Bab 6
GAY GAYA GESER GESE R DAN MOMEN TEKUK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasi Mahasiswa swa dihar diharapk apkan an mampu mampu memah memahami ami konsep konsep dasar dasar momen momen tekuk tekuk dalam dalam kaitanya dengan bentuk konstruksi dan bentuk pembebanan; memahami konsep gaya intern internal al,, tahana tahanan n momen momen serta serta hubun hubungan gan antara antara inten intensit sitas as beban beban,, gaya gaya geser geser dan dan momen tekuk. Definisi balok (beam ) Suatu batang yang dikenai gaya-gaya atau pasangan gaya-gaya sert serta a mome momen n (couple) yang terl terlet etak ak pada pada suat suatu u bida bidang ng yang yang memp mempun unya yaii sumb sumbu u couple) yang longitudinal disebut balok ((beam ). Gaya-gaya disini bekerja tegaklurus terhadap sumbu beam). horisontal. Balok konsole (cantilever ) Jika Jika suatu suatu balok balok disan disangga gga atau atau dijepi dijepitt hanya hanya pada pada salah salah satu satu ujungnya ujungnya sedemiki sedemikian an sehingga sehingga sumbu sumbu balok balok tidak tidak dapat dapat berputar berputar pada pada titik tersebut, tersebut, maka balok tersebut disebut balok gantung, balok kantilever ( cantilever beam). beam). Tipe balok ini antara lain ditunjukkan pada Gb. 6-1. Ujung kiri balok adalah bebas terhadap tekukan dan pada ujung kanan dijepit. Reaksi dinding penyangga pada ujung kanan balok terdiri atas gaya vertikal sebesar gaya dan pasangan gaya-gaya yang bekerja pada bidang balok. P
W N/m N/m
Gb. 6-1
Balok sederhana Suatu balok yang disangga secara bebas pada kedua ujungnya disebu disebutt balok balok sederh sederhana ana.. Istil Istilah ah “disan “disangga gga secara secara bebas” bebas” menyat menyataka akan n secara secara tidak tidak langsung bahwa ujung penyangga hanya mampu menahan gaya-gaya pada batang dan tidak mampu menghasilkan momen. Dengan demikian tidak ada tahanan terhadap rotasi pada pada ujung ujung batang batang jika jika batan batang g mengal mengalami ami tekuka tekukan n karena karena pembeb pembebana anan. n. Batan Batang g sederhana diilustrasikan diilustrasikan pada Gb. 6-2. P
W N/m N/m
M
(a )
(b)
31
Gb. 6-2
Perlu diperhatikan bahwa sedikitnya satu dari penyangga harus mampu menahan pergerakan horisontal sedemikian sehingga tidak ada gaya yang muncul pada arah sumbu balok. Balok pada Gb. 6-2(a) dikatakan dikenai gaya terkonsentrasi atau gaya tunggal; sedang batang pada Gb. 6-2(b) dibebani pasangan beban terdistribusi seragam. Balok menggantung Suatu balok
disangga
secara bebas
pada
dua titik
dan
menggantung di salah satu ujungnya disebut balok menggantung ( overhanging beam). Dua contoh ditunjukan pada Gb. 6-3. P
P
1
P
2
W
P
3
Gb. 6-3
Balok statis tertentu Semua balok-balok yang kita diskusikan diatas, kantilever, balok sederhana, balok menggantung, adalah balok dimana reaksi-reaksi gayanya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan kesetimbangan statis. Nilai reaksi-reaksi ini tidak tergantung pada perubahan bentuk atau deformasi yang terjadi pada balok. Balokbalok demikian disebut balok statis tertentu. Balok statis tak-tertentu Jika jumlah reaksi yang terjadi pada balok melebihi jumlah persamaan kesetimbangan statis, maka persamaan statis harus ditambah dengan suatu persamaan sebagai fungsi deformasi balok. Pada kasus demikian balok dikatakan statis tak-tertentu. Contoh-contohnya ditunjukkan pada Gb. 6-4. P
(a)
W
P
P
1
(b) Gb. 6-4
2
(c)
Tipe pembebanan Beban biasanya dikenakan pada balok dalam bentuk gaya 32
terkonsentrasi (bekerja pada satu titik), dan beban terdistribusi seragam dimana besarnya dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang, atau beban bervariasi seragam. Tipe beban yang terakhir ini diilustrasikan pada Gb. 6-5. Balok dapat juga dibebani dengan couple atau momen; besarnya biasanya dinyatakan sebagai Newton-meter (N.m).
W 0
Gb. 6-5
Gaya internal dan momen pada balok Ketika balok dibebani dengan gaya atau momen, tegangan internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser. Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik pada balok, perlu diketahui resultan gaya dan momen yang bekerja pada bagian atau titik tersebut.
Ini
dapat
dilakukan
dengan
menggunakan
persamaan-persamaan
kesetimbangan. Contoh 1. Misalkan beberapa gaya bekerja pada balok seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(a). P
P
1
A
B
P
2
C
3
b
P
4
D
x
a
A
P
1
M P
2
D
V
x
x R
R
1
2
(a)
R
1
(b)
Gb. 6-6
Pertama kita amati tegangan internal sepanjang bidang D, yang lerletak pada jarak x dari ujung kiri balok. Untuk itu balok dipotong pada D dan porsi balok disebelah kanan D dipindahkan. Porsi yang dipindahkan kemudian digantikan dengan suatu efek untuk bagian sebelah kiri D yaitu berupa gaya geser vertikal V bersama-sama dengan suatu momen M seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(b). Gaya V dan momen M menahan balok sebelah kiri yang mempunyai gaya-gaya R 1, P 1, dan P 2 tetap dalam kesetimbangannya. Nilai-nilai V dan M adalah positip jika posisinya seperti pada Gb. diatas. Tahanan momen Momen M yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan momen (resisting moment ) pada bagian D. Besarnya M dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan statis yang menyatakan bahwa jumlah seluruh gaya terhadap 33
poros yang melalui D dan tegak lurus bidang adalah nol. Jadi,
∑M
0
= M − R1 x + P 1 ( x − a) + P 2 ( x − b) = 0
atau
M = R1 x − P 1 ( x − a) − P 2 ( x − b)
Dengan demikian tahanan momen M adalah momen pada titik D yang dibuat dengan momen-momen reaksi pada A dan gaya-gaya P 1 dan P 2. Momen tahanan M merupakan resultan momen karena tekanan yang didistribusikan pada bagian vertikal pada D. Tegangan-tegangan ini bekerja pada arah horisontal dan merupakan suatu tarikan pada bagian-bagian tertentu pada penampang melintang dan suatu tekanan pada bagianbagian lainnya. Sifat-sifat ini akan didiskusikan di bab 8. Tahanan geser Gaya vertikal V yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut t ahanan geser (resisting shear ) untuk D. Untuk kesetimbangan gaya pada arah vertikal,
∑ F
v
= R1 − P 1 − P 2 −V = 0
atau V = R1
− P 1 − P 2
Gaya V ini sebenarnya merupakan resultan tegangan geser yang didistribusikan pada bagian verikal D. Sifat-sifat tegangan ini lebih lanjut akan didiskusikan di bab 8. Momen tekuk Jumlah aljabar momen-momen gaya luar pada satu sisi bagian D terhadap suatu sumbu yang melalui D disebut momen tekuk (bending moment ) pada D. Untuk pembebanan seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6, momen tekuk dinyatakan dengan: R1 x − P 1 ( x − a ) − P 2 ( x − b)
Jadi momen tekuk merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran yang sama. Momen tekuk juga dinotasikan dengan M . Momen tekuk lebih lazim digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya. Gaya geser Jumlah aljabar seluruh gaya vertikal disebelah kiri titik D disebut gaya geser (shearing force) pada titik tersebut. Untuk pembebanan diatas dinyatakan dengan R1
− P 1 − P 2 . Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi
besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V . Dalam perhitungan gaya geser lebih sering digunakan daripada tahanan geser. Konvensi tanda Konvensi atau kesepakatan pemberian tanda untuk gaya geser dan momen tekuk ditunjukkan pada Gb. 6-7. Suatu gaya yang menyebabkan balok 34
tertekuk dalam posisi cekung disebut menghasilkan momen tekuk positip. Suatu gaya yang menyebabkan pergeseran porsi batang sebelah kiri naik terhadap porsi batang sebelah kanan dikatakan menghasilkan gaya geser positip.
Momen tekuk positip
Momen tekuk negatip
Gaya geser positip
Gaya geser negatip
Gb. 6-7
Metode yang lebih mudah untuk menentukan tanda aljabar dari momen tekuk pada sembarang titik adalah: gaya luar menuju keatas menghasilkan momen tekuk positip, gaya kebawah menghasulkan momen tekuk negatip. Persamaan pergeseran dan momen Untuk
mempermudah
analisa
biasanya
digunakan
sistem
koordinat disepanjang balok dengan origin di salah satu ujung balok. Dengan sistem koordinat ini maka akan dapat diketahui gaya geser dan momen tekuk pada seluruh bagian disepanjang balok, dan untuk tujuan ini maka biasanya dibuat dua buah persamaan, satu menyatakan gaya geser V sebagai fungsi jarak, misal x , dari salah satu ujung balok, dan satu lagi menyatakan momen tekuk M sebagai fungsi x . Diagram gaya geser dan momen tekuk Plot untuk persamaan gaya geser V dan momen tekuk M masingmasing disebut diagram gaya geser dan diagram momen tekuk. Pada diagram ini absis (horisontal) menyatakan posisi bagian disepanjang balok
dan
ordinat
(vertikal)
menyatakan nilai dari gaya geser dan momen tekuk. Dengan demikian, diagram ini menyatakan secara grafis variasi gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik dari batang. Dari plot-plot ini maka akan sangat mudah untuk menentukan nilai maksimum setiap kuantitasnya. Hubungan antara intensitas beban, gaya geser, dan momen tekuk Suatu balok sederhana dengan beban bervariasi yang dinyatakan dengan w ( x ) diilustrasikan seperti pada Gb. 6-8. Sistem koordinat dengan origin diujung kiri ( A) dan variasi jaraknya dinyatakan dengan variabel x . w(x) x 35
x
dx
Gb. 6-8
Untuk suatu nilai x , hubungan antara beban w ( x ) dan gaya geser V adalah dV w= dx dan hubungan antara gaya geser dengan momen tekuk M adalah dM V = dx Hubungan-hubungan ini akan dijabarkan dalam contoh 2. Fungsi singularitas Untuk mempermudah penanganan problem yang melibatkan beban dan momen terkonsentrasi secara bersamaan, maka diperkenalkan fungsi sebagai berikut: f n ( x)
= ( x − a) n
dimana untuk n > 0. Kuantitas didalam kurung akan bernilai nol jika x < a dan bernilai ( x a)n jika x > a. Ini merupakan fungsi singularitas atau fungsi separoh selang. Dengan demikian jiga argumennya positip maka nilai didalam kurung berlaku sebagaimana pernyataan biasa. Contoh aplikasinya akan kita diskusikan dalam contoh 3. Contoh 2. Jabarkan hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan momen tekuk untuk suatu titik pada balok.
Kita misalkan suatu balok dikenai pembebanan seperti pada gambar (a). Kita isolasikan suatu elemen balok sepanjang dx dan menggambarkan diagram gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut. Gaya geser V bekerja pada sisi kiri elemen dan untuk elemen sepanjang dx tersebut besarnya berubah menjadi V + dV . Demikian juga momen tekuk M yang bekerja pada sisi kiri elemen berubah secara bertahap menjadi M + dM di sisi kanan. Karena dx adalah sangat kecil, beban diatas elemen tersebut dapat dianggap seragam yaitu sama dengan w N/m. Diagram gaya-gaya ini diilustrasikan pada gambar (b). Untuk kesetimbangan momennya, kita peroleh w N/m
w(x) x
x
O.
M
dx
o
1
= M − ( M + dM ) +Vdx + wdx (dx / 2) = 0
d M = V d x+ 2 w(d x)
M+dM
dx
(a)
∑M
V+dV
V
(b)
atau
2
36
Karena term terakhir berisi produk dua diferensial, maka term tersebut diabaikan untuk diperbandingkan dengan bentuk lain yang hanya melibatkan satu diferensial. Dengan demikian, dM V = atau dM = Vdx dx Jadi gaya geser adalah sama dengan laju perubahan momen tekuk terhadap x . Persamaan ini sangat bermanfaat dalam penggambaran diagram gaya geser dan momen tekuk khususnya untuk pembebanan yang sangat rumit. Misalnya, dari persamaan ini diperoleh bukti bahwa bila gaya geser adalah positip pada suatu bagian balok maka slope atau kemiringan momen tekuknya pada bagian atau titik itu juga positip. Juga, dapat dibuktikan bahwa perubahan yang tiba-tiba pada gaya geser juga diikuti oleh perubahan yang tiba-tiba pada kemiringan diagram momen tekuknya. Selanjutnya, pada titik-titik dimana gaya gesernya nol, maka kemiringan diagram momennya juga nol. Pada titik-titik ini, dimana diagram momennya adalah horisontal, besarnya momen bisa merupakan nilai maksimum atau minimum. Ini mengikuti teknik kalkulus dalam penentuan titik maksimum atau minimum suatu kurva dengan memberikan nilai nol pada turunan pertama fungsi kurva. . Untuk menentukan arah kecekungan kurva pada suatu titik, kita dapat membuat turunan kedua dari M terhadap x , yaitu d 2M /dx 2. Apabila nilai turunan kedua ini positip maka diagram momennya cekung keatas dan momennya menunjukkan nilai minimum. Bila turunan kedua adalah negatip, maka diagram momen adalah cekung kebawah (cembung), dan momennya memiliki nilai maksimum. Untuk persamaan kesetimbangan vertikal pada elemen, kita peroleh wdx
+V − (V + dV ) = 0
atau w =
dV
dx Formula ini bermanfaat untuk pembuatan diagram gaya. Contoh 3. Suatu balok kantilever dikenai pembebanan beban terkonsentrasi pada ujungnya dan beban terdistribusi pada separoh kanan panjang balok, seperti terlihat pada gambar (a). Dengan menggunakan fungsi singularitas, tulislah persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik pada balok dan gambarkan diagram gaya dan momennya.
w / unit panjang
P
w / unit panjang
P
M
1
B B
V
L/2
L/2
x
O
1
(a)
(b)
Diagram gaya-gaya ditunjukkan pada gambar (b). Dari gambar ini kita peroleh persamaan kesetimbangan statis: 2 wL wL V 1 = P + M 1 = PL + 2
8
meskipun untuk kasus kantilever ini sebenarnya kita tidak perlu menuliskan persamaanpersamaan gaya geser dan momen tekuknya. Berdasarkan sistem koordinatnya, dengan origin O, beban terkonsentrasi P dan beban terdistribusi menghasilkan gaya geser negatip berdasarkan konvensi tandanya. Dengan demikian kita dapatkan: 37
1
V = − P ( x)
0
L − w x − 2
yang mengindikasikan gaya geser pada setiap posisi x . Secara sama, momen tekuk pada setiap posisi x adalah 2
w L M = − P ( x ) − x − 2 2 1
Dengan demikian, diagram gaya geser dan momen tekuknya adalah seperti ditunjukkan pada gambar (c) dan (d) dibawah ini.
w / unit panjang
P
B
L/2
L/2
(a) Gaya geser P
w o L/2
(c) Momen tekuk
PL/2
2
PL+w o L /8
(d)
38
