FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL MÉTODOS NÚMERICOS PARA EL ANÁLISIS MODAL CURSO
:
INGENIERÍA ANTISÍSMICA DOCENTE
:
ING°SERRANO ZELADA OVIDIO
ESTUDIANTES: ARTEAGA RAMIREZ JUAN LUIS GONZALES VASQUEZ JUAN WILLAM DILMER ROJAS QUISPE LUIS FERNANDO TORRES PINCHI JANY VASQUEZ ALARCON DEYNIS HANZ CICLO
: VIII PIMENTEL, 12 DE NOVIEMBRE DE 2013
CALCULO NUMERICO DE MODOS Y FRECUENCIAS DE VIBRAR El procedimiento seguido en la sección precedente para obtener modos y periodos de vibrar es laborioso e impráctico en sistemas de más grados de libertad. Por ello se han desarrollado métodos numéricos de aproximaciones sucesivas, dos de los cuales se presentan a continuación. Estos dos métodos son apropiados para emplearse como una calculadora de escritorio o una hoja electrónica de trabajo.
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Figura 3.7
1. METODO DE NEWMARK
Este método, propuesto por su autor en 1943 está basado en procesos de iteración Stodola – Vianello (Rosenblueth y Esteva, 1962).
En la forma en que a continuación se describe, el método es aplicable al cálculo del modo fundamental de vibración de las estructuras llamadas sencillas o cercanamente acopladas. En estas estructuras la masa de los pisos intermedios está ligada solo a la de los pisos superior e inferior mediante resortes que representan las rigideces de entre pisos correspondientes (la figura 3.7 muestra una estructura de este tipo). En su forma más general el método se puede aplicar a cualquier estructura lineal con acoplamiento entre diferentes masas (Newmark y Rosenblueth, 1971).
Los pasos en que consiste el método se han aplicado en la tabla 3.2 a la estructura de la figura 3.7 y son las siguientes:
a) Supóngase una forma X para el modo. Este es la que aparece en el renglón 1 de la tabla. Para comenzar, es usualmente apropiado suponer valores iguales al número de orden del piso (de abajo hacia arriba)
b) Obténgase la fuerza de inercia en cada masa correspondiente a la configuración
; como se desconoce el , se calculan los
supuesta. Estas fuerzas serían MX
, que forman el segundo renglón de la tabla.
productos MX= F/
c) A partir de las fuerzas de inercia calcúlense las fuerzas cortantes en los entrepisos, también divididas entre
; esto es, se calcula la V/, como se anota en el
tercer renglón de la tabla.
d) Dividiendo las fuerzas cortantes entre rigideces de entrepiso, obténgase las deformaciones de entrepiso también divididas entre renglón cuarto de la tabla como
. Esto se presenta en el
.
e) Acumulando deformaciones de entrepiso determínese una nueva configuración de los desplazamientos de las masas
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(quinto renglón de la tabla). Página 2
f)
Obténgase
para cada masa, como los cocientes ); así se llega al
sexto renglón de la tabla. Si la configuración X supuesta es la correcta resultará el mismo valor para todas las masas; en caso contrario, es necesario repetir todos los pasos empezando con una forma de modo proporcional a obtengan valores de
parecidas
hasta que se
a todas las masas. Así se obtenga una
convergencia en general bastante rápida.
La tabla 3.2 influye tres integraciones, que llevaron a una aproximación suficiente.} Los valores de X en cada integración se normalizaron de manera que la masa del primer piso tuviese un desplazamiento unitario, lo cual permite apreciar cómo se va modificando de una integración a otra la forma del modo. Para calcular la frecuencia se pueden promediar los valores del último ciclo o, mejor aún, determinarla con el cociente de Schwartz (que es una forma del cociente de Rayleigh), como sigue:
Se emplean los valores de
y del último ciclo.
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∑
∑
En el ejemplo estudiado ambos criterios conducen ha
y la forma del
modo es (1.000 con 1.752, 2.543).
2. METODO DE HOLZER Para calcular modos superiores al primero, podemos emplear el procedimiento debido a HOLZER (Crandall y Strang, 1957). Este método es solamente aplicable a estructuras sencillamente acopladas. Los pasos a dar son:
a) Supóngase arbitrariamente un valor de
mayor que el del modo fundamental,
previamente obtenido por cualquier método.
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b) Supóngase la amplitud del movimiento
en la primera masa a partir del apoyo.
Conviene suponer un valor unitario esta amplitud supuesta es también igual al desplazamiento
del primer entre piso.
donde es la rigidez de entre piso, y la fuerza de inercia en la primera masa, Por equilibrio determínese la fuerza cortante en el segundo resorte
c) Calcúlense la fuerza cortante en el primer resorte,
d)
e) Obténgase la deformación de este último,
f)
Calcúlese la amplitud del desplazamiento de la segunda masa, la fuerza de inercia en la misma,
, y
g) Repítanse los pasos (d) a (f) con el tercer resorte y la tercera masa.
h) Continúese el proceso hasta llegar a la última masa. Si se satisface el equilibrio entre la fuerza cortante del último resorte y la fuerza de inercia de la masa aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corresponden a un modo natural de vibración. Por lo general, tales fuerzas no son iguales y su diferencia constituye un residuo.
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Representando en una gráfica los residuos contra los distintos valores de
supuestos, se
obtendrá una curva cuyos ceros corresponden a las frecuencias naturales. Un cambio de signo correspondientes a dos valores de
indica que hay una frecuencia comprendida en
ese intervalo de valores y podemos interpolar, por ejemplo linealmente, para lograr una mejor aproximación a la frecuencia buscada.
Cuando se está probando un valor de X suficientemente próximo al correspondiente a un modo de vibrar (cuando el residuo es pequeño), se encuentra que una aproximación más precisa de dicha frecuencia es (Crandall y Strang, 1957).
∑∑
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La tabla 3.3 resume los cálculos hechos para el segundo modo del edificio de la figura 3.7. Las operaciones se han hecho con mayor precisión en el último ciclo, y los resultados finales,
, y forma modal (1.000, 0.851, -1.964).
La grafica de los residuos versus
se muestra en la figura 3.9, la cual incluye también
puntos correspondientes a la frecuencia del tercer modo de vibrar.
Figura 3.9 Método de HOLZER.
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3. METODO DE STODOLA
Un procedimiento muy usual para el cálculo manual de los modos y frecuencias en sistemas chicos, es el Stodola – Vianello. También se pueden elaborar programas de computadora para usarlo en sistemas grandes.
El procedimiento a seguir en este método es el siguiente: Considérese el sistema de ecuaciones, en el cual se hacen las transformaciones se siguen:
{} {} []{} {} [ ̃]{} [ ̃]= Matriz de flexibilidades. Por iteraciones en (2) pueden obtenerse simultáneamente los valores características de los correspondientes valores de
̂ , desarrollando el siguiente procedimiento.
y
̂ , sustitúyanse estos valores en el sistema descrito y calcúlese en cada ecuación el valor de Si la forma supuesta es correcta, los valores de así calculados serán iguales ente sí.
1. Supóngase arbitrariamente un conjunto de valores para las
2. Si lo anterior no sucede, es necesario hacer ciclos sucesivos utilizando en cada uno de ellos, como datos iniciales, la forma del modo obtenida en el ciclo anterior. En cada ciclo se obtendrá una nueva aproximación a la forma de los modos. Esto se logra calculando los valores del segundo miembro de la ecuación (2) y dividiendo entre un mismo valor arbitrario en todas las ecuaciones. En la ecuación (2), el producto matricial
[ ] contiene las propiedades dinámicas de
la estructura, por lo que este producto es llamado matriz dinámica de la estructura.
[ ̃] {} {} INGENIERIA ANTISISMICA Ing. Serrano Zelada Ovidio
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en cada ecuación. El proceso se repite hasta lograr la igualdad entre los valores de determinados en cada una de las ecuaciones. Es común no calcular el valor de en
3. Con la nueva aproximación a la forma del modo obténgase el valor de
cada iteración, sino que para cada una de ellas, la forma supuesta en la iteración anterior se compara con la obtenida en esta para lo cual es necesario estar normalizando en cada paso con respecto a una sola amplitud, normalmente la primera. En el ejemplo de la ilustración que se desarrollara, se seguirá este procedimiento.
Este procedimiento también se puede aplicar en la ecuación (1)
Cuando se usa la ecuación (1) el método converge al modo de vibración máxima frecuencia y si se usa la ecuación (2) se converge al modo de mínima frecuencia o modo fundamental, esta última es la más usual considerando los periodos dominantes de los temblores y los periodos comunes en las estructuras; generalmente son de interés los modos inferiores o frecuencias menores.
Este mismo procedimiento puede usarse para calcular los modos sucesivos al primero reduciendo el número de ecuaciones originales. Esto se logra aplicando la condición de ortogonalidad entre el modo calculado y otro cualquiera, se dices que se ha “borrado” del sistema el modo ya conocido.
Al establecer la ortogonalidad de los dos modos, se expresa una amplitud del modo desconocido en función de los demás del mismo, lo que hace que queden n-1 ecuaciones homogéneas con n-1 incógnitas.
Al sistema de ecuaciones resultante se le aplica de nuevo el procedimiento Stodola – Vianello para obtener este modo. El proceso continua para obtener los siguientes modos de vibrar, si es que son de interés.
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Ejemplo Ilustrativo: Obtener todos los modos de vibrar con sus respectivas frecuencias, de la estructura mostrada en la figura.
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