Podemos medir la variación cíclica como un porcentaje de tendencia si dividimos el valor real (Y ) entre ˆ ) y luego multiplicamos por 100. el valor de tendencia (Y ■ 11-9
Residuo cíclico relativo
ˆ
Y Y ˆ Y
100
Otra medida de la variación cíclica es el residuo cíclico relativo, que se obtiene dividiendo la desviación ˆ ) entre el valor de tendencia, y multiplicando el resultado por 100. El residuo cíclide la tendencia (Y Y co relativo se puede obtener fácilmente si restamos 100 del porcentaje de tendencia.
●
Ejercicios de repaso ■ 11-44
■ 11-45
■ 11-46
■ 11-47
■ 11-48
11-49
El número de personas admitidas a Valley Valley Nursing Home por trimestre está dado en la siguiente tabla: Primavera
Verano
Otoño
Invierno
2006
29
30
41
43
2007
27
34
45
48
2008
33
36
46
51
2009
34
40
47
53
a) Calcule Calcule los índices estaciona estacionales les para estos datos datos (use un promedio promedio móvil centrado centrado de 4 trimestres). trimestres). b) Deses Desestacion tacionalice alice estos estos datos datos usando los los índices índices del inciso inciso a). c) Encuen Encuentre tre la recta de mínimos mínimos cuadrados cuadrados que que mejor describa describa las cifras cifras de la tendencia tendencia desestacion desestacionaalizada. Wheeler Airlines, una línea aérea regional, ha estimado el número de pasajeros para el mes de diciembre en 595,000 (desestacionalizado). ¿Cuántos pasajeros debe prever la compañía si el índice estacional de diciembre es 128? Un grupo de investigación ecológica ha medido el nivel de contaminaci ón por mercurio en el océano en ciercier to punto de la costa este de Estados Unidos. Se encontraron los siguientes porcentajes de mercurio en el agua: Ene.
Feb.
Mar.
Abr.
May.
Jun.
Jul.
Ago.
Sep.
Oct.
Nov.
Dic.
2006
0.3
0.7
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.4
0.7
0.2
0.5
2007
0.4
0.9
0.7
0.9
0.5
0.8
0.7
0.7
0.4
0.6
0.3
0.4
2008
0.2
0.6
0.6
0.9
0.7
0.7
0.8
0.8
0.5
0.6
0.3
0.5
Construya un promedio móvil centrado de 4 meses y grafíquelo junto con los datos originales. Un gerente de producción de una fábrica de papel canadiense ha acumulado la siguiente información que describe la cantidad de papel (en millones de libras) procesado cada trimestre: Primavera
Verano
Otoño
Invierno
2006
3.1
5.1
5.6
3.6
2007
3.3
5.1
5.8
3.7
2008
3.4
5.3
6.0
3.8
2009
3.7
5.4
6.1
3.9
a) Calcule Calcule los índices estacion estacionales ales de los datos (porcenta (porcentaje je del promedio promedio real respecto respecto al promedio promedio móvil centrado). b) Deses Desestacion tacionalice alice los datos datos utilizando utilizando los índices índices estaciona estacionales les del inciso inciso a). c) Encuen Encuentre tre la línea línea de mínimos mínimos cuadrado cuadradoss que mejor mejor describa describa los datos. datos. d) Estim Estimee la cantidad cantidad de libras de papel papel que serán procesad procesadas as durante durante la primavera primavera de 2010. 2010. Describa algunas de las dificultades al usar una ecuación de estimación lineal para describir los datos siguientes: a) Kilom Kilometraje etraje de gasolina gasolina logrado logrado por los los automóviles automóviles estadouni estadounidense denses. s. b) Núme Número ro de muertos muertos en accident accidentes es de aviación aviación comerc comercial. ial. c) La expor exportac tación ión de cere cereale aless de un solo solo país. país. d) El pre precio cio de la gas gasoli olina. na. La empresa Magna International es una compañía canadiense dedicada a la manufactura de componentes para automóviles como paneles moldeados para puertas. En el informe anual de Magna de 2009 se dio
Capítulo Capít ulo 11
Series de tiemp tiempo o y pron pronóstic ósticos os
una lista de las ganancias anuales de la compañía correspondientes a los 10 años anteriores (en millones de dólares canadienses): Año Ganancias
■ 11-50
■ 11-51
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
302.5
493.6
690.4
1,027.8
1,152.5
1,458.6
1,923.7
1,927.2
■ 11-54
11-55
2004
2005
2006
2007
2008
2009
596
688
740
812
857
935
a) Encuentre la ecuación lineal que describa mejor esos datos. b) Estime el número de manuales de operaciones (uno por franquicia) que deba imprimirse en 2011. Un subsecretario asistente del Departamento de Comercio tiene los siguientes datos que describen el valor del grano exportado durante los últimos 16 trimestres (en miles de millones de dólares):
2006 2007 2008 2009
■ 11-53
2009
a) Encuentre la línea de tendencia de mínimos cuadrados para estos datos. b) Grafique los datos anuales junto con la línea de tendencia. ¿Las variaciones de la tendencia parecen ser aleatorias o cíclicas? c) Utilice un paquete de computación estadístico que obtenga regresión para encontrar la tendencia parabólica de mejor ajuste para estos datos. ¿Es c, el coeficiente de x 2, significativamente diferente de cero? ¿Cuál de los dos modelos de tendencia recomendaría usted para pronosticar las ganancias de Magna para 2010? Explique su respuesta. d) Pronostique las ganancias de la empresa para 2010. Comente las dificultades que tendría al utilizar una ecuación de estimación de segundo grado para pronosticar el comportamiento del proceso que generó los datos siguientes: a) Ventas de computadoras personales en Estados Unidos. b) Uso de juegos de video en Estados Unidos. c) Primas de seguros contra malas prácticas médicas. d) El número de graduados de maestría en administración de las universidades de Estados Unidos. La tabla siguiente muestra el número de franquicias de Beauty Bar, Inc. que opera al final de cada año: Año Número de franquicias
■ 11-52
2008
2,017.2 2,358.8
I
II
III
IV
1 2 2 1
3 2 4 3
6 7 8 8
4 5 5 6
a) Determine los índices estacionales y desestacionalice los datos (utilice un promedio móvil centrado de cuatro trimestres). b) Calcule la recta de mínimos cuadrados que mejor describa los datos. c) Identifique la variación cíclica en los datos mediante el método del residuo cíclico relativo. d) Grafique los datos originales, los datos desestacionalizados y la tendencia. La tienda de bicicletas Richie Bell ha determinado, a partir de un análisis de tendencias pasadas, que las ventas de primavera (desestacionalizadas) deberán ser de 165 bicicletas. Si el índice estacional de primavera es 143, ¿cuántas bicicletas deberá vender la tienda esta primavera? En el momento de terminar el programa de autopistas interestatales de Estados Unidos, ¿de qué utilidad serán los viejos datos a los fabricantes de equipo pesado de remoción de tierra cuando intentan pronosticar sus ventas? ¿Qué nuevos datos sugeriría usted que utilizaran en su pronóstico? La manufactura de automóviles, a menudo, se cita como ejemplo de una industria cíclica (sujeta a cambios de acuerdo con un ciclo económico subyacente). Considere la producción de automóviles en todo el mundo (en millones de unidades) y en la antigua Unión Soviética (en cientos de miles de unidades) durante el periodo de 2000 a 2005: Año
En el mundo
En la URSS
Año
En el mundo
En la URSS
2000 2001 2002 2003 2004 2005
22.5 26.4 27.9 30.0 25.9 25.0
13.4 15.3 17.3 19.2 11.2 12.0
1981 1982 1983 1984 1985 1986
27.5 26.6 30.0 30.5 32.3 32.9
13.2 13.1 13.2 13.3 13.3 13.3 (continúa)
Repaso del capítulo
■ 11-56
Año
En el mundo
En la URSS
Año
En el mundo
En la URSS
2006 2007 2008 2009 2010
28.8 30.5 31.2 30.8 28.6
12.4 12.8 13.1 13.1 13.3
1987 1988 1989 1990
33.0 34.3 35.6 35.8
13.3 12.6 12.2 12.6
a) Encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados para los datos en el mundo. b) Grafique los datos del mundo y la recta de tendencia en la misma gráfica. ¿Las variaciones con respecto a la tendencia parecen ser cíclicas o aleatorias? c) Grafique los residuos como porcentaje de la tendencia. ¿Aproximadamente qué tan largo es el ciclo económico para estos datos? d) Considere la producción de automóviles en la antigua URSS. Analice sus similitudes y diferencias con los patrones que encontró en los incisos a), b) y c). La R.B. Fitch Builders ha construido el siguiente número de casas en los 8 años que lleva en el negocio: Año Casas construidas
■ 11-57
■ 11-58
■ 11-60
2003 11
2004 19
2005 17
2006 19
2007 18
2008 20
2009 23
a) Desarrolle una ecuación lineal de estimación para describir la tendencia del número de casas. b) ¿Cuántas casas deberá planear terminar la constructora para 2013? c) Junto con la respuesta al inciso b), ¿qué consejo daría usted a la R.B. Fitch acerca del uso de esta técnica de pronósticos? Como parte de una investigación realizada por un departamento federal referente a la sicología de la actividad criminal, una encuesta acerca del número de homicidios y de asaltos producidos en el curso de un año produjo los siguientes resultados: Estación
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
Número de homicidios y asaltos
31,000
52,000
39,000
29,000
a) Si los índices estacionales respectivos son 84, 134, 103 y 79, ¿cuáles son los valores desestacionalizados de cada estación? b) ¿Cuál es el significado del índice estacional de 79 para al invierno? Las cifras porcentuales desestacionalizadas trimestrales de desempleo en cierto estado durante el periodo 2003-2007 son las siguientes:
2003 2004 2005 2006 2007
■ 11-59
2002 12
I
II
III
IV
17.3 18.7 10.2 17.6 17.4
7.2 9.2 9.9 7.4 7.0
7.3 9.8 9.2 7.5 6.8
18.1 10.5 18.3 17.6 16.5
a) Encuentre la ecuación lineal que describe la tendencia de desempleo. b) Calcule el porcentaje de tendencia para los datos. c) Grafique la variación cíclica de las tasas de desempleo a partir del porcentaje de tendencia. El número de casos confirmados de SIDA reportados en una clínica de salud local durante el periodo de 5 años de 2004 a 2008 fueron 2, 4, 7, 13 y 21, respectivamente. a) Desarrolle la recta de regresión lineal para estos datos. b) Encuentre la curva de segundo grado de mínimos cuadrados que se ajusta a los datos. c) Construya una tabla de los casos reales de cada año, las estimaciones lineales obtenidas con la regresión del inciso a) y los valores de la curva de segundo grado del inciso b). d) ¿Qué regresión parece ser el mejor estimador? RJ’s Grocers ha agregado pollos enteros hervidos a su línea de comida para llevar, para los profesionales ocupados que no tienen tiempo de cocinar en casa. El número de pollos precocidos vendidos en las primeras siete semanas es el siguiente: Semana Ventas
Capítulo 11
1 41
Series de tiempo y pronósticos
2 52
3 79
4 76
5 72
6 59
7 41
11-61
a) Encuentre la recta de regresión lineal que mejor se ajuste a estos datos. b) Estime el número esperado de ventas en la semana 8. c) Con base en la estimación del inciso b) y los datos disponibles, ¿la regresión describe con exactitud la tendencia de ventas para este producto? La compañía Walt Disney es una gran empresa de entretenimiento con tres rubros de negocios: películas y televisión, mercancías, y parques de diversiones y hoteles (PDH). Como muchas empresas, Disney informa trimestralmente la cantidad total de dinero que recibe cada uno de estos rubros. La expansión de instalaciones en los dos parques de diversiones en Estados Unidos (Disneylandia en California y Walt Disney World en Florida) y la adquisición de licencias y el ingreso por inversión en parques en Francia y Japón, han ocasionado un crecimiento estable en los ingresos totales por PDH. La siguiente lista de ingresos trimestrales (en millones de dólares) muestra el crecimiento de los ingresos durante la última década, que asciende a casi $1,000 millones por trimestre al final del año fiscal de la empresa en diciembre de 2002. (El año fiscal de la empresa Disney empieza en octubre, de modo que el trimestre que termina en diciembre de 2002 es el primer trimestre del año fiscal 2003). Un analista que observe este éxito notaría primero que algo del aumento podría atribuirse a la inflación. En consecuencia, los ingresos también se dan en dólares constantes de 1982, es decir, deflacionados en un porcentaje equivalente a la inflación desde 1992. Esto se logra dividiendo los ingresos reales entre el deflactor PIB del Departamento de Comercio de Estados Unidos y multiplicando el resultado por 100. Año fiscal y trimestre de Disney 1993-1 1993-2 1993-3 1993-4 1994-1 1994-2 1994-3 1994-4 1995-1 1995-2 1995-3 1995-4 1996-1 1996-2 1996-3 1996-4 1997-1 1997-2 1997-3 1997-4 1998-1 1998-2 1998-3 1998-4 1999-1 1999-2 1999-3 1999-4 2000-1 2000-2 2000-3 2000-4 2001-1 2001-2
Mes final del trimestre DIC 82 MAR 83 JUN 83 SEP 83 DIC 83 MAR 84 JUN 84 SEP 84 DIC 84 MAR 85 JUN 85 SEP 85 DIC 85 MAR 86 JUN 86 SEP 86 DIC 86 MAR 87 JUN 87 SEP 87 DIC 87 MAR 88 JUN 88 SEP 88 DIC 88 MAR 89 JUN 89 SEP 89 DIC 89 MAR 90 JUN 90 SEP 90 DIC 90 MAR 91
Ingreso real
Deflactor PIB
Ingreso en dólares de 1982
203.7 239.7 288.9 298.8 224.9 244.3 314.6 313.6 232.6 270.0 368.8 386.1 274.1 360.2 434.0 455.6 359.0 414.8 534.4 526.0 385.7 438.0 599.9 618.4 511.6 580.1 727.9 775.8 619.5 710.2 858.1 831.8 623.8 671.0
101.7 102.5 103.3 104.2 105.4 106.5 107.3 108.2 109.0 109.7 110.6 111.3 112.2 112.4 113.2 114.6 115.1 116.0 117.1 117.9 118.6 119.2 120.6 121.9 123.3 124.5 125.9 126.9 127.9 129.7 131.8 138.0 140.5 141.0
200.3 233.9 279.7 286.8 213.4 229.4 293.2 289.8 213.4 246.1 333.5 346.9 244.3 320.5 383.4 397.6 311.9 357.6 456.4 446.1 325.2 367.4 497.4 507.3 414.9 465.9 578.2 611.3 484.4 547.6 651.1 602.8 444.0 475.9 (Continúa)
Repaso del capítulo
Año fiscal y trimestre de Disney
Mes final del trimestre
Ingreso real
Deflactor PIB
Ingreso en dólares de 1982
2001-3
JUN 91
759.0
141.8
535.3
2001-4
SEP 91
810.8
142.7
568.2
2002-1
DIC 91
662.4
143.8
460.6
2002-2
MAR 92
774.1
144.7
535.0
2002-3
JUN 92
890.5
145.6
611.6
2002-4
SEP 92
996.2
146.5
680.0
Fuente: The Walt Disney Company, Informe anual de 2002.
a) Grafique los datos en dólares de 1992 y encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados. b) Como debería esperarse, existe un fuerte patrón estacional en los ingresos por PDH; el trimestre de diciembre muestra el ingreso más bajo y los mejores resultados por lo general se reportan en el trimestre de septiembre. Encuentre los índices estacionales por trimestre para los ingresos en dólares de 1982, y utilícelos para desestacionalizar dichos ingresos. c) Encuentre la línea de tendencia de mínimos cuadrados para los datos desestacionalizados. d) No podemos comparar directamente los valoresr 2 de las líneas de tendencia de los incisos a) y c) porque la primera indica qué fracción de la variación de los ingresos reales se explica por la tendencia, mientras que la segunda nos dice qué fracción de la variación de los ingresosdesestacionalizados se explica por la tendencia. Para ver cuánta variación en los ingresos reales se explica por la tendencia y por la estacionalidad, proceda de la siguiente manera: 1) Utilice la línea de tendencia desestacionalizada para pronosticar los ingresos desestacionalizados para los 40 trimestres. 2) Estacionalice de nuevo las predicciones multiplicándolas por el índice estacional apropiado y dividiéndolas entre 100. 3) Para cada trimestre, reste el ingreso real del pronóstico vuelto a estacionalizar para encontrar el error del pronóstico. 4) Eleve al cuadrado estos errores y súmelos. Llame SCE* al resultado. 5) Represente con SCT la suma total de los cuadrados de la línea de tendencia del inciso a). La fracción de la variación de los ingresos reales explicada por la tendencia y por la estacionalidad es 1 SCE*/SCT. ¿Cuánto más de la variabilidad de los ingresos reales se explica al tomar en cuenta la estacionalidad? e) De octubre de 1993 a septiembre de 2001, la afluencia a los parques de diversiones disminuyó por la guerra del Golfo Pérsico, cuando el temor a ataques terroristas hacía que mucha gente se quedara en sus casas, y por la recesión en la economía de Estados Unidos. ¿Qué tipo de variaciones son éstas? f) Utilice los pronósticos del inciso d) para estimar cuánto le costó a la empresa Disney la recesión y la guerra del Golfo, en cuanto al rubro PDH durante el año fiscal 2004. g) Utilice el modelo que desarrolló en el inciso d) para pronosticar el ingreso total por PDH (en dólares de 1992) para el año fiscal de la empresa correspondiente a 2003. ¿Hay alguna razón para preocuparse porque el pronóstico pueda no ser preciso? Explique su respuesta. h) ¿Qué información adicional necesitaría para convertir los pronósticos del inciso g) en dólares actuales? El sistema de transporte de College Town recolectó información del número de pasajeros por estación durante 2008 y 2009. Los datos desestacionalizados (en miles de pasajeros) son:
■ 11-62
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
2008
593
545
610
575
2009
640
560
600
555
a) Si los índices estacionales utilizados para desestacionalizar fueron 110, 73, 113 y 104, respectivamente, encuentre el número real de pasajeros (en miles) para estas ocho estaciones. b) ¿En qué estación de 2009 se tuvo el menor número de pasajeros? ¿Y el mayor? ˆ 584.75 0.45 x (con c) Si la ecuación lineal de estimación para estos datos desestacionalizados esY x medida a medio trimestre y x 0 entre los trimestres de invierno de 2008 a primavera de 2009), ¿cuál es el número esperado de viajes reales (en miles) para el otoño de 2010? Ferris Wheeler, director del parque de diversiones Whirly World, ha proporcionado los siguientes datos sobre el número de visitantes al parque (en miles de personas) para las estaciones en que permanece abierto:
■ 11-63
Capítulo 11
Series de tiempo y pronósticos
Primavera
Verano
Otoño
750 780 800 640
1,150 1,100 1,225 1,050
680 580 610 600
2006 2007 2008 2009
■ 11-64
a) Calcule los índices estacionales para estos datos utilizando un promedio móvil de tres periodos. b) Desestacionalice estos datos utilizando los índices estacionales obtenidos en el inciso a). El administrador de un restaurante desea mejorar el servicio que brinda a sus clientes y el horario de sus empleados, basándose en la afluencia diaria de clientes durante las últimas cuatro semanas. El número de clientes atendidos en el restaurante en ese periodo fue:
Semana
■ 11-65
1 2 3 4
Lun.
Mar.
Mié.
Jue.
Vie.
Sáb.
Dom.
345 418 393 406
310 333 387 412
385 400 311 377
416 515 535 444
597 664 625 650
706 761 711 803
653 702 598 822
Determine los índices estacionales (diarios) para estos datos. (Utilice un promedio móvil de siete días.) Suponga que las ventas de televisores de una pequeña cadena de aparatos electrodomésticos durante 20052009 fueron las siguientes: Año Ventas
■ 11-66
2005 230
2006 250
2007 265
2008 300
2009 310
a) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado para estos datos. b) ¿Qué indica la magnitud de los coeficientes a, b y c respecto a la elección de una ecuación de segundo grado para esos datos? La compañía Zapit ha registrado las siguientes cifras (en cientos de miles) correspondientes a las ventas totales en su línea de hornos de microondas durante los últimos cinco años: Año Ventas
2004 3.5
2005 3.8
2006 4.0
2007 3.7
2008 3.9
La ecuación que describe la tendencia de estos volúmenes de ventas es ˆ 3.78 0.07 x , donde 2006 0 y las unidades de x son años Y
■ 11-67
a) ¿Qué año tuvo el más alto porcentaje de tendencia? b) ¿Qué año estuvo más cercano a la línea de tendencia? Los siguientes datos muestran el número de casas listadas para venta, en miles, en el oeste de Estados Unidos al final de cada trimestre: Año
Trimestre
Casas listadas
2005
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1
75 77 72 74 73 74 77 73 74 79 80 82 80
2006
2007
2008
a) Calcule los índices estacionales para cada trimestre. (Nota: debido a que esta serie de datos es corta, no descarte los valores extremos en el paso 5.) b) Desestacionalice estos datos. c) Encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados para los datos desestacionalizados.
Repaso del capítulo
