REGRESION SIMPLE Problema: Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:
X Y
152 155 152 155 157 152 157 165 162 178 183 178 50
61.5 54.5 57.5 63.5 59
61
72
66
72
84
82
Con estos datos y mediante la ayuda de statgraphics vamos a plantear una ecuación de regresión simple que nos permita pronosticar los pesos conociendo las tallas.
RESULTADOS **La ecuación de regresión estimada es: Y= -75,4427 + 0,867581X PESO = -75,4427 + 0,867581*ESTATURA **Coeficiente de correlación: R= 0,937885 **Coeficiente de determinación: R²=0.879628 **Utilizando la ecuación de regresión para estimar o predecir valores de la variable Y: Para una talla de 180 se obtiene un peso de 80,72188 kg. ** ¿Cuánto se espera que pese (en promedio) una persona que mide 1.60 m? Sustituyendo el valor de interés en la ecuación: Y= -75,4427 + 0,867581X Se obtiene: Y= -75,4427 + 0,867581(160) = 63,37026 Kg.
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REGRESION MULTIPLE Problema: El ejemplo numérico que se desarrolla a continuación está basado en un estudio estadístico de los costos administrativos en los bancos comerciales en Guatemala. (Los datos básicos se muestran en el Cuadro.) La variable dependiente para el análisis será el nivel anual de los “Gastos Generales y de
Administración” en los diferentes bancos del sistema. Si se examina el Cuadro, se podrá apreciar que estos costos varían enormemente de un banco a otro. Nuestro problema consistirá, por tanto, en encontrar una lista de variables que nos permitan explicar esta variación observada. A un nivel muy elemental, por supuesto, dicha variación no tiene realmente ningún misterio, ya que los bancos varían mucho en cuanto a su tamaño, y es más bien de esperarse que los bancos
más “grandes” tengan también costos administrativos más altos por el sólo hecho de ser más grandes. Nuestra tarea será traducir esta noción intuitiva en un concepto operativo, y para esto debemos tratar de expresar el “tamaño” de un banco en términos de algunas variables numéricas. Las variables escogidas para este propósito fueron el Total de Activos del banco y el número de sucursales o agencias que operan. Con esto, y como una aproximación para el análisis, la recta de regresión sería la siguiente:
Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2 Donde X 1 = Activos Totales del banco, y X 2 = Número de Agencias del banco.
Cuadro 2 Bancos Comerciales Privados en Guatemala (1991). Gastos Total Agencias Generales Activo y de Promedio Admón. G&T 48.8 INDUSTRIAL 43.2 OCCIDENTE 39.4 del CAFE 29.8 del AGRO 26.2 AGRICOLA MERC. 24.8 INTERNACIONAL 24.0
831.5 1204.0 1153.5 499.6 466.6 522.3 376.6
30 18 20 25 30 12 12
INMOBILIARIO 21.5 431.3 20 CONSTRUBANCO 18.3 282.2 10 del EJERCITO 15.6 311.8 13 LLOYD’S 14.3 284.5 7 METROPOLITANO 12.9 339.0 8 BANEX 12.5 462.8 3 del QUETZAL 8.8 205.0 12 PROMOTOR 6.0 162.4 3 CITIBANK 5.9 45.8 1 CONTINENTAL 3.6 113.7 4 REFORMADOR 1.7 237.3 7 UNO 1.0 170.8 5 Fuente: Superintendencia de Bancos, Boletín de Estadísticas Bancarias (Guatemala, 4º Trimestre, 1992).
RESULTADOS Con la ayuda de statgraphics se obtiene la siguiente ecuación de regresión: GASTOS GENERALES = -1,22001 + 0,0275095*ACTIVOS TOTALES DEL BANCO + 0,660975*NUMERO DE AGENCIAS
Ŷ = -1,22 + 0,0275X 1 + 0,661X2 R2 = 0,9018
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (ANOVA). Problema: Se hace un estudio sobre la efectividad de tres marcas de spray para matar moscas. Para ello, cada spray se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuenta el número de moscas muertas, expresado en porcentajes. Se hacen seis réplicas y los resultados obtenidos se muestran enseguida.
MARCA DE SPRY 1 2 3
1
2
72 55 64
65 59 74
NUMERO DE REPLICAS 3 4 67 68 61
75 70 58
5
6
62 53 51
73 50 69
USANDO STATGAPHICS: A) Formule la hipótesis adecuada. B) ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los sprays? C) muestre las gráficas de medias y los diagramas de caja. Interprételos. D) Verifique los supuestos de normalidad y de igual varianza entre las marcas.
RESULTADOS Factor de interés: efectividad de los sprays manifestada en su marca Niveles del factor: k=3 Replicas por nivel: ni=6 Variable de estudio: y= porcentaje de moscas muertas A) Las hipótesis serian: H0: µ1 = µ2 = µ3 HA: µi ≠ µj para algunos i, j=1,2,3
B) α= 0,05 Tenemos que Pvalue > α Donde Pvalue=0,0931 por tanto se acepta H0, es decir, que no existe diferencias significativas entre la efectividad promedio de los sprays.
C) Al observar los diagramas de caja se nota claramente que los diagramas de las 3 marcas no se encuentran tan separados, lo cual nos sirve para ratificar la aceptación de la hipótesis nula, pero al hacer un test de rangos múltiples, aparece una diferencia entre las marcas 1 y 2, lo cual puede deberse a que el Pvalue realmente no esta tan alejado del valor de α.
D) **En la prueba de normalidad t enemos que Pvalue > α normalidad. Donde Pvalue=0,74 **En el test de Bartlett Tenemos que Pvalue > α homogéneas. Donde Pvalue=0,551
por tanto hay
por tanto hay varianzas
DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Problema A) Se están comparando tres soluciones de lavado diferentes a fin de estudiar su efectividad para retardar el crecimiento de bacterias en contenedores de leche de 5 galones. El análisis se hace en un laboratorio y solo pueden realizarse 3 ensayos en un día. Puesto que los días podrían representar una potencial fuente de variabilidad, el experimentador decide usar un diseño de bloques aleatorizados. Se hacen observaciones en cuatro días, cuyos datos se muestran en seguida. Analizar los datos de este experimento (usar α= 0,05 ) y sacar las conclusiones apropiadas.
SOLUCION 1 2 3
1
2
13 16 5
22 24 4
DIAS
3
4
18 17 1
39 44 22
RESULTADOS Factor: soluciones de lavado Factor bloque: días Variable de estudio: Y= efectividad de las soluciones de lavado ** Las hipótesis a usar serán:
PARA LOS TRATAMIENTOS: H0: µ1 = µ2 = µ3
HA: µi ≠ µj para algunos i, j=1, 2,3 PARA LOS BLOQUES: H0: B1=B2=B3=B4 HA: Bi ≠ Bj para algunos i,j=1,2,3,4
CONCLUSIONES DEL EJERCICIO. ** En ambos casos se rechaza la hipótesis nula, ya que Pvalue < α , lo que significa que existe por lo menos una pareja de soluciones diferentes. Esto fue comprobado al observar el diagrama de medias, donde se evidencia claramente que la solución 3 es diferente a la 1 y a la 2. También se comprueba dicha teoría al realizar el test de rangos múltiples, que es aun más exacto y claro que el diagrama de medias.
**En la prueba de normalidad tenemos que Pvalue > α normalidad. Donde Pvalue=0,3981 **En el test de Bartlett Tenemos que Pvalue > α homogéneas. Donde Pvalue=0,88
por tanto hay
por tanto hay varianzas
