11. TRANSMISIONES DENTADAS CÓNICAS. GENERALIDADES Y CAMPO DE APLICACIÓN APLICACIÓN Las transmisiones cónicas se emplean en las máquinas y mecanismos en los que, por las condiciones de composición, la transmisión de movimiento debe efectuarse entre ejes que se cruzan. Las transmisiones cónicas más frecuentes son aquellas en las que los ejes son ortogonales ortogonales con ángulo entre ejes Σ = δ 1 + δ 2 = 90°, 90°, donde δ 1 y δ 2 son los ángulos de los conos divisores (figura 11.1).
Figura 11.1. Parámetros geométricos de las ruedas cónicas: a) medidas de las rueda ruedas; s; b) modi modifi fica caci ción ón long longitu itudi dina nal; l; c) esque esquema ma de la rueda rueda con con dien diente tes s circulares. De manera general 10° < Σ < 170°. 170°. Las particularidades de las transmisiones cónica cónicas, s, compar comparada adas s con las cilínd cilíndric ricas as son: son: masa y dimensi dimensione ones s elevada elevadas; s; mayor complejidad de fabricación de las ruedas y las carcasas debido a que se debe debe,, adem además ás de las las demá demás s cond condici icion ones es de las las transm transmis isio ione nes s cilí cilínd ndric ricas, as, mantener las tolerancias de los ángulos Σ , δ 1 y δ 2, el diseño de la transmisión debe permitir la regulación de la holgura en el par dentado y la huella de contacto mediante el desplazamiento de las ruedas a lo largo de los árboles o a la par con éstos, y también su fijación axial exacta y rígida para que los vértices de los conos divisores coincidan con el punto de intersección de los ejes. Lo más frecuente es que una de las ruedas se monte en voladizo sobre su árbol, lo que genera un aumento en la concentración de la carga a lo largo del diente del piñón por la flexión del árbol. Por eso la capacidad de carga de la transmisión cónica de dientes rectos se considera igual a un 85 % de la capacidad de carga de la transmi transmisió sión n cilíndri cilíndrica ca equiva equivalen lente. te. Los término términos, s, las definic definicion iones es y la 39
nomenclatura referentes a las transmisiones cónicas están estandarizados e internacionalmente se ajustan a los estándares ISO 677:1976 (Ruedas cónicas de dientes rectos para ingeniería general y pesada – cremallera básica); ISO 678:1976 (Ruedas cónicas de dientes rectos para ingeniería general y pesada -Módulos y pasos diametrales); ISO 701:1998 (Notación internacional de las ruedas -- Símbolos para la información geométrica); ISO 1122-1:1998 (Vocabulario de los términos de los engranajes -- Parte 1: Definiciones relativas a la geometría). Los cálculos de la capacidad de carga se realizan de acuerdo a los estándares ISO/DIS 10300-1 (Cálculo de la capacidad de carga de las ruedas cónicas – Parte 1: Introducción y factores principales de influencia); ISO/DIS 10300-2 (Cálculo de la capacidad de carga de las ruedas cónicas – Parte 2: Cálculo de contacto (pitting)); ISO/DIS 10300-3 (Cálculo de la capacidad de carga de las ruedas cónicas – Parte 3: Cálculo de la resistencia del diente). Se recomienda el empleo de ruedas de dientes rectos cuando las velocidades promedio no son superiores a 2 ... 3 m/s. La suavidad de engrane de las transmisiones de dientes rectos es baja, su resistencia es relativamente baja y por eso no son muy empleadas en masa. Para cargas variables y velocidades hasta 11 m/s se emplean mayormente ruedas de dientes circulares con ángulo β ≠ 0 (figura 1, c); a velocidades hasta de 35 m/s se emplean transmisiones con dientes corregidos (modificados) o transmisiones con dientes circulares con β = 0.
Figura 11.2. Disposición relativa de la rueda 2, la rueda maciza virtual 1 y la cabeza mortajadora 3. Las transmisiones de ruedas con dientes circulares son menos sensibles a los defectos de fabricación y ensamble y también a la deformación de las piezas de la transmisión, gracias a que el contacto inicial en ellas es puntual y tienen elevada suavidad de engrane. Esto también las hace poco ruidosas. Los dientes de las ruedas poseen elevada resistencia. Estas características las hacen recomendables para su amplia utilización en las máquinas de transporte, la minería, etc. Las máquinas herramientas para la fabricación de estas ruedas son las más productivas, por lo que en la producción en masa son las que más se 40
producen en número. Las ruedas con dientes tangenciales tienen una aplicación limitada por sus defectos particulares. El picado de los dientes se realiza por el método de la rodadura con cabezas mortajadoras (figura 11.2). El ángulo de inclinación de la línea del diente por la mitad de la corona en el cono divisor se toma mayormente β n = 35° (figura 11.1,c). Las ruedas engranadas tienen diferente dirección de las líneas de los dientes: preferentemente en el piñón es derecha, en la rueda es izquierda.
11.1. CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS GEOMÉTRICOS PRINCIPALES Los cálculos geométricos se limitan a la determinación sólo de aquellos parámetros que se necesitan para la elaboración de los planos de las ruedas y de las transmisiones según los estándares. Los conos cuyas generatrices son perpendiculares a las generatrices de los conos divisores, se denominan complementarios (figura 11.3). La sección de los dientes por los conos complementarios se denomina sección frontal.
Figura 11.3. Transmisión dentada cónica. En las representaciones de los parámetros de las ruedas con dientes rectos el subíndice n se omite, el subíndice e relaciona los parámetros externos, mientras que m se relaciona con la sección media frontal. Se acostumbra calcular los parámetros de las ruedas rectas a partir de los cálculos para la superficie del cono complementario externo, cuya generatriz es perpendicular a la generatriz del cono divisor (figura 11.1). Esta es una sección cómoda para realizar las mediciones de comprobación. Las medidas en la sección media se utilizan durante los cálculos de cargas: Re = Rm+ 0,5bw; d e = d m·Re /Rm; mte = mtm·Re /Rm.
41
Figura 11.4. Formas axiales de los
Figura 11.5. Determinación de la
dientes.
relación de transmisión.
Figura 11.6. Determinación del número equivalente de dientes: O1, O2 son los centros de las ruedas equivalentes. Para las transmisiones de dientes rectos las secciones transversal t y normal n coinciden y, entonces, mte = mne se aproximan a un valor estándar.
La relación de transmisión, como en las transmisiones cilíndricas
u = d 2 /d 1 = z 2 /z 1. Además después de expresar d 1 y d 2 a través de la distancia cónica R y los
ángulos de los conos divisores δ 1 y δ 2, se obtiene: u
=
sin δ 2 sin δ 1
(11.1,a) y para (11.1,b) 42
∑ = δ 1 + δ 2 = 9 0° , u = tg δ 2 = ctg δ 1 .
Estas fórmulas se emplean para la determinación de δ 1 y δ 2.
11.2. FUERZAS EN LA TRANSMISIÓN CÓNICA DE DIENTES RECTOS En la transmisión cónica actúan las fuerzas: circular, F t, radial, F r, y axial, F a. La figura 11.7 permite encontrar las relaciones entre las fuerzas. Sobre la normal al diente actúa la fuerza F n, la cual se descompone en F t y F´ r . A su vez, la fuerza F’ r se descompone en F a y F r . Ft = F n
=
2 M T 1
F t
d m1 , Fr ' = F t tan α
cos α
(11.2) Fr = Fr ' cos δ 1 = F t ·tg α ·cos δ 1 Fa = Fr ' sin δ 1 = F t ·tg α ·sin δ 1
Figura 11.7. Fuerzas en la transmisión cónica de dientes rectos Para la misma exactitud, la capacidad de transmisión cónica es menor que la de la cilíndrica equivalente en un 15%: ( V H = 0,85) [1].
11.3. CÁLCULOS DE RESISTENCIA DE LA TRANSMISIÓN CÓNICA Reducción de las rueda cónica de dientes rectos a la rueda cilíndrica equivalente de diente rectos. Los parámetros de las ruedas equivalentes se utilizan durante los cálculos a la resistencia. La forma del diente de la rueda cónica en la sección normal del cono complementario (figura 11.6) es la misma que en una rueda cilíndrica de dientes rectos. La rueda cilíndrica equivalente se 43
obtiene como un desarrollo del cono complementario-limitado por un ángulo ϕ 2. los diámetros de las ruedas equivalentes: (11.3)
d ve1 = d e1 /cosδ 1; d ve2 = d e2 /cosδ 2.
Expresando los diámetros a través de z y m, z v1·me = z 1·me /cosδ 1 ó los números de dientes de las ruedas equivalentes: z v1 = z 1 /cosδ 1 , z v2 = z 2 /cosδ 2.
(11.4)
Cálculo de los dientes de la transmisión cónica de dientes rectos a la resistencia de flexión. Las dimensiones de las secciones transversales del diente de la rueda cónica son proporcionales a las distancias de las secciones al vértice del cono. Todas las secciones transversales del diente son geométricamente semejantes, la distribución de la carga a lo largo del diente no es uniforme sino que varía, en función de la deformación y la rigidez de éste, de sección a sección. Puede demostrarse que la carga q se distribuye según una ley triangular cuyo vértice coincide con el vértice del cono divisor, y que los esfuerzos de flexión son iguales a lo largo del diente, lo que permite realizar el cálculo para cualquiera de las secciones. En la práctica, como sección de cálculo se toma la sección media del diente con carga qm. Por analogía con la transmisión cilíndrica de dientes rectos: σ f
=
Y F F · t · K F v F ·bw ·mm
≤ [σ F ]
(11.5)
Figura 11.8. Determinación de los
Figura 11.9. Distribución de la carga a
esfuerzos de contacto.
lo ancho del diente.
44
donde para transmisiones de dientes rectos v F ≈ 0,85 es un coeficiente experimental [1]; mm es el módulo en la sección normal media del diente. El coeficiente de forma del diente Y F se determina por gráfico de la figura 10.18 en correspondencia con el número equivalente de dientes z v.
Cálculo de los dientes de la transmisión cónica de dientes rectos a los esfuerzos de contacto. Para la transmisión cónica ρ ref se determina por los diámetros de las ruedas equivalentes: 1
ρ ref
=
1
ρ 1
+
1
ρ 2
=
2 cos δ 1 d m1 ·sin α
2 cos δ 2
+
d m 2 ·sin α
=
cos δ + cos δ 2 1 d m1 ·sin α u 2
Teniendo en cuenta la relación de las funciones trigonométricas y la fórmula 11.1: cos δ 2
=
1 tg 2δ 2
+1
=
1 u2
+1
; cos δ 1
=
1 tg 2δ 1 + 1
=
u u2
+1
Después de reemplazar y realizar algunas transformaciones: 1
ρ ref
= d m1 ·sin α 2
+ 1 u
u2
(11.6) ρ m es Los esfuerzos en todas las secciones del diente son iguales. La relación q/ constante para todas las secciones del diente, con lo que los esfuerzos de contacto permanecen constantes a todo lo largo del diente, lo que permite realizar el cálculo por cualquiera de las secciones. La carga específica en la sección media del diente: qm = (qmax + qmin )/2 = F t· K H /(bw·cosα w )
(11.7) Comparando las fórmulas con sus análogas para engranajes cilíndricos, se ve ρ ref se diferencian sólo en que las fórmulas para q coinciden, mientras que para 1/ los numeradores: u 2 + 1 en lugar de (u+1). Teniendo en cuenta esta diferencia, la fórmula para el cálculo de comprobación de las transmisiones cónicas de dientes rectos puede presentarse en la forma: σ H = 1 ,18
2 V H ·d m1 ·bw ·sin 2α E ref M · T 1 K · H
+ 1 ≤ [σ H ] u
u2
(11.8) donde v H = 0,85 es un coeficiente experimental [1].
45
Para el cálculo de proyecto la fórmula anterior se transforma. Tienen en cuenta que las principales medidas marco para las transmisiones cónicas son d e2 y Re, y la carga se caracteriza por el momento M T2 en el árbol conducido. Se introducen estos parámetros en la fórmula anterior y luego de transformaciones se obtiene: de2
=
1 ,7 3
E ref M · T 2 ·u K · H β v H ·[σ H ] ( 1 − K be ) K be 2
(11.9)
Figura 11.10. Gráficos para la determinación de los valores orientativos de K H β y K F β para transmisiones cónicas: 1- Transmisión I (apoyos sobre rodamientos de
bolas); 2- Transmisión I (apoyos sobre rodamientos de rodillos); 3- Transmisión II, con líneas de trazos y puntos se dan las curvas para las transmisiones cónicas con dientes circulares. Para estas transmisiones cuando la dureza de la rueda 46
sea menor a 350 HB, y también cuando las durezas de ambas ruedas sea menor que 350 HB, se debe tomar K H β = 1[3]. donde K be = b w /Re es el coeficiente del ancho de la corona dentada con respecto a la distancia cónica externa. Se recomienda K be ≤ 0,3. Los valores más bajos son para materiales que no se acoplen o asienten bien ( H 1 y H 2 > HB 350 o v > 15 m/s). El valor más difundido es K be = 0,285. Con esto: de 2 ≈ 2 ,9 3
E ref M · T 2 ·u· K H β v H [σ H ]
2
(11.10) En las fórmulas se ha tomado α = 20°, K Hv ≈ 1,5 (ver tabla 10.8), y para los valores difundidos de K be: (1-0,5K be )2 ≈ 1,03(1-K be ). Al deducir las fórmulas se tuvieron en cuenta las relaciones geométricas: d m1 = d m2 /u = d e2·Rm /(Re·u) = d e2(Re - 0,5bw )/(Re·u) = d e2(1 - 0,5K be )/u; M T1 = M T2 /u; bw = K be·Re = K be·0,5·d e2 /cosδ 1 = K be·0,5·d e2(u2+1)1/2 /u
Los coeficientes de la carga de cálculo K H y K F . Los valores K HV y K FV se toman de la tabla 10.8, con reducción de la exactitud en un grado con respecto a la real. Los coeficientes K H β y K F β pueden tomarse por los gráficos de la figura 11.10.
11.4. RENDIMIENTO DE LAS TRANSMISIONES En las transmisiones mecánicas la potencia de salida, P 2, es menor que la potencia de entrada, P 1, debido a pérdidas asociadas con la fricción en los rodamientos, P rod , la fricción en los pares de dientes engranados, P T, y las pérdidas por salpique del aceite, P L. El rendimiento η se puede expresar, entonces, como: η =
p2 p1
=1−
p r p1
(11.11) Definiendo las relaciones ψ T
=
pT p1
;ψ rod
=
prod p1
;ψ L
=
p L p1
, el rendimiento de la
transmisión se puede expresar como: η = 1 − (ψ T + ψ rod + ψ L ) ó η = η T η rod η L Las pérdidas totales en la transmisión son: P r = P T + P rod + P L.
47
Las pérdidas en el par de dientes constituyen la mayor parte de las pérdidas totales y pueden tomarse aproximadamente: P T ≈ 2,3f(1/z 1 ± 1/z 2 ), el signo “+” es para las transmisiones externas, “-“ para las internas; siendo el coeficiente de fricción en el par dentado f = 0,06 ... 0,1 (los valores orientativos para ψ T: ψ T ≈ 0,015 ... 0,03); ψ rod + ψ L ≈ 0,015 ... 0,03. El rendimiento de las transmisiones puede tomarse por la tabla 11.1.
Tabla 11.1. Rendimiento de las transmisiones dentadas [2]. Tipo de transmisión Cilíndrica Cónica
Transmisiones cerradas con lubricación líquida y grado de exactitud 6y7 8y9 0,99 ... 0,98 0,975 ... 0,97 0,98 ... 0,96 0,96 ... 0,95
Transmisiones abiertas con lubricación espesa 0,96 ... 0,95 0,95 ... 0,94
BIBLIOGRAFÍA [1 SKOIBEDA, A. T.; KUZMIN, A. B.; MAKEICHIK, N. N. Elementos de Máquinas y ] Fundamentos de Diseño. Escuela Máxima. Minsk, 2000. [2 NICHIPORCHIK, M. I. y otros. Elementos de Máquinas. Escuela Máxima. Minsk, ] 1981. [3 IVANOV, M. N. Elementos de Máquinas, Escuela Superior, Moscú, 1984. ] [4 DUDLEY, D. W. Manual de Engranajes, Compañía Editorial Continental, S. A. ] (Primera Edición en Español), México : 1973. [5 FAIRES, V. M. Diseño de Elementos de Máquinas, Limusa, México: 1995. ] [6 ORLOV, P. I. Fundamentos de Construcción (tomos 1 y 2). Mashinostroenie. ] Moscú, 1988. [7 RESHETOV, L. N. Atlas de Elementos de Máquinas. Mashinostroenie. Moscú, ] 1982. [8 WILSON, C. E. Computer Integrated Design. Prentice Hall. Upper Saddle ] River,1997. [9 DOBROVOLSKI, I. S.; ZABLONSKI, K. I. Elementos de Máquinas. Mir. ] Moscú,1980.
48
49
50
