Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas” Lic. Mauricio Grande. Laboratorios de Física. Departamento de Ciencias Naturales.
“Cálculo experimental de Inercias Rotacionales.” Aplicación de métodos estadísticos.
Reporte de laboratorio.
Presenta: Raúl Eduardo Avelar Morán. Instructor de laboratorio de Física I
San Salvador, 21 de Febrero de 2000. cc. cc. cc. cc. cc.
Herbert Schneider Victor López Castellanos Humberto Molina. Herman Feussier José Salguero
Objetivos: Proporcionar una forma alternativa y confiable de calcular la inercia del disco de Maxwell utilizado en la práctica de laboratorio “Conservación de la energía mecánica” realizada por los estudiantes de Física I durante el ciclo III-99. Resaltar la importancia en los procesos de medición del análisis de error y el diseño de experimentos. Utilizar en los procesos experimentales los recursos que la estadística inferencial ofrece. Analizar e invalidar los primeros tres ensayos que perseguían los objetivos anteriores.
Introducción. Durante el ciclo III-99 se realizó la práctica “Conservación de la energía mecánica” haciendo uso de nuevos instrumentos de precisión en los laboratorios de Física I. La práctica se realizó con el arreglo mostrado a continuación:
El experimento consistió, primero en tomar mediciones de los instrumentos: el disco, su masa, su volumen, la altura de la marca desde donde se le dejaría caer. Luego se procedió a enrollar la cuerda y dejar caer el disco para medir la velocidad de traslación y la velocidad angular al final de la caída. Con los datos obtenidos se procedió a calcular su momento de inercia rotacional, considerando para ello que la forma del disco era la de un cuerpo consistente en una rueda, seis rayos y una bufa (cilindro) central. Con todos los datos mencionados anteriormente, se llevó a cabo el cálculo de la energía mecánica al inicio y al final de la bajada. Los resultados así obtenidos reflejaron alarmantes e inconcebibles implicaciones: El disco pareció haber ganado energía mecánica sin ninguna explicación lógica. Debido a esto, fue necesaria una profunda investigación, la cual en un primer momento tomó un carácter especulativo. Esto apuntó hacia el cálculo de la inercia rotacional como principal causante de tales resultados. En un segundo momento se llevaron a cabo experimentos orientados a mejorar dicho cálculo, que más bien consistieron en una medición experimental de la magnitud física en cuestión. Tres veces depurado, el experimento final arrojó resultados satisfactorios, terminando así la investigación que en este informe se presenta.
Análisis de práctica de laboratorio. Para la práctica de conservación de la energía mecánica se hicieron suposiciones y simplificaciones en los cálculos con el fin de facilitar la labor de los estudiantes en el momento de elaborar sus reportes. Sin embargo, tales consideraciones llevaron hacia una complicación significativa: el incremento inexplicable de la energía mecánica. La dudosa experiencia consistió en calcular la energía mecánica en dos momentos de la caída del disco: cuando se le soltó, y cuando pasó por la barrera luminosa. Siendo en el primero la energía mecánica en su totalidad potencial gravitatoria, y en el segundo cinética traslacional y rotacional. Entonces debió cumplirse la ecuación: Mgh = 21 Mv 2 + 21 Iω 2 , donde: M: masa total del disco (gramos). g: 981cm/s² (aceleración gravitatoria) h: Altura de la caída (cm) v: velocidad instantánea del disco al pasar por la barrera luminosa (cm/s). : velocidad angular instantánea del disco al pasar por la barrera luminosa (rad/s). I: Segundo momento de inercia del disco. (Inercia rotacional) (g.cm²) A continuación se presentan los resultados de la práctica de laboratorio “Conservación de la energía mecánica”1: Tabla 1 Elemento
Volumen (cm³)
Proporción de volumen (Vi/V)
Masa (g)
Inercia (g.cm²)
Rueda
180.36
98.3
465.66
15,738.21
Rayo individual
2.04
1.04
5.27
27.15
6 Rayos.
12.24
6.23
36.0
161.37
Bufa
3.81
1.94
9.84
5.02
Totales: 196.41 100.00 507.1 Masa del disco: 507.1 g Altura de la caída: 68.7 cm v=17.27 cm/s =70.07 rad/s Energía potencial gravitatoria antes de la caída: 34,175,852.37 erg Energía cinética al nivel de la barrera luminosa: 75,622.02 erg
1
Para más detalles dirigirse a la guía de laboratorio respectiva
15,904.59
Energía cinética rotacional al nivel de la barrera luminosa: 39,044,216.96 erg Energía cinética y cinética rotacional al nivel de la barrera: 39,116,838.98 erg Como se dijo, en el primer momento toda la energía mecánica del sistema fue potencial, y para calcularla simplemente se midió la altura respecto a la barrera luminosa con una regla graduada hasta los milímetros. Cómo la magnitud de la altura fue de 68.7cm, el error asociado al instrumento de medición (±0.5mm) representó una variación insignificante en los resultados. Diferente es la influencia del cálculo de la energía mecánica en el segundo momento sobre los resultados globales: se calcularon la velocidad traslacional y rotacional del disco al momento de pasar por la barrera luminosa, la cual midió el tiempo de oscurecimiento de un haz de luz, oscurecimiento que fue debido al paso del cilindro colocado al extremo del eje para tal fin. El cronómetro de la barrera luminosa fue capaz de medir hasta las milésimas de segundo, considerándose como dudoso el tercer dígito decimal de la medida. Esta precisión que se considera aceptable. Las velocidades arriba apuntadas fueron calculadas a partir de la medición de tiempo y su relación cinemática con los diámetros del eje del disco y el cilindro en el extremo de éste. Se considera entonces que aunque siempre es probable un error en el cálculo, no es tan grande cómo para invalidar el experimento. Para el cálculo de energía, además de las velocidades respectivas, se requiere de la masa y la inercia rotacional del disco. La medición de la masa se efectuó en una balanza con precisión hasta las décimas de gramo. Nuevamente, el error asociado al instrumento de medición ofrece una significancia muy pequeña, pues representa una fracción minúscula de la medición (±.05g y 507.1g respectivamente). La inercia rotacional, sin embargo no fue obtenida experimentalmente, en lugar de una medición se procedió a calcularla a partir de las dimensiones del disco y del valor de masa estimado anteriormente. Tal procedimiento se llevó a cabo no sin antes hacer una serie de supuestos: A. El disco consiste en un cuerpo compuesto por una rueda, seis rayos y un cilindro central, en el cual se encuentra el centro de masa. B. La densidad de masa del disco es constante. C. La masa y la inercia que presentan el eje y los cilindros plásticos en su extremo son despreciables. D. Los agujeros en la superficie del disco no representan masa e inercia faltante. Se debe prestar especial atención a las consideraciones tercera y cuarta; si se procede a calcular la inercia asumiendolas razonables, se cometerán dos errores importantes: 1. Las masas faltante, del eje y cilindros plásticos ya fueron consideradas, pues se pesó el disco completo.
2.
Debido a lo anterior, la masa referida se estará considerando (involuntariamente) como parte de los demás elementos del disco, lo que probablemente represente el error más significativo de todos: una porción de masa que en realidad se encuentra cerca del eje de rotación, en los cálculos se aleja de éste, por lo que la inercia rotacional crece inevitablemente. Los resultados indican que tal incremento es significativo. Basta una mirada a los cálculos para darse cuenta que el error grave está en la energía cinética de rotación, ya que esta por sí sola sobrepasa el valor de energía potencial gravitatoria inicial (véanse los datos arriba). Podría sin embargo pensarse que la masa faltante compense este efecto (ya que los agujeros son lejanos al eje), lo que sería incorrecto, porque el disco es de aluminio, y el eje de acero. Hay que tener en cuenta que el acero posee una densidad 3 veces mayor que el aluminio. Además el orden de magnitud de los volúmenes sobrantes y faltantes es el mismo, lo que hace más significativa la aproximación referente al eje.
Medición experimental del segundo momento de inercia del disco. Con la certeza de que el error principal está en el cálculo de la inercia, se propuso un experimento que permite medir directamente del disco su segundo momento de inercia. Se consideraron diversas alternativas para tomar lectura de la inercia del disco, y luego de meditar detenidamente cada una, se optó por medir el período de oscilación que presenta el péndulo físico formado con aquél. La fórmula del período de oscilación del péndulo físico es la que sigue: T = 2π
I Mgd
Donde: T: Período de oscilación. I: Inercia rotacional del péndulo físico respecto al punto de apoyo. M: Masa del péndulo. g: Aceleración gravitatoria (981 cm/s²). d: distancia del pivote al centro de masa. Es importante tener en cuenta que tal fórmula es una aproximación, y los resultados a partir de ella son satisfactorios cuando el ángulo barrido por el péndulo físico no exceda los 14 . En todas las mediciones se evitó exceder ese ángulo. Las lecturas del período de oscilación se hicieron con el medidor de haz de luz, ya que tiene un modo de operación para ese tipo de mediciones. Como se expuso en la introducción, esta experiencia fue depurada tres veces. El detalle de los tres primeros ensayos no se presenta, ya que no fueron satisfactorios, debido a lo que se prefirió describirlos brevemente y limitarse a presentar resultados provenientes de ellos
con su respectivo análisis. Aunque el tercer ensayo presentó datos coherentes, la incerteza asociada a ellos resultó intolerable, haciendo necesario un cuarto ensayo que mejorara la precisión. Primer ensayo. El primer ensayo se realizó cómo se muestra en el siguiente diagrama: Se midió 15 veces el período de oscilación, obteniendo resultados similares a los que proporcionó un péndulo simple. Tal comparación fue posible gracias a los datos obtenidos en otro experimentó ajeno a este informe que pretendía medir la aceleración gravitatoria localmente utilizando un péndulo simple. Esta semejanza se debió a que las cuerdas de las que pendió el disco estaban sujetas al eje de rotación, y la longitud de ellas fue tal que la rotación del disco se halló imperceptible, condición que invalidó los resultados.
Además cabe mencionar que el péndulo simple es un caso particular de péndulo físico, en el cual el centro de masa está en el extremo de la cuerda, por lo que la masa de ésta es despreciable. En similar situación se presentaron los elementos para que la aproximación fuese evidente, lo que explica la similitud con el péndulo simple. Es importante descartar este ensayo porque al aplicar el teorema de ejes paralelos resulta una inercia negativa, lo que se explica aludiendo a las líneas anteriores: el disco no rotó, solo se trasladó en una trayectoria curvilínea. Segundo ensayo El segundo ensayo fue basado en el mismo principio, como se muestra en el diagrama: Se sujetó el disco a un poste pivote haciendo uso de un cordel para hacerle oscilar y medir su período. A pesar de haber corregido el detalle que invalidó la primera prueba, la segunda también resultó incorrecta, debido a que para sujetar el disco al poste pivote se dejó muy ajustado el cordel. El efecto que esto causó fue el de una oscilación amortiguada. La ecuación diferencial de un movimiento oscilatorio amortiguado es más complicada que la que describe una oscilación libre y su solución es diferente.
El amortiguado en este caso fue bastante significativo, y en el tercer ensayo se procuró minimizarlo, ya que es bien sabido que las fuerzas disipativas no se pueden eliminar por completo. A continuación la tabla con los resultados de este intento: Tabla 2. Período de oscilación del péndulo físico montado en el segundo ensayo. 0.680 s
0.684 s
0.679 s
0.681 s
0.682 s
0.681 s
0.683 s
0.681 s
0.683 s
0.680 s
0.679 s
0.678 s
0.680 s
0.679 s
0.679 s
Estadísticos de la muestra:
x = 0.681 s = 0.00176 ≈ 0.002 s2 = 3114 . × 10−6 Después de calcular la inercia rotacional con estos datos, obtener la inercia centroidal aplicando el teorema de ejes paralelos y evaluar luego la energía cinética rotacional, se observa un incremento en la energía mecánica, indicio de que el valor de inercia aún es muy grande. Analizando detenidamente la situación, resulta un valor lógico, ya que si la oscilación es frenada por los cordeles, el período deberá resultar mayor que el de una oscilación libre. Además, la Inercia rotacional es directamente proporcional al cuadrado del período, lo que explica los resultados. Habiendo descartado los resultados anteriores, se procedió a un tercer ensayo.
Tercer ensayo. Las condiciones del tercer ensayo fueron las mismas del segundo, a excepción de la forma de ajustar el disco al pivote, ya que en esta ocasión se dejó la suficiente libertad para que los cordeles no hicieran más que sostener el disco durante su oscilación, en contraste con la anterior oportunidad, donde el ajuste de la cuerda generaba una fuerza normal significativa entre el disco y el pivote, privando de movilidad al primero. Esta vez se tomaron 30 lecturas del período de oscilación, que se presentan a continuación: Tabla 3. 0.657 s
0.678 s
0.664 s
0.669 s
0.659 s
0.680 s
0.673 s
0.665 s
0.689 s
0.660 s
0.679 s
0.666 s
0.657 s
0.692 s
0.660 s
0.654 s
0.658 s
0.654 s
0.659 s
0.682 s
0.682 s
0.670 s
0.661 s
0.663 s
0.674 s
0.688 s
0.665 s
0.670 s
0.661 s
0.664 s
Estadísticos de la muestra: x = 0.668 s = 0.0109 ≈ 0.011 = σ$
. × 10−4 s2 = 11860 Se calculó un intervalo de confianza para , la media que se obtiene cuando el número de mediciones tiene a infinito: Con Zα = 196 . , confiabilidad del 95%. 2
La confiabilidad asociada al intervalo es bastante aceptable, y los resultados del cálculo de la energía cinética rotacional son satisfactorios: 0.665s ≤ T ≤ 0.672 s implica que: 39436.23g. cm2 ≤ I ≤ 40270.83g. cm2 donde I es la inercia respecto al poste pivote, luego utilizando el teorema de ejes paralelos se obtiene la inercia centroidal: 14038.67 g. cm2 ≤ Icm ≤ 14873.27 g. cm2 En principio los resultados obtenidos en este ensayo resultan satisfactorios, pues al calcular la energía cinética rotacional del experimento original con estos valores de inercia se observa una pérdida de energía, pero hay una serie de factores que al ser considerados animan a reflexionar: Durante las oscilaciones se observó que la amplitud resultó disminuir rápidamente: después de 4 ciclos completos el disco no alcanzó a llegar a la barrera luminosa. Tal observación sugiere que aún cuando se redujo el amortiguado, su efecto todavía es significativo, y que la inercia así calculada podría ser superior en cierta medida al valor real. Es de resaltar que la incerteza para “d” (distancia del centro de masa al eje de rotación) presenta un serio inconveniente: cómo el cordel sujetador deslizó respecto al poste, se asumió que el eje de rotación era el centro del pivote, cuyo diámetro midió 1.000 cm±0.005cm. Como no hay respaldo para tal suposición, se eligió arbitrariamente un d=0.4cm, con lo que se estimó la incerteza relativa:
∆ d 0.400cm = = 0.0565 . d 7.077cm Por propagación de incertezas, se puede estimar el error asociado a la inercia:
T 2 Mdg ∆I ∆T ∆M ∆d g , luego , ya que es constante. Donde =2 + + 2 I T M d 4π 4π 2 σ$ ∆ T = Zα 2 n ,T = x ,
I=
del análisis estadístico,
2
∆T 0.0039 =2 = 0.0118 T .668
,
∆M 0.05g ∆I = = 9.86 × 10−5 . Con esos datos: I = 0.0118 + 0.0000986 + 0.0565 = 0.0683 Un error M 507.1g del 6.83% ya es en cierto grado pesante, además de que el estimador para d no está respaldado por ningún análisis y podría ser mayor. La distribución de frecuencias de la muestra de períodos no sugiere forma de campana de Gauss. Se confía en que la distribución sea simétrica respecto a la media, tal como en una distribución normal, sin embargo, la tendencia parece exponencial, lo que podría estar asociado con el amortiguado que se observó:
Debido a los anteriores factores la confiabilidad expresada en el intervalo de confianza pierde su validez. Se consideró necesaria una tercera modificación al experimento.
Cuarto ensayo. La mejora que se presenta respecto al tercer ensayo es simplemente en la forma de sostener el disco de Maxwell en el pivote: en vez de sujetarlo al poste, en esta ocasión se apoyó el disco en él, cómo se muestra en la figura: Luego de ajustar el medidor de haz de luz (barrera luminosa) en modo de conteo, se puso a oscilar el disco, el medidor marcó el número de veces que el disco se balanceó con amplitud suficiente para cortar la barrera luminosa. Se hizo 3 veces, obteniendose los siguientes resultados: 42 oscilaciones 38 oscilaciones 45 oscilaciones Tales resultados demuestran que la pérdida de energía en cada oscilación debida a la fricción con el pivote es insignificante, y que la variación entre las magnitudes de amplitudes y períodos de ciclos consecutivos es mínima. Observese que esta es una mejora significativa respecto a los ensayos dos y tres. Se tomó una muestra de 54 períodos de oscilación, haciendo uso del medidor de haz de luz. Las lecturas fueron hechas de la manera más amplia posible: durante la primera, tercera, quinta, séptima, novena y décimo segunda oscilación, utilizando también todo el espectro aceptable para la amplitud del balanceo. Los datos se presentan a continuación: Tabla 4. Períodos de oscilación para péndulo físico (en segundos) 0.647
0.657
0.643
0.641
0.644
0.643
0.648
0.647
0.651
0.648
0.651
0.649
0.644
0.65
0.652
0.649
0.644
0.647
0.648
0.649
0.648
0.649
0.648
0.648
0.646
0.649
0.648
0.648
0.644
0.639
0.643
0.647
0.652
0.639
0.642
0.655
0.634
0.64
0.646
0.646
0.646
0.641
0.644
0.644
0.645
0.645
0.648
0.641
0.644
0.653
0.651
0.652
0.652
0.646
Tomando en cuenta que la precisión del medidor de haz de luz es de hasta las milésimas
de segundo (tercer dígito después del punto), el análisis estadístico fue realizado redondeando los valores del proceso a esa posición decimal.
Análisis estadístico. Para todos los cálculos: n=54 (número de elementos de la muestra) Estadísti cos de l a x = 0.647 = µ$ muestra: s = 0.0043 = σ$ s 2 = 185 . × 10− 5
La distribución de frecuencias que resulta de la muestra, tiene una clara tendencia normal.
Se realizó una prueba de bondad y ajuste para respaldar tal suposición, con =0.25: Clases
Observacione s (oi)
Probabilidad normal (pi)
Valores esperados
(e − o ) i
6
( ei = pi
∑o
k
)
2
i
ei
k =1
0.634>T>0.6378
1
0.0189
1.0201
0.0004
0.6378>T>0.6417
6
0.1078
5.8212
0.0055
0.6417>T>0.6455
13
0.2729
14.7383
0.205
0.6455>T>0.6493
23
0.3357
18.1268
1.3103
0.6493>T>0.6532
9
0.2014
10.8748
0.3232
0.6532>T>0.657
2
0.054
2.9135
0.2864
Grados de libertad: v=6-2-1=3 Significancia ( ): 0.25
χ t2 (α ,v ) = 4.1083 .
Como χ c2 < χ t2 , suponer la normalidad de la población a partir de la muestra es acertado: la prueba de bondad y ajuste fue superada ampliamente, a pesar de haber considerado alta la probabilidad de que no sea normal (25%).
∑ = 2.1307 = χ
2 c
La suposición de normalidad de la distribución de períodos es necesaria para el cálculo de un intervalo de confianza de ², y cómo está fundamentada, se procede a obtener el intervalo: s 2 = 185 . × 10− 5
Nivel de significancia: =0.03
( n − 1) s2 χ α2
2
≤σ ≤
2
χ
2 ( 0.015,53)
( n − 1) s2 χ (21− α ) 2
= 77.755
χ (20.985,53) = 33175 . 1.2593x10-5 ² 2.9516x10-5 0.0035s 0.0054s El grado de confiabilidad indica que P(0.0035 0.0054)=0.97 Se redondea al tercer decimal debido a que la precisión del aparato de medición era tal: 0.004s 0.005s El intervalo es altamente confiable y muy cerrado, por lo que se tomó como estimador la desviación estándar de la muestra (0.004) que coincide con el límite inferior. Con el valor estimador σ$ = 0.004 se procede a calcular un intervalo de confianza para con =0.02, y Zα = 2.3263 . 2
x − Zα 2
σ$ σ$ ≤ µ ≤ x + Zα 2 n n
0.6453 ≤ µ ≤ 0.6478
El intervalo de confianza al noventa y ocho por ciento debe interpretarse de la siguiente manera: De cada cien intervalos escogidos en similares condiciones a partir de cien muestras diferentes, noventa y ocho contendrán a la media. Nuevamente se redondea a 3 decimales: 0.645s ≤ µ ≤ 0.648s . El intervalo es altamente confiable (98%) y nuevamente resulta muy cerrado: solo hay 4 valores permitidos que lo conforman: 0.645s, 0.646s, 0.647s y 0.648s. De ellos se escogió 0.647s por ser este valor la media de la muestra. El error de muestreo: e = Z α 2
σ$ = 0.0014 s . Resulta ser muy pequeño, por lo que el mejor n
valor para T es 0.647±0.001seg por redondeo al tercer decimal.
El teorema de Límite Central garantiza que la distribución de las medias de todas las muestras posibles de una población cualquiera es aproximadamente normal. Para este caso además se posee fuerte evidencia de que la población también lo es, lo que incrementa la certeza en el asumir la normalidad de las medias muestrales. Finalmente, se calcula la inercia rotacional con el mejor valor del período y su error:
T = 2π
I , luego Mgd
2 T 2 Mgd ( 0.647) ( 507.1)( 981)( 4.971) I= = = 26,22136 . g. cm2 4π 2 4π 2
0.001s 0.05g 0.0005cm ∆I ∆T ∆M ∆d =2 + + =2 + + = 0.0033 0.647 s 507.1g 4.971cm I T M d .
Por el teorema de ejes paralelos, es posible encontrar la inercia centroidal: 2
I cm = I − Md 2 = 26,22136 . − 507.1( 4.971) = 13,690.49 gcm2 El error relativo se calcula por propagación de incertezas: ∆I ∆d ∆M = 86.28 + 12,530.87( 0.0001 + 0.0002) = 90.03g. cm2 ∆ Icm = I + Md 2 +2 M d I
∆ Icm 90.03g. cm2 = = 0.0066 Icm 13,690.49 g. cm2 El error porcentual de la inercia es de 0.66%, lo que hace a la inercia calculada un valor muy preciso y confiable. Icm=13,690.49g.cm²±90.03g.cm² medición experimental, es un valor inferior al calcu-lado analíticamente 15,904.59g.cm². El error porcentual del cálculo analítico respecto al experimental 13,690.49g.cm² − 15,904.59g.cm² × 100% = − 01617 × 100% = − 1617% . . 13,690.49g.cm² Error intolerable para la aproximación que se pretendía. Volviendo al experimento original: Mgh =
1 2
Mv 2 + 21 Iω 2
Se procede a calcular la energía cinética rotacional:
es:
0.5 x 13,6090.49g.cm² x (70.07 (1/s))²=33,608,822.60 erg En conjunto con los datos previos: Energía potencial gravitatoria antes de la caída: 34,175,852.37 erg Energía cinética al nivel de la barrera luminosa: 75,622.02 erg Energía cinética y cinética rotacional al nivel de la barrera: 33,684,444.62 erg. Pérdida relativa de energía: (34,175,852.37erg - 33,684,444.62 erg.)/34,175,852.37erg= 0.0144 Ahora el experimento arroja resultados drásticamente diferentes: hay una pérdida de energía de 1.44%
Conclusiones: Debido al análisis de error aplicado al cuarto ensayo, se concluye que se alcanzó el primer objetivo: El péndulo físico es una alternativa confiable para calcular la inercia rotacional del disco de Maxwell de una manera experimental. También se concluye que el análisis de error en procesos experimentales es muy importante, así como el diseño del experimento en sí, ya que no profundizar en ello puede llevar al experimentador a resultados insólitos, como el caso analizado en esta ocasión. Se alcanzó el segundo objetivo de este informe. La estadística inferencial demostró ser eficaz para validar los resultados obtenidos en procesos de medición cuyas fluctuaciones se presumen aleatorias, por lo que se concluye de su importancia en el campo experimental, específicamente en los laboratorios. Se cumplió el tercer objetivo. Debido a las razones expuestas en el presente reporte, se concluye que los primeros tres ensayos proporcionaron datos dudosos y que fue necesario un proceso de depuración hasta llegar a resultados suficientemente confiables. Se cumplió el cuarto objetivo.
Recomendaciones. Se considera adecuado incluir entre las prácticas de laboratorio de física, una para la medición experimental de inercias rotacionales de cuerpos como el disco de Maxwell basada en el principio del péndulo físico, a un nivel menos profundo que el presente estudio. Sin embargo, se deja a discreción del encargado él hacerlo en el programa de la física I o de la física II, ya que es en esta última que se aborta el marco teórico que respalda dicho principio. En ese sentido se recomienda incluirla en la física I, ya que así se estaría trabajando en minimizar en cierto grado la necesidad de conocimientos teóricos previos para realizar la experiencia de laboratorio, lo cual se considera beneficioso para los estudiantes, además, resulta estimulante el llegar a una incoherencia y luego buscar y corregir el desacierto. De incluirla en física I se recomienda programarla antes o después (preferentemente después) de la práctica de conservación de la energía con el disco de Maxwell, y abordarlas en conjunto para resaltar la importancia del análisis de error y el diseño de experimentos. La práctica de medición de inercias deberá ser sencilla, ya que aún con 15 datos tomados en las condiciones del cuarto ensayo arrojan resultados satisfactorios, a continuación un ejemplo de ello: En la computadora se generaron 15 números aleatorios entre 1 y 54. Enumerando la tabla 4, fila tras fila, se sacaron los valores correspondientes a los números generados en el PC, esto se hizo asumiendo la muestra como una población infinita, por lo que permitir que los valores se repitan simula las condiciones adecuadas para que cada
uno de los 54 datos tenga la misma probabilidad de ser elegido: Sus correspondientes valores de la “seudo-población”
38 27 36
21 49 19
47 45 16
47 35 19
0.64 0.648 0.648 0.648 0.652 0.648 0.644 0.645 0.642 0.645 0.655 0.648 0.649 0.648 0.644
33 45 29
Los estadísticos de esta muestra son muy cercanos a la de la muestra original: Esta submuestra: x = 0.6469 = µ$ s = 0.0038 = σ$
Muestra original: x = 0.647 = µ$ s = 0.0043 = σ$ s2 = 185 . × 10−5
s2 = 141 . × 10−5
Además se recomienda incluir un cálculo de perdida de energía, y atribución a los factores disipativos. A continuación un ejemplo: Se tomaron lecturas de la caída del disco de Maxwell desde una altura diferente: Altura de la caída
Tiempo de obscurecimiento (s)
31.1
0.17
V inst. (cm/s) 11.82
inst (rad/s)
Nueva altura alcanzada. (cm)
47.29
28.5
El cálculo de la pérdida de energía potencial se realiza con el h, y el de energía cinética y cinética rotacional con los respectivos V inst, inst., y el valor de Icm expuesto en este informe: E. potenc. (erg)
E. de rotación (erg)
E. Trans. (erg)
E. Cinética tot (erg)
E% potencial
E% Bajada
15,471,164.6
15,310,989.2
35,445.2
15,346,434.5
8.36%
0.81%
Asumiendo que la energía que se pierde se debe solo a la fricción con el aire y a la colisión en el punto más bajo del trayecto, y que la energía que se pierde en la bajada es igual a la que se pierde en la subida, se puede afirmar que la pérdida debido a la colisión en el punto más bajo es: 8.36% - 0.81% - 0.81%=6.74%. A partir de este dato, se puede estimar el coeficiente de restitución de la cuerda. Sin embargo, eso ya pertenece al tópico de ímpetu - cantidad de movimiento.
