EJERCICIOS DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS Y OPTIMACIÓN DE PROCESOS Ejercicio 1 Una empresa fotográfica tiene que realizar una compra de impresoras de gran calidad que se van a utilizar en imprimir fotografías digitales. La empresa tiene ofertas de I = 5 marcas de impresoras impresoras de similares características y precio. precio. Para la empresa fotográfica es muy importante la “velocidad de impresión ” y, por este motivo, está interesada en saber si las 5 impresoras ofertadas tienen la misma velocidad o hay una que es más rápida. Para responder a esta pregunta decide hacer un experimento que consiste en elegir una única muestra de J = 4 fotos e imprimirlas en las 5 impresoras. Los resultados del experimento se recogen en la tabla adjunta. FOTO Impr_1 Impr_2 Impr_3 Impr_4 Impr_5 A 89 84 81 87 79 B 88 77 87 92 81 C 97 92 87 89 80 D 94 79 85 84 88 Al nivel de α=5%. Cuál impresora seleccionaría usted para comprar? Ejercicio 2 Se probaron 4 raciones alimenticias para pollos, criados en jaula tipo batería de 4 pisos (filas) y 4 casilleros (columnas). La variable analizada fué: Peso del pollo (kg.) a las 8 semanas de edad Pisos 1 2 3 4
1 1.40(A) 1.35(B) 1.38(C) 1.39(D)
Casilleros
2 1.38(B) 1.28(A) 1.40(D) 1.39(C)
3 1.40(C) 1.45(D) 1.42(B) 1.40(A)
4 1.60(D) 1.62(C) 1.63(A) 1.60(B)
a) Presente el Modelo Modelo Aditivo Lineal b) Realice la Prueba de Hipótesis Hipótesis correspondiente. Use α=0.05 c) Realice la Prueba de Duncan para comparar si existe diferencias entre los tratamientos en estudio. Use α=0.05 d) Realice la prueba de Tukey para comparar si existe diferencia entre el tratamiento A y B. Use α=0.05 e) Realice la prueba DLS para comparar comparar si existe diferencia entre entre el tratamiento C y D. Use α=0.01 f) Utilice la prueba T para comparar si el peso promedio utilizando el tratamiento C es menor al peso promedio usando el e l tratamiento B. Use α=0.05 262
Ejercicio 3. Se pretende estudiar la influencia sobre la textura de una mermelada de las concentraciones de pectina (X1) y ácido cítrico (X2) añadidas en su elaboración. Se decide probar 0,25% y 1% de pectina y 2% y 5% de ácido cítrico, elaborar las mermeladas y medir sus viscosidades en un viscosímetro rotacional. Se pretendían hacer las pruebas correspondientes a un diseño factorial completo 2k, pero por error en la transmisión de las órdenes de trabajo, se hacen más pruebas de las necesarias. Se obtienen los resultados siguientes: Pectina, Ácido cítrico, Viscosidad, X1 (%) X2 (%) µ (N.s.m-2) 0,25 2 35,0 1 5 40,0 0.63 2 40,5 0,63 3,5 40,8 0,25 5 42,0 1 3,5 43,0 1 2 46,0 (Nota: Los datos y resultados son simulados) 1.- Diseñar un plan experimental factorial completo a 2 niveles para llevar a cabo cabo dicho estudio. Hacer el diseño en forma matricial y un esquema gráfico del mismo. 2.- Calcular el efecto efecto sobre la viscosidad de cada uno de los factores y de la interacción. Hacer un gráfico de la interacción, poniendo en abscisas el factor X1, en ordenadas la respuesta (µ) y usando el factor X2 como parámetro. 3.- A la vista de los resultados, ¿qué conclusiones se pueden sacar acerca de la optimación de la receta de elaboración de mermelada? Ejercicio 4. El valor físico de concentración de determinado compuesto en un alimento alimento correspondiente al valor codificado –1 es 100 mg/L y el correspondiente al valor codificado +1 es 200 mg/L. Utilizando la expresión dada para codificar-descodificar factores: 1.- Compruébese que el valor físico correspondiente correspondiente al codificado –1 es 100 100 mg/L. 2.- Calcúlese el valor físico físico de concentración correspondiente al valor valor codificado 0. 3.- Si los valores físicos 100 y 200 mg/L fueran los correspondientes correspondientes a los codificados –1,414 y +1,414 respectivamente, calcúlese qué valor de concentración representa el valor codificado –1.
263
Ejercicio 5. Utilizando la plantilla “Ajuste de un modelo lineal” de “Diseños Factoriales (2/3)”, realícense los cálculos del modelo lineal de las transparencias nº 15, 16 y 17 del mismo archivo. Ejercicio 6. Partiendo de los mismos datos del Ejercicio 1 1.- Formúlese un modelo empírico para la influencia de las concentraciones de pectina y ácido cítrico en la viscosidad de la mermelada. 2.- ¿Qué relación se observa entre los efectos de los factores y los coeficientes del modelo? 3.- ¿Qué indica el signo del coeficiente del término de interacción? Ejercicio 7. En la elaboración de pastas de té se desea estudiar los factores y niveles reseñados en la siguiente tabla: FACTOR X1, Temperatura de horneado (ºC) X2, Tiempo de horneado (min) X3, Tipo de grasa
NIVEL BAJO NIVEL ALTO CENTRO 170 230 200 10 Mantequilla
20 Margarina
15 Mezcla al 50%
Se hace un diseño factorial completo a dos niveles con 4 repeticiones en el centro, se elaboran las pastas de té y se hace un análisis sensorial de las mismas con un panel de catadores que otorgan las siguientes calificaciones: Exp. nº Catado Catado Catado Catado Catado r1 r2 r3 r4 r5 1 27 25 30 29 25 2 60 58 48 56 68 3 71 77 71 66 70 4 28 32 30 30 31 5 28 26 30 26 32 6 60 50 65 63 64 7 70 76 79 83 76 8 25 30 29 40 31 9 76 79 76 79 74 10 61 80 76 74 70 11 81 74 73 68 74 12 79 76 76 71 74 (Los experimentos se presentan en el orden estándar, los 9 a 12 corresponden a las repeticiones en el centro.)
264
Se pide: 1.- Calcular los efectos de cada factor y de cada interacción. 2.- Estudiar la significación de cada uno de estos efectos con las expresiones de la transparencia nº 22 del archivo “Diseños Factoriales (3/3)”. 3.- Calcular un modelo lineal utilizando la plantilla “Ajuste de un modelo lineal” de “Diseños Factoriales (2/3)”. 4.- Estudiar la significación de cada coeficiente con las expresiones de la transparencia nº 22 del “Diseños Factoriales (3/3)”. 5.- Proponer el modelo lineal con el menor número de términos posible. Ejercicio 8. En la elaboración de vinos de cava se produce una segunda fermentación en botella; el envejecimiento del vino (de 9 meses a varios años, según tipo y calidad) se produce en presencia de las levaduras. Una vez acabada la segunda fermentación las levaduras van muriendo por falta de sustrato fermentable y sufren autolisis, a consecuencia de la cual liberan al medio sustancias importantes para las características sensoriales del cava. En una investigación de envejecimiento acelerado de cava, se ensayan cepas de levadura de segunda fermentación en las que se pretende inducir una autolisis, también acelerada, para producir cava de calidad similar al convencional en menos tiempo. Factores tales como cepa de levadura, fase de crecimiento en que se induce la autolisis, y otras condiciones del medio inductor pueden afectar al resultado de la autolisis, que se medirá por la concentración de aminoácidos liberados al medio (interesa un máximo). Se decide plantear un diseño factorial fraccionado con los factores y niveles de la tabla siguiente. Se desea estudiar el efecto principal de cada factor realizando solamente 8 experimentos. Factores A B C D E F G
V. codificado
-1
Levadura IFI 473 Fase de crecimiento Temperatura (ºC) Etanol (%) PH Ácido málico (g/L) Ácido acético (g/L)
+1
salvaje mutada Exponencial Estacionaria 16 2 3 0
30 10 6 3
0
0,1
Las respuestas obtenidas para los 8 experimentos (en orden estándar) son:
265
Exp. 1 2 3 4 5 6 7 8
Aminoácidos liberados (mg/L) 56 186 11 39 157 274 15 316
Se pide: 1. Hacer el diseño con solo 8 experimentos. 2. Calcular los efectos principales de cada factor e indicar con qué interacciones de dos factores están confundidos. 3. Proponer un segundo diseño para, combinándolo con el anterior, obtener el máximo número posible de efectos principales libres de confusión. Ejercicio 9. Obtención de un espacio de cabeza representativo del aroma de un mosto de uva. Aproximación a la zona de óptimo mediante el método Simplex secuencial. Uso de software original. Planteamiento del problema: • El aroma de un mosto de uva puede ser caracterizado mediante los compuestos volátiles presentes en el espacio gaseoso que se encuentra en equilibrio con el líquido (espacio de cabeza). • En la modalidad del espacio de cabeza dinámico un gas inerte burbujeando en el líquido da lugar a una corriente gaseosa enriquecida en volátiles. • Su composición depende, entre otras, de variables tales como el caudal de gas inerte, el tiempo de paso de ese gas, el volumen de espacio de cabeza del recipiente y la temperatura de la muestra. • Ese espacio de cabeza puede analizarse por GC. Será tanto más representativo cuanto mayor número y concentración de compuestos volátiles contenga (mayor área total del cromatograma). Consideraciones sobre el diseño experimental: • El método Simplex secuencial o de optimación autodirigida es una buena alternativa para aproximarse al óptimo cuando se trabaja con más de 3 factores. • El método Simplex básico es menos eficaz pero más fácil de aplicar al principio que el modificado. • Hay que tener especial cuidado al elegir la respuesta a optimar pues el desarrollo de la experimentación vendrá condicionado por ella, y raramente valdrá para otra diferente. • Características del diseño: k=4
e=3 266
Variable Val. mín. Val. máx. Origen 1 15 8 F (mL/min). Caudal gas arrastre t (min). Tiempo arrastre 1 30 15 V (mL). Volumen esp. cabeza 50 150 100 T (ºC). Temperatura 30 80 55 Respuesta: área total del cromatograma Se pide: • Diseñar el simplex inicial con el programa SimplexA (archivo SimplexA.exe). • Realizar la experimentación y obtener los valores de respuesta (utilizar los datos del ejemplo del archivo MetodoSimplex2.doc, transparencias 36-40). • Comparar las respuestas, decidir qué vértice rechazar y calcular el reflejado con el programa SimplexB (archivo SimplexB.exe). • Repetir los dos pasos anteriores aplicando las reglas del Simplex hasta finalizar la búsqueda del óptimo siguiendo las decisiones del ejemplo. • Ir haciendo a lo largo del proceso una tabla de seguimiento que consigne: Vértice nº, Simplex nº, Vértices que lo forman, Vértices edad k+1, Valores de las variables y Valor de la respuesta, utilizando el archivo InformSpx.xls. • Ir haciendo un gráfico de progreso Respuesta vs. Vértice utilizando el mismo archivo. Ejercicio 10.Optimación de la separación de vitaminas liposolubles por cromatografía de fluidos supercríticos (SFC). Planteamiento y análisis de un diseño compuesto central y rotativo (metodología de superficie de respuesta). Planteamiento del problema: • La facilidad del acoplamiento con SFE y la diversidad de detectores utilizables hace que el análisis de vitaminas liposolubles por SFC pueda ser, en algunos casos, una alternativa interesante al método habitual por HPLC. • Los resultados obtenidos dependen, principalmente, de las programaciones de temperatura y presión utilizadas para la fase móvil (fluido supercrítico), que deben ser cuidadosamente optimadas. • La calidad de la resolución de los cromatogramas puede cuantificarse por medio de un función respuesta cromatográfica (CRF) que tenga en cuenta diferentes características de los picos. Consideraciones sobre el diseño experimental: • Por informaciones previas se sabe que con el sistema cromatográfico usado se obtendrán las mejores separaciones para gradientes de temperatura entre -5 y 5 ºC/min combinados con gradientes de presión entre 1 y 7 atm/min. • Es muy probable que el mejor gradiente de presión dependa del gradiente de temperatura utilizado en cada caso (interacción) por lo que el enfoque de cambiar una sola variable cada vez no es adecuado. Puede serlo un diseño compuesto, central y rotativo para 2 factores (x1= grad. T; x2= grad. P). • Niveles y respuestas: x1= -5 - +5 ºC/min x2= 1 - 7 atm/min y= CRF = n Σ αi+1, i (maximizar) 267
Se pide, utilizando el programa Statgraphics: 1. Hacer un diseño compuesto central y rotativo en valores codificados para 2 factores. 2. Traducir la matriz de diseño a valores físicos para la experimentación en el laboratorio (utilizar la expresión dada para codificar-descodificar factores en la transparencia 11 del archivo FactComp1.doc). 3. Plantear la experimentación secuencialmente: en primer lugar se harán los experimentos del factorial y dos repeticiones en el centro para poder estimar si existe curvatura (falta de ajuste del modelo lineal) en la superficie de respuesta. Si no existe, el modelo de primer orden explica suficientemente bien los resultados, no es necesario proseguir con el resto de la experimentación.. Si existe curvatura es necesario realizar los experimentos de los puntos de la estrella y el resto de las repeticiones en el centro para poder ajustar un modelo polinómico de segundo orden (capaz de estimar curvatura). 4. Aleatorizar los puntos del factorial y dos repeticiones en el centro, realizar la experimentación y calcular los valores para CRF. Respuestas en orden estándar: 49,133; 56,623; 48,790; 25,625; 68,927; 69,011. 5. Analizar los resultados mediante un diseño factorial completo con 2 puntos centrales, incluyendo: ANOVA, R2 y falta de ajuste (Pane Options: Include Lack-of-Fit Test) Gráficos de efectos principales e interacción Gráfico de la superficie de respuesta 6. Si la falta de ajuste resultó estadísticamente significativa: 7. Aleatorizar los puntos de la estrella y tres repeticiones en el centro, realizar la experimentación y calcular los valores para CRF. Respuestas en orden estándar: 36,192; 26,490; 38,784; 35,730; 60,996; 62,012; 61,498. 8. Analizar los resultados mediante el diseño compuesto, central y rotativo inicial, incluyendo: 8.1. ANOVA, R2 y falta de ajuste, recálculo (Analysis Options: Exclude), modelo empírico de segundo orden, Gráficos de efectos principales e interacción Gráfico de la superficie de respuesta Gráfico de curvas de nivel. Repetir con los programas BHGEN.exe y BH234.exe (METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA (1/1)) los pasos 1, 2 (no es necesario usar la expresión para codificar y descodificar factores) y 8 anteriores. Comparar los resultados.
268
Ejercicio 11.
Diseño experimental por el método de Taguchi
DISEÑO DE PARAMETROS EN UN INTERCAMBIADOR DE CALOR 1) Identificar la función principal La función principal del sistema representado en la Figura 1., es enfriar el aire desde 95 hasta los 10 º C. El proceso de enfriamiento se realiza en dos etapas. En la primera etapa , el aire comprimido entra en el preenfriador a 95 ºC y sale con una temperatura de 3ºC ,posteriormente se vuelve a enfriar en la unidad de refrigeración hasta alcanzar la temperatura deseada de 10 ºC.
Figura.1: Sistema de refrigeración de aire comprimido El caudal de aire comprimido es de 1,2 Kg/s y el de agua 2,3 Kg /s. ,siendo 24 ºC la temperatura que se espera tenga el agua a la salida del radiador. 2) Identificación de la característica de calidad a optimizar. Definición de los objetivos El sistema se diseña para que el coste total sea mínimo. Este coste es la suma de los costes asociados a la unidad de refrigeración . preenfriador y radiador. Las ecuaciones paramétricas que relacionan los costes Xi con las temperaturas de salida son las siguientes :
269
Supongamos que los valores para los parámetros son :a=48, b=50, c=25 .En este ejemplo la característica de calidad a optimizar sería el coste total ( CT = X1+X2+X3 ) . El objetivo es lograr un diseño que cumpla la función al mínimo coste ,sujeto a las restricciones de balance de masas ,energia , compresión y potencia y teniendo en cuenta los factores de ruido. 3) Identificación de los factores de control , factores de ruido y de sus niveles de experimentación En la Tabla 2 se muestran los factores y niveles que determinan la región de experimentación .
4) Planificación y ejecución del experimento Como se tienen en cuenta tres factores de control a tres niveles, el arreglo ortogonal para la matriz interna es el mostrado en la Figura 2 . En este arreglo , las columnas son mutuamente ortogonales. Esto significa que , por cada par de columnas , se encuentran todas las combinaciones posibles de los niveles en un mismo número de veces . Este arreglo se denomina diseño L9 , el 9 indica el número de filas , combinaciones o prototipos a ensayar bajo los niveles de los factores de control.
a) Cuál de los factores son significativos al nivel del 5% sobre esl costo total del enfriador?. b) Cuál es el costo mínimo total y las condiciones óptimas de funcionamiento? 270
c) Cuál es el factor más robusto y los niveles más robustos en el proceso? Ejercicio 12: Se lleva a cabo un experimento para determinar el crecimiento de plantas de frijol de acuerdo a tres factores: la profundidad de plantado de la semilla (.5 pulgadas y 1.5 pulgadas), la frecuencia de riego (una o dos veces diarias) y el tipo de frijol sembrado (pequeño o grande). Se hacen tres réplicas del experimento y se obtienen los siguientes datos: Tipo de semilla Pequeña
Frecuencia de riego Una vez Dos veces
Grande
Una vez
Profundida d 0.5 1.5 0.5 1.5 0.5
Rep 1 6 4 10 7 4
Rep 2 7 5 9 7 5
Rep 3 6 5 8 6 4
1.5 0.5 1.5
3 8 5
3 7 5
1 7 4
Dos veces
Calcule los efectos correspondientes a los factores y a las interacciones. Interprete los resultados obtenidos y sugiera condiciones ideales para sembrar. Ejercicio 13 Un ingeniero está interesado en el efecto de la velocidad de corte (A),la dureza del metal (B) y el ángulo de corte (C) sobre la duración de una herramienta de corte. Para ello se eligen dos niveles para cada factor y se corren dos réplicas del diseño factorial 23. La tabla siguiente presenta los datos de tiempo de duración (en horas) de la herramienta. Réplica Combinación de tratamientos
I
II
(1) a b ab c ac bc abc
221 325 354 552 440 406 605 392
311 435 348 472 453 377 500 419
(a) Calcule los efectos correspondientes a cada uno de los factores. (b) Determine cuáles de estos efectos son importantes usando la tabla de análisis de varianza. Reporte las conclusiones obtenidas. 271
Ejercicio 14 Los datos siguientes representan una sola réplica de un diseño 25 que se utiliza en un experimento para estudiar la resistencia a la compresión del concreto. Los factores son la mezcla (A), el tiempo (B), el laboratorio (C), la temperatura (D) y el tiempo de secado (E). (1) a b ab c ac bc abc
700 900 3400 5500 600 1000 3000 5300
d ad bd abd cd acd bcd abcd
1000 1100 3000 6100 800 1100 3300 6000
e ae be abe ce ace bce abce
800 1200 3500 6200 600 1200 3600 5500
de ade bde abde cde acde bcde abcde
1900 1500 4000 6500 1500 2000 3400 6800
(a) Estime los efectos de los factores. (b) Realice el gráfico normal de efectos y utilícelo para determinar cuáles de los efectos son importantes. (c) Si lo que se desea es maximizar la resistencia, ¿cómo deben ajustarse las variables del proceso? (d) Suponga que en este caso sólo fuera posible correr una cuarta parte del experimento 25. Construya el diseño, identifique la estructura de alias y analice los datos que se obtienen al seleccionar sólo la respuesta para las corridas de las cuales consta la fracción considerada. Ejercicio 15 Un producto químico es elaborado en un tanque presión. Un experimento factorial fue realizado en la planta piloto para estudiar los factores que se piensa pueden influenciar la tasa de infiltración de este producto: la temperatura (A), la presión (B), la concentración del reactante (C) y la tasa de mezclado (D). Los resultados de un experimento 24 completo y sin réplicas se presentan a continuación: A-
A+
BDD+
C45 43
B+ C+ 68 75
C48 45
BC+ 80 70
C71 100
B+ C+ 60 86
C65 104
C+ 65 96
(a) Calcule los efectos y decida cuales son significativos. (b) ¿Cuáles son las condiciones que maximizan la tasa de infiltración, y cuál es la respuesta promedio que se espera obtener? ¿Cuál sería su respuesta si la concentración del reactante debe mantenerse en nivel alto?
272
Ejercicio 16 Un artículo publicado en Industrial and Engineering Chemistry utiliza un diseño 25-2 para investigar el efecto sobre el rendimiento del proceso de A = temperatura de condensación, B = cantidad de material 1, C = volumen del solvente, D = tiempo de condensación y E = cantidad del material 2. Los resultados fueron los siguientes: e = 23.2 ab = 15.5 (a) (b) (c) (d)
ad = 16.9 bc = 16.2
cd = 23.8 ace = 23.4
bde = 16.8 abcde = 18.1
Determine la relación generadora de este diseño. ¿Cuál es su resolución? Escriba las relaciones de alias de este diseño Calcule los efectos. Determine cuáles de ellos son importantes. ¿Cómo llevaría a cabo el análisis para este experimento?
Ejercicio 17 Usted está recién graduado y acaba de entrar a trabajar en la empresa MPAR, la cual elabora galletas. La compañía ha presentado algunos problemas económicos en los últimos tiempos, así que su misión es tratar de incrementar la calidad y la productividad. Se le pide estudiar la influencia de tres variables sobre la textura de la galleta: A = tiempo en el horno. B = % de leche. C = tipo de harina (nacional o importada) Para ello usted debe: (a) Escribir la matriz de diseño para un experimento 23 (completo). (b) A partir de esa matriz de diseño se tomaron las siguientes medidas: Nivel
Textura
(1) a b ab c ac bc abc
10.0 13.0 8.0 15.1 11.0 12.9 8.1 15.0
Determine cuáles de los factores son influyentes sobre la textura de la galleta realizando gráficos cuantil-cuantil. Justifique y explique. ¿Qué conclusiones saca de allí? (c) En los datos anteriores el factor C no es significativo. ¿Cómo podría reinterpretarse el diseño anterior en función de un diseño 22, donde sólo estuviesen involucrados los factores A y B? Generalice esta conclusión a diseños 2k generales con m factores no significativos. 273
Ejercicio 18 En un laboratorio se requiere realizar un experimento con cinco factores. El diseño propuesto tiene por puntos de, a, be, abd, cd, ace, bc, abcde ¿Qué tipo de diseño se ha propuesto? ¿Cuál es su resolución? ¿Qué interpretación le puede dar a este resultado? ¿Cuáles son las ecuaciones generadoras para las confusiones de este diseño? ¿Cuál es la estructura de confusiones completa? Ejercicio 19 ¿Es posible que en un diseño factorial fraccionado de resolución III un factor esté confundido con una interacción de tercer orden que lo contenga? Justifique. Ejercicio 20 ¿Es posible diseñar un experimento 25-2 en el cual no se realice ninguna medición en la cual los factores A y C se encuentren ambos en alto al mismo tiempo? Ejercicio 21 Usted acaba de ser contratado como jefe de planta en una fábrica de cerveza. Una de las primeras noticias que recibe es que el proceso tiene algunos problemas con el grado alcohólico de la cerveza, el cual es muy alto. La persona que ocupaba su puesto anteriormente había planteado la posibilidad de realizar un experimento factorial fraccionado de la forma 24-1 para estudiar la situación. La estructura de dicho experimento es la siguiente A = tiempo de fermentación. B = % de cebada presente. C = % de arroz presente. D = % de maíz presente. (1), ab, c, abc, d, abd, cd, abcd (a) Escriba la matriz de diseño del experimento anterior y diga cuales efectos se encuentran confundidos. ¿Es este un diseño ortogonal? ¿Cuál es la resolución del diseño? (b) ¿Qué críticas le merece esta estructura de experimentación? (c) Si alguien le propusiera utilizar un experimento de la forma 2 4–2 para investigar esta situación, ¿qué le respondería usted? Un par de semanas después, ya un poco más calmado y con un mayor conocimiento del proceso, usted decide que existe un quinto factor influyente: E = tiempo de maduración.
274
(d) Escriba la matriz de diseño un nuevo experimento, esta vez de la forma 25-2, que permita tomar en cuenta este factor adicional y que evite los problemas presentados en el diseño anterior. (e) Encuentre los efectos confundidos en este nuevo diseño. ¿Cuál es la resolución del mismo? (f) ¿Qué puntos se encuentran dentro de esta fracción? Ejercicio 22 Usted es gerente de una planta de producción de detergentes. Se detectó que un problema de llenado se debía ala variabilidad en la densidad del detergente, por lo que se decidió realizar un experimento para determinar cuáles factores del proceso de producción afectan la densidad. Los factores (a 2 niveles) a considerar son los siguientes: A = tiempo en la torre de secado. B = homogeneidad de la mezcla antes de entrar en la torre. C = tiempo de reposo del detergente antes de ser enviado a la línea de empaque. D = contenido de carbonatos. E = velocidad del agitador de la mezcla. F = temperatura en la torre de secado. G = orden (normal o inverso) de adición de ciertos ingredientes. Debido a que cada corrida corresponde a un día de producción, se decidió reducir el tamaño del experimento, de 27 = 128 corridas, a una fracción de 27-3. Los resultados del experimento son los siguientes: Nivel
Densidad(g/ml )
(1) aeg bef abfg cefg acf bcg abce dfg adef bdeg abd cde acdg bcdf abcdefg
338.0 388.5 332.0 239.0 309.5 206.0 343.5 333.5 342.0 213.0 295.0 405.0 393.0 432.0 325.0 193.5
(a) Diga cuál es la estructura de confusiones del experimento. 275
(b) Determine cuáles factores influyen significativamente en la densidad del detergente, así como cuáles interacciones (de segundo orden) son significativas. Ejercicio 23 Se estudia la influencia de 7 factores sobre la viscosidad de un aceite producido en una nueva planta experimental. Para ello se utilizó un diseño 27-3 donde I=ABCE=BCDF=ACDG son los generadores utilizados. Los resultados obtenidos son: Nivel
Viscocidad
e ag bf abefg cfg acef bce abc defg adf bdg abde cd acdeg bcdef abcdfg
33,74 35,90 32,53 35,38 24,46 30,24 23,82 30,27 23,30 23,38 20,67 23,17 26,07 32,09 26,29 32,03
(a) Analice los resultados obtenidos y determine los factores activos sobre la viscosidad. (b) En caso de poder correr una nueva secuencia de puntos, ¿cuáles escogería? Ejercicio 24 R. D. Snee describe un experimento en el cual se utilizó un diseño 25-1 con I = ABCDE para investigar los efectos de cinco factores sobre el color de un producto químico. Los factores son A = solvente/reactivo, B = catalizador/reactivo, C = temperatura, D = pureza del reactivo y E = pH del reactivo. Los resultados fueron como sigue: Punto
Color
Punto
Color
e a b abe c ace bce abc
-0.63 2.51 -2.68 1.66 2.06 1.22 -2.09 1.93
d ade bde abd cde acd bcd abcde
6.79 5.47 3.45 5.68 5.22 4.38 4.30 4.05
276
(a) Trace una gráfica de probabilidad normal para los efectos. ¿Cuáles efectos parecen ser activos? (b) Calcule los residuos. Trace una gráfica de probabilidad normal para los residuos y grafica estos contra los valores ajustados. Comente las gráficas. (c) Si uno o más de los factores son despreciables, contraiga el diseño 2 5-1 a un factorial completo con los factores activos. Comente el diseño resultante e interprete los resultados. Ejercicio 25 En un artículo publicado en el Journal of Quality Techonology (Vol. 17, pp.198 a 206) se describe el uso de un factorial fraccionado replicado para investigar el efecto de cinco factores sobre la altura libre de resortes de hojas (muelles) utilizados en una aplicación automotriz. Los factores son A = temperatura del horno, B = tiempo de calentamiento, C = tiempo de transferencia, D = tiempo de inmersión y E = temperatura del aceite de templar. Los datos se presentan enseguida: A + + + + + + + +
B + + + + + + + +
C + + + + + + + +
D + + + + + + + +
E + + + + + + + +
7.78 8.15 7.50 7.59 7.54 7.69 7.56 7.56 7.50 7.88 7.50 7.63 7.32 7.56 7.18 7.81
Altura libre 7.78 8.18 7.56 7.56 8.00 8.09 7.52 7.81 7.25 7.88 7.56 7.75 7.44 7.69 7.18 7.50
7.81 7.88 7.50 7.75 7.88 8.06 7.44 7.69 7.12 7.44 7.50 7.56 7.44 7.62 7.25 7.59
(a) Determine la estructura de confusiones para este diseño. ¿Cuál es la resolución de este diseño? (b) ¿Cuáles son los puntos incluidos en este diseño? (c) ¿Qué factores influyen en la altura libre media? (d) ¿Existe evidencia de que alguno de los factores influya en la variabilidad de la altura libre? (e) Analice los residuos de este experimento en cada caso y comente los resultados. (f) Comente sobre el diseño utilizado. ¿Existe un diseño más adecuado para está situación?
277
Ejercicio 26 Una empresa de consultoría debe llevar a cabo para un cliente un estudio experimental para determinar los efectos de seis variables sobre las propiedades físicas de cierto tipo de asfalto. Llamemos A, B, C, D, E y F a esas variables. (a) Si se lleva a cabo un diseño factorial completo a dos niveles ¿cuántas corridas deben hacerse? (b) Escriba un diseño fraccional de resolución IV que requiera sólo 16 corridas. Escriba una relación generadora para este diseño. (c) En el diseño que Ud. realizó, ¿qué efectos están confundidos con A? ¿Y con BD? Ejercicio 27 Considere un diseño factorial fraccional 25-2. Estudie la estructura de confusiones y la resolución de las fracciones que se obtienen de las siguientes formas: (a) Partiendo de un 25 completo, se toman aquellos puntos donde las interacciones ABCDE y ABCD estén ambas a nivel alto. (b) Partiendo de un 25 completo, se toman aquellos puntos donde dos interacciones de cuarto orden (ABCD y BCDE) estén en nivel alto. (c) Partiendo de un 25 completo, tomando los puntos donde dos interacciones de tercer orden estén a nivel alto. (d) Partiendo de un 23, asignando factores adicionales a dos interacciones de segundo orden (por ejemplo AB y AC). Comente y compare sus resultados. Ejercicio 28 Suponga que se le presentan las siguientes alternativas: (a) Correr un diseño 26 completo. (b) Correr un diseño 26-2 replicado cuatro veces. Comente en que condiciones es preferible utilizar uno u otro. Ejercicio 29 Ozzie Cadenza, poseedor de un Ph.D. en Estadística y actualmente propietario y gerente de Ozzie’s Bar and Grill, decidió recientemente estudiar los factores que influyen en el monto de las ventas de su bar. En un principio, no sabía cuáles factores eran importantes y cuáles no, pero seleccionó la siguiente lista de seis, los cuales decidió estudiar usando una fracción de un experimento factorial: • • •
La iluminación del bar. La presencia de papas fritas gratis en la barra. El volumen de la rockola. 278
La presencia de la clienta favorita de Ozzie, la Srta. Rapunzel Freeny. La Srta. Freeny es el tipo de persona que es el alma de la fiesta, y se la pasa bromeando con los clientes, repartiendo las papas fritas, etc., de modo que Ozzie siente que su presencia tiene un efecto real en el monto de las ventas. • La presencia de una banda de gitanos que han formado un grupo musical llamado “Los Gitanos”, y quienes han sido contratados por Ozzie para tocar en el local, pero sin indicar un período fijo. • El efecto del barman que está trabajando. Originalmente había tres barman, Tom, Dick y Harry, pero Harry fue despedido, de manera que cada factor del experimento tendrá dos niveles. Los niveles para los factores se asignan como sigue: •
Nivel bajo (-1) Luces bajas No hay papas fritas La rockola tiene volumen bajo La Srta. Freeny se queda en casa Los Gitanos no están Tom es el barman
Nivel alto (+1) Luces altas Sí hay papas fritas La rockola tiene volumen alto La Srta. Freeny va al local Los Gitanos están Dick es el barman
(a) Ozzie decidió llevar a cabo una “corrida” cada viernes en la tarde durante la hora del cocktail (4:30 p.m. a 6:30 p.m.). Pensó que debería intentar una fracción de un diseño factorial con el menor número posible de corridas, porque no sabe cuándo Los Gitanos decidirán recoger sus cosas e irse. 6 / 3 Finalmente decide usar un miembro de la familia de diseños 2 III con generatriz I=ABD=ACE=BCF (la cual incluye todos los diseños que involucran estas relaciones con signo positivo o negativo). Hubiera preferido un diseño en el cual la rockola no estuviese a todo volumen mientras Los Gitanos tocaban, pero descubrió que este requerimiento era imposible de cumplir. ¿Por qué? (b) De todas maneras, insistió en que en ninguna corrida del experimento los factores A, C y E deberían estar a nivel alto simultáneamente. Esta restricción era necesaria, pues las luces tenían una extraña tendencia a fundirse si Los Gitanos enchufaban su amplificador cuando las luces estaban altas y la rockola sonando a todo volumen. ¿Qué miembros de la familia de diseños escogida cumplen con esta restricción? (c) Ozzie decidió usar la relación generatriz I=ABD=-ACE=BCF. La matriz de diseño y la “variable de respuesta” (ingreso en dólares) se indican en la siguiente tabla: A + + + +
B + + + +
C + + + +
D=AB + + + + 279
E=+ + + + -
F=BC + + + +
y 265 155 135 205 195 205 125 315
Suponiendo que las interacciones de orden tres o mayor son despreciables, escriba los estimados obtenidos a partir de estos experimentos, e indique qué estiman. (d) Explique brevemente cuál fracción llevaría a cabo a continuación y por qué. (e) Parcializándose por la Srta. Freeny y alentado por los resultados de la primera fracción, Ozzie escogió una segunda fracción que le proporcionaría estimadores no confundidos para ella y sus interacciones. Los resultados de esta segunda fracción, con los factores A, B y C en orden standard, fueron 135, 165, 285, 175, 205, 195, 295, 145. (f) Escriba los estimados obtenidos combinando los resultados de ambas fracciones. (g) A la luz de estos resultados, ¿cree que fue razonable la elección de la segunda fracción? (h) Establezca una breve conjetura que explique la presencia y dirección de las interacciones que involucran a la Srta. Freeny. Ejercicio 30 Suponga que debe correr un experimento 25, pero que por restricciones en la elaboración de la materia prima debe hacerlo en 4 bloques. Indique los puntos del diseño que deben correrse en cada bloque y cuales efectos están confundidos con los bloques. Ejercicio 31 Se realiza un experimento para determinar la influencia de la presión (A), temperatura (B) y concentración de LAS (C) sobre la viscosidad de un detergente líquido. Para ello se ha decido utilizar un diseño 23 con una sola réplica, el cual debe correrse en dos bloques. ¿Cuál de las siguientes dos opciones preferiría y por qué? Opción 1:
Opción 2:
Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4
a abc
(1) bc
b c
ac ab
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 3
Bloque 4
(1) abc
b ac
a bc
ab c
280
Ejercicio 32 Si alguien le propone correr un experimento 26 en ocho bloques, ¿qué le diría? Ejercicio 33 En un esfuerzo por incrementar la producción se realizó un experimento en una planta de manufactura de dispositivos de semiconductor. Se estudiaron cinco factores, cada uno a dos niveles. Los factores y niveles son: A = apertura del diafragma (pequeña, grande), B = tiempo de exposición (20% abajo y arriba del valor nominal), C = tiempo de revelado (30 y 45 seg), D = dimensión de la pantalla (pequeña, grande) y E = tiempo de corrosión selectiva (14.5 y 15.5 minutos). El experimento se corrió en dos bloques: Bloque 1 Punto Prod
a b c abc d abd acd bcd e abe ace bce ade bde cde abcde
Bloque 2 Punto Prod
9 34 16 60 8 50 21 44 8 52 22 45 10 30 15 63
(1) ab ac bc ad bd cd abad ae be ce abce de abde acde bcde
7 555 20 40 10 32 18 61 12 35 15 65 6 53 20 41
(a) Indique que efectos están confundidos con el bloque. (b) Identifique los efectos significativos y realice recomendaciones sobre las condiciones de operación del proceso. (c) ¿Es el bloque significativo? (d) ¿Puede proyectarse este diseño en un 2k más pequeño? Justifique. Ejercicio 34 Se desea realizar un experimento 25-1, pero los lotes de materia prima permiten correr un máximo de 10 puntos en cada uno. Indique como debería realizarse este experimento.
281
Ejercicio 35 Considere el modelo de primer orden yˆ = 50 + 1.5 x1 − 0.8 x2
donde − 1 ≤ xi ≤ 1 . Determine la dirección de máximo ascenso y planifique un conjunto de experimentos siguiendo dicha dirección. Ejercicio 36 Una planta química produce oxígeno licuando aire y separándolo en los diferentes gases que lo componen por medio de destilación fraccionada. La pureza del oxígeno obtenido es una función de la temperatura del condensador principal y del cociente de presiones entre la columna superior y la inferior. Las condiciones actuales de operación son temperatura (ξ1) = -220ºC y cociente de presión (ξ2) = 1.2. Usando los datos que se dan a continuación, ajuste un modelo de primer orden, pruebe las hipótesis necesarias para comprobar su ajuste y determine el camino de ascenso máximo. (Sugerencia: Codifique las variables) Temperatura (ξ1) -225 -225 -215 -215 -220 -220 -220 -220
Cociente de presiones (ξ2) 1.1 1.3 1.1 1.3 1.2 1.2 1.2 1.2
Pureza (%) 82.8 83.5 84.7 85.0 84.1 84.5 83.9 84.3
Ejercicio 37 Los siguientes datos fueron recogidos por un ingeniero de planta. La respuesta y es el tiempo de filtrado, x1 es la temperatura y x2 es la presión. x1
-1 -1 1 1 -1.414 -1.414 0 0 0 0
x2
-1 1 -1 1 0 0 1.414 1.414 0 0 282
y 54 45 32 47 50 53 47 51 41 39
0 0 0
0 0 0
44 42 40
(a) ¿Qué tipo de diseño usó el ingeniero? ¿Cuáles son sus ventajas? (b) Ajuste un modelo de segundo orden, verifique su validez y analice la superficie ajustada. ¿Cuáles serían sus recomendaciones si se desea minimizar el tiempo de filtrado? Ejercicio 38 Se desea minimizar el valor de la ceniza en la pulpa de papel (una medida de las impurezas inorgánicas). Se estudian dos variables: temperatura en ºC y tiempo en horas. Estas variables se codifican como se indica a continuación:
x1 =
temperatur a − 775 115
, x2 =
tiempo − 3 1.5
Se lleva a cabo un experimento cuyos resultados se muestran a continuación: x1
-1 1 -1 1 -1.5 1.5 0 0 0 0 0 0
x2
-1 -1 1 1 0 0 -1.5 1.5 0 0 0 0
Y 211 92 216 99 222 48 168 179 122 175 157 146
(a) ¿Qué tipo de diseño experimental se ha usado? ¿Es rotable? (b) Al ajustar un modelo cuadrático se obtienen los siguientes resultados: y =150.0445 -58.47059 x1 +3.352941 x2 -6.528158 x12 +10.58295x22 + 0.5x1x2
283
Fuente Modelo
G l 5
30688.7
6
1478.22
1 1
32166.92
Residuos Total
SS
MS
F
6137.7 4 246.37
24.91
¿Es bueno el ajuste de este modelo? Justifique su respuesta. (c) Calcule el punto estacionario. ¿Qué tipo de punto es? (puede usar que los - 6.528158 0.25 son -6.8982802 y 0.6201222) autovalores de la matriz
0.25
10.58295
Ejercicio 39 Un ingeniero está investigando la influencia de la temperatura, la presión y la concentración del catalizador en tiempo que tarda una reacción en llevarse a cabo. Tras varios experimentos, el investigador ajustó la función y = 630 + 6.49899 x1 − 5.22411 x 2 + 1.31652 x3 + 1.80891 x1 x 2 − 7.07813 x1 x3
− 4.70631 x 2 x3 − 6.09187 x12 − 5.12015 x 22 − 3.71797 x32
usando un diseño central compuesto con cinco puntos centrales. Las variables codificadas son las siguientes: x1 =
temperatur a (°C ) − 350 8
x 2 =
presión( psi ) − 612 20
x3 =
concentración − 0.15 0.03
Hágale al ingeniero las sugerencias que considere adecuadas. Ejercicio 40 Optimización del Proceso de Remoción de Metales Pesados de Agua Residual de la Industria Galvánica por Precipitación Química Se han estudiado las condiciones óptimas requeridas para remover metales pesados del agua residual de una industria galvánica. El tratamiento se hizo mediante precipitación química, usando sosa para ajustar el pH y cloruro férrico como aditivo coagulante en un equipo de prueba de jarras. Se utilizó el tratamiento en equipo de prueba de jarras, en el que se prueban diferentes condiciones de operación para la precipitación química de los metales pesados, los factores considerados para este proceso son: Tiempo de Floculación, Velocidad de agitación y Dosis de Coagulante. Se trabajó utilizando como coagulante el cloruro de hierro (III) el cuál presentó los mejores resultados en pruebas previas de selección del mejor coagulante (Soto et. al., 2004). El proceso de ajuste de pH se realizó con sosa cáustica al 20% en vasos
284
de precipitado de un litro, siguiendo para ello las curvas de solubilidad de hidróxidos metálicos reportados (Baltpurvins, 1996; Benefield y Morgan, 1990). Tabla 1: Características del agua residual cruda y máximo permisible de acuerdo a la Norma Nacional Características del agua
Color pH
Concentración inicial Permitidos por Norma del agua (mg/L) (mg/L)
435
0.50
720
6.0
168
No regulado
24
4.0
Verde oscuro 1.8
5.5-10.0
Las determinaciones de las variables de respuesta se realizaron de la siguiente forma: 1. La concentración residual de metales pesados se realizó por análisis de espectroscopía de absorción atómica. 2. La velocidad inicial de sedimentación, se realizó por medio de un método gráfico, es decir se construyeron las curvas de redimentación altura contra tiempo, se insertó el mejor modelo matemático para las curvas generadas, es decir se construyeron las curvas de utilizando el. criterio de la primera y segunda derivada de los modelos matemáticos. 3. El tiempo crítico de sedimentación, es decir, el tiempo el tiempo en el que la fase sedimentada alcanza la etapa de compresión, se obtuvo mediante el método descrito por Comings, 1940. Para el experimento se utilizó un diseño central compuesto (2k+2k+6=20 pruebas), cuyos resultados se muestran a continuación: Factores codificados Factores decodificados Exp
Do Do
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 1 -1 0 0 0 0
Va
0 0 -1 1 0 0 0 -1.68
Va
Concentración residual del agua tratada (mg/L)
Ta 3+
Ta
1.68 0 1 1 0 0 0 0
Cr (mL)
(rpm)
(min)
5.0 5.0 8.0 2.0 5.0 5.0 5.0 5.0
32.5 32.5 15.0 50.0 32.5 32.5 32.5 3.0
14.0 9.0 12.0 12.0 9.0 9.0 9.0 9.0 285
<0.20 <0.20 0.22 0.22 <0.20 <0.20 0.25 0.25
3+
Fe
<0.2 0.70 0.49 <0.2 <0.2 <0.2 0.40 0.25
2+
Zn
0.17 0.53 0.93 0.42 <0.10 <0.10 0.80 0.20
Respuestas del proceso de sedimentación Tc V*
2+
Ni
<0.20 <0.20 <0.20 <0.20 <0.20 <0.20 0.25 0.25
(min)
(cm/min)
3.7 2.8 3.9 4.0 2.2 2.5 2.0 3.9
2.0 2.7 1.5 1.3 4.5 2.9 3.1 1.5
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-1 0 -1.68 -1 -1 1.68 1 0 1 1 0 0
-1 0 0 1 -1 0 1 1.68 -1 1 0 0
-1 -1.68 0 -1 1 0 -1 0 -1 1 0 0
2.0 5.0 0.0 2.0 2.0 10.0 8.0 5.0 8.0 8.0 5.0 5.0
15.0 32.5 32.5 50.0 15.0 32.5 50.0 62 15.0 50.0 32.5 32.5
6.0 4.0 9.0 6.0 12.0 9.0 6.0 9.0 6.0 12.0 9.0 9.0
0.25 4.17 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 4.32 0.38 0.25 0.25 0.56 0.25 0.25 0.25 0.30 0.65 0.25
1.41 1.73 0.27 0.16 0.12 0.91 0.98 0.25 0.30 0.36 1.13 <0.10
0.25 0.50 0.25 <0.20 <0.20 <0.20 <0.20 <0.20 <0.20 0.25 0.25 0.25
4.4 3.4 7.0 6.5 5.5 6.4 5.1 3.9 4.7 4.9 3.0 2.3
1.1 2.2 0.5 0.6 0.5 0.6 0.9 1.5 1.0 0.9 2.6 3.0
Se pide lo siguiente: Encontrar los valores óptimos de Tiempo de Floculación, Velocidad de agitación y Dosis de Coagulante de modo que Tc sea mínimo y V* sea máximo simutáneamente. (Optimización de respuesta múltiple). Respuesta Deseabilidad Optimizada Valor óptimo = 0,846106 Factor
Bajo
C_dosis 0,0 V_agitacion 3,0 t_floculacion 4,0 Respuesta
Alto
10,0 62,0 14,0
Optimo
5,20116 30,9465 9,08544
Optimo
t_sediment 2,44779 (min) V_sediment 3,14526(cm/min) Ejercicio 41 En el gráfico siguiente es evidente que:
286
a) Existe interacción entre la temperatura del horno y la presión de llenado. b) A mayor temperatura del horno, un incremento en la presión de llenado tiene más efecto sobre la densidad. c) El efecto de la presión de llenado sobre la densidad cambia tanto como cambia la temperatura del horno. d) Todas las anteriores. Ejercicio 42 Respecto al gráfico anterior es evidente que: a) Si la temperatura del horno es difícil de controlar, podríamos correr el proceso a alta presión de llenado para minimizar la variación en la densidad. b) Si la presión de llenado es difícil de controlar, deberíamos correr el proceso a temperatura baja para minimizar la variación en la densidad. c) Corriendo el proceso a alta temperaura y a alta presión obtendremos las mejores condiciones. d) Ninguna de las anteriores. Ejercicio 43 Un modelo de la forma: Y = β 0 + β 1 X 1+ β 11 X 12 + β 2 X 2+ β 12 X 12 a) b) c) d)
La superficie respuesta es no-lineal. Requiere pruebas experimentales para x1 en al menos tres niveles. Incluye un término de interacción. Todas las anteriores.
Ejercicio 44 Si un análisis ANOVA no proporciona resultados para la prueba F, entonces: a) Probablemente no hemos corrido suficientes pruebas para estimar el error. b) El programa que estamos utilizando puede estar fallado. c) Podemos remover un factor con efectos cercanos a cero para proporcionar corridas adicionales al análisis. d) a y c. Ejercicio 45 Para cuál de los siguientes propósitos se requiere la repetición de un experimento?. i. Proveer un medio para estimar el error experimental. ii. Incrementar el número de tratamientos incluidos en el experimento. iii. Mejora la precisión de estimación de los efectos. a) Propósitos i y ii solamente. b) Propósitos i y iii solamente. c) Propósitos ii y iii solamente. d) Propósitos i, ii y iii. 287
Ejercicio 46 Un experimento 32 significa que nosotros estamos considerando: a) tres factores a dos niveles. b) Dos variables dependientes y tres variables independientes. c) Dos variables discretas y tres variables continuas. d) Dos factores a tres niveles. Ejercicio 47 Se realizó un estudio para la remoción de cromo (III) de efluentes líquidos de la industria de curtiembres utilizando ceniza volante. El proceso se llevó a cabo en forma discontinua utilizando como variables la masa de ceniza volante, el tiempo de contacto y la temperatura . Con estas variables se realizó un diseño de experimentos tipo Box-Wilson. El experimento se llevó a cabo utilizando un vaso de precipitados de 100 ml, el cual contenía 50 ml del licor real de cromo a tratar y la ceniza volante (10-20 gramos). El sistema se dejó bajo agitación durante un tiempo determinado (30-60 minutos), en un rango de temperaturas entre 25 y 50 oC, luego de lo cual se filtró y, a la solución filtrada, se le determinó la concentración de cromo por absorción atómica. Los resultados del experimento son los que se presentan a continuación: Experimento Número
Tiempo (minutos)
Masa Concentración pHfinal Temperatura; (gramos) oC) Cr [ ppm] final
1
30
38
15
200
7,00
2
36
45
18
3,5
7,54
3
36
31
12
650
6,72
4
36
31
18
250
6,99
5
36
45
12
72,5
7,04
6
45
25
15
500
7,00
7
45
38
10
715
6,60
8
45
38
20
17.5
7,30
9
45
38
15
96,0
7,33
10
45
50
15
1,0
7,00
11
54
31
12
590
6,98
12
54
31
18
105
7,22
13
54
45
18
8*10
288
-3
7,60
14
54
45
12
28,75
7,35
15
60
38
15
40
7,40
a) Analice el experimento mediante el método de superficie respuesta determinando los niveles óptimos de ceniza, tiempo y temperatura para obtener el mejor resultado posible. b) Formule un modelo matemático que relacione el contenido de Cr(III) en el efluente en función de la ceniza, tiempo y temperatura.
289
