada bidimensional con una fuente de calor lineal. Un fluido a temperatura T, fluye en la dirección x a lo largo de un alambre infinitesimalmente delgado y largo, que se calienta eléctricamente a una velocidad Q / L (energía por unidad de tiempo por unidad de longitud). Por tanto, el alambre actúa como una fuente de calor lineal. Se supone que el alambre no perturba ~ipreciablementeel fiujo, que las propiedades del fluido (densidad, conductividad térmica y capacidad térmica) son constantes, y también que el flujo es uniforme. Además, se desprecia la transmisión de calor radiante desde el alambre. a) Simplificar la ecuación de energía a la forma apropiada, despreciando la conducción de calor en la dirección x respecto al transporte de calor por convección. Verificar que las siguientes condiciones sobre la temperatura son razonables: T +T,
cuando y +-
para toda x
T=T,
enx
para toda y
+-
m
d p ( -~
~ . ) l ~ = Qu/ L~ ~
para toda x > O
(12B.2-3)
466 Capitulo 12
Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente b) Postular una solución de Ia forma (para x
T(x, y) - T,
> 0)
=f ( x ) g ( ~ )
donde q = y/S(x)
(128.2-4)
Demostrar por medio de la ecuación 12B.2-3 que f(x) = C1/6(x). Luego, insertar la ecuación 12B.2-4 en la ecuación de energía y obtener
c) Igualar a 2 (¿por qué?) la cantidad que está entre corchetes en la ecuación 128.2-5, y después resolver para obtener S(x). d) Luego, resolver la ecuación para g($. e) Por último, evaluar
la constante C1, completando así la deducción de la distribución de
temperatura. 12B.3 Calentamiento de una pared (densidad de flujo de calor constante en una pared). Una p a d dlida muy p e s a está inicialmente a la temperatura To.En el instante t = O, a una superficie de la pared (en y = O) se aplica una densidad de flujo de calor qo, misma que se mantiene. Encontrar los perfiles de temperatura T(y, f ) dependientes del tiempo para tiempos cortos. &
bid0 a que la pared es muy gruesa, al obtener los perfiles de temperatura puede suponerse, sin problema, que las dos superficies de la pared estan separadas por una distancia infinita. a) Seguir el procedimiento que se utilizó para pasar de la ecuaci6n 12.1-33 a la 12.1-35, y luego escribir las condiciones límite e inicial id6neas. Demostrar que Ia soluci6n analítica del problema es
b) Verificar que la solución es correcta sustituyéndola en la ecuación de conducción de calor unidimensional para la temperatura (véase !a ecuación 12.1-33). Demostrar también que se satisfacen las condiciones límite e inicial. 128.4 Transmisión de calor desde una paxed hacia una película descendente (límite de tiempo de contacto corto)2(figura 128.4).Una película líquida fria que desciende por una pared vertical, como se muestra en la figura, tiene un efecto de enfriamiento considerable sobre la
superficie sólida. Calcular la velocidad de transmisión de calor desde la pared hacia el fluido para tiempos de contacto tan cortos que la temperatura del fluido cambia apreciablemente s610 en la vecindad inmediata de la pared. a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente, dada en 52.2, pue de escribirse como u, = uz,,~,[2(y/S) - Iy/6)21, donde qd,= pg82/2p. Luego, demostrar
que en la vecindad de la pared la velocidad es una función lineal de y dada por
R.L. Pigford, Chemicnl Engineering Pfogress Sympsium Series, 51, N ú m . 17,79-92(1955).Robert Lamar Pigford (1917-1988),quien enseñá en la U~versidadde Delaware y en la Universidad de California en Berkeley, investigó muchos aspectos de la difusión y la transferenciade materia; h e editor fundador de Industrial and Engineering Chemistry Fundamentals.
Problemas 467 La película liquida que
desaende entra a temperatura uniforme, To
El borde externo de la peiícula está eny=6
Superficie d i d a ,
Nótese que la temperatura del fluido es diferente de To sólo en la vecindad de La pared, donde u, es casi lineal
a temperatura
constante Ti
Figura 128.4 'hansmisión de calor hacia una película que desciende en una pared vertical.
b) Demostrar que la ecuación de energía para esta situación se reduce a
Enumerar todas las suposiciones de simplificación necesarias para obtener este resultado. Combinar ias dos ecuaciones precedentes para llegar a
donde P C)
=
pk/p2cpg6.
Demostrar que para tiempos de contacto cortos, como condiciones límite pueden escribirse
C.L.: 1
C.L.: 2 C.L.: 3
T = To T = To T=T1
para z = 0 para y = w paray=O
y y y
Y>o z finita z>O
Nótese que la condición límite verdadera en y = 6 se sustituye por condición límite ficticia en y = -. Esto es posible debido a que el calor penetra precisamente una distancia muy peque-
ña en el fiuido. d) Usar las variables adimensionales O(q) = (T - To)/(Tl - To)y 7 = escribir la ecuación diferencial como (véase la ecuación C.1-9):
Demostrar que las condiciones límite son O = O para
=
y O = 1 para
para volver a
=
0.
468
Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
. esta e) En Ia ecuación 12B.4-7, hacer d @ / d q = p y obtener una ecuación para p ( ~ )Resolver ecuación para obtener d @ / d q = p(q) ~ ~ e x p ( - Demostrar ~~). que una segunda integración y la aplicación de las condiciones límite dan por resultado
f)
Demostrar que la densidad de flujo de calor media hacia el fluido es
donde se us6 la fórmula de Leibniz de 5C.3. 12B.5 Temperatura en una placa con producción de calor. La placa de conductividad térmica k en el ejemplo 12.1-2está inicialmente a la temperatura To. Para el tiempo t > O hay una producción volum&ica uniforme de calor So en e1 interior de la placa. a) Obtener una expresión para la temperatura adimensional k(T - To)/Sob2como una h n ción de la coordenada adimensional 7 = y/b y el tiempo adimensional considerando la so-
lución presentada en el libro de Carslaw y Jaeger.
b) ¿Cuál es la temperatura máxima que se alcanza en el centro de la placa? c)
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para alcanzar 90% del aumento en la temperatura?
Respuesta: c) t = b 2 / a 123.6 Convección forzada en flujo lento a través de un cilindro (figura 123.6). Un cilindro largo de radio R está suspendido en un fluido infinito de propiedades constantes p, p, Cp y k. El fluido se aproxima con temperatura T , y velocidad v,. La superficie cilíndrica se mantiene a la temperatura To. Para este sistema, Lamb3 ha determinado la distribución de velocidad en el límite de Re << 1.Su resultado para la región próxima al cilindro es
El Buido se aproxima con velocidad u, y temperatura T,
A
cilindro !ratura
uniforme To
Figura 128.6 Transmisión de calor desde un cilindro largo de radio R.
H. tamb, Phil. Mag ,(6)21,112 (1911).Para averiguar análisis más detallados, véase L. Rosenhead (editor), Laminar Bounday L a y a , Oxford University Press, Londres (1963),capítulo 4.
Problemas 469 donde S, es la primera función de corriente en coordenadas polares de la tabla 4.2-1. La cantidad adimensional S está dada por S = - y + ln(B/Re), donde y = 0.5772... es la "constante de Euler", y Re = Dv,p/p.
+
a) Para este sistema, determinar el gradiente de velocidad interfacial /3 definido en eI ejemplo 12.4-3.
b) Determinar la velocidad de pérdida de calor Q desde una longitud L del cilindro usando el método del ejemplo 12.4-3.N6tese que
donde B(m, n) = r(m)r(n)/r(m C)
Determinar b / R para 8 = O,
Respuestas:
a) P =
+ n) es Ia "funci6n beta".
+
T y T.
Zv, sen B RC
b) Q = C(mDL)(To- T-)
k-
(DI(
5
1'''
(evaluar la constante C)
128.7 Tiempos para el asado de pavos
a) Un cuerpo sólido homogéneo de forma arbitraria inicialmente está a la temperatura To en todas partes. En t = O, el cuerpo se sumerge en un medio fluido de temperatura TI. Sea L una longitud característica en el sólido. Demostrar que el análisis dimensional predice que O = O(& 7,& r y relaciones geometricas)
donde O = (T - To)/(Tl - Ta), 5 = x / L , 9 = y/L, 4" = z/L y tado con las gráficas dadas en 912.1.
7
=
(128.7-1) r u t / ~ Relacionar ~. este resul-
b) Una tabla típica de tiempos para el asado de pavos a 350 'F es ia s i g ~ i e n t e : ~ Masa de pavo (lb,)
Tiempo requerido por unidad de masa (min/lb,)
Comparar esta receta de cocina determinada empíricamente con los resultados del inciso a), para pavos geométricamente semejantes y a una temperatura inicial To, que se cocinan a una temperatura superficial TI dada para la misma distribución de temperatura adirnensional @ = @(S, 9,D.
Woman's Home Companion Cook Bwk, Garden CiQ Publishing Co. (1946), cortesía de JeanStewari.
470 Capitulo 12
Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
12B.8 Uso de la solución asintótica de la capa límite. Utilizar los resultados del ejemplo 12-43 para obtener & y qo para el sistema del problema 12D.4.Al comparar & con D, estime el intervalo de apiicabilidad de la solución que se obtuvo en el problema 12D.4. 12B.9 Transmisión no newtoniana de calor con densidad de flujo de calor constante en la pared (solución asint6tica para pequeñas distancias axides). Volver a trabajar el ejemplo 12.2-2 para un fluido cuyo comportamiento no newtoniano es descrito adecuadamente por el modelo de la ley de potencias. Demostrar que la solución dada en la ecuación 12.2-24 puede tomarse para el modelo de la ley de potencias haciendo una modificación apropiada sencilla en la definición de vo.
12C.I Soluciones de producto para la conducción de calor no estacionaria en s6lidos. a) En el ejemplo 12.1-2 se resolvió la ecuación de conducción de calor en estado no estacionario para una placa de espesor 2b. Demostrar que la solución de La ecuación 12.1-2 para el problema análogo para un bloque rectangular de dimensiones finitas 2% 2b y 2c puede escribirse como el producto de las soluciones para tres placas de dimensiones correspondientes:
donde O(y/b, af/b2)es el miembro derecho de La ecuación 12.1-31.
b) Demostrar un resultado semejante para cilindros de longitud finita; luego vuelva a trabajar el problema 12A.4 sin la suposición de que el cilindro es infinitamente largo. 12C.2 Calentamiento de una lámina semiinfinita con conductividad térmica variable. Volver a trabajar el ejemplo 12.1-1 para un sólido cuya conductividad térmica varía con la temperatura como sigue:
donde 16 es la conductividad térmica a la temperatura To, y fl es una constante. Usar el siguiente procedimiento aproximado: a) Sean O = (T - To)/(Ti - To) y q = y/6(t), donde S(t) es el espesor de una capa límite que cambia con el tiempo. Luego, supóngase que
donde la funcibn @(v) proporciona ia forma de los perfiles "semejantes". Esto es equivalente a suponer que los perfiles de temperatura tienen la misma forma para todos los valores de P, lo cual, por supuesto, no es realmente cierto.
b) Sustituir los perfiles aproximados anteriores en Ia ecuación de conducción de calor y obtener la siguiente ecuación diferencial para el espesor de la capa límite:
donde ao = ka/ p t p Y
Luego, resolver para encontrar la función Ht).
Problemas 471 Ahora, sea = 1 - q q + iq3. ¿Por qué es acertada esta elecci61-2 Después, encontrar la distribución de temperatura T(y, f)dependiente del tiempo, asi como la densidad de flujo de calor en y = 0. C)
12C.3 Conducción de calor con cambio de fase (el problema de Neumann-Stefan) (figura 12C.3h5 Un líquido, contenido en un cilindro largo, inicialmente esta a la temperatura Ti. Para el tiempo t r O, el fondo del recipiente se mantiene a la temperatura To, que está por abajo del punto de fusión Tm.Ce desea estimar el movimiento de la interfase sólido-líquido, Z(i), durante el proceso de enfriamiento. Para simplificar las cosas, aquí se supone que las propiedades física! p, k y son constantes e iguales tanto en la fase sólida comocen la fase üquida. Sea A Hfel calor de fusión por gramo, y se usa la abreviatura A = AH~/C,,(T~- To).
ep
a) Escribir la ecuación para la conducción de calor en las regiones líquida (L) y sólida (S); plantear las condiciones limite e inicial.
b) Supónganse soluciones de la forma:
-
c} Usar la condición límite en z = O para demostrar que Ci = O, y la condición en z = m para demostrar que C3 = I C4. Luego, usar el hecho de que Ts TL = T,,, en z = Z ( t ) para condonde X es alguna constante (todavía sin determinar). Lueg~,obtecluir que Z ( t ) = A*, ner C3 y C4 en términos de A. Usar las demás condiciones I í e para obtener A en th-nit~os de A y O, = (T, - To)/(Ti - To):
-
1-0, \ / ñ h h e x p k = -erf A - 1 - erf A
Liquido (Inicialmente
temperatura TI en todas
interface móvil localizada en Z(t)
---
z =o f
Temperatura Taenz=O
Figura 12C.3 Conducción de calor con solidificación.
5 Para referencias de publicaciones y problemas relacionados,v6-e H.S. Carslaw y J.C. Jaeger,Conducfion of Heat in Solids, 2a. edición, Oxford University Press (1959),capítulo XI; en las pp. 283-286,el probkma que se consideró aquí se trabaja para la situación en que las propiedades físicas de las fases liquida y sólida son diderente. Véase tambien S.G.Bankoff, Advances in Chemicul Engineering, Vol. 5, Academic Press, Nueva York (1964),pp. 75-79; J. Crank, Free und Mooing Bounday Problems, Oxford University Press (1984);].M. Hill, 0ne-Dimensional ~ t & nProblons, Longmans (1987).
I
472 Capitulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
¿Cuál es la expresión final para Z(t)? (Nota: en este problema se ha supuesto que un cambio de fase ocurre instantáneamente y que no ocurre sobreenfriamiento de la fase líquida. Resulta que en el enfriamiento de muchos llquidos, esta suposición es insostenible. Es decir que para describir correctamente el proceso de solidificación, debe tomarse en cuenta la cin&ica del proceso de ~ristalizaci6n.~) 12C.4 Calentamiento viscoso en flujo oscifatorio.' El calentamiento viscoso puede ser un fac-
tor de perturbación en mediciones de viscosidad. Aquí veremos cómo el calentamiento viscoso puede afectar la medición de la viscosidad en un sistema con una lámina oscibtoria. Un fluido newtoniano está situado en la región entre dos láminas paralelas separadas por una distancia b. Ambas láminas se mantienen a una temperatura To. La lámina inferior (en z = O) se hace oscilar sinusoidalmente en la dirección z con una amplitud de velocidad Q y frecuencia circular w. Estimar el aumento de temperatura resultante del calentamiento viscoso. Considérese sólo el iímite de alta frecuencia.
a) Demostrar que la distribución de velocidad está dada por senh a(l - &) cos a(l - 6) senh a cos a
+ sen a(1- 6) cosh a(1- 6 ) sen a cosh a - sen atl - 51 cosh a(1-
v,(x,f) -=
+ senh a(l - 5) cos a(1 - 6) sen a cosh a senhZ a cos2 a
Vo
dondea = -y
8) senh a cos a
sen ot
+ cosh2 LI sen2 a
(12C.4-1)
6 = x/b.
b) Luego, calcular la función de disipación a, par2 el perfil de velocidad en la ecuaci6n 12C.4-1. Después, obtener una función de disipación @, promedio respecto al tiempo, prome diando sobre un ciclo. Usar las fórmulas
- -
cos2 ot = senZof =
4
y sen ot cos wt
=O
(12C.42)
que pueden verificarse. A continuación, simplificar el resultado para frecuencias altas (es decir, para valores grandes de a) para obtener -
a, ( W grande) = a*
(12C.4-3)
Despubs, tomar un promedio respecto al tiempo de la ecuación de conducción de calor para obtener C)
donde T es la temperatura promediada sobre un ciclo. Resolver lo anterior para obtener
H. Janeschitz-Kriegl,Plastics and Rubber Processing and Applicntbm, 4,145-158(1984);H . Janeschitz-Kriegl,en One-Hundred Years of Chemicnl Engineering ( N . A .Peppas, editor), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (Holanda) (1989),pp. 111-124;H.Janeschitz-Kriegl,E. Ratajski y G. Eder, Ind. Eng. Chem. Res., 34,3481-3487(1995);G . Astarita y J.M. Kenny, Chem. Eng. Comm., 53,69-84 (1987). R.B. Bird, Chem. Eng. Prog. Symposium Series, Vol. 61, No. 58 (1965),pp. 13-14;véase también F. Ding, AJ. Giacornin, R.B. Bird y C-BKweon, J . Non-Newtonian Fluid Mech., 86,359-374 (1999).
Esto demuestra cómo la temperatura en la rendija depende de la posición. A partir de esta función es posible calcuIar el aumento máximo en la temperatura. Para frecuencias razonablemente altas, T - To .= pvíj/4k.
12C.5 Penetración del calor solar. Muchos animales del desierto se protegen de las fluctuaciones diurnas excesivas d e temperatura haciendo sus madrigueras lo bastante profundas para poder mantenerse a una temperatura razonablemente constante. !%a T(y, t ) la temperatura en el suelo, donde y es la profundidad por debajo de la superficie de la tierra y t es el tiempo, medido desde el instante de temperatura máxima To.A d e d s , sea T, la ternperGtura bastante abajo de la superficie, y sea Ia temperatura superficial dada por
T(0,t ) - T ,
=O
T(0, t ) - T ,
=
para t < O
(To - T,) cos ot
para t
2
O
Aquí o = 2m/f,,, donde t, es el tiempo para un ciclo completo de la temperatura oscilatona; a saber, 24 horas. Así, puede demostrarse que ¡a temperatura a cualquier profundidad está dada por
T(y,t ) - T, To - T ,
= e-
cos (ot -
Esta ecuación es el análogo de la conducción de caior d e la ecuación 4D.1-1, que describe la respuesta de los perfiles de velocidad cerca de una lámina oscilatoria. El primer término describe el "estado estacionario peri6dicoVy el segundo describe el comportamiento "transitorio". Supnganse las siguientes propiedades para el sue10:~p = 1515 kg/m3, k = 0.027 W/ m*K,yCp=800J/kg-K.
a) Supóngase que el calentamiento en la corteza terrestre es exactamente sinusoidal, y en cuentre la amplitud de la variación de Ia temperatura por debajo de la superficie a una distancia y. Para hacer esto, usar sólo el t6rmino de estado estacionario peri6dico en la ecuación 12C.5-2. Demostrar que a una profundidad de 10 cm, el valor de esta amplitud es 0.0176.
b) Analizar Ia importancia del término transitorio en la ecuación 12C.5-2.Estimar el tamaño de esta contribución. Luego, considérese una expresión formal arbitraria para la temperatura superficial diaria, dada como una serie de Fourier de la forma
C)
¿Cuántos términos de esta serie se usan para resolver el inciso a)?
12C.6 Transmisión de calor en una película descendente no newtoniana. Repetir el problema 126.4 para un fluido polirnérico que está razonablemente bien descrito por el modelo de la ley de potencias de la ecuación 8.3-3.
-
-
W.M.Rohsenow, J.P. Hamiett y Y.I. Cho, comps., Handbook of Heat Transfer, 3a. edición, McGraw-Hill (19981, p. 2.68.
474
Capitulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente 12D.1 Calentamiento en estado no estacionario de una placa (método de la transformada de bplace).
a) Vuelva a resolver el problema en el ejemplo 12.1-2 usando la transformada de Laplace, y obtenga el resultado de la ecuación 12.1-31. b) Nótese que la serie en la ecuación 12.1-31 no converge rápidamente para tiempos cortos. Al invertir la transformada de Laplace en una forma distinta a como se hizo en el inciso a), obtenga una serie diferente que converja rápidamente para tiempos cortos? Demostrar cómo el primer tkrmino en la serie del inciso b) está relacionado con la s 0 l ~ c i 6 ~ de "tiempo de contacto corto" del ejemplo 12.1-1.
C)
12D.2 El problema de Graetz-Nusselt (tabla 12D.2). a) Un fluido (newtoniano o generalmente newtoniano) esti5 en flujo laminar en un tubo circular de radio R. En la región de entrada z < O, la temperatura del fluido es uniforme a Ti. En la región z > O, la temperatura de la pared se mantiene a To.Supóngase que todas las propiedades físicas son constantes y que los efectos de la disipación viscosa y la conducción axial de calor son despreciables. Usar las siguientes variables adimensionales:
Demostrar que los perfiles de temperatura en este sistema son
donde Xi y son las funciones propias y los valores propios que se obtienen a partir de la soluci6n de la siguiente ecuación:
con condiciones límite X = finita en 6 = O y X = O en 6 = 1. Además, demostrar que
b) Resolver la ecuación 12D.2-3 para el fluido newtoniano obteniendo una solución en serie de potencias para Xi. Calcular el menor valor propio resolviendo una ecuación algebraica. Compruebe su resultado contra e1 que se proporciona en la tabla 12D.2.
H.S. Carslaw y J.C.Jaeger,Conduction of Heat in Solids, 2a. edición, Oxford Univenity Press (19591,pp. 308-310.
Problemas 475 Tabla 12D.2 Valores propios PT para el probiema de Graetz-Nusselt para fluidos newtonianosR Por cálculo directob
I
Por el método WKBC
Por el método de Stodoia y vianellod
Los 85 corresponden a + A ; en W.M. Rohsenow, J.P. Hartnett y Y.I.Cho, Handbmk of Heat Transfer, Mdraw-Hill (Nueva York), Tabla 5.3 en la p. 510. Valores tomados de K. Yamagata, Memoirs of the Foculty of Engineering,Universidad de KyGshfi, volumen VJii, No. 6, Fukuoka, Japón (1940).
a
Calculado a partir de la ecuaci6n 12D.2-5. Para la función de ensayo particular en el inciso d ) del problema.
A partir del trabajo implicado en el inciso b) para calcular &, puede inferirse que el cálculo de los valores propios superiores es bastante tedioso. Para valores propios superiores al miensegundo o el tercero, puede usarse el método de ~entzel-Kramers-~rillouin~~(WKB); tras más alto sea el valor propio, más exacto es el método WKB. Lea sobre este método y verifique que para el fluido newtoniano
C)
Para el modelo de ia ley de potencias se ha obtenido una f6rmula semejante."
d) Obtener el menor valor propio por el método de Stodola y Vianello. Usar las ecuaciones 71a y 72b que se encuentran en la página 203 del iibro de Hildebrand,12con r$ = 2(1 para flujo newtoniano y Xl = 1 - t2como una función de ensayo sencilla pero apropiada. Demostrar que esto conduce rápidamente al valor P: = 3.661.
e2)
12D.3 El problema de Graetz-Nusselt (solución asintótica para z grande). Nótese que, en el límite de z muy grande, en la ecuación 12D.2-2 sólo se requiere un término (i = 1). Se desea usar este resultado para calcular la densidad de flujo de calor en la pared, qo, para z grande y expresar el resultado como
qo = (una función de las propiedades del sistema y del flujo) X (Tb - To)
(12D.3-1)
donde Tb es la "temperatura global del fluido" definida en la ecuación 10.8-33. a) Primero comprobar que
Aquí, O es la misma que en el problema 12D.2, y Ob = (Tb - To)/(Tl - 7'0)-
'O J. Heading, An Introduction to Phase-Integral Methods, Wiley, Nueva York (1962);J. R. Sellas, M.Tribus y J.S. Klein, Trans. ASME, 78,4411148 (1956). I.R. Whiteman y W.B. Drake, Trans. ASME, 80,728-732 (1958). l2 F.B. Hildebrand, Advanced Calculus for Adicntions, PrenticeHall, Englewood Cliffs, N.J.(1963),§5.5.
"
476 Capítulo 12 Distribuciones de temperatura con más de una variable independiente
b) Demostrar que para z grande, la ecuación 12D.3-2 y la ecuación 12D.2-2 proporcionan
Por tanto, para z grande, todo lo que se necesita conocer es el primer valor propio; no es n+ cesano calcular las funciones propias. Esto muestra lo útil que es el método de Stodola y ~ i a n e l l opara ' ~ calcular el valor límite de una densidad de flujo de calor.
12D.4 El problema de Graetz-Nusselt (solución asintótica para z pequeña). a) Aplicar el método del ejemplo 12.2-2 a la solución del caso que se analizó en el proble. ma 12D.2. Considerar un fluido newtoniano y usar las siguientes cantidades adimensionales:
Demostrar que al aplicar el método de combinación de variables se obtiene
donde
=
(NU~/~O''~.
b) Demostrar que la densidad de flujo en la pared es
La cantidad (Re Pr D/z) = (4/?~)(&~/kr) aparece a menudo; el agrupamiento Gz = (dp/kr) se denomina número de Graetz. Comparar este resultado con el de la ecuación 12D.3-3, en relacibn con h dependencia respecto a los grupos adimensionales. c) ¿Cómo pueden escribirse los resultados de modo que sean válidos para cualquier modelo
newtoniano generalizado? 12D.5 El problema de Graetz para flujo entre láminas paralelas. Trabajar los problemas 12D.2 a 12D.2-4 para flujo entre láminas paralelas (o flujo en un ducto rectangular delgado). 12D.6 El problema de densidad de flujo de calor constante en la pared para láminas paralelas. Aplicar los métodos usados en 510.8, en el ejemplo 12.2-1 y en el ejemplo 12.2-2 al flujo entre láminas paralelas. 12D.7 Solución asintótica para z pequeña para flujo laminar en un tubo con densidad de flujo de
calor constante. Escribir los pasos faltantes entre la ecuación 12.2-23y la ecuación 12.2-24. Al insertar la expresión para cl, en la ecuación 12.2-23 se obtiene
Problemas 477 ¿Por qué ahora se introducen los símbolos jj y F?A continuación, cambiar el orden de integración para obtener
Luego, hacer la integración sobre X y obtener
Por último, usar las definiciones r(a) = lofa-le-'df y U a , X) = gamma completa e incompleta.
t a - ' e - W para las funciones
12D.8 Transmisión de calor por conducción forzada desde una lámina plana (la capa limite tétmica se extiende m68 alla de la capa límite de la cantidad de movimiento). Demostrar que el resultado análogo de la ecuación 12.4-14 para A > 1 es13
l3
H.khlichting, B o u h y-byer Thwry, 7a. edición, McGraw-HiU, Nueva York (1979).p. 306.
Distribuciones de temperatura en flujo turbulento 513.1
Ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para flujo no isoténnico incompresible
513.2
EL perfil de temperatura con ajuste de tiempo cerca de una pared
513.3
Expresiones empíricas para la densidad de flujo de calor turbulento
913.4"
Distribución de temperatura para flujo turbulento en tubos
513.5" Distribución de temperatura para flujo turbulento en chorros
913.6'
!:\
Análisis de Fourier de transporte de energía en el flujo en un tubo con números de frandtl grandes
En los capítulos 10 a 12 mostramos cómo obtener distribuciones de temperatura en sólidos y fluidos que están en movimiento laminar. El procedimiento implicaba la resolución de maciones de variación con condiciones limite e inicial apropiadas. Ahora abordaremos el problema de encontrar perfiles de temperatura en flujo turbulento. Este análisis es muy semejante al que se proporcionó en el capítulo 5. Empezarnos por ajustar las ecuaciones de variación respecto al tiempo. Al ajustar la ecuación de energía respecto al tiempo, aparece una densidad de flujo de calor turbulento ij(t),que se expresa en términos de la correlación de las fluctuaciones de velocidad y temperatura. Hay varios empirismos bastante útiles para $t), que permiten predecir distribuciones de temperatura con ajuste de tiempo en turbulencia en una pared y turbulencia libre. Para ilustrar el método usaremos la transmisión de calor en flujo en un tubo. La influencia más evidente de la turbulencia en la transmisión de calor es el transporte perpendicular al flujo principal mejorado. Si el calor se inyecta en un fluido que fluye en flujo laminar en la dirección z, entonces el movimiento del calor en las direcciones x y y se debe exclusivamente a conducción y avanza muy lentamente. Por otra parte, si el flujo es turbulento, entonces el calor se "esparce" extremadamente rápido en las direcciones x y y. Esta rápida dispersión del calor es un rasgo característico del flujo turbulento. Este proceso de mezcla se trabaja aquí con algún detalle para flujo en tubos y en chorros circulares. Aunque ha sido costumbre estudiar el transporte de calor turbulento a través de la ecuación de energía con ajuste de tiempo, también es posible analizar la densidad de flujo de calor en una pared por medio del uso de una técnica de la transformada de Fourier sin ajuste de tiempo. Este tema se deja para la última sección. %,
%r s13.1
ECUACIONES DE VARIACIÓN CON AJUSTE DE TIEMPO PARA FLUJO NO ISOTÉRMICO INCOMPRESIBLE En 55.2 se presentaron las nociones de cantidades con ajuste de tiempo y fluctuaciones turbulentas. En este capítulo nuestro interés primordial lo constituyen los perfi-
480
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento
+-
les de temperatura. Presentaremos la temperatura con ajuste de tiempo T y la flye tuación de temperatura T', y en forma análoga a la ecuación 5.2-1, escribiremos
Resulta evidente que T'promedia a cero, de modo que T' = O, pero cantidades como y no son cero debido a la "corre~ación"entre las fluctuacionesde Y velocidad y temperatura en cualquier punto. Para un fludo puro no iroté&úc& necesitamos tres ecuaciones de variación, y deseamos analizar sus formas con ajuste de tiempo. Las ecuaciones de continuidad y movimiento con ajuste de tiempo para un fluido con densidad y viscosidad constantes se proporcionaron en las ecuaciones 5.2-10 y 5.2-12, de modo que no es necesario repetirlas aquí. Para un fluido con P,p, Cpy k constantes, la ecuación 11.2-5, cuando se escribe en la fonna a/at usando la ecuación 3.5-4, y con las leye de Newton y Fourier incluidas, se vuelve
v,
donde en el término de la disipación viscosa -(r:Vv) = w@, sólo se han escrito unos cuantos términos de muestra (véase la ecuación B.7-1 para la expresibn completa). En la ecuación 13.1-2sustituimos T por T = T + T', v, por ü, + vi, etc. Entonces, la ecuaci6n está ajustada respecto al tiempo para quedar como
Al comparar esta ecuación con la ecuación precedente, se observa que la ecuación con ajuste de tiempo tiene la misma forma que la ecuación original, excepto por la aparicibn de los términos indicados por los subrayados con líneas discontinuas, que estan relacionados con las fluctuaciones turbulentas. Por tanto, llegamos a la d e M ci6n de la densidad de flujo de calor turbulento ¿ft), con componentes
913.2 El perfil de temperatura con ajuste de tiempo cerca de una pared 481
y la función de disipación de energía turbulenta $(:):
Debe observarse la semejanza entre las componentes de ij(t)en la ecuación 13.1-4 y la de en la ecuación 5.2-8. En la ecuación 13.1-5, vi, vi y u> son sinónimos de v*, V ; y v:, y xi,x2 y x3 significan lo mismo que x, y y z. Para resumir, enumeramos las tres ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para flujos turbulentos de fluidos puros con p, P, y k constantes en su forma D / D t (las dos primeras se proporcionaron en las ecuac!ones 5.2-10 y 5.2-12):
( V - V )= O
Continuidad: Movimiento: Energía:
-P..*-
7 7 I
--
-
pc
DV pDt
DT
= -VP - [V .
-=-(V.& Df
(13.1-6)
+ T ( ~ ) +) ]pg
(13.1-7)
A . . .
(VI
-(tf + -0) q ))+p(q(v) v +@VI ...-.-
(13.1-8)
.---A.
donde se entiende que D / D t = a / d t + V - V. Aquí = -kVT, y +(]; es la función de disipación viscosa de la ecuación 8.7-1, pero con todas las vireemplazadas por E,. Cuando se analizan problemas de flujo de calor turbulento, suele ser costumbre eliminar los términos de disipación viscosa. Entonces se establece un problema de transmisión de calor turbulento como para flujo laminar, excepto que .r y q se sustituyen por + 7(t)y + q(t),respectivamente, y en los demás términos se usan j7, F y T con ajuste de tiempo.
i.
.2
EL PERFIL DE TEMPERATURA CON AJUSTE DE TIEMPO CERCA DE UNA
PARED^
Antes de proporcionar empirismos para ¿j@)en la siguiente sección, presentamos un breve análisis de algunos resultados que no dependen de ningún empirismo. Consideramos el flujo turbulento a lo largo de una pared plana como se muestra en la figura 13.2-1 y preguntamos por la temperatura en la subcapa inercial. Obtenemos un patrón del desarrollo siguiendo el que se realizó para la ecuación 5.3-1. Dejamos que la densidad de flujo de calor hacia el fluido en y = O sea qo = qyly=o y postulamos que la densidad de flujo de calor en la subcapa inercia1 no será muy diferente de la que hay en la pared. Buscamos relacionar qo con el gradiente de temperatura con ajuste de tiempo en la subcapa inercial. Debido a que el transporte en esta región está dominado por la convección turbulenta, la viscosidad p y la conductividad térmica k no juegan un papel importante. Por tanto, los únicos parámetros de los que puede depender d T / d y son qO,v. = p, ep.yy. Además debemos tener en cuenta que la linealidad de la ecuación de energía implica que d T / d y debe ser proporcional a qo. La Única combinación que satisface estos requerimientos es
m,
L. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, 2a. edicibn, Pergamon Press, Nueva York (1967).S54.
482
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento Figu~a13.2-1 Perfil de temperatura en flujo turbulento en un tubo. Las regiona son 1)subcapa viscosa, 2) capa de transición, 3) subcapa inercia1y 4) corriente hrbulenta principal.
I
donde K es la constante adimensional de la ecuación 5.3-1 y /3 es una constante adicional (que resulta ser1 el número de Prandtl turbulento ~ r (=~~ )( ~ ) / a ( ~ ) ) . f. Al integrar la ecuación 13.2-1, se obtiene
5
i
donde To es la temperatura de Ia pared y C es una constante de integración. La co tante será determinada haciendo equivaler la expresión logarítmica con la exp para T(y) que se cumple en la unión con la subcapa viscosa. La última expresión plica tanto a p como a k; por tanto, C necesariamente contiene a p y a k, y en consecu cia incluye al grupo adirnensionalPr = C p p / k .Si, además, introducimos la coordenad adimensional p , / v , entonces la ecuación 13.2-2 puede volver a escribirse como para-YV* > 1
(13.2-
V
donde f(Pr) es una función que representa la resistencia térmica entre la pared y subcapa inercial. Landau y Lifshitz (véase la referencia 1 en la página 481) estin ron, a partir de un razonamiento de longitud de mezcla (véase la ecuación 13.3 que, para números de Prandtl elevados, f(Pr) = constante E'$/*; no obstante, ejemplo 13.3-1 implica que la función PPr) = constante . P?I3 es mejor. Recuérdt que es posible esperar que la ecuación 13.2-3 sea válida sólo en la subcapa inerc y que no debe usarse en la vecindad inmediata de la pared.
513.3
EXPRESIONES EMPÍRICAS PARA LA DENSIDAD DE FLUJO DE CALOR TURBULENTO En s13.1 vimos que el ajuste respecto al tiempo de la ecuación de en na una densidad de flujo de calor turbulento @). A fin de resolver la e energía para los perfiles de temperatura con ajuste de tiempo, suele ac
, '
k/
513.3 Expresiones empíricas para la densidad de flujo de caIor turbulento
483
postular una relación entre fq(t) y el gradiente de temperatura con ajuste de tiempo. Aquí resumimos dos de las expresiones empíricas más conocidas; más de éstas pueden encontrarse en la literatura sobre transmisión de calor.
~ ~ ~ d u c t i v i dtérmica ad de remolino $2
Por analogía con la ley de Fourier de la conducción del calor, podemos escribir
donde la cantidad k(f)se denomina conductividad térmica turbulenta o conductividad térmica de remolino. Esta cantidad no es una propiedad física del fluido, sino que depende de la posición, dirección y naturaleza del flujo turbulento. La viscosidad cinemática de remolino dt)= p ( t ) / p y la difusividad térmica de rimolino = k(t)/pC tienen las mismas dimensiones. Su razón es un grupo adimenP sional
denominado número de Prandtl turbulento. Esta cantidad adimensional es del orden de la unidad, cuyos valores en las publicaciones sobre e1 tema varían desde 0.5 hasta 1.0. Para flujo gaseoso en conductos, Prft)varía desde 0.7 hasta 0.9 (para tubos circulare,s se ha recomendado el valor 0.85l), mientras para flujo en chorros y estelas el valor está más próximo a 0.5. La suposición de que ~ r (=~1se ) denomina alzalogía de Reynolds.
Expresiones de la longitud de mezcIa de Prandtl y Taylor Según la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl, la cantidad de movimiento y la energía se transfieren en flujo turbulento por los mismos mecanismos. Así, por analogía con la ecuación 5.4-4, se obtiene
donde 1 es la longitud de mezcla de Prandtl que se introdujo en la ecuación 5.4-4. Nótese que esta expresión predice que ~ r (=~1.)La teoría del transporte de vorticidad de Taylor2 proporciona Prif) =-$.
h a reIaci6n para la iCalor "foximada de flujo de en una pared msidad
Par@flujo turbulento
en un tubo
Usar la analogía de Reynolds (vit)= di)), junto con la ecuación 5.4-2 para la viscos~dacide remolino, a fin de estimar la densidad de flujo de calor en una pared qo para el flujo turbulento en un tubo de diámetro D = 2X Expresar el resultado en términos de la fuerza impulsara de la diferencia de temperatura To TR,donde To es la temperatura de la pared (y = O) y T R es la temperatura con ajuste de tiempo en e1 eje del tubo (y = R). -
' W M Kays y M E
Crawford, Convective Heaf and M ~ s Transfer, s 3a ed ,McG~aw-HiIi,Nueva York (1993), pp
259 266
G 1 Taylor, Proc, Roy Soc (Londres), A135, 685-702 (1932).Phrl Trans ,A215, 1 26 (1915)
484
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento SOLUCIÓN
La densidad de flujo de calor radial con ajuste de tiempo en un tubo está dada por la sum de q(vi y q$t>: T
Aquí hemos usado la ecuación 13.3-1 y la analogía de Reynolds, y hemos cambiado a la cooi denada y, que es la distancia desde la pared. Ahora usamos la expresión empírica de la ecur ción 5.4-2, que es válida a través de la subcapa viscosa próxima a la pared:
donde se ha usado 4, = -q . Si ahora aproximamos densidad de flujo de calor $ en La ecuación 13.3-5 por su valor la pared qo, entonces al integrar desde y = 0 hasta y = F . , se obtiene
h
Para números de Prandtl muy grandes, el limite superior R en la integral puede sustituirse p a,ya que el integrando decrece rápidamente con incrementos en y. Entonces, cuando se ~ a l i : la integración del miembro izquierdo y el resultado se escribe en forma adimensional, se obtiei
donde la ecuación 6.1-4a se ha usado para eliminar v, a favor del factor de fricción. El desarrollo anterior es sólo aproximado. No tomamos en cuenta el cambio de la tel peratura global a medida que el fluido se mueve axialmente a través del tubo, ni considel mos el cambio en la densidad de flujo de calor en todo el tubo. Ademhs, el resultado es restringido a Pr muy alto, debido a la extensión de la integración hasta y = m. En la siguien sección se proporciona otra deducción, la cual está libre de estas suposiciones. Sin embarg veremos que a números de Prandtl grandes, el resultado de la ecuación 13.4-20 se simplifi al de la ecuación 13.3-7pero con una constante numPrica diferente.
513.4" DISTRIBUCIÓN DE TEMf ERATURA PARA FLUJO TURBULENTO EN TUBOS
En 910.8 demostramos cómo obtener el comportamiento asintótico de los perfiles ( temperatura para z grande en un fluido en flujo laminar en un tubo circular. Aq repetimos ese problema, sólo q u e para un fluido en flujo turbulento totalmente d sarrollado. El fluido entra al tubo de radio R a una temperatura de entrada TI- Fa z > O, el fluido est6 caliente debido a una densidad de flujo de calor radial unifd I me q0 en la pared (véase la figura 13.4-1). Empezamos por la ecuación de energia 13.1-8, escrita en coordenadas cilind1lcl
913.4 . Distribución de temperatura para flujo turbulento en tubos 485
J ---Fluido a la temperatura Ti en flup turbulento totalmente desarrollado
------
¡
'= O
'
Serpentín de calentamiento eléctrico para proporcionar una densidad de flujo de calor qo constante en la pared
Figura 13.4-1 Sistema usado para calentar un líquido en flujo turbulento totalmente desarrollado con densidad de flujo de calor constante para z > 0.
Al insertar la expresión para la densidad de flujo de calor radial de la ecuación 13.3-4 se obtiene
Esta ecuación se resuelve con las condiciones límite
en r = O, en r = R,
T = finita -
dT
+ k -= qo ar
(constante)
Ahora usamos las mismas variables adimensionales como se proporcionaron en las ecuaciones 10.8-16 a 10.8-18 (con T en lugar de T en la definición de la temperatura adimensional). Entonces, la ecuación 13.4-2 en forma adimensional es
donde 4(0 = VZ/vmá, es el perfil de velocidad turbulento adimensional. Esta ecuación debe resolverse con las condiciones límite adimensionales en6 = 0,
O = finita
Ya se ha proporcionado la solución completa de este problema? pero aquí nos contentamos con la solución para z grande. Comenzamos por suponer una solución asintótica de la forma de la ecuación 10.8-23
R.H. Notter y C.A. Sleicher, Chem. Eng. Sci., 27,2073-2093 (1972).
486
Capitulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento
que debe satisfacer la ecuación diferencial, junto con las condiciones límite 1 y 2 y la condición 4 de la ecuación 10.8-24 [donde T y v, = v,,(l - c2) son reemplazados por T y vz = vmá,4(()]. La ecuación resultante para T es ,
Al integrar dos veces esta ecuación y después construyendo la función O usando la ecuación 13.4-10, se obtiene
z,
donde se entiende que a(')es una función de e 1(c) es una forma breve para e~~re.1 sar la integral l
La constante de integración C1 se iguala a cero a fin de satisfacer la condición límite 1. La constante Co se encuentra al aplicar la condición límite 2, con lo que se o tiene
"I
La otra constante, C2, puede, si así se desea, obtenerse a partir de la condición 4, m ro aquí no será necesaria (véase el problema 13D.1). 1i A continuación obtenemos una expresión para la diferencia de temperatura menciona1 - O,, la "fuerza impulsora" para la transmisión de calor en la del tubo:
En la segunda línea se ha invertido el orden de integración de la integral dohle. integral interior en el segundo término de la derecha es justamente I(1) - I(0, y porción que contiene a I(1) cancela exactamente el primer término en la ecuad 13.4-15. Por tanto, al usar la ecuación 13.4-14,se obtiene
Pero la cantidad I(1) que aparece en la ecuación 13.4-16 tiene una interpretación cilla: 1
313.4 Distribución de temperatura para flujo turbulento en tubos 487
Por último, se desea obtener la densidad de flujo de calor adimensional en la pared,
cuyo recíproco es2
Para usar este resultado, es necesario tener una expresión para la distribución de velocidad con ajuste de tiempo E, [que aparece en I(.f)],la viscosidad cinemática turbulenta dt)como una función de la posición, y un postulado para el número de Prandtl turbulento ~ r ( ' ) . Sandall, Hanna y Mazet realizaron extensos cálculos basados en la ecuación 13.4-19.~Estos autores tomaron el número de Prandtl turbulento igual a la unidad. Dividieron la región de integración en dos partes, una cerca de la pared y otra para
DeissIer & Eian (1952) Ailen L Eckert (1964) u Malha & Sparrow (1964) A Friend & Metzner (1958) o Harriott & Harnilton (1965) n
Pr = 0.73 Pr = 8.0 3 a Pr 5 75 55 Pr 5 590 452 5 Sr 5 97,600
Comparación de la expresión en la ecuación 13.4-20para la densidad de flujo de calor en flujo turbulento desarrollado con los datos experimentales de R.G. Deissler y C.S. Eian, NACA Tech. Note #2629 (1952);R.W. Allen y Eckert,J.Hea1 ilamfer, Trans.ASME, Ser C., 86,301-310 (1964);JA.Msiina y E. M. Sparrow, Chrnr. Eng. Sci, 19,953-962 AIChE Journal, 4,393-402 (1958); P. Harriott y R.M. Harnilton, Chem Eng. Sci., 20,1073-1078 y Hamilton son para el experimento análogo de transferencia de materia, para el que también es
La ecuaci6n 13.4-29 fue desarrollada por primera vez por R.N. Lyon, Chem. Eng,Prog., 47, 75-79(1950)en un artículo sobre transmisibn de color líquido-metal. El miembro izquierdo de la ecuación 13.4-19 es el mípmco del número de Nusselt, Nu = hD/k, que es un coeficiente adimemional de transmisión de calor. Esta nomenclatura analizará en el siguiente capítulo. O.C. Sandall, O.T. Hanna y P.R. Mazet, Canad. J. C h . Eng., 58,443447(1980). Vease tambien O.T. Hanna y 0.C. SandaU, AICkE Journal, 18,527-533 (1972).
!
488 Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento
el núcleo turbulento, En la "región de la pared" usaron la ecuación de van Driest m e dificada de la ecuación 5.4-7 para la longitud de mezcla, y en la "región del núclmJr usaron la distribución de velocidad logarítmica. Su resultado final3 está dado como
Para obtener este resultado se usó la ecuación 6.1-4a. La ecuación 13.4-20 coincide con los datos disponibles sobre transmisión de calor (y transferencia de materia) dentro de un margen de 3.6 y 8.1% sobre el intervalo 0.73 < Pr < 590, dependiendo de los conjuntos de datos que se estudien. Se reportó3que la expresión análoga de transferencia de materia, que contiene a Sc = p / f i A B en vez de Pr, coincide con los datos de transferencia de materia dentro de un margen de 8%sobre el intervalo 452 < Sc < 97,600. La coincidencia de la teoría con los datos de transmisión de calor y de transferencia de materia, que se muestran en la figura 13.4-2, es bastante convincente. 513.5"
DISTRIBUCIÓNDE TEMPERATURA PARA FLUJO TURBULENTO EN CHORROS' En 55.6 dedujimos una expresión para la distribución de velocidad en un chorro de fluido circular que descarga en una extensión infinita del mismo fluido (véase la figura 5.6-1). Aquí deseamos ampliar este problema al considerar un chorro que lle ga con temperatura To superior a la del fluido circundante TI. Así, el problema es encontrar la distribución de temperatura con ajuste de tiempo T(r, z) en un chom, impulsado de manera estacionaria. Esperamos que esta distribución sea mohótona, decreciente en las dos direcciones, r y r. i Empezamos por asumir que la disipación viscosa es despreciable y que mos la contribución a la densidad de flujo de calor, así como la contribución a Entonces, la ecuación 13.1-8 asume la forma promediada respecto al tiempo a
Luego expresamos la densidad de flujo de calor turbulento en términos de la con ductividad térmica turbulenta que se introdujo en la ecuación 13.3-1:
Cuando la ecuación 13.5-1 se escribe en términos de una función de temperatu adimensionaI
T-T~
O((, 5)= To - TI se convierte en
()::
- d@ - a@) dt) 1 d r(urdr+vz - =--dz pr(f)r d r
1
' J.O.&e,
Tu&ulence. h.ediaón, McGraw-Hü1, Nueva York (1975), pp 531-516
913.5 Distribución de temperatura para flujo turbulento en chorros 489
Aqui se ha supuesto que el nfimero de Prandtl turbulento y la viscosidad cinemática turbulenta son constantes (véase en seguida el análisis de la ecuación 5.6-3). Esta ecuación debe resolverse con las condiciones b i t e :
C.L. 2:
en r = 0,
O es finita
(13.5-6)
A continuación introducimos las expresiones para las componentes de la velocidad con ajuste de tiempo U, y üZ en términos de una función de corriente F(.$), según se proporciona en las ecuaciones 5.6-12 y 5.6-13, y una expresión de ensayo para la función de la temperatura adimensional con ajuste de tiempo:
Aqui, 5 = r / z y 5 = (pv(t)/w)z, donde w es la velocidad de flujo másico total en el chorro. La propuesta en la ecuación 13.5-8 está motivada por la expresión para V Z que se encontró en la ecuación 5.6-21. Una vez que estas expresiones para las componentes de la velocidad y la temperatura adirnensional se sustituyen en la ecuación 13.5-1, algunos términos se cancelan y otros pueden combinarse; como resultado, se obtiene la siguiente ecuación bastante sencilla:
Esta ecuación puede integrarse una vez para Ilegar a
La constante de integración puede igualarse a cero, ya que, según la ecuación 5.6-20, F = O para f = O. Luego, al integrar por segunda vez desde O hasta 6 se obtiene
o bien,
fcr) --
f (O) - (1 + f ( ~ , ~ ) 2 ) - 2 ~ ' ( "
Por último, al comparar las ecuaciones 13.5-12 y 13.5-8con 5.6-21,se observa que las formas de los perfiles de temperatura y de velocidad axial con ajuste de tiempo están estrechamente relacionados,
490
capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo hirbulento
1
ecuación que se atribuye a ~ e i c h a r d tEsta . ~ teoría proporciona una explicación m , deradamente satisfactoria para las formas de los perfiles de tem~eratura.~ El núme ro de Prandtl (o de Schmidt) turbulento, que se dedujo a partir de mediciones de temperatura (o de concentración) en chorros circulares, es aproximadamente 0.7. La cantidad Cg que aparece en la ecuacióe.5-12 se proporcionó explícitamente en la ecuación 5.6-23 como C3 = ,/3/16a d ~ / ~ ( l / d 'donde ) ) , J es la velocidad de densidad de flujo de cantidad de movimiento en el chorro, definida en la ecuación 5.6-2. De manera semejante, una expresión para la cantidadf(0) en la ecuación 13.5-12 puede encontrarse igualando la energía del chorro que llega a la energía que cruza cualquier plano corriente abajo:
Luego, al insertar las expresiones para los perfiles de velocidad y temperatura e integrar se obtiene
Al combinar las ecuaciones 13.5-3, 13.5-8, 5.6-23, 13.5-12 y 13.5-15 se obtiene la ex~xesióncompleta para los perfiles de temperatura T(r, z ) en el chorro circular turbulento, en términos de la cantidad de movimiento total del chorro, la viscosidad turbulenta, el número de Prandtl turbulento y la densidad del fluido. 513.6.
ANALISIS DE FOURIER DE TRANSPORTE DE ENERGÍA EN EL FLUJO EN UN TUBO CON N ~ M E R O S DE PRANDTLELEVADOS En las dos secciones precedentes analizamos el transporte de energía en sistemas turbulentos mediante el uso de ecuaciones de variación con ajuste de tiempo. Después se requirieron expresiones empíricas para describir las densidades de flujo turbulento en términos de perfiles con ajuste de tiempo, usando coeficientes de transporte turbulento o de remolino estimados experimentalmente. En esta sección analizamos un problema de transporte de energía turbulento sin ajuste de tiempo; es decir, por rnedo del uso directo de la ecuación de energía con campos fluctuantes de velocidad y temperatura. La transformada de Fourierl es adecuada para tales problemas, y el "método del balance dominanteH2proporciona información útil sin necesidad de hacer cálculos detallados. La cuestión especifica que se considera aquí es la influencia de la difusividad térmica, cr = k / p C p , sobre la distribución y las fiuctuaciones esperadas de la temperatura del fluido en convección forzada turbulenta cerca de una pared.3 Este t6pico se analizó en el ejemplo 13.3-1 con un procedimiento aproximado. A continuación se considerará un fluido con p, Cp y k constantes en flujo turbu lento a través de un tubo de radio interior R =+D.El flujo entra en z = -m con temperatura uniforme T I y sale en z = L. La pared del tubo es adiabática para z < O, e H. Reichardt, 2eits.J: angew. Math. u. Mech., 24, 268-272 (1944).
' R.N.Bracewell, The Fourier Traransfonnand its Applications, 2a. edicibn, McGraw-Hill, Nueva York (1978). Este rnbtcdo está bien presentado en la obra de CM. Bender y S.A. Orzag, Advanced Mathernaticai Methodsfn Scientists and Engineen, McGraw-Hill, Nueva York (1978), pp. 439437. W.E. Stewart, AIChE iournal, 33, 2008-2016 (1987):errata, ibíd, 34, 1030 (1988);W.E. Stewart y D.G. O'SufivW AIChE Joumal (por presentar).
tj13.6 Análisis de Fourier de transporte de energía en el flujo 491
isotérmica a To para O 5 z 5 L. Se desprecia la conducción de calor en la dirección z. La distribución de temperatura T(r, 8, z, t ) debe analizarse en el límite a largo plazo, en la delgada capa límite térmica que forma para z > O cuando la difusividad térmica molecular a es pequeña (como en un fluido newtoniano cuando el número de Prandtl, Pr = p / k = p / p , es grande). Se deducirá una función de alargamienP to ~ ( apara ) el espesor medio de la capa límite térmica sin introducir una difusividad térmica de remolino dt). En el límite cuando (Y + O, la capa límite térmica está completamente en el interior de la subcapa viscosa, donde las componentes de la velocidad están dadas por expansiones truncadas en serie de Taylor en la distancia y = R - r desde la pared (compárense estas expresiones con las de las ecuaciones 5.4-8 a 5.4-10)
Aquí los coeficientes Pg y P, se tratan como funciones dadas de 8, z y t . Estas expresiones para la velocidad satisfacen las condiciones sin deslizamiento y la condición de impermeabilidad de la pared en y = O y la ecuación de continuidad para y pequeña, y son consistentes con la ecuación de movimiento hasta los órdenes indicados en y. Entonces, la ecuación de energía puede escribirse como
con la aproximación de capa límite de costumbre para V 2 ~ y, con las siguientes condiciones límite sobre T(y, 8, z, t):
Condición en la entrada:
en z = O,
T(y, @,O,t) = TI
para O < y
5
R
(13.6-5)
Condición en la pared:
en y = O,
T(O,8, z, t ) = To
para O
z
5
L
(13.6-6)
5
No se requiere la distribución de temperatura inicial T ( y , 8,z, O), ya que su efecto desaparece en el límite a largo plazo. Para obtener resultados asintóticamente válidos para a + O, introducimos una , es la distancia a la pared relativa al espesor coordenada alargada Y = y / ~ ( a )que medio de la capa límite ~ ( a )La . variación de Y es desde O en y = O hasta en y = R en el límite cuando a -,O. Al usar KY en lugar de y, e introducir la función de temperatura adimensional @(Y, 9,z, t) = (T - T1)/(To - TI), permite volver a escribir la ecuación 13.6-4 como
con condiciones límite como sigue:
Condición en la entrada:
en z = 0,
@(Y, 8, O, t) = O
para Y > O
Condición en la pared:
en Y = 0,
@(O, 8, z, t) = 1
para O
5
z5L
(13.6-8) (13.6-9)
La ecuación 13.6-7 contiene una derivada no acotada d @ / d t con un coeficiente 1 independiente de a. Por tanto, para analizar la influencia del parámetro (Y en este pro-
492
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento
T-
blema se requiere un cambio de variables. Con este fin volvemos a la transformada,7 de Fourier, una herramienta normal para analizar procesos que ocasionan ruido. ? Elegimos la siguiente definición1 para la transformada de Fourier de una fun.; ción g(t) en el dominio de frecuencia v en una posición particular Y, 8, z:
Las transformadas correspondientes para la derivada en t y para productos de funciones de t son
donde la dtima integral se conoce como la convolución de las transformadas g yh. Antes de tomar las transformadas de Fourier de las ecuaciones 13.6-7 a 13.6-9, expresamos cada función incluida g(t) como un promedio de tiempo g más una función de fluctuación g f ( t )y se hace la expansión de cada producto de estas funciones. Las expresiones resultantes tienen las siguientes transformadas de Fourier:
Aquí 6(v)es la función delta de Dirac, obtenida como la transformada de Fourier de la función g(t) = 1en al límite a largo plazo. El término delantero en la última línea es el impulso de valor real en Y = 0, que proviene del productogh independiente del tiempo. Los dos términos siguientes son £unciones de valor complejo de la frecuencia v. El término de la convolución j' * h' puede contener funciones de valor complejo de u, junto con un impulso de valor real ¿ 3 ( v ) Pproveniente de productos independientes del tiempo de oscilaciones armónicas simples en g' y h'. Al tomar la transformada de Fourier de la ecuación 13.6-7 por el método que acaba de proporcionarse y observar que dO/dt es idénticamente cero, se obtiene la ecuación diferencial
513.6 Análisis de Founer de transporte de energía en el flujo 493
para la temperatura @Y, 8, z, v ) en transformada de Fourier. Las condiciones límite transformadas son
Condición en la entrada: en z = O,
Condicidn en la pared:
en Y = 0,
&Y, 8, z, v ) = O
para Y > O
6(Y, 8, z, v) = S(v) para O
5 z ic
(13.6-16)
L
(13.6-17)
Aquí nuevamente, la función impulso unitaria 6(v) aparece como la transformada de Fourier de la función g(t) = 1 en el límite a largo plazo. En la ecuación 13.6-15 aparecen dos tipos de contribuciones: impulsos S(v) de frecuencia cero y valor real a partir de funciones y productos independientes de t, y funciones de valor complejo de v provenientes de términos de productos dependientes del tiempo. Aquí consideraremos por separado estos dos tipos de contribuciones, dividiendo así la ecuación 13.6-15 en dos ecuaciones. Empezamos con los términos de impulso de frecuencia cero. Además de los términos explícitos 6(v) de la ecuación 13.6-15, en los términos de la convolución surgen impulsos implícitos provenientes de oscilaciones sincrónicas de velocioa* temperatura, originando la densidad de flujo de energia turbulento ¿j(') = pC,v'T1 que se analizó en 513.2.Los coeficientes de todos los términos de impulso deben ser funciones proporcionales de a,a fin de que los términos dominantes en cada punto permanezcan balanceados (es decir, de tamaño comparable) cuando a + O. Por tanto, e1 coeficiente K de los términos de impulso convectivo, incluyendo los que provienen de fluctuaciones sincrónicas, deben ser proporcionales al coeficiente a / del ~ término de impulso por conducción, con lo que se obtiene K a a113,O bien,
para la dependencia del espesor medio de la capa límite térmica respecto al n ú m e ro de Prandtl. Los términos restantes en la ecuación 13.6-15 describen las fluctuaciones turbulentas de la temperatura. Incluyen el término de acumulación 2 n i A f y los térrninos restantes por convección y por conducción. Los coeficientes de todos estos términos (incluyendo 2 d v en el término delantero) deben ser funciones proporcionales de ru a fin de que estos términos semejantes permanezcan balanceados cuando a + O. Este razonamiento confirma la ecuación 23.6-18 y proporciona la relación adicional v a K, O bien,
para e1 ancho de banda de la frecuencia Av de las fluctuaciones de temperatura. En consecuencia, la frecuencia alargada pr1I3v y e1 tiempo alargado pr-'13t son variables naturales para reportar análisis de Fourier de convección forzada turbulenta. De manera análoga, Shaw y Hanrattf reportaron espectros turbulentos para sus experimentos de transferencia de materia, en términos de una variable de frecuencia alargada proporcional a sc113v(aquí, Sc = p / p B A Bes e1 numero de Schrnidt, el análogo de h transferencia de materia del número de PrandtI, que contiene la difusividad binaria 9AB, que se presentará en el capítulo 16). Hasta el momento hemos considerado sóIo el término delantero de una expansión en serie de Taylor en K para cada término en las ecuaciones de energía. Es poD.A. Shaw y T.J.Hamatty, AIChE lournal, 23, 160-169 (1977); D.A. Shaw y T.J. Hanratty, AlChE Journal, 23,28-37
(1977).
~
494
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento i
sible obtener resultados más exactos continuando los desarrollos en serie de Tapol: para potencias superiores de K, y así de P ~ - ' / ~ DLa . solución formal resultante una expansión de perturbación
,,
para la distribución de la temperatura fluctuante sobre la posición y la frecuenciaen un campo de velocidad dado. La expansión para T (el promedio a largo plazo de la temperatura) correspondiente a la ecuación 13.6-20, se obtiene a partir de la parte de frecuencia cero de 6,
A partir de lo anterior podemos calcular la densidad de flujode calor local en la pa. red promediada respecto al tiempo:
y entonces el número local de Nusselt es
Así, el número medio de Nusselt sobre la superficie de la pared para transmisión de calor, y la cantidad análoga para la transferencia de materia, son
En esta última ecuación, Sh,, @ A y Sc son los análogos de transferencia de materia de NU,, y Pr. Aquí proporcionamos la expresión para transferencia de materia (en vez de esperar hasta la tercera parte del libro) debido a que los experimentos electroquírnicos de transferencia de materia proporcionan mejor precisión que los expe rimentos de transmisión de calor y a que el intervalo disponible de números de Schmidt es mucho mayor que el de los números de Prandtl. Si las expansiones en las ecuaciones 13-4-24y 13.6-25 se truncan a un término, se obtiene Nu, m ~ ry Shm ~ a/C C ~~ ' Estas ~ . expresiones son ingredientes esenciales en las famosas relaciones de Chilton-Colbum5(véame las ecuaciones 14.3-18 y 14.3-19, así como las ecuaciones 22.3-22 a 22.3-24). El primer término en la ecuación 13.6-24 o 13.6-25 también corresponde a la asintota del número de Prandtl alto (o número de Schmidt) de la ecuación 13.4-20.6
T.H. Chilton y A.P. Colbuin, Ind.Eng. Chem.,26,1183-1187 (1934). Thomns Hamilton Chilton (1899-1972) ejerció toda su carrera profesional en la E.I. du Pont de Nernours Company, Inc., en Wilmington, Delaware; fue presidente de la AlChE en 1951. Despu6s de "retirarse"fue profesor invitado en diversas universidades. Véase también O.C. Sandaii y O.T. Hanna, AlChE ~oumal,25,190-192 (1979).
Preguntas para discusibn 495
Figura 13.6-1 Datos de transferenciade materia turbulenta de D.A. Shaw y T.].Hanratty [AIChE Joumal, 28,23-37,160-169 (1977)l comparados con una curva basada en la ecuación 13.6-25 (curva sólida}.Tambien se muestra una función de la ley de potencias senclla
obtenida por Shaw y Hanratty. Con el desarrollo de los métodos eÍectroquímicos para medir transferencia de materia en Ias superficies, ahora ya es posible investigar el segundo término en la ecuación 13.625.En la figura 13.6-1 se muestran los datos de Shaw y Hanratty, quienes midieron la corriente limitada por la difusión a un electrodo de pared para va9 ~693 ~ hasta 37,200. Estos datos son lores del número de Schmidt Sc = f i / ~desde ajustados3 bastante bien por la expresión
dondeflRe) es el factor de fricción que se definió en el capítulo 6. La ecuación 13.6-26 combina la dependencia observada del número de Sherwood respecto a Re con los dos términos delanteros de la ecuación 13.6-25 (es decir, los coeficientes al, a z , son proporcionales a Re Jf/2). La ecuación 13.6-26 se presta a una interpretación física clara: el término delantero corresponde a una capa límite difusional tan delgada que la velocidad tangencial es lineal en y y puede despreciarse la curvatura de la pared, mientras que el segundo término explica la curvatura de la pared y los términos y* en las expansiones de la veIocidad tangencial de las ecuaciones 13.6-1 y 13.6-2. En aproximaciones superiores, es de esperar que surjan términos especiales debido a efectos de borde, como observaron Newman7 y ~ t e w a r t . ~
1. Comparar la conductividad térmica turbulenta y la viscosidad turbulenta en cuanto a su definición,orden de magnitud y dependencia respecto a las propiedades físicas y la naturaleza
del flujo. ¿Qué es la "analogía de Reynolds" y cuál es su importancia? 3. ¿Hay alguna relación entre la ecuación 13.2-3 y la ecuación 13.4-12, después de que se evalúan las constantes de integración de la segunda? 4. ¿Es válida la analogía entre la ley de Fourier de la conducción del calor y la ecuación 13.3-l? 5. iCu5l es la importancia física del hecho de que el número de Prandtl turbulento sea del orden de la unidad? 2.
J.C. Newrnan, Electroanalytical Chenlisty, 6,187-352 (1973).
496
Capítulo 13 Distribuciones de temperatura en flujo turbulento
PROBLEMAS 13B.1 Densidad de flujo de calor en la pared para flujo turbulento en tubos (aproximada). Trabajar el ejemplo 13.3-1y escribir los pasos faltantes. En particular, comprobar la integración al pasar de la ecuación 13.3-6 a la ecuación 13.3-7.
138.2 Densidad de flujo de calor en la pared para flujo turbulento en tubos.
a) Resumir las suposiciones en 513.4.
b) Trabajar los detalles matembticos de esa secd6nflteniendo cuidado especial con los pasos que conectan la ecuación 13.412 con la ecuación 13.4-16. 1Cuándo no es necesario encontrar la constante C2 en la ecuación 13.4-12? C)
donde f = r / B y
,(o = LC# ( t- ) d- [ .
-
-
b) Demostrar cómo se simplifica el resultado del inciso); para el flujo laminar de fluidos newtonianos y para el "fluj, tapón" (perfilesde velocidad planos).
Respuesta: b) k(~,- T,)/ q o ~=
17 1
13D.1 El perfil de temperatura para flujo turbulento a tubos. Para calcular la distribución d e temperatura para turbulento en hlbos a panir de la ecua~6n 13.4-12, es necesario conocer C2, a) Demostrar cómo obtener C2aplicando la condición l í í te 4 como se hizo en 910.8.El resultado es
13C.1 Densidad de flujo de calor en la pared para flujo turbulento entre dos láminas paralelas.
a) Trabajar la deducción en 913.4 y luego hacer una deducción semejante para flujo turbulento en una rendija delgada que se muestra en la figura 28.3. Demostrar que el análogo de la ecuación 13.4-19 es
b) Verificar que la ecuación 13D.l-1 proporciona C2 = -3 para un fluido newtoniano.
Transporte interf ásico en sistemas no isotérmicos 514.1
Definiciones de los coeficientes de transmisión de calor
g14.2
Cálculos analíticos de los coeficientes de transmisión de calor para convección forzada a través de tubos y rendijas
514.3
Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada en tubos
514.4
Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada alrededor de objetos sumergidos
514.5
Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada a través de lechos de relleno
514.6'
Coeficientes de transmisión de calor para convección libre y mixta
514.7"
Coeficientes de transmisión de calor para condensación de vapores puros sobre superficies sólidas
En el capítulo 10 vimos cómo pueden establecerse los balances de energía en envolturas para vanos problemas sencillos y cómo estos balances conducen a ecuaciones diferenciales a partir de las cuales es posible calcular los perfiles de temperatura. También vimos en el capítulo 11que el balance de energía sobre un elemento de fluido diferencial arbitrario lleva a una ecuación diferencial parcial -la ecuación de energía- que puede usarse para plantear problemas más complicados. Luego, en el capítulo 13 vimos que la ecuación de energía con ajuste de tiempo, junto con expresiones empíricas para la densidad de flujo de calor turbulento, proporciona una base útil para resumir y extrapoiar mediciones del perfil de temperatura en sistemas turbulentos. Así, en este momento el lector debe comprender bastante bien el significado de las ecuaciones de variación para flujo no isotérmico y su intervalo de aplicabilidad. Debe resultar evidente que todos los problemas analizados pertenecen a sistemas de geometría bastante sencilla y que además la mayor parte de esos problemas contienen suposiciones, como viscosidad independiente de la temperatura y densidad de fluido constante. Para algunos efectos, estas soluciones pueden ser adecuadas, especialmente para estimaciones de orden de magnitud. Además, el estudio de sistemas sencillos proporciona apoyos para avanzar en el análisis de problemas más complejos. En este capitulo nos dedicamos a algunos problemas en los que es conveniente o necesario aplicar un análisis menos detallado. En dichos problemas, el enfoque ingenieril acostumbrado es plantear balances de energía sobre piezas de equipo, o partes de éste, según se describe en el capítulo 15. En el balance macroscópico de energía así obtenido, suele haber términos que requieren estimar el calor que se transmite a través de los límites del sistema. Fsto requiere conocer el coeficiente de transmisión de calor para describir el transporte interfásico. Por lo general, este coeficiente se proporciona, para el sistema de flujo de interés, como una correlación empírica del número
498
Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos
de ~ u s s e l t l(una densidad de flujo de calor en Ia pared o coeficiente de transmisión de calor adimensional) como una función de cantidades adimensionales relevantes, como los números de Prandtl y de Reynolds. Esta situación no es diferente de la del capítulo 6 , donde aprendimos cómo correlaciones adirnensionales del factor de fricción para resolver problemas de transferencia de cantidad de movimiento. Sin embargo, para problemas no isotérnii. cos el número de grupos adimensionales es más grande, los tipos de condiciones li. mite son más numerosos y la dependencia de las propiedades físicas respecto a la temperatura a menudo es importante. Además, en sistemas no isotérmicos se en. cuentran los fenómenos de convección libre, condensación y ebulIición. Con toda intención nos restringiremos aquí a un número pequeño de fórmulas y correlaciones de transmisión de calor: lo suficiente para introducir al lector al te ma sin tratar de ser enciclopédicos. Muchos tratados y manuales abordan el tema con mucha mayor p r o f ~ n d i d a d . ~ ~
514.1
DEFINICIONES DE LOS COEFICIENTES DE TRANSMISIÓN DE CALOR
Consideremos un sistema de flujo en que el fluido fluye en un conducto o alrededor de un objeto sólido. Supóngase que la superficie sólida está más caliente que el fluido, de modo que se transmite calor del sólido al fluido. Entonces debe esperarse que la velocidad de flujo de calor a través de la interfase sólido-fluido dependa del área de la interfase y de la diferencia de temperatura entre el fluido y el sólido. Sude acostumbrarse definir un factor de proporcionalidad h (el coeficiente de trans7nisiónde calor) por
donde Q es e1 flujo de calor hacia el fluido U/h o Btu/h), A es un área característica, y AT es una diferencia de temperatura característica. La ecuación 14.1-1también puede usarse cuando el fluido se enfría. La ecuación 14.1-1, en forma ligeramente distinta, se ha encontrado en la ecuación 10.1-2.Nótese que h no se define sino hasta que se especifican el área A y la diferencia de temperatura AT. Ahora vamos a considerar las definiciones usuales de h para dos tipos de geometría de flujo. Como un ejemplo de flujo en conductos, consideramos un fluido que fluye en un tubo círcuIar de diámetro D (véase la figura 14.1-l), donde hay una sección de pared de longitud L que se calienta y cuya temperatura superficial interior T&z) varía desde Tp?hasta T O 2Sup6ngase que la te~peraturaglobal Tb del fluido (definida en la ecuacion 10.8-33 para fluidos con p y Cp constantes) aumenta desde Tbi hasta Tb2 en la sección que se calienta. Entonces, hay tres definiciones convencionales de coeficientes de transmisión de calor para el fluido en la sección que se calienta:
Este grupo adimensional se denomina así en honor de Ernst Krafi Wilhelm Nusselt (1882-1957),el ingeniera alem8n quien fue la primera figura especializadaen el campo de la transmisión convectiva de calor y la transferencia Convectiva de materia. Véanse, por ejemplo, W. Nusselt, Zeits. d. Ver. Deutsch. Ing., 53, 1750-1755 (1909).Forschungsarb.a. d. Geb. d. Ingenieunoes., Núm. 80, 1-38, Berlín (1910). y Gesundheits-lng., 38,477-482,490-496 (1915). M. Jakob,Heat nansfer, Vol. 1 (1949) y Vol. 2 (19571, Wdey, Nueva York. W.M. Kayc y M.E. Crawford, Convective Heat and Mass Transfer, 3a. edición, Mdraw-HiIl, Nueva York (1993). H.D. Baehr y K. Stephan, Heat and Mass TransJer,Springer, Berlín (1998). W.M. Rohsenow, J.P. Hartnett y Y.I. Cho (comps.),Handbwk of Heat Tmnsfir, McGraw-Hill, Nueva York (1998). H. Grober, S. Erk y U. CriguU, Die Grundgesehe der W8rrneübmtragung, Springer, Berlín, 3a. edición (1961).
514.1
,,1
Definicionesde los coeficientes de transmisión de calor 499
Elemento de -de
El fluido entra a
Superficieinterior a Toi
Figura 14.1-1 Transmisión de calor en un tubo circular.
''Y
El fluido d e a
/
,
' Sección que se 1 calienta c o n u n a 11 temperatura en La superficie interior To(z)
\ Superficie interior a Tm
Es decir, hl se basa en la diferencia de temperatura AT, en la entrada, ha se basa en la media aritmética AT, de las diferencias de temperatura extremas y hh se basa en la diferencia de temperatura Iogarítmica media ATh correspondiente. Para la mayor parte de los cálculos, hh es preferible, porque es menos dependiente de L I D que los otros dos, aunque no siempre se usa.l Al utilizar correlaciones de transmisión de calor presentadas en tratados y libros, debe tenerse cuidado en notar las definiciones de los coeficientes de transmisión de calor. Si inicialmente se desconoce la distribución de temperatura en la pared, o si las propiedades del fluido cambian notoriamente a lo largo del tubo, es difícil pronosticar los coeficientes de transmisión de calor que acaban de definirse. En estas condiciones, suele acostumbrarse volver a escribir la ecuación 14.1-2 en la forma diferencial:
Aquí dQ es el calor agregado al fluido sobre una distancia dz a lo largo del tubo, ATIoces la diferencia de temperatura local (en la posición z ) y bloc es el coeficiente de transmisión de calor local. Esta ecuación se usa ampliamente en ingeniería de diseño. En realidad, & definición de bloc y AT,,, está incompleta si no se especifica le forma del elemento de área. En la ecuación 14.1-5hemos hecho d A = ~ D d z lo , que significa que bloc y ATl, son los valores medios del área sombreada dA en la figura 14.1-1. Como un ejemplo de flujo alrededor de objetos sumergidos, considérese un fluido que circula alrededor de una esfera de radio R, cuya temperatura superficial se mantiene a un valor uniforme To. Supóngase que el fluido se aproxima a la esfera con
'
Si ATJAT, está entre 0.5 y 2.0, entonces AT, puede sustituhe por ATh, y h,, por h i , con un error máximo de 4%. Este grado d e precisión es aceptable e n la mayor parte de cálculos d e transmisión de calor.
. -
500 Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos
una temperatura uniforme T,. Entonces podemos definir un coeficiente me& transmisión de calor, h,, para toda la superficie de la esfera por la relación
Aquí el área característica se ha tomado como la superficie de transmisión de calor! (como en las ecuaciones 14.1-2 a 14.1-5),mientras en la ecuación 6.1-5se usó la sec. ción transversal de la esfera. También puede definirse, por analogía con la ecuaci6n 14.1-5,un coeficiente 1& cal para objetos sumergidos:
Este coeficiente es más informativo que h, porque pronostica cómo está distribuida la densidad de flujo de calor sobre la superficie. Sin embargo, la mayor parte de los experimentadores sólo reportan h,, que es más fácil de medir. Es preciso recalcar que antes de definir h deben establecerse con claridad las definiciones de A y AT. Debe recordarse, también, que h no es una característica constante del medio fluido. Por el contrario, el coeficiente de transmisibn de calor depende en una forma complicada de muchas variables, incluyendo las propie dades del fluido (k, p. p, $),la geometría del sistema y la velocidad del flujo. El resto de este capítulo está dedicado a pronosticar la dependencia de h respecto a estas cantidades. En términos generales esto se ileva a cabo utilizando datos experimentales y análisis dirnensionales para deducir correlaciones. Tarnbikn es posible, para algunos sistemas muy sencillos, calcular en forma directa el coeficiente de transmisión de calor a partir de las ecuaciones de variación. En la tabla 14.1-1 se proporcie nan algunos intervalos típicos de h. En 510.6 vimos que, en el cálculo de velocidades de transmisión de calor entre dos corrientes de fluidos separadas por una o más capas sólidas, es conveniente usar un coeficiente global (completo) de transmisión de calor, U,,, que expresa el efecto
Tabla 14.1-1 Órdenes de magnitud típicos para coeficientes de transmisión de calof h
(w/m2 K) o bien, Sistema
J
(kcal/m2 - h . C)
h
( ~ t u / p i e- h~ F)
Convección libre
Gases Lfquidos Agua hirviendo
3-20 100400 1000-20,000
1-4
20-120 200-4OOO
Conwcción forzada
Gases 10-100 Líquidos 50-500 Agua 500-10,000 Vapores de condensación 1000-100,000
2-20
10-100 100-2000 200-20,000
Tomados de H. Grober, S. Erk y U. Grigull, Wameübe~fragung, Springer, Berlín, 3a. edici6n (1955),p. 158. Cuando h se proporciona en kcal/m2 . h . C, debe multiplicarse por 0.204 para obtener en ~ t u / p i e. h ~ F, y por 1.162 para obtener en W/m2 . K. Para f a c t e res de converción adicionales, véase el aphdice F. o
.
514.1 Definiciones de los coeficientes de transmisión de calor 501
combinado de la serie de resistencia a través de las que fIuye el calor. Aquí proporcionamos una definición de U. y mostramos cómo calcularlo en el caso especial de intercambio de calor entre dos corrientes coaxiales con temperaturas globdes Th ("caliente") y T, ("frío"), separadas por un tubo cilíndrico de diámetro interno Do y diámetro externo DI:
Nótese que U,, se define como u n coeficiente local. Ésta es la definici6n implícita en la mayor parte de los procedimientos de diseño (véase el ejemplo 15.4-1). Las ecuaciones 14.1-8 y 14.1-9 están, por supuesto, restringidas a resistencias térmicas conectadas en serie. En algunas situaciones puede haber una densidad de flujo de calor apreciable en paralelo en una o en ambas superficies por radiación; entonces las ecuaciones 14.1-8 y 14.1-9 requieren una modificación especial (véase el ejemplo 16.5-2). Para ilustrar el significado físico de los coeficientes de transmisión de calor, así como un método para medirlos, concluimos esta sección con un análisis de un conjunto hipotético de datos de transmisión de calor.
ansmisián de calor de datos
a partir
mflor;.rrorrfnloa
En la figura 14.1-2 se muestra una serie de experimentos simulados en estado estacionario sobre el calentamiento del aire en tubos. En el primer experimento, fiuye aire a Tbl = 200 O F en un tubo de 0.5 pulg de diámetro interno, en el que el perfil de velocidad laminar está totalmente desarrollado en la sección isotérmica d d tubo para z < O . Para z = O, la temperatura de la pared se aumenta súbitamente a To = 212 "F y se mantiene en ese valor para la longitud restante del tubo, LA. En z = LA, el fluido pasa hacia una cámara de mezcla donde se mide la temperatura de mezcla en taza (o "global") Tb2.Experimentos semejantes se realizan con tubos de longitudes diferentes, LB, Lo etc., con los resultados del inicio de la página siguiente. Sección isotérmica z
I
Sección calentada z>o
Tubo con sección calentada de longitud LA Tuba con sección calentada de longitud LB I
l
I
Rho con
l ...............................
sección calentada de longitud l
Tbl Z
O
I
l
I
I
I
z=LB
z=Lc
IJ -
z=LA
I
-
Figura 14.1-2 Series de experimentos para medir coeficientes de transmisión de calor.
502 Capítulo 14 Transporte interfásicoen sistemas no isotérmicos
A
B
C
D
E
E:
G
201.4
202.2
203.1
204.6
206.6
209.0
211.0
Experimento
Tb2 (OP)
En todos los experimentos, la velocidad de flujo del aire w es 3.0 lb,/h. Calcular hl, ha, h el valor de salida de h,, como funciones de la razón L / D .
Pfimero hacemos un balance de energía en estado estacionario sobre una longitud L del bo, afirmando que la entrada de calor a través de las paredes más la energía que entra convección en z = O es igual a la energía que sale del tubo en z = L. La densidad de fl energía axial en la entrada y en la salida del tubo puede calcularse a partir de la ecuaci Para flujo totalmente desarrollado, los cambios en la densidad de flujo de la energía )$v y el término del trabajo [r v] son despreciables respecto a cambios en la densi flujo de entalpía. Tambikn suponemos que q,<
Usando la ecuación 14.1-2 para evaluar Q y reagrupando se obtiene
a partir de la cual
Así se obtiene la fórmula para calcular hl a partir de los datos proporcionados antes. En forma análoga, al usar las ecuaciones 14.1-3 y 14.1-4 se obtiene
para obtener ha y hh a partir de los datos. Para evaluar h,, es necesario usar los datos precedentes a fin de construir una curva tinua Tb(z),como en la figura 14.1-2,para representar al cambio en la temperatura globai c z en el tubo más largo (de 96 pulg). Entonces, la ecuación 14.1-10 se vuelve
Al diferenciaresta expresión respecto a z y combinar el resultado con la ecuación 14.1-5,o tenemos
g14.2 Cálculos analíticos de los coeficientes de transmisi6n de calor para convección f o m d a 503 O
bien, hl, =
w4
1
dT,
VD (To- Tb) d~
Debido a que To es constante, lo anterior queda como
La derivada en esta ecuación se determina de manera conveniente a partir de una gráfica de ln(To- TJ contra z/L. Debido a que aparece una diferenciacibn, es difícil determinar h,,con precisión. Los resultados calcuIadoc se muestran en la figura 14.1-3. Nótese que todos los coeficientes decrecen con el incremento de L/D, pero que hl, y hh varían menos que los otros. Éstos tienden a una asíntota común (véame el problema 14B.5 y la figura 14.1-3). Un comportamiento algo semejante se observa en flujo turbulento con temperatura de pared constante, excepto que h,, se aproxima a la asíntota mucho más rápido (véase Ia figura 14.3-2).
24
48 LID
Figura 14.1-3 Coeficientes de transmisión de calor calculados en el ejemplo 14.1-1.
CÁLCULOSANAL~TICOSDE LOS COEFICIENTESDE TRANSMISION DE CALOR PARA CONVECCEÓN FORZADA A TRAVÉS DE TUBOS Y RENDIJAS Recuérdese del capítulo 6, donde se definieron y analizaron los factores de fricción, que para algunos sistemas de flujo Iaminar muy sencillos podemos obtener fónnulas analíticas para el factor de fricción (adimensional) como una función del número de Reynolds (adimensional).Nos gustaría hacer lo mismo para el coeficiente de transmisión de calor, h, que, sin embargo, no es adimensional. A pesar de ello, con él podemos construir una cantidad adimensional, Nu = h D / k , el número de Nusselt, usando la conductividad térmica k del fluido y una longitud característica D que debe especificarse para cada sistema de flujo. Otros dos grupos adimensionales relacionados son de uso común: el número de Stanton, St = Nu/RePr, y el facforj de Chilton-Colburn para transmisión de calor, jH = N u / ~ e P r ' / ~Cada . uno de estos gnipos adimensionales puede "decorarse" con el subidice 1, a, ln o m, de manera correspondiente a1 subíndice del número de Nusselt.
504
CapituIo 14 Transporte interfdsicoen sistemas no isotérmicos A manera de ilustración volveremos a s10.8, donde analizamos el calentamie to de un fluido que avanza en flujo laminar en un tubo, donde todas las propie del fluido se consideraron constantes. A partir de la ecuación 10.8-33 y la ecu 10.8-31 podemos obtener la diferencia entre la temperatura de pared y la temper tura global:
donde R y D son el radio y el diámetro del tubo. Al despejar la densidad de flujo la pared se obtiene
4
Después, usando la definición del coeficiente local de transmisión de calor hlo,, a saber, que q0 = hl,,(To - Tb),se encuentra que
Este resultado es el elemento en la ecuación (L) de la tabla 14;2-1; a saber, para e] flujo laminar de un fluido con propiedades constantes y densidad de flujo de calor de pared constante, para z muy grande. Los otros elementos de las tablas 14.2-1y 14.2-2 pueden obtenerse en forma semejante.' En la figura 14.2-1se muestran algunos números de Nusselt para fluidos newtonianos cuyas propiedades físicas son constantes? Para flujo turbulento en un tubo circular con densidad de flujo de calor constante, el número de Nusselt puede obtenerse a partir de la ecuación 13.4-20 [que a su vez fue originada por la ecuación (K) de la tabla 14.2-11:~
1 Estas tablas están tomadas de R.B. Bird, R.C. Armstrong y O. Hassager, Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1, Fluid Mechanics. la. edición, Wiley, Nueva York (1987), pp. 212-213. Que a su vez, est6n basadas en W.J. Beek y R. EnEink, De Ingenieur, 74 ( 3 3 , capítulos 81-89 (1962), y en J.M. Valstar y W.J. Beek, De Ingenieur,75 (11, capítulos 1 a 7
(1963). 2
La correspondencia entre los elementos de las tablas 14.2-1,14.2-2 y los problemas en este libro es como sigue
(a = tubo circular, /j = rendija plana): Ecuación (C) Ecuación (F) Ecuación (G) Ecuación (1) Ecuación ( K ) Ecuación (L)
Problema 12D.4'3;12D.5 11 Problema 12D.3 0 ; 12D.5 11 Problema lOB.9a @; IOB.9b 11 Problema 12D.7 0 ;12D.6 If Problema 1OD.2O Pmblema 12D.6 11
Laminar newtoniano Laminar newtoniano Flujo tapón Laminar newtoniano Laminar no newtoniano Laminar newtoniano
Ecuaciones an61ogas a las ecuaaones (K)en Las tablas 14.2-1 y 14.2-2 se proporcionan para flujo turbulento en las ecuaclones 13 4-19 y 13C.1-1. 3 O.C. SandaU, O.T. Hanna y P R Mazet, C a n d . l. Chem. Eng.,58,443-447 (1980).
!
i
Tabla 14.2-1
NuIw= hl,D/k
Resultados asintóticos para números locales de Nusselt (flujo en un
Densidad de flujo de calor de pared constante
Temperatura de pared constante Todos los valores son números locales Nu
-0
z=o
-0
3
TI < + z +o2
Regi6n de entrada térmicac
1
TI {fFz
z = o t t t t t t + t
3
40
(A) FIujo tapón
lNu=$(bgr
no newtoniano
Flujo laminar newtoniano
Nu =
L(&?$)'~ 9"j r<+)
Nu=-
(C) Flujo laminar
2r(3 ( v z ) ~ 21/3 9a
( )
newtoniano
--
Flujo totalmente desarroflado térmicamente
Flujo tapón
Nu = 5.772
FIujo Iaminar no newtoniano
Nu = P:, donde P, es el menor valor propio de
(D) Flujo tapón
/
flujo laminar no newtoniano
1
-
Nu=8
u. =
[.[i
[[tl+(lf)dtj
dgI1
I
newtoniano
newtoniano
Nota: = .n,/(tl,), donde 6 = r/R y R = 0/2; para fiuidos newtonianos, (?)~~/az = RePr(D/z) con Re = D(v,)p/fi- Aquí a = k/&?. W.J. Beek y R. Eggink, De Ingenieur, 74, No. 35, capituios 81-89 (3962); errata, 75, No. 1, capitulo 7 (1963). 'El agrupamiento {v,)D2/az algunas veces se e d b e como Gz (L/t), donde Gz = (vz}D2/cr~ se denomina número de Graetz; aquí L es la longitud del tubo desp Así, la región de entrada térmica corresponde a un número de Graetz elevado.
e
Tabla 14.2-2 Resultados asintóticos para números locales de Nusselt (flujoen una rendija delgadalUb;Nul, = 4hl,B/k Densidad de flujo de calor de pared constante
Temperatura de p a d constante Todos los valores son números locales Nu
Región de entrada térmicac
Flujo tapón
1/3
az
Flujo totalmente desarrollado térmicamente
no newtoniano
no newtoniano
Flujo Iaminar newtoniano
N, =
Flujo tapón
Nu =
Flujo laminar no newtoniano
Nu = 4@, donde pI es el menor valor propio de
= 9.870
d2xn + p;4(r)~,= O; XnI( 1)= O da
L
(C) Flujo laminar newtoniano
NU =
(D) Flujo tapón
Nu = 12
Flujo laminar no newtoniano
(E)
ffz
Ftujo laminar newto~ano
Nu = 7.541
NU =
(F) Flujo laminar newtoniano
140 Nu = -- = 8.235 17
'Nota: d(u) = vz/(vz),donde u = y/B; para fluidos newtonianos, (vz)DZ/az= 4 RePt(B/t) con Re = 4B{vz)p/p.Aquí a = k / p eP.
J.M.Valstar y W.J. Beek, De Ingenieur, 75, No. 1, capítulos 1 a 7 (2963). a agrupamiento tvz)B2/azalgunas veces se escribe como Gz . ( L / z ) ,donde Gz = (vz)B2/aLse denomina número de Graetz; aquí L es la longitud de la rendija desp Así, la región de entrada térmica corresponde a un número de Graetz elevado.
514.2 Cálculos analíticos de los coeficientes de transmisión de calor para convección forzada 507
(rendija) E F (tubo)o (o*)B2 QZ
a2
Figura 14.2-1 El número de Nusselt para flujo totalmente desarrollado de fluidos newtonianos con propiedades físicas constantes: Nu,, = hl,D/k para tubos circulares de diámetro D, y Nu,, = 4hl,B/k para rendijas de semiancho B. Las expresiones Límite se proporcionan en las tablas 14.2-1y 14.2-2.
La ecuación 14.2-4 sólo es válida para az/(v,)D2 >> 1, para fluidos con propiedades físicas constantes y para tubos sin rugosidades. Se ha aplicado exitosamente sobre el intervalo de números de Prandt10.7 < Pr < 590. Nótese que, para números de Prandtl muy grandes, la ecuación 14.2-4 proporciona
La dependencia respecto a I?r1i3 coincide exactamente con el límite Pr grande en 513.6 y la ecuación 13.3-7. Para flujo turbulento hay poca diferencia entre Nu para temperatura de pared constante y para densidad de flujo de calor de pared constante. Para el flujo turbulento de metales líquidos, para los cuales los números de Prandtl suelen ser mucho menores que la unidad, hay dos resultados de irnportancia. Notter y ~ l e i c h d resolvieron numéricamente la ecuación de energía, usando un perfil de velocidad turbulento realista, y obtuvieron las velocidades de transmisión de calor a través de la pared. Los resultados finales se ajustaron con una curva a expresiones analíticas sencillas para dos casos: Temperatura de pared constante:
Nu,, = 4.8 + 0.0156
~ f l . ~(14.2-6) ~
Densidad de flujo de calor de pared constante:
Nul, = 6.3 + 0.0167
(14.2-7)
Estas ecuaciones están limitadas a L / D > 60 y propiedades físicas constantes. La ecuación 14.2-7 se muestra en la figura 14.2-2. R.H. Notter y C.A. Sleicher, C h . Eng. Sci., 27,207%2093 (1972).
508
4
Capitulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos Id,
I
I
_ - m
Figura 14.2-2 Números de Nusselt para flujo turbulento di metales líquidos en tubos circulares, basados en c á l ~ u ] ~ ~ tedricos de R.H. Notter y C 4 , Sleicher, Chem. Eng. Sci., 27,
g' :'0-06 0.02
0.01
0.004
-
2073-2093 (1972).
Nu
10 1
-
Laminar -
1 s
I
I
103 Pé = Número de Pédet = RePr
104
Se ha recalcado que todos los resultados de esta sección están limitados a fluidos con propiedades físicas constantes. Cuando en el sistema hay grandes diferencias de temperatura, es necesario tener en cuenta la dependencia de la viscosidad respecto a la temperatura, la capacidad térmica y la conductividad térmica. En terminos generales esto se hace por medio de un empirismo; a saber, evaluando las propiedades físicasa alguna temperatura media idónea. En todo este capítulo, a me+ nos que explícitamente se establezca otra cosa, se entiende que todas las propie dades físicas deben calcularse a la temperatura de película Tf que se define como sigue:5
a) Para tubos, rendijas y otros canales,
donde To, es la media aritmética de las temperaturas de superficie en los dos extremos, To,= if~,, + TO2),y Tboes la media aritmética de las temperaturas globales de entrada y salida, Th = + Tb2). También se recomienda escribir el número de Reynolds como Re = D ( p v ) / p = D w / S p , a fin de tomar en cuenta los cambios en viscosidad, velocidad y densidad sobre la sección transversal de área S.
b) Para objetos sumergidos con temperatura superficial uniforme To en una corriente de líquido que se aproxima con temperatura uniforme T,,
Para sistemas de flujo que implican geometrías más complicadas, es preferible usar correlaciones experimentales de los coeficientes de transmisión de calor. En las siguientes secciones mostraremos cómo es posible establecer tales correlaciones por medio de una combinación de análisis dimensioiial y datos experimentales.
¡
W.J.M.Douglas y S.W. Churchül, Chem. Eng.Prog. Sympocium S&, No.18,52,23-28 (1956);E.K.G.Eckert, R e d Advances in Hmt and Mass Trunsfcr, Mffiraw-Hill, Nueva York (1961). PP. 51-81, ecuación (20); W.E. Stewart, R. Kilgour y K.-T. Liu han propuesto estados de referencia más detallados, Universidad de Wisconsin-Madison, ~athematim Research Center Report U1310 (junio de 1973).
s14.3 Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada en tubos 509
TgI4.3 I
COEFICIEMES DE TRANSMISIONDE CALOR PARA CONVECCI~N FORZADA EN TUBOS
En la sección previa mostramos que los números de Nusselt para algunos flujos laminares pueden calcularse a partir de principios básicos. En esta sección mostraremos cómo el análisis dimensional conduce a una forma genera1 para expresar la dependencia del número de Nusselt respecto a varios grupos adimensionales, y que esta forma incluye no sólo los resultados de la sección precedente, sino también los correspondientes a flujo turbulento. Después presentaremos una gráfica adimensional de números de Nusselt, que se obtuvo al correlacionar datos experimentales. Primero extendemos el análisis dimensional proporcionado en 511.5 a fin de obtener una forma general para correlaciones de coeficientes de transmisión de calor en convección forzada. Considérese el flujo laminar o turbulento de un fluido newtoniano impulsado de manera estable por un tubo recto de radio interior R, como se muestra en la figura 14.3-1. El fluido entra al tubo en z = O con velocidad uniforme hasta muy cerca de la pared, y con temperatura de entrada uniforme TI (= Tbl). La pared del tubo está aislada excepto en la región O 5 z 5 L, donde se mantiene una temperatura de superficie interna uniforme To por calor proveniente de vapor que se condensa sobre la superficie exterior. Por el momento suponemos propiedades físicas constantes p, ,u, k y Cp. Después extenderemos el empirismo dado en $14.2a fin de obtener una tolerancia más compIeta para la dependencia de estas propiedades respecto a la temperatura. Seguimos el mismo procedimiento que se usír en 56.2 para los factores de fricción. Empezamos por escribir la expresión para el flujo de calor instantáneo desde la pared del tubo hacia el fluido en el sistema descrito antes,
que es válida para flujo laminar o turbulento (en flujo laminar, Q debe, por supuesto, ser independiente del tiempo). El signo + aparece aquí porque al sistema se agrega calor en la dirección r negativa. Al igualar las expresiones para Q dadas en las ecuaciones 14.1-2 y 14.3-1 y despejar hl, se obtiene
Boquilla
Condensador
El fluido sale
El fluido entra
a la temperatura
global TbZ
/
I I
'
-
%6n calentada con temperatura de superficie uniforme T~
I I
"Y
Figura 143-1 Transmisión de calor en la región de entrada de un tubo.
510 Capíhilo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos
r-
A continuación se introducen las cantidades í= r/D, í= z / D y f = (7'- T,)/(Tb, - T y se multiplica por D/k a fin de obtener una expresión para el número de Nusse Nu, = h l D / k :
!
Así, el número de Nusselt (instantáneo) es básicamente un gradiente de temperatura adimensional promediado sobre la superficie de transmisión de calor. El gradiente de temperatura adirnensional que aparece en ja ecuación 14.3-3 puede, en principio, evaluarse diferenciando la expresión para T que se obtiene al resolver las ecuaciones 11.5-7 a 11.5-9 con las condiciones limite
donde Q = v/(vz), y @ = (9- ~ ~ ) / p (.Así v ~ como ) ~ en #.2, hemos despreciado los términos d 2 / ¿ ? ~ de 2 las ecuaciones de variación con base en un razonamiento de orden de magnitud semejante al que se realizó en 54.4. Con estos términos suprimidos, se excluyen la transmisión de calor y el transporte de cantidad de movimiento corriente arriba, de modo que las soluciones corriente arriba del plano 2 en la figura 14.3-1 no dependen de L / D . A partir de las ecuaciones 11.5-7 a 11.5-9 y estas condiciones límite, se concluye que la distribución instantánea de temperatura adimensional debe ser de la forma siguiente:
f = f(i', O, 2, i; Re, Pr, Br)
para O
5Z 5
LID
(14.3-9)
= Al sustituir esta relación en la ecuación 14.3-3 se llega a la conclusión de que Nul(Re, Pr, Br, L/D, i).Una vez que se promedia respecto al tiempo sobre un intervalo suficientemente largo para incluir todas las perturbaciones turbulentas, lo anterior queda como
Nul = Nul(Re, Pr, Br, L / D )
(14.3-10)
Una relación semejante es válida cuando el flujo en el plano 1 está totalmente desarrollado. Si, como suele suceder, el calentamiento por disipación viscosa es pequeño, entonces puede omitirse el número de Brinkman. Así, la ecuación 14.3-10se simplifica a Nu, = Nul(Re, Pr, L/D)
(14.3-11)
Por tanto, el análisis dimensional indica que, para transmisión de calor por convección forzada en tubos circulares con temperatura de pared constante, los valores experimentales del coeficiente de transmisión de calor hl pueden correIacionarse proporcionando Nul como una función del número de Reynolds, el número de Prandtl y la razón geométrica LID. Esto debe compararse con la situación semejante, pero más sencilla, con el factor de fricción (ecuaciones 6.2-9 y 6.2-10).
514.3 Coeficientes de transmisi6n de calor para convección forzada en tubos 511
El mismo razonamiento lleva a expresiones semejantes para los otros coeficientes de transmisión de calor que hemos definido. Puede demostrarse (véase el problema 118.4) que Nu, = Nu,(Re, Pr, L / D ) Nu, = Nuh(Re, Pr, L / D ) Nu,,
= Nu,,(Re,
Pr, z/D)
donde Nu, = h,D/k, Nu,,, = h,Dlk y Nu,, = h,,D/k. Es decir, para cada uno de los coeficientes de transmisión de calor hay un número de Nusselt correspondiente. Estos números de Nusselt están, por supuesto, interrelacionados (véase el problema 14.B-5). Estas formas funcionales generales para los números de Nusselt cuentan con una base científica sólida, debido a que s610 implican el análisis dimensional de las ecuaciones de variación y las condiciones límite. Hasta el momento hemos supuesto que las propiedades físicas son constantes sobre el intervalo de temperatura que se encuentra en el sistema de flujo. Al final de $14.2 indicamos que la evaluación de las propiedades físicas a la temperatura de película es un empirismo conveniente. Sin embargo, para diferencias de temperatura muy grandes, las variaciones en la viscosidad pueden resultar en una distorsión tan grande de los perfiles de velocidad que es necesario explicar este hecho mediante la introducción de un grupo adimensional adicional, pb!pO,donde p, es la viscosidad a la temperatura media aritmética global y po es Ia viscosidad a la temperatura de pared media aritm6tica.l Entonces es posible escribir Nu = Nu(Re, Pr, LID, p b / p O )
(14.3-15)
Parece que este tipo de correlación fue presentada por primera vez por Sieder y Tate.2 Si, además, la densidad varia significativamente, entonces puede ocurrir algo de convección libre. Este efecto puede explicarse en correlaciones incluyendo el número de Grashof junto con los otros grupos adimensionales. Esta cuestión se aborda con más detalle en 514.6. Ahora haremos una pausa para reflexionar sobre la importancia del análisis precedente en la construcción de correlaciones de transmisión de calor. El coeficiente de k, L). transmisión de calor h depende de ocho cantidades físicas (D. (v), p. po, pb, Sin embargo, la ecuación 14.3-15 indica que esta dependencia puede expresarse de manera más concisa proporcionando Nu como una función exclusiva de cuatro grupos adimensionales (Re, Pr, L / D , w b / p O )Así, . en vez de tomar datos sobre h para 5 valores de cada una de las ocho cantidades físicas individuales (58pruebas), pode-
$,
Es posible llegar a la razón de viscosidad insertando en las ecuaciones de variación una visrosidad dependiente de la temperatura, descrita, por ejemplo, por un desarrollo en serie de Taylor alrededor de la temperaiura de pared:
Cuando la serie se trunca y el cociente diferencial se aproxima por un cociente de diferencias, se obtiene
o bien, luego de mrdenar un poco,
1
Así, la razón de urrosidad apanr. en la ecuaci6n de movimiento y por tanto en la comlaci6n adimensional. E.N. Sieder y G.E. Tate, I d . Eng. Chem., 28, 1429-1435 (1936).
*
512 CapiNo 14 Transporte interfásico en sistemas no isot6rmicos
r
mos medir h para 5 valores de los grupos adimensionales (54pruebas): Üna reduc ción bastante impresionante de tiempo y esfuerzo. Una perspectiva global aceptable de la transmisión de calor en tubos circula C D T ~+clnyeraturade pared casi constante, puede obtenerse a partir de la correlaci de Sieder y Tate2que se muestra en la figura 14.3-2. Esta correlación es de la fom de la ecuación 14.3-15.Empíricamente se ha encontrad^^.^ que la transición a lencia suele comenzar aproximadamente a Re = 2100, incluso cuando la viscosidad varía en forma apreciable en la dirección radial. Parajujo altamente turbulento, las curvas para L / D > 10 convergen rápidamente a una sola curva. Para Re > 20,000, esta curva es descrita por la ecuación
Esta ecuación reproduce datos experimentales disponibles dentro de un margen aproximado de 220% en los intervalos 104 < Re lo5 y 0.6 < Pr < 100. Para Pujo laminar, las líneas descendentes en la izquierda están dadas por la ecuación
que está basada en la ecuación (C) de la tabla 14.2-l4y en el problema 12D.4. El coe ficiente numérico en la ecuación (C) se ha multiplicado por un factor de -$para convertir de h,, a hh, y luego se modificó empíricamente para explicar las desviaciones debidas a las propiedades físicas variables. Esto ilustra cómo puede obtenerse una correlación empírica satisfactoria modificando el resultado de una deducción analítica. La ecuación 14.3-17 es aceptable dentro de un margen de 20°h para RePr D/L > 10, pero a valores menores de RePr D / L subestima considerablemente a hh. La presencia de J?r'j3 en las 'ecuaciones 14.3-16 y 14.3-17 es consistente con la asíntota para el número de Prandtl grande que se encontró en 5513.6 y 12.4. La región de transición, aproximadamente 2100 < Re < 8000 en la figura 14.3-2, no se comprende bien y de ser posible suele evitarse en el diseño. Las cunras de esta región están sustentadas por mediciones e~perimentales,~ pero son menos confiables que el resto de la gráfica. Las características generales de las curvas de la figura 14.3-2 merecen un estudio cuidadoso. Nótese que para la sección que se calienta de L y D dados y un fluido de propiedades físicas dadas, la ordenada es proporcional al aumento de temperatura adimensional del fluido que pasa por ahí; es decir: (Tb2 - Tbl)/(TO- Tb)k.En estas condiciones, cuando aumenta el caudal de flujo (o el número de Reynolds), la temperatura de salida del fluido disminuye primero hasta que Re alcanza cerca de 2100, luego aumenta hasta que Re alcanza aproximadamente 8000, y por dtimo vuelve a disminuir. La influencia de L / D respecto a hh es marcada en flujo laminar, pero se vuelve insignificante para Re > 8000 con L/D > 60. -
A.F! Colbum, Trans. AIChE, 29,174210 (1933). Allan Philip Colburn (1904-1955), rector de la Universidad de Delaware (1950-1955), realizó importantes contribuciones a los campos de la transmisión de calar y transferencia de materia, incluyendo las "relacionesde Chilton-Colbum". 'La ecuación (C) es una solución asintótica del problema de Graetz, uno de los problemas clásicos de convecci6n de calor: L. Graetz, Ann d. Physk, 13,79-94 (1883), 25,337-357 (1885); para la asíntota en la ecuaci6n (C), véase J. Léveque, Ann. Mines (Serie 12), 13,201-299,305-362,381-415 (1928).Un resumen extenso puede encontrarse en M.A. Ebadian y Z.E Dong, capitulo 5 de1 Handbook ofHent Trnnsfo,3a. edición (W.M. Rohsenow, J.P. Hartnett y Y.1Cho, comps.), McGraw-Hill, Nueva York (1998).
914.3 Coeficientes de transmisión de calor para convecd6n forzada en tubos 513
Figura 14.3-2 Coeficientes de transmisión de calor para flujo totalmente desamilado en tubos lisoc. Las h e a s para flujo laminar no deben usarse en el intervalo RePr D /L < 10, que mrresponde a (To- Tb)?/(TO- Tb)l < 02. Las curvas laminares están basadas en datos para k P r D/L >> 10 y temperatura de pared casi constante; en estas condiciones, h, y hh son indistinguibles.Recomendamos usar hh, en oposición al k, que sugieren Sieder y Tate, porque sta elección es conservadora para cáiculos habituales en el diseño de intercambiadores de calor. [E.N.Sieder y G.E.Tate, Ind. Eng. Chem., 28,1429-1435(1936).]
Nótese también que la figura 14.3-2 se parece de alguna manera a la gráfica del factor de fricción en la figura 6.2-2, aunque la situación física es bastante diferente. En el intervalo altamente turbulento (Re > 10,000), la ordenada de transmisión de calor coincide aproximadamente con f/2 para los largos tubos lisos en consideración. Esto fue señalado por vez primera por Colburn? quien propuso la siguiente analogía empírica para tubos largos y lisos:
donde
donde S es el área de la sección transversal del tubo, w es la velocidad de flujo másico a través del tubo y f/2 puede obtenerse a partir de la ecuación 6.2-2 usando Re = Dw/S,u = 4wlmDp.Resulta evidente que la analogía de la ecuación 14.3-18 no es válida abajo de Re = 10,000.Para tubos rugosos con ffujo turbulento totalmente desarrollado, la analogía fracasa por completo debido a que la rugosidad afecta más a f que a .,j Una observación adicional acerca del uso de la figura 14.3-2 tiene que ver con la aplicación a conductos de sección transversal no circular. Para flujo altamente turbulento, puede usarse el radio hidráulico medio de la ecuación 6.2-16. Para aplicar ese empirismo, D se sustituye por 4Rh en todas partes en los números de Reynolds y de Nusselt.
514 Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos C _ -
un calentador
tubular
-
..
Por un tubo recto de 2 pulg de radio interior debe bombearse aire a 70 "F y 1 a& a-unaVd$cidad de 70 lb,/h. Para elevar la temperatura del aire a 230 "F, una sección del tubo dehe ,& lentarse hasta que la temperatura en el interior de la pared sea de 250 OE ¿Que longitud tubo es necesario calentar?
1
La temperatura media + 250) = 200 "F. A 0.242 Btu/lb, . F, 150 y 250 O F son 0.049 y 0.055 dad es pb/po= 0.049/0.055 = Entonces, el número de Reynolds, evaluado a la temperatura de película, 200 "F, es
A partir de la figura 14.3-2 se obtiene
\
Cuando en esta expresión se despeja LID, se obtiene
Por tanto, la longitud requerida es
L = 113D = (113)(2/12) = 19 pies Si Reb fuese mucho menor, hubiera sido necesario estimar L/D antes de leer la figura 14.3-2, iniciando así un proceso de prueba y error. Nótese que en este problema no fue necesario calcular h. La evaluación numérica de necesaria, no obstante, en problemas más complicados, como el intercambio de calor en dos fluidos con una pared intermedia.
514.4 COEFICIENTES DE TMNSMISI~N DE CALOR PARA C O N V E C C I ~ NFORZADA ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS Otro tópico d e importancia industrial es la transmisión de calor hacia o desde objeto alrededor del cual circula un fluido. El objeto puede ser relativamente S cillo, como un solo cilindro o una sola esfera, o p u e d e ser más complicado, com un "manojo de tubos" hecho de u n conjunto d e tubos circulares con u n a corrient d e gas o líquido fluyendo entre ellos. Aquí sólo analizaremos unas cuantas corr laciones selectas p a r a sistemas sencillos: la lámina plana, la esfera y el cilindr
1
$14.4 Coeficientes de transmisión de calor para convección forzada alrededor de objetos sumergidos 515
Muchas correlaciones adicionales pueden encontrarse en las referencias citadas en la introducción del capítulo.
Flujo a lo largo de una lámina plana Primero analizamos el flujo a lo largo de una lámina plana, orientada en forma paralela al flujo, cuya superficie se mantiene a To y donde la corriente que se aproxima tiene una temperatura uniforme T, y una velocidad uniforme v,. El coeficiente de transmisión de calor hl, = qo/(To - T,) y el factor de fricciónfi, = ~ ~ / se~ ~ v 5 muestran en la figura 14.1-1. Para la región laminar, que normalmente existe cerca del borde delantero de la lámina, se obtienen las siguientes expresiones teóricas (véase la ecuación 4.430, así como las ecuaciones 12.4-12,12.4-15 y 12.4-16):
Como se muestra en la tabla 12.4-1, un valor más exacto del coeficiente numérico en la ecuación 14.4-2es el de Pohlhausen; a saber, 0.332. Si usamos este valor, entonces la ecuación 14.4-2 queda como
lo7
106
Re, = o@
x/p, R
lo8
~ =Lu& L/p
Figura 14.4-1 Coeficientes de transmisión de calor para una lemina plana lisa en flujo tangencia]. Adaptada de H. Cchlichting, h u n d a r y - ~ a y e Theoy, r McGraw-Hill, Nueva York (1955), pp. 438439.
516 Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos
J
Debido a que el coeficiente numérico en la ecuación 14.4-3 es el m i m o que en 1 ecuación 14.4-1, entonces se obtiene
para la analogía de Colburn entre transmisión de calor y fricción del fluido. Esto aa! de esperarse, porque en esta geometría de flujo no hay "resistencia de forma". ! La ecuación 14.4-4 se dedujo para fluidos con propiedades físicas constantesi ' Cuando las propiedades físicas se evalúan a la temperatura de película, Tf = ST,+ T,), se sabe que la ecuación 14.4-3funciona bien para gases2Aunque la analogía de la ecuación 14.4-4 es precisa dentro de un margen de 2% para Pr > 0.6, se vuelve inexacta para números de Prandtl más bajos. Para flujos altamente turbulentos, la analogía de Colburn sigue siendo válida con bastante precisión, dondefi, está dado por la curva empírica en la figura 14.4-1. La transición entre flujo laminar y turbulento se parece a la de los tubos en la figura 14.3-1, pero los limites de la región de transición son difíciles de predecir. Para 1%nas planas lisas con bordes afilados en un flujo isotérrnico, la transición suele c e menzar a un número de Reynolds Re, = m d l de ~ 100,000 a 300,000 y es casi completa a un número de Reynolds 50% más alto.
Flujo alrededor de una esfera En el problema 108.1 se muestra que el número de Nusselt para una esfera en un fluido estacionario es 2. Para la esfera con temperatura constante en la superficie T,, en un fluido que se aproxima con una velocidad uniforme v,, el número medio de Nusselt está dado por el siguiente empirismo3 Nu, = 2 + 0.60 ~ e ' / *~ r " ~
(14.4-5)
Este resultado es útil para predecir la transmisión de calor hacia o desde gotitas o burbujas minúsculas. Otra correlación que ha demostrado ser útil4 es
donde las propiedades físicas que aparecen en Nu,, Re y Pr se evalúan a la temperatura de la comente que se aproxima. Esta correlación se recomienda para 3.5 < Re 4 7.6 X 1@,0.71< Pr < 380 y 1.0 < p , / h < 3.2. En contraste con la ecuación 14.4-5,no es válida en el límite en que Pr + m.
el de la ecuaaón 14.4-3,por E.Pohlhausen, Z. angew. Math. Mech., 1, 115-121 (1921). cuales la compresibilidad y la disipación viscosa se vuelven importantes. W.E. Xanz y W.R. Marshall,Jr., Chem. Eng. Prog., 48,141-146,173-180 (1952).N.Frossling, Cerlands Beitr.
de 0.552 en vez de 0.60 en el último término. S . Whitaker, Fundamental Principies of Heaf Transfer, Gieger Publishing Co., Malabar, Fla. (1977), pp. 340342; AIChE Joumol, 18,361-371(1972).
514.4 Coeficientes de transmisión de calor para convecci6n forzada alrededor de objetos sumergidos 517 --
~ l u j oalrededor de un cilindro Un cilindro en un fluido estacionario de extensión infinita no admite una solución de estado estacionario. Por tanto, el número de Nusselt para un cilindro no tiene la misma forma que para una esfera. Whitaker recomienda para el número medio de Nussel$
en el intervalo 1.0 € Re 1.0 X lo5,0.67 < Pr < 300 y 0.25 < p,/pO < 5.2. Aquí, como en la ecuacibn 14.4-6, los valores de la viscosidad y la conductividad térmica en Re y Pr son los de la temperatura de la corriente que se aproxima. Resultados semejantes están disponibles para bancos de cilindros, que se usan en ciertos tipos de intercambiadotm de calod Otra correlación,5 basada en un ajuste de curvas de la compilación de McAdams de datos del coeficiente de transmisión de calor! y en la asíntota para Re bajo en el problema 12B.6, es
Nu, = (0.376 ~ e ' / ~ + 0 . 0 5~7e ~ ' ~ ) K ' r ' ' ~ 0.92 +
Esta correlaci6n tiene el comportamiento oportuno en el límite en que Pr + m, y también se comporta de manera correcta para valores pequeños del número de Reynolds. Este resultado puede usarse para analizar el desempeño en estado estacionario de anemómetros de alambre caliente, que típicamente operan a números de Reynolds bajos.
Cujo alrededor de otros objetos Con base en los tres análisis precedentes aprendimos que, para el flujo alrededor de objetos de formas diferentes a las que acaban de describirse, una conjetura bastante aceptable para los coeficientes de transmisión de calor puede obtenerse usando la relación Nu, - NU,,~ = 0.6 ~ e ' / ~
(14.4-9)
donde Nump es el número medio de Nusselt para un número de Reynolds igual a cero. Esta generalización, que se muestra en la figura 14.4-2, a menudo es útil para estimar la transmisión de calor desde objetos de forma irregular.
W.E.Stewart (por publicar). WH. McAdarns, Hent T~ansmission,3a. edición, Mdraw-Hill, Nueva York (1954), p. 259.
1
518 Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos I
-
1
I
1
I
-
Cilindros (ecuación 14.4-8) Láminas planas (ecuacibn 14.42)
-
-
Figura 14.42 Gráfica en la q ~ (, se comparan los números de ~ u c s e Gpara flujo alrededor de láminas planas, esferas y cilindros con la ecuación 14.4-9.
+
/
Esferas (ecuaciones14.4-5 y 14.4-9) I
l
I
I
I
Número de Reynolds
914.5 COEFICIENTESDE TRANSMISI~NDE CALOR PARA CONVECCI~NFORZADA A TRAV~SDE LECHOS DE RELLENO Los coeficientes de transmisión de calor entre partículas y fluido en lechos de relle no son importantes en el diseño de reactores catalíticos de lecho fijo, absorbedorq secadores e intercambiadores de calor de lecho de grano gordo. Los perfiles de v e locidad en lechos de relleno exhiben un máximo fuerte cerca de la pared, que se atribuye parcialmente a la mayor fracción de huecos ahí y a los pasajes intersticiales más ordenados que hay a lo largo de este límite liso. La segregación resultante del flujo hacia una corriente externa rápida y una interior lenta, que se mezclan a la salida del lecho, conduce a un comportamiento complicado de los números medios de Nusselt en lechos de relleno profundos,1 a menos que la razón Q / D p del diámetro del tubo al diámetro de la partícula sea muy grande o próxima a la unidad. Experimentos con lechos anchos poco profundos muestran un comportamiento más sencillo y se usan en el siguiente análisis. Definimos hl, para un volumen representativo Sdz de partículas y fluido por la siguiente modificación de la ecuación 14.1-5:
Aquí a es el área de la superficie externa de las partículas por unidad de volumen del lecho, como en s6.4. Las ecuaciones 6.4-5 y 6.4-6 proporcionan el tamaño efectivo de la partícula Dp como 6 / a , = ó(1 - & ) / a para un lecho de relleno con fracción de huecos E . Datos extensos sobre convección forzada para el flujo de gases2y líquidos3a través de lechos de relleno poco profundos han sido analizados críticamente4para obtener la siguiente correlación de transmisión de calor local,
!
' H . Martin, Chem. Eng. Sci., 33,913-919 (1978). B.W. Gamson, G. Thodos y O.A. Hougen, Trans. AlChE, 39,l-35 (1943);C.R. Wilke y O.A. Hougen, Tratzs. AIChE, 41,445-451 (1945). L.K.MKune y R.H. Wilheh, Ind Eng. Chenr., 41. 1124-1134 (1949);J.E.Williamson, K.E. Bazaire y C.]. Geankoplis, Ind. Eng. Chem. Fund., 2,126-129 (1963);E.]. Wilson y C.J.Geankoplis, lnd. Enq. Chem. Fund.,5,9-14 (1966). W.E. Stewart (por presentar).
d
314.6 Coeficientes de transmisi6n de calor para convección iibre y mixta 519
y una fórmula idéntica para la función de transferencia de materia jD definida en 922.3. Aquí, el factor jH de Chilton-Colbum y el número de Reynolds se definen como
En esta ecuación, todas las propiedades físicas se evalúan a la temperatura de película Tf = '2( T0 - Tb),y Go = w / S es la densidad de flujo de masa superficial que se introdujo en $6.4. La cantidad i(r es un factor de forma de la partícula, con un valor definido de 1para esferas y un valor ajustado4 de 0.92 para partículas esféricas (peIlets). Un factor de forma relacionado fue usado por Gamson5 en Re y en jH; el factor presente sólo se usa en Re. Para Re pequeño, la ecuación 14.5-2 produce la asíntota
+
o bien,
lo cual es consistente con la teoría de capa límite6para flujo reptante con RePr >> 1. La ultima restricción proporciona Nu >> 1 correspondiente a una capa límite térmica delgada respecto a Dp/(l - E)$. Esta asíntota representa muy bien los datos de transferencia de materia en flujo reptante para líquidos.3 El exponente en la ecuación 14.5-3es una ashtota para Pr grande dada por la teoría de capa iímite para flujos laminares estacionarios6 y para flujos turbulentos Esta dependencia es consistente con los datos ciactivados de manera e~tacionaria.~ tados, sobre todo el intervalo Pr > 0.6 y el intervalo correspondiente del grupo adimensional Sc para transferencia de materia.
COEFICIENTES DE TRANSMISIÓNDE CALOR PARA CONVECCI~NLIBRE Y MIXTA1
Aquí nos basamos en el ejemplo 11.45 para resumir el comportamiento de algunos sistemas importantes en presencia de fuerzas de flotación apreciables, primero volviendo a plantear los resultados obtenidos ahí en términos de números de Nusselt y luego por extensión a otras situaciones: 1)fuerzas de flotación pequeñas, donde la suposición de capa iímite delgada del ejemplo 11.4-5puede no ser valida; 2) fuerzas de flotación muy grandes, donde puede ocurrir turbulencia en la capa límite, y
B.W. Gamson, Chem. Eng. Prog., 47.19-28 (1951). W.E.Stewart, AIChE foumal, 9,528535(1963);R. Pfeffer, lnd. Eng. Chem. fund.,3,380-383(19ó4); J.P.Ssrensen y W.E. Stewart, Chem. Eng. Sci., 29,835837(1974).Véase también e1 ejemplo 12.4-3. W.E. Stewart, AlChE fournal, 33,MOB-2016 (1987);correcciones, 34,1030 (1988). G.D. Raithby y K.C.T.Hollands, capitulo 4 en W.M. Rohsenow, J.P. Hartnett y Y.I. Cho (comps.),Handbouk o/ Heut Transjer, 3a. edición, McGraw-Hil, Nueva York (1998).
'
520
-
Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos
3) convección forzada mixta y convección libre. Nos restringiremos a la transmisión de calor entre cuerpos sólidos y un gran volumen de Buido circundante en reposo, y a las condiciones limite de temperatura constante del ejemplo 11.4-5.Análisis de otras situaciones, incluyendo el comportamiento transitorio y los flujos en conduc. tos y en cavidades, pueden consultarse en otras partes.1 En el ejemplo 11.4-5vimos que para la convección libre cerca de una lamina vertical plana, el grupo adimensional principal es GrPr, que a menudo se denomina nfimero de Rayleigh, Ra. Si definimos el número medio de Nusselt de área como N% = h H / k = qmdi$/k(To - TI), entonces la ecuación 11.4-51puede escribirse como
Nu,
= C ( G~~r
)'/~
(14.61)
donde se encontró que C era una función débil de Pr. El comportamiento de transmisión de calor a valores moderados de Ra = GrPr está regido, para muchas famas de sólidos, por capas límite laminares del tipo descrito en el ejemplo 11.4-5,y los re sultados de esos análisis suelen usarse en forma directa. Sin embargo, para valores pequeños de GrPr la conducción directa de calor hacia el entorno puede invalidar el resultado de la capa b i t e , y a valores suficientemente altos de GrPr el mecanismo de transmisión de calor se desplaza hacia erupciones o plumas locales aleatorias del fluido, produciendo turbulencia en el interior de la capa límite. Así, el número de Nusselt se vuelve independiente del tamaño del sistema. El caso de convección forzada y convección libre combinadas (que por lo general se denomina conveccidn mixta) es más complejo: es necesario considerar Pr, Gr y Re como variables independientes, y también si los efectos de convección forzada y convección libre están en las mismas direcciones o en direccie nes diferentes. Parece que sólo se comprende bien este Último caso. La descripción del comportamiento es aún más complicada debido a la falta de transiciones abruptas entre los diversos regímenes de flujo. No obstante, se ha demostrado que por combinaciones empíricas de expresiones asintóticas pueden obtenerse predicciones sencillas y confiables de velocidades de transmisión de calor (expresadas como números medios de Nusselt de Ares Ny,) para esta amplia variedad de regímenes de flujo: a. NUF~, para conducción en ausencia de fuerzas de flotación o convección forzada. b. N U ~para ~ ,capas límite laminares delgadas, como en el ejemplo 11.4-5. c. N U ~ para , capas límite turbulentas. d. para convección forzada pura.
N ~ E ~ ~ ~ ,
Estos casos se abordan en las siguientes subsecciones.
En ausencia de fuerzas de flotación El número límite de Nusselt para convección libre y forzada infinitesimalmente pequeña se obtiene al resolver la ecuación de conducción de calor (la ecuación de Laplace, V2T= O) para temperatura constante uniforme sobre la superficie sólida y una temperatura constante diferente en el infinito. Entonces, el número medio de NUSselt tiene la forma general
514.6 Coeficientesde transmisión de calor para convección libre y mixta 521
Con K igual a cero para todos los objetos con por lo menos una dimensión infinita (por ejemplo, cilindros infinitamente largos o láminas infinitamente anchas). Para cuerpos finitos, K es diferente de cero, y un caso importante es el de la esfera para el que, según el problema 10B.1,
donde la longitud característica se toma como el diámetro de la esfera. En el problema 14D.1 se analizan elipsoides de revoluci6n achatados y discos circulares.
Capas límite laminares delgadas Para capas límite laminares delgadas, la lámina plana vertical isotérmica es un sistema representativo, de conformidad con la ecuación 14.6-1. Esta ecuación puede generalizarse a
Aún más, la función de Pr y de forma pueden factorizarse en el producto
c2=
0.671 9/16 4/9 [1+(0.492/ Pr) ]
En las tablas 14.6-1 y 14.6-2 se proporcionan valores representati~osl,~ de C, y C,, respectivamente. Existen a disposición factores de forma para una amplia gama de ~ ! ~ superficies planas horizontales calientes cara abajo y superfiotras f ~ r r n a s . Para cies planas horizontales frías cara arriba, se recomienda la siguiente ~orrelación:~
Tabla 14.6-1 El factor C, en la ecuación 14.6-5 y la D en el ntímero de Nucselt, para varias formas representativasA
Forma -+ C~ "D" en Nu a
Lámina vertical
Lámina horizontala
Cilindro horizontal
Esfera
1.O
0.835
0.772
0.878
Altura H
Ancho W
Diámetro D
Diámetro D
Para una superficie superior caliente y una inferior aislada, o al revés para
superficies frías.
S.W. Churchill y R. Usagi, A C h E Journal, 23, 1121-1128 (1972). W.E. Stewart, lnt. J. Hcat and Mass Transfer, 14,1013-1031 (1971). A.Acrivos, AIChE Joumnl, 6,584590 (14M)). T. Fujii, M.Honda e 1. Morioka, Inl. J. Hent and Uass PmisJer,15,755-767 (1972).
522 Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérrnicos
.-
Tabla 14.6-2 El factor C2 como una función del número de Prandtl
A \
Hg
Gases
Agua
Aceites
Para la lamina vertical con una condición límite de densidad de flujo de calor cons. tante, la potencia recomendada sobre GrPr también es 1/5. Las densidades de flujo de calor laminar por convección libre tienden a ser pequeñas, y a menudo es necesaria una corrección de conducción para hacer predicciones precisas. El límite de conducción se determina al resolver la ecuación V ~ =T O para geometría dada, y esto conduce al cálculo de un "número de Nusselt de conducci&f, NU~,O"~. Luego, el número de Nusselt combinado, Nummb,se calcula al combinar 1% dos números de Nusselt que contribuyen por medio de una ecuación de la formal ~ ~ mc o m b[(NU:")~
+ (NU:~~)~]~/"
(14.6-8)
Valores óptimos de n son dependientes de la forma, pero 1.07 es una estimación aproximada que se sugiere en ausencia de información específica.
Capas límite turbulentas Los efectos de la turbulencia aumentan gradualmente, y es práctica común combinar las contribuciones laminar y turbulenta como sigue:'
Por tanto, para la lámina plana vertical isotérmica, se escribe1
N ~= Fc3( ~~~ rr ) " ~ 1 + (1.4 x lo9 / Gr)
con
y m = 6. Los valores de m en la ecuación 14.6-9 dependen fuertemente de la geometría.
Convección mixta libre y forzada Por ultimo, es necesario abordar el problema de convección simultánea libre y forzada, lo que nuevamente se hace a través del uso de una regla de combinación empírica:6
E. Ruckenstein, Adv. in Chem. Eng., 13,11-112 (1987);T.E.Ruckenstein y R. Rajagopalan, Chem. Eng. Communimtbns, 4,15-29(1980).
s14.6 Coeficientes de transmisión de calor para convección Libre y mixta
523
Esta regla parece cumplirse de manera satisfactoria para todas las geometrías y situaciones, suponiendo sólo que la convección forzada y libre tiene la misma dirección del flujo primario.
Calcular la velocidad de pérdida de calor por conveccion Iibre desde una unidad de longitud de un tubo horizontal largo, de 6 pulg de diámetro externo, si la temperatura superficial exterior es 100 O F y el aire circundante está a 1atm y 80 "E
un tubo horizontal Y
SOLUCI~N
Las propiedades del aire a 1atm y una temperatura de pelicula Tf = 90 "F = 550 "R son p = 0.0190 cp = 0.0460 ib,/pie.
h
p = 0.0723 lbm/pies3
cp= 0.241 Btu/lb,
R k = 0.0152 Btu/h . pie R /3 = l/Tf= (1/550)RP1
Otros valores relevantes son D = 0.5 pies, AT = 20 "R y g = 4.17 X tos datos se obtiene
lo8 pies/h2. A partir de es-
Después, a partir de las ecuaciones 14.6-4 a 14.6-6 y la tabla 14.6-1, se obtiene Nu, = 0.772
0.671
Así, el coeficiente de transmisión de calor es
La velocidad de pérdida de calor por unidad de longitud del tubo es Q
h AAT = hm.irDAT L = (0.52)(3.1416)(0.5)(20) = 16 Btu/ h - pie
L =-
(14.6-16)
Ésta es la pérdida de calor sólo por convección. La pérdida por radiación para el mismo problema se obtiene en el ejemplo 16.5-2.
524
Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos Y Dictribucibn de velocidad vzb, z)
- Figura 14.7-1 Condensación en película sobre una superficie vertical (la
discontinuidad de temperatura interfacial está exagerada).
Distribución de temperatura T(y, z
-
Movimiento del vapor
&Espesor -+ de la película S(z)
La condensación de un vapor puro sobre una superficie sólida es un proceso de transmisión de calor particularmente complicado, debido a que implica el flujo de dos fases fluidas: el vapor y el condensado. La condensación industrial ocurre en muchos tipos de equipo; para simplificar las cosas, aquí sólo consideramos los casos comunes de condensación de un vapor que se mueve en forma muy lenta sobre la parte externa de tubos horizontales, tubos verticales y paredes verticales planas. El proceso de condensación sobre una pared vertical se ilustra esquemáticamente en la figura 14.7-1. El vapor fluye sobre la superficie de condensación y se desplaza hacia ésta por el pequeño gradiente de presión cerca de la superficie líquida.l Algunas moléculas de la fase de vapor chocan contra la superficie líquida y salen despedidas, mientras que otras penetran a través de dicha superficie y ceden su calor latente de condensación. El calor así liberado debe moverse entonces a través del condensado hacia la pared, y de allí al fluido de refrigeración que está situado en el otro lado de la pared. Al mismo tiempo, el condensado se elimina de la superficie de la pared fluyendo por gravedad. El condensado situado en la pared es normalmente la única resistencia importante a la transmisión de calor sobre la pared de condensación. Si la superficie sólida está limpia, el condensado generalmente forma una película continua sobre la superficie, pero si existen trazas de ciertas impurezas (como ácidos grasos en un condensador de vapor de agua), la condensación se produce en pequeñas gotas. La "condensación en gotasH2proporciona velocidades de transmisión de calor mucho más altas que la "condensación en película", pero es difícil de mantener, de modo que en el diseño de condensadores es práctica común suponer condensación en película. Las correlaciones que se presentan a continuación sólo son válidas para condensación en película. Nótese que ahí ocurren cambios pequeños pero abruptos de presi6n y temperaiura en una interfase. Estas discontinuidades son esenciales para el proceso de condensación, aunque en términos generales son de magnitud despreciable en c6lculos de ingeniería para fluidos puros. Para mezclas, pueden ser importantes. Véase R.W. Schrage, ~nterphase Macs Transfe?, Columbia University Press (1953). J.G. Coiiier y J.R. Thorne, Convective Boiling and Condenurtion, 3a. edición, Oxford University Fress (1966), analizan extensamente la condensación y ebullici6n en gotas.
914.7
Coeficientes de transmisión de caior para condensación de vapores puros sobre superficies sólidas 525
La definición de costumbre de h, para la condensación de un vapor puro sobre una superficie sólida de área A y temperatura uniforme T,, es
donde Q es la velocidad de flujo de calor que penetra en la superficie sólida, y Td es el punto de condensación (o de rocío) del vapor que se aproxima a la superficie de la pared; es decir, la temperatura a la que el vapor se condensaría si se enfriase lentamente a la presión predominante. Esta temperatura se encuentra muy próxima a la del líquido en la interface líquido-gas. Por tanto, h, puede considerarse como un coeficiente de transmisión de calor para la peiícula líquida. Se han deducido3 expresiones para h, para el condensado en flujo laminar sin ondulaciones, resolviendo de forma aproximada las ecuaciones de energía y movimiento para una película líquida descendente (véase el problema 14C.1). Para la condensación en película en un tubo horizontal de diámetro D, longitud L y temperatura superficial constante To, el resultado de Nusselt? puede escribirse como
Aquí w / L es la velocidad de condensación de masa por unidad de longitud del tubo, y se entiende que todas las propiedades físicas del condensado deben calcularse a la temperatura de película, T = $Td + T J . Para diferencias moderadas e temperatura, la ecuación 14.7-2 puede volver a escribirse con ayuda de un balance de energía sobre el condensado para obtener
d
Las ecuaciones 14.7-2 y 14.7-3 han sido confirmadas experimentalmente dentro de un margen de 210% para tubos horizontales sencillos. También parece que proporcionan resultados satisfactorios para manojos de tubos horizontales," a pesar de las complicaciones introducidas por el goteo del condensado de tubo a tubo. Para una condensación en película sobre tubos verticales o paredes verticales de altura L, los resultados teóricos correspondientes a las ecuaciones 14.7-2y 14.7-3 son
respectivamente. La cantidad r en la ecuación 14.7-4 es la velocidad total de flujo del condensado desde la base de la superficie de condensación por unidad de ancho de esa superficie. Para un tubo vertical, r = w/aD, donde w es la velocidad total másica de condensación en el tubo. Para tubos verticales cortos ( L < 0.5 pies) los valores
W. Nusselt, 2. Ver. deutsch. Ing., M), 541-546,596 (1916). BE.Short y H.E. Brown, Proc. Goieml Disc. Heat Tmrrgfer, Londres (1951),pp. 27-31. Vease también D. Butteworth, en el H a n d h k of Heat Exchanger Design (C.F. Hewitt, comp.), Oxford U n i v e ~ i t yPrecc, Londres (1973, pp. 426-462.
526
Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isoténnicos
experimentales de h, confirman bien la teoría, pero los valores medidos para tu verticales largos (L > 8 pies) pueden exceder la teoría hasta 70% para una diferen dada Td - T,. Esta discrepancia se atribuye a ondulaciones que alcanzan tud máxima sobre tubos verticales largos5 Ahora abordaremos las expresiones empíricas para flujo turbulento del conden.' sado. El flujo turbulento comienza, en tubos o paredes verficales, a un número de Rey. nolds Re = I'/w aproximado de 350. Para números de Reynolds superiores, se ha propuesto la siguiente fórmula empírica:'
Esta ecuación es equivalente, para Td - T,, pequeña, a la fórmula
Figura 14.7-2 Correlación de datos de transmisión ddei calor para condensación d película de vapores puros sobre superficies verticale~t [H. Grober, S. Erk y U . Grigull, Die Grundgesefze der Warmeübertragung, 3a. edición, Springer-
!
2
3
4
5
6789104
kp2'3g1'3(~d - To)L ps/s& va^
2
3
Verlag, Berlh (1955),
p. 296,l
W.H.McAdam, Heat Transmission, 3a. edición, McGraw-W, Nueva York (1954), p.333. U.Grigdi, Forsch. Ingenieunwsen, 13.49-57(1942); Z.Ver dtsch. Ing., 86,444-445 (1942).
514.7
Coeficientes de transmisión de calor para condensación de vapores puros sobre superficies sólidas 527
Las ecuaciones 14.7-4 a 14.7-7 se resumen en la figura 14.7-2, por conveniencia para hacer cálculos y para mostrar la extensión de la coincidencia con los datos experimentales. Se habría obtenido una concordancia algo mejor si se hubiera usado una familia de líneas en el intervalo turbulento para representar el efecto del número de Prandtl. Sin embargo, en vista de la dispersión de los datos, una sola línea es adecuada. El flujo turbulento del condensado es muy difícil de obtener en tubos horizontales, a menos que los diámetros de los kíbos sean muy grandes o se encuentren altas diferencias de temperatura. Se cree que las ecuaciones 14.7-2y 14.7-3 son satisfactorias hasta el número de Reynolds de transición estimado, Re = wT/Lp, del orden de 1000, donde wT es el flujo total del condensado que sale de un tubo dado, incluyendo el condensado que proviene de los tubos de arxibaq7 El proceso inverso de vaporización de un fluido puro es considerablemente más compíicado que la condensación. Aquí no intentaremos analizar la transmisión de calor a líquidos en ebullición, aunque sí referiremos al lector a algunas investigaciones sobre el
A un líquido en ebullición que fluye por un tubo vertical se le comunica calor mediante la
Condensación de vapor en una superficie vertical.
condensación de vapor de agua en el exterior del tubo. La sección del tubo calentada con el vapor mide 10 pies de altura y 2 pulg de diámetro externo. Si se utiliza vapor de agua saturado, ¿qué temperatura de vapor se requiere para suministrar 92,000 Btu/h de calor al tubo a una temperatura en la superficie de éste igual a 200 "F? Considere condensación en pelicula.
Las propiedades del fluido dependen de la temperatura desconocida Td.Hacemos la conjetura de Td = To = 200 "F. Entonces las propiedades físicas a la temperatura de película (también 200 "F) son
~s~~978 Btu/lb,, =
k = 0.393 Btu/h . pie - P p = 60.1 lb,/pies3 p = 0.738 Ib,/pie
.h
Suponiendo que el vapor de agua proporciona sólo calor latente (la suposición Td = S,, = 200 OF implica este hecho), al hacer un balance de energía alrededor del tubo se obtiene
donde Q es el flujo de calor hacia la pared del tubo. El número de Reynolds de la película es
W.H. McAdams, Heat Transmission, 3a. edición, McGraw-HilI, Nueva York (1954),p. 338-339 H.D.Baehr y K. Stephan, Heat and Mass Transfer, Springer, Berlín (1998), capítulo 4.
528 Capítulo 14
Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos --
-
6
Al leer la figura 14.7-2 para este valor de la ordenada, se encuentra que el flujo es laminat ecuación 14.7-4 es aplicable, pero conviene más usar la iínea basada en esta ecuación en la fi. gura 14.7-2, con lo que se obtiene
a partir de lo cual
Por tanto, la primera aproximación a la temperatura del vapor de agua es Td = 222 "F. &,te resultado está suficientemente cerca; al evaluar las propiedades físicas según este resultado, se obtiene Td = 220 O F como segunda aproximación. A partir de la figura 14.7-2 resulta evidente que este resultado representa un límite superior. Si se producen ondulaciones,la caída de temperatura a través de la película del condensado puede ser incluso la mitad de la que se calculó aquí.
1. Definir el coeficientede transmisión de calor, el número de Nusselt, el número de %ton y el factor jH de Chilton-Colbum. ¿Cómo es posible "decorar" cada una de estas cantidades a fin de indicar el tipo de fuerza impuisora dependiente de la diferencia de tempratura que se usa? 2. ¿Cuáles son Ios grupos adimensionales característicos que se presentan en las correlaciones
3. 4.
5.
6.
7.
para números de Nusselt para convección forzada?, ¿y para convecaón libre?, ¿y para convección mixta? ¿En qué medida es posible calcular de antemano los números de Nusselt a partir de soluciones analíticas? Explicar cómo deduar una correlación experimental para números de Nusselt como una función de los grupos adimensionales relevantes. ¿En qué medida pueden deducirse correlaciones empíricas en las que el número de Nusselt esté dado como el producto de 10s grupos adimensionales relevantes, cada uno elevado a una potencia característica? Además del número de Nusselt, nos hemos encontrado con el número de Reynolds Re, el número de Prandtl Pr, el número de Grashof Gr, el número de Péclet Pé y el número de Rayleigh Ra, definir cada uno de estos números y explicar sus significados y por qué son Útiles. Analizar el concepto de temperatura de viento fno.
PROBLEMAS 14A.1 Coeficientes medios d e transmisión de calor (figura 14A.1). En el intercambiador sencillo de calor que se muestra en la figura 14A.1 se calientan 10,000 libras por hora de un aceite con capacidad calorífica de 0.6 Btu/lb, F desde 100 hasta 200 OF. El aceite fluye a través de todos los
tubos, que son de cobre, de 1 pulg de diámetro externo, con paredes de 0.065 pulg. La longitud combinada de los tubos es 300 pies. El calor requerido se suministra por condensación de vapor de agua saturado a 15.0 psia en el exterior de los tubos. Calcular hl, h, y h,, para el aceite, suponiendo que
-
Problemas 529 14A.5 Transmisión de calor desde vapores de condensación.
Entrada de vapor de agua
--
Salida de
Entrada de
-c
aceite caliente
aceite frío
+
SaLida del condensado
Figura 14A.1 Intercambiador de calor de "coraza y tubos" de paso simple.
las superficies interiores de los tubos están a la temperatura de saturación del vapor de agua, 213 'F.
Respuestas: 78,139,190 Btu/h . pie2 F 1 U . 2 Transmisión de calor en flujo laminar en un tubo.
Por un tubo de 1pulg de diámetro interno y 20 pies de largo fluyen 100 libras por hora de aceite a 100 'F. La superficie 'interior del tubo se mantiene a 215 "F por vapor de condensación sobre la superficie exterior. Puede suponerse flujo totalmente desarrollado a lo largo de toda la longitud del tubo, y las propiedades físicas del aceite pueden considerarse constantes para los siguientes valores: p = 55 1bJpies3, C = 0.49 Btu/lb, . F, p = 1.42 lb,/h . pie, k = 0.0825 Btu/h P pie . F.
a) La superficie exterior de un tubo vertical de 1 pulg de diámetro externo y 1 pie de longitud se mantiene a 190 "F. Si este tubo se rodea de vapor de agua saturado a 1 atm, ¿cuál es la velocidad total de transmisión de calor a través de la pared del tubo?
b) ¿Cuál debe ser la velocidad de transmisión de calor si el tubo es horizontal?
Respuestas: a) 8400 Btu/h; b) 12,000 Btu/h 14A.6 Transmisión de calor por convección forzada desde una esfera en situación aislada.
a) Una esfera sólida de 1pulg de diámetro se coloca en una corriente de aire sin perturbación, que se aproxima a una velocidad de 100 pies/s, una presión de 1 atm y una temperatura de 100 'E La superficie de la esfera se mantiene a 200 O F por medio de un serpentín calentador introducido en su interior. ¿Cuál debe ser la velocidad de calentamiento eléctrico en cal/s a fin de mantener las condiciones planteadas? Despreciar la radiación y usar la ecuación 14.4-5. b) Repetir el problema en a), pero usando la ecuación 14.4-6.
Respuestas: a) 12.9W = 3.1 cal/s; b) 16.8W = 4.0 cal/s
a) Calcular Pr.
14A.7 Transmisión de calor por convección libre desde una esfera en situación aislada. Si la esfera del problema 14A.6 se suspende en aire inmóvil a 1 atm de presión y 100 "F de temperatura ambiente y la superficie de la esfera se mantiene de nuevo a 200 'E, ¿qué velocidad potencia de calefaccióneléctrica se requiere? Despreciar la radiación.
b) Calcular Re.
Respuesta: 0.80W = 0.20 cal/s.
C)
Calcular la temperatura de salida del aceite.
Respuestas: a) 8.44; b) 1075; C) 115 OF 14A.3 Efecto de la velocidad de flujo sobre la temperatura de salida desde un intercarnbiador de calor. a) Repetir los incisos b) y c) del ~roblerna14A.2para velocidades de flujo del aceite de 200,400,800,1600 y 3200 lb,/h.
b) Calcular el flujo total de calor a través de la pared del tubo para cada una de las velocidades de flujo del aceite en el inciso a).
14A.4 Coeficiente local de transmisión de calor para convección forzada turbulenta en un tubo. Por un tubo de 2 pulg de diámetro interno fluye agua a una velocidad de flujo másico w = 15,000 lb,/h. La temperatura interior de la pared en a l e punto a lo largo del tubo es 160 OF, y la temperatura global del fluido en ese punto es 60 "F. ¿Cuál es la densidad de flujo de calor local q, en la pared del tubo? SUpóngase que h,, ha aIcanzado un valor asintótico constante.
Respuesta: -8 x lo4 Btu/h . pies2
14A.8 Pérdida de calor por convección libre desde un tubo horizontal inmerso en u n líquido. Estimar la velocidad de pérdida de calor por convección libre desde una unidad de longitud de un tubo horizontal largo, de 6 pulg de diámetro externo, si la temperatura en la superficie externa es 100 "F y el agua circundante está a 80 "F. Compare el resdtado con el que se obtuvo en el ejemplo 14.6-1, donde el medio circundante es aire. Las propiedades del agua a la temperatura de película de 90 "F (o 32.3 "C)son p = 0.7632 cp, = 0.9986 cal/g . C y k = 0.363 Btu/h pies . E También, la densidad del. agua en la vecindad de 90 "F es
cp
Respuesta: Q / L = 1930 Btu/h - pies 14A.9 El pescador de hielo en el lago Mendota. Comparar las velocidades de pérdida de calor de un pescador de hielo cuando pesca en un clima calmado (velocidad del viento igual a cero) y cuando la velocidad del viento es de 20 mph hacia e1 norte. La temperatura ambiente es de 1 0 "F. Su-
530 Capítulo 14
Transporte interfásicoen sistemas no isotérmicos
póngase que el pescador todo arropado puede aproximarse a una esfera de 3 pies de diámetro.
tewalo de velocidad del fluido de 100 a 300 pies/s? ¿C es el significado de la constante C en la ecuación
148.1 Número de Nusselt límite para flujo tapón con
14B.4 Análisis dimensional. Considérese el sistem flujo descrito en el primer párrafo de 514.3, para el análisis dimensional ya había proporcionado velocidad adimensional (ecuación 6.2-7) y el p peratura (ecuación 14.3-9).
densidad de flujo de calor constante. a) La ecuación 10B.9-1 proporciona la distribución de temperatura asintótica para calentar un fluido de propiedades físicas constantes en fluio tapón en un tubo largo con densidad de flujo de calor en'la constante. utilizar este perfil de temperatura para demostrar que el número de Nusselt límite para estas condiciones es Nu = 8.
b) En la ecuación 10B.9-2 se proporciona la distribución de temperatura asintótica para el problema anhlogo de flujo tapón en una rendija plana. Valerse de este hecho para demostrar que el número de Nusselt límite es Nu = 12. 148.2 Coeficiente global de transmisión de calor local. En el problema 14A.1 se despreciaron las resistencias térmicas de la película de vaporde agua condensado y de la pared del tubo. Justificar este hecho calculando la temperatura real de la superficie interior de los tubos en la sección transversal del intercambiador de calor en que la temperatura global del aceite es 150 "F. Puede suponerse que para el aceite, h,, es constante en todo el intercambiador a 190 Btu/h . pies2 F. Los tubos son horizontales.
a) Utilizar las ecuaciones 6.2-7 y 14.3-9 y la defini~i6~ d! temperatura de mezcla en taza (global) para obtener la expresión promediada respecto al tiempo
4
-= una funci6n de Re, Pr, L / D TO- Tbl
(14~.44.1) 4
b) Utilizar el resultado que se acaba de obtener y las definid ciones de los coeficientes de transmisión de calor para d e ducir las ecuaciones 14.3-12 a 14.3-14. 143.5 Relación entre hl,, y hl,. En muchos intercambiad* de calor hibulares indm,.ales (vease el ejemplo 15C2), la temperatura en la superficie del tubo To varía liiealmente con la temperatura global del fluido Tb.Para esta situación común, hl, y hh pueden interrelacionarse de forma sencilla. a) Empezando con la ecuación 14.1-5, demostrar que
148,3 El anem6metro de alambre caliente? Un anemó-
metro de alambre caliente consta esencialmente de un alambre fino, por lo común de platino, que se calienta elécticamente Y se inserta en un fluido en movimiento. La temperatura del alambre, que es una función de la temperatura del fluido, de la velocidad del fluido y de la velocidad de calentamiento,puede determinarse midiendo su resistencia eléctrica. a) Un alambre cilíndrico recto de 0.5 pulg de longitud y 0.01 pulg de diámetro se expone a una corriente de aire a 70 "F que fluye por el alambre a 100 pies/s. ¿Cuál debe ser la velocidad de entrada de energía en watts para mantener la superficie del alambre a 600 "F? Despreciar la radiación, así como Ia conducción de calor a lo largo del alambre.
y en consecuencia, que
1;
p t p Tb(L) ~(To(-TbIh -~ Tb(0) )
hlmdz = )
(148.5-2)
b) Combinar el resultado del inciso a) con la ecuación 14.14 para demostrar que
a una resistencia dada del alambre)
donde L. es la longitud total del tubo, y en consecuencia, que [si (dhl,/dL), = O, lo que es equivalente a la afirmación de que se desprecia la conducción axial del calor]
donde 1es la corriente requerida para mantener la temperatura deseada, v, es la velocidad de] fluido que se aproxima y C es una constante. ¿Qué tan bien concuerda esta ecua&jn con las predicciones de la -ción 14.4-7o la ecuación 14.4-8 para el fluido y el alambre del inciso a) sobre un in-
148.6 Pérdida de calor por convección libre desde un tubo. En el ejemplo 14.6-1, ¿la pérdida de calor sería mayor 0 menor si la temperatura en la superficie del tubo fuese 200 "F y la temperatura del aire fuese 180 "F?
b) Se ha reportado2que para un fluido y un alambre dados a temperaturas dadas del fluido y del alambre (y por tanto
Véase, por ejemplo, C.Comte-Beiiot, capítulo 34 en el Hnndbwk of Fluid Dvriamics (R.W. Boca Ratón. Fla. 11999). . .lohnson. como.) CRC P-. ~, King, Phil. Trans. Rey. Cm: (Londres), ~2~4,373-432 (1914).
i.~.
14C.1 La expresión de Nusselt para los coeficientes de transmisión de por condensaci6n en película (figura
14.7-1). Considérese una película laminar de condensado
Problemas 531 fluye hacia abajo sobre una pared vertical, y supóngase que esta película líquida constituye la única resistencia a
la wancmisión de calor sobre el lado del vapor de la pared. Entrada de vapor Si%-+ Salida Además, supóngase que: i) el esfuerzo cortante entre el 1íde agua de liquido quid0 y el vapor puede despreciarse; ii) las propiedades Chaqueta físicas en la película pueden evaluarse para la media aritChaqueta de vapor ' 'de vapor mética de la temperatura del vapor y la de la superficie de enfriamiento y que esta Última (la temperatura de la superEntrada ficie de enfriamiento) puede considerarse constante; iii) la de líquido de los elementos del fluido en Ia película puet ,de despreciarse en comparación con las fuerzás de gravitaSalida del condensado aón y viscosas; iv) variaciones sensibles de calor, CPdT, en la película del condensado carecen de importancia en comp a c i ó n con el calor latente transmitido a través de ella; y Figura 3.4C.2 Calentamiento continuo de un líquido en un v) la densidad de flujo de calor es casi normal a la superfi- tanque agitado. cie de la pared. -t
-
a) Recuérdese por 52.2 que la velocidad media de una película de espesor constante 6 es {u,) = pg62/3p. Supóngase que esta relación es válida para cualquier valor de z.
por condensación de vapor de agua sobre la pared exterior del tanque. La resistencia térmica de la película del condenb) Escribir la ecuación de energía para la pelicuia, despre- sado y de la pared del tanque puede considerarse pequeña ciando la curvatura de ésta y la convección. Demostrar que en comparación con la del fluido en el tanque, y puede la densidad de flujo de calor a través de la pelícda hacia la suponerse que la pared del tanque que no está enchaquetado se encuentra bien aislada. La velocidad de flujo de superficie fria es Líquido a través del tanque afecta en forma despreciable al patrjn de flujo en el tanque. Deducir una forma general de correlación adirnensional del coeficiente de transmisión de calor para el tanque, c) A medida que la película desciende por la pared, recoge correspondiente a la correlación para el flujo en un tubo en materia adicional por el proceso de condensación. En este 514.3. Elegir las siguientes cantidades de referencia: longifiroceso se libera calor a razón de ~ fpor iunidad ~ de ~ tud de ~ referencia, D, el diámetro del agitador; velocidad de referencia, ND, donde N es la velocidad de rotación del eje hasa de la sustancia que experimenta el cambio de estado. Demostrar que al igualar la liberación de calor por conden- en revoluciones por unidad de tiempo; presión de referensación con el calor que fluye a través de la película en un cia, p p D 2 , donde p es la densidad del fluido. segmento dz de ésta, se llega a 14D.1 Transmisión d e cdor desde un elipsoide d e revolución achatado. Los sistemas de este tipo se describen mejor en coordenadas elipsoidales achatados (t,9, $)l para las cuales d) Insertar la expresión para la velocidad media del inciso 5 = constante que describe elipsoides achatados (O 5 6 < o.) a en la ecuación 14C.1-2 e integrar desde z = O hasta z = L 17 = constante que describe hiperboloides de revolución para obtener
(O 5 q
"
7T)
9 = constante que describe semiplanos (O
+ < 274
Nótese que 4 = puede describir elipsoides achatados, d Utilizar la definición del coeficiente de transmisión de donde to= O es el caso l b i t e del diKo de dos lados, y el ;id o r y el resultado del inciso d) para obtener la ecuación ,te cuando 6+ m ma =fera, =te prot>;ema h14.76. vestigamos los dos valores límite correspondientes del 6 Demostrar que las ecuaciones 14.7-4 y 14.7-5 son equíva- número de Nusseit. lentes para las condiciones de este problema. 14C.2 Corretaciones de transmisión de calor para tanPara un análisis de las coordenadas elipsoidales achatadas, véase P. ques agitados (figura 14~-2). un líquido cuyas propiedaMoon y D.E. Spencer, Fkld Tkeory Handbook, Springer, Berlín (1961), pp. 31des físicas son esencialmente constantes se calienta de Y(ax Happl H. Bremer, rw Rqnoldr ~~~b~ Hylrodpamaneracontinua haciéndolo pasar por un tanque agitado, mics, r,ntice-H~U,Englewood Cliffc, N.J. (19651,pp. 512-516;nótese que sus Se muestra en la figura 14C.2. El calor se suministra factores de escala son los recíprocos de los que se definieron en este libro.
'
532 Capítulo 14 Transporte interfásico en sistemas no isotérmicos
a) Primero usar la ecuación A.7-13para obtener los factores de escala a partir de la relación entre coordenadas elipsoidales achatados y coordenadas cartesianas: x=acosh[senqco~iI
(14D.1-1)
y=acosh5senqsen+
(14D.1-2)
z = a senh(cos q
@=1-+ P - ardan(senh5) ?r - arctan(senhto)
c) Luego, especialice este resultado para el disco de (14DSlm3) dos (es decir, el caso iímite de que .fO= O), y demuestre
el gradiente de temperatura normal en la superficie es
donde u es la mitad de la distancia entre los focos. Demostrar que
hf = h, = ajcosh2 6 - sen2 7 h* = a cosh E sen 17
ecuación puede resolverse con las condiciones límite de @(E0) = O y @(m) = 1para obtener
1
2
1
(14D.14)
(14D.1-4) donde a se ha expresado como R, el radio del disco. Ade (14D.1-5) más, demuestre que la pérdida de calor total a trav6s de ambos lados del disco es
Las ecuaciones A.7-13 y A.7-14 pueden usarse entonces para obtener cualquiera de las operaciones-V que se requieran.
b)A continuación, obtener el perfil de temperatura fuera de un elipsoide achatado con temperatura de superficie To, que est: incrustado en un medio infinito con la temperatura T, lejos del elipsoide. Sea O = (T - To)/(T, - To) una temperatura adimensional, y demostrar cómo la ecuación de Laplace que describe la conducción de calor exterior al elipsoide es
Los términos que implican derivadas respecto a 7) y 4 se han omitido porque no son necesarios. Demostrar que esta
y que el número de Nusselt está dado por Nu = h(2R)/k = 8 / =~2.55. Debido a que Nu = 2 para el problema análogo de la esfera, vemos que el número de Nusselt para cualquier elipsaide achatado debe estar en alguna parte entre 2 y 2 s. d) Por análisis dimensional, demuestre que, sin hacer ninguna deducción detahda (como la anterior), es posible predecir que la pérdida de calor desde el elipsoide debe ser propo* nal a la dimensión lineal a, más que al área de la su@&. ¿Este resultado se limita a elipsoides? Analice la situación.
Capítulo 15
Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos 515.1
Balance rnacroscópico de energía
g15.2
Balance macroscópico de energía mecánica
$15.3
Uso de los balances marmacópicos para resolver problemas de estado estacionario con perfiles de velocidad planos
$15.4
Las formas d de los balances macroscópicos
515.5"
Uso de Ios baIances maaoscóplcos para resolver problemas de estado no estacionario y problemas con perfiles de velocidad no planos
En el capítulo 7 analizarnos los balances macroscópicos de materia, cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular y energía mecánica. El tratamiento ahí se restringió a sistemas que están a temperatura constante. En realidad esta mtricción es algo artificial, ya que en sistemas de flujo reales la energía mecsnica siempre se convierte en energía térmica por disipación viscosa. Lo que en verdad se supuso en el capítulo 7 es que cualquier calor así producido es demasiado pequeño para cambiar las propiedades del fluido o es conducido inmediatamente lejos a través de las paredes del sistema que contiene al Buido. En este capítulo extendemos los resultados previos para describir el comportamiento global de sistemas de flujo macroscópico no isotérmico. Para un sistema no isotérmico hay cinco balances macroscópicos que describen las relaciones entre las condiciones de entrada y de salida de la corriente. Pueden deducirse al integrar las ecuaciones de variación sobre el sistema macroscópico:
,I Iv(>,
(ecuaciónde cantinuidia) dV
= balance rnacroscópico de materia
(ecuación de movimiento) dV
= balance rnacroscópico de
cantidad de movimiento = balance macroscópico de cantidad de movimiento angular
"("
(ecuaci6n de cantidad de movimiento angular) i V
J
(ecuación de energía mecánica) dV= balance macroscópico de energía mecánica
,t,
/v(t,
[ecuación de energía (total)] dV
= balance macroscópico de energía (total)
533
534 Capítulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos -
--
Los cuatro primeros se analizaron en el capítulo 7, y sus deducciones sugieren que pueden aplicarse a sistemas no isotérmicos exactamente tan bien como a sis. temas isotérmicos. En este capítulo agregamos el quinto balance; a saber, el de h energía total. Éste se deduce en 515.1, no haciendo la integración de arriba, sin, más bien aplicando la ley de conservación de la energía total directamente al sistema que se muestra en la figura 7.0-1. Luego, en 515.2 abordaremos de nuevo el balance de energía mecánica y lo estudiaremos a la luz del análisis del balance de energía (total). A continuación, en 515.3 proporcionamos las versiones simplificadas de los balances macroscópicos para sistemas en estado estacionario e ilustramos su uso. En s15.4 proporcionamos las formas diferenciales (formas d ) de los balances en estado estacionario. En estas formas se considera que la separación entre los planos 1 y 2 d e entrada y salida se toma como si fuera s6l0 una distancia diferencial. Las "formas d" a menudo son útiles para problemas que implican flujo en conductos donde la velocidad, la temperatura y la presión cambian continuamente en la dirección de flujo. Por último, en 515.5 presentamos varias ilustraciones de problemas en estado no estacionario que pueden resolverse con los balances macroscópicos. En este capítulo se usarán casi todos los tópicos que se han abordado hasta el momento, lo cual representa una excelente oportunidad para revisar los capítulos precedentes. Una vez más, aprovechamos esta oportunidad para recordarle al lector que al usar los balances macroscópicos puede ser necesario omitir algunos términos y estimar los valores de otros. Esto requiere buena intuición o algunos datos expe nmentales adicionales.
Consideramos el sistema que se bosquejó en la figura 7.0-1 y hacemos las mismas suposiciones que se hicieron en el capitulo 7 respecto a las cantidades en los planos de entrada y de salida: i) La velocidad con ajuste de tiempo es perpendicular a la sección transversal relevante. ii) La densidad y otras propiedades físicas so11uniformes sobre la sección transv d . iii) Las fuerzas asociadas con el tensor de esfuerzo 7 se desprecian. iv) La presión no varía sobre la sección transversal.
A lo anterior agregamos: V) El transporte de energía por conducción q es pequeño en comparación C
O ~
el transporte de energía convectivo y puede despreciarse. vi} El trabajo asociado con [7- VI puede despreciarse en relación con pv.
1 1
Ahora aplicamos el principio de conservación de energía al fluido en el siste de flujo macroscópico. Al hacerlo, usamos el concepto de energía potencial pa explicar el trabajo realizado contra las fuerzas externas (esto corresponde a uti zar la ecuación 11.1-9, en vez de la ecuación 11.1-7, como ecuación de variacib para la energía).
915.1 Balance macroscópico de energía 535
Entonces, el planteamiento de la ley de conservación de la energía asume la forma
velocidad de aumento de energias interna, cin6ti~1 y potencial en el sistema
velocidad a La que las energias interna, Cinética y potencial entran al sistema en el plano 1 por el flujo
velocidad a la que las energias interna, cinética y potencial salen del sistema en el plano 2 por el Bu@
velocidad a la que se
agrega calor al sistema a través del limite
velwidad a la que se realiza trabap sobre ei sistema por el entorno por medio de las superficies móviles
velocidad a la que se maliza trabajo sobre el sistema por el entorno en Los planos 1 y 2
Aquí Utok= J P ~ ~ Ktot V , = J f pv2dv y cPtot = jpg>dv son las energías totales interne, cinética y potencial en el sistema, y las integraciones se realizan sobre todo el volumen del sistema. Esta ecuación puede escribirse en forma más breve introduciendo las veloci= p2(v2)S2, y la energía total EtOt= Utot + dades de flujo másico wi = pl(vi)S1 y w:, KtOt+ a t o t . Así se obtiene el balance macroscópico de energía mecdnica en estado no esfacionario
Resulta evidente, a partir de la deducción de la ecuación 15.1-1, que el "trabajo realizado sobre el sistema por el entorno" consta de dos partes: l) el trabajo realizado por las superficies móviles W,, y 2) el trabajo realizado en los extremos del sistema (planos 1 y 21, que aparece como -h(pQw) en la ecuación 15.1-2.Aunque en la ecuación 15.1-2 hemos combinado los términos pV con los términos de energía interna, cinética y potencial, es inapropiado afirmar que "pV energía entra y sale del sistema" en la entrada y en la salida. Los terminos pV se originan como términos de trabajo y deben considerarse como tales. Ahora consideramos la situación en que el sistema opera en estado estacionario, de modo que la energía total Etot es constante, y las velocidades de flujo másico de entrada y de salida son iguales (wl= wz = w).Entonces, es conveniente introducir los símbolos Q = Q / w (la adición de calor por unidad de masa de flujo del fluido) y = W,/w (el trabajo realizado sobre una unidad de masa de flujo del fluido). Entonces, el balance macroscópico de energía en estado estacionario es
m,,,
536 Capitulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isoténnicos
Aquí hemos escrito &I = ghi y $2 = gh2, donde hi y h2 son alturas un plano dado elegido en forma arbitraria (véase el análisis justame~teantes de h ecuación 3.3-2). De manera semejante, f i ~ = UI + pi Qi y H2 = U2 + p2 ?2 S,-,( entalpías por unidad de masa medidas respecto a un estado de referencia especi-. ficado de forma arbitraria. La fórmula explícita para la entalpía está dada en la wecua, ción 9.8-8. Para muchos problemas en la industria química, los términos de la energía c.nética, la energía potencial y de trabajo son insignificantes en comparación con los términos térmicos en la ecuación 15.1-3, y el balance de energía se simplifica a g2- fil = Q, que a menudo se denomina "balance de entalpía". Sin ernbwgo, esta relación no debe interpretarse como una ecuación de conservación para la entalpía.
El balance macroscópico de energía mecánica, dado en 37.4 y deducido en 97.8, se repite aquí para efectos de comparación con las ecuaciones 15.1-2 y 15.1-3. EI bahnce rnacroscópico de energía mecánica en estado no estacionario, según se proporciona en la ecuación 7.4-2, es
donde E, y E, se definen en las ecuaciones 7.4-3 y 7.4-4. Una forma aproximada del balance macroscópico de energía mecánica en estado estacionario, según se proporciona por la ecuación 7.4-7, es
Los detalles de la aproximación introducida aquí se expIican en las ecuaciones 7.8-9
a 7.8-12. La integral en la ecuación 15.2-2 debe evaluarse a lo largo de una "línea de flujo de corriente representativa" en el sistema. Para hacer esto, es necesario conocer la ecuación de estado p = p(p, 77 y también cómo cambia T con p a lo largo de la línea de flujo de corriente. E n la figura 15.2-1 se muestra la superficie Y = T) para un gas ideal. En el plano pT se muestra una curva que empieza en pi, Ti (las condiciones de entrada de la corriente) y termina en p2, T2 (las condiciones de salida de la corriente). La curva en el plano pT indica la sucesión de estados por los que pasa el gas al ir del estado inicial al estado final. Así, la integral (llp) d p es la proyección del área sombreada en la figura 15.2-1 sobre el plano pV. Resulta evidente que el valor de esta integral cambia a medida que se altera el "trayecto temodinámico" del proceso desde el plano 1 hasta el plano 2. Si se conocen el trayecto y la ecuación de estado, entonces es posible calcular j'] (1 l p ) dp.
v(p,
915.2 Balance macroscópico de energía mecánica
537
Figura 15.2-1 Representación gráfica de la integral en Ia ecuación 15.2-2. E1 área determinada es Vdp= ( l / p ) d p . Nótese que aquí el valor de esta integral es negativo, debido a que se está integrando de derecha a izquierda.
Ji;
Jg
P
En varias situaciones especiales, no es difícil evaluar la integral: a.
Para sistemas isotémicos, la integral se evalúa prescribiendo la ecuación de estado isoténnica, es decir, proporcionando una relación para p como una función de p. Por ejemplo, para gases ideales, p = pM/RT y 1 ji2 ; dp =
M
RT ln fi Ip2P i1p d p = M Pl
(gases ideales)
(15.2-3)
b. Para líquidos incompresibles, p es constante, de modo que 2
;1, c.
1
1 dp =(p, P
- p,)
(líquidos incompresibles)
Para flujo adiabático de gases ideales sin fricción con capacidad térmica constante; p y p están relacionados por la expresión pp-rconstante, donde y = Cp/Cv, como se muestra en el ejemplo 11.4-6. Así, la integral se vuelve
Por tanto, para este caso especial de flujo no isotérmico, la integración puede realizarse analíticamente. Ahora concluimos con varios comentarios concernientes tanto al balance de energía mecánica como al balance de energía total. En 57.8 recalcamos que la ecuación 7.4-2 (la misma que la ecuación 15.2-1) se deduce al tomar el producto punto de v con la ecuación de movimiento y iuego integrando el resultado sobre el volumen del sistema de flujo. Debido a que empezamos con la ecuación de movimiento - q u e es un planteamiento de la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal-, el balance de energía mecánica contiene información diferente de la del balance de energía (total), que es un planteamiento de la ley de conservación de la energía. Por tanto, ambos balances generalmente se requieren para resolver problemas. El balance de energía mecánica no es una "forma alternativa" del balance de energía.
538
Capítulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos
De hecho, si restamos el balance de energía mecánica en la ecuación 15.2-1 del balance de energía total en la ecuación 15.1-2, obtenemos el balance rnacroscúpico & la energía interna
lo cual establece que Ia energía interna total en el sistema cambia debido a la diferencia en la cantidad de energía interna que entra y sale del sistema por el flujo del fluido, debido al calor que entra (o sale) del sistema a través de las paredes del sistema, debido al caIor producido (o consumido) en el interior del fluido por compresión (o expansión), y en respuesta al calor producido en el sistema a causa de calentamiento por disipación viscosa. La ecuación 15.2-6 no puede escribirse de ante mano, ya que no hay ley de conservación para la energía interna. No obstante, puede obtenerse integrando la ecuación 11.2-1 sobre todo el sistema de flujo.
915.3 USO DE LOS BALANCES MACROSCOPICOSPARA RESOLVER PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO CON PERFILES DE VELOCIDAD PLANOS
Las aplicaciones más importantes de los balances macroscópicos son en problemas de estado estacionario. Es más, suele suponerse que el flujo es turbulento, de modo que la variación de la velocidad sobre la secabn transversal puede despreciarse sin ningún problema (véanse las "Notas" después de las ecuaciones 7.2-3 y 7.4-7). Los cinco balances macroscópicos, con estas restricaones adicionales, se resumen en la tabla 15.3-1. Ce han generalizado a múltiples puertos de entrada y de salida a fin de abarcar un mayor conjunto de problemas.
Tabla 15.3-1 Balances macroscópicos en estado estacionario para flujo turbulento en sistemas no isot6rrnicos -
Matmia: Cantidad de movimiento:
+ P I S I ) UI 2
~ ( V I W I
Cantidad de movimiento angular: ~ ( u 1 w+l pISl)[rl x
Energiá (total):
-
(A)
Zwl- zw2=O
U,] -
x(4.01 2 + ghl + f?l)wl
~
2 4- ~~ 22S
Z(v2w2
- z(+.a$
2 )+ ~ 2mtotg = Ff
+ p2S2)[r2 X
1121
(B)
-,3
+ Text= Tf-,
+ gh2 + ~ 2 ) w =z -W,
S
-Q
Notas: " En todas las f6rmulas que se presentan aquí se suponen perfiles de velocidad planos. ~ W =I + W I +~ wlc +..-,donde wl, = p,,vl,S~, etcétera. hj y h2 son alturas por arriba de un plano dado arbitrario. HIy & son entalpías por unidad de masa relativas a algún estado de referencia elegido arbitrariamente (véase la ecuación 9.&8). Todas las ecuaciones están escritas para flujo compresible; para flujo incompresible, E, = 0. Las cantidades E, y Ev se definen en las ecuaciones 7.4-3 y 7.44. f U, y u1 son vedores unitarios en la dirección de flujo.
(C)
(E)
515.3
Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario 539 El aire sale a O "F y 15 psia = ?
-- -- -
--- - -
Figura 15.3-1 Enfriamiento de aire en un intercambiador de calor a contracorriente.
- Plano 2
10 pies
Salida de líquido caliente
El aire entra a 300 O F y 30 psia
Eiif"amiento de ungas
g e nl ,
,
Al tubo interno del intercambiador de calor que se muestra en la figura 15.3-1 entran 200 libras por hora de aire seco a 300 "Fy 30 psia, con una velocidad de 100 pies/s. El aire sale del intercambiador a O "F y 15 psia, a 10 pies por arriba de la entrada del intercambiador. Calcular la velocidad de eliminación de energía a través de la pared del tubo. Supóngase flujo turbulento y comportamiento de un gas ideal, y usar las siguientes expresiones para la capacidad calorifica del aire:
donde
ePestá en Btu/(lb-mol
R) y T está en grados Rankine.
Para este sistema, el balance macroscópico de energía, ecuación 15.1-3, se vuelve
La diferencia de entalpía puede obtenerse a partir de la ecuación 9.8-8, y Ia velocidad puede obtenerse como una función de la temperatura y la presión con ayuda del balance macroscópico d e materia plvl = prvl y la ley de los gases ideales p = pRT/M. Por tanto, la ecuación 15.3-2 se vuelve
ep
en la ecuación 15.3-1 puede insertarse en la ecuaci6n 15.3-3 y La expresión explícita para efectuarse la integración. Luego, al sustituir los valores numéricos se obtiene la eliminación de calor por libra de fluido que pasa a través del intercarnbiador de calor:
= 72.0 - 0.093 - 0.0128 =
71.9 Btu / lb,
540
Capítulo 15 Balances macroscópicoc para sistemas no isotérmicos Entonces, la velocidad de eliminación de calor es
Nótese, en la ecuación 15.3-4, que las contribuciones de la energía cinética y potencial son despreciables en comparación con el cambio en entalpía.
de dos de gas ideal
Dos corrientes estacionarias turbulentas del mismo gas ideal que circulan a velocidades, temperaturas y presiones diferentes se mezclan como se muestra en la figura 15.3-2. Calcular ]a velocidad, la temperatura y la presión de la corriente resultante.
El comportamiento del fluido en este ejemplo es más complicado que para la situación isotérmica incompresible que se analizó en el ejemplo 7.6-2, porque aquí los cambios en densidad y temperatura pueden ser importantes. Es necesario usar el balance macroscópico de energía en estado estacionario, ecuación 15.1-3, y la ecuación de estado para los gases ideales, además de los balances de materia y de cantidad de movimiento. Con estas excepciones, procedemos como en el ejemplo 7.6-2. Elegimos los planos de entrada (la y lb) como las secciones transversales a las cuales los fluidos empiezan a mezclarse. E1 plano de salida (2) se toma tan lejos corriente abajo que la mezcla ya ha ocurrido por completo. Asi como en el ejemplo 7.6-2, suponemos perfiles de velocidad planos, esfuerzos cortantes despreciables sobre la pared del tubo, y ningún cambio en la energía potencial. Además, despreciamos los cambios en la capacidad calorífica del fluido y suponemos operación adiabática. Ahora escribimos las siguientes ecuaciones para este sis tema con dos puertos de entrada y un puerto de salida:
Materia:
W I= W l a
Cantidad de rnovirniei~to:
+~ 2 s 2
VZWZ
Ecuación de estado:
+
lb = wz
V ~ a W i af p l a S l a
~2 =
+ VlbW~b
P~RT~/M
(15.3-6) p1bSlb
(15.3-7)
(15.3-9)
En este conjunto de ecuaciones conocemos todas las cantidades en l a y lb, y las cuatro incbgnitas son p2, T2,m y p.Trefes la temperatura de referencia para la entalpía. Al multiplicar la ecuación 15.3-6 por CpTrefy sumar el resultado a la ecuación 15.3-8 obtenemos
I
I
Phno 1
Plano 2
Figura 15.3-2 Mezcla de dos corrientes de un gas ideal.
515.4 Las formas d de Ios baIances macroscópicos 541
Los miembros derechos de las ecuaciones 15.3-6,15.3-7 y 15.3-10 contienen cantidades conocidas, mismas que designamos por w, P y E, respectivamente. Nótese que w, P y E no son independientes, debido a que la presión, la temperatura y la densidad de cada corriente de entrada debe estar relacionada por h ecuación de estado. Ahora despejamos vz en la ecuación 15.3-7 y eliminamos p2 usando la ley de los gases ideales. Además, escribimos w~ como nv2S2.Así se obtiene
En esta ecuación puede despejarse Ti,que se inserta en la ecuación 15.3-10 para obtener
donde y = Cp/Cv, una cantidad que varía desde aproximadamente 1.1 hasta 1.667 para gases. Aquí tenemos en cuenta que t p /= ~ y / ( y - 1) para un gas ideal. Cuando en la ecuación 15.3-2 se despeja vz, se obtiene
Con bases físicas, el radicando no puede ser negativo. Puede demostrarse (véase el problema 158.4) que, cuando el radicando es cero, la velocidad de la corriente final es sónica. Por tanto, en general una de las soluciones para v2 es supersónica y otra es subsónica. En el proceso turbulento de mezcla en consideración sólo puede obtenerse la solución inferior (subsónica), ya que el flujo supersónico en conductos es inestable. La transición de flujo supersónico a subsónico en un conducto se ilustra en el ejemplo 11.4-7. Una vez que se conoce la velocidad 02,la presión y la velocidad pueden calcularse a partir de las ecuaciones 15.3-7 y 15.3-11. El balance de energía mecánica puede utilizarse para obtener (E, + E,).
s15.4
LAS FORMAS d DE LOS BALANCES MACROSCÓPICOS El cálculo d e E, e n el balance d e energía mecánica y Q e n el balance d e energía total a menudo presenta algunas dificultades en sistemas n o isotérrnicos. Por ejemplo, para E,, considérense las dos siguientes situaciones no isotérmicas:
a. Para líquidos, la velocidad media d e flujo en un tubo d e sección transversal constante es casi constante. Sin embargo, la viscosidad puede cambiar apreciablemente en la dirección del flujo debido a los cambios d e temperatura, d e modo que f en la ecuación 7.5-9 cambia con la distancia. Por tanto, la ecuación 7.5-9 no puede aplicarse a todo el tubo. b. Para gases, la viscosidad no cambia mucho con la presión, d e modo que el número d e Reynolds local y el factor d e fricción loca1 son casi constantes para ductos d e sección transversal constante. Sin embargo, Ia velocidad media puede cambiar considerablemente a lo Iargo del ducto como resuItado del cambio en densidad con la temperatura. Por tanto, la ecuación 7.5-9 no puede aplicarse a todo el ducto.
542
Capftulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos
--
-
Del mismo modo, para flujo en un tubo donde la temperatura de pared cambia con Ia distancia, puede ser necesario usar coeficientes de transmisión de calor locales. Para una situación como ésta, podemos escribir la ecuación 15.1-3 sobre una base incremental y generar una ecuación diferencial. O bien, el área de la sección transversal del ducto puede cambiar con la distancia corriente abajo, y esta situa-
ción también resulta en la necesidad de manipular el problema sobre una base hcremental. En consecuencia, es de utilidad volver a escribir el balance macroscópico de energia mecánica en estado estaaonario y el balance de energía total tomando los planos 1 y 2 de modo que estén separados por una distancia diferencial dl. Luego obtenemos lo que denominamos "formas d" de los balances:
La forma d del balance de energía mecánica Si los planos 1 y 2 se toman de modo que estén separados por una distancia diferencial, entonces podemos escribir la ecuación 15.2-2 en Ia siguiente forma diferencial (suponiendo perfiles de velocidad planos):
Luego, al usar la ecuación 7.5-8 para una longitud diferencial dl, se escribe
donde f es el factor de fricción local y Rh es el valor local del radio hidráulico medio. En la mayor parte de las aplicaciones se omite el término d ~ya ,que el trabajo suele realizarse en puntos aislados a lo largo del recorrido del flujo. El término d w puede ser necesario en tubos con paredes extensibles, flujos activados magnéticamente o sistemas con transporte por tornillos giratorios.
La forma d del balance de energía total Si escribimos la ecuación 15.1-3 en forma diferencial, tenemos (con perfiles de velocidad planos)
d ( $ v 2 ) + gdh
+ d f i = d~ + d~
(15.4-3)
Luego, usando la ecuación 9.8-7 para d f i y la ecuación 14.1-8 para d~ obtenemos
donde UI,, es el coeficiente global de transmisión de calor local, Z es el perímetro local correspondiente del conducto y AT es la diferencia de temperatura Iocal entre los fluidos dentro y fuera del conducto. Los ejemplos que siguen ilustran aplicaciones de las ecuaciones 15.4-2 y 15.4-4.
s15.4
Las formas d de los balances macroscópicos 543
Se desea describir el desempeño del intercambiador de calor sencillo de doble tubo (tubos concéntricos) que se muestra en la figura 15.4-1 en términos de los coeficientes de transmisión ~ ~ t ~ ~ a r n b ide a calor d o ~ s de calor de las dos corrientes y de la resistencia térmica de la pared del tubo. El intercamp a r a í e l ~O~Q biador consta esencialmente de dos tubos coaxiales con una corriente de fluido que circula contracorriente a través del tubo interior y otra en el espacio anular; a través de la pared del tubo interior se transmite calor. Ambas corrientes pueden circular en Ia misma direccibn, corno se indica en la figura, pero normalmente es más práctico usar contracomente,es decir, invertir la dirección de una corriente de modo que wh o wcsea negativa. Puede suponerse flujo turbulento en estado estacionario, y las pérdidas de calor hacia el entorno pueden despreciarse. Además, supóngase que el coeficiente global de transmisión de calor local es constante a lo largo del intercambiador.
a) Balance macroscópico de energía para cada corriente como un todo. A las cantidades que se pfieren a la corriente caliente las designamos con el subíndice h, y a las que se refieren a la corriente fría, con el subíndice c. El balance de energía en estado estacionario en la ecuación 15.1-3 se vuelve, para cambios despreciables en energía cinética y potencial,
Debido a que no hay pérdida de calor hacia el entorno, Qh = -Qc. Para líquidos incornpresibles con una caída de presion no muy grande, o para gases ideales, la ecuación 9.8-8 proporciona para la relación AH = CpAT. Por tanto, las ecuaciones 15.4-5 y 15.4-6 pueden volver a escribirse como
ep
b) Forma d para el balance macroscópico de energía. Al aplicar la ecuación 15.4-4 a la
corriente caliente se obtiene
donde ro es el radio externo del tubo interior, y Ua es el coeficiente global de transmisión de calor basado en el radio rg (véase la ecuación 14.1-8). Al reagrupar la ecuación 15.4-9 se obtiene
Entrada de la corriente fria T = Tcl
Plano 2
Entrada de la comente caiiente T = Thl
,
i
?[r
d 1 , ;
I
Plano 1
I I
r
! ,I1
I 1
1
I I
1 I I t I
1
Salida de la
'Lcorriente caliente I 1 '
JiL
T = ThZ
Salida de la corriente fría T=Td
Figura 15.4-1 Intercambiador de calor de doble tubo (tubos concéntricos).
544 Capítulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos La ecuación correspondiente para la corriente fría es
Al sumar las ecuaciones 15.410 y 15.4-11 se obtiene una ecuación diferencial para la difereR. cia de temperatura de los dos fluidos como una función de 1:
Al suponer que tiene
es independiente de 1 e integrar desde el plano 1 hasta el plano 2, se ob-
Esta expresión relaciona las temperaturas finales con las velocidades de la corriente y las dimensiones del intercambiador, y por tanto puede usarse para describir el desempeiío de este. Sin embargo, se acostumbra reagrupar la ecuación 15.613 aprovechando los balances de energía en estado estacionario en las ecuaciones 15.4-7 y 15.4-8. En cada una de estas ecuaciones se despeja w f p y los resultados se sustituyen en la ecuación 15.4-13 para obtener
o bien,
Aquí A. es la superficie exterior total del tubo interior, y (Th - Tc)l, es la "diferencia de temperatura logarítmica media" entre las dos corrientes. Las ecuaciones 15.4-14 y 15.4-15 deccriben la velocidad de intercambio de calor entre las dos corrientes y encuentran bastantes aplicaciones en la práctica de ingenieria. Nótese que las velocidades de la corriente no aparecen explicitamente en estas ecuaciones, que son válidas para intercambiadores paralelos y a contracorriente (véase el probIema 15A.1). A partir de las ecuaciones 15.4-10 y 15.4-11 también es posible obtener las temperaturas de la corriente como funciones de 1 si así se desea. Debe tenerse mucho cuidado al aplicar los resultados de este ejemplo a flujo laminar, para el cuaI la variacion del coeficiente global de transmisión de calor puede ser bastante grande. Un ejemplo de situación con U. variable se proporciona en el problema 158.1.
bombear un fluido de comprerible a una degandeS dimensiones
Un gas natural, que puede considerarse como metano puro, se bombea a través d e una hrbería lisa y larga de 2 pies de diámetro interno. El gas entra a la línea a 100 psia con una veIocidad de 40 pies/s y a la temperatura ambiente de 70 "F. A lo largo de la línea, a cada 10 millas hay una estación de bombeo, y en cada una de estas estaciones el gas se recomprime y enfría hasta la temperatura y presión originales (véase la figura 15.4-2). Calcular la potencia que es necesario comunicar al gas en cada estaci6n d e bombeo, suponiendo que se comporta como ideal, que los perfiles de velocidad son planos y que las diferencias de altura son despreciables.
,
s15.4 Las formas d de los balances macroscbpicos 545
1 Enfriador 1 -
Gas
-
-
!
Compresor
1
Compresor I
-
I I
I I
Plano 1
Plano2
I I l
-
Gas - - L - - - ,
iiarwar
1
l=O
Mano 3 1 = 10 millas
Figura 15.4-2 Bombeo de un fluido cornpresible a través de una tubería.
Es conveniente considerar por separado la tubería y el compresor. Primero se aplica la ecuación 15.4-2 a una longitud d1 de la tuberla. Luego se integra esta ecuación entre los planos 1 y 2 para obtener la presión desconocida p2. Una vez que se conoce ésta, podemos aplicar la ecuación 15.2-2 al sistema entre los planos 2 y 3 para obtener el trabajo realizado por la bomba. a) Hujo a través de la tubería. Para esta parte del sistema, la ecuación 15.4-2se simplifica a
donde D es el diámetro de la tubería. Como el tubo es muy largo, suponemos que el fiuido es isotérrnico a 70 "F. Luego podemos eliminar tanto a v como a p de la ecuación 15.476 usando la ecuación de estado supuesta, p = pRT/M, y el balance rnacroscópico de materia, que puede escribirse como pa = mq. Cuando p y v se escriben en términos de la presión, la ecuación 15.4-16 se vuelve
- - 1d p + P
RT, pdp M(P,~,)
2f dl = O +-
D
En 51.3 señalamos que la viscosidad de los gases ideales es independiente de la presión. A partir de ahí se concluye que el número de Reynolds del gas, Re = D w / S p , y por tanto el factor de fricción f, deben ser constantes. Luego podemos integrar la ecuación 15.4-17 para obtener
Esta ecuación proporciona
p2
en términos de cantidades que ya se conocían, excepto por 70 O F es pies2/$, y en consecuencia Re = Dv/v = (2 pies) (40 pies/s)/ 106. El factor de ficción puede estimarse entonces como 0.0025
f, que se calcula fácilmente: la viscosidad cinemática del metano a 100 psia y aproximadamente 2.61 X (2.61 X pies2/s) = 3.07 X (véase la figura 6.2-2).
546 Capitulo 15 Balances macrosc6picos para sistemas no isotérmicos
Al sustituir los valores numéricos en la ecuación 15.418, se obtiene
o bien,
Al resolver esta ecuación con pl = 100 psia, se obtiene pz = 86 psia. b) Flujo a través del compresor. Ahora ya estamos listos para aplicar el balance de energ(a mecánica al compresor. Empezamos por escribir la ecuación 15.2-2 en la forma
Para evaluar la integral en esta ecuaa6n, suponemos que la compresión es adiabática y a& más, que E, entre los planos 2 y 3 puede ignorarse. Podemos usar la ecuación 15.2-5 para volver a escribir la ecuación 15.2-21como
donde w,,,es la energía requerida para accionar el compresor. Al sustituir los valores num& ricos en la ecuación 15.422 se obtiene
= -9
+ 7834 = 7825 pies lb, / Ib,
(15.423)
La potencia necesaria para comprimir el fluido es
= 277,000
pies lb, / s = 504 hp
(15.4-24)
La potencia necesaria sería virtualmente la misma si el flujo en la tubería fuese adiabático (véase el problema 15A.2). Las suposiciones que se usaron aquí -suponiendo que la compresión es adiabática Y despreciando la disipación viscosa- son convencionalesen el diseño de combinaciones compresor-refrigerante.Nótese que a! energía requerida para accionar el compresor es mayor que el trabajo calculado, W,,,, por i) E, entre los planos 2 y 3, ii) pérdidas mecánicas en el compresor mismo, y iii) errores en la trayectoria p - p supuesta. Normalmente, la energía requerida en la flecha de la bomba es por lo menos de 15 a 20%mayor que fi,.
-
515.5
515.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario 547
USO DE LOS BALANCES MACROSC~PICOSPARA RESOLVER PROBLEMAS DE ESTADO NO ESTACIONARIO Y PROBLEMAS CON PERFILES DE VELOCIDAD NO PLANOS En la tabla 15.5-1 se resumen los cinco balances macroscópicos para estado no estacionario y perfiles de velocidad no planos, y para sistemas con múltiples puertos de entrada y de salida. Prácticamente nunca es necesario usar estos balances en este grado de completitud, aunque es conveniente contar con todo el conjunto de ecuaciones reunidas en un sitio. Ilustraremos su uso en los ejemplos que siguen.
Tabla 15.5-1 Balances macroscópicos en estado no estacionario para flujo en sistemas no isotérmicos
d
Materia:
-mt,t
df
=
CWI- Zw2 = ZPI(VI)SI- 2m(vdS2
(A) i
Cantidad de movimiento: Cantidad de movimiento angular:
la x u21 + T m - T,+I
(C)
Energía mecdnica:
Energía (total):
Notas:
Xwl = WI,+ wlb + wlc donde wi, = ~ , v i , S ~ , ,etcétera. hi y h? son alturas por arriba de un plano dado arbitrario. c & y H2son entalpías por unidad de masa relativas a algún estado de referencia elegido arbitrariamente;la fórmula para fi se proporciona en la ecuación 9.8-8. * Todas las ecuaciones están escritas para flujo compresible; para flujo incompresible, E, = O. Las cantidades E, y E, se definen en las a
ecuaciones 7.4-3 y 7.4-4. u2 son vectores unitarios en Ia dirección de flujo.
e UI y
de un líquido en un tanque agitado*
Un tanque cilíndrico capaz de retener 1000 pies3 de líquido está equipado con un agitador cuya potencia es suficiente para mantener el líquido contenido en el tanque a una temperatura uniforme (véase la figura 15.5-1).Se transmite calor al líquido por medio de un serpentín dispuesto de modo que el área disponible para la transmisión de calor es proporcional a la cantidad de líquido en el tanque. Este serpentín calentador consta de 10 vueltas, mide 4 pies de diámetro el diámetro externo del tubo es de I pulg. Hacia el tanque se envía agua a 20' C a una velocidad de 20 Ib,/min, empezando con el tanque vacío en el instante t = 0. A través del serpentín circula vapor de agua a 105 "C y el coeficiente global de transmisión de calor es 100 Btu/h . pies2 - F. ¿Cuál es la temperatura del agua cuando el tanque está lleno?
;
'
Este probíema está tomado en forma modificada de la obra de W.R. Marshaíi, Jr., y R.L.Pigford, Applications of Differential Equations fo Chemical Engíneering Pmblems, University of Delaware kess, Newark, Del. (1947), pp. 16-18.
548 Capítulo 15 Balances rnacroscópicos para sistemas no isotérmicos Figura 15.5-1 Calentamiento de un líquido en un tanque con nivel de líquido variable.
Entrada de vapor de agua
1
>
Entradade líquido
Nivel instantáneo del líquido
it"-'
Salida del condensado
Haremos las siguientes suposiciones: a.
b. c. d. e.
f.
La temperatura del vapor es uniforme en todo el serpentin. La densidad y la capacidad calorítica no cambian mucho conAlatemperatura. El fluido es aproximadamente incompresible, de modo que Cp = Cv. El agitador mantiene una temperatura uniforme en todo el liquido. El coeficiente de transmisión de calor es independiente de la posición y del tiempo. Las paredes del tanque están perfectamente aisladas, de modo que no ocurre pérdida de calor.
Como el sistema por considerar, elegimos el fluido en el interior del tanque, y sobre este sistema hacemos un balance de energia dependiente del tiempo. Este balance es proporcionado por la ecuación (E) de la tabla 15.5-1.En el miembro izquierdo de la ecuación, las velocidades de variación respecto al tiempo de las energías cinética y potencial pueden despreciarse de acuerdo con la velocidad de variaci6n de la energía interna. En el miembro derecho normalmente podemos omitir el término del trabajo, y es posible eliminar los thrminos de las energías cinética y potencial, debido a que son pequeños en comparación con los otros términos. Puesto que no hay corriente de salida, podemos igualar wz a cero. Por tanto, para este sistema el balance de energía total se simplifica a
Lo anterior establece que la energía interna del sistema aumenta debido a la entalpía agregada por el fluido de entraba, y debido a la adición de calor a través del serpentín de vapor. Debido a que UtOty H7 no pueden proporcionarse de manera absoluta, ahora elegimqs la temperatura de entrada Ti como el plano térmico dado. Entonces H1= O y Utot = pCvV (T - TI) = p t p-~ T I( ) ,donde ~ T y V son la temperatura y el volumen instantáneos del uquido. Además, la velocidad de adición de calor al líquido Q está dada por Q = UoA(Ts - T),
-
s15.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario 549 donde T,es la temperatura del vapor de agua y A es el área instantánea de transmisión de calor. Por tanto, la ecuaci6n 15.5-1 se vuelve
Las expresiones para V(t)y A(t) son
donde Voy A. son el volumen y el área de transmisión de calor cuando e1 tanque esta lleno. Así, la ecuación del balance de energía se vuelve
que debe resolverse con la condición inicial de que T = TI en t = 0. La ecuacion se resuelve más fácilmente en forma adimensional. Dividimos ambos miembros entre wlCp(Ts- TI) para obtener
Esta ecuación sugiere que definiciones apropiadas de temperatura y tiempo adimensionales son
Entonces, después de reagmpar, la expresión en la ecuación 15.5-5 se vuelve
y la condición inicial requiere que O = O en T = 0. Ésta es una ecuación diferencial lineal de primer orden cuya solución es (vbse la ecuación C.l-2)
La constante de integración, C, puede obtenerse a partir de la condición inicial después de multiplicar primero la ecuación 15.5-9por T. De esta forma se encuentra que C = 1, de modo que la solución final es
Esta función se muestra en la figura 15.5-2. Por último, la temperatura To del líquido en el tanque, cuando se ha llenado, está dada por la ecuaci6n 15.5-10 cuando t = pVo/wl (a partir de la ecuación 15.5-3) o T = UoAo/wi Cp (a partir de la ecuación 15.5-7). Por tanto, en términos de las variables originales,
550 Capítulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotémicos Figura 15.5-2 Gráfica de temperatura adimensional, O = (T- Tl)/(T, - TI), contra tiernpp adirnensional, T = (UoAo/pCpVo)t,según la ecuación 15.5-10. [W.R. Marshall y R.L. Pigford, Applicafion of D~#erential Equations to Chemical Engineering, University of Delaware Press, Newark, Del. (1947), p. 18.1
Así puede verse que la temperatura final del liquido está determinada totalmente por el grupo adimensional U ~ A ~ / que, W ~para ~ este ~ , problema, tiene el valor de 2.74. Al conocer esto, a partir de la ecuación 15.5-11 es posible encontrar que (To - Tl)/(Ts - TI) = 0.659, de donde To = 76 "C.
Operación de un controlador de temperatura simple
En la figura 15.5-3 se muestra un tanque agitado bien aislado. El líquido entra a la temperatura Ti(t), que puede variar con el tiempo. Se desea controlar la temperatura T2(t),del fluido que sale del tanque. Se supone que la agitación es suficientemente completa, de modo que la temperatura en el tanque es uniforme e igual a la temperatura de salida. El volumen del 1íquido en el tanque, V, y la velocidad de flujo másico del liquido, w,son constantes. Para lograr el control deseado, en e1 tanque se coloca un serpentín calentador eléctrico metálico de área superficial A, y el elemento detector de la temperatura se coloca en la corriente de salida para medir T2(t).Estos dispositivos se conectan a un controlador de temperatura que suministra energía al serpentín a una velocidad Q, = b(Tmax- T2),donde Tmáxes la temperatura máxima de operación para la que esta diseñado el controlador, y b es un parámetro conocido. Puede suponerse que la temperatura del liquido T2(t)siempre es menor que Tmix en operación normal. El serpentín suministra energía al líquido del tanque a una velocidad Q = UA(T, - T2),donde U es el coeficiente global de transmisión de calor entre el serpentín y el líquido, y Tc es la temperatura instantánea del serpentín, que se considera uniforme.
m( Indicador de Tmperatura
Suministro de potencia Controlador de
Entrad; de
-
TI = TIo (para t < 0) T1 = TI, (para t > 0)
-
Figura 15.5-3 Tanque agitado con controIador de temperatura.
I
515.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario 551 Hasta el instante t = O, el sistema ha operado en estado estacionario con temperatura de entrada del liquido Ti = Tlo y temperatura d e salida T2 = TZ0.En el instante f = O, la temperatura de entrada de la corriente se incrementa súbitamente a Ti = Ti, y se mantiene así. Como consecuencia de esta perturbación, la temperatura del tanque empieza a aumentar y e1 indicador de temperatura en la corriente de salida indicad al controlador que disminuya la potencia suministrada al serpentin. Por Último, la temperatura del líquido en el tanque alcanzará un nuevo valor de estado estacionario T2-. Se desea describir el comportamiento de la temperatura del líquido T2(t).En la figura 15.5-4 se muestra un bosquejo cualitativo de las diversas temperaturas.
Primero escribimos los balances macroscópicos de energía en estado no estacionario Iecuación (E) de la tabla 15.5-11 para el liquido en el tanque y para el serpentín calentador:
(líquido)
7 dT2 = W
PQ
p
(serpentín)
~ ~ -( T2) T + ~ UA(T, - T2)
dTc - b(Tm6, - T2)- UA(Tc - T2)
CpcV
dt
Nótese que al aplicar el balance macroscópico de energía a1 líquido, hemos despreciado los cambios de energía cinética y potencial, así como Ia entrada de potencia al agitador. a) Comportamiento en estado estacionario para t < O. Cuando las derivadas respecto al tiempo en las ecuaciones 15.5-12 y 1 5 5 1 3 se igualan a cero y se suman las ecuaciones, para t < O se obtiene, donde TI = Tio:
Entonces, a partir de la ecuación 15.5-13 podemos obtener la temperatura inicial del serpentín
Subamortiguado
Sobreamortiguado
i 1
\
Temperatura de salida T2(t)
TI,
Temperatura de entrada T ,( t )
Figura 15.5-4 Temperaturas de entrada y salida como funciones del tiempo.
552 Capítulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos
b) Comportamiento en estado estacionario para realizan con Ti= Ti,, se obtiene
t -t m. Cuando operaciones semejantes M I
para la temperatura final del serpentín. C) Comportamiento en estado no estacionario para t > O. Es conveniente definir variables adimensionales usando las cantidades en estado estacionario para t < O y t + m:
O2 =
T2 - T2w = temperatura T20 - 7-2-
0, =
Tco - Tc,
T=-
Tc -
Tc,
liAt
= temperatura
= tiempo
adimensional del liquido
(15.5-18)
adimensional del serpentin
(15.5-19)
adimensional
ptpv
Además, definimos tres parámetros adimensionales:
R = p ~ p ~ / P , k=prazón , ~ , de capacidades caloríficas
F
=
WCFA
B
=
b / U A = parámetro del controlador
= parámetro de la velocidad de flujo
(15.5-21) (15.5-22)
(15.5-23)
En términos de estas cantidades, los balances en estado no estacionario en las ecuaciones 15.5-12 y 15.5-13 se vuelven (después de considerables manipulaciones):
al eliminar 0,entre este par de ecuaciones, se obtiene una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden sencilla para la temperatura de salida del líquido como una función del tiempo:
Esta ecuación tiene la misma forma que la que se obtuvo para el manómetro amortiguado en la ecuación 7.7-21 (véase también La ecuación C.1-7). Entonces, la solución general es de la forma de la ecuación 7.7-23 o 7.7-24: = C+ exp
(m+r)+ C exp (m-7)
B2= C1 exp r n +~ C ~ exp T rnr
(m+ Z m-)
(15.5-27)
( m + = m = m)
(15.5-28)
i15.5
Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario 553 donde
Así, por analogia con el ejemplo 7.7-2, la temperatura de salida del fluido puede aproximarse a s u valor final como una función monótona creciente (sobreamortiguadao críticamente amortiguada) o con oscilaciones (subamortiguada).Los parámetros del sistema aparecen en la variable adirnensional del tiempo, así como en los parámetros B, F y R. Por tanto, para determinar si en un sistema particular la temperatura oscilará o no, se requieren cálculos numéricos.
Extender Ios desarrollos del ejemplo 7.6-5 al flujo estacionario de fluidos compresibles a través de medidores de orificio y tubos de Venturi.
'de rnpdidores de calor
S OLUCIÓN Como en el ejempIo 7.6-5, empezamos escribiendo balances de materia y energía mecánica en estado estacionario entre los planos de referencia 1 y 2 de los dos medidores de flujo que se muestran en la figura 15.5-5.Para fluidos compresibles, los balances pueden escribirse como
V ~incluyen } para permitir la sustitución del promedio del donde las cantidades cti = { V ~ ) ~ / ( se cubo por el cubo del promedio.
Chorro contraído
Límite aproximado del chorro
de Buido
1 Tapones a presión' 1
Manómetro
1 1
Estrechamiento
Manómetro
Oy I
Figura 15.5-5 Mediciones de velocidad de flujo másico usando a) un medidor de orificio, y b) un hibo de Venturi.
554 Capítulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos -
-.
A continuación eliminamos (vi) y (u2) de las dos ecuaciones anteriores a fin de obtener una expresión para la velocidad de flujo másico:
Ahora repetimos las suposiciones del ejemplo 7.6-5: i) e, = O, ii) al Entonces, la ecuación 15.5-32 se vuelve
=
1, y iii) k2 = ((So/s2)2.
El "coeficiente de descarga" empírico, Cd, se incluye en esta ecuación para permitir la corrección de esta expresión por los errores introducidos por las tres suposiciones y debe deterrninarse experimentalmente. para medidores Venturi, es conveniente colocar el plano 2 en el punto de sección transversal mínima del medidor, de modo que S2 = So. Entonces a2 está muy próximo de la unidad, y experimentalmente se ha encontrado que Cd es casi igual para fluidos compresibles e incompresibles; es decir, alrededor de 0.98 para medidores Venturi bien diseñados. Para medidores de orificio, el grado de contracción de una corriente de fluido compresible en el plano 2 es algo menor que para fluidos incompresibles, especialmente a altas velocidades de flujo, y se requiere un coeficiente de descarga diferente.2 A fin de usar la ecuación 15.5-33es necesario conocer h densidad del fluido como una funci6n de la presión. Es decir, deben conocerse tanto el curso de la expansión como la ecuación de estado del fluido. En la mayor parte de los casos la suposición de comportamiento adiabático sin fricción parece ser aceptable. Para gases ideales, es posible escribir p p - y = constante, donde y = Cp/Cv (véase la ecuación 15.2-5). Entonces, la ecuación 15.5-33 se vuelve
w
=
CdhSo
2(p, / pl )[Y /(Y - 1)1[1- ( p 2 PI) 1 - (S, / S, 12(p2/ p, "'21
(y-l)/y
]
(15.5-34)
Esta fórmula expresa la velocidad de flujo másico como una función d e cantidades mensurab l e ~y el coeficiente de descarga. En manuales de ingeniería2pueden encontrarse valores de este iíltimo.
Expansián libre de un fluido compresible
Un gas compresible, inicialmente a T = To, p = po y p = PO, se descarga desde un gran tanque estacionario aislado a través de una pequeña boquilla convergente, como se muestra en la figura 15.5-6. Demostrar cómo la masa fraccionaria restante de fluido en el tanque, PIPO, puede determinarse como una función del tiempo. Deducir ecuaciones que funcionen, suponiendo que e1 gas es ideal.
R.H. Peny, D.W. Green y J.O.Maloney, Chemic~iEngineers' Handbook, 7a. edici6n, McGraw-Hiii, Nueva York (1997); véase también el capítulo 15 del Handbook ofFluid Dynamics and Fluid Machiney U.A. Schertz y A.E. Fuhs, editores),Wiley, Nueva York (1996).
515.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario 555 Aislamiento Boquilla 'Onvergente
Volumen del tanque = V
Presión ambiente = p,
Figura 15.5-6 Expansión libre intermitente de una carga de fluido compresible. El diagrama muestra la ubicación de las superficies 1 y 2.
1
Por conveniencia, dividimos el tanque en dos partes, separadas por la superficie 1, como se muestra en la figura. Suponemos que la superficie 1 está suficientemente cerca de la salida del tanque, de modo que en esencia toda la masa del fluido se encuentra a su izquierda, pero suficientemente lejos de la salida, de modo que la velocidad de1 fluido a través de la superficie 1 es despreciable. Además, asumimos que las propiedades medias del fluido a la izquierda de 1 son idénticas a Ias que tiene en la superficie l. Ahora consideramos por separado el comportamiento de estas dos partes del sistema. a) La masa del fluido en el tanque. Para la región a la izquierda de la superficie 1, el balance de materia en estado no estacionario en la ecuación (A) de la tabla 15.5-1 es
Para la misma región, el balance de energía de la ecuación (E) de la tabla 15.5-1 se vuelve
donde Ves el volumen total en el sistema en consideración, y w, es la velocidad de flujo rnásico de gas que sale del sistema. A1 escribir esta ecuación, hemos despreciado la energía cinética del fluido. Al sustituir el balance de materia en ambos miembros de la ecuación de energía se obtiene
Para un sistema estacionario bajo la influencia de ninguna otra fuerza externa que la de gravedad, d&i/dt = O, de modo que la ecuación 15.5-37 se vuelve
Esta ecuación puede combinarse con las ecuaciones de estado térmica y calórica para el fluido a fin de obtener pl(m) y T ~ ( p l )Encontramos, . entonces, que la condición del fluido en el tanque sólo depende del grado hasta el que se ha vaciado el tanque, y no de la veloci$ad de descarga. Para el caso especial de un gas ideal con Cv constante, para el cual d U = CvdT y p = p R T / M , la ecuación 15.5-38 puede integrarse para obtener
donde y
=
Cp/Cv. Este resultado también se concluye a partir de la ecuación 11.4-57.
556 Capitulo 15
Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos
q,,F
b) Descarga del gas a través de la boquilla. Para simplificar las cosas, aqui s u p o n ~ o s el flujo entre las superficies 1y 2 es sin fricción y adiabhtico. Tambien, debido a que w,no ea muy diferente de w2, también es conveniente considerar en un instante cualquiera que el
flujo está en estado casi estacionario. Entonces podemos usar el balance macrosc6pico de energía mecánica en la forma de la ecuación 15.2-2con los términos segundo, cuarto y q h to omitidos. Es decir,
Debido a que estamos tratando con un gas ideal, podemos usar el resultado en la ecuacibn 15.5-34 para obtener la velocidad de descarga instantánea. Ya que en este problema la ra. zón S2/S1 es muy pequeña y su cuadrado es todavía más pequeño, podemos sustituir el de nominador bajo el signo de la raíz cuadrada en la ecuación 15.5-34 por la unidad. Luego, la pr fuera del signo de la raíz cuadrada se escribe dentro de este y se usa la ecuación 15.5-39. Así se obtiene
donde S2 es al área de la secci6n transversal de la abertura de la boquilla. Luego usamos la ecuación 15.539 para eliminar de la ecuación 15.5-41. Entonces tene rnos una ecuacibn diferencial de primer orden para m, que puede integrarse para obtener
m
A partir de esta ecuación podemos obtener el tiempo necesario para descargar cualquier frac-
ción dada del gas original. A bajas velocidades de flujo, la presión p2 en la abertura de la boquilla es igual a la presión ambiental. Sin embargo, al examinar la ecuación 15.5-41 se observa que, a medida que se reduce la presión ambiental, la velocidad de flujo másico calculada alcanza un mdximo a una razón de presión crítica
Para aire ( y = 1.41, esta razón de presión crítica es igual a 0.53. Si se reduce aún más la p t e sión ambiental, entonces la presión justo en el interior de la boquilla permanece en el valor de p2 que se calculó a partir de la ecuación 15.5-43, y la veIocidad de flujo másico se vuelve independiente de la presión ambiental p,. En estas condiciones, la velocidad de descarga es
Entonces, para pn/pi < Y, podemos escribir en forma más sencilla la ecuación 15.5-42:
Problemas 557 o bien,
Si p,/pl es inicialmente menor que r, entonces las ecuaciones 15.5-46 y 15.5-43 son Útiles para calcular el tiempo de descarga total.
Proporcionar el significado físico de cada término en los cinco balances macrosc6picos. ¿Cómo están relacionadas las ecuaciones de variación con los balances macroscópicos? ¿Cada uno de los cuatro tbrminos entre paréntesis en la ecuación 15.1-2 representa una forma de energía? Explique su respuesta. ¿Cómo está relacionado el balance macroscópico de energia (total) con la primera ley de la termodinámica, AU = Q + W? Explicar cómo surgen los promedios (u) y (3) en la ecuación 15.1-1. ¿Cuál es el significado físico de E, y E,? ¿Qué signo tienen? ¿Cómo están relacionados con la distribución de velocidad? ¿Cómo pueden estimarse? ¿Cómo se dedujo el balance macroscópico para la energía interna? ¿Qué hformacibn puede obtenerse a partir de la ecuación 15.2-2 sobre un fluido en reposo?
PROBLEMAS
15A.1 Transmisión de calor en intercambiadores de calor de tubos concéntricos. a) El aceite caliente que entra en la superficie 2 del intercambiador de calor del ejemplo
15.4-1, debe enfriarse con agua que entra en la superficie 1. Es decir, el intercambiador opera con flujo a contracorriente. Calcular el área requerida A del intercambiador, si el coeficiente de transmisión de calor U es 200 Btu/h . pie? . F y las corrientes de fluido tienen las siguientes propiedades: Velocidad de flujo másico (lbm/h) Aceite Agua
10,000 5000
Capacidad calorífica (Btu/lbm - F) 0.60 1.O0
Temperatura de entrada de salida ("F) ("F) 200 60
1O0
-
b) Repetir el cálculo del inciso a) si Ui= 50 y U2 = 350 Btu/h pie2 - F. Supóngase que U varía linealmente con la temperatura del agua, y usar los resultados del problema 158.1. c) ¿Cuál es la cantidad mínima de agua que puede usarse en los incisos a) y b) a fin de obtener el cambio de temperatura deseado para el aceite? ¿Cual es la cantidad mínima de agua que puede usarse en flujo paralelo?
d) Calcular el área requerida del intercambiador para operación en flujo paralelo, si la velocidad de flujo másico del agua es 15,500 lb,/h y U es constante a 200 Btu/h . p i d . F. Respuestas: a) 104 pies2; b) 122 pies2; c) 4290 lbm/h, 15,000 lbm/h; d) aproximadamente 101 pies2
558 Capítulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos
-_
-
15A.2 Flujo adiabático de gas natural en una tubería. Volver a calcular la potencia necesaria wfi en el ejemplo 15.4-2 si el flujo en la tubería es adiabático en vez de isotérmico. a) Usar los resultados del problema 15B.3(d) para determinar la densidad del gas en el plano 2.
b) Usar su respuesta en el inciso a), junto con el resultado del problema 15B.3(e), para obtener p ~ . c) Calcular la potencia necesaria, como en el ejemplo 15.4-2.
Respuestas: a) 0.243 lb,/pies3; b) 86 psia; c) 504 hp 15A.3 Mezcla de dos corrientes de un gas ideal.
a) Calcular la velocidad, temperatura y presión resultantes cuando las dos corrientes de aire siguientes se mezclan en un aparato como el descrito en el ejemplo 15.3-2. La capacidad calorifica,tp, del aire puede considerarse constante a 6.97 Btu/lb-mol . Las propiedades de las dos corrientes son:
Corriente la: Corriente lb:
w (lb, / h)
v (pies/s)
1000 10,000
1000 100
T
(OD 80 80
p (atm) 1.O0 1.O0
Respuesta: a) 11,000 lb,/h; aproximadamente 110 pies/s; 86.5 "F; 1.O0atm
b) ¿Cuál sería la velocidad calculada si se considera que la densidad del fluido es constante? C)
Estimar
E,
para esta operación, basando sus cálculos en los resultados del inciso b).
Respuestas: b) 109 pies/s; c) 1.4 X 1@ pies Ibf/lb, 15A.4 Flujo a través de un tubo de Venturi. Un tubo de Venturi, con un estrechamiento de 3 pulg de diámetro, se coloca en un tubo circular de 1 pie de diámetro que transporta aire seco. El coeficiente de descarga Cd del medidor es 0.98. Calcular la velocidad de flujo másico del aire en el tubo si al tubo de Venturi entra aire a 70 "F y 1 atm y la presión en el estrechamiento es 0.75 atrn. a)
Supóngase flujo adiabático sin fricción y y = 1.4.
b) Supóngase flujo isotérmico. C)
Supbngase flujo incompresible a la densidad de entrada.
Respuestas: a) 2.07 lb,/s; b) 1.96 I~,/s; c) 2.43 15A.5 Expansión libre intermitente de un fluido compresible. Un tanque con volumen V = 10 pies3 (v6ase la figura 15.5-6) está lleno de aire (y = 1.4) a To = 300 K y po = 100 atrn. En el instante t = O se abre la válvula, permitiendo que el aire se expanda a la presión ambiental de I alm a través de una boquilia convergente, cuya sección transversal en el estrechamiento es SZ = 0.1 pies2. a) Calcular la presión y la temperatura en el estrechamiento de la boquilla, justo después del inicio de la descarga.
b) Calcular la presión y la temperatura en el interior del tanque cuando p2 alcanza su valor final de 1 atm. c)
¿Cuánto tiempo se requiere para que eI sistema alcance el estado descrito en el inciso b)?
15A.6 Calentamiento de aire en un tubo. Un tubo horizontal de 20 pies de longitud se calienta por
medio de un elemento calefactor bobinado uniformemente a su alrededor. Aire seco entra
Problemas 559 a 5 "F y 40 psia con una velocidad de 75 pies/s y 185 Ib,/h. El elemento calefactor proporciona calor a una velocidad de 800 Btu/h por pie de tubo. LAqué temperatura sale el aire del tubo, si la presión de salida es de 15 psia? Supóngase flujo turbulento y un comportamiento de gas ideal. Para aire en el intervalo de interés, la capacidad calofica a presi6n constante en Btu/lb-m01 . F es
donde T se expresa en grados Rankine.
Respuesta: T2 = 354 O F 15A.7 Operación de un intercambiador de calor sencillo de tubos concéntricos. Una comente de agua fria, de 5400 Ibm/h a 70 "F debe calentarse a 8100 lbm/h por una masa de agua caliente a 200 "F en un intercambiador de calor sencillo de tubos concéntricos. El agua fría debe circular a través del tubo interno y el agua caliente, por el espacio anular entre los tubos. En el intercambiador se dispone d e dos longitudes d e 20 pies cada una, asi como de todos los accesorios necesarios. a) Por medio d e un diagrama, muestre la forma en que deben conectarse los dos intetcambiadores de tubos concéntricos a fin de obtener la transmisión de calor más efectiva.
b) Calcular la temperatura de salida de la corriente fría para la disposición a que se lleg6 en el inciso a) para la siguiente situaci6n: i)El coeficiente de transmisi6n de calor para el anillo, con base en el Lirea de transmisión de calor de la superficie interna del tubo interior es 2000 Btu/h - pies2 F.
ii) El tubo interior tiene las siguientes propiedades: longitud total, 40 pies; diámetro intemo, 0.0875 pies; superfiae de transmisión de calor por pie, 0.2745 pies2; la capacidad a una velocidad media de 1 pie/s es 1345 lbm/h. iii) Las propiedades medias del agua en el tubo interior son: p
=
ep
=
k
0.45 cp = 1.09 lbm/h pies 1.00 Btu/lb,
= 0.376 Btu/h
.F pies - F
iv) La resistencia combinada de la pared del tubo y las incrustaciones es 0.001 h . pies2 F / B h con base en el área superficial del tubo interior. C)
Dibujar el perfil de temperatura en el. intercambiador.
Respuesta: b) 136 "1: ISB.1 Desempeño de un intercambiador de calor de tubos concéntricos con coeficiente de trans-
misión de calor global variable. Deducir una expresión para la cantidad de calor transmitido en un intercambiador del tipo que se analizó en el ejemplo 15.4-1, si el coeficiente global de transmisión de calor U varía linealmente con la temperatura de cualquier corriente. a) Debido a que Th - T, es una función lineal tanto de Th como de T,, demostrar que
donde AT = Th - T, y los subíndices 1 y 2 se refieren a las condiciones en las superficies de control 1 y 2.
560 Capítulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos --
i
b) Sustituir el resultado en el inciso a ) para Th - T, en la ecuación 15.4-12,e integrar la ecua.
-
cí6n así obtenida sobre la longitud del intercambiador. Usar este resultado para demostrar que1
158.2 Caída de presión en flujo turbulento en un tubo ligeramente convergente (figura 158.2).
Considérese el flujo turbulento de un fluido incompresible en un tubo circular cuyo didme. tro varía linealmente con la distancia según la relación
En z = O, la velocidad es vi y puede suponerse que es constante sobre la sección transversal. El número de Repolds para el flujo es tal que f está dada aproximadamente por la fórmula de Blasius de la ecuación 6.2-13,
Obtener la caida de presión pi - p2 en términos de vi, DI, Dz,p, L y v = p l p .
a) Integrar la forma d del balance de energia mecánica para obtener
y luego eliminar v2 de la ecuación.
b) Demostrar que tanto v comof son funciones de D:
Por supuesta, D es una función de z según la ecuación 158.2-1.
e) Hacer un cambio de variable en la integral de la ecuacidn 158.2-3 y demostrar que
1 z=O
4
Rirección de flujo
(direcciónz)
' A.P. Colbum, Ind. Eng. Chem., 25,873(1933).
2 Z=L
Figura 158.2 Flujo turbulento en un tubo horizontal ligeramente ahusado (Di es apenas mayor
que D2).
Problemas 562 d) Combinar los resultados de los incisos b) y c) para finalmente obtener
e) Demostrar que este resultado se simplifica de manera apropiada para DI =
D2.
15B.3 Flujo estacionario de gases ideales en ductos de sección transversal constante. a) Demostrar que, para el flujo horizontal de cualquier fluido en un ducto circular de diAmetro uniforme D, la forma d del balance de energía mecanica, ecuación 15.4-1, puede escribirse como
donde de, = (4fiD)dL. Supónganse perfiles de velocidad planos. b) Demostrar que la ecuación 258.3-1puede volver a escribtrse como
Además, demostrar que cuando se usa la forma d del balance de materia, la ecuación 15B.3-2 se vuelve paraJlujo isotémico de un gas ideal
c) Integrar la ecuación 158.3-3 entre dos secciones transversales cualesquiera I y 2 del tubo que cubran una longitud total L del tubo. Usar las ecuaciones de estado de los gases ideales y el balance rnacroscópico de materia para demostrar que v2/vi = m / n = pi/p2, de modo que la "velocidad de masa" G puede escribirse como
(flujo isoférmico de gases ideales)
Demostrar que, para cualquier valor dado de e, y cualesquiera condiciodonde r = nes en la sección 1, la cantidad G alcanza su valor máximo posible a un valor crítico de r definido por lnr, (1 - r,)/r, = e,. Véase tambiCn el problema 15B,4.
+
d) Demostrar que, para elflujo adiabático de un gas ideal con tpconstante en un ducto horizontal de sección transversal constante, la forma d del balance de energla total (ecuacióri 15.4-4) se simplifica a
p~
+
(y);
vz = constante
donde y = Cp/Cv. Combinar este resultado con la ecuaei6n 158.3-2 para obtener
562 Capitulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotémicos Integrar esta ecuación entre las secciones 1 y 2 que abarcan la resístencia e,, y es constante. Reordenar el resultado con ayuda del balance macrosc6pico obtener ia siguiente relación para la densidad de flujo de masa G.
G = fiv,
=
Jen-[(~:!~~~l~nsY-1
(flujo ndiabdtico de gases ideales) (158.9
--
2Y
I
donde s = e) Usando los balances macrosc6picos de energía y de materia, demostrar que para adiabdtico horizontal de gases ideales con y constante,
flub
Esta ecuación puede combinarse con la ecuación 158.3-7para demostrar que, así como pan el flujo isotérmico, hay una razón de presión crítica pz/pl correspondiente a la velocidad de flujo mdsico máxima posible.
15B.4 El número de Mach en la mezcla de dos corrientes de fluido.
a) Demostrar que cuando el radicando en la ecuacihn 15.3-13 es cero, el número de Mach de la corriente final es la unidad. Nótese que el número de Mach, Ma, que es La razón de la velocidad local del fluido a la velocidad del sonido a las condiciones locales, puede escribirse para un gas ideal como v/vs = v / m (véase el problema 11C.1).
b) Demostrar cómo los resultados del ejemplo 15.3-2 pueden usarse para pronosticar elcomportamiento de un gas que pasa a través de un ensanchamiento repentino de la sección transversal del ducto.
15B.5 Velocidades límite de descarga para medidores Venturi. Empezar con la ecuaci6n 15.5-34 (paraflujo adiubático) para demostrar que a medida que se reduce la presión en el estrechamiento de un medidor Venturi, la velocidad de flujo másico alcanza un máximo cuando la razón r = p2/pl de la presi6n del estrechamiento a la pre sión de entrada se define por la expresión a)
2
Y + l ---r2/v
+Y + I ) / Y
7-1 ( S , / SJZ
=o
b) Demostrar que para S1 >> So la velocidad de flujo másico en estas condiciones límite es
-/
qPis0 C)
RT,
y+l
Obtener resultados semejantes a las ecuaciones 15B.5-1 y 158.5-2 paraflujo isotérmico.
158.6 Flujo de un fluido compresible en una boquilla convergente-divergente (figura 158.6).En muchas aplicaciones, como en turbinas de vapor o cohetes, gases calientes comprimidos se expanden a través de boquillas del tipo que se muestra en la figura 15B.6 a fin de convertir la entalpía del gas en energía cinética. Esta operación es semejante en varias formas al flujo de gases a través de orificios. Sin embargo, aquí el objetivo de la expansibn es producir ptencia; por ejemplo, por el choque del fluido que se mueve a gran velocidad contra el aspa de una turbina, o por empuje directo, como en el motor de un cohete.
Problemas 563 Figura 153.6 Corte transversal esquemático de una boquilla convergente-divergente.
--, +-----simetría I
*----
: l I
Para explicar el comportamiento de un sistema así y para justificar la forma general de la boquilla descrita, seguir el recomdo de expansión de un gas ideal. Sup6ngase que el gas inicialmente está en un depósito muy grande a velocidad esencialmente cero y que se expande a través de una boquilla adiabática sin fricción hasta presión cero. Además, supónganse perfiles de velocidad planos, y que se desprecian los cambios en altura. a) Escribir el balance macroscópico de energía mecánica o e1 balance de energía total entre los planos 1 y 2, para demostrar que
b) Utilizando la ley de los gases ideales, demostrar el balance macroscópico de materia en estado estacionario y la ecuación 15B.6-1, que la sección transversal S de la corriente en expansión pasa de una presión mínima a una presión crítica
cl Demostrar que el número de Mach, Ma = v2/v3(T2), del fluido en esta sección transversal mínima es la unidad (en el problema 11C.1 se dedujo u$ para ondas sonoras a baja frecuencia). ¿Cómo se compara el resultado del inciso a ) anterior con el del problema 158.5?
d) Calcular la velocidad v del fluido, la temperatura T del fluido y la sección transversal S de la corriente como una función de la presión local p para la descarga de 10 lb-moI de aire por segundo desde 560 "R y 10 atm hasta presión cero. Analizar e1 significado de los resultados. Respuesta:
564
Capitulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isoténnicos 1
Columna cromatográfica contenida en el interior del serpentín I
Figura 15B.7 a) dispositivo , cromatográfico; b) respuesta de la temperatura del sistema cromatográfico.
.
f
t = t,
=O Tiempo t
b)
15B.7 Comportamiento térmico transitorio de un dispositivo cromatografico (figura 158.7). Supóngase que el consultor d e una empresa industrial está experimentando, entre otras cosas, con fenómenos tkrmicos transitorios en cromatografía de gases. Uno de los empleados de la empresa muestra primeramente al consultor las reimpresiones de los trabajos de un investigador de renombre y le dice que está intentando aplicar algunos de los nuevos métodos del investigador, pero que por el momento está atorado en un problema de transmisi6n de calor. Aunque el problema sólo está subordinado al estudio principal, a pesar de ello debe comprenderse en relaci6n con su interpretación de los datos y la aplicación de las nuevas teorias. Una columna cromatográfica muy delgada está contenida en el interior de un serpentín, que a su vez está inserto en un tubo a través del que sopla un gas para controlar la temperatura (véase la figura 15B.7a). La temperatura del gas se denominará Tg(t).La temperatura en los extremos del serpentín (fuera de1 tubo) es So, que no es muy diferente del valor inicial de Tg.La temperatura actual en el interior de la columna cromatográfica (es decir, dentro del serpentín) se denominará T(E).Inicialmente el gas y el serpentín están a la temperatura Tfl Luego, empezando en el instante f = O, la temperatura del gas se incrementa linealmente según la ecuación
donde to es una constante conocida con dimensiones del tiempo. Al. consultor se le dice que, al insertar termopares en la columna en sí, el personal del laboratorio ha obtenido curvas de temperatura como las que se muestran en la figura 15B.7(b). Parece que la curva T ( t ) se vuelve paralela a las curvas T g ( f )para t grande. Se pide al consultor que explique el par anterior de curvas por medio de algún tipo de teoría. Específicamente, se le pide encontrar lo siguiente: a) En cualquier instante f, ¿cual será Tg - T?
b) iCudl será el valor límite de Tg - T cuando t
+ m? Sea esta cantidad (AT),.
--
Problemas 565 'Cuál es el internalo de tiempo requerido tl para que Tg - Test6 dentro, por ejemplo, de un margen de 1%de (AT),? c)
d) ¿Que suposiciones deben hacerse para modelar el sistema? e) ¿Qué constantes físicas, propiedades físicas, etc., deben conocerse para hacer una comparación entre los valores teóricos y los valores medidos de (AT),? Inventar la teoría mlis sencilla posible para explicar las curvas de temperatura y para contestar las cinco preguntas anteriores.
15B.8 Calentamiento continuo de una lechada en un tanque agitado (figura 158.8). Una lechada se calienta por bombeo a través de un tanque de calentamiento bien agitado. La temperatura de entrada de la lechada es Ti y la temperatura de la superficie externa del serpentín de vapor es T,. Use los símbolos siguientes: V = volumen de la suspensión en el tanque
p,
tp= densidad y capacidad calorifica de la lechada w
= velocidad de flujo másico de la lechada a través del tanque U = coeficiente global de transmisión de calor del serpentín de calentamiento A = área total de transmisión de calor del serpentín
Supóngase que la mezcla está tan bien hecha que la temperatura del fluido en el tanque es uniforme e igual a la temperatura de salida del fluido. a) Por medio de un balance de energía, demuestre que la temperatura T(t) de la lechada está descrita por la ecuación diferencial
La variable f es el tiempo desde que comienza el calentamiento. b) Volver a escribir esta ecuación diferencial en términos de las variables adimensionales
Vapor a la temperatura Entrada de la lechada a la + temperatura Ti
La temperatura en el tanque es T f t i
Salida del condensado aproximadamente a T,
La temperatura de salida es Títi Figura 15B.8 Calentamiento de una lechada en un tanque agitado.
566
Capitulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos donde
¿Cuál.es e1 significado físico de 7,O y T,? c) Resolver la ecuación adimensional que se obtuvo en el inciso b) para la condición inicial T = T i en t = 0.
d) Comprobar la solución para ver que se cumplen la ecuación diferencial y la condición inicial. ¿Cómo se comporta este sistema para un tiempo grande? ¿Este comportamiento límite está de acuerdo con la intuición del lector? e ) ¿Cómo afecta la velocidad de flujo a la temperatura en un tiempo infinito? ¿ESrazonable?
T - T, Respuesta: 3 -Ti -T, 15C.1 Intercambiadores de calor de corrientes paralelas en contracorriente (figura 15C.1).En el intercambiador de calor que se muestra en la figura 15C.1, el "fluido del tubo" (fluido A) entra
y sale por el mismo extremo del intercambiador, mientras que el "fluido de la envoltura" (fluido 8)siempre se mueve en la misma dirección. Así, en el mismo aparato hay al mismo tiempo flujo en corrientes paralelas y en contracorriente. Esta disposición de flujo es uno de los ejemplos más sencillos de "flujo mixto", que se usa a menudo en la práctica para reducir la longitud del inter~ambiador.~ El comportamiento de este tipo de equipo puede analizarse simplemente haciendo las siguientes suposiciones: i) Existen condiciones de estado estacionario. ii) El coeficiente global de transmisión de calor U y las capacidades caloríficas de los dos fluidos son constantes.
T ~ 2
Salida del
4
T ~ l
1
Entrada del fluido de
la envoltura
a
!
!
-
fluido del tubo T~~
1
1
I
i
dA = incremento del área de intercambio de calor
Tnz envoltura
Figura l5C.l Intercambiador de calor 1-2 de corrientes paralelas a contracorriente.
Véase D.Q. Kern, Procccs Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York (1950), pp. 127-189; J.H. Feny, Chemical Engineers' Handbook, 3a. edición, McGraw-HiU, Nueva York (19501,pp. 464-465; W.M. Rohsenow, J.P. Harínett y Y.I. Cho, Hnndbook ofHeat Transfer, 3a. edición, McGraw-Ha, Nueva York (1998), capitulo 17; S. Whitaker, Fundamental$ o j Hent Transfer, edición corregida, Krieger Publishing Company, Malabar, Fla. (19831, capitulo 11.
Problemas 567 iii) La temperatura TB del fluido en la envoltura es constante sobre cualquier sección transversal perpendicular a la dirección de flujo. iv) Hay una cantidad igual de área de calentamiento en cada "paso" del tubo por el fluido; es decir, para las corrientes 1 y TI en la figura. Demostrar, por un balance de energía sobre la porción del sistema que está entre los planos a y b, que
a)
TB - TB2 = R(T! - T:)
donde R
/ wBePtil
= lwACpA
b} Demostrar que sobre una sección diferencial del intercambiador, incluyendo una superficie dA de intercambio de calor total,
d -~ -
da
i 1 2
- -(Ts - T i )
epAse definen como en el ejemplo 15.4-1.
donde d a = ( U / W ~ ¿ ? ~ y~ W) A~yA ,
Demostrar que cuando T; y TAU se eliminan entre estas tres ecuaciones, puede obtenerse una ecuación diferencial para el fluido de la envoltura: C)
donde @(a) = (TE- T B ~ ) / ( TB IT B ~Resolver ). esta ecuación (véase la ecuación C.1-7) con las condiciones límite
donde AT es la superficie total de intercambio de calor del intercambiador. d) Usar el resultado del inciso c) a fin de obtener una expresión para d T e / d a . Eliminar d T B / d a de esta expresi6n con ayuda de la ecuación 15C.1-4 y evaluar la ecuación resultante en a = O para obtener la siguiente relación para el desempeño del intercambiador:
donde íV = ( T A ~ T A I ) / ( T B-I TAI). e) Usar este resultado a fin de obtener la siguiente expresión para la velocidad de transmisión de calor en el intercambiador:
568
Capitulo 15 Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos donde
La cantidad Y representa la razón del calor transmitido en el "intercambiador paralelo-contracorriente 1-2" que se muestra al calor transmitido en un intercambiador a contracorriente verdadero de la misma área y temperaturas finales del fluido. En el manual de Perry2 se pm porcionan gráficamente valores de Y(R, 9). Puede observarse que Y(R, Úr) siempre es menor que la unidad. Descarga d e aire desde un gran tanque. Se desea retirar 5 lbm/s de un gran tanque de almacenamiento a través de una longitud equivalente de 55 pies de un tubo nuevo de acero de 2.067 pulg de diámetro interno. El aire experimenta una contracción súbita al entrar al tubo, y la pérdida por contracción acompañante no se incluye en la longitud equivalente del tubo. ¿Es posible obtener la velocidad d e flujo si el aire en el tanque está a 150 psig y 70 "F y la presión en el extremo comente abajo del tubo es de 50 psig? El efecto de la contracción súbita puede estimarse con precisión razonable al considerar que la entrada consta de una boquilla ideal que converge a una sección transversal igual a la del tubo, seguida por una sección de tubo con e, = 0.5 (vbase la tabla 7.5-1).El comportamiento de la boquilla puede determinarse a partir de la ecuación 15.534 suponiendo que el 6rea Si de la sección transversal es infinita y que Cd es igual a la unidad.
Respuesfa: sí. La velocidad de descarga calculada es aproximadamente 6 lbm/c si se supone flujo isatémico (véase el problema 15B.3) y aproximadamente 6.3 lb,/s para fluido adiabdtico. La velocidad real debe estar entre estos límites para una temperatura ambiente de 70 "F. 15C.3. Temperatura de estancamiento (figura 15C.3). Una "sonda de temperatura total", como la
que se muestra en la figura 15C.3, se inserta en una corriente estacionaria de un gas ideal a una temperatura Ti y que se mueve a una velocidad VI. Parte del gas en movimiento entra al extremo abierto de la sonda y es desacelerado hasta una velocidad casi cero antes de salir lentamente por los orificios de purga. Esta desaceleración resulta en un aumento de temperatura, que se mide por el termopar. Debido a que la desaceleración es riipida, casi es adiabática. a) Deducir una expresi6n para la temperatura registrada por el temopar en términos de Ti y v l usando el balance rnacroscópico de energía en estado estacionario, ecuación 15.1-3. Usar como sistema una corriente representativa del fluido que entra a la sonda. Dibujar el plano de referencia 1 lo suficientemente lejos corriente arriba de modo que pueda suponerse que la
Acero
Plástico
Termopar No. 30 1-C con esfera de 0.025"
Tres orificios de purga de 0.023"equidistantes
Figura l5C.3 "Sonda de temperatura total". [H.C. Hottel y A Kalitinsky, J. Apl. Mech., 12,A25 (19451.1
Problemas 569 sonda no afecta las condiciones, y que el plano de referencia 2 está en la sonda misma. SUpóngase velocidad cero en el plano 2, y despréciense La radiación y la conducción de calor desde el fluido a medida que pasa entre los planos de referencia.
b) ¿Cuál es la función de los orificios de purga? Respuesta: a) T2 - TI = v:/2tp. La temperatura se eleva dentro de un margen de 2% de aquellos dados por esta expresión y pude obtenerse con sondas bien diseñadas. 15D.1 El balance macroscópico de entropia.
a) Demostrar que la integración de la ecuación de variación para la entropia (ecuación llD.l-3) sobre el sistema de flujo de la figura 7.0-1 lleva a
donde
b) Proporcionar una interpretación término a término de las ecuaciones en el inciso a). c) El termino en gs,totque implica el tensor de esfuerzo, jes el mismo que la energía disipada por calentamiento viscoso?
15D.2 Deducción de1 balance macroscópico de energía. Demostrar cómo integrar la ecuación (N)
de la tabla 11.4-1 sobre todo el volumen V de un sistema de flujo que, debido a ías partes móviles, puede ser una función del tiempo. Con ayuda del teorema de divergencia de Gauss y la fórmula de Leibniz para diferenciar una integral, demostrar que esto proporciona la ecuación 15.1-2del balance macroscópico de energía total. ¿Qué suposiciones se hicieron en su deducción? ¿Cómo debe interpretarse W,? (Sugerencia: algunas ideas para resolver este problema pueden obtenerse estudiando la deducción del balance macrosc6pco de ene~gíamecánica en 57.8.) 15D.3 Operación de un dispositivo para intercambiar calor (figura 15D.3). Un fluido caliente entra al tubo circular de radio R1 en la posición z = O y se mueve en la dirección z positiva hasta z = L, donde sale del tubo y circula de vuelta a lo largo del exterior de ese tubo en
I
I I
de transmisión de calo~U;!
7
Temperatura del aire T,
Figura l5D.3 Dispositivo intercambiador de calor.
570
Capítulo 15
Balances macroscópicos para sistemas no isotérmicos el espacio anular. Entre el fluido en el tubo y el del anillo se intercambia pierde calor desde el anillo hacia el aire exterior, que está a la tempera aire T, (una constante). Supóngase que la densidad y la capacidad calorifica son constan Usar la siguiente notación:
3
U1 = coeficiente global de transmisión de calor entre el fluido en el tubo y el fluido en el espacio anular
Uz = coeficiente global de transmisión de calor entre el fluido en el anillo y el aire a temperatura T, Tl(z) = temperatura del fluido en el tubo T2(z)= temperatura del fluido en el espacio anular w = velocidad de flujo másico a través del sistema (una constante) Si el fluido entra a la temperatura de entrada Ti, jcuál será la temperatura de salida To? Se sugiere usar las siguientes cantidades adirnensionales: 01= fT1 - T,)/(Ti - Te), Ni = ~ T R ~ L I ~ L IyWI = ~ z/L. ,, 15D.4 Descarga de un gas desde un tanque en movimiento (figura 15.5-6). La ecuación 15.5-38 en el ejemplo 15.54 se obiuvo al igualar d&/df a cero, un procedimiento justificado sólo debido a que se mencionó que el tanque era estacionario. No obstante, es cierto que la ecuación 15.5-38 es correcta también para tanques en movimiento. Esta afirmación puede demostrarse como sigue: a) Considerese un tanque como el que se representa en la figura 15.5-6, pero que se mueve a una velocidad v mucho mayor que la velocidad relativa del fluido y del tanque en la regibn
a la izquierda de la superficie l .Demostrar que para esta región del tanque el balance macroscópico de cantidad de movimiento se vuelve
donde se supone que la velocidad del fluido es uniforme e igual a v. Luego, tomar el producto punto de ambos miembros de la ecuación 15D.4-1 con v para obtener
donde se ha ignorado &lat.
b) Sustituir este resultado en el balance macroscópico de energía y continuar como en el ejemplo 15.5-4. 15D.5 La ecuación clásica de Bernoulli. DespuPs de la ecuación 15.2-5 enfatizamos que el balance de energía mecánica y el balance d e energía total contienen información diferente, debido a que el primero es una consecuencia de la conservación de la cantidad de movimiento, mientras que el segundo es una consecuencia de la conservación de la energía. Para el flujo en estado estacionario de un fluido compresible con propiedades de transporte cero, ambos balances llevan a la ecuación clásica de Bernoulli. La deducción basada en la ecuación de movimiento se proporcionó en el ejemplo 3.5-1. Hacer una deducción seme jante para la ecuación de energía en estado estacionario, suponiendo propiedades de transporte cero, es decir, para flujo i ~ e n t r b ~ i c o . ~
R.B. Bird y M.D Graham, en el Handbook ofFluid Eynamics (R.W. Johnson, editor), CRC Press, Boca Ratón, Fla. (1996), pp. 3-13.
Transporte de energía por radiación 516.1
El espectro de radiación electromagnética
516.2
Absorción y emisión en superficies sólidas
s16.3
Ley de distribución de Planck, ley de desplazamiento de Wien
y ley de Stefan-Boltzmann 916.4
Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío a diferentes temperaturas
516.5'
Radiación entre cuerpos no negros a diferentes temperaturas
516.6*
Transporte de energía radiante en medios absorbentes
La parte 1de este libro concluyó con un capítulo sobre fluidos que no pueden describirse por la ley de viscosidad de Newton, sino que requieren varios tipos de expresiones no lineales y dependientes del tiempo. Ahora terminamos la parte 11 con un breve análisis del transporte de energía radiativa, que no puede describirse con la ley de Fourier. En los capítulos 9 a 15 se analizó el transporte de energía por conducción y por convección.Ambos modos de transporte dependen de la presencia de un medio material. Para que ocurra conducción de calor, debe haber diferencias de temperatura entre puntos vecinos. Para que ocurra convección de calor, debe haber un fluido con libertad de movimiento y que transporte energía. En este capitulo nos dedicaremos a un tercer mecanismo de transporte de energía, a saber, la radiación. Básicamente, la radiación es un mecanismo electromagnéticoque permite el transporte de energía a la velocidad de la luz a través de regiones del espacio desprovistas de materia. La velocidad de transporte de energía entre dos cuerpos "negros" en el vacío es proporcional a la diferencia de las cuartas potencias de sus temperaturas absolutas. Este mecanismo es cualitativamente muy diferente de los tres mecanismos de transporte considerados en otras partes de este libro: transporte de cantidad de movimiento en fluidos newtonianos, que es proporcional al gradiente de velocidad; transporte de energía por conducción de calor, que es proporcional a un gradiente de ternperatura; y transporte de materia por difusión, que es proporcional a un gradiente de concentración. Debido a la unicidad de la radiación como medio de transporte, y a la importancia de la transmisión de calor radiante en los cálculos industriales, hemos dedicado un capítulo por separado a este tema. Para entender por completo la física del transporte radiativo se requiere usar varias disciplinas diferentes:lJ la teoría electromagnética es necesaria para describir la naturaleza esencialmente ondulatoria de la radiación, en particular la energía y la
M. Planck, niwry of Heaf, MacMillan, Londres (1932). Partes iiI y N.El Premio Nobel Max Karl Emst Ludwig Planck (1858-1947) fue el primero en plantear la hipótesis d e la cuantización de la energía, introduciendo así una nueva constante fundamental h (la constante de PLanck; su nombre también esta asociado con la ecuación de "FokkerPlanck de dinámica estocásiica. W.Heitler, Qunntum Theoty of Radúrtion, h.edición, Oxford University Press (1944).
572
Capitulo 16 Transporte de energía por radiación -
presión asociadas con ondas electromagnéticas; la termodinámica es útil para ob ner algunas relaciones entre las "propiedades globales" de un recinto que contie radiación; la mecánica cuántica se requiere para describir en detalle los procesos micos y moleculares que pueden ocurrir cuando en el interior de la materia se duce radiación y cuando ésta es absorbida por la materia; asimismo, la mecá estadística es necesaria para describir la forma en que la energía radiante se di buye sobre el espectro de longitudes de onda. Todo lo que podemos hacer en análisis elemental es definir las cantidades clave y presentar los resultados de la t ría y la experimentación. Luego mostraremos cómo algunos de estos resultadosi pueden usarse para calcular la velocidad de transmisión de calor por procesos d radiación en sistemas sencillos. En s16.1 y s16.2 se introducen los conceptos y las definiciones básicas. Luego, en 516.3 se proporcionan algunos de los resultados físicos más importantes concer. nientes a la radiación del cuerpo negro. En la siguiente sección, 516.4, se analiza Q velocidad de intercambio de calor entre dos cuerpos negros. En esta sección no introducen nuevos principios físicos, ya que los problemas básicos son de orden geométrico. Luego, 516.5 se dedica a ampliar la sección precedente a superficies no negras. Por ultimo, en la última sección se presenta un breve análisis de los proce sos de radiación en medios absorbentes3
!
s16.1 EL ESPECTRO DE RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA Cuando un cuerpo sólido se calienta -por ejemplo por una resistencia eléctricala superficie del sólido emite radiación cuya longitud de onda está comprendida principalmente en el intervalo de 0.1 a 10 micras. Esta radiación suele denominarse radiación térmica. La mecánica cuántica proporciona una descripción cuantitativa de los mecanismos atómicos y moleculares por los que se produce la radiación, pero un estudio así rebasa el alcance de este análisis. Sin embargo, es posible proporcionar una descripción cualitativa: cuando se suministra energía a un cuerpo sólido, algunas de sus moléculas y átomos constituyentes pasan a "estados excitados". Los áte mos o las moléculas tienden a regresar de manera espontánea a sus estados de energía mas bajos. Cuando ocurre esto, se emite energía en forma de radiación elec tromagnética. Debido a que la radiación emitida resulta de cambios en los estados electrónico, vibracional y rotacional de los átomos y las moléculas, la radiación se distribuye sobre un intervalo de longitudes de onda. En realidad, la radiación térmica representa sólo una pequeña parte del espectro to tal de la radiación electromagnética. En la figura 16.1-1 se muestran de manera aproxi. mada los tipos de mecanismos responsables de las diversas partes del espedro de radiación. Los diversos tipos de radiación se distinguen unos de otros sólo por el inter va10 de longitudes de onda que abarcan. En el vacío, todas estas formas de energía ra. diante se desplazan a la velocidad de la luz, c. Así, la longitud de onda A, que caracteriZ una onda electromagnética, está relacionada con su frecuencia u por la ecuación
,
donde c = 2.998 X lo8 m/s. En la parte visible del espectro, las diferentes iongitudef de onda están asociadas con el "color" de la luz. Para información adicional sobre transmisión de calor por radiación y aplicaciones a la ingeniería, véase ek extenso libro de texto de R. Siegel y J. R. Howell, Thermal Rudiation Heat Trunsfer, 3a. edicih, Hernisphere Flublishg Co., Nueva York (1992).Véase también J. R. Howell y M. P. Mengo~,en Handbook of Heat Transfer, 3a. edición (W. M. Rohsenow, J. P Harhett y Y. 1. Cho, editores), McGraw-Hill, Nueva York (1998),capíhdo 7.
s16.1 El espectro de radiación electromagnética 573
17
logxo"
16 15 14 13
12
Conductor eiéchico
11 Ondmderadio
----------- POrdq~eCiICUla~na corriente aItema
10
9 8
7 6
m
-+
Rotaciones mleculares
1
e
-4
3
1
O
Rayos
7
1
Deaphmmhto de 106 interiores de un atomo
x -- -- - --- --- eie&mm
Figura 16.1-1 Espectro de radiación electromagnética,que muestra aproximadamente los mecanismos por los cuales se producen las diferentes longitudes de onda de radiación (1 A = Unidad hgstrom = cm 0.1 nm; 1 p = 1 micra = m).
Para algunas cuestiones es conveniente considerar la radiación electromagnética desde un punto de vista corpuscular. En este caso asociamos una onda electromagnética de frecuencia v con un fotón, que es una partícula con carga cero y masa cero cuya energía está dada por E = ~ Y (16.1-2) Aquí h = 6.626 x 1.5 es Ia constante de Planck. A partir de estas dos ecuaciones y la información de la figura 14.1-1, se observa que disminuir la longitud de onda de la radiación electromagnética corresponde a aumentar la energía de los fotones correspondientes. Este hecho está vinculado con los diversos mecanismos que producen la radiación. Por ejemplo, cuando una molécula disminuye su velocidad de rotación, la energía que se libera es relativamente pequeña y la radiación asociada está en el infrarrojo. De otra parte, se liberan cantidades de energía relativamente grandes cuando un núcleo atómico pasa de un estado de energía elevado a otro de energía inferior, y la radiación asociada es gamma o x. Los planteamientos anteriores también hacen ver razonable que la energía radiante emitida por objetos calientes tienda hacia longitudes de onda más cortas (fotones con mayor energía) a medida que aumenta la temperatura del cuerpo. Hasta el momento hemos bosquejado el fenómeno de la emisión de energía radiante o fotones cuando un sistema molecular o atómico pasa de un estado elevado
574 Capítulo 16 Transporte de energía por radiación
de energía a otro más bajo. El proceso inverso, que se denomina abso cuando Ia adición de energía radiante a un sistema molecular o atómic sistema pase a un estado más elevado de energía. Entonces, este último proceso lo que gcurre cuando la energía radiante incide sobre una superficie sólida y pn,, ca que su temperatura se eleve.
i
Una vez que hemos introducido los conceptos de absorción y emisión a una visión atbmica, ahora procedemos al análisis de los mismos procesos desde un punto de vista macroscópico. Restringiremos este análisis a sólidos opacos. La radiación que incide sobre Ia superficie de un sólido opaco es absorbida o reflejada. La fracción de la radiación incidente que se absorbe se denomina absorben. cia (o coeficientede absorcidn) y se representa con el símbolo a. También la fracción de la radiación incidente con frecuencia v que se absorbe se designa por a, Es decir, a y a, se definen como
donde q(:)dv y q(;)d v son la radiación absorbida e incidente por unidad de área y unidad de tiempo en el intervalo de frecuencias comprendido entre u y u + dv. Para cualquier cuerpo real, a, es menor que la unidad y varía considerablemente con la frecuencia. Un cuerpo hipotético para el cual avesuna constante, menor que la unidad, sobre todo el intervalo de frecuencias y a todas las temperaturas se denomina cuerpo gris. Es decir, un cuerpo gris siempre absorbe Ia misma fracción de la radiación incidente, cualquiera que sea la frecuencia. Un caso límite del cuerpo gris es cuando a, = 1 para todas las frecuencias y todas las temperaturas. Este comportamiento límite define a un cuerpo negro. Todas las superficies sólidas emiten energía radiante. La energía radiante total emitida por unidad de área y unidad de tiempo se designa por q(e), y la emitida en el intervalo de frecuencias desde v hasta v + d v se denomina q(i)dv.Las velocidades correspondientes de emisión de energía desde un cuerpo negro están dadas por los sirnbolos 4(;Iy qfldv. En términos de estas cantidades, la emisividad para la emisión total de energia radiante, así como para una determinada frecuencia dada, se definen como
La emisividad también es una cantidad menor que la unidad para superficies reales no fluorescentes y es igual a la unidad para cuerpos negros. A cualquier temperatura dada, la energía radiante emitida por un cuerpo negro representa un límite superior de Ia energía radiante emitida por superficies reales no fluorescentes. Ahora consideramos la radiación en el interior de un recinto evacuado o "cavidad" con paredes isotérmicas. Suponemos que todo el sistema está en equilibrio. En estas condiciones no hay densidad de flujo neto de energía a través de las interfags entre el sólido y la cavidad. A continuación demostraremos que la radiación en esta cavidad es independiente de la naturaleza de las paredes y que sólo depende de la temperatura de las paredes de la cavidad. Conectamos dos cavidades, cuyas pare des están a la misma temperatura, pero son de materiales diferentes, como se mu* tra en la figura 16.2-1. Si las intensidades de la radiación en las dos cavidades fuese diferentes, entonces habría un transporte neto de energia radiante de una cavidad la otra. Debido a que esa densidad de flujo violaría la segunda ley de la termodiná
i
516.2 Absorción y emisión en superficies sólidas 575 Material 1
MateriaI 2
Figura 16.2-1 Experimento imaginario para demostrar que la radiación de Ia cavidad es independiente de los materiales de la pared.
mica, las intensidades de la radiación en las dos cavidades deben ser iguales, sin importar las composiciones de las superficies de las cavidades. Además, puede demostrarse que la radiación es uniforme y sin polarizar en toda la cavidad. Esta radiación de cavidad juega un papel importante en la deducción de la ley de Planck. La intensidad de la radiación se designa por ~ ( c ~ vy) es , la energía radiante que incidiría sobre una superficie sólida de área unitaria situada en cualquier parte dentro de la cavidad. Ahora realizamos dos experimentos imaginarios adicionales. En el primero, en el interior de una cavidad ponemos un pequeño cuerpo negro que está a la misma temperatura que las paredes de la cavidad. Entre el cuerpo negro y las paredes de la cavidad no hay intercambio neto de energía. Por tanto, la energía que incide sobre la superficie del cuerpo negro debe ser igual a la energía emitida por éste:
A partir de este resultado se extrae la importante conclusión de que la radiación emitida por un cuerpo negro es la misma que la intensidad de radiación de equilibrio en el interior de una cavidad que está a la misma temperatura. En el segundo experimento imaginario, colocamos un pequeño cuerpo no negro en el interior de la cavidad, especificando nuevamente que su temperatura es la misma que la de las paredes de la cavidad. Entre e1 cuerpo no negro y las paredes de la cavidad no hay intercambio neto de calor. Por tanto, podemos afirmar que la energía absorbida por el cuerpo no negro es igual a la que radia desde él:
Al comparar las ecuaciones 16.2-5 y 16.2-6 se llega al resultado
La definición de la emisividad e en la ecuación 16.2-3permite concluir que
Ésta es la ley de Kirchhoff,l que establece que a una temperatura dada la emisividad y la absorbencia de cualquier superficie sólida son iguales cuando la radiación está en equilibrio con la superficie sólida. Puede demostrarse que la ecuación 16.2-8 también es válida para cada longitud de onda por separado:
'
G. Kirdihoff, Monatsber. d . preuss. Ahd. d. Wissencchafien,p. 783 (1859); Poggendorfi Annalen, 109,275-301 (1860). Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) public6 sus famosas Ieyes para circuitos eléchims cuando aún era estudiante de licenciatura; enseñó en Breslau, Heidelberg y B e r h .
576 Capítulo 16 Transporte de energía por radiación
En la tabla 16.2-1 se proporcionan valores de la emisividad total e lidos. En realidad, e depende también de la ro los valores promediados que se valores tabulados son, con algunas aunque pueden usarse para cies rugosas. Las superficies metálicas no oxidadas muy bajas, mientras que la mayor parte de los no nen emisividades por arriba de 0.8 a temperatura ambiente o superior. Nótese q< para casi todos los materiales la emisividad aumenta con la temperatura. Hemos indicado que la energía radiante emitida por un cuerpo negro es un fi. mite superior de la energía radiante emitida por superficies reales y que esta ener3 gía es una función de la temperatura. Experimentalmente se ha demostrado que la densidad de flujo total de energía emitida por una superficie negra es
(16.2-10)
Tabla 16.2-1
Emisividades totales de vanas superficies para emisión perpendiculara
Aluminio Altamente pulido, pureza 98.3% Oxidado a 1110 O F Materiai para techos recubiertos de aluminio Cobre Electrolítico, altamente pulido Oxidado a 1110 "F Hierro Electrolítico, altamente pulimentado Totalmente oxidado Hierro fundido, pulido Hierro fundido, oxidado a 1110 "F Cartón de asbesto Ladrillo Rojo, rugoso De sílice, sin vidriar, rugoso De sílice, vidriado, rugoso Negro de humo, de 0.003 pulg de espesor o más Pinturas Laca negra brillante sobre hierro Laca blanca Pinturas de aceite, 16 colores Pinturas de aluminio, de duración y contenido de laca variables Refractarios, 40 distintos Malos radiadores Buenos radiadores Agua, liquida, capa gruesab Valores seIeccionados de la tabla compilada por H.C. Hottel para W.H. McAdams, Heat Transmission, 3a edición, McGraw-Hill, Nueva York (1954), pp, $72-479. Calculados a partir de datos espectroscópicos.
a
/
g16.3
Ley de distribución de Planck, ley de desplazamiento de Wien y ley de Stefan-bltzmann
577
donde T es la temperatura absoluta. Ésta es conocida como la ley de Stefan-Boltzmana.= Ce ha encontrado ue la constante w de Stefan-Boltzmann tiene el valor de 0.1712 x Btu/h pie3 R4o 1.355 X 10-l2 cal/s. cm2 K4.En la siguiente mción indican dos métodos que permitieron la obtención teórica de esta importante fórmula. Para superficies no negras a temperatura T, Ia densidad de flujo de energía emitida es
donde e debe evaluarse a la temperatura T. En 316.4 y 316.5 se analizará el uso de las ecuaciones 16.2-10 y 16.2-1'1 para calcular vebeidades de transmisión de caIor radiante entre superficies calientes. Hemos mencionado que la constante de Stefan-Boltzmann se determinó experimentalmente. Esto implica que se dispone de un verdadero cuerpo negro. En realidad no existen sólidos con superficies perfectamente negras. Sin embargo, podemos obtener una aproximación excelente a una superficie negra haciendo un orificio muy pequeño en la pared de una cavidad isotérrnica. Así, el orificio se comporta prácticamente como una superficie negra. El hecho de que ésta es una buena aproximación puede verse a partir de h siguiente relación, que praporciona la emisividad efectiva del orificio, eom0, en un recinto de paredes rugosas, en términos de la emisividad real e de las paredes de la cavidad y la fracción ,f del área interna total de la cavidad que se elimina debido al orificio:
Si e = 0.8 y f = 0.001, entonces e,Rfino = 0.99975. En consecuencia, se absorbe 99.975% de la radiación que incide sobre el orificio. Así, la radiación que sale del orificio corresponde muy aproximadamente a la radiación del cuerpo negro.
516.3 LEY DE DISTRIBUCI~N DE PLANCK, LEY DE DESPLAZAMIENTODE WIEN Y LEY DE STEFAN-BOLTZMANNI-~ I
La ley de Stefan-Boltzmann puede deducirse a partir de consideraciones termodinámicas, en el supuesto de que se conozcan ciertos resultados de la teoría del campo electromagnético. Especificamente, puede demostrarse que para radiación de Ia cavidad la densidad de energía (es decir, la energía por unidad de voiumen) en el interior de la cavidad es
'
J. Stefan, Sitzber. A M . W i . Wien, 79,parte 2,391-428 (1879);L. Boltzmann, Ann. Phys. (Wied. Ann.), 91 2,. 22, 291-294 (1884). De origen eslovaco,]osef Stefan (1835-1893),rector de la Universidad de Viena (1876-1877). ademes de ser c o n d o por La ky de radiadn que Ueva su nombre, tambikn contribuyú a la teoria de la difusi6n ea multicomponentes y al problema de conducción de calvr con cambio de fase. Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906), quien fue profesor en Viena, Graz, Munich y ixipzig, dedujo L ecuación diferencialbásica para la teoria cinética de los gases (véase el apéndice D) y la relación fundamental entropía-probabilidad,S = K In W, que está grabada en su 1ápida en Viena; K se denomina constante de BoltPliann. J. de Boer, capitulo VI1 en laerbwk der Nufuurkunde, 3a. edición (R. Kronig, comp.), Scheltema y Holkema, Amsterdam (1951). H.B. Callen, Thrmodynamics and an Intmduction to Thennostatistics. 2a. edición. Wiley, Nueva York (19851, pp. 78-79. M. Planck, hrlesungen iii(berdie Theorie der Wtitmestrahlung, 5s.edici6n. Barth, Leipzig (1923);Ann. Phys., 4,553563, 564-566(1901).
'
578 Capítulo 16 Transporte de energia por radiación
Debido a que la energía radiante emitida por un cuerpo negro depende sólo de $ temperatura, la densidad de energía u(" también debe ser una función exclusiva la temperatura. Además puede demostrarse que la radiación electromagnética ejer.l ce una presión p(r) sobre las paredes de la cavidad, dada por
$
Los resultados precedentes para la radiación de la cavidad también pueden obtener. se al considerar que la cavidad está Ilena de un gas compuesto por fotones, cada uno de los cuales está dotado de una energía h v y una cantidad de movimiento hvlc, Ahora aplicamos la fórmula tennodinámica
vr)
al gas de fotones o a la radiación en la cavidad. Al insertar = VU(T) y = $(ti en esta relación, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria para u(')(T):
Al integrar esta ecuación se obtiene
doiide b es una constante de integración. Cuando este resultado se combina con la ecuación 16.3-1se obtiene la energía radiante emitida desde la superficie de un cuerpo negro por unidad de área y unidad de tiempo:
Ésta es la ley de Stefan-Boltzmann. Nótese que la deducción termodinámica no pn, nostica el valor numérico de u. La segunda forma para deducir la ley de Stefan-Boltzrnann es integrando la ley de distribución de Planck. Esta famosa ecuación proporciona la densidad de flujo de energía radiada que emite una superficie negra en el intervalo de longitudes de onda entre A y A + dh:
qtl
1
Aquí h es la constante de Planck. El resultado puede deducirse aplicando estadístii ca cuántica a un gas de fotones en una cavidad, donde los fotones obedecen la esta dística de Bose-Einstein4t5La distribución de Planck, que se muestra en la figuri 16.3-1, predice correctamente toda la curva de energía contra longitud de onda y e corrimiento del valor máximo hacia longitudes de onda más cortas a medida qu aumenta la temperatura. Una vez que la ecuación 16.3-7 se integra sobre todas la longitudes de onda, se obtiene
J.E. Mayer y M.G.Mayer, Statistical Mechanics, Wiley, Nueva York (19401, pp. 363-374 L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Statisiical Physics, 3a. edición, parte 1, Pergarnon, Oxford (1980), $63.
A
516.3 Ley de distribución de Planck, ley de desplazamiento de Wien y ley de Stefan-BoItzmam 579 A*
para la radiaa6n solar = O 5 micras
Figura 16.3-1 Espectro de radiación de equilibrio según la ley de Planck. [M. Planck, V d . der deufschen physik. Gecell., 2,202,237 (7900); Ann. der Physik, 4,553563,564-566 (1901).1
"0[11 +&-ripb i' le
2
3 4 5 6 7 h g i i u d de onda,A, mi-
8
9
10
0.3-0.7 micras
En la integración anterior, la variabIe de integración se cambió de A a x = c h l A ~ T . Luego, la integración sobre x se realizó expandiendo l / ( 8 - 1)en una serie de Taylor en 8 (véase 5C.2) e integrando término a termino. Asi, el método de la estadística cuántica proporciona los detalles de la distribución espectral de Ia radiación y también la expresión para la constante de ~tefan-~oltzrnann,
í
2
1
-
cuyo valor es 1.355 X 10-I2cd/s * cm2 K4, que se corúirma dentro de cierta incertidumbre experimental por mediciones directas de la radiación. La ecuación 16.3-9 es 1,:na fórmula sorprendente, que interrelacionala wde la radiación, la K de la mecánica estadística, la velocidad de la luz c del electromagnetismoy la h de la mecánica cuántica. Además de obtener la ley de Stefan-Boltzmann a partir de la distribución de Planck, podemos obtener una reiación importante que se relaciona con el máximo en la distribución de Planck. Primero volvemos a escribir la ecuación 16.3-7 en términos de x y luego hacemos dq($/dx = O. Así se obtiene la siguiente ecuación para x , ~ , que es el valor de x para el que la distribución de Planck muestra un máximo: xmáx = 5(1 - e c x m a x )
(16.3-10)
_j
580 Capitulo 16 Transporte de energía por radiación
La solución numérica de esta ecuación es xm6,
= 4.9651... Por tanto, a una tempe
tura dada T
Luego, al insertar los valores de las constantes universales y el valor de xmáx,Se obtiene
Este resultado, que originalmente se encontró en forma e~perirnental,~ se conoce ca. mo la ley de desplazumiento de Wien. Se usa principalmente para estimar la temperatura de objetos remotos. La ley predice, en concordancia con la experiencia, que el color aparente de la radiación se desplaza desde el rojo (longitudes de onda largas) hacia el azul (longitudes de onda cortas) a medida que aumenta la temperatura. Por úItimo, podemos volver a interpretar algunas de las observaciones previas en iénninos de la ley de distribución de Planck. En la figura 16.3-2se bosquejan tres curvas: la ley de distribución de Planck para un cuerpo negro hipotético, la curva de distribución para un cuerpo gris hipotético y una curva de distribución para algún cuerpo verdadero. Así, resulta evidente que cuando se usan los valores de la emisividad total, como los de la tabla 16.2-1, precisamente se explican de manera empírica las desviaciones de la ley de Planck en todo el espectro. Antes de salir del tema de la distribución de Planck, merece la pena indicar que la ecuación 16.3-7 fue presentada en el encuentro de la Sociedad Física Alemana en octubre de 1900 como un empirismo que se ajustaba a los datos disponibIes? Sin embargo, antes del fin de ese año: Planck tuvo éxito en la deducción de la ecuación, pero a costa de introducir el concepto radical de cuantización de la energía, una idea que fue acogida con poco entusiasmo. Planck mismo tenía sus dudas, como lo planteó explícitamente en su libro de texto.9 En una carta de 1931, escribió: "... lo que hice puede describirse como un acto de desesperación... He luchado sin éxito durante seis años... con el problema del equilibrio entre radiación y materia, y sabía que el
Ley de manck (cuerponegro)
Figura 16.3-2 Comparación de la radiación emitida por superficies negra, gris y real.
-
-
W.Wien, Sitzungsber. d. kglch. preuss. Akud. d. Wissmschajtm (VI),pp. 55-62 (1893). 0. Lummer y E. Pringsheim, Med. Ann., 65,396 (1897);Ann der Physik, 3,159 (1900). M . Planck, Verhandl. d . deutsch. physirc. Ges., 2,202 y 237 (1900);Ann Physik, 4,553-563,564-566 (1901). M . Planck, The Thwry ofHent Radiahon, Dover, Nueva York (1991). Traducción al inglés de la obra Vorlesungen über die Theorie der Wtimestmhlung (19131, p. 154.
g16.4 Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío a diferentestemperaturas 581
problema era de fundamental importancia...". Luego, Planck insistió diciendo que estaba "listo para sacrificar cada una de mis convicciones anteriores sobre las leyes físiLa propuesta cas" excepto por las primera y segunda leyes de la termodinámi~a.~~ radical de Planck anunció una nueva y emocionante época de la física, y la mecánica cuántica se introdujo en la química y otros campos de conocimiento en el siglo XX.
~mperaturay emision de enegía radianfe del
Para cálculos aproximados, el Sol puede considerarse como un cuerpo negro que emite radiación a una intensidad máxima para A = 0.5 micras (5000 A). Con esta información, estimar a) la temperatura en la superficie del Col y b) la densidad de flujo de calor que emite la superficie del Sol.
so 1
SOLUC~ON
a) A partir de la ley de desplazamiento de Wien, ecuación 16.3-12, T=--
,A,
cm
-
=5760c
10,400R
0.5 X lo-* cm
b) A partir de la ley de Stefan-Boltzmann,ecuación 16.2-10,
516.4
R A D I A C I ~ NDIRECTA ENTRE CUERPOS NEGROS EN EL VAC~O A DIFERENTES TEMPERATURAS
En las secciones precedentes proporcionamos la ley de Stefan-Boltzmann, que describe la emisión total de energía radiante desde una superficie perfectamente negra. En esta sección analizaremos la transferencia de energía radiante entre dos cuerpos negros de forma y orientación arbitrarias. Por tanto, es necesario conocer cómo se distribuye con respecto al ángulo la energía radiante emitida por un cuerpo negro. Debido a que fa radiación del cuerpo negro es isotrópica, es posible deducir la siguiente relación, que se conoce como ley del coseno de Lambert:'
qbi
donde es la energía emitida por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido en una dirección 0 (véase la figura 16.4-1).Entonces, la energía emitida a través del ángulo sólido sombreado es q($ sen O d e d 4 por unidad de área de susobre todo el heperficie del cuerpo negro. Al integrar la expresión anterior para misferio se obtiene la emisión total de energía conocida:
qbL
Esto justifica la inclusión del factor l / n en la ecuación 16.4-1. Ahora ya podemos obtener la velocidad neta de transmisión de calor del cuerpo 1 al cuerpo 2, donde éstos son cuerpos negros de cualquier forma y orientación 'O
A. Hemann, The Genesis of Quantum Theory, MlT Press (1971), pp. 23-24.
' H. Lambert, Photometria, Augsburgo (1760).
582
Capitulo 16 Transporte de energía por radiación -----
ido
Superficienegra
h\
v
Figura 16.4-1 Radiación a un ángulo e desde la normal a la superficie en un ángulo sólido sen O d o d+.
--Y
(véase la figura 16.4-2). Hacemos lo anterior obteniendo la velocidad neta de transmisión de calor entre un par de elementos de superficie dAl y dA2 que pueden "verse" mutuamente, y luego integrando sobre todos los pares posibles de estas áreas. Los elementos dAl y dA2 se unen por una línea recta de longitud r12,que forma un ángulo d1 con la normal a dAl y un ángulo O2 con la normal a dA2. Comenzamos por escribir una expresión para la energía radiada desde dAl en un ángulo solido sen O1 dol d 4 situado alrededor de r12.Elegimos este ángulo sólido lo suficientemente grande, de modo que dA2 esté totalmente en el interior del "haz de rayos" (véase la figura 16.4-2). Según la ley del coseno de Lambert, la energía radiada por unidad de tiempo es
(9
cos el)dAl sen 6, dol d+l
De la energía que sale de dAl a un ángulo B1, sólo la fracción dada por la siguiente razón es interceptada por dA2: Área de dA2 proyectada sobre un plano perpendicular a r12
h a formada por la intersección del sólido sen O1 dol d41 con una esfera de radio ri2 y centro en dAl
-
dA2 COS O, r:, sen d1 de1 d&
(16.4-4)
Cuerpo 1
Figura 16.4-2 Intercambio radiante entre dos cuerpos
negros.
516.4 Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío a diferentes temperaturas 583
Luego, al multiplicar estas dos últimas expresiones se obtiene
Ésta es la energía radiante emitida por dAl e interceptada por dA, por unidad de tiempo. De forma semejante es posible escribir
que es la energía radiante emitida por dA2 e interceptada por dAl por unidad de tiempo. Así, h velocidad neta de transporte de energía desde dAl hasta dA, es
COS 4 cos e2 ="(<-q) m dA,dA2
e2
Por tanto, la velocidad neta de transferencia de energia desde un cuerpo negro isotérmico 1a otro cuerpo negro isotérmico 2 es Q12=
;(q-q)J]
cos 4 cos
e2
dAldA2
e2
Aquí se entiende que Ia integración está restringida a aquellas parejas de (ireas dAl y dA2 que se ven mutuamente por completo. Este resultado se escribe de forma convencional como
Razón de dimensiones
Figura 16.4-3 Factores de visión para la radiación directa entre rectángulos adyacentes en planos perpendiculares [H. C. Hottel, capitulo 3 en W. H. McAdams, Heat Transrnission,McGraw-Hill, Nueva York (29541,p. 681.
584 Capítulo 16 Transporte de energía por radiación
--
-
donde Al y A2 suelen elegitse de modo que sean las áreas totales de los cuerpos 1y 2. Las cantidades adimensionales FI2 y FZí, denominadas factores de visión (o factores de dngulo o factores de configuración), están dadas por
y los dos factores de visión están relacionados por A1FI2 = A2F21.El factor de visión FI2 representa la fracción de radiación que sale del cuerpo 1y es interceptada directamente por el cuerpo 2. El cálculo real de los factores de visión es un problema difícil, excepto en algunas situaciones muy sencillas. En las figuras 16.4-3 y 16.4-4 se muestran algunos factores de visión para radiación directa.24 Cuando se cuenta con estas gráficas, es fácil calcular intercambios de energía con la ecuación 16.4-9. En la deducción anterior hemos supuesto que la ley de Lambert y la ley de Ste fan-Boltzmann pueden usarse para describir el proceso de transporte en no equilibrio, a pesar de que sólo son estrictamente válidas para equilibrio radiativo. Parece que los errores que se cometen debido a dicha suposición no han sido estudiados a fondo, aunque aparentemente las fórmulas resultantes proporcionan una descrip ción cuantitativa satisfactoria.
W n ,
1
Discos
2
Cuadrados
Diámetro o lado más corto Distancia entre planos
Figura 16.4-4 Factores de visión para Ia radiación directa entre formas idénticas opuestas en planos paralelos [H. C. Hottel, capítulo 3 en W. H. McAdams, Heat Transmissión. McCraw-Hib Nueva York (1954), tercera edición, p. 691.
H.C. Hottel y A.E Sarofim, Radiative Transfer, McGraw-W, Nueva York (1967). H.C. Hottel, capítulo 4 en W.H. McAdams, Heat Trancmission, McCraw-Hill, Nueva York (1954). R.Siegel y ],R.Howell, niermal Radiation Heat Transfer, 3a. edición, Hemisphere Publishiiig Co., Nueva York (1g9
SX6.4 Radiación directa entre cuerpos negros en el vacío a diferentestemperaturas
585
Hasta el momento nos hemos dedicado a las interacciones radiativas entre dos cuerpos negros. Ahora deseamos considerar un conjunto de superficies negras 1, 2,. . ., n, que forman las paredes de un recinto completo. Las superficies se mantienen a las temperaturas TI, T z , . ., T,, respectivamente. El fluji, neto de calor desde cualquier superficie i a las superficies del recinto es n
QIP = v A i Z F i j ( ~ t - ~ f ) i = 1 , 2 , . . . , n
(16.4-12)
j=l
o bien,
Al escribir la segunda forma hemos usado las relaciones n
ZF, = 1 J
i = 1 , 2, . . . , n
(16.4-34)
=l
Las operaciones suma en las ecuaciones 16.4-13 y 16.4-14 incluyen al término Fii, que es cero para cualquier objeto que no intercepta ninguno de sus propios rayos. El conjunto de n ecuaciones dado en la ecuación 26.4-12 (o en la ecuación 16.4-13) puede resoIverse simultáneamente para obtener las temperaturas o flujos de calor segun los datos disponibles. Una solución simultánea de las ecuaciones 16.4-13 y 16.4-14que tiene un interés especial es la que corresponde a Q3 = Q4= .-.= Q, = O. Aquí, las superficies 3,4,. . ., n se denominan "adiabáticas". En esta situación, en el cálculo de flujo de calor es posible eliminar las temperaturas de todas las superficies excepto la 1 y la 2 y obtener una solución exacta para el flujo neto de calor que va de la superficie 1 a la superficie 2:
En la figura 16.4-4 se proporcionan los vaIores de FIZque se utilizan en esta ecuación. Estos valores sólo son válidos cuando las paredes adiabaticas se forman con elementos lineales perpendiculares a las superficies 1 y 2. EI uso de estos factores de visión F y F simplifica bastante los cálculos para radiación del cuerpo negro, cuando se conocen las temperaturas de las superficies 1 y 2. El lector que desee obtener más información sobre el intercambio de calor por radiación en recintos debe consultar las referencias proporcionadas para el e f e ~ t o . ~
Sol
Tierra
92.9 millones de millas
2
Figura 16.4-5 Estimación de in constante solar.
586 Capítulo 16 Transporte de energía por radiación
?es
constante solar
La densidad de flujo de calor radiante que entra a la atmósfera terrestre procedente del sol denomina "constante solar" y es importante en la utilización de la energía solar, así como la meteorología. Designar el Sol como el cuerpo 1y la Tierra como el cuerpo 2, y usar los da. tos siguientes para calcular la constante solar: DI = 8.60 X lo5 millas; r12 = 9.29 X lo7 millas; &] = 2.0 x lo7 Btu/h - pies2 (del ejemplo 16.3-1).
En la terminología de la ecuación 16.4-5y de la figura 16.4-5, Constante solar =
-
cos B2dA2
m;,
Este resultado concuerda satisfactoriamente con otras estimaciones efectuadas. El tratamiento de rf2 como una constante en el integrando es permisible aquí porque la distancia r,, a la superficie visible del Sol varía por menos de 0.5%. La integral que queda, cos BliiAl, es el área proyectada del Sol como se ve desde la Tierra, y es muy próxima a TD;/~.
Tr@nsmisibnde cfl1or f d i a n t e entre discos
Dos discos negros de 2 pies de diámetro, colocados directamente opuestos uno al otro, están separados por una distancia de 4 pies. El disco 1 se mantiene a 2 W R , y e1 disco 2 a 1000"R.Calcular el flujo de calor entre los dos discos: a) cuando no existen otras superficies, y b) cuando los dos discos se conectan mediante una superficie negra constituida por un cilindro recto adiabático.
a) A partir de la ecuación 16.4-9 y la curva 1 de la figura 16.4-4,
b) A partir de la ecuación 16.4-15 y la curva 5 de la figura 16.44, Q12 = ~ 7 1 2 ( . ( ~ ; ' =
T;)
n(0.34)(0.1712 X 10-8)[(2000)4- (1000)4]
= 27.4 x lo3 Btu/h
(16.4-18)
516.5" RADIACIÓN ENTRE CUERPOS NO NEGROS A DIFERENTES TEMPERATURAS
En principio, la radiación entre superficies no negras puede abordarse mediante e: análisis diferencial de rayos emitidos y sus sucesivas componentes reflejadas. Par4
1
916.5 Radiación entre cuerpos no negros a diferentes temperaturas
587
superficies casi negras esto es pIausible, ya que sólo es necesario considerar una o dos reflexiones. Sin embargo, para superficies altamente reflectantes el análisis es complicado, y en general no se conocen con suficiente precisión las distribuciones de los rayos emitidos y reflejados con respecto al ángulo y la longitud de onda, de modo que no se justifica un cálculo detallado. Un tratamiento razonablemente preciso es posible para una pequeña superficie convexa contenida en un gran recinto casi icotérmico (es decir, una "cavidad") CCF mo una tubería que conduce vapor de agua en una habitación cuyas paredes están a una temperatura constante. La velocidad de emisión de energía desde una superficie no negra 1 hacia el recinto 2 que la rodea está dada por
y la velocidad de absorción por la superficie 1 de energía procedente del entorno es
Aquí se tuvo en cuenta que la radiación que incide sobre la superficie 1 es prácticamente una radiación de la cavidad o del cuerpo negro correspondiente a la temperatura T2. Debido a que Al es convexa, no intercepta ninguno de sus propios rayos; por tanto, FI2 se ha igualado a la unidad. En consecuencia, la velocidad neta de radiación desde Al hacia el entorno es
En la ecuación 16.5-3, el es el valor de la emisividad de la superficie 1 a TI. La absorbencia o coeficiente de absorción al cuele estimarse como el valor de e a Ti. A continuación consideramos un recinto formado por n superficies grises opacas difuso-reflectantesAl, A2, A3,. . ., A, que están a las temperaturas TI, T2, T3,. . ., T,. Siguiendo a Oppenheiml definirnos la radiosidad Ji para cada superficie A, como la suma de las densidades de flujo de la energía radiante reflejada y emitida desde Ai. Así, el flujo neto de energía radiante desde Ai hasta Ak se expresa como
es decir, por la ecuación 16.4-9 con la sustitución de las radiosidades Ji en lugar de las potencias emisivas de cuerpo negro U T ~ . La definición de Ji proporciona, para una superficie opaca,
donde Ii es la densidad de flujo radiante incidente sobre Ai. Al eliminar 1, a favor de la densidad de flujo neto radiante Q,/Ai desde Ai hacia el recinto, se obtiene
de donde
'
A.K.Oppenheim, Trans. ASME, 78,725-735(1956); para un trabajo anterior, véase G . Poljak, Tech. Phys. USSR. 1,555-590 (1935).
588 Capítulo 16 Transporte de energía por radiación ------
Por último, al aplicar un balance de energía en estado estacionario sobre cada supa? ficie se obtiene
Aquí Qi es la velocidad de adición de calor a la superficie Ai por medios no radiativos. Ecuaciones semejantes a las ecuaciones 16.5-4,16.5-7 y 16.5-8 se presentan en el análisis de circuitos de corriente directa, a partir de la ley de conducción de Ohm y Ja ley de conservación de la carga de Kirchhoff. Por tanto, se tienen las siguientes analogías:
Radiativa
Eléctrica Corriente Voltaje Resistencia
Q
JoU T ~ (1 - ei)/epi o 1/ A F ,
Esta analogía permite diagramar con facilidad circuitos equivalentes para visualizar problemas sencillos de radiación en un recinto. Por ejemplo, el sistema de la figura 16.5-1 proporciona el circuito equivalente que se muestra en la figura 16.5-2, de modo que la velocidad neta de transmisión de calor radiante es
Superficie 2 a la temperatura T2 con emisividad e2
-
Figura 16.5-1 Radiación entre dos superficies grises paralelas infinitas.
Superficie 1 a la temperatura TI con emisividad el
Potencial de radiación: CTT;
Ji
12
I
I
l
I
1-e,, -
Resistencia a la radiaaón:
I
uT;
1 -
1 o bien, I
I
I
A2F21
1
-I
Figura 16.5-2 Circuito equivalente para el sistema que se muestra en la figura 16.5-1.
516.5 Radiación entre cuerpos no negros a diferentes temperaturas
589
La solución abreviada que se resume e n la ecuación 16.4-15 se ha generalizado de manera semejante a recintos sin paredes negras, con lo que se obtuvo
en vez d e la ecuación 16.5-8, para u n recinto con Qi = O para i = 2,3, . . . ,n. El resultado es como e n la ecuación 16.5-9, excepto que debe usarse TI2 en lugar de F,, a fin de incluir recorridos indirectos desde Al hasta A2, obteniéndose así una mayor velocidad de transmisión de calor.
";g ~ ~ c u d odes radiación
Deducir una expresión para la reducción de la transmisión de calor radiante entre dos planos grises paralelos infinitos que tienen la misma área, A, cuando en forma paralela a ellos se coloca una delgada lámina gris de conductividad tkrmica muy alta, como se muestra en la figura 16.5-3.
La velocidad de radiación entre Ios planos 1 y 2 esta dada por
debido a que ambos planos tienen la misma área A y a que el factor de visión es la unidad. De manera semejante, la transmisión de calor entre los planos 2 y 3 es
bstas dos últimas ecuaciones pueden combinarse para eliminar la temperatura del escudo de radiación, T2, con lo que se obtiene
T=T1 = a = el
e
T=T2 e = a = e2
T=T3 e = a = e3
Figura 16.5-3 Escudo de radiación.
590 Capítulo 16 Transporte de energía por radiación
Luego, debido a que Q12 = Q23 = Q13, obtenemos AV(T; - T):
--z4-
Q13 =
($+;-l)+(;+;-l)
1
Finalmente, la razón de transferencia de energía radiante con un escudo a la transferencia de energía radiante sin éste es
-(Q13)con -
-
:+;(
- 1)
1
(16.5-15)
(Q13)sin
1
radiación y por conuecciólr libre en un tubo horizontal
Pronosticar la velocidad total de pérdida de calor, por radiación y por convección libre, de tubo de longitud unitaria cubierto con asbesto. El diámetro externo del aislamiento es de 6 pulg. La superficie externa del aislamiento está a 560°R, y las paredes y el aire ambiental e s tán a 540°R. SOLUCI~N
Sean la superficie externa del aislamiento la superficie 1 y las paredes del recinto la superficie 2. Entonces, la ecuación 16.5-3 proporciona
Debido a que la superficie del tubo es convexa y está completamente rodeada por la superficie 2, entonces FI2 es igual a la unidad. A partir de la tabla 16.2-1 se encuentra que el = 0.93 a 560°R y que al = 0.93 a 540°R.Luego, al sustituir los valores numéricos en la ecuación 16.5-16 se obtiene para 1 pie de tubo:
Al sumar las pérdidas de calor por convección del ejemplo 14.6-1 se obtienen las pérdidas totales de calor:
Nótese que en esta situación la radiación explica más de la mitad de las pérdidas de calor. Si el fluido no fuese transparente, los procesos de convección y radiacion no serían independientes, y las contribuciones por convección y radiación no podrían sumarse directamente.
Radiación y convección combinadas
Un cuerpo que está expuesto directamente al cielo nocturno claro se enfriará por debajo de Ia, temperatura ambiente por radiación hacia el espacio exterior. Este efecto puede usarse para congelar agua en bandejas poco profundas bien aisladas del suelo. Calcular la temperatura máxima del aire para la que es posible el congelamiento, despreciando la evaporación.
1
SOLUCI~N
Como una primera aproximación, pueden hacerse las siguientes suposiciones: a) Todo el calor recibido por el agua es por convección libre proveniente del aire cir
cundante, que se supone en reposo.
516.6
Transporte de energía radiante en medios absorbentes 591
b) El efecto térmico de la evaporación o condensación del agua no es significativo. C) Se ha
alcanzado el estado estacionario.
d) La sección transversal de la bandeja que contiene el agua es cuadrada. e) Se desprecia la radiación de vuelta procedente de la atmósfera.
La temperatura máxima permitida del aire en la superficie del agua es TI = 492"R. La velocidad de pérdida de calor por radiación es
donde L es la longitud de uno de los bordes de la bandeja. Para obtener la ganancia de calor por conmcción, usamos la relación
donde h es el coeficiente de transmisión de calor por convección libre. Para enfriar el aire atmosférico mediante la cara superior de una superficie horizontal cuadrada, el coeficiente de transmisión de calor está dado por2
donde h se expresa en Btu/h, pies2 , F y la temperatura está dada en grados Rankine. Al igualar entre sí las expreciones anteriores de perdida de calor por radiación y ganancia de calor por convección libre, se obtiene
A partir de lo anterior se encuentra que la máxima temperatura ambiental del aire es ó30°R o 170 "F. Excepto en condiciones del desierto, la radiación de vuelta y la condensación de humedad del aire circundante hacen que la temperatura necesaria del aire disminuya considerablemente.
)
TRANSPORTE DE ENERG~ARADIANTE EN MEDIOS ABSORBENTES' Los métodos proporcionados en las secciones precedentes sólo son válidos para materiales completamente transparentes u opacos. Para describir el transporte de energía en medios no transparentes, escribimos ecuaciones diferenciales para la velocidad local de variación de energía según se considera desde el punto de vista del material y de la radiación. Es decir, un medio material que es atravesado por radiación electromagnética se considera como dos "fases" coexistentes: una "fase material", que consta de toda la masa del sistema, y una "fase de fotón", que consta de la radiación electromagnética. En el capítulo 11 ya se proporcionó una ecuación de balance de energía para un sistema que no contiene radiación. Aquí vamos a extender la ecuación 11.2-1para la
W.H. McAdams, en el Chemical Engineers' H a n d h k @H. Perry, editor), McGraw-Hill, Nueva York (1950),3a. edición, p. 474. G.C.F'omraning, Radiation Hydmdparnics, Pergamon Press, Nueva York (1973); R. Ciegel y J.R. Howell, n i m a l Radkfion Heal Trahsfer,3a. edición, Hemisphere Publishing Co.,Nueva York (1992).
'
592 Capítulo 16 Transporte de energía por radiaci6n
f;T
fase material a fin de tener en cuenta la energía que se intercambia con la fase de L tón mediante procesos de emisión y absorción: f
Aquí hemos introducido %'y sl, que son las velocidades locales de emisión y absor) ción de fotones por unidad de volumen, respectivamente. Es decir, '8 representa la' pérdida de energia por la fase material que resulta como consecuencia de la emisiói de fotones por las moléculas, y d representa la ganancia local de energía por lafa-' se de material que resulta como consecuencia de la absorción de fotones por las léculas (véase la figura 16.6-1).La q en la ecuación 16.6-1 es la densidad de flujo de calor por conducción dada por la ley de Fourier. Para la "fase de fotón", podemos escribir una ecuación que describe la veloci-3 dad local d e variación de la densidad de energía radiante u('):
donde q(r) es la densidad de flujo de energía radiante. Esta ecuación puede obtener.4 se escribiendo un balance de energia radiante sobre un elemento de volumen fijo en el espacio. Nótese que en la ecuación 16.6-2 no hay término convectivo, ya que los fotones se mueven de manera independiente de la velocidad local del material. N& tese además que el término (8- d)aparece con signos opuestos en las ecuaciones 16.6-1y 26.6-2, indicando que ocurre una ganancia neta de energía radiante a expensas de la energia molecular. La ecuación 16.6-2 también puede escribirse para la energía radiante dentro de un intervalo de frecuencias v a v + d v:
Esta expresión se obtiene al diferenciar la ecuación 16.6-2con respecto a v. Con la intención de simplificar el análisis, consideramos un sistema sin flujo en estado estacionario, donde la radiación se desplaza sólo en la dirección z positiva. Un sistema así puede aproximarse bastante haciendo pasar una emisión de rayos colirnada a través de una solución a temperaturas suficientemente bajas, d e modo que la emisión por la solución carece de importancia. (Si las emisiones fuesen importantes, sería necesario considerar la radiación en todas las direcciones).Éstas son las condiciones que suelen encontrarse en la espectrofotometría.Para tal sistema, las ecuaciones 16.6-1 y 16.6-2 se vuelven
Fotón
I I
I
I I
Figura 16.6-1 Elemento de volumen sobre el que se hacen los balances de energía; los círculos repre sentan moléculas.
Preguntas para discusión 593
Para usar estas ecuaciones se requiere información sobre la velocidad de absorción volumétrica d.Para una emisión d e rayos unidireccional, una expresión común es
donde m, se denomina coeficiente de extinción. Básicamente, tal coeficiente establece que la velocidad d e absorción de fotones es proporcional a la concentración d e éstos.
~bsorciónde una de rayos de
Una emisión de rayos de radiación monocromática de frecuencia v, enfocada paralela al eje 2, pasa por un fluido absorbente. La velocidad Iocal de absorción de energía está dada por m,,q(;, en donde m,, es el coeficiente de extinción para radiación de frecuencia v. Deteminar la distribución de la densidad de flujo radiante q ( ; ) ( ~en ) el sistema.
radiación ~onocromática
SOLUCIÓN
Se desprecian la refracción y la dispersión de la emisión de rayos incidente. También, suponemos que el liquido se refrigera, de modo que puede despreciarse la radiación que procede de él. Así, para estado estacionario la ecuación 16.6-5 se vuelve
Al integrar con respecto a z, se obtiene
Ésta es la ley de absorción de Larnbert? que se usa ampliamente en espectrofotometría. Para cualquier material puro dado, mov depende de v en una manera característica. Por tanto, la forma de1 espectro de absorción es una herramienta útil para realizar análisis cualitativos.
1. Las "reyes con nombre" de este capftulo son importantes. ¿Cuál es el contenido físico de las leyes asociadas con los siguientes nombres de científicos: Stefan y Boltzmann, Planck, Kirchhoff, Lambert, Wien? 2. ¿De qué manera están relacionadas la ley de Stefan-Boltzmann y la ley de desplazamiento de Wien con la ley de distribución de cuerpo negro de Planck? 3. ¿Existen los cuerpos negros? ¿Por qué es útil el concepto de cuerpo negro? 4. En reflexión especular (parecida a la que se observa en un espejo), el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. ¿Cómo están relacionados estos ángulos para la reflexión por difusión? 5. ¿Cual es el significado físico del factor de visión, y cómo puede calcularse? 6. ¿Cuáles son las unidades de q(e), y 7. ¿En qué condiciones puede expresarse por completo, en términos de factores de visión, el efecto de la geometría sobre el intercambio de calor radiante? 8. ¿Cuál de las ecuaciones de este capítulo muestra que el brillo aparente de un cuerpo negro con temperatura superficial uniforme es independiente de la posición (distancia y dirección) desde licual se observa a través de un medio transparente? 9. ¿Qué relación es análoga a la ecuación 16.3-2 para un gas monoatómico ideal? 10. Comprobar la consistencia dimensional de la ecuación 16.3-9.
q(z) qt)?
.-
1.H Lambert, Photometria, Augsbwgo (1760).
594
Capítulo 16 Transporte de energía por radiación
PROBLEMAS 16A.1 Aproximación de u n cuerpo negro mediante un orificio en una esfera. Una delgada esfera de cobre, cuya superficie interior está bastante oxidada, tiene un diámetro de 6 pulg. ¿Qué tan pequeño debe hacerse un orificio en la superficie de la esfera para que la abertura tenga una absorbencia de 0.997
Respuesta: radio = 0.70 pulg
i! Errores en mediciones de la temperatura a 16A.5 de la radiación. La temperatura de una corriente de a& e un ducto se mide por medio de un termopar. Los aIambd y la unión del termopar son cilíndricos, de 0.05 pulg de metro, se extienden a lo largo del tubo, perpendicularrnJ te al flujo y la unión está en el centro del ducto. Si se supon que la emisividad de la unión es e = 0.8, estimar la temd ratura de la corriente de gas a partir de los siguientes dad que se obtuvieron en condiciones de estado estacionario:,
4
Eficacia de una máquina solar. Un dispositivo 16A.2 desarrollado por ~ b b o t para l utilizar la energía solar cons- Temperatura de la unión del termopar = 500 OF ta de un espejo parabólico que enfoca la radiación solar incidente sobre un tubo de cristal Pyrex que contiene un Temperatura de la pared = 300 "F del conducto 4 liquido prácticamente negro de elevado punto de ebulliCoeficiente de transmisión de J ción. Este liquido se hace circular a través de un intercamcalor por convección del biador de calor donde la energía calorífica se transmite a alambre al aire = 50 B h / h pies2 F agua sobrecalentada que está a 25 atm de presión. De ahí puede retirarse vapor y usarse para activar una máquina. El La temperatura de la pared es constante al valor dado pa diseño más eficaz requiere un espejo de 10 pies de diáme- 20 diámetros del dudo corriente arriba y corriente abajo d tro para generar 2 hp, cuando el eje del espejo se apunta di- punto en que se instala el termopar. Los cables conductor rectamente hacia el Col. ¿Cuál es la eficacia completa del del termopar se colocan de modo que puede despreciarse efecto que tiene la conducción de calor a lo largo de ést aparato? sobre la temperatura de la unión. Respuesta: 15%
1
16A.3 Requerimiento de calefacción por radiación. Un cobertizo rectangular mide 15 x 30 pies de planta y el techo está a 7.5 pies por arriba del nivel del piso. El piso se calienta por agua caliente que circula a través de serpeníines. En días fríos en invierno, la temperatura exterior de las paredes y del techo es del orden de -10 "E ¿A qué velocidad debe suministrarse calor al piso para mantenerlo a una temperatura de 75 "F? (Supóngase que todas las superficies del sistema son negras.)
Temperatura en estado estacionario de una azotea. Calcular la temperatura máxima que alcanza, con tiempo despejado e1 21 de junio, una azotea horizontal situada a 4EiP de latitud Norte. Es posible despreciar la radiación procedente de otras fuentes distintas del Sol y puede considerarse que el coeficiente de transmisión de calor por convección es igual a 2.0 Btu/h . pies2 - F. La temperatura máxima del aire circundante puede tomarse como igual a 100 'F. Puede usarse la constante solar del ejemplo 16.4-1 y también pueden despreciarse la absorción y La dispersión de los rayos solares por la atmósfera. Resolver el problema para los casos siguientes.
16A.4
a) La azotea es perfectamente negra. b) La azotea está recubierta de aluminio cuya absorbencia
es de 0.3 para radiación solar y la emisividad a la temperatura de la azotea es 0.07. C. G.Abbot, en Solar Energy Research (F. Daniels y J. A. Duffie, comps.), University of wsconsin kess, Madison (1955),pp. 91-95, véase también U . C . Patent No. 2,460,482 (1 de febrero de 1945).
16A.6
Temperaturas en la superficie de la Luna.
a) Calcular la temperatura en la superficie de la Luna en punto más próximo al Sol por medio de un balance de eni gía radiante en estado casi estacionario, considerandolas perficie lunar como una esfera gris. Despreciar Ia radiacii y la reflexión procedentes de los planetas. La constante S lar en la Tierra se proporciona en el ejemplo 16.41. b) Extender el inciso a) para proporcionar la temperah de la superficie lunar como una función del desplazami< to angular a partir del punto más caliente. 168.1 Temperatura de referencia para una emisivid efectiva. Demostrar que, si la emisividad aumenta b e mente con la temperatura, entonces la ecuación 16.5-3 pi de escribirse como QI2 =
~ Y ~ A ~ ( -T :T : )
(163.1,
donde e? es la emisividad de la superficie 1. evaluada a u temperatura de referencia T" dada por
16B.2 Radiación a través del espacio vacío en concéntricos. Deducir una expresión para la transmisión calor por radiación entre dos cilindros coaxiales grises 1 gos 1 y 2. Demostrar que
donde Al es el área superficial del cilindro interior.
,
Problemas 595
168.3
Escudos de radiación múltiples.
a) Deducir una ecuación para la velocidad de transmisión
de calor por radiación a través de una serie de n láminas metálicas, muy delgadas, planas y paralelas, cada una de las posee una emisividad e diferente, cuando la primera Iámjna está a la temperatura TI y la n-ésima lámina está a la temperatura T , . Proporcionar el resultado en términos de las resistencias de radiación
R ~,t+l. . =
G
i
~
T!+*> 4
Q i j +i
(160.3-1)
para las parejas de planos sucesivas. Deben despreciarse los efectosde los bordes y de la conducción a través del espacio de aire comprendido entre las Iáminas. b) Determinar la razón de la velocidad de transmisión de calor por radiación para n láminas idénticas con respecto a [a que tiene lugar para dos Iáminas idénticas. C) Comparar los resultados para tres láminas con los que se obtuvieron en el ejemplo 16.5-1. La notoria reducción en las velocidades de transmisión de calor producida por varios escudos de radiación en serie, llevó a la utilización de múltiples capas de hojas metáiicas para obtener aisIamiento a alta temperatura.
na de aluminio limpio (e = 0.05). La superficie interior del tubo está a 250 "F, y el tubo es horizontal, rodeado por aire a 1atm y 80 "E a) Calcular el flujo de calor conductivo p r unidad de longitud, Q ( c o ~ ~ ) /aLtravés de la pared del tubo y el aislamiento para temperaturas supuestas, To, de 100 y 250 "F en la superficie exterior de la Iámina de aluminio. b) Calcular las pérdidas de calor por radiación y por convección libre, Q ( ' ~ ~ ) / L y Q ( C O ~ ~ ) / L , para Ias mismas temperaturas supuestas To de la superficie exterior. C) Graficar o interpolar los resuItados anteriores para obtener los valores en estado estacionario de To y Q ( ~ O " ~ ) / L= ~(rad)+ / ~Q(conv)/l-
Resolución de la integral del factor de visión para un par de discos (figura 16.C-1). Dos discos paralelos perfectamente negros de radio R están separados por una distancia H. Evaluar las integrales del factor de visión para este caso y demostrar que 16C.1
F,, = F,, =
7. + 2B2 -
m
2B2
(16.C.1-1)2
donde B = RIH.
Radiación y conducción a través de medios ab168.4 sorbentes. Una placa de vidrio, limitada por los planos z = O y z = S, se extiende infinitamente en las direcciones x y y. Las temperaturas de las superficies en z = O y z = S se mantienen a Toy T8 respectivamente. Una emisión de ra os radiante monocromática uniforme de intensidad q$en la dirección z incide sobre la cara en z = O. Pueden despreciarse la emisión en el interior de la placa, la reflexión y la radiación incidente en la dirección z negativa. a) Determinar la distribución de temperatura en la placa, suponiendo que m, y k son constantes. b) ¿Cómo depende de m, la distribución de la densidad de flujo de calor conductivo q,?
Enfriamiento de un cuerpo negro en el vacío. Un cuerpo negro delgado de conductividad térmica muy alta tiene volumen V, área superficial A, densidad p y capacidad calorífica Cp. En el instante f = O, este cuerpo a temperatura TI se coloca en un recinto negro cuyas paredes se mantienen permanentemente a una temperatura T2 (con T2 < S,). Deducir una expresión para la temperatura T de1 cuerpo hegro como una función del tiempo. 16B.5
Figura 16.C-1 Dos discos perfectamente negros. Pérdidas de calor en un alambre que conduce una corriente e l é ~ t r i c aUn . ~ alambre de longitud L calentado eléctricamente cede calor hacia el entorno debido a la transmisión de calor por radiación. Si los extremos del alambre se mantienen a una temperatura constante To, obtener una expresión para la variación axial en la temperatura del alambre. Puede considerarse que el aIambre radia a un recinto negro que está a la temperatura To. 16D.I
t
r6B.6 Pérdidas de calor en un tubo aislado. Un tubo de acero estándar cédula 40 de 2 pulg de longitud (de 2.067 pulg de diámetro interno y espesor de la pared igual a 0.154 pulg k = 26 Btu/h . pie . F) que transporta vapor está aislado con 2 pulg de magnesia al 85% (k = 0.4 Btu/h . pie F) y reculerto estrechamente con una capa exterior sencilla de lámi-
t
C. Christiansen, Wiedemann'S Ann. d . Physik, 19,267-283 (1883); véase también M. Jakob, Heat Transfer, Vol. 11, Wiley, Nueva York (1957),
p. 14. H. S. Carslaw y J. C. Jaeger,Conduction of Heat in Solids, 2a. edición, Oxford Universiw Press (19591, pp. 154-156.
Difusividad y los mecanismos de transporte de materia Ley de Fick de la difusión binaxia (transporte molecular de materia) Dependencia de las difusividades con respecto a la temperatura y la presión
Teoría de la difusión en gases a baja densidad Teoría de la difusión en líquidos binarios Teoría de la difusión en suspensiones coloidales Teoría de la difusión en polímeros Transporte de materia y molar por convección Resumen de densidades de flujo de masa y molar Ecuaciones de Maxwell-Stefan para difusión de vanas componentes en gases a baja densidad
En el capítulo 1 comenzamos por plantear la ley de viscosidad de Newton, y en el capítulo 9 empezamos con la ley de Fourier de la conducción del calor. En este capítulo empezamos proporcionando la ley de Fick de la difusión, que describe el movimiento de una especie química A a través de una mezcla binaria de A y B debido a un gradiente de concentración de A. El movimi to de una especie química desde una región de alta concentración . hacia una regro de baja concentración puede observarse al dejar caer un pequeño cristal de permanganato de potasio en un vaso de precipitado que contenga agua. El KMn04 empieza a disolverse en el agua, y muy cerca del cristal hay una solución concentfada púrpura oscura de KMn04. Debido al gradiente de concentración que se establece, el KMn04 se difunde lejos del cristal. El avance de la difusión puede seguirse entonces al observar el crecimiento de la región púrpura oscura. En 517.1 proporcionamos la ley de Fick de la difusión binaria y definimos Ia difusividad gAB para la pareja A-B. Luego analizamos brevemente la dependencia de la difusividad con respecto a la temperatura y la presión. Después proporcionamos un resumen de las teorías disponibles para pronosticar la difusividad de gases, liquido~,coloides y polímeros. Al final del capítulo analizamos el transporte de materia de una especie química por convección, estableciendo así un paralelismo entre los tratamientos en los capítulos 1 y 9 para Ia transferencia de cantidad de movimiento y la transmisión de calor. También introducimos unidades molares y la notación necesaria para describir la difusi6n en estas unidades. Por último, proporcionamos las ecuaciones de Maxwell-Stefan para gases de varios componentes a bajas densidades. Antes de comenzar el análisis, establecemos las siguientes reglas o convenciones de notación: para difisión de varias componentes, designamos las especies con letras griegas minúsculas, a,/3, y, . . . y sus concentraciones, con los subíndices correspondientes. Para difksión binaria usamos las letras mayúsculas cursivas A y B. Para au-
.g
599
600 Capitulo 17 üifusividad y los mecanismos de transporte de materia
todifusión (difusión de especies químicamente idénticas), identificamosl K e s con A y A*. La especie "etiquetada" A* puede diferir físicamente de A en vi la radiactividad u otras propiedades nucleares como masa, momento rnagr&tic espín.' El uso de este sistema de notación permite ver a primera vista el tipo de tema al que se aplica una fórmula dada.
$17.1 LEY DE FICK DE LA DIFUSIÓN BINARIA (TRANSPORTE MOLECULAR DE MATERIA) Considérese una delgada 16mina horizontal de sílice fundido de área A y espesor Supóngase que inicialmente (para el instante t < 0) ambas superficies horizontal de la lámina están en contacto con el aire, que consideramos como completam insoluble en süice. En el instante t = O, el aire que está por debajo de la lámina se tituye repentinamente por helio puro, que es sensiblemente soluble en síiice. El lio penetra lentamente en la lárnina debido a su movimiento molecular y finahen aparece en el gas superior. Este transporte molecular de una sustancia con respe&g
a otra se denomina difusión (también se conoce como dihsión de materia, difusión dj concentración o difusión ordinaria). El aire que está arriba de la lámina se sustituye r$ pidamente, de modo que ahí no hay acumulación notoria de helio. Entonces se ti* ne la situación que se representa en la figura 17.1-1; este proceso es análogo a 1& descritos en las figuras 1.1-1 y 9.1-1, donde se definieron la viscosidad y la conduc tividad térmica. En este sistema, el helio se denomina "especie A" y la síiice, "especie E". La concentración estará dada por las "fracciones de masa" wA y oB.La fracción de masa wA es la masa de helio dividida entre la masa de helio más la masa de la sílice en un ele mento de volumen microscópico dado. La fracción de masa wg se define de mama semejante.
1
Espesor de la placa de síüce = Y s sustancia B )
1
wAiv)
X
'
o*=O
'
OA = OAO
t grande
Figura 17.1-1 Formación del perfil de concentración en estado estaciw nario para la difusión del helio (SUStancia A) a través de síiice fundido (sustancia B). El símbolo wA rep* senta la fracción de masa del helio, Y wAoes la solubilidad del helio en S$ce fundido, expresada como fracci6n de masa. Véanre las figuras 1.1-1 9.1-1 para las situaciones análogas de transferencia de cantidad de movimiento y d e calor.
1
E.O. StejsM y J.E. Tanner, J. Chem. Phyc., 42,288-292 (1965); P. Stilbs, Pmg. NMR Spectros, 19,l-45(1987);P.T.Cd iiaghan y J. StepiSnik, Adv Magn. Opt.Reson., 19,325388 (1996).
917.1 Ley de Fick de la difusibn binaria (transporte molecular de materia) 601
Para tiempo t menor que cero, la fracción de masa del helio, oA,es igual a cero en todas partes. Para tiempo t mayor que cero, en la superficie inferior, y = O, la fracción de masa del helio es igual a wAo. Esta última cantidad es la solubilidad del helio en silice, expresada como una fracción de masa, justo en el interior del sólido. A medida que transcurre el tiempo se desarrolla el perfil de fracción de masa, con oA= oAO en la superficie inferior de la lámina y o~= O en la superficie superior de ésta. Como se indica en la figura 17.1-1, el perfil tiende hacia una h e a recta con el aumento de t. En estado estacionario, se encontró que el flujo de masa WAy del helio en la dirección y positiva puede describirse hasta una muy buena aproximación por medio de
Es decir, la velocidad de flujo de masa del helio por unidad de área (o densidad de flujode masa) es proporcional a la diferencia de fracción de masa dividida entre el espesor de la lámina. Aquí p es la densidad del sistema sílice-helio, y el factor de proes la difusividad del mismo sistema. Ahora volvemos a escribir la porcionalidad gAB ecuación 17.1-1 para un elemento diferencial en el interior de la placa:
Aquí wA /A se ha sustituido por j4., la densídnd de flujo molecular de rnaterio en masa d l helio en la dirección y positiva. Nótese que el primer subíndice, A, designa la especie química (en este caso helio) y que el segundo índice indica la dirección en que se lleva a cabo el transporte por difusión (en este caso la dirección y). La ecuación 17.1-2 es la forma unidimensional de la primera ley de Fick de la difisión.' Es válida para cualquier solución binaria sólida, líquida o gaseosa, en el supuesto de que j se defina como la densidad de flujo de materia en masa con 4 respecto a la velocrdad de mezcla v . Para el sistema que se analiza en la figura 17.1-1, el helio se mueve con mucha lentitud y su concentración es muy pequeña, de modo que vy es diferente de cero, pero despreciable, durante el proceso de difusión. En general, para una mezcla binaria,
Así, v es un promedio en el que las velocidades de las especies, vA.yvB, se ponderan según las fracciones de masa. Este tipo de velocidad se denomina velocidad media de masa. La velocidad vAde la especie no es la velocidad molecular instantánea de una molécula de A, sino más bien la media aritmética de las velocidades de todas las moléculas de A en e1 interior de un elemento de volumen pequeñito. Así, la densidad de flujo de masa jAy se define, en general, como
La densidad de flujo de materia de B se define de manera semejante. A medida qiie las dos especies químicas se interdifunden, localmente hay un d e s p l a ~ a ~ i e l idei to centro de masa en la dirección y si los pesos moIeculares de A y B son diferentes. Las densidades de flujo de masa jAy y jRy se definen de manera que jAY + jAy = O. En otras palabras, las densidades de flujo jAy y jByse miden con respecto al movimiento del centro de masa. Esta cuestión se analizará en detalle en 517.7 y g17.8.
'
A. Fick, Ann. der Physik, 94,5986 (1855). La segunda ley de Fick, que es el análogo en difusión de la ecuación de conducción de calor de la ecuación 11.2-10, se proporciona en la ecuación 19.1-18. Adolf Eugen Fick (1829-1901) fue un médico que enserió en Zürich y Marburgo, y después se convirtió en rector de la Universidad de Würszburgo. Postu16 las leyes de difusión por analogía con la conducción de calor, no por experimentación.
602 Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
-i-
Si se escriben ecuaciones semejantes a la ecuación 17.1-2 para las direcciones x y
y luego se combinan las tres ecuaciones, se obtiene la forma vectorial de la ley de Fi* Para la especie B puede escribirse una relación semejante:
En el ejemplo 17.1-2 se demuestra que gBA= gAB.Así, para la pareja A-B sólo hay una difusividad, que en general es una función de la presión, la temperatura y la composición. La difusividad de masa la difusividad térmica a = k/pfp y la difusividad de cantidad de movimiento (viscosidad cinemática) v = p / p , tienen dimensiones de (l~n~itud)~/tiem Por ~ otanto, . las razones de estas tres cantidades son grupos a&mensionales:
S,
El numero de Prandtl:
El número de S ~ h r n i d t : ~
sc=--- v - P %B
El número de L e ~ i s : ~
Le = -- ff
BAB
P%B
k
Kpg~~
Estos grupos adimensionales de propiedades del fluido juegan un papel prominente en e c u a c i o n ~adimensionales para sistemas en los que ocurren procesos de transporte que compiten. (Nota: algunas veces, el número de Lewis se define como el inverso de Ia expresión 17.1-9.) En las tablas 17.1-1 a 17.1-4 se proporcionan algunos valores de gABen cm2/s para algunos sistemas gaseosos, líquidos, sólidos y poliméricos. Estos valores pue den transformarse fácilmente a m2/s multiplicando por Las difusividades de gases a baja densidad son casi independientes de wA, aumentan con la temperatura y varían inversamente con la presión. Las difusividades de líquidos y sólidos d e penden fuertemente de la concentración y suelen aumentar con la temperatura. Hay vanos métodos experimentales para medir difusividades, algunos de los cuales se describen en capítulos po~teriores.~ Para mezclas gaseosas, el número de Schmidt puede variar desde aproximadamente 0.2 hasta 3, como puede verse en la tabla 17.1-1. Para mezclas líquidas se han observado valores hasta de 40,000.~ Hasta el momento hemos analizado fluidos isotrópicos, en los cuales la velocidad de la difusión no depende de la orientación de la mezcla de fluido. Para algunos sólidos y fluidos estructurados, la difusividad debe ser un tensor y no un escalar, de modo que es necesario modificar la primera ley de Fick como sigue:
Estos grupos se denominan así en honor de Emst Heinrich Wilhelm Schmidt (1892-1975),quien enserió en las universidades de Gdansk, Braunschweig y Munich (donde fue el sucesor de Nusselt); y Wamn Kendall Lewis (18821975), quien enseñó en el m y fue coautor de un texto precursor: WH. Walker, W.K. Lewis y W.H. McAdams, Principies of Chemical Engineoing, McCraw-Hi, Nueva York (1923). Para un anáiisis completo, véase W.E. Wakeham, A. Nagashima y J.V. Sengers, Measuronent of the Transport P ~ w perties of Fluids: Experimento! ~ e r i n o d y n a m i c sVol. , 111, CRC Press, Boca Rat6n, Fla. (1991). D.A. Shaw y T.].Hanratty, NChE Journal, 23,28-37,160-169 (1977); P. Haniott y R.M.Hamilton, Chem Eng, 20,1073-1078 (1965).
517.1 Ley de Fick de la difusión binaria (transporte rnolecular de materia) 603
donde AAB es el tensor de difucividad (sirnéi~ico).~~~ Según esta ecuación, la densidad de flujo de masa no necesariamente es colineal con el gradiente de fracción de masa. Hasta aquí dejamos el análisis de este tema. Tabla 17.1-1 Difusividades experimentalesa y números de Cchmidt límitebde parejas de gases a 1 atmósfera de presión Pareja de gases A-B COZ-N20 COZ-CO COZ-N,
Temperatura
(K)
273.2 273.2 273.2 288.2 298.2 Nz-CzH6 298.2 298.2 NzlnC4H~o 273.2 N2Q2 H2-SF6 298.2 H~-CH4 298.2 273.2 H2-N2 NH,-HZC 263 NH,-N,E 298 308 H20-N2 H2C-OZC 352 378.2 C3H,-nC,Hlt 437.7 C3H8-iC,~,t 298.0 378.2 437.8 c ~ H ~ - ~ ~ ~ c ~298.1 H ~ ~ ~ 378.2 437.7 nC,H,,-neo-c5H,; 298.0 378.2 437.8 iC4Hlo-neo-~5H12d 298.1 378.2 437.7
Sc
9~~ (cm2/s)
0.096 0.139 0.144 0.158 0.165 0.148 0.0960 0.181 0.420 0.726 0.674 0.58 0.233 0.259 0.357 0.0768 0.107 0.0439 0.0823 O. 112 0.0431 0.0703 0.0945 0.0413 0.0644 0.0839 0.0362 0.0580 0.0786
xA
+l 0.73 0.50 0.48 0.49 0.50 1.O4 1.MI 0.72 3.37 1.95 1.40 0.14 0.6F O.5ge O.5fje 0.95 0.91 1.O4
0.89 0.87 1.06 1.04 1.03 0.76 0.78 0.80 0.89 0.89 0.87
xB + 1
0.72 0.96 0.91 0.92 0.93 0.51 0.33 0.74 0.055 0.23 0.19 1.53 0.65 0.62 0.59 0.66 0.63 0.73 0.63 0.61 0.56 0.55 0.55 0.59 0.61 0.62 0.67 0.67 0.66
'A menos que se indique otra cosa, los valores están tomados de J.O. Hirschfelder, C.F. Curtiss y R.B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, 2a. impresión corregida, Wiley, Nueva York (1964), p. 579. Todos los valores están dados para 1 atmósfera de presión. Calculado usando los parámetros de Lennard-Jones d e la tabla E.1. Los parámetros para el hexafluoruro de azufre se obtuvieron a partir de datos del segundo coeficiente virial. Los valores de dAB para las mezclas de agua y amoniaco están tomados de la tabulación de R.C. Reid, J.M. Prausnitz y B.E. Pohng, The Properfiffiof G a s and Liquidc, 4a. edición, McGraw-Hiü, Nueva York, (1987). Los valores de 9AB para parejas hidrocarburc-hidrocarburo están tomados de S. Gotoh, M. Maiiner, J.P. Snrensen y W.E. Stewart, 1. Chem. Eng. Data, 19,169-171 (1974). e Los valoks de y para el agua y el amoniaco fueron c a l d a d o s a partir de funciones proporcionadas por T.E. Daubert, R.P. Danner, H.M. Sibul, C.C. Stebbins, J.L. Oscarson, R.L. Kowley, W.V. Wild'ing, M.E. Adams, T.L. Marshall y N.A. Zundel, DIPPR@ Data Compilation of Pure Compound Properties, Design Institute for Physical Property Data? AíChE, Nueva York, N.Y. (2000). Para p o h e r o s que Buyen se han deducido expresiones teóricas para el tensor de difisión usando la teoría cinética; véase H.C. Ottinger, AiChE Journal, 35,279-286 (19891, y C.F. Curtiss y R.B. Bird, Adv. Polym. Sci., 1-101 (1996). 56 y 535. M-E-Ciicksman, Dipsion in Sdids:Fidd 'i%ary,Cdtd State Principies, and Applications, Wdey, Nueva York (20M)).
604 Capitulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
Tabla 17.1-2 Difusividades experimentales en el estado líquiddb
Clorobenceno
Bromobenceno
10.10
Agua
Etanol
0.0332 0.2642 0.5122 0.7617 0.9652 0.0332 0.2642 0.5122 0.7617 0.9652 0.131 0.222 0.358 0.454 0.524 0.026 0.266 0.408 0.680 0.880 0.944
Los datos para las dos primeras parejas se tomaron de una reseña de P.A. Jobnson y A.L. Babb, Chem. Reus., 56,387-453(1956). Otros resúmenes d e resultados experimentales pueden encontrarse en: PW.M Rutten, Difision in Liquids, Delft University Piess, Delft, Holanda (1992); L.J. Gosting, Adv. in Pmtein Chem., Vol. XI, Academic Press, Nueva York (1956); A. Vignes, I.E.C. Fundarnentals, 5, 189-199 (1966). Los datos para etanol-agua se tomaron de M.T. Tyn y W.F. Calus, J. C h . Eng. Data, 20,310-316 (1975)
a
Tabla 17.1-3
Difusividades experimentales en el estado sólibd
SiO, Cristal Pyrex
Se presume que en cada una de las parejas anteriores el componente A esta presente s61o en cantidades muy pequeñas. Los datos se tomaron de R.M. Barrer, Di/fusion in and through Solids, Macmillan, Nueva York (1941), pp. 141,222 y 275.
917.1 Ley de Fick de la difusión binaria (transporte molecular de materia) 605 Tabla 17.1-4 Difusividades experimentales de gases en polímeros! Las difusividades, 9AB, están dadas en unidades de 10-6 (cm2/s). Los valores para el N2 y el O2 son para 298K, y para el C02 y el H, para 198K.
Polibutadieno Goma de silicón Trans-l,4-polisopropeno Poliestireno
N2
o 2
coz
*2
1.1
1.5 25 0.70 0.11
1.O5 15 0.47 0.06
9.6 75 5.0 4.4
15 0.50 0.06
Esta tabla es un extracto de D.W. van Krevelen, Properties of Polymers, 3a. edición, Elsevier, Amstetdam (1990), pp. 544-545. Otra referencia relevante es S. Fauly, en el. Polymer Handbook, 4a. edición (J. Brandrup y E.H. Immergut, editores), Wiley-Interscience, Nueva York (19991, capíhilo VI.
a
En esta sección hemos analizado la difusión que ocurre como resultado de un gradiente de concentración en el sistema. Nos referiremos a este tipo de difusión como difusión de concentración o difusión ordinarla. No obstante, hay otros tipos de difusión: la difusión térmica, que resulta de un gradiente de temperatura; la difusidn de presión, que resulta de un gradiente de presión; y la difusión forzada, que es provocada por fuerzas externas desiguales que actúan sobre Ias especies químicas. Por el momento, sólo consideraremos la difusión de concentración, y posponemos el estudio de los demás mecanismos hasta e1 capítulo 24. Asimismo, en ese capítulo analizaremos el uso de la actividad, más que la concentración, como fuerza impulsora de Ia difusión ordinaria.
b ~ v é sde cristal Pyrex
Calcular la densidad de flujo de masa j en estado estacionario del helio para el sistema de la figura 17.1-1 a 500 'C. La presión parcial del helio es 1 atm a y = O y cero en la superficie superior de la lámina. El espesor Y de la lámina de cristal Pyrex es mm, y su densidad p(s) es 2.6 g/cm3. Se ha reportado7que la solubilidad y la difusividad del helio en cristal Pyrex es de 0.0084 volúmene5 de helío gaseoso por volumen de cristal y BAB= 0.2 X cm2/s, respectivamente. Demostrar que es razonable despreciar la velocidad media de masa, implícita en la ecuación 17.1-1.
La concentración de masa del helio en la superficie inferior del cristal se obtiene a partir de los datos de solubilidad y la ley de los gases ideales:
C.C. Van Voorhis, Phys. Rev., 23,557 (1924), según reporta R.M.Barrer, Diffusion in and through Solids, impresión corregida, Cambridge University Press (1951).
606
Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
Así, la fracción de masa del helio en la fase sblida en la superficie inferior es PAO = pAo
OAO
+ pBo
-
5'3 = 2.04 x 10-7 5.3 x lo-7 + 2.6
(17.1-1
Ahora podemos calcular la densidad de flujo del helio a partir de la ecuación 17.1-1 corno
Luego, la velocidad del helio puede obtenerse a partir de la ecuación 17.1-4:
En la superficie inferior de la lámina de cristal (y = O), el valor de esta velocidad es
Entonces, el valor correspondiente vyo dela velocidad media de masa de1 sistema cristal&lio en y = O se obtiene a partir de la ecuación 17.1-3
Por tanto, en la ecuación 17.1-4 es posible despreciar a u sin ningún problema, y el análisis en estado estacionatio del experimento de la figura 17.1-1 es exacto.
Demostrar que para describir el comportamiento de difusión de una mezcla binaria sólo se requiere una difusividad. Equivalencia de ' A S Y 'BA
SOLUCIÓN
Empezamos por escribir la ecuación 17.1-6 como sigue:
La segunda forma de esta ecuación se concluye a partir de que wA + wg = 1. A continuación usamos los equivalentes vectoriales de las ecuaciones 17.1-3 y 17.1-4 para escribir
Al intercambiar A y B en esta expresión se observa que j A = -jB. Luego, combinando esto con la segunda forma de la ecuación 17.1-17 se obtiene
-
517.2 Dependencia de las difusividadescon respecto a la temperatura y la presión 607
-.
Cuando lo anterior se compara con la ecuación 17.1-5se obtiene gBA= 5BAB. Encontramos que el orden de los subfndices carece de importancia para un sistema binario y que para describir el comportamiento de difusión s610 se requiere una difusividad. Sin embargo, bien puede m m r que la difusividadde una solución diluida de A en B y la difusividad para una soluci6n diluida de B en A sean numéricamente diferentes. La razón de este hecho es que la difusividad depende de la concentración, de modo que los dos valores limite antes mencionados son los valores de la difusividad %A = BABa dos concentraciones diferentes.
$17.2 DEPENDENCIA DE LAS DIFUSIVIDADES CON RESPECTO A LA TEMPERATURA Y LA P R E S I ~ N En esta sección analizamos la predicción de la difusividad gABpara sistemas binarios por medio de mktodos de los estados correspondientes. Estos métodos también son iitiles para extrapolar datos existentes. En las referencias bibliográficas pueden encontrarse comparaciones de muchos métodos alternativos.'t2 Para mezclas gaseosas binarias a baja presión, gAB es inversamente proporcional a la presión, aumenta con la temperatura y es casi independiente de la composición para una pareja de gases dada. La siguiente ecuación para estimar BABa bajas presiones se dedujo3 a partir de una combinación de argumentos de la teoría cinética y de los estados correspondientes:
Aquí g A B [ = ] ~ 2pI=latm / ~ , y TI=lK. El análisis de datos experimentales proporcioy b = 1.823 para parejas de gases na las constantes adimensionales a = 2.745 X no polares, excluyendo el helio y el hidrógeno, y a = 3.640X low4y b = 2.334 para parejas que constan de H 2 0y un gas no polar. La ecuación 17.2-1 se ajusta a los datos experimentales a presión atmosférica dentro de una desviación media de 6 a 8%. Si los gases A y B con no polares y se conocen sus parámetros de Lemard-Jones, eiitonces el método de la teoría cinética que se describe en la siguiente sección suele proporcionar una exactitud algo mejor. A altas presiones, y en el estado líquido, el comportamiento de gABes más comphcado. La situación más simple y que se comprende mejor es la de la autodifusión (interdifusión de moleculas etiquetadas de las mismas especies químicas). Primero analizaremos este caso y después extenderemos los resultados de manera aproximada a mezclas binarias. En la figura 17.2-l4se proporciona una gráfica de los estados correspondientes de la autodifusividad gAA'para sustancias no poIares. Esta gráfica está basada en mediciones de autodifusividad, complementadas por simulaciones de la dinámica molecular y por la teoria cinética para el limite a baja presi6n. La ordenada es cBM, 1 R.C. Reid, J.M. Prausnitz y B.E. Poiing, The Pmperties of Gwes nnd Liquids, 4a. edición, McGraw-Hill, Nueva York (1987),capítulo 11. E.N. Fuiier, P.D.Shettler y J.C. Giddings, Ind. Eng. Chem.,58, Núm.5,19-27(1966);Error:ibíd., 58, Núm. 8 (1966). Este artículo proporciona un método útil para pxedecir las difusividades de gases buiarios a partir de las fórmulas moleculares de las dos especies. J.C. Slattery y R.B. Bird, AlChE Journal, 4,137-142 (1958). Otras correlacionespara la autodifusividad a presiones elevadas aparecieronen la referencia 3 y en L.S. Tee, G.F. Kuether, R.C.Robinson y W.E. Stewart, API Proceedings, Diuision of Refining, 235-243 (1966);R.C. Robinson y W.E. Stewart. IEC Fundrrmtals, 7.90-95 (1968); J.L. Bueno, J. Dizy, R. Aivarez y J. Coca, Trnns. Inst. Chem. Eng., 68, Parte A, 392-397 (1990).
'
608 Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
a presión p y temperatura T, dividida entre c Q . al punto crítico. Esta can muestra graficada como una función de la presión reducida p, = p l p , y la te hira reducida T , = T/T,. Debido a la semejanza de la especie A y la especie tada A*, todas las ~ropiedadescríticas se toman como las de la especie A. A partir de la figura 17.2-1 se observa que aumenta fuertemente ~0 temperatura, en especial para líquidos. A cada temperatura c%, disminuye h cero con el aumento de presión. Cuando disminuye la presión, aumenta cia un límite a baja presión, según predice la teoría cinética (véase 517.3). Se adv te al lwtor que esta gráfica es tentativa y que las líneas, excepto para el limite a baju densidad, se basan en datos de muy pocas sustancias: Ar, Kr, Xe y CH4. La cantidad ( ~ 9 ~puede , ) ~estimarse con alguno de los tres métodos siguient
'7
i) Dada c G , a temperatura y presión conocidas, (cOaA,,), puede leerse a p a ~ de la gráfica y obtener (cQl), =~9~*/(c&~),. ii) Es posible pronosticar un valor de cQ, en la región de baja densidad uti. lizando los métodos que se presentan en 517.3 y luego proceder como en e] inciso i). iii) Puede usarse la fórmula empírica (véase el problema 17A.9):
II
)i
4 3
' y
1.0
m
3E
0.8 0.6
'1 4
0.4
0.2
0.6
0.8 1.0 15 2 Temperatura reducida, T,
-
3 T/T,
4
5
Figura 17.2-1 Gráfica de los estados correspondientes para Ia autodifusividad reducida. Aquí ( ~ 9 = ( ~ 9~~para ,)) ,~ Ar, Kr, Xe y CH4 está graficada como una función de la temperatura reducida para va. rios valores de la presión reducida. Esta gráfica est$ basada en datos de difuslvidad de J.J. van Loef y E.G.D Cohen, Physica A, 156,522-533 (19891, en la función de compresibilidad de B.I. Lee y M.C. Kesler, AlChE Journal, 21,510527 (1975), y en la ecuación 17.3-11para el límite a baja presión.
$17.2 Dependencia de las difusividades con respecto a la temperatura y la presión
609
Esta ecuación, como la 17.2-1, no debe usarse para isotopos del helio o del hidrógeno. ~ q uc[=]g-mol/cm3, í gAA*[=]cm2/s, T,I=lK y p,[=]atm. Hasta el momento, el análisis del comportamiento a alta densidad se ha ocupado de la autodifusión.Ahora abordaremos la difusión binaria de especies químicamente diferentes. En ausencia d e otra información, se sugiere que la figura 17.2-1 puede usarse para la estimación aproximada de con pcA y TcAsustituidas por y respectivamente (véase el problema 17A.9 para conocer la base de este empirismo). Así, la ordenada de la gráfica se interpreta como ( c S I A ~ = )~ c ~ I ~ ~ / ( yc la~ ecuación ~ ~ ) , 17.2-2 se reemplaza por
m,
Con estas sustituciones se obtienen resultados exactos en el límite a baja presión. A presiones superiores hay muy pocos datos disponibles para efectos de comparación, de modo que el método debe considerarse como provisional. Los resultados en la figura 17.2-1, y sus extensiones a sistemas binarios, se exEsto se hace así debido presan en términos de c g M , y cgABen vez de gM,y qB. a que los coeficientes de difusión multiplicados por c se requieren más a menudo en cálculos de transferencia de materia, y su dependencia con respecto a la presión y la temperatura es más sencilla.
Estimar oaAB para el sistema CO-C02 a 296.1K y 1 atm de presión total. -.
Estimación de la
SOLUCIÓN
'difusividad a baja .densidad
Las propiedades necesarias para la ecuación 17.2-1 son (véase la tabla E.1): Etiqueta
Especie
M
T,(K)
p,(atm)
Por tanto,
AI sustituir estos valores en la ecuación 17.2-1 se obtiene
~ s t coincia Esto proporciona gAB= 0.152 cm2/s, en concordancia con el valor e~~enrnental.~ dencia es extraordinariamente buena. B.A. Ivakin, P.E. Sueiin, Sov. Phys. Tech. Phys. (traducción al inglés), 8,748-751 (1964).
610 Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
Este problema también puede resolverse por medio de la figura 17.2-1 y la ecuación 17 junto con la ley de los gases ideales p = cRT. El resultado es 9 A B = 0.140 cm2/s, 10 cual co cide razonablemente bien con los datos.
= 0.113 cm2,~ Estimar c q , para C1402en C02 común a 171.7atm y 373K. !% sabe6 que 9AAT a 1 atm y 298K, en cuyas condiciones c = p/RS = 4.12 X g-mol/cm3.
Estimacióm de la autodifusividad a alta densidad
SOLUCIÓN Debido a que se proporciona u n valor medido de aMl, se usa el método i). Las condiciones reducidas de la medición son T , = 298/304.2 = 0.980 y p, = 1.00/72.9 = 0.014. Luego, a partir de la figura 17.2-1se obtiene el valor (~9~,), = 0.98. Por tanto,
En las condiciones de predicción (T, = 373/304.2 = 1.23 y p, = 171.7/72.9 = 2.361, se lee (c9&.), = 1.21.Entonces, el valor pronosticado es
I
g-mol/cm . S en estas co/ Los datos de OI-Iem y ~ a r t i proporcionan n~ cgAA.= 5.89 X diciones. Esta buena concordancia no es inesperada, debido a que en la estimación de (cBAA,)' se usaron sus datos a baja presión. Este problema también puede resolverse con el método iii) sin contar con un valor ex rimental de Con la ecuación 17.2-2 se obtiene directamente E
4
es 5.1 X
El valor pronosticado resultante de
difusividad binaria a alta densidad
g-mol/cm . s.
Estimar c5BAB para una mezcla de 80 moles por ciento de CHq y 20 moles por ciento de C a 136 atm y 313K. Se sabe que, a 1 atm y 293K, la densidad molar es c = 4.17 X 1 g-mol/cm3 y BAB= 0.163 cm2/s.
SOLIICIÓN Se usa la figura 17.2-1, con el método i). Las condiciones reducidas para los datos conocid son T
"=
m
-
293 d(190.7)(305.4)
E.B. Wynn, Phys. h., 80, 1024-1027 (1950). H.A. O'Hern y JJ. Martin, Ind. Eng. Chem., 47,2081-2086 (1955).
= 1.22
(17.2
917.3 Teoría de la difusión en gases a baja densidad
611
Con base en la figura 17.2-1, a estas condiciones se obtiene ( ~ 9= 1.21. ~ ~ Por ) tanto, ~ el valor crítico,(cgABIces
Luego se calculan las condiciones reducidas para la predicción U,. = 1.30, pr = 2.90) y a partir de la figura 17.2-1 se lee el valor (cgAB),.= 1.31. Por consiguiente, el valor pronosticado de cgABes
Mediciones experimentales8 proporcionan cgAB= 6.0 X g-mol/cm . S, de modo que el valor pronosticado es 23% alto. Desviaciones de esta magnitud no son raras en la estimación de cBABa altas densidades, Con el método iii) puede obtenerse una solución alternativa. Al sustituir en la ecuación 27.2-3 se obtiene
Al multiplicar por
a la condición deseada se obtiene
Este resultado concuerda mejor con el valor medido experimentaL8
517.3O TEORÍA DE LA DIFUSIÓN EN GASES A BAJA DENSIDAD
La difusividad de masa gAB para mezclas binarias de gases no polares es predecible por la teoría cinética dentro de un margen aproximado de 5%.Así como en los primeros análisis que se hicieron en 51.4 y 59.3 aplicando la teoría cinética, empezamos con una deducción simplificada para ilustrar los mecanismos implicados y luego presentamos los resultados más exactos de la teoría de Chapman-Enskog. Considérese una gran masa de gas que contiene las especies moleculares LZ y A', que son idénticas excepto por la identificación. Se desea determinar la autodifusividad gAA* en términos de las propiedades molecuIares con base en la suposición de que las moléculas son esferas rígidas cuya masa m A y diámetro d A son iguales. Debido a que las propiedades de A y A" son casi las mismas, es posible usar los siguientes resultados de la teoría cinética para un gas puro a baja densidad constituido por esferas rígidas cuyos gradientesde temperatura, presión y velocidad son pequeños: V.].Berry, Jr., y R.C.KoeUer, MChE Juurnnl, 6,274-280 (1960)
612 Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
= velocidad molecular media con respecto a v
Z=+nii
= frecuencia de colisiones contra la pared por
1 A = fimj2n
= trayectoria libre media
unidad de área en un gas estacionario
(17.3(17.3-
Las moléculas que llegan a cualquier plano del gas tuvieron su última colisión, promedio, a una distancia a de dicho plano, donde En estas ecuaciones, n es el número de densidad (número total de moléculas unidad de volumen). Para pronosticar la autodifusividad gAA*t consideramos el movimiento de la pecie A en la dirección y bajo un gradiente de fracción de masa dwA/dy (véase la fi. gura 17.3-11, donde la mezcla del fluido se mueve en la dirección y a una velocidad finita media de masa vY en todas partes. La temperatura T y la concentración total de masa molar p se consideran constantes. Se supone que las ecuaciones 17.3-1 a 17.3-4 siguen siendo válidas en esta situación de no equilibrio. La densidad de fl+ de masa neta de la especie A que c~iizauna unidad de área de cualquier plano de y c m tante se encuentra escribiendo una expresión para la masa de A que cruza el plano en la dirección y positiva y restando La masa de A que cruza en la dirección y negativa:
Aquí el primer término es el transporte de materia en la dirección y debido al movimiento de masa del fluido - e s decir, el transporte por convección- y los dos Últimos términos proporcionan el transporte molecular relativo a v Y' Se supone que el perfil de concentración wA(y)es casi lineal sobre distancias de varias trayectorias libres medias. Entonces puede escribirse
Luego, al combinar las dos últimas ecuaciones se obtiene la densidad de flujo de maca combinada en el plano y:
Y4 Perfil de fracción molar wA(y)
en y - a. La fracción de
\
estas moléculas que
pertenecen a la especie Aeso~Iw~
Figura 17.3-1 Transporte moiecular de la especie A desde e1 plano en (y - a) hasta el plano en y.
i
517.3
Teoría de la difusión en gases a baja densidad 613
Ésta es la densidad de flujo de musa convectiva más la densidad de filrjo de masa molecular, donde la segunda está dada por la ecuación 17.1-1. Por tanto, se obtiene la siguiente expresi6n para la autodifusividad:
Por último, usando las ecuaciones 17.3-1 y 17.3-3 se obtiene
que puede compararse con la ecuación 1.4-9 para la viscosidad y con la ecuación 9.3-12 para la conductividad térmica. La deducción de una fórmula para 9~~ para esferas rígidas de masas y diámetros distintos es considerablemente más difícil. Aquí simplemente citamos el resultado:'
Es decir, 1 / m A se sustituye por la media aritmética de 1 / m A y 1/ m B ,y d A se sustituye por la media aritmética de dA y dB. El análisis precedente muestra cómo es posible obtener la difusividad mediante argumentos de trayectorias libres medias. Para obtener resultados exactos es necesario usar la teoría de Chaprnan-Enskog. Los resultados de Chaprnan-Enskog para viscosidad y conductividad térmica se proporcionaron en 51.4 y 59.3, respectivamente. La fórmula correspondiente para cBABe ~ : ~ , ~
O bien, si c se aproxima por la ley de los gases ideales p = cRT, se obtiene para BAB
En la segunda línea de las ecuaciones 17.3-11 y 17.3-12, gAB[=]crn2/s, oAB[=~A, T[=]K y p[=]atmLa cantidad adimensional f19,AB -la "integral de colisión" para la difusiónes una función de la temperatura adimensional K T / E Los ~ ~parámetros U A BY E A B
' Un resultado semejante lo proporciona R.D. Present, Krirel~cT11myof Gasus, McGraw-Hill, Nueva York (19581, p. 55. S. Chapman y T.G. Cowling, 7 l e Mnthernnfical Thenry of Non-Uizifonn Cnsrs, 33. miicii>ii,Canihrici~eUnit9erslt). Press (1970),capítulos 10 y 14. 9.0.Hirschfelder, C.F.Curtiss y R.B. Bird, Mo!eculnr Theory of Gnsrs niid Liqiiiiia, 2a. iiiiprrsiiiii ciirrsgida, Wilr!; Nueva York (1964), p. 539.
614 Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
son los que aparecen en el potencial de Lennard-Jones entre una molécula de A una de B (cf. la ecuación 1.4-10):
4
Esta función S19,AB se proporciona en la tabla E.2 y en la ecuación E.2-2. A partir d,j estos resultados es posible calcular que kaAB aumenta aproximadamente con la tencia 2.0 de T a bajas temperaturas y con la potencia 1.65 de T a temperaturas mUy elevadas; véase la curva p, + O en la figura 17.2-1. Para esferas rígidas, f19,ABsería igual a la unidad a todas las temperaturas, y se obtendría un resultado análogo a la ecuación 17.3-10. Los parámetros UAB y EAB pueden, en principio, determinarse directamente a partir de mediciones exactas de gABsobre un amplio intervalo de temperaturas. Aún no se dispone de datos idóneos para muchas parejas de gases, por lo que tal vez sea necesario recurrir a alguna otra propiedad mensurable, como la viscosidad4 de una mezcla binaria de A y B. En caso de que no haya tales datos, entonces es posible estimar uAsy eAsa partir de las siguientes reglas de c~mbinación:~
para parejas de gases no polares. El uso de estas reglas de combinación permite pronosticar valores de BABdentro de un margen aproximado de 6% usando datos de viscosidad sobre las especies puras A y B, o dentro de aproximadamente 10% si los parámetros de Lennard-Jones para A y B se estiman a partir de datos del punto de ebuilición mediante el uco de la ecuación 1.4-12.~ Para parejas isotrópicas, vAA*= U A = VA* y = EA = es decir, los campos de fuerza intermoleculares para las diversas parejas A-A*, A*-A* y A-A son virtualmente idénticos, y los parámetros UA y EA pueden obtenerse a partir de datos de viscosidad sobre la especie pura A. Si, además, M A es grande, entonces la ecuación 17.3-11 se simplifica a
La ecuación correspondiente para el modelo de esferas rígidas se proporciona en la ecuación 17.3-9. Al comparar la ecuación 17.3-16 con la ecuación 1.4-14 se observa que la autodifusividad y la viscosidad ,u (o la viscosidad cinemática u) están relacionadas como sigue para parejas de gases isotópicos pesados a baja densidad:
donde f l p = 1 .lagAA* sobre un amplio intervalo de K T / E ~como , puede observarse en la tabla E.2. Así, Bu, = 1 . 3 2para ~ la autodifusividad.La relación entre vy la di$sividad binaria %B no es tan sencilla, debido a que u puede variar considerablemenesta en el intervalo de 0.2 te con la composición. El número de Schmidt Sc = a 5.0 para la mayoría de pares de gases. -
S. Weissman y E.A. Mason,]. Chem. Phys., 37,1289-1300 (1962); S. Weissman, L
-
Clietii.
--
-
Pfrys., 40, 3397-3406
(1964).
".O. Hirschfelder, R.B. Bird y E.L. Spotz, Chem. Revs., 44,205-231 (1949);S. Gotcih, M. Manner, J.P Sorensen y W.E. Stewart, J. Chern. Eng. Dafn, 19,169-171 (1974). R.C.Reid, ].M. Prausnitz y B.E. Poling, The Properti~sof Gases and Liquids, 4a. edición, McGraw-Hill, Nueva York (1987).
317.4 Teoría de la difusión en líquidos binarios 615 Las ecuaciones 17.3-11,17.3-12,17.3-16y 17.3-17 se dedujeron para gases no POlares monoatómicos, aunque se ha encontrado que también son útiles para gases no polares poliatómicos. Además, estas ecuaciones pueden usarse a fin de pronosticar gABpara la interdifusión de un gas polar y un gas no polar mediante eI uso de leyes de combinación diferentes7 a las que se proporcionaron en las ecuaciones 17.3-14y 17.3-15.
Pronosticar el valor de gABpara el sistema CO-C0, a 296.1K y 2.0 atm de presión total. &d de masa para gases monoatórnicos a baja
A partir de la tabla E.1 se obtienen los siguientes parámetros:
gensidad
CO:
MA= 28.01
uA=3.590 A
E,/K
CO,:
M, = 44.01
u, = 3.996 A
E ~ / K=
= 110K
190K
Luego, los parámetros de la mezcla se estiman a partir de las ecuaciones 17.3-14y 17.3-15:
Entonces, la temperatura adimensional es K T / E A ~= (296.1)/(144.6)= 2.048. A partir de la tabla E.2 es posible encontrar la integral de colisión para la difusión, CLaJAB = 1.067.Al sustituir los valores precedentes en la ecuación 17.3-12se obtiene
La teoría cinética de la difusión en Líquidos sencillos no está tan bien desarrollada como lo está para gases diluidos, y por el momento no puede proporcionar predicciones anaiíticas exactas de las dif~sividades.l-~ Como un resultado, la compreiisión que se tiene sobre la difusión de líquidos depende principalmente de los modelos bastante aproximados de la hidrodinámica y del estado activado. A su vez, estos modelos han producido varias correIaciones empíricas, que constituyen el mejor medio de predicción disponible. Estas correlaciones permiten estimar las difusividades en términos de propiedades que se miden más fácilmente, como la viscosidad y el volumen molar.
J.O. HirschFelder, C.F. Cuitiss y R.B. Bird, Moleculav Theoy of Gases and Liquids, 2a. impresión corregida, Wiley, Nueva York (1964),§8.66y p. 1201.Los gases polares y las mezclas gaseosas las analjzan E.A. Mason y L. Monchick, I Chem. Phys., 36,2746-2757(1962). R.J. Bearman y J.G. Kirkwood, J. Chent Phys., 28,136-145(1958). R.J. Bearman, J . Phys. Chem., 65,1961-1968(1961). C.F.Curtiss y R.B. Bird, J. Chem. Phys., 111,10362-10370 (1949).
'
616 Capítulo 17 Difusividad y Xoc mecanismos de transporte de materia
La teoría hidrodinámica tiene como punto de partida la ecuación de tein,4 que establece que la difusividad de una sola partícula o una sola soluto A a través de un medio estacionario B está dada por "aAB= KT(uA/F~)
(17.41)
donde uA/FAes la "movilidad" de la partícula A (es decir, la velocidad en estado es.$ tacionario que alcanza la partícula bajo la acción de una fuerza unitaria). El de la ecuación 17.4-1 se analizará en 317.5 en relación con el movimiento browniano de suspensiones coloidales. Si se conocen la forma y el tamaño de A, entonces la movilidad puede calcularse mediante la solución de la ecuación de movimiento ,p ra flujo reptante5 (ecuación 3.5-8).Entonces, si A es esférica y se tiene en cuenta la posibilidad de "deslizamiento" en la interfase fluido-sólido, se obtiene6
ongd
donde pBes la viscosidad del solvente puro, RA es el radio de la partícula disuelta y pABes el "coeficiente de fricción deslizante" (formalmente lo mismo que el p/gdel problema 2B.9). Los casos límite de PAB= y PAB= O revisten un interés particular: a. PAB= 03 (condición sin deslizamiento).
En este caso, la ecuación 17.4-2 se vuelve la ley de Stokes (ecuación 2.5-15)y la ecuación 17.4-1 se vuelve
que suele denominarse ecuación de Stokes-Einstein.Esta ecuación se aplica bien a la difusión de moléculas esféricas muy grandes en solventes de bajo peso molecular7y a partículas en suspensión. Para estimar las formas de las moléculas de proteínas se han usado expresiones análogas deducidas para partículas no esférica^.^,^ b. PAB = O (condición de deslizamiento completo).
En este caso, la ecuación 17.4-1 lleva a (véase la ecuación 48.3-4)
Si las moléculas A y B son idénticas (es decir, para autodqusión) y puede suponerse que forman una retícula cúbica donde las moléculas adyacentes apenas se tocan, entonces 2RA = ( v ~ / Ñ ~ ) Y' / ~
V é a n s e 517.7 y E.A. Moelwyn-Hughes, Physical Cheinisty, 2a. edición, impresión corregida, Macrnillan, Nueva York (1964), pp. 62-74. Véase también R.J. Silbey y R.A. Alberty, Physical Chemisty, 38. edición, Wiley, Nueva York (20011, $20.2. Aparentemente la ecuación de Nernst-Einstein no puede generalizarse a fluidos poliméricos con gradientes de velocidad apreciables, como observó H.C. ~ttinger,AIChE Journal, 35,279-286 (1989). C . Kim y S.]. Karrila, Microhydrodynamics: Principies and Selected Applications, Butterworth-Heinemann, Boston (1991).
H. Lamb, Hydrodynaniics, 6a. edición, Cambridge Universiiy Press (1932), reimpreso (1997), 5337. A. Polson, J. l'hys. Coiloid Chem., 54,649-652 (1950). H.J.V. Tyrrell, Dtffusion and Heat Flow in Liquids, Buttenvorths, Londres (1961), capitulo 6. El movimiento reptante alxededor de cuerpos finitos en un fluido de extensión infinita lo han revisado J. Hap pel y H. Brenner, Luiv Reynolds Nun~berHydrodynamics, PrenticeHall, Englewood Ciiffs, N.J. (1965); véase también s. Kim y S.J.Karrila, Microhydrodynainicc: l'rinciples and Selected Applications, Buttenuorth-Heinemann, Boston (1993). G. Yourigren y A. Acrivos, 1. Chem. Phys., 63,3846-3848 (1975) han calculado el coeficiente de fricción rotacioml para el Lniceiio, su~tentandola validez d e la condición sin deslizamiento a dimensiones moleculares.
%
517.4 Teoria de la difusión en líquidos binarios
617
Ce ha encontrado1* que la ecuación 17.4-5 concuerda dentro de un margen aproxrmado de 12%con datos de autodifusión para varios líquidos, incluyendo sustancias polares y asociadas, metales líquidos y azufre derretido. Se ha demostrado que el modelo hidrodinámico es menos útil para difusión binaria (es decir, para A no idéntica a B), aunque las dependencias pronosticadas con respecto a la temperatura y la viscosidad son aproximadamente correctas. Debe recordarse que las fórmulas anteriores sólo son válidas para soluciones di. sueltas de A en B. Sin embargo, se han hecho algunos intentos para extender el modelo hidrodinámico a soluciones de concentraciones finitas." La teoría de Eyring del estado activado intenta explicar el comportamiento del transporte a través de un modelo casi cristalino del estado líquido.12En esta teoría se supone que hay algún proceso a velocidad unimolecu~aren términos del cual es posible describir la difusión, y además se supone que en este proceso hay alguna configuración que puede identificarse como el "estado activado". La teoría de Eyring de las velocidades de reacción se aplica a este proceso elemental de manera SSmejante a como se describió en 51.5 para la estimación de la viscosidad de un líquido. Una modificación del modelo original de Eyring, hecha por Ree, Eyring y colaborado re^^^ produce una expresión semejante a la ecuación 17.45 para trazas de A en el solvente B:
Aquí 6 es un "parámetro de empacado", que en la teoría representa el número de vecinos mAs próximos de una molécula dada del solvente. Para el caso especial de la autodifusión, se encontró que 4 est6 muy cerca de 27r, de modo que las ecuaciones 17.4-5 y 17.46 concuerdan bien a pesar d e lo diferente que son los modelos de los que se dedujeron. ~ d t e o r i ade Eyring se basa en un modelo sobresimplificado del estado líquido, y en consecuencia las condiciones que se requieren para su validez no son claras. Sin embargo, Beannan ha demostrado2que el modelo de Eyring proporciona resultados consistentes con la mecánica estadística para "soluciones regulares", es decir, para mezclas de moléculas cuyo tamaño, forma y fuerzas intermoleculares son semejantes. Para esta situación límite, Bearman también obtiene una expresión para la dependencia de la difusividad con respecto a la concentración,
donde BABy pB son la difusividad y la viscosidad de la mezcla a la composición xA, y aA es la actividad termodinámica de la especie A. Para soluciones regulares, los volúmenes molares parciaies, VAy VBison iguales a los volúmenes rnolares de las componentes puras. Con base en su análisis, Bearman sugiere que la ecuación 17.4-7 debe limitarse a soluciones regulares, y de hecho se ha descubierto que sólo se apIica bien a soluciones casi ideales. Debido a la naturaleza insatisfactoria de la teoría de la difusión en líquidos, es necesario depender de expresiones empíricas. Por ejemplo, la ecuación de WilkeChang14proporciona la difusividad para concentraciones pequeñas de A en B como 'O
J.C.M. Li y P. Chang, J. Chem. Phys., 23,518-520(1955).
" C.W. Pyun y M . Fixman, J. Chem. Phys., 41,937-944 (1964). l2
S. Classtone, K.J. Laidler y H . Eyring, Theory of Rate Processes, McGraw-Ha, Nueva York (1941), capítulo M.
'", Eyring, D. Henderson, B.J. Stover y E.M. Eyring, Sfatistical Mechtzics nnd Dynamics. Wiey, Nueva York 516.6. " C.R. Wike, Chem. Eng. Pmg.,45,218-224 (1949); C.R. Wilke y Chang, AlChE Journal, 1,264-270 (1955).
618
Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
$
Aquí VAes el volumen molar de soluto A en cm3/g-mol como liquido a su punto ebullición normal, p es la viscosidad de la solución en centipoises, +B es un lfparaj metro de asociación" del solvente y T es la femperatura absoluta en K. Algunos v. lores recomendados de i,hB son: 2.6 para agua; 1.9 para metanol; 1.0 para bence éter, heptano y otros solventes no asociados. La ecuación 17.4-8es aceptable sóh pb: ra s~l-~ciones diluidas de solutos no disociantes. Para estas soluciones, dicha ecuación suele ser aceptable dentro de un margen de 510%. Reíd, Prausnitz y J?oling15han resumido otros empirismos y sus méritos relativ&
1
Estimar BABpara una solución diluida de TNT (2,4,6-trinitrotolueno) en benceno a 15 OC.
Estimación de la difusividad en líquidos
SOLUCIÓN 9 irtiliza la ecuaci6n de Wilke y Chang, tomando el TNT como la componente A y el benceno como la componente B. Los datos requeridos son p = 0.705 cp (viscosidad del benceno puro)
VA= 140 crn3/g-m01 (para el M) GB = 1.0 (para benceno)
,
MB= 78.11 (para benceno)
Al sustituir en la ecuación 17.4-8se obtiene
gA, = 7.4 x loa8 = 1.38 X
(1.0)(78.11}(273-k 15) (0.705)(140)~,~ cm2/s
Este resultado se compara bien con el valor experimental medido de 1.39 X
cm2/s.
i Ahora volvemos al movimiento de pequeñas partículas coloidales en un líquido1 Especificamente consideramos una suspensión diluida, finamente dividida, de par. tículas esféricas de material A en un líquido estacionario B. Cuando las esferas de son suficientemente pequeñas (pero aún grandes con respecto a las moléculas d medio de suspensión), las colisiones entre las esferas y las moléculas de B result en un movimiento errático de las esferas. Este movimiento aleatorio se denominq movimiento b r o ~ n i a n o . ~ a R.C.Reid, J.M.Prausnitz y B.E. Poling, The Properties of Gases nnd Liquids, 4a. edición, McGraw-Hiii, Nueva York (1987), capitulo 11. l A. Einsteiri, Ann. d. Phys., 17,549-560 (1905), 19,371-381 (1906); Inuestigafions on the Theory ofthe Brownian M@ vement, Dover, Nueva York (1956). S. Chandrasekhar, Rev. Mad. Phys., 151-89 (1943). W.B. Russei, D.A. Saville y W.R. Cchowalter, Colloidnl Dispersions, Cambridge University Press (1989);H.C. tinger, Stochastic Processes in Polymeric Fluids, Springer, Berlín (1996). Denominado así en honor del botánico R. Brown, Phil. Mag. (4), p. 161 (1828); Ann. d. Phys. u. Chem., 14, 313 (1828).En realidad el fenómeno h e descubierto y repohdo antes en 1789 por Janlngenhousz (1730-1799) en HO
g17.5
Teoría de la difusión en suspensiones coloidales 619
El movimiento de cada esfera puede describirse por una ecuación de movimiento, denominada ecuación de Langevin:
donde uAes la velocidad instantánea de la esfera de masa m. El témúno -luAproporciona la fuerza de resistencia de la ley de Stokes?, donde 5 = 6vpBRAes el "coeficiente de fricción". Finalmente, F(f) es la fuerza irregular del movimiento browniano, que oscila con rapidez. La ecuación 17.5-1 no puede "resolverse" en el sentido de costumbre, ya que contiene la fuerza F(t) que fluctúa aleatoriamente. Ecuaciones como Ia 17.5-1 se denominan "ecuaciones diferenciales estocásticas". Si se supone que i) F(t) es independiente de uAy que ii) las variaciones en F(t) son mucho más rápidas que las de uA,entonces de la ecuación 17.5-1 es posible exde que al instante t Ia partícula tenga una vetraer la probabilidad W(uA,t;uAo)duA locidad en el intervalo de uA a uA + duA. El razonamiento físico requiere que la densidad de probabilidad W ( U ~ , ~ ; tienda U ~ ~ )a una distribución de Maxwell (en equilibrio) cuando t + m:
Aquí, T es la temperatura del fluido en que están suspendidas las partículas. Otra cantidad de interés que puede obtenerse a partir de la ecuación de Langevin es la probabilidad, W(r,t;ro,uAo)dr,de que al instante t la partícula tenga una posición en el intervalo de r a r t dr si su posición y velocidad iniciales eran ro y UAO. Para tiempos largos, específicamente t >> m / f ; esta probabilidad está dada Por
Sin embargo, multa que esta expresión tiene exactamente la misma forma que la solución de la segunda ley de Fick de la difusión (véanse la ecuación 19.1-18 y el pmblema 20B.5) para la difusión desde una fuente puntual. Simplemente basta identificar W con la concentración cAy KT/( con gAB. Fue así como Einstein (véase la referencia 1 en la página 618) llegó a la siguiente expresión para la difusividad de una suspensión diluida de partículas coloidales esféricas:
Así, oaAB está relacionada con la temperatura y el coeficiente de fricción 6 (el recíproco del coeficiente de fricción se denomina "movilidad"). La ecuación 17.5-4 ya se había proporcionado en la ecuación 17.4-3 para la interdifusión de líquidos.
Corno puede obsewarse a partir del ejemplo 4.2-1, la ley de Stokes s61o es válida para el movimiento unidireccional estacionario de una esfera a través de un fluido. Para una esfera que se mueve de manera arbitraria, además de la contribución de Stokes hay un tetmino inercia1 y un término de la integral de memoria (la fuerza de Basset). Véase B. Basset, Phil. Trans., 179,43-63(1887);H . Lamb, Hydrodymmics, 6a. edición,Cambridge Umversity Press (1932).rehpwso (1997).p. 644; H. ViUat y J. Kravtchenko, k p n s sur les Fluides Visqueux, Gauthier-Villars. París (1943), p. 213, ecuación (62);L. Landau y E.M. Lishitz, Fluid Mechanics, 2a. edición, Pergamon, Nueva York (1987), p. 94. El rol de la fuerza de Basset ha sido investigado por J.D. Schieber, J. Chem. Phys., 94,7526-7533 (19911 al aplicar la ecuación de Langevin a la teoría cinetica de los polimeros.
620 Capítulo 17 Difusividad y 10s mecanismos de transporte de materia
Para una solución diluida de un polimero A en un solvente B de bajo pe hay una teoría detallada,' donde las moléculas del polííero se modelan nas de resortes con cuentas (véase la figura 8.6-2).Cada cadena es una lineal de N mentas y N - 1 resortes hookeanos. Las cuentas están c por un coeficiente de fricción 4 que describe la resistencia de la ley de S vimiento de la cuenta a través del solvente. Además, el modelo tiene hecho de que, a medida que una cuenta cambia de posición, perturba e la vecindad de todas las demás cuentas; este hecho se denomina inte námica. Por último, la teoría pronostica que la difusividad debe ser p ~ - 1 / 2para N grande. Debido a que el número de cuentas es proporcional al molealar M del polímero, se obtiene el siguiente resultado: 1 'AS (17 . 6 1 ~
-5
La dependencia con respecto al inverso de la raíz cuadrada está bastante bien tentada por la experimentación2 Si no se incluyese la interacción hidrodinámica en? tre las cuentas, entonces se pronosticaría gAB- 1 /M. La teoría de la s u f o d ~ u s i ó nen un poiímero sin diluir se ha estudiado desde vanos puntos de ~ i s t a .Estas ~ , ~ teorías, que son bastante aproximadas, llevan al siguiente resultado 1 (17.62) M2 Los datos experimentales concuerdan más o menos con este resultado: pero el exponente en el peso rnolecular puede llegar a ser tan grande como 3 para algunos polímenis. Aunque ya se ha deducido una teoría muy general para la difusión de polime ros: no se ha logrado hacer mucho con ella. Hasta el momento se ha utilizado para demostrar que, en soluciones diluidas de polímeros que fluyen, el tensor de difusividad (véase la ecuación 17.1-10) se vuelve anisotrópico y dependiente de los gradientes de velocidad. También se ha demostrado cómo generalizar las ecuaciones de Maxwell-Stefan (véanse S17.9 y 524.1) para líquidos poliméricos con varias componentes. Avances adicionales en este tema pueden esperarse mediante el empleo de simulaciones rnoleculare~.~
oa,*--
En 517.1, el análiis de la (primera) ley de difusión de Fick se proporcionó en términos de unidades de masa: concentración de materia en masa, densidad de flujo de materia en masa y velocidad media de masa. En esta sección extenderemos el análisis previo a fin de incluir unidades molares. Así, Ia mayor parte de esta sección trata -. .
Nueva York (1%7), pp. 13,41,7677,95,101-102. H.C. &ingm, de Kirkwood, misma que ha mejorado ligeramente 2 R.B. Büd, C.F.Curtiss, R.C. Arrnstrong y O. Hassager, Qnamics of Polynzcric Liquids, Vol. 2, Kinetic Theoy, 2a. edición, Wiley, Nueva York (19871, pp. 174-175. 3 P.&. de Gennes y L. Léger, Ann. Rm, Phys. Chem., 49-61 (1982); P.-G. de Gennes, Piiysics Today, 36,33-39 (1983) De Gennes introdujo el concepto de reptancin, según el cual las moléculas de un polímero se mueven de un lado a o m a lo largo de una columna vertebral en un movimiento browniano semejante al de una serpiente. 4 R.B. Bird, C.F. Curtiss, R.C. A m t r o n g y O. Hassager, Dynamics ofPolymeric Liquids, Vol. 2, Kinetic Theory, 2a. edición, Wiley, Nueva York (19871, pp. 326327; C.F.Curtiss y R.B. Bud, Pmc. Nnt. Acad. Sci., 93,7440-7445 (1996). P.E Green, en DiJfusion in Polymers (P. Neogi, editor), Dekker, Nueva York (19961, capitulo 6. De acuerdo con T.P. Lodge, Phys. Rev. Letters,86,3218-3221 (1999). mediciones sobre polimeros sin diluir muestran que el exponente en el peso molemiar debe ser alrededor de 2.3. C.F.Curtiss y R.B.Bid, Adv. Polym. Sci., 125,í-101 (1996)y 1. Chem. Phys., 111,10362 y 10370 (1999). D.N. Theodorou, en D%fusio?i in Polymprs (P.Neogi, editor), Dekker, Nueva York (1996), capítulo 2. 1 J.C.Kirkwood, Manomoleci~les,Gordon and Breach,
J. C l m . Phys, 87,31563165 (1987) ha vuelto a analizar la teoría ori@
517.7
Transporte de materia y mofar por convección 621
sobre cuestiones de notación y definiciones.Cabría preguntarse lógicamente si este conjunto dual de notaciones es o no necesario en verdad. Por desgracia, si lo es. Cuando están presentes reacciones químicas, suelen preferirse las unidades molares. Cuando las ecuaciones de difusión se resuelven junto con la ecuación de movimiento, suelen preferirse las unidades de masa. Por tanto, es necesario adquirir familiaridad con ambas. En esta sección también presentamos el concepto de densidad deflujo convectivo de masa o molar. Concentraciones de masa y molar Ya antes se definió la concentración de materia en masa pa como la masa de la especie a por unidad de volumen de solución. Ahora definimos la concentración molar c, = p J M , como el número de moles de a por unidad de volumen de solución. De manera semejante, además de Iafracción de masa wa = p J p , usamos la fracción molar x, = c,/c. Aquí p = Xgaes la masa total de todas las especies por unidad de volumen de solución y c = Xaca es e1 número total de moles de todas las especies por unidad de volumen de solución. Por la palabra "solución" se entiende una mezcla gaseosa, líquida o sóLida que forma una sola fase. En la tabla 17.7-1 se resumen estas unidades de concentración y su interrelación para sistemas de varios componentes. Es necesario recalcar que p, es la concentración de materia en unidades de masa de la especie a en una mezch. Usamos la notación p(a) para designar la densidad de la especie pura a cuando sea necesario. Velocidad media de masa y velocidad media molar En una mezcla en difusión, las diversas especies químicas se mueven a diferentes ve1o:idades. Por va, la "velocidad de la especie a", no se entiende Ia velocidad de una molécula individual de la especie a, sino el promedio de todas las velocidades de las moléculas de Ia especie a en el interior de un pequeño volumen. Entonces, para una mezcla de N especies, la velocidad media de masa v se define como
Nótese que pv es la velocidad local a la que la materia en unidades de masa pasa a través de una unidad de sección transversal colocada perpendicularmente a la velocidad v. Ésta es la velocidad local que puede medirse por medio de un tubo de Pitot o un velocímetro Doppler a láser, y corresponde a la v usada en la ecuación de movimiento y en la ecuación de energía en los capítulos precedentes para fluidos puros. De manera semejante, la velocidad media molar v* puede definirse como
622 Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
Tabla 17.7-1
Notación para las concentraciones
--
Definiciones búsicas: = concentración de
PCz
p=
fl pa
masa de la especie a
= densidad de masa
de la soluci6n
a=l
wa= pu/p
= fracción de masa
Ca
= concentración molar de la N
c=
ca
= densidad
de la especie a especie a
molar de fa solución
ay1
xa = C,/C
= fracción molar de la especie cu
M
= peso molecular medio molar de la solución
= p/c
Relaciones algebraicac:
a
Las ecuaciones (P) y (Q), simplificadas para sistemas binarios, son
Nótese que cv* es la velocidad local a la que los moles pasan a través de una unidad de sección transversal colocada perpendicularmente a la velocidad molar v*. Tanto la velocidad media de masa como la velocidad media molar se usarán bastante en! lo que queda de este libro. A veces se utilizan otras velocidades medias, como la locidad volumétrica media (véase el problema 17C.1).En la tabla 17.7-2 se presenta un resumen de las diversas relaciones que hay entre estas velocidades.
517.7
Transporte de materia y molar por convección 623
Tabla 17.7-2 Notación para Ias velocidades en sistemas de varios componentes
Definiciones básicas: Va
N
v = 2 wava
velocidad de la especie a con respecto a coordenadas fijas
(A)
velocidad media de masa
(B)
velocidad media molar
1C)
velocidad de diíusión de la especie a con respecto a la velocidad media de masa v
(0
velocidad de difusión de la especie a con respecto a la velocidad media molar v*
(E)
Q=l
N
v* = -1
xava
va - v v a - Y*
Relaciones adicionales:
Densidades de flujo molecular de masa y molar En s17.1 se definió la densidad de flujo molecular de masa de a como el flujo de masa de a que pasa a través de una unidad de área por unidad de tiempo: ja = p a ( ~ ,- v). Es decir, incluimos sólo la velocidad de la especie a con respecto a la velocidad media de masa v. De manera semejante definimos la densidad de flujo molecular molar de la especie a como el número de moies de a que fluyen a través de una unidad de áredpor unidad de tiempo: = c,(v, - v*). Aquí incluimos sólo la velocidad de la especie a con respecto a la velocidad media de molar v". Lkego en 517.1 se presentó la (primera) ley de Fick de Ia difusión, que describe cómo la masa de la especie A en una mezcla binaria es transportada por medio de movimientos moleculares. Esta ley también puede expresarse en unidades rnolares. Por tanto, se tiene el siguiente par de relaciones para sistemas binarios:
Ja
, LI
Unidades de masa:
j A = pA(vA - V) = -pgABVwA
Unidades rnolares:
J; = cA(vA - v*) = -cOa,,VxA
Las diferencias vA - v y vA - v* algunas veces se denominan velocidades de difusión. La ecuación 17.7-4 puede deducirse a partir de la ecuación 17.7-3 usando algunas de las relaciones que se muestran en las tablas 17.7-1 y 17.7-2.
I
t
vensidades de flujo convectivo de masa y molar
tJ ti.
Además del transporte por movimiento rnolecular, la masa también puede transportarse por el movimiento global del fluido. En la figura 9.7-1 se muestran tres planos mutuamente perpendiculares de área dS en un punto P donde la velocidad media de masa del fluido es v. La velocidad volumétrica de flujo a través del plano perpendicular al elemento de superficie dS perpendicular al eje x es u,dS. Entonces, la velocidad a la que la masa de la especie a es arrastrada en su paso a través del mismo elemento de superficie es p,v,dS. Es posible escribir expresiones semejantes para 10s
624 Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
flujos másicos de la especie a a través de los elementos de superficie perpendi res a los ejes y y z como puvydS y p,v,dS, respectivamente. Si ahora cada una de tas expresiones se multiplica por el vector unitario correspondiente, se suman d i ~ l i d ~entre r , dS y se obtiene
como el vector de densidad deflujo rndsico convectivo, cuyas unidades son kg/m* . Si se vuelve hacia atrás y se repite la historia del párrafo precedente, usando en todas partes unidades molares y la velocidad media molar v*, entonc obtiene
como ei vector de densidad deflujo molar convectivo, cuyas unidades son kg-mol/m2. Para obtener las densidades de flujo de masa y molar convectivo a través d e u h unidad de superficie cuyo vector unitario normal es n, se forman los productos pun. to (n p,v) y (n c,v*), respectivamente.
517.8 RESUMEN DE DENSIDADES DE FLUJO DE MASA Y MOLAR En los capítulos 1 y 9 presentamos el tensor 4 de densidad deflujo de cantidad de movin~ientocombinada y el vector e de densidad deflujo de energía combinada, que encontramos útiles para establecer los balances de envoltura y las ecuaciones de variaci6n. Aquí proporcionamos las definiciones correspondientes para los vectores de densidad de flujo de materia en masa y molar. Sumamos el vector de densidad de flujo molecular de masa y el vector de densidad de flujo de masa convectivo para obtener el vector de densidad deflujo de materia en masa combinada, y de manera semejante para el vector de densidad dejlujo de materia molar combinada:
Densidad deflujo de masa combinada:
n a = jru+ P ~ V
(17.8-1)
Densidad deflujo molar combinada:
N, =
Ja + c z *
(17.62)
En las tres primeras líneas de la tabla 17.8-1 resumimos las definiciones de las densidades de flujo de masa y mokar que se han analizado hasta el momento. En los rectángulos sombreados también proporcionamos las definiciones de,las densidades de flujo ;j (densidad de flujo de masa con respecto a la velocidad media molar) y J, (densidad de flujo violar con respecto a la velocidad media de masa). Normalment no deben usarse estas densidades de flujo "hibridas". En el resto de la tabla 17.8-1proporcionamos un resumen de otras relaciones úti les, como las sumas de las densidades de flujo y las interrelaciones entre éstas. usar las ecuaciones 0) y (M), las ecuaciones 17.8-1y 17.8-2 pueden volver a escribir se como
i
N
J::
= N, - x,
,&
Cuando estas relaciones se simplifican para sistemas binarios, pueden combina se con las ecuaciones 17.7-3 y 17.7-4,para obtener las ecuaciones (C) y (DI de ia t
517.8
Resumen de densidades de flujo de masa y molar
625
bla 17.8-2, que son formas equivalentes de la (primera) ley de Fick. Las formas que se proporcionan en las ecuaciones (E) y (F) de la tabla 17.8-2, en términos de las velocidades relativas de las especies, son interesantes porque no implican a v ni a v*. En el capítulo 18 escribiremos la Iey de Fick exclusivamente en la forma de la ecuación (D) de la tabla 17.8-2. Ésta es la forma que en generd se ha utilizado en ingeniería química. En muchos problemas se conoce algo sobre la relación entre NAy N, a partir de la estequiometría o de las condiciones limite. Por tanto, NBpuede eliminarse de la ecuación (D), con lo que se obtiene una relación directa entre N* y VxA para el problema en particular. En 51.7 señalamos que la densidad de flujo rnolecular de cantidad de movimiento total a través de una superficie de orientación n es el vector [n - m]. En 59.7 se mencionó la cantidad análoga para la densidad de flujo rnolecular de calor, a saber, el escalar (n . q). Las cantidades análogas de transporte de materia son los escalares (n- j,) y (n . JZ)/ que proporcionan las densidades de flujo de masa y molar totales a través de una superficie de orientación n. De manera semejante, para las densidades de flujo combinadas a través de una superficie de orientación n, para la cantidad de movimiento se tiene [n . 4-11; para la energía (n . e); y para las especies (n - n,) y (n. NJ.
Tabla 17.8-1 Notación para las densidades de flujo de masa y molarn Cantidad
Respecto a ejes estacionarios
Respecto a la velocidad media de masa v
Respecto a la velocidad media molar v*
Velocidad de la especie a (cm/s)
elementos en los rectángulos sombreados, que implican las "densidades de flujo híbridas" j: y J,, rara vez son necesarios; se incluf a sólo para efectos de completitud. c
626 Capítulo 17
Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
Tabla 17.8-2 Formas equivalentes de la (primera)ley de Fick de la difusión binaria
Densidad de flujo
Gradiente
Fonna de la ley de Fick
iA
V ~ A
jA = - P ~ A B V W A
(A)
1;
V x ~
Jl= -caABVxA
(B)
"A
V w ~
nA = wA(nA + n B ) - /?gABvwA = P A -pgABVwA ~
((3
NA
VXA
NA = xA(NA+ N B ) - cgABVxA = cAV+
(DI
917.9'
cBABVxA
ECUACIONES DE MAXWELL-STEFAN PARA DIFUSIÓN DE VARIOS COMPONENTES EN GASES A BAJA DENSIDAD .u
Para difusión de varios componentes en gases a baja densidad, se ha demostrado'^^ has4 una muy buena aproximación:
-
Aquí, la Siop son las difusividades binarias calculadas a partir de la ecuación 17.3-11 o de la ecuación 17.3-12. Por tanto, para un sistema de N componentes, se requieren 1N(N - 1) difusividades binarias. Las ecuaciones 17.9-1 se denominan ecuaciones de Maxwell-Stefan, ya que Maxwel13las sugirió para mezclas binarias con base en la teoría cinética, y Stefan4las ge neralizó para describir la difusión en una mezcla gaseosa con N especies. Después, Curtiss y HirschfeIder obtuvieron las ecuaciones 17.9-1 a partir de la extensión a va-< rios componentes de la teoría de Chapman-Enskog. Para gases, líquidos y polímeros densos se ha demostrado que las ecuaciones Maxwell-Stefan siguen siendo válidas, pero que las difusividades fuertemente pendientes de la concentración que ahí aparecen no son las difusividades binaria Hay una diferencia importante entre difusión binaria y difusión de varios co ponentes.6 En la difusión binaria, e1 movimiento de la especie A siempre es cional al negativo del gradiente de concentración de la especie A. Sin emb difusión de varios componentes, pueden presentarse otras situaciones interesan
'
C.F. Curtiss y J.O.HUschfelder, J. Chem. Phys., 17,550-555 (1949). 'Para aplicaciones a la ingeniería, véase E.L. Cussler, Difision: Mass Tratisfirin Fluid Sysfems, 2a. edición, Cambridge University Press (1997); R. Taylor y R. Krishna, Multicomponenf Mass Transfer, Wiley, Nueva York (1993). J.C.Maxwell, Phil. Mag., XIX, 19-32 (1860); XX, 21-32,33-36 (1868). J. Stefan, Sitzungsber 1 6 ; s . Akad. Wiss. Wien, LXXII(2), 63-124 (1871); LXV(2),323-363 (1872). C.F. Curtiss y R.B. Bird, lnd. Eng. Chem. Res., 38,2515-2522 (19991; J. Chein. l'hys., 111,10362-10370 (1999). H.1,. Toor, AlChE Journal, 3,198-207 (1959).
Problemas
627
i) difusión inversa, donde una especie se mueve contra su propio gradiente de concentración; ii) dvusión osmótica, donde una especie se difunde incluso cuando su gradiente de concentración es cero; iii) drfusión de barrera, cuando una especie no se difunde aun cuando su gradiente de concentración es diferente de cero. Además, la densidad de flujo de una especie no necesariamente es colineal con el gradiente de concentración de esa especie.
¿Cómo se define la difusividad binaria? ¿Cómo se define la autodifusión? Proporcionar órdenes de magnitud típicos de difusividades de gases, líquidos y sólidos. Resumir la notación para las densidades de flujo molecular, convectivo y total para los tres procesos de transporte. ¿Cómo se calnila la densidad de flujo de masa, de cantidad de movimiento y de energía a través de una superficie con orientación n? Definir los números de Prandtl, Schmidt y Lewis. ¿Qué intervalos de Pr y Cc puede esperarse encontrar para gases y líquidos? ¿Cómo puede estimarse e1 potencial de Lennard-Jonespara una mezcla binaria, si se conocen los parámetros de las dos componentes de la mezcla? ¿Cuál es el valor de las teorías h i d r d i m i c a s de la difusión? ¿Cuál es la ecuación de Langevin? ¿Por que se denomina "ecuación diferencial estocástica"? ¿Qué información puede obtenerse a partir de ella? Comparar la relación entre la difusividad binaria y la viscosidad para gases y para líquidos. ¿Cómo están relacionadas las ecuaciones de Maxwell-Stefan para la difusión de varios componentes con las ecuaciones de Fick para sistemas binarios? En una mezcla de varias componentes, ¿la desaparición de N, implica la desaparición de Vxa?
1
PROBLEMAS 17A.1 Predicción de una difusividad binaria a baja densidad. Estimar gAB para el sistema metano-etano a 293K y 1 atm por los métodos siguientes: a) Ecuación 17.2-1.
b) La gráfica de los estados correspondientes de la figura 17.2-1 junto con la ecuación 17.2-3. La relación de Chapman-Enskog (ecuación 17.3-12) con los parámetros de Lennard-Jones que se proporcionan en el apéndice E. c)
d) La relación de Chapman-Enskog (ecuación 17.3-12) con los parámetros de Lennard-Jones estimados a partir de propiedades dticas.
Respuestas (todas en crn2/s): a) 0.152; b) 0.138; c) 0.146; d) 0.138. 17A.2
Extrapolaci6n de difusividad binaria a una temperatura m u y elevada. Para el sistema COZaire a 293K y 1 atm se ha reportado1 un valor de 9A,= 0.151 cm2/s. Extrapolar q B a 1500K por los métodos siguientes: a) Ecuación 17.2-1.
b) Ecuación 17.3-10. Ecuaciones 17.3-12 y 17.3-15, con la tabla E.2. ¿Que concluye el lector al comparar estos datos con el valor experimental1 d e 2.45 cm2/s? C)
Respuestas (todas en cm2/s):a) 2.96; b) 1.75; c) 2.51
'
Ts. M. Klibanova, V.V. Pomerantsev y D.A. Frank-Kamenetskii, J. Tech. Phys. (USSR),IZ,14-30(19421,según lo Citan C.R. W i e y C.Y.Lee,hd.Eng. Chem., 47,1253 (1955).
628 Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia
Autodifusión en mercurio líquido. La difusividad del Hg2" en Hg normal líquido se ha dido: junto con la viscosidad y volumen por unidad de masa. Comparar la OaAAI medida perimentalmente con los valores calculados con la ecuación 17.4-5.
17A.3
T (K) 275.7 289.6 36.1.2
(cm2/,) 1.52 X 1.68 X lo-5 2.57 X
~(cp) 1.68 1.56 1.27
Qí
~ m ~ / ~ )
0.0736 0.0737 0.0748
Números de Schmidt para mezclas gaseosas binarias a baja densidad. Usar la ecuacib 17.3-11 y 10s datos del problema 1A.4 para calcular Sc = p/pBABpara mezclas binarias de NTo, + drógeno (A) y Freón 12 ( B ) a xA = 0.00, 0.25,0.50,0.75 y 1.00 a 25 "C y 1 atm.
17A.4
Respuestas muestra: Cuando xA + 0.00, Sc + 0.057; cuando xA
-+ 1.00, Sc -+ 2.44. Y
Estimación de la difusividad para una mezcla binaria a alta densidad. Pronosticar cCbABpara una mezcla equimolar de N2 y C2H6a 288.2K y 40 atm.
17A.5
a) Usar el valor de gABa 7 atm de la tabIa 17.1-1, junto con la figura 17.2-1. b) Usar la ecuación 17.2-3 y la figura 17.2-1 Respuestas: a) 5.8 x 10-6 g-mol/crn 17A.6
-
S;
b) 5.3 x loL6g-mol/cm
S
Difusividad y el número de Schmidt para mezclas cloro-aire. a) Pronosticar BABpara mezclas cloro-aire a 75 OF y 1 atm. Considerar el aire como una sustancia simple cuyos parámetros de Lennard-Jonec son los que se proporcionan en el apéndice E. Usar los resultados de la teoría de Chapman-Enskog en 917.3. bf Repetir el inciso a) usando la ecuación 17.2-1. C ) Usar los resultados del inciso a) y del problema lA.5 para estimar los números de Schmidt para mezclas cloro-aire a 297K y 1 atrn para las siguientes fracciones molares de cloro: 0,0.25, 0.50, 0.75 y 1.00
Respuestas: a) 1.21 crn2/s; b) 0.124 cm2/s; c) Sc = 1.27,0.832,0.602, 0.463,0.372 17A.7
E l número de Schmidt para autodifusión.
a) Usar las ecuaciones 1.3-lb y 17.2-2 para pronosticar el. numero de Schmidt Sc = para autodifusión al punto critico para un sistema con M A = MAX.
/ . L / P ~ , ~ ~ I
b) Usar el resultado anterior, junto con la figura 1.3-1 y la figura 77.2-1, para pronosticar SC= p/pBM1 para los siguientes estados: Fase Tr Pr
17A.8
Gaseosa
Gaseosa
Gaseosa
Líquida
Gaseosa
Gaseosa
0.7 0.0
1 .O 0.0
5.0 0.0
0.7 saturación
1.O 1.0
2.0 1O .
Corrección de la difusividad a alta densidad debido a la temperatura. EI valor experimen-1 tal medido3 de cgABpara una mezcla de 80 moles por ciento de CH4 y 20 moles por ciento de' c2H6a 373K y 136 a h es 6 X lop6 g-mol/cm - S (vease el ejemplo 17.2-3). Pronosticar cgAB/ i para la misma mezcla a 136 atm y 351K, usando la figura 17.2-1. Respuesta: 6.3 X
g-moi/cm . S
R.E.Hoffman, J. Chem. Phys., 20, 1567-1570 (1952). V.J. Berry y R.C. KoeUer, AlChE Journ~l,6,274-280 (1960).
Problemas 629 17A.9
Predicción de valores críticos de cBAB.En la figura 17.2-1 se muestra el límite a baja presibn (cBAA*), = 1.01 a T, = 1 y p, +O. Para este límite, la ecuación 17.3-11 proporciona
Aqul el argumento K T , ~ / Ede ~ fkgPA' ~* se reporta4 como aproximadamente 1.225 para Ar, Kr y Xe. Usamos el valor 1/0.77 de la ecuación 1.4-lla como una media representativa sobre muchos fluidos. a) Combinar la ecuación 17A.9-1 con las relaciones
y la tabla E.2 para obtener la ecuación 17.2-2 para ( C D ~ ~ . ) ~ , b) Demostrar que las aproximaciones
para los parámetros de Lennard-Jones para la interacción A-B proporcionan
cuando los parCtmetros moIeculares de cada especie se pronostican según las ecuaciones 1.4-lla, c. Combinar estas expresiones con la ecuación 17A.9-1 (con A* sustituida por B y TcApor para obtener la ecuación 17.2-3 para ( c 9 ) . La sustitución correspondiente de p, y Tc en la figura 17.2-1 por y T T e uivale a considerar las colisionesjA-E como dominantes sobre las colisiones de moléculas semejantes en la determinación del valor de cgAB.
a)
17A.10 Estimación de difusividades de líquidos.
a} Estimar la difusividad de una solución acuosa diluida de ácido acético a 12.5 OC, usando la ecuación de Wilke-Chang. La densidad del ácido acético puro es 0.937 g/cm3 en su punto de ebullicibn.
b) La difusividad de una solución acuosa diluida de metano1 a 15 "C es aproximadamente 1.28 X crn2/s. Estimar la difusividad para la misma solución a 100 OC. Respuesta: b) 6.7 x 17B.1
lop5cm2/s
Interrelación de las variables de composición en mezclas. a) Usar las definiciones bdsicas en las ecuaciones (A) a (G) de la tabla 17.7-2 para verificar
a (O). las relaciones algebraicas en las ecuaciones (H)
b) Verificar que, en la tabla 17.7-1, las ecuaciones (P) y (Q) se simplifican a las ecuaciones (P') y (Q')para mezclas binarias. c) Deducir las ecuaciones (P') y (Q') a partir de las ecuaciones (N) y (O). 17B.2
Relación entre densidades de flujo en sistemas de varias componentes. Verificar las ecuaciones (K),(O),(T) y (X) de la tabla 17.8-1 usando sblo las definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo.
'J.J. van Lwf y E.G.D.Cohen, Physica A, 156,522-533(1989).
630
Capítulo 17 Difusividad y los mecanismos de transporte de materia 178.3
Relación entre densidades de flujo en sistemas binarios. La siguiente ecuación es utii ra interrelacionar expresiones en unidades de masa con expresiones en unidades m. en sistemas de dos componentes:
---j~
-
J;
P W A ~ B CXAXB
Verificar que esta relacrón sea correcta. 17B.4
Equivalencia de varias formas de la ley de Fick para mezclas binarias.
t
a) Empezar con la ecuación (A) de la tabla 17.8-2 para deducir las ecuaciones (B), (D) y ($
b) Empezar con la ecuación (A) de la tabla 17.8-2 para deducir las siguientes expresionesdJ densidad de flujo:
-
1
VxA -(xANB- xBNA)
(173.4-2)
C ~ A B
~ Q u conclusiones é pueden extraerse a partir de estas dos ecuaciones? C) Demostrar
17C.1
que la ecuación (F) de la tabla 17.8-2 puede escribirse como
Densidad de flujo de masa con respecto a una velocidad volumétrica media. Sea lanelocidad volumétrica media en una mezcla de N-componentes definida por v m=
f
N
a=l
P I Y ( v ~ ~ a=h i , c a=?
9v IY
(17C.l-1) OL
donde 7, es el volumen molar parcial de la especie a.Luego se define
como la densidad de flujo de masa con respecto a la velocidad volumétrica media. a) Demostrar que para un sistema binario de A
y B,
Para hacer lo anterior debe usarse la identidad identidad?
cAVA
+ cB\
=
1. ¿De donde proviene esta
b) Luego, demostrar que la ley de Fick asume la forma
j!
(17c.1-4)
= -9ABVpA
Para verificar lo anterior debe usarse la relación VAvcA+ &vcB = O. ¿Cuál es el origen de esta expresión? 17C.2
Densidad de flujo de masa con respecto a la velocidad del solvente. a) En un sistema con N especies químicas, escoja el componente
go se define =!j
pa(va - vN)
como ia densidad de flujo de masa con respecto a la velocidad del solvente. Comprobar qu -N- Ja - I, - (pa/pN)jN
1
N como el solvente. Lue-
Problemas 631
b) Para un sistema binario (donde el soIvente se identifica como B), demostrar que
¿Cómo se simplifica este resultado para una solución muy diluida d e A en el solvente B? 17C.3
Determinación de los parámetros de potencial de Lennard-Jones a partir de datos de dihsividad de una mezcla gaseosa binaria. a) Usar los datos siguientes5 del sistema H20-O2a 1 atm de presión para determinar aAB y eAB/~:
Una forma de hacer lo anterior es: i) Graficar los datos como ( ~ ~ / contra ~ / 9log~T en ~ ) contra K T / Een~ otra ~ hoja de una hoja delgada de papel para graficar. ii) Graficar papel para graficar a la misma escala. iii) Superponer la primera gráfica a la segunda, y a partir de b s escalas de las dos grfíficas superpuestas, determinar las razones numéricas iv) Usar estas dos razones y la ecuación 17.3-11 a fin ( T / ( K T / E ~y ~ ) ) de resolver para los dos pardmetros uABy c A B / ~ .
R.E. Walker y A.A.Westenberg, J. Chem. Phys., 32,436-442 (1960); R.M. Ftistrom y A.A. Westenherg, Flanre Strircfiiri'. hlcGraw-Hill, Nueva York (1965). p. 265.
Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar Balances de materia en la envoltura:condiciones límite Difusión a través de una película de gas estancada Difusión con una reacción química heterogénea Difusión con una reaccidn química homogénea Difusión a una película liquida descendente (absorción de un gas) Difusión a una película líquida descendente (disolución de un sólido) Difusión y reacci6n química dentro de un catalizador poroso Difusión en un sistema gaseoso de tres componentes
En el capítulo 2 vimos cómo es posible plantear y resolver varios problemas de flujo viscoso haciendo un balance de cantidad de movimiento en una envoltura. En el capítulo 9 vimos además cómo es posibIe manipular problemas de conducción de calor en estado estacionario por medio de un balance de energía en una envoltura. En este capítulo mostraremos cómo es posible formular problemas de difusión en estado estacionario mediante balances de materia en una envoltura. E1 procedimiento que se usará aquí es virtualmente el mismo que se usó antes: a. Se hace un balance de materia sobre una delgada envoltura perpendicular a la dirección de transporte de materia, y este balance de envoltura conduce a una ecuación diferencial de primer orden, que puede resolverse para obtener la distribución de densidad de flujo de masa. b. En esta expresión se inserta la relación entre la densidad de flujo de masa y el gradiente de concentración, que resulta en una ecuación diferencial de segundo orden para el perfil de concentración. Las constantes de integración que aparecen en la expresión resultante están determinadas por las condiciones límite sobre la concentración y/o la densidad de flujo de masa en las superficies límite.
En el capítulo 17 señalamos que varios tipos de densidades de flujo de masa son de uso común. Para simplificar las cosas, en este capítulo usaremos la densidad de flujo combinada N*,es decir, el número de moles de A que pasan a trav€c de una unidad de área en una unidad de tiempo, donde la unidad de área está fija en el espacio. Relacionaremos la densidad de flujo molar con el gradiente de concentración por medio de la ecuación (D) de la tabla 17.8-2, que para la componente z es
densidad de flujo combinado
densidad de flujo molecular
densidad de flujo convwtivo
634
CapituIo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
Antes de usar la ecuación 18.0-1, en general es necesario eliminar NBz.Esto de hacerse si de antemano se sabe algo sobre la razón NB,/Nh. En cada uno problemas de difusión binaria que se analizarán en este capítulo, empezarem especificar esta razón, ya sea por razonamientos físicos o químicos. En este capítulo estudiamos la difusión en sistemas tanto reaccionantes como reaccionantes. Cuando ocurren reacciones químicas, distinguimos entre dos tipos reacción: homogéneas, donde el cambio químico aparece en todo el volumen del do, y heterogéneas, donde el cambio químico ocurre sblo en una región res& como la superficie de un catalizador. Para reacciones homogéneas y heterogéneas no sólo la representación física es diferente, ya que también hay una diferencia en forma en que los dos tipos de reacciones se describen matemáticamente. La velog-! dad de producción de una especie química por reacción hornogknea aparece como :u término de la fuente en la ecuación diferencial que se obtiene a partir del balance de envoltura, precisamente como el término de la fuente térmica aparece en el balance de energía en la envoltura. Por otra parte, la velocidad de producción de una reacción heterogénea no aparece en la ecuación diferencial, sino más bien en la condicibn límite en la superficie sobre la que ocurre la reacción. A fin de plantear problemas en los que aparecen reacciones químicas, es nece sario contar con un poco de información sobre la velocidad a que las diversas e s p cies químicas aparecen o desaparecen por reacción. Esto conduce al vasto tema de la cinktica química, la rama de la física química que estudia los mecanismos de las reacciones químicas y las velocidades a las que 0curren.l En este capítulo suponemos que las velocidades de reacción están descritas por medio de funciones sencillas de las concentraciones de las especies reaccionantes. En este instante es necesario mencionar la notación que se usará para las constantes químicas de velocidad. Para reacciones homogéneas, la veIocidad molar de producción de la especie A puede proporcionarse por medio de una expresión de la forma
i
Reacción homogénea:
RA = knci
(18.0-2)
donde RA[=]mol/cm3 s y cA[=]mol/cm3.El índice n indica el "orden" de la reac~ i ó npara ; ~ una reacción de primer orden, K;' [=] 1 /s. Para reacciones heterogéneas, la velocidad molar de producción en la superficie de la reacción a menudo puede especificarse por una relación de la forma
Reacción heterogénea: donde Nh[=lmol/cm2 * S y cA[=lmol/cm3.Aquí kí I=l cm/s. Nótese que la triple prima en la constante de velocidad indica una fuente de volumen y que la doble prima indica una fuente de superficie.
R.].Silbey y R.A. Alberty, Phqsical Chemisty, 3a. edición, Wiey, Nueva York (2001), capitulo 18. No todas las expresiones de velocidad tienen la forma sencilla de la ecuación 18.0-2. La velocidad de reacción puede depender de una manera complicada de Is concentraciónde todas las especies presentes. Observaciones semejantes se cumplen para ka ecuación 18.0-3. Para información detallada sobre velocidades de reacción, véase la Sable of Chemiui? Kinetics, Homogenwus Reactions, National Bureau of Standards, Circular 510 (1951),Suplemento Núm. 1 de la Circular 510 (1956). Actualmente esta referencia está siendo complementada por una base de datos mantenida por NIST en "http://kinetics.Nct.gov/."Para reacciones heterogheas, vease R. Mezaki y H. Inoue, Rate Equntions 0f Solid-Catalyzed Reactions, U . of Tokyo Press, Tokyo (1991).Véase también C.G. Hill, Chemical Engineering Kinetics and Reactor Design: An htroductron, Wiley, Nueva York (1977).
$18.1
Balances de materia en la envoltura: condiciones limite 635
Empezamos en s18.1 con un planteamiento del balance de envoltura y los tipos de condiciones límite que pueden presentarse en la solución de problemas de difusión. En 518.2 se proporciona un análisis de la difusión a través de una película estancada, ya que este tópico es necesario para comprender los modelos de película de operaciones de difusión en ingeniería química. Luego, en 518.3 y 518.4 proporcionamos algunos ejemplos elementales de difusión con reacción química, tanto heterogénea como homogénea. Estos ejemplos ilustran el papel que desempeña la difusión en cinética química y la importancia de que la difusión puede afectar de manera significativa la velocidad de una reacción química. En 518.5 y 518.6 dirigimos nuestra atención a la transferencia de materia por convección forzada, es decir, difusión superpuesta en un campo de flujo. Aunque no se presenta ningún ejemplo de transferencia de materia por convección libre, hubiera sido posible establecer un parangón con el análisis de la transferencia de calor por convección libre que se proporcionó en 510.9. Luego, en 518.7 analizamos la difusión en catalizadores porosos. Finalmente, en la última sección extendemos los problemas de evaporación de 518.2 a un sistema de tres componentes.
g18.1
BALANCES DE MATERIA EN LA ENVOLTURA: CONDICIONES LÍMITE Los problemas de difusión que se presentan en este capítulo se resuelven haciendo balances de materia para una o más especies químicas sobre una delgada envoltura de sólido o fluido. Una vez que se elige un sistema idóneo, la ley de conservación de la materia de la especie A en un sistema binario se escribe sobre el volumen de la envoltura en la forma velocidad de {entrada de materia de A
}
velocidad de de materia de A
- {salida
}[
velocidad de producción
+ de materia de A por
=
O
(18.1-1)
reacción homogénea
La afirmación de conservación puede, por supuesto, expresarse en términos de moles. La especie química A puede entrar o salir del sistema por difusión (es decir, por movimiento molecular), y también en virtud del movimiento global del fluido (es decir, por convección), donde estos dos mecanismos están incluidos en NA.Además, la especie A puede producirse o consumirse por reacciones químicas homogéneas. Después de que se hace un balance sobre una envoltura de espesor finito por medio de Ia ecuación 18.1-1, se deja que el espesor se vuelva infinitesimalmente pequeño. Como resultado de este proceso, se genera una ecuación diferencial para la densidad de flujo de masa (o molar). Si en esta ecuación se sustituye la expresión para la densidad de flujo de masa (o molar) en términos del gradiente de concentración, se obtiene ecuación diferencial para la concentración. Una vez que esta ecuación diferencial se integra, aparecen constantes de integración, que deben determinarse usando las condiciones límite. Las condiciones límite son muy semejantes a las que se usaron en conducción de calor (véase S10.1): a. Puede especificarsela concentración en una superficie; por ejemplo, x,
= xAo.
b. Es posible especificar la densidad de flujo de masa en una superficie; por ejemplo, NA, = NAO.Si se conoce la razón NB,/Nh, esto equivale a proporcionar el gradiente de concentración.
636 Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
c. Si la difusión se Ueva a cabo en un sólido, puede ocurrir que en I a sólida, la sustancia A se pierde hacia una corriente circundante S lación
NAO= kc(cAO- cAb) donde NAO es la densidad de Bujo molar en la superficie, CAO es la conc ción en la superficie, cAb es la concentración en la corriente global del y la constante de proporcionalidad k, es un "coeficiente de transferencia materia". En el capítulo 22 se analizarán métodos para correlacionar cientes de transferencia de materia. La ecuación 18.1-2 es análoga a la " enfriamiento de Newton" que se proporcionó en la ecuación 10.1-2.
d. La velocidad de reacción química en la superficie puede especificarse. ejemplo, si la sustancia A desaparece en una superficie por una reac química de primer orden, entonces NAO= k;lcAO.ES decir, la velocidad de saparición en una superficie es proporcional a la concentración en la su ficie, donde la constante de proporcionalidad velocidad química de primer orden.
Ic;'
es un coeficient
Ahora analizaremos el sistema de difusión que se muestra en la figura 18.2-1, don-/ de el líquido A se evapora en el gas B. Se supone que ahí hay algún dispositivo que mantiene el nivel del líquido en z = zl. Justo en la interfase líquido-gas, la concentración en la fase gaseosa de A, que se expresa como fracción molar, es xAI.Esto se, toma como la concentración en la fase gaseosa de A correspondiente al equilibrio1 con el líquido en la interfase. Es decir, xAl es la presión de vapor de A dividida en-
-
Corriente de gas de A y B
2 I
i
-2
N"
3
N
2
l
I I I i
t
t
11
+
"
3
g l
t
1
N
2; I I
I 1 l
3
H E
I
O
3
-3
Liquido A
X
Figura 18.2-1 Difusión de A en estado estacionario a través de B estancada, donde la interfase líquido-vapor se mantiene en una posición fija. La gráficamuestra c6mo los perfiles de concentración Se desvian de las líneas rectas debido a
La contribución por convección a la densidad de flujo de masa. -
p~
.
L.J. Delaney y L.C. Eirgleton LAlCht journai, M, 418-42U (1962)) concluyen que, para cisternas en evaporación,la suposición de equilibrio interfacial es razonable, con e m r e s posibles en el intervalo de 1.3 a 7%.
518.2 Difusión a trav&sde una película de gas estancada 637
tre la presión total p T p / p , en el supuesto de que A y B forman una mezcla de gas ideal y que la solubilidad del gas B en el líquido A es despreciable. Una corriente de la mezcla de gases A- B de concentración XA2 fluye lentamente más d á de la parte superior de1 tubo, para mantener la fracción molar de A en XA2 para r = z2. Todo el sistema se mantiene a temperatura y presión constantes, Ce supone que los gases A y B son ideales. Se sabe que ahí hay un flujo neto de gas hacia arriba a partir de la interfase gaslíquido, y que la velocidad del gas en la pared del cilindro es menor que en el centro del tubo. Para simplificar el problema, despreciamos este efecto y suponemos que Ia componente z de la velocidad no depende de la coordenada radial. Cuando este sistema en evaporación alcanza un estado estacionario, hay un movimiento neto de A lejos de la interfase y la especie B es estacionaria. Por tanto, la densidad de flujo molar de A está dada por la ecuación 18.0-1 con NBz = O. Al despejar NA,se obtiene
Un balance de materia en estado estacionario (en unidades molares) sobre un incremento Az de la columna, establece que la cantidad de A que entra al plano z es igual a la cantidad de A que sale en el plano z -k Az:
Aquí S es el drea de la sección transversal de la columna. Al dividir entre SAZ y tomar el límite cuando Az + O, se obtiene
Al sustituir la ecuación 18.2-1 en la ecuación 18.2-3, se obtiene
Para una mezcla de gas ideaI, la ecuación de estado es p = cRT, de modo que a temperatura y presión constantes c debe ser una constante. Además, para gases es puede moverse a la izquiercasi independiente de la composición. Por tanto, ~9~~ da del operador derivada para obtener
+
Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden para el perfil de concentración expresado como fracción molar de A. Al integrar respecto a 2, se obtiene
638 Capítulo 18
Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
Luego, una segunda integración proporciona
Si se sustituye CI por -ln K1 y C2por -h K2, la ecuación 18.2-7 se vuelve 1 - XA =
FK2
1 P
(18.2al 1
Las dos constantes de integración, Kl y K2, pueden determinarse entonces a p a a de las condiciones límite
Una vez que se obtienen las constantes, finalmente se llega a
Los perfiles para el gas B se obtienen usando xB = 1 - xA. Los perfiles de concenkación se muestran en la figura 18.2-1. Ahí puede verse que la pendiente dxA/dz no es constante, aunque NA, sí lo es; este hecho pudo anticiparse a partir de la ecuación 18.2-1. Una vez que se conocen los perfiles de concentración, es posible obtener valores medios y densidades de flujo de masa en las superficies. Por ejemplo, la concentración media de B en la región entre z, y z2 se obtiene como sigue:
donde 5 = (z - z , ) / ( z , - 2,) es una variable de longitud adimensional. Este prome dio puede volver a escribirse como
Es decir, el valor medio de xB es la media logaritmica ( x ~ ) , de ~ , las concentraciones finales. La velocidad de transferencia de materia en la interfase líquido-gas -es decir, la velocidad de evaporación- puede obtenerse a partir de la ecuacibn 18.2-1 como sigue:
A1 combinar las ecuaciones 18.2-13y 18.2-14, se obtiene finalmente
€j18.2 Difusión a través de una película de gas estancada
639
Figura 18.2-2 Modelo de pelícuIa para la transferencia de materia; el componente A se difunde desde la superficie hacia la corriente de gas a través de una película de gas estancada hipotética.
A2 en el borde de la película
Esta expresión proporciona la velocidad de evaporación en términos de la fuerza impulsora característica xAl - xA2. Al desarrollar la solución de la ecuación 18.2-15en una serie de Taylor, puede obtenerse (véanse 5C.2 y el problema 188.18)
La expresión que está antes del desarrollo entre corchetes es el resultado que se obtendría si el término de convección se omitiese por completo en la ecuación 18.0-1. Así, el desarrollo entre corchetes proporciona la corrección que resulta de la inclusión del término de convección. Otra forma de interpretar esta expresión es que el resultado simple corresponde a unir los puntos extremos de la curva xA en la figura 18.2-1 con una línea recta, y que el resultado completo corresponde a usar la curva de x A contra z. Si las fracciones rnolares finales son pequeñas, el término de corrección entre corchetes en la ecuación 18.2-16 es sólo ligeramente mayor que la unidad. Los resultados de esta sección se han utilizado para la determinación experimental de difusividades de gases2Además, estos resultados se usan en los "modelos de película" de transferencia de materia. En la figura 18.2-2 se muestra una superficie sólida o líquida a lo largo de la cual fluye un gas. Cerca de la superficie hay una película que se desplaza lentamente, a través de la cual se difunde A. Esta película está limitada por las superficies z = zl y z = z2.En este "modeIo" se supone que hay una transición abrupta desde una película estancada hasta un fluido bien mezclado donde los gradientes d e concentración son despreciables. Aunque este modelo es físicamente irreal, a pesar de e l b ha demostrado que es útil como una representación simplificada para correlacionar coeficientes de transferencia de materia.
C.Y. Lee y C.R. Wike, lnd. Eng. Chem., 46,2381-2387 (2954).
-
- --
-
640 Capíhlo 18 Distribuciones de concentracibn en sólidos y flujo laminar
- 22
Difusión con una ivterfase móvil
Figura 18.2-3 Evaporación con difusiónGest casi estacionario. El nivel del líquido desci lentamente a medida que el líquido se ev través de la parte superior del tubo fluye mezcla gaseosa de composición xA2
Se desea analizar un problema ligeramente distinto al que acaba de presentarse. En vez de mantener la interfase líquido-gas a una altura constante, se deja que el nivel del. liquido des. cienda a medida que: avanza la evaporacidn, como se muestra en la figura 18.2-3. Debido a que el líquido se retira muy lentamente, es posible usar con confianza un método de estada casi estacionario.
Primero igualamas la velocidad molar de evaporacion de A desde la fase líquida con la velo. cidad a que los mciles de A entran en la fase gaseosa a través del área interfacial S
Aquí p(A) es la densidad del liquida puro A y MA es el peso malecular. En el miembro derecho 4e la ecuación 18.2-17 se ha usado la velocidad de evaporacián en estado estadanarlo evaluada en la altura de la columna actual de líquido (ésta es la aproximación en estado casi estacionario). Esta ecuación puede integrarse para abtener
donde htt] = zl(0) - zl(t) es la distancia que Ia interfase ha descendida en el tiempo t, y H = el miembro derecha de la eciQn 28.2-18 se abrevia como $Ct, la ecuaddn puede integrarse y lue$o resalverse para h para abtener
z, - z,jO) es la altura inicial de la c ~ l u m n adel gas. Cuando
Este experimento puede usarse para obtener la difusividad a partir de mediciones del nivel del Iíquido como una función del tiempo.
Difiisión a través de una película de gas estancada 641
g18.2
La difusividad de la pareja gaseosa O C C h se está determinando mediante la observación 2de la evaporación en estado estacionano de tetraclomro de carbono en un tubo que contiene oxígeno, como se muestra en la figura 18.2-1. La distancia entre el nivel del CC14 Iíquido y la parte superior del tubo es z2 - zl = 17.1 cm. La presión total sobre el sistema es de 755 mm Hg, y la temperatura es O T.La presión de vapor del CC14a esa temperatura es 33.0 mm Hg. El área de la sección transversal del tubo de difusión es 0.82 cm2.Se encontró que 0.0208 cm3 de CC1, se evaporan en un periodo de 10 horas después de que se alcanza el estado estacionario. ¿Cuál es la difusividad de la pareja gaseosa 02-CC14?
sotucrohr Sean A el CC14 y B el 02. Entonces, la densidad de flujo molar de A es
Así, a partir de la ei.liiacií\n19 2-14 B e obtiene
Este método para determinar las difusividades en la fase gaseosa adolece de varios defectas: el enfriamiento del Ilquido por evaporación, la mncentrítción de impurezas no volátiles en la interfase, el ascenso del líquido por las paredes del tubo y Ia curvatura del menisco.
Di~'ión de una pelicula esférica no isotérmica
a) Deducir expresiones para la difusión a través de una envoitura ederica, que sea11 análogas a la ecuación 18.2-11 (perfil de concentración) y la ecuación 18.2-14(densidad de flujo malar). El sistema en consideraci6n re muestra en la figura 18.2-4. b} Extender estos resultados para describir la difusión en una película no iaatérmica en que la temperatura varía radialmente seglin
-
donde TI es Ia temperatura en r r,. Sup6ngase coma una aproximación c r i r d ~que gABvaría con la potencia $ de Ia temperatura:
642
Capitulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
-
-_
pcratura T, =
Temperatura TI
-
()
Figura 18.2-4 Difusión a través de película de gas estancada esférica hipotktica que rodea una gotita del líquido A.
donde GbAB,, es la difusividad a T = TI. Problemas de este tipo se presentan en cone el secado de gotas minúsculas y la difusión a través de películas de gas cerca de p (~eilets) de catalizador esféricas. La distribución de temperahira en la ecuación 18.2-22 se ha elegido solamente por sencfl matemática. Este ejemplo se incluye para recalcar que, en sistemas no isotérmicos, Ia e 18.0-1 es el punto de partida correcto, en vez de NAz= - 9 A B ( d ~ A / d ~-+) xA(NAz+ NB, se ha proporcionado en algunos libros de texto.
a) Al realizar un balance de materia en estado estacionario sobre una envoltura esférica se3
obtiene
Luego en esta ecuación se sustituye la expresión para la densidad de flujo molar NAr con Ns, igual a cero, debido a que B es insoluble en el líquido A. Así se llega a
Para temperatura constante el producto &AB es una constante, y la ecuación 18.2-25 puede integrarse a fin de obtener la distribución de concentración
Así, a partir de la ecuación 18.2-26 puede obtenerse
que es eI flujo molar de A a través de cualquier superficie esférica de radio r entre rl y r2.
b) Para el problema no isotérmico, al combinar las ecuacionec 18.2-22 y 18.2-23 se obtiene la variación de la difusividad con la posición:
518.3
Difusión con una reacción química heterogénea
643
Una vez que esta expresión se inserta en la ecuación 18.2-25 y c se iguala a p/RT, se obtiene
Después de integrar entre rl y r2, se obtiene (para n # -2)
Para n = O, este resultado se simplifica al de la ecuación 18.2-27.
A continuación consideraremos un modelo sencillo para un reactor catalítico, como el que se muestra en la figura 18.3-la, donde se lleva a cabo una reacción 2A + B. Un ejemplo de una reacción de este tipo sena la dimerización catalizada por un sólido de CH3CH = CH2. Se supone que cada partícula catalizadora está rodeada de una película gaseosa estancada a través de la cual A debe difundirse para alcanzar la superficie del catalizador, como se muestra en la figura 18.3-lb. En la superficie del catalizador se supone que la reacción 2A + B ocurre instantáneamente, y que luego el producto B se difunde retirándose a través de la película gaseosa hacia la corriente turbulenta principal compuesta por A y B. Se desea obtener una expresión para la velocidad local de conversión de A a B cuando se conocen el espesor efectivo de la película de gas y las concentraciones xAO y xBo en la corriente principal. Se supone que la pelcula de gas es isotérmíca, aunque en muchas reacciones cataliticas no puede despreciarse el calor que se genera en h reacción. Para la situación que se representa en la figura 18.3-lb, hay un m01 de B que se mueve en la dirección z negativa por cada dos moles de A que se mueven en la direcFigura 18.3-1 a) Diagrama esquemático de un reactor catalítico en el que A se convierte en B. b) Representación idealizada (o "modelo") del I
l= O
a)
un material cataiítico Borde de la pellada de
1 =
problema de difusión cerca de la superficie de una particula catalítica.
644
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar --
ción z positiva. Sabemos esto a partir de la estequiometria de la reacción. P O ~ sabemos que en estado estacionario
N BZ = -I-N 2
AZ
(18.
para cualquier valor de z. Esta relación puede sustituirse en la ecuación 18.0-1,ylu go de despejar NAz se obtiene
Por tanto, la ecuación 18.0-1 y la estequiometria de la reacción han conducido a una expresión para NAz en términos del gradiente de concentración. Ahora se hace un balance de materia para la especie A sobre una placa delgad& de la película de gas de espesor Az. Este procedimiento es exactamente el mismo que se usó en relación con las ecuaciones 18.2-2 y 18.2-3, y nuevamente lleva a ecuación I
a
Al insertar en esta ecuación la expresión para Nh, que acaba de deducirse, se obtic ne (para oliAB constante)
Al integrar dos veces respecto a z, se obtiene
Es un poco más fácil encontrar las constantes de integración K1y K2 que CI y C2.Las condiciones límite son en z = 0,
A '
e n z = S,
xA = O
= 'AO
Así, e1 resultado final para e1 perfil de concentración en la película de gas es
Ahora puede usarse la ecuación 18.3-2 para obtener la densidad de flujo molar de reactivo a través de la película:
518.3 Difusión con una reacción química heterogénea 645
La cantidad NAz también puede interpretarse como la velocidad local de reacción por unidad d e área d e la superficie catalítica. Esta información puede combinarse con algún otro conocimiento sobre el reactor catalítico esquematizado en la figura 18.3-la para obtener la velocidad global d e conversión e n todo el reactor. Hay u n aspecto que merece recalcarse. Aunque la reacción química ocurre instantáneamente e n la superficie catalítica, la conversión de A a B procede a velocidad finita debido al proceso d e difusión, que está "en serie" con el avance d e la reacción. Por tanto, se dice que Ia conversión d e A a B está controlada por la difusión. En el ejemplo anterior se supuso que la reacción ocurre instantáneamente en la superficie catalítica. En el ejemplo que sigue mostraremos cómo explicar la cinética finita d e una reacción en la superficie catalítica.
Difusion con una heterogénea
lf?#tCZ
ResoIver de nuevo el problema que acaba de considerarse cuando la reacción 2A + B no es instantánea en la superficie catalítica en z = 6. En vez de ello, supóngase que la velocidad con la que desaparece A en la superficie recubierta del catalizador es proporcional a la concentración de A en el fluido en la interfase, NAz = K;CA
= k;cxA
(18.3-10)
donde K; es una constante de velocidad para la reacci6n de seudo primer orden en la superficie.
Se procede exactamente como antes, excepto que la C.L. 2 en la ecuación 18.3-7 debe sustituuse por
donde NA, es, por supuesto, una constante para e1 estado estacionario. La determinación de las constantes de integración a partir de la C.L. 1 y la C.L. 2' lleva a
A partir de lo anterior se evalúa (dxA/dz) 1 ner
y se sustituye en la ecuación 18.3-2 para obte-
Ésta es una ecuación trascendente para N& como una función de xAo, kí, c'2hABy S. Cuando kí es grande, el logaritmo de 1 - ; ( ~ ~ , / k ; cpuede ) expandirse en una serie de Taylor, eliminando todos los términos excepto el primero. Así se obtiene
646 Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
, 1 . Nótese nuevamente que se ha obtenido la velocidad de los procesos de reacción y de d i s combinados. Nótese también que el grupo adimensional BAB/kíSdescribe el efecto de la tica de la reacción en la superficie sobre el proceso global difusión-reacción. El recípm este grupo se denomina segundo nldmero de ~amkahler' Dan = k í S / g A B .Resulta evidente que resultado en la ecuación 18.3-9 se obtiene en el límite cuando Da1' -+m.
2
Como otra ilustración del planteamiento de un balance de materia, consideremos sistema que se muestra en la figura 18.4-1.Aquí el gas A se disuelve en el líquido en un vaso de precipitado y se difunde isotérmicamente en la fase líquida. A medi: da que se difunde, A también experimenta una reacción química homogénea irre versible de primer orden: A 3 + AB. Un ejemplo de este sistema es la absorción de C02 por una solución acuosa concentrada de NaOH. Este caso lo tratamos como una solución binaria de A y B, ignorando la peque! fia cantidad de AB presente (la suposición seudobinaria). Entonces, el balance de materia para la especie A sobre un espesor Az de la fase líquida se vuelve F
+
d donde k;l es una constante de velocidad de primer orden para la descomposición química de A, y S es el área de la sección transversal del líquido. El producto k;"cA representa el número de moles de A consumidos por la reacción por unidad de v e lumen y por unidad de tiempo. Al dividir la ecuación 18.4-1 entre SAZy tomar el límite cuando Az + O, se obtiene
Si la concentración de A es pequeña, entonces la ecuación 18.0-1 puede escribirse hasta una buena aproximación, como
' G . Damkohler, Z.Elektrochem., 42,846-862 (1936).
518.4
Difusión con una reacción química homogénea
647
debido a que la concentración molar total c es virtualmente uniforme en todo el líquido. Al combinar las dos últimas ecuaciones, se obtiene
Esta ecuación debe resolverse con las siguientes condiciones límite:
C.L. 1:
en z = O,
c A = cAo
C.L. 2:
en z = L,
NAz
=
O
(18.4-5) (O
bien, d c A / d z
=
O)
(18.4-6)
La primera condición Iimite establece que la concentración de A en la superficie del líquido permanece a un valor fijo cAO.La segunda establece que nada de A se difunde a través del fondo del recipiente para z = L. Si la ecuación 18.44 se multiplica por L * / C ~ ~ %entonces ~,, puede escribirse en variables adimensionales en la forma de la ecuación C.l-4
donde r = cA/cAOes una concentración adimensional, 5 = z/L es una longitud adimensional, y # = es un grupo adirnensional, denominado módulo de Thiele.' Este grupo representa la influencia relativa de la reacción química r c l o y la ~ ~ / 18.4-7 L ~ debe . resolverse con las condiciones limite adidifusión c ~ ~ ~La ecuación mensionales de que para 5 = 0, r = 1, y para 5 = 1, d i ' / d l = O. La solución general es
m r = C,
cosh
$5 + C2senh $5
(18.4-8)
Una vez que se evalúan las constantes de integración, s,e obtiene
r =coshdJcoshdJ5-senhdJsenh4t - cosh[4(l- l)] cosh
cosh dJ
(18.4-9)
Entonces, volviendo a la notación original,
/
C~~
cosh ,,/k;"12 / 9As
1
E1 perfil de concentración así obtenido se grafica en la figura 18.4-1.
'
E.W. Thiele, Ind. Eng. Chem., 31,916-920 (1939). Emest William Thiele (1895-1993) es conocido por su trabajo sobre los factores de eficacia catalítica y su parte en el desamlko del diagrama de "McCabe-Thiele". Después de trabajar 35 años eii la Standard Oil de Indiana, enseñó durante una década en la Universidad de Nohe Dame.
648
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
Una vez que se tiene comple.to el perfil de concentración, es posible otras cantidades, como la concentración media en la fase líquida L
C~,media-
('A /'AO )dz
tanh 4
--
C ~ O
4
IOdz También puede encontrarse que la densidad de flujo molar en el plano z = O es
Y"
8
Este resultado muestra cómo la reacción química influye en la velocidad de absof! ción del gas A por el líquido B. Quizá el lector se pregunte cómo pueden determinarse experimentalmente 1; solubilidad cAo y la difusividad !BABsi se está llevando a cabo una reacción ca. Primero, &"puede medirse en un experimento por separado en un recipi bien agitado. Luego, en principio, cAO y 9JABpueden obtenerse a partir de las ve]&; cidades de absorción medidas para varias profundidades L del líquido. d
3i
EJEMPLO 18.4-1
c... .. .. Absorción de un pas con reaccidn química en un tanque "&
u
Estimar el efecto de la velocidad de reacción química sobre la velocidad de absorción de un: gas en un tanque agitado (véase la figura 18.4-2).Considérese un sistema en donde el gas disuelto A experimenta una reacción irreversible de primer orden con el líquido B; es decir, A desaparece en el interior de la fase líquida a una velocidad proporcional a la concentración local de A. Un ejemplo de tal sistema es la absorción de SO2o H2Sen soluciones acuosas de NaOH.
No es posible hacer un análisis exacto de esta situación debido a la complejidad del proceso de absorción del gas. Sin embargo, es posible adquirir un conocimiento semicuantitativoútil por medio del análisis de un modelo relativamente sencillo. El modelo que usamos implica las siguientes suposiciones: a. Cada burbuja de gas está rodeada por una película de líquido estancada de espesor 6, que es pequeño en comparación con el diámetro de la burbuja.
El volumen de la fase liquida es V El área de la superficie de todas las burbujas es S
L
I~ntradadel gas A
Figura 18.4-2 Aparato para la absorción de
gas.
E.N. Lightfoot, AIChE foumal, 4,499-500 (1958),8,710-712 (1962).
518.4
Difusión con una reacción química homogénea
649
b. Después de que se forma la burbuja, en la película de líquido se establece rapidamente un perfil de concentración casi estacionario.
c. El gas A es muy poco soluble en el líquido, de modo que es posible despreciar el término de convección en la ecuación 18.0-1. d. EI Ilquido fuera de la película estancada está a una concentración cAg que cambia tan lentamente respecto al tiempo que puede considerarse constante. La ecuación diferencial que describe la difusión con reacción quimica es la misma que la ecuación 18.4-4, pero ahora las condiciones límite son enz = 0,
'A = ' ~ 0
enz = 6,
' A = 'AS
,
La concentración cAo es la concentración interfacial de A en la fase liquida, que se supone está en equilibrio con la fase gaseosa en la interfase, y cA6 es la concentración de A en el cuerpo principal del liquido. La solución de la ecuacibn 18.4-4 con estas condiciones límite es c~ - senh+cosh45+ ( B - cosh+) senh+l -senh 4 c ~ O
(18.4-15)
m.
donde 5 = z/&, B = cA6/cA0 y 4 = Este resultado se grafica en la figura 18.43. Luego se usa la suposición d anterior y la cantidad de A que entra al cuerpo principal del líquido en z = 6 sobre la superficie total de la burbuja S en el tanque se iguala con la cantidad de A que se consume por reacción química en Ia masa del líquido:
Al sustituir cA de la ecuación 18.4-15 en la ecuación 18.4-16, se obtiene una expresión para B:
Una vez que este resultado se sustituye en la ecuación 18.4-15, se obtiene una expresión para cA/cAD en términos de y V / S6. A partir de esta expresión para el perfil de concentración, luego es posible obtener la velocidad total de absorción con reacción química a partir de NA, = - 9 A B ( d ~ A / d evaluada ~) en z = O; así,
+
El resultado se grafica en la figura 18.44.
z=O
z=6
Figura 18.4-3 Pkedicción del perfil de concentración en la película líquida próxima a una burbuja.
650 Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar \-
2.0 -
I
I
I
I
T
Figura 18.4-4 Absorci6n degas acompañada de una reacción química ilTeversibie de primer orden.
I; 1
; -
10
4
Aq* se observa que la velocidad de absorción adimensional por unidad de área en la interfase, N, aumenta con 4 para todos los yalores finitos de V/SS.A valores muy bajos de 4 - e s decir, para reacciones muy lentas-, N tiende a cero. Para esta situación límite el líquido está casi saturado con el gas disuelto, y la "fuerza impulsara" para la absorción es muy pe queña. Para valores altos de la densidad de flujo de masa adimensional en la superficie aumenta rápidamente con 4 y se vuelve casi independiente de V/S6. En las últimas ciminstancias, la reacción es tan rápida que casi todo e1 gas que se está disolviendo se consume en el interior de la película. Entonces B es casi cero y la masa del líquido?^ desempeña ningún papel importante. En el límite a medida que 4 se hace muy elevado, N tiende a 4. Para valores intermedios de 4 se observa un comportamiento algo más interesante. Puede notaye que, para V/SS moderadamente grande, hay un intervalo considerable de r$ para el cual N es casi igual a la unidad. En esta región la reacción química es suficientemente riipida para mantener la masa de la soIuci6n casi libre de soluto, pero suficientemente lenta para afectar poco el transporte del soluto en la película. Una situación así se presenta cuando la ra2611 V/SS de la masa al volumen de la película es suficiente para equilibrar la mayor veloadad de reacción volumétrica en la pelicula. Entonces, la velocidad de absorción es igual a la velocidad de absorción física (es decir, la velocidad para la cual V," = O) para un tanque libre de soluto. Este comportamiento suele observarse a menudo en la práctica, y la operación en estas condiciones ha demostrado ser un medio útil para caracterizar el comportamiento de la transferencia de materia d e una variedad de absorbentes de gas.2
+
518.5 DIFUSION A UNA PELÍCULA LÍQUIDA DESCENDENTE (ABSORCION DE UN GAS)'
En esta sección presentamos una ilustración de transferencia de materia por conveccidn forzada, donde el flujo viscoso y la difusión ocurren en condiciones tales que puede considerarse que la difusión virtualmente no afecta el campo de velocidad. Específicamente, consideramos la absorción del gas A por una película laminar descendente del líquido B. El material A es sólo ligeramente soluble en B, de modo que
' S. Lynn,J.R. Shaatemeier y H. Kramers, C h m . Eng. Sci., 4,49-67(1955).
s18.5
Difusión a una película líquida descendente (absorción de un gas)
651
Figura 18.5-1 Absorción de A a una película descendente del líquido B.
la viscosidad del liquido permanece sin cambio. Además hacemos la restriccion adicional de que la difusión se lleva a cabo tan lentamente en la película de líquido que A "penetra" muy poco en el interior de la peficula; es decir, que la distancia de penetración es pequeña en comparación con e1 espesor de la película. El sistema se bosqueja en la figura 18.5-1. Un ejemplo de este tipo de sistema ocurre en la absorción de O2en H20. Ahora plantearemos las ecuaciones diferenciales que describen el proceso de difusión. Primero, es necesario resolver el problema de transferencia de cantidad de movimiento para obtener el perfil de velocidad v,(x) de la película; esto ya se trabajó en 52.2 en ausencia de transferencia de materia en la superficie del fluido, y se sabe que el resultado es
suponiendo que se ignoran los "efectos finales". En seguida es necesario establecer un balance de materia sobre la componente A. Se observa que cA variará con x y con z. Por lo tanto, como se eIige el elemento de volumen para el balance de materia, se elige el volumen formado por la intersección de una placa de espesor Az con una placa de espesor Ax. Así, el balance de materia respecto a A sobre este segmento de una película de ancho W se vuelve
Dividiendo entre W A x Az y realizando el habitual proceso al límite a medida que el elemento de volumen se hace infinitesimalmente pequeño, se obtiene
652
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
\ En esta ecuación se inserta ahora la expresión para NAz y NAx,haciendo ciones convenientes de la ecuación 18.0-1. Para la densidad de flujo rección z, suponiendo c constante, se escribe
-
El término subrayado con la línea discontinua se elimina, porque el transporte d en la dirección z es esencialmente por convección. Se utilizaron la ecuación (M) la tabla 17.8-1y el hecho de que v es casi igual a v* en soluciones diluidas. La de sidad de flujo molar en la dirección x es
Aquí se elimina el término subrayado con la Iinea discontinua porque A se mue en la dirección x predominantemente por difusion, y no hay casi nada de transpor.: te convectivo normal a la pared para explicar la muy poca solubilidad de A en B. combinar las tres últimas ecuaciones, para 9AB constante se obtiene
Por último, al insertar la ecuación 18.5-1para la distribución de velocidad se obtiene
9
como la ecuación diferencial para cA(x,z). La ecuación 18.5-7 debe resolverse con las siguientes condiciones límite:
C.L. 3:
e n x = S,
3%-0 dx
(18.5-10)
La primera condición limite corresponde al hecho de que la película consta de B puro en la parte superior ( z = O), y la segunda indica que en la interface líquido-gaf~ la concentración de A es determinada por la solubiIidad de A en B (es decir, cAO).TA tercera condición límite establece que A no puede difundirse a través de la p r e d sólida. Este problema se ha resuelto analíticamente en forma de una serie infinita? pero aquí no proporcionamos esa solución. En vez de ello, buscamos sólo una expresión limite válida para "tiempos de contacto breves", es decir, para valores pequeños de L/v,,.
R.L. Pigford, tesis doctoral, Universidad de I h o i s (1941)
518.5
Difusión a una película líquida descendente (absorción de un gas) 653
Si, como se indica en la figura 18.5-1, la sustancia A sólo ha penetrado una corta distancia dentro de la película, entonces la especie A "tiene la impresión" de que la película se está moviendo en todas partes con una velocidad igual a vm6, Además, si A no penetra demasiado, no "siente" la presencia de la pared sólida en x = S. Por tanto, si la película fuese de espesor de infinito moviéndose a la velocidad VmAx, entonces el material de difusión "no se enteraría de la diferencia". Este argumento físico sugiere (correctamente) que se obtiene un muy buen resultado si la ecuación 18.5-7 y sus condiciones límite se sustituyen por
e n z = O,
cA = O
e n x = 0,
' A = 'AO
en x = m,
cA = O
Un problema exactamente análogo es el del ejemplo 4.1-1, que se resolvió por el método de combinación de variables. Por tanto, es posible tomar la solución de ese problema cambiando simplemente la notación. La solución es3
o bien,
CA --=1-erf
X
X
C ~ O
En estas expresiones, "erf x" y "erfc Y' son la "función de error" y la "función de error complementaria" de x, respectivamente. Se analizan en 5C.6 y se tabulan en obras de consulta norma le^.^ Una vez que se conocen los perfiles de concentración, la densidad local de flujo de masa en la interfase gas-líquido puede encontrarse como sigue:
La solución se trabaja en detalle por el método de combinación de variables en el ejemplo 4.1-1. M. Abramowitz e I.A. Stegun, Handbwk of Mathematical Functions, Dover, Nueva York, 9a. impresión (1973), PP. 310 e! seq.
654
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar \
Entonces, el flujo molar total de A a través de la superficie en x = O (es decir, bid0 por una película líquida de longitud L. y ancho W) es
7
WA = [ow ~ O L~~,l,=~dzdy
10dpd
$dz
= WcAO
= WLCAo
4
9 VIXIAX ~ ~ 7iL
f
(18.5-18j
Se obtiene el mismo resultado al integrar el producto vmá,cA sobre la sección trans versa1 de flujo en z = L (véase el problema 18C.3). La ecuación 18.5-18 muestra que la velocidad de transferencia de materia es direcm tamente proporcional a la raíz cuadrada de la difusividad e inversamente prüporcio. nal a la raíz cuadrada del "tiempo d e exposición", teXp= L/v,&. Según parece, este método para estudiar la absorción de un gas fue propuesto por vez primera por ~i~bie.~ El problema que se analizó en esta sección ilustra el "modelo de penetraciónn de transferencia de materia. Este modelo se estudiará con más detalle en los capítulos 20 y 22.
Estimar la velocidad a la que burbujas de gas de A son absorbidas por el líquido B a medida que las burbujas se elevan a su velocidad final v t a través de un líquido limpio y quieto.
desde burbujas ascendentes
SOLUCIÓN
Burbujas de gas de taniaño moderado, que se elevan en líquidos libres de agentes tensoactivos, experimentan una circulación toroidal (circulación de Rybczynski-Hadamard), como se muestra en Ia figura 18.5-2.El líquido se desplaza hacia abajo con respecto a cada bwbuja ascendente, enriquecida por la especie A cerca de la interfase en la forma de la película descendente en la figura 18.5-1. La profundidad de penetración del gas disuelto en el líquido es ligera en la mayor parte de la burbuja, debido al movimiento del líquido con respecto a la burbuja y debido a la pequeñez de la difusividad sDAB en la fase líquida. Así, como una aproximación general, puede usarse la ecuación 18.5-18 para estimar la velocidad de absorción del gas, sustituyendo el tiempo de exposición tmp = L/vmá, para la película descendente por D / v , para la burbuja, donde D es el diámetro instantáneo de la burbuja. Asi se obtiene una estimación5de la velocidad de absorción molar, promediada sobre la superficie de la burbuja, como
-
- --
-
R. Higbie, Trans. AIChE, 31,365-389 (1935). Ralph Wilrnarth Higbie (1908-1941), egresado de la Universidad de Michigan, proporcionó la base para el "modelo de penetración'' de transferencia de materia. Trabajó en E.I. du Pont de Nemours & Co., lnc., y también en la Eagle-Picher Lead Co.; luego enseñó en la Universidad de Arkancas y en la Universidad de Dakota del Norte.
s18.6 Difusión a una película líquida descendente (disolución de un sólido) 655 Líquido 3 ,O
c
Figura 18.5-2 Absorción del gas A en el liquido B.
d
Aquí, cAoes X a solubilidad del gas A en el líquido B a la temperatura interfacial y a la presión parcial del gas A. De manera interesante, el resultado en la ecuaci6n 18.5-19 resulta ser correcto para flujo potencial del líquido alrededor de la burbuja (véase el problema 48.5). Esta ecuación ha sido confirmada de manera aproximada6 para burbujas de gas de 0.3 a 0.5 cm de diámetro que se elevan a través de agua cuidadosamente purificada. Este sistema también ha sido analizado para flujo reptante7 y e1 resultado es (véase el ejemplo 20.3-1)
en vez de la ecuación 18.5-19. Cantidades a nivel de traza de agentes tensoactivos provocan una disminución notoria en las velocidades de absorción de pequeñas burbujas, al formar una "piet" alrededor de cada burbuja, evitando asi de manera efectiva la circulación interna. La velocidad de absorcibn molar en el límite de difusividad pequeña se vuelve entonces proporcional a la potencia $ de la difusividad, como para una esfera sólida (vbanse s22.2 y a22.3). Un método semejante se ha utilizado exitosamente para predecir las velocidades de transferencia de materia durante la formación de gotas en una punta ~ a p i l a r . ~
Ahora abordaremos un problema de película descendente distinto a1 que se estudió en la sección precedente. El líquido B fluye en movimiento laminar hacia abajo por
una pared vertical, como se muestra en la figura 18.6-1. La película comienza su movimiento suficientemente lejos arriba en la pared de modo que u, sólo depende de y para z 2 O. Para O < z < L, la pared está hecha de una especie A que es ligeramente soluble en B.
D. Hammerton y F. H. Garner, Trans. Inst. Chem. Engrs. (Londres), 32, S18S24 (1954). V.G. Levich, Physicochemical Hydrodynamics, Prentice-Hali, Englewwd Cliffs, N.J. (19621,p. 408, ecuación 72.9. Esta referencia proporciona muchos resultados adicionales, incluyendo transferencia de materia líquido-líquido y efectos tensoactivos. H. Groothuis y H. Ktamers, Chem. Eng. Sci., 4,17-25(1955). H. Kramers y P.]. Kreyger, Chem. Eng. Sci., 6,4248 (1956); para el problema análogo de conducción de calor, véase tambi6n R.L. Pigford, Chem. Eng. Prog. Symposium Series Núm. 17, Vol. 51, pp. 79-92 (19.55).
'
656 Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar L
Perfil de velocidad parabóltco del fluido B
I Siinsoluble
-
Figura 18.6-1 Disolución del s ó l i d o P dentro de una película descendentede( líquido B, que se mueve con un perfil parabólico de velocidad totalmente desarrollado.
I
Para distancias cortas corriente abajo, la especie A no se difunde muy adentro de la película descendente. Es decir, A está presente sólo en una capa limite muy delgada próxima a la superficie sólida. Por tanto, las moléculas de A que se difunden experimentan una distribución de velocidad que es característica de la película des cendente justo a la derecha de la pared, y = O. La distribución de velocidad se pre porciona en la ecuación 2.2-18. En esta situación, cos /3 1 y x = S - y, y
-
En la pared y en sitios adyacentes a ésta se tiene que (y/# << (y/@, de modo que para este problema la velocidad, hasta una muy buena aproximación, es v, = (pg6/p,)y = ay. Esto significa que la ecuación 18.5-6,que es aplicable aquí, para distancias cortas corriente abajo se vuelve
donde a
= pgt~/p,.Esta
ecuación debe resolverse con las condiciones límite e n z = 0,
cA = O
e n y = 0,
'A
en y = -,
cA = O
-
- 'AO
En la segunda condición límite, cAO es la solubilidad de A en B. La tercera condición limite se usa en vez de la correcta ( d c A / d y = O para y = S), ya que para tiempos de contacto breves, intuitivamente se siente que no hay diferencia. Después de todo, debido a que las moléculas de A sólo penetran ligeramente en la película, no pueden ir demasiado lejos para "ver" el límite externo de la película, y por tanto no
918.6
Difusión a una película liquida descendente (disolución de un sólido) 657
pueden distinguir entre la condición iímite verdadera y la condición límite apmximada que se usa. El mismo tipo de razonamiento se encontró en eI ejemplo 12.2-2y en el problema 12B.4. La forma de las condiciones límite en las ecuaciones 18.63 a 18.6-5 sugiere el método de combinación de variables. Por tanto, se intenta cA/cAO = Pq),donde 9 = y(a/99A9)1/3. Puede demostrarse que esta combinación de las variables independientes es adimensional, y el factor de " 9 se incluye para que la soIuci6n se vea más daramente. Una vez que se hace este cambio de variable, la ecuación diferencial parcial en la ecuación 18.6-2 se reduce a una ecuación diferencial ordinaria
con las condiciones i í t e J 0 ) = 1 yflw) = 0. Esta ecuación de segundo orden, que es de la forma de la ecuación C.1-9, tiene la solución
Luego, las constantes de integración pueden evaluarse usando las condiciones límite, y finalmente se obtiene
para los perfiles de concentración, donde r($) = 0.8930... es la función gamma de J. Luego, la densidad de flujo de masa local en la pared puede obtenerse como sigue
Así, la densidad de flujo molar de A a través de toda la superficie de transferencia de materia en y = O es
donde r(S)=
.
= 1.1907..
658 Capitulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y fliijo laminar
El problema que se analizó en 518.5y el que se analizó aquí son eje tipos de soluciones asintóticas que se estudiarán con mayor detalle en 520.2 y S20 nuevamente en el capítulo 22. En consecuencia, es importante que estos dos pro mas se comprendan perfectamente bien. Nótese que en 518.5, WA m (BABL)1'2, tras que en esta sección WA a (gOABL)2/3. La diferencia en los exponentes naturaleza del gradiente de velocidad en la interfase de transferencia de m 538.5, el gradiente de velocidad era cero, mientras que en esta sección el gradi de velocidad es diferente de cero.
318.7 D I F U S I ~ N Y R E A C C I ~ NQUÍMICA DENTRO DE UN CATALIZADOR POROSO Hasta el momento se ha analizado la difusión para gases y líquidos en sistemas geometria sencilla. Ahora se desea aplicar el método del balance de materia en envoltura y la primera ley de Fick para describir la difusión en el interior de una par: tícula esférica (pellet) de un catalizador poroso. No se intentará describir la difusiói en el interior de los pasadizos huecos tortuosos en la partícula. En vez de ello, se describirá la difusión "media" del reactivo en términos de una "difusividad efecti1"
Específicamente, se considerará una particda esférica de un catalizador poroso de radio R, como se muestra en la figura 18.7-1. Esta partícula está en un reactor catalitico, donde se sumerge en una corriente gaseosa que contiene el reactivo A y e] producto B. En la vecindad de la superficie de la partícula catalítica específica que está considerándose, se supone que la concentración de A es CAR moles por unidad de volumen. La especie A se difunde a través de los pasadizos tortuosos en el cata. lizador y se convierte en B sobre las superficies del mismo, como se muestra en la figura 18.7-2.
1
La concentración en
/ la superficie es cAR
A 4 6 en el interior
del catalizador
Corriente con concentraciones CAR
-
rK1
Y CBR
Figura 18.7-1 Particula esférica de un catalizador poroso. En la figura 18.7-2 se muestra una amplificación del recuadro.
Figura 18.7-2 Poros del catalizador, donde ocurren difusi6n y una reacción quúnica.
E.W. Thiele, Ind. Eng. Chem., 31,91&920 (19391. R. Aris, Chem. Eng. Sci., 6,265-268 (1957). A. Wheeler, Advances in Catalysis, Academic Press, Nueva York (1950), Vol. 3, pp. 250-326.
918.7 Difusión y reacción química dentro de un catalizador poroso
659
Comenzamos por hacer un balance de materia para la especie A sobre una envoltura esférica de espesor Ar en el interior de una sola partícula catalítica:
Aquí NAr1 es el número de moles de A que pasan en la dirección r a través de una superficie esférica imaginaria situada a una distancia r del centro de la esfera. El término de la fuente RA 4 d A r es la velocidad de producción molar de A por reacción química en la envoltura de espesor Ar. Al dividir entre 4a Ar y hacer que Ar + O, se obtiene
o bien, usando la definición de Ia primera derivada,
Resulta evidente que este proceso de límite está en contradicción con el hecho de que el medio poroso es granular, no continuo. Por tanto, en la ecuación 18.7-3 los simbolos NAr y RA no pueden interpretarse como cantidades que tengan un valor significativo en un punto. En vez de ello, deben interpretarse como cantidades promediadas sobre una pequeña vecindad del punto en cuesti6n; una vecindad pequeña respecto a la dimensión R, pero grande en relación con las dimensiones de los pasadizos en el interior de la partícula porosa. Ahora definimos una "difusividad efectiva" para la especie A en eI medio poroso mediante la expresión
donde cA es la concentración del gas A contenido en el interior de los poros. La difusividad efectiva D A debe medirse experimentalmente. En general depende de la presión y Ia temperatura, así como de la estructura de los poros del catalizador. El mecanismo real para explicar la difusión en los poros es complejo, debido a que las dimensiones de los poros pueden ser más pequeñas que la trayectoria libre media de las moléculas que se difunden. Aquí no se aborda la cuestión de1 mecanismo, sino que sólo se supone que el proceso de difusión puede representarse satisfactoriamente con la ecuación 18.7-4 (véase 524.6). Una vez que la expresión anterior se inserta en la ecuación 18.7-3, para difusividad constante se obtiene
Ahora se considera la situación en que Ia especie A desaparece según una reacción química de primer orden en las superficies cataiíticas que constituyen total o par-
660 Capitulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
cialmente las "paredes" de los pasadizos tortuosos. Sea a el área de la s u p e r f i ~ talítica disponible por unidad de volumen (sólidos + huecos). Entonces -kílzc,, y la ecuacián 18.7-5 se vuelve (véase la ecuación C.1-6)
BA2-
dr ( di:) 7
= k;>acA
Esta ecuación debe resolverse con las condiciones límite de que cA = cARpara = R; y que cA es finita para r = 0. Las ecuaciones que contienen el operador (1/r2)(d/dr)[?(d / d r ) 1, a menudo puA den resolverse usando un "truco nomal", a saber, un cambio de variable cA/cArc-' (1/r)f(r). Así, la ecuación para fir) es
Ésta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, que puede resolverse en términos de funciones exponenciales o hiperbólicas. Una vez que se resuelve y el resultado se divide entre r, se obtiene Ia siguiente solución de la ecuación 18.76 términos de funciones hiperbólicas (véase 5C.5):
Finalmente, al aplicar las condiciones límite se obtiene
En estudios de cinética y catálisis química a menudo se tiene interés en conocer la densidad de flujo molar NARO el flujo molar WARen la superficie r = R:
Cuando la ecuación 18.7-9 se usa en esta expresibn, se obtiene
Este resultado proporciona la velocidad de conversión (en rnol/s) de A a B en una sola partícula catalítica de radio R en términos de los parámetros que describen los procesos de difusión y de reacción. Si toda La superficie cataliticamente activa estuviese expuesta a ¡a corriente de concentración cAR, entonces la especie no tendría que difundirse a través de los poros hacia un sitio de reacción. La velocidad molar de conversión estaría dada enton-
518.7 Difusión y reacción química dentro de un catalizador poroso 661
ces por el producto de la superficie disponible y la velocidad de reacción en la perficie:
WAR,O = ($'TR3)(11)(-k;cAR)
SU-
(18.7-12)
Al calcular la razón de las dos últimas expresiones se obtiene
donde C$ = v k ; í z / 9 A ~es el mddulo de hiele? que se encontró en 518.4. La cantidad qA se denomina factor de eficacia:'"l es la cantidad por la que debe multiplicarse WAR,-,para explicar la resistencia a la difusión entre partículas, en el proceso global de conversión. Para partículas catalíticas no esféricas, los resultados anteriores pueden aplicarse de manera aproximada volviendo a interpretar R. Se observa que para una esfera de radio R la razón del volumen a la superficie externa es R/3. Para particulas no esféricas,la R en la ecuación 18.7-13 vuelve a definirse como
donde V py Sp son el volumen y la superficie externa de una sola partícula catalítica. Entonces, el valor absoluto de la velocidad de conversión está dado aproximadamente por
donde
en la cual la cantidad A = -(v / S $ es un módulo genei-ali~ado.~~~ La utilidad concreta de la cantidac! A puede verse en la figura 18.7-3. Resulta evidente que cuando las expresiones teóricas exactas de rl, se grafican como funciones de A, las curvas tienen asintotas comunes para valores grandes y pequeños de A, que no difieren mucho entre sí para valores intermedios de A. Así,-la figura 18.7-3 justifica el uso de la ecuación 18.7-16 a fin de estimar vApara particulas no esféricas.
-
O.A. Hougen y K.M. Watson, C h i c a l Pmess Principies, Wdey, Nueva York (1947),Parte 111, capítulo XIX. Vease también CPP Chnrts, de O.A. Hougen, K.M. Watson y R.A. Ragatz, Wdey, Nueva York (1960),Fig. E.
662 Capitulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
\
Figura 18.7-3 Factores de eficacia para catalizadores sólidos porosos de varias formas. [R. A&, C h r . Eng. Sci., 6,262-268 (19571.1
518.8" DIFUSIÓNEN UN SISTEMA GASEOSO DE TRES COMPONENTES Hasta el momento se han analizado sistemas binarios o sistemas que pueden aproximarse como sistemas de dos componentes. Para ilustrar el planteamiento de problemas de difusión de varios componentes para gases, volvemos a trabajar el problema inicia1 de evaporación de 518.2 cuando agua líquida (especie 1) se evapora en aire, mismo que se toma como una mezcla binaria de nitrógeno (2) y oxígeno (3) a 1 atm y 352K. Se considera que la interface aire-agua está en z = O y que el extremo superior del tubo de difusión está en z = L. Ce asume que se conoce la presión de vapor del agua, de modo que xl se conoce para z = O (es decir, xlo= 341/760 = 0.449), y que las fracciones moIares de los tres gases se conocen para z = L: x I L = 0.10,xil. = 0.75, x~~ = 0.75. El tubo de difusión tiene una longitud L = 11.2 cm. La conservación de la materia lleva, asi como en 518.2, a las siguientes expresiones:
A partir de lo anterior puede concluirse que las densidades de flujo molar de las tres especies son constantes en estado estacionario. Debido a que las especies 2 y 3 no se mueven, se concluye que N2, y N3, son cero. Luego se requieren las expresiones para las densidades de flujo molar de la ecuación 17.9-1.Debido a que xl + x2 + x3 = 1, sólo se necesitan dos de las tres ecuacione disponibles, y se eligen las ecuaciones para las especies 2 y 3. Debido a que N2,= O y N3z = 0, estas ecuaciones se simplifican considerablemente:
518.8
Difusión en un sistema gaseoso de tres componentes 663
Nótese que aquí no aparece la difusividad 0023,ya que no hay movimiento relativo de las especies 2 y 3. Estas ecuaciones pueden integrarse desde una altura arbitraria z hasta la parte superior del tubo en L, a fin de obtener para constante
Entonces, al integrar se obtiene
y el perfil de fracción molar de vapor de agua en la columna de difusión es
Una vez que se aplica la condición límite para z
=
O, se obtiene
que es una ecuación trascendente para NI,. Según Reid, Prausnitz y Poling,l Ob,, = 0.364 cm2/s y QI3= 0.357 cm2/s a 352K y 1 atm. Para estas condiciones, c = 3.46 X g-mol/cm3. A fin de obtener una solución rápida para la ecuación 18.8-9, ambas difusividades se toman iguales2 a 0.36 cm2/s. Así se obtiene
0.449 = 1 - 0.90 exp
(
-
NI, (11-2) (3.462x loJ l(0.36)
a partir de lo cual se encuentra que NI, = 5.523 X loL7g-mol/cm2 * s. Esto puede usarse como una primera conjetura aI resolver la ecuación 18.8-9 de manera más exacta, si así se desea. Luego, todos los perfiles pueden calcularse a partir de las ecuaciones 18.8-6 a 18.8-8.
'
R.C. Reid, J.M. kausnitz y B.E.Poling, The Propertia of Gases and Liquids, 4a. edición, McGraw-Hill, Nueva York (1987),p. 591. La solución de pmblemas de difusión temana donde dos de las difusividades binarias son iguales, fue analizada por H.L. Toor, AlChE Journol,3,198-207(1957).
664
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y fiujo laminar
-t
¿Qué argumentos se usan en este capítulo para eliminar NB de la ecuación 18.0-l? Sugiera formas para medir la difusividad EbAB por medio de los ejemplos de este capíMo.Q sumir las posibles fuentes de error. ¿En qué límite las curvas de concentración de la figura 18.2-1 se vuelven líneas rectas? Distinguir entre reacciones homogéneas y heterogéneas. ¿Cuáles son descritas por con di^+ nes Imite y cuáles se manifiestan a sí mismas en las ecuaciones diferenciales? Analizar la expresión "reacción controlada por la difusión". ¿Qué tipo de "dispositivo" sugeriría el lector en las primeras líneas de 518.2 para mantener constante el nivel de la interfase? ¿Por qué el miembro izquierdo en la ecuación 18.2-15 se denomina "velocidad de evapora. ción"? Explicar cuidadosamente cómo se establece la ecuación 18.2-19. Criticar el ejemplo 18.2-3. ¿En qué medida se trata de "un simple problema académico*? ¿Qué aprendió el lector de este problema? ¿En qué sentido es posible interpretar la cantidad NA,en la ecuación 18.3-9 como una velocidad local de reacción química? ¿Cómo cambia el tamaño de una burbuja a medida que se mueve hacia arriba en un líquido? ¿En qué contexto se encontró antes la ecuación 18.5-11? ¿Qué ocurre si se intenta resolver la ecuación 18.7-7 usando funciones exponenciales en vez de funciones hiperbólicas? ¿Cómo podría hacerse una elección más sencilla de antemano? Comparar los sistemas analizados en 518.5 y 518.6 respecto a los problemas físicos, tos m&dos matemáticos usados para resolverlos y las expresiones finales para las densidades de flujo molar.
PROBLEMAS
18A.1
Velocidad de evaporación. Para el sistema que se muestra en la figura 18.2-1, ¿cual es la velocidad de evaporación en g/h de CCI,NO, (cloropicrina) en aire a 25 OC? Hacer la suposición de costumbre de que el aire es una "sustancia pura". Presión total Difusividad (CC&N02-aire) Presión de vapor de la cloropicrina Distancia desde el nivel del líquido hasta la parte superior del tubo Densidad de la cloropicrina CCl$J02 Area de la superficie de líquido expuesta a la evaporación
770 mm Hg 0.088 cm2/s 23.81 mm Hg 11.14 cm 1.65 g/cm3 2.29 cm2
Respuesta: 0.0139 g/h 18A.2
Sublimación de pequeñas esferas de yodo en aire inmóvil. Una esfera de yodo, de 1 cm de diámetro, está situada en aire inmóvit a 40 OC y 747 mm Hg de presi6n. A esta temperatura la presión de vapor del yodo es aproximadamente 1.03 mm Hg. Se desea determinar la difusividad del sistema yodo-aire midiendo la velocidad de sublimación. Para ayudar a determinar condiciones experimentales razonables, a) estime la difbividad del sistema yodo-aire a la temperatura
y presión dadas, usando fos
parámetros de la fuerza intermolecular en la tabla E.1; b) estime la velocidad de sublimación, basando sus cálculos en la ecuación 18.2-27. (Sugerencia: supóngase que r2 es muy grande.) Este método se ha usado para medir la difusividad, aunque es susceptible de ser tionado debido a la posible importancia de la conveccion libre.
18A.3
Estimación del error al calcular la velocidad de absorción. ¿Cuál es el error máximo posible al calcular la velocidad de absorción a partir de la ecuación 18.5-18,si la solubilidad de A en
Problemas 665
Peücula de agua que desciende por la pared
Figura 18A.4 Representacibn esquern8tica de una columna de pared mojada.
spesor 6 de la peiícula
supone que la mncentración en la supedi& es igual a k concentraciónde saturación
' 1Mezda gaseosaq u e contiene clom
B se conoce con un error de 25% y la difusividad se conoce con un error de +15%? Supóngase que las cantidades geométricas y la velocidad se conocen con mayor precisión. 18A.4
Absorción de cloro en una película descendente (figura 18A.4). Se absorbe cloro de un gas en una pequeña torre experimental de pared mojada como se muestra en la figura. El fluido absorbente es agua, que se mueve a una velocidad media de 17.7 cm/s. ¿Cuál es la velocidad de absorción en g-mol/h, si la difusividad en la fase líquida del sistema cloro-agua es 1.26 x cm2/s, y si la concentración de saturación de cloro en agua es 0.823 g de cloro por 100 g de agua (éstos son los valores experimentales a 16 OC).Las dimensiones de la columna se proporcionan en la figura. (Sugerencia: ignorar la reacción química entre el cloro y el agua.)
Respuesfa: 0.273 g-mol/h 18A.5
Medici6n de la difusividad por el método de la fuente puntual (figura 18C.1).' Se desea diseñar un sistema de flujo a fin de utilizar los resultados del problema 18C.1para medir 9jAB. La corriente de aproximación de B puro debe dirigirse verticalmente hacia arriba, y la composición del gas se medirá en varios puntos a lo largo del eje z. a) Calcular la velocidad de inyección del gas WA en g-mol/s necesaria para producir una fracción molar xA 0.01 en un punto situado a 1cm corriente abajo de la fuente, en un sistema de gas ideal a 1 atm y 800 O C , si vo = 50 cm/s y 9YAB= 5 cm2/s. b) ¿Cuál.es el error máximo permisible en la posición radial de la sonda para obtener muestras del gas, si la composición medida xA debe estar dentro de un margen de 1%del valor de la línea central?
18A.6
Determinaci6n de la difusividad para un sistema éter-aire. Los datos siguiente:; sobre Id evaporación de éter etílico (C2HsOC2H5)fueron tabulados por J O S ~ Los . ~datos son para un tubo de 6.16 mm de diámetro, presión total de 747 mm Hg y temperatura de 22 'C.
'
Éste es el método m6s pmiso que se ha desarrollado para mediciones de la dihisividad a altas temperaturas. Para una descripción detallada del método, véase el habajo de R.E. Walker y A.A. Westenberg, J. Chem. Phys., 29,11391146,1147-1153(1958). Para un reswnen de valores medidos y comparacionescon la teoría de Chapman-Enskog,véase R.M.Fristrom y A.A. Westenberg, Flame Structure, McGraw-HiU, N u w a York (1965),capítulo XIII. W.Jost,Difision, Academic Press, Nueva Ymk (1952),pp 411-413.
666 Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
Disminución del nivel del éter (medido desde el extremo abierto del tubo), en mm
Tiempo, en segundos, necesario
para Ia disminución indicada de nivel
desde 9 hasta 11 desde 14 hasta 16 desde 19 hasta 21 desde 24 hasta 26 desde 34 hasta 36 desde 44 hasta 46
El peso molecular del éter etíiico es 74.12, y su presión de vapor a 22 "C es 480 mm Hg. pue de suponerse que la concentración de éter en el extremo abierto del tubo es cero. Jost propor. "on6 un valor de EbAB para el sistema éter-aire de 0.0786 cm2/s a O OC y 760 mrn Hg. a) Usar los datos de evaporación para encontrar gAB a 747 mrn Hg y 22 "C,suponiendo qU, la media a~itmkticade las longitudes de la columna de gas puede usarse para z2 - zlen h fi. gura 18.2-1. Además, supbngase que la mezcla &ter-airees ideal y que la difusión puede con. siderarse como binaria.
b) Convertir el resultado a 9AB para 760 mm Hg y O "C usando la ecuación 17.2-1. 18A.7
Densidad de flujo de masa desde una burbuja en circulación. a) Usar La ecuación 18.5-20 para estimar la velocidad de absorción de C 0 2 (componente A) desde una burbuja de bióxido de carbono de 0.5 un de diámetro que asaende en agua pura (componente B) a 18 "C y una presión de 1 atm. Pueden usarse 10s datos siguientes:3 gA8= 1.46 x lop5 cm2/s, cAO = 0.041 g-mol/litro, vt = 22 m i s . b) Volver a calcular la velocidad de absorcidn usando 10s resultados experimentales de H a merton y ~arner: quienes obtuvieron una k, media con respecto a la superficie de 117 cm/h (véase la ecuación 18.1-2).
Respuestas: a) 1.17 X l o w 6g-mol/cm2 S;b) 1.33 X
g-mol/cm2 S.
18B.1
Deducción alternativa de la dihsión a través de una película estancada. En la ecuación 18.2-14 de 318.2 se obtuvo una expresión para calcular la velocidad de evaporación al diferenciar el perfil de concentración que se encontró unas líneas antes. Demostrar que los mismos resdtados pueden deducirse sin tener que encontrar el perfil de concentración. Nótese que en estado estacionario, Nh es una constante según la ecuación 18.2-3. Luego, la ecuación 18.2-1puede integrarse directamente para obtener la ecuación 18.2-14.
183.2
Error al despreciar el término de convección en la evaporación. a) Volver a trabajar el problema planteado en el texto en 518.2 despreciando e1 ténnino xA(NA+ NB)en la ecuaci6n 18.0-1.Demostrar que así se llega a
Ésta es una aproximación útil si A está presente sólo en concentraciones muy bajas. b) Obtener el resultado del inciso a), a partir de la ecuación 18.2-14 haciendo la aproximación apropiada.
G.Tammann y V.Jessen,Z . anorg. allgem. Chem., 179,12C-144(1929);F H .Gamer y D. Hammerton, C h m . Eng. Sci.,3,l-11(1954). D. Hammerton y F.H. Gamer, Trarans. Inst. C h .Engrs. (Londm), 32,S18-S24 (1954).
'
Problemas 667
¿Qué error se comete en la determinación de GdAB en el ejemplo 18.2-2 si se usa el resuitado del inciso a)? C)
Respuesta: 0.78%
188.3
Efecto de la velocidad de transferencia de materia sobre los perfiles de concentración. a) Combinar el resultado en la ecuación 18.2-11 con el de la ecuación 18.2-14 para obtener
b) Obtener el mismo resultado por integración directa d e la ecuación 18.2-1, usando el hecho de que NA,es constante. Obsérvese lo que ocurre cuando la velocidad de transferencia de materia se vuelve pequeña. Expanda la ecuación 188.3-1 en una serie de Taylor y conserve s61o dos términos, como es apropiado para NAz pequeña. ¿Qué ocurre con las líneas ligeramente curvas en la figura 18.2-1 cuando NAz es muy pequeña?
C)
188.4
Absorción con reacción química. a) Volver a trabajar el problema que se analizó en el texto en 518.4, pero tomando z = O como el fondo del vaso de precipitado y z = L como la interfase gas-liquido. b) Al resolver la ecuación 18.4-7, la solución se tomó como la suma de dos funciones hiperbólicas. Trate de resolver este problema usando la solución igualmente válida r = C, exp(90 + C2exp(-@D. c) ¿En qu4 sentido se simplifican los resultados en las ecuaciones 18.4-10 y 18.4-12 para L muy grande? ¿Ypara L muy pequeña? Interprete físicamente los resultados.
18B.5
Absorción de cloro por ciclohexeno. El cloro puede ser absorbido de mezclas C12-aire por olefinas disueltas en CC14.Se encontró5que la reacción de CI2 con ciclohexeno (C6H,d es de segundo orden con respecto al C12 y de cero orden con respecto al C6H10.Por tanto, la velocidad de desaparición de C1, por unidad de volumen es K;ci (donde A designa el C12). Vuelva a trabajar el problema de 518.4, donde B es una mezcla C6H10-CC14,suponiendo que la difusión puede tratarse como seudobinaria. Supóngase que e1 aire es esencialmente insoluble en la mezcla C6HI0-CC14.Considere que la fase líquida es suficientemente profunda, de modo que L puede tomarse como infinita. a) Demuestre que el. perfil de concentración esta dado por
b) Obtenga una expresión para la velocidad de absorción de C12 por el liquido. c) Suponga que una sustancia A se disuelve en y reacciona con una sustancia B de modo que la velocidad d e desaparición de A por unidad de volumen es alguna función arbitraria de la concentraci6n, f(cA). Demuestre que la velocidad d e absorción de A esta dada por
i'JAlz.a
=0:J2 [9 ,,
J(CA)~C,
Usar este resultado para comprobar el resultado del inciso b).
G.H.Roper, Chem. Eng. Scí., 2,18-31,247-253 (1953).
668
Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
1
Figura l8E.6 Llave de paso
gases. Los agitadores en lo dos bu1bos mantienen concentraci6n unifom. La fracci6n molar de A en el bulbo izquierdo e s x i = l -x,+
188.6
Todo el sistema gaseoso esta a
p y T constantes
La fracáón molar de A en el bulbo derecho es ~2 (0
cd
Experimento con dos bulbos para medir la difusividad de un gas: análisis en estado es~acionafio~ (figura l8B.6). Una forma de medir las difusividades de un gas es por mediode un experimento con dos bulbos. El bulbo izquierdo y el tubo desde z = - L hasta z = O se nan con el gas A. El bulbo derecho y el tubo desde z = O hasta z = +L se Ilenan con el gasB, En el instante t = O se abre la llave de paso y empieza la difusión; luego las concentraciones de A en los dos bulbos bien agitados cambian. Sr mide x2 como una función del tiempo,y partir de esto se deduce gbAB. Se desea deducir las ecuaciones que describen la difusión. Debido a que los bulbos son grandes en comparacibn con el tubo, XA y x> cambian m,+, Ienfamente con el. tiempo. Por tanto, la difusión en el tubo puede tratarse como un prob1em$ en estado casi estacionario, con las condiciones límite de que xA = x x para z = -L, y que xA -. x i para z = +L, a) Escribir un balance molar con respecto a A sobre un segmento Az del hibo (con s e c a transversal de área S) y demostrar que NAt = C1, es una constante.
b) Demostrar que la ecuación 18.0-1 se simplifica, para este problema, a
C)
Integrar esta ecuación, usando el inciso a). Sea C2 la constante de integración.
d) Evaluar la constante requiriendo que xA = xf; para z = +L.
e) Luego, hacer xA = x A (o 1 - x i ) para z = -L, despejar NA, y obtener finalmente
f) Hacer un balance de materia para la sustancia A sobre el bulbo derecho para obtener
g) Integrar Ia ecuación del incisof) a fin de obtener una expresión para xAf que contenga BAB:
h) Sugerir un método para graíicar los datos experimentales a fin de evaluar aAB. /
S.P.S. Aiidrew, C h m . Eng. Sci., 4,269-272 (1955).
Problemas 669 18B.7
Difusión desde una gotita suspendida (figura 18.2-4). Una gotita de líquido A, de radio rl, está suspendida en una corriente del gas B. Se postula que hay una pellcula de gas estancada esférica de radio r2 que rodea a la gotita. La concentración de A en la fase gaseosa es xAl para r = rl y xA2 para el borde exterior de la película, r = r2. a) Por medio de un balance de envoltura, demostrar que para difusión en estado estacionario r2NA,es una constante en el interior de la película de gas, e igualar la constante a +NArl, el valor en la superficie de la gotita.
b) Demostrar que la ecuación 18.0-1 y el resultado en el inciso a) llevan a la siguiente ecuación para xA:
C)
Integrar esta ecuación entre los límites rl y r2 para obtener
iCuáI es el límite de esta expresión cuando r2 4 m? 18B.8
Método para separar helio a partir del gas natural (figura 18B.8). El cristal Pyrex es casi impermeable para todos los gases excepto el heíio. Por ejemplo, la difusividad del helio a través del cristal Pyrex es aproximadamente 25 veces la difusividad del H2 a través del mismo cristal, donde el hidrógeno es el más cercano "competidor" en el proceso de difusión. Este hecho sugiere que un método para separar helio a partir del gas natural podría basarse en las velocidades de difusión relativas a través de1 cristal P y r e ~ . ~ Supóngase que una mezcla de gas natural está contenida en un tubo Pyrex cuyas dimensiones se muestran en la figura. Obtener una expresión para la velocidad a la que e1 helio "se filtrará" por e1 tubo, en términos de la difusividad del helio a través del cristal Pyrex, las concentraciones interfaciales del helio en el Pyrex y las dimensiones de1 tubo. '~e-Cristal Pyrev ('~e,l - '~e,2)
Respuesta: WH, = 27rL
Gas natural
ln tR2/Rl)
1
Figura 18B.8 Difusión del helio a través de un tubo de cristal Pyrex. La longitud del tubo es L.
. ..
.-
En Sctentific American, 199,52(1958) se describe brevemente el método desarrollado por K.B.McAfee de los Be11 Telephone Laboratones.
Capítulo 18 Distribuciones de coricentración en sólidos y flujo laminar
18B.9
Velocidad de lixiviación (figura 18B.9). Al estudiar la velocidad de lixiviación de una sutancia A a partir de partículas sólidas mediante un solvente B, se puede postular que la etapa de velocidad controlante es la difusión de A desde la superficie de la partícula a través de una película líquida estancada de espesor S hasta la corriente principal. La solubilidad molar de A en B es cAO, y la concentración en la corriente principal es c~~
a) Obtener una ecuación diferencial para cA como una función de z haciendo un balance de materia para A sobre una placa delgada de espesor h. Supongase que BABes constante y que A es sólo ligeramente soluble en B. Despreciar h curvatura de la partícula. b) Demostrar que, en ausencia de reacción química en la fase líquida, el perfil de concentra-
ción es lineal. c} Demostrar que la velocidad de lixiviación está dada por
18B.10 MezcIas con evaporación constante. Tolueno (1)y etanol(2) se evaporan a z = O en un tubo vertical, a partir de una mezcla binaria liquida de composición uniforme xl a través de nitrógeno estancado (3), con nitrógeno puro en la parte superior. Las dífusividades desiguales dd tolueno y el etanol a través del nitrógeno desplazan las velocidades de evaporación relativas a favor del etanol. Analizar este efecto para wi sistema isotérmico a 60 "F y 760 mm Hg de presión total, si Ias difusividades pronosticadass a 60 "F son &OlZ = 1.53 X l o p 6 , &h13 = 2.98 X l o p 6 , BU = 4.68 X lop6 g-mol/cm . s. a) Usar las ecuaciones de Maxwell-Stefan para obtener los perfiles y,@) de fracción molar
en la fase de vapor en estado estacionario en términos de las densidades de flujo molar N, en este sistema ternario. A partir de las ecuaciones de continuidad para Ias tres especies, se sabe que las densidades de flujo molar son constantes. Debido a que el nitrógeno tiene una sdubilidad despreciable en el líquido a las condiciones dadas, N3== O. Como condiciones límite,
-
-
L. Monchick y E.A. Masoii, J. Chena. Phys., 35,16761697 (1961), con S leída como 6&, en la tabla IV; EA. Mason y L. Monchck, J. C h .Phys., 36,27462757 (1962);L S. Tee, S. Gotoh y W.E. Stewart, fnd. Eng. Chem. Fundam., 5, 356-362 (1966). R
Problemas 671 sean yl = y2 = O para z = L, y sean yl por determinar. Demuestre que
y3íz) = e- A(=+);
=
ylo y y2 = y20para z = O; los últimos valores quedan
(C
o) A-B
Y1(Z) = D e-~ - i~ + -~ <-B(L-z) )
B
A-B
+
C B
(IBB.XO-I)
b) Una mezcla líquida con evaporación constante es aquella cuya composición es la misma
que la del material evaporado; es decir, para la cual NI,/( NI, + N,) = xl. Usar los resultados del inciso a) junto con los datos en equilibrio en la tabla adjunta para caIcular la composición del líquido con evaporación constante a una presión total de 760 mm Hg. En la tabla, el renglón 1proporciona las composiciones en la fase liquida. El renglón 11proporciona las composiciones en la fase de vapor en experimentos de dos componentes; estas se expresan como valores y,/(y, + y2) libres de nitrógeno para el sistema ternario. El renglón 111proporciona la suma de las presiones parciales del tolueno y el etanol.
1:
X1
0.096
0.155
0.233
0.274
0.375
TI:
yl/(yl+y2)
0.147
0.198
0.242
0.256
0.277
111:
p,
388
397
397
395
390
+ p,
(mm Hg)
Una estrategia que se sugiere para el cálculo es la siguiente: i) conjeturar una composici6n del líquido xl; ii) calcular yla, y ym usando las líneas 2 y 3 de la tabla; iiif calcular A a partir de la ecuación 18B.10-1, con z = O; iv) usar el resultado del inciso iii) para calcular LN,, LB, LC y LD, y finalmente yl (O) para valores supuestos de NI,; v} interpolar los resultados del inciso iv) a yl (O) = ylo para obtener las NI, y NZ,correctas para la xl que se conjeturó. Repetir los pasos i)-v)con conjeturas mejoradas de x, hasta que LNlz/(LNIz+ LN,,) converja a xl. La xl final es la composición con evaporación constante. 18B.11 Difusión can reacción de segundo orden rápida (figuras 18.2-2y 18B.11). Un sólido A se disuelve en una corriente líquida S que fluye en un sistema de flujo isotérmico en estado estacionario. Supóngase, en concordancia con el modelo de película, que la superficie de A está cubierta por una pelicula liquida estancada de espesor 6 y que el líquido fuera de la pelicula está bien mezclado (véase la figura 18.2-2). Corriente bien
(plano de la reacción)
(bode extemo de Ia ~ e l f c u l a liquida estancada)
segundo orden. Se desprecia la concentración del producto P.
672 Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo Iaminar
%
a) Deducir una expresión para la velocidad de disolución de A en ei líquido si la ción de A en la corriente líquida principal es despreciable. b) Deducir una expresión correspondiente para Ia velocidad de disolución si el líquido ne una sustancia B que, en el plano z = ~ 6reacciona , instantánea e irreversiblemente A + B +P. (Un ejemplo de este sistema es la disolución de ácido benzoico en una sol acuosa de NaOH.) La corriente líquida principal consta esencialmente de B y S, donde ne una fracción molar de xB,
{Sugerencia: es necesario reconocer que las especies A y B se difunden hacia una delgada na de reacción, como se muestra en la figura 18B.11.)
18B.12 Experimento en una celda seccionadag para medir la difusividad en una fase gased (figura 188.12).Se deja que el líquido A re evapore a traves de un gas estancado B que 741 mm Hg de presión total y 25 "C.A esa temperawa, se sabe que la presión de vapor de4 es 600 mm Hg. Una vez que se alcanza el estado estacionario, la columna ciiíndrica de vas 4
es~I
Baña a temperatura constante
Puertos de muestra en la cecci6n de la celda
corriente del gas B puro
Celda d e difusi6n d 2 cm de ciiárnetm Cuatro secciones
Tres secciones
Aitura de La
Figura 18B.12 Experimento de celdas seccionadas para medir difusividades de gases. a) Configuración de las celdas durante la aproximación al estado'estacionario.b) Configuración de las celdas para obtener muestras del gas al final del experimento.
E.J. Cmcby, Experimenfs in Transport Phenomena, Wiley, Nueva York (1961), Experimento 10.a.
Problemas 673 divide en secciones como se muestra. Para un aparato cuya altura total mide 4.22 cm y tiene 4 secciones, el análisis de muestras de gas así obtenidas proporciona los siguientes resultados:
Sección
Fondo d e la sección
Parte superior de la sección
Fracción molar de A
La velocidad de evaporación de A medida en estado estacionario es 0.0274 g-mol/h. Puede suponerse un comportamiento de gas ideal. a) Comprobar la siguiente expresión para el perfil de concentración en estado estacionario:
b) Graficar en papel semilogarítmico la fracción molar xB en cada celda contra el valor de z en el plano central de la celda. ¿Se obtiene una línea recta? ¿Cuáles son las ordenadas al origen en zly z2? Interpretar estos resultados.
c) Usar el perfil de concentración de la ecuación 18B.12-1 a fin de encontrar expresiones analíticas para las concentraciones medias en cada seccidn del tubo. d) Encontrar el mejor valor de aBA a partir de este experimento.
Respuesfa: d) 0.155 cm2/s 18B.13 Opacamiento de superficies metálicas. En la oxidación de casi todos los metales (excluyen-
do los metales alcalinos y los alcalinotéms) el volumen de óxido producido es mayor que el del metal consumido. Por tanto, este óxido tiende a formar una película compacta, aislando de manera efectiva el oxígeno y el metal entre sí. Para las deducciones que siguen, puede suponerse que a) para que proceda la oxidación, el oxígeno debe difundirse a través de la película de óxido, y que esta difusión sigue la ley de Fick;
b) la superficie libre de la película de óxido estlr saturada con oxígeno del aire circundante; c) una vez que la película de óxido es razonablemente espesa, la oxidación se vuelve controlada por la difusión, es decir, la concentración del oxígeno disuelto es esencialmentecero en la superficie óxido-metaI; d) la velocidad de cambio del contenido de oxígeno disuelto en la película es pequeña en comparación con la velocidad de reacción. Es decir, pueden suponerse condiciones en estado casi estacionario;
+
e ) la reacción implicada es $10~ M + MO,. Se desea deducir una expresión para la velocidad de opacamiento en terminos de la diíusividad del oxígeno a través de la pellcula de óxido, las densidades del metal y su óxido, y la estequiometria de la reacción. Sean co la solubilidad del O2en la pelicula, c la densidad molar de la película y rfel espesor de la película. Demostrar que el espesor de pelicula es
674 Capítulo 18
Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
Z=O
Figura XBB.14 Vista partícula catalizadora en fonna disco.
(plano central)
f
4
Este resultado, denominado "ley cuadrática", proporciona una correlación empírica satisfa+ toria para un número de oxidación y otras reacciones de opacamiento.1° Sin embargo, la yor parte de estas reacciones son mucho más complejas que el mecanismo que acabad, I proporcionaxse.l' 188.24 Factores de eficacia para discos delgados (figura 18B.14). Considérense las partículas deu4 catalizador poroso que tienen forma de discos delgados, de modo que el área de la superfia del borde del disco es pequeña en comparación con el área de las dos caras circulares. Aplica el método de $18.7 para demostrar que el perfil de concentración en estado estacionario
!
donde cR, es la concentración superficial en z = k b , y z y b están descritos en la figura. Demostrar que la velocidad total de transferencia de materia en las superficies z = -tb es
1 W A1
= 277R2~A,BA~ tanh Ab
(18B.142).
donde A = .Demostrar que, si el disco se corta en forma paralela al plano xy en; rebanadas, la velocidad total de transferencia de materia se vuelve
1w ': 1
= 21~R~~,59,Xn tanh (Ab/n)
(18B.243)
Obtener la expresión para el factor de eficacia tomando el límite
Expresar este resultado en términos del parámetro A que se definió en 518.6. 18B.15 Difusión y reacción heterogénea en un tubo cilíndrico delgado con un extremo cerrado (figura 188.5).Un poro cilíndrico delgado d e longitud L, área de sección transversa1 S y p'rímetro P, está en contacto en su extremo abierto con un gran cuerpo de un fluido bien mezclado, que consta de las especies A y B. La especie A, un constituyente menor de este fluido, desaparece en el poro, se difunde en la dirección z y reacciona en sus paredes. La velocidad de esta reacción puede expresarse como (n . nA) erfifie = f(wAO); es decir, en la pared la densidad de flujo de masa normal a la superficie es a&na función de la fracción de masa, %o, de A en el fluido adyacente a la superficie sólida. La fracción de masa wAOdepende de 2, la distancia a la entrada. Debido a que A está presente en baja concentración, la temperatura Y
1%.
Tammam, 2. anorg. nllgem. Chemie, 124,25-35 (1922).
" W. Jost,Diffusion, Academic Press, Nueva York (1952),capítulo LX. Para un análisis de la oxidacióndel silicio, véase R. Ghez, A Primer of Difusion Problems, Wdey, Nueva York (1988), 52.3.
Problemas 675
Vísta lateral
Figura 18B.15 a) Difusión y reacción heterogénea en un largo cilindro no circular. b) Regibn de espesor Az sobre la cual se hace el balance de materia.
Vista del extremo
Ruido bien mezclado WA
n,,
'W
A ~
= -p
dwA 1 dz +
9M
I
n ~ O n/lo
I
*nh I
la densidad del fluido pueden considerarse constantes, y la densidad de flujo de difusión esta descrita de manera idónea por jA = - @ A B V ~ Adonde , la difusividad puede considerarse como una constante. Debido a que el poro es largo en comparación con su dimensión lateral, los gradientes de concentración en las direcciones laterales pueden despreciarse. Nótese la semejanza con el problema que se analizó en 510.7. a) Demostrar por medio de un balance de envoltura que, en estado estacionario,
b) Demostrar que la velocidad media de masa v, en estado estacionario es aproximadamente cero para este sistema.
-
C) Sustituir la forma apropiada de la ley de Fick en la ecuación 18.15-1 e integrar la ecuación diferencial resultante para el caso especial en que f (mAo) kíwAO.Para obtener una condición limite en z = L, despreciar la velocidad de reacción en el extremo cerrado de1 cilindro; ¿por qué es razonable esta aproximación?
d) Deducir una expresión para la velocidad total wA de desaparición de A en el cilindro. e ) Comparar los resultados de los incisos c) y d ) con los de g10.7 desde el punto de vista tanto de la deducción matemática como de la naturaleza de las suposiciones que se hicieron.
Respuestas: c)- m4 WAi
- ([z~/ L ) ] donde , =COS~N
N
COS~
N=
B; d) wA (spBAB =
mAi
/ L)N tanh N
/sP0,4B
18B.16 Efecto de la temperatura y la presión sobre la velocidad de evaporación.
a) En g18.2, jcuál es el efecto de un cambio de temperatura y presión sobre Ia cantidad x A l ! b) Si se duplica la presión, ¿como se afecta la velocidad de evaporación en la ecuacic- 13.2-14? ¿Cómo vana la veIocidad de evaporación cuando la temperatura del sistema se eleva desde T hasta T'?
C)
18B.17 Velocidades de reacción en paxticulas grandes y pequeñas.
a) Obtener los limites siguientes para la ecuación 18.7-11:
676
Capitulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
R
-f
WAR= - ( 4 n - ~ ~ ) ( q a 9 ~cAR )l/*
M:
Interpretar físicamente estos resultados.
b) Obtener las asíntotas correspondientes para el sistema que se analizó en el pmbl 188.14. Compararlas con los resultados del inciso a). 188.18 Velocidad de evaporación para una fracción molar pequeña del líquido volátil. En la ción 18.2-15, expandir
1
J-=( ( ~ ~ ) l nx ~ - X Al2
)(l.-)
en una serie de Taylor apropiada para fracciones molares pequeñas de A. Primero vuelva cnbii el logantmo del cociente como la diferencia de los logaritmos. Luego, expanda ln(1 y In(1 - xm) en una serie de Taylor alrededor de xAl = 1 y XA2 = 1, respectivamente.Co pruebe que la ecuación 18.2-16 es correcta.
-
S 4
188.19 Liberación de oxígeno por un agregado bacterial. En condiciones apropiadas, la velociday de metaboliimo del oxígeno por células bacterianas es casi de orden cero con respecto a 9 concentración de oxigeno. Aquí analizamos un caso asi y centramos nuestra atención en agregado esférico de células cuyo radio es R. Se desea determinar la velocidad total de lib& ración de oxígeno por el agregado como una función del tamaño de éste, de la concentración$ de masa po del oxigeno en la superficie de1 agregado, de la actividad metabólica de las células y del comportamiento de difusión del oxígeno. Para simplificar las cosas, se considera quq el agregado es homogéneo. Luego, la velocidad metabólica se aproxima por medio de una ve locidad de reacción volumétnca efectiva ro2 = - k o y el comportamiento de difusión se a p < xima por la ley de Fick, con una difusividad seudobinaria efectiva Debido a que la3 solubilidad del oxigeno es muy baja en este sistema, es posible despreciar tanto el transporte: 1 de oxigeno por convección como los efectos transitorio^.'^
?
a) Demostrar por medio de un balance de envoltura de materia que el perfil de concentración del oxigeno en estado casi estacionario es descrito por la ecuación diferencial
donde y, = pO2/pw 5 = r / R , y N = koR2/g9qm.
b) En el agregado puede haber un núcleo libre de oxígeno, si N es suficientemente grande, de modo que ,y = O para 5 < ¿&Escribir condiciones límite suficientes a fin de integrar la ecuación 186.19-1 para esta situación. Para hacer esto, es necesario reconocer que tanto como d x / d S son cero para [= tO. ¿Cuál es el significado físico de esta última afirmación? c)
Efectuar la integración de la ecuación 188.19-1 y demostrar cómo es posible determinar 6.
d) Dibujar la velocidad total de liberación de oxígeno y como funciones de N, y analizar la posibilidad de que no exista ningún núcleo libre de oxígeno.
N
Respuesta: c) x = 1 - - (1 - S)+ 6 una función de N a partir de
l2J.A.Mueller, W.C. Bayle y
para 6 2 [o
2
O, donde
E.N. Lightfoat, Biotechnoi. and Bioengr., 10,331-358(1968).
se determina como
Problemas
677
Corriente con veloadad uniforme vo
de coordenadas se ubica en
18C.1
Figura l8C.1. Difusión de A desde una fuente puntual en una corriente de B que se mueve a velocidad uniforme.
Difusión desde una fuente puntual en una corriente móvil (figura 18C.1). Una corriente del fluido B en movimiento laminar posee una velocidad uniforme no. En algún punto de la corriente (que se toma como el origen de coordenadas) se inyecta la especie A a una velocidad pequeña WA g-moljs. Se supone que esta velocidad es suficientemente pequeña, de modo que la velocidad media de masa no se desvía considerablemente de vo.La especie A es axrastrada por la corriente (en la dirección z ) y al mismo tiempo se difunde en forma axial y radial.
a) Demostrar que un balance de materia ea estado estacionario con respecto a la especie A sobre el elemento en forma de anillo que se indica conduce a la siguiente ecuación diferencial parcial si se supone que aAB es constante:
b) Demostrar que la ecuación 18C.1-1 también puede escribirse como
donde s2 = r2 + z2. C)
Comprobar (¡bastante laborioso!) que la solución
satisface la ecuación diferencial anterior.
d) Además, demostrar que la ecuaci6n 18C.1-3 también satisface las siguientes condiciones limite: C.L. 1:
e n s = -,
cA = O
(18C.1-4)
. .
l3 H.A. Wilson, Proc.
Camb. Phii. Soc., 12,406423 (2904).
--
678 Capítulo 18 Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar
CL. 2:
cuando S +, 0,
C.L. 3:
en r = 0,
-4m2BABdci4 ~ C A
dr
4
WA
-o
Explicar el significado físico de cada una de estas condiciones límite. e) Demostrar cómo pueden graficarse los datos de cA(r, Z) para vo y 9 A e dados, cuando la lución precedente es válida, para obtener una lííea recta con pendiente v0/2aAB y ordem a1 origen in 9AB. 18C.2
Difusión y reacción en un catalizador parcialmente impregnado. Considérese una esfera,-a! talítica como la de s18.7, excepto que el ingrediente activo del catalizador sólo está presente en la región anular entre r = KR y Y = R: I
En la región 1(O < r < KR),
k,"a=O
(l8C.2-lj
En la región 11 (KR < r < R),
kf"a= constante > O
(18C.2-2)
Una situación como ésta puede presentarse cuando el ingrediente activo se coloca s o b ~ las partículas después de hacer los pellets, como se hace para muchos catalizadores comerciales. a) Integrar la ecuación 18.7-6 por separado para las regiones activa e inactiva. Luego, aplicar las condiciones lúnite apropiadas para evaluar las constantes de integración y resolver para el perfil de concentración en cada región. Elaborar dibujos cualitativos para ilustrar las formas de los perfiles. b) Evaluar WAR,la velocidad molar total de conversión de A en una sola particula. 18C.3
Velocidad de absorción en una película descendente. El resultado en la ecuación 18.5-18 puede obtenerse con un procedimiento alternativo. a) Según un balance global de materia sobre la película, los moles totales de A que se transfie ren por unidad de tiempo a través de la interfase gas-líquido deben ser iguales a la velocidad de flujo molar total de A a través de1 plano z = L. Esta velocidad se calcula como sigue:
Explicar cuidadosamente este procedimiento.
b) Insertar la solución para cA en la ecuación 18.5-15en el resultado del inciso a ) para obtener:
En la segunda linea se introdujo la nueva variable u
=x / ~ ~ G D ~ ~ L / v , ~ , .
Problemas 679 e) Cambiar el orden de integración en la integral doble para obtener
Explicar mediante un dibujo trazado con sunio cuidado, cómo se eligieron los limites para las integrales. Ahora, las integrales pueden resolverse anaiiticamente para obtener la ecuación 18.5-18. 18C.4
Estimación de la longitud necesaria de un reactor isotérmico (figura 18.3-1).Cea a el área de la superficie del catalizador por unidad de volumen de un reactor catalítico de lecho empacado, y sea S el drea de la sección transversal del reactor. Supóngase que la velocidad de flujo de masa a través del reactor es w (en Ib,/h, por ejemplo).
a) Demostrar que un balance de materia en estado estacionario para la sustancia A sobre una longitud dl del reactor Ueva a
b) Usar e1 resultado del inciso a) y la ecuación 18.3-9, con las suposiciones de 6 y 9AB constantes, a fin de obtener una expresión para la longitud L del reactor, necesaria para convertir una corriente de entrada de composici6n xA:A(0) en una corriente de salida de composición xA(L>.
(Sugerencia: la ecuación (P) de la tabla 17.8-1 puede ser útil.) ~XAO
Respuesta: b) L = 18C.5
Evaporación en estado estacionario. En un estudio de la evaporación de una mezcla de metan01 (1)y acetona (2) a través de aire (31, se midieron14 los perfiles de concentración de las tres especies en el h b o después de que se alcanz6 el estado estacionario. En esta situación, la especie 3 no se mueve, y las especies 1 y 2 que se difunden hacia arriba, con las densidades de flujo molar Nzly Nr2,fueron medidas en los experimentos. Tarnbi6n se midieron las concentraciones interfaciales de estas dos especies, xloy x~~ Además, se conocen tos tres cwficientes de difusión binana. La interfase está ubicada en z = O, y el extremo superior del tubo de difusión está en z = L. a) Demostrar que la ecuación de Maxweli-Stefan para la especie 3 puede resolverse a fin de
obtener
donde A = uIl3+ u223tcon uaSv = N$/&BV
y i= z / L .
b) Luego, comprobar que la ecuación para la especie 2 puede resolverse a fin de obtener
donde B = uIl2+ u212y C =
- u=.
"R. Caríy y T.Schrodt, Ind. Eng. Chm., 14,276-278 (1975).
680 Capitulo 18 Distribuciones de concentración en s6lidos y flujo laminar C)
Comparar las ecuaciones anteriores con los resultados publicados.
d) ¿Qué tan bien se ajustan las waciones 18C.5-1 y 18C.5-2a 10s datos experimenta 18D.1 Factores de eficacia para cilindros largos. Deducir la expresión para que sea análoga a la ecuación 18.7-16. Despreciar la difusión a cilindros. I,í2A)
Respuesta:
=
,donde loe 1, son "funciones modificadas de Bessel" A10t2A,
18D.2 Absorción de un gas en una película descendente con reacción química. Volver a trabajar el problema que se analizó en s18.5 y se describe en la figura 18.51,cuando el gas A reacciona con e1 líquido B por medio de una reacción química irreversible de primer orden en la fase quida, con constante de velocidad kl. Específicamente, encuentre la expresión para la vela. dad de absorción total, ansloga a la que se propon=ion6en la ecuaci6n 18.5-18.Demostrar q ~ , el resultado para absorción con reacción se simplifica convenientemente a la expresión para absorci6n sin reacción.
u.
urrpue~ta:,u,
= VVC,,~~.,~
@[ii
+ ul e i f d +
fi
E-']
donde u = k ~ i i v m i x
Capítulo 19
Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes 819.1
Las ecuaciones de continuidad para una mezcla de varias componentes
S192
Resumen de las ecuaciones de variación de varias componentes
919.3
Resumen de las densidades de flujo de varias componentes
919.4
Uso de las ecuaciones de variaci6n para mezclas
519.5
Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para mezclas binarias no reactivas
En el capítulo 18 se plantearon problemas de difusión mediante la aplicación de balances de materia en la envoltura sobre una o más de las especies en difusión. En este capítulo empezamos realizando un balance de materia sobre un elemento diferencial arbitrario del fluido con objeto de establecer la ecuación de continuidad para las diversas especies en una mezcla de varias componentes. Luego, la inserción de expresiones de densidad de flujo de masa proporciona las ecuaciones de difusión en una variedad de formas. Estas ecuaciones de difusión pueden usarse para plantear cualquiera de los problemas del capítulo 18 y también problemas más complicados. Luego se resumen todas las ecuaciones de variación para mezclas: las ecuaciones de continuidad, la ecuación de movimiento y la ecuación de energía. Éstas incluyen las ecuaciones de variación que se proporcionaron en los capítulos 3 y 11.A continuación se resumen las expresiones de densidad de flujo para mezclas. Todas estas ecuaciones se proporcionan en forma general, aunque para resolver problemas suelen usarse versiones simplificadas de ellas. El resto del capítulo se dedica a soluciones analíticas y análisis dimensionales de sistemas de transferencia de materia.
319.1
LAS ECUACIONES DE CONTINUIDAD PARA UNA MEZCLA DE VARIAS COMPONENTES En esta sección se aplica la ley de conse~aciónde la materia a cada especie a en una mezcla, donde (Y = 1,2,3,. . ., N. El sistema que se considera es un elemento de volumen Ax Ay Az fijo en el espacio, a través del cual fluye la mezcla del fluido (véase la figura 3.1-1). En el interior de esta mezcla pueden ocurrir reacciones entre las diversas especies químicas, y el símbolo r, se usa para indicar la velocidad a la que se produce la especie a,con dimensiones de masa/volumen tiempo.
682
Capitulo 19 Ecuaciones de variaci6n para sistemas de varias componentes Las diversas contribuciones al balance de materia son -V.-
velocidad de incremento de masa de a en el elemento de volumen
(ap,/at)Ax Ay hz
4
velocidad de adición de masa de a a través de la cara en x
flarlx
velocidad de eliminación de masa de (Y a través de la cara en x .t Ax
-
(19.1-1$
~
~
X
AY
+
AhyX Az
A
r,Ax Ay Az
velocidad de producción de masa de a por reacciones químicas
(19.1-2)
(19.14)
La densidad de flujo de masa combinada n, incluye tanto la densidad de flujo molecular como la densidad de fiujo convectivo. También hay términos de adición y eliminación en las direcciones y y t. Una vez que todo el balance de materia se escribe y se divide entre Ax Ay Az, se obtiene, después de hacer que el tamaiío del elemento de volumen disminuya a cero,
Ésta es la ecuación de continuidad para la especie a en una mezcla reactiva de varias componentes. Describe la variación en la concentración de materia de la especie (Y con el tiempo en un punto fijo en el espacio por la difusión y convección de a, así como por reacciones químicas que producen o consumen a. Las cantidades n , ncryy n , son las componentes cariesimas del vector de densidad de flujo de masa n, = pava en la ecuación (D) de la tabla 17.8-1. La ecuación 19.1-5 puede volver a escribirse en notación vectorial como
En forma alternativa, es posible usar la ecuación (S) de la tabla 17.8-1 para escribir
--
at
-(V-p,v)-(V+jj,)+r,
veloádad de -mento de masa de o por unidad de volumen
velccidad neta de adió6n de masa de a por unidad de volumen por conv~6n
velocidad neta de adii6n de mde o por unidad de volumen por difusión
a = 1 , 2 , 3,..., N
velccidad de producción de masa de a por unidad de volumen por reacci6n
' J . Crank, The Mathonatics of Diffusion, 2a. edición, Oxford University Press (1975).
519.1
Las ecuaciones de continuidad para una mezcla de varias componentes 683
Al sumar todas las N ecuaciones en la ecuación 19.1-6 o 19.1-7, se obtiene
que es la ecuación de continuidad para la mezcla. Esta ecuación es idkntica a la ecuación de continuidad para un fluido puro que se proporcionó en la ecuación 3.1-4. Al obtener la ecuación 19.1-8 se debió usar la ecuación 0) de la tabla 17.8-1 y también el hecho de que Ia ley de conservación de Ia materia total proporciona = O. Por úitimo, se observa que la ecuación 19.1-8 se vuelve
ZJ,
para una mezcla de fluido de densidad de materia constante p. En el análisis anterior se usaron unidades de masa; sin embargo, una deducción correspondiente también es posible en unidades molares. La ecuación de continuidad para la especie a en cantidades moIares es
donde R, es la velocidad molar de producción de a por unidad de volumen. Esta ecuación puede volver a escribirse usando la ecuación (V)de la tabla 17.8-1para obtener
at velocidad de incremento en moles de a por unidad de volumen
a = 1 , 2 , 3 ,..., N
(V-C,V')-(V.J:)+R, velocidad neta de adición en moles de a por unidad de volumen por mnvec06n
velocidad neta de adición de moles de m por unidad de volrimen por dihisión
velocidad de producnón de moles de o por unidad de volumen p o r reamón
Una vez que se suman todas las N ecuaciones en la ecuación 19.1-10o 19.1-11, se obtiene
para la ecuación de continuidad de la mezcla. Para obtener lo anterior se usó la ecuación (M) de la tabla 17.8-1. También se observa que el término de la reacción química no se elimina debido a que en una reacción química el número de moles no necesariamente se conserva. Por último, se observa que
para una mezcla de fluido de densidad molar c constante.
684
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes
Así se ha visto que la ecuación de continuidad para la especie a se en dos formas, la ecuación 19.1-7y la ecuación '19.1-11. Al usar continuidad en las ecuaciones 19.1-8 y 19.1-12, el lector puede comprobar que ecuación de continuidad para la especie a puede plantearse en dos formas equivalentes adicionales:
4
Estas dos ecuaciones expresan exactamente el mismo contenido físico, pero están escritas en dos conjuntos de notación diferentes: la primera en cantidades de mam y la segunda en cantidades molares. Para usar estas ecuaciones es necesario insertar las expresiones apropiadas para los términos de las densidades de flujo y los terminos de la reacción química. En este capitulo sólo se proporcionan los resultados constante o con velocidad cero. para sistemas binarios con P%AB constante, con Sistemas binarios con paAs constante Para esta suposición, la ecuación 19.1-14 se vuelve, después de insertar la ley de Fick de la ecuación (A) en la tabla 17.8-2,
con una ecuación correspondiente para la especie B. Esta ecuación es conveniente para describir la difusión en soluciones líquidas diluidas a temperatura y presión constantes. El miembro izquierdo puede escribirse como pDwA/Dt. La ecuación 19.1-16 sin el término r A es de la misma forma que la ecuación 11.2-8u 11.2-9. Esta semejanza es muy importante, debido a que constituye la base para las analogías que se extraen a menudo entre transporte de calor y de materia en fluidos que fluyen con propiedades físicas constantes. Sistemas binarios con cBABconstante
Para esta suposición, la ecuación 79.1-15 se vuelve, después de insertar la Iey de Fick de la ecuación ( 8 )en la tabIa 17.8-2,
con una ecuación correspondiente para la especie B. Esta ecuación es útil para gases a baja densidad a temperatura y presión constantes. El miembro izquierdo no puede escribirse como cDx,/Dt debido a que ahí aparece v* en vez de v.
919.1 Las ecuaciones de continuidad para una mezcla de varias componentes
685
Sistemas binarios con velocidad cero Si no ocurre ninguna reacción química, entonces todos los términos d e producción química son cero. Si, además v es cero y p es constante en la ecuación 19.1-16, o v* es cero y c es constante en la ecuación 19.1-17, entonces se obtiene
que se denomina segunda ley de Fick de la difusión, o algunas veces simplemente ecuación de difusión. Esta ecuación suele usarse para la difusión en sólidos o líquidos estacionarios (es decir, v = O en Ia ecuaci6n 19.1-16) y para contradifisión equirnolar en gases (es decir, v* = O en la ecuación 19.1-17). Por contradifusión equimolar se entiende que la densidad neta d e flujo molar con respecto a coordenadas estacionarias es cero; en otras palabras, que para cada m01 d e A que se mueve, por ejempb en la dirección z positiva, hay un m01 de B que se mueve en la dirección z negativa. Nótese que la ecuación 19.1-18 tiene la misma forma que la ecuación de conducción de calor en la ecuación 11.2-10. Esta semejanza constituye la base para las analogías entre muchos problemas de conducción y difusión de calor en sólidos. Debe recordarse que ya se han resuelto varios cientos de problemas descritos por la segunda ley d e Fick. Las soIuciones están tabuladas en monografías d e Crankl y d e Carslaw y Jaeger2 En las tablas B-10 y B-11 se proporcionan la ecuación 19.1-14 (ecuación d e continuidad de varias componentes en términos d e j,) y la ecuación 19.1-16 (ecuación d e difusión binaria para p y GDAB constantes) en los tres sistemas coordenados normales. A partir de las ecuaciones mencionadas es posible obtener otras formas d e la ecuación de continuidad.
Difusión, conaección y reacción química3
En la figura 19.1-1 se muestra un sistema en donde un líquido, B, se mueve lentamente hacia arriba a través de un tapón poroso ligeramente soluble de A. Luego, A desaparece lentamente por una reacción de primer orden una vez que se ha disuelto. Encontrar el perfil de concentración en estado estacionario cA(z),donde z es la coordenada hacia zrriba a partir del tapón. Supóngase que el perfil de velocidad es aproximadamenteplano a través del tubo. Además, supóngase que c ~ es o la solubilidad en B de A sin reaccionar. Despreciar los efectos de temperatura asociados con el calor de la reacción.
La ecuación 19.1-16 es apropiada para soluciones líquidas diluidas. Al dividir esta ecuación entre el peso rnolecular M A y adecuada para el problema unidimensional en estado estacio-
nano a la mano, para p constante se obtiene
H.S. Carslaw y J.C. Jaeger, Conducfion of Heat in Solids, 2a. ediaón, Oxford University Press (1959). W.Jost,Diffusion, Academic I'ress, Nueva York (1952),pp.58-59.
686 Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes Figura 19.1-1 Difusión, convección y reacci6 química simultáneas.
Líquido B con pequeñas cantidades deAyC
Tap6n poroso de A
1 t l1
(ligeramente soluble en B)
Líquido B
Esta ecuación debe resolverse con las condiciones límite de que c~ = c ~ para o z = O y c~ = Q para z = m. La ecuación 19.1-19 es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden (ecuación C.l-7) para la cual existe un método de resolución bien conocido. Una función de ensayo CA = Fzproduce dos valores de a, de los cuales uno viola la con. dición limite para z = m. Así, la solución final es
Este ejemplo ilustra el uso de la ecuación de continuidad de A para plantear un problema de difusión con convección y reacción química.
~19.2 RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE VARIACION DE VARIAS COMPONENTES En las tres partes principales de este libro se han introducido por etapas las leyes de conservación conocidas como las ecuaciones d e variación. En el capítulo 3 se presentaron la conservación de la materia y la conservación de la cantidad de mo vimiento en fluidos puros. En el capítulo 11 se añadió fa conservación d e Ia energía en fluidos puros. En 519.1 se agregaron las ecuaciones de conservación de la materia para las diversas especies presentes. Ahora se desea resumir las ecuaciones de conservación para sistemas de varias componentes. Empezamos en la tabla 19.2-1, proporcionando las ecuaciones de variación para una mezcla de N especies químicas en términos de las densidades de flujo combinadas con respecto a ejes estacionarios. El número de la ecuación indica el sitio en que ésta apareció por primera vez. Al tabular de esta manera las ecuaciones de variación, es posible tener una perspectiva global del tema. La única suposición que se hace aquí es que sobre todas las especies actúa la misma fuerza externa por unidad de masa, g; en la nota b) de la tabla 19.2-1 se explican las modificaciones necesarias cuando éste no es el caso.
519.2 Resumen de las ecuaciones de variación de varias componentes 687
Tabla 19.2-1 Ecuaciones de variación para mezclas de varios componentes en t6rminos de las densidades de flujo combinadas
Musa de a: (a= 1,2,. . ., N)
a
Cantidad de movimiento:
-pv= at
Energúz:
a p(U + $u2) = - (V - e) + (pv - g) at
-[V.+]+pg
(Ec. 11.1-6) Cuando se suman todas las N ecuaciones de continuidad, se obtiene la ecuación de continuidad para la mezcla de fluido
a
Aquí v es la velocidad media de masa que se definió en la ecuación 17.7-1. Si sobre la especie u actúa una fuerza por unidad de volumen dada por g,, entonces pg debe sustituirse por Td&, en la ecuación (B), y (pv g) debe sustituirse por ZJn, g,) en la ecuación (C). Estas sustituciones son necesarias, por ejemplo, si algunas de las especies son iones con cargas diferentes, sobre los que actúa un campo eléctrico. En el capítulo 24 se analizan problemas de este tipo.
-
.
La característica importante de estas ecuaciones consiste en que todas son de la forma
[
velocidad de incremento de la entidad
}
velocidad = [neta de adición}
de la entidad
+
[
velocidad de produccih de la entidad
]
(19.2-1)
donde "entidad" significa materia, cantidad de movimiento o energía, respectivamente. En cada ecuación, la velocidad neta de adición de la entidad por unidad de volumen es el negativo de un término de divergencia. Las "velocidades de producción" surgen a partir de reacciones químicas en la primera ecuación y del campo de la fuerza externa en las otras dos. Cada ecuación es un planteamiento de una ley de conservación. En términos generales, los planteamientos de conservación se entienden como leyes que han cambiado gradualmente con la experiencia y la experimentación y que en consecuencia son aceptados generalmente por la comunidad científica.'
'
En realidad las leyes de conservación para la energía, la cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento angular se concluyen a partir de la ecuación de movimiento de Lagrange, junto con la homogeneidad del tiempo, la homogeneidad del espacio y la isotropia del espacio, respeciivamente (teorema de Noether). Por tanto, hay algo fundamental sobre estas leyes de conservación, más de lo que se aprecia a primera vista. Para más sobre este tema. v6ase L. Landau y E.M. Lifshitz, Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass. (1960),capitulo 2, y Emmy Noether, Nachr. Kgl. Gm.Wiss. Gtittingen (Math.-phys. Kl.) (1918), pp. 235-257. Amalie Emmy Noether (1882-19351, después de terminar el doctorado en la Universidad de Erlangen, h e protegida de Hilbert en Gothga hasta que la persecución de Hitler en 1933 la obligó a partir hacia Estados Unidos, donde se hizo profesora de matemáticas en el Bryn Mawr College; uno de los cráteres de la Luna lleva su nombre.
688
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de vanas componentes Las tres "densidades de flujo combinadas" que aparecen en las ecuaciones a (C) de la tabla 19.2-1, pueden escribirse como las densrdades deflujo por convec más las densidades de Jujo molecular (o por difisión). Estas diversas densidades flujo se presentan en la tabla 19.2-2,donde se proporciona el número de ecuaci correspondiente a la primera aparición de ésta. Cuando las expresiones de densidad de flujo de la tabla 19.2-2 se sustitu las ecuaciones de conservación de la tabla 19.2-1 y luego se convierten a la D / D t por medio de las ecuaciones 3.5-4 y 3.5-5, se obtienen las ecuaciones de vanai ción de varias componentes en sus formas de costumbre, mismas que se muestran en la tabla 19.2-3. Además de estas ecuaciones de conservación, también es necesario contar con las expresiones para las densidades de flujo en términos de los gradientes y las propiedades de transporte (donde éstas son funciones de la temperatura, la den. sidad y la composición).Por último, también se necesita la ecuación térmica de estado, p = p(p, T , x,) y la ecuación calórica de estado, = &p, T, x,), así corno información sobre las velocidades de cualesquiera reacciones químicas homogéneas que o c ~ r r a n . ~ Terminamos este análisis con algunas observaciones sobre formas especiales de las ecuaciones de movimiento y energía. En 511.3 se indicó que la ecuación de m vimiento según se presentó en el capítulo 3 está en forma apropiada para pIantear problemas de convección forzada, aunque era deseable contar con una forma alter-
a
Tabla 19.2-2 Las densidades de flujo combinadas, molecular y convectiva para mezclas de vanas componentes (todas con la misma convención de los signos)
Entidad
Densidad de flujo combinada
Materia
na
=
-
(a= 1, 2,..., M
Cnntidad de
4
-
Densidad de flujo molecular
+ Densidad de flujo convectivo
iu
+
pvwa
7~
+
PW
(BY (Ec. 1.7-1)
movimiento Energía
(A)" (Bc. 17.8-1)
e
=
q+[m-VI
+ p ( U + $9)
((3 (Ec. 9.8-5)
a
La velocidad v que aparece en todas estas expresiones es la velocidad media de masa que se definió en la ecuación 17.7-1. La densidad de flujo de cantidad de movimiento consta de dos partes: = p6 + 7. La densidad de flujo molecular de energía está integrada por el vector de densidad de flujo de caIor 9 y el vedor de densidad de flujo de trabajo [m V] = pv + [T . VI, donde el segundo ocurre sólo en sistemas de flujo.
Podría plantearse la pregunta de si se requieren ecuaciones por separado de movimiento y energía para la especie a. Estas ecuaciones pueden deducirse por medio de argumentos del continuo, aunque las densidad6 de flujo ! de cantidad de movimiento y de energía de la especie no son cantidades mensurables y se requiere la teoría m o l e d 4 a fin de clarificar sus significados.Estas ecuaciones por separado para la especie no son necesarias para resolver problemas de transporte. Sin embargo, las ecuaciones de movimiento de la especie han sido de utiIidad para deducir expresiones cinéticas para las densidades de flujo de masa en sistemas de varias componentes [C.F.Curtiss y R.B. Bird, Pmc. Nat. Acad. Sci. USA, 93,7440-7445(1996)y 1. Chem. Phys., 111,10362-10370(1999il.
1
919.2
Resumen de las ecuaciones de variación de varias componentes 689
Tabla 19.2-3 Ecuaciones de variación para mezclas de varias componentes en términos de
las densidades de flujo molecular
Masa total:
(A)
[Bc. (A) de la tabla 35-11 Masa de la especie: tff = 1,2, ...,m
."=-
1B)"
e
[Ec. 19.1-7al
, , -Dv= - v
Cantidad de movimiento:
~ttk~ía:
(V ja) + ra
Dt
p
D
-
(c)~
p-[V.71+pg
E (U+ $9)= - (V . q) - (V . pv) - (V
[Ec. (B) de la tabla 3.5-1] [T VI) + (pv . g) (D)b [Ec. (E) de la tabla 11.4-11
Sólo N 1 de estas ecuaciones son independientes, ya que la suma de las N ecuaciones da O = 0. Véase la nota (b) de la tabla 19.2-1 para las modificaciones necesarias cuando sobre las diversas especies adúan fuerzas diferentes. -
nativa (ecuación 11.3-2) para mostrar de manera explícita las fuerzas de flotación que resultan de desigualdades de temperatura en el sistema. En sistemas binarios con desigualdades de concentración, así como con desigualdades de temperatura, la ecuación de movimiento se escribe como la ecuación (B) de la tabla 3.5-1 y se usa una ecuación de estado aproximada que se forma haciendo una doble expansión en serie de Taylor de p(T, oA)alrededor del estado T, GA:
relaciona la densidad Aquí eI coeficiente 2 = -(l/p)(¿lp/aoA) evaluado en y con la composición. Este coeficiente es el análogo en transferencia de materia del coeficiente que se introdujo en la ecuación 11.3-1. Una vez que esta ecuación de estado aproximada se sustituye en el término pg (pero no en el término p D v / D t ) de la ecuación de movimiento, se obtiene la ecuacidn de movimiento de Boussinesq para una mezcla binaria, donde la única fuerza externa es la gravedad:
P
Los dos últimos términos de esta ecuación describen la fuerza de flotación que resulta de las variaciones de temperatura y composici6n en el interior del fluido.
690
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes
-ir
\
A continuación volvemos a la ecuaciún de energia. Recuérdese que en la tab' 11.4-1 la ecuación de energía para fluidos puros se proporcionb de varias fo Lo mismo puede hacerse para mezclas, y en la tabla 19.2-4 se proporciona una 4 lección representativa de las muchas formas posibles de esta ecuación. Nótese no es necesario agregar un término S, (como se hizo en el capítulo 10) para d m : bir la energía térmica liberada por reacciones químicas homogéneas. Esta infom. ción está incluida implícitamente en las funciones fi y 0,y aparece explícitamente como - x a H a ~y, - z , ~ ~ en R las ~ ecuaciones (F3 y (G). Recuérdese que al calcu, lar fi y es necesario incluir las energías de formación y mezcla de las diversas especies (véase el ejemplo 23.5-1).
qUd
Tabla 19.2-4 Ecuaciones de energía para sistemas de varias componentes, donde la Unica fuerza externa es la gravedadab
" Para mezclas de varias componentes q = -kVT
"a,- j, +1 M,
-t
qtr),donde qk) suele ser un término
. s i
despreciable asociado con el efecto de termodifusión (véase la ecuación 24.2-6). Las ecuaciones de esta tabla sólo son válidas si sobre todas las especies actúa Ia misma fuerza externa. En caso de no ser así, entonces Z,(j, . g,) debe agregarse a la ecuación (A) y las ecuaciones (D-H), el último término en la ecuación (B)debe sustituirse por ZJn,. g,), y el último término en la ecuación (C) debe sustihi;rse por Z,(v . paga). Exacta sólo si a@/& = o. L.B.Rothfeld, tesis doctoral, Universidad de Wisconsin (1961); véase tamb16n el problema 19D.2. e En esta ecuación se ha omitido h contribución de qG)al vector de densidad de Bujo de calor.
919.3 Resumen de las densidades de flujo de varias componentes 691
919.3
RESUMEN DE LAS DENSIDADES DE FLUJO DE VARIAS COMPONENTES Las ecuaciones de variaci6n se han proporcionado en términos de las densidades de flujo de masa, cantidad de movimiento y energía. Para resolver estas ecuaciones, es necesario sustituir las densidades de flujo por expresiones que implican las propiedades de transporte y los gradientes de concentración, velocidad y temperatura. A continuación se resumen las expresiones de densidad de flujo para mezclas:
Masa: Cantidad de movimiento:
jA = - @ A B V ~ A T
=
sólo binaria
- ~ [ V V+ (vv)~]+ ( $ p - K)(V
(19.3-1) a
v)6
(19.3-2)
Energía:
Ahora se añaden algunas palabras a modo de explicación: La expresión para la densidad deflujo de masa que se proporciona aquí es sólo para mezclas binarias. Para mezcIas gaseosas de varios componentes a presiones moderadas, es posible usar las ecuaciones de Maxwell-Stefan de la ecuación 17.9-1. Hay contribuciones adicionales a la densidad de flujo de masa, correspondientes a fuerzas impulsoras diferentes a los gradientes de concentración: di@siónfoda, que ocurre cuando las diversas especies se someten a diferentes fuerzas externas; difusión por presión, proporcional a Vp; y difisión térmica, proporcional a VT. Estos otros mecanismos de difusión, de los cuales los dos primeros pueden ser muy importantes, se abordarán en el capítulo 24. b. La expresión para la densidad deflujo de cantidad de movimiento es la misma para mezclas de varias componentes que para fluidos puros. Una vez mas se indica que la contribución que contiene la viscosidad de dilatación K rara vez es importante. Por supuesto, para polímeros y otros fluidos viscoelásticos, Ia ecuación 19.3-2 debe sustituirse por modelos más complejos, como se explicó en el capítulo 8. c. La expresión para la densidad deflujo de energúz que se proporciona aquí para fluidos de varias componentes consta de dos términos: el primero es el transporte de calor por conducción que se proporcionó para materiales puros en la ecuación 9.1-4, y el segundo describes1 transporte de calor por cada una de las especies en difusión. La cantidad H, es la entalpía molar parcial de la especie cr. En realidad hay una contribución adicional a la densidad de flujo de energía, relacionada con una fuerza impulsora de concentración -que suele ser bastante pequeña-, y este efecto de termodtfusión se analizará en el capítulo 24. La conductividad térmica de una mezcla -la k en la ecuación 19.3-3- se define como la constante de proporcionalidad entre la densidad de fiujo de calor y el gradiente de temperatura en ausencia de densidades de flujo de masa.
a.
692
Capítulo 19 Bcuaciones de variación para sistemas de varias componentes
Concluimos este análisis con algunos comentarios sobre la densidad de flujQde energía combinada e. Al sustituir la ecuación 19.3-3 en la ecuación (C) de la tabla 19.2-2, después de reordenar un poco se obtiene:
En algunas situaciones, sobre todo en películas y capas límite a baja velocidad, las contribuciones -kpu2vy [T . VIson despreciables. Así, pueden eliminarse los térmi. nos subrayados con la línea discontinua. Lo anterior lleva a
Luego, al usar las ecuaciones (G) y (H) de la tabla 17.8-1, se llega finalmente a
Por último, para mezclas de gases ideales, esta expresión puede simplificarse aún más sustituyendo las entalpías rnolares parciales g, por las entalpías molares fi,. La ecuacion 19.3-6 constituye un punto de partida normal para resolver problemas unidimensionales en transferencia simultánea de calor y de materia.l
Entalpía molar parcial
La entalpía molar parcial g , que aparece en las ecuaciones 29.3-3 y 19.3-6, se define para una mezcla de vanas componentes como
donde n, es el niimero de moles de Ia especie a en la mezcla, y el subindice np indica que la derivada debe tomarse manteniendo constante el número de moles de cada especie diferente de a. La entalpía H(ni, np, n3,...) es una "propiedad extensiva", ya que, si el número de moles de cada componente se multiplica por k, entonces la entalpía misma se multiplica por k:
'
T.K Sherwood, K.L. Pigfoni y C.R. Wilke, Mass Trancfer, McGraw-HiU, Nueva York 119751, capítulo 7. n o m a s Kilgore Shenvood (1903-1976)fue profesor en el MiT casi durante 40 años, y luego enseñó en la universidad de Cakfomia en Berkeley. Debido a sus diversas contribucionesal campo de la tran7ferencia de masa, el número de Sherwood (Sh) se denomina asi en su honor.
519.3 Resumen de las densidades de flujo de varias componentes
'
693
Figura 19.3-1 El "método de las
ordenadas al origen" para determinar cantidades molares parciales en una mezcla binaria.
Los matemáticos se refieren a este tipo de función como "homogénea d e grado 1". Para estas funciones es posible usar el teorema de Eulef para concluir que
a) Demostrar que, para una mezcla binaria, las entalpias molares parciales a una fracci6n molar dada pueden determinarse graficando la entalpía por m01 como una función de la fracción molar, y luego determinando las ordenadas al origen de la tangente trazada en la fracción molar en cuestión (véase la figura 19.3-1). Esto muestra una manera d e obtener la entalpía molar parcial a partir de datos sobre la entalpía de la mezcla.
b) ¿Dequé otra forma puede obtenerse la entalpía molar parcial?
En todo este ejemplo, por brevedad se omiten los subíndices p y T indicando así que estas cantidades se mantienen constantes. Primero se escriben expresiones para las ordenadas al origen como sigue:
a)
donde fi = H / ( n A + Ha) = H / n . Para comprobar que la ecuación 19.3-10 es correcta, la expresión se vuelve a escribir en términos de H:
-
Así, la expresión H A = ( a H / d n ~ ) , ,implica que H es una función de nA y n ~ mientras , ( a H / a x ~ )implica , que H es una función de x~ y n. La relación entre estos tipos de derivada está dada por la regla de la cadena de diferenciación parcial. Para aplicar esta regla se requieren las relaciones entre las variables independientes, que, para este problema, son
M.D. Creenberg, Foundations of Afflied Mathematics, Prentice-Hd, Englewood Cliffs, N.J. (1978). p. 128; R J Silbey y R.A. Alberty, Physical Chemistry, 3a. edición, Wiley, Nueva York (2M)1), 51.10, 9 . 9y W.10.
694
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes Por tanto, puede escribirse
Al sustituir lo anterior en la ecuación 19.3-12y usar el teorema de Euler (H= nA& + nB'jj,)l se obtiene una identidad. Esto demuestra la validez de la ecuación 19.3-10 y de una formaW mejante puede demostrarse que Ia ecuación 19.3-11 es correcta. b) EAtambién puede obtenerse usando la definición en la ecuación 19.3-7 y-midiendo I, pendiente de la curva de H contra #A, manteniendo constante a ng. También, HA puede ob. tenerse midiendo la entalpía de mezcla y usando
A menudo se desprecia la entalpía de mezcla y las entalpías de las sus,tancias puras se proporcionan como ElA = CpA(T- T o )y una expresión semejante para ÑB.Esta es una suposición normal para mezclas de gases a presiones de bajas a moderadas. En libros normales de termodinámica pueden encontrarse otros métodos para evaluar cantidades molares parciales.
519.4
USO DE LAS ECUACIONES DE VARIACION PARA MEZCLAS Las ecuaciones d e variación d e 519.2 pueden usarse para resolver todos los proble m a s del capítulo 18, así como problemas más difíciles. A menos que los problemas se idealicen o simplifiquen, los fenómenos de transporte d e mezclas son bastante complicados, por lo que suelen requerirse técnicas numéricas. Aquí resolveremos algunos problemas introductorios a manera d e ilustración.
a) Deducir expresiones para el perfil de fracción molar xA(y)y el perfil de temperatura
Transporle simultáneo de calor y de materia1
-
T(y)
para e1 sistema que se representa en la figura 19.41, dadas las fracciones molares y las tempe raturas en ambos límites de la película (y O y y = 6). Ahí, un vapor caliente condensable, A, se difunde en estado estacionario a través de una película estancada de un gas no condensable, B, hacia una superficie fria en y = O, donde A se condensa. Supóngase comportamiento de gas ideal y presión uniforme. Además, supongase que las propiedades físicas son constantes, evaluadas a alguna temperatura y composición medias. Despreciar la transmisidn de calor por radiación. b) Generalizar el resultado a la situación en que tanto A como B se condensan en la pared, Y considerar espesores diferentes de la película para transporte de calor y de materia.
' A. P Colburn y T.B. Drew, Tmns. Am. Inst. Chem. Engrs ,38,197-212
-
(1937)
919.4
Uso de las ecuaciones de variación para mezclas
695
Figura 19.4-1. Condensación de un vapor caliente A sobre una superficie fría en presencia de un gas no condensable B.
1
Dirrcciónde movimiento
Superficie fría
a) Para determinar las cantidades deseadas, es necesario resolver las ecuaciones de conti-
nuidad y energía para este sistema. Al simplificar la ecuación 19.1-10 y la ecuación C de la tabla 19.2-1 para transporte unidimensional estacionario, en ausencia de reacciones quimicas y fuerzas externas, se obtiene
Continuidad de A:
Energía:
ey
Por tanto, N A y~ son constantes en toda la película. Para determinar el perfil defracción molar, se requiere la densidad de flujo molar para la difusión de A a través de B estancado:
Ai insertar la ecuación 19.4-3 en la ecuación 19.4-1 e integrar se obtiene el perfil de fracción molar (véase 518.2)
Aquí se ha considerado que caAB es constante al valor de la temperatura media de película. Entonces la densidad de flujo constante NAypuede evaluarse a partir de las ecuaciones 19.4-3 y 19.4-4:
696 Capitulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes
--..
\
Nótese que NAy es negativa debido a la condensación de la especie A. Las dos últimas expresiones pueden combinarse para escribir en forma alternativa los perfiles de concentraaóri,
Para obtener el pe$l de temperatura, se usa la densidad de flujo de energía de la ecuación 19.3-6 para un gas ideal junto con Ia ecuación 9.8-8:
Aquí se ha elegido To como la temperatura de referencia para la entalpía. Al insertar esta expresión para ey en la ecuación 19.42 e integrar entre los límites T = To en y = O y T = Tgen y = 6, se obtiene
Puede observarse que el perfil de temperatura no es lineal para este sistema, excepto en el 1ímite cuando N ~ ~ +CO. Nótese ~ ~ la /semejanza ~ entre las ecuaciones 19.46 y 19.4-8. La densidad de flujo de energia por conducción en la pared es mayor aquí que en ausencia de transferencia d e materia. Por tanto, al usar un supraíndice cero para indicar Ias condiciones en ausencia de transferencia de materia, es posible escribir
Entonces se observa que la velocidad de transmisión de calor es afectada directamente por la transferencia simultánea de materia, mientras la densidad de flujo de masa no es afectada directamente por la transmisión simultánea de calor. En aplicaciones a temperaturas por abajo del punto de ebullición normal de la especie A, la cantidad ~ ~ ~ es pequeña, c ~ y~ el miem/ k bro derecho de la ecuación 19.4-9es casi igual a la unidad (véase el problema 19A.l).La inte racción entre la transrnisibn de calor y la transferencia de materia se analiza con m6s detalle en el capítulo 22.
b) Si ambos, A y B, se condensan en la pared, entonces las ecuaciones 19.4-1 y 19.4-2, una vez que se integran, conducen a NAy= N A y~ e - e,, donde las cantidades con el subíndice "0" YT de la ecuación 19.4-1 para B a fin de llegar se evalúan en y = O. También se integra el analogo a NBy= N B y~obtener
HA
En la segunda de estas ecuacionec se sustituye par C ; ~ A ( T- 7 0 ) y ERpor c P ~ ( -T Ta), Y debido a que la temperatura de referencia es To,es posible sustituir e0 por qo, la densidad de
519.4 Uso de las ecuaciones de variación para mezclas i . .
697 '
flujo d e calor conductivo en la pared. En la primera ecuación, en ambos miembros se resta xAO(NAO f NBO) para hacerla semejante en su forma a la ecuación de temperatura que acaba de obtenerse. Así,
-CEO,,
dx, dy
+ (NAo+ Nfl0)(xA- xAo)= NAO- xAo(NA0+ N,,)
-
Al integrar con respecto a y y aplicar las condiciones límite para y = O se obtiene
Éstos son los perfiles de concentración y temperatura en términos de las densidades de flujo de masa y calor. Al aplicar las condiciones límite en los bordes externos de la película - e s decir, en y = S, y y = &, respectivamente- se obtiene
Estas ecuaciones relacionan las densidades de flujo con los espesores de la película y las propiedades de transporte. Una vez que la ecuación 19.4-14 se divide entre la ecuación 19.4-16, y la ecuación 19.415 se divide entre la ecuación 19.4-17, se obtienen los perfiles de concentración en términos de los coeficientes de transporte (de manera análoga a las ecuaciones 19.4-6 y 19.4-8). Las ecuaciones 19.4-16 y 19.4-17 volverán a encontrarse en s22.8.
de concmrmció" un reactor tubular
En la figura 19.4-2 se muestra un reactor tubular catalftico. Una solución diluida de soluto A en un solvente S está en flujo laminar totalmente desarrollado en la región z < O . Cuando se topa con la pared catalitica en la región O r i i L. el soluto A se reordena instantánea e r n c versiblemente en un isómero B. Escribir Xa ecuación de difusión apropiada p a í i este pro- blema y encontrar la solución para distancias cortas en el reactor, Suponer que el flujo es isotérmico y despreciar la presencia de B.
sol;u c r o ~ Para las condiciones del problema, el líquido que fluye siempre es casi el solvente puro S. El producto ~ 5 puede 3 ~considerarse ~ constante, y la difusión de A en S puede describirse por medio de la versión en estado estacionario de la ecuación 19.1-4 (ignorando la presencia de
698 Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de vanas componentes La superfiae interna del tubo está cubierta de un catalizador desde z = O hasta z = L
Flujo laminar totalmente
desarrollado antes de llegar a z = O
A
I
deA en S
B irreversible e
instantáneamente sobre la superficie del catalizador
Figura 19.42 Condiciones límite para un reactor tubular.
una pequeña cantidad del producto de reacción B ) . Entonces, las ecuaciones de variación re. levantes para el sistema son Continuidad de A:
Movimiento: Como de costumbre, se supone que la difusión axial puede despreciarse con respecto a ia convección axial, y en consecuencia es posible eliminar el término subrayado con la línea discontinua (comparar con las ecuaciones 10.8-11 y 10.8-12). La eciuaci6n 19.4-19 puede resolverse para obtener el perfil de velocidad parabólico v,(r) = vz,máx[l- ( I / R ) ~ I .Una vez que este resultado se sustituye en la ecuación 19.4-18, se obtiene
La ecuación anterior debe resolverse con las condiciones h i t e
en z = 0, en r = R, en r = O,
CA
= CAO
CA
=O
CA
= finita
Para distancias cortas t en el reactor, la concentración CA difiere de c ~ s61o o cerca de la pared, donde el perfil de velocidad es practicamente lineal. Por tanto, es posible introducir la variable y = R - r, despreciar los tkrminos de curvatura y sustituir la condición límite 3 por una condición límite ficticia en y = m (véase el ejemplo 12.2-2 para u n análisis detallado de este método a fin de tratar la región de entrada del tubo). Entonces, el replanteamiento del problema es
con las condiciones límite
519.4 Uso de las ecuaciones de variación para mezclas 699 Este problema puede resolverse por el método de combinación de variables independientes buscando una solución de la forma cA/cAo= f($, donde 77 = ( y / R ) ( 2 ~ , , , ~ ~ ~ / 9 ~ ~Así ~z)''~. se obtiene la ecuación diferencial ordinaria7 + 3$-f' = 0, que puede integrarse para obtener (véase la ecuación C.1-9)
Este problema es matemáticamente análogo a1 problema de Graetz del problema 12D.4, donde la O de ese problema es análoga a 1 - (cA/cAO) de aquí. Experimentos del tipo aquí descrito han demostrado ser útiles para obtener datos sobre transferencia de materia para altos números de Schmidk2 Una reacción particularmente atractiva es la reducción de iones de ferricianuro en superficies metálicas según la reacción
donde el ferricianuro y el ferrocianuro toman el lugar de A y B en la deducción anterior. Esta reacción electroquímica es bastante rápida en condiciones apropiadas elegidas. Además, debido a que s61o implica transferencia de electrones, las propiedades físicas de la soiución permanecen casi sin cambio. Los efectos de la difusión forzada que se despreciaron aquí, pueden suprimirse mediante Ia adición de un electrólito indiferente en e x ~ e s o . ~ , ~
Oxidación catulítica de' mondxido de carbono
En la figura 19.4-3 se muestra de manera esquemática cómo se combinan el oxígeno y el inonóxido de carbono en una superficie catalítica (paladio) para formar bióxido de carbono, según la reacci6n importante en la tecnología5
Para este análisis se supone que la reacción ocurre instantánea e irreversiblemente en la' superficie catalítica. Se presume que se conoce la composición del gas en el borde externo de la película (en z = O), y la superficie catalitica está en z = 6. Se supone que la temperatura y la presión son independientes de la posición en toda la película. Las especies químicas se identifican como O2 = 1, CO = 2, COZ= 3.
Borde externo de la peiícula de gas estancada, que consta ,,--de O& CO y COZ
Figura 19.4-3 Sistema de tres componentes con una rracci6n química catalítica
D.W. Hubbard y E.N. Lightfoot, Ind. Eng. C h .Fundnm., 5,370-379 (1966). J.C. Newman, Electrochemical Systems, 2a. edición, Prentice Hall, Englewocd CMfs, N.J. (1991), 51.10. J.R. Selman y C.W. Tobias, Aduances in Chemical Erzgineering, 10, Academic Press, Nueva York, N.Y. (1978L PP.
213-218. B.C. Gates, Cntalytic Chemistry, Wiley, Nueva York (1992), pp. 356-362; C.N. Satterfield, Heferogener~usCatnlysis in Industrial Pracfice, McGraw-Hill,Nueva York, 2a. edición (19911, capítulo 8.
700 Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes
Para difusión unidimensional en estado estacionario sin reacciones homogéneas, la e& 19.1-10proporciona
T-
que establece que todas las densidades de flujo molecular son constantes a través de la pe. lícrula. A partir de condiciones límite proporcionadas por la estequiometna del problema, sabe además que
Así, las ecuaciones de Maxwell-Stefan proporcionan:
dx, dz
1 c9,,
- N3z --
(X~N], - x I N ~-~)
1
(xjNIZ- - 1 ~ 1 N ~ ~ )
c2.C 13
(1-3xl -x3)+-
* ~ ~ 1 2
N,,
(2x1
+ X,
2c913
Estas ecuaciones se han simplificado usando la ecuación 19.432 y el hecho de que 923 9,: sobre un amplio intervalo de temperatura. Esto último puede verse usando el apéndice E = 3.714A, y que %/K = 145K y q 3 /=~146K.Debidc para demostrar que = 3.793A y a que en la ecuación 19.4-33 sólo aparece Ia fracción molar x3, esta ecuación puede inte grarse6 de una vez para obtener x3 =
-2
+
( ")
+ 2) exp -
Luego, al combinar las dos últimas ecuaciones e integrar, se obtiene
A partir de esta ecuación y una ecuación semejante para x2, es posible obtener x3 para z = 8 Luego, a partir de la ecuación 19.4-35 se obtiene
que proporciona Ia velocidad de producción de bióxido de carbono en la superficie catalítiw Luego, este resultado puede sustituirse en las ecuaciones 19.4-35 y 19.4-36, y las tres fracciones molares pueden calcularse como funciones de 2.
H.L.Toor,AIChE Joumal, 3,198-207 (1957), ha analizado problemas de tres componentes con dos difusividada
519.4 Uso de las ecuaciones de variación para mezclas
EJEMPLO 19.4-4
hadi,.*
1
&onductividad témica de un gas poliatómico
701
En $9.3 se indicó que las conductividades térmicas de gases poliatómicos se desvían de la fórmula para gases monoatórnicos, debido a los efectos de los grados de libertad internos en las moléculas complejas. Cuando la fórmula de Eucken para gases poliatómicos (ecuación 9.3-15) se divide entre la fórmula para gases monoatómicos (ecuación 9.3-14) y se usa la ley de los gases ideales, es posible escribir la razón de la conductividad térmica del gas poliatómico a la del gas monoatómico como
Deducir un resultado de esta forma, modelando el gas poliatómico como una mezcla gaseosa interactuante, donde las diversas "especies" son las moléculas del gas poliatómico en los varios estados rotacional y vibracional.
En la ecuación 19.3-3 se proporciona la densidad de flujo de calor para una mezcla de gases. Todas las "especies" tienen la misma conductividad térmica porque sólo difieren en sus estados cuánticos internos. Por tanto, es de esperar que cada k, sea km,,. En forma semejante, la densidad de flujo de masa para cada "especie" debe estar dada por la ley de Fick para un gas puro, j, = -@,,Vw,, donde todas las 9 , tienen el valor común.,,% ,,, Así se obtiene
debido a que los pesos moleculares de todas las "especies" son iguales. Si ahora se postula que la distribución sobre los diversos estados cu8nticos está en equilibrio con la temperatura local, entonces V x , = (dx,/dT)VT. Luego es posible definir la conductividad térmica efectiva de la mezcla por medio de
y escribir
Aquí la cantidad dependiente de la temperatura,
puede calcularse a partir de la teoría cinética de los gases a baja densidad. Varía solo-muy poco con la temperatura, y un valor medio adecuado es 1.106. La cantidad = d H / d T es la
702
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes capacidad caloríficapara un gas en el cual eI equilibrio entre los diversos estados cuánticos se mantiene durante el cambio de temperatura, mientras que Cp,mones la capacidad calorí. fica para un gas en el cual no se perrniten las transiciones entre los estados cuánticos, de m o ~ que tp,,,, = +R. Una vez que el valor numérico A = 1.106 se inserta en la ecuación 19.4-41, finalmciire se obtiene
Aunque las predicciones de la ecuación que es la fórmula recomendada por Hir~chfelder.~ 19.4-43no son mucho mejores que las de la fórmula más antigua de Eucken, la deducción que acaba de hacerse por lo menos proporciona una idea sobre el papel que juegan los grados de libertad internos en la conducción de caIor.8~~
519.5
ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES DE VARLACION PARA MEZCLAS BINARIAS NO REACTIVAS En esta secci6n se Heva a cabo un análisis dimensional de las ecuaciones de variación que se resumieron en 519.2, usando casos especiales de las expresiones de densidad de flujo de 519.3.El análisis es paralelo al de 511.5 y sirve para propósitos semejantes: identificar Ios parámetros adimensionales de control de problemas representativos de transferencia de materia y proporcionar una introducción a las correlaciones de transferencia de materia del capítulo 22. Nuevamente, el análisis se restringe principalmente a sistemas cuyas propiedades físicas son constantes. Así, la ecuación de continuidad para la mezcla asume la forma conocida (V v)
Continuidad:
=O
(19.5-1)
La ecuación de movimiento puede aproximarse a la manera de Boussinesq (véase s11.3) escribiendo las ecuaciones 19.3-2 y 19.5-1 en la ecuación 19.2-3, y sustituyendo -Vp + & por -V9. Para un fluido newtoniano de viscosidad constante, lo anterior proporciona
Movimiento:
- Dv p - = pv2v Dt
-
- vp - pgp(T
- 7 )-
pgr(oA
-
La ecuación de energía, en ausencia de reacciones químicas, disipación viscosa y fuerzas externas salvo la gravedad, se obtiene a partir de la ecuación (F) de la tabla 19.2-4, con la ecuación 19.3-3.Al usar esta última, además se desprecia el trans-
'
J.0Hirschfelder, 1. Chern. Phys., 26,274-281 (1957);véase también D.Secrest y J.O.Hirsdifelder, Physics of Fluids, 4,61-73(1%I) para un desarrollo adicional de la teoría, donde no se supone equilibrio entre los diversos estados cuánticos. Para una comparaci6n de las dos fdrmulas con datos experimentales, véase Reid, Prausnitz y Poling, op. cit., p. 497. La fórmula de Hirschfelder en la ecuación 19.4-2 y la fórmula de Eucken de la ecuación 9.315 tienden a af>ayar los valores observados de la conductividad. J.H. Ferziger y H.C. Kaper, Mufhematicul Theory o/ Transport Pmesse6 in Goses, North Holland, Amsterdam <1977),511.2 y 511.3.
519.5
Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para mezclas binarias no reactivas 703
porte de energía por difusión con respecto a la velocidad media de masa. Para conductividad térmica constante, lo anterior lleva a
donde a = k l p C p es la difusividad térmica. Para mezclas binarias no reactivas con p y 9 A B constantes, la ecuación 19.1-14 asume la forma
Continuidad de A:
=
Dt
aABv2wA
(19.5-4)
Para las suposiciones que se han hecho, resulta evidente la analogía entre las ecuaciones 19.5-3 y 19.5-4. Ahora se introducen las cantidades de referencia lo, vo y Po,que se usaron en s3.7 y 513.5, las temperaturas de referencia Toy TI de 511.5 y las fracciones de masa de referencia análogas o ~ 0 y w ~ 1Así, . las cantidades adimensionales que se usarán son
Aquí se entiende que v es la velocidad media de masa de la mezcla. Debe reconocerse que para algunos problemas pueden ser preferibles otras elecciones de variables adimensionales. En términos de las variables adimensionales que acaban de enumerarse, las ecuaciones de variación pueden expresarse como
(9
Continuidad: Movimiento:
--
Dt1 92v-oc9--
DI
Energía:
Continuidad de A:
Re
G r g <- r - f - > - % E (w,- - =w , ) ~ e g' ~e~ g
oi --DT
tr) = O
i
RePr
v2F
(19.5-8)
(19.5-9)
704, Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes --
Los números de Reynolds, Prandti y térmico de Grashof se proporcionaron en la ta, bla 11.5-1. Los otros dos números son nuevos:
sc = [ PL 9AB Gr,
=
] [&] =
= número
de Schmidt
= número difusional de
Grashof
(19.5-13)
El número de Schmidt es la razón de la difusividad de cantidad de movimiento a la difusividad de materia y representa la facilidad relativa de transferencia molecular de cantidad de movimiento y de materia. Es análogo al número de Prandtl, que representa la razón de la difusividad de cantidad de movimiento a la difusividad térmica. El número de difusión de Grashof aparece debido a la fuerza de flotación provocada por la falta de homogeneidad en la concentración. Los productos RePr y ReSc en las ecuaciones 19.5-10 y 19.5-11se denominan números de Péclet, Pé y PéAB, respectivamente. El análisis dimensional de problemas de transferencia de materia es similar al de los problemas de transmisión de calor. La técnica se ilustrará con tres ejemplos: i) la fuerte semejanza entre Jas ecuaciones 29.5-10 y 19.5-11permite resolver muchos problemas de transferencia de materia por analogía con problemas de transmisión de calor previamente resueltos; esta analogía se usa en el ejemplo 19.5-1. ii) A menudo la transferencia de materia requiere o libera energía, de modo que la transmisión de calor y la transferencia de materia deben considerarse de manera simultánea, como se ilustra en el ejemplo 19.5-2. iii) Algunas veces, como ocurre en muchas operaciones industriales de mezcla, la difusión juega un papel subordinado en la transferencia de materia, por lo que no es necesario dedicarle atención más detallada; esta situación se ilustra en el ejemplo 19.5-3. Entonces se verá que, de la misma forma que para transmisión de calor, el uso del análisis dimensional para resolver problemas prácticos de transferencia de mate ria es todo un arte. Esta técnica normalmente es más útil cuando pueden despreciarse los efectos de por 10 menos algunas de las muchas razones adimensionales. La estimación de la importancia relativa de grupos adimensionales pertinentes suele r e querir bastante experiencia.
Distribución de concentración alrededor de un cilindro largo
Se desea pronosticar la distribución de concentración alrededor de un largo cilindro isotérmico de un sólido volátil A, inmerso en una corriente gaseosa de una especie B, que es insoluble en e1 sólido A. El sistema es semejante al que se representa en la figura 11.5-1, excepto que aquí se considera la transferencia de materia en vez de la transmisión de calor. La presión de vapor del sólido es pequeña en comparación con la presión total en el gas, de modo que el sistema de transferencia de materia es virtualmente isotérmico. ¿Es posible usar los resultados del ejemplo 11.5-1para hacer el pronóstico deseado?
Los resultados del ejemplo 11.5-1 son aplicables si puede demostrarse que los perfiles de concentración adirnensionales definidos convenientemente en el sistema de transferencia de materia son idénticos a los perfiles de temperatura en el sistema de transmisión de calor:
519.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para mezclas binarias no reactivas 705 Esta igualdad se cumple si las ecuaciones diferenciales y las condiciones límite para los dos sistemas pueden escribirse en forma idéntica. Por tanto, empezamos por elegir las mismas longitud, velocidad y presión de referencia como en el ejemplo 11.5-1, y una función de composición ansloga: GA = (wA - OAO)/(OAm wA0) Aquí ~ A es O la fracción de masa d e A en el gas adyacente a la interfase, y w ~ , . es el , modo que ;SA = O. Las ecuavalor lejos del cilindro. También se especifica que ZA= w ~ o de ciones de variación que se necesitan aquí son entonces Ias ecuaciones 19.5-8,195-9 y 19.5-11, Por tanto, las ecuaciones diferenciales aquí y en el problema 11.5-1 son análogas excepto por el término de calentamiento viscoso en la ecuación 11.5-3. En cuanto a las condiciones límite, aquí se tiene lo siguiente:
C.L. 1:
cuando k2 + g2 + -,
* -+
8x
A
+1
(19.5-15)
La condición h i t e sobre V, que se obtuvo con ayuda de la primera ley de Fick, establece que hay una velocidad radial interfacial resultante de la sublimación de A. Si la descripción anterior se compara con la de la transmisión de calor en el ejemplo 11.5-1, se observa que no hay contraparte de transferencia de materia del término de disipación viscosa en la ecuación de energía y tampoco contraparte de transmisión de calor del componente de velocidad radial interfacial en la condición b i t e de la ecuaci6n 19.5-16. Fuera de eso, las descripciones son anilogas; sin embargo, donde WA, Sc y Gr, toman el lugar de f, r'l ~ r . Cuando el número de Brinkman es suficientemente pequeño, la disipación viscosa carece de importancia, por lo que dicho término en la ecuación de energía puede despreciarse. Despreciar el numero de Brinkman es correcto, excepto para flujos de fluidos muy viscosos con grandes gradientes de velocidad o en capas límite hipersónicas (910.4). De manera semejante, cuando (1/Re%)[(o~o- w ~ & / ( l - WAO)]es muy pequeño, puede igualarse a cero sin introducir un error considerable. Si estas condiciones limite se cumplen, se obtiene un comportamiento análogo para la transmisión de calor y la transferencia de materia. Con mayor precisib?, la concentracibn adimensional &A tendrá la misma dependencia con respecto a 2,y, 2, t, Re, Pr y Gr, que la temperatura adimensional T con respecto a k, j , 2, i, Re, Sc y Gr. Así, los perfiles de concentración y temperatura serán idénticos para un Re dado siempre que Cc = Pr y Gr, Gr. El número térmico de Grashof puede, por lo menos en principio, hacerse variar a voluntad cambiando To - T,. Por tanto, es probable obtener los números de Grashof deseados. Sin embargo, a partir de las tablas 9.1-2 y 17.1-1 puede verse que el intervalo de variación de los números de Cchmidt para gases es considerablemente mas amplio que el intervalo de variación de los números de Prandtl. Por tanto, puede ser difícil obtener un modelo térmico satisfactorio del proceso de transferencia de materia, excepto en un intervalo limitado del número de Schmidt. Otro obstáculo posibIemente serio para la obtencidn de un comportamiento semejante de transmisión de calor y transferencia de materia es la no uniformidad posible de la temperatura de la superficie. El calor de sublimación debe obtenerse a partir del gas circundante, lo cual a su vez provoca que la temperatura del sólido se vuelva inferior a la del gas. Por tanto, es necesario considerar simultáneamente la transmisión de calor y la transferencia de materia. En el ejemplo que sigue se presenta un análisis muy sencillo de transmisión de calor y transferencia de materia simultáneos.
-
706
Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes Vapor refrigerante aT=T,
Entrada de aire
Salida de aire aT=T2
aT=Tl
"W = "W2
"W = WW1
Refrigerante licuado aT=T,
'
Figura 19.5-1 Representación esquemática de un deshurnidificador. El aire entra con una temperatura de entrada TI y humedad wwi (la fracción de masa de vapor de agua). Sale con temperatura de salida S2 y humedad wwz Debido a que la transmisión de calor a1 refrigerante es muy efectiva, la temperatura en la interfase aire-condensado puede considerarse igual a la del refrigerante, T,.
Formación de niebla durante la deshumidificación
Aire húmedo se enfría y deshumidifica simultaneamente por el paso a través de un tubo metálico enfriado por la ebullición de un líquido refrigerante. La superficie del tubo está por debajo del punto de rocío del aire de entrada, de modo que está cubierto por una pelícrula de agua. La transmisión d e calor al refrigerante desde esta capa condensada es lo suficientemente efectiva, de modo que la superficie libre del agua puede considerarse isoténiiica y en el punto de ebullición del refrigerante. Este sistema se muestra en la figura 19.51. Se desea determinar el intervalo de las temperaturas del refrigerante que pueden usarse sin peligro de formación de niebla. La niebla es indeseable porque la mayor parte de las diminutas gotas de agua que la constituyen pasan a través de1 tubo de enfriamiento junto con el aire a menos que se cuente con colectores de aire especiales. Puede formarse niebla si el aire húmedo se vuelve supersaturado en cualquier punto del sistema.
Sean las especies A y W aire y agua, respectivamente. Aquí conviene elegir las variables adimensionales
Los subíndices se definen con más detalle en la figura 19.5-1. Para e1 sistema aire-agua a temperaturas moderadas es razonable la suposición de p y 9AW constantes, donde el aire se considera una sola especie. Las capacidades caloríficas del vapor de agua y del aire son distintas, aunque se espera que el transporte de energía por difusión sea pequeño. Por tanto, las ecuaciones 19.5-9 a 19.5-11 constituyen una descripción razonablemente confiable del proceso de deshumi<íficación. Las condiciones límite necesarias para integrar estas emaciones incluyen Ww = T = 1 en la entrada del tubo, &W = T = 0 en el límite gas-liquido y condiciones sin deslizamiento y de entrada sobre Ia velocidad ir. Así se encuentra que los perfiles adimensionales están relacionados por W w ( f , j , i , Re, Gr,, Gr, Sc, Pr) = f(ii-,jj, 2,Re, Gr, Gr,, Pr, SC)
(19.5-19)
Por tanto, ¿jw es la misma función de sus argumentos como ? lo es de sus argumentos e n el orden exacfo dado. Debido a que en general Gr, no es igual a Gr y Sc no es igual a Pr, los dos
s19.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para mezclas binarias no reactivas
707
perfiles no son semejantes. Este resultado general es demasiado complejo para ser de mucho valor. Sin embargo, para el sistema aire-agua, a temperaturas moderadas y presión casi atmosférica, Sc es aproximadamente 0.6 y Pr es aproximadamente 0.71. Si por el momento se supone que Sc y Pr son iguales, entonces el análisis dimensional se vuelve mucho más senciilo. Para esta situación especial, las ecuaciones de continuidad de? energía y de las especies son idénticas. Debido a que las condiciones limite sobre Ow y T tambi6n son las mismas, entonces los perfiles adirnensionaIes de concentración y temperatura son identicos. Debe observarse que la igualdad de Gr, y Gr no es necesaria. Esto se debe a que los números de Grashof afectan los perfiles d e concentracibn y temperatura sólo por medio de la velocidad v, que aparece tanto en la ecuaci6n de continuidad como en la ecuación de energía en la misma fonna. Por tanto, con la suposici6n de que Sc = Pr, se tiene
en cada punto del sistema. Esto significa, a su vez, que en una gráfica psicrométrica cada pareja concentración-temperatura en el hibo está sobre una linea recta entre (mWl,TI) y (oWr,T,).Este hecho se muestra gráficamente en la figura 19.5-2 para un conjunto de condiciones representativas. Nótese que (mWr, T,) debe estar en la curva de saturación, ya que la situación se aproxima bastante al equilibrio. Se concluye que no puede haber formación de niebla si la linea recta que se traza de (um,TI) a (uwr,T,) no corta la curva de saturación. Entonces la temperatura más baja del refrigerante que no puede producir niebla se representa por el punto de tangencia de la curva de saturación y la línea recta que pasa por (oWl, Ti). Debe observarse que todas las condiciones a lo largo de la linea que va desde la entrada (oWi,TI) hasta (w,,, T,) ocurren en el gas incluso si las condiciones globales o global media en el recipiente varían s610 desde (om,T I ) hasta (ww2,T2).Por tanto, algo de niebla puede formarse incluso si la saturación no se alcanza globalmente en el gas que fluye. Para aire que entra a 90 "F y con una humedad relativa d e 50%, la temperatura mínima segura del refrigerante es aproximadamente 45 "F. A partir de la figura 19.5-2 tambikn puede observarse que no es necesario llevar todo el aire húmedo a su punto de rocío a fin de deshumidificarlo.
Figura 19.52 Recorrido representativo de deshurnidificación.Este recorrido corresponde a T,,*, la temperatura mínima del refrigerante que asegura la ausencia de niebla. El recorrido de deshumidificacidn para esta situación es una tangente a la curva de saturación TI), que que pasa por el punto (w~i, representa las condiciones dadas de entrada de aire. Recorridos calculados de deshumidificación para temperaturas m6s bajas del refrigerante cruzarían la curva de saturación. Entonces se excederian las concentraciones de saturación de vapor de agua, haciendo posible la formación de niebla.
o 30
40
60 70 Temperatura, "F
50
80
90
708
Capítulo 19 Ecuaciones de variaci6n para sistemas de varias componentes Sólo es necesario que el aire esté saturado en la superficie de enfriamiento. Las condici globales de salida (aW2, T2)pueden estar en cuaIquier parte a lo largo del recorrido de humidificación entre (oW1, TI) y (wwr, Tr), dependiendo de la eficacia del aparato que use. Se ha demostrado que cálculos basados en la igualdad supuesta de Sc y Pr son muy ú les para el sistema aire-agua. 'F' Además, al considerar el significado físico de los números de Schmidt y Prandtl puede observarse que el procedimiento de cálculo que acaba de bosquejarse es conservador. ~ , j bid0 a que el número d e Schmidt es ligeramente menor que el número de Prandtl, la des-: humidificación procederá proporcionalmente más rápido que el enfriamiento, y las parejas concentración-temperatura estardn ligeramente por debajo del recorrido de de~humidifi a ! ! ción que se muestra en la figura 19.5-2. En Ia condensación de vapores orginicos desde aire, a menudo ocurre la situación inversa. Entonces los números de Schmidt tienden a ser mayores que los números de Prandtl, y el enfriamiento procede más rápido que la condensa: ción. Así, las condiciones están por arriba de la línea recta de la figura 19.5-2, y aumenta e( T' peligro de formación de niebla.
Mezcla de fluidos miscibles
Deducir por análisis dimensional la forma general de una correlación para el tiempo necesa. n o para mezclar dos fiuidos rniscibles en un tanque agitado. Considérese un tanque del tipo que se describe en la figura 19.5-3y sup6ngase que los dos fluidos y sus mezclas poseen esencialmente las mismas propiedades físicas.
Se supondrá que el logro de "grados de mezcla iguales" en dos operaciones cualesquiera de mezcla significa la obtención del mismo perfil de concentración adimensional en cada una. Es decir, la concentración adimensional ijA del soluto es la misma función de coordenadas adimensionales conveniente (F, O, 2) de los dos sistemas cuando los grados de mezclado son iguales. Estos perfiles de concentración dependen de grupos adimensionales definidos conve nientemente que aparecen en las ecuaciones de conservación pertinentes y en sus condiciones límite, y también dependen de una temperatura adirnensional. En este problema se eligen las siguientes definiciones para las vai-iables adimensionales:
Figura 19.5-3 Mezcla de fluidos miscibles. En el instante cero, Ia mitad superior de este tanque está libre de soluto, y la mitad inferior contiene una
distribución uniforme de soluto a una concentración adimensional igual a la unidad, y e1 fluido es inmóvil. Se hace que el. propulsor gire a velocidad constante de rotación N para todo tiempo mayor que cero. Las posiciones en el tanque están dadas por las coordenadas r, 8, z, con r medida radialmente desde el eje del propulsor, y z hacia arriba desde el fondo del
919.5 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación para mezclas binarias no reactivas 709 Aquí D es el diámetro del propulsor, N es la velocidad de rotación del propulsor en revoluciones por unidad de tiempo, y po es la presión atmosféricaprevaleciente. Aquí se usa la presión adimensional p, en vez de la cantidad 9 que se definió en s3.7; el planteamiento con p es más sencillo y proporciona resultados equivalentes. Nótese que i es igual al número total de vueltas del propulsor a partir del inicio del proceso de mezclado. Las ecuaciones de conservación que describen este sistema son las ecuaciones 19.5-8, 19.59 y 19.5-11 con números de Grashof iguales a cero. Los grupos adimensionales que aparecen en estas ecuaciones son Re, Fr y Sc. Las condiciones límite incluyen la desaparición de v en la pared del tanque y de p en la superficie libre del liquido. Además, es necesario especificar las condiciones iniciales
C.I. 1: C.I. 2:
C.I. 3:
enis0,
+=O
N
1
B
p a r a O < 2 < -Dy o < ? < - - 2 D
(19.5-24)
y el requerimiento de que en el propulsor no haya deslizamiento (vease la ecuacibn 3.7-34). Entonces se encuentra que los perfiles de concentraci6n son funciones de Re, Sc, Fr, el tiempo adirnensional i, la geometrh del tanque (a travb de H/D y BID), y las proporciones relativas de los dos fluidos. Es decir, &A = f (Re, Fr,
Cc, i, geometría, condiciones iniciales)
(19.5-25)
A menudo es posible reducir el número de variables a investigar. Se ha observado que, si el tanque está convenientemente amortiguado con deflectores,' no ocurren vórtices de importancia, es decir, la superficie libre del líquido está efectivamente a nivel. En estas circunstancias, o en ausencia de una superficie libre del líquido, el número de Froude no aparece en la descripción del sistema, como se encontrb en 53.7. Además se encuentra, en la mayor parte de operaciones con líquidos a baja viscosidad, que la etapa de velocidad limitante es la creación de una dispersión finamente dividida de un fluido en el otro. En esta dispersidn, los procesos de difusión se llevan a cabo sobre distancias muy pequeiias. Como resultado, la difusión molecular no es de velocidad limitante, y el número de Schmidt (SC)tiene poca importancia. Además se encontró que el efecto del númem de Reynolds (Re) es despreciable en las condiciones que se encuentran más a menudo. Esto se debe a que la mayor parte del mezclado se lleva a cabo en el interior del tanque donde los efectos viscosos son pequeños, en vez de realizarse en las capas límite adyacentes a las superficies del tanque y del propulsor, donde son grandes.2
'
Un amglo comiin y efectivo de amortiguación para tanques ciiindricos verticales con propulsores montados axialrnente, es un conjunto de cuatro antas equid'itantes dispuestas a lo largo de la pared del tanque, con sus supertíaes planas situadas en planos que pasan por el eje del tanque, que van desde la parte superior hasta d fondo del tanque y por 10 menos a 2 dkimas de La distancia al centro del tanque. La insensibilidad del tiempo de mezclado necesario para el númem de Reynolds puede verse intuitivamente a partir del hecho de eq! el término (l/Re)f%en la ecuación 19.5-9se vuelve pequeño en comparación con el término de aceleración DPIDt para Re grande. Estos argumentos intuitivos son peligrosos; sin embargo, el efecto de Re siempre es importante en la vecindad inmediata de s u p e d i a s sólidas. Aquí la cantidad de mezclado que se lleva a cabo en la vecindad inmediata de superficies sólidas es pequeña y puede despreciarse. La insensibilidad del tiempo de mezclado necesario para el número de Schmidt puede verse a partir de la ecuación de continuidad promediada con respecto al tiempo en el capítulo 21. Para Re grande, la densidad de flujo de materia turbulento es mucho mayor que la densidad de flujo de materia por diíusión molecular, excepto en la vecindad inmediata de las superficies sólidas.
7i0
Capitulo 19 Ecuaciones d e variación para sistemas de varias componentes
Para la mayor parte de combinaciones propulsor-tanque de uso común, el número deReynolds (Re) carece de importancia cuando su valor es superior aproximadamente a 104. & comportamiento ha sido comprobado por varios investigado re^.^ Así se llega, después de mucha experimentación, a un resultado sorprendentemente senao, Cuando todas las suposiciones anteriores son válidas, el perfil de concentración depende exclusivamente de i. Por tanto, el tiempo adimensional necesario para producir cualquier grdo deseado de mezcla es una constante para la geometría de un sistema dado. En otras palabras, el número total de vueltas del propulsor durante el proceso de mezclado determina el grado de mezcla, independientemente de Re, Fr, Sc y el tamaño del tanque, en el supuesto, naturalme,,. te, de que los tanques y los propulsores son geométricarnente semejantes. Por las mismas razones, en un tanque convenientementeamortiguado con deflectores,la distribución de velocidad adimensional y la eficiencia de bombeo volumét~codel propulsor son casi independientes del número de Froude (Fr) y del numero de Reynolds Re), cuando Re > lo4.
1. ¿Cómo deben modificarse las diversas ecuaciones de variación proporcionadas en los caplblos 3 y 11 para mezclas reactivas? 2. ¿Qué modificaciones son necesarias en las expresiones de las densidades de flujo en los captulos 3 y 11 para describir mezclas quúnicamente reactivas? 3. ¿En qué condiciones se cumple (V v) = O? ¿Y (V.v*) = O? 4. Las ecuaciones 19.1-14 y 19.1-15 son físicamente equivalentes. ¿Para que tipos de problemas es preferible una forma o la otra? 5. Interpretar físicamente cada término en las ecuaciones de la tabla 19.2-3. 6. La conductividad térmica de una mezcla se define como la razón de la densidad de flujo de calor al negativo del gradiente de temperatura cuando todas las densidades de flujo de masa por difusión son cero. Interpretar esta afirmación en Mrminos de la ecuación 19.3-3. 7. Analízar las semejanzas y Ias diferencias entre transmisión de calor y transferencia de materia. 8. Analice todos los pasos en la transformación de la ecuación 19.3-4 en la ecuación 19.3-6. por qué es importante el segundo resultado (aproximado)? 9. Comente la afirmación que se hizo al final del ejemplo 19.41 de que la velocidad de transmisión de calor es directamente afectada por la transferencia de materia simultánea, mientras que lo contrario no es cierto.
PROBLEMAS
19A.1 Deshumidificación del aire (figura 19.4-1). Para el sistema del ejemplo 19.4-1, sean el vapor y el gas estancado H 2 0 y aire, respectivamente. Supónganse las siguientes condiciones (que son representativas en acondicionamiento de aire): i) para y = 6, T = 80 "F y X H ~ O= 0.018; U) para y = O, T = 50 "F. a) Para p = 1 atm, calcular el miembro derecho de la ecuación 19.4-9. b) Comparar la densidad de flujo de calor conductivo y por difusión para y = O. ¿Cuál es el
significado físico de su respuesta?
Respuesta: a) 1.004
E.A. Fox y V.E. Gex, AIChE fournal, 2,539-544(1956);H.Kramers, G.M.Baars y W.H. Knoll, Chem. Eng. Sci.. 2, 35-42 (1953);J.C. van de Vusse, Chem. Eng. Sci.,4,175200,209-220(1955).
Problemas 7il 198.1 Evaporación en estado estacionario (figura 18.2-1). Volver a trabajar el problema que se resolvió en 518.2, que trata sobre la evaporación del líquido A en el gas B, empezando a partir de la ecuación 19.1-17.
a) Primero obtenga una expresión para v*, usando la ecuación (M) de la tabla 17.8-1, asi como la ley de Fick en la forma d e la ecuación (D) de la tabla 17.8-2.
b) Demostrar que entonces la ecuación 19.1-17 se transforma en la siguiente ecuacibn diferencial no lineal de segundo orden:
c) Resolver esta ecuaci6n para obtener e1 perfil de fracción molar que se proporcionb en la
ecuación 18.2-11. 198.2 Absorción de un gas con reacción química (figura 18.4-1). Volver a trabajar el problema que se resolvi6 en 518.4, empezando con la ecuaci6n 19.1-16.¿Qué suposicionesdeben hacerse para obtener la ecuación 18.4-4?
.9B.3 Difusividad dependiente de la concentración. Una capa líquida estacionaria de B esti4 limitada por los planos z = O (una pared sólida) y z = b (una interfase gas-liquido). En estos plaes una función nos, la concentración de A es c ~ y0 C A ~ ,respectivamente. La difusividad 9AB de la concentración de A. a) Empezando con la ecuación 19.1-5, deducir una ecuación diferencial para la distribución de concentración en estado estacionario.
b) Demostrar que la distribución de concentración está dada por
c) Demostrar que la densidad de flujo molar en la superficie sólido-líquido es
d) Ahora supóngase que la difusividad puede expresarse como una serie de Taylor en la con-
centración
donde
= r ( c A o + cAb) y
gAB= 9.4~h). Luego, demostrar que
e) ¿Cómo se simplifica este resultado si Ia difusividad es una función lineal de la concentración?
712 Capitulo 19 Bcuaciones de variación para sistemas de varias componentes
..
. .
.. . . '
<
.
Figura 19B.4 Oxidación de silicio.
I . .
02
s(t) "
. . , . . .' . .. . ... .: ; , . : . * . . ', .. . I
.
.
.
.
Si02
z
19B.4 Oxidación de silicio (figura 193.4).' Una placa de silicio se expone a oxígeno gaseoso (es. pecie A) a presión p, produciendo una capa de dióxido de silicio (especie B ) . La capa se extiende desde la superficie z = O, donde el oxígeno se disuelve con concentración CAO= K ~ , , hasta la superficie en z = S@), donde el oxígeno y el silicio experimentan una reacción de primer orden con coeficiente de velocidad kí. Debe pronosticarse el espesor S ( t ) de la capa de óxido en crecimiento.Aquí es de utilidad un método en estado casi estacionario, debido a que el avance del frente de la reacción es muy lento. a) Primero resuelva la ecuación diferencial de la ecuación 19.1-18, despreciando el acA/at, y aplique las condiciones límite para obtener
término
donde aún se desconoce la conceniración c ~ en o el plano en que ocurre la reacción.
b) Luego, use un balance molar en estado no estacionario para el O2 sobre la región O < < 6(t)para obtener, con ayuda de la fórmula de Leibniz que se proporciona en 92.3,
C) Ahora escriba un balance molar en estado no estacionario para el SiOz sobre la misma región para obtener
d) En la ecuaci6n 19B.4-2, evaluar d s / d f a partir de la ecuación 19B.4-3 y dcA/dz a partir de la ecuación 19B.4-1. Lo anterior lleva a una ecuación para c ~ a :
La inserción de valores numéricos en la ecuación 198.4-4 muestra que el término cuadrático p e d e despreciarse sin ningún riesgo.' e) Combine las ecuaciones 19B.4-3 y 193.4-4 (sin el término cuadrático) a fin de obtener una ecuación diferencial para W ) .Demuestre que lo anterior lleva a
lo cual coincide con datos experimenta1es.l Interprete el resultado. ~
-
p
-
~
-
-
R. Ghez, A Primer of Difision Problems, Wdey-lnterscience, Nueva York (1988), pp. 46-55; en este libro se analizan varios problemas que se pesentan en el campo de la microelectrónica.
Problemas 713 19B.5 Las ecuaciones de Maxweu-Stefan para mezclas gaseosas de varias componentes. En la ecuación 17.9-1 se proporcionan las ecuaciones de Maxweli-Stefan para las densidades de flujo de masa en un sistema gaseoso de varias componentes. Demostrar que para un sistema buiario estas ecuaciones se simplifican a la primera ley de Pick, según se pmporcionó esta en la ecuación 17.1-5.
19B.6 Difusión y reacción química en u n líquido. al Una esfera sólida de sustancia A está suspendida en un líquido B en el que es ligeramente soluble, y con el que A experimenta una reacción química de primer orden con constante de velocidad k? En estado estacionario la difusión es balanceada exactamente por la reacción química. Demostrar que el perfil de concentración es
o la solubilidad molar de A en B, y b2 = k'í'R2/aAs. donde R es el radio de la esfera, c ~ es
b) Por medio de argumentos de estado casi estacionario, demostrar cbmo calcular la disminución gradual del diámeh-o de la esfera a medida que A se disuelve y reacciona. Demostrar que el radio de la esfera está dado por
donde Ro es el radio de la esfera en el instante to y p,,f,,, es la densidad de la esfera. 19B.7 Varias formas de la ecuación de continuidad de las especies.
En este capítulo, la ecuación de continuidad de la especie se proporcionó en tres formas diferentes: la ecuación 19.1-7, la ecuación (A) de la tabla 19.2-1 y la ecuación (B) de la tabla 19.2-3. Demostrar que estas tres ecuaciones son equivalentes. a)
b) Demostrar cómo obtener Ia ecuación 19.1-15 a partir de la ecuación 19.1-11. 19C.1 Forma alternativa de la ecuación de difusión binaria. En ausencia de reacciones químicas, la ecuaci6n 19.1-17 puede escribirse en términos de v en lugar de v* usando una medida de concentración diferente, a saber, el logaritmo del peso molecular medio?
donde M = xAMA + xgMB. (Precaución: la solución es laboriosa.) La ecuación 19C.1-1 es difícil de resolver incluso para la película de gas estancada de 518.2, debido a la densidad de masa variable p que aparece en la ecuación de continuidad [ecuaci6n (A) de la tabla 19.2-31. 19D.1 Deducción de la ecuación de continuidad. En 519.1, la ecuación de continuidad de la especie se dedujo haciendo un balance de materia sobre un pequeño volumen rectangular Ax Ay Az fijo en el espacio. af Repita la deducción para un elemento de volumen V de forma arbitraria con un límite fijo S suficientemente liso. Demostrar que el balance de materia de la especie puede escribirse entonces como
Usar el teorema de divergencia de Gauss para convertir la integral de superficie en una integral de volumen y luego obtener la ecuación 19.1-6.
C.H. Bedingfield,Jr., y T.B.Drew, Ind. Eng. Chem., 42, 1164-1173(1950).
7l4
Capitulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de varias componentes i
b) Repita la deducción usando una región del fluido contenido dentro de una superficie, el que cada punto de esta se mueve con velocidad media de masa local. 19D.2 Deducción de la ecuación de variación para la temperatura para un sistema de varias com. ponentes. Deducir la ecuaci6n (F)de la tabla 19.2-4 a partir de la ecuación (E).Se sugiere aplicar la siguiente secuencia de pasos:
a) Debido a que la entalpía es una propiedad termodinlmica extensiva, es posible escribir
donde las m, son las masas de las diversas especies, m es la suma de las m,, y las o, = son las fracciones de masa correspondientes. Se entiende que tanto H como H son funciones de T y p, así como de la composición. Usar la regla de la cadena de diferenciación parcial para demostrar que
Luego, al restar, se obtiene para a
+N
El subíndice o, significa "manteniendo constantes todas las demás fracciones de masa". b) El miembro izquierdo de la ecuación (E) puede desarrollarse considerando que la entalpía por unidad de masa es una función de p, T y las (N - 1)primeras fracciones de masa:
Luego, compruebe que los coeficientes de las derivadas sustanciales pueden identificarse como
El coeficiente de p(Do,/Dt) ya se proporcionó en la ecuación 19D.2-4. Sustituir los coeficientes en la ecuaci6n 19D.2-5 y luego usar la ecuación 19.1-14 para eliminar dDw,/Dt), y comprobar que (aH/am,)p,Tm es lo mismo que (HJM,). La operación suma sobre a, que va desde 1 hasta N - 1, ahora debe volver a escribirse de manera conve niente como una operación suma desde 1hasta N, usando la ecuación (K) de la tabla 17.8-1 y el hecho de que Zar, = 0. c)
d) Luego, combine los resultados de los incisos a), b) y c) con la ecuación (E) para obtener la ecuación (F).
Problemas 715 19D.3 Separación de gases por atmólisis o "difusión de barrido" (figura 19D.3). Cuando dos gases A y B se obligan a difundirse a través de un tercer gas C, hay una tendencia de A y B a separarse debido a la diferencia en sus velocidades de difusión. Este fenómeno fue estudiado por primera vez por Hertz? y después por Maier.4Benedict y Boas5 estudiaron la economía del proceso, particularmente con respecto a la separación de isótopos. Keyes y Pigford6 contribuyeron aún más tanto a la teoría como a la experimentación. En su arreglo experimental, C era un vapor condensable, que podia separarse de A y B al disminuir la temperatura y así poder licuar a C. Se desea estudiar los detalles de Ia difusión de las tres componentes que se lleva a cabo en el tubo de difusión de longitud L, cuando el aparato se opera en estado estacionario. Obtener una expresión que relacione las concentraciones X A ~y X B en ~ el extremo de alimentación del tubo con las concentraciones XA2 y xg2 en el extremo del producto. Esta expresión debe contener las densidades de flujo molar de las tres especies, que son controladas por las velocidades de adición de materiales en las dos corrientes de entrada. Usar la siguiente notación para las cantidades adimensionales: 5 = t/L para la distancia tubo abajo, desde la entrada de afimentación; YA = 9AB/9AC y Y B = ~ A B / ~ para B C las razones de difusividad; y v, = NazL/c'?hAR para las densidades de flujo molar (con a = A, B, C).
a) Demostrar que, en términos de estas cantidades adimensionales, las ecuaciones de Maxwell-Stefan para la difusión son
donde YAA= VB -t rA(vA+ vC), YAB= VA(rA - 11, y YA = -YAVA, y Ias demás cantidades se obtienen intercambiandoA y B.
b) Usando transformadas de Laplace, resolver las ecuaciones 19D.3-1 y 19D.3-2 para obtener los perfiles de concentración para A y B en el tubo.
Tubo de düusión de 4' de longitud y 1" de diámetro, relleno de lana de cristal
1 Extremo 1 Alimentación de A
ISeparador
c
1
A
+B
refinado
+B Reemplazo de C
Separador
7-
Productos A
+B
Figura 19D.3 Experimento de Keyes-Pigford para estudiar la atrnólisis.
C . Hertz, Zeifs.f: Phys., 91,810-815(1934). G.G.Maier, Mechanical Concent~fion of Gases, U.S. Bureau of Mines Bdetin 431 (1940). M. Benedict y A. Boas, Clrem. Eng. Pmg., 47,5162,111-122 (1951). 6J.J. Keys, Jr., y R.L. Pigford, Chem. Eng. Sci., 6,215-226 (1957).
716 Capítulo 19 Ecuaciones de variación para sistemas de vanas componentes C)
Demostrar que las concenhaciones finales se interrelacionan como
Una expresión semejante puede obtenerse para dos adicionales para casos especiales.
X B ~ Keyes .
y Pigford6 proporcionan resulta.
19D.4 Difusión en estado estacionario desde un disco giratorio.7 Un gran disco gira con una velo-
cidad angular en una extensión infinita del líquido B. La superficie está cubierta con un material A que es ligeramente soluble en B. Encontrar la velocidad a la que A se disuelve en B. (La solución de este problema puede aplicarse a un disco de radio finito R, cometiendo un error despreciable.) La dinámica de fluidos de este problema fue deducida por von KármánBy luego la comgió ~ o c h r a nSe . ~encontró que las componentes de la velocidad pueden expresarse, excepto cerca del borde, como u,
donde 5 = 2
s
=
RrF(#; .
v e = RrG(0;
v, = ~
H
(
O
(19D.41)
Las funciones F, G y H tienen las siguientes expansiones:
donde a = 0.510 y b = -0.616. Además se sabe que, en el límite cuando 5 + m, H + -0.886 y F, G, F' y G'tienden a cero. También se sabe que el espesor de la capa límite es proporcional a excepto cerca del borde del disco. La ecuación de difusión de la ecuación 19.1-16 con las componentes conocidas de la v e locidad debe resolverse en las condiciones límite según: p~ = PAO en z = O; p~ = O en z = m;y apA/& = O en r = O, m. Debido a que para este problema lineal sólo existe una solución, puede observarse que es posible encontrar una solución de la forma pA(z) que satisface la ecuación diferencial y todas las condiciones límite. Por tanto, la solución para p~ no depende de la coordenada radial en la región considerada.
a,
a) Demostrar que en estado estacionario, la ecuación 19.1-16 proporciona
-
-
--
--
V.G. Levich, Fhysicochemical Hydmdynamics, Prentice-Hall,Englewood Cliffs, N.J. (1962). 511 0 T.von Kárrnán, 2eits.f. angecu. Math. u. Mech., 1,244-247(1921). W.G.Cochran,Proc. Camb. Phil. Soc.,30,365-375 (1934).
Problemas 717
b) Resolver la ecuación 19D.4-5 a fin de obtener, para un gran número de Schmidt,
C)
Demostrar que la densidad de flujo de masa en la superficie del disco es7
para un gran número de Schmidt. Resulta evidente que, si se desea, es posible usar términos superiores en la expansión en serie para H y extender el intervalo de números de Schmidt.10 Este sistema se ha utiiizado para estudiar la eliminación de ácido behénico s6lido de superficies de acero inoxidabIe.ll
' O D. Schuhmann. Physicochmical Hydrodynamics (V.G. Levich Fextschrft), Vol. 1 (D.B. Spalding, editor), Advance Publications Ltd., Londres (1977), pp. 445-459; véase también K.-T. Liu y W.E. Stewart, lntl. Jnl. H e d and M n s s Tt$, 15,187-189 (1972). C.S. Grant, A.T. Perka. WD. Thomas y R. Caton, AIChE lournal, 42,1465-1476 (1996).
"
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente 520.1
Difusión dependiente del tiempo
520.2'
Transporte en estado estacionario en capas límite binarias
520.3'
Teoría de capa límite en estado estacionario para flujo alrededor de objetos
520.4.
Transporte de materia de la capa límite con movimiento interfacial complejo
920.5'
"Dispersión de Taylor" en flujo laminar en un tubo
.
La mayor parte de los problemas de difusión que se analizaron en los dos capítulos precedentes condujeron a ecuaciones diferenciales ordinarias para los perfiles de concentración. En este capítulo se usan las ecuaciones generales del capítulo 19 para establecer y resolver algunos problemas de difusión que llevan a ecuaciones diferenciales parciales. Un gran número de problemas de difusión pueden resolverse mirando simplemente las soluciones de problemas análogos en conducción de calor. Cuando las ecuaciones diferenciales y las condiciones inicial y límite para el proceso de difusión tienen exactamente la misma forma que las del proceso de conducción de calor, entonces la solución de conducción de calor puede tomarse con cambios convenientes en la notación. En la tabla 20.0-1 se muestran las tres ecuaciones principales de transporte de calor que se usaron en el capítulo 12, así como sus análogas en transporte de materia. En las monografías de Carslaw y Jaegerl y en las de Crank2 pueden encontrarse muchas soluciones para las ecuaciones que describen una situación sin flujo. Debido a que los problemas de difusión descritos por las ecuaciones en la tabla 20.0-1 son análogos a los problemas del capitulo 12, aquí no se analizarán ampliamente. En vez de ello, nos enfocaremos principalmente en problemas que implican difusión con reacciones químicas, difusión con una interface móvil y difusión con transferencia rápida de materia. En 920.1 se analiza una variedad de problemas de difusión dependiente del tiempo. En 920.2 se presentan algunos problemas de capa límite en estado estacionario que implican mezclas binarias. En seguida se presentan dos análisis de capa límite para sistemas más complicados: la difusión en flujo estacionario alrededor de objetos arbitrarios en 520.3, y la difusión en flujos con movimiento interfacial complejo en 520.4. Por último, en 920.5 se estudia una solución asintótica del problema de "dispersión de Taylor".
' H.S. Carslaw y J.C.Jaeger, Conduction of Heat in Solids, 2a. edición, Oxford University Press (1959). J. Crank, T h e Mathematics of DiJfusion,2a. edición, Clarendon Press, Oxford (1975).
720
Capítulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
Tabla 20.0-1 de calor
,
Estado no estacionario íiujo
I
k
e
Analogías entre formas especiales de las ecuaciones de conducción y di
Estado estacionario con fiujo
Estado estacionario 7 sin flujo
! 512.1-Co~uciones exactas s12.2-Soluciones exactas 912.3-Soluciones e u c
$4
912.4-Soluciones capa límite
2 'g
$5
de
para dos dimensiones mediante funciones analíticas
/
z
W z
1 4
.
G
<.
E U
g
:5! 8
Conducción de calor en sólidos
Conducción de calor en flujo laminar incompresible
Conducción de calor en sólidos en estado estacionario
1. k = constante 2. v = O
1. k, p = constantes 2. Sin disipación viscosa 3. Estado estacionario
1. k = constante 2. v = O 3. Estado estacionario
Difusión de trazas de A a través de B
Difusión en flujo laminar (soluciones diluidas de A en B )
Difusión en sólidos en estado estacionario
mE?
B
g
'g ,-
.M
2 .vO .d
8
B
m
.S
X
2
I
8
:
i
1.SAB, p = constante 1. 9AB, p = constante 1. 9AB, p = constante 2. v = O 2. Estado estacionario 2. Estado estacionario 3. Sin reacciones químicas 3. Sin reacciones químicas 3. Sin reacciones químicas 4.v=O Contradifusión equímolar en gases a baja densidad 1. EbAB, c = constantes 2.v+=O 3. Sin reacciones quiMcas
En esta sección se presentan cuatro ejemplos de difusión dependiente del tiempo. El primero trata con la evaporación de un líquido volátil e ilustra las desviaciones respecto a la segunda ley de Fick que se presentan a altas velocidades de transferencia de materia. Los ejemplos segundo y tercero tratan sobre difusión en estado no estacionario con reacciones químicas. En el último ejemplo se analiza el papel de 10s cambios en la difusión en el área interfacial. En los ejemplos 20.1-1, 20.1-2 y 20.1-4
520.1 Difusión dependiente del tiempo 721
se usa el método de combinación de variables, y en el ejemplo 20.1-3 se usan transformadas de Laplace.
no estacionario de un líquido (el ~ ~ ~ ~ o b lde e rArnoldf') na
Se desea pronosticar !a velocidad a la que un líquido volátil A se evapora en B puro en un tubo de longitud infinita. E¡ nivel del líquido se mantiene en z = O durante todo el tiempo. Se supone que la temperatura y la presión son constantes, y que los vapores de A y B forman una mezcla de gas ideal. Por tanto, la densidad molar c es constante en toda la fase gaseosa, y EbAB puede considerarse constante. Además se supone que la especie 13 es insoluble en e1 líquido A y que la velocidad molar media en la fase gaseosa no depende de la coordenada radial.
Para este sistema la ecuación de continuidad para la mezcla, que se proporcionó en la ecuación 19.1-12, se transforma en
donde v: es la componente de la velocidad molar media. Al integrar respecto a z se obtiene
Aquí y en todo el problema, el subíndice "0" indica una cantidad que se evalúa en z = O. Según la ecuacikn (M) de la tabla 17.8-1, esta velocidad puede escribirse en términos de las densidades de flujo molar de A y B como
Sin embargo, NBzO es cero debido a la insolubilidad de la especie B en el líquido A. Luego, al usar la ecuación (D) de la tabla 17.8-2, finalmente se obtiene
donde xAo es la concentración interfacial en la fase gaseosa, evaluada aquí con base en la suposición de equilibrio interfacial. Para una mezcla de gases ideales, ésta es precisamente la presión de vapor de A puro dividida entre la presión total. La ecuación de continuidad de la ecuación 19.1-17 se convierte entonces en
Esta ecuación debe resolverse con las siguientes condiciones inicial y límite:
C.1.:
en t = 0,
xA = O
(20.1-6)
Podemos intentar el mismo tipo de combinación de variables que se usó en el ejemplo 4.1-1, a saber, X = xA/xA0 y Z = z/,/41bABt.Sin embargo, debido a que la ecuación 20.1-5 contiene al parámetro xAO,es posible anticipar que X dependerá no sólo de Z sino que también lo hará paramétricamente de xm
722
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente En términos de estas variables adimensionales, la ecuación 20.1-5 puede
d2x
-+2(Z-cp)-=o
dz2
dX dZ
Aquí la cantidad cp(x,,) =
1 x,, dX 2 l-xAO dZ
IUi
es una velocidad molar media adimensional, cp = ~ , + d t / 9 ~como *, puede observarse al com. parar las ecuaciones 20.1-10 y 20.1-4. Las condiciones inicial y límite en las ecuaciones 20.14 20.1-8 se transforman ahora en
a
C.L. 1: C.L. 2 y C.I.:
La ecuación 20.1-9 puede atacarse haciendo primero d X / d Z = Y. Así se obtiene una ecuación diferencial de primer orden para Y que puede resolverse para obtener
Luego de integrar la ecuación anterior, se obtiene
Al combinar este resultado con las ecuaciones 20.1-11 y 20.1-12 se obtiene
Luego se aplica la definición de la función error y algunas de las propiedades de esta función, en particular -ed(-p) = erf ip y erf m = 1 (véase 5C.6). Lo anterior lleva a la expresión final para la distribución de fracción molar:' X(Z) = 1-
erf(Z-cp)+erf erf m+erf cp
cp
- 1-erf(Z -9)
l+erf cp
Para obtener la función p(xAO), esta distribución de fracción molar debe sustituirse en la ecuación 20.1-10. Asi se obtiene
En vez de resolver Ia ecuación anterior para obtener cp como una función de xA,, es más fácil evaluar xAOcomo una función de cp:
En la tabla 20.1-1 se proporciona una pequefia tabla de p(xAO)y los perfiles de concentración se muestran en la figura 20.1-1.
'
J.H. Arnold, Trans. AíChE, 40,361-378 (1944). Jemme Howard Amold (1907-1974)enseñó en el MlT y en las universidades de Minnesota, de Dakota del Norte y de Iowa; trabajó para la Standard Oil de Califomia (1944-1948)Y fue director del Contra Costa Transit Wistrict (1956-1960).
920.1 Difusión dependiente del tiempo 723
Tabla 20.1-1
~abla'de p(xAO)y +(xAo)
Ahora es posible calcular la velocidad de producción de vapor desde una superficie de área S. Si V Aes el volumen de A que se produce por evaporación hasta el instante 1, entonces
Entonces, al integrar con respecto a f se obtiene
Esta relación puede usarse para calcular la difwividad a partir de la velocidad de evaporación (véase el problema 20A.1). Ahora es posible valorar la importancia de incluir el transporte convectivo de la especie A en el tubo. Si para determinar X se hubiera usado la segunda ley de Fick (ecuación 19.1-18), el resultado habría sido
Por tanto, la ecuación 20.1-20 puede volver a escribirse como
Figura 20.1-1 Perfiles de concentración en evaporación dependiente del tiempo que muestra que la desviación de la ley de Fick aumenta con la volatilidad del liquido que se evapora.
724
Capitub 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente El factor $ = rpJT/xAo,tabulado en la tabla 20.1-1, es una corrección para la que' muestran los resultados con respecto a la segunda ley de Fick, provocados por la velocid$ molar media diferente de cero Se observa que esta desviación se vuelve especialmente .;i 'g*4 ficativa cuando xAO es alta, es decir, para liquidos cuya volatilidad es elevada. En el anáiisis precedente se supone que el sistema es isotérmico. se se enfría por evaporación, especialmente para grandes valores de xAO Este minimizarse usando un tubo de diámetro pequeño hecho de un buen embargo, a fin de poder aplicar este análisis a otros sistemas de transferencia de materia 1 ' @i necesario ampliarlo para incluir la solución de la ecuación de energía, de modo que sea posi~ ble calcular la temperatura y las composiciones interfaciales (véase el problema 200.2). Este análisis puede extenderse2para incluir el transporte de interfase de ambas especies con cualquier razón de densidad de flujo independiente del tiempo NAzo/NBmy cualquier coni. posición inicial del gas xAW. Un ejemplo sencrllo de este sistema es La reacción 2A + B da por la d~fusiónsobre un sólido catalítico en z = O, donde el calor de reacción se través del sólido El perfil de concentración es una gerieralización del que se proporcionó la ecuación 20.1-16:
i
La densidad de flujo adimensional
1
depende ahora de xAO,xAZA, y de la razón NBZa/NAzo:
Esta relación entre las densidades de flujo interfaciales y las composiciones finales es
1
Las ecuaciones 20.1-16, 20.1-10 y 20.1-18 se incluyen como casos especiales de las tres últi-~ mas ecuaciones. La última de éstas es un resultado clave para cálculos de transferencia de materia (véase $22.8).
1
con reacción rápida314
El gas A es absorbido por un solvente líquido estacionario S, donde éste contiene al soluto B, La especie A reacciona con B en una reacción instantánea e irreversible según la ecuaciiin aA + bB 4 Productos. Puede suponerse que la segunda ley de Fick describe de manera adej cuada los procesos de difusión, ya que A, B y los productos de reacci6n están presentes en S en bajas concentraciones. Obtener expresiones para los perfiles de concentración.
Debido a la reacción instantánea de A y B, hay un plano paralelo a la interfase Iíquido-vapor a una distancia zR de ésta, que separa la región que no contiene nada de A de la que no con-&
W.E. Stewart, J.B. Angelo y E.N. Lightfoot, AIChE Journul, 16,771-786 (1970, generalizaron este ejemplo y : siguiente para convecci6n forzada e n flujostridimensionales, incluyendo sistenias hirbulentos. T.K. Shenvood, R.L. Pigfnrd y C.R. W~lkc,Absorption and Extracfion, 3a. edición, McGraw-HU, Nueva kbrk (1975), capítulo 8. Véase también G. Astanta, Mnss Trnnsfcr uiith ChenricnI Reuciion, Elsevier, Arnsterdam [1967), capículo 5. 'i Para problemas relacionados con límites móviles asociados con cambios de fase, v4ase N.S.Carslaw y J.C. Jaeger, Conduction ofHeat in Solids, 2a. edicibn, Oxford University Press (1959).Véase también S.G. Bankoff, Advancej in Chonical Engineering, Academic Press, Nueva York (1964), Vol. 5, pp. 76-150; J. Crank, Frce and Mouing BoundaY Problems, Oxford University Press (19841.
*
520.1 Difusión dependiente del tiempo 725 tiene nada de B. La distancia zR es una función de t, debido a que el límite entre A y B tira a medida que B se agota en la reacción química. Entonces, las ecuaciones diferencialespara cA y cBson ~ C A = 9 a2cA -
para O
5
m-
z 5 zR(t)
df ~ C B 9 --
ar
d2cB
BSd22
para zR(f)5 z
<
Estas ecuaciones deben resolverse con las siguientes condiciones inicial y límite: para z > O
C.I.:
ent=O,
CB
C.E. 1:
e n z =O,
c~ = C~~
C.L. 2,3:
en z = zR(t),
cA =cB = O
= Cgm
(20.1-28) (20.1-29) (20.1-30)
Aquí cAO es la concentraci6n interfacial de A, y cB, es la concentración original de B. La cuarta condición límite es el requerimiento estequiométrico de que a moles de A consumen b moles de B (véase el problema 208.2). La ausencia de una longitud característica en este problema, y el hecho de que c, = cm, ambos en t = O y z = m, sugiere intentar una combinación de variables. La comparación con el ejemplo previo (sin el tbrmino u,*) sugiere las siguientes soluciones de ensayo: C
-4-=~l~~2erf CA o C z 8-=c3+c4erf
-
J-sz
C ~ m
para O r z s zR(t) para zR(t)5 z < M
Estas funciones satisfacen las ecuaciones diferenciales, y si las constantes de integración C1 a C ueden elegirse de modo que se cumplan las condiciones inicial y límite, entonces se ten4P dra la solución completa del problema. La aplicaci6n de la condición inicial y las tres primeras condiciones límite permiten la evaluación de las constantes de integración en términos de zR(t),con lo cual se obtiene
3c*,
C~~
erf(2/
41-
para O r r
zR(t)
(20.1-35)
i - erf(r / ,/=) para zR(t)S z < m 1-@rf(zR/ i/4aBSf)
(20.1-36)
-'-err(spi
5
Así, la condición límite S se cumple automáticamente. Por ultimo, al insertar estas soluciones en la condición límite 4 se obtiene la siguiente ecuación implícita a partir de la que es posible obtener zR(t):
Aquí y es una constante igual a @4t. Así, zR aumenta con &. Para calcular los perfiles de concentración, primero se resuelve la ecuación 20.1-37 para y luego este valor se inserta por z R / @ en las ecuaciones 20.1-35 y 20.1-36. En la figura 20.1-2 se muestran algunos perfiles de concentración (para a = b), calculados para ilustrar la velocidad de movimiento de la zona de reacción.
47,
726 Capitulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
O
0.02
0.04
0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 Distancia desde la interfase (mm)
0.16
0.18
0.20
Figura 20.1-2 Absorción de gas con reacción química rápida, donde los perfiles de concentración están dados por las ecuaciones 20.1-35 a 20.1-37 (para a = b). Este cálculo se hizo para aAC = 3.9 X ~ i e s ~ y/ h ~ i e s ~ [T.K. / h Sherwood y R.L. Pigford, Absorption and GOBS = 1.95 X Extracfion, McGraw-Hill, Nueva York (1952),p. 3361.
-Y
A partir de los perfiles de concentración es posible calcular la velocidad de transferencia, de materia en la interfase:
Entonces, la velocidad media de absorción hasta el instante t es
Por tanto, la velocidad media hasta el tiempo t es precisamente e1 doble de la velocidad instantánea.
estacionaria con reacción homogénea de primer ~ r d e n ~ - ~
Cuando la especie A se difunde en un medio liquido B y reacciona irreversiblemente con éste (A + B + C) según una reacción de seudoprimer orden, entonces el proceso de difusión m& la reacción es descrito por
en el supuesto de que la solución A est6 diluida y no se produzca mucho C. Aquí k? es la constante de velocidad para la reacción homogénea. La ecuación 20.1-40 suele encontrarse a menudo con las condiciones inicial y límite C.I. e11 t = 0 :
WA
= wAI(x, Y, 2 )
C.L. en superficies límite:
WA
= wAo(xry,
2)
P.V. Danckwerts, Trans. Faraday Sor, 47, 1014-1023 (1951). Peter Vicror Danckwerts (1916-1984) fue oficial recolector de bombas durante los bombardeos alemanes al Puerto de Londres y resultó herido por una mina en Italia en la Segunda Guerra Mundial; mientras enseñaba en el Imperial CoUege en Londres y en la Universidad de Cambi-idge dirigió investigaciones sobre la distribución del tiempo de residencia, difusión y reacción química, así como sobre el papel de la difusión en absorción de gases. A. Giuliani y F.P. Foraboschi, Alti. Acad. Sci. Inst. Bologna, 9,1-16 (1962);F.P. Foraboschi, ibíd, 11,1-14 (1964); F.P. Foraboschi, AlChE Journnl, 11,752-768 (1965). E.N. Lightfoot, AlChE Jozirnal, 10,278-284(1964). W.E. Stewart, Chem. Eng. Sci., 23.483-487 (1968); correcciones, ibíd, 24, 1189-1190 (1969). Aiú,este iiic,todo fue generalizado a flujos dependientes del tiempo con reacciones hornog4neas y heterogéneas de primer orden.
Difusión dependiente del tiempo 727
ij20.1
y con un perfil de velocidad independiente del tiempo. Para esos problemas, demostrar que la solución es
Aquí f es la solución de las ecuaciones 20.1-40 a 20.1-42 con k;" = O y solución con k; = O y wAo = 0.
wAI = O,
mientras 8 es la
Este problema es lineal en wA. En consecuencia, puede resolverse por medio de una superposición de dos problemas más sencillos:
donde wz) se describe por las ecuaciones (1)
E.D.P.:
v~
%+(v. at
1 ) =)
v2w2) -k;wl)
C.I. en t = 0:
w g ) =oAi(x,y, 2)
C.L. en las superficies:
wj)
(20.145) (20.146)
=0
(20.1-47)
y o f ) se describe por (2)
E.D.P.:
C.I. en t = 0: C.L. en las superficies:
a-+ v "y)) 9ABv ' w ~ ' dt ,A) = 0 (V.
=
(20.1-48)
-k;U!)
(20.1-49) (20.1-50)
w$' = w ~ ~ ( x , ~ , z )
Ahora se procede a resolver estos dos problemas auxiliares por medio de la transformada de Laplace. Una vez que se toma la transformada de Lapiace de las ecuaciones para se obtiene E.D.P. I C.I.:
C.L. en las superficies:
( p + k ; ) ~ i ) - w ~ ~ (YxJ,2 ) +( V . V
~ 2 =) 9AB ) V '-(')
OA
02)= 0
(20.1-51) (20.1-52)
Luego, la función g en la ecuación 20.1-43 es la solución para u?'con k l sustituido por cero. En forma correspondiente, la transformada de Laplace g satisface las ecuaciones 20.1-51 y 20,152 con p + k í sustituido por p:
Por tanto, al tomar la transformada inversa de Laplace se obtiene
que es la primera parte de fa solución. Luego, al tomar la transformada de Laplace de las ecuaciones 20.1-48 a 20.1-50 se obtiene
E.D.P. + C.I.:
C.L. en las superficies:
( p + k Y ) o f ) +(v. V
02))= $3ABv'-(~) WA
-0)= 1o ~ o ( ~ , Y
P
J
~
)
(20.1-55) (20.1-56)
728 Capítulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente La transformada de Laplace? satisface las mismas dos ecuaciones con k; sush-CemEs decir, si ahora como variable de transformación se usa S en vez de p, se tiene E.D.P. + c.I.:
<
s ~ + ( v . fv ) = 9 A B ~ 2 J -
f=
C.L. en las superficies:
1 - w ~ ~ ( ~ r ~ , z )
S
(20.1
s7
Se observa que la función satisface la misma condición límite que piiif) y que Ias ecuaci; nes diferenciales para s7 y p¿@ son idhticas cuando S = p + k . Por tanto,
o bien, p+kí ~ F ) ( p , x , y , z=) -f(p+kl,x,y,z)
P
Así, al tomar la transformada inversa se obtiene
como la segunda parte de la solución. Entoiices, al sumar las dos partes de la solución, ,1131 ) u$), se obtiene directamente la ecuación 20.1-43. La ecuación 20.1-43 constituye un medio para pronosticar perfiles de concentración en
sistemas reactivos a partir de cálculos o experimentos sobre sistemas no reactivos en la5 mismas condiciones de flujo. Existen a disposición varias extensiones de este tratamiento, in cluyendo sistemas de varias c ~ r n ~ o n e n t eflujo s , ~ turbulento,8r9 y condiciones límite más ge nerale~.~-9
Influencia del área interfacial variable sobre la transferencia de nzateria en una inte~faselO,*~
En la figura 20.1-3 se muestran esquemáticamente los perfiles de concentración para la dih. sión de A a partir de una pared ligeramente soluble en un cuerpo semiinfinito de u11 líquido situado por arriba de ésta. Si la densidad y la difusividad son constantes, entonces este problema es el análogo en transferencia de materia del problema que se analizó en s4.1 y
ca (2, t ) f creciente
1
Líquido B
1
Figura 20.1-3 Difusión dependiente del tiempo desde una pared soluble de A eri una columna semiinfinita del líquido B.
'Y.-H. Pao, AIAA Journnl, 2,1550-1559 (1964); Chem. Eng. Sci., 19,694696 (1964); ibíd, 20,665-669 (1965). D. ~lkovi?,Collec. Czechoslm. Chem. Cornm., 6,498-513 (1934).El resultado final en esta sección h e obtenido Po* Ilkovi6 en relación con su trabajo sobre el electrodo de mercurio con cuentagotas. I1 V.G.Levich, Physicochemical Hydrodynamics, 2a edición (traducción al inglés), Prentice-Hall, Englewood CliffS, N.J.(1962), 5108. Este libro contiene bastantes resultados teóricos y experimentales sobm fenómenos de difusión Y fiujo en líquidos y en sistemas de dos fases.
§20.1 Difusión dependiente del tiempo
729
s12.1. La difusión es descrita por la versión midimensional de la segunda ley de Fick, ecuación 19.1-18,
junto con la condición inicial de que cA = O en todo el líquido, y las condiciones límite de que ,c = cAOen la interfase sólido-líquido y que cA = O infinitamente lejos de la interfase. La solu-
ción de este problema es
a partir de la cual es posible obtener la densidad de flujo interfacial -
La ecuación 20.1-63 es el análogo en transferencia de materia de las ecuaciones 4.1-15 y 12.1-8. En la figura 20.1-4 se muestra un problema semejante donde el hrea interfacial cambia con el tiempo a medida que el líquido se distribuye en las direcciones x y y, de modo que el área interfacial es una función del tiempo, S(t). Las condiciones inicial y límite para la concentración se mantienen igual. Se desea conocer la función cA(z, t) para este sistema.
La distribución de velocidad para este problema de área interfacial variable es u, = +$ax, v = Y +$ay, u, = -az, donde a = d ln S/&. Entonces, la ecuación de difusión para este sistema es
Debido a que la ecuación 20.1-62 se resuelve con el método de combinación de variables, aquí puede intentarse la misma técnica. Se postula
Figura 20.1-4 Difusibn dependiente del tiempo a través de una interfase de transferencia de materia S(t) que cambia con el tiempo. El líquido B, en la región por arriba del plano z = O, tiene una distribución de velocidad u, = +$x, uY = +-hay y u, = -az, donde a = d In S l d t .
730 Capitulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente Al sustituir esta solución de ensayo en la ecuación 20.1-6, se obtiene
-+2 ""2:1B(;t --ln(sS)
al2
)]6-=oz
Si la expresión entre corchetes se iguala a la unidad, entonces se logran dos ne una ecuación para g que tiene la misma fonna que la ecuación 4.1-9, cuya solución se noce; y ii) se obtiene una ecuación para 6 como una función de t:
Esta ecuación puede integrarse para obtener
El límite inferior en el miembro izquierdo se elige a fin de asegurar que cA = O inicialmente en todo el fluido. Así, esta elección lleva a
y finalmente se obtiene para los perfiles de concentraci61-1
Entonces la densidad de flujo interfacial molar se obtiene al diferenciar la ecuación 20.1-71para llegar a
El número total de moles de A que han cruzado la interfase en el instante f a través de la superficie S ( t ) , puede obtenerse a partir de la integración de la ecuación 20.1-71 como sigue:
Una expresión equivalente puede obtenerse al integrar la ecuación 20.1-72:
s20.2
Transporte en estado estacionario en capas límite binarias 731
Tanto la ecuación 21.1-73 como la ecuación 21.1-74 pueden comprobarse verificando que dMA/dt = NAd(t)S(t). Si S(t) = at", donde a es una constante, e1 resultado anterior se simplifica a
Para la difusión en el líquido circundante desde una burbuja de gas cuyo volumen aumenta linealmente con el tiempo, n = f y 2n + 1={. Por supuesto, éste es un resultado aproximado, donde se ha despreciado la curvatura, y en consecuencia sólo es válido para tiempos de contacto cortos. Se han obtenido resultados relacionados para interfaces de formas arbitraria~:,~~ mismos que se han comprobado experimentalmente para varios sistemas laminares
y turbulento^.^.^^
520.2"
TRANSPORTE EN ESTADO ESTACIONARIO EN CAPAS L~MITEBINARIAS
En 512.4 se analizó la aplicación del análisis de capa límite al flujo no isotérmico de fluidos puros. Las ecuaciones de continuidad, movimiento y energía se presentaron en forma de capa límite y se resolvieron para algunas situaciones sencillas. En esta sección se extiende el conjunto de ecuaciones de capa limite a mezclas binarias reactivas, agregando la ecuación de continuidad para la especie A, de modo que sea posible evaluar los perfiles de concentración. Luego se analizan tres ejemplos para la geometría de la lámina plana: uno sobre convecci6n forzada con una reacción homogénea, uno sobre transferencia rápida de materia y otro sobre analogías para velocidades pequeñas de transferencias de materia. Considérese el flujo bidimensional estacionario de un fluido binario alrededor de un objeto sumergido, como el de la figura 4.4-1. En la vecindad de la superficie sólida, las ecuaciones de variación que se proporcionaronen s18.2 y 518.3 pueden simplificarse como sigue, en el supuesto de que p, p, k, C y aA8 sean esencialmente constantes (excepto en el término pg), y que sea posible &preciar la disipación viscosa: A
Continuidad:
dv, + ax
dv - Y o dy
Movimiento:
Coritinuidad de A:
L2].BAngelo, E.N. Lightfoot y D-W Howatd, AIChE Joumal, 12,751-760(1966). W.E. Stewart, en Physicochemicnl Hydrodymmics (D.B. Spalding, editor), Advance Publications Ltd., LUndleS, Vol. 1 (1977), pp. 2243.
732
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente La ecuación de continuidad es la misma que la ecuación 12.4-1. La ecuaciom vimiento, que se obtuvo a partir de la ecuación 19.2-3, difiere de la ecuación 1 por la adición del término binario de la fuerza de flotación ~ ~ ~ - roAm). ( w ~ ción de energía, que se obtuvo a partir de la ecuación (F) de la tabla 19.2-4, de la ecuación 12.4-3 por la adición del término de la fuente térmica q - [ ( H J M ~ ) - (¡?B/~B)]rA.La ecuación 20.24 se obtuvo a partir de la ecuación al hacer oA = wA(x,y) y despreciar la difusión en la dirección x. En otras pueden encontrarse ecuaciones más completas, válidas para capas Iímite con pm piedades variables a alta ve1ocidad.l Las condiciones Iímite de costumbre sobre vx son que v, = O en la superficie$6 lida y u, = v,(x) en el borde externo de la capa límite de velocidad. Las condiciones mite de costumbre sobre T en la ecuación 20.2-3 son que T = To(x)en la superficie sólida, y T = T, en el borde externo de la capa limite térmica. Las condiciones límite c~ rrespondientes sobre oAen la ecuación 20.2-4 son que oA= wAo(x)en la superfidep wA = oAm en el borde externo de la capa límite de dFfrtsión.Así, ahora hay tres capas límite a considerar, cada una con su propio espesor. En fluidos con propiedades fi. sicas constantes y grandes números de Prandtl y de Schmidt, las capas limite térfi ca y de difusión suelen estar en el interior de la capa límite de velocidad, mientra{ para Pr < 1 y Sc < 1pueden extenderse más allá de ésta. Para sistemas de transferencia de materia la velocidad vy en la superficie su& ser diferente de cero, aunque depende de x. Por tanto, se hace v = v0(x)para y = 0. Y. Esta condición límite es conveniente siempre que haya una densidad neta de flujo de masa entre la superficie y la corriente, como en la fusión, el secado, la sublhaa ción, la combustión de Ia pared o la transpiración del. fluido a través de una pared porosa, Resulta evidente que algunos de estos procesos son posibles con fluidos pu. ros, aunque para simplificar las cosas su consideración se pospuso para este capíhrlo (véanse también 518.3 y 522.8 para análisis relacionados). Las ecuaciones 20.2-1 a 20.2-4 pueden integrarse formalmente con ayuda de la ecuación de continuidad, y con las condiciones límite que acaban de proporcionarse, para obtener el siguiente conjunto de balances de capa límite:
u.
Continuidad + movimiento: Jvx
pFly0
d =dx\o
m
pvx(ve-vx)dy+-/dv, dx
m
0
dve-vx)dy
Continuidad + energía:
Continuidad + continuidad de A:
l Véase, por ejemplo, W.H. Dorrance, Vlscous Hypersonic Flow, McGraw-Hili, Nueva York (1962),y K. Stew&on,' Tke Thwry ofhminar Boundary @ers in Compressible Fluids, W r d University Press (1964).
s20.2
Transporte en estado estacionario en capas límite binarias
733
Estas ecuaciones son extensiones de los balances de von Kármán de 54.4 y 512.4, y pueden aplicarse de manera semejante, como se muestra en el ejemplo 20.2-1. Las técnicas de capa iímite han sido de considerable valor en el desarrollo de la teoría de vuelo a alta velocidad, procesos de separación, reactores químicos y sistemas biológicos de transferencia de materia. Algunos de los interesantes problemas que se han estudiado son las reacciones químicas en capas límite hipersónicas? la transferencia de materia desde gotas minúsculas? la polarización de electrodos en convección forzada2y convección libre; la desalinización de agua por ósmosis inversa: y la transferencia de interfase en reactores con lechos de relleno y columnas de de~tilación.~
Un análogo apropiado en transferencia de materia del problema que se analizó en el ejemplo Difusion y reaccaon química enflujo laminar isotérmico a i o largo de una lámina plana soluble
12.4-1 sería el flujo a lo largo de una lámina plana que contiene una especie A que es ligeramente soluble en el fluido B. La concentración en la superficie de la lámina plana sería cAO,la solubilidad de A en B, y la concentración de A lejos de la lámina seria cAm.En este ejemplo se deja que cAm = O y se rompe la analogía con el ejemplo 12.4-1 al hacer que A reaccione con B por una reacción homogénea de n-ésimo orden, de modo que RA = -kz$. Se supone que la concentración de la especie A disuelta es pequeña, de modo que las propiedades físicas p, p y 9AB son virtualmente constantes en todo el fluido. Se desea analizar el sistema, que se bosqueja en la figura 20.2-1, por medio del método de von Kármán.
Se empieza postulando formas para los perfiles de velocidad y de concentración. Para minimizar los pasos algebraicos sin dejar de ilustrar el método, se eligen funciones sencillas (naturalmente que es posible sugerir funciones más realistas):
El fluido con una
velocidad vm
Figura 20.2-1 Perfiles de velocidad y concentración supuestos para la capa limite laminar con reacción química homogénea. V.G. Levich, Physicochemicai Hydrodynnmics, 2a. edición (traducción al inglés), Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1962). C.R. Wilke, C.W. Tobias y M. Eisenberg, Chem. Eng. Prog., 49,663-674 (1953). W.N. Giii, D. Zeh y C. Tien, Ind. Eng. Chem. Fund., 4,433-439 (1965); ibíd, 5,367-370(1966). Véase también P.L.T. Brian, ibíd, 4,439-445 (1965). J.P. Sorensen y W.E. Stewart, Cbem. Eng. Sci., 29,833-837 (1974); W.E. Stewart y D.L. Weidman, ibíd, 45,21552160 (1990); T.C. Young y W.E. Stewart, AlChE Jouml, 38,592-602,1302 (1992).
734
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
1..
Nótese que se usan espesores distintos, 6y S,, para las capas límite de velocidad y de ci tración. Para relacionar este problema con el del ejemplo 12.4-1, se introduce la canti S,/S, que en este caso es una función de x debido a la reacción química que ocurre. El se restringe a A S 1, para el cual la capa límite de concentración está completamente terior de la capa límite de velocidad. También se desprecia la velocidad interfacial u,, que aquí es pequeña debido a la pequeña solubilidad de A. Así, al insertar estas expresi en las ecuaciones 20.2-5 y 20.2-7, se obtienen las ecuaciones diferenciales
para los espesores S y 6, = SA de la capa límite. La ecuación 20.2-10 se integra fácilmente para llegar a
Cuando este resultado se inserta en la ecuación 20.2-11 y se multiplica por -OA/vcAW C 'Oiii la ecuación diferencial para A se obtiene
~
Por tanto, A depende del número de Ccfrunídt, Sc = p / ~ B A Ly( de , la coordenada de posici6n adimensional que está entre corchetes. La cantidad entre corchetes es igual a l / ( n + 1) veces el primer número de DamkohleP basado en la distancia x. Cuando no ocurre reacción, :k es cero, y la ecuación 20.2-13 se transforma en una ecuación lineal de primer orden para A3. Una vez que se integra esta ecuación, se obtiene
donde C es una constante de integración. Debido a que A no se vuelve infinito cuando x +O, en ausencia de reacción quirnica se obtiene (cf. con la ecuación 12.4-15):
Es decir, cuando no hay reacción y Cc > 1, los espesores de las capas límite de concentración y de velocidad mantienen una razón constante entre sí, que depende exclusivamente del número de Schmidt. Cuando ocurre una reacción lenta (o cuando x es pequeño), es posible obtener una solución mediante un desarrollo en serie:
donde
G.DamkohIer, Zeits.f. Electrochonie, 42,846-862 (1936); W.E. Stewart, Chem. Eng. Prog. Symp. Series, #SS, 61,1627 (1965).
520.2 Transporte en estado estacionario en capas límite binarias
735
Al sustituir esta expresión en la ecuación 20.2-13 se obtiene
Debido a que al es negativo, el espesor de la capa límite de concentración disminuye por la reacción química. Cuando ocurre una reacciún rápida (o cuando x es muy grande), es más conveniente una solución mediante un desarrollo en serie en l/c. Para valores grandes de 6, se supone que el término dominante es de la forma A = constante Em, donde m < O. Luego, al sustituir esta función de ensayo en la ecuación 20.2-13 se observa que A = (~c.f)-'/~
para 6 elevada
(20.2-19)
Cuando se combinan las ecuaciones 20.2-12 y 20.2-19 se observa que, a grandes distancias del borde principal el espesor de la capa límite de concentración 6, = 6A se transforma en una constante independiente de v, y v. Una vez que se conoce A(5, Sc), entonces es posible encontrar los perfiles de concentración y la velocidad de transferencia de materia en la superficie. Un tratamiento más refinado de este problema puede encontrarse en otra parte.7
Convección forzada desde una lámina plana a altas velocidades de transferencia de materia
La capa límite laminar sobre una lámina plana (véase la figura 20.2-2) ha sido un sistema popular para realizar estudios de transmisión de calor y transferencia de materia. En este ejemplo se proporciona un análisis de convección forzada subsónica en esta geometría a altas velocidades de transferencia de materia y se estudian las analogías que se cumplen en esta situación. Este ejemplo es una extensión del ejemplo 4.4-2.
Considérese el flujo bidirnensional estacionario no isotérfnico de un fluido binario en el sistema de la figura 20.2-2. Las propiedades del fluido p, p, Cp,k y BABse consideran constantes, se desprecia la disipación viscosa y no hay reacciones químicas homogéneas. Las ecuaciones de Prandtl para la capa límite para la región laminar son
Cont i n u i d ~ d :
dv, -+-=o dx
avy dy
Movimiento: Energía:
Continuidad de A: Las condiciones límite se toman como:
P.L. Chambr6 y J.D. Young, Physics of Fluids, 1,48-54(1958).EL.Chambré y A. Auivos, 1. Appl. Pkys., 27,13221328 (2956), han estudiado reacciones catalíticas superficiales en capas h i t e .
736
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
1
Figura 20.2-2 Flujo tange lo largo de una lámina pla semiinfinita de borde afil con transferencia de hacia la corriente. La
Línea de 11constante
laminar-turbulento a un número de Re longitud ( x v , / ~ )en , ~el o d de lo5 a lo6.
* Aquf se omite la capa limite debajo de la lámina.
Aquí la función vo(x)representa a u ( x , y) evaluada en y = O y describe la distribución de la Y velocidad de transferencia de materia a lo largo de la superficie. Esta función se especificd S1 después. La ecuación 20.2-20 puede integrarse, con la condición límite de la ecuación 20.26, para' obtener
4 oy = V ~ ( X ) - ~Y ul/ dij ax O
(20.2-27)
Esta expresión debe insertarse por vy en las ecuaciones 20.2-21 a 20.2-23. Para sacar provecho de la forma análoga de las ecuaciones 20.2-21 a 20.2-23 y las seis primeras condiciones límite, se definen los perfiles adimensionales Vx II, =-
u,
T-To n,=- TW -To
II,
=
W A - WAO m A m -OAO
y las razones adimensionales de la propiedad física
Con estas definiciones, y la ecuación anterior para vy, todas las ecuaciones 20.2-21 a 20.2-23 asumen la forma
y las condiciones límite sobre las variables dependientes se reducen a lo siguiente:
Por tanto, todos, la velocidad, la temperatura y los perfiles de composición adimensionales, satisfacen la misma ecuación, pero con sus valores individuales de A.
520.2
Transporte en estado estacionario en capas limite binarias
737
La forma de las condiciones M t e sobre II sugiere que debe intentarse una combinación de variables. Por analogía con la ecuación 4.4-20, se elige Ia combinación:
Luego, al tratar a II y ll, como funciones de q se obtiene la ecuación diferencial
con las condiciones lúnite
A partir de las tres últimas ecuaciones se concluye que los perfiles pueden expresarse en términos de la simple coordenada 77 si y sólo si la velocidad interfacial vo(x)es de la forma
Cualquier otra forma funcional de uo(x)hana que el miembro izquierdo de la ecuación 20.2-34 dependiera tanto de x como de 7, de modo que una combinación de variables no sería posible. Entonces, las ecuaciones de capa iúnite requerirían integración en dos dimensiones y los cálculos serían más difíciles. La ecuación 20.2-37 especifica que vo(x)vana con 1 /Jx, por tanto, inversamente con el espesor S de la capa límite de la ecuación 4.4-17. Esa ecuación tiene el mismo intervalo de validez que la ecuación 20.2-34, es decir, 1 << (v&/v) < ( V , X / V ) ~(véa~ se la figura 20.2-2). Afortunadamente la condici6n en la ecuación 20.2-37 es útil. Corresponde a una proporcionalidad directa de pvo con respecto a las densidades de flujo interfaciales T,, q, y jAO. Condiciones de este tipo se presentan de manera natural en reacciones superficiales controladas transpiración. La depor la difusión, y tambiin en ciertos casos de secado y enfriamiento terminación de K para estas situaciones se considera al final de este ejemplo. Hasta entonces, K se tratará según se proporcionó. Con la especificación de vO(x)según la ecuación 20.2-37, el planteamiento del problema está completo, por lo que estamos listos para analizar el cálculo de los perfiles. Esto se hace integración numérica, con valores especificados de los parámetros A y K . mejor El primer paso en la solución es evaluar el perfil de velocidad II,. Con este objeto conviene introducir la función
que es una generalización de la función de corriente adimensionalf que se usó en el ejemplo 4.4-2. Entonces, al dejar A = 1en la ecuación 20.2-34 y hacer las sustitucionesf' = d f / d q = u,, f'= d2f/dq2 = dll,/dq, etc., se obtiene la ecuación de movimiento en la forma
y las ecuaciones 20.2-35,20.2-36 y 20.2-38 proporcionan las condiciones limite
738
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
T
La ecuación 20.2-39 puede resolverse numéricamente con estas condiciones límite para ner f como una función de q para varios valores de K. Una vez que se evalua la funciónf(v, K ) , es posible integrar la ecuación 20.2-34 con condiciones limite en las ecuaciones 20.2-35y 20.2-36 para obtener
~ ( T , A , K= )
Iiexp(-~C-IR, KV +Y
Z
(20.24
En la figura 20.2-3 se proporcionan algunos perfiles calculados por integración numéfiQ a partir de esta ecuación. Entonces, los perfiles de velocidad están dados por las curvas para A = 1. Los perfiles de temperatura y composición para diversos números de Prandd Schmidt están dados por las curvas para los valores correspondientes de h. Nótese que capas límite de velocidad, temperatura y composición se vuelven m6s gruesas cuando es positivo (como en la evaporación) y más delgadas cuando K es negativo (como en la condensación). Los gradientes de velocidad, temperatura y composición en la pared pueden obtenerse a partir de la derivada de la ecuación 20.2-43:
Así, en la tabla 20.2-1se muestran algunos valores calculados por integración numérica a par-
tir de esta fórmula. Entonces, las densidades de flujo molecular de cantidad de movimiento, energía y masa en la pared están dadas por las expresiones adimensionales
Figura 20.2-3 Perfiles de velocidad, temperatura y composicion en la capa límite laminar sobre una lámina plana con transferencia de materia en la pared [H.S. Mickley, R.C. Ross, A.L. Squyers y W.E. Stewart, NACA Technical Note 3208 (1954)).
920.2 Transporte en estado estacionario en capas limite binarias
Tabla 20.2-1 Gradientes adimensionales de velocidad, temperatura y composición en flujo laminar a lo largo de &a planaa
739 15-
Tomados d e las siguientes fuentes: E. Elzy y R.M.Sisson, Engineering Experirnent Statwn Bulletin Núm. 40, Oregon State University, Corvallis, Or. (1967); H.L. Evans, Int. J. Heat nnd Mass Transfer, 3,321-339 (1961);W.E.Stewart y R. Prober, Int. 1. Heat and Mas Transfer, 5,1149-1163(1962) y 6,872 (1963). E n estas referencias se proporcionan resultados más completos y reseñas de trabajos más recientes. b El valor K = 0.87574 es la más alta velocidad positiva d e transferencia de materia que se obtiene en esta geometría con flujo laminar en estado estacionario. Véase H.W. Emmons y D.C. Leigh, Interim Technical Report Niím. 9, Combustion Aerodynamics Laboratory, Harvard University (1953).
qo - nyo, Pr, K) , k P v m ( ~-Tm) o Pr
con los valores tabulados de n'(0, A, K). Por tanto, las densidades de flujo pueden calcularse directamente cuando se conoce K.Estas expresiones se obtienen a partir de las expresiones de densidad de flujo de Newton, Fourier y Fick, y de los perfiles según se proporcionan en la ecuación 20.243. La densidad de flujo de energía qo aquí corresponde a1 t6tmino de conducción -kVT de la ecuación 19.3-3; la densidad de flujo por difusiún jAo se obtiene usando la ecuación 20.247 anterior. En esta deducción, las propiedades del fluido p, p, ,k y Q A B se han tratado como constantes. Sin embargo, se ha encontrado que las ecuaciones 50.2-45 a 20.2-47 concuerdan bastante bien con los cálculos correspondientes de propiedades de las variables;-lo en el supuesto de que K se generalice como sigue
y de que p, p, +JAO
+
cp,k y
QAB
se evalúen a las "condiciones de referencia" Tf = $To
+ T,) y
oAf
=
~A30).
Para cálculos de transferencia de cantidad de movimiento y de calor en flujos gaseosos con K = 0, v6ase E.R.G. Eckert, Pans. A.S.M.E., 78,1273-1283 (1956).
Para cálculos de transferencia de cantidad de movimiento y de materia en mezclas gaseosas binarias y de vanas componentes, véase W.E. Stewart y R. Prober, Ind. Eng., Chem. Fundamentals, 3,224-235 (1964);condiciones de referencia mejoradas han sido proporcionadas por T.C. Young y W.E. Stewart, ibúl, 25,276482 (1986), como se observó en 522.9.. ' O Para otrm métodos de aplicación de la ecuación 20.2-47 a fluidos con propiedades variables, véase O.T. Hanna, AIChE JournaI, 8,278-279 (1962); 11,706-712 (1965).
740
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
\
En muchas situaciones, una de las siguientes cantidades adimensionales se conoce, posible calcularla fácilmente
Estas razones de densidades de flujo, R, son independientes de x en las condiciones Limite presentes y se@ las ecuaciones 20.2-45 a 20.2-51, están relacionadas con A y K como sigue,
A partir de la ecuación 20.2-52 puede observarse que la densidad de flujo de masa interfaa adimensional K puede tabularse como una función de R y A mediante el uso de los resultata dos en la tabla 20.2-1.Entonces, K puede encontrarse por interpelación si los valores num& cos de R y A se proporcionan para uno de los tres perfiles (es decir, si es posible especifica R,, o RT y Pr, o R, y Sc). En la figuras 22.8-5 a 22.8-7 se proporcionan gshficas conveniente de estas relaciones. Como ilustración sencilla, supóngase que la lámina plana es porosa y está saturada con el Líquido A, que se vaporiza en una corriente gaseosa de A y B. También supóngase que el gas B es no condensable e insoluble en el líquido A, y que se proporcionan uAO y mAm Entonces R, puede calcularse a partir de la ecuación 20.2-51, con nBO= O, y K puede encontrarse interpelando la función K(R, A) en R = R, y A = p / p Q A B . Para valores moderados de K, los cálculos pueden simplificarse representando n'(0, A, K ) como una serie de Taylor truncada en el parámetro K:
Esta expansión puede escribirse de manera más breve como
donde a y b son funciones de variación lenta de A, dadas en la tabla 20.2-2.Al insertar la ecuación 20.2-54 en la ecuación 20.2-52 se obtiene la expresión conveniente para la densidad de flujo de masa interfacial adimensional K
Tabla 20.2-2
Coeficientes para las fórmulas aproximadas de lámina plana: ecuaciones 20.2-54 y 20.2-55
' Tomados de H.J. Merk, Appl. Sci. Res., A8,237-277 (1959),y R. Pmber y W.E. Stewart, Int. J. Henf and Mass Transfer, 6,221-229.872 (1963).
520.3 Teoría de capa límite en estado estacionario para flujo alrededor de objetos
741
para cálculos con parámetro K desconocido. Este resultado es fácil de usar y bastante exacto. La función pronosticada K(R, A) está dentro de un margen de 1.6%del valor que se encontró a partir de la tabla 20.2-1 para ( R 1 < 0.25 y A > 0.1. Este ejemplo ilustra los efectos relacionados de la velocidad interfacial vo sobre Los perfiles de velocidad, temperatura y composición. El efecto de vo sobre un perfil dado, es pequeño si R tc 1 para ese perfil (como en la mayor parte de los procesos de separaci6n) y grande si R r 1 (como en muchos procesos de combustión y enfriamiento por transpiracibn), En el capítulo 22 se proporcionan algunas aplicaciones.
n,
~naIogías aproximadas para la lámina plana a bajas veíocidades de transferencia de materia
Pohlhausenl1 resolvió la ecuación de energía para el sistema del ejemplo 12.41 y sometió a un ajuste de curvas los resultados para la velocidad Q de transferencia de materia (vease la tercera línea de la tabla 12.4-1).Comparar este resultado con la ecuación 20.2-46, y deducir los resultados correspondientes para las densidades de flujo de cantidad de movimiento y de materia.
SOLUCI~N Al insertar el coeficiente 0.664 en lugar de J148/315 en la ecuacidn 12.4-17, y k c e r qup 2Wqo(4 = ( d Q / d L )1 , se obtiene
'lo
gPvm (TO- T, 1
0.332 ~ r - /~ L / ~ vmx
Este resultado está sujeto a la condición Límite vo(x)= 0, que corresponde a K = O en el sistema del ejemplo 20.2-2. La ecuación 20,256 puede obtenerse a partir de la ecuación 20.2-46 cuando K = O haciendo lT'(0, Pr, O) = 0.4696~r'/~; esto coincide con la tabla 20.2-2 para A = 1. Al hacer sustitucir>nes comparables en las ecuaciones 20.2-45 y 20.2-46, se obtiene la analogía conveniente
que ha sido recomendada por Chilton y ~ o l b u r para n ~ ~esta situación de flujo (cf, 514.3 y 922.3).La expresión para T~ concuerda con la solución exacta para K = O, y los resultados para q,, y jAO son exactos dentro de un margen de +2% en K = O para A > 0.5.
5 2 0 . 3 ~ TEOR~A DE CAPA LÍMITEEN ESTADO ESTACIONARIO PARA FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS
En 918.5 y 918.6 se analizaron dos problemas relacionados de transferencia de materia del tipo de capa límite. Ahora se desea a b ~ n d a r lsobre - ~ los conceptos que se E. Pohlhausen, Zeits.f. angao. Math. Mech., 1,115-121(1921). Ciuiton y A.P. Colbum, Ind. Eng. Chem., 26,1183-1187 (1934). A. Acrivos, Chem. Eng. Sci., 17,457-465(1962). W.E. Stewart, AIChE Journal, 9,528535 (1963). 9 . W . Howard y E.N. Lightfoat, AIChE Journal, 14,458-467 (1968). W.E. Stewart, J.B Angelo y E.N. Lightfoot, AlChE Journal, 16,771-786(1970). E.N. Lightfoot, en Lectures in Transport Phenomena, American hstitute of Chemical Engineerc, Nueva York (1969). E. Ruckenstein, Chem. Eng. Sci., 23,363-371 (1968). W.E. Stewart, en Physicochemical Hydrodynamics, Vol. 1 (D.B. Spalding, editor), Advance Publications Ltd., Londres, (1977), pp. 243. 'I
l2 T.H.
'
742
capitulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
presentaron ahí y considerar el flujo alrededor de objetos de otras formas,--que se muestra en la figura 12.4-2. Aunque el material de esta sección se presenb en términos de transferencia de materia, se entiende que los resultados pueden t% marse directamente para los problemas análogos de transmisión de calor haciendo cambios de notación convenientes. Se supone que la capa límite de concentrac&., es muy delgada, lo que significa que los resultados se restringen a difusión peque ña o a tiempos de exposición cortos. Los resultados sólo son aplicables a la región entre el lugar geométrico de estancamiento hacia adelante (a partir del que se mide x ) y la región de separación o turbulencia, en caso de haber, segiin se indica en la figura 12.4-2. La concentración de la especie en difusión se denomina cA, y SU CO~CeI1traci6~ en la superficie del objeto es cAo. Fuera de la capa límite de concentración, la conce~. tración de A es cero. Procediendo como en el ejemplo 12.4-3, adoptamos un sistema ortogonal de cmrdenadas para la capa límite de concentración, donde x se mide a lo largo de la super. ficie en todas partes en dirección de las lheas de flujo de corriente. La coordenada 9 es perpendicular a la superficie, y la coordenada z se mide a lo largo de la superficie perpendicular a las Zíeas de flujo de corriente. Éstas son "coordenadas ortoganales generales", según se describe en las ecuaciones A.7-10 a A.7-18, pero con hy = 1, h, = h,(x, t)y hZ= hz(x, z).Debido a que el flujo cerca de la interfase no posee una componente de la velocidad en la dirección z, aquí la ecuación de continuidad es
según la ecuación A.7-16. Entonces, la ecuación de difusión para la capa límite de concentración es
donde se han usado las ecuaciones A.7-15 y A.7-17. Al escribir estas ecuaciones se supuso que: i) las componentes x y z de la densidad de flujo por difusión son despreciables, ii) el espesor de la capa limite es pequeño en comparación con los radios locales de curvatura interfaciales, y iii) la densidad y la difusividad son constantes. Ahora se desea obtener expresiones formales para los perfiles de concentración y densidades de flujo de masa para dos casos que son generalizaciones de los problemas que se resolvieron en 518.5 y 918.6. Una vez que se obtienen las expresiones para la densidad de flujo molar local en la interfase, se encuentra que las dependencias respecto a Ia difusividad (potencia +en s18.5 y potencia $ en 518.6) corresponden a los casos a) y b) que se presentan en seguida. Resulta que esto es de gran importancia a fin de establecer correlaciones adimensionaies para los coeficientesde transk rencia de materia, como se verá en el capítulo 22.
Gradiente de velocidad cero en la superficie de transferencia de materia Esta situación se presenta en un líquido libre de tensoactivos que fluye alrededor de una burbuja de gas. Aquí v, no depende de y, y v y puede obtenerse a partir de la ecuación de continuidad que acaba de proporcionarse. Por tanto, para velocidades
520.3 Teoría de capa límite en estado estacionario para flujoalrededor de objetos
743
pequeñas de transferencia de materia es posible escribir expresiones generales para las componentes de velocidad como
donde y depende de x y z. Cuando esto se usa en la ecuación 20.3-2, para la difusión en la fase liquida se obtiene
que debe resolverse con las condiciones límite e n x = 0,
CA
=O
(20.3-6)
e n y = 0,
CA
= CAO
(20.3-7)
cuando y + a,
cA
+O
(20.3-8)
La naturaleza de las condiciones límite sugiere que quizá sea conveniente aplicar un tratamiento de combinación de variables. Sin embargo, esta lejos de ser evidente cómo construir una combinación adirnensional apropiada. Por tanto, se intenta lo siguiente: sea cA/cAD = Aq), donde q = 1 j / ¿ 3 ~ ( ~z), y SA(x, z ) es el espesor de la capa límite para la especie A, que se determinará después. Cuando la combinaci6n de variables indicada se introduce en Ia ecuación G.3~5: la ecuación se vuelve
con las condiciones limite: f(0) = 1 y f(m) = O. Si ahora el coeficiente del término q ( d f / d v ) fuese una constante, entonces la ecuación 20.3-9 tendría la misma forma que la ecuación 4.1-9, que sabemos cómo resolver. Por conveniencia, especificamos la constante como
A continuación se inserta la expresión para y de la ecuación 20.3-4 y se reordena Ia ecuación; así,
Ésta es una ecuación diferencial lineal de primer orden para S,; que debe resolverse con la condición limite SA = O para x = O. Al integrar la ecuación 20.3-11, se obtiene
744 Capitulo 20 ~istribucionesde concentración con más de una variable independiente 1 .
como la función de espesor para la capa límite de difusión. Debido entonces a \ qu4 la ecuación 20.3-9 y las condiciones límite contienen 7)como la única variable inde pendiente, la combinación de variables que se postuló es válida, y los perfila de concentración están dados por la solución de la ecuación 20.3-9:
Las ecuaciones 20.3-12 y 20.3-13 son la solución del problema a la mano. Luego, esta solución se combina con la primera ley de Fick para evaluar la den. sidad de flujo molar de la especie A en la interface:
Este resultado muestra la misma dependencia de la densidad de flujo de masa con respecto a la potencia de la difusividad que se presentó en la ecuación 18.5-17, para el problema de absorción de un gas mucho más sencillo que acaba de resolverse. De hecho, si se hace que los factores de escala h, y h, sean iguales a la unidad y vS se sustituye por vd,, entonces la ecuación 18.5-17 se recupera exactamente.
#=rftl de velocidad lineal cerca de ía superficie de transferencia de materia Esta función de la velocidad es conveniente para transferencia de materia en una superficie sólida (véase el ejemplo 12.4-3) cuando la capa límite de concentración es muy delgada. Aquí v, depende linealmente de y en el interior de la capa límite de concentración, y vy puede obtenerse a partir de la ecuación de continuidad. En consecuencia, cuando la densidad neta de flujo de masa a través de la interfase es pequeña, las componentes de la velocidad en la capa límite de concentración son
donde y depende de x y z. Al sustituir estas expresiones en la ecuación 20.3-2 se obtiene la ecuación de difusión para la fase líquida
que se resuelve con las condiciones limite enx =O, eny=O, cuando y
CA
=O
' A = 'AO
-+
m,
,c
+O
(20.3-18) (20.3-19) (20.3-20)
Nuevamente se usa el método de combinación de variables, haciendo cA/cAO=f(q), donde 9 = y/6,(x, 2).
520.3 Teoría de capa límite en estado estacionario para flujoalrededor de objetos 745
Una vez que hace el cambio de variables, la ecuación de difusión se vuelve
con las condiciones límitef(0) = 1 y f(m)= O. Una solución de la forma f(q) es posible sólo si el factor entre paréntesis es una constante. Al hacer que la constante sea igual a 3, la ecuación 20.3-21 se reduce a la ecuación 18.6-6, cuya solución se conoce. Por tanto, ahora se obtiene el espesor de la capa límite al requerir que
O bien,
La solución de esta ecuación diferencial lineal de primer orden para S i es
Por tanto, la solución del problema en esta subsección es
que se reduce a la ecuación 18.6-10 para el sistema que se ha considerado aquí. Por último, se obtiene la expresión para la densidad de flujo molar en la interfase, que es
Para una superficie plana, con h, = h, = 1 y P = constante, la ecuación 20.3-26 se reduce a X a ecuación 18.6-9.
Transferencia de materia para flujo reptante alrededor de una burbuja de gas
Un líquido B fluye muy lentamente alrededor de una burbuja esférica de radio R que contiene el gas A. Encontrar la velocidad de transferencia de materia de A en el fluido circundante, si la solubilidad del gas A en el líquido B es cAo a) Demostrar cómo usar la ecuación 20.3-14 para obtener la densidad de flujo de masa en la interfase gas-liquido para este sistema. b) Luego, obtener la densidad media de flujo de masa sobre toda la superficie esférica.
a) Como origen de coordenadas se elige el punto de estancamiento corriente arriba, y las coordenadas x y z se definen en términos de las coordenadas esféricas usuales B y 4 como
746 Capítulo 20
Distribuciones de concentración con mBs de una variable independiente sigue: x = 6 y z = 4, con h, = R y h+ = R sen 8. Entonces, la dirección y es la mi dirección r de coordenadas esféricas. La velocidad interfacial se obtiene a partir de 1 ción 48.3-3 como vs = $u, sen O, donde u, es la velocidad de aproximación. Cuando estas cantidades se insertan en la ecuación 20.3-14 se obtiene
I f
( Rseno)'
(tv,
sen
b) Para obtener el valor medio con respecto a la superficie de la densidad de flujo de masa,
expresión anterior se integra sobre todas las O y 4 y se divide entre la superficie de la esfera:
Al pasar de la segunda a la tercera línea se hizo el cambio de variable cos 6 = u, y para llegar a la cuarta línea, se factorizó (1 - u) en el numerador y en el denominador. La ecuación 20.3-28 se citó en la ecuación 18.5-20 en relación con la absorción de burbujas de gas.8 Esta ecuación será mencionada nuevamente en el capítulo 22 en relación con el tema de coeficientesde transferenciade materia.
920.4'
TRANSPORTE DE MATERIA DE LA CAPA LÍMITECON MOVIMIENTO INTERFACIAL COMPLEJ01-3
Los movimientos y la turbulencia interfaciales dependientes del tiempo son comunes en operaciones de transferencia fluido-fluido. La teoría de capa límite proporciona un conocimiento útil y relaciones asintóticas para estos sistemas, utilizando la delgadez de las capas límite de concentración para BABpequeña (como en iíquidos) o para flujos con separación frecuente de capa límite (como en interfases con ondulaciones i1 4
".C. Levich. Physicuchcrnical Hydrodynamics, Prentíce-Hall,Englewood Ciiffs, N.J.(1962), p. 408, Eq. 72.9. J.8 Angelo, E.N. Lightfoot y D.W.Howard, AIChE loumal, 12,751-760 (1966). WE.Stewart, J.B Angelo y E.N. Lightfoot, AlChE Journal, 16.771-786(1970). WE. Stewart, AIChE [ourrnal, 33,2008-2016(1987);34,1030(1988).
!
1
520.4 Transporte de materia de la capa límite con movimiento interfacial complejo 747
oscilatorias). La transferencia de materia con movimientos interfaciales sencillos se analizó en 518.5 para una película laminar descendente y una burbuja en circulación, y en el ejemplo 20.14 para una interfase que se dilata de manera uniforme.Aquí consideramos transferencia de materia con movimientos interfacialesmás generales. Considérese el transporte dependiente del tiempo de la especie A entre dos fases de fluido con composiciones inicialmente uniformes pero diferentes. Empezamos con la ecuación de continuidad binaria para p y 9JAB constantes (ecuación 19.1-16, dividida entre p):
Ahora se desea reducir lo anterior a la forma de capa límite para 9 , ,pequeña, y luego presentar soluciones para varios problemas de convección forzada con resistencia controlante en una fase. Se usan las siguientes aproximaciones de capa limite: que la densidad de flujo de masa difusivo es coiineal con el vector unitario n normal al elemento interfacial más próximo. (Esta aproximación se usa en todas las secciones de este libro en que se aborda la capa límite. Aproximaciones de orden superior: que no se abordan aquí, son idóneas para describir difusión en capa límite cerca de bordes, estelas y sitios de separación.); iif que la velocidad tangencia1 del fluido con respecto a la interfase es despreciable en el interior de la capa límite de concentración. (Esta aproximación es satisfactoria para sistemas fluido-fluido libres de tensoactivos, cuando la resistencia interfacial no es muy grande.); iii) que la capa límite de concentración a lo largo de cada interfase es delgada en relación con los radios locales de curvatura interfacial; iv) que las capas límite de concentración sobre elementos interfacíales no adyacentes no se superponen.
i)
Cada una de estas aproximaciones es asintóticamente válida para aA,pequeña en flujos no recirculatorios con interfases no rígidas y DwA/Dt diferente de cero; es decir, con una concentración dependiente del tiempo según la ve un observador que se mueve con el fluido. De esta manera se incluyen los sistemas considerados en el inciso a) de g20.3, debido a que dependen del tiempo para dicho observador (aunque se ven estacionarios para un observador inmóvil). En este anáiisis se usan coordenadas interfacialmente incrustadas, con una retícula interfacial lisa por partes, como en la figura 20.4-1. Cada elemento interfacial en el sistema se etiqueta permanentemente con coordenadas de superficie (u, w) y su vector de posición es r,(u, w, t).Cada punto en una capa límite se identifica por su distancia y al punto interfacial más próximo, junto con las coordenadas de superficie (u, w) de ese punto. Entonces, el vector de posición instantánea (u, w, y) en ese instante t es
con respecto a un origen estacionario, como se ilustra en la figura 20.4-2. La función r,(u, w, t ) proporciona la trayectoria de cada punto interfacial (u, w, O), y la función asociada n(u, w, t) = (d/dy)r proporciona el vector normal instantáneo desde cada elemento de superficie hacia su lado positivo. Estas funciones pueden calcuIarse a partir de mecánica de fluidos para flujos sencillos, y constituyen un marco de referencia para analizar experimentos en flujos complejos. -
-
J Newman, Elecfroonal Chem and Interfanal E l e c t r o c h . 6,187-352 (1973)
748
Capituio 20
Distribuciones de concentración con más d e una variable independiente Gota 1 Gota compuesta
u=
Gota 2
Figura 20.4-1 Ilustración esquemática de coordenadas uicrustadas en un proceso de coalescencia sencillo. W.E. Stewart, J.3.Angelo y E.N. Lightfoot, AIChE J o u m l , 14,458-467 (1968). Tiempo t '
Capa límite adyacente a la interface
Figura 20.4-2 Elemento dS (sombreado) de un área interfacial que se deforma, mostrado en dos instantes diferentes, r' y f, con Ia capa límite adyacente. Los vectores son (en el instante f):
O$= r,(u, w,t ) = vector de posición de un punto en la interfase + PQ= yn(u, w, f ) = vector de longitud y norma1 a la interfase, que ubica un punto en la capa límite + OQ= r(u, w,y, t ) = vector de posición para un punto en la capa Iímite
El elemento de área interfacial consta de las mismas partículas del material a medida que se mueve a través del espacio. La magnitud del área cambia con el tiempo y está dada por dS =
Idr
$U
x -dW/
dw
límite entre y y y
De manera semejante, la magnitud del volumen de esa parte de la capa
+ dy es dV =
920.4
Transporte de materia de Ia capa límite con movimiento interfacíal complejo 749
El volumen instantáneo de un elemento espacial du dw dy en la capa límite (véase la figura 20.4-2) es
donde &(u, w, y, t ) es el siguiente producto normal de la base de vectores interfaciales locales, (d/du)r, y (d/dw)r,, y el vector normal unitario (d/dy)r = n,
y en este análisis se considera no negativo. La segunda igualdad se concluye debido a que n es colineal con el producto vectorial de la base de vectores interfaciales locales, que están contenidos en el plano de la interfase. De manera correspondiente, el área instantánea del elemento interfacial du dw en la figura 20.42 es
donde s(u, w, t) es el siguiente producto de la base de vectores interfaciales:
En estas coordenadas incrustadas interfacialmente, la velocidad media másica V con respecto a ejes de coordenadas estacionarios asume la forma
En esta sección, v es la velocidad media másica del fluido relativa a un observador en (u, w, y), y (d/df)r(~l, w,y, t ) es la velocidad de ese observador con respecto al origen estacionario. Al tomar la divergencia de esta ecuación se obtiene el corolario2 (véase el problema 20D.5)
Esta ecuación establece que la divergencia de V difiere de la de v por la velocidad local de expansión o contracción del marco de coordenadas incrustado. El último término de la ecuación 20.4-8 surge cuando ocurre deformación interfacial. Su omisión en, estos problemas da por resultado pronósticos inexactos, que ~ ,introducir ~ tiempos de residencia fueron ajustados por' Higbie5 y ~ a n c k w e r t sal O rejuvenecimiento ~ u ~ e r f i c i a En l . este ~ análisis no se resuperficiales l-~i~otéticos~,~ quieren tales hipótesis. Al aplicar la ecuación 20.48 para y = O y usar la condición de densidad constante
R. Higbie, Trans. AIChE, 31,365-389 (1935). P.V. Danckwerts, Ind. Eng. Chem.,43,1460-1467(1951). P.V. Danckwerts, AIChE lournal, 1,456463(1955).
'
750 Capítulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente junto con la condición sin deslizamiento sobre la parte tangencial de derivada
1
=-
dy
dlns(u, w, t ) dt
Por tanto, la expansión en serie de Taylor truncada
vY="y~-Y
dlns(za, w, t ) &
+ay2
describe la componente normal de v en un fluido incompresible cerca de una int fase que se deforma. El desarrollo correspondiente para la parte tangencia1 de v proporciona v,/= yBll (u, ", t ) + a y 2 )
donde Bll (u, w, t ) es la derivada interfacial y de v,,. Con estos resultados [desp ciando los términos O(y2)]y la aproximación i), es posible escribir la ecuación 20P,I para w*(u, W,y, f) como 1
l
Aquí, (Vo n) es la divergencia superficial de n en el punto interfacial más próximd y es la suma de las curvaturas principales de la superficie ahí. El símbolo + repre: senta los términos de orden superior, que aquí se desprecian. Para elegir los términos dominantes en la ecuación 20.4-13, se introduce u118 coordenada adimensional 7 , .
donde K es un espesor medio de la capa límite de concentración. Cuando la ecua. ción 20.4-14 se escribe en términos de esta nueva variable, se obtiene
para wA en términos de u, w, Y y t. Debido a que, con bases físicas, K disminuye cuando 9AB decrece, los términos dominantes para ?hAB pequeña son los de orden más bajo en K , a saber, todas las contribucionesmenos las de Blly ( .l n). o La subdo minancia de los últimos términos confirma la validez asintótica de las aproximaciones ii) y iii ) en flujos no recirculatorios. Luego, los coeficientesde todos los términos dominantes deben ser proporcionales sobre e1 intervalo de 9AB, a fin de que estos términos permanezcan de tamafia
920.4
Transporte de materia de la capa límite con movimiento interfacial complejo
751
comparable en el límite de 91AB pequeña. Tal "principio de balance dominante" se aplicó previamente en g13.6. Aquí se proporcionan los órdenes de magnitud
para los términos del orden más bajo con respecto a K . La ecuación 20.4-16 es consistente con los ejemplos previos de la dependencia de la potencia del espesor de la capa límite de difusión con respecto a BABen flujos con superficie libre. También confirma la validez asintótica de la suposición iv) para valores pequeños de DDAB. La ecuación 20.4-17 es consistente con la proporcionalidad de v; hacia =que se mostró en la ecuación 20.1-10 para el problema de Arnold. Así, la ecuación de capa limite para oAen cualquier fase cerca de la interfase que se deforma es
+
para el orden más bajo de K . Al siguiente orden de aproximación, pueden aparecer términos proporcionales a K , y éstos implican la velocidad tangencia1 yBil y la curvatura interfacial (V,,- n). El último término aparece en los problemas 20C.1 y 20C.2. Al multiplicar la ecuación 20.4-18 por p / M A (una constante para las suposiciones que se hicieron aquí), y usar z como la coordenada normal a la interfase como en el ejemplo 20.1-1, se obtiene la ecuación correspondiente para la concentración molar cA(u, w, z, t )
que permite una extensión conveniente de varios ejemplos anteriores. Otro corolario útil es la ecuación de capa límite binaria en términos de xA y v* 2z ex[= ~~ 1 -ddtx+ ~ ( ~ ;dlns ~ d-x Ar ~ )2da+~ Aa ~ ~
+ R ~ ) I (20.4-20)
donde c y 91ABse han tratado como constantes, como en el ejemplo 20.1-1.
Transferencia de materia con deformaci6n inteifacial no uniforme
La ecuación 20.4-19 proporciona rápidamente una forma generalizada de la ecuación 20.165, omitiendo el término de la fuente d e reacción XA y despreciando el término de la velocidad normal uzo (suponiendo así que la densidad neta de flujo de masa interfacial es pequeña). La ecuación así obtenida es de la forma de la ecuación 20.1-65, excepto que la velocidad total de crecimiento de la superficie d ln S / d t se sustituye por la velocidad de crecimiento local, dada por d ln s(u, w, t ) / d t . La ecuación diferencia1parcial resultante tiene dos variables espaciales adicionales (u y w), -pero puede resolverse de la misma manera, debido a que no aparece nuiguna derivada con respecto a las variables agregadas. -
Al volver a escribir la ecuación 20.1-66 con una función 6(u, w, t ) de espesor de capa limite, mediante pasos análogos se llega a la relación
752 Capítulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable índependiente
y a las generalizaciones correspondientes de las ecuaciones 20.1-71 y 20.1-72:
Estas soluciones, a diferencia de la ecuación 20.1-71 y 20.1-72, incluyen las variaciones ciale~del espesor de la capa limite y la densidad de flujo molar NAzOque ocurren en flujosno luiiforrnes,El estiramiento Local de la interfase (como en los sitios de estancamiento) za la capa límite y mejora NAtO.El encogimiento local interfacial (en los sitios de separació,ii disminuye NAzO, pero también rechaza fluido añejo de la capa límite, permitiendo que se mez. cle hacia el interior de la misma fase. Algunos trabajadores han interpretado las observaad nes del mejoramiento de la transferencia de materia por tal proceso de mezcla como ovación de la superficie", aun cuando la creación de nuevos elementos superficialec msuperficie existente no es permitida en mecánica de fluido en un continuo. Estos resultados, y otros para uzodespreciable, pueden obtenerse de manera convenia. te introduciendo las nuevas variables siguientes en la ecuación 20.4-19:
En ausencia de reacciones químicas, la ecuación diferencial resultante para la función de con. centración cA(u,W ,Z, T) se vuelve
Ésta es una generalización de la segunda ley de Fick a una relación asintótica para convec. ción forzada en flujos con superficie libre.
Demostrar cómo generalizar el ejemplo 20.1-2 a sistemas de flujo, usando la ecuación 20.4-26 para las dos zonas libres de reacción. con reacción rápida
y deformación
SOLUCI~N
interfacial
Al usar la ecuación 20.4-26 se obtienen las siguientes sustituciones para las ecuaciones 20.1-26 y 20.1-27: ~ C --
A
d7 ~ C B 9 -37
para O
S
''e' para Z, BSz
Z
5
S
ZR
z
Ahora el plano de reacción z = zR del ejemplo original es una superficie dependiente del tiempo, Z= Z,, o bien, zR(u,W,t ) = Z,/S(U, W,t). Las condiciones inicial y límite quedan como antes, sujetas a esta generalización de la ubicación del frente de reacción. Entonces, las solucionespara cA y cBasumen las formas en las ecuaciones 20.1-35 y 20.1-36, con z/fisustituido por Z/fi y z R / m p o r JT, La última constante está dada de nuevo por la ecuación 20.1-37. De manera consecuente, el mejoramiento de la velocidad de absorción por la reacción química es semejante a las expresiones que se proporcionarán en la ecuación 22.5-10 y se simplificará en las ecuaciones 22.5-11 a 22.5-13.
520.5
"Dispersión de Taylor" en flujo laminar en un tubo
I I
La pulsación seinyecta .(Id
lz=o 1 1
\:
I
Perfil parabólico d e velocidad en un tubo circular
\\
z = L I1 I 1
4
I
I
I
I
753
Figura 20.5-1 Bosquejo que muestra la dispersión axial de una pulsación de concentración en la dispersión de Taylor en un tubo circular.
t = L/{vJ
Aquí se analizan el transporte y la dispersión de un "impulso" de soluto de material A introducido en el fluido B que se encuentra en flujo laminar estacionario en un tubo largo de radio R, como se muestra en la figura 20.5-1. Un impulso de masa mA $e introduce en la toma z = O durante un periodo muy breve cerca del instante t = O, y su avance a través del tubo se analiza en el Iímite de tiempo largo. Problemas como éste se presentan a menudo en procesos de control (véase el problema 20C.4),procedimientos para diagnósticos rnédicos,l y en una variedad de aplicaciones al medio ambiente.2 A poca distancia corriente abajo de la entrada se extingue la dependencia con respecto a 8 de la distribución de la fracción de masa. Entonces, la ecuación de difusión para wA(rf2, f) en flujo de Poiseuille con p,, p y gABconstantes asume la forma
Esta ecuación debe resolverse con las condiciones límite
que expresan la simetría radial del perfil de fracción de masa y la impermeabilidad de la pared del tubo a la difusión. Para este análisis a tiempos largos no es necesario especificar la forma exacta del impulso inyectado en t = O. Para el perfil de fracción de masa wA(r, z, f) no existe ninguna solución analítica exacta, incluso si de manera muy clara se especifica una condición inicial, pero Taylo9t4proporcionó un análisis aproximado útil que se resume a continuación. Este análisis implica obtener, a partir de la ecuación 20.5-1, una ecuación diferencial parcial para la fracción media de masa en la sección transversal
'
J.B.Bassingthwaighte y C.A. Goresky, en la sección 2, volumen 3, del Handbook ofPhysiology. 2a. edicibn, Arnerican Physiological Society, Bethesda, Md. (1984). P.C. Chatwin y C.M. Allen, Ann. Rev. Fluid Mech., 17, 119-150 (1985);B.E.Logan, Environrnenfnl Pansport Processes, Wiley-Interscience,Nueva York (1999), capítulos 10 y 11; J.H. Seirdeld. Advanccs in Chemical Engineering, Academic P m ,Nueva York (1983), pp. 209-299. %.l. Taylor, Proc. Roy. Soc. A219,18&203 (1953). GJ.Taylor, Proc. Roy. Soc. A225,473-477(1954).
754
Capítulo 20 Distribuciones de concentraci6n con más de una variable independiente i .
que entonces puede resolverse a fin de describir el comportamiento para tiem largos. Taylor comenzó por despreciar el término de difusión molecular axial (té, no subrayado con la línea discontinua en la ecuación 20.5-1) y en seguida de tró4 que este hecho es permisible si el número de Péclet Pé,, = R{vZ)/BABe orden de 70 o mayor, y si la longitud Lp(t) de la región ocupada por el impulso, dida visualmente en los experimentos de ~aylor?es del orden de 170R o may Aquí (v,} = :u, es la velocidad media del flujo. Taylor buscaba una solución válida para tiempos largos. Estimó que la con ción para la validez de su resultado era
Cuando la longitud L del impulso alcanza este intervalo, ha transcurrido tiempo. P suficiente, de modo que la forma inicial del impulso ya no importa. i A fin de seguir el desarrollo del perfil de concentración a medida que el fluido se mueve corriente abajo, es útil introducir la coordenada axial desplazada
Cuando esta expresión se usa en la ecuación 20.5-1 (sin el término subrayado con la línea discontinua), se obtiene la siguien.teecuacibn de difusión para wA(r, t,t),
donde 5 = r / R es la coordenada axial adimensional. Aquí se entiende que la derivada con respecto al tiempo debe tomarse para 2 constante y, bajo la condición de la ecuación 20.5-4, puede despreciarse con respecto al término de difusión radial. C e mo resultado se tiene la ecuación en estado casi estacionario
Para la condición de la ecuación 20.5-4, la fracción de masa puede expresarse como
donde (oA) es una función de Y y t. Al sustituir esta expresión en el miembro de* cho de la ecuación 20.5-7, y despreciando consecuentemente u;, entonces se obtiene
a partir de la que es posible obtener la dependencia radial de la fracción de masa bajo la condición de la ecuación 20.5-4. Así, al integrar la ecuación 20.5-9 con las condiciones límite de la ecuación 20.5-2, se obtiene
520.5 "Dispersión de Taylor" en flujo laminar en un tubo 755
El promedio de este perfil sobre la sección transversal es
Al restar esta ecuación de la anterior, y sustituyendo v,,,~, por 2(vz),finalmente se
obtiene
como la solución aproximada de Taylor de la ecuación 20.5-6. El flujo total de masa de A a través de un plano de T constante (es decir, el flujo relativo a la velocidad media (u,)) es
En seguida se observa que, con la suposición de que p = constante, p(uA(vz))= (PA)(vz)y P { o ~ v=~(.Avh) ) =(nAz).(Aqui se permite sustituir u, por vA, porque, si se desprecia la dilusión molecular axial, las especies A y B se mueven con la misma velocidad axial.) Por tanto, cuando la ecuación 20.5-13 se divide entre VR*,se obtiene la expresión para la densidad media de flujo de masa
relativa a coordenadas estacionarias. Aquí K es un coeficiente de dispersión axial, dado por el análisis de Taylor como
Esta fórmula indica que la dispersión axial (en el intervalo de PéAB>> 1considerado hasta el momento) es mejorada por la variación radial de vz y reducida por la difusión molecular radial. Aunque la ecuación 20.5-14 tiene la forma de la ley de Fick en la ecuación (C) de la tabla 17.8-2, esta ecuación no incluye nada de difusión molecular axial. También debe recalcarse que K no es una propiedad de la mezcla de fluido, sino que depende de R y de (u,), así como de aAB' Luego, la ecuación de continuidad de la ecuación 19.1-6, promediada sobre la sección transversal del tubo, se escribe como
756
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
-7-
Cuando se inserta la expresión para la densidad de flujo de masa de A de la ción 20.4-15, se obtiene la siguiente ecuacibn de dispersión axial:
Esta ecuación puede resolverse para obtener la forma del impulso móvil resd& de la entrada - s e g ú n la función S- de una masa rnA de soluto A en una conierib de B que, de otra manera, es puro:
Esta expresión puede usarse junto con la ecuación 20.5-15 para obtener BABa pm de datos sobre las cortcentraciones en el impulso móvil. De hecho, probablemm éste es el mejor método para obtener mediciones razonablemente rápidas de las di. fusividades de líquidos. TA expansión de Taylor estableció los cimientos de muchas publicaciones cobN dispersión por convección. Sin embargo, qued6 por estudiar las aproximacioneshe chas y determinar su intervalo de validez. Aris5proporcionó un tratamiento detall* do de la dispersión en tubos y ductos, cubriendo todo el intervalo de t e incluyendo la difusión en las direcciones z y 8. Su ashtota para tiempos largos
es una extensión importante de la ecuación 20.5-15.A partir de este resultado se observa que la difusión molecular mejora la dispersión axial cuando el número de Péclet Pé = R ( v , ) / ' ~es~menor ~ que 1148e inhibe la dispersión axial a números más grandes de Péclet, donde predomina el modo de transporte de Taylor. Los intervalos de validez de Ias fórmulas de dispersión de Taylor y Aris ce han estudiado exhaustivamente por medio de cálculos de diferencias finitas" por colocación ~rtogonal.~ En la figura 20.5-2 se muestran los intervalos títiles de las ecuaciones 20.5-15 y 20.5-19. La ultima fórmula se ha utilizado ampliamente para medir difusividades binarias, y una de sus extensiones8se ha usado para medir difusividades ternarias en líquidos. Aquí se mencionarán otras investigaciones adicionales sobre dispersión convectiva. Los tubos en serpentin proporcionan dispersión longitudinal reducida, como 10 demuestran los experimentos de Koutsky y Adler9y fueron analizados para flujo laminar por Nunge, Lin y Gill.lo Este efecto es importante en el diseño de reactores químicos y en mediciones de difusividad, donde el serpentín a menudo es necesario para obtener suficiente longitud de tubo en un aparato compacto. La dispersiónfirera de la columna, provocada por la bomba y la conexión de la tubería de sistemas cromatográficos,fue investigada por Shankar y Lenhoffll can p* dicciones detalladas y experimentos precisos. Sus experimentos demostraron que la R. Aris, Pmc. Roy. Soc., A235, 67-77 (1956). V. Ananthakrishnan, W.N. G U y J. Barduhn, AiChE J O U T M ~ , 11,1063-1072 (1965). 'J.C.Wang y W.E. Ctewart, AIChF, Journnl,29,493-497(1983). h. D. W.M. Rutien, Dzfision in Liquuis, De& Uriiversiiy Pms, Delft. Holanda (1992). J.A. Koutsky y R.J. Adler, Can. J. Chem. Eng.,42,239-246 (1964). lo R.J. Nunge. 1.5.Lin
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520.5
"Dispersión de Taylor" en flujo laminar en un tubo
757
Tiempo adimensional ~AB~/R'
Figura 20.5-2 Bosquejo que muestra los límites de las expresiones de Taylor (ecuación 20.5-19) y de Aris (ecuación 20.5-19) para el coeficiente de dispersión axial. Esta figura sigue el patrón de la que se presenta en la referencia 6.
forma de promediar radialmente es importante para tiempos más cortos que el intervalo recomendado que se muestra en la figura 20.5-2 para la fórmula de laylorAris. Dependiendo del tipo de analizador que se utilice, los datos pueden describirse mejor ya sea por medio de un promedio global (cup-mixing) pAb O el promedio de área (pA) que se usó antes. ~~ la dispersión longitudinal laminar en tuHoagland y P r u d ' h ~ m r n eanalizaron bos de radio que varía sinusoidalmente, R(z) = RO(l+ E sen(2rz/h)), para modelar la dispersión en procesos con lechos de relleno. Sus resultados son semejantes a la ecuación 20.5-19, cuando las variaciones tienen una amplitud E relativa pequeña y una longitud de onda A /Ro relativa larga. Podría pensarse que la dispersión axial en una columna de relleno sería semejante a la que hay en tubos de radio que varia sinusoidalmente, pero no es el caso. En vez de la ecuación 20.5-19, se encuentra K = 2.5gABPéAB,donde aparece la primera potencia del número de Péclet, en vez de la segunda potencia y con K independiente de aAB.13 Brenner y ~ d w a r d s han l ~ proporcionado análisis de dispersión y reacción convectiva en varias geometrías, incluyendo tubos y lechos de relleno espacialmente periódicos. La dispersión también ha sido investigada en flujos más complejos. ParaJlwjos turbulentos en tubos rectos, Taylor15 dedujo y comprobó experimentalmente la fórmula de dispersión axial K/RV* = 10.1, donde v* es la velocidad de fricción que se
'*
D.A. Hoagland y 1Z.K. Prud'hornme. AIChE Journnl, 31,236-244 (1985). '%.M. Athalye, J. Gibbs y E.N. Lightfoot, J. Chromatog., 589,71-85(1992). l4 H. Brenner y D.A. Edwards, Macrotransport Procesces, Butterworth-Heinemann, Boston (1993) l5 G.I. Taylor, Proc. Roy. Soc., A223, 446-467 (1954).
758 Capítulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
\
r
utilizó en la ecuación 5.3-2. Bassingthwaigthe y Goreskyl investigaron modelos intercambio de soluto y agua en el sistema cardiovascular, y Chatwin y Allen*pro. porcionan modelos matemáticos de dispersión turbulenta en ríos y estuarios. Las ecuaciones 20.5-1 y 20.5-18 están limitadas a las condiciones de las ecuaci& nes 20.5-2 y 20.5-4. En consecuencia, n o son convenientes para describir las regid nes de entrada de operaciones de reactor en estado estacionario o sistemas coi reacciones heterogéneas. Para flujos laminares la ecuación 20.5-1 es un mejor pm. to de partida.
1. ¿Qué dificultades experimentales podrían encontrarse al usar el sistema en el ejemplo 20.1.1 para medir difusividades en la fase gaseosa? 2. ¿Qué problemas se prev4n al usar la técnica de dispersión de Taylor de 520.5 para medir la difusividades en la fase líquida? 3. Demostrar que la ecuación 20.1-6 satisface la ecuación diferencial parcial, así como las condi. ciones inicial y límite. 4. ¿Qué se concluye a partir de la tabla 20.1-l? 5. ¿Por qué son útiles las transformadas de Laplace para resolver el problema en el ejemplc 20.1-3? ¿Las transformadas de Laplace pueden usarse para resolver el problema en el ejem. plo 20.1-l? 6. iCómo se obtuvo la distribución de velocidad en el ejemplo 20.1-4? 7. Describir el método para resolver el problema del área de superficie variable en el ejemplc 20.1-4. 3. Hacer la verificación que se sugiere después de la ecuación 20.1-74. 9. ¿Qué efectos tienen las reacciones químicas sobre la capa límite? 10. Analizar las expresiones de Chilton-Colburn en la ecuación 20.2-57. jCe esperaría que esta relaciones sean válidas para flujos alrededor de cilindros y esferas?
PROBLEMAS
20A.1 Medición de la difusividad por evaporación en estado no estacionario. Usar los datos siguientes para determinar la difusividad de propionato de etilo (especie A) en una mezcla de
aire al 20% m01 e hidrógeno al 80% m01 (esta mezcla se trata como un gas puro Incremento en el volumen de vapor (cm3)
B).l
&(sli2)
--
Estos datus se obtrrrieronl usando un tubo de vidrio de 200 cm de longitud de 1 013 cm de diámetro interno; la temperatura era 27.9 "C y la presión, 761.2 mm Hg. La presión de vapor del propionato de etilo a esta temperatura es 41.5 mm Hg. Nótese que t es el tiempo real a partir del inicio de la evaporación, mientras el aumento de volumen se mide a partir de t 240 S.
-
. ..
' D.E Fairbanks y C.R. Wilke, Ind. Enx. C h . ,42, 471-475(1950)
Problemas 759 Figura 20A.2 Absorci6n de un gas desde una burbuja en crecimiento, idealizada como una esfera.
20A.2 Absorción de oxígeno desde una burbuja en crecimiento (figura 20A.2). Desde un tubo capilar se inyecta oxígeno a agua pura. El sistema es virtualmente isotérmico e isobárico a 25 "C y 1 atm. La solubilidad de oxígeno en la fase líquida es wAO= 7.78 x y la difusividad en la fase líquida para la pareja aire-agua es 9AB = 2.60 X crn2/s. Calcular la velocidad instantánea de absorción total en g/s, para una burbuja de 1 mm de dilimetro y antigüedad t = 2 S, suponiendo a) Velocidad constante de crecimiento volumétrico. b) Velocidad constante dr,/df de crecimiento radial.
Respuestas: a) 7.6 X
g/s; b) 1.11 x
g/s
20A.3 Velocidad de evaporación del n-octano. A 20 OC, ~ C U ~ gramos ~ O S de n-octano liquido se evaporarán en Ng en 24.5 h en un sistema como el que se estudió en el ejemplo 20.1-1 a presiones del sistema de a) 1 atm, y b) 2 atm? El área de la superficie liquida es 1.29 cm2, y la presi6n de vapor del n-octano a 20 "C es 10.45 mm Hg.
Respuesta: a) 6.71 mg 20A.4 Efecto del tamaño d e fa burbuja sobre la composición interfacial (figura 20A.2). Aquí se anaiiza la suposición de la composición interfacial independiente del tiempo, wpo, para el sistema de la figura 20A.2. Se observa que, debido a la tensión interfacial, la yresibn del gas pA depende del radio instantáneo r, de la burbuja. La expresión en equilibrio
es conveniente a menos que dr,/dt sea muy grande. Aquí p, es la presión ambiental del Iíquido a la elevacirín media de la burbuja, y u es la tensión interfacial. Para soIuto escasamente diluido, la ccmposición interfacial de1 líquido wAOdepende de pA según la ley de Hemy
donde la constante de la ley de Henry, H, depende de las dos cspecies y de la temperatura y presión del líquido. Esta expresión puede combinarse con la ecuación 20A.4-1 para obtener la dependencia de wAo con respecto a r,. Para una burbuja de gas que se disuelve en agua líquida a T = 25 O C y p, = 1 atrn, ¿qué tan pequeña debe ser la burbuja para obtener un incremento de 10% en wAOpor arriba del
valor para una burbuja muy grande? Supóngase o = 72 din/cm sobre el intervalosición relevante.
Respuesta: 14.2 micras 20A.5 Absorción con reacción ripida de segundo orden (figura 20.1-2). Efectuar los c á l c u l ~si. guientes para el sistema reactivo que se muestra en la figura: a) Verificar la ubicación de la zona de reacción, usando la ecuaci6n 20.1-37.
b) Calcular NAOpara t = 2.5 s. 20A.6 Transferencia ripida de matena por convección forzada hacia una capa limite laminaL Calcular la velocidad de evaporación nAO(x)para el sistema que se describe bajo la ecuación 20.2-52, dado que wAO= 0.9, wA, = 0.1, nm(x) = O y Sc = 2.0. Usar la figura 22.8-5, con R c a l a lada como Rw por la ecuación 20.2-51, para encontrar el flujo másico adimensional$ (daB tado por q5a, para cálculos de difusi6n con fracciones de masa). Usar después la ecuauh 20.2-1 para calcular K y la ecuaci6n 20.2-48 para calcular nAO(x)
Respuesta: nA0(x)= 0.33 JPV,P/X 20A,7 Transferencia lenta de matena por convección fonada hacia una capa limite laminar. Este problema ilustra el uso de las ecuaciones 20.2-55 y 20.2-57 y prueba su exactitud en comparación con la ecuación 20.2-47. a) Estimar la velocidad local de evaporación, nAw como una función de x para el secado de una placa porosa saturada de agua, cuya forma se muestra en la figura 20.2-2. La placa se seca en una corriente rápida de aire, en condiciones tales que wAo = 0.05, oA, = 0.01 y Cc = 0.6. Usar la ecuación 20.235 para realizar los cálculos.
b) Efectuar un cálculo alternativo de nAousando la ecuación 20.2-57. C) Para efectos de comparación con los resultados precedentes aproximados, calcular nAoa partir de la ecuación 20.2-47 y la tabla 20.2-1. Los valores K que se encontraron en el inciso a serán suficientemente exactos para buscar II'(0,Sc, K).
-
Respuestas: a) nAo(x)= 0.0188 J p & / x ; b) nA0(x) 0.0196 J P V & / ~ ; c) nA,,(x) = 0.0188 J P V ~ / X 20B.1 Extensión del problema de Amold para explicar la transferencia de interfase de ambas especies. Demostrar cómo obtener las ecuaciones 20.1-23 a 20.1-25 empezando con las ecuacie nes de-continuidad para las especies A y B (en unidades molares) y las condiciones inicial y límite apropiadas. 208.2 Extensión del problema de Arnold para difusión no isoténnica. En la situación que se describe en el problema 20B.1, encontrar el resultado análogo para la distribución de temperatu-
ra T ( z , t). a) Demostrar que la ecuación de energía [ecuación (H) de la tabla 19.241 se reduce a
zp4
Ha = y= = C p p= constante; por consiguiente a es constante. Ademds se supone que c, k y p son esencialmente constantes. Aquí el término de disipación (7: Vv) y el término de trabajo X,(j, . g,) se desprecian de manera conveniente. (Sugerencin: utilizar la ecuación de continuidad de la especie de la ecuación 19.1-10.) en el supuesto de que k, p y c (op) son en e m c i a constantes y
b) Demostrar que la solución de la ecuación 20B.2-1, con la condición inicial de que T = T, para t = O, y las condiciones límite de que T = To en z = O y T = T, en z = m, es
w )+ erfpT LT -=T n , ( z , ) = erf(ZT1 +-erf pT TE - To
Problemas
761
con
&mostrar que las densidades de flujo interfaciales de masa y energía están relacionadas con T,, y T, por C)
de modo que NAO/qOy NBO/qOson constantes para t > O. Este resultado elegante se presenta debido a que en el modelo matemático del sistema no hay longitud característica o tiempo característico. 208.3 Condición limite estequiométrica para reacción rápida irreversible. Las densidades de flujo reactivas en el ejemplo 20.1-2 deben cumplir la relaci6n estequiométrica
donde vR = d z R / d t .Demostrar que esta relación conduce a la ecuación 20.1-31 cuando se usa la primera ley de Fick, con las suposiciones de c constante y reacción instantánea irreversible.
20B.4 Dispersión de Taylor en flujo en una rendija (figura 2B.3). Demostrar que, para flujo laminar en una rendija plana de ancho 28 y longitud L, el coeficiente de dLspersi6n de Taylor es
20B.5 Difusión desde una fuente puntual instantánea. En el instante t = 0, una masa mA de la especie A se inyecta en un gran cuerpo de fluido B. Tome el punto de inyección como el origen de coordenadas. El material A se difunde radialmente en todas las direcciones. La solución puede encontrarse en la obra de Carslaw y Jaeger:' mA exp (-r2 / 4aAB t) =( 4 ~ % ~ ~ t ) ~ ' ~ a) Verificar que la ecuación 208.5-1 satisface la segunda ley de Fick.
b) Verificar que la ecuación 20B.5-1 satisface las condiciones límite para r = m. C)
Demostrar que la ecuación 20B.5-1, cuando se integra sobre todo el espacio, proporciona
mA, como se requiere.
d) jQu6 ocurre a la ecuación 20B.5-1 cuando t + O? 208.6 Difusión no estacionaria con reacción quimica de primer orden. Usar la ecuación 20.1-43 a fin de obtener el perfil de concentración para las siguientes situaciones:
a) El sistema estacionario semiinfinito del problema 20C.3.
b) La partícula catalítica del problema 18B.14, en operaci6n independiente del tiempo con las condiciones limite según se proporcionaron antes, pero con la condición inicial de que cA = U para f = O. La ecuaci6n diferencial para cA es
H.S. Carslaw y J.C.laeger, Conduction ofiíeuf
in
Solids, 2a. edición, Oxford University Press (1959), p. 257
762
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente donde E es la fracción de huecos internos para la partícula. La solución necesaria con kya puede encontrarse a partir del resultado del ejemplo 12.1-2. 1
Difusión y reacción de un soluto, A, inyectado en t = O en el punto r = O (en coordenadd esféricas) en un medio estacionario infinito. Aquí la función g de la ecuación 20.1-43 se p,, porciona como C)
y la funciónf desaparece. 208.7 Transferencia simultánea de cantidad de movimiento, de calor y de materia: condiciones li. mite alternativas (figura 208.7). Los perfiles adimensionales H(q, A, K ) en la ecuación 20.24 son aplicables a una variedad de situaciones. Utilizar las ecuaciones 20.249 a 20.2-52 a fin de
obtener ecuaciones irnplicitas para la evaluación de la densidad neta de flujo de masa K para los casos siguientes:
a) Evaporación de un líquido puro A desde una lámina porosa saturada en una corriente gaseosa de A y B. La sustancia B es insoluble en el liquido A. b ) Reacción instantánea irreversible del gas A con una llirnina sólida de C para obtener B gaseoso, según la reacción A t C + 2B. Los pesos moleculares de A y B son iguales. C) Enfriamiento por transpiración de una lámina hueca de paredes porosas, como se muestra en la figura. El fluido es A puro en todas partes, y el fluido inyectado se distribuye de modo que toda la superficie externa de la lámina se mantiene a una temperatura uniforme To.
nl(o,k,K); b
1 )=~ -uArn sc nJ(o,sc, K)
Comente del gas A que se aproxima a una temperatura T, y velocidad v* b
Velocidad de inyecci6n g ( x )
Y A
ada del gas A
Figura 20B.7 Lámina porosa enfriada por transpiración.
Problemas 763
20B.8 Absorción desde una burbuja pulsante. Utilizar los resultados del ejemplo 20.1-4 para calcupara una burbuja cuyo radio experimenta una pulsación de onda cuadrada: lar 6 ( t ) y NAO(t) T~
= R1
r, = R2
< o t < 2n + 1 para 2n + 1 < wt < 2n + 2 para 2n
Aquí w es una frecuencia característica y n = 0,1,2, . . 20B.9 Verificación de la solución de la ecuación de dispersión de Taylor. Demostrar que la solución de la ecuación 20.5-17, que se proporcionó en la ecuación 20.5-18, satisface la ecuación diferencial, la condición inicial y las condiciones límite? Las Últimas son que en z = km,
La condición inicial es que, en t = O, la pulsación o impulso del soluto, de masa mA,esta concentrado en z = 0, sin nada de soluto en ninguna otra parte del tubo, de modo que para todos los tiempos,
a) Demostrar que la ecuación 20.5-17 puede reducirse a la forma midimensional de la segunda ley de Fick por medio de la transformación de coordenadas
b) Demostrar que la ecuación 20.5-18 satisface la ecuación que se dedujo en el inciso a. C)
Demostrar que también se cumplen las ecuauones 208.9-1 y 20B.9-2.
20C.1 AnAlisis de orden de magnitud de absorción de gas desde una burbuja en crecimiento (figura 20A.2).
el crecimiento de la burbuja esférica del problema 20.A2a en un líquido de densidad constante, demostrar que la velocidad radial en la fase líquida es u, = co/?, según la ecuación de continuidad. Luego, utilizar la condición límite de que u, = dr,/dt en r = r,(f) para obtener
a) Para
b) Después, usando la ecuación de continuidad de la especie en coordenadas esféricas con difusión s610 en la dirección radial, demosirar que
e indicar condiciones inicial y límite convenientes. C) Para tiempos de contacto cortos, la zona de difusión efectiva es una capa relativamente d e t gada, de modo que es conveniente introducir una variable y = r - r,(t). Demostrar que lo an-
terior lleva a
Vbase, por ejemplo, H.S. Carslaw y J.C.Jaeger,Hent Conduction in Colids, 2a. edición,Oxford University Press (1959),510.3. Para los efectos de longitud de tubo finita, vbase H. B m e r , Chem. Eng. Sci., 17,229-243 (1962).
764
Capítulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente
d) A partir del ejemplo 20.1-4 puede verse que las contribuciones d e los (4) son del mismo - orden de magnitud en la capa límite de concentración, es decir, en y O@,) = O ( @ b A B t ) . Considere que estos términos son del orden O(1)y estime los órdenes magnitud de los ténninos restantes que se muestran en la ecuación 20C.1-3. 2
e) Demostrar que los términos de los dos órdenes principales en la ecuación 20C.1-3 p r w ; cionan
donde los términos de segundo orden están indicados con los subrayados de las iíneas continuas. Esta ecuación ha sido analizada exhaustivamente en publicaciones de eleckqd. Los resultados para nAOse consideran con mayor detalle en el problema 20C.2. 20C.2 Efecto de la curvatura de la superficie sobre la absorción desde una burbuja en crecimien. to (figura 20A.2). Un gas puro A fluye desde un pequeño capilar hacia un gran depósito & un líquido inicialmente puro B a una velocidad constante de flujo molar WA. La densidad de
flujo molar interfacial de A hacia el liquido puede pronosticarse a partir de la ecuación de vich-KoutecQ-Nmn
donde
para movimiento puramente radial y una burbuja esf6rica. La ecuación 20C.2-1 es una consecuencia de la ecuación 20C.14. a) Proporcionar una expresión para ef número de moles de A absorbidos a lo largo de una duración to de la burbya.
b) Utilizar la ecuación 202.2-1 para obtener resultados más exactos para las velocidades de absorción en el problema 20A.2. 20C.3 Absorción con reacción química en un medio semiinfinito. Un medio semiinfinito de material B se extiende desde el límite del plano r = O hasta x = m. En el instante t = 0 la sustancia A entra en contacto con este medio en el plano x = O, donde la concentración en la superficie es cAO (para absorción del gas A por el líquido B, por ejemplo, cAOpodría ser la concentración de saturación). Las sustancias A y B reaccionan para producir C según la reacción irreversible de primer orden A + B -+ C. Se supone que A está presente en una concentración tan pequeña que la ecuación que describe el proceso de difusión más la reacción química es
J. Koutecky, Czech. 1. Phys., 2,50-55 (1953). Véase tarnbien V. Levich, Physicochemicol Hydrodynamics, 2a. edición Prentice-Hall, E n g l e w d Cliffs, N.J.(1962). Los miembros derechos de las ecuaciones 108.17 y 108.18 d e Levich deben multiplicarse por p/3. V4ase también J.C.Newman, Elechochemical Cystems, 2a. edición, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.(1991).
Problemas
765
donde kí" es la constante de velocidad de primer orden. Esta ecuación ya ha sido resuelta para la condición inicial de que C A = O en f = O, y las condiciones límite de que cA = cAOen r = 0, y cA = O en x = m. La soluaón es5
a) Verificar que la ecuación 2K.3-2 satisface la ecuación diferencial y las condiciones límite.
b) Demostrar que la densidad de flujo molar en la interfase x = O es
C)
Demostrar además que los moles totales absorbidos a través del área A hasta el instante t son
d) Demostrar que, para valores grandes de krt, la expresión del inciso c) se reduce asintóticamente a
Este resultado6 es aceptable dentro de un margen de 2% para valores de kf t mayores que 4. 20C.4 Diseño de circuitos para control de fluidos. Se desea controlar un reactor por medio de un
análisis continuo de una corriente lateral. Calcular la frecuencia máxima de los cambios en concentración que pueden detectarse como una función de la velocidad volum6trica de retirada, si la corriente pasa a través de un tubo de 10 cm de longitud y diámetro interno de 0.5 mm. Sugerencia: partir del criterio de que la desviación estándar de la duración de un impulso no es más de 5% del tiempo del ciclo to = 2 ~ / w donde , w es la frecuencia que desea detectarse. 20C.5 Disociación de un gas provocada por un gradiente de temperatura. Un gas disociante (por
ejemplo, Na2 @ 2Na) está encerrado en un tubo, sellado por ambos extremos, y los dos extremos se mantienen a diferentes temperaturas. Debido al gradiente de temperatura que se establece, hay un flujo contintto de molPculas de Na2 desde el extremo frío hasta el extremo caliente, donde se disocian en átomos de Na, que a su vez fluyen desde el extremo caliente hasta el extremo frío. Establecer las ecuaciones para encontrar los perfiles de concentración. Comprobar sus resultados contra los obtenidos por D i r a ~ . ~ 20D.1 Experimento con dos bulbos para medir difusividades de gases: sofucibn analítica (figura 18B.6). Este experimento, que se describió en ef problema 180.6, se analiza aquí con un
P.V. Danckwerts, Pans. Faradny Soc., 46, W304 (1950). R.A.T.O.Nijsing, Absorpfie zlan gassen in vlorisfofin, zonder en met chemische reactie, Academisch Proefschrift, Tedinische Universiteit Delft (1957). P.A.M.Dirac, Proc. Camb. Phil. Soc., 22, Parte 11.132-137 (1924).esta fuela primera publicación de Dirac, que escribió mienhas era estudiante universitario.
766
Capítulo 20 Distribuciones de concentración con más de una variable independiente método de estado casi estacionario. El método de separacibn de variables lución exacta8 para las composiciones en los dos bulbos como
xi
donde y, es la raíz n-ésima de y tan y = N, y N = % / V . Aquí son las fracciones mo A en z = ?L. Hacer una comparación numérica entre la ecuación 20D.1-1 y las me .~ comparar la ecuación 20D.1-1 con el result experimentales de A n d r e ~ También, sencillo en la ecuación 188.6-4. 20D.2 Difusión de interfase en estado no estacionario. Dos solventes inmiscibles 1 y 11 es& contacto en el plano z = O. En el instante t = O la concentración de A es cI = cf en la fase cII= cfi en la fase 11. Para t > O, la difusión ocurre a traves de la interfase líquido-líquida, supone que el soluto está presente sólo en una pequeña concentración en ambas fases, de do que es aplicable la segunda ley de Fick de la difusión. Por tanto, es necesario resolva 4 ecuaciones
1
donde cI y cII son las concentraciones de A en las fases 1y 11, y 91y BU son las difusivida correspondientes. Las condiciones inicial y límite son: C.I. 1:
C.I. 2: C.L. 1: C.L. 2:
i
La primera condición límite en z = O es el planteamiento de equilibrio en la interfase, dondq m es el "coeficiente de distribución" o "la constante de la ley de Heiiry". La segunda condi? I ción límite es el planteamiento de que la densidad de flujo molar calculada en z = 0- es la mis: ma que la de z = O+, cs decir, no hay pérdida de A en la interfase líquido-liquido. a) Resolver las ecuaciones simultáneamente
por medio de la transformada de Laplace u otros
medios convenientes para obtener:
b) Obtener la expresión para la velocidad de transferencia de materia en la interfase. 8R.B. Bird, Advances in Chemical Engineering, Vol. 1, Academic Press, Nueva York (1956).pp. 156239; errores. 2 (1958), p. 325. El resultado en la parte inferior de la p. 207 es erróneo, debido a que falta el factor de (-1)"". V w tambien H.S. Carslaw y J.C.Jaeger,Conduction ofHeat in Solids, 2a. ediubn, Oxford University Press (1959),p. 129. S.P.C. Ancimw, Chem. Eng. Sci., 4,269-272 (1955).
,
Problemas 767 20D.3 Tamaño crítico de un sistema autocatalitico. Se desea usar el resultado del ejemplo 20.1-3para analizar el tamaño m'tico de un sistema donde ocurre una "reacción autocatalítica". En un sistema así,los productos de reacción incrernentan la velocidad de reacción. Si la raz6n de la superficie del sistema al volumen del sistema es grande, entonces los productos de reacción tienden a escapar de los Lúnites del sistema. No obstante, si la razón de la superficie al vol& es pequeña, la velocidad de escape puede ser menor que la velwidad de producción, y la velocidad de reacción aumenta rápidamente. Para un sistema de una forma dada, hay un tamaño mítico para el cual la velocidad de producción es precisamente igual a la velocidad de eliminaci6n. Un ejemplo es la fisión nuclear. En una pila nuclear la velocidad de fisión depende de la concentración local de neutrones. Si los neutrones se producen a una velocidad que excede la velocidad de escape por difusión, entonces la reacción es autosuficiente y ocurre una explosión nuclear, Un comportamiento semejante también se encuentra en muchos sistemas químicos, aunque el comportamiento aquí suele ser más complicado. Un ejemplo es la descomposición térmica del gas acetileno, que es termodinámicamente inestable según la reacción global
H-C
E
C-M+H2+2C
(20D.3-1)
Parece que esta reacción procede por una cadena ramificada, mecanismo de radicales libres, donde los radicales Libres se comportan cualitativamente como se describió para los neutrones en el párrafo precedente, de modo que la descomposición es autocatalítica. Sin embargo, los radicales libres se neutralizan efectivamente por contacto con una superficie de hierro, de modo que en una superficie así la concentración de radicales libres se mantiene cerca de cero. El gas acetileno puede almacenarse entonces con seguridad en un tubo de hierro por debajo de un diámetro "crítico", que es menor mientras mayor es la presión o la temperatura del gas. Si el tubo es demasiado largo, es probable que incluso la formación de un radical libre provoque una velocidad de descomposición que aumenta rápidamente, lo cual puede resultar en una explosión seria. a) Considérese un sistema encerrado en un ciiindro largo donde el proceso de difusi6n y de reacción está descrito por
con cA = O en r = R, y c,, = f ( r )en t = 0, dondeflr) es alguna función de Y . Use el resultado del ejemplo 20.1-3 a fin de obtener una solución para cA(r, t).
b) Demostrar que el radio crítico para el sistema es
donde al es el primer cero de la funci6n de Bessel de orden cero Jo. Para un núcleo cilíndrico desnudo de un reactor nuclear,1° el valor efectivo de k ; " / 9 , , es 9x cms2. ¿Cuál es el radio critico? C)
Respuesta: c) Rd, = 25.3 cm 20D.4 Dispersión de una pulsación ancha en flujo axial laminar estacionario en un tubo. En el problema de dispersión de Taylor, considérese una pulsación o impulso de soluto de la sustancia A distribuida, que se introduce en un tubo de longitud L que contiene un fluido en flujo laminar estacionario. Ahora la condición límite de entrada es que
'O
R.L. Murray, Nuclear Reactor Physics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. (1957), pp. 23,30,53.
768
Capítulo 20
Distribuciones de concentración con más de una variable independiente 1
con las mismas restricciones de difusión despreciable a través de la entrada y salida del que en el problema 208.9. Nótese ahora que cada elemento de soluto actúa independien todos los demás. a) Utilizar el resultado del problema 208.9 para demostrar que la concentración de tá dada por 1
b) Especializar este resultado para una pulsación cuadrada:
Dibujar el resultado para varios valores de (vz)to/L.
!
2013.5 Divergencia de velocidad en coordenadas interfacialmente incrustadas. CunsidCrese un $ minio cerrado D(u, w, y) en las coordenadas interfacialmente incrustadas de la figura 20,4j,
a) Integrar la ecuación 20.4-7 sobre la superficie límite de D para obtener
donde d S D es un elemento vectorial de área, que tiene magnitud dSD y cuya dirección es not. mal hacia afuera del límite del dominio D.
b) El integrando del último término es la velocidad del elemento limite dSD. Por tanto, la d. tima integral es la velocidad de variación del volumen de D. Volver a escribir esta integralde manera consecuente con ayuda de la ecuación 20.4-3, para obtener
La segunda igualdad se obtiene por la regla de Leibniz, observando que u, w y y son independientes de t sobre cada elemento de superficie d S D .
Utilizar el resultado del inciso b) y el teorema de divergencia de Gauss-Ostrogradskü de 5A.5 para expresar la ecuación 20D.5-1 como la desaparición de una suma de tres integrales de volumen sobre D(u, U?,y). Demostrar que este resultado y el carácter arbitrario de la el* ción de D, llevan a la ecuación 20.4-8. C)
Capítulo 21
Distribuciones de concentración en flujo turbulento 521.1
Fluctuaciones de concentración y la concentración con ajuste de tiempo
521.2
Ajuste de tiempo de la ecuación de continuidad de A
s21.3
Expresiones semiempíricas para la densidad de flujo turbulento de materia
521.4"
Mejoramiento de fa transferencia de materia por medio de una reacción de primer orden en flujo turbulento
§215* Mezdado turbulento y flujo turbulento con reacción de segundo orden
En los capítulos precedentes hemos deducido las ecuaciones para difusión en un fluido o en un sólido, y se ha demostrado cómo es posible obtener expresiones para la distribución de concentración, en el supuesto de que no esté implicada ninguna turbulencia del fluido. A continuación nos centraremos en el transporte de materia en flujo turbulento. E1 análisis que se presenta aquí es muy semejante al del capítulo 13 y mucho del material puede deducirse por analogía. Específicamente, §13.4,§13.5 y 513.6 pueden tomarse directamente sustituyendo cantidades de transmisión de calor por cantidades de transferencia de materia. De hecho, los problemas que se abordaron en esas secciones han sido probados de manera significativa en transferencia de materia, debido a que el intervalo experimentalmente accesible de números de Schmidt es mucho mayor que el de números de Prandtl. Aquí el tema se restringe a sistemas binarios isotérrnicos, y se hace la suposición de densidad de materia y difusividad constantes. Por tanto, la ecuación diferencial parcial que describe la difusión en un flujo en movimiento (ecuación 19.1-16) tiene la misma forma que para la conduccion de calor en un fluido en movimiento (ecuación 11.2-9), excepto por la inclusión del término de reacción química en la primera.
$21.1
FLUCTUACIONES DE CONCENTRACIÓN Y LA CONCENTRACI~N CON AJUSTE DE TIEMPO
El análisis en 513.1 sobre fluctuaciones de temperatura y ajustes de tiempo puede tomarse por analogía para la concentración molar CA. En una corriente turbulenta, CA es una función de oscilación rápida que puede escribirse como la suma de un valor con ajuste d e tiempo CA y una fluctuación de concentración turbulenta cÁ
770
Capitulo 21 Distribuciones de concentración en flujo turbulento
4
que es análoga a la ecuación 13.1-1para la temperatura. En virtud de la de&d de cÁ se observa que .Á = O. No obstante, cantidades como u$&, U ~ yAu T A son cero, debido a que las fluctuaciones locales en concentración y velocidad no independientes entre sí. Los perfiles de concentración con ajuste de tiempo CA(X,y/ Z, t) son los que miden, por ejemplo, mediante la extracción de muestras de la corriente de flujdo en varios puntos e instantes. Para flujo en tubos con transferencia de materia en 4 pared, es de esperar que la concentración con ajuste de tiempo EA varíe muy poco con la posición en el núcleo turbulento, donde predomina el transporte por remoli. nos turbulentos. En la región que se mueve lentamente cerca de la superficie límite, por otra parte, es de esperar que la concentración CA cambie dentro de una pequeña distancia desde su valor en el núcleo turbulento hasta el valor en la pared. El pro. nunciado gradiente de concentración se asocia entonces con el lento proceso de difusión molecular en la subcapa viscosa, en contraste con el rápido transporte de remolino que tiene lugar en el núcleo turbulento.
521.2
AJUSTE DE TIEMPO DE LA E C U A C I ~ NDE CONTINUIDAD DE A Empezamos con la ecuación de continuidad de la especie A, la cual se supone que es eliminada según una reacción química de n-ésimo orden.' Así, la ecuación 19.1-16 proporciona, en coordenadas rectangulares,
Aquí k? es el coeficiente de velocidad de reacción para la reacción química de n-ésimo orden, y se supone que es independiente de la posición. En ecuaciones subsecuentes se considerara n = 1y n = 2 para recalcar la diferencia entre reacciones de primer orden y de orden superior. Cuando CA se sustituye por ZA + cÁ y vi se sustitiiye por Vi + u;, después de p r e mediar con respecto al tiempo se obtiene
Al comparar esta ecuación con la 21.2-1 se observa que la ecuación con ajuste de tiempo difiere por la aparición de algunos términos adicionales, que aquí se indi-
S. Corrsin, Physics of Fluids, 1, 42-47 (1958)
-
521.3 Expresiones semiempíricas para la densidad de flujo turbulento de materia 771
wA
can subrayados con líneas discontinuas. Los términos que contienen describen el transporte turbulento de materia y se designan por la i-ésirna componente del vector de densidad d e flujo turbulento molar. Ahora ya hemos encontrado la tercera de las densidades de flujo turbulento, de modo que podemos resumir sus componentes como sigue:
J#,
densidad de fllqjo turbulento molar (vector)
j$:.=vTA
(21.2-3)
densiúad de flujo turbulento de cantihd de movimiento (tensor)
ir= i$$
(21.2-4)
densidad de flujo turbulento de calor (vector)
4<,fi =
(21.2-5)
p
Todas estas expresiones se definen como densidades de flujo con respecto a la velocidad media de masa. Es interesante observar que hay una diferencia esencial entre el comportamiento de las reacciones químicas de órdenes distintos. La reacción de primer orden tiene la misma forma en la ecuación con ajuste de tiempo que en la ecuación original. La reacción de segundo orden, por otra parte, contiene un término adicional -kya en la ecuación con ajuste de tiempo, que es la manifestación de la interacción entre la cinética química y las fiuctuaciones turbulentas. A continuación se resumen las tres ecuaciones de variación con ajuste de tiempo para el flujo turbulento de una mezcla isotérmica binaria de fluidos con p, 9AB y II. constantes:
continuidad movimiento
continuidad de A
(V-V)=O
(21.2-6)
" = - v -~ p.(y(") + i(f))l + PD t .------
(21.2-7)
o bien,
(21.2-8)
Dt
ry
Aquí = - ~ A ~ V Z Ay, se entiende que el operador D / D t debe contener la velocidad con ajuste de tiempo T.
521.3
EXPRESIONES SEMIEMPÍRICAS TURBULENTO DE MATERIA
PARA LA DENSIDAD DE FLUJO
En la sección precedente se demostró que el ajuste de tiempo de la ecuación de continuidad de A origina una densidad de flujo turbulento de materia, en masa, con componentes J$ = Para resolver problemas de transferencia -(f) de materia en flujo turbulento, puede ser útil postular una relación entre JAi y el gradiente de concentración con ajuste de tiempo. En la literatura sobre el tema pueden encontrarse varias expresiones empíricas, pero aquí sólo se presentan las dos más conocidas.
mA.
772
Capítulo 21 Distribuciones de concentracibn en flujo turbulento
Pifusividad de remolino Por analogía con la primera ley de Fick de la difusión, es posible escribir
9$k,
como la ecuación de definición para la difucividad turbulenta también denomi. nada difucividad de remolino. Así como es el caso con la viscosidad de remolino y la conductividad térmica de remolino, la difusividad de remolino no es una propiedad física caractenstica del fluido, sino que depende de la posición, la dirección y la naturaleza del campo de flujo. La difucividad de remolino 9% y la viscosidad cinemática de remolino v(t)= p ( t ) / p tienen las mismas dimensiones, a saber, longitud al cuadrado dividida entre tiempo. Su razón
es una cantidad adimensional, conocida como número turbulento de Schrnidt. A& corno es el caso con el número turbulento de Prandtl, el número turbulento de Schrnidt es del orden de la unidad (véase el análisis en 513.3). Así, la difusividad de remolino puede estimarse al sustituirla por la viscosidad cinemática turbulenta, sobre la que se sabe bastante. Esto se hace en seguida en 521.4.
Expresión de la longitud de mezcla de Prandtl y Taylor Según la teoría de la longitud de mezcla de Prandtl, la cantidad de movimiento, la energía y la materia son transportadas por el mismo mecanismo. Así, por analogía con las ecuaciones 5.4-4 y 13.3-3puede escribirse
donde E es la longitud de mezcla de Prandtl, que se introdujo en el capítulo 5. La cantidad 121d~,/dy\que aparece aquí corresponde a 9% de la ecuación 21.3-1, y a las expresiones para df)y implicadas por las ecuaciones 5.4-4 y 13.3-3. Por tanto, la teoría de la longitud de mezcla satisface la analogú? de Reynolds dt) = ( y ( t ) = a(&, O bien, pr(t) = = 1,
821.4" MEJORAMIENTODE LA TRANSFERENCIA DE MATERIA POR MEDIO DE UNA R E A C C I ~ N DE PRIMER ORDEN EN FLUJOTURBULENTO^
A continuación se analiza el efecto del término de la reacción química en la ecuación de difusión turbulenta. Especificamente, se estudia el efecto de la reacción sobre la -
-
-
-
O.T. Hanna, O.C. Sandall y C L. W h n , Ind Eng Chem. Kesearch, 26,2286-2290 (1987). O C Sandall, O T Hama y EJ.V a l e , Chem Eng. Communicutions, lb, 135-147(1982),proporcionan un problema análogo que trata con películas descendente%
521.4
Mejoramiento de la transferencia de materia por medio de una reaccibn de primer orden 773
velocidad de transferencia de materia en la pared para flujo turbulento impulsado estacionariamente en un tubo, donde la pared (de materia1 A) es ligeramente soluble en el fluido (un líquido B) que fluye por el tubo. El material A se disuelve en el líquido B y luego desaparece por una reacción de primer orden. Se tiene particular interés en el comportamiento con altos números de Schmidt y velocidades de reacción rápidas. Para flujo en un tubo con simetría axial y con CA independiente del tiempo, la ecuación 21.2-8 se transforma en
Aquí se ha hecho la suposición de costumbre de que puede despreciarse el transporte axial por dihsión molecular y turbulenta. Se desea encontrar la velocidad de transferencia de materia en la pared
donde CAO y ¿?A,ejeson las concentraciones de A en la pared y en el eje del tubo. Como se indicó en la sección precedente, la difusividad turbulenta es cero en la pared, y en consecuencia no aparece en la ecuación 21.4-2. La cantidad k, es un coeficiente de transferencia de materia, análogo al coeficiente de transmisión de calor h. El coeficiente h se analizó en el capítulo 14 y se mencionó en el capítulo 9 en relación con la "ley de enfriamiento de Newton". Como primera aproximación,' FA,++ se toma igual a cero, suponiendo que Ia reacción es suficientemente rápida de modo que Ia especie en difusión nunca alcanza el eje del tubo; luego, acA/ar también debe ser cero en el eje del tubo. Después de analizar el sistema bajo esta suposición, ésta se relaja y se proporcionan cálculos para un intervalo más amplio de velocidades de reacción. A continuaci6n se define la concentración reactiva adimensional C = ZA/CAO. Luego, bajo la suposición adicional1 de que, para z grande, la concentración será independiente de z, la ecuación 21.4-1 se vuelve
Ahora esta ecuación puede multiplicarse por r e integrarse desde una posición arbitraria hasta la pared del tubo para obtener
Aquí se ha usado la condición límite para r = R, así como la definición del coeficiente de transferencia de materia. Luego, una segunda integración desde r = O hasta r = R proporciona
774 Capitulo 21 Distribuciones de concentración en flujo turbulento
Aquí se han usado las condiciones limite C = O para r = O y C = 1 para r = Luego se introduce la variable y = R - r, debido a que la región de interes es justamente al lado de la pared. Así se obtiene
z;h-
R
R 1 dy- l = k l w s k~RJo (R-~)(B~,+O%~)
1
donde C(y) no es la misma función de y como C(3 lo es de f . Para Sc grande los integrandos s61o son importantes en la región en que y <
Esta ecuación contiene vanos agrupamientos adimensionales: el número de Schmidt Sc = v/EbAs, un parámetro adirnensional de velocidad de reacción Rx = k'í'R2/v,y un coeficiente adimensional de transferencia de materia Sh = k , D / a A B conocido como el número de Sherwood (donde D es el diAmetro del tubo). En el límite en que Rx -+ w, la solución de la ecuación 21.4-3 bajo las condiciones límite dadas es C = exp(-Shu/2). Al sustituir esta solución en la ecuación 21.4-7 se obtiene entonces, después de integrar directamente,
donde
Esto puede resolverse1 para obtener Sh como una función de Sc, Rx y K. La solución anterior de la ecuación 21.4-3 es razonable cuando Cc, Rx y z son suficientemente grandes, y es un mejoramiento sobre el resultado proporcionado . ~ embargo, en ausencia de reacción química, la por Vieth, Porter y S h e r w ~ o dSin ecuación 21.4-3 fracasa en describir el incremento de C corriente abajo provocado por la transferencia de la especie A hacia el fluido. Por tanto, el mejoramiento de transferencia de materia por la reacción química no puede valorarse en forma realista a partir de los resultados de la referencia l o de la referencia 2.
'W.R Vieth, J.H.Porter y T.K. Sherwood, Ind.Eng. Chem.Fundnrn., 2.1-3 (1963).
521.4
Mejoramiento de la transferencia de materia por medio de una reacción de primer orden 775 Para un mejor análisis del problema de mejoramiento, se usa la ecuación 21.41 para obtener una ecuación diferencial más completa para C:
La suposición de que C = O para r = O se sustituye entonces por la condición de densidad de flujo cero aC/ar = O ahí. En esta geometria, se representa como 121fi,/drl para flujo totalmente desarrollado, usando una longitud de mezcla 1 dependiente de la posición como en la ecuación 21.3-3. Al introducir notaciones adimensionales u+ = Ü,/v z+ = zv,/v, r+ = m,/v y 1' = Iv,/v basadas en la velocidad de fricción v, = de 95.3. k ecuación 21.4-11 puede expresarse en la forma adimenciona1
92k
a
donde se ha introducido un número de Damkohler Da = k'í'vlv:. Un modelo excelente para la longitud de mezcla 1 está disponible en la ecuación 5.4-7, deducida por Hanna, Sandall y ~ a z ealt modificar ~ el modelo proporciona. ~ modelo proporciona perfiles de concentración lisos, en el do por van D r i e ~ tEste supuesto de que se use una funci6n de velocidad con derivada radial continua, en vez de las expresiones continuas por partes que se proporcionaron en la figura 5.5-3. Una función así se obtiene al integrar la ecuación diferencia1 2
dv++--1-dy+
(1i)2($)
Y+
R+ para O
en las variables adimensionales v+ = Ü,/v, y y+ = yv,/v de la figura 5.5-3, con las condiciones límite v+ = O para y+ = O (la pared) y dvf /dy+ = O para y+ = R+ (la iínea central). La ecuación 21.4-13 se obtiene (véase el problema 218.5) al combinar las versiones en coordenadas cilíndricas de las ecuaciones 5.5-3 y 5.4-4 con la forma adimensional
I
+
=
Iv.
+
-= 0.4~ v
1 - exp(-y+ / 26)
para 0 41 - e ~ ~ ( - 0 . 2 6 ~ + )
y+< R+
(21.4-14)
del modelo de longitud de mezcla que se muestra en la ecuación 5.4-7. La ecuación 21.4-13 puede resolverse por medio de la fórmula cuadrática para llegar a
O.T. Hanna, O.C.Sandaii y P.R. Mazet, AlChE loumai, 27,693-697 (1981). E.R. van Driest, f . Aem. Sci., 23, 1007-1011,1036 (1956).
776
Capítulo 21 Distribuciones de concentraci6n en flujo turbulento
v
\
y v" puede calcularse entonces por cuadratura usando, por ejemplo, las subni La función u+ resultante se parece bastante a la hea trapzd y qtrap de Press et que se graficó en la figura 5.5-3, con cambios pequeños cerca de y' = 30, donde la línea graficada tiene una discontinuidad en la pendiente, y cerca de la línea ceb tral, donde la función calculada v f alcanza un valor máximo dependiente del radio adimensional de la pared R+, mientras la lfnea en la figura 5.5-3, incorrectamente, no lo hace. Las ecuaciones 21.4-12 a 21.4-15 fueron resueltas numéricamente6 para flujo totalmente desarrollado de un fluido de viscosidad cinemática v = 0.6581 cm2lS en un tubo liso de 3 cm de diámetro interno, para Re = 10,000, Sc = 200 y varios números de Damkohler Da. Estos cálculos se hicieron con el paquete de software Athena Visual Workbench.' Los números de Sherwood resultantes Sh = kcD/aAB, basados en k, como se definió en la ecuación 27.4-2, se graficaron en la figura 21.4-1 como funciones de z+ para varios valores del número de Damkohler Da. Estos re. sultados condujeron a las siguientes conclusiones: 1. En ausencia de reacción (es decir, cuando Da = O), el número de Sherwood disminuye rápidamente con el aumento en la distancia hacia el interior dc la región de transferencia de materia. Este comportamiento es consistente s ~ un problema correspondiencon los resultados de Sleicher y ~ r i b u para te de transmisión de calor, y confirma que el término de convección de la ecuación 21.4-11 es esencial para este sistema. Este término se despreció en las referencias 2 y 3 al considerar que los perfiles de concentración estaban "totalmente desarrollados". 2. En presencia de una reacción homogénea de seudoprimer orden del soluto (es decir, cuando Da > O), el número d e Shenvood disminuye corriente abajo menos rápidamente, y termina por alcanzar una asíntota constante que depende del número de Darnkohler.Por tanto, el factor de mejoramiento, definido como Sh(con reacción)/Sh(sin reacción), puede crecer considerablemente con el aumento de la distancia hacia el interior de la región de transferencia de materia.
-
Finura 21.4-1 Números de Sherwood calculados, Sh = kcD/9,q~,para transferencia turbulenta de materia desde la pared de un tubo, con y sin reacción química homogénea de primer orden. Resultados calculados para Re = 10,000y Cc = 200,como funciones de la posición axial z C = ZV,/ v y el núrnero de Damkohler Da = k';'v/v*.
10,000
W w'
a ik
cn
lo00
w
'D
iz loa lo00
10,000
Posición axial, z+
W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T.Vettering y B.P. Flannery, Numerical Rtcipes in FORTRAN, Carnbridge University Pms, 2a. edición (1942). M. Caracotsios, comunicación personal. Información sobre este paquete está disponible e n www.athenavisual.com y en stewart~associates.msn.com C.A. Sleicher y M.Tribus, Tranc. ASME, 79, 789-797 (1957).
g21.5 Mezclado turbulento y flujo turbulento con reacción de sepndo orden 777 /
/
$21.5
MEZCLADO TURBULENTO Y FLUJO TURBULENTO CON REACCION DE SEGUNDO ORDEN Ahora se considerarán los procesos que ocurren en el interior de sistemas turbulentos de fluido, con referencia particular a los dos mezcladores que se muestran en Ia figura 12.5-1. En la figura 12.5-la se muestra un sistema en estado estacionario, donde dos corrientes de entrada penetran a velocidades constantes en un sistema de geometria fija, y en la figura 12.5-lb se muestra un sistema en estado no estacionario, donde dos fluidos miscibles segregados, inicialmente estacionarios, se mezclan al hacer girar un propulsor a velocidad angular constante, empezando en el tiempo r = 0. Una corriente [en a] o una región inicial [en bl contiene el soluto A en el solvente S, y la otra contiene el soluto B en el solvente S. Todas las soluciones están suficientemente diluidas, de modo que los solutos no afectan notoriamente la viscosidad, la densidad o las difusividades de las especies. Entonces, el comportamiento del soluto (A o B) en cualquier sistema [a o b] es descrito por las ecuaciones de difusión sin ajuste de tiempo
-D c~ aAs v2cA + RA Dt con condiciones inicial y límite convenientes. Para estos sistemas puede escribirse que para t = O [en al o t = O [en bl
sobre el puerto de entrada de A [en al o en la región inicial [en 61, y
sobre el puerto de entrada de B [en al o en la región inicial [en bl. Además, se considera que todas las superficies de confinaniiento son inertes e impenetrables.'
No ocurre reacción Para esta situación, los términos RA y RB son idénticamente cero. Ahora se define una nueva variable independiente sencilla
Así, las ecuaciones 21.5-1 y 21.5-2 asumen la siguiente forma cobre todo el sistema:
En el sistema a), estas condiciones limite son sólo aproximaciones. Los valores indicados d e ca y ca se consideran como valores asintóticos para z << 0.
778
Capitulo 21
Distribuciones de concentración en flujo turbulento
Aquí el subíídice i puede representar ya sea al soluto A o al soluto B,
-
r = O para a) la corriente de entrada rica en A, o b) la región inicialmente rica en A
r = 1para a) la comente de entrada rica en B, o b) la región inicialmente rica en B
(21.S-10)
Se concluye que, para difusividades iguales, los perfiles de concentración con ajus te de tiempo, y, z , t), son idénticos para ambos solutos, donde
r(x,
Sin embargo, las cantidades fluctuantesr" también son de interk, ya que son medidas de "no mezclado". Estas cantidades sólo pueden ser iguales en un sentido estadh. tico. Para demostrar este hecho, la ecuación 21.5-11 se resta de la ecuación 21.5-7 y lue. go el resultado se eleva al cuadrado y se ajusta con respedo al tiempo para obtener
Aquí d(x, y, z, t ) es una función de decaimiento adimensional, que decrece hacia cero para z grande [para el mezclador inmóvil de la figura 21.5-la] o para t grande [para d tanque de mezclado de la figura 21.5-lb]. Es posible medir los promedios de esta cantidad con respecto a la sección transversal, mismos que se muestran en la figura 21.5-2. Queda por determinar la dependencia funcional de la función de decaimiento, para lo cual se introducen las variables adimensionales:
Así, la ecuación 215-8se transforma en
donde Re
= lovop/p.
Figura 21.5-1 Dos
b)
tipos de mezcladores: a) mezclador con deflectores sin partes móviles; b) mezclador por lotes con un agitador.
921.5 Mezclado turbulento y flujo turbulento con reacción d e segundo orden
Figura 21.5-2 Función de decaimiento de un dispositivo específico para el mezclado de dos corrientes que salen desde un tubo y desde una región anular. Esta figura sigue e' patrón de la figura de E.L. Cussler, Diffusion: Mass Transfer in Fluid Systems, Cambridge University Press (1997), p. 422, basada en datos de R.S. Brodkey, Turbulence in Mixing Operations, Academic Press, Nueva York (1975), p. 65, figura 6, curva superior. El radio del tubo exterior es fiveces el del tubo interior.
- - -- - - -
1.o
I
tdZ) 0.1
-
0.01 O
779
l
I
I
I
8
16
24
32
z/D
A fin de poder obtener conclusiones específicas, ahora centramos nuestra atención en los tanques de mezclado [véase la figura 21.5-lb], y además se suponen líquidos de baja viscosidad y solutos de bajo peso molecular, Para estos sistemas lo suele elegirse como el diámetro del propulsor, y u* como ION,donde N es la velocidad de rotación del propulsor en revoIuciones por unidad de tiempo. Ahora es útil considerar la experiencia adquirida en el estudio de tales sistemas y clasificar el proceso global de mezclado como sigue:2 i) macrornezclado, donde movimientos a gran escala distribuyen los fluidos ricos en A y ricos en B sobre toda la región del tanque, hacia subregiones grandes e n comparación con las distancias que las moléculas del soluto se han movido debido a la difusión. ii) micrornezclado, donde la difusión proporciona la mezcla final sobre escalas de dimensiones moleculares. Se ha encontrado1 que el macrornezclado iiormalmente es el proceso más lento, y esta observación puede explicarse en términos de análisis dimensional. Este descubrimiento es consistente con la experiencia en mezclas a gran escala. Para sistemas industriales, los números de Reynolds suelen estar bastante por arriba de 104 y los números de Schmidt son del orden de lo5. El término de la difusión en la ecuación 21.5-14 tiende entonces a ser pequeño casi en todas partes del sictema. Este término es despreciable durante el periodo de macrornezclado, donde la difusión, y por tanto el número de Schmidt, no tienen un efecto significativo. Entonces, para muchos propósitos prácticos es posible escribir
* M.L. Hanks y H.L. Toor, Ind. Eng. Chem. Res., 34,3252-3256 (1995).
780
Capitulo 21 Distribuciones de concentracibn en flujo turbulento \
Luego es posible relajar el requerimiento de difusividades iguales al extrapolar experiencia a un sistema nuevo. Ce concluye que los números de Reynolds y tam. bién los números de Schmidt no deben afectar de manera importante al proceso d, macromezclado, y que el grado efectivo de no mezclado, d2, depende principalmQ. te del tiempo adimensional. Para tanques de mezclado a gran escala, esta predicción ha sido confirmada am. ~liamente.3Estos tanques operan normalmente a grandes números de Reynold (típicamente mayores que lo4), donde se observa que los movimientos a gran esta. la, expresados en términos de +(X, ij,2, i), son independientes tanto de los números de Repolds como del tamaño del sistema. Así, usando muchas geometrías disth. tas del mezclador, un número muy grande de investigadores ha observado que e] producto del tiempo de mezcla necesario f,d, y la velocidad de rotación N es una constante independiente del tamaño del mezclador y del número de Reynolds: Ntmzcla= K(geometría)
O
bien,
hnezcia
= K/N
(21.5-16)
Es decir, el tiempo de mezcla necesario tm,i, corresponde, para un tanque de geometría dada, esencialmente al número de vueltas requerido del propulsor. Esta expectativa es confirmada por la experiencia. Este descubrimiento es consistente con observaciones2de que tanto la velocidad adimensional de flujo volumétrico a través del propulsor, Q / N D ~ ,y el factor de fricción del tanque, P / ~ # D ~son , constantes, dependiendo exclusivamente de las geometrías del tanque y del propulsor (véase el problema 6C.3). Aquí Q es el flujo volumétrico en el chorro producido por el propulsor, y P es la potencia requerida para hacerlo girar. Observaciones semejantes suelen aplicarse a mezcladores inmbviles, donde el aumento de las velocidades del fiujo suele afectar poco el grado de mezclado. Sin embargo, aproximaciones como ésta deben someterse a pruebas, y éstas deben considerarse como los primeros pasos en un programa experimental. Como cuestión práctica, estas aproximaciones casi siempre dependen del tamaño de la escala, debido a que los números de Reynolds normalmente crecen con el tamaño del equipo.
Ocurre reacción
En seguida se consideran los efectos de una reacción química homogénea irreversible, misma que para facilitar las cosas se escribe como A + 3 + productos. Nuevamente se suponen soluciones diluidas, de modo que el calor de reacción y la presencia de productos de reacción no afectan de manera importante. AdemAs, se suponen difusividades iguales para los dos solutos. Después se define
Luego, cuando la ecuación 21.5-2 se resta de la ecuación 21.5-1, se encuentra que la descripción de r W c d n es idéntica a la de su contraparte sin reacción. Por tanto,
J.Y. Oldshue, Fluid Miring Technology, McCraw-Hill, Nueva York (1983); H. Benkreira, Fluid Mixing, Institution ofChemical bgineers, Rugby, Reino Unido, Vol. 4 (1990), Vol. 6 (1999);1. Bouwmans y H.E.A. van den Akker, en el Vol. 4 de Fluid Mixing, Institution of Chemical Engineers, Rugby, Reino Unido (19901, pp. 1-12.
521.5 Mezclado turbulento y flujo turbulento con reacción de segundo orden 781
Al restar d e esta ecuación su contraparte con ajuste de tiempo, se encuentra que para las fiuctuaciones debe cumplirse una ecuación como la 21.5-18:
El cuadrado medio con ajuste de tiempo de la cantidad en el miembro derecho es igual a d2, que es medible, como se ilustra en la figura 2'1.5-2, y por tanto se tiene una forma para pronosticar la cantidad correspondiente para sistemas reactivos. La ecuación 21.5-19 sugrere que las fluctuaciones en C A y ca en problemas reactivos ocurren en las mismas escalas de tiempo y distancia que para problemas no reactivos. Nótese que esto es cierto para geometría, condiciones de flujo y cinética de la reacción arbitrarias. Ahora ya es posible considerar casos especiales. Comenzamos con una reacción rdpida, para la cual no pueden coexistir los dos solutos, y la velocidad de la reacción es controlada por la interdifusión de las especies. Entonces, para la primera etapa (macromezclado) del proceso de mezcla, donde la difusión es muy lenta en comparacibn con los procesos por convección a mayor escala, no hay reacción significativa. En esta etapa del proceso de mezcla, típicamente dominante, se tiene
Se ha sugerido4 que la ecuación 21.5-20 también es verdadera para la etapa de mi-
cromezclado. Donde puede suponerse esto (por ejemplo en la situación común en que el macromezclado es controlante de la velocidad), se concluye que los procesos reactivos y no reactivos llevan a descripciones idénticas de fluctuaciones del soluto. En la práctica, las reacciones rápidas (por ejemplo la neutralización de ácidos por medio de bases) se usan a menudo para determinar la eficacia de los mezcladores, ya que con más fáciles de seguir experimentalmente que las mezclas no reactivas. Con frecuencia es posible usar mediciones macrosc6picas sencillas como el aumento de temperatura o un indicador de cambio de color. Sin embargo, la medición de fluctuaciones de concentración puede proporcionar más conocimiento sobre la naturaleza y el curso del proceso de mezclado. Las reacciones lentas también son importantes, por lo que se considera el caso especial de cinéticas irreversibles de segundo orden, definidas por
Una vez que esta expresión se ajusta con respecto al tiempo, se obtiene
Por tanto, se encuentra que las fluctuaciones en la concentración del soluto aumentan la velocidad de reacción con ajuste de tiempo con respecto a la velocidad cuando
' K.-T. Li y H.L. Toor, Ind. Eng. Chem. Fundam., 25,719-723(1986).
782
Capitulo 21
Distribuciones de concentración en flujo turbulento
\ \
s e usa un simple producto d e concentraciones con ajuste d e tiempo. Sin embargo, difícil valorar Ia importancia práctica de este efecto. A continuación se ilustra este punto por medio d e u n análisis sencillo d e orden d e magnitud, empezando con la definición d e u n a constante d e l tiempo de res, ción tA de uno de los reactivos, que aquí es el soluto A:
Hasta una primera aproximación puede escribirse
Luego es posible definir reacciones rápidas y lentas como aquellas para las cuales tmezcia
t~
fmezcia
<< t~
reacción rápida
(21.5-25)
reacción lenta
(21.5-26)
Ya hemos analizado el caso de la reacción rápida. Para reacciones lentas, la turbulencia carece d e un efecto significativo, debido a q u e las fluctuaciones se vuelven despreciables antes d e que se lleve a cabo cualquier reacción apreciable. Si las constantes de tiempo d e mezcla y de reacción son del mismo orden de magnitud, es necesario realizar u n análisis m á s profundo q u e el anterior. Tal análisis debe incluir u n modelo para el movimiento turbulento, aunque por el momento no parece q u e haya disponiblilidad de uno.
Analizar Ias semejanzas y diferencias entre transporte turbulento de calor y de materia. Analizar el comportamiento de reacciones de primer orden y de orden superior en el ajuste de tiempo de la ecuación de continuidad para una especie dada. ¿Cuáles son sus consecuencias? 3. iEn que medida se parecen en forma la densidad d e flujo turbulento de cantidad de movimiento, la densidad de flujo de calor y la densidad d e flujo de materia? 4 ¿Con qué empirismos se cuenta para describir la densidad de flujo turbulento de materia? 5. iC6mo pueden medirse las difusividades de remolino, y de qué dependen? 6. ¿Esperaría el lector obtener resultados confiables para la transferencia de materia en flujo tubulento en un tubo sin reacción química simplemente haciendo Rx = O en la ecuación 21.4-8? 1. 2.
PROBLEMAS
21A.1 Determinación de la difusividad de remolino (figuras 18C.1 y 21A.1). En el problema 18C.1 se proporcionó la fórmula para los perfiles de concentración en difusión desde una fuente puntual en una comente en movimiento. En flujo isotrópico aItamente turbulento, la ecuación 18C.l-3 puede modificarse sustituyendo aAB por la difusividad de remolino 9jfL. encontró que esta ecuación es útil para determinar la difusividad de remolino. La velocidad de flujo molar del bióxido de carbono es 1/1000 de la del aire. ~ S a) Demostrar que si se grafica In s c contra
-
z, la pendiente es -vo/2@&.
b) Usar los datos sobre la difusión de COZdesde una fuente puntual en una corriente hirbulenta de aire que se muestra en la figura 21A.1 a fin de obtener 9A)Bpara estas condiciones: diámetro del tubo, 15.24 cm; vo = 1512 cm/s.
Problemas 783
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
O
0.4
T / R -f
C)
Comparar el valor de ;9 :
0.6
Figura 2lA.1 Datos de concentración transversal para COZinyectado en el interior de una corriente turbulenta de aire en un tubo de 15.24 cm de diámetro. El número de Reynolds para el flujo es 119,000. Los círculos son concentraciones a una distancia z = 112.5 cm corriente abajo del punto de inyección, y las cruces son concentraciones en z = 152.7 cm. [Los datos experimentales están tomados de W.L. le y T.K.Sherwood, Ind. Eng. Chem., 31,457-462 (19391.1
con la difusividad molecular ?bAs para el sistema Coz-aire.
d) Enumerar todas las suposiciones que se hicieron en los cálculos. Respuesta: b)
9ib = 19 cm2/s
21A.2 Analogía de transmisibn de calor y transferencia de materia. Escribir el anáiogo de transferencia de materia de la ecuación 13.419. ¿Cuáles son las limitaciones de la ecuación resultante? 2XB.1 Densidad de flujo de masa en la pared para flujo turbulento sin reacciones químicas. Usar
el anglogo de difusión de la ecuación 13.4-20 para flujo turbulento en tubos circulares, y la fórmula de Blasius para el factor de fricción, a fin de obtener la siguiente expresión para el número de Sherwood,
válida para grandes números de Schmidt.' -2 Expresiones alternativas para la densidad de flujo turbulento de materia e n masa. Buscar
una expresión asintótica para la densidad de flujo turbulento de materia en masa para tubos circulares largos con una condición límite de densidad de flujo de masa constante en la pared. Supóngase que la transferencia neta de materia a traves de la pared es pequeña. a) Establecer un paralelismo con el método para transmisión de calor en flujo laminar de Q10.8 para escribir
es la fracción de masa de entrada de A, y JAO es la dendonde 6 = v / D , 5 = (z/D)/ReSc, sidad de flujo de masa interfacial de A en el fluido.
b) Luego, utilizar la ecuación de continuidad de la especie A para obtener
' O.T. Hanna, O.C. Sandall y C.L. Wilson, lnd. Eng. Chem. Res., 28,2286-2290 (1987).
784
Capítulo 21
Distribuciones de concentración en flujo turbulento ~ ~ .ecuación debe integrarse con las condiciones limite de donde Sdt) = , L L ( ' ) / ~ ~Esta es finito para 5 = O y dll,/dc = -1 para 6 =
t.
C)
qie
Integrar una vez con respecto a 6 para obtener
21B.3 Una expresión asintótica para la densidad de flujo turbulento de materia en masa.' Ea. pezar con el resultado final del problema 21B.2 y observar que para Sc suficientemente grande toda la curvatura del perfil de concentración se lleva a cabo muy cerca de la pared, donde v,/(vJ = O y [= Suponer que SC(') = 1 y usar la ecuación 5.4-2 para obtener
t.
en la ecuación 21B.3-1 a fin de obte Introducir una nueva coordenada q = S~'/~(~v*/14.5v) ner una ecuación para diI/dq válida en el interior de la subcapa limite. Luego integrar desde 7 = O (donde WA = wAO)hasta .>I = m (donde w~ = wAb)a fin de obtener una relaci6n explícita para la densidad de flujo de materia en la pared jAo Comparar con el análogo de la ecuación 13.4-20 que se obtuvo en el problema 21B.í. 218.4 Deposición de plata desde una corriente turbulenh (figura 21B.4). Una solución de KNQ,
aproximadamente de 0.1 N, que contiene 1.00 x lom6g-equiv de AgN03 por litro fluye entre
Figura 218.4 a ) Electrodeposicibn de Ag" desde una corriente turbulenta que fluye en la dirección z positiva entre dos láminas paralelas. h) Gradientes de concentración en la electrodeposición de Ag en un electrodo.
' C.S. Lin, R W Moulton y G L. Puham, Ind. Eng. Chern., 45,636 (1953).
-
Problemas 785 láminas paralelas de Ag, como se muestra en la figura 2f 13.4~.Para producir la deposición de Ag en el cátodo (lámina inferior) y polarizar completamente el circuito (es decir, para mantener la concentración de ~ g muy + cerca de cero en el citodo) se aplica un pequeño voltaje a traves de las láminas. En estas condiciones se puede ignorar la difusión forzada y considerar que el ion Ag+ se mueve hacia el cátodo solamente por difusión ordinaria (es decir, de Fick) y de remolino. Además, la solución está suficientemente diluida, de modo que los efectos de tas otras especies iónicas sobre la difusión de Ag" son despreciables. a) Calcular el perfil de concentración de Ag', suponiendo i) que la difusividad binaria efectiva de Ag+ a través de agua es 1.06 X cm2/s; ii) que la expresión truncada de Lin, Moulton y Putnam de la ecuación 5 . 4 2 para la distribución turbulenta de velocidad en tubos redondos tambibn es válida para el "flujo en rendijas", si el diámetro del tubo se sustituye por el cuádruplo del radio hidráulico; y iii) que las láminas están separadas por una distancia de 1.27 cm, y es 11.4 crn/s.
b) Estimar la velocidad de deposición de Ag sobre el cátodo, despreciando todas las demás reacciones de electrodo. ¿El metodo de cálculo en el inciso a) pronostica una pendiente discontinua para el perfil de concentración en el plano centra1 del sistema? Explique su respuesta.
C)
Respuestas: a) véase la figura 21B.4b; b) 6.7 x 10-l2 equiv/cm2 s 21B.5 Expresión de la longitud de mezcla para el perfil de velocidad.
a) Comenzar con la ecuación 5.5-3 y demostrar que para flujo turbulento totalmente desarmllado impulsado estacionariamente en un tubo
b) Luego, hacer Tr2= 7$ + 7g, donde 7g está dado por el análogo en coordenadas cilíndricas de la ecuación 5.2-9, y está dado por la ecuación 5.5-5. Demostrar que entonces la ecuacidn 218.5-1 se transforma en
(2).(2) -,ni 2
+
=
(1
para 0 5 y 5 R
c) Obtener la ecuación 21.4-13 a partir de la ecuación 21B.5-2 introduciendo los símbolos adi-
mensionales que se usaron en la ecuación anterior.
Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas Definición de los coeficientes de transferencia en una fase Expresiones analiticas para los coeficientes de transferencia de matena Correlación de los coeficientes binarios de transferencia en una fase Definición de los coeficientes de transferencia en dos fases Transferencia de materia y reacciones químicas Combinación de transmisión de calor y transferencia de materia por convección libre Efectos de las fuerzas interfaciales sobre la transmisión de calor y la transferencia de materia Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia Aproximaciones matriciaies para transporte de materia de varias componentes
Aquí ampliamos análisis previos de difusión binaria a fin de contar con medios para predecir el comportamiento de operaciones de transferencia de materia como destilación, absorción, adsorción, extracción, secado, filtraciones a través d e membranas y reacciones químicas heterogéneas. Este capítulo comparte muchas características con los capítulos 6 y 14. Está particularmente relacionado con el capítulo 14, ya que hay muchas situaciones donde las analogías entre transmisión de calor y transferencia de materia pueden considerarse como idénticas. Sin embargo, hay diferencias importantes entre transmisión de calor y transferencia de matena, por lo que dedicaremos gran parte de este capítulo a investigar estas diferencias. Debido a que muchas operaciones de transferencia de materia implican interfases fiuido-fluido, es necesario tratar con distorsiones del perfil interfacial por resistencia viscosa y por gradientes de tensión superficial resultantes de no hornogeneidades en temperatura y composición. Además, puede haber muchas interacciones entre transmisión de calor y transferencia de materia, y es posible que ocurran reacciones químicas. Más aún, a altas velocidades de transferencia de materia, los perfiles de temperatura y concentración pueden estar distorsionad~~ Estos efectos complican y algunas veces invalidan Ia clara analogía entre transmisión de calor y transferencia de materia que de otra forma podría esperarse. En e1 capítulo 14, la transmisión de calor interfásica implicaba el movimiento de calor hacia o desde una superficie sólida, o la transmisión de calor entre dos fluidos separados por una superficie sólida. Aquí encontraremos transmisión de calor y transferencia de materia entre dos fases contiguas: fluido-fluido o fluido-sólido. Esto plantea la cuestión de cómo tener en cuenta la resistencia a la difusión que presentan los fluidos a ambos lados de la interface.
788
Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas
El capítulo empieza con la definición, en 522.1, de los coeficientes sión de calor y transferencia de materia para mezclas binarias en una fase (1 gaseosa). Luego en 522.2 se muestra cómo las soluciones anaIiticas de p difusión conducen a expresiones explícitas para coeficientes de transferencia de teria. En esa sección se proporcionan algunas expresiones analíticas para coeficie de transferencia de matena a altos números de Schmdt para varios sistemas vamente sencillos. Se recalca el comportamiento distinto de sistemas con interfases fluido-fluido y sólido-fluido. En 522.3 se muestra c6mo el análisis dimensional lleva a predicciones que h. plican el número de Sherwood (Sh) y el número de Schmidt (Sc), que son los anaG gos del número de Nusselt (Nu) y del número de Prandtl (Pr) que se definieron en el capítulo 14. Aquí se destacan las analogías entre transmisión de calor en fluidos puros y transferencia de matena en mezclas binarias. Luego, en s22.4se procede a la definición de coeficientes de transferencia de materia para sistemas con difuión en dos fases contiguas. Ahí se demuestra cómo aplicar la información sobre rencia de materia en fases sencillas para comprender la transferencia de materia entre dos fases. Por iütimo, en las cinco secciones finales del capítulo se abordan algunos efecto$ peculiares de los sistemas de transferencia de materia: transferencia de materia con reacciones químicas (§22.5), la interacción de los procesos de transmisión de calor y transferencia de materia en convección libre (§22.6), los factores de complicación de las fuerzas de tensión interfacial y los efectos de Marangoni (522.71,las distorsiona de los perfiles de temperatura y concentración que se presentan en sistemas con altas velocidades de transferencia neta de materia a través de Ia interface (922.8); y por último el anhlisis matricial de transporte de materia en sistemas de varias componentes. En este capítulo se recalca el comportamiento no análogo de los sistemas de transmisión de calor y transferencia de materia. En este capítulo el análisis se limita a unos cuantos temas cmciales sobre corre laciones entre transferencia de materia y coeficiente de transferencia. Puede consuE tarse información adicional en libros de texto especializados en estos tópicos y en otros temas relacionado^.'^
En este capítulo se relacionan las velocidades de transferencia de materia a través de límites de fase con las diferencias de concentración relevantes, principalmente para sistemas binarios. Estas relaciones son análogas a las correlaciones de transmisibn de calor del capítulo 14 y contienen coeficienfesde frarzsferencia de materia en lugar de los coeficientes de transmisión de calor de ese capítulo. El sistema puede tener como Iímite una verdadera fase, como en Ias figuras 22.1-1, 22.1-2 o 22.1-4, o un cambio abrupto en propiedades hidrodinárnicas, como el sistema de la figura 22.1-3, que contiene un sólido poroso. En la figura 22.1-1se muestra la evaporación de un liquido volátil, que se usa a menudo en experimentos para desarrollar correlaciones de transferencia de materia. En la figura 22.1-2 se muestra una membrana selectivamente permeable, donde esta última permite un transporte más selectivo del disolvente que el de un soluto que debe retenerse, como en la ultrafiltración de soluciones de -
~-
-
' T.K. Shewood, R.L. Pigford y C.R. Wtlke, Mass Transfer, McGraw-Hill, Nueva York (1975). R.E. Treybal, M a s Trnnsfer Openitions, 3a edición, McCraw-Hi, Nueva Yotk (1980). E.L. Cussler, Dipsion: Mass Transp in Fluid Systems, 2a. edición, Cambridge Universiky Press (1997). D.E. Rosmr, Transport Proc~sesin Chemicnlly Reacting F l m Systems (completo),Dover, Nueva York (2000)
s22.1
Definición de los coeficientes de transferencia en una fase 789 Vapor A que se mueve hacia el interior de la corriente gaseosa
Corriente del rras B
Figura 22.1-1 Ejemplo de transferencia de materia a través de un iímite plano; secado de una placa saturada.
Procesos representativos de membrana
Pé <
Pé >>1: Microfiltración Utrafiltración Nanofiltraci6n bsmosis inversa
Oxigenación de sangre por diálisis
Figura 22.1-2 Dos tipos más bien típicos de separadores de membrana, clasificados aquí según un número de Péclet, Pé = 67~/5?3,~ para el flujo a través de la membrana. Aquí 6 es el espesor de la membrana, v es la velocidad a la que el disolvente pasa a través de la membrana y es la difusividad efectiva del soluto a travks de la membrana. La línea gruesa representa la membrana y las flechas representan el flujo a lo largo o a través de la membrana.
proteínas y la desalinización de agua marina. En la figura 22.1-3 se muestra un sólido maa-oscópicamenteporoso, que puede servir como superficie de transferencia de materia o proporcionar sitios para adsorción o reaccion. En la figura 22.1-4 se muestra un contactor idealizado líquido-vapor donde la interfase de transferencia de materia puede distorsionarse debido a fuerzas viscosas o de tensión superficial. En cada uno de estos sistemas, en la interfase hay transmisión de calor y transferencia de materia, y cada una de estas densidades de flujo cuenta con un término molecular (por difusión) y un término convectivo (aquí el término convectivo se ha escrito en el miembro izquierdo de la ecuación):
Estas ecuaciones son precisamente las ecuaciones 18.0-1 y 19.3-6 escritas en la interfase de transferencia de materia (y = O). Describen la densidad de flujo molar de interfase de la especie A y la densidad de flujo de interfase de energía (excluyendo la energía
-
Corriente del gas A caliente
Gas A frío que se bombea a través de la pared
Gas A inyectado que se /aleja de la pared
Figura 22.1-3 Ejemplo de transferencia de materia a través de una pared porosa: enfriamiento por transpiración.
Capitulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isoténnicas Pared del tuba
Gas , ascendente
Figura 22.1-4 Ejemplo de un dispositivo de contacto la columna de pared especies químicas A y B se rnuwml desde la corriente Liquida que fluye ' hacia abajo hacia la corriente que circula hacia arriba en un tubo ciIíndrico.
4
3 4
cinética y la contribución de [T VI).NAOy e. se definen como positivos para transfe rencia hacia el interior de la fase local excepto en 522.4, donde ias densidades de flujo en cada fase se definen como positivas para transferencia hacia el Iíquido. En el capítulo 14 se definió el coeficiente de transmisián de cabr en ausencia de transferencia de materia por medio de la ecuación 14.1-1 (Q = hA AT). Para superficies con transmisión de calor y transferencia de materia, las ecuaciones 22.1-1 y 22.1-2 sugieren que las siguientes definiciones son apropiadas:
donde N,, es el número de moles de la especie A que pasa por unidad de tiempo a través de la superficie de transferencia en y = O, y E* es la cantidad total de energía que pasa a través de la superficie. Los coeficientes de transferencia kd y h no se definen sino hasta que se especifican el área A y las íuerzas impulsoras AxA y AT. Todos los comentarios del capítulo 14 concernientes a estas definiciones son válidos para este capitulo, con el resultado de que puede agregarse un subíndice 1, ln, a, m o loc a fin de aclarar el tipo de fuerza impulsora que se usó. No obstante, en este capitulo se dará preferencia al uso de los coeficientes locales de transferencia y ocasionalmente a los coeficientes medios de transferencia. También se usarán densidades de flujo molar de las especies, debido a que este hecho suele ser tradicional en ingeniería química. En la tabla 22.2-1 se resumen Ias relaciones entre las expresiones de transferencia de materia en unidades molares y de masa. Los coeficientes locales de transferencia se definen a1 escribir las ecuaciones 22.1-3 y 22.1-4 para un área diferencial.Debido a que d W,,/dA = N,, y dE,/dA = e,, se obtienen las definiciones
522.1
Definición de los coeficientesde transferencia en una fase
791
A continuación se observa que el miembro izquierdo de la ecuación 22.1-5 eso; ] Y que el miembro izquierdo de una ecuación semejante escrita para la especie B es I ; ; ~ Sin embargo, debido a que &o = -Eo y AxA = -AxB, se encuentra que kxA,lm = kxB,loc, y en consecuencia es posible escribir ambos coeficientes de transferencia de materia como k, 1,, cuyas unidades son (moles)/(área)(tiempo).Además, si el calor de mezcla es cero (como en mezclas de gases ideales), es posible sustituir HAo por rpMUO - 'P), donde Ta es una temperatura de referencia elegida arbitrariamente, como se explicó en el ejemplo 19.3-1.Para puede hacerse una sustitución semejante. Con estos cambios se obtiene
zBO
Recordamos al lector que una rápida transferencia de materia a través de los límites de fase puede distorsionar los perfiles de velocidad, temperatura y concentración, como ya se vio en g18.2 y en el ejemplo 19.4-1. Las correlaciones que se proporcionaron en §22.2, así como sus análogos en los capítulos 6 y 14 son para pequeñas velocidades de transferencia neta de materia, es decir, para situaciones donde los términos por convección en las ecuaciones 22.1-7 y 22.1-8 son despreciables con respecto al primer término. Estas situaciones son comunes y la mayor parte de las correlaciones que aparecen en publicaciones sobre el tema adolecen de la misma limitación. En 522.8 consideraremos las desviaciones asociadas con altas velocidades de transferencia neta de materia y para esas condiciones a Ios coeficientes de transferencia se les afiade un supraíndice (véase $22.8). En muchas de las publicaciones especializadas en ingeniería química, los coeficientes de transferencia de materia se definen como "S"
La relación de este coeficiente de transferencia de materia "aparente" con el que se definió en la ecuación 22.1-7es
Otros coeficientes de transferencia de materia de amplio uso se donde r = NBO/NAD, definen como
y para líquidos como
792 Capitulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas ? .
para gases. En el límite de bajas concentraciones de soluto y bajas velocidades transferencia neta de materia, para las que se han obtenido la mayor parte de co laciones,
El supraíndice O indica que estas cantidades sólo son aplicables para bajas veloc&. des de transferencia de materia y pequeñas fracciones molares de la especie A. En muchos contactores industriales se desconoce la verdadera área interfahl, Un ejemplo de un sistema así sería una columna que contiene un relleno aleato& de partículas sólidas irregulares. En esta situación es posible definir un coeficiente volumétrico de transferencia de materia, kp,incorporando el área interfacial de región diferencialde la columna. Entonces, la velocidad a que se transfieren los moles de A hacia el fluido intersticial en un volumen Sdz de la columna está dada por
Aquí el área interfacial, a, por unidad de volumen se combina con el coeficiente de transferencia de materia, S es la sección transversal totaI de la columna y z se mide en la dirección del flujo primario. Están a disposición correlaciones para predecir valores de estos coeficientes, aunque deben usarse con cautela. Rara vez incluyen todos los parámetros importantes y en consecuencia no pueden extrapolarse con seguridad a nuevos sistemas. Además, aunque suelen describirse como "locales", en realidad representan un promedio deficientemente definido sobre un amplio intervalo de condiciones interfaciale~.l-~ Esta sección termina con la definición de un grupo adimensional que se usa ampliamente en publicaciones sobre transferencia de materia y en el resto de este libro:
que se denomina número de Sherwood basado en la longitud característica lo. A esta cantidad pueden agregársele los subíndices 1, a, m, ln y loc de la misma manera que h.
-
-
--
' J. Stichimair y J.E Fair, Disfillation Principies and Prrictice, Wiley, Nueva York (1998). H.Z. Kister,Distillation Design, McGraw-Hill,Nueva York (1992). J.C.Godfrey y M.M. Slater, Liquid-Liquid Extraction Equipment, Wiley, Nueva York (1994). K.H.l'erry y D.W. Green, Chemical Engineers' Handbook, 8a. edición, McGraw-Hill, Nueva York (1997). J.E. Vivian y C.J. King, en Modern Chemical Engineering (A. Acrivos, editor), Reinhold, Nueva York (1963).
'
522.2 Expresiones analíticas para los coeficientes de transferencia de matena ~ ~ 2 . EXPRESIONES 2 ANAL~TICASPARA LOS
793
COEFICIENTES
D E TRANSFERENCIA D E MATERIA En los capítulos precedentes se obtuvieron varias soluciones analíticas para perfiles de concentración y para las densidades de flujo de materia molar asociadas. A partir de estas soluciones ahora es posible deducir los coeficientes de transferencia de materia correspondientes. Estos coeficientes suelen presentarse en forma adirnensional en términos de números de Sherwood. Estas expresiones analíticas se resumen aquí para su uso en secciones ulteriores de este capítulo. Todos los resultados que se proporcionan en esta sección son para sistemas con una componente ligeramente soluble A, difusividades pequeñas 9AB y pequeñas velocidades de transferencia neta de materia, como se definió en 522.1 y 522.8. En este momento puede ser de utilidad consultar la tabla 22.2-1, donde se han resumido los grupos adimensionales para transmisión de calor y transferencia de materia.
Tabla 22.2-1
Analogías entre transmisión de calor y transferencia de materia a baja velocidad de transferencia de materia Cantidades de transmisi6n de calor (fluidos puros)
Cantidades de transferencia Cantidades de transferencia binaria de materia (fluidos binaiia de materia (fluidos isotérmicos, unidades molares) isotérmicos, unidades d e masa)
-
Perfiles
d
Efectos de los perfiles sobre la densidad Densidad de flujo
l =- l
JA = N A - xA(NA + NB)
9
Lk
dwA )P,T
jA = n A - wA(nA + nB)
Velocidad de transferencia Q
Q
Coeficiente de transferencia h = A AT Grupos adimensionales comunes a las tres correlaciones
Re = lovop/fi
Re = l o ~ , p / f i
Grupos adimensionales que son diferentes
Nu = hlo/k ~r = C p p / k Gr = I ; & / ~ A T / ~ ~ Pé = RePr = plov&p/k
Sh = k # o / B A B dfiAB Gr, = ~ $ ? ~ [ A X ~ / P ~ Pé = ReSc = louo/EdAB
Sh
jH
j,
j,
Factores j de Chilton-Coibum
= NUR~-' pr-li3 2/3
=
kwlO/PEoAB -L/~~AB Gr, = l ~ p ~ i ~ w ~ / f i ~ Pé = ReSc = lovo/EdAB =
"I
=
2/3
(&)13
1
- @'o
Notas: a) El subíndice O en lo y v, indica la velocidad y la longitud características, respectivamente, mientras que el subíndice O en la kacá6n molar (o en unidades de masa) y en la densidad de flujo molar (oen unidades de masa} significa "evaluadoen la interfase". b) Estos tres números de Grashof pueden escribirse como Gr = Aplp2, en el supuesto de que el cambio en densidad s61o sea provocado por una diferencia de temperatura o composición.
794 Capítulo 22
Transporte interfiísico en mezclas no isotennicas
Transferencia de materia en películas descendentes sobre superficies planas
7
Para la absorción de un gas ligeramente soluble A en una película descendente líquido puro B, el resultado de la ecuación 18.518 puede escribirse en la forma de 4 mación 22.1-3(modificado convenientementepara unidades de concentración lar en la forma de la ecuación 22.1-11); así,
Entonces, cuando el área característica se elige como el área de Ia interfase observa que
m,se
Esta ecuación expresa el número de Sherwood (el coeficiente adimensional de tramferencia de materia) en términos del número de Reynolds y del número de S~hmidt, con Re definido en términos de la velocidad máxirna v& en la peiícula y la longitud de la película L. El número de Reynolds también podría definirse en términos de la velocidad media de la película con un coeficiente numérico diferente. De manera semejante, para la disolución de un material ligeramente soluble A desde la pared hacia una película líquida descendente de B puro, la ecuación 18.610 puede escribirse en la forma de la ecuación 22.1-3 como sigue:
Luego, usando la definicidn de a = pg6/p que se proporcionó justo a continuación de la ecuación 18.6-1 y la expresión para la velocidad máxima en la peiícula de la ecuación 2.2-19, el número de Sherwood se encuentra como sigue:
En este caso no sólo aparecen el número de Reynolds y el número de Cchmidt, sino también la relación de la longitud de Ia película al espesor de la misma. Estos dos problemas -1a absorción de un gas por una peiícula descendente y la disolución de una pared sólidc en una película descendente- ilustran dos situaciones importantes. En el primer problema no hay gradiente de velocidad en la interfase gas-líquido, y Ia cantidad ReSc aparece elevada a la potencia en la expresión de1 número de Sherwood. En el segundo problema hay un gradiente de velocidad en Ia interfase sólido-líquido, y la cantidad Re% aparece elevada a la potencia $ en fa expresión del numero de Sherwood.
-
-
922.2 Expresiones analíticas para los coeficientes de transferencia de materia 795
Transferencia de materia para flujo alrededor de esferas A continuación se analizará la difusión que ocurre en el. flujo reptante alrededor de una burbuja de gas esférica y alrededor de una esfera sólida de diámetro D. Este par de sistemas es semejante a los dos sistemas que se estudiaron en la subsección previa. Para la absorción de un gas desde una burbuja de gas rodeada por un liquido en flujo reptante, la ecuación 20.3-28 puede escribirse en la forma de la ecuación 22.1-5; así,
Entonces, el número de Sherwood es
Aquí e1 número de Reynolds se define usando Ia velocidad de aproximación u, del fluido (O,de manera alternativa, la velocidad final en la burbuja ascendente). Para el flujo reptante alrededor de una esfera sólida que tiene un ligero recubrimiento soluble que se disuelve en el líquido que se aproxima, el resultado en la ecuación 12.434 puede modificarse para obtener
Este resultado puede volver a escribirse en términos del número de Sherwood como
+
Así como en la subsección precedente, se tiene que ReSc está elevado a la potencia para el sistema gas-líquido y que ReSc está elevado a la potencia para ei sistema liquido-sólido. Tanto la ecuaci6n 22.2-6 como la ecuación 22.2-8 son válidas sólo para flujo reptante. Sin embargo, no son válidas en el límite cuando Re tiende a cero. Como se sabe por el problema 10B.1 y la ecuación 14.4-5, si no hay flujo que pase por la esfera sólida o por la burbuja esférica, Sh, = 2. Ce ha encontrado que es posible obtener una descripción satisfactoria de la transferencia de materia en todo el descenso hasta Re = O usando las superposiciones sencillas: Sh, = 2 + 0.6515(~eSc)'/~ y Sh, = 2 + 0.991(ReS~)'/~ en lugar de las ecuaciones 22.2-6 y 22.2-8.
+
796
Capítulo 22 Transporte interfásicoen mezclas no isotérmicas
Transferencia de materia en capas límite estacionarias no separadas sobre objetos de forma arbitraria
-%r-
Para sistemas con una interfase fluido-fluido y sin gradiente de velocidad en la terfase, se encontró que la densidad de flujo de materia en masa en la superficie 4 tá dada por la ecuación 20.3-14:
El número local de Sherwood es
donde la constante, ílG, es igual a 0.5642 y Re = Z , V ~ ~ / ~ . De manera semejante para sistemas con interfases fluido-sólido y un gradiente de velocidad en la interfase, la expresión para la densidad de flujo de materia está dada en la ecuación 20.3-26 como
La expresión análoga para el número de Sherwood es
donde el coeficiente numérico tiene el valor de 0.5384.En estas ecuaciones lo y v, son una longitud característica y una velocidad característica que pueden elegirse una vez que se ha definido la forma del cuerpo. Aquí nuevamente se observa que en el sistema fluido-fluido en ReSc aparece la potencia y que en el sistema fluido-sólido en ReSc aparece la potencia sin importar la forma. Los radicandos de las expresiones del número de Sherwood son adimensionales.
5,
+,
Transferencia de materia en la vecindad de un disco giratorio Para un disco de diámetro D recubierto de un material A ligeramente soluble que gira con velocidad angular Cl en una gran región del líquido B, la densidad de flujo de materia en la superficie del disco es independiente de la posición. Según la ecuación 19D.4-7se tiene
Correlación de los coeficientesbinarios de transferencia en una fase 797
522.3
Lo anterior puede expresarse en términos del número de Sherwood como
Aquí la velocidad característica en el número de Reynolds se elige como D i l . $22.3 C O R R E L A C I ~ N DE LOS COEFICIENTESBINARIOS DE TRANSFERENCIA EN UNA FASE
En esta sección se muestra que las correlaciones para coeficientes binarios de transferencia de materia a bajas velocidades de transferencia de materia pueden obtenerse directamente a partir de sus análogos en transmisión de calor simplemente por medio de un cambio de notación. Estas correspondencias son de bastante utilidad y muchas correlaciones de transmisión de calor se han obtenido, de hecho, a partir de sus análogos en transferencia de materia. A fin de ilustrar el contexto de estas analogías útiles y las condiciones en que son válidas, empezamos presentando el análogo por difusión del análisis dimensional que se proporcionó en S14.3. Considerese el flujo isotérmico laminar o turbulento impulsado de manera estacionaria de una solución liquida de A en B, en el tubo que se muestra en la figura 22.3-1. El fluido entra al tubo en z = O con salida a velocidad uniforme hasta muy cerca de la pared y con una composición de entrada uniforme xA1. Desde z = O hasta z = L, la pared del tubo está recubierta por una solución sólida de A y B, que se disuelve lentamente y mantiene la composición interfacial líquida constante en xAo. Por ahora se supone que las propiedades físicas p, p, c y OABson constantes. La situación de transferencia de materia que acaba de describirse es matemáticamente análoga a la situacibn de transmisión de calor que se describió al inicio de s14.3. Para recalcar la analogla, se presentan juntas las ecuaciones para los dos sistemas. Así, la velocidad de aBici6n de calor por conducción entre 1 y 2 en la figura 14.3-1y la velocidad molar de adición de la especie A por difusión entre 1 y 2 en la
El fluido entra
----I -1
/
/
D
I
1 EI recubrimientosoluble en la pared 1 se supone que la velocidad I mantiene constante la composici6n ¡ de A y 3 disuettos lejos de XAo del líquido cerca de la superficie la pared es pequeña de la pared L
.
Figura 22.3-1 'Transferenciade materia en un tubo con una pared soluble
798 Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isot6nriicas figura 22.3-1 están dadas por las siguientes expresiones, que son válidas laminar o turbulento: a
transferencia de calor: transferencia de materia: Al igualar los miembros izquierdos de estas ecuaciones a hl(wDL)(To - TI) ~,,(?TDL)(X~~ - xA1) respectivamente, para los coeficientes de transferenciase obtiene
transferencia de calor:
h l ( t )=
transferencia de materia:
k,, ( t ) =
1
R d e dz
11
1 L 2~ (+cM,%~ mDL(x~o- x A 1 ) o o
)~d*dz
(22.3-41
r=R
Luego se introducen las variables adimensionales i: = r / D , i = Z/D, 7 = (T- To)/ (Ti - To) yñA = (xA - x ~ ~ ) / -( xAO) x ~ y~ se reordena para obtener
transferencia de calor:
Nul(t)=---
do d i
transferencia de materia:
d e di
(22.3-5)
(22.3-6)
Aquí Nu es el número de Nusselt para transmisión de calor sin transferencia de mteria, y Sh es el número de Sherwood para transferencia isoténnica de materia y pequeñas velocidades de transferencia de materia. El número de Nusselt es un gradiente de temperatura adimensionalintegrado sobre la superficie, y el número de Sherwood es un gradiente de concentración adimensional integrado sobre la superficie. Estos gradientes pueden, en principio, evaluarse a partir de las ecuaciones 11.5-7a 11.5-9 (para transmisión de calor) y de las ecuaciones 19.5-8,19.5-9 y 19.5-11 (para transferencia de materia), en las siguientes condiciones b i t e (con ; y $ definidos como en g14.3, y promediando las soluciones con respecto al tiempo en caso de que el flujo sea turbulento):
velocidad y presión; enZ=O,+= 6,
para O S i <
eni.=+,ir=O
para i 2 O
enl=O y i = 0 , 9 = 0
+
522.3 Correlación de los coeficientes binarios de transferencia en una fase 799
temperatura: eni=O,T= 1
para O 5 i < f
(22.3-10)
en?=f,T=O
para0 5 2 5 L / D
(22.3-11)
eni=O, ? A = l
para O 5 <
e n ? = $2 i A Y A 0
para O
concentración:
5
+
(22.3-12)
5 5 L/D
(22.3-13)
La condición límite en la ecuación 22.3-8, sobre la velocidad en la pared, es exacta para el sistema de transmisión de calor y también para el sistema de transferencia de materia en el supuesto de que xAO(WAO + WBO)sea pequeño; el último criterio se analiza en 522.1 y 522.8. En el plano de salida, z = L / D , no se requieren condiciones límite cuando los términos d2/dz2 de las ecuaciones de conservación se desprecian en la forma en que se hizo en 54.4 y 514.3. Si es posible despreciar la producción de calor por disipación viscosa en la ecuación 11.5-9 y si no hay producción de A por reacción química como en la ecuación 19.5-11, entonces las ecuaciones diferenciales para transporte de calor y de materia son análogas junto con las condiciones límite. Por tanto se concluye que los perfiles adimensionales de temperatura y concentración (con ajuste de tiempo en caso de ser necesario) son semejantes,
f = F(i, 8, 2; Re, Pr);
= F(i,
0, 2; Re, Sc)
(22.3-14, 15)
con la misma forma de F en ambos sistemas. Así, para obtenerJos perfiles de concentración a partir de los perfiles de temperatura, se sustituyen T por iAy Pr por Sc. Por Último, al insertar los perfiles en las ecuaciones 22.3-5 y 22.3-6, realizar las inte graciones y luego promediar con respecto al tiempo, se obtiene para conuecciónforzuda Nu, = G(Re, Pr, L/ D);
Shl = G(Re, Sc, L/ D )
(22.3-16, 17)
Aquí G es la misma función en ambas ecuaciones. La misma expresión formal se obtiene para Nu,, Nul,, Nul,, y al igual para los números de Sherwood correspondientes. Esta importante analogía permite escribir una correlación de transferencia de materia a partir de la correspondiente correlación de transmisión de calor, a1 sustituir simplemente Nu por Sh y Pr por Se. Lo mismo puede hacerse para cualquier geometría y para flujo tanto laminar como turbulento. Sin embargo, nótese que para obtener esta analogía es necesario suponer i) propiedades físicas constantes, ii) pequeñas velocidades de transferencia neta de materia, iii) que no ocurren reacciones químicas, iv) ninguna disipación viscosa por calentamiento, v) inexistencia de absorción o emisión de energía radiante, y vi) sin presencia de difusión por presión, térmica o forzada. Algunos de estos efectos se analizarán en secciones posteriores de este capítulo; otros se abordarán en el capítulo 24. Para conuección libre alrededor de objetos de cualquier forma dada, un análisis semejante muestra que Nu, = H(Gr, Pr);
Sh, = H(Gr,, Sc)
(22.3-18,19)
800 Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas Aquí H es la misma función en ambos casos, y los números de Grashof procesos se definen de manera semejante (véase la tabla 22.2-1, donde un resumen de las cantidades análogas para transmisión de calor y transferencia materia). A fin de permitir la variación de las propiedades físicas en sistemas de hans wncia de materia, se extienden los procedimientos que se presentaron en el c a N q 14 para sistemas de transmisión de calor. Es decir, en general las propiedades se evalúan para algún tipo de composición y temperatura medias de la película, cepto para la relación de viscosidad pb//+,. A continuación se proporcionan tres ilustraciones de cómo "pasar" de c o ~ p b ciones de transmisión de calor a correlaciones de transferencia de materia:
Convección forzada alrededor de esferas Para convección forzada alrededor de una esfera sólida, la ecuación 14.4-5, y su a. logo en transferencia de materia, es
Nu,
=2
+ 0.60 ~
Sh, = 2 + 0.60 ~
e ' l'r/1I3; ~
e
~
/
~ (22.3-20,21)
Las ecuaciones 22.3-20 y 22.3-21 son válidas para temperatura y composición en la superficie constantes, respectivamente, y para pequeñas velocidades de transferencia neta de materia. Pueden aplicarse a transmisión de calor y transferencia de materia simultáneas bajo las restricciones i) a vi) que se proporcionaron en seguida de la ecuación 22.3-17. Convección forzada a lo largo de una lámina plana Como otra ilustración del uso de las analogías, puede citarse la extensión de la ecuación 14.4-4 para la capa límite laminar a lo largo de una lámina plana, a fin de incluir transferencia de materia:
'
= f = l ~ , l o c- l ~ , l o c 2 loc
0.332 ~ e ; " ~
Los factores j de Chilton-Colburn, uno para transmisión de calor (H)y otro para difusión (D) se definen como1
La analogía tripartita en la ecuación 22.3-22 es exacta para Pr y Sc próximos a la unidad (véase la tabla 12.4-1) dentro de las limitaciones que se mencionaron des-
T.H. Chilton y A.P. Colburn, Ind. Eng. Chem., 26, 1183-1187 (1934)
522.3 Correlación de los coeficientes binarios de transferencia en una fase 801
-.-c
pués de la ecuación 22.3-17. Para flujo alrededor de otros objetos, la parte del factor de fricción de la analogía no es válida debido a la resistencia de forma, e incluso para flujos en tubos circulares la analogía con ih,, es sólo aproximada (véase 514.4).
4
La
de Chilton-Colbuni Se ha demostrado que la anaIogía empírica con mayor aplicación
jH
= jD =
una función de Re, la geometría y las condiciones Iírnite
(22.3-25)
es útil para flujo transversal alrededor de cilindros, flujo a través de lechos de relleno
y flujo en tubos a altos números de Reynolds. Para flujo en ductos y en lechos de relleno, la "velocidad de aproximación" v, debe sustituirse por la velocidad intersticial o por la velocidad superficial. La ecuación 22.3-25 es la forma de costumbre de la analogía de Chilton-Colburn. Sin embargo, a partir de las ecuaciones 22.3-20 y 22.3-21 resulta evidente que la analogía es válida para flujo alrededor de esferas sólo cuando Nu y Sh se reemplazan por (Nu - 2) y (Ch - 2 ) . Sería muy engañoso dejar la impresión de que todos los coeficientes de transferencia de materia pueden obtenerse a partir de las correlaciones análogas del coeficiente de transmisión de calor. Para transferencia de materia se encuentra una variedad mucho más amplia de condiciones límite y otros intervalos de las variables relevantes. En 522.5-8 se analiza el comportamiento no análogo.
@aporación desde una gota que cae libremente
Una gota esf6rica de agua de 0.05 cm de diámetro cae sin circulación interna a una velocidad de 215 cm/s a través de aire seco inmóvil, que está a 1 atm de presión. Calcular la velocidad instantánea de evaporación desde la gota, cuando la superficie de ésta es T,, = 70 QFy el aire (lejos de la gota) está a T , = 140 PF.La presión de vapor de agua a 70 *F es 0.0247 atm. Supónganse condiciones de estado casi estacionario.
Sean el agua y el aire las especies A y B, respectivamente. La solubilidad del aire en agua puede no ser despreciable, de modo que WBO= O. Luego, suponiendo que la velocidad de evaporación es pequefia, la ecuación 22.1-3 puede escribirse para toda la superficie esférica como
El coeficiente de transferencia de materia medio, k,,, puede pronosticarse a partir de la ecuación 22.3-21 en la ausencia supuesta de circulación interna. Las condiciones de pelicula necesarias para estimar las propiedades físicas se obtienen como sigue:
Al calcular xAfse ha supuesto comportamiento de gas ideal, equilibrio en la interfase e insolubilidad completa del aire en el agua. La fracción molar media, xAf'del vapor de agua es su-
802
Capítulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas -
7
-
ficientemente pequeña, d e modo que puede despreciarse al evaluar las propiedades Físicasen las condiciones de película:
c
=
3.88 x
g-moIes/cm3
p = 1.12 x 10-3 g/cm3 I*. = 1.91 x low4g/cm. S (a partir de la tabla 1.1-2) gAB = 0.292 cm2/s (a partir de la ec. 17.2-1)
Una vez que estos valores se usan en la ecuación 22.3-1, se obtiene: Sh, = 2 + 0.60(63)~/~(0.58)~/~ = 5.96
y entonces el coeficiente de transferencia de materia medio es
Luego, por la ecuación 22.3-26 se encuentra que la velocidad de evaporación es
El resultado corresponde a una disminución de 1.23 X cm/s en el diámetro de la gota e indica que una gota de este tamaño caerá una distancia considerable antes de evaporarse por completo. En este ejemplo, para facilitar las cosas se proporcionaron la velocidad y la temperatura superficial de la gota. En general, estas condiciones deben calcularse a partir de los balances de cantidad de movimiento y de energía, como se analiza en el problema 22B.1.
El psicrómetro de bulbo húmedo y seco
A continuación se aborda un problema para el que la analogía entre transmisión de calor y transferencia de materia conduce a un resultado sorprendentemente senciiio y útil, aunque aproximado. El sistema, que se muestra en ia figura 22.3-2, consta de un par de termóme tros, uno de los cuales está cubierto por una mecha cilíndrica que se mantiene saturada con agua. La muselina se enfría por evaporación dentro de la corriente de aire en movimiento Y para operación estacionaria se aproxima asintóticamente a un valor conocido como temperatura del bulbo húmedo. El termómetro desnudo, por otra parte, tiende a acercarse a la temperatura real de1 aire que se aproxima, y este valor se denomina temperatura del bulbo seco. Obtener una expresión para determinar la humedad del aire a partir de las lecturas de la temperatura del bulbo húmedo y del bulbo seco, despreciando la radiación y suponiendo que el reemplazo del agua que se evapora no afecta significativamente la medición de la temperatura del bulbo húmedo. En el problema 22B.2 se verá cómo es posible tomar en cuenta la radiación.
i
i
522.3 Correlación de los coeficientesbinarios de transferencia en una fase 803
Termómetro de bulbo seco
Tenn6metm de
I Corriente gaseosa en un tubo
\
transfemcia de materia de
Mecha saturada
Recipiente de iíquido A , , que se mantiene a la temperatura To
---.
Entrada de Uquido
Figura 22.3-2 Esquema de la instalación de un psicrómetro de bulbo húmedo y bulbo seco. Se supone que a través del plano 2 no hay movimiento de calor ni de materia.
Para facilitar las cosas se supone que la velocidad del fluido es suficientemente alta, de modo que las lecturas d e temperatura no son afectadas por radiación ni por conducción de calor a lo largo de los vástagos de los termómetros, aunque no tan elevadas como para que los efectos de calentamiento por disipación viscosa sean significativos.Estas suposiciones suelen ser satisfactorias para termómetros de vidrio y velocidades de gas de 30 a 100 pies/s. Así, la temperatura del bulbo seco es entonces la misma que la temperatura T, del gas que se aproxima, y la temperatura del bulbo húmedo es Ia misma que la temperatura Toen el exterior de la varilla. Sean el agua la especie A y et aire la especie B. Se efectúa un balance de energía sobre un sistema que contiene una longitud L de la mecha (la distancia entre los planos 1y 2 de la figura). La velocidad de adición de calor al sistema por la corriente gaseosa es hm(?rDL)(Tm - To). La entalpía también entra a través del plano 1 a una velocidad WAIHAlen-la fase líquida y sale en la superficie de transferencia de materia a una velocidad WAOHAO, ambas ocurriendo a una temperatura To.Así, al hacer el balance de energia se obtiene
debido a que el agua entra en el sistema en el plano 1 a la misma velocidad a la que sale como vapor de agua en lajnterfase de transferencia de-materia 0. Hasta una aproximación bastante aceptable, HAO - HA1puede sustituirse por AHVap,el calor molar de vaporización del agua. A partir de la definición del coeficiente de transferencia de materia
donde WBo = O como en el ejemplo precedente. Así, al combinar las ecuaciones 22.3-32 y 22.3-33 se obtiene
804 Capitulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas
Luego, al usar las definiciones de Nu, y Sh,, y notar que cribir la ecuaci6n 22.3-34 como (XAO-xA.)
-
(1 -
- Num
pep= ccpses posible
cp
Sc Sh,,, (R)fl,,.,
Debido a la analogía entre transmisi6n de calor y transferencia de materia, puede esque los números medios de Nusselt y Sherwood sean de la misma forma:
Nu,
= F(Re)Prn;
Sh, = F(Re)Scn
(22.346,37)
donde F es la misma función de Re en ambas expresiones. Por tanto, al conocer las tempera. turas del bulbo seco y húmedo y la fracción molar del vapor de agua adyacente a la mecha (xAO), es posible calcular la composici6n comente amba xAm de la comente de aire a pa* de
El exponente n depende muy poco de la geometría, aunque no se aleja mucho de $, y la cantidad (SC/PT)'-~no se aleja mucho de la unidad? Además, se observa que la temperatura del bulbo húmedo es independiente del número de Reynolds bajo la suposici6n que se inh.odujo en las ecuaciones 22.3-36 y 22.3-37. Este resultado también se hubiese obtenido usando ias relaciones de Chilton-Colburn, con las que se obtendria directamente n = $. La composición interfacial de gas xAOpuede pronosticarse con exactitud, a bajas velocidades de transferencia de materia, despreciando la resistencia a la transmisión de calor y transferencia de materia de la interfase en sí (véase 522.4 para un análisis adicional sobre esta cuestión). Así, es posible representar xAo mediante la relación en equilibrio vapor-iíquido:
Una relación de este tipo se cumple para las especies dadas A y B si el líquido es A puro como se supuso antes. Una aproximación de uso común de esta relación es
donde pArmp es la presión de vapor de A puro a la temperatura To. En esta relaci6n se supone tácitamente que la presencia de 8 no altera la presión parcial de A en la interfase, y que A y B forman una mezcla de gas ideal. Si con una rnezcia aire-agua a 1 atxn de presión se obtiene una temperatura del bulbo hÚmedo de 70 O F y una temperatura del bulbo seco de 140 QF,entonces
P A , =~ 0.0247 ~ ~ ami xAO = 0.0247, a partir de la ec. 22.3-40 = 6.98 Btu/lb-mol . F a 105 @F,la temperatura de película
= 18,900 Btu/lb-mol a 70 QF
A&, Cc
=S
0.58 (vease el ejemplo 22.3-1)
Pr = 0.74, a partir de la ec. 9.316
Para mediciones en aire, C.H. Bedingfield y T.B. Drew, Ind. Eng. Chern., 42, 1164-1173 (1950), recomiendan una ecuación algo distinta, con 1 - n = 0.56.
g22.3 Correlación de los coeficientesbinarios de transferencia en una fase 805 Al sustituir en la ecuación 22.3-38, con n = $, entonces se obtiene
A partir de lo anterior, la fracción molar de agua en el aire que se aproxima es
Debido a que como primera aproximación se supuso que la concentración de película era xA = O, es posible volver atrlis y hacer una segunda aproximación usando una concentración media de película de i(0.0247 + 0.0033) = 0.0140 en los cálculos de las propiedades fisicas. Aquí las propiedades físicas no se conocen con suficiente exactitud como para justificar otro cálculo. El resultado calculado en la ecuación 22.342 coincide sólo ligeramente con diagramas publicados de humedad del aire, ya que éstos suelen basarse en la temperatura de saturación adiabática, en vez de en h temperatura del bulbo h ~ i m e d o . ~
EJEMPLO 22.c3 ....
Transferencia de matetia en flujo reptante a través de lechos de relleno
Muchas operaciones importantes de adsorción, desde la purificación de proteínas en biotecnología moderna hasta la recuperación de vapor disolvente en establecimientos de lavado en seco, ocurren en lechos particulados densos y suden efectuarse en flujo reptante en estado estacionario, es decir, para Re = D v p / p < 20. Aquí D es el diámetro efectivo de la partícula P0 P y v, es la velocidad superficial, definida como la velocidad de flujo volumétrico dividida entre la sección transversal total del lecho (véase 56.4). Se concluye que la velocidad adimensional v/vo posee una distribución espacial independiente del número de Reynotds. Se dispone de información detallada s610 para particulas de relleno esfbricas. Usando el análisis dimensional al principio de esta sección, pronosticar la forma de la correlación del coeficiente de transferencia de materia en estado estacionario para flujo reptante.
Puede usarse el procedimiento del análisis dimensional que se presentó en 519.5, con D como longitud característica y o. como velocidad característica. Así, a partir de la ecuación b.5-11, se observa que la concentración adirnensional depende sólo del producto ReSc, además de las coordenadas de posición adimensionales y de la geometría del lecho. Los datos más amplios son para flujo reptante a grandes números de Péclet. Datos experimentales sobre la diolución de esferas de ácido benzoico en agua4 han producido el resultado
109 Sh, = -(R~sc)"~ E
ReSc »1
donde E es la fracción volumétnca del lecho ocupada por el fluido que corre. La ecuación 22.3-43 es razonablemente consistente con la relación Sh, = 2
+ 0.991 ( R ~ s c ) ' / ~
(22.3-44)
O.A. Hougen, K.M. Watson y R.A. Ragah, Chemical Process Principies, Parte I,2a. edición, Wdey, Nueva York (1959, pág. 120. E.J. Wílson y C.J.Geanko~lis,Id. Eng. Chem. Fundarnentals, 5,9-14(3966). Véase también el libro de J.R. Selman y C.W. Tobias, Advances in Chemical Engiwring, 10,212-318(1978)para un amplio resumen de correlaciones del coeficiente de transferencia de materia obtenidas por mediciones electroquímicas.
806
Capitulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas
1
que incorpora la solución de flujo reptante para flujo alrededor de una esfera aislada5 , (véase S22.2b). Esto sugiere que el patrón de flujo alrededor de una esfera aislada no difiere mucho del flujo alrededor de una esfera rodeada por otras esferas, particularmente cerca de la superficie de la esfera, donde se lleva a cabo la mayor parte del transporte de materia. No se cuenta con datos confiables para el comportamiento en el límite a valores muy ba. jos de ReSc, pero cálculos numéricos para un empaque regular6 predicen que el númerode Sherwood tiende asintóticamente a una constante próxima a 4.0 si se basan en una diferencia local entre las composiciones interfacial y global. El comportamiento en el interior de la fase sólida es mucho más complicado y ninguna aproximación sencilla es suficientemente confiable. Sin embargo, experimentos actualido$ muestran que donde el transporte de materia entre partículas está descrito por la segundaley de Fick, es posible usar la aproximación
1p
kc J"' Sh, =-=lo 9AS
donde k,, es el coeficiente de transferencia de materia efectiva en el interior de la fase sólida y 9*, es la difusividad de A en la fase sólida. Ea ecuación es para cambios "lentos" en la col-,. centración de soluto que baña a la partícula. Ésta es una solución asintótica para un cambia lineal de concentración superficial con el tiempo? y ha sido justificada9 con cálculos. Para una onda de concentración gaussiana (en forma de campana), "lentos" significa que el paso dd tiempo (desviación estándar temporal) de la onda es largo con respecto al tiempo de respuesta por difusión de la partícula, que es del orden de W ; / 6 9 & . Cuando no se cumple esta desi. gualdad, es necesario resolver la segunda ley de Fick con el historial detallado de la concentración superficial. En lechos de relleno, así como en flujo en un tubo, es necesario recordar el hecho de que en la concentración hay carencia de uniformidades como una función de la coordenada radial. Este hecho se analizó en 514.5 y 520.3.
Transferencia de materia a gotas y burbujas
En contactores gas-líquidolo y líquido-líquido,ll a menudo suelen encontrarse rocíos de gotas líquidas o nubes de burbujas. Contrastar su comportamiento de transferencia de materia con el de las esferas sólidas. SOLUCION Se encuentran muchos tipos de comportamiento, y las fuerzas superficiales pueden desenipeñar un papel muy importante. Las fuerzas superficiales se analizaron con un poco de d e talle en 522.7.Aquí sólo se considerarán algunos casos límite y se remitirá a los lectores a las referencias antes citadas. El comportamiento de gotas y burbujas muy pequeñas es como el de esferas sólidas, de modo que aquéllas pueden tratarse mediante las correlaciones proporcionadas en el ejemplo 22.3-3 y en el capítulo 14. Sin embargo, si ambas interfases adyacentes están libres de tensoactivos y de pequeños contaminantes particuhdos, la fase interior circula y transporta consigo
5 V.G. 6
Levich, Physicochemical Nydrudynamics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N,]. (1962),514.
J.P. Csrensen y W.E. Ctewart, Chem. Eng. Sci., 29,811-837 (1974).
'A.M. A h l y e , J. Gibbs y E.N. Lightfoot, J. Chromatography, 589,71-85 (1992). H.S. Carslaw y J.C.Jaeger,Conduction ofHeat in Solids, 2a. edición, Oxford Uliiversity Press (1959),§9.3,ecuaciones 10 y 11. J.E Reis, E.N. Lightfmt, F.T. Noble y A.S. Chiang, Sep. Sci. Tech., 14,367-394 (1979). lo J. Stichlmair y J. F. Fair, Distillation Principies and Practice, Wiley, Nueva York (1998). t1 J.C. Godfrey y M . M . Slater, Liquid-Liquid Extraction Equipment, Wiley, Nueva York (1994).
522.4 Definición de los coeficientes de transferencia en dos fases 807
a las regiones adyacentes de la fase exterior. Esta "circulación de Hadamard-Rybczinski42 impulsada por un esfuerzo aumenta notoriamente las velocidades de transferencia de materia, a menudo por casi un orden de magnitud, y las velocidades pueden calcularse a partir de extensiones13-l6del "modelo de penetración" que se analizó en 918.5. Así, para una burbuja esfkrica de gas A de diámetro D que asciende a trav6s de un liquido limpio B, el número de Shenvood en el lado iíquido está en el intewalo16
donde v, es la velocidad final (véanse las ecuaciones 18.5-19y 18.5-20). El tamaño al que ocum la transición desde el comportamiento semejante a un sólido hasta la circulación, depende del grado de contaminaci6n superficial y no es fácil de pronosticar. Las gotas o burbujas muy grandes oscilan,13y ambas fases siguen un modelo de penetración modificado,
con frecuencia angular de
donde ues la tensión interfacial, y pD y pc con hs densidades de las gotas y el medio continuo. El exito de este modelo implica que la capa límite se renueva una vez cada oscilación, aunque también hay un pequeiio efecto de alargamiento periódico de la superficie. F
p2.4 ;t ,
DEFINICI~N DE LOS COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA EN DOS FASES Recuérdese que en 510.6 se introdujo el concepto d e u n coeficiente global de transrnisi6n d e calor, U,para describir la transmisión de calor entre dos corrientes separadas entre sí por una pared. Este coeficiente global tomaba en cuenta la resistencia térmica d e la pared misma, así como la resistencia térmica en los fluidos a cada lad o de la pared. Ahora se abordará la situación análoga para transferencia de materia, excepto que se tiene interés en dos fluidos que están en contacto estrecho mutuamente, de modo que no hay resistencia d e la pared o resistencia interfacial. Ésta es la situación que más suele encontrarse en la práctica. Debido a que la interfase en sí no contiene materia significativa, es posible empezar suponiendo continuidad de la densidad
J. Happei y H. Brenner, Low Reynoldc Number Hidrodywmics, Martinus Nijhoff, La Haya (1983). D.W. Howard, AlChE loumal, 12,751-760 (1966). l4 J.B. Angelo y E.N. Lightfoot, AIChE Jourml, 14.531-540 (1968). l5 W.E. Stewart, J.B. Angelo y E.N. Lightfoot AIChE Jouml, 16,771-786(1970). l b R. Higbie, Trans. AIChE, 31, 365389 (1935). l7 R.R. Schroeder y R.C.Kininer, AlChE Journal, 11,5-8(1965). l2
l 3 ].B. Angelo, B.N. Lightfoot y
808 Capítulo 22
Transporte interfhsíco en mezclas no isotérmicas
Distancia a partir de la interfase
de flujo de materia total en la interfase para cualesquiera especies que estén transfi: riéndose. Así, para el sistema que se muestra en la figura 22.4-1 se escribe
para la densidad de flujo interfacial de A hacia la fase liquida. Luego, usando h de finición que se proporcionó en la ecuación 22.1-9, se obtiene
donde ahora se sigue la tradición de usar x para las fracciones molares en la fase Uquida y y para las fracciones molares en la fase gaseosa. Ahora es necesario intem lacionar las composiciones interfaciales en las dos fases. En casi todas las situaciones esto puede hacerse suponiendo equilibrio a través de la interfase, de modo que las composiciones adyacentes gaseosa y líquida se l e calicen sobre la curva de equilibrio (véase la figura 22.4-2), que se considera conocida a partir de datos de solubilidad:
Las excepciones de lo anterior son: i) velocidades de transferencia de materia ex& madamente altas, observadas para fases gaseosas al alto vacío, donde N,, tiende a la velocidad en equilibrio a la que las moléculas del gas se impactan contra la interfase; y ii) las interfaces contaminadas con altas concentracionesde partículas adsorbidas o moléculas tensoactivas. La situación i) es bastante rara, y la
pAo/w~, Composiciones globalec
Figura 22.4-2 Relaciones entre composiciones en la fase gaseosa y en la fase líquida, y la interpretación gráfica de x, = fracción molar de A en el iíquido
m, Y my.
$22.4 Definición de los coeficientes de transferencia en dos fases 809
situación ii) suele actuar indirectamente al cambiar el comportamiento del flujo, en vez de provocar desviaciones con respecto al equilibrio. En casos extremos, la contaminación superficial puede proporcionar resistencias adicionales al transporte, Para describir velocidades de transporte de interfase es posible usar Ias ecuaciones 22.42 y 22.4-3 para caIcular las concentraciones de interfase y luego proceder con el empleo de coeficientes de una sola fase, o bien trabajar con coeficientes globales de transferencia de materia
Aquí yAees la composición de 1; fase gaseosa en equilibrio con un líquido a la composición xAb,y XAe es la composición de la fase líquida en equilibrio con un gas a la composición yAb.La cantidad K" es el coeficiente global de transferencia de mateJ ria "basado en la fase gaseosa2, yOC es el coeficiente global de transferencia de materia "basado en la fase líquida". Aquí nuevamente la densidad de flujo molar NAOse toma como positiva para transferencia hacia la fase líquida. Al igualar las cantidades en las ecuaciones 22.4-2 y 22.44 se obtienen dos expresiones
qJ,
que relacionan los coeficientes de las dos fases con los coeficientes de una fase. Las cantidades xA, y yAeque se introdujeron en las tres relaciones anteriores pueden usarse para definir las cantidades m, y my como sigue:
.
Como puede verse a partir de la figura 22.4-2, m, es la pendiente de la recta que une yAO)y (xAdyAb)sobre la curva de equilibrio, y my es la pendiente de los puntos (xAO, la recta que va de (xAb,yAe)a (xAO, yAO). A partir de las relaciones anteriores, entonces es posible eliminar las concentraciones y obtener relaciones entre los coeficientes de transferencia de materia de una sola fase y de dos fases:
o
o
.
kx ,1 -=1+
kX.10~
K,,loc
m*ky,l, '
o
. O
ky loc = 1+ m,ky,lo,
~Y,ioc
o
kx,loc
La primera de éstas se obtuvo a partir de las ecuaciones 22.4-5,22.4-2 y 22.4-7, y la segunda a partir de Ias ecuaciones 22.4-6,22.4-2 y 22.4-8. Si la curva de equilibrio es casi lineal sobre el intervalo de interés, entonces m, = m = m, que es la pendiente local de la curva en las condiciones interfaciales.Así, se oLserva que las expresiones en las ecuaciones 22.4-9 y 22.4-10 contienen, ambas, una razón de coeficientes de una sola fase ponderados con una cantidad m. Esta cantidad reviste una importancia considerable:
i) Si kX,,w/mki,l, << 1, la resistencia al transporte de materia de la fase gaseosa tiene poco efecto y se dice que Ia transferencia de materia está controlada
810
CapíhiIo 22 Transporte interfásicoen mezclas no isotérmicas
por Zafase líquida. En la práctica, esto significa que el diseño del s i 3 be favorecer la transferencia de materia en la fase líquida.
ii) Si kj,,,,/mk~,l, >> 1, entonces la transferencia de materia está ~ontroladp lafase gaseosa. En una situación práctica, esto significa que el diseño del tema debe favorecer la transferencia de materia en la fase gaseosa.
< 10, aproximadamente,entonces es necesario COnsid,. iii) Si 0.1 < kXIl,/mko a r con sumo cuididolas interacciones de las dos fases al calcular los coefideB tes de transferencia en dos fases. Fuera de este intervalo, las interacciones suelen carecer de importancia. Volveremos a esta cuestión en el siguiente ejemplo. Los coeficientes medios de transferencia de materia de dos fases deben definirse con sumo cuidado, y aquí sólo se considera el caso especial en que las concentraciones globales en las dos fases adyacentes no cambian significativamente sobre la super. ficie total de transferencia de materia S. Entonces es posible definir como
q,
de modo que, cuando se usa la ecuación 22.4-9,
A menudo, los coeficientes globales medios de transferencia de materia se calculan a partir de coeficientes medios de área para las dos fases adjuntas:
Los dos valores medios en las ecuaciones 22.4-12 y 22.4-13 pueden ser significativamente diferentes (véase el ejemplo 22.4-3).
Determinación de la resistencia de controz
Se debe eliminar oxígeno de agua usando gas nitrógeno a presión atmosférica y 20 "C en forma de burbujas que exhiben circulación interna, como se muestra en la figura 22.4-3. CalcuD lar la importancia relativa de los dos coeficientes de transferencia de materia kEJo, Y kyJK. Sean A, B y C que representan al O*,d H,O y al Ny respectivamente.
Lo anterior puede hacerse suponiendo que el modelo de penetración (véase 518.5) se cumple en cada fase, de modo que
522.4
Definición de los coeficientes de transferencia en dos fases 811 Figura 22.4-3 Esquema de un eliminador de oxígeno, en el cual el oxígeno proveniente del agua se difunde en Iris burbujas de nitrógeno gaseoso.
Agua que
contiene oxígeno
Gas
nitrógeno
donde cl y cg son las concentraciones rnolares totales en las fases líquida y gaseosa, respectivamente. El tiempo efectivo de exposición, teXP,es el mismo para cada una de las fases. La solubilidad del O, en agua a 20 "C es de 1.38 x lov3 moles por litro a una presión parcial de oxígeno de 760 rnm Hg, la presión de vapor del agua es 17.535 mm Hg, y la presión total en las mediciones de solubilidad es 777.5 mrn Hg. A 20 "C, la difusividad del O2en agua es 93AB= 2.1 X cm2/s, y en la fase gaseosa la difusividad para 0, - NZ es 9AC = 0.2 cm2/s. Así, es posible escribir
En la expresión anterior es necesario sustituir
A . Cl= -c,
(p / RT)
1000/ 18 = 1308 (777.5/ 760) / (0.08206)(293.15)
Se concluye que
En consecuencia, sólo es significativa la resistencia en la fase líquida, y la suposición de comportamiento de penetración en la fase gaseosa no es crítica para la determinación del control de la fase liquida. También puede observarse que el factor dominante es la baja solubilidad
812
Capítulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isotérrnicas del oxígeno en agua. Podría generalizarse y plantearse que la absorción o ses ligeramente solubles casi siempre está controlada por la fase líquida. Resulta evidente la corrección del coeficiente de la fase gaseosa para transferencia neta de materia no es ficativa, y que la corrección para la fase líquida es despreciable.
Interacción de las resistencias de fase
1
Hay muchas situaciones en las cuales no se dispone de los coeficientes de transferencia d, materia para una fase para las condiciones límite del problema de transferencia de materia para dos fases, y suele acostumbrarse usar modelos para una fase en los que se suponenlas condiciones límite interfaciales, sin tener en cuenta la interacción de 10s procesos de difusión en las dos fases. Esta simplificación puede introducir errores importantes. Probar este procR dimiento aproximado para el deslave (lixiviación) de un soluto A desde una esfera sólida8 de radio R en un fluido con agitación incompleta C, de volumen tan grande que puede despreciarse la concentración global del fluido de A.
La descripción exacta del proceso de deslave está dada por la solución de la segunda ley de Fick escrita para la concentración de A en el sólido en la región O < r < R:
Las condiciones limite e inicial son:
C.L. 1:
e n r = 0,
cAs es finito
C.L. 2:
en r = R,
CAs =
C.I.:
en t
'AS = 0'
=
0,
mcAl + b
El proceso de difusión en el lado líquido de la interfase sólido-liquido está descrito en términos del coeficientede transferencia de materia, definido como
donde cAI(t)es la concentración en la fase líquida adyacente a la interfase. El comportamiento de la difusión en las dos fases se acopla mediante la ecuación 22.4-22, que describe el equilibrio en la interfase. Debido al acopIamiento, conviene usar eI método de la transformada de Laplace. Sin embargo, el problema primero se vuelve a plantear en forma adimensional, usando 6 = r / R , T = EDABf/R2,Cc = cAs/cO,Cl = (rncAl + b)/co, y N = kJ?/rnaAB. Las ecuaciones 22.4-20 y 22.424 se transforman en
con C, finito en el centro de la esfera, C, = C1en la superficie de la esfera y C, = 1 en toda la esfera inicialmente. Cuando se toma la transformada de Laplace de este problema, se obtiene
522.4 Definición de los coeficientes de transferencia en dos fases
813
zs
con finito en el centro de la esfera, y = C, en la superficie d e la esfera. La solución de las ecuaciones 22.4-27 (que es un análogo no homogéneo de la ecuación C.1-6a) y 22.4-28 es
La transformada de Laplace de MA,la cantidad total de A en el interior de la esfera en cualquier instante f, es
Al invertir usando el teorema de desarrollo en fracciones parciales de Heaviside para raíces repetidas1 se obtiene
Se encuentra que las constantes A, y Bn son, para k, (o N ) finita,
y para k, (o N) infinita,
Nótese que se ha tenido éxito en la obtención de la cantidad total de A transferida a travks de la interface, MA(t),sin encontrar la expresión para el perfil de concentración en el sistema. Ésta es una ventaja al utilizar la transformada de Laplace. Ahora es posible definir dos coeficientes giobales de transferencia de materia: i) el coeficiente global correcto para el sistema basado en la fase sólida
donde cAb es la conceniración media volumétrica de A en la fase sólida, y ii) un coeficiente global aproximado, basado en el comportamiento calculado por separado de las dos fases, que se encuentra con la ecuación 22.4-13,
'
A. Erdélyi, W.Magnus, F. Oberhettinger y F.G. Tricomi, Tables of lnfegral Transfinns, McGraw-Hill(19541, p. W 2 , f6rmula 21.
814
Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas
-r
Figura 22.4-4 Razón del coeficiente global de transferencia de materia exacto contra el coeficiente global de transferen& ! de materia aproximado en la iixiviación del soluto de una esfera, para 9 A B t / X 2 elevado, graficada contra la relación adimensioml , rn&A,/3Rkc.
donde el supraíndice O indica "resistencia externa cero" y k, es el coeficiente de transferencia de materia en la fase líquida. Ahora es posible hacer una comparación entre K, y Ksjaprox. Esto se hace sólo para valores grandes de EbABt/R2,para los cuales basta el término dominante de la operación suma en la ecuación 22.4-31. Para esta situación se obtiene
donde Al debe calcularse para el valor real de k; recuérdese que A, se obtuvo a partir de la ecuación 22.4-32, donde N = k p / m 9 A B .En la figura 22.4-4 se muestra una gráfica de la ecuación 22.4-39. Ahí se observa que el error máximo en el modelo de dos películas ocurre cerca de d / 3=~1, y que las desviaciones con respecto a esta teoría son notorias pero no derna. siado altas.
Promedio de &ea
Considérese una sección característica de una torre de relleno para la cual los coeficientes de transferencia de materia de una sola fase medidos por separado, producen una relación calculada
pero donde la fase líquida humedece s61o una mitad de la superficie de relleno. Aquí el subíndice m se refiere al valor medio sobre un área típica S de la superficie de relleno. El coeficiente de transferencia de la fase gaseosa, por otra parte, es uniforme sobre toda la superficie. Este ejemplo hipotético es un caso especial de humedecimiento no uniforme. Calcular los valores verdadero y aproximado de según las emciones 22.4-12 y 22.4-13.
kO,/q,
a22.5
Transferencia de materia y reacciones químicas 815
Empezamos con la ecuación 22.4-12 y se observa que para la mitad del área l$,loc = O, y que cobre la otra mitad se tiene
mientras que, para la fase gaseosa,
Así, la ecuación 22.4-12 conduce a
A partir de lo anterior y con base en las ecuaciones 22.4-40 y 22.4-9, se encuentra que el valor correcto para es
cm/%
mientras que el valor aproximado que se encuentra a partir d e la ecuación 22.4-13 es
Así, la deficiente distribución del coeficiente de transferencia de materia en la fase líquida divide a la mitad la velocidad de transferencia de materia, aun cuando la resistencia "en promedio" de la fase líquida sea muy baja. La poca disponibiIidad general de esta información detaltada es una razón más para explicar Ia incertidumbre al predecir el comportamiento de contactores complejos.
522.5'
TRANSFERENCIA DE MATERIA Y REACCIONES QU~MICAS Muchas operaciones d e transferencia d e materia van acompañadas d e reacciones químicas, y la cinética d e la reacción p u e d e afectar profundamente las velocidades d e transporte. Ejemplos importantes incluyen la absorción d e gases reactivos y la destiIación reactiva. H a y d o s situaciones d e interés particular:
il Absorción d e una sustancia poco soluble A e n u n a fase que contiene u n segundo reactivo B e n gran concentración. La absorción d e bióxido d e carbon o e n NaOH o en soluciones d e amina es u n ejemplo importante en la industria, y aquí la reacción puede considerarse como d e seudoprimer ord e n debido a que el reactivo B está presente e n exceso:
Un ejemplo d e este tipo d e problema se proporcionó en 918.4.
816 Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas
-
ii) Absorción de un soluto A de reacción rápida en una solución de B. A i hasta una primera aproximación puede suponerse que las dos especies reac. cionan tan rápido que no pueden coexistir. Una ilustración de este hecho,, proporcionó en el ejemplo 20.1-2. Se tiene interés particular en las capas limite líquidas, y los efectos del calor de reac. ción tienden a ser modestos debido a que la relación de Sc a Pr suele ser muy gran. de. Ocurren efectos macroscápicos por calentamiento, mismos que se analizaránen el capítulo 23. Aquí el estudio se limita a unos cuantos ejemplos ilustrativos que muestran cómo pueden usarse los modelos de absorción con reacción química a fin de pronosticar el desempeño del equipo de operación.'
Estimación del Área interfacial en una columna de relleno
Las mediciones de transferencia de materia con reacción irreversible de primer orden, a me nudo se han utilizado para estimar el área interfacial en equipo complicado de transferencia de materia. Demostrar aquí cómo es posible justificar este método. SOLUCI~N
El sistema que se considera aquí es la absorción de bióxido de carbono en una solución tica, que está limitada por hidratación de CO, disuelto según la reacción
Así, el ácido carbónico reacciona con el NaOH a una velocidad proporcional a Ia concentración del bióxido de carbono. La cinética de esta reacción está bien caracterizada.' La solución de este problema de difusión se ha proporcionado en el problema 20C.3. A partir de la ecuación 20C.3-5 se encuentra que para tiempos largos>d
que puede resolverse para el área superficial total. Se concluye que el área superficial total A en consideración está dada por
aquí MA,totes el número de moles de bióxido de carbono que se absorben en el tiempo t. Este desarrollo se extiende fácilmente a una película descendente de longitud L y velocidad superficial v,, en el supuesto de que k f L / v , >> l. La reacción de primer orden en capas límite de transferencia de materia se analiza en el ejemplo 18.4-1 para un modelo de película muy sencillo y en el ejemplo 20.1-3. El desarrollo puede extenderse aún más para calcular el área interfacial en columnas de relleno, donde la fase líquida es soportada como una película descendente sobre superficies sólidas, lo cual es un diseño común.
T. K.Sherwood, R L. Pigford y C.R. Wiike, Mass Tramfer, McGraw-Hill, Nueva York (1975), capitula 8. P.V. Danckwerts, Trans. Faraday Soc., 46,300-304(1950). R.A.T.O. Nijsing, Absorptie van gacsen in uloeisfoffen,zonder en met chemische reactie, Academisch Roefscht'ift, Delft (1957).
522.5
~ ~ t i m a c i de ó nlos p o l u m é t r i ~de ~s ~~nsferencia de materia
Transferencia de materia y reacciones químicas
817
A continuación se considera la absorción de un gas con reacción de primer orden en un tanque agitado, para lo cual como punto de partida se considera la reacción
O,
+ 2Na2S03+ 2Na2CO4
(22.5-5)
que ya se analizó en el ejemplo 18.4-1,usando como rnodeIo de transferencia de materia una delgada película líquida estancada.
Éste no es un modelo realista, pero el planteamiento del ejemplo 18.4-1 puede volver a expresar enforma insensible al modelo como
de modo que
E1 subíndice AB debe cambiarse por 02S, donde S representa la solución de sulhro. Ahora es posible probar la sensibilidad al modelo del sistema al comparar el modelo de película con el rnadelo de penetración. Esto se hace en la figura 22.5-1, donde puede observarse que no hay ninguna diferencia significativa entre ambos modelo^.^ Además, existe una
Figura 22.5-1 Efecto de una reacción irreversible de primer orden sobre la absorción de seudoestado estacionario de un gas poco soluble en un tanque agitado. Comparación de los modelos de penetración y de pelícuIa estancada.
E.N. Lightfoot, AIChE Journal, 8,710-712 (1962).
818
Capítulo 22 Transporte interfásíco en mezclas no isotérmicas región sustancial de espacio del parámetro donde la velocidad pronosticada de ab-ae, oxígeno es idéntica a h de la absorción fisica en un tanque sin oxígeno. Por tanto, este ma químico ha demostrado ser un medio popular para calcular coeficientes v ~ l u m é t rdeí ~ ~ ~ transferencia de materia. Se ha usado ampliamente para caracterizar la eficacia de la oxiga nación de biorreactores aeróbi~os.~
Correlaciones insensibles al modelo para absorción con reacción rápida
A continuación se considerara la absorción con reacción rápida irreversible y se intentará shplificar y generalizar el análisis del ejemplo 20.1-2. Hacer lo anterior en términos del número de ~ a f tdefinido a ~ como
aquí el supraíndice fís denota la absorción del.soluto A en el mismo sistema pero sin reacción. Este grupo adimensional constituye una medida conveniente del efecto de promoción de la reacción química sobre la velocidad de absorción.
En ausencia de soluto B, la especie A experimenta absorción física (es decir, absorción sin reacción) a una velocidad
m
debido a que erf tiende a la unidad con cBm/cAodecreciente. Ahora el resultado en la ecuación 20.1-38 se divide entre la ecuación 22.5-9 para obtener
que puede simplificarse aún más en los casos siguiente~:~fi i) Para valores pequeiios de cB.cA,,, O para difisiuidades iguales,
ii) Para valores grandes de cBm/CAo,
A.M. Friedman y E.N. Lightfoot, Ind. Eng. Chem., 49,1227-1230 (1957);J.E. Bailey y D.F. Ollis, Biochemicaí Engineering Fundarnentals, McGraw-Hill, Nueva York (1986); V. Liek, P. Benes y J. S i u l e , BiotechnoL-Bioeng., 35, 7 6 7 7 0 (1990). S. Hatta, TerhnoIogi~lReports of TBhoku Uniuersify, 10,613-662 (1932). Shir6ji Hatta (1895-1973) enseñó en la Tb hoku University de 1925 a 1958 y en 1954 fue nombrado decano de ingeniena; después de "retirarse" aceptó un empleo en la Chiyoda Chemical Engineenng and Construction Co. Trabajó como editor en jefe de k g a k u K6gaku y como presidente de.Kagaku Kogakkai. E . N Lighffoot, Chem. Eng. Sci., 17,1007-1011 (1962). 8 D.H. Cho y W.E. Ranz, Chem. Eng. Pmg. Symposium S& #72,63,37-45 y 46-58 (1967).
'
522.5 Transferencia d e materia y reacciones químicas 819 iii) Para todos los valores de c B A O(aproximados),
La ecuación 22.511 es particularmente útil, debido a que es exacta para la situaci6n común de difusividades casi iguales, así como para cB,/cAOpequeño. La utilidad de la ecuacibn 22.5-13 radica en que es válida para valores tanto grandes como p c ? ~ u e ñ de ~ Sa ~ ~ , ~ ~Adec / b ~ ~ ~ ~ ~ ~ . más, la solución exacta siempre está en el espacio entre la curva d e la ecuación 22.5-13 y aquellas porciones de las curvas de las ecuaciones 22.5-11 y 22.5-12 que son más próximas a aquélla. Este hecho se muestra en la figura 22.5-2, donde estas aproximaciones limítrofes se comparan con la solución exacta. A continuación se o b s e ~ que a es posible sustituir la relación de difusividades por la relación correspondiente de números no reactivos de Sherwood,
donde el supraíndice O denota el número observado de Sherwood en ausencia de reacción química. Así es posible obtener soluciones en condiciones Límite insensibles al modelo
Se ha demostrado7 que estas ecuaciones constituyen cotas convenientes para capas límite laminar y turbulenta, así como el modelo de penetración del ejemplo 20.1-2. Así, forman una elevada correlación insensible al modelo y son bastante útiles.
Relaci6n estequiométrica, a c ~ ,/ bcAo
Figura 22.5-2. Correlaciones insensibles al modelo para absorción con reacción química rfipida, obtenidas a partir del modelo de penetración, para el caso en que aAS = 2'3BS.
820 Capítulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas
En esta sección se consideran brevemente algunas interacciones importantesenhlos procesos d e transferencia, recalcando Ia convección libre. Ésta es una extensi& del análisis d e transmisión d e calor por convección libre q u e se presentó e n Y que se entiende razonablemente bien. La combinación de transmisión d e calor y transferencia d e materia por conva ción libre es u n o de los ejemplos sencillos d e interacción entre los tres fenómenos de transporte. En las ecuaciones 19.5-8 a 19.5-11 s e proporcionaron las ecuaciones adimensionales que describen esta interacción. La integración numérica d e estas wuaciones es pero también pueden obtenerse resultados sencillos y útiles por medio d e la teoría d e capa Límite. En los siguientes ejemplos se considerarán dos problemas particularmente senciflos.
Aditividad de los números de Grashof
Obtener una expresión para la combhación de transmisión de calor y transferencia de materia por convección libre para e1 caso especial en que el número de Prandtl es igual al número de Schmidt. Supóngase que la transferencia se lleva a cabo entre una superficie de temperatura y composición constantes y un gran cuerpo uniforme de fluido alrededor de dicha su. perficie.
Ésta es una extensión directa de las condiciones limite del ejemplo 11.4-5. Entonces, si la t$mperatura adimensional y la composición se definen de manera semejante, se concluye que T = XA en todas partes dentro del sistema que está investigándose. Así, se concluye que la solución de este problema de convección mixta es idéntica a la de transmisión de calor o transferencia de materia solas, pero con Gr o Grmsustituidos por la suma (Gr GrJ. Esta simplificación se usa ampliamente para el sistema aire-agua, donde la pequeña diferencia entre los números Sc y Pr no tiene un efecto importante. Así, para la evaporación desde una ldmina vertical mojada con agua (con Sc = 0.61 y Pr = 0.73), es posible usar la ecuación 11.4-51 con C = 0.518 para obtener
+
Nu, = 0.518[0.73(Gr + Gx-W)I'/~
Sh,
-
0.518[0.61(Gr + GrJ11/4
Nótese que las potencias de Pr y Sc son 0.92 y 0.88, respectivamente. Esta diferencia pocas veces resuIta significativa en virtud de las incertidumbres de cualquier situación real y el modelo de capa límite en los que se basan estos resultados. Nótese también que el número térmico de Grashof es a menudo por mucho el mayor, de modo que al despreciar esta inte racción se subestimarían bastante las velocidades de evaporación.
Transmisión de calor por convección libre como fuente de h.ansferencia de materia por convección forzada
Hay muchas situaciones -por ejemplo la evaporación de disolventes con baja volatilidaddonde los números térmicos de Grashof son mucho mayores que sus contrapartes en transferencia de materia (Gr > Gr,,) y los números de Schmidt exceden a los números de Prandtl (Sc > Pr). En estas condicion&las h e r a s de empuje térmico constituyen una fuente de can-
' W.R. Wdcox, C h .Eng. Sci., 13, 113-119 11961).
922.6 Combinaci6n de transmisión de calor y transferencia de materia por convecd6n libre 821
tidad de movimiento, que a su vez proporciona un flujo convectivo que impulsa la transferencia de materia. Se ha demostrado2que el gradiente de velocidad hacia amba inducido térmicamente en la superficie de una lámina vertical plana de longitud L esta dado por
Aquí z es la distancia medida hacia arriba a lo largo de la lámina, y se mide hacia afuera en dirección del fluido y AT es la diferencia entre la temperatura de la lámina y la temperatura del entorno. Ésta es una expresión asint6tica para un gran número de Prandtl, aunque también es iitil para gases. Obtener expresiones para los números local y medio de Sherwood.
La convección libre termica constituye un campo de velocidad al interior del cual se desarrolla la capa lúnite de transferencia. Dado este campo de velocidad, es posible usar el análogo de transferencia de materia de las ecuaciones 12.4-30y 12.4-29 junto con ia definición Nu,, = D/T(g)ST para obtener una descripción de la velocidad de transferencia de materia en flujo bidimensional:
es el gradiente de velocidad adimensional en la pared (lo y vo son cantidades de referencia arbitrarias usadas en la definición del número de Reynolds). Para convección Iibre es conveniente usar la altura L de la lámina por lo y v / L por vo. Asi, el número de Reynolds es igual a ia unidad, y la cantidad roes To = (L2/v)(dv,/dy) 1 y=,. Entonces la ecuacidn 2Z.W se transforma en
El número medio de Sherwood, que se obtiene al promediar sobre la superficie de la iámina, es
Nótese que las dos últimas ecuaciones muestran característicasde convecci6n líbre y de convección forzada en capas límite laminares: la potenaa del número de Grashof para convecci6n libre y la potencia del número de Schmidt para convección forzada.
+
A. Acrivos, Phys. Fluids, 3,657-658(1960).
822 Capitulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isotérrnicas
Además, ahora es posible probar el efecto de Sc/Pr porque gracias al ejemplo preceden. te y a la tabla 14.61 se sabe que, para R = Cc,
donde el coeficiente es menor que el de la ecuación 22.6-7 por la relación 0.85. El número de Sherwood Sh, esta entre las predicciones de las ecuaciones 22.6-7 y 22.6-8 para Sc r Pr y Pr >> 1. Razonamientos semejantes a los que se usaron en la ecuación 14.6-6 sugieren ahora la siguiente extensión de las ecuaciones 22.67 y 22.6-8,
para Cc r Pr y Pr r 0.73.Este resultado es correcto para los límites Pr = 0.73 y Pr = m, y por tanto puede incluir la evaporación de disolventes en el aire. Este análisis también puede extenderse a otras fonnas.
522.T EFECTOS DE LAS FUERZAS INTERFACIALES SOBRE LA TRANSMISIÓN
DE CALOR Y LA TRANSFERENCIA DE MATERIA En esta sección se consideran brevemente algunas interacciones importantes entre los tres procesos de transferencia, con énfasis en los efectos de la tensión interfacial variable (efectos de Marangoni). La importancia de este tema surge de la frecuencia del contacto directo fluido-fluido en sistemas de transferencia de materia, aunque también puede ser importante en operaciones semejantes de transmisión de calor. Sin embargo, procesos de difusión que aún no se comprenden por completo permiten la violación de la condición sin desiizamiento en el flujo de fluidos sobre superficies sólidas en la vecindad de meniscos que avanzan.' Así como para los efectos de distorsión de gradientes de tensión superficial sobre la transferencia de materia y la transmisión de calor en contactos gas-líquido, éstos entran a través de una descrip ción de las condiciones límite. Según la ecuación llC.6-4, si se ignoran los esfuerzos sobre el gas (fase II), entonces los esfuerzos tangenciales interfaciales que actúan sobre una interface con vector normal unitario n están dados po$
[(S- nn) [n 711 = + VSu
(22.7-1)
donde a es la tensión superficial, VS es eI operador gradiente bidimensional en la interfase y (8 nn) es un "operador proyección" que selecciona las componentes de
-
1 V. Ludviksson y E.N.Lightfoot, AIChE Journal, 14,674-677(1968);P.A. Thompson y S.M. Troian, Pkys. Rev. Letters, 63,76769(1997); A. Mannur, en Modern Apprmch to Wettabilify Theory and Applications (M.E. Schrader Y C. Wong, Phys Rev. Lefters, 80,3069-3072(1998). Coeb, editores), Plenum Press (1992);D. Schaeffer y En la ecuación 3.24 del libro Interfaciul Trartspmt Pmcesses aiid Rheology, Butteworth-Heinemann, Boston (1991), de D.A. Edwards, H. Brenner y D.T. Wasan, el operador (6 - nn) se denomina "idemfactorde superficie diádico";J.C. Slattery, en Interfacial ?Yansport P h e ? I ~ m eSpringer ~, Verlag, Nueva York (1990). p. 1086, denomina "tensor de proyección" a la misma cantidad. Ambos libros contienen bastante iníormación sobre tensión superficial, viscosidad superficial, viscoelasticidad superficial y otras propiedades de las interfases y sus métodos para medirlas.
522.7 Efectos de las fuerzas interfaciales sobre la transmisión de calor y la transferencia de materia 823
In T] que están en el plano tangente interfacial. Por ejemplo, si n se toma como el vector unitario en la dirección z, entonces con la ecuacibn 22.7-1se obtiene
que son las fuerzas de tensión interfacial en las direcciones x y y que actúan en el plano xy. Los esfuerzos inducidos por Ia tensión superficial típicamente son del mismo orden que sus contrapartes hidrodinámicas, y los fenómenos de flujo que pueden resultar a partir de ellos se denominan colectivamente efectos de ~ a r a n g o n iSe . ~ ha demostrado4 que las velocidades de transferencia de materia pueden incrementarse hasta tres veces por los efectos de Marangoni, aunque también pueden reducirse en otras circunstancias. La naturaleza y extensión de los efectos de Marangoni dependen bastante de la geometría del sistema y de las propiedades de transporte, de modo que aquí es conveniente considerar cuatro ejemplos específicos:
i) gotas y burbujas rodeadas por un medio continuo líquido,
ii) rocíos de gotas en un medio continuo gaseoso, iii) películas líquidas soportadas en un medio continuo gaseoso o líquido, y iv) espumas de burbujas gaseosas en un medio continuo líquido. Estos sistemas, cada uno importante en la práctica, muestran un comportamiento muy diferente entre sí. Para gotas y burbujas que se mueven a través de un medio continuo líquido, los problemas principales son las partículas tensoactivas o microscópicas que pueden eliminar o reducir la "circulación de Hadamard-Rybczinski" y también impedir el mezclado periódico que acompaña Ia oscilación en gotas o burbujas más grande^.^ Lo anterior se analiza brevemente en el ejemplo 22.3-4. Estas situaciones son importantes en absorbedores de gases y extradores de líquidos. Para rocios de gotas en un gas, que son importantes en grandes columnas de destilación, las fuerzas de Marangoni no desempeñan un papel imp~rtante.~ Los lechos espumosos, que son importantes en columnas de destilación más pequeñas, y las p e i í d a s soportadas, que son importantes en una amplia variedad de columnas de relleno, son particularmente interesantes. Ambos son afectados fuertemente por gradientes de tensión superficial resultantes de los cambios de tensión superficial con la composición de las corrientes adjuntas.
C.C.M. Marangoni, Tipopaphia dcifriztelli Fusi, Pavia (1865);Ann. Phys. (Poggendorn, 143,337-354(1871). L.E. ScRven y C.V. Sternling, Nature, 187,186-188 (1960) y S. Ross y P. Becher, J. Coll. Interfoc. Sci., 149,575-579 (1992)han escrito artículos históricos sobre los efectos de Marangoni. J.C. Godfrey y M.J. Slater proporcionan una revisión aceptable de los efectos de Marangoni y fenómenos relacionados, con énfasis en sistemas líquido-líquido, en Liquid-Liquid Extraction Equipmeni, Wdey, Nueva York í1994X p p 68-75. Una teoría ofrecida por C.V. Sternling y L. E. Crriven, AIChE Journal, 5,514-523 (1959), proporciona información útil, aunque se considera muy simple, para obtener pronósticos confiables del establecimiento de inestabilidades. J. B. Angelo y E.N.Lightfoot, AIChE Journal, 12,751-760 (1966). F.]. Zuidenveg y A. Hannens, C h . Eng. Sci., 9,89-103 (1958).
824 Capitulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas Los lechos espumosos se estabilizan cuando el líquido global tiene menor ten-sión superficial que la de equilibrio con el gas global, lo cual se denomina "siste&= positivo". En esta situación, la tensión interfacial tiende a ser superior donde las burbujas están próximas entre sí que donde están bastante separadas, y el encog-. miento de regiones de alta tensión superficial tiende a separar ias burbujas, esta&. Lizando así la espuma. Donde sólo hay pequeñas diferencias en la tensión superficial,o donde se invierte la dirección, un "sistema negativo", no hay efecto es. tabilizador y el espumante es deficiente. La concentración de etanol a partir del agua es interesante, ya que posee poderosos gradientes positivos de tensión superficial donde la volatilidad relativa es elevada, aunque se transforma en casi neutra a medida que se aproxima el azeótropo. Así, para una columna de casquete de burbujeo, tapada con burbujas, las eficiencias de etapas son altas donde menos se necp sitan y bajas a medida que se aproxima la composición azeotrópica. En columnas de relleno, donde el líquido descendente está soportado sobre su. perficies sólidas como películas delgadas, la situación es muy distinta. Aquí la tensión superficial del líquido descendente disminuye hacia abajo para un sistema positivo y está sujeta a inestabilidad hidrodinámica para formar riachuelos estrechos. Éstos disminuyen notoriamente el área interfacial y la eficacia de la transferencia de materia. Por otra parte, en sistemas negativos Ias películas son estabilizadas y la transferencia de materia es más efectiva que para sistemas neutros. Parece que no se dispone de ningún análisis cuantitativo de esta situación, aunque se ha d e mostrado que las inestabilidades encontradas por Zuiderweg y Hamens para columnas de pared mojada pueden pronosticarse mediante análisis de estabilidad linealizados.7 El análisis de estabiiidad también sugiere que la presencia de un gradiente positivo de tensión superficial, debe mejorar la eficiencia de los condensadores. Otro estudio de estabilidad de películas muy pequeñas abre nuevas posibilidades para procesadores microfluídicos.8
w
ii
?# S+,
.-
j
La presencia de tensoactivos puede detener la circulación de Hadamard-lade gas ascendente. Explicar este fenbmeno (véase la figura 22.7-1). 4 % %te
Eliminación de la circulación en una burbuja de gas ascendente
S
h
S
SOLUCIÓN
La circulación resulta en un estiramiento de la superficieen Ia parte superior de una burbuja ascendentey en un encogimiento de la superficie en la parte inferior. Como resultado, bs tensoactivos se acumulan en la parte inferior, produciendo ahí una concentración superior a la media, mientras que en la parte superior existe una concentración inferior al promedio. Debido a que los tensoactivos reducen la tensión superficial, esto resulta en un esfuerzo inducido por la tensión superficial (en coordenadas esféricas)
e
'K.H Wang, V.tudvjkssony E.N. Lightfout, AIChE Journal, 17,1402-1408(1971). D.E. Kataoka y M.S. Tmian, Nature, 402,794-797 (16de diciembre de 1999)
tj22.7 Efectos de las fuerzas interfaciales sobre la transmisión de calor y la transferencia de materia
825
Figura 22.7-1 Transporte de tensoactivos durante circulación de Hadamard-Rybczynski.
Liberación de1
que tiende a oponerse a la deformación interfacial (véase la ecuación 22.7-1). Si la magnitud de este esfuerzo alcanza el valor que ocumría en una esfera sólida ascendente (véase la ecuación 2.6-61
entonces se detiene la circulación. Como cuesti6n.práctica,incluso pequeñas cantidades de tensoactivo impiden la circulación. Una pequeña concentración de partículas microscópicas suspendidas tiene un efecto semejante, que es barrido a la parte posterior de las burbujas, formando una superficie rígida.
Inestabilidad de Marangoni en una película descendente
Entre los efectos de Marangoni más simples inducidos por transferencia de materia se encuentra la inestabilidad en una película descendente, resultante de la adsorción a contraflujo de vapores con un gran calor de solución. Un importante ejemplo representativo es la absorción a contraflujo de vapor de HC1 en agua, tan ineficiente que es preferible flujo concurrente. Explicar este efecto.
Esta situación puede simularse dejando que una película de agua circule hacia abajo por una lámina que está m6s fría en la parte superior que en la parte inferior. Si se tiene suficiente cuidado, es posible obtener u n espesor de película que varía sinusoidalmente, como se demuestra por interferometría en la figura 22.7-h. Aquí, cada nueva línea oscura representa una línea de espesor constante, que difiere de sus vecinas por la mitad de una longitud d e onda de luz en el agua. Esta situaci6n corresponde a una serie de celdas paralelas enforma de rollo del tipo que se muestra en la figura 22.7-2b, impulsadas por gradientes de tensión superficial lateral. Estos gradientes, a su vez, resultan de pequeñas variaciones en el espesor de la película causadas por pequefias variaciones espaciales inevitables de la velocidad en la superficie; las regiones con más espesor se desplazan más rápido, por 10 que tienden a ser más frías que las regiones delgadas. Un sencillo anhlisis de perturbaciónymuestra que las perturbaciones de algunos anchos crecen más rapido que otras, y que tienden a dominar las de crecimiento más rápido. Los periodos de las líneas sinusoidales en la figura 22.7-2a corresponden a estas perturbaciones de crecimiento más rápido.
826
Capítulo 22 Transporte interfásico en mezchs no isoténnicas
Figura 22.7-2 a) Iniciación de inestabilidad de Marangoni en el vaciado de una película fluida fiquida. b) Inestabiiidad de Marangoni completamente desarrollada. c ) Representación cualitativa de perturbaciones verticales en ceIdas en forma de rollo. [V. Ludviksson y E.N. Lightfoot,
Sin embargo, esta regularidad se observa raramente en la práctica. Más a menudo se observan riachuelos con mas espesor ocasionales rodeados por grandes regiones delgadas. Ec. tas regiones delgadas, que ocupan la mayor parte de la superficie disponible, se mueven con lentitud y se saturan rápidamente, de modo que son ineficaces para la transferencia de mate ria. Sólo los riachuelos son eficaces, y su área superficial total es muy pequeña. Un comportamiento semejante se observa para gradientes de tensión superficial provocados por variaciones verticales en la composición. Sin embargo, en este caso e1 comportamiento es más complicado y requiere un análisis de transferencia de materia de interfa~e.~
522.8" COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA A ALTAS VELOCIDADES DE TRANSFERENCIA NETA DE MATERIA
Altas velocidades d e transferencia neta d e materia a través d e los iímites de tase dic. torsionan los perfiles de velocidad y temperatura d e capa límite, así como la concentración d e especies, y también modifican los espesores de capa límite. Estos dos efectos tienden a incrementar los factores d e fricción y los coeficientes d e transmisión de calor y d e transferencia de materia, si la transferencia d e materia es hacia el límite, y a reducirlos e n la situación contraria. Sin embargo, estas tendencias d e costumbre se invierten e n convección libre y e n flujos impulsados por una superficie giratoria. Las magnitudes de estos cambios dependen d e la geometría del sistema, las condiciones límite y las magnitudes d e los parámetros rectores como los n ú m e
522.8
Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia
827
ros de Reynolds, de Prandtl y de Cchmidt, y van acompañadas por los efectos de cambios en las propiedades físicas. También pueden aumentar o disminuir la estabilidad hidrodinámica. Así, una tolerancia exacta de los efectos de la transferencia neta de materia requiere de cálculos y/o experimentos bastante detallados, aunque algunas de las características más sobresaiientes pueden ilustrarse usando modelos físicos idealizados, que es el método que se sigue aquí. Empezamos con el modelo de pelicula estancada clásico, que proporciona estimaciones sencillas de la distorsión del perfil, aunque es incapaz de predecir cambios en el espesor efectivo de la película. Luego se analizarán el modelo de penetración y el modelo de capa límite laminar para una lámina plana. Se concluirá con varios ejemplos ilustrativos, de los cuales el úIlimo es un ejemplo numérico completo de capas límite en un disco giratorio. Este ejemplo proporciona una valuación útil de la sensibilidad al modelo. Como se indicó en w . 1 , cuando se consideran altas velocidades de transferencia neta de materia, se introduce una notación modificada para los coeficientes de transferencia:
Los puntos negros en kkl, y hi, implican que se incluyen las distorsiones de los perfiles de concentración y temperatura resultantes de altas velocidades de transferencia neta de materia. Las relaciones entre estos coeficientes de transferencia y los que se definieron en las ecuaciones 22.1-7 y 22.1-8 son
Esto muestra explícitamente el proceso límite que relaciona los dos tipos de coeficientes de transferencia.
E l modelo de película estancada14 Este modelo ya se analizó brevemente en 518.2 y con más detalíe en el ejemplo 19.4-1. Al combinar las expresiones en las ecuaciones 29.4-26 y 19-4-17con las definiciones en las ecuaciones 22.8-la y 22.8-lb, para el sistema en la figura 22.8-1 se obtiene
W.K.Lewis y K.C. Chang, Trons. AIChE, 21,127-136 (1928). G . Ackerman, Forschungsheft,382, 1-16 (1937). A.F! Colbum y T.B. Drew, Trans. AIChE, 33,197-212 (1937). HS. Mickiey, R.C.Ross, A.L.Squyersy W.E.Stewm, NACA Tech. Note 3208 (1954).
828 Capítulo 22
Transporte interfhsico en mezclas no isotémicas
\
Interfase situada eny=O Pera de velocidad
Perfil de temperatura
Perfil de concentración
Figura 22.8-1 Flujo estacionario a lo largo de una superficie plana con rápida transferencia de materia hacia el interior de la corriente. Las curvas continuas representan los perfiles reales, y las curvas discontinuas son pronosticadas por el modelo de película.
Luego, al seguir el proceso al límite indicado en las ecuaciones 22.8-2a y 22.8-2b, se obtienen expresiones para los coeficientes de transferencia en el límite inferior de transferencia neta de materia:
Estos valores límite se encuentran al desarrollar en serie de Taylor los miembros derechos de las ecuaciones 22.8-3 y 22.8-4 y retener dos términos. Al sustituir las ecuaciones 22.8-5 y 22.8-6 en las ecuaciones 19.4-16 y 19.417 es posible eliminar los espesores de película (que están mal definidos) a favor de los coeficientes de transferencia a bajas velocidades de transferencia de materia (que son rnensurables):
Estas ecuaciones son los resultados más importantes del modelo de película. Muestran cómo la densidad de flujo de energía conductiva y la densidad de flujo por difusión en la pared dependen de NAOy NBO.En este modelo, resulta evidente que los efectos de la transferencia neta de materia sobre las densidades de flujo interfacial conductiva y difusiva son análogos. Aunque estas relaciones se obtuvieron para flujo laminar y propiedades físicas constantes, también son útiles para flujo turbulento y para propiedades físicas variables (véase el problema 22B.3).
Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia 829
522.8
Los resultados para transmisión de calor y transferencia de materia pueden msumirse en dos ecuaciones:
La ecuación 22.8-9proporciona los factores de corrección O, y BT por los que deben multiplicarse los coeficientes k,,,, y hl, para obtener los coeficientes a altas velocidades de transferencia neta de materia. La ecuación 22.8-10 proporciona los perfiles de concentración y temperatura. Los significados de los símbolos se resumen en la tabla 22.8-1. La ecuación 22.8-9 se proporciona gráficamente en la figura 22.8-2. Esto muestra que para transferencia neta de A y B hacia el interior de la corriente (4 positivo), los coeficientes de transferencia decrecen, mientras que la transferencia neta de A y B fuera de la corriente ( 4 negativo) provoca el incremento de los coeficientes de transferencia. En la figura 22.8-3 se muestran algunos perfiles de ejemplo obtenidos a partir de la ecuación 22.8-10. En el limite de bajas velocidades de transferencia de materia (es decir, 4 + O o R + O), la ecuación 22.8-10 se transforma sencillamente en ll = v. El modelo de peiícula considera la región fuera de la película como perfectamente mezclada, dando así un perfil que es plano más allá de q = 1.
Tabla 22.8-1 Resumen de cantidades adimensionales por utilizar para todos los modelos analizados en 522.8.
-
8 = factores de corrección R = relaciones de densidad de flujo 4 = factores de velocidad perfiles = distancia adimensional medida desde la pared
n
Transferencia de materia
e
e,=-
k;,loc
k*,loc
Transmisión de calor
h - hip( hloc
830
Capítuio 22 Transporte interftisico en mezclas no isotérmicas Figura 22.8-2 Variación de los coeficientes de transferencia velocidad de transferencia de materia, proporcionada por el modelo de película (vease la ecuación 22.8-9).
,
Transferencia de materia 0.8 hacia afuera de la fase considerada 0.6
O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
4
El modelo de penetración Ahora consideraremos el coeficiente de transferencia a altas velocidades de transfe rencia neta de materia para sistemas en los cuales no hay resistencia de arrastre significativa en la interfase. Ya se han estudiado varios sistemas de este tipo: la absorción de un gas en una película líquida descendente y desde una burbuja ascen. dente (518.5) y evaporación en estado no estacionario (520.1).Estos sistemas suelen agruparse bajo el título de teorúr de penetración. En la figura 22.8-4 se muestra un sistema de película descendente. El tiempo de recorrido desde la entrada hasta la salida del líquido (el "tiempo de exposición") es suficientementebreve, de modo que la especie en difusión no penetra mucho en el líquido. En esta situación es posible (desde un punto de vista matemático) conside rar la película descendente como de espesor infinito. Luego es posible tomar los w sultados del ejemplo 20.1-1.
Figura 22.8-3 Perfiles de temperatura Y concentración en una película laminar, calculados por el modelo de película (véase la ecuación 22.8-10).
522.8 Coeficientesde transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia
I
Salida de líquido
r = distancia medida hacia el interior de la pelfcula de iíquido
831
Figura 22.8-4 Difusión hacia el interior de una película líquida descendente. Aquí teXp es el tiempo total de exposici6n de uii elemento típico de volumen cerca de la
superficie.
La ecuación 20.1-3 proporciona los perfiles de concentración para un sistema correspondiente en estado no estacionariocon altas velocidades de transferencia neta de materia, y para los perfilesde temperatura es posible escribir una ecuación análoga: XA -XAO X A -~X~~
-- e r f ( -~~~~ ) + e r f ' ~ r 1+ erf cpx
(22.8-11)
Aquí i?, = son distancias adimcnsionales desde la intery T~ = fase, y rp en ambas fórmulas es la velocidad molar media adimensional en la interfase:
A partir de estos resultados y las definiciones para los coeficientes de transferencia en las ecuaciones 22.8-1 y 22.8-2, ahora es posible obtener los factores de velocidad 4, las relaciones de las densidades de flujoR y los factores de corrección 0, definidos en la subsección precedente:
832 Capítulo 22
Transporte interftisico en mezclas no isotérmicas
A partir de las definicionesen las ecuaciones 22.8-1 y 22.8-2 y los perfiles en las-%ciones 22.8-11 y 22.8-12, también es posible obtener las expresiones para los coeficientes de transferencia a bajas velocidades de transferencia neta de materia:
Los coeficientes correspondientes a aItas velocidades de transferencia neta de materia pueden obtenerse multiplicando por el factor de corrección en la ecuación 22.8-16. A partir de las dos últimas ecuaciones se obtiene la relación
i)
Una relación semejante, con un exponente de (en vez de se obtiene a partir de las relaciones de Chilton-Colburn que se prop~rcionaronen las ecuaciones 22.3-23a 22.3-25. Las últimas son validas para flujos adyacentes a límites rígidos, mientras la ecuación 22.8-19 pertenece a sistemas fluido-fluidosin gradiente de velocidad en la interfase. La proporcionafidad de kXJl,con la raíz cuadrada de la difusividad, proporcio. nada en la ecuación 22.8-17, ha sido confirmada experimentalmente para la fase 1íquida en varios sistemas de transferencia de materia gas-liquido, incluyendo columnas cortas de pared húmeda, columnas de relleno y liquidos alrededor de burbujas gaseosas en ciertos casos. El modelo de penetración también ha sido aplicado a absorción con reacciones químicas (véase el ejemplo 20.1-2). El modelo de capa límite para una lámina plana
En s20.2 se anaiiz6 el transporte en estado estacionario en la capa límite a lo largo de una lámina plana para un fluido con propiedades físicas constantes. La expresión general ara los perfiles, II(q, A, K ) , se proporcionó en la ecuación 20.2-43. Ahí q = y v,/2vx es una coordenada de posición adimensional medida desde Ia Iámina, A es el grupo de la propiedad física (es decir, 1, Pr O SC) y K = ( v y 0 / v m ) ~ v es una densidad adimensional de flujo neto de materia desde la lámina. Nuevamente se introducen las notaciones definidas en la tabla 22.8-1. Así, para el cálculo de la capa límite se tiene
4-
En el cálculo de la capa Iímite se supuso que las capacidades calorííicas de ambas especies son idénticas. Las densidades de flujo de cantidad de movimiento, de calor y de materia para la lámina plana se proporcionan en la figura 22.8-5. Luego, en las figuras 22.8-6 y 22.&7 siguientes, se proporcionan dos gráficas, en las que se comparan los factores de corrección, B, para el modelo de película, el modelo de penetración y el modelo de capa límite. Este último modela proporciona una dependencia con respecto a A que no se encuentra en los otros modelos, ya que este modelo incluye e1 efecto de 10s perfiles de velocidad tangencia1 sobre los perfiles de temperatura y concentración.
922.8 Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia 1 + RparaRCO
Asírttota para
+
-t -m:
833
Rj-1
18 8 6 4 2
1 0.8 0.6 0.4 8
t
0.2
0.1 0.08 0.06 0.04 , S , . .
0.M
. . S
. s . . .
a
. , . .,,.,
.
1 IIIIIII
I I
,
,
. ....
Para R positivo, leer 4 positiLi a ppart de las curvas inferiores Para R negativo, leer 4 negativosobre las curvas superiores
0.01 1IIII 1 1 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2
11111111
0.5 1.0
1 1
2
5 10
20
-
111111
50
100
IR 1 Figura 22.8-5 Densidades de flujo de calor y de materia entre una lámina plana y una capa límite laminar [W. E. Stewart, tesis de maestría, Massachusetts Institute of Technology (195111.
El modelo de película pronostica la menor dependencia de los coeficientes de transferencia con rcsuecto a la velocidad de transferencia neta de materia. Cuando uno de dos, C$o R, es de magnitud 1o mayor para T o xA, aparecen factores de corrección considerablemente distintos de la unidad; véanse las figuras 22.86,22.8-7 y 22.8-8, y la relación 8 = $ / R . Cuando la transferencia de materia se
Figura 22.8-6 Variación de los coeficientes de transferencia con la velocidad de transferencia de materia pronosticada por vanos modelos. La línea para A + m se cumple para las regiones no separadas de capa límite en estado estacionario sobre superficies s6lidas, sin importar cual sea su geometría.
834 Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas Figura 22.8-7 Variación de los
coeficientesde transferencia cona
la relación de densidad de flujo R
pronosticada por varios rnodel*,. La iííea para h + se cumple para las regiones no separadas d i capa límite en estado estacio~pi~ sobre superficies rígidas lisas, sin importar cuál sea su geornehía.
1
oara todos los valores de A): no aplicable a transferencia"
2.0
'y1 1 1 1 N
impulsa mecánicamente como en ultrafiltración (ejemplo 22.8-5) y enfriamiento por transpiración (problema 20B.7~)son comunes grandes densidades d e flujo neto de materia interfacial, obtenidos con estas medidas. También pueden ocurrir grandes densidades d e flujo neto de materia en vaporización, condensación, fundición y otros cambios d e estado, y e n reacciones químicas heterogéneas, cuando van acompañadas por grandes diferencias d e temperatura o intensidades d e radiación c o m pondientes para transferir el calor latente o la energía d e reacción requeridos. En procesos d e separación e n varias etapas y e n columna d e relleno, donde las diferencias de temperatura y composición e n el interior d e u n a etapa d e separación o sección transversal d e flujo normalmente suelen ser pequeñas, e s común encontrar densidades d e flujo más moderadas, así como factores d e corrección próximos a la unidad. La relación d e densidades d e flujo d e energía RT es u n criterio importante para valorar las correcciones d e la densidad de flujo neto, como se ilustra en los ejemplos 22.8-2 y 22.8-3.
, EJEMPLO 22.8-3 S
,
Evaporación rápida de un líquida desde una superficie plana
El disolvente A se evapora desde una capa de laca sobre una superficie plana expuesta a una
corriente tangencia1 de un gas no condensable B. En un punto dado sobre la superficie, el coeficiente kx,loc de transferencia de materia en la fase gaseosa para las propiedades medias prevalecientes del fluido, está dado como 0.1 lb-mol/h . pies2; el número de Sherwood es Sc = 2.0. La composición interfacial del gas es xno = 0.80. Estimar la velocidad local de evaporación, usando a) el modelo de película estancada, b) el modelo de capa límite para una 16mina plana y c) el coeficiente de transferencia de materia k,,lo, sin corregir.
a) Debido a que B no es condensable, NEO= O. Así, al aplicar la ecuación 22.8-7 (que es lo mismo que 1 + R, = exp &) a la fase gaseosa se obtiene
922.8 Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia
835
A partir de esto, después de tomar al Iogaritmo, como resultado del modelo de película estancada se obtiene
lo cual corresponde a un factor de corrección 0, = d X / R x= 0.40.
b) Asl como en el inciso a), R, = 4.0. Luego, a partir de la figura 22.8-5, para R, = 4.0 y A, = 2.0, se encuentra que = 1.3. Al hacer NBO= O en la fórmula para 4%en la tabla 22.8-1, se obtiene
como el resultado del modelo de capa límite para una lámina plana. El factor de corrección correspondiente 6, es 0.33. C) Si el coeficiente de transferencia de materia k,,,, se usa sin corrección para la densidad de flujo interfacial neto, a partir de la ecuación 22.1-5 se obtiene, con NBO= 0,
N,
- 0.80(NA, + 0) = (0.1)(0.80 - 0)
(22.8-26)
de donde NAO= 0.400 lb-mol/h . pies2. Este resultado es demasiado alto y muestra que las correcciones para la densidad de flujo molar neto son importantes en estas condiciones. La solución de capa limite en el inciso b) debe ser exacta si el flujo es laminar y la variación en las propiedades físicas no es muy grande.
b
Factores de corrección en la evaporación de una gotita
Ajustar los resultados del ejemplo 22.3-1 para la densidad de flujo molar neto aplicando los factores de corrección 0, y Or del modelo de pelicula y del modelo de capa límite para una 1ámina plana. SOLUC~OAJ
En el ejemplo 22.3-1, la relación de densidades de flujo molar R, en cualquier punto sobre la superficie de la gota es
A partir de la ecuación 22.8-9 (el modelo de película) o de Ia figura 22.8-7 (e1 modelo de capa límite para una lámina plana), el factor de corrección pronosticado 9, es alrededor de 0.99 en todos los puntos sobre la gota. Por tanto, Ia velocidad de transferencia de materia corregida (por ajuste de Ia ecuaci6n 22.3-31) es
Este resuItado difiere muy poco del que se obtuvo en el ejemplo 22.3-1. Así, la suposición de una baja velocidad de transferencia de materia es satisfactoria en las condiciones dadas.
836
Capítulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas -.
Extender el análisis del ejemplo 22.3-2a fin de incluir las correcciones para velocidad transferencia neta de materia, usando el modelo de película estancada. un bulbo húmedo para velocidad de transfermcia de materia
1
SOLUCI~N
Al volver a escribir el balance de energía, ecuación 22.3-32, para cualquier punto sobre la mp cha, para una velocidad finita de transferencia neta de materia se obtiene
-
-
Al multiplicar ambos miembros por CpA/(%,vap h*lec) se obtiene, debido a que NBO= 0,
E1 miembro derecho de esta ecuación se calcula con facilidad si se proporcionan To, T, y p, A continuación se escribe la expresión 4 = in (1 R) para la transmisión de calor y pa. ra la transferencia de materia,tomando en cuenta el hecho de que NBO= 0:
+
At despejar NAOen ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes se obtiene
Luego, al sustituir las expresiones para R, y RT de la tabla 22.8-1 se obtiene
5
Esta ecuación muestra que xAO y son constante^ sobre la superficie de la mecha si hh/ ík,,,,CpA) es constante y por tanto igual a hm/(kxnrCpA). Esta constancia se supone aquí para facilitar las cosas. Tal suposiciónes particularmente satisfactoria para e1 sistema agua-aire, para el cual Pr y Sc son casi iguales. Con esta sustitución, la ecuación 22.8-34 se transforma en
Esta solución se simplifica exactamente a la ecuación 22.3-35 a baja velocidad de transferencia de materia. Para el problema numérico en el ejemplo 22.3-2 son válidos los siguientes valores: , x,
-
= 0.0247
CpA= 8.03Btu / ib - mal - F para vapor de agua a 105 T
h, / k,
= 5.93Btu /lb - m01 . F a partir de la analogía de Chilton - Colbuni (Ec. 22.3 - 25)
522.8 Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia
837
Al insertar estos valores en Ia ecuación 22.8-35 se obtiene
AI resolver esta ecuación se obtiene
Este resultado difiere ligeramente del valor 0.0033 que se obtuvo en el ejemplo 22 3-2 y justifica la omisión previa de los factores de corrección en las condiciones dadas. Estudios numéricos indican que la sencilla ecuación 22.3-34 proporciona una aproximación a la ecuación 22.8-35 para el sistema aire-agua en todas las condiciones semejantes a las del bulbo húmedo. Las ecuaciones 22.3-32 y 22.3-33 sobrestiman la velocidad de transferencia de materia casi de la misma manera, y cuando se combinan estas ecuaciones, se compensan en buena medida los errores.
-
-w
EJEMPLO 22.8-4 ,
<
Comparación de los modelos de pelicula y de penetración para evaporación no estacionaria en un tubo largo
Comparar los efectos de transferencia neta de materia para el sistema de evaporación no estacionaria descrito en el ejernpIo 20.1-1 con las predicciones de a) el modelo d e penetración generalizado y b) el modeIo de película estancada recientemente presentado. El úitimo cálculo corresponde a un tratamiento de estado casi estacionario de este sistema dependiente del tiempo.
Se empieza por observar que para este sistema xAm = O y NBO= O. Con base en la ecuación 22.8-la y la tabla 22.8-1 se concluye que
Entonces, el factor de correcci6n 0, es la relación de la densidad de flujo corregida para transferencia neta de materia a la densidad de flujo sin corregir. a) El modelo de penetracibn. Se observa que el gradiente de concentración en la superficie 11quida puede obtenerse al diferenciarla ecuación 20.1-16 y volver a escribir el resultado en tkrminos de x, y z. El resultado es
Para transferencia de materia despreciable, p = O. Asi, la relación de la densidad de flujo de rnateria en presencia de transferencia neta de materia a la densidad de flujo en ausencia de transferencia neta de materia es
838
Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas Tabla 22.8-2 X ~ o
Comparación de los modelos de película y de penetración
O, a partir del modelo de penetración (Ec. 22.8-41)
O, a partir del modelo de película (Ec. 22.8-42)
lo cual coincide con las ecuaciones 22.8-14 y 22.8-16. Para obtener O, como una función de x A@ es posible usar la figura 22.8-7, o la ecuación 20.1-17, para escribir
8,
= (1 - xAO)$4xA0)
(modelo de penetración)
(22.841)
donde $(xA,,) es la cantidad definida justo después de la ecuación 20.1-22 y proporcionada en la tabla 20.1-1. b) El modelo de película estancada. El resultado del modelo de película puede obtenerse a partir de la ecuación 22.8-9 en la forma O = (1 /R) ln(1 + R) para obtener O, =-I - X A O X~~
()
(modelo de pelfcula)
En la tabla 22.8-2 y también en la figura 22.8-7 se proporcionan valores numéricos para ambos modelos. Se observa que el modelo de penetración pronostica una corrección O, más poderosa para transferencia neta de materia que el modelo de peficulrt. Esto se debe parcialmente a que e1 flujo neto hace más gruesa la capa Iímite, un efecto que no se considera en el modelo de p e l í d a . También puede observarse que este ejemplo es una aplicación realista del modelo de penetración, ya que en este sencillo sistema isotérmico hay poco efecto de la concentración de soluto sobre las propiedades físicas. En el siguiente ejemplo se observa una situación bastante diferente.
EJEMPLO 22.8-5 ,
a
Polarización de concentración en ultrafiltración
La ultrafiltración de protelnas es un proceso de concentración en el que agua de una solucibn acuosa de proteína es forzada a través de una membrana impermeable a la proteina pero permeable al agua y pequeños solutos como sales inorganicas. Luego, la proteína se acumula en una capa de pohrización o región de alta concentración de proteina adyacente a la superficie de la membrana, como se indica en la figura 22.8-8.Determinar la relación entre la velocidad de penetración del agua y la diferencia de presión a través de la membrana. Describir el efecto de la transferencia neta de materia s o b el ~ coeficiente de transferencia de materia para el transporte de proteína. Supóngase que la membrana es completamente impermeable a la proteína, de modo que el transporte neto de proteína a travPs de la superficie de la membrana es cero.
Para facilitar las cosas se elige una geometría de disco giratorio, como se muestra en la f i p ra 22.8-8, para la que la concentración de proteína es una función sólo de la distancia y a la superficie del disco y no de la posición radial5 (véase el problema 19D.4). Sin embargo, es necesario considerar la dependencia de la densidad, viscosidad y dilusividad proteína-agua con respecto a la concentración de proteína, y será necesario el concepto de presión o~rnótica.~
6
D.R.Olmdm, J. Heat Transfm, 84,185 (1972). RJ.Siibey y R.A. Alberty, Physicol Chemislry, 3a. edición, Wiley, Nueva York (2001),p. 206.
s22.8 Coeficientes de transferencia a altas velocidades de transferencia neta de materia
Capa limite de proteina
839
Figura 22.8-8 Ultrafiitro de disco giratorio.
La base para la solución es el concepto de permeabilidad hidráulica de la membrana de filtración:
Aquí v, es la velocidad o densidad de flujo volumétrico del disolvente que sale de la superficie corriente abajo de la membrana. La ecuación 22.8-43 define KH,la permeabilidad hidraulica de la membrana. Las cantidades po y ps son las presiones hidrhulicas contra la membrana como se indica en la figura 22.8-8, y .R es la presión osmótica en Ia superficie de la membrana corriente arriba. La inclusión de rreconoce que en realidad lo que impulsa el.transporte a través de la membrana es el potencial termodinámico total (esta cuestión se analizará con mAs detalle en el capítulo 24). Para esta situación, la velocidad interfacial de la proteína es cero, de modo que al efectuar un balance de materia del disolvente a través de la capa límite de proteína se obtiene
donde y es la distancia desde la superficie de la membrana corriente arriba hacia la capa 1írnite de proteína. La cantidad p(s)es la densidad del disolvente puro, y psa = ps 1 y=O y vcO= nly 1 y=O son la concentración de materia y la velocidad del disolvente en la superficie de la membrana corriente amba, respectivamente. La presión osmótica 7j- es una función de la concentración de proteína pp, y en el problema 22C.I se proporcionara un ejemplo de esto. Luego se encuentra que la densidad de flujo de agua a través de la membrana depende de la concentración de proteína en su superficie, así como de la caída de presión hidrodinámica a través de la membrana. Esta concentración al mismo tiempo puede estar relacionada con vs a través de la condición de impermeabilidad de la membrana para la proteina y la definición del coeficiente de transferencia de materia. Así, para y = O, la impermeabilidad de la membrana con respecto a la proteína se describe como
donde k; se ha definido de manera análoga a k;. Luego, al combinar lo anterior con la ecuación 22.8-44 se obtiene
840 Capítulo 22 Transporte interfásico en mezclas no is~térmicas Ahora esta ecuación puede resolverse para la velocidad de filtrado:
.
-
Aquí p, = pm + pSo y 8 = k ' / k p es un factor de corrección de transferencia de materia, anal@ go a 0 , que ahora debe incfuir los efectos de cambios de propiedad, así como la comción de velocidad neta que se introdujo en la tabla 22.8-1. Más tarde volveremos a un anhlisis de ta cantidad (véase la ecuación 22.8-48). El término po es la densidad de la solución en la superficie de la membrana comente arriba. Ahora es posible calcular las cantidades buscadas, v8.y la diferencia de presión a través de la membrana, en caso de contar con suficiente información sobrv las propiedades de t r a . porte y de equilibrio. Aquí se considera que está dada la concentración de proteína de apm ximacibn pw y por conveniencia se comienza eligiendo valores de la concentración de proteína pm en la superficie de la membrana sobre el intervalo entre pW y el límite de s~lubilídad de la proteína: i) Para cualquier valor elegido de pm es posible calcular el valor correspondiente de u6 a partir de la ecuación 22.8-47 con valores apropiados para kp y 8. Estos valores también permiten el cálculo de la presión osmótica 9 a partir de la relación de equiIibrio conveniente.
ii) Luego, a partir de la ecuación 22.8-43 y de un valor apropiado de K, es posible calcular la diferencia de presión a través de la membrana requerida para este flujo. Los poderosos efectos de la concentración de proteína sobre las propiedades del sistema significan que la solución debe obtenerse numéricamente. Aquí nos damos por satisfechos con resumir los resultados de Kozinski y Lightfoot7 para albúmina en suero para bovinos; elios fueron los primeros en hacer tales cálculos y parece que éstos siguen siendo la mejor documentación disponible. En sus publicaciones se demuestra que el coeficiente de transferencia efectiva de materia puede expresarse como el producto de dos factores: uno que explica los efectos de concentración y otro que explica el efecto adicional de variaciones de la propiedad:
donde, sobre el espacio parámetro investigado,
Las ecuaciones 22.8-49 a 22.8-52 deben considerarse como empíricas. La ecuación 22.847 sobrepronostica v8 para tales niveles de polarización, aunque para esa situación el efecto de la presión osmótica sobre el flujo es pequeño. El subíndice "rel" denota el valor de la propiedad en la superficie de la membrana corriente arriba (y = O) en relaci6n con el valor en la corriente libre (y + -1.
'
A.A. Kozinski, tesis doctoral, University of Wwconsin (1971);A.A. Kozinski y E.N. Lightfoot, AlChE Jouml, 18, 1030-1040 (1972).
922.8 Coeficientes de transferencia a altas velocidad@ de transferencia neta de materia 841 El coeficiente de transferencia de materia en el b i t e de baja transferencia de materia y pequeñas variaciones de la propiedad estií dado7 como
Sh, = Shl, =
donde L es el diámetro del disco y 0es la velocidad de rotación en radianes por unidad de tiempo. La independencia de la velocidad de transferencia de materia con respecto al tamaño del disco es la razón por la que esta geometda es tan popular para realizar cuidadosos estudios de transferencia de materia. Kozinski y Lightfoot consideran bmemente otras geomet~ías.~ En la figura 22.8-9 se muestra una comparación de predicciones a priori a partir del modelo anterior con datos experimentales, donde se observa que ambas coinciden bien. Esta concordancia aceptable puede resultar parcialmente debido a que las moléculas de albúmina se comportan en forma parecida a partícuias incompresibles para La elevada resistencia i6nica del disolvente a la que se tomaron los datos. También es posible observar que 1o;efectos osm6ticos son despreciables por debajo de caídas de presibn de alrededor de 5 psia; aquí el comportamientopronosticado no puede distinguirse del comportamiento del disolvente libre de proteína, que esencialmente es agua. La ecuación 22.84 s61o es no confiable en esta región sin importancia. En el problema 22C.1 se proporcionan detalles de los cálculos. El efecto de incrementar la diferencia de presión a través de la capa limite de proteína es bastante diferente del efecto para una membrana no selectiva. En principio, la capa límite de concentración se hace más delgada, como sería de esperar, y el coeficiente de transferencia de materia kp aumenta. S i embargo, con un incremento adicional en la diferencia de presibn, el espesor de la capa b i t e , k., y e, tienden a limites asintóticos. En la práctica, estas asíntotas son aproximadas bastante cerca antes de que el efecto de polarizacián se vuelva apreciable con respecto a la resistencia al flujo de la membrana, y estas asfntotas son suficientes para pronosticar la relaci6n entre la diferencia de presi6n a través de la membrana y el flujo a través de esta última. El comportamiento puede observarse con más claridad al insertar las ecuaciones 22.8-48 y 22.8-49 y la fórmula aproximada
en la ecuación 22.847. Luego, hasta una aproximación sorprendentemente buena, la ecuación 22.847 asume la forma
Caida de presi6n a trav6.s de la membrana, psi
Figura 22.8-9 Ultrafiltración de proteína con un disco que - gira - a 273 rpm.
842 Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas
LA cantidad en el primer conpnto de parbntesis tiene la forma del modelo de pelic& simplepero con k, multiplicado por 1.39.Quizá es la ecuación 22.855 la que ha hecho atractivo ra muchos el modelo de película simple para correlacionar datos de ultrafiltración y dsmosb inversa. S i embargo, despreciar el factor 1.39 ha provocado una subestimación c o w n . diente de u, incluso antes de tratar los efectos de variaciones de propiedad.
922.9' APROXIMACIONES MATRICIALES PARA TRANSPORTE
DE MATERIA DE VARIAS COMPONENTES El transporte de materia de varias componentes se presenta ampliamente en proce sos químicos, fisiológicos, biológicos y del medio ambiente, y su análisis se m& mediante varios métodos matemáticos. Aquí se revisanalgunos métodos de aproxima. ción matriciales para transferencia de materia por convección y difusión ordinaria en gases de varias componentes. En el texto de Taylor y Krishnal puede consultar. se un tratamiento más completo, incluyendo transferencia de materia en líquidos. Los problemas de transferencia de materia de varias componentes suelen apm ximarse por linealización, es decir, sustituyendo las propiedades variables en h ecuaciones rectoras con valores de referencia constantes. Este método es un comple mento útii de los métodos puramente numéricos, especialmente para flujos complicados, y pueden proporcionar pronósticos aceptables cuando las vanaciones de la propiedad no son muy grandes. Muchos investigadores han presentado análisis de varias componentes de esta clase, para medios quietos2 y para sistemas con convec ción f o r ~ a d a . ~ Empezarnos con las ecuaciones de continuidad de las especies según se proporcionaron en la ecuación 19.1-15, y se aplican a un sistema gaseoso con N componentes con N - 1 fracciones molares independientes x, y un número igual de densidades de flujo por difusión independientes Sean [xl y VI que denotan, respectivamente, los arreglos en columna de fracciones molares independientes xl,..., x ~ y-densidades ~ de flujo por difusión independientes JI1,..., J*N-l; luego, al apru xmar la densidad molar c en la ecuación 19.1-15 por un valor de referencia cRfpm porciona el sistema de ecuaciones Linealizado
Jz.
c,f
(a,
-[xI +(v * V +
(22.9-1)
para flujos laminar o turbulento libres de reacciones químicas homogéneas. Para difusión ordinaria de vanas componentes, la expresión de densidades de flujo puede escribirse como una generalización matricia12g4de la primera ley de Fick (ecuación B de la tabla 17.8-2),
' R. Taylor y R. Krichna, Multbmponenl Mass Trmisjkr, Wdey, Nueva York (1993). L.Onsager, Ann. N.Y.Acud. Sci., 46,241-265 (1948); P.J.Dunlop y L.J.Gosting, J. Phys. C h . , 63,86-93 (199); J.C.KirMdy, Gm.1. Phys., 37,30-34(1959); S.R. de G m t y P. Manir, Non-Equilibrium Thermodyiamics, ~ ~ r t h - ~ o U a n d , Arnsterdam (1961); J.C. Kirkaldy, D. Weichert y Zia-U-Haq, Can. J. Phys, 41,216ó2173 (1963); E.L. Cussler, Jr.,y E.NLightfoot, AIChE Jounial, 9,702-703.783-785 (1963); H.T. Cuiünan, Id. Eng. Chem. Fund., 4,133-139 (1965). R. Pruber, tesis doctoral, Univ. of Wisconsin (1%1). A H H . Toox, AlChE Journal, 10,460-465(1964). W.E.Stewart y R Prober, Jnd. Eng. C h . Fund., 3,224-235(1964). V.Tambour y B. Gal-Or, Physics of Fluids, 19, 21P225 (1976).
922.9 Aproximaciones matriciales para transporte de materia de varias componentes
843
o corno un planteamiento matricia133 de la ecuación (17.9-1) de Maxwell-Stefan:
Las matrices [DI y [Al deben ser de (N - 1) X (N - 1) y no singulares para proporcionar el número planteado de densidades de flujo independientes (en la ecuación 22.9-2), y de fracciones molares independientes (en la ecuación 22.9-3).Así, la consistencia de estas dos ecuaciones requiere que ID1 = [A]-' para cualquier estado dado. En la región gaseosa de densidad moderada, los elementos de la matriz [A] son pronosticables con exactitud a partir de la ecuación 17.9-1, con lo que se obtiene
=A-& para /3 * a ,9
donde los divisores 91apson las difusividades binarias de los pares correspondientes de especies. En la primera aproximación de la teoría cinética de los gases de Chapman-Enskog, el coeficiente para un par dado a, P sólo depende de c y T , como en la ecuación 17.3-11. Estas sencillas expresiones lIevan a preferir la ecuación 22.9-3 sobre la ecuación 22.9-2, a menos que se disponga de mediciones de [DI en las condiciones deseadas. Formalmente es posible escribir ecuaciones semejantes en composiciones o densidades de flujo basados en materia o volumen, una vez que se realizan transformaciones apropiadas de la matriz de coeficientes [Al o [DI. Con preferibles unidades de masa si la ecuación de movimiento se incluye en el planteamiento del problema, ya que entonces la velocidad media de masa es esencial, como se indicó en 519.2. Para sistemas de varias componentes (N 2 31, cada una de estas expresiones de densidad de flujo suele tener asociada una matriz de coeficientes no diagonal, con lo cual se obtiene un sistema acoplado de ecuaciones de difusión. La ecuación 22.9-3 puede desacoplarse usando la transformación
donde [Pl es la matriz de vectores característicos o vectores propios de columna de [Al, y Al, ..., ANpl son los valores característicos o propios correspondientes. Estos valores característicoso propios, las raíces de la ecuación det [A - AI] = 0, son positivos para cualquier estado locairnente estable de la mezcla; también son invariantes bajo transformaciones de semejanza de [A] para otras unidades de composición. Aquí 1 es la matriz unitaria de orden N - 1. La matriz [DI, cuando se usa, es reducible de manera semejante con la misma matriz p],y sus valores característicos o propios DI,. .., 4\1-1 son los recíprocos de A,,. .., AN-,. Para economizar esfuerzos, [A] (o [DI)y los arreglos derivados a partir de ahí siempre se evalúan en valores de propiedad de referencia, de modo que no se requiere el subíndice ,f; sin embargo, en [Al, ID], [Pl y [ P I - ~se agrega un subíndice w cuando estos arreglos se basan en cantidades expresadas en unidades de masa.
8-44
Capítulo 22 Transporte interfásicoen mezclas no isotérrnicas -
La ecuación 22.9-5 sugiere que las siguientes composiciones transformadas . E densidades de flujo por difusión transformadas deben ser útiles:
A partir de este momento, en estas variables transformadas y en los elementos de b matriz diagonal correspondiente, incluyendo los valores característicos o propia Aa y h, se escribirá un acento ( ' 1. Luego, al multiplicar previamente la ecuación 22.9-3 por [ P ] - ~y usar las ecuaciones 22.9-5 a 22.9-9 se obtienen ecuaciones de den. sidad de flujo desacopIadas
que son formalmente equivalentes a la primera ley de Fick para N - 1 sistemas binarios. En forma recíproca, la ecuación de continuidad de varias componentes 22.9-1 se transforma en
E
Así, las composiciones transformadas X, y las densidades de flujo transformadas para cada a satisfacen las ecuaciones de continuidad y densidad de flujo de un p blema binario con la misma función v* (laminar o turbulenta) que el sistema de vanas componentes, y con una difusividad aAB igual al valor característico o pm pio fia = 1/A,. Las condiciones inicial y límite sobre [Xl y @+]se obtienen a partir de las condiciones correspondientes sobre [xl y U+] mediante la aplicación de las ecuaciones 22.9-6y 22.9-8.Luego, los problemas casi binarios resultantes pueden resolverse te6 ricamente o usando correlaciones de experimentos, y los resultados pueden c o d narse5 mediante Ias ecuaciones 22.9-7 y 22.9-9 para obtener la solución de varias componentes en términos de [xl y [J*]. Las velocidades locales de transferencia de materia en sistemas binarios pueden expresarse en la forma
como se indicó en la ecuación 22.1-7 y en 522.8. La notación.. . después de 9AB ca cualesquiera variables adicionales (como & de @LB), de las cuales puede depen3 der e1 coeficiente binario de transferencia de materia k;. El conjunto de ecuacion '
522.9 Aproximaciones matriciales para transporte de materia de varias componentes 845
correspondiente en la notación de las ecuaciones 22.9-10 y 22.9-11 es
o bien, en forma matricial,
Al transformar este resultado en las variables originales se obtienen las densidades de flujo por difusi6n intexfacial G,o,. .., J;Zr-l,o hacia la fase gaseosa como
o las diferencias de composición para densidades de flujo 6 dadas como
1kl-l
Aquí 1k;1es la matriz diagonal que se muestra en la ecuación 22.9-14, y se forma a partir de los recíprocos de los mismos elementos de la diagonal. Así como ocurre para sistemas binarios, se requiere información adicional para calcular las densidades de flujo Nd de la especie con respecto a la interfase, con lo cual se obtienen las velocidades locales de transferencia. En la ecuación 22.1-10 se especificó una relación de densidades de flujo r = NBO/NAOpara despejar NAO;para sistemas de varias componentes se requieren especificaciones análogas. El cálculo de las densidades de flujo Nd a partir de las densidades de flujo por difusión JL y las velocidades relativas de transferencia se denomina "problema de valerse por ) " ~ se , ~aborda bien en la referencia 1. Este problesus propios medios ( b o ~ t s t r a ~ que ma se hace más sencillo si la ecuación 22.9-15 vuelve a escribirse como sigue, usando el arreglo [No] de las densidades de flujo molar interfacial . ., NN-l,O con respecto a la interfase,
a fin de permitir la inserción directa de relaciones entre las velocidades de transferencia de las especies. El resultado correspondiente para al arreglo [no]de las densidades de flujo de materia interfacial nlro,..., nN-,,, con respedo a la interfase es:
En seguida se proporcionarán varias formas especiales de estos resultados.
'R. Krishna y G.L. Standart, Chenr. Eng. Cornmun., 3,201-275 (1979).
846 Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas Para sistemas sin densidad deflujo neto interfacial molar, la sumatoria con Ñ-< nos en la ecuación 22.9-17 desaparece, y ésta asume la forma conveniente
I
t
donde el arreglo diagonal [k,] no requiere corrección de densidad deflujo neto. Este cultado puede extenderse a d e n s M deftujo interfacial molar neto moderado al aproxima, cada coeficiente de transferencia ii(fia, A,) en la ecuación 22.9-14 como una fundón neal de la densidad de flujo interfacial mohr neto, usando la recta tangente en 4 = de la cuma 6 en la figura 22.8-6 para el modelo de transferencia de materia elegido. Así se obtiene el sistema lineal de ecuaciones8
para el modelo de película estancada que se proporcionó en 522.8. De la misma mane ra se obtiene
para el modelo de penetración que se proporcionó en §20.4,§22.8 y
para el M t e A ?r m en capas límite laminares, que se muestran en las figuras 22.8-5, 22.8-6 y válidas para capas límite no separadas en flujos estacionarios tridirnensionale~.~ En sistemas sin densidad deflujo interfacial neto de materia, como en reacciones en estado estacionario catalizadas por un sólido, la ecuación 22.9-18 se reduce a
Los elementos de la matriz [kJ pueden pronosticarse a partir de expresiones para el número binario de Sherwood o factor jD según se definió en la tabla 22.2-1 para unidades basadas en la masa, con valores característicos o propios insertados en lugar de las difusividades binarias BAB. Para un campo de flujo dado, el producto [P][~,IIP]-'en las ecuaciones 22.9-19 a 22.9-22 es una función de la matriz [A]. Este tripIe producto matricial, que aquí se denomina[kJ, es no diagonal para N 2 3, mientras que [k,] es diagonal, como se indicó antes. Alopaeus y ~ o r d é nhan l ~ desarrollado un método sencillo y eficaz para
Da
W.E.Stewart, AlChE lournal, 19,398400 (1973);Errores, 25,208 (1979). W.E.Stewart, AlChE Journal, 9.528-535 (1963). ID V.Alopaeus y H.V. Nordén, Computers fi Chemiuil Engineering, 23,1177-1182 (1999).
522.9 Aproximaciones matriciales para transporte de materia de varias componentes 847
aproximar tales funciones. Sea f una función escalar de valuación real, definida sobre los valores característicos o propios de una matriz [A], donde los elementos de la diagonal son dominantes como en la ecuación 22.9-4. Entonces, las aproxirnaciones propuestas para los elementos de la matriz [Bl = f [Al son como sigue: para los elementos de la diagonal, Bii = f ( A i i ) si A;; = A ;;
Aiopaeus y ~ o r d é nprobaron l~ estas aproximaciones para matrices de coeficientes de transferencia de materia Ik,] de la forma b[D12-p o de la forma b[~]p-l,y para las densidades de flujo correspondientes Naolen sistemas de tres a 25 especies gaseosas. Estos autores usaron exponentes p desde 0.25 hasta 0.66; en las expresiones de transferencia de materia de este capítulo aparecen valores desde O hasta 0.5. Se hicieron comparaciones contra cálculos exactos de los elementos k,,@ y Nd a través de la ecuación 22.9-19, y contra un modelo de película proporcionado por Krishna y Stand a d 1 donde cada elemento km se calcula de manera independiente con la difusividad binaria correspondiente Los cálculos a partir de las ecuaciones 22.9-24 y 22.9-25 fueron de 3 a 5 veces más rapidos que 10s efectuados con la ecuación 22.9-19 y demostraron ser bastante exactos (respecto a errores típicamente menores que 1% y rara vez tan grandes como lo%), sobre todo cuando se realizaron directamente a partir de la matriz [Al diagonalmente dominante de Stefan-Maxwell en vez de hacerlos a partir de su inversa [DI. Los cálculos realizados con el modelo de película de Krishna-Standart fueron más lentos que los realizados con las ecuaciones 22.9-24 y 22.9-25, y los errores típicos fueron varias veces igual de grandes. Por tanto, las ecuaciones 22.9-24 y 22.9-25 se recomiendan como aproximaciones prácticas para los elementos del producto matricial [B] = [PI[k,IIP]-l en las ecuaciones 22.9-19 a 22.9-22 siempre que se use la ecuación 22.9-4. Esta aproximación también puede usarse en la ecuación 22.9-23, con [Bl transformada al final en unidades basadas en la masa; sin embargo, la ecuación 22.9-20 o 22.9-22 es más conveniente y exacta en comparación con las moderadas densidades de flujo molar neto que suelen encontrarse en catálisis heterogénea. La exactitud de las soluciones linealizadas depende de la elección de los valores de referencia de la propiedad, sobre todo cuando las variaciones en la propiedad son grandes. En el siguiente análisis, todas las propiedades se evalúan a un estado de referencia común, donde la composición está dada como una fracción molar
dq
o como una fracción de materia en masa
" R. Krishna y G.L. Standart, AIChE Journal, 22,383-389 (1976).
848
Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérmicas
Nótese que [x,,J permanece abierto a la elección incluso para la ecuación 22.9 22.9-21 o 22.9-22, ya que las composiciones medias mostradas ahí proporcionan rrecciones de densidad de flujo neto y no valores de la propiedad física. Las ecuaciones 22.9-17,22.9-18 y varias otras aproximaciones para transfere de materia de varias componentes han sido probadas12contra detalladas inte nes de propiedad variable para sistemas isotérmicos. Las conclusiones que S vieron a partír de este estudio son las siguientes: l. Para 20 problemas de difusión gaseosa en estado no estacionario, abarcandi
una amplia gama de velocidades de transferencia neta de materia, la lined zación en unidades molares se aproximó mejor a las soluciones exactas. 4S velocidades de evaporación y condensación de isobutano, para e1 sistema i-C4HI0-N2-H2 en la geometría del ejemplo 20.1-1, fueron aproximadas por la ecuación 22.9-17 con una desviación estándar de 1.6%usando fracciones m, lares de referencia calculadas a partir de la ecuación 22.9-26 con a, = 0.5.5 o b s e ~ óque la linealización en unidades basadas en la masa, mediante la ecuación 22.9-18, fue inferior debido a las grandes variaciones en p y [AJ. Es te método, con su valor aw preferido de 0.8, proporcionó una desviación tándar de 3.8% para las densidades de flujo interfaciales N& de la simple especie transferible (isobutano). Se demostró que las aproximaciones de pe lícula en estado casi estacionario fueron menos exactas; con el uso de facte res de corrección O, = t$x,/(exp+x, - 1) (según los proporcionan Ctewart y prober5 para el modelo de película de 522.8) se obtuvo una desviación están. dar de 7.88% con a, optimizado a 1.0. El modelo de película de Krishna y standart,ll en el que no se usa linealización, proporcionó una desviación estándar de 14.3%independiente de a, y a,. Estos resultados favorecen el uw de la ecuación 22.9-17 (o, para velocidades moderadas de transferencia de materia, la ecuación 22.9-21) con a, = 0.5 para la fase gaseosa en las operacie nes de transferencia descritas por un modelo de penetración. 2. Para 20 problemas de transferencia de cantidad de movimiento y materia en
capas limite gaseosas laminares de H2, N2 y COZsobre una lámina plana porosa, resueltos en forma exacta por Prober? la linealización en unidades basadas en la masa se aproximó mejor a las soluciones exactas. Las soluciones detalladas de propiedad variable para n,, fueron aproximadas12para las tres especies con una desviación estándar de O.?% por la ecuación 22.9-18, usando los coeficientes de transferencia de materia ki pronosticados mediante las ecuaciones 20.2-47 y 22.9-27 con a, optimizado a 0.4. Los modelos de película de Ctewart y ProbeS y de Standart y Krishnall proporcionaron desviaciones estándar de 4.78% (con a, = 1.0)y 8.25%,respectivamente, para las velocidade de transferencia de la especie. Los métodos aquí presentados se utilizan cada vez más en la ingeniería de procesos de separación de varias componentes. Avances en la tecnología de la computación han facilitado el uso de estos procedimientos y estimulado investigaciones hacia mejores métodos, a fin de tratar con fenómenos no lineales que incluyen reacciones químicas complejas.
. /
lZ
T.C. Young y W.E. Stewart, Ind. Eng. Chem. Res., 25,476482 (1986).
Problemas
849
PREGUNTAS PARA DISCUSIÓN ¿En qué condiciones es posible aplicar las analogías presentadas en la tabla 22.2-l? ¿Pueden aplicarse en sistemas con reacción química? ¿Por qué el coeficiente de transmisión de calor en la ecuación 22.1-6 se definió en forma diferente a como se hizo en h ecuación 14.1-1, o es el mismo? Algunos coeficientes de transferencia de materia en este capítulo tienen un supraindice O y otros tienen un supraindice . Explique cuidadosamente lo que denotan estos supraíndices. ¿Qué condusiones puede extraer a partir de los cálculos analíticos de los coeficientes de transferencia de materia en 522.2? ¿Cuál es la significación del 2 en las ecuaciones 22.3-20 y 2 3 - 2 1 ? ¿Qué significan los subíndices 0, e y b en §22.4? ¿Qué se entiende por la expresión "insensible al modelo"? ¿De qué manera afecta la tensión superficial a La transferencia de materia de interfase? ¿Cómo se define la tensión superficial?¿Cómo depende la tensión superficial con respecto a la temperatura? Analice la base física del modelo de película, del modelo de penetración y del modelo de capa límite para transmisión de calor y transferencia de materia. ¿Cuál es el efecto de las altas velocidades de transferencia de materia a través de la interfase sobre los coeficientes de transmisión de calor y transferencia de materia?
PROBLEMAS
22A.l
Predicción de los coeficientes de transferencia de materia en medios cerrados. Estimar los coeficientes de transferencia de materia en la fase gaseosa para la evaporación de vapor de agua en aire a 2 atm y 25 "C,y una velocidad de flujo de materia de 1570 lb,,,/h en los sistemas que siguen. Considérese -OAB = 0.130 cm2/s.
a) Una pelicula de agua que desciende por la pared de un tubo vertical de 6 pulg de diámetro interno. Use la siguiente correlación1para gases en columnas de pared mojada: Sh,
= 0.023 Re0.83Sc0."
(Re > 2000)
(22A.1-1)
b) Un lecho de relleno de 6 pulg de diámetro construido por esferas saturadas de agua, con a = 100 pies-'.
22A.2
Cálculo de la composición de un gas a partir de datos psicrométricos. Una corriente de aire húmedo tiene una temperatura de bulbo húmedo de 80 "F y una temperatura de bulbo seco de 130 OF, medidas a una alta velocidad de aire y a la presión total de 800 mm Hg. Calcular la fracción molar de vapor de agua en la corriente de aire. Para facilitar las cosas, al estimar las propiedades de la película considérese que el aire s610 contiene trazas de agua.
Respuesta: x, 22A.3
=
0.0172 (usando n = 0.44 en la ecuación 22.3-38).
Cálculo de la temperatura del aire de entrada para el secado de un lecho fijo. Un lecho poco profundo constituido por sólidos granulares saturados de agua se somete a secado haciendo pasar a iraves de él aire seco a la presión de 1.íatrn con una velocidad superficial de 15 pies/s. ¿Cuál debe ser inicialmente la temperatura del aire para que la superficie del material sólido se mantenga a 60 "F?Despréciese la radiación.
22A.4 Velocidad de secado de sólidos granulares en un lecho fija. Calcular la velocidad inicial con la que se elimina agua en la operación de secado descrita en el problema 22A.3, si los sólidos son cilindros con a = 180 pies-l.
E.R. GLlüland y T.K.Sherwood, Id.Eng. Chem., 26,51&523 (1934).
850 Capítulo 22
Transporte interfásico en mezclas no isotérrnicas 228.1
Evaporación de una gota que cae libremente. Una gota de agua, de 1.00 mrn d e d cae libremente sin circulación interna a través de aire seco en reposo a 1atm de presion temperatura de 100 'F. Suponiendo un comportamiento de casi estado estacionario y queña velocidad de transferencia de materia, calcular: a) la velocidad de descenso de b) la temperatura superficial de la gota y c) la velocidad de variación del diámetro de en cm/s. Supóngase que las propiedades de película son las del aire seco a 80 "F. Respuestas: a) 390 cm/s; b) 54 OF; c) 5.6 X
22B.2
cm/s
4
Efecto de la radiación sobre las medidas psicrométricas. Supóngase que un termómebo bulbo seco y otro de bulbo húmedo están instalados en un ducto largo cuya temperatura,,, perficial interior T, es constante, y que la velocidad del gas es pequeña. Por tanto, es necesa. rio corregir las temperaturas del termómetro de bulbo seco, Tdb,y del termómetro de b 4 húmedo, Twb,debido a los efectos de la radiación. Se supone, como en el ejemplo 22.3-2, qw los termómetros están instalados de manera que puede despreciarse la conducción de cal a lo largo de los vástagos de vidrio.
a) Hacer un balance de energía sobre una unidad de área del bulbo seco a fin de obtener & ecuación para la temperatura T, del gas en términos de Tdb,Ts, hdb edb y adb (siendo 10s dos últimos la emisividad y el coeficiente de absorción del bulbo seco, respectivamente).
b) Hacer un balance de energía sobre una unidad de área del bulbo húmedo y obtener expresión para la velocidad de evaporación. Calcular xAmpara las lecturas de presión y del termómetro del ejemplo 22.3-2, con la infor. mación adicional de que u, = 15 pies/s, T,= 130 T, edb= adb = ewb = awb = 0.93,diámetro dd bulbo seco = 0.1 pulg, y diámetro del bulbo húmedo incluyendo la mecha = 0.15 pulg. C)
22B,3
Teona de película con propiedades de transporte variables. a) Demostrar que para sistemas en que las propiedades de transporte son funciones de y, las ecuaciones 19.4-12 y 19.4-13pueden integrarse a fin de obtener para y 5 6, o y 5 %, respectivamente,
b) Hacer los cambios correspondientes en las ecuaciones 19.4-16 y 19.4-17, así como en 1% ecuaciones 22.8-5 y 22.8-6. Luego, comprobar que las ecuaciones 22.8-7 y 22.8-8 siguen sim do válidas. Entonces, si es posible predecir hl,, y kxrlO,,no es necesario trabajar con las inte grales al calcular las velocidades de transferencia. Demostrar que hl, y kx,,,, deben evaluarse en términos de las propiedades físicas y del I+ gimen de flujo (laminar o turbulento) que prevalecen en las condiciones para las que se de sea calcular hi,, y k;,l,. C)
22B.4
Máquina de hielo evaporativa. Considérese un cuenco circular poco profundo de agua de 0.5 m de diámetro lleno hasta el borde, que reposa sobre una capa de aislante, como paja suelta, en un sitio sin viento. ¿A qué temperatura del aire es posible enfriar al agua hasta su congelarniento si la humedad relativa del aire es de 30%? Hacer las siguientes suposiciones: i) despreciar la radiación, ii) considérese radiación hacia un cielo nocturno de temperatura efectiva 150K, y iii) supóngase que el cuenco de agua tiene un reborde de 2 mm de alto a k dedor del borde.
Problemas 851 22B.5
Eliminación de oxígeno. Calcular la velocidad a que se transfiere oxígeno desde agua en reposo saturada de oxígeno a 20 O C hacia una burbuja de nitrógeno puro de 1 mrn de diámetro, si la burbuja actúa como una esfera rígida. Nótese que primero es necesario determinar la velocidad de ascenso de la burbuja a través del agua.
22B.6
Control de la resistencia a la difusión. La oxigenación de gotas de agua de 2 mrn de diámetro se Ueva a cabo dejándolas caer libremente a través de oxígeno puro a 20 "C y 1atm de presión. ¿Es necesario conocer la difusividad de la fase gaseosa para calcular la velocidad de transporte del oxígeno? ¿Por qué? La mlubiiidad del oxígeno en estas condiciones es de 1.39 mmoles/Iitro, y su difusividad en la fase líquida es alrededor de 2.1 x lop5 cm2/s.
22B.7
Determinación de la difusividad (figura 22B.7).Es necesario determinar la difusividad de vapor de agua en nitrógeno a la presión de 1atrn sobre el intervalo de temperatura desde O hasta 100 "C por medio del "experimento de Amold" del ejemplo 20.1-1. Por tanto, es necesario usar el factor de corrección OAB para el modelo de penetración. Calcular este factor como una función de la temperatura. La presión del vapor de agua en este intervalo puede obtenerse a partir de la figura 228.7, o bien es posible calcularla a partir de
donde pHZOes la presión de vapor en mm Hg,y T es la temperatura en grados centígrados. 22B.8
Efectos de Marangoni en la condensación de vapores. En muchas situaciones el coeficiente de transmisión de calor para vapores de condensación se proporciona como h = k/ 6, donde k es la conductividad térmica de la película de condensado y 6 es el espesor de película. Las correlaciones disponibles en publicaciones sobre el tema suelen basarse en la suposición de cero esfuerzo cortante en la superficie libre de la película, pero si la temperatura en la superficie disminuye hacia abajo, entonces hay un esfuerzo cortante T, = d v / d z , donde u es la tensión superficial y z se mide hacia abajo, es decir, en la dirección de flujo. ¿Enqué medida este efecto modifica un coeficiente de transmisión de calor de 5000 kcal/h - m2 - C para una película de agua? Para efectos de este problema puede suponerse que la viscosidad cinemática del agua es 0.0029 crn2/s, que la densidad es 0.96 g/crn3, que la conductividad térmica es 0.713 kcal h . m - C, y que du/dT = -0.2 dinas/cm C. Respuesta parciaZ: p(v,) =
P(3);
-
(l+;p86)
El término en 7, representa el efecto de los gradientes de tensión superficial, y cuando este término es pequeño, su denominador se aproxima al valor cuando no hay gradiente. Para las condiciones de este problema, ph.8 = 14.3 dinas/cm2. Así, los efectos de la tensión superficiaI son pequeños para sistemas como el que está considerándose,donde la tensión superficial
100 Temperatura, OC
Figura 228.7 Presión de vapor de agua bajo sus propios datos de vapor, tomado del Lange's Handbook of Chernistry (J. Dean, editor),15a. edición, McGraw-Hill, Nueva York (1999).
852 Capítulo 22 Transporte interfásico en mezclas no isotkrmicas 1-
aumenta hacia abajo. Sin embargo, en caso contrario, incluyendo gradientes pequefios, den provocar inestabilidades h i d d i m i c a s , pudiendo asl tener efectos mbs i m p o r t a n t y 228.9
a,,
Modelo de película para esferas. Obtener los resultados que corresponden a las macio 22.8-3 y 22.84 para transmisión de calor y transferencia de materia simultáneas en un ma con sime& esférica. Es decir, sup6ngase una superficie esférica de transferencia de m. teria y supóngase que T y xA s610 dependen de la coordenada radial r. Demostrar que no necesario cambiar las ecuaciones 22.8-7 y 22.8-8. Si para calcular la resistencia sobre una esfe. ra tratara de usarse la teoría de peiícuia, ¿qué dificultades se encontrarían?
22B.10 Modelo de película para cilindros. Obtener los resultados que corresponden a las ecuaci+ nes 22.83 y 22.8-4 para un sistema con s i m d cilídrica. Es decir, supóngase una Superficie cilíndrica de transferencia de materia y que T y xA s610 dependen de r. Verificar que no es ne cesario cambiar h s ecuaciones 22.8-7 y 22.8-8.
22C.1
9
Cálculo de velocidades de ultrafiitración. Comprobar la exactitud de las predicciones que se muestran en la figura 22.8-9 para los siguientes datos y propiedades físicas: Sistema flsico: Velocidad de rotación de un filtro de discos = 273 rpm Albúmina en suero para bovinos a pp, = 2.2 g/100 m1 Difusividad en el amortiguador de fosfato (para un H de 6.7) gpc(0) = 7.1 X &/S Vicocidad cinemdtia del amortiguador = p(0)/p(sP= 0.01 cm2/s Las volúmenes específicos parciales de La proteína y el amortiguador son 0.75 y 1.00 d/g, respectivamente Permeabilidad hidráulica, KH = 0.0098 (cm/rnin)/psi Efecto de la concentración de proteína: Densidad de la solud6n p = 0.997 f 0.2244, con p y pp en g/ml Relación de difusivjdad ppteína-amortiguador 9ps(0)/9ps(p,) = 21.39,/tanh(21.31Pp), +nde C#J~ = mpVp/(wpVp wsVs) es la fracción volumétrica de proteína, donde Vpy Vsson los volúmenes parciales espedficos de proteína y disolvente. Relaci6n de viscosidad proteha-amortiguador p(0)/p(pp) = 1.11 - 0.0544 + 0.00067pi, donde pp está en g/100 m1 Presión osm6tica ?r = Oi013p~, con Ten psi y pp en g/IOO m1
+
Los datos de operación son los siguientes: Diferencia de presión a travLs de la membrana, (PO - ~ d rsi
Velocidad de filtración v6, d m i n
Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes 523.1
Balances macroscópicos de materia
$23.2"
Balances macroscópicos de cantidad de movimiento y de cantidad de movimiento angular
523.3
Balance macroscópico de energía
523.4
Balance macroscópico de energía mecánica
923.5
Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario
523.6"
Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario
Las aplicaciones de las leyes de conservacion de la materia, cantidad de movimiento y energía a sistemas de flujo ingenieriies se han analizado en el capítulo 7 (sistemas isotérmicos) y en el capítulo 15 (sistemas no isotérmicos). En este capítulo continúa el estudio al agregar tres factores adicionales que no se encuentran en capítulos anteriores: a) el fluido en el sistema está compuesto por más de una especie química; b) pueden ocurrir reacciones químicas, junto con cambios en la composición y producción o consumo de.calor; y c) puede entrar materia al sistema a través de las superficies limitantes (es decir, a través de superficies distintas de los planos 1 y 2). En la figura 23.0-2 se muestran varios mecanismos por los cuales puede entrar o salir la materia a través de las superficies limitantes del sistema. kigura 23.0-1 Formas según las cuales puede entrar o salir materia a través de las superficies límite: a) el ácido benzoico entra en el sistema por disolución de la pared; b ) el vapor de agua entra en el. sistema -definido como la fase gaseosapor evaporación y el vapor de amoniaco sale por absorción; c) el oxígeno entra en el sistema por transpiración a través d e una pared porosa.
Superficie I
Aire + NH3 + H 2 0
,/
Entrada de agua
CH4, Oz y productos de combustión
Superficie 2 Ácido
4gua
benzoico acuoso Aire NH3
+
b)
Salida de arnoniaco acuoso
CH4 frío c)
854
Capítulo 23 Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes I__
En este capítulo se resumen los balances macroscópicos para la situación más general que acaba de describirse. Ahora, cada uno de estos balances contiene un
término adicional, a fin de tomar en cuenta el transporte de materia, cantidad de movimiento o energía a través de las superficies limitantes del sistema. Los balan. ces así obtenidos son capaces de describir procesos industriales de transferencia de materia como absorción, extracción, intercambio de iones y adsorción selectiva, Debido a que para el estudio de estos temas se han dedicado extensos tratados, todo lo que se intentará aquí es mostrar cómo el material analizado en los capítulos precedentes prepara el camino para el estudio de operaciones de transferencia de ma. teria. El lector interesado en estudiar con mayor profundidad estos temas debe consultar libros de texto y tratados disponibles.14 El interés principal de este capítulo lo constituyen los balances de materia para mezclas. Es por ello que en s23.1 se presentan cinco ejemplos que ilustran problemas que aparecen en ciencias del medio ambiente, separación de isótopos, evaluación económica y ciencias biomédicas. Los otros dos balances macroscópicos se proporcionan en 923.2 a 923.4. Estos balances se resumen en la tabla 23.5-1 para sistemas con varias entradas y salidas. En las dos últimas secciones del capítulo se ilustran aplicaciones de los balances macroscópicos a sistemas más complicados.
523.1
BALANCES MACROSCÓPICOS DE MATERIA El planteamiento de la ley de conservación de materia de la especie química a en un sistema de flujo macroscópico de varias componentes es dma
tot = i
df
-
A W ~ + W , , + ~ , , ~ ~ a, = 1 , 2 , 3 ,..., N
es la materia instantánea Ésta es una generalización de Ia ecuación 7.1-2. Aquí total de a: en el sistema, y -Aw, = w,l - W& = prul(vl)S1- pa2(v2)S2 es la diferencia entre las velocidades de flujo de materia de la especie a a través de los planos 1 y 2. La cantidad w , o es Ia velocidad de adición de materia de la especie a al sistema por transferencia de materia a través de la superficie limitante. Nótese que w , , ~es positivo cuando se agrega materia al sistema, así como Q y W mse consideran positivos en e1 balance total de energía cuando se agrega calor al sistema y partes móviles rearepresenta la velocidad lizan trabajo sobre el sistema. Por último, el símbolo
--
-
-
' W.L. McCabe, J.C.Smith y P. Hamot, Unit Operotiom of Chmical Engineering, McGraw-Hill, Nueva York, 6a. edición (2000). TK. Sherwood. R.L. Pigford y C.R. Wilke, Mass Tmnsfer, MGraw-HiIi, Nueva York (1975). R.E. Treybai, Mass Transfer Operations, 3a. edinón, McCraw-HiU, Nueva York (1980). C.J.King, Seplration Processes, McGraw-Hill, Nueva York (1971). C.D. Holland, Multicomponent Distillation, McGraw-HiU, Nueva York (1963). T.C. Lo, M.H.I. Baird y C. Hanson, editores, Handbook of Solomt Extraction, Wiley-Interscience, Nueva York (1983). R.T.Yang, Gas Seprratlons by Adcorpfion Processes, Butterworth, Boston (1987). J.D. Ceader y E.J. Henley, Separation Processes Principles, Wiley, Nueva York (1998)
' '
523.1
Balances macroscópicos de materia
855
neta de producción de la especie a por reacciones homogéneas y heterogéneas en el interior del sistema.' Recuérdese que en la tabla 15.5-1, el transporte molecular y de remolino de cantidad de movimiento y energía a través de las superficies 1 y 2 en la dirección de flujo, se despreciaron con respecto al transporte convectivo. Lo mismo se hace en todo este capítulo: en la ecuación 23.1-1 y en los demás balances macrosc6picos aquí presentados. Si se suman todas las N ecuaciones en la ecuación 23.1-1, se obtiene
donde wo = Z , W , ~y la ley de conservación de la materia se usa en la forma 2ara,t*t = 0. A menudo conviene escribir la ecuación 23.1-1 en unidades molares:
Aquí las letras mayúsculas representan las contrapartes molares de los símbolos escritos con minúsculas en la ecuación 23.1-1. Cuando en la ecuación 23.1-3 se realiza la operación suma sobre todas las especies, el resultado es
Nótese que en general el ultimo término es diferente de cero, debido a que en muchos sistemas reactivos se producen o consumen moles. En algunas aplicaciones, como operaciones de transferencia de materia espacialmente continuas, suele acostumbrarse volver a escribir la ecuación 23.1-1 o 23.1-3 para un elemento diferencial del sistema (es decir, en la "forma d" que se analizó en s15.4). Así, las diferenciales d ~ , o, dWaro ~ pueden expresarse en términos de coeficientes locales de transferencia de materia.
producto de desecho no estacionario
Una comente de fluido emerge desde una planta química con una velocidad de flujo de materia constante w y descarga en un río (figura 23.1-la): contiene un producto de desecho A con fracción d e masa WAO, que es no estacionaria y se descompone a una velocidad proporcional a su concentración según la expresión r~ = -kypA, es decir, por una reacción de primer orden.
Las cantidades r n , b t , w , y ~Y.,~~, pueden expresarse como integrales:
donde n es el vector normal unitario dirigido hacia afuera y So es la porción de la superficie limitante sobre la que son las velocidades netas de producción de la especie a ocurre la transferencia de materia. Los integrandos en por reacciones homogéneas y heterogéneas, respectivamente.
856 Capítulo 23 Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes
Velocidad de flujo volumétrico Q = w / p
Velocidad de flujo volum6trico O = W / P
Tanque bien agitado ,
de volumen V b)
Figura 23.1-1 a) Corriente de desecho con vaciado de un contaminante inestable directamente en un río. b ) Corriente de desecho con tanque de retención que permite que el contaminante inestable se descomponga antes de su descarga en el río. c) Diagrama que muestra la concentración del contaminante que se descarga en el río después de que se ha llenado el tanque de retención (la cantidad adimensional K es KV/Q).
A fin de reducir la contaminación se decidió permitir que la corriente de flujo de salida pase por un tanque de retención de volumen V, antes de descargar en el río (figura 23.1-lb). El tanque está equipado con un agitador eficiente que mantiene el fluido en el tanque a una composición casi uniforme. En el instante t = O el fluido empieza a correr hacia el tanque vacío. No sale líquido hasta que se llena todo el volumen V del tanque. Obtener una expresión para la concentración del Ruido en el tanque como una hncion del tiempo, tanto durante el proceso de llenado del tanque como después de que éste se ha llenado por completo.
Se empieza por considerar el periodo durante el cual se llena el tanque, es decir, el periodo t 5 pVJw, donde p es la densidad de la mezcla de fluido. Se aplica el balance rnacroscópico de materia de la ecuación 23.1-1 al tanque de retención. La cantidad r n ~ , ~ en , , el miembro izquierdo es wtoAen el instante t. La velocidad de flujo de materia que entra al tanque es w w ~ yo no hay flujo hacia afuera durante la etapa de llenado del tanque. A través de la interfase de transferencia de materia no entra ni sale A. La velocidad de producción de materia de la especie A es rArtot= ( w t / p ) ( - k í p A ) = -klmA,t,t. Por tanto, el balance macroscópico de materia para la especie A durante el periodo de llenado es a)
Esta ecuación diferencial del primer orden puede resolverse con la condición inicial de que rn~,t,t = O para t = O a fin de obtener "A,"'
- 7(1 WwAo
-
exp(-kit))
923.1 Balances macroscópicos de materia
857
Lo antenor puede escribirse en términos de la fracción de materia instantánea de A en el tanque usando la relación mA,tot = wtoA:
Asi, la fracción de materia de A en el instante en que el tanque está lleno, Por
WAF,
estLt dada
donde K = k í p V / w = k í V / Q .
b) El balance de materia en el tanque después de que éste se ha llenado es
o bien, en forma adimensiond, con r = ( w l p m t ,
Esta ecuación diferencial del primer orden puede resolverse con la condicibn inicial de que o~= UAF en 7 = 1, con lo cual se obtiene
Esto muestra que a medida que transcurre el tiempo, la fracción de materia del contaminante que se descarga en el río decrece exponencialmente, con un valor limitante de
En Ia figura 23.1-lc se muestra la curva para la concentración de materia como una función del tiempo después del llenado del tanque. Esta curva puede usarse para determinar condiciones tales que Ia concentración del efIuente esté en el intervalo permitido. La ecuación 23.1-12 puede usarse para decidir sobre el tamaño del tanque de retención que se requiere.
binarios
Describir la operación de un partidor o separador de muestras binario, que es uno de los dispositivos de separación más comunes y sencillos (véase la figura 23.1-2). Aquí, una mezcla binaria de A y B entra al aparato en una corriente de alimentación a una velocidad molar F, y mediante algún mecanismo de separación la corriente se parte en una corriente de producto con una velocidad molar P y u& corriente de desecho con velocidad molar W. La fracción molar de A (Ia componenta deseada) en la corriente de alimentación es z, y las fracciones molares en las corrientes de producto y de desecho son y y x, respectivamente.
858 Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes ~ 1F, 2,i zm e n t a c i Ó n ~ ~ ~ h O d ~ c t o binario, Figura 23.1-2 en el cual Partidor la corriente de muestras de p, Y, y alimentación se separa en una comente de producto y una comente de desecho.
Ce empieza por escribir los balances macroscópicos de materia en estado estacionario para h componente A y para todo el fluido como
Es costumbre definir la relaci6n 0 = P/F de las velocidades molares de las corrientes de pro ducto y de desecho como el corte. Así, la ecuación 23.1-13 se transforma, después de eliminar W usando la ecuación 23.1-14, en
Normalmente, se considera que se conocen el corte 0 y la composición de alimentación 2. Ahora se requiere una relación entre las composiciones de alimentación de desecho, y se acoshimbra escribir una ecuación que relaciona las composiciones d e las dos corrientes de salida:
Aquí a se denomina facfor de separación, que también suele considerarse conocido, y caracteriza la capacidad de separación del partidor de muestras. Aquí Y y X son las relaciones molares definidas por
En términos de h s fracciones molares, la ecuación 23.1-16 puede escribirse como
Las ecuaciones 23.1-15 y 23.1-19 (o 23.1-20) describen por completo la operación del partidor d e muestras. Para particiones vapor-líquido, es decir, destilacidn en equilibrio, es típico definir el partidor de muestras ideal en términos de una operación donde las corrientes producto y residual están en equilibrio. Para esta situación, a es la volafiliáad relativa, y para sistemas terrnodinámicamente ideales es justamente la relación de las presiones de vapor de las componentes. Incluso para sistemas no ideales, la variación de a es relativamente lenta en comparación con la composición. Así, para partidores de muestras reales, a puede definirse en términos d e un factor de corrección empírico -por ejemplo la eficiencia- que a su vez está definido por a = Ea*
(23.1-21)
523.1 Balances macroscópicos de materia
859
donde a* es el factor de separación para el modelo ideal, y E es un factor de corrección que toma en cuenta el fracaso del sistema real para satisfacer el comportamiento ideal. Así se encuentra que, para una composición de alimentación dada, el enriquecimiento (y - z ) / z producido por el partidor de muestras es una función del corte % y del factor de separación a. El enriquecimiento puede calcularse a partir de la siguiente ecuación, que se obtiene al combinar las ecuaciones 23.1-15 y 23.1-20:
Ésta es una ecuación cuadrática en y que puede resolverse cuando se proporciona z, y así se obtiene el enriquecimiento (y - z ) / z . En la figura 23.1-3 se proporciona un ejemplo, donde ambos (y - z)/z y 5%(y- z ) / z se grafican como funciones de 0 para z = f y a = 1.25 (un valor razonable para muchos procesos). Puede verse que, aunque el enriquecimiento máximo (y - z)/z se obtiene para cortes pequeños desvanecientes, el producto del enriquecimiento y la velocidad de producto es el mayor para un valor 0 intermedio. Encontrar un valor 0 óptimo es un problema que debe tratarse sobre una base económica. Los partidores de muestras sencillos del tipo general que se muestran en la figura 23.1-2 se usan ampliamente como bloques fundamentales en proceso de separación de vanas etapas, que incluyen evaporadores o cristalizadores, que típicamente cuentan con un alto factor a de separación por etapa, y sistemas para destilación, absorción de gases y extracción de líquidos, donde a puede variar bastante. Todas estas aplicaciones se abordan de manera aceptable en textos normales sobre operaciones unitarias. Los procesos en la membrana son cada vez más importantes, y muchos de los principios de diseño fueron desarrollados para la industria del fraccionamiento de i s ó t ~ p o sTam.~ bién se cuenta con análisis de aplicaciones moderna^.^ Durante el Proyecto Manhattan de la Segunda Guerra Mundial, el físico inglés ~ i r a c ~us6 ,~,~ los balances macroscópicos de materia para un partidor de muestras binario a fin de obtener "capacidad separatiaa" y la "función de valor" de Dirac
N
1
-
I h m
m
0 = corte
Figura 23.1-3 Comportamiento de un partidor de muestras binario.
E. von HaUe y J. Schacter, Diffusion Separafion Methods, en el volumen 8 de la Kirk-Othmer Encyclopedia of Chnniwl Technology (M. Howe-Grant, editor), 4a. edición, Wiley, Nueva York (1993), pp. 149-203. W.S.W. Ho y K.K. Sirkar, Membrane findbook, Van Noshand Reinhold, Nueva York (1992), p. 954; R.D. Noble y S.A. Stem, Membrane Separations Tcchnology, Elsevier, Amsterdam (1995),p. 718. P.A.M. Dirac, British Ministry of Supply (2941);se reimprimió en The Collecfed Works of P.A.M. Dirac 11902-19481 (R.H. Dalib, editor), Cambridge U ~ v e r s i t yPress (1995). El premio Nobel Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1959, uno de los pioneros en e! desarroiio de la mecánica cuántica, creó la ecuación de onda relativista y pronosticó la existencia del positrón. K. Cohen, Theory of Xsofope Separafion, McGraw-Ha, Nueva York (1951).
860
Capitulo 23 Balances macrosc6picos en sistemas de varias componentes
-
un criterio de comparación para la eficacia de diferentes procesos de separación;por ejempl la difusión térmica y la centrífugación. Se ha demostrado que el mismo criterio es útil 41 evaluaci6n de bioseparaciones. Imaginar el sencillo sistema de separación que se muestra en la figura 23.1-2, donde la velocidad de flup molar de masa de la corriente de alimentación, que contiene una me binaria de A y B, y P y W son las velocidades molares de flujo de las corrientes producto y sidual. Las fracciones molares de la especie A en las tres corrientes son z, y y x, respectivamente. En el sistema hay algún mecanismo (por ejemplo una membrana) para aumentar la con. centración de A en la corriente de producto y disminuirla en la comente de desecho. Así posible definir un facfor de separacidn a como en las ecuaciones 23.1-16 a 23.1-18
Lo anterior se ha escrito en una segunda forma, debido a que s61o se considerarán sistemas en los que s610 hay un ligero enriquecimiento de la especie A, de modo que cu - 1es una cantidad muy pequeña. Luego, cuando en la ecuación 23.1-23 se despeja y como una función de x se obtiene
A continuación se define la capacidad separativa A de Dirac dei sistema como el aumento neto en "valor" (éste puede, por ejemplo, ser el valor monetario) d e las corrientes que participan en el sistema:
donde v(x)es la función valor de Dirac. (En la literatura científica sobre separación, la capacidad separativa a menudo se identifica con el shbolo 6U.) Demostrar cómo es posible obtener la capacidad separativa y la función valor usando la definición en la ecuación 23.1-25 junto con los balances de materia para el sistema.
El balance total de materia y el balance de materia para la especie A son:
Luego, la ecuación 23.1-27 se divide entre F y a continuación se usa la ecuación 23.1-26 para eliminar W.Asf, al introducir la cantidad 0 = P / F (denominada el "corte"), se obtiene
Luego, la ecuación 23.1-25 se divide entre F y se introduce 0 para obtener
523.1
Balances macroscópicos de materia
861
Puesto que las diferencias entre las concentraciones de las corrientes son bastante pequefias, v(y) y v(z) pueden expandirse con respecto a x y obtener
donde las primas indican diferenciación con respecto a x . Una vez que estas expresiones se introducen en la ecuación 23.1-29 y se usa la ecuación 23.1-28, se obtiene
Cuando se usa la ecuación 23.1-24, la última ecuación se transforma en
Ahora se supone que la capacidad separativa del sistema es virtualmente independiente de la concentración. En consecuencia, el factor dependiente de la concentración en la ecuación 23.1-33 se iguala a la unidad, de modo que
es la expresión final para la capacidad separativa. Según esta expresión, la capacidad separativa tiene un máximo cuando el sistema es operado a @ = ;. Queda por obtener la función valor de Dirac, que debe satisfacer la ecuación diferencial
Al integrar esta ecuación, se obtiene
Las dos constantes de integración pueden asignarse arbitrariamente, y se han utilizado vanas opciones. Sin embargo, la opción más común es v( 4) = O y ('v 4) = O. Así se llega a
que es la solución simétrica, en el sentido de que v(l - z ) = u(z) y v'(1 - z ) = -u'(z). La función valor v(z) y la capacidad separativa A han demostrado ser útiles al comparar separaciones hechas en distintos tipos de equipo, así como a diferentes intervalos de concentración. Desde un punto de vista económico, se ha encontrado que v(d, según se proporciona en la ecuación 23.1-37, es útil en la determinación de diferencias de precio pera mezclas de isótopos de distinta pureza.
862 Capítulo 23
Anúlisis por compartimientos
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes
Una de las aplicaciones más sencillas y útiles del balance macroscópico de materia de es. pecie es el análisis por compartimientos, donde un sistema complejo se trata como una red de mezcladores perfectos, cada uno de voiumen constante, conectado por ductos de volumen despreciable, donde en los ductos de conexión no ocurre dispersión. Imagínense unidades de mezclado, identificadas por 1, 2, 3, ..., n, ..., N, que contienen varias especies (identificadas con los .índices a, B, y,. ..l. Luego, la concentración de materia p,, de la especie a en la unidad n varía con el tiempo según la ecuación d~an N V n- C
dt
,=, Qmn
(~am pcm)
+ Vnran
Aquí V, es el volumen de la unidad n, Q, es el caudal de flujo volumétrico de disolvente que fluye desde la unidad m hasta la unidad n, y r, es la velocidad de formación de la especie a por unidad de volumen en la unidad n. Demostrar cómo es posible especializar un modeIo así a fin de describir la eliminación de productos metabólicos tóxicos (es decir, los materiales tóxicos que resultan del metabolismo humano) de un paciente mediante hemodiálisis. La hemodiálisis es la eliminación periódica de impurezas metabólicas que se realiza al hacer entrar en contacto la sangre y un fluido d e diálisis en flujo a contracorriente, separados por una membrana de celofán permeable al metabolito.
Se ha encontrado que el modelo sencillo de dos compartimientos que se muestra en la figura 23.1-4 es conveniente para representar el sistema de hemodiálisis. Aquí el bloque grande o compartimiento 1 (identificado como "cuerpo") representa los fluidos corporales combinados, excepto los de la sangre, que están representados por el compartimiento 2. La sangre circula por medio de un sistema ramificado de capilares a través del compartimiento 1 a una velocidad volumétrica Q, y en el proceso extrae soluto a través de las paredes de los capilares. Este proceso es muy eficiente, y se supone que del compartimiento 1 sale un solo soluto a la concentración m,igual a la concentración en todo el compartimiento. Al mismo tiempo, en el interior de los fluidos corporales el soluto se forma a una velocidad constante G, y durante la diálisis éste se extrae de la sangre mediante el dializador a una velocidad Dm. La constante de proporcionalidad D se denomina "depuración del dializador" y es fijada por el diseño del dializador y las condiciones de operación. El muy complicado proceso que realmente se Heva a cabo es modelado por las dos ecuaciones
Cuerw (1)
Figura 23.1-4 Modelo de dos compartimientos utilizado para analizar el funcionamiento de Dializador
un dializador.
523.1 Balances macrosc6picos de materia
863
con D = O entre los periodos de diálisis. Debido a que se está considerando un soluto simple, las concentracionessolamente tienen un subíndice para indicar el compartimiento. El tiempo t se mide a partir del inicio del procedimiento de diálisis, cuando ia sangre y los fluidos corporales están muy próximos del equilibrio entre sí, de modo que las condiciones iniciales pueden escribirse como
C.I.: en t
=0
(23.1-41)
Pr'Pr"P0
donde po es una constante. Ahora se quiere obtener una expresión explícita para la concentración de metabolitos tóxicos en la sangre como una función del tiempo. Se empieza por sumar las ecuaciones 23.1-39 a 23.1-40 y despejar d m l d t . La última se sustituye entonces en la derivada con respecto al tiempo de la ecuación 23.1-40 a fin de obtener una ecuación diferencial para la concentración del metabolito en la sangre:
con
C.I.: en t = 0 La segunda condición inicial se obtiene al usar las ecuaciones 23.1-40 y 23.1-41. Ahora esta ecuación debe resolverse con los siguientes valores de parámetro específicos, que son típicos para la eliminación de creatinina de un adulto que pesa 70 kg: -
Cantidad
-
-
Vl v2 Q D G Po (litros) (litros) (litros por minuto) (litros por minuto) (g/min) (g por litro)
La ecuación diferencial y las condiciones iniciales ahora asumen la forma:
C.I.: en el tiempo f
=
O
m = po
y
dp2
=
-0.00933
(23.1-45)
donde la concentración está en gramos por litro y el tiempo está en minutos. La función complementaria que satisface la ecuación homogénea asociada es
y la integral particular es
La solución completa de la ecuación no homogénea está dada por la suma de la función complementaria y la integral particular. Una vez que las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones iniciales, se obtiene
durante el periodo de diálisis.
864
Capitulo 23 Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes -.
-
Para e1 periodo de recuperación después de la diálisis, aquí se supone que al paciente no le funciona el riñón, de modo que la depuraci6n D es igual a cero. La ecuación 23.14 asume la forma más sencilla
donde p> es la concentración durante el periodo de recuperación. La función complementa. ria y la integral particular son
donde f 'es el tiempo medido desde el inicio del periodo de recuperación. Luego, una vez que se insertan los valores numéricos, para la concentración durante el periodo de recuperación y su derivada con respecto al tiempo se obtiene p i = C3 exp(-1.325t')
dpi dt'
+ (5.05 X l ~ - ~ )+t 'C4
- -1.325C3 exp(-1.325t') + (5.05 X loL5)
(23.1-53)
(23.1-54)
Las constantes de integración deben determinarse a partir de las condiciones correspondientes en t'= O,
Para determinar las constantes de integración en la ecuación 23.1-53 se requiere una segunda condición inicial, que puede obtenerse a partir de la ecuación 23.1-40 y la ecuación correcpondiente para p i (es decir, con D = O), combinada con las dos relaciones en las ecuaciones 23.1-55y 23.1-56. Esta relación es
d p i - dbe~_ % +
df'
dt
V2
Para efectos ilustrativos, la diálisis concluirá a los 50 minutos, para lo cual
Ahora se tiene información suficiente para determinar las constantes de integración; en consecuencia, para la concentración en la sangre durante e¡ periodo de recuperacibn se obtiene
En la figura 23.1-5 se muestra la gráfica de las ecuaciones 23.1-48 y 23.1-59. Quizá de mayor interés es la figura 23.1-6, donde se muestra la aplicación de las ecuaciones 23.1-39 y 23.1-40 a un paciente real. Aquí los puntos representan datos y las líneas son las predicciones del modelo. Aquí sólo se conocen la depuración del dializador y las concentraciones de aeatinina, y los datos del primer ciclo se usan para estimar los demás parámetros
g23.1 Balances macroscópicos de materia
865
Figura 23.1-5 Farmacocinética de la diálisis: predicción del modelo.
Tiempo, minutos
Luego, el modelo resultante se usa para predecir los tres ciclos siguientes. Se observa que este método realiza un excelente trabajo de correlación de los datos y que tiene valor de predicción. Nótese que el incremento repentino en la concentración de creatinina al minuto 50 resulta del hecho de que el dializador ya no la está eliminando de la sangre. Entonces, como resultado, el desequilibrio entre la sangre y d resto del cuerpo se hace más pequeño. Modelos de compartimientos semejantes se aplican ampliamente en medicina, donde se denominan modelos farrna~ocinéticos.~Bischoff y Dedrick7 son los pioneros de un modelado farmacocinético a priori, donde los parámetros del modelo se determinan por separado a partir del proceso que se está modelando.
Y
- r
- "
Constantes de tiempo e insensibilidad modelo
En el ejemplo anterioi es evidente, incluso por inspección forhiita, que ni los fluidos corporales ni la sangre en circulación tienen mucho en común con tanques ideales de mezclado, de modo que resulta interesante analizar críticamente el éxito del sencillo modelo de compartimientos. Para hacer lo anterior, compárese la respuesta (es decir, la concentración de salida)
16
2
$
i!
3z
14
12
10
4
Figurii 23.1-6 Datos experimentales
2
(puntos) y simulados (curva gruesa) de creatinha de un paciente sometido a dihlisis [R.L. Bell, K. Curtiss y A.L. Babb, Trans. Amer, Soc. Artificial Infernal Organs, 11,183 (196.511.
o
O
1
2
Tiempo (días)
3
4
5
P.G. Welling, Phrmcokinetics, American Chemical Society (1997). K.B. Bischoff y R.L. Dedrick, J. Pham. Sci., 87,1347-2357 (19681, AIChE Symposium Series, 64,324 (1968)
866 Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes
Tiempo adimensional T = t/to
Figura 23.1-7 Respuestas del IUT y del RTAC a un pulso de entrada.
de los dos sistemas bastante diferentes que se muestran en la figura 23.1-7 con la entrada de un soluto que decae exponencialmente: uno donde el fluido de entrada se mueve en flujo tapón ( u n reactor de flujo tapón, RFT) y otro que actúa como un mezclador perfecto (o reactor dt tanque agifadocontinuamente, RTAC). Como se muestra en la figura 23.1-7, las respuestas a un impulso de entrada son bastante diferentes para el RFT y para el RTAC. Supóngase flujo estacionario a un caudal de flujo volumétrico Q a través de cada sistema, y además que el rastro que se sigue está tan diluido que no afecta en absoluto el comportamiento de flujo del disolvente portador. Supóngase que no ocurre ninguna reacción.
Para ambos sistemas, se supone que inicialmente la concentración es cero en todas partes y que la concentración de la especie a en Ia corriente de entrada es
donde po y toson constantes, especificas del problema en cuestión. Para el RFT,la concentración de la corriente de salida muestra sólo un retraso de tiempo y decae, de modo que para X = pa/m es posible escribir de una vez X=O
para t < t ,
(23.1-61)
donde, , t = V/Q es el tiempo medio de residencia del soluto, una segunda constante de tiempo impuesta al sistema. El resultado para tiempo más largo es
X
= exp[-(t - t,,)/tol
para f > t,,
que es de mayor interés para utilizar aquí. Para el RTAC se empieza con la ecuación diferencial básica
(23.1-62)
923.1 Balances macroscópicos de materia
867
Figura 23.1-8 Respuestas del RFT y del RTAC a una entrada
que decae exponencialmente.
con la condición inicial de que X = O en t de primer orden es
= O.
La solución de esta ecuación diferencial lineal
donde a = to/t,, y r = t / t o . En la figura 23.1-8 se muestra la gráfica de las concentraciones de salida como funciones del tiempo adimensional 7 = t/to para cada reactor y l / a = t,/to de 0.1 y 1.0. Puede verse que para l / a = t,,,/fo = 7 .O los dos reactores producen concentraciones de efluentes muy distintos, como era de esperar. Sin embargo, para t , J f o << 1 y t significativamente mayores que tres, las curvas efluentes para los dos reactores son virtualmente indistinguible~.Ésta es la región de validez para el análisis de compartimientos, y se observa que además de las constantes de tiempo impuestas por el sistema en sí, también hay otra constante de tiempo impuesta por fobs, el tiempo en que se inician las observaciones de la concentración de efluentes. Así, es posible definir el intervalo de validez del anhlisis de compartimientos por medio de las desigualdades
Así, el análisis de compartimientos es de más utilidad como una descripción aproximada a largo plazo de un sistema que responde lentamente con respecto a los tiempos de residencia del soluto de sus unidades componentes. Puede verse de inmediato que estas condiciones se cumplen en el ejemplo 23.1-4, donde las concentraciones metabólicas a largo piazo son de fundamental interés. La ecuación 23.1-66 resume los requerimientos para la farmacocinética, que se satisfacen en una muy amplia variedad de problemas biológicos de transporte-reacción. También se cumplen en numerosas situaciones ambientale~.~
F.H. Shair y K.L. Heitner, Envir, Sci. and Tech., 8,444-451 (1974)
868
Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes
523.2" BALANCES MACROSCÓPICOSDE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Y DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Los planteamientos macroscópicos dé las leyes de conservación de la cantidad de movimiento y de la cantidad de movimiento angular para una mezcla de fluidos, donde la única fuerza externa es la de gravedad, son
Estas ecuaciones (que se usan rara vez) son las mismas que las ecuaciones 7.2-2 y 7.3-2, excepto por la adición de los términos Fo y To,que son los flujos de entrada1 netos de cantidad de movimiento y cantidad de movimiento angular en el sistema por transferencia de materia. Para la mayor parte de los procesos de transfexencia de materia, estos términos son tan pequeños que pueden despreciarse sin ningún problema.
Para una mezcla de fluidos, el planteamiento macroscópico de la Iey de conservación de la energía es
Esta ecuación es la misma que la ecuación 15.1-2, excepto que se ha agregado un término adicional Qo.l Este término toma en cuenta la adición de energía al sistema como resultado de la transferencia de materia. Puede ser de importancia conciderable, particularmente si el material entra a través de la superficie limitante a una temperatura mucho mayor o menor que la del fluido que está dentro del sistema de fIujo, o si reacciona químicamente en el sistema.
' &tos términos pueden escribirse como integrales, ~ o = - \ [
n . pw] ds;
TO=
1
- [n . ~r x pwll d~ =o
donde n es el vector normal unitario dirigido hacia fuera. Este término puede escribirse como una integraI,
'
donde n es el vector normai unitario dirigido hacia afuera. El origen de este t6miino puede verse consultandola ecuación 19.3-5 y la ecuaci6n (H)de la tabla 17.8-1.
523.5
Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario 869
Cuando ocurren reacciones químicas, puede liberarse o absorberse bastante calor. Este calor de reacción es tomado en cuenta automáticamente en el cálculo de las entalpías de las corrientes de entrada y de salida (véase el ejemplo 23.5-1). En algunas aplicaciones, donde las velocidades de transferencia de energía a través de la superficie son funciones de la posición, es más conveniente volver a escribir la ecuación 23.3-1 en la forma d, es decir, sobre una porción diferencial del sistema de flujo según se describió en 515.4. Luego, el incremento de calor agregado, dQ, puede expresarse en términos de un coeficiente local de transmisión de calor.
523.4
BALANCE MACROSCOPICO DE ENERGÍAMECÁNICA
Un análisis cuidadoso de la obtención del balance de energía mecánica en 57.8 muestra que el resultado ahí obtenido es válido para mezclas, así como para fluidos puros. Si ahora se incluye la superficie So, entonces se obtiene
Esta ecuación es la misma que la ecuación 7.4-2, excepto por la adición del término Bo, que toma en cuenta el transporte de energía mecánica a través del límite de transferencia de materia.I El uso de esta ecuación se ilustra en el ejemplo 22.5-3.
523.5
USO DE LOS BALANCES MACROSCÓPICOSPARA RESOLVER PROBLEMAS DE ESTADO ESTACIONARIO
En la tabla 23.5-1 se resumen 10s balances macroscópicos para sistemas que tienen más de un plano de entrada y de salida. Los términos con el subíndice O describen la adición o la eliminación de materia, cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular, energía y energía mecánica en superficies de transferencia de materia. En general estos balances no se utilizan por completo, aunque es conveniente contar con un listado completo de ellos para efectos de solución de problemas. Para problemas de estado estacionario es posible omitir el miembro izquierdo de las ecuaciones. Como se vio en los capítulos 7 y 15, para usar los balances niacroscópicos se requiere bastante intuición, y algunas veces es necesario complementar las ecuaciones con observaciones experimentales.
un convertr'dor de dióxido de azufre
Los gases calientes provenientes de un quemador de azufre entran en un convertidor, donde el dióxido de azufre presente será oxidado catalíticamente a trióxido de azufre, segun la reacción SO2 +O2 !SO3.¿Cuánto calor por hora debe eliminarse del convertidor a fin de permitir 95% de conversión del SO2 para las condiciones que se muestran en la figura 23.5-l?
+
*
' En t6rminos de una integral de superficie, este término está dado por ~o=-[(n.lf&+p&+~lv)d~ so
870 Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes
Tabla 23.5-1 Balances macroscópicos en estado no estacionario para sistemas no isotérmicos de vanas componentes Materia:
d d t mw
= Xwi - Zw2
+ wo = Xpl(vl)S~- X P Z ( V Z )+S ~wo
Materia de ia especie o:
d d t ma,tot = Zwai - . ¿ ~ , 2 + W d + ra,tot
a
e
1, 2, 3,... N
Cantidad de movimiento:
Cantidad de movimiento angular:
Energtá mecánica:
Energía (total):
Notas. a) Zw,, = w,~, + w,lb -k w,ic + ..., donde w,~, = p,i,vl,Sl,, y así sucesivamente; las ecuaciones (A} y ( 8 )pueden escribirse en unidades molares al sustituir por ma-las los símbolos en minúsculas y sumar el término B$,bt a la ecuación (A) para tomar en cuenta el hecho de que en una reacción química no necesariamente se conservan los moles. b) hl y h2 son elevaciones por arriba de un plano dado arbitrario.
HI y fi2 son entalpías por unidad de masa (para la mezcla) con respecto a algún estado de referencia elegido de manera arbitraria; vPase el ejemplo 79.3-1. C)
d) Todas las ecuaciones están escritas para flujo compresible; para flup incompresible, E, = O. Las cantidades E, y E, se definen en las ecuaciones 7.4-3 y 7.44. e) u1 y u2 son vedores unitarios en la dirección de flujo.
Supóngase que el convertidor es suficientemente grande, de modo que las componentes del gas de salida están en equilibrio termodinámico entre sí. Es decir, las presiones parciales de los gases de salida están relacionadas p o r la restricción de equilibrio
K,
=
pso, 1/2 Pco, Po,
523.5
Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario 871 2
' T2=? 1 p2 = 1.00 atm
-
Gas rico en
Salida del líquido de enfriamiento Entrada del liquido de enfriamiento
v
7.80 lb-moles h-' Q,10.80 lb-moles h-' N& 81.40 lb-moles h-'
;
Convertidor
1
TI= 440°C pi = 1.05atm
Figura 235-1 Oxidación catalítica del dióxido de azufre.
Los valores aproximados de K p para esta reacción son:
Es conveniente dividir este problema en dos partes: a) primero se usan el balance de materia y la expresión de equilibrio necesaria para encontrar la temperatura de salida deseada, y luego b) se usa el balance de energía para determinar la eliminación de calor requerida. a) ~ e t e m i n a c i ó n de * T2.Ce empieza por escribir el balance macroscópico de materia en esta-
do estacionario, ecuación 23.1-3, para los diversos constituyentes en las dos corrientes en la forma
Además, se aprovechan las dos relaciones estequiométricas
Ahora es posible encontrar las velocidades de flujo molar deseadas a través de la superficie 2:
Véase la obra de O.A. Hougen, K.M. Watson y R.A. Ragatz, Chemiml Proc~ssPrincipies, Parte 11,Za. edición, Wiley, Nueva York (1959).pp. 1017-1018.
872
Capitulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes Luego, al sustituir valores numéricos en Ia expresión de equilibrio, ecuación 23.5-1, se obtiene
Este valor de Kp corresponde a una temperatura T2 de salida de alrededor de 510 "C,según los datos en equilibrio antes proporcionados.
b) Cálculo de la eliminación de calor requerida. Como indican los resultados del ejemplo 15.3-1, aquí pueden despreciarse los cambios en energía potencial y cínética en comparación con los cambios en entalpía. Además, para las condiciones de este ejemplo, puede suponerse comportamiento de gas ideal. Así, para cada constituyente, % = H=(T). Luego el balance macroscópico de energía, ecuación 23.3-1, puede escribirse como
Para cada uno de los constituyentes individuales es posible escribir
Aquí fig es la entalpía normal de formaci6n2 de la especie a a partir de sus elementos constituyentes a la temperatura de referencia de entalpía TO,y (Cpol)media es la capacidad cabrifica media de entalpía2 de la especie entre T y To.Para las condiciones de este problema es posible usar los siguientes2valores num6ricos para estas propiedades físicas (las dos últimas columnas se obtuvieron a partir de la ecuación 23.5-12):
fiz Especies
cal/g-m01 a 25 eC
so2
- 70,960
So3
-94,450 O O
0 2
N2
[cal/g-m01 - C1 desde 25 O C hasta
( ~,fi,)l
(
waHu)Z
440 "C
510 "C
Btu/h
Btu/h
11.05 7.45 7.12
11.24 15.87 7.53
-931,900
-44,800 -1,158,700 46,600 509,500 - 647,400
7.17 Totales
O 60,1 00 433,000 -438,800
Al sustituir los valores precedentes en la ecuación 23.5-11 se obtiene la velocidad requerida de eliminación de calor:
ri+BY
B<~J Altura una torre
de de absorción de relleno3
Se desea eliminar un gas soluble A de una mezcla de A y un gas insoluble B, al hacer entrar en contacto la mezcla con un disolvente líquido no volátil Len el aparato que se muestra en la figura 23.5-2. El aparato consta esencialmente de un tubo vertical que contiene un relleno dispuesto al azar de pequeños anillos de un material químicamente inerte. El líquido L se ro-
Véase, por ejemplo, la obra de O.A. Hougen, KM. Wahon y R.A. Ragatz, Chemical Process Principles, Parte I,2a. edición, Wiley, Nueva York (1959), pp. 257,296. J.D.Seader y E.J. Henley, Separation Process Principles, Wdey, Nueva York (1998).
523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario 873 fintrada de la corriente de liquido: Velocidad del. liquido libre de soluto = WL Relación molar de soluto = XAI Distribuidor
&1
Salida de la corriente gaseosx Velocidad del gas libre de soluto = Relación molar de soluto = YA,
6) Detalle de una distribución al azar del relleno típica
Liquido I l
Entrada de la comente gaseosa: Velocidad del gas Libre de soluto = WG Relación molar de soluto = Ym
Saiida de la corriente de Líquido: Velocidad del iíquido libre de soluto W L Relación mota? de caluto = X A ~
-
Gas C)
/
Flujo sobre las partículas individuales del relleno
a) Cección global de la columna
Figura 23.5-2 Aparato para transferencia de materia en una columna de relleno en la que se dispersa la fase descendente. Nótese que en este dibujo WG es negativo, es decir, que el gas fluye de 2 a 1.
cía uniformemente sobre la parte superior del relleno y gotea sobre las superficies de estos anillos pequeños. Al ocurrir lo anterior, el líquido mantiene un contacto estrecho con la mezcla de gases que pasa por la torre. Este contacto directo entre las dos corrientes permite la transferencia de A desde el gas hacia el líquido. Las corrientes gaseosa y líquida entran a1 aparato a velocidades molares de - WG y WL, respectivamente, sobre una base libre de A. Nótese que la velocidad del gas es negativa, debido a que en este problema la corriente gaseosa fluye de1 plano 2 al pIano l. La relación molar de A a G en la corriente gaseosa de entrada es rA2 = yA2/(1 - yA2), y la relación molar de A a L en la corriente líquida de entrada es XA1 = xAl/(l - x A l ) Obtener una expresión para la altura Z de la torre requerida para reducir la relación molar YA en la corriente gaseosa desde YA2hasta YA1,en términos de los coeficientes de transferencia de materia en las dos corrientes y las relaciones y composiciones de las corrientes. Supóngase que la concentración de A siempre es pequeña en ambas corrientes, de modo que la operación puede considerarse isotérmica y entonces no se requieren las correcciones a altas velocidades de transferencia de materia para los coeficientes de transferencia de materia, y que pueden usarse los coeficientes de transferencia de materia, k! y k$, definidos eri la segunda línea de la ecuación 22.1-14.
Debido a que el comportamiento de una torre de relleno es bastante complicado, el sistemi; real se sustituye por un modelo hipotético. Se considera que el sistema es equivalente a dos
874
Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes corrientes que circulan lado a lado sin mezclarse en el contacto, como se muestra en la figura 23.5-3, y que están en contacto entre sí a través de un área interfacial a por unidad de v+ lumen de la columna de relleno (véase la ecuación 22.1-14). Además se supone que la velocidad y la composición del fluido de cada corriente so, uniformes sobre la sección transversal de la torre, y se desprecia tanto el transporte molecu. lar como el transporte de remolino en Ia dirección de flujo. También se considera que los perfiles de concenhación en la dirección de flujo son curvas continuas, que no son afectadas notoriamente por la colocación de las partículas individuales de relleno. El modelo resultante de estas suposiciones de simplificación probablemente no es una descripción muy satisfactoria de una torre de relleno. La no consideración del mezclado en el contacto de 10s fluidos y la no uniformidad de la velocidad en el fluido quizá son particularmente graves. Sin embargo, las correlaciones con las que se dispone actualmente para co& ficientes de transferencia de materia han sido calculadas con base en este modelo, que en consecuencia debe emplearse cuando se usen esas correlaciones. Ahora ya es posible obtener una expresión para la altura de la columna, lo cual se hace en dos etapas: a) primero se usa el balance macroscópico de materia total para determinar la composición de salida de la fase líquida y la relación entre las composiciones globales de las dos fases en cada punto de la torre. b) Luego estos resultados se usan junto con la forma diferencial del balance macroscópico de materia para determinar las condiciones interfacialesy la altura requerida de la torre. a ) Balances macroscópicos totales de materia. Para el soluto A, el balance macroscópico de materia de la ecuación 23.1-3 para cada corriente del sistema entre los planos 1 y 2 se escribe como
corriente líquida
W~12- WAII= W A ~ D
(23.5-14)
corriente gaseosa
WAg2
(23.5-15)
u
W A =~ WA~,O ~
Aquí los subíndices Al y Ag se refieren al soluto A en las corrientes líquida y gaseosa, respectivamente. Debido a que el número de moles que salen de Ia corriente líquida debe entrar en la corriente gaseosa a través de la interfase, WAf,O= - WAgto,y las ecuaciones 23.5-14 y 23.5-15 pueden combinarse para llegar a
Entrada de la corriente de Liquido: Velocidad del líquido Libre de soluto = W L Relación molar de soluto = XA1
Salida de la corriente de líquido: Velocidad del líquido libre de soluto = WL Relación molar de soluto X A ~
-
/ 1
Salida de la corriente gaseosa: Velocidad del gas libre de soluto = WG Relacic5n molar de soluto Y11
-
Entrada de la corriente gaseosa: Velocidad del Líquido libre dc soluto Wc Relación molar d e soliito = YAZ
-
Figura 23.5-3 Representación esquemática de urL3torre de absorción de relleno, donde se muestra el eIemento diferencial al que se aplica el balance de materia.
523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario 875
Lo anterior puede volver a escribirse ahora en términos de las composiciones de las corrientes de entrada y de salida al hacer WAIZ = WLXAay así sucesivamente, de modo que al reordenar se obtiene
Así se ha encontrado la concentración de A en la corriente líquida de salida. Al sustituir el plano 2 por un plano a la distancia z de la columna, la ecuación 23.5-17 puede usarse para obtener una expresión que relaciona las composiciones globales de la corriente en cualquier punto de la torre:
La ecuación 23.5-18 (la "línea de operación") se muestra en la figura 23.54 junto con la distribución en equilibrio para las condiciones del problema 23A.2. b) Aplicación de los balances manoscópicos en la forma d. Ahora se aplica la ecuación 23.1-3 a un incremento diferencial dz de la torre, primero para estimar las condiciones interfaciales y luego para determinar la altura requerida de la torre para una separación dada.
i)
Determinación de las condiciones interfaciales. Debido a que A sólo se transfiere a través de la interfase, es posible escribir, según la segunda linea de la ecuación 22.1-14 (donde se suponen bajas concentraciones de A y pequeñas velocidades de transferencia de materia):
Aquf a es el área interfacial por unidad de volumen de la torre de relleno, S es el área de la sección transversal de la torre, XAO y YAO son las fracciones rnolares interfaciales de A en las fases líquida y gaseosa, respectivamente, y XA y y~ son las concentraciones globales correspondientes(aquí se omitió el índice b, de modo que XA, YA,XA y YA son composiciones globales). Así, debido a que (para las soluciones diluidas aquí consideradas) x~ = XA/ (XA+ 1) = XA y YA = YA/(YA+ 1) = YA, las ecuaciones 23.5-19 y 23.5-20 pueden combinarse para llegar a
Esta ecuación permite deteminar YAOcomo una funcibn de YA. Para cualquier YA, es posible ubicar XA en la línea de operación (balance de materia). Luego se traza una recta de pendiente -(k$a)/(k@) que pasa por el punto (YA, XA),como se muestra en la figura 23.5-4. Así, la intersección de esta recta con la curva de equilibrio proporciona las composiciones interfaciales locales (YAO,XAo). ii) Determinación de la altura requerida de la columna. Al aplicar la ecuación 23.1-1 a la corriente gaseosa en un volumen S dz de la torre, se obtiene
876 Capítulo 23
Balances rnacrosc6picos en sistemas de varias componentes
Figura 23.5-4 Cálculo de las condiciones interfaciales en la absorci6n de ciclohexano a partir de aire en una columna de d e n o (véase el problema 23A.2).
Esta expresión puede combinarse con la ecuación 23.5-20 para las soluciones diluidas en consideración, a fin de obtener
Ahora es posible reordenar e integrar esta ecuación desde z
= O hasta
z
=
Z:
La ecuación 23.5-24 es La expresión que se busca para la altura requerida de la columna a fin de llevar a cabo !a separación especificada. Al escribir la ecuación 23.5-24 se despreció la variación del coeficiente de transferencia de materia k$ con la composición. Esto sólo suele permitirse para soluciones diluidas. En general, la ecuación 23.5-24 debe integrarse mediante procedimientos numéricos O gráficos. Sin embargo, para soluciones diluidas, a menudo es posible suponer que las heas de operaci6n y de equilibrio de la figura 23.5-4 son rectas. Si, además, la relación k$/ky constante, entonces Y A - YAOvaría linealmente con YA. Así, la ecuación 23.5-24 puede inte grarse para obtener (véase el problema 23l3.1)
donde
523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario
877
La ecuación 23.5-25 puede reordenarse para llegar a
Al comparar Ia ecuación 23.5-27 con Ia ecuación 15.4-15 se observa la estrecha analogía que hay entre torres de relleno e intercambiadores de calor sencillos. También es posible obtener (véase el problema 233.1) expresiones análogas a la ecuación 23.5-24, pero que contienen el coeficiente total de transferencia de materia K$. Nuevamente, es posible usar los resultados finales, ecuaciones 23.5-25 o 23.5-27, ya sea para flujo en el sentido de la corriente o a contracorriente. Sin embargo, debe recordarse que el modelo simplificado que se usó para describir la torre de relleno no es tan confiable como el que se usó para intercambiadores de calor.
EJEMPLO 2 c 3 %.i
Cascadas lineales
En el ejemplo 23.1-2 se vio que el grado de separación posible en un separador de muestras binario sencillo puede ser bastante limitado, por lo que en consecuencia a menudo es recomendable combinar separadores de muestras individuales en una cascada a contracorriente como la que se muestra en la figura 23.5-5. En este caso la alimentación para cualquier etapa del separador de muestras es la suma de la corriente de desecho desde el separador inmediatamente por arriba de él, y el producto del separador de muestras inmediatamente debajo de él. Demostrar cómo esta diposición puede incrementar el grado de separación con respecto al que se obtiene en un separador de muestras sencillo.
Para el sistema como un todo es posible escribir un balance macroscópico de matena para el producto deseado y para la solución como un todo. Es decir, todo el sistema se trata como un separador de muestras y se escribe
Aquí se supondrá que todas las cantidades en estas ecuaciones están dadas, de modo que el problema se especifica en tanto concierne a los balances totales de matena. Queda por deterniinar el número de etapas requeridas para satisfacer estas condiciones. Se empieza por escribir un conjunto de balances de materia sobre la porción superior de la columna, que para fines ilustrativos en este caso son las dos etapas superiores (véase la figura 23.5-5):
Figura 23.5-5 Cascada lineal. Los flujos hacia arriba se indican con líneas gruesas y los flujos hacia abajo, con Leas :~CW
discontinuas.
878 Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes -- .
,
Aquí U ny Dnson las corrientes a contracorriente y en el sentido de la corriente de la etapa y, y X , son las fracciones molares correspondientes del soluto deseado. Una vez que P se ehmina entre las ecuaciones 23.5-30 y 23.5-31, se obtiene
Esta ecuación proporciona la relación entre las composiciones de las corrientes en el sentid,, de la corriente y a contracorriente que pasan entre sí en cualquier sección transversal de la co. lurnna por arriba de la etapa de alimentación, en términos de las velocidades de flujo corres. pondientes. Esta relación, cuando se muestra en una griifica x-y (que se denomina dUlgrama de ~cCabe-Thiel$p4)se conoce como línea de operación del sistema. Por el momento el foco de atención lo constituyen las composiciones y luego se volverá al problema de d e t e h r las relaciones de la velocidad de la corriente. Se supone que las composiciones de fase en cada etapa satisfacen una relación de equilibrio como (véase la ecuación 23.1-19)
o bien, de manera más general, y, = f(xn),donde f ( x ) se considera una función conocida. Las ecuaciones 23.5-32 y 23.533 (o su generalizaci6n) permiten ahora la determinación d e todas las composiciones en la porción de la columna por arriba del punto de alimentacihn, que suele denominarse sección de rectificación, y pueden hacerse cálculos semejantes para la sección de agotamiento o eliminación, que es la porción por abajo del punto de alimentación. Así, es posible determinar el número de etapas requeridas para la separación en consideraci6n y la ubicacibn apropiada de la etapa de alimentación. S i embargo, primero es necesario determinar las relaciones de la velocidad de la corriente requeridas en la ecuación 23.5-32, y aquí se consideran tres casos especiales: Reflujo total. Este modo especial de operacion, donde P y W son cero, es importante, ya que proporciona el menor número posible de etapas que pueden producir las composiciones de salida deseadas. Aquí
a)
para toda n y la iinea de operación está dada por
Esta sencilla relación se cumple para todos Ios sistemas físicos. Las composiciones de las etapas se muestran en la Figura 23.5-6 (para una fracción molar del producto de 0.9 y una fracción molar de desecho de 0.1),junto con una curva de equilibrio de la forma de la ecuaci6n 23.5-33 con a = 2.5. Las líneas en forma de escalón entre las líneas de operación y de equilibrio en esta figura sugieren un método gráfico para determinar ias composiciones de las etapas: cada "escalón" entre las líneas de operación y de equilibrio representa un separador o etapa incremental, de una componente. Así, el diagrama sugiere que para esta separación más bien sencilla se requieren seis etapas. Sin embargo, para la situación total de reflujo y volatilidad relativa constante a,es más simple reconocer que
W.L. McCabe y E.W. Thiele. Ind. Eng. Chem., 17,605-611(1925).
523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario 879 Figura 23.5-6 Diagrama de 1.0
pg
McCabe-Thiele para reflujo total, con a = 2.5 y 0.1 < x < 0.9.
.
0.8
E 9:
3
0.6
m
6
-
0.4
a = 2.5 0.1 < x < 0.904
0.6
'
'
d.8
1
Fracci6n molar en la fase inferior, x
de modo que
Para la situación representada en la figura 23.5-6,entonces se tiene iog
(*) O 1/09
=
(N - 1) log 2.5
o bien.
N
=
1+
lo 81 log 2.5
=
5.796
que es más exacta aunque virtualmente igual a la estimación gráfica. En caso de que se retiren los productos, es necesario calcular las relaciones de la velocidad de la corriente, y los medios para hacer esto varían con la operación específica en consideración.
b) Restricciones tetmodinámicas: cascadas adiabáticas y reflujo mínimo. Para la mayor parte de las operaciones en forma de etapas, las relaciones de la corriente se determinan por medio de restricciones termodinámicas, que se analizan con sumo detalle en una amplia variedad de textos de operaciones unitarias. No es necesario repetir aquí esta información fácilmente accesible, aunque a manera de ejemplo se considera brevemente la destilación, que es la mas utilizada de todas. En principio, las relaciones de corriente en la destilación se determinan al suponer columnas adiabáticas y un conjunto de "balances de entalpía" (véase el último párrafo de 515.1) correspondientes a los balances de materia que acaban de presentarse. Sin embargo, muy a menudo se permite suponer calores molares d e vaporización iguales para las diversas especies y despreciar los "calores sensibles" (es decir, las contribuciones a A f i ) . Con estas simplificaciones, las velocidades de corriente U, y D, son constantes. Así, para cualquier posición por arriba del plato de alimentación es posible escribir
c p ~ ~
y por debajo del plato de alimentación
880
Capítulo 23 Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes
Aquí los índices n y m de la etapa se refieren respectivamente a la sección superior o de rectificación (por arriba del punto de alimentación) y a la sección inferior o de agotamien. to de la columna (por abajo del punto de alimentación). A manera de ejemplo se considera el sistema del inciso a) para La alimentación de un líquido sdnirado, equimolar en las dos especies presentes, y operado a reflujo mínimo: la me. nor cantidad de líquido que vuelve desde el plato superior que puede producir la separaah deseada. Esta situación ocumrá cuando la línea de operación toque la curva de equilibrio, y en el sistema en consideración, este "pellizco" o contracción ocurrirá primero en la idmina de alimentación. Así, la composición de vapor sobre la lámina de alimentación está dada por
YF = 2.5XF = 2.5
YF = 0.7143 y~ = 1 YF
o bien
+
Entonces, la línea de operación tiene dos ramas, una por arriba y otra por debajo del plato de alimentación, como se muestra en la figura 23.5-7. Cualquier columna real debe operar entre los límites de reflujo total y mínimo, aunque la operación normal está apenas un escaso porcentaje por arriba del mínimo. Esto se debe a que el costo de los platos individuales tiende a ser mucho más bajo que los costos asociados con el incremento del reflujo (e1 liquido regresado a la columna por la condensación del vapor desde el plato superior): aumentar la carga de vapor necesario para devolver vapor desde el líquido que se libera del plato inferior, la carga del condensador para regresar el vapor sobrecalentado,y los costos de capital de un mayor diámetro de columna, un rehemidor más grande, para regresar vapor a la parte inferior, y el condensador, para regresar iíquido en la parte superior.
Restricciones de transporte y cascadas ideales. Para separación por medio de membranas selectivamente permeables, la relación del producto a la corriente de desecho está regida por la presión que se ejerce a través de la membrana, y la energía necesaria para producir esta presión debe renovarse para cada etapa de la cascada. Así el disefiador cuenta con un grado adicional de Ibertad y es conducido a una amplia variedad de configuraciones en cascada. Primero desarrolladas para isótopos? las cascadas de membranas ahora se han desarrollado para separaciones de gases industriales6 y parecen promisÓrias para muchas otras aplicaciones. C)
1.0
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2
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0.8
Composición molar en la fase superior, x
1
Figura 23.5-7 Diagrama de McCabeThiele para reflujo mínimo, con a = 2.5 y 0.1 4 x < 0.9.
--
von HaUe y J. Schacter, Diffusion Seprimtion Methods, en el volumen 8 d e la Kirk-Othmer Encyclopedin of Chemical Technology,Wiley, Nueva York (1993), pp. 149-203. R. Agrawal, Ind. Eng. Chem. Research, 35,3607-3617 (1996);R. Agrawal y ] Xu, AlChE Journal, 42,2141-2154 (1996). S E.
923.5
Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado estacionario 881 Figura 23.5-8 Diagrama de McCabe-Thiele para una cascada ideal, con a = 2.5 y 0.1 < x < 0.9.
Fracción molar de la fase inferior, x
Aquí se consideran, por ejemplo, Ias cascadas ideales, que son aquellas donde sólo se mezclan corrientes de idéntica composición. En los términos de este ejemplo, lo anterior significa
y, por extensión,
Se concluye que como para reflujo total, se requiere exactamente el doble de tantas etapas como haya, y que la línea de operación está a la mitad entre la curva de "equilibrio" y la recta a 45". Como se muestra en la figura 23.5-8, la línea de operación posee una derivada continua a través de la etapa de ahentación. Las cascadas ideales constituyen los flujos de corriente más pequeños posibles de las etapas totales, aunque ahora los flujos varían con la posición: son más altos en la etapa de alimentación y disminuyen hacia los extremos de la cascada. Es por esto que tales sistemas se denominan casadas ahusadas o cónicas (véase el problema 238.6).
de gases reactiva a &és de una boquilla adiabática sin fulcción
Una mezcla equimolar de C02 y H2está confinada a 1000K y 1.50 atm en el gran tanque de presión aislado que se muestra en la figura 15.5-6.En estas condiciones puede Ilevarse a cabo la reacción
Una vez que el gas se almacena en el tanque el tiempo suficiente para que la reacción proceda a1 equilibrio, se deja que escape a la presión ambiente de 1 atm a través de la pequeña boquilla convergente que se muestra. Estimar la temperatura y la veIocidad del gas de escape a través de la garganta de la boquilla a) suponiendo que durante e1 pasaje del gas a través de la boquilla no ocurre ninguna reacción notoria, y b ) suponiendo que en todos los puntos de la boquilla se llega al equilibrio de manera instantánea. En cada caso, supóngase que la expansión es adiabática y sin fricción.
!% empieza por suponer operación en estado casi estacionario, perfiles de velocidad planos y cambios despreciables en energía potencial. También se suponen capacidades térmicas cons-
882 Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varías componentes tantes y comportamiento de gas ideal, y se desprecia la difusión en la dirección de flujo. Enton. ces el balance macroscópico de energía, ecuación 23.3-1, puede escribirse en la forma
Aquí los subíndices 1 y 2 se refieren a condiciones en el tanque y en la garganta de la boquilla, respectivamente y, como en el ejemplo 15.5-4,se supone que la velocidad del fluido en el tanque es cero. Para determinar el cambio en entalpía, la expresión d ( t v 2 ) de la forma d del balance de energía de estado estacionario (ecuación 23.3-11 se iguala con la expresión d( 4 9) de la forma d del balance de energía mecánica de estado estacionario (ecuación 23.4-1) para obtener
Este resultado también se concluye a partir de la ecuación E de la tabla 19.2-4.Además de la ecuación 23.5-49, se usa la ley de los gases ideales y una expresión para H(D,obtenida con ayuda de la tabla 17.1-1, la ecuacibn 19.3-16 y la reiación pH = cfi, para obtener
fiz es la entalpía molar ;!e la especie a a la temperatura de referencia F .La evaluación de H se analiza por separado para las dos aproximaciones. Aproximacidn a): suposición de reaccidn química muy lenta. Aquí las x, son constantes a los valores de equilibrio para 1000K,y la ecuación 23.5-51 puede escribirse como
Aquí x, es la fracci6n molar de la especie a a la temperatura T, y
Por tanto, la ecuación 23.549 puede escribirse en la forma
Debido a que se supone que x, y (p1, T i ) hasta (p2, T2) para obtener
cp,son constantes, esta ecuación puede integrarse desde
Ahora es posible combinar esta expresión con las ecuaciones 23.5-48 y 23.5-51 con objeto de obtener la expresión deseada para la velocidad del gas en el plano 2:
523.5 Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado cstacionario 883 Al sustituir valores numéricos en las ecuaciones 23.5-54 y 23.5-55 se obtiene (véase el problema 23A.1) T2 = 920K y v 2 = 1726 pies/s. Puede observarse que este tratamiento es muy semejante al que se presentó en e1 ejemplo 15.5-4.También esta sujeto a la restricción de que la velocidad en la garganta debe ser subsónica, es decir, que la presión en la garganta de la boquiila no puede ser inferior a la fracción de pl requerida para producir velocidad sónica en la garganta (véase la ecuación 158.6-2). Si la presibn ambiental desciende más allá de este valor crítico de p~ entonces la presión en la garganta permanece en el valor crítico, y más allá de la salida de la boquilla habrá una onda de choque. Aproximación b): suposición de una reacción química muy rdpida.Aquí puede procederse como en el inciso a), excepto que ahora las fracciones molares x, deben considerarse funciones de la temperatura definidas por la relación en equilibrio
y las relaciones estequiométricas
La cantidad K,(T) en la ecuación 23.5-56 es la conocida constante de equilibrio para la reacción. Puede considerarse sólo una función de la temperatura, debido a que se supuso comportamiento de gas ideal y porque el número de moles presentes no es afectado por la reacción química. Las ecuaciones 23.5-57 y 23.5-58 se concluyen a partir de la estequiometría de la reacción y de la composición del gas que se introdujo originalmente en el tanque. La expresión para la temperatura final ahora es considerablemente más complicada. Para esta reacción, donde B,x,M, es constante, las ecuaciones 23.5-49 y 23.5-50 pueden cornbinarse para obtener
donde, cuando las capacidades caloríficas se aproximan como constantes,
En general, la integral en la ecuación 23.5-60 debe evaluarse numéricamente, ya que x, y todas las dx,/dT son funciones complicadas de la temperatura regidas por las ecuaciones 23.5-56 a 23.5-59. Una vez que T2 se determina a partir de la ecuación 23.5-61, no obstante, u2 puede obtenerse mediante el empleo de las ecuaciones 23.5-48 y 23.5-51. Al sustituir valores numéricos en estas expresiones, se obtiene (véase el problema 23B.2) T2 = 937K y u1 = 1752 pies/s. Se encuentra, entonces, que tanto la temperatura como la velocidad de salida de la boquilla son mayores cuando a través de la expansión se mantiene equilibrio químico. La razón de este hecho es que el equilibrio se desplaza con la disminución de temperatura de forma que se libera calor de reacción al sistema. Esta liberación de energia ocurre al disminuir la temperatura en cualquier sistema en equilibrio químico, sin importar las reacciones presentes. Ésta es una consecuencia de la famosa regla de Le Chitelier. En este caso, la reacción es endodérrnica según está escrita y la constante de equilibrio diminuye con el descenso de temperatura. Como resultado, el CO y el H 2 0 se reconvierten parcialmente en H2 y COZen expansión, con una liberación correspondiente de energía. Es interesante que en los motores de cohetes la velocidad de escape, y por tanto el empuje del motor, también aumentan si es posible alcanzar un pronto equilibrio, aun cuando
884
Capítulo 23 Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes las reacciones de combustión sean fuertemente exotérmicas. Lo anterior se explica porque las constantes de equilibrio para estas reacciones aumentan con el descenso de temperatura, de modo que durante la expansión nuevamente se libera calor de reacción. Este principio se ha como un método para mejorar el empuje de motores de cohetes. El incremento en empuje potencialmente obtenible de esta manera es bastante grande. Este ejemplo se eligió debido a su sencillez. Nótese en particular que si la reacción química va acompañada por un cambio en el número de moles, entonces la constante de equilibrio, y por tanto la entalpía, son funciones de la presión. En este caso, que es bastante común, las variables p y T implícitas en la ecuación 23.5-60 no pueden separarse, de modo que se requiere una integración paso a paso de esta ecuación. Tales integraciones se han reslizado, por ejemplo, para Ia predicción del comportamiento de túneles de viento supersónico con túneles y motores de cohetes, aunque los cálculos implicados son demasiado largos para su presentación aquí.
523.6"
USO DE LOS BALANCES MACROSCÓPICOSPARA RESOLVER PROBLEMAS D E ESTADO NO ESTACIONARIO En 523.5 el análisis s e restringió a estado estacionario. Aquí se considera el comportamiento transitorio d e sistemas d e varias componentes. Este comportamiento es importante en u n gran número d e operaciones prácticas, como lixiviacibn y secado d e sólidos, separaciones cromatográficas y operaciones en reactores químicos. En muchos de estos procesos es necesario considerar los calores d e reacción, así como la transferencia d e materia. Un análisis completo d e esos temas rebasa el alcance de este libro, por lo q u e este estudio se restringe a varios ejemplos sencillos. En otras partes es posible encontrar análisis más detallad0s.l
Puesta en marcha de un reactor químico
Se desea producir una sustancia B a partir de una materia prima A en un reactor químico de volumen V equipado con un agitador capaz de mantener bastante homogéneo todo el contenido del reactor. La formación de B es reversible, y las reacciones directa e inversa pueden considerarse de primer orden, con constantes de velocidad de reacción qb y gA,respectiorden, con vamente. ~ d e A s B, experimenta una descomposición irreversible de constante de velocidad de reacciún k;C, para formar un tercer compuesto C. Las reacciones quimicas de interés pueden representarse como
En el instante cero, al reactor inicialmente vacío se introduce una solución de A de concentración CAOa una velocidad de flujo de materia constante w. Obtener una expresión para la cantidad de B que hay en el reactor, cuando apenas se llena a su capacidad V, suponiendo que en la solución de alimentacidn no hay B y despreciando los cambios en las propiedades del fluido.
'
W.R. Marshall, Jr.,y R.L.Pigford, The Applicafion of Differential Equations to Chemícal Engincen'ng Problems, University of Delaware Press, Newark, Del. (1947); B.A. Ogunnaike y W.H. Ray, Process Dynnmics, Modeling, and Contml, Oxford University Press (1994).
g23.6" Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario
885
Se empieza por escribir balances macroscópicos en estado no estacionario para las especies A y B, que en unidades molares pueden expresarse como
Luego se elimina MA,totde la ecuación 23.6-3. Primero se diferencia esta ecuación con respecto a t para obtener
En esta ecuación, dMAjtOt/dtse sustituye por el miembro derecho de la ecuación 23.6-2, y luego se usa la ecuación 23.6-3para eliminar MA,tot.De esta forma se obtiene una ecuación diferenciallineal de segundo orden para Msrt0t como una funci6n del tiempo:
Esta ecuación debe resolverse con las condiciones iniciales C.I. 1:
en t = 0,
C.I. 2:
en t
M,,, =O
= 0,
Esta ecuación puede integrarse para obtener
donde 2s, = -(KÁ -k k&
+ qk) I d(k$A + k;B
+ kiCI2 - 4 V
B~C
Las ecuaciones 23.6-8 y 23.6-9 proporcionan la masa total de B que hay en el reactor como una función del tiempo, hasta el instante en que el reactor está completamente lleno. Estas expresiones son muy parecidas a las ecuaciones que se obtuvieron para al manómetro amortiguado del ejemplo 7.7-2 y el controlador de temperatura del ejemplo 15.5-2. Sin embargo, puede demostrarse que S+ y S- son ambos reales y negativos, de modo que MsrtOt no puede oscilar (véase el problema 238.3).
$
6
KJ
Operación de una columna de relleno en estado no estacionario
Hay muchos procesos industrialmente importantes en los que la transferencia de materia se lleva a cabo entre un fluido y un sólido granular poroso: por ejemplo, recuperación de vapores orgfinicos por adsorción sobre carbón, extracción de la cafeína de los granos de café y separación de los hidrocarburos aromáticos y alifáticos por adsorción selecti1a sobre gel de sílice. En general, el sólido se mantiene fija, como se indica en la figura 23.6-1, y el fluido
886 Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes Entrada de la Ease fluida: Velocidad de flujo molar total = WB Concentración del soluto: CAJ
Salida de la fase fluida: Velocidad de fluio molar total Concentraci6n del soluto = cA(Z, t ) a)
t
b)
Figura 23.6-1 Torre de adsorción de lecho fijo: a ) representación esquedtica del aparato; b ) una curva típica del efluente.
se deja percolar a través de él. Así, la operaci6n es de por sí inestable, por lo que el s6lido debe sustituirse o "regenerarse" periódicamente, es decir, volverlo a las condiciones iniciales por calentamiento u otro tratamiento. Para ilustrar el comportamiento de tales operaciones de transferencia de materia en lecho fijo, se considerará un caso físicamente sencillo: la separación de un soluto contenido en una solución mediante el paso a través de un lecho de adsorción. En esta operación, una soiución que contiene el único soluto A en el disolvente B y cuya fracción molar es X A I , se hace pasar a travks de una torre de relleno a un caudal de flujo volumétrico constante w/p. El relleno de la torre consiste en un sólido granular capaz de adsorber a A de la solución. Al iniciar la percolación los intersticios del lecho están llenos del líquido B puro, y el sólido está libre de A. La solución de percolación desplaza de manera uniforme este disolvente, de modo que la concentración en solución de A siempre es uniforme en cualquier secci6n transversal. Para facilitar ias cosas, se supone que la concentración de equilibrio de A adsorbido en el sólido es proporcional a la concentración local de A en la solución. Tambien se supone que la concentración de A en la soluci6n de percolación siempre es pequeña y que la resistencia del sólido poroso al transporte interparticular de materia es despreciable. Obtener una expresión para la concentración de A en la columna como una función del tiempo y de la distancia de descenso en la misma.
Siguiendo el tratamiento de la torre de absorción de gas del ejemplo 23.5-2, las dos fases se consideran como si fuesen continuas y estuvieran dispuestas colateralmente, como se representa en la figura 23.6-2. Nuevamente, el area de contacto por unidad de volumen de relleno de la columna se define como a. Sin embargo, ahora una de las fases es estacionaria, de modo que prevalecen las condiciones de estado no estacionario. Debido a este comportamiento localmente no estacionario, los balances macroscópicos de materia se aplican localmente sobre un pequeño incremento de columna de altura Az. Es posible usar la ecuación 23.1-3 y la suposición de que las soluciones son diluidas para plantear que la velocidad de flujo molar del
523.6O Uso de 10s balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario
887
disolvente, WB, es esencialmente constante sobre la longitud de la columna y el tiempo de operación. Ahora se procede a usar la ecuación 23.1-3 a fin de escribir las relaciones de conservación de materia para la especie A en cada fase para un incremento de columna de altura Az. Para la fase sólida en este incremento de columna es posible aplicar localmente la ecuación 23.1-3, recordando que ahora MA,tot depende tanto de z como de t;
o bien,
Aquí se ha usado la ecuación 22.1-14 y el significado de los símbolos es el siguiente: = fracción de volumen de la columna ocupada por el líquido S = área de la sección transversal de la columna (vacía) c ~ ,= moles de A adsorbidos por unidad de volumen de la fase sólida X A = fracción molar global de A en la fase líquida XAO = fracción molar interfacial de A en la fase fluida, que se supone está en equilibrio con C A ~ k$ = coeficiente de transferencia de materia en Ia fase fluida, definido en la ecuación 22.1-14, para bajas velocidades de transferencia de materia E
Nótese que, al escribir la emzcihn 23.6-11 se despreció la transferencia de materia convectiva a través de la interfase cálido-fluido, lo cual es aceptable si x ~ es o mucho menor que la unidad. También se supuso que las partículas son suficientemente pequeñas, de modo que la concentración de la solución que rodea cualquier partícula dada es en esencia constante sobre la superficie de la particula. Para la fase Fuida, en el incremento de columna en consideración, la ecuación 23.1-3 se transforma en
Entrada de Buido con una velocidad molar total W B l
Fase fluida móvil Fase sólida fija
z
1
t Salida de fluido con una vetocidad molar total WB
Figura 23.6-2 Modelo esquemático de una torre de adsorción de lecho fijo, donde se muestra el elemento diferencial sobre el que se aplica un balance de materia.
B Capitulo 23
Balances macrosc6picos en sistemas de varias componentes O bien,
Aquí c es la concentración molar total del Ifquido. La ecuación 23.6-13 puede volver a escribirse mediante Ia introducción de una variable de tiempo modificada, definida como
Puede verse que, para cualquier punto de la columna, t'es el tiempo medido desde el instante en que el "frente" del disolvente de percolación llega al punto en cuestión. Al volver a escribir las ecuaciones 23.6-13 y 23.6-11 en terminos de t'se obtiene
Las ecuaciones 23.6-15 y 23.&26 combinan las ecuaciones de conservación de la materia para cada fase con la expresi6n supuesta de la velocidad de transferencia de materia. Las dos ecuaciones deben resolverse simultáneamente junto con la distribuci6n de equilibrio en la interfase, X A = ~ mch,donde m es una constante. Las condiciones limite son c h =O XA
=X
A ~
para toda z > O
(23.6-17)
para toda t' > O
(23.6-18)
Antes de resolver estas ecuaciones, conviene e ~ c n b i ~nuevamente la~ en términos de las siguientes variables adimensionales:
En términos de estas variables, las ecuaciones diferenciales y las condiciones limite asumen la forma
con las condiciones h i t e Y(% O) = O y X(O,T) = l. La soluci6n2de las ecuaciones 23.623 y 23.6-24 para estas condiciones límite es
Aquí Jo(iix) es una función de Bessel de orden cero del primer tipo. Esta solución se muestra gráficamente en varias obras de referencia disponible^.^ .
..
.
-
-
.
Estemultado fue &enido por vez primera por A. Anzelius, Z. angew. Maiti. u. Mech., 6,291-294 (1926),para el problema a d o g o de transmisión de calor. En el probIema 23D.1se bosqueja un método para obtener este resultado. Vbase también el libro de H. Bateman, Partial Diflerential Equatiom ofMathPmatica1 Physics, Daver, Nueva York (1944),
pp. 122-125. Véase, por ejemplo, la obra de O.A. Hougen y K.M.Watson, Chemiazl Process Principies, Parte H I , Wiley, Nueva York (1943, p. 1086. Sus y / y ~ ,b7 y aZ corresponden a nuesiras X, T y 5.
523.6" Uso de los balances rnacroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario
5
EJEMPLO 23.6-3
%$Utilidad de los momentos de orden bajo
889
Para muchos sistemas complicados, las descripciones completas son innecesarias o imposibles, por lo que basta obtener sólo unas cuantas características básicas. Específicamente, puede preguntarse cómo es posible determinar el volumen V del sistema y la velocidad volumétrica de flujo Q a través del sistema a partir de observaciones de pulsos cortos de trazadores de masa m introducidos en la entrada y luego medidos en la salida. Para este efecto, considérese el flujo macroscopicamente estacionario a través de un sistema cerrado de forma arbitraria, pero con una sola entrada y una sola salida, como se sugiere en la figura 7.G-1,excepto que no hay superficies móviles. El flujo y el comportamiento por difusión son arbitrarios, excepto que la distribución de1 trazador debe describirse por la ecuación de difusión (ecuación 19.1-7 con la ecuación 17.7-3 insertada para la densidad de flujo de materia)
donde pr es la concentración local del trazador y gTses la difusividad seudobinaria del trazador que se mueve a través de la solución que llena el sistema. Los sistemas turbulentos pueden incluirse en este análisis usando cantidades con ajuste de tiempo y una difusividad turbulenta efectiva. AI obtener los balances macroscópicos es necesario usar la condición de que a través de las paredes del recinto no hay flujo o difusión
y que la densidad de flujo de materia por difusión del trazador es pequeña en comparación con la densidad de flujo de materia por convección en la entrada y en la salida del sistema
Aquí n es el vector normal unitario dirigido hacia afuera. La concentración de entrada del trazador se considera como igual a cero hasta t = O y también después de algún tiempo finito t = ta. En la práctica la duración del impulso de concentración debe ser bastante breve.
El análisis4se basa en los momentos I(") de la concentración del trazador con respecto al tiernpo, definidos por
Ahora la ecuación 23.6-26 se multiplica por t n y se integra con respecto al tiempo sobre el intenralo de concentración diferente de cero de salida del trazador
Cuando el primer término se integra por partes y se usa la notación introducida en la ecuación 23.6-30, se obtiene
para todos los sistemas que proporcionan momentos finitos. Ahora se cuenta con una jerarquía de las ecuaciones para los 1(")en términos de los momentos de orden inferior, y la estructura de estas ecuaciones es muy conveniente.
E.N. Lightfoot, A.M. Lenhoff y R.I. Rodrigues, Chem. Eng. Sci., 37,954956 (1982).
890 Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes En términos físicos, Spalding5 fue el primero en observar que la ecuación 23.6-32 es de la misma forma que la ecuación de difusión con reacción química 19.1-16, pero con La conentración sustituida por I ( n ) y el término de reacción reemplazado por n I ( " - l ) .Por tanto, es pu sible integrar estas ecuaciones sobre todo el volumen del sistema de flujo y así obtener un nuevo conjunto de balances macroscópicos. Se empieza por integrar la ecuación 23.6-32, para n = O, sobre todo el volumen del sistema de flujo entre los planos 1 y 2:
Las integrales de volumen pueden transformarse en integrales de superficie usando el teow ma de divergencia de Gauss para obtener
donde S = Sf + Si+ S2. La integral sobre la superficie fija Sf es cero según las ecuaciones 23.6-27 y 23.6-28, y las integrales sobre los planos de entrada y salida S1 y S2 pueden simplificarse, de modo que se obtiene
Aquí se ha usado la ecuación 23.6-29 para eliminar los t6rminos por difusión en los planos 1 y 2. Si se supone que fiO)es constante sobre una sección transversal, es posible eliminarlo de la integral, con lo cual se obtiene
Para un fluido incompresible, la velocidad volumétrica de flujo, Q, es constante, de modo que ( ~ l ) S l= (v2)Szl e l(f) = (23.6-38)
Iy)
Es decir, el fiO)que se evalúa en el plano 1es el mismo que el fi0) en el plano 2, y en cualquier punto del sistema. Una notacidn normal es abreviar esta cantidad como Mo, el momento cero (absoluto). La ecuación 23.6-38 es semejante a la ecuación 23.1-2 para un sistema en estado estacionario sin transferencia de materia a travks de las paredes. Luego se evalúa 1';) para la introducción de una masa m de trazador cobre un intervalo que es muy pequeño con respecto al tiempo medio de residencia del trazador, ,t = V / Q :
La sustitución, en el segundo paso, del límite superior por V / Q se permite por la duración finita del pulso del trazador. Luego, a partir de las dos últimas ecuaciones se obtiene
Esto proporciona la posibilidad de medir la velocidad del torrente sanguíneo a partir de la masa de un trazador inyectado y del valor de 12)= Mo.Lo último puede obtenerse por m e dio de un catéter insertado en el vaso sanguíneo o por medio de técnicas NMR (resonancia magnética nuclear).
D.B. Spalding, Chem. Eng. Cci., 9,74-77 (1958).
923.6" Uso de los balances macroscópicos para resolver problemas de estado no estacionario 891 Esta fórmula sencilla6 fue presentada por primera vez en 1829 y desde 1897 se ha utilizado bastante para medir las velocidades del torrente sanguíneo,7 incluyendo frecuencia c a r d i a ~ aTambién .~ se ha utilizado ampliamente para muchos sistemas ambientales, como ríos, y también para sistemas en la industria de la transformación. A continuación, la atención se enfoca en la ecuación 23.6-32, misma que se integrará sobre el volumen del sistema de flujo, nuevamente teniendo en cuenta que el término por difúsión sobre la entrada y la salida es mucho menor que el término par convección. Así se obtiene
o, si flh) se supone constante para una sección transversal,
Después, al definir la cantidad que está entre paréntesis en el miembro izquierdo como el volumen medio, finalmente se llega a3
Luego, si se hace n = 1, se obtiene lo siguiente: - P)= Q
V
l~ (1 1 ) 129
- r(1)) = ,,t
+
Si el trazador se inyecta como una entrada de función delta, de modo que 1';) = O, puede usarse la notación I(:) = M i(el primer momento), y así la última ecuación se transforma en ~(l)
- -2
I(O) - ,t
o bien
MI
-M0
La aplicación de este resultado, así como en el caso de la ecuación 23.6-40, fue explorada por cardiólogos para determinar el volumen sanguíneo. Desde entonces se le encuentra en muchos otros cálculos ambientalistas y de la industria de la transformación. Ce ha demostrado que los momentos superiores también son de utilidad, en particular los momentos centrales
Estos momentos suelen aplicarse para el caso especial de una entrada de trazador por pulsos. Así, el segundo momento central normalizado, o vananza, es
Éste es el cuadrado de la desviación estándar, cuando el perfil de salida del rastreador es una distribución gaussiana. El tercer momento central es una medida de la asimetría con
E . HeMg, Zeits.f. Physik> 3, S126 (1829). 7G.N. Stewart, J . Physiol.(Londres),22,159-183(1897). K. Zierler, Ann. Biomed.Eng., 28.83ó-848 (2003). 6
892 Capítulo 23 Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes
respecto a a,., y el cuarto es una medida de la curtosis. En la práctica, e1 cuarto momento es casi imposible de determinar con exactitud a partir de datos experimentales, e incluso la obtención del tercero es bastante difícil. El uso del segundo momento ha encontrado aplicaciones muy importantes en el estudio de la dinámica del tejido biolbgico con respecto a un trazador? y nuevamente la vasta litera. tura en el campo médico se ha extendido a muchas otras aplicaciones. Tambibn es interesante observar las relaciones de aditividad en sistemas conectados en serie. Asi, Mo es i n ~ a r i a n t ~ al número de subsistemas incluidos, y MI, p2 y p~ son aditivas, pero los momentos de orden superior no lo son.
¿Cómo se obtienen los balances macroscópicos para mezcIas de varias componentes? ¿Cómo se relacionan con las ecuaciones de variación? En la ecuación 23.1-1, jcórno se toman en cuenta las reacciones homogbneas y las reacciones heterogéneas? ¿Cuál es el significado físico de w , ~ ? Proporcionar un ejemplo específico de un sistema en el que el 6ltimo término de la ecuación 23.1-4 es cero. Al usar la tabla 23.51, normalmente se especifican las direcciones de las corrientes (es decir, si se trata de corrientes de entrada o de salida). ¿Cómo podría procederse si las direcciones de ffujo cambian con el tiempo? Resumir los procedimientos de cálculo para la entalpia por unidad de masa, H = U + pG, en la ecuación 23.3-1 y la entalpía molar parcial en la ecuación 23.3-la. ¿Cuáles son estas cantidades para mezclas de gases ideales? Revisar la deducción del balance de energía mecánica en 57.8. ¿Qué debe cambiarse en esa deducción, en caso de querer aplicarla a una mezcla no isotémica con reacción, en un sistema d e flujo sin transferencia d e materia en la superficie? ¿En qu6 medida este capítulo proporciona una base para el estudio de operaciones unitarias, como absorción, extracción, destilación y cristalización? ¿Que cambios deben hacerse en este capítulo para describir procesos en una nave espacial o en la superficie de la Luna?
PROBLEMAS
23A.1 Expansión de una mezcla de gases: velocidad de reacción muy lenta. Estimar la temperatura y velocidad de la mezcla agua-gas en el extremo de descarga de la boquilla del ejemplo 23.5-4 si la velocidad de reacción es muy lenta. Usar los datos siguientes: loglo K, = -0.15, Cp,HZ = 7.217, Ep,C02 = 12.995, Cp,H20 = 9.861, Cp,CO= 7.932 (todas las capacidades calorificas están en Btu/lb-m01 F. ¿La presión en Ia salida de la boquilla es igual a la presión ambiental?
-
Respuestas: 920K, 1726 pies/s; si, el flujo en la boquilla es subsónico.
23A.2 Altura de una torre de absorción de relleno. Una torre de relleno del tipo descrito en el ejemplo 23.5-2 se utiliza para separar 90%del ciclohexano contenido en una mezcla de ciclohexano y aire mediante absorción con un aceite ligero no volátil. La corriente gaseosa entra por la parte inferior de la torre a una velocidad volumétrica de 363 pies3/min, a 30 "C y 1.05atm de
F. Chinard, Ann. Biomed Eng., 28,849-859(2000).
Problemas 893 presión. Su contenido en ciclohexano es de 1%en volumen. El aceite entra por la parte s u p e rior de la torce a razón de 20 lb-mol/h, también a 30 "C, y contiene 0.3 por ciento de ciclohexano en base molar. La presión de vapor del ciclohexano a 30 "C es de 121 mrn Hg, y puede considerarse que sus soluciones con el. aceite siguen la ley de Raoult. a) Construir la llnea de operación para esta columna.
b) Construir una curva de equilibrio que comprenda el intervalo de operación que se considera en este problema. Sup6ngase que la operación es isotérmica e isobárica. C)
Determinar las condiciones interfaciales en cada uno de los extremos de la columna.
d) Determinar la altura de la torre necesaria utilizando la ecuación 23.524, si kia = 0.32 moles/h . pies3, k i a = 14.2 moles/h - pies3 y el área de la sección transversal S de la torre es 2.00 pies2. e) Repetir el inciso d), utilizando la ecuación 23.5-25.
Respuesta: d) ca. 62 pies; e) 60 pies 23B.1 Fuerzas impulsoras medias efectivas en un absorbedor de gases. ConsidPrese una torre de absorción de relleno del tipo que se analizó en el ejemplo 23.5-2. Supóngase que la concentración del soluto siempre es baja y que las líneas de equilibrio y de operación son casi rectas. En estas condiciones, tanto k t a como kga pueden considerarse constantes sobre la superficie de transferencia de materia.
Demostrar que (YA- YA,) varía linealmente con YA.NBtese que Y A es la relación molar global de A en la fase gaseosa y que YA,es la relación molar en la fase gaseosa en equilibrio sobre un líquido de composición global X A (véase la figura 22.4-2).
a)
b) Repetir el inciso a ) para (YA- YAO). C)
Usar los resultados de los incisos a) y b) para demostrar que
El coeficiente global de transferencia de materia K; se define por la ecuaci6n 22.44. N6tese que esta parte del problema puede resolverse por analogía con el ejemplo 15.4-1. 23B.2 Expansión de una mezcla gaseosa: velocidad de reacción muy rápida. Estimar la temperatura y velocidad de 1a mezcla agua-gas en el extremo de descarga de la boquilla en el ejemplo 23.5-4 si la velocidad de reacción puede considerarse infinitamente rápida. Usar los datosproporcionados en el problema 23A.1, así como los siguientes: para 9WK, loglo K, = -0.34; HH2= +6340; HH20b)= -49,378; = -16,636; Hco2 = -83,242 (todas las entalpías están dadas en cal/g-mol). Para facilitar las cosas, despreciar el efecto de la temperatura sobre la capacidad calorífica, y suponer que loglo K, varia linealmente con la temperatura entre 900 y 1000K. Se recomienda el siguiente procedimiento simplificado:
a) De antemano puede verse que T2 sera superior que para velocidades de reacción lentas, y por tanto mayor que 920K (véase el problema 23A.1). Demostrar que, sobre el intervalo de temperatura que se encontrará, fi varia casi linealmente con la temperatura segun la expre~ ,12.40 cal/g-m01 . K. sión ( d f i / d ~ ) , , ~=
b) Sustituir el resultado del inciso a) en la ecuación 23.5-60 para demostrar que T2 = 937K. C)
Calcular HI y f i ~ y, usar la ecuación 23.5-48 para demostrar que "2
=
1750 pies/%
238.3 Puesta en marcha de un reactor químico.
a) Integrar la ecuación 23.6-5 junto con las condiciones limite dadas a fin de demostrar que la ecuación 23.6-8 describe correctamente a MB,totcomo una función del tiempo.
894
Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de vanas componentes b) Demostrar que S+ y S- en la ecuación 23.6-9 son reales y negativos. Sugerencia: demostia,
que
C)
Obtener expresiones para MArtot y
como funciones del tiempo.
23B.4 Reacción irreversible de primer orden en un reactor continuo. Un reactor de volumen V, perfectamente agitado, está en el momento inicial totalmente lleno de una solución del m luto A en el disolvente S con una concentración c ~ oEn . el instante t = O se introduce una solución de A en S idéntica a la anterior con una velocidad de flujo másico constante w , Al mismo tiempo se introduce una pequeña corriente constante de una solución de catalizador, que da lugar a que A desaparezca según una reacción irreversible de primer orden cuya constante de velocidad es kf' S-'. Puede suponerse que la constante de velocidad es independiente de la composición y del tiempo. Demostrar que la concentración de A en el reactor (que se supone isotérmico) en cualquier instante es
donde t i 1 = I(w/pV) + k';].
23B.5 Balances de materia y entalpía en un separador de muestras adiabático. 100 libras de 40% por masa de amoníaco acuoso supercalentado con entalpía especifica de 420 Btu/lb deben someterse a proceso flash adiabáticamentea una presión de 10 atm. Calcular las composiciones y masas del líquido y el vapor producidos. Para efectos de este problema puede suponerse que en equilibrio termodincimico se cumple lo siguiente:
donde YNH3y XNH3son las relaciones en maca del amoniaco al agua. Puede suponerse que las entalpías del liquido y el vapor saturados a 10 atm son
Btu/lb de vapor saturado, y
Btu/lb de liquido saturado. Aquí xm3y Y N H ~son fracciones de masa de amoniaco.
Respuesta: P Btu/lb,
= 36.5
lbs, y p = 0.713,
fip = 8'77 Btu/lb,;
W = 63.6 lb,, xw = 0.22, h w = 157
238.6 Distribución de flujo en una cascada ideal. Determinar los flujos de las corrientes hacia arriba y hacia abajo de etapas individuaies para la cascada ideal descrita en el ejemplo 23.5-3. Expresar los resultados como fracciones de la velocidad de alimentación y empezar desde la parte inferior de la cascada (n = O). Usar 12 etapas como el entero más próximo que proporciona la separación deseada. Se sugiere empezar calculando las composiciones de las corrientes hacia amba y hacia abajo, y luego usar los balances de materia
abajo del plato de alimentación y los balances correspondientes arriba del mismo. Use 10 &pas con la composición (W) de los fondos igual a una fracción molar xo = xw = 0.1.
Problemas 895
23B.7 Separación de isótopos y la función valor. Se desea comparar un fraccionador de isótopos que procesa 50 moles/h de una alimentación que contiene 10 moles por ciento del is6topo deseado hasta un producto puro al 90% y un desecho de 1%con otro que procesa 50 moles/h de material al 10%molar hasta un producto y un desecho de 5 y 2%, respectivamente. ¿Cuál fraccionador es más efectivo? Supóngase que la capacidad separativa de Dirac es una medida exacta de la eficacia. 23C.1 Reacción química irreversible de segundo orden en un tanque agitado. Considerar un sistema semejante al que se analizó en el problema 23B.4, excepto que el soluto desaparece según una reacción de segundo,orden, es decir, R A , = ~ -k;Vcfq, ~ ~ Aplique el método siguiente para obtener una expresión para c~ como una función del tiempo: a) Usar un balance macroscópico de materia para el tanque a fin de obtener una ecuación di-
ferencial que describa la evolución de C A con el tiempo. b) Volver a escribir la ecuación diferencial y la condición inicial acompañante en términos de la variable
La ecuación diferencial no lineal que se obtiene de esta manera es una ecuación diferencial de Bemoulli. Luego, escribir v = 1/ u y efectuar la integración. A continuación, volver a escribir el resultado en términos de la variable original CA. C)
23C.2 Purificación de proteínas (figura 23C.2).Se desea purificar una mezcla binaria de proteínas
usando una cascada ideal de etapas individuales de ultrafiltración del tipo que se muestra en la figura. La más grande de las dos unidades de membrana es la fuente de separación y la densidad de flujo de cada proteína a través de la membrana se expresa como
donde Ni es la densidad de flujo de proteínas a través de la membrana de la especie i, ci es la concentración en la solución corriente arriba (que se supone bien mezclada), v es la velocidad superficial a través de k membrana y Si es un factor de tamizado específico de las proteínas. La unidad d e la membrana más pequeña s610 se usa para mantener un equilibrio del disolvente y puede ignorarse para efectos de este problema. a) Demostrar que el enriquecimiento de la proteína 1 con respecto a la proteína 2 está dado por
donde Yi y Xi son las relaciones molares de la proteína 1 a la proteína 2 en las corrientes producto y desecho, respectivamente, y a12 = S 1 / S 2 .
b) Determinar el numero de etapas necesarias en una cascada ideal para producir 99% de proteína pura 1, a partir de una alimentación de 90 en 95% de rendimiento como una función de (u12 Se sugiere hacer variar a 1 2 desde 2 hasta 200.
Regreso del disolvente
qP
zF=yP+xW
Figura 23C.2 Separador de muestras binario basado en la membrana.
896
Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes Calcular las concentraciones de salda, el rendimiento y las velocidades de flujo de las corrientes para una cascada de tres etapas, con a12 = 40, y con una alimentación de 90% de pureza hasta Ia etapa de en medio. C)
d) Comparar la capacidad separativa de Dirac de esta cascada de tres etapas con la de una simple unidad con la mismo relación molar de producto a alimentación. 23C.3 Significado fisico de los momentos cero y primero. Considerar algunos sistemas de flujo
sencillos, como flujo tapón y recipientes perfectamente agitados, individualmente y en ame810s en serie o en paralelo. Demostrar que las velocidades y 10s volúmenes de fiujo pueden obtenerse a partir de los momentos definidos en el ejemplo 23.6-3. 23C.4 Analogía entre la operación en estado no estacionario de una columna de adsorción y un intercarnbiador de calor de corrientes cruzadas1 (figura 23C.4). En el intercambiador de calor que se muestra en la figura, las dos corrientes fluidas circulan formando un ángulo recto entre sí, y se desprecia la densidad de flujo de calor paralelo a la pared. Aquí resulta evidente que el intercambio de calor es menos que para un intercambiador a contracorriente de la misma superficie y coeficiente total de transmisión de calor en condiciones idénticas en el resto. Para Ui,, constante, el flujo de calor en estos intercambiadores puede expresarse como
Figura 23C4 Representación esquemática de un intercambiador de calor de corrientes cruzadas tipo "sandwich.
1
W, Nusselt, Tech. Math. %m.,1,417 (1930);D.M. Smith, Engineering, 138,479 (1934),
Problemas 897 Aquí Q es la velocidad total de transmisión de calor, A es ef área de la superficie de transmisión de calor, y ATi, es la media logarítmica de (Thl - Tcl) y (Th2 - Tc2),segun se define en la figura. Nótese que Th2y Tc2son las temperaturas medias de flujo de las dos corrientes de salida. Así, Y puede considerarse como la relación del calor transmitido para el caso de corrientes cruzadas al que se transmitiría a contracorriente. Usar la ecuación 23.6-25 a fin de escribir una expresión para Y como una función de las velocidades de las corrientes, las propiedades físicas, el drea de transmisión de calor y el coeficiente total local de transmisión de calor. Expresar el resultado en términos de integrales definidas, y suponer que t p h , CF y UIM: son constantes. 23D.1 Operación en estado no estacionario de una columna de relleno. Demostrar que la ecuación 23.6-25 es una solución válida de las ecuaciones 23.6-23 y 23.6-24. Se recomienda el método siguiente:
a) Tomar la transformada de Laplace de las ecuaciones 23.6-23 y 23.6-24 con respecto a T. Eliminar la transformada de Y a partir de las expresiones resultantes. Demostrar que para las condiciones límite dadas, la transformada de X puede escribirse como
donde X es la transformada de Laplace de X.
b) Volver a escribir esta expresión en la forma
Invertir esta expresión para obtener la ecuación 23.6-25 usando la identidad
donde (e(F(r)J= ?(S). 23D.2 Aditividad de los momentos inferiores. Considérese un par de sistemas de flujo dispuestos en serie que cumplen ios requerimientos del ejemplo 23.6-3. Demostrar que i) el momento cero es el mismo en las entradas y salidas del sistema de los sistemas primero y segundo, y que ii) el primer momento absoluto y los momentos centrales segundo y tercero, pero no el
cuarto momento central, son aditivos. Sugerencia: para los momentos segundo y superiores es útil reconocer que la salida desde la segunda unidad, siguiendo un pulso de entrada a la primera, puede obtenerse al usar la integral de convoluci6n
donde h es una respuesta del sistema a un pulso de entrada. Una forma sencilla de proceder es reconocer que la transformada de Laplace de c(t) puede escribirse como
Luego se concluye que
898 Capítulo 23
Balances macroscópicos en sistemas de varias componentes
y de manera semejante para las derivadas superiores. Ahora también puede demostrarse que
23D.3 Puesta en marcha de un reactor químico. Volver a trabajar el ejemplo 23.6-1 usando las transformadas de Laplace de las ecuacionec 23.6-2y 23.6-3.
23D.4 Comportamiento transitorio de N reactores en serie.2 N reactores químicos idénticos de volumen V, cada uno equipado con un agitador perfecto, están conectados en serie. Inicialmente, cada tanque está lleno del disolvente puro S. En el instante cem, al primer tanque se introduce una solución de A en S a un caudal de flujo volumétrico Q y concentraci6n cA(0) constantes. Esta solución también contiene una pequeña cantidad de un disolvente catalitico, introducido justamente antes de la descarga en el primer tanque, lo cual provoca que ocurran las siguientes reacciones de primer orden:
Se supone que las constantes de velocidad en estas reacciones son constantes en todo el sisterna. !%a h = Q/V,la inversa del "tiempo de residencia efectivo" en cada tanque. Obtener una expresión para c,(n), la concentración de la especie química a en el n-ésimo tanque en cualquier instante t.
A. Acrivos y N.R. Amundson, Ind. Eng. C h m . , 47,1533-1541 (1955)
Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia 524.1
Ecuación de variación para entropía
524.2'
Expresiones de densidad de flujo para calor y materia
$24.3"
Difusión de concentración y fuerzas impulsoras
924.4"
Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan
$24.5"
Transporte de materia a través de membranas selectivamente permeables
924.6"
Transporte de materia en medios porosos
En el capítulo 1 se afirmó que el transporte molecular de cantidad de movimiento se relaciona con el gradiente de velocidad por medio de la ley de viscosidad de Newton. En el capítulo 8 se proporcionó la ley de Fourier, que establece que el transporte molecular de calor ocurre debido a un gradiente de temperatura. Sin embargo, cuando se analizaron las mezclas en el capítulo 19, se mencionó una contribución adicional a la densidad de flujo de calor molecular que toma en cuenta la cantidad de entalpía transportada por medio de la interdifusión de varias especies. En el capítulo 17 se proporcion6 la (primera) Iey de Fick de la difusión, la cual establece que el transporte rnolecular de materia ocurre como resultado de un gradiente de concentración. Ahí se señaló que otras fuerzas impulsoras pueden contribuir a la densidad de flujo de materia. Los objetivos de este capítulo son describir las más importantes de tales fuerzas impulsoras adicionales e ilustrar algunas aplicaciones. Al considerar estas fuerzas se encuentra que algunas importantes son los gradientes de potencial eléctrico y presión, que rigen el comportamiento de sistemas iónicos y membranas selectivamente permeables, así como el de las ultracentrifugadoras. Los fenómenos electrocinéticos en particular, son cada vez más importantes. tos dipolos inducidos pueden producir separaciones, como la dieZectroforesis y la niagnetoforesis, que son útiles en aplicaciones especializadas. Además, se encontrará que los gradientes de temperatura pueden provocar densidades de flujo de materia por medio de un proceso denominado efecto de difusión térmica1 o efecto Soret, y que los gradientes de concentración pueden producir transmisión de calor mediante el efecto de difusión t e m o 2 O efecto Dufour. Por Último, es importante darse cuenta de que en sistemas que contienen tres o más componentes, el comportamiento de cualquie; especie se ve afectado por los gradientes de concentración de todas las especies presentes. Por fortuna, el amplio intervalo de comportamientos que resulta de estas diversas fuerzas impulsoras puede describirse de manera breve mediante el marco de -
C. Ludwig, Citzber. Akad. Wics. Wien, 20,539 (1856). observó el efecto por primera vez en líquidos, pero se denomina así en honor de Ch. Coret, Arch. Sci. Phys. Not., Genhe, 2,48-61(1879);4,209-213(1880);Comptes Rendus Acad. Sci.,París,91,289-291(1880).Las primeras observaciones en gases fueron realizadas por S. Chapman y EW. Doohoq Phil. Mag., 33,248-253 (1917). L. Dufour, Arch. Sci. Phys.Nat. Gwiue, 45,9-12 (1872);Ann. Phys.(5)28,490-492(1873).
900
Capítulo 24 Otros mecanismos del trancporte de materia
referencia proporcionado por la termodinámica en no eq~ilibrio;~ este terna SereS me en 524.1 y 924.2. Este análisis concluye con las ecuaciones generalizadas de -3well-Stefan. En las secciones restantes se muestra cómo varias e ~ p e c i a l i ~ ~ ~ ~ ~ d de estas ecuaciones pueden usarse para proporcionar descripciones convenientes d;i procesos por difusión selectos. Quienes no estén interesados en leer las dos primeras secciones pueden pasar directamente a las últimas secciones, donde se resumen los resultados más &;ir. tantes de la termodinámica en no equilibrio. I /
524.1.
E C U A C I ~ NDE VARIACI~NPARA ENTROPÍA En termodinámica en no equilibrio se usan cuatro postulados por encima y de los postulados de la termodinámica en equilibrio:l
a a 3
A
3 1. Las relaciones de la termodinámica en equilibrio son válidas para sistemas que no están en equilibrio, en el supuesto de que los gradientes no sean dé: masiado grandes (postulado de casi equilibrio). 2. Todas las densidades de flujo en el sistema pueden escribirse como relacion$j lineales que implican a todas las fuerzas (postulado de linealidad). 3. Si la diferencia en el orden tensorial de la densidad de flujo y la fuerza es q número impar, no ocurre acoplamiento de densidades de flujo y fuerzas (postulado de C ~ r i e ) . ~ 4. En ausencia de campos magnéticos, la matriz de coeficientesen las relaciones densidad de flujo-fuerza es simétrica (relaciones recíprocas de O n ~ a ~ e r ) . ~ En esta sección y en la sección que sigue se usarán estos postulados, que surgen de la necesidad de describir varios fenómenos observados y también de deduccionej de la teoría cinética. Nótese que la teoría en no equilibrio que se utiliza aquí exclu. ye la consideración de fluidos no newtoniano~.~ En el problema 11D.1se vio cómo obtener la ecuación de balance de entropía de Jaumarm,
donde S es la entropía por unidad de masa de un fluido con varias componentes, 6 es el vector de densidad de flujo de entropía y gs es la velocidad de producción de El análisis que se presenta aquí es para sistemas con varias componentes. En la obra de L. Landau y E.M. Lifshitz,FIuidMedianics, 2a. edición, Pergarnon Press (1987), Capítulo VI, puede consultarse un análisis para sistemas binarios. Véase también la obra de R.B. Bird, Korean J. C h . Eng., 15,105-123(1998). S.R.de Groot y P. Mazur, Non-Equilibrium Themodynurnics, North-Holland, Amsterdam (1962). Vease también! el libro de H.B. Callen, Thennodynamics ond un Introduction to Thennostatistics, Wiley, Nueva York (1985),capítulo 14. P. Curie, Oeicwes,París (1903), p. 129. I' El premio Nobd Lars Onsager (1903-1976) estudi6 ingeniería química en la Techica1 University de
i
Trondheim; después de trabajar durante dos anos con Peter Debye en Zürich, se desempefió como profesor en van? i universidades antes de mudarse a la Universidad de Yale. Sus contribuciones a la termodinámica de procesos : irreversibles pueden consultarse en L. Oncager, Phys. Rev., 37,405-426 (1931);38,2265-2279 (1931). D.G. Miller, en pansport P h e n o m a in Fluids (H. J. M. H d e y , editor), Marcel Dekker, Nueva York (1969), capííuio 11, proporciona resumen de comprobaciones experimentales de las relaciones recíprocas de Onsager. Para describir fluidos viscoelásticos no lineales es necesario generalizar la teoría de la termodinámica, S*:. describen A.N. Beris y B.]. Edwards en Thnmodynumics of Flowing Systms with Infernal Mimstructure, Oxford University P ~ s (1994); s M. Grmela y H. C. Ottinger, Phys Rev., E56,6620-6632 (1997); H.C. Ottinger y M. Grmelat Rev, E56,6633-6655(1,997); B.J. Edwards, H.C. W g e r y R.J.J. Jongschaap, J. Non-Equilibrium ~ h ~ o d p m i f278f i , 356-373 (1997); H.C. Ottinger, Phys. Reu., E57, 1416-1420(1998); H.C. &tÍÍger, Applied Rheology, 9, 17-26 (1999).
524.1
Ecuación de vanaci6n para entropía 901
entropía por unidad de volumen. Hasta este momento no se sabe qué con s y gs, de manera que la primera tarea es encontrar expresiones para estas cantidades en términos de las densidades de flujo y gradientes en el sistema. Para hacer lo anterior es necesario suponer que las ecuaciones de la termodinámica en equilibrio sean válidas localmente (el "postulado de casi equilibrio"), lo cual significa que ecuaciones como
pueden usarse en un sistema que no esté demasiado lejos del equilibrio. En esta ecuación, E, es la energía molar libre de Gibbs y M, es el peso rnolecular de la especie a. En seguida se aplica esta relación a un eIemento de fluido que se mueve a la velocidad media de masa v. Después es posible sustituir los operadores diferenciales por opera4ores de derivada sustanciales. En esa forma, la ecuación 24.1-2 permite expresar DS/Df en términos de ~ f i / ~D(l/p)/Dt t , y Dw,/Dt. Así, la ecuación de variación para la energía interna [ecuación (D) de la tabla 19-2-41,la ecuación global de continuidad [ecuación (A) de la tabla 19.2-31, y la ecuación de continuidad de la especie a [ecuación (B) de la tabla 19.2-31 pueden usarse para las tres derivadas sustanciales que acaban de presentarse. Así, después de un largo proceso de reagrupamiento, se encuentra
La producción de entropía se ha escrito como una suma de productos de densidades de flujo y fuerzas. Sin embargo, sólo hay N - 1 densidades de flujo de materia independientes j, y, debido a la ecuación de Gibbs-Duhem, también hay sólo N - 1 fuerzas independientes. Una vez que se toma en cuenta esta falta de independencia? la densidad de flujo de entropía y la producción de entropía pueden volver a escribirse como sigue:
donde q(h) es la densidad de flujo de calor al cual se ha restado la densidad de flujo de entalpía por difusión
Para los pasos intermedios,véase el trabajo de C.E Curtiss y R.B. Bird, Ind. Eng. Chem. Rpsearch, 38,2515-2522 (1999), errores 40,1791(2001).
902
Capítulo 24 Otros mecanismos del transporte de materia
La segunda forma de la ecuación 24.1-8 se obtuvo5 usando la relación dGa = RTd ,l a,, donde a, es la actividad. En la operación V lrt a,, la derivada debe tomarse para T y p constantes, y la cantidad 4, = cava es la fracción volumétrica de la especie Las d, que se han introducido aquí se denominanfuerzas impuIsoras por difusiún, y toman en cuenta la difusión de concentración (el ténnino con V ln a,), la di,fusidn de presión (el término con Vp) y la difusiónforzada (término con g,). Las d, se definen de manera que Z,d, = 0. La producción de entropía en la ecuación 24.1-6, que es una suma de productos de densidades de flujo y fuerzas, es el punto de partida para el desarrollo de la te^ modinámica en no equilibrio. Según el "postulado de linealidad", cada una de las densidades de flujo en la ecuación 24.1-6 (q(h), j,, 7 y pueden escribirse co. mo una función lineal de todas las fuerzas (VT, da, Vv y Y,). Sin embargo, debido al "postulado de Curie", cada una de las ja debe depender linealmente de todas las da, así como de las VT, y q(k)debe depender linealmente de VT, así como de todas las d,, pero ni j, ni q(h) pueden depender de Vv o r,. En forma semejante, el tensor de esfuerzo T depende del tensor Vv y también de las fuerzas impulsoras Y, multiplicadas por el temor unitario. Debido a que aún no se estudia el "acoplamiento" entre T y las reacciones quimicas, se omite cualquier consideración adicional acerca de éste. En la siguiente sección se analiza el acoplamiento entre todas las fuerzas vectoriales y las densidades de flujo vectoriales, así como las consecuencias de aplicar las "relaciones recíprocas de Onsager".
C/M,)
524.2'
EXPRESIONES DE DENSIDAD DE FLUJOPARA CALOR Y MATERIA
Ahora se utiliza el "postulado de linealidad" a fin de obtener lo siguiente para la$ densidades de fiujo vectoriales
i
En estas ecuaciones, las cantidades aoo,aop, aaaO y aap son los "coeficientes fenom nológicos" (es decir, las propiedades de transporte). Debido a que no todas las j las d, son independientes, debe requerirse que aap + Z,a, = O, donde la operacl suma es sobre todas las y (excepto y = B) desde 1hasta N. Luego, según las relac nes recíprocas de Onsager, a,, = a,, y amp= ap, para todos los valores de a y P d de 1 hasta N. A continuación se relacionan los coeficientes fenomenológicos con los cientes de trans2orte. Primero, a,,, y a,,, vuelven a etiquetarse como D:, que S
524.2 Expresiones de densidad de flujo para calor y materia 903
coeficientes por dlfusión térmica con varias componentes, una de cuyas propiedades es D4, que SUD: = O. Luego se definen las difusividades de Fick con varias c~mponentes,~ como D = -cRTa, /papa. Estas difusividades son simétricas (Dafl= Dga)y siguen ufl las relaciones Cama afl = O. Así, la ecuación 24.2-2 se transforma en
B
para las densidades de flujo de materia con varias componentes. Éstas son las ecuaciones generalizadas de Fick. Cuando la segunda forma de la ecuación 24.1-8 se sustituye en la ecuación 24.2-3 se observa que hay cuatro contribuciones al vector de densidad de flujo de materia j,: el término de difusión de concentración (que contiene el gradiente de actividad), el término de difusión de presión (que contiene el gradiente de presión), el ténnino de difusión forzada (que contiene las fuerzas externas) y el término de difusión térmica (que es proporcional al gradiente de temperatura). La ecuación 24.2-3 puede escribirse con el "lado equivocado fuera"lt2 y luego despejar las fuerzas impulsoras d,:
Éstas son las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan, de las cuales en La ecuación 17.9-1 se proporcionó un caso especial. Las gapse denominan difusividades de Maxwell-Stefan con varias componenfes,de las cuales se ha demostrado que son simétric a ~su ; ~relación con las Dap se analizará en breve. Cuando la expresión para da en la ecuación 24.2-4 se sustituye en la ecuación 24.2-1, se obtiene
La conductividad térmica de una mezcla se define como el coeficiente de proporcionalidad entre el vector de densidad de flujo de calor y el gradiente de temperatura cuando en el sistema no hay densidades de flujo de materia. Así, la cantidad entre corchetes es, por acuerdo general, la conductividad térmica multi-
C.F. Curtiss, J. C h m . Phys., 49,2917-2919 (1968);véase también D.W.Condii, J. Chem. Phys.,51,8209-4212 (1969).C.F. Curtiss y R.B. Bird, Id. Eng. Chem. Reswrch, 39,2515-2522 (1999);errores 41,1791 (2001).Las Dmg usadas aquí con los negativos de las de C h s que, a su vez, son diferentes de h Dapque usan J.O.Hirschfelder,C.F. Curtiss y R.B. Bid, Molecuhr nieory of Gases and Liquids, Wiley, Nueva York (1954), segunda reimpresión corregida (1961), capítulo 11. H.J.Merk, Appl. Sci. Res., A%,73-99 (1959); E.Helfand, 1. Chem. Phys.,33,319-322 (1960).Hendrik JacobusMerk (1920-1988)realizó la inversión de las expresiones de la densidad de flujo de materia cuando era estudiante de licenciatura en la Technical University of Delft; de 1953 a 1987 fue profesor en la misma institución. C.F. Curiiss y R.B. Bird, Ind. Eng. C h .Research, 38,2515-2522 (1999);errores, 40,1791 (2001).
904
Capítulo 24 Otros mecanismos del transporte de materia
plicada por k veces la temperatura absoluta T. Si este resultado se combina con la definición en la ecuación 24.1-7, se obtiene la expresión final para la densidad de flujo de calor:3
Se observa que el vector de densidad de flujo de calor q consta de tres términos: el término de conducción de calor (que contiene la conductividad térmica), e1 término de difusión de calor (que contiene las entalpías molares parciales y las densidades de flujo de materia parciales) y finalmente el término de Dufour (que contiene los coeficientes de difusión térmica y las densidades de flujo de materia). El t61.mino de difusión térmica, que ya se había encontrado en la ecuación 19.3-3, suele ser importante en sistemas de difusión. El término de Dufour casi siempre es pequeño y suele despreciarse. Las ecuaciones 24.2-3,24.2-4 y 24.2-6 son los resultados principales de le termodinámica en no equilibrio. Ahora se cuenta con los vectores de densidad de flujo de materia y calor, expresados en términos de las propiedades de transporte y las densidades de flujo. A continuación se analizar5 la relación entre la matriz de difusividades de Fick aDap y la de las difusividades de Maxwell-Stefan Las dos matrices son simbtricas y de orden N X N, y ambas ti en en+^(^ - 1)terminos independientes. Las Bmp se obtienen como sigue:3
8.8
es decir, la componente p y de una matriz denominada donde (B ) = -D +,,D,[i B,, cuyod:e:n es 1) x (N- l),y adj E , es la matriz adjunta de B,. Para sistemas binarios y terciarios, las interrelaciones explícitas se proporcionan en las tablas 24.2-1 y 24.2-2. En la ecuación (C) de la tabla 24.2-1 puede verse que para una mezcla binaria las Da@y las Gapdifieren por un factor que es una función de la concentración. Sin embargo, tienen el mismo signo, 10 cual explica por qué en la ecuación 24.2-3 se eligió un signo positivo en vez de uno negativo. Ahora ya es posible presentar los tres resultados finales de esta sección, que son útiles comoe partida para resolver problemas de difusión. Para difusión con Varias componentes en gases o líquidos, al combinar las ecuaciones 24.1-8 y 24.24 se obtiene
(p-
Expresiones de densidad de flujo para calor y materia 905
524.2
Tabla 24.2-1 Resumen1 de expresiones para Elap en ténninos de gap[Nota: permutaciones cíclicas de los índices pueden generar entradas adicionales. En las referencias se proporcionan fórmulas para sistemas con cuatro componentes.] Binario:
Elll = - 4 WI2 11x2
4
(Y+Y)~+ Terciario:
Dll
x l B ~
=-
x2 ,
+-
X1
BlZB13
;
4
~ 2 ~ 1 ~3 3 ~ 1 2 X
+
&2%3
Bl3B23
Esta ecuación se ha escrito en términos de la diferencia de velocidades moleculares, v, - vS. Luego, las ecuaciones (D) a (1) de la tabla 17.8-1 pueden usarse para escribir esta ecuación en términos de cualesquiera densidades de flujo de materia o molar. Si se desea indicar que una especie y es especial (por ejemplo, el disolvente), entonces la ecuación 24.2-8 puede volver a escribirse como (véase el problema 24C.1): N
p=1
,3=1 toda fi
-
2
-
(V ln T )
(a = 1,
2,
1
. . ., N) (24.2-9)
toda ,3
Nótese que en la ecuación 24.2-8 hay N(N - 1)/2 difusividades simétricas, S,a, y que no aparece Q,, de manera que no está definido. Sin embargo, en la ecuacion
Tabla 24.2-2 ~esumen'de expresiones para Baoen términos de D4. [Nota: permutaciones cíclicas de los índices pueden generar entradas adicionaIes. Consulte las referencias originales para sistemas con cuatro componentes.]
Terciario:
XlX2 BI2= -
D12&%3
- D13D23
Y W 2 D12 + D33 - D13 -[ID23
906
Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia
-
\-
24.2-9 hay N(N + 1)/2 difusividades simétricas, pero ahora aparecen las Ba, (N de ellas) y en consecuencia es necesario proporcionar N relaciones auxiliares I;,(X,/.B,~)= O, donde la operación suma es sobre todas las a.La ecuación 24.2-9, con las relaciones auxiliares, es equivalente a la ecuación 24.2-8, y estas dos ecuacioiies generalizadas de Maxwell-Stefan son equivalentes a las ecuaciones generalizadacde Fick de la ecuación 24.2-3,junto con sus relaciones auxiliares. Para difisión con varias componentes en gases a baja densidad, la actividad puede sustituirse por la fracción molar, y más aún, hasta una aproximacion bastante acep tablr, las gappueden reemplazarse por Pap.Éstas son las difusividades binariar de todos los pares de especies que hay en la mezcla. Debido a que las Bap sólo varían ligeramente con la concentración, mientras las Dmpdependen bastante de ésta, es preferible usar la forma de Maxwell-Stefan (ecuación 24.2-4) en vez de la forma de Fick (ecuación 24.2-3). Para difusión binaria en gases o líquidos, la ecuación (C)de la tabla 24.2-1 y la ecuación 17E.3-1 pueden usarse para simplificar la ecuación 24.2-8 como sigue:
En esta ecuación se ha introducido la relación de difusión térmica. definida como km - '.1 = - D ; / ~ D=~ +~ ( D : / @ ~ ~ ) (xX/ a A w B ) .Otras cantidades que aparecen son elfacA B. tor aT de difusión térmica y el coeficiente de Soret u,, definido como kT = aT xAxR = u7 xAxBT. Para gases, aT es casi independiente de la composición y uT es la cantidad preferida para líquidos. Cuando kT es positivo, Ia especie A se mueve hacia la re; gión más fría y cuando es negativo, la especie A se mueve hacia la región más ca; liente. En lz. tabla 24.2-3 se proporcionan algunos valores muestra de kT para gasei y líquidos. Para mezclas binarias de gases diluidos, experimentalmente se ha encontrad que la especie de mayor peso molecular suele desplazarse a la región más fría. Si 1 pesos moleculares son casi iguales, entonces en condiciones normales la e mayor diámetro se mueve hacia la región más fria. En algunos casos hay u en el signo de la relación de difusión térmica a medida que baja la temperatura. En el resto del capítulo se estudiarán algunas de las consecuencías de las e$ presiones de las densidades de flujo de materia en las ecuaciones 24.2-8 a 24.2-lo1 'I
szon temzica y la columna de Clusius-Dickel
En este ejemplo se estudiará la difusión de las especies bajo el efecto de un gradiente temperatura. Para ilustrar el fenómeno se considerará el sistema que se muestra en la fi ra 24.2-1, que consta de dos bombillas unidas entre sí por un tubo aislado de diámetro peq ño que está lleno con una mezcla de los gases ideales A y B. Las bombillas se mantienen a temperaturas constantes TI y T2, respectivamente, y el diámetro del tubo aislado es 10 su cientemente pequeño para eliminar de una manera importante las corrientes por convecci El sistema termina por alcanzar un estado estacionario, con el gas A enriquecido en un ex mo del tubo y agotado en el otro. Obtener una expresión para xA2 - xAl, la diferencia de fracciones molares en los dos extremos del tubo.
Press (1970), p. 274.
524.2
Expresiones de densidad de flujo para calor y materia 907
Tabla 24.2-3 Relaciones experimentales de difusión tkrmica para líquidos y mezclas de gases a baja densidad
Componentes A-B C2H2a4-n46H14
C2H4Br2-C2H4C12 C,H2C1,-CCl, CBr4-CCl, Ca4-CH30H C$OH-H20 ~icl&~H,,<~H, Gases:
Componentes A-B bIe-Heb
T(K) 330
#A
0.80
0.40
N,--%
264
D,-H$
327
0.706 0.225 0.90 0.50 0.10
RL. Saxton, E.L. Dougherty y H.G. Drickamer, J. Ckm. Phys., 22,11661168(1954);RL.Saxton y H.G. Dnckamer, J. C h . Phys., 22,1287-1288(1954);J.L. Tichacek, W.S.Kmak y H.G.Dnckamer, J. Phys. Ch.,60, MLL665 (1956). B.E. Atkins, R.E. Bastick y T.L. Ibbs, Proc.Roy. Soc. (Londres), a
A172.142-158 (1939). T.L. Ibbs, K.E.Grew y A.A. Hirst, Proc. Roy. Soc. (londresl, A173,%3-554 (1939). H.R. Heath, T.L.lbbs y N.E. WiId, Pmc. Roy. Soc. (Londres), A178,380-389 (1941).
Una vez que se alcanza el estado estacionario, no hay movimiento neto de A o de B, de manera que 5 = O. Si se considera que el eje del tubo está en la direccibn 2, entonces a partir de la ecuación 24.2-10se obtiene
Aquí la actividad aA se ha sustituido por la fracción molar xA, como conviene para una mezcla de gases ideales. Por lo general, el grado de separaci6n en un aparato de este tipo es Esta bombilla se mantiene a / la temperatura TI
Esta bombilla se mantiene a la temperatura T2 7
Figura 24.2-1 Difusión térmica binaria en estado estacionario en u n aparato con dos bombillas. La mezcla de lo'gaces A y B tiende a separarse por el efecto del gradiente térmico.
908
Capítuio 24 Otros mecanismos del transporte de materia pequeño. Por tanto, es posible ignorar el efecto de la composición sobre kr e integrar esta ecuación para obtener
Debido a que la dependencia de kT con respecto a T es más bien complicada, suele acostm. brarse suponer que kT es constante al valor para alguna temperatura media T,. Así, con la ecuación 24.2-12 se obtiene (aproximadamente)
La temperatura media recomendada5 es
Las ecuaciones 24.2-13 y 24.2-14 son Utiles para estimar el orden de magnitud de los efectos
de la difusión térmica. A menos de que el gradiente de temperatura sea muy grande, con frecuencia la separación es bastante pequeña. Por tanto, fue ventajoso combinar el efecto de la difusión térmica con la convección libre entre dos paredes verticales, una caliente y otra fría. Así, la corriente caliente asciende y la Ma desciende. La corriente hacia arriba será más rica en una de las componentes, por ejemplo A, y la corriente hacia abajo será más rica en B. Éste es el principio de la operación de la columna de Clusius-Dickel.6-8 Al acoplar muckias de estas columnas entre sí en una "cascada" es posible llevar a cabo una separación. Durante la Segunda Guerra Mundial éste fue uno de los métodos que se llevaron a cabo para separar los isótopos de uranio usando hexafluoruro de uranio gaseoso. EI método también se ha utilizado con algo de éxito en la separación de mezclas orgánicas, donde las componentes tienen casi los mismos puntos de ebullición, de manera que la destilación no es una opción plausible. La relación de difusión térmica también puede obtenerse a partir del efecto de Dufoux (difusión-termo), pero el análisis del experimento está plagado de problemas y errores expe rimentales difíciles de evitar?
Difusión de presi'n la
y
A continuación se analizará la difusión en presencia de un gradiente de presión. Si es posible establecer un gradiente de presión suficientemente grande, entonces puede efectuarse una separación mensurable. Un ejemplo de esto lo constituye la ultracentrifugadora, que se ha utilizado para separar enzimas y proteínas. En la figura 24.2-2 se muestra una pequeña celda cilíndrica en una centrifugadora a muy alta velocidad. La longitud de la celda, L, es corta con respecto al radio de rotación R,, y la densidad de la solución puede considerarse una función exclusiva de la composición.Determinar la distribución de las dos componentes en estado estacionario en términos de sus volúmenes molares parciales y el gradiente de presión. Éste se obtiene a partir de la ecuación de movimiento como
H . Brown,Phys. Reu., 58,661-662(1940). K. Clusius y G. Dickel, 2. Phys.Chem., 844,397-450,451-473 (1939). K.E. Grew y T.L. Ibbs, Thermal Diffusion in Gases, Cambridge University Press (1952); K.E. Grew, en Transport Phenomena in Fluids, (H.J.M. Hanley, editor), Marcel Dekker, Nueva York (1969), capítulo 10. R.B. Bird, Advances in Chemical Engineering, 1,155-239(1956),54.D.2; errores, 2,325 (1958). S. Chapman y T.G. Cowling, The Mathematical Theory of Nonunifoon Gases, 3a. edición, Cambridge University Precs (19701, pp. 268-271.
'
524.2 Expresiones de densidad de flujo para calor y materia
909
Figura 24.2-2 Difusión de presión en estado estacionario en una centrifugadora. La mezcla en la celda de difusión tiende a separarse debido al gradiente de presión que se produce en la centrifugadora.
Mezcla de A v B en la celda de difusión
Para facilitar las cosas, se supondrá que los volúmenes molares parciales y los coeficientes de actividad son constantes sobre el intervalo de condiciones existentes en la celda.
Para estado estacionario jA = O, y para la especie A, los términos relevantes en la ecuación 24.2-10 dan
Al insertar la expresión apropiada para el gradiente d e presión y luego multiplicar por (VB/xA)dz, para la especie A se obtiene
Luego se escribe una ecuación semejante para la especie B, que es
Al restar la ecuación 24.2-18 de la ecuación 24.2-17 se llega a
Luego esta ecuación se integra desde z = O hasta algún valor arbitrario de z, tomando en cuenta el hecho de que tas fracciones molares de A y B en z = O son xAO y xBo,respectivamente. Así se obtiene
Si gn se trata como constante sobre el intervalo de integración, entonces se obtiene
910 Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia Luego se toma la exponencial de ambos miembros para llegar a .-
Esto describe la distribución de concentración en estado estacionario para un sistema binario en un campo de fuerza centrífuga constante. Nótese que, debido a que este resultado no contiene en absoluto coeficientes de transporte, el mismo resultado puede obtenerse mediante un análisis de termodinámica en equilibrio.1° No obstante, si se desea analizar el comportamiento dependiente con respecto al tiempo de una centrifugación, entonces en el resultado aparece la difusividad de la mezcla A-B, y el problema no puede resolverse con termo-mica en equilibrio.
En el capítulo 17 se escribió la ley de Fick al plantear que la densidad de flujo de materia en masa (o molar) es proporcional al gradiente de la fracción masa (o molar), como se resumió en la tabla 17.8-2. Por otra parte, en la ecuación 24.2-10 parece que la termodinámica de los prwe sos irreversibles dicta usar el gradiente de actividad como la fuerza impulsora para la difusión de concentración. En esta sección se muestra que puede usarse el gradiente de actividad o la fuerza impulsora del gradiente de la fracción masa (o m e lar), aunque cada elección requiere una difusividad distinta. Estas dos difusividades están relacionadas, lo cual se ilustrará para una mezcla binaria. Cuando en la ecuación 24.2-10 se eliminan los términos de difusión de presión, térmica y forzada, se obtiene
Lo anterior puede volver a escribirse usando el hecho de que el coeficiente de actividad es una función de xA para obtener
La actividad puede escribirse como el producto de1 coeficiente de actividad y la fracción molar (aA = yAxA),de manera que
Si la mezcla es "ideal", entonces el coeficiente de actividad es igual a la unidad, la ecuación 24.3-3 se vuelve igual a la ecuación (B) de la tabla 17.8-2 y BAB =9AB' Ci la mezcla es "no ideal", entonces la difusividad binaria 9IABpuede expresarse como
'O
E.A. Guggenheim, Thermodynamics, North-Holland, Amsterdam (1950),pp. 356-360.
924.3 Difusión de concentración y fuerzas impulsoras 911
así, las ecuaciones 24.3-2 y 24.3-3 se transforman en
que es una de las formas de la ley de Fick [véase la ecuación (B) de la tabla 17.8-21. Para medir BAB, es necesario contar con mediciones de la actividad como una función de la concentración, por lo cual BAB no ha sido popular. Para mezclas ideales, 9hAB y jeAB son idénticas, y casi son funciones lineales de la fracción molar como se muestra en la figura 24.3-1. Para mezclas no ideales, GbAB y BABson funciones no lineales diferentes de la fracción molar; en la figura 24.3-2 se muestra un ejemplo. Sin embargo, para algunas mezclas no ideales se ha encontrano lo es do que el producto kBABes casi lineal en la fracción molar, mientras (véase figura 24.3-3). No hay ninguna razón apremiante para preferir una difusividad o la otra. La mayor parte de las difusividades que se han reportado en publicaciones sobre el tema son y no B A B .
.d
a: Tolueno (Aj B e n c e n o (B) b: Tolueno (A)-Tetraclom de carbono (B) c: Decano (AtHexadecano (B)
Fracción molar de la acetona
Fracción molar xA
Figura 24.3-1 Difusividad en mezclas líquidas ideales a 25 "C [P.W.M.Rutten, DiBsion i n Liquids, Delft University Press (1992),p.311.
1 .o
O
I
Fracción molar del éter
Figura 24.3-2 Difusividad en una mezcla líquida no i d 4 (acetona-cloroformo a 25 OC) [P.W.M.Rutten, Difusion in Liquids, Delft University P m s (19921, p.321.
1.O
Figura 24.3-3 Efecto de la actividad sobre el producto de la viscosidad y la dihsividad, para mezclas líquidas de cloroformo y éter dietíiico [R.E. Powell, W.E. Roceveare y H. Eyring, Ind. Eng. Chem., 33,430-435 (1941)l.
912 Capítulo 24 Otros mecanismos del transporte de materia
524.4"
APLICACIONES DE LAS ECUACXONES GENERALIZADAS DE MAXWELL-STEFAN - ---
Las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan se proporcionaron en la ecuaci&24.24 en términos de las fuerzas impuisoras difusionales d,, y la expresión para d se proporcionó en la ecuación 24.1-8. Cuando se combinan estas ecuaciones, se tienen las ecuaciones de Maxwell-Stefan en t6rminos del gradiente de actividad, J ,+ gradiente de presión y las fuerzas externas que actúan sobre las diversas especies, dado (ecuación 24.2-8 o 24.2-9): -da =
N 2
XaXp
-(v,
- vp)+ términos de difusióntérmica
S=I
Aquí no se muestran los términos de la difusión térmica, debido a que no se necesitarán en esta sección. Los símbolos +a = cava y wa designan, respectivamente, la fracción volumétrica y la fracción masa de la especie a.Como se explicó en g24.l y 524.2, es necesario recordar varias relaciones auxiliares:
La primera de estas relaciones se concluye a partir de la definición de las da, la se gunda es una consecuencia de las relaciones recíprocas de Onsager, y la tercera es necesaria debido a la introducción de una especie y especialmente designada. La elección de cuál especie designar como y es arbitraria; a menudo conviene igualar ./ a (Y. La elección depende de la naturaleza del sistema en estudio, y esta cuestión se ilustrará en el ejemplo siguiente. En todos los capítulos previos, la única fuerza externa que se ha considerado la de gravitación. En esta sección, la fuerza externa por unidad de masa g, se i a la suma de fuerzas
I
<
""1
Aquí g es la aceleración gravitacional, z , es la carga elemental sobre la especie a (PO ejemplo -1 para el ion cloruro C1-), F = 96,485 abs.-coulombs/equivalente-g es 1 constante de Faraday, 4 es el potencial electrostático y el subíndice m en la delta 8 de Kronecker se refiere a cualquier matriz restringida mecánicamente, como membrana selectivamente permeable. En suma, para resolver problemas de difusión con varias componentes en sis mas isotérmicos, ahora se cuenta con N ecuaciones de densidad de flujo de maten en masa (de las cuales sólo N - 1 son independientes), las ecuaciones de ~ontii.~d dad de las especies y la ecuación de movimiento. Se ha demostrado que este conjm to de ecuaciones es útil para resolver amplias clases de problemas de tramferenci de materia, de las cuales algunas se analizarán en los ejemplos siguientes. Por supuesto, para resolver problemas de difusión con varias componentes, requieren las difusividades de Maxwell-Stefan Qm8 que aparecen en la 24.4-1. De estas cantidades se han hecho muy pocas mediciones, mismas YU
524.4 Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan 913
requieren la medición simultánea de la actividad como una función d e la concentración. Entre los pocos ejemplos de estas mediciones pueden mencionarse las realizadas por I3utten.l
Las moléculas de proteínas son tan grandes que pueden concentrarse por centrifugación contra las tendencias dispersivas del movimiento browniano, y se ha demostrado que ecte proceso es útil vara la determinación de1 Deso molecular, así como para realizar seuaraciones preparativas a pequeña escala. Mostrar cómo puede pronosticarse el comportamiento de las moléculas de proteínas en un campo centrífugo, y el tipo de información que puede obtenerse a partir de su comportamiento en un tubo centrífugo (véase la figura 24.4-1). Como se verá en el ejemplo 24.4-3, las proteínas y sus contra-iones pueden tratarse como una sola molécula grande eléctricamenteneutra. Elegir como la especie y a las proteínas y comenzar con la ecuación de densidad de flujo de materia para ellas. La pequeña especie iónica necesaria para la estabilidad de las proteínas no desempeña ningún papel importante en este desarrollo, de manera que puede ignorarse.
Aquí se considerará un sistema seudobinario de una sola proteína globular P en un disolvente W,que principalmente es agua, e inicialmente e1 análisis se restringe a una solución diluida que gira en un tubo perpendicular al eje de rotación (figura 24.4-la) a una velocidad angular constante Q. Para este sistema, xw L. 1 y el campo deflujo del soluto con respecto a ejes estacionarios es el de una rotación de cuerpo rígido, a saber, vw = Sofir. Así, la difusión radial de las proteínas es descrita por la componente r de la ecuación simplificada de Maxwell-Stefan
De inmediato se observa que Ias proteínas se moverán en la dirección radial positiva si su fracción masa es mayor que su fracción volumétrica, es decir, si es más densa que el disolvente. Si toda la ecuación 24.4-6 se multiplica por c g p , se obtiene
Figura 24.4-1 Ultracentrifu~nción de proteínas, con dos orientaciones posibles del tubo centrlfugo.
' Ph. WM. Rutten, Difussion in Liquids, Delft University Press, DeM, Holanda (1992).
914 Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia
-
donde se ha introducido la difusividad seudobinaria acostumbrada de Fick ?hPW. La difusiVidad en la ecuación 24.4-7 puede estimarse a partir de la ecuación 17.4-3 como
donde Rp es el radio de una esfera que tiene el volumen de la molécula de proteínas, pw es la viscosidad del disolvente (agua) y f p es un factor de forma hidrodinámica (es decir, un factor de corrección para tomar en cuenta la falta de esfericidad de la molécula de proteínas), El g-adiente de presión, en términos de la velocidad angular de la ultracentrifugadora, se obtiene a partir de la ecuación de movimiento para Ia solución; así,
El ténnino pCL2r no varía notoriamente sobre la longitud del tubo de centrifugación, que es pequeiía en comparación con el radio del rotor de la ultracentrifugadora. Ahora se desea obtener una idea de la dependencia del peso molecular del termino del gradiente de presión en la ecuación 24.4-7. Para lograr lo anterior se introducen las siguientes aproximaciones, que son válidas en el límite de la solución diluida, lo cual es común eil el procesamiento de protehas:
cp
Aquí = = p / ~ pes el volumen específico parcial de las proteínas. El volumen específico parcial del disolvente puede tomarse como 1 ml/g sin cometer ningún error importante, y Vppara las proteínas globulares suele estar en la vecindad de 0.75 ml/g. Así, se observa que el factor decisivo para permitir una centrifugación efectiva es la relación de pesos moleculares, en vez de los volúmenes específicos, en la medida en que estos últimos no son muy diferen-r tes para las dos especies. Una vez que se combinan las ecuaciones 24.4-7, 24.4-8, 24.4-10 y 24.4-11, la densidad d flujo de las proteínas asume la forma
"i 4
i
que guarda cierta semejanza con la primera ley de Fick. Aquí, la "velocidad de migración !! para las protefnas es (24.4-12
Obsérvese que la densidad de flujo molar radial del agua excede considerablemente la d las proteínas, y que la densidad de flujo convectiva de las proteínas cPvmig,es muy peque En seguida se sustituye la densidad de flujo molar de la ecuación 24.4-11 en la ecuac de continuidad de la especie
524.4 Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan 915 o bien, para
apW constante,
que es la ecuación que quiere resolverse para varias situaciones especíhcas.
a ) Comportamiento transitorio. Primero se considerará la migración de una delgada banda de proteínas en condiciones en las que los cambios fraccionarios en r son pequeños y ninguna cantidad importante de proteínas llega al extremo lejano del tubo. Así es posible introducir una nueva variable independiente u = r - vmigrfque permite transformar cp(r, f ) en +(u, t). La ecuaci6n de difusión se transforma en
junto con La condición inicial
donde C es una constante que indica cuántas proteínas están contenidas en la banda, y las condiciones i í í t e Cuando u + +m,
cp + O
(24.4-17)
La ecuación 24.4-17es una aproximación de tubo largo que se usa ampliamente en esta aplicación. Las ecuaciones 24.4-15a 24.417describen una distribución gaussiana de las proteínas alrededor de su centro de masa, resultante de la difusión y que se mueve con la velocidad La velocidad de migración puede medirse, y esta medición lleva a un producto de la difusividad y el peso molecular de las proteínas. La anchura de la banda al mismo tiempo proporciona una medida independiente de la difusividad, y así proporciona, combinada con el conocimiento de la velocidad de migración y los volúmenes específicos, el peso molecular.2 Si se conoce el peso molecular, por ejemplo, a partir de espectrometría de masas, es posible determinar el factor de forma f,. kste, a su vez, es una medida útil de la forma de las proteínas.
b) Polarización estable. A continuación se considera el comportamiento a largo plazo cuando las proteínas se han concentrado en el extremo del tubo y se ha alcanzado un estado estacionario. En estas circunstancias, no hay movimiento radial y con las ecuaciones 24.4-624.4-9 y 24.4-10 se obtiene
El gradiente de concentración puede medirse y todas las demds cantidades, excepto Mp, pueden determinarse independientemente del proceso de centrifugación. Los coeficientes de actividad de las protehas pueden, por ejemplo, obtenerse a partir de datos de presión osmótica. Por tanto, el peso molecular de las proteínas puede determinarse sin ambigüedades. Una mejor exactitud sólo puede obtenerse con la espectrometría d e masas, aunque ésta no es conveniente para todas las proteínas.
Operación preparativa. La rapidez de la separación centnfuga puede incrementarse bastante inclinando el tubo como se muestra en la figura 24.4-123.Aquí las protehas son forzadas hacia el límite exterior del tubo por acción centrífuga, y el gradiente de densidad resultante
C)
RJ.Siibey y R.A. Alberty, Physical Chemishy, 33. edición, Wiley, Nueva York (2001), p. 801.
916
Capitulo 24
-
Otros mecanismos del transporte de materia -
provoca un transporte global axial por convección libre, un proceso semejante al que se usó para partículas más grandes en centrifugadoras de
Proteínas como
particulas hidrodinámicas
Demostrar que los resultados del iiltimo ejemplo son equivalentes al tratar las proteínas & , mo pequeñas partículs hidrodinámicas.
so~ucrdnr Si en el ejemplo anterior no se hubieran usado las simplificaciones en las ecuaciones 24.49 y 24.4-10 para la velocidad de migración en operación en estado estacionario, se hubiera ob-
tenido
Si ahora el análisis se restringe a soluciones diluidas, de manera que el coeficiente de actiy usar la ecuación 24.48 vidad esté muy próximo a la unidad, es posible igualar BPWa 9PW para la difusividad y la ecuación 24.4-9 para el gradiente de presión. Así, la velocidad de migración se transforma en
= gef(una fuerza efectiva del cuerpo por unidad de masa resultante del campo de centrifugación) y que R / K = N (número de Avogadro), y se obtiene
Luego se reconoce que
-
donde se ha usado la aproximación wp = pp/(pp + PW) = pP/pW para una solución diluida de p< teínas. Luego se hace Vp ($=R;)a el volumen por m01 de proteínas, y pp/c, '= (inR$)(j~(*))I la masa por m01 de proteínas; aquí p(P) es la densidad de las proteínas puras. Cuando est cantidades se insertan en la ecuación 24.4-21 se obtiene
Al comparar lo anterior con la ecuacion 2.6-17 se observa que la velocidad de migració ra una proteína no esférica en un campo de centrifugación es la misma que la velocidad para una esfera en un campo gravitacional correspondiente (dividida entre el factorfp tomar en cuenta la desviación con respecto a la esfericidad). También podna empezarse con una ecuación de movimiento para una partícula P ini mente en reposo en una suspensión tan diluida que las interacciones partícula-partícula s despreciables. Así, la velocidad de la partícula con respecto a un gran cuerpo de fluido inmó F es
(
:i[(
v p - v ~=-!?hPF Vlnnp+-
+(P
V p 1--
('VP)~--F~~
(24.4-2 i
Véase, por eyemplo, PerryS Ckemicai Engineers' Handbook, McGraw-HiI1, Nueva York,Ya. edici6n (1997),p. l&ll
s24.4 Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan 917 Aquí n p es la concentración del número de partículas, Vp y Rp son el volumen y el radio de las partículas, y el subúidice c r ~se refiere a las condiciones "lejos" de la partícula (es decir, fuera de la capa límite hidrodinámica).La ecuación 24.4-23 es la ecuación de movimiento con un término adicional para el movimiento browniano, que es importante, por ejemplo, en acumulación de aero~oles.~ El símbolo F, indica la fuerza electromagnética por partícula. La difusividad 9pF en este ejemplo corresponde a 9 del ejemplo 24.4-1, y puede verPW se que hay una analogía bastante próxima enfre las descnpciones molecular y de partícula. De hecho, hay sólo tres diferencias importantes: 1. El coeficiente de actividad termodinámica se considera como igual a la unidad para la partícula. 2. Se desprecia la aceleración instantánea de la molécula. 3. Se desprecian los efectos del pasado [es decir, la fuerza de Basset dada por la integral
en la ecuación 24.423) para la molécula.
En la práctica, los coeficientes de la actividad tienden a la unidad en soluciones diluidas, y las fuerzas de Basset tienden a ser pequeñas, incluso para partículas grandes. Sin embargo, los efectos instantáneos de la aceleración pueden ser apreciables para partículas mayores que aproximadamente una micra de diámetro.
Difusión de sales en una solución acuosa
Para facilitar las cosas, ahora considérese un electrólito 1-1M+X-, como cIoruro de sodio, que se difunde en un sistema como el que se muestra en la figura 24.4-2. Aquí, depósitos bien mezclados que contienen dos concentraciones salinas se unen por medio de una constricción, donde se lleva a cabo transferenciapor difusión entre los dos depósitos. El potenciómetro que se muestra en la figura mide la diferencia de potencial A 4 entre los electrodos, sin extraer nada de corriente del sistema. Demostrar cómo pueden usarse las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefanpara describir el comportamiento por difusi6n.
Recubrimiento porosa de Ag+X- s6iido
-
Trayectoriade difusión (geometriay condiciones de flujo arbitrarias)
Figura 24.4-2 Difusión de sal y potenciales de diíusión. La letra G
denota un galvanómetro.
" V6ase L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon Press, Oxford (1987),pp. 90-91,probkma 7.
918
Capítulo 24 Otros mecanismos del transporte de materia
Se considera que la sal (S) est6 completamente disociada, de manera que el sistema se trat;i como terciario, donde las tres especies son M+,X- y agua. Se desprecia el término de difu. sión de presión: la presión de referencia cRT en la ecuación 24.4-1 es aproximadamente 1% atmósferas en condiciones ambientales normales, y la importancia de las diferencias de pre. sión que ocurren en sistemas como el que se representa es despreciable. La suposición de electroneutralidad y circuIación nula de corriente proporcionan Las siguientes restricciones:
Aquí las fracciones molares del catión M+ y del anión X- son iguales a las de la sal S. Luego es posible elegir como especie y a la especie a en las ecuaciones 24.4-24 y 24.4-25 y para el catión y el anión se obtiene
1
+
(xwNx-- xx-NW)= -xx- V lna X-
C~X-W
pX-g,-
cRT
(24.4-27)
- wX-
B
Luego se usan las ecuaciones 24.4-24 y 24.4-25 y la expresión para las fuerzas eléctricas pro. porcionada en la ecuación 24.4-5 para llegar a
Nótese que no aparece la difusividad ion-ion debido a que entre los dos iones no hay dikrirncia de velocidad cuando no hay corriente. El potencial electrostático q5 puede eliminarse entre estas dos ecuaciones sumándolas entre sí. La expresión resultante de la densidad de flujo
a
puede escribirse en forma de la ley de Fick N,
=-caSwVX,+xc(Ns+ N w )
introduciendo la definición de difusividad basada en la concentración
y, debido a que
= aM+ ax- =
~ $y 2 y+- =
\/
yM+yx-,
Ys "Y,+Y,que es el coeficiente de actividad iónica media.
(24.4-3
s24.4 Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan 919 Las difusividades ion-agua pueden, al mismo tiempo, estimarse a partir de condudancias equivalentes limitantes en la forma
ha, = lím X,+O
]~ale,wF~ RT
Como cuestión práctica, las difusividades varían mucho menos con la concentración que las conductancias, y las difusividades de la sal pueden estimarse de manera bastante exacta hasta aproximadamente concentraciones 1N a partir de conductancias limitantes. Una razón fundamental de este hecho es que las interacciones difusionales ion-ion, que siempre ocurren cuando hay circulación de corriente, se vuelven notorias incluso para concentraciones modestas de sal (véase el problema 24C.3). En fa ecuación 24.4-32 se muestra que el ion más lento tiende a dominar al determinar la difusividad de la sal, y este hecho es la justificación para tratar a la proteína como una gran molécula neutra en el ejemplo 24.4-1. Las proteínas solubles casi siempre están cargadas, pero ellas mismas y sus contra-iones acompañantes se comportan como una sal neutra, y su difusividad es dominada por la mitad de la proteína, que a su vez actúa en forma muy parecida a una partícula hidrodinhica. En un gradiente de concentración, el ion más rápido tiende a adelantar al más lento. Sin embargo, esto resurta en la formación de un gradiente de potencial que tiende a apresurar al ionmás lento y desacelerar al más rápido. Puede demostrarse (véase el probIema 24B.2) que este asídenonur~adopofmciilde punto de unión, queda descrito por
Sin embargo, estos potenciales no pueden medirse directamente, ya que los electrodos necesarios para completar el circuito eléctrico afectan la medición (véase el problema 24C.3). Es posible obtener un valor aproximado usando puentes de sal de cloruro de potasio.5 Este ejemplo eIemental es sólo una introducción muy superficial a un tema importante y complicado. El lector interesado puede consultar la abundante literatura sobre electroquími~a.~
Desviaciones con respecto a la electroneutralidad local: eleciroósmosis6
Con base en el estudio anterior sobre potencial dhsional, ya debe resultar evidente que en electróíitos de difusión existen desviaciones locales con respecto a la electroneutralidad, mismas que no siempre son despreciables. Para analizar esta situación, considérese un tubo largo de sección transversal circular que contiene un electrólito, del cual por lo menos una componente es adsorbida en la pared del tubo. Esta adsorción resulta en una carga superficial fija y en una región de carga neta, la doble capa dzfrasa, en la solución adyacente a la pared del tubo. Esta carga neta produce un campo eléctrico en el interior del tubo, que varía con la posición radial pero no con la posición axial. S i a través de los extremos de1 tubo se aplica una diferencia de potencial, el resultado es el flujo de un fluido, lo cual se conoce como electrobsmosis. Recíprocamente, si para producir un flujo se usa una presión hidrodinámica, el resultado es una diferencia de potencial, denominada potencial subcrífico, que se desarrolla a través de los extremos del tubo. Estos fenómenos son representativos de una clase conocida como fenómenos electrocineticos. Obtener una expresión para el flujo electroosmótico que se desarrolla en ausencia de un gradiente de presi6n axial.
R.A. Robinson y R.H. Stokes, Electmlyle Solutions, edición revisada, Butterworth, Londres (1965),p. 571. Esta venerable referencia contiene una multitud de detalles de datos útiies. Véase, por ejemplo, J.C.Newman, Electrochemical Sysfms, 2a. edici6n, Prentice-HaU, Englewood Cliffs, N.J. (1991).El ejemplo 24.44se tomó de la página 215.
920
Capitulo 24 Otros mecanismos del transporte de materia
SOLUCI~N
..
1 El primer problema ahora es obtener una expresión para la distribución del potencial ele. trostático, después de lo cual puede calcularse el flujo electroosmótico. El punto de partida para el cálculo del potencial electrostático es la ecuación de Poisson
Aquí p, es la densidad de carga eléctrica
y E es la permitividad dieléctrica de la solución. Para el problema en cuestión, la ecuació 24.4-36 se reduce a
Luego, siguiendo a Newman6 se supone que la concentración de cargas sigue una distrib ción de Boltzmann
y se usa una expansión truncada de Taylor, conocida como aproximación de Debye-Hiic de manera que sea posible obtener una solución explícita. Aquí puede considerarse que e bíndice indica la línea central del tubo debido a que, como se verá, la densidad de c disminuye muy rápido con la distancia a la pared del tubo. Por la misma razón es posible preciar la curvatura de la pared y suponer que la carga neta en la línea central es cero, de nera aue
a'4 dy2
'
- h2
donde A =
(*5
i:c,?-1'2
a=l
Aquí y = R - r es la distancia medida hacia el fluido desde la pared, y A es la longitud de De ye, que tiende a ser muy pequeña. Así, para un electrólito 1-1se tiene que
donde las unidades de la longitud de Debye A y la concentración de sal cs son h g s t r molaridad, respectivamente. Así, para una solución 0.1 N, la longitud de Debye es sólo ximadamente de 10 A. Como resultado, las desviaciones con respecto a la neutralidad sue despreciarse en sistemas macroscópicos. De manera semejante, los desequilibrios en con tración son muy pequeños para potenciales de unión, que típicamente no rebasan las d nas de milivoltios (véase también el problema 24C.4). Ahora se requieren condiciones límite para integrar la ecuación 24.4-40, y la primera éstas es justamente la suposición de electroneutralidad a grandes distancia de la pared:
C.L. 1: cuando 3 + m , A
4+0
La segunda condición límite se obtiene a partir de la ley de Gauss (véase la obra de Newm
p. 75), suponiendo que en e1 interior de la superficie sóiida en sí no hay gradiente de pot C.L. 2: cuando y = O,
d4 dy
E
524.4
Aplicaciones de las ecuaciones generalizadas de MaxweU-Stefan 921
donde q, es la carga superficial por unidad de área. Así, al integrar la ecuación 24.4-40 se obtiene
~ e w m a proporciona n~ una deducción más rigurosa que permite la curvatura de la superficie, aunque para cualquier tubo de radio superior a las decenas de nanómetros esto realmente no es necesario. Ahora ya es posible insertar estos resultados en la ecuación de movimiento, y aquí se supondrá flujo laminar estacionario, de manera que
donde la intensidad axial del campo eléctrico es
Al despreciar el gradiente de presión y usar Ia ecuación 24.4-36 para eliminar pe se encuentra
Luego, si de nuevo se desprecia la curvatura, esta ecuación puede integrarse para Ilegar a
La cantidad en el primer conjunto entre paréntesis puede considerarse como una propiedad del sistema que se determina experimentalmente, y exp(-y/A) es despreciable sobre la sección transversal global del tubo, esencialmente para todos los tubos. Así, la velocidad es uniforme, excepto muy cerca de Ia pared. Actualmente estos flujos electroosmóticos se están utilizando ampliamente en reactores y separadores de flujo microscópico; por ejemplo, en dispositivos para diagnóstico, y ofrecen la ventaja de dispersión convectiva despreciable. Nótese que la velocidad es efectivamente independiente del radio del tubo. Así, la electroósmosis es especialmente útil en tubos de radios pequeños, en los cuales de otra forma se requerirían grandes gradientes de presión para producir la misma velocidad de flujo.
Fuerzas impulsoras adicionales de transferencia de materia
Ahora se ha cubierto todo lo concerniente a mecanismos de transferencia de materia qiie suele considerarse en un marco de referencia de termodinámica en no equilibrio, a!irique hay otras posibilidades que han demostrado ser significativas. Aquí se considerarán tres: la fuerza sobre una partícula cargada que se mueve en un campo magnético y las fuerzas de inducción eléctrica o magnética. Éstas contienen términos no lineales, es decir, productos de velocidades y campos de fuerza de las especies, por lo que están, hablando clstrictamente, fuera del alcance de la termodinámica de procesos irreversibles. Sin embargo, se ha encontrado permisible agregarlas a las fuerzas del cuerpo que aparecen en la ecuación 24.4-1. Obtener una forma específica para la ecuación resultante y demostrar cómo puede usarse para describir procesos de transferencia de materia afectados por una o más de estas fuerzas adicionales.
922
Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia
Se empieza por definir una fuerza impulsara extendida para transferencia de materia, a fin de incluir estas fuerzas adicionales:
Aquí B es la inducción magnética, E = f74 es el campo eléctrico, c e s la susceptibilidad eléctrica y ryg es la susceptibilidad magnética. El origen de 10s términos que contienen [va X B] y [E . VE] en la ecuación 24.4-50, está en la relación de Lorentz
P = q0(E+[v x B])
(24.4-51)
donde q,, es la carga eléctrica. Esto se muestra de manera explícita en la ecuación 24.4-51 para una partícula cargada que se mueve en un campo maqético (véase el problema 24B.1), aunque sólo se muestra indirectamente para la inducción eléctrica [E VE], que se basa en la interacción de un campo no uniforme con un dipolo eléctrico. Para mostrar el origen del término [E . VE] en fa ecuación 24.4-50, considérese, por ejemplo, fa situación unidimensional que se representa en la figura 24.4-3. Un campo eléctrica tiende a alinear los dipolos que normalmente están distribuidos al azar debido al movimiento browniano y, si el campo no es uniforme, sobre un dipolo alineado hay una fuerza neta de magnitud
donde qo es la magnitud de la carga en cualquier extremo del dipolo y 1 es la distancia entre los dos centros de carga. En algunos casos - p o r ejemplo la forma híbrida de los aminoácidos- es posible determinar tanto qo como 1 a partir de la teona molecular. Sin embargo, para partículas y la mayor parte de las moléculas, sólo se encuentran dipolos inducidos: una separación de carga parcial resultante de la presencia del campo. En las condiciones de interés aquí, sólo una pequeña fracción de los dipolos intrínsecos está alineada con el campo, y normalmente se supone que tanto el alineamiento fraccionario de éstos como la intensidad de los dipolos inducidos son proporcionales a la intensidad del campo. Todos estos factores se reúnen en lo que suele ser una cantidad determinada experimentalmente, la suscepfibilidad eléctrica. El origen del t6rmi-
Dipolos no alineados (enausencia de un campo eléctrico)
(en presencia de un campo eléctrico)
z= o Posición, z
Figura 24.4-3 Origen de la fuerza dielectroforética que se en la ecuación 24.4-52.
,
524.5 Transporte de materia a través de membranas selectivamente permeables 923 no de la magnetoforesises análogo. En seguida se presentarán análisis sucintos de aplicaciones de estos nuevos mecanismos de separaci6n. El comportamiento de los iones que se mueven en un campo magnético constituye la base de la espectrometría de masas clásica, aunque también se usan bastante los espectrómetros de masa de tiempo de vuelo. Ambos tipos de espectrómetros están bastante desarrollados y encuentran amplias aplicaciones para analizar mezclas que van desde simples gases inorgánico~hasta complicadas moléculas biológicas no volátiles como las proteínas. De hecho, donde son aplicables, constituyen el medio más exacto disponible para determinar el peso molecular de proteínas, a menudo dentro del margen de un dalton para un peso molecular que típicamente es del orden de las decenas de miles. Tanto la dielectroforesis como la magnetoforesis se utilizan desde hace mucho a escala de procesos grandes para eliminar pequehs partículas suspendidas en fluidos. En el caso de la dielectroforesis, los campos no uniformes se obtienen mediante el uso de un relleno de pequeñas particdas dieléctcicas, como lechos de vidrio, entre electrodos (véase, por ejemplo, el problema 24B.1). Debido a que las partículas siempre se mueven hacia el campo más intenso, puede usarse corriente alterna, casi siempre a algunas decenas de kilovoltios, y así evitar reacciones en los electrodos. Los flujos de corriente son extremadamente pequeños y por lo general es posible despreciarlos. En magnetoforesis se logra un campo no uniforme al colocar mallas ferromagnéticasentre los polos de un electroimán, lo cual naturalmente sólo puede funcionar con materiales paramagnéticos o ferromagnéticos. Un ejemplo clásico es la eliminación de cuerpos coloridos que constan de óxidos de hierro magnético hasta a r d a blanqueada. Hoy día están desarrollándose con mucha rapidez nuevas aplicaciones de la dielectroforesis en los campos de biología? materiales avanzados; incluso nanoteaiología y control ambientaL9Consideran la clasificación, el anáiisis cuantitativo y la manipulación, incluyendo la formaciónde arreglos ordenados. Muchas de estas aplicaciones requieren extensiones importantes de la ecuación 24.4-50 a fin de incluir fuerzas tetrapolares e incluso octapolares.1° Además, hay interacciones fuertes entre fuerzas eléctricas e hidrodindmicas, y t&o el dispositivo como la forma de la partícula pueden tener efectos profundos.11
524.5"
TRANSPORTE DE MATERIA A TRAVÉS DE MEMBRANAS SELECTIVAMENTE PERMEABLES Las membranas pueden considerarse físicamente como láminas delgadas que suelen separar dos fases globales y que controlan la transferencia de materia entre éstas. Además, tipicamente la membrana se mantiene estacionaria contra gradientes de presión externos y resistencia viscosa interna mediante alguna restricción mecánica, normalmente una malla de alambre o una estructura equivalente. Las membranas constan de una matriz m insoluble que es selectivamente pemeable y de una o
'C.Polk, IEEE Transactions on P h m a Science, 28.614 (2000);J . Suehiro, et al., 1. Physics D: Applied Physics, 32,
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3693-3698 (1999); T. Yamarnoto, et al., Confwnce Record, L4S Annual Meeting (IEEE Industry Applications Society), 3, 1933-1940(1998); M.S. Talary, ei al., Med and Bio. Eng. ond Computing, 33,235-237 (1955);H . Morgan y N.G. Creen,J. Electmhtics, 42,279-293 (1997). L. Cui y H. Morgan, J. M i m c h . Mi-g., 10,R-79(2000); M. Hase, et al., Proc. Intl. Soc. Optical Eng., 3673, 133-140(1999); C.A. Randall, IEEE Intl. Symp. on Appiioltions ofFermlectrics, Piiataway, N.J.(1996). P. Bamn, ASTM Special Technical Publication, 147-155 (1999); R.J. Han, O.R. Moss y B.A. Wong, Amsol Sci. Tech., 241-258 (1944). 'O C. Reichie, et al., Phys. D: Appl. Phys., 32,2128-2135(1999); A. Ramos, et al., J. Elecfrostatics, 47, 71-81 (1999); M. Washizu y T.B.Jones,J. Electrostatics, 33,187-198(1994); B.Khusid y A. Acrivos, Phys. Rev. E, 54,5428-5435(1996). S. Kim y SJ.Karrila, Micmhydrodynarnics, Butterworth-Heinemann, Boston (1991); D.W. Howard, E.N. LightZoot y J.O.Hirschfelder, AIChE Jouml, 22,794-798 (1976).
"
924
Capítulo 24 Otros mecanismos del transporte de materia \
más especies permeantes móviles a, P,... Matemáticamente se definen por medio de tres restricciones: 1. Curvatura despreciable
donde S es el espesor de la membrana y R,, es el radio de curvatura super. ficial de la membrana. Se concluye que el transporte de materia es nid di re^. cional y perpendicular a la superficie de la membrana. 2. Inmovilidad de la matriz
donde v, es la velocidad de la matriz, que sirve como la coordenada de referencia. 3. Comportamiento seudoestacionario
donde a es cualquier especie contenida, incluyendo la matriz m. Esto realmente significa que los tiempos de la respuesta difusional en el interior de la membrana son cortos en comparación con los correspondientes en las soluciones adyacentes. Ahora se desea mostrar cómo pueden usarse estas restricciones para especializar las ecuaciones de Maxwell-Stefan y producir descripciones breves pero confiables del transporte en membranas. Se empieza por reconocer que la matriz debe considerarse como una de las especies en difusión, y se elige usar las ecuaciones de Maxwell-Stefan sólo para la especie móvil. Luego es posible usar las ecuaciones 24.4-1 y 24.4-5 y escribir lo siguiente para una mezcla de N especies móviles:
Nótese que a se ha elegido como la especie de referencia en la ecuación para toda a
y que la fuerza que mantiene estacionaria a la membrana - e s decir, el Último termino en la ecuación 24.4-5- ha dado como resultado la eliminación del término de fracción de masa en la expresión para la difusión de presión.1 Luego se observa que, desde un punto de vista termodinámico, el número de componentes es el número de especies móviles independientes en las soluciones que bañan a la membrana, debido a que es la solución externa la que determina el estado de la membrana en equilibrio. También se reconoce que, para casi todas las situaciones, no es posibIe determinar el peso molecular efectivo de la matriz. por tanto, el sistema interno se define como si sólo incluyese las especies móviles Y las fracciones molares de estas especies se deíinen de manera que su suma sea igual a
' E.M. Scattergood y E.N. Lightfoot, Trans. Faraday Soc., 64,11351146 (1968).
524.5 Transporte de materia a través de membranas selectivamente penneables 925
la unidad. Sin embargo, debido a que la interacción de cada especie con la membrana es bastante importante, también se define como
La ecuación 24.5-5 completa la especialización de las ecuaciones de Maxwell-Stefan para el transporte en membranas, aunque todavía es necesario seleccionar un conjunto de condiciones límite que puedan aplicarse en términos generales. Estas condiciones se obtienen al requerir que el "potencial" total de cada especie sea continuo a través del
Aquí los subíndices m y e se refieren a condiciones en el interior de la membrana y en la solución externa, respectivamente. La actividad a, debe calcularse en la composición de la fase de la membrana, aunque a la presión de la solución externa, y
En la práctica, normalmente se considera que los solutos son incompresibles y que es constante a través de la interfase. A menudo es muy difícil, e incluso imposible, determinar las condiciones en el interior de la membrana, y la ecuación 24.5-6 es útil básicamente en estas circunstancias para obtener un conocimiento cualitativo del comportamiento de la membrana. En parte debido a lo anterior es raro encontrar descripciones completas del transporte en membranas (no obstante, véase la obra de Scattergood y Lightfoot'). En otras fuente^^-^ pueden encontrarse introducciones al transporte en membranas bastante simplificadas, pero a menudo muy útiles. Una aproximación venerable, bastante apreciada por los biólogos, es el trabajo de Kedem y ~atchalsky.~ Sin embargo, se están logrando rápidos avances en la obtención de datos fundamentales y mucho de ello se ha reportado en el Journal of Membrane Science. Un área También es de esperar adelantos importante es la de las membranas microp~rosas.~ en el modelado del comportamiento. Desde hace mucho se sabe7que el teorema recíproco generalizado de Lorentz para flujos reptantes8 constituye una base sólida para extender la teoría hidrodinámica de difusión de 917.4 a difusión con varias componentes en membranas microporosas. Técnicas computacionales recientemente desarrolladas9 deben hacer que los cfilculos necesarios sean lo suficientemente tratables para proporcionar verdadero poder de predicción. Estas técnicas también
vm
E.L. Cussler, Diffusion: Muss Transfer in Fluid Syctma, 2a. edición, Carnbridge Univenity Press (1997),p. 580. W.M. Deen, Amlysis of Transport Phenomcna, W o r d Universiiy P ~ s (1998), s p. 597. J.D. Seader y E.J. Henley, Separation Process Principles, Wdey, Nueva York (1998). 0. Kedem y A. Katchalsky, Biochm. Biophys. Acta, 27,229 (1958). K.Kaneko, j. Membrane Sci., 96,5949 (1994);K . Sakai, J. Membrane Sci., 96,91-130 (1994);S . Nakao, J. Membrane Sci., 96,181-185 (1994) E.N. Lightfoot, J.B. Bassingthwaighte y E.E.Grabowski, Ann. Biomed. Eng., 4.7890 (1976). 'J. Happel y H. Brenner, Low Reynolds Number Hidrodynumics, Prentice-Hall(1945), Martinus Nijhoff (1983),p. 62, p. 85. S. K i m y S.J. Karrila, Mi~rohydmd~namics: Principles nnd Selected Applicatiais, Butterworth-Heincmann. Boston (1991).
'
Capítulo 24
926
Otros mecanismos del transporte de materia
i \ L . /
pueden emplearse para obtener estructuras aut~ensarnblables,~~ que ofrecen nuevas posibilidades para membranas altamente selectivas. Este campo ofrece una variedad bastante amplia de tipos de membranas y de los proceses de transferencia de materia que se llevan a cabo en éstas. Es posible distinguir entre membranas biológicas1' y sintéticas,12aunque dentro de estas categoh hay intervalos muy amplios de composición y comportamiento. Entre el grupo sintético hay membranas "homogéneas", donde la matriz actúa como un disolvente verdadero para especies permeantes, y membranas "microporosas", donde las especies permeantes están confiadas a regiones libres de la matriz, así como mezclas de los dos tipos. Estos factores son importantes desde un punto de vista de materiales, pero los formalismos necesarios para describir su comportamiento de transporte son bastante parecidos para todos. También hay una amplia variedad de condiciones de proceso que se usan bastante. Aquí sólo se consideran algunos ejemplos para htrar situaciones que suelen encontrarse.
EJEMPLO 24.5-1 S
-.'%%
Difusión de concentración entre fases volumétricas preexistenfes
Considérese el "soluto" A que se difunde a través de una membrana colocada entre soluciones binarias de soluto A en el disolvente B sólo bajo el efecto de los p-adientes de concentración. Ésta es una situación común que incluye la diálisis, la oxigenación de la sangre y muchos sistemas de separación de gases.13 Hay muchas variantes, como la difisión facilitada (véase el problema 24C.9). La hemodiálisis es un caso especial, donde las diferencias de presi6n se usan para impulsar agua a través de la membrana, pero la difusión de concentración de solutos reviste un interés primordial desde el presente punto de vista. Por ahora, supóngase que ya se conoce la densidad de flujo del disolvente, NB.Obtener un análogo de la ley de Fick para este sistema.
Aquí el interés primordial lo constituye el soluto A, y la ecuación de Maxwell-Stefan para és. te asume la forma
Lo anterior puede reordenarse para llegar a
Esto recuerda la ley de Fick, donde el primer término del miembro derecho corresponde a la densidad de flujo por difusión de Fick y el segundo corresponde al término convectivo. Sin embargo, ahora la difusividad efectiva contiene una contribución de la membrana, Y el
O' 1. Mustakis, S.C. Clear, PF. Nealey y S. Kim, ASME Fluids Engineering Division Summer Meeting, FEDCM, 22-26 de junio (1997). l1 B.ALberts, et al., The Molecitlar Biology of the Cell, Garland, Nueva York (1999), capituios 10 y 11. l2 W.S.W. Ho y K.K. Sirkar, Membrane Handbook, Van Nostrand Reinhold, Nueva York (1992),p. 954; R.D.Noble y S.A. stem, Mmbrane Separations Technology,Membrane Science and Technology Series, 2, Elsevier (Amsterdam), p. 718; R van Reis y AL. Zy dney, "Protein Ultrafiiltration" en Encyclopedin o j Biopmcess Technology (M.C. Ftickingery S.W. Drew, cornps.),Wdey, Nueva York (1999),pp. 2197-2214; L. J. Zeman y A.L. Zydney, Micnjitration and Ultra$ítratioR Marcel Dekker, Nueva York (1996). l 3 W.J. KOF y G.K. Fleming, J. Membrane Sci., 83,l-80(1993).
s24.5 Transporte de materia a través de membranas selectivamente permeables 927 Figura 24.5-1 Transporte de materia intramembrana. Düusi6n relativa al disolvente, e interacción con la membrana
Concentración de soluto
(proceso de diálisis)
término convectivo está ponderado por una relación de difusividades. Esta situación corresponde a la que se representa en la figura 24.5-1. La flecha que apunta hacia la derecha representa la difusión con respecto a1 disolvente, modificada por la interacción con la matriz, mientras que la flecha que apunta hacia la izquierda representa la "resistencia" de la membrana, que tiende a reducir el transporte con respecto a la convección que ocurre en ausencia de la matriz de la membrana, a saber, xA(NA+ NB).Nótese que, en general, en ambos lados de la membrana se encuentran capas límite para la transferencia de materia. Hay varias situaciones limitantes de interés. Si la interacción de la membrana con el soluto es muy débil, 8& >> BAB'Entonces,
que es exactamente la ley de Fick. Sin embargo, debe recordarse que tanto la concentración molar como la difusividad son las de la fase de la membrana. A continuación se considera una situación limitante, donde
y la distribución entre la membrana y la solución es lineal, de manera que
donde los subíndices e y m se refieren a las fases de la solución externa y de la membrana, respectivamente, y KD es el coeficiente de distribución para las dos fases. Así, puede escribirse
donde P = K$A,,~ / 8
se denomina permeabilidad de la membrana, y
Los subíndices hO y A$ se refieren a las concentraciones del soluto en los lados "corriente arriba" y "corriente abajo" de la membrana.
928 Capítulo 24
I
Otros mecanismos del transporte de materia
EJEMPLO24-5-2 ~
m
.
* %
Ultrafiltración y ósmosis inversa
Ahora considérense los procesos de filtración en los que se desea eliminar selectivamenteun disolvente con respecto a un soluto por medio de flujo impulsado por presión a través de uiia membrana que rechaza al soluto. Algunas aplicaciones de este hecho incluyen ultrafi1tracibn y ósmosis inversa, donde la primera está relacionada con solutos macromoleculares y la ma tiene que ver con solutos pequeños.14Formalmente, la microfiltración y la nanofiltraci,jn son semejantes, pero la naturaleza corpuscular de las entidades que se eliminan presenta complicaciones adicionales que no se desea abordar aqui.12 Desarrollar un marco de refeten. cia para describir el caudal de flujo del disolvente y la composición filtrada como funciones de la presión impulsara.
a.
Inevitablemente, parte del soluto se mueve a través de la membrana junto con el disolvente, como se indica en la figura 24.5-1, por lo que ahora es necesario considerar las ecuaciones de Maxwell-Stefan pasa ambas especies. Sin embargo, la filtración en la membrana es un proce so complicado que requiere bastante información para obtener una descripción a priori completa, de manera que como punto de partida se empieza con un repaso del comportamienta característico usando la figura 24.5-2. Ahí se muestran de manera esquemática tanto e1 flujo a través de la membrana, como la composición de la solución filtrada y las funciones de la caída de presión a través de la membrana. Primero se observa que el flujo aumenta con la caída de presión, lentamente, pero tendiendo de manera asintótica a una relación lineal, y que la asíntota cruza la línea de velocidad cero a una caída de presián finita, La relación de la concentración del soluto filtrado con respecto a la concentración de alimentación disminuye con el incremento de la caída de presión, desde la unidad hacia una asíntota,15 que a menudo es mucho menor que la unidad. El interés principal de esta breve introducción es explicar este comportamiento característico en términos de los comportamientos clave termodinámico y de transporte. Esta situación difiere fundamentalmente de la que acaba de describirse en cuanto a que ahora entra en juego la difusión de presión, y que la solución corriente abajo es producida por e1 transporte de materia a través de la membrana. Por tanto, la relación corriente abajo de soluto a disolvente es la misma que la relación de las velocidades de transferencia de materia correspondientes. Sin embargo, en el lado corriente abajo de la membrana no hay capa límite, y una práctica casi universal es usar una estructura compuesta. Estas membranas compuestas constan de una capa selectiva muy delgada sobre la cara corriente arriba, y una parte posterior comparativamente gruesa, altamente porosa y no selectiva que proporciona resistencia mecánica. La parte posterior puede ignorarse en este ejemplo.
4
'9
m
l.
4 3
30 3
Caída de presión a través de la membrana
Figura 24.5-2 Ultrafiltración: rechazo del flujo y el soluto.
R.J. Petersen, J. Membrane Sci., 83,Bl-150(1993). En realidad hay una disminución continua muy lenta de la concentración del soluto filtrado, incluso a caídas de presión muy altas, que resulta quizá debido a la compresión de la membrana. Sin embargo, aquí no se considera el estudio de este pequeiio efecto. l4 l5
524.5
Transporte de materia a través de membranas selectivamentepermeabtes
929
Se empieza por centrar la atención en el comportamiento intrarnembrana para el que las ecuaciones de MaxweI1-Stefan, modificadas a partir de la ecuación 24.5-4, asumen las formas
xsxw -(vw BSW
xw VT,) (RT h a w ) - cw vw Vp
-vs)+-=--"vW
B '
RT
(24.5-17)
cRT
Aquí los subíndices S y W se refieren af soluto y al disolvente parcialmente rechazados (que suele ser agua), respectivamente. Los términos x,V, se han sustituido por cuva/c a fin de hacer explícita la presencia de las fracciones volumétricas
Ademhs, el primer término del miembro derecho se ha vuelto a escribir como recordatorio de que la derivada representa el gradiente de la energía molar parcial libre
dz, = RTd In a,
(24.5-19)
cuya composición, temperatura y presión se mantienen constantes. Se empieza por analizar el comportamiento de flujo, para lo cual se suman las ecuaciones 24.5-16 y 24.5-17 a fin de obtener una relación enhe ia velocidad de transporte de las especies y un gradiente de presión intramembrana
El subíndice m sobre la presión es un recordatorio de que hasta el momento sólo se ha calculado la caída de presión dentro de la membrana. Aquí se ha sacado provecho de la ecuación de Gibbs-Duhem
zEadxa = O
(24.5-21)
u
y de que la suma de las fracciones volumétricas es igual a la unidad. Para obtener la diferencia directamente mensurable entre las presiones de la solución corriente arriba y corriente abajo, es necesario volver a la ecuación 24.5-6, que asume la f o m a
Al considerar el lado corriente amba de la membrana, por ejemplo, la ecuación 24.5-22 establece que para impulsar el soluto en contra de un incremento en la actividad termodinhmica se requiere una caída de presi6n finita a través de la interfase de la membrana. Así, la caída de presión mensurable a través de la membrana es
donde S es el grosor de la membrana, y
donde los subíndices O y S se refieren a los lados corriente arriba y corriente abajo de la membrana, respectivamente. Rara vez se conocen las presiones osmóticas a través de la membra-
930
Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia
m, pero son sustancidmente menores que los valores correspondientes de la solución se los problemas 24C.7 y 24C.8). En el estado actual de conocimiento, la ecuación 24.5-23 expli.
ca por qué hay una intercepción f i t a para el comportamiento asintótico de flujo, y una eliminación de las contribuciones de la membrana constituye un límite superior a dicha h. tercepción. También proporciona algo de conocimiento con respecto al comportamiento dentro de Ia membrana a partir de observaciones experimentales, pero no una prediccióna pio~i de la intercepción A continuación se elimina el gradiente de presión de la ecuación 24.5-16 con ayuda de la ecuación 24.5-20 N SC(~- S" W+ * ) - N w ( ~ + ~ ) = ~~5
w
d l n y dx, dlnx, dz
(24.5-2c>)
C@'WM
Esta expresión puede integrarse para obtener el perfil de concentración del soluto (veanse, por ejemplo, los problemas 24C.7 y 24C.8). En general, el perfil de concentración muestra pendiente crecientemente negativa en la dirección de flujo, y esta característica se hace m& pronunciada a medida que aumenta el caudal de flujo a través de la membrana, es decir, a medida que la caída de presión a bavés de la membrana se vuelve más grande. Para velocidades de flujo muy lentas, Ns y N, son relativamente pequeñas y la difusión es relativamente rápida. Sólo hay una pequeña disminución en la concentración del soluto a través de la membrana, y el resultado es el deficiente rechazo que se observa en la 2452 para bajas caídas de presión. Este comportamiento es sugerido por el perfil de concentración de flujo cero en la figura 24.5-1. Por otra parte, para velocidades de flujo muy altas, los gradientes de concentración grandes y la difusión es débil, excepto muy cerca del límite corriente abajo de la membrana, donde se desarrolla un gradiente de concentración negativo muy grande. Cerca del túnite corriente arriba, los dos términos de la densidad de flujo de materia son grandes en comparación con su diferencia,por lo que al calcular la relación de densidades de flujo de materia es posible despreciar los gradientes de concentración:
e
Las bases que justifican la exclusión del soluto se hacen evidentes ahora: 1.Exclusión termodinámica, definida por la relación x s / x w 2. Diferenciacion friccional, definida por las diferencias en los términos de interacción
con la membrana (Vs/VW)(~kM/%M). Ambos efectos se usan en la práctica y se ilustran en los problemas.
Membranas cargadas y exclusión de ~onnanl~
Ahora considérense membranas que contienen cargas inmovilizadas que consisten en geles polielectrolíticos. Estos geles contienen grupos iónicos repetidos con enlaces covalentes, como se representa en la figura 24.5-3. Así, el interior de la membrana puede considerarse corno una solución que contiene cargas fijas enlazadas espacialmente, contra-iones móviles, un elecirólito invasor y agua. Para facilitar las cosas, se supone que las cargas fijas son aniones, lo cual se indica por X-, y que los contra-iones son cationes, lo cual se indica por M+. La solución externa es M+X- acuosa, y proporciona el electrólito invasor M+X-. Demostrar cómo la pesen* cia de cargas fijas produce una exclusión del electrólito invasor. l6 H. Strathmann, "Electmdialysis,"Sección V en el Membrane Handbook (W.W.3. H o y K.K. Sirkar, compiladom)l Van Nosband Reinhold, Nueva York (1992).
s24.5
Transporte de materia a través de membranas selectivamente permeables
931
Figura 24.5-3 Membrana con intercambio de iones basado en un ácido suifónico.
Membrana
Estructura moledar
El sistema es dominado por el comportamiento en el límite de la membrana, por lo que se vuelve a Ia ecuación 24.5-6, escrita para el agua y para las sales S o MfX-. La expresión para el agua es
donde los subíndices e y m se refieren a la solución externa y la membrana, respectivamente. Debido a que la concentración del electrólito dentro.de la membrana siempre es superior que el externo, resultando así en una menor actividad química interna para el agua, el interior de la membrana está a una presión superior que la solución externa (véase, por ejemplo, el problema 24B.4). La ecuación correspondiente para la sal S produce
o bien,
Se concluye que
y en consecuencia, que la concentración de sal en la fase de la membrana es menor que en la solución. Esta supresion del electrólito invasor por la presencia de cargas fijas se denomina exclusión de Donnan (véase el problema 246.3). La preponderancia de contra-iones, aquí M', en el interior de la membrana, tiende a hacer que éstos se difundan fuera hacia la solución externa, mientras que los co-iones, aquí X-, tienden a difundirse hacia el interior de la membrana. El resultado es el desarrollo de una diferencia de potencial eléctrico entre la membrana y la solución externa. Ésta se estima normalmente, despreciando los efectos osmóticos y suponiendo coeficientes de actividad iguales a la unidad, como $+,,-+e
=
(2;) :M: ln-
932 Capitulo 24
&os mecanismos del transporte de materia Las ecuaciones 24.5-27 a 24.5-30también son válidas para las relaciones entre soluciones que
están en lados opuestos de una membrana que contiene en un lado un soluto parcialmente excluido, que ahora corresponde a la fase de la membrana del desarroilo anterior. La ecua. ción 24.5-31 se usa a menudo cuando se carece de conocimiento de los efectos despreciados. Así, la ecuación 24.5-31 es ampliamente usada, en particular por los biólogos para expli. car el origen de los potenciales ubicuos observados a trav6s de membranas biolÓgica~.~l sin embargo, los medios por los cuales éstas pueden producir y controlar la selectividad de los iones son extremadamente complicados y apenas están comenzando a
524.6"
TRANSPORTE DE MATERIA EN MEDIOS POROSOS Los medios porosos son importantes en muchas aplicaciones de transferencia de materia, algunas de las cuales, como la catálisis,l ya se han mencionado en este texy exhiben una amplia gama de morf~logías.~#~ Los procesos de adsorción, to (§18.7), como la cromatografía, suelen llevarse a cabo en lechos granulares y las mismas partículas absorbentes a menudo son sólidos porosos. La recuperación secundaria de petróleo crudo suele implicar la transferencia de materia en roca porosa, y el secado por congelación o liofiliuzción de alimentos y productos famaduticos4 depende del transporte de vapor de agua a través de una capa porosa de sólidos secos. Procesos de transporte relacionados ocurren a lo largo del gran campo de tecnología de partículas: y, como ya se indicó en 524.5, algunas membranas pueden considerarse co mo estructuras microporosas. Éstas abundan en organismos vivos y contribuyen de manera importante a la distribución de agua y soluto? El análisis de sólidos porosos también cierra el círculo, conduciendo de vuelta al análisis de transferencia de cantidad de movimiento con el que empezó este texto. Muchos de los modelos usados para describir transferencia de materia en me dios porosos son hidrodinárnicos en su origen, y algunas veces los conceptos de transferencia de materia y transferencia de cantidad de movimiento se vuelven confusos. La predicción de1 transporte de líquidos y gases en medios porosos es un problema dificil y desafiante; por tanto, no se dispone de una teoría completamente satisfactoria. La materia es transportada en un medio poroso por una variedad de mecanismos: i) por difusión ordinaria, descrita por las ecuaciones de Maxwell-Ste fan; ii) por difusión de Knudsen; iii) por flujo viscoso según Ia ecuación de HagenPoiseuille; iv) por difusión superficial,es decir, la reptancia de moléculas adsorbidas a lo largo de las superficies de los poros; v) por transpiración térmica, que es el análogo térmico del deslizamiento viscoso; y vi) por difusión térmica. En este análisis se desprecian los tres últimos mecanismos.
''
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924.6
Transporte de materia en medios porosos 933
Este problema ha sido atacado por muchos investigadores,6 y resumido por otros.7Aquí se proporcionan los multados más importantes de su trabajo. Los modelos disponibles se basan en canales ciündricos o en agregados de partículas esferoidales, y aquí se revisarán algunos ejemplos representativos. El análisis también se restringir6 a dos situaciones limitantes en el interior de los p o m de la matriz sólida: i) Flujo de gases libre de molécutas, donde los diámetros molecularec son cortos y las trayectorias Libres medias con largas con respecto a las dimensiones características de los poros. En estas condiciones no hay una interacción importante entre las especies intraporos.
ii) Flujo continuo de gases o líquidos, donde tanto los diámetros como las separaciones de las moléculas intraporos son cortos en comparación con las dimensiones del poro. Aquí el fluido intraporo puede describirse por la teoría hidrodinámica generalizada? y es posible usar las ecuaciones generalizadas de MaxweU-Stefan para difusión con varias componentes.
También hay fenómenos de transporte de gases, denominados fenómenos de flujo deslizante, donde las trayectorias libres medias son comparables con las dimensiones del poro? pero que no se abordarán aquí.
Transporte libre de moléculas
El transporte de gases rarificados es un ejemplo de flujo de Knudsen, que ya se presentó en el problema 28.9. Para un largo tubo capilar de radio a, la fórmula de Knudsen asume la forma
Aquí pA es la presión parcial de la especie A en cualquier mezcla. Nótese que la ecuación 24.6-1 establece que el transporte de cualquier especie individual en estas condiciones limitantes no es afectado por la presencia de otras especies. Así, la velocidad de flujo molar total W Aen un tubo es proporcional aI cubo del radio del tubo y al inverso de la raíz cuadrada del peso molecular. Esta dependencia con respecto al peso molecular se conoce como ley de Graham. La ecuación 24.6-1 puede volver a escribirse como
J. Hoophagen, J. Chem. Phys., 21,2096 (1953), W . Eng. C h . , 47,906-913 (1955);D.S. Ccott y F.A.L. DuIiien, AlChE J o u m l , 8,113-117(1962);L.B. Rothfeld, AlChE ]oumal, 9,19-24(1963);P.L. Siveston,AlChE lournal, 10,132-133 (1964); R.D. Gunn y C.J. King, AIChE louml, 15,507-514(1969);C.Feng y W.E.Stewart, Ind. E q . Chem. Fund.,12,143147 (1973);C.F.Feng, V.V.Kostruv y W.E.Stewart, Ind. Eng. Ulem. Fund., 13,5-9(1974). E.A. Mason y RB. Evans,iü, J. Chnn, Ed,,46,343-364 (1969);R.B. Evans iíi, L.D. Love y E.A. Mason 1. Chem. Ed.,46,423427 (1969);R. Jackson, Transport in Pmw Cotolyts, Eisevier,Amsterdarn (1977); R.E. CunrUngham y R.J.J. Williarns, D i j i i s m in Grises and Pomus Medin, Plenim, Tres, Nuwa York (1960); en el capitulo 6 de este libro se proporciona un resumen de la historia del tema de La d i b i ú r ~ . a E.N.Lightfoot, J.B. Bassqthwaighte y E.F. Grabowski, Ann. B w d . Eng., 4,7&90 (1976). R Jad
'
934 Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia
DAK.
que define la "difusividad de Knudsen" Sin embargo, esto debe considerarse como una difusividad binaria para la especie A con respecto al medio poroso que no es consistente con la ley de Fick, debido a que la densidad de flujo molar no con. tiene término convectivo. Como resultado, DAKno es una propiedad de estado, conteniendo como se observa, el radio a del tubo. Para permitir la naturaleza tortuosa de los canales en un medio poroso y el área limitada de la sección tram. versal disponible para flujo, la expresión de la densidad de flujo debe modificarse aún más escribiendo
donde
y (NA) es la densidad de flujo molar basada en la sección transversal total del medio poroso. En esta expresión E es el espacio fraccionario libre en el material poroso, y T es un factor de tortuosidad. Aunque existen modelo^^^,^^ para estimar la magnitud de T, por lo común éste debe determinarse experimentalmente.ll Como una alternativa de la ecuación 24.6-4 para la difusividad efectiva de Knudsen, el agregado puede tratarse como una colección de grandes esferas inmóviles (o "mol~culasgaseosas gigantes") y usar la teoría cinética de Chapman-Enskog.12 En el problema 24B.6 se muestra que este método conduce a predicciones muy semejantes a las de la ecuación 24.6-4. Se tiene una extraordinaria insensibilidad al modelo.
Difusión de Knrrdsen
Dos depósitos grandes bien mezclados, cada uno de volumen V, están unidos por un ducto corto de longitud L y cuya sección transversal tiene un área S, llena de un sólido poroso según se indica en la figura 24.6-1. Inicialmente, el depósito 1 está lleno de hidrógeno a presión uniforme po y el depósito 2 está lleno de nitrógeno, también a po, Todo el sistema se mantiene a temperatura constante. En el tiempo t = O se abre una pequeña válvula en el dudo y se deja que los dos depósitos se equilibren entre sí. Desarrollar una expresión para la presión total en cada depósito como una función del tiempo, suponiendo que el flujo de cada gas a través de1 ducto de conexión sigue la ecuación 24.6-1 y que en todo el sistema se cumple la ley de los gases ideales.
Empieza por suponerse comportamiento en estado casi estacionario en el ducto, de manera que, para cualquier gas, la velocidad de transferencia del depósito 1 al depósito 2 está dad a por
W.E. Stewart y M.F.L. Johnson,J. Cafalysis, 4,246-252 (1965). J.B. Butt, Reaction Kinetics and Reactor Deslgn, 2a. edición, Marcel Dekker, Nueva York (1999), p. 5W,tabla 7.4 l2 R.B. Evans 111, G.M. Watson y E.A. Mason,J. Chem. Phys., 35,2076-2083(1961).
ID
l'
524.6 Transporte de materia en medios porosos 935 donde WA es la velocidad de flujo molar de la especie A (nitrógeno o hidrógeno) y a es el radio efectivo de los poros en el tapón que une ambos depósitos. Luego, al aplicar un balance macroscópico de materia al depósito 2 se obtiene
o bien,
Después, un balance de materia sobre todo el sistema lleva a
Las condiciones iniciales son que para el instante t = 0,
Estas condiciones iniciales completan la especificación del comportamiento del sistema, y se observa que las distribuciones de los dos gases son independientes entre sí. Para el nitrógmo pueden definirse las variables adimensionales iC, = p N / p o y r = (RTKN/V)t.Luego, para el nitrógeno en el compartimiento 2 la ecuación 24.6-7 puede escribirse como
con la condición inicial iIN2(0)= 1. Entonces, la soluci6n de este problema es
-
Para el hidrógeno se observa que KH = J28/2KN .= 3.74KN.Por tanto, la ecuación diferencial para el hidrógeno es d'~2 d7
- 3.74(4(1 2 $ H 2 )
1.3
(24.6-12)
Tubo de conexión lleno de un sólido proso
i 'Z
4m l.'1.0 9
0.9 0.8 0.7 1
o
1
1
1
1
2 Tiempo adimensional, r
Figura 24.6-1 Flujo de Knudsen.
3
4
Dos depbsitos Interconectados,cada uno de volumen V
936 Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia
con la condición inicial t,úM(0)= O. Entonces, la solución de la ecuación diferencial es
La gráfica de los resultados se muestra en la figura 24.6-1. La relación N A / N , = - dM,/M de densidades de flujo molar aquí obtenida fue observada por vez primera por Grahaml&en 1833y fue redescubierta por Hoogschagen6en 19%. Aunque aquí se dedujo para flujo de Knudsen, esta relación también es válida para difusión isobkica bastante fuera de La región de Knudsen. Ha sido deducida por varios investigadores a partir de la teoria cinbtica y se ha comprobado experimentalmente en tubos y medios porosos6,7,13,14 hasta relaciones muy grandes de ancho de pasaje a trayectoria Libre media. la tabla 24.6-1 se muestran dos conjuntos de datos que confirman lo anterior. En ambos conjuntos de e~~erirnentos,l~,~* se us6 un aparato semejante al de la figura 24.6-1, y varios gases de prueba se usaron contra aire. Las relaciones de densidades de flujo NW/Na, eran vals res iniciales, cuando cada depósito s61o contenía aire o el gas de prueba.
Transporte continuo Hasta la fecha, el modelado mecánico de fluidos del transporte intraporos se ha limitado a soluciones binarias donde las moléculas del constituyente minoritario (soluto) son grandes en comparación con las del disolvente. Los modelos para esta situación se basan en la teoría de Ia difusión hidrodinámica extendida a estructuras
Tabla 24.6-1 Verificación experimental de la ley de Graham [T. Graham, Phil. Mug., 2, 175, 269,351 (1833); E.A. Macon y B. Kronstadt, IMP-ARO(D)-12, University of Maryland, Institute for Molecular Physics, 20 de marzo de 19671. N,,S/Naire
Gas
Grahama
Mason y Kronstadtb
l 3 T. Graham, Phil Mag.,2,175,269,351 (18.33). Thomas Graham (18051869), hijo de un pr6spero fabricante, asistió a la universidad de Glasgav de 1819 a 1826; en 1837 fue designado profesor de química en el University Conqe, Londres, se hizo rniembm de la Roya1 Society en 1834 y el mismo afio fue nombrado dwctor de la casa de moneda. E.A. Mason y B. Kronstadt, iMF'-ARO(Dtl2, University of M a r y h d , institute for M o l e d a r Physics, 20 de mano de 1967.
s24.6
Transporte de materia en medios porosos
937
p o r ~ s a sLas . ~ descripciones se obtienen resolviendo las ecuaciones de movimiento de flujo reptante para esferas (que representan el soluto) a través de un continuo (que representa el disolvente) en canales cerrados.15Efectos importantes incluyen la exclusión parcial del soluto en la enh-ada del canal y Ia inleracción selectiva con la pared del canal. Los resultados a la fecha están limitados a solutos simples, aunque el rápido desarrollo de técnicas cornputa~ionales~~ debe permitir la extensión a sistemas más complejos. Para membranas microporosas pueden usarse cálculos de difusión hidrodinámica, pero sólo si entre los solutos y las paredes del poro no hay fuerzas intermoleculares importantes. El modelado de flujo viscoso en estos sistemas ya se analizó en s.4,y una práctica común es describir este flujo, para los números de Reynolds de mayor interés aquí, mediante la expresión de Blake-Kozeny (ecuación 6.49) [sin embargo, véanse las obras de fiodes5 (capítulo 5), Sahimi2(capítulo 6) y Stan6k2(capitulo 3)]:
Aquí vo es la velocidad superficial media de materia. Nótese, con base en el análisis de 519.2, que la velocidad usada aquí es la velocidad media de materia del fluido a través del material poroso. Para obtener descripciones macroscópicas pueden usarse las ecuaciones generalizadas de Maxwell-Stefan (ecuación24.5-4), y el análisis se restringirá a flujo impulsado por la concentración y por la presión. Además, cuando las especies móviles son pequeñas con respecto a las dimensiones del poro, las condiciones límite se sirnplificm a la continuidad de la concentración y la presión de las especies en la interfase entre el fluido externo e "jntraporo".
Transporte desde una solución binaria externa
Simplificar las ecuaciones de Maxwell-Stefan para la difusión de una solución binaria diluida, de una gran especie de soluto A en un disolvente B, a través de un medio macroporoso M, una rnahiz con poros grandes en comparación con los diámetros de ambas especies móviles, pero tan pequeños que los gradientes de concentración lateral en el interior de cada poro pueden despreciarse.
Se empieza por determinar X a relación presión-flujo y se observa que hay dos formas para hacer esto: la ecuación de Blake-Kozeny (ecuación 24.6-14) y el resultado basado en la difusión (ecuación 24.5-20) de la sección previa. Para altas velocidades a través del material poroso y poros grandes con respecto a las dimensiones moleculares, la velocidad media de materia debe ser proporcional al gradiente de presión, y puede suponerse que la ecuación de Blake-Kozeny rige el flujo. Se empieza For volver a escribir la ecuación 24.6-14 como
l5 l6
(1991).
Z.-Y Yan, S.Wcinbaum y R. Pfeffer, 1. Fluid Mech., 162,415-438 (1986). s. y S J. Karrjla, Mimhydrodynarnics: Principies and Selected Applicirtiom, Buttemorth-Heinemann, Boston
938
Capítulo 24 Otros mecanismos del transporte de materia y la ecuación 24.5-20 como
Luego, al igualar los coeficientes de V A y vg en estas dos ecuaciones se obtienen descripciones de Q b y BBM, respectivamente. Si los poros son pequeños con respecto a las dimensiones molecdares y la velocidad media de materia no es grande con respecto a las velocidades por difusi6n va - v, aún se está en una región de flujo mal estudiada, por lo que es necesario R. currir a la experimentación o a un modelo molecular apropiado.17 Para determinar la velocidad de transporte del soluto, se vuelve a la ecuación 24.5-25, pero se o b m a que las difusiuidades de esa sección ya incluyen elfactor & / T . Ahora bien, si las &mensiones del poro son muy grandes con respecto a los diámetros efectivos de las moléculas de soluto y disolvente, la relación QAB/Qh es muy pequeña. Así puede obtenerse
donde el supraíndice ext se refiere a condiciones en la solución externa de la misma composicibn que el fluido del poro. Al mismo tiempo, la ecuación 24.6-17 puede volver a escribirse como N A = - c ( E / T ext ) ~V~x A~
+ X A ( N A +N')
(24.6-19)
que es la primera ley de Fick modificada para fracción de huecos y tortuosidad. Se usa en forma amplia. Exactamente como es el caso para fluidos sin confinar, no es posible determinar flujo neto o caida de presión, sólo de consideraciones a partir de difusión. Se requiere una relación de densidade; de flujo o algo equivalente. Un ejemplo específico se encuentra en el secado por congelación, donde vapor de agua debe difundirse a través de una región porosa de un sólido seco y donde los gases inertes pueden suponerse estancados. Esta región tambi6n es interesante en el sentido de que las condiciones pueden variar desde difusión sencilla en un continuo, como aquí, a través de la región de flujo deslizante y hacia la región de ~ n u d s e n . ~ ~ Debe recordarse que la ecuación 24.6-19 y las ecuaciones que conducen a ésta sólo representan el efecto directo de la difusión molecular. La dispersión convectiva resultante de la mezcla entre partículas y desviaciones locales con respecto al flujo rectilíneo debe agregarse cuando se utilice la ecuación convectiva promediada con respecto al volumen (véase 520.5, 95.2.5 de Butt12 y 513.2 de ~ e v e n s ~ i e l ' ~ ) .
PREGUNTAS PARA D I S C U S I ~ N 1. ¿Cómo debe complementarse la termodinámica en equilibrio para estudiar sistemas en no
equilibrio, como los que implican gradientes de velocidad, temperatura y concentración? 2. ¿Qué nuevos coeficientes de transporte surgen en mezclas con varias componentes y qué deccriben? 3. ¿En qué medida explica este capítulo el origen de la ecuación 19.3-3?Esa ecuación, jes completamente correcta? l7 Z.-Y
Yan, S. Weinbaum y R.Pfeffer, 1. Fluid Mech., 162,415-438(1986).
Problemas 939 4. ¿La ecuación 24.16 es realmente el punto de partida para la deducción de las expresiones completas para las densidades de flujo? Analice su origen. 5. ¿Cómo se definen el coeficiente de difusión térmica, la relación de difusión térmica y el coeficiente de Soret? 'Es posible pronosticar de antemano los signos de estas cantidades? 6. ¿Cómo es posible empezar con la ecuación 24.2-8 y obtener la ecuación 17.9-l? ¿Qué restricciones deben imponerse a la ecuación 17.9-l? 7. ¿Cuál es la fuerza impulsora apropiada para la difusión: el gradiente de la concentración, el gradiente de la actividad o alguna otra cantidad? 8. Analizar la columna de Clusius-DickeI para la separación de isótopos. 9. Para describir la operación en estado estacionario de una uitracentrifügadora no es necesario conocer ninguna de las propiedades de transporte. ¿Esto parece extraño? 10. ¿Qué fenómenos físicos diversos es necesario entender para describir la difusión en medios porosos?
PROBLEMAS
24A.1 Difusión térmica.
a) Estimar la separación en estado estacionariode H2y D2que ocurre en el aparato simple de difusión Mrmica que se muestra en la figura 24.2-1 en las siguientes condiciones: TIes 200K, Tz es 600K,la fracción molar del deuterio es inicialmente 0.10 y la media efectiva kT es 0.0166.
b) ¿A qué temperatura debe evaluarse esta media kT? Respuestas: a ) La fracción molar de H2 es superior por 0.0183 en la bombilla caliente
b) 330K 24A.2 Ultracentrihigado de proteínas. Estimar el perfil de concentración en estado estacionario cuando una solución típica de albúmina se somete a un campo centrífugo igual a 50,000veces la fuerza de gravedad en las condiciones siguientes: Longitud de la célula = 1.0 cm Peso molecular de la albúmina = 45,000 Densidad aparente de la albúmina en la solución = M ~ / I=/ 1.34 ~ g/cm3 Fracción molar de la albúmina (en z = O), xAo= 5 5 Densidad aparente del agua en la soIución = 1.00 !g/un3 Temperatura = 75 "F Respuesta: xA = 5 X loA6exp(-22.721, con z en cm 24A.3 Difusividades iónicas. Las conductancias iónicas equivalentes limitantes (es decir, para concentración igual a cero), en dimensiones de cm2/ohm - equiv-g para los siguientes iones a 25 "C son:' Na+, 50.10; K+, 73.5; C1-, 76.35. Calcular las difusividades iónicas correspondientes a partir de la definición
Nótese que F = 96,500 coulombs/equiv-g, RT/F = 25.692 mv a 25 "C y 1 coulomb = 1ampere s. 248.1 Las dimensiones d e la fuerza d e Lorentz. Demostrar cómo la fuerza de Lorentz cobre una carga que se mueve a través de un campo magnético corresponde al primer término agregado a la da lineal de la ecuación 25.4-50 y proporciona un conjunto consistente de unidades
para esta cantidad. Sugerencia: nótese que cRTda representa la fuerza móvil para el movimiento por difusión de la especie a por unidad de volumen y que las dimensiones de costumbre para la inducción magnética son 1 weber = 1newton-segundo/coulomb-metro. -
-
-
-
-
-
-
' R.A. Robinson y R.H. Stokes, Electmlyte Solufwns, edia6n ~visada,Buttenvorths, Londres (1965), tabla 6.1
-
940 Capíhilo 24 Otros mecanismos del transporte de materia
24B.2 Potenciales de unión. Considérense dos depósitos bien mezclados de sal acuosa a 25 "C, a mo en la figura 24.4-2, separados por una regibn estancada. Las concentraciones de sal 1.0 N a la izquierda (1)y 0.1 N a la derecha (2). Estimar los potenciales de unión para NaQ y para KCI usando las difusividades iónicas del problema 244.3. Supóngase que los coefiUerites de actividad iónica son constantes. ¿Qué compartimiento es más positivo? ¿Por qué? 24B.3 Exclusión de Donnan. La membrana de &ido sulfónico utilizada por Ccattergood2tenía la si. guiente composición interna en equilibrio cuando se sumergía en 0.3 N de NaC1:
Bolímero de ácido sulfónico orgánico
*wa
Ion cloruro Ion sodio
cx- = 1.03 equiv-g/litro c, = 13.2 equiv-g/litro c,- = 0.001 equiv-g/litro cNa+= 1.031 equiv-g/litro
Calcular el coeficiente de distribución del cloruro de sodio
Nótese que la concentración de agua en la solución externa es aproximadamente de 55.5 gm01/ litro.
Respuesta: 0.633 24B.4 Presión osm6tica. El agua marina típica, que contiene 3.45% en peso de sales diluidas, tiene una presión de vapor 1.84% por abajo de la del agua pura. Estimar ia presión mínima posible a través de la membrana necesaria para producir agua pura, si la membrana es idealmente selectiva.
Respuesta: aproximadamente 25 atm 24B,5 Permeabilidad de una membrana de filtración perfectamente selectiva. Obtener una expresión para la permeabilidad hidráulica de la membrana perfectamente selectiva, descrita en el ejemplo 22.8-5,en términos de los parámetros de difusión que se introdujeron en 524.5.
Respuesta: KH = Brm/RT¿S, donde 6 es el grosor de la membrana 24B.6 Insensibilidad al modelo. Al modelar un medio poroso como una red paralela de canales, debe tomarse en cuenta la naturaleza tortuosa ("tortuosidad" 7)de los sistemas reales y también la restricción del transporte a la fracción E de la sección transversal disponible para el flujo. Así, la ecuación 24.6-3 debe modificarse a
Un método alternativo es considerar el proceso de transporte como la difusión de la especie A a través de un conjunto inmóvil de moléculas gigantes3 (estas partículas comprenden el medio poroso). Este modelo conduce a la expresión
Comparar estas dos ecuaciones para 6 = 0.6.
E.M. Scattergood y E.N. Lightfoot, Traans. Furduy Soc., 64,1135-1146 (1968). R.B. Evans, 111, G.M. Watson y E.A.Mason, 1. Chem. Phys., 35,20762083 (1961).
Problemas 941 24C.1 Exp*siones para la densidad de flujo de materia.
Mostrar cómo transformar el miembro izquierdo de la ecuación 24.2-8 en el miembro izquierdo de la ecuacibn 24.2-9. Primero volver a escribir la primera como sigue: a)
Reesuibir el segundo término como una operación suma cobre todas las B y luego sumar un término para compensar la modificación de la operación suma. Nótese que este cambio introdujo en la operación suma un t6rmino que contiene Qaa, que no se había definido porque no era necesario. Ahora es posible definir Bm como se quiera, y aquí se decide hacerlo como
%=-$E
N 1
Qaa
6-1 *u,
N
obien, B=~B~B
-=O x~
Esta elección permite obtener el miembro izquierdo de la ecuación 24.2-9; también la relaa ó n auxjiiar proporcionada después de la ecuación 24.2-9 es, de hecho, justamente La ecuación 24C.1-3 que acaba de escribirse.
b) Luego, repetir la deducción anterior sustituyendo vp por [vS + (D;/~@)V ln T] y verificar que tanto los términos de difusión como los términos de difución térmica de la ecuación 24.28 pueden transformarse en los términos correspondientes en la ecuación 24.2-9. 24C.2 Centrifugado diferencial. La lisis (destrucción)de c6lulas E. coli ha producido una suspensión de cuerpos de inclusión, agregados fuertemente insolubles de una proteína deseada, células no Lisadas y proteínas no deseadas disueltas. Para los efectos de este problema, todas las anteriores pueden considerarse como esferas cuyas propiedades se indican a continuación. Céldas Masa o equivalente Densidad (g/ml)
1.89 x
1.07
g
Cuerpos de inclusión
Proteínas
232 X 10-13 g
50 kilodaltons
1.3
1.3
¿Pueden separarse estos materiales de manera efectiva por centrifugaaón? Explicar la respuesta. 24C.3 Características de transporte del cloruro de sodio. En la tabla que acompaña a este problemal se proporcionan coeficientes de actividad equivalentes de conductancia, ditúsividad y actividad termodinámica del cloruro de sodio a 25 "C. h s dos primeros se proporcionan como funciones de la molaridad (M), y el tercero para molalidad (m). Para efectos de este problema puede suponerse que M / m = 1 - 0.OI9m. Las conductancias equivalentes iónicas limitantes (es decir, para disolución infinita) son 50.10 y 76.35,respectivamente. A su vez, la conductancia equivalente de la sal se define como
donde la conductancia especifica Kap = L/AR, donde R es la resistencia de un volumen de solución de longitud L y área A de la sección transversal. Usar estos datos para analizar la sensibilidad del comportamiento de la solución con respecto a las tres difusividades QNa+,W' 49CI-,W y necesarias para describir esta respuesta a la concentración de la solucion.
-
942 Capítulo 24 Otros mecanismos del transporte de materia
Características electroquímicas de una solución acuosa de NaCl a 25 "C Concentración molar
Conductancia equivalente (cm2/equiv-ohm)
Difusividad cm2/s X 16
Concentración molal
Coeficiente de actividad
24C.4 Desviaciones con respecto a la electroneutralidad. Siguiendo a Newman, estimar las desvia-
ciones con respecto a la electroneutralidad en la región de estancamiento entre los depósitos del problema 248.2 como sigue. Primero, calcular el gradiente del campo eléctrico d2d/ds, donde z es la distancia medida desde el depósito 1hasta el depbito 2, suponiendo que la concentraci6n de la sal en g-mol/litro está dada por
donde L es la longitud de la región de estancamiento. Luego, escribir el resultado en la ecuaci6n de Poisson
Aquí E es la constante dieléctrica, y F / E puede tomarse como 1.392 x 1016volt-crn/eq~iv-g (véase Newman? pp. 74 y 256), que corresponde a una constante dielbctrica relativa de 78.303. Para este problema, la operación suma se reduce a (c, - c-). 'J.S. Newman, EElecfrochemical Systems, 2a. edici6n Prentice-Hall, Nueva York (1991), p.256.
Problemas 943 24C.5 Fuenas impulsoras dielectroforéticas. Cuando a través de un medio no conductor sin carga
se impone un potencial eléctrico, puede escribirse
donde E es la constante dieléctrica. Demostrar cómo puede usarse esta ecuación para calcular la distribución del campo eléctrico E en la región entre dos electrodos metálicos cilíndricos coaxiales de radios externo R2 e interno R1,respectivamente. Es posible despreciar las variaciones en la constante dieléctrica. ¿Hacia qué electrodo migrarán las partículas de tendencia positiva y cómo variará su velocidad de migración con la posición? 24C.6 Efectos de pequeñas inclusiones en un medio dielectrico. La producción de no linealidades
de campo debido a partículas incrustadas puede ilustrarse al considerar el caso limitante de una simple partícula de radio R en un campo que de otra forma es uniforme. La distribución de campo tanto en el medio externo como en la particula está definida por la ecuación de Laplace, V24 = O, y por la condición límite sobre la superficie de la esfera (S y c indican "esfera" y "medio continuo")
DesarroUar expresiones para
dCy
si q5c -t Ar cos B para r grande.
24C.7 Filtraci6n selectiva inducida por fricción. Describir el comportamiento de rechazo a la glu-
cosa de un celofán5&que no presenta rechazo termodinámico. Puede suponerse que la fracción molar de la glucosa en la alimentación a la membrana es 0.01, así como las propiedades siguientes:
Aquí los subíndices g, w y m se refieren a glucosa, agua y matriz de la membrana, respeciivamente.
Respuesta parcial: la fracción molar limitante del flujo alto del azúcar en el filtrado es 0.00242. 24C.8 Filtración selectiva inducida termodinámicamente. Describir el comportamiento de la mem-
brana hipotética para la - cual - KD = 1.0, los coeficientes de actividad del soluto son iguales a la unidad y Qk/Gh= V,/V,.
Respuesta parcial: la concentración limitante del producto soluto al flujo alto es 0.1 veces la que hay en la alimentación. 24C.9 Transporte facilitado. Considérese aquí el transporte de un soluto S a través de una membrana homogénea desde una solución externa hasta otra como un complejo CS con un portador C incapaz de salir de la fase de membrana. El soluto S puede considerarse como insoluble
en la membrana, y la convección puede despreciarse (vease la figura 24C.9).Además, supóngase que: 1. En las dos superficies de la membrana hay equilibrio según
donde la concentración de S es la de la solución externa, y la de C y CS están en la membra~~a.~ B.Z. Ginzburg y A. Katchalsky, J. Gen.Physiol., 47,403-418 (1963). T.G.Kaufmam y E.F. Leonard, AIChE /ournal, 14,11&117 (1968). Véase, sin embargo, la obra de J.D. Goddard, J.C. Schultz y R.J. Basset, C h . Eng. Sci., 25,665685 (1970),así como la de W.D. Stein, The M o m t of Molecules rrcrffis Cell Membranes, Academic P-, Nueva York (1984). 5
944
Capítulo 24
Otros mecanismos del transporte de materia
I
Membrana
I
t 3 !i 8
U
Distancia
-
Figura 24C.9 Transporte facilitado elementahente, Perfiles de concentración para el soluto (S), el portador (C) y el complejo (CS).
2. Tanto C como CS siguen la sencilla exprwión de velocidad Ni = Di,Aci.
Obtener una expresi6n general para la velocidad de transporte de S en términos de la cm& dad total de portador más complejo portador presente en la membrana, las concenb.acionm de la solución de S, la cantidad KD y las difusividades. ¿Cuál es la velocidad máxima de @mporte de S (es decir, a medida que su concentración a la izquierda del diagrama se vuelve muy alta y la de Ia derecha es cero)?
24D.1 Densidad de flujo de entropía y producción de entropía.
a) Verificar que las ecuaciones 24.1-3 y 24.1-4se concluyen a partir de las ecuaciones 24.1-1y 24.1-2. b) Demostrar que a partir de las ecuaciones 21.4-5 a 21.4-8 es posible llegar a las ecuaciones 24.1-3 y 24.1-4. Para hacerlo, puede ser necesario usar una forma de la ecuación de Gibbc-hhem,
Epílogo
De todos los mensajes que hemos intentado transmitir en este largo texto, el m6s importante es reconocer el papel fundamental de las ecuaciones de variacibn, desarrolladas en los capítulos 3/11y 19. Escritas a nivel del continuo microscópico, constituyen el vinculo crucial entre los muy complicados movimientos de moléculas individuales y el comportamiento observable de la mayor parte de los sistemas que revisten interés desde el punto de vista de la ingeniería. También pueden usarse para determinar el perfil de velocidad, presión, temperatura y concentración, así como las densidades de flujo de cantidad de movimiento, energía y materia, incluso en sistemas complicados dependientes del tiempo. Con aplicables a sistemas turbulentos, y aun cuando se demuestra que no son factibles soluciones completas a priori, simplifican el uso eficiente de los datos mediante el análisis dimensional. Las formas integradas de las ecuaciones de variación proporcionan los balances macroscógicos. Ahora bien, ningún texto introductorio puede satisfacer las necesidades de todos los lectores. Por tanto, hemos intentado proporcionar una base sólida de los cimientos necesarios para abordar de una fonna inteligente aplicaciones de fenómenos de transporte que en la actualidad se consideran imprevistas. También hemos proporcionado bastantes referencias bibliográficas de fuentes donde es posible encontrar información adicional. Algunas de estas fuentes contienen datos especializados o introducen técnicas poderosas para recoIver problemas. Otras muestran la forma en que es posible incorporar el análisis de transporte al diseño de equipo y procesos. Por consiguiente, nos hemos concentrado en ejemplos relativamente sencillos que ilustran las características de las ecuaciones de variación y los tipos de pregunta que éstas pueden responder. Lo anterior ha requerido omitir en gran medida las muy poderosas técnicas numéricas disponibles para resolver problemas difíciles. Por fortuna, hoy se dispone de numerosas monografis sobre técnicas numéricas y paquetes de programas de mayor o menor generalidad. También se cuenta con programas de graficación, que simplifican en gran medida la presentaci6n de datos y las simulaciones. Así mismo, hay que reconocer que la teoría molecular de fenómenos de transporte ha tenido importantes avances, desde técnicas mejoradas para pronosticar las propiedades de transporte hasta el desarrollo de nuevos materiales. La dinámica moIecular y las técnicas de simulación de la dinámica del movimiento b~owniarroestán resdtando ser muy poderosas para comprender sistemas tan variados como gases a ultra baja densidad, películas delgadas, poros pequeños, interfases, coloides y líquidos poliméricos. Se han incluido algunos modelos de transporfe turbulento, aunque éstos sólo constituyen una modesta introducción a un gran e importante campo de estudio. Para áreas especializadas se han desarrollado técnicas bastante sofisticadas, como el pronóstico de fuerzas y momentos de torsión en aviones, los procesos de combustión en automóviles y el desempeño de mezcladores de fluidos. Esperamos que el lector interesado no se conforme con nuestro análisis introductorio tan limitado. Por otra parte, hemos ampliado bastante nuestra cobertura defenómenos de capa límite, debido a que su importancia y capacidad se están reconociendo en muchas aplicaciones. Antaño consideradas primordialmentepertenecientes al dominio de la aerodinámica, las técnicas de capa b i t e se usan ahora en muchos campos de transmisión de calor y transferencia de materia, así como en mecánica de fluidos. Con
946 Epílogo
abundantes las aplicaciones en campos tan diversos como catálisis, procesos de se. paración y biologia. El comportamiento no nmtoniano, cuya importancia es cada vez mayor, puede encontrarse en la preparación y uso de películas, lubricantes, adhesivos, suspensionec y emulsiones. Los ejemplos en el terreno de la biología son extremadamente impar.. tantes y varían desde la operación de las articulaciones hasta los lirnos reductorec de resistencia en animales marinos, pasando por el tema tan fundamental de la di. gestión de alimentos. Ninguna comunicación musical y oral sería posible sin elj7ujo compresible, ha que se ha omitido debido a limitaciones de espacio. Este tipo de flujo también reviste una importancia crítica en el diseño de aviones, vehículos de reingreso en el programa espacial y en el pronóstico de fenómenos meteorológicos. El impresionante poder destructivo de los tomados es un desafiante ejemplo de este último. Se presentaron algunos problemas que implican fenómenos de transporte en sistemas químicamente reactivos. Para facilitar las cosas, las expresiones de la cinética química se tomaron en forma más bien idealizada. Para problemas de combusti6n, propagación de flamas y fenómenos explosivos se requieren descripciones más realistas de la cinética. Lo mismo ocurre con sistemas biológicos, y la comprensión del funcionamiento del cuerpo humano requiere descripciones mucho más detalladas de las interacciones entre cinética química, catálisis, difusión y turbulencia. En términos fundamentales, cada persona es impulsada internamente por el equivalente muy cercano de las celdas de combustible, donde la corriente es trancportada esencialmente por los cationes, en particular por los protones, más que por los electrones. También hayfenómenos complicados de transporte elécfrico que se llevan a cabo en los dispositivos microelectrónicos actualmente tan comunes como computadora~y teléfonos celulares. Se ha proporcionado una introducción muy modesta al electrotransporte, aunque nuevamente se recomienda que el lector consulte fuentes más especializadas. Ningún proyecto de ingeniería puede concebirse, y mucho menos completarse, estrictamente mediante el empleo de las disciplinas descriptivas como los fenómenos de transporte y la termodinámica. La ingeniería, en el último análisis, depende en gran medida de la heurística para complementar los conocimientos incompletos. Sin embargo, los fenómenos de transporte pueden probar ser de inmensa ayuda al proporcionar aproximaciones útiles, empezando con estimaciones del orden de magnitud, y pasando por aproximaciones cada vez más exactas, como las proporcionadas por la teoría de capa límite. En consecuencia, es importante buscar, quizá en una segunda lectura de este libro, descripciones insensibles a la forma y al modelo al analizar e1 comportamiento numérico de nuestros sistemas modelo.
R.B.B. W.E.S. E.N.L.
Apéndice A
Notación vectorial y tensoriall Operaciones vectoriales desde un punto de vista geométrico Operaciones vectoriales en términos de componentes Operaciones tensoriales en términos de componentes Operaciones diferenciales para vectores y tensores Teoremas integrales para vectores y tensores Álgebra de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas Operaciones diferenciales en coordenadas curvilíneas Operaciones integrales en coordenadas curvilíneas Comentarios adicionales sobre la notación vector-tensor
Las cantidades físicas que se encuentran en fenómenos de transporte se clasifican en tres categorias: escalares, como temperatura, presión, volumen y tiempo; vectores, como velocidad, cantidad de movimiento y fuerza; y tensures (de segundo orden), como tensores de esfuerzo, de densidad de fiujo de cantidad de movimiento y del gradiente de velocidad. Para diferenciar estas cantidades se usa la siguiente notación: s = escalar (itálica)
v = vector (romana negrita) T =
tencor de segundo orden (griega negrita)
Además, los símboIos griegos en negrita con un subíndice (como 6i)son vectores. Para vectores y tensores es posible realizar varios tipos de multiplicación.Algunos de éstos requieren el uso de signos de multiplicación especiales que se definirán en breve: un solo punto (.), dos puntos (:) y la cruz (x). Estas muItiplicaciones especiales, o sumas a partir de ellas, se escriben entre diferentes tipos de paréntesis a fin de indicar el tipo de resultado que se obtiene: (
) = escalar
I 1 = vector {
) = tensor de segundo orden
~p
p
p
-
~-
' Este apéndice es muy parecido al apéndice A de la obra de R.B. Bird, R.C.Armstrong y O. Hassager, Dyiipmics
of Pdymeric Liquíds, Vol. 1, Fluid Medianics, 2a. edición, Wiey-hterscience,Nueva York (1987). Ahí, en §8, se
prophona un análisis de coordenadas no ortogonales. También en la tabla A . 7 4 hay un resumen de las operaciones para coordenadas bipolares.
947
948
Apéndice A Notación vectorial y tensorial
Al tipo de paréntesis no se le asigna ningún significado especial si las únicas operaciones indicadas son suma y resta o una multiplicación donde no aparezcan ., :y x. Por tanto, (v w) y (7:Vv) son escalares, [V X v] y [T v] son vectores y {v VT] y (u. .r + T u)son tensores de segundo orden. Por otra parte, v - w puede wbirse como (v - w), [v - w] o (v - w}, ya que no aparecen operaciones punto o cruz. De manera semejante, vw, (m),[vwl y (vw}son equivalentes. En realidad, los escalares pueden considerarse como tensores de orden cero, y los vectores como tensores de primer orden. Así, los signos de multiplicación pueden interpretarse como sigue:
.
Signo de multiplicación
Orden del resultado
Ninguno X
donde Z representa la suma de los órdenes de las cantidades que están multiplicándose. Por ejemplo, ST es de orden O + 2 = 2, vw es de orden 1 + 1 = 2, S162es de orden1 + 1 = 2,tv x w]esdeordenl + 1 - 1 = l , ( a : ~ ) e s d e o r d e n 2+ 2 - 4 = 0 , y {u 7 ) es de orden 2 + 2 - 2 = 2. Las operaciones básicas que pueden realizarse con cantidades escalares no requieren elaborarse aquí. Sin embargo, es posible usar las leyes del álgebra para esealares a fin de ilustrar tres términos que surgen en el siguiente análisis de operaciones vectonales: Para la multiplicación de dos escalares, r y S, el orden en que se efectúe la multiplicación carece de importancia, de modo que es válida la ley conmutativa: rs = sr. b. Para la multiplicación sucesiva de tres escalares, 9, r y s, el orden en que se efectúe la multiplicación carece de importancia, de modo que es válida la ley asociativa: (qr)s = q(rs). c. Para la multiplicauón de un escalar S por la suma de escalares p, q y r, carece de importancia si primero se hace la suma o la multiplicación, de modo que es válida la ley distributiva: s(p -t q + r ) = s p + s9 + sr. a.
Estas leyes no son válidas en general para las operaciones vectoriales y tensoriales análogas que se describen a continuación.
QA.l
OPERACIONES VECTORIALES DESDE UN PUNTO DE VISTA GEOMÉTRICO
En cursos de física elemental, los vectores se presentan desde un punto de vista geométrico. En esta sección se amplía este método para incluir las operaciones de la multiplicación vectorial. En 5A.2 se proporciona un tratamiento analítico semejante.
sA.1 Operaciones vectoriales desde un punto de vista geométrico 949
Definición de vector y su magnitud Un vector v se define como una cantidad que tiene magnitud y dirección dadas. La magnitud del vector se designa por Ivl o simplemente por el símbolo normal correspondiente v. Dos vectores v y w con iguales cuando sus magnitudes son iguales y cuando apuntan en la misma dirección; no necesitan ser colineales o tener el mismo punto de origen. Si v y w tienen la misma magnitud pero apuntan en direcciones opuestas, entonces v = -w.
Suma y resta de vectores La suma de dos vectores puede hacerse mediante la conocida construcción del paralelogramo, como se indica en la figura A.1-la. La suma vectorial cumple las siguientes leyes:
Conmutativa: Asociativa: La resta vectorial se lleva a cabo invirtiendo el signo de uno de los vectores y sumando; así, v - w = v + (-w). La construcción geométxica de este hecho se muestra en Ia figura A.1-lb.
Multiplicación de un vector por un escalar Cuando un vector se multiplica por un escalar, la magnitud del vector se modifica pero no así su dirección. Las siguientes leyes son válidas:
Conmutativa: Asociativa:
Distributiva: Producto escalar (o producto punto) de dos vectores
El producto escalar de dos vectores, v y w, es una cantidad escalar definida por ( v . w)= m c o s
P)
&.,
(A.1-6)
b)&ta de vectores.
950 Apéndice A Notación vectonal y tensonal
iv w l L ; ;alHiírea t o rdel paralelograrno es igual
'Area (V
W)
Figura A.1-2 Productos de dos vectores:a) el producto escalar; b) el producto vectorial.
donde & , es el ángulo entre los vectores v y w. Así, el producto escalar es la magnitud de w multiplicada por la proyección de v sobre w o viceversa (figura A.1-2a). Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo es precisamente el cuadrado de la magnitud del vector
Las reglas que rigen los productos escalares son las siguientes:
Conmutativa: No asocia tiva: Disfributiva:
Producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores El producto vectorial de dos vectores v y w es un vector definido como [V
x W] = {msen &}n,
(A.1-11)
donde n,, es un vector de longitud valor uno (un "vector unitario") perpendicular tanto a v como a W, y que apunta en la dirección en que se movería un tornillo derecho si se hiciera girar un ángulo & desde v hasta w. El producto vectorial se ilustra en la figura A.l-2b. La magnitud del producto vectorial es precisamente el área del paralelogramo definido por los vectores v y w. Con base en la definición del producto vectorial se concluye que
Nótese el siguiente resumen de las reglas que rigen la operación del producto vectorial: No conmutativa:
No asociativa: Distribufiva:
[v X w] = -[w X VI [u x [v X wlj [[u X VI x w] [{u + v) X w] = [u X w1 + [v X w]
+
(A.1-13) (A.1-14) (A.1-15)
5A.2
Operaciones vectoriales en tthnir~osde componentes 951
Productos vectoriales múltiples Algo más complicados son los productos múltiples formados por combinaciones de los procesos de multiplicación que acaban de describirse: a) rsv d) (u [VX
wI)
b) S(V - W) e) [u x Iv x wll
c) slv
X
w]
fl([ux VI . [w x zl)
g) [[u x VI x Iw x zl1 Las interpretaciones geométricas de las tres primeras operaciones son directas. Es fácil demostrar que la magnitud de (u . [v X w]) representa el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas están definidas por los vectores u, v y w.
EJERCICIOS
1.
-
¿Cuáles son los "brdenes" de las cantidades siguientes: (v.w), (v - U)W, (ab:cd), [V pwu], [Ia x
2.
3.
4.
5.
5A.2
fl x [b x gll?
Trazar un diagrama para ilustrar La desigualdad en la ecuación A.l-9. ¿Existe algún caso especial para el que esta desigualdad se transforma en una igualdad? Una superficie matemática plana de área S posee una orientacibn dada por un vector normal unitario n, que apunta corriente abajo de la superficie. Un fluido de densidad p circula a través de esta superficie con una velocidad v. Demostrar que la velocidad de flujo de masa a través de la superficie es w = p(n v)S. La velocidad angular W de un cuerpo sólido giratorio es un vector cuya magnitud es la velocidad del desplazamiento angular (radianes por segundo) y cuya dirección es en la que avanzaría un tornillo derecho si girase en la misma d i k i ó n . El vector de posición r de un punto es el vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto en cuestión. Demostrar que la velocidad de cualquier punto en un cuerpo sólido giratorio es v = [W X r], con respecto a un origen locaIido sobre el eje de rotación. Una fuerza constante F actúa sobre un cuerpo que se mueve con una velocidad v, que no necesariamente es colineal con F. Demostrar que la velocidad a la cual F realiza trabajo sobre el cuerpo es W = (F - v).
OPERACIONES VECTORIALES EN TÉRMINOS DE COMPONENTES
En esta d ó n se proporciona un tratamiento analítico paralelo de todos los temas que se presentaron geométricamente en SA.1. Este análisis se restringe a coordenadas rectangulares y los ejes se identifican por 1 , 2 y 3, lo que corresponde a la notación x, y, z de costumbre; s610 se utilizan coordenadas derechas. Muchas fórmulas pueden expresarse en forma breve en términos de la delta de Kronecker ¿3,i y del símbolo de perrnutaciones Eijk. Así, estas cantidades se definen como
S, = +1, &j= O,
sii=j siif j
= +1, = -1, ~ , j k= 0,
si ijk = 123,231, o bien 312 si ijk = 321,132, O bien 213 si dos índices cualesquiera son iguales
Eljk Eijk
Nótese también que Eijk = (1 /2)(i
- j)(j - k)(k - i)
(A.2-3)
(A.2-4) (A.2-5)
952
Apéndice A Notación vectorial y tensorial
Varias relaciones que implican a estas cantidades son útiles para demostrar algunas identidades vectoriales y tensoriales
Nótese que puede escribirse un determinante de tres por tres en términos de los ~ i j k .
Así, la cantidad ~ i f selecciona i los términos necesarios que aparecen en el determinante y pone el signo idóneo a cada uno de los términos.
Los vectores unitarios Sean Si, S2 y Sj los "vedores unitarios" (es decir, vectores de magnitud igual a la unidad) en la dirección de los ejes 1 , 2 y 3'. (figura A.2-1). Pueden usarse las definiciones de los productos escalar y vectorial a fin de tabular todos los posibles productos de cada tipo (S1 . S,) = (S2 S,) = (S3 . S3)= 1 (8, ' 6 , ) = (S2 . S 3 )= (8, . SI)= O [S1x S,]=[S,X S,]=[S,X S 3 ] = 0 [Sl X S21= 63; [S2xS31=6,; [S, x S,] = -S3; [S3x S,] = -S,;
1
1
'
1
(A.2-9)
(A.2-10)
IS3~611=s2 [S, x S,] = -8,
(A.2-11) (A.2-12) (-4.2-13)
Figura A.2-1 Los vectores unitarios S,; cada vector es de magnitud igual a la unidad y apunta en la dirección i-ésima.
En la mayor parte de los textos elementales, los vectares unitarios se denominan i, j, k. Nosotros preferimos usar 61,Fi2,63porque las componentes de estos vectores están dadas por la delta de Kmnecker. Es decir, la componente de SIen la dirección 1 es 611 o la unidad; la componente de 61 en la dirección 2 es 612 o cero.
5A.2 Operaciones vectoriales en términos de componentes 953
Todas estas relaciones pueden resumirse mediante las dos relaciones siguientes: (A.2-14)
donde &jes la delta de Kronecker y &ijk es el símbolo de permutaciones definido en la introducción de esta sección. Estas dos relaciones permiten deducir expresiones analíticas para todas las operaciones punto y cruz comunes. En el resto de esta sección y en la siguiente, al deducir expresiones para operaciones vectoriales y tensoriales, todo lo que se hace es expresar los vectores en sus componentes y aplicar luego las ecuaciones A.2-14 y A.2-15.
Expansión de un vector en términos de sus componentes Cualquier vector v puede especificarse por completo si se proporcionan los valores de sus proyecciones vi, 3,v3 sobre los ejes de coordenadas 1 , 2 , 3 (figura A.2-2). El vector puede construirse sumando vedonalmente las componentes multiplicadas por sus vectores unitarios correspondientes:
Nótese que un vector asocia un escalar con cada dirección co~rdenada.~ Las vi se denominan "componentes del vector v" y son escalares, mientras las Givison vectores, que cuando se suman vectorialmente entre si producen v. La magnitud de un vector está dada por
Dos vectores v y w son iguales si sus componentes son iguales: u3 = w3.También, v = -w si vi = -wl,y así sucesivamente.
=
wl,u2 = w2 y
Figura A.2-2 Las componentes vi del vector v son las proyecciones del vector sobre los ejes coordenadas 1, 2y3.
Para un anblisis de la relación de esta definición de vector con la definición en términos de las reglas para transformación de coordenadas,véase la obra de W. Praga, Mechanics of Corttinua, Gúui, Bocton (1961).
954
Apéndice A Notación vectorial y tensorial --
.$urnay resta de vectores
-
La suma o resta de los vectores v y w puede escribirse en términos de las compo. nentes como v iw
E
z & v i t Z s i w i = Esi(vi i w * ) i
i
(A.2-18)
i
Geométricamente, esto corresponde a sumar las proyecciones de v y w sobre cada eje individual y luego construir un vector con estas nuevas componentes. La suma de tres o más vectores se hace exactamente de la misma manera. Multiplicación de un vector por un escalar La multiplicación de un vector por un escalar corresponde a multiplicar cada componente del vector por el escalar:
Producto escalar (o punto) de dos vectores El producto escalar de dos vectores v y w se obtiene al escribir cada vector en términos de componentes según la ecuación A.2-16 y realizando luego las operaciones del producto escalar sobre los vectores unitarios, usando la ecuación A.2-14
Por tanto, el producto escalar de dos vectores se obtiene sumando los productos de las componentes correspondientes de los dos vectores. Nótese que (v - v) (lo que algunas veces se escribe como v2 O v2) es un escalar que representa el cuadrado de la magnitud de v. Producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores
El producto vectorial de dos vectores v y w puede trabajarse usando las ecuaciones A.2-16 y A.2-15:
C
5A.2 Operaciones vectoriales en términos de componentes 955
Aquí se ha usado la ecuación A.2-8. Nótese que la i-ésima componente de [v x w] está dada por Sj .ik~ijkvjwk;este resultado se usa a menudo para demostrar identidades vectoriales.
/ productos vectoriales múltiples Las expresiones para los productos múltiples que se mencionaron en sA.1 pueden obtenerse usando las expresiones analíticas precedentes para los productos escalar y vectorial. Por ejemplo, el producto (u . [v X w]) puede escribirse como
Luego, a partir de la ecuación A.2-8, se obtiene
(u,[v x w]) =
u1
u2
u3
Vl
U2
v3
W1
w2
W3
La magnitud de (u [v X w]) es el volumen de un paralelepipedo definido por los vectores u, v, w que se trazan a partir de un origen común. Además, la desaparición del determinante es una condición necesaria y suficiente de que los vectores u, v y w son coplanares.
El vector de posición El símbolo que suele usarse para denotar el vector de posición, es decir, el vector que especifica la ubicación de un punto en el espacio, es r. Así, las componentes de r son xl, xz y x3, de modo que
Esto constituye una irregularidad en la notación, debido a que las componentes poseen un símbolo diferente al del vector. La magnitud de r suele denominarse r= i xg ,y esta r es la coordenada radial en coordenadas esféricas (véase la figura A.6-1).
.\/3 + 4
Demostración de una &tidad vectorial
Las expresiones analíticas para los productos punto y cruz pueden usarse para demostrar identidades vectoriales; por ejemplo, se comprobará la expresión [U
x [Y X w]] = v(u . w) - w(u . v)
(A.2-25)
La i-ésima componente de la expresión en el miembro izquierdo puede expandirse como
= j k l m
=C ~ ~ ~ & i j k ~ l m k u j v ~ j k l m
9%
Apbndice A Notación vectorial y tensorial Luego es posible usar la ecuación A.2-7 para completar la demostración
que es precisamente la i-ésima componente del miembro derecho de la ecuación A.2-25. De forma semejante pueden comprobarse identidades como
(U- [v X w])= (V - [WX
(A.2-26)
U])
VI . [w X z]) = (U.w)(v. z) - (U z)(v.w) [[u x VI X [w X z]] = ([u X VI. Z)W - ([U X VI - W)Z ([U X
EJERCICIOS
1.
Escribir en forma expandida las siguientes operaciones suma:
2.
Las componentes de un vector v son u, .= 1,V., = 2, v, w son w, = 3, Q = - 1, w, = 1. Evalúe lo siguiente:
=
(A.2-29) (A.2-30)
-5, y las componentes de un vector
a) ( V .W)
b) [v x wl c) La longitud de v d) (81 v) e) 161 x wl
flh
g) [r x 3. 4.
5. 6.
7.
5A.3
VI, donde r es el vector de posición
Evaluar: a) ([Si x 62]- S3) b) [[SZX 03] X [S1 X 03]]. Demostrar que la ecuación A.2-6 es válida para el caso particular i = 1, h = 2. Demostrar que la ecuación A.2-7 es válida para el caso particular i = j = m = 1, n = 2. 3 Verificar que ZkZl ~ ~ k =q Oksi ajk = akf Explicar con todo cuidado la afirmación que está a continuación de la ecuación A.2-21, de que la idsima componente de [v x W]es Xj;ikEij/$,Wk. Comprobar que ([v X w] . [v x w]) + (v . w ) ~ v2w2(la "identidad de Lagrange").
~ 1 , ~
-
OPERACIONES TENSORIALES EN TERMINOS DE COMPONENTES
En la última sección se vio que las expresiones pueden expandirse para todas las operaciones punto y cruz comunes para vectores si se sabe cómo escribir un vector v como una suma Ci 6tvi, y si se sabe cómo manipular los vectores unitarios Si. En esta sección se sigue un procedimiento semejante. Un tensor T se escribe como tuia suma Zi C j 6 j S j ~ iYi se proporcionan f6rmuIas para la manipulación de las díadas
5A.3
Operaciones tensoriales en tenninos de componentes 957
unitarias &Sj; de esta manera se obtienen las expresiones para las operaciones tensoriales punto y cruz que suelen presentarse.
Las díadas unitarias En el análisis precedente se definieron los vectores unitarios & y luego se proporcionaron los productos escalares (6i. ijj) y los productos vecforiales [si X tij]. Hay un tercer tipo de producto que puede formarse con los vectores unitarios, a saber, los productos diádicos SiS, (que se escriben sin signos de multiplicación). Según las reglas de la notación que se proporcionaron en la introducción del apéndice A, los productos son tensores de segundo orden. Debido a que 2ii y Si son de magnitud unitaria, los productos &Sj se denominan dúrdas unitarias. Mientras que cada vector unitario en la figura A.2-1 representa una sola dirección coordenada, las diadas unitarias en la figura A.3-1 representan pares ordenados de direcciones coordenadas. (En problemas físicos a menudo se trabaja con cantidades que requieren la especificación simultánea de dos direcciones. Por ejemplo, la densidad de flujo de cantidad de movimienio x a través de una unidad de área de superficie perpendicular a la dirección y es una cantidad de este tipo. Debido a que algunas veces esta cantidad no es la misma que la densidad de flujo de cantidad de movimiento y perpendicular a la dirección x, resulta evidente que no basta con especificar las dos direcciones; también es necesario ponerse de acuerdo en el orden en que han de proporcionarse las direcciones.)
j
y
2
J
1
-
r2
b16,
2
fizfi3
_ _ i ,L* ñA
1
,jL
fi 3%
1
díadas A.3-1 Figura unitarias Las6i6,.
1
1
8,6,
1
2
Las flechas sólidas representan el primer vector unitario en el producto diádico, y los vectores huecos el segundo. Nótese que
SIG2no es igual a WI
958 Apéndice A
Notaaón vedonal y tensonal
Los productos punto y cruz de vectores unitarios se introdujeron por medio de las definiciones geom6tricas de estas operaciones. Las operaciones análogas para las &das unitarias se introducen formalmente al relacionarlas con las operaciones para los vectores unitarios
Es fácil recordar estos resultados: simplemente se considera el producto punto (o cruz) de los vectores unitarios más próximos a cada lado del punto (o cruz); en la ecuación A.3-1 se realizan dos operaciones como éstas.
Expansión de un tensor en términos de sus componentes En la ecuación A.2-16 se hizo la expansión de un vector en términos de sus componentes, donde cada una de éstas se multiplicó por el vector unitario idóneo. Aquí se amplía esta idea y se define1 un tensor (de segundo orden) como una cantidad que asocia un escalar con cada par ordenado de direcciones coordenadas en el sentido que sigue:
Los escalares rij se denominan "componentes del tensor 7". Hay vanas clases especiales de tensores de segundo orden que vale la pena meninar: l. Si 7ij = Tji, se dice que el tensor es simétrico. 2. Si ri, = -rji, se dice que el tensor es antisiméfrico.
'
b s tensores ce definen con k e n a a en términos de )as reglas para transformación de coordenadas;la conexi6n enbe esta d e h i a 6 n y la que acaba de proporcionalse se analiza en la obra de W.Prager, Mechnics of Continua, Ginn, Boston (1961).
sA.3 Operaciones tencoriales en términos de componentes 959 3. Si las componentes de un tensor se toman como las componentes de 7, pero
con los índices transpuestos, el tensor resultante se denomina transpuesto de y se le asigna el símbolo rt:
7
4. Si las componentes del tensor se forman por pares ordenados de las compo-
nentes de dos vectores v y w, el tensor resultante se denomina producto diddico de v y w y se le asigna el símbolo vw:
Nótese que vw # wv, pero que (vw)+= wv. 5. Si las componentes del tensor están dadas por la delta de Kronecker S,i, el tensor resultante se denomina fensor unitario y se le asigna el simbolo 6:
La magnitud de un tensor se define como
Suma de tensores y productos diádicos
Los tensores se suman como se muestra a continuación:
Es decir, la suma de dos tensores es el tensor cuyas componentes son las sumas de las componentes correspondientes de los dos tensores. Lo mismo se cumple para productos diádicos.
Multiplicación de un tensor por un escalar La multiplicación de un tensor por un escalar corresponde a multiplicar cada componente del tensor por el escalar:
Lo mismo se cumple para productos diddicos.
960 Apéndice A
Notacibn vectorial y tenso*
El producto escalar (o doble producto punto) de dos tensores Dos tensores pueden multiplicarse según la doble operación punto
=CxCC(6i6j:Sk61)~ij~ i j k l
= ~ ~ x ~ 8 i 1 8=j ZkZ~U11q' .I*~ ~ . H'
(A.3-14)
i j
i j k i
donde se ha usado la ecuación A.3-T. De manera semejante, puede demostrarse que
El producto tensorial (el producto punto simple) de dos tensores Dos tensores pueden multipficarse según la operación punto simple
=
C C Z CajkGi6Pii7k,= C Cai81 1 1
i j k i
Es decir, la il-ésima componente de ( u 71 es Zj m,7i,. Operaciones semejantes pueden efectuarse con productos diádicos. Se acostumbra escribir (a u) como u2, {a- cr21 como d y así sucesivamente.
El producto vectorial (o producto punto) de un tensor con un vector Cuando el producto punto se apIica a un tensor y a un vector, se obtiene el vector
= ~ C ~ & i ¿ 3 j k=~ZSi iivk i j k
i
-
Es decir, la i-ésima componente de [T VI es Zj ~ i ~ vDe j . manera semejante, la i-ésima componente de [v - TI es I;i ujrji. Resulta evidente que [T . VI ;f [v . TI, a menos que T sea simétrico.
5A.3 Operaciones tensoriales en términos de componentes 961
Recuérdese que cuando un vector v se multiplica por un escalar S, el vector resultante sv apunta en la misma dirección de v, aunque su longitud es distinta. Sin embargo, cuando a T se aplica el producto punto con v, el vector resultante [7 . v] difiere de v tanto en longitud como en dirección, es decir, el tensor 7 "desvía" o "tuerce" al vector v para formar un nuevo vector que apunta en una dirección diferente.
El producto tensorial (o producto cruz) de un tensor con un vector Cuando el producto cruz se aplica a un tensor y a un vector, se obtiene un tensor:
i 1
i j k l
Por tanto, la il-ésima componente de {7 X V} es Ej Zk ~jkp-ijvk.De manera semejante, Ia ik-ésima componente de {V x 7) es Zi X j &ij,viqk.
Otras operaciones Con base en los resultados precedentes, no es difícil demostrar las siguientes identidades:
[6 VI = [v . S] = v [uv . w] = u(v ' w) [w . uv] = (w u)v (uv:wz) = (uw:vz) = (u z)(v w) (í:uv) = ([7 . U] - V) (uv:7) = (u ' [v . 71)
EJERCICIOS
1.
Las componentes de un tensor simétrico T son
Las componentes de un vector v son
Evaluar lo siguiente: a)
[T
. V]
d) (v . [T . VI)
b) [V' T]
C) (7:T)
e) w
O [T - Sil
962 Apéndice A
Notación vectorial y tensorial 2.
Evaliie lo siguiente:
3.
Si a es simétrico y fles antisimétrico, demostrar que (a$)= O. Explicar con todo cuidado La afirmación que se encuentra después de la ecuación A.3-17, de que la il-ésima componente de (a. T } es Xj~ ~ 7 1 . Considérese una estructura rígida compuesta de partículas puntuales unidas por varillas sin masa. Las partículas están numeradas como 1, 2, 3, ..., N, y las masas de las particulas son m, ( Y = 1,2,..., N). Las localizaciones de las partículas con respecto al centro de masa son R, Toda la estructura gira sobre un eje que pasa por el centro de masa con una velocidad angular W. Demostrar que la cantidad de movimiento angular con respecto al centro de masa es
4.
5.
Luego, demostrar que La cíltitna expresión puede volver a escribirse como
donde
6.
es el tensor del momento de inercia. La energía cinética de rotación de la estructura rígida en el ejercicio 5 es
Donde R, = [WX R,] es la velocidad de La pésima partícula. Demuestre que
5A.4 OPEIZACIONES DIFERENCIALES PARA VECTORES Y TENSORES En coordenadas rectangulares, el operador vectorial diferencial V, denominado "nabla" o "del", se define como
donde los 6i son los vectores unitarios y las xi son las variables asociadas con los ejes 1 , 2 , 3 (es decir, las xl, XZ, x g son las coordenadas cartesianas que normalmente se denominan x, y, z). El símbolo V es un operador vectorial: tiene componentes como un vector aunque no puede permanecer solo; debe operar sobre una función escalar, vectorial o tensorial. En esta sección se resumen las diversas operaciones de V
5A.4 Operaciones diferenciales para vectores y tensores 963
sobre escalares, vectores y tensores. Así como en 5A.2 y 5A.3, los vectores y los tensores se descomponen en términos de sus componentes y luego se usan las ecuaciones A.2-14 y A.2-15, así como las ecuaciones A.3-1 a A.3-6. Recuérdese que en esta sección las ecuaciones escritas en forma de componentes son válidas sólo para coordenadas rectangulares, para las cuales los vectores unitarios 6i son constantes; las coordenadas curvilíneas se analizarán en §A6 y 5A.7.
El gradiente de un campo escalar Si S es una función escalar de las variables x l , x a x s entonces la operación de V sobre S es
El vector así construido a partir de las derivadas de S se designa por Vs (o grad S) y se denomina gradiente d d campo escalar s. Es necesario observar las siguientes propiedades de la operación gradiente.
No conmutativa:
No asociativa:
Distribu tiva:
La divergencia de un campo vectorial Si el vector v es una función de las variables espaciales xi, xn, XJ, entonces puede formarse un producto escalar con el operador V; al obtener la forma final, se usa la ecuación A.2-14:
Esta colección de derivadas de las componentes del vector v se denomina divrrgencia de v (lo cual algunas veces se abrevia como div v). Es necesario observai algunas,.;* A' propiedades del operador divergencia '
G
No asociativa:
+ (v . V) (V . sv) + (Vs v)
Distributiva:
(V . {v + w))= (V v) + (V w)
No conmutabiva:
(V v)
a
-
964 Apéndice A Notación vectorial y tensorial
EI rotacional (curl) de un campo vectorial
Entre el operador V y el vector v también puede formarse un producto cruz, que es una función de las tres variables espaciales. Este producto cruz puede simplificarse usando la ecuación A.2-15 y luego escribirlo de varias formas
=
zzfsj j k
81
sk~Luk
axj
82
63
V2
='3
=
z z ~ & qa k & a ; ~ i j k
I
a a a ax, a ax,
- -
v1
El vector así construido se denomina rotaciolral de v. Otras notaciones para [V x vj son curl v y rot v, siendo esta última de uso común en la literatura alemana. La operación curl, como la divergencia, es distributiva pero no conmutativa o asociativa. Nótese que la i-ésima componente de [V X v] es zizkE ~ ~ ~ ( ~ / ~ x ~ ) v ~ -
El gradiente de un campo vectorial Además del producto escalar (V v) y el producto vectorial IV sible formar el producto diádico Vv:
X
v], también es po-
Lo anterior se denomina gradiente del vector v y algunas veces se escribe como grad v. Se trata de un tensor de segundo orden cuya ij-ésima componente1 es (a/dxi)u,. Su transpuesto es
cuya ij-ésima componente es (d/axj)vi.Nótese que Vv
+ vV y que (Vv)+# VV.
' Cuidado: algunos autores definen la componente i) de Vv como (a/ax,)v,.
sA.4 Operaciones diferenciales para vectores y tensores 965
La divergencia de un campo tensonal
Si el tensor 7 es una función de las variables espaciales x l , x2, xs, entonces con el operador V puede formarse un producto vectorial; al obtener la forma final se usa la ecuación A.3-3:
=C
1
~ ~ S j i aO k - =~ Cak -k C-T~~
i j k
axi
J
{iaf,i
Lo anterior se denomina divergencia del tensor T, lo que algunas veces se escribe como div T. La k-ésirna componente de [V 71 es Xi (a/axi)'ik. Si T es el producto svw, entonces
El laplaciano de un campo escalar Si se toma Ia divergencia del gradiente de una función escalar s, se obtiene
La colección de operadores diferenciales que operan sobre s en la última I í e a está dada por el símbolo V2; por tanto, en coordenadas rectangulares
Lo anterior se denomina operador laplacbno. [Algunos autores usan e1 símbolo A para designar este operador, especialmente en la literatura alemana antigua; por tanto, (V - Vs), (V - V)s, V2s y As son cantidades equivalentes.] El operador Iaplaciano sólo posee la propiedad distributiva, igual que el gradiente, la divergencia y el rotacional.
966
Apéndice A Notación vectorial y tensorid
El laplaciano de un campo vectorial Si se toma la divergencia del gradiente de la función vectorial v, se obtiene
Es decir, la k-ésima componente de [V - Vv] es, en coordenadas cartesianas, justamente V2vk.Otras notaciones para designar a [V Vv] son (V . V)v y V2v.
-
Otras relaciones diferenciales
Usando las definiciones que acaban de proporcionase es posible demostrar numerosas identidades: Vrs = rVs + sVr (V sv) = (Vs . v) s(V v)
+
[v x w]) = (w . [V X Y])- (v [V X w]) [V x sv] = IVs x v] s[V x VI [V Vv] = V(V ' v) - [V X [V X VI] [v. Vv] = +V(V . v) - [v X [V X Y]] [V - m ] = [v - Vw] + w(V . v) (s8:Vv) = s(V v) [V SS] = Vs [V. S?.]= [VS T] + s[V -71 V(v . w) = [(VV). w] + [(Vw)' v]
+
-
Probar que para Probar una identidad
T simétrico se
cumple lo siguiente:
(T :Vv) =
tensonal
(V . [T . VI)
.
-
- (V [V T])
SOLUCI~N Primero, el miembro derecho se escribe en términos de componentes:
(A.4-29)
5A.4 Operaciones diferenciales para vectores y tensores 967
El miembro izquierdo puede escribirse como
donde h segunda forma es un resultado de la simetría de r.Al restar la ecuación A.431 de la ecuación A.430, se obtiene La ecuación A.432.
Ahora que ya se han proporcionado todas las operaciones vectoriales y tensoriales, incluyendo las diversas operaciones V, se desea destacar que las operaciones punto y dos puntos pueden anotarse de una vez aplicando la siguiente regla sencilla: un punto implica una operación suma sobre índices adyacentes. A continuación se ilustra es; ta regla con varios ejemplos. Para interpretar (v w), se observa que v y w son vectores, cuyas componentes tienen un indice. Debido a que ambos símbolos son adyacentes al punto, se hace que los índices para los dos símboIos sean iguales y luego la operación suma se aplica sobre éstos: (v . w) = Zp8wi.Para operaciones de dos puntos como (.r:Vv), se procede como sigue. Ce observa que 7, al ser un tensor, posee dos subhdices, mientras V y v tienen, cado uno, un subíndice. Por tanto, el segundo subíndice de T se iguala al subíndice de V y se suma; luego, el primer subíndice de 7 se iguala al subíndice de v y se suma. Por tanto, se obtiene (7:Vv) = Z i Z j ~ j i ( d / a ~ De i ) ~manera j. semejante, (V . [V 71) puede anotarse de una vez como X i X j v j ( ¿ l / d x i ) ~realizando ii la operación en el agrupamiento interior (los corchetes) antes que en el exterior (los paréntesis). Para obtener la i-ésima componente de una cantidad vectorial, se procede exactamente de la misma manera. Para evaluar [T vij, el segundo índice del tensor 7 se iguala al índice de v y se suma para obtener Xjqjvi.De manera semejante, la i-ésima componente de [V p w ] se obtiene como X j . i ( a / a ~ j : i ) ( p Una ~ j ~ i )vez . que se adquiere destreza con este método es posible ahorrar bastante tiempo al interpretar las operaciones punto y dos puntos en coordenadas cartesianas.
EJERCICIOS
l. 2.
3. 4.
Realizar todas las operaciones en la ecuación A.4-6 escribiendo todos los sumandos en vez de usar la notación 8. Se dice que un campo v(x, y, z) es ivotacional si [V x v] = 0. ¿Cuáles de los campos siguientes son irrotacionales?
Evaluar (V . v), Vv y [V w] para los cuatro campos en el ejercicio 2. Las componentes de un vector v son
con q = O+ y x:=i a¡¡= O; las aij son constantes. Evaluar (V v), [V X v], Vv, (Vv)+ y [V . wl. (Sugerencia:en relación con la evaluaci6n de [V x v], consultar el ejercicio 5 en 5A.2.)
968 Apendice A Notacidn vectorial y tensonal 5. 6.
7.
Verificar que V2(V , V) = (V . (V2v)), y que [V (VvItl = V(V VI. Verificar que (v . [V X v]) = O y que [V X Vsl = O. Si r es el vector de posición (con componentes x l , x a XJ) y v es cualquier vector, demostrar lo siguiente:
(V r) = 3 b) [V x rl = O a)
C)
8. 9.
-
[r x [V w]] = [V v[r
X
VI] (donde v es una función de la posición)
Desarrollar una expresión alternativa para [V X [V svv]]. Si r es el vector de posición y r es su magnitud, verificar que a) V -1
r
r
= --
13
C)
V(a r) = a
s i a es un vector constante
1 df r b) Vf (r) = r dr
10.
Escribir completamente lo siguiente en coordenadas cartesianas
5A.5 TEOREMAS INTEGRALES PARA VECTORES Y TENSORES Para efectuar pruebas generales en física del continuo, varios teoremas integrales son de mucha utilidad.
El teorema de divergencia de Gauss-Ostrogradskii Si V es una región cerrada en el espacio acotado por una superficie S, entonces
donde n es el vector normal unitario dirigido hacia afuera. Lo anterior se denomina teorema de divergencia de Gauss-Ostrogradskii. Dos teoremas estrechamente relacionados para escalares y tensores son
' Véase la obra de P.M. Morse y H. Feshbach, M e t M of Themeticnl Physiu; McCraw-HiU. Nueva York (19.53,p. 66.
54.5 Teoremas integrales para vectores y temores 969
La última xiación también se cumple para productos diádicos vw. Nótese que, en las tres ecuaciones, V en la integral de volumen simplemente se sustituye por n en la integral de superficie. ~1teorema rotacional de Stokes Si S es una superficie acotada por la curva cerrada C, entonces
donde t es un vector tangencia1 unitario en la dirección de integración a lo largo de C; n es el vector unitario normal a S en la dirección en que se movería un tornillo derecho si su cabeza se hiciera girar en la dirección de integración a lo largo de C. Para temores existe una relación semejante.l
La fórmula de Leibniz para diferenciar una integral de volumen2 Sea V una regibn cerrada móvil en el espacio acotado por una superficie S; sea v, la velocidad de cualquier elemento de la superficie. Así, si s(x, y, z, t) es una función escalar de la posición y el tiempo,
Ésta es una extensión de la fómula de Leibniz para diferenciar una integral simple (véase la ecuación C.3-2); recordar que V = V(t)y S = S(t). La ecuación A.5-5 también es válida para vectores y tensores. Si la integral es sobre un volumen, cuya superficie se mueve con la velocidad local del fluido (de modo que vs = v), entonces al usar la ecuación de continuidad se llega al siguiente resultado adicional útil:
donde p es la densidad del fluido. Algunas veces la ecuación A.5-6 se denomina teorema de transporte de Reynolds.
EJERCICIOS
1.
Considerar el campo vectorial
Evaluar ambos miembros de la ecuación A.5-1 sobre la región acotada por los planos xl Xl
2.
= 1; x2 = O, X2
=
2; X3 = o,
x3
=
0,
= 4.
Usar el mismo campo vectorial para evaluar ambos miembros de la ecuación A.5-4 para la cara x i = 1 en el ejercicio 1.
2
M.D.Greenberg, Foundations ofApplied A4nthoMtics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs. N.J. (1978),PP. 163-1h4.
970 Apéndice A Notación vectorial y tensorial 3.
Considerar la función escalar dependiente del tiempo:
4.
Evaluar ambos miembros de la ecuación A.5-5 sobre el volumen acotado por los planos x = O, x = t; y = O, y = 2t; z = 0, z = 4t. Las cantidades x, y, z y t son adimensionales. Usar la ecuación A.5-4 (con v sustituida por TI para demostrar que, cuando 7ki = Tii ,iqk xj,
5.
5A.6
donde r es el vector de posición que localiza un punto sobre C con respecto al origen. Evaluar ambos miembros de la ecuación A.5-2 para la función s(x, y, z ) = 9 + y2 + z2. El volumen V es el prisma triangular que se encuentra entre los dos triángulos cuyos vértices son (2,0, O), (2,1, O), (2,0,3) y (-2,0,O), (-2,1, O), (-2,0,3).
ÁLGEBRA DE VECTORES Y TENSORES EN COORDENADAS CURVIL~NEAS Hasta el momento sólo se han considerado las coordenadas cartesianas x , y, z. Aunque las deducciones formales suelen hacerse en coordenadas cartesianas, para problemas de trabajo a menudo es más natural usar coordenadas cuwilíneas. Los dos sistemas de coordenadas curvilíneas más utilizados son el cilíndrico y el esférico. En lo sucesivo s610 se analizarán estos sistemas, aunque el método también puede aplicarse a todos los sistemas de coordenadas ortogonales, es decir, los sistemas en que las tres familias de superficies de coordenadas son perpendiculares entre si. El hterés primordial aquí es saber cómo escribir varias operaciones diferenciales, como Vs, [V x VI y (T :VV) en coordenadas curviüneas. Resulta que esto puede hacerse directamente si se conocen dos cosas para el sistema coordenado que se utilice: a) la expresión para V en coordenadas curvilíneas, y b) las derivadas espaciales de los vedores unitarios en coordenadas curviIineas. Por tanto, la atención se centrará en estas dos cuestiones.
Coordenadas cilíndricas En coordenadas cilíídricas, en lugar de designar las coordenadas de un punto por x, y, z, éste se localiza proporcionando los valores de r, 8, z. Estas coordenadas1 se muestran en la figura A.6-la, y su relación con las coordenadas cartesianas es la siguiente: x = r cos 8 = r sen O
y
Z=Z
(A.6-1) (A.6-2) (A.6-3)
r=t
0 = arctan (y/x)
z-z
(A.6-4) (A.6-5) (A.6-6)
Cuidndo:hemm decidido utiiizar la notaa6n conocida r, O, z para coordenadas díndricas en lugar de cambiar a algunos símbolos menos conocidos, aun cuando hay dos situaciones en las que puede presentarse una confusión: a) de vez en cuando, en el mismo problema es necesario usar coordenadas cilíndricas y esféricas, y los símbolos r y 0 tienen un significado distinto en los dos sistemas; b) algunas veces, en problemas que implican coordenadas cilíndricas se traba'a con el vector de posiaón r, pero entonces la magnitud de r no es la misma que la coordenada r, sino que es En estas situa+ones, como en la figura A.6-l. pueden usarse barras superiores para designar coordenadasciiíndricas y escribiii, 8 y 7. Para la mayor parte de los análisis no se requieren las barras superiom.
d.
5A.6 Álgebra de vectores y tensores en coordenadas curvüíneas
9n
-
Figura A.6-1 a ) Coordenadas cillnáricasl con O 5 f < m, O 5 0 < 2 ~ -0 , < ? < 0. b) Coordenadas esféricas con O 5 r < -, O 5 e 5 T,O 5 4 < 2 ~Nótese . que T y 8 en coordenadas ciiíndricas no son iguales a r y O en coordenadasesféricas.Nótese con sumo cuidado c6mo el vector de posición r y su longitud r se escriben en los tres sistemas coordenadas: Rectangular
r = 6,x
Cilindrico:
r
= 6,T
+ $y + 6,z;
r=q$+y2+z2
+ 6,Z;
r
=
m
Para convertir derivadas de escalares con respecto a x, y, z en derivadas con respecto a T , 0, z, se usa la "regla de la cadena" de la diferenciación parciaL2 Fácilmente se encuentra que los operadores derivada están relacionados como:
a -*
a
(A.6-7)
a+
- -- (send) -
(y) 6+
ay a a a a -= (O) - + (O)- + (1) az ar ae az ar
a
(O) a¿
(A.6-8)
(A.6-9)
Con estas relaciones, las derivadas de cualesquiera funciones escalares (incluyendo, por supuesto, las carnponentes de vectores y tensores) con respecto a x, y y z pueden expresarse en términos de derivadas con respecto a r, 6 y z. Una vez que se ha analizado la intemlación de las coordenadas y las derivadas en los dos sistemas de coordenadas, ahora se abordará la relación entre los vedores unitarios. Se empieza par observar que los vectares unitarios 8,) 6j,S, (o Si, 8%Ei3, como se les ha estado llamando) son independientes de la posición; es decir, independientes de x, y, z. En coordenadas cilíndricas los vectores unitarios 8, y 6 s dependen de
Nótese que se tiene cuidado en usar símbolos diferentes: jx y que iI. lo es de r, 0, z!
*, debido a que ,y es una funci6n de x, y, z diferente a ¡a
972 Apéndice A
Notación vectorial y tensorial Figura A.6-2 Vectores unitarios en coordenadas rectangulares y cilíndricas. Para simplificar las cosas se han omitido el eje z y el vector unitario S,.
la posición, como puede verse en la figura A.6-2. El vector unitario 6, es un vector de longitud igual a la unidad en la dirección de r creciente; el vector unitario es un vector de longitud igual a la unidad en la dirección de 8 creciente. Resulta evidente que a medida que el punto P se desplaza sobre el plano xy, las direcciones de S, y &e cambian. Razonamientos de trigonometría elemental conducen a las siguientes relaciones:
En las relaciones anteriores pueden despejarse a,,
.
1" '
ayy 6, para obtener
- cos @)S,+ (- sen @)Ss + (0)Sz Sy = (sen @Sr+ (cos @)Se+ (016,
6,
= (016,
+ (ONe + (116,
(A.6-13) (A.6-14)
(A.6-15)
La utilidad de estos dos conjuntos de relaciones se aclarará en la siguiente sección. Los vectores y los tensores pueden expresarse en componentes con respecto a coordenadas cilíndricas, como se hizo para coordenadas cartesianas en las ecuaciones A.2-16 y A.3-7 (es decir, v = S,v, + Seve+ 6 , ~ ~También, ). las reglas de la multiplicación para los vectores unitarios y las diadas unitarias son las mismas que en las ecuaciones A.2-14 y A.2-15 y A.3-1 a A.3-6. En consecuencia, las diferentes operaciones de producto punto y producto cruz (pero no las operaciones diferenciales!) se efectúan como se describió en 5A.2 y 5A.3. Por ejemplo,
. + (U T } = S & ( U ~ T+~ ureT&
+ GfSe(unrre + UTPOO
urz~zr) f
crr~zd
+ 6$z(uw~rz+ ~ r e T &+ urzrzz) + etc.
54.6
Álgebra de vectores y tensores en coordenadas curvílíneas 973
Coordenadas esféricas A continuación, para contar con un referente, se tabulará la misma clase de información para las coordenadas esféricas r, 8 y 4. Estas coordenadas se muestran en la figura A.6-lb. Su relación con las coordenadas cartesianas es la siguiente: x=rsen@cos4 y = r sen O sen 4
(A.6-19) (A.6-20)
r = +dx2+$-tz2 6 = ardan(-/=)
(A.6-22) (A.623)
Para las coordenadas esféricas se tienen las siguientes relaciones para los operade res derivada:
a
- = (sen 6 cos $1
(A.625)
ax
4
-a - ( s e n ~ s e n + ) -a+ ay ar
a
- -- (COS
az
e) 2 + ar
a (cos 8rsen 4 )%+(%)$
a (- v)$ + (0)34
(A.6-26) (A.6-27)
Las relaciones entre bs vectores unitarios son (sen e cos 418,
+ (sen O sen 4)Sy + (COS + (COS 6 sen $)Sy + (- sen @Sz
S+ = (- sen +)Sx + (cos 41% + (0PZ
(A.6-28) (A.6-29) (A.6-30)
8, = (sen 6 cos &)S, 1- (cos O cos #)SB+ (- sen +)')S+ = (sen O sen 416, + (cos O sen +)ae+ (cos +)6+ S, = (COS O)& + (- sen 8)6,3 + (0)S4
(A.6-31) (A.6-32) (A.6-33)
e - (COSO cos +)S,
Y, por ÚItuno, algunas operaciones muestra en coordenadas esféricas son
Es decir, las relaciones (jque no implican V!) dadas en 5A.2 y 5A.3 pueden escribirse dwctamente en términos de componentes esféricas.
974 Apéndice A Notación vectorial y tensorial
EJERCICIOS
9A.7
1.
Demostrar que
2.
donde 6, es el vector unitario en la direcci6n r en coordenadas esféricas. Verificar que en coordenadas esféricas se cumple 8 = S&, + 6$ie + 6.464,.
OPERACIONES DIFERENCIALES EN COORDENADAS CURVIL~NEAS Ahora se abordar6 el uso del operador V en coordenadas curviüneas. Así como se hizo en la sección previa, se trabajarán en detalle los resultados para coordenadas cilúidricas y esféricas. Luego, el procedimiento se resume a fin de obtener las operaciones V para cualesquiera coordenadas curvilíneas ortogonales.
Coordenadas cilíndricas
Con base en las ecuaciones A.6-10,A.6-11 y A.6-12 es posible obtener expresiones para las derivadas espaciales de los vectores unitarios S,, So y S,:
Sería conveniente que el lector interprete geornétricamente estas derivadas considerarido la forma en que S , So y 6, varían a medida que cambia la ubicación de P en la figura A.6-2. Luego se aplica la definición del operador V en la ecuación A.4-1, las expres t ~ n e sen las ecuaciones A.6-13, A.6-14 y A.6-15 y los operadores derivada en las ecuaciones A.6-7, A.6-8 y A.6-9 a fin de obtener la fórmula para V en coordenadas cilhdncas
= (6,
1
a sen tJ 2 cos e - S, sen 8) cos 8 - - -a
+(S, sen B+So COSO)
,
a
e
a
(A.7-4)
5A.7 Operaciones diferenciales en coordenadas n w i h e a s
975
Una vez que se realizan los productos indicados en esta expresibn, y al cabo de una sirnpl~ficaciónconsiderable, se obtiene
(A.7-5) para coordenadas cilíndricas. Lo anterior puede usarse para obtener todas las operaciones diferenciales en coordenadas cilíndricas, en el supuesto de que las ecuaciones A.7-1, A.7-2 y A.7-3 se usen para diferenciar cualesquiera vedores unitarios sobre los que opere V. Esta cuestión se aclarará en el próximo ejemplo ilustrativo. Coordenadas esféricas Las derivadas espaciales de 6 , Se y S$ se obtienen al diferenciar las ecuaciones A.6-28, A.6-29 y A.630: ( A 7-6) .
a 6, 84
= S$ sen B
a SO = -Sr -
a 6, = S+ cos 0 -
a4
34
sen 8 - S, cos 8
A1 utilizar las ecuaciones A.6-31 a A.6-33 y las ecuaciones A.6-25 a A.6-27, en la ecuación A.4-1 se obtiene la siguiente expresión para el operador V:
a
1 a V = S -+E,--+S+--
ay
r a0
1
a
r sen 9 a4
en coordenadas esféricas. Esta expresión puede usarse para obtener operaciones diferenciales en coordenadas esféricas, en el supuesto de que las ecuaciones A.7-6, A.7-7 y A.7-8 se usen para diferenciar los vectores unitarios. Coordenadas ortogonales generales Hasta el momento se han analizado los dos sistemas coordenados curvilíneos de mayor uso. A continuación se presentan sin demostración las relaciones para cualesquiera coordenadas curvilíneas ortogonales. La relación entre las coordenadas cartesianas X i y las coordenadas curvilíneas q , se define como
1
~2
xl(q1, q2r q 3 ) = ~2(q1,q2, q3)
x3
= ~3(q1,92,93)
Xl =
O
bien,
xi =
976
Apéndice A Notación vectorial y tensorial
En las ecuaciones anteriores pueden despejarse Ias q, para obtener las relaciones inversas qa = qa(xi).Así,' los vectores unitarios Sien coordenadas rectangulares y los 6, en coordenadas curvilíneas están relacionados como sigue:
donde los "factores de escala" ha están dados por
Luego puede encontrarse que las derivadas espaciales de los vectores unitarios S, son
y el operador V es
E1 lector debe verificar que las ecuaciones A.7-14 y A.7-15 pueden usarse para obtener las ecuaciones A.7-1 a A.7-3, A .7-5 y A.7-6 a A.7-9. A partir de las ecuaciones A.7-15 y A.7-14, ahora es posible obtener las siguientes expresiones para la más sencilla de las operaciones V:
En la última expresión, los vectores unitarios son los que perienecen al sistema de coordenadas mrviheas. En la obra de Morse y Feshbach pueden encontrarse operaciones adicionales.]
P. Morse y H. Feshbach, Methods of Thwrefjml Physics, McGraw-Hili, Nueva York (19531, pp. 26 y 115.
gA.7 Operaciones diferenciales en coordenadas c W n e a c
gm
Los factores de escala que acaban de introducirse también se presentan en las expresiones para los elementos de volumen y de superficie dV = hlh2h3dqldq2dq3y dSap = hJzpdq&qB ( a # P); aquí dSap es un elemento superficial sobre una superficie de y constante, donde y # a y y # P. El lector debe verificar que de esta manera pueden encontrarse los elementos de volumen y varios elementos de superficie en coordenadas cilíndricas y esféricas. En las tablas A.7-1 a A.7-3 se resumen las operaciones diferenciales que se encuentran más a menudo en coordenadas cartecianas, cilíndricas y esférica^.^ JAS expresiones de las coordenadas curvilíneas dadas pueden obtenerse con el método que se ilustra en los dos ejemplos siguientes.
Obtener expresiones para (V v) y V v en coordenadas cilíndricas.
Operaciones SOLUCI~N diferenciales en coordenadas cilíndricas
a) Se empieza por escribir V en coordenadas cilíndricas y descomponer v en sus componentes
(D. V)
=(ba
-+6,
* ar
.16.vr f
)
Ggug +SZvIJ
(A.7-19)
A1 expandir lo anterior se obtiene
Luego se usan las relaciones que se proporcionaron en las ecuaciones A.7-1 a A.7-3 para evaluar las derivadas de los vectores unitarios. Asl se llega a
Para otros sistemas coordenados, véase la extensa compilación de P. Moun y D.E. Spencer, Field Theory Handbook, Spiinger, Beriín (1961).Además, se dispone de un sistema coordenado ortogonal en el que uno de los tres conjuntos de superficies coordenadas está compuesto por conos coaxiaies (pero con ápices no coincidentes);J.F. Dijksman y E.P.W. Savenije, crfadores de este sistema coordenado han tabulado todas las operaciones V en Rheol. Acta,
24,105-118(1985).
978
Apéndice A Notación vectorial y tensorial
Bbido a que (6, - &) = 1, (6, .60) = O, y asf sucesivamente, la Última expresión se simplificaa
que es igual a la ecuación A de la tabla A.7-2. Aunque el procedimientoes algo tedioso, es directo.
Tabla A.7-1 Resumen de operaciones diferenciales que implican al operador V en coordenadas cartesianas (x, y, z) b x + (v.V)= ax
a9
=
(B)
a$
ay^
%($)
+
.y(%)+
(3) ax + TW($)
+
(A)
ay
a% + a2s +-
( ~ 2 =~ 25 ) .:v.,
-L+2%
yX
Tn(%)
+Tyz(h)
+Tz($)+Ty(~)+Tn($)
as [Vslx = -
DI
ax
as
[Vsl, = -
(E)
ay as
[Vsl, = -
O
az
[V
"Ix
=
2% - 23. ay
3.2
[V x VI,
avx = -
av, -
[V x v],
=
at
av
ax
[V
7Ix =
[V , 7Iy = [V
au
ay
A,
[V2vlx = -
ax2
=
CV2VIz=-
(1)
ay
+ -ara a~
U)
a
a~
(K)
arZZ az
(L)
%Y+%+*
a~
(H)
- -x-
aTu + a~
-
(G)
ax
a, + aTyz . 7IZ= a~ ay
LV%Iy
(C)
-
+ -a2vx +ay2
h, az2
a 2 v a % a 2 v
$+ ax2
ay2
+ T$
+ -3% + -3% ay2 az2
(M)
(N)
(O)
I
SA.7 Operaciones diferenciales en coordenadas curvilineas 979 Tabla A.7-1
(Continuación
a
a a ay + vz az
donde el operador (v . V) = v, - + vy -
ax
980 Apéndice A Notación vectorial y tensorial. Tabla A.7-2 Resumen de operaciones diferenciales que implican al operador V en coordenadas cilíndricas (r, O, z)
gA.7 Operaciones diferenciales en coordenadas curviiíneas 981 Tabla A.7-2 (Continwción)
( v . V1]& = (Y
V)T&
+ 2.22 r
TtZ
a
donde el operador (v V) = vr - + ar
a 7 a + v, z
982
Apéndice A Notación vedorial y tensonal
Tabla A.7-3 Resumen de operaciones diferenciales que implican al operador V en coordenadas esféricas (r, 8, 4)
a
1 (V - v ) = - - (?u,)
P ar
(VZs) =
1 a - P
9 a(
(7:VvI =
1 a (u8sen 8) + l av, +rsen e a0 r sen 8 34
1 isene
b) + -ae
-
Trr(2) +
de
Y
r
1
Lrsen a ve ,3 -4 - , r
Y
r sen e a4
a0
-% + rsene 3 4
[Vsl,
=
a2s
r
3 +31cote r r
as ar
I as [ V S ] ~=-
ae
Y
tVs1,
1 as r sen e a4
= --
[V x VI,
=
1 a 1 h e - (ve sen 0) - r sen 0 30 T sen e a4
(G)
a
[ v x V l o =1 - ~ - - - ( NJ r sen 3f a4 r ar
IV x VI*
1 a r ar
1 av,
= - - (mo)- -
1
a
9
ar
r
[V - 71, = - - ( J - 2 ~ ~t1
-
ae
a
1
a
1 roe + (re sen 8) + -r sen e a+ '++ r
a a+
1 a 1 a 1 [ V - T ]=~ - (G~ro)+ - (q8sen 6) + -- ? ar rsen e ae r sen t9
a
-a
1 1 [V . TI+ = - - ( 1 3 ~ ~+4 ) y3 ar r sen e ae (704sen 8)
+
1 a +r sen e - T~~ +
(70,
7~
- 7 r e ) - T N cot e T
e
(T&- 7rd f
T& C O ~
T
~I#J
a
2
a IVWo=;iá;(
y
2
+ -~l-
ar)
a =$ P ~ V rI ~ar ~ 2 - (+ - -
$)
a
iae 1
a
(serie aea I-
? '20 ( -sJe-n-oa (ae v+wne)
2 a +---+------A
1 a2v0 ) P sen2 e a& ) +---e+-12 sen2 2 4
(vosen@)
1
O
~, ae
2
(vesen 8) -
%
t'2sen 8 2 4
2 C O e~ av r2 sen e a4
avr
? sen e a4
+
(N)
2 C O ~e avs r2 sen 8 30
(M)
(0)
(Continúa)
5A.7 Operaciones diferenciales en coordenadas curvilíneas 983 Tabla A.7-3 (Continuacidn)
1 r sen 8 a4 e
r
(P)
)
r {Vv), =
b r ar
1VvLe = (VvIr+ = (Vvlw= [Vvtee =
b e
-h ve ae - 7
1 av,
f
1
,, he
+
v r
(Vvle4 = l a v e
7
1
,VV]& =
r s e n e 29
(Vv],
I av e r sen 0 34
=
-
r
1
{Vv).$&, = --L r sen e 34 IV V T I = ~
3 r
cot 0
+3 +9 cot 0 r r
(y) + V)T,@ + ( y )( I ~ ( v - v)r,+ ( y ) +
(V . v)rrr -
TOA -
(-0
( V . V1]re = ( V .
-
~v VT),+ =
(V . VT]++ = (V V)rM
( y )(rrd + r+r)
- y$ -
-
+
- T@+) + rrg mi 01
704
[(rr9
a
+~+r)
f
o
a
(704 + 740) C
donde el operador ( v . V) = v, - + - - + ar r de rsene
O 0 ~1
aa4
984
Apéndice A Notaci6n vectorial y tensonal b) A continuación se analiza al producto diadico Vv:
Aqui, la componente rr es ¿b,/Jr, la componente re es aue/ar, y así sucesivamente, como se muestra en la tabla A.7-2.
Encontrar la componente r de [V
Operaciones diferenciales en coordenadas esféricas
T]en
coordenadas esféricas.
SOLU~XóN Al usar la ecuación A.7-9 se llega a
i
r
a
1 r sen 9 a4
ae
+ 6~j6r7, + 68s6768
. 16,6,7,
4- 668+789 + S+Sr7+r
f
SrSe7,o + 6,647r9
+
+
S+64T4$)1r (A.7-24)
Ahora se usan las ecuaciones A.7-6 a A.7-8 y la ecuación A.3-3. Debido a que sólo se busca la componente r, sólo se eligen aquellos términos que contribuyen al coeficiente de 6,:
I a . s,s,T,] = [S. . 6,S.I -r
1
r sen O
a
a+
1
ae T, + otro término
'
a S4Or7+,. = [S4 - S4Sr1-r sen e a+ '@
[S, $ S ~ S , T ~ ]y [se ($Sr}Sr ] + =
(A.7-26)
+ otro término
b8
Sr
[$6r}]
(A.7-27)
$4.7
Operaciones diferenciales en coordenadas curvilíeas 985
1
r sen 8 'rrr
r sen B
'2-. [pe
TW]
ae
= a.
(- +)+
1 a [6+--S86,r,]=6,r sen 19 a+ 1 --.6
a
r sen 0 84
Te
(A. 7-29)
[6,.6, seneS,] =&,k r otro termino
cos e
r sen 0 6
*] (+) +
) +T
= Sr
otms términos
Al combinar los resultados anteriores se obtiene 1 a 767 1 a [V.TI,=- - ( ? T ~ ) + coto+-? ar r r a8
T&+-
1 rsen
e
* a&
-
799
iT+,$
r
(A.7-33)
Nótese que esta expresión es correcta sin importar si .r es simétrico o no.
EJERCICIOS
1.
2.
3.
Si r es el vector de posición instantánea de una partícula, demostrar que la velocidad y la aceleración de la partfcula están dadas por (utilizar la ecuación A.7-2)
en coordenadas cilíndricas. Los puntos indican las derivadas con respecto al tiempo de las coordenadas. Obtener (V . v), [V X v] y Vv en coordenadas esféricas, y [V T] en coordenadas cilíndricas. Usar la tabla A.7-2 para escribir directamente las siguientes cantidades en coordenadas cilindncas:
a) (V pv), donde p es un escalar C)
[V - @lo, donde p es un escalar
e) Iv
4.
Vvl,
b) [V
pvv], donde p
es un escalar
- IT - VI) Vv + (VV)+
d) (V f)
Comprobar que los elementos para V2v en la tabla A.7-2 pueden obtenerse con cualquiera de los métodos siguientes:
-
a) Primero, verificar que en coordenadas cilíndricas el operador (V V) es
y luego aplicar el operador a v.
986
Apendice A Notación vectorial y tensorial b) Usar la expresión para [V - T ] en la tabla A.7-2, pero sustituir las componentes de Vv en lugar de las componentes de T , a fin de obtener [V . Vv]. c)
Usar la ecuación A.4-22:
y utilizar las operaciones gradiente, divergencia y rotacional de la tabla A.7-2 para evaluar las operaciones en el miembro derecho.
5A.8
OPERACIONES INTEGRALES EN COORDENADAS CURVIL~NEAS Al efectuar las integraciones d e 5A.5 e n coordenadas cuwilíneas, es importante comprender la construcción d e los elementos d e volumen, como s e muestra para coordenadas cilíndricas e n la figura A.8-1 y para coordenadas esféricas e n la figura A.8-2. Al efectuar integrales de volumen, las situaciones más sencillas son aquellas en que las superficies Iimitantes son superficies del sistema coordenado. Para coordenadas cilíndricas, una integral d e volumen típica d e u n a función flr, O, z) sería d e la forma
y para coordenadas esféricas, una integral d e volumen típica de u n a función g(r, O, 4) sería
ItIzj:g(r,
O, 6 ) r 2 d r sen
e d o d+
z 1,
Superficie Pla
Figura A.&l Elemento diferencial de volumen r dr d0 dz en coordenadas
cilíndricas, y elementos diferenciaIesde línea dr, r d0 y dz. Los elementos diferenciales de superficie con: (r dO)(dz)perpendicular a la dirección r (sombreado intermedio); (dz)(dr) perpendicular a la dirección 0 (sombreado más oscuro); y (dr)(r do) perpendicular a la dirección z (sombreado más claro).
5A.8 Operaciones integrales en coordenadas a m i l í n e a s 987
/
esférica de radio r
/'
Figura A.8-2 Elemento diferencial d e volumen 9 sen Odr d 8 d+ en coordenadas esféricas, y los elementos diferenciales de línea dr, r di3 y Y sen e d4. Los elementos diferenciales de superficie son: (r dO)(r sen 0 d#) perpendicular a la dirección 7 (sombreado más claro); (r sen 0 d#)(dr) perpendicular a la dirección O (sombreado más oscuro); y (dr)(r d o ) perpendicular a la dirección # (sombreado intermedio).
Debido a que los límites en estas integrales (ri, r2, 81, 82, etc.) son constantes, el orden de integración carece de importancia. AI efectuar integrales de superficie, las situaciones más sencillas son aquellas en que la integración se realiza sobre una de h s superficies del sistema coordenado. Para coordenadas cilíndricas hay tres posibilidades: (A.8-3)
Sobre la superficie r = ro:
Jz:$f(ro,
Cobre la superficie 0
= 00:
%j:f(r.$,.z)drdz
(A.8-4)
Sobre la superficie z
=z ~ :
:I
(A.8-5)
0, z)rOd o d z
J r y f ( r , O, z0)r d r d o
De manera semejante, para coordenadas esféricas: Sobre la superficie r
= ro:
'1A jB2g(q. B. d ) r l sen 8 d 0 d d
(A.8-6)
81
Sobre la superficie 8
- 6:
Sobre la superficie + = 6:
:j
Ir: g(r, 0,. 4 ) sen
~ 6 z ~ gr( r2 , 81 r1
60
O, 6 ) r d r d O
rdr d4
(A.8-7) (A.8-8)
El lector debe intentar hacer diagramas para mostrar exactamente qué áreas describe cada una de las seis integrales de superficie anteriores. Si el área de integración en una integral de superficie no es una de las superficies del sistema coordenado, entonces es necesario consultar un libro d e cálculo diferencial e integral.
988 Apéndice A Notación vectorial y tensorial
5A.9
COMENTARIOS ADICIONALES SOBRE LA NOTACIÓN VECTOR-TENSOR
La notación en negritas que se utiliza en este libro se denomina notación de Gibbs.' Otra notación que también se usa ampliamente se denomina notación tensorial cart e ~ i a n aComo .~ se muestra en la tabk A.9-1, para comparar los dos sistemas bastan unos cuantos ejemplos. Las dos columnas exteriores son simplemente dos formas distintas que se usan para abreviar las operaciones descritas explícitamente en la columna de en medio en coordenadas cartesianas. Las reglas para convertir un sistema en el otro son las siguientes. Para convertir de notación expandida a notación tensorial cartesiana: 1. Se omiten todos los signos de operación suma (la "convención de operación
suma de Einstein"). Ce omiten todos los vectores unitarios y todas las díadas unitarias. 3. Se sustituye a/axi por di. 2.
Tabla A.9-1
Notación de Gibbs (v ' w)
Notación expandida en términos de vectores unitarios y díadas unitarias
Notaci6n tensorial cartesiana
C uiwi i
[VX
W]
CC&jksivjwk i
j
k
[V x [V x vll
Pura convertir de notación tensorial cartesiana a notación expandida: 1. Escribir signos de operación suma para todos los indices repetidos. 2. Escribir vectores unitarios y díadas unitarias para todos los índices no repetidos; en cada término de una ecuación tensorial, los vectores unitarios deben aparecer en el mismo orden en las diadas unitarias. 3. Sustituir di por a/axi.
' J.W.Gibbs, VectorAdysis, Reimpresiónde Dover, Nueva York (1960). W. Prager, Mechnics of Continua, Ginn, Bmton (1961).
gA.9 Comentarios adicionales sobre la notaci6n vector-tensor 989
La notación de Gibbs es breve, fácil de leer y carece de cualquier referencia a un sistema coordenado particular; sin embargo, es necesario conocer el significado de las operaciones punto y cruz, así como el uso de los símbolos en negritas. La notación tensorial cartesiana indica explícitamente la naturaleza de las operaciones en coordenadas cartesianas, aunque pueden cometerse errores graves al leer o escribir subíndices. Quienes conocen ambos sistemas prefieren iguahente la notación de Gibbs para hacer análisis generales y presentar resultados, aunque se revierten a la notación tensorial cartesiana para demostrar identidades. Ocasionalmente, para mostrar las componentes de vectores y tensores con respecto a los sistemas coordenados designados se utiliza la notación matricial. Por ejemplo, cuando v, = yy, vy = O, u, = O, Vv puede escribirse en dos formas:
El segundo "=" no es realmente un signo "iguai", sino que debe interpretase como "puede representarse como". N6tese que esta notación es algo peligrosa, ya que deben inferirse las díadas unitarias que deben multiplicarse por los elementos de la matriz - e n este caso, S&, S&, etc. Si se hubiesen utilizado coordenadas cilíndricas, entonces Vv se representaria con la matriz j sen 8 cos 6 -j sen2 8 -y sen 9 cos 0 O
o
(A.9-2)
donde se entiende que los elementos de la matriz deben multiplicarse por S$,, etc., y luego sumarse entre si. A pesar del riesgo de efectuar una interpretación errónea y del uso relajado de "=", la notación rnatricial se utiliza ampliamente, debido en primer lugar a que las operaciones "punto" corresponden a las reglas de la multiplicación estándar de matrices. Por ejemplo,
Por supuesto, estas multiplicaciones matriciales tienen sentido sólo cuando las componentes se refieren a los mismos vectores unitarios.
Apéndice B
Densidades de flujo y las ecuaciones de variación Ley de viscosidad de Newton Ley de conducción de calor de Fourier (Primera) Ley de Fick de la difusidn binaria La ecuación de continuidad La ecuación de movimiento en términos de 7
La ecuación de movimiento para un fluido newtoniano con p y p constantes La función de disipación a, para fluidos newtonianos La ecuación de energía en términos de q La ecuación de energía para fluidos newtonianos puros con p y k constantes La ecuación de continuidad para la especie a en términos de j, La ecuación de continuidad para la especie A en ténninos de wA para pam
constante SB.1 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON [T= -
~ ( v v+ ( v v ) ~ ) + (-$ ~K)(V
'
V)
$1
Coordenadas cartesiams (x, y, z):
+
TYz=
Tzy
= -p
($p,
- (v K)
V)
(B.i-i)a
[a, "1
+ -
donde
" Cuando se supone que el fluido tiene densidad constante, puede omitirse el término que contiene (V .v). Para gases monoatómicos a baja densidad, la viscosidad de dilatación K es cero.
992 Apéndice B
Densidades de flujo y las ecuaciones de variación
sB.1 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON (continuación) Coordenadas cilíndticas (r, 0 , ~ ) :
1 da,
donde
a Cuando se supone que el
fluido tiene densidad constante, puede omitirse el Mrmino que contiene
(V v). Para gases monoatómicos a baja densidad, h viscosidad de dilatación K es cero. Coordenadas esféricas (r, 8, 7,
4):
- - p [ Z h ]+
($p-r)
(v.v)
(~.i-i5y (B.1-16)' (B.1-lqa
r (B.1-18)
(B.1-19)
T4r
-
rd
=
- p [ i *
rsene 8 4
+ r d (%)] dr
(B.1-20)
r
donde
(VT)
---
1 d 1 d 1 a.o, ( r 2 v , ) + -- ( v eseno) + -r2 dr rsen0 30 rsene
~I#J
(~.l-21)
Tuando se supone que el fluido tiene densidad constante, puede omitirse el término que contiene (V v). Para gases monoatómicos a baja densidad, la viscosidad de dilatación K es cero.
98.2
Ley de conducción de calor de Fourier 993
5B.2 LEY DE CONDUCCI~ND E CALOR DE FOURIERa
Coordenadas cartesianas (x, y, 2 ) :
Cwrdenadas cilíndricas (r, 8, r):
Coordenadas esf&ims (Y,9, 4):
a
Para mezclas, el término Xm ( q / ~ , ) j , debe sumarse a q (véase la ecuacibn 19.2-3).
994
Apéndice B Densidades de flujo y las ecuaciones de variación
5B.3 (PRIMERA) LEY DE FICK DE LA DIFUSIÓN BINARIAa
[ jA =
- P ~ A B ~ ~ A ]
-
Coordmdas cartesianas (x, y, 2): ~ W A
(B.3-1)
JAX ' - P ~ A B =
Coordenadas cilindricas (r, 8, z):
Cmdenadas esfmicas (r, 0, 4):
(B.3-9) a
Para obtener las densidades de flujo molar con respecto a la velocidad molar media, es necesario sustituir jA,
PYWAPO~J~.CYX~.
5B.4 LA E C U A C I ~ NDE CONTINUIDADa [dp/dt
+ (V. pv) = O ]
Coordenadas curtesianas (x, y, 2):
Coordmadas cilíndricas (r, 6,z):
-
-
--
Coordenadas esféricas (r, O, 6): d p l d -+--(pr d t r2 ar
2
u,)
+- 1
d ( p v s sen O)
r sen 0 a 0
+-
1 a rsen0 dc#~
("3 -O
(8.4-3)
Cuando se supone que el fluido tiene densidad de materia constante p, la ecuación se simplifica a (V v) = o.
a
gB.5
La ecuación de movimiento en t6rminos d e T
Coordenadas carfesianas (x, y, 2):"
" Estas ecuaciones se han e m i t o sin hacer la suposición de que r es simétrico. Esto significa, por ejemplo, que cuando se establece la suposición común de que el tensor de esfuerzo es simétrico, entonces r y ry,pueden =Y intercambiarse.
boordmadas cilíndricas (r, 9, z):~
'Estas ecuaciones se han escrito sin hacer la suposición de que 7 es simétrico. Esto significa, por ejemplo, que cuando se establece la ;uposición común de que el tensor de esfuerzo es simbtrico, entonces T , ~ r8, = 0.
hrdenadas esféricas ( r , 8, c $ ) : ~ Jvr dr
v dv, +,av,+2!L--r
7,
$0
)
r sen O
ve
J4
-
%+u* dr r
[+2
=-- dp
')
dr
- 'roe
1 d I d +-(7er sen 6 ) + -r sen B d0
1 d rr8) + r sen 0 do (roesen
VI+^^
+
r
r sen O d $ 74r
V4 oio+v4='r+vev,=ot0 r sen O d+ r
1
d
1
(r 37r41+ --( ~ ~ ~O )s +e-n r sen B d0 r sen O
-
1
=---
T94
r
1 d (Ter e) + r sen 8 94 748 +
%+ de
+
]
+ P8.
rr8 ) - T M C O e~ r dP
r sen B d+
d
"4
'
(T@
- Tr4)+
T+e C O f
6'
r
h a s ecuaciones se han escrito sin hacer la suposición de que T es simétrico. Esto significa, por ejemplo, que cuando se establece la uposición común de que el temor de esfuerzo es simétrico, entonces T~~ - T ~ =, 0.
995
996
Apéndice B Densidades de flujo y Las ecuaciones de variación
5B.6 LA E C U A C I ~ NDE MOVIMIENTO PARA UN FLUIDO NEWTONIANO CON p Y L./ CONSTANTES
Coordenadas cartesianas (x, y, 2):
..
Coordenadas díndricas
(Y,
8,~):
Coordenadas esfériu~s (r, O, 4):
d2 1 -(rZv,) + dr r 2 sen 6 ave + dr
! dv!
r
86
+'[-j$( r 2 2 ) +
s
+ A a vL r sen 9
+
v,ve ~ v ; c o t e r
~ de~ sen ( e~ d e~
(
1 d2vg + - 2+ - d-v D 01I + sr 2 see n n2 e dQ2 r 2 r m ~
)
2 ~ 0 t 9 dae r2sene
+ pg+ (B.6-9)
La cantidad entre corchetes en la ecuación 8.6-7 no es lo que habna que esperar de la ecuación (M)para [V Vv] en la tabla A.7-3, debido a que a la ecuación (M) se ha sumado la expresión para (2/r)(V . v), que es cero para fluidos con p constante. Así se obtiene una ecuación mucho más sencilla.
a
93.8 La ecuación de energía en t6rmirtos de q 997
I 5B.7 :
-
LA F U N C I ~ N DE DISIPACI~NODPARA FLUIDOS NEWTONIANOS (VÉASE LA E C U A C I ~ N 33-31
3 r d m d a s cartesianas (x, y, 2):
enadas cilindricas
(Y,
O, z):
1 dv,
%=2
[(3)'+ (fa ) ' (-o + +L+
1
r sen
dv+
dv,
+
an, 2
v , + v e coto y
krdenadas cartesianas (x, y, z):
~aordenadascilíndricas ( Y , O, z):
h r d m d a s esféricas (Y, 8, 4):
El termino de disipación viscosa, -(T:VV), se proporciona en el apCndice A, tablas A.7-1, A.7-2 y A.7-3. Comiinmente este término puede Dorarse, excepto para sistemas con gradientes de velocidad muy grandes. E1 tPrrnino que contiene (d in p / d in T ) pes cero para luido$ con p constante.
998
Apéndice B
Densidades de flujo y las ecuaciones de variación
5B.9 LA E C U A C I ~ NDE ENERG~APARA FLUIDOS NEWTONIANOS PUROS CON p Y k CONSTANTESa [ & D T / D ~ k v 2 +~
-
q,]
--
Coordenadas cartesianas (x, y, z):
Coordenadas cilíndricas (r, 0 , ~ ) :
Coordenadas esféricas (r, 8, 4): dT
&,(-z+V,
d T v dT U,+ aT -+o-,-dr r d9 r sen 9 34
)=
1
r 2 sen 8 80
(B.9-3)'
Esta forma de la ecuación de energía también es válida bajo las suposiciones menos reshictivas k = constante y (d in p / d in T ) pDp/Dt = 0. La suposici6n p = constante se proporciona en el encabezado de la tabla debido a que es la suposición que se hace m6s a menudo. La función e,se proporciona en 5B.7. El termino pQVsuele ser despreciable, excepto en sistemas con gradientes de velocidad grandes.
a
SB.10 LA E C U A C I ~ NDE CONTINUIDAD PARA LA ESPECIE a EN TÉRMINOS~DE j,
-
[ v D % / D ~= - (V j, 1 + r,]
Coordenadas cartesianas (x, y, 2): d", dx
do, +uy -
+
ay
ra
(8.10-1)
Coordenadas cilíndricas (r, O, z): do,
dr
-
+--'Do
du,
r
(B. 10-2)
de
Coordenadas esféricas ( r . e. dI: aw,
+ev ao, +--)=v,p
dr
r
de
r sen 0
do,
- [ 7 x1( r 2aj u r ) + - -
d4
1
a (jao sen
r sen 0 de
e) +
-"
Para obtener las ecuaciones correspondientes en términos de J: deben hacerse las siguientes sustituciones:
Sustituir
P
0,
j,
v
r*
por
c
X,
Ji
V*
Ru -
N
x,C Rg
-r sen 0
dc$
(8.10-3)
SB.11 La ecuación de continuidad para la especie A en términos de wA para P9AB constante 999
§B.II LA E C U A C I ~ NDE CONTINUIDAD PARA LA ESPECIEA EN T~RMINOS DE w, PARA p9,, CONSTANTEn
Coordenadas cartesianas (x, y,
2):
Coordenadas cilíndricas (r, 8, z):
+ r~ -d ed w ~d$2 +w ~~=p9u[:+k+) ),
dóirw ~
-
+ T1- + d2mA T ] + r A d20A
r
de2
(B. 11-2)
dz
Coordenadas esféricas (r, 8, 4):
1-
+%?!%+Lbr
a
r sen O
do
d4
1 8
[T r -dr
(r
2%
)'&$Pede) ~
dr
W
A +
Para obtener las ecuaciones correspondientes en términos de xA, deben hacerse las siguientes sustituciones:
Sustituir
P
m*
V
'A
Por
c
xA
V*
xBRA - xARB
r 2 m 2 @ "d$ ,~]+r~
Apéndice C
Temas matemáticos 1
Algunas ecuaciones diferenciales ordinarias y sus soluciones
gC.2
Expansión de funciones en serie de Taylor
5C.3
Diferenciación de integrales (fórmula de Leibniz)
w.4
La función gamma
w.5
Las funciones hiperbólicas
9C.6
La función de emr
En este apéndice se resume información sobre temas matemáticos (distintos a vectores y temores) que son de utilidad en el estudio de los fenómenos de transporte.'
SC.1 ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y SUS SOLUCIONES Aquí se reúne una breve lista de ecuaciones diferenciales que se presentan a menudo en fenómenos de transporte. Se supone que el lector está familiarizado con estas ecuaciones y con las técnicas para resolverlas. Las cantidades a, b y c son constantes reales y f y g son funciones de x.
Ecuación
Solución
y = C, cosh ax
+ C, senh ax o bien,
y = C3e+llx+ C4e-ax
'
(C.l-4a) (C.1-4b)
Algunos libros útiles de referencia en matemáticas aplicadas son los siguientes: M. Gbramowitz e LA. Stegun, Harrd. b00k c$Mathernntid Functions, Dover, Nueva York, 9a. impresión (1973);C.M.Murphy, Ofdimry Differentinl Eqwtions afzd Their Solutions, Van Nostrand, Princeton, N.J. (1960);1.1. Turna, Engineoing Mathematrcs Handbwk, 3a. ediciiin, McGrawHiU, Nueva York (1987).
1002 Apéndice C
Temas matemáticos
Se resuelve la ecuación n2 + an + b = O y se obtienen las raíces n = n, y n = n-. Luego, a) si n+ y n- son reales y distintas, (C.l-7a) y = C,exp(n +x) + C,exp(n-x) b) si n, y n- son reales e iguales a n, y = en' (Clx + CZ) (C.1-7b) C)si n+ y n _son complejas: n, = p I iq, y = epx (C1 cos qx + C2 sen q x ) (C.1-7c) y
- c11;
exp(-Y' MF + Ci
(C.l-8)
y = C,xnl + C,xnz + C3xn3,donde las nk son las raíces de la ecuación n(n - l)(n - 2) + an(n - 1) + bn + c = O, en el supuesto de que todas las raíces son distintas. Notas: En las ecuaciones C.l-4 y C.l-6, las decisiones sobre utilizar las formas exponenciales o las funciones trigonométricas (o hiperbólicas) suelen tomarse con base en las condiciones límite del problema o en las propiedades de simetría de la solución. LS; ecuaciones C.1-5 y C . 1 4 se resuelven haciendo la sustihición y(x) = u ( x ) / x y luego despejando u(x) en la ecuación resultante. En las ecuaciones C.l-8 a C.1-13 puede ser conveniente o necesario cambiar los límites inferiores de las integrales a viro valor diferente de cem.
a
'
sC.2 EXPANSIÓNDE FUNCIONES EN SERIE DE TAYLOR
En problemas tísicos a menudo es necesario escribir una función y(x) en la vecindad de algún punto x = xo. Luego, la función y(x) se expande en una "serie de Tayloi alrededor del punto x = xor': r-
XO
w.3 Diferencición de integrales (fórmula de Leibniz) 1003
El primer término proporciona el valor de la función en x = xo. Los dos primeros términos proporcionan un ajuste lineal de la curva en x = x,. Los tres primeros términos proporcionan un ajuste parabólico de la curva en x = xo, y así sucesivamente. La serie de Taylor se usa a menudo, cuando sólo se requieren algunos de los primeros términos para describir de manera conveniente la función. A continuación se presentan algunas expansiones en serie de Taylor de funciones normales alrededor del punto x = 0:
(C.2-4)
En libros de texto y manuales de cálculo pueden encontrarse ejemplos adicionales de lo anterior. Las series de Taylor también pueden escribirse para funciones de dos o más variables.
5C.3 DIFERENCIACIÓN DE INTEGRALES (FÓRMULADE LEIBNIZ) Supóngase que se tiene una funciónf(x, t) que depende de una variable espacial x y del tiempo t. Entonces puede formarse la integral
que es una función de t [véase la figura C.3-la]. Si quiere diferenciarse esta función con respecto a t sin evaluar la integral, puede aplicarse la fórmula de Leibniz
En la figura C.3-lb se mues.tra el significado de las operaciones que se han efectuado aquí: el primer término del miembro derecho proporciona el cambio en la integral debido a que la función en sí varía con respecto al tiempo; el segundo término
a(t) a(t + At) P(t) @(t + At) x
Figura C.3-1 a) El área sombreada representa i(t)=j:::f(x, t)dx m un instante t (ecuación C.3-1). b) Para obtener d l / d t , se forma la diferencia l ( t + At) - l(t), se divide entre At y luego se hace Af + O. Las tres áreas sombreadas corresponden a los &Fs términos en el miembro derecho de la ecuación C.3-2.
1004
Apéndice C Temas matemáticos
explica la ganancia en área a medida que el Emite superior se desplaza hacia la d e recha; y el tercer término muestra la pérdida en área a medida que el límite inferior se desplaza hacia la derecha. Esta fórmula tiene muchas aplicaciones en ciencias e ingeniería. El análogo tridimensional se proporciona en la ecuación A.5-5. 5C.4 LA F U N C I ~ N GAMMA
La función gamma aparece a menudo como resultado de integraciones:
U n ) = Imxn-' e-' o
dx
Varias fórmulas de funciones gamma son importantes:
r ( n + 1)= nr(n) ( n )= ( n - 1
[usada para definir r ( n )para n negativo] (cuando n es un entero mayor que 0)
Algunos valores especiales de la función garnma son:
r(1)= 1x2) 1 m
r(+)=&-1.m45 ...
-
r(+) + r (+) = $ ,L 0.88622. .. r($) 2.67893... r ($) = $ r ($) = 0.89297... r(3)= 9 r($)= 1.19063... =
La función gamma se muestra en la figura C.4-1.
Figura (2.4-1 La función gamma.
gC.5 Las funciones hiperbólicas 1005 Hipérbola unitaria
Circunferenciaunitaria 2+$=1
sen~=IQ
9 = 2 x área sombreada = L POQ
= OQ
tan 0 = ~ / O cot 8 = 1 /tan 6 s e c o = l/cosO cscO= í/senB
Z8 = 2 X área sombreada
tanh e = V / O coth 8 = l/tanh 9 sech 6 = 1 /cosh 0 csch 6 = l/senh 0
~
Figura C.5-1 Comparación de funciones circuIares e hiperbólicas.
5C.5 LAS FUNCIONES HIPERB~LICAS El seno hiperbólico (senh x), el coseno hiperbólico (cosh x ) y la tangente hiperbólica (tanh x ) se presentan a menudo en problemas de ciencias e ingeniería. Están relacionadas con la hipérbola casi de la misma manera en que las funciones circulares están relacionadas con la circunferencia (véase la figura C.5-1). Las funciones circulares (sen x y cos x ) son periódicas y oscilatorias, mientras que sus análogos hiperbólicos no lo son (véase la figura C.5-2). Las funciones luperbólicas están relacionadas con la función exponencid como sigue: C O S x~
= (e" + e-X);
senh x: = +(ex - e-x)
(C.5-1,2)
Las relaciones correspondientes para las funciones circulares son: cos x
=
3 (&
+ e-");
sen x =
-
e-k)
(C.5-3,4)
Es posible deducir una variedad de relaciones normales para las funciones hiperbólicas, como cosh2 x - senh2 x = 1 cosh(x + y) = cosh x cosh y 2 senh x senh y senh (x & y) = senh x cosh y + cosh x senh y
(C.5-5) (C.5-6) (C.5-7)
/
/
/
/y = senh x
Figura C.5-2 Comparación de las formas de las funciones hiperbólicas.
1006 Apéndice C
Temas matemáticos
senh ix = i sen x
cosh ix = cos x; d cosh x dx
d senh x
= senh x;
= cosh x
dx
1cosh x d x = senh x;
1senh x d x = cosh x
Es necesario recordar que cosh x y cos x son funciones pares de x, mientras senh x y sen x son funciones impares de x.
92.6 LA F'UNCIÓN DE ERROR La función de error se define como erf x
- [ eXp(-x2>d%- .rn j j o x e x p ( - ~ 2 ~2
z
- exp(-~~~f O
Esta función, que surge de manera natural en numerosos problemas de transporte, es monótona creciente, y va desde erf O = O hasta erf m = 1, y posee el valor de 0.99 alrededor de x = 2. La expansión en serie de Taylor para la función de error alrededor de x = O se proporciona en la ecuación C.2-4. También merece la pena observar que erf ( - x ) = -erf x, y que d dx
-erf
u
-& 2
exp(-
2 du )dx
aplicando la fórmula de Leibniz a la ecuación C.6-1. La función erfc x = 1 - erf x muy estrechamente relacionada con la función de error, se denomina "función de error complementaria".
Apéndice D
La teoria cinética de los gases 1
Ecuaci6n de Boltzmann
5D.2
Ecuaciones de variación
5D.3
Expresiones moleculares para las densidades de flujo
5D.4
Solución de la ecuación de Boltzmann
5D.5
Las densidades de flujo en términos de las propiedades de transporte
5D.6
Las propiedades de transporte en términos de las fuerzas intennoleculares
5D.7
Comentarios finales
En los capítulos 1 , 9 y 17 se proporcionó una breve explicación del uso de razonamientos basados en la trayectoria libre media a fin de obtener expresiones aproximadas para las propiedades de transporte. Luego se proporcionaron los rigurosos resultados de la deducción de Chapman-Enskog para gases monoatómicos diluidos. En este apéndice se presenta una breve descripción de la teoría de Chapman-Enskog, apenas lo suficiente para mostrar qué implica esta teoría y enseñar cómo ésta proporciona un sentido de unidad al tema de fenómenos de transporte en gases. El lector interesado en profundizar sus estudios sobre el tema puede consultar las referencias bibliográficas normales.'
El punto de partida de la teoría cinética de mezclas no reactivas de gases monoatómicos a baja densidad es la ecuación de Boltzmann para la función de distribución de velocidad fa@,, r, f). La cantidad f,(r, r, f) dradr es el número probable de moléculas de la especie u que en el instante t se encuentran en el elemento de volumen dr en la posición r y tienen velocidades que varían en el intervalo que va desde dra hasta alrededor de r,. La ecuación de Boltzmann, que describe la evolución de f, con el tiempo, es
' J.H.Ferziger y H.G. Kaper, Mathmtical Theoy of Transpmt Pmcesses in Gases, North-Holland, Amsterdam (1972);
S. Chapman y T.G.Cowling, The Matkemnticnl Thwry of
Non-Uniform Gases, 3a. edición, Cambridge University Press (1970); J.0.Hirschfelder, C.F. Curüss y R.B.Bird, Molecular Thwry of Gnses and Liquids, 2a. impresiún corregida, Wiley, Nueva York (1964), capítulo 7; E.M.Lifshitz y L.P.Pitaevskii, Physical Kineiics, Pergamon, Oxíord (1981), Capítulo 1. L. Boltzmann, Sifzungsbetichte Keicerl. A W . der Wissenschnften,66 (2), 275370 (1872); C. Cercignani, The Boltzm n n Eqirntion and Its Applicatíons, Springer-Verlag, Nueva York (1988). C.F.Curtiss, J. C h . Phys.,97, 1416-1423,76797686 (1992), encontró necesario modificar la ecuaci6n de Bolturiann para tomar en cuenta la posibilidad de pares de mokuJas en órbita; se encontr6 que la modiflciición, importante s610 a temperahvas muy bajas, proporciona una mucho mejor concordancia con los Limitados datos experimentales a baja temperatura.
1008 Apéndice D
La teoría cinética de los gases
donde d/dr es idéntica al operador V, y d/dfffes un operador semejante que implica velocidades, en vez de posiciones. La cantidad g, es la fuerza externa por unidad de masa que actúa sobre una molécula de la especie a, y J, es un término bastante complicado de una integral quintuple que toma en cuenta el cambio en fa debido a colisiones moleculares. El t6rmino J , implica la función de energía potencial intermolecular (por ejemplo el potencial de Lennard-Jones) y los detalles de las trayectorias de las colisiones. La ecuación de Boltzmann puede entenderse como una ecuación de continuidad en el espacio hexadimensional posición-velocidad, y lafunciona como un término fuente. La función de distribución de la velocidad está "normalizada" con respecto al número de densidad de la especie a, es decir, !fa@, r/ Wi,= n,(r, t).
Cuando la ecuación de Boltzmann se multiplica por alguna propiedad molecular y luego se integra sobre todas las velocidades moleculares, se obtiene la ecuación general de variación:
Para obtener este resultado se realiza una integración por partes, y se usa el hecho de que fa es cero para velocidades infinitas. Si ib., es una cantidad que se conserva durante una colisión (véase g.3), entonces puede demostrarse que el término que contiene a Ja es cer0.l Luego se deja que $, represente de manera sucesiva las cantidades conservadas para moléculas monoatómicas: la masa m,, la cantidad de movimiento mard y la energía fma(i, . f a ) . Cuando lo anterior se sustituye por qa en la ecuación D.2-1, y cuando para la segunda y tercera de éstas se realiza una operación suma sobre todas las especies a, se obtienen las ecuaciones de variación para la materia, la cantidad de movimiento y la energía de a como se muestra a continuación:
d
-(+pv2+pu)=-(~-
dt
(+pv2+pu)v)-(~.q)-(~ [m - . v])+z((j, + k v ) . g,) LI
En la úItima de estas ecuaciones, la energía interna por unidad de volumen se define como
Así puede verse que las ecuaciones de continuidad, movimiento y energía son consecuencia directa de las leyes de conse~aciónde materia, cantidad de movimiento y energía que se anaIizaron en el capítulo 0. Las ecuaciones D.2-2 a D.2-4 deben compararse con las ecuaciones 19.1-7,3.2-9 y con la ecuación (B) en la nota de pie de página @) de la tabla 19.2-4, que se dedujeron mediante razonamientos del continuo.
5D.4 Solución de la ecuación de Boltzmann 1009
5D.3
EXPRESIONES MOLECULARES PARA LAS DENSIDADES DE FLUJO Al mismo tiempo que se obtienen las ecuaciones de variación, se generan las expresiones moleculares para las densidades de flujo como integrales sobre la función de distribución: en quüibrio
ja (r, t ) = m, j(i., - v)fadfa
,O
(~.3-1)
En estas expresiones, las densidades de flujo implican integrales sobre los productos de materia, cantidad de movimiento y energía con la "velocidad de difusión" (k, - v ) de la especie a. N6tese la semejanza entre la estructura de estas densidades dejiujo molecular (o "densidades de flujo por difusión") y la de las densidades de flujo de materia convectiva p,v, cantidad de movimiento p w y energía cinética ipv2v que aparecen en las ecuaciones de variación, donde v es la velocidad media instantánea de materia de la mezcla de gases.Así, las densidades de flujo molecular representan el movimiento por difusión de materia, cantidad de movimiento y energía por arriba y más allá del descrito por las densidades de flujo convectivo. Nótese también que la teoría molecular genera de manera automática el término de trabajo molecdar -(V - [T . v]) en la ecuación de energía.
5D.4 S O L U C I ~ NDE LA ECUACIÓN DE BOLTZMANN Si la mezcla de gases estuviese en reposo, entonces la función de distribución de velocidad estaría dada por la función de distribución de Maxwell-Boltzmann (que se conoce a partir de mecánica estadística en equilibrio). Luego se encontraría, como se muestra en 5D.3, que ja = 0, que T = =ti = ~ K T Sy, que q = O. La deducción de p = ~ K se T proporcionó en el problema 1C.3. Por otra parte, cuando hay gradientes de concentración, velocidad y temperatura, la función de distribución está dada como la distribución de Maxwell-Boltzmann multiplicada por un "factor de corrección": 3/2
exp [-m,(ia - v)*/2KT](1 + & ( r , , r , f ) +
.) (D.4-1)
donde 4, << 1. En esta expresión, n, v y T son funciones de la posición r y del tiempo f. Debido a que las desviaciones con respecto al equilibrio resultan de los gradientes de temperatura, velocidad y concentración, 4,(i, r, t) puede representarse, cerca del equilibrio, como una función lineal de los diversos gradientes,
4,
- Vln T )- (Ba:Vv) + n Z(caBdS)
= -(&
(D.4-2)
P
donde el vector A,, el temor B, y los vectores Cap, todos funciones dei,, r y t, están dados como las soluciones de ecuaciones integrodiferenciales.l Las cantidades d, son "fuerzas impulsoras generalizadas de difusión" que incluyen los gradientes de concentración,el gradiente de presión y diferencias de fuerzas externa, definidas como
da = Vx, + ( x , - w f f ) v l n p - b / p ) w f f ( g , - X p O g g p ) 7
-
1010 Apéndice D La teoría cinética de los gases
donde x,, w, y p, son la fracción molar, la fracción de masa y la presión parcial, respectivamente. La ecuación D.4-3, que sólo es válida para una mezcla de gases monoatómicos a baja densidad, se generalizó para otros fluidos en el análisis de la termodinámica de procesos irreversibles en $24.1.
3D.5
LAS DENSIDADES DE FLUJOEN ~ R M I N O DE S LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE Cuando las ecuaciones D.4-1 a D.4-3 se sustituyen en las ecuaciones D.3-1 a D.3-3, se obtienen las expresiones para las densidades de flujo en términos de d,, Vv y V T:
En estas ecuaciones aparecen las propiedades de transporte: la viscosidad p, la conductividad térmica k, los coeficientes de difusión térmica para varias componentes Di y las difusividades de Fick para varias componentes DaP(las son las difusividades de Maxwell-Stefan, estrechamente relacionadas con las IDap). Así, la teoría cinética pronostica los "efectos cruzados": el transporte de materia resultante de un gradiente de temperatura (difusión térmica) y el transporte de energía que resulta de un gradiente de concentración (el efecto difusión-termo). El término de presión que aparece en la ecuación D.5-2 proviene del primer término en la expansión de la ecuación D.4-1 (es decir, la distribución de MaxweiiBoltzmann), y el término de la viscosidad proviene del segundo termino (es decir, el que contiene los gradientes). La teoría cinética de gases monoatómicos término a. a baja densidad pronostica que la viscosidad de dilatación es igual a cero.
+
3D.6
LAS PROPIEDADES DE TRANSPORTE EN TÉRMINOS DE LAS FUERZAS INTERMOLECULARES Las propiedades de transporte en las ecuaciones D.5-1 a D.5-3 están dadas por la teoría cinética como integrales múltiples complicadas que implican las fuerzas intermoleculares que describen las colisiones binarias en la mezcla de gases. Una vez que se elige una expresión para la ley de fuerzas intermoleculares [como el potencial de Lemard-Jones (6-12) de la ecuación 1.4-101, estas integrales pueden evaluarse numéricamente. Entonces para un gas puro, las tres propiedades de transporte: autodifusividad, viscosidad y conductividad térmica, se proporcionan como
Las "integrales de colisión" adimensionales np= Slk = l.lfi9 contienen toda la información sobre las fuerzas intermoleculares y la dinámica de la colisión binaria. Se proporcionaron en la tabla E.2 como funciones de tis s. Si las integrales de colisión se igualan a la unidad, entonces se obtienen las propiedades de transporte para un gas compuesto de esferas rígidas.
5D.7 Comentarios finales 1011
Así las propiedades de transporte, necesarias en las ecuaciones de variacibn, se han obtenido a partir de la teoría cinética en términos de los dos parámetros u y E de la función de energía potencial intermolecular. A partir de estas expresiones se obtienen Pr = P p / k = /Cv) = f(+)= y SC = p / p 9 = $(Clg/Op)= con la caracP terística de que estos valores son bastante aceptables para gases monoatómicos puros.
$(e
i
i,
5D.7 COMENTARIOS FINALES El análisis precedente recalca las estrechas relaciones que hay entre transporte de materia, cantidad de movimiento y energía, y se observa cómo los tres fenómenos de transporte pueden explicarse en términos de una teoría molecular para gases monoatómicos a baja densidad. También es importante observar que las ecuaciones de continuidad, movimiento y energía con respecto a un continuo pueden obtenerse a partir de un punto de partida -la ecuación de Boltzmann- y que las expresiones rnoleculares para las propiedades de las densidades de flujo y de transporte se generan en el proceso. Además, el análisis de la dependencia de las densidades de flujo con respecto a las fuerzas impulsoras está muy estrechamente relacionado con el método de la termodinámica de procesos irreversibles que se presentó en el capitulo 24. En este apéndice s610 se abordaron gases monoatómicos a baja densidad. Existen a disposición análisis semejantes para gases poli ató micos^ líquidos monoatómicos4y líquidos polirnérico~.~ En las teorías cinéticas para líquidos monoatómicos, las expresiones para las densidades de flujo de calor y cantidad de movimiento contienen términos semejantes a los de las ecuaciones D.3-2 y D.3-3, aunque también contienen contribuciones asociadas con las fuerzas entre Ias moléculas; para polímeros, se tiene la segunda contribución, pero también fuerzas adicionales en el interior de la cadena del polímero. En todas estas teorías es posible obtener las ecuaciones de variación a partir de una ecuación para una función de distribución y luego expresiones fonnales para las propiedades de transporte.
C.F.Curtiss,J. Chem. Phys., 24,225-241 (1956);C. Muckenfuss y C.F.Curiiss, J. Chem. Phys., 29,1257-1277 (1958); L.A. Viehland y C.F.Curtiss, J . Chem. Phys., 60,492-520 (1974);D. RusseU y C.F.Curtiss, J. Chem. Phys., 60,514-520 (1974). J.H.lrving y J.G.Kirkwood, f. Chem. Phys., 18,817-829 (1950); R.J. Bearman y J.G. Kirkwood, 1. C h m . Phys., 28, 136.145 (1958). C.F.Curtiss y R.B. Bird, Adv. Polymer Sci., 125, 1-10] (1996); Proc. Nat. Acad. Sci., 93, 7440-7445 (1996); J. Chem. Phys., 106,9899-9921 (1997), 107,5254-5267 (1997). 111,10362-10370 (1999).
Apéndice E
Tablas para predicción de propiedades de transporte E l
Parámetros y propiedades críticas de la fuerza intermolecular
E
Funciones para k predicción de propiedades de transporte de gases a bajas densidades
Tabla E.1
+
Parámetros y propiedades críticas del potencial de Lennard-Jones(6-12) Propiedades
Parámetros de Lennard-Tones
+ O
lb
-
--
-
Peso Sustancia
-
molecular M
u
E/K
(A>
(K)
Ref.
T~
PC
v~
(K)
(atm)
(cm3/g-mol)
(g/cm S x lo6)
33.3 5.26
12.80 2.26
65.0 57.8
34.7 25.4
PC
Elementos ligeros:
4
2.016 4.003
He Gases nobles:
30.8 10.2
u
2.789 3.432 3.675 4.009
35.7 122.4 170.0 234.7
n
44.5
b b b
150.7 209.4 289.8
26.9 48.0 54.3 58.0
41.7 75.2 92.2 118.8
3.617 3.667 3.433 3.590 3.996 3.470 3.879 4.026 3.653 4.115 4.268 4.982
97.0 99.8 113. 110. 190. 119. 220. 363. 112. 357. 520. 550.
a b a
132.4' 126.2 154.4 132.9 304.2 180. 309.7 430.7
37.0' 33.5 49.7 34.5 72.8 64. 71.7 77.8
86.7' 90.1 74.4 93.1 94.1 57. 96.3 122.
u
1
20.180 39.948 83.80 231.29
Ne Ar Kr Xe
2.915 2.576
Gases poliatómicos simples:
28.964' 28.013 31.999 28.010 44.010 30.006 44.012 64.065 37.997 70.905 159.808 253.809
Aire N, O2
CO
(33 NO N,o
so, F2
(A Br2
I2
Hidrocarburos:
CH4 CH=CH CH2=CH2 '2%
CH,C=CH CH,CH =CH, C3H8 n--C4H1
O
a a
a a
c a a a a
7
417. 584. 800.
-
76.1 102.
124. 144.
-
-
(cal/c
i-C4Hro'
58.12
nx5H12
72.15 72.15 72.15
i-C5H12
CíCH,), n46H~,
n47Hi6
"+c8H18 n-C9J320
Ciclohexano Benceno
86.18
100.20 114.23 128.26 84.16
78.11
5.443
387.
b
562.6
48.6
260.
Otros compuestos orgánicos:
" J.O. Hirschfelder, C.F. Curtiss y R.B. Bird, Molecuhr Theoy of Cases and Liquids, impresión corregida con nuevas anotaciones, Wiley, Nueva York (1964).
L.S. Tee, S. Gotoh y W.E. Stewart, Ind. Eng. Chem. Fundnmentals, 5,356-363 (1966). Los valores para el benceno son a partir de datos de viscosidad en esa sust para otras sustancias se calcularon a partir de la correlación (iii) del artículo. L. Monchick y E.A. Mason, J. C h . Pkys., 35,1676-1697 (1961); parámetros obtenidos a partir de la viscosidad. L.W. Rynn y G. Thodos, MChE Joumal, 8,362-365 (1962);parámetros obtenidos a partir de la viscosidad. e R.A. Svhela, NASA Tech. Reporf R-132 (1962); parámetros obtenidos a partir de la viscosidad. Este reporte proporciona numerosas tablas de los parámetros d capacidades caloríficas y propiedades de transporte calculadas. f LOS valores de las constantes críticas para las sustancias puras ce seleccionaron de K.A. Kobe y R.E. Lynn, Jr., Chem. Rai., 52,117-236 (1962);Amer. Pefroleum 44, Thermodynamics Research Center, Texas A&M University, Coiiege Station, Texas (1966);y Thmodynarnic Functions of Gases, F. Din (editor), Vols. 1-3, Butt dres (1956, 1961,1962). 8 Los valores de la viscosidad critica proceden de O.A. Hougen y K.M. Watson, Chmical Process Pnnciples, Vol. 3, Wiley, Nueva York (19471, p. 873. Los valores de la conductividad térmica crítica proceden de E.J. Owens y G. Thodos, AlChE Journal, 3,454-461 (1957). Para aire, el peso molecular M y las propiedades seudocríticas se calcularon a partir de la composición media del aire seco según se proporcionan en COESA Atmosphere 1976, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C. (1976).
Tabla E.2 Integrales de colisión para usar con el potencial de Lennard-Jones (6-12) para la predicción de las propiedades de transporte de gases a bajas d e n ~ i d a d e s ~ , ~ , ~
KT/E o bien, KTIE*~ 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.O0 1.O5 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65
1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
2.00 2.10 2,20 2.30 2,40 2.50 2.60
"pl-4 (para viscosidad y conductividad térmica) 2.840 2.676 2.531 2.401 2.284 2.178 2.084 1.999 1.922 1.853 1.790 1.734 1.682 1.636 1.593 1.554 1.518 1.485 1.455 1.427 1.M1 1.377 1.355 1.334 1.315 1.297 1.280 1.264 2.249 1.235 1.222 1.209 1.198 1.186 1.176 1.156 1.138 1.122 1.107 1.O933 1.0807
a%AB (para difusividad) 2.649 2.468 2.314 2.182 2.066 1.965 1.877 1.799 1.729 1.667 1.612 1.562 1.517 1.477 1.440 1.406 , 1.375 1.347 1.320 1.296 1.274 1.253 1.234 1.216 1.199 1.183 1.168 1.154 1.141 1.128 1.117 1.105 1.O95 1.O85 1.O75 1 .O58 1.O42 1.O27 1.013 1.O006 0.9890
a,'= flk KTI E
(para viscosidad o bien, y conductividad K T / E ~ ~ térmica) 27 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 50.0 75.0 100.0
1.0691 1.O583 1.0482 1.O388 1.O300 1.0217 1.0139 1.0066 0.9996 0.9931 0.9868 0.9809 0.9753 0.9699 0.9647 0.9598 0.9551 0.9506 0.9462 0.9420 0.9380 0.9341 0.9304 0.9268 0.8962 0.8727 0.8538 0.8380 0.8244 0.8018 0.7836 0.7683 0.7552 0.7436 0.7198 0.7010 0.6854 0.6723 0.6510 0.6140 0.5887
aa~s (para difusividad) 0.9782 0.9682 0.9588 0.9500 0.9418 0.9340 0.9267 0.9197 0.9131 0.9068 0.9008 0.8952 0.8897 0.8845 0.8796 0.8748 0.8703 0.8659 0.8617 0.8576 0.8537 0.8499 0.8463 0.8428 0.8129 0.7898 0.7711 0.7555 0.7422 0.7202 0.7025 0.6878 0.6751 0.6640 0.6414 0.6235 0.6088 0.59ó4 0.5763 0.5415 0.5180
Los valores de esta tabla, aplicables para el potencial de Lennard-Jones(6-12), se interpelaron a partir de los resultados de L. Monchick y E.A. Mason, J. Chem.Phys., 35,1676-1697 (1961). Se considera que la tabla de Monchick-Mason es ligeramente mejor que la tabla anterior de J.O.Hirschfelder, R.B. Bird y B.L.Spotz, J. Ckem.Pkys., 16,968-981 (1948). '' C.F.Curtiss ha ampliado esta tabla a temperaturas más bajas, J. Chem.Phys., 97,7679-7686 (1992).Curtiss demostró que a bajas temperaturas es necesario modificar la ecuación de Boitzmam para tomar en cuenta "pares en órbita" de moléculas. Sólo haciendo esta modificación es posible obtener una transición continua entre el comportamiento cuántico y el clásico. Las desviaciones son apreciables pur abajo de temperaturas adimensionales de O 30. P D Neufeld, A.R. Janzeny R.A. Aziz ajustaron con una curva hs integrales de colisión, 1. Chem. Phys., 57,1100-1102 (1972) como sigue:
"
Apéndice F
Constantes y factores de conversión
SE1
§El
Constantes matemáticas
5F.2
Constantes fkicas
5F.3
Factores de conversi611
CONSTANTES MATEMATICAS
3F.2 CONSTANTES F~SICAS' Constante de la ley de los gases ( R )
J/g-mol . K kg m2/s2 - kg-m01 K g . cm2/s2 . g-m01 , K cal/g-m01 . K cm3 atm/g-m01 K lb, pies2/s2 . lb-m01 . R pies Ibf/lb-m01 R
Aceleración normal de la gravedad (gd Constante de Joule (J,) (equivalentemecánico del calor)
J / cal erg/cal pies . lb,/Btu
Número de Avogadro (Ñ) Constante de Boltzmann (K = R ~ Ñ )
J/K ergios / K
Constante de Faraday (F) Constante de Planck (h)
J.3
ergios - s
Constante de Stefan-Boltzmann (a)
Carga del electrón (e) Velocidad de la luz en el vacío (c)
' E.R.Cohen y B. N.Taylor, Physics Today (agosto de 1996), pp. BGsBG13; R. A. Nelson, Physics Tuday (agosto 1996}, pp. BGl5BG16.
1017
1018
Apkndice F Consta~tesy factores de conversión
F .
FACTORES DE CONVERSIÓN
En las tablas que siguen, para convertir cualquier cantidad física de un conjunto de unidades a otro, multiplicar la cantidad por el elemento apropiado de la tabla. Por ejemplo, supóngase que p se proporciona como 10 lbf/pulg2, y que se desea encon-. trar p en poundals/pies2. Con base en la tabla E32, el resultado es
Los elementos en los renglones y en las columnas sombreadas son los que se requieren para convertir de y a unidades SI. Además de las tablas, aquí se proporcionan algunos factores de conversión de uso común: Dada una cantidad en estas unidades: Libras Kilogramos Pulgadas Metros Galones (E.U.1 Gabnes (E.U.1 Galones (E.U.) Pies cúbicos Kelvins Grados Rankine
Multiplicar por: 453.59 2.2046 2.5400 39.370 3.7853 231.00 0.13368 28.316 2.800000 0.555556
Para obtener una cantidad en estas unidades: Gramos Libras Centímetros Pulgadas Litros kilgadas cúbicas Pies cúbicos Litros Grados Rankine Kelvins
Tabla F.3-1 Factores de conversión vara cantidades aue tienen dimensiones de F o & f L / f 2
4.7880X10~ 32.1740 6.8947 X lo4 4.6330 X lo3 1.0333 x l o 6 6.8087 X lo4
atm mHg
1.3332 X l o 3 3.3864 X lo4
pulg Hg
8.9588 X 10' 2.2756 X lo3
3.1081 X ~ O - 2.1584X ~ lom4 1.4687X 1.1162 1 6.9444 X 4.7254 X 3.5913 X 6.8046 X l o u 2 5.1715 144 1 2.1162 X lo3 14.696 1 76 1.9337 X lo-* 1.3158 X 1 2.7845 7.0727 X lo1
4.9116 X 10-1 3.3421 X
25.4
" e preferencia, esta -dad se abrevia como "psia" (lb/pulg2 (abs.)) (libras por pulgada cuadrada absoluta} o como "psig" ( l b / ~ u l (man.)) ~' (libras por pulgada cuadrada manométrica). La presión manometrica es la presión absoluta menos la presión barornbtrica prevaleciente. Algunas veces la ~re rios"; para convertir de barios a pascales, es necesario multiplicar por los, y para convertir de barios a atmósferas, debe multiplicarse por 0.98692.
Tabla lE3-3 Dada una cantidad en
Factores de conversión para cantidades que tienen dimensiones de F L o M.L2/t2(energía, habajo, momento de torsión) Multiplicar por el valor de la tabla
pies
3.1081 X 1.3558 X lo7 4.1840 X lo7 1.0550 x 1O1O 2.6845 x l0l3 3.6000 x l0l3
calorias termoquímicasu Unidades térmicas inglesas Horas de potencia kilowatt horas *-
1
3.0860 778.16 1.9800 x lo6 2.6552 x 106
-
Esta unidad, que se abrevia como "cal", se utiliza en algunas tablas termodinámicas químicas. Para convertir cantidades expresadas en calonas según la Int cual se abrevia como "cal IT") a esta unidad, debe mulfi~licarcepor 1.000654
a
g *
32.1740 9.9287 X 10' 2.5036 X 104 6.3705 x lo7 8.5429 x lo7
1.0072 X lo-* 3.9942 X lop5 1.5698 X l 3.2405 X 10-1 1.2851 X lop3 5.0505 X 1 3.9657 X l o v 3 1.5586 x 3.9301 X 2.5216 X 1@ 1 1 6.4162 X lo5 2.5445 X lo3 1.3410 8.6042 x lo5 3.4122 X lo3
Tabla F.3-4
Factores de conversión para cantidades que tienen dimensionesa de M / L t o F ~ / L ~ íviscosidad, densidad multiwlicada por difusividad)
cantidad en
el valor de la tabl
centipoises
1.4882 X 10'
a
1.4882 X lo3
3600
1
Cuando en las unidades dadas y buscadas aparecen moles, el factor de conversión es el mismo que para las unidades de masa correspo
Tabla E3-5 Factores de conversión para cantidades que tienen dimensiones de ML/$T o F / f T (conductividad térmica) Dada una cantidad en estas unidades
.l. g - cm/s3 - K lb, pies/s3 F Ib,/s - F cal/s cm . K Btu/h . pies . F
Multiplicar por el valor de la tabla para convertir a estas unidades -i qg%fs?%
g cm/s3 K o bien, erg/s - cm K
lb, pies/s3 F
Ib,/s
-F
cal/s . cm . K B
Tabla F.3-6
Factores de conversión vara cantidades aue tienen dimensiones de ~ ~ (cantidad de movirnienio, difusividad téirnica, difusividad rnolecular)
cantidad en estas unidades
L.
Tabla F-3-7
/
t
el valor de la tabla para convertir a estas unidades +
centistokes
Factores de conversión para cantidades que tienen dimensiones de M / ~ o~ F/LtT T (coeficientes de transmisión de calor)
X
8.1647 X 2.6269 x l o L 3
Tabla F.3-8
8.1647 X lo2 2.6269 X lo4 4.1840 X lo7
1 32.1740 5.1245 X lo4
Factores de conversión para cantidades que tienen dimensionesade h4/L2t o Ft/L3 (coeficientes de transferencia de materia k. o k,j
lo2
3.1081 X lo-* 1 1.5928 X lo3
2.3901 X lo-' 1.9514 X lov5 6.2784 X lop4
Notación
Los números entre paréntesis se refieren a ecuaciones, secciones o tablas donde los simbolos se definen o usan por primera vez. Las dimensiones se proporcionan en términos de masa (M), longitud (L), tiempo (0,temperatura (7') y también se proporcionan como cantidades adimensionales (-4. Los símbolos en negritas son vectores o tensores (véase el apéndice A). No se muestran los símbolos de uso menos frecuente. A = área, L2 a = coeficiente de absorción (absorbencia) (16.2-1),a = área interfacial por unidad de volumen de lecho de relleno (6.4-4), Lp' au = actividad de la especie a (24.1-8),C p = capacidad calorífica a presión constante (9.1-B), ML2/t2T Cv = capacidad calorífica a volumen constante (9.3-6),ML2/t2T c = velocidad de la luz (16.1-l), L / t c = concentración molar total (§17.7), moles/13 ,c = concentración molar de la especie a, (§17.7), moles/^^ D = diámetro de un cilindro o una esfera, L Dp = diámetro de una partícula en un lecho de relleno, (6.4-6),L aAB = difusividad binaria para el sistema A-B (17.1-2),~ ~ / t = difusividad binaria para el par a-P en un sistema con varias componentes (17.9-l), L2/ t Qmp = Difusividad de Maxwell-Stefan para varias componentes (24.2-4, L2/t Dup = Difusividad de Fick para varias componentes (29.2-31, L2/t D,T = Coeficiente de difusión térmica para varias componentes (24.2-3), M / L t d = diámetro moIecular (1.4-3),L d, = fuerza impulsara de difusión para la especie a (24.1-81,L - ~ E,, = U,,,+ Km + = energía total en un sistema macroccópico (15.1-2), M L ~ / ~ ~ E, = término de compresión en un balance de energía mecánica (7.4-31,M L ~ / P E, = término de disipación viscosa en un balance de energía mecánica (7.44,M L ~ / ~ ~ e = 2.71828. . . e = ernisividad (16.2-31,e = vector de densidad de flujo de energía combinada (9.8-51,M/t3 FI2, F12= factor de visión directo, indirecto (16.4-91, (16.4-151,FS-f = fuerza ejercida por el sólido sobre el fluido (7.2-11, M L / ~ ~ f = factor de fricción (o coeficiente de resistencia) (6.1-1),G = H - TS = energía libre de Gibbs (24.1-2),M L ~ / ~ ' G = Cpv) = velocidad de la materia (6.4-8),M/L2t g = aceleración gravitacional(3.2-8), .L/t2 g, = fuerza del cuerpo por unidad de masa que actúa sobre la especie a (tabla 19.2-11, L/t2 H = U + pV = entalpía (9.8-6), M L ~ / ~ ~ h = constante de Planck (16.1-2),ML2/t
@, ,
1024
Notación
h h, hl, hh, hlo,, h,, h, i J,, J: ,j
= elevación (2.3-lo), L = coeficientes de transmisión de calor
(14.1-1 a 14.1-6), M / P T
= d?(4.1-43),= densidades de flujo molar (tabla 17.8-l), moles/L2t = densidades de flujo de materia (tabla 17.8-l), M / P ~
jw lD = factores j de Chilton-Colburn (14.3-19, tabla 22.2-11,K = energía cinética (7.4-11, ML2/t2
K,, Ky = coeficientes de transferencia de materia en dos fases (22.4-4), moles / fL2 K = R/I\I= constante de Boltzmann (1.4-l), M L ~ / ~ ~ T k = conductividad térmica (9.1-1 y 24.2-6), ML/t3T k, = coeficiente de transferencia de materia en una sola fase (22.1-7, 22.3-4,tabla 22.2-l), moles/t12 ,ky = coeficientes de transferencia de materia para bajas velaódades de transferencia y poca concentración de la especie (22.1-9, 22.4-2), moles/tL2 k; = coeficiente de transferencia de materia para altas velocidades de transferencia neta de materia (22.8-2a), moles/tL2 kT = relación de difusión térmica (24.2-lo),k, = conductividad eléctrica (9.5-0, ohm-l cm-' ki = coeficiente de velocidad de una reacción química heterogénea (18.0-31, moles1-"/L2-3n t k n = coeficiente de velocidad de una reacción química homogénea (18.0-21, m ~ l e s ' - ~ / l ~ - ~ " t L = longitud de una película, un tubo o una rendija (figuras 2.2-1, 2.3-1,2B.3) Lb,= cantidad de movimiento angular total en el interior de un sistema macroscópico (7.3-l), ML2/t 1 = longitud de mezcla (5.4-4), L 1, = longitud característica en análisis dimensional (3.7-3), L M = peso molecular molar medio (tabla 17.7-l), M/mol M, = peso molecular de la especie a (tabla 17.7-l), M/mol M,,t,, = número total de moles de la especie (Y en un sistema macroscópico (23.1-3), moles m = masa de una molécula (1.4-l), M m, n = parámetros en el modelo de viscosidad de la ley de potencias (8.3-3), M/Lf2-",m,,, = masa total de la especie a en un sistema macmscópico (23.1-l),M N = velocidad de rotación del eje (3.7-28), t-' N = número de especies en una mezcla con varias componentes (17.7-l),Ñ= número de Avogadro (g-mo1)-' N, = vector de densidad de flujo molar combinado para la especie a (17.8-2), moles/12t n = vector normal unitario (A.5-11,n, = vectox de densidad de flujo de materia en masa combinado para la especie a (17.8-1), M / L ~ ~ n = concentración molecular o número de densidad (1.42), L - ~ P,,, = cantidad de movimiento total en un sistema de flujo macroscópico (7.2-l), ML/t 9 = p + pgh = presión modificada (para p y g constantes) (2.3-101,
e,
M/Lt2
Notación 1025
Po= presión característica usada en análisis dimensional ( 3 . 7 4 , M / L ~ ~ p = presión del fluido, M/Lt2 Q = velocidad de flujo de calor a través de una superficie (9.1-1, 15.1-1), M L ~ / P Q , = flujo de energía radiante de la superficie 1 a la superficie 2 l2
(16.4-51, M L ~ / P
Q12= intercambio neto de energía radiante entre la superficie 1 y la superficie 2 (16.48), ML2/t3 q = vector de densidad de flujo de calor (9.1-6), ~ / t ~ q0 = densidad de flujode calor interfacial(10.8-14), M/@ R = constante de los gases (en pV= RT), M L ~ / mol ~~T R = radio de un cilindro o una esfera, L R, = veIocidad molar de producci6n de la especie a por una reacción qulmica homogénea (18.0-21, moles/t13 Rh = radio hidráulico medio (6.2-16), L
3 = parte real (de una cantidad compleja) (4.1-43) r = vector de posición (3.4-l), L r = dx2 + 9 = coordenada radial en coordenadas cilíndricas, L r = dx2 + y2 + z2 = coordenada radial en coordenadas esféricas, L ra = velocidad de producción de materia de la especie a por una reacción química homogénea (19.1-5), M/ tL3 SI, S2 = Area de la sección transversal en los planos 1 y 2 (7.1-l), L2 S = entropía (11D.1-l,24.1-l),M L ~ / ~ ~ T T = temperatura absoluta, T
T,+
= momento de torsión ejercido por un limite sólido sobre el
fluido (7.3-l), M L V P T , = momento de torsión externo que actúa sobre el sistema (7.3-11, M L ~t2/ TI - T,, = diferencia de temperatura característica usada en análisis dimensional (11.5-9,T t = tiempo, t U = energía interna (9.7-l),M L ~ / ~ ~ U = coeficiente completo o global de transmisión de calor (10.6-15), M/t3~ ü = velocidad molecular aritmética media (1.4-1) L / t u = vector unitario en la dirección de flujo (7.2-11,V = volumen, L3 v = velocidad media de masa (17.7-l), L/ t v* = velocidad media molar (17.7-21, L/t va = velocidad de la especie a (17.1-3, tabla 17.7-2),L/t u. = velocidad característica en análisis dimensional (3.7-4), L/t u, = velocidad del sonido (9.4-2, llC.1-4), L / t v, = J;ro/P = velocidad de fricción (5.3-2), L/t W = velocidad molar de flujo a través de una superficie (23.1-4), moles/ t W, = velocidad molar de flujo de la especie a a través de una superficie (23.1-3),moles/ t W, = velocidad a la que el entorno realiza trabajo sobre un sistema mediante partes móviles (7.4-l), M L ~ / ~ ~ w = velocidad de flujo de materia o másico a través de una superficie (2.2-21), M/t
1026 Notación
wa = velocidad de flujo de materia de la especie a a través de una superficie (23.1-l),M/t x, = fracción molar de la especie a (tabla 17.7-1),x , y, z = coordenadas cartesianas y = distancia a la pared (en teoría de capa límite y turbulencia)
(94.41, L
y, = fracción molar de la especie a (22.4-21,Z = frecuencia de colisiones contra la pared (1.4-2),LP2tp1 z, = carga iónica (24.4-51, equiv/mol alfa o = k/&, = difusividad térmica (9.1-8). L2/t beta p = coeficiente térmico de expansión en volumen (10.9-6), T-l p = gradiente de velocidad en una superficie (12.4-26),S-' y = C l C , = relación de capacidad calorífica (11-4-56),9 = + (Vv)' = tensor de velocidad de deformación (8.3-1). t-1 delta AX = X2 - X, = diferencia entre los valores de salida y de entrada S = espesor de una película descendente (2.2-221, espesor de la capa Iimite (4.4-141, L 6 = tensor unitario (1.2-2, A.3-lo),si = vector unitario en la dirección i (A.2-9),Sq = delta de Kronecker (A.2-1),épsilon E = fracción de huecos (6.4-3),E, EAB = energía máxima de atracción entre dos moléculas (1.4-10, 17-3-13},MJ!,~/~~ E.. = símbolo de permutacionec (A.2-3),9k teta 5 = coeficiente de composición de expansión en volumen (19.2-2 y tabla 22.2-11,ef a 7 = viscosidad no newtoniana (8.2-l),M/Lt q', 77'' = componentes de la viscosidad compleja (8.2-4),M/Lt 7j = viscosidad de alargamiento (8.2-5),M / L t q, = viscosidad de velocidad cortante cero (8.3-4), M/Lt ." O = arctan(y/x) = ángulo en coordenadas cilíndricas (A.6-51,theta e = arctan( \I x2 + y2/z) = ángulo en coordenadas esféricas (A.6-231,K = viscosidad dilatacional(1.2-6),M/ Lf ~ Q P P ~ K,K*, K ~ K~ , = constantes adimensionales usadas en turbulencia (5.3-1,
&
5.4-3,5.4-5,5.4-6) lambda A, A,, AT, A. = relaciones de difusividad (20.2-291,A = longitud de onda de radiación electromagnética (16.1-l), L A = trayectoria libre media (1.4-3), L A, Al, A2, hk/hH = constantes de tiempo en modelos reológicos (g8.4 a §8.6), t mu p = viscosidad (1.1-l), M/Lt nu v = p / p = viscosidad cinemática (1.1-3), L2/t v = frecuencia de Ia radiación electromagnética (16.1-11, tpl 6 = coeficiente de composición de expansión en volumen (tabla ji 22.2-1),n, n , n, no= perfiles adimensionales (4.4-25,12.4-21,20.2-28)/pi 7 = 3.14159. . . TI = T + p8 = tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento moledar, tensor de esfuerzo molecular (1.2-2,1.7-21, rho p = densidad, M/L3 p, = masa de la especie a por unidad de volumen de la mezcla (tabla 17.7-11, MIL3
Notación 1027 CT = constante de Stefan-Boltzmann, M/PP
sigma tau
a = tensión superficial (3.7-12), M / t 2 a,uAB = diámetro de colisión (1.4-10,17.3-ll), L r = tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento (viscoso), tensor de esfuerzo (viscoso) (1.2-2), M / L t 2 = magnitud del esfuerzo cortante en la interfase fluido-sólido
(5.3-l), M / L P @ = energía potencial (3.3-2),M L ~ / $ fi a, = función de disipación viscosa (3.3-3), t-2 =T +p w = temor de densidad de flujo de cantidad de movimiento combinado (1.7-2),M / L t 2 = ardan y/x = ángulo en coordenadas esféricas (A.6-24),4 =.potencial electrostático (24.45), volts cp = energía potencial intermolecular (1.4-lo), M L ~t2/ ql, q2 = primer coeficiente, segundo coeficiente del esfuerzo normal psi (8.2-28.2-3), M / L q,= función de disipación viscosa (3.3-3), t - 2 I ) = función de corriente (tabla 4-2-11,sus dimensiones dependen del sistema coordenado omega R,, R , fi9 = integrales de colisión (1.4-14,9.3-13, 17.3-11),w, = fracción de masa de la especie a (17.1-2, tabla 17.7-1),wAl - wAO = diferencia de fracción de masa característica usada en análisis dimensional (19.5-71,Símbolos sobre las litexales = por m01 X = por unidad de masa X = molar parcial (19.3-3,24.1-2) X = con ajuste de tiempo (5.1-4) 2 = adimensional(3.7-3) Corchetes {X) = valor medio sobre una sección transversal de flujo [X], [X)= se usan en operaciones vectoriales-ternoriales cuando los corchetes encierran operaciones punto o cruz (apéndice A) [ = agrupamientos adimensionales [=] = tiene las dimensiones de Exponentes Xt = transpuesto de un tensor xct)= turbulento (5.2-8) X ( V ) = viscoso (5.2-9) X' = cantidad fluctuante (5.2-1) Subíndices A, B = especies A y B en sistemas binarios a,/3, . . . = especies en sistemas de varias componentes a = media aritmética de fuerza impulsora o coeficiente de Iransferencia asociado (24.1-3) b = valor global o de "mezcla en taza" (cup-mixing) para una corriente encerrada (10.8-33,14.1-2) c = evaluado en el punto crítico (1.3-1) ln = fuerza impulsora logantmica media o coeficiente de transferencia asociado (14.1-4) loc = fuerza impulsora local o coeficiente de transferencia asociado (14.1-5)
+ #J
5
(m,
1028 Notación
m
= coeficiente medio de transferencia para
un objeto sumergido (14.14) r = reducido con respecto al valor crítico (51.3) tot = cantidad total de la entidad en un sistema macroscópico O = evaluado en una superficie 1,2 = evaluado en las secciones transversales 1 y 2 (7.1-1) Grupos llamados adimensionales designados con dos letras Br = nfimero de Brinkman (10.49, tabla 11.5-2) Ec = número de Eckert (tabla 11.5-2) Fr = número de Froude (3.7-11) Gr = número de Grashof (10.9-18, tabla 11.5-2) Gr, Gr, = número de difusión de Grashof (19.5-13, tabla 22.2-1) Ha = número de Hatta (22.5-8) Le = número de Lewis (17.1-9) Ma = número de Mach (11.471) Nu = número de Nusselt (14.3-10 a 14.3-15) Pé = número de Pédet (tabla 11.5-2) Pr = número de Prandtl(9.1-9, tabla 11.5-2) Ra = número de Rayleigh (tabla 11.5-2) Re = número de Reynolds (3.7-10) Sc = número de Schmidt (17.1-8) Sh = número de Sherwood (22.1-15) We = número de Weber (3.7-12) Operaciones matemáticas D/Dt = derivada sustancial (3.5-2), t-' 9/92 = derivada corrotacional(8.5-21,t - l V = operador del (A.4-l), L-' h x = logaritmo de x en base e loglox = logaritmo de x en base 10 exp x = eX = la función exponencial de x erf x = función de error de x (4.1-14,§C.6) r(x) = función gamma (completa) (12.2-24, 5C.4) T(x, U) = función gamma incompleta (12.2-24) O(.. .) = "del orden de"
Índice de autores
(Los números de página en negritas indican que se proporcionan datos biográfios) Abbot, C. G., 594 Abraham, F. E, 213 Abraham, M., 43 Abramowitz, M., 452,653,1001 Acheson, D. J., 20,97,152 Ackennan, G., 827 Acrivos, A., 35/64)460,462,616,735, 741,821,898,923 Adair, R. K.,212 Adams, M. E., 314,335,337,603 Adamson, R. H., 932 Adler, R. J., 756 Agrawai, R., 880 Aidley, D. J., 932 Alberts, B., 926 Alberty, R. A., 25,27,31,42,76,334, 394,432,616,634,692,838,915 Allen, C. M., 753 Allen, R. W., 487 Alopaeus, V., 846 Aivarez, R., 607 Arnundson, N. R., 898 Ananthakrishnan, V., 756 Andrew, S. P. S., 668, 766 Angelo, J. B., 724,731,741,746,807, 823 Anzelius, A., 888 Argo, W. B., 330 Ans, R., 658,756,932 Armstrong, R. C., 77,109,122, 272, 280,283,288, 292,293,295,304, 353,391,449,504,620 Amold, J. H., 722 Ashare, E., 80 Ashcroft, M., 932 Astarita, G., 472,724 Athalye, A. M., 757,806 Atkins, B. E., 907 Aziz, A. R., 1016 Baars, G. M., 710 Babb, A. L., 604 Baehr, H. D., 362,527 Bailey, J. E., 818 Baird, D. G., 272 Baird, M. H. L, 854 Bankoff, S. G., 471,724 Barduhn, A. J., 756 Barenblatt, G. I., 182,208 Barnes, H. A., 35,272
Baron, P., 923 Barrer, R. M., 604,605 Barrett, L. C., 447,453 Basset, A. B., 619 Bassingthwaighte, J. B., 753,925,933 Bastick, R. B., 907 Batchelor, G. K., 20,66,88,97,99, 138,225,227,250 hteman, H., 888 Bazaire, K. E., 518 Bearman, R. J., 615,1011 Beavers, G. S., 168,298 Becher, P., 823 Becker, H. A., 213 Becker, R., 43 Bedford, K. W., 143 Bedingfield, C. H., Jr., 713,804 Beek, J., 330 Beek, W.J., 504,505,506 Beers, K.J., 312 Bénard, H., 423 Bender, C. M., 480 Benedict, M., 715 Benes, P., 818 Benkreira, H., 780 Beris, A. N., 300,900 Berker, R., 99,120,138 Berkooz, G., 174 Bernhardt, E. C., 75,464 Bernoulii, D., 97 Bernstein, R. B., 29 Berry, R. S., 25,27,32,319 Beny, V. J., 611, 628 Bert, J. P. H., 923 Betts, W. B., 923 Biery, J. C., 256 Bingham, E. C., 302 Biot, J. B., 363 Bid, B., 264 Bird, R. B., 27,29,34,77,80,83,103, 109,122,170,199,223,230,258, 272,275,280,283,288,292,293,. 295,296,297,299,300,302,304, 312, 314,321, 323,225,339,353, 387,391,412,437,449,504,570, 603,607,413, 615,620, 626,688, 766,900,901,903,908,947,1007, 1011,1015, 1016 Birkhoff, G., 110,146 Bischoff, K. B., 330,865
Blake, C., 218 Blasius, H., 155,207,516 Boas, A., 715 Boger, D. V., 86,276 Boltzmann, L., 577,1007 Borman, G. L., 427 Boussinesq, J., 185,399 Bouwmans, I., 780 Ehwen, J. R., 60 Boyle, W. C., 676 Braceweli, R. N., 490 Brady, J. F., 330 Brandmp, J., 605 Breach, D. R., 141 Brenner, H., 66,96,167,202,225, 226,435, 531,616,757, 763,807, 822,925 Brian, P. L. T., 733 Bndgman, P. W., 325 B r i n h a n , H. C., 216,353,449 Brodkey, R. S., 780 Broer, L. J. F., 388 Broerman, A. W., 312 Brown, A. P., 923 Brown, H., 908 Brown, H. E., 525 Brown, R., 618 Brush, S. G., 26 Buckingham, E., 303 Buddenberg, J. W., 29,41 Bueno, J. L., 607 Burghardt, W. R., 293 Burke, S. P., 219 Burmeister, L. C., 448 Butt, J. B., 934 Butterworth, D., 525 Callaghan, P. T., 600 Callen, H. B., 577,900 Calus, W. F., 604 Caracotsios, M., 776 Carley, J. F., 75 Carman, E. H., 323,335 Carman, P. C., 215 Carreau, P. J., 283 Carslaw, H. S., 135,160,169,328, 399,431,440,443,444,447,448, 453, 471,474,595,685,719,724, 761,763,766,806 Carty, R., 679
1030 Índice de autores
Cash, F. M., 75 Caton, R., 717 Cauchy, A.-L, 91 Cercignani, C., 1007 Cers, A., 298 Chambré, P. E., 735 Chandrasekhar, S., 106,422,618 Chang, C. F., 276 Chang, H.-C., 53,138 Chang, K. C., 827 Chang, P., 617 Chapman, S., 27,613,899, 906,908, 1007 Chapman, T. W., 60 Chatwin, P. C., 753 Cheng, Y.-L,vi Chester, W., 141 Chiang, A. S., 806 Chielens, J.-C., 312 Chilton, T. H., 494,741, 800 Chinard, F., 892 Cho, Y. I., 22, 313,327,473,498, 512, 519,566,572,818 Chorin, A. J., 182 Christensen, R. M., 312 Chnstiansen, C., 595 Christiansen, E. B., 213,280 Chnstiansen, R. L., 296 Churchill, R. V., 453 Churchill, S. W., 432,508,521 Clarke, B., 36 Clear, S. C., 926 Clusius, K., 908 Coca, J., 607 Cochran, W. G., 716 Coe, J. R., Jr., 14 Cohen, E. G. D., 608,629 Cohen, E. R., 1017 Cohen, K., 859 Cohen, R. E., 283 Colburn, A. P.,494,512,560,694, 741,800,827 Coles, D., 105 Collias, D. I., 272 Collier, J. G., 524 Colwell, R. E., 104, 125, 277,404 Comings, E. W., 318,336,339 Comte-BelIot, G., 530 Condiff, D. W., 903 Corrsin, S., 174, 195, 770 Cottington, R. L., 14 CowIinp, T. G., 26,613,906,908,1007 Crank, J., 471,682, 719,724 Crawford, B. L., Jr., 436 Crawford, M. E., 483,498 Crosby, E. J., 119,672 Cui, L., 923
Cuilinan, H. T., 842 Cunningham, R. E., 26,933 Curie, P., 900 Curry, F. E., 932 Curtiss, C. F., 29,103, 166,272, 295, 305,312,314,321,323,325,339, 412,436,603,613,615, 620,626, 688,901,903,1007,1011,1015, 1016 Cussler, B. L., 626,779,788,842,925
Drew, T. B., 694,713,804,827 Drickamer, H. G., 907 Drude, P., 336 M e , J. A,, 594 Dufour, L., 899 Dukler, A. E., 64 Dullien, F. A., 219 Dullien, F. A. L., 933 Dunlop, P. J., 842 Dymond, J. H., 22,316
Dahler, J. S., 93 Dai, G. C., 302 Dalitz, R. H., 859 Damkohler, G., 387,646,734 Danckwerts, P. V., 726,749,765,816 Daniel, T. L., 276 Daniels, F., 594 Danner, R. P., 314,335,337,603 Darcy, H. P. G., 167 Darnell, W. H., 75 Daubert, T. E., 314,335,337,603 Dealy, J., 272 de Boer, J., 319,578 Debye, P., 325 Dedrick, R. L., 865 Deen, W. M., 448,925 de Gennes, P.-C., 620 de Groot, S. R., 93,436,842,900 Deissler, R. G., 4 7 de Kruif, C. G., 36 Delaney, L. J., 636 Dem, M. M., 277 de Vries, D. A., 329,338 de Waele, A., 282 Dewald, C., 298 Dickel, G., 908 Dijksman, J. F., 977 Dimitropoulos, C. D., 300 Din, E, 1015 Ding, F., 472 Dirac, P. A. M., 765,859 Dizy, J., 607 Doi, M., 295 Dong, Z. F., 512 Dootson, F. W., 899 Dorrance, W. H., 153,732 Dotson, P. J., 297, 299,300 Dougherty, E. L., 907 Dougherty, T. J., 35 Douglas, W. J. M., 508 Draad, A. A,, 59,176 Drake,R.M., Jr.,315,454 Drake, W. B., 475 Drazin, F. G., 106 Drew, D. A., 34 Drew, S. W., 926
Eagle, A., 366 Eagleton, L. C., 636 Ebadian, M. A., 512 Eckart, C. H., 436 Eckert, E. R. G., 315,454,487,508, 516,739 Eder, G., 472 Edwards, B. J., 900 Edwards, D. A., 167,435,757,822 Edwards, S, F., 295 Egelstaff, P. A., 33 Eggink, R., 504,505 Eian, C. S., 487 Einstein, A., 34,325, 618 Einch, F. R., 35 Eisenberg, M., 411,733 El-Sayed, M. S., 219 Elzy, E., 739 Emmons, H. W., 739 Enskog, D., 27,339 Erdélyi, A., 447,813 Ergun, S., 219,220 Erk, S., 448,498,500 Eucken, A., 322 Euler, F., 329 Euler, L., 97 Evans, H. L., 739 Evans, R. B., 111,933,939,940 Eyring, E. M., 31,617 Eyring, H., 31,33,326, 617,911 Faber, T. E., 174,422 Fair, J. E, 792,806 Fairbanks, D. F., 758 Falkner, V. M., 158 Fan, X. J., 305 Fanning, J. T., 203 Federhofer, K., 234 Feng, C. E, 933 Ferguson, R. M., 366 Ferry, J. D., 279,288 krziger, J. H., 27,59, 322,702,1007 Feshbach, H., 143,968,976 Feynman, R. P., 106,111 Fick, A., 605 Fixman, M., 616
fndice de autores flannery, B. P., 776 flerning, G. K., 926 Rickinger, M., C., 926 Flynn, L. W., 1015 Foa, J. V., 250 Foraboschi, F. P., 726 Fouiier, J. B., 311,399 Fox, E. A., 710 Frank, E. U., 337 Frankel, N. A., 35 Frank-Kamenetskii, D. A., 627 Franz, R., 327 Fredrickson, A. G., 269,273 Friediander, S. K., 463 Friedman, A. M., 818 Friend, W. L., 487 Fnsch, H. L., 35 Frisch, U., 174 Fristrom, R. M., 631,665 Frohlich, H., 34,287 From, J. E., 113 Frossling, N., 516 Froude, W., 111 Fu, B.-M., 932 Fuhs, A. E., 22,34,99,554 Fujii, T., 521 Fuka, J., 144 Fulford, G. D., 53 Fulier, G. G., 277 Fuller, E. N., 607 Gaggioli, R. A., 230 Gal-Or, B., 842 Gamson, B. W., 519 Garner, F. H., 274,655,666 Gates, B. C., 699 Geankoplis, C. J., 518,805 Gersten, K., 106,153,158,181,182 Gervang, B., 273 Gex, V. E., 710 Ghez, R., 674,712 Giacomin, A. J., 472 Gibbs, J., 757,806 Gibbs, J. W., 988 Gibson, R. E., 24 Giddings, J. C., 607 Giesekus, H., 36,272,292,305 Gil, W.N., 449,733,756 Gillitand, E. R., 213,849 Ginsburg, B. Z., 943 Giuiiani, A,, 726 Glasstone, S., 31,627 Glicksman, M. E., 603 Goddard, J. D., 292,943 Godfrey, J. C., 792,806,823 Godfrey, T. B., Jr., 14 Gogos, C. G., 272
Goldsmith, A., 327 Goldstein, S., 139,191,366 Goresky, C. A., 753 Gosting, L. J., 604,842 Gotoh, S., 603,614,670,1015 Gottlieb, M., 305,507 Grabowski, E. F., 925,933 Graetz, L., 448,512 Graham, A. L., 35 Graham, M. D., vi, 570 Graham, T. L., 936 Grant, C. S., 717 Gtashof, F., 376 Green, D. W., 554,792 Green, N. G., 923 Green, P. F., 620 Gmnberg, M. D., 130,143,450,453, 693,969 Gww, K. E., 375,908 Grigull, U., 411,448,498,500,526 Grmela, M., 900 Grober, H., 448,498,500 Groothuis, H., 655 Guggenheim, E. A., 25,910 Gunn,R. D., 933 Guzmán, J. D., 312 Haaland, S. E., 208 Hagen, G., 58 Hagenbach, E., 58 Hallrnan, T. M., 369,450 Hamilton, R. M., 487,602 Hammerton, D., 655,666 Han, R. J., 923 Handler, R. A., 300 Hanks, M. L., 779 Hanley, H. M. M., 22,900,908 Hanna, O. T., 187,487,494,504,739, m, 775,783 Hanratty, T. J., 493,495,602 Hansen, J. P., 33 Hanson, C., 854 Happel, J., 96,167,202,225,226,531, 616,807,925 Hardy, R. C., 14 Harlow, E H., 113 Harmens, A,, 823 Haniott, P., 487,602,854 Harrison, A. B., 923 Hartnett, J. 22,313,327,473,498, 512,519,566,572 Hartree, D. R., 158 Hase, M., 923 Hassager, O., 77,109,122,272,280, 283,288,292,293,295,304,305, 353,391,449,504,620,945 Hatta, S., 818
1031
Heading, J., 475 Heath, H. R., 907 Hein, H., 106 Heitler, W., 571 Heitner, K. L., 867 Heiiurns, J. D., 432 Henderson, D., 31,617 Henley, E. J., 854,872,925 Hering, E., 891 Hermann, A., 581 Herning, F., 31 Hertz, G., 715 Hewitt, G. F., 525 Higbie, R., 654,749,807 Hildebrand, F. B., 475 Hill, B., 932 Hill, C. G., 634 Hill, C. T., 170, 275 Kill, J. M., 471 Hinch, E. J., 35 Hinze, J. O., 174,185,187,191,488 Hirschfelder, J. O., 27,29,314,321, 322,323,339,412,436,603,613, 614,626,702,903,923,1007,1015, 1016 Hirschhorn, H. J., 327 Hirst, A. A., 907 Ho, W. S. W., 859,926,930 Hoagland, D. A., 757 Hoffman, R. E., 628 Hoger, A., 298 Hohenemser, K., 282 Holland, C. D., 854 Hollands, K. G. T., 519 Holmes, 174 Honda, M., 521 Hoogschagen, J., 933 Hooke, R., 286 i-iort, W,, 170 HotteI, H. C., 568,583,584 Hougen, O. A., 24,317,337,339,426, 518,661,805,871,1015 Howard, D. W., 731,741,746,807, 923 HoweGrant, M., 859 Howeli, J. R., 572,584,591 Hu, S., 213 Hubbard, D. W., 187,699 Huber, M. L., 22 Hughes, R. R., 213 Huppler, J. D., 170,275 Hutton, J. F., 35,272 Hwang, S.-H., 53 Ibbs, T. L., 375,907,908 Iddir, H., 312 IlkoviE, D., 728
1032 Índice de autores Imai, l., 157 Imam-Rahajoe, S., 29 Immergut, E. H., 605 Ince, S., 95 Ingenhousz, J., 618 Inoue, H., 634 Irani, F., 448 Irving, J. H., 31,325,1011 Issi, J.-P., 312 Ivakin, B. A., 609 Jackson, R., 202,933 Jaeger, J. C., 135,160,169, 328, 399, 440,443,444,447,453,471,474, 595,685,719,724,761,763,766, 806 Jakob, M., 323,327,330,346,364, 365,406,448,498 James, D. F., 276 Janeschitz-Krieg1, H., 281,472 Janzen, A. R., 1016 Jaumann, G. A. J., 291,436 Jeffreys, H., 287 Jessen, V., 666 Johnson, M. F. L., 934 Johnson, M. W., Jr., 275 Johnson, N. L., 297,299,300 Johnson, P. A., 604 Johnson, R. W., 99,129,215,530,570 Johnston, H. L., 15,3@ Jones,J. E. (véase Lennard-Jones,J. E.) Jones, T. B., 923 Jongschaap, R. J. J., 900 Joseph, D. D., 168,295 Jost, W., 665,674,685 Jowitt, J., 36 Junk, W. A., 318,336 Kaler, E. W., 923 Kalitinsky, A., 568 Kamke, E., 255 Kaneko, K., 925 Kannuluik, W. G., 323,335 Kaper, H. G., 27,59,322,702,1007 Kapoor, N. N., 273 Karda, S. J., 66,96, 138, 202,213, 616,923,925,937 Kataoka, D. E., 824 Katchalsky, A., 925, 943 Katz, D. L., 198 Kaufmann, T. G., 903 Kaviany, M., 215 Kays, W. M., 59,265,483,498 Kedem, O., 925 Kennard, E. H., 25,76 Kenny J. M., 472 Kern, D. Q., 566
Kesler, M. G., 608 Keys, J. J., Jr., 715 Khomami, B., 293 Khusid, B., 923 Kilgour, R., 508 Kim, S., 66,%,138, 202,213,329, 616,923,926,937 Kim, K. Y., 104,125,277,404 Kincaid, J. F., 33 King, C. J., 792,814,854,933 King, L. V., 530 Kintner, R. C., 213,226,807 Kirchhoff, G., 575 Kirchhoff, R. H., 141 Kirk,R. S., 223 Kirkaldy, J. S., 842 Kirkwood, J. G., 31,325,436,616, 620,1011 Kister, H. Z., 792 Klein, J. S., 475 Klibanova, Ts. M., 627 Krnak, W. S., 907 Knoll, W. H., 710 Knudsen, J. G., 198 Knudsen, M. H. C., 59,76 Kobe, K. A., 41,1015 Kober, H., 144 Koch, D. L., 330 KoeIler, R. C., 611, 628 Koros, W.J., 926 Kostrov, V. V., 933 Koutecki, J., 764 Koutsky, J. A., 756 Kozeny, J., 218 Kozinski, A. A., 840 Kramer, J. M., 275 Kramers, H., 241,330,650, 655, 710 Kravtchenko, J., 138, 619 Kreyger, P. J., 655 Krieger, 1. M., 35 Krishna, R., 626,842,845,847 Kronig, R., 577 Kronstadt, B., 936 Kuether, G. F., 607 Kuiken, G. D. C., 93 Kundu, P. K., 179 Kuo, Y. H., 157 Kurata, F., 80 Kweon, C.-B., 472 Kwong, J. N. S., 339 Ladenburg, R., 226 Lahbabi, A., 138 Laidler, K. J., 31,617 Lamb, H., 63,138,468,616,619 Lambert, J. H., 581,593
Landau, L. D., 16,20,34,60,66,88, 99,106,109,120,127,162,182,200, 213,226,429,432,448,481,578, 619,687,900,917 Lange, N. A., 15 Lapple, C. E., 213 Larsen, P. S., 273 Larson, R. G., 37 Laun, H. M., 238 Leal, L. G., 35,109,448 Lee, B. J., 608 Lee, C. Y., 627, 639 Lee, N. G., 79 LeFevre, E. J., 411 Uger, L., 620 Legras, R., 312 Leigh, D. C., 739 Leighton, R. B., 106,111 Lenhoff, A. M., 756,889 Lennard-Jones, J. E., 27 Lenoir, J. M., 318, 336 Leonard, E. F., 943 Lescarboura, J. A., 80 Lesieur, M., 174 Levenspiel, O., 330,932 Uv@que, J., 512 Levich, V. G., 36,53,84,460,462, 655,716,728,733,746, 764,806 Lewis, H. W., 83 Lewis, W. K., 602, 827 Li, J. C. M., 617 Li, J.-M., 293 Li, K.-T., 781 Liabis, A. I., 932 Libby, P. A., 412 Liepmann, H. W., 412,416 Lifshitz, E. M., 16,20,34, 60,66,88, 99,106,109,120,127,162,182,200, 213,226,429,432,448,481,578, 619, 648,676, 687, 724, 726, 731, 741,746,757,900,917,1007 Lightfoot, E. N., 187,448, 699,806, 807,817,818,822,823,826,840, 842,889,923,924,925,933,940 Lighthill, M. J., 458, 460 Liley, P. E., 14 Lim, H. C., 448 Lin, C. S., 184,185,784 Lin, T. S., 756 Linek, V., 818 Liu, K.-T., 508,717 Liu, T. W., 305 Lo, T. C., 854 Lodge, A. S., 36,272,295 Lodge, T. P., 620 Loeb, A. L., 329 Loeb, G., 822
Índice de autores 1033 Logan, B. E., 753 Lohrenz, J., 80 London, A. L., 59,448 ~ongweu,P. A., 164 ~ o r e n zL., , 327,411 Love, L. D., 933 Lu, S.-Y., 329 Ludford, G. S. S., 412 Ludviksson, V., 822,824,826 Ludwig, C., 899 Lumley, J. L., 174,181 Lummer, O., 580 Lynn, R. E., Jr.,41,1015 Lynn, S., 650 Lyon, R. N., 392,487 Lyons, J. W., 104,125,277,404 Macdonald, 1. F., 215 Magnus, W., 447,813 Maier, G. C., 715 Maüna, J. A., 487 Maloney, J. O., 554 Mamer, M., 603,614 Marangoni, C. G. M., 435,823 Markovitz, H., 166 Marmur, A., 822 Marshall, T. L., 314,335,337,603 Marshall, W.R., Jr., 516,547,550,884 Martin, H., 518 Martin, J. J., 610 Masha, B. A., 168 Mason, E. A,, 22,29,319,322,614, 670,933,934,936,940,1015,1016
Massot, C., 448 Maxwell, J. C., 26,287, 328,435,626 May, J. C., 932 Mayer, J. E., 336,578 Mayer, M. G., 336,578 Mazet, F. R., 186,487,504,775 Mazur, P., 93,436, 842 McAdams, W. H., 517,526,527,587, 584,602
McAfee, K. B., 669 McCabe, W. L., 853,878 McClelland, M. A., 138 McComb, W.D., 174 McCune, L. K.,518 McDonald, 1. R., 33 McKelvey, J. M., 464 McCloskey, K. E., 15,30 Meissner, J., 280 Mengoq, M. P., 572 Merk, H. J., 458,740,903 Merrill, E. W.,35 Messmer, J. H., 329 Meter, D. M., 199,223 Metzner, A. B., 487
Mezaki, R., 634 Michels, A. M. J. F., 24 Mickley, H.S., 739,827 Millat, J., 22,316 Milier, C., 292 Miller, D. G., 900 Miine-Thomson, L. M., 138 Moelwyn-Hughes, E. A., 616 Moffatt, H. K., 92 Monchick, L., 29, 319,615,670,1015, 1016
Moody, L. F., 203 Moon, P., 531,977 Mooney, M., 35 Moore, D. W., 228 Morduchow, M., 412 Morgan, H., 923 Monoka, L, 521 Morse, P. M., 143,968,976 Moss, O. R., 923 Moulton, R. W., 184,185,784 Mow, K., 219 Muckenfuss, C., 1011 Mueller, J. A., 676 Muller, S. J., vi Müller, W., 170 Munn, R. J., 29 Münstedt, H., 238 Murphree, E. V., 184 Murphy, G. M., 255,1001 Murray, R. L., 767 Muskat, M., 168 Mustakis, I., 926 Nagashima, A., 14,602 Nakao, S., 925 Nathan, M. E, 339 Navier, C.-L.-M.-H., 20, % Nealey, P. F., 926 Nelson, R. A., 1017 Neogi,. P., 620 Neufeld, P. D., 1016 Newman, J. S., 495,699,747,919,942 Newton, I., 12 Nieto de Castro, C. A., 22,316 Nieuwstadt, F., 59, 176 Nijsing, R. A. T. O., 765, 816 Nirschl J. P., 275 Nissan, A. H., 274 Noble, P. T., 806 Noble, R. D., 759,926 Noether, A. E., 687 Nohel, J. A,, 36 Nordén, H. V., 846 Notter, R. H., 187,485,507 Nunge, R. J., 449, 756 Nusselt, W., 448, 498,525,896
Oberhettinger, F., 447, 813 Odelevskii, V. I., 329 Ofte, D., 166 Ogunnaike, B., 884 OI-Iern, H. A., 610 Olander, D. R., 838 Oldroyd, J. G., 34,282,287,291 Oldshue, J. Y., 780 Ollis, D. F., 818 O'Neill, J. G., 923 Onsager, L., 842,900 Oppenheirn, A. K.,587 Orzag, S. A., 490 Oscarson, J. L., 314,335,337,603 Ostwald, W., 282 OSullivan, D. G., 490 &tinger, H. C., 295,603,616,618, 620,900
Owens, E. J., 317,1015 Panton, R. L., 148 Pao, Y.-H., 728 Papoutsakis, D., 448 Partington, J. R., 33 Pascal, P., 337 Pasman, S. L., 34 Paton, J. B., 75 Patterson, G. N., 59 Pauly, S., 605 Pearson, J. R. A., 141 Péclet, J.-C.-E., 313 Pellew, A., 423 Peppas, N. A., 472 Pereira, A. N. G., 319 Perka, A. T., 777 Peny, J. H., 59,566 Peny, R. H., 253,554,792 Petersen, R. J., 928 Pethig, R., 923 Petrie, C. J. S., 280 Pettyjohn, E. S., 213 Pfeffer, R., 519,938 Pigford, R. L., 466,547, 550, 652, 692, 715,724,726,788,816,854,884
Pipkin, A. C., 275 Pitaevskii, L. P., 1007 Planck, M., 571,577,580 Plummer, W. B., 219 Plyat, Ch. N,, 329 Pohihausen, E., 458,516,741 Poiseuille, J. L., 58 Poling, 24, 29,33,322,325,603, 614,618,663,702 Poljak, G., 587 Polk, C., 923 Polson, A., 616 Pomerantsev, V. V., 627
607,
1034 fndice de autores
Pomraning, G. C., 591 Porter, J. H., 774 Poulaert, B., 312 Powel!, R. E., 326,911 Powell, R. W., 110,117 Pozrikidis, C., 129 Prager, W., 16,282,953,958,988 Prandtl, L., 152,182,185,207,313 Prausnitz, J. M., 24,29, 33,322,325, 603,607,614,618,663,702 ~resent;R. D., 613 Press, W. H., 776 Pringsheim, E., 580 Prober, R., 158,739,740,842 Probstein, R. F., 213 Prostokishin, V. M., 182 Proudman, I., 141 Pmd'hornme, R. K., 60,757 Putnam, G . L., 184,185,784 Pyun, C. W., 617 Ragatz, R. A., 23,317,337,426, 661, 805 Raithby, G. D., 519 Rajagopalan, R., 522 Ramkrishna, D., 448 Ramos, A., 923 Randall, C. A., 923 Ranz, W. E., 150,216,516,818 Ratajski, E., 472 Ray, W. H., 884 Rayleigh, Lord (vease J. W. Strutt) Redlich, O., 339 Reichardt, H., 187,188,189, 194, 496 Reichle, C., 923 Reid, R. C., 24,29,33,322,325,603, 607,614,618,663,702 Reid, W. H., 106 Reiner, M., 284,303 Reis, J., 806 Rektorys, K., 144,298 Renardy, M., 36 Rey, L., 932 Reynolds, O., 52,176 Rhodes, M., 932 Rice, S. A.,25, 27,31,319 Richardson, J. G., 215 Redel, L., 325 Robertson, J. M., 138,143 Robinson, R. A., 919,939 Robinson, R. C., 607 Rodríguez, R. I., 889 Rohsenow, W. M., 22,313,327,473, 498,512,519,572 Roper, G. H., 667 Rosenhead, L., 113,153 Roseveare, W. E., 326,911
Roshko, A., 292,416 Rosner, D. E., 788 Ross, J., 25,27,31,319 Ross, R. C., 738,827 Ross, S., 823 Rothíeld, L. B., 690,933 Rouse, H., 95,158 Rowley, R. L., 314,335,337,603 Ruckenstein, E., 522,741 Russel, R. J., 274 Russel, W. B., vi, 36,37,6'18 Russell, D., 1011 Rutten, P. W. M., 604,756,911,913
Saab, H. H., 305 Sack, R., 34,287 Saffman, P. G., 128 Sahimi, M., 932 Sakai, K., 925 Sakonidou; E. P., 316 Sandall, O. C., 187,487,494,504, 772,775,783 Sands, M., 106,111 Sarofim, A. F., 584 Satterfield, C. N., 699 Savenije, E. P., 977 %ville, D. A,, 37,618 Saxena, S. C., 14,322 Saxton, R. L., 907 Scattergood, E. M., 924,940 Schacter, J., 859,880 Schaeffer, D., 822 Schetz, J. A., 22,34,99,554 Schieber, J. D., vi, 295,305, 312,619 Schlichting, H., 106,153,158,175, 181, 182, 191, 194, 195,196,198, 224,454,457,477,515 602 Cchmidt, E. H. W., Schowalter, W. R., 35,37,276,618 Schrader, M. E., 822 Schrage, R. W., 524 Schrodt, T., 679 Cchroeder, R. R., 807 Schuhmann, D., 717 Cchultz, J. S., 943 Schultz-Grunow, P., 106 Ccott, D.s.,933 %ven, L. E., 93,127,423,435,823 Seader, J. D., 854,872,925 Secrest, D., 702 Seinfeld, J. H., 753 Sellars, J. R., 475 Selman, J. R., 699,805 sngers, J. V., 14, 316,602 Shah, R. K., 448 Shau, F. H., 867 Shankar, A., 756
Shaqfeh, E. S. C.,277 Shaw, D. A., 493,494,602 Sheehan, P., 932 Shenvood, T. K., 692,724,726,774, 788,816,849,854 Shettler, P. D., 607 Short, B. E., 525 Sibul, H. M., 314,335,337,603 Sieder, E. N., 511 Siegel, R., 369,450,572,584,591 Silbey, R. J., 25,27,42,76, 334,394, 432,616,634,693,838,915 Silveston, P. L., 422,933 Simha, R., 35 Sinkule, J., 818 Sirkar, K. K., 859,926,930 Sisson, R. M., 739 Skan, S. W., 158 Slater, M. J., 792, 806,822 Slattery, J. C., 230, 435,607,822 Sleicher, C. A., 187,485,507,776 Smith, J. C., 854 Smith, J. M., 330 Sneddon, 1. N., 453 Sorensen, J. P., 138,463,519,603, 614,733,806 Coret, C., 791 Southwell, R. V., 423 Spalding, D. B., 717,741 Sparrow, E. M., 168,369,450,487 Spencer, D. E., 531,977 Speziale, C. C.,181 Spotz, E. L., 614,1016 Sprenkle, R. E., 253 Spriggs, T. W., 288 Squires, P. H., 75 Squyers, A. L., 738,827 Standart, G. L., 845,847 StanCk, V., 932 Stearn, A. E., 33 Stebbins, C. C., 314,335,337,603 Stefan, J., 577,626 Stegun, 1. A., 452,653, 1001 Stein, W.D., 943 Stejskal, E. O., 600 Stephan, K., 362,498,527 StepiSnik, J., 600 Stern, S. A,, 859,926 Sternling, C. V., 423,435,823 Stewart, G. N,, 891 Stewart, J., 469 Stewart, W. E., 103, 120, 138,158, 275,411,460,463,494,508,517, 518, 519,521,603, 607, 614, 670, 717, 724,726, 731, 733, 734, 739, 740,741,746,756,806,807,827, 833,842,846,848,933,934,1015
fndice d e autores Stewartson, K.,153,454,732 stichlmair, J., 792, 806 Stilbs, P., 600 Stokes, G . G., 20,66,93,96 Stokes, R. H., 919,939 Stover, B. J., 31,617 Straatemeier, J. R., 650 strathmann, H., 930 ~trathmann,J. L., 316 Smeter, V. L., 143, 174,215 Strom, J. R., 213,226 Stmtt, J. W. (Lord Rayleigh), 106, 328,422 Suehiro, J., 923 Suetin, F. E., 609 Sureshkumar, R., 300 Svehla, R. A.,1015 Swarbrick, J., 932 Swidells, J. F., 14 Swift, G. W., 80 Tadmor, Z., 272 Talary, M. S., 923 Tallmadge, J. A., 219 Tambour, V., 842 Tammann, C., 666,674 Tanner, J. E., 600 Tanner, R. l., 272,275,297 Tate, G. E., 511 Taylor, B. N., 1017 Taylor, G. L, 36,106, 186,483,753, 757 Taylor, R., 626,842 Taylor, T. D., 462 Tee, L. S., 607,670,1015 Tennekes, H., 174,200 ten Seldam, C. A., 316 Teukolsky, S. A,, 776 Than, P. T., 298 Theodorou, D. N., 620 Thiele, E. W., 647,658,878 Thodos, G., 317,518,1015 Thomas, W. D., 717 Thome, J. R., 524 Thompson, P. A,, 822 'Iichacek, L. J., 907 Tiedt, W., 199 Tien, C., 733 Tobias, C. W., 411,699,733,805 Tollmien, W., 194 Toms, B. A., 276 Toor, H. L., 449,626, 663,700,779, 781,842 Touloukian, Y. S., 14 Towle, W. L., 783 Townsend, A. A., 174,179,183,191 Treybal, R. E., 788, 854
Tribus, M., 475,776 Tricorni, F. G., 447,813 Troian, S. M., 822,824 Tschoegl, N. W., 288 Tuma, J. J., 1001 Turian, R. M., 36,83,283,391 Tuve, G. L., 253 Tyn, M. T., 604 Tyrrell, H. J. V., 616 Uhlenbeck, C . E., 319 Uribe, F. J., 22 Usagi, R., 521 Valeri, E J., 772 Valstar, J. M., 504,506 van Aken, J. A., 238 Vand, V., 41 van den Akker, H. E. A., 780 van den Berg, H. R., 316 van den Brule, B. H. A. A., 312 Vandenhaende, C., 312 van de Vusse, J. G., 710 van Driest. E. R., 186,775 Van Dyke, M., 86,106,142,152 van Ievsel, E. M. F., 36 van Krevelen, 605 van Loef, J. J., 608, 629 van Reis, R., 926 van Rossum, J. J., 84 Van Voorhis, C. C., 605 VanWazer, J. R., 104,125,277,404 van Wijk, W. R., 329,338 Velev, O. D., 923 Venerus, D. C., 312 Vettering, W. T., 776 Viehland, L. A,, 1001 Vieth, W. R., 774 Vignes, A., 604 Villat, H., 138,619 Vivian, J. E., 792 Von Halle, E., 859, 880 von Helrnholtz, H., 150 von Kánnán, T., 153,182,209, 224, 716 von Mises, R., 412 von Smoluchowski, M., 37 Vrij, A., 36 Wakeham, W. A,, 14,602 Waleffe, F., 174 Walker, J. E., 198 Walker, R. E., 631,665 WaIker, W. H., 602 Walters, K., 35,86, 204,272,276, 277 Wang, C. Y., 99
1035
Wang, J. C., 756 Wang, K. H., 824 Wang, Y. L., 164 Wang C h a n C. ~ S., 319 Warner, H. R., Jr., 296 Wasan, D. T., 435,822 Washizu, M., 923 Watennan, T. E., 327 Watson, G. M., 934,940 Watson, K. M., 24,317,337,339, 426,661,805,871,888,1015 Weber, M., 111 Wedgewood, L. E., 291,298 Wehner, J. F., 387 Weichert, D., 842 Weidman, D. L., 733 Weinbaum, S., 932,937,938 Weissenberg, K., 274 Weissman, S., 614 Welling, P. G., 865 Wendt, J. F., vi Werlé, H., 86 Westenberg, A. A, 631, 665 Westerterp, K. R., 330 Whan, G. A., 198 Wheeler, A., 658 Whitaker, S., 53, 250,411, 516, 566 Whiteman, J. R., 475 Wicks, M., 111, 64 Wiedemann, G., 327 Wien, W., 580 Wiest, J. M., 34, 292 Wilcox, W. R., 820 Wild, N. E., 907 Wilding, W. V., 314,335,337,603 Wilhelm, R. H., 387,518 Wilke, C. R., 29,41,411,617, 627, 639,724,733,758,788,816,854 Williams, M. C., 280, 305 Williams, R. J. J., 26, 933 Williamson, J. E., 518 Wilson, C. L., 772, 783 Wilson, E. J., 518,805 Wineman, A. S., 275 Wissbrun, K., 272 Wittenberg, L. J., 166 Wong, B. A., 923 Wong, P.-Z., 822 Woodside, W., 329 Wylie, C. R., 447, 453 Wylie, E. B., 243 Wynn, E. B., 610
Xu,J., 880 Yamagata, K., 475 Yamamoto, T., 923
1036
Índice de autores
Yan, Z.-Y., 937, 938 Yang, B., 293 Yang, R. T., 854 Yarusso, B. J., 302 Yasuda, K., 283 Young, J. D., 735
Young, T. C., 733,739,848 Youngren, G. K., 616 Yuan, T.-F.,36
Zaremba, S., 291 Zeh, D., 733
Zeman, L. J., 926 Zia-U1-Haq, 842Zierler, K., 891 Zipperer, L., 31 Zuidenveg, F. J., 823 Zundel, N. A., 314,335,337,603 Zydney, A. L., 926
Índice temático
Absorción con deformación interfacial, 751 con reacción, 646,648,724,751, 764,818 de radiación, 574,591,593 desde una burbuja ascendente, 654 desde una burbuja en crecimiento, 759 desde una burbuja pulsante, 763 en una película descendente, 651, 678 Absorción de un gas (véase Absorción) Actividad, fuerza impulsora para la difusión, 902,910 Ajuste de tiempo, cantidades con (en turbulencia), 178,479,769 ecuaciones de variación con, 180, 480,771 velocidad con, cerca de una pared, 181 Alambre, conducción de calor en un, 427 pérdida de calor radiante desde un, 595 Aleta de enfriamiento, 362,391 Amortiguamiento crítico, 258,553 mejoramiento del, 318 número de Reynolds, 52,59,67, 104,157,458 propiedades del, 23,316 Análisis de Fourier del transporte de energía turbulento, 490 Anhlisis dimensional de condiciones límíte interfaciales, 127,435 de ecuaciones de variación, 110, 416,702 y coeficientes de transferencia de materia, 797 y coeficientes de transmisión de calor, 509 Análisis por compartimientos, 862 Analogía de Reynolds, 483,772 Analogías, entre difusión y conducción de calor, 720 entre transmisión de calor y transferencia de materia, 793, 896 para flujo en una lámina plana, 741
Análogo eléctrico de la radiación, 588 Anemómetro de alambre caliente, 386,530 Anillo (véase Tubos concéntricos) Aproximación de Debye-Hückel, 920 Aproximación de lubricación, 77 Área interfacial, como kuición del tiempo, 728,748 condiciones límite, 127,435,822 deformación y transferencia de materia, 746,751,752,806 movimiento y transferencia de materia, 746,751 Ascenso de polímeros por barras, 274,278 Atenuación del movimiento oscilatorio, 137,290 Autodifusi6n y autodifusividad, 599-600,607 en líquidos, 616 en polímeros sin diiuir, 620 estados correspondientes y, 608 teoría cinética de los gases de, 613, 1010 Batance de cantidad de movimiento de von Kármfin, 153 &lance dominante, 493,751 Balances macroscópicos por integración de la ecuación de variación, 230,533, 569 de cantidad de movimiento, 233, 868 de cantidad de movimiento angular, 235,868 de energía, 534,543,569,868 de energía interna, 538 de energía mecánica, 237,241,258, 536,542,869 de entropía, 569 de materia, 231,854 forma d de, 541,875 resumen de ecuaciones, 244,538, 544,870 Bolígrafo, calentamiento viscoso en un, 378 Bomba de cono giratorio, 82 Boquilla adiabática sin fricción, 881 Boquilla convergente-divergente, 562
Boussinesq, viscosidad de remolino, 185 ecuación para convección libre, 399,689 Burbuja, difusión desde, 730 absorción de gas desde, 654,759, 763 circulación de RybczynskiHadamard, 654,823 que se mueve en un líquido, 227 transferenciade materia a gotas, 806 transferencia de materia en flujo reptante, 745 Burbuja esférica, flujo reptante alrededor de una, 161 Campo gradiente, 963,969,978 Canalización en lechos de relleno, 21 6,518 Cantidad de movimiento angular interno, 7,93 Capa de transición (buffer) (en turbulencia), 181, 481 Capa límite, reacción química en la, 733 con mezdas reaccionantes, 731 de la velocidad, 153,154,455 ecuación de Falkner-Skan, 158 ecuaciones de Prandtl, 152,454, 732 espesor, 132,455,732 expresiones integrales de von Kármán, 153,456,732 flujo aIrededor de objetos, 741 flujo en lechos de relleno, 805 límite a un número de Prandtl elevado, 460 modelo para transferencia de materia, 832,846 movimiento interfacial complejo, 746 separación, 158,212,460 teoría, 150,454,731,741,746 térmica, 455 Capacidad calorífica, 314,319 Capacidad para separarse, 859 Capilar (véase también Tubo) medidor de flujo, 75 número, 111 Carga eléctrica, 912 susceptibilidad, 922
1038 fndice temático
Cascadas lineales, 877,894,913 Celdas de Bénard, 421 Chorro contraído, 252,553 Chorros, que chocan contra una IAmina, 234,239,250 flujo laminar y turbulento en, 177 perfiles turbulentos de temperatura en, 488 perfiles turbulentos de velocidad en, 191,198 resultados experimentales (turbulentos), 194 Cilindro que oscila, flujo cerca de un, 277 coeficiente de transmisión de calor, 517 con un disco que gira, 170,275 conducción de calor en estado no estacionario, 443 flujo no isotérmico cerca de un, 419,468 flujo transversal alrededor de un, 111,112,123,225,517 Cilindros coaxiales (vease Tubos concéntricos) Circulación de HadamardRybczynski, 654,823,824 Circulación de RybczynskiHadarnard, 654,823,824 Codo, empuje sobre un, 247 Coeliciente de actividad, 918 Coeficiente de actividad iónica, 918 Coeficiente de extinción, 593 Coeficiente de fricción, 619 Coeficiente de resistencia (véase Factor de fricción) Coeficiente de Soret, 906 Coeficiente global de transferencia de materia, 809 Coeficiente global de transmisión de calor, 360,500,559 Coeficientes de esfuerzos normales, 277,280 Coeficientes de transferencia de tnateria (véase también Número de Shenvood), 635,788 a altas velocidades de transferencia de materia neta, 826, 833 aparentes, 791 binarios, de dos fases, 807 de área promediada, 814 expresiones analíticas para, 793 globales (completos), 809 para gotas y burbujas, 806 para lechos de relleno, 805 volumétrico, 817
Coeficientes de transmisión de calor (véase también Número de Nusselt) a partir del modelo de capa limite, 832 a partir del modelo de película estancada, 827 a partir del modelo de penetración, 830 cálculo a partir de datos, 501 con propiedades físicas dependientes de la temperatura, 510 convección libre y mixta, 519 definiciones, 498 de flujo turbulento, 512 efecto de velocidades altas de transferencia de materia sobre los, 826,833 en sistemas de transferencia de materia, 788 globales (completos), 360 para lechos de relleno, 518 para objetos sumergidos, 514 para tubos y rendijas, 503,505, 506,509 para vapores de condensación, 524 que aparecen en una condici6n limite, 344 valores numéricos de, 500 Coeficientes de transmisión locales, 494,790 Coeficientes volumétricos de transferencia de materia, 817 Colector de polvo, 79 Colisión (colisiones), binaria, 5 de moléculas con una pared, 25,42 integrales, 28,321,613,1016 sección transversal de, 26 Colisiones moleculares, 5 Columna de Clusius-Dickel, 19, 906 Columna de pared mojada, 790 Combinación de variabIes, 130,155, 158,194,459, 467,721,725, 729, 737,743,744 Complejo(a), potencial, 143 velocidad, 144 viscosidad, 279,289,293,294 Concentración, notación para la, 621, 622 Condensación, 695 Condición límite (de frontera) sin deslizamiento, 47 Condiciones de frontera (vbase Condiciones límite) Condiciones límite (de frontera}, en las interfases, 127,435
para problemas de difusión, 635, 823 para problemas de flujo, 46,127 para problemas de transmisión de calor, 342 Conducción de calor, ecuación, 399, 437 a través de paredes compuestas, 357,360 con cambio de fase, 430,471 con conductivídad térmica dependiente de la temperatura, 384,434 con convección forzada, 366 en el montaje de varillas de combustible nuclear, 348,379 en estado no estacionario (en sólidos),439 en la fundición de polimeros, 380 en un anillo, 380 en un cable eléctrico, 343 en un fluido con calentamiento viscoso, 351 en un reactor químico, 354 en una aleta de enfriamiento, 362 soluciones producto, 470 Conductividad de calor (véase Conductividad térmica) Conductividad térmica, ecuación de Bridgmaii, 326 corrección de Eucken, 322,701 datos experimentales, 314,315 de compuestos, 328,434 definicibn, 311,904 de gases densos, 339 de sólidos, 327 dependencia con respecto a la presión, 316 dependencia con respecto a la temperatura, 316 para gas monoatómico, 321,1011 para gas poliatómico,322, 701 para materiales anisotrópicos, 312, 330 teoría cinetica de los gases, 319, 1011 unidades, 313,1020 Congelamiento de una gota esférica, 430 Conservación de la cantidad de movimiento angular, en un continuo, 93 en colisiones moleculares, 7 en un sistema macroscópico, 235, 868 relación con la isotropía del espacio, 687
Índice temático 1039 Conservación de la cantidad de movimiento, en un continuo, 88, 402,403 en balances de envoltura, 46 en colisiones molenilares, 6 en un sistema macroscópico, 233, 868 relación con la homogeneidad del espacio, 687 Conservación de la energía, en un continuo, 395,688,690 en balances de envoltura, 342 en colisiones moleculares, 7 en un sistema macroscópico, 534, 541 relación con la homogeneidad del tiempo, 688 Conservación de masa, en un continuo, 87,682 en balances de envoltura, 635 en colisiones moleculares, 5 en sistemas rnacroscópicos, 230,854 Constante de Euler, 469 Constante de Faraday, 86,1017 Constante de Planck, 578,1017 Constante de Stefan-Boltzmam, 330, 577,578,579,1017 Constante solar, 586 penetración del calor, 473 Contadores a carga diferencial,553 Contradihsi6n equimolar, 668,685 Controlador de temperatura, 550 Convección libre, 366,383,384 aproximación de Boussinesq, 399, 689 coeficientes de transmisión de calor, 519 lámina horizontal, 421 lámina vertical, 408,521 transmisión de calor y transferencia de materia por convección forzada, 820 Convección libre en una lámina vertical, 408 Convección mixta, 366,522,820 Convección natural (véase Convección libre) Convención de operación suma de Einstein, 988 Convertidor de dióxido de azufre, 869 Convolución, 492,898 Coordenadas curvilíneas, 21,970, 974,986 Corrección de Eucken, 321,702 Correlaciones de estados correspondienfes, 22,316,607
Corte, coeficiente (tasa) de, 277 adelgazamiento de, 280,281 esfuerzo de, 18,69 ondas (efecto de elasticidad) de, 284 Cuerpo negro, 574,595 Cuña, flujo sobre una, 150,157
Delta de Kronecker, 18,951 Densidad de flujo combinada, de energía, 333, 687, 688 de cantidad de movimiento, 40, 89,688,689 de materia, 612,624,625,688,689 molar, 624,625 Densidad de flujo convectivo, de energía, 331,688 de cantidad de movimiento, 37, 40,688 de materia, 613,621,623,624,658 Densidad de flujo de cantidad de movimiento, 13 Densidad de flujo de cantidad d e movimiento viscoso, 40 Densidad de flujo de trabajo, 333 Densidad de flujo difusora (véase Densidad de flujo molecular) Densidad de flujo molar, 623,624,625 Densidad de flujo molecular, d e energía, 309,334,688,689,1009 de cantidad de movimiento, 18, 40,688,689,1009 de materia, 601,688,689,1009 de trabajo, 1009 Densidad de flujo másico, combinado, 624,625 convectivo, 623,625 molecular (o difusivo), 601,625, 902,1009 turbulento, 771 Densidad de flujo, molecular, 23, 310,436,601,623,901,1019 combinada, 39,333,625 por convección, 37,331,623 turbulenta, 180,480, 771 Densidades de flujos de energía, combinadas, 333,395 de trabajo, 333 moleculares, 309,342,903 por convección, 309,331,342 por radiación, 309 Derivada corrotacional (de Jaumann), 291 Derivada de Jaumann (corrotacional), 292 Derivada hidrodinámica, 94 interacción, 620 teoría de difusi6n en Ifquidos, 616
Derivada material, 94 Derivada siguiendo el movimiento, 94 Derivada sustancial, 94 Derivadas con respecto al tiempo, 94,292 Descomposición de Reynolds (turbulencia), 178,479, 769 Deshumidificaci6n, 706 Deslizamiento, coeficiente de, 76 flujo de, 59,933 Desplazamiento de fase, 137,290 Diagrama de McCabe-Thiele, 879, 880,881 Diálisis, 789 Diámetro de la partícula, 217 Dielectrofóresis, 923 Diferenciación de vedores y temores, 962,974,976,978 Difusión (véase tambibn Difusión forzada, Difusión de presión, Autodifusión, Difusión térmica) barrera, 627 con reacción química, 643,667, 671,674,680,685,697,699,724, 726,733,764,772,777,818 de Taylor, 753 de varias componentes, 626,662, 679, 842,902,903 desde un disco que gira, 716 desde una burbuja, 731 desde una fuente puntual en una corriente, 677 desde una fuente puntual instantánea, 761 desde una gotita suspendida, 669 ecuación de, 684,713,999 en una interface en estado no estacionario, 766 fuerzas impulsoras para la, 902, 910,1009 inversa, 627 ley de Graham de la, 936 ley generalizada de Elck de la, 903 osmótica, 627 primera ley de Fick de la, 601 segunda ley de Fick de la, 685 solución de agua salina, 917 Difusión de barrido, 715 Difusión de concentración (véase Difusión) Difusión de masa (véase Difusión) Difusión de presión, 616,691,908, 909 Difusión forzada, 605,691,912 Difusión inversa, 627 Difusión ordinaria (véase Difusión)
1040 Índice temático
Difusión osmótica, 627 presión, 839, 940 Difusión térmica, 605,691 columna de Clusius-Dickel para, 375,906 f,ictor de, 906 sazón de, 906, 907 Difusividad, binaria, 601,606,1021 ilc Maxwell-Stefan, 904,1010 dependiente de la concentración, 711 estados correspondientes y, 607 generalizaciones a varios componentes, 903,904,905,1009 iónica, 939 matriz de, 843 medición de la, 641, 665, ó68, 671, 758,765,851 tensor de, 603 teoría cinética de los líquidos para la, 615 teorías cinéticas de los gases para la, 611 térmica, 312, 313,602 valores experimentales, 603,604, 605 Difusividad de remolino (turbulenta), 772,782 conductividad térmica, 483 viscosidad, 185,190 Difusividad efectiva, 659 conductividad térmica, 92, 434 Difusividad térmica, 312,602 medición de la, 494,465 Disco giratorio, difusión desde un, 71 6 factor de fricción de un, 224 número de Slierwood de un, 797 para ultra[iltración, 839 Disco rotatorio (véase Disco giratorio) Discos par,ilelos, tlujo radial entre, 123 Discos paralelos, viscosímetro de compresión de, 125 viscosímetro de, 121 Disipación viscosa, para flujo alrededor de una esfera, 141 en la ecuación de energía mecánica, 93 en la fundición de polímeros, 380 por calentamiento, 353,378,394, 426,436,472 Dispersión axial (Taylor-Aris),753,761 Dispersión de Taylor (axial), 753, 761 Distribución de concentración, a lo largo de una lámina plana, 733, 735
alrededor de objetos arbitrarios, 741 alrededor de un cilindro largo, 704 efecto de la velocidad de transferencia de materia en la, 667 en difusi6n con reacción, 643,646 en dihsibn de un gas temario, 662,700 en flujo reptante alrededor de una burbuja, 745 en flujo turbulento, 772,777 en la oxidación de monóxido de carbono, 700 en un catalizador poroso, 658 en un reactor tubular, 697 en un sistema que se condensa, 694
evaporación en estado estacionario, 635 para disolución de pared en película, 655,744 para una película descendente, 651 Distribución de MaxwellBoltzrnann, 42,1009 Distribución de temperatura, en tubos concénhicos, 380 alambre calentado eléctricamente, 343,347,388 aleta de enfriamiento, 362,391 anemómetro de alambre caliente, 386 calentamiento viscoso, 426 cerca de una pared en flujo turbulento, 481 en capa límite, 454,456, 459 en chorro turbulento, 488 en flujo oscilatono, 472 en sistemas con cambio de fase, 471 en sólidos, 440,441,445,453,466468,470 en una esfera, 431 enfriamiento por transpiración, 406 ensamble de combustible nuclear, 348,379 esfera incrustada, 428 flujo alrededor de un cilindro, 419 flujo de polímeros en una rendija, 381 flujo en un tubo, 449,450 flujo en un tubo por convección forzada, 366, 387,392
flujo en una rendija con calentamiento viscoso, 351,379, 381 flujo en una rendija por convecci6n forzada, 382,387,389 flujo en una rendija por convección libre, 372 flujo entre tubos concéntricos (anular) por convección libre, 383 flujo entre tubos concéntricos (anular) tangencial, 404 flujos tapón, 383 pared compuesta, 357,360 película descendente, 405 reactor químico, 354,385,386,387 viscosímetro de cono y lfimina, 391 Distribución de velocidad, flujo entre tubos concéntricos (anular) axial, 61,73, 74, 170,198,383 cerca de una lámina que oscila, 135,169 cerca de una línea fuente, 163 cerca de una pared que se pone súbitamente en movimiento, 130,160 en chorros turbulentos, 195 en convección libre, 375,410 en flujo turbulento en un tubo, 189 en un chorro, 191,197 en un medio poroso, 167 en un sistema de disco y tubo, 170 en una onda de choque, 415 flujo a través de un tubo, 54,80, 99,169,189 fiujo alrededor de un cilindro, 145 flujo alrededor de una burbuja, 161 flujo alrededor de una esfera, 66, 708,138,162 fiujo cerca de una esquina, 148, 157 flujo cerca de una lámina plana, 154 flujo de Couette, 73 flujo de fluidos estratificados, 64 flujo dentro de una rendija, 146, 164 flujo en una rendija, 72,78,132,372 flujo entre tubos concéntricos (anular) tangencial, 101, 170 película descendente, 48,73,81,101 viscosímetro de cilindro descendente, 80 viscosfmetm de cono y lámina, 77
fndice temático 1041 Distribución del tiempo de residencia, 79 m n a d o de líquidos, 84 Dudo cuadrado, flujo en un, 120 Dudo (toma de aire) triangular, flujo en un, 120,176 Ductos (tomas de aire), no circulares, 119,176,514 flujo turbulento en, 187 Ecuación de Blake-Kozeny, 218,937 Ecuación de Boltzmann, 1007,1009 Ecuación de Bridgman, 325-326 Ecuación de Burke-Plummer, 219 Ecuaci6n de Carreau para viscosidad de polímeros, 283 Ecuación de continuidad, mezcla binaria, 684,999 con ajuste de tiempo, 180,770 fluido puro, 87,402,994 mezcla de varios componentes, 681,998 modificada para medios porosos, 167 Ecuación de energía, 396,995,998 en términos de la temperatura, 398,690,713 forma de capa límite de la, 454,732 obtención de la, 394 para sistemas de vanos componentes, 690 varias formas de la, 402,403, 690 Ecuación de Ergun, 219 Ecuación de estado, 339 Ecuación de Falkner-Skan, 158 Ecuación de Gibbs-Duhem, 901,944 Ecuación de Hagen-PoiseuilIe, 58, 60,206,284 Ecuación de Langevin, 619 Ecuación de Laplace, para potencia1 electrostático, 920 para dihsión, 720 para flujo de calor, 452,720 para flujo en medios porosos, 168 para función de corriente y potencia1 de velocidad, 143 para presiones interfaciales, 127 Ecuación de Levich-KouteckyNewman, 876 Ecuación de Maxwell para compuestos, 328 modelo de viscoelasticidad lineaI, 287,288 Ecuación de Mooney, 35 ~cuacibnde movimiento de Euler, 97,469
Ecuación de Navier-Stokes, 95-96, 996 Ecuación de Nernst-Einstein, 616 Ecuación de Stokes-Einstein, 616 Ecuación de Tallmadge, 219 Ecuación de van Driest para La longitud de mezcla, 186,488,
m
Ecuación del factor de fricción de Haaland, 208 Ecuación diferencial de Bernoulli, 895 Ecuación diferencial de Bernoulli, para fluidos no viscosos, 97, 124,142,570 para fluidos viscosos, 237 Ecuación modificada de van Driest, 186,775 Ecuaciones de Cauchy-Riemann, 143 Ecuaciones de MaxweIl-Stefan, 626, 662,679 aplicaciones de las, 912 difusividades en las, 904,1010 en forma rnatricial, 842-843 generalizadas, 903 Ecuaciones de Stefan-Maxwell (véase Ecuaciones de MaxwellStefan) Ewciones de variación (véase también Continuidad, Movimiento, Energia, Cantidad de movimiento angular, Verticidad, Entropía, Energía mecánica) a partir de la ecuación de Boltzmann, 1008 ajuste de tiempo, 178,481,770 balances macroscópicos a partir de, 230,533 obtención por teoremas integrales, 127,437,713 tablas resumidas, 95,398,399,688, 991
Efecto de difusión térmica, 691 Efecto de la pared para una esfera que desciende en un cilindro, 226 Efecto de Marangoni, 435,822,823, 851 Efectos finales, 59,268 Eficiencia de separación, 858 Electroósmosis, 919 Elipsoide, transmisión de calor desde un, 531 Emisividad, 576,577 Emisión de radiación, 574
Energía (vease Energía interna, Energía cinética, Energia potencial, Conservación de la energía, Energía mecánica) Energía cinética, 394,962 ecuaci6n de variación para, 402, 403 en la ecuación de energía mecánica, 91,402 en movimientos moleculares, 6 Energía de activación, 31,617 Energía interna, ecuaciones de variación para, 397,689 de moléculas, 7 de un fluido, 331,394 de u n gas ideal, 1008 Energh mechica, forma d del balance macroscópico para, 542, 751 balance macroscópico para, 237, 241,258,869 ecuación de cambio para, 91,402, 403,689 Energía potencial, 395 d e interacción entre moléculas, 27 en la ecuación de energía, 397, 402,690 en la ecuación de energía mecánica, 92,402 Energía potencial intermolecular atómica, 6,309,322,614 Enfriamiento por transpiración, 406, 428,789 Enriquecimiento (en un proceso de separación), 859 Ensanchamiento, flujo en un, 244, 264 Entalpía, aparición en flujo de energía combinado, 333 ecuación de cambio para, 398,399, 404,690 evaluación de, 334 molar parcial, 692 Entropía, ecuación de cambio para, 403,436,900 balance macroscópico para, 569 densidad de flujo y producción de, 436,901 Envoltura esférica, conducción de calor en una, 427 Escaiación, 423 Esfera, enfriamiento por inmersión en un liquido, 446 calentamiento o enfriamiento en estado no estacionario, 431,443, 445
1042 Índice temático
coeficientes de transmisión de calor, 499,516 factor d e fricción para una, 210 flujo alrededor de una esfera estacionaria, 66,138, 162 flujo cerca de una esfera que gtra, 108 número de Sherwood para una, 794 que desciende en un cilindro, 226 transmisión de calor desde una, 462 Esfera giratoria, flujo cerca de una, 108 Esferas concénbicas, flujo entre, 120, 121 Esfuerzo cedente modelo de Bingham para fluidos con, 302 Esfuerzo, normal, 18,22,68,89,126, 274,278,280 de corte, 18 viscoso, 18 Esfuerzos de Reynolds, 180 ecuación de cambio para, 200 en ductos, 187 en la vecindad de una pared, 186 Esfuerzos normales, 18,22,68,89, 126 en polímeros, 274,293,294 Especifica, energia interna, 395 superficie, 217 Espectro de radiación eledromagn6tica, 572,573 Espesor de penetración, 132,441, 473 Esquina, capa límite (flujo) cerca de una, 157 flujo potencial cerca de una, 148 Estado estacionario oscilatorio, 170,
445 Estado estacionario periódico, 136, 170,290 Estado pseudoestacionario (vbase Estado casiestacionario) Estiramiento biaxial, 279,281 Evaporación, desde una superficie plana, 834,850 desde una gotita, 835 estado estacionario, 635,675,679 estado no estacionario, 640, 721, 837 pérdida desde un tanque, 385 tres componentes, 662 Exclusión de Donnan, 930,940 Expansiones asint6ticas concordante, 141
Experimento con dos bulbos (difusiún), 668,765,934 Experimento en una pileta ladeada, 275 Expresión de la ley de potencias (exponentes) para flujo polimérico en tubos,273 para flujo turbulento en tubos, 175,189 para viscosidad poIim&rica,282, 283,284,285 Eyector, 245,540 Eyector liquido-líquido, 246 Factor de eficacia en un catalizador, 661,674,680 Factor de ficción d e Barenblatt para tubos, 207 Factor de fricción, definición, 202 para columnas de relleno, 215 para flujo a Io latgo de una lámina plana, 224 para flujo alrededor de esferas, 210 para Aujo alrededor de un aliidro, 225 para flujo en un tubo, 204 para flujo en una rendija plana, 224 para tubos no circulares, 208 para un disco giratorio, 224 para una burbuja de gas en un líquido, 227 Factor de pérdida por fricción, 240 Factor de separación, 858,860 lugar geométrico, 113,460 Factores de ángulo (en radiación), 584 Factores d e configuración (en radiaci6n), 584 Factores de conversión, 1018 Factores de escala, 110,461 Factores de visión (en radiación), 583,584 Factores j de Chilton-Colburn, 503, 513,793,800 Elck, primera ley de la difusión, 600, 626,994 generalización a varios componentes, 842,903 Fick, segunda ley de la difusión, 685 Fluctuación de concentración, 769 Fluctuaciones en flujo turbulento, 178,479,490,769 Fluido compresible, expansión libre intermitente de un, 555 ligeramente, 96 potencia necesaria para bombcar un, 544
Fluido incompresible, ecuación de continuidad para un, 88 ecuación de energía para un, 399 ecuaci6n de estado para un, 96 ecuación de movimiento para un, 95 Fluido polim6ric0, conductividad térmica anisotrópica, 311 calentamiento viscoso en, 354 coeficientes de esfuerzos normales, 293,294 flujo d e alargamiento (o extensional) de un, 293,294,299 modelo de pesas ENEF-Ppara, 297 números de Nusselt para, 505,506 propiedades viscoelhsticas heales, 286 teorías de redes para, 295 teorías moleculares para, 295 viscosidad, 282,293,294,297 Fluidos newtonianos, 12,13,17,20 Fluidos no newtonianos, 13,32,282, 285,291 transmisi6n d e calor en, 470,505, 506 Flujo acústico, 277 Fiujo adiabático sin fricción, 411, 425,881 Flujo compresibIe, 60,97,238,260, 412 Flujo comprimido, 125,304 Flujo de alargamiento (o extensional), 279 viscosidad, 281,293,295,299 Flujo de Couette, 73 Flujo de Couette plano, 73 Flujo de fluidos inmiscibtes adyacentes, M transferencia de materia entre, 806,822 Flujo de Knudsen, 76,932,933 Flujo de moléculas libres, 59,933 Fiujo de Stokes (vease Flujo reptante) Flujo en una tubería, 242,544 Flujo extensional (véase Flujo de alargamiento) Flujo irrotacional, 142 Flujo laminar, 46 coeficientes de transferencia de materia para, 793 coeficientes de transmisión de calor para, 503 comparado con flujo turbulento, 175 con conducción de calor, 447 factores de fricción para, 206
Índice temhtico 1043 Flujo potencial, de fluidos, 142 de calor, 452 flujo reptante, 66,96, 138,297,462 transferencia de materia alrededor de una burbuja, 745 ~ 1 u j secundario, o en tubos no circulares, 176,273,276 cerca de un cilindro osalatorio, 277 cerca de una esfera giratoria, 109 en el flujo tangencia1 en tubos concéntricos, 104 Flujo supersónico, 541 Flujo tapón, 302 reacior, 866 transnusión de calor por convección forzada, 383 Flux (véase Densidad de flujo) Formación de niebla, 706 Formas d de los balances rnacroscópicos, 541,875 Fórmula de Blasius, para flujo laminar a 10 largo de una lámina plana, 156 para el factor de fricción de flujo turbulento en un tubo,207 Fórmula de dispersión axial de Aris, 755 Fórmula de Dulong y Petit, 325 Fórmula de Leibniz, 969,1003 para obtener balance de energía mecAnica, 259 para obtener ecuaciones de variación, 128,437,713 Frecuencia de colisión con una pared, 25,42,319 Fuente de calor lineal, 465 Fuentes de calor, 395 eledricas, 343,388 nucleares, 348 químicas, 354,387,690 viscosas, 351,390,391,426,436 Fuerza de Coriolis, 59 Fuerza de flotación, 69,374, 399, 690 Fuerza, de flotación, 374 externa, 90,912 intermolecular, 27 sobre un cilindro, 225 sobre una esfera, 69,141,212 sobre una lámina plana, 156,177 Fuerza de Lorentz, 922,939 Fuerza de resistencia en un cilindro, 123 en una esfera, 69,141 en una lamina plana, 155,156,139 Función beta, 469
Función de corriente, 137,143 ecuaciones satisfechas por la, 139, 171 en flujo turbulento, 193,197 para flujo tridimensional, 138,171 Función de decaimiento en turbulencia, 778 Función de disipación, 93,995 Función de error, 132,440,1006 Función de error complementaria, 132,395,1006 Función gamma, 1002 Función valor (de Dirac), 860,895 Funciones del material (para polimeros), 277 Funciones hiperbólicas, 1005 Funciones propias y valores propios, 134,442,450,505,506 Gas ideal, procesos adiabaticos sin ficción, 411,413 ecuación de energía para un, 398 enfriamiento de un, 539 flujo en un ducto de un, 561 flujo y mezclado en una boquilla, 562 Gases, teoría cinética de los, 25, 318, 611,1007 Gota (gotita),evaporación desde una, 801,850 congehmiento de una, 430 transferencia de materia a una, 806 Grupos adimensionales, resumen de, 417,418 Hemodiálisis. 862 Indicador de la rapidez de ascenso, 83 Inestabílidad, en flujo de Couette, 106 de Marangoni, 825,826 en un fluido calentado desde abajo, 421 en un sistema mecánico simple, 199 Intercarnbiador de calar, 528-529, 543,559,566,569 Interfase, perfiles de concentración cerca de una, 808 composiciones de gas, Líquido en una, 808 Interfases móviles, 746 Lámina, oscilatoria, 135 Lámina plana, analogías aproximadas, 741 balance de cantidad de movimiento de von Kármán, 154
coeficiente de transmisión de calor, 515 con alta velocidad de transferencia de materia, 735,736 convección libre cerca de una, 408 factor de fricción para una, 224 flujo turbulento a lo largo de una, 177 solución de Blasius (exacta), 155 transferencia de materia con reacción, 733 transmisión de calor para flujo a lo l a g o de una, 456,458,459 Láminas paralelas (véase Rendija) Lecho (o columna) de relleno, altura del absorbente, 872,892 coeficientes de transferencia de materia para, 805 coeficientes de transmisión de calor para, 518 conductividad ténnica de, 330 estimación del área interfacial en un, 816 factor de friccibn para, 216 flujo reptante en, 117 operación no estacionaria, 885 Ley de Darcy, 167 Ley de difusión de Graham, 936 Ley de distribución de Pianck, 577, 578 Ley de elasticidad de Hooke, 287 Ley de enfriamiento de Newton, 343,379 Ley de Fourier de la conducción de calor, 311,691,993 Ley de Gauss, 920 Ley de Kirchhoff, 575 Ley de Poiseuille, 58,60,206,284 Ley de resistencia de Newton para esferas, 214,225 Ley de Stefan-Boltzmann,577 Ley de Stokes para flujo alrededor de una esfera, 70,141,213 Ley de Torricelli, 124 Ley de viscosidad de Newton, 12, 286,991 generalización de la, 16, 19 Leyes de conservación, en continuos, 87,88,93,394,395,399,682 en balances de envoltura, 46,342, 635 en colisiones moleculares, 5,1008 relación con las propiedades de espacio y d e tiempo, 687 resumen, 687 Leyes de Lambert, 581,593
1044 Índice temiitico Línea de flujo de comente, 138,143 ecuación de Bernoulli para, 97 Línea equipotencial, 143 Líquido giratorio, forma de la superficie de un, 106,114 Líquidos no viscosos, ecuación de Bernoulli para, 97,124,570 flujo de, 142 Longitud de Debye, 920 Longitud de entrada, 59,160,163 Longitud de mezcla, 185,482,772 ecuación modificada de van Driest de la, 186,775 Longitud de onda de la radiación, 572 Macromezclado, 779 Magnetofbresis, 923 Mapa conformacional(concordancia), trazar el, 144 Media loganhnica de, diferencia de concentración, 876 diferencia de temperatura, 499 perfil de temperatura, 483 perfil de velocidad, 182,190 Medidor Venturi, 553,562 Medio poroso, ley de Darcy para el flujo en un, 167 transporte de masa en un, 932 Mejoramiento por medio de reacciones de la transferencia de materia, 724,752,772 Membrana selectivamente penneable, 927 Memoria de fluidos viscoelásticos, 274,288 Memoria que se desvanece en fluidos viscoelAsticos, 288 Metales líquidos, 315,507 Método de balances en la envoltura, 45,342,633 Método de respuesta sinusoidal, 130,445 Mktodos matriciales para transporte de materia, 842 Mezcla con evaporaci6n constante, 670 Mezcla de dos corrientes de gas ideal, 540 Mezcla en un tanque agitado, 708 Mezclas de varias componentes, difusibn en, 626,679,842,903 conductividad térmica, 322,903 densidad de flujo de entropía y producción en, 901 ecuaciones de variación para, 688, 689
expresiones de densidad de flujo, 68,903 métodos matriciales para, 842 viscosidad (gases), 29 Micromezclado, 779 Modelo de esferas rígidas, difusividad de un gas, 613 conductividad térmica de un gas, 319 viscosidad de un gas, 27 Modelo de fluido de Bingham, 302, 303 Modelo de Giesekuc para polimeros, 292,293,303,305 Modelo de Jeffreysde visaelasticidad lineal, 287,303 Modelo de Ostwald-de Waele para viscosidad, 282 Modelo de película de transferencia de materia, 639,827,837,846, 850,852 Modelo de película estancada para transferencia de materia, 684, 827,837,846,850,852 Modelo de penetraci6n de transferencia de materia, 658, 830,837,846 Modelo de pesas ENEPP para un polúnero, 297 Modelos de Oldroyd para polimeros, 293,294,305 Modebs de moldura de barra para polímeros, 305 Modelos de moldura de resorte para polímeros, 296,620 Modelos de pesas de ejercicio para polímeros, 296 Modelos newtonianos generalizados, 281,505,506 Módulo de relajacibn, 288, 289 tiempo, 287 Módulo, de elasticidad, 287 almacenamiento y pérdida, 279 Módulo de Thiele, 647,661 Momento de inercia (tensor),1ó4,959 Momento de torsión, en un sistema de cilindros concéntricos (anular) coaxiales, 103,286 en un cono giratorio, 77 en un disco giratorio, 122 en un recipiente mezclador, 236 en una esfera giratoria, 109,120 en una varilla giratoria, 120 Momentos de bajo orden, uso de, 889,895,897 Momentos mas bajos, uso de, 889, 896
Movilidad, 619 Movimiento browniano, 618 Movimiento, ecuación de a partir de la ecuación de Boltzrnann, 1008 Boussinesq, 400 capa límite, 152,454 en términos de la viscosidad, 95, 994 en términos del tensor de esfuerzo, 90,402,403,687,688,993 Euler, 97 fonna alternativa de la, 128 Navier-Stokes, 95-96 obtención a partir de la ley de Newton, 127 para convección libre, 399,690 sistemas de vanas componentes, 690 turbulento, 180 Nutaci6n vectorial-tensorial, 947,988 Número de Biot, 363 Número de Brinkman, 353,390,404, 418 Número de Eckert, 418 Número de Froude, 111,418 Número de Graetz, 476,505,506 Número de Hatta, 818 Número de Lewis, 602 Número de Lorentz, 327 Número de Mach, 414,562 Número de Nusselt (véase también Coeficientes de transmisión de calor), 372, 379, 486,494,503, 798 Número de Péclet, 313,372,418,704, 793 Número de Kayleigh, 411,418,422, 520 Número de Reynolds, 111,418,794 critico, 52,59,64,67,104,157 Número de Schmidt, 495,602,704, 794 Número de Sherwood (véase también Coeficiente de transferencia de materia), 495, 792, 794 Número de Stanton, 503 Número de Weber, 111 Números de Grashof, 418,376 aditividad de los, 820 difusionales, 704 Onda de choque estacionaria, 412 Ondulación de películas, 52, 826 Operador de divergencia, 963,965, 968,978
fndice ternhtico 1045 Operador laplaciano, 965,966,978 Operador rotacional, 964,969,978 Ordenadas al origen, método de las, 693 Orificio, 251,252 Oscilaciones de un manómetro, 258 Oscilatorio, viscosimetro de copa y pkndulo, 165 cilindro, 276 esfuerzos normales, 280 manómetro, 256 movimiento y calentamiento viscoso, 472 movimiento y viscosidad, 305 movimiento y viscosidad compleja, 279,289 pared, flujo cerca de una, 135,169, 290 temperatura de la pared, 445 dsmosis inversa, 928 Oxidación catalitica del monóxido de carbono, 699 Oxidación de silicio, 712 Oxidación del monóxido de carbono, 699 Paradoja de d'Alembert, 146 Pared que se pone súbitamente en movimiento, flujo cerca de una, 130,160 Partidor de muestras binanos, 857, 877,894 Partidores de muestras binarios, 858, 877 Partícula esférica (peliet) de un catalizador, difusión y reacción en una, 657 ecuación de la temperatura en una, 430-431 factores de eficacia en una, 661 Película descendente, inestabilidad de Marangoni, 825 con absorción de un gas, 650 con disolución desde una pared, 655 con reacción química, 680 en la parte externa de un tubo circular, 73 en un cono, 81 en una lamina plana inclinada, 48, 101 en una pared vertical, 83 no isotérmica, 405,427,466, 473 número de Shenvood para, 793 Pellet (véase Partícula esférica) Pérdidas viscosas, 347
Perfil de velocidad de BarenblattChorin, 183 Perfil de velocidad de von KármánPrandtl, 183 Permeabilidad, 167 Placa finita, calentamiento en estado no estacionario de una, 441 con producción de calor, 468 Placa semiinfinita, calentamiento en estado no estacionario de una, 440,466 con conductividad térmica variable, 470 con densidad de flujo de calor sinusoidal en la pared, 445 Polarización de concentración, 838, 915 Porosidad, 167 Postulado de Curie, 900 Potencia necesaria para el flujo en una tubería, 242 Potencial de Lennard-Jones (612), 27,321,614,1010,1014 combinación de reglas para moléculas diferentes, 624 Potencial de punto de unión, 919, 940 Potencial de velocidad, 143 Potencial electrostático, 912,919, 920 Prandtl, ecuaciones de capa límite, 152,454,732 expresión del factor de fricción, 207 longitud de mezcla, 185,483,772 número de, 313,372,418,602,793 número de (turbulento), 483 Presión, gas ideal, 42,1009 modificada, 56,96 reducida, 23, 317, 607 termodinámica, 17 Presión modificada, 56,96 Problema de h o l d (evaporación en estado no estacionario), 721, 760,837 Problema de Brinkrnan, 449 l'roblema de Graetz-Nusselt, 488, 474,475,476 Problema de Neurnann-Stefan, 471 Problema de taponamiento en turbulencia, 181 Problemas de Sturm-Liouville, 130, 450 Producción de energía, 342,394, 690 Productos de vectores y tensores, 949,954,960,972
Propiedades de transporte (véase también Viscosidad, Conductividad térmica, Difusividad, Coeficiente de difusión térmica), 1010,1014 Propiedades molares parciales, 692, 901 Propiedades pseudocríticas, 23 Proteína, centrifugado, 916,939 considerada como una partícula hidrodinámica, 916 purificación, 895 Psicrómetro, 802,836,849 Psicrómetro de bulbo húmedo y seco, 802,836,849 Punto de estancamiento, 114,146,163 temperatura, 568 Radiación, absorción y emisión,574 de cuerpo negro, 574 efecto sobre el psicrómetm, 849 electromagnética, espectro de, 572 entre cuerpos negros en el vacío, 581 entre cuerpos no negros, 586 escudo, 589,595 transmisión de calor por, 571 transporte en medios absorbentes, 591 Radiación de cavidad, 575,595 Radiación térmica, 572 Radio de curvatura, 127 Radio hidráulico, 208,225 Radio hidráulico medio, 208,225,523 Ranura, flujo hacia y dentro de una, 122 Reacción heterogénea (véase también Difusión con reacción quhica), 634,643 Reacción homogénea (véase también Difusión con reacción química), 634,646 Reacciones químicas, heterogéneas, 634 con difusión, 643,667, 670,674, 679,685, 698, 699, 724, 726,733, 764,772,777,818 en flujos turbulentos, 772,777 homogéneas, 634 transferencia de materia con, 815 Reactor catalítico, 643,679 Reactor de flujo, perfil de temperatura en un, 354,387 Reactor, de tanque agitado continuamente, 866,894 flujo tapón, 866 puesta en marcha, 884,893
1046 indice temático
Reactor químico, perfiles de temperatura axiaIes, 354, 387 gradientes de temperatura radial, 385 Reactor tubular, 697 Recipiente mezclador, momento de torsión en u n 236 reacción qufmica en un, 777 Recuperación de polimeros, 273 Reducción de la resistencia (por polímeros), 276,299 Reflujo, 878 Regimen permanente (v&aseEstado estacionario) Régimen transitorio tv6ase Estado no estacionaria) Relaciones recíprocas d e Onsager, 900 Relajación del esherzo, 303 Rendija, flujo de Bingham en una, 302 coeficientes de transmisión de calor, 503 dispersibn de Taylor en una, 761 factor de ficción para flujo en una, 224 flujo de polimeros en una, 284,301 flujo en una, con flujo transversal uniforme, 125 flujo laminar newtoniana en una, 72 flujo no estacionario en qna, 132 flujo potencial hacia una, 146 transmisión de cabr por convección forzada, 381,383,476 transmisi6n de cabr por convección libre, 372,384,387 Reometría, 271,276 Reptancia, 620 Resistencia de forma, 69 Resistencia de fricción, 69 Resistencias, aditividad de, 360,806 Respuesta eldstica de poIimeros, 279,286 Sección de agotamiento de una columna, 878 Sección rectificadora de la columna, 878 Segunda viscosidad, 19,20,43,414 Semejanza dinámica, 110 Semejanza dinámica y geométrica, 110 Semejanza geométrica, 110 Sensibilidad del modelo, 817, 818, 865,940 Separacibn de isótopos, 860,895,906
Separación de membrana, 838,895, 923,926,930 Sepawión de variables, 130,442, 450 Serpentín calentador, temperatura euperficial de un, 423 Sifón sin tubo,276 Símbolo de permutación, 93,128,951 Sistema de disco y cilindro, 170,275 Sistema sobreamortiguado, 258,553 Sistema subamortiguado, 258,553 Sol, energía radiante desde el, 586 temperatura del, 581 %lidos, flujo de calor potencial estacionario en, 453 calentamientoen estada no estacionario de, 444,445,470 Soluciones de ecuaciones diferenciales, 1001 Soluciones de semejanza (vkse Combinación de variables) Conido, propagación del, 432 velocidad del, 326 Subcapa inercia1 (en turbulencia), 182,481 Subcapa viscosa (en turbulencia), 181,483 distribución de velocidad en una, 183 Suma vectorial y tensanal, 949,954 Supasición de estado casiestacionario, 84,124,126, 226,233,254,266,430,556,668, 673,712,713,934 Susceptibilidad rnagnbtica, 922 Suspcnsianes cobidales, 618 Suspensiones, viscosidad de, 34 Tanque agitado, mezcla de fluidos en un, 708 absorción de un gas con reacción química en un, 648 anáIisis dimensional para el flujo en un, 114 calentamiento de un líquido en un, 547,565 correlaciones de transmisión de calor, 531 potencia suministrada a un, 227 reqcción de segundo orden en un, 895
Tanque, vaciado de un, 124,231,254, 266 de retención (control de contaminación),855 descarga de un gas desde un, 568, 570
Taylor, dispersión de, 753,761 serie de, 1002 vórtices de, 104 Temperatura de flujo medio, 372 Temperatura de pelicula, 508 Temperatura, ecuacibn de cambio para, 398,402,689,714,1008 de estancamiento, 568 errores en la medici6n de la, 594 fluctuaciones en turbulencia, 480 reducida, 23, 317,608 Temperatura global, 372 Temperatura media, 372 Tensión interfacial, 111,127,435 efecto sobre Ia transferencia de materia y de calor, 822 gotas y burbujas, 806 Tensión superficial (véase Tensi611 interfacial) Tensor de deformación infinitesimal, 287,347 Tensor d e densidad de Rujo de cantidad de movimiento (véase también Tensor de esfuerzo), 13, 18,26,37,40,688,1009 Tensor de esfuerzo, combinado, 40, 688 componentes del, 18 convención de signos para el, 21, 688
molecular, 18, 37,40,1006 simetría del, 19,93 turbulento, 180 Tensor de velocidad de la deformación, 127,282 Tensor gradiente de velocidad, 20, 287 Tensor, momento de inercia, 959 de deformación (infiitesimal), 287 de densidad de flujo de cantidad de movimiento, 18,40 de esfuerzo, 18,40 de velocidad de La deformación, 282 del gradiente de velocidad, 20 simétrico, 958 unitario, 956 Teorema de desarrollo en fracciones parciales de Heaviside, 447,813 Teorema de Gauss-Octrogradskii, 968 Teoxema de Noether, 687 Teoremas integrales, 968 obtención de ecuaciones de variación mediante, 127-128, 437, 713 obtención del balance maaoscópico de energia mediante, 259
fndice temático 1047 Teoría cinética (v6ase Teoría molecular) Teoría cinética de Chapman-Enskog, 1007 para la conductividad tbrmica, 321,1010 para la difusividad, 613,1010 para la viscosidad, 27,1010 Teona de Enskog de los gases densos, 339 Teoría de estado activado de Eynng, 31,617 Teoría de redes para poiímeros, 295 Teona molecular (difusión),para gases, 25,318,611,1007 para líquidos, 31,325,615 para polímeros, 295,620 Términos de aceleración, 96 Términos fuente en la ecuación de energía, 343,349,351,354,394, 690 Termodinámica de procesos irreversibles, 900 Termodinámica en no equilibrio, 900 Termopar, 364,365 xempo de retardo, 287 Transferencia de materia por convección forzada, analogía con la transmisión de calor, 720 en flujo en un tubo, 771 en películas descendentes, 794 para flujo alrededor de esferas, 795 para flujo alrededor de objetos arbitrarios, 796 para flujo cerca de un disco giratorio, 796 Tmnsferencia de materia, y reacciones químicas, 815 combinada con transmisión de caIor, 820 con área interfacial variable, 728 con movimiento interfacial complejo, 746, 751 controlada por la fase gaseosa, 810 controlada por la fase líquida, 809-81O correlaciones, 797 de varias componentes, 842 efecto de las fuerzas interfaciales en la, 822 ejemplos de, 789, 790 flujo a lo largo de una iámina plana, 800 flujo alrededor de esferas, 795,800 flujo alrededor de objetos arbitrarios, 796
flujo cerca de un disco giratorio, 796 flujo reptante alrededor de una burbuja, 745 interacción de msistencias de fase, 812 mejoramiento por medio de reacciones, 772 modelo de capa límite para, 832 modelo de película estancada, 827 modelo de penetración para, 830 películas descendentes, 794 relación de ChiltonColburn para, 801
Transferencia simultánea de calor y masa, 694 Transformada de Laplace, 447,727, 812 Transición laminar-turbulento,52, 59,64,157,212,512 Transmisión de calor, a altas velocidades de transferencia neta de materia, 826 asíntota para un número de Prandtl elevado, 459,460 combinada con transferencia de materia, 820 combinada radiante y convectiva, 590,595 desde un elipsoide, 531 efectos de Ia fuerza interfacial sobre la, 822 en flujo turbulento en un tubo,484 para flujo a 10 largo de una IAmina plana, 456,458 por convección forzada, 366 por convección libre, 372 teoría de la capa límite para, 454 Transmisión de calor en ebullición, 524 Transmisión de calor en una película que se condensa, 524 Transmisión de calor por convección forzada, 366 coeficientes de transmisión de calor, 503,509,514,518 en flujo en un tubo, 387 en flujo por una rendija, 381,387 Transporte facilitado, 943 Trayectoria libre media, 25,319, 612 Trayectorias de la partícula, 79,226 Tubería (véase Tubo) Tubo ahusado (en punta), 76,301 Tubo circular (vease Tubo) Tubo convergente, 560 Tubo de Pitot, 175,264
Tubo, flujo de Bingham en un, 302 ahusado (en punta), 76,301 coeficientes de transmisión de calor, 498,504,509 difusión de Taylor en un, 753 flujo compresible en un, 60 flujo de polímero en un, 273,284 flujo laminar en un, 54,79,99 flujo laminar y turbulento en un, I 75 flujo no isotérmico en un, 449,450, 470,484,489 flujo provocado por un disco giratorio en un, 170 flujo turbulento en un, 187 inicio del flujo en un, 169 no circular, 176 recuperación de polímeros en un, 273,274 transmisión de calor por convección forzada, 381,383, 387,392,401,477 velocidad del flujo turbulento en un, 188 Tubos concéntncos (anillo), flujo axial en, 61, 73, 74,80,301 flujo axial circulante en, 121. flujo en; con densidad de flujo de calor en la pared, 431 flujo no estacionario en, 170 flujo polimérico tangencial en, 285 flujo radial en, 124 flujo tangencial (no isot&rmico), 405,433 flujo tangencial en, 102,120,124 flujo turbulento en, 198 radiación a través de, 594 transmisión de calor por convección libre en, 383 Turbulencia en una pared, 174,181 comparada con la turbulencia libre, 186 transferencia de materia en, 774 transmisión de calor en, 484,490 Turbulencia isotrópica, 188 Turbulencia libre (contra turbulencia en una pared), 185,488 Thrbulencia, reacciones químicas y, 770,772,777 libre y pared, 186 energía cinética de la, 200 intensidad de, 179 isotrópica, 188 libre y pared, 186 sistemas no isoténnicos, 479 Thrbulenta(o1, difusividad, 772 coeficientes de transmisión de calor, 507,623
1048 índice temático
conductividad térmica, 483 densidad de flujo de calor, 480, 482 densidad de flujo de cantidad de movimiento, 180 densidad de flujo de masa, 771, 772 factores de fricción, 206 flujo, 46, 175,187, 191 número de Prandtl, 482 número de Schmidt, 772 viscosidad, 185,190 Ultracentrifugadora, 908 Ultrafiltracidn, 789,838,928,939 Vaciado de un tanque, 124,231,253, 266 Variables reducidas, 23,316, 607 Vector de densidad de flujo de calor, 311,902,1009 turbulento, 480,487 Velocidad de alargamiento (O extensional),279 Velocidad de flujo de masa, 52,58, 63 Velocidad de migración, 924 Velocidad final, 70 Velocidad media de masa, 601,621 Velocidad media molar, 621,623 Velocidad media sobre una sección transversal, 51, 58,63,66 VeIocidad molecular, 25,41,319 VeIocidad, molecular media, 25 con ajuste de tiempo, 178 correlaciones (en turbulencia), 179 del sonido, 325 difusión, 623 fluctuaciones (en turbulencia), 178 fricción, 182 media de materia, 601,623 media molar, 621,623 migración, 914 superficial, 167, 216 volumétrica media, 630
Velocidad por fricción, 182,481 Velocidad superficial, 167,216 Velocidad volumétrica media, 630 Velocidades altas de transferencia de materia neta, 735 Viscoelasticidad, Lineal, 286 no lineal, 291,295, 305 relajación del esherzo, 303 Viscosidad cinemática, 13,313, 602 Viscosidad de emulsiones, 36 Viscosidad de suspensión de Einstein, 34-35 Viscosidad dilatacional, 19,93,413 de líquidos que contienen burbujas de gas, 20 Viscosidad, ecuación de Carreau para la, 283 cinemática, 13,313, óO2,1021 compleja, 279, 280,289,293, 294, 303 de alargamiento (o extensional), 279,293,294,295,299 de emulsiones, 34 de los gases densos, 339 de poiímeros, 278,293,294,298 de suspensiones, 22 de Trouton, 279 de varios fluidos, 14,15 dependencia con respecto a la presión, 22 dependencia con respecto a la temperatura, 22 dependiente con respecto a ia posición, 53 dependiente con respecto al coeficiente (tasa) de corte, 281 dilatacional, 19 ley de Newton de la, 12 ley de potencias (exponentes) para polimeros, 284 reducida, 23 teoria cinética de los gases para, 25,27,1010
teoría cinética de los líquidos para, 31 unidades para la, 14, 1020,1021 Viscosidad global (véase Viscosidad dilatacional) Viscosímetro, capilar, 59,268 calentamiento viscoso en m, 354 de bola rodante, 83 de cilindro descendente, 80 de cono y lámina, 77,304 de Couette, 101,127 de discos paralelos, 121, 125,304 oscilatorio torsional, 165 Viscosímetro de Couette, 101,127 Viscosímetro de bola rodante, 83 Viscosímetro de cilindro descendente, 80 Viscosímetro de plato y cono, 77, 304 calentamiento viscoso en, 391 Viscosímetm oscilatorio torsional, 165 Volatilidad rela!3va, 858 Volatilidad, velocidad de evaporación y, 723 Von Khrmán, calle del vórtice de, 113 Vórtice forzado, 163 Vórtice libre, 163 Vórtices, libres y forzados, 163 de Taylor, 104 Vorticidad, ecuación de cambio para la, 128, 137,162 tensor, 292 Weissenberg, efecto, de ascenso en una varilla, 274 Wentzel-Krames-Brillouin, método de, 475 Wiedemann-Franz-Lorenz, ecuación de, 327 Wien, ley de desplazamiento de, 580 WilkeChang, ecuación de difusividad de, 617,618
