Cap 11 Moyses Fisica

Curso de

Física Básica H. Moyses Nussenzveig

Resolução do Volume II Capítulo 11 Teoria Cinética dos Gases

Grupo Física-Nussenzveig

Capítulo -11

1 - Um feixe molecular de oxigênio, contendo 10 10 moléculas/cm³ de velocidade média 500 m/s, incide sobre uma placa segundo um ângulo de 30° com a normal à placa. Calcule a pressão exercida pelo feixe sobre a placa, supondo as colisões perfeitamente elásticas. 2 - Um dos vácuos mais elevados que podem ser produzidos corresponde a uma pressão de 10 -12 mm/Hg. Nesta pressão, a 27°C, quantas moléculas de ar por cm³ ainda permanecem? (Resolução) 3 - Um gás é submetido a uma expansão isotérmica reversível num recipiente cilíndrico munido de um pistão de área A e massa M. O pistão desloca-se na direção x com velocidade constante u. Temse u << vqm e M m, onde vqm é a velocidade quadrática média das moléculas, cuja massa é m. Suponha as colisões das moléculas com o pistão perfeitamente elásticas num referencial que se move com o pistão. a) Mostre que, no referencial do laboratório(onde cilindro está em repouso), as colisões com o pistão não são perfeitamente elásticas, calculando a perda de energia cinética de uma molécula que colide com o pistão com componente x da velocidade v x > 0 (no resultado, despreze u em confronto com v x). b) Some sobre todas as moléculas e mostre que a perda total de energia cinética é igual ao trabalho realizado na expansão do gás. 4 - Calcule o número médio de moléculas por cm³ e o espaçamento médio entre as moléculas: a) Em água líquida; b) Em vapor de água a 1 atm e 100°C (tratado como gás ideal); c) No caso (b), calcule a velocidade média quadrática das moléculas. (Resolução) 5 - Um kg de ar é composto de 232 g de oxigênio, 755g de nitrogênio e 13 g de outros gases. Para ar nas condições normais de temperatura e pressão, calcule as pressões parciais exercidas pelo oxigênio e pelo nitrogênio. 6 - Um recipiente de 10 l contém 7 g de nitrogênio gasoso, à pressão de 4,8 atm e à temperatura de 1800 K. A essa temperatura, uma porcentagem x das moléculas de nitrogênio encontram-se dissociadas em átomos. Calcule x. (Resolução) 7 - A temperatura na superfície da Lua chega a atingir 127°C. Calcule a velocidade quadrática média do hidrogênio molecular a essa temperatura e compare-a com a velocidade de escape da superfície da Lua. Que conclusão pode ser tirada dessa comparação? 8 - A velocidade do som num gás (que pode ser tratado como ideal) é 0,683 vezes a velocidade quadrática média das moléculas do gás nas mesmas condições de temperatura e pressão. Qual é o número de átomos por molécula do gás? 9 - Considere uma partícula esférica de 0,5 μm de raio e densidade 1,2 g/cm³, como as que foram utilizadas por Jean Perrin em experiências para determinação do número de Avogrado. Uma tal partícula, em suspensão num líquido, adquire um movimento de agitação térmica que satisfaz à lei de eqüipartição de energia. De acordo com esta lei, qual seria a velocidade quadrática média da partícula em suspensão à temperatura de 27°C? 10 - a) Calcule o expoente adiabático γ = C p/Cv para um gás diatômico a uma temperatura elevada, tal que uma fração x das moléculas se encontram dissociadas em átomos. Verifique que o resultado se reduz aos casos limites esperados quando não há dissociação ou quando ela é total. b) Se o valor observado é γ = 1,5, qual é a porcentagem de dissociação x? (Resolução)

http://www.estudefisica.com.br

1


Capítulo -11

11 - Coloca-se 1 g de hidrogênio e 1 g de hélio num recipiente de 10 l, a uma temperatura de 27°C. a) Qual é a pressão? b) Calcule os calores específicos molares Cv e C p, bem como γ = C p/Cv, para a mistura gasosa. 12 - Um gás é formado de moléculas diatômicas de momento de inércia I = 6 x 10 -39 g.cm². Calcule a velocidade angular de rotação quadrática média de uma molécula do gás em torno de um eixo perpendicular à linha que une os centros dos dois átomos, nas condições normais de temperatura e pressão. 13 - O livre percurso médio em hélio gasoso a 1 atm e 15°C é de 1,862 x 10 -5 cm. a) Calcule o diâmetro efetivo de um átomo de hélio. b) Estime o número médio de colisões por segundo que um átomo de hélio sofre nestas condições. 14 - O diâmetro efetivo da molécula de CO 2 é ≈ 4,59 x 10 -8 cm. Qual é o livre percurso médio de uma molécula de CO2 para uma densidade de 4,91 kg/m³? (Resolução) 15 - Sejam PC , vC e TC as constantes críticas de um gás de Van der Waals (pág. 263). Mostre que, se exprimirmos a equação de Van der Waals em termos das variáveis reduzidas π = P/PC, ω = v/vC e τ = T/TC, ela assume uma forma universal, ou seja, a mesma para todas as substâncias. 16 - Calcule o trabalho realizado por um gás de Van der Waals numa expansão isotérmica à temperatura T, passando do volume molar v i para vf . 17 - A partir da tabela da pág. 265, tratando o hélio gasoso com um gás de Van der Waals, calcule o diâmetro efetivo de um átomo de hélio. Compare o resultado com aquele obtido no Problema 13. Discuta a razão da concordância ou discrepância. 18 - A pressão crítica e a temperatura crítica observadas para o CO2 são, respectivamente, PC = 73,0 atm e TC = 304,1 K. a) Calcule as constantes de Van der Waals a e b para o CO2. b) Calcule a densidade crítica ρC para o CO2 pela equação de Van der Waals e compare-a com o valor observado de 0,46 g/cm³. c) Se o CO2 fosse um gás ideal, a que pressão seria preciso submeter 1 mol de CO 2 para que ocupasse o volume de 0,5 l à temperatura de 0°C? d) Qual seria a pressão necessária na situação (c) considerando o CO 2 como um gás de Van der Waals? e) Em (d), que fração da pressão total é devida à interação entre as moléculas do gás? Extra) Supondo que a temperatura na atmosfera terrestre não varia, mostre que a pressão pode ser dada por p = p0e − Mgy RT , sendo M a massa molecular do ar. Mostre também que nv = n0e − Mgy RT , sendo nv o número de moléculas por unidade de volume. (Resolução)

Resolução R-2) Dados: P = 10-12 mmHg = 1,33x10 -10 N/m² T = 27°C = 300 k http://www.estudefisica.com.br

2


n=

N V

Capítulo -11

=?

PV = nmol RT =

N N 0

RT ⇒

PN 0 RT

=

N V

=n

10

4

n = 3,20x10 moléculas/m³ = 3,20x10 moléculas/cm³

R-4) a)

V (1 molécula) = 18/N0 = 30. 10 -24 cm³ distância entre moléculas =

3

x³

-8

V = 3. 10 cm

23

6 . 10 moléculas ------- 18 cm³ nmol --------------- 1 cm³ b)

≈

⇒

23

22

nmol = 6.10 /18 = 3,3. 10 moléculas/cm³

PV = nmolRT; nmol = 3,22 . 10 -5 moles Para V = 1 cm³: 23

1 mol ------------------ 6 . 10 moléculas/cm³ -5 14 3,22 . 10 moles ------- x = 1,935 . 10 moléculas/cm³ 3 -7 − Espaçamento = x 1 = 3,72 . 10 cm

c)

1 2

m v2

=

3 RT 2 N 0

⇒

v2

=

3 RT mN 0

= 718,92 m/s

 

massa molar

R-6) m(N2) = 7 g

⇒

nmol(N2) = 7/28 = 0,25 moles

PV = nmolRT 4,8.(10) = n.(0,082).(1800)

⇒

nmol = 0,325 moles

Sejam: x: quantidade de moléculas dissociadas y: quantidade de moléculas não dissociadas ndissociadas + nnao-dissociadas = 0,325

⎧⎪ x ( 0, 25 ) + y ( 0, 25 ) = 0 ,325 ⎨ ⎪⎩ x + y = 1 (porcentagens) Resolvendo o sistema: x = 0,3 = 30%

R-10) Nota: Não foram considerados os graus de vibração das moléculas. Resolução 1: n = número de mols inicial (todos diatômicos) http://www.estudefisica.com.br

3


Capítulo -11

2.n.x = número de mols monoatômicos (a multiplicação por 2 se deve ao fato de cada molécula diatômica dar origem a dois átomos) (1-x).n = número de mols diatômicos. 2.n.x + (1-x).n = (1+x).n = número de mols total = N A variação da energia interna dos átomos e das moléculas diatômicas é iguala variação da energia interna do sistema. dU1 + dU2 = dU mas, numa transformação em que o volume é constante, Q = dU então, dU = N.Cv.dT dU1 + dU2 = N.Cv.dT (3/2).2n.x.R.dT + (5/2).(1-x).n.R.dT = (1+x).n.Cv.dT R.(x+5)/2 = (1+x).Cv Cv = R.(x+5)/2(1+x) Ok, uma breve observação : R é comumente escrito como 0,082 atm.L/mol.K ou 8,31 J/mol.K, porém vamos escrevê-lo como 2 cal/mol.K Substituindo em Cv Cv = x+5/x+1 O fato de termos escolhido R nessas unidades tem outra importância...é que vamos utilizar a Relação de Mayer pra descobrir Cp. Cp - Cv = R Cp = 2 + x+5/x+1 Cp = 7+3x/x+1 Cp/Cv = 3x+7/x+5 Testando os casos limites : 1-) Dissociação completa, x=1 (100%) Cp/Cv = 10/6 = 5/3 Correto. 2-) Dissociação nula, x=0 (0%) Cp/Cv = 7/5 Correto. Resolução 2 (incompleta):


4


Capítulo -11

Sejam:

⎫ ⎪ N1 N1 = nº de moleculas diatomicas dissociadas ⎬ =x ⎪ N N-N1 = nº de moleculas diatomicas (que sobraram)⎭ N = nº inicial de moleculas diatomicas

⎧ U d = energia interna das moleculas diatomicas ⎨ ⎩ U m = energia interna das moleculas monoatomicas Assim (desconsiderando as energias de vibracao): 5

5

2 3

2

= ( N − N1 ) kT = (1 − x ) kT

Ud

= ( 2 N1 ) kT = 3 NxkT

(multiplico por 2N1, pois cada 2 molecula diatomica dissociada da origem a duas moleculas

Um

monoatomicas). ENERGIA TOTAL DO GAS:

= Ud + Um =

1

NkT ( 5 (1 − x ) + 6 x ) =

1

NkT ( 5 + x ) 2 2 onde N e' o nº inicial de moleculas, antes da dissociacao. UT

Capacidade termica: Cv

dU T

=

dT

=

1 2

Nk ( 5 + x )

Como N=N 0 .nmol e k=

R N 0

, N0

=

nº de Avogrado e n mol

=

nº de moles

**** NT = N + N 1 ⎫ N + N 1 ⎬⇒ n = nmol (1 + x ) total de moleculas diatomicas = N − N 1 ⎭ mol( total ) = N total de atomos = 2N1

0

calor especifico molar: cv

=

cv nmol

cv

1 R ( x + 5) 2

(1 + x )

... resolvendo : γ

=

3 x + 7 x + 5

R-14) -8 -10 d = 4,59 x 10 cm = 4,59 x 10 m ρ = 4,91 kg/m³ http://www.estudefisica.com.br

5


Capítulo -11

l = ? -3 25 Em 1 m³ ------> 4,91 kg ------> nmol = 4,91/(44x10 ) = 111,6 moles = 111,6 N A = 6,72 x 10 (moléculas de CO2) / m³ , onde N A é o número de Avogrado. l

1

=

πnd² = 4,45 x 10 7

2

2π nd -8 -6 l = 1,59 x 10 m = 1,59 x 10 cm

R-EXTRA)

T = constante. F p , onde F p = peso da coluna de ar de altura h. p = A A pressão é função de h: F p ( h ) p( h ) = A F p ( h + dh ) p( h + dh ) = A dp = p( h + dh ) − p( h ) = −

1

1

⎡ − F p ( h + dh ) + Fp ( h )⎤⎦ = − [ ρ .dV .g ] A ⎣ A

onde ρ.dV é a massa da camada de ar entre h e (h + dh) Logo: dp = − ρ .dh.g pV

= nmol RT ⇒

∫ =∫

h

dp

Mg

p

RT

p = p0 e

verificar como ρ varia m ρ pM pV = RT ⇒ p = RT ⇒ ρ = M M RT

− Mgh

dh ⇒ ( ln p − ln p0 ) = −

Mg RT

∫ 0

dh

⎛ ⎞ ⎛ p ⎞ Mg ⎜ ⎟ h− 0 ⇒ ln ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ p RT do ⎟ 0 ⎜ nivel ⎝ ⎠ mar ⎝ ⎠ {

RT

Verificando a segunda expressão, para nv: N onde N é o número de partículas pV = RT N 0 p = nvkT

onde nv = N/V ; k = R/N0


6


nv

=

p

=

e− Mgh RT p0

kT kT − Mgh RT nv = n0e

Capítulo -11

com p0 = n0kT


7

Cap 11 Moyses Fisica

Recommend Documents