Lista 8 de CF368 - Eletromagnetismo I Fabio Iareke 10 de dezembro de 2013
Exerc´ Exerc´ıcios propostos prop ostos pelo p elo prof. Ricardo Luiz Viana fpr.br>, retirados de [1]. c˜oes oes (Solu¸c˜ c˜aaoorlv ) foram ’baseadas’ na resolu¸c˜ cao ˜ao do professor. Obs.: Resolu¸c˜
Cap´ ıtul ıt ulo o 11 11-2 Uma barra barra met´ alica de um metro de comprimento gira em torno de um eixo, que passa por alica uma das extremidades e ´e perpendicular `a barra, com uma velocidade angular de 12 rad/s. O plano de rota¸c˜ cao a˜o da barra ´e perpendicular a um campo magn´ etico etico uniforme de 0, 3 T. Qual a fem induzida por movimento entre as extremidades da barra? B = 0, 3 T, l = 1 cm, ω cm, ω = 12 rad/s fem de movimento l v = B = Blv lv = = bl bl 2 ω = 3, 6 V V = B Solu¸ c˜ aorlv :
· ×
11-3 Num acelerador ace lerador b´etatron, etatron , um ´ıon de carga q e q e massa m massa m move-se numa orbita ´orbita circular a uma distˆancia ancia R do eixo de simetria da m´aquina. aquina. O campo ca mpo magn´etico etico tem simetria simetri a cil ci l´ındrica, isto ´e, e, a componente compo nente z z ´e B z = B( B (r) no plano da ´orbita, orbita, onde r onde r ´e a dist di stˆ ancia aˆncia a partir do eixo de simetria. simetri a. Demonstre Demonst re que q ue a velocidade velocida de do d o ´ıon ıon ´e v = qB( qB (R)R/m. R/m. Se o campo magn´ etico etico for aumentado vagarosamente, demonstre que a fem induzida em torno da ´orbit orb itaa do d o ´ıon ıo n ´e tal t al que o acelera. Demonstre que a varia¸c˜ cao ˜ao radial do campo B campo B dentro da orbita ´orbita deve satisfazer a seguinte condi¸c˜ cao a˜o para que o ´ıon permane¸ca ca em sua ´orbita: orbita: a m´ edia edia espacial do aumento de B (r) (m´edia edia tomada sobre a ´area area compreendida pela ´orbita) orbita) deve ser igual ao dobro do aumento de B de B (R) durante o mesmo intervalo de tempo. Solu¸ c˜ aorlv :
= q E ; F ; para uma orbita o´rbita circular de raio R F B =
2 mv = q vB( vB (R) R
v = Lei de Faraday
qB( qB (R)R m
→ E induzido induzido
d d d E l = Φ = dt dt C
·
(1)
·
n B ˆ da
d (BA) BA ) dt onde B onde B ´e o campo camp o magn´etico eti co m´edio edi o ao longo lon go da orbita. o´rbita. E (2πR (2πR)) =
E = = 1
1 ˙ RB 2
(2)
for¸ca el´etrica E F se v
·
E = q E = mv˙ F 1 d v = mv˙ v = m (v v ) 2 dt
·
c → energia cin´etica
·
1 K = m v v 2
·
dK v = F E v = q E dt
·
De (2)
→
(3)
·
dK 1 ˙ = q RBv dt 2
Condi¸c˜ao para que R permane¸ca constante
⇒
dK d = v dt dt
1 qRB 2
= vF E
F E
d dt
F E =
De (1)
→ m
1 dp qRB = 2 dt
qB(R)R 1 = qRB m 2
p = mv =
1 qRB 2
B = 2B(R)
⇒
11-4 O gerador homopolar de Faraday consiste num disco met´ alico que gira num campo magn´etico uniforme perpendicular ao plano do disco. Demonstre que a diferen¸ca de potencial produzida entre o centro do disco e sua periferia ´e V = f Φ, onde Φ ´e o fluxo atrav´es do disco e f ´e sua freq¨ uˆencia de rota¸c˜ao. Qual ser´a a voltagem se f = 3000 rot/min e Φ = 0, 1 Wb? Solu¸ c˜ aorlv :
d dV = B l v V
=
·
· ×
R
dr B
× v = Bω
r dt =
0
1 BωR2 2
11-5 Um alternador se comp˜ oe de uma bobina de N espiras de ´area A, que gira num campo B, segundo um diˆametro perpendicular ao campo, com uma freq¨uˆencia de rota¸c˜ao f . Encontre a fem na bobina. Qual ser´a a amplitude da voltagem alternada se N = 100 espiras, A = 10−2 m2 , B = 0, 1 T e f = 2.000 rot./min? Solu¸ c˜ aorlv : E =
ω = 2πf
−
d dt
·
n B ˆ da =
− dtd N BA cos θ = −N BA ddt cos ωt = NBAω sin ωt E = N BA2πf sin(2πf t) E max =
2πfNBA
11-10 Uma bobina toroidal, de N espiras, como a mostrada na Fig. 11-2, ´e enrolada sobre uma forma n˜ ao magn´etica. Se o raio m´ edio da bobina for b e o raio da se¸c˜ao reta da forma for a, demonstre que a auto-indutˆ ancia da bobina ser´a dada por L = µ0 N 2 (b b2 a2 ).
−
2
√
−
ancia Solu¸ c˜ aorlv : Auto-indutˆ
dΦ L = N dI
Lei de Amp`ere
·
N I ⇒ B(2πR) = µ N I ⇒ B(R) = µ2πR
d B l = µ 0 N I Φ=
0
0
·
n B ˆ da =
µ0 N I B(R) da = 2π
b = R + r cos θ
onde
≤ 0 0
≤
π a θ < 2π
µ0 N I Φ= 2π
≤
,
R = b
− r cos θ
da R
da = r dr dθ
a
2π
r dr
0
∴
0
dθ
b
−
1 µ0 N I = r cos θ 2π
a
r dr
0
2π
a
√ − b r 2
√ −
2
r dr b2 r2
= µ 0 N I
0
√
=b−
− − − −
Φ = µ0 N I b
b2
a2
L = µ0 N 2 b
b2
a2
b2
2
−a
11-11 Um circuito se constitui de duas cascas cil´ındricas coaxiais de raios R1 e R2 (R1 > R2 ) e de comprimento comum L, conectadas por placas de extremidades planas. A carga flui por uma casca e regressa pela outra. Qual ´e a auto-indutˆancia deste circuito? Solu¸ c˜ aorlv :
Φ=
·
n B ˆ da
·
d B l = µ 0 I B =
µ0 I Φ= 2π L =
→
da µ0 Il = r 2π
dΦ µ0 l = ln dI 2π
µ0 I 2πr
R2 R1
R2
R1
dr µ0 Il = ln r 2π L µ0 = ln l 2π
R2 R1
R2 R1
11-15 S˜ ao dados dois circuitos: um fio reto muito comprido e um retˆangulo de dimens˜ oes h e d. O retˆangulo est´ a num plano que passa pelo fio, sendo os lados de comprimento h paralelos ao fio e estando a distˆ ancias r e r + d deste. Calcule a indutˆancia m´ utua entre os dois circuitos.
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Solu¸ c˜ aorlv :
dΦ21 dI 1
M 21 = B1 = Φ21 =
1 B
·
n ˆ2
µ0 I 1 da2 = 2π
ˆ θ
M 21 =
µ0 I 1 ˆ θ 2πr
h
da2 µ0 I 1 = r 2π
r +d
dz
0
r
dΦ21 µ0 h = ln dI 1 2π
r + d r
dr µ0 I 1 = h ln r 2π
r + d r
11-17 Uma linha de transmiss˜ ao se comp˜oe de dois fios muito longos de raio a, separados por uma distˆancia d. Calcule a auto-indutˆ ancia por unidade de comprimento, supondo d a, de modo que o fluxo dentro dos pr´oprios fios possa ser ignorado.
Solu¸ c˜ aorlv :
1 (r) = µ0 I n B ˆ , 2πr Φ=
µ0 I n ˆ 2π(d r)
2 (r) = B
−
·
n B ˆ da
B 1 + B 2 B =
,
da = dr l
.. . µ0 Ih Φ= ln 2π L =
dΦ dI
− − d
a
a
µ ln → Ll = 2π 0
L l
d a
1
µ d ln ≈ 2π a 0
11-22 Demonstre que a fem num circuito fixo C ´e dada por
−
d dt
d dt
∇ ×
C
d A l,
·
e o potencial do vetor. onde A ´ Solu¸ c˜ aorlv : E =
−
d dt
S
n ˆ da = B
·
−
S
n ˆ da = A
·
−
d dt
C
d A l
·
11-23 Suponha que a corrente num solen´ oide muito comprido esteja aumentando linearmente com o tempo, tal que ∂B/∂t = K . Encontre o campo E dentro e fora do solen´oide.
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Solu¸ c˜ aorlv :
B = B 0 + Kt
(a) fora do solenoide r > R
·
d E l =
−
d dt
·
n B ˆ da
·
πR ) − dtd B(
E (r) =
− KR 2r
E (r) 2 πr =
2
2
(b) dentro do solenoide r < R
·
πr ) − dtd B(
E (r) =
− Kr 2
E (r) 2 π r =
2
Referˆ encias [1] John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy Fundamentos da Teoria Eletromagn´etica 3a edi¸c˜ao, Editora Campus Ltda. Rio de Janeiro
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