A.ASamarski
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Introducción a los métodos numéricos
Editorial Mir M oscú
lntroducci6n a los métodos numéricos
Int1·oducción a los métodos numéricos
Á. Á. C4M4pCKr<4
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A. A . Samarski
Introducción a los métodos numéricos
Editorial Mir Mosc6 ·
Traduoldo del ruso poc el ioptúuo K. p . Medito• lmJlteeO eu la URSS
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.raaaau pe,p11~•R t • a1110-wue1.1ua•ec' ' Jl3.A&Tea1>0T10 :J1!ÍI isWTepuypu, i982 t~ t.nduoc16o al Mpallol, edltorlaHMlr. 1986
Contenido
Prólogo
1
Jotroduc:ci6D
9
Capítulo J Ecuaciones en diferencias t f. Fuoclooe. retlcuJa -
• . . . . . . . . . . • . . . . t 2. Ecu•olooes en dllereoclu • • • . . . . • . . . . . • t 3. Reaolucl611 de la11 problelllU de c:ootomo en dUennciu P•n Ju ecuaciones de segu ndo orden . . . • • . . . . § 4. Ecuaciones ea diferencias como ecuaciones operaclonalea § 5. Principio del mWmo para las ecuaclooe1 en dlfereoelu
28 St 40
e
65
Capitulo 11 lnterpolari6n e integuci6n numérica t f. loterpolac16o y •prodmaclóo de 185 luncionl!I § 2. 1otegraclóo o um6rlca • . . . . . . • . . . .
72 82
Capitulo I lI Resolución numérica de los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales t t. Si~temas de ecuaciones algebrelcas lineales . t 2. Metodos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Esque1na ituativo de dos capu con puimet.ros
. . . • . . . de Ch6bl· .~.., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § S. M6todo •Jtemado triangula r . . . . . § 6. M6todos i\era\hos de t ipo variaciooaJ . § 7. R~ lución de las ecuaciones no linea les
J 3. M6t.od os l\er•Uvos
fOO
toe tt3
129 1"3 147 150
6
Pr6lo10
Capitulo IV Métodos de diferencias de la resolución de los problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias t l. Coru:eptos fundamenlalee de la teoria de esquemas de dit t f t
fere11eias . . . . . . . . . . . . . . • . . • . . 2. Eaqllemaa de diJerenclas homogéneos tripuntuales . . . 3. Eaqllemaa de dlfere.nclas conaervativos . . . • . . . . 4. Eaquemu homogéneos 110bre lu redes no un.ifotmes . . . 5. M6t4dos de construcción de los esquemas de diferencia
158 t72 175
t83 t 91
Capitulo V Problema de Cauchy para las ecuaciones diferenciales ordinarias t t. Métodos de Runge-Kut t.a . . . . . . . . . . . . . . t 2. Esquemas de varios paaoe. Métodos de Adamll . . . . . f 3. Aproximación del problema de Cancb.y pra un 1C.tema de
ecnaciones dilerencial• linealee ordlnar1u de primer orden
f 4. Estabilidad del esquema de dos u.pu . . . . . .
200
212 224 230
Capítulo VI Métodos de dHerencias para las ecuaciones
elipticas f
t. Eeq11emas de dUnenclu para la ecuación de Polaeon
f 2. Resolución dll las ecuaciones en diferencias . . .
f
t.
Capítulo VJI Métodos de diferencias para resolver la ecuación de conductibilidad térmica Ecnaci6n de conductibilidad thmlca coa co.fiefeates
cona1.antea
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t 2. Problemas mullidimenalonales de conduclibilldad térmica 1. 3. Esquemas econó111 lcos . . . . . . . . . . . . . . . . Anexo Blbllografla Lúta de daign•clonl'S lodlu alfabético
241 252
364 277 285 295 302 304 306
Prólogo
Este libro representa una introducción a la teoría de los métodos numéricos en la que se emplea un mínimo d e información de tales apar tados de las matemliticas como son el aniil isis, el álgebra lineal y la teoria de ecuaciones diferenciales. El libro ha surgido como resultado de elaboración de las conferencias d ictadas por el autor durante varios afios para los estudiantes de la facultad de matemática de cálculo y cibernética de la Universidad de Moscú Lomonósov. El contenido del libro es tradicional: interpolación y aproximación, integración numérica, resolución de ecuaciones no lineales, métodos directos e iterativos de resolución de los sistemas de ecuaciones al gebraicas lineales, métodos de düerencias destinados a r esolver el problema de Cauclty y problemas de contorno para las ecuaciones diferenciales ordinarias. La aspiración del autor fue hacer la exposición comprensible de Ja primera lectura, prestando una atención especial a Jos conceptos principales de l a teoria de los métodos numéricos e ilustrándolos con los ejemplos más simples. Para la resolución numérica de varios problemas de la flsica y de la técnica descritos por las ecuaciones de la física matemática se emplea actualmente el método de diferencias finitas. Los conceptos principales de la teoría de los métodos de diferencias (aproximación, estabilidad, convergencia) se ilustran con ejemplos de esquemas de diferencias para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Al aproximar las ecuaciones d iferenciales, obtenemos ecuaciones en düerencias que representan sistemas de ecuaciones lineales de orden su perior con matrices del tipo especial (tienen muchos elementos nulos), por ejemplo, tridiagonales. Un papel de
8
Pr6loro
importancia lo desempell11 la elecci6n de los m6totlos efectivos (direetos e iterativos) pera resolver los sistemas mencionados. Con este motivo en el libro se exponen los fundamentos de la teoría general de métodos iterativos. Una gran atención se ha dedicado a la cuesti6n de estabilidad de los d Jculos ea los ordenadores. En el capítu lo V viene una exposición sencilla de la teoría de estabilidad del pl'oblema de Caucby para el siatema de ecuaciones en diferencias de primer orden. Aqu[ se han obtenido las condiciones coincidentes de estabilidad neeeaarias y suficientes de Jos esquemas de diferencias y, además, se ha invMtigado la estabilidad asintótica de los esquemaa de diferencias. En los dos últimos capltulos del Ubro (VI y VII) se anali1an métodos de diferencias para resolver las ecuaciones elipticas y la ecuación de conductibilidad térmica. Estos capltulos son complementarios y permiten realizar el pnao a la teoría de esquemas de diferencias para las ecuaciones en derivadas parciales. Una exposición mb detallada de los apartados separados de 1011 m6todos num6ricos se da en los libros: •Teor[a de eequemu de diferencias• por Samarsk.i A. A., •Métodos de reaoluci6n de las ecuaciones reticullll'eSt por Samus.kl A. A., Nikol,ev E. S., y otros que se indican en la lista al final del libro. El libro está destinado a los estudiantes de los primeros afios que eligen como su especialidad la matemática aplicada y la fisica matem,Uca; este libro puede rMuhar útil tambi6n para postgraduadoa y colaboradorea cientUicos que estudien los métodos numéricos.
A • A. S am41'skl
Introducci6n
L11 aparición y el perfoocionamiento incesante de los: or denadores de alta velocided han conducido a una transformeclón auténticamente revolucionaria de la ciencia en general y de Jas matemiticaa, en particular. He cambiadola teeooJogía de las investigaciones cienUficas, h an aumentado inmensamente las posibilidades de los estudios teóricos, del pronóstico de procesos complejos, de la proyecciónde las construcciones de ingenierfa. Unicamente gracias a la aplicación de la simulación ma tem&tica y de nuevos métodos numéricos destinados para los ordenadores se hizo posible resolver grandes problernas cient1fico-técnicos ta les comoel dominio de la eoergfa nuc lear y la a.s imilacióo del cosmos. El primer gran problema, el dominio de la energía nuclear, requiere que se resuelva un conjunto do problemas. complejos de la física y mecánica (manejo dol trabajo de la caldera nuclear. Ja otiliucióo de la energia provenientede la fisión de Jos núcleos de uranio, la protección de la irradiación penetrante, el enfriamiento de las paredes d& reactor, el estudio de los campos térmicos y de tensiones elásticas en las paredes, la resolución de varios otros problemas). Todos estos problemas han de ser resueltos antes de que empiece a trabajar u na caldera, usando pa ra este fin la descripción matemá t ica (un modelo) y realizando cálculos. numéricos en el ordenador. El segundo gran problema consistente en la asimilación del cosmos está relacionado con la creación de aparatos voladores y Ja resolución para estos últimos de diferentes problemas aerodinámicos y balistico!> (por e¡emplo, el cálculo del movimiento de un cohete y la dirección de su vuelo). En este dominio también hay uo conjunto de problemas complejos de la mecánica , fisica
to
/nlroducc16n
y técnica los cuale8 pueden ser resueltos s6lo aplicando Jos méwdos numéricos. Indiquemos un problema más planteado ante la humanidad. esto es, la búsqueda de nuevas fuentes de energía. Uno de los proyectos fundamentales para obtener energía consiste en emplear la reacción de Cusión termonuclear tlirigida de los núcleos de deuterio y de tritio. Los recursos de combustible termon uclear en la Tierra son prácticamente inagotables, mientras que los productos de reacción no ensucian el ambiente. No obstante, la reacción termonuclear comienza sólo en condiciones extremadas: a una altísima temperatura (decenas y centenas de millones de grados) y enorme compresión (miles de veces) del deu terio y tr itio; además, se requiere mantener lo snstancia combustible en dicho estado durante un periodo de tiempo que sea suficiente para que se desarrolle Ja reacción de combustión (del síntesis). La creación de las condiciones mencionadas es un problema cienliflco-técnieo que por ahora no '!sti\ resuelw. Existen varios proyectos destinada! a calentar, com primi r y mantener el combustible termonuclear (plasma). Al realizarlos surge une serie de cuestiones que deben ser resueltas antH de proceder a la proyección de las instalaciones correspondientes, incluso experimentales. Es menester estudiar ante todo el comportamiento del plasma o altas temperaturas y densidades, en campos magnétícos y. además, aclarar les condiciones bajo las cuales resulla posible la propia reacción de la s!ntesis termonuclear. Las investigaciones de tal indole se efectúan a base de la descripción matemática (modelo matemático) de los procesos físicos y la resolución ulterior de problemas matemático~ correspondientes en el ordenador con ayu da de al¡oritmos de cálculo (computacionales). Hoy dia podemos decir que ha surgido uu m.Stodo nuevo para la investigación teórica de los proeesos complejos que admiten Ja descripción matemática: se trata de un experimento de c;álculo, es decir, la inveatigaci6n de los problemas eieotificos naturales por medio de la matemática de cálculo. Expliquemos la esencia de este método de investigación coa uo ejemplo de resolución de un problema físico. Supongamos que se pide estudiar cierto proceso fí sico. A la investigación mat~mática le precede la elección de una
lfllrodaccl6fl
aproximación fisica , es decir, se debe determinar qué factores han !le tomarse en consideración y cuáles pueden ser menospreciados. Resuelta la cuestión citada, se realiza Ja investigación del problema mediante un experimento de cálculo, en el que pueden distinguirse las siguientes etapas principales. En la primera etapa se elíge un modelo matemático, es decir. la descripción aproximada del proceso en forma de ecuaciones algebraicas, diferenciales o integrales. Estas ecuaciones expresan corrientem ente las leyes de conser vación de ~as magnitudes fisicas principales (la energia, la cantidad de movimiento, la masa. etc.). El modelo matemático obteni
12
/ nlrodaccl6n
deben estar en una relación estrech11 con la elaboración de los algoritmos numéricos concretos. En fin, a titulo de la quinta etapa del experimento de cálculo puede indicarse el análisis de los resultados numéricos obtenidos y la precisión posterior del modelo matemático. Puede suceder que el modelo es demasiado aproximado (el resultado de los cálculos no concuerda con el experimento físico) o bien el modelo es muy complejo y la solución puede obtenerse con una exactitud suficiente empleando modelos más simples. En este caso el trabajo se inicia desde la primera etapa, es decir, se precisa el modelo matemático y se repasan otra vez todas las etapas. Hemos de notar que WJ experimento de cálculo no es, como regla, una operación sencilla de cálculo por fórmulas estándar, sino, ante todo, los cálculos de toda una serie de variantes para diierentes modelos matemáticos. Ahora, fijemos nuestra atención en ciertas características y exigencias generales concernientes a los algoritmos de cálculo. La elaboración e investigación de l os algoritmos de cálculo y la aplicación de éstos a la resolución de los problemas concretos constituyen el contenido de un gran apartado de la matemática moderna: matemática de cálculo. La matemática de cálculo se determina en el amplio sentido de este término como un apartado de las matemáticas que incluye un conjunto de cuestiones relacionadas con el empleo de los ordenadores; en el sentido estrecho dicho apartado de las matemáticas se en t iende como teoría de los métodos numéricos y de los algoritmos para resol\'er los problemas matemáticos planteados. En lo sucesivo la matemática de cálculo se considerará sólo en el sentido estrecho. Hay un rasgo común para todos los métodos numéricos que consiste en reducir todo problema matemático a uno que sea de dimensión finita. Esto se consigue con mayor frecuencia discretizando el problema de partida, es decir, pasando de las funciones de un argumento continuo a las de argumento discreto. Discretiiado el problema de partida, se debe construir un algoritmo de cálculo, es decir, indicar Ja sucesión de operaciones aritméticas y lógicas que se ejecutan en el ordenador y que proporcionan, tras un número finito de operaciones, la solución del problema discreto.
lnlrodaccldn
ts
La solucl6n obtenida del problema discreto ee considera como 11oluci6n aproximada del problema matemático de partida. Al resolver problemas en el ordenador obtenemos siempre no la 11olucl6n exacta del problema de partida, sino cierta 110luci6n aproximada. tA qué se debe el error que llUl'ge? Pueden Mr indicadas tres ruonM principales a consecuencia de tu cuales surgen errores en la ruoluci6n numérica del problema matemático de partida. Ante todo, loa datos de entrada del problema de partida (condiciones Iniciales y de frontera , coeficientes y segundos miembros de las ecuaciones) se dan siempre con cierta inexactitud . Un error del método numérico condicionado por la prefijación inexacta de los datos de entrada suele denominarse error t~vltable. Luego, al sustituir el problema de partida por otro problema discreto aparece un error que se llama error de discretii:aci6n o. de otra forma, error del mitodo. Por ejemplo, sustituyendo la derivada u' (z) por una rn6n de diferencias (u (z + &e) - u (z))/ &e, cometemos un error de discretiucióo que para &e - O tiene el orden &c. Finalmente, el orden finito de los números que se suministran al ordenador lleva a errores de redondeo que pueden acumularse en el transcurso de los cálculos. Es natural exigir que los errores on la prefijación de la información inicial y el error que surge como resultado de discretizacióo sean concordados con el error de la sol uci6n del problema discreto en el ordenador. De lo dicho proviene que la exigencia principal que se levanta ante el algoritmo de cálculo es exactitud . Dicha exigencia quiere decir que el algoritmo de cálculo debe asegura r la solución del problema de partida con la uacUtup prefijada e> O, realizadas un número finito Q (e) de operaciones. El algoritmo ha de ser realiza ble. os decir, debe proporcionar la solución del problema en tiempo de máquina admisible. Para la mayoria de los algoritmos el tiempo que se necesita para resolver el problema (volumen de los cálculos) Q (e) crece al aumentar la exactitud, es decir, cuando disminuye e. Por supuesto, se puede prefijar e tao pequeño que el liempo de resolución del problema se hará inadmisiblemente grande. Resulta importante conocer que el algoritmo da en principio una posibilidad de obtener la solución del problema con cualquier exactitud. Sin embargo. en la
t4
Jntr oduccl6n
práctica la mognitud de e se elige t-0mando en consideración una posibilidad de realizar el algoritmo en el ordenador dado. Para cualquier problema, algoritmo y ordenad-0r existe un valor individual de e. Es natural de aspirar a que e l número de operaciones (y, de este modo, el tiempo de máquina para la resolución del problema) Q (e) sea minimo para el problema dado. Para cualquier problema se pueden ofrecer varios algoritmos que proporcionen (para e-+ O) una exactitud e > O igual en orden , pero con diferente número de operaciones Q (e). Entre estos algoritmos (de los cuales suele decirse que ellos so n equivalentes según el orden de exactitud) se debe elegir uno que proporcione la solución con un gasto minimo de tiempo de máquina (número de operaciones Q (e)). Tales algoritmos se denominarán «On6múos. He aquí una exigencia más que ha de ser satisfecha 'J'Or el algoritmo de cálculo, es decir. el requ.isito de que no haya parada de emerge ncia (de indispo nibílidad) del ordenador en el proceso de los cálculos. Es necesario tener en cuenta que todo ordenador opera con números que tienen una cantidad finita de cifras significativas y que pertenecen (en módu lo) no a todo el eje numérico, sino a cierto intervalo (A-10 , M ..), lll 0 >O, M .. < oo, donde M 0 es un cero de máquina y M .. , un infinito de máquina. Si la condición 1 M 1 < M .. no se cumple en el proceso de los cálculos, ocurre una parada de emergencia del ordenador (•paremt), a consecuencia ele que queda rellenada la red de órdenes y los cálculos se dan por terminado. La p osibilidad de una pa rem depende tanto del algoritmo como del problema de partida. Si la solución del problema de partida se expresa en términos de números muy grandes (muy pequeños) J M J > > .M .. (1 M 1< M 0 ). entonces, como regla, variando Ja escala, el problema puede ser reducido a una forma que contiene aólo las magnitudes pertenecientes (en módulo) al intervalo prefijado (M 0 , M ..). La posibilidad de la parem se elimina frecuentemente cambiando el orden de operaciones. Expliquémoslo con un ejemplo sencillo. ZDXPLO. Sea 111 .. - tQJ>, M 0 - tO-J>, p - 2", n es un número entero. Se pide calcular el producto de los números iO"''· 1QP/• , 10 -P/I, 10ª"'ª· 10 -•Pt•.
15
llllrodacct6n
1or IRTOOO.
Fijemos loa números en el orden decreciente:
91- i()ll'I•, 9:a = i()Pl:I, 91 = i()PI•, 9,-1(}-P/:I (/5""" 1(}-IP/&
y formemos los productos S,+1 = S,.q,.+1• S1 = q1• En este caso, ya en el primer paso tendrá lugar una parem, puesto que S, = 91'11 = 10'"'' > M ... ad 0 ll2TODO. Fijemos los números en el orden creciente: 91 = 10"''·
q, ... 1()1'12,
q 1 ==103"''·
En este caso obtendremos en el primer paso
s, =
<
Mº'
es decir, S 1 es un cero de máquina; todos los productos sucesivos S 3 , S,, S& son también nulos; de este modo aquí ocurre una pérdida total de exactitud. 3or Mltrooo. Mezclemos estos números suponiendo q1 = tQ -="I', q 1 = 101'/I, IJs = 1Q3P/•, IJc = 10-P/S,
S t =
s, =
S,q,
s.= S ,q.
=
10P/1,
= 10"1',
es decir, en el proceso de los cálculos no aparecen números superi ores n 10"/I e inferior es a 1.0-Pt•. Tal algorit mo está privado de parem. En el cap. 111 nos encontraremos con un método iterativo de resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales que puede realizarse con una parem y sin ésta , según sea la forma de numeración de los parámetros que determina la sucesión de los cálculos. En cada etapa de los cálculos surgen errores de redondeo. Estos errores de redondeo pueden crecer o ir disminuyendo. en dependencia del algoritmo. Si, en el t ra nscurso de los cálculos, la magnitud de los errores de redondeo crece indefinidamente, el algoritmo se llamará inestable (desde el punto de visto do cálculos). En cambio, s i los errores de redondeo no se acumulan, el algor itmo será estable.
/túro4acc16n
Supongamos que se pide hallar y 1 (O < según la fórmula !11+ 1 = y 1 + d (t ;¡¡,.O) para y 0 , d prefijados. Supongamos, además, que al calcular 111 se ha Introducido un error (por ejemplo, un error de redondeo) cuya magnitud es 61, es decir, en l ugar del valor exacto de 111 t.enemoa un valor aproximado YI = !11 + 61. Entonces, ~n vez del valor exacto de 111 +1 obtendremos el valor aproximado Y1+1 =
< t ~ 10)
111+1
=
g <111
+ 61) = 111+1 + 961 .
Yi+a-
De aqui se ve que el error 61 +1 = y 1+ 1 , que surge al calcular 111+1 • está ligado con el error 6 1 mediante una ecuación t = o, 1, 2, . .. Por consiguiente, ai 1 q 1 > 1, el valor absoluto del error crecerá en el proceso de loa cálculos (el algoritmo es inestable). Si, en cambio, 1g 1~1, entonces el error no aumenta, ea decir, el algoritmo ee estable. La inestabilidad se liga corrientemente con la propiedad de crecimiento exponencial del error de redondeo. SI el error de redondeo crece según la ley potencia.! aJ pasar de u.n a operación a la otra (cde paso a paso•), el algoritmo se considera con~nctonalmente ••table (estable con ciertas restricciones que se imponen sobre el volumen de célculoa y la exactitud requerida). El proceso de loa cálculos puede interpretarse aai: al pasar de un paso a otro tiene lu¡ar una alteración (a cuenta de los errores de redondeo) de lu últimas cifras significativas (cuna onda del error de redondeo• se mueve de de.recha a izqui.-da, partiendo de lu últimas cüru significativas). Nuutra t.area consiste en conservar justas unas cuantas primeras cifras signilicatlvaa (4-5 signos) y por esta razón loa cálculos deben darso por terminado antes de que cla
17
onda del error de redondeo• alcance dichas cifras. Si el error de redondeo e 0 crece de un paso al otro según la ley exponencial, esto conduce, como regla, a una parem en cier ta etapa intermedia de los cilculos, si {lo mismo que en el ejemplo 2) 1q l1e 0 ;;;;i. M ... Si M .. = t()l', e0 = 1.0-4•, la parem llega ou an do l0 > (p + k 0 )/lg 1q ¡. Otra cosa ocurre cuando el error de redondeo crece según la ley potencial. Sea 1tJv 1 f ~ t"e• (n ;;;;i. i ); entonces, la parem tiene lugar para l3e0 M .. , es decir, para i 0 ;;;;i, (~M = iO
•••l/".
..
r"'
>
De e.qui se ve que para n = 1 la parem no tendrá lugar en virtud de una restricción evidente L < M .. iOP. La desigualdad 16v1 1 ~ e, donde e - 10 -• es la exactitud
=
prefijada, se verifica para t ~ ( ~) '"' = t0<4 •-'>I" = i 0 • Si están prefijados e y e 0 , est a desigualdad significa una restricción para el número de ecuaciones t ~ í 0 • Por ejemplo, para k 0 = t2, k = 6, tenemos l ~ 1091", de suerte que i ~ 1~ para n = 2. Está claro que puede elegirse tal 11 grande que el número admisible de ecuaciones i 0 sea muy pequeño. Sin embargo, en la práctica se encuentran corrientemente casos de n pequeño (por ejemplo, para el método de factorización (§ 3 cap. 1) n = 2, es decir, el error se acumula según la ley cuadrática a medida que crece el número de ecuaciones). Al resolver un problema (cualquiera que sea) es necesario conocer ciertos datos de entrada (de partida): dat os iniciales, valores de frontera de la función buses.da, coeficientes y el segundo miembro de la ecuación, etc. Para todo problema se buscan respuesta.a a las preguntas de un .mismo género: si existe la solución del problema, si será única y cómo depende la solución de los datos de eotrada. Son posibles dos casos: El problema está correct amente plan teado (es correcto); esto quiere decir que: 1) el problema es resol uble para cualesquiera datos de entrada admisibles; 2) se t iene una única solución ; 3) la solución del problema depende continuamente de los datos de en trada (a una variación pequeña de los datos de entrada le corresponde una var iación pequeña de la sol ución), en otras palabras, el problema es estable.
l 1Nro4'ucl411
t8
El problema no eai' correct.amente plant.&ado (no es correcto), ai la aoluci6n de éste ea inestable reapect.o a los datoa de entrada (a una variación pequeña de los datos de entrada le puede eorreaponder una variación grande de la aoluclón). Como ejemplo de un problema eorreet.o puede servir el problema de integración y eomo ejemplo de un problema no eorreet.o, el problema de diferenciación. IUPIPLOS. t . PJIOBLUu. na IHftORACION. Sea dada una función / (z); h'1lese la int.erral 1
~
1-
Suaihu)'&lllos f por
7y
/ (z) lb. 1
veamos
Y-
Jo f (z) dz y la di.leren-
1
eia
w-Y-1- ~ 6fdz(6J-7-t
1&11~ mú oc;;.<1
f6f(z)I,
16/f~s.
si
f6fl~s,
es decir J depende
continuamente de f. Con el fin de calcular la integral J hagamos u.so de la fórmula de cuadratura: 1f
,,
JN- ~ cJ(z.),
•-1
c,.>01 ~ c,. - 1.
...,
Al repetir Jos rasonamientos aducidos más arriba, llegamos a que -
11
6.JN = Jlf-JN -
N
~e,. Ui.-f.á)""" ,._, ~ Ci.6/,., ,._,
N
llllNI~ ~e,. mb lll/,.1- máx 16/i.I· l•t
t
IQ
De este modo, el problema de cálculo de una ioLegral por la fórmula de cuadratura es correcto. i. PllOBI.DlA na DIBRBNCtACION. El problema de diferenciación de una función ¡¿ (z) definida aproximadamente no es correct.o.
lldrolanll11
En efecto, sea -u. (z)
= u. (z) + Nt sen N1z,
donde N es
suficientemente grande. Entonces, en la métl'ica C (en cierto segmento O~ z ~ 6 (3 > rr./N')) tenemos ll 3u. lle = 11 ~ - u lle = 1/N ~e para N ;;;;-1.lt. Para el error de las derivadas 6u.' = ~· - u' = NcosN1 ztenem.oa ll 3u' lle= = N ;;.i. 1/t. De este modo, a una variación pequelia ()(e) en C de la función u (z) le corresponde la variación grande o (1/t) en e de su derivada. Por eso la diferenciación numérica tampoco es correcta. Para encontrar un valor aproximado de una derivada según la fórmula de la derivada de düerencias con cierta exactitud e > O a condición de que la función viene definida con un error 6 1 (1 6 1 1 ~ 60 ). hace falta que se cumplan las condiciones de concordancia entre e, 6 0 y el paso h de la red, por ejemplo, del tipo e~ k V6 0 (k = const >O no depende de h, 6 0), con la particularidad de que el paso de la red está acotado tanto inferiormente como superiormente. De este modo, la exactitud alcanzable de la diferenciación numérica está limitada por la exactitud con la que viene definida la propia función. En este libro se estudian s61o problemas correctos y métodos numéricos correctos destinados para aplicarlos en el ordenador. Los métodos numéricos dan la solución aproximada del problema. Esto signilica que en lugar de la solución exacta u (de una función o de una funcional) de algún problema encontramos una solución y de otro problema, próxima en cierto sentido (según la norma, por ejemplo) a la buscada. De acuerdo con lo dicho, la idea principal de todos los métodos consiste en discretizar o aproximar (sustitución, aproximación) el problema de partida a algún otro que sea mb cómodo para resolverlo en un ordenador, con la particularidad de que la resolución del problema que aproxima depende de ciertos parámetros que, siendo manejados de una manera adecuada, permiten determinar la solución con una exactitud requerida. Por ejemplo, en el problema de integración numérica los nodos y los pesos de la fórmula de cuadratura representan precisamente los parámetros de este tipo. Luego, la solución do un problema discreto es elemento de
=
un espacio de dimensión finiu. Expliquemos eato más detalladamente. Veamos, por ejemplo, la discretizaci6n de un espacio H = {/ (%) l de funciones f (z) de argumento continuo z E la, b}. Íntroduzeamos eo un segmento a ~ z ~ b uo conjunto finito de puntos <.o = {z,. l = O, 1, .... N, z 0 = == a, z 11 = b, z1 < z 1 +J} el cual se llamará red.~ punws % 1 se deoominariil nodos de la red , y sustituiremos B = {/ (z), z E la, bl} por un espacio de dimensi6n tiaiu (de dimensión N + 1) H N+l = { JI¡, O~ ~ 1 ~ N} de fun.cionea reticulares. Es evidente, que la función reticular y, = f (:i1) puede considerarse como un vector 11 = (11 • • llJ• • • •• 11 ,,). Podemos discretisar también el espacio de funciones f (%) de varias variables, si z = (Zi. %1 , •• ., %,.) es un punto del espacio euclfdeo p-dimeo.sional (p > 1). Por ejempJo, en un pJano (z1 , zJ se puede introducir una red w = {z1 = (11 hi. ish,), 11 , t, = O, ±1, ±2, ... } como conjunto de puntos (nodos) de intersecei6n de las reet.u perpendiculares :(.¡t.l = l 1hi. :rN.> =- lsh,, hi >O, h, >O, 11 , ' • = O, ± 1, ±2, ... , donde hi y h 1 son loa puoa de la red según las direcciones de z 1 y % 1 , respec\lvamente. La red <.o ea, evidentemente, uniforme según cada una de la.a variables por separado. En Jugar de la función f (z) = - f (~. za) analisaremoa una funci6o reticular lli.1, ...
Si la red
G>
I <'1hi. './iJ.
coatí.ene a6lo los nodos pertenecientes al rec-
(O ~ z1 ~ l¡, O ~ z, ~ l,) de modo que h¡ = • l¡/N1! la1 - l,JN •• entonces la red cuenta con un número .
~o
finito N ca (N + t ) (N 1 + t) de nodos, mient.raa que el espacio B,, de luneionea re\icul8J'811111 ... 11 1 .. 1, es de dimensión finita .
1"'"'41u:cf6•
2t
En t.odos los casos consideramos sólo un espacio de funciones reticulares cuya dimensión ea finita. Al sustituir el espacio H = {/ (z)} de funciones de argumento continuo por el espacio H N de funciones reticulares y al problema da partida, por au aproximación diacreta, debemos estar seguros de que nos aproximamos mejor a la solución del problema da partida aumentando el número da nodos. La estimación de la calidad de aproximación y la aleeeión del método de aproximación constituyen la tarea principal de la teorla de los métodos numéricos. El contenido fundamental del libro está relacionado da una otra manera con la aplicación de los métodos da diferencias para solucionar ecuaciones diferenciales. Destaquemos dos momentos de importancia: - obtención de la aproximación discreta (de diferencias) de !as ecuaciones diferenciales e invesligación de las ecuaciones en dUerencias que aparecen en este caso; - r880lución de las ecuaciones en dHerenciaa. Al obtener una aproximación discreta (esquema de diferencias) un papel importante lo deaempeiia el requisito genera! referente a que al esquema da diferencias aproxime al máximo (simule) las propiedades principales de la ecuación diferencial inicial. Tales esquemas de diferencias pueden obtenerse, por ejemplo, con ayuda de los principios variacionales y las relaciones integrales (véase el cap. IV). La estimación de la exactitud de un esquema de diferencias se reduce al estudio del error de aproximación y de la estabilidad del esquema. El estudio de la estabilidad es una cuestión central de la teoria de los métodos numéricos y a ella se le presta gran atención en el presente libro. Los algor itmos de loa problemas complejos se pueden representar como una sucesión (cadena) de algoritmos simples (módulos). Por eso muchos problemas da principio de la teorí.a de los métodos numéricos pueden aclararse con algoritmos simples. En el primer ca pitulo se examinan las ecuaciones en diferencias unidimensionales (que dependen de un argu· mento ent~ro). Nos limitamos al estudio de las ecuaciones en diferencias de primero y segundo órdenes. Las ecuaciones en d iferencias de segundo orden represent an un sistema de ecuaciones algebraicas lineales con matriz tridiegonal. Con
u
lntrodacc~n
el objeto de resolver loe problemas de contorno para estas ecuaciones se emplea el así llamado método de factori:r.ación . En el primer capítulo se dan, a título de un material de información, alguoos conocimientos sobre los operadores lineales en un espacio de dimensión finita . Posteriormente se investigan las propiedades de los operadores de diferencias en su calidad de operadores lineales en un espacio de dimensión finita provisto de un producto escalar. En e!lte caso se emplea un aparato matemático más sencillo, es decir, las fórmulas para la diferenciación de diferencias de un producto y para la adición por partes. En el segundo capitulo se expone el material tradicional del análisis numérico: la interpolación, la aproximación media cuadrática y la integración numérica. Al aproximar las ecuaciones diferenciales en una red se obtienen ecuaciones en diferencias que representan un sistema de ecuaciones algebraicas lineales de orden superior (igual al número de nodos de la red) con una matriz especial (enrarecida, es decir, una matriz que tiene muchos elementos nulos). Un ejemplo más simple de tal matriz (una matriz tridiagonal) fue indicado anteriormente. En el tercer capítulo se exponen los métodos numéricos de resolución de las ecuaciones algebraicas lineales N
~ a,p'=f'
i = i, 2, •.. , N,
(1)
1-1
las cuales pueden ser escritas. en forma matricial
Au
= /,
(2)
donde A = (atJl es una matriz cuadrada de dimensión N X N , u= (u, u•, . .. , uN) es el vector buscado y f ""'" = (f, /N), el vector prefijado (el segundo miembro). Para resolver Jos sistemas de ecuaciones se usan métodos directos e iterativos. l En el§ 2 del cap. fil se analizan el método de eliminación de Gauss y el de raiz cuadrada que representan métodos directos los cuales requieren O (N') operaciones aritméticas para resolver el sistema. Al estudiar los métodos iterativos, resulta cómodo interpretar el sistema de ecuaciones algebraicas lineales (2)
r . ....
28
como eeuaei6n operacional de primera especie con Wl operádor que aetúa en el espaeio N-dimeufonal H,. (A: H,, - H ,.), u, f E H N· Para subrayar la equivale11eia exilt.ente entre Ju formu de escritura mattielal y operaeional, la matris y el operador correspondiente ee deaignarin eon Wl& miama letra A. En la t.eor[a de los métodos iterativos (de un paso o de de>-' capas) es de mueha import.ancia la forma can.6niea del BllqUema Iterativo
k - 0, j, YeEHN,
•••
pan todo
(3)
donde A, 8: H N - H N• {T•~ son parimetros Iterativos. En cualquier caso se supone que el o~rador A es autoconjugado y definido pO-'itivo (A = A•> 0). Eati demostrado el teorema general sobre la convergencia del método est.aeionarlo con T• = T = eonat. Como eondlel6n suficiente de la convergencia interviene una dealgualdad (By, y)>
T (Ay, y) para todo y EH,
(4)
donde B +o• es, en el caso general, un operador no autoeonjugado. De aqul se desprende la convergencia del método de iteración simple, del método de Seidel y del de relajación superior. Si se conocen unas eonstant.es y1 > O, y 1 > y11 tales que y1 (Bz, ;r) ~ (Az, z) ~ y1 (B;r, z) para cualquier z E H ,,, (5) donde B .,.. B• > O, entonces podemos encontrar una totalidad optima) de parimetros de Chéblshev {'fl}, con los eualea el proceso de cálculo es estable y se realiza sin patem. Se examina el método universal alternado triangular con la totalidad {-r:} y un operador (6)
donde D = D• > O, AT = A 1 , A 1 + A 1 == A, las matrices Ai Y A 1 son lriRngulares. Hemos obtenido la í6rmola para
lnlrodacc~n
el parámetro m. El algoritmo para este método es muy simple. En todo caso se dan a conocer las fórmulas para el número de iteraciones con las cuales se alcanza la exactitud requerida. Los diferentes métodos fueron comparados a base de un problema modelo para la ecuación en diferencias de segundo orden y,_1 - 2y, + Yi +t = - h'f,, t = 1, 2, . . . . . . , N - 1, Yo = YN = O, h = 1/N , que corresponde al problema de contorno u• (:z:} = - 1 (:z:) (O< x < 1), u (O)= = u (t) = O. Esta ecuación es un análogo unidimensional de la ecuación de Laplace. Por cuanto el número de iteraciones no depende prácticamente del número de mediciones, entonces en el proceso de comparación podemos limitarnos a este problema unidimensional. El método al ternativo triangular exige O { J,.1n{) iteraciones, donde e> O es la exactitud prefi jada. Ha de ser notado que en el cap. lll , en forma lo suficientemente com pleta, está expuesta de hecho, con ayu da de los medios matemá'ticos más sencillos, la teoria general de los métodos iterativos para resolver la ecuación Au = = f (A = A• >O). Los conceptos fundamentales de la t eoria de esquemas de diferencias - error de aproximación, estabilidad, convergencia y exactitud- se exponen a base de ejemplos de los problemas de contorno y del problema de Cauchy para ecua-· ciones diferenciales ordinarias (cap. IV y cap. V). En el cap . IV se analizan esquemas de diferencias tripuntu al es para una ecuación diferencial ord inaria de segundo orden
!
(k(:z:) :: )-q(:z:)u-= -f(z),
u (O)= u.,
u (1) = Uz,
k (z) >O,
O
q (+);¡i.O.
(7}
Se han investigado las cuestiones referentes a la velocidad de convergencia (orden de exactitud) de los esquemas homogéneos de diferencias sobre las redes no uniformes y para el caso de coeficientes discontinuos. Esto he exigido que se obtengan estimaciones aprioristicas bastante finas que expresen la estabilidad del esquema de diferencias respecto al segundo miembro.
Para obtener los esquemas de diferencias pueden utUizarse algunos m.Stodoa m's diferentes: integral de inWl'polación, de aproximación de la funcional cuadr,tica, los de Rfü y Galerkin (§ 5, cap. IV). Con el fin de resolver el problema de Cauchy para la ecuación de primer orden
""
r, =f(t, u),
t>O,
u(O) = U,
(8)
se emplean loa m.Stodoa de Runge-Kutta y de Adama expuestos en el cap. V. Estos m.Stodos son tambi.Sn aplicables para un sistema de ecuaciones en que f y u son vectores. Una atención e!peeial en el cap. V se presta al problema de Cauchy para el sistema de ecuaciones lineales du di+ Au =f (t), t> O, u (0)= "o· (9) donde A = (a11) es una matri't cuadrada N X N, u. (t) = = (u.1, u.1 , . • . , ull), f (t) = (!1. f 11 ) es una función vectorial de N-ésima dimensión. Tal problema surge, en particular, si en la ecuación de conductibilidad térmica
r . .. ..
a..
y,=6u+ f (z, t). sustituimos el operador de Laplace t.u. por el operador de diferencias correspondiente. Entonces, (9) puede interpretarse como un mlitodo de la.a rectas para la ecuación de conductibilidad térmica (10). Empleando para resolver este problema algún esquema de un paso, llegamos a ún esquema operacional de diferencias de dos capas de forma general, el cual se escribe en la forma canónica
B
llhi;vi.
+Ay,.=cp,.,
k-0, 1., ... ,
para todo Yo E B N• donde A, 8: H N ...- H N son los operadores lineales, paso do la red según t.
(ti) i:
es el
f"'roduccl6n
Se ha demostrado que la condición neces11ria y suficiente de estabilidad del esquema tiene por expresión B ";;!J ; A, o bien
(8%, :) ;;;;.T(A:, :) (12)
Este es el t.aorema fundamental de la t.aoria general de estabilidad de esquemas operacionales de diferencias (véase eTeorla de los esquemas de diferencias• por Samarski A.A.) 11 pllca ble en la investigación de Ja estabilidad de esquemas da diferencias para las ecuaciones con derivadas parciales de la flslea matem,tiea (véase el cap. VII). En realidad, en el § 4 están expuestos los fundamentos do la teoría general de estabilidad de los esquemas de diferencias, incluida Ja ost abilidad asintótica. Los conocimientos dados a conocer en los capltulos 111 , IV y V permit.an pasar sin dificultad alguna al estudio de la teoria do los métodos de diferencias para resolver ecuaciones en derivada.s parciales. En el cap. VI este estudio se ha realizado pan esquemas de diferencias que aproximan la ecuación de Poisson y las ecuaciones elipticas en un rectángulo con condiciones do co ntorno de primera especie. Aqul están analizadas tanto las cuestiones de convergencia como los métodos de resolución de las ecuaciones en dHeroncias. La teor{a general do estabilidad do los esquemas de dHerencias de dos capas (cap. V) simplifica la exposición de los métodos de diferencias para la ecuación de conductibilidad térmica con coeficientes constantes y variables realizada en el cap. VII. En el mismo capitulo se analizan también los esquemas económicos (de direcciones variables, de fisión, etc.) para los problemas multidimonsionales, como también el principio general de la aproximación sumarla el que permite efectuar la partición de los problemas complejos en una sucesión de problemas más sencU1011 y debido a ello simplificar considerablemente la resolución de los problemas multidimensionales de la ftsica matemática. Se debe observar que el contenido principal de este libro se expone desde un punto de vista único. El carácter único se logra debido a que los esquemas de diferencias !le
lntrodaccl41'
tratan como ecuaciones operacionales u opa.racionales de diferencias con operador-es que actúan en un espacio de dimensión finita dotado de un producto escalar. Al constru ir la teoría de los métodos iterativos y la de estabilidad de los esquemas de diferencias se emplean las propiedade~ mb simples de los operadores (de las matrices): el carácter constante de los signos, la autoconjugación, ciertas propiedades de los valores propios y de los vectores propios; no se hacen ningunas suposiciones referentes a la estructura de los operadores. Todas las condiciones de la teorla resultaron ser muy cómodas para la com probación en el caso de esquemas ·concretos de diferencias. El material expuesto en los cap. VI y VII puede servir para un estudio mb completo de la teoria 111 cu11l se da en los lihros (6, 9¡.
CopUDlo I
Ecuaciones en diferencias
En el presente capitulo se estudian funciones reticulares, cuyo argumento ea un número entero, y ademb ecuaciones en diferencias de eegundo orden. Se da a conocer un aparato matemitico mb simple para el estudio de las funciones reticulares y de los operadores de diferencias. Para resolver las ecuaciones en diferencias de segundo orden se emplea el método de eliminación llamado método de factorizac16n.
§ 1. Funciones reticulares t. Funclonee retlcularee y operaciones sobre ellas. Y a se ha mencionado que en los métodos aproximados las funciones de un argumento continuo se sustituyen habitualmente por las de argumento discreto, esto es, por las funciones reticulares. La fun,ct,611 rettcular puede, pues, considerarse como una función cuyo argumento es un número entero: !/ (i) = "" t = o, ± 1, ±2, ... Podemos introducir para ¡¡ (i) las operaciones que representan un análogo discreto (de diferencias) de las operaciones de difereoclacl6n e integnci6n. El aoilogo de la primera derivada lo constituyen las diferencias de prtmer onkn: !1111 = !11 +1 - ¡¡,, la dtfer.ncta ckrecha; Vy, = V1 - llt-t• la dtfermcto tsquterda; ~!11
= Tt
(6111 + V111) -
t
T (111+1 - 111- 1), lo dlferencta cen-
tral; resu lta fácil notar en este caso que /ly 1 = V111+1•
29
Ahora podemos escribir las diferencias de llllfUndo ortkn: !:J.'y, = !:J. (!:J.y,) = !:J. (y,+ 1 - Y1) = Y1+1 - 2Y1+1 + y,. !:J.VYr = !:J. (y, - Y1-1) = (y1+1 - Y1) - (y, - Y1-1) = = Yr+s - 2y, 111"'' de modo que !:J.•y, = !:J.VY1+1· Ao6logamente 1141 define la diferencia de m-l1tmo orden: !:J.'"y, = !:J. (!:J."'-ly,),
+
que contiene los valores de 1111 l/r+i• ••. , Y1+"'· Es evidente .
q~
1
1
~ VY1=Y1-111a-1· ,_,.
~ ÓY1=Y1+1-Y1a.
J-11
2. Análogos en dllerenclu de las fórmulas de dllere.o claclón de un producto y de Integración por partes. Sean y,. v 1 las funciones arbitrarias cuyo argumento es un número entero. En este caso ser6n v61idas las fórmulas !:J.
+ V1+
=
Y1+1ll1+1 - Y1ll1;
= Y1 {V1+1 - V1) + V1+1 {yl+l = Y1+1V1+1 - y,v, =
Y1) = 11 (y,111). Al deducir la fórmula para V (y 1v1) es suficiente tomar en consideración que V (y1v1) = !:J. (y1_1111_\). Las fórmulas (1), (2) representan os análogos de la fórmula de diferenciación del producto (y (x) 11 (x))' = = yv' + 11y'. Como análogo de la fórmula de integración por partes interviene la fórmula de sumación por partes:
Y1 l1V¡
1
l1y¡
N-1
~ Y1l1v, =
1-0
H
-
~ ll1VY1 + (W)N-(yu)..
1-1
(3)
30
Cap. l . BcucllJn11 en tll/•rtntlo1
la cual ae anota también en la forma
,.,_,
~ y,t.11,= -
,!:(
,.,_, ~ ll1VY1 + llN-11IN-lloll1· •-t
(4)
Para deducir la fórmul a (3) bagamos uso de la fórmula (1); tenemos
Yt Óll¡ ""
/j.
(y,11,) - 1>1+1 ll.111 = ll (y¡ll¡) - 111+1 V111+u
puesto que
Ó.1/1
N-1
N
-
=
VY1+1; de aqul obtenemos
~ y1ll111 + ~ 111Vl11=
·-·
H-1
N-1
-= 1) ó. (111111)-1) e- o
•- o
N
11u-1VY1+1
N
+ c-i 1) 111VV1 -
N
- 11,.,11...,-11o110 - ~ 11,vv11+ ~ 11,V111 - (vv),,-(yv)o· 1-1
1- 1
N- 1
N
Si Vo - O, llN - O, entonces f-0 ~ V1ll11, - -
~ v1Vlli ·
,_,
La fórmula de sumación por partea puede emplearse para calcular sumas. &1BMPIAI.
t. Calc~lese la
N
suma S..., "" ~ 121•
·-·
v, - t, VV1 -21, de suerte que f
Ponemos
111 -v1-1+21 - v,+ ·~ 2'-v,+21• 1 - 2. 1-1
EUJamOI "' - 2 - V' +l; entonces "" - O. Como y tw, - t, de (3) 1e Infiere ,,
•-•
- -
= O
,,_,
~-1
s,,- :E 11,V111-I- :E
11,
v,tw,- - ~ N- 1
vi-
- -N (11, - 2)- ~ 2 1 ~- N2"+ 1 -(2N+I - 2), 1-0
de manera que s,, - (N- t ) 2"'+1 + 2.
St N
N -1
,_,
,_,
2. Calcúlese SN =- ~ 1(1- 1) = ~
t(I + 1).
Ponemos
11 1 = t, V111 = l + 1. En eate caso 111+1 = 111 + (1 + 1) = = 111 + (2 + 3 + . . . + (1 + 1)) = (11 1 - 1) + (1 + 1) X X (1 + 2)/2, 111 = 111 - 1 + i (t + 1)/2. Elijamos 111 de la condición 11N =O, es decir, 111 = 1 - N (N + 1)/2. Aplieando la fórmula (3) y teniendo en cuenta que !le = O, llN = O, Vy 1 = 1, encontramos N-t
N-1
$Nea~
i(i+1)
N-1
=- -
= ~
•-o
N
~ll¡'VI/¡ '"'
!/¡lill¡= -
1-1 N-1
¿: 11,= -
1) - + z q1+t> =
~I
~I
_ _ ...!._S
-
2
+
(N- t ) N (N+ i)
N
t
de modo que SN=-}CN-1)N(N+ 1). De aqui ae deduce que N
2:
z N
11= t•+22+
• .. + N 2= SN+
i = N (N + i) (2N+t) •
§ 2. Ecuaciones en diferencias f. Ecuaciones en dllerencl.u. Una ecuación lineal respecto de la función reticular y 1 = y (t) (f =O, ± 1, ±2, ...) a 0 (1) y (1)
+ a¡ (t) 11 (l + 1) + . . . + ª"' (1) 11 (1 + m) = - / (1),
a,.
(1)
donde (t) (k = O, 1, ... , m), f (1) son las funciones reticulares prefijadas, a 0 ( -t) .p O, ª"' (1) .,¡:.O, lleva el nombre de ecuact6n en dlferenct(J.$ lineal de m.-ésimo orden. Dicha ecuación contiene m + 1 valores de la función y (i). Haciendo uso de las fórmulas para las diferencias &¡¡,. &•¡¡,, ... , 6"'-1¡¡1, podemos expresar los va lores 111+1, !/1+1• ••• , Ym+1 en lérminos de y 1 y las diferencias citadas: 111+1 = !11 + 6¡¡,, !11+1 = 6 1111 + 2111+1 - !11 = 6'111 +
Cap. J. BcU4clone1 en dl/ercnc1a1
32
+ 21ly1 + v1r etc. Como resultado, obtendremos de (i) una nueva notación de la ecuaci6n en dtferencias de m-ésimo orden: a. (i) "' +«1 (i) ll111 + ... + ci,,, (i) 6"'111 = t (1). i =O, ±1, ±2,
(2)
{por lo que se determina precisamente el término ~&euaci6n en o de diferenciut). Si los coeficientes a 0 , a¡, ... , a,. no dependen de t, a 0 ::¡le O y a,.. =I= O, entonces (1) se denomina ecuación en diferencias lineal de m-ésimo orden con coefictenU1 connantu. Para m = 1 de (1) se obtiene una ecuación en diferencias de prtmer orclm
ªº (t) Y1 + IJ¡ (i) Y1+1 = I
(i),
a 0 (i) =1= O,
a¡ (t) =I= O; (3)
cuando m
=
2, obtenemos una ecuación en diferencias do
segundo orden
ªº (i) YI +a¡ (i) Y1+1 + ª• (i) Yl+t =
I (t),
ªº (i) =I= o, ª• (t) =I= o.
Nos limUaremos al estudio de las ecuaciones en diferencias de primero y segundo órdenes. 2. Ecuaciones de primer orden. Examinemos la ecuación en diferencias de primer orden (3). Al sustituir !11+1 = = Y1 + 6111. obtendremos
4, (t) 111 +a1 (i)1111, -t (i), Como ejemplos mis simples de ecuaciones en diferencias de primer orden pueden servir las ecuaciones para· los término4 de una progresión aritmética 111 +1 = 111 + d Y de una pro¡reeión geométrica !11+1 "" '1111· Escribamos la ecuación (3) en la forma 1/1+1 = '11Y1 +«PI• (4) donde· t¡ 1 = -a0 (i)/a1 (t), q> 1 = f (i)/a¡ (i). De aquí se ve que la solución !/ (')está definida unívocamente para i > t 0 , si está prefijado el valor y (t 0 ). Supongamos que para l = O viene prefijado !lo = y (O). En tal caso podemos determinar
YH lit• .•. ,
y,, ...
Eliminando sucesivamente según la y1 , obtendnmos
fórmula (•) 111. 111_ 1 ,
•.•,
Y1+1 = 9191-1 • • • 9ollo + epi + 9,cp,_1 + + 9191-1cp,_, + . . . + 9191-1 ••• q¡cp••
o bien
' 111+1 - ( []
A-O
e-u
9a) llo + ~ (
1
[J
A-0 .-A+I
q,) epa+ epi.
(5)
Pf,ra la ecuación con coeficientes constantes q1 = q, de lo que se tiene
'
1/1+1 = gl+ 111o+ ~ g•-•cpa1 a-o
I =O, 1, 2, . . •a
(6)
que es una solución de la ecuación en diferencias (4) con coeficientes constantes. 3. Dealgualdadee de primer orden. Si el signo de i¡ualdad en las expresiones de tipo (1) ó (2) lo sustituimos por los signos de desigualdad <. > , ~. obtendremos tk1lgualdades en diferencias de m-ésimo orden. Sea dada una desigualdad en diferencias de primer orden L = O, 1, 2, ... , q >O; (7) sin restringir la generalidad de nuestros razonamientos, en adelante consideramos siempre que 9 >O (y0 , q, f 1 son conocidos). Hallemos la solución de la desigualdad citada. Sea v1 una solución de la ecuación en diferencias V1+1 = qv, + /,, t =O, 1, . . .. Vo = !lo· (8) En este caao queda licita la estimación (9) 1/1 ~ En efecto, al sustraer (8) de (7), encontramos
>.
v,.
Y1+1 -
V1+1 ~
q Ú/1 -
V1)
~ 91 (!11-1 -
V1-1) ~ • • •
Vo) = O, Al poner en (9) la expresión explicita para v 1, tenemos • • •
~ gl+l Úlo -
1-1
y 1 ~g1 y 0 + ~
•-o
91-1-•1..
i=O, 1, 2, ... ,
lo que es la solución de la desigualdad (7).
(10)
Cap, l. Be1UU1/Qn..
1n
dl/n1nel4•
4. Ecuaclo11e11 de aegundo orden con coeficientes constan-
tes. Analicemos una ecuación en diferencias de segundo orden b111+1 - c111 + ª111-1 = /,. t = O, 1, •.. , a=1=0,
b=l=O,
cuyos coeficientes oo dependen de t. Si / 1
(11)
= O, la ecuación
+ ª111-i =
O, i = O, 1, .. . , (12) se llamar' homoglma. Su solución se halla en la forma explicita. Sea 1 una solución de la ecuación homogénea (12), y sea ¡¡f una solución cualquiera de la ecuación no homogénea (11). Entonces, la suma ¡¡1 = V, + yf será. también una solución de la ecuación oo homogénea: b111+1 - c111
y
b(i;+, +111)-c (V1+117> +a (V1-1 +111-1)= lbv1+1-c'ii1 +av1-1I + fb11t+1 -cll1 +a11f-1J = /,. Esta propiedad se debe a la linealidad de la ecuación (11); ella queda en vigor para la ecuación en diferencias (1) de cualquier orden. Es evidente que si Y, es una solución de la ecuación homogénea (12), entonces también (donde e es una constante arbitraria) satisface la citada ecuación. Sean 11l" e 11111 dos soluciones de la ecuación (12). Se denominarán ltMalmente tndependtentes, si la igualdad c111l" '2111'"= O, t =O, 1, 2, .. . ,
cy,
+
se verllica sólo cuando c1 = c 1 = O. Esta afirmación es equivalente a la exigencia de que el determinante del sistema ci11r· +e.vi"=º· Ctl/l!tm cs11I~ .. =O, m '"" ± 1, ± 2, .•. , sea distinto de cero para cualesquiera i, m. En particular,
+
111" ~ •• l+I = 1111~1
I
111" .,, ,PO. llHI
Al Igual que en la teoria de las ecuaciones diferenciales, se puede intro clr la noción de soluci6n ge111:ral de la
ecuación en diferencias (12) y mostrar que si las soluciones 11~". 11l" son linealmente independientes, la solución general de la ecuación (12) tendr6 la forma 1/1
=C11/~"
+c211J1',
donde c1 y c1 son unas constantes arbitrarlas. La solución general de la ecuación no homogénea (U) puede representarse en la forma l/1 ~ C11/l11 + C11/l11 + //~,
(13)
donde yf es una solución (particul ar) cualquiera de la ecuación (11). Lo mismo que en el caso de las ecuaciones diferenciales, para determinar c1 y c1 se deben definir lascondi· ciones complementarias iniciales o las de contorno. La solución particular de la ecuación (12) puede hallarse en la forma explicita. Buscaremos dicha solución en la forma y 1 = 91, donde 9 =I= O ea un número hasta ahora desconocido. Al reaUzar la sustitución 11.i. = rl' en (12), obtendremos una ecuación cuadr6tica bq1 - cq + a = O, cuyas rafoes son 91
e+ y'Ci=44b 2b
9 ,2
=
e-~ 2b
.
(14)
Según sean los valores del discriminante D = e• - 4ab, son posibles tres casos: 1) D = e• - 4ab >O. Las ralees 91 y 9 1 son reales y distintas. Les corresponden las soluciones particulares l/~1) = q~ •
//~Z) =
la;
estas soluciones son linealmente independientes, puesto que es distinto de cero el determinante: t1.i. • .1t+1=
9' 9'+1 1
~ :~+I = ~~ (92-91),PQ
1 Ha de notarse que 91 =I= O y q 1 =I= O, pues en el caso contrario a = O y la ecuación (12) no sería ecuación en diferencias de segundo orden. La solución general de la ecuación (12) tiene por expresión (15)
ca,. l. BcaacÜ>MI
In
dl/•renc/.41
2) D = e• - 4ab
'11 =
•+l v'fDi 2b i
'la =
•-1 v'fDi 2b
•
donde i es la unidad imaginaria. Resulta cómodo representar estas ralees en la forma
P=yf, c¡>=arctg y' lcD l . No sólo las funciones ~
= plelA• =
~
= pAe-IA•-p-' (cos kc¡>-1 sen kc¡>)
p-' (eos kcp-1 sen kcp),
representan soluciones particulares sino también las funciones siguientes: 111>= p-' cos kcp, y~2l = p-' sen kc¡>, las cuales son linealmente independientes en virtud de la independencia lineal de las funciones sen kcp y eos kcp. La solución general tiene la forma YA = p" (c1 cos kc¡> e, sen kcp). (16)
+
3) D = c2 - 4ab = O. Las ralees son reales e iguales: q1 = q, = c/(2b) = q0 • Las soluciones
v¡,1>.,. ~.
y~2> = k~
(17)
son linealmente independientes. Mostraremos que yl, una solución de la ecuación (12):
1
'
es
bvl.2./.1-cvl.2>+aviª~1 =b (k+ 1) 1o+1 -cklo+a (k-1) 1o-• = =k(bq:+ 1 -clo +aq~- ) + (bq~- a) 1o-• = O, 1
u= O.
•' D puesto que bt.- a= b -¡¡¡--a=
= 1~+• ~: 1) !to+I I = ~l+ 1 +O,
Como
entonces
6A. A+• =
las
solu-
5 z.
8ctNOIOINI ' "
111/•renei..
87
ciones (17) son lineal mente· independientes y Ja solución general tiene por expresión V1a = c1tlo + c"'q~. 5. Ejemplos. Veamos algunos ejemplos de reaolucl6n de las ecuaciones en diferencias de segundo orden (11). 1. H!Jlese le solución general de la ecuación
2py,. + Ya-i = 0, a = b = 1, e = 2p > O. Son posibles tres casos. 1) p < 1. Ponemos p = cosa; entonces D = 4 (cos1 a - 1) = -4aen1 a< O. Las soluciones particulares tienen la forma vlt' = cos ka, v1•· = sen ka. V1a+1 -
2) p > 1. Suponiendo p = ch a, obtendremos para 9 una ecuación cuadr!tica r¡I - 2ch aq 1 = O; su discriminante es D = 4 (ch1 a - 1) = 4sh1 a, mientras que las ralees tienen por expresión q1, 1 = ch a ± sh a = e±". El papel de soluciones particulares desempeñan les funciones
+
y111 = ah ka. Y1" =ch ka, 1 3) p = 1. En este caso 9 - 2q + 1 =O, 91.1 = 1, las soluciones particulares tienen la forma y)¡" = t , vi." = k, y la solución general es Y11
= e, + e"'.
2. Hállese la solución de la ecuación Y11+1 - Y1a+1 = 2y,. = O. El discr iminante es igual a D = 1 + 8 = 9, las ralees serán 9 1• 1 = (1 ± 3)/2, 91 = 2, 91 = -1. La solución general es de la forma Y11
=
C12"
+ C1 (-1)".
3. Hállese la solución general de la ecuación Y11+1 -
Y11 -
6y,._1 = 2a.1 •
(11:!)
La solución general de una eruación no homogé11oa os la = y11 + de la solución general i'A do la 11cuución homogénea y de la solución particular de la ecuación
~umu
y,.
u:
v:
no homogénea. Hallemos primero la solución general de le ecuación homogénea. El discriminante es D = 1 + 24 = = 25 > O, y las raíces de Ja ecuación cuadrática q2 - q - 6 = O son
y;
.zH
b1Yt+l -
C1Y1
+
ª1Yt-1 = /,,
b1 .,PO, '=0,1 , 2, ... (19) O, de (19) obtenemos la siguiente relación
a 1 *0,
Dado que b 1 recurrente:
*
V1+,=
•1111-01111-1 + !1 b1 ,
b1*º·
(20)
Expresemos Y1+i e y 1_1 en t érminos de y 1 y las dilerencias de primero y segundo órdenes. La ecuación (19) se anotará en este caso en la forma !J.Vy1 (b1 - a 1) 6y 1 - (c1 - a 1 - b1) y 1 = / 1 ,
+
*º·
*º·
4¡ b, La solución de una ecuación en diferencias de primer ocden depende de una constante arbitra.r ia y se determina univoca.mente, si está prefijada uni. ·condición complementaria, por ejemplo, Yo = c0 • La aoluci6n de Is ecuación de segundo orden se determina por dos constantes a.rbitrarias y se puede hallarla, siempre que vienen dadas dos condiciones complementarias. Si ambas condiciones están dadas en dos puntos vecinos, se trata de un problema de Cauchy. SI J11s dos condiciones ostán dadas en dos puntos diferentes (pero 110 vecinos), obtenemos un problema de contorno. De mayor interés para nosotros serán precisamente . los
1 J. lfcuc"'IU' .,.
,,,,,,.11ellu
problemas de contorno. l ntroduscamos las deslgnaoiooee Ly, = b1Y1+1 - c,y, + a1Y1-1 y enunciemos los problemas mencionados m'8 de\alladamente. PROBLEMA DE CAtlCBY: hállese la solución de la ecuación Ly1 = fi. t = 1, 2, (21)
con las condiciones complementarias Yo = µ1, Y1 = µ,. (22) La segunda condición de (22) puede notarse de otro modo: Ó.Yo = Yt - Yo = µ 1 = ji',_; podemos, entonoes, decir que eo el caso de probleme de Cauchy vieoeo dadas en un punto t = O las magnitudes Yo = µi, Ayo = µ 1• (22') PROBLEMA DE coNTORNo:h&llese la solución de la ecuación Ly1 = /,, t = 1, 2, ... , N - 1
¡• -
para las condiciones complementarias Yo = µ1' y N = µ,, N ;;;;. 2.
(23)
En los nodos de frontera t = O e 1 = N pueden definirse no sólo los valores de las funciones, sino también sus diferencias y combinaciones, es decir, las expresiones et, Ay0 + ~ 1 Yo para i = O, y et 1 Vy N + ~sY N para i = N. Tales condiciones se pueden anotar en la forma Yo = X1Y1 + µt> Y N = x.y N-1 + µ, . (24) Si x 1 = x 1 = O, obtenemos de aquí las condiciones de primer género; cuando x 1 = 1, x 1 = 1, tenemos condiciones de segundo género Ayo = - µ1 , VYN = µ,. (25) Si ><1 , 1 =I= O; 1, (24) llevan el nombre de condiciones de tercer género: ->< 1 l:J.y 0 + (t - >< 1) !lo = µ1, (26) x,VyN + (1 - x,) YN = µ,. Adomás, pueden encontrarse problemas de contorno con ciertas combinaciones de las citadas condiciones de con-
torno: las condiciones de un tipo para t = O, y condiciones de otro tipo, para l = N. La solución del problema de Cauchy so halla directamente de la ecuación (21) seg6n la fórmula recurrente (20), tomando en consideración los datos iniciales y 0 = µ.¡, 111 = 14,. Para la resolución de los problemas de contorno se emplea un m6todo mh complejo (m6todo de eliminaciones) el cual se expondrá en adelante. Para nna ecuación con coeficientes conatantes la solución del problema de contorno puede expresarse en la forma explicita. IUlDD'LO. Hállese la solución del problema de contorno 4 1111-.1
-
1,
t
= t,
2, ... , N - t,
Yo = 0,
y,.,= O. (27)
La ecuación homog6nea 4 1111- i = 111+ 1 - 2111 + 111-i =O tiene au solución general ¡¡, = c1 + c,i. La solución particular 11r de la ecuación no homogánea 6 1111_ 1 = 111+ 1 - 2y1 + 111_ 1 = i se buscar' en la forma 11r = et•. Al sustituir esta expresión en la ecuación (27), encontramos 6 1 yt_1 = e ((t + i)1 - 211 + (l - t) 1 ) = t , es decir, e= = i/2, de suerte que y1 = y1 + 111 = e + c,t + t1/2. Con ol fin de determinar c1 y e, so usan las condiciones de contorno para t = O, t = N: Yo ... c1 = O, y N = c,N + N1 /2 = O, e, ... -N/2. De este modo, t t t 111= -2tN+,-l'-= - 2 l (N-I) es la solución del problema (27).
§ 3. Resolución de los problemas de contorno en diferencias para las ecuaciones de segundo orden f. RelOludón de loe problem• de contorno en dllerencfu por el m~o de factorlncl6n. Un problema de contorno 011/1-1 - C11/1 + b11/1 +1 = -f,, 01 ,,P 0, b¡ ~ 0, 1 = t, 2, .... N - 1, (1)
rep?919D\a el sistema de eeuaclones alpbraJeas lineal• oon matrfa trldiagonal de dimenal6n (N t) X (N t):
1 - x, o a1 -c1 b1
+ ... o o o ... o
•••
O
+
O O • •• O • • •
o o ... ª' -c. b1 ••• o o o o ... o 0 0 • • • G¡f-1 o o ... o o o ... o O
A=
o
o
O
O
o
o
b,,_. t
-º
En lugar de (t) podemos 88Clribir
Al/-=
f,
11 = (!lo• 111• • • ·• y,,), I = {µ¡, - /¡, ...•
-f N-1• µ,).
(2)
En el caso del primer problema del contorno la matri:s correspondiente tiene la dimensl6n (N - 1) X (N - 1). Para resol ver el problema de contorno (1) puede emplearse el siguiente método de eliminaci6n llamado mltodo de facwrúact6n. Supongamos que tiene lugar la relaci6n (3) con coeficientes indeterminados a 1+1 y = a 1111 + P1 en (t):
g1_,
P1 +1 • y s111tltuyamos
(01<11 - c1) 1/1 + b1111+1 == - (/1 + a,p,); 111 comparar esta identidad con (3). encontramos
a 1+1 = A+ t'I •-
, 1!!,cii , 1 1
1
• ~ +! ' •1-•1«1
1= t , 2, ... , N - 1, '
-
t • 21
• • ••
N - t•
(4) (5)
Con el fin de hallar ci1 , P1 hagamos uso de Ja condici6n de contorno para i = O. De las fórmulas (3) y (1) encontramos para t = O: (6) Co11ocic111l11 a 1 • ¡i 1 y p1t:<11111lo du i 11· i + 1 1111 las f6rmulas ('i) y (5), determ ina mo::1 a 1 y P1 par11 cu11lquior i = Z. 3, ... . . . , N. Los cálculos según la fórmula (3) se llevan a cabo
+
pasando de t 1 a i (es decir, conociendo Yt+H hallamos y,), y para iniciar los cálculos mencionados se debe prefijar y N• Determinemos y N partiendo de la condición de contorno Y N = x.v N-I + µ 1 Y de la condición (3) para i = N - 1: Y N-1 = a. Nll N + ~ N· De aqul encontrainos (7)
., _ l':!+ 'Kol\H f -ClN"• •
11N-
y
Reunamos ahora todas las fórmulas de factorización escribámoslas en el orden de su aplicación:
e->
b1 ª1+1 = ~·
i=i, 2, ... , N-t,
a1P1+/1 ~l+ . -- e1-a1a1 '
l=i, 2, ... , N - t,
t-)
<-) 111 = ª1+1111+1 + P•~·
VN
(8) ~. = 111;
(9)
t= N -1, N-2, . .. , 2, 1, O,
11.+x.P"
t-aN"s •
(tO)
Laa flecha!!> indican la dirección de cálculo: (-+) de l a l + 1, (-) de t + i a t. Da este modo, el problema de contorno para la ecuación de segundo orden se ha reducido a tres p.r oblemas de Cauchy para las ecuaciones de primer orden. 2. FAtabUldad del método de faetorluci6o. Las fórmul as de factorización pueden emplearse, si los denominadores de las lraccionea (8) y (10) no se reducen a t.ero. Las condiciones suficientes para ello están representadas por las desigua ldades t = 1, 2, . .. , N - 1, 1C11;;;;io\a,\+1br1, 1 X1 1 + 1 Xs 1 < 2. (11) l "11 ~ t. Probemoa que siendo cumplidas las condiciones (ti), los no se redueeo a cero denominadores c1 - a 1a.1 y t y que t = 1, 2, .. . , N. (12) 1a., 1~ t ,
ª""'
Supongamos que 1 a. 1 1 ~ 1, y mostremos que 1 a 1+ 1 1 ~ 1; entonces de aquí y de la condición 1a 1 1 = 1 x.i 1 ~ 1 se deducirá (12). Examinaremos la diferencill 1c1 - a 1« 1 1 -
S 8. Probl.,,•u de conlomo
en dl/•rent:lu
43
( b1 ( > 1C¡ 1l 111 1 1Q;¡ 1-1 b¡ ( > f ll¡ 1(t -1 Q;¡ 1);;.. >O, de modo que 1e, - a,o;, 1> 1b, 1>O, Y 1a;1+1 1= = 1b¡ 1/1 C¡ - ll¡Q;¡ 1< t. Observemos que si 1c1, 1> l a1, 1+ 1b1, 1 siquiera en -
un solo punto l = t0 , entonces 1 a; 1 1 < 1 para todo t > t 0 , incluso para t = N: 1o;N 1< 1. En este caso 11 - a;Nx 1 I> 1 - 1aN 11x, 1>1 - 1a;N 1>O, y la coodíci6o 1x 1 1 1 x 1 1 < 2 será superflua. Si 1 x 1 1 < 1, entonces 1a;N 1<1.. En cambio, si 1x 1 1= 1, entonces 1x 1 1<1 y 1a; N 1 1, y tenemos 11 - a; N"• 1;;;.. 1 - 1a N 1 1x 1 1;:;;.. 1 - 1x 1 ·1>O. De este modo, si se cumplen las condiciones (H), el problema (1) tiene la única soluci6n la cual se halla según las fórmulas de factorización (8)-(10). Los cálculos según les fórmulas (8)-(10) se realizan en un ordenador aproximadamente, con un número finito de cifras significativas. A consecuencia de los errores de redondeo se halla, de hecho, no la fuo~ión y 1 (la cual representa solución del problema (1)), sino y,. esto es, la solución del mismo problema con coeficieotell perturbados ;,, b,. ~.. ;,, ; , y segundos miembros/,, ; 1 , ; , . Surge naturalmente la cuestión de si ocurre o · no, en transcurso de los cálculos, el aumento del error de redondeo, lo que puede conducir lento a le pérdida de precisión, como a la imposibilidad de continuar los cálculos a causa del crecimiento de las magnitudell que se determinan. A titulo de ejemplo puede servir la búsqueda de y 1 según la fórmula y 1+1 = qy1 pera q > 1. Puesto que Yn = q"y0 , para cualquier y 0 puede indicarse La! n 0 que Yn, será el infinito de ordenador. Realmente, en virtud de los errores de redondeo, se determina no el valor exacto de y 1 , sino el valor de a partir do la ecuación Y1+1 = 1 + TJ, donde TJ es el error de redondeo. Pera el error óy, = y1 - y 1 obtendremos una ecuación óy1+ 1 = = qóy 1 + TJ (i = O, 1, ... , óy 0 = 1')). De Is í6rmula óy1 = ~ q 11') + 'l (q 1 - 1)/(q - 1) se ve que el error óy 1 va creciendo. para q > 1. de manera exponencial a medida que rrece t. Volvamos al método de factorización y probemos 4uc el error óy 1 no aumenta cunnuo 1 a 1 1 ~ 1. 8fcctivarnentc,
> >
+
<
qy
y,
Cop. /. BauoclonH en dlfarencllll
las igualdades Y, = a.1t-:Ü1+1 + ~•+i• Y1 a.1+1Y1+1 + ~1+1 proviene 6111 = a.1+10111+1• 16y1 1~ 1a.1+1 116111+1 1~ ~ 16Y1+ 1 l. porque 1a.1+ 1 1~1. Tomando en consideración que en el transcurso de lo~ cálculos se perturban también los coeficientes a. 1+ 1, ~1+1 • se puede seiialar ll'le el error 6y 1 es proporcional al cuadr,do del número de nodos N;
=
mú f4111l~e~,
t.;;t<;N
donde s 0 es el error de redondeo. De aqul se ve la relación que existe entre la precisión requerida e. de la solución ·del problema, el número N de ecuaciones y el número de cifras signlficativas del ordenador, puesto que e 0N 1 ~ e. 3.. Otru variante. del método de factorlsaclón. El método de factol'iaación (8)-(10) analizado mb arriba, en el cual la determinación de 111 se realiza sucesivamente de derecha a izquierda, se denom.ina factortsaci6n derecha. An,logamente se anotan las fórmulas de la factorlsact6n lsquterda:
l->
..,
~1 ==----rr-, •1-"l'il+l
<->
l=N-t, N-2, . .. , 2, 1,
11
1'1Jau+la n.= •1-b1(1+1,
<->
.
l=
ll1+1""E1+1ll1+1li+1t
N
-
i
'
N
-
2
'
• • •,
'
t' 'IN= l's· (14)
i=O, 1, ... , N-1,
En efecto, suponiendo que V1+t ·minemos de (1) //1+ 1; obtendremos - f¡ =
2
(13)
01/11-1
// _ 111+"11!1 · - 1-é1K1 •
(15)
= ~1+ 1 V1 + 71,.,1 ,
eli-
+ (b1e1+1-C1) + b11Jt+1t 111
1258
o bien •1
+ lt+l>f'll+l
11m e1-b1~t+l lli-t •1-1>1(1+1 · Al cotejar con la fórmula y 1 = ~ 1 11 1 _ 1 + ~ 1 • obLendremos (13) y (14). El vaJor de Yo hallamos de la coudición llo = = x 1 y1 ¡A1 y de la fórmula Yo = ~1 y 1 'li· De la desi-
+
+
+
g11Aldad 1C1 - b1i1+ 1 1;> 1c1 1- 1b, 1 1i1+1 1;;> l 111 1 + 1b, 1(t - 1i1+1 1), 11 - i1X1 1>1 - 1i1 1l "11116 ve que las condiciones (11) garantiaan que les fórmulas de far.terlzación izquierda sean aplicables y su úlculo sea estable, puesto que 1i1 1~1 (t = t, 2, ... , N). La combinación de las factoriuciones izquierda y derecha da el método
+
111• =
°'"
111,+1 +a1,+1'11, t -ac.+1l1,+1
La cl\ada fórmula tiene senUdo, puesto que por lo menos una de las magnitudes 1~ 1 , + 1 1 6 1cz1,+1 1 es, en virtud de (U), inferior a la unidad y, por lo tanto, 1 - cz1,+1E1,+1> >O. Al conocer y 1 , podemos hallar, airvi6ndonos ae la fórmula (10), todos los valores de y1 para t < t 0 , y, por la fórmula (15), todos los valores de y1 para t > f 0 • Cuando t > 10 e t < t 0 , los c6.lculos son autónomos (se llevan a cabo paralelamente). El m6todo de factorizaciones opuesta.s es particularmente cómodo, si, por ejemplo, se pide hallar y 1 sólo en un nodo t = t 0 •
§ 4. Ecuaciones en diferencias como ecuaciones operacionales t. &pacto lineal•). Veamos un conjunto H de elementos z, y, z, .. ., respecto de los cuales se sabe que a cada par de elementos z e y, pertenecientes a H, ee le pone en correspondencia de tal o cual modo un elemento tercero s E H, llamado suma de los dos elementos primeros y designado i = z + ¡¡: a todo elemento z E H y a cada número A. • ) V6ue, p.r ejemplo, V. llylo, 8. Pomyak, "Linear alpbra•. Editorial Mir, Moeeú, 1985.
se les pone en corrospondencia un elemento u EH, denominado producto do x por el número A. y designado u = A.x. El conjunto H se llamará espacio lt11i!ol, si la.e operaciones de sumaci6n y multiplicación por un nÚIJlero, determinadas para sus elementos z, y, s, ... , satisfacen los siguientes axiomas: i) x +y = 11 z para cualesquiera x, y E R (conmutatividad de la sumación); 2) {:r y) s = x (y s) para cualesquiera x, y, s E H (asociatividad de la sumaclón); 3) existe un elemento ccero•, designado O, tal que x O = x para cualquier x E H ; 4) para todo elemento x E H existe un elemento opuesto ( - z) tal que x ( - x) = O; 5) 1 ·z = x ; 6) (A.µ) z = A. (µz) {asociatividad de la multiplicación); 7) A. {z y) = A.x A.y; {A µ) x = A.x µz {distributívidsd de la multiplicación respecto a aumación), donde).. y µ son unos números cualesquiera. Un espacio lineal se denomina complejo, si para sus elementos está definida Ja multiplicación por números complejos y se Llama real, si viene definida solamente la multiplicación por nÚIJleros reales. Los elementos z, y, z, ..• del espacio lineal H llevan el nombre de vectores. Los vectores .z,.. x~, ... , x" se denominan linealmente irukpendten.les, siempre que la igualdad
+
+ +
+ +
+
+
+
+
C¡Z1
+
+
+
+ C.X1 + ... + C NXN = Ü
se verifica sólo cuando c1 = c1
== e N
(1)
O. Si, en cambio, existen tales c1 , e,, . . . , e N (no todos iguales e cero) que tiene lugar la igualdad (1), entonces los vectores ~· ... , x N se llamarán liMolnunle depenatentes. El número máximo (si existe) de vectores Unealment.e independientes del espacio lineal H se denomina dimenst6n del espacio citado. Un espacio que posee una infinidad de vectores linealmente indepe.odient.es, se denomina de dirneMt6n. ""
. • .
=
tnftnita.
El espacio H se llama norma.do , si para cada x E H viene definido un número real 11 x 11. denominado norma. que satisface las siguientes condiciones:
Cap. l . BcuacloM1 •n dl/•rcncl1u
47
1) JI x JI> O para z *O; 11 z JI = O, si z = O; 2) 11 x 11 JI ~ 11 z JI JI y 11 (desigualdad triangular); 3) 11 ex 11 = 1e l ·11 z JI, donde e es un número. Se denomina espacio euclúleo (unitario, respectivamente) el espacio lineal real de dimensión finita H (espacio linea] complejo de dimensión ünita H, respeciivamenle), en eJ cual a todo par de vectores z, 11 se les ha puesto en correspondencia un número rea] (complejo) (z, y), denominado producto escalar de dichos vectores, con la particularidad de que se consideran cumplidas las siguientes condiciones: Para el caso de un espacio euclideo: 1) (z, y) = (11. x) (simetría); 2) (.x1 z 1 , 11) = (z1 , y) (x1 , 11) (distributividad); 3) ()...x, 11) = A. (.x, y) (homogeneidad), donde A. es un número real cualquiera; 4) si z *O, entonces (z, x) >O. Para el caso de un espacio unitario; 1) (.x, y) = (11 • .x); 2) (z1 + x,, y) = (.x1 , 11) (z,, 11); 3) ()...x, y) = A. (z, y) para cualquier número complejo A.; 4) si x O, entonces (z, z) > O. Hemos de observar que el producto escalar introducido (x, y) engendra en H la norma
+
+
+
+
+
*
11
xn=V ex.
x).
(2)
Resulta válida aqui la desigualdad deCauchy-Buniakovski
1(z,
11)
1' ~ (x,
.x) ·(y, y),
(3)
la cual puede escribirse, tomand o en consideración (2), en la forma 1 (.x, y) 1 ~ 11 x 11-11 Y 11· 2. Operadores lineales en un espacio de dimeualón finita. Sea H un espacio lineal de dimensión finita provisto de producto escalar (z, y). Designemos con D cierto subespacio de H. Si a todo vector x E D se le ha puesto en correspondencia, de acuerdo con una regla determinada, el vector 11 = Ax de fJ , suele decirse que en H está dado el operador A. El conjunto D e: U se llama dominio de definición del opera-
Cap. l. BcaoclonH en dl/erenc/JJ1
dor A y se designa D (A). Un conjunto de todos Jos vectores del tipo 1J = Az, z e D (A ) se denomina campo de valores del operador A y se denota R (A). Si D (A) = H, dicen que el operador A est' prefijado sobre H. El operador A se llama lineal, si a) es aditivo, es decir, A (z, + z,) = Az, + Az1 para cualesquiera z 1 , z 1 EH; b) es homogéneo, es decir , A (cz) = cAz para todo z E H y cualesquiera números c. Los requisitos a) y b) son equivalentes a la condición A (c 1z 1 + c.z1 ) = c1 Az1 + c1 Az1 , cualesquiera que sean z 1 , z, E H y los números c 1 y c1 • Un operador lineal ae denomina acotado, si existe tul constante M > O que para todo z EH. (4) llAz ll~M llzll La cota inferior exacta del conjunto de números M que satisfacen la condición (4) lleva el nombre de norma del operador A y se denota 11 A 11· Est' claro que 11 Az 11 ~ 11 A 11 •ll x 11·
(5)
En adelante se considerarán siempre operadores lineales acotados A prefijados sobre H con el campo de valores R (A) s; H. Tal operador A aplica H en H, lo que se escribe en le forma: A: H-+ H. En el espacio de dimensión finita cualquier operador lineal es acotado. Si a cada y E H le corresponde sólo un vector x E H, para el cual Az = y, entonces mediante esta correspondencia queda definido un operador A - 1 , denominado liwer10: A - 1 : H-+ H. De la defin ición de operador inverso A -1 proviene que A. - 1 (Az)
= z,
A (A - 111)
-= y para cualesquiera z, y E H .
Un operador D que act úa según la regla Dz = A (Bz) reclbe el nombre de producto de los operadores A y B y se designa D = AB. Un operador E se denomina operador unidad (idlnttco), si Ex = z para todos los x E H. Si existe A-1 , entonces A -1 A = AA - 1 = E. Los operadores A y B se llaman permutables o conmutativos, si AB = BA. Es evidente que A - 1 es un operador lineal, si lo es el operador A . Resulta válida le siguiente afirmación:
I l . Bcuclonu •n tllf•r•ncl41
49
Para que un operador lineal A: H-+ H cuente con su inverso, es necesario y suficiente que la ecuación Az = O tenga la única solución z = O. Un operador A• : H-+ H se denomina conjugado del operador A: H-+ H, si (Ax , y) = (z, A •y)
z,
para cualesquiera
v EH .
El operado r A es autoconjugado (slmltrico) , siempre que A = A• (o bien (A x, y) = (z. Ay) para cualesquiera z, v E H ). El operador li neal A se llamará: positivo, si (Ax, z) > >O (x E H ; z =I= O); ckfinido posltlilo, si (Az, x) 6 11 x (x E H), donde 6 > Oes un número; no negativo, si (Az, z) ~ >O (z E H ). Cualquier operador A puede ser representado como una suma:
>
A = Ao + A.,
i Ao = :r-
ir
i
A1 =-z (A - A•),
= A t es un operador outoconjugado y A 1 = operador antisimétrico, para el cual en un espacio real se ver ifica (A 1 , x, x) = - (x, A 1z) = - (A 1x, x), y, por consiguiente, (A 1.i:, z) = O. Por eso, para cualquier operador A en el espacio r eal H se verifica la igualdad donde A 0 =
-A~,
(Ax , x)
=
(Ao.x. x)
para todos los
z
E Jf .
(6)
Hagamos uso de las siguientes des igualdades operacionales: A ;;i. O, si (Ax, z) ;;;.. O, para todos los x E H; A > O, si (Az, x) > O, para todos los z E 1/, x =I= O; A ;;;r, 6E, si (Ax, z) ~ 6 11 x JI'. paro todos los x E H, (7) donde E es un operador unidad. La desigualdad B ~aA
significa que queda cumplida la condición 8 - aA ~O, os decir, ((8 - aA) x, z) ~O (para todos los x E 1/). Si en un espacio real A =I= A• , entonces la desigua ldad A ;;;;., O (A >O) será equivalente n la desigualdad /\ 0 ~O (A 0 > 0). lo que se deduce do (6)
50
Cap. l. Ecuaclone1 en dl/erenc1J11
Sea A un operador positivo. Entonces, existe un operador inverso A -1 : H -+- H, siendo A - 1 >O para A >O. (A -1)• = A -1 cuando A• = A. En efecto , el operador A - 1 existe, siempre que la ecuación Az = O tiene solamente la ecuación trivial. Admitamos que Ax = O cuando x =I= O; entonces O = (Ax, z) cuando x =I= O, lo que contradice la condición A >O, o bien (Ax, x) > O cuando x =fo O. De esto modo, si A > O, entonces la ecuación Ax = y tiene la solución única. 3. Valoree propios del operador lineal. Sea A un operador autoconjugado en el espacio N-dimensional H provisto de producto escalar (,). Analicemos un problema sobre los valores propios del operador A: se pide hallar los valores del parámetro A. (valores propios), para los cuales la ecuación homogénea (8)
tenga soluciones no triviales (i·ectores propios). He aqui algunas afirmaciones !undamentales del álgebra lineal sobre el problema de valores propios. 1) El operador autoconjugado A tiene N vectores propios ortonormalizados ti. t 1 , • • • , ~N : (~.,
"") =6,.,..
1, s=m. 6,m = { O, s =I= m.
(9)
2) Los valores propios correspondientes son reales y pueden disponerse en el orden de crecimiento de sus magnitudes absolutas: o~ 1Ai 1~ 1.>..,1 ~ .•. ~ 1>..,., J. (10) 3) Si A es un operador positi vo, entonces todos los valores propios (A.•) son positivos:
o
(11)
Efectivamente, A., = (A¡,, t,)/11¡,112 = (A~,. t.)> 0, puesto que ¡, O. 4) Un veet.or arbitrario :e E H puede ser descompuesto según Jos vectores propios del operador A = A•:
+
N
x = ~ c.~.
•-1
e~ = (x,
¡.),
(12)
5t
S 4. Ecuoclonu en dl/erenclar
quedando en est.o caso válida la igualdad N
llzlll =
'l: e&. 1t-1
(13)
En efecto, debido a la condición (9) de ortonormalidad del sistema (t,.} tenemos N
11z11 1 = (z, z) = ( ~ N
=
Az
•-t
c,.t,.,
N
~ c.-·6.•) =
-~-,
N
~ ~ c"c.-· (t;,., ~-) =
Ji-t "~-1
N
'l:
N
l} c,.c-·Bu· =
•-t •"-t
N
'l:
•-sel.
5) Si A = A• > O, entonces la solución de la ecuación = f puede ser representada en la forma N
Z = ,._, ~ ~~~•
(14)
donde /,. = (/, t") es el coeficiente de Fourier de la función /. Hagamos uso de las representaciones
y escribamos N
0=Az-f =
l:
·~-1
(A.-·c.-• - /1t•)t.-•.
Al multiplicar esta igualdad escalarmente por t" y teniendo en cuenta que (t"' ¡;".) = Bu·. hallemos 0 = A."c" - /,., es decir, e" = hl'J..". 6) La norma de un operador autocoojugado A es igual al módulo de su valor propio máximo:
11A 11 = máx IA.-1 = IA.NI· 1..;A.,;N
F.fectivamente, aprovechando (12), obtenemos N
Az = ~ c,.At;" = 1c-1
N
'l: · - ·
A."c"t;",
(15)
52
Cap. l . Ecuoclon.. e n di/erencio1
y, en virtud de (tO) y (13), tenemos N
N
~-1
--1
11Ax112 = ~ ).lc:~).Ji ~ el = ).J.. 11z1 2 , es decir, 11 A 11 ~ 1'A.N ¡. Esta estimación se consigue. En efecto, para x = ~N tenemos 11 Az 11' = 11A~N11' = = 11 ¡,NEN 11' = 1'J..N 1•, puesto que 11 ~N 11' = 1. De aquí precisamente se desprende que 11 A 11 = 1'Jo.N I· 7) Si A = A•, entonces
11A 11 = sup
""11-1
!(Ax, .x)¡.
(16)
8) Si A = A•> O, entonces 'A.1E ~A~ 'Jo.NE, o bien
A. 1 11 x 11 2
~(Ax, .z:) ~ 'J,.N
11 x 111 ,
A.,> O, x E H.
(17)
9) Si el operador A es positivo, será definido positivo, es decir, existe una constante f¡ >O tal que de lacondición A > O proviene la desigualdad A;;;:;., fiE. P ara un operador autocon jugado esta propiedad se deduce de la propiedad 8). En el caso geoera.1 representemos A en forma de una suma A = A 0 + A1 , donde A 0 =A : > O, A 1 = -A: es un operador antisimétrico. Puesto que (A 1.x, x) = O, se tiene (Ax, x) = (A 0 x, .x) >O. Para A 0 es cierta la propiedad 8). Suponiendo 'A.1 = 'A.1 (A 0 ) = f¡ >O, obtenemos (A.,.x, .x) = = (Ax, .x);;;:;., fJ 11 x 11' para todos los x E H. t0) Si existe Q-1 , las desigualdades operacionales
c;;;i,o.
Q•CQ ;;;¡p; O
(18)
serán equivalentes. Est.o se deduce de la identidad (Q•CQx, x)
=
(CQx , Qx) = (Cy, y),
donde y = Qx, x = Q-ly. H) Sean A 1 y A 1 los operadores en H aut.ocoojugados, positivos y permutables:
A 1 = AT >O,
A, = Al> O,
En este caso los operadores A 1 y A•• la suma de ellos A 1 + A 1 y el producto A 1 A 1 tiener1 un sistema común de fun-
+
f 4. Bcruclone1 en dl/crcncúu
{¡;1}: A1¡;1 = ).A11 ¡;.,
53
eiones propias
). (As
+ A 1)
A,¡;.= AÁ'''•·
= ).(As)
+). (A 1),
). (A 1A.) = ). (As)). (AJ. 12) Si A = A • >O, entonces elJ operador A- 1 = (A - 1) • > O es también au toconjugado, tiene loa mismos vectores propio~ que el operador A, y los valorea propios ). (A - 1 ) = 1/). (A). Efectivamente, de A!;i. = ).1¡;1 proviene ¡;. = )..A-1 t •. es decir, (A - 1 ) t 1 = (t/A.•) t 1 • De aquí concluimos que la.s desigualdades As E ~ A ~ ')..HE y (i/). H) E ~ A-s ~ (il'-i) E son equivalentes. 4. Problema genera.Usado sobre valores propios. Sea dado un operador autoconjugado positivo B. Introduzcamos un producto escalar nuevo (;i:, y) 8 = (B;i:, y) y una norm a 11 /1 11 8 = V (By , y). Un espacio H provisto de producto escalar (;i:, y) 8 recibe el nombre de tspacio tntrgétlco y se designa Ha· Ex.iminemos un problema geoeraJizado sobre valores propios que consiste en bnscar las solur.iones no triviales v de la ecuación (20) Av = µBv, V =#= 0,
==
donde A es un operador autoeonjugado positivo. Supongamos que los operadores A y B están representados por las matrices respecLi vas A = (a1J), B = (b1J) (i, j = i, 2, ... , N). La ecuación opera cional (20) puede escribirse en forma de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales H
N
1-1
J-s
~ a11v - µ ~ b11v,
t = i, 2, .. . , N,
donde v<1>. .•. , ¡¡(Hl son com ponentes del veclor v. P ara determinar los valores propios se obt iene una ecuación algebraica de N-ésimo grado det (a 1¡ - µb¡¡) = O. (2i ) Para el problema (20) son justas las propiedades análogas a las del problema corriente sobre valores propios, a saber:
Cop. l . Ecuaclonei en dl/orenela1
existen N vectores propios ortonormalizados en el sentido del producto escalar (z, y).¡¡ k, m = 1, 2, ... , N ,
(22)
a los cuales corresponden los valores propios
<
0
fl1 ~ · • · ~ fl N•
(23)
Por aoalogla con el p . 3 tenemos N
z = ~ c,.v.,
c11 = (z, v.) 8 ,
•-1
N
UzllL = ~e&.
.,_,
(24)
Se verifican las de.siguaJdades operacionales 11iB ~A~ µNB,
(25)
con la particularidad de que µ N es Ja norma del operador A en H 8 . Esto significa que 11 Az 11 s ~ 11 A 11 s 11 z 11 a· OllSBl\YACION .
Las desigualdades
y 1 B~A~y1B, y 1 ~µ.~y1 ,
y,>0, h = 1, 2, ... , N,
(26) (27)
son equivaJentes. En efecto, descompongamos un vector N
arbitrario z = ~ c,.11., A-1
N
hallemos (A-yB)z= ~ c,.(µ,.A-1
-Y) Bva y el producto escalar N
((A - yB)z, z) = ~ cl(µ,.-y)(Bv,., 1111) = k-t
N
~ (µ11-y)cl,
•-1
donde y e9 uno de los números y 1 6 y 1 • Suponiendo z = 11,., ileterminemos ((A - yB) 11¡,, 11,.) = 1111 - y. Sea Y = Y1 y 9upongamos cumplida la condición A ~ y,B; entonces µ,. ~ y ,. La afirmación reciproca es también cierta. Ani\logameote se realizan Jos razonamientos para y = Yi·
§ ' ·
Bcuoctoner •n dl/eroncua
5. &paclos llnealee de lu funciones reticulares. 0pe. radoree de dllerenclas. En lo que sigue se examinarán a6lo las funciones deflnidas sobre la r ed con nodos de números enteros: WN = (t: t = i , ... , N}. Al introducir en el segmento O ~ :t ~ i los nodos :t1 = ih, h = i.IN (t = O, i , ... , N), obtendremos una red uniforme de paso h como una variedad de nodos %1 = lh con indices de números enteros: wh = {:r1 = ih: i = O, 1, ... , N; h = t/N}.
º·
E l paso de una red a la otra es evidente y en algunos casos (bastante frecuentes) no las destinguiremos. Denotemoscon ON+i = {¡¡,, t =O, t, ... , N}elespacio de funciones reticulares definidas sobre la red w N• con ÓN+t = (y., i = O, i, ... , N; Yo = O, YN = O} el !\ubespacio de funciones reticulares que están definidas sobre la red w N y ae reducen a cero en los nodos de frontera de la red w N: Yo = y N = O. Las funciones de ON+i se designarllD (i) = Veamos unos ejemplos de operadores de diferencias más simples. Pua el operador de la diferencia derecha ó. tenemos Ay, = V1 + 1 - y 1, i =O, f. ... , N - 1;
y
Yt·
aquí el dominio de definición e11 Q N +i• el campo de valoro11 está representado por el espacio QÑ = (y,. 1 = O, i, ... . , N - 1 } de N-ésima dimensión. P ara el operador de la diferencia izquierda V tenemos VY1 = Y1 - Yt-1> t = i , 2, ... , N; el dominio de definición es Q N+I• el campo de valores está representado por el espacio QÑ = {y1 , ¡ = i, 2, ... , N}. De la fórmula A2 y,_ 1 = A (Ay,_1) = A (Vy,) = Y1 +i - 2y, + Y1-1 se ve que el operador de la segunda diferencia está d efinido para las funciones reticulares y 1 con t = 1, 2. . .. , N - 1, es decir, aplica Q N + i en el espacio Q N -l = (y 1 , t = 1, 2, ... . . . , N - 1 ). La misma propled&d posee el operador do
56
Cop. J. Ecruclonei en tfl/erenc•••
diferencias A:
+
Ay, = l>1Y1+1 - c,y, ª1Y1-1 = (I>, - a1) (Vy1) -
= I>, 6. (VY1) -
(c 1 - a1 - 1>1) y,, 1 = 1, 2, ... , N - 1,
es decir , Ay1 E QN-i • si y, E QN+i• o bien, en la notación reducida, A: nN+ l-+ QN-1·' Analicemos un problema de contorno en diferencias
Ay1
= - /1 ,
i
= 1,
2, .. . , N - 1, Yo = 111 •
YN
= 111
(28)
y escribámosla en la forma matricial:
AY = cI>,
(29)
+
+ I> N-1111) es el
donde; cI> = U1 ª1111• f ,, · · ·, f N-•• f N-1 vector conocido e Y = (y1 , y 1 , . • ., y 1!~•· vector desconocido, ambos de dimensión N matriz t rid iagonal cuadrada de dimensión X (N - 1):
y N-i> es un 1; A es una (N - 1) X
Al comparar (28) y (29), vemos que se puiide escribi r
~y, = -cp,, t = t, 2, . . . , N - 1,
+ l>1Y1• 'P1 = f1 + ª1111• Ay, = Ay¡,
Ay~ = - C1Y1
AYN-1
= ªN- IYN-1-CN-IYN-1>
El operador de diferencias dificil observar que Ay1 = mos
Ay, =
-cp,,
i
'PN-1
= f N - 1+ l>N- 111:·
A aplica '2 N-l
hy
1•
(28')
en Q N-i · No es En lugar de (28' ) obtendre-
= 1,
2, .. ., N - i.
S 4. Bcuaclon,. .,. diferenciar
51
lntroduzcamos ahora el operador A correspondiente a la matriz {29), suponiendo
t = i, 2, ... ,N-t.
Ay,=-Ay, = -Ay,.
En tal caso, en voz del problema de contorno en dilerenclaa (28) obtendremos una ecuación operacional Ay = cp, donde A: '2 N-l - '2 N-l• q> E '2 H-l • ea decir, el oper ador A actúa de ON_1 en 0,,_1 • Ea evidente que A sed un operador lineal. Ha de notarse que también puede considerarse (teniendo en cuenta que Ay = -Ay), que A aplica ÓN-l en QN-1· En el espacio H = O N-l se puede introducir un producto esca1ar N-1
(y, V) =
~ ~
fl¡V¡
1-1
y una norma
llYll = V(y, y). Si se estudian el segundo (x1 = x. = 1) o el tercero (x, =fo O, x 1 =fo O) de los problema.a de contorno (véase (1) del§ 3), la matriz A será cuadrada de dimensión (N 1) X x (N + 1) y el operador A se definirá de la manera siguiente: Ay, = - Ay, = -(b1Y1+1 - C¡y¡ + ª1Y1-1l. t = 1, 2, .. . , N - 1, Ay0 = - (x1y1 - Yo), AyN = - (YN - X1YN-1) · En este caso el operador A aplica el espacio de funciones reticulares H = QN +i en sí mismo: A: H - !l . En adelante se analizará el primer problema de contorno para una ecuación en dücrencias de segundo orden; en este caso, según lo mostrado más arriba, H = Q,,_ 1 • 6. Fórmulas de Green de diferencias. Examinemos un operador ele diferencias D: Ly, = b,y, + 1 - C¡!f¡ + ª1!11-1· l = 1, .. .• N - 1. (30)
+
58
Cop. /. BcuocloM• •• tlt/•r•ncla1
Si b, =fo o 1+1 • la matriz correspondiente no será simétrica.
Es simétrica sólo en el caso t = 1, 2, .. ., N - i.
(31)
Al tomar en consideración esta condición, eseribimos Ly1 en la forma siguiente: L111
=
ª1+1111+1 -
c1111
+ ª1!11 - 1 =
=
ª1+1 (v1+1 - /11) - a, (111 - 111-1) - (c1 - ª1 - 111+1) /11 = ª1+ 1 V/11+1 - ª 1 VY1 - (c1 - a1 - ª 1+1) Y1 = /J. (a, V/11) - (e, - a, - a1+ 1) /11·
(321 Dividamos el segmento (0, f) con los puntos z 1 en N partes iguales, hagamos y (z1) = y 1 = y (i) e introduzcamos las designaciones que siempre se usarán en lo sucesivo: 1
h = -¡¡- ·
z 1 = ih, l!.111
11,,,1 =
t =O, 1, ... , N, z 0 = 0,
l/1+1-111
-¡; = - -11-- ·
ll-
z 11 = i,
_ V111 _ 111-111-1
,.,, -
11 -
11
'
(33)
= l!.(V111) 11-""· 1= y-"" (i)=ll1-1-2111+ll1+1 11 --,;r-· Dividamos la expresión (32) por h' y obtendremos uu operador de diferencias Ay1 = (ayi),., 1 -d1y,. t (34) d1 = ¡¡¡- (c 1-a1-a1+ 1). i = 1, ... , N - 1. En el § 1 se he obtenido Je fórmula de sumaclón por partes N-t
N
~ 1111J.v1= - ~ v1Vy 1+ (yv) 11 - (yv)0. (35) c.- o c-s Haciendo uso de les designaciones (33), eseribamos esta fórmula en la forma N- t
~ y1v,,,1 h = -
•-o
N-1
N
~ v 1¡¡i 1 h + (yv) 11 - (¡¡v)0 ,
•-t
N- t
·
N-1
puesto que ~ y 1/J.u 1 = ~ y 1 ( ; 4
t-0
l•O
1
)
h=
~ 1-0
11111,,, 1 h.
(36)
f 4. Bcruclonu en dtfcrenct.1
59
Para que la exposición ulterior sea mb cómoda, introduzcamos en el primer miembro de (36) la sumaclón entre l = 1 o t = N - 1; esto nos cond uce a la fórmula H-1
N
1-1
t-1
~ y,v,,. 1 h = - ~ v111; 1 h+ (yv)tt - Ye"t·
Sustituyamos aqul
111 ...
•
(37)
o1s;.1 ; se obtendrá
N
rt - t
~ Y1 ((U¡),.,1 h =
- •~ -t 0 1Y;¡.1-'i.1 h +
•-t
+(oyz;¡)N-y0 (oi;¡) 1. (38)
Esta es la primero f6rmulo de Green de dtferen.ctos. Cambiemos de lugar en ella y 1 y 1 1: N- 1
~
1-t
N
'' (oy;¡),..1 h= -
~
1-1
º''i•1Yi•1 h+ + (0Yis),., -
1o (oy¡) 1. (38')
Al sustraer (38') de (38) obtenemos la segundo /6rmula de Green de diferencias l't - 1
N- 1
1-1
1-1
~ y 1 (az;¡)r, 1 h = ~ z 1 (ayz),., 1 h+aN(Yzi-sY;;)N- (Yo (ozi) 1- 10 (ay¡).).
(39)
Si están cumplidas las condiciones Yo=
Zo
(40)
=O,
y=;,
es decir, si z = ; EON+I • entonces en el segundo miembro de la igualdad (39) dos últimos sumandos se anulan y
. .
N- 1 ~
L.J
,_,
y1 (oz;¡),., 1 h =
,, . .
N-1
·-·
kl z 1 (oyi),., 1 h.
(41)
Al s ustraer de ambos miembros de la identidad (41) la suma N-1
y,; h,
~ d1
1- t
1
ohtenemos la segundo /6rmulo de Green para
eo N-1
N-1
1-1
1-1
~ Y1~1h = ~
;,Ay,h
(42)
para el operador de diferencias
Ay1 .,. (ayi),,. 1 - d1y., cualquiera que sea
yEÓH+i·
(43)
Sea H = O N-i un espacio de funciones reticulares ¡¡1, prefijadas para i = 1, 2, ... , N - 1, con el prod ucto escalar N -1
(JI, 11) = ~
l11ll1h
1- 1
y la norma
=V
11 Y 11 (!l. 11>· 1otrodur.eamos el operador A:
Ay= -Ay,
y EH .
(44)
Entonces la segunda fórmula de Green puede anotarse en la forma (y, As)
=
(Ay, z).
(45)
Esta fórmula expresa la propiedad de autoconjugación del operador A: A•= A y, por lo tanto, A* = A. Cuando ; = E ÓH+t• la prime.r e fórmula de Green (38) nos da:
y
H- 1
N
t-1
·· ·
- ~ ;, (avz)••1 h= ~ a,
J'h >o
ª•
¡,, ... º· ª'>o,
para (46) (ya que = H = O, (46) puede ser igual a cero sólo en el caso en qu_e 1 - O (i = i, .. ., N - 1)). Teniendo preeente la definición del operador A, halíamos
Vt v y
N
(A11, 11) -
·-·
N
~ 11i(11i 1) 1h + ~ d111th>O, a 1 >O. '
,_.
d, ;;;;.o.
(47)
&i
§ 4. Bcuaclo11u en rltJcrenclu
De ost.e modo, el operador de diferencias A, definido por las fórmulas (43), (44), es autoconjugado y positivo: A = = A• >O, siempre que
a1 >0, d1 ;;¡. 0,
i= 1, 2, ... , N-1, aN>O.
(48)
7. Condición de autoconjugaclón del operado r de d lleren cias de seg:undo orden. Nos hemos convencido de que la condición (31) os su íiciente para que ol operador do diferencias (30) sen au toconjugado on el espacio lf = Q,., + t · Mostremos qu e la condición (31) es necesar ia para que sea autocoujugado L . Representemos L en forma de una suma: Ly1
= L,y +· L.,y = a,~' CY1 + 1 1
L1Y1
1,
Y1)
- a, (y,
-
Y1-1) - (e, -
a, -
b,)y,,
L,y, = (b, - ª1 + 1) Y1 + 1· Como ya se ha mostrado en el punto aot.ecedento, el operad or L 1 y 1 = h'Ay1, J\y 1 = (atrx)x,1 - d 1 y 1 , es autoco njugad o en el espacio H = ÍlH + t ó on H ... QH-t con el N-1
producto escalar (y, u) = ~y 1 u 1 h. Por eso podemos escrihir:
(~ Ly,
~) -
(y, :. L~) =
= (Ay. ~) - (y,/\~)+(:,
LiY.
~) - (y, -~Li~)
=
N
=h
:,
(b1-a1+ 1>CV1+1V1
=
(y,
- y,u,. 1) h.
1-1
De aquí se vo que (Ly, ~) só lo a la condición de que
Lu), es decir , L = L*
N- 1
~ (b1-a1+1)(Y1+1U1-ll1U1+1)h = O.
1-1
(49)
Por sor arhitrari11s y 1 y u,, podemos toma r y 1 = <'l1.1,+a• = 61.1,. donde i 0 es un nodo fijo cualquiera (i 0 = 1, 2, . .. . . .. N - 1) . mientras que <'l1 •1, es el slmbolo de Kronecker.
v,
62
Ct1>p. J. Bcat1>clone• en dl/eronc'41
Obtenemos, pues, y 1 +1 v1 - y,v1 +1 = 6 1 , 1,, y la condición (49) nos da b1 , = 1• Con esto queda demostrada la necesidad de In condición (31.). Se debe notar que la ecuación
a,,.
Ly1 = -/1 puede ser reducida a la forma
Ly, =
!J. (A, Vy,) - D11J1
(50)
=
(51)
-F1.
donde L es un operador autoeonjugado. En efecto, multipliquemos ambos miembros de Ja ecuación (50) por µ 1 O:
+
'l11,
= 1110.1111-1 -
111c,11,
+ b1111Y1+1 = -
µ,¡,
y exijamos que para la ecuación obtenida se cumpla la condi-
ción (31), es decir, b1111
=
De aqul obtenem05
(µa)1 +1 = ª1+1!11+1 = A1+1· 11i+i
= (-b-'-) 0 1+1
1
µ 1 = 111
Il
bt.fa,..1 y
la
ecuación (51), donde A 1 = o.111,. D1 = µ¡(c1~-· - a1 -b1), P 1 = = µ,/, . 8. Valores propios del operador de dUerenclas d.e segundo orden. Examinemos un problema de diferencias sobre valores propios: (a.v;)...1
-
d,y,
+ '>.y1 = O,
i
=
1., 2 . . .. , N - i Yo = Y N = O,
(52)
o bien Ay = 1..y, y E nN-•• donde A se determina por la igualdad (44). El operador A es autoconjugado y positivo, razón por la cual a tSI se refiere todo lo dicho en el p. 4. En el caso más simple, a 1 = i , d 1 =O, los valores propios y los vectores propios pueden hallarse en la forma explicita. Asl pues, se requiere encontrar soluciones no triviales de la ecuación homogtSnea con condiciones de contorno homogáneas Yix.1 + "Ay, = 0, l = 1, 2, . . . , N - 1, hN = 1, Yo= O, YN =O, Yt i¡é O. (53)
Escribamos la ecuación (53) en la forma sjguiente Y1-1 -
2 cos
ay,
+ y,_ = o, 1
2 cos ex
=
2 -
u•.
(54)
La solución general de esta ecuación tiene por expresión (55)
Exigimos que se cumplan las condleiones de contorno: Yo = c1 = O, y N = e, sen Ncx = O. Como se bosca una solución no trivial, entonces c1 =FO y sen Nr¡. = O, es decir, Nr¡. = mn (m = O, t , 2, .. . ), r¡. = r¡.,.. = mn/N = = mnh. De la relación 2 cos ex = 2 - M' encontramos
"
i.hs = 2 (1 -eos r1.) = 4 sen' T, •,., = •,.,.,. = -¡asen 4 • ""'" .
(56) 2 A este valor de i.,,. le corresponde una función propia
y,,. (t) = e seo nmz1 , e
=
ih, t = O, 1, 2, .•. , N
(57)
definida con una exactitud de hasta un factor constante arbitrario. No es difícil notar que (l) = e sen n Nz1 = e sen ni = O, t = O, t, 2, ... , + t) z, = e sen [nNz1 + nz1 ) == = e sen nz1 cos nt = (-1)1y1 (t), 11 N+m+1 (i) = (-1) 1y,,. (t), m = 1, 2, ... , N - L YN
llN+t (l) =e sen n (N
Por con.s iguiente, para m < N, sólo las funciones ¡¡,,. (i) son linealmente independientes. Asi pues, se ha encontrado la solución no trivial (funciones propias y ... (t) que corresponden a los valores propios i.,,.). Elijamos el factor e de un modo tal que la norma de las funciones y,,. (t) sea igual a la unidad: 11 y,,. (1) 11 = = e 11 sen n m.z1 11 = t , e > O. Con este fin se debe calcular H- 1
Usennmz.. 11' =- ~ hsentnmz..
=+ ~
H- 1
h(1 - cos2nmz.. ).
Al denotar a = 2nmh y sustituir = Re elM, llegamos a que
C-OS 2mn.z~
= cos a.k
=
ll-1
(N- t )A 11 sen n171%11 lll = -2- - - 21
"'
NA
h cos 2nmz11 = 2
L.J
=
t 2,
11-1
11 een nmzlf = 1/V2; por consiguiente, e= V2. De esto modo, la función
Ym ti)= V2 sen nmz1 (58) esté normalizada hacia la unidad. Las funciones propias y. (t) e y_,,. (i), correspondieutes a los diferentes valores propios A., y A.m. son ortogonales en el sentido del producto escalar ll-1
(y, v) = ~ y 1v 1h. 1-1
El problema (53) constituye un caso particular del (t). Dicho problema (8) con ol operador Ay (i) = operador es, evidentemente, autoconjugado y positivo, puesto que
-Yzx
ll- 1
(Ay, y)=~ (Y;, 1 ) 1 h> O. 1-1
•
Por esta razón todo lo dicho en el p. 3 queda vigente t ambién en el caso dado. Loe valores propios >-. crecen a medida que crece s, ttA n.\ puesto que een 2 1
nh )
(N-t)=sen ( 2--2-
nh =COS - 2- ·
nh
~,
nh
ya que :ion - 2-
S S. PrlnclplO
del m4.zlmo
Escribiendo A1 en la forma A1 =
rt2 (
~}
65 2 , ;
== nh/2-
= nh/2 ~ l\/4, y teni(mdo presente que sen ti~ decrece y tiene mínimo para ; = n/4, obtenemos A.1 ;;i: 8 para h ~ 1/2. Para Af'l-l tenemos una estimación A.N-i < 4/h1, y, por consiguiente, k = 1, 2, . .. , N - 1.
§ 5. Principio del máximo para las ecuaciones en diferencias
t. Principio del máximo y sus corolarios. Para las ecuaciones en diferencias de segundo orden con coeficientes positivos Ly, =
ª1Y1-1 -
c,y,
+ b1Y1+1 =
-cp11
t=1,2, ... ,N-1, Yo = 111., YN=µ 1 , (1) a1 >O, b 1 >O, c1 ;;;;;., a1 + b1 , t = 1, 2, . .. , N - 1 (2) tieoe lugar el siguiente principio del máximo. TKORIUL\ 1 (princtpto del rnáJ:tmo). Su.pongamos que u.n operador de dífereT1Cías L está definido por las /6rmv.las (1), (2). Si para una funcl6n y1, prefi/ada sobre la red y diferente de una constante (1. ~ i ~ N - 1.) , se cumple to. condU:i6n Ly1 ;;i: O (Ly 1 ~ O) para todo i = 1, 2, ... , N - 1, entonces dicha f unci6n no puede tomar el valor positivo m.ázimo (negatiVQ minimo) en loa nodos interior es de la red. DBMOSTRACION. Sea Ly1 ;;i: O (i = 1, 2, ... , N - 1). Supongamos que el teorema no es cierto e y 1 alcanza su valor posi\ivo máximo en un nodo interior t 1. ~ ~ i• ~ N - 1: y,.= mh y 1 = M 0 > O. Como y, ..
w
= '••
O ~ l.o;N
¡¡¡9 const, se encontrará un nodo interior í 0 (t 0 puede coincidir con i•) en el cual y1, = y 1, = M 0 O, y en uno de los i 0 - 1, se nodos vecinos, por ejemplo, en el nodo i
> = Y<.-i < y 1• • Escribamos
la verifica la desigtialdad rígurosa expresión para LY1 en la forma Ly, = b, (Y 1 +1 - Yr) - a, (y, - y ,_1 ) - (e, - a1 - b1 ) y 1• En el nodo i = i 0
ca,. l . Bcll4<:lo11.. • ,. dlf•r.not41
tenemos = bi. (Y1 0 +1
LY1 0
-
Y10 )
a1 0
-
(Y1 0 - Y1.-1) - (c1, - a1 0 -
<
O, lo que contradice la suposición Ly1 ;;;is O para cualquiera de los t = 1, 2, . .. , N - 1, inclu.so para i = i 0 • La primera afirmación del teorema queda demostrada. La segunda afirmación se demuestra análogamente (basta sustituir y 1 por -y1 y aprovechar la afirmación que acabamos de demostrar). co110L.UU0 1. Si se cumplen las condlclones (2), es decir, si Lv1 ~O (t = t, 2, ... , N - t), Vo;,;.. O, y,,;;., O, entonces ¡¡1 ;;;is O (i = O, 1, ... , N). SI L111 ;;;is O, Yo ~ O, (1 =O, i, ... , N).
b1,) Y1.
¡¡ 11 ~ O, entonces y 1 ~ O
DBMOBTllACION. Supongamos que Ly1 ~ O e ¡¡1 < O por lo menos en uno de los nodos interiores i = t. ; entonces !h alcanza el valor negativo mínimo en el nodo interior, lo que es imposible en virtud del principio del máximo. COROLARIO 2. SI cp¡ >o, 111 >o, 111 >o, entonces la aoluctón ckl probkma (1)-(2) ea no negativa: y 1 >O (t = =o, 1, ..... N). COROLARIO a. St quedan cumplidas las condtctones (2), el problmul Ly 1 = O, 1=1 , 2, ... , N-1, Yo = O, YN = O (3) ttene '6lo una aoluci6n lrlvlal v el problema (1), (2) es resoluble unlvocam4nte, cualesquiera que nan cp,, 111· DllM08"Jl.Ac10N. Suponiendo que la so ución y1 del problema (3) es diferente de cero por lo menos en un solo punto l . = '•• llegamos a una contradicción con el principio del máximo: sl Jfi. > O (111•
µf,
y,,
problema Ly1 =
-iP,,
1
= 1, 2, ... , N - 1,
-l/
N
= 111
Yo
= 111•
f .S.
67
Prl11el1 1D del múlmo
y, ademds, admttamos cu.mplldal las condtctoM1
1cp, 1~ cP;.
1 f.l1 1~ ji"lt
l 111 1~ v.
•.
En eite caso resulta válida la e1ttm.a.ct6n
1V1 1 ~ Yt para t.odo 1 = O, 1, .... N. DBllOITRACIOH. En virtud del corolario 2, tenemos y1 ;;io O. Para la diferencia y1 - 111 y para la suma y1 + lit obtenemos una ecuación del tipo (1) con los segundos miembros ~f - cpt ¡:¡I - 111 ;;;.. 11. - 11• o y ~f + cp, ;;.. O, jl1 + 1'1 ;;.io O, ;:I, + µ 1 ;;i. O, r espectivamente. Puesto que ~ 1 ± q>t ;,;.. O y ¡:ia. ± !la. ;;.. O (a = 1, 2), entonces, debido al corolario 2, Yt - Yt ;;a. O, Vt + Yt ;., O, de lo que se deduce que -y1 ~ y 1 ~y;, 1 y, 1 ~y,. lo que se t rataba de demostrar. La función y1 se denomina mayorante para la solución del problema (1), (2). 2. F.etimaci6n de la aoluci6n del problema de contorno. Representemos la solución del problema de contorno (f.), (2) en forma de una suma lit = lll" + y¡••, donde vi" es la solución. de la ecuación no homogénea con condiciones de contorno homogéneas: ·
> º·
Lyt = - cp,,
º·
>
l = 1, 2, . .. , N - 1,
Yo = lht = O, (4)
mientras que y¡" represent.a la solución de la ecuación homogénea con condiciones de contorno no homog.Sneaa Ly, = 0,
i
= 1, 2,. ·.,
N - 1,
Yo = 111•
llN
=
flr (5)
Demostremos que para yj" es justa la estimación mh
o.;1<;;N
1y\"
l~ mh(f
111 l.
1 ~ 1).
(6)
Sea y1 la solución del prob lema
Lv =0, 1
1= 1, 2, .. ., N-1, Yo=llN==j¡, j:;=mh (f µ, I, 11'2
I>·
68
Cap. J. BcDoclQ,... • ,. diferencia•
Entonces, de acuerd o con el teorema de comparación, 1 ~ 1 y, ¡, mientras que, en virtud del principio del máximo máx 1 1 1~ µ,p uesto que 1 ;;;¡¡.O puede alcanzar o.;; 1.;; N el valor positivo máximo sólo en la frontera, es decir, cuando i = O o i = N. No es difícil demostrar que la. magnitud máx 1 ¡¡1 1 es 04ií 1 ..;;N una norma. La norma suele designarse con el simbolo 11 y JI •• De este modo, hemos obtenido la estimación l1 y\1} li é~ ~ máx (1 µ 1 J, 1µ 1 1). TEOREMA 3. Supongamos que están cumplidas las condiciones 1
y¡"
1a¡ 1> 0,
y
1b¡ 1>
y
Q,
d¡
= 1C¡ 1- 1a¡ 1- ) b¡ 1> Q t = 1, 2, .•. , N - 1.
(7)
E11tonces, para la soluci6n dll problema (4) es justa la estimací6n
11
u n. ~ nq¡Jd. n•.
(8)
DEMOSTRAcroN. Con el fin de demostrar la citada afirmación escribamos (4) en la forma
c,y, = a,y,_1
+ b1Y1+i + q¡,.
(4')
Supor1gamos que 11/1 1alca.nza su valor máximo 1Yi. 1> > O cuando i 10 (O < i 0 < N). de suerte que 1 y, 1 ~ ~ 1 y1, 1 para cualquier i =O, 1, ... , N. Entonces, de (4') se deduce para i = t 0 :
=
1c1, J J Yi, I = 1ac,Y1,-1 +b1,Y1,+t + epi,
I~ 1a1,
+ J b,, J 1Vc.+t 1+ 1cp,Ji ~
l I V1,-1 1+
ª'· 1+ 1b¡, 1) 1y'· 1+ 1cp¡. 1.
~ (1
a
(loi.l- l ai.l-lb1,l)IY1.l~l11>c.I, IYc,I ~ 1IP1,• 1~ 11 7cp 110 1
Con esto queda demostrada la estimación (8). OBBBRVACION. Si la condición d, = b, > o o d, = 1c1 1- 1 1 - 1 b, 1>O no s e cu mple, por ejemplo, d1 c1 - a1 -b1 ~ O, a 1 >O, b1 >O, i = 1, 2, . .. , N - 1,
=
ª'
e, - ª' -
(9)
69
f 5. Pr lnelplo dd mdzlmo
es decir, d 1 puede reducirse a cero en ciertos nodos, entonces el teorema 3 no puede ser aplicado. E n este caso, con el fin de estimar la solución y 1 del problema (4), se puede proceder de la manera siguiente. Representemos y 1 en forma de una suma y 1 = v1 + w 1 , donde w1 es Ja solución del problema
iw, = b, (w1+ t
=
w,) - a1 (w1 - w,_1) = -q>¡, 1 1, 2, . . . • N - 1, w. = w N =
o.
(10)
Entonces, v1 se determina partiendo de las condiciones
a,
Lv, = b, (v1+ 1 - v,) (v1 - v1_ 1) - d,v, = - d,w,, i = 1, 2, ... , N - 1, v 0 = vN = O. (11) Se puede convencerse de esto sumando término a término las ecuaciones (10) y (11.). La función w 1 puede estimarse inmediatamente (véase el cap. [V, § 3), al escribirla en la forma explicita, mientras que para la estimación de v 1 necesitaremos el TEORZMA 4. Para resolver el problema (11) ba;o las condiciones (9) es válida la estlmaci6n llullc~llwl lc· (12) Dl!.MOSTRACtON. Si d1 O, entonces, en virtud del corolar io 3, v 1 """O, y la estimación (12) queda cumplida. Sea d 1 =F. O siquiera en un solo punto. Construyamos la mayorante Ü, como una solución del problema
=
LÜ, = -d1 1 w1 ¡,
i= 1, 2, ... , N-1.,
v0 =vN=0.
Supongamos que ü,;;;;i.O alcanza su valor máximo para entonces ÍÍ1,+1-ÍÍ1.~0. 1, -v1,-1 ~O. y de (4) proviene d1,ü,, ~ - b,, c'ii,,+. - ü,.>+ cii1. -ü,,_,) + d1,v1. = =d1,lw1, I· Si d1, >O, entonces ii,. < 1 w1 , 1 y obtenemos en seguida la estimación (12), puesto que 1 u1 ¡ ~Ü1 • Si d 1, = 0, la ecuación (t 1) tomará la forma-b 1 1, + 1 1, ) + ª'· (v1, -Üi.- s) = = O, y de esta última se deduce que V.,+1 = Ü..- i = 1, . Por i
v
= i 0;
ª'·
.(v
-v
v
70
v
cuanto Ü1 .,.. con.et, existe tal punto I = 11 en el eusl 1, == ii.,, y en el punto vecino, por ej4!mplo, 1=t1 +1, ii1,+1 < 1,; entone&s aqul d1, +O y obtenemos, puee, el caso analizado mb arriba: = llli 11.:s;;; l Wt, I:s;;; 11 ro lle· 3. &tlmac16n de Ja aolucl6n de una eeuac16n en dUerenclu con ayuda d.e laa f6rmulu de factortsac16n. Para el caso en que b1 = 4 1 +1 • es decir, euando el operador Ly1 sea autoeonjugado, la solución del problema (4) puede ser es~ mada eon ayuda de las fórmulas de factorir.ación derecha. Es más conveniente escri)>ir la ecuación (4) en la forma Ay, = (4¡fr),.,1 - d1111 = -cp,. i = 1, ... , N - 1, !/o= O, JIN =O, (13) 4 1 >0, d1 >0. Escribámosla en la forma habitual: 411/1-1 C¡y¡ + 41+1Yt+1 = -h•i:p¡, Jlo = JI N = 0, c1 = 4 1 + a 1+ 1 + h1d,. 4 1 > O, t = i, 2, ... , N - 1. Veamos las fórmulas de faetorizaeión 111 = ª1+11/1+1 + fi1+1• llN = i = 1, 2, ... , N - 1,
v
v,,
º·
1
ª1+1=
e,~~·,. ,
A
•1111+•1~·
f'l+I
=
e¡-a¡<&¡
'
c:i1 =0, A, = o f'.
,.,.f, 2, .... N-_t, i
-
f
'
2
'
• • •
N I
f -
Bajo Ju condiciones (7) tenemos 1c:i,., 1~ t, y N
N
-1+1
-1+1
lvtl~/v1.il+l li1+il~lvN I+ ~ /f}. /= ~ Al lntroduolr la función
ii1f}1 .... 'll•
'11+1..,, (111
. /fi, /.
obtenemos
+ htcp1) °'l+i•
t
1'11+1 1~ l '11 1+ h• 1
f $. Prlndplo Ñl
"'ÚIMO
71
de modo que
De resultas se obtieoe par a la soluei6o del problema una eatimaei6n apriorístioa ~
•
N
•
-t
A-t
llvll.~~h...!..h hfcp.¡~..!...~ h~ hfcp_.¡ ... t
••
A•t
ca
pe.ra 110 ;.i.01 >O. Esta estimaei6a oos será útil al estudiar la eoovergeocia de los esquemas de di ferencias.
Capftulo ll
Interpolación e integración numérica
§ 1. Interpolación y aproximación de las funciones l. Planteamiento del problema. Uno de los problemas fundamentales del anlilisis numérico es la interpolación de las funciones. Se requiere a menudo restablecer Ja función f (z) para todos los valores de z en el segmento a z b, si est án conocidos sus valores en cierto númer o finito de puntos del segmento mencionado. Dichos valores pueden ser determi nados como resultado de las mediciones (obser vaciones) en un experimento natural, o bien como resultado de los cálculos. Además, puede ocurrir que la función f (z) viene definida por cierta fórmula y el cálculo de sus valores, t i· giéndose por dicha fórmula, es muy engorroso, ratón por la cual resulta deseable tener para la función otra fórmula, más simple, (menos engorrosa para los cálculos) que permitir[a hallar valores aproximados de la función en consideración con una exactitud necesaria en cualquier punto' del segmento. De resultas, surge el siguiente problema matemático. Supongamos que en el segmento a~ x ~ b viene prefijada una red ¡; = {x0 = d < :i:1 < ... < Xn = b) y en los nodos de Ja red están definidos los valores de Ja función !/ (z) iguales a y (z0 ) = y0 , • • • , y (x1) = y,, ... , Y (xn) = = y,.. Se pide construir una tnterpolante, esto es, una fun· ción f (z) que coincida con Ja función y (x) en los nodos de la red: t =O, t , ... , n. f (x,) = y,, (t)
< <
El objetivo principal de la interpolación es obtener un algoritmo rápido (económico) para calcular los valores de f (x) en aquellos puntos x que no están conlenidos en la tabla de los datos.
La cuestión principal et: cómo elegir la interpolante 11 (z) - / (z). Las funciones interpoladoras f (z) se construyen , como regla, en forma de las eombinsciones lineales de ciertas funciones elementales:
f (z) y cómo estimar el error
..
/ (z)- ~ c•• (z),
•-o
donde {• (z)} son funciones linealmente independientes fijas; c0 , c1 , • • • , c0 , unos coeficientes huta ahora desconocidos. De las condiciones (t) obtenernos un sistema de n + 1 ecuaciones respecto de los coeficientes {e•}: l = O, i, ... , n . ~ c•• (z1) - l11t ....o Supongamos que el sistema de funciones ll>• (:i:) es de tal indole que, cualquiera que sea l a elección de los nodos a = :i:0 < z 1 < ... < z 0 = b, queda distinto de cero el determinante del sistema o (zo) , (zo) • • • . (zo) () = 0 (z1) eJ>1 (z1) • •• n (z1) 6 0 (z0 ) 1 (z.) ... cJ>. (z.l
En este caso los coeficientes'• (k = O, i , ... , n) se determinan un(vocamente según las y1 (t = O, i , .... n) prefijadas. A titulo de sistema de las funciones linealmente independientes {- (:i:)} se eligen mb a menudo: funciones poten(en este ceso f = P" (z) es un polinomio ciales . (z) = de grado n); funciones trlgonom6tricas (• (z) = cos kz, sen kz} (/es un polinomio trigonoro6trico). Se emplean también funciones racionales
.r-
Ote+e&Jz+ ... + a.,z"'
o.+6,z+ ... + 6,.zt>
y otros tipos do funciones interpolador11s. Examinaremos aqul los polinomios do interpolación y 111 i; pline-intorpol11-
cihn: un caso de interpolación polinomial a trotos.
74
CAp. //. Jnterpoi.cl4n e lntc1rccl4n num,rlu
2. Int.erpolaef6o polloomlal. Se conoce que cualquier función f (z), continua en el segmento (a, bl, puede ser bien aproximada mediante un polinomio Pn (z) •): Tl!ORBllA os WBI&R8TRA88. Para todo e > O e:i;l1te tal polinomio P,. (z) de grado n = n (e) que mh lf (:i;)-P,. (:i;) 1< r.. zf[o. &)
Sin embargo, este teorema no nos da la respuesta a Ja pregunta sobre la existencia de buen polinomio interpolador para el conjunto dado de puntos {(z,. y 1) ). Asi pues, buscaremos el polinomio de lnterpolaci6n en la forma P n (z) =
i: c-z-,
(2)
A-O
donde e- son los coeficientes indeterminados. Suponiendo
f (z1) = y,. obtenemos un sistema de ecuaciones lineales c0 +c1z0 + ... +cnZ: =Yo• c0 +c1z 1 + ... +cn%~=V1• c0 + c1z,+ ... +c,.:t~ = Yn•
El determinante de este sistema será determinante de Vandermonde distinto de cero:
z0 ll=
%1
% : .. . z: z: ... z:
II
De.aqul proviene que el polinomio de interpolación (2) existe y es único (existe una variedad de formas para su inscripción). A titulo do baso do {- (z)} hemos elegido una base compuesta por los monomios 1, z , z 2 , •• • , z". Para los cálculos resulta más cómoda la baso de los polinomios de Lagrange {lA (z)} de grado n o bien de los coefictenus de •) V6ue, por ejemplo, V. A. llyin, E. Y. Poinyak, "Pund amentala of Matbeniat!cal AoaJysls" Editorial Mir, Moacú, 1982.
Lagrllllge:
1, si l = k, Z1(.r1)= {
O, s1. tr:/=k, t, k=O, t, ... , n.
No es dificil ver que el polinomio de grsdo n
l1(.r) = ll."' (.r) = _ -
(s-lr0 ) (z-s1) ... (s-s1-1) (s-.:r11+1l .. • (s-s,.) (.:r11-r,) (s11- lr1) •.• {s11-.:r11-tl (lr11-"1t.+tl • · · (lr11-z n)
satisface est as condiciones. El polinomio l 1 (.r) se define, evidentemente, del modo univoco. E fectivamente, supongamos que existe un polinom1o más 11 (x); entonces la diferencia entre ellos l,.. (.r) - l,. (.r) = q,. (:e) es un poi inomio de grado n que se reduce a cero en n + t puntos :c1 (i = O, 1, ... . . . , n). Esto será posible sólo cuando ~ (z) - 11 (z) 5"I O. El polinomio l 1 (z) y 1 toma el valor Y1t. en el punto z1 y es nulo en todos los demás nodos x1 para f =fo k. De aqul so desptende que el polinomio de interpolación n ~
2}
•-o
11-0
Pn (z)= LJ l,.(x)y,. =
y,.
II -.,,,_ .., ,.-,.,
(3)
, ~,.
tiene el grado no superior a n y Pn (z1) = y 1. La fórmula (3} lleva el nombre de Lagrange. El número de operaciones aritméticas para el cálculo según (3) es proporcional a n'. Para estimar la proximidad del polinomio P,. (:e) a la función f (z) se supone que existe la n + 1-ésima derivada continua f\fl+I) (.r). En este caso resulta verídica la fórmula siguiente para él error: f(:c)-P,.(x) =
/\nH)m
(n + t JI
n'+ I
II
(z-:c¡) ,
GE(a, bJ.
1-1
3. Fórmula de interpolación de Newton. Al emplear en los cálculos los ordenadores, es cómoda la /6rmula de interpolaci6n de Newton. Con el fin de escribirla se debe introducir las asi llamadas diferencias divididas: -
=
la diferencia dividida de primer orden: y (xi. x¡) y (.r1)l/(z1 - x1);
(y (z,) -
=
76
-
=
C•p. 11. lnt•rpol4cl6n • lnl•1r•cl411 n"mlrlca
=
la dtfertncia dividida de segundo orden: y (:r1 , :r1, :r~) (y (:r 1, :z:1) - y (:r¡. :z:~))/{:z:1 - :z:-), etc. Si y (:z:) = P,. (z)
es un polinomio de ll'rado n, entonces para él la primera diferen cia dividida P (:z:, :z:0) = (P (:z:) - P (:z:0)l/(:z: - :z:0) será UD polinomio de grado n - 1¡ la segunda diferencia P (z, :z:0, :z:1 ), polinomio de grado n - 2, etc., de suerte que la (n + 1)-6sima diferencia dividida es igual a cero. De la definición de diferencias divididas se deduce:
P (:z:) = P (:z:o)
+
(:z: - :&o) P (:&, zo),
P (:z:, :z:o) = P (:z:o, :z:1) + (:z: - .:t1) P (x, :Z:o, :z:¡), P (x, .:Z:o, :Z:1) = P (:z:o, Xi, :z:,) + {:z: - :z:,) P (:z:, Zo• :z:¡, z ,), etc. De aquí obtenemos para P (:z:) la fórmula P {.:z:) = P (:z: 0) + (z - z 0) P (z0 , Z¡) + (z - :r0) (.:z: - :z:1) X X P (.to, %1, :z:,)
+ ··· +
{.:t - :ro) (.:z: - .%¡) • · • ... (z - z,,) P (z0 , z 1 , • . . , :&,.). (4)
Si P (.:z:) es el polinomio de interpolación para la función y (z), sus valores en los nodos de las redes coincidirán con los valores de la fonci6n y (:z:), y, por coruiiguiente, coincidirán también las diferencias divididas. Por eso, en lugar de (4) podemos escribit f(:z:)=Yo+
~ (:z:-:z:o)(.:t-:t1) • · • •-l . . . (x -
:z:..._,) 11 (zo, :z:h · • ., :z:11.)
(poltnomio de Newton). Calculadas las diferencias divididas, el polinomio de Newton se calculará con toda la comodidad según el esquema de Horner J (z) = y (z0) (z - x 0 ) ly (z0 , z1) (x - :r¡) X
+
+
X (y
El cálculo de /
(z) para cada
(z0 , z 1, z,)
+ . .. 11.
x requiere n multiplicaciones
y 2n opetaciones de sumaci6n y sus\racci6n. Existen taJJlbién otras fórmulas de interpolación. E ntre ella.a resulta más aplicable la tnterpolacwn herrnitiana. Aquí el problema se plantee del modo siguiente. Están prefijados n nodos {zi}, n valores de la función {¡¡¡} y n valores de la
der ivada {yi}; se plde ballar tal polinomio de grado m h ímo 2n - t que se verifique
y,,
P (z1) =
P' (z,)
= YÍ•
l = 1, 2, ... , n.
Si t.odos l os :r:1 son di11tintoa, exia\e la úpit.a aoluoión que se halla por un método an6logo al de Lagraoge. Se debe tener en cuenta que l a aplicación de un polinomio de alto gr ado puede conducir a Jos problemas diffoUes relacionados con los errores de redondeo. 4. Spllne-ln1A!rpolaci6o. Estudiemos uo caso especial de la inter polación polinomial a tro~os cuando entre cualesq11iera nodos vecinos de la red la f110ción viene interpola da por un polinomio cúbico (spline-Interpolación cúbica). Los coeficien\.es de dicho polinoinio se determinan en cada intervalo partiendo de las condiciones de conjugación en los nodos:
,, = y, f'
(z1 - 0) t• (z1 - 0)
= /' (z1 + 0), = !" (z1 + 0),
l
=
t , 2, ... , n -
1.
Además, en la frontera se ponen las condiciones para z = z 0 y%= z,, (5) Buscaremos el polinomio cúbico en la forma
f (z) = a, + b1 (z - z,_1) +e, (z De la condición / 1 =
I (z,_,) = f (z1} = h¡
=
ª' a. 1
=
+ d, (z - z 1_Jª, z 1_ l ~ z ~ z 1• (6)
%1-1)
1
v1 tenemos
y,_,,
+ b1h1 + c,h1 + d,h\
Z¡ -
Zl-1'
= 111o t = 1, 2, ... , n - 1.
CaJcuJemos las derivadas: /' (z) = b1 (z) = 2c,
r
+ 2c1 (z - z 1_ 1) + 3d1 (:r: + 6d, (z - z,_,), z,_. ~
:r:1_ 1)•, %
~ %1
(7)
78
Cop. 11. Jnterpolocl6n e lnle1rocl611 numlrlca
y exijamos su continuidad para :r = :r1: b1 + 1
= b, + 2c,h, + 3d,hf, = e, + 3d,h1, t = 1,
(8)
2, ... , n - 1. El número total ,de los coeficientes desconocidos es igual, evidentemente a 4n, el número de ecuaciones (7) y (8) equivale a 4n - 2. Dos ecuaciones que faltan las obtenemos de las condiciones (5) para :r = z 0 y x = :rn: C1+ 1
C1
= Q,
Cn
+ 3d,.h,. = Q.
Expresando a base de (8) d 1 = (c1 +1 - c1)13h1 , sustituyendo esta expresión en (7) y excluyendo a 1 = Yi.,i. obtendremos. 1
b, = [(Y1-!11-i)/h.J-3h1 (c,.1 +2c1),
1=1, 2, •. . , n-1, 2
bn =((/In - lln-1)/h,.J- 3 h,.cn.
Ahora, al sustituir las expresiones para b1 , bi+1 y d 1 en la primera fórmula de (8), obtenemos, después de algunas transformaci ones no complejas, una ecuación en diferencias de s.egundo orden h 1C1 +2(h1 +h1+1) Ct+I +hl+1C1+1 = 3 ( ~111+1-111 111-111-1) ¡, t 1
I = 1, 2, ... , n-1,
(9)
con las condiciones de contorno C1
= Q,
Cn+t
=
(iO)
0,
y esta ecuación se usa para determinar c1 • La condición c,.+ 1 = O es equivalente a la condición en 3d,.h,. = Q y a la ecuación c1+1 = c1 d1h 1• La ecuación en diferencias (9) con las condiciones (10) se resuelve por el método de factorización. Se puede introducir la noción de spline de orden m como función que es un polinomio de grado m en cada uno de los segmentos de la red y que en todos los nodos Interiores de la red satisface las condiciones de continuidad de la función y de las derivadas basta el orden m - 1 inclusive. Habitualmente se usan para la interpolación los casos de m = 3
+
+
(spline cúbico analizado mb arriba) y de m ... 1 (1pltne lineal, correspondiente o la aproximación de le gráfica de la función y (z) por una quebrada que pasa o través de los puntos (z,, 111)). 5. Apllcación de la lnterpolaci6n. La Interpolación se aplica en varios problemas relacionados con los c!lculos. Indiquemos aquí algunos de estos problemas. La elaboración de uo experimento físico conslnente en la construcción de las fórmulas aproximadas para las magnitudes caracterlsticas según datos tabulares obtenidos en los experimentos. La construcción de las f6rmula.s aproximadas a base de los datos de un experimento de c&lculo. En esto caso surgen problemas no típicos do in terpolación, ya quo, corrientemente, se escriben fórmulas cuya estructure sea cuanto más simple. La su»tabulación, o sea, el espesamiento de las tablas se usa en aquellos casos cuando el cálculo inruediato de las funciones resulta düícil, o cuando se tienen pocos datos experim(>ntales. A le máquina electrónica se introduce une labia pequeña, mientras que los valores de la función indispensables en los cálculos se hallan, cuando seo necesario, según la fórmula de interpolación. La interpolación se aplica también en el problema de interpolact6n inversa: está dada la ta bla ¡¡1 = y (z 1); se pide ballar z 1 como función de ¡¡1• A ti tulo de ejemplo de interpolación inversa puede servir el problema do búsqueda de las raices de una ecuación. Las fórmulas de interpolación se emplean también al calcular integrales y al escribir aproximaciones de diferencias para las ecuaciones diferenciales a base de las identid ndes integrales. El aparato matemático de cualquier ordenador contiene programa~ estándar de interpolación . 6. Aproximación media cuadrática. Hasla ahora hemos analiiodo la construcción de los polinomios do interpolación 11 (z) quo coinciden con los valores de la función do partida / (z) en cierto conjunto de nodos sobre la red w: Y (z1) = / (z1), z1 E w. Ln función ¡¡ (:z:) aproximo la función / (z) on ol intervalo de la red.
Sea L 1 la, bl escalar
UD
espacio de funciones reales con producto b
(/ , q>) ... ~ /(z)q>(z)d:&
..
y norma
11/llL.=Y"
f).
Examinemoa el problelJla general sobre la aproxim.s ción de las funciones f (z) mediante las funciones pertenecientes a L, , sust ituyendo la exigencia 111 = f 1 por la condición del mfoimo de la norma: 11 / - 11 lli,. o de la pequeñez de la misma: 11 f - 11 lli.. < a, donde a > O es la exactitud prefi jada. La búsqueda de inf 11 / - 11 llL, es el problema de encontrar la TMjor aprozlmaci611 mtrdta cuadrtftú:a. A titulo de 11 (z) tomemos el pollnomlo ftrMrallsado
-
" c11q>,. (z), 11 (z) = ~ donde {q>,. (z)} es una familia de funcionO.!I ortooormalizadaa en {o, b)
1,k = m, 6•"' = { O. k + m, y son unos coeficientes arbitrarios. Entonces, el problema de encontrar la mejor aproximación media cuadr6.tica se reduce a la b,., q>,,.) = 6• 111•
e,.
mfn 111 (z) -
,.,.,
....i;
c,.cp,. (z) 11 = F (eo, c1,
. . .,
e,.).
Calculemos la dtf$1Jlacl6n m4dla cuadráttca
11 / - 11 11• - 11111' - 2 (J.
//)
+ 1111 111•
Sua\\tuyendo aqui las expresiones
(/, //) = 11-0 :t c11 (/,
cp,.)-
:t cJ,.,
11-0
111111•-
:tel.
•-o
/,. -(!, cp,.),
$ 1.
lnlerpol•cl
/01
/unclonu
8t
obtendremos
ll /-vt1 1 ~ll/ll 2 + f
~/l. •-o (c,.-/,.) •-o 2
-
Do aqui so ve que el minimo del orror se consigue para f,., ea decir , en la función
e,. =
y (z) En este
v. (z) =- aiij,-o / cp,. (z). 1
C4.90
(1.i) De est.e modo, la mejor aproximación media cuadrática existe y es 6nica. Ella lleva al problema sobre el cálculo de las integrales para determinar c1 = fi. = (/, cp,.). Si las fu nciones {epi.} forman un sistema ortonormaliu
Z 11 = J/ª(z)d.z =lt/11 •-o •
1
•
(12)
Al compar&r (H) con (12), encontramos
111-v.. 11•=
~ 11.
-+I
y,.
es decir, 11 f 11- O cuando n - oc; la mejor aproximación media cuadrá tica converge hacia f (z) y queda posible la aproximación con cualquier exactitud: 11 f - ii. 11 ~ e , siempre que n ~ N (e) (n es bastante grande). oBaBRVACtOH. Todos los razonamientos están en vigor, si el producto escala r se toma con el peso p (z) >O: b
(f, cp) =
Jf (z) cp (z) p (z) dz.
o
Son posibles también otros criterios de la aproximación, cuando la desviación f - y se minimiza en otra norma, por ejemplo , en 111 norma del espacio C (aprozlmaci6n uniforme).
82
Cop. /l. lntorpolacl6n e lntegroc14n namtrica
nealizándose la mejor aproximación uniforme, nosotros buscamos la función y (;z;) en lo cual se consigue min máx 1 f (z)- V (.x) I · M a.;;:u;;b
Sin embargo, hasta ahora no se ha encontrado un método que permita encont rar los coeficientes de la mejor aproximación uniforme (por el número finito de operaciones) para una función, definida en el segmento la, bl. Se pueden indicar, además, otros planteamientos de Jos problemas de aproximación: en un conjunto discret o, en una totalidad de segmentos y otros. Se estudian también los métodos de aproximación no lineal, por ejemplo, con ayuda de las funciones racionales. Lo último resulta efect ivo al elaborar los resultados de los experimentos.
§ 2. Integración numérica t. Planteamiento del problema. Fórmulas de Integración numérica (de cuadratura) más simple& El objetivo de la lntegraei6n numirtca es hallar el valor aproximado de la integral b
JlfJ=
J/(r)dz,
(1)
Q
donde f (z) es una función prefijada. En el segmento la, b) se introduce una red ¡;;- = {z1: :.r: 0 = a< z 1 < .. . < z1 < < .%1+1 • • • zN = b} y como el valor aproximado de la integral se considera el número N
J N (/J - ~ ~t/ (z,),
donde
I (:.r:1) son los valores de la función f
z = z, y
(2)
(z) en los nodos
e,, /aetor13 pond6rale4 (d4 ¡>4SO) que sólo dependen
de los nodos, pero no son dependientes de la elección de
f (z). La f6rmu.la (2) se denomina de cuadratura, o de integración numérica. El objeto de la integración numérica con ayuda de cuadraturas consiste en b\Íllqueda de tales nodos {:.r:1 } y pesos {c 1 }
f l. /"1ctncl611 "ª""rica
83
que el error
D(/I=
~ c,f(:z1) -
,_º
&
J/(:z)dz •
J,,(/J - Jf/l
sea minimo para las funciones pel'tenecien\es a la clase dada (Is magnitud de D (/1 depende del grado de suavidad de / (:z)). Al CODlltruir Ja fórmula de cuadratura, la integral (t) se representa., corrientemente, en forma de una suma de lu integrales del tipo ~
! /(:z) dz, a
cada una de las cuales se reduce a la integral estándar por el segmento de longitud unidad:
¡I 1
L llJ -
(3)
(•J cü
mediante una sustitución :z = et
f (:z) = f (a
+ (p - et)'· + (!} - a) s) ... 7 (s),
(4)
(5)
de modo que
J -
/(z)dz-x
a
JÍ(1)ds->cLl/J, t
"-~ -a
O
(la raya por arriba de/ (1) se omitirá). Convengamos en cou· siderar que ii es una red uniforme. En este caso podemos escribir N
J, -
r··-·
J f/Jc: ~ J,. 1- 1
I (z) d:z-h
Jt (:z
1_,
+ hs) d1.
84
Cap. 11. lnl
Si N = 2t 0 es ua aúmero par, t.eaemos J /21 -1=
111 =
~
1-1
Jz¡_..
J /(z)dz=2h Jf(z~14 +2hs) ds,
""
t
"11-1
o
etc. Asi pues, el probluma se reduce a la construcción de la fórmu la de cuadratura para Ja integral (3) que se calcula por ua segmento unidad. Escojamos en el segmento O< s < < 1 los nodos O< s0 < s1 < ... < s,,.<1 (molde de Ja fórmula de cuadratura) y a la int.egral (3) le pondremos ea correspondencia la fórmula (6)
Veamos las fórmulas de cuadratura más simples: - f6rmula del rectángulo (el molde contiene un nodo):
m = O, p 0 = 1,
to=!,
A(/) = /({);
- /6rmula del trapecio (dos nodos):
m=i,
t
t
Po = 2• P1=2; lo = O,
81 =
1
A (f) =}(/(O)+ f (i)); -
/6rmula de Stmpson (tres nodos): t
4
in == 2, Po = Pa= e• P• = e·
A(/)=! (t<0)+4/ (
t
,, ... o, •1= 2 , 'a = i,
! )+t(t))
y otras. En la práctica se e.m plean, como regla, las fórmulas con un número pequeño de nodos del molde. Escribamos ahora las fórmulas correspondi entes para la lat.egral (i) ea uaa red uniforme {z1 = lh} de paso h. Teniendo presente la sustitución (4) y (5), obtendremos
S t.
85
lnl•l"'•l6n 11amlrlc•
fórmula del rect&ngulo: N- 1
J,.1/1 = ~ hf(z1+vil•
(7)
1-i>
- fórmula dol trapecio: N
JN
111 =- ~
e,/ (z1) h,
c1 = 1,
1-0
t - 1, 2, .. ., N-1¡
(8)
- fórmula de Simpson: N
JN(fl - ~ c,/(z1)h=}(fo+4f, +2fs+4/,+ ... 1-0
... +2/N-a+4/,._,+f,.) para N=21,.
(!J¡
2. Construccl6n de las f6rmulu de cuadratura. En virtud de lo dicho más arriba , exponer el problema ser& suficiente pera la integral tipo (3), a la que se le pone en correspondencia la fórmula de cuadratura 1
"'
o
11-0
J/(s) d& ~ ~ pJ (t.).
(10)
En el caso general los nodos y los pesos son desconocidos y ha n de ser determinados. Examinemos al principio un caso en que los nodos están prefijados y se requiere hallar los pesos de la fórmula de cuad ratura {p~}. Hagamos uso del requisito: la fórmula (tO) debe ser exacta para cualquier polinomio P, (s) de grado r~m:
/\ IP,I = L IP,J,
r~m.
(tt)
Para que un polinomio de grado r sa t isfaga (t1). basta por exigir que la fórmula de cuadratura sea exacta para cualquier monomio s" de grado o (o = O, 1, .... r). Teniendo presento que /., (~"') = 1/(o + t), obtenemos de (11) m 1
+
86
C•p. //. /,.terpolacl.6" e 1,.1egrat16" "u1drlca
ecuaciones Po+ Pt + · ••+ Pm = 1, P°'9+ p,s, + ... + p,,..s,,. = t/2, Poi~+ p,s1
+ ... + p,,.•~ =
1/(a + t),
Po&o + P1•T + ... + p,,,1;:: = 1/(m+ 1). Este sistema tiene uns solución única, puesto que su determinante es el de Vandermonde, distinto de cero, si no hay nodos coincidentes, s 0 < 1 1 < ... sm. Asl que, suponiendo m = 2, s0 = O, s1 = 1./2, s 1 = 1, tenemos un sistema Po + p 1 ~ p 1 = i , p,12 p 1 = 1.12, p,14 + p 1 = 1./3, cuya solución está representada por los ¡¡e.~os de la fórmula de Simpson: Po = p 1 = 1/6, p 1 = 416. De este modo, la fórmula de Simpson es exacta para un polinomio rle segundo grado. No obstante, por ser simétrica, ser' también exacta para todos los polinomios de tercer grado: P 3 (1) = t + a:1 (s - t/2) +a: (s - t /2)1 + a: 3 (s - 1/2)3 , puesto que es exacta para / (s} = (s - 1/2)3 • En efecto,
+
A[(•-~ )'] = -}((-{)ª+4·0+ 1
u)')=0,
1
L[{•-! ) ]= J(•- ~rds =o. 3
o Las fórmulas del rectángulo y de trapecio son exactas para una función lineal, es decir, para un polinomio de primer grado, de lo que es fácil convencerse inmediat amente . . En el caao general, a titulo de P,,. (.s) puede elegirse el polinomio de inte.r polación de Lagrange
Pm(•) =
~
•-o
zrl(1)/ (••),
donde z4•• (s) es el coeficiente interpolador de Lagrange. De la igualdad
L(P,,.J =
JP,,.(s)ds= ~/(s.)= Jli'" (s)ds= ~ P•f(1.) 1
"'
1
9
...u
o
1
'"
~-~
se ve que la fórmula (10) es exacta para un polinomio de grado m, si los factores ponderales PA se determinan según la fórmula t
~ z1."'l (r) ch.
PA =
(t2)
Las fórmulas de este tipo se llaman /6rm.ulas de cuadrat ura de Cotes. Aduzcamos como ejemplos de las fórmulas de cuadratura dos fórmulas más: en el molde tetrapuntual, sA=kl3 (k = O, 1, 2, 3), m=-3:
A(/} =
i- (f (0) + 3/ ( f) + 3/ (-}) + f (1)) , 1
Po = P• = a·
3
P1 = P2=a·
en el molde pentapuntual, sA
m
= 4:
J\ (/)
= ~ ( 7f (O) + 32/ (
+) +
= k/4
(k =O, 1, 2, 3, 4),
12/ (-})
+
+ 32/ { {-} + 7/ 7
Po = Pl = 90 •
Pt = Pa =
32
oo •
Pi=
(1) ) ,
12
oo ·
Los moldes de las cinco fórmulas de cuadratura aduc idas más arriba constan de los nodos simétricos con relación al centro s = 1/2 del segmento O ~ s ~ 1. 3. Fórmula de Taylor con térm.l.no residual en la forma integral. Al investigar el error de la fórmula de cuadratura nos ha rá falta la fórmula de Taylor con término residual en la for ma integral :
f
(1) =
f (O)+ 11' (O)+ ~ /'(O)+ •• • + :~ /<">(O)+ R,.. i(s), (13) Rn+i(r)=
j <•:,')" /1"• 11 (t)dt , o
88
Cap. 11. lnlcrpolccl611 • l11te1rccl611 namlrlcc
Dicha fórmula puede ser demostrada por inducción respecto de n. Para n = O es justa:
f (s) = /(O)+ Ri(1).
R 1 (s) =
Í /' (t)dt. o
Admitamos que es justa para n. fntcgrando por partes, obtenemos una correlación
r
1 J ·-ni•>"
,(n+I)
dt =
o
= - <•')"•1 (n+t)I
,(',..,,<,)!'o+ Jr <·- '>"•1 t<"'"'>(t)dt = o
(n+t)I
1 - ~/<"*ll(O)+ >n+1 t<••i>(t)dt ' (n+ t)I Jf <•(n+ t)I
-
o la cual demuestra la fórmula (13) precisamente para n
( ntroduciendo la función ~/ni
K.m= { o
para ~~O, para ~
(14)
+
1.
(\5)
escribamos la fórmula para el término residual R. +1 forma
011
la
1
R.+i{I)=) K. (1-t)j<•+O(t)dt. (16) o 4. Fórmula para el error de la fórmula de cuadratura. P11eemos a la deducción de una fórmula para el error de la fórmula de cuadJ'atura ll (/) = A 1/1 - L 1/1 (17)
+
en la clase C<"•1> de funciones que tienen la (n 1 )-ésima derivada continua en el segmento O~ s ~ 1: f (s) E 1 E C<"• > ro. 1 ]. En este caso sirve I" fórmula (13) o bien (18)
De lo expuesto anter iormente (véase el p . 2) est.á claro que para un polinomio Pn (s) de grado n la fórmula (10) es exacta en dos easo11: para n ~ m + 1 = n 0 , si m es par y la fórmula es si métrica; para n ~ m = n 0 en todos los demás casos. Su pondremos por ahora que /\ IPnl = L IPnl, es decir, n ~ n 0 • (19) Volvamos ahora a la diferencia ó (/) y sustituy8Jllos P" Rn+i en (17). Tomando en consideración (16) y (19), obtendremos ó(/) = /\ lfl - Lf/l = = (J\ fPnT- L (P,.1) + (A (R,.+ 1 1- L (R,.+11) -
f =
+
"'
1
J
= A IRn• il-LfR,.+al - ~ P• K,. (1.- t)f<"'ll(t)dt •-u o l
1
- J JKn (1-t)f("+ll (t}dtds = o o
1
"'
= ~ [~
l
p.K.(s.-t)-
JK,.(s -
t)ds]ft"•ll(t}dt. o ~-o o HacienJo uso do le expresión (15) para Kn (s - 1) , hollamos 1
l
<•-'>" t-1> "'' Jr Kn (s-t)ds= Jr -,. -1- di= <(n+ l )l
o 1 Do resultas, la fórmula para el error toma la forma l
ó(f)=
JF ,.+.(t)/<"'ll(t}dt,
(20)
o donde .
"'
~
F., 1 (1)= L.J p.K ,.(s.- t ) -
(t - 1)""
•-o
(n+ t ll
.
(21)
De aquí M des prende la estimación para el error J 6 (/)) ~ Mn ¡. ¡Cn+ ¡
(22)
00
Cop. 11. lnlerpol11cl6n d lnld,rwcl6n numlrlco
para 1/1"• 1> (l) J tante, y para
< M,.+i,
donde M,.+1 >O es una cons1
Cn+1
Jo JF,.+1 (t)J clt.
=
Si F 0 +1 (r) no cambia de signo en el segmento O~ s ~t. entonces, en virtud del teorema del valor medio, tenemos
.1(/)=f"••(~)
1
JF
0
HIO, 11.
+1 1t)dt,
o
5. Estimación del error de las fórmulas concretas. Nuestro objetivo es obtener la estimación del errur .1
'(j) =
= A 1/1 - L 171 de la fórmula de cuadratura para la integral estándar (3). Al pasar a las fórmulas para las integrales (t ) y (3), se debe tener en cuenta que
el"/ (•) = x º
dª f (z)
,uº
f (s) = f (;r;) ,
+ -
=a. (~ Por eso, para el error %
...
dlfl =
h
dzº
a.) S,
•
d.z =
X
ds,
X
= ~-
a..
~
'X.P11.f(x11.)- ) /(x)dx = xA(f)
l-0
CI
es justa , en virtud de (22), la fórmul a Id 1/11 ~c. + 1x"+s máx lf<"•I) (.z) 1. ñ(a,~)
t
e,.., = ) 1F,.+dtl 1dt . o Para el cálcu lo del error J N 1/1 - J lfl es necesario, evidentemeute, sumar sobre la red los errores J D IJI J. Veamos las fórmu la.s de cuadratura más simples. 1) YORKULA DEL RBCTANOULO: m = Po= t , So = i/2, A {j) = /(112). Debitlo a la fórmula (20) lenemos
º·
1
Adfl=
J F ( t )/•(t)dt, 1
ü
91 es decir, F, (t) = -(1 - t) 1 /2 1/2, F, (t) = = (1/2 - t) - (1 - t)'/2 = -11 /2
f
Aien = r ) '· <') dt =
-
/
o De aqul se infiere que d,(fl c: h/(z1-11z) -
;¡> . 'l E (o. t).
.,
J /(z)dz= - ~f"(E,),
x:,_l
~'E (z1_1 ,
(23}
r , ¡.
Sumando según i = t, 2. . . . , N, y leniondo presente que la media aritmética es igual a H
~ hrci,) -
,_.
H
b;• ~ r
·-·
obtenemos para el error la íórmula del rectángulo: 11•
D"U) = - 24""rct•)(b-a). Si f (z) tiene derivadas continuas por lo menos de cuarto orden, / (z) E e<"> (n;;, 4), podemos aoolor el desarrollo asintótico para el error : (24) donde
a, = - ~
b
Jf'( r)d:r= -
~
(f'(b) - f'(a)J.
o
En 1:1/ecto. al sustituir en (20} la expresió11
'lE(O, ll
92
Cap. 11. /1tl1Tµ/11el61t ' l1tle11'llcl611 numhlco
hallemos, después de ciertos cálculos no complejos,
~
ó, (/) = -
/• (
! )+ ~ ¡iv (TJ),
TJ E (O, 1).
De aqui se dedur.e que N ¡,t ""
N
D,, (/) = - 24 L.J hfi-112 + g¡¡o L.J hj h•
•-t
"i;l
IV
Ct1).
··- ·
Al tomar en consideración que, en virtud de (23), N
~
b
hfi-112=) f'(x)dz-
~ f 1 v (t•)-(b-a), t•Efa, b),
·-· obtenemos el odesarrollo (24). De (24) se ve que la fórmula del rectángulo tiene el cuarto grado de precisión: D N U) = O (h'). si la función f (z) satisface la condición f' (a) = f (b). Si se conocen f' (a) y!' (b), podemos poner f (z) = cp (z) w: fl:z:S, donde cp (z) satisface la condición cp' (a) = cp' (b), siempre que a y ~ se elijan del modo siguiente
+
b/' (11)-af' (b)
a=
b-o
A _
'
¡.o -
+ /'
(b)-1' (a) 2(b-a) ·
Entouces b
Jf
b
(z)dz=
o
J
ip(z)dz+c,
o
t t c=-z «(b' -a~)+ T~(b'-a'). La integral de q¡ (z) se calcula según la fórmula del rectángulo cou la eitactit ud de O (h'). 2) FORMULA Dl!.L TRI.PECIO: m = 1, Po = p 1 = 1/2, S0 = 0, S¡
= t,
A(!)= ~ (/(O)+/ (j}).
La función F, (t) = -} t (t - t) >O es de signo constante, por lo cual queda válida la estimación
,..
D!f(f>=trf"
~
93
2. /11te1racl611 "ª"'lrlca
es decir, el coeficiente de h' en la expresión para el error de la fórmula del trapecio es dos veces mayor que para la fórmula del rectángulo. Reiterando los razonamien to:!, análogos a los citados más arr iba, nos convencemos de que es justa In fórmula
DN
({)
=- - 2a.sh1
+ a.,h'
f E C<">,
para
n ;;;;.. 4,
donde a. 1 se determina de acuerdo con (24), a., = O (t). 3. ron1111JLA DE SlMPSON: m = 2, So = s, = 112. s, = = 1, Po = P2 = 1/2, Pi = 416.
º·
J\(f) =
! (7<0)+47(})+/(t)).
Por cuanto la fórmula de Símpson es exacta para un polinomio de te.r cer grado, entonces n = 3 y calculamos: 1
A,
<7>- JF.(t)Í v (t) dt, 1
o t F, (t) - -¡¡- (K, (O-t) + K1 (1 - t)) +
+ 64
K ( 1
t
T-
t) --u--· (t-1)•
De aqul encontramos
P,(t) = -ff.(2t'- 3tt),
t< ! ;
t
P.(t) =n (2(1. - t)3-3(t-t)'), F&(t) >O para todos los t E{O, 1),
y, por consiguiente, 1
Jo F&(t)dt =
~
rle 11uerte que es exacta la fórmula -
1
- 1v
Aa (/) = 2Eiiif I
(T)),
t
t > 2" ,
TI E(O, 1).
114
Cap. //. Jnterpol4ct6 n • tnt•1rocl6n num~rtco
Pasando a las integrales respecto de z y teni endo presente que x = 2h, / 1v (r¡) = (2h)• ¡1v (t1), obtendremos
donde N = 2i 0 , h = 1/N. Si es que / (z) E c1n> (n ;:;;i: 6), entonces podemos obtener un desarrollo de la forma DH(f)=a,h'+a..h•,
a, = t!o
a 9 = 0 (1),
1
J/ v (z)dz= 1:0 (/"'(1)-/9(0)). 1
o
6. Aumento del orden de enctitud. Método de Runge. Para laa fórmulas de cuadratura (por la aoalogia con lo a.n teríor) se puede obtooer un desa.r rollo asintót ico de la forma D N (/) = J N (/) - J (/) = a.Ji' + r¡..h• + a.J¡• + .. ., al / (.r.} us una función suficientemente suave. En este caso 1'1-A ~ . 1 es considerablemente inferior a 1 1 (k = 2, 4), r<.:i.on por la cual el aumento del orden de exactitud de la fórmula de cuadratura resulta muy importante. Realicemos los cálculos sobre dos redes uniformes con los pasos h¡ y h 1 , respectivamente, y hallemos las expresiones
a.,.
l~'[fl=Jto¡ 1 (1J y 111'(/J=IH, (fl, h,N,="2Na=b-a. Exijamos que el error para su combinación lineal
Y. U> = U 1 (f) + (1- o) u• sea una magnitud de orden superior en comparación con y DA• . Si para D" = D" tiene lugar la fórmula del tipo D" = ¡11 (fl - J (/) = a.pliP + aqli9 + . .. , q > P•
D'"
f l. /nle(,.cl4n namlrtea
D" =
entonces para tendremos
(ol"• lfl
+ (i
- o) J"
lfl) - J (/) ob-
Í}" (/) = ci,. (ohf + (i -o) hl) + a.. (oht + (i - o) hi) + . .. Elijamos el parámetro o, partiendo de la condición ohf + + (1 - o)~ = O:
o = hf/(hf-hf). Eo este c•so tendremos D"(f)-ci9 (oh1+(1-o)hl)+ ... =0(h9), h - mh (h" ~.
con la part icularidad de que ah! + (1 - o) hi < O. Así, por ejemplo, si p = 2, q 4, entonces D" (/) = - a.Ji:h• + ... = O (h'). De esta modo, al realiaar los cálculos sobre dos redes con los pasos h, y J; o;I:: h., hemos aumentado el orden de exactitud en 2 (en q - p) para J = = ul"• (i - o} JI... Observemos que combinando la fórmula del trapecio Jt~ap (/) y la del rectángulo J~, (/), ambas con-paso 2h, obtendremos la fórmula de Shnpson Jft1mp con paso h:
=
=
+
l~tmp 1/1 -
+Jt,"..
p (/)
+ J~, (/) -
"
= r;(/, +4/, +2/,+ ... +2!11t..s + 4f&N-t+f&N), donde h = (b - a}/ (2N). El método de cálculo sobre varias red e! se apJica para el aumento del orden de exactitud incluso en aquel caso cuando se desconoce el orden del término principal del error (proceao de Allken). Supongamos que para el error tiene lugar la representación
D" (j)
= ci~" + a,Jl' + ... ,
q
>
p,
de suerte que J" 1/1 = J 1/1 + a~" + a¡h' + ... fieallcemos Jos cálculos sobre tres redes: h1 = h, h 1 = ph, h 3 = p'h (O < p < 1). Determinemos, al pr incipio, p, mil·
96
Cap. 11. Jnterpolacl6n e lnLetrad6n num¿rlc4
oosprecia ndo el término O (h4). Formemos una ra260 A=
1"• 111 - 1"• 111 h~ - h! 1"1 IJl-111• (/) ~ h~-1&~
=
1- pP = { -p i pP (1-pP)
)p
y bailemos p~
Jo A/ln
t -p·
Sabiondo el valor aproximado do p, se puedo, empleando el método de Rungo expuesto más arriba, aumentar el ord en do exactit ud. Con esto fin formemos una co mbinación J" = = al"• + (t - a) l"• y elijamos a do una manera tal que se verifique ahf + (t - a) h~ = (a + (t - a) pP) hP = O, es decir, a = pJ'/ (pP - t ) = t / (1 - A). Entonces, para el error D" = jí. - J obteoomos
D" (!) = o (h4'J. Todos estos razonamientos tienen sentido, por supuesto, si la función / (z) tiene una suavidad correspondiente. 7. F6rmulu de cu.dratura de otro tipo. Sin perturbar la generalidad de razonamientos podemos considerar 1
J 111 -
Jf (z) dz.
(25)
o
Hasta ahora se bao ana liudo las fórmul8l! do cuad ratura con los nodos prefijados (z 11 }: H
J" 111 - ~ c,J (z,.).
(26)
11-0
Las fórmulas citadas son exactas para todos los polinomios de grado N. Si se consideran desconocidos no sólo c11 , sino también los nodos z 11 , podemos exigir que la fórmula de cuadratura (26) sea exacta para todos los polinomios de grado 2N - 1. La fórmula do esta índole lleva el nombre de Gauss. Exigiendo que para los monomios 1, z, x•, ... ,
S 2. ... , .r"', ... ,
zN
la fórmula sea exacta, es decir, que 1
N
J N (.r"'f
=~
91
/11t•1rocl611 r111mlrlca
Jo x"' dz = :":;-11 1: =
CAZA° =
-- o
t
m=O, 1, . .. , 2N-1 ,
= m+ t , obtendremos 2N
+
2 ecuaciones para los nodos y pesos
c0 +c, + . . . +cN = i c.zo + c,.r, + ... + CNXN "" 1/ 2,
CoZ~N+I
+ c,x~N+I + ... + CNX~N+I -
1/(N
+ t).
+
EL número total de las incógnitas es igual a 2N 2, es deci r , N t nodos y N + t factores ponderales desconocidos. El número do ecuaciones es también igual a 2N 2. Se puede demostrar que el sistema escrito de ecuaciones tiene la solución. Aduzca mos la fórmula de Gauss más sencilla para N = 2: 5 8 s J H 111 = t8 f (z,) +Te f (za)+ Te f (.rz),
+
+
donde Xo =
t- VD.6 2
'
t+
v'ü.6 2
t
Z1=2·
Las fórmulas de Gauss proporcionan buena precisión con el número reducido de nodos. De un ejemplo más sirve la f6rmula de cuadratura de CMbishev en la que se eligen los mejores nodos bajo la su posición de que todos los pesos son iguales. En este caso
,,.
JH(fl =
~ ~
/(zA)•
Exigiendo que la fórmula sea exacta para f (x) = .r, .r2 , • • • obtend remos N ecuaciones para determinar .r., .r1 , ...
. . .. zN.
• . . , ZN:
~+:i:~+ · .. +x:;= m~f , m= 1, 2, ... , N. Estas ecuaciones tienen soluciones para m = 1, 2, .. . , 7, 9, y para m = 8 y m ~ 10 no tienen raíces rea les. Cuando m = 3, la fórmula de Cbébishev tiene por expresión 1
J/d:i:~ J,(/]= ! [t ({- ! -V2} +t ( ~ )+ o
+t (! + fV2). Para ella el coeUcien te de 11 /lV lle en Ja estimación del error es dos veces menor que para la fórmula de Simpson. OBSBR VACtONBS. En ciertos casos al cálcul o de las integrales le debe preceder su lransfor mación, teniendo en cuenta los rasgos específícos de l a función subintegral. E jemplos: 1) J (:i:) =
~,-
2
"$
/0 (x),
/ 0 (O)+ O, es decir, /(x) tiene
una singularidad cuando .:t = O. Esta singula.r idad se elimina por el cambio de variable: 1
1
) /(z)dx=) o o
1
~·~~ dx=) fe(z)dVz = o
1
=
Jj(t2) dt,
t = V'i.
o 2) Ls función subintegral tiene el carácter exponencial: / (.r) ~ cf!U, es decir, la función In f (x) es lineal. Representemos/ (:.r) como f (x) = eip {In J (x) }, interpolemos ln f (z) linealmente en el segmento (:i:1_1 , x 11: In f (x) = ~In / 1_ 1 z 1 -z,_ 1
+ z-zi-t .x1 -
z1-1.
In f,.
e integremos después respecto de x entre x 1 • 1 y :r1 • Esta fórmula resulta útil en los cálculos práct icos. 3) Si/ (.:i:) es u na func ió n rl!.pid ameote oscilante, de modo que puede ser escrit a en la forma / (z) y (x) cos (¡)z, donde
=
§ 2. lnlegnscl6n n11mfrlc4
la frecuencia w » 1 es grande, entonces calculando una integral se puede recunir al procedimiento siguiente. Primero integramos por partes:
% ' ) J (x) dx..
x, ) y (.z) cos w.z dz -
1'
y'(•) sen w.z dz.
Si y (x) es lineal en (x1 _ 1 , • 1 1, entonces la integral del segundo miembro se calcula en la forma explicita. Si y (x) es un polinomio de grado n, la integración por partes se realiza n veces.
Capftulo 111
Resolución numérica de los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
En este capítulo se estudian los métodos de resolución numérica de loa sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, es decir, los métodos numéricos del álgebra lineal. Existen dos tipos de m4ítodos: directos e iterativos. Analiir;amos, ante todo, el método de eliminación de Gauss para los sistemas del tipo general y las variantes: método de factorización y métodos de factorizaci6n matricial para los sistemas del tipo especial (con matrices tr idiagonal o tridiagonal por bloques). Estos son los rnitodot dfrectos. Su eficiencia depende del orden del sistema y de la estructura de la matriz. AJ estudiar loa métodos Iterativos, consideramos todo sistema de ecuaciones como una ecuación operacional de la primera especie Au = f , y exponemos la teoría general de los métodos iterativos para ecuaciones operacionales con su posiciones mínimas respecto del operador A . La teoría general permite demostrar la co nvergencia de las iteraciones para el método de Seidel y para el método de relajación super ior con restricciones minimas para el operador A. Se bao analizado dos clases de los métodos: t ) para el caso en que se conocen las fronteras y1 > O y y, ;;;;.. y 1 del espectro del operador A en cierto espacio energético H 0 ; 2) para el caso en que las fronteras y1 y y, no se conocen. Es de gran eficacia el método triangular alternado que se estudia en el § 5.
§ 1. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales t. Siatemu de eeuaclona. El problema fundamental
del '1gebra lineal consiste en Ja resolución del sistema de ecuaciones (t) Au = /,
§ J. Sl1l1miu do ot,..cl<>nu olt•bro.lcu
101
donde u - (u<1>, •.• , u, /(l)••..• f
u= A -1 /. En el curso de álgebra lineal la solución del sistema (t) se expresa, corrientemente, según las f6rmulas de Cramer como una razón de los determinantes. Dlcbu fórmulas no sirven para °la resolución numérica del sistema (1 ) , puesto que requieren el cáleulo de N + 1 det11rmiuantes, lo que, a su vez:, exige un gran número de operaciones aritméticas (hasta NI). Si incluso escogemos el mejor método, para el cálculo de un solo determinante se necesitará aproximadamente tanto tiempo que se requiere para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales por los métodos numér icos modernos. Además, hemos de tener en cuenta, que los cálculos según las fórmulas de Cramer conducen co n frecuencia a los grandes errores de redondeo. La peculiaridad de la mayoría de los n:uStodos numéricos para (1) consiste en que se abandona la Idea de buscar la matr iz inversa. El requisito principal que se levanta ante el método de resolución es el mínimo de operaciones aritmé· ticas suficientes para la búsqueda de una solución aproximada con la precisión prefijada e> O (eficiencia del método numérico). 2. Cuoe particulares de los sistemas. No es dUícil resolver el sistema (f) en los ca!IOs particulares que van abajo. Sea A una matriz diagonal, es decir , a, 1 = O, J + L, a,, +O (l, J = 1, 2, ... , N). Entonces, el sistema tiene por ex presión
de donde encontramos
u<'>= /<'>Ja,,,
l= i. 2, .. . , N.
t02
Cop. 111. Ruoloel611 de ceaoelo11e1 ol1ebroleo1
Si A es la malrts triangular Inferior, es decir, si alJ = O para j > t (1, j = 1 , 2, . N), a 11 =t= O,
A= [~:: ~
~:J
a,.1 a,.2 •• • entonces el sistema de ecuacionei1 tiene por expresión a11u<•> =/
.. . + a,.,.u.
Los componentes del vector u se hallan sucesivamente al pasar de n a n + 1. . partiendo de n = 1:
u
.... (/<•>. - a,,u
u
t
u<"-11 = -- - (f
~ ª~••· ""'<-'>},
A-1
n = 2, 3, ... , N - t. Pera hallar el vector u = (u<1>, .. •, u) 11e necesitan 1 + 3 + 5 + ... + 2N - 1 = NI operaciones aritméticas. Si A es Ja matrts triangular iuperlor, es decir , si a 1¡ = O para j < t, a 11 =FO (1, j = 1, 2, ... , N), A
[ª11 :: ... ~: ] = . . . ~ ... ~;_.: ~-~~ ~"~.:,.·a~,, '
entonces el sistema (1) tiene por expresión a11u<•> + a 11u<~ + ... + a 111u(N) = /, ª1t-1. 1t-1u
+a,.,_,. ,.u
tos Los componentes del vector u = A -lf se determinan sucesivamente, al pasar de n + 1 a n, según las fórmulas
f N>
1
u= - , •.. , u<">= -....-,. ªNN
N
(t<"' - :Z
n=N-f, N-2,
•-+• ... , 2, f,
a,.,.u<•>), (2)
lo que también requiere N' operaciones. La elección del método y la eficacia de 6ste dependen de la forma de la matriz A y, además, del tipo del ordenador. Para varios problemas A es una matrts 1mrarectda y la mayoría de sus elementos son ceros. Las matrices de este tipo aparecen con frecue.n cia al realizarse la aproximación de d.iferencias de las ecuaciones diferenciales. Los elementos de tal matriz se calculan, eorrientemente, por las fórmulas dadas, ratón por la cual no han de ser conservadas en la memoria de acceso rápido del ordenador. Esta cuestión es de mucha importancia, pues el orden de las matrices de este tipo puede alcanzar '\lasta decenas de miles e incluso centenares de miles. De caso particular de una matriz enrarecida sirve la matriz de cinta; todos sus elementos no nulos se encuentran cerca de la diagonal principal, es decir, au = O, si 1 t - I 1> > l, donde Z< N. Los elementos distintos de cero se dispot diagonales, incluida la diagonal principal. nen en 2Z Como ejemplo Interviene una matriz tridlagonal
+
A= [~;.~;.-~ . . ~....]· O
O aN-cN
El sistema correspondiente (1) tiene por expresión -c 1u
-f
a 1u1HI - c1u<1>+ b1u<1+11 = t<1>,
a,,u-c,,u
t = 2, 3, ... , N - t.
t04
Cap. 111. Ruoluc16n de ecuac/onu al1ebralcu
Esta es la ecuación de segundo orden que ha sido analizado en el cap. l , donde para su resolución se aplicó el método de factorización. 3. Ecuación operacional de primera especie. Se sabe que todo matriz A = (a 11) (t, j = 1, 2, . .. , N) define un oporador lineal A que aplica el espacio HN en sí mismo: Au E HN para cualquier u E RN; o bien A: HN-+ HN . Viceversa o todo oporador A (en cierta base G1 , • • • , t,.,) lo corresponde una matriz A = (a11) de dimensión N x N , donde a, 1 es el componente del vootor 1. Por oso, la ecuación (1) puede considerarse como una ecuacl6n operacional. de primera especie Au = f, u,fEHN.
A,
con el operador A: HN-+ HN . Con el fin de recalcar la equivalencia de los problemas (t) y (3), dejamos invariable la designación A tanto para la matriz como para el operador. Omitiremos el indice N en HN y escribiremos simplemente H . El paso de (1) a la ecuación operacional resulta cómodo para la exposición de la teoria de métodos iterativos. En este caso no se emplea nin· guna información concreta sobre la estructura de )a ma triz A . En el espacio H introduzcamos un producto escalar (,), y una norma 11 u 11 = V (u, u). Supondremos que el operador A es autoconjugado y positivo: A = A• > O. Analizaremos también el espacio energético H 0 con el producto escalar (u, v) 0 = (Du, v) y la norma 11 u lln = V (Du , u), donde D es un operador lineal positivo y autoconjugado: D: H-+ H , D = D• >0. Denot.emos con (G., >.,) (s = t. 2 •. .. , N) los vectores propios y los valores propios del operador A :
A,, = >.,t.,
(t,. t ...) = 6,,...
1, 2, . . . , N . Por cuanto A > O, se tiene >., > O, y podemos considerar que O< A.i ~ >., ~ .. . ~ )..N • y, por consiguiente, se s, m
=
verifica la desigualdad >.1E ~A ~>.,.,E, ).1 = mio>.,,
•
La razón
).N/ 'A. 1
>.,., = máx >.,.
•
lleva el nombro do número convenido.
105
En 111 pr,ctica resulta mb conveniente emplear la razón inversa, es decir, al parámetro~ = 'A/'AN• el cual ae denominará medida conventda. En lo sucesivo se mostrará que de dicho parámetro depende la convergencia de las ite.r aciones. El parámetro t para las ecuaciones en diferenciaa que aproximan las ecuaciones de la fisica matemátlca (por ejemplo, la ecuación de Laplace) es pequeño: t ~ 1.0-' -tO-' (el número convenido es grande). De la fórmula u = A - 1/ ise ve que 11u11 ~ 11 A -' 1111 / ll, 11 A_, 11 = tlkt. Esta desigualdad expresa la estabilidad de Ja solución del problema (1 ) re11pecto del segundo miembro. Si 11 A-• 11 = = 1/A.1 es muy grande, puede suceder que el problema (3) no sea co rrecta , es decir, inestable con relación a los errores en la prefijación del segundo miembro, incluso a los errores de redondeo. 4. M~todos directos e Iterativos. Los mtUodos numéricos de la resolución del s istema (1) se subdividen convencionahnente en dos grupos y se dis tinguen métodos directos y los iterativos (se tienen, por supuest o, los métodos mixtos). Los métodos di,.ectos permiten obtener, después de un número finito de operaciones , una solución exacta del sistema de ecuaciones, siempr e que 111 información de entrada (el segundo miembro de la ecuación / y los elementos 4 1¡ de la matriz A) viene da da con toda la exactitud y los cálculos se realizan sin redondeo. El ejemplo más simple del mélodo di recto es el de factorización. Por supuesto, los métodos directos dan ta mbién IR solución con cierta precisión , Ja que depend e de los errores do redondeo, es decir. del ordenador y dol carácter de la est abilidad de cá lculo, lo qu e depende, a su vez, del método mismo. El mi todo ileraltvo permite hallar la solución aproximada del sistema construyendo una sucesión de aproximacíones (iteraciones), a partir do cierta aproximación inicial. La propia solución aproximada es el resul tado de lo.! dlculos obtenido después de haberse realizado un número fi nito de iterar iones. Lo elerción de tal o cual método numérico depende de varias circunstancias: de los programas dispo nibles, del tipo de los cálculos y de In matriz A , etc. Eit pliquemos las
106
Cap. 111. R ..oltJc16n de ecaaelonu algebriilear
palabras •tipo de los cálculos•. Son posibles distintos plnnteamientos deJ problema: 1) hallar Ja solución de Ull problema concreto (i); 2) ballar la solución de varias variantes del problema (1) con una misma matriz A y segundos miembros diferentes de / . Puede ocurrir que un método, no optima! para un problema (1), resulte muy eficaz para el cálculo multivariante. En el cálculo mullivariante se puede disminuir el número medio de operaciones para una variante, si se conservan ciertas magnitudes y no se calculan de nuevo para cada variante, lo que depende, naturalmente, del ordenador y del volumen de su memoria de acceso rápido. De aqui está claro que la elección do un algoritmo debe depender del tipo de los cálculos, del volumen de la memoria de acceso rápido del ordenador y, naturalmente, del orden dol sistema. La calidad de un algoritmo se dotermina por el tiempo de máquina que se exige para hallar la sol ución del sistema (1). Se elige, naturalmente, un método, para el cual el tiempo de resolución es minimo en comparación con los otros métodos. No obst ante, el tiempo de cálculo depende de varios factores, entre cuales pueden citarse el número de operaciones aritméticas y lógicas que son necesarias para obtener la solución con la exactitud prefijada, Ja velocidad de funcionamiento y el volumen de la memoria de acceso rápido del ordenador , Ja calidad del programa. Al estimar teóricamente la calidad de los algoritmos su comparación se realiza por el número Q (e.) de operaciones atit· roéticas suficientes para hallar la solución del problema con la exactitud prefijada e. > O.
§ 2. Métodos directos t. M6todo de GaWlll. Hay varias variantes de cálculo del método de GanM basado en la idea de eliminación sucesiva. El proe68o de resolución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales Az = /, o /1(
~ a11z1-l1.
J-1
1= 1., 2, ... , N,
por el método de Gausa, consta de dos etapas.
(1)
t07 PRI11111RA llTAPA (procedtmte nt<> directo). El aiatema (t ) se reduce a la forma triangular z B+z = cp, (2)
+
donde z = (:t1, . . . , ;r,,) y q> = (cp1, ••• , cpN) .roo los vectores desconocido y conocido, r espectivamente, 8 + ea la matriz triangular superior. t1EOC1PfDA BTAPA (pro«dlmlento lrwet'#J). L1111 incógnito z,,, ;rN- i • •• . , z 1 se determinan por las fónnulas (2) del! t. Pasemos a la exposición de tallada del m6todo. E l primer paso del m'todo de Gau.s s consiste en la eliminación da la incógnita :t¡ de todas las ecuaciones con ex~pclón de la primera. Supongamos quo 1111 .;. O, dividamos la primera ecuación (1) (t = t ) por a11 y escribamos al sistema (2) en Ja forma %¡
+ b¡,Z1 + · • • + baNZN =
1•
2 ~ j ~ N, a,1z1
b1J
=
111/°'11•
q>1 = fi/au,
+ 111ra + . .. + c 11,z,, =
f, , t = 2, 3, ... ,
(3)
N. (4)
Multipliquemos la ecuación (3) por a 11 , donde fes cualquiera de los números¡ = 2, 3, ... , N, y suatrayamos la ecuación obtenida de Ja t-ésima ecuación (4): (a 11 -1111 b12) z1
+ .. . +(a,..,, -
a11b 1,,) z,, = / 1 - a 11q>1 ,
t = 2, 3, ... , N. Introduciendo las designaciones
aW = ª11-aub11•
!\" = /1 -a,.cp,,
L, / = 2, 3, .. . , N,
(5)
reescr ibamos el sistema obtenido de ecuaciones (que es equivalente ni sistema (1)) on In forma %¡
+ ÓitZs + · ••+
b¡N%N =a
aWz.+ ... +a\~zrt=f.º,
t-2, 3, ... , N .
La primera columna de la matrii de este sislema se compone de ceros, a excepción del pr imer elemento para f = 1, j = t , que es igual a uno.
108
Ca p. ///. Ruoluc16n d• ec uaclonu al11ebra
El paso segundo consiste en la eliminación z, del sistema
aWxi+ · · · +11i~xN =J'i1l, (6)
11-IJlz2+ . .. +a\:1z,..=/~>. Con este objel-0 dividamos la primera ecuación por
a~~·:
.i-i+bur,+ ... + biNz,..=cpz, '92 = !~"/a~~'. bu = aWJaW, / = 3, ... , N, mullipliquémosle después por ( -aW) y sumemos e-0n
Ja
ecuación
i=3, 4, ... , N. De resullaS obtendremos un sistema .t2
+ buz1 + .. . + b2,..z,.. = cp2 ,
aW,:r3 + .. . + a~¡}z,.. = /. 2 >, a\P= aW - aWb11 ,
i = 3, 4,
N,
(7)
fi2>= ñ1>- aW1pi,
t=3, 4, .. . , N.
(8)
Para z 3 , x • • .. . , z,.. tenemos un sistema de (N - 2)-ésimo orden análogo el sistema (6) de (N - 1)-ésimo orden para
x,. Continuando %3, • . • • % 11·
los razonamientos, obtendremos Lras el (N - 1)-ésimo paso (es decir, al haber excluido z 1 , z 1 , . . .
• • .,
.:z;N- 1)
1i-J'Ñ 11z,.. = f,: · ll,
o bien z,.. = cp,.,,
rn
_
TN -
,(N - 1)/ a (N- 1)
IN
NN
·
(9)
Llegamos en fin al sistema (2) con la matriz triangular superior Zt + btzZl + b,,z, + ... + b1NXN = cph z 2 +buza + .. . + b2 N:rN =
+ bN- 1. ¡.¡X¡.¡= lj>N- h :r,..
= 'PN·
El procedimiento inverso del método de Gaus consiste en determinar todos los x 1 pertenecientes al sistema (10) con la matriz triangular super ior. No es dificil mostrar q ue el método de Gauss expuesto más arriba puede aplicarse solamente en aquel caso en que todos los menores principales son distintos de cero. Cont.aremos el número de multiplicaciones y divisiones en el método de Gauss. Veamos primero el procedimiento directo. En el primer paso se requieren Q1 = N' divisiones y multiplicaciones, el segundo paso exige Q, = (N - 1)1 operaciones, etc. En total se deben hacer N pasos del procedimiento directo realizando para ello N
N
A- t
•- t
~ (N-k+ t)'= ~si =
N (N+1¿(2N+ t )
multiplicaciones y divisiones. Es evidente que en el procedimiento inverso se deben realizar N (N - 1)12 multiplicaciones. De este modo, para resolver el sistema de ecuaciones 3N - t )13 operaciones de (1) se necesitan Q = N (N1 multiplicación y división. Se necesitarán también a proxi madamente el mismo número de las operaciones de sumaci6n. Demos a conocer un ejemplo de aplicación del método de Gauss. Eitaminemos un slstéma de tres ecuaciones (N = 3)
+
2I1 + 4x2 + 3:z;3 = 4, :t2 -2.%1 = -2, 4z1 + 1b2 +7z3 =7.
(it)
3:i:, + PROCEDIMIBNTO
DIRBC'l'O. PRIJaR PASO.
= 2: + 2:t, + f,5:t3
(12) (13) Dividamos la pri-
mera ecuación por a11
(14) %1 = 2. Multipliquemos (14) por -3 y sumemos con (12), a con tinuación multipl iquemos (14} por -4 y sumemos con (13}:
-5:t1 - 6,5.1:1 = - 8, 3.x, + z, = 1. Se ba obtenido el sistema de segundo orden.
(15) (16)
tto
Cap. /JI. Ruolocl611 de ecuclo11<1 al1ebrolco1 SEGUNDO PASO.
Dividamos (15) por -5:
z,
+ 1,3z, = 1,6.
(17)
Multipliquemos (17) por -3 y sumemos con (16): - 2,!l.r, = -5,8. T&RC&ll PASO.
(18)
Dividamos (18) por -2.9: %1
= 2.
De reJ1uJtas obtenemos un sistema
:z:,
+ 2z, + 1,S:z:, = 2, :z:, + 1,3.z, = 1,6,
:z:, = 2 con la matriz triangular superior
12t.5] [oo o
t t,3 . 1 -
Del sistema hallamos sucesivamente: z 1 = 2, z, = 1,6 - 1,3·z,. = 1,6 - 1,3·2 = - t . z, = 2 - 2.z, - 1,5 •Zs = t . De este modo, queda determinado In solución del sistema (11)-(13): PROCEDIMIENTO INVBRSO.
%1
=
- 1,
z, = 2.
2. Método de la rah: cuadrada. Este método se emplea para los sistemas Au
=f
(i9)
con matriz hermitlana A (simétrica, en ol ceso rea l). La matriz A se desarrolla en un producto
A= ~DS, (20) donde S y D son matrices superior triengulor y diagonal, respectivamente. La resolución de la ecuación Au = f se reduce a la resolución de dos sistemas Su= y. (2 t)
f
a. Mltotlo• d1rulo1
Ht
Con el fin de obtener el desarrollo (20), designamos S = D = (d 11 6 11) y hallamos
= (s11),
N
(DS) 11 = ~ d,,t, 1 - d11111 ,
N
(~DS) 11 = ~
l,.,d,,1, 1,
·-· •-t puesto que S• ~ (su). donclo la raya significa una conjugación compleja. De resull.lls obtenemos unn ecuación lf
~ l-1
;,.,a,.,.,.,=a,,.
(22)
El sistema de ecuaciones (22) se puede resolver de mane.r e recurrente. Por cuanto S es una matrb triangular super ior , entonces •u :s O para k > L, i,, =O para k < t, y, por lo tanto, N
N
1-1
~ 8.,1,.1d0 = ~
• -1
•-1
1, 11, 1d 0
+ S,,is11d11 + .l-1+1 ~ a,,s. 1du = 1-1
= ~
•-1
l,.,1..
rJu + 1 111 11d 11 = a,1•
Para í = / tenemos 1-1
ls11/"d11 - a11 - ~ js",lªd,u.
(23)
l-1
Al escoger 1-1
d 11 = slgn(a11 - ~ ¡1,.,¡•d.,).
(24)
l-1
hallemos (25)
Cuando t <
/,
obtenemos 1-1
•11- ~ l1t1••1du
.,, = _ _
...;•::.,-,...:1'---- -
;,,d,,
(26)
C4p. 111. R<1olactdn tle ecaaclones 41gebr4lca•
112
=
Suponiendo i
1, 2, ... , encontramos sucesivamente
du = signau. Szi = Vlau-d11l ls121 2 , • •• El determinante de la matriz es, evidentemente, igual a
S11 = V la11I.
N
det A =
JI d ,_,
11
sf, .
El método de la raíz cuadrada requiere aproximadamente N 1 /3 operaciones aritméticas, es decir, cuando N es grande, el método es dos veces más rápido en comparación con el método de Gauss y ocupa dos veces menos células de la memoria. Esta circ.unstancia se debe a que el método emplea la información sobre la simetría de la matriz. 3. Relacl6n del método de GalJ.88 con el desarrollo de la matriz en factores. Sea dada una matriz regular A de dimensión N x N . Representémosla en forma de un producto A = BC,
A
= (a1¡),
=
8
C = (c1¡)
(b11) ,
(27) dond e B y C son las matrices triangulares de la for ma
B= [
bll
o
b,\ b11
bu O • . . O b32 b13 • • • O
o -
b~I· b~i . bN~
··· bNNe\, en ... c\NJ-
-1 0 1
C=
l
Cu •• • C2N
0 0 1
...
CJN
.. ........ . . . . ...
oo o
es decir. b, A = O para k De (27) se infiere que
>
4 ¡¡ =
1
'
1
l, c1A = O para k N __z ,b¡ACA¡ •
<
i,
c11
= l.
f l.
113
11110®1 dlrtcto•
Tran.aiormemos esta suma de dos modos: H
1-t
A-1
•- 1
H
,.c,., + b11c11 + •-1+1 ~ b1i.C11;1 =
~ b11,c,. 1 = ~ b 1
1-1
= J-1
N
H
~ b •c•I + bucm •-1 1
~ b1•cAI = ~ b11h¡ + b1FJJ + ~ b,,.c.1 •-1 •-1 •-1+1 1-1
= i.-1 ~ b,,.c,.1 + b1ic 11•
De aqui eneon\.nunos 1-1
.,...
b11 = a11 - ~ b,•c•I para 1;;>J, bu= 4 11t cu= 1,
c11 =
+ 11
1-t
[a.,-~ b1•c•1 ] ,._,
para t <
/.
Lu matrices 8 y C quedan determinadas. La resolución de la ecuación Au = BCu a la resolución sucesiva de las ecuaciones Bcp = /, Cu = cp.
=f
se reduce
La conatru(l(.i6n de las matrices B y C, wmo también le. búaqueda de cp = B-lf eorrespo11den al procedí.miento directo, mientras que Ja resolución de la ecuación
Cu= cp corresponde al procedimiento inverso del mtStodo de Gauss.
§ 3. Métodos iterativos t. Método de iteraciones para reeoll•er el allltema de ecuaciones algebraicas llneala Una atención especial se prestará en este capitulo a l os mtStodos iterativos, puesto que dichos méto.dos son de amplío uso en la resolución de las ecuaciones en diferencias de la fiaica ma\emá\ica cuyos operadores están en correspondencia con las matrices de cinta A de orden superior.
t 14
CoJp. ///. RC1oluc/611 Je ecuoclone. al1cbralca'
Pasemos a In desuipción general del mitodo de ller
Au
= /.
(1)
Con el !in de resolverlo so elige cierta aproximación inicial Vo E H y se hallan sucesivamente soluciones aproximadas (i\eraciones) de la ecuación (1). El valor de una lteracl6n 11•+• se expresa en úrminos de las iteraciones precedentes conocidas y,., Yi...1 • • . • . Si, al calcular Y>i+i• se ut.ilita sólo una iteración precedente y 11 , entonces el método iterativo se denomina de un paso (de dos capa.s); si, en cambio, 1111+ 1 so expresa en términos de dos iteraciones, y 11 e g 11 _1 , el método so llama rk dos pa11es (o de tres capas). En esta obra se onnlizarán, principalmonto, los métodos de un paso. Convengamos en considerar que A: H-+ Hes un operador lineal en un ~pa1;.io de dimensión finita H con un producto escalu
h ·).
Un papel importante lo desempeña la inscripción de los métodos iterativos en la forma unificada (canónica). Cualquier método iterativo de dos capas puede ser escrito en la siguiente forma canónica:
B
h· 1 - V1< 'tJt·•
+A y.,. =f • k = O, 1, ... , para todosy0 EH, (2)
donde A : H -+ H es el operador de la ecuación de par~ida (1). 8: H-+ H, operador lineal que cuenta con su inversa B - 1 , k es el número de la it.eración¡ "t1 , "t 1 , • . . , "t•+i son
todos los parámetros do iteración, 'tA+i > O. El operador B puede depender, en el caso general, del número k; para simplificar la exposición, suponemos siempre que B no depende de k. · Si B = E es un operador unidad, en~oncos o! método V,\H-h 'fl+s
+A111i=/, k - 0, 1, .•. , para todos lOSl/oEH. (3)
se denominará e:rplíclto: Va+ 1 se halla por una fórmula explícl\a
tts
§ 2. Mito®• tllr.cto1
Generalmente, cuando B :/= E, el método (2) se llama iterativo Implícito: para determinar Y1t +1 hace falta resolver la ecuación
Es natural exigir que el volumen de los cálculos para resolver el sistema By,.+ 1 = F,. sea inferior al volumen de los cálculos para la resolución directa del sistema Au = /. La exactitud del método iterativo (2) se caracteriza por la magnitud del error z,. = y,. - u, es decir, por Ja diferencia entre la solución y,. de Ja ecuación (2) y la solución exact a u del sistema inicial de ecuaciones algebraicas l ineales. La sustitución y,. = z_.. u en (2) lleva a una ecuación bomogénea para el error:
+
B '"•• - '-" + Azi. =0, TA+l
k =O, 1, ... ,
Z0
=y0 - u.
(5)
Suele decirse que un método iterativo conllt!rge en H D• si
..
lím 11 z,. llo=O, ,._
donde
11 z llo V (Dz, z), D = D* >0, D: H-H.
En el caso general se prefija cierto error (relativo) e> O con el que se debe hallar la solución aproximada y 11 , los cá lcu los se clan por terminados cuando queda cu mplida la condición
11 Yn - u llo,.;; e 11 Yo - u llo·
(6)
Si n = 11 (e) es el minimo de los números, para los cuales se verifica (6). entonces el número total de operaciones arit méti cas que han de realizarse para hallar la solución aprox imada de la ecuación (1) es igual a On (E) = n (e) q0 , donde q0 es el número de operaciones que se realizan para hallar una iteración, es decir, para resolver la ecuación (4). El problema consiste en minimizar Q,. (e) eligiendo de modo adecuado By los parámet ros {i:,. ). Comencemos por analizar los métodos iterativos más simples. 2. Método de la Iteración sim ple. Para la resolución del siste ma ele ecuaciones (1) puede emplearse el método de la
H6
Cap. IIJ. R••olucl6n d• ••"4,lont1 olgebralca1
iteración 1tmple
donde 1 > O es el parámetro de it.eración. Escribamos (7) en la forma operacional: 11
11 h 1"'- •
+ AY·~ = / , k = O, ,• , ... , para cua1quier . Vo EH• (8)
Al comparar con (3) veroos que el método de la iteración simple .se da mediante un esquema explicito de dos capas con el parámetro constante 'fA ""' "'· Existen también otras variantes del método de la iteración sitn'\)le, por ejemplo, una que sigue:
!f¡.1¡1 =
l+N 0:,
(
Z ª1111¡!>- /<'>) · 1.... 1
Al aus\.i\.ui.r aqui
donde D=(a116 11} es una matriz diagonal, obtenemos N
1.<0 = ,,(f) _ _t_ ( ~ 11,,~•>-/<'> ) •A+I lf.l a¡¡ ¿,,J A • 1-1
·o bien, en la forma canónica D
1111 -i -ll1a
"'
+ Ay11 = f,
k =O, 1, ... ,
'f
= i.
Aunque este esquema es formalmente implicito (B = D =F =fo E), no obstante D = (o.116 11} es una matri't diagonal, pot lo cual V.HJ .se determina según las fórmu.las explicitas. S. Método de Seldel. Es de amplio uso (eo particul ar, cuando es insu.liciente la información sobre la matriz A} el
f ! . Mltatlo1 ll1ml1101
tt7
mitodo iterativo de Setdel en una de las siguientes formas: N
1
~ ª11!/¡,I> 1 + ~ ª11!1/'= /< 1>, a,,~ O,
J•I
+
J-1+1
t - t, 2, ... , N, (9)
1
N
~ a11!1¡,ll + ~ a,1g1n 1 = /< 1>,
J•I
J-1+1
t c. 1, 2, ... , N . (tO)
A+
Los componentes del vector YA + t se hallan sucesivamente de ambas fórmulas. Asl, por ejemplo, de (9) determinamos sucesivamente 11•'+•· 11l.'.f.1 • ... , 11~!'1 : ,,(1) :r•+t
=-'ºu-
N
(/(1)- ¿; ª""(})) :r~
1
J-1 1- 1
N
11 = - '- (111>111A+ 1 0 11
~ L..J
a,1111n-"' A L..J a, 1g1n A+ 1 ) t
;-1+1
J-1
L= 2, ... , N. Hacie nd o uso de (10) encontramos sucesivamente para 1 = N, N - 1, ... , 1 N- 1
y\N)
Ji + t
=
_ºNN I _ (¡ _ "' L.J
QN
,AJ))
JllJi
'
1-1
¡t,•> =- -'-(J
1-1
"' L..J
J• I
N
ª11!11i> _ "' A L..J a,,yjJ> A+ I ) ' J-1+1
l = N-1, . .. , 1.
Escribamos este mhodo en la forma matricial (operacional). Con este fin representemos le matriz A como una su ma
A=A-+ D+A .. donde D = (a 116 11) es una matriz diagonal de dim ensión N X N, A -= (ajj) es la matriz triangu lar (subcliagonal) inferior co n lo diagonal principal llenada ele cer os, ªii = O ¡ia ra j ;;> I, ªii = a 11 para j < 1, A• = (aj1) es la matriz tr iangular (sobrediagonal) superior con la diagonnl principal
tt8
Cap. 111. R..ola dllll .U 1ca11c1on., a/1ebrolco1
llenada de ceros, aiJ = O para j ~ i, aTJ = a 11 para j De la definición de A -, D, A+ se desprende que
>
i.
-1
Dy = a.,y<11,
A-y<'> = í} a, ,y' J-1
A•y =
"
" ª1111111, (A•+ D) 11<1> = í} a1¡y. í}
;-1+1
;-1
Por est-0, la ecuación (10) puede anotarse en la forma ((A•+D)y., 1)<1>+ (A-y.)< 1>=/<1>,
i = i , 2, ... , N,
o bien, en la forma vectorial, (A• + D) l/u 1 + A -y. = / . Rea lizadas unas transformaciones evidentes (A• + D) Yu1 + A-y, = (A•+ D) (Yu1 - 11•) + + (A- + (A• + D)) Y• = (A• + D) (Yu 1 - 11•) + Ay, escribamos el método de Seidel (10) en la forma canónica: (D + A+) (Yu 1 - Y•) + AyA = f, k = 0, 1. 2.... (11) Comparando con (2) vemos que el método do Seidel (10) corresponde a B .:... D + A +,
ea decir, el esquema (tt) es implicito. Sin embargo, por cuanto 8 = D + A•
y,) + Ay•
= /,
k
= O,
1, . .. , (12)
cuando 8 = D + A - ea una matriz triangular inferior. A continuación (en ol p. 5) se mostrará que el método de Seidel converge, si A es una matriz simétrica definida positiva. 4. Método de ret.jac16n auperior. Con el objeto de acelerar un proceso iterativo, se puede reduci r el método de Seid11l al de relajación superior , introduciendo el parámetro
§
de iteración
(1)
3. Jlllotlol
U9
ltCNlllllOI
de modo tal que se verifique
(D + wA-) llA+~-11· +
AllA ... ¡,
k = O, 1, ... , para cualquier l/oEH.
(13)
Al comparar con (2) vemos que B
= D + wA -,
"t =
(1).
Transformemos la ecuación (13) a la forma de cálculo. Teniendo presente que (D+wA-)
VA·~-h
+ Al/A '"" (A- + !
D}11•+1+
+ (A-A--~ ) 11~ = (A-+~ D}11A+1 +
+ (A• + (1-
! ) D) llA•
tonemos
De aquí encontramos y
!llº A +~ 0 11
[1111 -
f- 1
~ LJ
N
ª111/\'A+1t - LJ ~ ª111/\A11 .]
J-1
t
;-1
i = t, 2, ... , N.
Cuando 111 = 1, ob tenem os la fórmula del método de Seidel. La velocidad de convergencia del método de relajación su perior depende del parámetro (1). En el p. 5 se mostrará que pnra la convergencia del método se ha do exigir que O < (1) <
<2.
5. Convergencia de los métodos iterativos estacionarlos. El método de Seidel y el de relajación su perior sir ven de ejem plo de los esquemas implfcilos de la forma
B va., - v. + A11a=f. k .... Q. t , ... , 't
para cualquier y0 E H,
(14)
Cap. lll. Roola,cldr< de ecuac(ol\u a!geb ra!ca1
l20
con el operador no autoconjugado B que tiene su inverso B-'. El método (14) lleva el nombre de iterativo eslacionari1>. puesto que B y T no dependen del número de iteración. Para que exista el operador inverso B-1 , es suficiente exigir que el operador B sea posit ivo. Sea B = D (l)A - . Por cuanto A = A • >O, entonces (A -y, y) = (A+y, y) , (A+)• = A-, y, por consiguiente, (Ay, y) = (Dy, y) + 2 (A -y, y), es
+
d~ir ,
1
(A-y, //) = 2 ((A - D) 11• 11).
Sustituyendo esta expresión en la fórmula (By, y) + o> (A -y, y), hallamos
= (Dy , y)
(By, y)= ( 1 -
+o>) (Dy,
=
y)+ w (Ay, y)> O,
aiempre que O<<»< 2. Para el err or z. = Y• - u obtenemos una ecuación homogánea
B ••·~-·,. +A.i,.=0, k=O, 1, 2, ... ,
•o=v1 -u.
(15)
Sea A un opera
TEORDtA 1.
y .uponenws cumplida la condtci6n
B>TA.
(16)
En este caso el mitodo de Iteraciones (14) converge en HA• es decir, 11 '•
llA
=
ll l/1t - u llA -
o
cuando k _..
OO.
DBMOSTl\ACtoN. Noa har6 faha una identidad energlit.i ca
2T( ( Bdonde
TA)
'•·~-•·
,
•A+~-••
) + 11Zu111~ =
11Z1t 11~.
.
( 17)
11'11~ = (A1:, z).
Transformemos primero la ecuación
(15) a la forma
(B-
~A;) '"•'.;'" +f A(z.+z,. ..1)=0,
(18)
t21
sus t 1•tuyen d o con este fº1n
T (lh1 '•=2f ( 'h+•+'•) - y T
••)
•
multiplicar (18) escalarmente por 2-r ( '•·~-·· ) =
Al
'•>
== 2 (z• +i - z.)
y teniendo presente qúe (Azu 1 , = Az.), puesto que A = A • y (A (s. + zu 1 ) , z•) == (Azu 1, Ju1 ) - (Az., '•) (At. , •u\) - (A.zu 1 , ' •) == (Azu1 • .zu 1) - (Az., t•), obtenemos \17) . Supongam os cum plida la condición B > TA/2. Entonces,
= (zu1 •
'•+• -
+
el primer sumando en el miembro izquierdo de la identidad (17) es no negativo y 11 tu 1 111 ~ 11 t• 111· De aqul se deduce que O~ 11 zu1 llA ~ 11 '• llA ~ ... ~ 11 z0 llA• es decir, la sucesión {11 llA} no es crecien te y está acotada inferiormente por cero. Por ello, en virtud del teorema de Weierstrass , {11 z• llA} converge para k -+ oo. Demostremos que
z•
lim
·~-
11 Zl llA = 0.
El operador P=B-; A
es positivo,
y
Po = Bo -
- ; A = + (P + P•). definido positivo, es decir, existe tal n úmero 6 >O (véase el cap. 1, § 4), que (Py,
y) = (P0 y, y)> 6 11y111
para cualquier y E H .
Por eso, de la identidad (17) obtenemos una desigualdad
~11 Zu1T
Z• ll'+IJ tl+1
ll~~ll s. JI~·
(•)
Dado que (11 '• llA} ~ convergente, de aqul se infiere que ex iste llm 11 '• + 1 -
•~oo
'•
11 = O.
( 19)
Luego, de Ja ecuación (15) encontramos
Ai• = _ _!_B(z •• ,-z.). ~
'• = - ..!..A-•B (z • • T
1 -z.),
(Az •• z.) = ~f· (A-'B (z •• 1 - z•), B (z•• , - z.)) ,
11z•11~ ~~ 11 A-11111B112 11 '••1-z•111· l
( . .)
122
Cap. /JI. R•1olucl6n de ecuocl
De aq ul precisa.mente concluimos que
lím l-oo
ll z• 11,.
=
O.
OBSERVACtON. De las desigualdades (•) y (. . ) proviene que el método de iteraciones (14) converge en las cond iciones (16) con la velocidad de uoa progresión geométrica,
11 •Ha 11~ ~ p' 11 .z• 11~.
donde p' = 1 - ~A-~;, , < 1. Apliquemos el teorema i para demostrar a convergencia de los métodos iterat ivos estudiados en los pp. 2-4. Ml!TODO DB LA ITBRACtON Sr:MPLE. B E. Al tomar en con-
811
=
sideración
11
que E ;;;;. ~ A, tenemos 1
1" ( t "T ) B-yA = B-yA;;;;. liAil-2 A>O 1"
!
para - ~ >O. El método de la iteración simple 11 11 converge para todos los valores de i:. que satisfacen lo desi guaJdad T < 2111 A 11. M2TODO 02 SEWEL, B = D + A - . i: 1. En este caso
=
_t _ D t _ B-2A = D+A - 2 (A +A•+D) = 2 + 2 (A -A•), t
.
((8- + A) y, y} =+(Dy,
y)+T((A• -A-)y, y)= t
=T
.
(Dy, y)> O,
siedlpre que D > O. oe sERVACION. La desigualdad D > O proviene de Ja condición A > O. En efecto , supongamos que A > O y ~ = = (;1. O, . .. , O); entonces (A;, ;) = (.D~. ;) = a11 (t1 ) 2 > >O, es decir , a 11 >O. De un modo análogo nos convencemos de que a11 >O, y, por consiguiente. D >O. Así pues, \\l método de Seidel es siempre convergente, si A es un operador aut()C{)njugado positivo. Para estimar la velocidad de convergencia se deben estipuJar las suposiciones mss fuertes. Citemos el siguiente 'l'BORKMA 2. El método de Seidel converge con la velocidad de una progresi6n geomitrica de ra.z6n q < 1 , si A = (alJ) =
= A•> O, l+ N
1:
¡.-1
y
la1Jl ~9 ¡a,,¡,
l=i, 2, .... N,
q
(20)
123
En efecto, para el error a 11 z~l_/. 1 =
'• =-V• -
~ a 11i~¡.,
-
J< I
_
u tenemos ~ a 11z<,!l,
J>I
1
la11l lz~'!t1~ ~ fa11 l l z~ ! t1+~ la11I l z~ 1 1· J
J>I
Supongamos que el mh lz~1¡ 1 ¡ 118 alcanza para cierto t =10 , de modo que
11 z_., lle = lz~1+11 l. la1 1,l ·ll z•• , lle~ Jlo ~ la1,1I 11 '•lle• llz•• 1lle ~ I ~ fa1,1l/(fa1.1,I- ~ la1,1IHllz•lle· J>lo
J
F:n vir tud de la condición (20) tenemos
~ l a1 0 1l~qla1.1.I-~ la1 01l
J>lo
J
J
y, por consiguiente, 1 11 '••1lle~qll '• lle~
8 -
T A = D + (l)A--;
(A- + A•+D) = =
(t --i ) D + ~
(A- - A•)
y calculemos
((o - ; A).v. .v)={1 -
~)(Dy,.v)>O para 0<(1)<2.
De esto modo el método do relajación superior converge para cualesquiera valores de w E (0, 2). s i A A• >O. 6. Velocidad de convergencia deJ método Implícito de Iteración simple. El propio hecho de convergencia rlc las iteraciones no ()S bastante para poder juzgar so bre In aplica-
Cop. ///. R11olacl611 tl•
124
'º""'°" .. algebralciu
bilídad eo la práctica de tal o cual método iterativo. Se necesita la información sobre la velocidad de la convergencia del método, es decir, de hecho, sobre el número de iteraciones n = n 0 (e) que sean sulicientes para la resolución del problema con UDa exactitud prefijada e > O. El número de iteraciones n 0 (e) depende del parámetro 't, el que debe precisamente escogerse a partir de la condición del número mioimo de iteraciones n = n (e), con el cual se cumple la condición 11 Yn - u llo e 11 Yo - u 11 0 , donde D es un operador , D = D• >O. Analizaremos aqui un esquema estacionario implicito (esquema implícito de la iteración simple)
<
;••+ Ay,. = /,
B V• ..
k = O, 1, .. .,
para cualesquiera Vo EH, (21) donde A y B son los operadores autoconjugados positivos. Los mé\odos de Seidel y de relajación superior no pertenecen a esta familia de esquemas, puesto que para ellos el operador B no es autoconjugado. Para la corrección w,.. = B · 1r,.., r,.. =Ay,. - 1 se verifica (al igua.J que para el error :1 = y 1 - u) una ecuación homogénea 1111
1111
+ Aw
=O '
k = O' 'i ,
= B-1 (Avo -
/) (22) donde r 1 = Ay1 -1 es un defecto, w1 B·'r,.. es la corr~ión. Efectivamente, de (21) encontramos
B
·•T-
A
Wo
• • .,
=
YA+i Ay1 +1 -1 =
= y,. - 'tB-1 (Ay,. - /) = Y• - -iw1, Ay,. -1 - 'T:Aw,.., r 1 + 1 = r,.. - 'T:Aw,...
=
Por cuanto r,.. = B (B·1r 1 ) Bw,.., de aqui proviene (22). Supondremos cumplidas las desigualdades operacionales
~ y.IJ, i't >O, i't ~ Y1 >O, (23) y1 B o bien (A.z, z) (B.z, .z) para cualesquiera .z EH, 1 (B.z, .z)
y
<
< y,
(24)
donde h1s constantes y 1 , y 1 so11 conocidas,
f l. Jll'-'o1
t2S
luralll>OI
TllOIWIA J . Suporagomtn cumplida la. condklonu (23), (24). En este caso el nrlnuro m(ntmo d4 tkraeloM.t ngrín el mitodo (21) se alclll1S4 para
2
't • 't·= v;::FY;".
(25)
Ademá.I, se verifica l.a d41lgualdad
llAv.. -llls-•~P:llAv.-fllri. ,. .,. 1, 2, ... , (26) Pt-(t-~/(t+t),
t =1'1IV1· (27) Con el fin de resolver el problema (22) hagamos uso de la siguiente et1timación (la demostración de la estimación se aduce en el cap. V) 11 Wn lls ~ p" 11 Wo lle para 't ~ 'f0 , (28) donde p = 1 - 't¡>1 • El valor núnimo de p (para el cual el número de iteracionet1 es mfoimo) se alcanza si 't 't0 : p.> Pe = 1 - "'o'l'1 = (1 - t)/(1 + t). Nos queda tomar en consideración que 11w.11• = 11 B-1 r,. lle = 11 r,. lle-•· El teorema está deml>lltrado. Exigiendo que sea p: ~ a, o bien (t./p0 )" .> t ia, obtendremos la estimación para el número de iteraciones: n .> In (t/a)/ln (t/p 0 ). (29) ons&RvAc10N. Una función cp (t) = ln (t + t)/(t - t) - 2t es positiva para cual8'q_uiera O< t, puesto que cp' (t) = 2t1 /(t - t') > O, cp (O) = O; por esto, t/Jn (1/p 0) < < t /(2t) y la condición (29) queda cumplida, siempre que n ;;;:;.:- n 0 (a) = (1/(2t)) In t ia, t "" y¡ly1 (30) (n, (a) no es, en el caso general, entero). La condición (30) resulta mb cómoda para las estimaciones. La estimación ~ a es, evidentemente, veridica, si n 0 (a) ~ n < < n 0 (~) + t. Por esta ruón, a título de n es suficiente tornar la parte entera del número ne (s) t. 7. Problema modelo. La comparación de loa diferentes m6todos iterativos se realiaara a b&Ml del siguiente problema modelo DDOSTJUCION.
=
'<
p:
+
..,_,-2.1,+ ..,.. "'
-,
= -
,,
la. t, 2, ... , N- t, llt -
l'h
llN = l't•
1
h= -¡¡,
(3t)
Cap. JI/. R ..olacl6n
t 26
J. •cuaclon u alfebralciu
el cual es un esquema de diferencias pera ol problema de contorno
a•u
-
--¡;¡- = - /(:r),
0<.t< t .
u(0) = µ 1 ,
u(t )=!'2·
E!!Cribamos el sistema de ecuaciones primeramente en la forma matricial : Av = f, (32) donde v - (u1 1l, u1 1 ), . . . , i;(N- 1>) es un vector de dimensión N - t , y A osuna matriz tridiagonal de dim ensión (N- 1) x X (N - t ):
- 2 1 o .. . 1 -2 1 .. .
A=
--F . [
0º • • • • • • • •
... i - 2
o
... o
º]
.~ . -2
El segundo miembro de la ecuación (32) cuenta con los componentes / 1 = f, para t = 2, 3, ... , N - 2, 1 = + + µ/h1 , / N- i = f ,,_1 + µ,/h1 • A la matriz A le corresponde el operador A que act ú.a en el espacio H = Q de funciones reticulares definidas en los nodos interiores do la red wh =
7 T.
= {z1 = th , O < i < N }. Sea Av = i>;,.. ~ una función reticula r que está definida sobre la red wh = {z1 = ih, O ~ t ~ N} y que se reduce a cero en la frontera cuando t = O, N. En este caso podemos escribir A v = -~. I ntroduzcamos en H ub producto escalar
v E d.
v E O = H,
= O (como lo hacemos habitualmente) 11-1
(y, v) = ~ ¡¡,11,h 1-1
y hagamos uso do las fórmulas (17), (56) del §
en vi r tud de las cuales (Av, 111) = (v, Aw), (Av, v) ;;;;i.6111111 2 ,
es dec ir,
4, cap. 1,
A == A•,
4 2 nh u~ = -¡;rsen T·
A# u~E .
t2'7
§ 8. llltodo• U•rallPoa
Ahora tenemos
Est imemos el número de iteraciones para el esquema expl ícito de una i tel'ación simple en el caso del problema modelo. Se tiene B =E, 6E ~ A~ AE, es decir , Y1 = 6,
Y1 = 6,
Para el número de iteraciones tenemos lo 1/a
2
t
n(e) ;;..110(e) - - r ~ ! Ola' ln7. t 2 Prefi jemos e = 2 . 10-• ~ •- 10, entonces n0 (e)~¡;¡-= 2N 2 •
En par ticular , el número de iteraciones: n 0 (e) ~ 200 para N
n 0 (11)
~
= 10
20 000 para N = 100.
E l método de iteración simple depende fuertemente del nú mero de ecuaciones N (r1 0 (11) ~ N 2). Abajo se exponen los mé todos (véanse los §§ 4, 5), para los cuales la depe nd encia citada (n en función de N) será más débi l (n 0 (e) ~ N y (e)~ VÑ) . El problema (31) es un problema tipo, puesto que una ecuación en diferencias análoga simula la ecuación de Laplace en di ferencias para los casos bidimensional y t ridimensional , y el número de iteraciones no depende práctica mente del número de med iciones (depende sólo de h). 8. F.squema de tres capas. Si Yhi se calcula mediante dos iteraciones precedentes Y• e Y•-•· entonces el método iterat ivo se denomina de des pasos (o de tres capas). Demos un ejemplo del esquema itera tivo de tres ca pas. E l esq uema explicito de tres capas con parámet ros const an tes se anota , corr ientemente, en la forma
n,
Yu 1
=
(t
+ a) (E -
T 0 Á)
Y• - ªY• -i
k - 1, 2, ...
+ (1
1- a)
T.f,
(33)
La primera iteración se calcula según el método explicito de iteración simple: y 1 =(E - T 0A) Yo T 0/ para cualesquiera Yo EH, (34)
+
donde ~=..!L, y,
(35)
y,, y 1 >O son las fronteras del espectro del operador A = = A•: y 1 E ~ A ~ y 1 E. Se puede mostrar que para el método (33), (34) el número de iteraciones se halla de la condición q,.=p¡' { t
+ !~:: n)~s.
De aquí se ve que
no (e) ::::: 2 ~
In+ ,
Para el problema modelo 11t(s)=
~ lnf:::::c0
º-:2
1
VI ::::: nh/2
(36)
y
ln+:::::c,·3,2N para
s:::::e-10.
El número de iteraciones:
n 0 (e) :::::: 32 + 60 para N = 10, n 0 (e) ::::: 320 + 620 para N = 100, ea decir, considerablemente menos que para la iteración s[mple. El esquema implícito de tres capas tien.e por expreaión
Brut = (1 +c:i) (B--roA) 1111 -c:iBy,._, + (t +c:i) -rJ, """"1, 2, . •. , Bv1 = By0 - ToAVo + -rol para cualesquiera Yo E H. Si B = B• > O y se cumplen las desigualdades (23). (24) mientras que c:t, T 0 se calculan según las fórmulas (35). enton· cea la estimación (36) para el nún:1ero de iteraciones queda justa en este caso también.
129
§ 4. B111111m11 U.Nlluo de do1 captu
§ 4. Esquema iterativo de dos capas con parámetros de Chéhishev t. Planteamiento del problema. Sea dada una ecuación Au
= /,
A: H - H.
(1)
Veamos un esquema iterativo con parámetros variables {-c.):
8
11•+1-ll• Ta+ 1
+AY•=f,
k = O, 1, 2, . .. , parn cualquier y 0 EH.
(2)
La ecuación homogénea
...
,.
8 ..... -•• +Az.=0,
k=O, 1, 2, ... ,
:r0 = y 0 -u,
(3)
es satisfecha no sólo por el error z• = Y• - u, sino también por la corrección = B-1 (AY• - f) (k = O, t, ... ) con la condición inicial Wo = B- 1 (Ayo La condición para que terminen las iteraciones tiene por ex presión
w•
n.
11 z,. llD ~ e 11 Zo llo. o bien 11 w,. llD~ e. 11 wo llo·
(4)
De (3) se ve que (5)
donde S•ti es el operador de paso de la capa k a la capa k 1. Eliminando z., '•-•• .. . , z1 , encontramos para k = n - 1: z,. = T,.z 0 , T,. = S,.S,._ 1 • • • S 1S1 ,
+
donde T,. es el operador de resoluci6n del esquema (3). De aqui proviene que
'º
11 z,. llo ~ q,. 11 llo. q,. = 11 T n llo· (6) La condición para que t.erminen las iteraciones queda cumplida, si (7)
Para estimar el número de iteraciones n obtener la desigualdad (7).
=
n (e) se Jebe
Estudiemos el eaquema expllcito (2)
'f...
11•u-n
• .
+ Av = f
k = O• 1' 2•
(8)
con la pnrticuleridad de que consideramos prefijado cualquier Yo E H. y elijemos los parámetros i;1 , ,;1 , . . • , i:,. partiendo de le condición de mio n (e). Se supone, ademb, quo A = A• >0, y, >ºPara el residuo homog1foea
r• =
-f- Ar. - 0,
Ay•
- 1 se verifica una ecuación
k = O, 1, 2, .. . , r 0 = Ay,- f,
o bien r• +1 = S•+1r11, De aquí hallemos
r,.
=
T,.r0 ,
El operador de resolución T n es un polinomio de grado n respecto de A:
T,. = Pn (A) = (E - i;1A) (E - i;1A) ... (E - i;,.A) con los coeficientes que sólo dependen da i;1 , i:1 , ••• , 'f,.. Para determinar 'f1 , ,;1 , ••• , "f,. obtenemos la estimación 11 r,. 11 ~ 11 P,. (A ) 1111 r, 11Es menester hallar talas "f1 , "f1 , • • ., 'f,., para los cuales 11 P,. (A) 11 es minima y, después, estimar dicha norma a '1.ravés de las constantes y1 y y,. Demos aqul eln demostración la solución de eete problema.
Designemoscon
m.. - {- cos
21 1 ;:
n, l = t, 2, ...• n}
el conjunto de ceros del poltrwmw de Chibuhev T" (z) = "" cos (n arccos z) en el segmento - i ~ z ~ t , y con {)111 }, una sucesión cualquiera de eetoa ceros, I'• - :IJl ,.. El numero mln imo de iteraciones ee a lcanza para los valorea de los
1 4. ll., ..... u.,..11uo de
"°' ••,..
t3t
parámetros
k = {, 2. ... , n,
t +Ptl'A '
2
(9)
'fe= Yi+Ya '
En eete caso ee dlida la eethnaci6n q,.
= t~¡,
.. .!.::.l'.Í Y1 ·
(10)
Ps = t +
m e'Bquema
(8) con parámetros iterativos (9) lleva ol nombre
de 11$qut:ma tterativo de Chtbt.shev. El requisito q" ~ e, 6 2p~ ~ e (1 plido, si p~ ~ p,/2, o bien 2/ n(s) ;;;i. In-.
+
p~")
queda cum-
t ln-¡;-.
(11)
Al obeervar (comp!reee con el § 3, p. 6) que In __!__ = Pi
= In t +
t-
~ ,. i > 2 'Jl1,
sustituyamos (11) por el requisito
más fuerte:
n (a)> "o (a) =
t
2
t,. i
•
.n In-,
(12)
que sea mb cómodo para la comprobación. De (12) se dedu ce, evidentemente, (10), y q,. ~ e. Comparemos, según el número de iteraciones, el esquema (8) con la totalidad indicada de parámetros y el método de iteración simple, recurriendo con este fin al ejemplo del problema modelo citado en el § 3. En este caso t ~ n'h'/4, V~ -= nh/2. Para el método de iteración simple ntll (~):::::; 2/h• para Para el esquema de Cbébishev n~2l(e)
= 3,4/h
para
e= t
e=
rn-•.
i32
Cap. 11 l . Re1olucl6n de ecuaclonei algtbralcal
De aquí se ve que nCfJ ~ 34, n ~ 200 para N = 10 (h = 1/ 10). n ~ 340, n ~ 20 000 para N = 100 (h = 1./100). 2. Argumentación de la elección . optima) de los parámetroe. Demostremos la estimación (10) en el caso de parámetros iterativos (9). Nos hace falta hallar el mln 11 P,, (A) 11.
El polinomio P,. (A) =
rj
A- 1
(E - ;AA) =
= c0 + c1A + ... + e.A•+ Co = 1, P n (0) = 1 es un operador autoconjugado. Sean ¡,, l.., (s = 1, 2, . .. , N) funciones propias y valores propios. respectivamente, del operador A :
AE, = A.,¡,, (¡, , E,,.) = 6,"" s, m = 1, 2, .. . , N . El operador A • tiene las mismas [unciones propias y los mismos valores propios A.::
A•¡, = )..~E.. Multiplicando (13) por e• y sumando según k (c 0 = 1), obtendremos
P,.(AH, =
(13)
=
O, 1 , ... , n
±c.A•E, = •-oi; '•.)..~E, = P,.(A.,)E,. •-o
Al cotejar esto con P,. (A)
E,
= l.., (P. (A))
E..
vemos que
A (P,. (A)) = P" (l.. (A)).
Los valores propios del polínomio operacional P. (A) se definen como polinomios P,. (A) de los valores propios cor respondientes del operador A, mientras que las funciones propias son las mismas que tiene el operador A . Siendo el operador P. (A) autoconjugado, su norma es igual a un valor propio cuyo módulo es máximo llP,.(A)U= máx P.(A.,). t <;; . ..N
Los valores propios ).., del operador A se disponen en el 5cgmento [y1, y,): y 1 ~ A. 1 .;;;;; y 1 • Es evidente que máx IPn (>.,JI~ mlÍx !Pn (:i:)I, l<;.c;N V•
v
Apliquemos el segmento [y1, y 1 )sobre el segmento 1-1, 1), suponiendo i
z= 2
Hv2-v1) t + Yi+v,J.
- t :s;;;;
t~t.
para Yt ~ x
:s;;;;y,.
(14)
Entonces, P. (t) = P. (t). La condición de normali:r.ación P,. (O) - 1 toma la forma (15)
Asi pues, se requiere hallar un polinomio cuya desviación de coro en el segmento -1 ~ t :s;;;; 1 sea minima, de modo que el m6x 1 P. (t) 1 sea minimo para la condición compleme11t11ri11 du la normall:r.ación (15). El polinomio buiocado es -
p n (t) -
T.,. (1)
r. (le)
(16)
•
donde T. (t) es el polinomio de Chibishev, T. (t) = cos (n orccos t) para 1t1~1,
T,.(t)= ~
(17)
((t+Vt 2 -1)"+((t-)ft1-1)"J para
ltl > 1.
(18)
El polinomio de Chilbishev liene ceros 21-i
t 1 = cos --z;;-- n,
El polinomio P. (z) = (t Liene ceros z 1 = l /T1•
i=1,2, ... ,n. T,.r) (1 -
To.J:) •.. (1 -
(19} T,..i:)
c.,.
134
11/. a..olacl61t ,,. ccaaclonct al1d,..tcu
Exigiendo que las ralees de estos polinomios coincidan y teniendo presente la relación (14) enLre z y t, obtenemos 2 l(v1 +y,) + (y1 - y1) t11-i-,, de donde ae Infiere
2/(y, + y1 +(y, - Y1) t,J,
'f1
L =- t, 2, .• ., n.
(20)
Esta fórmula queda en vigor, cualquiera que eea el m'todo de poner en orden los ceros del polinomio de Cbébiabev; por ejemplo, en logar de (19) podemos hacer 11 - -c:os ~ n. Al tener esto en cuent.a llegamos a la fórmula (9). Se ha de notar que ai n = t, obtenemos 'f1 = 'f1 que es un parámetro optimal del método de iteración simple. Ast pues, loa parámetros -r1 , -r1 , •• ., Tn se han determinado según (9). Hallemos ahora
l/a -
máx IP,. (z)- mú: ¡P,. (t)lYJ
pueato que
ello, para
máx -1..;;1..;;1
1T"
(10 )
'
1T" (t) 1.,.. 1. Tenemos 1t 1 1> t; por fórmula (18) con t = 10 •
1 86 usará la
Transformemos las expresiones que figuran on ostn fórmula:
11,1 ± Vt&-t=...!...± .. / P•
= _!_ (t ± P•
da
V
-A.t Pi
=..!_11 ± Vt-p&J= Pt
Yf) ... _!_ c1 ±Vl¡•t(t-~>-
2 1-
P1
= lt ± V[)•t(t-~) = c1 ± V~vct ::¡:V~>. modo que ¡t,l+Vtl-t - _!_, (t1 1-Vti-t-P1• PI
Y
t(tPi'-+P~ )=~'""t:· ~ t IT,. lloJl =2
La estimación (10) queda demo!'trada. 3. F.atablUdad computacional 1 ordenad6n de loe parimetroe. El método iterativo (8) con parámetros de Chébishev {-r.} se denomina a vecP-~ mitodo de Rlchardson. Se conoce dP~de hece liempo. no obstaule casi no se empleaba en la práclica hasla el último tiempo por su me1tabilldad
135
ci>mputaclonal. Expliquemos esta noción con un ejemplo.
Tomemos un iristema de ecuaciones u (l - i) - 2u (t) +u (l 1) =O, 1=1,2, ... , N - i, u (O) = 1, u (N) = O. (21)
+
Su solución es u (i) = 1 - z,. z 1 = lh, h = 1/N. BuscareD>03 la solución de este problema usando el método iterativo de Chébishev para N = 20. El valor de n 0 (e) podemos calcular. Puede resultar no entero. Eligimos el número entero próximo n ;;;is n 0 • Para N y e dados tenemos n (e) = 64. Al conocer 4
nA
i'1 =77 seo1 2 , t
h=N"•
4
s n1'
i'a = -¡¡r cos 2 , n 1 111
nA
~ = tgs..
2 ~ -4 -~0,006,
~" según la fórmula (20). A titulo de la aproximación inicial se toma una función
se puede calcular
~I)
1, t =
o.
= {O, t>O,
Resulta que para el método (8), (9) no es igual en que orden se toman los ceros µ,. del polinomio de Chébishev. He aquf dos modos de numerar los ceros: 2k - t
k = 1, 2, ... , n,
"
t1 = COS 2n,
2.t-f -cos~n.
Los resultados de los cálculos se aducen en la labia 1. Para los menores valores de N y n puede resultar que el aumento de los valores intermedios de y,. no lleva al parem, sin embargo tiene lugar la acumulación de Jos errores de redondeo, y tras n iteraciones no se cumplen las condiciones en que terminan las iteraciones (11 Ayh - f 1l ~ e \1 Ay0 - f \1). Estas dos peculiaridades del proceso computacional, a saber, el aumento de los valores intermedios que conduce al parem y la acumulación de los errores de redondeo, se carne-
t36
Cap. 111. R111olacl6n de 1tcaaclon"' alg1tbralca1 TABL~
1
1
Surtld0«1
O,t2 27 t,9-104 3,7°107 2,6·10' 2,5·10" s,s.1011 5·1011 Parem
53 55 57 59 60 6t 62 63 64
t 2
1
Surtido a 1
39,6 2,6· tos 8,2.10• S,3-tOU t,2·10" t,9·t0U Parem
"
7 9 it t2
terizan por un término: iMstabtlidad computacional. La causa de inestabilidad computacional del método de Chébishev radica en que las normas 11 S,. +1 11 del operador de paso 1 = E - 't1t+ 1A son para ciertas iteraciones superiores a uno, mientras que el proceso computacional es real, es decir, se tienen acotaciones por debajo y por arriba para los números admisibles (se tienen cero de máquina e infinidarl de máquina) y en carla etapa ele los cálculos surgen los errores de redondeo. Calculemos la norma para S,. = E - 't,.A. Por cuanto s: = s_, entonces 11 SHI 11 = sup l (SH,x, x) 1. De la
s,..
llxJl-1
condición y 1 E ~A ~ y 1 E proviene ('tHi'\'i - 1) E~ ~ TH 1A - E~ (•Hi'\'s - 1) E. Sustituyendo aquí la expresión para •A+t y tenienrlo presente que f - 't 0 y 1 = ~ "'CoYa - i = Po• obtenemos - p,(t-e1t> E.- 't A-E~ p,(t+f.'1t) E. t+eof.l1t
"""' 1t+i
De aqui encontramos
us,..,11 = "'"+IA-Ell =
{
...._,
t+p,µ,.
137
de suerte que 11s•• ,11 < 1 para todos los I'• >O, y llS1i+ill > t 1'11 < - (1 -p0)/(2p0). Por cuanto
para
n
-cos z;-
~
µ 11
~ -
(2n-1)
n
cos - 2n-- n = cos z;-, k = 1, 2, ... , n,
entonces, para la mayor cantidad de números k tenemos 11 S 11 11 > 1, y si se emplean muchos parámetros 't 11 seguidos, pera los cuales 11 S 11 11 > 1, tienen lugar la acumulación del error de redondeo y el crecimiento de las aproximaciones iterativas, lo que conduce a la inestabilidad com putacional. Con el fin de debil i tar el efecto mencionado, es natural tratar de alternar los paramelros 't 11 , para los cualos 11 S 11 11 > > 1 con aquellos. para los cuales 11 S 11 11<1. En este procedimient o se realiza precisamente la construcción de una sucesión de parámetros ('t 11 }. para la cual la convergencia de las iteraciones tiene un carácter monótono y la inestabilidad com putacional está ausente. Existe una regla para tal 21 1 ordenación de los ceros t 1 = - cos ~ cosn del polinomio de Chébisbev y, consecuentemente, también de los parámetros ('t 11 } (paran cualquiera), para la que tiene lugar la estabilidad com putacional. Demos a conoce r di cha regla para el caso en que n es una potencio del número 2, n = 2P. p > O es un número en te1 ro ) . Designemos el conjunto lle ceros t,. orden11do según esta regla. mediante
= {- cos ~lt ~' = 2~ e\">. i = 1, 2. . .. 1 n} , n = 2" 1 donde 9l"' es uno de los números impares 1, 3, 5, .... 2n - 1. El probloma se reduce, puos, a la ordenación del conjunto de tl números impares: 9n = (9;"'. e;"', ... , e:.'"}. Partiendo del conjunto 01 = (1 ), co nstruyamos un conj unto 0(n> = e;P según las fórmulas
m:
~~~)I
= 9\m>,
9~~m> =4m - ew~>••
i = 1, 2, ... , m; m = 1,2, .. . , 2P- 1 ,
') LA regle de ordenación de (T1i) para ejemplo, en (5, 91.
n
cualquiera se da, por
188
Cap. 111. R•1olacl6n de 1caaclon11 algcbralca1
si se conocen 0l"''. La sucesión correspondiente de parámetros (-e:} se denominará surtido estable. Sea, por ejemplo, n = = 16 = 2•. Encontramos sucesivamente 0 1 = {t }, e, = = {1 , 3}, e. ={1, 1, 3, 5), e, ={1, 15, 1, 9, a. la, s. ttJ, (t, 31, 15, 17, 1, 25, 9, 23, 3, 29, 13, 19, 5, 21, H, 21 }. Al pasar de 0m a 9 1 m es suficiente poner tras cada 0~'l'~ 1 un número igual a 4m - 0~'l'.! 1 (Ja numeración corresponde a 0m)· La sucesión testable• no depende del problema. La convergencia de las iteraciones para este surtido de parámetros {-;%\lleva un carácter no monótono, pero las oscilaciones aqu{ no son de gran amplitud y se amortiguan al fin y al cabo. He aquí los resultados de cálculos para el problema (21) según el esquema (8), (9) con el surtido estable de parámetros {-et}: 1 4 8 62 32 50 16 24
e.._.=
e:
"
b.lr
39,6 4,7 1,1 0,2
O,t
0,06
t,5.tO--
6,7·10--
8,7·t<>-•
4. F.equemaa lmpUcltos. El método de Seidel y el de relajación superior convergen más rápidamente que el m6todo explicito de iteración simple, razón por la cual se justifica el paso a los esquemas irnpHcltos. .!Cómo se debe elegir el operador B? Es fundamental el requisito general del mlnimo de operaciones Q (e) necesarias para hallar solución con una exactitud e> O; dicho requisito se reduce a dos exigencias: 1) del número mínimo de iteraciones, el cual depende tanto de B como de la elección de {-i,. }; 2) del número mlnimo de operaciones para la resolución de la ecuación Bg,,+-1 = F,,
(c47ácter econ6mico del operador B). De ejemplo puede servir wi. operador triangular correspondiente a la matriz triangular. Mostremos ahora que los resultados obtenidos más arriba para un esquema explícito pueden extenderee a un esquema impllcito. Veamos un esquema impllcito
s· 111..."l"-.+1 -111. +Av,.=/. donde A = A• > O,
k=O. 1, .. . ,parat.odo110EH. (2.2)
B = B•
>
O, y i'1
>o.
(23)
t39
Eligiendo loa par6metroa de Iteración {'f%} según las fórmulas (9) y ordenándolos en concordancia con el punto precedente, obtendremos para la solución del problema (22) una esiimación
llAv,. - /lls- E;; IJ,. llAv.-flls-•. 1
P1 --
q,.
= t ¡e¡,.. , ~ = .l!. , ,
.!.=:J'.1. t+ ¡/! ,
(24)
1
donde y 1 y y, son loa númeroa que figuran en (23). Para el número de iteraciones n = n (g) son vilidas las estimaciones (11) y (12). Para convencernos de esto, basta reducir el problema (22) a un problema equivalente para el esquema explícito
•..
s••• -a-• + Cz• =- O,
k=-0, 1, ... , z. = Bll•w,,
~
(25)
donde .i:• = s112w•• C = B-lflAB-1/1 es un operador positivo autoconjugado con las fronteras del espectro y 1 y y,: y 1E E;; C E;; y,E.
(26)
En efecto, por cuanto B = B• > O, existe, pues, B'ft = (B' fl)• >O. Aplicando el operador B- 11• a la ecuación (22), obtenemos (25) para .i:• = 8 1/tw. . El modo Inverso de razonamientos es evidente. Queda por demostrar la equivalencia de las desigualdades (23) y (26). Estudiemos una funcional
=
J
=
((A - yB) y, y)
=
=
(Ay, g) - y (By, y) =
(AB- 11• (8 11'11). B -'ft (811111)) - y (8 111 11, B 1·"v)
=
(Cz, z) - y (z, .i:)
=
=
((C - yE) z, z),
donde .i: = B 1t•y. Como 11 (y, por tanto, también z) es un vector arbitrario de H, entonces de la igualdad J = ((A - yB) 11. 11)
=
((C -
yE) z, z)
(27)
se deduce que los operadores A - y8 y C - yE son de signos iguales. Si, por ejemplo, A - y 1 8 ;;;ir O, entoncos para y = v, la igualdad (27) nos da C - y 1E ;;¡;. O, etc.
140
Cap. 111. Ruolucl6n d• ecr&aclon., olt•bralcu
Para el esquema explicito tenemos una estimación 11 ~ 9n 11 .r0 11· Al sustituir aquí .r- = 8 1/tw~ = B- 11•r- , = Ay~ - / , obtenemos la estimación (24). Para los metodos de Seidel y de relajación superior B :;/= B• , por lo cual la total id ad de parámetros de Chébishev no puede ser empleado. 11
r-
Zn
§ 5. Método alternado triangular t. Método alternado triangular. Analizaremos un esquema iterativo implfoito
B
ll~+i - h
""º
+ Ay = !
,.
k = O, 1., ...
,
(1)
Si el operador B representa un producto del número finito de operadores er.onómicos, será también económico. Así, es económico el operador B = 8 1 8 1 que es igual al producto de los operadores triangulares 8 1 y 8 1 . Veamos el así llamado método alternado triangular (1), para el cual el operador B tiene por expresión B
= (D + wR1)
D-1 (D
+
wR,),
(2)
donde D = D* >O, R~ = R,, R, + R , = R , R = R• > O, w > O es el parámetro. Probemos que el operador Bes positivo y autoconjugado, es decir, que el esquema (1) con el operador (2) pertenece a la familia inicial de esquemas (2) del § 3, razón por la cual pueden aprovecharse todos los resultados de la teoria general obtenidos anteriormente. En efecto,
>
(By, v)
= ((D + wR
D-1 (D + wR,) y, v) = = ((D + wR 1) y, D - (D + wR 1 ) v) = = (y, (D + wR 1) D - 1 (D + wR1 ) 1)
1
v),
y, por consiguiente, (By , v) = (y, Bv) , es decir, B = B•. Luego, encontramos (By, y) = ((D + wR,) y, D - 1 X X D-1 (D + roR 1 ) y) = 11 (D + roR 1 ) y 11 h-1 >O, es decir, B = lJ'" >O.· Al operador R le corresponde una matrit R = (r1 J) · A titulo de las matrices R 1 y R 1 pueden intervenir las matri-
f 6. llllodo
i4i
olt•ntado lrlallfalor
,... ,, ,... ,,
cea triangulares inferior y 11uperior, es decir,
R 1 ca (riJ),
riJ=
R 2 = (rlJ),
rl1=
{ r 11 /2, r,,, J t; { r 11 /2,
r,,,
O,
J>l, J
Si R es una matriz sim6trica, r11 = r 11 , entonces R 1 y R 1 son reclprocament.e eonjugedos, R, = R~ . A titulo de D = (d11 ) tomemos una matriz diago nal. Entoneea, D wR 1 es una matriz triangular inferior y D wR, , una matriz triangular superior. De este modo, el proceso de la Iteración se reduce a la inversión alternada de las matrices triangulares inferior y superior (de aquí proviene la denominación del m6todo). Efectivamente, para cada iteración se debe resolver una ecuación
+
+
+ wR1} D - (D + wR,) l/Hi = F,.. Al denotar D - (D + wR,.} llHt = iÍ11.+i• obtenemos (D + 0>R1} iiu = F,., (D + wR 1 ) lli.+i = Df/11.+" 1
B11u1 = (D
(3)
1
1
k = 0, 1, ...
(4)
Observando que (R 1y, y) = (R 1 g, y} = (Rg , y)/2, encontramos ((D+wR1) y, !1) = (Dy, 11) + 0> (R,y, 11) = = (
(D+ ~ R) 11, 11) = ((D + wR
1)
y, 11) >0,
puesto que D > O, w > O, y R > O. De aqul proviene la existencia de los operadores inversos (D + wR1 ) - 1 , (D + wR,} - 1, es decir, la resolubilidad de los problemas (4) . 2. Eleee16o del parúaetro 0>. P ara poder emplear la teoría general, so deben hallar primeramente los parámetros y 1 y y 1 que figuran en las desigualdades y 18 ~ A ~ y 18 ,
(5)
las cuales siempre se verifican gracias a que los operadores A y B son acotados y positivos. Empecemos con la determinación del parámetro w > O. L!l.MA.
SuponglJITIQ1 qua el operador B se determina según La
fórmula (2), donde R: = Ri.
R1
+ R, =
R,
R = R•
>
O
11 que R satisface las corultctones
R 1 1T1 R1 ~
ll >O,
R>tJD,
ll >O,
(6)
Ys= 2.GI·
(7)
R,
:
En erte caso "7'á válida la estlnuu:t6n •
•
•
YiB~R~-nIJ.
&
•
y,= t+ oia+o,2Si•M •
La ras6n ~=y1 (ro)/b{ro) Uene el valor má:dmo cuando
ro=;,=2NM; con la particularidad de que
t .... ~~ .
"= ! .
DllllOBTRACION.
y,
2(t+~).
Las desigualdades (6) significan que
(R11, 11)>fl (D11, 11),
(D-tRtJI,
Rs11)~
! (Ry, 11)
para cualeaquiera 11 EH. Realizadas la.a transformaciones B = (D + coRt) D-1 (D + coR.) = · = D - co (R1 + R 1) + co•R1D-1R 1 + 2co (R1 +R.)= = (D - coR1) o..i (D - «>R.)+ 2a>R, obtenemos (811,11)
=
=
coR.) y, (D - «>R,) y)+ 2<.o (R11,11) <»R.> 11 llL-1 + 20> (R11, v> > 2co (Ry, v»
(D-J. (D 11 (D -
de suerte que
B>2a>R,
o bien
R:!;;;,-/;¡B,
•
Ya=
t 2G> •
§ 5. M41otlo •ll•rMdo 1ri.1t1•IM
Obtendremos ahora para B la estimación por arriba. Tomando en consideración (6), haUemos t
t)IA
B ""' D + 6lR +R +-4- R~
(
~f 1+ o>6 + e>~} R , •
(
y,-6 11
1
Clll 6A )-' 613 +-,.
El número de iteraciones necesarias para Ja resolución de la ecuación Ry = f depende de la raión
Elijamos w de la condición de qua~ (w) sea máxima. Igualando a cero la dorivada ~· (w) = 26 (1 - w1 M./4) (1 + 6>6 + + 6l16Al4) _., encontramos 6l = ~ = 2/V66; en este caso i• (~} ), obtenemos Ja fórmula (9). El lema queda demostrado. 3. Velocidad de wnvergenda. TBORBMA. Supongamo1 IJU6 el operador A = A • > O se representa como una suma A = A 1 + A 1 , A 1 = A:, ¡¡que
yy
&1
cumplen ku condicionu
A> 6D,
A
A 1 1T 1 A 1 ~ TA,
6>0,
6>0.
(10)
Entoncu para el mitod'1 alúrnado triangular (1) con 8
=
(D
+ i.>A 1) D-' (D + 6>Aa),
con el parámelro ck CMbl.JMv
6l
= 2/Y 66 2
D
""' o• >
0,
(11)
v una totaltdad ck parámetros
~. - 1'1+Ya '
t44
Cap. 111. Rciolucl6,. de ccuac/onu a/1cbr11lc111
Ya= 2(t + y'Ti) • son
suf~ientes
'r'z - 4
"
(13)
y;¡ •
n (e) Iteraciones:
n,(e)~n(e)
n,(11)< lnf/(2V2VTj,
(t4 )
y en ute ct1$0 te cumple la 1tgutente esttmacl6n
11 Ay,. - / ll.-· ~11 ll Ayo - 1 lls-•·
(15)
DEMOSTRACION Hagamos uso del lema precedente suponiendo R = A, R 1 = A 1 , R, = A,, y también de la estimación (24) del § 4:
11 Ay,. - /llr • ~q.. llAy,-/llr• con
t- 111
q _ _?fi._
Pa= t +y't.
" - t + pf" '
En el § 3 se ha obtenido Ja estimación para ol número de iteraciones n = n (11):
n,(11)~n (11) . obtendremos (15). 4. Ejemplo de aplicación del método altemado triangular. Analicemos un problema modelo
1=1, 2, .. ., N- 1, Ui, = 0,
Sea B = O un espacio de fu nciones reticulares definidas en los nodos interiores t =- 1, 2, ... , N - t de la red 11; introduzcamos un producto escalar li- 1
(y, 11) ... ~ y 1v 1h .
·-·
f S. llltotlo eU.:rudo lrten1olor
El operador Ay vo:
=
145
-fj,.,. es autoconjugado y definido posi\i-
A~6E,
Introduzcamos los operadores Dv
,,_
=
¡¡ (D = E) y
_ 111 - 111-1 A 1Y -- R 1v= - ,x.. -t -· -,.-.- .
Las iteraciones (y1)• =Y• (1) se hallan según las f6rmulas (E + roA 1) (Yt).+1 =
(Y'1+ro 111 -;.:i-• )H I =
F. (t),
(')- "'V•u 11-t)+ ll'F• (1) Y•+1 t i.•+ w • (E +roAi) YH1 (i) = • = YH 1 (i)-:.
(¡¡_., (i+1) - ¡¡_..(i))=y.H.(i),
en definitiva tenemos y HI
(I) = "'11••• (t + t) + A' v•+i (1) IO+A'
•
i = N-1, N - 2, ... , 2, t.
Los valores de !ÍA+i (i) se hallan sucesivamente al mover de izquierda a derecha (de i - 1 a t) y los de Yu 1 (i), de derecha a izq uierda (de 1 + 1 a 1); y en este caso so loman en coosideraci6n las condiciones de contorno
Y• t i (O) = O,
l/H1
(N) = Q.
Las f6rmulas del tipo semejante se denominan f6rmulas de cómputo m6ull. De las igualdades Ys-,t+I = y,., 1 so desprendo quo A • = A ,. En eíec to. por cuanto 111 = 110 f- Jwr; 1 hr>z:,'
,-
entoneea N- 1
(Ail/, v)
=- h
N- 1
h
11.,. ,11, - - 111111 } -
1-1 N
.,, 111";, 1
+h
1la+1:i:,..1
=
... , N- 1
A:.
es decir, A1 = Calculemos la constante
I
h 111 T = (¡¡, A 111),
t-t
1-2
1';
N- 1
11111;, 1 = ~ Vit>;, 1 = h
i-t
~:
(A 1As11, V) = (A.V, A.vi =
= ,.~
N-1
L:
N-1
(11 .... ,)2 h =
1. L: (11;, 1>2 h~
1.-1 N
~-/;. h
t -2 N- 1
h(V;, 1) 1 = :.
de donde se infiere 6
~
h(A11)1V1 - ii-(A¡i, ¡¡),
nA
""' 4/h1 • Así que, n'l'
1
r::
M
r '1 ~2•
f1 = -¡;=aen1 2 ~ ,-,
'=2y,.J(t
h 1-1
1- 1
+ ~);:ti 2y,¡ ~ nh,
y(~ y nh,
de suerte que t
n. (e) 2 y,¡¡ Si e = 10-', entonces "• (e) El resultado es: n 0 (e) ~ 10 para h n 0 (e) ~ 30 para h
:'ti
In
a2 .
3/Vh.
= 1/10 =
(N - 10), 1/100 (N = 100).
Recordemos que para N = 100 se deben realizar 20 000 iteraciones por el método de iteración simple y 340 iteraciones, por el esquema explicito de Chébishev. De este modo, el método alternado triangular ha resultado mejor entre los métodos estudiados.
f
i47
6. Ml1od<>1 ll•rollvo1 tl4 tipo 11arlado1tol
§ 6. Métodos iterativos de tipo variacional t. Método de los reslduOll! mírúmoe. Al estudiar los métodos iterativos siempre se suponía hasta ahora que las constantes y 1 y y 1 , es decir, las fronteras del espectro del operador A en H o en H 8 están conocidas. Pero, ¿qué se debe hacer, si tal información está ausente? En este caso pueden emplearse los mét.odos que no utilinn los parámetros y1 y y 1 en la forma explicita. Estos eon los métodos de tipo v11riac.ionol. Aqul se nnnliinrán Jos métorlos de los residuos mlnimos, del descenso más rápido y de los gradientes conjugados. Empecemos con el m.étodc de les residuos mlntmos pern un esquema explícito
V•••-V• 'f.t.u.
+AY• = /.
Para el residuo génea
k = O, 1., ••. ,
Para todo Yo EH. (1)
r• =Ay. -1 tenemos uno ecuación homo-
r1t., -r" +Ar.=O, 'fl•t
k = 0,1., ... ,
ro=Avo-f·
(2)
El parámetro T..._ 1 se escogerá partiendo de la condición de que sea minimo el residuo r•+i según la norma:
11 rHr IP= 11 rA -Tui.Ar• /11 =
= 11r.111 -2T1t+i (r", Ar")+ 't:., 11 Ar" 111 = q> (-r11+1 )
Diferenciemos esta expresión respecto de a cero la derivada q>' (•H1): q>' (TA+ 1) =
-
2 (r . . , Ar...)
+
igualemos
TA+i•
2-rA+1 11 Ar" 11
1
=
O
y hallemos T1t+1 =
(Ar", rA) llAr 1tlll '
L
,.- ca{,
2'
•..
(S)
Con este valor de TA+i la segunda derivada ip· (T11+ 1) es positiva y, por consiguiente, se alcanu el min 11r1t+ 1 11 • . 't'A+l
Hasta ahora no se suponía que A es un operador autocoojugado. En cambio , si A = A•> O, entonces son válidas
148
Cap. 111. Reiolu
les est imaciones
11 '.+• ll~Po 11 r.11. Po =
11 Ay. -
1- f
°'i'TI' ,
t
"'
f
ll ~ r: 11Ayo -
/11.
..1.L
(4)
y, ,
donde y 1 y y 1 son las rronteras exactas del espectro del operador A. En eíocto, por cua nto, de acuerdo con (3), la norma · 11r• 1 1 11 e~ mi n imn pera T•+ l • en tonces poro c ada T =/. -r• +t 0 1111 doho r.rer.er, por lo cual
11'.+1112 = 11 '• -
"f•+iAr• 11 ~ 11 rh - "foAr• 11 2 ~ ~11 E - "'oA11 2 11r,.11 2 • 2
Por otra parl.O se conoce que
11 1!.' -
T0A
11
= Po pura
i:,
2/(y, 1 Yt).
Do aquí precisamente se deduce que 11 ' H i 11 ~ Po Ur,. lf. Do esto modo, el método do los residuos mínimos converge con la misma velocidad quo el método de iteración simple (siempre que en este último se empleen lo!! valores exactos do y 1 Y y,). En el caso dol método de residuos impl!cito o del método de c.orrecciones en vez d e (1) obtenemos una ecuación para la corrección:
B "'•·• - "'• + Aro. =0,
1'•··
w,. =
k = O, 1, ... , B-1r11t,,
w0 = B- 1 (Ay0 -
/),
(5)
donde T• t i se determine por la fórmula (Au>1t . ... ,.¡ TH1 =
(S-lA"'• · AIOA) ,
k=
o, 1,
(6)
En lugar de (4) obtenem os la estimación
11 A11,. -lllB"·~P: 11 Ayo - /11.s-•· ~ más rá pido. El métod o ex plícito dll dlscenso más rtfptdo se d iferencia d e l método de los resi· duos mlnimos sólo e n la fór mul a pnrn TH 1:
2. Mé todo del
k -= O, 1, ...
(7)
t411
§ 6. IUlodo1 llcrelh•o1 d4 llpo 11ar'4clo11cl
Esta fórmula se obtiene o bien de la condición del minimo de la norma 11 :z:•+t llA del error'•+"' = lf•+t - u , o bien de la condición de or togonalidad de los residuos r,. y •+l· Al multiplicar escalarmente la ecuación r 1 +1 = r 11 1 Ar11 por r• , obtenemos O = (r., r•) - "•+i (Ar11 , r,.) de donde se infiere la fórmula (7). Por cuanto A:• = Av• - Au = r 11 , entonces se tiene
"•+
=
(Asu11 ª•+1) =(As,. - 'tu1A'i., '• - 'fu1As,.) -= = (r. - -i11+1Ar,. , s,.--i,.+ 1r 11 ) = (r., :.)-2-i,.+1 (r., r,.) + "C:., (A r,., r.).
Dilenmciando 11 s•+t /1). nispecto de la derivada, obtendremos (7). Luego, tenemos
T•+• e
igualando a cero
11 z•+1ll). = 11 (E-"CH1A) s.11).~ll (E -'foA) :.111 ~ ~11 E--ioA11 1 11 i,. ll~~p; lf 111
ll,. ,
es decir, 11 Z•+t llA =11 YHi - 411 ... ~P:11 lfo - UllA·
El método del descenso más rápido converge en HA con Ja mísma velocidad que ol método de iteración simple. 3. Método de los gradientes conjugados. Los métodos de tipo variacional con mayor velocidad de convergencia pueden encontr arse en la clase de eaquemas iterativos implk itos de tres capas:
BVut = a 11+1 (8-'f.-...1A) ¡¡,, + (1 - au1)
By,._,+
+«...1't1t+1f·
k = t, 2, By• = (B - "C1A)Yo+"Ctf.
(8)
Veamos el método de gradltnte1 conjugados que os do amplio uso en la práctica. En este método los parámetros it.erativos ª•+• y "'•+i se determinan aegún las fórmulas "C
_
a+t -
( ra , "'•) (A"'•• Y•) '
f
a ,. +1 = ( -
'fl•I (r,., °"lt) -T -.- "'"(r'".""""_,"',"""..,-,.=_...,,),- a.o.l ) - 1'
(9)
donde k = O, 1., 2, ... , bajo el supuesto de que A = A• > O, B = B• >O, y 1 B~ A~ y 1B, y 1 >O. Las fórmulas para T,.+ 1, o:,.+1 ae obtienen del requisito del mínimo de la norma del operador de resolución. Con estos valorea op\imales de loa parámetros iterativos queda licita la estimación 111/,.-UllA~9,.ll1/o-UllA•
2p" q. - ~,
.,,
t-l"t
~=..h,
Pi= t+yt ,
(iO)
ea decir, la velocidad de convergencia del método de gradientes conjugad08 es la míama que la del método iterativo de dos capas con parámetros de Chábiahev (en el que se usan y 1 y y 1 al calcular los parámetros 'fi.+1) . Por eso, para el número de iteraciones tenemos una estimación
no (s)~n (e)~11e(a) + i,
noCs)= - -f I n -2. 2
l'1
•
A titulo de operador B podemos tomar el operador factorizado del método alternado triangular B = (D+U>A,)D-1 (D+<0Aa),
A1+A1=A>O,
A: = A 1, D= D->O. Los cAlculos mueatran que el número de iteraciones al aplicar el método alternado triangula.r en conjunto con el de los gradientes conjugados es menor que en el caso de emplear el esquema de Chébishev.
§ 7. Resolución de las ecuaciones no lineales · l.
M~oe
HeratiYoe. Analicemos una ecuación no linear / (z) = O, z E la, b),
donde/ (z) ea una función continua. La ecuación puede tener una o varias raíces. Se pide; 1) estab~r la existencia de las raICM de la ecuación; 2) hallar loa valores aproximados de las rafees. Ambos problemas se resuelven a menudo simulU.Oeamente. Para hallar las raíces se emplean los métodos Uerativos.
El mb elemental es el mltodo de dicotomia (división por ta mitad). Sea f (z0) f (z1 ) ~ O; entonces, en el segmento lz0 , Ztl se ubica por lo menos una raía. Determinemos / (z1 ). donde z 1 = (zf z 1 )/2, y elijamos z,: aqu61 de los valores z 0 o z 1 , para e cual se cumple la condición f (z1) / (z1 ) ~ ~ O. El segmento (z 1 , z,I se dividirá por la m.i tad de nuevo, etc. La división continúa hasta que la longitud del segmento se haga inJerior a 2e, donde s 811 la exactitud con la que se debe determinar la raíz. En este caso el centro de dicho segmento nos presta precisamente el valor de la rab con la exactitud requerida e. Es evidente que el proceso converge con la velocidad de una progresión geom6trica de razón 1/2. La deficiencia del m6todo consiste en la elección del segmento inicial (z 0 , Ztl: no está claro de antemano a qu6 raiz convergerá el proceso (si en (z 0 , .i:¡) hay varias raicea). El segundo m6todo ea el ·de turact6n simple.Escribamos Ja ecuación (1) en la forma
+
z =
q>
(z),
(2)
donde q> (z) puede definirse por uno de los siguientes m6todos: q> (z) = z - a./ (:e), a. = const, q> (:e) = z + p (z)/ (z), p (:e) 811 una función arbitraria que no tiene ralees en el segmento (a, bl. El m6todo de iteración simple se determina por la fórmula (3) :&,, + 1 = q> (xn). n = O, 1, 2, ... ,
donde n 811 el número de la iteración, x 0 es Ja aproximación inicial prefijada arbitrariamente. Se pide hallar aproximadamente la solución (la rab) z = z• de la ecuación z = = cp (x) con un error relativo e > O de un modo tal que para cualquier n ;;;;.. n 0 se verifique la desigualdad 1z,. - z• I~ e 1z 0 - z• ¡, n;;;;. n 0 (e). (4) Esta condición puede cumplirse, siempre que la sucesión de iteraciones {:en} converja, para n-+ oo, al limite z•: : lim z,. = .z•. Si (4) tiene lugar, loa cálculos pueden ser
te;~Tnados con n =
11 0 • De aqui se ve que la cuestión más importante en este caso es la de convergencia de las iteracio-
tf>2
Cap. /JI. Rt1olac/6n ele eeaaclont1 alt•brale1U
nes, como también de la velocidad de su convergencia , es decir, la cuestión sobre el número minimo de iteraciones 11 . (e), para el cual queda cumplida la desigualdad (4). Supongamos que en cierto 6-entorno f:>.
del punto scbiti :
=
(% 0 -
6,
+ 6),
%0
6
>
O,
(5)
x, la función q> (x) satisface la condición de Lip-
fcp (z•) - cp (z') 1~ q 1 :r;•
-
z ' 1 para cualesquiera z', z" E f:>. (6)
con el coeficiente q < t : O
(7)
y sea pequeño el residuo inicial z 0
1% 0
-
-
cp (z 0) de modo que
cp (z0 ) J ~ (1 - q) 6.
(8)
En este caso son justas las afirmaciones: - todas las iteraciones z,, (n = t , 2, ... ) pertenecen al intervalo f:>. : z,. E !:>.; - la sucesión {z,, } converge, para n -+- oo, hacia el limite x• que es la rafz de la ecuación (8); - la ecuación (2) tiene en f:>. una sola raiz. La condición E 6. signüica que
z,.
f Z/l
-
Zo
1
<
6.
(9)
En virtud de (8) tenemos 1z 1 - x 0 1 = 1cp (z 0) - x 0 1~ (1 - q) 6 < 6, es decir, (9) se cumple para k = t. Demostremos por el método de inducción que (9) se verifica para cualesquiera k = 1, 2, ...• Supongamos que (9) se verifica pna k = 1, 2, .. ., n; entonces se pueden calcular cp (z,.) y Zn+i = cp (z,,). De (6) se deduce que 1ZHJ - z,. 1 = = fcp (z,.) -
~
(10)
Aplicando 11uceeivamente uta desigualdad, encon tramos l Zll+a I ~ ¡A Iza - z, J, k = 1, 2, ... , n. (111
a:,.
t53
Al tomar en consideración que Zn+i -
+ (z,. -
Zn-1)
+ ... + (.i:
mos 1 Zn+1-Zo~(q"+ q"-1
Zt)
1 -
+
z, =
(z1
-
(zn+ 1 - z .. ) + .i:0) , obtendre-
+ ·· •+ q+i) 1%1-Zo1 = 1
t -qll+l
=- - 1Z1-zo1< -1 -- 1 Z1 - Z1 l<6, 1 -q f
es decir, z..+1 E /l. En virtud de (8), la desigualdad (9) se verifica para k = 1, y, por lo tanto, se verifica también para k = 2, 3, ... Veamos ahora la diferencia z,.+ 111 -Zn = (z...,,. -Zn+,,._1) + +(z,..,,._1 - z,. +,,.+:J+ ... +(z,.+ 2 -Z,.+ 1) +(zn+ 1-z,.) y estimémosla: / Zn+,,. -%.,
l~(q"'-'+q"'-2+
... + q + i) 1 Zn+1-Zn _,., 11-q -q"' "1 """" q
I~
z,-zo 1< q"ªu,
es decir, 1z,.+ ... - z,. 1--+ O para n-+ oo y cualquier m = = 1, 2, .... De aqul, en virtud del criterio de Cauchy, proviene la convergencia de {z. }: lim z,. = z• E /;.. Pasan-
..
,._,
do ahora en (3) al limite para n-+ oo, nos convencemos de que z• es una raiz de le ecuación (2): z• = cp (z•). Esta raiz es única. En efecto, supongamos que existen dos ralees distintas z' y :z:• "/= z', de modo que x' = cp (:z:'), z• = = cp (z'). Entonces. 1z• - z' 1 = 1
1z.. +1 1= 1cp
(z..) -
=
1x,. - x• 1 =
q 1:In 1~ q"+1 1 Zo 1,
(12)
1Jn+l j ~ q"+I l •1 I, es decir, el método de iteración simple converge con la velocidad de una progresión geométrica. El número de iteraciones para el cual queda cumplida la desigualdad (4) se determina de la condición q"·~ t, es decir,
n;;;;.ln~/tn..!.. g f
tS4
Cap. /JI. RHolud6n d• 1cuaclone1 alt•bratca•
El número minimo de iteraciones n 0 (s) para las cuales se cumple (4) es, evidentemente, igual a
no (e) = [ln
f /1nfJ,
donde !al es la parte e1ttera del número a > O. OBSBRVACJONBS. Si cp (z) tiene derivada en !:. , entonces (6) se cumple en el caso en que 1cp' (z) 1 ~ q para todo z E ó.. (t~ 2. Método de Newton. El método se determina mediante la fórmula f (s,.) (15) z,.+ 1 = z,.- t(s,.), f'(z,.)=foO, n= O, 1 , 2, Esta fórmula se obtiene, si en el desarrollo t
O= f (z•) = f (z,.) + (z• -z,.) f' (z,.) + 2 (z• -z,.)11" (~,
' = z,.+6 (z•-z,.) 0 ~ 8~1 , (16) donde z• es la solución exacta de la ecuación f (z) = O, se desecha el último término, al sustituir z• por :i:,. +l: O = f (z,.) + !' (z,.) (z,.+1 - z,.). El método de Newton se denomina también mitodo de tangente1 o ch ltnearlsact6n. La interpretación geométrica de este método consiste en que un trozo de la curva y = j (z) para z E lz,., z,.+1 1, si z,. < Zn +t (o bien para z E lzn+t• z,.), si z,. > z 0 +1 ) se sustituye por el segmento de una tangente traiada desde punto z = z 0 • Al escribir j (z) = O en la forma z = cp (:i:), vemos que el método de Newton puede ser considerado como el método de ' itersción simple (3) con el segundo miembro cp (z) = z - f (z)/f' (z). (17) Ilustremos el método de Newton con el ejemplo de extracción de una rab cuadrada de un número a> O, es decir, de reaolución de la ecuación :r;l = a o f (z) = z1 - a = O. Al aplicar la fórmula (15), obtendremos
n=O, t, ...
f55
Sea, a = 2. Eligiendo z 0 = t , hallemos :r1 "" t ,5, ~. = = t,417, z 1 1. ,414, .. ., es decir, la iteraciónconverge muy rápi damente. Estimemos le velocidad de convergencia do las iteraciones. Supongamos que exls~e uno ra!.z reaJ.i:• de la ecuoción (1). Tomemos cierto entorno de la rai:t: 6 0 = (:z:• - 40 , :r• + 4,). 4 0 > O.
=
Convongamos en considerar que la función (1.7) es dos veces diferenciable en 1110 y que su derivada segunda elltá aC-Otada 1 cp• (:z:) 1~ 2q,
(18)
donde q > O es UDll constante. Desarrollemos q> (:z:) en una lineo de Toylor en el entorno de z = :z:•: q>(:z:) - cp(:z:•)+q>' (%• ) (.i:-:r•) + ~(:r-z•)•, ~=z• + O(z- :z:•), Calculando a continuación 1p'
(z)=/r (/')1 = -/(t/f')'.
y observando que cp' (.i:•) dremos
0~6~1.
1"• (:r) =
= O cu ando
( 19)
-(1 (f-)')'
f' (z• ) .p O, obten (20)
Para el error
Zn+i =
.r,.+ 1
-
.r• obtendremos una fórmula :
s.,+1 = z,.+1 -:r• = cp (z,.)- cp(z9) = Zn•t
}C.c.. -
z •)•cp• (~).
= +q>•mZ~.
Do aqul y de (20) se despren de (21)
Denotando ~
1111
= q¡z,,I.
... ~11f'~11f ...
obtenemos 11,.+ 1 ~11! ~ .,!~ 1 ~
.. . ~
y, por eqnsiguiente, t
¡s,.+d~'"f(qf s,I)
.....
.
(22)
Cop. /11. Re1olacl6n á• ecaoclon" ol1abra1<:01
t56
De aqul se ve que las iteraciones (15) convergen hacia la nh ;i• para n-+ oo, al q 1S 0 1< 1 o l S 0 1 = J z 0 - z• 1 < f /q, (23) es decit , la aproximación inicial se dispone en el entorno A0 = (z• - 1/q, z• 1/q) con 6 0 = 1/q de la rais z = z• de la ecuación (t ). En este caso el método de Newton converge, como suele decitse, con la veÚ>cldad cuadrátieo (el método de iteración simple converge con la velocidad de una progtesión geométrica). La condición para que terminen las iteraciones 1Sn \ ~ ~ 8 ISo 1 (como se infiere de (22))) O 1 Zn 1~ (q 1 lo l)ln-l X >< 1 z0 1 se cumple, si n> n0 (e), donde
+
1lo (e) = [in (
1+In+ /in q 1 ~. 1 )/In 2J.
(24)
Es evidente que si la aproximación inicial se dipone en el entorno pequefio de z•, entonces todas las iteraciones posteriores quedar án dentro de este entorno A0 • En efecto, sea 1z 0 - z• 1~ 60 , con la particularidad de que q6 0 < 1.. Tendremos, pues, 1z 1 - z• l ~ q 1z 0 - z• l 1 q6! < 60, 1.r, - z • 1~ q 1z 1 - :e• 11 ~ q6 0 < 60 , etc., de suerte que 1:Zn - z• I~ 6, para cualquier n = 1, 2, . . . OJISBRVACIONES. 1. No nos detenemos en la demostración de la existencia de la rah. z = z•. 2. La convergencia cuadrática del método de Newton puede establecerse también psra las restricciones más débiles impuestas sobre f (z): 11' (z)l;;t M 1 > O, 11· (z)\~ M 1 para todo z E b. 0 . (25) ll11ciendo uso de (15) y (16), obte11dremos para el error z,. -1-1 u1111 expresión
' n+i
=
z•
rm
s,.+1 = 21' (z,.) s:,,
de la cual, en virtud de las condiciones (25), proviene una deelgualdad que coincide con (21) (la diferencia consiste sólo en g). Los raaonamienio. ulteriores no. llevan a (22), (23), y (24).
iS7
3. Método conUnuo de' Newton. L• soh,ición de la ecuación J (z) = O puede considerarse como un limite, para ,_.. oo, de la solución del problema de Cauchy:
dí + f (z) = O, tls
:t
> O,
:t {O}= u.0 ,
{26)
si este limite existe. Denotemos con z = z (t) la solución del problema de Cauchy, y con z •• Ja 110l11ción de la ecuación / (z) = O. Para su rliferencia z (1) = z (t) - x • • tenemos
: + (f (z)-f (z.)) = ~: + f' m·z, ~ = %·+e.. º~º~ i, da
t>O, z(O) =- u 0 , a(t) = /'(~). De aqul. se ve que 1 z (t) 1-+ O para t-+ oo, si /' (z) >O.
Tt+a(t)z = O,
Para resolver la ecuación (26) se debo hacer uso do un método explicito cua.lquiera. L11 velocidad de convergencia de z (t) a z 0 depende sólo de Ja magnitud de la derivada f (z). 4. Método de las eec:antea. El cálculo de la derivada f' (z.), 11plicado el método de Newton, puede resultar engorroso. Si sustituimos /~ por una razón de diferencias Un - /n-1)/(z. - .t.-1), obtendremos el método iterativo de las secantes (z. - z._ 1) / (zn) 2 ) Zn+t = %,. -
f (zn) - / (:,._,)
(
1
El método de las secantes converge con una velocidad menor que el de Newton, sin embargo en (27) se calcula sólo la función, mientras que en (15) es necesario h11llar no sólo la función sino también la derivada de ella. Es por esto que el volumen de los cálculos en cada iteración del método de las secantes es, en el caso general, menor.
Capftulo IV
Mét.odos de diferencias de la resolución de los problemas de cont.omo para ecuaciones diferenciales ordinarias
§ 1. Conceptos fundamentales de Ja teoría de esquemas de dilerencias Un método numérico universal para resolver er.uaciones diferenciales es el de diferencias finitas. Antes de pasar 11 su exposición hace falta introducir ciertos conceptos fund amentales referentes a la teorla de esquemas de diferencias, a saber, aproximacióu, estabilidad y convergencia. f. Operadores de dUerenclas más slmples. Con ol f.in de obtener una ecuación en diferencias en lugar de la ecuación diferencial, es necesario: - sustituir el dominio de variación continua del argumento por un conjunto discreto de puntos (por una red); - sustituir (aproximar en la red) la ecuación diferencial por una ecuación en diferencias. El problema sobre la resolución numérica de una ecuación diferencial se reduce a la cuestión de resolver las ecuaciones en diferencias. En los capitulos antecedentes ya se han expuesto los ejemplos de las redes: 1) red uniforme en el segmento O,,,;;;; z,,,;;;; 1 de paso h: un conjunto de nodos O>h = (z1 = ih, t =O, t, 2, .. ., N, h = t / N}; z0 = O, zN = t son los nodos de frontera; ooh = = {z1 = th, i = 1, 2, ... , N-t} es el conjunto de nodos Interiores; 2) red no uniforme: el segmento O,.;; z,.;; 1 se divide en N partes mediante puntos arbitrarios z 1 < z 1 < ... < zN-1; h, = z 1 - z 1_ 1 es el paso de la red; mh={z,. 1=0, 1, .. . , N, z0=0, zN = i}, ooh =
{z,. O< 1 < N};
t59
3) red en un segmento O~ t~ T: 6i = {tn = nT, n = 0, 1, ... , n0 ; n 0T = T}. En lugar de la función de argumento continuo (por ejemplo, en el segmento O~ :t~ i) se estudia la función y (:i:1) = = y, de argumento discreto :i,, donde z 1 es un nodo de Ja red (;),., o de argumento i que ea el número del nodo. Est.a función se deno1J1ina reticular. Cualquier función reticular puede ser representada en forma de un vector Y= Yo• Yu · · ·• YN-1• Yti). Por eso, eJ conjunto de funciones reticulares forma un espacio de dimensión finit.a H cuya dimenBióu, en el caso dado, es (N + 1). Se 8Jlaliza corrientemente una familia de redes {(1)11 } que dependen del paso como de un parámetro, razón por la cual las funciones reticulares y = y 11 (.:r;) también dependen del paso como de un parámetro (o de N), si la red w 11 es uniforme. Si la red uo es uniforme, eutonr.es por h se entiende un vector h = ("1,, /1 1 , • • • , hN)· Resulta natural por esta razón dotar el espacio de funciones reticulares con el índice h y escribir H 11• En el espacio H 11 podemos introducir una norma ll · 1111· He qaui los tipos más simples de las normas: 11 Y lle = máx l/ (:i:) o bien 11 Y lle = máx !111\; o.;;1.;;N
sE¡¡h
N-1
11 V 11 = ( ~
i-1
yfh) 111
•
El operador diferencial se sustituye por un operador de diferencias que actúa en el espacio de funciones reticulares. Sea G un dominio del espacio eucUdeo R• (p = 1, 2, 3) con la frontera r. Por ejemplo, G es el int.ervalo O < :i < 1, r expresa los puntos% = o, % = t; G 88 UD rectángulo o< < :i:1 < l¡, O< z 1 < l,, z = (z1 , z 1 ) E G (p = 2), r consta de los segmentos de las rectas z 1 = O, z 1 = l 1 , z 1 = O, z 1 = l 1 , etc. Sea dado un operador diferencial lineal L que actúa contra una función v (:i:), :i E G. Introduzcamos en G = G U r una red ¡; 11 y veamos una función reticular 11 11 (z), z E w 11 • Sustituyamos L11 en el punto x 1 E w 11 por una combinación lineal consist.ente de Jos valores 1111 (:i:) de la función reticular en cierto conjunto de nodos de la red
tllO
C•t· IV. Mito"'" !U "'t•rwMw "4 úr r11olru:16n
el cu"l se llamará mokk (L,.v), = ~ atw11 (z1),
z, Ea>11 (G),
(1)
"""'
ª'J
donde S-On los coeficientes, a 1 es el molde, a 1 E ;;}¡,. Tal sustitución de Lv por L 11v se denomlna aprozlmacl6n 1n la r1d de un operador diferencial L madlante el operador de diferencias L,. , o bien aproztmaci6n di dtferencüu del operador L. El estudio de las aproximaciones de diferen.cias L 11 del operador L se realiza, corrientemente, de un modo local, ea decir, en cualquier punto fijo de la red. La construcción do L 11 se debe empezar con la elección de un molde a(z), es decir, de un c.onjunto de nodos, vecinos con el nodo z E 0> 11 , en los c.uales los valorea de la función retlculu v 11 (z) pueden ser empleados al llllCrlblr la expresión para L 11• Veamos algunos ejemplos de construc:c:lón de L 11 • BJEMPLO 1. Derivada primera: Lv = : = v' (z). Tomemos tres nodos (z - la, z , z + la). Podemos servirnos de cualquier de las expresiones t
11(z+ ll)- 11(:r)
- v.,
(el molde (z, z + la));
L"j.v = u(z)-:(z-ll) = v;
(el molde (z-la, z));
L 1111 =
"
Llv = o(z+ l;_¡ <•-ll) ~ v;(el molde (z-la, z + la). 4
11
Se emplean a menudo las siguientes denominaciones: L1v = = v., es la derivada de diferencias derecha; L¡v = "i• la derivada de diferencias tsqullrda y LXv = v~ = { (L111 .f + L¡v), derlvoda di dtf1r1ncl"8 central. Sobre el molde trlpuntual (z - la, z, z + la) podemos definlr un operador de diferencias L~•> (v) -
ov. + (1 -a) v;.
donde a es un parámetro real. De este modo, exlat.e una infinidad de aproximaciones de diferencias de la primera derivada sobre el molde tripuntual.
Se denomina error de aprozlrnací6n del operador L mediante el operador L,. una diferencia i1> = L 11 v-Lv.
Dicen que L,. turu •l m-hílTW orden tk aprozimac'6n en el punto z, al ~ (z) e: L,. v (z) - Lv (z) = O (h•), o bien ~ (z) 1~ Mh"', donde M = conat > O no depende de h, m Haciendo uao de la fórmula de Taylor v(z ± h) - 11(z)
± hll' (z)+ +
... .
,..
>
O.
...
2 v (z) ± 6 11"'(z)+ 14 111v (z)+O(h'),
no aeri dificil obtener las l!lltimaeiones v.-11' - 0(h), 11;-11'=0(h), 11~ - v'- O(h1),
1jl<•> ... L~"\i-Lll = o((a-+) h + h'. K.TBllPLO 2.
Derivada segunda: Lv =- ~ - v· (z).
Tomemos el mismo molde t ri puntual que figuraba en el ejemplo 1 y escribamos un operador de diferenciH L1oll
(z)
11(s+A)-211"~:r)+11 lic- ll)
Al notar que v (z + h) = v (z) + hz,., v (z - h) -lw;. transformemos L,. v (z): 11,.
L,.v(z) =
(ic)-11- (s)
" "
=
v (z) -
.,_(;r+ •) -11- (;r)
= "
,. "
= v-""(z).
(2)
Aprovechando la fórmula de Taylor para v (z ± h), encontramos
,..
'!> -= L,.v- Lv =u viv (z) +o (h') - 0 (ht), es decir, L,. tiene el segundo orden de aproximación. Habitualmente se requiere la estimación del error de aproximación so bre una red, es decir, en cierta norma reticular ll •11 11 • Se di ce que L,. tiene el m-ésimo ordert de aproxima-
i62
Cap. IV. Mltodo1 de dl/•rencla1 de lo re10/ucl6n
ci6n sobre una red, siempre que
JILhvh -
(Lv)hllh = O (h'").
2. Esquema de diferencias. La ecuación diferencial Lu = / (z) se resuelve, como regla, con ciertas condiciones complementarias: iniciales (problemas de Cauchy), de corttorno (problemas de contorno) o biep condiciones inicia.les y las de contorno a la vez. Dichas condiciones complementarias, pasando a las ecuaciones en diferencias, se deben también aproximar. Sea dado UD dominio G con la frontera r y supongamos que se busca la solución u = u (z). z E G, de una ecuación diferencial lineal Lu = f (x),
x E G,
(3)
con la siguiente condición complementaria en la frontera:
u (.i;)
= µ (z),
z E f.
(4)
Introduzcamos en el dominio G = G + runa red.;;. = wh+ + "'ih· wh E G, "'ih E r, y al problema (3), (4) le pondremos en correspondencia un problema de diferencias con el operador lineal L1a del tipo (1): Lhl/h
=
h (z),
x E ro1a;
·1/h (z)
=
vh (z),
x E Yh·
(5)
Las funciones y 1a (z), h (z), v 1a (z) dependen del paso h de la red. Al variar h, obtenemos las sucesiones {Yh}. {q>h}. (v /a }. De este modo, se examina no uno de los problemas de diferencias, sino una familia de problemas que depende del pará.m etro h. Esta familia de problemas lleva el nombre de tll[uema tk dlferencílZ$. &J&KPLO 1. Problema de Cauchy:
Lu = ~~ + Mi=/(t).
t>O, u(0)=u0 .
El esquema de diferencias de Euler tiene por ex presión:
L' 11=""..T -v,. +'-11n-f -- "'
§ J. Teorla do
•"I'""'ª' dt
t63
dl/trenela1
&raNPLO 2. Primer problema de contorno: Lu =u·= -1 (z), O< z < 1, u (O) = µ 1 , u (t) = 1'1· (6) Hagamos uso del operador de diferencias t ripuntual (2): L•ll1 = lliz 1 = (111+ 1 - 2111 + 111_1)/h1 y obtendremos un problema de contorno en diferencias sobre la red e;,. = = {z1 = ih, o~ t~ N, % N = t}: L,.y, = 11;;,.,, = -/¡, i = 1, 2, ... , N -1 ,
Yo = l-'1• llN
=
1-'1·
(6')
3. Estabilidad. Nos resulta más conveniente pasar a la notación del esquema de diferencias (5) en la forma operacional. Con este fin escribamos al principio la ecuación (5) en le forma matricial AY h
=
«I>11.
donde Y,. es el vector buscado de N-ésime dimensión finita, la que es igual al número de nodos de la red, en los cuales no son conocidos los valores de la función reticular y• (para el primer problema de contorno (6') la dimensión Y h es igual a N-t, es decir, al número de nodos interiores de la red). Los va.lores de y,. (z1 ) en los nodos z 1 E (i)• son co mponentes del vector Y h • mientras que CJ>h (z1) represen tan los componentes del vector cI> •· y A es la matriz cuadrada de dimens ión N X N . introduzcamos un espacio N-dimensional FI" de funciones reticulares y sea A" un operador lineal correspondiente a la matriz A: A" : H h-+- 11 11 • En lugar de (7) podemos escr ibir (8)
Sean ll · llo 111Y 11 · llu,.1 ciertas normas en el espacio H • · Diremos que el esquema de diferencias (8) es estable, si existe una constante M > O (y dicha constante no depende de h ni del modo de elegir cp,.) tal que para le solución y" de la ecuación (8) tiene lugar la estimación llll All¡.11 1 ~ M
llcph ll
con todo h suficientemente pequeño: 1h 1~ h 0 •
(9)
16'
Cap. IV. /lll'4do1 .U dl/er111cú11 d• la ra1olucl6n
El esquema de diferencias (8) se denomina corrtdo (correctarMnte planteado), si la solución de la ecuación (8) e.iiste y es única, cualesquiera que sean los datos de entrada de cp 11 EH 11 , y si el esquema de diferencias es estable, es decir, queda cumplida la desigualdad (9). La estabilidad del esquema significa una dependencia continua de la solución 1111 de los datos de entrada, con la particularidad de que dicha dependen.c ía continua es uniforme respecto de h. Si 11 es una solución de la ecuación A ,;;11 = = ~11 • entonces A,. l/A) = ~" - cp,. en virtud de la linealidad de A 11; en este caso, de (9) proviene
v
(y,. -
11 y,. -1111 llc1,.> ~M ll '11-cp11 fo 11¡.
(10)
A la va.riación pequeña de los datos de entrada le corresponde la variación pequelia de la solución. Si el esquema (8) es resoluble, existe un operador inverso A ¡ 1 y ~~"2- ll 1111 llo,.>~ I!
..t¡•11;11:q¡,. 11<2,.>t
(1 t)
donde 11A¡1 11 = /f.4¡ 1 ll
(12)
El esquema es Inestable si no existe tal constante M (no dependiente de Ji) que supere l!Ai'll. es decir, /¡A¡ 1 U crece indefinidamente cuando lh 1-+ O. . Puede suceder que en lugar de la condición de contorno de la· primera espeeie u = 11 para z E r viene prefijada la condición lu
=
z E r,
µ (z),
(13)
donde l es cierto operador diferencial lineal, por ejemplo, lu = u' - ou, o > O, o bien lu = u' para z = O 6 para z = t. Entonces, en vez del problema (3), (4) tenemos el siguiente Lu =
f (z),
z E G;
lu
=
µ (z),
z E r.
(14)
El esquema de diferenciu correspondiente tendr'
E (j),., l 11 ¡¡ 11 = ¡¡,. para :i: E y,., (15) donde 111 es un operador de diferencias lineal que aproxima el operador l. Puede ocurrir, además, que cp,. y ¡¡,. han de ser estimadas en las normas diferentes ll1JJ1.lkt~h lli4,.lka,.>· El esquema (t5) es ntabk si para su aoluci6n 11 11 queda válida la estimación L,.¡¡,. = cp,. para :i:
llv11lki,.1~ Mi
ll
1~111 1 + M,
111'11 ll
(t6)
donde Mi > O, M 1 > O son unas eonst.antes que no dependen ni de h ni del modo de elegir los datos de entrada cp,. ¡¡ ¡¡,.. Se ha de notar que el esquema de dilerenclaa (15) también puede ser escrito en la forma operacional A,.11 11 = cp 11, sin embargo, en este ~so. 11·11,,,.1 en (9) y (16) pueden diferir, al igual que los propios miembros segundos (lo que ya está claro para el primer problema de contorno). (. Ejemplo de un eequema mtable. A titulo de ejemplo de un esquema estable analicemos el siguiente problema de contorno en diferencias ... v1-1-2r1+r1+t _ ,,, 11""· 1 Jl¡I -rl•
l
=
1 2 1
1
N •
• .. ,
-
•
({7) Siguiendo las indicaciones del§ 4, cap. I , definamos el operador A,.. Sea B 11 un espacio de funcion88 reticulares definidas en los nodos interiores (i = 1, 2, ... , N - t ) de la red. Tomemos y E B,. (el fodiee h de 111r. (:i:) queda por ahora omitido) y una función y0 = yN = O. Entonces, el operador A 11 se determina eon ayuda de la identidad J/o "" º•
/IN=0,
hN - t.
(A1111)1 = -Y.....,, 1, 1= 1, 2, .. ., N-1, y en lugar de (17) se obtiene una ecuación operacional A,.¡¡ 11 = cp 11• (t8) En el espacio B,. introducimos el producto escalar
,.,_,
(¡¡, u) -
~ 111u 1h.
·-·
166
Cap. IV. Nitodo1 de dl/ere11cla1 de la re1olutl611
El operador Ah en H h es aut.oconjugado y definido positivo y M~ Ah~ AE, o bien 6111111 1 ~ (Ahll• 11)~
A 1111111
para todo /1 EH h•
(t9)
donde 6 y A son los valores propios minimo y máximo, respectivamente, del operador A: 4
11/a
A= 11 A,. 11 = 7il"" C0.'11 -2-.
(20)
El operador inverso A;;' es autoconjugado si Ah = A~. En el § 4, cap [, se ha mostrado que las desigualdades (19) son equi\"alent.es a las desigualdades operacionales
-}E~A¡;'~fE, llA;;'fl=+.
(2t)
De aqui se deducen la acotación unüorme de la norma del operador inverso A;;': llA;;' 11 ~ f/6 < i/8 y la estimación apriorística t
t
11 Yh ll~T 11 hll~-¡¡- 11 1111,
(22)
que es indicio de estabilidad del esquema (18). Esta estimació n puede obtenerse por el método de desigualdades energéticas, sin recurrir a la estimación de los valores propios )..- (A¡;'). En efecto, multipliquemos la ecuación Ahllh = (j>h escalarmente por yh: (AhYh• yh) = h• yh) y aprovechemos las desigua ldades (q>h, Yh)~ 11q>h1111yh11. 11Yh11 1 ~ 1 . ~ 0 (A2hY h• y h)i entonces obtendremos la desigualdad 6 11Yh11 ~ 11'Ph1111Yh 11, de donde se deduce precisamente la estimación (22). El esquema (17) es estable también en la norma 11 y lle: t
llYhllc~zllhllc.
llYllc = llYllch = O
(23)
Esto proviene de la estimación de la solución del proLlema de controrno en diferencia tripunlual, obtenido en el p. 3 del § 5. cap. l. En el caso dado la estimación tiene por
S 1. T•orla de uqu1lft1U tle tll/trenelu
167
expresión N-1
N
1
llV11llc~ ~ h~ hlcp~l~llcpllc~ z,h
puest.o que
•-t
·-·
N
N
.__,
... s
~ z,h=h1 ~ I = ~
ha=
t2A <+·
5. Ejemplo de un eequem• no correcto. Sea dado un esquema A 11/I 11 = cp" y 11A 11 11-+- oo cuando 1 h 1-+- O. Veamos un problema inverso: determinar el segundo miembro cp 11 por la solución conocida y 11: B11cp11
=
Y11.
811 = A¡¡'.
El problema no es correctamente planteado. puesto que 11Bii'11 =(A ;¡')-1 11 = 11A1111-+- oo cuando 1h1-+- O. Esto sign ifica que para cualquier constante M que no depende de h puede indicarse tal h• que 11 B-;. 1 11 > M cua ndo 1hI~1 h.I. Sea ~11 la solución de la ecuación B11cp 11 = 11 , y sea cp" la solución de la ecuación 8 11 cp 11 = y 11 , en tonces
y
11~11 - cp11 11 ~ 110-,,• 1111
y,, -
/111 11.
Si, en cambio,
11 B";.1 11 ~ M 11 para 1h I> ho, de mod o que se verifica la desigualdad
11 ~11 - cpll 11~ M 11 VII - Y11 11. diremos que el esquema es c
11
Yh -
Y11 11~ t?
188
Cop. IV. Mllodo1 de dlfcr.,1cúu de lo ruolucl611
De la desigualdad 11 ~" - cp,. 11~ 11 /J¡1 11 11 y,, - 11,. 11 ae despreode que la solución del problema 8 11qi 11 = y,. se determina con la exactitud 11 IJ¡' 11 e0 • Supongamos que se pide hallar qi 11 con la exactitud e> O, de suerte que 11 ~" - qi 11 11~ e; esto es posible bajo Ja condición
U8¡1
ll·e.~
e.
De aqui determinamos el paso admisible h;;;;. h 0 , es decir, h 0 • Expliquemos esto con el problema concreto (t7). Para dicho problema tenemos
11BA'11 = 11A1111 =
..
4
nA
4
u =-¡rcos1 2 ~ -;;r.
y la condición 11B-;.•11 e0 = 4e/h1 ~ e, o bien
f:.11 0 ~
e queda cumplida si
De aqu[ se ve que Ja precisión con Ja que se dan los datos de entrada e0 ha de ser m's alta que Ja e.ueUtud e con Ja que 11& determina Ja solución. Por ejemplo, sean prefijados el error del segundo miembro e0 = to-a y la exactitud requerida e = to .... Entonces, h 0 = 2 .to-' = 1/50, es decir, la exactitud e = 10-' puede obtenerse sólo sobre una red de puo h> f/50. Si en cambio, por ejemplo, r. 0 = 4t ·10-', e = i~, entonces h 0 = 1 y la exactitud e = to_. no se coD11&guirá en ninguna red para tal precisión de prefijar los datos de entrada. 6. Aproxlmaet6n y convergenlca. Al resolver el problema (14) por el método de dlferenciH se debe saber con qué exactitud Ja resolución del problema de diferencias aproxima la solución del problema inicial. Con el fin de estimar el error obtenidó al sustituir (14) por el esquema de difrencias (15), es neeesArio comparar las soluciones de estos problemas. La comparación se realizará en el espacio H 11 de funciones reticulares. Denotemos con u 11 (z) los valores de las funciones u (z) (soluciones exactas del problema (14)) sobre la red (1)11: u,. EH 11· Veamos un error
f l. Ttorlo u
de 41/crtnel.u
'1fHlllU
donde V1i ea la solución del problema (15). Al auslitutir V1i = 1 11 u,. en (15) y al tomar u = u (z) por la función prefijada, obtendremos para 1,. un problema de diferencias
= +
L1it.11 = ,¡>,.,
z E m,.;
l,.1,. = v,.,
z E y,.,
(24)
u,.
donde ,¡i,. = q> 11 - L 11 se denomina error de aproztmact6n para la tcuaci6n L,.v,. - q¡,. en la solucl6n u = u(~) de la tcuact6n Lu = f (z) (residuo para el esquema de dtferen.clas en la soluc16n); v,. = ¡.i,. - l 11 u,. recibe el nombre de error de aproximación para la condición de contorno de dilerencias l,.v,. = ¡¡;:en la solución del problema (14). Diremos que: el esquema de diferencias (15) converge, si
11 ,,,. 110,,1- o pata 1h
,_o·.
el esquema de diferencias (15) tiene ezactttud de m-ésimo orden o converge con la velocidad O (lh ,.. ), si
"'" lk1,.1
=
11 !JA
-
u,. 110,.1~ M
1h
,..
o
m >O, donde M >O es una constante no dependiente de h. El e!!quema de diferencias (15) tiene ol m-ésimo ortkn de aproztmaci6n en la soluci6n, si
ll '1>11 11 UAI =O (1 h I"'), 11
v,.ll
= O (1 h 1"'),
m >O. (25)
v,.
La estimación de los residuos 1j> 11 y se reoliia bajo el sup uesto de que la solución del problema inicial existe y tiene tantas derivadas cuanto es necesario al obtener el m-ésimo orden de aproximación. Demos a conocer dos ejemplos de estimar 'I> •· &T&MPLOS 1. Ha y un problema l ,.y ... -!J;,. =
z = ih,
1 ~ i ~ N - 1. !Jo =
Lu
=-
u·
= f (.r),
O < .r
<
1,
y,,=
O,
(26)
u (0) ,.. u (1) = O.
170
Cap. IV. Nllotlo1 d• dl/11.,.cl., de la ruoli1cl6n
Eo este caso las condiciones de cont.orno se satisfacen con toda la e:nctutud , v ,. ·= O (el indice h de cp (z}, u (z} por ahora queda omitido} y 1jl11 = cp- l,.u = cp+u.;.,.='P+ (u· ++h2u1v ,\I
+o (h•)) = .
+ 12 u1v+O(h') =cp-/+O (/l•), puesto que u• = - /(z). De aqu! se ve que 11'1>11 llc = O (h1 ), si ponemos cp = f, o bien cp = f + O (h1 ) . = (cp+u")
En el p. 1 fue estimado el error 1j> = L,.v,. - (Lv),. para una función arbitraria. En la estimación del error i,. = = y 1, - u,. se une el residuo '1>1o que caracteriza el error de aproximación del operador Lu -1 mediante el operador L,.u,. - cp,. en Ja solución u = u (z) del problema inicial. Al tomar eo considera ci6o que f - Lu = O, represent emos 'IJ1o = cp,. - L,.u,. en la forma '1>1o = (cp,. - L,.u,.) - U - Lu),. = = (cp,. - / ,.) - (L,.u,. - (Lu.),.) = 11>/." + cpi,1 ' , donde '!JI." = - (L,.u,. - (Lu),.), 'l>i." = cp,. - f,.; '!Ji." es el error de aproximación de L por el operador L,. en la solución u= u (z) del problema (6), ,¡>),11 es ol error de aproximación del segundo miembro de la ecuación. La exigencia ll '1>1o llci,.> = = O (1 h ¡•) se cumple, evidentemente, si 111111." ll = = O (1 h I"'), 1111>1." 11,,,., = O (lh 1"'). N.o obstante, ·estas cond iciones oo son necesarias para la est imación de ll '1>1o ll = O (1 h 1"'), lo que atestigua el siguiente ejemplo. 2. Primer problema de contorno (6). Calculemos - 11>i." = u;,. -u·= 112 h•utv +O (1\t) = O (hª). t
.
Sea cp = /+ 12 h•/i,.• es decir, cp -/=0(h1 ). De aqu{ se ve que,¡>)," = O (h1 ) y 11>i." = Q (h1 ), sin embargo, el esquema tiene el cuart.o orden de aproximación, puesto que
11'11='11~"+'1>1.'' = cp - /+ :;u1 v+O (h') = = ~(/+ulY)+O(h') = ~(f"+ulV)+O(h•) t2 u 12 '
S J.
Tcorllt de u9ac•u de dl/orertcúu
t 7t
+ f" (z) = 0 en Virtud de Ja (z) = O. ecuación u· 7. Relación de la eetabllldlld y aproximación con la convergencia. Examinemos un esquema de dilereocla lineal (t5). Si el esquema es estable y aproxima el problema Inicial , ser' convergente (se dice corrientemente: tde la eatabilidad y aproximación proviene Ja convergencia del esquema.). En efecto, para el error 1 11 = lli. - u 11 obtenemos, en virtud de le linealidad de L 11 y l,., el problema (24) que ee an6logo al problema (t5) para 11 11 • Por eso, si el esquema (t5) es estable, es decir, si es jusi.a la estimación (t6), entonces para sA será válida la estimación
,¡ill .,. 0 (h'), dado que ulV
+/
ll s11
lloAI ~ M1
11 'l>A ll
+ M, 11""1111,,,.
(27)
De aqur se deduce que
11 i,, llo,,>
=
ll 1111 -
u" 110 111 = O (lh I"').
siempre que
11 ;>11 111.,.,
= O (1 h
I"'),
llv11 1111,,1 = O Clhl"').
De este modo, el estudio de la convergencia y del orden de exactitud de los esquemas de diferencias se reduce al estudio del error de aproximación y de la estabilidad, os decir, a la obtención de las estimaciones apriorlsticas (t 6). BJ&MPLO. Para el esquema de diferencias (17) (11:;,,., = 1 = - cp 1, i = 1, 2, ... , N - t , 11 0 =O, y,, = O)se ha obtenido anteriormente la estimación (23). El error de aproximación es evidentemente, li 1!>A = 0 (h1 ) para
ne,,,.. cp1 = /1 + iifü,c Por cuanto ' ñ , I =
lle11 = O (h' ) para = - 11> 11.1 para i=t, 2, .... N-1,
1111>11
1 0 = 0, s,,=0, entonces para s será tamblán válida la estimación 11 s lle~ t ~ 2 1111> lle. de donde se desprende 11 y,. - u 11 11 e = O (h"').
,..
donde m = 2 para = I + ji lx,, Con ello se da por terminado el estudio del esquema (26) (el estudio del esquema (26) se ha ilustrado, de hecho, con Jos tres últimos ejemplos). Todo lo expuesto más arriba sirve de ejemplo ti pico de cómo se realiu el estudio de los esquemas de diferencies.
Cap. IV. Mito®• el• dl/erenc/aa de la rHohicl6n
t72
§ 2. Esquemas de diferencias homogéneos tri puntuales t. Problema de partida. Consideremos el primer problema de contorno para una ecuación düerencial ordinaria de segundo orden: Lu=
!
(k(z): )-q(.r)u "" -/(z),
k(z);;;;;i:q>O,
q(z);;;;i.0, u(0)=µ 1,
0
(1)
u(1)=112·
Una ecuación de este tipo describe la distribución estacionar ia de temperatura, es decir, una distribución que no varía en tiempo (ecuación estacionaria de conductibilidad térmica), o bien la distribución de concentración (ecuación de difusión). Si u = u (z) es la temperatura, entonces W (z) = = - k (z) : es un flujo térm ico (k (z) es el coeficiente de conduct ibilidad térmica). El problema (1) tiene una solución única, si k (z), q (.:r). f (z) son funciones continuas a trozos. Si k (z) tiene una discontinuidad de primera especie en el punto x = ~. de modo que [k] = k (~ O) - k (~ - O) -:p O, en dicho punto deben ser continuos tanto la temperatura u como el flujo térmico -(ku'): [ul = O, lku'] = O para x = ~.
+
Son posibles tambián otras condiciones de contorno para z =O, z = i: ku' = a 1 u - 111 para x = O, -ku' = a 1 u 111 para x = 1. Si a 1 >O, entonces la citada condición es de tercera especie; cuando o 1 = O, tenemos la condición de segunda especie (ku' = - 111 para x = O). Son posibles combinaciones de diferentes condiciones para x = O y x = 1. 2. &quemas de dJfenmclu trfpuntuale& Introduzcamos en el segmento O< t una red uniforme IA>h = {x1 = = lh, t = O, 1, .. ., N} de paso h = t/N y elíjamos un molde tripuntual (z,,, x 1, z 1 + 1 ). en el cual escribiremos el esquema de diferencias que aproxima el problema (1.). Cualquier ecuación en düerencias en este molde tendrá por expresión (2) b1¡¡1 +1 - c1¡¡1 + a1y,_. = - h1q¡1 ,
x<
ª"
donde b,, e, son loa coeficientes dependientes de k (z), q (z) y h. Estos coeficientes son , por ahora, deseonoeidoa. Escribamos (2) de otra forma: t
T
(b 1--,. ,,,.. --,,,--a, -,,,_,,_, -,.-- )
.J
-
u11/1 =
(3)
-cp,,
b1)/h1 •
d1 = (c1 - a 1 -
Diremos que un esquema de diferencias es homlJglneo, si sus coeficientes en todos los nodos de la red para cualesquier a coeficientes de la ecuación diferencial se calculan según unas JllÍsmas fórmulas. Asi, por ejemplo, si introducimos las funcionales A lk (1)), B [k (1)), D (k (s)J, F U-(1)), definid as para cualesquier a funciones continuas a trozos sobre el segmento -1~ s~ 1, y calculamos los coeficientes del esquema (3) por las fórmulas a1 = A lk (z1 sh)I, b 1 = B lk (z1 sh)], d1
=
Dlk (:r1
+ + &h)l,
cp1
=
F [/ (:r1
+ + sh)J, k (s) = k (z 1 + +
sh),
entonces t al esquema será homogéneo. He aqui las funcionales más simples
A (k (s)J - k(-0,5), P (i (s)) = f (0),
a,= k1 -112 -
k (:r1 -0,5h),
cp1 = / 1 = / (z1), et.e.
Si un esquema es homogéneo, resulta más cómodo servirse de l sistema de designaciones sin indices: 1
A, =-¡¡-(byx-aYi) - dy - -cp,
:rECJ>,,,
y (0) ... "" donde a = a (z), b = b (z), y,, = (y (z + h) - y (z))lh,
y
=
!/i
y (z),
= (y (:r)
y (1) = ""'
(4)
z = th E w11. - y (:r - h))/h.
Para que el problema.(4) sea resoluble, es suficiente que sea O, d;;;i. O, y en este caso In solución puede ser determinada por el método do factoriznción (véase el cap. I, § 3).
a> O, b >
Cap. IV. Milodo1 d• dl/erencltu de la rc1oluct6n
t74
3. Condiciones de aproximación. Calculemos el error de aproximación del esquema (4):
'!> = (J\v + cp)-(Lv +
/)
= (J\v- Lv) +(cp- /) =
= [} (bv,.-avi)-(kv')']-(d-q) v+(cp-/), donde v (z) es una función arbitraria suficientemente suave; k, q, j cuentan con un número de derivadas necesarias en el t ranscurso de la exposición. Hegamos uso de la fórmula de Taylor:
v (z
±
h) = v (z)
±
hv' (z)
,.. v• (z) ± ,.. v" (z) +O (h')
+2
6
y bailemos
v.,=v'+{-v·+ ": v"+O(h').
vi=v'-{-v•+ ~·
v" + O(h3).
Sustituyamos estas expresiones para para 'iJ:
'l>=(+(b-a)-k')v'+(
bta -
11.,
y v;¡ en la fórmula
k)v• +
+ h (b;-aJ v· -(d-q) v + (q¡- /)+o (h2). De aquí se ve que el esquema tiene el segundo orden de aproximación si quedan cumplidas las condiciones
b~a = k'(z)+O(h1),
bta
=k(x)+O(h1),
d=q(x)+O(h1),
q> = /(x)+O(h1).
En este caso '!> = O (h1 ) . El esquema (4) con los coeficientes b, = k1+1¡2.
ª' = k1 - 1¡2.
d, = q¡,
b1 = 1c, + 21c1+112+1c,.. , a, = k 1- 112. 4
q>¡ =
d¡- q,
¡,,
t
q>¡= ,.
(5)
f t.
f7~
E•9acm11 de dl/ncntlo• lrlpanluo/cr
satisface las condiciones (5) del segundo orden de aproximación, mientras que el esquema con los coeficientes b, = k1+1•
no satisface ni siquiera la condición del primer orden de nproximación, puest.o quo t T (b1 -a1)-kl=O(t).
§ 3. Esquemas de diferencias conservativos t. &quemas conaervativoe homogéneos. En el § 4, cap . 1 fue establecido que Ja condición necesaria y sufícíento para que un operador de diferencial! Ay sea eutoconjugedo (la matriz sea simétrica) consiste en 11.ue b1 = a 1 +i· En este caso el problema (2) del § 2 adquiere la forma t [ ,,., - ,, 111 - 1/1-1] d 1v1 = -cp, , Av -=-¡-
a,•. --,.---a,--,.-- í=t, 2, ... , N-1,
y 0 = ¡.i1 ,
y,, - µ.,.
(1)
La ecuació n
hd,v, = -
ª1+1
hcp,
(2)
es un análogo reticular de la ecuación de balance del calor sobre el intervalo (z_1,,, z1+ 1,,): "I+ 1/2
W1+ 112 -W1-112 -
J
"l+l/2
qudz= -
"t - 1/2
J /(z)dz,
W=ku',
"l - 1/ 2
(que se obtiene integrando la ecuación (1) del § 2 a lo largo z 1 + 1•1 y lleva el nombré do esdel segmento· z1-i.t z quema conservativo, es decir, esquema para el cual so cumplen los análogos de diferencies de las leyes flsicas do co nservación. El requ isi to b1 = a 1 para un esquema homogéneo significa que 8 lk (z +&Ji) = A lk (z + (s + l )/h) , o bien, B lk (s)I = A lk (s + 1)1 para cualesquiera funcio nes conlin uas a trozos k (s) en el segmento (-1, 1 1. Esto es posi-
< < +\
t76
Cc p. IV. 11110"'1• de 41/•nn
ble eólo cuando la funcional .A [k (•)I no depende de los valores de k (1) para O~ s~ 1, y B lk (1)) no depende de loa valores de k (s) para - 1 ~ s=s;;;; O, de modo que a (z) = = Alk(z + sh)I para - 1 ~8~ O. El coeficiente a (z) del esquema coll!ervativo depende eólo de los valores de k (z) en el segmento (z - h, z). Las condiciones del segundo orden de aproximación (5) del § 2 toman, para el esquema conservativo (2), la forma siguiente •(s+1'~ - •(s) - k ' (z)+O (h1). a(s+1'l+•(s) = k (z)+O(hª),
d (z) = q (z) +o (h•),
cp (z) .... , (z) +o (laJ).
(3)
(4)
De aquí, en particular, proviene que
a (z) = k (z)- 1/,/Jk' (z)+O(h 1 ) =k(z- 1 /Jl) + O(h1 ). Escribamos el esquema conservativo (2) ulllir.ando las designaciones sin indices: (aJl;r).- d (z) JI= -cp (z),
z=thECt.)11 ,
v(0)=)11 ,
y(t) = 1&1·
Exigiremos que se cumplan también las condiciones a;>c1 >0, d;;;i.O .
(5) (6)
En Ja práctica se deben emplear las fórmulas sencillas para a, d y cp, por ejemplo, a1 = k1-1, 1 • d1 = q,. epi = f,. Si la d iscontinuidad de la función k (z) se halla dentro del nodo z = z 1 de la red, calculemos los coeficientes del esquema homogéneo: a, - k1 -111 o bien a 1 "" 1/ 1 (k (z,_1 +O)+ k (z 1 - 0)), d1 - •/1 (q(z1 -0) + q(z1 +0)), cp1 =- '/1 (/(z, -0) + + f (z1 +0)). En este caso las condiciones (3) se cumplen en todo punto. mientras que las condiciones (4) se sustituyen por las condiciones d1 (91-0 + 91-+e) (h 1),
•f,
=o
Demoa a eonoeet loa ejemplos de un eequema cuyos coeficientes ae calculan por integración en los lnt.ervaloa de la
red;
a,-
t {T
"/ " 1-1
+J
) _,
;
'Iª f(z)dz= )
f(z1 +1h)dl,
-112
"l-1(2
d, - {-
d.
i(•1+11\)
- 1
"H-112
q>, ...
ºJ
ds )-' { k(z) =
.l
I
'[ª
"1+1/1
J
g(z}dz=
"1-t/2
g(z1 + 1h)dl.
- 1/1
Es evidente, pues, que las condiciones (3), (4) se cumplen. 2. Enor de aproñllll~l6n. Veamos un esquema conservativo de segundo orden de Ja aproximación. Sea u. = u.(z) la snluclón exacta del problema
Lu
=
(ku.')' - q (z) u
=- f
(z).
u (O)
=
O< z µ1 ,
<
1,
u (t)
=
µ 1,
(6)
y sea y 1 = y (z1) la 110lución del problema do contorno en diferencias (5). Analicemos el error del esquema, os decir, una función reticular
s (z) = y (z) - u (z), Al sustituir lf (z) = s (:t) = u (z) en la ecuación (5) y al suponer que u (z) ea la función dada , obtendremos pllra eJ error s (z) un problema ,'\% = (a~).r -
z (0)
= O,
ch
=-
'!> (z),
a (1) =O,
z E "'11>
a;;;. c1 > O,
d> O,
(6')
donde ;> (z) ... Au + q> (z) = (ou;;). - du + q> es el residuo del esquema (5) en la solución u = u (z) del problema diferencial de partida.
Cop. /Y. M'i<>do• cü dl/n•nclo• de lo r uoh1cl6n
178
Teniendo presente que Lu 1j> = (J\u
+ q>) =
+f
=
O, escri bamos
(Lu + /) = (J\u - fa) + (q> - /) = [(au;;)z - (ku')' 1 - (d - q) u (q> - /).
+
Por hipótesis, el esquema (5) satisface las condiciones del segundo orden de la aproximación. Esto significa que 1j> = = o (h9 ), si k E CI'>, q, I E cm, u E e<•>, y, por lo tanto, ll'l>llc=O(h2 ). Con estas suposiciones el esquema tiene el segundo orden de exactit ud. No obst ante, el mismo orden de exactitud tiene lugar también para las exigencias más débiles tespecto a la suavidad: k (.:t), q (x), f (x) E c1•>, u E CP>. (7) LB.llA.
St se cumplen las condiciones (7). queda lfcita la
/6rmu.la (ku')
-{ku')
1+113"
i - 112
= (ku')í+O(hª),
(8)
dorule u = u (.:t) es la soluci6n de la ecuaci6n (6). DEKOSTRACION. Hagamos uso de la fórmula do Taylor: t
" ' *''2 =111 ± T
lw'+ ,., 1
·+ 48 ,.. 111... (.:t1 :±: 0h),
-¡¡-111
0~ 8~ i ,
+
(111+1¡2-V1 - 1¡2) = 11í+O(hi).
Sustituyendo aquí 11 = ku' y teniendo en cuenta que (ku')·= = (qu - /)', (ku' )" = (qu - /)' , obtenemos la fórmula (8). En virt ud del lema, el error de aproximación 1j> puede ·ser representado en la forma
"11=1'),..1 + 11>:,
'11=(au;;)1-(ku')1 - 112.
1j>j = O(h2 )
bajo las condiciones (7). Ahora, teniendo presente que
a, = k1-11i +O (h1) U.X, 1 =
para
ui-;."1-1 = (u') 1_ 112 -¡- 0 (h1 )
k (x} E 0 1>, para
uEC1»,
u 1 ... ut-t/a +
'lt =O (h1 ). Efectivamente, 1 + 'IJ!uí-112 + /1""-it-t12 +O (hª).
obtenemos
"1-1 = "1-111-{ ltui-111 +{-h•ui-111 +O (h1),
ª'"i., =
"i. f = "Í- 111 +o (hl). (kt-111 +o (h')) M-111 +o (,..))=(ku')•- 112+0 (hl), '11 =0(h1 ) .
Mb abajo se obtendd la estimación aprioristica 11 s lle directam.e nte en términos de '1 y 111•. 3. &timadonee aprtorfaUca Pasemos a la estimación del error s en términos de lj). Recordemos, ante todo, la eatimación obtenida en el § 5 del cap. 1 con ayuda del método de fact.orisaci6o:
de donde se infiere t
11 s lle~ 2t, 11 ;>lle· Mostremos que para la solución del problema (as;;),, -
az =
- ""' z E "'"· 1 (O) a ;;;;i.c 1 > 0, d>O
=
i
(t)
= O,
es válida la estimación
Uslle~.!. ., (t, 11111.
(9)
N
donde se designa (!/, 11) = ~ 11111,h. f -1
Representemos 1 en forma de una suma % = w donde w y v son las soluciones de los problemas (aw:;)x = - µ,,, % E Wh• W (O) = W (1) = O; Av
=
(aui)x - du
=-
dw,
z E w,. ,
u (0)
+ u,
= u (1) = O
t80
d~
Cop. IV. Jlltodo1 .U dl/trenc/41
la rc1olucl
La función ID se hallaré. en la fonna explicita, para esti.m ar v se haré. uso del principio del máximo. De la ecuación
=
(~+µ)" = O, (aw_c)1+1 = J.11 +1 (~, + µ, se deduce que aw;; + µ - const = c0 • Realicemos las transformaciones evidente!: ID1
= ID1-1 +
..
1
(co- 111) /1
= e, ~
0 = 1DN = c0
~
•-1
N
.l!.. h + w,,
·-·
N
~ ~- ~ ~h ·
LJ
LJ
al
N •-1 N ·-·
Co =
..
1
h
~-
..
ºA
'
...
~_ah¡~~.
·-·
•-t
encontramos
De aqui proviene 1
N
... ,
•-1+1
~ ~+a1 ~ ~1 ~
¡w,i ... l-(1-a1) t
.,.- (1 - a) ~~+a ""'>
1
Jt.J
k-t
••
1
N
N
~ ~ ~ ~ ~.
Jt.J •-•+t
••
Ahora nos queda tomar en consideración que y obtenemos
¿,¡ ª" •-s
4 11 ;.. c1
>
_0
(10)
§ 3.E1qaam1JJ1 de dl/arencla• conun1atlrJ01
t8t
Con el fin de estimar v hagamos uso del teorema 4 del § 5 del cap. 1: (U) 11 V lle~ 11 W 11 e· Al reunir las desigualdades (10 y (11), tenemos 11zlle = 11 w + vlfe~211 wlle~2.(1., 11-'fl, '1 es decir, queda demostrada la estimación (9). Volvamos ahora al problema (6'), donde 1j) = T)" + i¡i•. Representemos en la forma J-1
1jl
= µ",
donde µ 1 = TJi + L] h\jl:.
--·
(12)
y hagamos uso de la estimación (9). Entonces, para la solución del problema (6') obtendremos las siguientes estimacio-
nes a prioríst icas:
llzlle~ ~
N
l -1
A-1
A-1
{c1. ITJIJ + ~hl~
h11l%[}, (13)
11 zlle~+-{(f, ITJll+(1, 111l*IJ). 1 Queda probar que tiene lugar la fórmula (12). En efecto,
·-·
al designar p1 = L] hw%. vemosquep1+ 1 - P1 = h1j>f,esdecir, A- 1
"1t = p", 1
Y IP = TJ,.+ p,.= µ,., donde µ 1 = "' + p1• 4. Convergencia y exactitud del esquema de diferencias. Pasemos a estimar la exactitud de un esquema de diferenc ias. Suponiendo que k (.i:), q (.i:), f (z) E C<'>, u (.i:) E C<'>, obtenemos 1'J (z) = O (h1 ), i¡i• = O (h'). Ahora resta por utiliu r la esti mación apriorist ica (t3), la que pod ría ser susti tu ida por una estimación más aproximada 2 11=11e~c.
lle)·
De aquí se desprende que el esquema (5) converge uniformemente con el segund o orden , es decir, 11 z lle= 11 y u ll e~ Mh1 , si se cumplen las condiciones (7).
182
C•p. IV. Mltou1 114 tll/orcncl1u tic le rc1olacl6n
Resulta mb dificil demoat.rar la convergencia del esquema en la clase de coeficientes discontinuos k (%), q (%), f (%). Para simplificar, analicemos un caso en que k (%) tiene la discontinuidad de primera especie en un punto, mientras que q (%) y f (%) son continuas y pertenecen ambas a la clase C<'>. Denotemos con QCA> [a, bl un conjunto de funciones continuas a trozos que esUn definidas en el segmento [a, b] y tienen en (a, b) /e derivadas con\inuas a t.rozos. As{ pues, sea k (%) E Q<1>, q (%), f (%) E e<'> y k (%) tiene discontinuidad de primera especie en el punto ~ del segmento lz. , %n+11, de modo que t = z. 6h, O ~ e~ i. Para z = t se cumplen las condiciones de conjugación u- = u+, (ku')- = (ku') + = w0 , donde
+
V+
=
V (~
+ 0),
V-
=
V
(t - O).
Entonces "' = O (h1 ) para t =F n + t , 11>T = O (h1 ) para todo 1 .,. 1. 2, ... , N - t, 'ln+ 1 = 4,,+ 1u,.,,. - (ku')n+lli· Sustituyendo aquí u,.+. = u (t - 0) (h'). u. = u 8hu~ + o (h'),
hu: + o
m+ m-
u,.," ... (u,.+¡-U,.)/h - eu~+(t-0) u;+o (h) =
ª (k~}- +
(1-0) (~)+ +O(h)=
=w,(:_+ (ku')n+ ll• = (ku')_ (ku')• +l/t = (ku')+
+ O (h) = w0 + O (h) + O(h) = w0 +O (h)
obtenemos ,.,,..1
= w, [ "••• (
1 9 ;.
) + O(h),
para 0 > para 0 <
1
/ 1, 1 / 1,
~ + •;.9 )- 1 +o (Ja),
J
ea decir, 'ln+t = O (t) para cualquier esquema y sólo para un eequema con coeficiente
~. - [+·~ k~) r •1-1
f 4. B19N,.... 1ob,. lcl NtUI M ••lfo,..u
188
i.eeemo11 'ln+i =O (A). En efecto, t
t
. - = -¡-
""+1
es decir,
!
•,.
t
b
•,.u
ü
8
t-8
k(s)+T ( k(s) =-¡:-+-.-+O(A),
~
•
;,,+2 {:_ + t;:e )- t +o (la), y, por conal¡uiente,
,.,,.. 1 =O {h). En el aegundo miembro de la desl¡ualdad (t3) figura la ma¡nltud N
(1,
11111=- ._,, ~ hf11tl +hl11.. +1I· 1.... +1
Con esto queda demostrado el teorema siguiente. TP.ORBXA. En la cla11 tk coeftclenlu dúcontll'UIOI k (z) E E Ql, g (z), / (z) E C<'> cualquter esquema tk diferencias lwmoglneo (5) de 1egundo orden de la aprozimact6n tlenil el primer orden de '3:actltud, mlentru gue el esquema con coeft-
clente a 1 = ; , tiene el iegundo orden de ezactltud.
§ 4. Esquemas homogéneos sobre las redes no uniformes t.F.aquema co119enaU't'o en una red no uniforme. Elij~ mos en el segmento O r ~ t una red arbitraria no uniforme
<
l=-0, t, ... , N, z.-0, zN- t}.
Para o,bteoer un 89q119m& eo1189r't'atl'f'o \ripuntual en la red no uniforme, 85Cribamos una ecnacl6o de balance en el + 111h segmento ~1-t11•
z,
•1+111 ID1+111 -
ID1- 111-
l
«c-111
•.1+111
qudz - -
J
f(z)dz, w-ku'·
•t-1/1
Dicha ecuación ee anota igual tanto para una red uniforme como para una no uniforme. Noe queda apt0ximar lu lnte-
18"
Cap. IV. Mllodo1 tk dl/trencla1 de la re1olucl6n
grales y derivadas que intervienen en la ecuación de balance: h¡ = I¡ '"I+ 1/2
J / (z) dx -
It-1'
'"1+ 1/2
J
cp11i,.
qu dz - d 1 u11i 1 ,
Zj-1/2
rlonde d 1 y cp1 son unas funciones reticulares. Como resultado, se obtiene un esquema de diferencias 1 [ l/1+ 1-111 111-111-1] d1!11 = -cp,. T, ª1+1~ - a,---- 11 1
i = 1, 2, .. ., N - 1,
Yo=l11•
llN=i-Li·
(1)
Para determinar d1 y cp1 usaremos las fórmulas m'8 sencillas cp, = / 1 , d 1 = q 1, i = i, 2, ... , N - 1.. El coeficiente se determina por los valores k(z) en el intervalo (z1_ 1, z 1), a consecuencia de lo cual puede tomarse igual al que figura sobre la red uniforme, de modo que a 1 = k 1_ 113 + O(hl) para k (z) E C<2>. 2. Error de aproximación. Introduzcamos las designaciones
a,.
JI; = 111-111-1 Z, 1 /i¡ '
l/:r, ¡ = 111.,-111' /il+I
11 · :r. 1
=
lli.1-111 /o¡
y escribamos el esquema de diferencias en la forma
(a11-) • -
. ".
d11
Al suponer
J
= -
= 11 -
cp, :r
=
Z¡
E
m
h•
l/o
=
111• 11 H
=
111· (t)
u, obtendremos para s la ecuación
(as¡¡); - ds = -;>,
x E~'"
'• = 'N =O,
(2)
donde (3)
es el residuo para el esquema (1) en la solución u= u (z).
§ l . E1q1,.m41 1ol>re lu reiü1 "" an l/ormu
185
r>.
LEMA t. Sl IJU E e~>, f E e enloncu para el error de aprozimaci6n \j> es válida la f6rmula
"' = '1~ + "'.
(4)
t
donde 'lr = (au.s}1 - (ku')i-111 - ht (qu - nf/8, i!>t =0 (h1) para cp, = f 1, d 1 = q,. Hagamos uso de la indeo tidad del p. t. escribiéndola en la la forma "1+1/2
O= w. _ J_ 11,
"· 1
r
J
(qu-f)dr , w1 =(ku')1-11z·
'"l-1/Z
Sustraye1nos esta identidad de la igualdad (3): '"1+1/ 1
1j>=((aui) 1 - (ku')1 - 112J - (du) 1 +cp1
+
!, J
(du-f)dr.
"•-111
(5)
La integral que figura en el segundo miembro se representará en forma de una suma de dos integrales: de r 1_, 1 , a z 1 y de z 1 a x 1+ 1¡,; al desarrollar después la función su bintegrsl / = qu - fea el entorno del nodo z = z., hallaremos
+,
"1+1/2
J
~' {
f(x) dx =
"1
J
1/,+(z-z,)f;Jdz+O(h~H-
"1- 1/2
"1-112
"1+112
+
J
(/,+(z-z1)fíJdx+O(h:.,>} =
=T, + s!, (h;., -hn tí +o (lll). h: + hl+ 1 < (21i1)' . La sustitución hl+ ,¡¡ =
puesto que =hl+1fl+1 + O(hl +1} nos da "1+112 I
A;
f
J
•1- 112
f(z)dz = Tr+(hZf) .. +0(1il).
"· 1
C•p. IV. Jlltodo1 .U tlJ/
18&
7
Sustituyendo esta expresión con = qu - f en (5), llegamos a la fórmula (4). Para estimar 11 1 aegún el orden veamos la diferencia (au;¡)1 - (ku'),_111 a condición de que k E e<•>, u E C<'>. Empleando la suposición a1 = k 1_11 1 O (ht) y las fórmulas u, = h1ui..vJ2 + htui...11 J8 O (h~). u1_1 = 111 = "1-111 - h1u"t-11J2 h1ut-11J8 O (h~). u;;. 1 = (u, "1-1)/h, = "1-111 + O (h1), obtenemos (au;¡)1 - (ku')1-111 =
+
u,_ +
= (k1_1, 1
+
+
+ O (hl))(ui..111 + O (h})) -
+
(ku'),_1, 1
= O (ht).
De este modo, es válida la estimación 111 = O (hl) para (le (z), q (z), J (%) E c< 1 >, u (z)
E cea>.
Se suponía que d 1 y qi1 ae determinan según las fórmulas más sencillu: d 1 = q,. cp 1 = (1• Si, en cambio, so emplean las fórmulas más complejas, por ejemplo OBSl!RVACION.
"l+l/J
epi
= ""•- 112+"1+1!1+112 2i1 •
t q>, ~ "ij"
Jr ¡ (z) clz,
"t-t/J
;ir
+
entonces la función reticular = O (h1) - (d1 - q 1) u 1 (cp 1 - f 1) puede ser representada en la forma ;i~ = = p¡, iW, donde ;it• = O (l.t). p 1 = O (111) y 11 .. en la fórmula (4) se sustituye por la suma 111 + p 1: ,¡> = ÍP1 + '11); ,¡>•. ' (4') P1 (ht) '11 (ht), ,¡>f9 (llT} para le, q, /E C'''. u EC'". 3. &umad6n de la nloddad de conYer¡encla. Para el problema (2)- (4) es válida la aiguiente estimación aprioristica
+
+
=o
=o
=o
+
ll•llo~-?-l ((t, l '11 J+(1, 1;i•1) }, donde
(v.
N
v)I ~ ~
t-t
v1v 1h 1•
(7) del§ 3, entonees
(6)
SI ee cumplen tu oondíclonea '11 -0(.\1), 'lj>f ... O(~. 1jif en (6), nos cooveoeemoa de que es
Al sustituir 11 1 y varidico el aiguieñte teorema.
e.
T.ORBllA. En la clase rk c~ficicnU• ·~ le, q, f Cfl> eO
exactitud en una sucesi6n arbitrarla. rk la.8 rerks no uniformes. Al tomar en consideración la observación del p. 2, podemos representar '1>1 en la forma 'l>t = p ;,,, + 'l>t•, donde p 1 = O (h1), 'l>iº = O (Jlt). Entonces, en lugar de (6) queda vUida la flstimación
JlsJlc<;-?{(t, 11l+PIJ+(1, J,p••IJ); l
el teorema sobre el segundo orden de exactitud sobre una red no uniforme queda en vigor. Si el coeficiente k (:r) tiene discontinuidad03 de primera especie en un número finito de puntos, siempre podemos elegir tal red no uniforme ~h (k) que los puntos de discontinuidad sean los nodos de dfoha red. En tal caso cualquier esquema tendrá el segundo orden de exactitud. Asi pues, cualquier esquema homogéneo de segundo orden de aproximación (11> = O (h')) sobre una red no uniforme y en la clase de coeficientes suaves tiene el segundo orden de exactitud con la elección especial de las redes no uniformes (le) en la clase de coeficientes discontinuos. 4. &quema e.neto. Para el problema (1) del § 2 podemos construir un esquema tri puntual exacto cuya solución en los nodos de una red arbitraria coincide con la solución exacta u = u (x) del problema de contorno para una ecuación di ferencial. Ilustremos la posibilidad de construir el esquema exacto co n un caso particular del problema para q (%) • O: (ku')' = - f (%), O < % < 1, u (O) = O, u (1) = O. (7) Al haber integrado la ecuación desde % 1 hasta :r, obtendremos una ecuación
w,.
(ku')-(ku'),
+ l" f a>~=O. "1
Dividámosla por le (r) y integremos respecto de x desde x 1 hasta r 1+ 1:
x,., •. t >+ ) . ."'(~.> ) tm~=O, .., ..,
lt'+t
u«+1-u,-(ku'), )
...
(8)
188
Cap. IV. Jlllo4'1• .U dlfertncla• dt l
(9) Jotroduttamos un.a designación "1
af = [
r
t
T," J
t1z ] - ' k(s) .
"1 -1
Multipliquemos (8) por al+ 1 /h 1 +1 , (9) por ollh,, y sustrayamos del primer resultado el segundo. Obtendremos una ecueción t ( 0 u1..-u1 l .. ,-u,_,]+ O
¡¡;-
ª'••~-a--,.-,-
ci>1= '
o bien (tO)
donde
+
8h1 para z 1_ 1 ~ z' ~ z,, Y z' = Si ponemos z' = z 1 = z 1 + 8h1+ 1 para z 1 ~ z' ~ z¡+1 , entonces dicha fórmula puede reescribirse de la manera siguiente: 1'¡af o o cp, .. -¡;"(•1~íl1> I (z, + M,) dA +
J
-1
J +~ lo 1cc,,!',¡, )lo f(z,+M1+1)d>.. •
•
•
1
•
+l
De este modo, el esquema (10) es exacta sobre una red arbitraria no uniforme y para cualesquiera funciones continuas a trozos k (z) y f (z). Por supuesto, el empleo práctico de este esquema está obstaculizado por el hecho de que los coaficientesdedicho.eaquema se expresan a través de las in-
§ 4. E•qaettuu •obre la• red.. no anl/orMu
t89
legrales de k (z) y/ (z), razón por la cual au c!lculo requiere In aplicación de las fórmulas de integración numárica. 5. Aumento del orden de ex.actitud. De lo dicho ae hace claro que para aumentar la exactitud de la solución aproximada se debe o bien disminuir el paso de la red h o bien aumenlar el orden de exact itud del esquema. No obstante, es eonveniente construir esquemas eon orden de exactitud aumentado sólo para las ecuaciones de coeficientes eonstant.es, puesto que la anotación de tales esquemas para las ecuaciones de eoeficientes va.r iables está relacionada con grandes dificultades tl!cnicas y conduce, a menudo, a los algoritmos engarrosos. Ya hemos aducido un ejemplo del esq uema O (h') para la ecuación u• = - f (z). Examinemos ahora una ecuación u: - qu
=-
q = const >O.
/(z),
Escribamos un esquema de diferencias sobre la red uniforme: /\.y
= Y;,. -
dy
=-
cp (z)
y elijamos d y cp de un modo tal que tenga la aproximación O (h'). El error de la aproximación es ,¡i - /\u + cp = (/\u -u") - (d - q) u+ cp - / = h' =u uIV - (d-q) u+
Al sustitu ir aquí uIV obtendremos
q/ -
r.
q> = - (
d-q-
~; qi) u+
por consiguiente, 'I> = O (h 4), si se pone d = q+ ~; q2 , cp =
= / +12 "' (q/ + /") .
El orden de exactitud queda intacto, en la fórmula para
~i
+o (h
4
r
).
El aumento de exactilud del esquema disminuyendoh vi&ne limitada también por el requisito de la cconomla del t iempo indispensable paru la obt ención de la solución con
Cap. IV. Mltodo1 tk dl/er~ncl121 de /4 r.,olucl6n
t90
una exactitud prefijada. Por ello, en la práctica se utiliza con frecuencia eJ cálculo según un mismo esquema sobre le sucesión de redes, el cual permite elevar la exactitud sin aumentar considerablemente el tiempo de cálculo (método de Runge), bajo el supuesto de que sea la solución lo suficientemente suave. Supongamos que para resolver un problema de dUerencias en cualquier red unifonne es válido un desarrollo asintótico u 1 +a (z1) h"*1 + O (hl1 ) , k, > k 1 >O, (H) donde a (~1 ) no depende de h. Se pide ballar una función reticular y,. para la cual
y: =
Y1
= U1 +o (h1 )
(12)
sobre cierto conju.n to de nodos w,.. Veamos dos redes w11 , y w11 , de pasos h.¡ y h 1 , respectivamente, que tienen nodos comunes; designemos con ;;;,. el conjunto de nodos comunes. Sean 11~· e y~· las soluciones del problema de diferencias en las redes w11 , y w1a, respectivamente. Formemos su combinación lineal 1 = oy~' + + (1 - o)y~' y sustituyamos aqul el desarrollo (11): 1
y
Yi =
u1
+ <:t (z1)
(oh~'
+ (1
-
o)
h~'
+ O (hl-).
Igualando a cero el coeficiente de a (x 1), hallemos <7 = h:'l(h~· - h~');
(13)
con la particularidad de que en los nodos z 1 E w 11 se cumple el requisito (12). De este modo, con el fin de aumentar la exactitud de la solución reticular en cierto conjunto de nodos w 11 , se debe resolver el problema dos veces sobre las redes w.-, y w.-,, que se intersecan en dicho conjunto, y formar su combinación lineal con coeficientes o y (1 - o), donde o se determinada acuerdo con (13). En particular, podemos tomar h 1 = h.¡12 , h 1 = h; entonces w-h = w,.,. Para el esquema de segundo orden de exac4/3. litud tenemos k 1 = 2. k, = 4 , y o = - 1/3, 1 - o
=
La posibilidad de obtener el desarrollo Z¡ = y¡ - U¡ = a. (z1)hl + Ú (h4) proviene del desarrollo del residuo \j> 1 = ~ (x1) h1 + O (h'), el cual constituye el segundo miembro del problema /\.% = - 'I!>, Zo = % N = Q. El empleo de las redes no uniformes concede grandes posibilidades de aumento empfrico de la exactitud sin aumentar el número de nodos, siem pre que se tiene una información preliminar sobre el comportamiento de la solución del problema de partida. Asi, en la región de variación fuerte de los coeficientes y del segundo miembro de la ecuación resulta natural espesar la red. Cerca de la frontera do U11a di.s continuidad de los coeficientes, la red se espesa corrientemente según la ley de una progresión geométrica . Para obtener la información preliminar, se pueden realizar Jos primeros cálculos en una red aproximada y a continuación, los cálculos definitivos en una red especial.
§ 5. Métodos de construcción de los esquemas de diferencias De lo expuesto más arriba está claro que los esquemas de diferencias para una ecuación diferencial concreta han de reflejar correctamente, ea el espacio de funcio nes reticulares, las propiedades principales del problema de partida (autoconjugacióo, definición de signo y otras). Para el problema de contorno analizado por nosotros anteriormente, el requisito principal resultó ser una propiedad de conservación que es equivalente a la propiedad de autoconjugación del operador de diferencias. El problema de importancia consiste en obtener los esquemas de diferencias con una calidad prefijada. Para construir tales esquemas se omploan actualmente toda una serie de métodos. de los cuales se trata en este párrafo. t. Método Integral de Interpolación. Una ecuación diferencial expresa ha bitualmente cierto loy física de conservación. Dicba ley puede ser escrita en la formo integral para un interirnlo (célula) de una red (ecuación de balance). La ecuación diferencial se obtiene de la ecuación do balance,
Co.p. IV. Jlllodo1 dio dl/1rcnclo.1 dt la ruoluc16n
t92
cuando el paso de la red tiende a cero bajo el supuesto de que existen derivadas continuas que figuran en la ecuación. Las derivadas e integrales que intervienen en la ecuación de bala.n ce sobre la red se deben sustituir por las expresiones aproximadas en la red. De resultas se obtendrá un esquema homogéneo. Este método se denomina integral de interpolaci6n o bien mitodo de balance. llustrémoslo con un ejemplo de un problema (ku') - a 1u = (ku')' - qu = -1 (z), o<%< 1, (t) = - µ 1 para z = O, u(1)=µ 1 . Escribamos la ecuación de balance del calor en el segmento L:
o~ :c~
"1+1/2 ID1+112-w1-112+
j
f(x) dx=
•1-111 "1+112
j
q (:e) u (:e) dz,
w = ku',
(2)
"1 -1/2
donde (-w (z)) es el flujo térmico, q (:e) u (z) es Ja potencia de las corrientes (de las fuentes, cuando q
T
J
,. ,_ t/2
"1+1/2
q (z) u (z) dx ~ d 1u,.
d1 =
! J
"1-1/2
q(x)d:c.
1 5. llltodo1 d•
coiulr•ccl~lt '4 101 UfD"""'
lntt1gt'emos la igu11ldod u'
=
193
wlk rupecto de z col.re z 1_ 1 y z 1:
·~ k~i:) dz~hw1 _ 11a~1 ,
u 1 -u1_ 1 -
··-·
Como resultado, obtenemos de (2) un oaquema 1 [ ¡¡-
4 1+1
d 11/1 . .
111 •• - 111 -lt--- 4 1 -111-111-1] - l t --
-
q>1 .
"l+ l fl
'4>1 =
! J / (z) dz. "1- 1/1
Deduciendo esta exp resión se supouia, de hecho, que u = = const para z1_ 1, , ~ z ~ z 1 + 111 , w = const para .z,_1 ~
~ % ~ %1 ·
En lu gar de las expresiones para a,, d1 , q¡ 1 convien e tomar las fórmulas más sencillas, como lo hicimos en los párrafos anteriores. Escribamos una aproximación do diferen cias pora la condición de contorno do tercera especie cua ndo z = O. Con este fin hagamos uso de la ecuación de balance pura Q~ %~ Z1/1 = h/2 "112
J qu dz= -
W 111-w0 -
"1¡2
) /(z)dz.
o
Sustituyendo aquí W0
= (ku') = 0
a 1u 0
-
µ 1,
"1 12
j / (z) dz -
/ 0 -} h
o y cambiand o en todos los casos u por y, obtendremos la con· •lición de co ntorno en diferencias
a,!fi.
1 -
Ot!/o
+ µ1 -
hq 0 yJ2 "' - hf0 !2.
la cual puede eacríbirae en la forma ªiV;;, 1=
o1v -il1, 1
donde
a = a + hgJ2, ¡¡1= ¡¡,+h/ 12. 1
Estimemos en la solución u valor del residuo y
=
v
(Ui -
U¡ = u 0
(3)
u (.:z:) de In ecuación (1) el
+
+
= k1 ¡ 1 +O (h') = k\ +
1
/1
huó + h 1u 0/2 +O (h ), u;;, hu012 O (h'), obtenemos
hkó 1
=
+
+ + 1.h (ku')ó - Oiu 0 + 1'1 +O (h') = a u + ¡¡ + 'lsh l(ku')' - qu + /1 + + o (h = o (h
u0 )/h = uó
= (ku')0
= l(ku') 0
=
0
= IJsUi, I -f1Uo+1'1•
Al sustituir aquí a¡
+O (h1 ) ,
1
1
-
1
1)
0
0 2 )
2
),
es decir, la condición uo contorno on uiferencias de tercera especie (3) aproxima Ja conuición ku' = a 1u - ¡¡1 para .:z: = = O con un error de segundo orden Y = O (h1 ) . Para el empleo práctico la condición de contorno (3) ha de eacribirse en la forma
v,=x.v,-J.l.,
x1~
•• --2h_ o,+.a, • J.l1 = 1 1 +lo- 1 •
Con el fin de aumeuta.r la exactitud del esquema al calcular las inte¡rales se debe utilizar la interpolación de orden más elevado. 2. Método de aproximación de una funcional cuadrAtica. Un problema de contorno Lu = (ku')' - qu = - f (.z:), O< .:z: < 1, u (O) =O, u (1) =o es equivalente al problema de buscar el elemento minimiudor de la funcional cuadrática 1
J¡u¡ - ) (k(u')•+qu•dz-2 u
1
Jfudz. u
lntroduzcnmos en el segmento O~ z~ t una red (;) 11 = = {z1 = ih, i = O, 1, ... , N) y aproximemos la funcional.
I~
S 5. llltodo1 de con11rutcl6n d<1 101 ••q11cma1
Con este objeto represent.émosla, al principio, como una suma de integrales eu los intervalos de la red: J
(u) = ,_, ~ J,(uJ,
1lnll(IU~s
J 1 (u)""
1
.,_,
(k (u')1
+ qu•-2/u) tlr,
de lo cnnl nproximomo!'I J,. por ejemplo, 11si:
"•) le (u')' dz ~ a
1 (U¡, 1)• h,
1loncle a1 es un coeficiente, por ejemplo, "1
a1 -
! I k(z)dz. •1-1
Obtenemos, como resultado, una funcional H
A-1
'
H- 1
+ A-1 ~ (qA11X-2fA11A)h,
Jh(YJ= ~ haA(Yx A)1
•londe 111 -= 11 (i) es una función reticular arbitraria que se reduce a cero cuando t = O, N. La ecuación H
Ay=cp 6 ~ ª111l1""''P1o
A = A•
J-1
>0.
lione une solución que minimiza la funcional H
l,.(Yl=(A11, Y)-2(q>, 11) =
~
•.i-•
H
ª111l1Y1 - 2
~11>1!11·
·-·
l>r esto podemos convencerno!'I al iguala r a cero la rlerivada
a1,.1r1 - -a111,- = 2
N ~
LJ ac,Y1- 2"''· = J-1
0•
196
Cop. /Y. Mltodo1 d1 dl/trenc/01 de la r16olaclón
puesto que a 11 > O para cualesquiera l vi rtu d de que A es posit ivo (A >O). Al calcular la~ tlur ivada.s
~~~
= t,
2, •.• , N, en
= 2a1Y;. 1-2a1+1Yi. 1+ 1 + (2q,y,-2f,)h, 8Jh =
ª"'
2:!L + 2-1+1 + 2 >o
"
11
fJ1
•
nos cercioramos de que el elemento y = y(•) E H 1,. que mi nimiu la funcional cuadrát ica, es la solución del problema (ay;¡).,, 1 - 91Y1 = - /,, t = i , 2, .... N-1, Yo= O .. YN
M~o de apro:dmaci6n de una lden Hda d (m~o de ldeottdadee awnadoraa) . Sea
3.
(ku')'-qu+f(;z;)=O, 0<%<1,
=o
Integral
u(O)=u(t )-0.
(4)
Multiplicando la ecuación (4) por una función diferenciab le arbitrar ia 11 (:r), que se anula para :r = O, :r = 1, e integrando respecto de k entre O y t , obtenemos una identidad 1
l(u, 11) =
J(ku'11' +quv-f11)dz=O. o
Cambiando, por analogía con el p. 2, la in tegral y las der ivadas u', 11', escribamos una identidad sumadora N
l hl!I.
11] -
N-1
:Z a 1vi• 111; • 1h+ 1-1 :Z 1-1
(q 1 y 1 - / 1 )11 1 h~O.
Luego, auponiendo, por ejemplo, que 111 = 6 1, 1• • O< l 0 < N , y teniendo preeen te que 11- 1 = O para l < '•· y l > '• t , 11:: 1 + 1 = -1/h, 11- 1 = obtendremos ~.
•
a, •
+
t/h:
h {fa 1+1!1,,, 1-{- a 1gz, 1 } + (q1- /1)h = 0
cuando
l = l0 ,
es decir, (a;y)., - qg = - /. 4. Métodos de Rlll y de Bubnov-Galerkl n (métodos varlaclonalee de dUerenclu ). El problema sobre el mlnimo
S S.
Mltodo• de co11alruccld11 de loa e1qucma1
197
de una funcional / (u) = (Au, u) -
2 (u, f),
donde A es un operador lineal autoconjugado y do!inido positivo en el espacio de Hilbert H con el producto escalar (x, y), es equivalente el problema sobre la resolución de una ecuación Au
=f.
So introduce una sucesión de espacios do dimensión finita Vn con base (epi"'}, i = t, 2, .. ., n. El método de Ritz consiste on que se busca un elemento u. E v. que minimiza In funcional 1 (u) en v•. La solución uproximada Un se busca en forma rle le suma Un =
" YJ'Pb ~
(5)
J-1
donde y 1 , • • • , Yn son unos coeficientes desconocidos. Lol' cálculos nos dan l lunl = a.,¡
=
a.11
~
l.J-1
=
a.11Y1Y1-2
(Acp,, 'PJ),
±~1Y1t
1-1
~1
= (/,
cp¡);
1 lu.I = (y1 , y 1 , . . ., y.) es una función don coeficientes y 1 • Igualando a cero las derivadas iJI lu 0 1/iJy1 , obtendremos un sistema de n ecuaciones
~ ª11Y1-~1=0,
1-1
t=t, 2, .... n,
para determinar y1 , y 1 , •• ., y,.. Ilustremos el método de Ritz con un ejemplo del problema (lt). A titulo tlo In función ip1 (x) toml\mos
º· s < -- i 1, { 8
cp 1 (x)='l ( .r-;;-z: ) = ri,(x),
ri(s)
1+s, .1 -·s, 0
c.,.
t98
IV. Mllodo1 d• dl/cr•n
A1 sustituir en la fórmula para a:11Acp1 = - (kcpj)' te nomos 1
a: 11 = (Acp,,
qi 1) -
.~
(
k
.;!_1 ~ +
4
4
+
qcp1,
q')1'1i) dz,
o 1
111 = LoR eálculus
no~
(6)
(z) '11 (z) dz.
1l11n
4'11 = c¡z
o para
~ { d:r.
1o f
-
zz,.,
1/hp11ra z 1_ 1
De 11q11I y do (6) so ve que la matrii. [a111 es trid i11gon11I, puoRto que son diíerentes de cero .sólo aquellos a 11 • p11r11 los cuales / = i - t , i , i + 1. Por esto, pa ra y 1 se obtiene un sistema ª'· 1-1!11-1 + ª1.1!11 + a1,1+1!11+1 - 111 = O. l 11troduciendo lns des ignaciones a, = - ha: 1• 1_, + h2a 1 ... ha1•1 + h (a,, ,_ 1 + -t- a1,H1) ,
y observando que a 11 1• 1 = a 1y1_ 1
-
(a 1
+ ª•+• + h'd,)
~I
= - h ~¡ 2
a 1• 1+1 • obtenemos un esquema + a¡ +1!11 +1 + h' qi, = O,
!11
o bien (ay;),. - dy
+ q> = O,
(7)
donde
o
a1 =
o
j k(z +1h ) d1 + hª j q(z +sh)s(t +s) dl, 1
- 1
d1 =
1
j q(z +sh)(t + s)ih+ Í q(z1 + sh)(1-s)ds, 1
o
-1
o
cp1 =
1
-1
o
1
j t(z + 1h)(t + 1)d1+ jo f(z
_,
1
1 +1h)( t
-s) ds.
Este es el esquemn de segundo o rd en d e nproximación.
En el mtwdo de Babnov - Galulcln la •olact6n a,. se hui1ca t11mbí6n en 111 forma (6), mb los coeficientes 111 se hnllan de la condición de ortogonalidad del residuo A a,. - f respecto de las funciones básicas epi (.z) : (Au. - f, cp1) = O, l = 1, 2, .•. , n, (8) r.on la particularidad de que no se requiere qlle el operador A ~ea autoconjugado. Para el problema (4) ellglmos de nuevo lus mismas (unciones bbicu. Al sustituir (6) en (8), obtendremos un sistema de ecuaciones para y 1• Calculando a.11 y~,. lle¡i11mo1 al mismo eaquema (7) que se ha obtenido por el m6tod o de Rltt. Con la elece16n Indicada de las funciones coordenadll!I cp1 C.z) ... 'I ( ~} los m6todos de Rlb y de Rubnov -Galerkln coinciden con el m6todo de elementos finiloll.
Capítulo V
Problema de Cauchy para las ecuaciones diferenciales ordinarias
En esto capitulo examinaremos los esq uemas clo cliíeroncias clestinados para resolver ecuaciones diferenciales ordinar ias (no line11les, en el caso general) ele primer orden con datos iniciales (problema de Cauchy). La resolución de las ecuadones mencionadas representa un dominio clásico do aplicación de los métodos numéricos. Existen varios método~ de diferencias, una parte de \os cuales se ha elaborado en la época precedente a la invención de los ordenadores y, no obstan te. resu ltó ser aplica ble también para las máquinas electrónicas modernas. Nos limitaremos a 11na exposición breve de los esquemas de diferencias principales que son de arn pl io uso en la prác.tica y para los cuales se tienen los programas estándar correspondientes.
§ 1. Métodos de Runge- Kutta 1. Problema de Cl\uchy para una ecuación de primer orden. Su pongamos que se picio hollar una funt'.ión u = u (t). continua para O ~ t ~ T . que satisfaga la ecuación diferenc.inl parn 1 >O y In condición inicial para t = O:
~ = f(t,u(t)), O
(1)
donde J (t , u) es la función continua prefijada de dos argu mentos. Si 111 ínnC\lón / (1, 1t) está drfinicln en un rectángu In D = ~ (O ~ t ~ T . 1 u - 11 0 1,;;;; U\ y snlis(nc.e c>u el tlomit1io O se¡?íin lo variablt• 11. In rn11c!ir.ió11 rlo Lipsr.hitz: 1 f (l, rt 1) - / (l , u,} 1 ~ K 1 ll 1 - u 1 1 parn
rn;1l~st¡\1iern
(t, u 1}, (t , u z) E D,
(2)
5 l.
" ' " ''" 4c R•acc-Kall&
clonde K - c:onst > O, entoocea el problema (t) llene una ~ol ución única. Para demostrar esta afirmación la ecuación ( t ) so Integra 1lu O a t:
,
u (t) ... u 0+ ~ 1(1, u(•)) da, o
(3)
y lA ecuación integral obtonida so resuelve (lOr el mtllodo de
oproximaciones sucesivas (mé\odo de Picard): 1
Un+1
(l)=uo+
f f(s, ºo
Un
(4)
(s))ds,
1fondo n es el número de la a proximación (iteración). El métorlo do Pieard converge y determ ina la única solución de la ecueción (3) o del probleme de Caucby (1). Esle rnélodo permile halla r la solución aproximada del problema (t ), si en (4) sustituimos la integral por una fórmu la de cuadratura cualquier&. Sin embargo, el volumen de los cálculos para el algoritmo obtenido es bl\stanle grande, puesto que para cada iloroción (con t fijo) debo calcularse una integral. Para la resolución aproximada del problema (1) se em plea a veces, un método anRll t lco basado en la idea do desarrollo 1lc 111 solución del problema de Caurhy (1) en una serio de Taylor. Le solución aproximada u n (1) se busca en la forma (5)
donde u'' ' (0) = ~~ (0) = /(O, u0), y los valores de las derivadas u<- >(0)
(k~2)
se hallan mediante le diferenciación
.~llC~!li Yn cJu 111 N'llBl'iÓn
( 1)
n•i• (O) - u· (O)= :, / (t, u) ,,_ = /,(O, u0) 0
+
+/(O, u 0)
Ju (0.
u 0).
202
C•t· Y. Problcm• .U Cnclt11
u'" (O)= u• (0) .,. -¡;rtl' / (t, u) 1 1
= /1• (O,
1-0
=
e;)+ 2/ ut (O, e;) I (O, U.)+ +fu•(O, Uo)u•(O), a1
/1=711
01
f. - -¡¡;. f.,=
a•1
Oudl,
etc.
Para t pequeños ol método rlo sories (5) pucrlo asegurar buona aproximaci6n hacia la solución oxact.a u (t) si n son no muy grandes. Aquí el volumen de los cálculos depende no a61n rle la exactitud t > O (1 u (t) - Un (t) 1< t) y de 11 = n (e), sino también rlol tipo do la runción / (t , u), puesto q110 la dotermlnnr.ión de las derlvAdnR u<-> (t) pnedo resultar muy engorrosa. En Jo sucesivo se supondrá siempre quo la función f (t, u) es bnstante suave, es decir, tiene tantas derivados (respecto rle t y de u) cuantas sean neceaariu en el tranSGurso de Ja exposición. Antes de pasar a la exposición de Jos esquemas de diferencias para el problema (t), dctendrémooos en la cuestión do esl&bilidnd de la solución dol problema (1). lCómo variará la aoluci6n del problema (t ) si cambian lns condiciones inlclalos? Sea ~ (t) la solución de Ja ecuoción (1) con las condiciones iniciales u (O) = ~ 0 • Para el error 1 (t) = ~ (t)u (1) obtenemos una ecuaci6n
:
+a(t)s,
O
1(0) = 10 -~-i;.
(6)
donde a (t) = 1/ (t, ;;) - f (t, u) -1 (t, u)l/i = f. (1, u + Oi), o~ e ~ i. Como solución do (6) Inter viene la función
+
1
Si / .. ~ O
s(t) - i(O)exp(Í a(1)d•}. o para cualesquiera t, u, entonces
l 1 (1) 1 ~ l 1 (O), o bien 1~ (1) - u (t) 1 ~ 1~. parn todo t
u0
1
E 10. TI,
S J. 11114"'11
.U Ra1tce- Ku1t•
os decir, Ja solución del problema (1) es e.ta.ble respecto de los dutos i11icialos (ol error en los datos iniciales no crece) . El probloma (i} es esta ble también respocto del segundo miembro:
;;o -
- u (t) 1 ~ 1
I;.; (t)
u0 1 + e.T para O~t ~ T, si
t .. ~o,
doucle ;; (t} os la i,¡oJución dol problema (t) con el segundo miembro
-/ = / - + 6/, (t, u)
1 6/ I ~ e, e = const >O.
Ln sol ución del problem11 (6) para t.-. oo so comporta igual que la 50Jución de una ecuación lineal ~ -;¡¡+1.z = 0,
t ~ T,
0<
z(O) = .:1 ,
que puede considerarse on el estudio de la estn'bilidad como In ecuación modelo. 2. &quema de diferencias de Euler. Introduzcamos en ol segmento de integrnción O~ t ~ T una recl w, = = {tn = nT, n = O, 1 , . , . }. Denotaremos con Yn = = y (t") una función reticula r. El método .numérico más simplo p11ra resolver le ecuación (t) está roprosontado por el esquema de diferencias de Euler:
/(t,. ,
(7)
n = O, 1, .. . , l/o = Uo·
y,.),
Los va lores lle 1/n -. y (tn) ~ determinl\I\ S\1c.csivamen\.e a partir do Uo =; u 0 so~ún unu fórmula oxplfoita Yn+•
= !In +
n = 0 , 1, · . . , Yo =
T{ (tn• !In),
Uo.
En lugar de u = u (t) 011c·o11trumos unu íuncióu reticular 'Jn = y (In) 11ue es la so lucióu aproximad1J del problema (1) . Una función reticular Zn
= Yn
-
U
(tnJ
es el error del esquomll de düorencias. Escribamos le ecu11r. iú11 pum z". Co11 este f111 sustituyamos .1/11 = z,. + u,. en
(7} y tomemos en conalderaci6n que
+
!l .. +t - lln = (i...+1 - i,.) (u,.+1 - u,.), / (t,., ¡¡,.) = f (tn• u,,) lf (1,., Un + s,.) - f (t.,, u ..)J = = f (t., u.) = a.,.s,.,
+
donde
ª" = /w (t,.,
+ es.),
u,.
o~ e ~
t.
Cumo resultado, obtenemos para "• un problema
..... -...
-'f-=c.i...•..
+"""'
n= o, 1•... , s-0 -= o,
(8)
donde 111n es el resíduo o error de Ja aproxlmacl6n del esquema (7) en la soluci6n u = u (t) del problema (1), que es igual a
111,. = f(I,., u,.) Estimemos 111n para
T-+
"•+t =u,.+ T~ .. +
(9)
'(
O. Para ello sustituyamos
T -;;,. + ... (~ - ~)
en (9), y, teniendo en cuenta que, de acuerdo con (1), ~ .. = = / (t., u.). obtendremos: ;i,. = O (T), o bien 11 'i' lle = = mb: l 'i'n 1 = O (T). Esto es testimonio de que el csoc 1n<;T
quema de Euler tiene primer orckn de aprozlmaci6n. Mostremos que el esquema de Euler converge, es decir. 11 s,. lle == 11 !In - u,. lle -+ O para 'f -+ O, y tione primer order1 ck eza.ctltud, es decir,
ll•llo -
máx ls,.1 = 0
OC1n4;T
(T).
La demostración se aduce bajo el supue11\.o de que -K ~f. (t, u)~ O,
T ~
2/ K.
(10)
De (8) determinamos z,.+t = (1
l •n + 1 1~ 11
+ "t
+ c.tT,. 1 l s,. 1+ T 1111,. 1~ l sn 1 + T l '!'n I•
§ J. Miio®• de Rute-itatl•
+ 't
puesto que 1 1 duce que
1z:,.+ 1 1~ I to I +
i;
...o
't
:i1
l 'IJ, I =
....o
't
De aqu[
l ..P. \,
!e
de(H)
es decir, 11 z lle
= O ('t). Si In condición (10) no se cumple, pero I / .. 1 ~ K , enLonces en lugar de (H) obtenemos l Zn + i 1 ~ TeXT ll 'i> lle. y la afirmación 1z le = O ('t) queda en vigor. 3. Aumento del orden deaactltud. El método de Euler os muy sencillo, mas no es de elevada exacti tud. Se puedo aumentar el orden de exacti tud de la solución numérica respecto de 't sin complicar el algoritmo. Existe el método ck Runge para elevar la exactitud cuya idea consiste en lo s iguiente. Supongamos que la solución u = u (t) es suficientemente suave y t iene lugar el desarrollo s iguiente del error Zn = Yn - Un en potencias de -r: Yn
= Un + a. (t) 't + f} (!) 't• + . , .,
(12)
donde a (t) y ~ (t) son unas funciones que no dependen de 't. Elijamos dos redes de pasos -r1 y 't 1 que tienen nodos comunes (por ejemplo, T 1 = 't , -r1 = 't/2), resolvamos en cada red el problema (7) y encontremos y< 1> (t,.,) e y<'> (tn.). respectivamente. Tomemos un nodo, común para las dos redes, 1: = tn 1 = lnt• y escribamos (12) para n = n• : y\\)
(In•) =
y<1 > (tn•)
=
U
(In•)
u (t,..)
a. (lne)
T1
+ O {-r\),
+ a (t,..)
+
T1
+ O ('t!).
Formemos una combinación lineal con el parámetro o:
y (t,..) = C1y< > (In•) + (1
- o) y<1 > Ctn•)
=
<1)
1
u (t,..)
+ (O'T1 + (1
-
T1)
=
+ O ('t1 + 'ti). - a) 't = O, es decir
a. (tn•)
+
Eligiendo a de la condición O't1 (t suponiendo a = T,/('t1 - i:1), obtenemos
Ü (In •)
=
U
(tn•)
+0
(T 2),
't
= mb
1
(T 1, 'J,).
La función reticular y aproxima la solución u = u (1) co n el segundo orden de exactitud respecto de 't. Do este mndo. he-
206
Cap. V. Problema d• C:euch11
mos elevado la exactitud del método de Euler realizando dos clilculos en las redes de pasos i:1 y "'•· Este procedimiento puede ser continuado teniendo presente (12). Al realizar los cálculos según el esquema (7) en tres redes do pasos i:1 , "'•· -r,, hallaremos la solución del problema (t) con el tercer orden de exactitud en los nodos comun es para ln11 tres redos elegidas. 4. Esquemas de Runge-Kutta. El orden de exactitud puede ser aumentado complicando el esquema do diferencias. Son de amplio uso en l a prlicLica lo~ e1quemas de RungeKutta del segundo y cuarto órdenes de exactitud. El clilculo por el esquema de Runge-KuLta del segundo orden de exactitud se realiza en dos etapas. En la primera etapa se halla el valor intermedio de ii,. según el esquema de Euler de paso a.i::
ª"''
¡¡,. = y,. + (t,., y,.); en la segunda etapa se determina el valor de y,.+ 1 por lo fórmula 1J•• + 1 = y,. + i: (t - u) t (t,., y,.) + u-rf (t,. a.i:, i/,.),
+
donde a. > O, u > O son los parámetros. Al eliminar obt.endremos para Yn+i un esquema
y,.,
!!"!C.!'.! = (t -a) f (t,., lfn) + 't +af(t,, + a.-r, y,.+a.-r/(t,. , y,.)).
(13)
El orden de exactitud del esquema depende de los parámetros a, T. Hallemos una expresión para el residuo o error de aproximación del esque.m a (i3). Con este fin, por analogia con el p. 2, traslademos Cv,.+ 1 - y,.)/i: en el segundo miembro y sustituyamos u,,, u,.+1 en lugar de y,., Yn+i· De resultas, obtendremos la siguiente expresión para el residuo: 'l>n = (1 - <1) f (t,., u,.) + a/ (t,. + a.i:, u,. + + a.tf (1,., u,.)) - (u,.+ 1 - u,.)lt. (t3') Recurriendo al desarrollo por la fórmula de Tnylor, obtonemos lj>,. = -r (aa. - 1/2) u;. + O (-r1 ).
j l . Mltok• de Ranr•-/Callo
De aqu( ae ve que el esquema (t3) lieno aegundo orden de O (1" 1 ), si se cumple la condición
aproximación 'Pn
=
ªª
= 112. (14) Do este modo, existe una familia (de un solo par&metro) de esquem11s (13), (14) de segundo ord en do aprox imación. Veamos los casos particulares: 1) a = 1. a. = 112:
,,,.t:/2 - 1/n
-- /(t n y) n •
~ -/ 't -
(t n + ...!..2 -Yn ) • t
(15)
Bste os el conocido esquema predlctor- corrector, o bien cálculo-recálculo. Puede ser escrito de otra forma:
v. =v.. + if(t,., 11,.), 11.... o, al eliminar v,., en la forma (11 .... - 11.. )f't =
11 .. +
'tf
(i .. +
I [ t,. + ; . 11. +TI (t,.,
;.
11.. )
v.. ).
J.
(15')
2) o = i/2, a e: 1: 11
"·\- llrt
=
~
11(t,.,11.. )+ f(t,..,,
v.. + i:f (t,., 11.. ))J.
(16)
Este esquema también puede considerarse como un esquema predictor-corrcclor: al principio, el esquema do Euler de paso 't (predlctor):
ci..
'Y. = v.. + i:f v.>; después, el esquema con una semisuma (corrector): (11.. +1 - 11,.)l't - 11, 11 (t,., y,.) + / (t. +,. y,.)I. La idea del método predictor-corrector se usa con frecuencia al escribir esquemas de dilerencias para las ecuaciones de la fisica mat.emática con derivadas parciales. He aqul las fórmulas para el esquema de C\unge-Kutta del cuarto orden de exactitud: 11
"•
; J1,.
1
=
+
(k, (11.) + 2"1(¡¡,.)+2k, (y,.)+ k, (11.)l.
n = O, 1, .. ., Yo =
u..
(17)
c.,.
V. Problema de Cuch11
donde k¡, k,, k 1 , k, aoo las correcciones que se calculan según las fórmulas
+
k¡ = J (tn, /In), k, = / (tn 'f/2, /In ka = / (t,. + -c/2, y,. + 'C~J2), k, =
+ 'fk,12),
/ (In + 'f,
y,.
+ -ck1 ) . (18)
Oetermioaodo 11.. + 1 según el y,. dado se debe cuatro veces calcular el segundo miembro. Demos a conocer el m1Hodo de los cálculos según este esquema. Pa.r a n = O sabemos !lo = u 0 • Podemos calcular sucesivamente k¡, k 1 , k 1 , k,, y hallar t
/11 = /lo +e -e (k, <110)
+ 2k. (110) + 2k
1
(110) + k, (110)),
después de lo cual los cálculos se realizan pnra n Para el residuo obtenemos una expresión 1j>,. = {
=
1, 2,
lk1 (u,.)+ 2ks (u,.)+ 2k1 (u,.)+ k,'(u,.)J (19)
donde k 1 (u,.) (t = 1, 2, 3, 4) se determinan según las fórmulas (18), en las cuales y,. se ha sustituido por u,.. Al desarrollar u,.+ 1 • k, (u,.), k 1 (u,.), k 4 (u,.) en el entornó de t = to. oos convencemos de que 1"n =O (-c4), es decir, el esquema (7), (18) tiene el cuarto orden de aproximación, si u = u (t) tiene cuatro derivadas continuas. Todos los métodos de Runge-Kutta son ezplEcito:s (para determinar l/n+i se debe realizar los cálculos según las fórmulas explicitas) y de un pa.so (para determinar /ln+i se debe liacer un paso en la red desde t,. basta 1,.+ 1). 5. F..ata.blUdad de loe esquemas de diferencias. En el p. 1 se be considerado una propiedad importante de la ecuación diferencial (1), a saber , la estabilidad (respecto de los datos iniciales y del segundo miembro). Para estudiar la estabilidad respecto de los datos iniciales de la ecuación no lineal (t) analizaremos una ecuación modelo
~ + >.u=O, A= Const>O, t> O, u(O)
u0 •
(20)
200
§ 1. /llltoth>• de Runga- ICulla
Su solución u (1)
=
u 0 e-At decrece para A> O, y
1 u (1)1 ~ 1 u0 1 cua ndo A ;;;;i. O para todo t
~O,
(21)
es decir, la ecuación (20) es estable para A~ O, lo que corresponde a la c.ond ición /,.~O. Se introduce una exigencia natural: para los esquemas de diferencias que aproximan las ecuaciones modelo h11 de cu mplirse un análogo de la desigualdad (21):
1 Yn 1 ~ 1 Yo 1 para cualesquiera n
= 1, 2,
. . .
(22)
Veremos más abaj o que esto no siempre se cumple. Veamos una serie de ejemplos. 1) ESQUEMA EXPLICITO DR BULl!:R:
J/n+1-J/n T
+ AYn =O,
Yn +I = (1 - TA} Yn.
(23)
De aquí se ve que la condición IYn +al~IYnl~···~IYol
queda cumplida para 1t - TA - TA ~ t , es decir, para TA~
Si, por ejemplo, 'tA
~
1 ~ 1,
(24)
o bien -1
~
2.
t (25)
3, entonces
1Yn + t 1 = 1 'tA - 1 1 1 Yn 1 ;;i. 2 1 Yn 1;;i. • • • ;;i. 2"+l 1 Yo 1, 1 y,. 1 ;;i. 2" J Yo 1 -+ oo cua ndo n -+ oo.
El esquema es inestable, la co ndición (24) 110 se c.umple. De este modo , el esquema de Euler (23) es convencionalmente estable para T ~ 2/A, A > O. 2) E~quema implicilo de Euler: T lln +A.Yn+i = O
lln+t -
1 Yn+t = 1 +Tk
Yn·
(26)
Por cuan to 1/(1 + TA) ~ 1 para cualesquie ra 'tA ~O, ento nces el esq uema es absol1llamente estable: 1 Yn 1 ~ 1 Yo 1 para cualesquiera T y A ~ O, n
= O, t . 2, (27)
21()
Cop. V. Pro&l•mo
BSQU&MA COH l'&SOS
ra.,;r.. +A (a11,.+1 + (1 - a) ¡¡,.) =O, 11,.+ 1
= qy,. .
(28)
El esquema es estable para 191 ~ 1,
1-{t-O) 'f).
q
1+ ot>.
Vemos que 1 q1 ~ 1 , si - t - a"fA ~ t - (1 - o ) "fA ~ 1 O"tA, o bien 1 + "f (o - t /2) A> O, de modo que 1 + O"fk ;;¡.. "tJ..12 > O. De este modo el esquema con pesos e:; absolutamente (para tod-0 "f) estable para a > 1/ 2, y condicionalmente estable pare a < 1/2, siempre que "f ~ ~ 1/ ((1/2 - a) A.). 4. ESQUEKA DE RUNOE· KUTTA DB S&OUNDO ORJ)ltN. A 1 SUS· liluir en la fórmula (13) / = - >.y, obtenemos ~
+
1
q = 1-"f>.+ 2 1 1>.1. (29) El esquema es estable, 1!In 1 ~ 1 !lo J, si 1q 1= t - "ti. + !/,.+ 1 = qy,.,
+y-r1.V~ t. lo que liene lugar cuando d. ~ 2.
(25)
El esquema de Kunge - Kutio de segundo ordcu es eslnble bojo la misma condición que el esquema expllcilo do Euler. )/ EllQUBlfA DB RUNOS-KUTTA DB CUARTO OJIDEN. Sustituyendo / = -Ali en (17), (18), obtenemos y,. +i q= t-
-r>. + T1
= qy,., 1
1ªA.ª- 8
1 -r•>.1 + 24 ;r4>.'.
(30)
La desigualdad 1q 1~ 1 se cumple para -rA ~ 2,78, es decir, la condición de estabílidad del esquema de cuarto orden es un poco más débil que la eondlcj ón (25) para el esquema de segundo orden. Estos ejemplos muestran que los esquema& explicitas de uo paso son condicionalmenLe estables, y entre los 8$quemas implicitos se tienen absolutamente estables (por ejemplo (28) cuando o 112). Si ). > O es grande, el paso "f, en vir· lud de (25}, debe elegirse para Jos esquemas expllcitos lo suficíe11temenle pequeño.
>
211
6. Sobre la conn:rgenda 1 l.a exactitud. El eequema de Runge - Kutta para une ecuación no homogénea du
u(O) ~ u0
t>O,
y,+Au =/ (t),
(31)
tiene por expresión ll•+t
=
91/n
+
q
= q (
(32)
donde los expresiones pera q y cp" dependen del orden del esquema. Así, para el esquema de segundo orden tenemos t
q= t - "1'1+2't1 A1 , cp,. = (1-a) f (t,.) + a/ (t,. + ai:),
= !In - u,. obtenemos •u•;'• + (A - A~ }%" = 'i>n
Para el error t"
o bien
º·
'•+1 = qt" + 'til>n• n = 1, 2, ...• '• = donde 11Jn c>s el residuo igunl n 'l>n = !pn -
(u.+ 1
-
u.)li:
º·
= O ('t~).
En virtucl de la condición de estabilidnd (2f>), 1 q 1 ~ t y
ftn+tf~ft,.f + i:flj>,.f~tT flj>hf, a-o
(33)
de donde precisamente proviene que el esquema (32) converge y tiene el segundo orden de exactitud (converge con la veloc idad O (i:'), o converge con el segundo orden):
I! z lle = O (
i12
C•r· V. Prohlrmo de Cnuclo11
= 11. -
dici6n de que fu~ O. En este caso, para z. aa = 1/ 1 obtenemos un problema
u. con
A (t + Tf Ty,. ) Zn + 't'i>n' (34) = I'• donde P. = fu (1.. u. + 0 y. = fu (t + 'tl2, u + + 0,z.) (O~ 01 ~ t. l = t, 2). y 11> se determine por lo ln+1 -
~
•n
1: . ) .
11 (
11
f6rmule (t3'). Reescribamos (34) en la forma
:. = q.:. + 'tlji..
q. = 1
+ 'tP. (t + 'fy.t2).
La co ndición de eslabilidad 1q11 1 ~ 1 6 - 1 ~ q. ~ t se cu mple, si 2 -'f 1P11 1+ 1f 1'f1 1Pn 11 y. l;;.. O, 'l,T 1P. 11y. 1~ 1P. l. o bien 't 1y. J ~ 2. La primera desigualdad queda cum plida tam bién para 't 1P. J ~ 2, y, por consiguiente, es suficiente que i1ea (35) sie~pre que fu ~O, l f,. 1~ K , (t, u) E D. La condición (35) es análoga a (25) y asegura el cumplimiento de la estimac ión (33), de la cual se deduce precisamente la convergencia del esquema (13) con el segundo orden JI: lle = O (T1 ).
§ 2. Esquemas de varios pasos. Métodos de Adams l. Esquemas de varios paaos. En el § 1 fueron considerados los métodos de Runge- Kutta pera le resolución numéri<"o del problema de Cauchy du -¡¡ = f(t, u),
O
u(O) = u0 •
(1)
Estos son los mitodos de un paso: al determinRr el nuevo valor de ll•+• se usa sólo el valor de 11 11 • Para determinar el valor aproximado de 11. pueden analiiarse, en el caso general, los t$tJuemas ck diferencias ck m paws (m;;;;. t), esdecir, las ecuaciones del tipo
h •: A-O
llo-• =
h"' A-O
b•f•-•· n=m, m + 1, ... ,
(2)
S 2. E•quem111 d• uarlo1 puo1. Mitodo1 dt Adom• rlon de
ª•• b• son c.iertos coeficientes /,._,. = / (' ·-• · y,._,.),
213
numéricos,
ªº .;: o.
b,. .;: o.
En particular, pera m = 1, b0 = O, b1 = - a 0 , a 1 = - a 0 , llegamos al esquema de Euler. El esquema (2) se denomina explicito (de extrapolación), si b, = O y los valorea de 11,. ee determinan en términos de los valores ant.ecedent.es de y,._ 1 , y,._,, ... , 11,._,.. según una fórmula explícita
Yn
"' ~ =o;t L.J
·-·
t
(b,.Tf,._. - a.y,. _,.) = ~ F(y,._,, Yn-t• · • ·• y,._,.).
Los cálculos empiezan con n = m. Para hallar y,., se deben pre fijar m valores iniciales y0 , y1 , •• • • y,._ 1 ; éstos pueden determinarse, por ejemplo, mediante el método do RungeKutl a en el que se utiliia solamente el va lor inicial de !lo = "o· Si b0 . ; : O, el esquema (2) se denomina implicito (de inlerpolarión): al hall ar y,., se debe resol ver , para cada n, una ecuació n no lineal 4o!/n -
bof (1,. , !In)
= F (!ln-1• Yn - t •
· • ., Yn - m).
(3)
Dicha ecuación no lineal puede resolverse, por ejemplo, mcdiente el método de Newton. El error do aproximación del esq uema (2) en la !olución u = u (t) de la ecuación (1) o el residu o se determina por la íórmule m
11>,. =
2;
•-o
u,,_.) -+•-oh ª•"•-•· m
b.f(i,._. ,
(4)
Suele decirse que ul esquema (2) tiene el s-ésimo orckn de npro:r.imacl611 (o simplemente que ol esquema (2) tiene el .~-ésimo orckn) . ~¡
111'> lle - O ( t'). o bien 11 1'> lle ~ MT' . s > O,
(5)
rlo nde M = eo n!'t > O no depende de T. Los coeficientes a,. , b,. se eligen 11 partir de los rcqui ~ itos de aproximación y esta bilidad . Sin porh1rb ar la generalidad
214
Cap. V. Problema de CoucA11
de raionamientos podemos considerar que (6)
puesto que los coeficientes de la ecuación (2) están determinados con una e:uctitud de hasta un factor. Desarrolla ndo 1'>n en potencias de l' y exigiendo que el residuo tenga un orden prefijado, obtenemos las condiciones para determinar a,., b,.. Por cuonto u = i es la solución de la ecuación u 1 = = f (t, u) para f = O, de (2) se desprende que (7) Con el objeto de construir los esquemas (2) se aplican, corrientemente, otros procedimientos en los cuales se emplean fórmulas de cuadratura y de interpolación. Asl por ejemplo, integrando la ecuación diferencial (i) respecto de t dentro de los limites de tn-n, a tn• obtenemos Un - Un - n,
=
'f
f (t,
U
(t)) dt.
(8)
'"-"• Paro obtener de aqul un esquema de diferencias se puede usar para lo integral una fórmula de cuadratura cualquiera. 2. Método de Adams. Toda fórmula de cuadratura engendra el método correspondiente de resolución numérica de la ecuación diferencial ordinaria (1). En una identidad u. - u ••1 =
'"!
f (t, u (t)l dt,
(9)
1n-.t
correspondiente a la identidad (8) cuando n 0 = 1, sustituyamos la integral por una fórmula de cuadratura In
1 f (t,
'n-1
m
U
(L)) dt
~ l'
¿; b,./ (ln-1'• •-o
Un_,.).
(10)
§ Z. B1qatmtu d• uorlo1 pG101. Mltodo1 de Ad4m1
215
Ten iendo presente (9) y (tO), podemos escribir el uquema de difertnclas de Adamr.
..
~ b.l ('·-··
•-o
"·-·>·
(H)
Dicho esquema puede ser obtenido de (2), si ponemosª• = O para Te = 2, 3, ... , m, y a 0 = t, 41 = -1. La fórmula de cuadratura (iO), en cuya base est' con&truido el esquema de Adams, contiene los nodos de las redes que no pertenecen al intervalo de Integración tn-i ~ t ~ t". Habitualmente se utiliza la exigencia de que la fórmula de ruadratora llOa exacta para un polinomio de gTRdo m. Con nllo se elige un polinomio de interpolación con lo~ nodos t", ln-S' • · ·' fn-nr
Con tal construcción del esquema su error de aproxlmar.ión coincide con el error de la fórmula de cuadratura. Efectivnmente, el residuo para el esquema (H) es i¡>,. =
~ b.f ('·-··
•-o
··-·--·
U,...a)
T
Sustituyendo aquí de (9) le expresión
+'f
f
(t, " (t)) dt,
'"-1
obtenemos la fórmula para el residuo: i¡>,. =
~
~ b•f (t,._.,
•-o
u,._,.)-+ '"Í
'•-•
f (t, u (t)) dt.
3. Esquemas explícitos e Implícitos. Si q nema (H) será explícito y
bo
(t2)
= O, el es( 13)
•-1 Oo ejemplo mn!I simple del esquema explicito de Adams sirve ~I
do Euler y,. - y,._, =
Tfn-i
pnrn m = 1, b0
=
O, b1
=
1.
(t4)
2i6
Cap. V. Problema do Cauch¡¡
Al poner eo (11) m = t, b0 = t , b1 = O, obtendremos el es· quema de Adams implicito Jln-iln-1 "f
f.,
y.-Tf (t.,
o bien
l/n) = Yn - t·
El esquema impllcito simétrico de un paso (m
lln-:n-i =f lf(t,.,
=
Yn) +/( tn -1• Yn-1)1
(15)
1) (16)
corresponde a los valores m = 1, b0 = b1 = 1/2 y tiene el segundo orden de aproximación: 1'>n = O ('t1 ). Para determinar Yn se debe resolver (con cada n) una ecuación no lineal Yn
= 1/ 1t/ (t.,
Yn)
=
Fn-11 donde Fn-t
=
lln-I
+
+
1
1,'f/ (tn-1• lln-1).
Veamos ahora los esquemas de Adamsde dos pasos que corresponden a m = 2. El esquema explicito de dos paso, (m = 2) tiene por expresión J,ln-1/n-1 3 j 1 j
=2 ·-·-2
"t
m = 2,
b0 = 0,
3
11-2·
b1 = 2 , b1 =
f - -z·
(17)
E l esquema es de segundo orden de aproximación: 3 i 1'>n = 2/(tn-1• u._,)-2/(tn-I• Un-z)-
Investiguemos la estabilidad del esquema modelo co rrespondiente (18)
Al sustituir aquí lln
=
9", obtendremos
91 -(1-:1')9-~1' = 0,
(.l=A.T.
(19)
Por cu11nto D = 1 - •1 + ~µ 1 > O para µ cualquiera, las raíces q1 y 91 serán reales y distintas. La estabilidad signi· fica que 1 q1 1 ~ 1 y 1 q1 1 ~ 1. Hagamos uso de la siguien-
St.
E19rumu tic
"''°' '"º'· 1111°"41 tl1 Aduu
2t7
te propiedad que se comprueba inmediatamente: las rafoea de una ecuación cuadrática q1 + bq + e = O no superan en módulo la unidad : 1q1 , 1 1 ~
t, si
1b1~1
+e, e~ t.
(20)
Para la ecuación (t9) tenemos b = 3µ/2 - t, e = -µ12, y Je condición 13µ/2 - t 1 ~ 1 - µ/2 queda cumplida para µ~t. ó TA~
t,
es decir, el esquema (18) es condicionalmente esteble (el paso T debe ser dos vece~ menor que el peso admisible en el
esquema de Euler). Escribamos un esquema impllcito de Adams de dos pasos (m = 2). Exigiendo que la fórmula de cuadratura (10) sea exacta para los polinomios de grados O, t , 2, es decir, que F (t) = f (t, u (t)) = (t, t, t' }, encontramos los coeficientes b1 = 5/12, b1 = 8/12, b1 -t/12. El esquema es de la forme
=
h - lln-l T
/
1 (5 = tz n
+ 8/n-l -
f n-1)·
(21)
In vestiguemos In estabilidad del problema modelo lln-lln- l ). (5 8 ) O --t--+12 Yn+ Yn-1-Yn-1 = •
(22)
Suponiendo y. = q", oblundremos una ecuación característica
s TA, aqi + bq + c=O, a = t -r 12
b=
8 12 TA - 1,
Los condiciones (20), para los cueles 1q1 , 1 1 ~ t, odquieren lo forma 1 b 1 ~a 1 e, e~ a. De aqui se inliore que el esquema (22) es estable cuando TA~ 6. 4. Problema de Cauchy para una ecuación de segundo orden. Analicemos un problema do Cauchy: d'u
di' - /( t .
11
(t )), t >O, u (O)~
-¡¡-( O) - u,. du
11 0 •
(23)
218
Cap V. Problema de Csacltv
Los más usados son los mitodos de Stormer
·--1 11.=u..
m ;;;;;. O, n = t, 2, ... ,
Vt s= ü, o bieo ••-•• ~
(24)
= ;,.
El valor de Ü¡ (o de ;.) se elige de una manera tal que el t • error de aproximación v = 'i" (u (T) - u (0)1 - u (O) - Ui ~ª""ª cierto orden, por ojomplo, v = O (T"). donde p es el orden Je oproximoción del esquema (24). Por ejemplo, parn p = 2 hallamos •
t
u (T) = u (O)+ TU (O)+ "2T1 't..
-
.• u(O)+O(~),
"(
v - u1 + 2 u (0)-u 1 +0 ('t') = -z-/ (O, u(O)) +
+o(Tª)-u1+ u = O ('t1 ), 1
si ponemos u1
=
u1
+ 1,t:/ (O, 1
u 0 ),
u1 =
u0
+ t:"ú1 •
Si b_, = O, el esquema (24) será explicito, puesto que en el segundo miembro figuran sólo valores conocidos de y,., !/•-•• . . . , y,._,,.. Si b_1 = O, el esquema (24) es implícito y para determinar y,.+ 1 se debe resolver la ecuación !/•+I -
b_if (l,.+l• !/n+1)
= F (y,. , !/n-1•
• • •• !/n-m• t.).
Para obtener el esquema de diferencias (24) calculemos una integral
'···
} u•11 dt =
'•-t
...Í u•11 dt + ..,,J u•11 dt =
t._,
'·
- (u'11-iw')l:: _1 +(u'11-uv')/:;_1 +
... Í
111-1
u11•dt,
(25)
s a. B1qD•MOI de uorl
11
(1) es una función continua a t roios
V
(t) =
(1 - t._,)/'f pan t,._ 1 ~
f, (t,.+
t
t )/'f para t,. ~ t
1-
~
t.,
.so; t,. ...
Susfüuyomos (26) en (25) ten iendo presente que v• (t)
'•u
1u•v dt = ! (u,._
1-
2u,. + u,.+1).
2t9
(26)
=
O:
(27)
1n-1
Luogo, multiplicando In ecuación (23) por 11 (t) y lomando en consideración (27), o btendremos una identidad
u••,-2u,. + u. _, 't
= ..!.. '"f' f 't J
(t, u (t)) v(t) dt.
(28)
'"-•
El e rror de aproximación dol esquema (24) on la solución u = u (t), o el residuo para e l esquema (24) se dotormi na mediante la fórmula b/(t .,." -= ~ ~ • n-'-• u,.__) -
..,
---·
u,..,-2... + u,._, ,. '
la cual puede ser escrita , en vi r tud de la identidad (28), en la forme "' '"•1 11>. = bAfCt. __ , u. __ ~ (t, u (t)) 11 (t) dt . (29)
)-+ /
h
n..-1
,. _ _ ,
1
=
Al introduci r una nueva variables (t la integral en la forma más cómoda:
+'"r'J
F (t)
11
(t) dt =
1n-l
1F (t,. + n)
t.)1-t, escribamos
1
Ü(1) d1,
- t
_
F = f (t, u (1)), u(s) -
{t +1,
1<0, t - •, i >O.
De (29) se ve que el primer sumando es una fór m11l11 de cuadratura para la integral de la funció n F (1) = f (1 , u (t))
220
C•I'· V. Probltma tl• Caueltr
con el peso 11 (t) ;;ir O. El error de aproximación del esquema se determina completamente por el de la fórmula de cuad ratura. Los métodos construidos en esta base se denominan, además mltodo• de Adanu-Stormer. La f6tmula mb 11imple de un tect.{mgulo da un esquema ,,... -2Vn+11.. -1
=
1
'"+J puesto que+
J
,,._,
11 (t)
dt
f
(t
"'
)
Vn •
= t.
Pura el problema modelo
t>O.
u (O) = O,
du
di (O) = u 1
lenemo.s v,..,-211,.+~ .. -•
+ '-y,. =O.
't
Sustituyendo aquí y,. = q", encontramos . q' - 2 (i - "t2 ).../2) q + 1 = O; D< O para >.."t' 4, 1 21Vf; además, 1q, 1 = 1q, 1 y el esquema es estable a Condir.ión de que T 2Vf Ó TVf 2. S. Slatemaa de ecuaciones. Muchos métodos se ex tienden sin cambios algunos al problema de Caucby para el sistema de ecuaciones
<
<
<
.¡..
-¡¡ = f (t, u),
<
<
t >O,
u (0) = u 0 ,
(30)
donde u _, (u1 (t), u' (t), ... , uN (t)) es el vector buscado, /lf), el vector prefijado. Escribamos (30) y / = (/1, en component.es
r, ...,
""' --¡¡-= f 1 (t, u.),
t > O,
o 1 u 1 ()=u,,
• .., !=., " • ... , N .
(31)
Sean u, 11 dos iniciales u (O)
solucione~ del problema u0 , 11 (0) 110 • Para
=
=
(30) c.on los datos su diferencia i =
=u
-
11
obtendremos un sistema de eeuacionea lineales ria'
.
~
di= ¿;
a.,,
a.,, (t) ' '·
S- 1
donde es el valor de la derivada ar11Jui en cierto punto medio (t, ü1), 1 = (111, ~ •. .. , vl-1• u' +e. , 1, u'+ª .... . . . , uN) (O ::;;; e1 ::;;; 1, J = 1. 2, ...• N). Por eso el modelo lineRl del sistema de eeuaciones no lineaies (30) ser' repre~ntado por un sistema lineal
u
N
d;,' + ~ ª•1ª' =
!' (t).
(32)
o, en lll forma ve(.toris l , du ( t), y,+Au=J
A= (a11)·
(33)
Psra que dicha eeuación ses estable respecto de los dat os iniciales, es suficiente que la matriz A sea no negativa. En el párrafo que sigue se indicarán las condiciones necesarias y ~uíicientes de estabilidad de los esquemas para los sistemas de ecuaciones lineales (33). En la práctica nos encon tramos a roenudo con los sistemas de ecuaciones que se llaman rígidos y cuya resolución por medios corrientes representa grandes dificul tades. Supongamos que {A.h} son los números propios de la matriz A (si A no es simétrica, los números A.h pueden ser complejos). El sistema de eeuaciones (33) se denominará rigido , s i Re A.h >O (k = 1, 2, . . ., N) y si la razón t = = máx Re A."/mín Re A.h es grande. ,\
,\
Si la matri1 A es simétri ca, entonces todos los números propios son reales y la rigidei del sistema (33) es testimonio de que 111 matriz A es positiva y que el sistem11 (33) e!!tá mal condicionado, es decir, mis A,1t
t=
le
mlnAA
~ t.
A
Son rígidas, en particular, las ecuaciones que se obtienen ni reducir las ecuaciones con derivadas parciales 11 los siste-
Crap. V. Prol>lunra do CrauchJI
mas de ecuaciones diferenciales ordinarias por medio de la aproximación de diferencias de un operador que contiene derivadas respecto de las variables espaciales (por ejemplo, el operador de Laplace en el caso de 111 ecuación de conductibilidad térmica). Los métoclos explicitos resultAron ser inútiles para la re:SOlución numérica de los esquemas rígidos, puesto que conducen a grandes restricciones referentes al paso 11 causa de las exigencias de estabilidad en perjuicio de las de precisión. Aclaremos esto con un ejemplo del sistema de dos ecuaciones du, O, --¡¡""' 4t"a= O, t>O -¡¡¡-+a,u 1=
+
a,>0,
A=(ª•º) oª• ,
a 1 >0,
(34)
Cls ;$> 4 1·
La solución de est.e sistema es un vector u (t) = (u.¡ (t), u, (t)}, u.¡ (t) = U¡ (O) e ...,,, u1 (t) = u1 (O) e-o•1 ; los componentes de este vector decrecen cuando crece t , con la particularidad de que \ u, (t) 1
11r· 't-11j'
+av"=O t t ,
ll~"-vr + "-""=O 't -U t '
n=O, 1, ... , 11r=111 (t,.),
i = 1, 2.
(35)
El sistema se descompone en dos ecuaciones, cada una de las cuales puede resolverse separadamente, no obstante dichas ecuaciones están ligadas entte sí por la elección del paso común T. El esquema es estable, si se cumplen simultáneamente dos condiciones a,i: ~ 2 y a 1'f ~ 2. Por cuantn a 1 >a¡, ambas condiciones quedan cumplidas, si T ~ 2/a1 • El paso admisible T se determina, de hecho, por aquel componente u 1 (t) de la solución que decrece con mayor rapidez: Para la resolución del sistema (34) es aplicable un esquema implicito
que es BSlable para cuolesquiern
i:
y a1
~ O,
a,;;;;¡: O.
Ultime.mente ha aparecido t.oda una serie de esquemas implicitos, algoritmos para éstos y programas nuevos, 'IÍ\iles para resolver sistemas rlgidos de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. 6. Obeervaclon~ generales. t. Al eseoger tal o cual método numérico so toman eu consideración vari11s circunstancias, a saber, el volumen de los cálculos, el volumen requerido do memoria de acceso rápido del ordenador, el orden de exactitud, la estabilidad respecto de los errores de redondeo y otras. Hemos considerado en todo caso los métodos de paso constante 't = t,,+ 1 - t;,. La introducción del paso variable 't,,+1 = t,.+ 1 - t,. lleva un cariicter formal y, cuando se trata de los esquemas de un paso, no conduce a nuevas cuestiones de principio. Para los esquemas de varios pasos (m ;;;;;¡, 2) las fórmulas se alteran. En el caso general la solución puede ser una función no monótona fuertemente variable. Es natural de emplear una red no uniforme y disminuir el paso (espesar la red) en el dominio de variación rápida de la función u (t} con el fin de asegurar una aprotimación más exacta de u (t) por la solución reticular. Sin embargo, no sabemos de antemano el comportamiento de la solución u = u (t). Por eso en la práctica se procede de la manera siguient.e: al principfo se realizan Jos cálculos en la red uniforme; si se pone claro que la solución u = u (t) varia fuertemente en cierto intervalo '• < t < t•, entonces la red se hace espesar en lt., t* I y el problema se resuelve en la red no uniforme de esta índole. Se recomienda, en general, realizar los cálculos en varias redes que se hacen espesar. Si, al espesar la red, la solución varía poco, Ja exactitud requerida se considera lograda. Con el fin de elevar el orden de exactitud resulta aplicable el método de Runge en el que se usan cálculos sobre diferentes redes (siempre que la solución u = u (t) posee una suavidad suficiente). En el transcurso de los cálculos puede resultar necesario emplea.r los esquemas de diferentes órdenes de exactitud en distintos dominios de variación del argumento. 2. Nos encontramos a menudo con Ja necesidad de resolver las ecuaciones cuyos coeficientes cambian furtemente, por ejemplo d ..
Ti = a {t) u, t >O, u {O) =
u0 •
{36)
Cap. V.
Prob/~m•
de Cauchv
Una ecuación de este género &e encuentra en la descripción de los problemas de la cinética química. A titulo de su solución interviene una función
Si o. (t} quiera:
~O,
u (t)=u0 exp {
J'
+ "CC1.nl/n
=
ci (1) ds}. o puede utiliurse el esquema de Euler para cual-
+ "Cctn) !In· puede suceder que 1 + -ccr..
(37) Si , en cambio, a. (t)
l/n+I
(1
= !In + "CctnYn+I •
y,./(t - -ca.), 1 - "Cctn > 1, (38) que es estable para cualquier -c. SI a (t) cambia de signo para ciertos valores de t, entonces en aquellos nodos, donde a. (t) >O, se debe emplear el esquema explícito (37), y en los nodos en que a. (t) < O, el esquema implicito (38). Los métodos de Adams son menos laboriosos en com paración con los de Runge- Kutta . La deficiencia de los métodos de Adams radica en lo que el comienzo de los cálculos no es usual; para determinar y1 , y 1 , • • • , y,,.- 1 se emplea corrientemente el método de Runge - Kutta . Si se emplean los esquemas de Adams de dos pasos (y, con mayor razón, de varios pasos) el cambio del paso "C requiere cierta complicación de las fórmulas, lo que no ocurre al emplear el método de Runge-Kutta. En la práctica se emplea Ja combinac ión de los métodos de Runge-Kutta y de Adaras con un pro•grama de elección automática del paso para la obtención de la exactitud prefijada. l/n + 1
=
§ 3. Aproximación del problema de Cauchy pata un sistema de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primer orden l. Problema de Cauchy. En este párrafo se es~udiarán los esquemas ele diíerenc ias lineales (de un paso o cienos capas) que surgen al aproximar el problema de Cauchy para un
aiat.ema de ecuaciones diferenciales lineales ordlnariu de primer orden, como tambi6n al apros\ma.r las e<:.uaciones diferencialee con derivadas parciales (m6todo de las recua). Tomemos un problema de Cauchy
""'
H
-r, + ¿,¡ ~ a,,u' -r (t),
t
> O, u (0) ... u:, 1
>-•
,_ t, 2, .•• , N .
(t)
Al designar por A = (1111) una matril cuadrada de dimensión N X N con elementos 110 que no dependen de t, por u (t) = = . u.• , ...• u." (e)) 1 1 = (f1
r
di>
Tt+Au=f(t),
t >O,
u(O) = u 0 •
(2)
La mi.ama designación A se empleará tambitfo para un operador correspondiente que actúa en el e5pacio H" de dimensión N (A: H" - H") . Introduzcamos en el espacio H" un producto escalar (u, 11) y una norma 11 u 11 =V (u, u). Supondremos que el opendor A es positivo A >O, ó (Az, z) >O para todos los z E HN , z
rl= O.
El problema de Caucby lt ) bajo las condiciones (2) tiene la solución única. En efecto, supongamos que existen dos soluciones Ü (t) y Ü (t) del problema (2). En este caso su diferencia satisface las condiciones homogéneas
~: + As =O,
t >O,
s(O)=O,
&(t) .,,, Ü(t)-~(t).
(3)
Multiplicando (3} escalumente por z, y tomando en consideración que { z, ~: ) =
f
d~ (s, s), obtenemos
d
t
T di'" ll•ll' +(As, z)-0, 1
\\z (t)2\\
) (As (t'), z (t')) dt' = o
ll• (0)11 1.
>
Puesto que A
11 ,
O, s (0) = O, de aqui
118
deduce que
ci> 1r = o, , ci> - o, ü ci> - ü ci>.
Indiquemos una propiedad de importancia de la solución del problema (2) cuando / (t) - O:
11 u (t) 11
~
e-1 • 1 11 u (O) 11. si A =- A•
>
O,
(4)
donde 1.¡ es el valor propio mínimo del operador A: A~ ..
= x.. ¡.. ,
k = i , 2, .. . ,
N,0 <1.¡~ x. ~.. -~AN·
Con el fin de demostrar (4) buscaremos la solución u (t) del problema (2) en la forma N
u (t) ""
N
:Z "• (t) E... •-1
Uu (t)llª =
:Z cx1 (t ). .._I
Al sustituir esta expresión en la ecuación (2) con hallamos
f (t) - O,
lf
~
(":: + X•"•) E.. = o,
.. - 1
y, por lo tanto, ":•
+ A•"• =0,
"• (t) = ex.. (O) . -..1, de
suerte que lf
llu (t)ll' ""
:Z
A- 1
cxl (O)e-U•' ~ ,-a>-1 '
N
::Z cxl(O)=
A-S
==,-u, 'llu (0)111 •
2. Fa¡uem• de dllerend& Introduicamos una red de paso 't según la variable t: w~ = {t,. .. n"I", n = O, 1, 2, ... } y designemos con 11,. = v (t,.) una función reticular del argumento 1,. = n"I" (o bien n) con valorea en HN. Escrlbamoa wi esquema explicito
ru1 - rn ~
+ A.11,. = /,.,
n ...
o,
t, 2, .. . '
v.=11o.
(5)
de modo que 11,.+1 se halla por la fórm ula explicita 11,.+ 1 = y,. - 't (Ay,. - /,.), n = O, 1, 2, . . ., Yo = "o· (5')
~
A. Aproslmact.!n J.¡ problema tü éaa:elllr
227
La solución Yn del problema (5) depende no sólo de "• sino también de N o del parámetro h = ilN: lln = 11... T.ll· En realidad analizamos no eolo un problema (5), sino un conjunto de problemaa {5y, 11 J para cualesquiera -e y h. Esto 1111 precisamente un esquema de diferencias. A titulo de au eolución interviene una familia de funciones {11n,y.1t}· Para no complicar las notaciones, omitiremos los indices 't y h en los casos cuando esto no lleve a equivocaciones algunas. El esquema (5) es esquema de dtferenclas de un puo (o ck do• cap41). En general, por esquema de dos cap~ se entiende una ecuación que liga Jos valores del vector y (t) para dos valorE>s del argumento t = tn y t = ln+t (para dos ca pas): By,,+1 = Cyn + Fn, n = O, 1, ... , donde B, C son las matrices cuadradas N x N (ope.r adores lineales B, C: HN-+ HN); y,,, F,, son los vectores de dimensión N. Dicha ecuación puede ser siempre escrita en la siguiente forma canónica:
B J/n+i-lln +AYn = IPn• "t
n=O, 1, 2, ... ,
Yo = u..
(6)
Para determinar y,,+1 se debe resolver la ecuación BYn+t = n. <1>,, = By,, - 't (Ayn -
+~
+ Avn+• =
e:tpllcito puro),
(7)
A (Yn +v..+1)=q>,. (erquema stmitrlco).
(8)
Representan ambos los casos particulares (para = 1/2) del esq~ma con pesos '"•\- 11"
+ A (ay,,+1 + (1-o) y,.) =
IPn•
CJ
= 1 y CJ =
u = O, 1, .. . ,
(9)
el cual puede escribirse en la forma canónica (6) con
B = E+ a'tA,
(tO)
t:.,.
228
V. Ptolll• -
4a CHdr
+
+
ai t.eoemoa en cuenta que ªYn+i (1 - a) 11,. ... 1111 O'f Úl11+1 - 11,.)f"t. 3. Error de aproxJmacl6n. Sea u - u(C) la aoluci6n del problema (2) y eea lln = 11 (t,.) la solución del problema (6); al sustituir en (6) lln = u,, a,., obt.anemos para el error s,, = 11,. - u,, , u,, - u (t,.):
+
+
n -0, 1, 2, . .. , s.-0, (U) donde
1j>,. =cp,. - Au,.-B -..,-..,. ~
(t2)
es el residuo o error de aproximación para el esquema (6) en la solución u = u (t) del problema de parilda (2). Sean 11u11 1 , 1111 lks> ciertas normas en H 11 = H 11· El esquema (6) converge, ai 11 s,. lit.> -+ O para 'f-+ O, cualquiera que eea n 1, 2, . . . . É1 esquema (6) ee de m-istmo orden de ezactltud, o converge con la velocidad O ('f•), siempre que
=
11 •n llw = O ('f•), es decir 11 s,. lk11 ~ M'f•,
(13)
donde M = conat no depende de 'f. R ecordemoa que el esquema (6) es de m-l1tmo ordln de aprozlmael6n en la solución de la ecuación (1), al para el residuo 1j>,. se cumple la eetimaci6n
(14) Aclaremos las condiciones de aproximación del esquema (6) con m 1, 2. Suponiendo que u u (C) tiene ta ntas derivadas cuanto aea necesario en el traD11Curso de exposición, encontramos
=
=
ü+ 8'19 ~) •+ l/J +o (-r'), (d") ("'ª) -¡¡ •' .. u. = -¡¡r ,.•
"i.... - (u +T'f
.
"- =
..¡i,. - qi,.-(Au+
. .
.
Bu),.+111 +TÁUia+t11+0 ('(1)-
= qi,. - / ..+111
+ (J- AU-
~)..+111 +
+(E-B ++ ..t) ~.+t.11+0 (-c1 ) -
= qi,. -/,.+111 + (E-B+ f De aqul
118
ve que la condlcl6n (14) 88 cumpllr6, si llcp,. - / ,.+uall(I)- O (-c..),
A)~ lltJ> ... o (-e•),
11 ( E-B+f
O
A} ~ ..+l/'t+O (-c1).
m - 1, 2.
(15)
En particular, para el · esquema explícito (en el caso E) tenemos
=
11
~ A~llc21-0(-r),
Y 11 'l>n llcs> = O (•) cua ndo 11 'Pn - /n+i/1 11 = O (•), por ojemplo, cuando Cl>n = In· Si. en el caso del esquema simétrico (o = 112) B = E + TA/2, 11 q¡,. - /,.+i/i llci> = O (• 1), entonces 11 'l>n llcs> = =- O (~ 1 ), puesto que ll (E - B 'tA/2) ~ ll = O; en tal caso podemos tomar, por ejemplo, q>,. = /n+lli· El esquema tk an e xisten tales constantes M 1 >O y M 1 >O, independientes
+
+
Cap. V. Problema do Coac/111
tanto de -r , como de N, y0 , cp,., que para la solución del problema (6) se cumple la desigualdad
1\ Vn lk1> ~ M1 11 !lo llh> + M,
máx
O e:; A°
11'PA1101-
(16)
Si el esquema (6) es estable y posee una aproximación
11 'i>n lloi -+ O cuando -r -.. O, es convergente: 11 !In - u,. lki>_..O cuando "t-+ O, n = 1, 2 . . . . (17) (de la aproximación y de la estabilidad se desprende la convergencia del esq uema). En efecto, si el esquema (6) es estable, entonces para la solución Zn = y,. - u" del problema (11 ) se cumple, de acuerdo con (16) , la estimación
11:,.IJ(ll ~ M , mb 111i'Alf(J)· O<;A<"
(t8)
De aquí precisamente proviene que 11 Zn llu>-+ O, si 11'l>n llc1¡-+ O cuando -e -+ O. El estudio de la convergencia y del orden de exactitud se reduce al estudio del error de aproximación y de estabilidad del esquem11 de diferencias (6).
-+
§ 4. Estabilid ad del esquema de dos capas L Estabilidad reepecto de los datos Iniciales. Examinaremos un esquema de dos ca pas en la forma canónica
8 11 "'';~" + Av,. ='Pn• n - 0, 1, ···. so ha prefijado el valor inic ia 1 Yo E fl,
(1)
donde A, B: H-.. 11 (11 = JJN). La solución del problema (i) puede ser representada como una suma y = 11<1> + + y<'> de las soluciones de dos problemas
8
lln+1 - lln 'I"
+A yn
=
O•
n = O, 1, . • · , Yo = "'o•
l!ll 1> es la solución del problema (2), problema (3)).
y<~>
(2)
es la solución del
El esqueme (t) es eeteble .reepecto de 101 det-01 inicialea, al para le aolución del problema (2) ea justa la estimación 11 Jln l~1> E;; M1 1J Yo liu>(4) El esquema (1) es estable respecto del eegundo miembro, si pan la solución del problema (3) es jU5t• la estimación 1111..1101 E;; M 1 mú: llcp.llw· (5) oc;• <• Aquí M 1 , M 1 no dependen de N, 't, " · Utllbaremos una condición más simple para la estebilidad respecto do los datos iniciales:
11 J/n 11(1) E;; 11 Yn-1 11(1). • • • 11 Y1 llc1> =s;;; 1
:s;;; 11 Yo llc11 (M, y, ademb, la condición de p-estebilidad: 1111,. lk11 :s;;; P 11
y,._, lk11 E;;
· ••
=
t),
(6)
:s;;; p" 11 Yo llcu.
p >o. (7) Es evidente que el esquema os estable en el sentido de l a definición (4), si p = eM, donde c0 = const no depende de 11, 't, N . En este caso p" = e<•'" ~ e<•T = M 1 para O~ ~ t,, E;; T , c0 >O. o bien p" =s;;; t para c0 :s;;; O. lntroduz:camos en el espacio H un producto escalar (,) y una norma 11 ;z; 11 = V'(%.%).'"Sea D = D• >O un operador positivo autoconjugado. A titulo de norma 11 JI lki> elijamos una norma energética IJYllu>-llJ/llo"" V(Dy, y), (8) En pa rticular, D A, D = E o D = B (para B = B • > > 0). De (2) proviene que Vn+ 1 = Sy,., S = E - 't8 - 1 A, (9) do nde S es el operador de transición de una capa a la otra. El esquema (2) es estable en H 0 , si es justa la estimación
=
11 Yn+t !lo =s;;; 11 Yn llo•
(10)
De la estimación 11 Yn+t llo = 11 Sy,. llo ~ 11 S llo 11 lln llo se deduco que la desigualdad (10) es equivalente a la condición
U S Ho
~ L
(tf)
Cap. V. Probi.11u1 de Cnc.\1
Esta última condición es eq uivalente, a su vez, a la siguiente
Jo
=
11 11 llL - USu l!L
=
(Dy , y) - (DS11. Sy) ~O para t.odo ¡¡ E H . (t2)
De e&te modo, (tO), (H) y (12) son eq~ivalentes, ea decir, el curnplhnient.o de cualquiera de ellas provoca el cum plimiento de dos otras. 2. Condición neoeea.rfa y suficiente de estabilidad. Teorema fundamental. TBOR~KA l. A = A . u un operador postttuo autoconfugado 11 uúte el operador B- 1 , entonce1 para que el esquema (2) «a e1table en HA:
s'
11 1/,.+1 llA ~ 11 ¡¡,. llA ea n.eceiario 11 rufictente que ce verifique la
f
(Av.
11) ~ O para
todo 11 E H,
B,TA.
(f3)
o birn
(t4)
DmtosTRACtON. Es suficiente convencerse de equivalencia entre (t 4) y la de5igualdad JA ~ O, dondo JA = (A11, y) - (ASy, Sy) = "" (Ay, g) - (Ay - i:AB - 1Ay, y - i:B -1 Ay) = = 2i: (AB-1 Ay, 11) - i:1 (A8- 1 Ay, B- 1 Ay). Al designar B - 1Ay = .:z:, Ay = B:r, obtendremos JA .,. 2i: ( (B.:z:, z) -
; (A.:z:,
z)) ;;;i. O para
t.odo z EH,
(i5)
es decir, las desigualdades (14), (15) y, por lo tanto, (13), son equivalentes. Esto quiere decir que de (14) provienen (1. t), (t2) para D = A y (13) (la condición (14) es sufi· ciente para la estabilidad). Por cuanto el esquema es estable, es decir, se verífica (13) o bien 11 S llA ~ 1, entonces JA ;;;. ;;;;ir: O, y, por consiguiente, B ;;;;i. 't'A /2 (necesidad de la condi· ción (14)). OBllERVAClON. La condición (Vl) puede aclararse con un ejemplo del esquema de diferencias (14)
b ......- .... + ay,. = 0, n=O, 1, 2, ... , 11>0. b>O T
c:on c:oeficientes num4ric:os a, b. Esto esquema correspondo al problema de Cauchy bu' (t) au (t) = O t > O, u (O) = u 0 •
+
De la fórmula Yn+i = (t - 'Calb) y,. se ve que el esquema es estable, es decir, 1v,.+1 1~ 1v,. 1~ •.. ~ 1Yo ¡, si 1i - Talb 1~ i, -1 ~ 1. - Tplb ~ 1. , es decir, b;;;. Ta/2. La analogia con la desigualdad operacional B ;;;i. TA /2 es evidente. 3. Ejemplos de apllcacl6n del teorema fundamental. EJEMPLO 1 Un esquema expUcito: B = E, A = A • > O. De la desigualdad do Cauchy- Buniakovski (Ax, z) ~ ~ 11 A z 11 11 z 11 ~ 11 A 1111 z H' se deduce A ~ 11 A 11 E, o bien (16)
Veamos ahora la di ferencia B--}TA = E --}TA;;;,;. l t -z-TA ::: ( liAil
TT ) A.
1 ~1
A-
Como que A>O, entonces la
condición 8 --}TA ;¡¡, Osecumplirá para
!
11 11
-
;
;o. O,
es
dec;ir, cuand o i:~2/l\AI\.
(t7)
Esta es una condición necesaria y suficienle de esta bilidad del esquema expllcilo en HA (11 Yn 11,. ~ 11Yo11,.). &IJtKPLD 2. Esquema (9) del § 3 con pesos, A = A• > O. Para dicho esquema
B=E+
y
B --}TA= E +( o -
- +) 'CA ;;.. u!u + (o -+) T) A ~ o, siempre t + (o--}) 'tltAll ~ O.
quo (18)
De aquí se ve que ol esquema con pesos es establo on 11,. par& Lod o •>O (incondicionolmenle establo), si u ;;;.. 1/2. Y es cond 1cionalmenle estable para T ~ \/(\/2 - o)\I A 11. si u < i /2.
234
Cap. Y. Prohl•mo d• C011cli11
EnDIJ'LO a. Estabilidad en H (para D = E) del esquema con pesos (9) del § 3:
(E+OTA)rw,...~-v.. +Ay,.= 0, n-0, 1, 2, .. • , B=E+cnA. (t9) Aplicando el operador A - 1 a los dos miembros de la ecuación (t9), obtenemos
B ""·~- 11" +iv.. =O,
n=O, 1, 2, .. . •
Este esquema es estable, en virtud del teorema 1, en H'A = f C-A = A-1 + = A- = E > O) para B- - -z"' +(a-{) 'tE ~ ( 11 11 +(a - {)-.) E;,.O, es decir, si = H (A•
!
se cumple (t8) (en este caso se ha tomado en con.s ideración Is estimación A -1 ;;;;. ~ E, la cual se deduce de (16)). De este modo, de (18) se infiere que para (1.9) es justa la estimación (1.0) cuando D = A'°': es decir,
11 1
lly,.ll~llYoll·
(2t)
El esquema (19) puede ser escrito en la forma Yn+i = Sy" ' S = (E+ ad)-1 ) (E -
(1 - a) -.A) , A = A• > O.
(22)
Por eso, si se cumple \a condición (18), para dicho esquema es justa la estimación (21 ), lo que signifíca 11 (E+ aTA)-1 (E - (1 - o) -.A) ll ~ 1, siempre que 1
+
(a - { )-i 11 A
11 ~O.
(23)
Esta estimación nos hará falta en lo que sigue.
4. F.stabilldad en H .
= A•> O, B = B• >O,
TBORl!MA 2. S i A qiu el esqc~ma (2) sta
11
entonces para
establt en H 8 :
Yn+t
lla ~ 11 Yn lla,
111 netJesarlo y suficiente qUll se cumpla
la condú:í6n (14).
(24)
DEMOSTRACION. Escribamos el esquema (2) en la forma (9) y mostremos que la eondici6n
(25) es equivalente a la desigualdad (t4), es decir, de (1 4) proviene (25), y, viceversa, de (25) proviene (t4). Sea ¡¡ un vector arbitrario de H; represent,moslo en la forma N
11= ~a.E.,
•-t
donde {E•} son los vectores propios del problema
AE• =A.BE..
A•> O,
1, k = m, k, m = t , 2, ... , N (Bt •. Em) = ~ .... = {O, k =fom.
(26)
Teniendo presente que SE. = E. - i:B -'AE. = (t - "tA•) t •. 8SE. = (t - TA•) BE., encontramos N
H
(8¡¡, 11) = ~ N
(BS¡¡,
Sv) = ~
•-1
·-·
al,
(A¡¡, ¡¡)- ~ A.a~, H
•-1
(27)
al (1- TA.)' ~ nsui ~ al -
·-·
= 11s1111 (811,
11>.
donde
USllL = máx ( t - i:A,,)1 ,
(28)
l<;U;N
La desigualdad (25) es equivalente a la eondici6o TA•~
la cual, a su to que
ve~.
2,
le = 1, 2, .... N,
(29)
es equivalente a la desigualdad (14). pues-
Con ello queda demostrada Ja equivalencia de (24)
y
(14).
Cap. V. Problttmo da Coach11
5. p-establlldad. a. St A = A• > O, B = B• > O, ernonus la condtci6n necesaria y suficiente de la p-establlldad del eSIJuema ( 2) con p > O cualquiera: llYn+11lo~PllYnllo1 D=A,8, (30) TBOREMA
será representada por las desigualdades op11raclonales
t -"t p B & A& t+p B. "";;;::: -..;;:::: 't
(31)
neMOSTRACJON. Las desigualdades (31) son equivalentes a las condiciones (véase el cap. 1, § 4, p. 4):
t-p & A. & 'f
""""
-"""'
t +p 'f
k '
1 2
N
= . '.... '
(32)
donde A.A son los números propios del probltlma (26). Admitamos que D = B y son justas (31) ó (32). De (32) se deduce - p ~ "fA~ - 1 ~ p, 11 - "fA~ 1~ p, y, en virtud de (27), 11 S 11 8 ~ p (puesto que 11 S llL es una constante min ima , para la cual se verifica la desigualdad (BSy, S¡¡) ~ ~ M (By, y), es decir , es justa la estimación (30) suficienci3). Si es j11sta la estimación (30), entonces 11 - °fAA 1~ ~ p, y, por lo tanto, quedan cumplidas (32) y (31) (nece· sidad). Análogamente se demuestra el teorema para D = A, si se toma en consideración que N
(ASy, Sy) =
Lj
<4~·A(1-"flA)2 ~ máx (1 -'flA)2 (Ay, y).
l-1
1.;;t.;;N
De (30) se infiere 11 Yn llo ~ P" 11 Yo llo· . Surge una pregunta: ¿en qué condiciones tiene lugar la estimación aprioristica (30) con p < 1? La respuesta se ofrece por el siguiente 'ROl\DU 4. Supongamos cumplidas las condiciones A = A• > O, B = B• > O, y1 B ~ A ~ y,B, y 1 > O. (33)
En este caso para la soluct6n del problema (2) es ¡usta la estimación 11 !In+¡ llo ~ p 11 Yn IJo, p = i - °'Vp D = A, B, (34)
'f~1'..
2
"· - ~·
(35)
Para la demostración ee debe calcular la norma 11 S lla = - 11 S llA = máx 11-"J>.• 1 bajo la condición de que Yt ~ tQ
.;;;>.._~.,
O-t~As~·
.• 4'>..='-s·
-+(>..-AJ). De aqu(
X(t
Vea.moe una c>-.-AJ x w que cp.;>O pan t -
cp.-c1-,.>.J•-c1-~.)l - 2'f
diferencia
lle
-+ (>..+>.,)>1-+ (Y1+Y1)>1- "i°
(Yi-v.) = 0, ~
decir. máx 11- "'-• ¡ ... t - "Yto al ,.~ 'f0 • El teorema está t
demostrado. 6. F.etabllldad respee~ del eegundo Ullembro. Método de Ju desigualdades energ6Ucas. Analicemos el problema y reescribátnoslo en la forma 11.. + 1 Sy,. ,.8 -'cpn. n - O, 1, .... S = E- ,.8-lA , Yo = O. (36)
+
+
Hagamos uso de la d&aigua\dad triangular y,..¡., llo ~ 11 Sy,. llo 11 8..J.,. llo ~
+ ,.
11
~
11 S llo 11 y,. llo
+ ,. 11 8 -'cp,. llo·
(37)
Si se cumplen las condiciones del teorema 2, entonces 8 = = 8' >O, D = 8 , y 11 S llo 11Slla ~ 1 para 8 ;;;¡.. -iA ,
=
11 s-•cp,. llL =
es cs- cp,.). s- cp,.) =
= (B- 1cp,., cp,.)
1
= 11 cp,.
1
I~. y
de (37) proviene
+
11 Y.. +1 lla ~ 11 /In lla 'f 11 e¡>,. lla-1. Al sumar según n = O, 1, 2 ... y teniendo presente que Vo O, obtendremos
=
.. - t
11 y,. l/a~ ~
•-o
'f
114P• llr•·
(38)
Esta estimación apriorislica expresa la estabilidad del esquema (1) respecto del segundo miembro bajo la misma condición (14).
éap. V. Probl1ma dd C1111clav
Pueden obtenerse también otras estimaciones. Con
.~este
fin aprovechemos un método, bastante general, de desigual-
dades energéticas. Sustituy81llos Yn X l/n+i - 11,.
't
(B -
=-}
(y,.+ Yn+l)- ; X
en (1):
T A) ,,..\-
1
+
"
!A
(Yn+t
+y,.) = n •
Multipliquemos esta ecuación escalarmente por 2 (y,. -ti - y,.) y tengamos en cuenta que (A CYn+1 +y,.), Yn+ 1 - y,.)= = (Av.. +1. l/n+1) (Ay,.. v .. +i> + (AYn+t• lln)- (Ay,., y,.) = = (A11,.+1• Vn+1) - (Av,., Vn), puesto que (Ay,., Yn+1) = = (Ay,.+ 1• ¡¡,.) en virtud de que A es autoconjugado. De resultas se obtiene una «identidad energética.
+
2't ( (B
_ 't2
A)
V11+1-lln "C ,
l/n+1 "t- lln )
+(AV n+h
ll JS+I )=
=(Ay,., Yn) + 2 (<¡>,., !ln+1-Vn)• De aquí se ve que para <¡>,.=O y B ;;;;¡,
(39)
; A será justa la
estimación (13). Transformemos 2 (<¡>,., y,.. 1 -11,.) = 2'f (
v,..,;"" ).
Con este fin hagamos uso de la desigualdad
f abf-(Y2ea) donde a, b, e caso
>
(V~ b) ~ea1 +
!
bl,
Oson unos números cualesquiera. En nuestro
2(ip,., 11... 1-Va)~2'tflcp,.,111-1't-11,.
~2ujj
11~
""•\- 11" 11' +i-11 cp,. fl(
Al switituir esta estimación en la identidad (39), obtendremoa ~((B-aE- ..!. 2
A)
v....'t-11,.
•
v,. ..'t-11 ..
+
Si se cumple la desigualdad B;;¡.eE
+f A,
s>O,
(41)
entonces de (40) proviene (suafüuyendo n por k)
11 Y1i.ill~
=
+;..
11 cp,.11 1 •
O, 1, 2, ... , n - 1, obtenemos una
llYnll~
n-l
¿~ Tfl'l'1ill
1
(42)
,
li-0
que expresa la estabilidad del esquema (i) respecto del segundo miembro y de los datos iniciales en HA.· E.lltMPLO. Esquema con pesos (1): B = E a'fA. Para dicho esquema la condición (41.) significa que
+
(1 -
e) E
+ (a - {) 'tA
;;;;i:: O.
En particular, la estimación (42) es justa para e = 1 y 1/2. 7. EstabllJdad aslnt6tlca. Para el problema de Cauchy du u(O)=u• --¡¡¡ +Au= O,
a>
se ha obtenido en el § 3, p. i, la estimación 11 u (t) U
"
Buscaremos las condiciones, bajo las cuales la estimación análoga tiene lugar para el esquema (2). Usaremos el teorema 4. Supongamos cumplidas la.s condiciones (33). Entonces, debido a (34), (35) 2 1111,. ll A~p"llY1llA.• p = 1-Ty1, T~ T0 =+ . (43) Y1
Y1
De aquí se desprende una estimeción que expresa la propiedad de la estabilidad asintótica llYn llA.~e-Y• 1 "llYollA. (44) (aquí se ha tomado en consideración que p = 1 - "'Yi <
Analicemos el esquema con pesos y supongamos que 6E ~ A ~ llE, 11 = ').1 > 0, ll = ').H > 0. (45) Calculemos y 1 y y 1• Teniendo presente (45), tenemos
A=;,
B=E+caA>(f +aT) B~ ( f+
6 t+cn& '
A; (46)
ó
Yi=t+OTA .
Para un esquema explicito y 1 = 11, y 1 = ll lo condición de estabilidad asintótica 'f ~ 2/(11 + ll) (47) es próxima a la condición de estabilidad usunl con p = 1. Cuando a
+
+
es asintóticamente estable a condición de que 'f~~. ' f . = 2/VM, (49) y incondicionalmente estable en el sentido habitua l. En este
caao
p = e-l.1•+0!• '><
y resulta lícita la eatlmaclóo ll11.. l1~r L,inll11oll para
-
e~··
'f~'f·, a - 1/2. (SQ) ¿Qué sucederá, si la condición 'f ~ "ºno se oumple, es decir, ai 'f > 'f1 ? Entoncea, máx 11 - TA~ 1se logra no para k = t, sino para k = N y p = 'fy1 - 1. La asintótica de la solución de un problema de diferencias (con t,. grandes) nada tiene en común con la solución asintótica del problema do partida. De este modo, la perturbación de la estabilidad asintótica lleva a la pérd ida de la exactitud del esquema para t grandes.
CapUulo VI
Métodos de diferencias para las ecuaciones elípticas
En este cRpHulo se examinarán loa esquemas de diferencias y los métodos de resolución de las ecuaciones en diferen cias para la ecuación de Poisson y ecuaciones elipticas de coeficientes variables.
§ 1. Esquemas de diferencias para la ecuación de Poisson t. Problema de partida. Examinemos la ecuación de Poi~ son (1)
Buscaremos su solución que sea continua en un rectángulo
G= G
ur=
y que tome en
{z
= (z.,
la rrontera
z,): o~ z,. ~ 1,., a = t , 2}
r
u 1r
los valores prefijados:
=
µ. (z)
(2)
Un proburna definido por la ecuación (1) y la condición (2). recibe el nombre de Diridiut (primer probúrna de contorno). 2. &quema de diferencias •cru n. Para la resolución numérica del problema (1), (2), introdu~camos eo G uoa red ¡;;" = 1.1>11 U V11 = (z, = (i 1h1 , tsh1). t,. = O, 1, ... , Na, h,. = l,. IN,., a= t, 2} y designemos coo 1/1 = 111 1 1, = = 11 (1 1 , t 1 ) = 11 (z1) una (unción reticular definida sobre ;;) 11 ; h 1 y h 1 son los pasos de la red según los coordenadas de z 1 y z,. Con el fin do escribir un esquema de diferencias para (1), (2) nproxianemos can11 unn do In!< derivadns fJ1 ulfJz'o. en un
242
molde tripuntual, suponiendo ~ _., u(z 1 -
1',, z 1)- 2u(z 1 +z1) + u(z 1 + h 1 , z1) - u
ltf
8zf
~ _., u (z., z.-1' 1 )-2u (zl• z 1) + u (z., z 1 + 111) Bzt "I
- ; ,,.,' -u
-
;;,,.,'
el signo_., significa la aproximación. Haciendo uso de est as expresiones, sustituyamos (1) por la ecuación en diferencias 11 (11 - i, 11) - 211 (1,. 11)+ 11(11 +1, Is) +
"'
+11(1,, 1, - t)-211(~11.¡+11(1,, 1.+t)
- / {i¡, fs),
(3)
o bien, en la forma abreviada, 11- (t,. 1,.) + Y- (lh ti) = - f (i1, 11 ) . 2'1••
%1%1
En las designaciones sin índices tenemos 11- (z)+ll- (z) = - /(z), z = (t 1h 1 , izhi) Em11 (G). Z tZa
(4)
XeZ'e
A esta ecuación se le debe agregar las condiciones de contorno y = µ (z), z = (i1h 1, t,h,) E Y11· (5) La frontera ·111 de la red está constituida por to dos los nodos (O, i 1 ), (N1 , i 1), (i1 , O), (i1 , N 1 ), a excepción de los vértices del rectángulo (0, O), (O, N,), (N 1 , O), (N1 , N 1 ) que no se emplean. La ecuación en diferencia.s (3) está escrita en un molde pentapuntual (i, - 1, i,), (i1 1, i,). (i •• i,), (l •• i , - 1), (i., t, 1).
+
+
El esquema (4) se denomina a menudo esquema cruz. Si h.¡ = h, = h , es decir, si las redes según z 1 y z 1 coinciden, la red m11 se llamará cuadrada. En esta red el esquema de diferencias (4) puede ser escrito en la forma ll(l,, ~ = -
-
11(1,-1,11)+(11(1,+ 1.11)+ 11 (1, . ls - 1)+11(1,,1 . + 1)+ 1111(1,,1.l
4
Para la ecuación homogénea U t
= O) obtenemos
y(t,, 12)=-¡-IY(i, - 1, fs) + 11(t 1 +1, i 2) + +11(1•• i, - 1) + y(i,, i, + 1)1,
es decir, el valor en el centro del molde se determina como media aritmética de los valores en los nodos restantes del molde. 3. Error de aproximación. Sea u = u(x) la solución del problema de Diricblet (1), (2), y sea y = y (i1 , i 1 ) la solución del problema en diferencias (4), (5). Veamos un error z: (x) = y (x) - u (x), x = (t1h¡, í,h 1 ) E (1),,. Al sustituir y = z + u en (4). (5), obtenemos para el error = z: (x) una ecuación no homogénea As = :ii,:r, z:;..,, = -..¡> (x), x E{j),, (G), (6)
:i
+
con la condición de contorno homogénea z = O cuando z E Yh · Aqui 1j> (z) = Au + J (x) = ui,r, + U;¡.x, + / (x)
(7)
(8)
es el residuo o error de aproximación para el esquem a (4) en la solución u = u (x) de la ecuación (1). Mostremos que (9)
donde
En efecto, tomando en consideración las fórmulas /Ju
- (y 1, u (z1 ± h 1, xi) = u (z., xi)± h 1 - 8 z,
~)
+
+z- 8;f (z11 xa) ::t: 611! aau /Jrf (z, , xi)+ llf
IJ 1 u
IJ'u +~ 24 Bit (z,.
xi),
ZJ±h,) = u(z 1 , z 1 )±h,
111 a•u
+Thf (z,,
-
z, = z 1 +a,h1
8 " 8
z, (z,. z 1)+ /Pu za)± 6 ar, (z,, zz) + 111
o~a. ~ t,
Cap. VI. Bcaaclonc• clfpllco1
encontramos
IP= (
a•u Bzf
a•u ) hl 8'u hl a•u +Bif- /(z) + 24 Bz~ (x,, ~) + 24 8.z1 (z,,z:)·
De aquí y de (1) proviene (9). Asi pues, el esquema (4) es de segundo orden de aproximación. 4. Esquema de orden aumentado de exactitud. Haciendo uso de un mol de nonapunt ual (z,, x,), (Xi ± h 1 , z 2 ), (z1), z 1 ± h 1 ), (z1 ± h¡, z 1 ± h 2 ), podemos construir un esquema que tenga el cuarto orden de aproximación (y de exactitud), si suponemos que la solución del problema (1) - (2) u = = u (x) E e<•> (G). Dicho esquema t iene po r expresión
A'v = {"-1+"-2+ hf;';h: A1Aa)v =- cp(z), y (z) = 11 (z), x E Y/u A,y = Y;,,.,,
cp = f
zEw11,
AiY =Y;,.,..,.
(10)
Ja! A,/ +12 "I AJ. + 12
La comprobación inmediata muestra que el residuo es
1'>
=
A'u
+ cp = O (1 h 1').
(11)
Para el error z = y - u, donde y es la solución del problema (10), obtenemos 11.'z = -;> (z),
=
. 5. Propiedades del operador de diferencias. Sea y(x) una z E
w 11 ;
z
O,
x E Y11·
(12)
función reticular definida sobre la red ~ ... = w 11 (G) e igual a cero en la frontera y 11 de la red, y sea Qun conjunto de funciones reticulares y. El operador A se definirá del modo siguiente: Ay=
-Ay= - v- - yZ1S1
%• % •
para cualquier y EO,
(13)
donde Q es un espacio de funciones reticulares que están defi nidas en los nodos interiores de la red w 11 y coi nciden en
§ 1. E•quemo1 poro lo 1cua.cl6n 4- Pot..on
.
.
245
dichos nodos con y, y (z) = y (z) para z E (l)h· Al designar
hf /+ ~
q> =
rp = f rp = t +
para
l
%1= 1 -
+ 11 (~? z.> ,
z 1 = h1
o< Zi < l,,
f!(",:j '•>, 0< z1 < l1t
rp =/+ µ(ii, O),
1 o<:cs<-sr
h1·
Zi=
0<:c1
ls-ha.
:r.i=hs,
<¡> (:e) = f (z) en los demás puntos :e E ()) 1., escribamos el esquema de diferencias (4), (5) en una forma operacional y, cp EH, (14) A<¡>= cp,
donde H = Q. Introduzcamos en H un producto escalar (y,
11)
=
N1 - l N,-1
~
~
y(11,
•·-• c.-1
iz) ~ (l 1 , iz) h 1h 2
y probemos que el operador A es autoconjugado. Representemos. A en forma de '!na suma A = A 1 + A 'l• donde A 1 y = = - Y;;,,.,. A,y = -Yi.x.' y mostremos que cada uno de los operadores •unidimensionales• A 1 y A, es autoconjugado. Será suficiente probarlo para el operador A 1 • Veamos un producto escalar
(A 1y, 11)=
Aprovechemos la fórmula unidimensional de Green (cap. I, § 4): N, - t •
l;
··-·
Y;;,,., (i1, 11) ~ (i 1, i 2) h 1 =
=
N1 - I •
~ y (t,, .__,
i2)
~ ... (l,, is) h, .
C•t· VI. 6eueloau •Uttleu
Sustituyendo esta expresión en (15), obtenemos N~I
L.i
(A,y, 11) = -
•.-s
Nti l
•·-t V(l.,
hs ( L.i
Is)~-" (l., la) h,) = (//, A,11).
•• •
De un modo an,logo nos convencemos de que Al = A 1 , y, por consiguiente, (Ay, 11)
=
((A 1
+ A 1) y,
+
11) = (A 1 y, 11) (A 1 11, y) = = (y, A 111) + (y, A 111) = (y, A11),
es decir, A• = A. Si hacemos uso de la primera fórmula de diferencias de Green
obtendremos
y, análogamente, (A 1 y, y)> O, de suerte que A > O, es decir , A es un operador definido positivo y autoconjugado. No es dificil encontrar las fronteras O y ó del operador A , es decir, los números, para los cuales se verifican las desigualdades OE ~ A ~ óE, donde E es un operador unidad. En efecto, se ha mostrado en el§ 4, cap. T que
donde
0
1
4 =Tr
een1
nA 1 Ta",
Ó
1
4
nll 1
= T? cos1 T,"·
Al sumar estas desigualdades 5egún i 1 ""' 1, 2, ... , N 1 obtendremos 01 (//, 11) <; (A 1 y, 11) ~ 6 1 (//, y).
-
1,
~
Del modo aná logo encontramos 6 1 (g,
y)~
(A.y, g):;;;;
6 1 (y, y), donde .. u2
.
4
=To sen2
De aquí se dMprende
nh 1 -21 '
'
6 11 y11' ~(Ay,
y)~
6 11 !1 11'.
(16)
donde
6 = 6, + 8i = ...!.. senª ~ + ...!.. eenª ~ "' u, "I "'• ' 4 n1a, ' ~ 6 = 6 1 + 6 1 "" Tt cos1 2l. +-¡¡- cos1 21., En el cuadrado (1 1 = 11 = 1) en la red cuadrada
= 11, = h) tenemos 6 = _!_ sen1 ..!!;! h' 2 '
(i7)
6. Problema de dllerencies en valores propios. Planteemos un problema: hallar talell valores del parámetro A (valores propios), para los cuales el problema homogéneo
11;,..,+11;,..,+Ay=O,
zE(¡)h•
y=O,
.rEvh
(t 9)
tenga so luciones no triviales (funciones propias). Hecurriremos al método de separación de variables y busca remos la l>Olución del pro blema (t 9) en forma de un producto 1/ (.r1 , .r1) V (:r1 ) W (;i; 1 ) ,,i!t 0 (20)
=
de función v (z 1 ) , dopendienLe sólo de z 1, y de función w (.r,) que depende sólo de .r1 . Al susfüuir (20) en (19) y al dividir por y = vw, obtendremos U-
Z;'Jl• . _
x;:• _A,
&0-
(21)
i::t primer miembro d epende sólo de .r,, mientras que el
~gundo, sólo de :i:,; la igualdad (21) es posible sólo bajo la
1·ondición de r1uo
..,_ -
"::• - A... A,
248
Cap. VI. BcD4clone1 tllpllco1
donde ].<•> = const. De aqui resultan dos problemas uni· dimensiona los on valores propios para los segmentos O~ ~ 11'1i ~ l 1 y O ~ i/ia ~ L• • respectivamente: v;;,., + J.Cllv = O, O< z, = t,h, < l., V=O, i, =0, N,, (22) LV;,s, + J.w = O, O<~ = ~< l 1 , w=O, iz = O. N 1 , (23) donde }..~> = }.. - }..<'>. o bien J. = }..<1> + }..<1>. Recurriend o al p. 8 del§ 4, cap. 1, escribamos la solución de los problemas (22), (23) en la form a ' ... 4 sen1 -U. ""•"· , "A • = Tf
v11,.,, (z 1) '... ""•
,., ( )
w11, :ri
¡/ 2 T, sen -nlr,z, -,1
4 sen 2 1a:
= •V/
, k,
= 1, 2 , . . . .
N 1-
1,
""·"· , u;-
T n/r z 1 ¡;-sen - 11- 1
lci=1, 2, ... , N1 - 1,
,
donde x,. = i.,.h,,,, i,. = O, 1., . . . , N 0 , or. = 1, 2. De aqui se deduce quo el problema (19) tieuo valores propios }..
11 ,11,
4
nk 1a
4
n/r,11
1 1 1 = 7if sen1 ~ + lif sen1 2;;-,
y
= t, 2, ... , N.,. - 1, or. = t , 2, (24) funciones propias correspondien tes y11 =u',.'.' (x,) w',..',' (xi):
1/11
= 1111,11, ( z., -.,1 =
k,.
• -
z.,.=i,.h0 ,
/-4n/r z 1 n/r1 z, V -¡;¡;sen - 11-1-sen -i.-,
•
t,.=0, 1, ... , N,.,
k,. -= 1, 2, ... , N,.- 1, el = 1, 2. (25) Estas funciones propias están ortonormaliiadas:
(v••~ •• v,,., ... ,) ~ 6.,,,.,6.,..... De (17)
y (25) ~e ve que
<'>=mio '-11,11, = J..1,1
A= máxJ..11,11, = '-N. -1. N, - 11
f J. E•quemo1 p•r• to uuoc16n de Pou1on
249
donde 6 y ll se determinan según las fórmul as (17). Para 6 y ll son justas las estimaciones (26)
7. EeUmad6n de la vetocldad de convergencia del eaquema 4Ccrua,.. Principio del máximo. Para el error ir: = 11 -u del esquema ea el p. 3 se ha obtenido el probleme (6), (7), dond e (27) ~ (z) = o (1 h 1'). 1h = ht + h!
r
bajo ol ~upuesto rle que la solución u = u (z) E C<'> (G} del problema de partida (1), (2) sea suficientemente suave. Demostremos que el esquema (4) converge con la velocidad O (1h 11 ) (es de segundo orden de exactitud) en la norma reticular e, es decir, que 11 z lle = o (1 h 11 ), donde 11 z lle = = máx 1 z (z) l. Para esto nos hará falta la estimación de
llf•"
la solución del problema (6), (7) a través del segundo miembro de 1j>. El problema de contorno de Dirichlet es un caso particular del problema
Z l11J - a1a1,/11,1,-b1, - 1, 1,l/1, - 1, 1, - b1,+1. 1,1/1,+1. 1, - b1, , 1,- 1111 .. 1, - 1-b1 .. 1,+1!11 .. 1,+ 1 = 1P1,1,. z = (t,h., l 1 hs) Ew"; 11 = µ , z E Yn•
(28)
donde a= a 1.1,. b = b1,. 1, son los coeficientes. En e l caso (4) tenemos
ª" 1• = 2(~r + ;I)· t
1
(29)
b1,o1;1.1, = hfb1,,1 ,:1,S = hl'
b1., 1, - 0.
El operador
z
[y) puede anotarse de otra forma :
Z (y) == d1.1,V1,1, + b1,- 1, 1, (111,, 1, -Yi.- 1. 11 ) + + b1, +1.1, (111,, 1,-Y11 +1. 1,)
+ b1,. 1, -1(111 •. 1, -
111•. 1, - 1) +
+ b1,1 ,+1(ll1,1, -ll1,, 1, + 1).
(30)
donde d1,1 , = a1,1,-b1,-1, 1, - b1,+1.1, -b1,. 1, - 1- b1,. 1,+ 1·
2sn
Cap. VI. BcD4clonu clfpllc1u
Supondremos cumplidas las condiciones
d = d1,1, ;;i: O,
b1,. 1,:t, ;;.o.
br,:t 1, 1, >O,
(31)
Para el problema (4) tenemos d -. O. TEOREMA 1. Supong(lfTU)s cumplidas las condiciones (31) y que q> (x) ;;>O, y lv ;;>O. Entonas, la soluct6n de la ecuact6n (28) es no negativa, es decir, y (z) ;;;o O en todos los nodos de la red = wh (G). nEMOSTRACION. Supongamos que la afirmación del teorema es falsa y existe por Jo menos un nodo z 1, = (itk1 , t!h,) en el cual y (x1,}
wh
>
ecuación (28). Si d (x. ) = O y cp (x.) = O, la ecuación (28) se verificari sólo bajo la condición de que y (x) = y (x. ) en todos los nodos del molde. Sin embargo, por cuanto cp (z) =¡/i! O, existe un nodo :r1•• en el que y (xi..) = y (.:z:1.) = = mín y (:r) = c 0 c 0 , y, por consiguiente, Z lyl l...- ... 1
y
z
1v1-=q,,
:rEwh.
u= µ.
:rEyh
(32)
y supongamos cumplidas las condicio1u:s (31). Si
1 q>lz) l~~(z).
.:z:Ew11 ,
j µ (.:z:) ¡ ~ j¡(z),
zEy,,,
entonces, para la ecuaci6n ckl problema (28) maci6n
1 y (.:z:) ~y
(z) para todos Los z
tll
(33)
justa la esti -
E ro h·
Basta por convencerse de que para las fuociuues u = = y(:r:) - y (:r) quedan cumplidas las condiciones del teorema 1, y, por lo tanto, u (:r);;;;. O, v (z) ;;;;;. >O, o bien 11 (:r:) ;;;;io (:r:), y (.:z:) ~ (x), es decir, 1 y 1 ~Y: - y(:r) +y (.:z:). v
-y
v
Asi pues, la función ii (:z:) es una mayorante. Si la mayoranqueda hallada, la solución del problema (28) viene estímada de acuerdo con el teorema 2. Para el problema (4) elijamos, a título de mayorante, una función te
y (x)
y (x)
=
C IL' - (x:
+ z:)J,
L'
=
z: + z:.
(34)
Calculemos al principio ~=Z [yJ = -Aii=CA(z:+:Z::) = =
C ( A,z: + As:z::) = 4C, puesto que (Z:);;,,., = j f ((%1 + h 1) 1 t
- 2.zi + (x1 - hi)') = 2. De la fórmula (34) se ve que ji = y (z) >O en la frontera 'Vh· Volvamos ahora al pro-
blema (6), (7) para el error z = y - u del esquema (4). Eligiendo 4C = 111> le. y teniendo presente que z l.,h = O, obtenemos 1 z (:z:) 1
De aqui y de (9) se deduce la convergencia uniforme del esquema (4) con el segundo orden de exactitud. OBSERVACION. La ecuación (28) puede ser sustituida por una ecuación de la forma más general Z 1111 = a(z)11 (:z:)-
}i b (:z:, ~) 11 (~) =
(36)
cp (:z:),
elEa(o:) .... ~) > O, a
donde a (:z:) > O, b (z, (:z:) es un conjunto de nodos ~ =I= :z: del molde con centro en el nodo z, con la particularidad de que d(z)=a(:z:)= ~ b(:z:, ~);:;;i.O. lEa(x)
'
Para la ecuación (36) son verídicos los teoremas i y 2. Cuando se trata de un esquema con el orden aumentado de exactitud, el molde consta de nueve nodos, el conjunto a (:z:) de ocho nodos, y en este caso a
=j
(hl'
+ hi') , mien~ras que
en el segundo miembro se tienen coeficientes
T(Sh\
1
-
hi') ,
252
Cap. VI. Ecuaclon•• alrpllca1
~ (5h ..s de que
-
h -•), Jos cuales son positivos sólo a condición
1tVs~ h,!~~V5. y, por consiguiente, la estimación (35) se obtendrá bajo di-
cha condición.
§ 2. Resolución de las ecuaciones en diferencias t. Métodos directos. Método de separación de variables. El sistema de ecuaciones en d iferencias para el problema de DiricbJet del § 1,
Ay=Y;,,.,+Y;,x, =-f(z),
xEw11
y = µ,
.:i:Ey,.
(1)
cuenta con una matriz de alto orden (N 1 - j) (N, - 1). Se toman habitualmente N 1 , N, - 50 - 100, de modo que el número de ecuaciones en el sistema (1) es igual a f0ª-10'. La resolución de un sistema de orden tan alto, por el método de Gauss, exigirla aproximadamente (N1 - 1)8 (N1 - 1.)' , esto es, 10'-1011 operaciones, si el sistema (1) no tuviera una calidad muy buena: Ja matriz del sistema está débilmente llenada y sólo tiene -5N1 N s elementos distintos de cero. Por esta razón, para Ja resolución de un sistema de ecuaciones en diferencias se logra construir los métodos que requieren O (N ln N) e incluso O (N) operaciones, donde N = (N 1 - 1) (N 2 - 1). Describamos uno de los métodos directos de resoiu<:ión del problema en diferencias de Dirichlel de la ecuación de Poisson en un rectángulo. Escribamos el problema (1) en una forma
Ay= Y;,,., + Yi,x, = -cp (..:i:), Z E w,.. Ylv11 =O, (2) donde y (x) - y (x) para :z; E w y cp (z) se determina según 11 ,
las fórmulas (14) del § 1. Su solución puede encontrarse por el método de sepa.r ación de variables. Sean (u'¡,~' (:.r1), 'A'i.'.'} (k = 1, 2, ... , ... , N 1 - 1.) funciones propias y valores propios del problema
A,v
+ 'Av =
O,
z E w 11 ;
v (O)
=
v (l 1)
=
O.
(3)
§
a.
Re1oluc16n de la1 ecuaclonu en dl/erencla•
253
Las expresiones para A.l~' y v-'~' (.x1 ) se han aducido eo el p. 6, § 1. Desarrollemos la solución (.x1 , x 1 ) y el segundo miembro
y
y(z¡, aj=
N~I
"-1
Ctt,
(z1) Vtt, (aj,
(4)
(~),
(5)
N -1
.xJ = ~
-·-'
'Ptt, (z,) Vtt ,
donde x., = ta.lio.. t,,_ = 1. , 2, .... N., - t. o:= t, 2, Ctt , (x1 ) y 'Ptt, (x1 ) son los coeficientes de Fourier, por ejemplo, N,- J
'Ptt, (z¡) = ~ li,_
,,_,
Apliquemos un operndor A = A1
+
A, al
producto
CJ1 ,ll~,:
Actt, (:i:1)
1.>.11 1
=
(x 1 )
= v.11, (x,) A1Ctt1 (x1)
+ c.11, (x
=
-
1.1.11 ,
(x 1 )
ch, (x 1)
./\ 1
1)
A1vtt , (z,)
>-J::c.11, (x1) Vtt, (z,)
=
=
=
(Ale,., (.:z:J) - '>-1~'ctt, (xJ)l vtt, (x,).
Ahora, al sustituir esta expresión en (2) y al tomar en consideración (5). obtendremos Nt; I
L.J {J\ 1ctt, (.x1) -
A1-J
).~~'ctt, (x 1)
+ !J>Jt, (z
1)}
L>tt, (zi) = O.
(6)
En virtud de que la función {L>tt, (x,)} es ortogonal, esta identidad se verifica sólo cuando es igual a cero Ja expresión encerrada dentro de las llaves /\ 1
ctt, (xJ) -
).~1,'ctt , (z1 )
=
-IJltt, {x1 ), k, = 1 , 2, . . . , N 1
i,hl•
o<
i,
<
N,.
Ctt ,
(i,h,)
= o.
i, =
º·
N,.
-
1, (7)
tep. VI• .tetu1doiu1 ellplleor
Efectivamente, multiplicando (6) escalarmente por v•• (z1 ), tenemos
donde { · }i., es el contenido de las llaves (6). Loa problemas (7) se resuelven por el método de factoriiación ; se necesita emplear N, - 1 veces en total el alogritmo de factoriiación para k, = t, 2, ... , N 1 - t. Conociendo e•, (~). bailaremos la solución del problema (2) según Ja fórmula (4). Con este fin se requiere, primero, calcular loa coeficientes de Fourier •, (z1) (k, = i, 2, ... . . . , N, - 1.). De las fórmulas (4) y (5) se ve que y (:r1 , :r,) y • . (z1) se calculan según las fórmulas de una misma forma: H-1
"" w1 = L..J
·-·
lml cr;• seo -¡¡-
,
L= t, 2, ... , N-1. .
(8)
Se ha elaborado uo algoritmo especial de transformación rápida de Fourier para calcular sumas, el cual permite obtener la suma (8) en el transcurso de 5N log, N operaciones aritméticas (cuando N = 2", siendo n un número entero) en lugar de O (N') si se usa el modo de sumar habitual. Este algoritmo permite hallar la solución del problema de partida (2) en el transcurso de O (N1 N 1 log1 N,) operaciones. El método de separación de vuiables puede combinarse con el de reducción o descomposición que representa una modificación del método de Gauss. De resultas obtenemos un algoritmo con el número do operaciones Q:::::: 5N1 N 1 log, N, que es dos veces menor que el número correspondiente para &l algorit mo de separación aducido más arriba. 2. Métodos lteratlvoe. Los métodos directos son más económicos cuando se resuelve el problema de Díricblet en diferencias para la ecuación de Poissoo eo un rectángulo. Actualmente existen programas estándar en el lenguaje aJgoritmico FORTRAN y ALGOL para resolver las ecuaciones de Poisson en un rectángulo con las condiciones de contorno de tres tipos y también con las condiciones de contorno mixtas. No obstante, cuando el dominio no es un rectángulo o cuando se analizan l11s ecuaciones de coef1fientes variables,
f 2. Re1olutl6n de
/,u et11Attont1 en dl/erentlar
"55
se aplican los métodos iterativos. En realidad los m~todos directos son económicos sólo en el caso en que las variables se separen. En el cap. Ill se ha estudiado la teoria de los métodos iterativos para una ecuación. Ay = cp, donde A = A• > O. La comparación de diferentes métodos se realizaba para el problema unidimensional modelo en el segmento O ~ :r ~ 1: Yü = -f (z), z = ih, O< i < N, Yo= y N = O. Para el problema citado el operador A tiene la forma Ay = Las rronteras del operador se determinan por las "" consta ntes
= -y:_ .
11 = ~ sen 2 !!!. h' 2 •
4
nh
6 = /ilcos2 2
El número de iteraciones para los métodos, estudiados en el ca p. III depend e de la razón 3 n.\ n 1111 "J=-¡;=tg22~-,-.
(9)
Veamos ahora, a título del problema modelo, un problema de Dirichlet bidimensional en un cuadrado unitario (l1 = = l 1 = 1) sobre la red cuadrada de paso h = h 1 = h 1 :
Ay -- - y·-"•"• -y·-,.,,., -- m ....
.... m
uER .
(10)
El número de intervalos por cada una de las direcciones es N, de modo que h = t!N. Las fr onteras 11 y 6 del operador A se hao deter minado eo el § 1 (véase (18) del § 1), la razón TJ = 11/6 coincide con (9). De aquí proviene que el número de iteraciones ho depende del número de mediciones (si h 1 <:fo h 1 , ! 1 <:fo l 2 , depende poco). Por esta razón, las estimaciones del número de iteraciones de diferentes métodos iterativos, obtenidas pa ra el problema modelo unidimensional , siguen siendo en rigor para el caso bidimensional. En el caso de una red no cuadrada, el número de iteraciones para el problema bidimensional puede diferir un poco
256
Cap. VI. BcruJclone• ellptlco1
del número de iteraciones para el problema unidimensional. A.qui se examinará sólo el método iterativo olter nado triangular para resolver el problema de Dirichlot en diferencias {10). 3. Método alternado triangular. Para la resolución de una ecuación operacional Au. = /, A =A•> O, A : H-.. H, {11) hemos considerado en el cap. 11 l los métodos iterativos de un paso {de dos capas), los cuales se anotabtrn en la siguiente forma canónica:
8
llA+1-llA 'C,.+J
+AYA=/,
donde B: JI _... H , B condiciones
=
k = O, 1, ... , n, para todo /lo EH, (12) B• >O. Para A y B se cumplen las y, >0,
(13)
donde y, y y 1 son unas constantes. El número mínimo de iteraciones min n (e) con y1 y Ys
""
prefijadas se consigue al elegir los parámetros de Chébishev "•
t- ~
2
'tll = t+Pooll'
Po= t +~'
'to= Y1+i'1
~=.1!., Y•
k=t,2, . .. ,n,
(i.4)
donde ok pertenece a cie.r to conjunto, especialmente ordenado, de ceros del polinomio de Cbébisbev; con tal ordenación el método (12) es estable desde el punto de vista de los cálculos. Para determinar la (k + 1)-ésime iteración tenemos una ecuaei6n
BY1<+i
=
F.-.
F., = By.,
-~ll+t
EJ número de operaciones al calcular
(Ay.- - /).
Yll+t
depende de B .
Al elegir 8
=
(D
+ o>A 1) D- 1 (D + (&)A,) ,
(15)
donde A 1 y A 2 son los operadores con matrices triangulares A i = A•· A 1 1- A, = A y D = D* >O es un operador
257
§ 2. Ruolucl611 de l•• ecuadontt e11 dl/ere11c ta1
arbitrarlo, obtenemos el m6t.odo alt.ernado triangular. Cor rientemeut.e, D = (d 1, 1,) es una matril diagonal. E n el ca p. 111 fue elaborada la teorla de este método y se han enr.ontredo las constaot& y 1 , Yt y w para las rondiciones prefijada s
A > 6D,
A 1 D" 1 A 1 ~
! A,
6>0,
41>6>0,
(16)
las cuales pueden ser escritas en le forma equivalente: (Ay, y) >6 (Dy, y),
(D"1 A2y, A.u)~ ~ (Ay, y) .
En este caso tenemos (t7} y para el número de itera ciones es
n(e):::::u 1o(e) =
JUSta
1
2
vi).
le esti m11ción 2
1\
ln 3.
(i 8)
4. Método aJtemado triangular para el problema de Dlrichlel en d llerenclas. Volvamos al problema (10). Re presentemos el operador A en forma de una suma A A1 A 2, donde
=
+
y pongamos D = E. El carácter conjugado de A 1 y A, : A 1 = A~ se establece por romparación de sus matrices o bien con ayud a de la primera fórmula de Green en diferen cias: (A. 1 y, 11) = (y, AT11) = (y, A 1 11). Para deUirrninar VA+i obtenemos una ecuación
= (E + wA 1 ) (E + wA,) VHi = PA, = ByA + 'tH1 (AYA + ip) (YA = 14, Y~ = O para BYH i
FA
Los valores de
YHi
:.z: E '\'h)· se hallan sucesivamonle de la ecuación
De aquS obteuomoa IDJI fórmulaa
t-'= ("1Vl"C1,-t, 1,J+x.v•"<1.. 11 - tJ+F,.(1¡, 1.>J 11··••(t • .. 'I/ (f+><1+x.l • (¡)
"• = if • l/,l + t
(O
t
>
(I 1 > ["';..., c1,+t, 1,i+x.i..., c11. 11 + t>+v.\" c11 , 11 1] 1. I .. (f +)(1+X.J • (i9)
Para determinar yf,'' (11 , 11 ) elijamos un norlo 11 = t , 1 en la eaquina izqu ierda del reeU.ngulo; entonces, los dos nodos reatant.es (ti - t, 11 ) y (1 1 , 11 - t) del molde {(11 , 11 ). (1 1 - 1, 11 ) ('1, 1,-,)} se disponen en la fronter11 y, por lo ta11to, ('1 - 1, 11 ) ('1, t, - 1) = O son conocidos. •Sabiendo para 11 = 1, 1, = 1, hallamos sucesivamente 111" para '1 = 2, 3, .. ., N1 - 1 y 11 = 1 (en lo primera f~l a). Luego suponemos 1, ... 2 y encontramos sucesivamente 111" en Ja segunda fila paro 11 = 1, 2, ... . . ., N - 1. Con el fin de ballar realizamos los cálculos en el molde {(ti. 11), (11 + 1, 11), (11> 11 + 1)} según las columnas de arriba aba jo: fijamos 11 = N 1 - 1, N, - 2, . .. , 2, 1, 'J para cada i 1 cambiamos i 1 = N, - 1, N, - 2, .. ., 2, 1. Empezamos la cuenta de con el nodo (11 = N 1 - 1, t, = N, - 1) en Ja esquina derecha superior. Se debe observar que la cuenta de puede realisaree tambi'n según las mas de derecha a izquierda: lijamos 11 = N 1 - 1, N 1 - 2, .. ., 2, 1 y para cada 11 cambiamos 1 . . N, - 1, N1 - 2, .. ., 2, 1. Es mb, el cálculo de 111" podemos llevarlo a cabo no por las filas, sino por las columnas de abajo arriba. Esto lo muestran las mismas fónnulas. Los cálculos se realiian por las fórmulas recurrentes (19); la cuento es, evidentemente, estable. El algoritmo dol t ipo semejante so llama (como ya se ha indicado) algoritmo tk c6mpulo m6vll. Calculemos el número de operaciones aritméticas que corresponden a un nodo de lo red: el cálculo do F,. requiere
t,
=
y"'
vl"
= Y<•>
VHi
Y•+• Y•+•
!
§
2. R..olucl6n de ''" ec11aclone1 en
dlferencl111
2.59
IO operaciono~ de adición y 10 operaciones de multiplicación; el cálculo de y,..1 cou F,,, prefijada exigo 4 operaciones de adición y 6 operaciones de multiplicación. En total se e:dgen 14 operaciones de adición y i6 operaciones de multiplicación para determinar Yll+l en un solo nodo. El número de operaciones puede ser disminuido conliervnndo en la uiemoria de acceso rápido no una, sino dos sucesiones, {Y11.} y {w11.+il• y empleando para la determinación de y,,, +l un algoritmo
(E
+
+ /, (E+ c.>A,)i';,11+1 = ~H1/1• ' y,,, + T11.+1W.1i+1·
c.>A1) ;11.+1/1 = Ay,,, Y11.+i
=
En este caso para pasar de y,,, a Yu 1 son suficientes 10 operaciones de adición y iO operaciones de multiplicación por un nodo. 5. Elece16a de loe parámetros del método .iternldo trl&Agnlat para el problema de Dlrlchlet en d!lerenclas. Para poder aprovechar la teoría general e.xpuesta en el cap. 111 (véase el § 5, cap. 111), es necesario hallar las constantes 6 y 6 que intervienen en Ja condición (16). En nuestro caso A = A 1 +A, ;;;i: 6E, donde 6 es el valor propio mlnimo del operador A igual a
6= 4
(
l
nA
nA,
l
Afsen'Va + ¡qsenªTl;") .
(20)
Examinemos ol oper11dor A ,D-1A 1 = A 1A 1 • Toniendo presente que A~
= A 1,
(a1 b1
+ a,b
1 1}
~ (a~
+ al)
(b'
+ bl).
encontramos (A,A..v, v)=(A.v, A..v) =
= ( ( :. v... +~
v... )'. 1} ~ ( :r + ¡r) ((11...>ª+ <11,.,)•. 1)) = N,-1 N,-I
= (
11 +11 ) t.-1 ~ ~ Hv... > +
~
\ tl) (Ay, y), (rt+7'f
~ 1, cap. V) "'ti 1 ,,.,_, "'\'.i 1 "'ti 1 (Ay, y) = Li lis ~ (y,.,)f,1, h 1 + ¿ h1 Li (y,.,J1,1, /ii. •.-s t,-o ,._, '.-o Al r.ompRrar lRs desigualdades
puesto que (vlÍuse ol
(A 1A1'/,
y)~ ( ;,
+ ,.; ) (Ay, y)
y
A1A2~
! A,
concluimos que (21)
Conociendo 6 y A, encontramos TI = {j/ A, y, según las fórmulas del § 5 del cap. V, determinamos los parámetros y 1 , y 1 , ~. después de lo cual estimamos el número de iteraciones por la fórmula
¡
t n(e)::::dn 2ª In~,
p1 =
1-vt t+'Vt.
Haciendo uso de n (e), eligimos una totalidad estable de los parámetros de Chébishev 1111 , 'tHi y w = 2/lf~A. Comparamos los siguientes métodos de resólución re[erente al número de iteraciones n 0 (e): el método de iteración simple (nh" (e)), el esquema explícito con una totalidad de Chébishev (n!" (e)) y el método alternado triangular (n!" (e)) para el problema bidimensional modelo (10), empleando las fórmulas aproximadas n!' ' (e) ~ 21h3 , n!" (e) ~ ::::::. 3,2/h, n!" (e) ~ 2,9'J(h para e = 10-' (tabla 2). TABLA 2
t/tO
200
32
9
1/50
5000 20000
t60 320
21
1/100
29
6. Ecuaciones en diferencias con coeficientes variables. Supongamol! que se pide resolver en un rectángulo G = = {(.r1, .r1 ): O~ .r.. ~z...a = 1, 2} un problema de Dirichlet
§ 2. Ruoluc16n de 1.. uuacloiu• "" d l/er
para la ecuación eliptica de coeficientes variablea: Lu = L 1u + L 1 u = -1 (z), z = (z., x1) E G, u = 11 (z), z E r,
L4 u -
8
!.. (k.. (z) 8~:),
261
(22)
0 < c1 ~k.. (z)~c1 , a. = 1, 2,
donde cJ y c1 son unas const.antes. Para "1 - k 1 - 1 obtenemos la ecuación de Poisaon 6u = -f. El esquema de diferencias se construye sobre una red w~ = {z1 = (i1hto ish 2 ) I i .. = O, 1 , .. . , N 4 ,ha. = la.IN .. , a. = 1 , 2 }. Todo operador La. se sustitu ye en el molde t r ipuntual (x4 - h ... x .. +h..) por un operador de diferencias t = -h
i\ 4 u = (a4 u-XQ ),.Q
1
[ª~+ "'Cu~+lo.>_.,) h
Q
C1
a .. (u - uC - la.l>J -
h
O
•
donde = u ((i1 ± 1) h 1 , 1~ 2). 11<±1, ¡ = u (i 1h" (i 1 ± ± 1) 11,). Para a 1 y a, pueden elegirse las expresiones inás u<± 1 •l
simples
a 1 (x1 , x,) = k 1 (z1 - t /2h1 , z,) = Jcl - 112.i, a, (x1 , x 2 ) = k 1 (z1 , z, - 1/2h1 ) = ¡¿. - 112,¡, que aseguran el segu ndo orden de aproxim ación: A 4 u - La.u = 0 (~). De resulta~. al operado r Lu se le pone en corre:1po11dencia un operador do diferencias sobre el molde pentapunlua l:
/\u
=
AJu
+ /\
2
u = (a 1u;J.,
+ (a,ui)s,·
Eseribamos un esquema do diferencias Ay = ~¡ (z), :r E wh, y = 11 (x), x E y 1,. O < c 1 :s;; aa. :s;; e,, a. = 1, 2,
(23)
corr.ispondiente al problo11111 (2~) . Introduzcamos en un o:ipario de funciones reticulares 11 el operador
n,,
Ay 111!1
-1\y.
=- /\.:y.
A
=
A1
+ Jt
1•
AiY = - /\ : 11
C•t· VI. BcaaclDau eUtttctU
y eacribamoa (23) en la forma operacional Av = cp, 11, cp E H, donde cp difiere de f sólo en 4 nodos de frontera ('1 == 1, N 1 - 1, O< t 1 < N 1 ) y (O< t1 < N 1, t, = = i , N, - 1).
E l operador A es, evideotemeote, autoconjugado: (Av. v) = - (11, .Av). De la fórmula
y de la desigualdad O
e, (Rv, 11)
~
proviene que
(Ay, y) ~ c1 (R11, y), o bieo c1 R ~ A ~ ~ c1 R ,
(24}
donde R ee el operador de Laplaee estudiado mb arriba R11 - _;,_
•:r.~ .
-11·-
(25)
•....
De aqul concluimos que
c,3E ~ A~ c16E,
3
donde y Á se definen por Ju fórmulas (20), (21). Para resolver el problema (23) podemos opro vechar el m6~do alternado t.ri1ngular coo un operador
B
= (E + ioR1)
(E
+
R1
ioR,),
+ R, = R , R~ == = R par a D = E. 1
y
En esto caao teuemo11 y1 0 ~ A ~ y 1 B , dondo y1 = c1 1 , 'h = mieu\raa que 1 y 1 se bau encouirado para el operador (25). Para el número de iteraciones tenemos la aigulente l!!ltimación
e,?,.
y ? -
ne (e} =
2 2 .r •r= In-, . 2, 2,. 'l
f 2. Re1olucl61' de lu •c11aclone1 •n dl/erencúu
2113
Para una eouaei6n de coeficientes variables se requieren veces m.á s iteraciones que para la ecuaeión de Poi-
Vc,lc 1 saon.
Sin emba.rgo, podemos omitir la introducción del operador R, correspondiente al operador de Laplnce, representando inmediat amente 411 operador de coeficientes variables en la forma
A-A,+A1 , A,11 ... :, (a1Y;, + f114-,)+ ~ ÁJV -
t
-
;;;-
(
(+l a)
a1
t
y,.,+ 211a..,
)
(azVi,+fva..,). t (-1+1.) - r, cit 11••+ 2t va., ) .
El operador B se elige en la forma B = (D + c.>A 1 ) D...J. (D
+
c.>A,),
(26)
donde D = d (z) E es una matriz diagonal. Para puder aplicar la teoria general se deben hallar las constantes 6 y A que figuran en las condiciones A ;;;;;i. 6D, A 1D-1A 1 ~{A. El coeficiente d (z) se escoge a partir de la condi ción de mlnlmo de la razón T'J = 616., y, por consiguiente, de máximo de ~ = y/y,. De resu ltas se obtiene un algoritmo en el que el número de iteraciones n 0 (e) depende poco de lo razón c,lc 1 • De esto precisamente nos dice la tabla 3. TABLA 3
,. _ 1/111
11-1132
..!!.
••
D -11
2
23
8
t28
46 92 t84
512
387
32
1
D-d(x).S
D-11
20 23
~
30
90
47
2S
t80
53
26 28
360 720
57
D.-d(l<).S
~9
Capitulo VJI
Métodos de diferencias para resolver la ecuación de conductibilidad térmica
En el presente capitulo se examinan los esquemas de diferencias pera resolver la ecuación de conductibilidad térmica. Se ha investigado detalladamente una ecuación unidimensional con coeficientes constantes. Se aducen esquemas de diferencias para una ecuación multidimensional de conductibilidad térmica con coeficientes variables.
§ 1. Ecuación de conductibilidad térmica con coeficientes constantes l. Problema de partida. El proceso de difusión del calor eu uu vástago unidimensional O < x < l se descri be por la ecuación de conductibilidad térmica ilu 8u ) cp-¡¡= 8{J., (k -¡¡+ /0 (x, t), (1) donde u = u (x, t) es la temperatura en el punto x del vástago en el momento t; e es la capacidad calorífica de la unidad de masa, p es la densid ad de la masa, cp es la capacidad calorifica de la unidad de longitud, k es el coeficiente de conductibilidad térmica y / 0 , la densidad de las fuentes térmicas. En el caso general k , e, p. / 0 pueden depender no sólo de x y t , sino también de la temperatura u = u (x, t) (ecuación casi lineal de conductibilidad térmica) e incluso de ou/iJx (ecuación no lineal). Si k, e, p son constantes, entonces (1) puede RJ1otarse en la forma
~= 81
a
2
a•u +!• íJr•
f=.b._, cp
(2)
doudu a" = k/ (cµ) es el col!fic ienlu rle conducdó11 de Lemperalura. Sin perjudirnr 111 !lenernlidad de nuestros rnzo11a-
mientos podemos eonaiderar a lroduciendo \as variables~ = nomos
= t.
=
l
t. E n erecto, in-
T, '1 = ~:' , f\ = "'f. obte-
ª" .,B:rf... +feo -¡¡;=
O
Se exsminará aquí el primer problema de contorno (a veces i1uele decirse: problema inicial de contorno) en el dominio D = {O ~ z ~ 1, O~ t ~ T}. Se pide hallar la solución u (z, 1), continua en 15. del problema
"" 8a•u -¡¡= z 1 +/(z,t),
=
u (z, O)
o
O
u 0 (z), O~ z ~ 1 , u (O, 1) = u 1 (t) ,
(3)
u (t. t) = u, (t), O~ t ~ T. 2. AJgunu propiedades de Ju soluciones de la ecuación de conductibilidad térmica. En virtud del princi pio del máximo, para la solución del problema (3) tione lugar una estimación máx lu(z,l)f~
u
~ tnáx(máx
u
fu 0 (z)I, múx f u 1 (t)f , máx fua(t)I)+
u.::t
U
T
+jo o..:x.;1 máx lf(x,t)Jdt.
(4)
Tomemo:1 una ecuación homogénea con las condiciones do con torno homogéneas:
a•..
8u
-¡¡=-¡;¡-.
0<.r< t ,
u(O,t) =- u(1 , t) = O. u
(.r, O) = u 0 (z).
O
(5)
1.
La solución de este problem11 ~e h11ll11 por el método tfe separ11ción de varia hiel' en 111 forme (6)
Cop. Y//. Bcuael611 ti. co11daclt6UUfad tlrmlca
266
donde A,. y X11. (z) son los valores propios y las funciones propias ortonormalizadaa del problema X-+ AX= O, O< z < 1, X (O) = X (t ) =O, iguales a
)." = k'n1 ,
X,. (z) =
V2 son knz,
(7)
con la particularidad de que t
(X,., X,,.)=
JX,. (z)X.,(z)dz =O""" o
0
,.,,.=
{ t, k=m, O, k.pm.
Efectivamente, todas las soluciones porticulares (armónicas) u11. (z, t) = c11.e->."'X,. (z) satisfacen la ecuación y las condiciones de contorno (5). De la condición inicial
-
u (z, O)= u0 (z) = ~ c,.X,. (z)
e,.
.\-1
(8)
se balla11 los coeficientes = (u0 , X11) . De (6) y (8) se infiere 11 u (1) 11' = (u (z, 1), u (z, 1)) = =
~ c:e-2>.11.111 X,.112~e-2A,1 ~ e!= e-2>.,1 11110112, 11.-1
1&- 1
puesto quo
lluollª =
~el,
11.-1
De este modo, para la solución del problema (5) rosuha justa la estimación Uu(t)ll~e->.• 1 Uu0 11,
A1 =n1 ,
(9)
que elfprese In propie1lnd de estnbilídncl nsintóticn (para 1-+ oo) del problomn (5) re~peclo clo los dntos iniciales (§ 4, p. 7, cap. V). Debido a que A.11. = k1 n 2 crece con el crecimiento de k, a par tir de cierto momento t. en la suma (6)
bar'
se preponderante el primer sumando (primera armónica), es decir , tendr' lugar una igualdad aprox imada u (z, t) ¡:::s c1r"•'X 1 (z). Esta etapa del proceso lleva el nombre de régimen regular. 3. Esquemas de diferenela. En el dominio D introduzcamos una red ¡;h~ = {(.z1t1): %1 = lh, t, = / 't, t =o, 1, ... . . . , N, h = tlN, f = O, 1, ... , L, -r = TIL) con los pasos: h según .z y " según t . Al cambiar la derivada respecto do z por la expresión de diferencias "1+i-2u1+"1- 1 A
_ ( 11•u) 11.z• 1
"xz, ( =
/1
U1,
obtendremos en lugar de (3) un sistema do ecuacionel! diforouciales en diferencias (método t:k las rectas) d 111
A
-;¡¡- = "111 +
I I•
i = 1, 2, .. .,
con las cond iciones de contorno e iniciales 110 (t) = U¡ (t), UN (t) = U s (t), 111 (Q) =
u0
(%¡).
Para la resolución numéricu de este problema sustituyamos, por analogía con el cap . V, la derivada respecto Je t por una razón de diferencias
_!!!. _
111 (IJ+1l-111 (IJ) =
~
~+I
t
-
,,J 1
"miembro en forma "
=
(lli){_
y tomemos el segundo de una combinacióu lineal de valores para t = t 1 (en la j-ésima capa) y t = t1+ 1 (en la U + 1)-ésima capa):
vH•- vJ1 ' "
= <7Ay{+ 1 + (i -O') Ay{+<¡>{.
(10)
donde o es ol parámetro, mientras quo q¡{ es cierto segundo miembro, por ejemplo, 1¡1Í = /Í. q¡{ = t{+ 112 • etc. Se deben n~egnr nqul la/\ co 111l ír.in nr~ r.ompl omcnl~rins
Yt
= u 1 (t,) ,
y~
= u 1 (t1).
j= O, 1, 2, .. .,
Y1 =
u 0 (%¡),
O ~i~N.
(tt )
268
Cop. VII. Kcuoc14n d1 conductlbllldod llrmlco
El esqµema (10) está definido en un molde 6-puntual (:r,, t J+¡) _ (l;1 +1• tJ+1l (%1-1• '1+1) X
X
X
X
(:r1-1. t1)
X X
(:r,. t1)
(:r1 +1• t¡)
Ellaminemos un esquema ellplícito (o 4-puntuaJ: i+I_ J
111
111
T
Los valores en la U mula ellplíc:ita y{+ 1 = ( 1-
=
J 11J1-1 -21111+ 111+1 1'
=
O) en eJ molde
~I
+'f'í•
+ 1)-ésima capa se
(12)
hallan por la fór-
!~)Y{+;, (y{_, + Y{+1l + 'tlJ>f·
En el caso de a = t obtenemos un esquema completamente impllcito, esto es, un esquemn con adelantamiento en el molde:••: y i+ l _ llj yl+l_2zi+l +11l+ I 1 T I = 1- 1 ;. l+l+q¡{.
(13)
1
Pera determina r y{+ de (13) obtenemos el problema de contorno
2.. yJ+ 1 h'
(
1-1
1+
2
T ) "'
Fi = Yf + 'tq¡{,
yi+ 1 '
+ ¿h•_ yi+ 1= 1-1
u&+ 1 =
u¡(tJ+1),
-
F~
..
o< i <
N.
y~+ 1 = Uz(l1+1).
el cual se resuelve por el método de factorizaci6n. Se usa frecuentemente un esquema implícito simét rico (a veces se denom ina esquema de Crank - Ntclrolson) con a = = t /2 y un molde::::
..!. ( 11{'.!'l - 211{+ 1+11{:J:l . L 11{_, -
11l+1-11i T
e:
2
hº
¡-
2v{ + /l
Yi+1} _,_ . 'T
11>!· (14)
Los valores de y+• en la nueva capa se determinan en este caso también por el método de factoriiaci6n para el problema
f
2.69
J. Ecooc16n con coe/lcúnlea con•lonl••
de rontorno: -'t-yl+l 2"' 1- 1
(1 +~) h'
yl+l .J.' -:!,.__ yl+t = ¡ 2/t• 1-1
g~+I = Ui (t¡t1),
-P{ •
0< i < N,
y~+I =~(t¡+ 1 ),
(15)
't} Y1+u.1 J -.!._( Y1+1 J + Y1+1 J >+ •cp,. J
Pl-(11-¡¡
En el caso general (para o cualquiera) el 9!\quema (tO) ee denomina esqiuma con peso:r. Cuando a = O, el esquema es impllcito e yf+ 1 se determina por el método de ractorización como una solución del problema a-rAy{+ 1-y{+1 = yt+'
= U1 (t J+1>.
- F{.
y~+ 1 = ~ (t , ••).
O
/=
º·
1, .. .
(16)
Procedamos ahora al estudio de las propied11des del esquema (10) ron a cualquiera. 4. Estimación del e rror de aproximación. Con el fin de estimar el orden de exacHtud del esquemo co n pesos (10), se debe estimar primero el error de aproximación (el residuo) y hall ar las estimaciones aprioristicas que expresan la estabilidad del esquema respecto del segundo miembro. El esquema de diferencias (10), (11) toma en co nsideración los datos iniciales y de frontera exactos. Escribamos el esquema (tO) en la forma sin índices. Al in troducir la~ desigOAciones
y = y{, y, = obienomos Y1 = 6y<• l Yo - µ1 (t),
y=g{+I,
v{+l_ll{
't
+ cp,
,
J\y = yi,, = ll1+1-~~1+V1-1 y
(z1t¡) E wh,, y (z, O) Y N = u, (t) (t = t, = /-c. i -
IL 0
o.
(z), 1 . . . . ). (17)
Sea 1t = u (z,, t 1) lo solución exacta del problomo de partiJn (3) y sea y la solución del problema d i' ti iferencias (17).
Cap. VII. E cG4cl611 de conductibilidad llrmlca
270
Sustituyendo en (1 7) y = z + u, obtendremos pum el error :i: = y u las siguientes condiciones: i,
= /U<">
+ 'I>·
(z, t) E roh,,.
z (z, O)
= O,
z (O, t)
=
z (1, t)
=
O,
(18)
1lontlo
"' =
¡\u(O)
+ !p -
(19)
U1
es el error de a proximación del esquema (17) en la solución u = u (z, t) del problema (3) (el residuo del esquema). Encont raremos el desarrollo de 1j> según las potencias de h y 't en el entorno del punto (z,. t = tJ + ' / s't). Al tomar en consideración q ue
u = ®+(1 - a)u = •
-
1
oü
i:•
u1~ + (a --}) TU1,
u•ü
i:•
a•;,
tJ + {
T)
1
V= V+ zTQI +-¡¡- o;s + 48o¡a- +0 ('tl), Ü= V
( %,
a•v v = v- -z't 8I + -¡¡-81'-
1
.,;;
i:•
'ti
48
a•v + O ('t'),
Q¡>
,..
/\u = u;;z = Lu + 12 u IV + O (h') ,
o•u
Lu = or• ,
obtonomos
'l> = LÜ+f-
º;; 81
+ cp - f+ (a - ~)'tL ~+ 2
º',..
+ 12 L 1u + O('t 2 + h•). Por cuanto, en v irtud de IA ecunción (3), -
-
iJÜ
Lu + f - a¡ = O, entonce!<
L~-Llu +lf
º'
y
;i+ ( cp-f+ (o--}) i:Ll} + + ( :; +
(o--}) -r) LJÜ +o (i:•+ h').
De aqu{ so ve que
o+ 2t
'i>=O("C +h•) para cp=/ y -
'i>=O("'ª +h•) pan cp=/
y
,
1
0-2·
Sl elegimos o de un modo tal que el coeficiente de L'ri sea nulo:
a- a. = 2t -t2i"• "'
(20)
y ponemos cp igual a
- "'
"'
- o bien cp=/- + 12 Atcp=f +12Lf,
(21)
(ambas expresiones se diforencian en una magnitud O (h4 ), puesto que /\./ - Lf = O (h1 )), obtendremos un esquema con el orden de aproximación aumentado (respecto de z): ljl = O (h4 + i:1 ) para o = ª•· Este esquema es tombién im pUcito, por lo cual y~+ I so halla de la ecuación O'•i:/\.y - y = - F por el método de factorización. 5. F.atablUdad del esquema. Volvamos al estudio de la estabilidad y de la convergencia del esquema (H). Veamos, pr imero, el esquema explicito (o = 0) y el esquema impllcito puro (o = t). La ecuación (17) para el esquomn expl ícito se escribirá en la forma 1 YJ+ 1
y~+•
(
1 - ~) YJ1 + 11 ,
- O,
y~+t
= 0,
'f ( J ;¡T Y, _ ,
+ Yl+ J ) + 't'l'í _, • 1
y~ - u0 (z,),
O< l
O ~ l ~ N.
Si el coeficiente de y{ es no negativo, es decir, si 1 "C ~ h /2,
(23)
c.,.
272
VII. Ecaacl6"
entoncell de (22) proviene que
llY1•' lle~ll 111 lle+'Ctlcp1 lle.
=
donde 11 y lle
f - 1
no~
(24)
máx 1 y 1 I· La iinmaci6n según k de O a
nc;1c;iv
da (25)
Esta desigualdad expresa precisamente le estabilidad en una norma reticular C del esquema explicito respecto de los datoa iniciales y del aegundo miembro bajo la condición (23) (el esquema explicito e.!! condicionalmente estable). El esquema implicito (17) con a = 1 se escribirá en la forma o bien
~yJ+•-(t 1-~)yJ+•+~yi+•= -P ,.. 1-1 ,.. 1 ,.. 1+1
1 1
vt•• = 11~+
1
O
•
=0.
Ahora, hagamos uso del teorema 3 del § 5, cap. 1: para la sol ución del problema A1!11-1 -
C,
C1111
= A1 + A1+ 1 + D,,
+ A1+11/1+1
-
- F,,
O< i < N,
lit = !IN
=
0
es justa la e!timaeión 11 //lle~ll
En nueetro
CBllo
ll llM lle
A 1 = A 1+ 1 ~ 11 Fl
lle
=
~lle· -clh', D,
~ 11
Yl
lle
=
1,
+ T 11 Cl'l
llr.
(26)
De aquí, sumando según k = O, t, . .. , J - t, obtenemos In estimación (25). De este modo, un esquema Implícito puro es incondicionalmente esLeble, es decir, es estable para cualesquiera T y h . Siendo a arbitrario, la e~ uaeión en di-
f / . Bcaocl6n con co•/lclcnlu corulon1..
273
foronciat1 tieno por ox prllSión
~ 11i+'-( t + 2.aT) 11J+I yJ+I = _ pJ, • 11' 1- 1 11• 1 +~ 11' 1+1 0< i < N,
Pf =
( t - 2(1
11¿+1=11~t'
;;;o)'") 11{ + (1 ;;¡o>
"t
{.
Ot1 nqu{ se ve que el ('.oeficiente de
,,.
T ~ 2 (l-o)
=O,
y{
es no neg11tivo,
,,. o bien a;;i.1-"'fi". .
si (27)
Oajo esta condición 11 F lle ~ 11 V lle + "t 11 q> lle; aprov&c:hando, luego, el teorema 3 del § 5, cap. I, obtendremos la Mtimación (25) para la condición (27). En particular, parn un esq uem11 simétr ico la estabilidad en C tiene lugar cuao
11 111 lle ~ M o 11 Ylle.
tlonde M 0
= const >
t. No obstante, esta desigua ldad se de un modo bastante complejo. M ás a bajo se probará que en otra norma 111 condición 1le ostabilidad do un esquema con pe11os tiene por expresión 1 lemue~lra
(28)
modo que el esquema con ";;;;. 1/2 es incondicionalmente ostable, mientras que para a< 112 la condición de estabili1lad, en lugar de (27), se expresa así 110
T~
,,.
4 (1/2-o) •
<29>
El resultado obtenido (29) se obtiene a base de 111 teoria general de estabilidad . Por analogía con el § 4, cap. 1, introduzcamos un operador A : Ay = - Ay, donde Ó. es un conjunto de funcion es y definidas so bre la recl ;.," = {z, : :r, 1h. 1 =O, 1, .... N, h - t/N) e igua·
274
Cap. V JI. Bcuacl6n de conductibilidad tirmlco
lc:1 a coro en la fronterü paru i = O, N; o y es un conjunl.o de f11m:io11e1.1 deíiuid<1s t111 los uodo1.1 interiores de la red x E E (J)h = {X¡ :.%¡ = ih, t = 1, 2, ...• N - 1, h = t/N}. Escribamos el esquema con pesos en la formn r.11nónir.a: Bz, A z = 'i> (t). t E 7. (0) = O. B - E a1A.
ro,,
+
+
(30)
a; +
Con este fin resulta suficiente sustHuir zO, si el producto escal11r en H lo definimos segú11 la fórmula
+
+
N-1
~ y 1v 1h.
(y, v) -
1-1
La estabilidnd del esquemn (30) fue investigada en el ca p. V. dond e probamos que el esquema (30) es estable en H,. cuando 1
t
a ;>ao=2- 11tAU •
(31)
En nuestro coso 11A11 = ;, cos2 ~,. • Do aqur proviene que el esquema (17) es ostnble para cualesquiera 't y h, siempre que a ~ 112. Si a < 1/2, el esquomn serú cstnble para
't~ Al sustitui r aquí 11 A 11 Jal
1 ( t/2-o)
~
't ~ 4(1/2- o)
4/h1 , y
ll A 1 obtenemos
4(i/2-a)1 ~ h2.
En pa rticular, cuando a = ª•• tenemos 4 (112 - a. ) 1 = = h1 /3 < h', es decir, el esquema con un orden de aproximación aumentado es incondicionalmente estable. 6. Convergencia del esq uema. Con el fin de demostrar le convergencia del esquema (1. 7) se debe obte ner lo estimación aprlorística para el problema (30). Hagomos uso de la desigualdad para z, obienida al investigar In convergencia de los esquem11s en el ra p. V, en virtud de In cual para (30)
R J.
Bcaacl
275
y (18) es j11sta la e:1t.imaci6n del error i-1
llzlllA~~ "fll'i>"ll para o>O, o;;>oo.
(32)
A•O
Al sustituir aqui Az =is,.. hallaremos o
o
o
JI z 11~ = (Az, z) = -(z.,-' "' z) = (z;,
o
~
z¡J = ~ h (s;;
....,
.,)*
y a provecharemos la estimación N
JI z lle= máx J z 1~} ( ~
t-t
xE(t.)n
h (z;, 1
)i) 112 = }Uz11.t.
De resultas obtenemos J- 1
11z 1 11c~{-~"'11'i>A11.
(33)
A-O
es decir, el esquema (17) converge en la norma reticular C con la velocidod 11 yl - u 1 lle = 11 z 1 lle = O (h1 "f) para a;¡/= 1./2, a> a 0 , 11 zl lle = O (h.• 't'), a 1/2. Si "• ;;;i. O, es decir, sí 't ;;;i. h'la, entonces paro el c!lquema a = "• es también just11 la estimación (33) y
+
11 zl lle = O (h4
+ 't
1
)
para a =
=
+
>
ª•·
7. Estabilidad aslnt6tlca. La propiedad de estabilid ad asintótica (parn t-+ oo) del problema (5) respecto de los datos iniciales se axpresa por lo estím11ci6n (9). Pnr11 t grnndes la solución del problema (5) se determina por la primcr.i armónica u (z, t) ~ c1e -'-• 1 X 1 (.:z:) (régimen regular). Es natural exigir que la solución del problema de diferencias y
= aAy
+
(1 - o) Ay; x = ih, t = /'t, i = i, 2, . . . , N - 1, i = O, 1, y (O, t) = O, y (1, t) = O, y (x, 0) = u 0 (x)
posea las propiedades analíticas.
(34)
t:op. VII. Ecuoc16n de conductibllldod llrmlco
276
Eu rl cap. V para 111 e:!qu11ma uperacioual de diferencias con
pu~o~
+ Ay =
y (0) = y0 , lJ = E 11 >O, A = A• >O
O, t E w,, fJE ~ il ~ ti.E,
lly,
+ OTA,
so 1111 e!'t11bleci
11y 1 11~e-ª'111Z11 con la condición complementaria
't ~'to (o)
=
+
donde 'tn 2/(6 ti.) p11ra un esquema explicito (a = 0), 'to oo ('tes r.unlquier n) pnra 110 e:
=
=
.o
=
4
nh
u = ¡¡¡-sen2-2- ,
nh
¡\
4
ll + ti. =-;;r.
ti. = Ai'cos2 2 ,
=
Para un esquema explíciLo (o O) To = 111/2 y la condición de estabilidad asintótica coincide con la ele estabilid11d corriente; el esquema implícito (o = 1) es, como antes, inconclicionnlmenie estable. Sin embargo, el esquema simétrico (a = 1/2) será incondicionalmente estable en el ·sentido hnbilu11I y asintóticamente estable bajo In condir.ión T ~To,
To =
,..
\gnll ~
" n'
En este rnso In solución del problema do diferenr.i11s (34) con a =-· 112, p11rn t grirnde!I, se determina por In primera a rmónica:
+
e-"·'
Aqu1 p = (1 - 1/2T6)/(1 1/2T6) = (1 +O (T 1 )). SI 111 condición T ~To está perturbado, t111 decir, si T > T 0 , entonces para 1 gran des predomina no 111 p rimera, si no la última armónica: 11{ ~ c,p; sen n (N - 1) z 1 ~ c,pi ( - t)' sen nz1 , t/2tt. - t < e- ).1•, 1o que, por su pues t o, no t 1ene º 112, 6 + 1 nadn en común con la sol ución de una ecuac ión diferencial.
d on d e p =
§ 2. Probl•mu mullltllmen1lonale1 de eontlucllbllldad
211
La exigenc ia do la esta bilidad asin tótica est ll est rechumonte ligada co n la exuctitud del esquema y de h echo sign ifica también la exigencia de exactitud asintótica. Esto se pone de manifiesto con mayor clari dad en los clllculos sobre las redes reales para t grandes. Hemos do observar que lu con Jición 't ::::: h!1t para un esq uema s imétr ico no parece abrumadora. Se demuestra que un esquema implícito puro (a = t) puede asegurar una exact itud admisible para grandes valores de t sólo cuando ol paso 't sea co mparable con ol de un esquema explicito, con lo quo en los cálculos para t graudel:I el esquema im pllcito puro queda privado de su ventaja principal. a snbor , la estabilidad para 't y h cualesquiera.
§ 2. Problemas mul tid imensionales de la conductibilidad térmica t. Esquema de dllerencias con pesos. Examinemos en un plano r = (z •• X2) un dominio G con la frontero r . Bu:scMemo!l la solución del problema do conductibilidad térmica en el domin io {J = G + f para lodo 0 ~ l ~ T . Se pide hallar una func ión u (r, 1) quo cstó defin ida en el cili ndro Q; = G x IO, TI = {(.x, L) : z E G. O~ t ~ T} y que sutisfoga en Q1 . - G x (O, TI = {(z, t): .r; E G, O < t ~ T} la ecuu ción do r.ouductibil idat.I térmica h -;-- ~ vi
o~
~u
Lu +/ (z , t ), lu = T'i' +-:il" , vz ·~
(1 )
1
las coudiciuul's do co ntorno de primera especie en tu fro utura f del domin io G u µ (.e, 1). .r E 'l', O ~ t ~ T, (2) y la coudició11 iuiciu l pura l - O: u (.r, 0) = U 0 (..e). .r E C. (3) Supongamos que
C e:i uu
rect ángulo:
G = {r=(.r1 ,..c1 ): O~z 1 ~ / 1 , O ~ r2 ~ 1t} · 111troduzc1Hno:< 1·11 tJ 111111 red ref.tu ni.t11lnr ¡;¡,, = (r, = (zl,11•, r:J>); .e<.,•.. ) = lo.Ita.• 'a. - U, 1 1 . . . . No. , lto. ~ lo.INo.. a = 1 , 2}
278
Cap. Vil. Ecuacl6n d
con la frontera
=
= (i1h.¡,
l 1h 1 ): 11 =O, N 1 , O< i~ < N,: t, = O, N ,, O< i 1 < N1 }. Aproximemos el operador de Laplace Lu ~ Au mediante un operador de diferencias en el mold e pentapuntual (véase el cap. VI , § 1) Yh
{.z,
Au. = u.i,""• + u.;;,u.:,.
Lu. -
Sustituyamos el problema (1) - (3) por 011 problema diferencial en diferencias (método de las rectas):
du~t(t)
= Av1 (t)+ f
1 {I) ,
i
=
u, (t) lv,, = µ
.z, E wh,
1
(i 1, t 3), v 1 (0) = U0
o~
(t),
t
(X¡),
~.
(4)
Introduzcamos en el segmento O ~ t ~ T una red (;)T = {t, = j't: O~t,~ T)depaso-r. Escribamosun esquema con pesos =
+ (1-a) yi) + qi, i =O, 1, ... ' (5) 1,) = y (i h i,h,; t,), .r -= (i 1h 1 , i 1i2 ) E
= A (oyi•1)
llj+1-c_ vi
donde yi
-=
y (x1 ,
1 1,
1
E wh. Agregamos a la'4 ecuaciones (5) y
{x,
(.z),
x
= {11h.1,
= µ , (t).
X
E Yh • t
0) =
y (.r)O t)
Uu
i 1h 2) E
w
1.,
= j-c E (I)¡,. y = yi+1 en un a
(5')
De aqui se ve quo para determinar ca pa nueva t = tJ+i se debe- resolver una ecuación en diíerenci11s
y-
a-cAy = F, F = y
+ (i
Y = µ,
- a) -rAy
+
.z E Yh·
-c
La resolubilidad de este problema se desprende de lo que el operador (E - a-et\) es defínido positívo para a> > - 1/(-r 11 A 11), puesto que (E - a-et\) (E+ a-rA) y rn el e,ipaciu ele f11n c ion~s l'l'Liculores que vienen clndas en la red 1, y que se rerlucen u cero en la frontera Yh (compárese con el ca p. V1). .\loslrémoslo.
w
y
y=
S
Z. Problem1U mullúllmeMloMle. IÜ cond11cll6llldcd
279
Introduciendo un product.o escalar
(11, 11) =
~
/1 (z1)
"Je•h
11
(z1) h 1hs(7)
y teniendo presente que (Ag, 11) ~ ·1111 11', encontramos
((E -
y,
11 A11 11 1111 11 ~ 11 A 11·
y)= ((E+ a-r..4) g, 11) =
=llyll 2 +o-c (Ay, 11) ;> ( ll!ll +oT) (Ay, 11) > 0, puest.o que (Ay, y) ;;> 6 ll 11 111 >O (véa:re el cáp. VI, § t , p. 5). Escribamos detalladamenw en la forma do iudices una ecuación en diferencias GY1 (V1i-t. 1,+Y1,+ 1, c,)-(t + 2o (Y1 +Y2)} X Y11t1
X
+ oVi (V1,11- t +V i1l1+ t) = -
F1, 1o.
(8)
donde Y1,1 1
=y(i1h1o i 2h.¡),
y 1=-r/hL
y2 - T/11! 1
P11 11 =(t-2 (1--r) (y1 + yi)) 111 1 11 +(1-o) X
X Y1(111 1 -1,11 +111,+1, 1J +( t -o) YtX X (llt1. to- 1+1/1111+ 1) + c¡>1,1,,
Y1111 = ~1 1 1 1 .z, = (i1h1t í2h1J E Yh· Dicho problema de contorno en dHerencias se resuelve respecto do y por los mismos m6todos que se u~an on la resolución del problema de Dirichlet en diferencias para la ecuación de Poisson (véase el cap. VI, § 2). Aqul los coo(icientes de la ecuación son constantes, el dominio G es 11n roctánguJo, razón por la cual los métodos directos ile rc~olución de las ecuaciones en düerencias (8) resultan los má:; económicos. Los métodos iterativos son monos ecouómicos.
280
Cop. VII. Ec1>0cl61l d• colld11cll6Uldod llrmlco
2. Eatabllldad y convergencia. Haciendo uso del operador A. definido anteriormente en el cap. Vl:
Ay=-Av=-y-zart
-v;... -1
vEO.
yEO - H.
escribamos el esquema (5) en la forma canónica:
B
,,.. _,,
"
..J
.J
+ Av- = 'f' ,
/
= O,
o
t, ... , y
= u 0,
11 EH, (9)
El operador A fue estudiado en el cap. VI. Ell autoconj ugado y definido positivo en el espacio H = Q de dimensión (N1 -1) (N,-1), A =A • , 6 0 E~A~6. 0 E, doude a _
Uo -
4
n/1 1
hf 118111 F.
+ 'if 4 118n
1
u. , nlt1
.
L.Iº ~ rr cos2 v.+ ricos 1 u;-, "
4
4
nlt1
n/11
(to)
En virtud de la teoria general (véase el ca p. Vl, el quema (9) es estable en H,. cuando t
6 ~ 60.
1
60=2 - 'tllAll "
B!l-
(H)
En particular, pare un ellquema explicito tenemos la condición o bien
T
2 2 } -' < ( 7if + hf .
(12)
En la red cuadrada (h¡ = h, = h) lo condicióu de estabilidad del B11quema expl cito tiene por expresión T
<
h.Wi
(compárese con las condiciones T < h1 /2 pera el problema unidimensional). De (11) !'O ve que lo~ esq11em11~ con
o> t/2, incluidos el esquema implícito (o = 1) y el si métrico (o = = 1/2), son incondicionalmente establus. El esquema ex-
§ 2. Problema. mullldlmerulonalu de co11ducllbllldlld
= 0) puede escribirse en la forma (t - 2 (y,+ y,)) llÍ11, + Y1 (11{. _ ,, 1, + Yl,+1. 1
281
pllcito (o 11{~! "'2
1
)
+
+f2(l/f._1,-1 +lll,.1, +t)+ Tcp{111 .
(13)
La suma de los coeficientes de y en ol segundo miembro de (t2) es igual a uno. Si todos los coeficientes son no negativos, es decir, si se cumple la condición y 1 y 1 ~1/2, y 1 = i:lh:. Yt "= i:lh:. equivalente a la condición de estabilidad (12), en tonces de (13) proviene una desigualdad
+
lle
11 yi+•
~ 11111
lle
+ • 11 cp'
Al sumar según k = O, 1, ... , j macióu (compárese con el § t ) i-
lle.
t , obtenemos la esli-
1
llY'lle ~ ll11ºlle + ~ i:11cp•¡1c,
(14)
•-o
que queda en vigor para cualesquiera posos de Ja red si el esquema es implícito puro (o = t). En lodos los demás casos la estimación (t.4) tiene lugar paro. a 1 - t/i:6 0 • Para demostrar lo convergencia se debo. co mo siem pre, investigar el residuo
>
'lj>
= ¡\ (au +
(1 -
o) u)
+ cp - u,.
Teniendo presente que Au = Lu +O (1 h I'). 1h ¡• = h: + encontramos, por analogía con el caso unidimensional ,
+ h:.
~ - 0 (j/&fZ+i:1) + ( T Para el error
8 -=
i
=
y -
u tunemos un problema
--T-- + Az' = lj>', 11•• - 11
.
- +) 0 (i:).
.
J= O, t. . .. ,
zº = z (0)
= O.
De aq ul y de las estimaciones apriorlslicos proviene 1n convergencia en C del e~quema (5) con In vc locidori O (i: + 1h 12 ) para o
-TA;.
282
Cap. VJI. 8ciud6" d4 t01'ductlbllldaJ tlrmlc•
Para la solución del problema se cumple, en -Yittud de la ostimaci6n obtenida en el cap. V, una desigualdad 1
lf:J•111,. ~ ~ -c11ip-11 para a;;:;.
<10 = ! - T!, • o;a. O,
l-0
donde llzlf~
= lfall~. + /f.1111~••
~ N¿;I
llzll~""' 2j
A111 = -11;¡ 1,.1 , AsY "'" -11;¡1.,,,
h, (1;¡1 (i1t is))l +
,lj
i1-\ l.-t
><
2 h,
1,...1
N~I
X
2j i1-i
(z;¡, (ih
la))ª.
De aquí proviene la estabilidad incondicional de la conve1goncia del esquema (5) en 11 A con la velocidad O (t + 1h I') 1h I') para o = 112. para a =/= 112, a ;;;;. t /2, y O (~ La investigación realizada más arriba debe ser complementada con las condiciones de estabilidad asintótica. Por cuanto las condiciones citadas -e ~ -c 0 se han obtenido para un esquema operacional en diferencias con pesos y opo· rndor ar bil.rario
+
A = A•> 0, pueden ser aplicadas, pue.•, también para nuestro esquema (5). Haciendo uso de las expresiones (10) p11ra 6 0 y 6 0 , obtenemos las condiciones de estabilidad asintótica -e ~ -e~", '"'~" = 2 (
rr4 + ;¡¡4 )
-e~ -c~1 ', T~ª'
=
.1
para un esquema explicito (a = O)
./!-.,6 ,. oeAe
simétrico (a = 112). En particular, para h1 •
8
u,= V
0,
6 0 de (10), para un esquema
= h1 = h,
l1
== l 1
1 nh
een 21 • • '"
•o
= TJa•
(
nll ) -
sen ¡
1
/al ,::::; 2n" .
""
l tenemos
§ 2. Problemo1 m ullldlmendonolu de conducllblltdod
283
El valor limite de 't~11 es dos veces menor que para el esquema un idimensional (5) del § 1. Un esquema impllcito puro (u = 1) es absolutamente estable asi nt.óticamente. 3. Coeflclentes variables. Examinemos el problem11 (1) suponiend o que Les un operador elíptico de segundo ordeu, con coeficlentell variables, privado de der ivadas mixtas:
Lu = L 1u + L 1u , L 1u =
~=
0:.
c1 ~ k,. (z, t) ~ c1 ,
o:, (k , (z,
(ka (z,
t) ::. ) ,
t) ::. } ,
(z, t) E QT
=G
X (0, T).
Aproximemos cada uno de los operadorel! L, y L 1 mediante un operador de diferencias Lripuntual: L, - J\ 1 , A,v :s (a 1v;¡ 1 )x"
~
J\ 1 , J\2 v = (aa1>z1 ) zz,
donde a 1 = a 1 (i 1h 1 , L,h1 , t), a 1 = a, (i 1h 1 , IJ11 , t) son ciert as funcionales de los va lores k 1 y k 1 , re:ipectivamente; en un caso más simple a 1 = k1 ((1 1 - t /2) h 1 , i,h 1 , t), a, = = k 1 (L 1h1; (i1 - 1/2) hs. t) , lo que asegura el sogundo orden de aproximación: A,.u - Lo.u = O (h~). a = 1 , 2. Al operador L se le po11e en correspondencia el operador de diferencias /\: J\v = A 1 v
+ A,v =
(a 1v;.)x,
+ (a,vz,>x ,·
(15)
Escribamos J\ 1 v y /\ 111 en forma de índices
" ,v =¡¡;' [a, ce·,, + 1)''••
· J. "•.+1. ,,"•'z'"Z; t)
..,,,,
-a • (lh ih· t) ' P 1 2•
11
'·'•-hs111 1- •.•• J,
284
Cap. VII. Ecuac16r. de conducllbllldad térmica
El esquema de diferencias con pesos tiene la misma expresión (5) que en el p. 1. Se escoge el mismo espacio reticu lar H = O con producto escalar (7) y se introduce el operador A:
Ay=- (a yi
Ay= -
1
1
). 1
-(azYi,)x,.
Tenien do eo cuenta que para el caso unidimensional del operador A: Ay -(ayi)"
=
e, (Áy, y)~ (Ay, y)~ e, (Áy, y), Ay = -u;x. O < c 1 ~a~ c 1 , no es difícil convencerse de que las desigualdnde!! semejan~es se verHican también parn el operador bidimensional (15):
c1 A~A~ CzA,
o
o
o
Ay= - Y; 1x 1 - Y;;2 1, ·
=
=
De aquí se ve que 6E ~A ~ t::.E. 6 c,6 0 , 6 c,t::. 0 , donde 60 y 6 0 se determinan según las fórmulas (10). Para hallar = yi+• :;obr" la capa nueva obtenemos el problema (6), en el que A se determine de (15). En el caso de un esq uema explicito se determina en cada nodo x E w 1, por la fórmula
y
y
y = y + (1
- o) -cAy
+ i:tp .
Para los esquemas impllcitos (o =:/=O) se debe resolver una ecuación en diferencias pentapuntual con coefi c ientes varia .bles. Aquí se emplean los métodos iterativos, de los cuales el método 11lternado t riongu lar resul la ser más ecouóm ico (véase el cap. V, § 5); el número de iteraciones pa ra dicho método se expresa por la magnitud O (V~
In~) , siemp1-e(1uc
O (h). La clescripción del método alte rna tl o lriangulnr para las ecuaciones en diferencias co11 coofii:io11tes variRble!I se hu dado en el cap. V I; si se nplirn a In ecu a c ión (6) ron el operador A del lipo (15) , debo sur un lanlu mudificodo. (i: :::::
§ S. E1quoma• econ6mlco1
§ 3. Esquemas económicos t. Método de direcciones variables. Al comparar los esquemas explicitos e implicitos (5), detendrémonos en dos característir.as: el volumen de Jos cálculo!! para hallar yl+ 1 y las restricciones que se imponen sobre el paso "t. ESQUBau sxPLfc1TO: para qeterminar yi+ 1 sobre la red roh hay que realizar un número de operacioneii proporcional al número de nodos, es decir, el número de operaciones correspondientes a un nodo no depende de la red oo,.. Sin embargo, el paso 't está rigidamente limitedo superiormente por la condición 't ~ 'to (h): 't ~ h'/4 con h 1 = h, = h para el esquema (i3). BSQUEKA 1t.1PLtc1TO (a ;;;;. 1/2); para determinar yi+• se rlebe resolver un sistema de (N1 - 1) (N 2 - 'I ) ecuaciones en diferencias pentapuntuales; con este objeto, por lo menos en el caso de coeficientes variables, se requiere un número de operaciones (correspondientes a un nodo de Ja red c.>h) que crece cuando 1h ¡-O. Surge un problema: construir los esquemas en que se combinen las mejores cualidades de esquemas explicitos e implícitos, es decir, los esquemas a construir deben ser incondicionalmente estables con un número de operaciones en cada ca pa proporciona l al número de nodos de la red 11> 11 • Los esquemas de este género suelen llamarse económicos. Por supuesto, hemos de hacer una especificación de que los esquemas incondiciona lmente estables en el sentido habitual han e.le ser asintót icamente estables, lo que conduce a una restricción del paso mucho más débil (por ejemplo, 't .¡;; lh/(2n) para a = 1/2, h 1 = h 2 = h, l 1 = l, = l) que la condición de estabilidad ('t ~ h 2 /4) para el esquema explicito. Además, la condición 't = O (h) es natural para el esquema o ('t2 1h 12). Los primeros esquemas económicos han aparecido en :os años 1955-'1956 y se han denominado métodos de direcciones variables. La idea algorítmica principal (en la que se radica In economia) co nsiste en que para pasar de uofl capa t 1 a otra ca pfl l 1 + 1 se deben resolver, por el método de factor ización, las ec uaciones en diferencias tri puntuales, primero a lo largo de las filas y, a continuación , n lo largo de las columnas de la red 11>h .
+
286
Ca.p. VTI. Ecaacl6n ele conclucltblllclacl tlrmlca
Demos a conocer las fórmulas del método de direcciones va.r iables (esquema longitudinal transversal de PismarmRecford) para el problema (1) con un operador L : Lu = = L 1 u + Lsu , donde La. es uno de los operador e.q: 1 . ) L 4 u = -811s 1u o bien L 4 u = - 8-11Zor. ( ka. (:z, t) 8-8u , Su 4
ti =
1, 2.
Sean A1 , A1 los operadores tripuntuales correspondientes y supongamos que A = A1 A,. Introduciendo un valor intermedio de fj = yi+ 1/I, enunciamos el esquema de d iferencias de direcciones variables:
+
rr• ti+Ad+cpi, 1
A1
r/•
111
zEw,., (i)
para Íi = O, N 2 , yº = u0 (z), z E
(2)
A1yi•112+ Azr/•1 +cpJ, yi•1 =
µ1+1
µ para
O, N.,
=
11 =
z Ero,,.
donde ¡¡:es el valor intermedio de Ja función µ (z, t) igual a
µ= eJ+r+i -
~ A, (µi• • - µI).
Para ballar y1+1/I e yl+ 1 tenemos problemas de contorno en diferencias 1¡1-¡A 1yl• sti-yi•sti= -Fi, pl =
¡/ + 1/2-¡ (Ad+ epi), z E w,., y i•t11= ¡&. t, =O, N 0
•/1'fAaJll+1_11J+1 = -
FJ••11= 11s•sti + •¡1" (Asll'••ts+ epi), yl+i=µl•I,
(3)
p S+sti,
z E w,.,
fs = O, N,.
El primer problema se resuelve mediante la factorizacióo por las filas (t, = 1, 2, ... , N, - 1); el segundo, mediante la factorización por las columnas (i1 = 1, 2, •.. , .. ., N, - 1). El .número de operaciones correspondientes a un nodo es finito y no depende de la red.
S 8.
28?
E•qaem1J1 econ6mlco•
El esquema (3) es estable tanto respecto de los datos iniciales, como respecto del segundo miembro para cualOllquiera 't y 1h l y tiene la exactitud O ('t1 + l h l'). De esto podemos convencernos eliminando yi+ 1fl. y reduciendo el esquema (t), (2) a uo esquema equivalente do dos capas con el operador factorizado Bi:
/ = 0, t, ... , yº=u0 EH, Aa.Y =
-
o
(4)
o
A,,.y = - !lia."a., Gt=
i , 2,
donde H = Q es el espacio de funciones reticulares deíi nidas en los nodos interiores de la red ©h. Es evidente queAa. = A.;> O, a= i, 2,A 1A 2 = A,A 1 • Por eso B = E + TA /2 + -r1 A 1 A 1 /2 >E i:A/2 > i:A /2, y el esquema es esta ble. 2. E&quemas factorizados. El operador B, representado como un producto de varios operadores 8 = 8 1 8, ... Bp se llamará fact orlzado, y el esquema correspondiente yí+l - y i -1 Bi : - + Ay ¡ = 'I'• / = o, 1, ... , yº = y( o). (5)
+
esq~ma
fnctorizado.
Si para la resolución del problema Ba.u = F,,.,
a = 1, 2,
con el segundo miembro prefijado F,. se requiere~ (N1 N 2 ) número de operaciones, entonces para determinar y 1+1 , partiendo de yJ conocido, también son necesarias O (N 1 N ,) operaciones (el operador 8 es ceconómico)o. Por cuanto Byl+ • = 8 18,yi+• = Fi, el algoritmo se reducirá a la resolución sucesiva de las ecuaciones B, yi+ •fl. = pJ, B,yl+• = yi+•fl. Apoyándose en la teoría de estabilidad de los esquemas de dos capas, no es difícil, partiendo del esquema con pesos, construir un esquema factorizado económico (por el método de reguh1rización).
Cap. VI/. Ecuncl6n de co,.dacttbtlldod tlrmlca
288 A~i
puos, 11upougamos que B = E+ a'TA = E + a'f (A 1 + A 1 ), A 1 = A:. A, = A;. En este caso el esguema (9) del § 2 será estable para a ;.. 0 0 = { - -rl~All • Sustitnyamos en (9) el operador B por un operador factorizarlo
A
= A 1 +A.,
B=
(E
+
(E
+
que se diferencia de B en el término o1't1 A 1A ,,
ff = B
+ o1'f1A 1A 1 •
Como resultado obt.enemos un esquema factorizado - 11J••-11J A yJ __ ...,., A.I B -r J= o, 1, . . . , yº = u0 EH,
+
(6)
del mismo orden de aproximación O ((a - 112) 'T + que tiene el esquema de partida con pesos. Por cuanto el esquema de par tida con pesos es estable (
B> B> 'TA/2, que se verifica, siempre que A 1 y A, ROO permutables y A: = A 0 >O, ci = 1, 2. Para hallar yi+1 obtenemos una ecuadón Byl+• = pi , o bien (E+
=
B11' + 'T (i -
la cual se resnelve sucesivamenw: (E + aTA 1 ) y = Fi, (E
A¡¡i),
+ o'TA 1) ¡¡1+' = 'fi
(con las condiciones de contorno correspondient.es). El algoritmo que sigue es más económico (a cuenta del c&lculo del segundo miembro Fi): (E atA 1) w1+ 1/I = F' = I - Ayi, (E + atA 1 ) wi+ 1 = w1+1/I, yi+i = yi = 'fwi+ 1. (7)
+
1 8. E19uema. econ6mtco1 Sin embBigo, en este caso deben guardarse no uno, sino dos vectores (wl+ 11• ó wl+ 1 e yi). Cuando a = t , de (7) se deduce el segundo esquema de direcciones variables (esquema de Duglass-Recford) 1 1 11 .,1'-11
-e
(E+TAz}
+ A,y;+11z + Au/ =
-e
= 11j••1'-e-11J •
3. Método de aproxtmacl6n sumarla. Con el fío de obtener esquemas económicos para la ampli11 clase de problemas (ecuaciones con coeficientes variables. dominios de forma compleja, etc.) hemos de cambiar el concepto de esquema de diferencias. Dejamos a parte el co ncepto habitual de aproximación que se ha examinado anteriormente y lo cambiamos por un concepto m lÍS débil de aproximaci6n sumaria. Aclaiemos esto. Supongamos que el paso de una capa f a la ot ra j 1 se efectúa en varins etapas, en cada ·una de las cuales se utiliza el esquema corriente de dos capas que no aproxima la ecuación de partida y, no obstante, la suma de residuos para todo esquema intermedio
+
(8) tiende a cero, cuando tien de e cero el paso T según la variable t. La idea del método de aproximación sumaria puede explicarse con un ejemplo del problema de Cauchy para la ecuación d iferencial ordinaria du
y,+au=f (t), donde a
a
=
a,
t>O.
u (O)= u 0 ,
(9)
> O es un número. Supongamos que + a,, a1 >O, ª•>O, / (1) =-= / 1 (t) + /, (t) (10)
Es evidente que una representación de tal indole es siem pre posible.
290
Cap. VII. Bcuacl6n d11 conducllbllldad t'rmlca
Introduzcamos una red ~= {t 1 = /T, j =O, t, ... } y en cada paso (t 1, t 1+i) resolvemos sucesivamente (en lugar
de (9)) dos ecuaciones t dll(t)
-y-;¡¡-+a111111=/1 (t), t 1 1 dll(s) f () Tdl+a..11121= a t.
~ t ~ tJ+11i = t 1 t1+111 ~
+-y'f ,
t ~ t 1+1
(tt)
con los siguientes datos iniciales 11(1) (t,) =
11
Ct1>.
11¡1) (t1+111) =
ll(l)
(t1+111>.
J = O, t, .. .,
(O) = u 0 • (12) Como solución del problema (11)- 12) interviene la función 11 (t) = ll(t) (t). (t 3) 1101
Cada una de las ecuaciones (11) se aproximará mediante un esquema de diferencias de dos capas con paso T/2. Por ejemplo, tomemos un esquema impUcito 11l+1/t-11J 'f
+ ª111J•I/~ --
11i•&-11i+1¡•
-e
Calculemos los residuos,.,, tituyamos en (ti)
,; = 11 +
ul,
+
'1'
slH-siU/I
+a211'•1 = fl
y,.,, para los esquemas (11). Su0t%
l •l/S
J
+42Z
-
I +I _ _ ,.,.,
~=0, 1'1{- uJ••i;-uJ ,., =
(14)
,.
•
11;.1 = z'•1
111+112_ zl+11s+ ul+112, sJ+l/1-aJ
't
fl
11J•l- u J+l/t 't
-
+ ui+i,
.i.J
Tt'
J - 0, f , · •.,
+ a,ul•112-f{ ,
+ ªzUJ•• - f l •
Introduciendo aqul ' uf•I ... (u +
'l~/2)'•1/l +o (TI),
uf= (u -
T~/21'•111 +o (TI)
f !J. 819aemu •con6mlco1
29t
iP. = (~2 + 41U - fi)i+l/S + 0 (T), i'{ .. (,;¡2 + a,u - / 1)1+1/S +O (T).
(t5)
obtenemos
De aqu[ se ve que i'{ = O (t), i'{ = O (t), sin embargo ""1l "1t = O (T) -+ O cuando T -+ O. (t6)
+
Todos los razonamientos aducidos más arriba, a partir de (tO), (U), (t4), quedan en vigor si "1 y a, representan las matrices o los operadores, y u. /, 11 son los vectores. De este modo, el esquema (t t ), (12) aproxima el problema (9) en el sentido sumario (16) (tales esquemas se denominan adittv1») . Para demostrar le convergencia del esquema (t t ), (t2) es menester obtener la estimación pare el error zl~ = = yl+• - ul+• en que se toma en consideración la propiedad (16) de la aproximación sumaria. Pongamos
11>.. -= ~.. +11>;. ~.. =(~12+a,.u-j,.)'• 1 12, ,,,;""O(T), c:.i=t, 2, ¡i•11a
= '11+1t' + ''•tti•
zl•t
= '11+1 + 'l•h
donde TlJ•1> i 1., son las soluciones de los problemas •
'11+112""' TIJ
+ Til>u
o
'11+1""" '11+112
(f + a,T) t1+112-i1 + tj;h
+ "f111i,
J=o. t, ...• TJo=O, (t + 42't) ')•I == i1+1J1+ T~,
(17)
/=0, t, . . . •
(18)
~=0,
~-w: 1 -a1TTJJ+l/2• ~ ~ ljl:l-4¡TTJJ+1• De aqui encontramos TJJ+ i = TJi +T (~{+~l>
=
(19)
"11 -
. . . ='lo- O, es decir, TJ¡ =O para cualquier j =O, l, •. . , y
z1-i,.
TlJ +r/a =
T~ 1 =O
(T),
(20)
Cap. VII. Bc11oc~n d4 conducllbllldod llrmlca
292
De (16) obtenemoa
1~J+l/2f<1~J1+-r1~1. f eJ+ 1 f< 1~+ 1/2 f+ T f ~~ f < f ~J f + 'f ( 1~{ 1+ f ~ 1), de modo que resulta lícita la estimación lsJ+I
f<±
4-1
T(f~f+I~),
(21)
de la cual proviene precisamente (en virtud de (17)) la convergencia del 11~tema aditivo (t4) con la velocidad O (T). En lugar de (H) podemos tomar otro sistema de ecuaciones: du
01 dt'+a 1v111 -
t 1
f,(t),
du121
df'+~m - fi(C), t,~t~tJ+h Vt1)(t1) = ll11) ( t1+1),
1-0. t, ... , V111CO)=Uo· Como solución de
ese.e problema interviene la función V
(t)
= U(tl (t).
(23)
A diferencia de (H), aqui ambas ecuaciones se interpre-
<
tan en todo el segmento t¡ t ~ t¡+ 1, por lo cual la aproximación de dichas ecuaciones se realiza con el paso -r (y no con el paso T/2, como en el caso (H)) y da los mismos esquemas (14). Los dos métodos de reducción del problema (9) al sistema de problemas (ti) 6 (22) emplean una misma propiedad (24) a= a¡+ª• y la condición
cerae.
f - /1
+/
1,
la cual siempre puede satisfa-
Veamos, como un ejemplo, la ecuaci6n de cooduclibilidad térmica Ou
--r,= Lu+f(x, Lu=b.u - L 1u + L 1u,
t),
x=(xu zt),
o•u 1.. u ... -¡¡-¡-,
......
a = 1, 2,
(25)
293
L1 y L 1 son los operadores •unidimensionales.. La resolución de la ecuación
(26) será, evidentemente, un problema más sencillo que la resolución de la ecuación (25). Las condiciones L = L 1 L,, f = f1 1 garantizan la aproximación sumaria para un esquema que se obtiene como resul tado de la aproximación corriente, por ejemplo, con ayuda de un esquema de dos capas con pesos de cada una de las ecuaciones del sist ema
+
+/
d~I)
~•
-¡¡¡-=-Ls"
t,~t~tJ+i.
"(11 ""' "'•
""
t,~ t~ti+I•
v{21 = v{t, 1• vJ+l..,. v(t/ ·
De resultas obtenemos un esquema aditivo, un esquema unidimensional local o bien un esquema de fisión 11l+llZ-11i
"'
11 J+t- 111+11a
= J\ 2 ( u~yJ+ 1 + (1. _
"'
y0=u0 (z), yJ+ s12 1v,.=µJ+112,
u2) yl+ 112)
+ q¡~ ,
zEwh> j=O, 1, ... , zEw,.,
(27)
yi+I lv,.=µi+l.
Aqui J\1 y = Yi;x,• As!! = Y;;;.x,· Los parámetros
11e
11J+l/2-11i "' =
yl+l_"J+t/2
"'
A,yi+112+q¡{,
=A 2yi+ 1 +q¡{. /=0, 1, ...
+
Al sustituir aquí yi = zl + ui, yi+i¡t = zl+ 1/1 + (ui + ul+l)/2, yi+• = zi+1 + ui+i, obtenemos para el error z
294
Cap. V 11. Ecuacl6n d• co11ductlb/lldad tirmlca
las ecuaciones J+l/2 •
.
T - •'
,J+ 1
,J+ 1/2
= A t zJ+1/ 2 + 'I>{ • =A2zJ+ I + 11>~.
- "f
donde u es la solución del problema de partida (25), 'l>i y
'!>t son los re11iduos •• 1
u+;;.
1 ;. _ ,,
•
1
;._u
"í=A, -2- - 2 -T-+1• ~ = A2u -2--r-+Cl'I,
Íl== u;•t, u = ul. De aqui se ve que 11>1 = O (1). 'i>s = O (t ), es decir, cada una de las ecuaciones (27) no a proxima, tomada separadamente, la ecuación (25). Tomemos la suma de residuos '1>=11>1 +'1>z~
u+ ;;.
•
;._u
A 1- 2 -+ A2 u - --r- +s+z=
= (L1 +
-
a;
Lz)u-8t+cp1 +i+ O ('f+ I h.Iª),
donde Ü = ul+ 1ft . TomaDdo en consideración la ecuación (25) para t = 11• 11, , obtendremos
11> - 1+Cl'l- / 1+ siempre que
1 2 '
+ 0('f + 1hl 2) = 0('f+1 h1 1 ) 1h JZ=h: +h:,
4Jl1 + Cj)2= ¡J+l/2 +0 ('fZ). Esto puede ser conseguido suponiendo, por ejemplo,
cp1 - 0, Cl'l -f1+ 112 o bien qi1='Pz=/;/2. Se puede mostrar que el esquema (27) converge unlformemente con la velocidad O ("'C + 1h I'), es deci r , ll 11J•1 - ui•1 lle = O (i: + 1hj'). De los ejemplos aducidos se ve que el método de aproximación sumaria permite realiza r la partición de los problemas complejos en unn sucesión de problemas más sencillos y aimpllficar considerablemente la resolución de los problemas multidimensionalcs de lo física ma temática.
Anexo
Algoritmo de marcha y método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales con matriz tridiagonal En varias aplicaciones se encuentran problemas que conducen a la resoluci6n de los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales especiales (con una matriz enrarecida que cuenta con muchos elementos nulos) do orden superior. Los sistemas de tal género surgen al realizar una aproximación de diferencias de las ecuaciones ollpticas o bien al utilizar esquemas impllcitos para la ecuación de conductibilidad t.órmica. Al aproximar en el cap. IV una ecuación diferencial corriente de segundo orden en el molde lripuntual, hemos obtenido una ecuación en diferencias de SB!fundo orden la cual representa un sistema de ecuaciones algebraicas lineales de (N - 1)-ésimo orden (N - 1 es el número de nodos interiores) con la matris tridlagonal. Con el objeto do resol ver dicho sistema se ha construido en el§ 3, cap. 1 un método cuya realiuci6n requiero O (N} operaciones aritméticas. En el cap. VI hemos obtenido, aproximando la ecuación de Poisson bidimensional eo un molde pentapuntual, un esquema de dilorencias, a la cual corresponde el sistema do ecuaciones algebraicas lineales con matriz pentadiagonal do orden N = (N 1 - 1) (N 1 - 1), donde N, - 1, N 1 - 1 es el número de nodos interiores según cada dirección. Al partir el vector de incógnitas en bloques, cada uno do los cuales contenga N 1 - 1 el.amonlos, obtendremos una inscripción del sistema con matriz tridiagonal de bloques, con la particularidnd de que el número de bloques en la matriz cit ada as ir:al a N 1 - 1. Para tal sistema hemos estudiado on el § 2, cap. VI e método de .separación de variabl es con la estimación O (N log N) para el número de operaciones. Cuando los sistemas .semejantes se resuelven vnrlas veces se hace muy lm portante CJUe los algoritmos computacionales sean económicos. Más aba¡o construiremos un método directo para resolver siatema.s especiales con la matriz triagonal, al cual exige s6lo O (N) operaciones tan lo en ol caso en que los elementos de Ja matriz son e!!Galaros, como en el caso do la matrh de bloques. t. Estudiemos al principio un caso en que los elementos de la matriz son escalares. Escribamos el sistema con una matriz tridiagonal en forma de un problema de diferencias trípuntual: -vi-i Cy¡ - !lt+i = F,, 1 ~ 1 E; N - t, llo = O, !/IV ~ 0, (I} donde C es un número, y supongamos que N = 2k + l. Si escribimos l a ecuación en diferencias de segundo orden (1) en Corma de las rela ·
+
296
clones rKurrentea ll1+1 = Cv1 - 111 - 1 - F., 1;;;.. t, lle - O, (2) no aeri dlllcU notar que todas Ju incógnilu 111 pueden eer encontradas suc:esivamente por la fórmula (2), si calculamos v1 de tal o cual modo. En este caao, cualqui er 111 ae oxpresari linealmente eo términos de llo e lli · Todo lo dlc:ho nos permite eacribir para cualquier 1 ;;.. t una correJaci6o
111+1 -
«1111 -
P1 -1llt -
PI
(3)
con los eoellcleotee e&¡, p1, p 1 que por abora quedan Indeterminados. SI pooemoa e&0 -
t,
P-1 =-
O,
Po -
O,
(4)
eotoneea (3) ae varifiea tamblb iiara 1 - O. Así puee, la aoluci6o del problema ae buaeari en la forma (3) para cualquier 1 ;;¡. O. Anotando (1) en forma de Ju relaelon.. rewn-enl419 111-1 -
C111 -111+1 -
P1,
1 ~ N - 1,
llN -
O
(S)
y ruooaodo ao'1ogamente1 • lleramoa a que la aoluclón dal problema (1) para cualquíer 1 ~/Y se puede buacar en la forma 1/1-1 -
~-1llN-1 -
111t-1 - 1l1N -
11 pooemo1
to .. t.
º·
11- 1 -
q, -
(6)
911 - 1•
o.
(7)
Observemot que al VH-t queda determinado, todos l os v1 ae pueden calcular aucealvamente aerún la fórmula (5). Hallemot lit e 111'-t· C01I este fin determinemos loa coeficientes«,. P1. ' ' ' 111• PI • 91• Al comparar (2) Y (3) para 1 - 1, y (5) y (8), para 1 - N - t , obtendremoe
e,
e&i - '1 P. - 11. - i. P1 - F1. 91 - FA-•· (8) Encontremos ahora las fórmulas recurre.otee para determinar lot coeficientes buaeados. SuaUtuyamot (3), al l¡ual que Ju uprealonet para 111 • 111-1 que ae d•prudeo de (:!):
Ji - e&t-tr1 - Pc...re - Pl-1• 111-1 ., Ja ecuación (l). Obtendmnot -<«1-1 -
C«1-1
-
« 1-st1 -
P1-afo -
Pe-"
+ «1) r1 +
1;;.. 2 ,
Para que •tu l¡ualdadee aean ld61ltleaa con 1 cualquiera • tuficlaote haur para I ;;;.. ~ PI - Cp¡_, - Pt-1 + P1. (9) «1 - Ce&1-1 - e&, . .. CP1-1 (10)
p,_, -
p,_,.
"""°
An'10trammle, haoluido ueo de (6) y (t), obleadniaioe para I e; N - 2 lu re!ACIODU reourrat. fN _ ,-c11"_,_
e;
,-fx-,-s+'"
tx_ , -ctx-,-1-~"-'-'' Tllf-1 - 1-"'1N-1-1-'I"-'-•· Al auatltuir aqui N - 1 por 1, caecoa para 1 ;;;i. 2 Ju f6rmlllu slptentel 91 -
t1 -
+ 'x-1.
f1-1
C111-t -
'11-4 -
ct1-t - t,..,.,
C'l1-11 -
(U) (12)
'11-••
A.al pu.., Ju f6malllu (4)j (7)-(12) determlDaa por completo loe coefideaie. b'*&doe. Al cole ar (10) y (12) bajo Ju condlol- (4), (7), (8), llepmoe a Cl'W 111 - 'li - ti - a 1 para1 ;;;i. O. D• ee&e moilo, r.. fófmlllu (3), (8) tomaa la forma 111+1 - ªtl/1 - ª1-lllt - Ph 1 ;> O, (13) l/1-1 - ªN-11/lf-i - ªN-1-il/N - 'llf-h 'e; N, (14) donde
+ P¡, + '"""''
PI -
CP1-1 -
P1-.
111 -
Ct1-1 -
,,_,
a¡
y
~
ca,_, -
ª•-··
Hallemos ahora llL e 8D
(14) 1 - k
';;;i.
2,
';;;i. 2,
1 ;;a. 2,
l/N-i·
p,- º· a. -
,,,..
(15)
'l•
P1 -
,, - º·
ti -
(16)
as - c.
l,
(17)
Con eate llD poqamoa en (13) 1 -
+ 2. Tlllliendo prM8nte que N -
2"
Ji, + t, teodremoa
Rutalldo la primere igualdad de la eegunda, obteDdremoe una ecuacl6D rupecto de 111 • llN-1: ª1'-ll/1'-1 -
ª"lit+ ª11-lllt -
ª1'-tllN -
91'-1 -
P••
(18)
Obten¡ramos una eouaol6n mú para 111 e VN-a. aupoll.lendo 1 - k - l
+ t en (14), y aualrayendo la ..,unda eouaol6n de la -cz¡¡lll'l'-1 + CZ.,-11/1 - ª•-U't + ª•-1111' - P1'-t - '11'• (19)
en (13) y 1 - le primera
Teniendo prueole que ro .. IN - O, 8WD91DOI y aualtayamoe (18) y (19). Obteodremot un 111q11ema equlvaleole (a.,_, -
ª•)
111'-&
+ ru -
(a.,_,+ a,.) ÚN-t - 11.> -
'f1'•1 l•-· -- P• -+ P•-1 + '"; P1'
Pla-& -
al n1110lver dicho 1l1tem.a hallaremos los valorea bwieadoa de 111 • 111 = l/1'-1
(al _, - ali-• (a¡¡ =
(al-, - czl)-1
P1'1 (a"_' (91' -• (9•-• -
+ ª"-' CP11-1 P1'1
(20)
'11'•
91')1.
l/N- 1:
+ª"(p.,_, - q,.)J.
(2t)
298
An1u
De este modo, el algoritmo de resolución del problema (1) consiste en calcular por las fórmulas (15)-(!7) los cooflcientes PA-l• P1t· 9~-" 9•· ª••por lu formulas (21) los valores de 11¡• llN-i· por le fórmula (2) u ineógnil.as 111 • l = 2, 9, ... , le y por a fórmula (5) para l = N - 2, N - 3, ••• , le+ 1 con 110 , !IN dados e ¡¡1 , !IN - • calculados, El algoribno descrito recibió el nombre de alirorltmo lk martAa. Es ftcil Calcular que para su realiz.ación so necesUan aproximadamente 8N operaciones. Podemos mostrar que si C ,p 2 cos mttlN. mes un número entero, entonces el problema (f) es resoluble para cualquier miembro segundo y al_, ,Pal. Por consiguiente en este caso las fórmulas (21) no contienen la operación de división por cero. El algoritmo de marcha descrito arriba puedo ser empleado también en un CAM> en que C es una matrb cuadrado, 1'1 son los vectores prefijados, e 111, loe vectores buscados. Ha de notarse quo el problema de Dlricñlet de diferencias para la ecuación de Polsson (véase el cap. VI) sobre una red reeF;E.nular uniforme según cualquier dirección, introducida en el roe o, puede ser 83Crlto en la forma (1). En este caso los valores de la unción reticular buscada correspond íentes a la l
ª•-t•
ª•
aeo arceos z
u.e.,>-
'
(z+¡/.,a-t)H'-(.,-v s"-t)H•,
1
J l: 1
;;. t.
2 Jl?=1 H'aclendo uao de la expresión explicita para a 11 , k ;;;¡.. O, y teniendo pre1811ta CJ1l8 Cljt • un polinomio cuyo grado mayor tiene el coeficiente unidad, podemos obtener loa elgulentes desarrollos:
11
ca•-ca•-•-
11 (c-2co1 <~~\ s), 11
1-1
-IT
a11 +ca11_1
1-1
(22)
(c-2coe;~ 1
s).
Recurrlndo a (22) y (2S), collAruyamoa el atruleut.e al¡orl\mo para ballar lla • lltt-a: "• -
P11 -
911-1 -
+ q,.,
P11-1
(c-2coa
(c-icoa 211~t
"'• "" 9•-a - P11 ci-;~J'I 111- 111-1.
s) ...1-..,1-1o
P11-1
•)
+ 911• (%3)
1-t, 2, ... , lt,
111 - 0,S(v,.-w,.),
llH-1 - 0,S (1111+"'•>·
Por cue.nlo cada uno de los sist.emu (23) cu.anta con una matrls tridiagonal (ol oúmero de lales alst.emu es 'lit) y puede ser resuelto por el m6todo de ractoriuci6n roaliza.odo O IM) operaciones., entoncee para ooconlrar 111 e11H-• ae oecesltar6o O (llM) operaclooes arltm6tlcu. A.al puea, para reaolver el sistema (t ) con l a matrls trlagooal ae Ita construido uo m6todo en el que el número de operaciones arltm6llcu es proporcional al númaro de ine6goitas. Fij6moooa en que el algoritmo de marcha construido puede 98r oumérleament.e inestable. En efecto, .al el oúmero C satisface la coodicl6n 1 C 1> 2, entonces para ol algoritmo resul ta earact.eriatíeo el crecimiento del error, expooeoclal aogúo N, puesto que entre lu ralees de la ecuaol6n ouacteriatloe q* - Cq t - O se tiene una que en m6dulo es su~rior a la unidad. La ineet.ablUdad del mlano tipo tiene lugar laml116n cuando la malrls C tiene valoree propios que aon superion11 en módulo a 2. Para los problemu da eata [ndole esti construida actualmente una variante del algoritmo de mucha estable en aquel seD\ido que el error crece, al oroeer N, según la ley potencial. 2. M6tedo de red uccl6n. En algunos casos, al resolver loa alst.emas de ecuaciones algebraicas llnealas con una matrl1 tridiagooal, as de mucha Importancia la exactitud de la aolucl6n obtenida. 8 1 aoilúis de las r6rmulu del m6todo de ractori11cl6n que ae emplea para reaolver los elstemas citados muestra que la fuente del error puede ra· dicar en las í6rmulu pua calcular los eoeflclentes da factoriaaci6n. Estas fórmuJu contienen la operacii6n de dlvlsl6n por una diferencia de las mago ilude.a que son próximas en au valor. Mb abajo se dar' a conocer al m6todo de redueca6n para resolver dichos sistemas, privado de la deficiencia meociooad1. A.al puea, supongamos que ae requiere ballar la solución de un problema de diferenelaa trlpuotual
+
-01v1-•
ª'
+ c1111 -
b 1111+a
'• - º·
- J,. VN -
t
< 1< N
-
t,
24)
O.
donde •1 "" + b1 + d 1, a 1 > O, b 1 >O, d 1 ~ O, N ~ 2~ . La Idea del m6todo da redu~l6o consiste on que del alatama (24) se eliminan c:onseeutivamente las lne6~nitas con números Impares primoramenta, y a eootiouaei6n con los numeros múltiplos de 2, ole.
Eaeribamoe tne ecuaelon• del 119\ema (24) que vienen una tru otra c:on loe númeroe 1 - t, 1, 1 t, donde 1 es un número par.
+
-01-1111-1 + (•1-1 + b1-1 + d1-1) 111-1 - b1-1V1 - /i-1t (2.5) - 01v1-1 + (•1 + b1 + d¡) v1 - bm+1 - 1,. (26) -•1+1v1+ (a1+i + b1+1+d1+1)111+1 - b1+il'1+1 - fit-1· (27}
+
+
Mulllpllcaodo la ecuación (25) por °'q> - a1 (a1 _, b1 _, d1 _,)- 1, la ecuación (27) por 11'1' - b1 (•1+1 + bi+i + d1+J-• y sumando !u ecuaelon• obtenidas c:on (28) Uepmoe a que -•\1>'1- 2 +<•\1 >+b\ll+J¡'~ 111-b\1>,1+1-f¡ll'
1-2. 4, 8, ... • N-2, 11,-0,
o\1>-
11N-o.
(28)
a\1>.1_ 1, b\º- ll\1>b1+t, J¡1> - a\1ld1_1+ d1 + 1 +ll\ >dl+I' f\'>-a\1>¡1_ 1 +!t+W>tl+I• Si lu lneó¡nltu c:on
donde
númeroa parea quedan halladu (ellu eaUalacen el ai1tema (28)), entonces lu demü lllC6pitu ee determinarin 8ll8'ÚJl la fórmula
11' ..,. /1+•~¡1+b1f1t1 ., ,+d,
5 . 1-•"• 3..... , N- t '
Es evidente que el proceso dMCrlto de ellmlnac Ión de las lncó¡nltu puede eer aplicado al slatema (28), del c:ual serin aliminada.1 en el puo lu lneó¡nltu con loe númeroe múJtiploe de 2, pero no mwUploe da 4. Como ~tado del 1-4aimo puo del proce90 de eliminación obtendnmoa un aletema
~odo
-~º•1-21+<-\º+b\11 +d\'~ 11 -b\1>111+21 - f\'>,
(29)
1-21, 2.21, 3.21, ... , N-21, lo•O, VN-0, donde
11-1¡ 1 11>-a<0 1 1 1 1-11-1•
bu¡_ Alllb<1- IJ ' ... 1+21- l •
"\º -a\l>J..~-2111_1 + d\1-1>+11\'>J..~;\>_, ' ~'>-a\ll;.1_- 111_1 +¡\1-1 >+ ll\llf¡'.; 11>_ 1 , 1 2
(00)
a\ll- •\1 -1) (·~~-1V-1 +b\~a'?..1+~'.:21?..1t' • aU)-bCl-1) (•(1- ll +&(1-ll +J.1- ll }- t "I 1 1+ar-1 1+i•- • • 1+2 1-1 1-21, 2.21, 3.21, ..• , N-21, ¡ ;;;¡. 1.
Aquieeuaulud•lauacio~a - •t• b1t'
- b1, ci - d1 1/ 1t1 - 11· El proc:eeo de ellmiDaclóo ee dari por terminado on e1 (n - t)tsímo puo, cuando •l eiltema (29) • componga de una sola ecuación
reepeelo de la lnoognlta VNÍs ll2,._l-
-
lis"-'·
De esta eouacl6n encontranimoe
f1';.:f) +J1i;.::>-,, + l>~':,:flrN G(R-l)+ b(", .. -1 ,-1h+J:"-1) ...... •
fe-JN-0 •
(31)
Lu lDcópita1 natanlea ae delermlD1dn H8'6.o lae f6rmulu
•• -
¡\ll+•\ll-,·-•' +1>\º•1+1' •\'>+,,c.o+ d\º
5.21, .. . , N -2',
(32)
donde l - n - 2, n - 3, ... , O, J111. - llN - O. Obeenemoa que la fórmula (32) lncluye la fórmula (31¡ para 1 ~ n - 1. Aal puea, aplic!odor, el m6todo de reduccl6n, en el puo direelo ee calculan oljl, bljl, d<1>, /<¡> IMl8'ÚJl lu f6rmulu (30) para 1 = t, 2, •.. , " - t , y en el puo lonno .. halla la eolucl6n b~da por la f6rmula (32) para 1 - n - t, n - 2, . . • O. Ha de eer notado que el m6todo no requiere \lDa mem.orla complementarla, pueeto que las magnitudes o. di!>, t pueden eer dlspueslu en loa lugares reapecllvos de a¡~;¡~ .. bt;\!.io d(~- 1 ), ¡1\- 1>. Para realbar el m6lodo ee neceeitao 12N adiciones, 8N mulliplicacionea y 3N divisiones.
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BlblloVo/14
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List.a de designaciones
"'" -
{I; 1 - O, t, ... , N}, red con oodoa de nfuneroa enteros ~. lo - t /N, O <; 1 <; N), red unJforme de paao lo en et .epl•to Jo, puo de la red m,, 111 - v (z1) - v (1), valor de la funcl6n reticular en el l~lmo nodo de la red ib,., red n.o uniforme 111 = %1 - "'I-•• paao de la red no unllorme ~h: t
Oi,. -
111 -
(z1 -
2(1\1
ro. o.
+ "1+1)
"(%1:. %1:). valor do la func16n reUcular bidimensional en el) n nodo (1, /) v1,1~- "(z1 ~. %1:, tn), valor de la funcl6n reticular en el nodo (1, /)
v1 112-
en la ~lma capa temporal v~l'~ ;, valor de la funcl6n reticular bidimensional en el nodo (1, /) 80bre la (n t)~lma capa t.111 "" 111+1 - 111• diferencia derecha en el 1-4\slmo nodo Vl/1 .. "/ - 111-t• dllerencla Izquierda en el t-'slmo nodo G111 - 2 (VIII &111). diferencia central en el 1-islmo nodo
+
+
t.•111+t =- t. ( 111+,J ""' t. (4111), diferencia de 1111gundo orden ""·I - (lli +i - lltJfh, derivada de dlferenclu derecha en el nodo z 1 11i.1 - <11 - 111-i>lh, der ivada de dlferenelu l1qulerda en el nodo .,1 llttf - (J1+t - 111- 1)/(V.), derivada de dlfereoclu eantral en el nodo % 1 llft,1 - (Jr+t - 2111+111-1)/1'1 , 1111gunda derivada de diferencias H , espacio de Rllbert (11, ll), producto -alar de los elementos 11. v E H, 1111 11 - V(v, 11) 8, o.,...dor anidad A • l operador conjugado del operador A A - , operador loverao al operador A A > O, operador poaftlvo A > O, operador no no~atlvo A &B, & >O, operador definido positivo 1111 llA - VIAv, 11). 11 EH, norma energética Espacio de funciones rellcula1'6!1:
>
0,,+ 1 - (r1, 1 - O, •• ., N} DN-1 - (111. 1 - O, · · ., N; re ; •• fllDc:l6u
del
rS,,+l
-
O, lllf - O}
OÑ- (111. 1 - O, t, .. ,, N - t} '2Ñ - (111. 1 - t , 2, ••• , N) Produc:tos eeea).,. y normu en la red:
,,_,
(r. 11)- ~ 1111111' ,
·-·,_,
11
r
n-Yrr:"'i)
N
Cr.
11) -
~
''"'"'
1rl1- y(V,"'i)
U11 llc - m.b 1r (.r1) 1r,E°ith
mú
O
111 (.r1) 1
Indice alfabetico
Algoritmo coovenclonalmeote eelable t6 - econ6mlco f4 - lntalable 15 Aproalmacl6n de dlferenclaa (en una red) 160 - media euadr6tlca, mejor 80 - sumaria 239 - uniforme 81 Car'cter ecoo6mlco de un operador 138 Coeflcleot.ee de La¡noge 74 Condiciones de contorno 39 - - - de primer gé.oero 311 - - - - HgUndo género 39 - - - - tercer género 39 Converpncla del 1!9QUema de diftnoelu (con la velocidad O 1~ 1"') 169 - con la vel~dad ouadr,tlca fll6
Derivada de dllerenciu t60 - - - cenl.ral 160 - - - denoha 160 - - - uqulerda 160 Oeef¡ualdades de dlferenel oa 33 D••lacl6n mtdla ouadrUlca 80
Dllerenciu dlvldldu de primer orden 75 - - - eeeundo orden 78 Dlmtoai6n del espacio lineal 4tl &u1cl6n dt wnducllbWdad tlrmlca 264 - en diferencias lineal con c:oeflelent.ee cona Wi t.ee 32 - - - de m-álmo orden 32 - - - homogénea 8' - operacional de primera especie 104
Error de aprodmacl6n para la wndJci6o de wotoroo 169 - - - de un operador 1 tll - - - en una aoluel6n 169 - - - - uo puoto, m-éaimo orden t6t - - - p1.ra una ecuacl6n 169 - - - aobre una red 162 - del mtodo 13 - - redondeo 13 - Inevitable 13 Eapacio de funciones relloularea 55 - energético 53 - euclldeo (uoitario) 47 - lineal 45 - - GOmplojo 46
E•ptclo real 46 - oonnado 56 Esquema de diferencias Hl2 - - - abeolutamente estable (ejemplo) 2t0 - - - aditln 291 - - - caal eetable 167 - - con adelantamiento 229 - - - condlclonalmen&a ble (a)emplo) 210
• &.-
-
-
-
COQ
pellOa 227
Esquema de dlferenc:lu conser•atl vo t 75 - - - correcto t64 - - - cruir; 242 - de Adams 2t 5 - CranJr-Nickolaoo 26 - dos capas 208, 227 - Duglast-Recford 289 - Euler t62, 203 - uactt\ud de m-'91mo orden t69 - - flai6n 293: - - m paisos (m > t) 212 - - Pl6mann-Re<:ford 286 - - Runge-Kutta •206 UD PUO 208 - - varioa pasos 212 - - ecoo6mlco 285 - eetable t65 - j>-eetable 23t - eapllc:lto 227 - homog>iaeo 172 inestable 16" - lmpliclto 226 - puro 227 - ilerali vo de Ch6bishev 13 1
predlctor·corre<:Lor (c!lculo·rec álculo) 207 - - - simétrico 227
-
- - uoldlllltoeloJl&I local 293 Estabilidad computacional t34. - del esquema de dlferenGfu con peeos 2tO Factoree ponderal• (de pe90) 82 P6tmula de Guadratura 82 - - - de Ch6blahn 97 - - - - Cota 87 - - - - 0.11111 96 - - - - Slmpeon 84 - - - del rectbgulo 84 - - - - tnpeclo 84 - - T•ylor 87 Fórmulas de c6mputo mó•U t45 - - diferencias de Oreen 59 Pooclón mayonante 67 - reUc\llar 20, t59 PW1Clo1111J cuadr,tlca mlnholzadora f 96 Jgualdad de Partenl-Steklov 8! fneetabllldad computacional t34 fn\egracl6n num6rlca 82 fnterpolaol6n berml
lrtclk• al/aUtko M6todo altern1do dJcototUfa 151 - - dlreeoiooee nrilbl• 285 - - elemento. finJ to. 199 - - faetorlucl6n 41 - - - - derecha « - - - hqulerda « - - faetorluclonea opue.tu 45 - - la Uencl6n simple 115 - - lu ldenUdadee 111nu1doru 196 -
-
- -
-
rec\aa 267
- eecantee 157
- Unurlaacl6n 154 - loe rradlenlel conju¡adoe - Newton 154 - Plcard {de aproximaciones aucealvu) 201 - - relaj1cl6n superior tt8 - - rMlduoe mfoimoe 147 - - Rlcbardaon 134 - - Rlts t96 - - Runp 96, 190, 205 - - Runp-Kut\a 200 Método de Seldel tt6 --eeparacl6n de lu variable. 252 - - S&Ormer 218 -
- - '-naentee 154 -
- tipo varlaclonal 147 dlreoto 105 lnlefral de lnterpolacl6n (de batanea) 192 - ltenUvo de doe p.- {de tna capu) U4 - - - un paao {de doe capu) U4 - - ee\aclonarto tt9 - - explicito tt4 - - lmplfollo t 15 - variaclonal de dlferenolaa t 96 •"todos llerallvoa 105, tt 3 Molde 160 - de 11 fórmula de c.uadratuta 84
Norma de un operador 48 Númtl'O convenido 104 Operador aco\ado 48 - autoconjupdo 49 - cooju¡ado 49 - da 1"110luel6o 129 - faotoriudo 150, 287 - lnnno 48 - Ullffl 47 - DO Dtfatlvo 49 - poelllvo 411 - unidad 48 Operadoree permutable. {coomu\atlvoe) 48 Polinomio de CWblahev 130, 133 - - lnterpolaci6o 74 - - Lagraoge 75 - - Newton 75 - genera.liudo 80 Principio del múlmo 65 Problema correcto 17, 18 - de Caucby 39 - - eontorno 39 - - Dirlcblet 241 - no correo to 19 - aobre loa valores propios SO PrDU90 de Altkeo 95 Red cuadrada 242 - no uniforme 20 - uoJ!orme 20 Residuo para el eequema de diferenelu en una aolucl6n 169 Slstemu rfgldos de ecuaciones 221 Soluclonea linealmente lodepen· diente. 34 Spline de orden m 78 Splloe-interpolacl6o cúblea 77 Vectores lineal meo te dieolea 46
1odepen·
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YAK 5t9.6-Ci0
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GolovJná L. ALGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES (3• edición) No obstante su pequelio volumen, el lib10 ()()atiene Jos pro.bJemu fuodainentales del eurao de álgebra lineal, aal como sua dlaUntaa aplicaciones, incluyendo la investigación de las ourvu y llUpe!'flcies de segundo orden, la noción sobre tenaores y oúoa problemu. En el libro se a:ponen l°" ccnceptos primordllllee refezentee a lOll mpacios lineales y euclidianos, y a l as transformaciones llnealee; ademú se estudian problemas sobre vectores y ae obtleno la forma canónica de la.a matrices de las transformaciones autoconjugada y otrogooal en el espacio euclidíano, dándose ejemplos húlcoa de la teoria de las form113 cuadráticas. Como suplemento a las formu cuadráticaa, ae examina la teoria general de las Hneu y auperficies de segundo orden. Dos capltulos están consagrados a las trailaformaciooes de Lorentz y nociones fundamentales de la teorla especial de la relatividad . En el capit ulo sobre grupoa, además de las de(iniciooes principales, se incluye una selección de ejem¡>los. Un m6r1to evidente del libro es la acertada elec<>l6n del mal.erial, en el cual ae han examinado problemas que no entran en el programa de los estudiantes de especialidades no matemiticas, pero que son de cierto interés para éstos. Con ello, las nociones iodispeoaables previas y el nivel de la exposición son tales que, al leer el texto, los estudiantes no encuentran ninguoa dificul tad. La obra est6 destioada a estudiantes y profesoras de centros de enseñauza superior. T~m bién les es de gran utilidad a los ingenieros que deseen conocer las nociones lundamenl.ales del élgebra lineal, empleando una (ueo~c que no exige iníonnacióo previa de matemáticas superiores.
Kag6n V. LOBACHEVSKJ Eo este libro ae oarra de la vida y de lu acUvidades eoclales y clentlficu del emlneo\e matemitlco ruao N. l. LobacbevslO. Se relata en detalle sobre la nlJlez y adol"5(:encia del K'ªº sabio, sobre su famllia, profesores del liceo que influyeron en la formaci6n del car,cler y U. concepcí6n del mundo del cieolifico. El autor prest.a especial atenci6o a loa alloa estudiantiles de Lobachevaki en la Uo.ivereidad de Kuio, y en parUcular, a sus estudios de las malem.hicu. Gran parte de la obra es" dedicada a la actividad clenUfica de Lobacbevekl . El \ec\or conoceri el manual de estudio \ilulado "Geometrla", donde por pri111era vei la geometría abeolut.a fue separada de la euclidiana. S4l trata en delalle la creación de la geometrla no euclidiana, ae a oallu el trabajo "Geometrla, investigación de la uoria de laa llneu paralelu". lfn apartado importante del libro ae destina a loe años más fructlferoa de la obra de Lobachcvski (t827-t846¡, eo. ~ue fuera reot.or de la Uolveraldad de Kaztn . .En este periodo é publicó sua trabajos más no la.bles: "Sobre los principios de la geometría", "Nuevos ¡rinclpioa de la P'!llletrla con la ~ria completa de las paralew , e~ .. que son aoali1adoe. El siguiente apartado ha sido dedicado a la relación de eus contemporáneos hacia lea ideaa de Lobacbeveki, al desarrollo de estas ideaa en los afios ulteriores, a la aplicaci6n de la geometrla de Lobachevald a olraa partes d.e lu matemátlcu, uf como a la meúoica, tísica y cosmología. _ Eele libro reeultari ein duda de Interés a 4!jltudiantes, maestros, prc>fe90rea y a toda persona aficionada a las roalem&ticu.
